Petrobras - Controle Contínuo

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Apostila de Controle 1 
CONTEÚDO 
CAPÍTULO 1 CONCEITOS FUNDAMENTAIS ........................................................................... 6 
1.1 - INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 6 
1.2 - NOÇÕES BÁSICAS DE SISTEMAS ..................................................................................... 6 
1.3 - O PROBLEMA DO CONTROLE........................................................................................... 7 
1.4 - TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE ............................................................................... 7 
CAPÍTULO 2 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS ......................... 10 
2.1 - MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS .......................................................................... 10 
2.2 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM .................................................................................. 10 
2.2.1 - Circuito RC série .............................................................................................................. 10 
2.2.2 - Tanque de nível ............................................................................................................... 11 
2.2.3 - Sistema térmico com uma massa ................................................................................... 12 
2.3 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM .................................................................................. 13 
2.3.1 - Sistema massa-mola-amortecedor ................................................................................. 13 
2.3.2 - Circuito RLC paralelo ....................................................................................................... 14 
2.3.3 - Sistemas com dois tanques ............................................................................................. 15 
CAPÍTULO 3 REPRESENTAÇÃO POR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ......................... 17 
3.1 - DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE........................................................ 17 
3.2 - PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE ............................................... 17 
3.2.1 - Linearidade ..................................................................................................................... 17 
3.2.2 - Diferenciação real ........................................................................................................... 17 
Apostila de Controle 2 
3.2.3 - Integração real ................................................................................................................ 18 
3.2.4 - Limite do valor final ........................................................................................................ 18 
3.2.5 - Translação real ................................................................................................................ 18 
3.2.6 - Translação complexa ...................................................................................................... 18 
3.2.7 - Mudança na escala do tempo ......................................................................................... 18 
3.2.8 - Transformada da convolução ......................................................................................... 18 
3.3 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNÇÕES SIMPLES ........................................ 19 
3.4 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA ....................................................................................... 22 
3.5 - PÓLOS E ZEROS.................................................................................................................. 24 
CAPÍTULO 4 DIAGRAMA DE BLOCOS ................................................................................... 28 
4.1 - CONCEITO DE DIAGRAMA DE BLOCOS ....................................................................... 28 
4.2 - MANIPULAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS ............................................................. 30 
4.3 - SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES............................... 33 
CAPÍTULO 5 ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO ............................................................... 39 
5.1 - INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 39 
5.2 - FUNÇÕES DESCONTÍNUAS NO TEMPO ........................................................................ 39 
5.2.1 - Função degrau unitário ................................................................................................... 39 
5.2.2 - Função impulso unitário ................................................................................................. 40 
5.2.3 - Função rampa ................................................................................................................. 40 
5.3 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM .................................................................................. 40 
5.3.1 - Resposta ao degrau ......................................................................................................... 41 
5.3.2 - Resposta ao impulso unitário ......................................................................................... 42 
Apostila de Controle 3 
5.3.3 - Resposta à rampa unitária .............................................................................................. 42 
5.4 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM .................................................................................. 44 
5.4.1 - Resposta ao degrau ......................................................................................................... 44 
5.4.2 - Resposta ao impulso unitário ......................................................................................... 48 
5.4.3 - Resposta à rampa ........................................................................................................... 50 
5.5 - ANÁLISE DE DESEMPENHO COM BASE NA RESPOSTA TRANSIENTE ................. 52 
5.5.2 - Sistemas de ordem superior ........................................................................................... 61 
CAPÍTULO 6 ANÁLISE DE ESTABILIDADE ........................................................................... 63 
6.1 - O CONCEITO DE ESTABILIDADE ................................................................................... 63 
6.2 - O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ ............................................ 71 
6.3 - ANÁLISE DA ESTABILIDADE RELATIVA ..................................................................... 75 
CAPÍTULO 7 ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE .......................................................... 83 
7.1 - INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 83 
7.2 - ERRO ESTACIONÁRIO ...................................................................................................... 83 
7.3 - ERRO ATUANTE ESTACIONÁRIO .................................................................................. 84 
7.3.1 - Entrada degrau ............................................................................................................... 85 
7.3.2 - Entrada rampa ................................................................................................................ 85 
7.3.3 - Entrada parábola............................................................................................................. 86 
CAPÍTULO 8 CONTROLE CLÁSSICO DE SISTEMAS .......................................................... 89 
8.1 - DEFINIÇÕES ........................................................................................................................ 89 
8.2 - CONTROLE ON-OFF........................................................................................................... 89 
8.3 - CONTROLADORES PROPORCIONAIS (P) ...................................................................... 91 
Apostilade Controle 4 
8.4 - CONTROLADORES INTEGRAIS (I) ................................................................................. 91 
8.5 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) ..................................................... 92 
8.6 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO (PD) ............................................... 93 
8.7 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID) ........................ 94 
8.8 - COMENTÁRIOS: ................................................................................................................. 95 
CAPÍTULO 9 EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE ........................................................... 96 
9.1 - SISTEMAS COM ERRO EM REGIME PERMANENTE ................................................... 96 
9.1.1 - Ação de controle proporcional (P) .................................................................................. 96 
9.1.2 - Ação de controle integral (I) ........................................................................................... 97 
9.1.3 - Ação de controle proporcional-integral (PI) ................................................................... 98 
9.2 - SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO NATURAL........................................................... 99 
9.2.1 - Ação de controle proporcional ....................................................................................... 99 
9.2.2 - Ação de controle proporcional-derivativo (PD) ............................................................ 100 
9.2.3 - Considerações finais ..................................................................................................... 100 
9.3 - SISTEMAS SUBMETIDOS A PERTURBAÇÕES ........................................................... 101 
9.3.1 - Controlador proporcional (P) ........................................................................................ 102 
9.3.2 - Controlador proporcional-integral (PI) ......................................................................... 103 
9.4 - CONTROLADORES PID ................................................................................................... 104 
CAPÍTULO 10 ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA ............................................... 108 
10.1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 108 
10.2 - CONCEITOS INICIAIS DE RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA ....................................... 108 
10.2.1 - Resposta em freqüência de sistemas de lineares ....................................................... 108 
Apostila de Controle 5 
10.2.2 - Gráfico de resposta em freqüência: ........................................................................... 110 
10.3 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL .............................................................. 111 
10.4 - RELAÇÃO DE AMPLITUDES E FASE DE SISTEMAS BÁSICOS ............................. 112 
10.4.1 - Sistema de 1ª ordem .................................................................................................. 112 
10.4.2 - Sistema de 2ª ordem .................................................................................................. 112 
10.5 - O DIAGRAMA DE BODE ............................................................................................... 114 
10.5.1 - Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos ............................................................. 114 
10.5.2 - Diagrama de Bode de fatores básicos ........................................................................ 115 
10.5.3 - Margem de ganho de margem de fase ....................................................................... 119 
 
Apostila de Controle 6 
CAPÍTULO 1 
CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
1.1 - INTRODUÇÃO 
O controle automático tem desempenhado um papel vital no avanço da engenharia e da 
ciência. Além de sua extrema importância em veículos espaciais, pilotos automáticos de aviões e 
mísseis, robôs e outros sistemas complexos, o controle automático tornou-se uma parte importante 
dos modernos processos industriais e de manufatura, principalmente nas operações industriais de 
controle de pressão, temperatura, umidade, viscosidade e fluxo. 
A engenharia de controle é baseada nos fundamentos da teoria da realimentação e na análise 
de sistemas lineares. Esta base teórica faz com que a engenharia de controle não seja limitada a 
nenhuma disciplina específica da engenharia. Por exemplo, muitas vezes um sistema de controle 
inclui componentes elétricos, mecânicos e químicos. Além disso, à medida que aumenta a nossa 
compreensão dos sistemas políticos, sociais e financeiros, a possibilidade de controlar tais sistemas 
também aumenta. 
1.2 - NOÇÕES BÁSICAS DE SISTEMAS 
 Sistemas são conjuntos de componentes que atuam juntos realizando determinada finalidade. 
Um sistema pode ser constituído de subsistemas, e pode também ser parte de um sistema maior. 
 Sistemas dinâmicos são sistemas cujo comportamento, quando submetidos a perturbações, 
varia no tempo, segundo leis físicas que podem ser modeladas matematicamente. 
 Modelos de sistemas são representações que permitem estabelecer relações entre causa e efeito 
de sistemas dinâmicos. Os modelos podem ser físicos ou matemáticos: 
 Modelos físicos assemelham-se a sistemas reais, porém mais simples, embora 
representativos das características mais importantes; 
 Modelos matemáticos procuram representar o comportamento dinâmico dos sistemas por 
meio de equações matemáticas (equações de derivadas, equações de diferenças). Pode-se 
prever o comportamento dinâmico de uma planta pela análise do seu modelo físico ou 
matemático. 
Como exemplo de um sistema dinâmico, considere o mostrado na Figura 1-1 abaixo, 
composto por uma massa m, uma mola de coeficiente k e um amortecedor de amortecimento b. Este 
sistema, que se desloca na vertical, pode representar um sistema de suspensão de um veículo. A 
equação matemática que descreve o movimento do conjunto em função do deslocamento xo da 
massa e da extremidade do amortecedor e mola, xi, é também mostrada na Figura 1-1. 
Apostila de Controle 7 
 
Figura 1-1: Um sistema composto por uma massa, mola e amortecedor pode representar a 
suspensão de um veículo. 
1.3 - O PROBLEMA DO CONTROLE 
 Especificações de desempenho são descrições do comportamento a ser apresentado pelo 
sistema, conforme solicitação do usuário. 
 Controle é a ação de fazer com que um sistema atenda às especificações de desempenho 
determinadas a priori. 
 Planta é também um conjunto de componentes, ou parte de uma máquina, ou uma 
máquina como um todo, com a finalidade de desempenhar uma determinada operação. 
Este é o componente do sistema a ser controlado. 
 Problema de Controle é determinar uma forma de afetar um dado sistema físico para 
que ele atenda às especificações de desempenho previamente estabelecidas. 
 Sistema de Controle é o conjunto formado pelo sistema a ser controlado e o controlador 
com uma configuração tal que gere uma resposta desejada. 
 Variável manipulada (normalmente a entrada do sistema) é a quantidade ou condição 
que é variada de modo a afetar o valor da variável controlada da maneira desejada. 
 Variável controlada normalmente é a saída do sistema, ou seja, a quantidade ou 
condição que é medida e controlada. 
 Perturbações são sinais que tendem a afetar de maneira adversa o valor da saída do 
sistema, normalmente de maneira não previsível e fora do controle do sistema. Um 
exemplo clássico de perturbações são os sinais de ruído. 
 
Figura 1-2: Exemplo de planta Sistema de aquecimento de água. 
1.4 - TIPOS DE SISTEMAS DE CONTROLE 
Um sistema em controle em malha aberta geralmente utiliza apenas um atuador para obter 
a resposta desejada, como mostrado na Figura 1-3. O atuador é responsável pela conversão e 
compatibilização de grandezas físicas e pela elevação do nível de potência necessário para excitar 
diretamente a planta. 
Apostilade Controle 8 
 
 
Figura 1-3: Exemplo de sistema de controle em malha aberta. 
Um exemplo de sistema de controle em malha aberta é a torradeira elétrica doméstica. 
Em contraste com um sistema de controle em malha aberta, um sistema de controle em 
malha fechada utiliza uma medida da saída efetiva para compará-la com a saída desejada. A 
medida do sinal de saída, obtida por um sensor, é chamada sinal de realimentação. Um sistema de 
controle realimentado em malha fechada simples é mostrado na Figura 1-4. 
Um sistema de controle realimentado tende a manter a relação desejada de uma variável do 
sistema com outra, por comparação dessas variáveis e utilização da diferença como mecanismo de 
controle. A diferença entre o sinal de saída e o valor desejado para o sinal é o sinal de erro, ou 
simplesmente erro. 
A necessidade de sistemas de controle de malha fechada aparece principalmente nos 
sistemas sujeitos a perturbações. 
 
 
Figura 1-4: Exemplo de um sistema de controle em malha fechada. 
Apostila de Controle 9 
A introdução da realimentação permite controlar a saída desejada e pode melhorar a 
precisão, mas requer atenção quanto aos aspectos de estabilidade da resposta: é bem conhecido o 
fato que o “controlador” humano, quando dirigindo o carro, é propenso a acidentes em 
determinadas situações. 
Um exemplo de sistema em malha fechada é uma pessoa dirigindo um automóvel: os olhos 
“medem” a posição do carro na rua e o motorista atua para fazer as eventuais correções necessárias. 
Os sistemas de controle são, às vezes, divididos em duas classes: 
 regulador quando o objetivo do sistema de controle é manter uma variável física em 
algum valor constante na presença de distúrbios ou perturbações. Ex.: o sistema biológico 
do corpo humano, que mantém a sua temperatura em aproximadamente 36,5°C, mais ou 
menos, independentemente do metabolismo do corpo ou da temperatura ambiente. 
 servomecanismos quando o objetivo do sistema de controle no qual uma variável física 
deve seguir ou acompanhar alguma outra variável física ou uma função do tempo 
desejada. Ex.: um sistema de posicionamento de antena de satélite, onde sua posição deve 
ser permanentemente ajustada para apontar diretamente para o satélite. 
Exemplo 1.1 - Questões de concursos públicos 
Petroquimica Suape – Engenheiro(a) de Processamento Júnior – Julho/2009 
 
Resposta: Letra A. 
 
Petrobras 2005 – Engenheiro de Terminais e Dutos 
 
Resposta: Letra C. 
Apostila de Controle 10 
CAPÍTULO 2 
MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
2.1 - MODELOS DE SISTEMAS DINÂMICOS 
Sistemas lineares invariantes no tempo (parâmetros constantes) são descritos 
matematicamente por equações diferenciais ordinárias, na forma: 
𝑎𝑛
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑚
𝑑𝑚𝑥
𝑑𝑡𝑚
+ 𝑏𝑛−1
𝑑𝑚−1𝑥
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑏0𝑥 
onde x(t) é conhecido como entrada do sistema, ou então por termo forçante, y(t) constitui a saída 
do sistema ou variável de estado e ai (i = 1, 2, … n) e bj (j = 1, 2, … m) são constantes. 
2.2 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
Sistemas de primeira ordem são aqueles que são modelados por uma equação diferencial 
ordinária de primeira ordem, ou seja: 
𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦(𝑡) = 𝑏0𝑥(𝑡) 
Dividindo-se a equação acima por 𝑎0, tem-se: 
𝑎1
𝑎0
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) =
𝑏0
𝑎0
𝑥(𝑡) 
que pode ser reescrita na forma: 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑥(𝑡) 
sendo 𝐾 o ganho DC do sistema e 𝜏 a sua constante de tempo. 
2.2.1 - Circuito RC série 
Como exemplo de sistema de primeira ordem, podemos apresentar o circuito RC série, 
mostrado na Figura 2-1. 
 
Figura 2-1: Diagrama esquemático de um circuito RC série 
O circuito RC é composto de uma fonte de tensão, 𝑣𝑖 𝑡 , em série com um resistor R e um 
capacitor C. 
Apostila de Controle 11 
A corrente no capacitor é proporcional à taxa de variação da tensão através do capacitor, 
matematicamente: 
𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
 
sendo a capacitância C a constante de proporcionalidade. 
Pela lei de Kirchoff, a soma das quedas dos potenciais ao longo da malha deve ser nula, o 
que leva à expressão: 
𝑣𝑖 𝑡 − 𝑅𝑖 𝑡 − 𝑣𝑐 𝑡 = 0 
Realizando as devidas substituições, surge uma equação diferencial de primeira ordem: 
𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡 = 𝑣𝑖 𝑡 
onde a função forçante é a tensão 𝑣𝑖 𝑡 e a variável é a tensão 𝑣𝑐 𝑡 . 
2.2.2 - Tanque de nível 
Para o sistema da Figura 2-2 abaixo, deseja-se determinar a relação entre 𝑄𝑜 e 𝑄𝑖 
 
Figura 2-2: Tanque aberto cuja variável de entrada é a vazão 𝑄𝑖 
Como temos apenas um tanque sob temperatura constante, aplicaremos somente a Lei da 
Conservação da Massa e uma única vez. Assim: 
𝜌𝑄𝑖 − 𝜌𝑄𝑜 = 𝑚 𝑇 
Da Mecânica dos Fluidos, temos que: 
𝑃 = 𝜌𝑔𝑕 
Podemos relacionar a massa 𝑚𝑇 com a altura 𝑕, assim como a vazão 𝑄𝑜 com a pressão 𝑃, 
isto é: 
𝑚𝑇 = 𝜌𝐴𝑕 
𝑃 = 𝑅𝑓𝑄𝑜 
Fazendo as substituições, tem-se: 
𝑚𝑇 = 𝜌𝐴
𝑃
𝜌𝑔
=
𝐴
𝑔
𝑅𝑓𝑄𝑜 ⟹ 𝑚 𝑇 =
𝐴
𝑔
𝑅𝑓𝑄 𝑜 
Ou seja, 
𝜌𝑄𝑖 − 𝜌𝑄𝑜 =
𝐴
𝑔
𝑅𝑓𝑄 𝑜 
Apostila de Controle 12 
𝐴𝑅𝑓
𝜌𝑔
𝑑𝑄𝑜
𝑑𝑡
+ 𝑄𝑜 = 𝑄𝑖 
2.2.3 - Sistema térmico com uma massa 
Para o sistema da Figura 2-3, determinar a relação entre 𝑇𝑜 e 𝑇𝑖 
 
Figura 2-3: Sistema térmico com uma capacitância térmica. 
Como temos somente uma capacitância térmica (um corpo com capacidade de armazenar 
energia), então aplicaremos a Lei da Conservação de Energia apenas uma vez. Assim: 
𝑞1 = 𝐶𝑡𝑇 𝑜 
Da Figura 2-3 vemos que: 
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜 = 𝑅𝑡𝑞1 
Substituindo-se, temos que: 
𝑇𝑖 − 𝑇𝑜
𝑅𝑡
= 𝐶𝑡𝑇 𝑜 
ou 
𝑅𝑡𝐶𝑡
𝑑𝑇𝑜
𝑑𝑡
+ 𝑇𝑜 = 𝑇𝑖 
O modelo acima pode ser também o modelo de um termômetro de bulbo, Figura 2-4, se 
considerarmos as seguintes hipóteses: 
A temperatura 𝑇𝐿 do líquido que envolve o termômetro é uniforme. 
A parede do bulbo na armazena energia e entre o líquido e o mercúrio há somente uma 
resistência térmica. 
A variação de massa de mercúrio no bulbo é desprezível. 
Da equação acima, podemos escrever diretamente o modelo: 
𝑅𝑡𝐶𝑡
𝑑𝑇𝑚𝑒𝑑
𝑑𝑡
+ 𝑇𝑚𝑒𝑑 = 𝑇𝐿 
em que: 
 𝑇𝑚𝑒𝑑 ≜ temperatura medida (temperatura do mercúrio); 
 𝑇𝐿 ≜ temperatura do líquido; 
Apostila de Controle 13 
 
Figura 2-4: Esquema para modelagem dinâmica de um termômetro de bulbo. 
Neste caso, verificamos que: 
𝑅𝑡 ≜ 1 𝑈𝐴 
𝐶𝑡 ≜ 𝑀𝐶 
em que: 
 𝑀 ≜ massa de mercúrio no bulbo; 
 𝐶 ≜ calor específico do mercúrio; 
 𝑈 ≜ coeficiente de transferência de calor total; 
 𝐴 ≜ área da superfície de transferência de calor; 
2.3 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
Sistemas de segunda ordem são aqueles que são modelados por uma equação diferencial 
ordinária de segunda ordem, ou seja: 
𝑎2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏0𝑥 
Dividindo-se a equação acima por 𝑎0, tem-se: 
𝑎2
𝑎0
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
𝑎1
𝑎0
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 =
𝑏0
𝑎0
𝑥 
que pode ser reescrita na forma: 
1
𝜔𝑛2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝐾𝑥 
sendo 𝐾 o ganho DC, 𝜔𝑛 a freqüência natural não amortecida e 𝜉 o coeficiente de amortecimento 
do sistema. 
2.3.1 - Sistema massa-mola-amortecedor 
Como exemplo de sistema de segunda ordem mecânico, podemos apresentar a suspensão de 
um veículo, que pode ser representada, de forma simplificada, por: 
 uma massa M (Kg) suportada pela roda; 
 um conjunto de molas representado pela mola ideal com constante Km (N/m); e 
 um amortecedor representado pelo sistema de absorção B (Ns/m). 
Este sistema massa-mola-amortecedor é mostrado na Figura 2-5. 
Apostila de Controle 14 
 
Figura 2-5: Modelo simplificado de uma suspensão de automóvel. 
Conforme eixos coordenados, o sistema está em repouso quando na posição 𝑦 = 0 e com 
velocidade 𝑦 = 0. A suspensão é submetida a uma força externa 𝑓 𝑡 , dependente do terreno, da 
carga e da velocidade do veículo. As forças e respectivas direções de referência estão indicadas naFigura 2-5. 
De acordo com a lei de Newton, a soma das forças que atuam no sistema deve igualar a 
massa vezes a aceleração: 
 𝐹𝑖
𝑛
𝑖=1
= 0 
ou seja, 
𝑓 𝑡 − 𝐹𝑀 − 𝐹𝐵 − 𝐹𝐾 = 0 
Aplicando agora as equações constitutivas dos elementos: 
𝑓 𝑡 − 𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
− 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
− 𝐾𝑚𝑥 = 0 
Finalmente, tem-se o modelo dado por: 
𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑚𝑥 = 𝑓 𝑡 
onde a função forçante é a força 𝑓 𝑡 e a variável é o deslocamento 𝑥 𝑡 . 
2.3.2 - Circuito RLC paralelo 
Como exemplo de sistema de segunda ordem elétrico, podemos apresentar o circuito RLC 
paralelo mostrado na Figura 2-6. 
 
Figura 2-6: Circuito RLC paralelo. 
Aplicando a lei de Kirchoff dos nós: 
𝑖𝑐 𝑡 + 𝑖𝑟 𝑡 + 𝑖𝑙 𝑡 = 𝑖(𝑡) 
Apostila de Controle 15 
Aplicando agora as equações constitutivas dos elementos: 
𝐶
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝑅
𝑣 𝑡 +
1
𝐿
 𝑣 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑖(𝑡) 
Ou seja: 
𝐶
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2
+
1
𝑅
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
+
1
𝐿
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
2.3.3 - Sistemas com dois tanques 
Como exemplo de sistema de segunda ordem hidráulico, podemos apresentar o sistema de 
dois tanques em série, mostrado na Figura 2-7. 
 
