2 RAZONES_PROPORCIONES_PORCENTAJES_2023

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Dirección del Módulo de Matemática: 
Prof. Sara Pettina 
 
Coordinación General del Módulo de Matemática: 
Prof. Marianela Bello 
 
Co-Coordinación del Módulo de Matemática: 
Prof. Germán Diez 
 
 
Dictado de clases presenciales: 
 
Prof. Matías Albornoz 
Prof. Gabriel Aluz 
Prof. Sofía Amorós 
Prof. Melani Antolinez 
Prof. Giuliana Calani 
Prof. Carolina Camargo 
Prof. Sebastián Egea 
Prof. Carolina Gonzalez 
Prof. Lorena Granero 
Prof. Alejandra Larralde 
Prof. Agostina Ligutti 
Prof. Carolina Maza 
Prof. Paula Sosa 
Prof. Matías Vidoret 
 
 
2 
 
 Página 
Símbolos matemáticos 3 
UNIDAD N° 2: Razones y proporciones. Porcentajes 
TEMA N° 1: Razones 4 
1.- Razón aritmética 4 
2.- Razón geométrica 5 
TEMA N° 2: Proporciones 6 
1.- Teorema Fundamental de las Proporciones (T.F.P.) 8 
2.- Clasificación de las proporciones 9 
3.- Propiedades de las proporciones 9 
4.- Series de razones 11 
5.- Proporcionalidad directa e inversa 14 
TEMA N° 3: Regla de tres 23 
1.- Regla de tres simple 24 
1.1.- Regla de tres simple directa 24 
1.2.- Regla de tres simple inversa 26 
2.- Regla de tres compuesta 27 
TEMA N° 4: Sistemas de unidades de medidas 34 
1.- Magnitudes 34 
2.- Sistema Métrico Legal Argentino 34 
2.1.- Unidades de base 35 
2.2.- Unidades derivadas 35 
3.- Otras unidades de medida que no se encuentran en el SI 36 
4.- Normas relativas a los símbolos 37 
5.- Múltiplos y submúltiplos de las unidades de medidas 38 
5.1.- Unidades de longitud 38 
5.2.- Unidades de masa 39 
5.3.- Unidades de capacidad 40 
5.4.- Unidades de superficie 41 
5.5.- Unidades de volumen 41 
5.6.- Relaciones entre capacidad, volumen y masa del agua 42 
TEMA N° 5: Porcentaje (%) y tanto por mil (‰) 46 
Bibliografía 50 
 
 
 
3 
 
 
 
 
ℕ: Números naturales (a;b): Intervalo abierto 
ℤ: Números enteros (a;b]: Intervalo semiabierto por la izquierda 
ℚ: Números racionales [a;b): Intervalo semiabierto por la derecha 
𝕀: Números irracionales [a;b]: Intervalo cerrado 
ℝ: Números reales ϕ: Número irracional fi = 
1+√5
2
 
: Existe π: número irracional pi (3,1415…) 
∄: No existe e: Número e o constante de Euler (2,7182…) 
: Para todo 𝑓: 𝐴 → 𝐵: función de A en B 
: Conjunto vacío 𝑓−1: Función inversa 
∪: Unión ≅ : Aproximadamente igual 
: Intersección f o g: Composición de las funciones f y g. 
: Pertenece f(x): función de x 
: No pertenece Dom f: Dominio de la función f 
∞: Infinito Rec f: Recorrido de la función f 
−∞: Menos infinito % : Porcentaje 
a = b: a igual a b : Incluido 
a ≠ b: a distinto de b ⊈: No incluido 
a > b: a mayor a b ∆: Discriminante 
a < b: a menor a b |a|: Valor absoluto de a, para a  ℝ 
a ≥ b: a mayor o igual que b ∆= |
a b
c d
| = ad − bc: determinante 
a ≤ b: a menor o igual que b 
:: estos cuatro puntos se usan en las 
proporciones y se lee “como” 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Agrega los que vayas utilizando y no aparezcan en la lista. 
 
 
4 
 
 
TEMA N° 1: RAZONES 
 
La razón es un objeto matemático que se utiliza para comparar dos cantidades cualesquiera 
para establecer una característica que las relacione, en particular, ambas cantidades las podemos 
comparar principalmente de dos formas; a través de su diferencia (razón aritmética) y a través de 
su cociente (razón geométrica). 
 
1.- RAZÓN ARITMÉTICA 
 
La razón aritmética es una forma de comparar dos cantidades en las cuales se considera cuánto 
excede una de la otra, es decir, se encuentra su diferencia. Este tipo de razón se puede escribir 
de dos modos; separando ambas cantidades a comparar con un signo (-) o con un punto (.). 
De esta forma la razón aritmética entre un par de números a y b, es: 
a – b ó a . b; y se lee a es a b 
El primer término de una razón aritmética se denomina antecedente, mientras que el segundo 
consecuente. 
 
Por ejemplo: 
Si una empresa dispone de $20.000 a repartir a fin de mes entre dos empleados según el 
logro de objetivos alcanzados, y uno de los empleados no alcanzó los objetivos propuestos por lo 
que recibe $6.000 menos que al otro empleado que sí alcanzó todos los objetivos ¿Cuánto le 
corresponde a cada uno? 
Respuesta: Para resolver problemas de este tipo existe un método sencillo de utilizar. 
Consiste en dividir el intervalo en dos partes iguales (en este caso $20.000:2=$10.000), e incorporar 
a cada parte la mitad de la diferencia que existe entre el antecedente y el consecuente de la razón 
(lo que recibe el empleado 1 – lo que recibe el empleado 2 = $6.000, dividido 2 es igual a $3.000). 
Luego se incorpora para cada parte en este caso $3.000, por lo tanto, se tiene que: 
 
Luego, resulta ser la cantidad que aparece en gris la 
que le corresponde al empleado que logró los objetivos 
($13.000) y el resto para el que no los 
cumplió ($.7000). 
 
 
https://youtu.be/TRDul2IYBSo
 
5 
 
2.- RAZÓN GEOMÉTRICA 
 
En general cuando se habla de razón se hace referencia a una razón geométrica. 
 
La razón geométrica de dos números es el cociente que resulta de dividir el primero 
(antecedente) por el segundo (consecuente). Es decir, se llama razón geométrica de dos 
cantidades cualesquiera a y b, a la comparación por cociente de ellas. 
 
La razón de a y b se puede escribir como, a:b ó 
𝐚
𝐛
 , donde 𝐚 ∈ ℝ y 𝐛 ≠ 𝟎, y se lee “a es a b”. 
Al primer elemento a se lo denomina antecedente y al segundo b es el consecuente. 
 
Toda razón tiene asociado un cociente llamado valor de la razón. 
Así, 
𝐚
𝐛
= 𝒌, donde k es el valor de la razón y 𝐤 ∈ ℝ 
 
Por ejemplo: El ancho y el largo de un rectángulo son 20 cm y 40 cm respectivamente. 
Luego, la razón de la medida del ancho y el largo es: 
𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜
𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜
=
20 𝑐𝑚
40 𝑐𝑚
=
1
2
 
 
Se puede concluir que la medida del largo es el doble de la medida del ancho, o bien, la 
medida del ancho es la mitad de la medida del largo. 
 
Si se analiza otro ejemplo: En su actividad normal el corazón de un adulto late alrededor 
de 70 veces por minuto, ¿sabías que los latidos del recién nacido alcanzan a 140 por minuto? 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑖é𝑛 𝑛𝑎𝑐𝑖𝑑𝑜
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑑𝑢𝑙𝑡𝑜
=
140
70
= 2 
 
Al número 2 lo llamamos razón entre 140 y 70; e indica que el número de latidos del corazón 
del recién nacido es el doble del número de latidos del corazón adulto. 
 
Un tercer ejemplo sería calcular la razón entre el dólar norteamericano y el peso 
argentino a los valores del 18/09/2020. 
Si se busca en la página del Banco Nación se observa que se requieren 79,25 pesos 
argentinos para comprar 1 dólar. Es decir, la razón entre estas monedas es: 
 
𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠 𝑎𝑟𝑔𝑒𝑛𝑡𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑑ó𝑙𝑎𝑟 𝑛𝑜𝑟𝑡𝑒𝑎𝑚𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑜
=
$79,25
𝑈𝑆𝐷 1
= 79,25 $/𝑈𝑆𝐷 
 
Esta razón en particular, que trabaja con monedas de distintos países, se llama tipo de cambio 
entre la moneda argentina y la norteamericana; e indica que deberán pagarse $79,25 por cada dólar 
que se quiera comprar, o, por cada dólar que se quiera comprar deberán pagarse $79,25. 
 
 
 
6 
 
ACTIVIDADES 
1.- Escribir la razón geométrica entre los siguientes números y calcular su valor. 
 
a) 15 y 3 
b) 1,24 y 
2
5
 
c) 
1
4
 y 
1
8
 
d) 
3
4
 y 5 
e) 0,81 y 0,3 
f) 0,01 y 
2
3
 
g) 36 y 15 
h) √16
5
 y √
1
2
5
 
 
 
TEMA N° 2: PROPORCIONES 
 
Una proporción es la igualdad entre dos o más razones. 
 
Se escribe: 
a
b
=
c
d
= 𝑘 ó 𝑎: 𝑏 ∷ 𝑐: 𝑑 = 𝑘 ∀ 𝐛, 𝐝 ≠ 𝟎 𝐲 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝐪𝐮𝐞 𝐩𝐮𝐞𝐝𝐚 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐢𝐫 𝐥𝐚 𝐫𝐚𝐳ó𝐧 𝐚, 𝐜 ≠ 𝟎 
 
Se lee “a es a b como c es a d”. 
k es la constante de proporcionalidad: es el resultado de la división de las razones, el cual es 
el mismo para cada una de ellas en una proporción. 
a y d se llaman extremos de la proporción. 
b y c se llaman medios de la proporción. 
 
Por ejemplo: Se consideran las razones 18:30y 24:40. En ambas, el valor de la razón es 
el mismo: 0,6. Entonces, se tiene la proporción: 
18
30
=
24
40
= 0,6 
 
Esta proporción también se puede escribir, 𝟏𝟖: 𝟑𝟎 ∷ 𝟐𝟒: 𝟒𝟎 , lo que se lee “18 es a 30 como 
24 es a 40”. Donde 18 y 40 son los extremos, mientras que, 30 y 24 son los medios de la proporción. 
 
 
 
 
https://youtu.be/Md_4ewLiCxs
 
7 
 
Analizando la siguiente situación: Dos personas se presentan a una entrevista de 
trabajo en una empresa. En la prueba de rendimientos se les pide que escriban un texto en 
computadora, la primera de ellas escribe 120 palabras en 3 minutos y la segunda 200 
palabras en 5 minutos. 
 
