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a) Função de entrada degrau: x(t)=\left\{\begin{array}{ll} R & \text { se t\geq 0 } \\ 0 & \text { se t<0 }\end{array}\right.

Aprimorando com Questões

há 9 meses

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135 pág.

Controle de Processos e Variáveis

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há 9 meses

Parece que sua pergunta está relacionada a uma função de entrada degrau, que é uma função comum em sistemas de controle e processamento de sinais. A função que você descreveu é conhecida como função degrau unitário, denotada geralmente por \( u(t) \). Ela é definida como: - \( u(t) = R \) para \( t \geq 0 \) - \( u(t) = 0 \) para \( t < 0 \) Essa função é utilizada para modelar uma entrada que é ativada em \( t = 0 \) e permanece constante em \( R \) para \( t \geq 0 \). Se precisar de mais detalhes ou exemplos sobre como essa função é aplicada, é só avisar!

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Na Fig. 3.3 (a), o diagrama de blocos implica que
e(t)=r(t)-y(t)
E(s)=R(s)-y(s)

Ganho do loop (ou ganho da malha): é o ganho do caminho de um loop Ex: o ganho de loop do loop y_{2} ightarrow y_{4} ightarrow y_{3} ightarrow y_{2} na Fig. 3.9 é:
a_{24} a_{43} a_{32}

1- o valor no nó é igual a soma de todos os valores entrando no nó. Ex:
y_{1}=a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}+a_{41} y_{4}+a_{51} y_{5}

Seja y(t) a resposta no tempo de um sistema a tempo-contínuo: então, em geral, pode ser escrita como:
y(t)=γ_{t}(t)+γ_{e}(t)

A resposta transiente é definida como a parte da resposta no tempo que vai para zero quando o tempo tende à infinito. Então, y_{t}(t) tem a propriedade:
lim_{t ightarrow+\infty} y_{t}(t)=0

Ex 1: y(t)=e^{-t}+5 / 2, tso como e^{-t} ightarrow 0 quando t ightarrow+\infty, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=5 / 2

Ex 2: y(t)=e^{-t}+\operatorname{sen} 2 t como e^{-t} ightarrow \infty quando t ightarrow+\infty e -15 \operatorname{sen} 2 t \leq 1 para todo t 30, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=\operatorname{sen} 2 t

Vejamos qual o significado de erro do sistema. Em geral, podemos considerar o erro como o sinal que deve ser rapidamente reduzido à zero, se possível. Considere o sistema à malha fechada da Fig 4.1 abaixo. Acima, r(t) é a entrada de referência, y(t) é a saída e o erro do sistema é definido por:
e(t)=r(t)-y(t)

Aplicando transformada de Laplace em (*) obtemos:
E(s)=R(s)-y(s). Mas Y(s)=G(s) E(s)

Pelo Teorema do Valor Final (veja pg. 11) temos:
e_{e}=\lim _{t \rightarrow+\infty} e(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s E(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{R(s)}{1+G(s)}

Claramente "e_{e}" depende de G(s). Em particular, o Valor e_{e} vai depender do n° de pólos em s=0.

Tipo do sistema: É dado pelo n° de pólos em s=0. Por conveniência, podemos escrever G(s) conforme:
G(s)= K\left(1+T_{1} s\right)\left(1+T_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+T_{m} s\right) s^{\delta}\left(1+X_{1} s\right)\left(1+X_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+X_{n} s\right)

Digamos que o sistema é do "tipo j", onde "j" pode ser j=0,1,2, \cdots

Erro Estacionário com entrada degrau: Na entrada degrau, então o erro estacionário é:
e_{e}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta R(s)}{1+G(s)}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\delta \cdot \frac{R}{s}}{1+G(s)}=\frac{R}{1+\lim _{s \rightarrow 0} G(s)}

Por conveniência, definimos:
K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} G(s)

Análise: Relembre (x**). se j=0, então:
K_{V}=\lim _{s \rightarrow \infty} s G(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{K\left(1+T_{1} s\right) \cdots\left(1+T_{m} s\right)}{\left(1+X_{1} s\right) \cdots\left(1+X_{n} s\right)} =\varnothing

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a) Função de entrada degrau: x(t)=\left\{\begin{array}{ll} R & \text { se t\geq 0 } \\ 0 & \text { se t<0 }\end{array}\right.

