Usando la definición de límite, demostrar el resultado de los siguientes límites dados. 5. \lim _{x \rightarrow-4}(3 x+2)=-10

Para demonstrar o limite \(\lim_{x \rightarrow -4}(3x + 2) = -10\) usando a definição de limite, seguimos os seguintes passos: 1. Definição de Limite: Dizemos que \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) se, para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\) tal que, se \(0 < |x - a| < \delta\), então \(|f(x) - L| < \epsilon\). 2. Aplicando a Definição: No nosso caso, \(f(x) = 3x + 2\), \(a = -4\) e \(L = -10\). 3. Calcular \(f(-4)\): \[ f(-4) = 3(-4) + 2 = -12 + 2 = -10 \] 4. Queremos mostrar que: Para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\) tal que, se \(0 < |x + 4| < \delta\), então \(|(3x + 2) - (-10)| < \epsilon\). 5. Simplificando a desigualdade: \[ |(3x + 2) + 10| < \epsilon \implies |3x + 12| < \epsilon \] \[ |3(x + 4)| < \epsilon \implies 3|x + 4| < \epsilon \implies |x + 4| < \frac{\epsilon}{3} \] 6. Escolha de \(\delta\): Podemos escolher \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\). 7. Conclusão: Assim, se \(0 < |x + 4| < \delta\), então \(|(3x + 2) + 10| < \epsilon\), o que demonstra que \(\lim_{x \to -4}(3x + 2) = -10\). Portanto, o limite está provado!