LIBRO DE ARITMETICA 2

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E D U C A C I Ó N S E C U N D A R I A
2
Aritmética
ARITMÉTICA 2
El libro de ARITMÉTICA 2, para el segundo año de educación secundaria, se complementa con el 
CUADERNO DE TRABAJO ARITMÉTICA 2 y ha sido elaborado por el Departamento Académico de 
la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado de Lima, Lima.
 Título de la obra: Aritmética 2
 Título de la colección: Geniomatic Educación Secundaria
 Director Académico: Hernán Hernández Bautista
 Editores Responsables: Hernán Hernández Bautista
 Angel Aponte Espinoza
 Asesor Académico: Angel Aponte Espinoza
 Diseño y Diagramación: Marco Antonio Lizárraga Podestá 
 Eduardo Tomas Granados Marcelo
 Norma Guadalupe Guerrero Noel 
 Corrección de Estilo: Victor Francisco Bautista
 Fotografía: Yuri Hernández Oblea 
 Hernán Hernández Bautista
 Páginas web 
 Primera edición: Setiembre 2015
 Tiraje: 5000 ejemplares
Editado por:
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima
Telefax: (511) 426-4853
www.editorialingenio.pe
E-mail:editorial.ingenioyho@gmail.com
Impreso en los talleres gráficos de Corporación Gráfica Navarrete S.A.
Carretera Central 759 km 2 Sta. Anita - Lima 43
Impreso en Octubre 2015
Teléfono: (01) 362-0606
Copyright © 2015
Geniomátic E.I.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio, sin permiso escrito de 
GENIOMÁTIC
Número de Proyecto Editorial: 31501001501087
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-13913
ISBN: 978-612-4302-03-9
AL MAESTRO:
El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo, 
la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los 
alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia. 
El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio 
de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor que desarrollamos con los textos 
escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria. 
Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una 
formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los 
aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades 
que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en 
permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la 
ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos en cuenta las características, las nece-
sidades y los derechos de los púberes y adolescentes“.
La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic 
pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que 
aligere el trabajo con sus estudiantes. 
AL ESTUDIANTE: 
¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante 
para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que 
hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil 
de comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje. 
La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5 
más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en 
50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en 
caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario, 
debo bajar la velocidad. 
Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, como 
calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de pro-
ducción de un artefacto, etc. 
Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas ma-
temáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, imaginar, cuestionar, 
verificar, proponer, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquie-
tudes y trabajar en equipo. 
En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación 
práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Ade-
más, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán 
sobre el tema principal. 
Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares 
a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar, 
reforzar y profundizar tus conocimientos. 
PRESENTACIÓN
32 
4 2
Número de la unidad
Título de la unidad
Título del capítulo
Número de capítulo
Generación del conflicto cognitivo
Es una pregunta que tendrás que responder 
con el desarrollo o al terminar el capítulo. 
Información complementaria
Lecturas, notas, observación, historias, 
recursos tecnológicos, que contribuyen a 
reforzar y recrear el tema.
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del 
tema. 
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del 
tema. 
Recuperación de saberes previos
Plantea situaciones que te servirán de 
base para iniciar el tema nuevo. Es algo 
que conoces o has tratado en los capítulos 
anteriores. 
Formalización 
Continúa las definiciones y conceptos de 
los términos matemáticos.
Actividad
Es un conjunto de preguntas sobre análisis, 
reflexión, de valoración, demostración, 
cálculo, búsqueda de relaciones, para que 
desarrolles, individual o colectivamente, con 
apoyo de tu profesor o tus compañeros. 
Imagen secundaria
Imagen que muestra un detalle relacio-
nado con el tema de la lectura.
Aprendizajes esperados y actividades
Contienen el listado de las capacidades 
que desarrollarás en la unidad.
Imagen motivadora
Fotografía ilustrada que conecta una situa-
ción real con el tema de aprendizaje.
Lectura motivadora
Explica la relación entre la Matemática y 
una situación objetiva. Además, formula 
preguntas que propician el análisis y 
reflexión sobre el tema. 
6 2
RELACIONES LÓGICAS Y NÚMEROS NATURALES
CAMÉLIDOS SUDAMERICANOS 
Del universo de los animales denominados camélidos sudameri-
canos (llama, alpaca, vicuña, guanaco) el guanaco se encuentra 
en peligro de extinción, sobre todo en el Perú. Es el ancestro de 
la llama, alpaca y guanaco modernos. Es silvestre igual que la 
vicuña.
- Busca características comunes entre el guanaco y la vicuña, en-
tre el guanaco y la llama, entre la llama y la alpaca y las carac-
terísticas comunes entre los cuatro camélidos. 
http://www.peruecologico.com.pe/fau_guanaco_1.htm
 
APRENDIZAJES ESPERADOS
Unidad
01
Torres del Paine National Park
Chaccu de vicuñas - Hu
ancavelica
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Reconoce el valor de 
verdad de proposicio-
nes lógicas.
• Interpreta datos a 
partir de inferencias 
deductivas.
• Convierte números de 
una base a otra.
• Representa en forma 
simbólica un enunciado.
• Escribe números natu-
rales en distintas bases.
• Utiliza las operaciones 
en N para comunicar 
resultados.
• Elabora estrategias 
para resolver problemas 
de relaciones de lógica. 
• Resuelve problemas de 
conteo de cifras.
• Usa diversas estrategias 
para resolver problemas 
con números naturales.
• Justifica el uso de las 
proposiciones lógicas.
• Argumenta la impor-
tancia del cambio de 
base y sus operaciones.
• Establece reglas para 
operar en N.
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
16 2
04CAPÍTULO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
SuceSión aritmética
Estos son los números impares. Au-
mentando dos esferas, una en cadaextremo de la escuadra, podemos 
seguir dibujando la secuencia infini-
tamente. 
Las esferas forman una sucesión gráfica, y los números, una sucesión numé-
rica. Las sucesiones numéricas son muy diversas, aquí trataremos la suce-
sión aritmética. 
Una sucesión aritmética es un conjunto de números, llamados términos, 
en el que, dado el primero, cada término siguiente se obtiene sumando al 
anterior un mismo número llamado razón. 
Fórmula de recurrencia o término general 
• Como va de 4 en 4 (razón), el 
 término general contiene 4n.
• Para n = 1 debe producir 7, 
 entonces es 4n + 3. 
El término general se denota por tn, en este caso tn = 4n + 3. 
Para n = 1 debe resultar 7. En efecto, t1 = 4(1) + 3 = 7
Para n = 3 debe resultar 15. En efecto, t3 = 4(3) + 3 = 15
Para calcular el número de términos de la sucesión nos preguntamos, para 
qué valor de n resulta 195:
4n + 3 = 195 ⇒ n = 48 (tiene 48 términos)
Problema 1
¿Cuántos términos de la sucesión 
3; 12; 21; 30; ..., tienen 3 cifras? 
Solución:
• Término general: tn = 9n – 6 
• Tienen n 3 cifras:
100 ≤ 9n – 6 < 1000
mín = 12 máx = 111
∴ Hay 111 – 11 = 100 términos 
 Rpta.: 100
¿La suma es siem-
pre mayor que las 
partes?
Pachapupo - Ayacucho
ADICIÓN
Con el paso del tiempo 
la naturaleza construye 
maravillas, molécula por 
molécula. 
Dada la sucesión aritmética: 
t1, t2, t3, ... tn
r r
• Término anterior al primero
 t0 = t1 – r
• Término general
 tn = rn + t0
• Número de términos: 
 
n = 
tn – t1 
r + 1 o
n = 
tn – t0 
r 
Datos
1 3 5 7
7; 11; 15; 19; ... ; 195
1° término
último 
término
razón
número de 
términosn 
4 4 4 
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
12 2
CAPÍTULO 02 NUMERACIÓN
1 Si un número de dos cifras es igual a 5 veces su 
cifra de unidades, calcula la suma de sus cifras.
2 Calcula a + b si 5ab = 1ab 
3 Indica el o los numerales mal escritos.
 1. 28(3) 3. 2222(9)
 2. 126(5) 4. 761(8)
4 Ordena de mayor a menor los siguientes núme-
ros:
 1. 34(8) 2. 45(6) 3. 1101(2)
5 Indica si es verdadero (V) o falso (F).
 1. 32(6) < 33(7) ( )
 2. 43(5) > 44(6) ( )
 3. 71(8) > 72(9) ( )
6 Halla los valores de a, b, c y d si los siguientes 
números están bien escritos. Da como respuesta 
la suma de ellos.
 a1(b) ; b1(d) ; 2d3(c) ; c1(5)
7 Halla el valor de "x" en:
421(x) = 133(9) 
8 Si 203(m) = 120(m + 1)
 calcula "m" 
9 Calcula el valor de c + b + n en:
346(n) = 2bc(8) 
10 Halla "a" si:
43 = 1aa(6) 
Actividad 02
Problema 5
Si ab = 1
3
 (1ab), calcula a × b.
Solución:
3ab = 100 + ab
2ab = 100 ⇒ ab = 50
a = 5 ∧ b = 0
∴ a × b = 0
Rpta.: 0
Problema 7
Si a2b(9) = a72(n) , halla el valor de a×b×n.
Solución:
De la expresión: a72(n) ⇒ 7 < n < 9 ⇒ n = 8
⇒ a2b(9) = a72(8)
81a + 18 + b = 64a + 56 + 2
17a + b = 40 ⇒ a = 2; b = 6 
∴ a×b×n = 96
Rpta.: 96 
Problema 6
Calcula "x" en abcd(x) si el máximo valor de 
a + b + c + d es 88.
Solución:
a = b = c = d = x – 1
⇒ 4(x – 1) = 88
 x – 1 = 22 ⇒ x = 23
∴ x = 23
Rpta.: 23
Problema 8
Si 123 = aaabc3, halla a + b + c. 
Solución:
123 en base 3
 
 ⇒ 123 = 111203 = aaabc3
 ∴ a + b + c = 3
 Rpta.: 3
123 3
0 41 3
2 13 3
1 4 3
1 1
I 
B
IM
ES
TR
E
ESTRUCTURA DEL TEXTO
Sección inicial de la unidad 
Sección central
52 
ÍNDICE
SECCIÓN INICIAL SECCIÓN CENTRAL ACTIVIDAD
 
Capítulo 01: Conectivos lógicos
 Análisis de las proposiciones compuestas básicas 
Capítulo 02: Numeración 
 Sistema de numeración, cambio de base 
Capítulo 03: Conteo de números y cifras
 Método combinatorio, cifras condicionales 
Capítulo 04: Operaciones con números enteros I 
 Adición
 Sucesión aritmética
 Serie aritmética
Capítulo 05: Operaciones con números enteros II
 Sustracción, complemento aritmético 
Capítulo 06: Operaciones con números enteros III
 Multiplicación, división
 
Actividad 01
Actividad 02
Actividad 03
Actividad 04
Actividad 05
Actividad 06 
01
6
RELACIONES LÓGICAS Y 
NÚMEROS NATURALES 
 7
10
13
16
19
21
 9
12
15
18
20
23
 
Capítulo 07: Principios de divisibilidad
 Criterios de divisibilidad 
Capítulo 08: Números primos
 Estudio de los divisores de un número 
Capítulo 09: MCM Y MCD
 Métodos de obtención del MCM y MCD 
 Propiedades del MCM y MCD
Capítulo 10: Números racionales I 
 Fracciones 
Capítulo 11: Números racionales II
 Homogenización de fracciones, comparación
 de fracciones
Capítulo 12: Operaciones con fracciones 
 Problemas de adición, sustracción, multiplicación y división 
Actividad 07
 
Actividad 08
Actividad 09
Actividad 10
Actividad 11
Actividad 12
24
02
PROPIEDADES DE 
LOS NÚMEROS
25
29
31
33
36
38
28
30
32
35
37
39
 
Capítulo 13: Números decimales I
 Clasificación de los números decimales,
 fracción generatriz 
Capítulo 14: Números decimales II 
 Operaciones con decimales 
Capítulo 15: Razones y proporciones
 Razones
 Serie de razones geométricas equivalentes 
Capítulo 16: Magnitudes proporcionales
 Reparto proporcional
Capítulo 17: Regla de tres 
 Directa, inversa y compuesta 
Capítulo 18: Tanto por ciento
 Aplicaciones del tanto por ciento, descuento
 y aumento sucesivos 
Actividad 13
 
Actividad 14
Actividad 15
Actividad 16
Actividad 17
Actividad 18
41
44
47
50
 
53
55
40
03
NÚMEROS RACIONALES 
Y PROPORCIONALIDAD
43
46
49
52
54
59
 
Capítulo 19: Estadística
 Tabla de distribución de frecuencias 
Capítulo 20: Gráficos estadísticos I
 Gráfico de barras, diagramas circulares,
 pictogramas 
Capítulo 21: Gráficos estadísticos II
 Histogramas 
Capítulo 22: Medidas de tendencia central
 Media, moda, mediana, promedio ponderado 
Capítulo 23: Combinaciones y permutaciones
 Variaciones 
Capítulo 24: Probabilidad
 Experimento aleatorio, probabilidad de un evento 
Actividad 19
Actividad 20
Actividad 21
Actividad 22
Actividad 23
Actividad 24
 
61
65
69
72
75
77
60
04
ESTADÍSTICAS Y 
PROBABILIDADES 
63
67
70
74
76
80
6 2
RELACIONES LÓGICAS Y NÚMEROS NATURALES
CAMÉLIDOS SUDAMERICANOS 
Del universo de los animales denominados camélidos sudameri-
canos (llama, alpaca, vicuña, guanaco) el guanaco se encuentra 
en peligro de extinción, sobre todo en el Perú. Es el ancestro de 
la llama, alpaca y guanaco modernos. Es silvestre igual que la 
vicuña.
- Busca características comunes entre el guanaco y la vicuña, en-
tre el guanaco y la llama, entre la llama y la alpaca y las carac-
terísticas comunes entre los cuatro camélidos. 
http://www.peruecologico.com.pe/fau_guanaco_1.htmAPRENDIZAJES ESPERADOS
Unidad
01
Torres del Paine National Park
Chaccu de vicuñas - Hu
ancavelica
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Reconoce el valor de 
verdad de proposicio-
nes lógicas.
• Interpreta datos a 
partir de inferencias 
deductivas.
• Convierte números de 
una base a otra.
• Representa en forma 
simbólica un enunciado.
• Escribe números natu-
rales en distintas bases.
• Utiliza las operaciones 
en N para comunicar 
resultados.
• Elabora estrategias 
para resolver problemas 
de relaciones de lógica. 
• Resuelve problemas de 
conteo de cifras.
• Usa diversas estrategias 
para resolver problemas 
con números naturales.
• Justifica el uso de las 
proposiciones lógicas.
• Argumenta la impor-
tancia del cambio de 
base y sus operaciones.
• Establece reglas para 
operar en N.
72
CONECTIVOS LÓGICOS
Una proposición es un enunciado que puede ser calificado como verdade-
ro o falso, y se puede representar por las letras p, q, r ...... llamadas variables. 
Ejemplo:
p: 2 + 7 > 5
q: 13 es un número primo 
p: (V)
q: (V)
r: (F)r: 2 + 7 > 5
Conectivos Lógicos
Análisis de lAs proposiciones compuestAs básicAs
 
CONJUNCIÓN (∧) 
 
"Andy es policía y estudia derecho"
p ∧ q
 
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Tabla de 
verdad de la 
conjunción
DISYUNCIÓN DÉBIL (∨) p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
Tabla de 
verdad de la 
disyunción 
débil.
 