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Na Fig. 3.3 (a), o diagrama de blocos implica que
e(t)=r(t)-y(t)
E(s)=R(s)-y(s)

Ganho do loop (ou ganho da malha): é o ganho do caminho de um loop Ex: o ganho de loop do loop y_{2} ightarrow y_{4} ightarrow y_{3} ightarrow y_{2} na Fig. 3.9 é:
a_{24} a_{43} a_{32}

1- o valor no nó é igual a soma de todos os valores entrando no nó. Ex:
y_{1}=a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}+a_{41} y_{4}+a_{51} y_{5}

Seja y(t) a resposta no tempo de um sistema a tempo-contínuo: então, em geral, pode ser escrita como:
y(t)=γ_{t}(t)+γ_{e}(t)

A resposta transiente é definida como a parte da resposta no tempo que vai para zero quando o tempo tende à infinito. Então, y_{t}(t) tem a propriedade:
lim_{t ightarrow+\infty} y_{t}(t)=0

Ex 1: y(t)=e^{-t}+5 / 2, tso como e^{-t} ightarrow 0 quando t ightarrow+\infty, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=5 / 2

Ex 2: y(t)=e^{-t}+\operatorname{sen} 2 t como e^{-t} ightarrow \infty quando t ightarrow+\infty e -15 \operatorname{sen} 2 t \leq 1 para todo t 30, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=\operatorname{sen} 2 t

Aplicando transformada de Laplace em (*) obtemos:
E(s)=R(s)-y(s). Mas Y(s)=G(s) E(s)

Pelo Teorema do Valor Final (veja pg. 11) temos:
e_{e}=\lim _{t \rightarrow+\infty} e(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s E(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{R(s)}{1+G(s)}

Claramente "e_{e}" depende de G(s). Em particular, o Valor e_{e} vai depender do n° de pólos em s=0.

Tipo do sistema: É dado pelo n° de pólos em s=0. Por conveniência, podemos escrever G(s) conforme:
G(s)= K\left(1+T_{1} s\right)\left(1+T_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+T_{m} s\right) s^{\delta}\left(1+X_{1} s\right)\left(1+X_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+X_{n} s\right)

Digamos que o sistema é do "tipo j", onde "j" pode ser j=0,1,2, \cdots

Erro Estacionário com entrada degrau: Na entrada degrau, então o erro estacionário é:
e_{e}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta R(s)}{1+G(s)}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\delta \cdot \frac{R}{s}}{1+G(s)}=\frac{R}{1+\lim _{s \rightarrow 0} G(s)}

Por conveniência, definimos:
K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} G(s)

Análise: Relembre (x**). se j=0, então:
K_{V}=\lim _{s \rightarrow \infty} s G(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{K\left(1+T_{1} s\right) \cdots\left(1+T_{m} s\right)}{\left(1+X_{1} s\right) \cdots\left(1+X_{n} s\right)} =\varnothing

se j=2,3, \ldots= analisando conforme acima teremos:
K_{p}=+\infty

Então:
se sistema é Tipo 0 \Rightarrow e_{e}=\frac{R}{1+K} (constante) se sistema é Tipo 1,2,3... \Rightarrow e_{e}=0

Giro Estacionário com entrada rampa: Quando a entrada de referência é da forma de rampa, teremos:
r(t)=R t u(t)

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Na Fig. 3.3 (a), o diagrama de blocos implica quee(t)=r(t)-y(t)E(s)=R(s)-y(s)

Ganho do loop (ou ganho da malha): é o ganho do caminho de um loop Ex: o ganho de loop do loop y_{2} ightarrow y_{4} ightarrow y_{3} ightarrow y_{2} na Fig. 3.9 é:a_{24} a_{43} a_{32}

1- o valor no nó é igual a soma de todos os valores entrando no nó. Ex:y_{1}=a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}+a_{41} y_{4}+a_{51} y_{5}

Seja y(t) a resposta no tempo de um sistema a tempo-contínuo: então, em geral, pode ser escrita como:y(t)=γ_{t}(t)+γ_{e}(t)

A resposta transiente é definida como a parte da resposta no tempo que vai para zero quando o tempo tende à infinito. Então, y_{t}(t) tem a propriedade:lim_{t ightarrow+\infty} y_{t}(t)=0

Ex 1: y(t)=e^{-t}+5 / 2, tso como e^{-t} ightarrow 0 quando t ightarrow+\infty, então:y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=5 / 2

Ex 2: y(t)=e^{-t}+\operatorname{sen} 2 t como e^{-t} ightarrow \infty quando t ightarrow+\infty e -15 \operatorname{sen} 2 t \leq 1 para todo t 30, então:y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=\operatorname{sen} 2 t

Aplicando transformada de Laplace em (*) obtemos:E(s)=R(s)-y(s). Mas Y(s)=G(s) E(s)

Pelo Teorema do Valor Final (veja pg. 11) temos:e_{e}=\lim _{t \rightarrow+\infty} e(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s E(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{R(s)}{1+G(s)}

Claramente "e_{e}" depende de G(s). Em particular, o Valor e_{e} vai depender do n° de pólos em s=0.

