SIU1 Teoría 09 - Álgebra

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Álgebra
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Semestral intensivo virtual UNI
Valor Absoluto 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Objetivos 
Utilizar la 
definición y 
teoremas de valor 
absoluto de 
forma adecuada 
Resolver las 
ecuaciones con 
valor absoluto 
Resolver las 
inecuaciones 
con valor 
absoluto 
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
La noción de valor absoluto, es para nombrar 
al valor que tiene un número más allá de su 
signo, es la magnitud numérica. 
Valor Absoluto
Por lo dicho 3 y −3 tienen el mismo valor 
absoluto, que se denota así 3 = 3 y −3 = 3
También se puede entender el valor absoluto 
como la distancia que existe entre el número y 
el cero. 
El número 5 y −5 están en la recta real, a la 
misma distancia del cero. 
−𝟓 𝟓𝟎
distancia 5 distancia 5
𝟓 = −𝟓 = 𝟓
Resultado 
no negativo
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Definición de Valor absoluto 
C U R S O D E Á L G E B R A
Sea 𝑥 ∈ ℝ , el valor absoluto de 𝑥 es
𝑥 = 𝑥 ↔ 𝑥 ≥ 0
𝑥 = −𝑥 ↔ 𝑥 < 0
Ejemplos:
• 7 = 7 ; 0 = 0 ; −4 = − −4
• 𝑥2+2 =
Siempre positivo
𝑥2 + 2
= 4
• 𝑥2−𝑥 + 1 =
Siempre positivo, por el 
teorema del trinomio positivo 
(coef. principal> 0 𝑦 ∆< 0)
𝑥2 − 𝑥 + 1
• 2 − 𝜋 =
Es negativo
− 2 − 𝜋 = 𝜋 − 2
Nota : El resultado de un valor absoluto es mayor o igual a cero, 
nunca es negativo
𝑎 =
Si es positivo
Resulta el mismo 
número 
𝑎
De forma práctica 
borramos las barritas 
del valor absoluto 
𝑎 =
Si es negativo
Resulta el número multiplicado por un 
signo menos 
−𝑎
Ejemplos:
• 2𝑥2+1 =
positivo
2𝑥2 + 1
• 𝑥 + 3 =
positivo
𝑥 + 3
• sen𝑥 − 5 =
es negativo
sen𝑥 − 5− = 5 − sen𝑥
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Propiedades del valor absoluto 
Considere que cada expresión este bien definida en los reales.
1. 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
𝑥 − 2 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
𝑥3 + 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ
2. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
2𝑥 = 2 𝑥 = 2 𝑥
𝑥2 + 𝑥 = 𝑥 𝑥 + 1
2𝑥 + 6 =
Consecuencia :
2 𝑥 + 3
−3𝑥 − 15 = 3 𝑥 + 5
3. −𝑥 = 𝑥
−3 = 3 = 3
2 − 𝑥 = − 𝑥 − 2
= 𝑥 − 2 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑎
5. 𝑥 2 = 𝑥2 = 𝑥2
𝑥 − 2 2 = 𝑥 − 2 2
𝑥 + 3 2 =
6. 𝑥2 = 𝑥
𝑥 − 4 2 = 𝑥 − 4
−7 = 7𝑥 + 3 2 −7 2 =
4.
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
; 𝑦 ≠ 0
𝑥 + 3
𝑥 − 2
=
𝑥 + 3
𝑥 − 2
𝑥
𝑥 + 4
=
𝑥
𝑥 + 4
2𝑛
𝑥2𝑛 = 𝑥 ; 𝑛 ∈ ℕ
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Ecuaciones con valor absoluto 
Son ecuaciones donde la incógnita este afectado del valor 
absoluto.
Ejemplos:
• 2𝑥 − 1 + 𝑥 = −6
• 3𝑥 − 2 = 5
• 𝑥 − 2 + 2𝑥 − 4 = 6
• 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 2𝑥 + 4
• 𝑥 + 3 = −5
Como 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ ℝ, entonces estas ecuaciones son 
incompatibles y tienen C. S = ∅
Resolución de ecuaciones con valor absoluto 
Tener en cuenta la definición y propiedades del valor 
absoluto en el proceso de la resolución de la ecuación 
para dar el conjunto solución. 
Ejemplos: Resuelva la ecuación siguiente 
𝑥 − 2 = 7
Resolución:
El valor absoluto de 7 o de −7 se sabe que es 7, entonces 
𝑥 − 2 = 7 ∨ 𝑥 − 2 = −7
𝑥 = 9 ∨ 𝑥 = −5
∴ 𝐶𝑆 = 9;−5
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Propiedades :
𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎
𝑥 = 𝑎 ↔ 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = −𝑎
Ejemplo: Resuelva la ecuación siguiente: 
𝑥 − 3 = 2𝑥
Resolución:
• 2𝑥 ≥ 0
• 𝑥 − 3 = 2𝑥 ∨ 𝑥 − 3 = −2𝑥
𝑥 = −3 𝑥 = 1
No cumple Si cumple
∴ 𝐶𝑆 = 1
Ejemplo: Resuelva la ecuación siguiente: 
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 2𝑥 − 4
Resolución:
𝑥2 + 𝑥 − 6 = 2𝑥 − 4 ∨ 𝑥2+𝑥 − 6 = − 2𝑥 − 4
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 𝑥2 + 3𝑥 − 10 = 0
𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0 𝑥 − 2 𝑥 + 5 = 0
𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −1 𝑥 = 2 ∨ 𝑥 = −5
∴ 𝐶𝑆 = 2;−1;−5
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Inecuaciones con valor absoluto 
Son inecuaciones donde la incógnita este afectado del valor absoluto.
