Aritmética 4

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DECLARACIÓN UNIVERSAL DE LOS DERECHOS HUMANOS
El 10 de diciembre de 1948, la Asamblea General de las Naciones Unidas aprobó y proclamó
la Declaración Universal de los Derechos Humanos, cuyos artículos figuran a continuación:
Artículo 1.-
Todos los seres humanos nacen libres e iguales en dignidad y derechos y (...) 
deben comportarse fraternalmente los unos con los otros.
Artículo 2.-
Toda persona tiene todos los derechos y libertades proclamados en esta 
Declaración, sin distinción alguna de raza, color, sexo, idioma, religión, opinión 
política o de cualquier otra índole, origen nacional o social, posición económica, 
nacimiento o cualquier otra condición. Además, no se hará distinción alguna 
fundada en la condición política, jurídica o internacional del país o territorio de 
cuya jurisdicción dependa una persona (...).
Artículo 3.-
Todo individuo tiene derecho a la vida, a la libertad y a la seguridad de su 
persona.
Artículo 4.-
Nadie estará sometido a esclavitud ni a servidumbre; la esclavitud y la trata de 
esclavos están prohibidas en todas sus formas.
Artículo 5.-
Nadie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o 
degradantes.
Artículo 6.-
Todo ser humano tiene derecho, en todas partes, al reconocimiento de su 
personalidad jurídica.
Artículo 7.-
Todos son iguales ante la ley y tienen, sin distinción, derecho a igual protección 
de la ley. Todos tienen derecho a igual protección contra toda discriminación 
que infrinja esta Declaración (...).
Artículo 8.-
Toda persona tiene derecho a un recurso efectivo, ante los tribunales 
nacionales competentes, que la ampare contra actos que violen sus derechos 
fundamentales (...).
Artículo 9.-
Nadie podrá ser arbitrariamente detenido, preso ni desterrado.
Artículo 10.-
Toda persona tiene derecho, en condiciones de plena igualdad, a ser oída 
públicamente y con justicia por un tribunal independiente e imparcial, para la 
determinación de sus derechos y obligaciones o para el examen de cualquier 
acusación contra ella en materia penal.
Artículo 11.-
1. Toda persona acusada de delito tiene derecho a que se presuma su inocencia 
mientras no se pruebe su culpabilidad (...).
2. Nadie será condenado por actos u omisiones que en el momento de 
cometerse no fueron delictivos según el Derecho nacional o internacional. 
Tampoco se impondrá pena más grave que la aplicable en el momento de 
la comisión del delito.
Artículo 12.-
Nadie será objeto de injerencias arbitrarias en su vida privada, su familia, su 
domicilio o su correspondencia, ni de ataques a su honra o a su reputación. Toda 
persona tiene derecho a la protección de la ley contra tales injerencias o ataques.
Artículo 13.-
1. Toda persona tiene derecho a circular libremente y a elegir su residencia 
en el territorio de un Estado.
2. Toda persona tiene derecho a salir de cualquier país, incluso del propio, y 
a regresar a su país.
Artículo 14.-
1. En caso de persecución, toda persona tiene derecho a buscar asilo, y a 
disfrutar de él, en cualquier país.
2. Este derecho no podrá ser invocado contra una acción judicial realmente 
originada por delitos comunes o por actos opuestos a los propósitos y 
principios de las Naciones Unidas. 
Artículo 15.-
1. Toda persona tiene derecho a una nacionalidad.
2. A nadie se privará arbitrariamente de su nacionalidad ni del derecho a 
cambiar de nacionalidad.
Artículo 16.-
1. Los hombres y las mujeres, a partir de la edad núbil, tienen derecho, sin 
restricción alguna por motivos de raza, nacionalidad o religión, a casarse y 
fundar una familia (...).
2. Solo mediante libre y pleno consentimiento de los futuros esposos podrá 
contraerse el matrimonio.
3. La familia es el elemento natural y fundamental de la sociedad y tiene derecho 
a la protección de la sociedad y del Estado.
Artículo 17.-
1. Toda persona tiene derecho a la propiedad, individual y colectivamente.
2. Nadie será privado arbitrariamente de su propiedad.
Artículo 18.-
Toda persona tiene derecho a la libertad de pensamiento, de conciencia y de 
religión (...).
Artículo 19.-
Todo individuo tiene derecho a la libertad de opinión y de expresión (...).
Artículo 20.-
1.	 Toda	persona	tiene	derecho	a	la	libertad	de	reunión	y	de	asociación	pacíficas.
2. Nadie podrá ser obligado a pertenecer a una asociación.
Artículo 21.-
1. Toda persona tiene derecho a participar en el gobierno de su país, 
directamente o por medio de representantes libremente escogidos.
2. Toda persona tiene el derecho de acceso, en condiciones de igualdad, a las 
funciones públicas de su país.
3. La voluntad del pueblo es la base de la autoridad del poder público; esta 
voluntad se expresará mediante elecciones auténticas que habrán de 
celebrarse periódicamente, por sufragio universal e igual y por voto secreto 
u otro procedimiento equivalente que garantice la libertad del voto.
Artículo 22.-
Toda persona (...) tiene derecho a la seguridad social, y a obtener, (...) habida 
cuenta de la organización y los recursos de cada Estado, la satisfacción de los 
derechos económicos, sociales y culturales, indispensables a su dignidad y al 
libre desarrollo de su personalidad.
Artículo 23.-
1. Toda persona tiene derecho al trabajo, a la libre elección de su trabajo, a 
condiciones equitativas y satisfactorias de trabajo y a la protección contra el 
desempleo.
2. Toda persona tiene derecho, sin discriminación alguna, a igual salario por 
trabajo igual.
3. Toda persona que trabaja tiene derecho a una remuneración equitativa y 
satisfactoria, que le asegure, así como a su familia, una existencia conforme 
a la dignidad humana y que será completada, en caso necesario, por 
cualesquiera otros medios de protección social.
4. Toda persona tiene derecho a fundar sindicatos y a sindicarse para la defensa 
de sus intereses.
Artículo 24.-
Toda persona tiene derecho al descanso, al disfrute del tiempo libre, a una 
limitación razonable de la duración del trabajo y a vacaciones periódicas 
pagadas.
Artículo 25.-
1. Toda persona tiene derecho a un nivel de vida adecuado que le asegure, así 
como a su familia, la salud y el bienestar, y en especial la alimentación, el 
vestido, la vivienda, la asistencia médica y los servicios sociales necesarios; 
tiene asimismo derecho a los seguros en caso de desempleo, enfermedad, 
invalidez, viudez, vejez u otros casos de pérdida de sus medios de 
subsistencia por circunstancias independientes de su voluntad.
2. La maternidad y la infancia tienen derecho a cuidados y asistencia especiales. 
Todos los niños, nacidos de matrimonio o fuera de matrimonio, tienen derecho 
a igual protección social.
Artículo 26.-
1. Toda persona tiene derecho a la educación. La educación debe ser gratuita, 
al menos en lo concerniente a la instrucción elemental y fundamental. La 
instrucción elemental será obligatoria. La instrucción técnica y profesional 
habrá de ser generalizada; el acceso a los estudios superiores será igual 
para todos, en función de los méritos respectivos.
2. La educación tendrá por objeto el pleno desarrollo de la personalidad humana 
y el fortalecimiento del respeto a los derechos humanos y a las libertades 
fundamentales; favorecerá la comprensión, la tolerancia y la amistad entre 
todas las naciones y todos los grupos étnicos o religiosos, y promoverá el 
desarrollo de las actividades de las Naciones Unidas para el mantenimiento 
de la paz.
3. Los padres tendrán derecho preferente a escoger el tipo de educación que 
habrá de darse a sus hijos.
Artículo 27.-
1. Toda persona tiene derecho a tomar parte libremente en la vida cultural de 
la	comunidad,	a	gozar	de	las	artes	y	a	participar	en	el	progreso	científico	y	
en	los	beneficios	que	de	él	resulten.
2. Toda persona tiene derecho a la protección de los intereses morales y 
materiales	que	le	correspondan	por	razón	de	las	producciones	científicas,	
literarias o artísticas de que sea autora.
Artículo 28.-
Toda persona tiene derechoa que se establezca un orden social e internacional 
en el que los derechos y libertades proclamados en esta Declaración se hagan 
plenamente efectivos.
Artículo 29.-
1. Toda persona tiene deberes respecto a la comunidad (...).
2. En el ejercicio de sus derechos y en el disfrute de sus libertades, toda persona 
estará solamente sujeta a las limitaciones establecidas por la ley con el único 
fin	de	asegurar	el	reconocimiento	y	el	respeto	de	los	derechos	y	libertades	
de los demás, y de satisfacer las justas exigencias de la moral, del orden 
público y del bienestar general en una sociedad democrática.
3. Estos derechos y libertades no podrán, en ningún caso, ser ejercidos en 
oposición a los propósitos y principios de las Naciones Unidas.
Artículo 30.-
Nada	en	esta	Declaración	podrá	 interpretarse	en	el	sentido	de	que	confiere	
derecho alguno al Estado, a un grupo o a una persona, para emprender y 
desarrollar actividades (...) tendientes a la supresión de cualquiera de los 
derechos y libertades proclamados en esta Declaración.
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AritméticA
Matemática
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 aritmética
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Y conexos
Reproducción, difusión, distribución y circulación de la obra sin la 
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el que con respecto a una obra, una interpretación o ejecución artística, 
un fonograma o una emisión o transmisión de radiodifusión, o una 
grabación audiovisual o una imagen fotográfica expresada en cualquier 
forma, realiza alguno de los siguientes actos sin la autorización previa y 
escrita del autor o titular de los derechos:
a. La modifique total o parcialmente.
b. La distribuya mediante venta, alquiler o préstamo público.
c. La comunique o difunda públicamente por cualquiera de los medios 
o procedimientos reservados al titular del respectivo derecho.
d. La reproduzca, distribuya o comunique en mayor número que el 
autorizado por escrito.
La pena será no menor de cuatro años ni mayor de ocho y con 
sesenta a ciento veinte días-multa, cuando el agente la reproduzca total 
o parcialmente, por cualquier medio o procedimiento y si la distribución 
se realiza mediante venta, alquiler o préstamo al público u otra forma 
de transferencia de la posesión del soporte que contiene la obra o 
producción que supere las dos (2) Unidades Impositivas Tributarias, 
en forma fraccionada, en un solo acto o en diferentes actos de inferior 
importe cada uno.
MateMática Delta 4 - aritMética 3
PresentaciónPresentación
Estimado estudiante, queremos decirte que nos alegra que hayas culminado bien el grado 
anterior y que te encuentres en este nuevo año para aprender, aun más, todo lo relacionado a la 
Matemática.
Por ello, te presentamos este material didáctico para que te sirva de apoyo y puedas encontrar 
en sus páginas todo lo que necesites para estar preparado ante las situaciones problemáticas que 
encuentres en tu vida escolar.
El contenido teórico que te presentamos a continuación, permitirá que continúes fortaleciendo 
tus capacidades y competencias matemáticas, y que estas sean, a su vez, aplicadas en tu vida 
cotidiana; el uso de tu razonamiento lógico debe estar en constante dinamismo, esto te llevará a 
un siguiente nivel.
La distribución de las asignaturas son conocidas por ti: Aritmética, Álgebra, Geometría, 
Trigonometría y Razonamiento Matemático; en ellos encontrarás el contenido programado para 
este grado.
Asimismo, complementamos lo planteado con algunas preguntas que han sido tomadas de 
exámenes de admisión, concursos de Matemática, preguntas tipo, etc., para que estés mejor 
preparado.
Empieza este nuevo año escolar con el mismo entusiasmo y dedicación que tuviste desde primaria 
y sigue con buena actitud todos los días.
Delta Editores
Apertura
En esta sección 
encontrarás 
temas 
novedosos que 
propiciarán 
sostener 
una relación 
cercana con la 
Matemática.
se aborda el 
desarrollo del 
tema, donde 
encontrarás las 
definiciones 
organizadas 
siguiendo una 
secuencia 
didáctica.
Marco 
teórico
Conoce tu libro
5k – 12
4k – 12
114
Tema
Al invertir, ahorrar, prestar (o pedir prestado) cierto dinero se toman en cuenta algunas 
condiciones que el capitalista (dueño o poseedor del dinero) exigirá a la persona o 
entidad que hará uso de su capital.
Por lo general estas condiciones contemplan que el dinero debe ser devuelto luego de 
cierto tiempo acordado y además de esto se debe pagar un adicional por haber hecho 
uso del dinero, más adelante veremos que a este adicional se le conoce como interés.
Ejemplo:
Alejandro desea ahorrar en un determinado banco S/ 800. Si el banco le ofrece como 
beneficio una tasa de 10 % de interés anual, en un año le pagará de interés:
10 % (S/ 800) = S/ 80
Alejandro, luego de un año, tendrá que recibir una cantidad mayor a S/ 800 originales, 
veamos lo que pasa:
Hoy: Alejandro deposita al banco S/ 800.
Un año después, Alejandro recibirá 
del banco: S/ 800 + S/ 80 = S/ 880
Esta es la idea del interés.
Además, se otorgan nombres especiales que se usarán en estos casos:
• El principal o capital del préstamo es S/ 800.
• El interés es S/ 80.
Elementos de la regla de interés 
Capital (C)
Es toda cantidad de dinero, bien material, servicio o esfuerzo humano que se va a 
invertir, ahorrar o prestar para que luego de un tiempo produzca una ganancia.
El concepto de 
interés se relaciona 
con el precio del 
dinero. Si alguien 
pide un préstamo, 
debe pagar cierto 
interés por ese 
dinero. Y si alguien 
deposita dinero en 
un banco, este debe 
pagar cierto interés 
por ese dinero.
El dinero que se 
paga por concepto 
de interés dependerá 
de la cuantía del 
capital prestado, 
de la duración del 
préstamo y de la 
tasa o tanto por 
ciento. Por esta 
razón, al calcular 
el interés, hay que 
tener en cuenta tres 
factores: el capital, la 
tasa y el tiempo.
Not a
7
Regla de interés
Título del tema
Para una mejor 
organización, 
los temas están 
numerados.
Comentarios 
y/o lecturas 
que 
refuerzan el 
desarrollodel tema
4
Ejercicios 
resueltos
se muestran 
ejercicios que 
están resueltos 
didácticamente, 
los mismos que 
servirán para 
el análisis del 
estudiante.
Síntesis
Contenido 
del tema, que 
incluye teoremas, 
postulados, 
fórmulas, 
propiedades, 
leyes, etc., 
resumido en 
organizadores 
gráficos para tener 
un panorama 
general del 
contenido.
Modela y 
resuelve
Los problemas 
con numeración 
impar serán 
resueltos por el 
docente, mientras 
que los pares 
serán resueltos 
por el estudiante 
siguiendo la 
secuencia 
realizada.
119MateMática DELTA 4 - aritMética
¿Cuál es el interés que produce S/ 240 000 
colocados al 2 % trimestral, durante 6 años?
Resolución:
Anotamos los datos:
Interés = S/ I
Capital = S/ 240 000
Tasa = 2 % trim. = 8 % anual
Tiempo = 6 años
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
I = C × r × t
100
 
I = 240 000 × 8 × 6
100
I = 115 200
¿Cuál es el capital que colocado al 5 % durante 
84 días, ha producido S/ 264,60 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Capital = S/ C
Tasa = 5 %
Tiempo = 84 días
Interés = S/ 264,60
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
C × r × t
36 000
 = I 
C = I × 36 000
r × t
C = 264,60 × 36 000
5 × 84
C = 22 680
1
4
Ejercicios resueltos
Rpta. El interés es S/ 115 200.
¿Qué interés genera S/ 4800 impuestos al 2 % 
bimestral en 7 meses?
Resolución:
Anotamos los datos:
Interés = S/ I
Capital = S/ 4800
Tasa = 2 % bim. = 12 % anual 
Tiempo = 7 meses
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
I = C × r × t
1200
 
I = 4800 × 12 × 7
1200
I = 336
2
Rpta. El interés es S/ 336.
¿Cuál es el capital que colocado al 6 % durante 
90 días, ha producido S/ 384,60 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Capital = S/ C
Tasa = 6 %
Tiempo = 90 días
Interés = S/ 384,60
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
C × r × t
36 000
 = I 
C = I × 36 000
r × t
C = 384,60 × 36 000
6 × 90
C = 25 640
3
Rpta. El capital es S/ 25 640. 
Rpta. El capital es S/ 22 680. 
122
Síntesis
Expresa las siguientes tasas de interés en forma 
anual.
a) 3 % semestral
b) 6 % bimestral
Resolución:
Expresa las siguientes tasas de interés en forma 
mensual.
a) 4 % bimestral
b) 9 % trimestral
Resolución:
Calcula el interés que genera un capital de 
S/ 4000 impuestos a una tasa del 5 % anual 
durante 2 años.
Resolución:
Calcula el interés que genera un capital de 
S/ 6000 impuestos a una tasa del 5 % anual 
durante 3 años.
Resolución:
2
3 4
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Regla de interés M = C + I
Interés simple Interés compuesto
I = C . r . t100
I = C . r . t1200
I = C . r . t36 000
t en años
Donde: 
C : capital
r : V.N. de la tasa anual 
t : tiempo 
I : interés 
M : monto 
n : número de periodos de capitalización
t en meses
t en días
1
Modela y resuelve 
M = C × (1 + r %)n
nombre de la 
sección
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas 
reales o 
simuladas, 
planteadas de 
acuerdo al tema.
algoritmo de 
resolución 
del problema 
planteado.
Organizador 
visual
Enunciado del 
problema o de 
la situación 
planteada.
Espacio para 
resolver 
el problema.
nombre de la 
sección
Nombre 
de la sección
5MateMática Delta 4 - aritMética
Practica y 
demuestra
se plantean 
preguntas 
que han sido 
organizadas 
por niveles de 
complejidad y de 
elección múltiple, 
en las cuales 
el estudiante 
demostrará lo 
aprendido durante 
la sesión.
Test
Esta 
evaluación 
incluye 
preguntas 
del contenido 
de los temas 
desarrollados 
en la unidad 
y son de 
elección 
múltiple.
6
nombre de la 
sección
número de test
Preguntas planteadas, 
estas pueden ser 
situaciones reales o 
simuladas.
alternativas
Espacio para 
realizar anotaciones 
de resolución.
alternativas
Preguntas y/o 
situaciones 
problemáticas reales o 
simuladas, planteadas 
de acuerdo a la unidad.
40
Practica y demuestra
Nivel I
1
4
5
6
2
3
Un pintor demora 40 minutos en pintar una pared 
cuadrada de 4 m de lado. Calcula cuánto demorará 
en pintar otra pared cuadrada de 6 m de lado.
Dieciocho hombres pueden hacer una obra en 
10 días trabajando cada día durante 8 horas. Halla 
cuántos hombres más harán falta trabajando con 
la misma eficiencia para hacer la obra en 2 días.
 A 68 B 64 C 70 
 D 72 E 90
 A 90 min B 70 min C 80 min 
 D 75 min E 85 min
Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 
20 días. Luego de 5 días, cinco obreros se retiran.
Determina el número de días que demorarán los 
obreros restantes en terminar la obra.
 A 16 B 15 C 18 
 D 20 E 21
En una caballeriza se tiene cierta cantidad de 
alimento para los caballos; este les alcanzará 
para 12 días, pero si aumentamos 2 caballos, 
ese mismo alimento solo alcanzaría para 10 días. 
Encuentra cuántos caballos tiene la caballeriza.
 A 8 B 10 C 12 
 D 9 E 6
Durante doce días una familia compuesta por 
6 personas ha gastado S/ 9000 en alimentación. 
¿Cuánto gastaría una pareja en 20 días?
 A S/ 4800 B S/ 5000 C S/ 5200 
 D S/ 5600 E S/ 6000
Cuatro tractores pueden remover 400 m3 de tierra 
en 6 horas. Descubre cuántas horas demorarán 
seis tractores en remover 800 m3 de tierra.
 A 6 h B 8 h C 10 h
 D 9 h E 12 h
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
57MateMática DELTA 4 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Si al tomar una muestra con 40 L de agua de 
mar, se determina que contiene 1700 gramos 
de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar se debe 
extraer para que al evaporar el agua se pueda 
obtener 8,67 kg de sal?
2
Diez albañiles terminan una construcción en 
once días. Si se desea terminar la misma obra 
en solo cinco días, ¿cuántos albañiles serán 
necesarios?
4
5
C D
BA
140144
14872
C D
BA
47
82
C D
BA
1825
2220
C D
BA
204 L200 L
202 L212 L
C D
BA
7464
6660
C D
BA
2220
2421
Dos ruedas están unidas por una barra 
transmisora. La primera tiene un radio de 36 cm 
y la segunda de 60 cm. Cuando la primera fila ha 
dado 240 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado 
la segunda?
1
Se contratan 6 artesanos que tejen 15 chompas 
en 20 días. Si se pretende tejer 60 chompas en 
24 días, ¿cuántos artesanos se deben contratar?
63 La magnitud A es directamente proporcional 
al cuadrado de la magnitud B. Calcula el valor 
inicial de A; si cuando B se triplica, A aumenta 
en 64 unidades.
La magnitud A es inversamente proporcional 
a la magnitud B, pero directamente propocional 
al cuadrado de la magnitud C. Cuando B es 
igual a 20, A es 12 y C es 7. Halla el valor de B, 
cuando A es 15 y C es 14.
7MateMática Delta 4 - aritMética
1
3
2
4
Magnitudes proporcionales 10
Magnitud
Tipos de magnitudes
Relación entre magnitudes
Teoremas
Regla de tres: simple y compuesta 28
Regla de tres simple
Regla de tres compuesta
Reparto proporcional 44
Reparto proporcional simple directo
Reparto proporcional simple inverso
Reparto de ganancias 59
Conceptos previos
Porcentajes 72
Porcentaje de una cantidad
Consideraciones
Aplicaciones comerciales del porcentaje 97
La utilidad
Los descuentos
Regla de interés 114
Elementos de la regla de interés
Interés simple
Monto
Interés compuesto
Estadística: Nociones y tablas 135
Etapas de la investigación estadística
Estadística descriptiva
Estadística: Gráficos 161
Elementos de un gráfico estadístico
Tipo de gráficos estadísticos
unidad competencias y capacidades contenidos pedagógicos páginas
Índice
Re
su
elv
e p
ro
ble
ma
s d
e c
an
tid
ad
 y 
de
 ge
sti
ón
 de
 da
tos
 e 
inc
er
tid
um
br
e
Traduce cantidades 
a expresiones 
numéricas.
Representa datos 
con gráficos y 
medidas estadísticas 
o probabilísticas.
Comunica su 
comprensión sobre 
los números y las 
operaciones.
Comunica su 
comprensión de 
los conceptos 
estadísticos y 
probabilísticos.
Usa estrategias y 
procedimientosde 
estimación y cálculo.
Usa estrategias y 
procedimientos para 
recopilar y procesar 
datos.
Argumenta 
afirmaciones sobre 
las relaciones 
numéricas y las 
operaciones.
Sustenta 
conclusiones o 
decisiones con base 
en la información 
obtenida.
Srinivasa Aaiyangar Ramanujan. Fue uno de los genios 
matemáticos más grandes de la India. Hizo importantes 
contribuciones a la teoría analítica de los números, y 
trabajó en las funciones elípticas, fracciones continuas y 
series infinitas.
Desempeños
• Establece relaciones entre datos y acciones de comparar cantidades o trabajar con tasas de interés 
simple y compuesto. Las transforma a expresiones numéricas que incluyen operaciones con números 
racionales y/o notación exponencial, así como modelos financieros de interés simple y compuesto.
• Evalúa expresiones numéricas planteadas para un mismo problema y determina cuál de ellas representó 
mejor las condiciones del problema. 
• Expresa con diversas representaciones y lenguaje numérico su comprensión sobre el interés compuesto 
y sobre términos financieros para interpretar el problema en su contexto y estableciendo relaciones 
entre representaciones.
• Selecciona, combina y adapta estrategias de cálculo, estimación y procedimientos diversos para 
realizar operaciones con tasas de interés compuesto.
• Plantea y compara afirmaciones sobre las equivalencias entre tasas de interés compuesto u otras 
relaciones numéricas que descubre, y las justifica con ejemplos. Comprueba o descarta la validez de 
una afirmación mediante el razonamiento inductivo o deductivo.
Competencia Resuelve problemas de cantidad:
Nació en Erode el 22 de diciembre de 1887, en el seno de una familia pobre de la India. Su padre 
fue el contador de un comerciante de telas en la comunidad. Cuando aún era muy joven 
mostró gran habilidad para las matemáticas y los cálculos numéricos.
A los 13 años empezó sus propias investigaciones matemáticas, aprendiendo de estudiantes 
universitarios y dominando temas de libros avanzados. Cuando tenía 16 años tomó prestado el 
libro Synopsis of Pure Mathematics del británico George Shoobridge Carr, esta experiencia hizo 
despertar la genialidad que había en Ramanujan. En él habían más de 6000 teoremas y gran 
parte de ellos sin demostración. A partir de ese momento comenzó a trabajar diversos temas 
matemáticos por cuenta propia, hasta que consiguió una beca en el Colegio de Artes del 
Gobierno de Madrás, beca que luego perdió porque parecía casi imposible para él dedicarse 
a otra cosa que no sea las matemáticas.
Se casó en el año 1909 con Srimathi Janaki. Conoció a Ramaswami Aiyer, cofundador de la 
Sociedad Matemática de la India (S.M.I.), quien al ver las anotaciones en su cuaderno de 
las demostraciones de muchos de los teoremas y trabajos propios, decidió recomendarlo al 
secretario de la S.M.I., Rachandra Rao; este, al oírlo hablar sobre series divergentes (entre otros 
temas), se dispuso a apoyarlo económicamente para que termine su investigación.
el genio 
autodidacta
de la India
Ramanujan,
8
En 1912, comunicó sus resultados a tres distinguidos 
matemáticos. De ellos, solo Hardy, de Cambridge, le 
respondió; puesto que al recibir la carta, se sentó a descifrar 
la lista de fórmulas y teoremas, junto a Littlewood. Horas más 
tarde creían estar ante la obra de un genio. Algunas de las 
fórmulas de Ramanujan sorprendieron a Hardy, que luego 
escribió: Forzoso es que fueran verdaderas, porque de no 
serlo, nadie habría tenido la imaginación necesaria para 
inventarlas.
Hardy y Littlewood hicieron lo posible por llevar a Ramanujan 
a trabajar con ellos en Cambridge y enriquecer su increíble 
habilidad con el conocimiento de occidente, hecho que 
se concretó en 1914, dándole la posibilidad de mantener 
económicamente a su familia en la India y trabajar en su 
investigación sin preocuparse por el dinero.
Desempeños
• Representa las características de una población mediante el estudio de variables cualitativas y 
cuantitativas, y el comportamiento de los datos de una muestra representativa a través de la media o 
gráficos estadísticos, seleccionando los más apropiados para las variables estudiadas.
• Lee, interpreta e infiere tablas y gráficos, así como diversos textos que contengan valores sobre la 
media aritmética.
• Recopila datos de variables cualitativas o cuantitativas mediante encuestas o la observación, 
combinando y adaptando procedimientos y estrategias. Los procesa y organiza en tablas con el 
propósito de analizarlos y producir información.
• Selecciona, emplea y adapta procedimientos para determinar la media. Adecúa los procedimientos 
utilizados a otros contextos de estudio.
• Plantea y contrasta afirmaciones sobre la característica o la tendencia de una población estudiada. 
Las justifica con ejemplos, y usando información obtenida y sus conocimientos estadísticos. Reconoce 
errores o vacíos en sus conclusiones o en las de otros estudios, y propone mejoras.
Competencia Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre:
Ramanujan, junto a Hardy, publicó muchos trabajos, entre los cuales se encontraba el artículo 
titulado Highly Composite Numbers en 1915, por el cual le concedieron el título de graduado de 
la Universidad de Cambridge y en el que propuso una forma nueva de estudiar el crecimiento 
de la función σ(n) = La cantidad de divisores de n. Fue nombrado miembro de la London 
Mathematical Society en 1917 y Fellow de la Royal Society y del Trinity College en 1918.
Afectado por una tuberculosis que se agravaba por el clima de Inglaterra, Ramanujan retornó a 
su país natal en 1919 y falleció poco tiempo después en Kumbakonam a los 32 años. Dejó varios 
libros llamados Cuadernos de Ramanujan los cuales continúan siendo objeto de estudios.
Recientemente, las fórmulas de Ramanujan han sido fundamentales para nuevos estudios en 
cristalografía y en teoría de cuerdas. 
Fuentes:
ecured.cu, matematics.wordpress.com
9MateMática DELTA 4 - aritMética
5k – 12
4k – 12
10
10
Tema 1
Magnitudes proporcionales
Tener en la mano una piedra, un trozo de madera, un vaso con agua o cualquier objeto 
tangible nos da la oportunidad de pensar en cuantificar alguna de las características o 
propiedades que en ese momento llamen nuestra atención; es decir, surge la necesidad 
de asociar un número a dichas características (por ejemplo el largo, el peso, la dureza, 
el espacio que ocupa, entre otras) para familiarizarnos y tener un buen conocimiento 
del objeto. Sin embargo, el ser humano también siente la necesidad de cuantificar 
cosas que no son tangibles (un ejemplo claro es el tiempo, al cual asociamos números 
para medirlo). Entonces podemos concluir que todas esas propiedades que podemos 
cuantificar o medir son llamadas magnitudes.
Interactuar con elementos tangibles e intangibles es algo inherente a la existencia del 
ser humano, por lo tanto, siempre fue necesario cuantificar o asociar una cantidad a 
las características de estos elementos con los que interactuaba. En algún momento, el 
ser humano fue capaz de concebir el concepto de unidad (crea el concepto de uno) y 
un paso más grande fue concebir la unidad de medida; por ejemplo, si al ser humano 
le interesaba cuantificar una longitud entonces de manera arbitraria establecía una 
unidad de longitud: como lo muestra la historia, pudo ser alguna parte del cuerpo (tal 
vez una cuarta, un pie, un brazo, etc.). 
Cuando ya se obtuvo la unidad de medida, solo hacía falta realizar el proceso de 
comparación entre la unidad establecida y la longitud que se deseaba cuantificar; en ese 
momento ya se tenía el concepto de medición e instrumento de medición. Un proceso 
similar al anterior se produjo para otras propiedades o características (magnitudes) 
que el ser humano tuvo la necesidad de cuantificar. Luego de varios años en que 
hubo inconvenientes por la arbitrariedad para establecer unidades de medida, en el 
siglo XIX se creó el Comité Internacional de Pesas y Medidas que tiene por objetivoasegurar en todo el mundo la uniformidad de todas las mediciones a través del sistema 
internacional de medidas.
Los términos 
cantidad y magnitud 
tienen diferentes 
connotaciones de 
acuerdo con el 
contexto en que sean 
empleados. En las 
ciencias tienen un 
significado diferente 
al que se les da 
en matemáticas. 
Se espera que el 
docente comprenda 
la noción de acuerdo 
con el contexto donde 
se formule.
Habitualmente se 
suele reservar el 
nombre de magnitud 
para los atributos o 
rasgos que varían de 
manera cuantitativa 
y continua (longitud, 
peso, densidad, etc.), 
o también de manera 
discreta (el número 
de personas); las 
cantidades, por 
otro lado, son los 
valores de dichas 
magnitudes. 
¿Sa bía s qu e.. .?
11
11MateMática Delta 4 - aritMética 11
Magnitud 
Es una propiedad, atributo o característica que poseen los fenómenos o las relaciones 
entre ellos, que permite que puedan ser medidos (expresados por números reales 
no negativos y usando la unidad pertinente). Dicha medida es representada por una 
cantidad. Como todo atributo, puede variar o cambiar, aumentando o disminuyendo su 
intensidad. Sin embargo, es susceptible de ser medido o contado.
 Ejemplos:
 • El área de la pizarra.
 • El número de obreros de una empresa.
 • El tiempo empleado al realizar un trabajo.
 • El rendimiento de cierta máquina.
	¿Qué	significa	medir?
 Para medir una cantidad de magnitud, se hace una comparación entre dicha cantidad 
y una cantidad patrón que se establece como unidad de medida a la cual debemos 
regirnos. 
 Por ejemplo, en el caso de las longitudes se suele tomar como unidad de medida el 
metro. Si el valor de longitud que se intenta cuantificar es siete veces mayor que el 
metro, se dice que su medida es de 7 m.
 Para poder afirmar que una cantidad es siete veces mayor que otra, es necesario que 
las cantidades de esa magnitud se puedan sumar; así, una longitud de 7 m es una 
longitud que equivale al resultado de sumar siete veces la longitud de 1 m.
 Todas las unidades que asignamos a las magnitudes deben cumplir los siguientes 
criterios:
1. Ser invariable: Las unidades son las mismas en cualquier lugar o en cualquier 
condición.
2. Tener fácil contrastabilidad: Se pueden comparar con cualquier cantidad de la 
magnitud que estamos midiendo.
3. Tener un carácter internacional: Debe constituir un código que se entienda 
internacionalmente, para facilitar la transmisión de los datos.
Cantidad 
Es el valor numérico que resulta de la medición de una magnitud, que se expresa con 
un número acompañado por unidades.
Por ejemplo, 68 kg, 1 m o 24 s son el resultado de medir las magnitudes masa, longitud 
y tiempo, respectivamente.
Tipos de magnitudes
Magnitudes fundamentales
Son las magnitudes primarias y, en contraste con las magnitudes derivadas, no se 
definen en función de otras magnitudes. Por ejemplo, en el campo de la mecánica las 
tres magnitudes fundamentales son: la longitud (L), el tiempo (T) y la masa (M).
Magnitudes	derivadas
Son todas las magnitudes cuyas operaciones se basan en otras magnitudes. Por 
ejemplo, la rapidez, que se define como el espacio recorrido por unidad de tiempo.
12
Relación	entre	las	magnitudes
Las magnitudes pueden relacionarse entre sí en determinado contexto. Esta relación 
se determina con notoriedad al evaluarlas de dos en dos y considerando a las demás 
magnitudes invariables. 
Por ejemplo, el tiempo empleado por un grupo de obreros al realizar un trabajo depende 
de su relación con otras magnitudes; aumentará el tiempo si se aumenta el volumen 
de trabajo; disminuirá si se aumenta el número de trabajadores; y también disminuirá 
si aumenta la eficiencia de los trabajadores, etc.
Del análisis anterior, sostenemos que las magnitudes se pueden relacionar de dos 
modos distintos: de forma directa o de forma inversa.
Relación	directa	o	magnitudes	directamente	proporcionales
Dos magnitudes son directamente proporcionales o de relación directa si al 
multiplicar (o dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra resulta 
multiplicada (o dividida) por ese mismo número.
Ejemplo:
Un saco de papas pesa 20 kg. Si un cargamento de papas pesa 520 kg, ¿cuánto 
pesan 2 sacos de papas?, ¿cuántos sacos de 20 kg se podrán elaborar con el total del 
cargamento?
Resolución:	
Valores correspondientes
Número de sacos 1 2 3 ... n
Peso en kg 20 40 60 ... 520
Vemos que:
A «doble» número de sacos corresponde «doble» peso.
A «triple» número de sacos corresponde «triple» peso.
Por consiguiente se afirma:
El n.o de sacos es directamente proporcional al peso.
Lo escribimos como: 
Observa que dos sacos 
pesarán 40 kg.
Dos magnitudes A y B son directamente proporcionales si como regla 
general el cociente de dividir sus valores correspondientes se mantiene 
constante. 
Se cumplirá que 
1
20 = = =
2
40
3
60
n
520 = k . El cociente de dividir valores correspondientes 
es constante, por consiguiente n = 26 sacos.
Relación	inversa	o	magnitudes	inversamente	proporcionales
Dos magnitudes son inversamente proporcionales o de relación inversa si al 
multiplicar (o dividir) una de ellas por un número distinto de cero, la otra resulta 
dividida (o multiplicada) por ese mismo número.
n.o de sacos D.P. peso
Ejemplo de 
magnitudes 
directamente	
proporcionales
Ejemplo:
Publicar avisos en 
el periódico tiene un 
costo en función al 
número de palabras 
del aviso.
El gráfico de 
dos magnitudes 
directamente 
proporcionales es 
una serie de puntos 
que forman una línea 
recta.
Costo n.° de palabras
S/ 25 5
S/ 50 10
S/ 75 15
S/ 100 20
Costo D.P. n.° de 
palabras
Representación gráfica
C
os
to
n.° de palabras
S/
100
75
25
5 10 15 20
50
Not a
13MateMática Delta 4 - aritMética
Vemos que:
A «doble» número de trabajadores corresponde la «mitad» de tiempo.
A «triple» número de trabajadores corresponde la «tercera parte» del tiempo.
Por consiguiente, se afirma:
El número de trabajadores es inversamente proporcional al tiempo.
Lo escribimos como: 
Dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si como regla 
general el producto de multiplicar sus valores correspondientes se 
mantiene constante. 
Se cumplirá que 3 × 24 = 6 × 12 = 9 × 8 = 18 × n = k. El producto de multiplicar valores 
correspondientes es constante, por consiguiente n = 4 días.
En general, sean A y B dos magnitudes
A D.P. B ⇔ 
(Valor de A)
(Valor de B) = k1 A I.P. B ⇔ (valor de A) × (valor de B) = k2
Si A aumenta (+),
B aumenta (+) proporcionalmente.
Si A aumenta (+),
B disminuye (–) proporcionalmente.
Teoremas
Reflexiva
A D.P. B ⇔ B D.P. A
Cambio	de	relación
A I.P. B ⇔ A D.P. 
1
B
Doble	relación
Si A D.P. B
y A D.P. C
Neutralidad
Si A D.P. B siendo n ∈ Z+ ⇒ A D.P. n × B; n ∈ Q, diferente de cero
Potencia
Para cualquier valor de n diferente de cero
A D.P. B ⇔ An D.P. Bn
A I.P. B ⇔ An I.P. Bn
Transitiva
Si A D.P. B y B D.P. C ⇒ A D.P. C
A D.P. B × C ⇒ AB × C = k
n.° de trabajadores I.P. tiempo
Ejemplo de
magnitudes
inversamente
proporcionales
Alquilar un bus de 
25 pasajeros de 
capacidad cuesta 
S/ 200. 
Veamos cómo varía 
el costo del pasaje.
El gráfico de 
dos magnitudes 
inversamente 
proporcionales es 
una serie de puntos 
que forma una rama 
de una hipérbola.
n.° de 
pasajeros
Costo 
del 
pasaje
25 S/ 8
20 S/ 10
10 S/ 20
5 S/ 40
n.° de pasajeros I.P. 
costo del pasaje
Representación gráfica
C
os
to
n.°	de	pasajeros
S/
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5 10 15 20 25
Resolución:
Valores correspondientes
Número de trabajadores 3 6 9 ... 18
Tiempo en días 24 12 8 ... n
Obse rva
Ejemplo:
Si 3 trabajadores necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 
18 hombres para realizar el mismo trabajo?
14
Si un estudiante compró 8 cuadernos y pagó S/ 20, ¿cuánto pagaría por 
11 cuadernos?
Resolución:
Existen dos métodos para resolver este tipo de problemas: reducción a la unidad 
y definición de magnitudes.
• Reducción a la unidad.
 Calculamos el valor de la segunda variable para una unidadde la primera:
 1 cuaderno cuesta 208 = S/ 2,5
 Multiplicamos el valor por unidad de la segunda variable por el número de 
unidades de la primera:
 Por 11 cuadernos pagará: 11 × 2,5 = S/ 27,5
• Definición de magnitudes.
 Se basa en la relación de proporcionalidad de que hay entre dos magnitudes.
 Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro de 
la siguiente manera:
Valores correspondientes
n.° de cuadernos 8 11
Pago a realizar 20 n
Descubrimos que la relación entre estas dos magnitudes es directamente 
proporcional, pues al comprar doble número de cuadernos se duplicará también 
el pago a realizar.
n.° de cuadernos D.P. Pago a realizar
Se cumplirá:
Rpta. Pagaría S/ 27,5 por 11 cuadernos.
Rpta. Obtendré 21 naranjas por S/ 12.
n.° de cuadernos
Pago a realizar
=
8
20
=
11
n
⇒ n = S/ 27,5
1
2 En un determinado mercado, 14 naranjas cuestan S/ 8. ¿Cuántas naranjas 
obtendré por S/ 12?
Resolución:
Por definición de magnitudes, organizamos las magnitudes y sus valores 
correspondientes.
Descubrimos que son magnitudes directamente proporcionales, pues al comprar 
el doble número de naranjas se duplicará también el precio a pagar.
n.⁰ de naranjas D.P. Pago
Se cumplirá:
n.° de naranjas
Pago
=
14
8
=
x
12
⇒ x = 21 naranjas
Valores correspondientes
n.° de naranjas 14 x
Pago 8 12
Ejercicios resueltos
15MateMática Delta 4 - aritMética
3
4
Construir las veredas de una calle requiere 
del trabajo de 18 obreros en un tiempo 
de 10 días. ¿Cuántos días se emplearía 
trabajando con 12 obreros?
Resolución:
Valores correspondientes
n.° de hombres 18 12
Tiempo 10 n
Descubrimos que la relación entre estas dos magnitudes es inversamente 
proporcional, pues a doble número de personas se reducirá el tiempo al trabajar a 
la mitad.
n.° de hombres I.P. Tiempo
Se cumplirá: (n.° de hombres) × (Tiempo) = 18 × 10 = 12 × n ⇒ n = 15 días
Rpta. x + y es 261.
Rpta. Con 12 obreros se emplearía 15 días.
Sabiendo que A es directamente proporcional al cuadrado de B, calcula x + y, si el 
cuadro muestra los valores correspondientes.
Valores correspondientes
A 100 y 16
B x 8 2
Resolución:
Definición de magnitudes.
Siendo A D.P. B2 ⇒ = k
x = 5 y = 256
A
B2
Reemplazamos los valores correspondientes:
A
B2
=
100
x2
=
y
82
=
16
22
Resolviendo tendremos: 
Finalmente x + y = 261
16
4
=
100
x2
y
64
=
16
4
Para que dos 
magnitudes sean 
directamente 
proporcionales, 
no basta con que 
al aumentar una 
de ellas aumente 
también la otra.
Por ejemplo, sea L la 
longitud del lado de 
un cuadrado y S la 
superficie del mismo 
cuadrado.
Si el lado aumenta, 
entonces la superficie 
también aumenta.
Pero observa que si 
su lado se duplica, el 
área no se duplica: 
se cuadruplica.
Por lo tanto:
El lado y área de 
un cuadrado no 
son magnitudes 
proporcionales.
L = 2 u
S = 4 u2
2L = 4 u
S' = 16 u2
Import a nt e
• Reducción a la unidad.
 Calculamos el total de días – hombre que se utilizarían en construir la vereda:
 18 obreros trabajando 10 días serán 18 × 10 = 180 días – hombre
 Dividimos el valor obtenido en los días – hombres por la cantidad de hombres 
que finalmente trabajarán:
 
