Matemática - Aula 5

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MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capítulo, você estudará a representação de vetores no plano, com 
seus componentes, e também irá compreender as operações envolvendo 
vetores, verificando seus principais métodos de determinação e suas aplicações 
e, por fim, aprender sobre comprimentos e ângulos entre vetores. 
 
Bons estudos! 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 05 - 
VETORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nesta aula, você vai conferir os contextos conceituais da psicologia entenderá 
como ela alcançou o seu estatuto de cientificidade. Além disso, terá a oportunidade 
de conhecer as três grandes doutrinas da psicologia, behaviorismo, psicanálise e 
Gestalt, e as áreas de atuação do psicólogo. 
 Compreender o conceito de psicologia 
 Identificar as diferentes áreas de atuação da psicologia 
 Conhecer as áreas de atuação do psicólogo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Representar vetores no plano, com seus componentes; 
 Realizar operações envolvendo vetores, seus principais métodos de 
determinação e suas aplicações; 
 Calcular comprimentos e ângulos entre vetores. 
 
 
 
 
 
1 VETORES 
Os vetores são normalmente representados por setas. O comprimento da seta 
será a intensidade, e a ponta mostrará o sentido; com isso, podemos indicar o módulo, 
a direção e o sentido do vetor. No exemplo a seguir são mostrados dois vetores, u e 
v, que podem ser decompostos em coordenadas no eixo x e no eixo y. Esses vetores 
têm como ponto inicial a origem (0,0). Podemos, assim, definir as coordenadas dos 
vetores como: 
u⃗ (x'', y'') 
v⃗ (x', y') 
Podemos calcular os módulos dos dois vetores utilizando o teorema de 
Pitágoras, visto que as componentes do vetor são ortogonais. Sendo assim, os 
módulos dos vetores são: 
 
 (1) 
 
Um vetor é composto por uma componente em x e outra em y. No caso de um 
vetor no plano, por meio de relações trigonométricas, podemos decompor um vetor 
em x e y (HEWITT, 2015). Vejamos a decomposição para o vetor u: 
 (2) 
 
 (3) 
 
Por relação trigonométrica de tangente, podemos calcular o ângulo do vetor em 
relação ao eixo x do plano cartesiano: 
 
 (4) 
 
 
 
 
Figura 1 - Representação de dois vetores no plano cartesiano e suas componentes 
 
2 OPERAÇÕES ENVOLVENDO VETORES 
Neste capítulo, você vai estudar as principais operações envolvendo vetores, 
verificando seus métodos e suas aplicações. 
Soma de vetores 
A soma de vetores não é como a soma algébrica, em que somente as 
intensidades e os sinais importam. No caso dos vetores, deve-se conhecer as 
intensidades e orientações. Existe mais de uma forma de se somar vetores, podendo 
ser utilizado o método geométrico ou a soma das componentes de um vetor. Na soma 
de vetores, algumas propriedades devem ser consideradas, como veremos a seguir. 
Soma pelo método geométrico 
A seguir, vamos somar dois vetores: u e v, que resultam no vetor w. Para 
realizar a soma dos vetores, devemos representar graficamente u e, em sua 
extremidade, definiremos a origem de v. O resultado dessa soma será um vetor que 
tem origem em u e extremidade no ponto v (Figura 2). Podemos representar a relação 
dos três vetores como: 
 w⃗ = u⃗ + v (5) 
 
 
 
Figura 2 - Soma geométrica de vetores 
 
Uma propriedade interessante na soma de vetores é que a sequência da soma 
não altera o resultado; portanto, o vetor w será o mesmo ao se somar v e u ou u e v. 
Trata-se da chamada propriedade comutativa (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 
2016). A Figura 3 mostra que o vetor resultante é o mesmo, independentemente da 
sequência a ser somada. 
 w⃗ = u⃗ + v⃗ = v⃗ + u (6) 
 
Figura 3 - Propriedade comutativa na soma de vetores 
 
Muitas vezes, é necessário somar mais de dois vetores. Para tanto, podemos 
utilizar o mesmo processo, em que cada novo vetor tem sua origem fixada na 
extremidade de outro vetor. A Figura 4 ilustra a soma de três vetores a, b e c. 
 
