EP6-MD2- GABARITO - CEDERJ - UFRRJ - ADMINISTRAÇÃO

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Profª. Cećılia Saraiva
EP6 - GABARITO
Questão 1: Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→0
x− 1
x2(x + 2)
b) lim
x→3
1
(x− 3)3
c) lim
x→−2+
x− 1
x2(x + 2)
Solução:
a) lim
x→0
x− 1
x2(x + 2)
= −∞, pois (x− 1)→ −1, (x + 2)→ 2 e x2 → 0+ quando x→ 0.
b) Neste caso, precisamos calcular os limites laterais lim
x→3+
1
(x− 3)3
e lim
x→3−
1
(x− 3)3
.
Assim,
� lim
x→3+
1
(x− 3)3
= +∞, pois 1→ 1 e (x− 3)3 → 0+ quando x→ 3+.
� lim
x→3−
1
(x− 3)3
= −∞, pois 1→ 1 e (x− 3)3 → 0− quando x→ 3−.
Portanto, lim
x→3+
1
(x− 3)3
6= lim
x→3−
1
(x− 3)3
, donde não existe lim
x→3
1
(x− 3)3
.
2
c) lim
x→−2+
x− 1
x2(x + 2)
= −∞, pois (x− 1)→ −3, x2 → 4 e (x + 2)→ 0+ quando x→ −2+.
Questão 2: Calcule os limites abaixo.
a) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
b) lim
x→0
√
x + 2−
√
2
x
c) lim
x→−4
1
4
+ 1
x
x + 4
Solução:
a) lim
x→0
√
x + 4− 2
x
= lim
x→0
√
x + 4− 2
x
.
√
x + 4 + 2√
x + 4 + 2
= lim
x→0
(x + 4)− 4
x(
√
x + 4 + 2)
= lim
x→0
1√
x + 4 + 2
=
1
4
b) lim
x→0
√
x + 2−
√
2
x
= lim
x→0
√
x + 2−
√
2
x
.
√
x + 2 +
√
2
√
x + 2 +
√
2
= lim
x→0
(x + 2)− 2
x(
√
x + 2 +
√
2)
= lim
x→0
1
√
x + 2 +
√
2
=
1
2
√
2
c) lim
x→−4
1
4
+ 1
x
x + 4
= lim
x→−4
x + 4
4x
x + 4
= lim
x→−4
x + 4
4x
.
1
x + 4
= lim
x→−4
1
4x
= − 1
16
Questão 3: Seja h(x) =
{
4− x2 se x ≤ 1
2 + x2 se x > 1
. Esboce o gráfico de h(x) e encontre os se-
guintes limites:
a) lim
x→1−
h(x) b) lim
x→1+
h(x) c) lim
x→1
h(x)
Solução: O esboço do gráfico de h encontra-se na figura a seguir.
3
a) lim
x→1−
h(x) = lim
x→1−
4− x2 = 3.
b) lim
x→1+
h(x) = lim
x→1+
2 + x2 = 3.
c) lim
x→1
h(x) = 3 (note que lim
x→1−
h(x) = 3 = lim
x→1+
h(x)).
Questão 4: Seja f : R→ R definda por
f(x) =

x + 5 se x 3
.
Esboce o gráfico de f e determine o que se pede em cada item abaixo.
a) lim
x→−3−
f(x) d) lim
x→3−
f(x)
b) lim
x→−3+
f(x) e) lim
x→3+
f(x)
c) lim
x→−3
f(x) f) lim
x→3
f(x)
4
Solução: O esboço do gráfico de f encontra-se na figura abaixo.
a) lim
x→−3−
f(x) = 2 d) lim
x→3−
f(x) = 0
b) lim
x→−3+
f(x) = 0 e) lim
x→3+
f(x) = 0
c) lim
x→−3
f(x) não existe, pois lim
x→−3−
f(x) 6= lim
x→−3+
f(x). f) lim
x→3
f(x) = 0