Usando la definición de límite, demostrar el resultado de los siguientes límites dados. 4. \lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} 8(2 x+5)=48

Para demonstrar o limite \(\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} 8(2x + 5) = 48\) usando a definição de limite, seguimos os seguintes passos: 1. Substituição Direta: Primeiro, substituímos \(x\) pelo valor que está se aproximando, que é \(\frac{1}{2}\): \[ 8(2 \cdot \frac{1}{2} + 5) = 8(1 + 5) = 8 \cdot 6 = 48. \] 2. Verificação da Definição de Limite: Para qualquer \(\epsilon > 0\), precisamos encontrar um \(\delta > 0\) tal que, se \(0 < |x - \frac{1}{2}| < \delta\), então \(|8(2x + 5) - 48| < \epsilon\). 3. Manipulação da Expressão: \[ |8(2x + 5) - 48| = |8(2x + 5 - 6)| = |8(2x - 1)| = 8|2x - 1|. \] 4. Condição para \(\epsilon\): Queremos que \(8|2x - 1| < \epsilon\). Dividindo ambos os lados por 8, obtemos: \[ |2x - 1| < \frac{\epsilon}{8}. \] 5. Relacionando com \(\delta\): Sabemos que \(2x - 1 = 2(x - \frac{1}{2})\), então: \[ |2x - 1| = 2|x - \frac{1}{2}|. \] Portanto, precisamos que: \[ 2|x - \frac{1}{2}| < \frac{\epsilon}{8} \implies |x - \frac{1}{2}| < \frac{\epsilon}{16}. \] 6. Escolha de \(\delta\): Assim, podemos escolher \(\delta = \frac{\epsilon}{16}\). 7. Conclusão: Portanto, para qualquer \(\epsilon > 0\), se escolhermos \(\delta = \frac{\epsilon}{16}\), teremos que: \[ |x - \frac{1}{2}| < \delta \implies |8(2x + 5) - 48| < \epsilon. \] Assim, provamos que \(\lim_{x \rightarrow \frac{1}{2}} 8(2x + 5) = 48\).