Controle de Processos e Variáveis

Prévia do material em texto

01 Prof. Alessandro Vargas NOTAS DE AULA Controle de Processos 1- - à de Os ingredientes de vm sistema de controle podem ser - objetivos do controle componentes do sistema de controle- 3- Resultados on Veja a figura abaixo. Os objetivos podem ser como "entradas", "sinal de resultados saw chamados de "saidas", "variáveis controladas", De maneira objetivo dc sistema de controle é controlar a serida de uma mancira desejada atraves da entrada usando elementos de sistema de controle. objetivos resultados de controle FIGURA02 1.1 - de controle Os sistemas de controle sew divididos em duas classes, "malha aberta" ou Malha aberta do controlador e processo contro lado, conforme 1.2 i Um sinal de entrada "r" é aplicado as controlador, cuja atua como de sinal u"; sinal atuante controla "processo contro- lado" de modo que a variável contro lada "y" ter desempenho de acordo com algum padrate colocar máquina de As saw de execu- Exemplo: molho, lavan enxaguar numa lavadora do de programada em funcas saida, tadas A mede sinal de isto é, a limpeza das roupas. variável entrada de sinal de controlada "u" referencia processo contro- controlado lador "r" FiG. 1.2 - Elementos de um controle aberta Malha fechada foco principal do nosto curso será para esta classe de sistemas. Para obtermos Um controle mais eficiente,sinal controlado y deve ser 03 no sistema" l comparado com a entrada de contro- e Um sinal de à ca entre a entrada l a see enviado ao sistema para corrigir erro. Um sistema com Um mais "caminhos" de é chamado "sistema malha- Veja Fig. 1.3. detector erro saida processo y e r controlado lador + FiG. 1.3 Amplificador refere-se à transdutores, encoders, conversores DA/AD Obs: Em aplicações, elemento etc. Vantagens no uso do controle malha - além de teremo s melhora noutros indices de desempenho (que estudaremos as longo deste curso) como largura de banda, ganho global, disturbio e sensibilidade.04 2- - Mode lagem via Diferenciais e Integrais Para nosso uso de algumas ferramentas importantes da como teoria de variareis complexas, diferenciais e a diferenças, transformada de etc. Faremos aqui simples destes topicos Sejam A B dois conjuntos. de f uma quando é possível associar A de modo bem determinado elementos de em B, A é chamado Be chamado imagem. Para cada elemento de existir elemento em B. B A 1.4 Exemplo: f(x) = f(x) = e f(x) = sen05 2.1 - Conceitor de variáveis complexas Uma variável complexa possui dois componente real 6 e Um componente imaginario A letra j refere-se à VI, ou seja, j= l representamos a complexa s simplesmente por = σ + teremos: jw plano & = + FiG. 2.1 - 6 Ao longo de nosso curso usaremos bastante a G(s). Ela possue dominio ou s complexo, e a imagem é Por isto ela possui parte real e imaginaria, seja, G(s) = / Re G(s) + j Im G (s) real Imaginario.06 Exemplo: G(st = 1 s +1 Entow = = Re G(s) + jIm G(s) σ+ jw+1 onde Re G(s) = σ+1 e Im G(s) = w + + As singularidades de sad no plano (vide onde a funcas sua now existem. é 0 tipo mais comum de de control Polos é importantissimo no estudo anula-se. Polos pontos onde Exemplo: (*) G(s) = 10 (s+2) DENOMINADOR de (*) anula-se quando = = = 3; Como 0 termo está elevado ao quadrado, dizemos que 0 = possui ordem 2, e s=0 = e chamados "pólos simples".07 