Figura 2-7: Sistema com dois tanques, com entrada de vazão 𝑄𝑖 no tanque 1. 
Neste sistema, temos dois tanques, portanto, a Lei de Conservação da Massa será aplicada 
duas vezes. Assim: 
𝜌𝑄𝑖 − 𝜌𝑄1 = 𝑚 1 
𝜌𝑄1 − 𝜌𝑄𝑜 = 𝑚 2 
Da Figura 2-7 vemos que: 
 𝑃1 − 𝑃2 = 𝑅𝑓1𝑄1 
𝑃2 = 𝑅𝑓2𝑄𝑜 
𝑃1 = 𝜌𝑔𝑕1 
𝑃2 = 𝜌𝑔𝑕2 
𝑚1 = 𝜌𝐴1𝑕1 
𝑚2 = 𝜌𝐴2𝑕2 
Combinando as equações acima, obtemos: 
𝑄1 =
1
𝑅𝑓1
 𝜌𝑔𝑕1 − 𝜌𝑔𝑕2 
𝑄𝑜 =
1
𝑅𝑓2
 𝜌𝑔𝑕2 
Fazendo-se as devidas substituições: 
𝑄𝑖 −
1
𝑅𝑓1
 𝜌𝑔𝑕1 − 𝜌𝑔𝑕2 = 𝐴1𝑕 1 
Apostila de Controle 16 
1
𝑅𝑓1
 𝜌𝑔𝑕1 − 𝜌𝑔𝑕2 −
1
𝑅𝑓2
 𝜌𝑔𝑕2 = 𝐴2𝑕 2 
Organizando vem: 
𝐴1
𝑑𝑕1
𝑑𝑡
+
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕1 −
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕2 = 𝑄𝑖 
−
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕1 + 𝐴2
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝜌𝑔 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 𝑕2 = 0 ⟹ 𝑕1 =
𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 𝑕2 
Logo: 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝐴2
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝜌𝑔 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 𝑕2 −
𝜌𝑔
𝑅𝑓1
𝑕2 = 𝑄𝑖 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 + 𝐴2 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+
𝜌𝑔
𝑅𝑓2
𝑕2 = 𝑄𝑖 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1
𝜌𝑔
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 + 𝐴2 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+
𝜌𝑔
𝑅𝑓2
𝑕2 = 𝑄𝑖 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1𝑅𝑓2
𝜌2𝑔2
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 𝐴1𝑅𝑓1
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
 
1
𝑅𝑓1
+
1
𝑅𝑓2
 + 𝐴2
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝑕2 =
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
𝑄𝑖 
ou seja, 
𝐴1𝐴2𝑅𝑓1𝑅𝑓2
𝜌2𝑔2
𝑑2𝑕2
𝑑𝑡2
+ 
𝐴1𝑅𝑓1
𝜌𝑔
+
𝐴1𝑅𝑓2
𝜌𝑔
+ 𝐴2
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
 
𝑑𝑕2
𝑑𝑡
+ 𝑕2 =
𝑅𝑓2
𝜌𝑔
𝑄𝑖 
Apostila de Controle 17 
CAPÍTULO 3 
REPRESENTAÇÃO POR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
3.1 - DEFINIÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A transformada de Laplace é um operador funcional (isto é, que opera e transforma funções) 
que modifica as funções no tempo f(t), passando a representá-las em função de uma variável s 
conhecida como freqüência complexa s. 
Por convenção, representa-se a dinâmica em função do tempo com letras minúsculas (y(t), 
x(t), g(t), f(t)), e suas transformadas por letras maiúsculas (Y(s), X(s), G(s), F(s)). 
A transformada de Laplace é definida como: 
𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 ≜ 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∞
0−
 
A transformada de Laplace é muito útil para resolver, de forma sistemática, equações 
diferenciais lineares que representam sistemas dinâmicos. 
O operador da transformada de Laplace pode ser invertido, obtendo-se a transformada 
inversa de Laplace: 
𝑓 𝑡 = L−1 𝐹 𝑠 =
1
2𝜋𝒋
 𝐹(𝑠)𝑒𝑠𝑡𝑑𝑡
𝜍+𝒋𝜔
𝜍−𝒋𝜔
 
onde j é a base dos números complexos (𝒋 = −1 ). 
3.2 - PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE 
A transformada de Laplace apresenta diversas propriedades que são úteis na sua aplicação. 
Porém estas propriedades não serão demonstradas aqui, e algumas delas sequer serão apresentadas. 
O leitor deverá buscar na bibliografia material adicional para complementar este estudo. Menciona-
se, contudo, que as demonstrações seguem diretamente da definição fornecida acima. 
As propriedades mais importantes são: 
3.2.1 - Linearidade 
Se 𝐹1 𝑠 = L(𝑓1(𝑡) e 𝐹2 𝑠 = L(𝑓2(𝑡), isto é, se a transformada de Laplace de f1(t) for 
F1(s), e se a transformada de f2(t) for F2(s), então 
L 𝛼1𝑓1 𝑡 + 𝛼2𝑓2 𝑡 = 𝛼1𝐹1 𝑠 + 𝛼2𝐹2 𝑠 
3.2.2 - Diferenciação real 
A diferenciação real permite obter a transformada da derivada temporal de uma função. Esta 
propriedade é muito importante porque permite a construção da equação característica a partir da 
equação de derivadas, como será visto adiante. Supondo que 𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 , a diferenciação real 
resulta em 
L 
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 = L 𝑓 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0−) 
Apostila de Controle 18 
sendo que 𝑓(0−) é o resultado da avaliação de f(t), com t tendendo a 0 negativamente (pela 
esquerda). O conceito de diferenciação real pode ser estendido para derivadas de maior ordem, 
resultando 
L 
𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑡𝑛
 = 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0− − 𝑠𝑛−2
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 0− − ⋯− 𝑠
𝑑𝑛−2𝑓
𝑑𝑡𝑛−2
 0− −
𝑑𝑛−1𝑓
𝑑𝑡𝑛−1
 0− 
Nota-se que a função f e suas derivadas temporais, quando avaliadas no instante 0−, 
representam as condições iniciais do sistema. 
3.2.3 - Integração real 
A integração real permite obter a transformada de Laplace da integral da função f(t). Se 
𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 , a integração real leva ao resultado 
L 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 =
𝐹(𝑠)
𝑠
+
1
𝑠
 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 
𝑡=0−
 
3.2.4 - Limite do valor final 
O limite do valor final permite estabelecer uma correspondência entre o comportamento do 
sistema em regime permanente (isto é, conforme t tende ao infinito), e o valor da transformada de 
Laplace da função avaliada conforme s tende a zero, isto é: 
lim
𝑡→∞
𝑓 𝑡 = lim
𝑠→0
𝑠𝐹(𝑠) 
3.2.5 - Translação real 
Uma translação no domínio do tempo consiste em adicionar ou subtrair uma constante ao 
tempo. Corresponde, portanto, a um atraso ou a uma antecipação de um evento. Então, se 
 𝐹 𝑠 = L(𝑓(𝑡), a transformada de Laplace da translação real (isto é, no domínio do tempo) vale: 
L 𝑓 𝑡 − 𝑎 𝟏 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎𝑠𝐹 𝑠 
onde a é uma constante real. Na translação real é necessário introduzir a função degrau 
unitário 1(t) para evitar que a função f assuma valores diferentes de zero quando t for menor do que 
a. 
3.2.6 - Translação complexa 
Na translação complexa adiciona-se ou subtrai-se uma constante na função transformada. 
Novamente, se 𝐹 𝑠 = L 𝑓 𝑡 , então a translação complexa afirma que 
𝐹 𝑠 − 𝑎 = L 𝑒𝑎𝑡𝑓 𝑡 
onde a é uma constante complexa. 
3.2.7 - Mudança na escala do tempo 
Se a transformada de Laplace de f(t) for F(s), ou 𝐹 𝑠 = L(𝑓(𝑡), então 
L 𝑓 𝑡 𝛼 = 𝛼𝐹 𝛼𝑠 
3.2.8 - Transformada da convolução 
A convolução de duas funções do tempo f1(t) e f2(t) é definida: 
𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 ≜ 𝑓1 𝑡 − 𝜏 𝑓2 𝜏 𝑑𝜏
∞
0
 
onde o símbolo “*” indica a convolução de f1 e f2 por definição. 
Apostila de Controle 19 
A transformada de Laplace da convolução de f1 e f2 vale então 
L 𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 = 𝐹1 𝑠 𝐹2 𝑠 
Exemplo 3.1 - Questões de concursos públicos 
Petrobras 2005 – Engenheiro de Terminais e Dutos 
 
Solução 
Resposta: A. 
 
Termoaçu - Engenheiro de Processamento Júnior – Janeiro/2008 
 
Solução 
 Vazão: 1000 mL/min=1000cm3/min 
 Volume da linha da amostragem: 
500cmx0,5cm2=250cm3 
 Tempo necessário para o líquido atravessar a 
linha: 
250cm3/1000cm3/min=0,25min 
Resposta: C. 
 
3.3 - TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNÇÕES SIMPLES 
A manipulação de sistemas dinâmicos e o projeto de sistemas de controle são facilitados 
quando se trabalha no domínio da transformada de Laplace. É freqüente que os problemas sejam 
elaborados no domínio do tempo, resolvidos no domínio da Transformada de Laplace e, a seguir, 
transformados de volta ao domínio do tempo. 
Embora existam infinitas funções matemáticas, o comportamento dinâmico de sistemaslineares é governado por apenas uma pequena fração destas funções. Por isso, a aplicação da 
transformada de Laplace em sistemas dinâmicos comuns levou a um número restrito de exemplos 
que podem ser relacionados sem a necessidade de se efetuar a transformação a cada novo problema. 
Apostila de Controle 20 
Em outras palavras, a quase totalidade de problemas encontrados pode ser resolvida por um 
pequeno conjunto de transformadas que já se encontram tabeladas. Portanto, na grande maioria das 
vezes não é necessário efetuar cálculos para se obter uma transformada de Laplace, mas tão 
somente aplicar as tabelas de transformadas. A Tabela 3-1 apresenta a Transformada de Laplace das 
principais funções utilizadas em sistemas lineares. 
Tabela 3-1: Transformadas de Laplace das principais funções: 
f(t) F(s) 
Função impulso – 𝛿(𝑡) 1 
Função Degrau unitário – 1(t) 
1
𝑠
 
Função rampa – t 
1
𝑠2
 
𝑡𝑛 
𝑛!
𝑠𝑛+1
 
𝑒−𝑎𝑡 
1
𝑠 + 𝑎
 
𝑡𝑛𝑒−𝑎𝑡 
𝑛!
 𝑠 + 𝑎 𝑛+1
 
1
𝑏 − 𝑎
 𝑒−𝑎𝑡 − 𝑒−𝑏𝑡 
1
 𝑠 + 𝑎 𝑠 + 𝑏 
 
1
𝑎2
 𝑎𝑡 − 1 + 𝑒−𝑎𝑡 
1
𝑠2 𝑠 + 𝑎 
 
sin 𝜔𝑡 
𝜔
𝑠2 + 𝜔2
 
cos 𝜔𝑡 
𝑠
𝑠2 + 𝜔2
 
𝑒−𝑎𝑡 sen 𝜔𝑡 
𝜔
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 
𝑒−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 
𝑠 + 𝑎
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 
𝜔𝑛
 1 − 𝜉2
𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛
2 
Apostila de Controle 21 
Exemplo 3.2 - Questões de concursos públicos 
REFAP/2007– Eng. de Processamento Júnior 
 
Resposta: Da tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝑡 =
1
s2
 
Letra C. 
Prominp/2008 – Área Química – Processos 
 
Resposta: Da Tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝟏 =
1
𝑠
 
Letra A. 
Transpetro/2006 – Processamento 
 
Resposta: Da Tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝐴 =
𝐴
𝑠
 
Letra D. 
Petrobras/2006 – Processamento Júnior 
 
Resposta: Da Tabela de Transformada de Laplace, tem-se que: 
L 𝐴 =
𝐴
𝑠
 
Letra D. 
Apostila de Controle 22 
Termoaçu/2008 – Engenheiro de Processamento Júnior 
 
Resposta: Da própria definição de sistemas de primeira 
ordem. 
Letra B. 
3.4 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA 
Considere um sistema dinâmico regido por uma equação diferencial linear a coeficientes 
constantes na variável y(t), tal que x(t) é a função forçante: 
𝑎𝑛
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛
+ 𝑎𝑛−1
𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑎0𝑦 = 𝑏𝑚
𝑑𝑚𝑥
𝑑𝑡𝑚
+ 𝑏𝑛−1
𝑑𝑚−1𝑥
𝑑𝑡𝑚−1
+ ⋯ + 𝑏1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑏0𝑥 
Supondo agora que seja conhecida a transformada de Laplace de ambas as funções, isto é 
L(y(t)) = Y(s) e L(x(t)) = X(s), então ao aplicar-se a transformada na equação diferencial, tem-se: 
L 𝑎𝑛
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛
 + ⋯ + L 𝑎1
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 + L 𝑎0𝑦 = L 𝑏𝑚
𝑑𝑚𝑥
𝑑𝑡𝑚
 + ⋯ + L 𝑏1
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 + L 𝑏0𝑥 
Aplicando a seguir a propriedade de diferenciação real, resulta que: 
𝑎𝑛 𝑠
𝑛𝑌 𝑠 − 𝑠𝑛−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑛
𝑖=1
 + 𝑎𝑛−1 𝑠
𝑛−1𝑌 𝑠 − 𝑠𝑛−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑛−1
𝑖=1
 + ⋯
+ 𝑎1 𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0
− + 𝑎0𝑌 𝑠 
= 𝑏𝑚 𝑠
𝑚𝑋 𝑠 − 𝑠𝑚−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑚
𝑖=1
 
+ 𝑏𝑚−1 𝑠
𝑚−1𝑋 𝑠 − 𝑠𝑚−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− 
𝑚−1
𝑖=1
 + ⋯ + 𝑏1 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0
− + 𝑏0𝑋 𝑠 
Agrupando os termos em Y(s) e X(s), a equação fica 
 𝑎𝑛𝑠
𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 𝑌 𝑠 − 𝑎𝑛 𝑠
𝑛−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)
𝑛
𝑖=1
− 𝑎𝑛−1 𝑠
𝑛−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− − ⋯ − 𝑎1𝑦 0
− 
𝑛−1
𝑖=1
= 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 𝑋 𝑠 − 𝑏𝑚 𝑠
𝑚−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)
𝑚
𝑖=1
− 𝑏𝑚−1 𝑠
𝑚−1−𝑖
𝑑𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− − ⋯− 𝑏1𝑥 0
− 
𝑚−1
𝑖=1
 
Isolando agora o termo Y(s), tem-se que: 
Apostila de Controle 23 
𝑌 𝑠 =
 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
𝑋 𝑠 
+
𝑎𝑛 𝑠
𝑛−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)𝑛𝑖=1 + 𝑎𝑛−1 𝑠
𝑛−1−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑦
𝑑𝑡𝑖−1
 0− + ⋯ + 𝑎1𝑦 0
− 𝑛−1𝑖=1
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
−
𝑏𝑚 𝑠
𝑚−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
(0−)𝑚𝑖=1 + 𝑏𝑚−1 𝑠
𝑚−1−𝑖 𝑑
𝑖−1𝑥
𝑑𝑡𝑖−1
 0− + ⋯ + 𝑏1𝑥 0
− 𝑚−1𝑖=1
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
 
Considerando-se condições iniciais todas nulas, ou seja, que y(t) e todas as suas derivadas 
temporais até a ordem n são nulos, então se pode obter a resposta do sistema às condições iniciais 
nulas: 
𝑌𝑦 0 =0 𝑠 =
 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
𝑋 𝑠 
Condições iniciais nulas significam que no início da contagem do tempo (t = 0), o sistema 
encontra-se em equilíbrio e em repouso. 
Num sistema mecânico isto corresponde a posição e velocidades iniciais nulas. Num sistema 
elétrico, estas condições significam que os capacitores e indutores estão descarregados e a corrente 
inicial é nula. 
Com base na resposta do sistema às condições iniciais nulas define-se a função de 
transferência G(s) do sistema, dada por: 
𝐺 𝑠 =
𝑌𝑦 0 =0 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
=
𝑁𝑈𝑀 𝑠 
𝐷𝐸𝑁 𝑠 
 
A função de transferência traduz o comportamento do sistema com relação a uma dada 
excitação aplicada pelo termo forçante. Em outras palavras, a função de transferência corresponde à 
transformada de Laplace da saída apresentada pelo sistema, Y(s), com relação à transformada da 
entrada, X(s), sob condições iniciais nulas. 
Exemplo 3.3 - Obter a função de transferência do circuito RC da Figura 2-1 
𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡 = 𝑣𝑖 𝑡 
Solução: A transformada de Laplace da tensão 𝑣𝑖 𝑡 é 𝑉𝑖 𝑠 , enquanto que a transformada 
da tensão 𝑣𝑐 𝑡 é 𝑉𝑐 𝑠 . Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros, fica-se com 
L 𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡 = L 𝑣𝑖 𝑡 
que, pela propriedade de linearidade fornece 
𝑅𝐶L 
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
 + L 𝑣𝑐 𝑡 = L 𝑣𝑖 𝑡 
e pela propriedade da diferenciação real, tem-se que 
𝑅𝐶 𝑠𝑉𝑐 𝑠 − 𝑣𝑐 0
− + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉𝑖 𝑠 
Como a função de transferência assume condições iniciais nulas, então resulta 
Apostila de Controle 24 
𝑅𝐶𝑠𝑉𝑐 𝑠 + 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉𝑖 𝑠 ⟹ 𝑅𝐶𝑠 + 1 𝑉𝑐 𝑠 = 𝑉𝑖 𝑠 
e a função de transferência fica 
𝐺 𝑠 =
𝑉𝑐 𝑠 
𝑉𝑖 𝑠 
=
1
𝑅𝐶𝑠 + 1
 
Exemplo 3.4 - Obter a função de transferência do sistema da Figura 2-5 
𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑚𝑥 = 𝑓 𝑡 
Solução: A transformada de Laplace da força 𝑓 𝑡 é 𝐹 𝑠 , enquanto que a transformada do 
deslocamento 𝑥 𝑡 é 𝑋 𝑠 . Aplicando a transformada de Laplace em ambos os membros, fica-se 
com 
L 𝑀
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝐵
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑚𝑥 = L 𝑓 𝑡 
que, pela propriedade de linearidade fornece 
𝑀L 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 + 𝐵L 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 + 𝐾𝑚L 𝑥 = L 𝑓 𝑡 
e pela propriedade da diferenciação real, tem-se que 
𝑀 𝑠2𝑋 𝑠 − 𝑠𝑥 0− −
𝑑𝑥
𝑑𝑡
(0−) + 𝐵 𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0− + 𝐾𝑚𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 
Como a função de transferência assume condições iniciais nulas, então resulta 
𝑀𝑠2𝑋 𝑠 + 𝐵𝑠𝑋 𝑠 + 𝐾𝑚𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⟹ 𝑀𝑠
2 + 𝐵𝑠 + 𝐾𝑚 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 
e a função de transferência fica 
𝐺 𝑠 =
𝑋 𝑠 
𝐹 𝑠 
=
1
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾𝑚
=
1
𝐾𝑚
𝐾𝑚
𝑀𝑠2 + 𝐵𝑠 + 𝐾𝑚
 
Exemplo 3.5 - Obter a função de transferência do sistema elétrico da Figura 2-6: 
Aplicando-se a Transformada de Laplace, tem-se: 
𝐶𝑠𝑉 𝑠 +
1
𝑅
𝑉 𝑠 +
1
𝐿
𝑉(𝑠)
𝑠
= 𝐼(𝑠) 
Logo: 
𝐺 𝑠 =
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑠)
=
𝑅𝐿𝑠
𝑅𝐿𝐶𝑠2 + 𝐿𝑠 + 𝑅
 
3.5 - PÓLOS E ZEROS 
Os zeros do sistema são valores de s que anulam a sua função de transferência, ou seja, são 
as raízes do numerador da função de transferência. 
Os pólos do sistema são os valores de s que tornam a sua função de transferência infinita, ou 
seja, são as raízes do denominador da função de transferência. 
Um sistema com: 
 com n pólos é designado por sistema de ordem n; e 
Apostila de Controle 25 
 com l pólos na origem (ou seja, em s=0) é denominado por sistema do tipo l. 
Uma função de transferência que possui: 
 mais pólos que zeros finitos, i.e., lim𝑠⟶∞ 𝐺(𝑠) =0 é denominada estritamente própria; 
 tantos pólos quanto zeros finitos, i,e., lim𝑠⟶∞ 𝐺(𝑠) = 𝐶 < ∞, é denominada própria; e 
 mais zeros finitos que pólos, i.e., lim𝑠⟶∞ 𝐺(𝑠) = ∞ é denominada imprópria.. 
Por fim, um sistema é dito causal se a sua resposta não depende de valores futuros dos 
sinais de entrada. De modo a garantir a causalidade do sistema, o grau do polinômio do 
denominador deverá ser maior ou igual ao grau do polinômio do numerador, i.e., 𝒏 ≥ 𝒎. 
A causalidade está intimamente ligada à existência física do sistema. Desta forma, a maior 
parte dos sistemas físicos é modelável por funções estritamente próprias. 
Para exemplificar estes conceitos, considere a seguinte função de transferência: 
𝐺 𝑠 =
𝐾 𝑠 + 2 (𝑠 + 10)
𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 5 (𝑠 + 15)2
 
Esta função possui 2 zeros finitos e 5 pólos, portanto é de 5ª ordem, estritamente própria. 
Os dois zeros finitos são simples e encontram-se em 𝑠 = −2 e 𝑠 = −10. 
Possui três pólos simples que se encontram em 𝑠 = 0 (portanto é do tipo 1), 𝑠 = −1 e 
𝑠 = −5 e um pólo duplo em 𝑠 = −15. 
Caso 𝑠 ⟶ ∞, então tem-se: 
lim
𝑠⟶∞
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠3
= 0 
Portanto, se forem considerados pontos no infinito, a função passa a ter 5 zeros (o mesmo 
número de pólos), tendo um zero de 3ª ordem em 𝑠 = ∞. 
Apostila de Controle 26 
Exemplo 3.6 - Questões de concursos públicos 
Petrobrás/2008 – Engenheiro Júnior: Automação 
 
 
Resposta: A equação diferencial é: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 4
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 3𝑦 𝑡 = 2
𝑑2𝑢(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 14
𝑑𝑢(𝑡)
𝑑𝑡
+ 20𝑢 𝑡 
Aplicando-se a Transformada de Laplace, tem-se: 
 𝑠2 + 4𝑠 + 3 ∙ 𝑌(𝑠) = 2𝑠2 + 14𝑠 + 20 ∙ 𝑅(𝑠) 
Logo: 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
2𝑠2 + 14𝑠 + 20
𝑠2 + 4𝑠 + 3
 
Letra C. 
Apostila de Controle 27 
Transpetro/2006 – Automação 
 
Resposta: Fazendo-se as devidas substituições: 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑡
= 10 −𝐾𝑦 𝑡 + 𝑟(𝑡) 
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 5
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 10𝐾𝑦 𝑡 = 10𝑟(𝑡) 
Logo: 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
10
𝑠2 + 5𝑠 + 10𝐾
 
Letra C. 
 
Apostila de Controle 28 
CAPÍTULO 4 
DIAGRAMA DE BLOCOS 
4.1 - CONCEITO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
Funções de transferência de sistemas dinâmicos podem ser representadas graficamente por 
meio de diagrama de blocos. 
Estes diagramas permitem compor funções de transferência complexas a partir do 
agrupamento de outros diagramas mais simples, ou mesmo de blocos contendo as equações 
elementares. 
A representação gráfica de um bloco é mostrada na Figura 4-1, e a relação que ele 
representa, no domínio da transformada de Laplace (variável complexa) é: 
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑋(𝑠) 
Ou seja, a função de transferência de um bloco, G(s), traduz a relação entre a transformada 
de Laplace da sua saída, Y(s), e a transformada de Laplace da entrada, X(s). 
De outra forma, a saída de um bloco é igual ao produto da entrada pela função de 
transferência que o bloco abriga. Quando o conteúdo de um bloco (ou seja, sua função de 
transferência) for uma constante, denomina-se então esta constante de ganho do bloco. 
 
Figura 4-1: Representação de uma função de transferência G(s) por meio de diagrama de blocos 
As ligações entre os blocos são necessariamente orientadas, indicando qual sinal é a saída e 
qual sinal é a entrada. Logo, toda e qualquer ligação entre blocos deve ser orientada, caso contrário 
não se consegue definir qual é a entrada e qual é a saída do bloco. 
A grande vantagem dos diagramas de blocos é a composição de vários blocos e, igualmente, 
a simplificação de vários blocos em somente um, o que permite obter a função de transferência total 
do sistema. Considerando, por exemplo, a composição de dois blocos cujas funções de transferência 
são G1(s) e G2(s) em série, como mostrado na Figura 4-2, resulta: 
𝑌 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝑋 𝑠 
𝑋 𝑠 = 𝐺2 𝑠 𝑈(𝑠) 
Substituindo a segunda equação na primeira, para eliminar a variável X(s), tem-se que: 
𝑌 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝑋 𝑠 
de onde tira-se que a função de transferência de dois blocos em série é dada por: 
𝐺 𝑠 = 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 
ou seja, a função de transferência equivalente de dois blocos arranjados em série é dada pelo 
produto das funções de transferência dos blocos. 
Apostila de Controle 29 
 
Figura 4-2: Combinação de dois blocos arranjados em série 
As ligações entre blocos podem sofrer um número qualquer de derivações, isto é, o sinal 
transportado por elas pode ser inserido em um ou mais blocos, como ilustra a Figura 4-3. 
 
Figura 4-3: Derivações das ligações entre blocos 
Dois sinais que transitam por ligações distintas podem ser combinados por meio de adição 
ou subtração, indicada por um bloco com o formato de um círculo, conhecido como somador, como 
mostrado na Figura 4-4. 
Se y(t) e x(t) forem sinais combinados num somador, então a saída apresentada pelo 
somador será y(t)+x(t) ou então y(t)-x(t). A adição ou subtração é indicada ao lado do somador, 
como mostra as Figura 4-4(a) e Figura 4-4(b), ou então dentro do somador, como indica Figura 
4-4(c). 
 
Figura 4-4: Bloco somador: adição (a), subtração (b) e outra forma de representação gráfica (c). 
É bastante comum que sistemas exibam uma realimentação do sinal, formando assim uma 
malha fechada ou um loop, como mostrado na Figura 4-6 (a). 
Neste sistema define-se: 
𝐺 𝑠 ⟹ função de transferência do ramo direto (FTRD) 
𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 ⟹ função de transferência de malha aberta (FTMA) 
𝐶(𝑠) 𝑅(𝑠) ⟹ função de transferência de malha fechada (FTMF) 
Considerando a malha fechada mostrada na, tem-se as relações do somador e do bloco que 
integram a malha: 
 𝐸
 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐶(𝑠)𝐻 𝑠 
𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝐸(𝑠)
 ⟹ 𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑅 𝑠 − 𝐺 𝑠 𝐶(𝑠)𝐻(𝑠) 
logo: 
Apostila de Controle 30 
𝐶 𝑠 =
𝐺 𝑠 
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
𝑅 𝑠 
Nota-se que este resultado indica que a malha fechada pode ser substituída por um bloco 
equivalente cuja função de transferência é dada por: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐺 𝑠 
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
⟹ 𝐹𝑇𝑀𝐹 =
𝐹𝑇𝑅𝐷
1 + 𝐹𝑇𝑀𝐴
 
como indicado na Figura 4-5 (b). 
 
Figura 4-5: Diagrama com uma função de transferência com uma malha de realimentação negativa 
(a), e seu bloco equivalente (b). 
No caso de a realimentação ter 𝐻 𝑠 = 1, ela é chamada de realimentação unitária 
negativa e é representada como na Figura 4-6: 
 
Figura 4-6: Representação em diagrama de blocos de uma realimentação unitária negativa (a), e 
seu bloco equivalente (b). 
Tendo por função de transferência equivalente: 
𝐶 𝑠 
𝑅(𝑠)
=
𝐺 𝑠 
1 + 𝐺(𝑠)
 
4.2 - MANIPULAÇÃO DE DIAGRAMA DE BLOCOS 
Diagramas de blocos podem ser sempre simplificados e reduzidos a um único bloco, desde 
que se conheça qual é a entrada e qual é a saída do diagrama. O processo de redução é realizado 
aplicando-se as definições das operações realizadas pelos blocos, de maneira semelhante àquela 
realizada na Seção 4.1 -. 
Algumas configurações são, contudo bastante típicas (ocorrem com freqüência num grande 
número de diagramas), e isto torna mais eficiente manter uma tabela das simplificações e 
equivalências do que obter esta equivalência a cada novo problema. Relacionam-se na Tabela 4-1, 
portanto, as situações mais comuns e suas respectivas equivalências. 
Apostila de Controle 31 
Tabela 4-1: Equivalências entre diagramas de blocos 
Transformação Diagrama original Diagrama equivalente 
Combinar blocos em série 
(cascata) 
 
Combinar blocos em paralelo 
 
 
Mover um somador para 
antes do bloco 
 
Mover um somador para 
depois do bloco 
 
Mover uma derivação para 
antes do bloco 
 
Mover uma derivação para 
depois do bloco 
 
Eliminar um laço 
realimentado 
 
 
Além de sintetizar a dinâmica e facilitar o projeto de sistemas de controle, os diagramas de 
blocos podem também ser utilizados na obtenção da função de transferência de plantas 
razoavelmente complexas. 
Para obter a função de transferência de um sistema por meio de diagramas de blocos, basta 
seguir algumas regras simples: 
 definir as variáveis necessárias para escrever as equações decada elemento da planta, 
com base em regras de continuidade e equilíbrio de forças; 
 construir blocos com as equações funcionais de cada elemento; 
 construir blocos adicionais para cada condição de continuidade e equilíbrio; 
 garantir que a entrada de pelo menos um bloco seja a própria entrada do sistema; 
 garantir que um bloco apresente como saída a própria saída da planta; 
 construir o diagrama de blocos fazendo ligações entre eles; e 
 simplificar o diagrama para obter a função de transferência. 
Apostila de Controle 32 
Exemplo 4.1 - Simplificação de diagramas de blocos 
O diagrama de blocos de um sistema de controle com múltiplos laços de realimentação é 
mostrado na Figura 4-7. 
É interessante notar que o sinal de realimentação H1C é positivo; por isso, o laço 
G3(s)G4(s)H1(s) é chamado de laço de realimentação positiva. 
 