Al hallar la razón entre el número de palabras escritas y el número de minutos que tarda cada 
una se obtiene: 
Persona 1: 120:3 = 
120
3
 = 40 palabras por minuto 
 
Persona 2: 200:5 = 
200
5
 = 40 palabras por minuto 
 
Como se puede observar ambas razones son iguales, ya que las dos personas escriben 40 
palabras por minuto. Entonces se puede afirmar que los números 120, 3, 200, 5 forman una 
proporción. 
 
ACTIVIDADES 
 
2.- Dadas las siguientes proporciones completar según corresponda: 
 
Proporción 1 
 
25
5
 = 
100
20
 
 
Proporción 2 
 
2
3
 = 
6
9
 
 
Proporción 3 
 
2
7
 = 
8
28
 
 
 
 
a) Los extremos de la primera proporción son …… y ……… y los medios son ……… y ……… 
b) Los extremos de la segunda proporción son …… y ……… y los medios son ……… y ……… 
c) Los extremos de la tercera proporción son …… y ……… y los medios son ……… y ……… 
 
3.- Teniendo en cuenta las proporciones del ejercicio anterior completar con las palabras 
“antecedente” o “consecuente” según corresponda: 
 
a) El ……………….……… de la primera razón es un extremo de la proporción. 
b) El …………….………… de la segunda razón es un medio de la proporción. 
c) El ………………….…… de la primera razón es un medio de la proporción. 
d) El ………………….…… de la segunda razón es un extremo de la proporción. 
 
 
8 
 
 
4.- Completar con los números que correspondan: 
 
a) 
……….
20
=
18
6
 b) 
5
……….
=
25
35
 c) 
13
5
=
26
……….
 d) 
7
28
=
……….
24
 
 
1.- TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS PROPORCIONES (T.F.P.) 
 
En toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Es decir: 
 
a
b
=
c
d
⟺ a ∙ d = b ∙ c con a, c, b, d ≠ 0 
 
Dos razones forman una proporción si cumplen este T.F.P. Ejemplos: 
 
֎ Se tiene 
4
8
 𝑦
8
12
 hay que verificar si se cumple el T.F.P. 
4 ∙ 12 ¿ ? 8 ∙ 8 
48 ≠ 64 
Luego, las razones NO forman una proporción. 
 
֎ Se tiene 
18
54
 𝑦
12
36
,hay que verificar si se cumple el T.F.P. 
18 ∙ 36 ¿ ? 54 ∙ 12 
648 = 648 
Entonces, las razones forman una proporción. 
 
֎ Cuando se quiere calcular un extremo en una proporción se puede utilizar el T.F.P. 
x
1
4
=
0,4
2
3
 
x
1
4
=
4
10
2
3
 
Por el T.F.P. el extremo es igual al producto de los medios dividido por el otro extremo. 
 
x =
1
4 ∙
4
10
2
3
=
1
10
2
3
=
1
10
:
2
3
=
1
10
∙
3
2
=
3
20
 
 
 
 
9 
 
2.- CLASIFICACIÓN DE LAS PROPORCIONES 
 
Las proporciones se pueden clasificar en dos tipos: 
 
֎ PROPORCIÓN ORDINARIA: Es aquella proporción cuyos MEDIOS son todos DISTINTOS. Se 
puede escribir: 
a
b
=
c
d
 . Al extremo d lo llamamos CUARTO PROPORCIONAL. 
 
֎ PROPORCIÓN CONTINUA: Es aquella proporción cuyos MEDIOS son IGUALES. Se puede 
escribir: 
a
b
=
b
c
 . En este caso, c es el TERCERO PROPORCIONAL y al medio repetido b se 
lo llama MEDIO PROPORCIONAL. 
 
 
ACTIVIDADES 
5.- Clasificar las siguientes proporciones en Ordinarias o Continuas y calcular el valor de x: 
 
a) 
x
3
7
=
21
6
11
14
 b) 
2
3
1
2
=
1
2
x
 c) 
0,3
1
5
=
1
6
x
 
d) 
1
2
x
=
x
1
8
 e) 
2
√
1
2
=
√8
x
 f) 
5∙√3
x
=
10
3√3
 
g) 
1
4
+
1
3
(
1
5
)
2 =
x
2 
7
 ∙ 
 2
3
 
 
 
3.- PROPIEDADES DE LAS PROPORCIONES 
 
Dada la proporción, 𝐚: 𝐛 ∷ 𝐜: 𝐝, donde 𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐝 ∈ ℝ ⋀ 𝐚, 𝐛, 𝐜, 𝐝 ≠ 𝟎 
 
✓ Se pueden deducir siete proporciones a partir de una proporción dada: 
 
Proporción original: 
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
 
Primer caso: Permutamos razones en la proporción dada. 
c
d
=
a
b
 
Segundo caso: Invertimos razones en la proporción dada. 
b
a
=
d
c
 
Tercer caso: Permutamos extremos en la proporción dada. 
d
b
=
c
a
 
 
 
10 
 
Cuarto caso: Permutamos medios en la proporción dada. 
a
c
=
b
d
 
Quinto caso: Permutamos las razones en la proporción obtenida en el segundo caso. 
d
c
=
b
a
 
Sexto caso: Permutamos las razones en la proporción obtenida en el tercer caso. 
c
a
=
d
b
 
Séptimo caso: Permutamos las razones en la proporción obtenida en el cuarto caso. 
b
d
=
a
c
 
 
✓ En toda proporción la suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su 
consecuente como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su 
consecuente. 
a + b
b
=
c + d
d
 
✓ En toda proporción la suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su 
antecedente como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su 
antecedente. 
a + b
a
=
c + d
c
 
✓ En toda proporción la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es 
a su consecuente como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón 
es a su consecuente. 
a − b
b
=
c − d
d
 
✓ En toda proporción la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la primera razón es 
a su antecedente como la diferencia entre el antecedente y el consecuente de la segunda razón 
es a su antecedente. 
 
a − b
a
=
c − d
c
 
✓ En toda proporción la suma del antecedente y el consecuente de la primera razón es a su 
diferencia como la suma del antecedente y el consecuente de la segunda razón es a su 
diferencia. 
a+b
a−b
=
c+d
c−d
 con (a − b), (c − d) ≠ 0 
 
 
Las propiedades de las proporciones se pueden utilizar para resolver problemas. A 
continuación, se desarrolla un ejemplo. 
 
 
11 
 
 
 
✓ La diferencia entre dos números es 60 y están en la razón 5:2 ¿Cuáles son los números? 
 
Si llamamos n y m a los dos números desconocidos. 
Por el enunciado se sabe que n-m=60 y 
n
m
=
5
2
 
Aplicando propiedades de las proporciones: 
n−m
m
=
5−2
2
; lo que equivale a 
60
m
=
3
2
 
Por T.F.P. se igualan los productos cruzados: 60 ∙ 2 = 3 ∙ m 
Entonces, m =
120
3
= 40 
Reemplazamos el valor de m = 40 en la expresión: n – m = 60, se tiene que n = 100 
 
 
4.- SERIE DE RAZONES 
 
Se llama serie de razones a la igualdad de dos o más razones. Es decir: 
 
a+b
a−b
=
c+d
c−d
= ⋯ = k con (a − b), (c − d) ≠ 0 
 
k ∈ ℝ; k es constante y valor de la razón de todas las razones que pertenecen a la serie. 
 
֎ La propiedad básica para la serie de razones es la siguiente: 
 
𝐚 + 𝐜 + 𝐞
𝐛 + 𝐝 + 𝐟
=
𝐚
𝐛
=
𝐜
𝐝
=
𝐞
𝐟
= 𝐤 
 
✓ Ejemplo 1: 
𝟗
𝟐𝟕
=
𝟑
𝟗
=
𝟓
𝟏𝟓
=
𝟏
𝟑
 es una serie de razones con 𝐤 =
𝟏
𝟑
 
 
Los antecedentes de la serie de razones anterior son 9, 3, 5, 1. Su suma es 18. 
Los consecuentes de la serie de razones anterior son 27, 9, 15, 3. Su suma es 54. 
Luego 
18
54
=
1
3
 . 
 
Por lo tanto, en toda serie de razones iguales la suma de los antecedentes es a la 
suma de los consecuentes como cada uno de los antecedentes es a su consecuente. 
 
 
 
 
12 
 
✓ Ejemplo 2: La suma de tres números es 60 y están relacionados según la razón 5:3:2 
¿Cuáles son los números? 
 
Si llamamos a, b, c a los números desconocidos, por enunciado se sabe que: 
a+b+c=60 
a:b:c=5:3:2. 
Por lo tanto, 
a
5
=
b
3
=
c
2
. Aplicando la propiedad básica de la serie de razones, se tiene: 
𝑎 + 𝑏 + 𝑐
5 + 3 + 2
=
60
10
=
𝑎
5
⟹ 𝑎 = 30 
 
60
10
=
𝑏
3
⟹ 𝑏 = 18 
 
60
10
=
𝑐
2
⟹ 𝑐 = 12 
 
 
ACTIVIDADES 
6.- Responder según corresponda. 
 
a) En una razón, el antecedentees 27 y el consecuente es 9 ¿Cuál es el valor de la razón? 
b) En una razón, el antecedente es 
5
12
 y su valor 
5
6
 ¿Cuál es el valor del consecuente? 
c) En una razón, el consecuente es 8 y su valor 0,375 ¿Cuál es el valor del antecedente? 
d) La razón entre dos segmentos PQ y RS es 12:9. Si ambos suman 63 cm ¿Cuál es la medida 
del segmento de menor longitud? 
e) Un parcial de Matemática Aplicada a la Logística tiene 15 preguntas. Un estudiante 
responde correctamente 10 de estas preguntas y omite 2. Escribir la razón entre: 
e.1) El número de preguntas correctas y el número total de preguntas. 
e.2) El número de preguntas incorrectas y el número de preguntas correctas. 
e.3) El número de preguntas omitidas y el número total de preguntas. 
f) El valor de la razón de dos números es 5. El menor de los números es 16 unidades menor 
que el mayor. ¿Cuáles son los números? 
g) La razón geométrica de dos números es 13/6 y su diferencia es 35 ¿Cuál es el número 
mayor? 
h) En la Facultad de Ciencias Económicas, la razón del número de aspirantes que ingresan y 
no ingresan es de 3:5. Si el número de aspirantes del 2019 fue de 1800 ¿Cuántos lograron ingresar? 
i) La diferencia de dos números es 48 y están en la razón 9:5 ¿Cuál es el menor de ellos? 
 