 180 días – hombres 
= 15 días 12 hombres
• Definición de magnitudes.
Se basa en la relación de proporcionalidad que hay entre dos magnitudes.
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro de 
la siguiente manera:
Existen dos métodos para resolver 
este problema, reducción a la unidad y 
definición de magnitudes.
16
El peso de un disco metálico es directamente proporcional a su espesor y al 
cuadrado de su radio. Si un disco metálico pesa 1200 gramos, ¿cuánto pesará 
otro disco del mismo material pero de la mitad de radio y el triple de espesor?
Resolución:
Elaboramos el cuadro de valores correspondientes y reemplazamos cada grupo 
de valores.
Rpta. El otro disco pesará 900 g.
Elaboramos el cuadro de valores correspondientes: 
Simbolizamos las magnitudes peso (P), espesor (E) y radio (R), y establecemos 
la relación:
peso D.P. espesor
P E
peso D.P. radio2
P R
P
E . R2
= k
Disco 1 Disco 2
Peso (P) 1200 x
Espesor (E) 1 3
Radio (R) 2 1
1200
1 ⋅ 22
= x
3 ⋅ 12
P
E ⋅ R2
⇒ x = 900 g
Cuatro jóvenes, durante 10 días de campamento, han gastado S/ 2500 en 
alimentos. En las mismas condiciones, ¿cuánto gastarán en comer 6 jóvenes 
durante 15 días de campamento?
Resolución:
Doble o triple número de jóvenes durante el mismo 
número de días gastarán el doble o el triple de 
dinero. Luego, las magnitudes número de jóvenes 
y gasto realizado son directamente proporcionales.
Doble o triple número de jóvenes con el mismo 
monto de dinero lo gastarán en la mitad o en la 
tercera parte del tiempo. Las magnitudes número 
de jóvenes y tiempo son inversamente proporcionales.
Hemos relacionado la magnitud número de jóvenes (N) con las otras dos 
magnitudes: tiempo (t) y gasto (G) realizado.
• Definición de magnitudes.
N . T
G
= k⇒n.° de
jóvenes
N G
gastoD.P. n.° de
jóvenes
N T
tiempoI.P.
Valores correspondientes
n.° de jóvenes (N) 4 6
Gasto (G) 2500 x
Tiempo (T) 10 15
= k
Todos los días usamos 
papel en libros, 
cuadernos, boletas, 
post-it, etc. El papel 
está muy presente en 
nuestras vidas. 
Veamos algunos datos 
curiosos sobre él. 
Se utilizan unos 
17 árboles para 
fabricar una tonelada 
de papel; es decir, si 
se recicla unos 59 kg 
de papel, se ahorraría 
el uso de 1 árbol en la 
industria. 
Un árbol proporciona 
oxígeno para que 
respiren 3 personas 
al día.
Para fabricar un 
kilogramo de papel, se 
gasta 324 de agua 
aproximadamente y se 
obtienen 4 cuadernos 
de 100 hojas. La 
industria papelera es 
la que más fuentes 
de aguas de lagos o 
estanques utiliza.
La industria papelera 
es la tercera 
compradora de 
blanqueador de cloro 
(necesario para que 
el papel quede muy 
blanco); sin embargo, 
este es altamente 
contaminante y genera 
dioxina, sustancia 
cancerígena, 
mutagénica (que 
altera o cambia la 
información genética 
usualmente el ADN 
de un organismo) y 
teratogénica (capaz de 
provocar un defecto 
congénito durante la 
gestación del feto).
¿Sa bía s qu e.. .?
5
6
17MateMática Delta 4 - aritMética
7 Si 15 obreros trabajando 6 horas diarias, tardan 30 días en realizar un trabajo, ¿cuántos 
días tardarán en hacer el mismo trabajo 10 obreros, empleando 8 horas diarias?
Resolución:
15 obreros trabajando 30 días a razón de 6 horas diarias implica usar un tiempo 
de 180 horas.
El doble o triple número de obreros trabajarán la mitad o tercera parte del tiempo 
para realizar el mismo trabajo; por tanto, el número de obreros y el tiempo son 
inversamente proporcionales.
Hemos relacionado las dos magnitudes conocidas: n.º de obreros (N) y tiempo (t).
• Definición de magnitudes.
N . T = k⇒n.° de
obreros
N T
TiempoI.P.
Valores correspondientes
n.° de obreros (N) 15 10
Tiempo (T) 30(6 horas) x(8 horas)
Reemplazamos 15 . 180 = 10 . (8x) ⇒ x = 33,75 días
• Reducción y ampliación de la unidad.
Sabemos que 15 obreros (trabajando) 6 horas diarias (tardan) 30 días en realizar lo pedido.
Ampliación de la unidad
1 obrero (trabajando) 6 horas diarias (tarda) 
30 × 15 o 450 días en realizar lo pedido.
1 obrero (trabajando) 1 hora diaria (tarda) 
450 × 6 o 2700 días en realizar lo pedido.
Reducción a la unidad
10 obreros (trabajando) 1 hora diaria (tardan) 
2700/10 o 270 días en realizar lo pedido.
10 obreros (trabajando) 8 horas diarias (tardan) 
270/8 o 33,75 días en realizar lo pedido.
• Reducción y ampliación de la unidad.
Sabemos que 4 jóvenes en 10 días gastan S/ 2500.
Reducción a la unidad
1 joven en 10 días gasta 2500/4 o S/ 625.
1 joven en 1 día gasta 625/10 o S/ 62,5.
Ampliación a la unidad
6 jóvenes en 1 día gastan 62,5 × 6 o S/ 375.
6 jóvenes en 15 días gastan 375 × 15 o S/ 5625.
Rpta. El gasto realizado por los 6 jóvenes en 15 días es S/ 5625.
Reemplazamos: 6 . 15x= 
4 . 10
2500 ⇒ x = 5625
Finalmente, el gasto realizado para 6 jóvenes en 15 días es de S/ 5625.
Elaboramosel cuadro de valores correspondientes.
¿Qué	es	una	hora	
hombre?
En el trabajo, una 
hora - hombre o una 
hora - persona es una 
unidad de estimación 
del esfuerzo 
necesario para 
realizar una tarea 
cuya unidad equivale 
a una hora de trabajo 
ininterrumpido de un 
trabajador medio.
Horas - hombre 
es una unidad 
convencional para 
cuantificar las 
horas de presencia 
o intervención de 
personas en un 
proceso o actividad.
Así decimos que si 
dos trabajadores 
tardan 3 horas en 
realizar un trabajo, 
entonces este trabajo 
tuvo un consumo 
de 6 horas - hombre 
(obtenido de 
multiplicar 3 horas × 2 
personas).
El cálculo es útil 
cuando se planifica 
la realización de un 
proyecto, la ejecución 
de un lote de 
producción, la carga 
de la administración 
y cualquier otra 
actividad o proceso 
empresarial que 
requiere asignación 
de personal.
Rpta. Finalmente, 10 obreros empleando 8 horas diarias tardarán 33,75 días.
18
Síntesis
Inversamente	proporcionalesDirectamente	proporcionales
Magnitudes	proporcionales
Dos magnitudes son directamente 
proporcionales si al multiplicar (o dividir) una 
de ellas por un número distinto de cero, la 
otra resulta multiplicada (o dividida) por ese 
mismo número.
Dos magnitudes son inversamente 
proporcionales si al multiplicar (o dividir) una 
de ellas por un número distinto de cero, la 
otra resulta dividida (o multiplicada) por ese 
mismo número.
Se cumple: Se cumple:
Gráficamente: Gráficamente:
Valor de A
Valor de B
= k (Valor de A)(Valor de B) = k
B
A
A D.P. B
B
A
A I.P. B
Se sabe que un cuerpo que cae libremente 
recorre una distancia directamente proporcional al 
cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 9,80 m 
en 1,4 s. Determina la profundidad de un pozo, en 
metros, si se sabe que al soltar la piedra esta llega 
al fondo en dos segundos.
Resolución:
Se sabe que un cuerpo que cae libremente 
recorre una distancia directamente proporcional al 
cuadrado del tiempo. Una piedra recorre 5,12 m 
en 1,6 s. Determina la profundidad de un pozo, en 
metros, si se sabe que al soltar la piedra esta llega 
al fondo en tres segundos.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve 
1 2
19MateMática Delta 4 - aritMética
Se sabe que cuando B ≤ 15, entonces A D.P. B; 
y si B ≥ 15, entonces A I.P. B2. Si cuando A es 
igual a 6, B es igual a 4, calcula el valor que 
tomaría A cuando B sea igual a 30.
Resolución:
Se sabe que cuando B ≤ 18, entonces A D.P. B; y 
si B ≥ 18, A I.P. B2. Si cuando A es igual a 12, B es 
igual a 15, calcula el valor que tomaría A cuando 
B sea igual a 36.
Resolución:
En una fábrica de hilos, la vida útil de una máquina 
es directamente proporcional al cuadrado de la 
cantidad de mantenimientos anuales que tiene, 
pero inversamente proporcional a la cantidad de 
horas anuales que trabaja. Si el catálogo indica 
que una máquina que trabaja 6480 horas anuales 
y recibe 4 mantenimientos anuales tendrá un 
tiempo de vida útil de 15 años, halla cuántos 
mantenimientos al año deberá tener una máquina 
que trabajará 5400 horas al año para alcanzar una 
vida útil de 18 años.
Resolución:
En una fábrica de hilos, la vida útil de una máquina 
es directamente proporcional al cuadrado de la 
cantidad de mantenimientos anuales que tiene, 
pero inversamente proporcional a la cantidad de 
horas anuales que trabaja. Si el catálogo indica 
que una máquina que trabaja 3240 horas anuales 
y recibe 6 mantenimientos anuales tendrá un 
tiempo de vida útil de 12 años, halla cuántos 
mantenimientos al año deberá tener una máquina 
que trabajará 1800 horas al año para alcanzar una 
vida útil de 15 años.
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
3 4
5 6
20
En un proceso de producción textil, se descubre 
que dicha producción es directamente proporcional 
al número de máquinas pero inversamente 
proporcional a la raíz cuadrada de la antigüedad 
de las máquinas. Hace 3 años, la empresa tenía 
15 máquinas con 6 años de antigüedad, y ahora ha 
comprado 8 máquinas con 4 años de antigüedad 
cada una. Si actualmente es capaz de producir 
387 prendas semanales, calcula la producción 
realizada con las máquinas más antiguas.
Resolución:
Dos ruedas están unidas por una correa 
transmisora. La primera tiene un radio de 25 cm 
y la segunda de 60 cm. Cuando la primera ha 
dado 300 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la 
segunda?
Resolución:
En un proceso de producción textil, se descubre 
que dicha producción es directamente proporcional 
al número de máquinas pero inversamente 
proporcional a la raíz cuadrada de la antigüedad 
de las máquinas. Hace 9 años, la empresa tenía 
18 máquinas con 7 años de antigüedad, y ahora ha 
comprado 6 máquinas con 4 años de antigüedad 
cada una. Si actualmente es capaz de producir 
495 prendas semanales, calcula la producción 
realizada con las máquinas más antiguas.
Resolución:
Dos ruedas están unidas por una correa 
transmisora. La primera tiene un radio de 48 cm 
y la segunda de 72 cm. Cuando la primera ha 
dado 270 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado la 
segunda?
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta. 
Rpta.
7 8
9 10
21MateMática Delta 4 - aritMética
11
13
12
14
Si al tomar una muestra con 50 L de agua de mar 
se descubre que contiene 1300 gramos de sal, 
¿cuántos litros de agua de mar se debe extraer 
para que al evaporar el agua se pueda obtener 
6,24 kg de sal?
Resolución:
La ley de Boyle dice: «La presión que soporta 
un gas contenido en un recipiente flexible es 
inversamente proporcional al volumen que ocupa,
manteniendo la temperatura constante». Cierto 
gas está sometido a cierta presión; si esta 
disminuye en 6 atmósferas, entonces el volumen 
varía en 1
5
 de su valor. Determina la presión a la 
que está sometido dicho gas (en atmósferas).
Resolución:
La ley de Boyle dice: «La presión que soporta 
un gas contenido en un recipiente flexible es 
inversamente proporcional al volumen que ocupa,
manteniendo la temperatura constante». Cierto 
gas está sometido a cierta presión; si esta aumenta 
en 6 atmósferas, entonces el volumen varía en 1
5
 
de su valor. Determina la presión a la que está 
sometido dicho gas (en atmósferas).
Resolución:
Si al tomar una muestra con 840 L de agua de mar 
se descubre que contiene 2940 gramos de sal, 
¿cuántos litros de agua de mar se debe extraer 
para que al evaporar el agua se pueda obtener 
3,36 kg de sal?
Resolución:
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
22
La cantidad de demanda de cierto bien es 
directamente proporcional al cubo de la inversión 
en publicidad e inversamente proporcional al 
cuadrado del precio unitario. Si el año pasado 
se vendieron 64 millones de artículos a S/ 200 
cada uno, y se invirtió en publicidad S/ 40 000, 
¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, 
si se quiere vender 80 millones de artículos a 
S/ 250 cada uno?
Resolución:
El precio de una aleación de metal es directamente 
proporcional a su peso e inversamente proporcional 
a su volumen. Si dicha aleación de densidad 
2,5 g/cm3 cuesta S/ 2, halla el precio de otra 
aleación similar de 800 cm3 que pesa 1,2 kg.
Resolución:
La cantidad de demanda de cierto bien es 
directamente proporcional al cubo de la inversión 
en publicidad e inversamente proporcional al 
cuadrado del precio unitario. Si el año pasado 
se vendieron 72 millones de artículos a S/ 200 
cada uno, y se invirtió en publicidad S/ 64 000, 
¿cuánto hay que invertir este año en publicidad, 
si se quiere vender 50 millones de artículos a 
S/ 240 cada uno?
Resolución:
El precio de una aleación de metal es directamente 
proporcional a su peso e inversamente proporcional 
a su volumen. Si dicha aleación de densidad 
3,2 g/cm3 cuesta S/ 6, halla el precio de otra 
aleación similar de 540 cm3 que pesa 1,8 kg.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
15 16
17 18
23MateMática Delta 4 - aritMética
19
21
20
22
Dos veteranos de guerra tienen concedidas 
pensiones, que son directamente proporcionales 
a las raíces cuadradas del número de balazos 
que recibieron. Si el primero recibió 24 balazos 
más queel segundo y sus pensiones están en la 
razón de 91 a 65, calcula cuántos balazos recibió 
el segundo.
Resolución:
El costo de una batería de orquesta es 
directamente proporcional a la calidad del 
material con que está hecha y al tamaño de esta; 
además, el tamaño es directamente proporcional 
al cuadrado del radio que tiene e inversamente 
proporcional al peso de la batería. El costo de una 
batería de 12 cm de radio es S/ 360. Encuentra 
cuál será el costo de una que tiene 15 cm de radio, 
80 % de calidad que la anterior y cuyo peso es 
25 % menos que la anterior.
Resolución:
Dos sargentos, veteranos de guerra, tienen 
concedidas pensiones que son inversamente 
proporcionales al cuadrado del número de 
soldados a su cargo que fallecieron en batalla. 
Si el primero perdió 6 soldados más que el 
segundo y sus pensiones están en la razón de 48 
a 147, calcula cuántos soldados perdió el primer 
sargento.
Resolución:
El costo de una batería de orquesta es 
directamente proporcional a la calidad del 
material con que está hecha y al tamaño de esta; 
además, el tamaño es directamente proporcional 
al cuadrado del radio que tiene e inversamente 
proporcional al peso de la batería. El costo de una 
batería de 18 cm de radio es S/ 480. Encuentra 
cuál será el costo de una que tiene 15 cm de 
radio, 75 % de calidad que la anterior y cuyo peso 
es 25 % más que la anterior.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
24
Practica y demuestra
Nivel I
1
4
5
6
2
3
La magnitud A es directamente proporcional 
a la raíz cuadrada de la magnitud B, pero es 
inversamente proporcional al cuadrado de la 
magnitud C; cuando A es igual a 10, B es 16 y 
C es 21. Calcula el valor de la magnitud A cuando 
B es igual a 64 y C es igual a 7.
 A 180 B 150 C 160 
 D 140 E 200
La magnitud A es directamente proporcional al 
cuadrado de la magnitud B, pero es inversamente 
proporcional a la magnitud C. Cuando B es igual a 
30, entonces C es 10 y A es 27. Halla el valor de B 
cuando A es igual a 20 y C es 54.
 A 45 B 72 C 64 
 D 60 E 63
El cuadro muestra los valores correspondientes 
de las magnitudes A y B. Sabiendo que A es 
directamente proporcional a B2, determina el valor 
de x + y.
 A 108 B 105 C 106 
 D 104 E 102
A x 256 16
B 5 y 2
La magnitud A varía en razón directamente 
proporcional a la raíz cuadrada de la magnitud B, 
pero es inversamente proporcional al cuadrado de 
la magnitud C; cuando A es igual a 10, B es 16 y 
C es 14. Encuentra el valor de A cuando B es igual 
a 144 y C es 7.
 A 124 B 120 C 140 
 D 150 E 136
Se sabe que la magnitud A es directamente 
proporcional con la magnitud B, pero inversa con 
la magnitud C. Cuando C es igual a 3/2, A y B 
toman el mismo valor. Descubre el valor de la 
magnitud B cuando A es igual a 1 y C es 12.
 A 5 B 6 C 8 
 D 9 E 12
Las magnitudes A, B y C guardan cierta relación 
de proporcionalidad; así tenemos que C es 
inversamente proporcional con A, pero A es 
directamente proporcional con B2. Se sabe que 
cuando A es igual a 80, B es 10 y C es 25; además, 
cuando A es igual a «n», B es 2 y C también es 2; 
de la misma manera, cuando A es igual a 25, B es 
10 y C es igual a «m». Calcula el valor de m + n.
 A 196 B 120 C 180 
 D 192 E 144
25MateMática Delta 4 - aritMética
Nivel II
En una empresa, el sueldo es directamente 
proporcional a los años de servicio y al cuadrado 
de la edad del trabajador. Si Juan con 30 años de 
edad y la sexta parte de su edad trabajando en la 
empresa tiene un sueldo de S/ 3600, halla la edad 
de Carlos si entró un año después y gana S/ 3920.
7 10
11
12
8
9
 A 32 B 35 C 36
 D 40 E 45
El precio de un diamante es directamente 
proporcional al cuadrado de su peso. Determina 
el peso de un diamante que vale S/ 52 822, si 
otro diamante de 1,5 g de peso tiene un precio de 
S/ 19 800.
 A 2,45 g B 2,50 g C 2,55 g
 D 2,60 g E 2,48 g
Carlos descubre que el gasto que hace para su 
cumpleaños es directamente proporcional al 
número de invitados e inversamente proporcional 
a las horas que ocupa en preparar la reunión. Si 
la última vez gastó S/ 1200, invitó 100 personas 
y ocupó 12 horas; encuentra cuánto ahorrará 
invitando 20 personas menos y ocupando 4 horas 
más.
 A S/ 520 B S/ 700 C S/ 480
 D S/ 640 E S/ 560
La potencia consumida por un foco es directamente 
proporcional al cubo de la raíz cuadrada del tiempo 
que está prendido. Si la potencia de un foco es 
200 watts, ¿cuál será la potencia, en watts (w) de 
otro foco que se utiliza un tiempo 4 veces mayor?
 A 2000 W B 1600 W C 1800 W
 D 2200 W E 1440 W
La potencia de un motor es directamente 
proporcional a la capacidad del motor e 
inversamente proporcional a los años de trabajo. 
Si un motor tiene 5 años de uso, 10 HP de potencia 
y 2,5 litros de capacidad, descubre la capacidad 
de otro motor que tiene 6 años de uso y 15 HP de 
potencia.
 A 4,2 L B 4,5 L C 4,8 L
 D 5,2 L E 4,0 L
La producción semanal de pantalones jean en 
una fábrica es directamente proporcional al 
número de máquinas que tiene e inversamente 
proporcional a los años de uso. Una fábrica 
con 10 años de fundación, tiene tres máquinas 
y produce 900 pantalones jean semanalmente. 
Calcula cuántas máquinas tiene otra fábrica 
que posee 5 años de fundado y produce 
600 pantalones jeans.
 A 1 B 2 C 3
 D 4 E 5
26
El precio de una revista varía inversamente 
proporcional al número de ejemplares producidos 
y directamente proporcional al número de días 
que toma su edición. Si una revista cuesta S/ 20 
y se imprimieron 3500 ejemplares demorando su 
edición 15 días, halla el precio de otra revista de la 
que se imprimieron 2000 ejemplares y su edición 
demoró 18 días.
 A S/ 40 B S/ 42 C S/ 45
 D S/ 48 E S/ 36
El valor de una piedra preciosa es directamente 
proporcional al cubo de su peso. Si accidentalmente 
se cae y se rompe en dos pedazos, uno de 
4 gramos y el otro de 6 gramos, determina la 
diferencia entre los valores de cada pedazo, si la 
piedra entera tenía un valor de S/ 5000.
 A S/ 720 B S/ 780 C S/ 680
 D S/ 760 E S/ 840
El costo de un diamante es directamente 
proporcional al cuadrado de su peso. Un diamante 
que cuesta S/ 6400 accidentalmente se parte en 
dos pedazos, observándose que uno pesa los 3/5 
del peso del otro. Si las dos partes son vendidas, 
encuentra cuánto más se recibirá por uno de los 
pedazos que por el otro pedazo.
 A S/ 2200 B S/ 1800 C S/ 1600
 D S/ 1500 E S/ 2000
13
14
15
16
18
17
A, B, C y D son magnitudes; además el cuadrado 
de A es directamente proporcional con B; A es 
inversamente proporcional a la raíz cúbica de C; y 
el cuadrado de D es directamente proporcional a 
la raíz cuadrada de A. Si A es igual a 2, entonces 
B es 9,C es 125 y D es 2. Determina el valor de C 
cuando A igual a 99, B es 121 y D es 6.
El peso de un disco metálico es directamente 
proporcional a su espesor y también al 
cuadrado de su radio. Si un disco metálico pesa 
1800 gramos, halla cuántos gramos pesará otro 
disco hecho del mismo material pero con la mitad 
de radio y el doble de espesor.
Se sabe que el cuadrado de la magnitud A es 
directamente proporcional a la magnitud B; y la 
magnitud C es inversamente proporcional a la 
raíz cuadrada de B. Inicialmente A, B y C tienen 
ciertos valores, pero cuando C disminuye en 20 % 
de su valor, calcula en qué porcentaje aumentará 
el valor de A.
 A 1000 B 8000 C 27 000
 D 64 000 E 125 000
 A 920 g B 940 g C 900 g
 D 950 g E 960 g
 A 25 % B 20 % C 30 %
 D 10 % E 15 %
27MateMática Delta 4 - aritMética
El precio de un diamante varía de modo 
directamente proporcional al cuadrado de su peso. 
Si un diamante que costó S/ 800 se partió en dos 
partes iguales, determina cuánto cuesta cada parte 
y cuánto se perdió por ello.
 A S/ 300, se perdió S/ 200 
 B S/ 250, se perdió S/ 300 
 C S/ 180, se perdió S/ 440
 D S/ 200, se perdió S/ 400 
 E S/250, se perdió S/ 400 
19
20 La deformación producida por un resorte al 
aplicarse una fuerza es directamente proporcional 
al cuadrado de dicha fuerza. Si a un resorte de 
30 cm de longitud se le aplica una fuerza de 3N, 
su nueva longitud es 48 cm. Encuentra la nueva 
longitud del resorte, si se le aplica una fuerza de 4N.
 A 60 cm B 62 cm C 64 cm
 D 56 cm E 70 cm
21 Dos personas tienen concedidas las pensiones 
en razón directa a la raíz cuadrada del número 
de años de servicios. El servicio de la primera 
persona excede al de la segunda en 4 ¼ años 
y las pensiones están en la relación de 9 a 8, 
respectivamente. Descubre cuántos años de 
servicio tiene la segunda persona.
 A 16 B 17 C 18
 D 19 E 20
22 En una joyería, se sabe que el precio de cualquier 
diamante es proporcional al cuadrado de su peso. 
Un diamante que cuesta S/ 360 000 se rompe en 
dos partes, de las cuales el peso de una de ellas es 
el doble de la otra. Si las dos partes son vendidas; 
calcula cuánto más se recibirá por una que por la 
otra parte.
 A S/ 115 000 
 B S/ 118 000 
 C S/ 120 000
 D S/ 124 000 
 E S/ 132 000
23 En un frasco con agua se coloca 2 kg de sal. 
Si durante los primeros 2 minutos se disolvió 
600 gramos de esta sal, halla cuántos gramos de 
sal se disolverán en los siguientes 3 minutos, si se 
sabe que la cantidad de sal que no se disuelve es 
inversamente proporcional al cuadrado del tiempo 
que transcurrió.
 A 1716 g B 1671 g C 1176 g
 D 1776 g E 1617 g
24 El sueldo de una persona es directamente 
proporcional al cuadrado de lo que ahorra, siendo 
el resto sus gastos. Si un señor cuyo sueldo 
es de S/ 900 gasta S/ 875, determina en cuánto 
aumentarán sus gastos, si el sueldo aumentase en 
S/ 864.
 A S/ 872 B S/ 820 C S/ 840 
 D S/ 854 E S/ 880
Nivel III
5k – 12
4k – 12
28
28
Tema 2
Regla de tres: simple y compuesta
Regla de tres
Es la operación matemática que establece la relación de proporcionalidad entre dos o 
más magnitudes conocidas, permitiéndonos hallar el cuarto término de una proporción 
conociendo los otros tres.
La regla de tres más conocida es la regla de tres simple directa, aunque también existe 
la regla de tres simple inversa y la regla de tres compuesta.
Regla de tres simple
En la regla de tres simple, se establece una relación de proporcionalidad entre dos 
magnitudes conocidas A y B. Se resuelve aplicando las definiciones de proporcionalidad 
directa o inversa. 
Ejemplo de Regla de tres simple directa Ejemplo de Regla de tres simple inversa
A D.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
A I.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
= =
a1 . b1 = a2 . x=
a1
b1
a2
x
a1 . c1
b1
x
b1 . c1
a2 . c2
x
a2
b2 . c2
Regla de tres compuesta
En la regla de tres compuesta, se establece la relación de proporcionalidad entre tres o 
más magnitudes conocidas. Se resuelve aplicando las definiciones de proporcionalidad 
directa o inversa.
Ejemplo de Regla de tres compuesta Ejemplo de Regla de tres compuesta
A a1 a2
B b1 x
C c1 c2
A D.P. B
A I.P. C
A × C
B = k
A x a2
B b1 b2
C c1 c2
A D.P. B
A D.P. C
A
B × C = k
Obse rva
En la vida cotidiana 
utilizamos el término 
«proporción» con 
distintos sentidos.
Cuando decimos 
que alguien está 
bien proporcionado, 
damos a este término 
un sentido de 
armonía y estética. 
Si comentamos 
que el éxito de 
una persona es 
proporcional (o está 
en proporción) a su 
trabajo, expresamos 
la correlación entre 
estas dos variables: 
éxito y trabajo.
29MateMática Delta 4 - aritMética
Un grupo de 40 obreros debe terminar una obra en 30 días. Pero antes de empezar, 
se decide contratar 20 obreros más para entregar la obra antes de lo planificado. 
Calcula cuántos días antes entregarán la obra.
Resolución:
Primero procedemos a identificar las magnitudes empleadas en el problema y 
procedemos a asignarle una variable:
N : número de obreros
T : tiempo de trabajo
Luego, notamos que a mayor número de obreros acabarán la obra en menos días.
 (n.° de obreros) I.P. (tiempo) N × T = constante
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
Una jornada laboral consiste de 8 horas, en ese tiempo un obrero ha hecho 
10 cajas. ¿Cuánto tiempo tardará en hacer 25 de esas mismas cajas?
Resolución:
Primero identificamos las magnitudes empleadas en el problema y procedemos a 
asignarle una variable:
T : tiempo de trabajo
C : número de cajas
Luego, notamos que, a mayor número de horas empleadas efectuará mayor 
número de cajas.
 (tiempo) D.P. (n° de cajas) T
C
= constante
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
2
1
Valores correspondientes
N 40 40 + 20 = 60
T(días) 30 t
Por regla de tres simple inversa:
N × t = 40 × 30 = 60 × t t = 20
Rpta. La obra se terminará en 20 días, 10 días antes de lo planificado.
T
C
= 
8
10
=
m
25
 m = 20
 Rpta. Demorará 20 horas en realizar el trabajo asignado.
Valores correspondientes
T(h) 8 m
C 10 25
Ejercicios resueltos
30
Cuatro orfebres incrustan 40 rubíes alrededor de un cuadro de forma de triángulo 
equilátero, de 20 cm de lado en 3 días. Determina cuántos días dos orfebres 
demorarán para incrustar 100 rubíes alrededor de un cuadro circular de 80 cm de 
perímetro.
Resolución:
Primero identificamos las magnitudes empleadas en el problema y procedemos a 
asignarle una variable:
O : número de orfebres
R : número de rubíes
P : perímetro
T : tiempo
Luego, notamos que, a doble número de orfebres incrustarán el doble de rubíes, 
cubriendo también el doble de perímetro y en la mitad del tiempo.
Debido al despido de trabajadores 35 obreros trabajaron 90 días de 8 horas 
la jornada para terminar con cierta producción; sin embargo, la producción 
encomendada debió terminarse en 75 días de 7 horas diarias. Descubre cuántos 
obreros se despidieron.
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que estamos empleando:
N : número de obreros
T : tiempo en días
H : tiempo de jornada
Luego, notamos que al duplicar el número de obreros, el tiempo se reducirá a la 
mitad, al igual que el número de horas por jornada.
3
4
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
Por regla de tres compuesta:
Rpta. Dos orfebres demorarán 20 días.
N I.P. T
N I.P. H
 N × T × H = k
Valores correspondientes
O 4 2
R 40 100
P(cm) 20 + 20 + 20 = 60 80
T(días) 3 t
Valores correspondientes
N 35 n
T(días) 90 75
H(h) 8 7
= t = 20
4 × 3
40 × 60
2 × t
100 × 80
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
35 × 90 × 8 = n × 75 × 7 n = 48
Entonces, el número de obreros despedidos será: 48 – 35 = 13
Rpta. Se despidieron 13 obreros.
O D.P. R
O D.P. P
O I.P. T
 O × T
R × P k
31MateMática Delta 4 - aritMética
Por enviar un paquete de 5 kg a un pueblo que está a 60 km de distancia, una 
empresa me ha cobrado S/ 9. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 8 kg a 
200 km de distancia?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
P: peso del paquete
D: distancia
S: costo
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
Treinta hombres que trabajan 9 horas diarias, pueden hacer una obra en 16 días. 
¿Cuántas horas diarias deberán trabajar 24 hombres para terminar la obra en 30 días?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
H: n° de hombres
D: tiempo de trabajo
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
Aplicamos las relaciones con los datos:
5
6
=
9
60 . 5
x
200 . 8
P(kg) 5 8
D(km) 60 200
(S/) 9 x
H 30 24
D(h/d × días) 9(16) x(30)
Aplicamos las relaciones con los datos:
Rpta. Enviar este nuevo paquete me costará S/ 48.
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
 S D.P. D
 S D.P. P
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
 D I.P. H D . H = k
= x
48 = x
 9 . 16 . 30 = x . 30 . 24
 
9 . 16 . 30
30 . 24 = x
 6 = x
Rpta. Deberán trabajar 6 horas diarias.
1
1
S
D . P = k
9 . 200 . 8
60 . 5
32
Una obra cuya dificultades como 4, se puede hacer con 12 obreros cuyo rendimiento 
es 48 % en 15 días con 9 horas de trabajo diario. ¿En cuántos días de 12 horas de 
trabajo se hará una obra cuyo volumen es el doble que el anterior con una dificultad 
como 14, con 18 obreros que tengan un rendimiento del 56 %?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
V : volumen de la obra
D : dificultad de realizar la obra
N : n.° de obreros
R : rendimiento de las obras
T : tiempo de trabajo.
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
Una fábrica confecciona cierta cantidad de jeans con 4h y 38 min usando 
48 máquinas. Si 16 máquinas están en mantenimiento, ¿en cuánto tiempo se 
confeccionará la misma cantidad de jeans?
Resolución:
Simbolizamos las magnitudes que vamos a emplear:
T : tiempo de producción
M : n.° de máquinas
Ahora, colocaremos en un cuadro las magnitudes con sus datos.
7
8
V 1 2
D 4 14
N 12 18
R 48 56
T(días × h/d) 15(9) x(12)
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
 T D.P. V
 T D.P. D
 T I.P. N
 T I.P. R
Aplicamos las relaciones con los datos:
 
15 . 9 . 12 . 48
1 . 4 = 
x . 12 . 18 . 56
2 . 14 x = 
15 . 9 . 12 . 48 . 2 . 14
1 . 4 . 12 . 18 . 56 
 x = 45 días
Rpta. Se necesitarán 45 días.
T(min) 278 x
M 48 32
Analizamos las relaciones entre las magnitudes:
T I.P. M T . M = k
Aplicamos las relaciones con los datos:
 278 . 48 = x . 32 x = 
278 . 48 
32
 x = 417 
Rpta. Se confeccionarán en 417 minutos.
T . N . R
V . D
= k
33MateMática Delta 4 - aritMética
Síntesis
CompuestaSimple
Regla de tres
Simple directa Compuesta
Simple inversa
A D.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
A I.P. B 
Magnitud A a1 a2
Magnitud B b1 x
=
a1
b1
a2
x
a1 . b1 = a2 . x
=
a1 . c1
b1
a2 . c2
x
A a1 a2
B b1 x
C c1 c2
A D.P. B
A I.P. C
A × C
B = k
Un ganadero tiene heno suficiente para alimentar 
a 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días 
podrá alimentar con la misma cantidad de heno a 
450 vacas?
Resolución:
Un ganadero tiene pasto suficiente para alimentar 
320 cabras durante 60 días. ¿Cuántos días podrá 
alimentar con la misma cantidad de pasto a 
240 cabras?
Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve 
1 2
34
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta.
Quince albañiles trabajando 12 horas diarias 
durante 16 días pueden hacer una zanja de 4 m 
de largo, 2 m de ancho y 1,5 m de profundidad. 
Si 20 albañiles trabajando n horas diarias durante 
18 días pueden hacer una zanja de 3 m de largo, 
1,5 m de ancho y 2 m de profundidad, calcula el 
valor de n. 
Resolución:
Si 4 jóvenes en un paseo de 10 días han gastado 
en comer S/ 2500, ¿cuánto gastarán en comer 
6 jóvenes durante un paseo de 15 días?
Resolución:
Si 12 amigos en un viaje de 15 días han gastado 
en comer S/ 3600, ¿cuánto gastarán en comer 
9 amigos durante un viaje de 18 días?
Resolución:
Veintiún albañiles trabajando 13 horas diarias 
durante 35 días pueden hacer una zanja de 6 m 
de largo, 2 m de ancho y 7 m de profundidad. Si 
28 albañiles trabajando n horas diarias durante 
26 días pueden hacer una zanja de 5 m de largo, 
3,2 m de ancho y 6 m de profundidad, Calcula el 
valor de n. 
Resolución:
3 4
5 6
35MateMática Delta 4 - aritMética
7
9
8
10
Rpta. Rpta. 
Rpta. Rpta.
Si se sabe que 15 obreros trabajando 6 horas 
diarias tardan 30 días en realizar un trabajo, halla 
cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 
10 obreros, empleando 8 horas diarias.
Resolución:
Si se sabe que 18 obreros trabajando 12 horas 
diarias tardan 28 días en realizar un trabajo, halla 
cuántos días tardarán en hacer el mismo trabajo 
16 obreros, trabajando 14 horas diarias.
Resolución:
Una brigada constructora formada por 9 hombres 
que trabajan todos con igual eficiencia ejecutan 
una obra laborando durante 28 días a razón de 
6 horas diarias. Determina cuántos días hubieran 
tenido que trabajar 7 hombres de la brigada para 
realizar la misma obra, laborando a razón de 
8 horas diarias.
Resolución:
Una brigada constructora formada por 15 hombres 
que trabajan todos con igual eficiencia ejecutan 
una obra laborando durante 36 días a razón de 
10 horas diarias. Determina cuántos días hubieran 
tenido que trabajar 24 hombres de la brigada para 
realizar la misma obra, laborando a razón de 
12 horas diarias.
Resolución:
36
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Con 12 baldes que contienen cada uno 12 kg de 
pintura se ha pintado 90 m de verja de 80 cm 
de altura. Encuentra cuántos baldes de 2 kg de 
pintura serán necesarios para pintar una verja 
similar de 120 cm de altura y 200 m de longitud.
Resolución:
Con 14 baldes que contienen cada uno 34 kg de 
pintura se han pintado 126 m de verja de 75 cm 
de altura. Encuentra cuántos baldes de 2 kg de 
pintura serán necesarios para pintar una verja 
similar de 150 cm de altura y 180 m de longitud.
Resolución:
Si se sabe que once obreros labran un campo 
rectangular de 220 m de largo y 48 m de ancho en 
6 días, descubre cuántos obreros serán necesarios 
para labrar otro campo análogo de 300 m de largo 
por 56 m de ancho en cinco días.
Resolución:
Si se sabe que quince obreros labran un campo 
rectangular de 270 m de largo y 56 m de ancho 
en 16 días, descubre cuántos obreros serán 
necesarios para labrar otro campo análogo de 
360 m de largo por 84 m de ancho en doce días.
Resolución:
11 12
13 14
37MateMática Delta 4 - aritMética
15
17
16
18
Rpta. Rpta.
Seis grifos tardan 10 horas en llenar un depósito 
de 400 m3 de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán 
cuatro grifos en llenar 2 depósitos de 500 m3 cada 
uno, si cambiar los grifos de un depósito a otro 
demanda media hora?
Resolución:
Catorce grifos tardan 8 horas en llenar un depósito 
de 784 m3 de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán 
seis grifos en llenar 3 depósitos de 560 m3 cada 
uno, si cambiar los grifos de un depósito a otro 
demanda media hora?
Resolución:
Rpta. Rpta.
Una tripulación de 20 marineros tiene víveres para 
40 días. Al cabo del cuarto día, 4 de los marineros 
son desembarcados por enfermedad. ¿Cuántos 
días podrán alimentarse los marineros restantes 
con lo que queda?
Resolución:
Una tripulación de 28 marineros tiene víveres para 
45 días. Al cabo del décimo día, 8 de los marineros 
son desembarcados por enfermedad. ¿Cuántos 
días podrán alimentarse los marineros restantes 
con lo que queda?
Resolución:
38
Una cuadrilla de 40 trabajadores puede realizar 
una obra en 30 días. Si al cabo de 2 días de trabajo 
se retiran 5 trabajadores, calcula en cuántos días 
se terminará lo que falta de la obra.
Resolución:
Se contrató 20 obreros para hacer una obra en 
15 días. Después de 8 días de trabajo, se retiraron 
7 obreros y los restantes siguieron trabajando así 
durante 5 días; después se contrató a dos obreros 
más con quienes se finalizó la obra. ¿Con cuántos 
días de retraso se culminó la obra?
Resolución:
Una cuadrilla de 42 trabajadores puede realizar 
una obra en 34 días. Si al cabo de 9 días de trabajo 
se retiran 7 trabajadores, calcula en cuántos días 
se terminará lo que falta de la obra.
Resolución:
Se contrató 24 obreros para hacer una obra en 
16 días. Después de 6 días de trabajo, se retiraron 
6 obreros y los restantes siguieron trabajando así 
durante 4 días; después se contrató a tres obreros 
más con quienes se finalizó la obra. ¿Con cuántos 
días de retraso se culminó la obra?
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
19 20
21 22
39MateMática Delta 4 - aritMética
Si se sabe que 49 obreros trabajando 10 horas 
diarias han empleado 16 días para hacer una 
zanja de 320 m de largo, 2 m de ancho y 1,75 m de 
profundidad; halla el número de días adicionales 
que emplearán 28 obreros trabajando 8 horas 
diarias para abrir otra zanja de 448 m de largo, 
3,5 m de ancho y 2 m de profundidad.
Resolución:
Si se sabe que 54 obreros trabajando 8 horas 
diarias han empleado 21 días parahacer una zanja 
de 360 m de largo, 2,4 m de ancho y 1,5 m de 
profundidad; halla el número de días adicionales 
que emplearán 35 obreros trabajando 14 horas 
diarias para abrir otra zanja de 420 m de largo, 
3,25 m de ancho y 2 m de profundidad.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Una obra debía terminarse en 30 días empleando 
20 obreros, trabajando 8 horas diarias. Después 
de 12 días de trabajo, se pidió que la obra quede 
terminada 6 días antes del plazo y así se hizo. 
Determina cuántos obreros se aumentaron 
considerando que se aumentó también en 
dos horas el trabajo diario.
Resolución:
Una obra debía terminarse en 35 días empleando 
26 obreros, trabajando 8 horas diarias. Después 
de 15 días de trabajo, se pidió que la obra quede 
terminada 4 días antes del plazo y así se hizo. 
Determina cuántos obreros se disminuyeron 
considerando que se aumentó también en 
cinco horas el trabajo diario.
Resolución:
Rpta. Rpta.
23 24
25 26
40
Practica y demuestra
Nivel I
1
4
5
6
2
3
Un pintor demora 40 minutos en pintar una pared 
cuadrada de 4 m de lado. Calcula cuánto demorará 
en pintar otra pared cuadrada de 6 m de lado.
Dieciocho hombres pueden hacer una obra en 
10 días trabajando cada día durante 8 horas. Halla 
cuántos hombres más harán falta trabajando con 
la misma eficiencia para hacer la obra en 2 días.
 A 68 B 64 C 70 
 D 72 E 90
 A 90 min B 70 min C 80 min 
 D 75 min E 85 min
Un grupo de 30 obreros debe terminar una obra en 
20 días. Luego de 5 días, cinco obreros se retiran.
Determina el número de días que demorarán los 
obreros restantes en terminar la obra.
 A 16 B 15 C 18 
 D 20 E 21
En una caballeriza se tiene cierta cantidad de 
alimento para los caballos; este les alcanzará 
para 12 días, pero si aumentamos 2 caballos, 
ese mismo alimento solo alcanzaría para 10 días. 
Encuentra cuántos caballos tiene la caballeriza.
 A 8 B 10 C 12 
 D 9 E 6
Durante doce días una familia compuesta por 
6 personas ha gastado S/ 9000 en alimentación. 
¿Cuánto gastaría una pareja en 20 días?
 A S/ 4800 B S/ 5000 C S/ 5200 
 D S/ 5600 E S/ 6000
Cuatro tractores pueden remover 400 m3 de tierra 
en 6 horas. Descubre cuántas horas demorarán 
seis tractores en remover 800 m3 de tierra.
 A 6 h B 8 h C 10 h
 D 9 h E 12 h
41MateMática Delta 4 - aritMética
7 10
11
12
8
9
Una guarnición de 400 soldados situados en un 
fuerte tiene víveres para 180 días si consumen 
900 gramos por hombre y por día. Si recibe un 
refuerzo de 100 soldados pero no recibirá víveres 
antes de 240 días, calcula cuál deberá ser la 
ración de un hombre por día para que los víveres 
puedan alcanzarles exactamente.
 A 540 g B 600 g C 640 g 
 D 580 g E 620 g
Cinco orfebres hacen 12 anillos en 15 días. Si 
se desean hacer 60 anillos en 25 días, ¿cuántos 
orfebres doblemente rápidos se deben contratar 
además de los que se tienen?
 A 8 B 7 C 6 
 D 5 E 10
Diez obreros demoran 8 días en realizar cierta 
producción, trabajando 6 horas diarias. Halla 
el número de días que demoran 24 obreros 
en hacer cuatro veces la producción anterior 
trabajando 5 horas diarias.
 A 12 B 14 C 15 
 D 16 E 18
Quince obreros demoran 12 días en realizar cierta 
producción, trabajando 7 horas diarias. Determina 
el número de días que demoran 28 obreros 
en hacer cuatro veces la producción anterior 
trabajando 9 horas diarias.
 A 22 B 24 C 25 
 D 20 E 28
Un grupo de 24 pintores demoran 5 días en 
pintar una fachada de 100 m2, trabajando 
12 horas diarias. Encuentra el número de días que 
demorarían 18 pintores en pintar una fachada de 
150 m2, trabajando 8 horas diarias.
 A 10 B 12 C 15 
 D 18 E 20
Si se sabe que 4 hornos industriales consumen 
60 kg de carbón en 2 días, descubre cuántos 
kilogramos de carbón consumirán 6 hornos 
industriales en un periodo de 3 días.
 A 120 kg B 125 kg C 130 kg 
 D 135 kg E 140 kg
Nivel II
42
Si se sabe que 3 carpinteros son capaces de 
construir 42 carpetas en 2 días, calcula el número 
de días que demorarán 5 carpinteros en construir 
210 carpetas.
 A 6 B 8 C 9 
 D 10 E 12
Para asfaltar 60 m de una carretera, 30 obreros 
han trabajado 12 días a razón de 10 horas diarias. 
Halla el número de días que necesitan 36 obreros, 
trabajando 6 horas diarias, para asfaltar otra 
carretera de 270 m.
 A 60 B 64 C 70 
 D 72 E 75
Un obrero, trabajando 28 días, ha producido 280 m 
de una obra. Determina el número de días que 
demoran 9 obreros en producir 360 m de la obra.
 A 4 B 5 C 6 
 D 8 E 9
Si se sabe que 4 costureras pueden confeccionar 
60 vestidos en 12 días, a razón de 5 horas diarias, 
encuentra cuántos vestidos podrán confeccionar 
6 costureras, trabajando a razón de 10 horas 
diarias durante 6 días.
 A 80 B 84 C 90 
 D 92 E 96
Para hacer una pared de 40 m2, 12 obreros han 
trabajado 6 días a razón de 12 horas diarias. 
Descubre el número de días que trabajarán
15 obreros a razón de 9 horas diarias para hacer 
una pared de 100 m2.
 A 12 B 13 C 14 
 D 15 E 16
Para alimentar durante 24 días a 40 trabajadores 
de una empresa se necesitan 192 barras de pan. 
¿Cuántas barras de pan se deberá comprar para 
alimentar a 65 personas durante 80 días?
 A 1000 B 1020 C 1040 
 D 1050 E 1060
13 16
14
15
17
18
43MateMática Delta 4 - aritMética
Una fábrica tiene 3 máquinas con 70 % de 
rendimiento y produce 3200 envases para 
gaseosa en 6 días de 8 horas diarias. Otra fábrica 
tiene 9 máquinas con 90 % de rendimiento que 
producen 7200 envases en 4 días trabajando 
cierta cantidad de horas diarias; calcula cuántas 
horas diarias trabajan estas últimas máquinas.
 A 8 h B 9 h C 6 h 
 D 7 h E 10 h
Con 55 obreros trabajando 13 días en jornadas 
6 horas diarias se han construido 440 m de una 
carretera. Halla el número de días que emplearán 
39 obreros trabajando 8 horas diarias para 
construir 320 m de la misma carretera.
 A 12 B 10 C 16 
 D 15 E 13
Tres motores trabajando durante 18 días a razón 
de 10 horas diarias consumen en total 150 galones 
de petróleo. Determina cuánto se gastará en 
combustible al utilizar 6 motores durante 24 días 
a razón de 5 horas diarias, si el galón de petróleo 
se adquiere a S/ 14,5.
 A S/ 2175 B S/ 2900 C S/ 2940 
 D S/ 3000 E S/ 2850
Una compañía industrial posee dos máquinas con 
70 % de rendimiento para producir 1600 envases 
en 6 días, operando 8 horas diarias. Si se desea 
producir 3200 envases en 4 días funcionando
7 horas diarias, encuentra cuántas máquinas de 
80 % de rendimiento se requiere.
 A 9 B 6 C 3 
 D 8 E 5
Un grupo de 20 trabajadores debe ordeñar seis 
vacas en 10 días. Si luego de 4 días se les unen 
10 personas, descubre el número de días que 
tardaron en ordeñar todas las vacas.
 A 4 B 6 C 8 
 D 10 E 12
En 9 días cuatro obreros trabajando 5 horas cada 
día han ganado un total de S/ 1200. ¿Cuánto 
ganarán diez obreros en 10 días trabajando 
6 horas cada día?
 A S/ 3600 B S/ 3800 C S/ 4000 
 D S/ 4200 E S/ 4400
19
22
20
23
21 24
Nivel III
5k – 12
4k – 12
44
44
Tema 3
Reparto proporcional
Reparto proporcional
Es una de las aplicaciones de las magnitudes proporcionales; consiste en repartir una 
cantidad en dos o más partes, de modo que las partes sean proporcionales a otra magnitud.
Reparto proporcional simple
En este tipo de reparto simple, se establece la relación de proporcionalidad entre 
las partes a repartir y otra magnitud, y se resuelve aplicando las definiciones de 
proporcionalidad directa o inversa.
Reparto simple directo
Repartir cierto dinero en 3 partes de 
modo que cada parte sea directamente 
proporcional a otra magnitud A. 
Reparto simple inverso
Repartir cierto dinero en 3 partes de 
modo que cada parte sea inversamente 
proporcional a otra magnitud A. 
Partes Valores de A 
P1 a1
P2 a2
P3 a3
= k
Parte
Valor de A
 = = = k
P1
a1
P2
a2
P3
a3
Partes Valores de A 
P1 a1
P2 a2
P3 a3
= k
Parte
Valor de 
1
A
 == = k
P1 P2 P3
1
a1
1
a2
1
a3
Otros dos ejemplos 
de reparto 
proporcional:
Repartir el agua de 
una laguna entre 
tres pueblos con la 
condición de que 
al pueblo que tiene 
más habitantes le 
corresponda más 
agua; repartir $ 300 
entre tres hermanos 
de 14, 10 y 7 años 
con la condición de 
que el que más años 
tiene reciba más 
dinero.
Obse rva
Ejemplo de reparto proporcional simple directo
Repartir S/ 450 entre 3 personas, de modo que cada parte sea directamente 
proporcional a sus edades que son 20; 30 y 40 años.
Parte D.P. Edad
Partes (S/) Edades (años)
P1 20
P2 30
P3 40
 = = = k = = = k
P1
20
P1
2
P2
30
P2
3
P3
40
P3
4
P1 = 2k P2 = 3k P3 = 4k 2k + 3k + 4k = 450
k = 50
P1 = 100
P2 = 150
P3 = 200
Resolución:
Ejemplo de reparto proporcional simple inverso
Repartir S/ 520 entre 3 personas, de modo que cada parte sea inversamente 
proporcional a sus edades que son 20; 30 y 40 años.
Parte I.P. Edad
Partes
(S/)
Edades
(años)
P1 20
P2 30
P3 40
Resolución:
 = = = k P1 = 6k P2 = 4k P3 = 3k 
 6k + 4k + 3k = 520 k = 40 
P1
6
P2
4
P3
3
P1 = 240
P2 = 160
P3 = 120
 = = = 
P1 P2 P3
1
20
1
30
1
40
k ; Multiplicamos por 120 a cada fracción 
(120 es MCM de 20; 30 y 40)
45MateMática Delta 4 - aritMética
⇒ 
A
7 = 
B
9 = 
C
14 = k ⇒ ⇒ Total = 30k
⇒ 30k
3 personas
 = 10k es lo que recibirá cada uno.
Rpta. La gratificación fue S/ 12 000.
⇒ 14k ‒ 1600 = 10k
 k = 400 ⇒ Total: 30(400) = 12 000
A = 7k
B = 9k
C = 14k 
Tres obreros se reparten una gratificación en partes directamente proporcionales 
a sus años de servicio 7; 9 y 14 años respectivamente. Después de efectuado el 
reparto, acuerdan que fuera por partes iguales; por ello, el tercero entrega S/ 1600 
al segundo y este una cierta cantidad al primero. Determina cuál fue el monto de 
la gratificación.
Resolución:
Organizamos los datos en una tabla:
Si se reparte S/ 644 en partes que sean inversamente proporcionales a los índices 
de reparto 3 × 240; 241; 243, calcula la mayor parte.
Resolución:
Notamos que es un problema de reparto proporcional, las magnitudes que 
intervienen son:
P : parte que recibirá cada persona.
I : índice de reparto
⇒ P I.P. I ⇒ P . I = constante
Organizamos las magnitudes y sus valores correspondientes en un cuadro:
P(S/) A B C
I 3 × 240 241 243
1
2
Nos dicen en el problema que se debió repartir de forma directamente proporcional 
a sus años de servicio: P D.P. A
Pero se procede a repartir en partes iguales:
Nos dice también que la tercera entrega S/ 1600 al segundo.
A
8
3
= B4 =
C
1 = k
 8
3
k + 4k + k = 644 ⇒ k = 84⇒
Rpta. La mayor parte será S/ 336.
P: parte
A: tiempo de servicio
P(S/) A B C
A(años) 7 9 14
⇒ A × 3 × 240 = B × 241 = C × 243
 dividimos a todos entre 243
Ejercicios resueltos
⇒ B = 4k = 4(84) = 336
46
Tres obreros han colocado en dos semanas 200; 120 y 80 losetas y han acumulado 
4; 6 y 3 días de inasistencias, respectivamente. Si se debe repartir entre ellos 
S/ 9135 considerando su trabajo y sus inasistencias, halla cuánto recibirá el obrero 
de mayor eficiencia.
Resolución:
Las magnitudes que intervinieron son:
P: parte
L : n.° de losetas
I : n.° inasistencias
Organizamos los valores correspondientes:
P(S/) A B C
L 200 120 80
I 4 6 3
 