Figura 4-7: Diagrama de blocos do Exemplo 4.1 - . 
O procedimento de redução do diagrama de blocos é baseado nas transformações da Tabela 
4-1, principalmente a que permite eliminar laços realimentados. As outras transformações são 
utilizadas para modificar o diagrama, de forma a deixá-lo em um formato adequado à eliminação de 
laços realimentados. 
 
Figura 4-8: Redução do diagrama de blocos da Figura 4-7. 
A seqüência de transformações aplicada ao diagrama está indicada na Figura 4-8. Foram 
feitas as seguintes operações: 
 Mover H2 para depois do bloco G4. 
 Eliminar o laço com realimentação H1. 
 Eliminar o laço com realimentação H2/G4. 
 Eliminar o laço com realimentação H3. 
Apostila de Controle 33 
É interessante notar a forma do numerador e do denominador da função de transferência em 
malha fechada final: 
 o numerador é composto pelo cascateamento da função de transferência dos elementos 
que conectam em sentido direto a entrada R(s) com a saída C(s); 
 o denominador é composto de 1 menos a soma das funções de transferência de cada um 
dos laços. O sinal G3G4H1 é positivo porque se trata de um laço de realimentação 
positiva, enquanto os laços G1G2G3G4H3 e G2G3H2 são laços de realimentação negativa. 
4.3 - SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES 
No sistema representado na Figura 4-9, temos dois sinais de entrada: a própria entrada do 
sistema X(s) e uma perturbação N(s). 
 
Figura 4-9: Representação de um sistema em malha fechada sujeito a perturbações. 
Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente 
as respostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposição, e após adicioná-
las resultando na resposta completa. 
Para o sistema mostrado, considere que: 
𝐶 𝑠 = 𝐶𝐷 𝑠 + 𝐶𝑅(𝑠) 
Onde: 
 C(s) é a resposta completa do sistema; 
 CD(s) é a resposta do sistema devido à entrada D(s) (distúrbio); e 
 CR(s) é a resposta do sistema devido à entrada R(s) (referência, set-point ou entrada 
principal). 
Manipulando este diagrama de blocos, tem-se: 
𝐶𝐷(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
 
𝐶𝑅(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻(𝑠)
 
Ou seja: 
𝑅(𝑠) =
𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 
𝐷(𝑠) +
𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 
1 + 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 
𝑅(𝑠) 
Se 𝐺1 𝑠 𝐺2 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1 e 𝐺1 𝑠 𝐻 𝑠 ≫ 1, então: 
 
𝐶𝐷 𝑠 ≈ 0
𝐶𝑅 𝑠 ≈
1
𝐻 𝑠 
𝑅(𝑠)
 ⟹ 𝐶 𝑠 ≈
𝑅(𝑠)
𝐻(𝑠)
 
Apostila de Controle 34 
Com isto, concluí-se que: 
 Se o ganho G1(s)H(s) é elevado, os efeitos que as perturbações poderiam causar na 
resposta do sistema, são desprezados. 
 Se o ganho G1(s).H(s) é elevado, a função de transferência do sistema independe das 
variações em G1(s) e G2(s) e é inversamente proporcional ao ganho H(s). 
 Se o ganho da realimentação é unitário, então o sistema em malha fechada, tende a 
igualar a saída com a entrada. 
Exemplo 4.2 - Questões de concursos públicos 
 
Resposta: 
Manipulando o diagrama, temos: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
1 +
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
× 10
=
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
1 +
5
 𝑠 + 3 
×
1
𝑠
× 10
∙
𝑠 𝑠 + 3 
𝑠 𝑠 + 3 
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
5
𝑠 𝑠 + 3 + 50
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
5
𝑠2 + 3𝑠 + 50
 
Letra A. 
xxxxxxxxxx 
 
Resposta: 
A equação característica deste sistema é: 
𝑠 𝑠 + 2 𝑠 + 3 + 𝐾 𝑠 + 10 = 0 
Se 𝑠 = −6 é um pólo, então, tem-se que, 
(−6) −6 + 2 −6 + 3 + 𝐾 −6 + 10 = 0 
 −6 −4 −3 + 4𝐾 = 0 
Ou seja, 𝐾 = 18. 
Letra D. 
Apostila de Controle 35 
Prominp - Área: Elétrica – 2006 Petrobras 2006 – Eng. de Proc. Júnior 
 
Resposta: 
A Função de Transferência de malha fechada é: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
10
𝑠(𝑠 + 2)
×
𝐾(𝑠 + 2)
𝑠 + 𝑝
1 +
10
𝑠(𝑠 + 2)
×
𝐾(𝑠 + 2)
𝑠 + 𝑝
 
=
10𝐾
𝑠(𝑠 + 𝑝)
1 +
10𝐾
𝑠(𝑠 + 𝑝)
=
10𝐾
𝑠2 + 𝑠𝑝 + 10𝐾
 
Logo os pólos são: 
𝑠1,2 =
−𝑝 ± 𝑝2 − 4 × 1 × 10𝐾
2
= −4 ± 𝒋5 
Da equação acima, conclui-se que p=8. 
Dessa forma: 
 82 − 4 × 1 × 10𝐾
2
= 5𝒋 
Elevando ao quadrado: 
82 − 4 × 1 × 10𝐾
4
= −25 
64 − 40𝐾 = −100 
−40𝐾 = −100 − 64 
Logo K=4,1. 
Letra A. 
 
Resposta: Se 
𝐺𝐴 =
𝐺1𝐺𝑐2
1 + 𝐺1𝐺𝑐2𝐻2
 
e 
𝐺𝐵 = 𝐺2𝐺3 
então, tem-se que: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐺𝑐1𝐺𝐴𝐺𝐵
1 + 𝐺𝑐1𝐺𝐴𝐺𝐵𝐻1
 
Letra E. 
Apostila de Controle 36 
Petrobrás 2008 – Engenharia Química 
 
Resposta: 
Manipulando, tem-se: 
𝜀 = 𝑆𝑝 − 𝑉𝑐 
𝑉𝑐 =
𝐾1𝐾2
1 + 𝐾1𝐾2
𝑆𝑝 
𝜀 = 𝑆𝑝 −
𝐾1𝐾2
1 + 𝐾1𝐾2
𝑆𝑝 = 𝑆𝑝 1 −
𝐾1𝐾2
1 + 𝐾1𝐾2
 
Se fizermos em função de Vc: 
𝐾1𝐾2𝜀 = 𝑉𝑐 
𝜀 =
𝑉𝑐
𝐾1𝐾2
 
Letra C, mas o gabarito diz que é a letra D. 
xxxxxxxxxx 
 
Resposta 
Considerando dois tanques de primeira ordem com a 
mesma constante de tempo, tem-se que a funções de 
transferência são: 
𝑄1 𝑠 
𝑄 𝑠 
=
𝑄2 𝑠 
𝑄1 𝑠 
=
1
𝜏𝑠 + 1
 
Logo: 
𝑄2 𝑠 
𝑄 𝑠 
= 
1
𝜏𝑠 + 1
 
2
 
Letra B. 
 
Apostila de Controle 37 
Prominp 2007 – Área: Químicap REFAP 2007 - Engenheiro de Proc. Júnior 
 
 Resposta: Neste exercício, podemos considerar que a malha direta fica 
sendo G3, H1 e H2, e a realimentação fica sendo Gc, G1 e G2. Logo: 
𝐵
𝑈2
=
𝐺3𝐻1𝐻2
1 + 𝐺
 
Onde: 
𝐺 = 𝐺𝑐𝐺1𝐺2𝐺3𝐻1𝐻2 
Letra B 
 
Resposta: Da simplificação de diagrama de blocos, tem-se que: 
𝐺𝐴 =
𝐺1𝐺𝑐2
1 + 𝐺1𝐺𝑐2𝐻2
 
Letra E. 
Apostila de Controle 38 
Eletronorte – Engenharia Eletrônica ou Eletro-Eletrônica – 2006 
 
Resposta: Da fórmula de Função de Transferência em 
Malha Fechada, tem-se: 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙ 𝑅(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙
𝑠(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 3)
∙ 𝑅(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
2
𝑠2 + 3𝑠 + 2
∙ 𝑅(𝑠) 
e 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙ 𝑊(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
1
𝑠 + 3
1 +
1
𝑠
∙ 2 ∙
1
𝑠 + 3
∙ 1
∙
𝑠(𝑠 + 3)
𝑠(𝑠 + 3)
∙ 𝑊(𝑠) 
𝑌(𝑠) =
𝑠
𝑠2 + 3𝑠 + 2
∙ 𝑊(𝑠) 
logo, a resposta é: 
Letra E. 
Termoaçu - Engenheiro de Processamento Júnior – Janeiro/2008 
 
Resposta: Da fórmula de Função de Transferência em 
Malha Fechada, tem-se: 
𝐹(𝑠) =
𝐺2 ∙ 𝐺3
1 + 𝐺𝑐 ∙ 𝐺1 ∙ 𝐺2 ∙ 𝐺3 ∙ 𝐻1 ∙ 𝐻2
∙ 𝑉1(𝑠) 
Letra B. 
Apostila de Controle 39 
CAPÍTULO 5 
ANÁLISE NO DOMÍNIO DO TEMPO 
5.1 - INTRODUÇÃO 
O comportamento dinâmico de sistemas dinâmicos quando sujeito a tais ações pode ser visto 
sob duas perspectivas diferentes e complementares: o comportamento num curto período, logo após 
a aplicação da ação, e o comportamento no longo período, quando sua dinâmica torna-se estável (ou 
não, dependendo do sistema) ou repetitiva. 
O comportamento de curto período é conhecido como resposta transitória, transiente de 
resposta ou simplesmente transiente. 
O comportamento após o estabelecimento de condições perenes é conhecido resposta em 
regime permanente. 
Considerando a analogia que existe entre os sistemas mecânicos, elétricos e hidráulicos (e 
também térmicos), pode-se restringir a análise realizada apenas a um deles, uma vez que nos 
sistemas análogos o comportamento dinâmico é idêntico. 
Melhor ainda, a análise da resposta pode ser feita tendo como base a função de transferência 
dos sistemas maiscomuns, de 1ª e 2ª ordem, ou seja, nos quais o polinômio do denominador é de 1ª 
ordem ou 2ª ordem, sem se preocupar se o sistema é mecânico ou elétrico. 
Sistemas de 3ª ordem ou maior possuem um comportamento dinâmico que pode ser 
analisado com base nas respostas de sistema de ordem menor. 
Neste capítulo será analisada a resposta transitória de sistemas dinâmicos quando 
submetidos a alguma entrada de excitação. 
5.2 - FUNÇÕES DESCONTÍNUAS NO TEMPO 
Na solução de problemas dinâmicos, é freqüente encontrar-se situações nas quais um 
sistema sofre um impacto, ou uma ação descontínua no tempo, ou um impulso. Exemplos de tais 
ações são: 
o choque entre duas bolas (impulso) no qual a força exercida no contacto é alta e a duração 
da ação é curta; e 
o brusco acionamento de um sistema elétrico ao ligar-se a chave de alimentação. 
Tais ações são consideradas descontínuas no tempo, pois assumem valores diferentes em 
instantes de tempo muito próximos entre si. 
No mundo real macroscópico, contudo, não existem descontinuidades, pois a cada instante 
pode ser determinado o valor exato da ação. Porém, é conveniente considerá-las descontínuas, uma 
vez que é muito difícil estabelecer quais os limites do impulso e da duração do evento. 
Definem-se, com isso, algumas funções típicas que caracterizam eventos descontínuos no 
tempo. Estas funções são: a função degrau, a função impulso e a função rampa. 
5.2.1 - Função degrau unitário 
A função degrau unitário corresponde a uma ação que modifica instantaneamente uma 
determinada condição, ou variável, de um sistema, tais como: 
 a posição, ou a velocidade, ou a carga elétrica num capacitor; 
Apostila de Controle 40 
 a vazão em uma tubulação; 
 o início da ação de uma força por exemplo. 
A função degrau unitário é definida como: 
𝟏 𝑡 ≜ 
0, para 𝑡 < 0
1, para 𝑡 ≥ 0
 
 
5.2.2 - Função impulso unitário 
A função impulso unitário corresponde a uma ação que age sobre um sistema durante um 
intervalo infinitesimal de tempo. Esta função é representada matematicamente pela função “delta de 
Dirac”. 
Na função impulso unitário, a potência e a energia despendidas na ação são limitados, porém 
a ação não é. Isto se deve ao fato de que o intervalo de tempo que dura o acionamento é muito 
pequeno, e tende a zero, fazendo com que a força neste intervalo tenda a infinito. 
Um bom exemplo da aplicação de um impulso unitário é no choque entre duas partes 
mecânicas. A função impulso unitário é definida como: 
𝛿 𝑡 ≜ 
0, para 𝑡 < 0
lim
∆𝑡→0
1
∆𝑡
, para 0 ≤ 𝑡 < ∆𝑡
0, para 𝑡 ≥ ∆𝑡
 
 
5.2.3 - Função rampa 
A função rampa corresponde a uma ação que cresce linearmente no tempo, a partir de uma 
ação nula. Ela é contínua no tempo, porém sua derivada é descontínua na origem. 
Quando o tempo tende a infinito, o valor da ação na função rampa também tende a infinito. 
Na prática isto não ocorre, uma vez que não se consegue gerar ações de intensidade infinita. 
A função rampa é definida por: 
𝜌 𝑡 ≜ 
0, para 𝑡 < 0
𝑡, para 𝑡 ≥ 0
 
 
5.3 - SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM 
Sistemas de primeira ordem possuem função de transferência na forma 
𝐺 𝑠 =
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾
𝜏𝑠 + 1
 
onde C(s) é a transformada de Laplace da saída e R(s) é a transformada da entrada (referência). 
Apostila de Controle 41 
5.3.1 - Resposta ao degrau 
Sua resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa s é: 
𝐶𝑑𝑢 𝑠 =
𝐾
𝑠(𝜏𝑠 + 1)

Decompondo Cdu(s) em frações parciais, tem-se: 
𝐶𝑑𝑢 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
1
𝑠 + 1 𝜏 
 
cuja transformada inversa de Laplace vale 
𝑐𝑑𝑢 𝑡 = 𝐾 1 − 𝑒
−𝑡 𝜏 
Pela equação acima, verifica-se que o sistema tende para o valor 𝐾 em regime permanente, 
razão pela qual este parâmetro do sistema é chamado de ganho DC. 
A Figura 5-1 mostra a resposta de um sistema de primeira ordem para uma entrada degrau 
unitário para o caso de 𝐾 = 1. 
A resposta parte de cdu(0) = 0 e aproxima-se do valor unitário (relativo ao degrau), 
conforme avança o tempo, atingido 63,2% de seu valor de regime permanente quando 𝑡 = 𝜏, pois: 
𝑐𝑑𝑢 𝜏 = 1 − 𝑒
−1 ≅ 0,632 
Ou seja, o sistema responde mais rapidamente quanto menor for o valor de 𝜏, razão pela qual 
este parâmetro do sistema é chamado de constante de tempo. 
 
Figura 5-1: Resposta de um sistema de primeira ordem ao degrau unitário. 
Quando t=4, o erro de resposta (isto é, a diferença entre o valor de referência e a resposta 
do sistema) é menor que 2%. 
Admite-se, para fins práticos, que se a resposta ficar confinada dentro de um erro de 2% o 
sistema atingiu o regime permanente. 
Ao contrário, se o sistema ainda não estabilizou o suficiente, então ele encontra-se no 
regime transitório ou transiente. Não faz sentido definir o regime permanente com base em um 
erro nulo, uma vez que teoricamente o sistema leva um tempo infinito para atingir o valor unitário. 
Como o pólo dos sistemas de primeira ordem se localiza em 𝑠 = − 1 𝜏 , quanto mais 
afastado do eixo imaginário estiver o pólo, mais rapidamente o sistema estabilizará, conforme pode 
ser verificado na Figura 5-2. 
Apostila de Controle 42 
 
Figura 5-2: Influência da constante de tempo no tempo de estabilização 
5.3.2 - Resposta ao impulso unitário 
Sua resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa s é: 
𝐶𝑖𝑢 𝑠 =
𝐾
𝜏𝑠 + 1
=
𝐾
τ
∙
1
𝑠 + 1 𝜏 

cuja transformada inversa de Laplace vale 
𝑐𝑖𝑢 𝑡 =
𝐾
τ
𝑒−𝑡 𝜏 
 
Figura 5-3: Resposta de um sistema de primeira ordem ao impulso unitário. 
5.3.3 - Resposta à rampa unitária 
A resposta à rampa unitária de um sistema de primeira ordem no domínio do tempo pode ser 
calculada a partir da solução da seguinte E.D.O: 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑡 
considerando condições iniciais nulas. 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução é: 
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑕 𝑡 + 𝑦𝑝(𝑡) 
em que: 
 𝑦𝑕 𝑡 ≜ solução da equação diferencial homogênea; 
 𝑦𝑝 𝑡 ≜ solução particular, da mesma natureza da entrada 𝑥(𝑡); 
Solução da homogênea: 
A equação diferencial homogênea é: 
Apostila de Controle 43 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 0 
que tem a equação característica: 
𝜏 ∙ 𝑟 + 1 = 0 
A raiz desta equação é: 
𝑟 = −
1
𝜏
 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕(𝑡) = 𝐶𝑒
−𝑡 𝜏 
onde 𝐶 é uma constante que depende das condições iniciais. 
Solução particular: 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução particular é um polinômio de grau 
igual a um, pois é da mesma natureza da entrada. 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐴1𝑡 + 𝐵1 
Substituindo na E.D.O. vem: 
𝜏𝐴1 + 𝐴1𝑡 + 𝐵1 = 𝐾𝑡 
Da identidade entre os coeficientes do polinômio temos: 
 
𝐴1 = 𝐾
𝐵1 = −𝐾𝜏
 
Portanto: 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐾 𝑡 − 𝜏 
Agora, combinando as duas soluções temos que: 
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑒−𝑡 𝜏 + 𝐾 𝑡 − 𝜏 
Considerando C.I. nulas: 
𝑦 0 = 0 = 𝐶 − 𝐾𝜏 ⟹ 𝐶 = 𝐾𝜏 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾𝜏 𝑒−𝑡 𝜏 +
𝑡
𝜏
− 1 
que é a resposta do sistema de primeira ordem à entrada rampa unitária, tendo como condição 
inicial o repouso. 
Considerando que: 
lim
𝑡→∞
𝑦𝑕(𝑡) = 0 
temos que: 
lim
𝑡→∞
𝑦(𝑡) = 𝐾 𝑡 − 𝜏 
que é a solução particular. 
Apostila de Controle 44 
 
Figura 5-4: Resposta de um sistema de primeira ordem à rampa unitária. 
5.4 - SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM 
Sistemas de segunda ordem possuem no denominador um polinômio do segundo grau na 
variável complexa s, na forma 
𝐺 𝑠 =
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
𝑏0
𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
=
𝑏0
𝑎0
𝑎0
𝑎2
𝑠2 +
𝑎1
𝑎2
𝑠 +
𝑎0
𝑎2
 
possuindo, então, dois pólos localizados em: 
𝑝1,2 = −
𝑎1 𝑎2 
2
±
 𝑎1 𝑎2 
2 − 4 𝑎0 𝑎2 
2
= −
𝑎1
2𝑎2
± 
𝑎1
2𝑎2
 
2
−
𝑎0
𝑎2
= −
𝑎1
2𝑎2
± 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2
4 𝑎2 2
 
5.4.1 - Resposta ao degrau 
Sua resposta ao degrau unitário é: 
𝑌 𝑠 =
1
𝑠
𝑏0
𝑎0
𝑎0
𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
 
O valor em regime permanente da resposta ao degrau deste sistema poder ser obtido através 
do Teorema do Valor Final. 
𝑦∞ = lim
𝑡⟶∞
𝑦(𝑡) = lim
𝑠⟶0
𝑠𝑌 𝑠 = lim𝑠⟶0
𝑠
1
𝑠
𝑏0
𝑎0
𝑎0
𝑎2𝑠2 + 𝑎1𝑠 + 𝑎0
=
𝑏0
𝑎0
 
Ou seja, pode-se definir o ganho DC do sistema como sendo: 
𝐾 =
𝑏0
𝑎0
 
Desta forma, podem-se verificar três situações diferentes: 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2 < 0 – dois pólos complexos conjugados; 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2 = 0 – um pólo real duplo; e 
 𝑎1 
2 − 4𝑎0𝑎2 > 0 – dois pólos reais e distintos. 
Apostila de Controle 45 
a) Sistema sub-amortecido – 𝒂𝟏 
𝟐 − 𝟒𝒂𝟎𝒂𝟐 < 0: 
Neste caso, têm-se dois pólos complexos conjugados localizados em: 
𝑝1,2 = −
𝑎1
2𝑎2
± 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
𝑗 
e a função de transferência pode ser escrita na forma: 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝑎0
𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
cuja resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝑎0
𝑎2
𝑠 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
Decompondo a expressão acima em frações parciais, tem-se: 
𝑌 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
𝑠 +
𝑎1
𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
Que pode ser reescrito na forma: 
𝑌 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
−
𝑎1
2𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
𝑌 𝑠 = 𝐾
 
 
 
 
1
𝑠
−
𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
−
𝑎1
2𝑎2
 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 𝑠 +
𝑎1
2𝑎2
 
2
+ 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
 
 
 
 
 
 
Da Tabela 3-1, sabe-se que: 
L
−1 
𝑠 + 𝑎
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 = 𝑒−𝑎𝑡 cos 𝜔𝑡 
L
−1 
𝜔
 𝑠 + 𝑎 2 + 𝜔2
 = 𝑒−𝑎𝑡 sin 𝜔𝑡 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾
 
 
 
1 − 𝑒
−
𝑎1
2𝑎2
𝑡
 
 
 
 
cos 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
𝑡 +
𝑎1
2𝑎2
 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
sin 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 𝑎1 = 0, tem-se um sistema cuja resposta ao degrau unitário é: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 − cos 𝑎0 𝑎2 𝑡 
Apostila de Controle 46 
Ou seja, caso o sistema tenha 𝑎1 = 0, sua saída para uma entrada degrau unitário é um 
movimento oscilatório de freqüência 𝑎0 𝑎2 , podendo-se então definir este parâmetro do sistema 
como sua freqüência natural não-amortecida 𝝎𝒏, ou seja: 
𝜔𝑛 = 𝑎0 𝑎2 
Se 𝑎1 ≠ 1, a freqüência de oscilação do sistema é chamada de freqüência natural 
amortecida 𝝎𝒅, que é dada por: 
𝜔𝑑 = 
𝑎0
𝑎2
− 
𝑎1
2𝑎2
 
2
= 
𝑎0
𝑎2
 1 −
 𝑎1 2
4𝑎0𝑎2
 = 𝜔𝑛 1 −
 𝑎1 2
4𝑎0𝑎2
 
Verifica-se que 𝜔𝑑 < 𝜔𝑛 , ficando cada vez menor quanto maior for 𝑎1, que está associado 
ao amortecimento do sistema. 
Se ocorrer que 𝑎1 
2 = 4𝑎0𝑎2, verifica-se que não haverá mais oscilação. Este valor é 
chamado de amortecimento crítico, ou seja: 
 𝑎1 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 2 𝑎0𝑎2 
Define-se então o coeficiente de amortecimento 𝝃 como: 
𝜉 =
𝑎1
 𝑎1 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜
=
𝑎1
2 𝑎0𝑎2
 
Usando-se as definições acima, a resposta fica: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 − 𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 cos 𝜔𝑑𝑡 +
𝜉
 1 − 𝜉2
∙ sin 𝜔𝑑𝑡 
onde: 
𝜔𝑑 = 𝜔𝑛 1 − 𝜉2 
Verifica-se uma resposta oscilatória devida a um baixo valor do amortecimento, razão pela 
qual é chamado de sistema sub-amortecido. 
b) Sistema criticamente amortecido – 𝒂𝟏 
𝟐 − 𝟒𝒂𝟎𝒂𝟐 = 𝟎: 
Neste caso, têm-se um pólo real duplo e negativo localizado em: 
𝑝1,2 = −
𝑎1
2𝑎2
= − 
𝑎0
𝑎2
= −𝜔𝑛 
e a função de transferência pode ser escrita na forma: 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
cuja resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
Decompondo a expressão acima em frações parciais, tem-se: 
𝑌 𝑠 = 𝐾 
1
𝑠
−
1
𝑠 + 𝜔𝑛
−
𝜔𝑛
 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
Apostila de Controle 47 
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace: 
L
−1 𝑌(𝑠) = 𝐾 1 − 𝑒−𝜔𝑛 𝑡 − 𝜔𝑛𝑡𝑒
−𝜔𝑛 𝑡 
Logo: 
𝑦(𝑡) = 𝐾 1 − 𝑒−𝜔𝑛 𝑡 1 + 𝜔𝑛𝑡 
c) Sistema superamortecido – 𝒂𝟏 
𝟐 − 𝟒𝒂𝟎𝒂𝟐 > 0: 
Neste caso, têm-se dois pólos reais e negativos localizados em: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
e a função de transferência pode ser escrita na forma: 
𝐺 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2 
= 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 𝑠1 + 𝑠2 𝑠 + 𝑠1𝑠2
 
onde: 
𝑠1,2 = −𝑝1,2 = 𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
cuja resposta ao degrau unitário no domínio da variável complexa é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2 
 
Decompondo a expressão acima em frações parciais, tem-se: 
𝑌 𝑠 = 𝐾𝜔𝑛
2 
1
𝑠1𝑠2
∙
1
𝑠
+
1
𝑠2 − 𝑠1
 
1
𝑠1
∙
1
𝑠 + 𝑠1
−
1
𝑠2
∙
1
𝑠 + 𝑠2
 
Aplicando-se a transformada inversa de Laplace: 
L
−1 𝑌(𝑠) = 𝐾 
𝜔𝑛
2
𝑠1𝑠2
+
𝜔𝑛
2
𝑠2 − 𝑠1
 
𝑒−𝑠1𝑡
𝑠1
−
𝑒−𝑠2𝑡
𝑠2
 
e considerando que: 
𝑠1𝑠2 = 𝜔𝑛
2 e 𝑠2 − 𝑠1 = 2𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
conclui-se que: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 +
𝜔𝑛
2 𝜉2 − 1
 
𝑒−𝑠1𝑡
𝑠1
−
𝑒−𝑠2𝑡
𝑠2
 
que pode ser escrita na forma mais completa como: 
𝑦 𝑡 = 𝐾 1 +
1
2 𝜉2 − 1
 
𝑒−𝜔𝑛 𝜉+
 𝜉2−1 𝑡
𝜉 + 𝜉2 − 1
−
𝑒−𝜔𝑛 𝜉−
 𝜉2−1 𝑡
𝜉 − 𝜉2 − 1
 
Verifica-se uma resposta não oscilatória devido a um grande amortecimento. Por isso este 
sistema é chamado de sobre-amortecido ou superamortecido. 
Podem-se resumir as três possíveis situações para um sistema de segunda ordem: 
Apostila de Controle 48 
Coeficiente de 
amortecimento 
Nome Pólos Resposta ao degrau 
𝜉 < 1 Sub-amortecido 
2 pólos complexos 
conjugados 
Oscilatória 
𝜉 = 1 Criticamente amortecido 1 pólo real duplo Não oscilatória 
𝜉 > 1 Superamortecido 2 pólos reais distintos Não oscilatória 
A Figura 5-5 mostra as diversas respostas de um sistema de segunda ordem a uma entrada 
degrau unitário, em função da constante de amortecimento 𝜉 e com 𝐾 = 1. 
 