 
13 
 
j) Andrea y Luis ganaron en un negocio $1.000.000 y se lo repartirán en la razón 2:3 porque 
Luis invirtió más. ¿Qué cantidad de dinero le corresponde a Andrea? 
k) En una casa la razón del área construida y el jardín es de 2:3. Si el área construida es de 
140 m2 ¿Cuál es la medida del área del jardín? 
l) El perímetro de un triángulo mide 400 unidades y las medidas de sus lados están en la razón 
6:5:9. Calcular la medida del lado mayor. 
ll) En una reunión la relación de hombres a mujeres es de 9 a 7. Si se cuentan 45 hombres 
¿Cuántas mujeres hay? 
m) En un restaurante, 7 de cada 40 personas son padres de familia. Si en total hay 98 padres 
de familia ¿Cuántas personas hay en el restaurante? 
n) Si 𝑎 + 𝑏 − c = 3 y se cumple que 
3
𝑎
=
5
𝑏
=
7
𝑐
; hallar el valor de 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 
ñ) Dos números son entre sí como 3 es a 7, si la suma de sus cuadrados es 1450, hallar el 
mayor de ellos. 
 
7.- Calcular el cuarto proporcional de: 
a) 5; 18; 12 
b) 
3
8
; 16; 
1
2
 
 
8.- Calcular el término tercero proporcional de: 
a) 9 y 25 
d) 122,5 y 0,001 
 
9.- Calcular el medio proporcional de: 
a) 0,5 y 200 
b) 
26
16
 y 
16
25
 
 
10.- Determinar si cada par de razones forma o no una proporción 
a) 
3
18
 y 
8
48
 
b) 
2
3
 y 
9
13
 
c) 
21
7
 y 
3
5
 
11.- Resolver: 
a) Si A:B:C=4:6:5 y A+B+C=45. ¿Cuánto vale A+B-C? 
b) Si x-y=21, x:y=7:4. Calcular los valores de x e y. 
c) Si a+b+c=72, 
a
2
=
b
4
=
c
3
. Calcular a, b y c 
 
14 
 
12.- Hallar el valor de x: 
a) 6: 5 ∷ 12: 𝑥 
b) 
8
7
: 𝑥 ∷
4
3
:
7
9
 
c) 0,75: 17 ∷ 𝑥: 3,4 
d) 𝑥 ∶ 24 ∷ 5: 2 
e) 7,4 ∶ 𝑥 ∷ 3,7 ∶ 0,5 
 
 
5.- PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INVERSA 
 
A.- PROPORCIONALIDAD DIRECTA 
 
Dos variables son directamente proporcionales si y solo sí la razón entre ellas es constante, 
es decir, a es directamente proporcional a b, si existe una constante k tal que 
a
b
= k ó a = k ∙ b 
Variables directamente proporcionales: Dos variables son directamente proporcionales si al 
aumentar n veces una de ellas la otra también aumenta n veces ó si una variable disminuye n 
veces la otra también disminuye n veces. 
 
Ejemplo: Un litro de gaseosa tiene 500 calorías. Calcular cuántas calorías hay en 250 cc. 
 
Es una proporción directa, ya que, si disminuyen los cc 
de bebida, también disminuyen las calorías. 
 
Se forma una proporción y se aplica el T.F.P. 
 
 
Se tiene, 
500
x
=
1.000
250
 entonces x =
500 ∙ 250
1.000
 ⟶ x = 125 
Luego, en 250 cc de gaseosa hay 125 calorías. 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA 
 
Dadas dos variables, x e y, directamente proporcionales con constante de proporcionalidad 
k, se tiene que su gráfica está dada por 𝐲 = 𝐤 ∙ 𝐱, es decir, el gráfico es una línea recta que pasa 
por el origen. 
 
Por ejemplo: Un niño en una bicicleta, a velocidad constante, recorre 8 kilómetros en 
una hora, ¿cuántos kilómetros recorre en las siguientes horas? 
 
 
CALORÍAS CC DE GASEOSA
500 1000
X 250
 
15 
 
 
A partir de la información se puede armar la siguiente tabla: 
 
Si se analiza se observa que a mayor 
cantidad de horas recorrerá mayor cantidad 
de kilómetros. 
Se puede concluir que las variables 
son directamente proporcionales con 
constante de proporcionalidad igual a 8. 
 
La gráfica que representa esta situación está dada por: 𝐲 = 𝟖 ∙ 𝐱 
 
 
Constante de proporcionalidad negativa: La constante de proporcionalidad k puede ser 
negativa. En este caso, la gráfica de 𝐲 = 𝐤 ∙ 𝐱 corresponde a una línea recta que pasa por el 
origen, pero con pendiente negativa. 
 
 
 
Kilómetros Horas k=Kilómetros/Horas
8 1 8
16 2 8
24 3 8
32 4 8
 
16 
 
B.- PROPORCIONALIDAD INVERSA 
 
Si dos variables x e y se relacionan de manera inversamente proporcional si y sólo sí el 
producto entre ellas es constante. Es decir, a es inversamente proporcional a b, si existe una 
constante k, tal que: 
x ∙ y = k ó y =
k
x
 
Variables inversamente proporcionales: Dos variables son inversamente proporcionales si, al 
aumentar a veces una de ellas la otra disminuye a veces o viceversa. 
 
 
Por ejemplo: Un libro tiene 75 páginas de 40 líneas cada una. Una nueva edición del libro 
tiene 50 líneas por cada página y se quiere saber con cuántas páginas totales quedó el libro. 
Si se analiza la situación se puede observar que, a mayor cantidad de líneas por página, se 
van a requerir menor cantidad de páginas para completar el libro; existiendo una relación 
inversamente proporcional entre las variables (cantidad de líneas por páginas y número de páginas). 
Como es una proporción inversa, se iguala el 
producto de las variables, o se forma la proporción 
que corresponde. Observa cómo se arman las 
proporciones antes de buscar el valor de x. 
 
𝐱
𝟕𝟓
=
𝟒𝟎
𝟓𝟎
 ó 75 ∙ 40 = 50 ∙ x ⟶ x = 60 El libro queda con 60 páginas en total. 
 
REPRESENTACIÓN GRÁFICA 
 
Dadas dos variables, x e y, inversamente 
proporcionales con constante de proporcionalidad k, su 
gráfica está dada por la expresión 𝐲 =
𝐤
𝐱
 ó 𝐱 ∙ 𝐲 = 𝐤, 
es decir, el gráfico es una curva llamada hipérbola 
equilátera, que es simétrica con respecto al origen 
cuando representa una relación de proporcionalidad 
inversa. 
Ejemplo: En una fábrica de alimentos envasados se embala una producción mensual de 
aceitunas en 3.000 cajas que pueden contener 24 latas cada una. 
Se quiere variar el tamaño de las cajas por otras con capacidad para: 8 latas, 12 latas, 48 
latas y 72 latas. 
 
N° PÁGINA N° DE LÍNEAS POR PÁGINA
75 40
X 50
 
17 
 
Suponiendo que la producción mensual es constante, se arma la una tabla. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como las variables son inversamente proporcionales, 
su constante de proporcionalidad se obtiene por el producto 
de sus variables. 
En este ejemplo la constante es 72.000. La gráfica 
está dada por la expresión: 𝐱 ∙ 𝐲 = 𝟕𝟐. 𝟎𝟎𝟎 
 
C.- PROPORCIONALIDAD COMPUESTA 
 
En la resolución de problemas, llamamos proporcionalidad compuesta a aquellas situaciones 
que involucran más de dos variables, las cuales se pueden relacionar de manera directa, inversa o 
cualquier combinación de ellas. A continuación, se analizan varios ejemplos: 
 
֎ Dos proporciones directas: En una fábrica, 10 operarios producen 1000 piezas en 12 días. 
¿Cuántas piezas produce un operario en las mismas condiciones de trabajo en 6 días? 
Se observa la siguiente tabla: 
 
 
 
 
N° de operarios N° de piezas N° de días
10 1000 12
1 x 6
El número de piezas 
producidas y el 
número de operarios 
son variables 
directamente 
proporcionales, si el 
número de días es 
constante.El número de piezas 
producidas y el 
número de días son 
variables 
directamente 
proporcionales, si el 
número de operarios 
es constante.
Las variables, N° de 
operarios y N° de 
días, con respecto a 
la incógnita (N° de 
piezas) son variables 
directamente 
proporcionales.
N° de latas por caja N° de cajas k
24 3000 72000
8 9000 72000
12 6000 72000
48 1500 72000
72 1000 72000
https://youtu.be/CK11EC8NMmE?t=61
 
18 
 
 
 
Para encontrar la solución, primero se dejará constante la variable número de días. Esto 
significa resolver la siguiente proporción directa. 
 
 
 
 
 
10
1
=
1000
x
 ⟶ x =
1000∙1
10
= 100 En 12 días, un obrero producirá 100 piezas. 
 
 
Luego, se dejará constante la variable número de operarios. La tabla correspondiente a esta 
nueva situación es: 
 
 
 
100
x
=
12
6
 ⟶ x =
100∙6
12
= 50 En 6 días un operario producirá 50 piezas. 
 
 
Se tiene que 𝐱 =
𝟏𝟎𝟎∙𝟔
𝟏𝟐
=
𝟏∙𝟏𝟎𝟎𝟎∙𝟔
𝟏𝟎∙𝟏𝟐
⟶ 𝟏𝟎 ∙ 𝒙 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟔, de donde se puede 
generalizar la forma de calcular la incógnita, en este caso, de proporcionalidad compuesta, 
igualando el producto de las variables, tal como se muestra a continuación: 
 
 
 
 
𝟏𝟎 ∙ 𝒙 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟔 ⟶ 𝐱 = 𝟓𝟎 
 
 
N° de operarios N° de piezas N° de días
10 1000 12
1 x 12
N° de operarios N° de piezas N° de días
1 100 12
1 x 6
 
19 
 
֎ Dos proporciones inversas: Nueve obreros construyen una casa en 12 meses trabajando 8 
horas diarias. ¿Cuántos obreros, en las mismas condiciones de trabajo, se necesitan para 
construir la misma casa en 8 meses trabajando 6 horas diarias? Se observa la siguiente tabla: 
 
 
 
Para encontrar la solución, primero se dejará constante el número de horas. Esto significa 
resolver la siguiente proporción inversa: 
 
 
 
12 ∙ 9 = 8 ∙ 𝑥 ⟶ 𝑥 =
12 ∙ 9
8
→ 𝑥 = 13,5 
 
Trabajando 8 horas diarias; 13,5 obreros (aproximadamente) se demoran 8 meses en la 
construcción. 
Luego, se deja constante la variable tiempo (meses). Esto significa resolver la siguiente 
proporción inversa. 
 
13,5 ∙ 8 = 6 ∙ 𝑥 ⟶ 𝑥 =
13,5 ∙ 8
6
→ 𝑥 = 18 
 
Trabajando 6 horas diarias, 18 obreros se demoran 8 meses en construir una casa. 
 
