Res dos Materiais Aula Angulo de Torção

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O projeto de um eixo depende de limitações na quantidade de
rotação ou torção ocorrida quando o eixo é submetido ao torque,
desse modo, o ângulo de torção é importante quando se analisam as
reações em eixos estaticamente indeterminados;
Desenvolveremos uma fórmula para determinar o ângulo de torção (fi)
de uma extremidade de um eixo em relação à sua outra extremidade;
Consideraremos que o eixo tem seção transversal circular que pode
variar gradativamente ao longo de seu comprimento e que o material
é homogêneo e se comporta de maneira linear elástica quando o
torque é aplicado;
φ
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Usando o método das seções, isolamos
do eixo um disco diferencial de espessura
dx localizado na posição x;
O torque interno resultante é
representado por T(x), visto que o
carregamento externo pode acarretar
variação no troque interno ao longo da
linha central do eixo;
A ação de T(x) provocará uma torção no
disco, de tal modo que a rotação relativa
de uma de suas faces em relação à outra
será .φd
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O resultado é que um elemento de material localizado em um raio
arbitrário no interior do disco sofrerá uma deformação por
cisalhamento . Os valores de e são relacionados pela seguinte
equação:
Visto que a lei de Hooke( ) se aplica e que a tensão de
cisalhamento pode ser expressa em termos do torque aplicado pela
fórmula da torção , então .
Substituindo essa expressão na equação I, o ângulo de torção para o
disco é
ρ
γ γ φd
)( Idxd
ρ
γφ =
γτ G=
)()( xJxT ρτ = GxJxT )()( ργ =
dx
GxJ
xTd )(
)(
=φ
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Integrando em todo comprimento L do eixo,
obtemos o ângulo de torção para o eixo
inteiro, a saber,
= Ângulo de torção de uma extremidade do eixo em relação à outra.
T(x) = Torque interno na posição arbitrária x.
J(x) = Momento de inércia polar do eixo expresso em função de x.
G = Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material.
φ
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Normalmente, o material é homogêneo, de modo que G é constante,
bem como, a área da seção transversal e o torque aplicado também
são constantes, portanto, a equação que determina o ângulo de
torção pode ser expressa do seguinte modo:
Se o eixo estiver sujeito a diversos torques diferentes, ou a área da seção
transversal e o módulo de elasticidade mudarem abruptamente de uma
região para outra, o ângulo de torção pode ser determinado a partir da
adição dos ângulos de torção para cada segmento do eixo, assim:
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A direção e o sentido do torque aplicado é definido a partir da
aplicação da regra da mão direita. Torque e ângulo serão
positivos se a direção indicada pelo polegar for no sentido de
afastar-se da extremidade cortada do eixo.
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1 – O eixo engastado a seguir está submetido a um torque de 3,5kNm.
Sabendo-se que o eixo é feito de aço, com módulo de elasticidade
transversal G=80GPa, calcular o ângulo de torção na extremidade da
barra.
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2 – As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das
extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura. Supondo
que o módulo de elasticidade de cisalhamento seja G = 80 GPa e o eixo
tenha diâmetro de 14 mm, determinar o ângulo de torção da
extremidade A. O eixo gira livremente no mancal em B.
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3 – Determinar:
a) O ângulo de torção causado por um torque T de 4500Nm, em um eixo
de alumínio maciço e de diâmetro 75mm(G=25,5GPa);
b) Idem a parte a, assumindo que o eixo maciço tenha sido substituído
por um eixo vazado, com mesmo diâmetro externo e com 25,4mm de
diâmetro interno.
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4 – O eixo de aço A-36(75GPa) de 20mm de diâmetro é submetido aos
torques mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B.
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5 – As hélices de um navio estão acopladas a um eixo maciço de aço A-
36(G=75GPa) com 60m de comprimento, diâmetro externo de 340mm e
diâmetro interno de 260mm. Se a potência de saída for 4,5MW quando o
eixo gira a 20rad/s, determine a tensão de torção máxima no eixo e seu
ângulo de torção.
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6 - O eixo de aço A-36(G=75GPa) é composto pelos tubos AB e CD e uma
seção maciça BC. Está apoiado em mancais lisos que permitem que ele
gire livremente. Se as engrenagens, presas a extremidade do eixo, forem
submetidas a torques de 85Nm, determine o ângulo de torção da
engrenagem A em relação à engrenagem D. Os tubos têm diâmetro
externo de 30mm e diâmetro interno de 20mm. A seção maciça tem
diâmetro de 40mm.