Zeros pontos onde 0 NUMERADOR NUMERADOR de (*) quando Nota: Perceba que G(s) tende a infinito quando O valor de assume um e G(s) tende à zero quando valor de s assume Um zero. Observe que G(s) se torna = Entao dizemos que G(s) possui zero em Resumo: Para (*) temos: Zeros : 2 i s = ; s = s = mesmo de zerose s=0; s = polos Encontre of pólos e zeros das seguintes a) G(s) = b) G(s) = 2s+12 c) G(s) = 108 2.2 - Transformada de Laplace A transfor mada de Laplace é uma das ferramentas matemáticas usadas para a de equações diferenciais ordinárias. Dada uma funcas real que satisfaz a condi- caw dt 0 f(t) = se t09 A de Laplace é dada por 00 F(s) = L = dt = = 0 Exemplo Considere a exponencial f(t) = ) onde α é uma constante A de de f(t) é dada por 8 F(s) = L = e -αt e -st dt = e = 0 Importantes da Transformada de Laplace Theo : por uma constante ké constante e F(s) é transformada de Entaw = K F(s) Teorema2: Soma e Seja F1(s) C F2(s) transformadas de fi(t) e f2(t). L = F1(s) ± F2(s)Teorema Diferenciacao Seja F(s) a transformada de f(t), l seja f(o) limite de quando t tende à ou f(o) = lim A transformada da derivada de no tempo é L [ df(t) dt ] = F(s) - lim f(t) = s F(s) - Em geral, L = - f(o) - - 000 000 - onde representa a i-isima derivada de f(t) com respecto à t, ava liado em t L t = F(s) s Em geral, tn L dr dtn-1 F(s) sn 0 Teorema 5: Deslocamento no temps A transformada de Laplace de f(t) atrasada por T é igual à transformada de multiplicada por ouTs 11 L [ = e - F(s) representa a que é deslocado no para direita por T. Nota: us(t) us (t) t T t Teorema 6: Teorema do valor inicial lim f(t) lim s F(s) t 0 s Teorema 7: Teorema do valor final lim f(t) = lim s F(s) t s ->012 2.3 - Transformada de Inversa Nos problemas de controle, normalmente a transfor- mada de aparece na forma G(s) = Q(s). P(s) Estudaremos somente caso em que G(s) contém somente simples. Os casos em que G(s) possul pólos ou complexo- conjugados seraw tratados usando do MATLAB. Expansão de G(s) com pólos simples Seja G(s) escrito na forma G(s) = Q(s) = K (s + (s + 3m)- para m13 Achar a transformada de Laplace inversa de F(s) = s+3 A de F(s) em parciais é F(s) = s+3 = + a2 s+2 s+1 em que a, e saw encontrados utilizando-se a eq. (2.3.1 s+3 = -1+3 = 2 as = (s+1) st3 = s+2 -1+2 (s+1) (s+2) = A+3 = -1 a2 = D+3 = - = Assim = L-1 [F(s)] = -1 2 ] + -1 s+2 -1 = - e -2t para Na última igualdade, usamos a tabela da transformada de Laplace. Lembre-se -1 1 e-at -at = s+a 1 + e = Alim disso (vide Teorema pg.9) = KF(s) e =Ache a transformada de Laplace irversa 14 a) G(s) = 5s+3 b) G(s) = + -s-2 2.4. da transformada de Laplace para a de Equações Diferenciais Lineares As diferenciais ordinárias podem resolvidas usando método de trans- formada de Laplace com a ajuda dos Teoremas de transformação (secao 2.2), com a em frações parciais 2.3) & com a tabela de transformadas de Laplace Cem anexo estas notas de Procedimentos básicos: 1) transforme a diferencial para "s" de Laplace. 