Tiempo (meses) N° obreros N° de horas
12 9 8
8 x 6
El número de obreros y 
el número de meses 
trabajados son variables 
inversamente 
proporcionales, si se 
mantienen constante el 
número de horas 
trabajadas.
El número de obreros y 
el número de horas de 
trabajo por día son 
variables inversamente 
proporcionales, si el 
número de meses de 
trabajo es constante.
Las variables, tiempo y 
número de horas, con 
respecto a la incógnita 
(número de obreros) 
son variables 
inversamente 
proporcionales.
Tiempo (meses) N° obreros N° de horas
12 9 8
8 x 8
Tiempo (meses) N° obreros N° de horas
8 13,5 8
8 x 6
 
20 
 
Al observar que 𝐱 =
𝟏𝟑,𝟓∙𝟖
𝟔
=
𝟏𝟐∙𝟗∙𝟖
𝟖∙𝟔
⟶ 𝒙 ∙ 𝟖 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖, se puede generalizar la 
forma de calcular la incógnita, en este caso, de proporcionalidad compuesta, igualando el producto 
de las variables, tal como se muestra a continuación: 
 
 
 
𝟖 ∙ 𝒙 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟗 ∙ 𝟖 ⟶ 𝐱 = 𝟏𝟖 
 
֎ Proporciones directa e inversa: Ocho camiones se demoran 12 días en trasladar una carga 
de 16 toneladas de cierto material. ¿Cuántos días se demoran 15 camiones iguales a los 
anteriores, en trasladar 50 toneladas del mismo material? 
Se observa la siguiente tabla: 
 
 
 
Para encontrar la solución, primero se dejará constante el número de toneladas. Esto significa 
resolver la siguiente proporción inversa: 
 
 
 
8 ∙ 12 = 15 ∙ 𝑥 ⟶ 𝑥 =
8 ∙ 12
15
→ 𝑥 = 6,4 
 
15 camiones se demoran 6,4 días (aproximadamente) en trasladar 16 toneladas. 
 
N° de camiones N° de días N° de toneladas
8 12 16
15 x 50
El número de días que 
demoran y el número de 
camiones son variables 
inversamente 
proporcionales, si el número 
de toneladas es constante.
El número de días y el 
número de toneladas son 
variables directamente 
proporcionales, si el número 
de camiones es constante.
La varible N° de camiones, 
con respecto a la incógnita 
es una variable 
inversamente proporcional, 
mientras que el N° de 
toneladas de carga es 
directamente proporcional a 
la incógnita.
N° de camiones N° de días N° de toneladas
8 12 16
15 x 16
 
21 
 
Luego, se deja constante la variable número de camiones. Esto significa resolver la siguiente 
proporción directa. El esquema correspondiente a esta nueva situación es: 
 
 
 
6,4
𝑥
=
16
50
⟶ 𝑥 =
6,4 ∙ 50
16
→ 𝑥 = 20 
 
 
15 camiones se demoran 20 días en trasladar 50 toneladas. 
 
 
Al observar que 𝐱 =
𝟔,𝟒∙𝟓𝟎
𝟏𝟔
=
𝟖∙𝟏𝟐∙𝟓𝟎
𝟏𝟓∙𝟏𝟔
⟶ 𝒙 ∙ 𝟏𝟓 ∙ 𝟏𝟔 = 𝟖 ∙ 𝟏𝟐 ∙ 𝟓𝟎, para generalizar la forma de 
calcular la incógnita, en este caso, de proporcionalidad compuesta, igualando el producto de las 
variables, tal como se muestra a continuación: 
 
 
 
𝟏𝟓 ∙ 𝒙 ∙ 𝟏𝟔 = 𝟖 ∙ 𝟏𝟐 ∙ 𝟓𝟎 ⟶ 𝐱 = 𝟐𝟎 
 
 
ACTIVIDADES 
 
13.- En cada situación, identificar si la relación entre las magnitudes se puede modelar por una 
proporción directa, inversa o ninguna de ellas. Justificar. 
 
a) Cantidad de productos y su precio. 
b) Número de personas trabajando y tiempo empleado en terminar el trabajo. 
c) Número de trabajadores y el trabajo realizado. 
d) Número de horas trabajadas y el sueldo ganado. 
e) Número de ejercicios de matemática y el tiempo empleado en solucionarlos. 
f) La distancia recorrida y el tiempo, si la velocidad es constante. 
g) La velocidad y el tiempo para una distancia dada. 
 
 
N° de camiones N° de días N° de toneladas
15 6,4 16
15 x 50
https://youtu.be/kX5mFszWt_k
 
22 
 
14.- Resolver: 
a) Una llave vacía 120 litros de agua de un estanque, en 10 minutos. ¿Cuántos litros 
depositará el estanque en 25 minutos? 
 
b) El plano de una ciudad está dibujado a una escala de 1:10000 cm / metros. ¿Qué longitud 
representa una distancia de 2500 metros en el plano? 
 
c) Una impresora imprime 54 páginas por hora. ¿Cuántas páginas, similares a las anteriores, 
imprime por minuto? 
 
d) Dos personas alquilan una hacienda. Una de ellas ocupa 
5
11
 de la hacienda y paga $60.000 
al mes. ¿Cuánto le corresponde pagar mensualmente al otro arrendatario? 
 
e) Con $p se compran 4 manzanas. ¿Cuántas manzanas del mismo valor se pueden comprar 
con $2pq? 
 
f) La razón entre los artículos fabricados y los defectuosos de una fábrica es f:d. Si se fabrican 
(f+k) artículos se obtienen (d+s) artículos defectuosos. ¿Cómo depende (d+s) del resto de las 
cantidades? 
 
g) Dos socios invierten en un negocio las cantidades respectivas de 2 y 3,5 millones. Uno 
quiere repartir las utilidades del primer año, correspondiente a $2.200.000, en forma directamente 
proporcional a lo que invirtieron, y el otro socio lo quiere repartir en partes iguales. ¿Cuánto menos 
ganaría el socio mayoritario en el segundo caso? 
 
h) Nueve agricultores plantan un campo de 50 metros de ancho por 40 metros de largo en 7 
días. ¿Cuántos metros cuadrados podrán plantar 6 agricultores en 5 días? 
 
i) Para pavimentar una calle de 800 metros de largo y 12 metros de ancho se han utilizado 
18.000 adoquines. ¿Cuántos adoquines se necesitarían para una calle de 1000 metros de largo y 
15 metros de ancho? 
 
j) 90 obreros necesitaron 20 días para construir una pared de 60 metros de longitud por 2 
metros de alto. ¿Cuántos obreros serán necesarios para construir 90 metros de pared de 3 metros 
de alto en un tiempo de 30 días? 
 
 
23 
 
15.- Completar los recuadros de cada tabla, según sea la situación planteada. 
 
a) Trabajo efectuado por mineros al abrir un túnel, en las mismas condiciones de trabajo. 
 
 
 
b) Cantidad de artículos producidos en una fábrica por trabajadores, en las mismas 
condiciones laborales. 
 
 
 
TEMA N° 3: REGLA DE TRES 
 
La regla detres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres valores 
conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad, proporcionalidad, entre 
los valores. Es muy útil para resolver casos matemáticos debido a su facilidad de operación y 
comprensión. 
En la Regla de tres se busca hallar el valor del cuarto término de una proporción conociendo 
los otros tres. 
 
Para resolver problemas con Regla de tres: 
1°) Armar bien el planteo. 
2°) Analizar si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales. 
3°) Aplicar el mecanismo de resolución correspondiente. 
 
Recuerde cómo se forman las proporciones en la regla de tres directa e inversa: 
 
 
N° de mineros Días Largo del tunel (metros)
4 9 15
6 15
N° de trabajadores N° de horas diarias de trabajo N° de artículos
16 8 128
24 6
 
24 
 
 
1.- REGLA DE TRES SIMPLE 
 
Establece la relación de proporcionalidad entre dos valores conocidos a y b; y conociendo un 
tercer valor c, se calcula el cuarto valor x. La relación de proporcionalidad puede ser directa o 
inversa. 
a → b
c → x
 
 
 
1.1.- REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA 
 
Algunos ejemplos de problemas que implican proporcionalidad directa entre magnitudes son: 
 
✓ Sueldo de un operario y tiempo de trabajo. 
✓ Número de operarios y trabajo producido. 
✓ Distancia recorrida por un vehículo y tiempo empleado, etc. 
 
 
 
Se aplica cuando las magnitudes son directamente proporcionales (a un aumento de una 
magnitud le corresponde un aumento de la otra magnitud en la misma proporción o ante una 
disminución de una magnitud le corresponde una disminución de la otra magnitud en la misma 
proporción). 
 
 ó 
 
Para calcular el valor de x se pueden seguir dos caminos: 
 
֎ Solución por reducción a la unidad: 
 
֎ Solución por proporciones: En este caso la proporción se puede plantear como a:c::b:x y el 
valor de x se obtendrá como el producto de los términos medios dividido por el término extremo 
conocido. Es decir: x =
c∙b
a
 
 
 
https://youtu.be/uQO_oBKqypQ
 
25 
 
EJEMPLO: 
 
 
 Si 12 unidades de un producto importado cuestan USD 72, ¿Cuánto se paga por importar 20 unidades 
de ese mismo producto? 
 
 
1°) Se ordenan los datos y se arma el planteo del problema: 
 
Observa que este tipo de problema siempre contiene tres datos y una incógnita. Para armar el planteo 
debes organizarlos de forma tal que queden encolumnadas las variables que hacen referencia a la misma 
unidad de medida, en el ejemplo, se han encolumnado las unidades de producto a izquierda y la cantidad de 
dólares a derecha. 
 
 
2°) Se analiza si las magnitudes son directa o inversamente 
proporcionales: En este ejemplo si aumenta la cantidad de producto 
importado aumentará la cantidad de dólares que se deba pagar, como 
ambas magnitudes varían en el mismo sentido, se puede concluir que son 
directamente proporcionales. 
 
 
3°) Se aplica el mecanismo de resolución correspondiente: En este ejemplo se muestran los dos caminos 
posibles: Solución por reducción a la unidad y Solución por proporciones. 
 
Solución por reducción a la unidad Solución por proporciones 
 
12:20::72:x 
 
 
 
 
 
Independientemente del camino de solución que elijas el valor de x que resuelve el problema es el 
mismo. Si importar 12 unidades de producto salen USD 72, entonces si se importan 20 unidades se 
pagarán USD 120. 
 
 
 
26 
 
1.2.- REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA 
 
Algunos ejemplos de problemas que implican proporcionalidad inversa entre magnitudes son: 
 Tiempo necesario para hacer un trabajo y número de operarios. 
 Velocidad de un móvil y tiempo necesario para recorrer cierta distancia, etc. 
 
 
Se aplica cuando las magnitudes son inversamente proporcionales (a un aumento de una 
magnitud le corresponde una disminución de la otra magnitud en la misma proporción o viceversa). 
 
 ó 
 
 
 
Para calcular el valor de x se pueden seguir dos caminos: 
 
֎ Solución por reducción a la unidad: 
 
 
֎ Solución por proporciones: En este caso la proporción se puede plantear como c:a::b:x y el 
valor de x se obtendrá como el producto de los términos medios dividido por el término extremo 
conocido. Es decir: x =
a∙b
c
 
 
EJEMPLO: 
 
 Un trabajo es realizado por seis operarios en doce días. Si se emplean ocho operarios ¿en 
cuántos días se terminará? 
 
