Notas de Aula: Vetores em Física

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Notas de Aula 
Vetores 
FÍSICA 
2021
Professor Gomes 
 CAPÍTULO 
1
Neste Capítulo 
1 Introdução 
2 Vetor 
3 Soma e Diferença de 
Vetores 
4 Componentes de um Vetor 
e Vetores Unitários 
5 Produtos de Vetores 
 
1 
 
NOTA DE AULA 
PROF. JOSÉ GOMES RIBEIRO FILHO 
 
 
VETORES 
 
1 INTRODUÇÃO 
Em Física, há duas categorias de grandezas: as escalares e as vetoriais. As primeiras caracterizam-se apenas pelo 
valor numérico, acompanhado da unidade de medida. Já as segundas requerem um valor numérico (sem sinal), 
denominado módulo ou intensidade, acompanhado da respectiva unidade de medida e de uma orientação, isto é, uma 
direção e um sentido. 
Na figura abaixo, o comprimento  = 4,75cm medido por uma régua milimetrada é uma grandeza escalar, já que 
fica totalmente determinado pelo valor numérico (4,75) acompanhado da unidade de medida (cm). 
 
 
 
FIGURA 1 Régua milimetrada. 
 
São também escalares as grandezas: área, massa, tempo, energia, potência, densidade, pressão, temperatura, 
carga elétrica e tensão elétrica, dentre outras. 
Agora, observe, na figura abaixo, que o deslocamento sofrido pelo carro ao movimentar-se de P até Q é uma 
grandeza vetorial, caracterizada por um módulo (10 m), uma direção (leste-oeste) e um sentido (de oeste para leste). 
 
 
 
 
FIGURA 2 Deslocamento sofrido por 
um carro. 
 
São também vetoriais as grandezas: velocidade, aceleração, força, impulso, quantidade de movimento (ou 
momento linear), vetor campo elétrico e vetor indução magnética, dentre outras. 
Atenção: não confunda direção com sentido, pois são conceitos diferentes. Uma reta define uma direção. A essa direção 
podemos associar dois sentidos. 
Na figura seguinte, os carros A e B percorrem uma mesma avenida retilínea e vão se cruzar. Suas velocidades 
têm a mesma direção, mas sentidos opostos. 
 
 
 
FIGURA 3 Carros A e B na mesma 
direção, mas sentidos opostos. 
 
 
2 VETOR 
Um vetor pode ser esboçado graficamente por um segmento de reta orientado (seta), como mostrado na figura 
a seguir: 
 
 
 
FIGURA 4 Representação de um Vetor. 
 
O comprimento  do segmento orientado está associado ao módulo do vetor, a reta suporte r fornece a direção 
e a orientação (ponta aguçada do segmento) evidencia o sentido. 
 
2 
 
 
 
 
 
FIGURA 5 Placas indicativas informando sobre 
direção e sentido. 
 
 
Nas placas indicativas existentes nas cidades, o motorista obtém informações sobre direção e sentido a serem 
seguidos para chegar a um determinado destino. Essas informações se referem às grandezas vetoriais deslocamento e 
velocidade do veículo. 
Até este capítulo, velocidade e aceleração foram tratadas com caráter escalar, isto é, não nos preocupamos com 
a natureza vetorial dessas grandezas, mas apenas com seus valores algébricos. Note que essa é uma simplificação 
conveniente e permitida quando as trajetórias são previamente conhecidas. Insistimos, entretanto, que ambas são 
grandezas vetoriais, cabendo-lhes, além do módulo ou intensidade, uma direção e um sentido. 
Podemos definir vetor como um ente matemático constituído de um módulo, uma direção e um sentido, 
utilizado em Física para representar as grandezas vetoriais. 
 
 
 
FIGURA 6 Características de um vetor. 
 
No exemplo da figura a seguir, um homem está empurrando um bloco horizontalmente para a direita, aplicando 
sobre ele uma força de intensidade 200 N (N = newton, a unidade de força no SI). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 7 Homem empurrando um bloco. 
 
 
A força de 200 N que o homem aplica no bloco (grandeza física vetorial) está representada pelo segmento de 
reta orientado, de comprimento 5,0 unidades, em que cada unidade de comprimento equivale a 40 N. 
A notação de um vetor é feita geralmente se utilizando uma letra sobreposta por uma pequena seta, como, por 
exemplo, a, b, V, F

 

 ou em NEGRITO. 
Outra notação também comum é obtida nomeando-se com letras maiúsculas as extremidades do segmento 
orientado que representa o vetor. 
 
 
 
FIGURA 8 Notação de um vetor. 
 
 
3 
Nessa notação, faz-se sempre a letra que nomeia a ponta aguçada da seta menos a letra que nomeia a 
extremidade oposta (ou "origem"): a

= B -A. 
 
3 SOMA E DIFERENÇA DE VETORES 
Os cálculos envolvendo uma grandeza escalar são feitos pelas operações aritméticas usuais. Por exemplo, 6 kg + 
3 kg = 9 kg ou 4 x 2 s = 8 s. Contudo, os cálculos que envolvem vetores necessitam de operações específicas. 
Para entender mais de vetores e as operações com eles envolvidas, começaremos com uma grandeza vetorial 
muito simples, o deslocamento. O deslocamento é simplesmente a variação da posição de um ponto. (O ponto pode 
representar uma partícula ou um objeto pequeno.) Na figura 9a, representamos a variação da posição de um ponto P1 
ao ponto P2 por uma linha reta unindo estes pontos, com a ponta da flecha apontando para P2 para representar o 
sentido do deslocamento. O deslocamento é uma grandeza vetorial, porque devemos especificar não só a distância 
percorrida como também a direção e o sentido do deslocamento. Caminhar 3 km do sul para o norte leva a um local 
completamente diferente de uma caminhada de 3 km para o sudeste. Estes dois deslocamentos possuem o mesmo 
módulo, mas direções e sentidos diferentes. 
Vamos representar a grandeza vetorial por uma única letra, tal como a letra 

A , que indica o deslocamento na 
figura 9a. Neste curso sempre designaremos uma grandeza vetorial por um tipo normal e com uma flecha sobre a letra. 
Fazemos isto para você lembrar que uma grandeza vetorial possui propriedades diferentes das grandezas escalares; a 
flecha serve para lembrar que uma grandeza vetorial possui direção e sentido. Se você não fizer esta distinção na 
notação entre uma grandeza vetorial e uma grandeza escalar, poderá ocorrer também uma confusão na sua maneira de 
pensar. 
O comprimento do segmento fornece o módulo do vetor, a direção é indicada pelo segmento da reta e o 
sentido é indicado pela seta. O deslocamento é sempre dado por um segmento de reta que fornece o módulo que liga o 
ponto inicial ao ponto final da trajetória, mesmo no caso de uma trajetória curva. Na figura 9b, a partícula se deslocou 
ao longo de uma trajetória curva do ponto P1 ao ponto P2, porém o deslocamento é dado pelo mesmo vetor 

A . Note 
que o vetor deslocamento não é associado com a distância total da trajetória descrita. Caso a partícula continuasse a se 
deslocar até o ponto P3 e depois retornasse ao ponto P1, seu deslocamento na trajetória fechada seria igual a zero. 
 
 
FIGURA 9 (a) O vetor 

A é o deslocamento do ponto P1 ao ponto P2. (b) 
O deslocamento é um vetor cuja direção é sempre traçada do ponto 
inicial até o ponto final, mesmo no caso de uma trajetória curva. 
Quando o ponto final da trajetória coincide com o ponto inicial, o 
deslocamento é igual a zero. 
 
Vetores paralelos são aqueles que possuem a mesma direção e o mesmo sentido. Se dois vetores possuem o 
mesmo módulo e a mesma direção e sentido eles são iguais, independentemente do local onde se encontram no 
espaço. Na figura 10 o vetor 

A que liga o ponto P1 ao ponto P2 possui o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo 
sentido do vetor 

A ' que liga o ponto P3 com o ponto P4. Estes dois deslocamentos são iguais, embora eles comecem em 
pontos diferentes. Na figura 10, vemos que 

A = 

A '. Duas grandezas vetoriais são iguais somente quando elas possuem 
o mesmo módulo e a mesma direção e sentido. 
Contudo, o vetor B

 na figura 10 não é igual a 

A , porque possui sentido contrário ao do deslocamento 

A . 
Definimos um vetor negativo como um vetor que possui mesmo módulo e direção do vetor dado, mas possui sentido 
contrário ao sentido deste vetor. O vetor negativo de um vetor 

A é designado por -

A , onde usamos um sinal negativo 
em negrito para enfatizar sua natureza vetorial. Caso 

A seja um vetor de 87 m apontando do norte para o sul, então 
-

A será um vetor de 87 m apontando do sul para o norte.Logo, a relação entre o vetor 

A e o vetor B

 na figura 10 
pode ser escrita como 

A = - B

 ou B

 = -

A . Quando dois vetores 

A e B

 possuem a mesma direção, mas sentidos 
contrários, possuindo ou não o mesmo módulo, dizemos que eles são antiparalelos. 
 