"Andy es policía o estudia derecho"
p ∨ q 
Términos usados Símbolo
Nombre del
Conectivo 
No es cierto que..... ∼ Negación
..... y ..... ∧ Conjunción
..... o ..... ∨ Disyunción Inclusiva
o bien ..... o bien ..... ∆ Disyunción Exclusiva
Si ..... entonces ⇒ Condicional
..... si y solo si ..... ⇔ Bicondicional
1. ENUNCIADO.
Es toda expresión que tiene 
sentido en un determinado 
contexto.
 Ejemplo:
• ¡Socorro!
• ¿Cómo te llamas? 
• Te extraño mucho
• Estudia para tu examen
• x + 5 = 8 
2. VALOR DE VERDAD.
Una proposición sólo puede 
ser falsa (F) o verdadera (V).
El calificativo falso o verda-
dero es el valor de verdad 
o valor veritativo de una 
proposición.
V(p) = V ← Valor de p es 
 verdadero.
V(q) = F ← Valor de q es 
 falso.
Ten Presente
2
¿Qué es una 
proposición?
Es imposible que tú 
no seas Marco.
¿?
01CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
8 2
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
1. PROPOSICIÓN SIMPLE Y 
COMPUESTA 
 Una proposición es simple si 
no tiene conectivos, en caso 
contrario es compuesta. 
 • p → q : compuesta
 • p ∨ q : compuesta
2. ESQUEMA MOLECULAR
La representación simbólica 
de una proposición com-
puesta se llama esquema 
molecular. 
Ten Presente
2
Datos
NEGACIÓN (∼)
La negación es un conectivo 
que cambia el valor de verdad 
de una proposición. 
∼ p:
No p
Es falso p
No es cierto que p
Disyunción fuerte:
p ∆ q ≡ ∼ (p ↔ q)
Condicional:
p → q ≡ ∼ p ∨ q
Leyes de Morgan:
∼(p ∨ q) ≡ ∼ p ∧ ∼ q
∼(p ∧ q) ≡ ∼ p ∨ ∼ q
Problema 1
Sean: p : 12 > 19
 q : 5 ≤ 5
Halla el valor de (p ∧ q) ∨ (q ∧ p)
Solución:
• V(p) = F y V(q) = V
• (p ∧ q) ∨ (q ∧ p) ≡ F
FF F V V F F
Rpta: F
CONDICIONAL (→) 
 
Si Andy es
policía
estudia 
derechoentonces
p → q 
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
Tabla de 
verdad de la 
condicional
BICONDICIONAL (↔) 
 
 
Andy es
policía
estudia 
derechosi, y sólo si,
p ↔ q 
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Tabla de 
verdad de la 
bicondicional
Problema 2
Sean p: 5 < 8; q: 7 es par y r: 9 es 
primo. Determina el valor de ver-
dad de:
 [(p → q) ∧ r] ∨ (p ↔ r)
Solución:
• V(p) = V, V(q) = F y V(r) = F
[(p → q) ∧ r] ∨ (p ↔ r)
FF FF FV V F F
 Rpta.: F
Problema 3
Determina el valor de: (p → q) ∧ (∼ q ∨ p) 
para todas las combinaciones de valores 
de p y q. 
Solución:
Elaboramos la tabla de verdad del es-
quema.
p q (p → q) ∧ (∼ q ∨ p)
V V V V F V V
V F F F V V V
F V V F F F F
F F V V V V F 
 Rpta.: VFFV
Problema 4
Si el esquema (p ∧ q) → ∼ r es falso, deter-
mina el valor de (∼p ∆ r) ∨ [∼ (p ∧ q) → r]
Solución:
• 
V V
V
V
F
F
(p ∧ q) → ∼ r V(p) = V
V(q) = V
V(r) = V
 
• 
V V
V
V
F
(∼ p ∆ r) ∨ [∼ (p ∧ q) → r]
La disyunción es verdadera 
si uno de los términos es 
verdadero. 
Rpta: V
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
92 
CAPÍTULO 01CONECTIVOS LÓGICOS
1 Son proposiciones lógicas.
 1) 5 > 8
 2) ¡Socorro!
 3) 1 + 2 + 3 + 4 = 10 
2 Determina el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones:
 p: 2 4 8 = 43 × × 
 q: 1+ 3 + 5 + 7 + 9 = 5 
 r: La suma de dos números siempre es impar.
3 Determina cuál o cuáles son proposiciones sim-
ples.
 a) Ángel es abogado.
 b) El cuadrado y el rombo son cuadriláteros.
 c) No es cierto que cero sea un número par.
4 Representa simbólicamente: 
 a) 15 es impar y múltiplo de 5.
 b) 18 es número par y primo.
 c) 35 no es par o es primo.
5 Si los valores de verdad de p, q y r son F, V y F, 
respectivamente. Halla el valor de verdad de los 
siguientes esquemas moleculares:
 (1) p → q (2) ∼q ↔ r (3) (p ∨ ∼r)
6 Si ∼p → q es falso determina el valor de p ∨ q. 
7 Clasifica los siguientes esquemas moleculares 
como tautológico (T), contingente (C) o contra-
dictorio (F).
 1. (∼p → q) ∨ (p ∨ q) 
 2. (p ∨ q) ∨ ∼q 
 3. (p ∨ ∼q) ∧ ∼p 
8 Si la proposición compuesta: ∼[(q ↔ r) ∧ ∼(r ∨ t)] 
es falsa, halla el valor de verdad de las proposi-
ciones: q, r, t, respectivamente.
9 Si la proposición p ∨ q es falsa, determina cuáles 
de las siguientes proposiciones son verdaderas.
 a) p ∧ q c) p ∧ ∼q
 b) ∼p ∨ q d) ∼(p → q) 
10 Si @ es un operador lógico definido mediante la 
tabla:
 
p q p @ q
V V
V F
F V
F F
V
V
F
V
 Determina el resultado de evaluar la proposi-
ción:
 ∼(p @ q) @ (p @ ~q)
Actividad 01
Problema 5
Indica el valor de verdad de las siguientes propo-
siciones:
I. (2 + 7 = 9) ∨ (6 – 2 = 5)
II. (4 – 3 = 2) ∨ (5 – 3 = 1) 
III. (4 + 4 = 8) ∨ (5 – 3 > 1)
IV. (2 × 6 = 12) ∨ (3 × 2 = 3) 
Solución:
I. (2 + 7 = 9) ∨ (6 – 2 = 5) ≡ V
 
II. (4 – 3 = 2) ⇒ (5 – 3 = 1) ≡ V
 
III. (4 + 4 = 8) ∧ (5 – 3 = 1) ≡ V
 
IV. (2 × 6 = 12) ⇔ (3 × 2 = 3) ≡ F
 Rpta.: VVVF
V F
F F
V V
V F
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
10 2
02CAPÍTULO NUMERACIÓN 
SISTEMA DE NUMERACIÓN
No podemos utilizar un símbolo di-
ferente para cada número, porque 
necesitaríamos infinitos símbolos, 
por lo que utilizamos combinacio-
nes de símbolos. 
0 1 2 43 5
6 7 8 109
Al último conjunto se le asigna, en 
lugar de un símbolo nuevo, la com-
binación de 1 y 0 (Base 10). 
Así, para representar los números, 
se ha creado un sistema de símbo-
los bajo tres principios (ver a la de-
recha), el cual se denomina Sistema 
de numeración. 
Datos
1. NUMERAL 
Representación simbólica de 
un número. 
• Sean: 
 
ab = 5⋅2 = 10
ab = 52
bb = 22
a = 5; b = 2
2. ORDEN
 
475 1° orden
2° orden
3° orden
El orden es el lugar que 
ocupa una cifra. Según el 
orden (según su posición en 
el numeral) la cifra tiene un 
valor relativo.
En 456
Representa
5⋅10 = 50
En 456(9) Representa
5⋅9 = 45
3. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Todo numeral se puede ex-
presar como la suma de sus 
valores relativos. 
• 472 = 4⋅102 + 7⋅10 + 2
• 536(7) = 5⋅7
2 + 3⋅7 + 6
 ⇒ 536(7) = 272
Obsérvese que en base 7, el 
numeral 536 representa el 
número doscientos setenta y 
dos en base 10. 
536(7) se lee "cinco tres seis 
en base siete". 
Para Dila, Solú, ... creo que 
no va alcanzar ¿Cuál es la diferen-
cia entre número y 
numeral?
PRINCIPIOS DEL SISTEMA DE 
NUMERACIÓN 
1. De la base
Cuando la base es 10, con 10 
unidades se forma una decena, 
unidad de 2° orden. 
Si la base es 5, con cinco unida-
des se forma una unidad de 2° 
orden.
10(5)
"La base siempre es un número 
natural mayor que 1"
2. De la cifra
Para escribir en base n se usan 
n cifras,todas menores que la 
base: 
 
0; 1; 2; 3; ... ; n – 1
cero cifras significativas
3. Del valor relativo
En 4272 Representa 2
Representa 200
Aparte de su figura (valor absoluto) 
la cifra tiene un valor (valor relati-
vo) por su ubicación en el numeral. 
I 
B
IM
ES
TR
E
CUATROCUATRO 4
Para contar objetos los hacemos co-
rresponder con elementos conoci-
dos, (dedos de la mano), a los que 
damos nombres (cero, uno, dos, ...) 
y símbolos (0; 1; 2; ...) los cuales for-
man el conjunto de los números na-
turales, representado por N: 
N = {0; 1; 2; 3; ... ; +∞}
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
112 
CAPÍTULO 02NUMERACIÓN
ObservaciónObservación
• La cifra es siempre menor 
que la base. A lo más es 
menor en 1 a la base. 
• La enumeración de las cifras 
es de izquierda a derecha, lo 
contrario del orden, que es 
de derecha a izquierda. 
4762
1° cifra
2° cifra
3° cifra
4° cifra
1° orden
2° orden
3° orden
4° orden
Problema 1
Escriba los 15 primeros números naturales distintos de cero en base 3. 
Solución:
1 ; 2 ; 10(3) ; 11(3) ; 12(3) ; 20(3) ; 21(3 ); 22(3) ; 100(3) ; 101(3 ); 102(3) ; 
110(3) ; 111(3 ); 112(3) ; 120(3).
CAMBIO DE BASE
De base 10 a base n (n ≠ 10) 
• Escribamos 30 en base 4
 
30 = 132(4)
1
3
2
 En forma práctica: 
 
30 = 132(4)
30 4
47
3 1
2
De base n a base 10 (n ≠ 10) 
• Escribamos 132(4) en base 10.
Representa 2
Representa 3⋅4
Representa 3⋅42 
 ⇒ 132(4) = 1⋅4
2 + 3⋅4 + 2 = 30
• Escribamos 2504(6) en base 10.
 2504(6) = 2⋅6
3 + 5⋅62 + 4
 2504(6) = 432 + 180 + 4 = 616
 ∴ 2504(6) = 616
Problema 2
Si a50(b), x6y(a) y b36(9) están co-
rrectamente escritos, calcula a + b.
Solución:
a50(b) , x6y(a) , b36(9)
a < b 6 < a b < 9
6 < a < b < 9 ⇒ a + b = 15
7 8
Rpta.: 15
Problema 3
Un numeral de dos cifras de la 
base 10 invierte sus cifras cuando 
se lo escribe en base 7. Identifica 
este numeral. 
Solución:
• ab = ba(7)
 10a + b = 7b + a
 9a = 6b ⇒ 
a
b
 = 
2
3
 = 
4
6
∴ab = 23; 46
Rpta.: 23 o 46
Problema 4
Calcula a + b + c si ab5 = cc6c(7). 
Solución:
ab5 = c⋅73 + c ⋅72 + 6⋅7 + c
ab5 = 393c + 42 (1)
...5 ...2
393c debe terminar en 3 ⇒ c = 1 
En(1): ab5 = 393(1) + 42 = 435
∴ a + b + c = 4 + 3 + 1 = 8
Rpta.: 8
NUMERAL CAPICÚA
Es aquel cuyas cifras equidis-
tantes de la central son iguales: 
• 747 • abba
• aba • abcba
Datos
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
12 2
CAPÍTULO 02 NUMERACIÓN
1 Si un número de dos cifras es igual a 5 veces su 
cifra de unidades, calcula la suma de sus cifras.
2 Calcula a + b si 5ab = 1ab 
3 Indica el o los numerales mal escritos.
 1. 28(3) 3. 2222(9)
 2. 126(5) 4. 761(8)
4 Ordena de mayor a menor los siguientes núme-
ros:
 1. 34(8) 2. 45(6) 3. 1101(2)
5 Indica si es verdadero (V) o falso (F).
 1. 32(6) < 33(7) ( )
 2. 43(5) > 44(6) ( )
 3. 71(8) > 72(9) ( )
6 Halla los valores de a, b, c y d si los siguientes 
números están bien escritos. Da como respuesta 
la suma de ellos.
 a1(b) ; b1(d) ; 2d3(c) ; c1(5)
7 Halla el valor de "x" en:
421(x) = 133(9) 
8 Si 203(m) = 120(m + 1)
 calcula "m" 
9 Calcula el valor de c + b + n en:
346(n) = 2bc(8) 
10 Halla "a" si:
43 = 1aa(6) 
Actividad 02
Problema 5
Si ab = 1
3
 (1ab), calcula a × b.
Solución:
3ab = 100 + ab
2ab = 100 ⇒ ab = 50
a = 5 ∧ b = 0
∴ a × b = 0
Rpta.: 0
Problema 7
Si a2b(9) = a72(n) , halla el valor de a×b×n.
Solución:
De la expresión: a72(n) ⇒ 7 < n < 9 ⇒ n = 8
⇒ a2b(9) = a72(8)
81a + 18 + b = 64a + 56 + 2
17a + b = 40 ⇒ a = 2; b = 6 
∴ a×b×n = 96
Rpta.: 96 
Problema 6
Calcula "x" en abcd(x) si el máximo valor de 
a + b + c + d es 88.
Solución:
a = b = c = d = x – 1
⇒ 4(x – 1) = 88
 x – 1 = 22 ⇒ x = 23
∴ x = 23
Rpta.: 23
Problema 8
Si 123 = aaabc3, halla a + b + c. 
Solución:
123 en base 3
 
