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AVA RESPONDER AVALIAÇÃO Avaliação II - Individual (Cod.:1599503) Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (180983) Prova 117079981 Período para responder 23/03/2026 - 06/04/2026 1 Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³: T(x,y,z) = (z, x - y, -z) Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta uma base para o Núcleo deste operador: A)   [(1,0,1)]. B)   [(0,1,1)]. C)   [(1,1,0)]. D)   [(0,0,1)]. 2 A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da grandeza física envolvida em um dado problema. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (1,4): A)   4. B)   2. C)   Raiz de 17. D)   Raiz de 5. 3 Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear ligar dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação opera com vetores e não com números reais como de costume. Baseado na transformação linear de R³ em R³ dada por T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)].
( ) A sua imagem tem dimensão 2.
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo.
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: A)   V - V - F - F. B)   V - F - V - V. C)   V - V - F - V. D)   F - V - F - V. 4 Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,0,4) e v = (1,-1,0), classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas: ( ) u x v = 1.
( ) u x v = -1.
( ) u x v = 4.
( ) u x v = -4. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: A)   V - F - F - F. B)   F - F - V - F. C)   F - F - F - V. D)   F - V - F - F. 5 No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir: I- [(1,1),(1,0)].
II- [(1,1),(0,1)].
III- [(0,1),(1,0)].
IV- [(1,1)]. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: A)   Somente a opção I está correta. B)   Somente a opção III está correta. C)   Somente a opção IV está correta. D)   Somente a opção II está correta. 6 A figura a seguir apresenta a representação de um cubo de vértices nos pontos do espaço A, B, C, D, E, F, G e H. Neste cubo, imagine vetores, todos com origem no vértice A, e com extremidades em todos os outros vértices (excetuando-se A). Sobre as informações na imagem, assinale a alternativa CORRETA: A)   AE. B)   AB. C)   AD. D)   AC. 7 Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: I- R = (1,10,9).
II- R = (-1,-10,9).
III- R = (-5,2,9).
IV- R = (5,-2,9). Assinale a alternativa CORRETA: A)   Somente a opção IV está correta. B)   Somente a opção III está correta. C)   Somente a opção II está correta. D)   Somente a opção I está correta. 8 No estudo da Álgebra Linear e Vetorial surge o conceito de autovalores e autovetores. Teoricamente, um autovetor de uma transformação é um vetor que quando aplicado na transformação, resulta um múltiplo de si próprio, sendo que a este fator multiplicativo, damos o nome de autovalor. Estes conceitos possuem diversas aplicações práticas, principalmente na Engenharia. Baseado nisso, dada a transformação T(x,y) = (2x, y) analise as sentenças a seguir: I. v = (0,1) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2. II. v = (1,0) é um autovetor de T, com autovalor igual a 2. III. T possui um autovalor de multiplicidade algébrica 1. IV. T possui dois autovalores de multiplicidade algébrica 1. Assinale a alternativa CORRETA: A)   Somente as opções I e IV estão corretas. B)   Somente as opções II e IV estão corretas. C)   Somente as opções II e III estão corretas. D)   Somente as opções I e III estão corretas. 9 Em geometria, paralelismo é uma noção que indica se dois objetos (retas ou planos) estão na mesma direção. Ao trabalhar com a noção de espaço vetorial, duas retas são paralelas se existe um plano que as contém, e se essas retas não se tocam. Assim, elas estão na mesma direção mesmo que estejam em sentidos opostos. Para vetores, o princípio é basicamente o mesmo. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir: I- Os vetores (2,-1,4) e (6,-3,12) são paralelos.
II- Os vetores (1,-2,4) e (2,-2,5) são paralelos.
III- Os vetores (3,1,2) e (6,-2,1) são paralelos.
IV- Os vetores (1,-1,2) e (2,-2,4) são paralelos. Assinale a alternativa CORRETA: A)   Somente a sentença I está correta. B)   As sentenças I e IV estão corretas. C)   As sentenças II e III estão corretas. D)   As sentenças I e III estão corretas. 10 Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o nome de produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: ( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12. Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: A)   F - F - F - V. B)   F - F - V - F. C)   V - F - F - F. D)   F - V - F - F. Para finalizar a avaliação é necessário responder todas as questões.