 
Figura 5-5: Resposta de um sistema de segunda ordem ao degrau unitário, para diferentes valores 
da constante de amortecimento 𝜉. 
5.4.2 - Resposta ao impulso unitário 
A partir de agora, tendo demonstrado o significado de 𝐾 (ganho DC), 𝜔𝑛 (freqüência 
natural não amortecida) e 𝜉 (coeficiente de amortecimento), podemos escrever a função de 
transferência de um sistema de segunda ordem sempre na sua forma canônica. 
𝐺 𝑠 =
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
= 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
 
que possui seus pólos localizados em: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Sua resposta ao impulso unitário é: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝑠2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑠 + 𝜔𝑛2
∙ 1 
a) Sistema sub-amortecido 
Neste caso, o sistema possui dois pólos complexos conjugados: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 1 − 𝜉2𝑗 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑑𝑗 
e sua cuja resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa pode ser escrita na forma: 
Apostila de Controle 49 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑
2 = 𝐾
𝜔𝑛
2
𝜔𝑑
𝜔𝑑
 𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑
2 = 𝐾
𝜔𝑛
 1 − 𝜉2
𝜔𝑑
 𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 2 + 𝜔𝑑
2 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾
𝜔𝑛
 1 − 𝜉2
𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 sin 𝜔𝑑𝑡 
b) Sistema criticamente amortecido 
Neste caso, o sistema possui um pólo real duplo: 
𝑝1,2 = −𝜔𝑛 
e sua cuja resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa pode ser escrita na forma: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝜔𝑛 2
 
Logo: 
𝑦 𝑡 = 𝐾𝜔𝑛
2𝑡𝑒−𝜔𝑛 𝑡 
c) Sistema superamortecido 
Neste caso, o sistema possui dois pólos reais distintos: 
𝑝1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
e sua cuja resposta ao impulso unitário no domínio da variável complexa pode ser escrita na forma: 
𝑌 𝑠 = 𝐾
𝜔𝑛
2
 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2 
=
𝐾𝜔𝑛
2
𝑠2 − 𝑠1
 
1
 𝑠 + 𝑠1 
−
1
 𝑠 + 𝑠2 
 
sendo: 
𝑠1,2 = −𝑝1,2 = 𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Ou seja: 
𝑌 𝑠 =
𝐾𝜔𝑛
2 𝜉2 − 1
 
1
 𝑠 + 𝑠1 
−
1
 𝑠 + 𝑠2 
 
Logo: 
𝑦 𝑡 =
𝐾𝜔𝑛
2 𝜉2 − 1
 𝑒−𝜔𝑛 𝜉−
 𝜉2−1 𝑡 − 𝑒−𝜔𝑛 𝜉+
 𝜉2−1 𝑡 
Apostila de Controle 50 
 
Figura 5-6: Resposta de um sistema de segunda ordem ao impulso unitário. 
5.4.3 - Resposta à rampa 
A resposta à rampa de um sistema de segunda ordem no domínio do tempo pode ser 
calculada a partir da solução da seguinte E.D.O: 
1
𝜔𝑛2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝐾𝐴𝑡 
considerando condições iniciais nulas. 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução é: 
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑕 𝑡 + 𝑦𝑝(𝑡)em que: 
 𝑦𝑕 𝑡 ≜ solução da equação diferencial homogênea; 
 𝑦𝑝 𝑡 ≜ solução particular, da mesma natureza da entrada 𝑥(𝑡); 
a) Solução da homogênea: 
A equação diferencial homogênea é: 
1
𝜔𝑛2
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑦 = 0 
que tem a equação característica: 
1
𝜔𝑛2
𝑟2 +
2𝜉
𝜔𝑛
𝑟 + 1 = 0 ⟹ 𝑟2 + 2𝜉𝜔𝑛𝑟 + 𝜔𝑛
2 = 0 
As raízes desta equação são: 
𝑟 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Logo, a solução da homogênea tem três formas diferentes, dependendo do valor de 𝜉: 
Sistema sub-amortecido 
Neste caso, a equação característica possui duas raízes complexas conjugadas: 
Apostila de Controle 51 
𝑟1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 1 − 𝜉2𝑗 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑑𝑗 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕 𝑡 = 𝑒
−𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝐶1sen 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2cos 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema criticamente amortecido 
Neste caso, a equação característica possui uma raiz real dupla: 
𝑟1,2 = −𝜔𝑛 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕 𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2𝑡 𝑒
−𝜔𝑛 𝑡 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema superamortecido 
Neste caso, a equação característica possui duas raízes reais distintas: 
𝑟1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉2 − 1 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕 𝑡 = 𝐶1𝑒
−𝜔𝑛 𝜉− 𝜉2−1 𝑡 − 𝐶2𝑒
−𝜔𝑛 𝜉+ 𝜉2−1 𝑡 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
b) Solução particular: 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução particular é um polinômio de grau 
igual a um, pois é da mesma natureza da entrada. 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐴1𝑡 + 𝐵1 
Substituindo na E.D.O. vem: 
2𝜉
𝜔𝑛
𝐴1 + 𝐴1𝑡 + 𝐵1 = 𝐾𝐴𝑡 
Da identidade entre os coeficientes do polinômio temos: 
 
𝐴1 = 𝐾𝐴
𝐵1 = −𝐾
2𝜉
𝜔𝑛
𝐴
 
Portanto: 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
Agora, combinando as duas soluções temos que: 
Sistema sub-amortecido 
𝑦 𝑡 = 𝑒−𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝐶1sen 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + 𝐶2cos 1 − 𝜉2𝜔𝑛𝑡 + 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema criticamente amortecido 
Apostila de Controle 52 
𝑦 𝑡 = 𝐶1 + 𝐶2𝑡 𝑒
−𝜔𝑛 𝑡 + 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Sistema superamortecido 
𝑦 𝑡 = 𝐶1𝑒
−𝜔𝑛 𝜉− 𝜉2−1 𝑡 − 𝐶2𝑒
−𝜔𝑛 𝜉+ 𝜉2−1 𝑡 + 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
onde 𝐶1 e 𝐶2 são constantes que dependem das condições iniciais. 
Considerando que: 
lim
𝑡→∞
𝑦𝑕(𝑡) = 0 
temos que: 
lim
𝑡→∞
𝑦(𝑡) = 𝐾𝐴 𝑡 −
2𝜉
𝜔𝑛
 
que é a solução particular. 
 
Figura 5-7: Resposta de um sistema de segunda ordem à rampa unitária. 
5.5 - ANÁLISE DE DESEMPENHO COM BASE NA RESPOSTA TRANSIENTE 
Em geral a análise do desempenho ou das características de um sistema é realizada com base 
na resposta deste sistema a uma excitação qualquer. 
Como o degrau unitário permite diferenciar bem o comportamento dinâmico dos diversos 
sistemas, ele é normalmente escolhido como a excitação de referência, embora o impulso unitário 
possa igualmente desempenhar este papel. 
Como visto, a resposta de um sistema de 2ª ordem maior não atinge a referência 
imediatamente, mas apresenta um transiente amortecido até atingir o regime estacionário (ou 
permanente). 
Uma resposta típica destes sistemas ao degrau unitário é a mostrado na Figura 5-8, com 
uma ou outra alteração. Com base neste comportamento, podem-se definir alguns parâmetros 
Apostila de Controle 53 
importantes para caracterizar o desempenho de um sistema dinâmico. Os parâmetros mais 
importantes são: 
Tempo de atraso de resposta td – é o intervalo no qual o sistema atinge pela primeira vez 
50% do seu valor final (estacionário). 
Tempo de subida tr – é o tempo que o sistema leva para passar de 0 a 100% do seu valor 
final, ou então de 5% a 95%, ou ainda de 10% a 90%. 
Tempo de pico ou instante de pico ou instante de máxima resposta tp – é o intervalo de 
tempo necessário até que o sistema atinja seu primeiro sobre-sinal. 
Sobre-sinal máximo (ou overshoot) Mp – é a diferença entre a resposta no instante de pico e 
o valor da resposta em regime permanente. Pode ser mostrado que o sobre-sinal máximo relaciona-
se com a estabilidade do sistema. 
Tempo de assentamento ts – é o intervalo que o sistema leva até que a resposta caia dentro 
de uma faixa de valores centrada no valor final do regime permanente. Esta faixa é geralmente 
escolhida entre 2% a 5%, dependendo dos objetivos do projeto. 
O tempo de assentamento é maior do que todos os outros intervalos definidos aqui. Admite-
se, para fins práticos, que após o tempo de assentamento o sistema tenha atingido o regime 
permanente. 
Em sistemas sobre-amortecidos o instante de pico e o sobre-sinal máximo não são definidos. 
A Figura 5-8 representa estes parâmetros, sendo que o tempo de subida está representado 
considerando-se o intervalo de 0 a 100%. 
 
Figura 5-8: Caracterização da resposta de um sistema dinâmico. 
Apostila de Controle 54 
Exemplo 5.1 - Questões de concursos públicos 
Petroquimica Suape Julho/2009 – Engenheiro(a) de Processamento Júnior 
 
Resposta: 
Este sistema possui uma constante de tempo de 11s, logo o 
sistema alcançará 99,33% da variação total, após um 
intervalo de tempo igual a 55s, descontado o seu atraso de 
resposta que é de 7s. 
Logo o tempo total é de 62s. 
Letra D. 
Petrobrás – Engenharia Química 2008 
 
Resposta: Da própria solução de sistemas de primeira ordem 
ao degrau, letra D. 
Equipamentos Júnior - 2008 
 
Resposta: Da própria definição de sobre-elevação, letra B. 
Apostila de Controle 55 
Petrobras – Eng. de Proc. Júnior 2001 
 
Resposta: 
1. Errado. O comportamento da perturbação de entrada é 
modelado por uma função que o representa. É o sistema que 
é modelado por meio de uma equação diferencial de primeira 
ordem. 
2. Certo. Se reescrevermos a equação, tem-se: 
𝐴
𝑑𝑕
𝑑𝑡
+
𝑕
𝑅
= 𝐹𝑒 
que é um equação diferencial de primeira ordem, cuja entrada 
é a vazão de entrada no tanqe e a saída é a altura de 
líquido. 
3. Certo. Verifica-se pela própria definição de constante de 
tempo. 
4. Errado. Cosntituem sistemas de segunda ordem ou mais, 
dependendo do número de processos. 
5. Errado. Sistemas superamortecidos possuem resposta não 
oscilatória. 
 
Empresa de Pesquisa Energética 2006 
 
Resposta: A função de transferência deste sistema é 
𝐼(𝑠)
𝑉(𝑠)
=
10𝑠
𝑠2 + 14𝑠 + 100
 
Logo, tem-se que: 
𝜔𝑛 = 10 𝑟𝑑/𝑠 
e que: 
2𝜉𝜔𝑛 = 14 𝑟𝑑/𝑠 
Logo: 
𝜉 = 0,7 
Letra C. 
Apostila de Controle 56 
Prominp – Área Química – Processos 2008 
 
Resposta: Pode-se fazer através da comparação de 
unidades: 
 Constante de tempo é s (segundos); 
 Volume é m3; 
 Vazão volumétrica é m3/s; e 
 Concentração é kg/m3 
Desta forma: 
 a letra A dá s-1; 
 as letras B e C dão s-1.kg/m3; 
 a letra D dá s; e 
 a letra E dá kg/m3. 
Portanto, a resposta é a letra D. 
Petrobras – Processamento Júnior – 2004 
 
Resposta: 156V, 157V, 158F, 159V, 160V 
 
Apostila de Controle 57 
Petroquimica Suape Julho/2009 – Eng. de Proc. Júnior 
 
Resposta: 
São dois sistemas de primeira ordem conectados em série. 
A Função de Transferência final é da forma: 
𝐺 𝑠 =
𝐾1
𝜏1𝑠 + 1
∙
𝐾2
𝜏2𝑠 + 1
 
qué um sistema de segunda ordem, mas com dois pólos 
reais, distintos ou não. 
Portanto, a combinação de sistemas de primeira ordem resulta 
em um sistema de ordem maior, mas que possui somente 
pólos reais, ou seja, com resposta não oscilatória ao degrau. 
Portanto, 
Letra E. 
Apostila de Controle 58 
Prominp 2009 – Área Elétrica 
 
Resposta: Se o sobre-sinal é de 25%, é porque tem-se: 
𝑒
−
𝜉𝜋
 1−𝜉2 = 0,25 =
1
4
 
ln
 
𝑒
−
𝜉𝜋
 1−𝜉2 = ln
1
4
= − ln 4 
−
𝜉𝜋
 1 − 𝜉2
= − ln 4 
𝜉2𝜋2
1 − 𝜉2
= ln 4 2 
𝜉2𝜋2 = 1 − 𝜉2 ∙ ln 4 2 
𝜉2𝜋2 + 𝜉2 ln 4 2 = ln 4 2 
𝜉2 =
 ln 4 2
𝜋2 + ln 4 2
 
𝜉 =
ln 4 
 𝜋2 + ln 4 2
 
Letra C. 
Prominp - Área:Elétrica – 2006 
 
Resposta: Usando o Teorema do Valor Final: 
𝑦∞ = lim
𝑡→∞
𝑦 𝑡 = lim
𝑠→0
𝑠𝑌 𝑠 
𝑌 𝑠 = 𝑈 𝑠 ∙
𝑠 + 1
𝑠2 + 5𝑠 + 6
=
1
𝑠
∙
𝑠 + 1
𝑠2 + 5𝑠 + 6
 
Logo: 
𝑦∞ = lim
𝑠→0
𝑠 ∙
1
𝑠
∙
𝑠 + 1
𝑠2 + 5𝑠 + 6
=
1
6
 
A saída será 1/6, ou seja, 0,16. 
Letra B. 
Apostila de Controle 59 
Eletrosul – Engenheiro (Controle de Automação Industrial) – 2008 
 
Resposta: 
Letra a) correta – a saída limitada para a entrada degrau 
indica um sistema estável, ou seja, pólos no semi-plano 
esquerdo no domínio de Laplace. 
Letra b) correta – a resposta oscilatória indica um sistema 
subamortecido. 
Letra c) incorreta – a resposta oscilatória indica sistema de, 
no mínimo, segunda ordem. 
Letra d) correta – da própria definição de tempo de subida. 
Letra e) correta – da própria definição de sobressinal. 
Letra C. 
Apostila de Controle 60 
PETROBRAS – ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR ELÉTRICA – MARÇO/2010 
 
Letra E 
 
Letra E 
Apostila de Controle 61 
Petrobras Distribuidora – Profissional Júnior – Formação: Engenharia Eletrônica – Setembro/2008 
 
Resposta: 
Do problema tem-se que: 
 
𝐽𝜃 + 𝐶𝜃 = 𝑇𝑚
𝑇𝑚 = 𝐾𝑝 𝜃𝑟 − 𝜃 − 𝐾𝑑𝜃 
 
Fazendo-se as devidas substituições, tem-se: 
𝐽𝜃 + 𝐶𝜃 = 𝐾𝑝 𝜃𝑟 − 𝜃 − 𝐾𝑑𝜃 
𝐽𝜃 + 𝐶𝜃 + 𝐾𝑑𝜃 + 𝐾𝑝𝜃 = 𝐾𝑝𝜃𝑟 
𝐽𝜃 + 𝐶 + 𝐾𝑑 𝜃 + 𝐾𝑝𝜃 = 𝐾𝑝𝜃𝑟 
Que é a EDO que relaciona a posição angular de referência 
com a posição angular real. 
Fazendo a Transformada de Laplace: 
𝜃 𝑠 
𝜃𝑟 𝑠 
=
𝐾𝑝
𝐽𝑠2 + 𝐶 + 𝐾𝑑 𝑠 + 𝐾𝑝
 
𝜃 𝑠 
𝜃𝑟 𝑠 
=
𝐾𝑝
𝐽
𝑠2 +
 𝐶 + 𝐾𝑑 
𝐽
𝑠 +
𝐾𝑝
𝐽
 
Logo: 
𝐾𝑝
𝐽
= 𝜔𝑛
2 = 100 ⟹ 𝐾𝑝 = 100𝐽 
𝐶 + 𝐾𝑑
𝐽
= 2𝜉𝜔𝑛 = 16 ⟹ 𝐾𝑑 = 16𝐽 − 𝐶 
Letra D. 
5.5.2 - Sistemas de ordem superior 
Quando o sistema tem mais de um pólo com partes reais distintas, o comportamento do 
sistema é mais influenciado pelo pólo mais próximo do eixo imaginário (pólo dominante) que 
pelos outros pólos (pólos dominados). 
Esse fato acontece porque a constante de tempo do pólo dominante é maior, o que gera 
sinais transitórios mais duradouros. 
Exemplo 5.2 - Sistema de 4ª ordem cujos pólos estão nas posições indicadas na Figura 5-9. 
 
Figura 5-9: Sistema de 4ª ordem com pólo dominante real puro. 
Como o pólo dominante é real puro, pode-se fazer a seguinte aproximação: 
𝐺 𝑠 =
𝐾
 𝑠 + 𝑝1 𝑠 + 𝑝2 𝑠 + 𝑝3 𝑠 + 𝑝4 
≅
𝐾
𝑝2𝑝3𝑝4 𝑠 + 𝑝1 
 
Apostila de Controle 62 
Exemplo 5.3 - Sistema de 4ª ordem cujos pólos estão nas posições indicadas na Figura 5-10. 
 
Figura 5-10: Sistema de 4ª ordem com pólos dominantes complexos conjugados. 
Como os pólos dominantes são complexos conjugados, pode-se fazer a seguinte 
aproximação: 
𝐺 𝑠 =
𝐾
 𝑠 + 𝑞1 𝑠 + 𝑞2 𝑠 + 𝑞3 𝑠 + 𝑞4 
≅
𝐾
𝑞3𝑞4 𝑠 + 𝑞1 𝑠 + 𝑞2 
 
 
Exemplo 5.4 - Questões de concursos públicos 
REFAP – Eletrônica 2007 
 
Resposta – Pode-se iniciar aplicando-se o teorema do valor 
final às opções: 
lim
𝑡→∞
𝑦(𝑡) = lim
𝑠→0
𝑠 ∙ 𝑌(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑠 ∙ 𝐺(𝑠) ∙
1
𝑠
 
logo: 
lim
𝑡→∞
𝑦(𝑡) = lim
𝑠→0
𝐺(𝑠) = 𝐺(0) 
A) 𝐺 0 = 1 
B) 𝐺 0 = −5 
C) 𝐺 0 = 5 
D) 𝐺 0 = 5 
E) 𝐺 0 = 1 
Ou seja, somente as letras C e D possuem um valor em 
regime permanente para entrada degrau igual a 5. 
Contudo, esta a resposta ao degrau começa com valores 
negativos, caracterizando a presença de um zero de malha 
aberta positivo, o que descarta a opção C. 
Logo, a resposta correta é a letra D. 
 
Apostila de Controle 63 
CAPÍTULO 6 
ANÁLISE DE ESTABILIDADE 
6.1 - O CONCEITO DE ESTABILIDADE 
A obtenção de um modelo matemático para um sistema, abordada nos capítulos anteriores, 
tem como uma das razões principais, a necessidade de ser deduzir propriedades dos processos a 
serem controlados, sem que seja preciso realizar-se ensaios exaustivos com o sistema. 
Uma das principais propriedades em engenharia de controle é a da estabilidade. A 
estabilidade nos garante que, após um período transitório, o sistema se fixará em um modo de 
funcionamento permanente, o que pode não ocorrer para um sistema instável. 
Sabendo que um sistema instável poderá exibir uma resposta errática e destrutiva, o controle 
deve se assegurar que o sistema é estável, com uma resposta limitada e controlável. 
Exemplo 6.1 - Caso 1 – pêndulo normal 
 
Figura 6-1: Movimento de um pêndulo simples 
A equação diferencial linearizada do pêndulo simples fornece: 
𝜏 𝜃 ≅ 𝑚𝑙2𝜃 + 𝑚𝑔𝑙𝜃 
Aplicando a transformada de Laplace: 
𝐺 𝑠 =
Θ(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑚𝑙2𝑠2 + 𝑚𝑔𝑙
 
cujos pólos são: 
𝑝1 = 𝑔 𝑙 𝑗 
𝑝2 = − 𝑔 𝑙 𝑗 
Como os pólos são imaginários (ou possuem parte real nula), o sistema apresentado é 
marginalmente estável. 
Apostila de Controle 64 
 
Figura 6-2: Resposta ao impulso de um pêndulo simples. 
Exemplo 6.2 - Caso 2 – pêndulo invertido 
 
Figura 6-3: Movimento de um pêndulo invertido 
A equação diferencial linearizada do pêndulo simples fornece: 
𝜏 𝜃 ≅ 𝑚𝑙2𝜃 − 𝑚𝑔𝑙𝜃 
Aplicando a transformada de Laplace: 
𝐺 𝑠 =
Θ(𝑠)
𝑈(𝑠)
=
1
𝑚𝑙2𝑠2 − 𝑚𝑔𝑙
 
cujos pólos são: 
𝑝1 = 𝑔 𝑙 
𝑝2 = − 𝑔 𝑙 
Como um dos pólos é positivo (ou possui parte real positiva), o sistema apresentado é 
instável. 
 