 ⇒ 123 = 111203 = aaabc3
 ∴ a + b + c = 3
 Rpta.: 3
123 3
0 41 3
2 13 3
1 4 3
1 1
I 
B
IM
ES
TR
E
132
CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS
método combinAtorio
¿Cuántos numerales de tres cifras de la base 8 
poseen todas sus cifras impares?
Supóngase que a = 1 y b = 1, entonces c pue-
de tomar los valores impares del 1 al 7. Así se 
forman los numerales 111, 113, 115 y 117, cua-
tro numerales. Para a = 1 y b = 3, nuevamente c 
toma 4 valores y se forman 131; 133; 135 y 137. 
Por lo tanto por cada valor de b, c toma 4 valo-
res. Pero mientras a permanece como 1, b puede 
tomar 4 valores, entonces se forman 4⋅4 = 16 
números. Pero a también puede tomar 4 valores, y como por cada valor de a 
hay 16 numerales, entonces, en total se forman 4 ⋅16 = 64 numerales. Observa 
el esquema de la derecha.
Problema 1
¿Cuántos numerales de tres cifras no usan 
cifra 2 ni 3 en su escritura? 
Solución:
El numeral es de la forma abc, donde a, b 
ni c no pueden tomar valores 2 ni 3.
a b c 
1 0 0
4 1 1 
5 4 4
   
9 9 9
7·8·8 = 448 Rpta.: 448
cifrAs condicionAles
¿Cuántos numerales tienen la forma a(b + 2)(a – 2)b?
Obsérvese que a no puede ser 1. De lo contrario la 
tercera cifra resultaría negativa. 
Por su parte, b no puede ser 8. De lo contrario la se-
gunda cifra resultaría 10.
Por lo tanto, los números de esta forma son los que 
se forman con los valores admisibles de a y b. 
¿Cuántas parejas di-
ferentes se forman 
con 4 hombres y 6 
mujeres?
La mayoría de danzas 
se practica en parejas. 
Cada pareja es una 
combinación de un 
hombre y una mujer. 
En la base 8 hay 64 
numerales con todas 
sus cifras impares.
a b c(8) 
1 1 1
3 3 3 
5 5 5
7 7 7
4·4·4 = 64
⇒ son 8⋅8 = 64
a(b + 2)(a – 2)b
2
3 
4

9
0
1 
2

7
8 × 8
Danza típica de Huaytará - Huancavelica
CANTIDADES DE NUMERALES 
DE 3 CIFRAS QUE UTILIZAN AL 
MENOS UNA CIFRA 2
1. Todos los numerales de 3 
cifras.
 
a b c 
1 0 0
2 1 1 
   
9 9 9
9·10·10 = 900
2. Numerales de 3 cifras que 
no utilizan cifra 2: 
 
a b c 
1 0 0
3 1 1 
   
9 9 9
8·9·9 = 648
3. Numerales de 3 cifras que 
utilizan al menos una cifra 2: 
 900 – 648 = 252
4. Números capicúas de 4 cifras 
existentes en el sistema 
decimal:
 a b b a 
1 0
2 1
  
9 9
9·10 = 90
Ten Presente
2
03CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
14 2
CAPÍTULO 03 CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS
ObservaciónObservación
Para saber cuántos números 
hay entre 400 y 900, se suele 
restar 900 – 400 = 500.
Pero no es correcto. Observa: 
del 1 al 900
del 1 al 399 del 400 al 900
1; 2; 3; ...; 399; 400; ...; 900
• Del 1 al 900: 900 #s
 Del 1 al 399: 399 #s
⇒ del 400 al 900: 900 – 399
 = 501 #s 
Resulta 501, y no 500 como 
parecía al principio. 
Entonces, no se resta el último 
menos el primero, sino, el 
último menos el anterior al 
primero. 
Problema 2
¿Cuántos números capicúas pares de 5 
cifras tienen su cifra central impar? 
Solución:
Los números son de la forma:
a b c b a 
impar
par
2 0 1
4 1 3 
   
8 9 9
5·10·5 = 250 numerales
 Rpta.: 250
numerAles de cifrAs diferentes
¿Cuántos numerales de 3 cifras poseen cifras impa-
res y diferentes entre sí?
Supóngase que a = 1, entonces b ya no puede ser 
1, entonces será 3. Si a = 1 y b = 3, entonces c solo 
puede ser 5 y 7.
Se deduce que a puede tomar 4 valores, pero una 
vez que a toma 1 valor, para b sólo quedan 3. Si a 
toma un valor y b, otro, para c quedan sólo 2 valo-
res, o sea siempre uno menos. 
Problema 3
¿Cuántos números de tres cifras tienen 
exactamente dos cifras iguales? 
Solución:
• Todos los números de tres cifras son: 
 
100; 101; 102; ...; 999 son 900
999 – 99 = 9000
• Tienen las tres cifras iguales: 
 111; 222; 333; ... ; 999 son 9
• Tienen todas sus cifras dife-
rentes. 
a b c
9·9·8 
648 
(a = 1; 2; ...; 9)
(b = 0; 1; 2; ...; 9)
(c = 0; 1; 2; ...; 9)
• Tienen exactamente dos ci-
fras iguales:
 900 – 9 – 648 = 243 
 Rpta.: 243
conteo de cifrAs¿Es posible averiguar cuántas cifras se utiliza al escribir del 1 al 700?
Total:
9 + 180 + 1803 = 1992 
Se usa 1992 cifras 
1; 2; 3; ... ; 9; 10; 11; ... 99; 100; 101; ...; 700
de 1 cifra
9 números 
9 cifras 
99 – 9 = 90 #s 
90⋅2 = 180 cifras 
700 – 99 = 601 #s 
601⋅3 = 1803 cifras 
de 2 cifras de 3 cifras
En forma práctica se puede usar la siguiente fórmula:
N: último número 
n : número de cifras de N 
Cant. cifras(1 – N) = n(N + 1) – 111...11
n cifras
Hay 24 numerales 
de 3 cifras impa-
res y diferentes.
a b c
4·3·2 = 24
(a ≠ b ≠ c)
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
152 
CAPÍTULO 03CONTEO DE NÚMEROS Y CIFRAS
1 ¿Cuántos números capicúas de tres cifras hay en 
el sistema quinario?
2 ¿Cuántos números de la forma a(2a)b(b – 3) exis-
ten? 
3 ¿Cuántos números de cuatro cifras empiezan 
con cifra par y terminan en 38?
4 ¿Cuántos números impares de tres cifras en 
base 8 no poseen cero en su escritura?
5 ¿Cuántos números de tres cifras existen en el 
sistema decimal?
6 ¿Cuántos números de cuatro cifras, todas impa-
res, existen en el sistema octal?
7 ¿Cuántos números impares capicúas de cuatro 
cifras existen en el sistema decimal? 
8 ¿Cuántos números de cuatro cifras existen en la 
base 6?
9 ¿Cuántos números de tres cifras no utilizan la 
cifra "4" en su escritura?
10 ¿Cuántos números capicúas de cuatro cifras 
existen en el sistema de base 8? 
Actividad 03
Problema 4
¿Cuántas cifras se utiliza al escribir de 400 a 1500? 
Solución:
 Rpta.: 3804
Cant. cifras(400 – 1500) 
 = 4893 – 1089 = 3804 1; 2; 3; ... ; 399; 400; 401; ...; 1500
Cant cifras = 4(1500 + 1) – 1111 = 4893
Cant cifras = 3(399 + 1) – 111 = 1089 Cant cifras (400 – 1500)
Problema 5
¿Cuántos números de 4 cifras existen en el sistema 
de base 8?
Solución:
a b c d(8) 
2 0 0 0
3 1 1 1 
    
7 7 7 7
7·8·8·8 = 3584 números
Rpta.: 3584
Problema 6
¿Cuántos números de 4 cifras comienzan y termi-
nan en 7?
Solución:
Rpta.: 100
7 a b 7
0 0
1 1
2 2 
  
9 9
 10·10 = 100 números
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
16 2
04CAPÍTULO OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
sucesión AritméticA
Estos son los números impares. Au-
mentando dos esferas, una en cada 
extremo de la escuadra, podemos 
seguir dibujando la secuencia infini-
tamente. 
Las esferas forman una sucesión gráfica, y los números, una sucesión numé-
rica. Las sucesiones numéricas son muy diversas, aquí trataremos la suce-
sión aritmética. 
Una sucesión aritmética es un conjunto de números, llamados términos, 
en el que, dado el primero, cada término siguiente se obtiene sumando al 
anterior un mismo número llamado razón. 
fórmulA de recurrenciA o término generAl 
• Como va de 4 en 4 (razón), el 
 término general contiene 4n.
• Para n = 1 debe producir 7, 
 entonces es 4n + 3. 
El término general se denota por tn, en este caso tn = 4n + 3. 
Para n = 1 debe resultar 7. En efecto, t1 = 4(1) + 3 = 7
Para n = 3 debe resultar 15. En efecto, t3 = 4(3) + 3 = 15
Para calcular el número de términos de la sucesión nos preguntamos, para 
qué valor de n resulta 195:
4n + 3 = 195 ⇒ n = 48 (tiene 48 términos)
Problema 1
¿Cuántos términos de la sucesión 
3; 12; 21; 30; ..., tienen 3 cifras? 
Solución:
• Término general: tn = 9n – 6 
• Tienen n 3 cifras:
100 ≤ 9n – 6 < 1000
mín = 12 máx = 111
∴ Hay 111 – 11 = 100 términos 
 Rpta.: 100
¿La suma es siem-
pre mayor que las 
partes?
Pachapupo - Ayacucho
ADICIÓN
Con el paso del tiempo 
la naturaleza construye 
maravillas, molécula por 
molécula. 
Dada la sucesión aritmética: 
t1, t2, t3, ... tn
r r
• Término anterior al primero
 t0 = t1 – r
• Término general
 tn = rn + t0
• Número de términos: 
 
n = 
tn – t1 
r + 1 o
n = 
tn – t0 
r 
Datos
1 3 5 7
7; 11; 15; 19; ... ; 195
1° término
último 
término
razón
número de 
términosn 
4 4 4 
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
172 
CAPÍTULO 04OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
serie AritméticA
7 + 11 + 15 + ... + 187 + 191 + 195
202
202
202
48 términos
• Los términos de la sucesión están expresados en forma de adición. 
• Obsérvese que los términos equidistantes suman la misma cantidad. 
Con los 48 términos, emparejando los equidistantes, se forman 24 parejas, y 
como cada una suma 202, la suma total es 24⋅202 = 4848.
Una serie aritmética es la adición de los términos de una sucesión aritmé-
tica: 
 
t1 + tn + t3 + ... + tn = 
n(tn + t1) 
2
r r
Problema 3
A esta serie se le va adicionando 
términos hasta que la suma supe-
re a 1000 por primera vez.
9 + 17 + 25 + 33 + ...
¿Cuál es el último número que se 
adiciona? 
Solución:
• Término general: tn = 8n + 1
• Suma: 
n(tn + t1)
2 ≤ 1000 
 ⇒ n(8n + 1 + 9)
2
 ≤ 1000
 
n(4n + 5) ≤ 1000
15
∴ El último término es:
 t16 = 8(15) + 1 = 121
 Rpta.: 121
Problema 4
Calcula la suma de los 20 prime-
ros términos de 12; 15; 18; 21; ..., 
que terminen en 4. 
Solución:
• Término general: tn = 3n + 9
• Termina en 4: 3n + 9 = 4
...9 
 ⇒ 3n = ...5 
 ⇒ n = 5; 15; 25; ...; (10k – 5)
Donde k = 1; 2; 3; ... ; 20
• tk = 3(10k – 5) + 9
 
t k
t
tk
= − ⇒
=
=



30 6
24
594
1
20
∴ = + =S 20 594 24
2
6180
( )
 Rpta.: 6180
Problema 2
Calcula la suma de los 20 primeros múltiplos positivos de 6. 
Solución:
• S = 6 + 12 + 18 + ... + t20 • tn = 6n ⇒ t20 = 6(20) = 120
∴ =
+
⇒ = + =S
n t t
Sn
( ) ( )1
2
20 120 6
2
1260 Rpta.: 1260
1. Sumatoria de los "n" prime-
ros números naturales. 
Ejemplo:
1 + 2 + 3 ...+ 70 = 70⋅71
2
 = 2485
2. Suma de los "n" primeros 
números pares. 
Ejemplo:
2 + 4 + 6 + .... + 20 = 10⋅11 = 110
Obsérvese: 2n = 20 → n = 10
3. Sumatoria de los "n" prime-
ros números impares. 
Ejemplo:
1 + 3 + 5 + .... + 37 = 192
4. Sumatoria de los "n" prime-
ros cuadrados perfectos. 
Ejemplo:
12 + 22 + 32 ...+ 202 = 20⋅21⋅41
6
5. Sumatoria de los "n" prime-
ros cubos perfectos. 
Ejemplo:
13 + 23 + 33...+ 103 = (10⋅11)
2
 