 
FIGURA 10 O deslocamento de P3 até P4 é igual ao 
deslocamento de P1 até P2. O deslocamento B

 de P5 
até P6 possui o mesmo módulo de 

A e de 

A ', 
porém seu sentido é oposto; o deslocamento B

 é 
um vetor igual e contrário ao vetor 

A . 
 
 
4 
Normalmente representamos o módulo de uma grandeza vetorial (o comprimento, no caso do vetor 
deslocamento) usando a mesma letra do vetor, porém sem a pequena seta. O uso de barras verticais laterais é uma 
notação alternativa para o módulo de um vetor: 
(Módulo de 

A ) = A = l

A l. [1 .2] 
Por definição, o módulo de um vetor é uma grandeza escalar (um número), sendo sempre positivo. Note que 
um vetor nunca pode ser igual a um escalar porque eles representam grandezas diferentes. A expressão "

A = 6 m" é 
tão errada quanto dizer "2 laranjas = 3 maçãs"! 
 
3.1 SOMA DE VETORES 
Muitas vezes, encontra-se em vários problemas não somente um vetor, mas dois ou mais vetores. Para se saber 
o efeito total combinado destes dois vetores, é necessário obter o vetor resultante, ou seja, somá-los para obter um 
vetor cujo efeito seja igual ao efeito combinado de todos os vetores do problema. 
Pode-se obter o vetor resultante através de métodos gráficos (desenhos) e de métodos analíticos (cálculo). 
Graficamente, têm-se dois processos: o método do paralelogramo, indicado para soma de dois vetores e o método 
geométrico, indicado para soma de vários vetores. A seguir, são apresentados os dois métodos: 
 
3.1.1) Regra do polígono 
Considere os vetores a, b, c, d e e 
 
  
representados abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 11 Vetores a, b, c, d e e 
 
  
 
 
 
Como podemos obter o vetor soma (ou resultante) s

, dado por s =a b + c d + e + +
 
   
? 
Para responder a essa questão, faremos outra figura associando sequencialmente os segmentos orientados - 
representativos dos vetores parcelas -, de modo que a "origem" de um coincida com a ponta aguçada do que lhe 
antecede. Na construção dessa figura, devemos preservar as características de cada vetor: módulo, direção e sentido. 
De acordo com a figura a seguir, o que se obtém é uma linha segmentada, denominada linha poligonal. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 12 Soma dos Vetores a, b, c, d e e 
 
  
pela regra do 
polígono. 
 
Então, temos que: 
a

 = B - A; b

 = C - B; c

 = D - C; d

 = E - D e e

 = F - E. 
Logo: 
s

 =(B-A) + (C-B) + (D-C) + (E-D) + (F-E) 
Assim: s

 = F - A 
Na figura abaixo, está ilustrado o vetor resultante s

. O segmento orientado que representa s

 sempre fecha o 
polígono e sua ponta aguçada coincide com a ponta aguçada do segmento orientado que representa o último vetor 
parcela. 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 13 Resultado da Soma dos vetores
a, b, c, d e e 
 
  
pela regra do polígono. 
 
A esse método de adição de vetores damos o nome de regra do polígono. 
Notas: 
•Vale a propriedade comutativa, isto é, a ordem dos vetores parcelas não altera o vetor soma. 
a b c d e b e d a c+ + + + = + + + +
   
      
•Se a linha poligonal dos vetores parcelas for fechada, então o vetor soma será nulo, como ocorre no caso da soma dos 
vetores a, b e c 

 
da figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 14 Resultado da Soma dos 
Vetores a, b e c 

 
pela regra do polígono. 
 
s =a b c 0+ + =


  
 
 
3.1.2) Regra do paralelogramo 
Considere os vetores a e b


representados na figura 15.1. Admitamos que seus segmentos orientados 
representativos tenham "origens" coincidentes no ponto O e que o ângulo formado entre eles seja θ. 
Na figura 2, está feita a adição a b+

 pela regra do polígono. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 15 Soma dos Vetores a e b


e seu 
resultado pela regra do paralelogramo. 
 
Observe que o segmento orientado representativo do vetor resultante s

 nada mais é que a diagonal do 
paralelogramo formado. 
Assim, dados dois vetores, é sempre possível obter-se graficamente o vetor soma (resultante) pela regra do 
paralelogramo: fazemos com que os segmentos orientados representativos dos vetores tenham "origens" coincidentes; 
da ponta aguçada do segmento orientado que representa um dos vetores, traçamos uma paralela ao segmento 
 
6 
orientado que representa o outro vetor e vice-versa; o segmento orientado representativo do vetor resultante é a 
diagonal do paralelogramo obtido. 
Retomando a figura anterior, em que aparece a soma a b+


dada pela regra do paralelogramo, temos que o 
módulo do vetor soma (resultante) s

 pode ser obtido aplicando-se uma importante relação matemática denominada 
Lei dos cossenos ao triângulo formado pelos segmentos orientados representativos de a, b e s

 
. 
Sendo a o módulo de a

, b o módulo de b

 e s o módulo de s

, temos: 
s2 = a2 + b2 - 2ab cos(180°- θ) 
Mas: 
cos(180°- θ) =-cosθ 
Assim: 
s2 = a2 + b2 + 2ab cosθ [1] 
Casos particulares 
I. a

 e b

 têm a mesma direção e o mesmo sentido: 
 
Neste caso, θ = 0°; então, cos0° = 1. 
s2 = a2 + b2 + 2ab => s2 = (a + b)2 
s = a + b [2] 
 
II. a

 e b

têm a mesma direção e sentidos opostos: 
 
Neste caso, θ = 180°; então, cos180° = -1. 
s2 = a2 + b2 – 2ab => s2 = (a - b)2 
s = a – b [3] 
 
III. a

 e b

são perpendiculares entre si: 
 
Neste caso, θ = 90°; então, cos90° = 0. 
s2 = a2 + b2 [4] 
 
3.2 DIFERENÇA DE VETORES 
A diferença vetorial nada mais é do que um caso especial da soma vetorial. Efetuar a diferença vetorial entre 
dois vetores 

A e 

B significa realizar a soma do vetor 

A com o oposto do outro vetor 

B . Sendo que o oposto do vetor 

B é um vetor idêntico ao vetor original, porém com sentido contrário. 
 
7 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 16 Vetores opostos. 
 
Por se tratar de um caso especial da soma vetorial, todas as considerações feitas para soma também valem para 
diferença vetorial, e os métodos de obtenção do vetor diferença D

são os mesmos processos de obtenção do vetor 
resultante ou vetor soma. Veja o exemplo com o método geométrico: 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 17 Diferença dos vetores A e B
 
. 
 
 
4 COMPONENTES DE UM VETOR E VETORES UNITÁRIOS 
O método geométrico de adicionar vetores não é o procedimento recomendado em situações que requerem 
grande precisão, ou em problemas tridimensionais, pois somos forçados a desenhá-los em um papel bidimensional. 
Nesta seção descrevemos um método de adicionar vetores que utiliza as projeções de um vetor ao longo dos eixos de 
um sistema de coordenadas retangular. 
Considere um vetor 

A no plano xy fazendo um ângulo arbitrário θ com o eixo x positivo, como na figura 18a. O 
vetor 

A pode ser representado por suas componentes retangulares, Ax e Ay. A componente Ax representa a projeção de 

A ao longo do eixo x, e Ay representa a projeção de 

A ao longo do eixo y. As componentes de um vetor, que são 
grandezas escalares, podem ser positivas ou negativas. Por exemplo, na figura 18a, Ax e Ay são ambas positivas. O valor 
absoluto das componentes são os módulos dos vetores componentes associados Ax e Ay. 
 
FIGURA 18 (a) Um vetor 

A no plano xy pode ser representado por seus vetores componentes Ax e Ay. (b) O vetor 
componente y, Ay ĵ , pode ser movido para a direita de tal forma que ele seja adicionado a Ax. O vetor soma dos vetores 
componentes é 

A . Esses três vetores formam um triângulo retângulo. 
 