Figura 6-4: Resposta ao impulso de um pêndulo invertido. 
Existem diversas definições de estabilidade, quase todas equivalentes ao se tratar de 
sistemas lineares. Adotaremos a definição que diz que um sistema qualquer é estável se e somente 
se sua saída for limitada para toda e qualquer entrada limitada. Este enunciado é conhecido como a 
definição BIBO (Bounded Input, Bounded Output) de estabilidade. 
A estabilidade de um sistema linear contínuo pode ser determinada a partir da sua função de 
transferência (ou de sua matriz de transição de estados). Mostra-se que uma condição necessária e 
Apostila de Controle 65 
suficiente para que um sistema seja estável é que todos os pólos de sua função de transferência 
(ou os autovalores da sua matriz de transição de estados) tenham parte real negativa. 
A justificativa intuitiva para esta afirmação vem da análise da resposta transitória (ou 
resposta natural) dos sistemas. Se um sistema tem função de transferência G(s) dada por: 
𝐺 𝑠 =
𝑁𝑈𝑀(𝑠)
𝐷𝐸𝑁(𝑠)
=
𝑁𝑈𝑀(𝑠)
 𝑠 + 𝑠1 𝑠 + 𝑠2 … 𝑠 + 𝑠𝑛 
 
então o seu sinal de saída C(s), para um sinal de entrada R(s), pode ser decomposto em 
frações parciais da seguinte forma: 
𝐶 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑅 𝑠 =
𝑐1
𝑠 + 𝑝1
+
𝑐2
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ +
𝑐𝑛
𝑠 + 𝑝𝑛
+ 𝐶𝑅(𝑠) 
onde CR(s) representa o somatório das frações parciais correspondentes aos termos 
introduzidos pelo sinal de entrada R(s). 
Se r(t) é limitado, a saída cr(t), ou saída forçada, também será limitada, pois a saída forçada 
tem a mesma natureza que o sinal de entrada. Desta forma, a possibilidade de surgimento de um 
sinal de saída ilimitado para uma entrada limitada vem dos termos correspondentes aos pólos da 
função de transferência. 
Há seis tipos de pólos para um sistema, conforme indica a Figura 6-5. Os termos em frações 
parciais correspondentes a cada um deles geram as seguintes componentes no sinal de saída: 
 
Figura 6-5: Possíveis localizações dos pólos e sua influência no sinal de saída 
 Pólos reais negativos: exponencial decrescente 𝑐 𝑡 = 𝑀𝑒−𝑎𝑡 ; 
 Pólos complexos com parte real negativa: senóide exponencialmente amortecida 𝑐 𝑡 =
𝑀𝑒−𝑎𝑡 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 ; 
 Pólos na origem: sinal constante 𝑐 𝑡 = 𝑀; 
 Pólos imaginários puros: senóide constante 𝑐 𝑡 = 𝑀 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 ; 
 Pólos complexos com parte real positiva: senóide exponencialmente crescente 𝑐 𝑡 =
𝑀𝑒𝑎𝑡 sin 𝜔𝑡 + 𝜙 ; 
 Pólos reais positivos: exponencial crescente 𝑐 𝑡 = 𝑀𝑒𝑎𝑡 . 
Se todos os pólos do sistema têm parte real negativa, eles se enquadram nos casos (1) ou 
(2) acima, de modo que gerarão sinais que desaparecerão com o tempo. Assim, pode-se garantir que 
qualquer sinal de entrada limitado gerará um sinal de saída limitado, pois após um temposuficientemente longo, restarão apenas os componentes forçados do sinal de saída. Por 
conseqüência, o sistema será estável. 
Se o sistema tiver ao menos um pólo com parte real positiva, o pólo em questão se 
enquadra em um dos casos (5) ou (6) acima, o que gerará um sinal que tende para infinito. Portanto, 
Apostila de Controle 66 
independentemente de qual seja o sinal de entrada aplicado, o sinal de saída tenderá para infinito e 
conseqüentemente o sistema é instável. 
Quando o sistema tem pólos com parte real nula, que correspondem aos casos (3) e (4) 
acima, o sistema é dito marginalmente estável se todos os demais pólos tiverem parte real 
negativa. Estes sistemas geram sinais de saída limitados para alguns sinais de entrada e ilimitados 
para outros. Como a definição de estabilidade exige que o sinal de saída seja limitado para qualquer 
sinal de entrada limitado, os sistemas marginalmente estáveis são considerados instáveis. 
Exemplo 6.3 - Questões de concursos públicos 
Petrobras 2005 – Engenheiro de Terminais e Dutos 
 
Resposta: B. 
Petrobras 2008 – Engenheiro de Equipamentos Júnior – Terminais e Dutos 
 
Resposta: 
Questão 33: Letra D, pois este item está, na verdade, 
associado aos zeros do sistema: 
Questão 34: 
Letra a) errada, pois a instabilidade é fruto dos pólos. 
Letra b) errada, pois a oscilação é fruto dos pólos. 
Letra c) correta, pois os pólos de malha fechada caminham 
para os zeros de malha aberta, à medida que se aumenta o 
ganho. Ou seja, o sistema será instável para ganhos de 
malha elevados. 
Letra d) errada, pois os zeros de malha aberta serão também 
zeros de malha fechada. 
A letra e) errada, pois para ganhos de malha elevados haverá 
pólos positivos. 
Logo letra C.. 
Apostila de Controle 67 
INMETRO – Tecnologista em Metrologia e Qualidade 
Engenharia Eletrônica Prominp 2009 – Área Elétrica 
 
C E 
 
Letra B 
Eletrosul – Engenheiro (Controle de Automação Industrial) – 2008 
 
Resposta Letra B 
Apostila de Controle 68 
Petrobras – Processamento Júnior - 2004 Petrobras – Engenheiro de Proc. Júnior 2001 
 
Resposta: 161V, 162F, 163F, 164V, 165V. 
 
Resposta: 1V, 2F, 3V, 4F, 5F. 
Petrobras Distribuidora – Profissional Júnior – Formação: Engenharia Eletrônica – Setembro/2008 
 
Resposta: Pelas características apresentadas, o sistema é 
subamortecido e estável. 
Letra D. 
Apostila de Controle 69 
Transpetro – Processamento 2006 
 
Resposta: A Função de Transferência de malha fechada é: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
10
0,5𝑠 + 1
𝑠
×
1
2𝑠 + 1
1 + 10
0,5𝑠 + 1
𝑠
×
1
2𝑠 + 1
 
=
10 0,5𝑠 + 1 
𝑠(2𝑠 + 1) + 10 0,5𝑠 + 1 
=
10 0,5𝑠 + 1 
2𝑠2 + 6𝑠 + 10
 
Logo os pólos são: 
𝑠1,2 =
−6 ± 36 − 4 × 2 × 10
2 × 2
= −
3
2
± 𝒋
 11
2
 
Sistema estável. 
Letra E. 
xxxxxxxx 
 
Resposta: 
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐾(𝑠 + 3)
 𝑠 + 5 
1 +
𝐾(𝑠 + 3)
 𝑠 + 5 
=
𝐾(𝑠 + 3)
𝐾 𝑠 + 3 + 𝑠 + 5
 
=
𝐾(𝑠 + 3)
 1 + 𝐾 𝑠 + 5 + 3𝐾
 
O pólo está em 
−
5 + 3𝐾
1 + 𝐾
 
Que é sempre negativo para qualquer valor de K>0. 
Letra E. 
Apostila de Controle 70 
PETROBRAS DISTRIBUIDORA – PROFISSIONAL JÚNIOR – FORMAÇÃO: ENGENHARIA ELETRÔNICA – SETEMBRO/2008 
 
Resposta: Letra D 
Termoaçu – Eng. de Proc. Júnior – Janeiro/2008 Perito Criminal Federal/2004 
 
Letra E 
 
C 
Apostila de Controle 71 
Petrobras – Engenheiro de Equipamento Júnior 2001 
 
 
Resposta: 1V, 2F, 3F, 4V, 5V. 
6.2 - O CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE ROUTH-HURWITZ 
Por volta de 1800, A. Hurwitz e E.J. Routh publicaram independentemente um método para 
investigar a estabilidade de um sistema linear contínuo, considerando a equação característica do 
sistema. A equação característica é escrita como: 
Δ 𝑠 = 𝑎0𝑠
𝑛 + 𝑎1𝑠
𝑛−1 + ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑠 + 𝑎𝑛 = 0 
Para se afirmar a estabilidade de um sistema contínuo, é necessário que se determine se 
alguma das raízes de Δ 𝑠 = 0 está no semi-plano direito do plano s. Se a equação característica for 
fatorada em termos dos pólos p1,p2,...,pn, temos: 
𝑎0 𝑠 − 𝑝1 𝑠 − 𝑝2 … 𝑠 − 𝑝𝑛 = 0 
Multiplicando-se os fatores, acha-se que: 
Δ 𝑠 = 𝑎0𝑠
𝑛 − 𝑎0 soma de todas as raízes 𝑠
𝑛−1
+ 𝑎0 soma dos produtos das raízes tomadas 2 a 2 𝑠
𝑛−2
− 𝑎0 soma dos produtos das raízes tomadas 3 a 3 𝑠
𝑛−3 + ⋯
+ 𝑎0 −1 
𝑛 produto das 𝑛 raízes = 0 
Este resultado mostra que todos os coeficientes do polinômio devem ter o mesmo sinal se 
todas as raízes estão no semi-plano esquerdo. Além disso, todos os coeficientes devem ser não 
nulos. 
Apostila de Controle 72 
Estas condições, embora necessárias, não são suficientes para garantir a estabilidade. Por 
exemplo, a equação 
𝑠3 + 𝑠2 + 2𝑠 + 8 
satisfaz estas duas condições, mas tem raízes -2 e 0.5±j1.9365, sendo que o par de pólos 
complexos é instável. 
O critério de Routh-Hurwitz é uma condição necessária e suficiente para a estabilidade de 
um sistema. O procedimento se baseia em uma tabela derivada dos coeficientes do polinômio 
característico, montada da seguinte forma: 
𝑠𝑛 𝑎0 𝑎2 𝑎4 𝑎6 ... 
𝑠𝑛−1 𝑎1 𝑎3 𝑎5 𝑎7 ... 
𝑠𝑛−2 𝑏0 𝑏1 𝑏2 ... 
𝑠𝑛−3 𝑐0 𝑐1 ... 
... 
... 
𝑠3 𝑑0 𝑑1 ... 
𝑠2 𝑒0 𝑒1 ... 
𝑠1 𝑓0 
𝑠0 𝑔0 
onde a0, a1, a2, ..., an são os coeficientes do polinômio e: 
𝑏0 =
𝑎1𝑎2 − 𝑎0𝑎3
𝑎1
 𝑏1 =
𝑎1𝑎4 − 𝑎0𝑎5
𝑎1
 𝑏2 =
𝑎1𝑎6 − 𝑎0𝑎7
𝑎1
 
𝑐0 =
𝑏0𝑎3 − 𝑎1𝑏1
𝑏0
 𝑐1 =
𝑏0𝑎5 − 𝑎1𝑏2
𝑏0
 
𝑓0 =
𝑒0𝑑1 − 𝑑0𝑒1
𝑒0
 𝑔0 =
𝑓0𝑒1 − 𝑒0 ∙ 0
𝑓0
= 𝑒1 
Se o polinômio é de ordem n, a tabela de Routh-Hurwitz terá n linhas. As duas últimas 
linhas da tabela (correspondentes a s0 e s1) terão uma coluna; as duas linhas seguintes 
(correspondentes a s2 e s3) terão duas colunas; e assim sucessivamente. Note-se que o último termo 
de todas as linhas pares (linhas correspondentes a s0, s2, s4, etc.) é idêntico. 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz estabelece que o número de raízes da equação 
característica com parte real positiva é igual ao número de mudanças de sinal na primeira coluna da 
tabela. Este critério requer, portanto, que todos os elementos da primeira coluna tenham o mesmo 
sinal para que o sistema seja estável. O resultado não se altera quando todos os coeficientes de uma 
mesma linha são multiplicados ou divididos por um número positivo, o que muitas vezes pode ser 
útil para simplificar o cálculo. 
Exemplo 6.4 - Considere a estabilidade de um sistema cuja Função de Transferência é descrita por: 
𝐺 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑁(𝑠)
𝑠5 + 2𝑠4 + 3𝑠3 + 4𝑠2 + 11𝑠 + 10
 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
Apostila de Controle 73 
𝑠5 1 3 11 
𝑠4 2 4 10 
𝑠3 1 6 
𝑠2 -8 10 
𝑠1 -7.25 
𝑠0 10 
Houve duas mudanças de sinal, o que implica que o sistema tem dois pólos com parte real 
positiva e que, portanto, é instável. Este resultado pode ser confirmado determinando-se as raízes da 
equação característica, que são -1.1066, -1.2066, -1.2501±j1.2944 e 0.8034±j1.4647. Este último 
par de pólos complexos causa a instabilidade do sistema. 
Algumas situações particulares podem ocorrer quando o primeiro elemento de uma linha é 
nulo. Neste contexto, devem ser analisados dois casos distintos: 
 o primeiro elemento da linha é nulo e há pelo menos um outro elemento da mesma linha 
não-nulo; ou 
 todos os elementos de uma linha são nulos (esta situação inclui o caso da linha com um 
único elemento nulo). 
Quando o primeiro elemento de uma linha é nulo e há pelo menos um elemento não-nulo na 
mesma linha, o elemento nulo pode ser substituído por um pequeno número positivo 𝜖; faz-se, em 
seguida, 𝜖 tender a zero e verifica-se o número de mudanças de sinal na tabela. 
Exemplo 6.5 - Determine a estabilidade de um sistema descrito pela função de transferência: 
𝐺 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑁(𝑠)
𝑠5 + 2𝑠4 + 2𝑠3 + 4𝑠2 + 11𝑠 + 10
 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
𝑠5 1 2 11 
𝑠4 2 4 10 
𝑠3 𝜖 6 
𝑠2 4𝜖 − 12
𝜖
 10 
𝑠1−10𝜖
2 + 24𝜖 − 72
4𝜖 − 12
 
𝑠0 10 
Com 𝜖 → 0, tem-se 
Apostila de Controle 74 
𝑠5 1 2 11 
𝑠4 2 4 10 
𝑠3 +0 6 
𝑠2 -∞ 10 
𝑠1 6 
𝑠0 10 
Houve duas mudanças de sinal, o que implica que o sistema tem dois pólos com parte real 
positiva e que, portanto, é instável. Este resultado está correto, tendo em vista que as raízes da 
equação característica são -1.3087, -1.2407±j1.0375 e 0.8950±j1.4561. 
Quando ocorre uma linha com todos os elementos nulos na tabela de Routh-Hurwitz, isto 
indica que o polinômio contém singularidades que estão simetricamente dispostas em torno da 
origem do plano “s”. Logo, ocorrem fatores como 𝑠 + 𝜍 𝑠 − 𝜍 ou 𝑠 + 𝒋𝜔 𝑠 − 𝒋𝜔 . 
Conseqüentemente, o sistema é instável ou, pelo menos, marginalmente estável. 
Nesta situação, a linha que imediatamente precede a linha nula na tabela fornece os 
coeficientes do chamado polinômio auxiliar. As raízes deste polinômio P(s) são os pólos da 
equação característica responsáveis pelo aparecimento da linha nula. 
Exemplo 6.6 - Determine a estabilidade de um sistema descrito pela função de transferência: 
𝐺 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑁(𝑠)
𝑠4 + 3𝑠3 + 6𝑠2 + 12𝑠 + 8
 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
𝑠4 1 6 8 
𝑠3 3 12 
𝑠2 2 8 
𝑠1 0 
𝑠0 ? 
Então 
𝑃 𝑠 = 2𝑠2 + 8 ⇒ 𝑠 = ±𝒋2 
Este sistema tem dois pólos imaginários puros e é, portanto, marginalmente estável. 
Exemplo 6.7 - Um sistema com um ganho ajustável K é descrito pela função de transferência: 
𝐺 𝑠 =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
=
𝑁(𝑠)
𝑠4 + 𝐾𝑠3 + 6𝑠2 + 12𝑠 + 8
 
Determine a faixa de valores de K para os quais o sistema é estável. 
A tabela de Routh-Hurwitz para a equação característica é: 
Apostila de Controle 75 
𝑠4 1 6 8 
𝑠3 K 12 
𝑠2 6𝐾 − 12
𝐾
 8 
𝑠1 −8𝐾
2 + 72𝐾 − 144
6𝐾 − 12
 
𝑠0 8 
Para que o sistema seja estável, é necessário que todos os coeficientes da primeira coluna da 
tabela sejam maiores que zero. Isto leva ao seguinte sistema de inequações: 
 
𝐾 > 0
6𝐾 − 12 > 0
−8𝐾2 + 72𝐾 − 144 > 0
⟹ 
𝐾 > 0
𝐾 > 2
𝐾 > 3 e 𝐾 < 6
 
O sistema será estável se todas as inequações forem satisfeitas simultaneamente. Logo, 
conclui-se que o sistema será estável para qualquer valor do ganho tal que 3<K<6. 
6.3 - ANÁLISE DA ESTABILIDADE RELATIVA 
O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz dá a resposta quanto à questão da estabilidade 
absoluta. Isto, em muitos casos práticos, não é suficiente, pois é freqüente a necessidade de 
informações sobre a estabilidade relativa do sistema. 
A estabilidade relativa de um sistema pode ser definida em termos do tempo de decaimento 
dos termos introduzidos pelos pólos do sistema no seu sinal de saída: quanto menor este tempo, 
maior a estabilidade relativa do sistema. Para sistemas instáveis, este tempo é infinito, o que implica 
em uma estabilidade relativa nula. A propriedade da estabilidade relativa é diretamente relacionada 
à parte real dos pólos do sistema. 
Uma abordagem útil para se examinar a estabilidade relativa é deslocar o eixo imaginário no 
plano s e em seguida aplicar o critério de Routh-Hurwitz no novo polinômio característico. Isto é, 
faz-se a substituição: 
𝑠 = 𝑠 − 𝜍 𝜍 constante 
na equação característica do sistema,escreve-se o novo polinômio em termos de 𝑠 e aplica-se 
o critério neste novo polinômio. O número de mudanças de sinal na primeira coluna da tabela será 
igual ao número de raízes do polinômio original que estão localizados à direita da linha vertical 
𝑠 = 𝜍. 
Apostila de Controle 76 
Exemplo 6.8 - Questões de concursos públicos 
DECEA – Técnico de Defesa Aérea e Controle De Tráfego Aéreo – Área: Engenharia Eletrônica – Junho/2006 
 
Resposta: A Função de Transferência de malha fechada é: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
1
𝑠 − 1
1 +
1
𝑠 − 1
∙
𝐾(𝑠 + 2)
𝑠 + 3
×
 𝑠 − 1 𝑠 + 3 
 𝑠 − 1 𝑠 + 3 
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝑠 + 3
 𝑠 − 1 𝑠 + 3 + 𝐾(𝑠 + 2)
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝑠 + 3
𝑠2 + 2𝑠 − 3 + 𝐾(𝑠 + 2)
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝑠 + 3
𝑠2 + 𝐾 + 2 𝑠 − 3 + 2𝐾
 
Aplicando Routh-Hurwitz: 
𝑠2 1 2𝐾 − 3 
𝑠1 𝐾 + 2 
𝑠0 2𝐾 − 3 
Ou seja, K>1,5. 
 
Letra E. 
Processamento Júnior – 2006 
 
Resposta: A equação característica é: 
𝑠3 + 6𝑠2 + 11𝑠 + 6 + 6𝐾𝑐 = 0 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se que: 
𝑠3 1 11 
𝑠2 6 6+6Kc 
𝑠1 66 − 6 − 6𝐾𝑐
6
 
𝑠0 6+6Kc 
Logo, tem-se que 0<Kc<10, Letra A. 
Apostila de Controle 77 
Petrobrás – Engenharia Química 2008 
 
Resposta:: A equação característica fica sendo: 
𝑇𝑇𝑖𝑠
2 + 1 = 0 
Logo, letra B. 
Termoaçu - 2008 
 
Resposta: 
Questão 29: A equação característica é: 
𝑠3 + 25𝑠2 + 100𝑠 + 𝐾 = 0 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se que: 
𝑠3 1 100 
𝑠2 25 K 
𝑠1 2500 − 𝐾
25
 
𝑠0 K 
Logo, tem-se que 0<K<2500. 
Letra A. 
Questão 30: Considerando que para K=2500 a os pólos 
estarão sobre o eixo imaginário, substituindo-se s por jw, 
tem-se: 
A equação característica pode ser escrito como: 
 𝒋𝜔 3 + 25 𝒋𝜔 2 + 100𝒋𝜔 + 2500 = 0 
Logo: 
−𝒋𝜔3 − 25𝜔2 + 100𝒋𝜔 + 2500 = 0 
Donde: 
𝜔 = 10 
Letra B. 
Apostila de Controle 78 
REFAP – Engenheiro de Equipamentos Júnior – Eletrônica – Julho/2007 
 
Resposta: A equação característica é: 
𝑠3 + 14𝑠2 + 40𝑠 + 𝐾 = 0 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se que: 
𝑠3 1 40 
𝑠2 14 K 
𝑠1 560 − 𝐾
40
 0 
𝑠0 K 
Logo, tem-se que K=560. 
Letra D. 
xxxxxxxx 
 
Resposta: 
Questão 34: Da própria definição de sobre-elevação, letra B. 
Questão 35: Aplicando o critério de Routh-Hurwitz: 
𝑠3 1 5 
𝑠2 1 2+Kc 
𝑠1 5 − 2 − 𝐾𝑐
1
 
𝑠0 2+Kc 
Logo, tem-se que 0<Kc<3. 
Letra D. 
Apostila de Controle 79 
IBGE –Engenharia Elétrica – Janeiro/2010 
 
Resposta: 
41. A Função de Transferência de malha fechada é: 
𝑌 𝑠 
𝑈 𝑠 
=
𝑠 + 10
𝑠 − 2
1 +
𝑠 + 10
𝑠 − 2
∙
𝐾(𝑠 + 5)
𝑠 + 1
×
 𝑠 − 2 𝑠 + 1 
 𝑠 − 2 𝑠 + 1 
 
𝑌 𝑠 
𝑈 𝑠 
=
 𝑠 + 10 𝑠 + 1 
 𝑠 − 2 𝑠 + 1 + 𝐾(𝑠 + 5)(𝑠 + 10)
 
𝑌 𝑠 
𝑈 𝑠 
=
𝑠 + 3
𝑠2 − 𝑠 − 2 + 𝐾(𝑠2 + 15𝑠 + 50)
 
𝑌 𝑠 
𝑈 𝑠 
=
𝑠 + 3
 𝐾 + 1 𝑠2 + 15𝐾 − 1 𝑠 − 2 + 50𝐾
 
Aplicando Routh-Hurwitz: 
𝑠2 𝐾 + 1 50𝐾 − 2 
𝑠1 15𝐾 − 1 
𝑠0 50𝐾 − 2 
Ou seja: 
 
15𝐾 − 1 > 0 ⟹ 𝐾 >
1
15
50𝐾 − 2 > 0 ⟹ 𝐾 >
1
25
 
Logo: 
𝐾 >
1
15
 
Letra C. 
42. A equação característica é: 
 𝐾 + 1 𝑠2 + 15𝐾 − 1 𝑠 − 2 + 50𝐾 = 0 
Se s=-8 é um pólo do sistema, tem-se que: 
 𝐾 + 1 −8 2 + 15𝐾 − 1 −8 − 2 + 50𝐾 = 0 
64𝐾 + 64 − 120𝐾 + 8 − 2 + 50𝐾 = 0 
−6𝐾 + 70 = 0 
𝐾 =
70
6
=
35
3
 
Letra A. 
Apostila de Controle 80 
Petrobras Distribuidora – Profissional Júnior – Formação: Engenharia Eletrônica – Setembro/2008 
 
Resposta: A Função de Transferência de malha fechada é: 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐾
𝑠 + 8
∙
10𝜏
𝑠(𝜏𝑠 + 1)
1 +
𝐾
𝑠 + 8
∙
10𝜏
𝑠(𝜏𝑠 + 1)
×
 𝑠 + 8 𝑠(𝜏𝑠 + 1)
 𝑠 + 8 𝑠(𝜏𝑠 + 1)
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐾 ∙ 10𝜏
𝑠 𝑠 + 8 𝜏𝑠 + 1 + 𝐾 ∙ 10𝜏
=
2,5𝐾
𝜏𝑠3 + 8𝜏 + 1 𝑠2 + 8𝑠 + 2,5𝐾
 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
2,5𝐾
0,25𝑠3 + 3𝑠2 + 8𝑠 + 2,5𝐾
 
Ou seja, a equação característica é: 
0,25𝑠3 + 8,25𝑠2 + 8𝑠 + 2,5𝐾 = 0 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se que: 
𝑠3 0,25 8 
𝑠2 3 2,5K 
𝑠1 24 − 0,625𝐾
3
 0 
𝑠0 2,5K 
Logo, tem-se que K=38,4. 
Letra C. 
Apostila de Controle 81 
Casa da Moeda do Brasil – Engenheiro de DECEA – Técnico de Defesa Aérea e Controle De 
Processos Industriais – Dezembro/2009 Tráfego Aéreo – Área: Eng. Eletrônica – Junho/2006 
 
Letra E 
 
Letra D 
Apostila de Controle 82 
Petrobras Distribuidora – Profissional Júnior – Formação: Engenharia Eletrônica – Setembro/2008 
 
 
Resposta: Pelo gráfico mostrado, o sistema possui uma 
Função de Transferência de Malha aberta igual a: 
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝑠 𝑠 + 2 (𝑠 + 8)
 
Logo, a Função de Transferência de Malha Fechada será: 
𝐺𝑀𝐹 𝑠 =
𝐾
𝑠 𝑠 + 2 (𝑠 + 8)
1 +
𝐾
𝑠 𝑠 + 2 (𝑠 + 8)
 
𝐺𝑀𝐹 𝑠 =
𝐾
𝑠 𝑠 + 2 (𝑠 + 8) + 𝐾
 
Ou seja, a equação característica é: 
𝑠3 + 10𝑠2 + 16𝑠+ 𝐾 = 0 
Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, tem-se que: 
𝑠3 1 16 
𝑠2 10 K 
𝑠1 160 − 𝐾
10
 0 
𝑠0 K 
Logo, tem-se que K=160. 
Letra D. 
 
Apostila de Controle 83 
CAPÍTULO 7 
ANÁLISE EM REGIME PERMANENTE 
7.1 - INTRODUÇÃO 
A propriedade da estabilidade nos garante que, após um período transitório, o sistema se 
fixará em um modo de funcionamento permanente. 
Já a análise em regime permanente se preocupa não apenas em ter certeza que o sistema 
estabilizará em um modo de comportamento estável, mas também em garantir que este modo de 
comportamento para o qual o sistema vai evoluir corresponde ao comportamento desejado. 
Dito de outra forma, trata-se da análise de chamado erro estacionário, ou erro de regime, do 
sistema, que constitui o principal conceito abordado neste capítulo. 
7.2 - ERRO ESTACIONÁRIO 
Pode-se definir o erro estacionário, ou erro de regime como a diferença entre os sinais de 
entrada e de saída depois que todos os sinais transitórios decaíram, deixando apenas a resposta 
permanente no sinal de saída. Esta análise, evidentemente, só faz sentido para sistemas estáveis. 
A diminuição da sensibilidade do erro estacionário às variações nos parâmetros do sistema é 
uma das principais razões para se utilizar realimentação em sistemas de controle. Isto pode ser 
demonstrado calculando-se o erro de regime para os dois tipos de sistemas. 
 
