Conceitos de Álgebra Linear

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:958037)
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Prova 83560741
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas 
dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para a imagem deste operador:
A [(0,1,0); (0,-1,0);(1,0,-1)].
B [(0,1,0);(1,0,-1)].
C [(0,-1,0);(1,0,-1)].
D [(1,0,0); (1,-1,0);(1,0,-1)].
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela 
unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este 
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resultado por dois, pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisso, determine a área do triângulo formado pelos vetores u = 
(2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a opção II está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção I está correta.
D Somente a opção IV está correta.
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia 
básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de 
elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por elementos deste conjunto.
A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
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( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V – F – V – V.
B V – V – F – V.
C F – V – V – F.
D V – V – F – F.
No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que 
quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos 
possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia.
Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:
I. v = (0,1) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.
II. v = (1,0) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.
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III. T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV. T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as opções I e III estão corretas.
B Somente as opções II e IV estão corretas.
C Somente as opções I e IV estão corretas.
D Somente as opções II e III estão corretas.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são 
apenas as raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial 
para a compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também de sistemas estruturais mais 
complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de 
energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores da 
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transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a 
sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - V - F - F.
C V - V - V - F.
D F - F - F - V.
A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, 
todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a 
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alternativa CORRETA:
A AD.
B AB.
C AC.
D AE.
A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a 
intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (1,4):
A Raiz de 5.
B Raiz de 17.
C 2.
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D 4.
Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma 
combinação linear dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus 
elementos é combinação linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta um conjunto de vetores LD:
A {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}.
B {(2,1,-1),(0,0,1),(5,2,3)}.
C {(1,1,0),(1,0,1),(0,0,3)}.
D {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}.
Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos colocar as soluções de equações diferenciais que são de 
interesse físico, como as frequências naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente a 
isto, devemos compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
conceito de autovetor de transformação:
A É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
B É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
C É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
D É um número real que anula a transformação.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser 
também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos 
os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
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( ) u x v = 1.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4.
( ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - F - V.
C V - F - F - F.
D F - F - V - F.
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