A figura 18b mostra novamente os vetores componentes, mas com o vetor componente y deslocado de tal 
forma queele seja adicionado vetorialmente ao vetor componente x. Esse diagrama nos mostra dois aspectos 
importantes. Em primeiro lugar, um vetor é igual à soma de seus vetores componentes. Assim, a combinação dos 
vetores componentes é um substituto válido para o vetor real. O segundo aspecto é que o vetor e seus vetores 
componentes formam um triângulo retângulo. Assim, podemos deixar o triângulo ser um modelo para o vetor e 
 
8 
podemos usar a trigonometria de triângulos retângulos para analisar o vetor. Os catetos do triângulo têm comprimentos 
proporcionais às componentes (dependendo de qual fator de escala foi escolhido), e a hipotenusa tem um comprimento 
proporcional ao módulo do vetor. 
Da figura 18b e da definição do seno e do co-seno de um ângulo, vemos que cos θ = Ax/A e sen θ = Ay/A. 
Portanto, as componentes de 

A são dadas por 
Ax = A cos θ e Ay = A sen θ [5] 
É importante notar que ao utilizar essas equações componentes, θ tem de ser medido em sentido anti-horário a 
partir do eixo x positivo. De nosso triângulo, segue-se que o módulo de 

A e sua direção estão relacionados com suas 
componentes por meio do teorema de Pitágoras e da definição da função tangente: 
A2 = Ax
2 + Ay
2 [6] 
tg θ = Ay/Ax [7] 
Para obter θ, podemos escrever θ = tg-1 (Ay/Ax), que é lida "θ" é igual ao ângulo cuja tangente é a razão Ay/Ax. 
Observe que os sinais das componentes Ax e Ay dependem do ângulo θ. Por exemplo, sen θ = 120°, Ax é negativa e Ay é 
positiva. Por outro lado, se θ = 225°, tanto Ax quanto Ay são negativas. 
Se você escolher eixos de referência ou um ângulo diferentes daqueles mostrados na figura 18, as componentes 
do vetor têm de ser modificadas de acordo com isso. Em muitas aplicações é mais conveniente expressar as 
componentes de um vetor em um sistema de coordenadas tendo eixos que não são horizontais e verticais, mas que 
ainda são perpendiculares entre si. Suponha que um vetor 

B faça um ângulo θ, com o eixo x' definido na figura 19. 
 
 
 
 
 
FIGURA 19 As componentes do vetor 

B em um sistema de 
coordenadas que está inclinado. 
 
As componentes de 

B ao longo desses eixos são dadas por Bx’ = B cos θ’ e por By = B sen θ’, como na Equação 
(5). O módulo e a direção de 

B são obtidos das expressões equivalentes às Equações (6) e (7). Assim, podemos 
expressar as componentes de um vetor em qualquer sistema de coordenadas que seja conveniente para uma situação 
particular. 
Grandezas vetoriais são expressas frequentemente em termos dos vetores unitários. Um vetor unitário é um 
vetor sem dimensões com módulo unitário e é usado para especificar uma direção. Os vetores unitários não têm outro 
significado físico. São usados simplesmente como conveniência prática ao descrever-se uma direção no espaço. Os 
vetores unitários fornecem uma notação conveniente para cálculos que envolvem os componentes de vetores. Sempre 
usaremos acento circunflexo ou "chapéu" (^) para simbolizar um vetor unitário e distingui-lo de um vetor comum cujo 
módulo pode ser igual a 1 ou diferente de 1. 
Usaremos os símbolos ˆˆ ˆi, j e k para representar vetores unitários apontando nas direções x, y e z, 
respectivamente. Assim, os vetores unitários ˆˆ ˆi, j e k formam um conjunto de vetores mutuamente perpendiculares, 
como mostrado na figura 20a, onde o módulo de cada vetor unitário é igual a um; isto é, l î l = l ĵ l = l k̂ l = 1. 
 
 
 
FIGURA 20 (a) Os vetores unitários ˆˆ ˆi, j e k estão 
direcionados ao longo dos eixos x, y e z, 
respectivamente, (b) Um vetor 

A no plano xy tem 
vetores componentes Ax e Ay onde Ax e Ay são as 
componentes de 

A . 
 
Considere um vetor 

A no plano xy, como na figura 20b. O produto da componente Ax com o vetor unitário î é 
o vetor componente Ax î paralelo ao eixo x com magnitude Ax. Da mesma forma, Ay ĵ é um vetor componente de 
 
9 
magnitude Ay paralelo ao eixo y. Ao utilizar a forma unitária de um vetor, estamos simplesmente multiplicando um vetor 
(o vetor unidade) por um escalar (a componente). Assim, a notação de vetor unitário para o vetor 

A é escrita 
= +

x y
ˆ ˆA A i A j [8] 
Suponha agora que você deseje adicionar o vetor 

B ao vetor 

A , onde 

B tem componentes Bx e By. O 
procedimento para realizar essa soma é simplesmente adicionar as componentes x e y separadamente. O vetor 
resultante = +
  
R A B é, portanto, 
( ) ( )= + +

x x y y
ˆ ˆR A B i + A B j [9] 
Assim, as componentes do vetor resultante são dadas por 
Rx = Ax+ Bx 
Ry = Ay+ By [10] 
O módulo de R

 e o ângulo que ele faz com o eixo x podem então ser obtidos de suas componentes utilizando as 
relações 
2 2 2 2 2
x y x x y yR R R (A B ) (A B )= + = + + + [11] 
+
θ = =
+
y y y
x x x
R A B
tg
R A B
 [12] 
O procedimento que acabamos de descrever para adicionar dois vetores A

 e B

 utilizando o método de 
componente pode ser checado usando-se um diagrama como a figura 21. 
A extensão desses métodos para vetores tridimensionais é direta. Se A

 e B

 têm componentes x, y e z, 
expressamos os vetores na forma 
= + +
= + +


x y z
x y z
ˆˆ ˆA A i A j A k 
ˆˆ ˆB B i B j B k 
 
A soma de 

A e 

B é 
( ) ( )= + = + + + + +
  
x x y y z z
ˆˆ ˆR A B A B i A B j (A B )k [13] 
O mesmo procedimento pode ser usado para adicionar três ou mais vetores. Se um vetor 

R tem componentes 
x, y e z, o módulo do vetor é 
2 2 2 2
x y zR R R R= + +
   
 
O ângulo θ que 

R faz com o eixo x é dado por 
θ = x
x
R
cos 
R
 
com expressões similares para os ângulos em relação aos eixos y e z. 
 
 
 
 
 
FIGURA 21 Uma construção geométrica mostrando a relação entre as 
componentes da resultante 

R de dois vetores e as componentes 
individuais. 
 
 
5 PRODUTOS DE VETORES 
Podemos escrever concisamente muitas outras relações entre grandezas físicas usando produtos de vetores. Os 
vetores não são números comuns, de modo que o produto comum não é diretamente aplicado para vetores. Vamos 
definir três tipos de produtos usando vetores. O primeiro será denominado produto de um escalar por um vetor dando 
como resultado um novo vetor. O segundo será o produto de dois vetores denominado produto escalar, fornece um 
resultado que é uma grandeza escalar. O terceiro, também será o produto de dois vetores, denominado produto 
vetorial, fornece outra grandeza vetorial. 
 
5.1 PRODUTO DE UM ESCALAR POR UM VETOR 
 
10 
O produto de um escalar e por um vetor A

 é um novo vetor com as seguintes características: 
•Módulo: eA 
•Direção: a mesma de A

 
•Sentido: depende do sinal de e: 
e > 0: mesmo sentido de A

 
eFIGURA 23 (a) Dois vetores desenhados a partir de um mesmo 
ponto para definir o produto escalar A B
 
 = AB cosφ. (b) B cosφ é o 
componente de B

 paralelo ao vetor A

 e A B
 
 é o produto deste 
componente pelo módulo de A

. (c) A B
 
 é também o produto do 
módulo de B

 pelo componente de A paralelo ao vetor B

. 
 
 
Definimos A B
 
 como sendo o módulo de A

 multiplicado pelo componente de B

 paralelo ao vetor A

. Ou seja, 
A B
 
 = AB cosφ = l

A l.lB

l cosφ (definição do produto escalar), [14] 
onde φ está compreendido entre 0° e 180°. 
Como alternativa, podemos definir A B
 
 como o produto do módulo de B

 multiplicado pelo componente de A

 
na direção do vetor B

, como indicado na figura 23c. Logo, A B
 
 = BA cosφ = l B

l. l

A l cosφ, confirmando a equação (14). 
 
11 
O produto escalar é uma grandeza escalar, não é um vetor, possuindo um valor positivo, negativo ou nulo. 
Quando φ está compreendido entre 0° e 90°, o produto escalar é positivo. Quando φ está compreendido entre 90° e 
180°, o produto escalar é negativo. Desenhe um diagrama análogo ao da figura 23 porém com φ compreendido entre 
90° e 180°, para você se convencer de que nesse caso o componente de B

 na direção do vetor A

 é negativo, do mesmo 
modo que o componente de A

 na direção do vetor B

. Finalmente, quando φ = 90°, A B 0=
 
 . O produto escalar de dois 
vetores ortogonais é sempre igual a zero. 
Para dois vetores arbitrários, A e B
 
, ABcosφ = BAcosφ. Isto significa que A B B A=
   
  . O produto escalar obedece 
à lei comutativa da multiplicação; a ordem dos dois vetores não importa. 
Usaremos o produto escalar no capítulo de Trabalho e Energia para definir o trabalho realizado por uma força. 
Quando uma força constante F

 é aplicada a um corpo, que sofre um deslocamento s

, o trabalho W (uma grandeza 
escalar) realizado por esta força é dado por 
W F s=