1°) Se ordenan los datos y se arma el planteo del problema: 
 
Se han encolumnado la cantidad de operarios a izquierda y la cantidad 
de días a derecha. 
 
 
 
27 
 
2°) Se analiza si las magnitudes son directa o inversamente proporcionales: En este ejemplo 
si aumenta la cantidad de operarios trabajando se reducirá la cantidad de 
días que necesitan para terminar el trabajo, por lo tanto, son inversamente 
proporcionales. 
 
3°) Se aplica el mecanismo de resolución correspondiente: En este ejemplo se muestran los 
dos caminos posibles: Solución por reducción a la unidad y Solución por proporciones. 
 
Solución por reducción a la unidad Solución por proporciones 
 
8:6::12:x 
 
 
 
 
Independientemente del camino de solución que elijas el valor de x que resuelve el problema 
es el mismo. 
 
Si 6 operarios tardan 12 días en realizar el trabajo, 8 operarios lo realizarán en 9 días. 
 
 
 
 
 
2.- REGLA DE TRES COMPUESTA 
 
Una regla de tres compuesta se compone de varias reglas de tres simples aplicadas 
sucesivamente. Como entre las magnitudes se pueden establecer relaciones de proporcionalidad 
directa o inversa, podemos distinguir tres casos de regla de tres compuesta: 
 Directa: Varias reglas de tres simple, directas. 
 Inversa: Varias reglas de tres simple, inversas. 
 Mixta: Varias reglas de tres simple, directas e inversas. 
 
A partir de distintos ejemplos se analizarán cada uno de estos casos: 
 
 REGLA DE TRES COMPUESTA DIRECTA: Se han comprado 8 unidades de materia prima de 
150 kilogramos cada una a $480. ¿Cuánto costarían 20 unidades de 80 kilogramos por unidad? 
 
 
6 o 12 d
8 o
 =
6 o 12 d
8 o
= 9 d
https://youtu.be/X_2Ooogxqn4
 
28 
 
Planteo: En este caso es fácil armar el planteo dado que el enunciado y la pregunta contienen 
los datos en orden. En numerosos problemas los datos no están ordenados y es necesario recurrir a 
un procedimiento práctico que facilite hacer el planteo. 
Dicho procedimiento aplicado al problema es: 
1°) Se pregunta: ¿Qué es lo que se debe averiguar? “Cuántos pesos costarán”, o sea, $x 
2°) ¿Cuál es el dato de la misma especie que nos da el enunciado? Es $480. 
3°) Este dato y $x se van al final de la línea de planteo. 
4°) Luego agregamos los demás datos, siempre guardando un orden lógico, recordando que los 
datos de la misma especie deben quedar en columna. 
 
֎ Solución por reducción a la unidad: 
 
 
Respuesta: 20 unidades de producto de 80 kilogramos costarían $640. 
 
֎ Solución por proporciones: La regla de tres compuesta está formada por varias de tres 
simple. En el problema que estamos analizando veremos la relación entre la cantidad de 
unidades y el precio; y, por otro lado, el peso y el precio. 
Primero se fija la variable kg en 150 y se analiza la relación 
entre las unidades de producto y el precio. A mayor 
cantidad de unidades mayor es el precio que se paga, la 
relación es directa. 
 
La primera proporción es 8:20::480:x. 
Si se aplica el T.F.P. se obtiene que 𝐱 =
𝟐𝟎∙𝟒𝟖𝟎
𝟖
= $𝟏𝟐𝟎𝟎 
Al saber que 20 unidades de 150 kilogramos cada una salen $1200, ahora se analizan cuánto 
salen esas 20 unidades, pero de 80 kilogramos cada una. 
 
cuestan
8 u 150 k $480
de
cuestan
20 u 150 k $x
de
 
29 
 
 
Ahora la cantidad de unidades de 20 es fija. Se analiza si en lugar de 150 kilogramos pesan 
80 kilogramos cada una, es decir, a menor peso menor es el precio que se va a pagar. La relación 
es directa. Proporción: 150:80::1200:x 
 
 
 
 
 
Sise aplica el T.F.P. se obtiene que x =
80∙1200
150
= $640 
Respuesta: 20 unidades de producto de 80 kilogramos costarían $640. 
 
 REGLA DE TRES COMPUESTA INVERSA: Un automovilista sabe que, para recorrer una 
cierta distancia en 10 días, a razón de 12 horas diarias de marcha, debe ir a una velocidad de 
42 km/hora. ¿A qué velocidad deberá andar para hacer la misma distancia en 8 días de 9 horas 
diarias de marcha? 
 
Planteo: 
 
 
֎ Solución por reducción a la unidad: 
Razonamiento: Observe que, si para cubrir la distancia en 10 días viaja a 42 kilómetros por 
hora, para hacer la misma distancia en 1 día deberá ir a mucha mayor velocidad. 
 
En este caso la relación entre las magnitudes, 
días y velocidad es inversa, a menor cantidad de días 
mayor velocidad. 
 
Manteniendo constantes las horas diarias de viaje se calcula la velocidad necesaria para en 
un día recorrer la distancia: 
x =
10 ∙ 42
1
= 420 km/hora 
 
Si se logra recorrer en un 1 día, durante 12 horas, a 420 km/hora la distancia; ahora se analiza 
a qué velocidad se debe viajar para alcanzar la distancia en 1 día viajando 1 hora. 
 
a
10 d 12 horas 42 km/hora
de
a
8 d 9 horas x km/horade
https://youtu.be/oWDzbIp7x_M
 
30 
 
 
 
Como se puede ver en el planteo, a menor cantidad 
de horas de viaje por día deberá tomar mayor 
velocidad para recorrer la misma distancia. 
 
Luego las magnitudes son inversamente proporcionales. x =
12∙420
1
= 5040 km/hora 
 
Luego de realizar el cálculo se observa que para lograr recorrer la distancia en un día viajando 
sólo una hora se requiere ir a una velocidad de 5040 kilómetros por hora. 
 
Se continúa con el razonamiento hasta llegar a dar respuesta a lo que pregunta el problema: 
 
Si en lugar de viajar un día durante una hora, 
se viajan ocho días durante una hora, se observa 
que hay una relación inversa entre la magnitud días 
y velocidad. 
 
x =
1 ∙ 5040
8
= 630 km/hora 
 
 
Finalmente, si en lugar de viajar durante ocho 
días una hora diaria a una velocidad de 630 
km/hora; se analiza viajar ocho días durante nueve 
horas diarias, la velocidad es: 
 
x =
1 ∙ 630
9
= 70 km/hora 
 
Respuesta: Para recorrer la misma distancia en 8 días durante 9 horas se debe viajar a 70 
kilómetros por hora. 
 
 
Recuerda que la respuesta de los problemas debe ser coherente con la realidad, si inicialmente 
viajaba más días y horas por día que al final, la respuesta debe indicar que en la situación final se 
debe viajar a una velocidad mayor para alcanzar la misma distancia en menos días de viaje y 
menos horas por día de recorrido. 
 
 
 
 
31 
 
֎ Solución por proporciones: 
 
Planteo: 
 
Si analizamos la relación entre los días de viaje y la velocidad, manteniendo constante la 
cantidad de horas de viaje por día, podemos ver que a menor cantidad de días de viaje se deberá 
viajar a mayor velocidad, por lo que las magnitudes son inversamente proporcionales. 
 
 
 
La primera proporción es 8:10::42:x. Si se aplica el T.F.P. se obtiene que: 
 
 x =
10 ∙ 42
8
= 52,50 km/hora 
 
Se analiza a continuación la relación entre las horas de viaje y la velocidad: A menor cantidad 
de horas diarias de viaje mayor velocidad, nuevamente las magnitudes son inversamente 
proporcionales: Proporción: 9:12::52,50:x 
 
 
 
Si se aplica el T.F.P. se obtiene que x =
12 ∙ 52,50
9
= 70 km/hora 
 
Respuesta: Para recorrer la misma distancia en 8 días durante 9 horas se 
debe viajar a 70 kilómetros por hora. 
 
 
 REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA: El gerente de producción de una empresa de hilados 
ha estimado que, para tejer 630 metros de tela se requieren 8 empleados trabajando durante 7 
días. Si 2 empleados presentan licencia ¿Cuántos días tardarán los restantes para hacer 810 
metros de tela de la misma calidad? 
 
 
a
10 d 12 horas 42 km/hora
de
a
8 d 9 horas x km/horade
https://youtu.be/eBncDhfazj0
 
32 
 
֎ Solución por reducción a la unidad: 
 
 
 
 
Respuesta: 6 empleados tardarán 12 días en tejer 810 metros de tela. 
 
 
֎ Solución por proporciones: 
 
 
 
1°) Proporción: Si 8 empleados tardan 7 días para hacer el trabajo, 
MENOS empleados tardarán MÁS días en hacer el mismo trabajo: 
la proporción es INVERSA. 6:8::7:x 
 
x =
8 ∙ 7
6
=
56
6
 
 
2°) Proporción: Si 630 metros son tejidos en 56/6 días, para tejer 
MÁS metros se requieren MÁS días: la proporción es DIRECTA. 
630:810::56/6:x 
 
x =
810 ∙
56
6
630
= 12 d 
 
Respuesta: 6 empleados tardarán 12 días en tejer 810 metros de tela. 
 
 
 
 
https://youtu.be/npl0Uzmp6Y4
 
33 
 
ACTIVIDADES 
 
16.- Resolver los siguientes problemas por Regla de tres: 
 
a) Si usted es gerente de producción de una industria y se comprometió a entregar un trabajo 
en 10 días, contando con sus 9 operarios. Si 4 de ellos han salido de licencia por vacaciones 
¿Cuántos días se demoró la entrega? 
 
b) En su empresa constructora calculan que para revestir un zócalo se necesitan 30 mármoles 
de 0,65 metros de ancho. Si se revistiera con mármoles de medio metro de ancho ¿Cuántos se 
requieren? 
 
c) Si un bodeguero adquirió 240 litros de vino a $87,50 el litro ¿Cuánto vino de $105 el litro 
podría haber comprado con el dinero gastado? 
 
d) Para confeccionar una tela de 23,80 metros de largo y 0,81 metros de ancho se emplearon 
12,6 kilogramos de hilo. Dígase la cantidad de metros de tela de la misma calidad, pero de 0,90 
metros de ancho, que se podrán hacer con 12 kilogramos de hilo. 
 
e) Si para asfaltar 6 cuadras de calle de 1200 metros cuadrados por cuadra, una empresa 
empleó 60 personas durante 25 días, ¿cuántos m2 asfaltará una cuadrilla de 95 empleados en 30 
días? 
 
f) Los 15 coches de una empresa de ómnibus, corriendo 14 horas diarias, gastan 1.800 litros 
de nafta en 6 días. Si se agregan al servicio 9 coches más ¿cuántos litros de nafta utilizarán en 7 
días de 16 horas? 
 
g) Por cada 24 kg de aceitunas se obtienen 6 litros de aceite. 
g.1) ¿Cuántos litros se obtienen con 5.000 kg de aceitunas? 
g.2) ¿Cuántos kg de aceitunas se necesitan para llenar de aceite un depósito de 8.000 
litros? 
 
h) Una máquina fabrica 500 tornillos en 5 h ¿Cuánto tardará en fabricar 10.000 tornillos? 
 
i) Si en una empresa de alta costura 10 sastres trabajando 8 horas diarias durante 10 días 
confeccionan 800 trajes, ¿cuántos sastres con igual rendimiento lograrán confeccionar 600 trajes 
trabajando 2 horas diarias durante 12 días? 
 
