Usando la definición de límite, demostrar el resultado de los siguientes límites dados. 2. \lim _{x \rightarrow 0}(3 x+7)=7

Para demonstrar o limite \(\lim_{x \rightarrow 0}(3x + 7) = 7\) usando a definição de limite, seguimos os seguintes passos: 1. Definição de Limite: Dizemos que \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) se, para todo \(\epsilon > 0\), existe um \(\delta > 0\) tal que, se \(0 < |x - a| < \delta\), então \(|f(x) - L| < \epsilon\). 2. Aplicando a Definição: No nosso caso, temos \(f(x) = 3x + 7\), \(a = 0\) e \(L = 7\). 3. Calcular \(|f(x) - L|\): \[ |f(x) - 7| = |(3x + 7) - 7| = |3x| = 3|x| \] 4. Queremos que isso seja menor que \(\epsilon\): \[ 3|x| < \epsilon \] Isso implica que: \[ |x| < \frac{\epsilon}{3} \] 5. Escolhendo \(\delta\): Podemos escolher \(\delta = \frac{\epsilon}{3}\). Assim, se \(0 < |x| < \delta\), então: \[ |f(x) - 7| < \epsilon \] 6. Conclusão: Portanto, pela definição de limite, temos que \(\lim_{x \rightarrow 0}(3x + 7) = 7\). Assim, o resultado está demonstrado!