 . 
O trabalho realizado por uma força é positivo quando o ângulo entre F e s


estiver compreendido entre 0° e 90°, 
negativo se este ângulo estiver compreendido entre 90° e 180° e igual a zero quando F e s


forem dois vetores 
ortogonais. Em capítulos posteriores usaremos o produto escalar para diversas finalidades, desde o cálculo de um 
potencial elétrico até a determinação dos efeitos produzidos pela variação de campos magnéticos em circuitos elétricos. 
Podemos calcular o produto escalar A B
 
 diretamente quando os componentes x, y e z dos vetores A e B
 
forem 
conhecidos. Para ver como isto é feito, vamos calcular o produto escalar dos vetores unitários. Isto é fácil, visto que 
ˆˆ ˆi, j e k são vetores mutuamente ortogonais. Usando as Equações (14), achamos 
ˆ ˆi i = ˆ ˆj j = ˆ ˆk k = 1 . 1 . cos0° =1 
ˆ ˆi j = ˆî k = ˆĵ k = 1 . 1 . cos90° =0 
 
5.3 PRODUTO VETORIAL 
O produto vetorial de dois vetores A e B
 
é designado pelo símbolo A B×
 
. Usaremos este produto em um 
capítulo posterior para descrever o torque e o momento angular. Mais tarde também usaremos frequentemente este 
produto para campos magnéticos, quando então ele nos será útil para determinar relações entre direções espaciais para 
diversas grandezas vetoriais. 
Para definir o produto vetorial A B×
 
 de dois vetores A e B
 
desenhamos os dois vetores com início em um 
mesmo ponto (figura 24a). 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 24 (a) Dois vetores A e B
 
 situados em um 
mesmo plano; o produto vetorial A B×
 
 é perpendicular a 
este plano e seu sentido é dado pela regra da mão 
direita. (b) A B×
 
= - B A×
 
, o produto vetorial de dois 
vetores é anticomutativo. 
 
Assim, os dois vetores ficam situados em um mesmo plano. Definimos o produto vetorial como uma grandeza 
vetorial perpendicular a este plano (isto é, perpendicular tanto ao vetor A

 quanto ao vetor B

) e possuindo módulo 
dado por AB senφ. Isto é, se C A B= ×
  
, então 
l C

l = AB senφ = l

A l.lB

l senφ (módulo do produto vetorial de A e B
 
). [15] 
 
12 
Medimos o ângulo φ entre A e B
 
 como sendo o menor ângulo entre estes dois vetores, ou seja, o ângulo φ está 
compreendido entre 0o e 180°. Logo, l C

l na Equação (15) possui sempre valor positivo, como era de esperar para o 
módulo de um vetor. Note que quando A e B
 
forem dois vetores paralelos ou antiparalelos, φ= 0° ou 180° e l C

l = 0. Ou 
seja, o produto vetorial de dois vetores paralelos ou antiparalelos é sempre igual a zero. Em particular, o produto 
vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero. Para avaliar o contraste entre o produto escalar e o módulo do 
produto vetorial de dois vetores, imagine que o ângulo entre os vetores A e B
 
 possa variar enquanto seus módulos 
permanecem constantes. Quando A e B
 
 são paralelos, o produto escalar possui seu valor máximo enquanto o módulo 
do produto vetorial é igual a zero. Quando A e B
 
 são perpendiculares, o produto escalar é igual a zero enquanto o 
módulo do produto vetorial possui seu valor máximo. 
Existem sempre dois sentidos para uma direção ortogonal a um plano, um para cima e outro para baixo do 
plano. Escolhemos o sentido de A B×
 
 do seguinte modo: imagine que o vetor A

 sofra uma rotação em torno de um 
eixo ortogonal ao plano até que ele se superponha com o vetor B

, escolhendo nesta rotação o menor ângulo entre os 
vetores A e B
 
. Faça uma rotação dos quatro dedos neste sentido; o dedo polegar apontará no sentido de A B×
 
. A regra 
da mão direita é indicada na figura 24a. O sentido do produto vetorial é também dado pela rotação de um parafuso de 
rosca direita quando ele avança ao ser girado de A

 para B

, conforme indicado. 
Analogamente, determinamos o sentido de B A×
 
fazendo uma rotação de B

 para A

 como indicado na figura 
24b. O resultado é um vetor oposto ao vetor A B×
 
. O produto vetorial não é comutativo! De fato, para dois vetores 
A e B
 
 
A B×
 
= - B A×
 
. [16] 
Assim como fizemos para o caso do produto escalar, podemos fazer uma interpretação geométrica para o 
módulo do produto vetorial. Na figura 25a, B senφ é o componente de B

 em uma direção perpendicular à direção de A

. 
Pela Equação (15) vemos que o módulo de A B×
 
 é igual ao módulo de A

 multiplicado pelo componente de B

 em uma 
direção perpendicular à direção de A

. A figura 25b mostra que o módulo de A B×
 
é também igual ao módulo de B

 
multiplicado pelo componente de A

 em uma direção perpendicular à direção de B

. Note que a figura 25 mostra um 
caso no qual φ está compreendido entre 0o e 90°; você deve desenhar um diagrama semelhante para φ compreendido 
entre 90° e 180° para verificar que a mesma interpretação geométrica vale para o módulo de A B×
 
. 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 25 (a) Bsenφ é o componente de B

 em uma direção 
perpendicular à direção de A

, e o módulo de A B×
 
 é igual ao 
produto do módulo de A

 por este componente, (b) O módulo 
de A B×
 
 é também igual ao módulo de B

 multiplicado pelo 
componente de A

 em uma direção perpendicular à direção 
de B

. 
 
Quando conhecemos os componentes de A

 e de B

, podemos calcular os componentes do produto vetorial 
mediante procedimento análogo ao adotado para o produto escalar. Inicialmente convém fazer uma tabela de 
multiplicação vetorial para os vetores unitários ˆˆ ˆi , j e k . O produto vetorial de um vetor com ele mesmo é igual a zero, 
logo 
ˆ ˆi i× = ˆ ˆj j× = ˆ ˆk k× = 0

 
O zero com a flechinha é para lembrar que este produto fornece um vetor nulo, isto é, aquele cujos 
componentes são nulos e não possui direção definida. Usando as Equações (15) e (16) e a regra da mão direita, achamos 
ˆˆ ˆ ˆ ˆi j j i k× =− × = 
ˆ ˆˆ ˆ ˆj k k j i× =− × =[17] 
 
13 
ˆ ˆˆ ˆ ˆk i i k j× =− × = 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
01 No plano quadriculado abaixo, estão representados três vetores: x , y e z
  
. 
 
Determine o módulo do vetor soma s x y z= + +
    . 
SOLUÇÃO 
 
Aplicando-se o Teorema de Pitágoras no triângulo destacado, teremos: 
s2 = 32 + 42 
s = 5u 
 
02 Duas forças 1 2F e F
 
estão aplicadas sobre uma partícula, de modo que a força resultante é perpendicular a 1F

. Se | 1F

| 
= x e | 2F

| = 2x, qual o ângulo entre 1 2F e F
 
? 
SOLUÇÃO 
 
1
2
F x 1
sen
F 2x 2
30
90
120
θ = = =
θ = °
α = θ+ °
α = °
 
 
03 Dado o seguinte conjunto de vetores, determine o módulo de sua resultante, sabendo que: AM = MC = 4 e MB = 5. 
 
 
14 
SOLUÇÃO 
Decompondo os vetores poligonalmente, temos: 
 
Da figura é fácil ver que os vetores horizontais se anulam e como consequência a resultante do conjunto de vetores 
será: 
R = 5 + 5 = 10 
 
04 Dois vetores formam um ângulo de 110°. Um dos vetores é de 20 unidades de comprimento e faz um ângulo de 40° 
com o vetor resultante da soma dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor soma. 
SOLUÇÃO 
Vamos supor que c a b= +

  e que | a

| = 20, fazendo um ângulo α = 40° com o vetor resultante c

. 
Escolhendo o eixo Ox na direção e sentido do vetor a

 então o ângulo entre o vetor b

 e este eixo vale θ = 110° (o 
mesmo que entre a e b


). 
 
Cálculo do módulo do vetor b

 Da mesma forma, α é o ângulo entre o vetor c

 e o eixo Ox (figura). Em termos das 
componentes: 
ax = acos0° = 20 
bx = bcos110° = −0,34b 
cx = ax + bx = 20 − 0,34b 
ay = sen0° = 0 
by = bsen110° = 0,94b 
cy = ay + by = 0,94b 
ˆ ˆc (20 0,34b)i 0,94bj= − +

 
Para α = 40°, e como sabemos que 
x
y
c 0,94b
tg , temos tg40
c 20 0,34b
0,94b (20 0,34b).tg40
α = ° =
−
= − °
 
com tg 40° = 0,84, temos: 
0,94b = (20 − 0,34b) . 0,84 
0,94b + 0,29b = 16,8 
b = 13,7 que é o módulo do vetor b

. 
Para calcular o módulo do vetor c

, basta usar sua representação 
ˆ ˆc (20 0,34b)i 0,94bj= − +

para b = 13,7. Assim, 
ˆ ˆ ˆ ˆc (20 0,34.13, 7)i 0,94.13,7 j 15,3i 12,9 j= − + = +

 
2 2c 15,3 12,9 20= + =

 
 
05 Se os vetores que estão contidos no retângulo obedecem a relação: X nA mB= +
  
. Determine m + n. 
 
