DOC-20250407-WA0041

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2º Revisão Resistências dos Materiais Aplicadas 
 
- Ângulo de Torção 
 É a medida da rotação que ocorre em um 
material ou eixo quando é submetido a 
forças de torção. Ele é uma forma de 
avaliar a deformação e a resistência do 
material. 
 o Ângulo de Torção é calculado por: 
 Torque x Comprimento 
Módulo de Cisalhamento x Momento Polar de Inércia 
 Onde o Resultado é dado em Radianos e 
por isso, é preciso Convertê-lo para Graus 
por uma relação de Regra de Três em que. 
 1 π Rad = 180° 
- Transmissão de Potência 
Potência é definida como o trabalho 
realizado por unidade de tempo. 
 Para um eixo rotativo com torque, a 
potência é: 
 Torque x Velocidade Angular 
 Onde velocidade angular também pode 
ser descrita como: 
 2 x π x Frequência 
 Então uma Equação Para Potência 
também pode ser: 
 Torque x 2 x π x Frequência 
Transformação de rpm para Radiano por 
Segundo: 
 1 rpm = 2 x π 
 60 
- Parâmetros de Projetos para o Eixo 
 
 
 Momento Polar de Inércia = Torque 
 Raio Tensão Cisalhamento Máxima 
 
 
Ex1: As extremidades estriadas e 
engrenagens acopladas ao eixo de aço 
A-36 estão sujeitas aos torques mostrados. 
Qual o ângulo de torção da engrenagem C 
em relação à engrenagem D. 
O eixo tem diâmetro de 40 mm e G = 75 
GPa. 
 
- Definir o Torque entre C e D. 
 Utilizando da noção das convenções das 
rotações fazendo o somatório dos 
torques representados. Temos um Torque 
de 400 no sentido anti horário e um torque 
de 200 no sentido horário, então o torque 
em CD vai ser. 
 400 - 200 - TCD = 0 
 TCD = 200 N.m 
- Momento Polar de Inércia 
 O eixo representado possui um diâmetro 
de 40 mm, para o momento polar de inércia 
precisamos do raio, basta dividir por 2, que 
é igual a 20 mm. Que iremos transformar 
em metros, dividindo por 1000, igual à 
medida de 0,02 m. 
 Pi vezes Raio elevado a 4 dividido por 
dois. 
 π x 0,02^4 
 2 
momento polar de inércia = 2,513 x 10^-7 
- Ângulo de Torção. 
 Como a questão pede o ângulo de torção 
C somente em relação a engrenagem D, 
vamos levar em conta somente essa 
distância, que é sinalizada na imagem 
como tendo 400 mm, que dividido por mil é 
0,4 metros. 
 o Módulo de Cisalhamento em giga fica = 
 10^9 
 o Ângulo de Torção é calculado por: 
 Torque x Comprimento 
Módulo de Cisalhamento x Momento Polar de Inércia 
 Então: 
 200 x 0,4 
 75 x 10^9 x 2,513 x 10^-7 
 Ângulo de Torção = 4,24 x 10^-3 rad. 
- De Radianos para Graus 
 Resultado é dado em Radianos e por isso, 
é preciso convertê-lo para Graus por uma 
relação de Regra de Três em que. 
 1 π Rad = 180° 
Então: 
 1 π Rad = 180° 
 4,24 x 10^-3 = x 
 x = 180 x 4,24 x 10^-3 
π 
 Ângulo em Graus = 0,243º 
 
 
 
 
 
 
Ex2: O eixo de aço A-36 (G = 75 GPa) de 
20 mm de diâmetro é submetido aos 
torques mostrados. Determine o ângulo de 
torção da extremidade B. 
 
