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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...)
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica,
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional.
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y
principios de las Naciones Unidas.
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1. Toda persona tiene derecho a la libertad de reunión y de asociación pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país,
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios;
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad,
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales.
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita,
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de
la comunidad, a gozar de las artes y a participar en el progreso científico y
en los beneficios que de él resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y
materiales que le correspondan por razón de las producciones científicas,
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único
fin de asegurar el reconocimiento y el respeto de los derechos y libertades
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada en esta Declaración podrá interpretarse en el sentido de que confiere
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
2
secundaria
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Geometría
Matemática
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Geometría
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tÍtulo vII
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capÍtulo I
delItos contra los derecHos de autor
Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la
autorización del autor.
artículo 217.o.- será reprimido con pena privativa de libertad no
menor de dos ni mayor de seis años y con treinta a noventa días-multa,
el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística,
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias,
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior
importe cada uno.
Apertura
En esta sección
encontrarás
temas
novedosos que
propiciarán
sostener
una relación
cercana con la
Matemática.
se aborda el
desarrollo del
tema, donde
encontrarás las
definiciones
organizadas
siguiendo una
secuencia
didáctica.
Marco
teórico
Conoce tu libro
Tema
83MateMática DELTA 2 - GeoMetría
6
Cuadriláteros II
a = b
a = b
En la imagen se observa dos edificios, donde sus fachadas muestran dos regiones
paralelográmicas.
Paralelogramos
Son aquellos cuadriláteros con dos pares de lados opuestos congruentes y paralelos:
a° + b° = 180°
a° + q° = 180°
Como se puede ver en el gráfico los ángulos opuestos miden igual y los ángulos
adyacentes son suplementarios.
Dentro de este grupo de figuras encontramos 4 figuras geométricas que cumplen con
estas características, y son las siguientes:
El romboide: También llamado «Paralelogramo», es el más simple de los miembros
de esta familia. Básicamente, en él, se van a cumplir las propiedades principales de los
paralelogramos:
A
B Cb
b
a
q° a°
a° q°
a
D
A
B Cb
b
a a
a° b°
a°b°
D
AB // CD
BC // AD
Si L1 y L2 son
paralelas
Ángulos
suplementarios: Son
dos ángulos cuya
suma es 180°.
Recu e rda
b°
a°
L1
L2
a = b a° + b° = 180°
Título del tema
Para una mejor
organización, los temas
están numerados.
Comentarios
y/o lecturas
que
refuerzan el
desarrollo
del tema
117MateMática DELTA 2 - GeoMetría
Recu e rda
Calcula la medida del ángulo TOA, si AT es una recta tangente y O es el centro.
Resolución:
∴ m TOA = 70°
Halla el valor de x, si BC // AD.
Encuentra el valor de x.
A D
30°
x
B C
A D
30°
60° x
B C
100°x
A
C
B
α°
A
C
B
Por la propiedad de las cuerdas paralelas:
x = 60°
Resolución:
«B» por ser ángulo inscrito se cumple:
x = 100°
2 ⇒ x = 50°
Resolución:
Si L // L1:
⇒ α° = β°
m AC = 2α
α° + β°
2x =
m AB = 2β
A
B
β°
xβ° α°
L
L1
α° β°
20°
T A
O
20°
70°
T A
O
Por teorema, el radio con la tangente
forman un ángulo de 90°.
Rpta. 70°
Rpta. 60°
Rpta. 50°
Por el ángulo inscrito se cumple que
m AB = 60°.
1
2
3
Ejercicios resueltos
Nombre de la
sección
Algoritmo de
resolución del
problema planteado.
Preguntas y/o situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo al tema.
Ejercicios
resueltos
se muestran
ejercicios que
están resueltos
didácticamente,
los mismos que
servirán para
el análisis del
estudiante.
3MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Contenido del tema,
que incluye teoremas,
postulados, fórmulas,
propiedades, leyes, etc.,
resumido en organizadores
gráficos para tener un
panorama general del
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con
numeración impar serán
resueltos por el docente,
mientras que los pares serán
resueltos por el estudiante
siguiendo la secuencia
realizada.
46
1
21
Síntesis
Modela y resuelve
En la figura, calcula el valor de a + b. En la figura, calcula el valor de k – m.
Teorema
de Pitágoras
se cumple:
a2 = b2 + c2
a
b
c
Triángulos rectángulos notables
2k
30°
60°
k
3k
2k
45°
45°
k
k
75°
h
15°
4 h
Observación
5k
3k
4k
37°
53°
k
k
3
3
k
3
32
30°
60° 45°
45°
k k
2 2
k
2
2
Resolución:
a
60°
12 u
b
m k
8 cm
45°
Resolución:
Rpta. Rpta.
Triángulos rectángulos notables
Nombre de la
sección
Nombre de la
sección
Espacio para resolver
el problema.
Organizador
visual
Enunciado del
problema o de la
situación planteada.
123MateMática DELTA 2 - GeoMetría
Nivel I
1
2
5
3 6
4
Entonces Calculael valor de x, si AB = CF.
A 20° B 30° C 32°
D 34° E 31°
Determina el valor de x, sabiendo que RS, TS, QS
y PS son líneas tangentes.
A 80° B 60° C 70°
D 75° E 65°
R
A
Q
C PT
B
β
S
x
α 40°
Calcula el valor de x, si AB = BC = CD.
A 33° B 30° C 32°
D 34° E 31°
x 40°
A
B
C
D
En la figura, encuentra el valor de x.
Si m AB = m DE y m BC = m CD.
A 33° B 30° C 35°
D 34° E 31°
Halla la medida del arco MPN, si MN y el radio
tienen medidas iguales.
A 280° B 230° C 225°
D 270° E 300°
Halla el valor de x, si m APB = 2x y m AB = x.
A 72° B 144° C 126°
D 200° E 120°
70°
x
F
A
B
C
D
E
2x x
A
B
P
O
M
N
P
R
70°
x
A
B
F
C
D E
Practica y demuestra
Preguntas
planteadas,
estas
pueden ser
situaciones
reales o una
simuladas.
Espacio
para realizar
anotaciones de
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye
preguntas del contenido de
los temas desarrollados en
la unidad y son de elección
múltiple.
Practica y
demuestra
En esta sección se
plantean preguntas que
han sido organizadas por
niveles de complejidad
y de elección múltiple
en la que el estudiante
demostrará lo aprendido
durante la sesión.
Preguntas y/o
situaciones
problemáticas reales o
simuladas, planteadas de
acuerdo a los temas de
la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
127MateMática DELTA 2 - GeoMetría
Si P y Q son puntos de tangencia, calcula el valor
de x.
En la figura, P, Q y R son puntos de tangencia,
si AC = 10 cm. Encuentra el valor de la suma de
los catetos del triángulo rectángulo ABC.
En la figura, la circunferencia está inscrita en el
cuadrilátero. Si AB = 6 u, BC = 4 u, AD = 10 u
y EC = 8 u. Halla el valor de x.
En la figura, O es el centro y AO = DC, indica la
relación correcta entre q y d.
Determina el valor de x, si m TPB = 50° y
PT // AM.
Calcula la longitud del segmento MN. Si se sabe
que AL = 3 u; O1 y O2 son centros.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponde a la respuesta.
5A
10C
6B
11D
10 cmA
16 cmC
14 cmB
12 cmD
20°A
70°C
30°B
40°D
1A
3C
2B
4D
2°A
4°C
5°B
3°D
1 uA
1,5 uC
2,5 uB
2 uD
A
Q
P
n2 +
3
2n2 – 33
A DE
B
C
80°
x
B
M
TP
A
O
r
A C
B
R
2 cm
P
Q
A CO
B
D
q d
B
M
L
N
A
O2O1x
4
5MateMática Delta 2 - GeoMetría
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e
pr
ob
le
m
as
d
e
fo
rm
a,
m
ov
im
ie
nt
o
y
lo
ca
liz
ac
ió
n
Modela objetos
con formas
geométricas y sus
transformaciones.
triángulos 8
Definiciones
Clasificación de los triángulos
Teoremas fundamentales
Teoremas auxiliares
líneas notables en el triángulo 25
Cevianas notables
Incentro, excentro y ortocentro
Ángulos formados por cevianas notables
triángulos rectángulos notables 41
Interpretación geométrica del teorema de Pitágoras
Triángulos rectángulos notables
congruencia de triángulos 53
Congruencia de triángulos
Criterios para determinar la congruencia de triángulos
Teoremas que aplican la congruencia
cuadriláteros I 69
Generalidades sobre los cuadriláteros
Relaciones angulares en los cuadriláteros
Clasificación de cuadriláteros por paralelismo
Teoremas que cumplen todos los trapecios
Otras propiedades
cuadriláteros Il 83
Paralelogramos
Definición
Instrucciones para dibujar cuadrados
circunferencia I 99
Elementos
Propiedades
Posiciones relativas de dos circunferencias
Teoremas
Polígonos inscritos y circunscritos
Teoremas de Poncelet y Pitot
circunferencia II 115
Ángulos en la circunferencia
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su
comprensión
sobre las formas
y relaciones
geométricas.
Usa estrategias
y procedimientos
para orientarse
en el espacio.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
geométricas.
Índice
El matemático Euclides, nacido el año
330 a. C. (probablemente en Grecia),
es considerado uno de los personajes
más ilustres de la historia y Padre de la
Geometría por sus grandes aportes a esta
rama de la Matemática.
Algunos sostienen que fue educado en Atenas, y
que por eso tenía gran dominio del conocimiento
geométrico elaborado en la escuela de Platón,
aunque no parece tan familiarizado con las de
Aristóteles.
Euclides
y los postulados de
«Elementos»
Euclides se instaló en Alejandría durante el reinado de Ptolomeo I; en aquella ciudad fundó
una escuela matemática muy importante y escribió Elementos, de la que no existe obra original
pero tiene copias posteriores en griego, latín y árabe. Es importante resaltar que la ciudad de
Alejandría era uno de los centros intelectuales más importantes por su biblioteca y su museo.
Obras de Euclides
Euclides produjo muchos tratados sobre la Geometría y otras ciencias. Sin embargo, su obra más
conocida es Elementos y está compuesta por 13 libros que compilan obras de otros autores y
de él y donde se tocan los temas de geometría plana o elemental, teoremas de los números y
la geometría espacial. Además de desarrollarse en el campo de la Aritmética y la Geometría,
Euclides tiene una obra titulada Sofismas y escritos sobre temas de música y óptica.
La obra Elementos contiene en su primer libro, 5 postulados de la geometría en el plano, los
mismos que dieron tema de conversación a los entendidos matemáticos por mucho tiempo.
Estos postulados son:
1. Dados dos puntos, se puede trazar una recta que los une.
2. Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en una recta ilimitada en la
misma dirección.
3. Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
Pero el siguiente postulado fue controversial.
6
Quinto postulado
Si una recta, al cortar a otras dos,
forma los ángulos internos de un mismo
lado menores que dos rectos, esas dos
rectas prolongadas indefinidamente
se cortan del lado en el que están los
ángulos menores que dos rectos.
Ya desde la época de Euclides, se
pensó que su quinto postulado de la
Fuente:
biografiasyvidas.com, bbvaopenmind.com, ecured.cu, euston96.com
Desempeños
• Establece relaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios.
Asocia estas características y las representa con formas bidimensionales. Establece, también,
propiedades en la congruencia de triángulos, y propiedades de área y perímetro.
• Expresa, con dibujos, construcciones con regla y compás, con material concreto y con lenguaje
geométrico, su comprensión sobre las propiedades en la congruencia de triángulos. Los expresa
aun cuando estos cambien de posición y vistas, para interpretar un problema según su contexto y
estableciendo relaciones entre representaciones.
• Lee textos o gráficos que describen características, elementos o propiedades de las formas geométricas
bidimensionales. Reconoce propiedades en la congruencia de triángulos para extraer información.
• Selecciona y emplea estrategias heurísticas, recursos o procedimientos para determinar la longitud y el
perímetro de polígonos empleando unidades convencionales (centímetro, metro y kilómetro).
• Plantea afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre entre las formas geométricas,
sobre la base de simulaciones y la observación de casos. Las justifica con ejemplos y sus conocimientos
geométricos. Reconoce errores en sus justificaciones y en las de otros, y los corrige.
geometría del plano era demasiado complejo y podía enunciarse de manera más sencilla. Para
abordar ese reto, se buscaron formulaciones equivalentes de ese axioma, pero de manera que
la geometría que lo cumpliese siguiese siendo euclidiana. Así se llegó a enunciados más simples,
como por ejemplo: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela.
Al parecer, ni el propio Euclides se sentía satisfecho con este axioma.
No fue hasta principios del siglo XIX, cuando matemáticos como Lobachevski, Bolyai o Gaussplantearon la posibilidad de crear geometrías del plano a partir de postulados diferentes a los
de Euclides, lo que se conoce como geometrías no euclidianas. La geometría hiperbólica de
Lobachevski, que solo satisface los cuatro primeros postulados de Euclides, es un ejemplo. En
ese caso, el quinto se sustituye por otro que es totalmente nuevo. En la geometría hiperbólica, la
suma de los ángulos de un triángulo es menor que 180º.
En la historia de la Geometría, Euclides de Alejandría es el principal representante de esta
ciencia. Sus aportes a la humanidad son invaluables y muchos de ellos se mantienen hoy en día
como premisas universales.
7
8
Tema 1
Triángulos
Etimológicamente
triángulo significa:
tri : tres
gonos: ángulos
¿Sa bía s qu e.. .?
En la naturaleza encontramos innumerables ejemplos de formas asociadas a figuras
geométricas, y esto se debe a que nuestro cerebro procesa la idea abstracta de un
polígono y la relaciona con una forma encontrada en la vida real.
Así, en la imagen, la hoja encontrada nos da la idea de la figura poligonal cerrada más
simple como es el caso del triángulo.
Definición
Si A, B, C son tres puntos no alineados, entonces a la reunión de los segmentos AB, BC
y AC se le denomina triángulo y se denota como ABC.
A
B
C
A
B
C
• Los puntos A, B, C son vértices.
• Los segmentos AB, BC y AC se llaman lados.
• Los ángulos BAC, ABC, BCA se llaman ángulos internos del triángulo y frecuentemente
los designamos como:
A , B , C
• A la suma de las longitudes de todos los lados de un triángulo se le denomina perímetro
del triángulo.
Perímetro: 2p = AB + BC + AC
Semiperímetro: p = AB + BC + AC2
AB: se lee
segmento AB
AB: se lee
medida del
segmento AB
También:
AB = m AB
Recu e rda
9MateMática Delta 2 - GeoMetría
Recu e rda
El símbolo
indica el ángulo
de 90°.
Clasificación de los triángulos
Según la longitud de sus lados:
Triángulo equilátero: Es aquel triángulo en el que sus lados tienen igual medida.
Triángulo isósceles: Es aquel triángulo en el que solo dos de su lados miden igual.
Triángulo escaleno: Es aquel triángulo donde sus tres lados tienen diferentes longitudes.
Según la medida de sus ángulos interiores:
Triángulo rectángulo: Es un triángulo que tiene un ángulo recto.
Observación
m A = 90°
B
A
C
Etimológicamente
equilátero significa:
equi: igual
latero: lado
Traduciendo sería
lados de igual
medida.
Isósceles significa:
isos: igual
celes: patas o
piernas.
Es decir, patas o
piernas de igual
medida.
Se denomina región
triangular a la unión
del triángulo y su
interior.
L L
L
L L
L
60°
60° 60°
L L
m
α° ≠ β° ≠ θ°
m
k
L
También:
También:
También:
¿Sa bía s qu e.. .?
¿Sa bía s qu e.. .?
m
k
L
α°
β°
θ°
L L
m
α° α°
L
β°
10
Los ángulos se
clasifican en:
• Agudo: si su
medida es mayor
que cero y menor
que 90°.
• Recto: si su
medida es 90°.
• Obtuso: si su
medida es mayor
que 90° y menor
que 180°.
<: menor que
>: mayor que
: menor o igual a
: mayor o igual a
Los teoremas son
proposiciones
matemáticas
que tienen
demostración.
Recu e rda
Import a nt e
Re cu e rda
Triángulo oblicuángulo: Es un triángulo que no tiene un ángulo recto.
Si los tres ángulos son agudos se llama triángulo acutángulo, si uno de los ángulos
es obtuso se llama triángulo obtusángulo.
B
CA
Q
P R
Acutángulo
m A < 90°
m B < 90°
m C < 90°
Obtusángulo
m Q > 90°
Teoremas fundamentales
Teorema de la existencia (Teorema de la desigualdad triangular)
En todo triángulo la longitud de un lado es menor que la suma de las longitudes de los
otros dos lados y mayor que la diferencia de dichas longitudes.
c a
b
B
A C
Teorema de la suma de las medidas de los ángulos interiores
En todo triángulo la suma de las medidas de sus ángulos interiores es 180º.
Teorema del ángulo externo. En un triángulo, la medida de un ángulo externo es igual a
la suma de las medidas de dos ángulos internos no adyacentes a dicho ángulo externo.
° + ° + ° = 180°
x = ° + °
Se cumple que:
b – c < a < b + c , si b c
°
° °
x
°
°
11MateMática Delta 2 - GeoMetría
Teoremas auxiliares
I)
II)
III)
x° = ° + ° + °
° + θ° = β° + δ°
Propiedad de la suma de dos
ángulos exteriores.
IV)
V)
180° + x° = ° + °
x° + y° = m° + n°
m°
x°
n°
y°
x°
°
° °
m°
n°
x° y°
x°
° °
¿Sa bía s qu e.. .?
°
°
β°
δ°
Alfabeto griego:
Alfa :
Beta :
Gamma :
Delta :
Epsilon :
Zeta :
Eta :
Theta :
Iota :
Kappa :
Lambda :
Mu :
Nu :
Xi :
Omicron :
Pi :
Rho :
Sigma :
Tau :
Ypsilon :
Fi :
Ji :
Psi :
Omega :
x° + y° = m° + n°
12
a = b
Teorema de la
existencia
Recu e rda
Las medidas de los ángulos internos de un triángulo están en proporción de 4; 6
y 8. Calcula el menor de los ángulos internos de dicho triángulo.
Resolución:
Como los ángulos son proporcionales a 4; 6 y 8, entonces los ángulos interiores
medirán: 4k, 6k y 8k.
Por teorema fundamental:
4k + 6k + 8k = 180° ⇒ k = 10°
Nos piden la medida del menor ángulo interno, es decir 4k = 40º.
Un triángulo tiene por lados 3 cm y 7 cm. Si el tercer lado del triángulo mide el triple
de uno de ellos, halla la medida del tercer lado.
Resolución:
Antes de decidir a cuál de las longitudes de los lados le asumimos el valor del triple,
primero debemos asegurarnos que dicho triángulo exista. Veamos:
Por lo tanto, los valores enteros admisibles
serían 5; 6; 7; 8 y 9. Ahora bien, de acuerdo a
la condición del problema el tercer lado debe
medir el triple de uno de los valores dados.
Entonces el tercer lado medirá 9 cm.
3 7
B
CA x
7 – 3 < x < 7 + 3
4 < x < 10
ab
x
a – b < x < a + b
La suma y diferencia de dos ángulos de un triángulo son 100º y 40º, respectivamente.
