Vista previa del material en texto
ÁLGEBRA P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual Virtual UNI Docente: Jimmy Astupillo ECUACIÓN BICUADRADA Y FRACCIONARIA Semana 14 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A En la Italia renacentista, los matemáticos Gerolamo Cardano y Niccolo Fontana habían resuelto hasta la ecuación general de 4º grado. En el siglo XVIII Jean le Rond D’Alembert enunció y Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra: toda ecuación de grado n tiene n raíces. En ese punto creían que la ecuación general de grado n se tendría que resolver con una fórmula general hasta de grado n. Pero para grados mayores que cuatro todos los intentos fueron estériles. En 1822 Abel demostró que la ecuación general de 5º grado no es resoluble por radicales de grado cinco ni de ningún otro grado. Diez años más tarde, en 1832, Galois fue más allá, y caracterizó las ecuaciones que sí tenían solución. Para ello definió el ‘grupo de la ecuación’, una estructura algebraica asociada a la expresión, que condensa información relevante sobre la misma. A partir de esta idea, bastaba con estudiar los tipos de grupos; según fueran, se podría determinar si la ecuación era o no resoluble. Con esta innovación acaba el álgebra clásica, entendida como el arte de resolver ecuaciones y comienza el álgebra moderna: el estudio de las estructuras. Niels H. Abel (1802-1829) Evariste Galois (1811-1832) HISTORIA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A OBJETIVOS ✓ Resolver las ecuaciones bicuadradas. ✓ Aplicar las propiedades de las ecuaciones bicuadradas. ✓ Resolver las ecuaciones fraccionarias 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 0 ECUACIÓN BICUADRADA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ECUACIÓN BICUADRADA Es una ecuación de cuarto grado que tiene la forma: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0 Ejemplos: 𝑎) 3𝑥4 − 7𝑥2 + 8 = 0 𝑏) 𝑥4 + 5𝑥2 − 4 = 0 𝑐) 9𝑥4 − 2𝑥2 − 6 = 0 Ejercicio: Si la ecuación 𝑎𝑥4 + 𝑎 − 2 𝑥3 + 𝑏 − 2 𝑥2 + 𝑏 − 3 𝑥 − 6 = 0 Es bicuadrada, calcule el valor de 𝑎. 𝑏 Resolución: Como la ecuación es bicuadrada, entonces (𝑎 − 2) = 0 ∧ 𝑏 − 3 = 0 𝑎 = 2 ∧ 𝑏 = 3 𝑎. 𝑏 = 6 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Resolución de una ecuación bicuadrada C U R S O D E Á L G E B R A Para resolver una ecuación bicuadrada, de la forma: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0 Se puede realizar por: 1) Por factorización: Ejemplo Resolver 𝑥4 − 29𝑥2 + 100 = 0 Resolución Factorizando por aspa simple 𝑥4 − 29𝑥2 + 100 = 0 𝑥2 𝑥2 −25 −4 𝑥2 − 25 𝑥2 − 4 = 0 𝑥2 − 25 = 0 ∨ 𝑥2 − 4 = 0 𝑥2 = 25 ∨ 𝑥2 = 4 𝑥 = ±5 ∨ 𝑥 = ±2 𝐶. 