2) manipule algebricamente para resolver em à deFaça a transformacad de expansões 4- Obtenha a inversa da transformada de Laplace usando a tabela. Considere u(t) uma entrada hembre-se: degram u(t) Resolva a seguinte diferencial: y(t) + 3 dy(t) + 2 y(t) = 5 u(t) (2.4.1) dt onde u(t) dt2 é a funcau Considere y(o) = -1 2 e y'(o) = d y(t) = dt Passo 1: aplicar transf. de Lapla ce em ambos bs lados de Assim, obtemos (usando a tabela) e teoremas da secao 2.2 : s2 - s - 3s Y(s) - 3 y(o) + 2 Y(s) = Substituindo acima as condições iniciais e. solucionando para16 Y(s) = = - s(s+1)(s+2) Fazendo as expansões parciais, obtemos Y(s) = 5 - 5 + 3 2s s+1 2 (s+2) Usando a da transf. inversa de Laplace, obtemos: y(t) = 2 5 - 5e⁻⁺ + 2 observacao 1: a é dada para lembre que quando t +00. lim =0. = Logo, 8 -2t lim = lim 5 2 - 5e + 2 t too t too = 5 2 Um outro modo de encontrarmos 0 Valor lim (t) é 0 "teorema do valor final", veja teorema 7 11. lim y(t) = lim s = lim s + 5 = 2 5 + 3s +2 s2 Y(s) + - 2 3 Y(s) 3 + 2 (s) = [ 3s +2 ] + = 5/s Y(s) = 5 -17 Exemplo 2: Encontre a da + 3 + = 0, = = b oude a constantes, e = = = d (t) dt dt dt Reso Lembre que = X(s) e pelo Teorema 3 temos que = s X(s) = e assim a após aplicarmos a transformada de fica equivalente - sx(o) - ] + 3 - x ] + 2 X(s) =0 substituindo as condições acima teremos - as - b] ] + 3 ] + 2X(s) = 0 ainda (s2 + 3s + 2) = as + b +18 Logo X(s) = as + b + = as+b+3a + s2 + (s+1 1)(s+2) vsando a técnica de por frações parciais X(s) = 2a+b - a+b A transformada inversa de resulta em: x(t) = = [ 2a+b ] - L -1 a+b s+1 = (2a + - (a + b) e-2t, para Suponha que agora desejemos encontrar valor de lim Existem duas formas: t verificar a so lim = lim (2a+b) + - (a+b) t = 2a+b + - (a+b) + = a (2) usar 0 Teorema do valor inicial (Teo. 6, lim x(t) : F(s) = lim s (as + b+3a) 8 A so (s+2)= lim s (ast b+ 3a) 19 s too (s+1) = him b+3a s = a too20 Funcao de Transferência e Modelos em Diagramas de blocos Um modo de modelar sistemas lineares usar de para representar as das variáveis de Um modo de definir a de transferencia usar a "resposta ao Resposta ao impulso considere um sistema com entrada u(t) e sistema pode ser caracterizado pela sua resposta impulso g(t), que é definido como a saida quando aplicado na entrada a funcai impulso S(t). = 1 se 1 0 se Fig. 3.1 t Uma vez que a resposta ao impulso g(t) é conhecida, a saida y(t) para qualquer u(t) pode ser encontrada pela de 3.1- de G(s): através da de entrada-saida: G(s) = Y(s) U(s)21 Normalmente, a de transferência entre u(t) e y(t) é dado por (3.1) G(s) = Y(s) = + + b₁ s + U(s) + an-1 + + as + a. Dizemos que a de (3.1) é estritamente própria se n=m é somente obtida zerando 0 denomi- nador. Entai, a característica de (3.1) é + an-1 sn-1 + + s + = Veremos adiante que pode mos estudar a estabili- dade do sistema através de sua caracteristica. 3.2. - Diagrama de Blocos Diagrama de trata-se de gráfica muito usado em sistemas dc controle. Por exemplo, 0 diagrama de blocos da Fig.3.2 modela sistema de controle de motor DC à malha aberta. 0 diagrama simplesmente mostra como componentes estao interconectados, e é mostrado detalhesdistur bio no 22 "Amplificador" torque entrada: velocidade voltagem Amplif. Motor DC carga Fig 3.2 Elementos para diagramas de blocos em sistemas de Elementos como sincros, amplifi- multiplicadores etc. saw usados para realizar operações As basicas saw: soma, subtracao e A representa em diagrama de blocos destas operacses estaw na figura 3.3. r(t) e(t) e(t)=r(t)-y(t) = r(t)- y(t) r(t) e(t)=r(t) + y(t) R(s) + - = R(s) - R(s) + E(s) = R(s) + + Y(b) (a) Y(s) (b) r2(t) R2(s) + = + = + Fig 3.3 - (c)2 - 0 valor do nó transmitido através de todos ramos deixando Na Fig. 3.10, temos y6= a16 = ramos paralelos na mesma conectando dois podem ser substituídos por único ramo com ganho igual à dos ganhos dos ramos indi- viduais (veja. a Fig. 3. 