Determina la medida de los tres ángulos.
Resolución:
Sean la medida de dos ángulos y .
De las condiciones tenemos: + = 100° …… (I)
– = 40° ………(II)
Operando el sistema convenientemente hacemos (I) + (II)
2 = 140°
= 70° = 30º
Por teorema, la suma de las medidas de los tres ángulos es 180º. Entonces el tercer
ángulo medirá 80º. Los tres ángulos serán 70º, 30º y 80º.
Si en un triángulo,
sus tres ángulos
internos miden
menos que 90°,
entonces se llama
acutángulo.
Recu e rda
Rpta. 40°
Rpta. 9 cm.
Rpta. 70º, 30º y 80º
1
2
3
Ejercicios resueltos
13MateMática Delta 2 - GeoMetría
Dado un triángulo isósceles, cuyos lados miden 8 cm y 17 cm. Encuentra el
semiperímetro del triángulo.
Resolución:
Para que un triángulo sea isósceles primero debe existir. Por lo tanto, hay que
analizarlo antes de evaluar cuál de las longitudes de lados se repite:
17 – 8 < x < 17 + 8
9 cm < x < 25 cm
A partir de ello, notamos que el tercer lado no puede medir 8 cm, ya que debe ser
mayor que 9 cm. Entonces las longitudes de los lados son 8 cm, 17 cm y 17 cm.
El perímetro es 42 cm. Piden el semiperímetro que es 21 cm.
8 cm 17 cm
A
B
Cx
Recu e rda
El símbolo del
perímetro es 2p.
Rpta. 21 cm.
5
4
En la figura, calcula el valor de x + y.
Resolución:
Es fácil notar para el triángulo ABC que:
69° + 3 + 3 = 180°
+ = 37°
Por lo tanto, en el triángulo AQC: + + y = 180°
y = 143º
En el cuadrilátero no convexo ABCP también se
tiene:
69° + + = x
106° = x
Se pide: x + y = 249°
No o lv id e s
OM: bisectriz del
AOB
a = b x = ° + ° + °
A
B
M
O
x
°
°°
69°
x
y
α
β
β
β
α
α
C
P
Q
A
B
69°
x
y
α
β
β
β
α
α
Rpta. 249°
°
°
14
Recu e rda
Ángulo de medida
C( ) = 90° –
S( ) = 180° –
Donde
C( ) : Complemento
de
S( ) : Suplemento de
Segunda resolución: Aplicamos la propiedad de la suma de dos ángulos exteriores
10 + 13 = 50° + 180°
= 10°
Nos piden el complemento de :
C( ) =90° – = 90° – 10° = 80°
(Página 11 - Teorema V).
Entonces en el ABC:
50° + (180° – 10 ) + (180° – 13 ) = 180°
= 10°
Nos piden el complemento de :
C( ) = 90° – = 90° – 10° = 80°
Primera resolución: Podemos completar los ángulos interiores del triángulo. Así:
a° + b° = x + 180°
x
a° b°
Rpta. 80°
10θ B
50°
A C
180° – 13θ
13θ
180° – 10θ
7
Resolución:
Por ángulo exterior en el triángulo PQC, la medida del ángulo PQA es 2x.
APQ: isósceles m PAQ = 2x
Finalmente, en el triángulo ABC:
5x = 90°
x = 18°
Como los lados AB
y BC tienen marcas
iguales, se entiende
que sus longitudes
son iguales.
Obse rva ción
B
A C
En la figura, determina el complemento de .
10θ B
50°
A C
13θ
A
Q
C
P
B
2x
x2x 2x
x
Rpta. 18°
6 En la figura, halla el valor de x.
A
Q
C
P
B
2x
x
15MateMática Delta 2 - GeoMetría
En la figura, encuentra el valor de x.
Finalmente, en el cuadrilátero EDCF:
β° + 90° = x + β° + 2x
30° = x
Resolución:
En ABE: m DEF = x + ° ... (ángulo exterior)
m DCF = 90°
Obse rva
b c
a d
a = b a + b + c + d = 360°
No o lv id e s
x
y
a = b x + y = ° + °
° °
β°
β°
B
C
FA
E
D
x
2x
β°
β°
B
C
FA E
D
x
2xx + β°
Rpta. 30°
8
9 Halla el valor de x en la siguiente figura.
En un triángulo
equilátero sus tres
lados miden igual.
Sus ángulos internos
también son iguales,
cada uno mide 60°.
¿Sa bía s qu e.. .?
x
P
B
A C
Resolución:
ABC: equilátero m BAC = m ABC = 60°
PAB: isósceles m PAB = 30° m APB = m ABP = 75°
Finalmente, en el punto B se cumple que:
75° + 60° + x = 180°
x = 45°
P
B
A
C
30°
75°75°
60°
60°
x
Rpta. 45°
16
Vamos a demostrar empíricamente por qué la suma de las medidas de los ángulos
internos de un triángulo es 180°.
Una manera muy sencilla es esta. Usando tu regla, lápiz y colores construye cualquier tipo
de triángulo. Luego colorea apropiadamente las puntas (los ángulos). Convenientemente
haz coincidir doblando las puntas en algún punto de un lado. Notarás que ellas coinciden
y que exactamente forman una línea recta. Tú sabes muy bien que en esa posición la
suma de todos los ángulos siempre será 180°.
Otra manera es esta:
Construye un triángulo cualquiera como en el caso anterior, luego colorea tres sectores
de tal manera que al colorear el triángulo siempre haya un ángulo pintado. Luego con una
tijera o si quieres rasgando el papel rompe tu figura. Verás que a la hora de hacer coincidir
las porciones por la parte de los ángulos, estos se ubican en un único punto donde la
suma de las medidas es 180°.
B
A C
B
C A
Actividad en tu cuaderno
La manera formal
de demostrar
sería trazando una
paralela a un lado
y por la propiedad
de ángulos alternos
internos, las medidas
se repiten. Así:
Notamos en L1:
Obse rva
a = b ° + ° + ° = 180°
B L1
CA
°
°
°
°
°
Resolución:
En el ABC:
60° + 20° + 5 = 180°
= 20°
Además: APQ es isósceles
+ 2x = 180°
x = 80°
En la figura, calcula el valor de x.
B
A C
2θ
2θ
P
Q
20°
x
60°
Rpta. 80°
10
17MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve
De la suma de medidas de sus
ángulos internos.
α + β + θ = 180° α + β + θ = 360° x = α + β
x = α + β + θ
x + y = α + β α + β = x + y α + β = x + y
De la suma de medidas de sus tres
ángulos externos, uno por vértice.
Del cálculo de la medida de un
ángulo exterior.
De la existencia de un triángulo. De la correspondencia.
Teoremas adicionales
Teoremas principales
C B
A
a b
c
Sea ABC un triángulo
a – b < c < a + b
a > b
Si α > β
⇒ a > b
b a
B
A
C
α β
A C
x
B
β
α
A
B C
β
α θ
B
A C
β
α θ
xA
B
C
Oα
β
θ
B C
A D
α
β
x
y
A C
B
D
α
βx y
A D
B
C
α
β
x
y
2 Calcula el valor de x en la siguiente figura.1 La medida de dos ángulos internos de un triángulo
son 38° y 63°. ¿Cuánto mide el tercer ángulo
interno?
2x + 10°
2x – 10° 2x
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
Triángulos
18
4 Calcula el valor de β. 3 Calcula el valor de .
5θ
6θ 120° 10°
Resolución:
60°
7β2β
20°
Resolución:
7 En la figura, halla el valor de x. 8 Halla el valor de x.
6 En la figura que se muestra, determina el valor de x.5 En la figura que se muestra, determina el valor de .
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
120°
70°
A
B
C
α
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
70oB
3x
A
40º + 2x
C
140°
2x 6x x 126°
19MateMática Delta 2 - GeoMetría
10 Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden
7 cm y 11 cm y AC mide el doble de uno de ellos.
¿Cuánto es el perímetro del triángulo?.
12 Determina m BMC.
13 Del gráfico, encuentra el valor de x.
11 Determina m BCA.
9 Los lados de un triángulo isósceles miden 4 cm y
10 cm. Calcula el perímetro del triángulo.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
120°
A C D
80°
3
B
Resolución:
B
A
M
C
4β 4β
2β 20°
14 Encuentra el valor de x.
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
x
20°
50º
x
60º
100º
20
16 Halla la medida del mayor ángulo de un triángulo
isósceles, si los ángulos iguales miden 56°.
17 Las medidas de los ángulos internos de un
triángulo son proporcionales a 2, 4 y 6. ¿Cuáles
son sus medidas?
18 Las medidas de los ángulos internos de un triángulo
están en proporción a 4, 6 y 8. Calcula el menor
de los ángulos internos de dicho triángulo.
19 En la figura, determina el valor de x. 20 Determina el valor de x en el gráfico.
15 Halla la medida del menor ángulo interno de un
triángulo rectángulo isósceles.
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
x40º
140º
B
A C
D
10º
80º
x
B
A C
D
21MateMática Delta 2 - GeoMetría
1
2 5
4
3 6
De las siguientes afirmaciones, escribe V si es
verdadera o F si es falsa.
I) Triángulo escaleno: lados con diferentes
longitudes.
II) Triángulo isósceles: si sus tres lados son de
igual longitud.
III) Triángulo equilátero: si tiene dos lados de
igual longitud.
A VVV B FVV C FVF
D VFF E FFF
Señala el lado mayor del triángulo PQR.
68°
64° 48°
P R
Q
1. Ángulos de medidas iguales a) isósceles
2. Ángulos de medidas diferentes b) equilátero
3. Dos ángulos de medidas iguales c) escaleno
Relaciona; luego, marca la alternativa correcta.
A 1b, 2c, 3a
B 1c, 2b, 3a
C 1b, 2a, 3a
D 1a, 2b, 3c
E 1c, 2a, 3b
En un triángulo dos de sus lados miden 3 cm y
7 cm, si el tercer lado del triángulo mide el triple
de uno de ellos, halla el perímetro del triángulo.
A 22 cm B 22 o 29 cm
C 29 cm D Faltan datos
E N. A.
A PQ B QR
C PR D Faltan datos
E N. A.
Determina el valor de x + y.
50°
x
65°
y
80°
60°
Se tiene un triángulo isósceles cuyos lados miden
5 cm y 12 cm. ¿Cuánto mide el perímetro del
triángulo?
A 31 cm
B 19 cm
C 30 cm
D 31 o 19 cm
E Ese triángulo es imposible.
A 115° B 103° C 105°
D 145° E 95°
Nivel I
Practica y demuestra
22
8
11
9 12
7 10En la figura, calcula m HQP, si la medida del
ángulo PQR es 120°.
Determina el valor de m + n.
Si la medida de uno de los ángulos de un triángulo
rectángulo es 45 de la medida del otro. ¿Cuánto
mide el ángulo menor?
En un triángulo ABC, la medida del ángulo B es el
doble del ángulo A y el ángulo C es igual a la suma
de A + B. ¿Cuánto mide el ángulo menor?
La suma de las medidas de los ángulos B y C de
un triángulo ABC es 105°. Si la medida del ángulo
A excede a la del ángulo C en 40°. ¿Cuánto es la
medida del ángulo B?
50°
m
120° 20°
70°
n
En la figura se cumple que si AB = BC, BP = BQ,
halla el valor de x.
B
A P
x
Q
C30°
A 40° B 50° C 60°
D 70° E N. A.
A 100° B 101° C 99°
D 180° E N. A.
A 30° B 40° C 45°
D 60° E 180°
A 40° B 80° C 70°
D 60° E 75°
A 40° B 30° C50°
D 80° E N. A.
A 30° B 40° C 20°
D 50° E N. A.
Q
P H R
40°
Nivel II
23MateMática Delta 2 - GeoMetría
En la figura, determina el valor de x.
En la figura se cumple que AB = BC. Calcula el
valor de x.
x
75°
2β
β
En la figura, encuentra el valor de x.
3x
4x
4x
3x
4x
En la figura se cumple que BD = PD. Halla el valor
de x.
En la figura se cumple que AB = PC. Calcula el
valor de x.
B
5x
P
x
7x
x
C
A
Si en la figura se cumple que α + θ = 70°.
Determina el valor de x, si AP = PB y BQ = QC.
A 40° B 50° C 30°
D 60° E 70°
A 30° B 80° C 75°
D 45° E 60°
A 8° B 10° C 12°
D 15° E 20°
A 10° B 20° C 30°
D 40° E 50°
A 60° B 65° C 70°
D 75° E 80°
A 15° B 10° C 250°
D 40° E 45°
B
80°
60°
2x
A C
Q
P D
B
A
x
P
H
C
B
A P Q C
x
α
13
14
15
16
17
18
24
21
20
19
22
23
24
En la figura, encuentra el valor del complemento
de x sumado al suplemento de θ.
105°
81°
x
θ3θ
A 160° B 165° C 170°
D 175° E 189°
En el gráfico, halla el valor de x si el triángulo ABC
es equilátero.
A C
B
x
Si dos lados de un triángulo tienen como longitud
7 u y 2 u. Encuentra el valor del tercer lado que no
sea ni el máximo ni mínimo valor entero.
A 6 u B 8 u C 7 u
D 9 u E 10 u
Dos lados de un triángulo suman 22 u. Determina
el mayor valor entero que puede tomar la altura
relativa al tercer lado.
A 9 u B 11 u C 10 u
D 12 u E 13 u
Clasifica al triángulo ABC.
3x
M
A
2x 45°
E
A Acutángulo
B Isósceles
C Triángulo rectángulo
D Triángulo escaleno
E Más de una es correcta
Calcula el valor de x, si el triángulo ABC es
equilátero.
B Q
C
A
P
x
A 30° B 70° C 60°
D 80° E 50°
A 30° B 60° C 70°
D 80° E 50°
Nivel III
Tema
25MateMática Delta 2 - GeoMetría
2
Líneas notables en el triángulo
M
A
M
N
B
B
O
O
El nombre ceviana
fue introducido por
M.A. Poulain, que
lo utilizó en honor
a Giovanni Ceva,
quien en 1678
formuló un teorema
que lleva su nombre,
este teorema da la
condición necesaria
y suficiente para
que tres cevianas se
corten en un punto.
El haber conocido el triángulo nos permite empezar a asociarlo con otras figuras.
Lo puedes asociar a líneas, circunferencias, otros polígonos, etc. En este capítulo
empezaremos a ver la asociación que se puede dar con segmentos a los cuales
llamaremos cevianas.
Ceviana es un segmento de recta que une un vértice de un triángulo con el lado opuesto
a este, o con su prolongación; determinando, de esa manera, la posibilidad que haya una
ceviana interior y una ceviana exterior. También se la conoce como transversal angular.
Gráficamente:
B
A D C E
Para el triángulo ABC:
BD: Ceviana interior
BE: Ceviana exterior
Como verás no le hemos dado ninguna condición especial a esta ceviana; pero cuando
esto ocurre dicha ceviana toma nombre. Existen diversos tipos de cevianas notables. Sin
embargo, en este grado analizaremos solo a dos: la bisectriz y la altura.
Cevianas notables
Bisectriz
Una bisectriz es una ceviana que «biseca» al ángulo (de allí su nombre), a partir del cual
es trazada, determinando de esa manera dos ángulos congruentes. La bisectriz puede
ser interior o exterior.
A C
D
B
En el gráfico, como m ABD = m DBC, entonces BD es bisectriz interior.
Q
R
P S
Se nota en el siguiente gráfico que QS es una bisectriz exterior.
¿Sa bía s qu e.. .?
Impo rt a nt e
OM y ON son
trisectrices
°
°
°
°
°
OM: bisectriz
A
°
°
°
°
26
Un punto notable
es un punto donde
concurren cevianas
notables.
Obse rva
• Bisectriz en inglés
es bisector.
• Incentro en inglés
es incenter.
• Excentro en inglés
es excenter.
Un triángulo tiene un
único incentro pero
tres excentros.
¿Sa bía s qu e.. .?
Obs e rva
Altura
Una altura es una ceviana perpendicular al lado hacia donde esta es relativa. Esta ceviana
puede ser interior o exterior dependiendo del tipo de triángulo.
B
A C
H
B
H A
C
Cuando las cevianas se intersecan generan puntos, y dependiendo del tipo de ceviana
estos puntos pueden ser singulares, normalmente a estos puntos se le denominan puntos
notables.
Como en este capítulo estamos estudiando a la bisectriz y a la altura, veamos ahora qué
puntos notables se asocian de ellas.
Incentro y excentro
El incentro es el punto de concurrencia de las tres bisectrices interiores de un triángulo.
En el gráfico, tanto AD, BF y CE son bisectrices.
Incentro
del ABC
El excentro es el punto de concurrencia de dos bisectrices exteriores y una bisectriz
interior.
En el gráfico, BD y CE son bisectrices exteriores. AF es bisectriz interior.
E
F
D
B
A C
Altura interior
Altura exterior
Excentro
del ABC
relativo a BC
A
F
C
D
B
E
27MateMática Delta 2 - GeoMetría
El símbolo frecuente
para indicar la altura
es la «h», debido
a que en inglés la
palabra para la altura
es height.
Ángulos
suplementarios
Son dos ángulos
cuya suma de
medidas es 180°.
Ángulos
complementarios
Son dos ángulos
cuya suma de
medidas es 90°.
Recu e rda
Ortocentro
Es el punto de concurrencia de las tres alturas de un triángulo. Su ubicación puede ser en
la región interior, exterior o en el mismo triángulo, eso va a depender del tipo de triángulo.
Será interior si el triángulo es acutángulo, exterior si el triángulo es obtusángulo, y se
ubicará en el mismo triángulo si es triángulo rectángulo. Veámoslo gráficamente.
Ortocentro
Ortocentro
Ortocentro
Ángulos formados por cevianas notables
Existen teoremas que relacionan ángulos y medidas angulares a partir de las cevianas
que hemos estudiado.
Ángulos en el incentro y excentro
a = b x = 90° +
θ°
2
B
E
A F
C
D
donde I: incentro
¿Sa bía s qu e.. .?
A
O
H C
T
B
x
I
B
A Cα°
α°
β°
β°
θ°
28
I: incentro del
triángulo ABC
• Incentro
Punto interior
donde concurren
las bisectrices
interiores.
• Ortocentro
Punto de
concurrencia de
las alturas.
Recu e rda
También se cumple:
Obse rva
a = b x = 90° –
θ°
2
a = b x =
θ°
2
Ángulos en el ortocentro
a = b x = 180° – θ°
a = b x = 180° – θ°
E: excentro
E: excentro
H: ortocentro
H: ortocentro
2x x
¿Sa bía s qu e.. .?
B
CA
I
xE
B
D
H
A C
θ°
A
P C
T
x
H
B
θ°
θ°
θ° α° α°
B
A C
x
E
β°
β°
θ°
α°
α°
B
E
x
CA
β°
β°
θ°
α° α°
29MateMática Delta 2 - GeoMetría
Obse rva
No o lv id e s
Resolución:
Como CM es bisectriz, m ACM = m MCB = β°
En el triángulo ABC:
Calcula el valor de x, si CM es bisectriz.