𝑆 = 2;−2; 5; −5 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A 2) Completando cuadrados: Ejemplo Resolver 𝑥4 − 4𝑥2 − 3 = 0 Resolución Buscamos completar cuadrados 𝑥4 − 4𝑥2 − 3 = 0 𝑥2 − 4𝑥2 = 3 𝑥4 − 4𝑥2 = 3 Se busca un T.C.P +4 +4 𝑥2 − 2 2 = 7 Teorema 𝑥2 = 𝑎 → 𝑥 = 𝑎 ∨ 𝑥 = 𝑎 𝑥2 − 2 2 = 7 𝑥2 − 2 = 7 ∨ 𝑥2−2 = − 7 𝑥2 = 2 + 7 ∨ 𝑥2= 2 − 7 𝑥 = ± 2 + 7 ∨ 𝑥 = ± 2 − 7 Luego 𝑥1 = 2 + 7 𝑥2 = − 2 + 7 𝑥3 = 2 − 7 𝑥4 = − 2 − 7 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 3) Por cambio de variable: Ejemplo Resolver 𝑥4 − 2𝑥2 − 4 = 0 Resolución Como no se puede factorizar por aspa simple, realizamos un cambio de variable Sea 𝑥2 = 𝑡 𝑥4 = 𝑡2 Luego 𝑥4 − 2𝑥2 − 4 = 0 𝑡2 −2𝑡 −4 = 0 Por fórmula general, tenemos 𝑡 = −(−2) ± −2 2 − 4(1)(−4) 2(1) = 2 ± 2 5 2 = 1 ± 5 𝑡 = 1 + 5 ∨ 𝑡 = 1 − 5 Pero 𝑥2 = 𝑡 entonces 𝑥2 = 1 + 5 ∨ 𝑥2 = 1 − 5 𝑥 = ± 1 + 5 ∨ 𝑥 = ± 1 − 5 Luego 𝑥1 = 1 + 5 𝑥2 = − 1 + 5 𝑥3 = 1 − 5 𝑥4 = − 1 − 5 ∨ ∨ C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Propiedades de una ecuación bicuadrada Toda ecuación bicuadrada tiene la forma: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0 Luego de resolverla, sus raíces tienen la forma: 𝛼2 + 𝛽2 = − 𝑏 𝑎 ; 𝑥2 = −𝛼 ; 𝑥3= 𝛽 ; 𝑥4= −𝛽 Esto es: 𝐶. 𝑆 = 𝛼;−𝛼; 𝛽;−𝛽 Se cumple: 𝛼2. 𝛽2 = 𝑐 𝑎 𝑥1 = 𝛼 Ejemplo 1 Al resolver la ecuación: 2𝑥4 − 3𝑥2 − 4 = 0 se obtiene como 𝐶. 𝑆 = 𝛼;−𝛼; 𝛽;−𝛽 entonces Se cumple: 𝛼2. 𝛽2 = 𝑐 𝑎 = − (−3) 2 = 3 2 = (−4) 2 = −2𝛼 2 + 𝛽2 = − 𝑏 𝑎 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝛼2 + 𝛽2 = − 𝑏 𝑎 Ejemplo 2 Al resolver la ecuación: 3𝑥4 + 5𝑥2 + 7 = 0 se obtiene como 𝐶. 𝑆 = 𝛼;−𝛼; 𝛽;−𝛽 entonces Se cumple: 𝛼2. 𝛽2 = 𝑐 𝑎 = − (5) 3 = − 5 3 = 7 3 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 𝛼2 + 𝛽2 = − 𝑏 𝑎 Ejemplo 3 Al resolver la ecuación: 5𝑥4 − 𝑛𝑥2 + (𝑛 − 1) = 0 se obtiene como 𝐶. 𝑆 = 𝛼;−𝛼; 𝛽;−𝛽 entonces Se cumple: 𝛼2. 𝛽2 = 𝑐 𝑎 = − (−𝑛) 5 = 𝑛 5 = 𝑛 − 1 5 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMA La ecuación bicuadrada: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0 Al resolverla, sus raíces tienen la forma: ; 𝑥2 = −𝛼 ; 𝑥3= 𝛽 ; 𝑥4= −𝛽 Se cumple: 𝑥1 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 + 𝑥2 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 + 𝑥3 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 + 𝑥4 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = 0 𝑥1 = 𝛼 Ejemplo Si 𝑥1; 𝑥2; 𝑥3; 𝑥4 son raíces de la ecuación 3𝑥4 − 5𝑥2 − 7 = 0 Encuentre el valor de 𝑀 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + 𝑥3 2 + 𝑥4 2 + 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 + 𝑥4 3 Resolución Por teorema sabemos que 𝛼2 + 𝛽2 = − 𝑏 𝑎 = − −5 3 = 5 3 Además: 𝑥1 = 𝛼 𝑥2 = −𝛼 𝑥3 = 𝛽 𝑥4 = −𝛽 𝑥1 2 = 𝛼2 𝑥2 2 = 𝛼2 𝑥3 2 = 𝛽2 𝑥4 2 = 𝛽2 𝑥1 3 = 𝛼3 𝑥2 3 = −𝛼3 𝑥3 3 = 𝛽3 𝑥4 3 = −𝛽3 Luego: 𝑀 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + 𝑥3 2 + 𝑥4 2 + 𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 𝑥3 3 + 𝑥4 3 = 2 𝛼2 + 𝛽2 = 0 𝑀 = 2 5 3 = 10 3 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A TEOREMA Si la ecuación bicuadrada: 𝑎𝑥4 + 𝑏𝑥2 + 𝑐 = 0 ∧ 𝑎. 𝑏. 𝑐 ≠ 0 Sus raíces se encuentran en progresión aritmética ; 𝑥2 = −𝛼 ; 𝑥3= 𝛼 ; 𝑥4= −3𝛼𝑥1 = −3𝛼 Entonces las raíces son: Ejemplo Las raíces de una ecuación bicuadrada tienen la forma: 𝛼;−𝛼; 𝛽;−𝛽 ordenando tenemos −𝛽; −𝛼; 𝛼; 𝛽 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 = 𝛽 − 𝛼 = 𝛼 − (−𝛼) = 2𝛼 𝛽 = 3𝛼 𝐶. 