 
 
 
34 
 
TEMA N° 4: SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDAS 
 
 
1.- MAGNITUDES 
 
La persona al observar los cuerpos que lo rodean ejerce una operación intelectual llamada 
abstracción, que le permite, en cada caso, determinar las cualidades de esos cuerpos dejando de 
lado todas las demás. 
Surgen así los conceptos abstractos de forma (esférica, cuadrada, etc.), tamaño (grande, 
mediano, pequeño), especies (longitud, superficie, volumen, fuerza, temperatura, etc.). 
Se denomina MAGNITUD a todo conjunto de entes abstractos entre cuyos elementos pueden 
definirse la igualdad y la suma, por ejemplo: LONGITUD, SUPERFICIE, VELOCIDAD, MASA, 
PRESIÓN. Es decir, la magnitud es una medida asignada para uno de los objetos de un conjunto 
medible. 
Toda magnitud es susceptible de ser medida numéricamente. Medir es comparar una 
magnitud con otra que llamamos unidad. La medida es el número de veces que la magnitud contiene 
a la unidad. Por ejemplo, si se quiere medir la longitud de un pasillo, en primer lugar, se debe elegir 
la unidad, en este caso sería el metro. 
Cada uno de los elementos recibe el nombre de cantidad y dos de ellos se dicen homogéneos 
si pertenecen a la misma magnitud. 
Ejemplos de magnitudes: 
ELEMENTO MAGNITUD CANTIDAD 
El largo de la mesa Longitud 2,50 m 
La capacidad de una jarra Volumen 2 𝑑𝑚3 
 
 Eligiendo una cantidad como unidad y determinando las razones entre la magnitud y dicha 
unidad, obtendremos como resultadoun número. Los números determinados de esta manera son 
las medidas de las cantidades. 
La cantidad a la que se hace corresponder el número uno recibe el nombre de unidad de 
medida. Por ejemplo: Magnitud: Longitud – Unidad de Medida: 𝐿 = 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜. 
 
2.- SISTEMA MÉTRICO LEGAL ARGENTINO 
 
El Sistema Métrico Legal Argentino, o también llamado SIMELA, es el sistema de unidades 
de medidas vigente en Argentina, de uso obligatorio y exclusivo en todos los actos públicos o 
privados. Está constituido por las unidades, múltiplos y submúltiplos, prefijos y símbolos del Sistema 
Internacional de Unidades y ciertas unidades de otros sistemas de cuyo uso no puede prescindirse, 
según el consenso general. Fue establecido por la Ley 19511 en marzo de 1972. A los fines del 
ingreso, sólo se expondrán algunas de las unidades de medidas. 
 
35 
 
 
El Sistema Internacional de Unidades, que es abreviado como SI, fue establecido en 1960 por 
la Conferencia General de Pesas y Medidas. Este es el sistema usado en el comercio, la industria 
y fundamentalmente, en la investigación científica a nivel internacional. 
 
2.1.- UNIDADES DE BASE 
 
El SIMELA adopta las siete unidades de base del Sistema Internacional, que por convención 
se consideran dimensionalmente independientes. 
 
MAGNITUD SÍMBOLO DE LA 
MAGNITUD 
UNIDAD SÍMBOLO DE 
LA UNIDAD 
Longitud L metro m 
Masa M kilogramo kg 
Tiempo T segundo s 
Intensidad de corriente eléctrica l ampere A 
Temperatura T celsius °C 
Intensidad luminosa 𝑰𝒗 Candela cd 
Cantidad de sustancia N mol mol 
 
Todas las demás unidades utilizadas para expresar magnitudes físicas se pueden derivar de 
estas unidades básicas y se conocen como unidades derivadas. 
 
2.2.- UNIDADES DERIVADAS 
 
Las unidades derivadas son las que resultan de productos, cocientes o productos de potencias 
de las unidades de base del SI y tienen como único factor numérico el 1, formando un sistema 
coherente de unidades. 
Algunas unidades derivadas tienen nombres especiales y símbolos particulares, se analizan 
las principales: 
 
MAGNITUD UNIDAD SÍMBOLO DE LA UNIDAD 
Área metro cuadrado m2 
Volumen metro cúbico m3 
Densidad kilogramo por metro cúbico k /m3 
Velocidad metro por segundo m/s 
 
 
36 
 
 
3.- OTRAS UNIDADES DE MEDIDAS QUE NO SE ENCUENTRAN EN EL SI 
 
Estas unidades provienen de distintos sistemas, constituyen un conjunto heterogéneo que 
hacen necesario el uso de factores de conversión distintos de 1 para relacionarlas entre sí. 
 
MAGNITUD UNIDAD SIMBOLO VALOR EN UNIDADES DEL SI 
área centiárea ca ca = 1 m2 
área a a = 102 m2 = 100 m2 
hectárea ha ha = 104 m2 = 10.000 m2 
masa Libra lb lb = 0,45359237 k ≅ 0,4536 k 
volumen Litro L ó l l = 1 dm3 = 10−3m3 
Barril bl ó bbl bl ≅ 159 litros 
tiempo 
 
día d d = 86.400 s 
hora h h = 3600 s 
minuto min min = 60 s 
longitud pulgada in ó ′′ in = 2,54 cm 
pie ft ó ′ ft = 12 in = 30,48 cm 
 
El TEU (Twenty-foot Equivalent Unit o unidad que equivale a 20 pies) representan la 
unidad de medida de capacidad del transporte marítimo referida en contenedores de carga. 
Dicho de otra manera, una TEU es la capacidad de carga que tiene un contenedor estándar 
de 20 pies de largo, por 8 pies de ancho, 8 pies y 6 pulgadas de alto. Esto supone un volumen 
exterior de 38,51 metros cúbicos, su peso máximo es de 21.600 kilogramos sin tara y su capacidad 
máxima es de 33 metros cúbicos. 
Es una medida esencial en el comercio internacional, especialmente en las importaciones y 
exportaciones que se hacen vía transporte marítimo. Además, esta medida se usa para definir la 
capacidad y tamaño de las embarcaciones. De hecho, los barcos se categorizan en TEU, e incluso 
esta es la unidad de medida de cálculos de la actividad portuaria. 
El FEU es una variante del TEU que equivale al doble de esta, es decir, 40 pies. 
 
DIMENSIONES DE UN CONTENEDOR TIPO TEU Y FEU 
Medidas (interiores) de los contenedores más utilizados tipo Dry Van 
Dimensiones 𝑇𝐸𝑈 = 20′ 𝑥 8′ 𝑥 8′6′′ 𝐹𝐸𝑈 = 40′ 𝑥 8′ 𝑥 9′6′′ 
Tara 2.300 𝑘𝑔 3.940 𝑘𝑔 
Carga máxima 28.180 𝑘𝑔 28.560 𝑘𝑔 
Peso bruto 30.480 𝑘𝑔 32.500 𝑘𝑔 
 
 
37 
 
 
PESO SECO O TARA: Es el peso del vehículo en vacío (sin conductor, pasajeros ni carga), 
pero con su dotación completa de agua, combustible, lubricante, repuesto, herramientas y 
accesorios reglamentarios. 
MASA MÁXIMA AUTORIZADA (M.M.A): Es lo máximo que puede 
pesar un vehículo cargado para circular por las vías públicas. 
 
 
4.- NORMAS RELATIVAS A LOS SÍMBOLOS 
 
Los símbolos de las unidades son entes matemáticos, NO abreviaturas. Por ello, se deben 
escribir tal cual están establecidos. Por ejemplo: m para el metro. 
Las reglas que deben seguirse son las siguientes: 
 Los símbolos de las unidades van en letra imprenta independientemente del tipo de letra 
empleada. 
 Los prefijos forman parte de la unidad; precede al símbolo que tendría la unidad sin espacio 
intermedio. Por ejemplo: decímetro se escribe dm. Los prefijos de los submúltiplos y múltiplos 
hasta kilo (k) se escriben con minúscula (es incorrecto Kg); a partir de este los prefijos van en 
mayúscula. 
 Los símbolos se escriben en minúscula excepto si derivan de un nombre propio, en cuyo caso 
la primera letra es mayúscula (como por ejemplo W de Watt). Como excepción se permite el 
uso de la letra “L” como símbolo del litro para evitar la confusión con el número 1. 
 El valor numérico y el símbolo de las unidades deben ir separados por un espacio y no deben 
quedar en líneas diferentes. Por ejemplo, 50 m es correcto; mientras que 50m es incorrecto. 
 Al no ser abreviaturas, los símbolos no se pluralizan y no van seguidos de un punto, salvo al 
final de una frase. Por ejemplo, es incorrecto escribir “seg” en lugar de “s” o “segundo”; mm 
cuad en lugar de “milímetro cuadrado o 𝑚𝑚2”; cc en lugar de “centímetro cúbico o 𝑐𝑚3”. De 
esta forma se evitan ambigüedades y malentendidos respecto a los valores de las magnitudes. 
 No se pueden mezclar símbolos de unidades con nombres de unidades de una misma 
expresión, pues los nombres no son entidades matemáticas y los símbolos sí. Por ejemplo: 
es correcto 1 m, un metro y 1 metro; pero es incorrecto “un m”. 
 Los nombres de las unidades son nombres comunes, incluso si derivan de un nombre propio; 
por lo tanto, no se escriben con mayúscula excepto al principio de un enunciado. Por ejemplo: 
“Expresar en metros”, es correcto, mientras que Expresar en Metros, es incorrecto. 
 
 
El desastre de la sonda 
Mars Climate Orbiter 
https://www.youtube.com/watch?app=desktop&v=JW7yci0NUx0&list=PL3KGq8pH1bFSH33aCvkGNdrjn1yXNSG5a&index=17
 
38 
 
5.- MÚLTIPLOS Y SUBMÚLTIPLOS DE LAS UNIDADES DE MEDIDAS 
 
En muchas ocasiones las unidades básicas de medidas no son suficientes para representar 
o hablar sobre el tamaño del objeto. Los múltiplos y submúltiplos de las unidades de medida se 
utilizan en estos casos. 
A continuación, se analizan los múltiplos y submúltiplos de las unidades de longitud, masa, 
capacidad, superficie y volumen. 
 