 
Figura 4 - Soma de três vetores 
 
 
Para se somar mais de dois vetores, podemos, também, realizar a soma parcial 
de vetores e, depois, somar o restante. A Figura 5 mostra a soma dos vetores a, b e 
c, em que os vetores a e b são somados primeiro para, então, serem somados ao 
vetor c. 
 
Figura 5 - Soma de três vetores de forma parcial 
 
Existe uma propriedade na soma de mais de dois vetores chamada de 
propriedade associativa, que indica que a associação de vetores em uma soma não 
altera o seu resultado (Figura 6). 
 a⃗ + b⃗ + c⃗ = (a⃗ + b⃗) + c⃗ = (a⃗ + c⃗) + b (7) 
 
 
Figura 6 - Propriedade associativa 
 
 
 
 
 
Subtração de vetores 
A subtração de um vetor pelo outro segue as mesmas propriedades da soma. 
Nesse caso, precisamos entender o negativo de um vetor, pois a subtração é a soma 
de um vetor ao negativo do outro (HEWITT, 2015). A representação gráfica do 
negativo de um vetor será um vetor de mesmo módulo, porém em orientação contrária, 
conforme mostra a Figura 7. 
 
Figura 7 - Vetores opostos 
 
 
Ao somarmos o vetor a ao vetor -b, estamos subtraindo do vetor a o vetor b, e 
obtendo um vetor resultante c. 
 
 c⃗ = a⃗ – b⃗ = a⃗ + (–b⃗) (8) 
 
 
Figura 8 - Subtração de vetores 
 
 
 
 
 
Vetor unitário 
Já vimos nas equações (1) e (2) a decomposição de um vetor em suas 
componentes ortogonais. Agora, vamos trabalhar com um vetor de módulo unitário, 
que aponta em uma determinada direção e que não possui dimensão nem unidade 
(HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). Esse vetor tem como função especificar 
uma orientação. Os vetores unitários servem para indicar a direção positiva dos eixos 
x, y e z, sendo representados, respectivamente, como î, ĵ, k̂. Nesse caso, o símbolo ^ 
é utilizado no lugar da seta para, assim, mostrar que se trata de um vetor unitário. Na 
Figura 1, são retratados dois vetores (u e v); podemos utilizar os vetores unitários para 
descrever as componentes desses vetores. 
u⃗ = |u⃗| · cos θ1 î + |u⃗| · sen θ1 ĵ (9) 
v⃗ = |v⃗| · cos θ2 î + |v⃗| · sen θ2 ĵ (10) 
 
Sendo θ1 e θ2 os respectivos ângulos dos vetores u e v. 
 
Soma de vetores por componentes 
A soma de vetores, até então, foi realizada por meio geométrico, ou seja, 
desenhando-se os vetores em escala correta, para somá-los ou subtraí-los. 
Entretanto, esse método se torna muito desvantajoso, pois é necessário desenhar os 
vetores de maneira fidedigna e fazer as devidas medições, o que acarreta erros 
quando não é realizado da maneira adequada. Existe a possibilidade de se somar um 
vetor, fazendo a soma das componentes em cada eixo. Vamos considerar a seguinte 
equação de soma de vetores: 
c⃗ = a⃗ + b 
O vetor c é igual à soma dos vetores a e b. Para realizar a soma dos vetores, 
podemos utilizar as componentes: 
cx = ax + bx (11) 
cy = ay + by (12) 
cz = az + bz (13)Sendo assim, cada componente do vetor c é igual à soma das componentes, 
no mesmo eixo, de a e b. Em outras palavras, dois vetores são iguais se as 
componentes correspondentes forem iguais (HALLIDAY; RESNICK; WALKER, 2016). 
Podemos ver na Figura 9 que, ao se somar o valor das componentes dos vetores a e 
b, o vetor resultante tem componentes que são iguais às componentes dos vetores. 
 