2
1 + 2 + 3 ...+ n = n(n + 1)
2
 
2 + 4 + 6 + .... + 2n = n(n + 1)
1 + 3 + 5 + .... + (2n – 1) = n2
12+22...+ n2 = n(n+1)(2n+1)
6
 
13 + 23 ...+ n3 = n(n + 1)
2
 
2
Ten Presente
2
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
18 2
CAPÍTULO 04 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS I
1 ¿Cuál es el primer término de la siguiente suce-
sión, que termina en cifra 7?
 10; 13; 16; 19; ...
2 ¿Cuál es el mayor término de dos cifras en la su-
cesión:
 5; 11; 17; 23...?
3 En la siguiente sucesión determina la suma de 
los dos primeros términos que terminan en 5: 
 11; 17; 23; 29; 35; ... 
4 ¿Cuál es el mayor número de tres cifras de la 
sucesión: 
 5; 11; 17; 23; ...? 
5 Determina el 15 término de la sucesión:
 20; 33; 46; 59; ... 
6 ¿Cuántos términos tiene la P.A
 4; 13; 22; 31; ... ; 265? 
7 ¿Cuántas cifras se emplean en la sucesión:
 27; 31; 35; 39; ... ; 95?
8 Halla el número de términos de la sucesión: 
 5; 7; 9; 12; ... ; 331
9 En un aula de 20 alumnos el profesor de aritmé-
tica regala caramelos de la manera siguiente: al 
primer alumno le da 1, al segundo 3; al tercero 
5; al cuarto 7, y así sucesivamente. ¿Cuántos ca-
ramelos reparte en total?
10 Si la suma de 15 términos de una P.A. 825, halla 
la suma de los 13 términos centrales. 
Problema 5
Halla la suma de la serie
S = 1 + 7 + 13 + 19 + 35 + ... + 115
Solución:
Hallando el número de términos
n = 
tn – t0
r ⇒ n = 
115 – (–5)
6
 = 20
Hallando la suma:
S = 
n(t1 – tn)
2 ⇒ S = 
20(1 + 115)
2
∴ S = 1160
Rpta.: 1160
Problema 7
¿Cuántos términos tiene la P.A.
4; 11; 18; 25; 32; ... 137?
Solución:
tn = 7n – 3 = 137
 7n = 140
∴ n = 20
Rpta.: 20
Problema 8
¿Cuál es el mayor número de tres cifras de la sucesión
8; 11; 14; 17 ... ?
Solución:
tn = 3n + 5
⇒ 3n + 5 < 1000
 3n < 995 ⇒ n < 331
∴ El mayor es: 3(330) + 5 = 995 Rpta.: 995
Problema6
Si 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 625, halla la suma de cifras 
de:
S = 1 + 2 + 3 + ... + n
Solución:
Siendo: 13 + 23 + 33 + ... + n3 = 625 
 (1 + 2 + 3 + ... + n)2 = 525
 (1 + 2 + 3 + ... + n) = 25
∴ ∑ cifras es: 2 + 5 = 7
Rpta.: 7
Actividad 04
I 
B
IM
ES
TR
E
192
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS II
• La sustracción tiene tres términos, 
los que se nombran en el ejemplo. 
• La diferencia es tal que sumada con el 
sustraendo resulta igual al minuendo. 
350 – 40 = 10 Diferencia
SustraendoMinuendo
propiedAdes de lA sustrAcción
1. Si M – S = D ⇒ M + S + D = 2M 2. Si abc – cba = xyz ⇒ y = 9 
x + z = 9
Problema 1
La suma de los tres términos de 
una sustracción es 360. Si la dife-
rencia excede en 50 al sustraendo, 
calcule la diferencia. 
Solución:
• M + S + D
2M
 = 360 ⇒ M = 180
• 180 + S + D = 360 
 ⇒ S + D = 180 (1) 
• Dato: D – S = 50 (2) 
(1) + (2): 2D = 180 + 50 ⇒ D = 115
 Rpta.: 115
Problema 2
Calcula el mayor valor de abc, si 
abc = cba + (2n)xn y a es par. 
Solución:
• De la igualdad: 
 
 
x = 9
2n + n = 9
⇒ n = 3
abc – cba = (2n)xn
• abc
cba
693
c + 10 – a = 3
 a – c = 7
8 1
Par
⇒ abc = 8b1 = 891
máx = 9
 Rpta.: 891
complemento Aritmético (cA)
El complemento aritmético de un número entero positivo es la cantidad 
de unidades que le falta para igualar a una unidad de orden inmediato 
superior a su cifra de mayor orden. 
Para 432, la cifra 4 es de centenas. El siguiente orden es el millar, entonces el 
C.A. de 432 es lo que le falta para igualar a 1000: 
CA(432) = 1000 – 432 = 568 
Pampamarca - Ayacucho
SUSTRACCIÓN 
Por erosión diferencial, el 
agua se lleva las partes 
más débiles y forma admi-
rables paisajes con el resto.
ObservaciónObservación
El CA de un número se calcula 
restando de 10 su primera cifra 
significativa y de 9, las demás 
cifras. 
• CA(5620) = (9 – 5)(9 – 6)(10 – 2)0 
 CA(5620) = 4380
• CA(abc) = (9 – a)(9 – b)(10 – c)
 (c ≠ 0)
¿El complemento 
aritmético del comple-
mento aritmético de un 
número siempre es el 
mismo número?
Si: ab –
ba 
xy 
 
 
⇒ x + y = 9
Donde: b < a
Si: a b c –
c b a 
xyz 
 
 
⇒ x + z = y = 9 
Donde: c < a
También: a – c = x + 1
Ten Presente
2
05CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
20 2
CAPÍTULO 05 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS II
Problema 3
Si ab + CA(ba) = 37, calcule b – a.
Solución:
ab + (100 – ba) = 37
 ba – ab = 63
 9(b – a) = 63 ⇒ b – a = 7
 Rpta.: 7
Problema 5
Calcula a + b + c, si CA(abb) = ca7. 
Solución:
b = 3
 ca7
 abb
1000
a = 6
 ca7
 a33
1000
c = 3
 c67
 633
1000
∴ a + b + c = 6 + 3 + 3 = 12
 
 Rpta.: 12
Actividad 05
1 La suma de los términos de una sustracción es 
124. Si el sustraendo es 30 veces la diferencia, 
halla la diferencia.
2 Si 4ab – 23a = 199, halla a + b.
3 Si CA (a37) = 7bc , halla a + b + c. 
4 Si abc – cba = 4xy ,
 halla el máximo valor de x + y.
5 Halla a×b, sabiendo que:
 CA(ab ) + CA(1ab ) = 892
6 Si la primera cifra del número 3ab se coloca al 
último, el nuevo numeral es mayor en 81 al nu-
meral inicial. Halla a + b. 
7 En una sustracción el minuendo aumenta en 115 
y el sustraendo disminuye en 210. ¿En cuánto 
varía la diferencia? 
8 El complemento aritmético de un número de 
tres cifras, que termina en 2, es otro número de 
tres cifras que empieza en 47. ¿Cuál es la suma 
de cifras del primer número?
9 Halla un número de 3 cifras, cuyo complemento 
aritmético es igual a la suma de sus cifras. Da 
como respuesta el complemento aritmético del 
número.
10 Halla a + 3b, si a7b – b7a = 19x y a + b + x = 12.
 
Problema 4
La suma de los tres términos de una sustracción es 
36. Halla el minuendo.
Solución:
S + M + D = 36
2M = 36
∴ M = 18
Rpta.: 18
Problema 6
Si a un número de tres cifras se le disminuye en su 
C.A. se obtiene 678. Halla el número.
Solución:
C.A. (N)= 1000 – N 
Por datos:
N – (1000 – N) = 678
 2N = 1678 ⇒ N = 839
∴ El número es: 839
Rpta.: 839 
I 
B
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TR
E
212
OPERACIONES CON NÚMEROS 
ENTEROS III
• La multiplicación se puede con-
cebir como una adición de su-
mandos iguales. 
7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5×7 = 35
5 sumandos
Multiplicador
Producto
Multiplicando
productos pArciAles
Cuando se multiplican números de varias ci-
fras, el multiplicando se multiplica por cada 
una de las cifras del multiplicador, denomi-
nándose a los resultados, productos parcia-
les. La suma de éstos es el producto. 
Problema 1
Al multiplicar un número de 
3 cifras por 74, un estudiante 
comete el error de sumar los 
productos parciales sin co-
rrer a la izquierda el segundo 
producto parcial, y obtiene 
4158. Encuentra el resultado 
correcto. 
Solución:
• abc
 74
4⋅abc 
7⋅abc
1° Producto parcial
2° Producto parcial
⇒ 4(abc) + 7(abc) = 4158 ⇒ abc = 378
∴ 378⋅74 = 27972
 Rpta.: 27972
DIVISIÓN
60
4 8
⇒ 60 = 7⋅8 + 4 
7
DivisorDividendo
Resto por 
defecto
Cociente 
por defecto
60
3 9
⇒ 60 = 7⋅9 – 3 
7
DivisorDividendo
Resto por 
exceso
Cociente 
por exceso
Cuando dividimos 60 entre 7 buscamos un número entero cuyo producto con 
7 sea 60. Pero al no encontrarlo, buscamos que el producto sea cercano a 60.
El número entero cuyo producto con el divisor es igual o cercano al dividen-
do se llama cociente. La diferencia entre dicho producto y el dividendo se 
llama resto o residuo. 
MULTIPLICACIÓN
Los cuyes son 
mamíferos do-
mésticos que 
se multiplican 
con mucha 
rapidez. 
1. Hay varias formas de repre-
sentar la multiplicación. 
 a×b = a⋅b = ab = (a)(b)
 7×8 = 7⋅8 = 7(8) = (7)(8)
2. La división también se pue-
de presentar por: 
 a÷b = a/b = a 
b
 15÷3 = 15/3 = 15 
3
 = 5
Ten Presente
2
 abc
 xy
 abc⋅x
 abc⋅y
Producto
1° Producto parcial
2° Producto parcial
¿El producto de dos 
números positivos 
siempre es mayor 
que sus factores?
06CAPÍTULO
I B
IM
ESTR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS
22 2
CAPÍTULO 06 OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS III
División de un entero negativo
• Por defecto:
 ⇒ –40 = 7(–6) + 2
–40
2 –6
7
• Por exceso: 
 ⇒ –40 = 7(–5) – 5
–40
5 –5
7
Ten Presente
2
7⋅8 7⋅94
7
3
60
Resto por 
defecto
Resto por 
exceso
Se puede acercar al dividendo por la iz-
quierda o por la derecha. De esta forma 
hacemos que todos los términos sean en-
teros. Una división así se denomina divi-
sión entera. 
clAses de división enterA
Según el residuo la división es exacta si el residuo es cero e inexacta si el 
residuo es mayor que cero. 
División exacta (r = 0) 
D
0 q
d ⇒ D = dq
División inexacta (r ≠ 0) 
D
r q
d ⇒ D = dq + r
División inexacta
Cuando la división es inexacta se puede efectuar de dos maneras:
División inexacta por defecto 
D
r q
d ⇒ D = dq + r
 
División inexacta por exceso 
D
re qe
d ⇒ D = dqe – re 
Propiedades: 
• r < d • qe = q + 1
• r + re = d • Residuo 
máximo = d – 1
mínimo = 1
 