11) b y, yz C Fig. 3.11 a+b+c y. 4- em unidirecional pode ser substituida dos por um único ramo com ganho igual produto ganhos dos ramos individuais. a12 a34 a23 Fig. 3.12 y, a3423 Na Fig. 3.3 diagrama de blocos impli- ca que e(t) = r(t) -y(t) E(s) = R(s) - Na Fig. 3.4 temos diagrama de blocos de um sistema de controle linear à malha fechada A seguinte terminologia é definida: r(t), R(s) = entrada de = saída (variável controlada) b(t), B(s) = sinal de u(t), U(s) = sinal de H(s) = de transferência de = L(s) = "loop" de transferência G(s) = de caminho de avanço (forward -path) M(s) = Y(s) = de da R(s) malha fechada de transferência do sistema. U(s) R(s) G(s) r(t) + u(t) Fig. 3.4 : diagrama de bloco básico de um - b(t) H(s) sistema de controde de B(s) malha-fechada (realimen- tado)24 encontrar a de de malha fechada M(s) = R(s) Da fig. 3.4 podemos escrever Y(s) = G(s) i B(s) = H(s) y(s) sinal de é escrito como: U(s) = R(s) - B(s) Logo Y(s) = - G(s)B(s), ou ainda = - G(s) + = G(s) R(s) Resolvendo para / R(s) obtemos M(s) = = G(s) R(s) 1+ G(s)H(s) Em geral, sistemas de controle podem ter vários loops de Para lidar com esta situa- usaremos a técnica a - Gráficos de Fluxo de Sinais (GFS) Quando um GFS, pontos de ou usados para representar Os nós saw conectados por seguimentos de linha chamados "ramos". Os ramos possuem seta25 para indicar sentido. Exemplo: GFS de = y, a12 Fig.3.5 Exemplo 2: de GFG do seguinte conjunto de equações = + a32 = + a43 = + a34 ys + you ys = + A mostrada passo passo na figura a seguir. a32 a12 (a) to 0 ys a32 a43 a12 a23 (b) a43 Q44 a12 a34 (c) yz y3 ys a24 a44 a32 a43 a12 a23 a45 a34 Fig. 3.8 (d) ys a2526 dos termos da de que tem somente ramos de saída (ex: no na Fig. 3.8) No de saída: que tem somente ramos que chegam (ex: nó ys na Fig. 3.8) Caminho percurso através dos ramos, seguindo as caminho de avanço path): é um caminho que se imicia num no de entrada vai até um nó de saída sem passar por nenhum nó mais de uma vez Exercicio: determine os caminhos de avanço da Fig 3.8(d) Loop ma loop um caminho que se é origina entrada ys saída) e e termina no mesmo no e nenhum autro en- contrado mais de uma vez. Ex: existem 4 loops no GFS da Fig 3.8 (d). mostrados na Fig. 3.9. a43 a44 a32 yz a23 y3 a34 a32 a43 y2 y4 Fig. 3.9 : Qua tro loops da Fig. 3.8 (d)27 Ganho do caminho de é 0 ganho do caminho de avanço. Ex: na Fig. 3.8(d) temos três caminhos de avanço. saw eles: a) y, ya ys c) b) y. ys yz ys Os ganhos dos caminhos de avanço Ma = a12 a23 a34 a45 Mb = a12 a24 a45 Mc= a12 a25 Ganho do loop (ou ganho da ma é ganho do caminho de um loop Ex: ganho de loop do bop ys na Fig. 3.9 e a₂₄ a43 a32 3.8 - Álgebra de GFS: - 0 valor no nó é igual a soma de todos valores entrando no nó. Ex: y. = aziyz + + asiys y3 a31 a41 ys Fig. 3.10 y'32 Análise de Sistemas de no dominio do tempo Como tempo é usado como sistemas de controle, é usualmente de inte- resse avaliar estado e resposta de com respecto as temps, on simplesmente "res- posta no No problema de uma entrada de referência é aplicada no e a performance é avaliada através do estudo da resposta do sistema