15 
 
SOLUÇÃO 
Usaremos o vetor C

 como auxiliar, observe a figura: 
 
Da figura podemos escrever: 
X A C e B A 4C= + = +
    
, então 
B A 4(X A)
B A 4X 4A
3 1
X A B nA mB
4 4
onde
3 1
m e n
4 4
então
m n 1
= + −
= + −
= + = +
= =
+ =
   
   
    
 
 
06 A figura abaixo mostra um quadrado e três vetores A, B e X
  
. Determine o vetor X

expresso em função dos vetores 
A e B
 
. 
 
SOLUÇÃO 
Comparando os gráficos dos vetores: 
 
Vemos que o vetor X

 é colinear com o vetor soma A B+
 
. Então podemos escrever: 
A B X A B X
X ( 2 1)(A B)
IA BI IXI L 2 L(2 2)
+ +
= ⇒ = ⇒ = − +
+ −
     
  
   
 
07 Ao realizar algumas operações com os vetores A e B
 
o Professor Gomes obteve os seguintes vetores: 
 
16 
 
onde os módulos dos vetores são: 
I 4A B−
 
I = 10u e I A 2B+
 
I = 10 3 u 
Determine o módulo de I 7A 4B−
 
I. 
SOLUÇÃO 
A incógnita é I 7A 4B−
 
I. Da condição dada, teremos: 
I 4A B−
 
I = 10u ⇒ I 8A 2B−
 
I = 20u 
`m n
(8A 2B) (A 2B) 7A 4B− − + = −
 
     
 
 
Com ImI 20u e InI 10 3u= =
  
 
Da figura teremos: 
I 7A 4B−
 
I = 2 2(5 3) (35)+ 
I 7A 4B−
 
I = 10 3 u 
 
08 Considere três vetores X, Y e Z
  
de módulos respectivamente iguais a x, y e z. Determine os módulos máximo e 
mínimo do soma X Y Z+ +
  
nos seguintes casos: 
a) x = 5; y = 8 e z = 10. 
b) x = 3; y = 7e z = 15. 
SOLUÇÃO 
a) Módulo máximo: X, Y e Z
  
têm mesma direção e mesmo sentido. 
Smáx = x + y + z ⇒ Smáx = 5 + 8 + 10 
Smáx = 23 
Módulo mínimo: X, Y e Z
  
constituem um triângulo fechado. 
Smín = 0 
 
Nota: 
• O triângulo de lados 5, 8 e 10 existe, pois cada um de seus lados é menor que a soma dos outros dois. 
b) Módulo máximo: X, Y e Z
  
têm mesma direção e mesmo sentido. 
Smáx = x + y + z ⇒ Smáx = 3 + 7 + 15 
Smáx = 25 
Módulo mínimo: X, Y e Z
  
têm mesma direção, com X e Y no mesmo sentido e Z em sentido oposto. 
 
Smín = z – (x + y) 
Smín = 15 – (3 +7) ⇒ Smín = 5 
 
17 
Nota: Não existe o triângulo de lados 3, 7 e 15. 
 
09 Dois vetores A e B
 
 tem uma resultante mínima de valor 3. Determine o módulo máximo, se quando formam um 
ângulo de 60 °, a resultante é 39. 
SOLUÇÃO 
Para dois vetores quaisquer formando um ângulo α entre si a resultante é: 
2 2R A B 2ABcos= + + α 
Para a resultante mínima (α = 180°) teremos a seguinte relação: 
A – B = 3 
Para a resultante de 39 (α = 60°) teremos a seguinte relação: 
2 2 2 2R A B 2ABcos60 39= + + ° = ⇒ 2 2A B AB 1521+ + = 
Usando A = B + 3 na equação acima teremos: 
2 2(B 3) B (B 3)B 1521+ + + + = ⇒ 2B 3B 504 0+ − = 
Resolvendo teremos: 
B = -24(impossível) e B = 21 
Logo B = 21 e A = 24 
 
10 A resultante de dois vetores tem como módulo o valor 21, e essa resultante é perpendicular a um dos vetores. Se o 
outro vetor tem módulo 35, qual é ângulo formado pelos vetores componentes? 
SOLUÇÃO 
Seja R = 21, R

 ⊥ B

 e A = 35, podemos construir o seguinte esquema: 
 
Onde se verifica que o ΔOHP é pitagórico pois seus lados corresponde ao seguintes números: 3k, 4k e 5k. A = 35 = 5k e R 
= 21 = 3k ⇒ k = 7 ⇒ B = 4k = 28. 
Do triângulo destacado tiramos que θ = 53°, logo o ângulo entre os vetores será: α = 90° + θ ⇒ α = 143°. 
 
11 Considere dois vetores compostos ( 2P Q+

) e ( 3P Q−

) que formam entre si um ângulo de 53 °, sendo seus módulos 
respectivamente iguais a 15 e 7 unidades. Qual é o módulo do vetor P

? 
SOLUÇÃO 
Seja A 2P Q= +
 
e B 3P Q= −
 
onde A = 15 e B = 7. Se somarmos esses vetores eliminaremos o vetor Q

e obtemos 
A B 5P+ =
  
. 
Com isso teremos: 
2 25P A B 2ABcos53= + + ° 
2 25P (15) (7) 2.15.7cos53= + + ° 
P = 4 
 
12 Um quarto tem como dimensões 3,0m x 3,7m x 4,3m. Uma mosca parte de um dos vértices e termina no vértice 
diametralmente oposto. 
a) Ache o vetor deslocamento num referencial cujos eixos coordenados sejam paralelos às arestas do quarto. 
b) Qual é o módulo do deslocamento? 
c) Poderia o comprimento da trajetória percorrida pela mosca ser menor do que essa distância? 
d) Maior do que essa distância? 
e) Igual a essa distância? 
f) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento em termos de 
vetores unitários. 
g) Se a mosca anda em vez de voar, qual é o comprimento da trajetória mais curta que ela pode tomar? 
SOLUÇÃO 
 
18 
a) 
 
b) Temos um sistema R3 (x, y, z). 
2 2 2 2 2 2d x y z 3,70 4,30 3,00 13,42 m= + + = + + = 
c) Não, pois a menor distância entre dois pontos é a reta. 
d) Pode. A mosca poderia contornar as bordas da sala, então percorreria uma distância de 3,00 m + 3,70 m + 4,30 m = 
11,0 m, mas teria o mesmo deslocamento de 13,42 m 
e) O comprimento do percurso é o mesmo que a magnitude do deslocamento se a mosca voa ao longo do vetor 
deslocamento. 
f) ˆˆ ˆd 3,70i 4,30 j 3,00k= + +

 
g) Considere a figura: 
 
Dela obtemos: 
2 2 2 2
minL (w h) (l) (3,70 3,00) (4,30) 7,96 m= + + = + + = 
 
13 Na figura abaixo, dois vetores A e B
 
 são organizados em um cubo. Determine a relação entre os módulos dos 
vetores I A B+
 
I e I A B−
 
I. 
 
SOLUÇÃO 
A questão pede: 
K = IA BI
IA BI
+
−
 
  
Primeiro acharemos IA BI+
 
 
 
19 
Decompomos os vetores nos lados do cubo: 
 
Da figura acima temos: 
Rx = 2a, Ry = a e Rz = 2a 
Com isso a resultante será: 
2 2 2R (2a) (a) (2a) 3a
IA BI 3a
= + + =
+ =
 
 
Agora acharemos IA BI−
 
 
Decompomos novamente os vetores nos lados do cubo: 
 
Da figura acima temos: 
Rx = 0, Ry = a e Rz = 0 
Com isso a resultante será: 
2 2 2R (0) (a) (0) a
IA BI a
= + + =
− =
 
 
então 
K = 3a
3
a
= 
 
14 Um carroviaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30° a leste do norte. Desenhe o 
diagrama vetorial e determine: 
a) o módulo do deslocamento total do carro em relação ao ponto de partida? 
b) o ângulo do deslocamento total do carro em relação ao ponto de partida? 
SOLUÇÃO 
a) 
 
O norte está a 90°. Então, 30° a leste do norte significa 90° - 30° = 60°. 
 
20 
ˆ ˆ ˆ ˆA 50i B 30j C 25cos60 i 25sen60 j= = = ° + °
 
 
r (50 25cos60 )i (30 25sen60 )j 62,5i 51,7j= + ° + + ° = +

 
logo 
2 2r 62,5 51,7 81,1km= + = 
b) 1 sen y 51,7
tan 39,6
cos x 62,5
− θ
θ = = = = °
θ
em relação ao sentido positivo do eixo x. 
 