Luego: 
A
15 = 
B
6 = 
C
8 = k 
Herencia a repartir:
15k + 6k + 8k = 9135
 29k = 9135 ⇒ k = 315
⇒ A = 15k = 15 × 315 = S/ 4725
Rpta. El de mayor eficiencia recibirá S/ 4725.
Se reparte cierta cantidad de dinero entre tres hermanos de modo directamente 
proporcional a sus edades: 16; 20 y 30 años, respectivamente. Si el mayor recibe 
S/ 672 más que el menor, descubre cuánto más recibirá el de 20 años, si el reparto 
se hiciera 2 años después.
Resolución:
Organizamos nuestros datos en una tabla:
P(S/) A B C
E(años) 16 20 308 10 15
 
3
4
P: parte
E: edades
⇒ 
A
200
4
 = 
B
120
6
 = 
C
80
3
 ⇒ A5 × 3 = 
B
2 × 3 = 
C
 8 × 3 3
 
⇒ A8 = 
B
10 = 
C
15 = k; pero: C ‒ A = 15k ‒ 8k = 672
 k = 96
⇒ A = 768 ∧ B = 960 ∧ C = 1440 ⇒ Total = 3168
⇒ a'9 = 
b'
11 = 
c'
16 = 
3168
9 + 11 + 16 = 88 ⇒ b = 968
⇒ a'18 = 
b'
22 = 
c'
32 ⇒ 
a'
9 = 
b'
11 = 
c'
16 = 
Total
9 + 11 + 16 
Nos dicen en el problema que se debió repartir de forma: P D.P. E
Pero si el reparto se hiciera después de 2 años y de la misma forma: P D.P. E
Rpta. El que tiene 20 años recibiría S/ 8 más si el reparto se hiciera luego de 2 años.
 Parte D.P. L
Parte I.P. I
Parte
L
I
= k
47MateMática Delta 4 - aritMética
Síntesis
Reparto proporcional
Simple
Directo Inverso
Compuesto
Partes Valoresde A 
P1 a1
P2 a2
P3 a3
Partes Valoresde A 
P1 a1
P2 a2
P3 a3
= k
Parte
Valor de A
 = = = k
P1
a1
P2
a2
P3
a3
= k
Parte
Valor de 
1
A
 = = = k
P1 P2 P3
1
a1
1
a2
1
a3
1
B
Parte D.P. A
Parte I.P. B
 = kParte
Valor A ×
Partes Valor de A 
Valor 
de B
P1 a1 b1
P2 a2 b2
P3 a3 b3
=
P1 P2
1
b1
1
b2
a1 × a2 ×
=
P3
1
b3
a3 ×
Dos operarios que trabajan como asociados han 
cobrado S/ 1215 como pago por cierto trabajo 
realizado. El primero ha dedicado 3 días a razón de 
8 horas diarias de trabajo y el segundo cinco días 
a razón de 6 horas diarias. Si el primero realizó los 
4
7
 del trabajo total, calcula cuánto dinero cobró el 
segundo operario.
Resolución:
Dos operarios que trabajan como asociados han 
cobrado S/ 1287 como pago por cierto trabajo 
realizado. El primero ha dedicado 5 días a razón 
de 9 horas diarias de trabajo y el segundo 6 días a 
razón de 8 horas diarias. Si el primero realizó los 
2
7 del trabajo total, calcula cuánto dinero cobró el 
segundo operario.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve 
1 2
= k
48
Tres personas deben repartirse S/ 9114, de modo 
que la parte recibida sea directamente proporcional 
a los números 6; 8 y 9, también directamente 
proporcional a 5; 6 y 10, respectivamente. Halla 
cuánto será el mayor monto que se reparta.
Resolución:
Mensualmente una empresa decide repartir 
S/ 7895 de premio entre sus tres mejores 
trabajadores, en forma proporcional a su aumento 
de productividad (3 %, 5 % y 8 % respectivamente) 
y también proporcional al número de tardanzas 
que tuvieron en el mes (4; 6 y 9, respectivamente). 
Determina cuánto le correspondió de premio al 
más beneficiado.
Resolución:
Tres personas deben repartirse S/ 10 962, de modo 
que la parte recibida sea directamente proporcional 
a los números 8; 9 y 10, también directamente 
proporcional a 9; 11 y 9 respectivamente. Halla 
cuánto será el menor monto que se reparta.
Resolución:
Mensualmente una empresa decide repartir 
S/ 25 252 de premio entre sus tres mejores 
trabajadores, en forma proporcional a su 
aumento de productividad (8 %, 10 % y 12 %, 
respectivamente) y también proporcional al 
número de tardanzas que tuvieron en el mes (6; 
4 y 2, respectivamente). Determina cuánto le 
correspondió de premio al más beneficiado.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
3
5
4
6
49MateMática Delta 4 - aritMética
7
9
8
10
Tres personas deben repartirse S/ 5505, de modo 
que la parte recibida sea directamente proporcional
a los números 12; 16 y 18, también inversamente 
proporcional a 10; 6 y 8, respectivamente. Encuentra 
cuánto será el mayor monto que se reparte.
Resolución:
Se repartió S/ 4972,50 entre tres albañiles de forma 
proporcional a la cantidad de trabajo realizado y al 
tiempo de tardanza acumulado en una semana. El 
trabajo consistía en cavar 620 m de una zanja, de los 
cuales el primero realizó 180 m, el segundo 240 m 
y el tercero lo que faltó, mientras que el tiempo de 
tardanzas acumulado es de 1 h; 2,5 h y 160 min, 
respectivamente. Descubre cuánto recibió el 
albañil menos beneficiado.
Resolución:
Se repartió S/ 7562 entre tres operarios de forma 
proporcional a la cantidad de chompas bordadascorrectamente y al número de chompas que 
bordaron mal. El trabajo consistía en bordar 
486 chompas, de las cuales el primero ha 
bordado 150, el segundo 156 y el tercero las que 
faltaron (todas correctamente), mientras que el 
número de chompas defectuosas son 12; 18 y 15, 
respectivamente. Descubre cuánto recibió el 
operario menos beneficiado.
Resolución:
Tres personas deben repartirse S/ 6875, de modo 
que la parte recibida sea directamente proporcional
a los números 2; 4 y 3, también inversamente 
proporcional a 9; 6 y 6, respectivamente. Encuentra 
cuánto será el mayor monto que se reparte.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
50
Tres personas deben repartirse cierta cantidad 
de dinero, de modo que las partes recibidas sean 
directamente proporcionales a 12; 16 y 18, y 
también inversamente proporcionales a 10; 6 y 8, 
respectivamente. ¿Cuánto será el mayor monto, si 
los tres reciben juntos S/ 5505?
Resolución:
Se reparte una cantidad de dinero en cuatro 
partes que son directamente proporcionales 
a 4; 12; 3 y 5, pero también inversamente 
proporcionales a 7; 4; 3 y 7, respectivamente. 
Calcula la mayor de las partes repartidas, si las 
dos menores partes juntas son superadas por 
las dos mayores juntas en S/ 760.
Resolución:
Tres personas deben repartirse cierta cantidad 
de dinero, de modo que las partes recibidas 
sean directamente proporcionales a 42; 35 y 28, 
y también inversamente proporcionales a 24; 32 
y 36, respectivamente. ¿Cuánto será el mayor 
monto, si los tres reciben juntos S/ 5215?
Resolución:
Se reparte una cantidad de dinero en cuatro partes 
que son directamente proporcionales a 9; 12; 15 
y 8, pero también inversamente proporcionales 
a 18; 12; 24 y 27, respectivamente. Calcula 
la mayor de las partes repartidas, si las dos 
menores partes juntas son superadas por las 
dos mayores juntas en S/ 1074.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
1211
1413
51MateMática Delta 4 - aritMética
15
17
Dos personas se reparten cierta cantidad de 
dinero, de modo que las partes recibidas sean 
inversamente proporcionales a los números 45 y 
54, y también inversamente proporcionales a 84 y 
91, respectivamente. ¿Cuál será el total repartido, 
si la diferencia de las partes recibidas es S/ 834?
Resolución:
Las edades de tres hermanos son 12 años, 
15 años y 18 años. Una herencia se quiso 
repartir de forma directamente proporcional a sus 
edades, pero se cambió de opinión y se hizo de 
forma inversamente proporcional; por lo tanto, el 
primero de ellos recibió S/ 1540 más de lo que 
iba a recibir. Halla el monto de la herencia.
Resolución:
Dos personas se reparten cierta cantidad de 
dinero, de modo que las partes recibidas sean 
inversamente proporcionales a 108 y 104, y 
también inversamente proporcionales a 12 y 36, 
respectivamente. ¿Cuál será el total repartido, si la 
diferencia de las partes recibidas es S/ 2652?
Resolución:
Las edades de tres hermanos son 18 años, 
36 años y 24 años. Una herencia se quiso 
repartir de forma directamente proporcional a las 
edades, pero se cambió de opinión y se hizo de 
forma inversamente proporcional; por lo tanto, el 
primero de ellos recibió S/ 1950 más de lo que 
iba a recibir. Halla el monto de la herencia.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
16
18
52
1
4
52
3
Practica y demuestra
Nivel I
Se reparte S/ 2670 en tres partes que sean 
directamente proporcionales a 504; 630 y 735.
Calcula la menor parte.
 A S/ 840 B S/ 750 C S/ 720 
 D S/ 810 E S/ 780
Se reparte S/ 2728 en cuatro partes que sean 
directamente proporcionales a 34 ; 
2
3 ; 
5
8 y 
4
5
. 
Halla la suma de las dos menores partes.
Se reparte S/ 7168 en tres partes que sean 
inversamente proporcionales a 156; 144 y 48. 
Determina la menor parte.
 A S/ 1232 B S/ 1220 C S/ 1240 
 D S/ 1256 E S/ 1248
 A S/ 1380 B S/ 1368 C S/ 1356 
 D S/ 1344 E S/ 1348
Se reparte S/ 1365 de modo inversamente 
proporcional a 2 × 3n; 3n + 2; 3n + 3. Descubre la 
parte mayor.
Se reparte S/ 9640 en forma directamente 
proporcional a 3; 5 y 8 pero inversamente 
proporcional a 4; 3 y 5, respectivamente. Encuentra 
la parte mayor.
 A S/ 1032 B S/ 1053 C S/ 1105 
 D S/ 1157 E S/ 1082
 A S/ 4550 B S/ 4260 C S/ 4200 
 D S/ 4000 E S/ 4080
6 Luego de repartir cierto dinero de forma 
directamente proporcional a 10; 12 y 18, se 
observa que la diferencia entre la mayor y menor 
parte repartida es S/ 1380. Calcula la cantidad 
repartida.
 A S/ 6800 B S/ 6900 C S/ 6700 
 D S/ 6400 E S/ 7200
53MateMática Delta 4 - aritMética
7 Antonio, César y Martín ahorraron sus propinas 
en forma directamente proporcional a sus edades: 
14; 17 y 21 años respectivamente. Si se observa 
que los dos menores juntos ahorraron S/ 4030, 
halla cuánto dinero ahorró Martín.
 A S/ 2860 B S/ 2990 C S/ 2730
 D S/ 2600 E S/ 2670
8 Determina la parte menor que se obtiene luego de 
repartir S/ 865 en forma directamente proporcional 
a 3; 5 y 7, pero también inversamente proporcional 
a 2; 3 y 16, respectivamente. 
 A S/ 126 B S/ 105 C S/ 147 
 D S/ 168 E S/ 108
9 Si se reparte S/ 5680 en tres partes de forma 
directamente proporcional a 125; 180 y 405, 
encuentra la mayor parte.
 A S/ 3200 B S/ 3240 C S/ 3280 
 D S/ 3284 E S/ 3260
10 Descubre la menor parte que se obtiene luego de 
repartir S/ 650 en forma directamente proporcional 
a 2; 12 y 
1
3 , pero también directamente proporcional 
a 23 ; 2 y 6, respectivamente.
 A S/ 150 B S/ 156 C S/ 160 
 D S/ 164 E S/ 145
11 Un hacendado debe sembrar tres terrenos de 
forma cuadrada de 4; 6 y 9 hectáreas de lado. 
Por ello, pagó un total de S/ 9975 para preparar 
los terrenos. Calcula cuánto pagará por el terreno 
más grande.
 A S/ 6075 B S/ 4850 C S/ 6250
 D S/ 3900 E S/ 5725
12 Si se reparte S/ 7680 entre Andrés, Bruno y Carlos, 
de modo que la parte de Andrés sea a la de Bruno 
como 4 es a 3, y la parte de Bruno a la de Carlos 
como 7 es a 5; halla cuánto recibió Andrés.
 A S/ 3396 B S/ 3444 C S/ 3516
 D S/ 3360 E S/ 3500
54
13 Se reparte una herencia entre tres hermanos 
en forma directamente proporcional a las raíces 
cuadradas de 1404; 1911 y 3900. Determina la 
herencia, si la diferencia entre la mayor y menor 
parte recibida es S/ 24 576.
 A S/ 147 456 B S/ 135 168
 C S/ 141 312 D S/ 153 600
 E S/ 141 611 
14 La suma de las áreas de tres terrenos es 1062 m2. 
Si el área del primer terreno es al área del segundo 
como 4 es a 7, y el área del segundo terreno es al 
área del tercero como 5 es a 9, encuentra cuántos 
metros cuadrados tiene el terreno de menor área.
 A 180 m2 B 198 m2 C 216 m2
 D 234 m2 E 196 m2
15 Un tío dejó una herencia para sus tres sobrinos 
que será repartida directamente proporcional 
a sus edades. Si los dos menores recibieron 
S/ 2100 y S/ 1400, descubre cuánto dinero recibió 
el mayor que tiene 32 años, si además se sabe que 
las edades de los dos menores suman 40 años.
 A S/ 2880 B S/ 2816 C S/ 2800
 D S/ 2560 E S/ 3200
16 Calcula la menor cantidad distribuida luego de 
repartir S/ 8085 entre tres personas de forma 
directamente proporcional a 3; 6 y 8, pero también 
de forma inversamente proporcional a 4; 9 y 6, 
respectivamente. 
 A S/ 1888 B S/ 1984 C S/ 1960
 D S/ 1976 E S/ 2048
17 Tres personas decidieron repartirse cierta 
cantidad de dinero de forma directamente 
proporcional a sus edades (20; 25 y 30 años); 
pero luego cambiaron de opinión y decidieron 
realizar el reparto de forma directa a sus estaturas 
(1,20; 1,60 y 2 metros, respectivamente), por ello, 
la primera persona recibió S/ 32 menos. Halla 
cuánto dinero fue repartido.
 A S/ 2080 B S/ 1856 C S/ 2100
 D S/ 1920 E S/ 1800
18 Un padre de familia reparte S/ 840 entre sus tres 
hijos de forma directamente proporcional a la 
edad que tengan, pero inversamente proporcional 
al peso de cada uno de ellos. Si sus edades son
12; 15 y 18 años y los pesos respectivos son
40; 45 y 60 kg, determina la mayor cantidadrecibida.
 A S/ 350 B S/ 360 C S/ 320
 D S/ 280 E S/ 300
Nivel II
55MateMática Delta 4 - aritMética
19 Tres empleados se reparten una bonificación 
de forma directamente proporcional a sus 
sueldos mensuales (S/ 2400, S/ 3000 y S/ 4200, 
respectivamente). Como no les parece justo el 
reparto, acuerdan que sea en partes iguales; por 
ello, el tercero entrega S/ 12 000 al segundo y este a 
su vez entrega cierta cantidad al primero. Encuentra 
cuánto dinero entregó el segundo al primero.
 A S/ 9200 B S/ 9800 C S/ 8500
 D S/ 9600 E S/ 8800
20 Una herencia se reparte de forma directamente 
proporcional a las edades de tres personas A, B 
y C, correspondiéndole al sujeto A S/ 399 y a B
S/ 798. Si la herencia se reparte solo entre A y 
B de forma inversamente proporcional a sus 
edades, entonces B recibe S/ 931. Si la suma 
de las edades es 49, descubre la suma de los 
cuadrados de las edades.
 A 1069 B 805 C 953
 D 1450 E 1029
21 Se reparte cierta cantidad de dinero entre tres 
personas de forma directamente proporcional a 
3; 9 y 27 pero inversamente proporcional a 16; 4 
y 1, respectivamente. Si la diferencia entre lo que 
recibe la tercera y la primera persona es S/ 7293, 
calcula cuánto recibe la segunda persona.
 A S/ 720 B S/ 756 C S/ 684 
 D S/ 612 E S/ 828
22 Un profesor reparte S/ 1176 entre tres de sus 
alumnos de modo directamente proporcional al 
número de hermanos que cada uno tiene, pero 
inversamente proporcional al número de veces 
que llegaron tarde al colegio el mes anterior. 
Si el primero tiene 3 hermanos, el segundo 4 y 
el tercero 5, además llegaron tarde 2; 3 y 4 días 
respectivamente, halla la diferencia entre la mayor 
y la menor parte.
 A S/ 54 B S/ 72 C S/ 64 
 D S/ 96 E S/ 81
23 Se reparte cierto dinero entre cuatro hermanos 
de modo proporcionalmente directo a sus edades 
que son números impares consecutivos; de esta 
manera, el menor de los hermanos recibe los tres 
quintos del mayor. Determina cuánto se ha repartido 
si el segundo de los hermanos recibe S/ 195.
 A S/ 936 B S/ 960 C S/ 720 
 D S/ 848 E S/ 924
24 Se reparte cierto dinero entre cuatro personas, de 
modo que cada parte sea directamente proporcional 
a los números 1; 2; 3 y 4. Encuentra dicho dinero, 
si al realizar el reparto inversamente proporcional a 
los mismos números el primero recibe S/ 95 más.
 A S/ 250 B S/ 260 C S/ 280
 D S/ 240 E S/ 300
 