no do tempo. tempo de resposta de Um sistema de controle é usualmente dividido em duas a transiente" e "resposta estacio- nária". Seja a resposta no tempo de sistema à em geral, pode ser escrita como y(t) = + resposta transiente estacionária.33 Em sistemas de controle, a resposta transiente é definida como a parte da resposta no tempo que vai para zero quando tempo tende à infinito. tem a propriedade lim y(t) = t too A resposta estacio é sim plesmente a parte da resposta total que permanece após a resposta transiente se anulado. Logo a pode vaniar com padrão como uma onda "seno", funcai rampa que à medida que 0 tempo Ex y(t) = -t + 5/2 como -t 0 quando t too, = e = 5/2 Ex 2: y(t) = e⁻t + sen 2t como quando t e 2t ≤1 ≤ para todo (t) = e = sen 2tSinais de teste para resposta no 34 tempo de sistemas de Usaremos seguintes sinais em nossa análise seráo usados na entrada de a) de entrada degram = R M r(t) R setco Ré constante 0 t r(t) = Ru(t) b) Funcao de entrada rampa r(t) Rt se r(t) = se t35 de erro estacionário com à do sistema: Vejamos qual O significado de "erro do sistema". Em geral, podemos considerar erro como O sinal que deve ser rapidamente reduzido à zero, se Considere sistema à malha fechada da Fig 4.1 abaixo. e(t) G(s) R(s) + E(s) - Fig. 4.1 Acima, r(t) é a entrada de é a saida e erro do sistema é definido por e(t) = r(t) - y(t). Note que a Fig.4.1 representa vm sistema de controle com ganho em malha fechada. nossa análise para esta classe de controle. Aplicando transformada de Laplace em (*) obtemos E(s)= - y(s). Mas Y(s) = G(s) E(s) Logo E(s) = R(s) (**) 1+ G(s)36 Erro erro estacionario é definido por = lim e (t) t too Pelo Teorema do Valor Final (veja pg. 11) temos = lim = lim s (s) = lim s R(s) t too s 1+ G(s) Logo = lim s R(s) s 1+ + G(s) claramente depende de G(s). Em particular, 0 valor vai depender do n: de pólos em =0. = Tipo do sistema: dado pelo de em s=0. = Por podemos escrever G(s) conforme G(s) = K (1 + + T2s) 000 Tms) (***) 1+ (1 + Dizemos que 0 sistema é do "tipo onde pode ser Exemplo 1. a) G(s) = (1+s)(1+2s)b) G(s) = K + 0.5s) 37 (tipo 1) s (1+s) + + + c) G(s) = (tipo2) s2 (1+4s) d) G(s) = K(1+2s) (tipo3) Agora vamos investigar das entradas no erro Consideraremos somente entradas rampa e parábola. Erro Estacionário com entrada : Na entrada r (t) = R transformada de Laplace R(s) = R s 0 erro estacionário é: = lim s = lim R R 7 = s 1+ G(s) s 1+ G(s) 1+ lim G(s) Por definimos Kp= = lim G(s) s entao R = 1+ KoRelembre (***). 38 se j= de (***) temos Kp = lim G(s) = lim K (1+ T1s) Tm s) (1+ = K se Kp= G(s) = lim K s) ... s ( 1+ -- = + se j= 2,3, : analisando con forme acima teremos Kp = + Então : se sistema é Tipo Φ = R 1+ K se sistema é Tipo 1,2,3 = Φ gráfico abaixo representa a resposta do sistema à fungão quando Kp é finito e diferente de zero. Para sist. Tipo temos Kp= = K fazendo K muito grande, Se sist. Tipo ou Ce= R 3, 1+ pois = +39 Erro Estacionario com entrada rampa : Quando a entrada de referência é da forma de rampa, r (t) = degram onde Ré constante. A transformada de Laplace de r R(s) = R erro estacionario é ee = lim s R(s) = lim 4 + G(s) s 70 s2 ( 1 + G(s)) = lim R s 0 st s G(s) = R lim s (s) Defimndo a "constante de erro da rampa" como Kv = lim s G(s) s 0 ee = R KvRelembre (***) 40 se en tao lim s G(s) = lim s K ( s) s 70 = ee = too se j= 1, Kv = lim (1+ Tms) (1+ (1+ Xns) = K = R K se j= entad Kv = lim s (1+ Tms) st (1+ (1+ = + entad = Ografico ao lado representa a y(t) R Kv resposta do sistema quando r(t)= finito e diferente de zero y(t)41 Erro com entrada Com entrada em parábola, temos = 2 entrada aplicando Transformada de Laplace, = R erro estacionario e': eₑ = lim s R(s) = lim s R. 1+ G(s) 170 (1+ G (s)) = lim R s2 + s2 G(s) = R lim G(s) Definindo a de erro parabolica" como Ka, temos Ka = lim G(s) e assim = R KaDesenvolvendo a análise, que 42 se ou = 1 Ka ÷0 logo = + se entad Ka = K logo ee = R Ka R Ka se 3, 4,5, en Ka = 8 r(t) logo = Φ y(t) t 11 Resumo : entrada : le = R Kp = lim G(s) 1+ Kp entrada ee = R = lim s G(s) Kv s 70 entrada eₑ = R Ka = lim s2 G(s) Ka Tipo do constantes entrada entrada entrada sistema dos erros degram rampa R R R j Kp Kv Ka 1+ Kp Kv Ka R K as + 8 1 8 K R 0 K 8 2 00 R 8 K 0 K 3 8 8Encontrar erros de estado 43 nário para as entradas cada uma das 5 e ult) paraVas G(s) abaixo. A é 0 Antes de calcular calcule Kp, Kv e Ka. a) G(s) = 0,5 (1 + 3s) b) G(s) = 3 (1 + (1+s)(1+2s) c) G(s) = 4 (s+2) d) G(s) = 5 (1+2s) s2 + (st12) s3 item (a). Entrada r(t) = 5 (t) R(s) = 5 K erro estacionario é (veja pag. 37) ee = R 1+ Kp onde R=5 e Kp = lim G(s) ÷ lim 0.5 3s) s 0 = 0.5 entrada degrau ee = 5 = 5 1.5 3/2 344 Entrada rampa; Laplace = R(s) = 6 s2 erro é: (veja 39) R onde Kv = limsG(s) Kv Logo R=6 = e Kv= s lim 70 s ( 0.5 (1+3s) ) = Φ = 00 Entrada parabolica: = R(s) = =16 3 erro estacionário é (veja = R Ka = lim s G(s) Ka Logo R=16 = e Ka = him s2 ( 0.5 Cits (1+2s) ) 11 Então =45 Projeto de Erro de Estado Suponha que saibamos que nosso sistema de controle tenha Kv = 10. Podemos chegar algumas conclusões. a) sistema é do tipo 1, uma rez que sistemas do tipo 1 possuem valores finitos de Kv. Lembre-se que (tips e 00 (tipo 2,3,4, etc). b) sinal de teste e' "entrada em rampa. c) se a constante R é utilizada na entrada r(t) = R t onde ult) é 0 erro é ee = Suponha que sistema de controle tenha Kp = Qual é tipo do sistema? qual 0 sinal de teste na entrada? Se R=1 = (constante multiplicando a entrada do sistema), qual 0 erro estacionário ? Resposta: sistema é do tipo vez que somente sistemas do tipo Φ apresentam Kp finito. Para sistemas do tipo 1, 2, 000 Kp= = + sinal de teste na entrada é degram. erro Re = R = 1 = 1 1+ Kp 1+15 + 1646 Projeto de computo de ganho para atender à erro estacionário: Dado sistema de controle da Figura abaixo, obter valor de K de modo que erro rio seja ee = 0,1. R(s) Y(s) + K (&+5) X s (s+1) - como sistema é do erro enunciado no problema ser aplicado para uma "entrada rampa", vma vez que somente a entrada rampa produz erro finito em sistemas do Tipo1. a intrada rampa" é = R t u(t). Vamos considerar nos projetos = 0 erro = R = 0,1. Kv como R=1 e = lim s G(s) = lim K = 5K 1 = 0,1 5K ou ainda K=247 Neste capitulo vamos estudar a estabilidade de sistemas lineares de controle. Estabilidade é uma das principais num sistema de controle. Ela basicamente leva em conta comportamento de Um sistema quando t tende a infinito. A estabilidade para sistemas de controle / uma-saida" en em "SISO" pode ser estudada analisando-se polos da equação característica. As de estabilidade ilustradas na Fig. Representamos pólos na forma s = + jwi ) e analisamos a caracteristica