Usando la definición de límite, demostrar el resultado de los siguientes límites dados. 3. \lim _{x \rightarrow 1}(9-6 x)=3

Para demonstrar o limite \(\lim_{x \rightarrow 1}(9 - 6x) = 3\) usando a definição de limite, seguimos os seguintes passos: 1. Definição de Limite: Dizemos que \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) se, para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\) tal que, se \(0 < |x - a| < \delta\), então \(|f(x) - L| < \epsilon\). 2. Aplicando a Definição: No nosso caso, temos \(f(x) = 9 - 6x\), \(a = 1\) e \(L = 3\). 3. Cálculo de \(f(1)\): \[ f(1) = 9 - 6(1) = 9 - 6 = 3 \] 4. Queremos mostrar que: \[ |(9 - 6x) - 3| < \epsilon \] para \(0 < |x - 1| < \delta\). 5. Simplificando a expressão: \[ |(9 - 6x) - 3| = |6 - 6x| = 6|1 - x| \] 6. Queremos que: \[ 6|1 - x| < \epsilon \] ou seja, \[ |1 - x| < \frac{\epsilon}{6} \] 7. Escolhendo \(\delta\): Podemos escolher \(\delta = \frac{\epsilon}{6}\). 8. Conclusão: Assim, se \(0 < |x - 1| < \delta\), então \(|(9 - 6x) - 3| < \epsilon\). Portanto, pela definição de limite, temos que: \[ \lim_{x \rightarrow 1}(9 - 6x) = 3. \] E assim, o resultado está demonstrado!