Tipo do sistema: É dado pelo n° de pólos em s=0. Por conveniência, podemos escrever G(s) conforme:G(s)= K\left(1+T_{1} s\right)\left(1+T_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+T_{m} s\right) s^{\delta}\left(1+X_{1} s\right)\left(1+X_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+X_{n} s\right)

Digamos que o sistema é do "tipo j", onde "j" pode ser j=0,1,2, \cdots

Erro Estacionário com entrada degrau: Na entrada degrau, então o erro estacionário é:e_{e}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta R(s)}{1+G(s)}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\delta \cdot \frac{R}{s}}{1+G(s)}=\frac{R}{1+\lim _{s \rightarrow 0} G(s)}

Por conveniência, definimos:K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} G(s)

Análise: Relembre (x**). se j=0, então:K_{V}=\lim _{s \rightarrow \infty} s G(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{K\left(1+T_{1} s\right) \cdots\left(1+T_{m} s\right)}{\left(1+X_{1} s\right) \cdots\left(1+X_{n} s\right)} =\varnothing

se j=2,3, \ldots= analisando conforme acima teremos:K_{p}=+\infty

Então:se sistema é Tipo 0 \Rightarrow e_{e}=\frac{R}{1+K} (constante) se sistema é Tipo 1,2,3... \Rightarrow e_{e}=0

Giro Estacionário com entrada rampa: Quando a entrada de referência é da forma de rampa, teremos:r(t)=R t u(t)

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Na Fig. 3.3 (a), o diagrama de blocos implica que
e(t)=r(t)-y(t)
E(s)=R(s)-y(s)

Ganho do loop (ou ganho da malha): é o ganho do caminho de um loop Ex: o ganho de loop do loop y_{2} ightarrow y_{4} ightarrow y_{3} ightarrow y_{2} na Fig. 3.9 é:
a_{24} a_{43} a_{32}

1- o valor no nó é igual a soma de todos os valores entrando no nó. Ex:
y_{1}=a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}+a_{41} y_{4}+a_{51} y_{5}

Seja y(t) a resposta no tempo de um sistema a tempo-contínuo: então, em geral, pode ser escrita como:
y(t)=γ_{t}(t)+γ_{e}(t)

A resposta transiente é definida como a parte da resposta no tempo que vai para zero quando o tempo tende à infinito. Então, y_{t}(t) tem a propriedade:
lim_{t ightarrow+\infty} y_{t}(t)=0

Ex 1: y(t)=e^{-t}+5 / 2, tso como e^{-t} ightarrow 0 quando t ightarrow+\infty, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=5 / 2

Ex 2: y(t)=e^{-t}+\operatorname{sen} 2 t como e^{-t} ightarrow \infty quando t ightarrow+\infty e -15 \operatorname{sen} 2 t \leq 1 para todo t 30, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=\operatorname{sen} 2 t

Aplicando transformada de Laplace em (*) obtemos:
E(s)=R(s)-y(s). Mas Y(s)=G(s) E(s)

Pelo Teorema do Valor Final (veja pg. 11) temos:
e_{e}=\lim _{t \rightarrow+\infty} e(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s E(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{R(s)}{1+G(s)}

Tipo do sistema: É dado pelo n° de pólos em s=0. Por conveniência, podemos escrever G(s) conforme:
G(s)= K\left(1+T_{1} s\right)\left(1+T_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+T_{m} s\right) s^{\delta}\left(1+X_{1} s\right)\left(1+X_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+X_{n} s\right)

Erro Estacionário com entrada degrau: Na entrada degrau, então o erro estacionário é:
e_{e}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta R(s)}{1+G(s)}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\delta \cdot \frac{R}{s}}{1+G(s)}=\frac{R}{1+\lim _{s \rightarrow 0} G(s)}

Por conveniência, definimos:
K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} G(s)

Análise: Relembre (x**). se j=0, então:
K_{V}=\lim _{s \rightarrow \infty} s G(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{K\left(1+T_{1} s\right) \cdots\left(1+T_{m} s\right)}{\left(1+X_{1} s\right) \cdots\left(1+X_{n} s\right)} =\varnothing

se j=2,3, \ldots= analisando conforme acima teremos:
K_{p}=+\infty

Então:
se sistema é Tipo 0 \Rightarrow e_{e}=\frac{R}{1+K} (constante) se sistema é Tipo 1,2,3... \Rightarrow e_{e}=0

Giro Estacionário com entrada rampa: Quando a entrada de referência é da forma de rampa, teremos:
r(t)=R t u(t)