Problema 2
Dos números que suman 126 se 
dividen entre el mismo divisor. La 
primera división da 8 de cociente 
y 4 de residuo, y la segunda, 9 de 
cociente y 3 de residuo. Halla la 
diferencia de los números.
Solución:
• 
⇒ A = 8d + 4 B = 9d + 3
A
4 8
d B
3 9
d
• (8d + 4) + (9d + 3) = 126
 17d = 119 ⇒ d = 7
• A = 8(7) + 4 = 60 
• B = 9(7) + 3 = 66
∴ B – A = 66 – 60 = 6 
 Rpta.: 6
Problema 3
Encuentra el menor y el mayor 
número que se debe agregar al 
dividendo de una división de di-
visor 30 y residuo 12, para que el 
cociente aumente en 1. Dé como 
repuesta la suma.
Solución:
El residuo a lo más 
es 29. Entonces lo 
máximo que se pue-
de agregar a 12 sin que varíe el 
cociente es 29 – 12 = 17.
• Si agregamos 18 el cociente au-
menta en 1 ⇒ 18 es lo mínimo 
que se agrega para aumentar 
en 1 el cociente. 
• Una vez aumentado en 1 el co-
ciente, podemos aumentar el 
resto hasta 29.
 ⇒ máximo es 18 + 19 = 47
∴ 17 + 47 = 64 
 Rpta.: 64
D
12 q
30
I 
B
IM
ES
TR
E
CAPÍTULO 01 CONECTIVOS LÓGICOS232 
CAPÍTULO 06OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS III
1 Si abc × 16 = 7248, 
 halla a + b + c.
2 Si ab × a = 511
 ab × b = 219,
 halla ab × ba
3 Al multiplicar un número de tres cifras por 68 se 
observa que la suma de los productos parciales 
resulta 6664. ¿Cuál es la suma de cifras del nú-
mero? 
4 Halla un número que al dividirse entre otro da 
32 de cociente y un residuo máximo de 21.
5 En una división inexacta el divisor es 35, el co-
ciente, 15 y el residuo, 20. ¿Cuánto se debe adi-
cionar como mínimo al dividendo para que el 
residuo sea máximo? 
6 La suma de los términos de una división inexac-
ta es 93, siendo el divisor 7 y el cociente la suma 
del divisor y el residuo. Halla la suma de cifras 
del dividendo.
7 El producto de dos números naturales es 72 y la 
suma de los mismos, 22. Halla la diferencia de 
dichos números.
8 El número formado por 45 cifras 3 se multiplica 
por 6. ¿Cuál es la suma de cifras del producto?
9 Al multiplicar un número por 13, la diferencia de 
los productos parciales es 560. Halla el número.
10 Las divisiones que se muestran se realizaron por 
defecto y por exceso. Halla p + q
A 43
P 18
A 43
32 q
Por defecto Por exceso
Actividad 06
Problema 4
Halla A + N + x si ANA × A = xxx9
Solución:
A × A = .....9
Entonces: A = 3 ó 7
A = 3
3N3 × 3 = xxx9 ⇒ 3 × 3 = xx
Solo si x = 1 ⇒ 3N3 × 3 = 1119 = 3 × 373 ⇒ N = 7 
Si A = 7, no hay solución
∴ A + N + x = 3 + 7 + 1 = 11 
 Rpta.: 11
Problema 6
Si a6b ÷ 7 = 123, halla a × b.
Solución:
a6b ÷ 7 = 123
⇒ a6b = 7 × 123
 a6b = 861
⇒ a = 8 ∧ b = 1
∴ a × b = 8 × 1 = 8 Rpta.: 8
Problema 5
Al dividir 4ab entre ab se obtiene 12 de cociente y 
4 de residuo. Halla "a + b".
Solución:
4 ab
4 12
ab
⇒ 4ab = 12 × ab + 4
 400 + ab = 12 ab + 4 
 396 = 11 × ab ⇒ ab = 36
∴ a + b = 9
 Rpta.: 9
Problema 7
¿Cuántos números de dos cifras divididos entre 15 
dejan un residuo máximo?
Solución:
ab = 15q + 14
ab < 100
15q + 14 < 100 ⇒ q < 5,7 ⇒ q = 1; 2; 3; 4; 5
∴ Hay 5 números
 Rpta.: 5 
I B
IM
ESTR
E
24 2
Unidad
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
ANIMALES LONGEVOS 
La mayoría de los animales envejecen más rápido que los seres 
humanos. Al igual que en nosotros el tiempo de vida de los ani-
males depende de la nutrición, el ejercicio y la salud que tuvieron 
en las distintas fases de su vida. 
El animal más longevo es la tortuga de Galápagos (193 años), 
seguida de la ballena boreal (150 años), la tortuga común (123 
años), el loro amazónico (80 años), elefante (70 años), camello y 
guacamayo (50 años), el burro (45 años).
- ¿Los animales en cautiverio viven tanto como los que viven 
en libertad? ¿Por qué? 
http://www.lareserva.com/home/cuanto_viven_los_animales 
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Identifica los principios 
y criterios de divisibi-
lidad
• Reconoce cuándo un 
número es primo o 
compuesto.
• Compara fracciones y 
opera con ellas.
• Describe los principios 
y criterios de la divisibi-
lidad.
• Elabora una lista de 
números primos.
• Representa en esque-
mas el MCM y MCD.
• Realiza ejercicios y pro-
blemas de divisibilidad. 
• Resuelve problemas de 
MCD y MCM.
• Emplea diversas estra-
tegias para operar con 
fracciones.
• Argumenta el uso de los 
criterios de divisibilidad.
• Justifica el uso del 
MCD y MCM al resol-
ver problemas.
• Propone ejemplos de 
operaciones con frac-
ciones.
Unidad
02
252
PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD 
El número 35 es divisible entre 7, y 7 es divi-
sor de 35, porque la división de 35 entre 7 es 
exacta. 
Además, 35 = 7⋅5, por lo que se dice que 35 es 
múltiplo de 7, y que 7 es factor de 35, lo que se 
denota así: 35 = 7 : "35 múltiplo de 7".
Pero un número no siempre es divisible entre 
otro. Por ejemplo, 38 no es divisible entre 7, sin 
embargo, 38 se puede expresar como 35 + 3 o 
42 – 4, esto es: 38 = 7 + 3 ∨ 38 = 7 – 4.
principios fundAmentAles de lA divisibilidAd
1. 
6 6 6
18 + 30 = 48
  
n + n + n + ... + n = n n – n = nTambién
Problema 1
Calcula el resto de dividir:
3 + 93 + 993 + 9993 + ... + 99...93
26 cifras
entre 9. 
Solución:
9 9 9
3 + (90 + 3) + (990 + 3) +...+ (99...90 +3) 

26 términos
= 9 + 3⋅26 = 9 + 78 = 9 + 6 
9 + 6 
Resto
Rpta: 6
2. 8(25) = 200 ⇒ 8(5) = 5
 
5 5
n⋅n = nk(n) = n 
 
 Consecuencias:
 
k(n + r) = n + kr 
• 4(9 + 2) = 9 + 8

(n + r1) (n + r2)(n + r3) = n + r1 r2 r3 
• (12 + 2)(12 + 5)(12 + 3) = 12 + 2⋅5⋅3 = 12 + 6
12 + 6
Problema 2
Al dividir A entre 8 se obtiene 5 
de residuo. Al dividir B entre 8 se 
obtiene 6 de residuo. Calcula el 
resto de dividir 4A + AB entre 8.
Solución:
4A + AB = 4(8 + 5) + (8 + 5)(8 + 6)
 = 8 + 20 + 8 + 30
 = 8 + 8 – 1 + 8 + 8 + 6
 = 8 + 2 
 Rpta: 2 
1. Si A = 9 + 3 ⇒ A = 9 – 6
 Si B = 8 – 5 ⇒ B = 8 + 3 
2. (n + a)(n + b) = n + ab
 (n – a)(n + b) = n – ab
3. Divisibilidad aplicada al 
 binomio de Newton. 
(n + r)k = n + rk
(n – r)k = 
n + rk si k par
n – rk si k impar
 • (7 + 2)3 = 7 + 23 = 7 + 1
 7 + 1
 • (9 – 1)400 = 9 + 1400 = 9 + 1 
 • (8 – 3)3 = 8 – 33 = 8 + 5
 8 – 5
Ten Presente
2
A B
0 K
Es decir: A = BK
 Donde: A ∈ Z; B ∈ Z+; K ∈ Z
Se afirma: A = B° ó A = BK
"A es divisible entre B"
"A es múltiplo de B" 
"B es un divisor de A"
"B es un factor de A" 
 
módulo
También:
Divisible <> Múltiplo
Divisor <> Factor
Ten Presente
2Los años bisiestos 
se presentan cada 
4 años. Son años 
múltiplos de 4. 
Si terminan en 2 
ceros, las cifras 
restantes deben ser 
múltiplos de 4.
• 35 7 ⇒ 35 = 7⋅5
 0 5
• 38 7 ⇒ 38 = 7⋅5 + 3
 3 5 38 = 7 + 3
• 38 7 ⇒ 38 = 7⋅6 – 4
 4 6 38 = 7 – 4
Donde 3 + 4 = 7 (módulo)
Si A es múltiplo de 
B y B múltiplo de C, 
¿A es múltiplo de C?
07CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
26 2
CAPÍTULO 07 PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
1. Sea A = 8 + 5
Podemos agregarle cualquier 
múltiplo de 8 y no cambia la 
estructura de A. 
• A = 8 + 5 + 40 = 8 + 5
• A = 8 + 5 – 32 = 8 + 5 
2. Sean
A = 7 + 5 ⇒ A = 7 + 5 + 35
B = 9 + 4 ⇒ A = 9 + 4 + 36
⇒ A = ⇒ A = 63 + 40
7 + 40
9 + 40
3. 4N = 9 + 5 
 4N = 9 + 5 + 27
 4N = 9 + 32
 N = 9 + 8
4. 5N + 3 = 8 
 5N + 3 + 32 = 8 
 5N + 35 = 8
 N + 7 = 8 
Ten Presente
23. Si A = 
a
b
⇒ A = MCM(a, b) Si A = 
a
b
⇒ A = MCM(a, b)
+ r
+ r
+ r
Obs: Mínimo común múltiplo: MCM
Ejemplo:
A = 8° ⇒ A = MCM (8; 6)
°
 ⇒ A = 24°
A = 6°
B = 12° 
B = 15° ⇒ B = MCM (12; 15; 6)
°
 ⇒ B = 60°
B = 6° 
R = 7° + 2 ⇒ R – 2 = 7° 
 ⇒ R – 2 = MCM (7; 5)
°
 R = MCM (7; 5)
°
 + 2
 R = 35° + 2
 –33; 2; 37.....
R = 5° + 2 ⇒ R – 2 = 5° 
Problema 3
Cuando Yuri empaqueta sus soldados 
de juguetes de 8 en 8 le faltan 5 para 
formar grupos exactos, y cuando em-
paqueta de 7 en 7 le faltan 4 para hacer 
grupos completos. Si cuando los agru-
pa de 5 en 5 y no le falta ni le sobra, 
¿cuántos soldados tiene como mínimo?
Solución:
N = 8 – 5 = 8 + 3 
N = 7 – 4 = 7 + 3
N = 56 + 3 
N = 59; 115; 171; ...
 
N = 5 ⇒ N = 115 
Rpta: 115
4. Principio de Arquímedes
Si el producto de dos factores es múltiplo de un módulo, y uno de los 
factores no tiene divisores comunes aparte de 1 con el módulo, entonces 
el otro factor es múltiplo del módulo.
• 12A = 5 ⇒ A = 5 • 15A + 20 = 9 ⇒ A + 4 = 9 
• 10B = 7 ⇒ B = 7 • 8B = 7 + 24 ⇒ B = 7 + 3
Problema 4
En una conferencia so-
bre la cocina peruana, 
participaron 65 perso-
nas. Si las tres séptimas 
partes de hombres eran 
de provincia y las cua-
tro quintas partes te-
nían menos de 25 años, 
¿cuántas mujeres parti-
ciparon? 
Solución:
Hombres: H
Mujeres : M
H + M = 65 (1)
• De provincia: 3H 
7
 ⇒ 3H = 7 ⇒ H = 7 
• < 25 años: 4H 
5
 ⇒ 4H = 5 ⇒ H = 5
 ⇒ 35 = 35; 70; 105; ...
De (1): 35 + M = 65 ⇒ M = 30 
Rpta: 30 
..... –24; 0; 24; 48
..... –60; 0; 60
II
 B
IM
ES
TR
E
272 
CAPÍTULO 07PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
criterios de divisibilidAd
Los criterios de divisibilidad nos permiten determinar si un número es divi-
sible entre otro(s). En caso de que no lo fuera, nos permiten calcular el resto 
sin necesidad de efectuar la división.
1. Divisibilidad entre 9
Sea: N = abcde
Luego: N = 9 + a + b + c + d + e
⇒ N = 9 ⇔ a + b + c + d + e = 9
75864 = 9 + 7 + 5 + 8 + 6 + 4
 = 9 + 30 = 9 + 3 + 0 = 9 + 3
2. Divisibilidad entre 11
 
Problema 6
Si a + c = b + d + 7, calcula el resto 
de dividir abcd entre 11.
Solución:
• a + c = b + d + 7 ⇒ –7 = b + d – a – c
• 
– + – +
abcd = 11 – a + b – c + d = 11 – 7
–7
⇒ abcd = 11 + 4
Rpta.: 4
Problema 5
Si abc = 9 + 5, ¿cuál es el resto de 
dividir cba + bac entre 9?
Solución:
• Si abc = 9 + 5 ⇒ a + b + c = 9 + 5
• cba + bac = 9 + (c + b + a) + (b + a + c)
 = 9 + (9 + 5) + (9 + 5)
 = 9 + 10 = 9 + 1
 Rpta.: 1
3. Divisibilidad entre 7
Sea: N = abcdef
Luego: 
N = 7 – 2a – 3b – c + 2d + 3e + f 
N = 7 ⇔ –2a – 3b – c + 2d + 3e + f
 = 7
3 5 7 6 8 = 7 – 9 – 5 + 14 + 18 + 8
 = 7 + 26 = 7 + 5 
7 + 5
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
–3 –1 2 3 1
Problema 8
Si 4ab3 = 13 + 5, calcula el resto 
de dividir 6ab5 entre 13.
Solución:
• 4ab3 = –4 – 4a – 3b + 3 = 13 + 5
-1-4-3 1
 
 ⇒ –4a – 3b = 13 + 6
• 6ab5 = 13 – 6 – 4a – 3b + 5
-1-4-3 1 13+6
⇒ 6ab5 = 13 + 5 Rpta.: 5
Problema 7
Calcula el resto de dividir 
5555 ... 55
200 cifras
 entre 7.
Solución:
• 200 = 198 + 2 = 6 + 2 
• 5555 ... 5555555 = 7 + 15 + 5
= 7 + 6
3 1-2-3 1-2-3-1 2 3 1
198 cifras
 