15 O Professor Gomes deve executar quatro deslocamentos sucessivos na superfície plana de um deserto, começando 
na origem de um sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas (-140 m, 30 m). As componentes de seus 
deslocamentos são, respectivamente, as seguintes, em metros: (20, 60); (bx, 70); (−20, cx); e (-70, -60). Determine: 
a) bx 
b) cx 
c) o módulo do deslocamento total 
d) o ângulo (em relação ao semi-eixo x positivo) do deslocamento total 
SOLUÇÃO 
a) bx + 20 − 20 − 60 = −140 
bx = −140 + 60 = − 80 m 
b) cx + 60 − 70 − 70 = 30 
cx = 30 − 60 + 70 + 70 = 110 m 
c) 2 2r ( 140) (30) 143 m= − + = 
d) 1 sen y 30
tan 12,1
cos x 140
− θ
θ = = = = − °
θ −
 
Como x é negativo e y positivo, percebemos que r

encontra-se no 2° quadrante. Então o ângulo formado entre ele e o 
eixo x positivo é 180° – 12,1° = 167,9°. 
 
16 Quais são as propriedades dos vetores a e b


 tais que: 
a) a b c+ =

 
 e a + b = c 
b) a b a b+ = −
 
 
 
c) a b c + =

 
 e a2 + b2 = c2 
SOLUÇÃO 
a) Temos que: 
( ) ( )c c a b a b a a b b 2a b= + + = + +
    
      
   
ou seja: 
c2 = a2 + b2 + 2abcos θ 
Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois 
c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 
Portanto a| b 
b) Da equação acima, temos que: 
a a b b 
2b 0 
b 0
− = +
=
=
 
 




 
c) Como 
c2 = a2 + b2 + 2abcos θ para que 
c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 
devemos ter θ = π/2 e, portanto, a b⊥

 . 
 
17 Considere as seguintes forças (em newtons): 
1
ˆ ˆF 2i 3j= +

 
2
ˆ ˆF 3i 5j= − +

 
3
ˆ ˆF 5i 2j= +

 
4
ˆ ˆF i 6j= − −

 
 
21 
Calcule: 
a) o módulo do vetor resultante, 
b) a tangente do ângulo formado entre o vetor resultante e o eixo Ox. 
SOLUÇÃO 
Podemos escrever diretamente: 
Fx = 2-3 + 5-1 = 3 
Fy = 3 + 5 + 2-6 = 4 
a) O módulo do vetor resultante é dado por: 
F=(32 + 42)1/2 = 251/2 = 5N 
b) A tangente do ângulo entre a força resultante e o eixo Ox é dada por: tanα= Fy/Fx = 4/3 = 1,333 
 
18 São dados dois vetores: 
ˆ ˆa 4i - 3j=

 e ˆ ˆb 6i - 8j=

 
Determine: 
a) O módulo de a

. 
b) O ângulo que a

 faz com o eixo x+. 
c) O módulo de b

. 
d) O ângulo que b

 faz com o eixo x+. 
e) O módulo de a + b


. 
f) O ângulo que a + b


 faz com o eixo x+. 
g) O módulo de b - a


. 
h) O ângulo que b - a


 faz com o eixo x+. 
i) O módulo de a - b


. 
j) O ângulo que a - b


 faz com o eixo x+. 
k) Determine o ângulo entre as direções de b - a


 e a - b


. 
SOLUÇÃO 
a) 2 2a (4) ( 3) 5 m= + − = 
b) 1 sen y 3
tan 36,87
cos x 4
− θ −
θ = = = = − °
θ
 
c) 2 2b (6) ( 8) 10 m= + − = 
d) 1 sen y 8
tan 53,13
cos x 6
− θ −
θ = = = = − °
θ
 
e) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa + b (4i - 3j) + (6i - 8j) = 10i - 11j=


 
2 2Ia + bI (10) ( 11) 14,87 m= + − =


 
f) 1 sen y 11
tan 47,73
cos x 10
− θ −
θ = = = = − °
θ
 
g) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆb - a (6i - 8j) - (4i - 3j) = 2i - 5j=


 
2 2Ib - aI (2) ( 5) 5,39 m= + − =


 
h) 1 sen y 5
tan 68,2
cos x 2
− θ −
θ = = = = − °
θ
 
i) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆa b (4i - 3j) (6i - 8j) = 2i + 5j− = − −


 
2 2Ia bI ( 2) (5) 5,39 m− = − + =


 
j) 1 sen y 5
tan 68,2 180 111,8
cos x 2
− θ
θ = = = = − °+ ° = °
θ −
 
k) As direções são opostas, logo o ângulo entre elas é 180°. 
 
19 Se B

 é somado a ˆ ˆC 3i + 4j=

, o resultado é um vetor no sentido do semi-eixo y positivo, com um módulo igual ao de 
C

. Qual é o módulo de B

? 
 
 
22 
SOLUÇÃO 
Considere o esquema de vetores: 
 
Se a resultante da soma de B C+

 é um vetor com módulo igual ao de C

, no sentido do semi-eixo y positivo, então essa 
resultante é um vetor ˆR 5j=

 de módulo 5,0. 
Fazendo a soma graficamente pode-se verificar que R e C

formam um triângulo isósceles com B

 formando a base. 
Se o ângulo de C

 com o semi-eixo x positivo é 1 sen y 4
tan 53,3
cos x 3
− θ
θ = = = = °
θ
, o seu complemento é 36,87°. 
Assim 36,87
B 2Csen 2.5sen 3,2
2 2
θ °
= = =

 
 
20 Considere as forças: 
1
2
3
ˆ ˆF 2i j
ˆˆ ˆF i j + k
ˆˆ ˆF i j + k
= +
= +
= −



 
onde as forças são dadas em newtons e todas as unidades são do sistema MKS. Calcule a força que deve ser adicionada 
a este conjunto de forças para que a soma vetorial de todas as quatro forças seja igual a zero. 
SOLUÇÃO 
Procuramos uma força 4F

 que deverá equilibrar o conjunto das três forças dadas. Esta força procurada será dada por: 
4
ˆˆ ˆF xi yj zk= + +

 (1) 
onde x, y e z são os componentes da força procurada. O newton (N) é a unidade de cada componente das forças é, de 
modo que não é necessário fazer nenhuma conversão de unidade, ficando implícito que todas as unidades são 
homogêneas; portanto, não mencionaremos mais as unidades deste problema. 
Como sabemos, para fazer uma soma vetorial basta somar algebricamente os componentes dos vetores, ou seja: 
( ) ( ) ( )1 2 3 4
ˆˆ ˆF F F F 4 x i 1 y i 3 z k+ + + = + + + + +
   
 
Para que a soma vetorial indicada acima seja nula, cada componente deve ser igual a zero, isto é, 
4 + x = 0; 1 + y = 0; 3 + z = 0 
Das relações anteriores obtemos: 
x = -4; y = -1; z = - 3 
Substituindo estes valores na relação (1), determinamos a força necessária para equilibrar o conjunto das três forças 
dadas: 
4
ˆˆ ˆF 4i j 3k= − − −

 
 
21 Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpendicular à sua diferença. 
SOLUÇÃO 
( ) ( ) 2 2a b a b a b 0 
a b
+ − = − =
=
 
 
 
 
22 Dois vetores são dados por ˆ ˆa 3i 5j= +

 e ˆ ˆb 2i 4j= +

. Calcule: 
a) a b×


 
b) a b


 
c) ( )a b b+
 

 
 
23 
SOLUÇÃO 
a) 
( )
ˆˆ ˆi j k
ˆ ˆa b = 3 5 0 k 3.4 5.2 2k
2 4 0
 
 
× = − = 
 
 


 
b) 
a b


 = 3.2 + 5.4 = 26 
c) 
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆa b b = 5i 9j 2i 4j 5.2 9.4 46+ + + = + =
 

  
 
23 Determine o valor de a para que o vetor ˆ ˆu ai 10 j= +

 seja ortogonal ao vetor ˆ ˆv 4i 2j= − +

. 
SOLUÇÃO 
Para que sejam ortogonais devemos ter: 
u v 0=
 
 
-4a + 20 = 0 
a = 5 
 
24 Dados dois vetores, 
x y z
x y z
ˆˆ ˆa a i a j a k 
ˆˆ ˆb b i b j b k
= + +
= + +

 
determine o produto escalar a b


 . 
SOLUÇÃO 
Multiplicando escalarmente membro a membro as duas relações anteriores e lembrando que ˆˆ ˆi, j e k são vetores 
unitários ortogonais entre si, obtemos facilmente a expressão solicitada: 
X X y y Z Za b a b a b a b= + +


 
 
EXERCÍCIOS PARA RESOLVER 
 
01 Quais das grandezas seguintes são vetores e quais não são: força, temperatura, o volume da água em um pote, as 
avaliações de um show de TV, a altura de um prédio, a velocidade de um carro esportivo, a idade do Universo? 
 
02 É possível adicionar uma grandeza vetorial a uma grandeza escalar? Explique. 
 
03 Dois vetores que tenham módulos diferentes podem ser combinados de modo que sua resultante seja nula? E três 
vetores? 
 