Entonces…
En el triángulo MBC: x + 40° + 30° = 180°
x = 110°
80° + 40° + 2β° = 180°
β° = 30°
C
Resolución:
Como AB = AC, entonces el triángulo ABC es isósceles, por lo tanto:
m ACB = m ABC = 70°
Al ser BH altura, entonces el triángulo BHC es rectángulo. Así:
x + 90° + 70° = 180°
x = 20°
En la figura, determina el valor de x.
Se observa que en el triángulo ABC, tanto AE como CE son bisectrices, la primera
interior y la segunda exterior. Por lo tanto, E es excentro del triángulo ABC. Por
teorema:
Resolución:
x = 80°2
⇒ x = 40°
En la figura, AB = AC, y BH es altura. Halla el valor de x.
B
A
M
CM es bisectriz
x
a = b x =
β°
2
θ° α°
α°θ°
β°
β°
β°
80°
x
80° x
B E
A C
Rpta. 110°
Rpta. 20°
Rpta. 40°
C
B
M
A
x
80° β
40°
x
40°A
B
CH
70°
B
CH
x
1
2
3
Ejercicios resueltos
30
No o lv id e s
Re cu e rda
Obs e rva
En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución:
Por teoría E es excentro del triángulo
ABC. Sabemos que:
En el gráfico, I es el incentro del triángulo rectángulo. Calcula el valor de x.
Resolución:
Por dato del ejercicio, I es incentro del triángulo ABC, por lo tanto AI y CI son
bisectrices interiores.
Por teorema, tenemos:
θ° = 90° + 90°2⇒ θ° = 135°
Por otro lado, θ° y x forman un par lineal, por lo tanto son suplementarios.
θ° + x = 180° ⇒ x = 45°
En la figura, halla el valor de x.
Resolución:
En la figura podemos notar fácilmente que H es el ortocentro del ABC.
Por teorema de medida de ángulos en el
ortocentro:
2x + 3x = 180°
x = 36°
B
A
E
C
40°
α
α
x
x
m
x
a + b = 180°
H: ortocentro
a = b m = 2x
a = b x = 90° –
°
2
°
°
° ° °
40° = 90° – x
2
⇒ x = 100°
θ°
I x
B
A C
α β
α β
α° β°
β°α°
Rpta. 36°
Rpta. 45°
Rpta. 100°
α β
α β
I x
B
A C
B
A C
2x
3x
E
a
b
A
H
B
C
B
A C
3x
E2x
3x
H
4
5
6
31MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve
B
A D C
si α° = β°
BD: bisectriz
B
A H C
si = 90°
BH es altura
m°
x
I
β° α°
α α α
α
α
β
βα
x = 90° + m° 2
m°
2
m°
x
x = m2
x
m°
x = 90° –
E: excentro
E
E
E: excentroI: incentro
H: ortocentro
m°
x
x = 180° – m°
H
2 Construye un triángulo rectángulo ABC recto en B
y traza la altura relativa al lado AC.
Resolución:
1 Construye un triángulo acutángulo ABC y traza la
altura relativa al lado AC.
Resolución:
Líneas notables en el triángulo
32
3 Indica verdadero V o falso F.
- El baricentro es el punto de intersección de las
medianas.
- El ortocentro es el punto de intersección de las
alturas.
- El circuncentro es el punto de corte de las
bisectrices interiores.
4 Calcula el valor de x, si CM es bisectriz.
M
A
B
C
40°
x
80o
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta.
6 Determina el valor de x, si ABC es equilátero y
CH es altura.
5 Determina el valor de x, si AM es bisectriz.
Resolución: Resolución:
A
B CM
40° 60°
x
B
H
A x C
8 Indica el valor de x, si AM es bisectriz.7 Indica el valor de x, si AM y CM son bisectrices.
B
M
x
A C
Resolución:
B
M
C
80°
A
x
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
33MateMática Delta 2 - GeoMetría
10 Halla el valor de α, si BM es bisectriz. 9 Halla el valor de x, si BH es altura.
B
x
50°
A H C
B
A
M
C
2α – 30°
α
Resolución: Resolución:
12 Encuentra el valor de m ABM, si BM es bisectriz. 11 Encuentra la medida del ángulo ABC, si BM es
bisectriz.
A C
B
M
30°– θ 20°+ θ2α – 40° α + 10
A
M
C
B
°
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
13 Calcula el valor de α, si BM es bisectriz. 14 Calcula la suma de las medidas de los ángulos
ABC y CAB, si CP es bisectriz.
Resolución: Resolución:
55°
P
B
A C
B
CMA
12α – 10° 10α + 80°
Rpta. Rpta.
34
17 Determina el valor de x. 18 Determina el valor de x.
Resolución:
19 Encuentra el valor de x, si QF es bisectriz del
ángulo PQR.
20 En el gráfico, RE es bisectriz exterior del triángulo
ARQ. Encuentra el valor de φ.
Resolución:
Resolución:
16 En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza
la altura BH; la bisectriz del ángulo ABH interseca
a AC en Q, si AC = 20 cm y AQ = 3 cm. Halla la
medida de BC.
Resolución:
B
20°
E
CA
x
Resolución:
x
I
40°
B
A C
15 En el gráfico, BD es bisectriz interior del ángulo
ABC y BH es altura. Halla el valor de x.
B
A H CD
x
3θ θ
Resolución:
Q
85°
F
RP 35°
x 36° 104
°
A
Q
E
R
φ
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
35MateMática Delta 2 - GeoMetría
Nivel I
Practica y demuestra
Traza dos bisectrices exteriores en un triángulo
obtusángulo. Indica el excentro.
Determina el valor de x, si AB = AC y BH es altura.
Confecciona un triángulo obtusángulo ABC,
obtuso en el vértice B y traza la altura desde el
vértice A.
Utilizando un transportador, dibuja un ángulo que
mida 150° y mediante compás y regla traza la
bisectriz.
Indica el valor de x, si AH es altura.
B
H
130°
C A
x
40°
x
B
A H C
Calcula el valor de x, si BD es bisectriz.
70°
80° x
D
B A
A 45° B 60° C 80°
D 70° E 40°
A 10° B 15° C 20°
D 25° E 30°
A 70° B 75° C 80°
D 85° E 86°
1
4
2 5
3 6
36
De la figura, halla el valor de β, si BM es bisectriz
del ABC.
Del gráfico, encuentra la longitud de BE, si BH es
altura, AE es bisectriz y BF = 10 m.
A 20° B 30° C 35°
D 40° E 50°
A 4 m B 6 m C 8 m
D 9 m E 10 m
B
E
A H C
F
B
A M C
140°2β
β
Determina el valor de α, si BM es bisectriz.
C
M
A B
2α
3α – 15°
A 15° B 20° C 25°
D 30° E 45°
Calcula el valor de , si CP es bisectriz.
A 110° B 55° C 35°
D 80° E 70°
Encuentra el valor de α, si // AC y CP es
bisectriz.
Halla el valor de α, si BP es bisectriz del CBD.
A B D
P
60°
C
B
60°
80°
P
A C
A 120° B 60° C 30°
D 90° E 180°
A 40° B 30° C 20°
D 10° E 15°
Nivel II
7 10
8
11
9 12
B
A C
80° –
+10°
P
37MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
En el triángulo rectángulo ABC (recto en B) se
traza la altura BH y la bisectriz interior AQ que se
cortan en P, tal que BP = PQ. Determina m BCA.
En un triángulo ABC la m A – m C = 44°. Se
traza la bisectriz interior BD. Calcula la m HAC
siendo AH perpendicular a BD .
A 20° B 30° C 40°
D 50° E 60°
A 41° B 50° C 30°
D 44° E 22°
En la figura, halla a + b, si BD es bisectriz del
ABC.
En el gráfico, encuentra el valor de x.
En el gráfico, determina el valor de x.
En el gráfico, calcula el valor de x en función de α.
m m
5α 4α
x
B
A C
B
A
a
b
E
D C
A 60° B 75° C 100°
D 90° E 80°
A 140° B 120° C 160°
D 130° E 150°
A 60° B 100° C 120°
D 80° E 90°
A α B
α
2 C 2α
D
α
3 E
3α
2
B
60°
x
A C
B
80°
x
A C
α
α
θ
θ
38
Halla el valor de x.
x
x
DB
A C
Encuentra el complemento de x.
B
A C
100°
x
A 30° B 50° C 60°
D 80° E Faltan datos
A 50° B 140° C 120°
D 150° E No existe
19
22
20 23
21 24Indica el valor de x.
B
A C
x
45°
60°
A 40° B 30° C 15°
D 50° E 25°
Si MN es bisectriz exterior del triángulo ATM,
determina el valor de γ.
T
N
100°
30°
MA
A 45° B 30° C 25°
D 50° E 35°
Calcula el valor de x.
Si AE y CF son bisectrices, ¿qué punto notable
es I?
A Incentro B Ortocentro
C Circuncentro D Excentro
E Baricentro
A 30° B 35° C 15°
D 20° E 10°
40°
x
α α α
α β
β
ββ
EF
A C
B
I
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
39MateMática Delta 2 - GeoMetría
De las afirmaciones, indica el valor de verdad de
cada una.
a) Triángulo acutángulo: si sus tres ángulos
interiores son agudos.
b) Triángulo obtusángulo: si tiene un ángulo
obtuso.
c) Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo recto.
La suma de dos ángulos de un triángulo ABC es
140° y su diferencia es 20°. Halla el menor ángulo
externo de dicho triángulo.
Encuentra el valor de x – y.
El perímetro de un triángulo es 96 cm, si un lado
mide 24 cm y los otros están en la relación de 3 a
5. ¿Cuánto mide cada uno de estos lados?
La suma y diferencia de dos ángulos de un
triángulo son 100° y 40°, respectivamente.
Calcula la medida del tercer ángulo de dicho
triángulo.
Determina m CBD.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
VVVA
VFVC
FVFB
FFVD
100°A
140°C
120°B
130°D
3 y 5A
27 y 45C
20 y 45B
10 y 18D
30°A
80°C
90°B
70°D
60°A
55°C
40°B
50°D
15°A
20°C
10°B
5°D
50°
y x
70°
2α
α
100°
A C
B
D
40
Encuentra el valor de α, si BP es bisectriz. En el gráfico, determina el valor de x.
Halla el valor de α, si CM es bisectriz. Encuentra el valor de x.
De la figura, calcula el valor de θ, si // AC y AP
es bisectriz.
Halla el valor del suplemento de x.
7 10
8 11
9 12
20°A
60°C
40°B
30°D
60°A
15°C
30°B
20°D
70°A
80°C
40°B
20°D
80°A
40°C
30°B
60°D
40°A
20°C
30°B
10°D
130°A
80°C
140°B
50°D
A B
P
2α – 2°
5α – 122°
C
B
70°
50°
M
A C
α
C
B
P
100°
40°
A
θ
B
80°
x
A C
α
α θ
θ
x40°
EB
A C
x
I
80°
B
A C
Tema
41MateMática Delta 2 - GeoMetría
3
Triángulos rectángulos notables
Una pregunta que muchos estudiosos siempre se hicieron era de cómo los antiguos
arquitectos hacían para conseguircon exactitud ángulos rectos. Una de las maneras se
muestra en la imagen de arriba. En una cuerda cerrada de manera equidistante se hacían
12 nudos, y cada uno de ellos delimitaba segmentos que como verás se distribuían en
porciones, formando un triángulo con 3 secciones, 4 secciones y 5 secciones. Por el
teorema de Pitágoras, para cualquier longitud de las secciones, se cumple que:
32 + 42 = 52
En consecuencia, el triángulo construido con dicha cuerda es un triángulo rectángulo.
En este capítulo aprenderemos más sobre los triángulos rectángulos notables. Pero antes
de eso comencemos por definir el teorema de Pitágoras:
c a
b
Teorema de Pitágoras:
a: Longitud de la hipotenusa
b: Longitud del cateto (1)
c: Longitud del cateto (2)
a2 = b2 + c2
Interpretación geométrica del teorema de Pitágoras
Como vemos en este gráfico, sobre cada uno de los lados del triángulo rectángulo se
pueden construir cuadrados, donde cada uno de sus lados serían recíprocamente lados
de dichos cuadrados. Con la longitud de los lados del triángulo se puede calcular el área
de cada cuadrado, obteniéndose que la suma de las áreas de las regiones cuadradas
construidas sobre los catetos, equivale al área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa.
3
4
5 5
25
c
a
b
9
16 4
c2 = a2 + b2
3
5
3
4
En la antigüedad a
los encargados de
medir las porciones
de tierra asignados
a la agricultura se le
llamaban «tensores
de cuerda».
Para obtener ángulos
rectos se usaba la
cuerda de los 12
nudos apoyándose
en el triángulo de 3,
4, 5 también usaban
el triángulo de 6, 8
y 10.
A Pitágoras se
le atribuye la
demostración del
teorema que lleva
su nombre. Sin
embargo, es muy
probable que hayan
sido los alumnos de
la escuela pitagórica
quienes lo hicieron.
¿Sa bía s qu e.. .?
Nota
42
Triángulos rectángulos notables
Se llama así a cualquier triángulo rectángulo donde las proporciones de los lados y
las medidas de los ángulos interiores son conocidas. Algunos son exactos y otros
aproximados. En un estudio posterior haremos hincapié en este asunto. Por lo pronto
veamos algunos casos interesantes:
Triángulo rectángulo de 30º y 60º
Triángulo rectángulo de 16º y 74º
Triángulo rectángulo de 37º y 53º
Triángulo rectángulo de 45º y 45º
Triángulo rectángulo de 15º y 75º
Se observa que este triángulo rectángulo tiene valores algo complicados; sin embargo,
la relación entre la altura relativa a la hipotenusa y la longitud de esta se encuentra en
relación de 1:4.
60°
30°
2a
a 3
a
45°
45°
b 2
b
b
53°
37°
5k
3k
4k
25k
74°
16°
24k
7k
4a
15°
75°
a ( 6 – 2)a
( 6 + 2)a
k
Not a
60°
45°
30°
45°
k
3k3
2k2
Obse rva
15°
4k
k
También se cumple:
75°
43MateMática Delta 2 - GeoMetría
Recu e rda
No o lv id e s
a
c
a = b a2 + b2 = c2
b
Teorema de
Pitágoras
30°
60° 2k
k
H k 3
5k 4k
3k
37°
53°
4k
k
15°
A
3 cm x
B 3 cm C
Resolución:
Una posible solución podría ser aplicar directamente el teorema de Pitágoras; sin
embargo, al notar que los catetos son congruentes, podemos asumir que las medidas
de los ángulos agudos son 45º y 45º, en tal caso la hipotenusa es conocida.
En la figura, halla el valor de h.
Resolución:
Se sabe que el triángulo notable de 15º y 75º presenta una relación notable entre la
altura relativa a la hipotenusa, donde:
x = 16 u4
x = 4 u
En la figura, determina el valor de x.
53° 30°
20 u x
B
A C
En la figura, calcula el valor de x.
A
B C
3 2 cm
45°
45°
3 cm
3 cm
x = 3 2 cm
Rpta. 3 2 cm
Rpta. 4 u
16 u
h
15°
1
2
3
Ejercicios resueltos
44
Resolución:
El triángulo ABC, presenta dos ángulos cuyas medidas corresponden a un triángulo
rectángulo notable, pero el triángulo ABC no es un triángulo rectángulo. Entonces vamos
a trazar una altura que nos favorezca, a fin de conseguir triángulos rectángulos. ¿Desde
dónde se debe trazar dicha altura?
La mejor opción es trazarla desde el vértice B. Así que trazaremos la altura BH.
53° 30°
20 u x
B
A C
H
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
Luego, resolveríamos el triángulo ABH, es decir, calcularíamos sus lados a partir del
triángulo rectángulo de 37º y 53°.
53° 30°
20 u x
B
A C
H12 u
16 u
Finalmente como BH = 16 u, entonces en el
triángulo BHC que es un triángulo rectángulo
notable de 30º y 60º, diremos que:
x = 32 u
En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución:
En el problema anterior vimos una posible solución con el trazo de una altura, en este
ejercicio podríamos hacer lo mismo desde B; sin embargo, aparecería un triángulo de
8º, el cual es un triángulo rectángulo notable, pero no tan conocido.
Una vez más buscaremos una altura que nos favorezca.
En este caso la altura que trazaremos será exterior y desde el vértice A.
Al observar el gráfico, surge la pregunta:
¿Qué conseguimos con este trazo?
Es que ahora ya conocemos la medida
del ángulo ABH que es 45º (Teorema del
ángulo exterior). Y podríamos resolver el
triángulo ABH.
8°
82°
K
7k
5 2 k
x
a = b x = ° + º
° º
Rpta. 32 u
H
B
A
x
C8° 37°
6 2 u
6 2 u
B
x
37°8°A C
4
45MateMática Delta 2 - GeoMetría
«Resolver un
triángulo» debe
entenderse como
conocer las medidas
de los lados y de sus
ángulos interiores.
Obse rva
Finalmente trabajaremos en el triángulo
AHC, donde el cateto AH = 6 u, el cual es
opuesto a un ángulo que mide 37º, y la
variable es la hipotenusa.
Por lo tanto:
x = 10 u
En la figura, calcula el valor de x.
Halla el valor de x.
x + 1
x + 2x
A
B C
Resolución:
Aplicando Pitágoras: x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2
Resolviendo: x2 – 2x – 3 = 0
x = 3 y x = –1
Resolución:
En el triángulo rectángulo ABC:
m ABC = 75°
Trazamos desde el vértice A la mediana AM, donde «M» está en BC.
Entonces: MC = 6 (por propiedad de la mediana en triángulos rectángulos).
Luego, el AHM es notable:
∴ AH = 3
Por lo tanto, el valor de x es 3.
Rpta. 10 u
Rpta. 3
Rpta. 3 cm
H
B
A x C
8° 37°
6 2u
6 u
45°
6 u
5
6
15°
30°
15°
6 6
6
75°
A
B
H
M
C
x
12 cm
15°A
B
H
C
x
46
1
21
Síntesis
Modela y resuelve
En la figura, calcula el valor de a + b. En la figura, calcula el valor de k – m.
Teorema
de Pitágoras
se cumple:
a2 = b2 + c2
a
b
c
Triángulos rectángulos notables
2k
30°
60°
k
3k
2k
45°
45°
k
k
75°
h
15°
4 h
Observación
5k
3k
4k
37°
53°
k
k
3
3
k
3
32
30°
60° 45°
45°
k k
2 2
k
2
2
Resolución:
a
60°
12 u
b
m k
8 cm
45°
Resolución:
Rpta. Rpta.
Triángulos rectángulos notables
47MateMática Delta 2 - GeoMetría
3 4
5 6
7 8
9 10
Determina la longitud de AD, si CD = 5 u. Determina el valor de BC, si AB = 10 cm.
Encuentra la longitud de BC, si AC = 20 cm. Encuentra la longitud de PQ, si AC = 5 m.
Halla la longitud de HR, si AB = 10 u. Si ABC es un triángulo equilátero.
Halla PQ
PR
, si BC = 15 cm, AP = 4 cm.
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
En la figura, calcula el valor de x. Calcula la longitud de x, si AD = DC.
