Vamos resolver a integral \(\int_1^4 \sqrt{\ln(x)} \, dx\) usando o método 3/8 de Simpson com 6 subintervalos. Passo 1: Definir os parâmetros - Intervalo: \([a, b] = [1, 4]\) - Número de subintervalos: \(n = 6\) (deve ser múltiplo de 3 para o método 3/8) - Largura do subintervalo: \(h = \frac{b - a}{n} = \frac{4 - 1}{6} = 0,5\) Passo 2: Calcular os pontos \(x_i\) \(x_0 = 1\) \(x_1 = 1 + 0,5 = 1,5\) \(x_2 = 2,0\) \(x_3 = 2,5\) \(x_4 = 3,0\) \(x_5 = 3,5\) \(x_6 = 4,0\) Passo 3: Calcular \(f(x_i) = \sqrt{\ln(x_i)}\) - \(f(x_0) = \sqrt{\ln(1)} = \sqrt{0} = 0\) - \(f(x_1) = \sqrt{\ln(1,5)} \approx \sqrt{0,4055} \approx 0,6369\) - \(f(x_2) = \sqrt{\ln(2)} \approx \sqrt{0,6931} \approx 0,8326\) - \(f(x_3) = \sqrt{\ln(2,5)} \approx \sqrt{0,9163} \approx 0,9573\) - \(f(x_4) = \sqrt{\ln(3)} \approx \sqrt{1,0986} \approx 1,0486\) - \(f(x_5) = \sqrt{\ln(3,5)} \approx \sqrt{1,2528} \approx 1,1193\) - \(f(x_6) = \sqrt{\ln(4)} \approx \sqrt{1,3863} \approx 1,1775\) Passo 4: Aplicar a fórmula do método 3/8 de Simpson: \[ \int_a^b f(x) dx \approx \frac{3h}{8} \left[ f(x_0) + 3 \sum_{i=1, i \not\equiv 0 \pmod{3}}^{n-1} f(x_i) + 2 \sum_{i=3,6,...}^{n-3} f(x_i) + f(x_n) \right] \] Aqui, os índices múltiplos de 3 (exceto \(x_0\) e \(x_n\)) são \(x_3\), e os outros são \(x_1, x_2, x_4, x_5\). Calculando as somas: - Soma dos \(f(x_i)\) para \(i\) não múltiplo de 3: \(f(x_1) + f(x_2) + f(x_4) + f(x_5) = 0,6369 + 0,8326 + 1,0486 + 1,1193 = 3,6374\) - Soma dos \(f(x_i)\) para \(i\) múltiplo de 3 (exceto extremos): \(f(x_3) = 0,9573\) Passo 5: Substituir na fórmula: \[ I \approx \frac{3 \times 0,5}{8} \left[ 0 + 3 \times 3,6374 + 2 \times 0,9573 + 1,1775 \right] \] \[ I \approx \frac{1,5}{8} \left[ 0 + 10,9122 + 1,9146 + 1,1775 \right] = 0,1875 \times 13,9943 = 2,624 \] O valor aproximado é cerca de 2,624, que mais se aproxima da alternativa A) 2,625387693. Resposta correta: A) 2,625387693