𝑆 = −3𝛼; −𝛼; 𝛼; 3𝛼 Si las raíces de la ecuación bicuadrada 2𝑥4 − 20𝑥2 + 𝑛 = 0 se encuentran en progresión aritmética. Calcule 𝑛 Resolución Prueba Como las raíces se encuentran en progresión aritmética, estas tienen la forma: 𝐶. 𝑆 = −3𝛼; −𝛼; 𝛼; 3𝛼 Por teorema, tenemos: 𝛼2 + 3𝛼 2 = − −20 2 10𝛼2 = 10 𝛼2 = 1 𝛼2. 3𝛼 2 = 𝑛 2 𝛼2. 9𝛼2 = 𝑛 2 𝑛 = 18 ECUACIÓN FRACCIONARIA C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A ECUACIÓN FRACCIONARIA Tienen la forma: 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 = 0; 𝑄 𝑥 ≠ 0 Donde: 𝑃 𝑥 es un polinomio no nulo 𝑄 𝑥 es un polinomio, donde ° 𝑄 𝑥 ≥ 1 Ejemplos 𝑎) 2𝑥 − 1 𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0 𝑏) 𝑥3 − 3𝑥 + 2 4𝑥 − 1 = 0 Se resuelve de la siguiente forma: 𝑃 𝑥 𝑄 𝑥 = 0 ↔ 𝑃 𝑥 = 0 ∧ 𝑄 𝑥 ≠ 0 Ejemplo 𝑥2 − 1 𝑥 + 1 = 0 ↔ 𝑥2 = 1 ∧ 𝑥 + 1 ≠ 0 ( 𝑥 ≠ −1) ↔ 𝑥 = 1 (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = −1) 𝐶. 𝑆 = 1 ↔ 𝑥2 − 1 = 0 ∧ 𝑥 + 1 ≠ 0 Resolver: 𝑥2 − 1 𝑥 + 1 = 0 Resolución de ecuación fraccionaria C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Ejemplo Resolver: 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 2 − 4 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 + 3 = 0 Resolución Usamos cambio de variable, sea: 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 𝑡 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 2 = 𝑡2 Reemplazando: 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 2 − 4 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 + 3 = 0 𝑡2 𝑡 Nos queda: 𝑡2 − 4𝑡 + 3 = 0 𝑡 𝑡 −3 −1 𝑡 − 3 𝑡 − 1 = 0 𝑡 − 3 = 0 ∨ 𝑡 − 1 = 0 𝑡 = 3 ∨ 𝑡 = 1 Como 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 𝑡 entonces 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 3 ∨ 2𝑥 − 1 𝑥 + 1 = 1 2𝑥 − 1 = 3𝑥 + 3 ∨ 2𝑥 − 1 = 𝑥 + 1 𝑥 = −4 ∨ 𝑥 = 2 𝐶. 𝑆 = .4; 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 1 𝑎 + 1 𝑏 = 4 𝑎 + 𝑏 TEOREMA Si 𝑎 = 𝑏 PRUEBA 1 𝑎 + 1 𝑏 = 4 𝑎 + 𝑏 Como operando 𝑎 + 𝑏 𝑎𝑏 = 4 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 2 = 4𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏 = 4𝑎𝑏 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏 = 0 𝑎 − 𝑏 2 𝑎 = 𝑏 Ejemplo 1 𝑥 + 3 + 1 3𝑥 − 2 = 4 4𝑥 + 1 ResolverResolución Tenemos 1 𝑥 + 3 + 1 3𝑥 − 2 = 4 4𝑥 + 1 𝑎 𝑏 𝑎 + 𝑏 1 𝑎 + 1 𝑏 = 4 𝑎 + 𝑏 Si 𝑎 = 𝑏 𝑥 + 3 = 3𝑥 − 2 2𝑥 = 5 𝑥 = 5 2 ∴ 𝐶. 𝑆 = 5 2 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Ejemplo Resolver: 1 𝑥 + 1 𝑥 + 2 + 2 𝑥 + 2 𝑥 + 4 = 𝑥 + 3 𝑥 + 4 Resolución C U R S O D E Á L G E B R A Lema: 𝑏 − 𝑎 𝑎𝑏 = 𝑏 𝑎𝑏 − 𝑎 𝑎𝑏 = 1 𝑎 − 1 𝑏 𝑏 − 𝑎 𝑎𝑏 = 1 𝑎 − 1 𝑏 Tenemos: 1 𝑥 + 1 𝑥 + 2 + 2 𝑥 + 2 𝑥 + 4 = 𝑥 + 3 𝑥 + 4 𝑥 + 2 − 𝑥 + 1 𝑥 + 4 − 𝑥 + 2 Tenemos por el lema: 1 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 2 + 1 𝑥 + 2 − 1 𝑥 + 4 = 𝑥 + 3 𝑥 + 4 1 𝑥 + 1 − 1 𝑥 + 4 = 𝑥 + 3 𝑥 + 4 1 𝑥 + 1 = 1 𝑥 + 4 + 𝑥 + 3 𝑥 + 4 1 𝑥 + 1 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 = 1 1 𝑥 + 1 = 1 𝑥 + 1 = 1 𝑥 = 0 𝐶. 𝑆 = 0 w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