Figura 7-1: Sistemas típicos em malha aberta e em malha fechada 
Para um sistema em malha aberta da Figura 7-1, a Transformada de Laplace do erro é: 
𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐶 𝑠 = 1 − 𝐺 𝑠 𝑅(𝑠) 
Já o erro do sistema com realimentação negativa unitária é tal que: 
𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐶 𝑠 = 1 − 𝐺𝑀𝐹 𝑠 𝑅 𝑠 = 1 −
𝐺 𝑠 
1 + 𝐺 𝑠 
 𝑅 𝑠 = 
1
1 + 𝐺 𝑠 
 𝑅 𝑠 
Para calcular o valor estacionário do erro 𝑒𝑟𝑝 , utiliza-se o teorema do valor final da 
transformada de Laplace: 
𝑒𝑟𝑝 = lim
𝑡→∞
𝑒 𝑡 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠) 
Utilizando uma entrada degrau unitário nos dois sistemas para efeito de comparação, obtém-
se para o sistema em malha aberta: 
𝑒𝑟𝑝 = lim
𝑠→0
𝑠 1 − 𝐺 𝑠 𝑅 𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠 1 − 𝐺 𝑠 
1
𝑠
= lim
𝑠→0
 1 − 𝐺 𝑠 = 1 − 𝐺(0) 
Para o sistema em malha fechada, tem-se: 
lim
𝑠→0
𝑠 
1
1 + 𝐺(𝑠)
 
1
𝑠
=
1
1 + 𝐺(0)
 
Apostila de Controle 84 
O valor de G(s) quando s=0 é normalmente denominado ganho CC, pois dá o fator de 
multiplicação em regime entre entrada e saída para uma entrada degrau. 
Nota-se que o sistema em malha aberta pode ter um erro estacionário nulo simplesmente 
ajustando-se o valor do ganho CC para que o sistema tenha G(0)=1. Qual é a vantagem do sistema 
em malha fechada neste caso? 
No sistema em malha aberta, pode-se calibrar o sistema de forma que G(0)=1, mas durante a 
operação do sistema é inevitável que os parâmetros de G(s) mudem por envelhecimento ou por 
mudança das condições do ambiente. Como se trata de um sistema em malha aberta, o erro 
estacionário permanecerá diferente de zero até que o sistema seja recalibrado. Já o sistema em 
malha fechada continuamente monitora o erro e gera um sinal de entrada para a planta de forma a 
reduzir o valor de regime do erro. 
A menor sensibilidade a variações nos parâmetros dos sistemas em malha fechada pode ser 
percebida em um exemplo. Seja uma planta com função de transferência: 
𝐺 𝑠 =
𝐾
𝜏𝑠 + 1
 
O erro estacionário em malha aberta é: 
𝑒𝑟𝑝 = 1 − 𝐺 0 = 1 − 𝐾 
Este erro pode ser feito nulo adotando-se K=1. Para o sistema em malha fechada, 
𝑒𝑟𝑝 =
1
1 + 𝐺(0)
=
1
1 + 𝐾
 
Neste caso, o erro nunca é nulo. Pode-se reduzi-lo adotando-se um ganho elevado. Por 
exemplo, para K=100, o erro estacionário seria de erp=0.0099. Comparando-se estas duas situações, 
a configuração em malha aberta parece ser superior. 
A vantagem da realimentação aparece quando ocorrem variações nos parâmetros. Por 
exemplo, vamos supor uma variação de 20% no valor do ganho K. No sistema em malha fechada, o 
ganho passar de K=1 a K=0.8 faz com que o erro em regime passe de erp=0.0099 a erp=0.012. 
Ou seja, uma variação de 20% no valor do ganho se reflete integralmente no sinal de saída 
no caso em malha aberta, enquanto que no sistema em malha fechada ocorre uma variação de 
apenas 0.21% no valor do sinal de saída. 
7.3 - ERRO ATUANTE ESTACIONÁRIO 
Para sistemas realimentados, além do erro tradicional (diferença entre o sinal de entrada e o 
sinal de saída), define-se também o erro atuante ea(t), que é a diferença entre o sinal de entrada e o 
sinal realimentado. A Figura 7-2 ilustra esta definição do erro atuante: note-se que, para sistemas 
com realimentação negativa unitária onde H(s)=1, o erro e o erro atuante são equivalentes. 
 
Figura 7-2: Definição do erro atuante 
Da Figura 7-2: 
Apostila de Controle 85 
𝐸𝑎 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐻 𝑠 𝐶 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐻 𝑠 𝐺 𝑠 𝐸𝑎 𝑠 ⟹ 𝐸𝑎 𝑠 =
1
1 + 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 
𝑅(𝑠) 
Da mesma forma que para o erro, pode-se calcular o erro atuante estacionário (ou seja, o 
valor de regime do erro atuante) utilizando o teorema do valor final da transformada de Laplace: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑡→∞
𝑒𝑎 𝑡 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸𝑎 𝑠 = lim
𝑠→0
𝑠𝑅(𝑠)
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
 
Ou seja, é a função de transferência de malha aberta 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠) que determina o erro atuante 
estacionário. 
Esta função de transferência pode ser escrita de forma geral como: 
𝐺 𝑠 𝐻 𝑠 =
𝐾 𝑠 + 𝑧𝑖 
𝑀
𝑖=1
𝑠𝑁 𝑠 + 𝑝𝑘 
𝑄
𝑘=1
 
O número N de integradores puros (ou seja, pólos na origem) da função de transferência em 
malha aberta do sistema é freqüentemente denominado o tipo do sistema. 
É útil, para efeito de comparação, determinar-se o erro atuante estacionário para três 
entradas bastante usuais em análise de sistemas de controle: entrada degrau, entrada rampa e 
entrada parábola. 
7.3.1 - Entrada degrau 
O erro atuante estacionário para uma entrada degrau unitário r(t)=1 é: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
𝑠 ∙ 1 𝑠 
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
= lim
𝑠→0
1
1 + 𝐺 0 𝐻(0)
= lim
𝑠→0
1
1 +
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑠𝑁 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
 
a) Sistema Tipo 0 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
1 +
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑠0 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= lim
𝑠→0
1
1 +
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
=
1
1 + 𝐾𝑝
 
Sendo Kp denominada constante de erro de posição. 
b) Sistema Tipo 1 ou maior 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
1 +
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑠𝑁 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= lim
𝑠→0
1
1 +
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
0𝑁 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= lim
𝑠→0
1
1 + ∞
= 0 para 𝑁 ≥ 1 
7.3.2 - Entrada rampa 
O erro atuante estacionário para uma entrada rampa unitária r(t)=t é de: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
𝑠 1 𝑠2 
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
= lim
𝑠→0
1
𝑠 + 𝑠𝐺 0 𝐻(0)
= lim
𝑠→0
1
𝑠𝐺 0 𝐻(0)
 
Apostila de Controle 86 
a) Sistema Tipo 0 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝑠𝐺 0 𝐻(0)
= lim
𝑠→0
1
0 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= ∞ 
b) Sistema Tipo 1 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝑠 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑠 ∙ 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
=
1
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
=
1
𝐾𝑣
 
onde a constante Kv é denominada constante de erro de velocidade. 
c) Sistema Tipo 2 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝑠 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑠𝑁 ∙ 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
=
1
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
0𝑁−1 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
=
1
∞
= 0 para 𝑁 ≥ 2 
7.3.3 - Entrada parábola 
O erro atuante estacionário para uma entrada parábola unitária 𝑟 𝑡 = 𝑡2 2 é de: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
𝑠 1 𝑠3 
1 + 𝐺 𝑠 𝐻(𝑠)
= lim
𝑠→0
1
𝑠2 + 𝑠2𝐺 0 𝐻(0)
= lim
𝑠→0
1
𝑠2𝐺 0 𝐻(0)
= lim
𝑠→0
1
𝑠2 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
𝑠𝑁 ∙ 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
 
Logo, tem-se: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝑠2−𝑁 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
 
a) Sistema Tipo 0 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝑠2−0 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= lim
𝑠→0
1
𝑠2 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= ∞ 
b) Sistema Tipo 1 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝑠2−1 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= lim
𝑠→01
𝑠 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= ∞ 
Apostila de Controle 87 
c) Sistema Tipo 2 
Neste caso, tem-se que: 
𝑒𝑎𝑅𝑃 = 𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝑠2−2 ∙
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
= 𝑒𝑎𝑅𝑃 = lim
𝑠→0
1
𝐾 𝑧𝑖
𝑀
𝑖=1
 𝑝𝑘
𝑄
𝑘=1
=
1
𝐾𝑎
 
onde a constante Ka é denominada constante de erro de aceleração. Para sistemas tipo 3 ou 
superior, o erro estacionário para entrada parábola é nulo. 
O sumário do erro atuante estacionário para as três entradas principais dos vários tipos de 
sistemas é sumarizado na Tabela 7-1. Se o sistema em malha aberta tem p integradores, então o 
erro será zero em regime (desde que o sistema em malha fechada seja estável) para sinais de 
referência que são polinômios de ordem menor ou igual a p-1. Para o caso mais freqüente da 
entrada degrau (polinômio de ordem zero), é importante lembrar que um único pólo na origem 
garante o erro atuante estacionário nulo. 
Tabela 7-1: Sumário das fórmulas de cálculo do erro atuante estacionário. 
Tipo do sistema 
Entrada 
Degrau Rampa Parábola 
0 
1
1 + 𝐾𝑝
 ∞ ∞ 
1 0 
1
𝐾𝑣
 ∞ 
2 0 0 
1
𝐾𝑎
 
3 0 0 0 
Como ilustração, a Figura 7-3 apresenta o comportamento esperado de um sistema tipo 1 
com realimentação negativa unitária para os três tipos de entrada. O sinal de saída do sistema segue 
perfeitamente uma entrada degrau, acompanha com atraso constante uma entrada rampa e se 
distancia cada vez mais de uma entrada parábola. 
 
Figura 7-3: Comportamento de um sistema tipo 1 para vários tipos de entrada. 
Apostila de Controle 88 
Exemplo 7.1 - Questões de concursos públicos 
Petrobras – Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior – Eletrônica – Agosto/2007 
 
Resposta: E E C C. 
PETROBRAS – ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR ELÉTRICA – MARÇO/2010 
 
Resposta: Letra A. 
Apostila de Controle 89 
CAPÍTULO 8 
CONTROLE CLÁSSICO DE SISTEMAS 
8.1 - DEFINIÇÕES 
Um controlador de um sistema é um dispositivo eletrônico, pneumático, hidráulico ou 
mecânico que compara a situação atual da planta (o estado da planta, dado pela sua posição, 
velocidade, tensão, etc.) que se quer controlar, determina a seguir o desvio ou erro com relação a 
uma referência fornecida e produz um sinal de controle no atuador que, por sua vez, leva o sistema 
a reduzir ou anular este erro. A Figura 8-1 mostra um esquema simplificado de um controlador. 
Num sistema controlado pode haver um conjunto de atuadores que transformam o sinal do 
controlador numa ação exercida na planta, e um conjunto de sensores, que medem o estado da 
planta e condicionam esta medida para o controlador. Percebe-se na Figura 8-1 que o controlador 
define uma malha fechada, isto é, ele avalia a atuação para modificar o estado da planta a partir do 
estado dela. Embora os controladores em malha fechada sejam mais comuns, existem casos de 
controladores em malha aberta, que não necessitam conhecer o estado da planta. 
 
Figura 8-1: Esquema simplificado do controle de uma planta 
A teoria envolvendo a forma como o controlador transforma o erro (ou então as informações 
do estado e da referência) num sinal de controle é bastante vasta e são inúmeros os tipos de 
controladores diferentes (H∞, robusto, não linear, adaptativo, escalonado, fuzzy ou lógica nebulosa, 
neural, etc.). Porém, os principais tipos de controle utilizados na indústria, e que se adaptam 
facilmente a sistemas lineares são: 
 Controladores on-off, de duas posições, ou bang-bang 
 Controladores proporcionais (P) 
 Controladores integrais (I) 
 Controladores proporcionais-integrais (PI) 
 Controladores proporcionais-derivativos (PD) 
 Controladores proporcionais-integrais-derivativos (PID) 
A função do atuador é transformar o sinal do controlador, de baixa potência, num sinal ou 
força de alta potência, suficiente para modificar o estado da planta. Os sensores ou elementos de 
medida transformam a saída da planta (estado) que pode ser posição, pressão, voltagem, etc., em 
outro tipo de sinal que seja compatível com a forma utilizada pelo controle. Em geral os sistemas de 
controle necessitam de um suprimento externo de energia para poderem operar. Nos controles auto-
operados não há essa necessidade. 
8.2 - CONTROLE ON-OFF 
Num sistema de controle liga-desliga o elemento de atuação pode assumir apenas dois 
estados, ou duas posições; em geral ligado e desligado. Uma variação do controle liga-desliga é o 
Apostila de Controle 90 
controle bang-bang, no qual há uma terceira possibilidade: ligado, desligado ou invertido. Nos 
controladores liga-desliga a atuação é obtida em função do sinal do erro, por exemplo: 
𝑢 𝑡 = 𝑢1 = const, para 𝑒 𝑡 > 0 
𝑢 𝑡 = 𝑢2 = const, para 𝑒 𝑡 ≤ 0 
ou ainda 
𝑢 𝑡 = 𝑈 = const, para 𝑒 𝑡 > 0 
𝑢 𝑡 = 𝑈 = const, para 𝑒 𝑡 = 0 
𝑢 𝑡 = 𝑈 = const, para 𝑒 𝑡 < 0 
Exemplos destes controladores são válvulas pneumáticas operadas por solenóides elétricos, 
válvulas hidráulicas, chaves elétricas, etc. Considere, por exemplo, um sistema de controle de nível 
como indicado na Figura 8-2. 
Quando o nível do tanque é baixo a bóia provoca o fechamento do interruptor elétrico, 
causando a abertura da válvula operada pelo solenóide, e liberando assim a entrada de líquido. Se o 
fornecimento de água (vazão de entrada) for maior do que a retirada (vazão de saída), então a altura 
de líquido no tanque irá subir. Quando for atingido o nível de operação, a bóia sobe e abre a chave, 
o que fecha o fornecimento de água. Um problema bastante comum em controladores do tipo liga-
desliga é o rápido chaveamento que ocorre quando o erro está próximo de zero, ou seja, quando o 
sistema está operando perto do ponto de operação. 
Nesta situação, pequenos deslocamentos fazem com que o atuador (válvula) ligue e desligue 
em intervalos curtos de tempo, o que provoca um desgaste rápido do atuador. Para evitar este 
chaveamento rápido, introduz-se uma zona morta ou uma lacuna diferencial no ponto de 
operação, fazendo com que o controle fique desligado sempre que o estado estiver próximo (e não 
apenas igual) do ponto de operação. O controle passa a ser dado então por: 
𝑢 𝑡 = 𝑢1 , para 𝑒 𝑡 > 𝜀1 
𝑢 𝑡 = 𝑢2 , para 𝑒 𝑡 ≤ 𝜀2 
onde 𝜀1 e 𝜀2 são constantes escolhidas com base na freqüência desejada de chaveamento. Em geral 
𝜀1 é positivo 𝜀2 é negativo. A representação por diagrama de blocos de um controlador com zona 
morta 
 
Figura 8-2: Controle de nível num tanque do tipo liga-desliga 
 
Figura 8-3: Diagrama de blocos de um liga-desliga (a), e liga-desliga com zona morta (b). 
Apostila de Controle 91 
Num sistema com controlador liga-desliga com zona morta, a resposta fica oscilando entre 
os valores mínimo e máximo da zona morta, e entre os extremos o sistema segue a sua própria 
dinâmica, uma vez que não há atuação dentro da zona morta. A Figura 8-4 mostra o 
comportamento típico de um sistema sujeito a um controle liga-desliga com zona morta. No 
exemplo do controlador de nível, se 𝑕0 for a altura a ser controlada, o controle com zona morta seria 
na forma: ligar se 𝑕 < 𝑕0 − 𝜀, e desligar se 𝑕 > 𝑕0 + 𝜀 
 
Figura 8-4: Comportamento de um sistema com controlador liga-desliga com zona-morta. 
8.3 - CONTROLADORES PROPORCIONAIS (P) 
Num controlador com ação proporcional de controle, a atuação é proporcional ao sinal do 
erro e(t), ou seja, quanto maior o erro, maior será a atuação. Se o sinal do controle for representado 
por u(t), então num controle proporcional tem-se: 
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒(𝑡) 
ou, aplicando a transformada de Laplace: 
𝑈 𝑠 = 𝐾𝑝𝐸(𝑠) 
onde 𝐾𝑝 é uma constante conhecida como ganho proporcional. Um sistema controlado por um 
controlador proporcional e cuja função de transferência é dada por G(s) possui um diagrama de 
blocos semelhante ao mostrado na Figura 8-5. A função resultante do sistema controlado fica então 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐾𝑝𝐺 𝑠 
1 + 𝐾𝑝𝐺 𝑠 
 
 
Figura 8-5: Diagrama de blocos de um sistema com controle proporcional 
 
Figura8-6: Relação entrada saída para um controlador proporcional 
8.4 - CONTROLADORES INTEGRAIS (I) 
A ação de um controlador integral muda de forma proporcional ao sinal de erro, ou seja 
Apostila de Controle 92 
𝑑𝑢
𝑑𝑡
= 𝐾𝑖𝑒(𝑡) 
cuja transformada de Laplace vale: 
𝑠𝑈 𝑠 = 𝐾𝑖𝐸(𝑠) 
onde 𝐾𝑖 é também constante, conhecida como ganho integral. 
Em termos de diagrama de blocos, o controlador integral, num sistema com função de 
transferência 𝐺(𝑠), fica como mostrado na 
Figura 8-7. A função de transferência do sistema controlado fica 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐾𝑖𝐺 𝑠 
𝑠 + 𝐾𝑖𝐺 𝑠 
 
 
 
Figura 8-7: Diagrama de blocos de um sistema com controle integral.
 
Figura 8-8: Relação entrada saída para um controlador integral. 
8.5 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL (PI) 
Pode-se agrupar os dois tipos de controladores vistos até agora em um único controlador. 
Este controle é denominado de proporcional-integral (PI) e a atuação é a soma das atuações 
proporcional e integral, ou seja 
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 + 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 
É conveniente expressar o ganho integral 𝐾𝑖 em termos do tempo integral, 𝑇𝑖 , dado pela 
relação entre 𝐾𝑝 e 𝐾𝑖 . Neste caso o controle fica 
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 +
𝐾𝑝
𝑇𝑖
 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑃 1 +
1
𝑇𝑖𝑠
 
Apostila de Controle 93 
O diagrama de blocos de um controle proporcional integral de uma planta cuja função de 
transferência vale 𝐺(𝑠) é apresentado na Figura 8-9(a). A Figura 8-9(b) mostra uma simplificação 
do controle do diagrama anterior. A função de transferência do sistema controlado fica 
𝐶 𝑠 
𝑅 𝑠 
=
𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑖𝑠 𝐺 𝑠 
𝑇𝑖𝑠 + 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑖𝑠 𝐺 𝑠 
 
 
Figura 8-9: Diagrama de blocos de um sistema com controle proporcional-integral (a) e diagrama 
simplificado (b). 
 
Figura 8-10: Relação entrada saída para um controlador proporcional-integral 
8.6 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-DERIVATIVO (PD) 
A ação do controle derivativo é proporcional à variação do erro, isto é, quanto maior for a 
taxa de variação do erro, ou a velocidade com que o erro varia, maior será a ação derivativa. O 
controle PD agrupa o controle proporcional, adicionado ao controle derivativo, na forma 
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 + 𝐾𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
 
O ganho derivativo, 𝐾𝑑 , pode ser posto em função do ganho proporcional e do tempo 
derivativo, 𝑇𝑑 = 𝐾𝑑 𝐾𝑝 . A transformada de Laplace do controlador PD é dada por 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑃 1 + 𝑇𝑑𝑠 
 
Figura 8-11: Diagrama de blocos de um sistema com controle proporcional-derivativo. 
Apostila de Controle 94 
 
Figura 8-12: Relação entrada saída para um controlador proporcional-derivativo. 
O diagrama de blocos mostrado na Figura 8-11 representa um controlador PD de uma 
planta com função de transferência dada por 𝐺(𝑠). A função de transferência do sistema completo é 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 𝐺(𝑠)
1 + 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 𝐺(𝑠)
 
8.7 - CONTROLADOR PROPORCIONAL-INTEGRAL-DERIVATIVO (PID) 
O controlador PID é o mais abrangente dos controladores proporcionais, porque engloba as 
ações proporcional, integral e derivativa. A ação do PID é dada por 
𝑢 𝑡 = 𝐾𝑝𝑒 𝑡 +
𝐾𝑖
𝑇𝑖
 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐾𝑝𝑇𝑑
𝑑𝑒(𝑡)
𝑑𝑡
 
cuja transformada de Laplace fica 
𝑈(𝑠)
𝐸(𝑠)
= 𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 +
1
𝑇𝑖𝑠
 = 𝐾𝑝
𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠
2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1
𝑇𝑖𝑠
 
Na forma de diagrama de blocos o controle PID é mostrado na Figura 8-13, cuja função de 
transferência do sistema controlado fica dada por 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑝 𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠
2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1 𝐺(𝑠)
1 + 𝐾𝑝 𝑇𝑑𝑇𝑖𝑠2 + 𝑇𝑖𝑠 + 1 𝐺(𝑠)
 
 
Figura 8-13: Diagrama de blocos de um sistema com controle proporcional-integral-derivativo. 
 
Figura 8-14: Relação entrada saída para um controlador proporcional-integral-derivativo. 
Apostila de Controle 95 
8.8 - COMENTÁRIOS: 
Um controlador proporcional, nada mais é, do que um ganho. Este é utilizado em situações 
quando uma resposta transitória e uma resposta em regime são satisfatórias simplesmente 
adicionando-se um ganho ao sistema, sem a necessidade de compensação dinâmica. 
Um controlador PI é utilizado para melhorar a resposta de Regime Permanente. Este tipo de 
controlador apresenta um pólo na origem. 
Um controlador PD é utilizado para melhorar a resposta transitória de um sistema. Este tipo 
de controlador adiciona ao sistema um zero. 
Um controlador PID é utilizado para melhorar tanto a resposta transitória, como a resposta 
de Regime Permanente. Este tipo de controlador adiciona ao sistema 2 zeros e 1 pólo. 
Apostila de Controle 96 
CAPÍTULO 9 
EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE 
9.1 - SISTEMAS COM ERRO EM REGIME PERMANENTE 
9.1.1 - Ação de controle proporcional (P) 
Analisemos inicialmente o caso de uma planta cujo modelo seja um sistema de 1ª ordem, 
com a seguinte função de transferência 
𝐺 𝑠 =
1
𝜏𝑠 + 1
 
O sistema em malha-fechada é mostrado abaixo: 
 
Figura 9-1: Diagrama de blocos de um sistema dinâmico de primeira ordem com controlador P. 
A função de transferência em malha fechada do sistema é representada pela expressão, 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑝
𝜏𝑠 + 1 + 𝐾𝑝
 
onde R(s) é a entrada de referência. 
Deseja-se agora analisar a resposta do sistema para uma entrada degrau-unitário. Se r(t) é 
um degrau-unitário, a transformada de Laplace da função de saída será: 
𝐶 𝑠 =
𝐾𝑝
𝜏𝑠 + 1 + 𝐾𝑝 
1
𝑠
=
𝐾𝑝
1 + 𝐾𝑝
1
𝑠
1
𝜏
1 + 𝐾𝑝
𝑠 + 1
 
que manipulando fica: 
𝐶 𝑠 =
𝐾𝑝
1 + 𝐾𝑝
 
1
𝑠
−
𝜏
1 + 𝐾𝑝
𝜏
1 + 𝐾𝑝
𝑠 + 1
 =
𝐾𝑝
1 + 𝐾𝑝
 
1
𝑠
−
1
𝑠 +
1 + 𝐾𝑝
𝜏
 
Aplicando a transformação inversa de Laplace, resulta: 
𝑐(𝑡) =
𝐾𝑝
1 + 𝐾𝑝
 1 − 𝑒−
1+𝐾𝑝
𝜏
𝑡 
Tem-se, neste caso, que a constante de tempo em malha fechada é 
𝜏𝑚𝑓 =
𝜏
1 + 𝐾𝑝
 
e o erro de regime permanente é igual a 
Apostila de Controle 97 
1
1 + 𝐾𝑝
 
 
Figura 9-2: Comportamento dinâmico do sistema da Figura 9-1 considerando =1. 
Portanto, quanto maior for o ganho Kp menor será o erro de regime permanente e a constante 
de tempo. 
Verifica-se que a presença de um erro de regime permanente é característica do controlador 
proporcional. Para eliminá-lo é necessário introduzir no controlador uma ação integral. 
9.1.2 - Ação de controle integral (I) 
Conforme foi visto no item anterior, a adição de um controlador do tipo proporcional, a uma 
planta cuja função de transferência não apresenta um integrador 1 𝑠 , haverá um erro de regime 
permanente, na resposta ao degrau. Este erro pode ser eliminado adicionando-se uma ação integral 
ao controlador (pólo na origem). 
 