 Rpta.: 6
4. Divisibilidad entre 13
 7 3 4 2 9 = 13 + 21 – 3 – 16 – 6 + 9
 = 13 + 5
 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
 3 –1–4 –3 1
Sea: N = abcdef
Luego: N = 11 –a + b – c + d – e + f
⇒ N = 11 ⇔ –a + b – c + d – e + f = 11 
62537 = 11 + 6 – 2 + 5 – 3 + 7
 = 11 + 13 = 11 – 1 + 3 = 11 + 2
+ – + – +
– + 
Sea: N = abcdef
Luego: 
N = 13 + 4a + 3b – c – 4d – 3e + f 
N = 13
 ⇔ 4a + 3b – c – 4d – 3e + f = 13
°
RecuerdaRecuerda
1. DIVISIBILIDAD ENTRE 2
Sea: N = abcde
Luego: N = 2° + e
N = 2° ⇔ e = 2°
De donde: "e" = {0; 2; 4; 6; 8}
• a769 = 2 + 9 = 2 + 1
2+1
2. DIVISIBILIDAD ENTRE 4
Sea: N = abcde
Luego: N = 4° + de
N = 4° ⇔ de = 4° ∨ 2d + e = 4° 
• 3530 = 4 + 30 = 4 + 2
4+2
3. DIVISIBILIDAD ENTRE 8
Sea: N = abcde
Luego: N = 8° + cde
N = 8° ⇔ cde = 8° ∨ 4c + 2d + e = 4°
4. DIVISIBILIDAD ENTRE 5
Sea: N = abcde
Luego: N = 5° + e
N = 5° ⇔ e = 5°
De donde: "e" = {0; 5}
• 3xy7 = 5 + 7 = 5 + 2
5+2
Si un número es múltiplo de 9, 
cualquier otro formado con las 
mismas cifras, en el orden que 
fuera, es múltiplo de 9.
• Si abc = 9 
 ⇒ acb = 9
 bac = 9
 bca = 9
Ten Presente
2
II B
IM
ESTR
E
28 2
CAPÍTULO 07 PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD
Actividad 07
1 Coloca verdadero (V) o falso (F), según corres-
ponda.
 1. El divisor de un número es denominado 
 también factor. ( )
 2. El múltiplo de un número es denominado
 también divisible. ( )
2 ¿Cuántos números del 1 al 3000 son múltiplos 
de 15?
3 ¿Cuántos números de tres cifras son múltiplos 
de 12?
4 ¿Cuántos números del 1 al 600 son múltiplos de 
8 pero no de 9?
5 El numeral a(2a) es siempre múltiplo de:
6 ¿Qué valor debe tomar “a” para que el numeral 
aa55 sea divisible por 9?
7 Si abba = 45, halla el residuo de dividir ab entre 7.
8 Si 7a58b = 72, halla a×b. 
9 Se escribe un número con veinte cifras 5. ¿Cuál 
es el residuo si se lo divide entre 7?
10 Halla el mayor valor de a + b + c, si
 8a75a = 6; 2b5b5 = 25° y 2cc34 = 3.
Problema 9
Halla el mayor número múltiplo de 8 que al ser di-
vidido entre 5 da 12 de cociente.
Solución:
Pepresentamos el múltiplo de 8 como 8k
8k 5
r 12
 ⇒ 8k = 12 ⋅ 5 + r
 ⇒ 8k – 60 = r < 5 ⇒ 8k – 60 < 5
∴ 8k = 8(8) ⇒ 8k = 64
Rpta.: 64
8
Problema 10
Halla el menor numeral abc tal que al dividirlo en-
tre 25; 2 y 9 la división resulte exacta.
Dé como respuesta a + b + c.
Solución:
 25°
abc 2° ⇒ abc = MCM(25; 2; 9)
°
 9° abc = 450°
El menor posible: 450
∴ a + b + c = 4 + 5 + 0 = 9 
 Rpta.: 9
Problema 11
Si ab(b + 2) = 4°, ¿cuál es el residuo de dividir 
 c(b + 2)b entre 4?
Solución:
ab(b + 2) = 4° ⇒ b(b + 2) = bb + 2 = 4° ................(1) 
c(b + 2)b = 4° + x ⇒ (b + 2)b = bb + 20 = 4° + x .......(2) 
(2) – (1): 20 – 2 = 4° + x ⇒ x = 4° + 2 
∴ Residuo es 2.
Rpta.: 2
Problema 12
Halla x, si x(2 + x)4 = 9° 
Solución:
Si x(2 + x)4 = 9° ⇒ x + (2 + x) + 4 = 9°
 2(x + 3) = 9° ⇒ x + 3 = 9° ⇒ x = 6
∴ x = 6
 Rpta.: 6
II
 B
IM
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TR
E
292
NÚMEROS PRIMOS
Número primo o primo absoluto
Es el que tiene exactamente dos di-
visores: la unidad y sí mismo.
• 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19...
Número compuesto
Es el que tiene más de dos diviso-
res.
• 4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16...
Números primos entre sí (PESI)
Primos relativos o coprimos, tie-
nen como único divisor común la 
unidad, aunque separadamente no 
sean primos.
• 9; 15; y 20 son PESI
• 10; 15; 20 no son PESI
Números PESI 2 a 2
Tres o más números son PESI 2 a 
2 si tomándolos de 2 en 2 resultan 
PESI. 
 
8 y 9 PESI
8 y 7 PESI
9 y 7 PESI
8; 9 y 7
son PESI 2 a 2





estudio de los divisores de un número
Teorema fundamental de la Aritmética. 
Todo entero mayor que 1 se puede descom-
poner como el producto de sus factores pri-
mos diferentes, elevados a exponentes enteros 
positivos. Esta descomposición es única y se 
llama descomposición canónica. 
• 12 = 22⋅3 • 180 = 22⋅32 ⋅ 5 
• 700 = 22⋅52⋅7 • 630 = 2 ⋅32⋅5 ⋅7
Problema 2
Si n4⋅(n + 1)5(2n + 1)4 es la descom-
posición canónica de N, calcula n.
Solución:
• n, (n + 1) y 2n + 1 primos.
• Los únicos primos consecutivos 
 son 2 y 3.
 ⇒ n = 2 
Rpta.: 2
Problema 1
Si A = 2n – 1⋅3n⋅n2 y 5A = 2a⋅35⋅5b;
calcula a + b + n.
Solución:
5⋅2n – 1⋅3 n⋅n2 = 2a⋅3 5⋅5b
 n = 5
⇒ 2 4 ⋅35⋅5 3 = 2 a ⋅35⋅5 b
⇒ a = 4 y b = 3 ⇒ a + b + n = 12
 Rpta.: 12
Siete son los co-
lores del arco iris, 
las maravillas del 
mundo, los días de 
la semana, ... el 
7 es el primo más 
"famoso".
NotaNota
La unidad no es primo ni 
compuesto, porque su único 
divisor es sí mismo. 
PROPIEDADES DE LOS
NÚMEROS PRIMOS
1. Existen infinitos números 
primos y no existe una 
fórmula para la sucesión de 
los números primos. 
2. Todo número primo mayor 
que 3 es de la forma 6 ± 1. 
3. Un grupo de números con-
secutivos siempre son PESI. 
4. Si la suma de dos números 
primos es impar entonces 
uno de ellos es 2. 
¿Cómo averiguar si un número 
es primo?
Averigüemos si 127 es primo. 
• Extraemos la raíz cuadrada 
aproximada de 127:
 127 ≈ 11
• Aplicamos multiplicidad 
entre los números primos 
menores o iguales que esta 
aproximación.
 127 ≠ 2; 3; 5; 7; 11 
 ⇒ 127 es primo.
Ten Presente
2
Sea N = AaBbCc 
Descomposición 
canónica de N
• A, B, C primos
• a, b, c ∈ Z+ 
¿Qué son diviso-
res propios?
CATARATAS DE IGUAZÚ
08CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
30 2
CAPÍTULO 08 NÚMEROS PRIMOS
Actividad 08
CANTIDAD DE DIVISORES 
CD(N) = CDprimos + CDcompuestos + 1
Esta relación nos permite cal-
cular la cantidad de divisores 
compuestos. 
• 360 = 23⋅32⋅5
 CD(360) = 4⋅3⋅2 = 24
 CDprimos = 3
 ⇒ 24 = 3 + CDcomp + 1
 ⇒ CDcomp = 20
Ten Presente
2
Sea N un número natural cuya 
descomposición canónica es: N = AaBbCc
A, B, C: primos
a, b, c ∈ Z+ 
Entonces se cumple: 
A) Cantidad de divisores CD(N)
CD(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
C) Suma de la inversa de los
 divisores (SIDN)
 
SIDN = SDN
N
D) Producto de los divisores (PDN) 
 
PDN = NDN
E) Cantidad de maneras de
 expresar N como producto 
 de 2 factores 
B) Suma de los divisores (SDN)
 SDN = A
a+1 – 1
A – 1
 ⋅ B
b+1 – 1
B – 1
 ⋅ C
c+1 – 1
C – 1
FN = 
DN
2
DN+1
2
, si DN = 2° + 1
, si DN = 2°
1 Indicaverdadero (V) o falso (F):
 1. El 1 no es primo absoluto. ( )
 2. El primer número primo positivo es 2. ( ) 
 3. El primer número compuesto positivo es 6. ( )
2 Indica verdadero (V) o falso (F):
 1. Los números primos absolutos son 
 infinitos. ( ) 
 2. Todo número primo es 2 + 1. ( )
 3. Todo número primo mayor que 3 es 
 6 + 1 o 6 – 1. ( )
3 La suma de primos absolutos entre 60 y 81 es:
4 Halla la cantidad de divisores de 2400.
5 Halla "n" si A = 28n×50 tiene 150 divisores.
6 ¿Cuántos números primos ab existen tales que 
ba es también primo?
7 Determina la suma de sus divisores de 72.
8 Encuentra la suma de los divisores múltiplos de 
5 de 700.
9 Si M = 22×33×7n tiene 48 divisores, ¿cuál es el 
producto de los divisores de nn?
10 ¿Cuántos divisores de 8100 son impares?
Problema 3
Cuando N = 3n⋅52 se multiplica por 6, la cantidad de divisores aumenta en 
12. Calcula la suma de los divisores de N. 
Solución:
N = 3n⋅52 ⇒ DN = (n + 1)3 ⇒ 6N = 2⋅3n + 1⋅52 ⇒ D6N = 2(n + 2)3
⇒ 2(n + 2)3 – (n + 1)3 = 12 ⇒ = ⋅ ⇒ = −
−
⋅ −
−
=N SDN3 5 3 1
3 1
5 1
5 1
1242
2 3
 
 n = 1
 Rpta: 124
4
II
 B
IM
ES
TR
E
312
MCM Y MCD
Mínimo común múltiplo (MCM)
4 : 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28...
6 : 6; 12; 18; 24; 30; 36; ...
MCM
⇒ MCM(4; 6) = 12
El MCM de varios enteros po-
sitivos es el menor de los múlti-
plos comunes positivos.
 
Máximo común divisor (MCD)
Divisores de 8: 1 ; 2 ; 4 ; 8
Divisores de 12: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
MCD
⇒ MCD(8; 12) = 4
El MCD de varios enteros posi-
tivos es el mayor de los diviso-
res comunes. 
métodos de obtención del mcm y mcd
1. Por descomposición simultánea.
 











 MCD = 2⋅3 = 6
MCM = 23⋅32
MCM = 72
12
6
2
1
1
1
18
9
3
3
3
1
24
12
4
2
1
1
2
3
2
2
3
 
2. Por descomposición canónica.
 
A = 23⋅32⋅7 
B = 22⋅34⋅5
MCM = 23⋅34⋅5⋅7 
MCD = 22⋅32
 MCM = Factores primos comunes y no 
 comunes elevados a su mayor exponente.
 MCD = Factores primos comunes 
 elevados a su menor exponente.
 3. Por algoritmo de Euclides o divisiones sucesivas. 
Aplicable para dos números. Se divide 
el mayor entre el menor, luego el me-
nor entre el resto, en seguida, el primer 
resto entre el segundo resto, y así su-
cesivamente, hasta que el resto resulte 
cero. El MCD es el último divisor. 
Problema 1
¿Cuántos divisores tiene el MCM 
de 144 y 240?
Solución:
144 = 24⋅32
240 = 24⋅3⋅5
MCM = 24⋅32⋅5 
⇒ DMCM = 5⋅3⋅2 = 30
 Rpta.: 30
Problema 2
Encuentra dos números PESI, ta-
les que los cocientes al calcular su 
MCD por el algoritmo de Euclides 
son 1; 2; 3 y 4. 
Solución:
Si son PESI ⇒ MCD = 1
1 2 3 4
43 30 13 4 1
13 4 1 0
MCD
Rpta.: 43 y 30
MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL MCM Y MCD
RecuerdaRecuerda
Si 
6
8
10
 ⇒A =
A = MCM(6; 8; 10)
A = 240
1. Los divisores comunes de 
dos o más números son los 
divisores del MCD.
• Divisores comunes de 30 
y 40 son los divisores de 
MCD(30; 40) = 10: 
 1; 2; 5; y 10 
2. Los múltiplos comunes de 
dos o más números son los 
múltiplos del MCM. 
• Los múltiplos comunes de 
10 y 15 son los múltiplos 
de MCM(10; 15) 30: 
 30; 60; 90; 120; ...
Ten Presente
2
1. Si A = B ⇒ MCM(A, B) = A
MCD(A, B) = B



 
 
• 16 = 8 ⇒
MCM = 16
MCD = 8



2. Si A y B son PESI
 
 ⇒
MCM (A, B) = A⋅B
MCD (A, B) = 1



 ⇒
MCM = 540
MCD = 1
20 y 27 PESI



ObservaciónObservación
Si dos números aumentan 
cada uno en 5, ¿el MCM 
también aumenta en 5?
¿Por qué se toman las pas-
tillas cada cierto tiempo?
• MCD(48; 27) = ?
⇒ MCD(48; 27) = 3
1 1 3 2
48 27 21 6 3
21 6 3 0 MCD
09CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
32 2
CAPÍTULO 09 MCM Y MCD
1 Indica verdadero (V) o falso (F):
 1. MCD (6; 3) = 3 ( )
 2. MCD (18;36) = 18 ( )
2 El MCD de 36k; 54k y 90k es 1260. El menor de 
los números es:
3 Calcula el MCD de:
 A = 26 × 34 × 53 B = 23 × 36 × 55 C = 2 × 37
4 Indica verdadero (V) o falso(F).
 1. MCM (16a; 8a; 4a)= 4a ( )
 2. MCM (2p2; 10p2; 30p2) = 30p2 ( )
5 El menor número que contiene a 13p; 24p y 30p 
es 4680. Calcula p.
6 El MCD de dos números es 51 y los cocientes ob-
tenidos en su determinación por el método del 
algoritmo de Euclides son 2, 3 y 5. ¿Cuál es el 
mayor de los números?
7 Si MCD (4A, 3B) = 10 y MCM (8A, 6B) = 240, 
halla A×B. 
8 ¿Cuántos números menores que 50 tienen un 
MCD igual al de 8 con 16?
9 El producto y el cociente del MCM y el MCD de 
dos números son 540 y 15, respectivamente. Si 
los números son menores que 50, hállalos.
10 La suma de dos números es 70 y el producto de 
los mismos, el cubo de su MCD. Calcula el me-
nor número.
PROPIEDADES DEL MCM Y MCD
1. MCD (16; 24) = 8
 