04 Um vetor pode ter módulo nulo se uma de suas componentes é diferente de zero? 
 
05 Suponha que 1 2d d d= +
  
. Isto significa que temos de ter 1d d≥
 
ou 2d d≥
 
? Se não, explique por quê. 
 
06 Explique em que sentido uma equação vetorial contém mais informação que umaequação escalar. 
 
07 No gráfico, os vetores dados são relacionados por C mA nB= +
  
, onde m e n são números reais. Determine m e n. 
 
 
 
24 
08 Determine o módulo do vetor resultante em cada um dos sistemas abaixo. Todas as figuras são polígonos regulares 
de lado 1. 
 
 
 
09 Determinar o módulo do vetor resultante mostrado abaixo, sabendo que o PM = 7, e MQ = 2 e MS = 5/3. 
 
 
10 A figura mostra um hexágono regular de lado a sobre o qual se apoiam 5 vetores. Determine a resultante desses 
vetores. 
 
 
11 A figura mostra um círculo com centro O onde está contido três vetores, A , B e X
  
. Escreva o vetor X

 em função dos 
vetores A e B
 
. 
 
 
12 A partir dos vetores mostrados abaixo, expresse o vetor x

 em função dos vetores A e B
 
. 
 
 
13 Sabendo que ABCD é um quadrado, determine uma expressão vetorial para X

 em função dos vetores M e N
 
. 
 
25 
 
 
14 Determinar o módulo da resultante no sistema de vetores apresentado na figura abaixo, sabendo que A = 30 u e B = 
18 u. 
 
15 A figura mostra três vetores a , b e c

 
. Encontre a medida do ângulo θ para que a resultante seja mínima. 
 
 
16 Considere dois deslocamentos, um de módulo 3m e outro de módulo 4m. Mostre como os vetores deslocamentos 
podem ser combinados de modo que o deslocamento resultante tenha módulo 
a) 7m b) 1m c) 5m 
 
17 Dois vetores a e b


são somados. Mostre graficamente, com diagramas vetoriais, que o módulo da resultante não 
pode ser maior do que a + b nem menor do que |a – b|; as barras verticais significam valor absoluto. 
 
18 Dois vetores A e B
 
têm módulos iguais de 10 unidades. Eles estão orientados como mostra a figura e sua soma 
vetorial é r

. 
 
 
26 
Encontre: 
a) as componentes x e y de r

 
b) o módulo de r

 
c) o ângulo que r

 faz como o eixo + x. 
 
19 Uma pessoa indo para uma caminhada segue a trajetória mostrada na figura. O passeio total consiste em quatro 
trajetórias em linha reta. No final da caminhada, qual é o deslocamento resultante da pessoa medido a partir do ponto 
de partida? 
 
 
20 Dois vetores A e B
 
 têm módulos perfeitamente iguais. Para o módulo de A B+
 
ser n vezes maior que o módulo de 
A B−
 
, qual deve ser o ângulo entre eles? 
 
21 a) Usando vetores unitários ao longo de três lados de um cubo, expresse as diagonais de um cubo em termos de seus 
lados, que têm comprimento a. 
b) Determine os ângulos formados pelas diagonais com os lados adjacentes. 
c) Determine o comprimento das diagonais. 
 
22 a) Qual é a soma, na notação de vetores unitários, dos dois vetores ˆ ˆa 5i 3j= +

 e ˆ ˆb – 3i 2j= +

? 
b) Qual é o módulo e a direção de a b+


? 
 
23 Dois vetores são dados por ˆˆ ˆa 4i 3j + k= −

e ˆˆ ˆb – i j + 4k= +

. Encontre 
a) a b+


 
b) a b−


 
c) um vetor c

tal que a b c 0− + =

 
 
 
24 Considere as forças: 
1
2
3
4
ˆˆ ˆF 2i 3j k
ˆˆF i k
ˆ ˆF i j
ˆˆ ˆF i j k
= + −
= − −
= − −
= − + +




 
Determine a força 5F

 necessária para equilibrar a ação destas quatro forças. 
 
25 a) Determine os componentes e o módulo de r a b c= − +

  
 se ˆˆ ˆa 5i 4 j 6k= + −

, ˆˆ ˆb 2i 2j 3k= − + +

 e ˆˆ ˆc 4i 3j 2k= + +

. 
b) Calcule o ângulo entre r

 e o eixo z positivo. 
 
26 Considere os vetores: 
 
27 
1
2
3
4
5
6
ˆ ˆF 2i 3j
ˆ ˆF -5i 5j
ˆ ˆF -7i 4 j
ˆ ˆF -2i 3j
ˆ ˆF 8i 2j
ˆ ˆF 2i j
= +
= −
= +
= +
= −
= +






 
Calcule: 
a) o módulo da resultante: 
b) o ângulo formado entre a resultante e o eixo Ox. 
 
27 Considere os pontos (1,1,3) e (2,3,6). Escreva o vetor d

 com origem no primeiro ponto e extremidade no segundo. 
 
28 Os vetores A e B
 
têm módulos iguais de 5,00. Se a soma de A e B
 
é o vetor 6,00 ĵ , determine o ângulo entre A e B
 
. 
 
29 Dados os vetores ˆ ˆ ˆ ˆA 2,00i 6,00 j e B 3,0i 2,0 j= + = −
 
 
a) trace o vetor soma S A B= +
  
e o vetor diferença D A B= −
  
. 
b) calcule S e D
 
em termos dos vetores unitários. 
 
30 Cada um dos vetores deslocamento A e B
 
 mostrados na figura tem um módulo de 3,00 m. 
 
Encontre graficamente 
a) A B+
 
. b) A B−
 
. 
c) B A−
 
. d) A 2B−
 
. 
Informe todos os ângulos no sentido anti-horário a partir do eixo x positivo. 
 
31 O vetor A

 tem componentes x, y, e z de 8,00, 12,0 e - 4,00 unidades, respectivamente. 
a) Escreva uma expressão vetorial para A

 em notação de vetor unitário, 
b) Obtenha uma expressão de vetor unitário para o vetor B

 com um quarto do comprimento de A

 apontando na 
mesma direção que A

. 
c) Obtenha uma expressão de vetor unitário para um vetor C

 com três vezes o comprimento de A

 apontando na 
direção oposta à de A

. 
 
32 O vetor A

 tem componentes x e y de -8,70 cm e 15,0 cm, respectivamente; o vetor B

tem componentes x e y de 13,2 
cm e -6,60 cm, respectivamente. Se A B 3C 0− + =
  
, quais são as componentes de C

? 
 
33 Dados dois vetores ˆ ˆa 2i j= −

 e ˆ ˆb i j= −

, determine o módulo e a direção de a

, de b

, de (a b)−

 , de (a b)+

 e de 
(b a)−

 . 
 
34 Considere dois vetores ˆ ˆ ˆ ˆA 3i 2j e B i 4j= − = − −
 
. Calcule 
a) A B+
 
 b) A B−
 
 
c) I A B+
 
I d) I A B−
 
I 
e) as direções de A B+
 
e A B−
 
. 
 
28 
35 Um vetor B

 tem componentes x, y, e z de 4,00, 6,00, e 3,00 unidades, respectivamente. Calcule o módulo de B

 e os 
ângulos que B

 faz com os eixos coordenados. 
 
36 Se ( )ˆ ˆA 6,00i 8,00 j= −

unidades, ( )ˆ ˆB 8,00i 3,00 j= − +

unidades, e ( )ˆ ˆC 26,0i 19,0 j= +

unidades, determine a e 
b tal que aA bB C 0+ + =
  
. 
 
37 Dois vetores são dados por ˆˆ ˆa 3i 2j k= − −

 e ˆˆ ˆb 3i j 2k= − −

. Determine o vetor 3a 2b−


. 
 
38 No plano quadriculado abaixo, estão representados quatro vetores: 1 2 3 4v , v , v e v
    . 
 
 
 
Determine o módulo do vetor 1 2 3 43v v + 2v v− −
    . 
 
39 Um vetor v

 possui módulo igual a 4 m e está situado a 45° com a direção Oeste-Leste no sentido anti-horário. 
Determine o módulo, a direção e o sentido dos seguintes vetores: 
a) v / 2

 
b) 2v−

. 
 
40 Mostre para qualquer vetor a

, que 
a) a a
 
 = a2 b) a a×
 
 = 0 
 
41 Um vetor a

 de módulo igual a 10 unidades e outro vetor b

 de módulo igual a 6 unidades apontam para direções que 
fazem um ângulo de 60° entre si. 
a) Determine o produto escalar entre os dois vetores e 
b) o produto vetorial entre eles. 
 
42 a) Mostre que, se invertermos os sentidos de todas as componentes de um vetor, então o próprio vetor também terá 
invertido o seu sentido. 
b) Mostre que se invertermos as componentes de dois vetores que formam um produto vetorial, então o vetor produto 
não é alterado. 
c) O vetor produto, nesse caso, é um vetor? 
 