Figura 9-3: Diagrama de blocos de um sistema dinâmico de primeira ordem com controlador I. 
𝐶(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑖
𝑠 𝜏𝑠 + 1 
1 +
𝐾𝑖
𝑠 𝜏𝑠 + 1 
=
𝐾𝑖
𝜏𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑖
 
O sinal de erro é dado por: 
𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐶 𝑠 = 𝑅 𝑠 −
𝐾𝑖
𝜏𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑖
𝑅 𝑠 = 1 −
𝐾𝑖
𝜏𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑖
 𝑅(𝑠) 
Logo: 
𝐸 𝑠 =
𝜏𝑠2 + 𝑠
𝜏𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑖
𝑅(𝑠) 
Portanto, o erro produzido para uma entrada degrau unitário, resulta: 
Apostila de Controle 98 
𝐸 𝑠 = 
𝜏𝑠2 + 𝑠
𝜏𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑖
 
1
𝑠
 
Para obtermos o erro em regime permanente, utiliza-se o teorema do valor final. 
𝑒𝑟𝑝 = lim
𝑡→∞
𝑒 𝑡 = lim
𝑠→𝑜
𝑠𝐸(𝑠) = lim
𝑠→𝑜
𝑠 
𝜏𝑠2 + 𝑠
𝜏𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑖
 
1
𝑠
= lim
𝑠→𝑜
𝜏𝑠2 + 𝑠
𝜏𝑠2 + 𝑠 + 𝐾𝑖
= 0 
 
Figura 9-4: Comportamento dinâmico do sistema de primeira ordem com controlador I. 
Contudo, neste sistema pode-se verificar que: 
𝜔𝑛 = 
𝐾𝑖
𝜏
 e 𝜉 =
1
2 𝐾𝑖𝜏
 
9.1.3 - Ação de controle proporcional-integral (PI) 
𝑌(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑖𝑠)
𝑇𝑖𝑠 𝜏𝑠 + 1 
1 +
𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑖𝑠)
𝑇𝑖𝑠 𝜏𝑠 + 1 
=
𝐾𝑝(1 + 𝑇𝑖𝑠)
𝑇𝑖𝜏𝑠2 + 𝑇𝑖 1 + 𝐾𝑝 𝑠 + 𝐾𝑝
 
 
Figura 9-5: Diagrama de blocos de um sistema dinâmico de primeira ordem com controlador PI. 
Apostila de Controle 99 
9.2 - SISTEMAS SEM AMORTECIMENTO NATURAL 
9.2.1 - Ação de controle proporcional 
Considere uma massa deslizando sobre uma superfície sematrito, como indicado na Figura 
9-6. Dispõe-se de um atuador capaz de aplicar uma força variável f(t) na massa m. Deseja-se 
controlar a posição desta massa de forma a mantê-la próximo da origem, em x = 0, usando para isso 
um controlador proporcional agindo na força f. Qual é o comportamento da massa em regime 
permanente com base na análise dos pólos da função de transferência do sistema? 
 
Figura 9-6: Sistema com deslocamento controlado pela força f(t). 
O primeiro passo para responder a questão é obter a função de transferência do controlador. 
Parte-se inicialmente da função de transferência da planta, composta unicamente pela massa m, já 
que a entrada é a força e a saída é o deslocamento x: 
𝑋(𝑠)
𝐹(𝑠)
=
1
𝑚𝑠2
 
que apresenta dois pólos reais e iguais a zero. O diagrama de blocos deste sistema junto com o 
controlador é apresentado na Figura 9-7, cuja função de transferência completa é: 
𝑋(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑝
𝑚𝑠2 + 𝐾𝑝
 
 
Figura 9-7: Diagrama de blocos do sistema da Figura 9-6 com controlador P. 
Esta relação apresenta dois pólos complexos conjugados com parte real nula 
𝑠1 = 
𝐾𝑝
𝑚
𝒋 e 𝑠2 = − 
𝐾𝑝
𝑚
𝒋 
Sabe-se, neste caso (ver seção 6.3.2, com constante de amortecimento nula), que a resposta 
do sistema é oscilatória (caso a posição inicial seja não nula), e, portanto o sistema nunca atinge o 
equilíbrio e nunca fica estacionado na origem, como mostra a figura 7.14. Uma vez que se deseja 
manter a massa na origem, então este controlador não é eficiente para cumprir este objetivo. 
Apostila de Controle 100 
 
Figura 9-8: Comportamento dinâmico do sistema da Figura 9-7. 
9.2.2 - Ação de controle proporcional-derivativo (PD) 
Analisar o erro em regime permanente do sistema da Figura 9-6, sem atrito, com um 
controlador PD (proporcional-derivativo), sujeito a um degrau unitário na entrada r(t). A Figura 
9-9 apresenta o diagrama de blocos deste exemplo. 
 
Figura 9-9: Diagrama de blocos do sistema da Figura 9-6 com controlador PD. 
Sua função de transferência em malha fechada é dada por: 
𝑋(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑑𝑠 
𝑚𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 + 𝐾𝑝
 
onde Kp é o ganho proporcional e Td é o tempo derivativo. O erro no posicionamento da massa pode 
ser novamente calculado, resultando 
𝐸(𝑠)
𝑅(𝑠)
= 1 −
𝑋(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑚𝑠2
𝑚𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 + 𝐾𝑝
 
Quando a entrada é um degrau unitário, o erro em regime permanente fica 
𝑒𝑟𝑝 = lim
s→0
𝑠𝐸 𝑠 = lim
s→0
𝑠
𝑚𝑠2
𝑚𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑑𝑠 + 𝐾𝑝
1
𝑠
= 0 
e, desta vez, o erro no regime permanente é nulo, ou seja, o controle é estável e leva o sistema à 
posição de equilíbrio x=0. A análise dos pólos permite concluir que o comportamento dinâmico do 
controle será amortecido. Ajustando o valor de Td e Kd, pode-se obter um comportamento sub-
amortecido ou sobre-amortecido. 
9.2.3 - Considerações finais 
Analisemos, agora, o erro em regime permanente considerando que a massa do exemplo 
anterior desliza sobre a superfície com atrito dado pela constante de amortecimento b, quando o 
sistema é submetido a uma mudança na referência na forma de um degrau unitário. 
Neste caso, a função de transferência do sistema mecânico, composta pela massa m e pelo 
atrito (amortecedor) b fica: 
𝑋 𝑠 
𝐹 𝑠 
=
1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠
 
A função de transferência em malha fechada do controlador proporcional é então dada por: 
Apostila de Controle 101 
𝑋(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝐾𝑝
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
 
Uma vez que o erro no posicionamento da massa é calculado por 𝑒 𝑡 = 𝑟 𝑡 − 𝑥(𝑡), então 
efetuando-se a transformada de Laplace do erro e dividindo-se por R(s) chega-se a 
𝐸(𝑠)
𝑅(𝑠)
= 1 −
𝑋(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
 
mas como a referência R(s) é um degrau unitário, o erro fica 
𝐸(𝑠)
𝑅(𝑠)
=
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠
𝑠 𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝 
 
de onde se segue que o erro em regime permanente é dado pelo teorema do valor final, ou seja 
𝑒𝑟𝑝 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠) = lim
𝑠→0
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
= 0 
ou seja, o erro é nulo no regime permanente. 
Nota-se que este sistema é de segunda ordem, com constante de amortecimento não nula, e, 
portanto, apresenta uma resposta com oscilação amortecida. O amortecimento pode ser sub-
amortecido ou sobre-amortecido, conforme ilustra a Figura 9-10, dependendo das constantes físicas 
m, b e do valor do ganho proporcional Kp. 
 
Figura 9-10: Comportamento dinâmico do sistema da Figura 9-6 com atrito e controlador P. 
Conclui-se, com base nos dois exemplos anteriores, que o sistema resultante de uma inércia 
pura (massa) com um controlador PD é semelhante a um sistema de segunda ordem com constante 
de amortecimento não nula, portanto é equivalente a um sistema naturalmente amortecido com 
controlador P. O controle derivativo, portanto, introduz um amortecimento no comportamento 
dinâmico do sistema. Desta forma, o controle exclusivamente proporcional é recomendável somente 
quando o sistema é amortecido naturalmente (possui constante de amortecimento não nula). 
9.3 - SISTEMAS SUBMETIDOS A PERTURBAÇÕES 
É comum encontrar-se sistemas que sofrem perturbações na dinâmica. Estas perturbações 
podem ser estáticas, dinâmicas ou aleatórias. Uma perturbação estática exerce uma ação constante, 
enquanto que a perturbação dinâmica varia no tempo de forma previsível. Por sua vez, uma 
perturbação aleatória é imprevisível e assemelha-se a um ruído agindo sobre o sistema. O exemplo a 
seguir ilustra o comportamento do controlador quando houver uma perturbação agindo no sistema. 
Desta forma, será suposto agora que a massa da Figura 9-6 esteja submetida à ação de uma 
força perturbadora de intensidade d(t) na forma de um degrau unitário e há atrito entre a massa e a 
superfície. 
Apostila de Controle 102 
Este problema pode ser visto como o controle de uma massa numa rampa inclinada, 
conforme ilustra a Figura 9-11. O peso, projetado na direção do movimento, causa a força d(t). No 
instante t = 0, a massa, anteriormente presa, é deixada sob a ação do controle e do peso. O controle 
deverá então compensar a ação do peso e restaurar a posição inicial da massa. A referência, r(t), 
neste caso é nula. 
 
Figura 9-11: Controle da posição de uma massa numa rampa inclinada com atrito. 
O equilíbrio de forças na massa leva a 
𝑑 𝑡 + 𝑓 𝑡 = 𝑚𝑥 + 𝑏𝑥 
𝐷(𝑠) + 𝐹 𝑠 = 𝑚𝑠2𝑋(𝑠) + 𝑏𝑠𝑋(𝑠) 
 
Figura 9-12: Diagrama de blocos do sistema da Figura 9-11. 
9.3.1 - Controlador proporcional (P) 
Será analisado primeiramente o caso do controlador ser apenas o proporcional. 
O diagrama de blocos deste problema, após a implementação de um controle proporcional, é 
mostrado na Figura 9-13. 
 
Figura 9-13: Diagrama de blocos do sistema da Figura 9-11 com um controlador P. 
A saída X(s) deste sistema é composta de dois componentes XR(s), devido à entrada de 
referência R(s) e XD(s), devido ao distúrbio D(s). 
𝑋 𝑠 = 𝑋𝑅 𝑠 + 𝑋𝐷 𝑠 =
𝐾𝑝
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
𝑅(𝑠) +
1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
𝐷(𝑠) 
Considerando R(s)=0,tem-se que o distúrbio causa um desvio da referência, o que gera um 
erro que é dado por: 
𝐸 𝑠 = −𝑋𝐷 𝑠 = −
1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
𝐷(𝑠) 
Caso D(s) seja um degrau unitário, o erro em regime permanente será dado por 
Apostila de Controle 103 
𝑒𝑟𝑝 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸(𝑠) = lim
𝑠→0
− 𝑠
1
𝑚𝑠2 + 𝑏𝑠 + 𝐾𝑝
1
𝑠
= −
1
𝐾𝑝
 
Isto significa que, embora a referência para o controle seja nula (R(s) = 0), o controle 
proporcional não consegue anular o erro em regime permanente. O erro pode ser diminuído pelo 
aumento do valor de Kp, mas isto faz com que aumentem também as oscilações no regime 
transitório. 
Conclui-se, com base no último exemplo, que um controlador proporcional num sistema 
naturalmente amortecido, ou um controlador PD num sistema qualquer, e sujeito à ação de forças 
perturbadoras, não consegue anular o erro em regime permanente. 
Ademais, se a força d(t) for um degrau de intensidade do, então o erro em regime 
permanente do exemplo anterior resulta iguala 
𝑒𝑟𝑝 = −
𝑑𝑜
𝐾𝑝
 
e a massa estará na posição 𝑥𝑟𝑝 = −𝑒𝑟𝑝 = − 𝑑𝑜 𝐾𝑝 . Logo, quanto maior for a força perturbadora, 
maior será o erro na posição da massa. 
Em resumo, controladores P ou PD podem não eliminar o erro apresentado pelo sistema com 
relação à referência quando os sistemas são perturbados. Para eliminar este erro será necessário 
introduzir o controlador integral, visto no próximo exemplo. 
9.3.2 - Controlador proporcional-integral (PI) 
Será analisado primeiramente o caso do controlador ser o proporcional-integral (PI). 
O diagrama de blocos deste problema, após a implementação de um PI, é mostrado na 
Figura 9-14. 
 
Figura 9-14: Diagrama de blocos do sistema da Figura 9-11 com um controlador PI. 
A saída X(s) deste sistema é 
𝑋 𝑠 = 𝑋𝑅 𝑠 + 𝑋𝐷 𝑠 
=
𝐾𝑝 1 + 𝑇𝑖𝑠 
𝑚𝑇𝑖𝑠3 + 𝑏𝑇𝑖𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 𝐾𝑝
𝑅(𝑠) +
𝑇𝑖𝑠
𝑚𝑇𝑖𝑠3 + 𝑏𝑇𝑖𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 𝐾𝑝
𝐷(𝑠) 
Considerando R(s)=0,tem-se que o distúrbio causa um desvio da referência, o que gera um 
erro que é dado por: 
𝐸 𝑠 = −𝑋𝐷 𝑠 = −
𝑇𝑖𝑠
𝑚𝑇𝑖𝑠
3 + 𝑏𝑇𝑖𝑠
2 + 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 𝐾𝑝
𝐷(𝑠) 
Caso D(s) seja um degrau unitário, o erro em regime permanente será dado por 
𝑒𝑟𝑝 = lim
𝑠→0
𝑠𝐸 𝑠 = lim
𝑠→0
− 𝑠
𝑇𝑖𝑠
𝑚𝑇𝑖𝑠3 + 𝑏𝑇𝑖𝑠2 + 𝐾𝑝𝑇𝑖𝑠 + 𝐾𝑝
1
𝑠
= 0 
Isto mostra que o controlador PI consegue eliminar o erro no regime permanente em 
sistemas sujeitos a uma perturbação, o que o controlador proporcional não conseguia. O motivo 
disto é que o controle proporcional só consegue gerar uma ação se o erro for diferente de zero, pois 
Apostila de Controle 104 
a ação é proporcional ao erro. Se o sistema estiver submetido a um esforço externo, o controle 
proporcional deixa um erro residual tal que sua resposta consiga contrabalançar esta força. 
Ao se utilizar o controlador PI, contudo, o controlador integral fará esta ação compensatória, 
deixando para o controle proporcional apenas a eliminação do erro. 
 
Figura 9-15: Resposta do sistema da Figura 9-11 com diversos controladores. 
Se um controlador exclusivamente integral (I) for utilizado neste caso, ter-se-á um sistema 
com uma função de transferência dada por: 
𝐺 𝑠 =
1
𝑚𝑇𝑖𝑠3 + 𝑏𝑇𝑖𝑠2 + 1
 
Fazendo uma análise deste sistema pelo método de Routh-Hurwitz, ter-se-á: 
𝑠3 𝑚𝑇𝑖 0 
𝑠2 𝑏𝑇𝑖 1 
𝑠1 −𝑚𝑇𝑖 0 
𝑠0 1 
Ou seja, é um sistema sempre instável para valores positivos de m e Ti. Por isto, 
controladores exclusivamente integrais (I), são usados em sistemas de primeira ordem, que não 
apresentam oscilações, como, por exemplo, o controle de nível de líquido num tanque. 
9.4 - CONTROLADORES PID 
Controladores PID são utilizados em sistemas sujeitos a perturbações (controle integral), e 
não naturalmente amortecidos ou com amortecimento insuficiente para os propósitos do controle 
(controle derivativo). Exemplos de sistemas que utilizam controle PID são navios, aeronaves, 
mísseis e satélites. O controle PID é também extensivamente utilizado na indústria, para controle de 
processos (mecânicos, térmicos, hidráulicos, elétricos e eletrônicos). Uma das suas vantagens é que 
eles controlam até mesmo sistemas naturalmente instáveis, como o pêndulo invertido. 
Apostila de Controle 105 
Exemplo 9.1 - Questões de concursos públicos 
Processamento Júnior – 2006 
 
Resposta: 
A curva 1 representa um sistema com controlador P quando 
submetido a um distúrbio. A curva 2 representa o mesmo 
caso, mas com um ganho mais elevado. A curva 3 representa 
o sistema quando com um controlador PI, pois o offset é 
totalmente removido. A curva 4 representa um PID, a 
remoção do offset é sinal da presença de um I e a diminuição 
da oscilação, que é conseguida com um aumento do 
coeficiente de amortecimento, é sinal da presença de um D. 
Letra C. 
 
Petrobras – ENGENHEIRO(A) DE EQUIPAMENTOS PLENO ELETRÔNICA – MAIO/2006 
 
Resposta: 
Letra E. 
 
 
Apostila de Controle 106 
Prominp – Área Química – Processos 2008 
 
 
Resposta: A letras A e C representam sistemas instáveis que 
não são sistemas típicos. A letra B é uma resposta não usual. 
A letra D representa um sistema com controlador PI quando 
submetido a um distúrbio, pois o offset é totalmente removido. 
A letra E um sistema com controlador P quando submetido a 
um distúrbio. 
Letra E. 
Apostila de Controle 107 
Petrobras 2005 – Engenheiro de Terminais e Dutos 
 
Resposta: Letra B. 
 
Apostila de Controle 108 
CAPÍTULO 10 
ANÁLISE NO DOMÍNIO DA FREQÜÊNCIA 
10.1 - INTRODUÇÃO 
Em muitas situações o sinal de entrada de um sistema dinâmico é de natureza periódica. A 
força exercida em estruturas marítimas pelas ondas do oceano ou vibrações mecânicas exercidas em 
um motor devido ao balanceamento inadequado do rotor ou da carga acoplada ao eixo do mesmo 
são exemplos de sinais de natureza periódica, que em muitos casos apresentam formas de onda 
muito semelhantes a senóides. Além disso, sinais periódicos, independente de sua natureza, podem 
ser representados pela soma infinita de harmônicas senoidais. Desta forma, o conhecimento do 
comportamento do sistema a um sinal de entrada senoidal constitui a base para determinação da 
resposta do sistema para uma larga classe de entrada periódicas. 
O método da resposta em freqüência de um sistema é definido como a resposta em regime 
permanente do sistema quando considerada uma entrada do tipo senoidal. O sinal senoidal constitui 
o único sinal de entrada e, para um sistema linear, todos os sinais intermediários bem como a saída 
deste sistema regime permanente também serão senóides. Tais sinais diferem daquele considerado 
na entrada somente em amplitude e fase. 
10.2 - CONCEITOS INICIAIS DE RESPOSTA EM FREQÜÊNCIA 
10.2.1 - Resposta em freqüência de sistemas de lineares 
Para apresentar a idéia física da resposta em freqüência em sistemas lineares, será 
considerado o sistema de primeira ordem descrito pela seguinte E.D.O.: 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝐾𝑥(𝑡) 
admitindo como sinal de entrada 𝑥(𝑡) uma senóide com amplitude 𝑈𝑖 , i.e., 
𝑥 𝑡 = 𝐴𝑖sen 𝜔𝑡 
considerando condições iniciais nulas. 
Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução é: 
𝑦 𝑡 = 𝑦𝑕 𝑡 + 𝑦𝑝(𝑡) 
em que: 
 𝑦𝑕 𝑡 ≜ solução da equação diferencial homogênea; 
 𝑦𝑝 𝑡 ≜ solução particular, da mesma natureza da entrada 𝑥(𝑡); 
Solução da homogênea: A equação diferencial homogênea é: 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 0 
que tem a equação característica: 
𝜏 ∙ 𝑟 + 1 = 0 
A raiz desta equação é: 
Apostila de Controle 109 
𝑟 = −
1
𝜏
 
Logo da teoria de equações diferenciais: 
𝑦𝑕(𝑡) = 𝐶𝑒
−𝑡 𝜏 
onde 𝐶 é uma constante que depende das condições iniciais. 
Solução particular: Da teoria de equações diferenciais sabemos que a solução particular é 
um polinômio de grau igual a um, pois é da mesma natureza da entrada. 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐴1sen 𝜔𝑡 + 𝐵1cos 𝜔𝑡 
Substituindo na E.D.O. vem: 
𝜏𝜔 𝐴1cos 𝜔𝑡 − 𝐵1sen 𝜔𝑡 + 𝐴1sen 𝜔𝑡 + 𝐵1cos 𝜔𝑡 = 𝐾𝐴𝑖sen 𝜔𝑡 
Da identidade entre os coeficientes do temos: 
 
𝜏𝜔𝐴1 + 𝐵1 = 0 ⟹ 𝐵1 = −𝜏𝜔𝐴1
𝐴1 − 𝜏𝜔𝐵1 = 𝐾𝐴𝑖 ⟹ 𝐴1 + 𝜏𝜔 
2𝐴1 = 𝐴𝑖 ⟹ 𝐴1 =
𝐾𝐴𝑖
1 + 𝜏𝜔 2
 
Resolvendo: 
 
 
 𝐴1 =
1
1 + 𝜏𝜔 2
𝐾𝐴𝑖
𝐵1 = −
𝜏𝜔
1 + 𝜏𝜔 2
𝐾𝐴𝑖
 
Portanto: 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐾
𝐴𝑖
1 + 𝜏𝜔 2
 sen 𝜔𝑡 − 𝜏𝜔cos 𝜔𝑡 
Sabemos que: 
sen 𝜔𝑡 − 𝜏𝜔cos 𝜔𝑡 = 1 + 𝜏𝜔 2∙sen 𝜔𝑡 − tan−1 𝜏𝜔 
𝑦𝑝 𝑡 = 𝐾
𝐴𝑖
 1 + 𝜏𝜔 2
sen 𝜔𝑡 − tan−1 𝜏𝜔 
Agora, combinando as duas soluções temos que: 
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑒−𝑡 𝜏 + 𝐾
𝐴𝑖
 1 + 𝜏𝜔 2
sen 𝜔𝑡 + tan−1 −𝜏𝜔 
Considerando que: 
lim
𝑡→∞
𝑦𝑕(𝑡) = 0 
temos que: 
lim
𝑡→∞
𝑦(𝑡) = 𝐾
𝐴𝑖
 1 + 𝜏𝜔 2
sen 𝜔𝑡 + 𝜙 𝜙 = tan−1 −𝜏𝜔 
que é a solução particular. 
Ou seja, a resposta permanente também será senoidal e com oscilação na mesma freqüência 
da entrada. Contudo, esta análise teórica mostra que a amplitude e a fase serão modificadas em 
função da freqüência da entrada𝜔. Esta conclusão vale para quaisquer sistemas lineares. 
Apostila de Controle 110 
Neste caso específico de sistemas de primeira ordem, tem-se que: 
𝐴𝑜 = 𝐾
𝐴𝑖
 1 + 𝜏𝜔 2
⟹
𝐴𝑜
𝐴𝑖
=
𝐾
 1 + 𝜏𝜔 2
⟹ Relação das amplitudes 
𝜙 = tan−1 −𝜏𝜔 ⟹ Relação da fase 
Exemplo 10.1 - Considere o circuito RC série da Figura 10-1 abaixo. 
 
Figura 10-1: Diagrama esquemático de um circuito RC série 
O seu modelo é dado pela seguinte E.D.O.: 
𝜏
𝑑𝑣𝑐 𝑡 
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐 𝑡 = 𝑣𝑖 𝑡 sendo 𝜏 = 𝑅𝐶 
A saída 𝑣𝑐 𝑡 em regime permanente para uma entrada do tipo: 
𝑣𝑖 𝑡 = sen 0,1𝑡 + 10sen(100𝑡) 
será da forma: 
𝑣𝑐 𝑡 = 𝐴1sen 0,1𝑡 + 𝜙1 + 𝐴2sen(100𝑡 + 𝜙2) 
Considerando o produto 𝑅𝐶 = 1𝑠 e como 𝐾 = 1, pode-se calcular 𝐴1, 𝐴2, 𝜙1 e 𝜙2 usando a 
relação acima: 
𝐴1 =
1
 1 + 1 ∙ 0.1 2
= 0,995 ≅ 1 
𝜙1 = tan
−1 −1 ∙ 0.1 = −0,099 ≅ −0,1 
𝐴2 =
10
 1 + 1 ∙ 100 2
= 0,0999 ≅ 0,1 
𝜙2 = tan
−1 −1 ∙ 100 = −1,56 ≅ −𝜋 2 
Ou seja: 
𝑣𝑐 𝑡 = sen 0,1𝑡 − 0,1 + 0,1sen(100𝑡 − 𝜋 2 ) 
10.2.2 - Gráfico de resposta em freqüência: 
O estudo do comportamento da relação de amplitudes e da fase em função da freqüência é 
chamado de resposta em freqüência. Na forma gráfica, o conjunto dos gráficos de 𝐴𝑜 𝐴𝑖 e 𝜙 em 
função de 𝜔 é denominado de Gráfico da Resposta em Freqüência, por exemplo, na Figura 10-2. 
Apostila de Controle 111 
 
Figura 10-2: Exemplo de gráfico de resposta em freqüência. 
Conforme podemos observar na Figura 10-2, um gráfico de resposta em freqüência é na 
verdade um conjunto de dois gráficos, gráfico de 𝐴𝑜 𝐴𝑖 e 𝜙 em função de 𝜔. 
Na elaboração dos gráficos, a unidade do eixo da freqüência deve ser rad/seg, mas 
esporadicamente encontramos Hz. O eixo vertical da relação de amplitudes tem unidade igual à 
relação (unidade da saída/unidade da entrada). Com respeito à “unidade” da fase, é neste ponto que 
entra o bom senso do engenheiro. O ângulo 𝜙 deve ser obrigatoriamente expresso em rad, mas no 
eixo da fase é sempre usado graus. Esta prática deve-se ao fato de as pessoas terem maior 
sensibilidade com ângulos em graus do que em radianos, mas nas equações não podemos usar 
graus porque 𝜔𝑡 é expresso em rad/seg. 
10.3 - FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA SENOIDAL 
Seja a função de transferência do modelo de um sistema, 
𝐺 𝑠 =
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
 𝑏𝑚𝑠
𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑠
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1𝑠 + 𝑏0 
 𝑎𝑛𝑠𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑠 + 𝑎0 
 
Se nesta equação substituirmos 𝑠 por 𝑗𝜔, a função de transferência transforma-se em uma 
função complexa e é possível provar, usando conceitos de números complexos e de equações 
diferenciais, que: 
 o módulo desta função complexa é igual a 𝐴𝑜 𝐴𝑖 ; 
 a fase desta função complexa é igual a 𝜙. 
em que 𝐴𝑜 𝐴𝑖 e 𝜙 são, respectivamente, a relação de amplitudes e a fase da resposta em freqüência 
do sistema cujo modelo é dado pela função de transferência. 
Quando substituímos 𝑠 por 𝑗𝜔 obtemos uma expressão que chamamos de função de 
transferência senoidal, isto é: 
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
𝑏𝑚 𝑗𝜔 
𝑚 + 𝑏𝑚−1 𝑗𝜔 
𝑚−1 + ⋯ + 𝑏1 𝑗𝜔 + 𝑏0
𝑎𝑛 𝑗𝜔 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑗𝜔 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1 𝑗𝜔 + 𝑎0
 