Nivel III
56
25 Tres hermanos debían repartirse una herencia 
de modo directamente proporcional a sus edades 
(20; 17 y 14 años). Como el reparto se realizó 
un año después, el mayor quedó perjudicado en 
S/ 10. Descubre la herencia repartida.
 A S/ 3420 B S/ 3150 C S/ 3060
 D S/ 2700 E S/ 3330
 A S/ 2592 B S/ 4050 C S/ 3104
 D S/ 2160 E S/ 3250
26 Un anciano dispuso que al morir su herencia 
se reparta entre sus tres sirvientes de modo 
inversamente proporcional a sus edades y 
directamente proporcional a sus años de servicio. 
Al morir dicho anciano, las edades de los sirvientes 
eran 30; 45 y 50 años; y tenían 18; 25 y 25 años 
respectivamente cuando empezaron a trabajar. Al 
realizar el reparto, se observó que quien tenía más 
años de servicio recibió S/ 900 más que el más 
joven.Calcula el valor de la herencia repartida.
27 A, B y C se repartieron proporcionalmente un 
dinero en relación directa a sus edades (25; 18 
y 17 años). Para que las tres personas reciban 
lo mismo, la mayor cede a la segunda S/ 200 
y la segunda cede a la tercera cierta cantidad 
desconocida, halla esta cantidad desconocida.
 A S/ 210 B S/ 164 C S/ 180
 D S/ 140 E S/ 120
29 A, B y C deben pagar S/ 528 de alquiler de un 
campo de forraje. A mandó 960 ovejas que 
estuvieron 16 días; B mandó 1800 ovejas que 
estuvieron 20 días y pagó S/ 300 de alquiler. 
¿Cuántas eran las ovejas de C que estuvieron 
10 días?
 A 1200 B 2400 C 2500
 D 2600 E 2700
28 Se desea repartir una gratificación de S/ 8802 
entre tres carpinteros de modo proporcional a su 
producción y considerando el tiempo empleado 
en ello. Si en el último trabajo cada uno ha 
fabricado 15; 16 y 12 sillas, demorando 6; 10 y 
9 días respectivamente, determina cuánto le 
corresponde al carpintero de mayor rendimiento.
30 En un concurso de matemáticas, el equipo ganador 
de tres integrantes, recibió un premio en efectivo; este 
se repartió entre sus miembros, proporcionalmente 
al número de problemas resueltos durante el 
concurso (36; 32 y 30, respectivamente). Si el 
segundo hubiera resuelto un problema más, habría 
recibido S/ 143 más. Encuentra el monto del premio.
 A S/ 21 021 B S/ 20 210 C S/ 20 200
 D S/ 21 020 E S/ 21 100
 A S/ 24 525 B S/ 12 100
 C S/ 14 520 D S/ 19 320
 E S/ 18 150 
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 1
57MateMática Delta 4 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Si al tomar una muestra con 40 L de agua de 
mar, se determina que contiene 1700 gramos 
de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar se debe 
extraer para que al evaporar el agua se pueda 
obtener 8,67 kg de sal?
2
Diez albañiles terminan una construcción en 
once días. Si se desea terminar la misma obra 
en solo cinco días, ¿cuántos albañiles serán 
necesarios?
4
5
C D
BA
140144
14872
C D
BA
47
82
C D
BA
1825
2220
C D
BA
204 L200 L
202 L212 L
C D
BA
7464
6660
C D
BA
2220
2421
Dos ruedas están unidas por una barra 
transmisora. La primera tiene un radio de 36 cm 
y la segunda de 60 cm. Cuando la primera fila ha 
dado 240 vueltas, ¿cuántas vueltas habrá dado 
la segunda?
1
Se contratan 6 artesanos que tejen 15 chompas 
en 20 días. Si se pretende tejer 60 chompas en 
24 días, ¿cuántos artesanos se deben contratar?
63 La magnitud A es directamente proporcional 
al cuadrado de la magnitud B. Calcula el valor 
inicial de A; si cuando B se triplica, A aumenta 
en 64 unidades.
La magnitud A es inversamente proporcional 
a la magnitud B, pero directamente propocional 
al cuadrado de la magnitud C. Cuando B es 
igual a 20, A es 12 y C es 7. Halla el valor de B, 
cuando A es 15 y C es 14.
58
11
12
10
9
C CD D
B BA A
S/ 600 S/ 350S/ 700 S/ 290
S/ 560 S/ 370S/ 690 S/ 450
C D
BA
470468
490486
C D
BA
S/ 1720S/ 1680
S/ 1800S/ 2510
C D
BA
S/ 680S/ 639
S/ 718S/ 618
C D
BA
89 min88 min
90 min92 min
Si 36 albañiles realizan 148 m2 de una obra 
en 54 días, determina el número de días que 
necesitarán 81 albañiles para realizar en 
condiciones similares una obra de 2997 m2.
Se reparte S/ 2700 en tres partes inversamente 
proporcionales a 33; 44 y 66. Encuentra la menor 
parte.
Se reparte S/ 1740 en tres partes directamente 
proporcionales a 89; 98 y 103. Descubre la mayor 
parte.
Se reparte S/ 790 en forma directamente 
proporcional a 2; 4 y 7, pero inversamente 
proporcional a 3; 5 y 6, respectivamente. Halla la 
mayor parte repartida.
Marcos, Pedro y Raúl se reparten cierto dinero 
en forma directamente proporcional a sus 
edades (12; 16 y 20 años, respectivamente). Si 
se observa que el menor y el mayor juntos tienen 
S/ 3360; calcula cuánto dinero, tiene Pedro.
7
Una piscina se llena abriendo 6 llaves durante 
una hora y cuarto. Si una de las llaves está 
atorada, ¿cuántos minutos tardará en llenarse?
8
Tema
59MateMática Delta 4 - aritMética
4
Reparto de ganancias
Reparto de ganancias
Es otra de las aplicaciones de las magnitudes proporcionales. Consiste en repartir la 
ganancia obtenida (G) por una empresa entre los socios, de modo proporcional a los 
capitales aportables (C) y al tiempo (T) que permanece cada uno en el negocio.
El reparto se hace de este modo: •	G D.P. C•	G D.P. T 
Entonces:
Ejemplo:
Dos socios forman una empresa, aportando S/ 200 y S/ 320. En este negocio, uno se 
quedó 8 meses y el otro 6, respectivamente. Si al finalizar el octavo mes, se obtuvo una 
ganancia de S/ 440, ¿cómo se debe repartir dicha ganancia?
Resolución:
Sabemos que:
Reparto de 
ganancias 
y pérdidas
El reparto de 
ganancias y pérdidas,conocido también 
como Regla de 
compañía, es una 
aplicación del reparto 
proporcional en 
la que la cantidad 
a repartir son los 
beneficios	o	pérdidas	
de una sociedad.
A B
C(S/) 200 320
T(meses) 8 6
G(S/) G1 G2
•	G D.P. C
•	G D.P. T ⇒ 
G
C × T
 = k
Reemplazando los valores dados en la expresión obtenida:
Finalmente, sumando ambas cantidades e igualándolas a la utilidad o ganancia total 
obtenida.
⇒ 
G1
200 × 8
 = 
G2
320 × 6
 ⇒ 
G1
20
 = 
G2
24
 = k ⇒ •	G1 = 5k•	G2 = 6k
5k + 6k = 440 ⇒ k = 40 ⇒ •	G1 = S/ 200•	G2 = S/ 240
G
C × T
= k
60
 GA + GB + GC = 70 000
 14k = 70 000
 k = 5000 GC = 45 000
I II III
G(S/) A1 A2 B
C(S/) 1430 2310 3150
T(meses) 9 2 11
 = = 
 = = = k
A1
143 × 9
A1
39
A2
231 × 2
A2
14
B
315 × 11
B
105
A B C
G(S/) GA GB GC
C(S/) 60 000 30 000 90 000
T(meses) 6 8 12
 = =
 = = = k
GA
6 × 6
GA
3
GB
3 × 8
GB
2
GC
9 × 12
GC
9
Tres amigos formaron una empresa aportando S/ 60 000, S/ 30 000 y S/ 90 000; 
y se quedaron en el negocio 6; 8 y 12 meses, respectivamente. Si la ganancia 
obtenida es S/ 70 000, calcula cuánto de ganancia le correspondió al que estuvo 
mayor tiempo.
Resolución:
En el problema podemos notar que las magnitudes que intervienen son:
G: utilidad recibida por el socio
C: capital aportado
T : tiempo de permanencia
Organizamos nuestros datos en una tabla:
1
Dos personas forman una empresa. La primera aportó S/ 1430 de capital y 
a los 9 meses agrega S/ 880, mientras que la segunda aportó S/ 3150. Si el 
negocio duró 11 meses y la primera persona obtuvo una ganancia de S/ 7208, 
halla la diferencia entre la ganancia de ambas personas.
Resolución:
Las magnitudes que intervienen son:
G: utilidad recibida por el socio
C: capital aportado
T : tiempo de permanencia
Organizamos nuestros datos en una tabla:
2
Ejercicios resueltos
Rpta. El que estuvo mayor tiempo tuvo una ganancia de S/ 45 000.
La primera ganó S/ 7208.
 A1 + A2 = 7208 
 39k + 14k = 7208
 k = 136 
G D.P. C
G D.P. T
 = k
G
C × T
G D.P. C
G D.P. T
 = k
G
C × T
Diferencia de ganancias:
14 280 – 7208 = 7072
Rpta. La diferencia requerida es S/ 7072.
 B = 105(136) = 14 280
61
61MateMática Delta 4 - aritMética 61
I II III
G(S/) A1 A2 B
C(S/) 840 720 1080
T(meses) 9 5 14
 = =
 = = = k
A1
84 × 9
A1
21
A2
72 × 5
A2
10
B
108 × 14
B
42
Dos personas forman una empresa. La primera aportó S/ 840 de capital 
y a los 9 meses retira S/ 120, mientras que la segunda aportó S/ 1080. 
Si el negocio duró 14 meses y la primera persona obtuvo una ganancia de 
S/ 3844, determina la diferencia entre las ganancias de ambas personas.
Resolución:
En el problema podemos notar que las magnitudes que intervienen son:
G: utilidad recibida por el socio
C: capital aportado
T : tiempo de permanencia
Organizamos nuestros datos en una tabla:
3
Omar y Tomás forman una empresa con S/ 8000 y S/ 9000, respectivamente. 
Después de 6 meses, Omar decide aumentar en S/ 1200 su capital; por su 
parte, Tomás luego de 4 meses retira S/ 1800 de su capital. Si el negocio duró 
10 meses y la diferencia de las ganancias obtenidas es S/ 896, encuentra la 
utilidad que recibió Omar.
Resolución:
A mayor capital y mayor tiempo que aporten, mayor será la ganancia obtenida.
Las magnitudes que intervienen son:
G: utilidad recibida por el socio
C: capital aportado
T : tiempo de permanencia
Organizamos nuestros datos en una tabla:
G D.P. C
G D.P. T
 = k
G
C × T
4
En el problema nos dicen que la primera ganó S/ 3844.
La diferencia de ganancias es S/ 896.
⇒	 106k	‒	99k	=	896
 k = 128 ⇒ Utilidad de Omar = 106(128) = 13 568
Omar Tomás
Primeros 
6 meses
Últimos 
4 meses
Primeros 
4 meses
Últimos 
6 meses
G(S/) A1 A2 B1 B2
C(S/) 8000 9200 9000 7200
T(meses) 6 4 4 6
⇒ 
A1
80 × 6
 = 
A2
92 × 4
 = 
B1
90 × 4
 = 
B2
72 × 6
⇒ 
A1
60 = 
A2
46 = 
B1
45 = 
B2
54 = k
⇒ A1 + A2 = 3844
 21k + 10k = 3844
 k = 124 
Rpta. La diferencia requerida es S/ 1364.
Rpta. Omar recibió S/ 13 568 de utilidad.
G D.P. C
G D.P. T
 = k
G
C × T
Diferencia de ganancias:
5208 – 3844 = 1364
⇒ B = 42(124) = 5208
Unidad de Omar = 106k
Unidad de Tomás = 99k
⇒
62
Modela y resuelve 
Tres amigos se asocian y forman una empresa. 
El primero aportó S/ 600 y permaneció 6 meses; 
el segundo aportó S/ 800 y se quedó 8 meses. 
Si el tercero aportó S/ 2000, calcula cuánto tiempo 
(en meses) estuvo en el negocio, si se sabe que al 
repartirse las utilidades de S/ 1500 a él le tocó la 
tercera parte.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Tres amigos se asocian y forman una empresa. 
El primero aportó S/ 900 y permaneció 8 meses; 
el segundo aportó S/ 1200 y se quedó 10 meses. 
Si el tercero aportó S/ 4000, calcula cuánto tiempo 
(en meses) estuvo en el negocio, si se sabe que al 
repartirse las utilidades de S/ 1620 a él le tocó la 
tercera parte.
Resolución:
1 2
3 Raúl y Ana forman una empresa con S/ 6000 y S/ 8000, respectivamente. Después de 3 meses, Raúl decide 
aumentar en S/ 2000 su capital; por su parte, Ana, luego de 5 meses retira S/ 1500 de su capital. Si el negocio 
duró 9 meses y la ganancia obtenida es S/ 11 484, halla la utilidad que recibió Ana.
Resolución:
Rpta.
Es otra de las aplicaciones de las magnitudes proporcionales; 
consiste en repartir la ganancia (G) obtenida por una empresa 
entre los socios, de modo proporcional a los capitales aportados 
(C) y al tiempo (T) que permanece cada uno en el negocio.
Síntesis
El reparto se hace de 
este modo:
G D.P. C
G D.P. T
 = k
G
C × T
Reparto de ganancias
63MateMática Delta 4 - aritMética
Dos personas, juntando un capital de S/ 5840, 
forman una empresa que duró un año y medio. 
Si las ganancias obtenidas son iguales y el segundo 
socio estuvo 4 meses más que el otro, determina 
cuánto de capital aportó el primero.
Resolución:
Maribel inicia un negocio con S/ 2000; a los 
6 meses se incorpora Liliana aportando S/ 3000 y 
3 meses más tarde ingresa Genaro con un capital 
de S/ 6000. Si el negocio se cierra al año y medio y 
se repartieron una ganancia de S/ 2394, encuentra 
la mayor ganancia.
Resolución:
Dos personas, juntando un capital de S/ 6916, 
forman una empresa que duró dos años. Si las 
ganancias obtenidas son iguales y el segundo 
socio estuvo 9 meses más que el otro, determina 
cuánto de capital aportó el segundo socio.
Resolución:
Kelly inicia un negocio con S/ 6000; a los 8 meses 
se incorpora Daniela aportando S/ 9000 y 5 meses 
más tarde ingresa Genaro con un capital de 
S/ 8400. Si el negocio se cierra al año y medio y se 
repartieron una ganancia de S/ 11 428, encuentra 
la menor ganancia.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
4 5
6 7
64
Dos amigos forman una empresa y ganan en el
negocio S/ 784. El primero aportó S/ 500 de 
capital y permaneció 3 meses, el segundo aportó 
cierta cantidad y estuvo 5 meses más que el otro. 
Descubre cuánto capital aportó el segundo socio, 
si	su	capital	se	duplicó	al	finalizar	el	negocio.
Resolución:
Una persona inicia un negocio. Dos meses 
después, acepta a un socio quien aporta S/ 100 
más que el primero y dos meses más tarde acepta 
un tercer socio quien aporta S/ 100 más que el 
segundo. Sin embargo, luego de 1 año se cierra 
el negocio. Si el primero ganó S/ 800 y la ganancia 
de los otros dos se diferencian en S/ 100, calcula el 
capital aportado por el segundo socio.
Resolución:
Una persona inicia un negocio. Seis meses 
después acepta un socio quien aporta S/ 300 más 
que el primero y cuatro meses más tarde acepta 
un tercer socio quien aporta S/ 300 más que el 
segundo. Sin embargo, luego de 2 años se cierra el 
negocio. Si el primero ganó S/ 1400 y la ganancia 
de los otros dos se diferencian en S/ 200, calcula 
el capital aportado por el segundo socio.
Resolución:
Dos amigosforman una empresa y ganan en el 
negocio S/ 30 720. El primero aportó S/ 4920 de 
capital y permaneció 15 meses, el segundo aportó 
cierta cantidad y estuvo 3 meses menos que el 
otro. Descubre cuánto capital aportó el segundo, 
si	su	capital	se	triplicó	al	finalizar	el	negocio.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
8
10
9
11
65MateMática Delta 4 - aritMética
12
14
13
15
Tres personas forman una empresa. El primero 
permaneció 6 meses y 20 días, el segundo aportó 
el triple del capital del primero y se quedó 8 meses 
y 10 días, y el tercero aportó el doble del segundo 
y se quedó 6 meses. Si la ganancia obtenida 
es S/ 2842, halla cuánto le corresponde al 
segundo socio.
Resolución:
Arturo y Basilio se asociaron para formar una 
empresa que cerró luego de un año. Se sabe 
que los capitales que aportaron son S/ 4500 y 
S/ 7500, respectivamente. Luego de tres meses 
de asociados, Arturo retiró S/ 2500 de su capital 
y dos meses después, Basilio aumentó su capital 
en	S/	1500.	Si	al	final	del	año	uno	de	los	socios	
recibió S/ 4547,10 más de utilidad que el otro, 
determina la utilidad que recibió Basilio.
Resolución:
Tres personas forman una empresa. El primero 
permaneció 8 meses y 10 días, el segundo 
aportó el triple del capital del primero y se quedó 
8 meses, y el tercero aportó el triple del segundo 
y se quedó 4 meses. Si la ganancia obtenida es 
S/ 4305, halla cuánto le corresponde al tercer 
socio.
Resolución:
Alondra y Brenda se asociaron para formar una 
empresa que cerró luego de un año. Se sabe que 
los capitales que aportaron son S/ 7200 y S/ 6400, 
respectivamente. Luego de 4 meses de asociados, 
Alondra agregó S/ 800 a su capital y tres meses 
después, Brenda disminuyó su capital en S/ 400. 
Si	al	final	del	año	una	de	las	socias	recibió	S/	4140	
más de utilidad que la otra, determina la utilidad 
que recibió Alondra.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Rpta.
Rpta.
66
Tres personas forman una empresa. El primero 
aportó S/ 3C de capital, el segundo S/ 5C y el tercero 
S/ 8C; y permanecieron tiempos que se encuentran 
en relación de 8; 12 y 5, respectivamente. Si la 
mayor ganancia obtenida es S/ 1342,50, encuentra 
la diferencia entre las otras dos ganancias.
Resolución:
Jorge y María forman una empresa con S/ 5000 
y S/ 9000, respectivamente. Luego de 2 meses 
Jorge decide aumentar en S/ 2000 su capital y 
luego de 3 meses más decide retirar S/ 1000. Si el 
negocio duró 9 meses y se repartió una ganancia 
de S/ 7480, descubre la utilidad que recibió Jorge.
Resolución:
Tres personas forman una empresa, aportando 
capitales que se encuentran en relación de 9; 15 y 8, 
respectivamente; además, el primero permaneció 
18 meses, el segundo 20 y el tercero 21. Si la 
menor ganancia obtenida es S/ 2295, encuentra la 
diferencia entre las otras dos ganancias.
Resolución:
Norma y Claudia forman una empresa con S/ 5400
y S/ 6300, respectivamente. Luego de 3 meses 
Claudia decide aumentar en S/ 900 su capital 
y luego de 4 meses más decide retirar S/ 1200. 
Si el negocio duró 10 meses y se repartió una 
ganancia de S/ 7182, descubre la utilidad que 
recibió Claudia.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
16
18
17
19
67MateMática Delta 4 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
1 Tres amigos formaron una empresa aportando 
capitales que están en la relación de 5; 8 y 9. 
Permanecieron en el negocio 7; 8 y 6 meses 
respectivamente. Si el negocio duró 8 meses y 
se repartieron una ganancia de S/ 16 065, calcula 
cuánto recibió el socio que estuvo mayor tiempo.
 A S/ 6580 B S/ 6780 C S/ 6720
 D S/ 6540 E S/ 6640
2 Carmen, Óscar y Marcos forman una empresa 
aportando S/ 2000, S/ 4500 y S/ 5000; y se quedaron 
en el negocio 2; 4 y 3 años, respectivamente. Si la 
diferencia entre las ganancias de Óscar y Carmen 
es S/ 2800, halla cuánto se ganó en total.
 A S/ 7000 B S/ 7200 C S/ 7400
 D S/ 7600 E S/ 7800
3 Cuatro socios reúnen S/ 20 000. El primero pone 
S/ 4000; el segundo, las 3
4
 de lo que aportó el 
primero; el tercero, las 53 de lo que aportó el 
segundo; y el cuarto, lo restante. Si permanecen en 
el negocio 18; 16; 14 y 12 meses respectivamente y 
se obtuvo una ganancia de S/ 28 600, determina la 
ganancia del socio que estuvo menor tiempo.
 A S/ 9200 B S/ 9600 C S/ 8800
 D S/ 8400 E S/ 9000
4 Tres socios aportan para un negocio S/ 5000, 
S/ 7000 y S/ 10 000, respectivamente. Luego 
de un año, al repartir la utilidad, al primer socio 
le correspondió S/ 500 menos que al segundo. 
Encuentra a cuánto ascendía la utilidad.
 A S/ 5720 B S/ 5280 C S/ 6160
 D S/ 6380 E S/ 5500
5 Cuatro socios reúnen S/ 2000, de los cuales el 
primero pone S/ 400, el segundo los 34 de lo que 
puso el primero, el tercero los 53 de lo que puso el 
segundo, y el cuarto lo restante. Si administraron 
un negocio durante 4 años y se debe repartir 
una ganancia de S/ 15 000, descubre cuánto le 
corresponde al cuarto socio.
 A S/ 5600 B S/ 6000 C S/ 6400
 D S/ 6800 E S/ 6200
6 Tres personas forman una sociedad aportando 
cada uno de ellos S/ 3000, S/ 4000 y S/ 5000 
de capital, respectivamente. El primero de ellos 
permaneció un año, el segundo 8 meses y el tercero 
un semestre. Si al finalizar la sociedad se obtuvo 
una ganancia de S/ 7350, calcula con cuánto se 
retiró el que dejó su capital durante mayor tiempo.
 A S/ 2580 B S/ 2780 C S/ 2700
 D S/ 2540 E S/ 2640
68
7 Dos socios reunieron un capital de S/ 10 000 
para hacer un negocio. El primero dejó su capital 
durante 3 meses y el otro, durante 2 meses. 
Halla la suma de las cifras de la diferencia de los 
capitales aportados, sabiendo que las ganancias 
fueron iguales.
 A 2 B 3 C 4
 D 5 E 6
8 Tres personas forman una sociedad aportando 
cada uno de ellos igual capital. El primero de 
ellos permaneció en el negocio durante un año, el 
segundo durante 8 meses y el tercero durante un 
semestre. Si se obtuvo un beneficio de S/ 1950, 
determina cuánto ganó el que dejó su capital 
durante mayor tiempo.
 A S/ 920 B S/ 960 C S/ 880
 D S/ 900 E S/ 860
9 Marina inicia un negocio con S/ 600. Seis meses 
después se asocia con Fernando, quien aporta 
S/ 480 a la sociedad. Si después de 18 meses de 
asociados, se disuelve la empresa y se reparten 
una ganancia de S/ 3680, encuentra con cuánto 
se retira Marina.
 A S/ 2800 B S/ 2500 C S/ 2300
 D S/ 2400 E S/ 2700
10 Luis y Carlos inician un negocio aportando S/ 1500 
y S/ 900, respectivamente; luego de 2 meses, Luis 
retira S/ 900 de su capital. Si al liquidar el negocio 
los beneficios de ambos fueron iguales, descubre 
cuánto tiempo, en meses, duró el negocio.
 A 5 B 6 C 8
 D 9 E 7
11 Dos individuos emprenden un negocio que duró 
un año. El primero empieza con S/ 500 y 7 meses 
después añade S/ 200; el segundo empieza con 
S/ 600 y 3 meses después añade S/ 300. Calcula 
cuánto le corresponde al segundo socio, si el 
beneficio es S/ 3380.
 A S/ 1890 B S/ 1960 C S/ 1980
 D S/ 1790 E S/ 1920
12 Dos socios emprendieron un negocio que 
duró 2 años. El primero aportó al principio 
S/ 1500 y al año y medio retiró S/ 500; el segundo 
empezó con S/ 2000 y a los 8 meses retiró 
S/ 500. Si el negocio reportó una pérdida de 
S/ 5110, halla la diferencia entre lo que pierde 
cada uno.
 A S/ 480 B S/ 420 C S/ 450
 D S/ 430 E S/ 490
69MateMática Delta 4 - aritMética
14 Un señor inicia una empresa con un capital de 
S/ 6000. Para conseguir más capital, se asocia 
con tres personas en distintas fechas, quienes 
aportaron: S/ 6400, S/ 7500 y S/ 7200. Después 
de dos años, se separan y cada uno recibe la 
misma parte de las utilidades. Encuentra cuánto 
tiempo estuvo en la empresa el socio que aportó 
el mayor capital.
 A 19 meses 6 días B 20 meses
 C 22 meses 15 días D 18 meses 10 días
 E 20 meses 8 días
15 Tres socios emprendieron un negocio. El primero 
aportó S/ 1500 de capital, el segundo S/ 1800 y el 
tercero S/ 1600. Si el negocio se liquidó luego de tres 
años y la diferencia entre las ganancias obtenidaspor el socio mayoritario con el socio minoritario es 
S/ 810, determina el valor de la ganancia total.
 A 13 060 B 13 230 C 12 450
 D 12 890 E 12 520
16 Cuatro socios reúnen S/ 30 000 de capital: el primero 
aporta S/ 8000; el segundo S/ 6000, el tercero 
S/ 7000 y el cuarto lo restante. Si permanecieron en 
el negocio 12; 8; 9 y 10 meses respectivamente, y 
se debe repartir una ganancia de S/ 21 186, calcula 
cuánto gana el socio que aportó el menor capital.
 A S/ 1950 B S/ 3424 C S/ 1920
 D S/ 2420 E S/ 2800
17 Cuatro socios reúnen S/ N de capital: el primero 
invierte S/ 5000, el segundo S/ 4000, el tercero 
S/ 6000 y el cuarto lo restante. Si permanecieron 
en el negocio 8; 4; 6 y 12 meses respectivamente y 
la suma de las ganancias que obtuvieron el primer 
y tercer socio es igual a la suma de las ganancias 
de los otros, halla cuánto aportó el último socio.
 A S/ 5400 B S/ 5200 C S/ 4800
 D S/ 5100 E S/ 5000
18 Dos socios emprendieron un negocio que ha 
durado 3 años. El primero aporta al principio 
S/ 4500 y al año y 8 meses retira S/ 500; 
el segundo empezó con S/ 3000 y a los 15 meses 
retiró S/ 500. Si la diferencia de las ganancias 
obtenidas es S/ 4068, determina el valor de la 
ganancia obtenida por el primer socio.
 A 11 224 B 11 120 C 11 108
 E 11 088 E 11 064
13 Para administrar un negocio por 2 años se 
asociaron A, B y C. Se sabe que A empezó con 
S/ 600 y a los 8 meses aumentó su capital en un 
25 %; B empezó con S/ 800 y a los 12 meses 
disminuyó su capital en un 25 %; C empezó 
con S/ 1000 y a los 18 meses retiró su capital. 
Si al liquidar la sociedad la utilidad fue S/ 3440, 
determina cuánto le corresponde al socio C.
 A S/ 1220 B S/ 1240 C S/ 1260
 D S/ 1280 E S/ 1200
Nivel II
70
19 Luis, César y José forman una sociedad. El capital 
de Luis es al capital de César como 1 es a 2 y 
el capital de César es al capital de José como 
3 es a 2. Luego de 5 meses de haber iniciado, 
Luis se retiró del negocio; 3 meses después, 
César también se retiró y 4 meses después José 
liquidó el negocio repartiendo las utilidades. Si 
Luis hubiese permanecido en el negocio un mes 
más, habría recibido S/ 64 más. Encuentra cuánto 
fue la utilidad total.
 A S/ 2810 B S/ 2818 C S/ 2824
 D S/ 2368 E S/ 2812
20 Juan inició un negocio; 6 meses después se 
asoció con Pedro, quien aportó los tres quintos 
del capital de Juan; 2 meses más tarde, se les 
unió Raúl, que aportó los siete octavos de lo que 
Juan y Pedro habían invertido en el negocio. Si 
después de un año de empezado el negocio, se 
obtuvo una utilidad de S/ 6890, descubre cuánto 
es la utilidad que le correspondería a Raúl.
 A S/ 1800 B S/ 1880 C S/ 1840
 D S/ 1820 E S/ 1840
21 Ariadna, Brisa y Cielo formaron una sociedad 
mercantil. Los capitales de Ariadna y de Brisa 
están en relación de 1 a 2, pero los de Brisa y Cielo 
están en relación de 3 a 1, respectivamente. A los 
5 meses de iniciado el negocio, Ariadna se retira; 
3 meses después, Brisa toma la misma decisión; 
y 4 meses más tarde, Cielo liquidó la sociedad 
para luego repartir las utilidades. Calcula cuánto 
fue la utilidad, si a Brisa le correspondió S/ 900 
más de ganancia que a Cielo.
23 Dos amigos forman una empresa, aportando el 
primero S/ 300 y el segundo S/ 1800. Después 
de 3 meses, aceptan un tercer socio que aportó 
un capital de S/ 4000, pero 5 meses después se 
retira la primera persona. Determina cuánto ganó 
el tercer socio si la utilidad total es S/ 6800 y la 
empresa duró 1 año.
 A S/ 2000 B S/ 4800 C S/ 4320
 D S/ 4080 E S/ 4500
22 El empresario A inició un negocio con cierto capital 
y luego de 3 meses aceptó al socio B con un capital 
de S/ 8000. Tres meses más tarde, aceptaron al 
socio C con un capital de S/ 12 000. Si el negocio 
duró 2 años y al repartir la ganancia el socio C 
obtuvo el 80 % de lo que obtuvo el socio A, halla 
cuánto capital aportó el socio A.
Nivel III
 A S/ 3248,50 B S/ 3220,50
 C S/ 3284,50 D S/ 3290,50
 E S/ 3262,50 
 A S/ 12 840 B S/ 11 250
 C S/ 12 360 D S/ 11 870
 E S/ 11 420 
71MateMática Delta 4 - aritMética
24 Cuatro personas invirtieron en un negocio y 
obtuvieron una utilidad de S/ 2400. El primero 
recibió S/ 800, el segundo S/ 600, el tercero S/ 590 
y el cuarto, que había aportado S/ 1640, recibió el 
resto de esta ganancia. Encuentra cuánto fue lo 
que aportó el tercer socio.
 A S/ 2000 B S/ 2260 C S/ 2360
 D S/ 2400 E S/ 2480
25 Cuatro amigos forman una sociedad mercantil. 
El segundo socio aportó un quinto más que el 
primero, el tercer socio aportó tres quintos más que 
el primer socio respectivamente, mientras que el 
cuarto socio aportó S/ 36 más que los tres juntos. 
Si ganaron en total S/ 585 y el último socio recibió 
S/ 300 de utilidad, descubre cuánto de capital 
aportó el primer socio.
 A S/ 150 B S/ 180 C S/ 160
 D S/ 200 E S/ 210
26 En una empresa, de tres socios, se sabe que 
cada uno aportó un capital que es el triple del 
anterior. Los tiempos de permanencia de ellos 
fueron de 6 meses 20 días el primero; 3 meses 
10 días el segundo y 1 mes 20 días el tercero. 
Calcula cuánto de utilidad le corresponde al 
segundo socio, si la utilidad total fue S/ 3800 
(1 mes equivale a 30 días).
 A S/ 800 B S/ 1000 C S/ 1200
 D S/ 1600 E S/ 1800
27 Dos socios formaron una empresa aportando 
S/ 4000 y S/ 7000, respectivamente. El primero, al 
cabo de 5 meses, retiró S/ 1000; un mes después, 
el segundo retiró S/ 2000 y 4 meses después de 
esto, el primer socio volvió a retirar S/ 1000. Si la 
empresa duró un año y se obtuvo una utilidad de 
S/ 2220, halla la diferencia entre las ganancias de 
ambos socios.
 A S/ 737 B S/ 693 C S/ 660
 D S/ 649 E S/ 640
28 Juan inició un negocio con un capital de S/ 1200 
y a los 2 meses se asoció con Rebeca, quien 
aportó S/ 1500 de capital. Tres meses después, 
Juan incrementó su capital en S/ 300 y Rebeca 
incrementó su capital en un 20 %, faltando n meses 
para que se termine la sociedad. Si el negocio tuvo 
una duración de un año y al final ambos obtuvieron 
las mismas utilidades, determina el valor de n.
 A 4 B 6 C 8
 D 5 E 3
29 Dos personas se asociaron por un período de 
16 meses. La primera, a los 4 meses de iniciado 
el negocio, retira la tercera parte de su capital y 
3 meses más tarde aumenta este último capital en 
1,5 veces; la segunda, a los 6 meses de iniciar el 
negocio disminuye su capital en su quinta parte. 
Si al final los beneficios están en la relación de 
9 a 10 respectivamente, encuentra en qué relación 
estaban sus capitales iniciales.
 A 3 a 4 B 5 a 6 C 3 a 5
 D 3 a 7 E 2 a 3
5k – 12
4k – 12
72
72
Tema 5
Porcentajes
El porcentaje es una razón, donde el consecuente representa una cantidad dividida 
en cien partes iguales, mientras que el antecedente es el número de partes que se 
tomarán de esas cien. También se denomina comúnmente tanto por ciento, donde por 
ciento	significa	«de	cada	cien	unidades».
El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al 
factor 0,01 o 1
100
 y	que	debe	multiplicar	al	número	que	se	refiere.
Ejemplos:
•	 20 por ciento = 20 % = 20 × 
1
100
=
20
100
= 0,20
•	 35 por ciento = 35 % = 
35
100
= 0,35
•	 6,4 por ciento = 6,4 % = 
6,4
100
= 0,064
Porcentaje de una cantidad
Se calcula usando una proporción; este valor desconocido se obtiene conociendo los 
otros tres términos de la proporción.
En general, si deseamos calcular el a % de una cantidad N, la proporción indica que 
debemos realizar lo siguiente:
Símbolo del 
porcentaje
Muchos creen que 
el símbolo % ha 
evolucionado a partir 
de la expresión 
matemática 
x
100
. Sin 
embargo, la historia 
más aceptada es que 
sobrevino de una 
deformación de la 
palabra Percentum.
Símbolo en el siglo XV
cento
%
- o
Símbolo en el siglo XVII
Símbolo en el siglo XVIII
Un porcentaje 
también se puede 
escribir como un 
decimal o una 
fracción.
Por ejemplo:
La mitad se puede 
escribir...
Comoporcentaje: 50 %
Como decimal: 0,50
Como fracción: 1
2
Consideraciones
Toda cantidad representa el 100 % de sí misma
Cualquiera sea la cantidad que se analice, esta siempre va a representar el 100 % de 
sí misma.
N = 100 % (N)
Ejemplo 1
Supongamos que de los alumnos de un salón el 20 % sale desaprobado, entonces 
podemos afirmar que el 80 % salió aprobado.
Lo anterior es cierto, pues si llamamos N al total de alumnos, entonces para calcular el 
porcentaje de aprobados realizamos: 
Ejemplo 2
Asumamos que en un negocio rentable, luego de un año de operaciones, se ganó el 
15 % de la inversión; entonces, ahora se tendrá el 115 % de la inversión inicial.
Lo anterior es correcto, pues si llamamos N al total de la inversión inicial, entonces para 
calcular el porcentaje de dinero que se dispone ahora haremos:
100 % (N)
N – 20 % (N) = 80 % (N)
100 % (N)
N + 15 % (N) = 115 % (N)
x
N
=
a %
100 %
⇒ x =
a
100
. N
73
73MateMática Delta 4 - aritMética
El porcentaje efectivo (porcentaje de otro porcentaje)
El porcentaje efectivo indica el porcentaje real, luego de calcular el porcentaje de 
otro porcentaje.
a % (b %) = 
a × b
100 %
Ejemplo 1
Supongamos que una compañía asigna el 30 % del presupuesto para un área. 
Además en esta área se destina el 25 % para el pago de sueldos y salarios. 
Determina el porcentaje efectivo de participación de los sueldos y salarios en dicha 
compañía.
Resolución:
Para calcular el porcentaje efectivo procedemos del modo siguiente:
Llamaremos N al total presupuestado.
El presupuesto del área es el 30 % de N.
Pero para sueldos y salarios del área corresponde el 25 % del 30 % de N.
 25 % (30 % (N)) = 25 × 30
100
 % (N)
 = 7,5 % (N)
Concluimos que la compañía asignó realmente para sueldos y salarios del área un 
7,5 %; esto representa el 7,5 % de N como porcentaje efectivo.
Ejemplo 2
En un supermercado se oferta un pantalón con un descuento del 20 %, sin embargo 
para hacer más atractiva la oferta se plantea que cuando el comprador llegue 
a caja se le descontará sucesivamente un 10 %. Halla cuál será el descuento 
efectivo que se va a realizar.
Resolución:
Llamaremos N al precio del pantalón sin descuentos.
Aplicando el primer descuento del 20 % de N, al llegar a caja el precio será del 
80 % de N.
Aplicando el segundo descuento el 10 % del 80 % de N, tendremos:
 10 % (80 % de N) = 
10 × 80
100
 % (N)
 = 8 % (N)
Luego, el descuento efectivo se calcula como: 20 % de N + 8 % de N, lo cual indica 
que el descuento efectivo es del 28 % de N.
Se concluye que el supermercado oferta un descuento efectivo del 28 %, mas no 
del 30 % como suele pensarse.
El descuento efectivo suele conocerse como descuento único o equivalente y 
reemplaza a una serie de descuentos sucesivos.
Import a nt e
Aumentos sucesivos
Son aquellos aumentos 
que se efectúan uno 
a continuación del 
otro considerando 
como nuevo 100 % a 
la cantidad que se va 
formando.
Se resume en un 
aumento único (A.U.).
A.U. = a + b + a . b
100
 %
Donde: 
a, b: V.N. de los aumentos 
porcentuales
Descuentos sucesivos
Son aquellos descuentos 
que se efectúan uno 
a continuación del 
otro considerando 
como nuevo 100 % a 
la cantidad que se va 
formando.
Se resume en un 
descuento único (D.U.).
D.U. = a + b – a . b
100
 %
Donde: 
a, b: V.N. de los descuentos 
porcentuales
V.N.: valor numérico
74
Valor nutritivo 
del arroz
El almidón es 
el componente 
principal del arroz; 
se encuentra 
en un 70 - 80 % 
aproximadamente. El 
almidón es un hidrato 
de carbono presente 
en los cereales.
El contenido de 
proteínas del arroz 
ronda el 7 %, y 
contiene naturalmente 
apreciables 
cantidades de 
tiamina o vitamina 
B1,	riboflavina	o	
vitamina B2 y niacina 
o vitamina B3, así 
como fósforo y 
potasio. Sin embargo, 
en la práctica, con su 
refinamiento	y	pulido,	
se pierde hasta el 
50 % de su contenido 
en minerales y el 
85 % de las vitaminas 
del grupo B, 
quedando por tanto 
convertido en un 
alimento sobre todo 
energético.
¿Sa bía s qu e.. .? Ejercicios resueltos
Si en un país hay 500 000 enfermos de gripe, de un total de 10 millones de 
personas, y en otro hay 150 000 enfermos, de un total de 2 millones de personas, 
veamos cuál de los países tiene la más alta incidencia en gripe.
Resolución:
1
En el primer país:
En el segundo país:
Resulta más claro expresar que en el primer país hay un 5 % de personas con 
gripe y en el segundo hay un 7,5 %; así, resulta una proporción mayor en el 
segundo país.
500 000
10 000 000
 = a %
100 %
 ⇒ 500 000 . 100
10 000 000
 = a
 5 = a
150 000
2 000 000
 = 
b %
100 %
 ⇒ 
150 000 . 100
2 000 000
 = b
 7,5 = b
Rpta. El segundo país tiene más incidencia de gripe.
En un hospital de Piura, que cuenta con 1000 pacientes, se presentaron 13 casos 
de pacientes con el síndrome Guillain–Barré. Veamos el porcentaje de personas 
que padecieron este síndrome en dicho hospital.
Resolución:
2
x
N
 = a %
100 %
 ⇒ 13
1000
 = a %
100 %
 13 . 100 %
1000
 = a % ⇒ 1,3 % = a %
Rpta.
Rpta. Se vendieron 400 entradas y no se vendió el 20 % del total de entradas.
Para un concierto se pusieron a la	venta	500	entradas;	si	al	finalizar	el	período	de	
venta se vendieron el 80 % de las entradas, ¿cuántas entradas se vendieron en 
total y qué porcentaje no llegó a venderse?.
Resolución:
3
x
N
 = a %
100 %
 ⇒ x
500
 = 80 %
100 %
 x = 400
M: porcentaje que no se vendió
M = 100 % (N) – 80 % (N)
M = 20 % (N)
Deducimos que hay un 1,3 % del total de pacientes que presentan el 
síndrome Guillain–Barré.
75
75MateMática Delta 4 - aritMética
4 Si deseamos repartir S/ 2540 entre dos personas, de modo que uno de ellos 
reciba el 45 %, vamos a determinar cuánto recibirá esta persona.
Resolución:
x
N
=
a %
100 %
⇒ x
2540
=
45 %
100 %
 x =
45
100
. 2540 
El total del cual se sacará para repartir representará el 100 %, mientras que la 
parte repartida será el 45 %; por ello:
Rpta. Esta persona recibirá S/ 1143.
5 Si se sabe que 80 toneladas de un cargamento de arroz de 320 toneladas se 
dejaron en el mercado central, ¿qué porcentaje del arroz representa lo que se 
dejó en el mercado central?
Resolución:
Todo el cargamento representará el 100 %, mientras lo que se dejará en el 
mercado será el porcentaje desconocido.
Rpta. 80 representa el 25 % de 320.
 