- Definir Torques. 
Como esse é caso que não separa a seção 
específica só fala da torção num ponto de 
extremidade, então toda a barra precisa ser 
levada em consideração, então vamos 
definir os Torques em toda ela. 
. Em BC. 
 TBC - 80 = 0 
 TBC = 80 N.m 
. Em CD. 
 TCD - 80 + 20 = 0 
 TCD = 60 N.m 
. Em DA. 
 TDA - 80 + 20 - 30 = 0 
 TDA = 90 N.m 
- Momento Polar de Inércia 
 O eixo representado possui um diâmetro 
de 20 mm, para o momento polar de inércia 
precisamos do raio, basta dividir por 2, que 
é igual a 10 mm. Que iremos transformar 
em metros, dividindo por 1000, igual à 
medida de 0,01 m. 
 Pi vezes Raio elevado a 4 dividido por 
dois. 
 π x 0,01^4 
 2 
 momento polar de inércia = 1,57 x 10^-8 
- Ângulo de Torção. 
 Essa questão pede o ângulo de torção na 
extremidade, vamos levar em conta toda a 
barra, com as distâncias. 
BC = 800 mm; CD = 600 mm; DA = 200 mm. 
 Onde os comprimentos vão ser em metros. 
 o Módulo de Cisalhamento em giga fica = 
 10^9 
 o Ângulo de Torção é calculado por: 
 Somatório de Torques x Comprimentos 
Módulo de Cisalhamento x Momento Polar de Inércia 
 
 TBC x LBC + TCD x LCD + TDA x LDA 
Módulo de Cisalhamento x Momento Polar de Inércia 
 80 x 0,8 + 60 x 0,6 + 90 x 0,2 
 75 x 10^9 x 1,57 x 10^-8 
 Ângulo em Radiano = 0,1002 
- De Radianos para Graus 
 Resultado é dado em Radianos e por isso, 
é preciso convertê-lo para Graus por uma 
relação de Regra de Três em que. 
 1 π Rad = 180° 
Então: 
 1 π Rad = 180° 
 0,1002 = x 
 x = 180 x 0,1002 
π 
 Ângulo em Graus = 5,74° 
 
Ex3: Um eixo maciço de aço AB será usado 
para transmitir 3750 W do motor M ao qual 
está acoplado.Se o eixo girar a 175 rpm e o 
aço tiver uma tensão de cisalhamento 
admissível τadm = 100 MPa, determine o 
diâmetro exigido para o eixo com precisão 
de mm.
 
 
- Transformar RPS para Radianos 
por Segundo. 
 Se a questão nos apresentar um caso em 
que nos der uma medida em rps, é preciso 
transformar na unidade de Velocidade 
Angular, ( Rad/s) 
 1 rpm = 2 x π rad/s 
 60 
Então 175 rpm; 
 1 rpm = 2 x π rad/s 
 60 
 175 = x 
 x = 2 x π x 175 
 60 
 Velocidade Angular = 18,32 Rad/S 
 
 
 