5.1.- UNIDADES DE LONGITUD 
 
La unidad principal de longitud es el metro (m). 
Los submúltiplos son el decímetro, centímetro y el milímetro; y los 
múltiplos son el decámetro, hectómetro y kilómetro. 
 
 
 
Cuando se quiere pasar de un múltiplo o submúltiplo a otro, al tratarse de unidades de 
medidas decimales, se debe multiplicar o dividir por diez, un determinado número de veces. Cada 
unidad de longitud es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor que la 
inmediata superior. 
Cuando se quiere pasar de una unidad de medida mayor a una menor se multiplica por 10 
tantas veces como saltos de casilleros haya desde la unidad de medida inicial hasta la que se quiere 
lograr; mientras que, si se necesita pasar de una unidad de medida menor a una mayor, se divide 
por 10 tantas veces como saltos de casilleros haya desde launidad de medida inicial hasta la que 
se quiere lograr. 
Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir 
por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. 
 
 
 
39 
 
Por ejemplo: Si se quiere saber a cuántos metros equivale 2 km, hay que multiplicar 2 por 
10 tres veces, ya que el metro se encuentra a tres lugares decimales hacia la derecha. Entonces 2 
km son equivalentes a 2.000 m. 
Si se quiere saber a cuántos km equivalen 2.000 m, se debe realizar el camino inverso, es 
decir, dividir 2.000 por 10, tres veces. 
Otros ejemplos: 
Si se quiere pasar de 50 m a cm, tenemos que multiplicar (porque vamos a pasar de una 
unidad mayor a otra menor) por la unidad (1) seguida de dos ceros, ya que entre el metro y el 
centímetro hay 2 lugares de separación (metro, decímetro, centímetro). 
Luego, 50 x 100 = 5000 centímetros 
 
Si se quiere pasar 4385 milímetros a metros, tenemos que dividir (porque vamos a pasar de 
una unidad menor a otra mayor) por la unidad (1) seguida de tres ceros, ya que hay 3 lugares 
de separación entre ellos. Luego, 4.385 ∶ 1000 = 4,385 m 
 
Si se necesitan expresar en metros la siguiente longitud, 5 km 5 hm 7 dam, se calcula de la siguiente manera: 
5 km 5 hm 7 dam = 5.000 m + 500 m + 70 m = 5.570 m 
 
 
5.2.- UNIDADES DE MASA 
 
La masa es una magnitud física que mide la cantidad de materia contenida en un 
cuerpo. En el SI la unidad oficial de masa es el kilogramo (kg). En el Sistema 
Cegesimal de Unidades, Sistema cgs o Sistema Gaussiano es el gramo. En el presente apunte se 
sigue el SI. 
 
 
 
Al igual que en las unidades de longitud, cuando se quiere pasar de un múltiplo o submúltiplo 
a otro, al tratarse de unidades de medidas decimales, se debe multiplicar o dividir por diez un 
determinado número de veces. 
 
 
40 
 
 
Cada unidad de masa es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces menor 
que la inmediata superior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se reduce 
a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. 
Por ejemplo: Si se quiere saber a cuántos g equivalen 408 mg, se debe dividir, porque se 
quiere pasar de una unidad menor a una mayor: 
408
10 x 10 x 10
=
408
1000
= 0,408 
 
 
 
5.3.- UNIDADES DE CAPACIDAD 
 
La principal unidad de capacidad es el litro (l). 
 
 
 
 
Al igual que las anteriores, cuando se quiere pasar de un múltiplo o submúltiplo a otro, al 
tratarse de unidades de medidas decimales, se debe multiplicar o dividir por diez un determinado 
número de veces. 
Cada unidad de capacidad es 10 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 10 veces 
menor que la inmediata superior. Por lo tanto, el problema de convertir unas unidades en otras se 
reduce a multiplicar o dividir por la unidad seguida de tantos ceros como lugares haya entre ellas. 
 
Por ejemplo: Si se quiere saber a cuántos ml equivalen 15 l, se debe multiplicar, porque se 
quiere pasar de una unidad mayor a una menor: 𝟏𝟓 𝐱 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟏𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝐦𝐥 
 
 
 
 
41 
 
5.4.- UNIDADES DE SUPERFICIE 
 
La principal unidad de superficie es el metro cuadrado (𝐦𝟐). 
 
 
Cada unidad de superficie es 100 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 100 veces 
menor que la inmediata superior. 
El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad 
seguida de tantos PARES de ceros como lugares haya entre ellas. 
Por ejemplo: Si se quiere saber a cuántos dm2 equivalen 15 m2, se debe multiplicar, porque 
se quiere pasar de una unidad mayor a una menor: 15 x 100 = 1.500 dm2 
 
5.5.- UNIDADES DE VOLUMEN 
 
La principal unidad de superficie es el metro cúbico (𝐦𝟑). 
 
Cada unidad de volumen es 1.000 veces mayor que la unidad inmediata inferior y 1.000 veces 
menor que la inmediata superior. 
El problema de convertir unas unidades en otras se reduce a multiplicar o dividir por la unidad 
seguida de tantos TRÍOS de ceros como lugares haya entre ellas. 
Por ejemplo: Si se quiere saber a cuántos dm3 equivalen 15 m3, se debe multiplicar, porque 
se quiere pasar de una unidad mayor a una menor: 15 x 1000 = 15.000 dm3 
 
 
42 
 
 
5.6.- RELACIONES ENTRE CAPACIDAD, VOLUMEN Y MASA DEL AGUA 
 
El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa y se mide en metros cúbicos 
o en cualquiera de sus múltiplos y submúltiplos. 
 
La capacidad es una magnitud que indica lo que cabe dentro de un cuerpo o recipiente y se 
mide en litros o en cualquiera de sus múltiplos y submúltiplos. 
 
 Un litro es la capacidad de un decímetro cúbico. Es decir, 𝟏 𝐥 = 𝟏 𝐝𝐦𝟑 
 
 
 
 Un kilogramo es la masa que tiene el agua pura que entra en un recipiente de un decímetro 
cúbico de volumen. Es decir, 𝟏 𝐤𝐠 = 𝟏 𝐝𝐦𝟑 (sólo si es agua). 
 
 
 De estas dos igualdades resultan las equivalencias entre las unidades de volumen, capacidad 
y masa: 
𝟏 𝐝𝐦𝟑 = 𝟏 𝐥 = 𝟏 𝐤𝐠 
𝟏 𝐦𝟑 = 𝟏 𝐤𝐥 = 𝟏 𝐭 
𝟏 𝐜𝐦𝟑 = 𝟏 𝐦𝐥 = 𝟏 𝐠 
 
 
43 
 
ACTIVIDADES 
 
17.- Tachar lo que no corresponde. ¿Cuál es la unidad más adecuada para medir las siguientes 
magnitudes? 
a) La altura de un edificio: (metros / centímetros / kilómetros) 
b) La capacidad de una pileta de natación (centilitros / mililitros / litros) 
c) El peso de un avión (gramos / toneladas / decigramos) 
d) La distancia entre ciudades (metros / kilómetros / decímetros) 
 
18.- Expresar en metros: 
a) 5 km + 5 hm + 1 dam = 
b) 1,83 hm + 9,7 dam + 3.700 cm = 
 
19.- Expresar en gramos: 
a) 4 h + 8 da + 2 + 5 d = 
b) 2 da + 3 − 8 d + 7 c 
c) 15 lb 
 
20.- Calcular y expresar el resultado en centilitros: 
a) 3 dal + 7 l + 5 dl + 4 cl + 5 ml = 
b) 0,000534 kl + 0,47 l = 
 
21.- Calcular y expresar en metros cuadrados: 
a) 5 hm2 + 24 dam2 + 60 dm2 + 72 cm2 = 
b) 3.321 m2 − 0,058 hm2 = 
 
22.- Calcular y expresar en hectáreas: 
a) 70 km2 + 301 hm2 + 5.000 dam2 = 
b) 51 m2 + 3.330 dm2 + 1.011 cm2 = 
 
23.- Calcular y expresar en metros: 
a) 10′′ + 50′ + 300 cm = 
b) 1.981′ + 28′′ = 
 
 
 
44 
 
24.- Pasar a litros las siguientes unidades de volumen: 
 
a) 0,3 cm3 = b) 1,5 hm3 = c) 9,6 m3 = d) 1,8 cm3 = 
e) 31,2 dam3 = f) 16,12 m3 = g) 1,96 hm3 = h) 14,92 mm3 = 
 
 
25.- Pasar a kilolitros las siguientes unidades de volumen: 
 
a) 0,5 m3 = b) 8 hm3 = c) 3,7 dm3 = d) 71,6 dam3 = 
e) 15 dm3 = f) 9,2 dam3 = g) 14,2 hm3 = h) 126,1 dm3 = 
 
26.- Pasar a mililitros las siguientes unidades de volumen: 
 
a) 2 mm3 = b) 2,5 m3 = c) 7,21 dam3 = d) 3,18 dam3 = 
e) 1,3 dm3 = f) 7,21 mm3 = g) 0,01 hm3 = h) 0,15 dm3 = 
 
27.- Calcular: 
 
a) La masa en toneladas que tienen 82 hl y 52 dal de agua pura. 
 
b) La masa en gramos que tienen 0,87 hl, 5 l y 7,2 dl de agua pura. 
 
c) La equivalencia en litros y en kilogramos, sabiendo que se trata de agua pura, de 12 cm3. 
 
28.- Una finca A tiene una superficie de 2 ℎ𝑎, 15 𝑎 𝑦 35 𝑐𝑎; una finca B tiene una superficie de 
5 ℎ𝑚2, 13 𝑎 𝑦 12 𝑚2 y una finca C tiene una superficie de 8 ℎ𝑎, 3 𝑑𝑎𝑚2 𝑦 18 𝑐𝑎. 
 
a) Calcular la superficie en metros cuadrados de cada finca. 
b) Si se quiere maximizar la superficie cultivada y se sabe que la finca A dispone sólo de 
7
8
 
partes de su terreno en condiciones de cultivo; la finca B de 
10
16
 partes cultivables y la C de 
2
6
 
disponibles para cultivar, ¿cuál de las tres fincas conviene adquirir y por qué? 
 
29.- Un joyero ha hecho 2 cadenas de oro de 1,25 dag cada una, 3 anillos de oro de 34,5 dg cada 
uno y 8 pulseras de oro de 0,25 hg cada una. 
a) Calcular cuántos gramos de oro ha utilizado para hacer las 2 cadenas, los 3 anillos, y las 8 
pulseras. 
b) Si el gramo de oro cotiza en $5.000, ¿cuál es el valor por cada elemento? ¿Cuál es el valor 
total de los productos realizados por el joyero? 
 
 
45 
 
30.- Un laboratorio farmacéuticoenvasa el alcohol en frascos de cuatro tamaños. Observar el 
volumen en centímetros cúbicos de cada frasco y luego responder: 
 
 
a) La capacidad en litros de cada frasco. 
b) El peso en gramos del alcohol de cada frasco, si el litro de alcohol pesa 0,8 kg. 
 