43 Se a b


 = 0, isto quer dizer que a e b


são perpendiculares entre si? Se a b


 = a c
 
 , isso quer dizer que b c=


? 
 
44 Mostrar que a e b


são vetores, tal que a b+


é ortogonal a a b−


, então a = b. 
 
45 Se a b×


 = 0, é necessário que a

 seja paralelo a b

? 
 
46 Três vetores somam zero, como no triângulo retângulo da figura. 
 
29 
 
Calcule 
a) a b


 b) a c
 
 
c) b c


 d) a b×


 
e) a c×
 
 f) b c×


 
 
47 Dados os vetores 
ˆ ˆt i j= −

 
ˆ ˆu 2i 3j= +
 
ˆ ˆv i j= +
 
calcule os seguintes produtos: 
a) t (u v)×

 
 
b) t (u v)× ×

 
 
c) ( t u) v× ×

 
 
 
48 Considere os vetores: 
ˆ ˆt i 2j
ˆ ˆu 2i j
ˆ ˆv i j
= +
= +
= −



 
Faça as operações: 
a) t u u v+

  
  
b) u v×
 
 
c) t (u v)×

 
 
d) t (u v)× ×

 
 
 
49 Dados os vetores ˆˆ ˆu 2i j 3k= − +
 ; ˆˆ ˆv 4i 5j k= + +
 ; ˆˆ ˆw 3i j mk= − +
 , calcular: 
a) o módulode u e de v
 
 
b) o produto escalar entre u
 e v

; 
c) o produto vetorial entre u
 e v

; 
d) o valor de m de modo que u
 seja ortogonal a w

. 
e) o cosseno do ângulo entre u
 e v

. 
f) os cossenos diretores de u
 e v

. 
 
50 Dados dois vetores, 
x y z
x y z
ˆˆ ˆa a i a j a k 
ˆˆ ˆb b i b j b k
= + +
= + +

 
determine o produto vetorial a b×


. 
 
51 Mostre que a b×


 pode ser expresso por um determinante 3 x 3 como 
 a b×


= x y z
x y z
ˆˆ ˆi j k
a a a
b b b
 
 
52 Seja: t (u v)= ×

 
. Determine o sinal dos seguintes produtos: 
 
30 
a) u ( v)× −
 
 
b) ( u) ( v)− × −
 
 
c) v u×
 
 
d) v ( u)× −
 
 
 
53 Mais tarde, em nossos estudos de física, encontraremos grandezas representadas por (A B) C× ⋅
 
. Quaisquer que 
sejam os vetores A, B e C
 
, 
a) prove que (A B) C A (B C)× ⋅ = ⋅ ×
    
. 
a) calcule (A B) C× ⋅
 
 para os três vetores: ˆ ˆA 2i j k= − +

, ˆ ˆB i j= −

 e ˆˆ ˆC i 2j 2k= − + +

. 
b) calcule (A B) C× ×
 
. 
 
54 Mostre que: 
a) u v v u=
   
  
b) u v v u× =− ×
   
 
c) u (v w) u (w v)× =− ×
     
  
d) u (v w) w (u v) v (w u)× = × = ×
        
   
 
55 Determine o valor de m para que os vetores ˆˆ ˆa 3i 5j 9k= + −

 e ˆˆ ˆb 7i mj 4k= + +

 sejam perpendiculares entre si. 
 
56 Qual o valor de α para que os vetores ˆˆ ˆa i 5j 4k=α + −

 e ˆˆ ˆb ( 1)i 2j 4k= α+ + +

 sejam ortogonais? 
 
57 Determinar um vetor de modulo 5 paralelo ao vetor ˆˆ ˆv i j 2k= − +

. 
 
58 Sejam b e c


dois lados quaisquer de um triângulo. Deduza uma relação para obter a área deste triângulo em função 
dos vetores b e c


. 
 
59 Calcular a área do paralelogramo definido pelos vetores ˆˆ ˆa 3i j 2k= + +

 e ˆ ˆb 4i j= −

. 
 
60 Sabendo que: 1 2 3v v v 0+ + =

  
. Calcule o dobro da área A formada por estes três vetores. 
 
61 Considere um paralelepípedo de lados a, b e c

 
. Deduza uma relação para o cálculo do volume V deste 
paralelepípedo em função dos vetores a, b e c

 
. 
 
Respostas 
 
01 Vetores: força e velocidade de um carro esportivo 
02 Não, pois tem características diferentes. 
03 Não. Sim. 
04 Não. 
05 Não, pois depende da direção e sentido de 1d

e 2d

. 
06 A equação vetorial tem módulo, direção e sentido enquanto a equação escalar não. 
07 m = -8/11 e n = -2/11 
08 a) 2 b) 4 c) 2 d) 2 
09 5 
10 6.a 
11 B A
X
2
−
=
 

 
12 2
x (A B)
4
= − +
 
 
 
31 
13 2 1
x (M N)
2
−
= +
 
 
14 IRI 21(k 1)= +

 
15 22,5° 
16 Demonstração. 
17 Demonstração. 
18 a) rx = 1,59 unidades e ry = 12,1 unidades b) r = 12,2 unidades c) 82,5° 
19 240 m 
20 1 1
2tan
n
−  θ =  
 
 
21 a) ˆˆ ˆai aj ak+ + b) 54,7° c) a 3 
22 a) ˆ ˆa + b 2i 5j= +


 b) Ia + bI 5,38=


, Direção 68,19° com o eixo x. 
23 a) ˆˆ ˆa + b 3i 2j + 5k= −


 b) ˆˆ ˆa b 5i 4j 3k− = − −


 c) ˆˆ ˆc 5i + 4j + 3k= −

 
24 5
ˆˆ ˆF i - 3j k= +

 
25 a) ˆˆ ˆr 11i 4 j 7k= + −

e IrI 13,63=

 b) 120,9° 
26 a) 4,47 b) 116,56 
27 ˆˆ ˆd i 2j 3k= + +

 
28 θ = 106° 
29 a) 
 
b) ˆ ˆS 5i 4 j= +

 e ˆ ˆD i 8 j= − +

 
30 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
31 a) ˆˆ ˆA 8i 12j 4k= + −

 b) 
A ˆˆ ˆB 2i 3j k
4
= = + −


 c) ˆˆ ˆC 3A 24i 36 j 12k= − = − − +
 
 
32 Cx = 7,3 cm e Cy = -7,2 cm 
33 a
 ⇒ 2,24; 26,6° com eixo OX positivo, medido no sentido horário. 
b

 ⇒ 1,41; 45° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário. 
 
32 
(a b)−

 ⇒ 1; paralelo ao eixo OX positivo. 
(a b)+

 ⇒ 3,61; 33,7° com o eixo OX positivo, medido no sentido horário. 
(b a)−

 ⇒ = 1; 180° com o eixo OX positivo, medido no sentido anti-horário. 
34 a) ˆ ˆA B 2i 6 j+ = −
 
 b) ˆ ˆA B 4i 2j− = +
 
 c) IA BI 6,32+ =
 
 
d) IA BI 4,47− =
 
 e) θA+B = 288° e θA-B = 26,6° 
35 B = 7,81 e α = 59,2°, β = 39,8° e γ = 67,4° 
36 a = 5 e b = 7 
37 ˆˆ ˆ3i 4 j k− + 
38 28,42 
39 a) 2m, 45° com a direção Oeste-Leste medido no sentido anti-horário. 
b) 8 m, 225° com a direção Oeste-Leste medido no sentido anti-horário. 
40 Demonstração. 
41 a) 30 unidades. 
b) 52 unidades; direção: perpendicular ao plano formado pelos dois vetores. Sentido: regra de mão direita. 
42 Demonstração. 
43 Sim, Não. 
44 Demonstração. 
45 Sim. 
46 a) 0 b) -16 c) -9 d) 12k k̂ e) −12 k̂ f) 12 k̂ 
47 a) 0 b) ˆ ˆi j+ c) ˆ ˆ- 5i + 5 j 
48 a) 5 b) ˆ3k− c) 0 d) ˆ ˆ6i 3j− + 
49 a) IuI 14e IvI 42= =
 
 b) 6 c) ˆˆ ˆ16i 10 j 14k− + + d) -7/3 e) 6
cos
588
θ = 
f) de u
 cosα = 2/ 14 cosβ = -1/ 14 cosγ = 3/ 14 
de v

 cosα = 4/ 42 cosβ = 5/ 42 cosγ = 1/ 42 
50 a b×


 =(aybz - azby) î – (axbz - azbx) ĵ + (axby - aybx) k̂ 
51 Demonstração. 
52 a) –t b) t c) –t d) t 
53 a) Demonstração. b) -1 c) ˆ ˆ4i j 3k− + 
54 Demonstração. 
55 m = 3 
56 α = 2 ou α = -3. 
57 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 6ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆw i j k ou w i j k
6 6 3 6 6 3
= − + = − + −
  
58 Ib cI
A
2
×
=


 
59 10,816 
60 2A = 1 2 2 3 3 1Iv v I Iv v I Iv v I× = × = ×
      
61 a (b c)×

 