816 24MCD ;
44 4
=
 ⇒ MCM(4; 6) = 2
 
Si cada uno de los números se 
multiplica o se divide por un 
entero positivo, el MCM y el 
MCD quedan multiplicados por 
el mismo entero. 
2. MCD (8; 12; 16) = 4
 
4
MCD
4
=
 
⇒ MCD(2; 3; 4) = 1
PESI
 
Los cocientes de dividir varios 
enteros entre el MCD, resultan 
primos entre sí.
3. MCM(12; 16) = 48
 MCD(12; 16) = 4
 • 12⋅16 = 192 • 48 ⋅4 = 192
 
 
El producto de dos números es 
igual al producto del MCM y el 
MCD.
A⋅B = MCM(A, B)⋅MCD(A, B)
4. 20 15 40
MCM = 60
MCM = 120
 
 ⇒ MCM(20; 15; 40) = 120 
 
El MCM y MCD de varios 
números se puede calcular 
asociándolos parcialmente y 
calculando el MCM y MCD de 
los resultados parciales. 
1) Si A = Nn – 1
 B = Nm – 1
 ⇒ 
• MCD(318 – 1; 315 – 1) = 33 – 1 = 26
2) Si MCD(A, B) = d 
 ⇒ 
A = dp
B = dq PESI
 • Si MCD(A, B) = 6
 ⇒ 
A = 6p
B = 6q PESI
MCD(A, B) = NMCD(n, m) – 1
MCM = dpq
MCM = 6pq
Ten Presente
2
Actividad 09
Problema 3
Si MCM(2A, B) = 120
y MCD(2A, B) = 6
calcula A⋅B
Solución:
Por propiedad: 
 2A⋅B = 120⋅6 
⇒ A⋅B = 360
 Rpta.: 360
Problema 4
Si MCM(A, B) = 36 
y MCM(B, C) = 40 
calcula el MCM(A, B, C) 
Solución:
A B B C
MCM = 36
MCM = 360
MCM = 40
⇒ MCM(A, B, C) = 360
Rpta.: 360
II
 B
IM
ES
TR
E
332
NÚMEROS RACIONALES I
I. NÚMERO RACIONAL 
Los números 15 
5
 y 8 
12
 , están ex-
presados como, división de dos 
enteros. 
15 
5
 = 3 es entero, mientras que 8 
12
 no. 
Todos los números que pueden 
ser representados como división 
de dos enteros se llaman números 
racionales y se designa con Q, tal 
que: 
 = ∈ ∧ ↑






x
y
x y y/ , 0
II. NÚMERO FRACCIONARIO 
El número 8 
12
 no resulta entero. 
Es un número racional fraccionario.
En la fracción 8 
12
numerador
denominador
Un número racional a 
b
 es fraccio-
nario si a y b son enteros, b ≠ 0, y 
a no es divisible entre b. 
f
a
b
a b b a b= ∈ ↑ ∧ ↑, , , 0
• a: Numerador • b: Denominador
clAsificAción de frAcciones
La fracción f = a 
b
 (con a > 0 y b > 0) puede ser: 
Propia Impropia Reductible Irreductible Decimal Ordinaria
a < b a > b a y b no PESI a y b PESI b = 10n b ≠ 10n
5 
8
6 
4
18 
15
8 
9
 71 
100
23 
25
Problema 1
Califica las proposiciones. 
1. 15 
10
 es una fracción propia. 
2. 18 
9
 no es fracción.
3. Toda fracción es un número racional. 
Solución:
1. (Falso) 
2. (Verdadero) 
3. (Verdadero) 
Rpta.: FVV
propiedAdes de frAcciones
Si multiplicamos o dividimos ambos términos de una 
fracción por un entero distinto de cero, el valor de la 
fracción no cambia. 
foto Yuri en cataratas donde apa-
rece el arco iris
FRACCIONES
¿Qué parte de una obra 
proyectada para 90 días, 
se avanza en 20 días?
1. Una fracción se puede escri-
bir como:
 • a 
b
 o a/b o a  b
 • 4 
7
 o 4/7 o 4  7
2. Toda fracción impropia se 
puede expresar como la 
suma de un entero más una 
fracción propia. 
 • 
13 
5
 ⇒ 13 5
 3 2⇒ 13 
5
 = 2 + 3 
5
 = 2 3 
5
3. Comparación de dos frac-
ciones.
 Comparemos 4 
7
 y 5 
9
, es 
decir, averigüemos cuál es 
menor y cuál el mayor. 
 • Ponemos frente a frente y 
 multiplicamos en aspa: 
 
4 
7
5 
9
 36 > 35 ⇒ 4 
7
 > 5 
9
Ten Presente
2
12
18
12
18
4
6
12
18
12
18
48
72
3
3
4
4
= √
√
=
= ⋅
⋅
=
•
•
¿Una fracción pue-
de ser mayor que 1?
10CAPÍTULO
II B
IM
ESTR
E
34 2
CAPÍTULO 10 NÚMEROS RACIONALES I
simplificAción de frAcciones
En virtud de la propiedad anterior, cualquier 
fracción reductible se puede convertir en irre-
ductible dividiendo ambos términos entre su 
MCD. 
expAnsión de frAcciones
Una fracción se puede expandir multiplicando 
ambos términos por un mismo entero distinto 
de cero. 
expresión generAl de lAs frAcciones equivAlentes A unA frAcción dAdA
Estas fracciones son equivalentes porque represen-
tan el mismo número. Una fracción tiene muchas 
fracciones equivalentes, aunque todas ellas tienen 
una forma general. 
Busquemos la expresión general de todas las fracciones equivalentes a 9 
12
. 
1. Simplificamos hasta volverla irreductible: 9 
12
 = 4 
3
2. Expresamos la forma general de las fracciones equivalentes a 9 
12
:
9
12
3
4
0= ∈ ∧ ↑k
k
k k
Problema 3
¿Cuántas fracciones equivalentes 
a 20 
35
 tienen el numerador com-
prendido entre 10 y 65? 
Solución:
20 
35
4k 
7k
= ⇒
10 < 4k < 65
3; 4; ... ; 16
∴ Hay 16 – 2 = 14 fracciones
Rpta.: 14
Problema 2
¿Cuál es la fracción equivalente a 
15 
18
, cuya suma de términos es 132?
Solución:
15 
18
5k 
6k
= ⇒
5k + 6k = 132
11k = 132
 k = 12
∴ = =5
6
5 12
6 12
60
72
k
k
( )
( )
 Rpta.: 60 
72
Problema 4
¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de denominador 20 existen? 
Solución:
Las fracciones son de la forma a 
20
, 
tal que 1 ≤ a < 20 y a con 20 PESI: 
 Rpta: 8
⇒ a = 1; 3; 7; 9; 11; 13; 17 y 19 
8 valores
3
5
6
10
18
30
36
60
= = =
×2
×2
×3
×3
×2
×2
4 
6
2 
3
MCD Y SIMPLIFICACIÓN DE 
FRACCIONES
Supongamos que queremos 
simplificar la fracción: 
221 
289
A simple vista no se sabe si los 
términos tienen algún divisor 
común. Entonces calculemos 
el MCD por el algoritmo de 
Euclides:
1 3 4
289 221 68 17
68 17 0
MCD
 
MCD(289; 221) = 17
Dividimos ambos términos 
entre 17: 
221
289
221 17
289 17
13
17
= √
√
=
Datos
• MCD(48; 36) = 12
• 48
36
 = 48 ÷ 12
36 ÷ 12
 = 4
3
II
 B
IM
ES
TR
E
352 
CAPÍTULO 10NÚMEROS RACIONALES I
1 ¿Cuántos números fraccionarios hay en el si-
guiente grupo?
 
4
5
8
18
12
5
60
12
80
4
15
45
50
60
; ; ; ; ; ;
−
 2 Relaciona correctamente :
 1. Fracciones A. 1 
8
 ; 1 
8
 ; 15 
8 homogéneas
 2. Fracciones B. 45 
2
 ; 43 
4
 ; 11 
8 propias
 3. Fracciones C. 1 
60
 ; 1 
8
 ; 1 
20 impropias
3 Relaciona correctamente.
 1. 1 
5
 ; 2 
5
 ; 7 
51
 A. Números con fracciones
 2. 20 
5
 ; 50 
10
 ; 60 
12
 B. Fracciones irreductibles
 3. 1 
3
 ; 2 
6
 ; 3 
9
 C. Fracciones equivalentes
4 ¿Cuántas fracciones propias e irreductibles de 
denominador 5 existen?
5 Halla una fracción equivalente a 174 
261
, tal que la
 suma de sus términos sea 40.
6 Halla un sexto de la mitad de la cuarta parte de
 los 3
5
 de A, si A aumentado en sus 3
2
 equivale a
 los 3
5
 de 220.
7 ¿Cuántas fracciones propias con denominador 
15 existen tales que sean mayores que 1 
2
? 
8 Halla la cantidad de fracciones equivalentes a 
 2 
7
, tal que la suma de sus términos sea menor 
que 100.
9 ¿Cuántas fracciones irreductibles con denomi-
nador 12 existen entre 1 
2
 y 2?
10 ¿Cuánto se debe aumentar al numerador de 3
8
 para que resulte 1
2
 ? 
Problema 5
Halla una fracción impropia tal que aumentado en
sus 2
3
, resulta los 12
5
 de su inversa.
Solución:
f = a
b
; inversa de f = b
a
a
b
 + 2
3
 
a
b

 = 
12
5
 
b
a


 5
3
 
a
b

 = 
12
5
 
b
a


⇒ a
2
b2
 = 36
25
 = 
62
52


∴ a
b
 = 6
5
Rpta.: 6
5
Problema 6
Halla el mayor de los números que suman 357, de
modo que el segundo sea los 2
3
 del primero y este, 
1
4
 del tercero.
Solución:
A + B + C = 357
B = 2
3
 A; A = 1
4
 C ⇒ C = 4A
⇒ A + 2
3
 A + 4A = 357
Luego: A = 63; B = 42; C = 252
∴ Mayor es "C" = 252
 Rpta.: 252
Actividad 10
II B
IM
ESTR
E
36 2
11CAPÍTULO NÚMEROS RACIONALES II
FRACCIONES HOMOGÉNEAS 
Varias fracciones son homogéneas 
si tienen el mismo denominador. 
• 3 
5
; 2 
5
; 13 
5
 ; 8 
5
 
FRACCIONES HETEROGÉNEAS 
Varias fracciones son heterogéneas 
si tienen denominadores diferentes. 
• 4 
7
; 9 
5
; 10 
13
 ; 1 
2
 
HomogenizAción de frAcciones
Cualquier grupo de fracciones heterogéneas se puede transformar en otro de 
fracciones homogéneas. 
Homogenicemos las fracciones: 
1. Simplificamos al máximo. 
2. Calculamos el MCM de los denominadores. 
3. El MCM es el denominador común. El nu-
merador se obtiene dividiendo el MCM en-
tre el denominador y multiplicando por el 
respectivo numerador. 
Problema 1
Ordena ascendentemente las frac-
ciones: 3 
4
; 12 
9
; 10 
25
 y 10 
12
.
Solución:
Simplificando:
 3 
4
 ; 4 
3
 ; 2 
5
 ; 5 
6
MCM(4; 3; 5; 6) = 60
 45 
60
 ; 80 
60
 ; 24 
60
 ; 50 
60
 
Ordenando: 
 24 
60
 < 45 
60
 < 50 
60
 < 80 
60
 ⇒ 10 
25
 < 3 
4
 < 10 
12
 < 80 
60
Problema 2
¿Cuántas de las fracciones 4 
8
, 12 
15
, 
15 
20
 y 5 
6
 son mayores que 8 
12
?
Solución:
4 
8
 ; 12 
15
 ; 15 
20
 ; 5 
6
 ; 8 
12
Simplificando:
1 
2
 ; 4 
5
 ; 3 
4
 ; 5 
6
 ; 2 
3
MCM(2; 5; 4; 6) = 60
30 
60
 ; 48 
60
 ; 45 
60
 ; 50 
60
 ; 40 
60
Ordenando: 
30 
60
 < 40 
60
 < 45 
60
 < 48 
60
 < 50 
60
Mayores
Rpta.: 3
FRACCIÓN DE UNA
CANTIDAD
2 
6
1
Aquí tenemos la unidad divi-
dida en 6 partes iguales. Cada 
parte es 1 
6
: 
Entonces la parte coloreada 
es 2 
6
.
Ahora tenemos 900 dividido, 
igualmente, en 6 partes, 2 de 
las cuales están coloreadas: 
900
2 
6
de 900
Entonces la parte coloreada es: 
2 
6
 de 900 = 2 
6
×900 = 300 
1
150
• 4 
5
 de 80 = 4 
5
⋅80 = 64
• 3 
7
 de los 4 
5
 de 490 = 3 
7
⋅ 4 
5
⋅490
 = 168
Ten Presente
2
¿Qué significa 
homologación 
de sueldos?
¿Siempre se puede 
transformar las frac-
ciones heterogéneas 
en homogéneas?
MCM(5; 6; 4) = 60
10 
12
5 
6
3 
5
3 
5
3 
4
6 
8
50 
60
(60÷6)5
36 
60
(60÷5)3
45 
60
(60÷4)3
II
 B
IM
ES
TR
E
372 
CAPÍTULO 11NÚMEROS RACIONALES II
Actividad 11
compArAción de frAcciones
De los ejercicios anteriores se puede concluir: 
1. De varias fracciones homogéneas, es mayor el de mayor numerador y 
menor el de menor numerador. 
2. De varias fracciones con numeradores iguales, es mayor el de menor 
denominador y menor el de mayor denominador. 
Problema 4
Si al numerador de 7 
9
 le sumo 21, 
¿cuánto debo sumar al denomina-
dor para que la fracción no se al-
tere?
Solución:
7 
9
 = 7 + 21 
9 + x
 