31.- Un depósito de volumen 0,5 m3y 12 dm3 está lleno de agua. Para vaciar el depósito se abre el 
grifo que evacua 3 dal y 2 l de agua por minuto. Calcular en minutos el tiempo que se emplea para 
vaciar el depósito. 
 
32.- Una empresa vende bidones de agua. Observar y calcular: 
 
a) El volumen en centímetros cúbicos de cada bidón. 
b) La masa en gramos del agua destilada que contiene cada bidón. 
 
 
33.- Observar el siguiente gráfico que representa la cantidad de agua que ha consumido un 
restaurante durante un mes y calcular: 
 
a) Los litros de agua que ha consumido el restaurante durante este mes. 
b) El precio aproximado de un litro de agua, si ha pagado $10.126 por el agua que ha 
consumido este mes. 
 
 
 
46 
 
TEMA N° 5: PORCENTAJE (%) Y TANTO POR MIL (‰) 
 
 
El porcentaje es una proporción particular donde el “todo o unidad” representa el 100%. 
 
Por ejemplo, si se quiere calcular el 4% de $1.250, se debe hacer el siguiente planteo: 
 
Si se analiza la relación se observa que a menor porcentaje 
menor será la cantidad de dinero, por lo tanto, se concluye que es 
una relación directamente proporcional. 
Luego: 
𝑥 = 
4% ∙ $1.250
100%
= $50 
 
El tanto por mil es otra proporción particular donde el “todo o unidad” representa el 100‰. 
En matemáticas, la expresión de un número por mil es una manera de expresarlo como una fracción 
de 1000, o como la décima parte de un porcentaje. Se escribe con el signo ‰. 
 
Por ejemplo, si se quiere hallar el 3‰ de $4.800, se debe hacer el siguiente planteo: 
 
Luego: 
𝑥 = 
3 ‰ ∙ $4.800
1000 ‰
=
3 ∙ $4.800
1000
= $14,40 
 
El 3 por mil de $4.800 es igual a $14,40. 
 
 
ACTIVIDADES 
 
34.- Analizar y responder: 
 
De un total de 760 estudiantes que ingresaron a la Facultad de Ciencias Económicas se 
observó la siguiente distribución por carrera: 
 
 
 
 
47 
 
¿Qué significan estos porcentajes? 
 
 De 100 estudiantes, ……….. se anotaron 
para Contador. 
 De 100 estudiantes, ……….. se anotaron 
para Administración. 
 De 100 estudiantes, ……….. se anotaron 
para Logística. 
 De 100 estudiantes, ……….. se anotaron 
para Economía. 
 
Del total de ingresantes: ¿Cuántos fueron a cada carrera? 
CONTADOR ADMINISTRACIÓN LOGÍSTICA ECONOMÍA TOTAL 
 
 
35.- Calcular: 
a) 2% de $315. b) 10% de 1008 m. 
c) 1,3% de 75000. d) 0,5% de $120. 
e) 20% de $1500 
(20% es la quinta parte) 
 f) 25% de $812 
(25% es la cuarta parte) 
 
g) 50% de 4800 (50% es la mitad) h) 75% de 8 (75% es ¾ partes) 
 
36.- Completar la siguiente tabla: 
FRACCIÓN EXPRESIÓN DECIMAL PORCENTAJE 
3
5
 
 
 
 35% 
 
0,125 
 
37.- Completar con el valor que corresponda: 
a) 7 de 20 es el …….% 
b) 9 de 5 es el ……...% 
c) 100 de 40 es el ……..% 
d) 17 de 25 es el ……… % 
 
48 
 
38.- Completar según corresponda: 
 
Recuerde: Bonificación, descuento, rebaja y deducción significan reducción o resta. En 
cambio, recargo, impuesto y multa significan aumento. 
 
Precio % descuento % recargo Descuento o Recargo en $ Precio por pagar 
$250 12% 
$405 10% 
 15% $45 
$1400 20% 15% 
$1000 $850 
 
39.- Resolver: 
a) Una señora que abona un gasto de $8440 al contado se beneficia con el 5% de descuento. 
¿Qué suma neta debe pagar? 
b) Un propietario abona de impuesto inmobiliario del 6% de su propiedad, tasada en 
$25.000.000 y por hacerlo luego del vencimiento se le recarga el 1,5% ¿Cuánto debe pagar? 
c) Las maquinarias menores de un establecimiento industrial, que se adquirieron por $100.000 
sufren anualmente una depreciación del 4%. ¿Cuánto valdrán al final del segundo año? 
d) Si en un poblado de 18.000 habitantes se calcula que anualmente se realizan nacimientos 
en una cantidad que representa el 21% de la población, en tanto que las defunciones alcanzan el 
17%, ¿cuántos habitantes tendrá teóricamente la ciudad al año siguiente, si además se produce 
una afluencia de extraños que representan un 1% del total de habitantes? 
e) Un editor que encarga la impresión de folletos cuyo costo se fijó en $7500 debe abonar 
como seña el 15% de ese dinero al entregar los originales. ¿Cuánto deberá abonar al retirar el 
trabajo? 
f) Si un banco cobra una comisión del 5,6% y el impuesto del 1%, ¿cuánto debe pagarse en 
concepto de comisión e impuesto por un giro de $26.000? 
g) Un corredor de bolsa recibe 11% de comisión sobre las operaciones que realiza, si en un 
día logró colocar 7 títulos de $2.500.000 cada uno y 3 de $850.000 cada uno ¿Cuánto ganó? 
h) Un consumidor por una compra de $2.500 paga $2.275. ¿Qué bonificación le hicieron? 
i) Por la compra de productos debe pagar el 21% de IVA. Si la compra neta fue de $3045 
¿Cuánto pagarán con IVA incluido? 
j) En un local de venta de electrodomésticos te recargan 15% por pago con tarjeta de crédito 
y te descuentan 10% por pago de contado. Un matrimonio decidió comprar, con tarjeta de crédito 
una heladera de $110.000 en 10 cuotas fijas y al contado un TV de LED a $60.000. 
 
49 
 
j.1) ¿Cuál fue el valor de cada cuota de la heladera? 
j.2) ¿Cuánto pagaron por el TV? 
j.3) ¿Cuál fue el costo final de la compra? 
k) EJERCICIO DEL 1° PARCIAL INGRESO 2020: Una fábrica de galletas produce 20.000 
paquetes por día. De este total: el 60% son de chocolate; una cuarta parte del total son de naranja 
y el resto son de limón. Sabiendo esto, responder: 
k.1) ¿Cuántos paquetes por día se producen de cada sabor? 
k.2) Si se produce un defecto en la línea de producción de galletas de chocolate que obliga 
a desechar una décima parte del total de paquetes ¿cuántos paquetes quedan en condiciones de 
ser comercializados? 
k.3) De los paquetes de galletas de chocolate en condiciones de ser comercializados, el 
50% se destina a Gran Mendoza, una décima parte del total a Junín y el resto a San Rafael. Calcule 
la cantidad de paquetes que se enviarán a cada destino. 
k.4) Si un supermercado vende las tres quintas partes del total producido de los paquetes 
de galletas de naranja y un tercio de las de limón por día ¿cuántos paquetes de galletas está 
vendiendo cada 30 días? 
l) Un vendedor que formalizó una venta de $15.350 recibió de comisión $1.535 ¿Qué comisión 
(‰) tiene asignada? 
ll) Un empresario gira al exterior USD 7.500 por intermedio de una compañía financiera que 
cobra el 4,8‰ de comisión. Si el impuesto fiscal por la operación es del 1,5% ¿cuánto dinero debe 
llevar para realizar la operación? 
m) El precio de un videojuego era de $18.000; como no se vendió, se aplicó un descuento del 
20%. Después de un año, se aplicó otro descuento del 20%. ¿Cuál fue su precio final? 
n) Esteban invirtió USD 3000 en un plan de ahorro. En este plan, al final de cada mes se le 
ingresa un 5% del capital invertido y depositado en la cuenta. Si no retira dinero ¿Cuánto dinero 
ganará en 2 meses? ¿Es un 5% o un 10% del dinero invertido inicialmente? ¿Por qué? 
ñ) Si el precio de una casa subió un 15% en el primer año, bajó un 20% en el segundo año y 
subió nuevamente un 25% el tercer año, ¿cuál es el precio final de la casa si inicialmente era de 
USD 150.000? 
 
 
 
2. Porcentaje a decimal y 
viceversa 
3. Porcentaje a fracción 
1. Porcentaje de un número 4. Fracción a porcentaje 
https://youtu.be/NdD1_cYgRwg?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
https://youtu.be/6t7dhyZQRhQ?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
https://youtu.be/h8zEL6ya4ws?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
https://youtu.be/91s3MTsYqTM?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
https://youtu.be/NdD1_cYgRwg?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
https://youtu.be/6t7dhyZQRhQ?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
https://youtu.be/h8zEL6ya4ws?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1Uhttps://youtu.be/91s3MTsYqTM?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
https://youtu.be/NdD1_cYgRwg?list=PLeySRPnY35dHSFM5LWSwItwTUID8-yq1U
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Chorny, F., Krimker, G. y Salpeter, C. (2005). Pitágoras 8 Matemática, Proyecto Mundo para todos, 
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Corrías, Celina, Gei, Carina, Herrera, Héctor, Julián, Francisca y Rodríguez, María Cecilia (2019). Módulo 
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Universidad Nacional de Cuyo, Mendoza, Argentina. 
 
Greco de Laugero, Cecilia, Guevara Molina, Silvia y Zaragoza de Cueto, Liliana (1993). Haciendo… 
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Seveso de Larotonda, J., Wykowski, A., Ferrarini, G., Matemática 8 EGB 1er Año, Serie Vértices, Kapelusz. 
 
Videos recuperados de: 
math2me: https://www.youtube.com/channel/UCB34YbuG6ThXJzJsDAII5Dw 
MagoMáticas: https://www.youtube.com/channel/UC45ke0ITzJUD6pfk0kBvw5g 
Tuto mate: https://www.youtube.com/channel/UC4w7epYKiuMvFuBBpTh97IA 
Matemáticas Profe Alex: https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ 
Matemática PasoAPaso: https://www.youtube.com/channel/UCobSQ_yg4l_I-eEHuapw_qg 
Última fecha de acceso: 10/09/2022. 
https://www.youtube.com/channel/UCB34YbuG6ThXJzJsDAII5Dw
https://www.youtube.com/channel/UC45ke0ITzJUD6pfk0kBvw5g
https://www.youtube.com/channel/UC4w7epYKiuMvFuBBpTh97IA
https://www.youtube.com/channel/UCanMxWvOoiwtjLYm08Bo8QQ
https://www.youtube.com/channel/UCobSQ_yg4l_I-eEHuapw_qg