D) Aula 25-02-2025

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Propriedades (soma de vetores e multiplicação por escalar)
Dados quaisquer vetores u, v e w em Rn e escalares r e r’ em R, as propriedades básicas 
dos vetores sujeitos às operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar são:
𝐼) 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 + 𝑣 + 𝑤
𝐼𝐼) 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
𝐼𝐼𝐼) 𝑢 + 0 = 𝑢
𝐼𝑉) 𝑢 + (−𝑢) = 0
𝑉) 𝑟𝑟′ 𝑢 = 𝑟(𝑟′𝑢)
𝑉𝐼) 𝑟 + 𝑟′ 𝑢 = 𝑟𝑢 + 𝑟′𝑢
𝑉𝐼𝐼) 𝑟 𝑢 + 𝑣 = 𝑟𝑢 + rv
𝑉𝐼𝐼𝐼) 1𝑢 = 𝑢
Estas propriedades, apesar de 
utilizarem vetores para o R2, 
também são evidentes para o 
R3, R4, R5,..., Rn.
2
Propriedades (soma de vetores e multiplicação por escalar)
Demonstração das propriedades.
𝑰) 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 + 𝒗 + 𝒘
𝑰𝑰) 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖
𝑽𝑰𝑰) 𝒓 𝒖 + 𝒗 = 𝒓𝒖 + 𝒓𝒗
Considerando u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w= (x3, y3).
Demais demonstrações das propriedades serão disponibilizadas no Teams.
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Propriedades (soma de vetores e multiplicação por escalar)
𝑰) 𝒖 + 𝒗 + 𝒘 = 𝒖 + 𝒗 + 𝒘
Considerando u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w= (x3, y3).
((x1, y1) + (x2,y2)) + (x3,y3)
((x1 + x2, y1 + y2)) + (x3,y3)
((x1+x2) + x3, (y1 + y2) + y3)
(x1 + (x2 + x3), y1 + (y2 + y3))
(x1, y1) + (x2 + x3, y2 + y3)
(x1, y1) + ((x2, y2) + (x3, y3))
u + (v + w)
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Propriedades (soma de vetores e multiplicação por escalar)
𝑰𝑰) 𝒖 + 𝒗 = 𝒗 + 𝒖
Considerando u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w= (x3, y3).
(x1, y1) + (x2,y2)
(x1 + x2, y1 + y2)
(x2 + x1 , y2 + y1)
(x2, y2) + (x1 , y1)
v + u
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Propriedades (soma de vetores e multiplicação por escalar)
𝑽𝑰𝑰) 𝒓 𝒖 + 𝒗 = 𝒓𝒖 + 𝒓𝒗
Considerando u = (x1, y1), v = (x2, y2) e w= (x3, y3).
r ((x1, y1) + (x2,y2))
r (x1 + x2) + (y1 + y2)
(r (x1 + x2) , r (y1 + y2))
(rx1 + rx2 , ry1 + ry2)
(rx1, ry1) + (rx2 , ry2)
r(x1, y1) + r(x2 , y2)
r u + r v
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Vetores coluna
Ocasionalmente, pode-se escrever um vetor verticalmente em vez de horizontalmente. 
Chama-se o mesmo de vetor coluna.
✓ Escrito na horizontal: vetor linha (todos os vetores citados até aqui)
✓ Escrito na vertical; vetor coluna.
1
2
3
−4
1
5
6
1,5
ൗ2
3
−15
• A transposta de um vetor coluna é um vetor linha e vice-versa.
• Qualquer operação definida para vetores linha está definida para vetores 
coluna.
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Exercícios:
1) Sejam u = (2, 4, -5) e v = (1, -6, 9). 
 Efetue a adição e multiplicação de vetores abaixo:
a) u + v
b) 7u
c) -v
d) 3u-5v
8
Exercícios:
1) Sejam u = (2, 4, -5) e v = (1, -6, 9). 
 Efetue a adição e multiplicação de vetores abaixo:
a) u + v = (2, 4, -5) + (1, -6, 9) = (2+1, 4+(-6), -5+9) = (3, -2, 4) 
b) 7u = 7.(2, 4, -5) = (7.2, 7.4, 7.(-5)) = (14, 28, -35) 
c) -v = -1.(1, -6, 9) = (-1, 6, -9)
d) 3u-5v = 3.(2, 4, -5) – 5.(1, -6, 9) = (6, 12, -15) – (5, -30, 45) = (1, 42, -60) 
9
Exercícios:
II) Sejam u1 = (2, 4, 5), u2 = (1, -6, 9), r1 = 2 e r2 = 1. 
 Determine:
V = r1u1 + r2u2
V = 2. (2, 4, 5) + 1.(1, -6, 9)
V = (4, 8, 10) + (1, -6, 9)
V = (4+1, 8+(-6), 10+9)
V = (5, 2, 19)
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Exercícios:
III) Sejam u1 =
2
4
5
, u2 = 
1
−6
9
, r1 = 2 e r2 = 1. 
 Determine:
V = 2.
𝟐
𝟒
𝟓
 + 1.
𝟏
−𝟔
𝟗
V = r1u1 + r2u2
V = 
𝟒
𝟖
𝟏𝟎
 + 
𝟏
−𝟔
𝟗
V = 
𝟒 + 𝟏
𝟖 + (−𝟔)
𝟏𝟎 + 𝟗
V = 
𝟓
𝟐
𝟏𝟗
11
Exercícios:
IV) Sejam u =
2
3
−4
 e v = 
3
−1
−2
 Determine:
2u – 3v = 2 
𝟐
𝟑
−𝟒
 – 3 
𝟑
−𝟏
−𝟐
 = 
𝟒
𝟔
−𝟖
 –
𝟗
−𝟑
−𝟔
 = 
−𝟓
𝟗
−𝟐
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