- Achar Torque pela Potência. 
 Nesse Problema nos foi dado a Potência 
do Motor = 3750 W. 
Para um eixo rotativo com torque, a 
potência é: 
 Torque x Velocidade Angular 
 Então: 
 3750 = Torque x 18,32 
 Torque = 3750 
 18,32 
 Torque = 204,70 
- Definir o Raio Em Função da 
Tensão Máxima Admissível. 
 Como a questão pede pelo Raio, a gente 
pode encontrar ele a partir da Fórmula de 
Tensão Máxima, se modificarmos a fórmula 
para isolar o raio,ficaria: 
 Raio = (raiz cúbica) de 2 x Torque 
 π x Tensão 
 Raíz Cúbica de 2 x 204,70 
 π x 100 x 10^6 
 Raíz Cúbica de 1,303 x 10^-6 
 Raio = 0,011 m 
- Diâmetro em precisão em mm. 
 A questão deixa claro que deseja o 
diâmetro, que graças a ter o raio basta 
multiplicar ele por 2 para encontrar. 
 0,011 x 2 = 0,022 m. 
 Que para passarmos para mm basta 
multiplicarmos por 1000. 
 0,022 x 1000 = 22 mm. 
Ex4: Um eixo tubular com diâmetro interno 
de 30 mm e diâmetro externo de 42mm 
será usado para transmitir 90 kW de 
potência. Determine a frequência de 
rotação do eixo de modo que a tensão de 
cisalhamento não ultrapasse 50MPa. 
- Momento Polar de Inércia. 
 O exemplo em questão indica que o tubo 
possui medidas de diâmetro externo e 
interno que precisam ser transformados em 
raios e em medidas em metros. 
 Diâmetro de 42 mm = Raio de 0,021 m 
 Diâmetro de 30 mm= Raio de 0,015 m. 
A fórmula para momento polar para eixos 
tubulares é: 
 Pi vezes a diferença do raio externo 
elevado ao quadrado e do raio interno 
elevado ao quadrado dividido por dois 
 π x (0,021^4 - 0,015^4) 
 2 
 Momento Polar de Inércia = 2,26 x 10^-7 
- Descobrir Torque. 
 Pode-se usar a fórmula que relaciona 
todas essas informações para descobrir 
alguma delas que se deseja. 
 Momento Polar de Inércia = Torque 
 Raio externo Tensão 
 Então se multiplicando em x: 
 2,26 x 10^-7 = Torque 
 0,02150 x 10^6 
 0,21 x Torque = 2,26 x 10^-7 x 50 x 10^6 
 Torque = 11,3 
 0,21 
 Torque = 538,1 N.m 
- Encontrar a Frequência 
 Como desde o enunciado da questão nos 
pede frequência, nos dando o valor de sua 
Potência, então temos que tomar um 
caminho de achar um a partir do outro, e 
uma fórmula para achar potência é. 
 Torque x 2 x π x Frequência 
 A potência nos foi revelado, 90 x 10^3 por 
estar em kW. 
 90 x 10^3 = 538,1 x 2 x π x Frequência 
 Frequência = 90 x 10^3 
 538,1 x 2 x π 
 Frequência = 90 x 10^3 
 33801 
 Frequência = 26,62 
 
Ex5: Um torque de intensidade T=1000N.m 
é aplicado em D, como mostra a figura. 
Sabendo que a tensão de cisalhamento 
admissível é de 60MPa em cada eixo, 
determine o diâmetro necessário do eixo 
AB e do eixo CD 
 
 
- Definir Torque nas Engrenagens 
 O torque nesse sistema é transmitido de 
um para o outro por meio das engrenagens, 
Sabemos que no eixo CD tem um torque de 
1000 N.m, a fórmula para calcular tensão é: 
 Torque = Força vezes Distância. 
 Como sabemos o Torque de um, podemos 
descobrir a força, e a força se mantém a 
 
 
mesma para as duas engrenagens 
conectadas. 
 Então descobrindo a força pelo Torque em 
CD 
 Transformando as distâncias de mm para 
m 
 1000 N.m = Força x 0,04 m 
 Força = 25000 N 
 Agora com a Força do sistema, jogamos 
ela na engrenagem CD. 
 Torque CD = 25000 x 0,1 
 Torque AB = 2500 N.m 
- Raio em Função da Fórmula da 
Tensão. 
 Como a questão se pede Raio, usamos; 
 Raiz Cúbica de ( 2 vezes o Torque dividido 
por Pi vezes Tensão de Cisalhamento) 
 Como a questão definiu a tensão de 
cisalhamento em 60 MPa para as duas 
seções. 
 . Seção AB 
 Raio AB = (raiz cúbica) de 2 x 2500 
 π x 60 x 10^6 
 Raio AB = raiz cúbica de 2,652 x 10^-5 
 Raio AB = 0,030 m. 
 . Seção CD 
 Raio CD = (raiz cúbica) de 2 x 1000 
 π x 60 x 10^6 
 Raio CD = raiz cúbica de 1,061 x 10^-5 
 Raio CD = 0,022 m. 
 Porém como a questão pede os valores de 
diâmetros, basta multiplicar por 2. 
 . Seção AB 
 2 x 0,030 = 0,060 ou 60 mm. 
. Seção CD 
 2 x 0,022 = 0,044 ou 44 mm.