Avaliação II - Individual - Geometria Analítica e Álgebra Vetorial

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GABARITO | Avaliação II - Individual (Cod.:668549)
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Prova 29785740
Qtd. de Questões 10
Acertos/Erros 6/4
Nota 6,00
A figura que segue, apresenta um losango EFGH inscrito em um retângulo ABCD. Sabe-se também 
que os vértices do losango são os pontos médios do retângulo. Como é de conhecimento também, cada 
segmento de reta que é criado com todas estas intersecções pode ser considerado como sendo as 
extremidades de um vetor. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas 
e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - V - F.
B V - V - F - F - V.
C F - V - F - V - F.
D F - V - V - F - V.
Com relação às transformações lineares, é importante determinar corretamente conceitos de núcleo, 
imagem, juntamente a suas respectivas dimensões para um entendimento teórico do problema encontrado. 
Baseado nisto, considere T, um operador linear de R³ em R³:
T(x,y,z) = (z, x - y, -z)
Assinale a alternativa CORRETA que melhor apresenta a dimensão da Imagem deste operador:
A 2.
B 0.
 VOLTAR
A+ Alterar modo de visualização
1
2
C 3.
D 1.
Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, podemos colocar as 
soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, como as frequências naturais de vibração de 
um instrumento musical, ou de uma simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos 
compreender corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação:
A É um número real que multiplica o vetor após a transformação.
B É um número real que anula a transformação.
C É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação.
D É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo.
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seu 
resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal uso 
baseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores 
originais. Quanto ao resultado do produto vetorial entre u = (2,-3,4) e v = (2,2,-3), classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas:
( ) u x v = (-10,-1,-14).
( ) u x v = (-1,-14,-10).
( ) u x v = (1,14,10).
( ) u x v = (10,-1,14).
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - F - F.
B F - V - F - F.
C F - F - V - F.
D F - F - F - V.
Quando trabalha-se com vetores do espaço vetorial R³, pode-se combinar o produto escalar com o 
produto vetorial para definir uma nova operação entre três vetores. A esta operação damos o nome de 
produto misto, porque o resultado é uma quantidade escalar. Em particular, o módulo deste resultado nos 
calcula o volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. Sobre o exposto, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas:
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( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 19.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 38.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 15.
( ) O volume do paralelepípedo formado por (2,-1,3), (0,2,-5), (1,-1,-2) é igual a 12.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - F - V - F.
B F - F - F - V.
C V - F - F - F.
D F - V - F - F.
Pela definição de vetor, sabemos que dados dois pontos e um sentido podemos determinar o vetor 
que liga estes dois pontos e possui a direção indicada. Através deste processo podemos mais tarde ter um 
apoio no estudo das retas e planos no espaço. Baseado nisso, assinale a alternativa CORRETA que 
apresenta o vetor u definido pelos pontos A = (1,0,-3) e B = (2,4,1), no sentido de B para A:
A u = (-1,-4,-2).
B u = (-1,-4,-4).
C u = (0,-4,-4).
D u = (-1,-4,2).
A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as operações de 
adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um espaço vetorial. Deste ponto de partida 
então, para definirmos um espaço vetorial, precisamos de um conjunto, uma operação de adição de 
elementos deste conjunto, e uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por 
elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, classifique V para as 
sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por escalar.
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio de operações lineares.
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um espaço.
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um espaço.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - F - V - F.
B V - V - V - F.
C V - V - F - F.
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D F - V - V - F.
Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, permeiam muito mais do 
que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as raízes do polinômio característico de uma 
transformação linear, mas sim o problema clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a 
compreensão e a análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como também 
de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados os seguintes: pontes rodoviárias e 
ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas 
de pedestres, edificações residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos 
autovalores da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F para as 
falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A F - V - F - F.
B F - F - F - V.
C V - V - V - F.
D V - F - F - F.
Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e imagem de uma 
transformação. O núcleo de uma transformação linear é o subconjunto do domínio formado pelos vetores 
que são levados ao vetor nulo do contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de vetores do 
contradomínio que são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. Baseado nisso, 
assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir:
A O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação.
B O vetor (2,2) possui imagem (0,0).
C A transformação a seguir não é um operador linear.
D O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação.
Uma transformação linear pode ser compreendida e associada ao estudo de funções, que 
normalmente já conhecemos desde o Ensino Médio. Isto se deve ao fato de uma transformação linear ligar 
dois conjuntos através de uma lei de formação. A grande diferença é que uma transformação opera com 
vetores e não com números reais como de costume. Baseado na transformação linear de R³ em R³ dada por 
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T(x,y,z) = (x + y, 2x, y - z), classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
( ) Uma base para a imagem desta transformação é [(1,2,0),(1,0,1),(0,0,1)].
( ) A sua imagem tem dimensão 2.
( ) O núcleo da transformação possui apenas o vetor nulo.
( ) A dimensão do domínio da transformação é 3.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A V - V - F - F.
B V - F - V - V.
C F - V - F - V.
D V - V - F - V.
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