x
N
 = a %
100 %
 ⇒ 80
320
 = a %
100 %
 ⇒ a = 
80
320
 . 100 ⇒ a = 25
6 Si en cierta función de teatro 54 personas representan el 15 % de los 
espectadores, ¿cuál es el total de espectadores que asistieron a dicha función 
teatral? 
Resolución:
x
N
 = 
a %
100 %
 ⇒ 
54
N
 = 
15 %
100 %
 ⇒ N = 360
Rpta. El total de espectadores es 360.
7 ¿Qué tanto por ciento de 225 es 54?
Resolución:
54
225
 = 
x
100 % ⇒ 
x = 
54 . 100 %
225
 x = 24 %
Rpta. 54 es el 24 % de 225.
x = 1143
76
9 Determina el doble del triple del 60 % del 40 % 
de 2000.
Resolución:
11 Miguel reparte su fortuna de la siguiente manera: 
a Mirian le da el 24 % de su fortuna, a Paola el 
20 % y a Nicole los S/ 448 restantes. ¿A quién le 
tocó más dinero y cuánto recibió?
Resolución:
T : cantidad total a repartir 
Repartición de la fortuna:
•	 Mirian:
 M = 24 % (T)
•	 Paola:
 P = 20 % (T)
•	 Nicole (S/ 448):
 N = 100 % (T) – (24 % (T) + 20 % (T))
 N = 56 % (T)
Entonces: N > M > P
Nicole recibió más dinero porque obtuvo el 56 %, 
que es equivalente a S/ 448.
N: cantidad pedida
Usamos la propiedad del porcentaje efectivo:
a % (b %) = a × b
100
 %
En el problema:
N = 2 . 3 . 60 % (40 % (2000))
 = 2 . 3 . 60 × 40
100
 % (2000)
 = 2 . 3 . 2400 . 2000
100 . 100
 = 2 . 3 . 24 . 20
 = 2880
8 Janet recibe como pago el 15 % de S/ 400 más el 
10 % de S/ 150, más el 40 % de S/ 250. ¿Cuánto 
dinero recibió en total?
Resolución:
M: dinero total que recibe Janet
M1, M2, M3: montos que recibe Janet
Hallamos el total dedinero recibido.
M = M1 + M2 + M3
 = 15100
 . 400 + 10
100
 . 150 + 40
100
 . 250
 = 60 + 15 + 100
 = 175
Rpta. Recibió en total S/ 175.
Rpta. La cantidad sería 2880 Rpta. Nicole, S/ 448.
10 En	una	 finca	 hay	 480	 hectáreas.	El	 35	%	de	 la	
mitad está sembrada de arroz y el resto de 
algodón. ¿Cuántas hectáreas están sembradas 
con algodón?
Resolución:
P1: parte sembrada con arroz 
P2: parte sembrada con algodón
Parte	de	la	finca	sembrada de arroz:
P1 = 
7
20
35
100
 . 1
2
 . 
240
480
P1 = 
7
2
 . 24 = 84 hectáreas
Hallando la parte sembrada de algodón:
P2 = 480 – 84
P2 = 396 hectáreas
Rpta. Hay 396 ha sembradas con algodón.
1
77MateMática Delta 4 - aritMética
14 Calcula la suma de la raíz cuadrada del 50 % de 
288 y la raíz cúbica del 30 % de 90.
Resolución:
E = suma pedida
E = A + B3 (1)
•	 A = 50 % (288)
 A = 50
100
 . 288 = 144
•	 B = 30 % (90)
 B = 30
100
 . 90 = 27
Reemplazamos en (1):
E = 144 + 273
E = 15
Ac1 = π . 102 = 100π
Ac2 = π . 10 + 
10
100
 . 10
2
 = π . 112 = 121π
Entonces:
100π .............. 100 % 
121π .............. x
Finalmente, observamos que aumenta en:
121 % – 100 % = 21 %
15 Un burro está atado a una cuerda que mide 
10 m de longitud, y come todo el pasto que está a 
su alcance. Si la cuerda se desata aumentando el 
10 % de su longitud, ¿en qué porcentaje aumenta 
el área de pasto que puede comer?
Resolución:
r burro
Área de 
comida
Ac = π . r2 
12 ¿El 20 % de qué número es el 40 % del 5 % de 
600?
Resolución:
x: número buscado
Planteo del problema:
20 % x = 40 % (5 % (600)) (1)
Desarrollando:
40 % (5 % (600)) = 40
100
 . 5
100
 . 600
40 % (5 % (600)) = 12
Reemplazamos en (1):
20 % (x) = 12
 x = 12 . 100
20
 x = 60
Rpta. El número es 60.
13 Si el 30 % de A es igual a 36 y el 25 % de B es 
igual a 45, halla el 10 % de (A + B).
Resolución:
Hallando A y B.
•	 30
100
 . A = 36 ⇒ A = 
1
36 . 100
30
 12
3
 = 120
•	 25
100
 . B = 45 ⇒ B = 
45 . 100
25
 4
1
 = 180
Entonces:
A + B = 120 + 180 = 300
Finalmente:
10 % (A + B) = 
10
100
 . 300 
Rpta. El 10 % de 300 es 30.
Rpta. La suma requerida es 15.
Rpta. El área aumenta en 21 %.
= 30
x = 12 100 %100 = 121 %
78
16
17
18Si tuviera 30 % más de la edad que tengo, tendría 
65 años. ¿Cuál es mi edad?
Resolución:
Encuentra la suma del 5 % del 10 % de 700 más 
el 3 % del 10 % de 900.
Resolución:
¿Qué tanto por ciento menos es 40 respecto de 
50?
Resolución:
A: porcentaje que representa 40 de 50
M: porcentaje pedido
 M = 100 % – A (1)
Hallamos A:
 40
50
 = A100 %
 40 . 100 %50 = A
 80 % = A
Reemplazamos en (1):
M = 100 % – 80 %
M = 20 %
19 En la UNMSM se han realizado las elecciones para 
el tercio estudiantil. El 48 % de los sufragantes 
eran mujeres y el 25 % de ellas votaron por la 
lista A que además obtuvo los votos del 50 % de 
los hombres. Descubre qué porcentaje de los 
sufragantes votaron por la lista A.
Resolución:
Total: 100 %
 De ellas:
 25 % (48 %) = 12 %
 Votaron por lista A
 De ellos:
 50 % (52 %) = 26 %
 Votaron por Lista A
Finalmente, los que votaron por lista A, fueron:
12 % + 26 % = 38 %
E: suma pedida
E = A + B (1)
• A = 5 % (10 % (700))
 = 5
100
 . 10
100
 . 700
 = 3,5
• B = 3 % (10 % (900))
 = 3100 
. 10100 
. 900
 = 2,7
Reemplazando en (1):
E = 3,5 + 2,7
E = 6,2
x : edad que tengo en años
Planteo del problema:
 x + 30 % (x) = 65
100 % x + 30 % (x) = 65
 130 % (x) = 65
 x = 65 . 100
130
 x = 50
Rpta. Mi edad es 50 años.
Rpta. La suma pedida es 6,2.
Rpta. 40 es un 20 % menos de 50.
Rpta. El 38 % del total, votaron por la lista A.
Mujeres
(48 %)
Hombres
(52 %)
79MateMática Delta 4 - aritMética
20
21
22
23
En un instituto, el número de estudiantes mujeres 
es el 60 % del total. Si hay 140 varones, determina 
el número de estudiantes.
Resolución:
Si el ancho de un rectángulo disminuye en 40 % 
y el largo aumenta en 30 %, ¿en qué porcentaje 
varía el área?
Resolución:
Gasté el 30 % de lo que no gasté. Si el 20 % 
de lo que gasté es S/ 72, ¿cuánto dinero tenía 
inicialmente?
Resolución:
El 60 % del número de varones es igual al 40 % 
del número de mujeres. ¿Qué tanto por ciento del 
total representa el número de mujeres?
Resolución:
T : total de estudiantes
M : estudiantes mujeres
V : estudiantes varones
Porcentajes de estudiantes:
M = 60 % (T) ⇒ V = 100 % (T) – 60 % (T)
 V = 40 % (T)
Hay 140 varones.
⇒ V = 40 % (T) = 140
 40
100
 . T = 140
 T = 140 . 100
40
 T = 350
Supongamos que las medidas del rectángulo 
inicial son:
Y en base a estas medidas, disminuimos el ancho 
y aumentamos el largo:
Finalmente:
100 % – 78 % = 22 %
Tenía = Gasté + no gasté
Dato:
20
100
 . G = 72 ⇒
Tenía:
13x = 13(120)
 = 1560
= Tenía 13x
Gasté
No gasté 10x 3x
5
G = 100 . 72
20
G = 360
3x = 360
 x = 120
Δ 1 = 10 . 20 = 200 u2 (100 %)
Δ 2 = 26 . 6 = 156 u2
10 – 4 ⇒
20 + 6
6
26
20
a10
l
El área original varía:
200 u2 .............. 100 %
156 u2 ............. x x = 
156 . 100 %
200
 = 78 %
60 % (V) = 40 % (M)
 60
100
 V = 40
100
 M
 3
5
 V = 2
5
 M
 V
M
 = 2
3
 ⇒ V = 2k ; M = 3k
 Total = 5k
Entonces:
M = 3k
5k
 . 100 % = 60 %
Rpta. El número de estudiantes es 350.
Rpta. El área varía disminuyendo en 22 %.
Rpta. Inicialmente tenía S/ 1560.
Rpta. El número de mujeres representa el 60 % 
 del total.
80
Síntesis
a % = a100
Porcentajes
Aumentos sucesivos
Se resume en un 
aumento único.
a, b: V.N. de los aumentos 
porcentuales
A.U. = a + b + a . b100 %
Porcentaje efectivo
Porcentaje de otro 
porcentaje.
a, b: V.N. de los 
porcentajes
a % (b %) = a × b100 %
Descuentos sucesivos
Se resume en un 
descuento único.
a, b: V.N. de los descuentos 
porcentuales
D.U.	=			a	+	b	−	a . b100 %
En una reunión, se observa que el 38 % son 
hombres; luego llegan 47 hombres acompañados 
de 11 mujeres y de esa manera todos están 
en pareja. Calcula cuántas mujeres habían 
inicialmente en la reunión.
Resolución:
En una reunión, se observa que el 52 % son 
hombres; luego llegan 15 hombres acompañados 
de 22 mujeres y de esa manera todos están 
en pareja. Calcula cuántos hombres habían 
inicialmente en la reunión.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Modela y resuelve 
1 2
81MateMática Delta 4 - aritMética
Un comerciante compró un costal de papas y luego 
vendió los 3
5
 ganando el 25 % y el resto ganando 
el 45 %. Halla el costo del costal de papas, si la 
ganancia total fue de S/ 825.
Resolución:
Determina una cantidad N, si se sabe que el 20 % 
del 50 % del 70 % de la cantidad buscada equivale 
a 210.
Resolución:
3
6
Rpta. 
Una ciudad está dividida en dos bandos, el 45 % 
de la población pertenece a A y el resto a B. Si el 
20 % de A se pasa a B y luego el 75 % de la nueva 
población de B se pasa a A, determina el nuevo 
tanto por ciento que representa A.
Resolución:
4
Rpta. 
Rpta. 
Halla el valor de R si el 20 % del 30 % del 10 % de 
12 000 es igual al 60 % de R.
Resolución:
5
Rpta. 
82
En una ciudad, el 68 % están contentos con la 
gestión municipal; de estos, el 35 % son militantes 
del partido político Progresando Perú que gobierna 
la ciudad. Si la diferencia entre estos militantes y los 
que no están contentos con la gestión municipal son 
1107 ciudadanos, encuentra cuántos ciudadanos 
no están contentos con la gestión municipal.
Resolución:
En una ciudad, el 72 % están contentos con la 
gestión municipal; de estos, el 25 % son militantes 
del partido político Primero Perú que gobierna 
la ciudad. Si la diferencia entre estos militantes 
y los que no están contentos con la gestión 
municipal son 1205 ciudadanos, encuentra 
cuántosciudadanos no están contentos con la 
gestión municipal.
Resolución:
En cierto momento de una fiesta, el 20 % de las 
mujeres no baila y el 60 % de los hombres están 
bailando. Si en total asistieron 350 personas, 
descubre cuántas personas estaban bailando en 
ese momento.
Resolución:
En cierto momento de una fiesta, el 55 % de las 
mujeres no baila y el 36 % de los hombres están 
bailando. Si en total asistieron 135 personas, 
descubre cuántas personas estaban bailando en 
ese momento.
Resolución:
Rpta.
7 8
9 10
Rpta. Rpta. 
Rpta. 
83MateMática Delta 4 - aritMética
11
13
12
14
Rpta. Rpta.
En el estacionamiento de un gran almacén 
hay cierta cantidad de autos, de los cuales el 
35 % son blancos, el 26 % son rojos y el resto de 
color negro. Si el 28 %, 45 % y 25 % de cada color 
respectivamente son de marca Hyundai y suman 
150 vehículos, calcula aproximadamente cuántos 
autos son de color negro.
Resolución:
Gasté el 60 % de lo que no gasté. Inicialmente tenía 
S/ 320; luego vuelvo a gastar 50 % más de lo que 
gasté al inicio. Deseo saber cuánto me quedaría si 
gasto el 16 % de lo que aún me queda.
Resolución:
Gasté el 48 % de lo que no gasté. Inicialmente 
tenía S/ 999; luego vuelvo a gastar 40 % más de 
lo que gasté al inicio. Deseo saber cuánto me 
quedaría si gasto el 25 % de lo que aún me queda.
Resolución:
En el estacionamiento de un gran almacén 
hay cierta cantidad de autos, de los cuales el 
32 % son blancos, el 28 % son rojos y el resto de 
color negro. Si el 30 %, 65 % y 26 % de cada color 
respectivamente son de marca Toyota y suman 
191 vehículos, calcula cuántos autos son de color 
negro.
Resolución:
Rpta. Rpta.
84
En una reunión, se observa que las mujeres 
representan el 65 % del total. ¿Qué porcentaje de 
los hombres se debería retirar para que las mujeres 
representen el 80 % del nuevo total? 
En una reunión, se observa que las mujeres 
representan el 36 % del total. ¿Qué porcentaje 
de los hombres se debería retirar para que las 
mujeres representen el 75 % del nuevo total?
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
En una compañía trabajan 250 personas; el 
20 % son mujeres. Halla cuántas mujeres deben 
contratarse para que el 60 % del personal sean 
mujeres.
Resolución:
En una compañía trabajan 360 personas; el 
45 % son mujeres. Halla cuántos hombres deben 
retirarse para que el 75 % del personal sean 
mujeres.
Resolución:
Rpta. Rpta.
15 16
17 18
85MateMática Delta 4 - aritMética
19
21
20
22
En 80 L de agua de mar, el 10 % es sal. Determina 
cuántos litros de agua dulce se debe añadir para 
que la concentración de sal sea de 4 %.
Resolución:
En 72 L de agua de mar, el 5 % es sal. Determina 
cuántos litros de agua dulce se debe añadir para 
que la concentración de sal sea de 3 %.
Resolución:
Rpta. Rpta.
De los estudiantes de un salón de clases, el número 
de varones es el 80 % de las mujeres; además, 
el 75 % de los varones se inscribieron para un 
paseo con el 40 % de las mujeres. Se observa que 
52 estudiantes no asistirán al paseo. Encuentra 
qué porcentaje representan las mujeres que irán de 
paseo, si más tarde 13 mujeres deciden inscribirse 
en el último minuto.
Resolución:
De los estudiantes de un salón de clases, el número 
de mujeres es el 60 % de los hombres; además, 
el 40 % de los varones se inscribieron para un 
paseo con el 80 % de las mujeres. Se observa que 
90 estudiantes no asistirán al paseo. Encuentra 
qué porcentaje representan los hombres que 
irán de paseo, si más tarde 30 hombres deciden 
inscribirse en el último minuto.
Resolución:
Rpta. Rpta.
86
Dos máquinas producen componentes similares: 
una máquina produce 4000 componentes de 
los cuales el 6 % fueron rechazados como no 
satisfactorios. La segunda máquina produce 6000 
de los cuales el 3 % fueron rechazados. Descubre 
qué porcentaje de la producción total representan 
los componentes rechazados.
Resolución:
Dos máquinas producen componentes similares, 
una máquina produce 5400 componentes de 
los cuales el 8 % fueron rechazados como no 
satisfactorios. La segunda máquina produce 2600 
de los cuales el 7 % fueron rechazados. Descubre 
qué porcentaje de la producción total representan 
los componentes rechazados.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Un futbolista que entrena pateando penales 
ya efectuó 25 penales, pero solo ha logrado 
convertir 18 goles. Si él se ha propuesto acabar 
su entrenamiento cuando tenga un 80 % de 
efectividad, ¿cuántos penales deberá patear 
adicionalmente como mínimo para poder acabar 
con su entrenamiento?
Resolución:
Un futbolista que entrena pateando penales, 
ya efectuó 30 penales, pero solo ha logrado 
convertir 24 goles. Si él se ha propuesto acabar 
su entrenamiento cuando tenga un 90 % de 
efectividad, ¿cuántos penales deberá patear 
adicionalmente como mínimo para poder acabar 
con su entrenamiento?
Resolución:
Rpta. Rpta.
23 24
25 26
87MateMática Delta 4 - aritMética
27
29
28
30
Para fabricar tizas, se necesita materia prima y 
se pierde 15 % en la fabricación. De una tiza, se 
desperdicia un 20 % al utilizarla. Si reunimos los 
desperdicios de utilizar 800 tizas y las empleamos 
como materia prima, calcula cuántas tizas 
podríamos hacer.
Resolución:
Para fabricar tizas, se necesita materia prima y 
se pierde 8 % en la fabricación. De una tiza, se 
desperdicia un 25 % al utilizarla. Si reunimos los 
desperdicios de utilizar 900 tizas y las empleamos 
como materia prima, calcula cuántas tizas 
podríamos hacer.
Resolución:
Rpta. Rpta.
Un mecánico va a una tienda a consultar por el 
precio de un repuesto y le ofrecen un descuento 
del 20 %; luego va hacia otra tienda preguntando 
por lo mismo y consigue un descuento del 25 %; 
así evitó gastar S/ 35. Halla el precio del repuesto 
sin descuento, considerando que este es igual en 
ambas tiendas.
Resolución:
Un electricista va a una tienda a consultar por el 
precio de un repuesto y le ofrecen un descuento 
del 18 %; luego va hacia otra tienda preguntando 
por lo mismo y consigue un descuento del 24 %; 
así evitó gastar S/ 39. Halla el precio del repuesto 
sin descuento, considerando que este es igual en 
ambas tiendas.
Resolución:
Rpta.Rpta.
88
A una fiesta costumbrista asistieron cierta cantidad 
de espectadores, observándose que el número de 
las mujeres asistentes constituyen el 60 % de los 
presentes. Si luego llegan 75 parejas del elenco 
de danzas y así se calcula que el número de 
hombres representa ahora el 45 %, determina qué 
porcentaje de las mujeres son las que conforman 
el elenco de danzas.
Resolución:
A una fiesta costumbrista asistieron cierta cantidad 
de espectadores, observándose que el número 
de las mujeres asistentes constituyen el 52 % 
de los presentes. Si luego llegan las 25 parejas 
del elenco de danzas y así se calcula que el 
número de hombres representa ahora el 48,4 %, 
determina qué porcentaje de los hombres son los 
que conforman el elenco de danzas.
Resolución:
Rpta. Rpta.
En una aula en la que el 40 % son hombres, se 
realizan elecciones para elegir el tesorero siendo 
los candidatos Alberto y Carlos. Finalmente, Alberto 
obtuvo el 30 % de los votos de los hombres y el 
80 % de los votos de las mujeres, derrotando a 
Carlos por 10 votos. Encuentra cuántos alumnos 
habían en el aula (considera que todos votaron).
Resolución:
En una aula en la que el 32 % son hombres, se 
realizan elecciones para elegir el presidente 
siendo los candidatos Alex y Wilson. Finalmente, 
Alex obtuvo el 45 % de los votos de los hombres y 
el 75 % de los votos de las mujeres derrotando a 
Wilson por 231 votos. Encuentra cuántos alumnos 
habían en el aula (considera que todos votaron).
Resolución:
Rpta. Rpta.
31 32
33 34
89MateMática Delta 4 - aritMética
En una reunión, se observa que los hombres 
representan el 40 % de los asistentes. Luego 
ingresan 70 hombres y se retiran 30 mujeres, con 
lo cual el número de hombres representa ahora el 
60 % del nuevo total. ¿Cuántas mujeres habían en 
la reunión inicialmente?
Resolución:En una reunión, se observa que los hombres 
representan el 56 % de los asistentes. Luego 
ingresan 32 hombres y se retiran 40 mujeres, con 
lo cual el número de hombres representa ahora el 
75 % del nuevo total. ¿Cuántos hombres habían 
en la reunión inicialmente?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Una fábrica acostumbra lavar las telas que compra 
para luego confeccionarlas; además, saben que la 
tela al lavarse se encoge el 20 % de su ancho y 
25 % en el largo. Si compran la tela que tiene 6 m 
de ancho y necesitan 144 m2 de tela después de 
ser lavada, ¿cuántos metros de largo debe medir 
la tela?
Una fábrica acostumbra lavar las telas que compra 
para luego confeccionarlas; además, saben que 
la tela al lavarse se encoge el 30 % de su ancho 
y 20 % en el largo. Si compran la tela que tiene 
8 m de ancho y necesitan 112 m2 de tela después 
de ser lavada, ¿cuántos metros de largo deben 
comprarse?
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
35 36
37 38
90
Según una encuesta realizada en el distrito de 
Comas, se observa que el 45 % de la población 
fuma y el 40 % bebe. Si el 36 % de los que fuman 
también bebe y los que solo beben son 29 631, 
¿cuántas personas solo fuman?
Resolución:
Según una encuesta realizada en el distrito de Ate, 
se observa que el 36 % de la población fuma y el 
45 % bebe. Si el 55 % de los que fuman también 
bebe y los que solo beben son 18 900, ¿cuántas 
personas solo fuman?
Resolución:
Rpta. Rpta. 
Después de una de sus batallas, un teniente 
observó que el 5 % de sus soldados había muerto, 
mientras que el 20 % de los que quedaron vivos 
estaban heridos. Si la diferencia entre los soldados 
heridos y los que murieron es 182, ¿cuántos 
soldados murieron?
Resolución:
Después de una de sus batallas, un teniente 
observó que el 15 % de sus soldados había 
muerto, mientras que el 24 % de los que quedaron 
vivos estaban heridos. Si la diferencia entre 
los soldados heridos y los que murieron es 81, 
¿cuántos soldados murieron?
Resolución:
Rpta. Rpta.
39 40
41 42
91MateMática Delta 4 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
1
2
José gastó el 25 % de su dinero en comprar 
ropa, luego gastó el 40 % del resto en víveres y 
finalmente gastó los S/ 153 restantes en un regalo 
para su novia. ¿Cuánto gastó en víveres?
 A S/ 112 B S/ 110 C S/ 108 
 D S/ 102 E S/ 120
El ingreso total de una pareja de esposos asciende 
a S/ 3375 al mes. Si él gasta el 70 % de su sueldo 
y ella el 62,5 % del suyo, entonces podrían ahorrar 
ambos la misma cantidad. Determina quién gana 
más y halla el monto de la diferencia.
3 En una granja, el 20 % del número de gallinas 
es igual al 30 % del número de pavos. Si se 
vendieron 150 gallinas, entonces el número de 
pavos representa ahora el 60 % del número de 
aves. Halla el número de pavos.
 A 150 B 140 C 180 
 D 175 E 160
4 Una fábrica elaboró 2500 productos; el 60 % de 
ellos fueron fabricados por la máquina A y el resto 
por la máquina B. Si se sabe que el 5 % de lo 
fabricado por A son defectuosos mientras que el 
4 % de lo fabricado por B también son defectuosos, 
¿cuántos productos defectuosos se fabricaron?
 A 120 B 116 C 112 
 D 115 E 110
6 Pedro gastó el 40 % de su dinero en comprar ropa, 
luego, el 25 % del resto en víveres y finalmente 
gastó los S/ 117 restantes en un regalo para su 
novia. ¿Cuánto gastó en víveres?
 A S/ 32 B S/ 36 C S/ 42
 D S/ 40 E S/ 39
5 Una inmobiliaria vendió el 15 % de un terreno, 
luego el 20 % del resto del terreno. Si luego quedó 
todavía 3400 m2, calcula el área original del terreno.
 A 4800 m2 B 5000 m2 C 5200 m2
 D 5400 m2 E 4600 m2 A Ella, S/ 375 B Él, S/ 360 
 C Ella, S/ 360 D Él, S/ 375
 E Él, S/ 380 
92
 A 60 % B 64 % C 70 %
 D 68 % E 72 %
En una reunión de 500 personas, el 80 % de los 
asistentes son mujeres. Si se retira la mitad de 
las mujeres y el número de hombres aumenta en 
su doble, descubre qué porcentaje representan 
ahora los hombres.
8
 A 3200 B 3600 C 3500 
 E 3400 E 3300
En una reunión, el 68 % de los asistentes son 
mujeres; además, el 4 % del número de hombres 
asistentes llevan corbata. Encuentra cuántas 
mujeres asistieron, si hay 64 hombres con corbata.
7
 A S/ 200 B S/ 190 C S/ 180 
 D S/ 240 E S/ 220
Un vendedor hace un descuento de 10 % por 
un televisor de 42" sobre el precio de lista a un 
cliente; este se acerca luego al gerente y consigue 
un descuento de 10 % sobre lo facturado por el 
vendedor. Si finalmente el cliente va a la caja y paga 
S/ 1620, determina cuánto le descontó el gerente.
10
Pedro tiene una casa que vale S/ 100 000 y se la 
vende a Juan con una ganancia del 10 %. Juan 
revende la casa a Pedro, perdiendo el 10 %. 
Calcula si Pedro gana o pierde y cuánto.
12
 A S/ 1200 B S/ 1100 C S/ 1000 
 D S/ 1400 E S/ 1300 
Juan compra un reloj a un cierto precio, luego se lo 
vende a Miguel ganando el 20 % de lo que le costó; 
después Miguel se lo vendió a María perdiendo el 
30 % de lo que pagó. Si María lo vendió a Luis a 
S/ 924, ganando el 10 % de lo que le costó, halla 
cuánto pagó Juan inicialmente por el reloj.
11
 A 45 B 50 C 64 
 D 60 E 54
En la compañía ABC, donde trabajan 420 personas, 
el 80 % son hombres. Si es política de la compañía 
que el 30 % de los trabajadores sean mujeres, 
¿cuántas mujeres deben contratarse adicionalmente 
para cumplirlo requerido?
9
 A Gana S/ 11 000 B Pierde S/ 11 000
 C Gana S/ 1000 D Pierde S/ 1000
 E Gana S/ 10 000 
Nivel II
93MateMática Delta 4 - aritMética
 A 25 B 60 C 40 
 D 58 E 50
Un tenista decide retirarse cuando tenga un 
90 % de triunfos. Si hasta el momento ha jugado 
100 veces y ha obtenido 85 triunfos, ¿cuántos 
partidos como mínimo debe jugar adicionalmente 
para poder retirarse?
13
 A 18 B 25 C 24 
 D 30 E 20
Jorge es un boxeador que ha decidido retirarse 
cuando tenga un 95 % de triunfos en su carrera. 
Si ya ha realizado 100 peleas de las cuales 94 son 
victorias, ¿cuántas peleas como mínimo debería 
realizar adicionalmente para poder retirarse?
16
 A S/ 80,25 B S/ 81,25
 C S/ 70,75 D S/ 60,75
 E S/ 90,50
Tres personas almuerzan juntas en un restaurante. 
Se sabe que la primera persona pagó 1
5
 del total 
de consumo y lo que pagó la tercera es el 35 % de 
lo que pagó la segunda. Si la tercera pagó S/ 63 
por lo que comió, ¿cuántos soles tuvo que pagar 
la primera persona?
14
 A S/ 51 B S/ 70 C S/ 90
 D S/ 39 E S/ 63
Alejandro, María y Juan almuerzan juntos en un 
restaurante. Alejandro consume el 20 % de lo 
que consumieron los tres juntos y Juan consume 
el 70 % de lo que consumió María. Si Juan pagó 
S/ 84 por lo que comió, ¿cuánto pagó Alejandro 
por lo que consumió?
15
 A 1200 y 800 B 1400 y 600
 C 1250 y 750 D 1150 y 850
 E 1100 y 900
Entre los locales A y B hay almacenados un 
total de 2000 sacos de azúcar. Si del local A se 
transporta el 20 % al local B, entonces en los 
dos locales habrá el mismo número de sacos. 
¿Cuántos sacos había en cada local?
17
18 En un colegio, al inicio del año escolar, se observó 
que el 40 % de los estudiantes son mujeres. Si 
luego de medio año el número de estudiantes 
mujeres aumentó en 30 % y el de hombres 
disminuyó en 10 %, encuentra en qué porcentaje 
varía el total de alumnos.
 A 5 % B 8 % C 9 %
 D 7 % E 6 %
94
19 Si al aumentar el precio de la entrada a un 
espectáculo en un 20 %, la asistencia disminuyó 
en un 10 %, ¿qué sucedió con la recaudación?
 A Disminuye en un 8 %
 B Disminuye en un 4 %
 C Aumentó en un 12 %
 D Aumentó en un 4 %
 E Aumentó en un 8 %
En un estanque experimental hay dos especies de 
peces designadas como A y B, respectivamente. 
Al cabo de un año, se realizó un censo de ambas 
especies y se encontró que mientras la población 
de A se incrementó en el 20 %, la población de B 
disminuyó en el 10 % y el número de peces de 
ambas especies resultó al final igual. ¿Cuál es la 
razón entre las poblaciones iniciales de la especie 
A, con relacióna la especie B?
20
 A 5 a 6 B 3 a 4 C 4 a 5 
 D 2 a 3 E 3 a 5
Una pieza mecánica pasa por tres etapas para ser 
procesada. En la primera etapa se le añade acero, 
aumentando su peso en 20 %; en la segunda, al 
efectuar unos cortes y agujeros, se reduce su 
peso en 10 %; y en la tercera etapa, se le añade 
nuevamente acero, por lo que aumenta su peso 
en 30 %. Si al final del proceso aumentó su peso 
en 202 gramos, ¿cuántos gramos perdió en la 
segunda etapa?
21
 A 56 g B 52 g C 64 g 
 D 65 g E 60 g
22 En una fiesta durante un determinado momento 
los hombres sacaron a bailar a todas las mujeres, 
pero se quedaron sin bailar el 20 % de los 
hombres. Descubre qué porcentaje del total de 
hombres deberá retirarse ahora, para que al 
volver a la pista bailen todos los hombres y se 
queden sin bailar el 10 % de las mujeres.
 A 20 % B 24 % C 28 % 
 D 30 % E 25 %
Si de un recipiente de aceite totalmente lleno 
saco el 40 % de lo que no saco y de lo que saco 
devuelvo el 40 % de lo que no devuelvo, resulta 
que ahora hay 780 L en el recipiente. ¿Cuántos 
litros no devolví?
23
 A 250 L B 210 L C 220 L
 D 200 L E 280 L
Dos máquinas cuyos rendimientos están en la 
relación de 15 a 11 elaboran el 19,5 % de la 
producción total de la fábrica. Debido a desperfectos, 
la primera máquina redujo su rendimiento en 20 % y 
la otra en 10 %; por ello, la producción de la fábrica 
bajó a 3877 artículos diarios. Determinar cuántos 
artículos producían ambas máquinas antes de que 
se presenten los desperfectos.
24
 A 780 B 784 C 760
 D 792 E 720
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
95MateMática Delta 4 - aritMética
Test n.° 2
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
C D
BA
S/ 1500S/ 1200
S/ 1350S/ 1400
Dos socios reunieron S/ 6000 para hacer un negocio. 
El primero dejó su capital durante 3 meses y el otro 
durante 2 meses. Si las ganancias fueron iguales, 
calcula la diferencia de los capitales aportados.
1
C D
BA
8 meses7 meses
12 meses18 meses
Alberto inicia un negocio con S/ 500 de capital. 
Tres meses después se asocia con Bruno, 
quien aporta S/ 800. Si al liquidar el negocio las 
ganancias de ambos fueron iguales, halla cuántos 
meses duró el negocio.
2
C D
BA
S/ 2600S/ 2000
S/ 2500S/ 2200
Tres socios aportan para un negocio S/ 250;
S/ 350 y S/ 500, respectivamente. Luego de un año 
al repartir la utilidad, al primer socio le correspondió 
S/ 200 menos que al segundo. Determinar la 
utilidad del negocio.
3
Manuel inició un negocio con S/ 400. Seis meses 
después se asocia con Nancy, quien aporta 
S/ 250. Si después de 15 meses de asociados se 
disuelve la empresa y se reparten una ganancia 
de S/ 440, encuentra la ganancia de Manuel.
4
C D
BA
S/ 350S/ 320
S/ 310S/ 300
Tres amigos formaron una empresa aportando 
capitales que están en la relación de 3; 5 y 6. 
Permanecieron en el negocio 4; 3 y 2 meses, 
respectivamente. Si se repartieron una ganancia 
de S/ 4810, descubre cuánto recibió el socio que 
estuvo menos tiempo en el negocio.
5
C D
BA
S/ 1450S/ 1380
S/ 1500S/ 1480
Tres amigos formaron una empresa aportando 
S/ 250, S/ 300 y S/ 400, y se quedaron en el 
negocio 6, 4 y 3 meses, respectivamente. Si la 
ganancia obtenida es S/ 1300, calcula la ganancia 
del socio que estuvo más tiempo en la empresa.
6
C D
BA
S/ 600S/ 550
S/ 500S/ 650
96
11
En una reunión, el 60 % de los asistentes son 
mujeres. Si se retira la tercera parte de las 
mujeres y la cantidad de hombres se triplica, 
encuentra qué porcentaje representan finalmente 
las mujeres.
12Un padre reparte su dinero de la siguiente manera: 
a Óscar le da el 20 %, a César le entrega S/ 300 
y a Fernando le entrega el dinero restante. Si la 
diferencia entre lo que recibió Fernando y Óscar 
es S/ 900, determina el dinero repartido.
9
Si de 20 000 se extrae el 25 % del 40 % del 
50 %, ¿cuánto queda?
Si tuviera 30 % más de la edad que tengo, tendría 
39 años. ¿Cuál es mi edad?
8
C D
BA
2 100 000210 000
2 200 0002 000 000
C D
BA
4542
4446
C D
BA
18 00020 000
17 00019 000
C D
BA
2830
4234
¿De qué número es 126, es el 0,006 %?7 En un examen de admisión a cierta universidad 
se sabe que la cantidad de preguntas de 
razonamiento verbal y matemático es 80. 
Si el 45 % de las preguntas corresponden a 
razonamiento verbal, ¿cuántas preguntas de 
razonamiento matemático?
10
C D
BA
32 %37 %
25 %23 %
C D
BA
S/ 2 500S/ 2 200
S/ 2000S/ 3 200
Tema
97MateMática Delta 4 - aritMética
6
Precio
Es el valor monetario 
que se le asigna 
a cada unidad de 
producto o servicio 
en el mercado. 
Todos los productos 
o servicios que 
se ofrecen en el 
mercado tienen 
un precio, que es 
el dinero que el 
comprador o cliente 
debe abonar para 
poseerlo.
Las materias primas, 
la mano de obra, la 
inversión tecnológica 
y la competencia 
en el mercado son 
algunos de los 
factores que inciden 
en la formación del 
precio.
Es importante tener 
en cuenta que el 
precio también 
incluye valores 
intangibles como la 
marca. Una camisa 
fabricada con 
idénticos materiales 
puede tener precios 
muy diferentes de 
acuerdo a la marca, 
ya que el consumidor 
adquiere con ella 
diversos valores 
simbólicos.
Todas las empresas establecen precios a sus productos o servicios. Se paga por 
concepto de alquiler, servicios de educación, honorarios a profesionales, pasajes, 
servicios como la luz y el teléfono, intereses por préstamos bancarios, etc.
Las empresas utilizan diversos métodos para establecer los precios de venta de sus 
productos, como observaremos en el desarrollo del tema.
La utilidad
Conceptos previos
Precio de costo (PC): Es la cantidad de dinero y recursos que cuesta producir un 
producto. Generalmente es la inversión de compra por producto de un comerciante. 
Precio de venta (PV): Es el precio que se paga por la adquisición de un producto.
Ganancia (G): Es la utilidad o beneficio que se obtiene de un proceso comercial.
Pérdida (P): Es la cantidad monetaria que se deja de recibir por la venta de un producto 
a menor precio que el precio de costo.
Utilidad
Es el interés o beneficio que se genera, en este caso, por la venta de productos. Se 
obtiene luego de restar a los ingresos, obtenidos por la venta de los productos, todos 
los egresos generados.
Al querer vender un producto, nos preguntamos ¿cuánto se quiere de utilidad? Como 
no todo es utilidad para el vendedor, debido a que produjo o compró un bien, surge el 
término precio de costo que deberá tener en cuenta para el cálculo de sus utilidades. 
En base a ello es que se establece un precio de venta para el producto.
Como consecuencia de lo anterior, plantearemos la utilidad unitaria, necesaria para 
calcular nuestros beneficios en un proceso comercial.
Decimos:
UU = PV – PC
Se deduce: 
PV = PC + UU
Donde:
UU : utilidad unitaria
PV : precio de venta
PC : precio de costo
En conclusión, el precio de venta (PV) está compuesto por el precio de costo del 
producto (PC) más la utilidad deseada por el vendedor.
Aplicaciones comerciales
del porcentaje
Utilidad = Ingresos – Egresos
98
La utilidad unitaria también suele obtenerse como un porcentaje del precio de costo; 
este porcentaje es conocido como rentabilidad.
Utilidad = n % (precio de costo) ⇒ U = n % (PC)
Ejemplo 1
Resolución:
Se vende una camisa con una utilidad del 15 %. Si se ha vendido a S/ 80, halla el precio 
de costo.
Sabemos que:
PV = S/ 80
Utilidad = 15 % (PC)
PC = S/ x 
Como:
 PV = PC + utilidad
	 80 = x + 15 % (x)
 80 = 115 % (x)
 69,56 = x
Entonces, el precio de costo de la camisa es S/ 69,56.
En ámbitos no académicos, a la utilidad suele llamársele ganancia o beneficio (G), al 
ingreso por ventas se acostumbra denominarlo precio de venta (PV) y a la inversión 
realizada, precio de costo (PC).
PV = PC + G ∧ G = n % (PC)
Ejemplo 2
¿Cuál será el precio propuesto para vender una consola de videojuegos comprada en 
S/ 800 para ganar el 15 % al venderlo?
Ganancia = 15 % (PC)
PC = S/800
PV = S/ x
Como:
 PV = PC + ganancia
 x = 800 + 15 % (800)
 x = 115 % (800)
 x = 920
Entonces, el precio propuesto para la venta de la consola debe ser de S/ 920.
Ejemplo 3
Resolución:
Resolución:
¿Cuál será el precio propuesto para vender una réplica de arco de flecha cuyo precio de 
costo es de S/ 420 para ganar, al venderlo, el 10 % del precio de venta?
Ganancia = 10 % (PV)
PC = S/ 420
PV = S/ x
Como:
 PV = PC + ganancia
												x = 420 + 10 % (x)
90 % (x) = 420
 x = 466,67 
Entonces, el precio propuesto para la venta de la réplica debe ser de S/ 466,67.
En las ventas no 
siempre se obtendrán 
ganancias, sino 
también pérdidas.
En este caso, 
considerar:
PV = PC – P
P: pérdida
La pérdida 
generalmente es un 
porcentaje del precio 
de costo.
P = n % (PC)
99
99MateMática Delta 4 - aritMética 99
La rentabilidad
Por ejemplo, si tenemos ventas por S/ 1500 habiendo invertido S/ 1200, obtenemos una 
utilidad de S/ 300; podemos decir entonces que se obtuvo una rentabilidad del 25 %.
Rentabilidad = 3001200
× (100 %) = 25 %
Esta rentabilidad significa que la utilidad representa el 25 % de la inversión realizada. 
En términos técnicos, diremos que la inversión nos dio una rentabilidad del 25 %.
También podemos decir que la rentabilidad con respecto a las ventas se calcula como:
300
1500
	× (100 %) = 20 % en cuyo caso diremos específicamente que la rentabilidad de 
la empresa con respecto a las ventas es del 20 %.
Un negocio es rentable cuando genera mayores ingresos que egresos. La rentabilidad 
es la razón que existe entre la utilidad obtenida con la inversión realizada para obtenerla. 
Generalmente, la rentabilidad suele expresarse como un porcentaje y para hallarla 
debemos dividir la utilidad entre la inversión y al resultado multiplicarlo por el 100 % 
para expresarlo en términos porcentuales.
Los descuentos
Conceptos previos
Descuento (D)
Precio de lista (PL): También conocido como precio fijado (PF), es el precio de 
catálogo de un producto, del cual se aplicarán los descuentos respectivos, con el fin de 
determinar el precio de venta del producto.
Los precios de lista sirven como punto de referencia para calcular los precios de 
promoción de los productos y servicios.
Es una reducción o disminución en el precio de un producto; por ello, el descuento se 
presenta como un beneficio para el comprador.
Los descuentos sobre el producto se realizarán utilizando un porcentaje del precio de 
lista.
Para determinar el precio de venta de un producto, considerando el descuento, 
utilizaremos la siguiente expresión matemática:
Donde:
PV = PL – D
PV : precio de venta
PL : precio de lista
D : descuento
La rentabilidad
Es el beneficio, 
lucro, utilidad o 
ganancia que 
se ha obtenido 
de un recurso o 
dinero invertido. 
Se considera 
también como 
la remuneración 
recibida por el 
dinero invertido.
En el mundo de las 
finanzas, se conoce 
también como 
los dividendos 
percibidos de un 
capital invertido 
en un negocio 
o empresa. La 
rentabilidad puede 
ser representada 
en forma relativa 
(en porcentaje) o 
en forma absoluta 
(en valores).
Todo inversionista 
que preste dinero, 
compre acciones, 
títulos, valores, o 
decida crear su 
propio negocio 
lo hace con la 
expectativa de 
incrementar su 
capital; esto solo es 
posible mediante 
el rendimiento 
o rentabilidad 
producida por su 
valor invertido.
Rentabilidad = 
Utilidad
Inversión
× (100 %)
100
El descuento se determina, a todo nivel, como un porcentaje del precio de lista.
Descuento = n % (precio de lista)
D = n % (PL)
Ejemplo 2
Ejemplo 3
Ejemplo 1
Resolución:
Un teléfono celular tiene un cierto precio de lista. Si la vendedora me ofreció un 
descuento del 12 % y finalmente pagué S/ 110, ¿cuál es el precio de lista?
Un juego de comedor tiene un precio de lista de S/ 1380. Si me ofrecen un descuento 
del 18 %, ¿cuánto es lo que pagaré si decido comprarlo?
Un producto que tiene como precio de lista S/ 28 se le aplica, en oferta, un descuento 
del 25 %. Determina el precio de venta del producto.
Antes de calcular el precio de venta debemos hallar el descuento al producto tomando 
como referencia el precio de lista.
PL = S/ 28
D = 25 % (S/ 28) = S/ 7
Ahora hallamos el precio de venta:
 PV = PL – D
 PV = 28 – 7 = 21
Finalmente, el producto se vendería a S/ 21.
Resolución:
Descuento = 12 %
PV = S/ 110 
PL = S/ x
Como:
 PV = PL – D
		110 = x – 12 % (x)
 110 = 88 % (x)
 125 = x
Entonces, el precio de venta sin descuento es de S/ 125.
Resolución:
Descuento = 18 % (PL)
PL = S/ 1380
PV = S/ x
Como:
 PV = PL – D
	 x = 1380 – 18 % (1380)
 x = 82 % (1380)
 x = 1131,60
Entonces, el precio de venta será S/ 1131,60.
El descuento
Es la disminución 
que se le hace a un 
monto o precio. 
Por otra parte, 
descuento también 
hace referencia a la 
rebaja de una parte 
de la deuda. También 
se usa para expresar 
cuando en un banco, 
un monto o suma 
prestada es pagada 
anticipadamente a la 
fecha de vencimiento 
nominal.
De aquí proviene el 
descuento nominal, 
que es la cantidad 
que se descuenta 
o reduce al ser 
descontados los 
intereses. 
Otro uso que se le 
atribuye al descuento 
es la etapa de tiempo 
que un árbitro agrega 
o adiciona al final de 
un juego, partido o 
cualquier competición 
deportiva, para 
recuperar el tiempo 
perdido con cualquier 
situación durante el 
mismo.
101
101MateMática Delta 4 - aritMética
Precio:S/ 3,99
Resolución:
Ejemplo 4
Una empresa de venta de automóviles compra un lote de automóviles a un costo de 
S/ 13 800 por vehículo. Si la empresa desea ganar el 5,1 %, luego de conceder un 
descuento del 8 % al vender cada automóvil, ¿cuál es el precio de lista de uno de estos 
vehículos?
PL : precio de lista
PV : precio de venta
Sabemos que:
PC = S/ 13 800
Ganancia = 5,1 % (PC)
Descuento = 8 % (PL)
En el precio de venta se debe ganar sí o sí un 5,1 %, a pesar de conceder un 8 % de 
descuento.
Usando las anteriores fórmulas, planteamos:
PV = PC + G = PL – D
Reemplazando:
 PC + 5,1 % (PC) = PL – 8 % (PL)
 105,1 % (PC) = 92 % (PL)
 105,1 % (13 800) = 92 % (PL)
 15 765 = PL
Entonces, el precio de lista será de S/ 15 765.
¿Por qué los precios 
terminan en ,9 o ,99?
Estamos tan 
acostumbrados 
a ver los precios 
terminados en 
,9 o ,99 que ya no 
nos percatamos 
de ello; pero 
fijar los precios 
de esta manera 
está justificado. 
Hay estudios que 
demuestran que esta 
política de precios 
supone más ventas.
Según estos, es 
más efectivo que 
si tenemos un 
artículo de S/ 30 le 
asignemos un precio 
de S/ 29 o de S/ 29,9.
¿Por qué? El primer 
argumento es que 
leemos de izquierda a 
derecha, de manera 
que siempre un 
precio nos parecerá 
de 3 decenas y el 
otro de 2 decenas. 
Nuestra sensación 
es que el primero 
es más caro que el 
segundo.
Asimismo, cuando 
los precios son muy 
bajos, tendemos 
a despreciar los 
céntimos y quedarnos 
solo con el valor de 
un precio menor 
en la parte entera. 
También influye el 
hecho de que un 
precio que termina 
en ,99 nos parece 
una oferta, un precio 
rebajado. De esta 
manera creemos 
estar haciendo una 
buena compra.
Cu rio s id a de s
105,1 . 13 800
92 = PL
102
1 3
42
PC : precio de costo
PL : precio de lista
PV : precio de venta
Sabemos:
PC = S/ 9000
Descuento : D = 40 % (PL)
Ganancia : G = 40 % (PC)
PC : precio de costo
PL : precio de lista
PV : precio de venta
Sabemos:
PC = S/ 2000
Descuento : D = 20 % (PL)
Ganancia : G = 25 % (PC)
Del precio de venta, planteamos:
Del precio de venta, planteamos:
 PV = PC + 40 % (PC) = PL − 40 % (PL)
 140 % (PC) = 60 % (PL)
 140 % (9000) = 60 % (PL)
 = PL
 21 000 = PL
 PV = PC + 25 % (PC) = PL − 20 % (PL)
 125 % (PC) = 80 % (PL)
 125 % (2000) = 80 % (PL)
 = PL
 3125 = PL
Rpta. Se ofrecerá a S/ 21 000.
Rpta. Se ofrecerá a S/ 3125.
Luisa compró un terreno en S/ 9000. ¿A cuánto 
debe ofrecerlo, si al momento de la venta efectúa 
una rebaja del 40 % y aun así ganaría el 40 % del 
costo?
Resolución:
Verónica compró unalavadora en S/ 2000. 
¿A cuánto debe ofrecerla, si al momento de la venta 
efectúa una rebaja del 20 % y aun así ganaría el 
25 % del costo?
Resolución:
Se vendió un equipo de sonido en S/ 2640, 
ganando el 30 % del precio de costo más el 20 % 
del precio de venta. Calcula el precio de costo de 
dicho artículo.
Resolución:
Se vendió un equipo de sonido en S/ 1976, 
ganando el 17 % del precio de costo más el 
28 % del precio de venta. Halla el precio de costo 
de dicho artículo.
PV : precio de venta
PC : precio de costo
Se vendió en S/ 1976. ⇒ PV = S/ 1976
Se gana el 17 % del precio de costo más el 28 % del 
precio de venta.
G = 17 % (PC) + 28 % (PV)
Sabemos:
 PV = PC + Ganancia
 PV = PC + 17 % (PC) + 28 % (PV)
72 % (PV) = 117 % (PC)
 8(1976) = 13 (PC)
 1216 = PC
PV : precio de venta
PC : precio de costo
Se vendió en S/ 2640. ⇒ PV = S/ 2640
Se gana el 30 % del precio de costo más el 20 % del 
precio de venta.
G = 30 % (PC) + 20 % (PV)
Sabemos:
 PV = PC + Ganancia
 PV = PC + 30 % (PC) + 20 % (PV) 
 80 % (PV) = 130 % (PC)
 8(2640) = 13 (PC)
 1624,62 = PC
Rpta. El precio de costo es S/ 1624,62.
Rpta. El precio de costo es S/ 1216.
Resolución:
125 . 2000
80
140 . 9000
60
Ejercicios resueltos
103MateMática Delta 4 - aritMética
5 7
8
6
Rpta. Se anunciará un precio de S/ 300.
Rpta. Se anunciará un precio de S/ 233,3. Rpta. Se ha ganado el 5,4 %.
Se compró un artículo en S/ 180 para luego 
venderlo. Determina cuál debe ser el precio 
de lista que se debe anunciar al público, de tal 
manera que se pueda ofrecer un descuento del 
20 % y aun así se logre obtener una ganancia del 
25 % sobre el precio de venta.
Resolución:
Se compró un artículo en S/ 154 para luego 
venderlo. Encuentra cuál debe ser el precio 
de lista que se debe anunciar al público, de tal 
manera que se pueda ofrecer un descuento del 
25 % y aun así se logre obtener una ganancia del 
12 % sobre el precio de venta.
Resolución:
PL : precio de lista
PV : precio de venta
PC : precio de costo
PL : precio de lista
PV : precio de venta
PC : precio de costo
Datos.
PC = S/ 180
 Ganancia = 25 % (PV)
 Descuento = 20 % (PL)
Sabemos:
 PV = PC + Ganancia
 PV = 180 + 25 % (PV)
 75 % (PV) = 180 ⇒		PV = 240
También:
 PV = PL − Descuento
240 = PL − 20 % (PL) 
240 = 80 % (PL)
300 = PL
Datos.
PC = S/ 154
 Ganancia = 12 % (PV)
Descuento = 25 % (PL)
Sabemos:
 PV = PC + Ganancia
 PV = 154 + 12 % (PV)
 88 % (PV) = 154 ⇒		PV = 175
También:
 PV = PL − Descuento
 175 = PL − 25 % (PL) 
 175 = 75 % (PL)
233,33 = PL
Para obtener el precio de venta de un artículo, se 
aumentó su costo en un 40 %; pero al momento de 
venderse se hicieron dos descuentos sucesivos: 
uno del 12 % y el otro del 15 %. Indica qué tanto 
por ciento del costo se ha ganado.
Resolución:
Para obtener el precio de venta de un artículo, se 
aumentó su costo en un 55 %; pero al momento de 
venderse se hicieron dos descuentos sucesivos: 
uno del 20 % y el otro del 15 %. Descubre qué 
tanto por ciento del costo se ha ganado.
Resolución:
Para obtener el precio de lista se aumentó el costo.
PL = PC + 40 % (PC) = 140 % (PC)
Calculamos el descuento efectivo.
D1 = 12 % ⇒	queda: 88 %
D2 = 15 % (88 %) = 13,2 % ⇒ queda: 74,8 %
⇒ Defectivo = 25,2 %
Sabemos:
PV = PL – D
 = PL – 25,2 % (PL)
 = 74,8 % (PL)
 = 74,8 % (140 % (PC)) = 104,72 % (PC)
Ganancia:
G = PV – PC
 = 104,72 % (PC) – PC
 = 4,72 % (PC)
Para obtener el precio de lista se aumentó el costo.
PL = PC + 55 % (PC) = 155 % (PC)
Calculamos el descuento efectivo.
D1 = 20 % ⇒ queda: 80 %
D2 = 15 % (80 %) = 12 % ⇒ queda: 68 %
⇒	Defectivo = 32 %
Sabemos:
PV = PL – D
 = PL – 32 % (PL)
 = 68 % (PL)
 = 68 % (155 % (PC)) = 105,4 % (PC)
Ganancia:
G = PV – PC
 = 105,4 % (PC) – PC
 = 5,4 %
Rpta. Se ha ganado el 4,72 %.
104
Ricardo compró dos automóviles y luego los 
vendió en S/ 9100 cada uno. En la venta del 
primero ganó el 30 % y en el segundo, perdió el 
30 %. ¿Cuánto ganó o perdió en el negocio?
Resolución:
Pedro compró dos televisores y luego los vendió 
en S/ 4500 cada uno. En la venta del primero ganó 
el 25 % y en el segundo, perdió el 20 %. ¿Cuánto 
ganó o perdió en el negocio?
Resolución:
PC1, PC2 : precios de costo
P : pérdida
Tenemos dos situaciones a comparar:
• Primer automóvil
 PV = PC1 + G1 
 9100 = PC1 + 30 % (PC1) 
 9100 = 130 % (PC1)
 7000 = PC1 ⇒ G1 = 2100
• Segundo automóvil
 PV = PC2 – P 
 9100 = PC2 – 30 % (PC2)
 9100 = 70 % (PC2)
 13 000 = PC2 ⇒ P = 3900
Analizando su ganancia y su pérdida:
2100 – 3900 = –1800
PC1, PC2 : precios de costo
P : pérdida
Tenemos dos situaciones a comparar:
• Primer televisor
 PV = PC1 + G1 
 4500 = PC1 + 25 % (PC1) 
 4500 = 125 % (PC1)
 3600 = PC1 ⇒ G1 = 900
• Segundo televisor
 PV = PC2 – P 
 4500 = PC2 – 20 % (PC2) 
 4500 = 80 % (PC2)
 5625 = PC2 ⇒ P = 1125
Analizando su ganancia y su pérdida:
900 − 1125 = –225
Rpta. Perdió S/ 1800.
Rpta. Perdió S/ 225.
9
10
11
12
Después que me hicieron dos descuentos 
sucesivos del 10 % y el 15 %, pagué S/ 1224 por 
una computadora. ¿Cuál fue el precio que tenía 
antes de dichos descuentos?
Resolución:
Después de que me hicieron dos descuentos 
sucesivos del 20 % y el 25 %, pagué S/ 873 por 
una impresora. ¿Cuál fue el precio que tenía 
antes de dichos descuentos?
Resolución:
Sean:
PV : precio de venta
PL : precio de lista
Calculamos el descuento efectivo.
D1 = 10 % ⇒ queda: 90 %
D2 = 15 % (90 %) = 13,5 %
⇒ Defectivo = 10 % + 13,5 %
⇒ Defectivo = 23,5 %
Sabemos:
 PV = PL − Descuento
 1224 = PL − 23,5 % (PL)
 1224 = 76,5 % (PL)
1600 = PL
Sean:
PV : precio de venta
PL : precio de lista
Calculamos el descuento efectivo.
D1 = 20 % ⇒ queda: 80 %
D2 = 25 % (80 %) = 20 %
⇒ Defectivo = 20 % + 20 %
⇒ Defectivo = 40 %
Sabemos:
 PV = PL − Descuento
 873 = PL − 40 % (PL)
 873 = 60 % (PL)
1455 = PL
Rpta. El precio de lista fue S/ 1600.
Rpta. El precio de lista fue S/ 1455.
105MateMática Delta 4 - aritMética
Rpta. Rpta.
Ana compró un televisor en S/ 2000. ¿A cuánto 
debe ofrecerlo en su tienda, si al momento de la 
venta efectúa una rebaja del 20 % y aun así gana 
el 20 % del costo?
Resolución:
Liz compró una computadora en S/ 3000. 
¿A cuánto debe ofrecerla en su tienda, si al 
momento de la venta efectúa una rebaja del 10 % 
y aun así gana el 20 % del costo?
Resolución:
Modela y resuelve 
1 2
Síntesis
Donde:
PV : precio de venta
PC : precio de costo
G : ganancia
P : pérdida
PL : precio de lista
D : descuento
n : número
Aplicaciones Comerciales
PV = PC + G
PV = PL – D D = n % (PL) Rentabilidad
PV = PC – P
R = × 100 %UtilidadInversión
Un comerciante vendió el 40 % de su mercadería 
ganando el 20 % del costo; pero el 40 % del resto 
lo vendió perdiendo el 20 %. Si el resto de la 
mercadería la vendió ganando el 25 % de modo 
que ganó en total S/ 366. Calcula cuánto ganó en 
la primera venta.
Resolución:
Un comerciante vendió el 30 % de su mercadería 
ganando el 20 % del costo; pero el 50 % del resto 
lo vendió perdiendo el 10 %. Si el resto de la 
mercadería la vendió ganando el 8% de modo que 
ganó en total S/ 1272. Calcula cuánto ganó en la 
tercera venta.
Resolución:
Rpta. Rpta.
3 4
106
En la venta de un artículo se obtiene un beneficio 
del 20 % sobre el precio de costo. Si se hubiera 
ganado el 20 % sobre el precio de venta, se 
habría obtenido S/ 3,50 más. Halla cuál fue el 
precio de venta.
Resolución:
En la venta de un artículo se obtiene un beneficio 
del 18 % sobre el precio de costo. Si se hubiera 
ganado el 18 % sobre el precio de venta, se 
habría obtenido S/ 16,2 más. Halla cuál fue el 
precio de venta.
Resolución:
Rpta. Rpta.
5 6
7 8Se anunció vender una calculadora a cierto 
precio, sin embargo al momento de venderlo se 
realizó un descuento del 10 %. Si la calculadora 
se vendió en S/ 45, determina la relación en que 
se encuentran el precio de costo con el precio 
de lista, sabiendo que se ganó el 12 % del precio 
de venta.
Resolución:
Seanunció vender un artículo a cierto precio, sin 
embargo al momento de venderlo se realizó un 
descuento del 20 %. Si el artículo se vendió en 
S/ 32, determina la relación en que se encuentran 
el precio de costo con el precio de lista, sabiendo 
que se ganó el 15 % del precio de venta.
Resolución:
Rpta. Rpta.
107MateMática Delta 4 - aritMética
Rpta. Rpta.
Manolo compró una tablet y para venderla 
aumentó el precio del costo en un 28 %. Al 
momento de venderla a su amiga Pamela, le hizo 
una rebaja del 30 % resultando perjudicado en 
S/ 65. ¿A qué precio vendió la tablet?
Resolución:
Martín compró una tablet y para venderla aumentó 
el precio del costo en un 24 %. Al momento de 
venderla a su amiga Rosa, le hizo una rebaja del 
25 % resultando perjudicado en S/ 21. ¿A qué 
precio vendió la tablet?
Resolución:
Dos comerciantes adquirieron un artículo cada 
uno al mismo costo y lo vendieron ganando uno 
de ellos el 20 % de su costo mientras que el otro 
ganó el 20 % de su precio de venta. Si uno de 
ellos ganó S/ 280 más que el otro, ¿a cuánto 
vendió el artículo el segundo comerciante?
Resolución:
Dos comerciantes adquirieron un artículo cada 
uno al mismo costo y lo vendieron ganando uno 
de ellos el 25 % de su costo mientras que el otro 
ganó el 25 % de su precio de venta. Si uno de 
ellos ganó S/ 120 más que el otro, ¿a cuánto 
vendió el artículo el segundo comerciante?
Resolución:
Rpta. Rpta.
9 10
11 12
108
Rpta. Rpta.
En un supermercado, se está ofreciendo por 
liquidación el 28 % de descuento en alguno de 
sus productos; sin embargo, al llegar a la tienda 
recibí la grata sorpresa de que las prendas de 
vestir tenían adicionalmente un descuento del 
15 %, así que tomé una prenda y me acerqué a 
caja para pagar. La cajera me dijo que por ser el 
cliente número 1000 me había hecho acreedor a 
un último descuento del 8 %. ¿Qué porcentaje del 
precio de venta original dejé de pagar?
Resolución:
En un supermercado, se está ofreciendo por 
liquidación el 20 % de descuento en alguno de 
sus productos; sin embargo, al llegar a la tienda 
recibí la grata sorpresa de que las prendas de 
vestir tenían adicionalmente un descuento del 
15 %, así que tomé una prenda y me acerqué a 
caja para pagar. La cajera me dijo que por ser el 
cliente número 100 me había hecho acreedor a 
un último descuento del 12 %. ¿Qué porcentaje 
del precio de venta original dejé de pagar?
Resolución:
13 14
Rpta. Rpta.
Al vender un artículo ganando el 40 % del precio 
de costo, se gana S/ 45 más que si se vende 
ganando el 20 % del precio de venta. Encuentra 
el precio de venta, si se vende ganando el 18 %.
Resolución:
Al vender un artículo ganando el 30 % del precio 
de costo, se gana S/ 14 más que si se vende 
ganando el 20 % del precio de venta. Encuentra 
el precio de venta, si se vende ganando el 15 %.
Resolución:
15 16
109MateMática Delta 4 - aritMética
Rpta. Rpta.
Un objeto se vende de modo que se descuenta el 
20 % y aun así se gana el 30 %. Si la diferencia 
entre el precio de costo y el precio de lista es 
S/ 235, descubre a qué precio se vendió.
Resolución:
Un objeto se vende de modo que se descuenta 
el 25 % y aun así se gana el 8 %. Si la diferencia 
entre el precio de costo y el precio de lista es 
S/ 165, descubre a qué precio se vendió.
Resolución:
Un ganadero compró 64 carneros a S/ 200 cada 
uno. Una parte de ellos los vendió ganando el 
20 % y los restantes, ganando el 30 %. Si este 
negocio le ha generado una ganancia de S/ 3360, 
calcula cuántos carneros vendió ganando el 20 %.
Resolución:
Un comerciante compró 54 cuyes a S/ 30 cada 
uno. Una parte de ellos los vendió ganando el 
20 % y los restantes, ganando el 30 %. Si este 
negocio le ha generado una ganancia de S/ 411, 
calcula cuántos cuyes vendió ganando el 20 %.
Resolución:
17 18
19 20
Rpta. Rpta.
110
1 Para obtener el precio de venta de una licuadora, 
el precio de costo se incrementa en un 25 % y se 
obtiene S/ 237,5. ¿Cuánto más se ganaría si el 
incremento hubiera sido del 40 %?
 A S/ 27 B S/ 28,5 C S/ 28,6
 D S/ 27,4 E S/ 45,8
2 Un comerciante vendió un equipo de sonido en 
S/ 280, ganando el 12 % del costo más el 8 % del 
precio de venta. Calcula el precio de costo.
 A S/ 200 B S/ 210 C S/ 220
 D S/ 230 E S/ 240
4 Se vende un equipo de sonido en S/ 230, 
habiéndose ganado el 25 % del costo. Halla el 
precio de costo.
 A S/ 196 B S/ 184 C S/ 192
 D S/ 180 E S/ 186
5 Una impresora costó S/ 192. Si se vende ganando 
el 20 % del precio de venta, determina el precio 
de venta.
 A S/ 220 B S/ 224 C S/ 240
 D S/ 250 E S/ 248
6 Se vende un equipo de sonido en S/ 225, 
habiéndose ganado el 25 % del costo. Encuentra 
el precio de costo.
 A S/ 172 B S/ 176 C S/ 184
 D S/ 182 E S/ 180
3 Se vende dos filmadoras en S/ 720 cada una. En 
una de ellas se gana el 20 % del costo y en la otra 
se pierde el 20 %. ¿Cuánto se ganó o perdió?
 A Se ganó S/ 60 B Se perdió S/ 60
 C Se ganó S/ 64 D Se perdió S/ 64
 E Se ganó S/ 72 
Nivel I
Practica y demuestra
111MateMática Delta 4 - aritMética
7 Una impresora costó S/ 180 y se vendió perdiendo 
el 20 % del precio de venta. Descubre el precio de 
venta.
 A S/ 160 B S/ 130 C S/ 140
 D S/ 150 E S/ 164
9 Al vender una cocina en S/ 170, se perdió el 15 % 
del costo. ¿Cuánto costó dicha cocina?
 A S/ 190 B S/ 200 C S/ 210
 D S/ 220 E S/ 180
8 Si un artículo cuesta S/ 160 y se vende en S/ 104, 
calcula qué porcentaje del costo se pierde.
 A 32 % B 35 % C 36 %
 D 40 % E 40 %
10 Suponiendo que compras un televisor en S/ 720 
y lo quieres vender ganando el 10 % del precio al 
cual lo compraste, ¿cuál sería el precio al cual lo 
venderías? ¿Qué pasará con el precio de venta 
si quisieras ganar, por el contrario, el 10 % del 
precio de venta?
 A S/ 792 ; aumenta en S/ 6.
 B S/ 796 ; aumenta en S/ 6.
 C S/ 792 ; aumenta en S/ 8.
 D S/ 796 ; aumenta en S/ 10.
 E S/ 783 ; aumenta en S/ 8.
11 El costo de una impresora es S/ 640. Halla el precio 
de lista, si al venderla se realizó un descuento del 
20 % y aun así se ganó un 20 % del costo.
 A S/ 960 B S/ 920 C S/ 940
 D S/ 980 E S/ 950
12 Un técnico compró un televisor en S/ 200. 
Determina el precio de lista, si al momento de 
vender ofrecerá un descuento del 20 % y a pesar 
de ello ganará un 25 % del precio de costo.
 A S/ 312,8 B S/ 312,2 C S/ 312,5
 D S/ 312,6 E S/ 312,4
112
13 Un producto se vendió en S/ 1178,75 ganándose 
el 15 % del costo más el 20 % del precio de venta. 
Encuentra cuánto se ganó.
 A S/ 358,75 B S/ 356,75
 C S/ 358,25 D S/ 356,25
 E S/ 359,25
15 Para vender un artículo, se le recarga el 25 % al 
precio de costo. Calcula el mayor porcentaje de 
rebaja que debería hacer sobre este precio para 
no perder al venderlo.
14 Para obtener el precio de lista de un artículo, 
se aumenta el costo en 40 %; pero al momento 
de venderlo se hace un descuento del 10 %. 
Descubre qué porcentaje del precio de costo se 
gana finalmente.
 A 24 % B 25 % C 26 %
 D 28 % E 21 %
16 En la venta de un bien x, los insumos y la mano 
de obra representan el 70 % del precio de venta; 
además la mano de obra es el 40 % de los 
insumos. ¿Qué porcentaje del precio de venta 
representan los insumos?
 A 50 % B 40 % C 20 %
 D 30 % E 60 %
17 Al vender un producto, se concedió un descuento 
del 20 %. ¿En qué porcentaje debemos aumentar 
el nuevo precio para volverlo al precio original?
 A 18 % B 20 % C 25 %
 D 28 % E 30 %
18 Un objeto costó S/ 2400. Halla cuál es su precio 
fijado, sabiendo que luego de venderlo se ganó 
el 20 % del costo a pesar de haber realizado dos 
descuentos sucesivos, uno del 10 % y el otro del 
20 %.
 A S/ 3800 B S/ 4000 C S/ 4200
 D S/ 4400 E S/ 4500
 A 18 % B 20 % C 25 %
 D 15 % E 21 %
113MateMática Delta 4 - aritMética
19 El precio de lista de un artículo es S/ 800, pero 
como no se vendió se concedió un descuento 
del 20 %. Si aúnasí, al venderlo posteriormente, 
se ganó el 25 % del precio de costo. ¿Cuánto se 
hubiera ganando si no se concedía el descuento?
 A S/ 240 B S/ 280 C S/ 288
 D S/ 256 E S/ 272
20 Una cocina tiene un precio de S/ 1200, pero el 
vendedor me conceden una rebaja del 15 % y 
al pagar en caja, por liquidación me rebajan un 
20 % de lo facturado por el vendedor. ¿Cuál es 
el precio que pagaré por la cocina luego de las 
rebajas?
 A S/ 816 B S/ 812 C S/ 842
 D S/ 822 E S/ 838
21 Pedro compró un televisor y para venderlo 
recargó el precio de costo en 30 %. Al momento 
de venderlo a su amigo José, le hizo una rebaja 
del 25 % pensando que con esta rebaja iba 
a venderla al precio que había comprado; sin 
embargo, quedó perjudicado en S/ 32,5. ¿A qué 
precio lo vendió?
 A S/ 1267,5 B S/ 1300 C S/ 1150
 D S/ 1350,5 E S/ 1250 
22 Carlos compró una calculadora y para venderla 
recargó al precio que le costó un 30 %. Al 
momento de venderla a su amiga Paola, le rebaja 
el 30 %, resultando perjudicado en S/ 54. ¿A qué 
precio la vendió?
 A S/ 542 B S/ 548 C S/ 546
 D S/ 540 E S/ 544
23 Por cada 2 artículos A se compran 3 artículos 
B y sus costos respectivos están en la relación 
de 1 a 2. Se decide venderlos todos, pero los 
primeros con una ganancia del 30 % y los otros 
con un 40 % obteniendo un total de S/ 3520. 
¿Cuánto compró de cada uno, si el precio de 
venta del más barato es S/ 26?
 A 32 y 48 B 30 y 46 C 26 y 40
 D 34 y 50 E 36 y 52
24 Un comerciante que tiene 3 televisores de 
30 pulgadas de distintas marcas vende 2 de ellos 
en S/ 1080 cada uno, ganando en uno de ellos el 
20 % y perdiendo en el otro los dos sétimos. Si 
el tercer televisor le costó S/ 630, determina qué 
porcentaje debe ganar en este último para que en 
el total de la venta no se gane ni se pierda.
 A 26 % B 60 % C 40 %
 D 45 % E 50 %
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114
Tema
Al invertir, ahorrar, prestar (o pedir prestado) cierto dinero se toman en cuenta algunas 
condiciones que el capitalista (dueño o poseedor del dinero) exigirá a la persona o 
entidad que hará uso de su capital.
Por lo general estas condiciones contemplan que el dinero debe ser devuelto luego de 
cierto tiempo acordado y además de esto se debe pagar un adicional por haber hecho 
uso del dinero, más adelante veremos que a este adicional se le conoce como interés.
Ejemplo:
Alejandro desea ahorrar en un determinado banco S/ 800. Si el banco le ofrece como 
beneficio una tasa de 10 % de interés anual, en un año le pagará de interés:
10 % (S/ 800) = S/ 80
Alejandro, luego de un año, tendrá que recibir una cantidad mayor a S/ 800 originales, 
veamos lo que pasa:
Hoy: Alejandro deposita al banco S/ 800.
Un año después, Alejandro recibirá 
del banco: S/ 800 + S/ 80 = S/ 880
Esta es la idea del interés.
Además, se otorgan nombres especiales que se usarán en estos casos:
• El principal o capital del préstamo es S/ 800.
• El interés es S/ 80.
Elementos de la regla de interés 
Capital (C)
Es toda cantidad de dinero, bien material, servicio o esfuerzo humano que se va a 
invertir, ahorrar o prestar para que luego de un tiempo produzca una ganancia.
El concepto de 
interés se relaciona 
con el precio del 
dinero. Si alguien 
pide un préstamo, 
debe pagar cierto 
interés por ese 
dinero. Y si alguien 
deposita dinero en 
un banco, este debe 
pagar cierto interés 
por ese dinero.
El dinero que se 
paga por concepto 
de interés dependerá 
de la cuantía del 
capital prestado, 
de la duración del 
préstamo y de la 
tasa o tanto por 
ciento. Por esta 
razón, al calcular 
el interés, hay que 
tener en cuenta tres 
factores: el capital, la 
tasa y el tiempo.
Not a
7
Regla de interés
115MateMática Delta 4 - aritMética 115
Hoy: Alejandro deposita al banco S/ 800.
El primer año: 
Alejandro ganará S/ 80 de interés.
Cuando no se 
indique la unidad de 
tiempo referida a la 
tasa de interés, se 
asumirá una tasa 
anual.
Import a nt e
Tiempo (t)
Es el periodo durante el cual se va a ceder o imponer el capital. El conteo del tiempo 
consiste en considerar todos los días posteriores a la fecha inicial hasta la fecha final; 
se excluye el día correspondiente a la fecha inicial.
Interés (I)
Es la ganancia, beneficio o utilidad que produce el capital durante cierto tiempo y bajo 
ciertas condiciones.
Tasa de interés (r %)
También llamado rédito, es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades 
monetarias en un cierto tiempo; por ello se expresa generalmente como un porcentaje.
Tasas equivalentes
Dos tasas son equivalentes si colocadas ambas durante el mismo tiempo se obtiene la 
misma ganancia.
Ejemplo:
 1 % mensual <> 3 % trimestral
 3 % mensual <> 6 % bimestral
 5 % trimestral <> 20 % anual
 4 % bimestral <> 12 % semestral
12 % anual <> 2 % bimestral
 6 % semestral <> 1 % mensual
¿Qué ocurrirá si Alejandro quisiera depositar su dinero durante dos años?
Si el banco paga interés simple, entonces Alejandro ganará otro 10 % del préstamo 
inicial (S/ 800) el año siguiente.
¿Sa bía s qué.. .?=
Tasa activa. Es la 
tasa de interés que 
las instituciones 
financieras 
cobran por el 
dinero prestado 
a sus clientes. 
Se denomina 
«activa» porque 
se enfoca en las 
cuentas del activo 
de las instituciones 
financieras, ya que, 
para la institución, el 
préstamo otorgado 
es un activo.
Tasa pasiva. Es la 
tasa de interés que 
las instituciones 
financieras pagan 
por los préstamos 
que obtienen en 
el mercado, es 
decir, depósitos, 
bonos, créditos de 
otras instituciones 
u otros productos 
de características 
similares. Se 
denomina «pasiva» 
porque se enfoca 
en las cuentas 
del pasivo de 
las instituciones 
financieras.
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116
El segundo año: 
Alejandro ganará S/ 80 de interés.
Si «t» está en años:
I = c × r × t100
Si «t» está en meses:
I = c × r × t1200
Si «t» está en días:
I = c × r × t36 000
r: tasa de interés en 
años (sin el símbolo 
de porcentaje)
Interés simple. 
Es el interés que 
produce un capital 
inicial en un periodo 
de tiempo, el cual 
no se acumula al 
capital para producir 
los intereses del 
siguiente periodo. 
El interés simple 
generado o pagado 
por el capital 
invertido o prestado 
será igual en todos 
los periodos de la 
inversión o préstamo.
Interés compuesto. 
Se presenta cuando 
los intereses 
obtenidos al final del 
periodo de inversión 
o préstamo no se 
retiran o pagan sino 
que se reinvierten y 
se añaden al capital 
principal.
Not a
Otra forma de hallar 
el interés simple es 
homogeneizando las 
unidades de tiempo 
y la tasa de interés.
Y solo aplicamos:
I = C . r % . t
Por estos dos años, Alejandro 
generó un monto de:
Monto = S/ 800 + S/ 160 = S/ 960
Entonces, Alejandro ganará el siguiente interés total: 
(10 % × S/ 800) × 2 años = S/ 160
Así funciona el interés simple. Se genera la misma cantidad de interés todos los años.
• Interés = (10 % × S/ 800) × 4 años = S/ 320
• Monto = S/ 800 + S/ 320 = S/ 1120
Alejandro ganará S/ 1120 después de 4 años.
Si Alejandro depositara el dinero por 4 años a interés simple, el cálculo sería así:
Interés simple
Es la ganancia que genera el capital cuando no se acumula al capital sino hasta el final 
de todo el proceso de inversión, ahorro o préstamo. En este caso, el interés se aplica 
una sola vez: al finalizar el tiempo del proceso.
Monto (M)
Es la suma del capital más sus intereses generados.
C : capital inicial
r : valor numérico de la tasa de interés anual (r %).
t : tiempo del proceso
I : interés
I = 
C × r × t
100
; «t» en años
M = C + Interés
¿Sa bía s qué.. .?=
Import a nt e
Reglas prácticas 
para calcular el 
interés simple
117MateMática Delta 4 - aritMética
Ejemplo:
Siguiendo con el ejemplo anterior, si al finalizar el año Alejandro quiere retirar su dinero 
y luego volverlo a depositar, entonces su nuevo capital sería S/ 880.
Hoy: Alejandro deposita S/ 800.
El primer año: Alejandro recibirá S/ 880 
Luego, Alejandro depositará S/ 880
El segundo año: Alejandrorecibirá S/ 968
Interés = 10 % (S/ 800)
Interés = S/ 80
Interés = 10 % (S/ 880)
Interés = S/ 88
Alejandro recibirá S/ 88 de interés el segundo año, no solo S/ 80 como en el primer año, 
debido a que el depósito que hizo Alejandro al iniciar el segundo año fue S/ 880.
1
2
3
4
Tasa de interés 
nominal
Esta tasa es de 
interés simple, y 
corresponde al 
porcentaje que 
se agregará al 
capital inicial como 
compensación 
durante un 
periodo de tiempo 
determinado, que 
no tiene que ser 
necesariamente un 
año.
Un interés nominal 
del 10 % que 
se capitaliza 
semestralmente, 
significa que cada 
seis meses se 
liquidan los intereses 
al 5 %. Si el interés 
nominal es del 12 % 
y se capitaliza cada 
dos meses, significa 
que cada dos meses 
se liquidarán los 
intereses al 2 %. 
Ejemplo: 
Una tasa nominal de 
20 % capitalizable 
trimestralmente se 
capitaliza 4 veces 
en el año, por lo que 
la tasa a la que se 
liquidan los intereses 
es de 5 % cada
3 meses. 
Por lo general, 
cuando las entidades 
financieras o bancos, 
nos otorgan un 
crédito nos muestran 
la tasa de interés 
nominal mensual. 
Esto lo hacen con 
el objetivo de que 
creamos que nos 
cobran muy poco 
dinero por el crédito 
que nos otorgan.
Recu e rda
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118
A esta manera de calcular intereses se denomina interés compuesto.
En el interés compuesto, primero se calcula el interés del primer periodo, que se suma 
al capital, y después se calcula el interés del siguiente periodo, que se suma al nuevo 
capital; y sigue así:
Después de unos años, el interés puede aumentar muchísimo; por ejemplo: esto es lo 
que pasa con un préstamo de 4 años:
Año Capital inicial Interés Capital final
1 S/ 800,00 10 % × S/ 800 = S/ 80,00 S/ 880,00
2 S/ 880,00 10 % × S/ 880 = S/ 88,00 S/ 968,00
3 S/ 968,00 10 % × S/ 968 = S/ 96,80 S/ 1064,80
4 S/ 1064,80 10 % × S/ 1064,80 = S/ 106,48 S/ 1171,28
Total de intereses = S/ 371,28
Así que después de 4 años, Alejandro tendría que recibir S/ 1171,28 y el interés del 
último año sería S/ 106,48.
Ahora, compara lo que recibiría Alejandro con el interés simple y el interés compuesto 
al terminar el cuarto año.
Interés compuesto
Es aquel interés que se va sumando al capital inicial, al final de cada intervalo de tiempo 
específico, y sobre el que se van generando nuevos intereses. Este procedimiento 
recibe el nombre de proceso de capitalización.
No tenemos una expresión directa para calcular el interés compuesto, pero sí para 
calcular el monto.
Donde:
n : número de periodos de capitalización
r % : tasa capitalizable
C : capital inicial
M : monto o capital final
Ejemplo:
Se presta S/ 1000 durante un año y medio a una tasa del 20 % anual, capitalizable 
semestralmente. Calcula el interés que se genera.
Resolución:
Disponemos los datos del siguiente modo:
C = S/ 1000
Tasa = 20 % anual, capitalizable semestralmente ⇒ r % = 10 % semestral 
Tiempo = 1 año y 6 meses ⇒ n = 3 semestres 
Ahora, calculamos el monto.
M = C × (1 × r %)n
M = 1000 × (1 + 10 %)3
M = 1000 × (1,1)3
M = 1331
Finalmente, el interés que se genera es: 
S/ 1331 – S/ 1000 = S/ 331
M = C × (1 + r %)n
Tasa de interés 
efectiva anual
También conocida 
como tasa de interés 
anual equivalente, 
es una tasa de 
interés compuesto; 
incluye la tasa de 
interés nominal, los 
gastos y comisiones 
bancarias, y el plazo 
de la operación. 
Esta tasa aborda 
la compensación 
completa que 
recibe la entidad 
financiera por 
prestarnos el dinero. 
A diferencia de la 
tasa nominal, sí se 
utiliza directamente 
en las fórmulas 
de la matemática 
financiera.
Ejemplo: 
Calcula la tasa 
efectiva anual 
correspondiente a 
la tasa de interés 
del 20 % anual 
con capitalización 
trimestral.
Resolución: 
• La tasa nominal es 
20 % anual.
• La tasa 
capitalizable es 
 r % = 5 % 
trimestral.
• Los periodos de 
capitalización es 
 n = 4 trimestres.
Para calcular la tasa 
efectiva anual , 
usaremos:
1 + = (1 + r %)n
1 + = (1 + 5 %)4
1 + = (1,05)4
 = 0,2155
La tasa efectiva anual 
es 21,55 %, que es 
mayor que la tasa 
nominal del 20 %.
Recu e rda
119MateMática Delta 4 - aritMética
¿Cuál es el interés que produce S/ 240 000 
colocados al 2 % trimestral, durante 6 años?
Resolución:
Anotamos los datos:
Interés = S/ I
Capital = S/ 240 000
Tasa = 2 % trim. = 8 % anual
Tiempo = 6 años
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
I = C × r × t
100
 
I = 240 000 × 8 × 6
100
I = 115 200
¿Cuál es el capital que colocado al 5 % durante 
84 días, ha producido S/ 264,60 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Capital = S/ C
Tasa = 5 %
Tiempo = 84 días
Interés = S/ 264,60
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
C × r × t
36 000
 = I 
C = I × 36 000
r × t
C = 264,60 × 36 000
5 × 84
C = 22 680
1
4
Ejercicios resueltos
Rpta. El interés es S/ 115 200.
¿Qué interés genera S/ 4800 impuestos al 2 % 
bimestral en 7 meses?
Resolución:
Anotamos los datos:
Interés = S/ I
Capital = S/ 4800
Tasa = 2 % bim. = 12 % anual 
Tiempo = 7 meses
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
I = C × r × t
1200
 
I = 4800 × 12 × 7
1200
I = 336
2
Rpta. El interés es S/ 336.
¿Cuál es el capital que colocado al 6 % durante 
90 días, ha producido S/ 384,60 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Capital = S/ C
Tasa = 6 %
Tiempo = 90 días
Interés = S/ 384,60
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple.
C × r × t
36 000
 = I 
C = I × 36 000
r × t
C = 384,60 × 36 000
6 × 90
C = 25 640
3
Rpta. El capital es S/ 25 640. 
Rpta. El capital es S/ 22 680. 
120
¿A qué tasa de interés se prestó un capital de 
S/ 1700 que en un año y tres meses ha producido 
S/ 255 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Tasa = r % 
Capital = S/ 1700
Tiempo = 1 año y 3 meses = 15 meses
Interés = S/ 255
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple. 
C × r × t
1200
 = I 
 r = I × 1200
C × t
 r = 255 × 1200
1700 × 15
 r = 12
r % = 12 %
¿A qué tasa de interés se prestó un capital de 
S/ 2400 que en 1 año y 6 meses ha producido 
S/ 360 de interés?
Resolución:
Anotamos los datos:
Tasa = r %
Capital = S/ 2400
Tiempo = 1 año y 6 meses = 18 meses
Interés = S/ 360
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple. 
C × r × t
1200
 = I 
 r = I × 1200
C × t
 r = 360 × 1200
2400 × 18
 r = 10
r % = 10 % 
¿Cuántos meses estuvo impuesto un capital 
de S/ 20 000 en un banco que colocado al 4 % 
produjo un interés de S/ 6000?
Resolución:
Anotamos los datos:
Tiempo = t meses 
Capital = S/ 20 000
Tasa = 4 %
Interés = S/ 6000 
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple. 
C × r × t
1200
 = I 
t = I × 1200
C × r
t = 6000 × 1200
20 000 × 4
t = 90
¿Cuántos meses estuvo impuesto un capital 
de S/ 30 000 en un banco, que colocado al 5 % 
produjo un interés de S/ 8000?
Resolución:
Anotamos los datos:
Tiempo = t meses
Capital = S/ 30 000
Tasa = 5 %
Interés = S/ 8000
Como no nos indican ningún proceso de 
capitalización, decimos que es interés simple. 
C × r × t
1200
 = I 
t = I × 1200
C × r
t = 8000 × 1200
30 000 × 5
t = 64
5
6 8
7
Rpta. La tasa de interés es 12 % anual.
Rpta. La tasa de interés es 10 % anual.
Rpta. El tiempo fue 64 meses. 
Rpta. El tiempo fue 90 meses. 
121MateMática Delta 4 - aritMética
Calcula el monto que se obtiene luego de prestar 
S/ 20 000 al 15 % trimestral durante 3 años.
Resolución:
Disponemos los datos del siguiente modo:
Capital = S/ 20 000
Tasa = 15 % trimestral = 60 % anual
Tiempo = 3 años
Interés simple: 
I = C × r × t
100
 
I = 20 000 × 60 × 3
100
I = 36 000
Luego:
M = C + I
M = 20 000 + 36 000
M = 56 000
Determina el monto que se obtiene luego de prestar 
S/ 12 000 al 2 % bimestral durante 5 años.
Resolución:
Disponemoslos datos del siguiente modo:
Capital = S/ 12 000
Tasa = 2 % bimestral = 12 % anual
Tiempo = 5 años
Interés simple: 
I = C × r × t
100
 
I = 12 000 × 12 × 5
100
I = 7200
Luego:
M = C + I
M = 12 000 + 7200
M = 19 200
Se depositó cierto capital por un tiempo 
de 3 años, a una tasa del 10 % semestral, 
capitalizable anualmente. Si se genera un 
interés de S/ 3640, halla el capital.
Resolución:
Se capitalizarán los intereses anualmente, 
entonces se trata del interés compuesto. Donde:
M = C × (1 + r %)n
Se debe usar la tasa capitalizable anual y convertir 
el tiempo en periodos de capitalización también 
en años. 
Organizamos los datos del siguiente modo:
Capital = S/ C
Tasa = 10 % semestral ⇒ r % = 20 % anual
Tiempo = 3 años ⇒ n = 3 periodos
Interés = S/ 3640
Calculamos el monto:
M = C(1 + 20 %)3
M = C(1,2)3 
M = 1,728 C
También sabemos:
 M = C + I
1,728 C = C + 3640
 C = 5000
Se prestó un capital de S/ 2000 por un tiempo 
de 8 meses, a una tasa del 15 % anual, 
capitalizable cuatrimestralmente. Encuentra el 
interés producido.
Resolución:
Se capitalizarán los intereses cuatrimestralmente, 
entonces se trata del interés compuesto. Donde:
M = C × (1 + r %)n
Se debe usar la tasa capitalizable cuatrimestral y 
convertir el tiempo en periodos de capitalización 
también en cuatrimestres. 
Organizamos los datos del siguiente modo:
Capital = S/ 2000
Tasa = 15 % anual ⇒ r % = 5 % cuatrimestral
Tiempo = 8 meses ⇒ n = 2 cuatrimestres
Ahora calculamos el monto:
M = 2000(1 + 5 %)2
M = 2000(1,05)2 
M = 2205
Calculamos el interés:
 C + I = M
 2000 + I = 2205
 I = 205
9 11
10 12
Rpta. S/ 56 000 Rpta. S/ 19 200
Rpta. S/ 5000 Rpta. S/ 205 
122
Síntesis
Expresa las siguientes tasas de interés en forma 
anual.
a) 3 % semestral
b) 6 % bimestral
Resolución:
Expresa las siguientes tasas de interés en forma 
mensual.
a) 4 % bimestral
b) 9 % trimestral
Resolución:
Calcula el interés que genera un capital de 
S/ 4000 impuestos a una tasa del 5 % anual 
durante 2 años.
Resolución:
Calcula el interés que genera un capital de 
S/ 6000 impuestos a una tasa del 5 % anual 
durante 3 años.
Resolución:
2
3 4
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Regla de interés M = C + I
Interés simple Interés compuesto
I = C . r . t100
I = C . r . t1200
I = C . r . t36 000
t en años
Donde: 
C : capital
r : V.N. de la tasa anual 
t : tiempo 
I : interés 
M : monto 
n : número de periodos de capitalización
t en meses
t en días
1
Modela y resuelve 
M = C × (1 + r %)n
123MateMática Delta 4 - aritMética
Halla el capital que habiendo sido depositado 
por 7 meses a la tasa del 2,5 % mensual genera 
un interés de S/ 364.
Resolución:
Halla el capital que habiendo sido depositado 
por 6 meses a la tasa del 2 % bimestral genera 
un interés de S/ 675.
Resolución:
5 6
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
Un capital se coloca en el banco a una tasa de 
interés simple del 8 % semestral durante 2 años, 
obteniéndose un monto de S/ 2480. Determina el 
capital colocado.
Resolución:
Un capital se coloca en el banco a una tasa de 
interés simple del 5 % trimestral durante 2 años, 
obteniéndose un monto de S/ 1890. Determina el 
capital colocado.
Resolución:
7 8
124
Encuentra el interés obtenido al depositar S/ 3600 
a la tasa del 3 % mensual durante 5 meses.
Resolución:
Encuentra el interés obtenido al depositar 
S/ 2500 a la tasa del 8 % trimestral durante 
2 años.
Resolución:
9 10
Rpta. Rpta.
En 3 meses, el monto generado por la imposición 
de un capital a interés simple es de S/ 455 y a los 
5 meses de impuesto resulta S/ 593. Descubre la 
tasa de interés mensual.
Resolución:
En 4 meses, el monto generado por la imposición 
de un capital a interés simple es de S/ 528 y a los 
9 meses de impuesto resulta S/ 588. Descubre la 
tasa de interés mensual.
Resolución:
11 12
Rpta. Rpta.
125MateMática Delta 4 - aritMética
Se impuso un capital a interés simple durante 
1 año y 9 meses, con una tasa del 3 % trimestral. 
Calcula el valor del capital si el monto que se 
obtuvo es de S/ 1452.
Resolución:
Se impuso un capital a interés simple durante 
1 año y 4 meses, con una tasa del 2 % mensual. 
Calcula el valor del capital, si el monto que se 
obtuvo es de S/ 1155.
Resolución:
13 14
Se deposita un capital a la tasa del 8 % mensual 
de interés simple; halla luego de qué tiempo se 
debe retirar el capital más los intereses para que 
la suma depositada represente el 75 % de lo que 
se retira.
Resolución:
Se deposita un capital a la tasa del 5 % bimestral 
de interés simple; halla luego de qué tiempo se 
debe retirar el capital más los intereses para que 
la suma depositada represente el 60 % de lo que 
se retira.
Resolución:
15 16
Rpta. Rpta.
Rpta. Rpta.
126
Renato divide su capital en dos partes que se 
encuentran en relación de 4 a 9. La menor parte 
la deposita en un banco que le pagará un interés 
simple del 12 % trimestral y la otra parte la coloca al 
16 % cuatrimestral. Si luego de un año observa que 
el mayor capital le produce S/ 1260 más de interés 
que la otra parte, determina el capital de Renato.
Resolución:
Sergio divide su capital en dos partes que se 
encuentran en relación de 5 a 7. La menor parte 
la deposita en un banco que le pagará un interés 
simple del 15 % trimestral y la otra parte la coloca al 
20 % cuatrimestral. Si luego de un año observa que 
el mayor capital le produce S/ 540 más de interés 
que la otra parte, determina el capital de Sergio.
Resolución:
17 18
Rpta. Rpta.
Se prestó un capital de S/ 5000 por un año, a una 
tasa del 16 % anual, capitalizable semestralmente. 
Encuentra el interés producido.
Resolución:
Se prestó un capital de S/ 16 000 por 8 meses, 
a una tasa del 15 % anual, capitalizable 
cuatrimestralmente. Encuentra el interés 
producido.
Resolución:
19 20
Rpta. Rpta.
127MateMática Delta 4 - aritMética
Un capital se coloca en el banco a una tasa 
de interés simple del 6 % cuatrimestral durante 
un año y medio, obteniéndose un monto de 
S/ 3810. Calcula dicho capital.
Resolución:
Un capital se coloca en el banco a una tasa de 
interés simple del 12 % semestral durante un 
año y ocho meses, obteniéndose un monto de 
S/ 2268. Calcula dicho capital.
Resolución:
23 24
Rpta.
Rpta. Rpta.
Rpta.
Un banco paga un interés simple del 5 % trimestral 
y Luis depositó un capital el 20 de julio; luego, el 
18 de setiembre, depositó otro capital que era el 
triple del anterior. Si el 16 de enero del siguiente 
año cobró intereses por S/ 22 500, descubre el 
primer capital depositado.
Resolución:
Un banco paga un interés simple del 3 % bimestral 
y Rubén depositó un capital el 25 de julio; luego, 
el 23 de setiembre, depositó otro capital que era 
el doble del anterior. Si el 22 de diciembre del 
mismo año cobró intereses por S/ 3960, descubre 
el primer capital depositado.
Resolución:
21 22
128
Se prestó un capital por un tiempo de 18 meses, 
a una tasa del 20 % anual, capitalizable 
semestralmente. Si el interés que se produjo es 
de S/ 827,50, calcula el valor del capital.
Resolución:
Se prestó un capital por un tiempo de 6 meses, 
a una tasa del 8 % anual, capitalizable 
trimestralmente. Si el interés que se produjo es 
de S/ 45,45, calcula el valor del capital.
Resolución:
25 26
Rpta. Rpta.
Rpta.
¿Cuál es el monto total que obtendré al depositar 
S/ 320 000 colocados al 3 % trimestral, durante 
2 años y 4 meses?
Resolución:
Se deposita un capital de S/ 2000 por un tiempo 
de 1 año; a una determinada tasa, capitalizable 
semestralmente. Sabiendo que se genera un 
interés de S/ 420, halla la tasa de interés semestral 
a la que fue impuesto dicho capital.
Resolución:
27 28
Rpta.
129MateMática Delta 4 - aritMética
Practica y demuestra
Nivel I
3
4
5
6
A S/ 3820 B S/ 3600 C S/ 3840
D S/ 3880 E S/ 3800
A S/ 180 B S/ 200 C S/ 220
D S/ 240 E S/ 250
A S/ 1800 B S/ 2100 C S/ 2400
D S/ 2800 E S/ 2300
A S/ 1472 B S/ 1480 C S/1496
D S/ 1512 E S/ 1800
A 18 % B 20 % C 24 %
D 25 % E 28 %
Calcula qué interés producirá un capital de 
S/ 16 000 prestado al 32 % anual de interés 
simple durante 9 meses.
1
2 Un capital de S/ 6000 se presta a una tasa de interés 
simple del 15 % trimestral, durante 7 meses. Halla 
el interés.
Determina qué monto se obtiene al prestar un 
capital de S/ 1200 a una tasa de interés simple 
del 8 % trimestral durante 8 meses y 15 días.
La diferencia de dos capitales es S/ 15 000. Si 
se impone el mayor al 4 % de interés simple 
anual y el menor al 12 %, se observa que luego 
de 18 meses los intereses son iguales. Encuentra 
cuál es el capital mayor.
A S/ 22 400 B S/ 22 600
C S/ 22 500 D S/ 22 800 
E S/ 22 200
Los 25 de un capital se prestan al 30 % de interés 
simple y el resto se presta a otra tasa, de manera 
que ambos capitales para un mismo tiempo 
producen el mismo interés. Descubre la tasa 
desconocida.
Un capital de S/ 400 se presta a una tasa de 
interés simple del 10 % bimestral, durante 
11 meses. Calcula el interés.
130
7
8
9
11
10
12
A S/ 420 B S/ 490 C S/ 560
D S/ 440 E S/ 480
A S/ 400 B S/ 480 C S/ 440
D S/ 450 E S/ 420
A 72 B 84 C 92
D 88 E 80
A S/ 580 B S/ 540 C S/ 620
D S/ 600 E S/ 640
A S/ 8200 B S/ 8400 C S/ 8000
D S/ 8600 E S/ 9200
Nivel II
Halla el interés simple generado al depositar 
S/ 4200 al 5 % trimestral durante 7 meses.
Determina qué monto se obtiene al prestar un 
capital de S/ 1500 a una tasa de interés simple 
del 8 % trimestral durante 7 meses y 24 días.
A S/ 1800 B S/ 1788 C S/ 1812
D S/ 1824 E S/ 1798
Un capital fue depositado a una tasa de interés 
simple del 10 % bimestral y luego de 9 meses se 
obtiene un monto de S/ 870. Encuentra cuál es el 
capital depositado.
Descubre cuál es el capital que, depositado a la 
tasa de interés simple del 5 % bimestral durante 
8 meses, genera un monto de S/ 504.
Si un capital de S/ 340 se impone a la tasa de 
interés simple del 5 % mensual, ¿dentro de 
cuántos meses el capital se quintuplicará?
Un capital fue depositado al 5 % mensual de 
interés simple y luego de tres meses se produjo 
un interés de S/ 1200. Calcula cuál es el capital 
depositado.
131MateMática Delta 4 - aritMética
A S/ 680 B S/ 700 C S/ 760
D S/ 720 E S/ 750
A 18 B 20 C 24
D 25 E 30
13
14
15
16 Una persona coloca la mitad de su capital al 6 % 
anual, la tercera parte al 5 % anual y el resto al 4 % 
anual. Si luego de un año ganó S/ 1600, encuentra 
cuál es el capital depositado, si las tasas se 
encuentran a interés simple.
18 Un capital es impuesto al 25 % capitalizable 
semestralmente. Si al cabo de un año genera un 
monto de S/ 8100. Calcula dicho capital.
17 Se prestó un capital durante 3 años a cierta tasa 
de interés, obteniéndose un monto de S/ 51 000. 
Si el mismo capital se hubiera prestado por 
5 años y a la misma tasa, se recibiría un monto 
de S/ 75 000. Descubre la tasa de interés anual.
A 60 % B 80 % C 75 %
D 70 % E 85 %
Un capital fue depositado a la tasa de interés 
simple del 10 % bimestral y luego de 7 meses 
se obtiene un monto de S/ 972. Halla cuál es el 
capital depositado.
Determina qué suma de dinero se debe 
depositar al 10 % anual de interés simple, para 
que en 2 años y medio se convierta en S/ 3750.
Durante cuánto tiempo en meses estuvo 
depositado un capital al 5 % de interés simple, 
si los intereses producidos equivalen a la décima 
parte del capital.
A S/ 3000 B S/ 3200 C S/ 3600
D S/ 3500 E S/ 3400
A S/ 6400 B S/ 6800 C S/ 7000
D S/ 6200 E S/ 7200
A S/ 32 000 B S/ 30 000
C S/ 36 000 D S/ 38 000 
E S/ 40 000
132
19
Nivel III
20
21
Andrea triene S/ 400 que presta con una tasa del 
8 % mensual, Fabiola tiene S/ 600 y lo presta al 
8 % bimestral con un interés simple. Determina 
dentro de cuánto tiempo común, en meses, los 
montos serán iguales. 
Un capital impuesto en un banco con una tasa 
del 20 % semestral capitalizable trimestralmente 
produce en 9 meses un interés de S/ 2482,50. 
Encuentra el mencionado capital.
23
22
24
Una lavadora de 11 kg que cuesta S/ 2530 se 
desvaloriza uniformemente a razón de S/ 20 
al mes. Si una persona que desea comprarlo 
deposita en el banco S/ 2000 al 48 % de interés 
simple, ¿dentro de cuánto tiempo como mínimo 
podrá adquirir dicho artefacto?
Hace dos años, un capital se depositó en un banco 
con una tasa de 15 % capitalizable cada año, 
convirtiéndose luego de tal plazo en S/ 5924,80. 
Descubre el interés producido.
Hace tres meses un capital se depositó a una tasa 
del 60 % semestral capitalizable mensualmente; 
pero si se hubiera depositado a interés simple, el 
interés obtenido se diferenciaría del anterior en 
S/ 148,18. Calcula dicho capital.
A 20 B 25 C 28
D 30 E 18
Silvia y Verónica cuentan con S/ 1000 cada 
una y los depositan en un banco al 10 % anual 
durante 3 años. Si se sabe que Silvia depositó 
a interés simple y Verónica a interés compuesto 
capitalizable anualmente, halla la suma de los 
montos obtenidos por Silvia y Verónica.
A S/ 2720 B S/ 2631 C S/ 2600
D S/ 2580 E S/ 2685
A S/ 7500 B S/ 7480 C S/ 7620
D S/ 7420 E S/ 7470
A S/ 4260 B S/ 4800 C S/ 4780
D S/ 4680 E S/ 4720
A S/ 1480,20 B S/ 1460,80
C S/ 1420,40 D S/ 1484,80 
E S/ 1444,80
A 5 meses, 10 días B 5 meses, 3 días
C 5 meses, 15 días D 5 meses, 9 días
E 5 meses, 20 días
Nombre: n.° de orden: Sección:
Test n.° 3
133MateMática Delta 4 - aritMética
Marca con una X la alternativa que corresponda a la respuesta.
Una casaca de cuero tiene como precio de 
costo S/ 640. Si al momento de venderla se 
gana el 25 % del precio de costo, halla el precio 
de venta.
2
Un horno microondas tiene un precio de lista de 
S/ 1200, pero al momento de venderse se hace 
un descuento del 15 %. Encuentra el precio de 
venta.
4
5
C D
BA
S/ 750S/ 900
S/ 800S/ 650
C D
BA
S/ 1600S/ 1700
S/ 1500S/ 1400
C D
BA
S/ 150S/ 130
S/ 100S/ 110
C D
BA
S/ 820S/ 750
S/ 720S/ 800 C D
BA
S/ 780S/ 880
S/ 800S/ 750
C D
BA
S/ 1100S/ 1020
S/ 1080S/ 1200
Se vende una lavadora en S/ 1080. Si se gana 
el 35 % del precio de costo, calcula el precio de 
costo.
1
Se vendió un artículo en S/ 380 y se ganó el 14 % 
del precio de costo más el 19 % de su precio de 
venta. Calcula la ganancia.
6
3 Un comerciante al vender un televisor pierde el 
18 % del precio de costo. Si el precio de venta es 
S/ 1230, determina el precio de costo.
El precio de costo de una tablet es de S/ 450. 
Descubre el precio de lista, si al venderla se 
realizó un descuento del 25 % y aún así se ganó 
un 30 % del precio de costo.
134
7 10
11
129
8
Presté S/ 500 con la condición que me devuelvan 
S/ 625 después de 6 meses. ¿Cuál es la tasa de 
interés anual?
¿Qué interés genera S/ 250 000, al 4% bimestral 
en 2 años y 7 meses?
19A
18C
20B
17D
26 %A
22 %C
24 %B
23 %D
60 %A
40 %C
50 %B
30 %D
A S/ 156 000 B S/ 154 000 
C S/ 145 000 D S/ 155 000
S/ 24 280A
S/ 24 820C
S/ 23 820B
S/ 25 820D
¿Cuál es el capital que colocado al 8 % durante 
dos meses y doce días, ha producido S/ 397,12 
de interés?
S/ 4600A
S/ 4500C
S/ 4200B
S/ 4400D
Enrique solicita un préstamo de S/ 10 000 a una 
entidad bancaria, si dicho préstamo lo pagara en 
3 años a una tasa del 15% anual, ¿cuál es el 
interés que deberá pagar Enrique?
¿A qué tasa de interés anual se prestó un 
capital de S/ 2300 que en un año y dos meses 
han producido S/ 644 de interés?
¿Cuántos meses estuvo impuesto un capital 
de S/ 50 000 en un banco que colocado al 6 % 
produjo un interés de S/ 4500.
Tema
135
MateMática Delta 4 - aritMética
Estadística: Nociones y tablas
La Estadística es la ciencia que estudia los métodos y las técnicas para recolectar, 
organizar, presentar y analizar datos sobre un problema real, con la finalidad de 
conocerlo mejor, proyectar sus resultados y colaborar en la toma de decisiones sobre 
dicho problema. 
Etapas de la investigación estadísticaBásicamente la investigación estadística es de tipo descriptivo, se preocupa por 
la confiabilidad y la validez de los datos obtenidos en la muestra seleccionada. Se 
distinguen las siguientes etapas:
Planteamiento del problema
El primer paso es definir el problema y los objetivos del estudio y relacionar estos con 
los valores de las variables observables. Los objetivos surgen cuando determinamos 
para qué se va a realizar la investigación.
Recolección de la información
Consiste en recolectar datos; los métodos para obtenerlos son diversos y dependen 
del acceso que podamos tener a los elementos de la población y de la oportunidad que 
tengamos para ello. Las técnicas frecuentes de recolección son: el censo, la encuesta 
y la entrevista.
Organización y clasificación
Luego de recolectarse los datos, para un mejor estudio y/o análisis, debemos 
expresarlos y clasificarlos según criterios convenientes de forma simple, que permita 
apreciar rápidamente todas las características posibles para obtener conclusiones 
útiles, ya sea directamente o mediante cálculos posteriores.
Presentación de datos
Se realiza con la finalidad de apreciarlos de una manera global, disminuyendo el riesgo 
de una pérdida de información o de tiempo en el momento del análisis de los datos. 
Este propósito se logra mediante cuadros, tablas o diagramas; una de las técnicas 
usuales es el desarrollo de una tabla de distribución de frecuencias. Aquí debemos 
realizar un análisis de consistencia y ajuste de los datos.
Análisis e interpretación de los resultados
En esta etapa se calculan indicadores y medidas estadísticas que describen al conjunto 
de datos. Además se vinculan los resultados obtenidos con nuestros conocimientos 
previos, permitiéndonos así obtener nuestras conclusiones.
Estadística descriptiva
Es el conjunto de métodos estadísticos aplicados con el objetivo de resumir y describir 
de manera adecuada un conjunto de datos. Estos métodos estadísticos se basan en la 
recolección, presentación y análisis de los datos. Son ejemplos de estos los gráficos, 
tablas y determinados cálculos matemáticos.
Not a
8
La Estadística 
descriptiva 
comprende cualquier 
actividad relacionada 
con resumir o 
describir los datos sin 
factores pertinentes 
adicionales; esto es, 
sin intentar inferir 
nada que vaya más 
allá de los datos, 
como tales.
Esta parte de la 
estadística recolecta, 
describe, analiza, 
interpreta y presenta 
los datos de una 
población en tablas y 
gráficos.
136
Estadística descriptiva
Se encarga
de
Datos
Tablas de 
frecuencias
Gráficos
en
Estadígrafos
de
mediante
Posición Dispersión
Media, mediana 
y moda
Varianza y 
desviación
Términos frecuentes
Población 
Es el conjunto total de individuos, objetos o eventos que comparten una misma 
característica y que será analizado para obtener conclusiones.
Muestra
Es la selección de un conjunto de individuos representativos de la totalidad del universo 
objeto de estudio, reunidos como una representación válida y de interés para la 
investigación de su comportamiento.
Los criterios que se utilizan para la selección de muestras pretenden garantizar que el 
conjunto seleccionado represente con la máxima fidelidad a la totalidad de la que se ha 
extraído, así como hacer posible la medición de su grado de probabilidad.
Variable 
Es una característica o cualidad que poseen los elementos de la población o muestra y 
que interesa al investigador, pues servirá para obtener los indicadores del estudio que 
realiza. Esta variable puede tomar diversos valores dentro de una escala, recorrido o 
intervalo; cada valor de la variable se denomina dato.
Recopilar Clasificar
AnalizarPresentar
La Estadística 
inferencial trabaja 
con muestras 
o subconjuntos 
formados por algunos 
individuos de la 
población. A partir 
del estudio de la 
muestra, se pretende 
inferir aspectos 
relevantes de toda la 
población. 
Cómo se selecciona 
la muestra, cómo 
se realiza la 
inferencia y qué 
grado de confianza 
se puede tener en 
ella son aspectos 
fundamentales 
de la Estadística 
inferencial, para 
cuyo estudio se 
requiere un alto nivel 
de conocimientos 
de estadística, 
probabilidad y 
matemáticas.
Población
Muestra
muestreo Inferencia
estadística
Not a
137
MateMática Delta 4 - aritMética
La información estadística
La estadística trabaja con datos, que están inmersos en las informaciones estadísticas; 
estos son el resultado de las indagaciones u observaciones que se realizan sobre una 
determinada situación de interés que se estudia.
Toda información estadística tiene tres componentes:
• La variable → ¿De qué se habla?
• La unidad de análisis → ¿De quién se habla?
• El dato → ¿Qué se dice sobre la unidad de análisis? 
Ejemplos:
a) El Perú tiene una población estimada de 33 millones de habitantes.
• La variable : n.º de habitantes
• La unidad de análisis : Perú
• El dato : Tiene 33 millones de habitantes (aproximadamente)
b) Fausto es soltero.
• La variable : El estado civil de las personas
• La unidad de análisis : Fausto
• El dato : Es soltero
Si alguno de estos tres componentes no aparece, la frase deja de ser una información 
estadística. La variable, la unidad de análisis y el dato siempre deben estar juntos para 
dar sentido a la información estadística.
La variable estadística
La variable estadística es una característica de los elementos de un conjunto de 
unidades de análisis; esta puede tomar diferentes valores (puede variar) para diferentes 
unidades de análisis. Por ejemplo, el número de habitantes de los países varía de un 
país a otro y el estado civil de una persona varía de una persona a otra.
Hay dos tipos de variables: cuantitativas y cualitativas. Estas presentan distintos niveles, 
lo cual permite su agrupación por conceptos o por categorías con o sin intervalos.
Variable cuantitativa
Es aquella cuyos valores se obtienen por conteo o por medición y se traducen en 
números. La población de un país, el número de alumnos desaprobados de una sección, 
el número de hermanos de una persona y el peso de las personas son ejemplos de 
variables cuantitativas.
Las variables cuantitativas se clasifican en dos grupos: discretas y continuas.
Variable cuantitativa discreta 
Es aquella variable que solo toma ciertos valores en un determinado intervalo y que 
entre dos valores consecutivos fijos no admite otro valor. Por ejemplo: el número de hijos 
por familia, el número de estudiantes aprobados en matemáticas por cada sección, etc.
Variable cuantitativa continua 
Es aquella variable que toma un número infinito de valores en un determinado intervalo, 
es decir, entre dos valores consecutivos puede tomar cualquier otro valor. Por ejemplo: 
las magnitudes relacionadas con el tiempo (edad, duración de un fenómeno, etc), las 
estaturas, las distancias, etc.
Población 
estadística
También llamada 
universo o colectivo, 
es el conjunto 
de elementos de 
referencia sobre 
el que se realizan 
observaciones.
Una población 
se precisa como 
un conjunto 
finito o infinito de 
personas u objetos 
que presentan 
características 
comunes, de los 
cuales intentamos 
extraer conclusiones. 
En estadística, 
la población es 
representada con la 
letra N.
Datos
Son los valores que 
toma la variable en 
cada caso. Lo que 
vamos a realizar es 
medir, asignar valores 
a las variables 
incluidas en el 
estudio. Deberemos 
además concretar la 
escala de medida que 
aplicaremos a cada 
variable.
Import a nt e
138
Variable cualitativa
Es aquella cuyas cualidades no se miden ni se cuentan; se obtiene generalmente a través 
de una encuesta o simplemente se observa y se traduce en códigos preestablecidos 
para facilitar la comunicación.
El estado civil de las personas, el distrito donde viven los profesores del colegio, el 
partido político que prefieren los ciudadanos, el orden de llegada en una carrera, etc., 
son ejemplos de variables cualitativas. 
Las unidades de análisis
Son entidades de la población que será analizada, de las cualesse extrae el dato. 
Pueden ser de cualquier naturaleza: personas, animales, cosas, eventos o valores con 
características comunes; estos rasgos permiten su agrupación y, en consecuencia, su 
conteo estadístico para conocer su valor o código.
Variabilidad
En todo proceso 
está implícita la 
variación. Sería 
totalmente absurdo 
pensar que todas las 
personas tuvieran la 
misma edad o que 
en el aula todos los 
estudiantes tuvieran 
el mismo peso o la 
misma experiencia. 
Dos productos 
generados en una 
misma máquina, con 
un mismo operario 
y la misma materia 
prima, tampoco son 
iguales. Es probable 
que aparenten 
ser iguales, pero 
cuando se utilizan 
instrumentos más 
precisos se evidencia 
la diferencia entre 
ellos.
Las variables cualitativas se clasifican en dos grupos: ordinales y nominales.
Variable cualitativa ordinal
Es aquella variable cualitativa que presenta un criterio de orden en sus cualidades. Por 
ejemplo: el nivel de educación de las personas, el orden de llegada en una carrera y el 
grado de contaminación pulmonar por efectos del cigarrillo.
Variable cualitativa nominal
Es aquella variable cualitativa que no presenta un criterio de orden en sus cualidades. 
Por ejemplo: el estado civil de las personas, el distrito donde viven y las clases de 
productos que fabrica una empresa.
Variable
Es la cualidad 
que varía de una 
unidad a otra (ya 
que los cambios 
en un producto 
son pequeños, 
imperceptibles e 
inevitables) y que 
además afecta al 
producto o proceso.
Import a nt e
• Para la variable población de países, cada país sería la unidad de análisis.
• Para la variable alumnos aprobados en Matemática del 5.º grado, cada alumno de 
5.º grado sería la unidad de análisis.
• Para la variable peso de las papayas de la cosecha de una chacra, cada papaya de 
la cosecha de una chacra sería la unidad de análisis
Los datos
Son los valores recopilados como producto de las mediciones o conteos realizados a 
las unidades de análisis. Una vez que se conocen la variable y las unidades de análisis 
de los cuales se obtendrán los datos, se inicia el proceso estadístico propiamente 
dicho, que comienza con la recolección de datos, prosigue con su organización y su 
presentación; y termina con el análisis de los datos presentados.
La presentación de los datos
Se puede realizar por medio de una tabla de frecuencias o por medio de gráficos.
Tabla de frecuencias
En general, una tabla de frecuencias es un arreglo ordenado de los datos seleccionados 
en filas y columnas; este arreglo es denominado cuadro estadístico, tabla de frecuencias 
o cuadro de doble entrada, y resume la información obtenida.
139
MateMática Delta 4 - aritMética
Estructura y elementos de una tabla de frecuencias
Toda tabla de frecuencias tiene cinco componentes:
• El código o número de gráfico.
• El título, que informa sobre lo que muestra la tabla o el gráfico.
• El cuerpo, que viene a ser la tabla o el gráfico en sí.
• La leyenda, constituida por todo aquello que fuera necesario para que la lectura de 
la tabla o el gráfico no tenga complicaciones al momento de ser leída.
• La fuente, que indica de dónde se extrajo o quién elaboró la tabla o el gráfico.
Elaboración de una tabla de frecuencias
• Identifica la variable, la cual servirá para elaborar el título de la tabla.
• Determina si el tipo de variable es cuantitativa o cualitativa.
• Identifica los niveles de la variable por conceptos (para variables cualitativas 
nominales) o por categorías con o sin intervalos (para variables cualitativas nominales 
y variables cuantitativas).
• Calcula el total de datos.
• Determina las frecuencias absolutas y/o relativas para cada nivel de la variable.
Ejemplo:
Antamina es un complejo minero polimetálico que produce concentrados de cobre, 
zinc, molibdeno y, como subproductos, concentrados de plata y plomo. La mina está 
ubicada en el distrito de San Marcos, en la Región Áncash, a 200 km de la ciudad de 
Huaraz y a una altitud promedio de 4300 metros sobre el nivel del mar. Actualmente es 
uno de los mayores productores peruanos de concentrados de cobre y zinc; y una de 
las diez minas más grandes del mundo en términos de volumen de operaciones. Tiene 
una vida útil estimada hasta el año 2029 y se trata de una operación a tajo abierto que 
explota un depósito tipo skarn.
Los supervisores de producción de la compañía minera Antamina, del grupo Barrick, 
que opera en Huaraz, han registrado los pesos de 50 lingotes de concentrado de cobre 
producidos por la mina; la muestra fue obtenida de la producción mensual, las unidades 
están en kilogramos y aparecen en el siguiente listado:
64,3 63,0 65,5 65,3 62,4 64,4 62,8 63,2
62,9 63,6 65,7 63,8 64,8 63,9 62,7 61,5
64,2 65,7 64,7 64,3 62,7 64,5 66,2 65,4
64,7 62,7 65,0 63,0 62,9 63,7 62,7 63,3
64,1 63,7 64,2 63,7 64,0 63,9 63,6 64,6
65,5 63,7 61,9 66,5 64,4 63,6 63,6 63,7
64,6 62,3
Variable : pesos de los lingotes de cobre
Tipo de variable : cuantitativa continua
Niveles de la variable : por categorías, con 5 intervalos de igual amplitud.
Total de datos : 50
El término skarn 
se refiere a rocas 
metamórficas de 
contacto constituidas 
por calcio, magnesio 
y hierro; en estas 
se ha introducido 
grandes cantidades 
de silicio y aluminio.
Pesos
56,8 kg
59,3 kg
64,8 kg
72,6 kg
78,0 kg
¿Sa bía s qu e.. .?
Tabla simple
Se utiliza cuando 
el tamaño de la 
muestra y el recorrido 
de la variable son 
pequeños. Por 
ejemplo, si tenemos 
una muestra de 
los pesos de cinco 
personas.
Recu e rda
140
Aspectos previos
Alcance (A): Es un intervalo que incluirá a todos los datos de la muestra, desde el 
menor valor hasta el mayor.
Según el ejemplo anterior:
A = [61,5 – 66,5]
Rango (R): Es el tamaño del alcance y se calcula como la diferencia entre el mayor 
valor de los datos con el menor valor.
En el ejemplo dado:
R = 66,5 – 61,5 ⇒ R = 5
Número de intervalos (k): Es la partición del alcance en subgrupos. Este se obtiene 
mediante la regla de Sturges.
k = 1 + 3,3 × log n
Según el ejemplo anterior:
k = 1 + 3,3 × log 50
k = 6,6 ⇒ k ≈ 5; 6 o 7 intervalos
Elegimos 5 intervalos (se escoge convenientemente).
Ancho o amplitud del intervalo (w): Es la diferencia entre el límite superior e inferior 
de un intervalo determinado. Si deseamos que todos los intervalos tengan el mismo 
ancho, entonces este ancho se obtiene de la siguiente relación:
En el ejemplo:
 , entonces:
•	 Primer intervalo: I1 = [61,5 ; 61,5 + 1〉 61,5 es el límite inferior
 I1 = [61,5 ; 62,5〉 62,5 es el límite superior
• Segundo intervalo: I2 = [62,5 ; 62,5 + 1〉 62,5 es el límite inferior
 I2 = [62,5 ; 63,5〉 63,5 es el límite superior
w =
Rango
n.° de intervalos
Pesos n.° de lingotes Valores porcentuales
I1 = [61,5 ; 62,5〉 f1 = 4 h1 = 
4
50(100 %) = 8 %
I2 = [62,5 ; 63,5〉 f2 = 11 h2 = 
11
50(100 %) = 22 %
I3 = [63,5 ; 64,5〉 f3 = 20 h3 = 
20
50(100 %) = 40 %
I4 = [64,5 ; 65,5〉 f4 = 9 h4 = 
9
50(100 %) = 18 %
I5 = [65,5 ; 66,5] f5 = 6 h5 = 
6
50(100 %) = 12 %
Total Σf = 50 Σh = 100 %
PEsOs DE LiNgOTEs DE cONcENTRADO DE 
cObRE. ANTAMiNA, 2010 (EN kg)
Intervalos Frecuencias 
absolutas
Frecuencias 
relativas
C
uerpo
Título
Tabla de frecuencias 
con intervalos
Se utiliza cuando el 
tamaño de la muestra 
y el recorrido de la 
variable son grandes 
y se agrupan en 
intervalos los valores 
de la variable. Por 
ejemplo, si a un grupo 
de 90 jóvenes le 
preguntamos cuánto 
dinero llevan encima 
en ese momento.
Tabla de frecuencias 
sin intervalos
Se emplea cuando 
el tamaño de la 
muestra es grande 
y el recorrido de la 
variable es pequeño, 
por lo que hay valores 
de la variable que se 
repiten. Por ejemplo, 
si preguntamos el 
número de personas 
menores de edad que 
hay en 50 familias.
Dinero 
disponible Frecuencia
 [0 ; 15〉 8
 [15 ; 30〉 15
 [30 ; 45〉 24
 [45 ; 60〉 20
 [60 ; 75〉 13
 [75 ; 90] 10
n.° de 
menores 
de edad
n.° de 
familias
1 16
2 20
3 9
4 5
w =
5
5
= 1
n : cantidad de datos de la 
muestra
141
MateMática Delta 4- aritMética
• La frecuencia absoluta indica el número de datos que hay en cada intervalo.
• La frecuencia relativa indica la relación del número de datos que hay en cada 
intervalo con el número total de datos expresado en porcentaje.
• El primer intervalo debe empezar con el menor de los datos.
• El último intervalo debe cerrar con el mayor de los datos.
• Al sumar todas las frecuencias absolutas, se obtiene el total de datos.
• Al sumar todas las frecuencias relativas, se obtiene el 100 % de los datos.
• Si analizamos el intervalo I1 = [61,5 ; 62,5〉, se tiene que f1 = 4 y h1 = 8 %.
Es decir, en el primer intervalo I1 se encuentran 4 lingotes que representan el 8 % del 
total y pesos menores a 62,5 kg.
• Si analizamos el intervalo I4 = [64,5 ; 65,5〉, se tiene que f4 = 9 y h4 = 18 %.
Es decir, en el cuarto intervalo I4 se encuentran 9 lingotes que representan el 
18 % del total y que pesan desde 64,5 kg hasta menos de 65,5 kg.
Frecuencia absoluta 
(fi)
Es el número de 
veces que aparece 
un valor.
La suma de las 
frecuencias absolutas 
es igual al número 
total de datos, 
representado por: 
 f1 + f2 + ... + f6 = n 
n: total de datos 
Ii fi hi
[0 ; 15〉 3 = 6 %
[15 ; 30〉 6 = 12 %
[30 ; 45〉 18 = 36 %
[45 ; 60〉 12 = 24 %
[60 ; 75〉 9 = 18 %
[75 ; 90] 2 = 4 %
Total 50 100 %
I1 fi
 [0 ; 15〉 3
[15 ; 30〉 6
[30 ; 45〉 18
[45 ; 60〉 12
[60 ; 75〉 9
[75 ; 90] 2
Total 50
Frecuencia relativa
(hi)
Expresa la relación 
entre la cantidad de 
datos que hay en un 
intervalo y el total de 
ellos, por ese motivo 
se puede presentar 
mediante decimal, 
fracción o porcentaje.
La suma de las 
frecuencias relativas 
es igual a:
h1 + h2 + ... + h6 = 100 % 
3
50
18
50
6
50
12
50
9
50
2
50
Esquema general de un cuadro de distribución de frecuencias
Ii xi
Frecuencias Frecuencias acumuladas
fi hi Fi Hi
I1 = [12 ; 20〉 x1 = 16 f1 = 8 h1 = 16 % F1 = 8 H1 = 16 %
I2 = [20 ; 28〉 x2 = 24 f2 = 10 h2 = 20 % F2 = 18 H2 = 36 %
I3 = [28 ; 36〉 x3 = 32 f3 = 15 h3 = 30 % F3 = 33 H3 = 66 %
I4 = [36 ; 44〉 x4 = 40 f4 = 12 h4 = 24 % F4 = 45 H4 = 90 %
I5 = [44 ; 52] x5 = 48 f5 = 5 h5 = 10 % F5 = 50 H5 = 100 %
A continuación, presentamos la descripción del cuadro:
intervalo de clase (ii): Es la clasificación de los datos en subgrupos; indica también los 
valores que recorre la variable.
 I1 = [12 ; 20〉
 
Marca de clase xi: Actúa como el promedio de los datos presentes en cada intervalo.
Ejemplo:
I2 = [20 ; 28〉 x2 =
20 + 28
2 = 24
Frecuencia absoluta (fi): Es la cantidad de datos que hay en cada intervalo.
Ejemplo:
f1 = 8, indica que en el primer intervalo se contaron 8 datos.
Frecuencia relativa (hi): Es la relación entre la frecuencia absoluta y el número total 
de datos.
Ejemplo:
h2 = 20 %, indica que en el segundo intervalo se concentra el 20 % del total de datos.
Límite inferior Límite inferiorLímite superior Límite superior
I2 = [20 ; 28〉
fi
nhi =
n: total de datos
Entonces, 24 será el promedio de los 10 datos que 
hay en este intervalo.
142
Frecuencia absoluta acumulada (Fi): Es la suma de las frecuencias absolutas.
Ejemplo:
F5 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 8 + 10 + 15 + 12 + 5 = 50
Frecuencia relativa acumulada (Hi): Es la suma de las frecuencias relativas.
 
Ejemplo:
H4 = h1 + h2 + h3 + h4 = (16 + 20 + 30 + 24) % = 90 %
La media o promedio aritmético (x)
• Para datos agrupados en intervalos, se calcula como:
Donde: k : n.° de intervalos
 xi : marca de clase del intervalo
 fi : frecuencia absoluta del intervalo
 n : total de datos
Ejemplo:
Ejemplo:
Sean 24, 27, 32, 35 y 40 las edades de 5 amigos. Halla la media aritmética de las 
edades.
x =
x =
x = 31,36
x = 31,6
128 + 240 + 480 + 480 + 240
50
24 + 27 + 32 + 35 + 40
5
Ii xi fi xi . fi
[12 ; 20〉 16 8 128
[20 ; 28〉 24 10 240
[28 ; 36〉 32 15 480
[36 ; 44〉 40 12 480
[44 ; 52] 48 5 240
n = 50
k
n
i = 1
xi . fi
x =
n
n
i = 1
xi
x =
La media aritmética
Es una herramienta 
estadística que 
consiste en la suma 
de valores de la 
variable, dividida por 
la cantidad de dichos 
valores.
Recu e rda
Es conveniente 
que los intervalos 
de la tabla de 
frecuencias sean 
de igual amplitud; 
si es que no, se 
utilizará intervalos de 
diferente amplitud.
Para diferentes 
anchos de intervalos:
Donde:
x : media
fi : frecuencia 
absoluta
x : marca de clase
wi : ancho del 
intervalo
R : rango
k : números de 
intervalos
n : cantidad total de 
datos
¿Sa bía s qu e.. .?
x =
k
n
i = 1
xi . fiwi
R
k
• Si los datos no están agrupados en intervalos, se calcula como: 
n: total de datos
fiFi =
hiHi =
143
MateMática Delta 4 - aritMética
21 Con el propósito de analizar el rendimiento 
académico en un colegio de 1200 alumnos, se 
evaluó a 40 de ellos. Las notas son las siguientes:
Con el propósito de analizar el rendimiento 
académico en un colegio de 1200 alumnos, se 
evaluó a 40 de ellos. Las notas son las siguientes:
10 09 01 13 09 13 09 13
11 02 11 14 16 15 19 08
04 15 06 17 06 10 09 17
11 15 03 15 03 19 18 08
07 12 07 12 08 12 08 12
11 09 17 13 10 13 10 13
12 02 11 13 16 15 14 08
03 15 06 17 05 15 09 14
11 14 03 16 03 02 12 08
08 12 09 12 08 12 08 12
Elabora la tabla de distribución de frecuencias con 
6 intervalos de igual ancho, y con ello calcula cuántos 
tuvieron notas mayores o iguales a 4 y menores a 13.
Resolución:
Elabora la tabla de distribución de frecuencias con 
5 intervalos de igual ancho, y con ello calcula qué 
porcentaje tiene notas mayores o iguales a 11.
Resolución:
La variable nota son datos cuantitativos continuos, 
que clasificamos en 6 intervalos.
Ancho del intervalo (w): 
w = 19 – 016 = 3
Rango
n.º de intervalosw =
Determinamos los 6 intervalos con el mismo 
ancho; se inicia con el menor valor 01 y luego se 
suma de 3 en 3 hasta llegar al mayor valor, 19.
01 04 07 10 13 16 19
Construimos nuestra tabla de frecuencias:
Frecuencias
Notas Ii
n.° de 
alumnos (fi)
Valores porcentuales (hi)
I1 = [01 ; 04〉 f1 = 4 h1 = 
4
40
(100 %) = 10 %
I2 = [04 ; 07〉 f2 = 3 h2 = 
3
40(100 %) = 7,5 %
I3 = [07 ; 10〉 f3 = 10 h3 = 
10
40(100 %) = 25 %
I4 = [10 ; 13〉 f4 = 9 h4 = 
9
40(100 %) = 22,5 %
I5 = [13 ; 16〉 f5 = 8 h5 = 
8
40(100 %) = 20 %
I6 = [16 ; 19] f6 = 6 h6 = 
6
40(100 %) = 15 %
 f = 40 h = 100 %
Frecuencias
Notas Ii 
n.° de 
alumnos (fi)
Valores porcentuales (hi)
I1 = [02 ; 05〉 f1 = 5 h1 = 
5
40(100 %) = 12,5 %
I2 = [05 ; 08〉 f2 = 2 h2 = 
2
40(100 %) = 5 %
I3 = [08 ; 11〉 f3 = 10 h3 = 
10
40(100 %) = 25 %
I4 = [11 ; 14〉 f4 = 13 h4 = 
13
40(100 %) = 32,5 %
I5 = [14 ; 17] f5 = 10 h5 = 
10
40(100 %) = 25 %
 f = 40 h = 100 %
¿Cuántos tuvieron notas mayores o iguales a 04 y 
menores a 13?
Son aquellos cuyas notas pertenecen al segundo, 
tercer y cuarto intervalo, entonces:
3 + 10 + 9 = 22 alumnos
¿Qué porcentaje tiene notas mayores o iguales a 
11?
32,5 % + 25 % = 57,5 %
→
La variable nota son datos cuantitativos continuos, 
que clasificamos en 5 intervalos.
Ancho del intervalo (w): 
w =
17 – 02
5
= 3
Rango
n.º de intervalos
w =
Determinamos los 5 intervalos con el mismo 
ancho; se inicia con el menor valor 02 y luego se 
suma de 3 en 3 unidades hasta llegar al mayor 
valor, 17.
02 05 08 11 14 17
Construimos nuestra tabla de frecuencias:
→
Rpta. 22 alumnos Rpta. El 57,5 % de los alumnos
Ejercicios resueltos
144
Completa la siguiente tabla de distribución de 
frecuencias del mismo ancho en cada intervalo. 
Considera que las frecuencias absolutas 
son números primos; además, b – a = 20 y
f1 + f5 = f4 + f3 + a = 13. Luego, halla a + b + f1 + f4.
Completa la siguiente tabla de distribución de 
frecuencias del mismo ancho en cada intervalo. 
Considera que las frecuencias absolutas son 
números primos, todos diferentes; además, b – a = 30
y f1 + f3 = f5 + f2 + a = 24. Luego, halla a + b + f1 + f4.
Intervalos xi f i Fi
[ a ; 〉
[ ; 〉
[ ; 〉 18 15
[ ; 〉
[ ; b] 29
Total
Intervalos xi f i Fi
[ a ;〉
[ ; 〉 16
[ ; 〉 25
[ ; 〉
[ ; b] 45
Total
Sea w el ancho de cada intervalo, entonces se 
cumplirá: 
 a + 5 × w = b ⇒ 5 × w = b – a
 5 × w = 20
 w = 4
En el tercer intervalo tenemos que x3 = 18, como 
el ancho del intervalo es 4 entonces los límites del 
tercer intervalo son 16 y 20. Entonces, como 
I3 = [16 ; 20〉, ya podemos completar parcialmente 
nuestra tabla de frecuencias:
Sea w el tamaño de cada intervalo, entonces se 
cumplirá: 
 a + 5 × w = b ⇒ 5 × w = b – a
 5 × w = 30
 w = 6
En el tercer intervalo tenemos que x3 = 25, como 
el ancho del intervalo es 6 entonces los límites 
del tercer intervalo son 22 y 28. Entonces, como 
I3 = [22 ; 28〉, ya podemos completar parcialmente 
nuestra tabla de frecuencias:
Intervalos xi f i Fi
 [8 ; 12〉 10
[12 ; 16〉 14
[16 ; 20〉 18 15
[20 ; 24〉 22
[24 ; 28] 26 29
Total
Intervalos xi f i Fi
[10 ; 16〉 13
[16 ; 22〉 19 16
[22 ; 28〉 25
[28 ; 34〉 31
[34 ; 40] 37 45
Total
⇒ a = 8 ∧ b = 28
⇒ a = 10 ∧ b = 40
f1 + f5 = 13 ∧ f4 + f3 = 5
2 11 3 2
Después de ensayar valores para las frecuencias 
(que deben ser números primos) que cumplan las 
condiciones, podemos tener el cuadro completo.
Ahora calculamos:
a + b + f1 + f4 = 8 + 28 + 2 + 3 = 41
Reemplazando en el dato del problema: Después de ensayar valores para las frecuencias 
(que deben ser números primos) que cumplan las 
condiciones, podemos tener el cuadro completo.
Reemplazando en el dato del problema:
Rpta. 41 Rpta. 62
Resolución:
Resolución:
3 4
f5 + f2 = 14 
3 11
f1 + f3 = 24
5 19
∧
Ahora calculamos: 
a + b + f1 + f4 = 10 + 40 + 5 + 7 = 62
Tambien: 
 f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = F5
 5 + 11 + 19 + f4 + 3 = 45
 f4 = 7
145
MateMática Delta 4 - aritMética
5 6
Resolución: Resolución:
La tabla de distribución muestra la cantidad de 
dinero, en soles, que gastan semanalmente los 
120 alumnos del colegio. Calcula la media de los 
gastos semanales y qué porcentaje de alumnos 
gastan de S/ 26 hasta menos de S/ 72.
La tabla de distribución muestra la cantidad de 
dinero, en soles, que gastan semanalmente los 80 
alumnos del colegio. Halla la media de los gastos 
semanales.
Gastos semanales n.º de alumnos
 [0 ; 20〉 8k
[20 ; 40〉 6k
[40 ; 60〉 25
[60 ; 80〉 3k
 [80 ; 100] 2k
Gastos semanales n.º de alumnos
[0 ; 8〉 17
 [8 ; 18〉 6p
[18 ; 26〉 8p
[26 ; 36〉 5p
[36 ; 44] 2p
Hallando k:
∑f = 8k + 6k + 25 + 3k + 2k = 120
⇒ k = 5
Hallando p:
∑f = n ⇒ 17 + 6p + 8p + 5p + 2p = 80
⇒ p = 3
a) Calculamos el gasto medio semanal.
Este problema presenta intervalos de diferente 
amplitud, la media se hallará del siguiente modo:
k: n.° de intervalos
Previamente del cuadro de frecuencias:
k = 5
R = 44 – 0 = 44
n = 80
Entonces:
b) Los que gastan de S/ 26 hasta menos de 
 S/ 72 se encuentran en parte del 2.°, 3.° y 4.° 
intervalo. Veamos:
Tenemos 21 + 25 + 9 = 55 alumnos; esto en 
porcentaje se calcula como:
⇒ 55120(100 %) = 45,83 %
En promedio cada alumno gasta S/ 37,50.
I x f x . f h %
 [0 ; 20〉 10 40 400 33,3 %
[20 ; 40〉 30 30 900 25 %
[40 ; 60〉 50 25 1250 20,8 %
[60 ; 80〉 70 15 1050 12,5 %
[80 ; 100] 90 10 900 8,3 %
Total 120 4500 100 %
I x f x . f h %
[0 ; 8〉 4 17 68 21,25 %
 [8 ; 18〉 13 18 234 22,5 %
[18 ; 26〉 22 24 528 30 %
[26 ; 36〉 31 15 465 18,75 %
[36 ; 44] 40 6 240 7,5 %
Total 80 1535 100 %
30 alumnos
20 26 40
15 alumnos
60 72 80
f3 = 25
12
20(15) = 9
I2
I4
Rpta. S/ 37,5; 45,83 % Rpta. S/ 19,18
x = ⇒ x = = 37,5
4500
120
k
i = 1
n
xifi
x =
x = 19,18
+ + + +
4(17)
8
13(18)
10
22(24)
8
31(15)
10
40(6)
8
44
5
80
x =
R
k
k
i = 1
n
xifi
wi
14
20(30) = 21
12
20
6
20
14
20
8
20
146
se encarga de
Datos
Tablas de 
frecuencias
Intervalos de 
clase (Ii)
k = 1 + 3,3 × log (n)
k: número de intervalos 
de la tabla
n: total de datos
xi =
LI, LS: límite inferior y 
superior del intervalo
Marca de 
clase (xi)
Gráficos
en
Estadígrafos
de
mediante
Posición Dispersión
Datos agrupados
Fk = n
Hk = 100 %
n: total de datos
Datos no agrupados
Media, mediana y moda Varianza y desviación
Recopilar Clasificar
AnalizarPresentar
Síntesis
LIi + LSi
2
Cantidad de datos del 
respectivo intervalo
Frecuencia 
absoluta (fi)
n: total de datos
Frecuencia 
relativa (hi)
fi
nhi =
Frecuencia 
absoluta 
acumulada (Fi)
fiFi =
k
i = 1
n
xifi
x =
k
i = 1
n
xi
 x =
Media aritmética
Modelo de tabla de frecuencias
Ii xi fi Fi hi Hi
I1 x1 f1 F1 h1 H1
I2 x2 f2 F2 h2 H2
I3 x3 f3 F3 h3 H3
Ik xk fk Fk hk Hk
Estadística descriptiva
Estadística: Nociones y tablas
Frecuencia 
relativa 
acumulada (Hi)
hiHi =
147
MateMática Delta 4 - aritMética
Modela y resuelve 
En una encuesta a 20 obreros se preguntó sobre 
su ingreso semanal en soles. Se obtuvieron los 
siguientes resultados:
En una encuesta a 20 obreros se preguntó sobre 
su ingreso semanal en soles. Se obtuvieron los 
siguientes resultados:
1 2
320 380 400 420 430
430 450 460 478 490
492 500 500 530 550
570 580 600 630 720
340 350 380 420 450
450 450 480 485 493
518 540 550 559 558
570 580 600 630 690
Construye un cuadro de distribución de frecuencias 
con igual ancho en cada intervalo.
a) Calcula cuántos tuvieron ingresos mayores o 
iguales a S/ 400 y menores a S/ 640.
b) Calcula qué porcentaje tiene ingresos menores 
a S/ 560.
Resolución:
Construye un cuadro de distribución de frecuencias 
con igual ancho en cada intervalo.
a) Calcula cuántos tuvieron ingresos mayores o 
iguales a S/ 410 y menores a S/ 620.
b) Calcula qué porcentaje tiene ingresos mayores 
o iguales a S/ 480.
Resolución:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rpta. Rpta.
148
Tomando como referencia la tabla de frecuencias 
del ejercicio n.º 1, contesta:
3
Resolución:
¿Aproximadamente cuántos ganan desde S/ 400 
hasta menos de S/ 500?
6 Si existieran tres países ficticios, el 1.º con dos 
habitantes cuyas rentas personales son 25,8 y 
30,7 (miles de soles), el 2.º con tres habitantes 
con rentas de 45,8; 62,7 y 12,1 y el 3.º con cinco 
habitantes con rentas de 28,9; 86,0; 46,5; 66,1 y 
24,6; halla la renta pér cápita de cada país y la 
media aritmética de las rentas per cápita de los 
tres países.
Resolución:
Rpta.
Rpta.
Tomando como referencia la tabla de frecuencias 
del ejercicio n.º 2, contesta:
4
Resolución:
¿Aproximadamente cuántos ganan desde S/ 460 
hasta menos de S/ 600? 
Rpta.
5 Si existieran dos países ficticios, uno con dos 
habitantes cuyas rentas personales son 8,5 y 9,2 
(miles de soles) y otro con tres habitantes con 
rentas de 14,3; 16,8 y 15,4; calcula la renta pér 
cápita de cada país.
Resolución:
Rpta.
149
MateMática Delta 4 - aritMética
Tomando como referencia la tabla de frecuencias 
del ejercicio n.° 1, contesta:
Tomando como referencia la tabla de frecuencias 
del ejercicio n.° 2, contesta:
7 8
a) ¿Qué porcentaje gana menos de S/ 450?
b) ¿Qué porcentaje gana desde S/ 510 hasta 
menos de S/ 700?
a) ¿Qué porcentaje gana menos de S/ 440?
b) ¿Qué porcentaje gana desde S/ 500 hasta 
menos de S/ 650?
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
150
El siguiente cuadro corresponde al ingreso 
semanal de cierto número de obreros. Completa 
el cuadro de frecuencias y determina cuántos 
obreros se estima que ganan desde S/ 125 hasta 
menos de S/ 260.
9 El siguiente cuadro corresponde al ingreso 
semanal de cierto número de obreros. Completa 
el cuadro de frecuencias y encuentra cuántos 
obreros se estima que ganan desde S/ 250 hasta 
menos de S/ 420.
10
Ingresos fi hi
[100 ; 150〉 150
[150 ; 200〉 30 %
[200 ; 250〉
[250 ; 300] 15 5 %
Total
Ingresos fi hi
[210 ; 270〉 120
[270 ; 330〉 25 %
[330 ; 390〉
[390 ; 450] 18 3 %
Total
Resolución: Resolución:
Rpta. Rpta.
151
MateMática Delta 4 - aritMética
Resolución: Resolución:
Dado el tablero incompleto de la distribución de 
frecuencias de los pesos, en gramos, de la cantidad 
de oro que tienen un grupo de anillos; se pide 
completar el tablero con un ancho de intervalo 
constantee igual a 2. Encuentra también cuántos 
anillos tienen en su peso menos de 7 gramos de oro.
Dado el tablero incompleto de la distribución 
de frecuencias de los pesos, en gramos, de la 
cantidad de plata que tienen un grupo de anillos; 
se pide completar el tablero con un ancho de 
intervalo constante e igual a 6. También encuentra 
aproximadamente cuántos anillos tienen en su 
peso menos de 20 gramos de plata.
11 12
Pesos xi fi Fi x i f i
 15
[ ; 6〉 20
11 14
8
22
25
Total
Pesos xi fi Fi x i f i
 60
112
[ ; 25〉 20 154
9
204
40
Total
Rpta. Rpta.
152
Tomando como referencia la tabla de frecuencias 
del ejercicio n.° 11, responde:
a) Si el peso de aceptación es 10 gramos o más, 
qué porcentaje de anillos serán rechazados.
b) Determina la clase en la cual se encuentra 
el mayor porcentaje de anillos y halla dicho 
porcentaje.
c) Averigua cuántos anillos pesan menos de 
8 gramos y el porcentaje que representan.
d) Calcula la media.
e) Calcula qué porcentaje de anillos tiene igual o 
más de 11 gramos en peso de oro.
Resolución:
13 Tomando como referencia la tabla de frecuencias 
del ejercicio n.° 12, responde:
a) Si el peso de aceptación es 19 gramos o más, 
qué porcentaje de anillos serán aceptados.
b) Determina la clase en la cual se encuentra 
el mayor porcentaje de anillos y halla dicho 
porcentaje.
c) Averigua cuántos anillos pesan menos de 
25 gramos y el porcentaje que representan.
d) Calcula la media.
e) Calcula qué porcentaje de anillos tiene igual o 
más de 32 gramos en peso de plata.
Resolución:
14
Rpta. Rpta.
153
MateMática Delta 4 - aritMética
Resolución: Resolución:
A 60 alumnos de un colegio se les aplicó un 
examen de matemática y se anotó el tiempo, en 
minutos, que demoró cada uno en entregarlo. Los 
tiempos se ordenaron en una tabla de frecuencias, 
con igual amplitud.
a) Calcula el tiempo medio de entrega.
b) Calcula el número aproximado de alumnos que 
entregaron el examen en igual o más de una 
hora y media.
A 90 alumnos de un colegio se les aplicó un 
examen de matemática y se anotó el tiempo, en 
minutos, que demoró cada uno en entregarlo. Los 
tiempos se ordenaron en una tabla de frecuencias, 
con igual amplitud.
a) Halla el tiempo medio de entrega.
b) Halla el número aproximado de alumnos que 
entregaron el examen en igual o más de una 
hora y cuarto.
15 16
Tiempo n.º de alumnos
% de 
alumnos
[72 ; 82〉 6
[82 ; 92〉 23,3 %
 [92 ; 102〉
[102 ; 112〉 12
[112 ; 122] 13,3 %
Tiempo n.º de alumnos
% de 
alumnos
[56 ; 64〉 9
[64 ; 72〉 23,3 %
[72 ; 80〉
[80 ; 88〉 36
[88 ; 96] 13,3 %
Rpta. Rpta.
154
Resolución: Resolución:
Para cubrir el puesto de mecánico-electricista se 
recibieron solicitudes de 200 postulantes. En el 
siguiente cuadro se presenta la distribución de 
los postulantes según su experiencia en el área. 
Determina la experiencia laboral mínima para el 
86 % de los postulantes; además, calcula cuántos 
postulantes tienen igual o más de 9,25 años de 
experiencia.
Para cubrir el puesto de mecánico-electricista 
se recibieron solicitudes de 200 postulantes. En 
el siguiente cuadro se presenta la distribución 
de los postulantes según su experiencia en el 
área. Encuentra la experiencia laboral mínima 
para el 81 % de los postulantes; además, halla 
cuántos postulantes tienen menos de 10 años de 
experiencia.
17 18
Experiencia
laboral (años)
Porcentaje
acumulado
[5 ; 7〉 8 %
[7 ; 9〉 18 %
 [9 ; 11〉 34 %
[11 ; 13〉 65 %
[13 ; 15] 100 %
Experiencia
laboral (años)
Porcentaje
acumulado
[3 ; 7〉 9 %
 [7 ; 11〉 25 %
[11 ; 15〉 57 %
[15 ; 19〉 85 %
[19 ; 23] 100 %
Rpta. Rpta.
155
MateMática Delta 4 - aritMética
Practica y demuestra
1
Nivel I
Los pesos de un grupo de 40 obreros de una 
compañía se muestran en el cuadro siguiente. 
Clasifica estos datos sueltos en intervalos y 
calcula su media (log 40 = 1,6).
 A 83,6 kg B 81,5 kg C 82,4 kg 
 D 83,7 kg E 80,8 kg
El peso, en kilogramos, de 20 niños está registrado 
de la siguiente manera:
21; 20; 22; 19; 23; 19; 18; 22; 20; 22; 23; 21 ;20;
20; 18; 22; 24; 21; 19 y 24.
Halla el peso promedio.
2
57 63 67 64 70 65 66 71
77 74 75 74 73 76 78 80
84 82 80 79 81 80 79 83
81 81 85 89 91 86 87 89
91 88 87 93 98 99 96 97
 A 20,9 kg B 20,6 kg C 19,8 kg 
 D 21,3 kg E 21,5 kg
Sean los salarios, en soles, de un grupo de 
20 obreros clasificados en el siguiente cuadro. 
Completa y encuentra la media de los salarios: 
4
Salarios 
Ii
n.° de 
obreros f1
xi xi . xi
[320 ; 400〉 2
[400 ; 480〉 7
[480 ; 560〉 6
[560 ; 640〉 4
[640 ; 720] 1
 A S/ 520 B S/ 480 C S/ 540 
 D S/ 500 E S/ 590
Los pesos de un grupo de 40 alumnos del colegio 
se muestran en el siguiente cuadro:
3
20 23 24 24 26 31 30 29
28 33 36 37 31 32 36 37
34 34 36 39 43 42 41 39
40 42 39 43 42 40 38 51
47 49 48 48 45 56 51 53
Clasifica estos datos en intervalos y determina:
a) Su media.
b) Cuántos alumnos pesan menos de 36 kg.
c) Cuántos pesan de 40 a menos de 45 kg. 
Determina la suma de los valores de los resultados 
obtenidos.
 A 62 B 61 C 63 
 D 65 E 60
156
De la siguiente tabla de distribución de frecuencias, 
muestra el peso de metal fino encontrado en 
cierto número de muestras de mineral. Descubre 
aproximadamente, cuántas muestras tienen de 
28 hasta menos de 43 gramos de metal fino.
6
Intervalos fi hi Hi
[10 ; 20〉 10 %
[20 ; 30〉
[30 ; 40〉 30 %
[40 ; 50〉 75 80 %
[50 ; 60] 60
 A 120 B 122 C 124 
 D 118 E 119
En una encuesta de 25 trabajadores se preguntó 
sobre su ingreso semanal (en dólares) y se obtuvo 
lo siguiente:
5
320 380 400 420 430
430 450 460 478 490
492 500 500 530 550
570 580 600 630 670
620 650 700 740 770
Construye un cuadro de distribución de frecuencias 
con cinco intervalos de igual ancho y contesta.
• Encuentra, aproximadamente, cuántos ganan 
desde $ 480 hasta menos de $ 560.
 A 7 B 8 C 9 
 D 5 E 6
• Encuentra aproximadamente, cuántos ganan 
desde $ 450 hasta menos de $ 630.
 A 11 B 10 C 15 
 D 14 E 13
• Encuentra qué porcentaje gana desde $ 550 
hasta menos de $ 730.
 A 32,1 % B 36,3 % C 37,4 %
 D 38,2 % E 39,1 %
157
MateMática Delta 4 - aritMética
La siguiente tabla de distribución de frecuencias 
con intervalos de igual amplitud muestra las 
edades de los trabajadores de la compañía ABC. 
Calcula aproximadamente cuántos trabajadores 
tienen desde 30 hasta menos de 56 años de 
edad. 
7
Edades fi hi Hi
[24 ; 34〉 8 %
40 %
[ ; 54〉 126
[ ; 64] 54
 A 241 B 242 C 243
 D 240 E 239
De un grupo de obreros de una compañía, se conoce 
lo mostrado en la tabla. Determina qué porcentaje 
gana desde S/ 25 hasta menos de S/ 48. 
9
Ingreso
diario (S/) Frecuencia relativa
[10 ; 25〉
[25 ; 30〉
[30 ; 45〉
[45 ; 50〉
[50 ; 60]
 A 51 % B 49 % C 47 %
 D 48 % E 52 %
En la siguiente tabla de distribución de frecuencias 
halla qué porcentaje de los datos se encuentran 
comprendidos desde 19 hasta menos de 47. 
8
Ii fi hi Hi
[10 ; 22〉 10 %
[22 ; 30〉
[30 ; 45〉 48 30 %
[45 ; 50〉 60 85 %
[50 ; 64]
 A 51 % B 49 % C 47 % 
 D 53 % E 55 %
Considerando la tabla de frecuencias, encuentra 
aproximadamente cuántos datos se encuentran 
comprendidos desde 25 hasta menos de 46. 
10
 A 72 B 73 C 75 
 D 71 E 74
Ii fi hi Hi
[10 ; 22〉 10 %
[22 ; 30〉
[30 ; 45〉 45 25 %
[45 ; 50〉 63 85 %
[50 ; 64]
k
25
3k
50
k
50
3k
100
k
20
Nivel II
158
A 1200 profesores se aplicó un examen de 
matemática y se anotó el tiempo en minutos que 
demoró cada uno en responder. Los tiempos 
se ordenaron en una tabla de frecuencias, con 
igual amplitud. Calcula el número de profesores 
que respondieron el examen en igual o más de 
98 minutos.
12
 A 460 B 470 C 480 
 D 450 E 480
Tiempo xi fi Fi hi
[ ; 〉 75 10 %
[ ; 〉 280
 [ ; 〉 95
[ ; 〉 1040 20 %
[ ; ]
La siguiente tabla de distribución de frecuencias 
muestra los pesos en kilogramos de 25 
estudiantes. Completa el tablero, con intervalos de 
igual amplitud e igual a 8 kg; además, consideraque f4 = f5. Luego, halla qué porcentaje pesa de 
40 hasta menos de 45 kg.
13
 A 7,5 % B 7,8 % C 8,2 %
 D 7,0 % E 8,4 %
Pesos xi fi xi . fi hi
[ ; 〉 120
[ ; 36〉 128
[ ; 〉 80
[ ; 〉
[ ; ]
A continuación se muestran las notas obtenidas 
por 40 postulantes a un examen de admisión.
14
10 09 01 13 09 13 06 13
11 02 11 14 16 15 19 08
04 15 06 17 06 18 09 12
11 15 04 15 03 19 12 08
07 12 07 12 08 12 08 12
Realiza el conteo y completa el cuadro siguiente 
de seis intervalos:
Intervalo de 
notas 
Frecuencias
n.º de
 estudiantes
% de 
estudiantes
[ ; 04〉
[04 ; 07〉
[07 ; 10〉
[10 ; 13〉
[13 ; 16〉
[16 ; ]
La siguiente tabla muestra la frecuencia relativa 
sobre el peso en gramos de la cantidad de oro 
que contiene una muestra de sortijas. Descubre 
qué porcentaje de sortijas contienen menos de 
8 gramos de oro. 
11
 A 51 % B 52 % C 49 %
 D 48 % E 63 %
Ii [5 ; 7〉 [7 ; 9〉 [9 ; 12〉 [12 ; 15]
hi 2k k + 0,02 0,08
3
2 k
159
MateMática Delta 4 - aritMética
La tabla de distribución de frecuencias muestra el 
ingreso diario, en soles, de un grupo de familias 
residentes en Lince. Encuentra f2, h5 e interpreta.
15
Ingresos fi hi Hi
[10 ; 20〉 10 %
[20 ; 30〉
[30 ; 40〉 30 %
[40 ; 50〉 75 80 %
[50 ; 60] 50
A 20 y 20 % B 24 y 25 % 
C 26 y 30 % D 25 y 28 % 
E 25 y 20 %
La tabla de distribución de frecuencias resume el 
peso de oro encontrado, en gramos, en ciertas 
muestras de mineral. Los intervalos son de igual 
amplitud. Descubre F4, h3 e interpreta.
16
Pesos de oro fi hi Hi
[24 ; 34〉 12 %
40 %
[ ; 54〉 54
[ ; 64] 36
A 100 y 36 % B 150 y 36 % 
C 120 y 12 % D 200 y 24 % 
E 150 y 28 %
De un grupo de obreros de una compañía, se 
conoce lo siguiente: 
17
 A 48,6 % B 49,8 % C 48,2 % 
 D 50,4 % E 50,8 %
Ingreso diario S/ Frecuencia relativa
[10 ; 25〉 k/25
[25 ; 30〉 3k/50
[30 ; 45〉 7k/100
[45 ; 50〉 k/20
[50 ; 60] 3k/100
Calcula qué porcentaje gana entre S/ 30 y S/ 52. 
• Determina cuántos tuvieron de 04 hasta 
menos de 13.
• Determina cuántos obtuvieron de 07 hasta 
menos de 09.
 A 30 B 26 C 24 
 D 25 E 22
 A 4 B 7 C 5 
 D 8 E 6
• Determina qué porcentaje tiene de 14 hasta 
menos de 16.
 A 13,4 % B 13,3 % C 13,5 % 
 D 13,1 % E 13,6 %
• Determina qué porcentaje tiene de 08 a menos 
de 13.
 A 36 % B 38 % C 39 %
 D 40 % E 42 %
• Determina aproximadamente qué porcentaje 
tiene de 05 a menos de 15.
 A 70 % B 63 % C 64 % 
 D 67 % E 69 %
Nivel III
160
A 40 y 12 % B 30 y 24 % 
C 30 y 16 % D 40 y 16 % 
E 45 y 12 %
En la siguiente tabla de distribución de frecuencias, 
encuentra f1 y h2.
21
Ii fi hi Hi
 [8 ; 20〉 16 %
[20 ; 32〉 
[32 ; 40〉 75 30 %
[40 ; 50〉 60
[50 ; 70] 18 %
La tabla muestra el ingreso semanal, en soles, 
recibido por cierto número de obreros de la 
Compañía Superior. Completa la tabla, de 
intervalos de igual amplitud, y descubre cuántos 
obreros ganan de S/ 150 hasta menos de S/ 200.
22
 A 113 B 124 C 132
 D 136 E 144
Ingreso 
semanal
n.º de
obreros
% de
obreros
[ ; 150〉 90
[ ; 〉 30 %
[ ; 230〉
[ ; ] 18 5 %
Completa la tabla de distribución de frecuencias, 
que resume el peso de oro encontrado en ciertas 
muestras de mineral extraído de una mina. Los 
intervalos son de igual amplitud. Calcula qué 
porcentaje de las muestras de mineral contienen 
de 42 hasta menos de 60 gramos de oro.
23
Peso de oro
(gramos)
n.° de 
muestra
% de 
muestras
[ ; 〉 32
[34 ; 〉 32 %
[ ; 〉
[ ; 64] 72 18 %
 A 60,4 % B 59,2 % C 58,8 % 
 D 60,2 % E 59,6 %
A 1800 profesores se les aplicó un examen de 
matemática y se anotó el tiempo, en minutos, que 
demoró cada uno en responder. Los tiempos se 
ordenaron en una tabla de frecuencias, con igual 
amplitud. Determina el número de profesores que 
respondieron el examen en igual o más de 92 minutos. 
20
Tiempo xi fi Fi hi
[ ; 〉 75 10 %
[ ; 〉 420
 [ ; 〉 95
[ ; 〉 1560 30 %
[ ; ]
 A 1116 B 1110 C 1120 
 D 1124 E 1132
La siguiente tabla muestra la frecuencia relativa sobre 
el peso en gramos de la cantidad de oro que contiene 
una muestra de sortijas. Calcula qué porcentaje de 
sortijas contienen menos de 16 gramos de oro.
18
 A 89 % B 84 % C 81 % 
 D 86 % E 82 %
Ii hi
[5 ; 9〉 2k
 [9 ; 13〉 k + 0,2
[13 ; 17〉
[17 ; 21] 0,08
3
2 k
La siguiente tabla de distribución de frecuencias 
muestra los pesos en kilogramos de 40 alumnos. 
Completa el tablero, con intervalos de igual 
amplitud e igual a 10 kg; además, considera que 
f4 = f5. Halla qué porcentaje pesa de 30 hasta 
menos de 45 kg.
19
 A 43 % B 42 % C 40 %
 D 45 % E 46 %
Ii fi xi xi . fi hi
[ ; 〉 126
[ ; 36〉 310
[ ; 〉 492
[ ; 〉
[ ; ]
Tema
161MateMática Delta 4 - aritMética
9
Estadística: Gráficos
Gráfico estadístico
Es una representación de datos estadísticos que mediante determinados gráficos nos 
ayudan a representar, de manera condensada, la información cualitativa y cuantitativa; 
permitiéndonos una lectura global, clara y precisa de las características y variaciones 
de los datos.
En estos gráficos podremos observar la relación entre las variables y las respectivas 
frecuencias de sus valores.
Elementos de un gráfico estadístico
Gráfico n.° 1
Lima metropoLitana: inGreso promedio mensuaL seGún sexo
trimestre móviL: marzo-abriL-mayo 2019 
(soles)
TotalHombre Mujer
sexo
su
el
do
Fuente: Insituto Nacional de Estadística e Informática - Encuesta Permanente de Empleo.
1723,71991,8
1395,6
2000,0
1600,0
1000,0
400,0
1800,0
1200,0
600,0
1400,0
800,0
200,0
0
ej
e 
de
 v
al
or
es
pie
título
Número de gráfico
Cuerpo
eje de 
conceptos
En las siguientes 
variables se 
recomienda usar, 
para cada caso:
Variables 
cuantitativas
●	 Histograma
●	 Polígonos de 
frecuencia
●	 Gráfico	de	líneas
Variables 
cualitativas
●	Diagrama circular
●	Diagrama de barras
Import a nt e
Tipos de gráficos estadísticos
Existen diferentes tipos de gráficos estadísticos, cada uno de acuerdo al tipo de estudio 
que se realizará. También influirá el tipo de variable que se requiera analizar, ya sea 
variable cualitativa o cuantitativa.
A continuación indicamos los gráficos más conocidos:
● Histograma 
● Polígono de frecuencias
● Gráfico de líneas
● Diagrama circular
● Diagrama de barras
● Diagrama de bastones
162
Histograma diagrama circular
diagrama de barras
Permite visualizar los 
cambios a lo largo de 
un rango continuo. 
Es	el	gráfico	más	
indicado para 
analizar una o varias 
tendencias.
Gráfico de líneas
Es un gráfico que se construye, 
generalmente, a partir del histograma, 
donde se tomará la marca de clase de 
un intervalo y la parte superior de las 
columnas para construir el polígono. Se 
usa para variables cuantitativas. Es un gráfico constituido por barras 
rectangulares de igual ancho. Se usan 
tanto para variables cualitativas como 
para cuantitativas (discretas). 
También llamado gráfico de pastel, es 
un gráfico estadístico que consiste en 
dividir el círculo en porciones o sectores 
circulares. Es usado para presentar 
frecuencias, porcentajes y proporciones. 
Es utilizado mayormente con variables 
cualitativas, también se puede usar con 
variables cuantitativas pero su uso no es 
muy recomendado.
4
11
22
4
8
12
16
20
24
91,5 92,5 93,5 95,5 96,5
n.
⁰	d
e	
lin
go
te
s
Peso
mina antamina: pesos de una muestra de 
LinGotes de Cobre, 2010 
(kilogramo)
9
6
6 1410 188 1612
16
14
12
10
8
6
4
2
n.
° 
de
 e
st
ud
ia
nt
es
Promedio
perú: movimiento miGratorio totaL por 
ofiCina miGratoria, aGosto 2017 
(porcentaje)
promedio de notas de Los estudiantes
de 6.° de primaria deL CoLeGio miGueL Grau
Consumo promedio de frutas de Los LimeÑos 
durante eL verano, 2019
Equivalencias en el gráfico circular
Cantidad Grados Porcentaje
Todo 360o 100 %
Melocotón
10
30
20
40
55
15
35
50
25
45
60
Pera ManzanaPlátano Naranja
C
an
tid
ad
 d
e 
fru
ta
s
Frutas
Gráfico de un conjunto de rectángulos 
paralelos, donde la base representa la 
clase de distribución (intervalos)y la 
altura la frecuencia de los valores. Es 
utilizado para variables cuantitativas.
polígono de frecuencias
Not a
preCipitaCiones 
mensuaLes
160
140
120
100
80
60
40
20
0
M
ilí
m
et
ro
s
En
e
M
ayM
ar
Fe
b
Ju
n
Ab
r
Meses
163MateMática Delta 4 - aritMética
Ejercicios resueltos
El gráfico muestra la cantidad de estudiantes 
de un aula, quienes han sido separados por 
intervalos de edad. Encuentra qué fracción del 
total son menores de edad.
10 a 13 14 a 17 18 a 20
Edad en años
9
6
5
n.
° d
e 
es
tu
di
an
te
s
Se encuestó a 78 personas sobre su preferencia 
entre cuatro marcas de gaseosa y se obtuvo el 
siguiente resultado. Determina cuántas personas 
prefieren la marca B.
enCuesta sobre La preferenCia de 
marCas de Gaseosa
A B C D
Marcas de gaseosa
9n
7n
6n
4n
n.
° d
e 
pe
rs
on
as
resolución:
Encontramos el valor de n.
9n + 7n + 6n + 4n = 78
 26n = 78
 n = 3
Hallando	los	que	prefieren	la	marca	B:
B = 6n = 6(3)
B = 18
resolución:
Sabemos:
 4.º + 5.º = 180
 A + 2A = 180
 A = 60
También: 
 3.er + 6.º = 360
 11B + 13B = 360
 B = 15
resolución:
Menores de edad:
10 a 13 ; 14 a 17
 5 + 9 = 14
Total de alumnos: 20
Fracción que se forma:
f = 1420 = 
7
10 
En cierto colegio de provincia, se contabilizó a los 
estudiantes del 3.er hasta el 6.º grado del nivel 
primario y se obtuvo un total de 540 estudiantes 
y el siguiente diagrama. Si cuando contamos a 
los de 4.º y 5.º grado se obtiene 180 alumnos, 
descubre cuánto suman los de 3.er y 5.º grado.
n.° de aLumnos por Cada Grado
A
13B
11B
2A
4.º grado
5.º grado
6.º grado
3.er grado
El gráfico nos muestra la distribución de los 
estudiantes de un colegio según su edad. Si 
1120 estudiantes tienen más de 13 años, calcula 
cuántos estudiantes tiene el colegio.
n.° de estudiantes seGún su edadn.° de estudiantes seGún su edad
10 11 12 13 14 15 16
Edad
n.
° d
e 
es
tu
di
an
te
s n + 400
n + 100
n + 60
n
4.º = A = 60
5.º = 2A = 120
3.er = 11B = 165
6.º = 13B = 195⇒ ⇒ 
resolución:
Hallando el valor de n:
n + 60 + n + 100 + n + 60 = 1120
 3n + 220 = 1120
 n = 300
Total de alumnos:
10 → n + 60
11 → n + 100
12 → n
13 → n + 400
14 → n + 60
15 → n + 100
16 → n + 60
Reemplazando: 7n + 780 = 7(300) + 780 
 = 2880
Finalmente: 3.er + 5.º = 165 + 120 
 3.er + 5.º = 285
1
2
3
4
rpta. 18	personas	prefieren	la	marca	B. rpta. Los de 3.er y 5.º suman 285 alumnos.
rpta. El colegio tiene 2880 estudiantes.rpta. Los menores de edad son 
7
10 del total.
164
A continuación, se presenta la evolución de los 
promedios mensuales en el curso de Matemática 
en el 1.er semestre, de un grupo de 20 alumnos de 
un aula de 6.º grado de primaria. Descubre en qué 
mes obtuvieron su mayor promedio y en cuánto 
excede este al que obtuvieron en el último mes de 
este primer semestre.
promedios en eL Curso de matemátiCa 
durante eL primer semestre
Pr
om
ed
io
s
19
18,5
18
16
16,5
17
17,5
En
e.
Fe
b.
M
ar
.
Ab
r.
M
ay
.
Ju
n.
Meses
En los siguientes cuadros se observan las edades 
de un grupo de alumnos de dos secciones. Calcula 
en cuánto excede la edad promedio de la sección 
B a la edad promedio de la sección A.
Sección A
Edad Alumnos
10 8
11 2
12 10
Total 20
Sección B
Edad Alumnos
10 4
11 6
12 10
Total 20
resolución:
Mes de mayor promedio:
Abril: Promedio = 19
Último mes del semestre:
Junio: Promedio = 18
Hallando lo pedido: 19 – 18 = 1
resolución:
Edad promedio de la sección A: 
resolución:
Edad promedio de la sección B: 
Calculamos la diferencia de promedios de A y B:
xA = = 11,1
10(8) + 11(2) + 12(10)
20
xB = = 11,3
10(4) + 11(6) + 12(10)
20
11,3 – 11,1 = 0,2 
El siguiente diagrama muestra las preferencias 
de N consumidores, sobre las gaseosas C, I y G. 
Calcula el valor de N, sabiendo que 91 personas 
prefieren C.
150°
80°
I
G
C
preferenCias por marCas de Gaseosa
El diagrama de barras muestra los ingresos 
obtenidos durante el primer año de funcionamiento 
de una pastelería. Halla en cuántos miles de soles 
excede la recaudación total en comparación con 
lo recaudado en el tercer trimestre.
inGresos de La pasteLerÍa 
(miles de soles)
R
ec
au
da
ci
ón
 
90
80
70
65
60
50
Ene.Feb.Mar. Abr. May.Jun. Jul. Ago.Set. Oct. Nov. Dic.
Meses
Calculamos los ingresos por trimestres:
resolución:
Hallando N, a partir de C:
C: 130º ....... 91
N: 360º ....... x
x =
x = 252
360 . 91
130
1.er trim. → 50 + 60 + 65 = 175
2.º trim. → 65 + 80 + 90 = 235
3.er trim. → 70 + 50 + 80 = 200
4.º trim. → 50 + 70 + 60 = 180
 Total = 790
Hallamos en cuánto excede el total al 3.er trimestre:
790 – 200 = 590
5
6
7
8
rpta. El mayor promedio se obtuvo en abril; y el 
 promedio de este excede a junio en uno.
rpta. El valor de N es 252.
rpta. Lo pedido es S/ 590 000.rpta. El promedio de B excede en 0,2 años a la 
 sección A. 
165MateMática Delta 4 - aritMética 165
Cantidad Grados Porcentaje
Todo 360o 100 %
Se utiliza para representar una gran cantidad 
de datos, los cuales han sido agrupados en 
intervalos.
Es	un	gráfico	que	se	construye	a	partir	de	
la marca de clase que coincide con el punto 
medio de cada columna del histograma.
En	 este	 tipo	 de	 gráfica	 se	 levantan	 barras	
estrechas de longitudes proporcionales a las 
frecuencias correspondientes sobre los valores 
de las variables.
Los	 gráficos	 circulares,	 son	 recursos	
estadísticos que se utilizan para representar 
porcentajes y proporciones. El número de 
elementos	 comparados	 dentro	 de	 un	 gráfico	
circular puede ser más de cuatro.
Un	gráfico	de	líneas	consiste	en	una	serie	de	puntos	
trazados en las intersecciones de las marcas de 
clase y las frecuencias de cada una, uniéndose 
consecutivamente a través de líneas.
5
2
4
6
8
10
12
10 15 20 25 30
melocotón
10
30
20
40
55
15
35
50
25
45
60
50
30
25
20
15
10
5
60 70 80 90 100 110120
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
M
ilí
m
et
ro
s
En
ero
Ma
yo
Se
tie
mb
re
Ma
rzo Ju
lio
No
vie
mb
re
Fe
bre
ro
Ju
nio
Oc
tub
re
Ab
ril
Ag
os
to
Di
cie
mb
re
Histograma polígono de frecuencias
diagrama de barras diagrama circular
Gráfico de líneas
Fr
ec
ue
nc
ia
s
Fr
ec
ue
nc
ia
s
Fr
ec
ue
nc
ia
s
Intervalos
Intervalos
45 % 25 %
20 %10 %
Meses
Síntesis
plátano pera naranja manzana
166
resolución:
resolución: resolución:
resolución:
resolución:
resolución:
El	 gráfico	 muestra	 la	 contribución	 porcentual	 a	
las utilidades por cada una de las seis sucursales 
ubicadas en diferentes países, de la compañía Z, 
durante el año 2019.
El	 gráfico	 muestra	 la	 contribución	 porcentual	 a	
las utilidades por cada una de las seis sucursales 
ubicadas en diferentes países, de una compañía, 
durante el año 2019.
partiCipaCión en Las utiLidades 
por suCursaLes
partiCipaCión en Las utiLidades 
por suCursaLes
Chile Chile
25 % 28 %30 % 35 %
3 % 5 %
17 % 12 %10 % 8 %
Perú Perú
Argentina ArgentinaEcuador Ecuador
Colombia ColombiaBolivia Bolivia
Considerando	la	información	del	gráfico,	responde:
a) Si la utilidad aportada por la sucursal 
en Ecuador superó a la de Argentina en 
S/ 187 500, calcula la utilidad aportada por 
Chile.
c) Por cada S/ 1 de utilidad que aporta Chile, 
¿cuánto aporta el Perú?
b) Si la utilidad aportada por la sucursal en Chile 
superó a la de Colombia en S/ 164 500, calcula 
la utilidad aportada por Perú.
Considerando	la	información	del	gráfico,	contesta:
a) Si la utilidad aportada por la sucursal en Perú 
superó a la de Argentina en S/ 79 350, halla la 
utilidad aportada por Bolivia.
c) Por cada S/ 8 de utilidad que aporta Perú, 
¿cuánto aporta Chile?
b) Si la utilidad aportada por la sucursal en 
Colombia superó a la de Ecuador en S/ 26 803, 
calcula la utilidad aportada por Argentina.
15 % 12 %
Modelay resuelve 
1 2
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
167MateMática Delta 4 - aritMética
resolución:
resolución:
resolución:
resolución:
resolución:
El siguiente diagrama de barras muestra 
información acerca de la producción de lápices 
en	una	empresa	durante	el	periodo	2015	‒	2019.	
Determina si las proposiciones son verdaderas o 
falsas.
El diagrama de barras muestra información acerca 
de la producción de cuadernos durante el periodo 
2014	‒	2018.	Encuentra	si	las	proposiciones	son	
verdaderas o falsas.
c) El promedio de producción del segundo, tercer 
y cuarto año supera al promedio de producción 
de los tres últimos años.
b) El promedio de producción de los cuatro 
primeros años supera al promedio de los tres 
últimos años.
a) El promedio de producción de los tres últimos 
años supera al promedio del total de años.
a) El promedio de producción de los años pares 
es menor al promedio de producción de los 
años impares.
c) El promedio de producción del primer y último 
año es igual al promedio de producción de los 
otros tres años.
b) El promedio de producción de los cinco años 
es superado por la producción de los tres 
últimos años.
produCCión de LápiCes, 2015-19 
(millones)
produCCión de Cuadernos, 2014-18 
(millones)
2015
12 12
10
9 9
6 8
3
6pr
od
uc
ci
ón
pr
od
uc
ci
ón
2016 2017 2018 2019
resolución:
año
2014 2015 2016 2017 2018
año
rpta. rpta.
rpta.rpta.
rpta.rpta. 
3 4
168
Descubre	si	las	siguientes	afirmaciones	son	
verdaderas o falsas.
a) El promedio de las edades está comprendido 
entre 18 y 19 años.
c) Novecientos estudiantes superan el promedio 
de las edades.
b) Los estudiantes de 16 y 22 años son tantos 
como los de 18 y 20 años.
c) En los cinco países, en 1995, hubo un total de 
695 secuestros.
Determina si la proposición es verdadera o falsa.
b) En Brasil, el número de secuestros aumentó 
en 12,5 %.
Responde.
a) ¿En qué países fue mayor y menor el aumento 
porcentual de secuestros entre 1995 y 1996?
número de aLumnos, 
seGún su edad
seCuestros en CoLombia, méxiCo, 
GuatemaLa, brasiL y fiLipinas
16
C
800
600
500
300n.
º d
e 
es
tu
di
an
te
s
n.
º d
e 
se
cu
es
tro
s
18
M
Edad
País
360
400 1996
1995
160
70 80
90 90
40 40
145
20
G
22
B F
resolución: resolución:
resolución:
resolución:
resolución:resolución:
La cantidad de los alumnos de un instituto, según 
sus edades, se muestra en el siguiente cuadro. 
El	gráfico	muestra	el	número	de	secuestros	en	los	
países de Colombia (C), México (M), Guatemala 
(G), Brasil (B) y Filipinas (F) durante los años 1995 
y 1996.
65
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
169MateMática Delta 4 - aritMética
resolución:
resolución:
resolución:
resolución:
resolución:
El	gráfico	muestra	las	ganancias	de	un	pequeño	
negocio obtenidas en el año 2019.
El	gráfico	muestra	 las	actividades:	A	 (alimentarse),	 
B (bañarse), C (trabajar), D (dormirse) y E (estudiar).
En base a esta información, determina el valor de 
verdad de las proposiciones.
a) Aproximadamente, con respecto al primer 
trimestre, la ganancia obtenida en el segundo 
trimestre aumentó en 33,3 %.
b) La ganancia promedio mensual fue superada 
solamente durante 6 meses.
Determina el valor de verdad o falsedad de cada 
proposición.
a) En verano estudia 3,6 horas menos que en 
invierno.
c) Emplea más horas en alimentarse y dormir en 
verano que estudiar en invierno.
b) En verano duerme 2,4 horas menos que en 
invierno.
GananCia mensuaL obtenida 
en eL aÑo 2019 
(soles)
En
e.
Ab
r.
Ju
l.
O
ct
.
Fe
b.
M
ay
.
Ag
o.
N
ov
.
M
ar
.
Ju
n.
Se
t.
D
ic
.
1000
Mes
900
800
700
600
500
G
an
an
ci
a
porCentaje de aCtividad reaLizada 
en eL dÍa, seGún estaCión deL aÑo
40
35
30
25
20
15
10
5
A B C D E
Po
rc
en
ta
je
Actividad
Invierno
Verano
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
rpta.
7 8
170
 A 6 % B 8 % C 4 %
 D 9 % E 10 %
Los gráficos siguientes muestran las principales 
exportaciones peruanas al Reino Unido durante el 
año 2004.
1
perú: exportaCiones peruanas
 a reino unido, 2004
80 %
20 %
Otros
Oro y plata
a) Calcula qué porcentaje del total de 
exportaciones representan las exportaciones 
de harina de pescado.
perú: exportaCiones peruanas a reino 
unido, rubro otros, 2004
Harina de 
pescado
Textiles
Café
Fruta
Otros metales
1
5
1
10
3
10
1
10
b) Si en café se exportaron cuatro millones de 
dólares, calcula cuántos millones de dólares 
se exportaron en total al Reino Unido en el 
2004.
 A 200 millones B 180 millones
 C 140 millones D 160 millones
 E 210 millones
El gráfico indica el costo de tres tipos de semilla 
transgénica A, B y C por cada 50 kg.
2
Consideramos la información del gráfico, determinar:
a) Con el costo de 105 kg de semilla tipo B, 
halla cuántos kilogramos de semilla tipo C se 
pueden comprar.
 
 Costo por
50 kg
10 20 30 40 50 60
Miles de soles
a
b
C
c) Si las exportaciones de oro y de plata están en 
relación de 5 a 3 y el total de las exportaciones 
al Reino Unido asciende a 240 millones de 
dólares, calcula cuántos millones de dólares 
se exportaron en oro.
 A 120 millones B 110 millones
 C 115 millones D 108 millones
 E 118 millones
 A 76 kg B 72 kg C 68 kg
 D 64 kg E 70 kg
Practica y demuestra
Nivel I
171MateMática Delta 4 - aritMética
b) Con el costo de 120 kg de semilla tipo A, 
halla cuántos kilogramos de semilla tipo C se 
pueden comprar.
 A 40 kg B 36 kg C 42 kg
 D 44 kg E 48 kg
Los gráficos muestran el número de horas que 
trabajó una persona durante la semana y lo que 
gana según el día trabajado.
3
n.° de Horas trabajadas aL dÍa 
durante La semana
Día
H
or
as
10
8
6
4
L M M J V S D
paGo por Hora seGún dÍa 
trabajado en La semana
40
30
20
10
Pa
go
L M M J V S D
Día
Determina la verdad o falsedad de las proposiciones:
a) El día jueves gana el 36,5 % de lo que percibe 
el día martes.
b) El día viernes gana el 65 % de lo que percibe 
el día domingo.
c) Lo que gana los días sábado y domingo supera 
a lo que percibe los días martes y viernes.
d) Los días lunes, miércoles y viernes gana más 
que los días martes, jueves y sábado.
e) El ingreso que percibe los días miércoles, 
jueves y domingo es menor al que percibe 
trabajando los días martes, sábado y lunes.
c) Si el precio de un kilogramo de semilla 
tipo A aumenta en un 20 %, halla entonces 
cuántos kilogramos de semilla tipo B podremos 
comprar con 4 kg de semilla tipo A.
d) Si el precio de un kilogramo de semilla 
tipo C disminuye en un 25 %, halla cuántos 
kilogramos de semilla tipo A podremos 
comprar con 2 kg de semilla tipo C.
 A 8 kg B 2,4 kg C 2,6 kg
 D 2,2 kg E 3,2 kg
 A 4,2 kg B 4,8 kg C 4,5 kg
 D 4,9 kg E 3,8 kg
 A FFFFV B FFFVV
 C FFVFV D FFVVF
 E FVFFV
172
Mario dice que la región sombreada simétrica 
representa la parte que gastó al comprar 
un televisor. De lo que queda, la mitad la gasta 
en comprar ropa, y los S/ 80 restantes los ahorra. 
Descubre cuánto dinero tenía al inicio.
5
 A S/ 240 B S/ 300 C S/ 360
 D S/ 420 E S/ 480
120°
El gráfico representa la cantidad de estudiantes 
que aprobaron Matemática. Encuentra cuántos 
estudiantes aprobaron con nota mayor a 15.
4
estudiantes que aprobaron 
matemátiCa
 13 14 15 16 17 18 19 20
6
5
4
3
2
1n.
° d
e 
es
tu
di
an
te
s
Calificación
 A 28 B 18 C 25
 D 24 E 21
El siguiente gráfico muestra la cantidad de 
pañales usados por un bebé en los primeros días 
del mes de agosto. Halla cuántos pañales usó en 
el segundo día, si la cantidad de pañales usados 
el cuarto día es 12.
6
n.° de paÑaLes usados
 
4.o día 1.er día
3.er día2.o día
4n – 8 2n + 2
3n – 2 2n + 1
 A 7 B 8 C 4
 D 9 E 13
Al realizar un estudio sobre la preferencia por 
cuatro productos A, B, C y D, se obtuvo el siguiente 
gráfico. Determina cuántas personas fueron 
encuestadas, si las que prefieren D exceden en 
6 a las que prefieren A.
7
enCuesta sobre La preferenCia 
de produCtosA B C D
n.
° d
e 
pe
rs
on
as
30
a4
bc
b0
Productos
 A 72 B 84 C 70
 D 60 E 80
Nivel II
173MateMática Delta 4 - aritMética
El gráfico circular representa la preferencia de 
720 estudiantes por cuatro áreas. Descubre 
cuántos estudiantes más prefieren Comunicación 
que Ciencia, Tecnología y Ambiente.
9
preferenCias por materia
50°
2φ φ
Matemática C.T.A.
Ciencias 
sociales
Comunicación
 A 70 B 160 C 120
 D 140 E 90
El diagrama de barras indica la cantidad de 
alumnos participantes en la etapa eliminatoria del 
concurso de matemática realizado en cada una de 
las siete sedes de una institución educativa, que 
están enumeradas del 1 al 7. Encuentra cuántos 
alumnos corresponden a las sedes de números 
impares, si en total son 9000 participantes.
8
partiCipantes en La eLiminatoria deL 
ConCurso de matemátiCa, 2017
20n
16n
9n
5n
4n
Sedes
1 2 3 4 5 6 7
n.
° d
e 
al
um
no
s
 A 6400 B 3000 C 5600
 D 4200 E 4800
El histograma muestra la cantidad de metros 
de cable de cobre n.º 14 que fueron vendidos. 
Determina cuántos clientes compraron desde 
26 m hasta menos de 39 m de alambre.
10
 A 90 B 100 C 65
 D 95 E 85
metros vendidos de CabLe 
de Cobre n.º 14, seGún n.º de 
CLientes 
60
40
30
20
24 30 36 42 48
Metros vendidos
n.
° d
e 
cl
ie
nt
es
Jenny desea viajar a Arequipa y la empresa L le 
ofrece un vuelo de ida y vuelta, cuyo costo es 
como se muestra en los cuadros.
11
Ida
Salida Llegada Costo
15:05 16:30 S/ 73,00
08:50 10:15 S/ 58,00
19:55 21:20 S/ 46,00
Vuelta
Salida Llegada Costo
14:20 15:50 S/ 73,00
I. Encuentra cuál de esas opciones le conviene 
elegir a Jenny. Brinda como respuesta la hora 
del viaje de ida.
II. Cuánto gastaría por la compra del pasaje más 
barato de ida y vuelta, si no se incluye el costo 
de IGV (Impuesto General a las Ventas). 
Considera que se aplica una tasa del 18 % al 
valor de la compra realizada y esta es pagada 
por el consumidor.
 A 19:55 – 21:20; S/ 100,85
 B 08:55 – 10:15; S/ 100,85
 C 15:05 – 16:30; S/ 100,85
 D 19:55 – 21:20; S/ 96,45
 E 08:55 – 10:15; S/ 96,45
174
En un colegio hay cuatro salones de 6.º de primaria. 
En el gráfico, se observa la nota promedio de cada 
aula en el curso de Matemática. En la sección A, 
hay 20 alumnos; en la sección B, hay 25 alumnos; 
en la sección C, hay 31 alumnos; y en la sección D 
hay 24 alumnos. Halla la nota promedio de todos 
los alumnos del 6.º de primaria.
14
nota promedio de Los aLumnos deL 6.° 
de primaria (por seCCiones)
N
ot
a 
pr
om
ed
io
18,0
16,7
16,2
15,2
A B C D
Sección
 A 16,587 B 16,585 C 16,557
 D 16,556 E 16,526
La siguiente tabla muestra los resultados de una 
encuesta realizada a 40 alumnos acerca de su 
peso. Marlene realizó un gráfico equivalente, en 
el cual calculó los porcentajes que representa 
cada uno de los sectores. Determina en cuáles 
de los seis porcentajes calculados se equivocó. 
Argumenta tu respuesta.
15
Aula kilogramos n.° de personas
I [30 ; 40〉 3
II [40 ; 50〉 4
III [50 ; 60〉 7
IV [60 ; 70〉 8
V [70 ; 80〉 10
VI [80 ; 90] 8
 A I y VI B II y IV C III y VI
 D III y V E VI y V
V
24,0 %
VI
20 %
IV
20,0 %
I
7,5 %
III
18,5 %
II
10,0 %
I. La producción total de polos en los dos últimos 
trimestres es menor a la producción total de 
los dos primeros trimestres.
II. La producción en el segundo trimestre excede a 
la producción del tercer trimestre en 700 polos.
III. La producción total del 2016 fue de 5800 
polos.
El gráfico muestra la producción de polos de una 
empresa en el año 2016. Indica si es verdadero 
(V) o falso (F), según corresponda.
12
produCCión de poLos, 2016 
(miles de unidades)
2,5
2,0
1,5
1,0
0,8
I II III IV
Trimestre
Pr
od
uc
ci
ón
 d
e 
po
lo
s
 A FFV B VFV C FVV
 D VVV E VVF
El siguiente gráfico muestra las golosinas que 
consume un grupo de niños. Indica verdadero (V) 
o falso (F), según corresponda.
13
GoLosinas Consumidas
por Los niÑos durante eL reCreo
19
15
8
n.
° d
e 
ni
ño
s
caramelos chocolates galletas wafer
Golosinas
I. El número de niños que consume chocolates 
es excedido en 11 por el número de niños que 
consume caramelos.
II. La cantidad de niños que consume chocolates 
es 19.
III. La cantidad de niños que consume caramelos 
es igual a la cantidad de niños que consume 
wafer.
IV. El total de niños encuestados es 50.
 A FVFF B FVVV C FVVF
 D FVFV E VVVF
Nivel III
Nombre: n.° de orden: Sección:
175MateMática Delta 4 - aritMética
Test n.° 4
6
5
7
8
1
3
4
2
Se tiene la siguiente tabla de distribución de frecuencia 
de las notas de 50 alumnos:
Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias 
respecto a las notas de 50 alumnos.
Completa los datos que faltan y responde:
Completa la tabla de distribución de frecuencias de 
5 intervalos y responde.
17 12 18 08 10 19 13 11 16 15
07 16 16 14 15 13 20 14 13 16
11 13 05 09 13 11 07 16 14 06
16 19 11 13 14 15 16 17 18 15
Completa la tabla y luego responde:
¿Qué porcentaje del total de alumnos tienen 
notas menores que 8?
¿Qué porcentaje del total de alumnos tienen 
notas mayores o iguales que 11?
¿Cuál es el intervalo que tiene mayor cantidad 
de notas que los otros?
Determina el resultado de F2 + F4 – F1.
Encuentra es el resultado de h3 + h4 – H2.
¿Cuántos alumnos tienen una nota mayor o 
igual que 8?
Calcula el resultado de f4 + F2 – h3.
Halla el resultado de h3 + H4.
La siguiente información muestra las notas de 
40 alumnos de un salón de 4.º de secundaria:
Ingreso fi Fi hi hi · 100 %
[00 ; 04〉 3
[04 ; 08〉 9
[08 ; 12〉 11
[12 ; 16〉
[16 ; 20] 0,16
n = 50 1,00 100 %
Notas fi Fi hi Hi hi ·100% Hi ·100%
[00 ; 04〉 0,10 10 %
[04 ; 08〉 0,16
[08 ; 12〉 12 25
[12 ; 16〉
[16 ; 20] 15 0,30
n = 50 1,00 100 %
Notas fi Fi hi Hi hi ·100%
n =
176
12
El gráfico muestra los gastos de editorial Escuela 
Activa en el año 2019.
a) ¿Qué ángulo central corresponde a los 
gastos en materia prima? a) ¿Qué ángulo central corresponde al sector 
que prefieren otros deportes?
b) ¿Qué porcentaje en total son los gastos en 
publicidad?
b) ¿Cuántas personas prefieren el vóley?
El siguiente gráfico muestra una encuesta 
efectuada a 1500 personas respecto de su 
deporte favorito.
10
En el siguiente gráfico se muestra los gastos 
realizados por la familia Acosta. Además, se 
sabe que en educación se gasta S/ 1200.
¿Cuál es el ingreso total de la familia Acosta?
Educación
20 %
Otro
10 %
Vivienda
28 %
Alimentos
42 %
Gastronomía
(3n)º
(2n)º
Contabilidad
Otros Vóley
28 %
Básquet
22 %
Fútbol
30 %
Administración
Computación
60º
Farmacia
40º
Materia 
prima
$ 90 000
Sueldos
$ 150 000
Publicidad
$ 40 000 Otros
$ 80 000
9 El siguiente gráfico circular muestra las 
preferencias de un grupo de 540 alumnos de un 
instituto superior, sobre las carreras técnicas que 
ofrece:
11
Descubre cuántos alumnos prefieren la carrera 
de Administración.
EL ACUERDO NACIONAL
El 22 de julio de 2002, los representantes de las 
organizaciones políticas, religiosas, del Gobierno y de la 
sociedad civil, firmaron el compromiso de trabajar, todos, 
para conseguir el bienestar y desarrollo del país. Este 
compromiso es el Acuerdo Nacional.
El Acuerdo persigue cuatro objetivos fundamentales. 
Para alcanzarlos, todos los peruanos de buena voluntad 
tenemos, desde el lugar que ocupemos o el rol que 
desempeñemos, el deber y la responsabilidad de decidir, 
ejecutar, vigilar o defender los compromisos asumidos. 
Estos son tan importantes que serán respetados como 
políticas permanentes para el futuro.
Por esta razón, como niños, niñas, adolescentes o 
adultos, ya sea como estudiantes o trabajadores, 
debemos promover y fortalecer acciones que garanticen 
el cumplimiento de esos cuatro objetivos que son los 
siguientes:
1. Democracia y Estado de Derecho
 La justicia, la paz y el desarrollo que necesitamos los 
peruanos solo se pueden dar si conseguimos una 
verdadera democracia. El compromiso del Acuerdo 
Nacional es garantizar una sociedad en la quelos 
derechos son respetados y los ciudadanos vivan 
seguros y expresen con libertad sus opiniones a partir 
del diálogo abierto y enriquecedor; decidiendo lo mejor 
para el país.
2. Equidad y justicia social
 Para poder construir nuestra democracia, es necesario 
que cada una de las personas que conformamos esta 
sociedad, nos sintamos parte de ella. Con este fin, el 
Acuerdo promoverá el acceso a las oportunidades 
económicas, sociales, culturales y políticas. Todos los 
peruanos tenemos derecho a un empleo digno, a una 
educación de calidad, a una salud integral, a un lugar 
para vivir. Así, alcanzaremos el desarrollo pleno.
3. Competitividad del país
 Para afianzar la economía, el Acuerdo se compromete 
a fomentar el espíritu de competitividad en las 
empresas, es decir, mejorar la calidad de los productos 
y servicios, asegurar el acceso a la formalización de las 
pequeñas empresas y sumar esfuerzos para fomentar 
la colocación de nuestros productos en los mercados 
internacionales.
4.	 Estado	eficiente,	transparente	y	descentralizado
 Es de vital importancia que el Estado cumpla con sus 
obligaciones de manera eficiente y transparente para 
ponerse al servicio de todos los peruanos. El Acuerdo 
se compromete a modernizar la administración pública, 
desarrollar instrumentos que eliminen la corrupción o 
el uso indebido del poder. Asimismo, descentralizar 
el poder y la economía para asegurar que el Estado 
sirva a todos los peruanos sin excepción.
Mediante el Acuerdo Nacional nos comprometemos a 
desarrollar maneras de controlar el cumplimiento de 
estas políticas de Estado, a brindar apoyo y difundir 
constantemente sus acciones a la sociedad en general.
LEY DEL 25-02-1825 LEY DEL 25-02-1825
LOS SÍMBOLOS DE LA PATRIA
BANDERA NACIONAL ESCUDO NACIONAL
D
el
ta
 e
di
to
re
s®
4
Secundaria
A
R
IT
M
É
T
IC
AResuelve problemas de cantidad
La serie Matemática responde a los estándares educativos nacionales 
e internacionales. Cumple con los indicadores pedagógicos actuales 
establecidos por el Ministerio de Educación.
La estructura de sus contenidos posibilita el desarrollo del pensamiento 
abstracto en los estudiantes del nivel secundario. 
El texto responde al enfoque centrado en la Resolución de problemas, 
el cual promueve y facilita que los estudiantes logren las siguientes 
competencias:
Resuelve problemas de gestión de datos e incertidumbre
Resuelve problemas de regularidad, equivalencia y cambio
ARITMÉTICA
Matemática
Delta