Apostila de Controle 112 
10.4 - RELAÇÃO DE AMPLITUDES E FASE DE SISTEMAS BÁSICOS 
10.4.1 - Sistema de 1ª ordem 
O sistema de 1ª ordem tem a função de transferência: 
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
𝐾
𝜏𝑠 + 1
 
Logo, a função de transferência senoidal é: 
𝑌 𝑗𝜔 
𝑋 𝑗𝜔 
=
𝐾
𝜏𝑗𝜔 + 1
=
𝐾 tan−1 0 
 1 + 𝜏𝜔 2 tan−1 𝜏𝜔 
=
𝐾
 1 + 𝜏𝜔 2
tan−1 −𝜏𝜔 
Calculando o módulo e a fase, obtemos: 
𝐴𝑜
𝐴𝑖
= 
𝑌 𝑗𝜔 
𝑋 𝑗𝜔 
 =
𝐾
 1 + 𝜏𝜔 2
𝜙 = − tan−1 𝜏𝜔 
 
 
Figura 10-3: Resposta em freqüência normalizada do sistema de 1ª ordem. 
O gráfico da resposta em freqüência para um sistema de 1ª ordem tem a forma mostrada na 
Figura 10-3. 
10.4.2 - Sistema de 2ª ordem 
Neste caso, a função de transferência é: 
𝑌 𝑠 
𝑋 𝑠 
=
𝐾
𝑠2
𝜔𝑛2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑠 + 1
 
Apostila de Controle 113 
e a função de transferência senoidal fica: 
𝑌 𝑗𝜔 
𝑋 𝑗𝜔 
=
𝐾
 𝑗𝜔 2
𝜔𝑛2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑗𝜔 + 1
=
𝐾
−
𝜔2
𝜔𝑛2
+
2𝜉
𝜔𝑛
𝑗𝜔 + 1
=
𝐾
 1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2
 + 𝑗 
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
 
 
Calculando o módulo e a fase desta função complexa, obtemos: 
𝑌 𝑗𝜔 
𝑋 𝑗𝜔 
=
𝐾 tan−1 0 
 1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2
 
2
+ 
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
 
2
tan−1 
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2 
=
𝐾
 1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2
 
2
+ 
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
 
2
tan−1 −
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2 
Ou seja: 
𝐴𝑜
𝐴𝑖
= 
𝑌 𝑗𝜔 
𝑋 𝑗𝜔 
 =
𝐾
 1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2
 
2
+ 
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
 
2
𝜙 = tan−1 −
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2 
 
O gráfico da resposta em freqüência para um sistema de 2ª ordem tem a forma mostrada na 
Figura 10-4. 
Devemos observar o gráfico da fase quando 𝜉 = 0. Para 𝜔 < 𝜔𝑛 , o ângulo 𝜙 é nulo, para 
𝜔 > 𝜔𝑛 , o ângulo 𝜙 é -180º e é igual a -90º quando 𝜔 = 𝜔𝑛 . 
Para sistemas de 2ª ordem com 𝜉 < 2 2 (𝜉 < 0,707), o gráfico da relação de amplitudes 
possui um pico. A freqüência em que este pico ocorre é determinada derivando a relação de 
amplitudes e igualando-a a zero (cálculo do máximo). Assim obtemos: 
𝜔𝑝 = 𝜔𝑛 1 − 2𝜉2 
Considerando que em sistemas reais 𝜉 pode ser muito pequeno, mas não é nulo, na prática, 
este pico sempre ocorre à esquerda de 𝜔𝑛 e se distancia de 𝜔𝑛 com o aumento de 𝜉, conforme 
mostra a Figura 10-4. 
Face à introdução de mais esta freqüência, constatamos que sistemas de 2ª ordem possuem 
três importantes freqüências, todas já definidas, mas para efeito se sumário, repetimos suas 
definições: 
 𝜔𝑛 ≜ freqüência natural não-amortecida; 
 𝜔𝑑 ≜ 𝜔𝑛 1 − 𝜉2 ≜ freqüência natural amortecida; 
 𝜔𝑝 ≜ 𝜔𝑛 1 − 2𝜉2 ≜ freqüência do pico da relação de amplitudes; 
Há uma quarta freqüência que é e freqüência de ressonância 𝜔𝑟 , definida também para 
outros sistemas de ordem maior. 
Apostila de Controle 114 
 𝜔𝑟 ≜ 𝜔𝑝 ≜ freqüência de ressonância; 
Se o pico da relação de amplitudes não existir, 𝜔𝑟 e 𝜔𝑝 não existem. 
Se o pico existir, a magnitude do pico de ressonância 𝑀𝑟 pode ser calculada substituindo 𝜔 
por 𝜔𝑝 na fórmula para relação de amplitudes. Assim obtemos: 
𝑀𝑟 = 
𝐴𝑜
𝐴𝑖
 
𝜔=𝜔𝑝
=
𝐾
2𝜉 1 − 𝜉2
, para 0 < 𝜉 < 0,707 
 
Figura 10-4: Resposta em freqüência normalizada do sistema de 2ª ordem. 
10.5 - O DIAGRAMA DE BODE 
10.5.1 - Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos 
Um diagrama de Bode é constituído de dois gráficos: um é o gráfico do módulo em dB de 
uma função de transferência senoidal; o outro é o gráfico do ângulo de fase. Ambos são traçados em 
relação à freqüência em escala logarítmica. 
Escala Logarítmica de amplitude. Os gráficos de magnitude nos diagramas de Bode são 
freqüentemente apresentados utilizando no eixo das ordenadas a escala em decibel, normalmente 
abreviado por dB e que é definido como: 
20 log10 𝐺 𝑗𝜔 = 20 log10
 𝑌 𝑗𝜔 
 𝑋 𝑗𝜔 
 decibeis 
Apostila de Controle 115 
O dB é uma unidade adimensional e, além disso, se 𝑌 𝑗𝜔 𝑋 𝑗𝜔 = 1, o valor em dB é 
zero; se 𝑌 𝑗𝜔 𝑋 𝑗𝜔 > 1, o valor em dB é positivo, se 𝑌 𝑗𝜔 𝑋 𝑗𝜔 < 1, o valor em dB é 
negativo. 
Escala logarítmica de freqüência. Em diagramas de Bode o eixo das abscissas, que 
representa a freqüência em radianos por segundo, é apresentado em escala logarítmica. Duas 
unidades logarítmicas que estabelecem a razão entre freqüências são comumente utilizadas: 
 a oitava é definida como sendo a razão de freqüência de 2:1; e 
 a década como a razão de freqüência de 10:1. 
Na escala logarítmica do papel semilog, qualquer relação de freqüência dada pode ser 
representada pela mesma distância horizontal. Por exemplo, a distância horizontal entre 𝜔 = 1 e 
𝜔 = 10 é igual a distância entre 𝜔 = 3 e 𝜔 = 30. Desta forma, há uma expansão das baixas 
freqüências e uma compressão das altas freqüências. 
A principal vantagem do uso da escala logarítmica de freqüência é a expansão da faixa de 
baixas freqüências, vistoque as características dos sistemas em baixas freqüências, na prática, são 
as mais importantes. O fato de não ser possível traçar as curvas até a freqüência zero em virtude da 
escala logarítmica (log 0 = ∞) não cria nenhum problema sério. 
10.5.2 - Diagrama de Bode de fatores básicos 
Muitos modelos lineares apresentam funções de transferência compostas pelos cinco tipos 
de termos: 
 Ganho K 
 Fatores integral e derivativo 𝑠±1 
 Fatores de primeira ordem 𝜏𝑠 + 1 ±1 
 Fatores quadráticos 𝑠2 𝜔𝑛
2 + 2𝜉 𝜔𝑛 𝑠 + 1 
±1 
Uma vez familiarizados com os gráficos logarítmicos desses fatores básicos, é possível 
utilizá-los na construção de um gráfico composto para qualquer forma geral de 𝐺 𝑗𝜔 , esboçando 
as curvas para cada fator e adicionando graficamente as curvas individuais, porque a adição do 
logaritmo dos ganhos corresponde à multiplicação deles. 
Ganho K. Um número maior que a unidade possui um valor positivo em decibéis, enquanto 
um número menor que a unidade tem um valor negativo. A curva de módulo em dB de um ganho 
constante K é uma reta horizontal de valor 20 log10 𝐾 decibéis. O ângulo de fase do ganho K é zero. 
O efeito da variação do ganho K na função de transferência é de deslocar para cima ou para baixo a 
curva de módulo em dB da função de transferência em um valor correspondente, mas isso não tem 
nenhum efeito sobre a curva de ângulo de fase. 
 
Figura 10-5: Diagrama de Bode de um ganho K. 
Fatores integral e derivativo 𝒔±𝟏. O valor logaritmo de 1 𝑠 em decibéis é: 
20 log 
1
𝑗𝜔
 = −20 log ω dB 
Apostila de Controle 116 
O ângulo de fase de 1 𝑠 é constante igual a −90º. 
Se for construído um gráfico de −20 log10 ω dB versus ω em escala logarítmica, o 
resultado será uma reta. Para traçar esta reta, é necessário localizar um ponto (0 dB, ω = 1) sobre 
ela. Como: 
 −20 log 10ω dB = −20 log ω − 20 dB 
a inclinação da reta será −20 dB/década (ou −6 dB/oitava). 
De maneira semelhante, o módulo de 𝑠 em decibéis é: 
20 log 𝑗𝜔 = 20 log ω dB 
O ângulo de fase de 𝑠 é constante e igual a 90º. A curva do logaritmo do módulo é uma reta 
com inclinação de 20 dB/década. 
Se a função de transferência possuir um fator 1 𝑠 𝑛 ou 𝑠𝑛 , as grandezas logarítmicas se 
tornarão, respectivamente, 
20 log 
1
 𝑗𝜔 𝑛
 = −𝑛 × 20 log 𝑗𝜔 = −20𝑛 log ω dB 
ou 
20 log 𝑗𝜔 𝑛 = 𝑛 × 20 log 𝑗𝜔 = 20𝑛 log ω dB 
As inclinações das curvas do módulo em dB para os fatores 1 𝑠 𝑛 e 𝑠𝑛 são, 
respectivamente, −20𝑛 dB/década e 20𝑛 dB/década. O ângulo de fase de 1 𝑠 𝑛 é igual a 
−90º × 𝑛 em toda a faixa de freqüência, enquanto o de 𝑠𝑛 é igual a 90º × 𝑛 em toda faixa de 
freqüência. As curvas de módulo passarão pelo ponto (0 dB, ω = 1). 
 
Figura 10-6: (a) Diagrama de Bode de 1 𝑠 ; (b) Diagrama de Bode de 𝑠. 
Fatores de primeira ordem 𝝉𝒔 + 𝟏 ±𝟏. O módulo em dB do fator de primeira ordem 
1 𝜏𝑠 + 1 é: 
20 log 
1
1 + 𝑗𝜔𝜏
 = −20 log 1 + 𝜔2𝜏2 dB 
Para baixas freqüências, como 𝜔 ≪ 1 𝜏 , o módulo em dB pode ser aproximado por: 
−20 log 1 + 𝜔2𝜏2 = −20 log 1 = 0 dB 
Apostila de Controle 117 
Assim, a curva de módulo em dB em baixas freqüências é uma reta de 0 dB constante. 
Para baixas freqüências, como 𝜔 ≫ 1 𝜏 , o módulo em dB pode ser aproximado por: 
−20 log 1 + 𝜔2𝜏2 = −20 log 𝜔𝜏 dB 
Essa é uma expressão aproximada para a faixa de altas freqüências, na qual em 𝜔 = 1 𝜏 , o 
valor do módulo é de 0 dB e em 𝜔 = 10 𝜏 o módulo é -20 dB. Portanto, o valor de 
−20 log10 𝜔𝜏 dB decresce em 20 dB para cada década de 𝜔. 
Assim, para 𝜔 ≫ 1 𝜏 , a curva de módulo em dB é então, uma reta com uma inclinação de 
−20 dB/década (ou −6 dB/oitava). 
A freqüência na qual as duas assíntotas se encontram é chamada de freqüência de canto ou 
freqüência de mudança de inclinação („quebra‟). Para o fator 1 𝜏𝑠 + 1 a freqüência de canto é 
igual a 𝜔 = 1 𝜏 , freqüência na qual o módulo é igual a −3 dB (0,707). 
O ângulo de fase exato 𝜙 do fator 1 𝜏𝑠 + 1 é: 
𝜙 = − tan−1 𝜏𝜔 
Na freqüência zero, o ângulo de fase é 0º. 
Na freqüência de canto 𝜔 = 1 𝜏 , o ângulo de fase é: 
𝜙 = − tan−1 
𝜏
𝜏
 = − tan−1 1 = −45º 
No infinito, o ângulo de fase torna-se zero. 
Como o ângulo de fase é dado pela função arco tangente, ele é simétrico em relação ao 
ponto de inflexão em 𝜙 = −45º. 
 
Figura 10-7: Diagrama de Bode de 𝐺(𝑠) = 1 𝜏𝑠 + 1 . 
Uma vantagem do diagrame de Bode é que para fatores recíprocos – por exemplo, o fator 
𝜏𝑠 + 1 – as curvas de módulo em dB e do ângulo de fase necessitam trocar apenas o sinal, visto que 
20 log 1 + 𝑗𝜔𝜏 = −20 log 
1
1 + 𝑗𝜔𝜏
 
e 
1 + 𝑗𝜔𝜏 = tan−1 𝜏𝜔 = −
1
1 + 𝑗𝜔𝜏
 
Apostila de Controle 118 
 
Figura 10-8: Diagrama de Bode de 𝐺 𝑠 = 𝜏𝑠 + 1. 
A freqüência de canto é a mesma para ambos os casos. A inclinação da assíntota de alta 
freqüência de 𝜏𝑠 + 1 é 20 dB/década e o ângulo de fase varia de 0º a 90º, conforme a freqüência 
𝜔 aumenta de zero a infinito. 
Para os casos em que uma dada função de transferência possui termos como 𝜏𝑠 + 1 ±𝑛 , 
pode ser feita uma construção assintótica similar. A freqüência de canto ainda está em 𝜔 = 1 𝜏 , e 
as assíntotas são linhas retas. A assíntota de baixa freqüência é uma reta em 0 dB, enquanto a 
assíntota da alta freqüência tem uma inclinação de −20𝑛 dB/década ou 20𝑛 dB/década. O ângulo 
de fase é n vezes o correspondente a 𝜏𝑠 + 1 ±1 em cada ponto de freqüências. 
Fatores quadráticos 𝒔𝟐 𝝎𝒏
𝟐 + 𝟐𝝃 𝝎𝒏 𝒔 + 𝟏 
±𝟏. O módulo em dB do fator quadrático 
1 𝑠2 𝜔𝑛
2 + 2𝜉 𝜔𝑛 𝑠 + 1 é: 
20 log 
1
1 + 2𝜉 𝑗
𝜔
𝜔𝑛
 + 𝑗
𝜔
𝜔𝑛
 
2 = −20 log 1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2
 
2
+ 
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
 
2
 dB 
para baixas freqüências, como 𝜔 ≪ 𝜔𝑛 , o módulo em dB passa a ser: 
−20 log 1 = 0 dB 
Portanto, a assíntota de baixa freqüência é uma reta horizontal em 0 dB. Para altas 
freqüências, como 𝜔 ≫ 𝜔𝑛 , o módulo em dB passa a ser: 
−20 log
𝜔2
𝜔𝑛2
= −40 log
𝜔
𝜔𝑛
 dB 
A equação da assíntota de alta freqüência é uma reta que possui uma inclinação de 
−40 dB/década, desde que: 
−40 log
10𝜔
𝜔𝑛
= −40 − −40 log
𝜔
𝜔𝑛
 
Apostila de Controle 119 
A assíntota de alta freqüência cruza a de baixa freqüência em 𝜔 = 𝜔𝑛 , pois nessa 
freqüência: 
40 log
𝜔𝑛
𝜔𝑛
= 40 log 1 = 0 dB 
O ângulo de fase do fator quadrático 1 𝑠2 𝜔𝑛
2 + 2𝜉 𝜔𝑛 𝑠 + 1 é: 
𝜙 = − tan−1 
2𝜉𝜔
𝜔𝑛
1 − 
𝜔
𝜔𝑛
 
2 
 
Figura 10-9: Diagrama de Bode de 𝐺 𝑠 = 1 𝑠2 𝜔𝑛
2 + 2𝜉 𝜔𝑛 𝑠 + 1 . 
10.5.3 - Margem de ganho de margem de fase 
Margem de Ganho: Define-se por Margem de Ganho (𝐺𝑀) a faixa de ganho que se pode 
incrementar ou decrementar a curva de resposta em freqüência de módulo da função de 
transferência de malha-aberta de um sistema até que se alcance o ponto de estabilidade crítica, isto 
é: 
𝐺𝑀 𝐺 𝑗𝜔𝑀 𝐻 𝑗𝜔𝑀 = 1 
 
Apostila de Controle 120 
sendo 𝜔𝑀 a freqüência em que a fase de 𝐺 𝑗𝜔𝑀 𝐻 𝑗𝜔𝑀 é igual a 180º. Pode-se também, 
reescrever esta relação expressando a margem de ganho em decibéis, ou seja: 
𝐺𝑀𝑑𝐵 = 20 log
1
 𝐺 𝑗𝜔𝑀 𝐻 𝑗𝜔𝑀 
= −20 log 𝐺 𝑗𝜔𝑀 𝐻 𝑗𝜔𝑀 
MARGEM DE GANHO > 1 (𝐺𝑀𝑑𝐵 > 0 dB) → SISTEMA ESTÁVEL 
MARGEM DE GANHO < 1 (𝐺𝑀𝑑𝐵 < 0 dB) → SISTEMA INSTÁVEL 
Margem de Fase: Define-se por Margem de Fase (ΦM), como sendo o valor angular a ser 
acrescido ou decrescido à curva de fase da resposta em freqüência de um sistema operando em 
malha-aberta na freqüência em que a curva de módulo da resposta em freqüência deste mesmo 
sistema apresenta valor unitário, ou alternativamente, 0.0 dB, ou seja: 
ΦM = 180° + 𝐺 𝑗𝜔0𝑑𝐵 𝐻 𝑗𝜔0𝑑𝐵 
sendo 𝜔0𝑑𝐵 a freqüência em que o módulo de 𝐺 𝑗𝜔𝑀 𝐻 𝑗𝜔𝑀 é igual 1 ou, alternativamente 0dB. 
MARGEM DE FASE POSITIVA → SISTEMA ESTÁVEL 
MARGEM DE FASE NEGATIVA → SISTEMA INSTÁVEL 
Esta condições de estabilidade se encontram mostradas na Figura 10-10. 
 
Figura 10-10: Respresentação gráficadas margens de ganho e de fase. 
 
Apostila de Controle 121 
Exemplo 10.2 - Questões de concursos públicos 
Engenheiro de Termelétrica Júnior (Eletrônica) – Termorio 2009 
 
Letra A 
Petrobras Engenheiro(a) de Equipamentos Júnior Eletrônica – 
Março/2010 
 
Pólos em 3+2i e 3-2i 
 Letra D 
 
Letra D 
Apostila de Controle 122 
 
Letra A pois deve ser um que coloque apenas um pólo ou zero antes 
de -3. 
 
Letra A, pois passa a ser do tipo 1. 
 
𝐾
𝑠2 + 10𝑠 + 𝐾
 
Equação característica: 
𝑠2 + 10𝑠 + 𝐾 = 0 
Pólos em 5 ± 𝐾 − 25𝑗 
𝐾
 𝑠 + 5 2 + 𝐾 − 25 
=
𝐾
 𝐾 − 25
∙
 𝐾 − 25
 𝑠 + 5 2 + 𝐾 − 25 
 
 
 𝐾 − 25 = 4 ⟹ 𝐾 = 16 + 25 = 41 
 
Letra D e C 
Apostila de Controle 123 
 
Letra D 
3𝐾1
𝑠2 + 4𝑠 − 5 + 3𝐾2
 
3𝐾2 − 5 = 2 ⟹ 𝐾2 =
7
3
 
3𝐾1
3𝐾2 − 5
= 1 ⟹
3𝐾1
2
= 1 ⟹ 𝐾1 =
2
3
 
Apostila de Controle 124 
 
Letras A e D 
Apostila de Controle 125 
Petrobras – Transpetro Engenheiro(a) Júnior Área de Automação – Março 2006 
 
Letra D 
Apostila de Controle 126 
Petrobras Distribuidora 2008 – Profissional Júnior Formação: Engenharia Eletrônica 
 
Letra E 
Técnico De Defesa Aérea e Controle de Tráfego Aéreo Área: Engenharia Elétrica 
 
Letra B 
Apostila de Controle 127 
Termoaçu - Engenheiro de Equipamentos Júnior (Eletrônica) 
 
Letra A 
 
	Conceitos Fundamentais
	introdução
	Noções básicas de sistemas
	O problema do controle
	Tipos de Sistemas de Controle
	Questões de concursos públicos
	modelos matemáticos de sistemas dinâmicos
	Modelos de sistemas dinâmicos
	Sistemas de primeira ordem
	Circuito RC série
	Tanque de nível
	Sistema térmico com uma massa
	Sistemas de segunda ordem
	Sistema massa-mola-amortecedor
	Circuito RLC paralelo
	Sistemas com dois tanques
	representação por função de transferência
	Definição da Transformada de Laplace
	Propriedades da Transformada de Laplace
	Linearidade
	Diferenciação real
	Integração real
	Limite do valor final
	Translação real
	Translação complexa
	Mudança na escala do tempo
	Transformada da convolução
	Questões de concursos públicos
	Transformadas de Laplace de funções simples
	Questões de concursos públicos
	Função de transferência
	Obter a função de transferência do circuito RC da Figura 2-1
	Obter a função de transferência do sistema da Figura 2-5
	Obter a função de transferência do sistema elétrico da Figura 2-6:
	pólos e zeros
	Questões de concursos públicos
	diagrama de blocos
	Conceito de diagrama de blocos
	Manipulação de diagrama de blocos
	Simplificação de diagramas de blocos
	Sistema em malha-fechada sujeito a perturbações
	Questões de concursos públicos
	Análise no domínio do tempo
	introdução
	funções descontínuas no tempo
	Função degrau unitário
	Função impulso unitário
	Função rampa
	sistemas de primeira ordem
	Resposta ao degrau
	Resposta ao impulso unitário
	Resposta à rampa unitária
	Sistemas de segunda ordem
	Resposta ao degrau
	Sistema sub-amortecido – ,,,𝒂-𝟏..-𝟐.−𝟒,𝒂-𝟎.,𝒂-𝟐.<0:
	Sistema criticamente amortecido – ,,,𝒂-𝟏..-𝟐.−𝟒,𝒂-𝟎.,𝒂-𝟐.=𝟎:
	Sistema superamortecido – ,,,𝒂-𝟏..-𝟐.−𝟒,𝒂-𝟎.,𝒂-𝟐.>0:
	Resposta ao impulso unitário
	Sistema sub-amortecido
	Sistema criticamente amortecido
	Sistema superamortecido
	Resposta à rampa
	Solução da homogênea:
	Solução particular:
	Análise de desempenho com base na resposta transiente
	Questões de concursos públicos
	Sistemas de ordem superior
	Sistema de 4ª ordem cujos pólos estão nas posições indicadas na Figura 5-9.
	Sistema de 4ª ordem cujos pólos estão nas posições indicadas na Figura 5-10.
	Questões de concursos públicos
	análise de estabilidade
	O conceito de estabilidade
	Caso 1 – pêndulo normal
	Caso 2 – pêndulo invertido
	Questões de concursos públicos
	O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz
	Considere a estabilidade de um sistema cuja Função de Transferência é descrita por:
	Determine a estabilidade de um sistema descrito pela função de transferência:
	Determine a estabilidade de um sistema descrito pela função de transferência:
	Um sistema com um ganho ajustável K é descrito pela função de transferência:
	Análise da estabilidade relativa
	Questões de concursos públicos
	análise em regime permanente
	Introdução
	Erro estacionário
	Erro atuante estacionário
	Entrada degrau
	Sistema Tipo 0
	Sistema Tipo 1 ou maior
	Entrada rampa
	Sistema Tipo 0
	Sistema Tipo 1
	Sistema Tipo 2
	Entrada parábola
	Sistema Tipo 0
	Sistema Tipo 1
	Sistema Tipo 2
	Questões de concursos públicos
	Controle clássico de sistemas
	Definições
	Controle on-off
	Controladores proporcionais (P)
	Controladores integrais (I)
	Controlador proporcional-integral (PI)
	Controlador proporcional-derivativo (PD)
	Controlador proporcional-integral-derivativo (PID)
	Comentários:
	EFEITOS DAS AÇÕES DE CONTROLE
	Sistemas com erro em regime permanente
	Ação de controle proporcional (P)
	Ação de controle integral (I)
	Ação de controle proporcional-integral (PI)
	Sistemas sem amortecimento natural
	Ação de controle proporcional
	Ação de controle proporcional-derivativo (PD)
	Considerações finais
	Sistemas submetidos a perturbações
	Controlador proporcional (P)
	Controlador proporcional-integral (PI)
	controladores pid
	Questões de concursos públicos
	análise no domínio da FREQÜÊNCIA
	Introdução
	conceitos iniciais de resposta em freqüÊncia
	Resposta em freqüência de sistemas de lineares
	Considere o circuito RC série da Figura 10-1 abaixo.
	Gráfico de resposta em freqüência:
	Função de Transferência senoidal
	relação de amplitudes e fase de sistemas básicos
	Sistema de 1ª ordem
	Sistema de 2ª ordem
	O diagrama de bode
	Diagramas de Bode ou gráficos logarítmicos
	Diagrama de Bode de fatores básicos
	Margem de ganho de margem de fase
	Questões de concursos públicos