Resolución:
Resolución:
C
P
BA
53°
15
°
Q
37°
D
A 23° B
C
C R B
x
37°
A
H
53° 30°
60 u x
B
A C
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
RQ
A P C
B
E
37
B
CA D
x
40 m
30° 15°A 20 C
B
45°
B
30°A C
48
En la figura, halla el valor de x, si AD = DC. Halla el valor de x.
Resolución: Resolución:
En la figura, determina el valor de x. Determina el valor de a + b.
Resolución:
Resolución:
Del gráfico, encuentra el valor de x. Encuentra el valor de x.
Resolución:
Calcula la longitud de AD, si CD = 10 cm. Del gráfico, calcula el valor de x.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
B
A C
53°
x
20 cm
2x + 2
B
A C
45°
10 2 cm
45°
b
a
6 u
x
37°
45°
3 cm
x
10 m
53°
37°
30°
12 cm
30°
x
45°
6 2 cm
23°
37°B D C
A
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
8 cm
x
C
A
B
D
60º
37º
1211
13 14
15 16
17 18
49MateMática Delta 2 - GeoMetría
Practica y demuestra
Nivel I1
2 5
3 6
4
En la figura, calcula el valor de a – b.
a6
37°
b
Halla la medida de HQ, si AB = 24 cm.
En la figura, determina el valor de BC si
AB = 10 m.
30° 45°
B
A C
A 1 u B 2 u C 3 u
D 4 u E 5 u
En la figura, encuentra el valor de CQ, si
AB = 10 mm.
37°
B
Q
A H C
30°
A 3 3 mm B 9 mm C 6 3 mm
D 6 mm E 4 mm
A 4 cm B 6 cm C 8 cm
D 9 cm E 12 cm
A 8 2 m B 10 2 m C 5 m
D 6 2 m E 5 2 m
Calcula el valor de x + 3y.
A 6 u B 6 3 u C (6 + 6 3) u
D 24 u E 12 u
Halla el valor de x.
30°
A
B
C
x
y
12 u
B
A H M
Q
15°
15° C
6 + x
B
A
30°
C
20 cm
A 10 cm B 4 cm C 6 cm
D 8 cm E 3 cm
50
7 10
8
11
9
12
Determina el valor de x.
B
A C
30°
x
6 2 m
15°
Encuentra el valor de x, si AE = ED.
x
60 cm
53°
A E D
C
B
A 30 cm B 34 cm C 26 cm
D 28 cm E 24 cm
Calcula el valor de x, si BE = EC.
6 2 u
B
E
D
C
53°
6 2 uA
x
A 4 u B 8 u C 10 u
D 5 u E 6 u
A 10 cm B 12 cm C 14 cm
D 15 cm E 12 2 cm
Según el gráfico, halla el valor de x.
x
45°
60° 4 3 cm
B
A
C
A 6 cm B 6 3 cm C 4 3 cm
D 6 2 cm E 3 2 cm
Del gráfico, determina el valor de x.
x
6 u
30° 53°
37°
A 8 u B 10 u C 12 u
D 14 u E 16 u
Encuentra el valor de x.
2 u
x
60°
30°
A 2 u B 2 3 u C 3 3 u
D 4 3 u E N. A.
Nivel II
51MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
De la figura, halla el valor de x.
x 8 u
53° 30°
A 3 u B 4 u C 5 u
D 6 u E 7 u
Determina el valor de x.
20 cm
x + 9
x
7 cm
A 15 cm B 12 cm C 18 cm
D 10 cm E 16 cm
Determina el valor de BC, si AB = 6 2 m.
A 10 m B 5 m C 10 2 m
D 8 m E 4 2 m
De acuerdo a la figura, calcula el valor de x – y.
37°
8 u
x
y
A 2 u B 4 u C 1 u
D 3 u E 5 u
Calcula el valor de x, si BE es bisectriz del
CBM.
8 2 m 16 m
x
45°
A M E C
B
De la figura, halla el valor de x.
A 6 cm B 8 cm C 10 cm
D 6 3 cm E 8 2 cm
B
A C
37°45°
4
3
cm
60°
x
6 cm
A 10° B 20° C 30°
D 40° E 50°
52
Nivel III
De la figura, determina el valor de x – y.
Determina el valor de x.
a20 u
45°
x
y
Del gráfico, halla el valor de x.
Encuentra el valor de m.
x 8 m
45°
32 u
x
37°
30°
3 cmm
D
A C
30° 45°
B
A 6 m B 4 2 m C 8 m
D 4 m E 1 m
A (4 – 3 ) cm B (7 – 3 ) cm
C (7 + 3 ) cm D (3 – 3 ) cm
E (8 + 3 ) cm
A 1 u B 2a u C a10 u
D 0 u E 2 u
Encuentra el valor de x.
A
C B
50 cm
x
53°
37°
A 20 cm B 30 cm C 40 cm
D 50 cm E 60 cm
El ABC es equilátero, calcula el valor de x.
8 u
6 u
P
A x C
B
A 6 u B 8 u C 9 u
D 7 u E 5 u
A 5 3 u B 10 2 u C 10 3 u
D 12 3 u E 16 u
19 22
20
23
21
24
Tema
53MateMática Delta 2 - GeoMetría
4
Congruencia de triángulos
Dos figuras geométricas se dicen que son congruentes, cuando son idénticas en forma
y medidas.
Tomemos a un segmento como ejemplo:
Digamos que tanto el segmento AB como el segmento curvo PQ tienen la misma medida
longitudinal. ¿Eso los convertiría en congruentes? Obviamente la respuesta es NO, ya
que ambos no tienen la misma forma.
Analicemos otra situación con circunferencias:
C1 C2
Y este par de circunferencias… ¿Son congruentes? Tampoco, porque a pesar de tener la
misma forma no tienen el mismo tamaño.
Veamos ahora esta situación:
B
A
C
D
L
L L
Q R
P S
L
Se observa que ambos son cuadrados (misma forma), con la misma longitud de lados
(mismo tamaño). Podemos concluir que ambas figuras son CONGRUENTES.
¿Y por qué no es exacto decir que las figuras son «iguales»?
Para empezar, el término igualdad va asociado normalmente a un número (medida); en
este caso podríamos decir que las medidas son iguales.
Por otro lado, es obvio que las figuras no son iguales porque están formadas por un distinto
conjunto de puntos. En el ejemplo de los cuadrados los vértices del primer cuadrado son
los puntos A, B, C y D; mientras que en el otro son los puntos P, Q, R y S. Por tanto, dichos
cuadrados no son los mismos.
12 cm
A
B
P
Q
12 cm
Si los triángulos
son congruentes.
B
A CH
a° b°
Q
P RT
a° b°
Podemos afirmar que
todos los elementos
homólogos o
correspondientes
también miden igual.
Import a nt e
Re cu e rda
A
P
B
Q
m AB = m PQ
segmento AB
es congruente al
segmento PQ
AB PQ
También
Se lee: el
5 u
5 u
BH = QT
54
Obse rva
= Se lee: igual a
Se lee: congruente a
<>Se lee: equivalente a
Corolario
Cuando el triángulo
es rectángulo también
se puede decir que
son congruentes; si
cumple que:
El corolario es
una proposición
matemática de
menor jerarquía que
un teorema, ya que
está restringido a
un tipo especial de
figura.
Congruencia de triángulos
Por definición de congruencia: dos triángulos son congruentes si todas sus medidas,
tanto angulares como laterales son las mismas.
Un caso simbólico es el siguiente par de triángulos.
Criterios para determinar la congruencia de triángulos
Aunque, por definición de congruencia, se afirma que todos los elementos tienen la
misma medida. Sin embargo, hay algunos criterios que determinan la congruencia con
simplemente satisfacer dichas condiciones.
Existen muchos criterios, no obstante los más conocidos son:
1. Lado-ángulo-lado (L - A - L). Dos triángulos son congruentes si consecutivamente
tienen un lado, un ángulo y luego un lado con las mismas medidas.
2. Ángulo-lado-ángulo (A - L - A). Dos triángulos son congruentes si consecutivamente
tienen un ángulo, un lado y un ángulo con las mismas medidas.
H P
F G M N
a° θ° a° θ°
3. Lado-lado-lado (L - L - L). Dos triángulos son congruentes si los tres lados miden
igual.
NOTA: Como puedes notar a veces se suele colocar marcas iguales para indicar que
las medidas de los lados o de los ángulos es la misma.
a°
a°
a°
a°
F
D E R S
T
¿Sa bía s qu e.. .?
Impo rt a nt e
C R
A B P Q
b° b°
B
A C
E D
F
a° θ°
b°
a°θ°
b°
55MateMática Delta 2 - GeoMetría
Teoremas que aplican la congruencia
Teorema de la bisectriz. Las perpendiculares trazadas desde un punto de la bisectriz
hacia los lados del ángulo desde el cual se ha trazado la misma, determinan dos triángulos
congruentes.
A
P
BO
a°
a°
APO BPO
PA = PB
AO = OB
Teorema de la mediatriz. Cualquier punto perteneciente a la mediatriz asociada a un
segmento equidista de los extremos de dicho segmento; determinando así dos triángulos
rectángulos congruentes.
PH: mediatriz de AB
APH BPH
PA = PB
m PAH = m PBH
Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa. La mediana trazada hacia la hipotenusa
de un triángulo rectángulo mide la mitad de dicha hipotenusa.
BE = AC
2
Teorema de la base media y de los puntos medios. En todo triángulo el segmento que
une los puntos medios de dos lados mide la mitad del tercer lado, y al mismo tiempo es
paralelo a dicho lado.
E F
B
A C
EF: base media
EF = AC
2
Además: EF // AC
P
A BH
B
A C
E
Obse rva
Se debe trazar una
perpendicular desde
P al lado OB
Se recomienda
trazar una paralela
que pase por M y se
vuelva base media.
Si AM = MC = BM
Se debe trazar PB
m B = 90°
A
P
BO
a°
a°
P
A BM
B
B
A C
A
M
CM
Sugerencia de trazo
¿Sa bía s qu e.. .?
56
Recu e rda
Los criterios básicos
para identificar la
congruencia son:
• Lado - Ángulo - Lado
(L - A - L)
• Ángulo - Lado - Ángulo
(A - L - A)
• Lado - Lado - Lado
(L - L - L)
Calcula el valor de x, si AB = BC y BD = BE.
B
A
D30°
x
E
C
Resolución: A partir de los datos se tiene:
Se nota: DBA EBC (L – A – L)
Por lo tanto: x = 30°
Los triángulos:
CRA DCE
∴ CE = RA = 5 u
AC = DE = 8 u
AE = 13 u
Como ARC es isósceles
AR = RC
∴ ARD RCE
Finalmente: x = 4 u
Halla el valor de AE, si RC = CD.
En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución:
Resolución:
4 u
θ°
θ°
a° a°
D
A C
ER x
Not a
a b
R
E
triángulos
congruentes
b
a°
a
Rpta. 30°
Rpta. 13 u
Rpta. 4 u
B
A
D30°
x
E
C
5 u
8 u
C
R
A
D
E
5 u
8 u
C
R
A
D
E8 u 5 u4
D
A C
ER x
1
2
3
a°
Ejercicios resueltos
57MateMática Delta 2 - GeoMetría
4
5
6
Recu e rda
Re cu e rda
Se sugiere trazar la
mediana BM:
Se cumple:
En la figura mostrada, determina el valor de x, si AR = 10 cm.
• Al trazar la mediana RM, RMD es
isósceles m RMA = 2a
• ARM: isósceles ∴ RM = 10 cm
Pero: RM =
QD
2 QD = 20 cm
• Dato: AR = DC.
• RDE es isósceles RD = DE
• m RDC = m ARD + m RAD
∴ m ARD = m EDC = b
Por teoría ARD CDE (LAL).
Se sabe que: PT = x – 3.
MN: base media del OPT
MN = PT2
5 = x – 32
13 cm = x
A C
B
2k
Resolución:
En la figura se cumple que AR = DC. Calcula el valor de x.
Resolución:
50°
50°
x
R
CDA
E
En la figura mostrada, halla el valor de x, si se sabe que OM = MP.
Resolución:
A
P
R
5 cm
M
O
x – 3
A Q Dx
R
2a a
x = 50°
50°
50°
x
R
CDA
E
b
b
A
P
R
5 cm
M
N TO
x – 3
A K KM
K
C
2k
B
b° a°
a°b°
* ABM y CBM
son isósceles.
2k
k
a = b BM =
AC
2
m
ma°
a°
A Q M D
10
R
2a° 2a°
a°
a°
Rpta. 20 cm
Rpta. 50°
Rpta. 13 cm
58
k
Recu e rda
Re cu e rda
Si L es mediatriz de
AB, entonces:
L AB, también
AM = MB
Si LM es mediatriz,
se recomienda
trazar
LB ya que:
LA = LB
Encuentra el valor de x en la siguiente figura, si L es mediatriz de AC.
Resolución:
En la figura mostrada, determina el valor de x.
Resolución:
A C
3b
L
9 u 3x
B
10 u
8x
B
NM
CA
10 u
B
Q
N
R
M
P
CA
8x2k
• MN: base media del PQR
• PQ: base media del ABC
• Por teoría:
MN = PQ2 PQ = 20 u
• También:
PQ = AC2 20 =
8x
2
∴ 5 u = x
• m B = 2 (ángulo exterior)
• Como L es mediatriz:
APC: isósceles AP = PC = 9 u
m ACP = b ∴ m CPB = 2b
• Se nota: PBC: isósceles
9 = 3x x = 3 u
L
B
M
A
MN: base media
Rpta. 3 u
Rpta. 5 u
L
B
M
A
Sugerencia
7
8
3x
A C
3b
L
P
9 u
b b
B
2b
2b
9 u
59MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve
Criterios • L – A – L : Lado – Ángulo – Lado
• A – L – A : Ángulo – Lado – Ángulo
• L – L – L : Lado – Lado – Lado
Aplicaciones
Teorema de la bisectriz Teorema de la mediatriz
Teorema de los puntos medios Teorema de la mediana relativa a la hipotenusa
m
m
a
a
P
BA
L
A C
M N
B
⇒ MN // AC
⇒ PA = PB
B
A M C
2k
k k
k
BM = AC2
También MN =
Si AM = MB
∧ BN = NC
Sea L: mediatriz
de AB
AC
2
a
a
2 Determina, en cada caso, si los triángulos son
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa
escribe el caso que lo sustenta:
1 Determina, en cada caso, si los triángulos son
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa
escribe el caso que lo sustenta:
a)
b)
50°
F
G
E
a)
b)
E
10 cm 10 cm
8 cm 8 cm
F
7 cm 7 cm
D P
Q
R
A
80°
70°
R
Q
70°
6 u C
P
6 u
30°
50°
I
H J
40°
60°
M
N
P
T
80°
40°
Q
R
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Congruencia de triángulos
60
Calcula el valor de x.Calcula el valor de x.
Resolución: Resolución:
Halla el valor de x, si BH es mediatriz de AC.Halla el valor de x
2
.
Resolución: Resolución:
Encuentra el valor de b – a. Encuentra el valor de x.
Resolución: Resolución:
Determina el valor de AD, si BC = CE, AB = 10 cm
y ED = 12 cm.
Determina el valor de x.
Resolución: Resolución:
50° 30°
x
3 u
a
b
7 u
65°
95°
65°
x
20°
8 cm
8 cm
2x
42°
B E
A C D
a a
a
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
150°
x
4x
20 cm 16 cm
ab
ba
4 cm
3 cm
B
H CA
x
3 4
5 6
7 8
9 10
61MateMática Delta 2 - GeoMetría
1211
1413
1615
1817
Calcula el valor de CE, si AC = DE, BC // DE;
AB = 8 u y BC = 10 u.
Si XN = MZ y TN = TZ. Calcula el valor de θ, si
m XTN = 20°.
Resolución: Resolución:
Encuentra la longitud del segmento MN, si
AB = 16 u, BC = 18 u y AC = 20 u.
Encuentra el valor de BC, si PQ = 2 u.
Resolución:
Determina el valor de x, si AC = CD. Determina el valor de x, si OM = MP.
Resolución:
Resolución:
Halla el valor de x. Halla el valor de m, si m + n = 24 cm.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
x – 6
5 cm
R
C D
E
A
A
3 + 2x
P
15 cm
aO B
a
T
40° 140°
M
N
X
θ
Z
m
n
M CA
Q
B
P
2x + 8
3x
M
A
O
P
θ
θ
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
B
N
CA
a
θ θa
M
B
A
D
EC
a a
62
Halla el valor de x, si MN es mediatriz de AC .
Calcula el valor de AC.
Encuentra el valor de DC, si AB = BC; AE = 6 y
DE = 9.
Determina el valor de m PBQ, si m ABC = 110°.
Halla el valor de AC + DE, si AB = BE; BC = 7 cm;
CD = 2 cm.
Calcula el valor de x.
Encuentra el valor de DE, si AB = BC; AE = 9 u
y DC = 21 u.
Se tiene un triángulo ABC, cuya medida del ángulo
B es 120°; se trazan las mediatrices de los lados
AB y BC; las cuales intersecan al lado AC en P
y Q, respectivamente. Determina el valor del ángulo
PBQ.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
M
2x – 1
36°
NA
72°
x +
5
B
C
A
D
B E
C
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
20
22
24
26
19
21
23
25
E
D
f
f
C
B
A
x 6 cm
11 cm
4 cm
A
B
C
5 cm
θ
θ
A E
D
B
C
A E
D
B
C
A P
B
Q C
63MateMática Delta 2 - GeoMetría
Nivel I
Practica y demuestra
Determina, en cada caso, si los triángulos son
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa
escribe el caso que lo sustenta.
Halla, en cada caso, si los triángulos son
congruentes o no. Si la respuesta es afirmativa
escribe el caso que lo sustenta.
Calcula el valor de x.
39
74°
69°
37°
25
40
40
25
x
39
a
a
a
R
Q P
12
8
M
N
8
12
A
M
R
N
16
a
θ
F
G
18
H
a
θ
b
ba
a
II
I
A 37° B 74° C 69°
D 111° E 90°
1
4
5
6
2
3
Halla el valor de x.
Encuentra el valor de x.
Determina el valor de 3x.
2x
‒
3
5 cm
5 cm
17
cma
a
b
b
2x2 – 4
4 cm
θ
θ
A 110° B 200° C 100°
D 130° E 120°
A 21 cm B 12 cm C 17 cm
D 14 cm E 30 cm
A 2 cm B 4 cm C 6 cm
D 8 cm E 10 cm
130°
x
64
Calcula el valor de x.
Encuentra el valor de OH, si AB = 16 cm; AM = MC
y BO = OM.
Encuentra el valor de a + b.
Determina la longitud de x.
Halla el valor de x.
Calcula el valor de x.
4 cm
a
b
6 cm
a
a
25 m
24 m
x
x + 1
3x – 3
A 15 mm B 10 mm C 21 mm
D 3 mm E 6 mm
A 1 u B 2 u C 3 u
D 4 u E 5 u
A 12 cm B 8 cm C 4 cm
D 2 cm E 6 cm
A 2 cm B 4 cm C 6 cm
D 8 cm E 10 cm
A 4,5 cm B 9 cm C 12 cm
D 16 cm E 18 cm
A 104 m B 37 m C 23 m
D 7 m E 13 m
x 9 c
m
f
f
b
b
Nivel II
7
8
9
10
11
12
D
10 mm
E
C
R
x
A
θ
θ
B
H
O
A M C
53°
65MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
Determina el valor de θ. Encuentra el valor de DE, si AB = BC; AE = 12 u
y DC = 23 u.
