Avaliação II - Individual

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07/04/2024, 14:57 Avaliação II - Individual
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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:957201)
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Prova 79076596
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 10/0
Nota 10,00
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do 
que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma 
transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a 
compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também 
de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e 
ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas 
de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos 
autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as 
falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - V - F - F.
C V - F - F - F.
D V - V - F - V.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu 
resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso 
baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores 
originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = 1.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4.
( ) u x v = -4.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
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A+ Alterar modo de visualização
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B F - V - F - F.
C F - F - F - V.
D V - F - F - F.
Quando trabalhamos em geometria, analisar o comportamento de duas retas ou ainda como estas retas 
estão situadas no espaço é uma simples tarefa, pois basta fazer uma simples visualização. No entanto, 
quando falamos de retas na geometria analítica ou de vetores representados por coordenadas, determinar a 
posição dessas retas não é uma tarefa tão simples. Sobre o ângulo formado pelos pares de vetores 
apresentados, com relação aos ângulos agudos, analise as opções a seguir:
I- u = (2, -3, -2) e v = (1, 2, -2).
II- u = (4, -2, 3) e v = (0, 2, 1).
III- u = (-2, -1, 2) e v = (2, 1, 3).
IV- u = (0, 2, -1) e v = (-3, -2, -4).
V- u = (-2, 2, 0) e v = (-1, 1, -3).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções I, III e IV estão corretas.
B As opções I e IV estão corretas.
C As opções III e V estão corretas.
D Somente a opção II está correta.
No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente, um 
autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si 
próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas 
aplicações práticas, principalmente na Engenharia.
Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir:
I. v = (0,1) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.
II. v = (1,0) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2.
III. T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1.
IV. T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente as opções I e III estão corretas.
B Somente as opções II e IV estão corretas.
C Somente as opções II e III estão corretas.
D Somente as opções I e IV estão corretas.
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Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais 
que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também 
pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. A respeito das transformações lineares, analise as 
opções a seguir:
I- T(x,y) = (x² , y²).
II- T (x,y) = (2x + 1, x + y).
III- T (x,y) = (2x + y, x - y).
IV- T (x,y) = (x, x - y).
Assinale a alternativa CORRETA:
A As opções III e IV estão corretas.
B As opções II e III estão corretas.
C As opções I e II estão corretas.
D Somente a opção IV está correta.
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. Por exemplo, 
temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois vetores, que é o módulo (ou norma) do 
produto vetorial entre os dois. Já para o caso da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, 
pois a área do triângulo é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisso, determine a área do triângulo 
formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2), analise as opções a seguir e assinale a alternativa 
CORRETA:
A Somente a opção I está correta.
B Somente a opção III está correta.
C Somente a opção IV está correta.
D Somente a opção II está correta.
Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma 
direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um plano que as 
contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos 
opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
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I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos.
Assinale a alternativa CORRETA:
A Somente a sentença I está correta.
B As sentenças I e III estão corretas.
C As sentenças I e IV estão corretas.
D As sentenças II e III estão corretas.
Uma transformação linear é um tipo de função que opera vetores de diferentes espaços vetoriais. Em 
especial, para poder afirmar que uma transformação é linear, temos que verificar se ela preserva as 
operações de soma, e multiplicação por um escalar. Considerando a imagem do vetor (1, -2, 4) quando 
aplicado na transformação a seguir, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
A V - F - F - F.
B F - F - F - V.
C F - V - F - F.
D F - F - V - F.
Seja F uma função que transforma vetores do R² em vetores do R³, dada pela fórmula: F(x,y) = (x + 
y), (x - y)², x²). O vetor v = (1, -1) de R² terá que coordenadas em R³?
A As coordenadas são (2, -4, 0).
B As coordenadas são (2, -4, 1).
C As coordenadas são (0, 4, 1).
D As coordenadas são (2, 4, 1).
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Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido podemos determinar o vetor que 
liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais tarde ter um apoio 
no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o 
vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de B para A:
A u = (-1,-4,2).
B u = (-1,-4,-4).
C u = (-1,-4,-2).
D u = (0,-4,-4).
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