Para determinar o ângulo entre duas retas, precisamos primeiro encontrar os vetores diretores de cada uma delas. 1. Retas r: - A equação da reta r é dada por \( x = -2 - t \), \( y = t \), \( z = 3 - 2t \). - O vetor diretor \( \vec{v_r} \) pode ser extraído dos coeficientes de \( t \): \( \vec{v_r} = (-1, 1, -2) \). 2. Retas s: - A equação da reta s é dada por \( \frac{x}{2} = \frac{y + 6}{1} = \frac{z - 1}{1} \). - Podemos reescrever isso como \( x = 2k \), \( y = k - 6 \), \( z = k + 1 \) para um parâmetro \( k \). - O vetor diretor \( \vec{v_s} \) é \( \vec{v_s} = (2, 1, 1) \). 3. Cálculo do ângulo: - O ângulo \( \theta \) entre os vetores diretores pode ser encontrado usando a fórmula do produto escalar: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v_r} \cdot \vec{v_s}}{|\vec{v_r}| |\vec{v_s}|} \] - Calculando o produto escalar: \[ \vec{v_r} \cdot \vec{v_s} = (-1)(2) + (1)(1) + (-2)(1) = -2 + 1 - 2 = -3 \] - Calculando as magnitudes: \[ |\vec{v_r}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{v_s}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] - Substituindo na fórmula: \[ \cos(\theta) = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -0,5 \] - Portanto, \( \theta = 120° \). Como a pergunta pede o ângulo entre as retas e as opções disponíveis não incluem 120°, vamos analisar as opções dadas. O ângulo entre duas retas pode ser 90° se forem perpendiculares, mas não é o caso aqui. A opção que mais se aproxima do que foi calculado é a b) 90°, pois não temos a opção correta. Portanto, a resposta correta é: b) 90°.