Ejemplo: Resuelva la inecuación siguiente 
𝑥 ≤ 3
Los valores que cumplen son: 
3
3
•
2
•
2
1
•
1
0
•
0
−1
•
−1
−2
•
−2
−3
•
−3
∴ 𝐶𝑆 = −3; 3
Ejemplo: Resuelva la inecuación siguiente 
𝑥 ≥ 2
Los valores que cumplen son: 
2
2
•
3
•
3
4
•
4
−2
•
−2
−3
•
−3
−4
•
−4
∴ 𝐶𝑆 = ;∞−ۦ ሿ−2 ∪ ሾ2; ۧ+∞
Propiedades :
𝑥 ≤ 𝑎 ↔ 𝑎 ≥ 0 ∧ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
𝑥 ≥ 𝑎 ↔ 𝑥 ≥ 𝑎 ∨ 𝑥 ≤ −𝑎
Ejemplo: Resuelva las inecuaciones siguientes: 
𝑥 − 3 ≤ 4
−4 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 4
−1 ≤ 𝑥 ≤ 7
∴ 𝐶𝑆 = −1; 7
𝑥 − 2 ≥ 3
Resolución: Resolución:
𝑥 − 2 ≥ 3 ∨ 𝑥 − 2 ≤ −3
𝑥 ≥ 5 ∨ 𝑥 ≤ −1
∴ 𝐶𝑆 = ;∞−ۦ ሿ−1 ∪ ሾ5; ۧ+∞
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Nota :
𝑥 < 𝑎 ↔ 𝑎 > 0 ∧ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎
𝑥 > 𝑎 ↔ 𝑥 > 𝑎 ∨ 𝑥 < −𝑎
Las desigualdades anteriores también se cumplen 
cuando la desigualdad es estricta.
Ejemplo: Resuelva las inecuaciones siguientes: 
𝑥 − 3 < 2𝑥 − 4
Resolución:
• 0 < 2𝑥 − 4 ↔ 2 < 𝑥
• − 2𝑥 − 4 < 𝑥 − 3 < 2𝑥 − 4
− 2𝑥 − 4 < 𝑥 − 3 ∩ 𝑥 − 3 < 2𝑥 − 4
7
3
< 𝑥 ∩ 1 < 𝑥
1 7
3
2
∴ CS =
7
3
;+∞
Observación :
Hay inecuaciones absurdas y otras que siempre se cumple
• 𝑥 − 3 < −4 → CS = ∅
• 𝑥 < sen𝑥 − 2 → CS = ∅
• −5 < 𝑥 − 1 → CS = ℝ
• 0 ≤ 𝑥 − 3 → CS = ℝ
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Nota :
𝑥 ≤ 𝑎
Elevamos al cuadrado:
𝑥2 ≤ 𝑎2
Ejemplo: Resuelva la inecuación siguiente 
𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 − 1
Resolución: Elevamos al cuadrado:
𝑥 − 2 2 ≤ 2𝑥 − 1 2
0 ≤ 2𝑥 − 1 2 − 𝑥 − 2 2
0 ≤ 2𝑥 − 1 − 𝑥 − 2 2𝑥 − 1 + 𝑥 − 2
0 ≤ 𝑥 + 1 ∙ 3 𝑥 − 1 → los puntos criticos ∶ −1; 1
−1 1
+−+
∴ 𝐶𝑆 = ;∞−ۦ ሿ−1 ∪ ሾ1; ۧ+∞
Teorema : Desigualdad Triangular 
𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 ; ∀𝑥; 𝑦 ∈ ℝ
Consecuencias :
• 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦 ↔ 𝑥𝑦 ≥ 0
• 𝑥 + 𝑦 < 𝑥 + 𝑦 ↔ 𝑥𝑦 < 0
Ejemplo:
• 𝑥 + 4 ≤ 𝑥 + 4 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 2𝑥 + 1 ≤ 𝑥 − 2 + 𝑥 + 3 ; ∀𝑥 ∈ ℝ
• 3𝑥 − 1 = 𝑥 − 1 + 2𝑥 ↔ 𝑥 − 1 2𝑥 ≥ 0
• 2𝑥 − 3 < 𝑥 − 4 + 𝑥 + 1 ↔ 𝑥 − 4 𝑥 + 1 < 0
𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏
𝑎 𝑏𝑎 + 𝑏
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e