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Pelo Teorema do Valor Final (veja pg. 11) temos:
e_{e}=\lim _{t \rightarrow+\infty} e(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} s E(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{R(s)}{1+G(s)}
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Controle de Processos e Variáveis
135 pág.

Controle de Processos e Variáveis

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há 9 meses

Pelo Teorema do Valor Final, para encontrar o valor final de uma função no domínio do tempo, você pode usar a relação: \[ e_{e} = \lim_{t \rightarrow +\infty} e(t) = \lim_{s \rightarrow 0} s E(s) \] No seu caso, você está utilizando a relação: \[ e_{e} = \lim_{s \rightarrow \infty} s \frac{R(s)}{1 + G(s)} \] Isso implica que você deve analisar o comportamento de \( R(s) \) e \( G(s) \) quando \( s \) tende ao infinito. Se \( G(s) \) for um polinômio de maior grau que \( R(s) \), o limite pode tender a zero, indicando que o erro final é zero. Caso contrário, você deve calcular o limite para determinar o valor final do erro. Lembre-se de que a condição para aplicar o Teorema do Valor Final é que todos os polos de \( E(s) \) devem estar no semiplano esquerdo, exceto, possivelmente, um polo em \( s = 0 \).

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Na Fig. 3.3 (a), o diagrama de blocos implica que
e(t)=r(t)-y(t)
E(s)=R(s)-y(s)

Ganho do loop (ou ganho da malha): é o ganho do caminho de um loop Ex: o ganho de loop do loop y_{2} ightarrow y_{4} ightarrow y_{3} ightarrow y_{2} na Fig. 3.9 é:
a_{24} a_{43} a_{32}

1- o valor no nó é igual a soma de todos os valores entrando no nó. Ex:
y_{1}=a_{21} y_{2}+a_{31} y_{3}+a_{41} y_{4}+a_{51} y_{5}

Seja y(t) a resposta no tempo de um sistema a tempo-contínuo: então, em geral, pode ser escrita como:
y(t)=γ_{t}(t)+γ_{e}(t)

A resposta transiente é definida como a parte da resposta no tempo que vai para zero quando o tempo tende à infinito. Então, y_{t}(t) tem a propriedade:
lim_{t ightarrow+\infty} y_{t}(t)=0

Ex 1: y(t)=e^{-t}+5 / 2, tso como e^{-t} ightarrow 0 quando t ightarrow+\infty, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=5 / 2

Ex 2: y(t)=e^{-t}+\operatorname{sen} 2 t como e^{-t} ightarrow \infty quando t ightarrow+\infty e -15 \operatorname{sen} 2 t \leq 1 para todo t 30, então:
y_{t}(t)=e^{-t} e y_{t}(t)=\operatorname{sen} 2 t

a) Função de entrada degrau:
x(t)=\left\{\begin{array}{ll} R & \text { se t\geq 0 } \\ 0 & \text { se t<0 }\end{array}\right.

Vejamos qual o significado de erro do sistema. Em geral, podemos considerar o erro como o sinal que deve ser rapidamente reduzido à zero, se possível. Considere o sistema à malha fechada da Fig 4.1 abaixo. Acima, r(t) é a entrada de referência, y(t) é a saída e o erro do sistema é definido por:
e(t)=r(t)-y(t)

Aplicando transformada de Laplace em (*) obtemos:
E(s)=R(s)-y(s). Mas Y(s)=G(s) E(s)

Claramente "e_{e}" depende de G(s). Em particular, o Valor e_{e} vai depender do n° de pólos em s=0.

Tipo do sistema: É dado pelo n° de pólos em s=0. Por conveniência, podemos escrever G(s) conforme:
G(s)= K\left(1+T_{1} s\right)\left(1+T_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+T_{m} s\right) s^{\delta}\left(1+X_{1} s\right)\left(1+X_{2} s\right) \Rightarrow\left(1+X_{n} s\right)

Digamos que o sistema é do "tipo j", onde "j" pode ser j=0,1,2, \cdots

Erro Estacionário com entrada degrau: Na entrada degrau, então o erro estacionário é:
e_{e}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\Delta R(s)}{1+G(s)}=\lim _{\Delta \rightarrow 0} \frac{\delta \cdot \frac{R}{s}}{1+G(s)}=\frac{R}{1+\lim _{s \rightarrow 0} G(s)}

Por conveniência, definimos:
K_{p}=\lim _{s \rightarrow 0} G(s)

Análise: Relembre (x**). se j=0, então:
K_{V}=\lim _{s \rightarrow \infty} s G(s)=\lim _{s \rightarrow \infty} s \frac{K\left(1+T_{1} s\right) \cdots\left(1+T_{m} s\right)}{\left(1+X_{1} s\right) \cdots\left(1+X_{n} s\right)} =\varnothing

se j=2,3, \ldots= analisando conforme acima teremos:
K_{p}=+\infty

Então:
se sistema é Tipo 0 \Rightarrow e_{e}=\frac{R}{1+K} (constante) se sistema é Tipo 1,2,3... \Rightarrow e_{e}=0

Giro Estacionário com entrada rampa: Quando a entrada de referência é da forma de rampa, teremos:
r(t)=R t u(t)

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