Calcula el valor de x.
Halla el valor de x. Determina el valor de a + θ, si AM = MB y AN = NC.
Halla el valor de x, si AB = BC y BD = BE.
B
9 u
C
D
A
a
a
θ
θ
x2
A
6
B
C
D
x2 + 2
E
D
30°
C
B
E
A
θ
A 20° B 40° C 80°
D 60° E 50°
A 9 u B 13 u C 12 u
D 10 u E 11 u
A 90° B 75° C 120°
D 180° E 135°
A 80° B 70° C 100°
D 90° E 30°
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 6 cm E 5 cm
A 9 u B 4,5 u C 3 u
D 2 u E 1 u
B
A E
CD
B
E
D
A C
30° x
a
a
100°
B
M
A
H N
C
θ
a
66
Encuentra el valor de x, si OM = MP.
Encuentra la medida de PQ, si BC = 10 cm;
HC = 3 cm. Determina la m PBQ, si m ABC = 100°.
Halla el valor de MN, si MN // AD; AD = 6 cm y
AM = MB.
En la figura mostrada, calcula el valor de x.
Calcula el valor de x, si AB = 10 cm.
B
CA
P Q
A 10 cm B 18 cm C 15 cm
D 20 cm E 25 cm
A 4 u B 5 u C 8 u
D 6 u E 7 u
A 7 cm B 6 cm C 8 cm
D 5 cm E Faltan datos
A 11 cm B 8 cm C 12 cm
D 7 cm E 13 cm
A 10° B 20° C 15°
D 25° E 30°
A 2 cm B 3 cm C 4 cm
D 6 cm E 5 cm
B
P Q
A C
H
a
a
A
2x – 8
P
R
9 cm
M
Oa
a
B
N
M
A C
D
D
B
3x
M
x + 8
QP
A C
2219
23
20
24
21
Nivel III
B
2a
x
A D
P
a
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
67MateMática Delta 2 - GeoMetría
En la figura, encuentra el valor de BC, si AB = 5 cm. Halla el valor de x.
Calcula el valor de x. Encuentra la longitud de x, si AP = PC.
Según el gráfico, determina el valor de x. El ABC es equilátero, calcula el valor de x.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
3 cmA
10 cmC
6 cmB
12 cmD
6 cmA
8 cmC
4 cmB
3 cmD
8 mA
5 mC
6 mB
3 mD
5 uA
10 uC
6 uB
7 uD
2 mmA
4 2 mmC
2 2 mmB
8 2 mmD
10 mA
10 2 mC
5 mB
6 mD
B
A C
30°37°
16 cm
B
H
A C
15°
x
45°
8 mm
x
B
A C
37°60°
x 5 3 m
B
E
A CP
37°
20 m
x
4 u
xA C
B
3 3 u
68
Determina el valor de x. Calcula el valor de CF, si ABCD es un cuadrado;
EF = 19 cm y AE = 8 cm.
Halla el valor de AE, si BC = CD. En la figura mostrada, determina el valor de x.
Encuentra el valor de a – b. Halla la longitud del segmento MN, si AB = 12 u,
BC = 16 u y AC = 20 u.
7 10
8 11
9 12
20 mA
15 mC
22 mB
25 mD
23 uA
13 uC
10 uB
14 uD
1 uA
3 uC
2 uB
4 uD
12 cmA
13 cmC
10 cmB
11 cmD
2 cmA
4 cmC
3 cmB
5 cmD
20 uA
24 uC
22 uB
10 uD
7 mx
24 m
B
A C E
D
5 u 8 u
b
a
3 cm
8 cm
a
a
A
E
D
B
C
F
B
2x – 2
M
x + 2
QP
A C
A
B
M
N
C
a θ θa
Tema
69MateMática Delta 2 - GeoMetría
5
Cuadriláteros I
La imagen muestra campos de siembra de tulipanes en Holanda, con su habitual
disposición en forma de cuadriláteros diversos. Tienen distintos colores debido a los tipos
de esta hermosa flor.
Generalidades sobre los cuadriláteros
• Polígono de 4 lados.
• La suma de las medidas de los ángulos interiores es 360º.
• Tiene dos diagonales.
Clasificación
La clasificación de los cuadriláteros se da en función al paralelismo, debido a ello tiene:
• Trapezoides: Ningún par de lados son paralelos.
• Trapecios: Un par de lados son paralelos.
• Paralelogramos: Dos pares de lados son paralelos.
Observación
Cuadrilátero no convexo o cóncavo. Es aquel cuadrilátero con una región interior no
convexa.
En los cuadriláteros convexos, las diagonales siempre serán interiores, ya que su
región interior es convexa. Por el contrario, en los cuadriláteros no convexos, una
diagonal es externa debido al tipo de región interior.
Convexo No convexo
Cuadriláteros
Notación
ABCD: Cuadrilátero ABCD
Diagonales: AC y BD
α° + β° + φ° + ω° = 360°
B C
A D
Notación
ABCD: Cuadrilátero no convexo
Diagonales: AD y BC
α° + β° + φ° + ω° = 360°
A D
B
C
β°
β°
α°
α° ω°
ω°
φ°
φ°
Obse rva
La palabra
cuadrilátero proviene
del latin:
quatuor: cuatro
latus o lateris: lado
¿Se dice no
convexo o
cóncavo?
Aunque los dos
son admitidos,
es más usual
utilizar cóncavo en
superficies curvas.
Por ejemplo: una
antena parabólica.
Por ello, en
polígonos se
recomienda utilizar
la expresión no
convexo.
En un polígono se
denomina diagonal
a un segmento que
une dos vértices no
consecutivos.
¿Sa bía s qu e.. .?
¿Sa bía s qu e.. .?
70
a = b
a = b a = b
a = b
a = b
Obse rva
También se cumple:
Relaciones angulares en los cuadriláteros:
x = α° + β°2
Clasificación de cuadriláteros de acuerdo al criterio del paralelismo
Trapezoides: Cuadrilátero en el cual ningún lado es paralelo a otro.
Un tipo especial de trapezoide es el trapezoide simétrico también llamado trapezoide
bisósceles. Su principal característica es que una diagonal es mediatriz de la otra, siendo
así eje de simetría del polígono, esto último determina una observación implícita: las
diagonales son perpendiculares entre sí.
De acuerdo a esto se generan dos triángulos isósceles, de allí su nombre.
x = α° – β°2
x = α° – β°2
Por simetría también tendríamos:
m BAM = m DAM
m BCM = m DCM
x
b°
a°
x =
x =
a° + b°
2
a° + b°
2
a°
α°α° β°β°
x
b°
B
C
A D
x
β°
θ° θ°
ω°
ω°α°
B
C
DA
x
α°
ω°
θ° θ°
ω° β°
α° β°β°α°
B
M
A C
D
Sea AC mediatriz
de BD, entonces:
AB = AD
BC = CD
También
α°
α°
β°
β°
B
D
C
x
A
ω°ω°
α°
θ°
θ°
β°
71MateMática Delta 2 - GeoMetría
a = b
a = b
Trapecios: Cuadriláteros donde dos lados son paralelos, estos lados son llamados
bases, y la separación entre ellos será la altura del trapecio. Los ángulos adyacentes
a cada lado no paralelo son suplementarios. Se clasifican en:
• Trapecio escaleno: Sus lados no paralelos son desiguales.
• Trapecio recto o trapecio rectángulo: Uno de los lados no paralelos es
perpendicular a las bases. Dicho lado mide igual a la altura.
• Trapecio isósceles: Sus lados no paralelos son congruentes.
En todo trapecio isósceles se cumplen las siguientes características:
1. Lados no paralelos congruentes: AB CD
2. Diagonales congruentes: AC BD
3. Ángulos formados por las bases: m BAD = m CDA
También: m ABC = m BCD
Teoremas que cumplen todos los trapecios
Suma de las medidas de los ángulos adyacentes a un lado no paralelo. Estos ángulos
siempre son suplementarios, y esto se da por el paralelismo que hay entre las bases.
° + ° = 180°
Longitud de la mediana (base media) del trapecio. En todo trapecio la mediana o base
media mide igual a la semisuma de las longitudes de las bases. También se cumple que
esta es paralela a ellas.
MN = B + b2
También:
MN // QR // PS
B
A D
C
β°
α°
B
bQ R
M N
P S
β°
β° α°
α°
Base
Base 2
b m na Altura
β°
α°
α° + β° = 180°
A D
CB
α° α°
aa
β° β°
Es un trapecio
isósceles.
A la base media de
un trapecio también
se le llama mediana.
Si el trapecio
ABCD está inscrito,
entonces es un
trapecio isósceles.
Base
menor
Base
mayor
Obse rva
Obs e rva
α°
α°
¿Sa bía s qu e.. .?
B
A
C
D
72
Observación: La mediana o base media de un trapecio biseca a las diagonales.
• Sea MN: base media
del trapecio.
MN PR = {W}
⇒ PW = WR
Longitud del segmento que une los puntos medios de las diagonales. Este segmento
mide la semidiferencia de las longitudes de las bases.
Observación: MN está contenido en la mediana del trapecio, por lo tanto: MN // QR // PS.
Si MN // QR // PS
⇒ x =
Bk + bm
m + k
b) En un trapecio las bases intermedias equidistantes forman una progresión aritmética.
a) En todo trapecio se cumple que:
• PR y QS: diagonales
⇒ MN = B – b
2
M y N: puntos medios
de las diagonales
Otras propiedades importantes
Q R
M N
S
W
P
b
B
Q
P S
M N
R
b
B
M
k
m
R
N
Q
P
x
S
b
B
x
x + r
x + 2r
x + 3r
x + 4r
n
n
n
n
m
m
m
m
Obse rva
Re f lex ion a
Re f lex ion a
¿En un trapecio
puede la altura
medir igual a un
lado no paralelo?
¿En un trapecio
una diagonal puede
medir igual a la
altura?
P Q
PQ: base media del
trapecio.
73MateMática Delta 2 - GeoMetría
No o lv id e s
En todo trapecio
a, b, c, d y e forman
una progresión
aritmética.
m°
En la figura, calcula el valor de x.
En la figura se muestra un trapecio. Halla el valor de x. x =
m° + n°
2
Resolución:
Por teorema:
x = 100° + 98°2
x = 99°
Resolución:
Los ángulos mostrados son
suplementarios:
13x + 5x = 180°
x = 10°
B C
13x
A D
5x
En la figura se muestra un trapecio, encuentra el valor de x.
Resolución:
El segmento mostrado es el llamado «segmento que une los puntos medios de las
diagonales», cuya medida es la semidiferencia de las longitudes de las bases, por
lo tanto:
x = 17 – (x + 5)2
x = 4 cm
Las bases y la mediana de un trapecio suman 6 m. Determina la longitud de su
mediana.
Resolución:
Debemos recordar que todas las bases equidistantes de un trapecio forman una
progresión aritmética:
x – r
x
x + r
Q
M
P S
N
R
Por lo tanto, tendríamos según el dato:
(x – r) + (x) + (x + r) = 6 m
x = 2 m
β°
β°
α°
α°
n°
x
a°
x = a° – b°2
β°
β°
α°α°
b°
x
a
b
c
d
e
Rpta. 99°
Rpta. 10°
Rpta. 4 cm
Rpta. 2 m
100° 98°
xα°
α°θ° θ°
P Q
x
17 cm
x + 5
1
2
3
4
Ejercicios resueltos
74
La base mayor de un trapecio rectángulo mide 30 cm, su altura 10 cm y el ángulo
agudo de la base 45°. La mediana mide:
Resolución:
En un cuadrilátero convexo ABCD, m A = 60º, m C = 110º. Halla la medida del
menor ángulo formado por las bisectrices interiores de los ángulos B y D.
En un trapecio isósceles de 20 cm de perímetro y de bases 2 cm y 8 cm, calcula la
medida del menor ángulo interno.
Resolución:
Resolución:
Por teorema:
x = 110° – 60°2
x = 25°
D
C
B A
x
110°
60°
30 cm
10 cm
B C
MA
D
10 cm
10 cm
20 cm
20 cm
45°
45°
AB = CM = 10 cm
DM = 10 cm
∴ AM = 20 = BC
∴ Mediana = BC + AD2
Mediana = 20 + 302 = 25 cm
Como el perímetro es 20 cm
2 + 8 + 2a = 20 cm
a = 5 cm
CDH
C
H
5 cm
3 cm
x
D
⇒ x = 53°
a
B C
A D2 cm
2 cm
3 cm3 cm
8 cm
a = 5 cm
x
H
Graficando:
Rpta. 25°
Rpta. 53°
Rpta. 25 cm
No o lv id e s
No o lv id e s
k 2
k
k
45°
45°
5k
4k
3k
53°
37°
k
2k30°
60°
k 3
m°
x = m° – n°2
β°β°
α°α°
n°
x
5
6
7
75MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve
Los cuadriláteros son figuras de cuatro lados. Características
Trapezoide. Se caracteriza porque ninguno de sus lados es paralelo a otro.
Trapecio. Presenta un par de lados paralelos llamados bases.
x = x = x = m° + n°2
m° – n°
2
m° – n°
2
x
n°
m° n°
n°
m°
m°
x
α
α
α
α αα
β β β
β
ββ
x
B C
M N
A D
MN: Base media o mediana del trapecio.
MN = BC + AD2
A D
E F
B C
E: Punto medio de AC
F: Punto medio de BD
EF = AD – BC
2
– Presentan dos diagonales.
– La suma de sus ángulos internos es 360°.
Según la figura, calcula el valor de x. Según el gráfico, calcula el valor de x.
Resolución: Resolución:
B
A D
C140°
2β
β
E
x
70° 2φφ
B
150°
2φ
φ
x
E
2α
30°
C
DA
α
1 2
Rpta. Rpta.
Cuadriláteros I
76
Grafica el cuadrilátero ABCD, tal que m A = 100°;
m B = 70° y m C = 60°. Encuentra la medida
del ángulo CDA.
Grafica el trapezoide ABCD, tal que m A = 2b°;
m B = 5b°; m C = 7b° y m D = 4b°. Encuentra
la medida del ángulo ABC.
Grafica el trapecio isósceles ABCD, tal que
m A = 118°. Determina la medida del ángulo
BCD.
Grafica el cuadrilátero PQRS, tal que m P = 68°;
m Q = 136° y m R = 120°. Determina la medida
del ángulo RSP.
Halla el valor de x. Según el gráfico, halla el valor de x.
Resolución:Resolución:
B
100°
E
x
A
C
D
4x
3x
2x
x
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
4
6
8
3
5
7
77MateMática Delta 2 - GeoMetría
En el trapecio ABCD (BC // AD), AP = 2(BP),
QD = 2(CQ), PQ = 6 cm y AD = 10 cm. Calcula el
valor de BC.
En el trapecio ABCD (BC // AD), AB = 12 m,
BC = 10 m, CD = 8 m. Calcula la longitud de la
base media del trapecio.
Resolución: Resolución:
B C
P Q
A D EA D
B C
α
α θ
θ
9
11
13
10
12
14
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Si el segmento que une los puntos medios de
las diagonales de un trapecio mide 6 u y la base
menor de dicho cuadrilátero 18 u, halla la medida
de la base mayor.
Los ángulos de un cuadrilátero son 5x, 3x, 4x y
6x. Halla el valor del ángulo mayor.
Resolución:
Resolución:
Determina la medida de x. ABCD es un trapecio, donde: CD = 4 2 cm.
Determina el segmento que une los puntos
medios de las diagonales.
Resolución: Resolución:
x
θ
θ
α
α
60°
40°
B
A
C
D
40°70°
78
En un trapecio la mediana y el segmento que
une los puntos medios de las diagonales suman
13 cm. ¿Cuál será la medida de su base mayor?
En un trapezoide ABCD, m A = 90°, AB = AD
y BC = CD. Si m ABC = 105°. Encuentra la
m BCD.
Resolución:
Calcula el valor de x. Calcula el complemento de x.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
20°
x
60°
40°
4x
3x
2x
Se tiene un cuadrilátero ABCD donde:
m B = m D = 90°. Halla la medida del ángulo
exterior de C, si m BAD = 40°.
En el trapecio isósceles ABCD, halla el valor de α.
Resolución:
Resolución:
3α
2α
A D
CB
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
16
18
20
15
17
19
79MateMática Delta 2 - GeoMetría
En el trapecio ABCD (BC // AD), AB = 6 u, BC = 4 u,
CD = 8 u, AD = 16 u, BM = ME, CN = NF. Calcula
el valor de MN.
En la figura, AB = BC = 8 cm, encuentra la longitud
del segmento que tiene por extremos los puntos
medios de las diagonales.
β
β
θ
θ
M N
A
B C
E F D
En el trapecio ABCD (BC // AD), AB = 6 cm,
BC = 4 cm, CD = 8 cm. Halla la longitud de la base
media del trapecio.
β
βαα
B C
A E D
En el trapecio ABCD, BC = 3 cm, PQ = 5 cm,
AP = 2PB, QD = 2CQ. Determina el valor de AD.
B C
P Q
A D
B C
A D
53°
En el trapecio isósceles ABCD (BC // AD), AB = 10 m.
Calcula la longitud del segmento que tiene por
extremos los puntos medios de las diagonales.
60°
B
A
C
D
A 3 u B 4 u C 2 u
D 5 u E 1 u
A 4 cm B 3 cm C 2 cm
D 1 cm E 2,5 cm
A 7 m B 6 m C 8 m
D 4 m E 5 m A 10 cm B 9 cm C 8 cm
D 7,5 cm E 11 cm
A 6 cm B 7 cm C 9 cm
D 10 cm E 11 cm
Nivel I
1
2
5
3
6
4
Halla el valor de x.
A 125° B 160° C 135°
D 115° E 130°
B
A D
C
120°
14
0°
x
I
Practica y demuestra
80
Si ABCD es un trapecio isósceles (BC // AD),
determina el valor de x.
2x + 10°
B C
A D
140°
Encuentra el valor de x, si m B – m D = 60º
Calcula los valores de α y θ, si BC // AD.
B C
A D
118°
2α 4θ
140°
A 75° B 70° C 60°
D 55° E 65°
A 30° B 140° C 150°
D 130° E 160°
A 26° y 30° B 31° y 10°
C 45° y 45° D 62° y 40°
E 37° y 53°
x
A D
B
C
α
α
θ
θ
Grafica el cuadrilátero ABCD, tal que AD // BC,
m A = 100°; m D = 50°. Halla m B y
m C, respectivamente.
Grafica el cuadrilátero convexo ABCD, tal que
m A = m C = 90° y m B = 112°.
Determina la m D.
Traza el trapecio ABCD, tal que: m A = 120°;
m B = 130° y AB // CD. Indica, respectivamente,
las medidas de los ángulos ADC y BCD.
