Questões resolvidas
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do vetor (1, -2, 4) quando aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
A V - F - F - F.
B F - F - F - V.
C F - F - V - F.
D F - V - F - F.
Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:
A Somente a opção III está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) u x v = (-10,-1,-14). ( ) u x v = (-1,-14,-10). ( ) u x v = (1,14,10). ( ) u x v = (10,-1,14). Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - V - F - F.
C F - F - V - F.
D F - F - F - V.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):
A Somente a opção IV está correta.
B Somente a opção II está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção III está correta.
O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação T(x,y) = (x-y, y-x). I- v = (1,1). II- v = (0,1). III- v = (-2,-2). IV- v = (1,0). Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e III estão corretas.
B As opções II e IV estão corretas.
C As opções II e III estão corretas.
D As opções I e IV estão corretas.
No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n². ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3. ( ) A dimensão do R² é igual a 2. ( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - V.
B V - F - V - V.
C V - F - F - F.
D F - V - F - V.
Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. No entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir: I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2). II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1). III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3). IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4). V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3). Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I e IV estão corretas.
B Somente a opção II está correta.
C As opções III e V estão corretas.
D As opções I, III e IV estão corretas.
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<p>Prova Impressa</p><p>GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:957201)</p><p>Peso da Avaliação 2,00</p><p>Prova 79273828</p><p>Qtd. de Questões 10</p><p>Acertos/Erros 8/2</p><p>Nota 8,00</p><p>Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais.</p><p>Em especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva</p><p>as operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do vetor (1, -2, 4)</p><p>quando aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as</p><p>falsas:</p><p>A V - F - F - F.</p><p>B F - F - F - V.</p><p>C F - F - V - F.</p><p>D F - V - F - F.</p><p>Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na</p><p>direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se</p><p>desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a</p><p>força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e</p><p>a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -u + 2v, sendo u =</p><p>(-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir:</p><p>I- R = (-3,0,6).</p><p>II- R = (-1,6,-6).</p><p>III- R = (-1,-6,6).</p><p>IV- R = (3,0,6).</p><p>Assinale a alternativa CORRETA:</p><p>A Somente a opção III está correta.</p><p>B Somente a opção II está correta.</p><p>C Somente a opção I está correta.</p><p>VOLTAR</p><p>A+ Alterar modo de visualização</p><p>1</p><p>Revisar Conteúdo do Livro</p><p>2</p><p>20/09/2024, 18:44 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 1/5</p><p>D Somente a opção IV está correta.</p><p>Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de</p><p>núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema</p><p>encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:</p><p>T(x,y,z) = (z, x - y, -z)</p><p>Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão do Núcleo deste operador:</p><p>A 0.</p><p>B 1.</p><p>C 3.</p><p>D 2.</p><p>Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial.</p><p>Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu</p><p>principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a</p><p>ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3),</p><p>classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:</p><p>( ) u x v = (-10,-1,-14).</p><p>( ) u x v = (-1,-14,-10).</p><p>( ) u x v = (1,14,10).</p><p>( ) u x v = (10,-1,14).</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:</p><p>A V - F - F - F.</p><p>B F - V - F - F.</p><p>C F - F - V - F.</p><p>D F - F - F - V.</p><p>Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por</p><p>exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou</p><p>norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este</p><p>3</p><p>Revisar Conteúdo do Livro</p><p>4</p><p>5</p><p>20/09/2024, 18:44 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 2/5</p><p>resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Determine a área do</p><p>triângulo formado pelos vetores u = (1,2,0) e v = (0,1,2):</p><p>A Somente a opção IV está correta.</p><p>B Somente a opção II está correta.</p><p>C Somente a opção I está correta.</p><p>D Somente a opção III está correta.</p><p>O núcleo de uma transformação linear, como já é de conhecimento, trata-se do conjunto de</p><p>vetores do domínio que possuem representantes no contradomínio com valor nulo. Uma de suas</p><p>principais aplicações na Álgebra Linear e Vetorial é a possibilidade de definir se uma aplicação possui</p><p>a propriedade da injetividade. Observando os vetores que pertencem ao núcleo da transformação</p><p>T(x,y) = (x-y, y-x).</p><p>I- v = (1,1).</p><p>II- v = (0,1).</p><p>III- v = (-2,-2).</p><p>IV- v = (1,0).</p><p>Assinale a alternativa CORRETA:</p><p>A As opções I e III estão corretas.</p><p>B As opções II e IV estão corretas.</p><p>C As opções II e III estão corretas.</p><p>D As opções I e IV estão corretas.</p><p>Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito</p><p>mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de</p><p>uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial</p><p>para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc.,</p><p>como também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os</p><p>seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de</p><p>energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos,</p><p>plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da transformação apresentada a seguir,</p><p>6</p><p>7</p><p>20/09/2024, 18:44 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 3/5</p><p>classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que</p><p>apresenta a sequência CORRETA:</p><p>A F - F - F - V.</p><p>B V - F - F - F.</p><p>C F - V - F - F.</p><p>D V - V - V - F.</p><p>A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor</p><p>analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida</p><p>em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor</p><p>z = (1,4):</p><p>A 2.</p><p>B Raiz de 17.</p><p>C Raiz de 5.</p><p>D 4.</p><p>No estudo dos espaços vetoriais, pode-se realizar a análise de sua dimensão. Pode-se relacioná-</p><p>la com a quantidade de vetores LI que geram este espaço. As aplicações desse conceito são puramente</p><p>utilizadas na matemática, nas provas de teoremas e propriedades. Sobre o exposto, classifique V para</p><p>as sentenças verdadeiras e F para as falsas:</p><p>( ) A dimensão do conjunto de matrizes de ordem n x n é igual a n².</p><p>( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 3.</p><p>( ) A dimensão do R² é igual a 2.</p><p>( ) A dimensão do espaço formado pelos polinômios de grau 3, é igual a 4.</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:</p><p>A F - F - V - V.</p><p>B V - F - V - V.</p><p>C V - F - F - F.</p><p>8</p><p>9</p><p>20/09/2024, 18:44 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 4/5</p><p>D F - V - F - V.</p><p>Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas</p><p>retas estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. No</p><p>entanto, quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas,</p><p>determinar a posição dessas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares</p><p>de vetores apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir:</p><p>I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).</p><p>II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).</p><p>III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).</p><p>IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).</p><p>V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).</p><p>Assinale a alternativa CORRETA:</p><p>A As opções I e IV estão corretas.</p><p>B Somente a opção II está correta.</p><p>C As opções III e V estão corretas.</p><p>D As opções I, III e IV estão corretas.</p><p>10</p><p>Imprimir</p><p>20/09/2024, 18:44 Avaliação II - Individual</p><p>about:blank 5/5</p>
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A. 115
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C. 288
D. 179