para afirmar se sistema é (i) estável (ii) marginalmente estável regias marginalmente estavel Plano jw Estável 948 Exemplo: a) M(s) = 20 Todos pólos do sistema acima no semiplano à esquerda do "Plano s". Logo 0 sistema é ESTÁVEL b) M(s) = 20 (s+1) INSTÁVEL pois possui Um pólo cm c) M(s) = 20 (s-1) MARGINALMENTE ESTÁVEL pois possu pólos em + nem sempre é fácil identificar algebricamente do Por exemplo, como fazer para sabermos se 0 sistema abaixo é estável M(s) = 10 + + + Existem métodos que nos garantem que sistema M(s) é estável sem precisarmos cal cular Os a que estudaremos longo de nosso curso, nos informam sobre a estabilidade sem 0 cálculo dos Routh - Hurwitz Nyquist Diagrama de BodeCritério de Routh - Hurwitz 49 Baseado na dos parâmetros do polinômio. Considerc que a equacao caracterís- tica de sistema SISO é dada na forma F(s) = ans" + an-1 sⁿ⁻¹ + + + ao = 0 (*) onde todos ao, an saw reais. A necessária e suficiente para que a eq. (A) tenha raizes. com parte real positiva 1) todos coeficientes da equação possuem mesmo sinal 2) Nenhum dos coeficientes esvance de 0 primeiro passo da é agrupar coeficientes de F(s) em duas sobre A primeira linha poe termos segunda; Assim: an an-2 an-4 an-6 an-1 an-3 an-5 an-7 próximo passo é formar uma tabela. Vamos montar a tabela para um sistema de sexta ordem; a6 + + + + + a,s + =050 tabela de Routh a6 a4 a2 as a3 as Φ s" =A a5 as -asB = C = D -as.0 =0 Φ A A A BC -AD - = E - A.D = a₀ C.D - A.D = C C C s1 ED - Cao = F 0 E Fa. - = Φ F A coluna de à esquerda serve para referência. Uma vez que a tabela esteja completada, temos que investigar "sinal" dos corficientes da primeira coluna da tabela. todos pólos no semiplano à esquerda se todos elementos da primeira coluna da Tabela de Routh 0 mesmo sinal. de mudancas de sinais signi- fica 0 de no semi-plano directo.51 a equacao (s+1) = - + s que possui um corficiente negativo. sem aplicar teste de que existem duas raizes no semiplano direito, logo sistema original é vamos aplicar 0 teste de 1 1 de sinal s2 -4 6 mudanga de sinal s1 (-4)(1) =2,5 -4 s° (2.5)(6) - =6 2.5 ocorreram "duas" mudangas de sinais, então existem duas raizes loca lizadas no semi- plano direito. Isto coincide com nossa inicial. E como 0 sistema de ordem três, existe Vm polo no semi-plano Exemplo 2: Considere a + + + + 10 =0tabela de Routh 52 s" 2 3 10 3 1 5 de sinal s2 (1)(3) -(2)(5) = 7 10 1 mudança de sinal s' (-7)(5) (1)(10) = 0 -7 10 como ocorreram duas mudanças de sinal, entaw a tem dois pólos no semi-plano Certamente dois pólos no semi-plano direito 0 sistema original a ser INSTÁVEL. E como sistema é de ordem quatro, existem outros dois pólos no semiplano esquerdo. Quando a tabela de Routh termina prematuramente Dependendo dos coeficientes da duas complicações podem acontecer: 1) primeiro elemento de qualquer uma das linhas se anula, mas or outros não se anulam. 2) todos elementos da linha seVamos restringir nossa análise somente para 0 53 caso. A técnica é usar um chamado "epsilon" suficientemente pequeno e positivo no lugar do seja, trocamos Φ por E. Exemplo: Considere a eq. F(s) = + + + + 3=0 tabela de Routh 1 2 3 1 2 Φ Φ 3 elemento nulo Quando isto trocamos 0 zero por positivo. Logo teremos s" 1 2 3 1 2 s2 3 mudança de sinal 1 21 -3 E E mudança de sinal (outros no 2 3 sistema INSTÁVEL com 2 no