A 70° y 120° B 60° y 120°
C 80° y 130° D 80° y 100°
E 60° y 130°
A 130° B 50° C 65°
D 68° E 60°
A 60° y 70° B 50° y 80°
C 45° y 60° D 60° y 50°
E 40° y 70°
7 10
8 11
9
12
Nivel II
81MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
De la figura, determina el valor de x.La mediana de un trapecio que mide x + 6 cm, si
sus bases miden x – 4 y 2x + 10 cm. Encuentra la
longitud de dicha mediana.
De la figura, calcula el valor de x.
2x
120°
x
α
α
θ
θ
Halla el valor de α + θ, si la figura muestra un
trapecio isósceles (BC // AD).
La figura muestra un trapecio, ¿cuál es el valor
de x?
B C
A D
Px
α
α
θ
θ
En el trapezoide mostrado, indica el valor de x.
α°
α°
β°
θ°
θ°
β°
x° 85°
n°
n°
B C
A D
α
θ
B
A D
C
3x
4x
2x
θω
ω θ
A 10° B 15° C 20°
D 25° E 30°
A 30° B 60° C 45°
D 130° E 90°
A 95° B 105° C 85°
D 35° E 45°
A 6 cm B 12 cm C 8 cm
D 16 cm E 7 cm
A 15° B 30° C 45°
D 60° E 75°
A 90° B 180° C 360°
D 120° E 160°
82
Encuentra el valor de x.
A 3 cm B 5 cm C 6 cm
D 7 cm E 8 cm
x
α°
α°
3 cm
En el trapecio mostrado calcula la longitud de su
mediana.
b
b + 3
11 m
El perímetro de un trapecio isósceles es
240 cm. Halla la medida de la mediana si el lado
no paralelo mide 50 cm.
Si el cuadrilátero ABCD es un cuadrado y CDE
es un triángulo equilátero, determina la m AEC.
A 7 m B 8 m C 9 m
D 10 m E 5 m
A 35 cm B 60 cm C 50 cm
D 65 cm E 70 cm
A 15° B 30° C 37°
D 45° E 53°
En un trapecio ABCD (BC // AD), encuentra la
m BDA, si m ABC = 140°, AB = AD.
En el gráfico, calcula el valor de x, si a + b = 240°.
a
b
x
2α
θ
2θ
α
A 10° B 20° C 30°
D 40° E 70°
A 20° B 30° C 40°
D 50° E 60°
Nivel III
2219
23
20
24
21
B C
E
A D
Tema
83MateMática Delta 2 - GeoMetría
6
Cuadriláteros II
a = b
a = b
En la imagen se observa dos edificios, donde sus fachadas muestran dos regiones
paralelográmicas.
ParalelogramosSon aquellos cuadriláteros con dos pares de lados opuestos congruentes y paralelos:
α° + β° = 180°
α° + θ° = 180°
Como se puede ver en el gráfico los ángulos opuestos miden igual y los ángulos
adyacentes son suplementarios.
Dentro de este grupo de figuras encontramos 4 figuras geométricas que cumplen con
estas características, y son las siguientes:
El romboide: También llamado «Paralelogramo», es el más simple de los miembros
de esta familia. Básicamente, en él, se van a cumplir las propiedades principales de los
paralelogramos:
A
B Cb
b
a
θ° α°
α° θ°
a
D
A
B Cb
b
a a
α° β°
α°β°
D
AB // CD
BC // AD
Si L1 y L2 son
paralelas
Ángulos
suplementarios: Son
dos ángulos cuya
suma es 180°.
Recu e rda
β°
α°
L1
L2
a = b α° + β° = 180°
84
Recu e rda
Históricamente
Losange era así:
Polígono
equiángulo
Polígono
equilátero
Polígono
regular
El rombo: Antiguamente llamado Losange. Es un cuadrilátero equilátero. Además, sus
diagonales son perpendiculares y se bisecan mutuamente.
El rectángulo: También llamado Cuadrilongo. Es un paralelogramo equiángulo. Una de
sus principales características es que sus diagonales son congruentes.
El cuadrado: También llamado Cuadrilátero regular. Como su nombre lo indica, es un
polígono regular, es decir, sus lados miden igual, al igual que todos sus ángulos.
En el caso del cuadrado, además, nota que las diagonales son congruentes y
perpendiculares. También estas mismas diagonales son bisectrices de los ángulos rectos,
por lo tanto determinan ángulos de 45º.
1) ¿Cuánto miden los ángulos interiores de un cuadrado?
2) ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrilátero?
3) ¿Cuánto suman los ángulos internos de un cuadrilátero?
4) ¿Cómo son las medidas de los ángulos opuestos de un paralelogramo?
5) ¿Cómo son las diagonales de un rectángulo?
6) ¿Cómo son las diagonales de un rombo?
Responde las siguientes interrogantes en tu cuaderno y luego discútelas en clase con tu
profesor:
Actividad en tu cuaderno
45° 45°
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
l
¿Sa bía s qu e.. .?
α
α
α α
α
ll
ll
ll
α
α
α
α
α
α
α
α
l l
l
lB
45°
45°
45° 45°
45°
45°
A
C
D
n
n
n
n
45° 45°
O
l
l
A
B
D
α° α°
β°
β° β°
Cb
a
b
l
l
a
α° α°
B C
a a
b
b
O
A D
l
l l
l
85MateMática Delta 2 - GeoMetría
Dibujemos un cuadrado usando regla y compás
Actividad en tu cuaderno
N
L
MPrimer paso
Traza un ángulo recto usando una escuadra
o cartabón, considerando que los lados de
tal ángulo recto sean mayores que el lado del
cuadrado que quieras dibujar.
Segundo paso
Coloca la punta del compás en el vértice del
ángulo recto dibujado en el paso previo, por
ejemplo, en el punto M, ajusta el ancho del
compás para que tenga igual al largo deseado
de los lados del cuadrado. Este ancho debe
permanecer intacto hasta que se haya
terminado de dibujar.
Tercer paso
Dibuja otro arco que intersecará el lado LM en
algún punto (el punto Q).
Cuarto paso
Coloca la punta del compás en el punto Q y
dibuja un arco en algún punto debajo del lado
MN.
Para hacer esta
actividad necesitas:
• Regla
• Escuadra
• Cartabón
• Lápiz
• Papel
• Compás
86
Quinto paso
Coloca la punta del compás en el punto
P y dibuja otro arco que intersecte al arco
dibujado en el paso previo en algún punto
(digamos el punto R).
Sexto paso
Conecta los puntos P y R y los puntos Q
y R usando una regla de borde recto.¿Sa bía s qu e.. .?
Ahora hazlo tú:
Sétimo paso
La figura PMQR es un cuadrado. Puedes borrar las demás líneas innecesarias,
si así lo deseas.
M
Q
P
R
• Dibuja un cuadrado y traza todas sus diagonales.
• Grafica un cuadrado con perímetro de 16 cm (utiliza regla y escuadras).
Escuadra
Cartabón
45°
45°
60°
30°
87MateMática Delta 2 - GeoMetría
Un triángulo
equilátero es un
polígono regular, por
lo tanto, sus lados y
también sus ángulos
interiores miden
igual.
Recu e rda
DA
B C
Ex
Incógnita: x
En el B: y + x = 90° ................................ (1)
Si ABCD es un cuadrado y AED es un triángulo equilátero
⇒ AD = AE = AB = a
Luego en el ∆ isósceles ABE:
2y + 30° = 180° ⇒ y = 75° ......................... (2)
Reemplazando (1) en (2)
75° + x = 90° ∴ x = 15°
• Como: BC // AD
⇒ m BEA = β (alternos internos)
∆ ABE: isósceles
⇒ AE = 12 cm ∴ ED = 18 cm
• Piden base media MN = x
⇒ x = 30 + 18 2 = 24 cm
E
E
D
D
B
B
C
C
A
A
1 En la figura, ABCD es un cuadrado, AED es un triángulo equilátero. Calcula el valor
de x.
2 La figura ABCD es un romboide, BC = 30 cm, CD = 12 cm. Halla la longitud de la base
media del trapecio BEDC.
a a
A C
B
60°
60° 60°
a
Si BE es bisectriz
En un trapecio
Entonces
∆ ABE: isósceles
¿Sa bía s qu e.. .?
Resolución:
Resolución:
E
D
B C
A
β
β
Rpta. 15°
Rpta. 24 cm
α°
α°
α°
α°
α°
DA
B C
E
60°
60°60°
30°
x
y
a
a
aa aa
y
12
cm12
cm
E D
B
xM N
C
A
β
β
18 cm12 cm
30 cm
β
Ejercicios resueltos
88
El rombo es
un cuadrilátero
equilátero. Por lo
tanto, sus lados
miden igual.
Recu e rda
Obs e rva
Obs e rva
Propiedad:
En un trapecio.
Se recomienda como
trazo CE // AB: Se
forma un paralelogramo
ABCE.
2(m BAC) = m BOC
A
D
C
B
106°
70°
A
B C
D
40°
3 En la figura, ABCD es un rombo de perímetro igual a 60 m. Encuentra el valor
de AC.
4 En la figura, ABCD es un trapecio donde BC // AD, BC = 4 m, CD = 6 m. Determina el
valor de AD.
5 Calcula el valor de x, si la figura ABCD es un rombo (AD = BE).
A
B
C
D
E5x
2x
15 m
15 m 15 m
A
D
C
B
O
106°
53° 53°
Si el perímetro es 60 m, cada lado mide 15 m.
• Como: BD es mediatriz de AC
⇒ m OBC = m OBA = 53°
• BOC: notable (37° y 53°)
⇒ OC = 12 m ∴ AC = 2(OC) = 24 m
• Trazo sugerido CF // AB
⇒ m BAD = m CFD = 70°
⇒ BC = AF = 4 m
• CFD: Al completar ángulos internos
notamos que es isósceles.
⇒ FD = CD = 6 m
∴ AD = 4 m + 6 m = 10 m
• Se nota: AB = BC = BE
• Por propiedad m EAC = x.
• Como m AED = 5x:
ángulo exterior del ACE
⇒ m ACE = 4x.;
⇒ CA es bisectriz del BCD
∴ m BCD = 8x
• BCE: 18x = 180° ⇒ x = 10°
B
A E
C
D
4 m
4 m
6 m
B
A F
C
D
40°
70°
70° 70°
A x
O
C
B
2x
A
B
C
D
E5x
x
2x
4x
4x
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 10 m
Rpta. 24 m
Rpta. 10°
89MateMática Delta 2 - GeoMetría
Rpta. 50°
Rpta. 16°
Rpta. 100°
No o lv id e s
Re cu e rda
Si L1 // L2
° = °
Alternos internos
θ° + ° = 180°
Conjugados internos
Rectángulo
AC = BD
También:
AP = P C = BP = PD
B 20°
x
E
C
DA
A
B
E
D
60°
3θ
θ
x
C
6 La figura ABCD es un rectángulo. Halla el valor de x.
7 En la figura, ABCD es un rectángulo, BC = 4k, CD = 3k. Encuentra el valor de x.
8 Si la figura ABCD es un rombo, determina el valor de x.
• BO = CO ⇒ BCO es isósceles
• m COD = 40°
• COE: x + 40° = 90°
x = 50°
• BC = AD = 4k
• CD = AB = 3k
• BAC: notable 37° y 53°
• m BDA = m CAD = 37°
• AED: x + 2(37°) = 90°
x = 16°
• m CDF = 4θ: (alternos internos)
• 4θ = 60° + θ (ángulo exterior)
20° = θ
• AB // CD: rombo
⇒ x y 4θ son conjugados internos
x + 4(20) = 180° ⇒ x = 100°
20°
x
E
D
C
A
B
20°
40°O
A
B
E
D
F
60°
3θ
4θ
θ
x
C
B
A
C
P
D
L1
L2 θ°
°
°
L1
L2
°
°
°
Resolución:
Resolución:
Resolución:
A
x
B C
D
E
A
x
B C
D
E
4k
4k
3k 3k
37°37°
90
Síntesis
Modela y resuelve
1
Paralelogramos: Son cuadriláteros con dos pares de lados paralelos.
En todo paralelogramo se cumple:
Clasificación:
• Romboide
• Rectángulo
• Rombo
• Cuadrado
• AB = CD y BC = AD
• m A + m B = 180°
• BO = OD y AO = OC
• AC = BD
• AO = OC = BO = OD
• AC = BD
• BO = OD
• AO = OC
• m AOD = 90°
A D
O
CB
A
B
D
O
C
A
B
D
O
45° 45°
45° 45°
C
L
LL
L
α° α°
α° α°
θ°
θ°
θ°
θ°
De la figura, calcula el valor de x si ABCD es un
cuadrado.
En el romboide ABCD, calcula el valor de x.
12x
8x
B
B
C
C
D
D
A
A
x 30°
Resolución:Resolución:
2
Rpta. Rpta.
Cuadriláteros II
91MateMática Delta 2 - GeoMetría
Grafica el rombo ABCD, tal que AB = 4 cm y
m A = 40° (utiliza regla y transportador). Indica
su perímetro.
Grafica el romboide ABCD, tal que AB = 3,5 cm y
BC = 5 cm. Indica el perímetro.
El perímetro de un paralelogramo mide 70 cm, el
lado mayor excede al lado menor en 3 cm. Halla la
medida del lado mayor.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Grafica el rectángulo PQRS, tal que PQ = 3 cm
y PS = 7 cm. Halla su perímetro y utiliza regla y
transportador.
Resolución:
Grafica un rombo ABCD, tal que BC = 5 cm y
m C = 120°. Luego, traza las diagonales AC y
BD. Mide el ángulo que forman sus diagonales
(utiliza regla y transportador).
Resolución:
Grafica un romboide ABCD, tal que CD = 4 cm,
AD = 8 cm y m D = 140°. Traza sus diagonales
y compara sus medidas (utiliza regla y
tansportador).
Resolución:
Siendo ABCD un rectángulo. Determina el valor de x. Determina el valor de x, si ABCD es un cuadrado
y AED es un triángulo equilátero.
Resolución:
Resolución:
B
A
C
D
x
E
B C
A D
x
62°
3
5
7
9
4
6
8
10
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
92
Grafica el romboide ABCD, tal que AB = 3 cm,
BC = 5 cm y m B = 60° (utiliza regla y
transportador). Encuentra su perímetro.
Grafica el rombo ABCD, tal que AB = 4 cm y
m A = 40° (utiliza regla y transportador).
Encuentra su perímetro.
Resolución: Resolución:
Calcula el valor de BP, si ABCD es un paralelogramo.
Resolución:
Halla el valor de x.
Resolución:
θ
θ
7 u
B
A
12 u
P C
D
Halla el valor de α + β, si ABCD es un rombo.
Resolución:
5β
B
A C
D
2α + 30° 50°
74°
x
Si ABCD es un paralelogramo. Calcula el valor de
EF, si CE es bisectriz.
Resolución:
8 cm
3θ
θ
F
EA
6 cm
C
D
B
En el gráfico, ABCD es un romboide, si CD = 10
cm, AP = PE, BQ = QD. Determina el valor de PQ.
En la figura, ABCD es un romboide, si BC = 10 cm,
CD = 6 cm, BM = MA, CN = NE. Determina el
valor de MN.
Resolución:
Resolución:
B E C
P Q
A D
θ
θ
B
M
A E D
N
C
β
β
Rpta. Rpta.
12
14
16
18
11
13
15
17
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
93MateMática Delta 2 - GeoMetría
Nivel I
1
4
2
5
3 6
En la figura, ABCD es un rectángulo, tal que
AM = ME, CN = ND, AD = 8 y CD = 4 cm.
Encuentra el valor de MN.
B
A
45°
M N
D
CE
¿Cuál es el ángulo que forman las diagonales de
un rombo?
En la figura, ABCD es un rectángulo, tal que BC = 4k
y CD = 3k. Determina el valor de x.
E
x
B
A
C
D
A 16° B 37° C 56°
D 53° E 45°
A 6 cm B 5 cm C 8 cm
D 4 cm E 3 cm
¿Cuánto es la diferencia de las medidas de las
diagonales de un cuadrilongo?
A No conozco esa figura
B Faltan datos
C Depende de los ángulos
D 0
E Hay una diagonal mayor y una menor
A 20 cm B 20 2 cm C 5 cm
D 10 cm E 10 2 cm
A 19 cm y 140°
B 9,5 cm y 40°
C 19,5 cm y 140°
D 19 cm y 40°
E 9,5 cm y 140°
D
C
A
B
Si ABCD es un cuadrado, BD es la diagonal que
mide 5 2 , halla su perímetro.
A
B
D
C
5 2
Grafica el romboide ABCD, tal que AB = 3,5 cm,
BC = 6 cm y m B = 40°. Calcula su perímetro y
la medida del ángulo D.
A Faltan datos
B Se deben conocer solo los datos
C 90°
D 60°
E 180°
Practica y demuestra
94
En la figura, ABCD es un paralelogramo, tal que
AB = 9 u y EF = 2 u. Encuentra el valor de AD.
En la figura, ABCD es un rectángulo, tal que
ED = 8 cm y FE = 12 cm. Determina el valor de
EC.
B
A
F
E
D
C
A 3 cm B 6 cm C 4 cm
D 5 cm E 10 cm
En la figura, ABCD es un cuadrado y AED es un
triángulo equilátero, tal que AB = 8 2 cm. Calcula
el valor de DF.
F
B C
A D
A 6 cm B 5 cm C 8 cm
D 4 2 cm E 3 2 cm
En la figura, ABCD es un cuadrado y CDE es un
triángulo equilátero. Halla el valor de x.
x
B
A D
C
E
A 45° B 60° C 30°
D 37° E 74°
B
E F
C
DA
α
α
θ
θ
A 19 u B 16 u C 18 u
D 22 u E 20 u
Si las diagonales del rombo miden 14 cm y
48 cm, halla el perímetro del rombo.
En un rectángulo ABCD, se traza la bisectriz
BE (E en AD). Calcula la longitud de BC, si
AE = 3 cm y CE = 5 cm.
A 6 cm B 7 cm C 8 cm
D 9 cm E 10 cm
B
A C
D
A 130 cm B 140 cm C 120 cm
D 150 cm E 100 cm
Nivel II
7
8
9
10
11
12
E
95MateMática Delta 2 - GeoMetría
13 16
14 17
15 18
Determina V o F de acuerdo a:
I. Un cuadrilátero de diagonales congruentes es
solo el rectángulo.
II. El único cuadrilátero de diagonales
perpendicualres es el rombo.
III. Un cuadrilátero de lados congruentes solo es
el cuadrado.
A FFF B FFV C FVV
D VVV E VFF
En un romboide ABCD, AB = 6 cm y BC = 14 cm.
Las bisectrices interiores de B y C intersecan a
AD en los puntos P y Q, respectivamente. ¿Cuál
es la medida del segmento que une los puntos
medios de BP y CQ?
En la figura, ABCD es un paralelogramo, donde
AB = 8 cm; BC = 13 cm y CQ = QD. Halla el valor
de PQ.
A 6 cm B 6,5 cm C 7 cm
D 8 cm E 9 cm
A 6 cm B 7 cm C 8 cm
D 9 cm E 5 cm
Los lados diferentes de un romboide se
encuentran en relación de 3 a 4, si el perímetro
es de 84 cm. Calcula la diferencia de las medidas
de estos lados.
A 42 cm B 21 cm C 6 cm
D 7 cm E 12 cm
La suma de las longitudes de las diagonales de un
trapezoide es 30 cm. Encuentra el perímetro del
cuadrilátero que resulta al unir los puntos medios
de los lados del trapezoide.
A 15 cm B 20 cm C 30 cm
D 40 cm E 50 cm
En un cuadrilátero convexo las diagonales son
congruentes. Al unir los puntos medios de los
lados se forma con seguridad:
A Romboide
B Rombo
C Rectángulo
D Trapecio isósceles
E Faltan datos
B
A D
Q
C
P
α
α
θ
θ
96
En un romboide los lados no paralelos miden
3x – 12 y 5x – 8. Determina la medida del lado
menor si su perímetro es 72 cm.
A 20 cm B 27 cm C 7 cm
D 9 cm E 37 cm
Nivel III
19
22
20
23
21 24Dado el cuadrado ABCD, halla el valor de x.
A 8 cm B 6 cm
C 12 cm D 6 2 cm
E 12 2 cm
Encuentra el valor de BD, si ABCD es un
paralelogramo.
A 24 cm B 26 cm C 28 cm
D 10 cm E 22 cm
B
A
C
D
9 cm
x2
3x + 2 cm
O
B C
x
A D
6 c
m
Si ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro
de 48 cm. Calcula el valor de AE.
Se tiene un cuadrado ABCD cuyo perímetro es
16 mm. Sobre el lado AD se ubica el punto E, tal
que m BCE= 53°. Determina el valor de AE.
A 1 mm B 2 mm C 3 mm
D 4 mm E 5 mm
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 4 cm E 5 cm
53°
B
A E D
C
En un cuadrado ABCD, interiormente se construye
el triángulo equilátero ABR. Encuentra el valor de
la m CRD.
A 80° B 75° C 15°
D 150° E 105°
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
97MateMática Delta 2 - GeoMetría
En el trapecio isósceles ABCD, AB = 4 2 m.
Calcula la longitud del segmento que une los
puntos medios de las diagonales.
Determina el valor de x.
Los ángulos de un cuadrilátero miden 4x,
6x – 20°, 2x + 20° y 5x + 20°. ¿Cuánto mide el
mayor ángulo?
En un trapecio ABCD (BC // AD), halla la
m BDA, si m ABC = 110° y AB = AD.
Grafica el cuadrilátero no convexo ABCD, tal
que m A = 30°, m B = 60° y m C = 50°.
Encuentra el menor valor del ángulo ADC.
En el trapezoide que se muestra, indica el valor
de x.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
4 mA
1 mC
4 2 mB
6 mD
240°A
120°C
100°B
230°D
100°A
140°C
120°B
150°D
45°A
35°C
25°B
55°D
220°A
120°C
140°B
240°D
110°A
70°C
120°B
90°D
45°
B
A D
C
110°
130°
x
B
A D
C
I
x
70°
n
n
θ θ α
α
β
β
98
En la figura, ABCD es un cuadrilongo tal que
AM = ME, CP = PD, AD = 10 y CD = 6 cm. Calcula
el valor de MP.
En el rectángulo ABCD, halla el valor de x.
En la figura, ABCD es un cuadrilátero regular y
CDE es equilátero, encuentra la m CBE.
Si ABCD es un cuadrado que tiene un perímetro
de 64 cm. Calcula el valor de AE.
Determina el perímetro de un romboide ABCD
en elcual BC = 3(CD), si la bisectriz interior
del ángulo ABC intersecta en F a AD, tal que
FD = a cm.
En el gráfico, ABCD es un paralelogramo,
tal que CD = 12 cm, AM = ME y BN = ND.
Encuentra el valor de MN.
7 10
8 11
9
12
5 cmA
6 cmC
7 cmB
4 cmD
45°A
30°C
15°B
37°D
6 cmA
3 cmC
4 cmB
2 cmD
6 cmA
8 cmC
7 cmB
9 cmD
8a cmA
4a cmC
12a cmB
16a cmD
6 cmA
5 cmC
3 cmB
12 cmD
45°
B
E
M P
A D
C
B
A
x2 + 2x – 2 cm x + 7 + x2 cm
D
C
B
E
A D
C B
A DE
C
37°
B
A D
θ
θ
E C
M N
Tema
99MateMática Delta 2 - GeoMetría
7
Circunferencia I
Es la figura geométrica que está formada por todos los puntos de un mismo plano que
se encuentran a una misma distancia de otro punto (de ese mismo plano) denominado
centro.
A la distancia constante de estos puntos al centro se le denomina radio de la
circunferencia.
Asimismo, se denomina círculo a la región interior del plano limitada por una circunferencia.
Elementos
- Centro (O): Punto equidistante de todos los puntos que forman la circunferencia. Dos
o más circunferencias con el mismo centro, se dice que son concéntricas.
- Radio (OA): Segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera
de la misma.
- Cuerda (BC): Segmento que une dos puntos de una misma circunferencia.
- Diámetro (DE): Es la cuerda de mayor longitud que pasa por el centro de la
circunferencia dividiéndola en partes congruentes.
- Secante (FG ): Es toda recta ubicada en el plano de la circunferencia que corta a esta
en dos puntos. Cabe notar que la secante contiene a la cuerda.
- Tangente (HI): Es toda recta en el plano de la circunferencia que tiene solo un punto
común llamado punto de tangencia (T).
- Flecha (MN): Segmento levantado perpendicularmente del punto medio de una cuerda
al arco. La prolongación de la flecha siempre pasa por el centro.
- Arco (AN): Es la porción de circunferencia limitada por los extremos de una cuerda.
En particular, una semicircunferencia es un arco limitado por los extremos de un
diámetro.
D E
C
N
BA
F
R M
O
H
T
I
G
Secante Tangente
La palabra radio
viene del latín radius
que significa «rayo de
luz».
Así llamaban los
romanos a las varitas
que iban del eje a la
llanta de la rueda.
Import a nt e
Circunferencia
Círculo
La circunferencia
tiene longitud:
Lo = 2 r
El círculo tiene área:
S = r2
¿Sa bía s qu e.. .?
100
a = b
Propiedades
1.a Propiedad.- Toda recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio
trazado por el punto de contacto (también llamado punto de tangencia).
2.a Propiedad.- Si el radio es perpendicular a una cuerda. Se convierte en una proporción
de la mediatriz de ella. Además, divide a los arcos que subtiende en dos
partes congruentes.
3.a Propiedad.- En toda circunferencia, a arcos congruentes les corresponden cuerdas
congruentes. Además, están a la misma distancia del centro.
4.a Propiedad.- En una misma circunferencia los arcos comprendidos entre rectas
paralelas son congruentes.
Si OM AB
AM = MB
m AE = m EB
a = b
Si AB CD ⇒
m AB = m CD
a = b
Si M // N ⇒
m AC = m BD
Import a nt e
Import a nt e
Re cu e rda
Las dos
circunferencias
son concéntricas.
MN: flecha o sagita
* ME: flecha
L
BMA
L : mediatriz de AB,
si L AB
⇒ AM = MB
N
r
O
A
M
a a
O
α°
A
B
C
D
α°
M
ND
B
C
A
α α
O: centro
a = b OT L1
RO
r
L1 T (Punto de tangencia)
O
O
E
BMA
101MateMática Delta 2 - GeoMetría
a = b
a = b
a = b
a = b
5.a Propiedad.- Dos rectas tangentes a una misma circunferencia y una cuerda que
una los puntos de tangencia, determinan a un mismo lado, ángulos
congruentes.
α° = β°
d > R + r
d = R + r
Posiciones relativas de dos circunferencias
Dos circunferencias situadas en un mismo plano, con centros O y O' y radios R y r
respectivamente, pueden tener las siguientes posiciones relativas:
Exteriores.- Cuando todos los puntos de una son exteriores a la otra. La distancia entre
sus centros es mayor que la suma de las longitudes de los radios.
Tangentes exteriormente.- Cuando tienen un punto común y los demás puntos de una son
exteriores a la otra. En este caso, sus centros están a lados opuestos de la tangente común y
la distancia entre ellos es igual a la suma de las longitudes de los radios.
Secantes.- Cuando tienen dos puntos comunes. La distancia entre sus centros es menor
que la suma de las longitudes de los radios, pero mayor que su diferencia.
R – r < d < R + r
AB : cuerda común
OO' AB
Obse rva ción
Re cu e rda
Prueba
Si prolongamos los
segmentos tangentes
tendrás:
PA = PB
ya que son
tangentes a la misma
circunferencia
⇒ PAB es
isósceles
⇒ α° = β°
Teorema de la
existencia.
O y O' : centros
O y O': centros
O , O': centros
α°
β°
α°
β°
P
A
B
α°
β°
ab
x
R r
O O'
d
P
E
R
d
rO
O'
Q
F
A
R
O O'
B
r
d
a – b < x < a + b
102
a = b
a = b
a = b
d: distancia mínima
entre dos
circunferencias.
D: distancia máxima
entre dos
circunferencias.
Obse rva ción
Se dice que dos
circunferencias
se llaman
ortogonales, si
sus radios son
perpendiculares.
AB = CD
d = 0
AB = CD
a = b d < R ‒ r
a = b d = R ‒ r
Tangentes interiormente.- Cuando tienen un punto común y todos los puntos de una de
ellas son interiores a la otra. Sus centros están al mismo lado de la tangente común y la
distancia entre ellos es igual a la diferencia de las longitudes de los radios.
Interiores.- Cuando todos los puntos de una de ellas son interiores a la otra. La distancia entre
sus centros es menor que la diferencia de las longitudes de los radios.
Concéntricos.- Cuando tienen el mismo centro, esto es, la distancia entre sus centros es
cero.
Por otro lado, para tres circunferencias es importante considerar el caso de
circunferencias tangentes exteriores dos a dos.
Tangentes comunes interiores
O
O'
O''
r
r
r'
r'
r'' r''
A
C
O
B
D
A, B, C, D son
puntos de tangencia
Teoremas con tangentes
d
O y O': centros
T: punto de tangencia
O y O': centros
O y O', O'': centros
O y O': centros
¿Sa bía s qu e.. .?
R
d
O O'
r
T
D
R
dO O'
r
O'O
C
B
A
D
103MateMática Delta 2 - GeoMetría
Recu e rda
AB: indica un
segmento como
figura geométrica.
AB: indica la medida
del segmento AB.
A
B
PO
r
r
α°
α°
Si A, B, C, D
son puntos de tangencia
⇒ AB = CD
Tangentes comunes exteriores
a) Si A, B y C son puntos de tangencia.
b) Si M es punto medio de AB. Si A y B son puntos de tangencia.
Teoremas de las tangentes a una circunferencia
• Teorema.- Los dos segmentos tangentes a una circunferencia trazados desde un
punto exterior a esta son congruentes y determinan ángulos congruentes con el
segmento que une el punto exterior y el centro de la circunferencia.
a = b PA = PB
a = b x = 90°
a = b x = 90°
PO: bisectriz del ángulo APB
A B
AB = 5u... Incorrecto
m AB = 5u... Correcto
AB = 5u... Correcto
OM: bisectriz del
ángulo AOB.
O
A
B
M
¿Sa bía s qu e.. .?
α°
α°
5u
Veamos:
A M B
R
r
x
A
B
D
C
A
C
x
B
• Teorema.- Los segmentos tangentes comunes externos a dos circunferencias son
congruentes.
a = b AC = BD
O y O': centros
Si A, B, C, D son
puntos de tangencia
B
A
D
C
O'O
Obse rva
r
r: inradio o radio de
la circunferencia
inscrita.
104
Polígonos inscritos en la circunferencia
Un polígono está inscrito en una circunferencia, si sus vértices pertenecen a la
circunferencia.
Polígonos circunscritos en la circunferencia
Un polígono está circunscrito a una circunferencia, si todos sus lados son tangentes a una
circunferencia en su interior.
Teorema de Poncelet
En todo triángulo rectángulo la suma de los catetos es igual a la hipotenusa más el
diámetro de la circunferencia inscrita.
a = b ⇒ a + b = c + 2r
Triángulo
circunscrito
Cuadrilátero
circunscrito
M N
A
B
C
DT
Sean a, b y c las
longitudes de los lados
Jean Victor Poncelet
es uno de los 72
eruditos recordados
en el friso de las
fachadas de la Torre
Eiffel.
¿Sa bía s que.. .?
Triángulo
inscrito
Cuadrilátero
inscrito
B
CA
Q R
P
S
La semicircunferencia
está inscrita en el
triángulo ABC.
¿Sa bía s qu e.. .?
B
A C
A
B C
r
ba
c
a = b
¿Sa bía s qu e.. .?
Teorema de Pitot
En un cuadrilátero circunscrito, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es
constante e igual al semiperímetro.
a + b = x + y = p
xx
b
a
y
El teorema de Pitot
lleva el nombre de
su enunciador, el
matemático francés
Henri Pitot (1695 -
1771), quien estudió
matemática por
su cuenta. Fue un
ingeniero y físico
francés además de
militar; construyó
acueductos y desecó
pantanos.
(p = semiperímetro
del cuadrilátero)
Obse rva
R: circunradio o radio
de la circunferencia
circunscrita.
R
105MateMática Delta 2 - GeoMetría
a = b
a = b
Recu e rda:
En la figura S, M y T son puntos de tangencia. Calcula el valor de x.
Si P y T son puntos
de tangencia.
EP = ET
EO: bisectriz del
ángulo PET.
Resolución:
Resolución:
En la figura O es centro. Halla el valor de x, si m TOC = 2 m TCO. T es punto
de tangencia.
Por teorema, OB es bisectriz del
ángulo B y OC es bisectriz del
ángulo C.
Luego notamos que «O» es excentro
del triángulo ABC, por propiedad del
excentro.
∴ x = 90° – 20° 2 = 80°
Por propiedad OT CT; luego por
ángulo externo: m TOC = 2x
Del dato: m TCO = x
⇒ 2x + x = 90°
∴ x = 30°
Rpta. 80°
Rpta. 30°
1
2
T
x
S
M
20°
T
A
C
O
B
x
S
M
20° α
β
β
α
x
T
O C
x
x
x2x
R
R
T
O C
P
O
T
E
αα
E: excentro
x = 90° – m° 2
E
m°
x
β
α
α
β
O
T
L1
T: punto de tangencia.
OT L1
O: centro
Ejercicios resueltos
106
Calcula el perímetro del triángulo sombreado. Si PA = 8 m.
En la figura mostrada, halla el valor de q, si mQE = 80° y O es el centro.
Halla AT, si AB = 7 cm, BC = 8 cm y AC = 9 cm. T, P y Q son puntos de tangencia.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Si A y B son puntos de tangencia.
Por propiedad: AT = TE; ER = RB; PA = PB
⇒ Perímetro = 2(m + a) = 2AP
Perímetro = 16 m
Trazamos OE EC; luego: m BOE = 2q.
OQ AB; por propiedad OB es bisectriz del
arco QE; luego:
2q = mQE2 ⇒ q = 20°
Como T, Q y P son puntos de tangencia:
AT = AP = x; TB = BQ = 7 – x; CQ = CP = 9 – x
Pero: BC = 8 = BQ + QC
8 = 7 – x + 9 – x
2x = 8 ⇒ x = 4
Rpta. 16 m
Rpta. 20°
Rpta. 4 cm
3
4
5
Recu e rda:
R e cu e rda:
AT = semiperímetro
del ABC.
AT = p – a
B
A
P
T C
B
Q
A
B
E
R
T
A
P
b
a
m
m + a – b
a
b
A
B
Q
D
C
q
O
E
A C
B
P
T
Q
A C
B
P
T
Q
x
x
7 – x 7 – x
9 – x
8 cm
9 – x
A T
B
C
a
107MateMática Delta 2 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
Propiedades:
Teoremas
a = b
a = b AT = p ‒ a a = b a + b = m + n a = b
T. de Poncelet T. de Pitot
a = b r L1 a = b AB = AC = R
2 Si P es punto de tangencia y O es el centro de la
circunferencia. Calcula el valor de x.
1 Si P es punto de tangencia y O es el centro de la
circunferencia. Calcula el valor de x.
110° x
P
AO
r
x 30°
P
A
O
r
Circunferencia I
AT = semiperímetro del ABC
108
4 Halla el valor de x, si T y M son puntos de
tangencia.
3 Si A y B son puntos de tangencia, halla el valor de n.
Resolución: Resolución:
2n 2 ‒ 52
n2 ‒
3
P
A
B
T
M
x ‒
2
11
A
5 El perímetro de ABC es 40 cm y AB = 10 cm.
Encuentra el valor de MC (M punto de tangencia).
6 En la figura, la circunferencia está inscrita, si
AB = 5 u, BC = 7 u y AC = 8 u. Encuentra el valor
de AD.B
CMA
B
CDA
Resolución: Resolución:
7 En la figura, la circunferencia está inscrita en el
triángulo rectángulo ABC. Si AB = a + 3, BC = a + 6 y
AC = 2a + 3. Determina la medida del radio r.
8 En la figura, la circunferencia está inscrita en un
triángulo rectángulo. Si AB = 9 u. Determina la
medida del radio r.
CA
B
O
r
CA
B
O r
53°
Resolución: Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
109MateMática Delta 2 - GeoMetría
10 En la figura, calcula el valor de a + b, si T, R y Q
son puntos de tangencia.
9 En la figura, calcula el valor de x, si P, Q y T son
puntos de tangencia.
Resolución: Resolución:
5 u
Q
T
x
4 u
P
11 En la figura, la circunferencia está inscrita en el
cuadrilátero. Si AB = 5 u, BC = 4 u AD = 8 u y EC = 7
u. Halla el valor de x.
12 En la figura, la circunferencia está inscrita en el
cuadrilátero ABCD. Si AB = 9 u, AD = 10 u y EC = 8 u.
Halla el valor de BC.
C
B
A D
x
70°
E
Resolución: Resolución:
C
B
A D
β°
E
β°
13 En la figura, AD es diámetro y BC // AD. Encuentra
el valor de x.
14 En la figura, BC // AD. Encuentra el valor de x. Si
además m ABCD= 160°.
Resolución: Resolución:
A D
O
50°x
CB
A D
70° x
CB
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.Rpta.
T
Q
R
12 cm
a b
a b
110
17 Si AC – AB = 6 cm y M es punto medio de BC,
calcula el valor de EM (E es punto de tangencia).
18 El perímetro de ABC es 30 cm. Calcula el valor de TC
(T punto de tangencia).
15 En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual
a 20 u y de inradio 7 u. Determina la longitud de la
hipotenusa.
16 El perímetro de un triángulo rectángulo es
90 cm y el radio de la circunferencia inscrita 4 cm.
Determina la longitud de la hipotenusa.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
CA
B
E
M
C
AT
B
19 ABC es equilátero; AD + EC = 6 cm. Halla el
perímetro del triángulo ABC. Si D y E son puntos
de tangencia.
20 Si el perímetro del triángulo regular ABC es 27 u.
Halla AD + CE, si D, E, F son puntos de tangencia.
A CF
D E
BA C
D E
B
F
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta. Rpta.
111MateMática Delta 2 - GeoMetría
Nivel I
1
2
3
6
4
5
En la figura, M, N y P son puntos de tangencia;
si AC = 15 cm. Calcula el valor de AB + BC.
En la figura, R, S, T y P son puntos de tangencia;
si AB = 6 cm, BC = 8 cm y CD = 10 cm. Halla el
valor de AD.
En la figura, L1 // L2, A y B son puntos de tangencia.
Determina m POQ, además O es el centro.
En la figura, R y S son puntos de tangencia.
Encuentra el valor de RS.
En la figura, la circunferencia es tangente a los 3
lados, O es el centro. Si m B = 40°. Calcula el
valor de x.
B
S C
T
DP
A
R
B
O
A C
x°
A 33 cm B 30 cm C 32 cm
D 34 cm E 31 cm
A 4 cm B 3 cm C 2 cm
D 1 cm E 5 cm
A 100° B 110° C 120°
D 130° E 140°
A 6 cm B 9 cm C 7 cm
D 8 cm E 10 cm
L1
P
Q
O
L2
A
B
P
R
6 cm
O
S 2 cm
M
N
P
CA
8 cmO
B
A 70o B 80o C 90o
D 100o E 120o
Si O es el centro, T es punto de tangencia y
la m OAT = 20°. Halla la m PTA.
A
O
P T
A 50° B 90° C 80°
D 70° E 60°
Practica y demuestra
112
En la figura, A y B son puntos de tangencia.
Determina el valor de 2x.
x
A
B
20º
A 150° B 170° C 160°
D 180° E 190°
En la figura, T, P y Q son puntos de tangencia.
Encuentra: m TOP + m BOC.
Nota: B, O y P no son colineales.
A 230° B 240° C 220°
D 260° E 250°
40°
T
B
Q
O
C
P
A
En la figura, M, N, P y Q son puntos de tangencia,
si AB + CD = 20 cm, AD = 12 cm. Calcula el valor
de MC.
A 2 cm B 6 cm C 5 cm
D 3 cm E 4 cm
M
B
N
A
P
D
Q
C
7 10
8 11
9 12
En un triángulo ABC: AB = 8 cm, BC = 10 cm
y AC = 12 cm. Si la circunferencia inscrita
determina sobre AC el punto M. Halla el valor de
AM.
A 3 cm B 4 cm C 5 cm
D 6 cm E 2 cm
Determina el valor de x, si A y B son puntos de
tangencia. O es el centro.
40°A B
C
O
x
A 70o B 50o C 40o
D 60o E 30o
En la figura, R, T y S son puntos de
tangencia; si AB = 13 cm, BC = 14 cm y AC = 15
cm. Encuentra el valor de AS.
A S C
TR
B
A 10 cm B 6 cm C 7 cm
D 9 cm E 8 cm
113MateMática Delta 2 - GeoMetría
1610
17
14
13
18
15
En la figura mostrada, m AB = 80° y m BC = 60°.
Halla el valor de (x – y).
C
B
A
D
O
P
x
y
A 13° B 10° C 12°
D 14° E 11°
Determina el valorde AB. Si se sabe que EB = 3 m
y BF = 1 m.
E B
F
R
A
A 6 m B 5 m C 4 m
D 2 m E 3 m
En la figura mostrada, calcula el valor de x
si m TNB = 48° y NT // AM.
A 3° B 5° C 10°
D 4° E 6°
M
B
A
x r
N T
Nivel II
Calcula la longitud del segmento LM. Si se sabe
que NB = 4 u; O1 y O2 son centros.
O1
B
N
M
L
A
O2
A 3 u B 2 u C 2,5 u
D 4 u E 4,5 u
En la figura, M, N y P son puntos de tangencia; si
AC = 15 cm. Encuentra el valor de AB + BC.
A 23 cm B 20 cm C 22 cm
D 24 cm E 21 cm
M
B
N
P
CA
O 3 cm
Las longitudes de las circunferencias concéntricas
son 31,40 cm y 18,84 cm. Halla el valor de
AB (p = 3,14), si O es el centro.
A 2 cm B 3 cm C 3,2 cm
D 4 cm E 4,5 cm
A
B
O
114
En la figura, determina la medida del ángulo COD,
si se muestra un trapecio en la figura.
B
A
C
D
O
A 60° B 90° C 80°
D 100° E Faltan datos
Si P, Q y R son puntos de tangencia y m ABP = 36°,
encuentra el valor de x.
A 36° B 30 ° C 32°
D 34° E 31°
En el gráfico mostrado, calcula el valor de α. Si O
es el centro.
A 115° B 135° C 150°
D 120° E 160°
α
O
B
xα α
Q
C
P
A R
36°
Nivel III
19
20
21
Si A, B y P son puntos de tangencia, además
AP = MP. Halla el valor de α.
B
M
N
A
P
α°
A 45° B 30° C 60°
D 37° E Faltan datos
En la figura, O es el centro y AO = EC, indica la
relación correcta entre α° y q°.
En la figura, determina el valor de x si P y S son
centros. También Q y R son puntos de tangencia.
P S
Q
R
40° x
A 90° B 40° C 80°
D 50° E 70°
αq
D
A O C
E
A
1
2 B
3
4
C
1
3
D 2
3
E 1
4
22
23
24
Tema
115MateMática Delta 2 - GeoMetría
8
Circunferencia II
Obse rvaÁngulo central: Es el ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus
lados son los radios.
El ángulo y el arco subtendido son iguales en medida.
Para dividir la circunferencia del reloj en 12 partes exactamente iguales, que a futuro
podrán dar una medición perfecta de la hora, es necesario usar criterios de ángulos de
la circunferencia.
Ángulo semiinscrito: Es aquel ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y es
formado por una tangente y una cuerda.
Ángulo inscrito: Es aquel ángulo formado por dos cuerdas que concurren en un punto
de la circunferencia. Este ángulo mide la mitad del arco subtendido.
Siendo AB diámetro
y P un punto
cualquiera de la
circunferencia,
entonces el ángulo
de vértice P en el
triángulo APB es
recto.
Ángulos en la circunferencia
a = b x = q°
a = b x =
q°
2
a = b x =
m BC
2
B
O
A
AB: es el arco
subtendido por el
ángulo AOB.
A
B
x
C
q° x
= 90°
x = a + bm APB = 90°
A
B
O x
R
R
q°
C
B
x
T
q°
A B
P
x
116
Recu e rda
Ángulo exterior: Es aquel ángulo cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia. Su
medida es la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.
Hay tres casos y son:
¡Ahora a experimentar!
Caso 1: Con dos rectas tangentes.
Caso 2: Con una recta tangente y una recta secante.
Caso 3: Con dos rectas secantes.
a = b x =
α° ‒ q°
2
a = b x =
α° ‒ q°
2
a = b x =
α° ‒ q°
2
T
L1
L1: recta tangente
T: punto de tangencia
L2: recta secante
A, B: puntos de corte
L3: recta pasante o
recta exterior
A B
L2
L3
Ángulo interior: Es aquel ángulo cuyo vértice está en el interior de la circunferencia y está
formado por dos cuerdas secantes. Su medida es la semisuma de la medida de los arcos
comprendidos.
a = b x =
α° + q°
2
A y C son puntos
de tangencia
A es punto de
tangencia
B
A
D
Cα°
F
x
q°
A
B
q°
x
C
D
α°
D
A
q°
B
C
α°
Fx
A
B
q°
x
C
α°
Ángulo ex-inscrito: Es aquel ángulo formado por una secante y una cuerda concurrentes
en un punto de la circunferencia.
a = b x =
m AC
2
A
B
x
CQ
117MateMática Delta 2 - GeoMetría
Recu e rda
Calcula la medida del ángulo TOA, si AT es una recta tangente y O es el centro.
Resolución:
∴ m TOA = 70°
Halla el valor de x si BC // AD.
Encuentra el valor de x.
A D
30°
x
B C
A D
30°
60° x
B C
100°x
A
C
B
α°
A
C
B
Por la propiedad de las cuerdas paralelas:
x = 60°
Resolución:
«B» por ser ángulo inscrito se cumple:
x = 100°
2 ⇒ x = 50°
Resolución:
Si L // L1:
⇒ α° = β°
m AC = 2α
α° + β°
2x =
m AB = 2β
A
B
β°
xβ° α°
L
L1
α° β°
20°
T A
O
20°
70°
T A
O
Por teorema, el radio con la tangente
forman un ángulo de 90°.
Rpta. 70°
Rpta. 60°
Rpta. 50°
Por el ángulo inscrito se cumple que
m AB = 60°.
1
2
3
Ejercicios resueltos
118
Recu e rda
No o lv id e s
Not a
Halla el valor de x.
Resolución:
Por ser ángulo interior se cumple:
x = 140°
2
x = 80° + 60°
2
⇒ x = 70°
Resolución:
Por ser ángulo exterior se cumple:
x = 50°
2
x = 90° ‒ 40°2
⇒ x = 25°
α° ‒ β°
2x =
Calcula el valor de x.
Determina el valor de m BC.
Resolución:
Por ser ángulo semiinscrito se cumple:
BC
2
= 60°
BC = 120°
α°
β° x
¿Cuál es el arco AB?
¿El rojo o el azul?
Rpta. El arco AB es
el rojo, ya que el
azul es el arco AQB.
AQB se lee: arco AQB.
B
A 60°
D
C80°
F
x
D
A
40°
B C
90°
Fx
Rpta. 70°
Rpta. 120°
Rpta. 25°
A
BQ
4
5
6
60°
B
C
119MateMática Delta 2 - GeoMetría
Recu e rda
En la figura, encuentra el valor de x si PQ = QT.
En la figura, determina el valor de x si m ABC = 120°.
Resolución:
Resolución:
Por ángulo inscrito:
m MNP = 35°
luego, PQ = QT
⇒ MPTN es un trapecio:
x2 = 35°
x = 70°
Por ángulo inscrito:
mED = 80°
Luego, notemos que «x» es un ángulo
interior que cumple:
x = 120° + 80°2
x = 100°
Rpta. 70°
Rpta. 100°
7
8
mTB = 2m TAB
70°
x
P
T
M
N
Q
70°
x
P
T
M
N
Q
35°
x
2
A
E
D
B
C
x
40°
A
E
D
B
C
x
40°
80°
120°
α + β
2x =
2α
A
T
Bα
β° x α°
120
x
Síntesis
a = b O: centro
a = b x = 45°
a = b x =
α° + β°
2 a = b m AB = 2α°
a = b m AB = 2β°
a = b α° + β° = 180°
a = b
Si AB: diámetro
x = 90º
2α°
α°
α° α°O
x α°
β°
B
A
α°
B
P
A
β°
A B
x
a = b x =
α ° ‒ q°
2
a = b x =
q°
2
A
B
q° x
C
α°
A B
q° x
C
D
α°
D
A
q°
B
C
α°
Fx
A
B
C
α° β°
q°
x
Circunferencia II
121MateMática Delta 2 - GeoMetría
Modela y resuelve
4 Si m AC = 84° y B es un punto que pertenece a la
circunferencia. Halla el valor de x.
3 Si B es un punto que pertenece a la circunferencia.
Halla el valor de x.
5 Si A es punto de tangencia. Determina el valor de x.
2 Calcula el valor de x, si O es el centro de la
circunferencia.
6 Determina el valor de x, si m ABC = 260° y A es
punto de tangencia.
1 Calcula el valor de x, si O es el centro de la
circunferencia.
60°
xO
48° xB
C
A
x B
C
A
6x
60°
O
94°
x
B
A
C
x
B
A
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
7 Encuentra el valor de x. 8 Encuentra AE, si m BD = 50°.
40°
B
D
C
A
E
30° x
110°
B
D
C
A
F
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
122
9 Calcula el valor de x, si m PQR = 280°. 10 Calcula el valor de x.
R
P
Q
x
x 100°
B
T
A
Resolución: Resolución:
11 En la circunferencia, AB es diámetro; halla el valor
de x.
12 En la circunferencia, AB es diámetro; halla el valor
de x.
40°
B
A
C
D
O PE x
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
120°
B
A
C
D
OE x
13 En la figura, A y B son puntos de tangencia;
determina el valor de x.
14 En la figura, T es punto de tangencia y
m ATP = 40º. Determina el valor de x.
36°
A
P
BE
x
35°
A
T
P
B
x
Rpta.Rpta.
Rpta.Rpta.
Rpta.Rpta.
123MateMática Delta 2 - GeoMetría
Nivel I
1
2
5
3 6
4
Calcula el valor de x, si AB = CF.
A 20° B 30° C 32°
D 34° E 31°
Determina el valor de x, sabiendo que RS, TS, QS
y PS son líneas tangentes.
A 80° B 60° C 70°
D 75° E 65°
R
A
Q
C PT
B
β
S
x
α 40°
Calculael valor de x, si AB = BC = CD.
A 33° B 30° C 32°
D 34° E 31°
x 40°
A
B
C
D
En la figura, encuentra el valor de x.
Si m AB = m DE y m BC = m CD.
A 33° B 30° C 35°
D 34° E 31°
Halla la medida del arco MPN, si MN y el radio
tienen medidas iguales.
A 280° B 230° C 225°
D 270° E 300°
Halla el valor de x, si m APB = 2x y m AB = x.
A 72° B 144° C 126°
D 200° E 120°
70°
x
F
A
B
C
D
E
2x x
A
B
P
O
M
N
P
R
70°
x
A
B
F
C
D E
Practica y demuestra
124
En la figura, encuentra el valor de x, si O es el centro
y QO = 3PQ.
A 45° B 53° C 27°
D 37° E 16°
x
P
Q
O
En la figura, determina el valor de x, si BE = EC.
A 60° B 50° C 65°
D 80° E 70°
80°
x
A
B
C
D
E
7
8
9 En la figura, halla el valor de x, si O es el centro.
2a
D
A
C
O B
x
a
A 53° B 37° C 75°
D 30° E 60°
10
11
12
Calcula el valor de x.
A 140° B 130° C 120°
D 150° E 125°
30°T
A
P
x
B
En la figura mostrada, determina el valor de x, si
m AB = 100°
Si O es el centro, encuentra el valor de x.
70°O
x
x3x
A
B
D
C
P
A 25° B 30° C 37°
D 38° E 31°
A 36° B 35° C 32°
D 34° E 30°
125MateMática Delta 2 - GeoMetría
1613
17
14
1815
Halla el valor de x, si m AB + m CD = 200°.
A 50° B 30° C 70°
D 40° E 80°
A 45° B 30° C 60°
D 40° E 35°
Calcula m CD, si m AB = 2 m CD.
A B
CD
x
30°
A
B
D
C
E
Determina el valor de r, si ES = 3 cm y 3 mST = mSPT.
P
T
E
S
r
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 6 cm E 9 cm
Encuentra la m MTN (T es punto de tangencia),
si la m MTQ = 22°.
En la figura, m AE= 92° y m BFD = 40°. Halla la
medida del arco BMD.
O r
N
MQ
T
A
E
B
D
CMF
A 11° B 22° C 33°
D 28 ° E 35°
A 30° B 110° C 50°
D 52° E 60°
Nivel II
Calcula la medida del PQR, si P, Q y R son
puntos de tangencia.
P R
Q
A 90° B 60° C 45°
D 75° E 80°
126
En un arco de circunferencia AB, donde AB es el
diámetro, se tiene que m CAB = 20° y DP es
paralela a AC. Determina el PDB.
A O B
C
P
D
A 55° B 60° C 80°
D 45° E 90°
Encuentra la m SQT, si S, P y T son puntos de
tangencia.
54°P
S
Q
T
A 116° B 90° C 104°
D 108° E 120°
Si m ABC = m EFT = m THL; además, E, F, H,
L y T son puntos de tangencia, halla la m ABC.
A F H C
E
B
LT
A 90° B 80° C 45°
D 60° E 72°
22
19
23
20
2421
Si O es el centro, calcula el valor de x.
35
°
x O
A 72° B 78° C 76°
D 80° E 84°
Si B y D son puntos de tangencia y m BDA = 200°.
Encuentra el valor de x.
B
A
D
x
A 35° B 20° C 45°
D 55° E 30°
En la figura, AO y MR son diámetros. Determina
el valor de xy .
A
E
M
R
y
x
O
A 1
3
B 2
3
C 1
D 1
4
E 3
2
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
127MateMática Delta 2 - GeoMetría
Si P y Q son puntos de tangencia, calcula el valor
de x.
En la figura, P, Q y R son puntos de tangencia,
si AC = 10 cm. Encuentra el valor de la suma de
los catetos del triángulo rectángulo ABC.
En la figura, la circunferencia está inscrita en el
cuadrilátero. Si AB = 6 u, BC = 4 u, AD = 10 u
y EC = 8 u. Halla el valor de x.
En la figura, O es el centro y AO = DC, indica la
relación correcta entre q y d.
Determina el valor de x, si m TPB = 50° y
PT // AM.
Calcula la longitud del segmento MN. Si se sabe
que AL = 3 u; O1 y O2 son centros.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
5A
10C
6B
11D
10 cmA
16 cmC
14 cmB
12 cmD
20°A
70°C
30°B
40°D
1A
3C
2B
4D
2°A
4°C
5°B
3°D
1 uA
1,5 uC
2,5 uB
2 uD
A
Q
P
n2 +
3
2n2 – 33
A DE
B
C
80°
x
B
M
TP
A
O
r
A C
B
R
2 cm
P
Q
A CO
B
D
q d
B
M
L
N
A
O2O1x
128
Halla el valor de BD, si mAE = 120°. En la figura, la m AQD + m BPC = 136°.
Calcula la medida del arco AD.
Determina el valor de q, si mPQR = 260°. En la figura, O es el centro. Halla el valor de x.
Encuentra el valor de x, si mAB + mCD = 160°. En la figura, T es punto de tangencia. Si la
m ATP = 35°, determina el valor de x.
7 10
8 11
9 12
30°A
40°C
15°B
20°D
100°A
130°C
120°B
140°D
30°A
15°C
45°B
60°D
100°A
120°C
136°B
130°D
200°A
120°C
160°B
100°D
10°A
20°C
15°B
30°D
C50°
A
E
B
D
R
Q
q
P
C
A B
D
x
D C P
B
A
Q
x O
15°
A
B
T
40°
x
P
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos,
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales.
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir,
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos.
Estos son tan importantes que serán respetados como
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores,
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo
Nacional es garantizar una sociedad en la que los
derechos son respetados y los ciudadanos vivan
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor
para el país.
2. Equidad y justicia social
Para poder construir nuestra democracia, es necesario
que cada una de las personas que conformamos esta
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete
a fomentar el espíritu de competitividad en las
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar
la colocación de nuestros productos en los mercados
internacionales.
4. Estado eficiente, transparente y descentralizado
Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus
obligaciones de manera eficiente y transparente para
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo
se compromete a modernizar la administración pública,
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar
el poder y la economía para asegurar que el Estado
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
el
ta
e
di
to
re
s®
2
Secundaria
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento
abstracto en los estudiantes del nivel secundario.
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas,
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes
competencias:
Matemática
Delta
GEOMETRÍA
Resuelve problemas de cantidad
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Resuelve problemas de movimiento, forma y localización