Figura 9 - Representação geométrica da soma de componentes 
 
 
Multiplicação de vetores 
Podemos multiplicar um vetor por um escalar. Existem duas formas de se 
multiplicar dois vetores; uma forma resulta em um escalar, chamado de produto 
escalar, e a outra resulta em um novo vetor, chamado produto vetorial. Ao 
multiplicarmos um vetor por um escalar, vamos alterar o módulo do vetor. Manter sua 
direção e seu sentido dependerá do sinal do escalar. Se o escalar é positivo, mantém-
se o sentido; se o escalar é negativo, inverte-se o sentido do vetor. Esse produto, 
consequentemente, altera as componentes do vetor, pois o módulo não é mais o 
mesmo. A divisão de um vetor por um escalar será igual à multiplicação do vetor pelo 
inverso do escalar. 
Exemplo: 
Um vetor A⃗ possui módulo de 100 N e está orientado a 30º em relação ao eixo 
x. É realizada uma multiplicação desse vetor pelo escalar −10. Determine as 
componentes dessa operação. 
 
 
Solução: 
Multiplicaremos o módulo de A⃗ por −10: 
 
 
3 PRODUTO ESCALAR 
O produto escalar de dois vetores é uma operação entre vetores que resulta 
em um escalar. O produto escalar pode ser interpretado como a projeção de um vetor 
r multiplicado por um vetor s (TIPLER; MOSCA, 2009). Tomando como exemplo os 
vetores da Figura 10, vemos que o produto escalar entre os vetores pode ser definido 
como: 
 
 r⃗ · s⃗ = |r⃗| · |s⃗| · cos θ (14) 
Figura 10 - Representação da projeção do produto escalar 
 
Como o produto escalar envolve apenas o produto entre os módulos e o 
cosseno do ângulo entre os vetores, ele apresenta a propriedade comutativa – ou seja, 
 
 
a ordem não interfere no produto. Sendo assim, podemos escrever a seguinte 
equação: 
 r⃗ · s⃗ = s⃗ · r (15) 
 O produto escalar também pode ser realizado por meio das componentes dos 
vetores. Nesse caso, não é necessário conhecer o ângulo entre os vetores. 
 r⃗ · s⃗ = rx · sx + ry · sy + rz · sz (16) 
 
Produto vetorial 
O produto vetorial de r⃗ e s⃗ é escrito como r⃗ × s⃗ (se lê r vetor s) e resulta em 
um novo vetor t ⃗. O módulo desse vetor é igual a: 
 |t ⃗| = |r⃗| · |s⃗| · sen θ (17) 
Onde o ângulo θ é o menor ângulo entre os vetores r⃗ e s⃗. Por se tratar de um 
seno, quando o ângulo entre os vetores é 0º ou 180º, o produto escalar é zero. O vetor 
resultante t ⃗ é perpendicular ao plano definido pelos vetores r⃗ e s⃗. O sentido do vetor 
t ⃗ é definido pela regra da mão direita. Podemos realizar o produto vetorial entre as 
componentes: 
 r⃗ × s⃗ = (rx î + ry ĵ + rz k̂) × (sx î + sy ĵ + sz k̂) (18) 
O produto vetorial não apresenta propriedade comutativa. Sendo assim, a 
ordem dos vetores importa na operação. 
 r⃗ × s⃗ = – (r⃗ × s⃗) (19) 
 
 
 
 
 
 
4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de física: mecânica. 10. 
ed. v. 1. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
HEWITT, P. G. Física conceitual. 12. ed. Porto Alegre: Bookman, 2015. 
TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física para cientistas e engenheiros. 6. ed. v. 1. Rio de 
Janeiro: LTC, 2009. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	1 VETORES
	2 OPERAÇÕES ENVOLVENDO VETORES
	3 PRODUTO ESCALAR
	4 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS