Geometría 1-1

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
1
secundaria
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Geometría
Matemática
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 Geometría
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
Tema
79Geometría 1 - Secundaria
5
Circunferencia
Una de las figuras geométricas más bellas y armónicas es la circunferencia. Basta con 
observar las ondas formadas en aguas tranquilas cuando un objeto ingresa en ellas. Se 
forman circunferencias concéntricas.
Geométricamente, una circunferencia es un conjunto de puntos, todos ellos equidistantes 
de un punto fijo al que se le llama centro. A la distancia entre el centro y los otros puntos 
se le denomina radio.
La manera más simple de trazar una circunferencia es usando un compás.
A partir de ello podemos mencionar otros elementos asociados, como son:
Centro: O
Radio: OA
Diámetro: BC
Arco: AB
Cuerda: PQ
Recta tangente: l1
Recta secante: l2
Recta pasante o exterior: l3
Obse rva ción
p: Número irracional 
con valor aproximado 
de 3,1415...
¿Sa bía s qu e.. .?
El término 
circunferencia 
proviene del latín 
circunferentia a 
partir de «circum»: 
alrededor. «ferens»: 
conducir o llevar.
Circunferencia
Círculo
P Q
C
Ocentro
A
B
ta
ng
en
te
se
ca
nte
diá
me
troradio
arco
cuerda
l2 l1
l3
Título del tema
Para una mejor 
organización, los temas 
están numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollo 
del tema
85Geometría 1 - Secundaria
1 En la figura, calcula el valor de x.
Resolución: 
Se nota en la figura que AB es el diámetro de la circunferencia, y que PQ es una 
cuerda perpendicular al diámetro, por lo tanto se cumple que PS = SQ.
Entonces: x2 = 36 u2
 x = 6 u
A B
P
Q
36 u
S
x2 u 
Obse rva
Ángulo inscrito
a°
2a°
Rpta. 6 u
Rpta. 27°
Rpta. 13 u
2 ¿Cuál es el valor de x, en la figura? (O es el centro de la circunferencia y T es punto 
de tangencia)
Resolución: 
Como O es el centro de la circunferencia, entonces OT es radio; como recordaremos 
es perpendicular (forma 90º) con la tangente en el punto de tangencia T. Por lo tanto, 
OTS es un triángulo rectángulo.
Y por el teorema del ángulo exterior:
x + 90° = 117°
 x = 27°
3 Encuentra el valor de x en la siguiente figura, si T y M son puntos de tangencia.
Resolución:
Por teorema se sabe que las tangentes a una misma circunferencia son congruentes, 
por lo tanto miden igual. Entonces:
x – 2 = 11
 x = 13 u
T
M
11
x – 2
117°
O
T
S
x
117°
O
x
T
S
a = b
a
b
a = b
Ejercicios resueltos
Nombre de la 
sección
Algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
3MateMática Delta 1 - GeoMetría
Síntesis
Contenido del tema, 
que incluye teoremas, 
postulados, fórmulas, 
propiedades, leyes, etc., 
resumido en organizadores 
gráficos para tener un 
panorama general del 
contenido.
Modela y resuelve
Los problemas con 
numeración impar serán 
resueltos por el docente, 
mientras que los pares serán 
resueltos por el estudiante 
siguiendo la secuencia 
realizada por el educador.
50
1
21
Síntesis
Modela y resuelve 
Teoremas
Observación: Propiedad de «la envolvente»
•	 Ángulos	correspondientes: 
 (miden igual)
 (a, e);(b, f); (d, h); (c, g)
•	 Ángulos	alternos: 
 (miden igual)
 Internos : (b, h); (c, e)
 Externos: (a, g); (d; f)
•	 Conjugados 
 (son suplementarios)
 Internos : (b, e); (c, h)
 Externos: (a, f ); (d, g)
x = a° + b° a° + b° + c° = 360° x + y + z = a + b + c
Ángulos	formados	por	dos	rectas	paralelas	y	una	secante
a
e
d
h
c
g
b
f
a°
b°
x
a°
c°
b°
a
b
x
y
z
c
x = a° + b° + c°
c°
b°
a°
x
En el rectángulo ABCD, señala verdadero (V) o 
falso (F) lo que a continuación se menciona.
BC es paralelo a AD. ( )
AB es paralela a CD. ( )
AB es secante con BC. ( )
CD es paralela a BC. ( )
B C
A D
En la siguiente figura, señala verdadero (V) o falso 
(F) lo que a continuación se menciona.
L3 es paralela a L4. ( )
L2 es paralela a L1. ( )
L2 es perpendicular a L3. ( )
L1 es perpendicular a L4. ( )
L3
L2L1
L4
Nombre de la 
sección
Nombre de la 
sección
Espacio para resolver 
el problema.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de la 
situación planteada.
19Geometría 1 - Secundaria
 ¿Cuál es la distancia de los edificios al colegio, si 
AB = 2BC y del árbol al colegio hay 600 m?
1
2
3
4
5
6
Practica y demuestra
Nivel I
A 1 km B 2 km C 1,8 km
D 3 km E 2,5 km
A B C
A 10 m B 12 m C 16 m
D 18 m E 20 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si 
AB = 6 m, BC = 8 m, CD = 10 m, M es punto 
medio de AB y N es punto medio de CD, 
calcula MN.
A 37 m B 40 m C 35 m
D 36 m E 39 m
 Se tienen los puntos consecutivos colineales A, B, 
C y D, tal que AC = 45 m y BD = 52 m. Determina 
BC, si AD = 60 m.
COLEGIO
 Se tienen los puntos consecutivos R, S, T y 
U. Encuentra RU, si RT = 32 m, SU = 46 m y 
ST = 12 m.
A 36 m B 64 m C 66 m
D 63 m E 86 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C 
y D. Halla AD, si AC = 29 m, BD = 45 m y 
BC = 10 m.
A 63 m B 54 m C 65 m
D 60 m E 64 m
A 9 m B 8 m C 7 m
D 10 m E 11,5 m
 P, Q, R y S son puntos consecutivos de una 
recta, tal que PR = 16 m, QS = 18 m y PS = 25 m. 
Calcula QR.
Preguntas 
planteadas, 
estas 
pueden ser 
situaciones 
reales o 
simuladas.
Espacio 
para realizar 
anotaciones de 
resolución.
Alternativas
Nombre de la sección
Test
Esta evaluación incluye 
preguntas del contenido de 
los temas desarrollados en 
la unidad y son de elección 
múltiple.
Practica y 
demuestra
En esta sección se 
plantean preguntas que 
han sido organizadas por 
niveles de complejidad 
y de elección múltiple 
en la que el estudiante 
demostrará lo aprendido 
durante la sesión.
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas de 
acuerdo a la unidad.
Número de test
Alternativas
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
77Geometría 1 - Secundaria
Si L1 // L2 y L3 // L2, calcula el valor de a. Encuentra el valor de 4φ – a, L1 // L2.
Determina el valor de b – 18°, si se sabe que L2 
y L3 son paralelas.
Si L1 // L2, indica el valor de la sexta parte de x.
Halla el valor de b – a, si L1 // L2. Descubre el complemento de x, si L1 // L2.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponde a la respuesta.
20°A
80°C
60°B
100°D
0°A
25°C
5°B
100°D
20°A
58°C
40°B
74°D
72°A
10°C
60°B
6°D
10°A
30°C
20°B
70°D
20°A
70°C
40°B
110°D
L1L3
L2
107° b + 15°
L1
120°
a + 20°
L3
L2
L1 140°
120°
80°
2b
4a
L2
140°
30° 50° 40°2a4a
8φ
L1
L2
5x
x
20°
x
L1
L2
4
5MateMática Delta 1 - GeoMetría
1
3
2
4
R
es
ue
lv
e 
pr
ob
le
m
as
 d
e 
fo
rm
a,
 m
ov
im
ie
nt
o 
y 
lo
ca
liz
ac
ió
n
Modela objetos 
con formas 
geométricas y sus 
transformaciones.
segmentos 8
Espacio, punto, recta, plano
Línea recta
segmento
ángulos 24
Definición
Bisectriz
Clasificación de ángulos
ángulos formados por dos rectas paralelas
y una secante 43
Rectas paralelas y rectas secantes
Relaciones angulares
Construcción de rectas paralelas
triángulos 60
Definición
Elementos
Clasificación de triángulos
Construcción de triángulos
Teoremas
circunferencia 79
Definición y elementos asociados
Construcción de polígonos regulares
Teoremas básicos de circunferencia
Teoremas referidos a arcos
Teorema de Poncelet y teorema de Pitot
polígonos 103
Definición
Elementos de un polígono
Elementos asociados
Clasificación de polígonos
Postulado y teoremas
unidad competencia y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Comunica su 
comprensión 
sobre las formas 
y relaciones 
geométricas.
Usa estrategias 
y procedimientos 
para orientarse 
en el espacio.
Argumenta 
afirmaciones 
sobre relaciones 
geométricas.
Índice
6
La historia cuenta que un sacerdote egipcio le 
pregunta sonriendo a Tales, cuál puede ser la altura 
de la pirámide del rey Khufu (la pirámide de Keops). 
Este reflexiona y a continuación le contesta que no se 
conforma con calcularla a ojo, sino que la mediría sin 
ayuda de instrumentos. Se echa sobre la arena y 
determina la longitud de su propio cuerpo.
Los sacerdotes le preguntan qué es lo que está 
pensando, y Tales les explica: «Me pondré simplemente 
en un extremo de esta línea, que mide la longitud de mi 
cuerpo, y esperaré hasta que mi sombra sea igual de larga. En 
ese instante, la sombra de la pirámide de vuestro Khufu también ha de 
medir tantos pasos como la altura de la pirámide».
El sacerdote, desorientado por la extrema sencillez de la solución, se pregunta si acaso no 
hay algún error, algún sofisma, y Tales añade: «Pero si queréis que os mida esa altura, a cualquier 
hora, clavaré en la arena mi bastón».
El método que utilizó Tales de Mileto para calcular la altura 
de la pirámide de Keops es lo que conocemos como 
Teorema de Tales (parece obvio por qué se llama así).
El siguiente esquema nos permite ver el problema 
en cuestión y cómo calculó Tales la altura 
de la pirámide clavando su bastón en la 
arena.
Thales
y la pirámide
Keopsde
Fuente:
matematicascercanas.com
Desempeños
• Establece relaciones entre las características y los atributos medibles de objetos reales o imaginarios y 
las asocia y representa con formas bidimensionales compuestas. Establece relaciones de semejanza 
entre figuras planas y las propiedades de área y perímetro.
• Expresa con dibujos, construcciones con regla y compás y con lenguaje geométrico, su comprensión 
sobre las propiedades de las rectas paralelas, perpendiculares y secantes, y de los cuadriláteros, 
triángulos y círculos.
• Lee textos o gráficos que describen características, elementos o propiedades de las formas geométricas 
bidimensionales, así como sus transformaciones, para extraer información.
• Selecciona y emplea estrategias heurísticas, recursos y procedimientos para determinar la longitud, el 
perímetro, el área de figuras planas empleando unidades convencionales.
• Plantea afirmaciones sobre las relaciones y propiedades que descubre en las formas geométricas, 
las justifica con ejemplos y sus conocimientos geométricos. Reconoce errores en la justificación y las 
corrige.
7
La sombra es la región donde no dan los rayos del sol. Se supone que los rayos que inciden en la 
pirámide y en el bastón son paralelos (consecuencia de la gran distancia que separa al Sol de 
la Tierra), y el bastón está clavado perpendicularmente al suelo.
Supongamos ahora, que a una hora determinada del día, la sombra de la pirámide medía 
280 m, la sombra del bastón medía 2,87 m y dicho bastón era de 1,5 m. Según lo que hemos 
visto antes, tendríamos que:
Que es el valor aproximado que tenía la pirámide de Keops en la antigüedad (actualmente 
tiene 136,86 m).
El método que utilizó Tales de Mileto, el Teorema de Tales, tiene una enorme utilidad puesto que, 
entre otras muchas cosas, lo podemos emplear para averiguar la altura de cualquier objeto que 
sea grande sin necesidad de medirlo directamente.
De donde obtenemos:
De esta forma, los ángulos de los 
dos triángulos que observamos 
en la figura son iguales entre sí y, 
por tanto, dichos triángulos son 
semejantes.
En dos triángulos semejantes, se cumple que sus ladoshomólogos son proporcionales.
En nuestro caso, se cumple que: Sombra de la pirámide
Sombra del bastón
Altura de la pirámide
Altura del bastón
=
280 m
2,87 m
Altura de la pirámide
1,5 m
=
280 m · 1,5 m
2,87 m
Altura de la pirámide 146,34 m==
Sombra de la pirámide Sombra del bastón
MateMática DELTA 1 - GeoMetría
8
Tema
Segmentos
1
Hay conceptos geométricos que no pueden definirse. Son ideas formadas en nuestra 
mente a través de la observación del entorno, y solo podemos hacer representaciones 
concretas de ellas.
Estos términos primitivos o conceptos primarios son: espacio, punto, recta y plano.
Espacio
Es el conjunto universo de la Geometría. En él se encuentran todos los demás elementos. 
Dentro de él determinamos todas las formas que te puedes imaginar como los puntos, las 
rectas; sólidos como los conos, los cilindros, etc.
Punto
El punto tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que 
deja un alfiler en una hoja de papel o un granito de arena, pero debe tener en cuenta que 
no tiene grosor.
En el espacio hay infinitos puntos. Los identificaremos con una letra mayúscula para 
reconocerlos.
A
punto A
Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas, rectas, mixtas 
o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas direcciones; rectas, si 
llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas; y poligonales, si están formadas 
solamente por trozos de rectas.
Recta
E F G
CurvaP
Q
R
Poligonal
R
S
T
Mixta
N P
OM
Las calles y 
avenidas nos dan la 
noción de rectas y 
segmentos de recta.
Puedes asociar la 
idea de:
Punto: Un lugar en 
particular.
Recta: Las calles.
Curvas: El cauce de 
un río.
Import a nt e
9MateMática Delta 1 - GeoMetría
Línea recta
Para unir dos puntos, podemos utilizar 
diferentes tipos de líneas. De todas ellas, 
la más corta será la línea recta. Una recta 
está formada por infinitos puntos y no 
tiene principio ni fin y todos ellos tienen la 
misma dirección.
 
¿A qué denominamos rayo y semirrecta?
Cuando en una recta tomas un punto cualquiera, la recta queda dividida en tres 
subconjuntos: dos porciones independientes hacia ambos lados de dicho punto, y el 
punto mismo. Se define como rayo a cualquiera de esas partes, además del punto 
mencionado.
Veámoslo gráficamente:
A B
P 
A
P
B
P
Tanto PA
ur
 como PB
ur
son rayos. 
La idea de la semirrecta es simple: en un rayo no consideres al primer punto.
A B
Recta
La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que deja un lápiz 
en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y en ella hay infinitos puntos.
La identificaremos con el dibujo:
Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su símbolo.
Por ejemplo: AB
sr
, se lee: recta AB.
Plano
Lo más parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero con la diferencia 
que es ilimitado y no tiene grosor.
El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen una misma 
dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas en ella.
Las paredes de nuestra casa, el pavimento de las calles, la superficie de una laguna 
tranquila, son representaciones de planos.
Es importante saber que en un plano podemos encontrar puntos y rectas, y obtener 
figuras geométricas.
AP
Una superficie plana 
nos da la idea o 
noción de un plano.
Import a nt e
Import a nt e
Notación
P Q
Semirrecta PQ
10
Segmento
Es la porción de línea recta comprendida entre dos puntos de dicha recta.
Se lee: segmento AB
A B
¿Cuándo decimos que dos segmentos son congruentes?
Cuando están formados por distintos conjuntos de puntos y tienen la misma medida. Se 
escribe AB CD, donde « » es el símbolo de congruencia.
A B
3 cm
C D
3 cm
Punto medio de un segmento
«M» es punto medio de AB, M divide en dos segmentos congruentes, es decir, AM ≅ MB.
A B
2 cm 2 cm
M
Con las medidas de los segmentos se pueden hacer operaciones aritméticas como la 
adición o sustracción.
Adición
A CB
m n
Si te das cuenta la longitud de AB es m y la longitud de BC es n.
Por lo tanto, podríamos decir: AB + BC = AC, o lo que es lo mismo: m + n = AC
Sustracción
A CB
m
n
En este caso podríamos decir que AB = AC – BC, o lo que es lo mismo: m – n = AB
AB y CD a pesar 
de tener la misma 
forma y medida no 
son iguales, ya que 
están formados 
por diferentes 
conjuntos de 
puntos. Por ello, se 
dice «congruentes», 
y es incorrecto decir 
que «son iguales».
AM = 2 cm 
Se lee: la medida de 
AM (segmento AM) 
es 2 cm.
Import a nt e
11MateMática Delta 1 - GeoMetría
1 En una recta se ubican los puntos consecutivos A, B, C y D de manera que 
AC = 12 u, BD = 15 u y AD = 19 u. Calcula el valor de BC.
Resolución:
Primero, grafiquemos la situación siguiendo el orden de los puntos dados:
A CB
15
D
12
19
Ahora, viendo el gráfico se nota lo siguiente: CD = AD – AC
En otras palabras CD = 19 – 12 ⇒ CD = 7 u
Además: BC = BD – CD BC = 15 – 7
 BC = 8 u
2 Se tiene los puntos consecutivos A, B, C y D de tal manera que B es punto medio de 
AD, AB = 3(CD) y AD = 24 cm. Determina la medida de CD.
 Resolución:
 Debemos empezar graficando adecuadamente:
B C D
3x x
A
 Sea CD = x ; entonces AB = 3x
 Como B es punto medio, entonces BC = 2x
 Finalmente: AB + BC + CD = 24 ⇒ 3x + 2x + x = 24 ∴ CD = x = 4 cm
3 Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, C, D y E tal que D es punto medio 
de CE y AC + AE = 50 u. Halla la medida de AD.
 Resolución:
 Grafiquemos:
B C D
a
A E
a
Además: AE = AC + CE ⇒ AE = AC + 2a
Dato: AC + AE = 50
 AC + AC + 2a = 50 ⇒ AC + a = 25
Piden: AD = AC + CD ⇒ AD = AC + a
 AD = 25 u
4 Se tienen tres segmentos y sus respectivas medidas. 
 MN = 8 m, RS = 9 m y TU = 13 m.
 Calcula: 2MN + 4RS2TU
 Resolución:
 Reemplazamos: 
2(8 m) + 4(9 m)
2(13 m) = 
16 m + 36 m
26 m
 = 
52 m
26 m
 = 2
Si m AB = m BC
Entonces:
B: punto medio
A CB
Import a nt e
Si AB = 3CD
Se interpreta que la 
longitud de AB es el 
triple que la de CD.
Rpta. 8 u
Rpta. 4 cm
Rpta. 25 u
Rpta. 2
Import a nt e
Los puntos 
colineales 
pertenecen a una 
misma recta.
Recu e rda
Ejercicios resueltos
12
5 En una recta se ubican los puntos consecutivos P, M, Q, R, N y S, donde M y N son 
puntos medios de PQ y RS, respectivamente. Si se sabe que QR = 7 m y MN = 15 m, 
calcula el valor de PM + NS.
Resolución:
Graficamos la recta y colocamos los datos indicados según su orden de aparición:
P QM
a a 7 m b b
R N S
15 m
Además: MN = MQ + QR + RN
 15 m = a + 7 m + b
 15 m – 7 m = a + b
 8 m = a + b
Piden: PM + NS = a + b
 PM + NS = 8 m
6 En una recta se tienen los puntos consecutivos M, N, O, P y Q.
Si 4MQ = 9NP y MO + NP + OQ = 65 m, descubre el valor de MQ – NP.
 Resolución:
 Dibujamos una recta y ubicamos los puntos y datos en ella.
M PN O
a b c d
Q
9k
4k
 Se sabe que: 4MQ = 9NP
 MQ
NP
9
4=
 MQ = a + b + c + d = 9k ; NP = b + c = 4k
Además: MO + NP + OQ = 65 m
 (a + b) + (b + c) + (c + d) = 65 m
 (a + b + c + d) + (b + c) = 65 m
 9k + 4k = 65 m
 13k = 65 m
 k = 5 m
Piden: MQ – NP = 9k – 4k
 MQ – NP = 5k
 MQ – NP = 5(5 m)
 MQ – NP = 25 m
Rpta. 8 m
Rpta. 25 m
13MateMática Delta 1 - GeoMetría
7 En una recta se tienen los puntos consecutivos T, O, U, R y S. Determina TO, si se 
sabe que TU + OR + US = 36 m, TS = 24m y RS = 2TO.
Resolución:
Graficamos la recta e indicamos los datos en el problema.
T UO
x a b 2x
R S
24 m
Se sabe que: TO = x
 TS = 24 m
 x + a + b + 2x = 24 m
 3x + a + b = 24 m
Además: TU + OR + US = 36 m
 (x + a) + (a + b) + (b + 2x) = 36 m
 (3x + a + b) + a + b = 36 m
 a + b = 12 m
Piden: TO = x
 TS = 24 m
 3x + (a + b) = 24 m
 3x + 12 m = 24 m
 3x = 12 m
 x = 4 m
8 Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos E, A, S e Y. Determina el valor de 
EA sabiendo que A es punto medio de ES, EY = 70 m y ES
4
 = AY
3
.
 Resolución:
 Escribimos en una recta los valores indicados en el ejercicio.
E SA
70 m
Y
8k
6k
4k 4k 2k
 Se sabe que:
 • EY = 70 m
 • EA = AS
 • ES
4
 = AY
3
 ⇒ ES
AY
 = 4 × 2
3 × 2
 ⇒ ES = 8k ; AY = 6k
Si: EA + AS + SY = EY
 4k + 4k + 2k = 70 m
 10k = 70 m
 k = 7 m
Piden: EA = 4k
 EA = 4 × 7 m
 EA = 28 m
Rpta. 4 m
Rpta. 28 m
14
1
32
1 De acuerdo a la figura, completa la tabla:
Del gráfico, calcula el valor de AC – CD.Del gráfico, calcula AB – CD.
Síntesis
Modela y resuelve 
Definición
Si AM = MB 
⇒ «M» es punto medio de AB
A BM
A B
L
a
Porciones 
notables de recta
Recta
Rayo
Semirrecta
Segmento
Recta AB
(Correcto)
Recta L
(Correcto)
Recta a 
(Incorrecto)
Se usan letras 
mayúsculas
Notación
Segmentos
A B C D
Resolución:
P Q R
Resolución:
A B C2 u D
Rpta. Rpta. 
PR QR PQ
6 u 3 u
8 u
5 u
11 u
2,5 u
6,5 u
3a
7x
5b
12 u
14 u
2a
5x
14 u
16 u
13,5 u
16b
15MateMática Delta 1 - GeoMetría
4
8
5
9
Se tienen los puntos A, B, C y D en una recta tal 
que AB = 7 m, CD = 9 m y AD = 21 m. Halla BC.
Resolución:
Resolución:
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D, tales que AC = 14 m, BD = 18 m y 
CD = 3AB. Encuentra la longitud de AB.
Resolución:
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Encuentra AB sabiendo que AC = 16 m, 
BD = 24 m y CD = 2AB.
Resolución:
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C y D. Si AC = 80 m, BD = 60 m y AD = 100 m. 
Halla CD + AB.
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
6 7Se han tomado los siguientes puntos consecutivos: 
A, B, C. Determina la medida de AB, si AC = 20 m 
y BC = 18 m.
Se tienen los puntos consecutivos y colineales P, 
Q, R y S. Si R es punto medio de QS; PR = 10 m 
y QR = 3 m, determina PS.
Resolución: Resolución:
16
10
12
14
11
13
15 En una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C, D y E tal que F es punto medio de AB y 
G es punto medio de DE. Si AB = BC, CD = DE y 
AB + DE = 12 cm, determina la medida de FG.
Sobre una recta se toman los puntos consecutivos y 
colineales A, M, B, C, N y D, de modo que los puntos 
medios de AB y CD son M y N, respectivamente. 
Determina MN, si AC = 24 cm y BD = 32 cm.
Resolución:Resolución:
Resolución: Resolución:
Se tiene los puntos colineales y consecutivos A, B, 
C y D. Si AC = 18 m, BD = 12 m y AD = 20 m, halla 
la distancia entre los puntos medios de AC y BD.
Se tiene los puntos colineales y consecutivos P, 
Q, R y S. Si PS = 12 cm, PQ = 4 cm, RS = 5 cm, 
halla 4PR + 2PQ – QS.
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Se tiene los puntos colineales y consecutivos J, K, 
L y M. Si JK = 16 m, JL = 20 m, LM = 7 m, calcula 
JM + (KL)2 – 2KM. (Solo el valor numérico)
Resolución:
Rpta. 
Se tiene los segmentos consecutivos y colineales 
A, B, C y D. Calcula AB2 – BD, si AD = 8 m, 
CD = 3 m, BC = 2 m. (Solo el valor numérico)
Resolución:
Rpta. 
17MateMática Delta 1 - GeoMetría
16
18
20
17
19
21
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Si AB = 8 cm, BC = 16 cm, M es punto medio de 
AC y N es punto medio de AB, encuentra MN.
Si AB = 72 cm; C es punto medio de AB y D es 
punto medio de BC, encuentra AD.
Si AC = 18 cm, M es punto medio de AB y N es 
punto medio de BC, calcula MN.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C y D, tal que BC = 6 cm y AD = 18 cm. M es 
punto medio de AB y N es punto medio de CD. 
Calcula MN.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos 
A, B, C y D, tal que AB = 3BC = 4CD = 24 cm, P 
es punto medio de AB y Q es punto medio de CD. 
Halla PQ.
Se tienen los puntos colineales y consecutivos 
A, B, C y D, tal que = =AB2
BC
3
CD
4
.
Si M es punto medio de AD, halla MC
MD
.
A C D B
A N MB C
A M NB C
18
22
24
26
23
25
27
Determina el valor de AT, sabiendo que T es punto 
medio de PO, PA = 34 m y AO = 42 m.
Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Determina el valor de OM, si se sabe que MA = 18 cm, 
O es punto medio de TA y TM = 46 cm.
Se ubican en una recta los puntos consecutivos A, B, 
C y D. Encuentra el valor de BC, si BD = AC = 12 cm 
y AD = 20 cm.
Calcula el valor de EF, si en una recta se ubican 
los puntos consecutivos colineales K, L, M y N, 
teniendo a los puntos E y F como puntos medios 
de KL y MN, respectivamente. Además, KM = 27 m 
y LN = 35 m. 
Se ubican en una recta los puntos consecutivos P, 
Q, R y S. Encuentra el valor de PS, si se sabe que 
PR = QS = 30 m y QR = 12 m.
Sobre una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C y D, y los puntos M y N son puntos medios 
de AB y CD, respectivamente. También se sabe 
que AC = 44 m y BD = 66 m. Calcula el valor 
de MN.
Resolución:
Resolución:
Resolución: Resolución:
Resolución:
Rpta. 
T O M A OTAP
19MateMática Delta 1 - GeoMetría
 ¿Cuál es la distancia de los edificios al colegio, si 
AB = 2BC y del árbol al colegio hay 600 m?
1
2
3
4
5
6
Practica y demuestra
Nivel I
A 1 km B 2 km C 1,8 km
D 3 km E 2,5 km
A B C
A 10 m B 12 m C 16 m
D 18 m E 20 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D. Si 
AB = 6 m, BC = 8 m, CD = 10 m, M es punto 
medio de AB y N es punto medio de CD, 
calcula MN.
A 37 m B 40 m C 35 m
D 36 m E 39 m
 Se tienen los puntos consecutivos colineales A, B, 
C y D, tal que AC = 45 m y BD = 52 m. Determina 
BC, si AD = 60 m.
COLEGiO
 Se tienen los puntos consecutivos R, S, T y 
U. Encuentra RU, si RT = 32 m, SU = 46 m y 
ST = 12 m.
A 36 m B 64 m C 66 m
D 63 m E 86 m
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C 
y D. Halla AD, si AC = 29 m, BD = 45 m y 
BC = 10 m.
A 63 m B 54 m C 65 m
D 60 m E 64 m
A 9 m B 8 m C 7 m
D 10 m E 11,5 m
 P, Q, R y S son puntos consecutivos de una 
recta, tal que PR = 16 m, QS = 18 m y PS = 25 m. 
Calcula QR.
20
A 6 m B 7 m C 8 m
D 9 m E 10 m
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B y C, donde M es punto medio de BC y AM = 9 m, 
MC = 2 m. Determina AB.
A 2 cm B 3 cm C 1 cm
D 4 cm E 5 cm
 Se tienen los puntos consecutivos A, B, C y D de 
tal manera que B es punto medio de AD, AB = 3CD 
y AD = 24 cm. Encuentra la medida de CD.
A 25 u B 50 u C 30 u
D 12,5 u E 20 u
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C, D y E tal que D es punto medio de CE y 
AC + AE = 50 u. Halla AD.
7
8
9
 Se tienen los puntos consecutivos A, M, B y C. 
 M es punto medio de AC. Calcula MC si 
 AB + BC = 32 u.
A 8 u B 32 u C 18 u
D 16 u E 2 u
A 30 m B 50 m C 20 m
D 60 m E 40 m
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B, C y D. Si AC = 80 m, BD = 60 m, AD = 100 m. 
Determina CD + AB.
 Se tienen los puntos consecutivosy colineales P, 
Q, R y S. R es punto medio de QS. Si PR = 10 m 
y QR = 3 m. Encuentra PS.
A 12 m B 13 m C 15 m
D 11 m E 14 m
10
11
12
21MateMática Delta 1 - GeoMetría
Nivel II
A 0,5 B 1 C 2
D 1,5 E 3
 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Si AC = 2, C es punto medio de AD y 
BD = 3, halla CD – AB.
 Se tienen los puntos colineales y consecutivos A, 
B y C, donde M es punto medio de BC y AM = 9 m, 
MC = 2 m. Calcula (AB)2.
A 25 m2 B 16 m2 C 49 m2
D 64 m2 E 121 m2
 Sean M, A, O y B puntos colineales y consecutivos 
sobre una recta, siendo O el punto medio de 
AB; MA = 2 u y AB = 6 u. Determina (MO)2.
A 25 u2 B 16 u2 C 9 u2
D 36 u2 E 4 u2
13
14
15
 Se tienen los puntos A, B, C y D sobre una recta. 
Tal que AC = 18 u; BD = 20 u; AD = 30 u. Encuentra 
la longitud de BC.
 Se tienen los puntos colineales A, B, C, D; además, 
AB + AD = 16. Halla AC, si se sabe que C es punto 
medio de BD.
A 10 u B 12 u C 8 u
D 11 u E 13 u
A 8 B 9 C 10
D 7 E 6
 Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C; 
además, AB – BC = 8 cm. Calcula MB, si M es 
punto medio de AC.
A 3 cm B 4 cm C 5 cm
D 6 cm E 2 cm
17
16
18
22
A 17 u B 18 u C 19 u
D 20 u E 21 u
A 14 u B 13 u C 12 u
D 15 u E 16 u
A 8 m B 9 m C 10 m
D 11 m E 12 m
 Sean A, B, C y D puntos consecutivos de una 
recta. Si AC + BD = 16 m y BC = 4 m. El valor de 
AD es:
 Sean A, B, C y D los puntos de una recta. AD = 30 u;
 BC = 10 u. Determina MN; además, M y N son 
puntos medios de AB y CD, respectivamente. 
 Se tienen los puntos colineales A, B, C y D, 
siendo M punto medio de AB y N punto medio de 
 CD; AC = 10 u y MN = 12 u. Encuentra BD. 
19
20
21
A 4 cm B 8 cm C 5 cm
D 6 cm E 10,5 cm
A 6 u B 7 u C 8 u
D 9 u E 5 u
 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Halla BC sabiendo que AD = 18 cm y 
MN = 13 cm, siendo M y N puntos medios de AB y 
CD, respectivamente.
 Sean los puntos A, B, C, D colineales y 
consecutivos, tal que C es punto medio de AD; 
BD – AB = 12 u. Calcula BC.
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 4 cm E 5 cm
 Se tienen los puntos colineales A, N, i, S. 
Determina Ni, si AN = 4 cm, NS = 10 cm. Además, 
I es punto medio de AS. 
22
23
24
23MateMática Delta 1 - GeoMetría
A 26 m B 16 m C 28 m
D 20 m E 24 m
 Sobre una recta se toman los puntos consecutivos y 
colineales A, M, B, C, N, D; de modo que los puntos 
medios de AB y CD son M y N, respectivamente. 
Encuentra MN, si AC = 24 m y BD = 32 m. 
A 10 u B 15 u C 20 u
D 25 u E 30 u
A 6 u B 9 u C 10 u
D 8 u E 12 u
 En una recta se ubican los puntos consecutivos 
A, B, C y D. Halla AC, si AB
2
 = BC
3
 = CD
5
 y 
AD = 40 u.
 Sobre una recta se toma los puntos O, A, C 
y B, consecutivamente; si OA = 6 u, OB = 15 u y 
2AC = CB, calcula OC.
Nivel III
25
26
27
A 4 cm B 8 cm C 12 cm
D 16 cm E Imposible
A AC + BD3 B 
AC ‒ BD
3
 C AC + BD 
D AC + BD
2
 E AC ‒ BD
2
 Sobre una recta se toma los puntos consecutivos 
A, B y C de tal forma que BC – AB = 16 cm. 
Determina la distancia de B al punto medio de AC.
 Sobre una recta se ubican los puntos A, B, C y D. 
Si E y F son puntos medios de AB y CD, encuentra 
la medida de EF.
A Solo i 
B Solo ii 
C Solo iii
D I y II 
E Solo i y ii
 En una línea recta se ubican los puntos A, B, C y D, 
no necesariamente en ese orden. Cumpliéndose 
lo siguiente:
A B
3 = 
A C
2 = 
A D
4
Luego, se puede afirmar que:
i. B es punto medio de AC.
ii. C es punto medio de BD. 
iii. C es punto medio de AD. 
28
29
30
24
Tema 2
¿Cómo se utiliza el transportador?
El uso del transportador es sumamente 
sencillo, y lo que debes hacer es ubicar en 
la marca central que tiene tu transportador 
un punto el cual será el vértice del ángulo; 
en la figura es el punto A. El lado inicial 
debe empezar en el rayo que apunta 
al 0°, en nuestra figura es el punto C. Y 
finalmente, un punto en el lado final, que 
en nuestro gráfico apunta a 40° y al que le 
pusimos el punto B.
Definición
Figura formada por dos rayos que parten del mismo punto inicial. A los dos rayos se les 
denomina lados del ángulo y al punto inicial se le llama vértice del ángulo. El símbolo del 
ángulo es .
Normalmente usamos el sistema sexagesimal para expresar la medida del ángulo; 
sin embargo, en Trigonometría, aprenderás que existen otros sistemas de medidas 
angulares.
Para medir un ángulo se usa un instrumento de medición que ya conoces y es el 
transportador.
90
90
80
10070
11060
120
50
13
0
40
14
0
30
15
0
20
16
0
10 17
0
0 18
0 1800
17010
16020
15030
14040
13050
120
60
110
70
100
80
a°: medida del ángulo
Equivalencias
1° <> 60ʹ
1ʹ <> 60ʹʹ
1° <> 3600ʹʹ
a°
vértice
Ángulos
Import a nt e
a = 40°
B
A C
medida del 
ángulo
a
20°
240 kg
25MateMática Delta 1 - GeoMetría
Si ponemos la escuadra o el cartabón en el vértice de manera que los lados que forman 
el ángulo de la escuadra coincidan exactamente con los lados de la figura.
Observa los siguientes ángulos, ambos son mayores a un ángulo recto:
El siguiente es un ángulo igual a un ángulo recto:
Y estos últimos son ángulos menores a un ángulo recto:
30°
90°
90°
60°
45°
45°
Escuadra Cartabón
Si:
• a < 90°
⇒ el ángulo es agudo
• a = 90°
⇒ el ángulo es recto
• a > 90°
⇒ el ángulo es obtuso
Recu e rda
La medida de los 
ángulos es siempre 
expresada por un 
número real positivo.
Import a nt e
De acuerdo a sus medidas, podemos decir que los ángulos pueden ser:
  Agudos: Si sus medidas son mayores a 0° pero menores a 90°.
  Rectos: Si su medida es 90°.
  Obtusos: Si sus medidas son mayores a 90° pero menores a 180°.
Vamos a aprender a reconocer las medidas angulares en algunas situaciones cotidianas. 
Para ello, podemos utilizar otro instrumento de medición como es el juego de escuadras 
en el que suelen venir tres reglas: una escuadra propiamente dicha, un cartabón y una 
regla milimetrada. Para que entiendas cuál es la diferencia de la escuadra y el cartabón 
mira esta imagen:
26
Bisectriz de un ángulo
Una bisectriz es un rayo que al ser trazado en la región interior de un ángulo, determina 
dos ángulos que son congruentes. Veámoslo gráficamente.
Para el ángulo ABC, BD es su bisectriz.
Clasificación de ángulos
ángulos complementarios
Son aquel par de ángulos, cuya suma de sus medidas es 90°.
ángulos suplementarios 
Son aquel par de ángulos, cuya suma de sus medidas es 180°.
¿Se pueden hacer operaciones con las medidas de los ángulos?
Claro que sí. Al igual que hicimos con los segmentos podemos hacer operaciones 
aritméticas con las medidas angulares. Veamos cómo en los ejercicios resueltos.
A
C
D
B
a
a
1
2
1
2
1 + 2 = 90°
3
44
3
4 + 3 = 180°
La congruencia 
implica entre otras 
cosas medidas 
iguales.
Import a nt e
¿Sa bía s qu e.. .?
Si
C: complemento
⇒ Ca = 90° – a
No existe el 
complemento de un 
ángulo cuya medida 
sea mayor a 90°.
Si
S: suplemento
⇒ Sb = 180° – b
No existe el 
suplemento del 
ángulo cuya medida 
sea mayor a 180°.
27MateMática Delta 1 - GeoMetría
1 En la figura, calcula el valor de x.
2 Si se sabe que OM es la bisectriz del ángulo BOC, halla m AOM.
Resolución:
Como nos damos cuenta la medida del ángulo AÔD es 90°. Eso lo sabemos por el 
pequeño cuadrado que se puede observar en el vértice.
También vemos que los rayos OB y OC están determinando la aparición de tres 
ángulos. 
Por lo tanto, plantearemos el problema así:
m AOD = m AOB + m BOC + m COD
 90° = x + 40° + x
 50° = 2x
 25° = x
Resolución:
Por definición de bisectriz, los ángulos BOM y MOC son congruentes y sus medidas 
son iguales.
Por lo tanto, m BOM = m MOC = 35°
Están pidiendo la medida del ángulo AOM = m AOB + m BOM
 m AOM = 28° + 35°
 m AOM = 63°
A
C
D
x
x
40°
O
B
CA
B M
O
28
°
35°
Si:
a + b + θ = 90°
¿Se puede decir 
que ellos son 
complementarios?
Respuesta: No. Por 
definición, solo son 
2 ángulos.
Import a nt e
La bisectriz 
determinados 
ángulos cuyas 
medidas son iguales.
Recu e rda
Rpta. 25°
Rpta. 63°
Ejercicios resueltos
28
3 La suma del complemento de un ángulo x con el suplemento de su ángulo doble es 
igual a 3/2 del complemento de un ángulo y. Si x – y = 24°, determina el valor de x.
4 Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC donde m AOC = 102°. Se 
traza la bisectriz OM del ángulo AOB. Encuentra la medida del ángulo BOC, si 
m BOC – m MOB = 36°. 
Resolución:
Empecemos por graficar apropiadamente.
Resolución:
Por partes planteamos apropiadamente las ecuaciones correspondientes:
«... el complemento de un ángulo x». Se representa como Cx = 90° – x
«... el suplemento de su ángulo doble». Se representa como S2x = 180° – 2x
«... 32 del complemento de un ángulo y». Se representa como 
3
2 Cy = 
3
2 (90° – y)
Ahora, planteamos toda la ecuación:
(90° – x) + (180° – 2x) = 32 (90° – y)
Operando llegamos a la siguiente expresión: 90° = 2x – y ........ (I)
Pero tenemos un dato más: 24° = x – y ........ (II)
Resolviendo las ecuaciones tenemos que: x = 66°
A
C
B
M
O b
a
a
102°
Se observa: 2a + b = 102° ........................... (I)
 Dato: b – a = 36° .............................. (II)
La ecuación (ii) se multiplica × 2 y luego se suma a (I)
 2b – 2a = 72°
 2a + b = 102°
 3b = 174° ⇒ b = 58°
 ∴ m BOC = 58°
+
A
D
C
B
O
Complemento de a
C(a) = 90° – a
Suplemento de b
S(b) = 180° – b
Los ángulos AOB, 
BOC y COD son 
consecutivos.
Recu e rda
Rpta. 66°
Rpta. 58°
29MateMática Delta 1 - GeoMetría
5 Calcula el complemento de y.
6 El doble de la medida de un ángulo, es igual al triple de la medida de su complemento. 
Halla la medida de dicho ángulo.
Resolución:
• Al observar el gráfico, notaremos que los ángulos que presentan datos están 
opuestos por el vértice, lo que significa que ambos ángulos tienen medidas 
iguales.
 3y = y + 72°
3y – y = 72°
 2y = 72°
 y = 36°
• Ahora, determinamos el complemento del ángulo y restándole a 90° el valor del 
ángulo ya conocido.
90° – 36° = 54°
Resolución:
• Escribimos las ecuaciones en partes para no equivocarnos en el planteamiento de 
la ecuación final.
	 El doble de la medida de un ángulo → 2a
	 El complemento del ángulo → Ca = 90° – a
	 El triple de la medida del complemento de un ángulo → 3 × (90° – a)
• Ahora, planteamos la ecuación completa de acuerdo al enunciado.
 2a = 3 × (90° – a)
 2a = 270° – 3a
 5a = 270°
 a = 54°
• Como el ángulo solicitado es a, podemos dar la respuesta.
3y y + 72°
Rpta. 54°
Rpta. 54°
30
7 El complemento de b más el suplemento de b es igual a 170°. Determina el valor del 
triple de b aumentado en 10°.
8 Encuentra el suplemento del complemento de la mitad del ángulo x sumado con el 
complemento del suplemento del triple de dicho ángulo.
Resolución:
• Lo primero que podemos observar en el gráfico, es que los datos que se encuentran 
en él están opuestos por el vértice. Por lo tanto, tienen medidas iguales.
 x + 10° = 2x – 40°
50° = x
• Nos piden hallar: suplemento del complemento de la mitad de x, aumentado en el 
complemento del suplemento del triple del mismo ángulo.
 180° – (90° – x
2
) + 90° – (180° – 3x)
 180° – (90° – 25°) + 90° – (180° – 150°)
 115° + 60°
 175°
Resolución:
• Planteamos las ecuaciones de manera independiente para no equivocarnos.
	 El complemento de b → Cb = 90° – b
	 El suplemento de b → Sb = 180° – b
	 El complemento de b más el suplemento de b → Cb + Sb = 90° – b + 180° – b
• Escribimos la ecuación final y hallamos el valor de b.
 90° – 2b + 180° = 170°
 270° – 170° = 2b
 100° = 2b
 50° = b
• Nos piden hallar el triple de b aumentado en 10°.
 3b + 10° = 3(50°) + 10° = 150° + 10° = 160°
x + 10° 2x + 40°
Rpta. 160°
Rpta. 175°
31MateMática Delta 1 - GeoMetría
Los ángulos complementarios son: Los ángulos suplementarios son:
99°
60°
59°
45° 12°
30°
45°
53°
121°
78°
81°
37°
Notación
Clasificación
(a) Por su medida:
 - Ángulo agudo : La medida es menor a 90°.
 - Ángulo recto : Mide 90°.
 - Ángulo obtuso : Mide más de 90°.
(c) Por su suma:
 Si a° + b° = 90° ⇒ a° y b° son complementarios.
 Si θ° + ω° = 180° ⇒ θ° y ω° son suplementarios.
(b) Por su posición:
ConsecutivosAdyacentes Opuestos
Se llama: 
ángulo AOB
a: medida del 
ángulo AOB
OT: bisectriz del 
ángulo AOB
A
B
O a
A
B
T
O aa
ba
ángulos
Síntesis
1 indica qué parejas de ángulos son complementarios y suplementarios entre sí.
Modela y resuelve 
θ
b
a
b
a
32
Completa el cuadro que se muestra a continuación. Completa el cuadro que se muestra a continuación.
Medida del 
ángulo
Complemento
del ángulo
17°
40°
47°
88° 13ʹ 42ʹʹ
66° 50ʹ 45ʹʹ
55° 18ʹ
25° 30ʹ
16° 15ʹ
15°
82°
123°
52° 43ʹ 38ʹʹ
116° 40ʹ 41ʹʹ
125° 26ʹ
140° 50ʹ
160° 25ʹ
Resolución:
Resolución:
5b
4b
5x
x
Medida del 
ángulo
Suplemento
del ángulo
¿Cuál es el valor de x?En la figura, calcula el valor de b.
Rpta. Rpta. 
2
54
3
33MateMática Delta 1 - GeoMetría
Halla el valor de x. Halla el valor de x.
Resolución: Resolución:
A O D
B C7x
8x
A O D
B C7x
8x60°
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Resolución:
2x
3x
A O D
B C
x
¿Cuál es el valor de x?En la figura, encuentra el valor de x.
Resolución:
x
x – y
A O D
B C
x + y
6
8
10
7
9
11
Resolución:
Resolución:
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COD; si m AOD = 164°, m AOC = 80° y 
m BOD = 100°, determina la medida del BOC.
Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y 
COD; siendo m AOC = 47°, m BOD = 51° y 
m AOD = 80°, determina la medida del ángulo 
BOC.
Rpta. Rpta. 
34
Calcula el valor de x, si m AOC = 110° y 
m BOD = 130°.
Si m AOC = 130°; m BOD = 100° y 
m BOC = 70°, calcula la m AOD.
Resolución: Resolución:
O
B
C
D
A
Rpta. Rpta. 
A O D
B C
x
Si al suplemento del complemento de un ángulo 
se le agrega el complemento del suplemento del 
mismo ángulo, resulta 90° más que el suplemento 
de dicho ángulo. Encuentra la medida de tal ángulo.
Si a la medida de uno de dos ángulos suplementarios 
se le disminuye 30°, para agregarle al otro, la 
medida de este último resulta ser 7/2 de lo que 
queda del primer ángulo. Encuentra la diferencia 
de las medidas de los dos ángulos.
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta. 
13
15
17
12
14
16 El suplemento de la medida de un ángulo es 5x 
y el complemento del mismo ángulo es x. ¿Cuánto 
mide dicho ángulo?
En la figura, m AOD = 100º. Halla el valor de x.
O
B
C
D
A
2x 
+ 2
0º
2x + 30º
40º ‒ 3x
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta. 
35MateMática Delta 1 - GeoMetría
Rpta. Rpta. 
Si m AOB = 78°; m BOC = 38° y OM es 
bisectriz del AOC, determina la m MOB.
Resolución:
B C
M
A
O
Si m POR = 86°; m QOR = 34° y ON es bisectriz 
del POQ, determina la m NOR.
Resolución:
R
Q
N
P
O
19
21
18
20 En la figura, m AOD = 90º. Calcula el valor de x.En la figura mostrada:
OX es bisectriz del ángulo AOB.
OY es bisectriz del ángulo BOC.
m AOC = 72º. Calcula la m XOY.
O
Y
X
B
C
A
Resolución:
Resolución:
Rpta. Rpta. 
O
x 
+ 
5º
x +
 15
º
x + 10º D
B
C
A
36
Nivel I
Practica y demuestra
 Escribe verdadero o falso según corresponda.
 i. El ángulo tiene dos lados. ( )
 ii. El ángulo tiene dos bisectrices. ( )
 iii. El ángulo está formado por dos semirrectas. ( )
 iV. Todos los ángulos siempre estaránmedidos 
 en grados sexagesimales. ( )
 V. El ángulo agudo es mayor que 90°. ( )
 indica verdadero o falso según corresponda.
 i. Un grado sexagesimal (1°) representa la 
 360ava parte de una vuelta. ( )
 ii. El minuto sexagesimal tiene 100ʹʹ. ( )
 iii. Las medidas angulares no pueden ser 
 números decimales. ( )
 iV. Un grado (1°) equivale a 60 minutos 
 sexagesimales (60ʹ). ( )
 V. Un minuto (1ʹ) equivale a 60 segundos 
 sexagesimales (60ʹʹ). ( )
 Escribe verdadero o falso según corresponda.
 i. El ángulo agudo es menor que 90°; pero 
 mayor que 0°. ( )
 ii. El ángulo obtuso es mayor que 90°; pero 
 menor que 180°. ( )
 iii. El ángulo recto mide 180°. ( )
 iV. 30°, 40° y 20° son ángulos complementarios 
 entre sí. ( )
 V. Cualquier medida angular tiene 
 complemento. ( )
A VFVFV B VFFVV C VVFFF
D FVFVV E VVFVV
A VFFVV B FVFVF C VVFFV
D FVFVF E FVFFV
A VFFVV B FFVVV C VFFVF
D VFFFF E FFFVV
1
2
3
θ°
θ° =
a° =
a°
A 20° B 10° C 45°
D 80° E 15°
 Mide los siguientes ángulos (usa transportador).
 En tu cuaderno, desde un punto O se trazan los 
rayos OA, OB, OC, OD, OE.
 Si: m AOB = 30°
 m BOC = 70°
 m COD = 15°
 m DOE = 30°
 Calcula los siguientes valores angulares:
 (a) m AOC 
 (b) m BOD 
 (c) m AOD 
 (d) m AOB + m BOD 
 (e) m AOD – m BOC 
 (f) 3 m AOC – 2 m BOC 
 (g) 5 m BOC + m AOB – 2 m COD 
 (h) 3 m COE + 2 m AOE 
 (i) 7 m BOC – m AOE 
 (j) 2 m AOE – 3 m DOE 
 ¿Cuánto es el complemento de la mitad del 
suplemento de 20°?
4
5
6
37MateMática Delta 1 - GeoMetría
A 110° B 60° C 70°
D 50° E 80°
 Las medidas de dos ángulos suman 110°. ¿Cuánto 
suman sus complementos?
 La mitad del complemento de un ángulo es igual 
al doble de dicho ángulo. Halla la medida del 
ángulo.
A 20° B 12° C 30°
D 18° E 9°
A 132° B 102° C 112°
D 122° E 142°
 ¿Cuánto mide el suplemento del complemento 
de 32°?
7
8
9
A 60° B 30° C 40°
D 80° E 70°
 El doble del complemento de un ángulo equivale 
al complemento de la mitad del ángulo. Determina 
dicho ángulo.
A 30° B 15° C 75°
D 60° E 45°
 Se tienen dos ángulos complementarios, si a 
la medida de uno de ellos se le quita 30° para 
agregarlos al otro, resultan medidas iguales. 
Encuentra la medida del menor.
A 129° B 139° C 149°
D 148° E 168°
 Calcula el suplemento de 30°60ʹ.
11
12
10
38
A 20° B 21° C 25°
D 30° E 40°
O
Q
120°
3a
P R
 Halla el valor de a.
 Si OC es bisectriz del BOD; m AOB = 20°; 
m AOD = 80°; determina m AOC.
 En la figura, se muestra a la recta AC. Encuentra 
m BOC, si m AOD = 160°, m BOD = 170°.
O
D
CB
A
A 140° B 150° C 100°
D 130° E 145°
A 30° B 45° C 50° 
D 60° E 65° 
A
D
C
B
O
20° 80°
13
14
16
15
A 60° B 70° C 80°
D 90° E Faltan datos 
A O C
B
P
Q
b
b a
a
En la figura, calcula m POQ.
Nivel II
A
O
x
D
B
C
 En la figura, se sabe que m AOC + m BOD = 140°. 
Determina el valor de x.
A 20° B 40° C 100°
D 160° E 170°
A 40° B 65° C 45°
D 50° E 60°
A O D
B
C
4θ 3θ 2θ
 Halla el valor de Sθ (S representa al suplemento 
de un ángulo).
17
18
39MateMática Delta 1 - GeoMetría
 Si sabemos que OM es bisectriz del ángulo AOC. 
Encuentra m BOM.
A
O
100°
20
°
C
B
M
A 20° B 30° C 40° 
D 50° E 60° 
O2f
f
C
B
N
A
A 18° B 36° C 54°
D 72° E 144°
 En la figura, calcula el suplemento del complemento 
de f (ON es bisectriz del ángulo AOB).
 La suma del complemento y suplemento de un 
ángulo es igual al triple de la medida de dicho 
ángulo. Halla el suplemento del ángulo cuya 
medida es el doble de la medida del primer ángulo.
A 18° B 72° C 48°
D 162° E 108° 
19
20
21
A 30° B 50° C 110°
D 140° E 150°
A 10° B 30° C 60°
D 70° E 45°
A 100° B 120° C 150°
D 160° E 172°
 El suplemento del complemento de un ángulo es 
igual al quíntuplo del complemento del mismo 
ángulo. Determina el suplemento del ángulo que 
tiene por medida a la mitad de la medida del 
primer ángulo.
 Las medidas de dos ángulos suplementarios son 
proporcionales a 1 y 5. Encuentra el suplemento 
del complemento del complemento del menor de 
los ángulos mencionados.
 Si al suplemento de un ángulo se le aumenta el 
complemento del complemento del ángulo, resulta 
el cuádruple del complemento del mismo. Calcula 
la medida del ángulo.
22
23
24
40
A 100° B 170° C 110°
D 140° E N.A.
 Si al suplemento de un ángulo se le disminuye 
el séxtuplo de su complemento, resulta la mitad 
del valor del ángulo. Halla el suplemento del 
complemento del ángulo.
x
60°
A 150° B 120° C 130°
D 140° E 100°
x°
46°
A 46° B 44° C 54°
D 64° E 36°
 En la figura, determina el valor de x.
 Encuentra el valor de x.
Nivel III
25
26
27
 Sean los ángulos AOB, BOC, COD y DOE. Si OB
biseca el ángulo AOC; OC biseca el ángulo AOD 
y OD biseca el ángulo AOE. 
 Si 2(m AOB) + 3(m BOC) + 4(m COD) + 
 m AOE = 210°, calcula m AOB.
A 10° B 20° C 30° 
D 5° E 15°
 Sean:
 Sb → Suplemento de b
 SSb → Suplemento del suplemento de b
SSSb → Suplemento del suplemento del 
suplemento de b
 Determina el valor de b sabiendo que:
Sb + SSb + SSSb + ... = 19 b
15 sumandos
A 18° B 30° C 60°
D 72° E 42° 
A 16° B 32° C 44° 
D 42° E 52° 
 Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC 
y COD, siendo: 2(m AOB) = 3(m COD) y 
m AOC = 92° y m BOD = 76°.
 Halla m BOC.
28
29
30
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
41MateMática Delta 1 - GeoMetría
De acuerdo al siguiente gráfico, calcula el valor 
de BD, si se sabe que AD = 48 cm.
Encuentra el valor de AB si se sabe que KM = 40 m 
y LN = 50 m; además, A y B son puntos medios 
de KL y MN, respectivamente.
Determina el valor de QR sabiendo que PR = 20 m, 
QS = 24 m y PS = 30 m.
Del gráfico, calcula el valor de la mitad de PQ, si 
se sabe que PR = 110 mm y PQQR = 
4
7 .
En una recta se ubican los puntos sucesivos 
A, B, C y D; tal que B es punto medio de AC y 
5AB = 4CD. Halla el valor de CD, si AD = 65 cm.
Se tiene 3 puntos A, B y C consecutivos sobre 
una recta. Si se sabe que BCAB = 
1
2 , AC = 36 m, 
y M y N son puntos medios de AB y BC, 
respectivamente; descubre MN2 .
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
3 cmA
27 cmC
21 cmB
30 cmD
45 mA
75 mC
50 mB
90 mD
10 mA
18 mC
14 mB
26 mD
40 cmA
70 mC
4 mB
40 mmD
15 cmA
25 cmC
20 cmB
45 cmD
6 mA
18 mC
9 mB
24 mD
A CB
2x + 12 cm 3x + 5 cm 4x + 4 cm
D
K
P
ML
Q
N
R
A B
42
Las medidas de AOC y BOC suman 115°. Si el 
rayo OM es bisectriz de AOB y m AOM = 30º, 
¿cuánto mide BOC?
Halla el complemento de a.
Determina el complemento de POM, si m QOR = 40° 
y M es bisectriz de POQ.
Encuentra el complemento del complemento del 
suplemento del suplemento de 35°.
La suma del complemento de un ángulo con el 
suplemento del doble del mismo ángulo, es igual 
a 20° aumentado con el complemento del mismo 
ángulo. indica el valor del ángulo.
Del gráfico, calcula el valor del suplemento de la 
medida de AOD.
7 10
8 11
9 12
15°A
55°C
45°B
85°D
60°A
30°C
40°B
20°D
145°A
55°C
65°B
35°D
18°A
68°C
24°B
72°D
40°A
80°C
60°B
100°D
20°A
70°C
50°B
110°D
O
B
C
60°
20°70°
D
A
O RP
Q
4a3a
a 2a
O EA
B
C
D
Tema
43MateMática Delta 1 - GeoMetría
3
Ángulos formados por dos rectas 
paralelas y una secante
Antes estudiamos el concepto de recta. Las rectas entre sí también pueden relacionarse 
mutuamente. En la imagen de arriba se muestra un ejemplo de dos rectas (rieles) que 
van sin acercarse o alejarse mutuamente (¿Te imaginarías qué pasaría con el tren si sus 
rieles se aproximaran entre sí abruptamente?... ¡Desastre!).
Entonces, ¿qué tipo de relaciones encontramos entre las rectas?
Rectas paralelas
Decimos que dos rectas son paralelas si están ubicadas en un mismo plano y no tienen 
ningún punto en común.
Rectas secantes
Dos rectas son secantessi tienen un único punto en común.
Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una secante 
Cuando tomas un par de rectas paralelas y las cortas con otra recta (secante), la figura 
que tendrás será la siguiente:
m
n
P
m n∩ = {P}
Las rectas paralelas 
son equidistantes, es 
decir su separación 
no varía.
h h h
Recu e rda
Tanto las rectas 
paralelas como las 
secantes pertenecen 
al mismo plano.
¿Sa bía s qu e.. .?
44
TEOREMA: a = q TEOREMA: b = q
Por un concepto que ya vimos antes sabemos, por ejemplo, que:
Si: L1 // L2
Ahora, vamos a encontrar nuevas relaciones angulares:
Ángulos alternos
Existen dos tipos: los alternos internos y los alternos externos. Su principal característica 
es que son congruentes, y en consecuencia sus medidas son iguales.
Siendo las rectas L1 // L2, se definen gráficamente a los ángulos alternos como:
L1
a°
e° f°
g°h°
b°
c°d°
L2
Alternos internos Alternos externos
L1a°
q°
L2
L1
q°
b°
L2
a° = c°
b° = d°
e° = g°
h° = f °
ángulos opuestos 
por el vértice
POSTULADO: a = q
Ángulos correspondientes
Pertenecen a diferente paralela, pero se encuentran en la misma posición. Su principal 
característica es que son congruentes y sus medidas son iguales.
Siendo las rectas L1 // L2, se definen gráficamente a los ángulos correspondientes como:
L1
a°
q°
L2
Postulado: a° = q°
Teorema: a° = q° Teorema: b° = q°
Son ángulos 
opuestos por el 
vértice.
a° b°
a° = b°a° = b°
Obse rva
Postulado: Es 
una proposición 
que no requiere 
demostración ya 
que es obvia o no 
requiere mucho 
análisis.
Teorema: Es 
una proposición 
que requiere 
demostración.
Import a nt e
Ángulos 
suplementarios: 
Son dos ángulos 
cuya suma de 
medidas es 180°.
Recu e rda
45MateMática Delta 1 - GeoMetría
Ángulos conjugados
Hay dos tipos: los conjugados internos y los conjugados externos. Su principal 
característica es que son suplementarios.
Siendo las rectas L1 // L2 , se definen gráficamente a los ángulos conjugados como:
En resumen:
Observación:
Si dos rectas ubicadas en un mismo plano tienen la misma inclinación con respecto a 
otra, entonces afirmaremos que dichas rectas son paralelas.
a. Ángulos correspondientes: Miden igual.
 (a°; e°) ; (b°; f°) ; (d°; h°) ; (c°; g°)
Si: L1 // L2
L1
a°
e° f°
g°h°
b°
c°d°
L2
b. Ángulos alternos: Miden igual.
 (d°; f°) ; (c°; e°) ; (a°; g°) ; (b°; h°)
internos externos
c. Ángulos conjugados: Son suplementarios.
 (d°; e°) ; (c°; f°) ; (a°; h°) ; (b°; g°)
internos externos
L1 L2
L3
a° b° 
Conjugados internos
L1
a°
q°
L2
TEOREMA: a = q TEOREMA: a = qTeorema: a° + q° = 180° Teorema: b° + q° = 180°
Conjugados externos
L1
b°
q°
L2
Teorema: Si: a° = b° ⇒ L1 // L2
Si:
L1 L2 son rectas 
paralelas, entonces 
no se cortan.
Ángulos 
suplementarios: 
son dos ángulos 
cuya suma de 
medidas es 180°.
Recu e rda
// Significa: rectas 
paralelas.
 Significa: rectas 
perpendiculares, es 
decir, que al cortarse 
forman ángulos de 
90°.
Obse rva
¡No olv ide s qu e...!
46
 TEOREMA: b + x + γ = 360°
Construcción de rectas paralelas
Como hemos visto antes, «Dos rectas son paralelas cuando equidistan en toda su 
longitud». 
¿Cómo trazar varias rectas paralelas?
Paso 1: Ubica tu cartabón en tu cuaderno. Este no se deberá mover en ningún momento 
del ejercicio, y sobre él a tu escuadra (figura 1.)
Paso 2: Como se indica en la figura 2, realiza un trazo. Estarás dibujando un segmento 
que representará a una de las paralelas que vas a construir.
Paso 3: Desliza hacia abajo o hacia arriba tu escuadra (figura 3). No te olvides que el 
cartabón no se debe mover, fíjalo bien. Y realiza en cada posición diferentes trazos. Cada 
uno de ellos es paralelo al segmento inicial que trazaste (figura 4).
Teoremas relacionados: Sean L1 // L2
Figura 3
Figura 1
Figura 4
Figura 2
L1
x
a°
q° L2
L1
x
b°
γ°
L2
L1x°
y°
z°
a°
b°
q° L2
Teorema: x = a° + q° Teorema: b° + x + γ° = 360°
TEOREMA: b + x + γ = 360°Teorema: x° + y° + z° = a° + b° + q°
Escuadra
Cartabón
45°
45°
60°
30°
Obse rva
Las rectas paralelas 
no se cortan entre sí.
Recu e rda
O también 
«Propiedad del 
serrucho»
son 
segmentos 
paralelos
47MateMática Delta 1 - GeoMetría
Resolución:
Por ángulos opuestos por el vértice tenemos:
Resolución:
Por definición vista en la parte de teoría, los ángulos mostrados se definen como 
ángulos conjugados internos, por lo tanto, ellos son suplementarios.
Resolución:
Los ángulos mostrados se definen como ángulos alternos internos, por lo tanto, 
ellos son congruentes.
x + 110° = 180°
 x = 70°
4x + 10° = 50°
 x = 10°
Por teorema aprendido:
x + 50° = 90°
 x = 40°
Rpta. 40°
Rpta. 70°
Rpta. 10°
1 En la figura mostrada, calcula el valor de x si L1 // L2.
2 En la figura mostrada, halla el valor de x si L1 // L2.
3 Si las rectas mostradas son paralelas, indica el valor de x.
L1
x
50° L2
L1
x
x
50°
50° L2
L1x
110°
L2
L14x + 10°
50° L2
x
a°
b°
// Significa: rectas 
paralelas.
90°
Obse rva
x = a + bx = a° + b°
a°
b°
Recu e rda
ángulos conjugados
a + b = 180°a° + b° = 180°
a°
b°
Alternos internos
a = ba° = b°
Ejercicios resueltos
48
Resolución:
Los ángulos en la figura se definen como ángulos correspondientes, por lo tanto, 
ellos son congruentes.
Resolución:
Este ejercicio cumple con las características del «serrucho», donde la suma de las 
medidas de los ángulos hacia la derecha, es igual a la suma de las medidas de los 
ángulos a la izquierda. Así:
Resolución:
Notamos que aparecen ángulos conjugados internos:
Por lo tanto:
6x + 10° = 4x + 100°
 x = 45°
40° + x + 50° = 80° + 60°
x = 50°
2a + 2q = 180°
 a + q = 90°
Y en el punto P se cumple que:
x + a + q = 180°
 x = 90°
4 Dadas las rectas L1 // L2 , determina el valor de x.
5 En la figura, encuentra el valor de x si L1 // L2.
6 En la figura, calcula el valor de x si L1 // L2.
L1
6x + 10°
4x + 100°
L2
L140°
60°
80°
x
50° L2
L1
a°
b°
L2
L1c°
x°
y°
b°
a° L2
ángulos 
correspondientes
a = ba° = b°
a + b + c = x + ya° + b° + c° = x° + y°
Obse rva
OA : Bisectriz
a°
a°
A
O
Recu e rda
x
a°
a°
q°
q°
P
L1
L2
x
a°
a°
q°
q°
Pa°+ q°
Rpta. 45°
Rpta. 50°
Rpta. 90°
49MateMática Delta 1 - GeoMetría
Resolución:
Analicemos en partes:
Analicemos en partes:
Analicemos en partes: También:
Se nota que L3 // L4:
Por ángulos conjugados
x + 82° = 180° ⇒ x = 98°
ángulos alternos internos
Resolución:
Resolución:
7 Si L1 // L2 // L3 , halla el valor de x.
8 Si L1 // L2 , determina el valor de a.
9 Encuentra el valor de x, si L1 // L2.
L1
L2
100°
52° 2b
b
a
L1
L2
2b = 2(48°)
a
L1
L2
100°
52°
b = 48°
L132°
50°
82°
L2
L1
70°
x10°
L3
L2
A
C D
EB
L170°
60°
10°
L3
L2
ángulos conjugados internos
60° L3
L2x
a + 96° = 180°
 a = 84°
L132°
x q
q
50° L2
L3
L4
x q
q
L3
L4
82°
b°
a°
Alternos
b°
a°
Conjugados
a = ba° = b°
a + b = 180°a° + b° = 180°
Recu e rda
L1 // L2
x
a°
b°
x = a + bx = a° + b°
No o lv id e s
∴ x = 120°
Observa la 
correspondencia de q.
a°
a°
L1 
L2 
Rpta. 120°
Rpta. 84°
Rpta. 98°
50
1
21
Síntesis
Modela y resuelve 
Teoremas
Observación: Propiedad de «la envolvente»
•	 Ángulos correspondientes: 
 (miden igual)
 (a, e); (b, f); (d, h); (c, g)
•	 Ángulos alternos: 
 (miden igual)
 Internos : (b, h); (c, e)
 Externos: (a, g); (d; f)
•	 Conjugados 
 (son suplementarios)
 Internos : (b, e); (c, h)
 Externos: (a, f ); (d, g)
x = a° + b° a° + b° + c° = 360° x + y + z = a + b + c
Ángulos formados por dos rectas paralelas y una secante
a
e
d
h
c
g
b
f
a°
b°
x
a°
c°
b°
a
b
x
y
z
c
x = a° + b° + c°
c°
b°
a°
x
En el rectángulo ABCD, señala verdadero (V) o 
falso (F) lo que a continuación se menciona.
BC es paralelo a AD. ( )
AB es paralela a CD. ( )
AB es secante con BC. ( )
CD es paralela a BC. ( )
B C
A D
En la siguiente figura, señala verdadero (V) o falso 
(F) lo que a continuación se menciona.L3 es paralela a L4. ( )
L2 es paralela a L1. ( )
L2 es perpendicular a L3. ( )
L1 es perpendicular a L4. ( )
L3
L2L1
L4
51MateMática Delta 1 - GeoMetría
3
7
4
8
Sean las paralelas L1 // L2, determina el valor de 
todas las variables mostradas.
Se tiene que L1 // L2, halla el valor de x. Halla el valor de x, si L1 // L2.
En la figura L1 // L2, determina el valor de todas 
las variables.
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
5 6En la figura M // N , calcula el valor de x. Si A // B , calcula el valor de x.
a = b = q = 
∈ = ω = x = 
a = b = q = 
φ = γ = ω = 
Resolución: Resolución:
M N
50° – x 4x
Resolución:
L1
bb
a
a
L2
x
Resolución:
L1a
a
q
q L2
x
40°
x
ω
q
∈
b a L1
L2
φ
q
100°
ω
γ
b
a
4x
x + 60°BA
52
9
11
13
10
12
14
Si se tiene que L1 // L2, encuentra el valor de x.
Resolución:
L1
5x L2
x
3x
Encuentra el valor de x, si L1 // L2.
Resolución:
L120°
10°
10°
L2
x
50°
Dos rectas paralelas, al ser cortadas por una 
secante, forman dos ángulos conjugados externos 
cuyas medidas son: k + 30° y 4k – 90°. Calcula el 
menor de dichos ángulos.
Resolución:
(3a – 12°) y (2a + 32°) son las medidas de dos 
ángulos conjugados internos entre rectas paralelas 
y una secante a ellas. Calcula el complemento del 
menor de ellos.
Resolución:
Sean las rectas L1 // L2, determina el valor de x.
Resolución:
330°
x
L1
L2
Si se tiene que L1 // L2, determina el valor de x.
Resolución:
x + 18°
3x
L1 L2
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
53MateMática Delta 1 - GeoMetría
15
17
16
18
En la figura, ABCD es un cuadrado y además 
L1 // L2 // L3. Halla el valor de x.
Resolución:
L2
L1
L3
x
20°
B
C
D
A
En la figura, L1 // L2 y ABCD es un rectángulo. 
Halla el valor de x.
Resolución:
L2
L1
x
30°
B
C
D
A
Sean las rectas L1 // L2, encuentra el valor de x.
Resolución:
L1
L2
36°
[(x + 1)2]°
Se tiene que L1 // L2, encuentra el valor de x/y.
Resolución:
L1
L2
(180 – 2xy)°
(x2 + y2)°
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
54
19
21
20
22Sean las rectas L1 // L2, halla el valor de x.
Resolución:
Resolución:
L1
L2
xy
y + 1
x
Sea L1 // L2, calcula el valor de x si BR = RC.
L1
L2
110º
x
B
R C
A
L1
L2
10º x
B
M
A O
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Halla el valor de a, si L1 // L2.
Resolución:
Resolución:
L1
L2
a
a
a
a
Rpta. 
Si L1 // L2, calcula el valor de x si OM es bisectriz 
de AOB.
55MateMática Delta 1 - GeoMetría
Practica y demuestra
Nivel I
 En la figura, ¿cuántos pares de rectas paralelas 
y cuántos pares de rectas secantes hay, 
respectivamente?
 Indica la relación correcta.
 Representa con símbolos lo que se menciona a 
continuación.
 Escribe el significado de las siguientes notaciones.
A 2 y 1 B 1 y 2 C 2 y 2
D 3 y 3 E 2 y 3
A Si a° = b° ⇒ L1 L2 
B Si a° ≠ b° ⇒ L1 // L2 
C Si L1 // L2 ⇒ a° ≠ b°
D Si a° = b° ⇒ L1 // L2 
E L1, L2 y L3 son paralelas.
 Las huellas dejadas por las llantas de un 
automóvil que va por una autopista recta, nos 
dan idea de:
A Rectas oblicuas 
B Rectas perpendiculares 
C Rectas paralelas
D Rectas cruzadas 
E Rectas secantes
 (a) Recta L1 perpendicular a la recta L2 
 (b) Recta L3 es paralela a la recta L4
 (c) Punto B es la intersección de las rectas L5 y L6.
 (a) L3 L4 : _______________________________________
 (b) L1 ∩ L2 = ∅ : __________________________________
 (c) L2 // L3 : ________________________________________
a a a
a° b°
L1 L2
L3
 De acuerdo a la figura, relaciona correctamente 
las informaciones de ambas columnas.
 I. AB y CD ( ) Rectas secantes
 II. BC y CD ( ) Rectas paralelas
 III. AB ∩ CD ( ) M
 IV. BC ∩ AM ( ) ∅
B M C
A D
1
4
5
6
2
3
56
A 120° B 80° C 140°
D 100° E 40°
 Halla el valor de x, si L1 // L2 . 
L1
L2x
100°
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 .
A 45° B 75° C 30°
D 65° E 90°
A 115° B 90° C 120°
D 135° E 125°
315°
x
L1
L2
 Determina el valor de x, si L1 // L2 .
x
45°
L1
L2
7
8
9
 Si las rectas mostradas son paralelas, halla el 
valor de x.
A 57° B 45° C 55°
D 80° E 60°
A 108° B 72° C 36°
D 54° E 144°
 Encuentra el valor de x, si L1 // L2 .
x
100°
L1
L2
2a
3a
x°
L1
L2
L3
 Según el gráfico, descubre el valor de x, 
si L1 // L2 .
A 10° B 20° C 25°
D 30° E 35°
L1
L2
x
b
b
40°
40°
10
11
12
57MateMática Delta 1 - GeoMetría
 Según el gráfico, calcula el valor de x si 
L1 // L2 .
L1
L2
2x
60°
80°
A 10° B 20° C 25°
D 30° E 65°
 Según el gráfico, halla el valor de x, si L1 // L2 .
L1
L2
x
40°
A 110° B 120° C 130°
D 140° E 150°
 Encuentra el valor de x, si L1 // L2 .
A 8° B 10° C 15°
D 9° E 12°
L1
L2
14x
10x
12x
13
14
15
 Halla el valor de x, si L1 // L2 .
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 .
A 4° B 8° C 6°
D 10° E 2°
A 1 B 2 C 3
D 4 E 5
L1
L2
(x + 4a)a
(4° + 2a)2a
L1
L2
x2 + 4x
2x + 8
 Determina el valor del ángulo x, si L1 // L2 .
A 60° B 53° C 45°
D 37° E 30°
L1
L2
6k + 15°
x
2k + 5°
Nivel II
16
17
18
58
 Encuentra el valor de x, si a – q = 20°.
A 15° B 20° C 25°
D 30° E 35°
A 34° B 48° C 98°
D 110° E 125°
xa
q
 En la figura L1 // L2 , halla el valor de x.
L1
L2
40°
30°
x
q
q
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 .
A 80° B 100° C 120°
D 70° E 150°
L1
300°
310°
20°
20°
x
L2
19
20
21
 Encuentra el valor de x, si L1 // L2 .
A 36° B 30° C 40°
D 32° E 35°
L1
L2
5x
x
 Determina el valor de x, si L1 // L2 .
A 20° B 30° C 40°
D 60° E 50°
L1
L2
2x
120°
x
 Halla el valor de x, si a + b = 235° y L1 // L2 .
A 11° B 15° C 22°
D 30° E 33°
L1
L2
a
b
3x
2x
22
23
24
59MateMática Delta 1 - GeoMetría
 Calcula el valor de x, si L1 // L2 y a + b = 42°.
L1L2 x
a
b
A 96° B 240° C 132°
D 128° E 111°
 En el gráfico, las líneas punteadas son bisectrices, 
L1 y L2 son paralelas. Determina el valor de x.
A 18° B 26° C 30°
D 60° E 50°
L1
L2
x
100°
240°
40°
Nivel III
 Encuentra el valor de q, si L1 // L2 .
A 40° B 50° C 70°
D 90° E 110°
L1
L2
50°+ x
70°+ x
q
25
26
27
 Halla el valor de x, si L1 // L2 .
 Según la figura, calcula el valor de x.
A 98° B 104° C 110°
D 115° E 116°
A 40° B 50° C 60°
D 70° E 80°
L1
134°
x
L22a
4a
100°
a – 70°
2x
50°
xa
 En la figura, determina el valor de x, si L1 // L2 .
A 36° B 40° C 50°
D 20° E 72°
L1
L2
x
3x
a
b
b
a
28
29
30
60
Tema 4
Definición
El polígono más simple de construir es el triángulo. Es el mejor estudiado y de quien se 
han obtenido un sinnúmero de teoremas y propiedades. En base a lo que se conoce de él, 
se estructuran una serie de observaciones utilizadas en otras figuras más complejas. Por 
eso es muy importante el aprendizaje sobre esta fenomenal figura. Primero pregúntate. 
¿Cómo aparece un triángulo?
B
C
A
En la figura se muestra un plano cualquiera de los infinitos que hay. En dicho plano 
tomamos tres rectas con la condición de que no sean paralelas. Como observarás, estas 
se han intersecado en los puntos A, B y C. Es el nacimiento de un triángulo rectilíneo.
Observemos el triángulo en detalle para estudiar sus elementos.
E
FD A
B
Cb
ac
Elementos
 Vértices: A, B y C
 Lados: AB , BC y AC
 Si los lados miden a unidades, b unidades y c unidades, se afirma que el perímetro 
será:
 2p = (a + b + c) u (u: unidades)
Triángulos
Triángulo, del latín 
triangulus: 
- «tri» = tres 
- «angulus» = ángulo, 
esquina
Perímetro = 2p
Import a nt e
En otros idiomas se 
traduce triángulo 
como:
Alemán: Dreieck
Búlgaro: Tриъгълник
Inglés: Triangle
Italiano: Triangolo
Francés: Triangle
Latín: Triangulum
Portugués: Triângulo
Rumano: Triunghi
Sueco: Triangle
Ruso: Tреугольник
¿Sa bía s qu e.. .?
Re cu e rda
61MateMática Delta 1 - GeoMetría
Elementos asociados
 ángulos interiores: ABC, BCA y CAB 
 ángulos exteriores: BAD, CBE y BCF
Observación:¿En el gráfico anterior, qué son , y ? ¡Simple! Son las medidas de 
dichos ángulos. Se utilizan letras del alfabeto griego para indicar las medidas de los 
ángulos.
Clasificación	de	los	triángulos
Para clasificar a un triángulo se recurre a dos criterios: Analizando la longitud de sus lados 
y según la medida de sus ángulos interiores.
Según la medida de sus lados
a) Equilátero: Sus tres lados miden igual.
b) Isósceles: Solamente dos lados miden igual. Al lado desigual se le llama base.
c) Escaleno: Sus tres lados tienen distintas medidas.
Not a
Alfabeto griego:
Alfa = a
Beta = b
Gamma = γ
Delta = δ
Epsilon = ε
Zeta = ζ
Eta = η
Teta = q
Iota = ι
Kappa = κ
Lamda = λ
Mu = μ
Nu = ν 
Xi = ξ
Omicron = ο
Pi = π
Ro = ρ
Sigma = σ
Tau = τ
Ypsilon = υ
Fi = φ
Ji = χ
Psi = ψ
Omega = ω
Según sus lados
Equilátero Isósceles Escaleno
3 lados 
de igual medida
3 lados con 
medidas desiguales
2 lados de igual 
medida y 1 desigual
Según la medida de sus ángulos interiores
a) Rectángulo: Si un ángulo interior mide exactamente 90º.
b) Oblicuángulo: Si ninguno de sus ángulos interiores mide 90º.
//// /
62
Los oblicuángulos se subclasifican en acutángulos y obtusángulos:
1) Acutángulos: Si las medidas de todos sus ángulos interiores es menor a 90°, es 
decir, son ángulos agudos.
2) Obtusángulos: Si la medida de algún ángulo interior es mayor que 90º, es decir, 
dicho ángulo es obtuso.
Obse rva
Equilátero
L
L L
Isósceles
a
L L
Escaleno
c
a b
Nece s it a s
Construcción de triángulos
Construcción de un triángulo equilátero
Se necesita papel, un compás, una regla y un lápiz. Para empezar, en una 
hoja de papel traza un segmento de medida cualquiera (esta longitud será la 
longitud de cada lado de tu triángulo equilátero al final). En este segmento 
nombra por extremos A y B. Coloca la punta de tu compás en B y con el lápiz 
haz un arco que pase por A (fig. 1). Repite esta operación, esta vez haciendo 
centro en A (fig. 2). A la intersección de arcos nómbralo como un punto C (fig. 3). 
Finalmente, el triángulo de vértices A, B y C será un triangulo equilátero. ¡Usa tu regla 
y mide los lados para comprobar!
A B A B
C
A B
C
fig. 1 fig. 2 fig. 3
Según sus ángulos
Acutángulo Obtusángulo Rectángulo
Triángulo 
oblicuángulo
Triángulo 
rectángulo
3 ángulos 
agudos
1 ángulo 
obtuso
1 ángulo 
recto
63MateMática Delta 1 - GeoMetría
Construcción de un triángulo isósceles 
Se necesita papel, un compás, una regla y un lápiz. Primero se hace centro en un punto 
cualquiera, al cual llamaremos A, y haremos un arco de circunferencia de cualquier 
amplitud. Luego, ubica en dicho arco dos puntos cualquiera, al cual llamaremos B y C, de 
tal manera que AB ≠ BC (tienen que ser desiguales, porque si no lo fueran, el resultado 
final sería un triángulo equilátero). Finalmente, el triángulo ABC formado será un triángulo 
isósceles donde AB AC.
 
A
b a
c B
C
Construcción de un triángulo escaleno 
Una manera simple de construir un triángulo escaleno es dibujarlo con una regla, sin que 
ningún lado mida igual.
Pero si se tiene valores de medidas de lados asignados, entonces se necesita 
usar una regla y un compás. Bien, si se tiene tres segmentos AB, BC y AC 
de medidas a, b y c. Se toma al segmento de mayor medida, en este caso a 
BC. Haciendo centro en C se construye un arco donde el radio mida igual a b. 
Se hace lo mismo desde B, solo que ahora el radio debe medir c. El punto de intersección 
de los arcos será el punto A. 
A
BC a
b c
c
b
a
Observación: Hay ocasiones cuando es imposible construir triángulos rectilíneos con 
valores dados. Por ejemplo, trata de construir un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 4 cm 
y 9 cm. Se va a llegar a la siguiente situación:
9 cm
5 cm
5 cm
C
A
4 cm
4 cm
B
Obse rva
Un caso especial de 
isósceles es:
k
k
45°
45°
Import a nt e
En todo triángulo se 
debe cumplir: 
a - b < x < a + ba ‒ b < x < a + b
a
x
b
c = b
64
Esto se debe a que en todo triángulo la medida de un lado siempre debe ser menor que 
la suma de las medidas de los otros dos pero al mismo tiempo mayor que la diferencia. A 
este teorema se le llama teorema de la existencia del triángulo. Con mayor amplitud lo 
estudiaremos el próximo año.
Teoremas que se cumplen en los triángulos
1) La suma de las medidas de los 3 ángulos interiores es 180º.
°
° °
m + n = 180°° + ° + ° = 180°
 
2) Si de cada vértice consideramos un ángulo exterior, entonces se cumple que la suma 
de las medidas de los 3 ángulos exteriores de un triángulo siempre será 360º.
3) La suma de las medidas de dos ángulos interiores es igual a la medida del ángulo 
exterior no adyacente a dichos ángulos interiores.
x
Corolarios. Podemos decir que a partir de los anteriores teoremas citamos algunos 
otros que son muy útiles en la resolución de problemas. Entre estos podemos 
mencionar los siguientes:
m + n = 180°° + b° = ° + q° m + n = 180°° + b° + q° = x m + n = 180°° + b° = ° + q° 
«Propiedad de la 
mariposa o la corbata»
«Propiedad del 
boomerang»
«Propiedad del 
pescadito»
m + n = 180°° + b° = x
°
°
°
°
°
°
°
°
°
°
x
°
° °
Obse rva
Tipos de triángulos
Triángulo rectilíneo
Triángulo curvilíneo
El último caso se ve 
en puntos sobre la 
superficie del planeta 
ya que la Tierra no 
es plana.
b°
c°a°
b°
a° c°
m + n = 180°a° + b°+ c° = 180°
m + n = 180°a° + b° + c° ≠ 180°
a°
b°
c°
m + n = 180°° + ° + ° = 360°
°
°
°
65MateMática Delta 1 - GeoMetría
Triángulo 
isósceles
a° a°
b°
b
a a
Recu e rda
Teorema del 
ángulo exterior
a°
b°m°
m° = a° + b°
1 Calcula el valor de x, en la figura.
150°
B
A
E
x
x
x
DC
 Resolución: 
 Primero, calculamos la medida del ángulo BCA, el cual mide 2x, porque estamos 
aplicando el teorema del ángulo exterior.
150°
B
A
Ex
x
x
DC
2x
 Ahora, en el triángulo ABC se cumple que:
150° = x + 2x Teorema del ángulo exterior
 50° = x
2 En la figura se muestra un triángulo isósceles, donde AC es la base. Determina el 
valor de x.
A C
x + 30° 2x – 10°
B
 Resolución: 
 Si AC es la base, entonces AB BC y las medidas de los ángulos A y C son iguales. 
Por lo tanto:
 x + 30° = 2x – 10°
30° + 10° = 2x – x 
 40° = x
De scu bre
Si:
AB
BC
= 
m
n
También:
m A 
1 =
m B 
2 =
m C 
6
⇒ m A = x
 m B = 2x
 m C = 6x
3 En un triángulo ABC las medidas de sus ángulos interiores son proporcionales a 1; 2 
y 6. Halla la medida del menor ángulo.
 Resolución: 
 Como los ángulos son proporcionales a 1; 2 y 6, entonces las medidas son x, 2x y 6x. 
Veamos:
A
B
6x
2x
Cx
 Por teorema: x + 2x + 6x = 180° ⇒ 9x = 180° ⇒ x = 20°
Rpta. 50°
Rpta. 40°
Rpta. 20°
⇒ Decimos que AB y 
BC son proporcionales 
a «m» y «n».
Ejercicios resueltos
66
4 En la figura, encuentra el valor de x.
A B
C
D80°
b+ x
 Resolución: 
 Para el triángulo ABD, se nota que 80º es la medida de su ángulo externo. Por lo tanto:
 + b = 80° ...(I)
 En el triángulo ACD se tiene que:
 + b + x + 80º = 180º
 Reemplazamos en (I):
80° + x + 80° = 180º
 x = 20º
5 Del gráfico, calcula el valor de . 
80°
40°
70°
 Resolución: 
 Por propiedad dada se sabe que:
80°
40°
70°
P
40° + 80° = 70° + q
 50° = q 
 Pero también se nota que en P: q y b forman un par lineal. Por lo tanto:
 q + b = 180° ⇒ 50° + b = 180°
 b = 130°
Import a nt e
O B
A
M
OM : Bisectriz
b°
c°a°
a + b + c = 180°a°+ b°+ c°= 180°
 + = + ° + b° = ° + q° 
 AOB ˄ BOC
Forman un par lineal
∴ 
q
°
°
°
°
°
°
O
B
CA
m AOB + m BOC = 180°
Rpta. 20°
Rpta. 130°
67MateMática Delta 1 - GeoMetría
6 En la figura, determina el valor de . 
Resolución: 
Por la propiedad del cuadrilátero cóncavo («boomerang») se nota que b = 3 .
Finalmente, en el triángulo PQR, el ángulo QPR = 3 (opuesto por el vértice). Y por 
teorema de la suma de los ángulos interiores:
3 + + = 180º
 = 36º
7 En el gráfico,halla el valor de x, si AB = BD = DC. Además, m ABD = 40º.
40°
A
B
CD
x
 Resolución: 
 Como BD = DC, entonces la medida del ángulo ADB = 2x
40°
A
B
C
D
x2x 2x
x
 En el triángulo ABD se tiene:
 2x + 2x + 40º = 180º ⇒ 4x = 140°
 x = 35º
Recu e rda
a + b + c = xa° + b° + c° = x
b°
a° c°
x
En general:
a + b + q+ ω + φ = 180°
a
b
q
ω
φ
Notación: ABC 
La letra del vértice 
siempre se escribe 
entre las otras dos 
letras.
A
C
B
Recu e rda
En la figura:
Por ser el triángulo 
ABD isósceles, también 
m BAD = 2x 
Rpta. 36°
Rpta. 35°
P
Q
S
T
U
R
68
Síntesis
Modela y resuelve 
b°
a°
q°
a° + b° + q° = 180°
b° x
b°
a°
a° + b° = x + y
x
y
a°
x = a° + b°
x
b°
a° c°
x = a° + b° + c°
b°a°
x
y
x + y = a° + b°
b°
a°
q°
a° + b° + q° = 360°
Corolarios
Teoremas
Clasificación
Por la medida 
de sus lados
Equilátero
3 lados miden igual.
Isósceles
2 lados miden igual 
y uno desigual.
Escaleno
3 lados miden 
diferente.
b°
a°
a° + b° = x + 180°
x
Por la medida 
de sus ángulos 
interiores
Si un ángulo interno 
mide 90°.
Rectángulo
Acutángulo
Si todos sus 
ángulos internos 
miden menos de 90°.
Oblicuángulo
Obtusángulo
Si uno de sus 
ángulos internos 
mide más de 90°.
Dibuja el triángulo con las medidas señaladas y completa la información.
1 ΔABC :
mAB = 3 cm
mBC = 4 cm
mAC = 5 cm
De acuerdo a la medida de sus lados es …………
…………………………...........................................
De acuerdo a la medida de sus ángulos interiores 
es ………………………………...............................
2 ΔABC :
AB = 6 u
BC = 8 u
AC = 10 u
De acuerdo a la medida de sus lados es…………
…………………………...........................................
De acuerdo a la medida de sus ángulos interiores 
es ………………………………...............................
Triángulos
69MateMática Delta 1 - GeoMetría
3 Construye un triángulo con estos valores. Luego 
responde: ¿Qué valores enteros puede tomar el 
tercer lado?
ΔABC: AB = 4 u 
 BC = 9 u
Resolución:
4 Construye un triángulo con estos valores. Luego 
responde: ¿Qué valores enteros puede tomar el 
tercer lado?
ΔABC: BC = 8 u 
 AC = 10 u
Resolución:
5 Calcula el valor de . 6 Calcula el valor de x.
2x
3x
x3
8
4
Resolución:Resolución:
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
9 En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a 
la base mide 36°. Encuentra las medidas de los 
otros dos ángulos.
Resolución:
10 En un triángulo isósceles, el ángulo opuesto a la 
base mide 118°. Encuentra las medidas de los 
otros dos ángulos.
Resolución:
7 Determina el valor de x. 8 Determina el valor de x.
2x
5x
70°
20°
x
Resolución: Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
70
12 En un triángulo, dos ángulos internos miden 74° y 
46°. Halla la medida del tercer ángulo interno.
Resolución:
11 En un triángulo, dos ángulos internos miden 27° y 
53°. Halla la medida del tercer ángulo interno.
Resolución:
Rpta. Rpta. 
13 En la figura, calcula x, si el triángulo ABC es 
equilátero.
A
B
D
C
40°
x
14 En la figura, calcula x, si AB = BC.
A
B
C
x
80°
40°
15 Determina el valor de q en la figura. 16 Determina el valor de x + q.
120°30°
x
30°
60°
Resolución: Resolución:
Resolución:Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
2q
120°
q
71MateMática Delta 1 - GeoMetría
18 Encuentra el valor de .
40°
30°
17 En la figura, encuentra el valor de x.
30°
70°
x
Resolución:Resolución:
Rpta. Rpta. 
20 Halla el valor de x + y + z.
x
y
z
19 Halla el valor de x + y + z.
20°
30° 30°
30°
x y
z
20°
20°
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta. 
21 Calcula el valor de x. 22 Calcula el valor de x.
40º φ
φ
x
CA
B
N
M
20ºx
Resolución:Resolución:
Rpta. Rpta. 
72
Nivel I
Practica y demuestra
2 Dados los triángulos, completa el cuadro que se da a continuación con un check ( ), según corresponda.
(a)
10 13
13
(b)
5
3
(c)
8 8
8
(d)
45°
(e) (f) (g)
6 6
3
(h)
TRIÁNGULO a b c d e f g h
Equilátero
Isósceles
Escaleno
Rectángulo
Acutángulo
Obtusángulo
1 Construye los triángulos siguiendo las instrucciones. 
Recuerda utilizar tus elementos de medición.
(a) Construye un triángulo ABC tal que:
 m A = 60°; m C = 70° y mAC = 8 cm.
(b) Construye un triángulo cuyos dos lados midan 
5 cm y 8 cm, y forman un ángulo de 40°.
(c) Grafica el triángulo MNL tal que: m M = 90°; 
MN = 4 cm y ML = 3 cm. Además, indica la 
medida de LN.
(d) Grafica el triángulo PQR tal que: 
 m R = 20°; m Q = 140° y PQ= 11 cm.
(e) Construye un triángulo isósceles tal que los lados 
midan 5 cm y 13 cm. ¿Se podrá? ¿De cuántas 
maneras? Justifica tu respuesta.
(f) Construye un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 
10 cm y 15 cm. ¿Se podrá? Justifica tu respuesta.
4
n
n a
a
73MateMática Delta 1 - GeoMetría
5 Determina el valor de a.
A 40° B 50° C 60°
D 70° E 80°
60°
70° a°
6 Encuentra el valor de x.
A 25° B 50° C 65°
D 75° E 80°
x
50°
3 Calcula el valor de q.
A 10° B 30° C 20°
D 40° E 5°
3q
5q – 70°
7 Encuentra el valor de a.
A 20° B 50° C 60°
D 70° E 80°
80°
a
4 Halla el valor de x.
A 70° B 80° C 90°
D 60° E 100°
40°
30
°
10°x
8 Determina el valor de b.
A 40° B 50° C 60°
D 70° E 80°
130°
10° b
9 En la figura, el triángulo ABC es equilátero. Halla 
el valor de x.
A 30° B 50° C 60°
D 40° E 90°
10 Calcula el valor de q.
A 120° B 150° C 160°
D 170° E 110°
25°
q°
45°
B
A
C
P
20°
x
74
14 Calcula el valor de x en la figura.
A 40° B 50° C 60°
D 70° E 80°
x x30°
80°
11 En un triángulo isósceles uno de los ángulos 
iguales mide 65°. Halla el tercer ángulo interno.
A 40° B 50° C 60°
D 70° E 80°
12 En un triángulo dos ángulos internos miden 74° y 
46°. Determina la medida del tercer ángulo interno.
A 40° B 50° C 60°
D 70° E 80°
13 En un triángulo dos ángulos internos miden 27° y 
53°. Encuentra la medida del tercer ángulo interno.
A 140° B 130° C 100°
D 120° E 90°
15 En la figura, calcula el valor de a.
A 15° B 12° C 11°
D 10° E 14°
17 En la figura, encuentra el valor de x.
A 30° B 40° C 45°
D 50° E 60°
30°
70°
20°
x
x
18 En la figura, calcula el valor de b.
A 30° B 35° C 48°
D 56° E 60°
270°
120°
60°
b
16 Determina el valor de x en la figura.
A 10° B 20° C 30°
D 40° E 50°
50°
x
x
30°
Nivel II
4a
a
75MateMática Delta 1 - GeoMetría
19 Halla el valor de x en la figura.
A 30° B 20° C 20,5° 
D 22,5° E 45°
x
20 En la figura, el triángulo ABC es equilátero. 
Calcula el valor de x.
A 30° B 40° C 45°
D 50° E 60°
70°
x
A
B
C
21 En la figura, indica el valor de a + q, si b = 30º.
A 70° B 80° C 100°
D 140° E 160°
a
b
b
q
100°
22 Determina el valor de x en la figura.
A 25° B 40° C 45°
D 55° E 60°
A
B E
D C F
x
x
x
x
x
23 Halla la medida del ángulo ADB.
A 40° B 55° C 78°
D 86° E 90°
q q
a
a
A
B
CD
E
24 En la figura, calcula el complemento de x.
A 30° B 40° C 80°
D 56° E 10°
A
B 120°
60°60°
20°
C
x
76
25 Encuentra el valor de x.
A 30° B 40° C 60°
D 45° E 50°
100°
20° x
27 En la figura, halla el valor de x + y.
A 225° B 240° C 249°
D 255° E 260°
69°
x
a
a
b
b
ba
y
26 Determina el valor de x.
A 33° B 23° C 64°
D 32° E 60°
x
93°
q a
3q 3a
28 En la figura, calcula el valor de x + y.
A 125° B 130° C 150°
D 155° E 160°
x
30°
57°
50°
63°
y
30 Determina el valor de x, si AB = EC y BE = AE.
A 15° B 10° C 12°
D 16° E 18°
x 5x
2x x
E
A
B
C
29 Encuentra la medida del mayor ángulo de un 
triángulo si se sabe que su medida es el doble del 
menor ángulo y el tercer ángulo excede en 16° a 
la medida del menor.
A 75° B 80° C 82°
D 76° E 81°
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 2
77MateMática Delta 1 - GeoMetría
Si L1 // L2 y L3 // L2, calcula el valor de a. Encuentra el valor de 4φ – a, L1 // L2.
Determina el valor de b – 18°, si se sabe que L2 
yL3 son paralelas.
Si L1 // L2, indica el valor de la sexta parte de x.
Halla el valor de b – a, si L1 // L2. Descubre el complemento de x, si L1 // L2.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
20°A
80°C
60°B
100°D
0°A
25°C
5°B
100°D
20°A
58°C
40°B
74°D
72°A
10°C
60°B
6°D
10°A
30°C
20°B
70°D
20°A
70°C
40°B
110°D
L1L3
L2
107° b + 15°
L1
120°
a + 20°
L3
L2
L1 140°
120°
80°
2b
4a
L2
140°
30° 50° 40°2a4a
8φ
L1
L2
5x
x
20°
x
L1
L2
L1 L2
78
Si el triángulo ABC es isósceles, halla el valor 
de x. 
Determina el valor de b – 20°, si AD y BD son 
bisectrices de A y B, respectivamente.
Encuentra el complemento de a, si se sabe que 
PQ = QS = ST = TR.
Descubre cuánto es el valor del suplemento del 
complemento de a.
Calcula el máximo valor entero que debe tomar 
NL para el triángulo MNL exista.
Según la figura, indica el valor del complemento 
del complemento del suplemento del suplemento 
de 2a.
7 10
8 11
9 12
7°A
35°C
10°B
70°D
20°A
110°C
70°B
160°D
30°A
90°C
60°B
120°D
90°A
10°C
20°B
0°D
9A
16C
15B
17D
15°A
75°C
30°B
165°D
A
A B
C
b
5b
D
P
C
R
T
S
5x
110°
3a
a
B
Q
M
7
9
N
L
4a70° + 3x
50° – 3x
2a + 5°
6a + 20°
Tema
79MateMática Delta 1 - GeoMetría
5
Circunferencia
Una de las figuras geométricas más bellas y armónicas es la circunferencia. Basta con 
observar las ondas formadas en aguas tranquilas cuando un objeto ingresa en ellas. Se 
forman circunferencias concéntricas.
Geométricamente, una circunferencia es un conjunto de puntos, todos ellos equidistantes 
de un punto fijo al que se le llama centro. A la distancia entre el centro y los otros puntos 
se le denomina radio.
La manera más simple de trazar una circunferencia es usando un compás.
A partir de ello, podemos mencionar otros elementos asociados, como son:
Centro: O
Radio: OA
Diámetro: BC
Arco: AB
Cuerda: PQ
Recta tangente: l1
Recta secante: l2
Recta pasante o exterior: l3
Obse rva ción
p: Número irracional 
con valor aproximado 
de 3,1415...
¿Sa bía s qu e.. .?
El término 
circunferencia 
proviene del latín 
circunferentia a 
partir de circum: 
«alrededor». ferens: 
«conducir» o 
«llevar».
Circunferencia
Círculo
P Q
C
Ocentro
A
B
ta
ng
en
te
se
ca
nte
diá
me
troradio
arco
cuerda
l2 l1
l3
80
Construcción de un cuadrado
Un cuadrado es un cuadrilátero regular. Para construirlo, primero se debe trazar una 
circunferencia, y en esta un par de diámetros perpendiculares entre sí. Los extremos de 
dichos diámetros serán los vértices del cuadrado, los cuales se debe unir. 
Comprueba utilizando tu regla y transportador que sus lados midan igual y todos sus 
ángulos interiores midan 90º.
Donde:
: Longitud de la circunferencia
r: Radio de la circunferencia 
: Constante numérica de valor aproximado 3,141592….. 
 Normalmente se suele utilizar las dos primeras cifras decimales.
Construcción de polígonos regulares
¿Qué es un polígono regular? Un polígono regular es aquel polígono cuyas medidas 
angulares son iguales (las interiores entre sí, al igual que las exteriores entre sí) y las 
longitudes de los lados son también las mismas. 
Con el uso apropiado de la circunferencia podemos construir otros polígonos especiales 
como los polígonos regulares.
Cuadrado inscrito en una circunferencia
Construcción de un octógono regular
Se sigue los mismos pasos que en el caso del cuadrado, solo que a ese par de diámetros 
perpendiculares que se traza al cuadrado, con el uso del transportador se le trazará sus 
bisectrices tal como se muestra en la figura, de manera que estas bisectrices sean también 
diámetros. Al unir todos esos extremos de diámetros se forma un octógono regular. Una 
vez más comprueba sus medidas utilizando transportador y regla.
3
4
1
2.° y 3.er paso
2
3
4
1
4.° paso
21
1.er paso
2¿Sa bía s qu e.. .?
 5 lados : Pentágono
 6 lados : hexágono
 7 lados : heptágono
 8 lados : Octógono
 9 lados : Nonágono
10 lados : Decágono
Obse rva
Polígono regular
Cuadrado o 
cuadrilátero regular
L
L
L
L
L α
α
α α
α
L
LL
L
1
2
3
4
5
68
0
7
45°
45°
La longitud de una circunferencia es calculable de acuerdo a la siguiente expresión:
l = 2pr
81MateMática Delta 1 - GeoMetría
Construcción de un hexágono regular 
Tomamos el segmento EB, y a partir de su punto medio A como centro, construyamos 
una circunferencia (la de color negro). Ahora hagamos lo mismo desde E y desde B pero 
teniendo el mismo radio, o sea debes pasar el arco justo por A (circunferencias verde y 
azul). Esas tres circunferencias son congruentes. Si unes los puntos de intersección de 
las circunferencias (G, C, h y D) y los extremos del diámetro (E y B) habrás construido un 
hexágono regular. Veamos la figura:
Teoremas básicos de circunferencias
Teoremas
I) Todo radio siempre es perpendicular a la recta tangente en su punto de tangencia.
II) Sean dos rectas secantes paralelas (ojo que también pueden ser cuerdas paralelas), 
estas determinan arcos congruentes. 
III) En una misma circunferencia, a cuerdas de igual longitud le corresponden arcos de 
igual medida y viceversa.
Sea AB // CD
⇒ 
Si AB = CD
⇒ mAB = mCD
A
D
E
h
G C
I B F
O T
L1
A
C
B
D
L1
L2
A
B
C
D
hexágonos en la 
naturaleza.
Las abejas utilizan los 
hexágonos regulares 
porque optimizan el 
espacio y minimizan 
el mal uso de sus 
materiales.
¿Sa bía s qu e.. .?
m AC significa 
medida del arco AC.
Recu e rda
punto de 
tangencia
mAC = mBD
82
IV) Las cuerdas que equidistan del centro de una circunferencia, siempre son de igual 
medida.
V) Sea un diámetro perpendicular a una cuerda, este biseca tanto a la cuerda como al 
arco subtendido por la misma. hN es la llamada flecha o sagita.
VI) Los segmentos de rectas tangentes a una misma circunferencia desde un punto 
exterior a ella siempre serán de la misma medida.
VII) El segmento que une el origen de las tangentes a una circunferencia con el centro de 
esta, siempre es una bisectriz.
Además de estas propiedades podemos mencionar otras relacionadas directamente con 
la medida de los arcos en la circunferencia.
Definición: En toda circunferencia, la suma de las medidas angulares de sus arcos 
siempre es 360º.
Si a = b
⇒
Si MN ⊥ AB
⇒
Además mAN = mNB
Sea O: centro
Se cumple:
A
B
C
O
a b
D
NM
B
A
O h
P
B
A
A
α°
α°
O
C
B
α°
b°
q°
w°
AB = CD
Ah = hB
PA = PB
α° + b° + q° + w° = 360°
Obse rva
L: recta tangente
L
AB : arco
A
B
AB : cuerda
A
B
AB : diámetro o 
cuerda máxima
OA BO
83MateMática Delta 1 - GeoMetría
Ángulo inscrito: Dos cuerdas concurrentes en un punto de la circunferencia determinan 
un ángulo que mide la mitad del arco subtendido por dicho ángulo. 
Ángulo interior: La medida del ángulo determinado por el cruce de dos cuerdas en 
un punto interior de una circunferencia, es la semisuma de los arcos comprendidos por 
dichas cuerdas y se encuentran subtendidos por él.
Ángulo exterior: Es aquel ángulo cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia, 
y los lados pueden ser rectas tangentes, rectas secantes o una recta tangente y una 
secante. Su medida es la semidiferencia de los arcos que abarcan sus lados del ángulo 
sobre la circunferencia. Veamos los tres casos:
Teoremas referidos a arcos
Ángulo central: La medida del ángulo formado por dos radios es igual a la medida del 
arco subtendido por dicho ángulo. 
O
A
B
R
x
R
q°
A
B
x
C
q°
A
D
B
F
x
Cα°
q°
A
B
C
q°α° x°
B C
D
F
α°
q° x°
D
BA
C
x°
α°
q°
Obse rva
El arco AB está 
subtendido por el 
ángulo α. 
A
B
α°
Recu e rda
Sean a y b dos 
cantidades. 
Se cumple:
Semisuma: a + b
2
Semidiferencia: a – b
2
x = q°
x = q°2
x = α° + q°2
x = α° – q°2
84
Observación: Si un ángulo exterior formado por dos rectas tangentes subtiende a cierto 
arco, se cumple que las medidas del ángulo y el arco subtendido son suplementarios. 
Gráficamente:
Teorema de Poncelet 
En un triángulo rectángulo,la longitud del radio de la circunferencia inscrita guarda una 
relación con las longitudes de los lados del triángulo. Veamos cómo:
Teorema de Pitot 
En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las longitudes de los lados guardan 
la siguiente relación:
Donde a, b y c representan a las longitudes de los lados del triángulo, y r al inradio.
A
B x y
C
a b
c
r
A
D
B
C
Recu e rda
r : inradio
r
R : circunradio
R
Polígono circunscrito
Polígono inscrito
x + y = 180°
a + b = c + 2r
AB + CD = BC + AD
Arquímedes
El genio matemático Arquímedes, murió en el año 212 a. C. cuando las tropas 
romanas del general Marco Claudio Marcelo conquistaron Siracusa. Dos años 
estuvo sitiada la ciudad, durante la Segunda Guerra Púnica. Arquímedes 
había contribuido a la defensa de la ciudad gracias a sus inventos e ideas.
Según parece, y aquí comienza la historia embadurnada de leyenda, se 
había ordenado respetar la vida del matemático, a pesar de todo. hay varias 
versiones de la muerte de Arquímedes. Una dice que estaba estudiando un 
problema matemático cuando un soldado le ordenó ir a ver al general romano. 
El sabio hizo caso omiso al soldado y le dijo que primero debía resolver 
el problema que tenía ante él. El soldado, iracundo, asesinó, allí mismo, a 
Arquímedes con su espada. Existen otras versiones de esta muerte, aunque 
no muy diferentes.
El general Marcelo se enfureció al saber que había acabado con la vida de 
Arquímedes ya que era consciente de que con él se iba un brillante sabio y 
científico.
Al hilo de esta explicación, se dice que las últimas palabras de Arquímedes 
fueron «No toques mis círculos», en referencia al problema matemático que 
tenía ante sí y que el soldado debió toquetear. Dicho en latín, «Noli turbare 
círculos meos».
Nota
«No toques 
mis círculos»
.
85MateMática Delta 1 - GeoMetría
1 En la figura, calcula el valor de x.
Resolución: 
Se nota en la figura que AB es el diámetro de la circunferencia, y que PQ es una 
cuerda perpendicular al diámetro, por lo tanto se cumple que PS = SQ.
Entonces: x2 = 36 u2
 x = 6 u
A B
P
Q
36 u
S
x2 u 
Obse rva
Ángulo inscrito
α°
2α°
Rpta. 6 u
Rpta. 27°
Rpta. 13 u
2 ¿Cuál es el valor de x, en la figura? (O es el centro de la circunferencia y T es punto 
de tangencia)
Resolución: 
Como O es el centro de la circunferencia, entonces OT es radio; como recordaremos 
es perpendicular (forma 90º) con la tangente en el punto de tangencia T. Por lo tanto, 
OTS es un triángulo rectángulo.
Y por el teorema del ángulo exterior:
x + 90° = 117°
 x = 27°
3 Encuentra el valor de x en la siguiente figura, si T y M son puntos de tangencia.
Resolución:
Por teorema se sabe que las tangentes a una misma circunferencia son congruentes, 
por lo tanto miden igual. Entonces:
x – 2 = 11
 x = 13 u
T
M
11
x – 2
117°
O
T
S
x
117°
O
x
T
S
a = b
a
b
a = b
Ejercicios resueltos
86
Resolución: 
Lo primero que debemos tratar de hacer es saber cuánto mide la hipotenusa del 
triángulo, y para ello utilizaremos el teorema de Pitágoras. 
52 + 122 = (AC)2 ⇒ 13 = AC
Luego de esto todo está más sencillo, porque recordarás que esa situación 
problemática se resuelve utilizando el teorema de Poncelet.
Se cumple:
5 + 12 = 13 + 2r ⇒ 17 – 13 = 2r
 2 u = r
OT : radio
OT L
T: punto de tangencia
O
T
L
Obse rva
Si L1 // L2
α = b α° = b° 
L1
L2
α° b°
A
C
B
r
12 u
5 u
13 u
4 En la figura, determina el valor de x, si las rectas son tangentes.
Resolución: 
Por teorema de ángulo inscrito, se sabe que la medida del arco AB es el doble de la 
medida del ángulo Q, por lo tanto mide 112º.
Y como ya se explicó en una observación, la medida del ángulo APB y la medida del 
arco AB son suplementarios, por lo tanto:
x + 112° = 180°
 x = 68º
5 En la figura, se muestra un triángulo rectángulo donde sus catetos miden AB = 5 u y 
BC = 12 u. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia inscrita?
56°
x
56°
x
A
B
Q
P
112°
A
C
B
r
Rpta. 68°
Rpta. 2 u
b°
α°
α + b = 180°α° + b° = 180°
a2 + b2 = c2a2 + b2 = c2
a
c
b
Teorema de 
Pitágoras
87MateMática Delta 1 - GeoMetría
6 Dada la siguiente circunferencia, se sabe que EF // PQ, halla el valor de x.
Resolución:
Como EF // PQ, entonces mPE = mFQ = 72°.
Entonces por definición en la circunferencia:
x + 72° + 76° + 72° = 360°
 x = 140°
x
P
72°
76°
Q
E
F
7 En la figura, se sabe que m AB = 100°, m AC = 40°. Calcula el valor de x,
8 En la figura, encuentra el valor de x (O es el centro).
x = m AB – m AC2
x = 100° – 40°
2
x = 30°
Resolución:
Sabemos que esta situación encaja 
para aplicar directamente el teorema 
del ángulo exterior, donde:
Resolución:
Como O es el centro, se sabe por el teorema del ángulo central, que la medida del 
arco AB también es 80º. Así:
A P
B
C
x
A
O
B
80°C x
x = α - b2
x = 
α° – b°
2
xb°
α°
α°
α°
α°
2α°
α°
α°
Recu e rda
A
O
B
80° 80°
C x
Rpta. 140º
Rpta. 30°
Rpta. 40°
x = 80°
 2
 ⇒ x = 40°
También sabemos que x es el llamado «ángulo inscrito», y por lo tanto mide la mitad 
del arco subtendido a él. Entonces:
88
En la figura, el triángulo OTP es rectángulo. Por lo tanto:
x + 43° = 90°
 x = 47°
10 En la siguiente figura, se tiene que P, Q y T son puntos de tangencia. halla el valor 
de AB.
Resolución:
Como puedes notar por teorema de tangentes:
 BT = BQ = 4 u
También observamos:
AP = AQ = 8 u
Pero: x = AQ + BQ
 x = 8 u + 4 u
 x = 12 u
P
A
43°
43°
T
xO
A C
Qx
 8 u
T
P
B
4 u
9 En la figura, se sabe que O es el centro de la circunferencia, A y T son puntos de 
tangencia. Determina el valor de x.
Resolución:
Por teorema sabemos que el segmento que une el origen de las rectas tangentes 
con el centro de una circunferencia, siempre es bisectriz del ángulo formado por 
dichas tangentes. Entonces tenemos:
P
A
43°
T
xO
Si L1 y L2 son 
tangentes
a = b a = b 
a
b
L1
L2
Obse rva ción Rpta. 47°
Rpta. 12 u
89MateMática Delta 1 - GeoMetría
Lectura crítica
La siguiente lectura es tomada de la web. Lee y escribe en tu cuaderno las respuestas.
Durante siglos, pi (p) ha sido un número muy importante para las Matemáticas y la Física. 
Hemos aprendido su valor aproximado de 3,1416 en la educación primaria, y con ella las 
fórmulas del perímetro y área de un círculo. Pero más allá de su importancia, parece que pi 
tiene los días contados, y tau ( o 2p) podría ser su sucesor.
Tau: el doble de pi
Pi es un número tan antiguo que parece difícil que podamos desprendernos de él. Este 
número, que nace de la relación entre el perímetro de un círculo y su diámetro, podría 
aproximarse al fin de su existencia.
Un grupo de científicos conformado por físicos, matemáticos e investigadores de otras 
áreas del conocimiento, proponen que dejemos de utilizar el número pi y comencemos a 
utilizar el número tau, que es una constante que equivale exactamente al doble de pi. Es 
decir que tau vale aproximadamente 6,28318...
El principal argumento de los científicos para abandonar el uso de pi es meramente 
práctico: tau es más «natural» y ayuda a simplificar algunas complicadas fórmulas 
matemáticas en las que aparece el número pi multiplicado por dos.
¿Por qué es más natural el valor de tau que el de pi? Bueno, recordemos que el valor de pi 
es la relación del perímetro de un círculo con su diámetro. Sin embargo, matemáticamente 
un círculo se puede definir como la sucesión de puntos que están a la misma distancia de 
un solo punto, esta distancia es el radio, es decir, la mitad del diámetro. 
Si consideramos eso, entonces la relación entre el perímetro y el radio sería exactamente el 
doble, esto es 6,28. Además de esto, en muchas fórmulas matemáticas puedes encontrar el 
valor de pi multiplicado por dos, el cual se puede sustituir fácilmente por tau.
El físico Michaelhartl es uno de los entusiastas de tau, tanto así que ha escrito El Manifiesto 
tau, sobre por qué es mejor tau que pi, no solo para la matemática y las ciencias exactas, 
sino para la vida en general. 
Y como no podía ser de otra forma, tau tiene su propio día de celebración, al igual que pi. 
El día mundial de pi es el 14 de marzo, y el día mundial de tau es el 28 de junio. ¿Puedes 
notar la relación matemática entre estas fechas? ¿Cuál es?
Fuente: http://bit.ly/2U6GzWd
Preguntas:
1. Según el texto leído, ¿qué representa (tau)?
2. Según algunos científicos, ¿por qué es mucho más cómodo trabajar con tau que con pi?
3. ¿Cuál sería el valor aproximado de tau?
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no concuerda con el texto leído?
 a) El número pi es obsoleto y por eso debe ser desechado.
 b) Se ha descubierto que el número pi es exacto y tiene mitad.
 c) Tanto pi como tau tienen una fecha especial en el calendario de los matemáticos, 
y se celebran juntos.
 d) Existe tanta fascinación por el número tau, que hasta se han escrito obras en su 
honor como El Manifiesto tau, escrito por el físico Stephen hawking.
 e) Ninguna concuerda con lo leído en el texto.
5. Explica. ¿A qué crees que se debe que el día mundial de Pi sea el 14 de marzo y el 
de Tau el 28 de junio?
a = b = 2p
90
Síntesis
Modela y resuelve 
Resolución: Resolución:
Resolución: Resolución:
a
α° b°
b
Circunferencia
r
α° x x
L
L
L1
L1
L2
L2//r
a = b
⇒ α° = b°
2α°
x =
α° + b°
2
x =
α° – b°
2
b° b°α° α°
1 Construye en el cuaderno una circunferencia con 
radio 3 cm.
3 A una circunferencia de radio 2 cm, trázale dos 
tangentes que midan 3 cm.
2 Construye una semicircunferencia de 7 cm de 
diámetro.
4 Traza una semicircunferencia con radio 3,5 cm y 
una tangente de 4 cm.
91MateMática Delta 1 - GeoMetría
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
5 Traza un cuadrado inscrito en una circunferencia 
de radio 3 cm.
6 Traza un octógono regular, en una circunferencia 
de diámetro 6 cm.
7 Construye un arco que mida 80° utilizando tu 
transportador (no olvides indicar dónde está el 
centro del arco).
8 Construye un arco de 120°. Indica el centro O.
9 Si una circunferencia tiene radio 8 cm, ¿cuál es su 
longitud?
10 Si el diámetro de una circunferencia es 20 cm, 
¿cuál es su longitud?
Rpta. Rpta. 
92
11 Calcula el valor de x en la figura.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
x
A C
D
70°100°
B
12 En la figura, se sabe que m AB = 50°, m CD = 90°. 
Calcula el valor de x.
x°
A
B
C
D
13 En la figura, halla la medida del arco AB.
A
B
C
100°
14 En la figura, se sabe que m PQ = 108°. halla el 
valor de x.
P
Q
C
x
15 En la figura, determina el valor de x. 16 Determina el valor de x.
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
xA
B
C
3a
2a
a
3x + 20°
2x
x + 30°
B
A D
C
130°
93MateMática Delta 1 - GeoMetría
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
17 En la figura, m A + m C = 110°. Encuentra el 
valor de x.
A C
B
x
18 Encuentra el valor de x.
19 Calcula el perímetro de un triángulo rectángulo 
cuya hipotenusa mide 10 m y el inradio mide 2 m.
20 Calcula la longitud del radio de la circunferencia 
inscrita en un triángulo rectángulo cuyos catetos 
miden 15 m y 20 m.
A
C20°
B
x
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
94
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Resolución:
21 De acuerdo a la siguiente figura, halla el valor del 
arco MP, sabiendo que mABC = 135°.
22 Indica cuánto vale mPQR, si se sabe que 
mAC = 60°.
23 Determina el valor de PQ, si: 24 Determina el valor de AD.
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
N B
A
C
P
M
A C
P R
B
Q
P
2x + 1
x + 1
2x – 3
2x + 1
Q
S
R
B
A D
3k
k
2k – 2
3k – 3
C
95MateMática Delta 1 - GeoMetría
Resolución: Resolución:
Resolución:
Resolución:
25 En la figura mostrada mAC = 80° y mBC = 60°. 
Encuentra el valor de (x ‒ y). O es el centro.
26 Encuentra el valor de AB. Si se sabe que 
EB = 3 m y BF = 1 m.
28 Calcula la longitud del segmento LM, si se sabe 
que la medida del segmento NB = 4 m.
27 Calcula el perímetro del triángulo sombreado, si 
PA = 8 m.
C
B
A
D
O
P
x
y
E
B F
R
A
A
P
B
O1
B
N
M
L
A
O2
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta. 
96
Practica y demuestra
Nivel I
1 Indica si es verdadera (V) o falsa (F) ante cada 
proposición.
2 En la figura mostrada, ¿cuál de las relaciones se 
cumple?
3 Si la longitud de una circunferencia es 24p cm, 
entonces la longitud de su radio mide:
4 Angularmente, una circunferencia mide:
5 En la siguiente figura indica α
b
, si O es el centro 
de la circunferencia.
6 Sabiendo que la recta L es tangente a la 
circunferencia de radio R, halla el valor de x.
7 Calcula el valor de x.
A 6 cm B 8 cm C 12 cm
D 24 cm E 14 cm
A 90° B 60° C 45°
D 180° E Faltan datos
A 60° B 50° C 100°
D 200° E 150°
A 180° B 90° C 100°
D 360° E 720°
A 2 B 12 C 
1
3
D 1 E Faltan datos
 A AB + AC = BC + 2R
 B AC + BC = AB + 2R
 C AB + BC = AC + 2R
 D AB + AC = BC – 2R
 E AB + BC = AC – 2R
A C
OR
B
A
C
O
B
b°
α°
x
A
L
R
O
x
A
C
B 100°
 ( ) La longitud del radio es la mitad de la longitud 
 del diámetro.
 ( ) Si el radio mide 5 cm, entonces la longitud de 
 la circunferencia mide 10 cm. 
 ( ) La longitud de las secantes a una 
 circunferencia siempre son iguales.
 ( ) Una circunferencia tiene infinitos radios.
 ( ) Una recta tangente y el radio son 
 perpendiculares en el punto de tangencia.
A FFFVV B FVFVV C VVVFF
D VFFVV E FFVFV
D
97MateMática Delta 1 - GeoMetría
8 Si se sabe que las rectas mostradas son tangentes, 
¿qué afirmación se cumple a partir del siguiente 
gráfico?
9 Determina el valor de x, si O es el centro de la 
circunferencia.
11 En la figura, se tiene que AB es diámetro. halla el 
valor de α.
12 Calcula m AOB, si B es punto de tangencia y O 
es el centro de la circunferencia.
13 Si m PQS = 270°, determina el valor de x.10 A partir del gráfico, encuentra el valor de x, si se 
sabe que AD // BC.
A 60° B 30° C 90°
D 20° E 10°
A 180° B 150° C 100°
D 90° E Faltan datos
A 90° B 60° C 45°
D 30° E 150°
A 135° B 65° C 270°
D 45° E 90°
A 80° B 40° C 50°
D 100° E 45°
 A x = y B x = 2y
 C 2x = y D x + y = 180°
 E x + y = 360°
A
x
C
yB
A D
C
x
40°
B
A B
P
α
B
O
A
30°
x
P
S
Q
O
60°
 6x
98
14 Sabiendo que m C = 36°, mAB = 5x y 
mBD = 3x, ¿cuál es el valor de x?
17 En la figura, halla el valor de x.
18 En la figura, calcula el valor de x, si las rectas 
mostradas son tangentes a la circunferencia.
19 Determina el valor de x, en la figura.
15 Si T, A y B son puntos de tangencia, indica el valor 
numérico de x + y.
16 En la figura, las dos circunferencias son 
concéntricas (tienen el mismo centro); además, 
sus longitudes son 31,40 cm y 18,84 cm, 
asumiendo que p = 3,14. Encuentra el valor 
de AB.
A 18° B 36° C 72°
D 9° E 12°
A 8 cm B 9 cm C 10 cm
D 18 cm E 22 cm
A 8 cm B 9 cm C 10 cm
D 12 cm E 14 cm
A 36° B 18° C 23°
D 45° E 64°
A 90 B 60 C 74
D 96 E 103
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 4 cm E 5 cm
B
C
D
A
x
18
8
 8x
2x
B
A
O
T P
B
6
A
y
O
x°
Nivel II
O
a°
a° x
18 cm
C
DB
A
99MateMática Delta 1 - GeoMetría
20 Encuentra el valor de x, en la figura.
24 En la figura, se sabe que m AB = 120°. Determina 
el valor de x, si O es el centro de la circunferencia.
25 Del gráfico, encuentra el valor de x.
21 Si AB = 2 cm y CD = 8 cm, halla el valor de BC.
22 El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 m y 
el radio del círculo inscrito es 3 m. ¿Cuánto mide 
la hipotenusa?
23 Se circunscribe el cuadrilátero ABCD a una 
circunferencia, de modo que BC = 6 cm, 
CD = 9 cm y AD = 12 cm. Calcula el valor de AB.
A 100° B 80° C 50°
D 130° E 65°
A 45° B 50° C 60°
D 75° E 90°
A 90° B 60° C 120°
D 30° E Faltandatos
A 10 cm B 6 cm C 8 cm
D 12 cm E 15 cm
A 28 m B 12 m C 32 m
D 34 m E 25 m
A 8 cm B 9 cm C 10 cm
D 18 cm E 22 cm
B
x 100°
A
B
C
DA
B
x
75°
O
A
B
CA
2x
100
26 Del gráfico, halla el valor de x.
A 120° B 100° C 90°
D 75° E Faltan datos
Nivel III
27 Sabiendo que AB es diámetro, calcula el valor 
de x.
29 En la figura, encuentra m AD, si m BC = 20°.
28 En la figura, determina el valor de x, si AC es 
diámetro y O es el centro de la circunferencia.
30 En la figura mostrada, P, Q y R son puntos de 
tangencia. halla el valor de x.
A 30° B 60° C 45°
D 90° E 80°
A 140° B 150° C 160°
D 175° E 180°
A 1 cm B 2 cm C 3 cm
D 4 cm E 5 cm
A 36° B 18° C 23°
D 45° E 64°
B
x 30°
A
O
C
AD
B
12
x
40
60°
BC
AD
A C
x
36°
Q
R
P
α
α
B
a
a
B
A
C
D
3x – 
18º
2x + 82º
P
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
101MateMática Delta 1 - GeoMetría
SP
R
Q
L1
L2
O
60°
halla el valor de la medida del ángulo OPA, 
sabiendo que P es punto de tangencia.
Descubre el valor de x ÷ 10. Si se sabe que 
mAB = 8x + 20º y mAC = 40°
Determina el valor de la medida del ABD si se 
sabe que m ACD = 45°.
Encuentra el valor de α + b, si L1 y L2 son 
paralelas.
Calcula el valor de m QSR, según la siguiente 
figura (L1 y L2 son tangentes).
Indica el valor de x + y, si m AED = 80°.
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
40°A
70°C
50°B
90°D
0°A
20°C
1°B
30°D
22,5°A
90°C
45°B
110°D
28°A
84°C
56°B
112°D
60°A
90°C
80°B
120°D
120°A
200°C
160°B
240°D
B
P
O
A
A
B
C
D
A
C
B
3x
28°
L1
L2
b
α
A
B
E
C
D
x y
1
2
2 1
102
halla el complemento de b en la siguiente figura, 
si m P = 30°.
De acuerdo a la figura, ¿cuánto es el valor de q?
Determina el valor de r2 – 3. Encuentra el valor de x – 3.
Calcula el valor de α + 10°. Indica el perímetro del cuadrilátero ABCD, 
sabiendo que m A = 90°, BD = 20 y R = 4. 
Además AB = CD.
7 10
8 11
9 12
30°A
50°C
40°B
130°D
0A
2C
1B
4D
0A
3C
1B
6D
5°A
50°C
40°B
95°D
20°A
50°C
40°B
100°D
35A
48C
40B
64D
40°
P
b
45°
q + 4
0°
12
10
5x – 1 3x – 1
10
r
86
2α3α – 20°
A D
R
C
B
Tema
103MateMática Delta 1 - GeoMetría
6
Constelación de Orión
Cuando aperturamos el tema 1 vimos que con un conjunto de puntos podíamos construir 
distintos tipos de líneas, tales como:
Esta vez vamos a centrarnos en aprender las características que tienen las líneas 
poligonales y los polígonos en general. Pero primero es necesario hacer una discriminación 
oportuna: ¿Cuándo hablamos de una línea poligonal abierta y cuándo es cerrada?
Es decir, en una línea poligonal abierta, el punto que dio inicio al primer segmento es 
distinto al punto final del último segmento. Obviamente que en la poligonal cerrada el 
punto de inicio del primer segmento es, al mismo tiempo, el punto final del último.
Recta Curva Poligonal Mixta
B C D N
O
R
T
U
V
S
Línea poligonal abierta
A
B
C
D
H
I
J
K
G
E
F
Línea poligonal cerrada
Polígonos
Etimológicamente:
Polígono proviene 
de polis: «muchos» y 
gonos: «ángulos».
¿Sa bía s qu e.. .?
Un polígono existe si 
todos y cada uno de 
sus lados pertenecen 
al mismo plano.
Recu e rda
104
Otra característica que tienen las líneas poligonales es que algunas son convexas y 
otras no convexas (en alguna literatura se utiliza la expresión cóncavas, pero dicha 
denominación no es del todo apropiada ya que está más asociada a las líneas o superficies 
curvas). 
¿Cómo identificamos si una línea poligonal es convexa o no convexa? Partiendo de 
un plano, se traza una recta sobre dicho plano y este queda dividido en dos semiplanos. 
Tal como se muestra en el gráfico: 
A partir de ello podemos definir: 
• Línea poligonal convexa: Cuando todos los segmentos que la conforman pertenecen 
a un mismo semiplano. 
• Línea poligonal no convexa: Cuando algún o algunos segmentos de una línea 
poligonal no pertenecen al mismo semiplano. 
A partir de las líneas poligonales cerradas podemos construir polígonos, tanto convexos 
como no convexos. 
Primero, determinamos la nomenclatura de las poligonales cerradas:
Semiplano 1
Semiplano 2
Semiplano A
Semiplano B
Línea poligonal convexa
Semiplano A
Semiplano B
Línea poligonal no convexa
Número de lados Nombre
3 triángulo
4 cuadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 nonágono (eneágono)
10 decágono
11 undecágono (endecágono)
12 dodecágono
15 pentadecágono
20 icoságono
Otra manera de 
saber si una figura 
es convexa, sería 
verla por el máximo 
número de cortes de 
una secante.
¿Sa bía s qu e.. .? 
Solo dos puntos de 
corte.
Más de dos puntos 
de corte.
Polígono convexo
Polígono no convexo
105MateMática Delta 1 - GeoMetría
Nota: Para un polígono cuyo número de lados no aparece en la lista, simplemente se le 
nombra en función a su número de lados: Por ejemplo podemos hablar del Polígono de 
30 lados (sería un error hablar de TRIDECÁGONO). 
Ya que hemos notado cómo se conforma un polígono, los elementos de un polígono solo 
son dos: vértices y lados.
 En la figura:
• Vértices: A, B, C, D y E 
• Lados: AB, BC, CD, DE y EA 
Los ángulos y las diagonales son llamados elementos asociados.
Veamos algunos elementos asociados en la figura. 
 ABC: ángulo interior de medida θ° 
 DEP: ángulo exterior de medida α°
FC : diagonal
Clasificación de polígonos 
Polígono convexo: Formado por una poligonal cerrada convexa.
A B
C
D
E
B
A G
F
E
P
D
C
θ°
α°
Recu e rda
Se llama ángulo 
ABC.
α°: medida del 
ángulo ABC.
A
α°
C
B
BD: diagonal interior
CE: diagonal exterior
A
B
C
E
D
106
Polígono no convexo: Formado por una poligonal cerrada no convexa.
Polígono equilátero: Polígono donde las longitudes de sus lados son iguales. Puede ser 
convexo o no convexo.
Polígono equiángulo: Polígono donde las medidas de sus ángulos son iguales. 
Necesariamente debe ser un polígono convexo.
Polígono regular: Es equiángulo y equilátero al mismo tiempo.
θ°
θ°
θ°
θ°
θ°
θ°
θ°
α° α°
α°
α°
α° α°
Centro
O
a
a
a
a
a
a
Import a nt e
Polígono 
equilátero: Sus 
lados miden igual.
Polígono 
equiángulo: Sus 
ángulos miden igual.
Polígono regular: 
Tanto sus lados 
como ángulos miden 
igual.
Polígono equilátero convexo Polígono equilátero no convexo
θ°
θ°
θ°
θ°
107MateMática Delta 1 - GeoMetría
a = b 
a = b 
Observación: Un polígono regular tiene la propiedad de estar inscrito y circunscrito al 
mismo tiempo.
Más adelante estudiaremos al detalle estos polígonos, por ahora, nos concentraremos en 
algunos teoremas a partir de su configuración. 
Postulado: En todo polígono el número de vértices es igual al número de lados e igual al 
número de ángulos internos.
Teorema: En todo polígono el número de diagonales es igual al semiproducto del número 
de lados con el número de lados disminuido en tres.
Teorema: En todo polígono convexo, la suma de las medidas de sus ángulos interiores 
es igual al producto de 180º con el número de lados disminuido en 2.
S i = 180°(n – 2)
S e = 360°
Teorema: En todo polígono convexo, la suma de las medidas de los ángulos exteriores 
(considerando uno en cada vértice) es 360º. 
n: número de lados
C
A
D
F
EB
Postulado: Es 
una proposición 
que no requiere 
demostración ya que 
es obvia.
Teorema: Es 
una proposición 
que requiere 
demostración.
Recu e rda
a = b ND =
n(n – 3)
2
108
a = b 
a = b 
a = b 
Teorema: En todo polígono equiángulo y regular, la medida de cada ángulo exterior es 
igual a 360º dividido por el número de lados. 
Teorema: En todo polígono regular, la medida de su ángulo central es equivalente con la 
de su ángulo externo.
Teorema: En todo polígono equiángulo y regular, la medida de cada ángulo interior es 
igual al producto de 180º con el número de lados disminuido en dos, y dividido por el 
número de lados.
m i =
180°(n – 2)
n
m e =
360°
n
m c =
360°
n
Observación: Si el pentágonomostrado es regular, se tiene que:
Observación: Para un polígono de n lados se tiene:
Teorema: Desde cada vértice en un polígono se pueden trazar «n – 3» diagonales. 
Cantidad de vértices 
consecutivos
Número de diagonales 
trazables
1 n – 3
2 n – 3
3 n – 4
4 n – 5
5 n – 6
Recu e rda
A
D
AD: diagonal
Sea O: centro del 
pentágono
ángulo exterior
ángulo interior
ángulo central
O
109MateMática Delta 1 - GeoMetría
1 ¿Cuánto suman las medidas de los ángulos interiores de un pentadecágono convexo?
 Resolución: 
 Un pentadecágono es un polígono de 15 lados. Por teorema sabemos:
 S i = 180°(n – 2)
 Entonces:
 S i = 180°(15 – 2)
 S i = 2340°
2 ¿Cuántas diagonales más tiene un icoságono que un dodecágono?
 Resolución: 
 Un icoságono es un polígono que tiene 20 lados, mientras que un dodecágono tiene 
12. Por teorema sabemos:
ND =
n(n – 3)
2
Suma de medidas de 
ángulos interiores:
a = b S i = 180°(n – 2)
Número máximo de 
diagonales:
a = b ND = 
n(n – 3)
 2
Recu e rda
 Entonces:
Rpta. 2340°
Rpta. 116
Rpta. 360°
Rpta. 18°
 Por lo tanto, el icoságono tiene 116 diagonales más.
3 En un polígono convexo de 146 lados, ¿cuánto es la suma de las medidas de sus 
ángulos exteriores? (Considere un solo ángulo exterior por vértice)
 Resolución: 
 Por definición teórica, se sabe que la suma de las medidas de los ángulos exteriores 
de un polígono convexo siempre es constante y es igual a 360º. Por lo tanto, sin 
importar el número de lados, la respuesta siempre será 360º. 
ND20 = = 170
20(20 – 3)
2 ND12 = = 54
12(12 – 3)
2
Recu e rda
Solo dos puntos de 
corte:
Polígono convexo
Más de dos puntos 
de corte: Polígono 
no convexo o 
cóncavo.
4 ¿Cuánto mide el ángulo central de un polígono de 20 lados? 
 Resolución: 
 Para que un polígono tenga ángulo central, es necesario que el polígono sea regular. 
Según teorema.
m c =
m c = = 18°
360°
n
360°
20
Ejercicios resueltos
110
 Por lo tanto:
 1.er vértice: 18 – 3 = 15 
 2.o vértice: 18 – 3 = 15 
 3.er vértice: 18 – 4 = 14 
 4.o vértice: 18 – 5 = 13 
 5.o vértice: 18 – 6 = 12
 Entonces, el número de diagonales trazables desde 5 vértices consecutivos será 69.
6 ¿Cuántos lados tiene el polígono convexo cuya suma de los ángulos interiores es 
3060º? 
 Resolución: 
 3060° = 180°(n – 2)
 17 = n – 2
 19 = n
O: Centro
AOB: ángulo central 
de medida α.
Ángulo central de un 
polígono regular
A B
O
α°
Recu e rda
Polígono regular:
• Lados miden igual.
• Ángulos miden 
igual.
Recu e rda
7 ¿Cuántas diagonales tiene el polígono regular en el cual el ángulo externo es la mitad 
del interno?
 Resolución: 
 Nos piden el número de diagonales, pero primero debemos calcular el número de 
lados a partir de la otra ecuación. 
 Ahora, calcula el número de diagonales:
=
360°
n
1
2
180°(n – 2)
n
ND6 = = 9
6(6 – 3)
2
• Número de 
diagonales:
Recu e rda
a = b ND = 
n (n ‒ 3)
2
 ⇒ 720° = 180°n – 360°
 1 080° = 180°n
 6° = n
5 Se tiene un polígono de 18 lados, ¿cuántas diagonales se pueden trazar desde 
 5 vértices consecutivos? 
 Resolución: 
 Hay que tener cuidado con esta pregunta, ya que no están pidiendo el número total 
de diagonales, en cambio se pide que analices para solo 5 vértices consecutivos. 
Entonces, hay que recordar una observación: 
Cantidad de vértices 
consecutivos
Número de diagonales 
trazables
1 n – 3
2 n – 3
3 n – 4
4 n – 5
5 n – 6
Rpta. 69
Rpta. 19
Rpta. 9
111MateMática Delta 1 - GeoMetría
 Resolución:
 Al ser ambos polígonos regulares, es fácil calcular los valores que tienen β y ω.
8 En la figura, se muestran dos polígonos regulares. Indica el valor de x.
x
 Veamos: 
 Para β:
 Para ω:
 Por lo tanto:
 Finalmente, como puedes ver en el gráfico, exteriormente se está formando un 
triángulo isósceles, esto debido a que los lados de los polígonos regulares miden 
igual. Por eso se tiene en el triángulo:
 2x + 132° = 180°
 2x = 48°
 x = 24°
β =
ω =
= 120°
= 108°
180°(6 – 2)
6
180°(5 – 2)
5
ω + β + θ = 360º
 θ = 132º
9 ¿Cuántos lados tiene el polígono cuyo número de diagonales excede en 133 al 
número de lados? 
 Resolución: 
 Planteamos la ecuación:
 Esta igualdad se cumple para:
 n = 19
n2 – 5n = 266
n(n – 5) = 266
ND = n + 133
n2 – 3n = 2n + 266
= n + 133
n(n – 3)
2
Medida de un ángulo 
interno:
Medida de un ángulo 
externo:
Recu e rda
a = b m i = 
180° (n ‒ 2)
 n
a = b m e = 
360°
 n
Rpta. 24°
Rpta. 19
x xθ
βω
112
10 En un polígono equilátero cuyo lado mide 4 cm, su número de diagonales es 
numéricamente igual al cuádruplo del número que expresa el perímetro de la región 
que limita dicho polígono. Calcula el número de lados del polígono. 
 Resolución: 
 Sea el polígono de n lados, como cada lado mide 4 cm, por lo tanto, su perímetro 
será 4n.
 Planteamos la ecuación: 
12 En la figura ABCDEF y APQF, son polígonos regulares, determina el valor de x.
 Resolución:
 En el cuadrado APQF, AP = AF y m PAF = 90°
 En el hexágono regular ABCDEF, AB = AF y m BAF = 120°
 ABP (isósceles) ya que AB = AP = AF
 Luego: 
 m B = m P = x
 ABP: isósceles
 x + x + (120° – 90°) = 180°
 2x = 150°
 ∴ x = 75°
⇒ = 16n
n(n – 3)
2
 n(n – 3) = 32n
 n = 35
ND = 4(2p) = 4(4n)
n(n – 3)
2
11 Halla el número de lados de un polígono en el cual la diferencia de su número de 
diagonales y el número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos 
interiores es 19.
 Resolución:
 Se sabe que: S i = 180°(n – 2)
 El número de ángulos rectos será: NR = 
S i 
90°
 Por dato del problema:
 ND – NR = 19
 
n(n – 3)
2
 – 2(n – 2) = 19 ⇒ n2 – 3n – 4n + 8 = 38
 n2 – 7n = 30
 n(n – 7) = 10 × 3
 ∴ n = 10
A
B
C D
E
F
P
x
Q
El polígono tiene 10 lados: decágono.
Perímetro:
Suma de las 
longitudes de los 
lados de un polígono 
cualquiera.
Recu e rda
ND
ND
Rpta. 35
Rpta. 10
Rpta. 75°
113MateMática Delta 1 - GeoMetría
Anexo
En Matemática, las afirmaciones (proposiciones) tienen diferentes categorías. Tenemos:
Axiomas o postulados
Son proposiciones de obvia explicación o de análisis simple. Aquí algunos ejemplos:
La distancia mínima entre dos puntos es un segmento recto
Sea:
A B
Es obvio que para unir A y B se requiere solo un segmento recto.
A B
Todos los ángulos rectos miden igual
Esto es evidente porque todos los ángulos rectos miden 90°.
Algunos postulados geométricos requieren un poco más de reflexión:
Así por ejemplo:
Postulado de ángulos correspondientes
Sea L1 // L2 ⇒ a = b α° = β°
β°
α°
L2
L1
Postulado de triángulos congruentes
Si AB = MN y BC = NK; además, m ABC = m MNK.
θ°
A
C
B
α β
°θ
M
K
N
α β
 
Entonces se afirma que:
a = b ABC ≅ MNK
≅ se lee: 
es congruente a
Recu e rda
114
También como siguiente tipo de proposiciones tenemos los teoremas.
Teorema
Es una proposición matemática que tiene una demostración.
Veamos: 
Teorema 1 
Los ángulos alternos internos entre paralelas son congruentes.
Si L1 // L2 ⇒ a = b θ° = ω°
ω°
θ°
L2
L1
Demostración:
ω°D
θ°
θ°
L2
L1 C
A
B
E
F
 
1. m ABC = m FBD (ángulos opuestos por el vértice).
2. Por el postulado de los ángulos correspondientes, ω = θ → LQQD
Teorema 2 
Los ángulos conjugados entre paralelas son suplementarios.
Sea L1 // L2 ⇒ a = b α° + β° = 180°
β°
α°
L2
L1
Demostración:
β°D
α°
β°
L2
L1 C
A
B
E
1. Por el postulado de ángulos correspondientes: m ABC = m ADE
2. Se nota que en «B» se tiene un par lineal.
a = b α° + β° = 180° → LQQD
LQQD: quiere decir, 
«lo que se quería 
demostrar».
¿Sa bía s qu e.. .?
115MateMática Delta 1 - GeoMetría
Recuerda: Par linealson ángulos adyacentes y suplementarios.
θ°
α°
Teorema 3 
La suma de las medidas de los ángulos interiores de un triángulo es 180°.
A
B
C
α° θ°
β°
Demostración
θ°α°
E D L
A
B
C
α° θ°
β°
1. Se traza una recta L paralela a AC.
2. m BAC = m EBA = α°
 m BCA = m CBD = θ°
Apoyándonos en el teorema de los ángulos alternos.
3. Como puedes observar en «B» se cumple: a = b α° + β° + θ° = 180° → LQQD
Teorema 4
Si L1 // L2 ⇒ x + y = a° + b°
 
y
b°
a°
L2
L1
x
Demostración:
 1. Por ángulos alternos internos m PTQ = y
 ⇒ m RTQ = b – y
 2. Por el teorema anterior se tiene que x = a + (b – y)
 Al desarrollar a = b x + y = a° + b° → LQQD
Par lineal
a = b α° + θ° = 180°
a = b α° + β° + θ°= 180°
y
b
b ‒ y Q
P
R
T
y
a
L2
L1
x
116
Teorema 5
Si L1 // L2 ⇒ a = b x = α° + β°
β°
x
α°
L2
L1
Demostración:
α°
α°
β°
β°L2
L1
x
A
B
C
D
1. Por «B» se traza una paralela a L1 y L2.
2. Por ángulos alternos internos: m ABD = α°
 m CBD = β°
3. En «B» se nota a = b x = α° + β° → LQQD
Teorema 6
Se cumple que: x + y = a + b
a
b
x y
Demostración:
a
T
Q
P
S
R
V
x
b 
x y
1. Se traza VT // PS. 
2. Por ángulos alternos internos m VTQ = x.
3. Por «el serrucho» a = b x + y = a + b → LQQD
117MateMática Delta 1 - GeoMetría
Síntesis
Modela y resuelve 
Hexágono 
equilátero
Hexágono 
equiángulo
Hexágono 
regular
S i = 180°(n – 2)
S e = 360°
En todo polígono equiángulo o regular
Todo polígono
En todo polígono regular
ND =
n(n – 3)
2
m i = ;
;
180°(n – 2)
n m e =
donde m : medida del ángulo
360°
 n
m c =
360°
 n
e e
e e
e
e
α
α
α
α
α α
α
α
α
α
α α
e
e
e e
e e
Polígonos
Encuentra en este pupiletras los nombres de los polígonos.
• Endecágono
• Dodecágono
• Octógono
• Hexágono
• Nonágono
• Undecágono
• Heptágono
• Cuadrilátero
• Pentadecágono
• Eneágono
• Pentágono
• Icoságono
C R D M G N H V P N S R O P K I T
H U U O R A L X E O K E O E I Y F
O E A N D Y Q E L N V P A N O X B
Y A P D D E I Y G A G U K T T F P
W O X T R E C E O G P U E A W J Y
O P V D A I C A U O F V E D A Q V
E X U E P G L A G N O Q N E I Y W
Y N A C I E O A G O S C E C U U X
B Q E I O N N N T O N W A A A S O
A Y K G S W T T O E N O G G A O U
Y I F O O E B E A T R O O O U K O
C P A N E N U E G G Y O N N V E U
B X I O F O O O V O O O O O A I O
E N D E C A G O N O N N T U F A S
T R E I N T A G O N O O O X R L E
H E X A G O N O N O C T O G O N O
I C O S A G O N O A W P E P P U W
118
1 Calcula la suma de las medidas de los ángulos 
internos de un pentágono convexo.
 Resolución:
2 Calcula la suma de las medidas de los ángulos 
internos de un octágono convexo.
 Resolución:
Resuelve las situaciones que se plantean con la ayuda de tu profesor. 
3 Determina el número total de diagonales de un 
decágono regular. 
 Resolución:
8 ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior 
mide 150°?
 Resolución:
4 ¿En qué polígono regular se cumple que el número 
de lados es la mitad del número de diagonales?
 Resolución:
5 Encuentra el número de lados de un polígono 
regular en el cual su número total de diagonales 
es igual a 7 veces su número de lados.
 Resolución:
6 ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un hexágono 
regular?
 Resolución:
7 ¿En qué polígono regular se cumple que su ángulo 
exterior mide 24°? 
 Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
119MateMática Delta 1 - GeoMetría
13 En un polígono regular, el doble del número de 
diagonales es igual al quíntuplo del número de 
lados. Halla la medida de un ángulo interior.
 Resolución:
14 ¿Cuánto mide el ángulo interior de un polígono 
regular de 18 lados?.
 Resolución:
15 ¿Cuál es el polígono convexo que tiene 
 119 diagonales? Da como respuesta el número de 
lados.
 Resolución:
16 Determina el número de lados de un polígono 
regular convexo, cuyo número total de diagonales 
es 54.
 Resolución:
11 Efectúa la suma de las medidas de los ángulos 
internos de un polígono convexo de 18 lados.
 Resolución:
12 ¿Qué polígono tiene tantas diagonales como 
lados?
 Resolución:
9 ¿Cuántos lados tiene aquel polígono donde se 
pueden trazar 20 diagonales?
 Resolución:
10 En un pentágono convexo tres de sus ángulos 
miden 120º cada uno y los otros dos son 
congruentes. Calcula uno de ellos.
 Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
120
17 Encuentra la medida de un ángulo exterior de un 
polígono regular de 24 lados. 
 Resolución:
18 Encuentra el perímetro de un polígono regular 
cuyo lado mide 7 cm, si la medida de su ángulo 
interior es el triple de la medida de su ángulo 
exterior.
 Resolución:
 Resolución:
19 Halla el número de diagonales de un polígono 
regular, sabiendo que 36 veces la medida de su 
ángulo exterior equivale a 9 veces la medida de su 
ángulo interior.
 Resolución:
20 En la figura, ABCDE y EFCMN son pentágonos 
regulares. Halla m FED.
E
C
B
A
F D
M
N
22 En un cuadrado ABCD, se construye interiormente 
el triángulo equilátero AED. Calcula m AEB.
 Resolución:
21 En un polígono regular ABCDE, la m ACE = 144°. 
¿Cuánto mide su ángulo interior?
 Resolución:
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
121MateMática Delta 1 - GeoMetría
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
Rpta. 
25 La diferencia entre el número de diagonales de 
cierto polígono regular y el número de ángulos rectos 
equivalentes a la suma de los ángulos internos es 8. 
Encuentra la medida del ángulo central.
 Resolución:
27 Efectúa la suma de las medidas de los ángulos 
internos de un polígono regular si el número de 
diagonales es 90.
 Resolución:
26 Encuentra el número de lados del polígono cuyo 
máximo número de diagonales es el doble de la 
suma del número de lados más dos.
 Resolución:
28 La diferencia entre el número de diagonales y el 
número de ángulos llanos equivalentes a la suma 
de las medidas de los ángulos interiores de un 
polígono es 119. Halla la suma de las medidas de 
los ángulos internos de dicho polígono.
 Resolución:
24 ¿A cuántos ángulos rectos equivale la suma de 
los ángulos interiores de cualquier polígono?
 Resolución:
23 En un polígono equilátero se sabe que desde 
5 vértices consecutivos se pueden trazar 
 29 diagonales. Determina el perímetro si uno de 
sus lados mide 3 cm.
 Resolución:
122
Practica y demuestra
Nivel I
1 ¿En qué polígono convexo la suma de ángulos 
internos es 1260º? 
 A decágono B octógono
 C hexágono D pentágono
 E nonágono
4 ¿Cuál es el polígono cuyo número de diagonales 
es igual al doble del número de lados?
 A pentágono B hexágono
 C heptágono D nonágono
 E octógono
2 Halla el número de diagonales de un icoságono. 
A 160 B 200 C 180
D 170 E 150
3 Calcula el ángulo interno de un dodecágono 
equiángulo.
A 130° B 120° C 160°
D 150° E 110°
5 Determina el número de diagonales del polígono 
convexo que tiene 10 ángulos internos.
A 40 B 35 C 20
D 30 E 27
6 Encuentra el número de vértices del polígono 
convexo cuya suma de ángulos internos más la 
suma de ángulos externos es 1980º. 
A 12 B 13 C 10
D 9 E 11
123MateMática Delta 1 - GeoMetría
7 Halla el número de diagonales del polígono 
regular cuyo ángulo interno mide 135º. 
8 Calcula la medida del ángulo central del polígono 
regular cuyo número de vértices es igual al número 
de diagonales.
9 La suma de los ángulos interiores de un polígono 
regular es equivalente a 56 ángulos rectos. 
Determina la medida del ángulo central de dicho 
polígono. 
10 Encuentra la suma de ángulos internos del 
polígono no convexo mostrado. 
A 20 B 16 C 9
D 35 E 27
A 60° B 90° C 120°
D 45° E 72°
A 30° B 12° C 132°
D 32° E 15°
11 En un polígono convexo la suma de los ángulos 
internos excede en 720º a la suma de los ángulos 
exteriores. Halla su número de diagonales. 
A 27 B 35 C 44
D 14 E 20
A 1080°B 900° C 1260°
D 720° E 1340°
12 Calcula el número de vértices del polígono cuyo 
número de diagonales más el número de lados 
es 105.
A 12 B 13 C 15
D 16 E 14
124
13 Si la relación del ángulo interior y exterior de un 
polígono regular es de 7 a 2. Determina el número 
total de sus diagonales.
15 Halla el perímetro de un hexágono equiángulo 
ABCDEF. Siendo DE = 1 u; BC = 2 u; AF = 3 u y 
CD = 4 u.
16 ¿Cuántos lados tiene un polígono cuyo número 
de diagonales excede en ocho al número de 
diagonales de otro polígono que tiene un lado 
menos?
14 En el gráfico, encuentra el valor de θ, si ABCDE es 
un pentágono regular y CDPQ es un cuadrado.
A 27 B 20 C 35
D 44 E 56
A 14 u B 15 u C 16 u
D 18 u E 20 u
A 9 B 10 C 11
D 12 E 8
A 12° B 10° C 9°
D 8° E 15°
B
A
E
D
P
C
θ
Q
17 Calcula la suma de las medidas de los ángulos 
internos de un polígono convexo de 25 lados.
18 Determina el número total de diagonales de un 
endecágono regular.
A 40 B 44 C 50
D 30 E 45
 A 4140° B 3960°
 C 3780° D 3600°
 E 4320°
Nivel II
125MateMática Delta 1 - GeoMetría
19 Encuentra la medida de un ángulo exterior de un 
pentadecágono regular.
21 ¿Cuántos lados tiene el polígono donde se 
cumple que el número de sus diagonales excede 
al número de sus vértices en 7? 
20 Halla el número de diagonales de un polígono 
convexo, si la suma de sus ángulos interiores 
es igual a 4,5 veces la suma de sus ángulos 
exteriores.
A 30° B 24° C 36°
D 45° E 48°
A 7 B 8 C 9
D 11 E 13
22 Si al número de lados de un polígono se le agrega 
su número de vértices se obtiene 20. Calcula su 
número de lados. 
A 10 B 15 C 20
D 25 E 30
A 30 B 35 C 44
D 20 E 56
24 ¿En qué polígono se cumple que el número de sus 
diagonales excede al número de sus vértices en 
18? (Da como respuesta el número de lados).
A 7 B 8 C 9
D 11 E 13
23 De todos los polígonos regulares, ¿cuál es el que 
posee mayor ángulo central? 
 A triángulo B cuadrado
 C pentágono D hexágono
 E dodecágono
126
25 El número de ángulos rectos equivalentes a la 
suma de los ángulos interiores de un polígono 
convexo es 20. Determina el número de sus lados.
A 10 B 11 C 12
D 13 E 14
26 Se sabe que en un polígono convexo la suma de 
sus ángulos interiores es 540°. Con este dato, 
averigua el número total de sus diagonales. 
A 8 B 7 C 6
D 5 E 4
27 Encuentra el número de diagonales de un polígono 
cuyos ángulos interiores suman 900°.
A 5 B 9 C 14
D 20 E 7
28 ¿En qué polígono se cumple que el número de 
lados es igual al número de diagonales?
 A pentágono B hexágono
 C heptágono D octógono
 E eneágono
29 ¿En qué polígono regular se cumple que la medida 
del ángulo exterior es el doble de la medida del 
ángulo interior?
 A triángulo B cuadrilátero
 C pentágono D hexágono
 E heptágono
30 ¿En qué polígono se cumple que el número de 
lados más la mitad del número de vértices es igual 
al número de diagonales?
 A pentágono B hexágono
 C heptágono D octógono
 E dodecágono
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 4
127MateMática Delta 1 - GeoMetría
¿Cuánto mide el ángulo central de un 
hexágono?
Determina el número de diagonales de un 
polígono cuya suma de sus ángulos internos es 
1440°.
Calcula la medida de un ángulo interior de un 
dodecágono.
Encuentra el número de vértices de un polígono 
en el que se pueden trazar 54 diagonales en 
total.
Halla la suma de las medidas de los ángulos 
internos de un octógono.
En cierto polígono, la suma de sus ángulos 
internos es 2340°; ¿cuánto mide un ángulo 
central si se sabe que dicho polígono es regular?
1 4
2 5
3 6
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
6°A
60°C
30°B
120°D
8A
20C
10B
35D
15°A
140°C
120°B
150°D
12A
9C
10B
8D
1440°A
900°C
1080°B
720°D
13°A
18°C
15°B
24°D
128
El número de diagonales de un polígono convexo 
excede al número de ángulos internos en 12. Da 
como respuesta el nombre del polígono.
Halla cuánto mide un ángulo externo de un 
polígono regular cuya suma de ángulos internos 
es 3240°.
Calcula el número de lados de un polígono 
convexo, si su número de diagonales equivale a 
10 veces el número de vértices.
La relación de un ángulo interno con un externo 
de un polígono regular es de 3 a 2. Determina 
el total de diagonales que se pueden trazar en 
dicho polígono.
Indica la suma de ángulos externos de un 
polígono que tiene 42 lados y es irregular.
Descubre cuántas diagonales se pueden trazar 
en total en un polígono convexo en el que la suma 
de sus ángulos internos y externos es 2340°.
7 10
8 11
9 12
octógonoA
endecágonoC
decágonoB
icoságonoD
17A
23C
20B
26D
5A
12C
8B
16D
15°A
17°C
16°B
18°D
58°A
200°C
119°B
360°D
44A
65C
54B
77D
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las 
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la 
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos, 
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este 
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales. 
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad 
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que 
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, 
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. 
Estos son tan importantes que serán respetados como 
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o 
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, 
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen 
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los 
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
 La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los 
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una 
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo 
Nacional es garantizar una sociedad en la que los 
derechos son respetados y los ciudadanos vivan 
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir 
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor 
para el país.
2. Equidad y justicia social
 Para poder construir nuestra democracia, es necesario 
que cada una de las personas que conformamos esta 
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el 
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades 
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los 
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una 
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar 
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
 Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete 
a fomentar el espíritu de competitividad en las 
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos 
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las 
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar 
la colocación de nuestros productos en los mercados 
internacionales.
4.	 Estado	eficiente,	transparente	y	descentralizado
 Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus 
obligaciones de manera eficiente y transparente para 
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo 
se compromete a modernizar la administración pública, 
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o 
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar 
el poder y la economía para asegurar que el Estado 
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a 
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de 
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir 
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
1
GEOMETRÍA
Secundaria
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales 
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales 
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamientoabstracto en los estudiantes del nivel secundario. 
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas, 
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes 
competencias:
Delta
Resuelve problemas de cantidad
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
Resuelve problemas de movimiento, forma y localización
Matemática