 7(9 + x) = 9(28)
 63 + 7x = 252
 x = 27
Rpta.: 27
Problema 3
Si a los términos de 5 
8
 se suma 4, 
entonces: 
I. La fracción no varía. 
II. La fracción aumenta.
III. La fracción disminuye.
Solución:
5 
8
5 + 4 
8 + 4
 = 9 
12
 = 3 
4
5 
8
3 
4
20 < 24
⇒ 5 
8
 < 3 
4
 
∴ La fracción aumenta. 
 Rpta.: Sólo II
1 Dadas las fracciones homogéneas: 
 a
a
b
a
c
bc6 12
; ; , halla abc. 
2 Coloca > ; < o = en el círculo. 
 1. 18 
10
17 
6
 3. 16 
20
24 
30
 2. 
23 
26
14 
10
 4. 70 
100
63 
90
3 Ordena descendentemente las fracciones: 
4
5
3
4
21
20
9
15
; ; y
4 ¿Cuántas de las fracciones 
12
20
53
60
3
5
38
45; ; ; son
 mayores que 13 
15
? 
5 La suma de dos fracciones homogéneas e im-
propias de denominador 21 es 15 
7
. Indica la
 mayor de las fracciones.
6 Dadas las fracciones: 
 A = 15 
18
 B = 13 
36
 C = 11 
24
 
 Ordena de mayor a menor.
7 Encuentre un número racional comprendido entre
 1
3
 y 5
6
, cuya distancia al primero sea el doble de
 su distancia al segundo. 
8 De las fracciones: 
 
 Elija el numerador de la menor.
9 ¿Cuál de las fracciones es la mayor? 
1) 2 
5
 2) 21 
28
 3) 20 
29
 
10 La suma de dos fracciones irreductibles es 5. Si 
la suma de sus denominadores es 20, halla la 
suma de los numeradores. 
105
104
215
214
93
92
88
87
130
129
; ; ; ;
II B
IM
ESTR
E
38 2
12CAPÍTULO OPERACIONES CON FRACCIONES
problemAs de Adición y sustrAcción
Problema 1
Una obra ha sido ejecutada en 5 días. El 1° día avanzaron 1/10; el 2° día 
1/8; el 3° día las 2/5 y el 4° día 1/6. ¿Qué parte hicieron el 5° día? 
Solución:
Día : 1° 2° 3° 4° 
Obra: 
1
10
1
8
2
5
1
6
12 15 48 20
120
95
120
19
24
+ + + = + + + = =
⇒ El 5° día avanzaron: 1
19
24
24 19
24
5
24
− = − = de la obra 
Rpta.: 5/24
problemAs de multiplicAción
Problema 2
Germán depositó su ahorro en el banco, luego de algún tiempo su ahorro 
se incrementó en sus 3/5 con los intereses, entonces Germán retiró 1/4 de 
esta suma quedándole S/. 480. ¿Cuánto depositó al principio? 
Solución:
Resultó 
1 + 3 
5
 = 8 
5
1 
4
 de 8 
5
Retiró
⇒
Al principio : 1
Aumentó en : 3 
5
3 
4
 de 8 
5
 = 3 
4
⋅ 8 
5
 = 6 
5
Quedó 
1
2
Si 6 
5
 → S/. 480
 1 → x
x = 1 ⋅480÷ 6 
5
 = 480 ⋅ 5 
6
 = 400 
80
1 Rpta.: S/. 400
problemAs de división 
Problema 3
Tengo un rollo de alambre de 50 m 
y voy a cortarlo en trozos de 5/2 m. 
¿Cuántos trozos obtendré? 
Solución:
50÷ 5 
2
 = 50 × 2 
5
 = 20
10
1 
 Rpta.: 20
Si gasté los 3/5 de mi 
saldo, ¿qué parte de 
mi saldo me queda? RecuerdaRecuerda
1. Adición y sustracción de 
fracciones 
a) Homogéneas
 
2
7
5
7
3
7
2 5 3
7
4
7
+ − =
+ −
=
b) Heterogéneas
 
3
4
2
5
3
10
+ +
 Homogenizamos y sumamos: 
15 8 6
20
29
20
1
9
20
+ +
= =
2. Multiplicación de fracciones
No interesa si son homogé-
neas o heterogéneas. 
 
a
b
c
d
e
f
ace
bdf
⋅ ⋅ =
 
3
5
4
5
2
3
3 4 2
5 5 3
8
25
⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
3. División de fracciones
 • 
a
b
c
d
a
b
d
c
ad
bc
√ = × =
 • 
a
b
c
a
b c
a
bc
√ = × =
1
 • a a
c
b
ac
b
b
c
√ = × =
4. Potenciación 
a
b
a
b
n n
n




=
Fracciones complementarias
Dos fracciones son comple-
mentarias si suman la unidad. 
• 3 
7
 y 4 
7
 son complementarias 
porque 3 
7
 + 4 
7
 = 1
¿La suma de dos 
fracciones siempre 
es una fracción?
II
 B
IM
ES
TR
E
392 
CAPÍTULO 12OPERACIONES CON FRACCIONES
Actividad 12
1 Marco gasta $ 8 
1 
3
 en comprar unos anteojos, 
$ 7 2 
12
 en comprar unas sandalias y $ 9 
 1 
24
 en 
comprar un short. ¿Cuánto gasta en total? 
2 Martín medía 168 1 
3
 cm a comienzos del año 
2015. En el primer cuatrimestre del año au-
mentó 3 
1 
2
 cm; en el segundo, 8 
3
 cm, en el terce-
ro 1 
6
 cm. ¿Cuánto mide actualmente?
3 ¿Cuánto le falta a la mitad del triple de los 4 
7
 de 
la octava parte de 14 
3
 para ser igual a 2 veces las 
2 
5
 partes de la mitad de 70?
4 Víctor gasta 1 
5
 de su sueldo en ropa, los 3 
7
 del 
resto en alimentos y los 3 
8
 del resto en un regalo 
para su enamorada. ¿Qué fracción de su dinero 
le queda aún?
5 Simplifica:
 
 
E =
−
−
√
87
49
1
2
49
5
49
11
196
36
25
6 Manuela compra 6 1 
4
 litros de yogurt. ¿Cuántos 
vasos llenos de yogurt obtendrá si la capacidad 
de cada vaso es de 1 
12
 litro?
7 Si un caño «A» llena un tanque en 6 h y un des-
agüe «D» vacía el tanque en 12h, ¿en cuánto 
tiempo se llenará el tanque si se abren ambas 
llaves a la vez? 
8 Se tiene un barril que contiene una mezcla de
 dos tipos de vino, donde los 2 
5
 del contenido son
 de un tipo y el resto de otro tipo. Si se extrae 
20 litros de la mezcla, ¿cuántos litros de cada tipo 
contiene?
 
9 Karina lee 2 
4
 del número de páginas de una
 
novela el primer día y el segundo día, 3 
5
 del resto.
 ¿Que tanto de la novela queda por leer? 
10 Los 4 
7
 de los alumnos de un aula son mujeres. 
Si salen al recreo la mitad de las mujeres y la 
tercera parte de los hombres, ¿qué parte de los 
alumnos queda en el aula? 
problemAs de potenciAción
Problema 4
¿Cuántos litros de agua caben en un recipiente cúbico de 3/4 m de artista 
interior?
Solución:
 Rpta.: 421,9 litros
Volumen = 
3
4
3
4
27
64
1000
1
3 3
3
3
3




= = ×m
m
L
 
Volumen = 27000
64
421 9
L
L= ,
3 
4
3 
43 
4
FRACCIÓN DE FRACCIÓN
2 
3
3 
4
2 
3
de
3
4
2
3
3
4
2
3
6
12
1
2
 de = × = =
Ten Presente
2
II B
IM
ESTR
E
40 2
NÚMEROS RACIONALES Y PROPORCIONALIDAD
FABRICAN LA TELA DE SPIDERMAN 
El Hombre Araña tiene entre sus poderes el de lanzar redes adherentes que 
imitan las telas de araña. El Dr. Vierra ha estado estudiando los mecanismos 
moleculares de la seda de la araña viuda negra, la cual tiene una alta resistencia 
a la tracción, cinco veces más fuerte que el acero, una extraordinaria elasticidad 
que puede estirarse hasta 135% de su longitud original sin romperse. Se podría 
usar en suturas médicas, ligamentos y tendones artificiales, chalecos antibalas, 
hilo de pescar, cinturones de seguridad. Este material no es tóxico y es biode-
gradable ya que está prácticamente constituido por proteínas.
- Un hilo de 60 cm de este material, ¿hasta que longitud se puede estirar sin 
romperse? 
http://www.20minutos.es/noticia/1850014/0/vestido/secreto/spider-man/
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Ordena y compara 
números decimales
• Usa la fracción gene-
ratriz.
• Interpreta la razón y la 
proporción de magni-
tudes.
• Reconoce cuándo utili-
zar la regla de tres y el 
tanto por ciento. 
• Clasifica los números 
decimales.
• Clasifica las razones y 
las proporciones.
• Representa en forma 
gráfica las magnitudes 
proporcionales.
• Utiliza diagramas para 
resolver problemas.
• Realiza operaciones 
con números decimales. 
• Halla la razón y la pro-
porción de magnitudes.
• Resuelve problemas de 
números decimales.
• Elabora diversas es-
trategias para resolver 
problemas.
• Explica el uso de los 
números decimales en 
la resolución de proble-
mas.
• Estable relaciones entre 
las magnitudes propor-
cionales.
• Argumenta el uso de 
la regla de tres y el 
porcentaje.
Unidad
03
412
NÚMEROS DECIMALES I
número decimAl
 • 23 
25
 = 0,92 • 7 
11
 = 0,6363... • 5 
12
 = 0,41666 
Un número decimal es la expresión lineal de 
una fracción.
Dividiendo el numerador de una fracción entre 
el denominador se obtiene un número decimal. 
parte decimal
coma decimal
parte entera
a,bcde
clAsificAción de los números decimAles
De acuerdo a la cantidad de cifras en la parte decimal, los números decima-
les se clasifican como sigue: 
1. Número decimal 
 exacto (NDE)
4,567
Parte entera 
Parte
decimal Parte periódica 
o periodo
Parte no periódica
Parte periódica o periodo
0,5353... = 0,53 0,37171... = 0,371
2. Número decimal inexacto (NDI)
• Periódico puro • Periódico mixto
Problema 1
Si a,5bc7a... es un decimal periódi-
co puro con dos cifras en el perio-
do, calcula a + b + c.
Solución:
a,5bc7a... 5 = c = a
b = 7
∴ a + b + c = 5 + 7 + 5 = 17
Rpta.: 17
Problema 2
El número 0,2a8b3c1... es periódico 
mixto, con tres cifras periódicas y 
una cifra en la parte no periódica. 
Calcula a + b + c. 
Solución:
0,2a8b3c1...
a = 3
8 = c
b = 1
∴ a + b + c = 3 + 1 + 8 = 12
Rpta.: 12
compArAción de números decimAles¿Cuál de estos nú-
meros es mayor?
Comparamos cifra por cifra 
y de izquierda a derecha.
⇒ 4,5681 > 4,5639
4,5681
4,5639
4,5681
4,5639
= ==>
Un gramo de aire contiene 0,78 
g de nitrógeno, 0,21 g de oxíge-
no y 0,01 g de otras sustancias.
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Para escribir números muy 
grandes como el diámetro del 
sistema solar: 
4 500 000 000 000 km
o números tan pequeños como 
el diámetro de un glóbulo rojo: 
0, 000 007 m
se utiliza la notación científica.
La notación científica es de la 
forma: 
a×10n
1 ≤ a < 10
n ∈ Z – {0}
Los números anteriores en 
notación científica son: 
Diámetro del sistema solar: 
4,5×1012 km
Diámetro del glóbulo rojo: 
7,0×10–6 m
Ten Presente
2
¿Una fracción deci-
mal siempre origina 
un número decimal 
exacto?
13CAPÍTULO
III B
IM
ESTR
E
42 2
CAPÍTULO 13 NÚMEROS DECIMALES I
1. Ceros a la izquierda. 
• En números enteros los 
ceros a la izquierda no 
tienen valor: 
 27 = 027 = 0027
• En decimales los ceros a 
la izquierda de la parte 
decimal cambian de valor 
al número: 
 0,27 ≠ 0,027 ≠ 0,0027
2. Ceros a la derecha
• Un cero puesto a la dere-
cha de un entero, lo multi-
plica por 10. Le cambia de 
valor: 
 27 ≠ 270 ≠ 2700
• Un cero puesto a la dere-
cha de un número decimal 
no le cambia de valor: 
 0,27 = 0,270 = 0,2700
Ten Presente
2
Para determinar el mayor de dos números decimales comparamos cifra por 
cifra y de izquierda a derecha, hasta ubicar la primera pareja de cifras dife-
rentes. La cifra mayor corresponde al número mayor. 
Problema 3
Compara los pares de núme-
ros y escriba el signo corres-
pondiente. 
1. 2,57 2,5
2. 3,274 3,27
3. 0,412 0,4123
Solución:
>
>
>
1. 2,577 ...
 2,555 ...
= = >
2. 3,27474 ...
 3,2727 ...
= = = >
3. 0,412412 ...
 0,412341 ...
== = >
 Rpta.: >; >; >
redondeo de números decimAles
3 = 1,73205080...
El número 3 es irracional, tiene infi-
nitas cifras decimales y no tiene parte 
periódica. 
Para aproximar se elige la cifra de 
aproximación. Si a la derecha de esta 
cifra hay una cifra mayor o igual que 
5, la cifra de aproximación aumenta en 
1, en caso contrario, se mantiene. 
frAcción generAtriz 
Es aquella fracción irreductible. Hallemos la fracción de la que proviene el 
decimal.
CASO 1.- De NDE a fracción
En el numerador escribimos el decimal sin la 
coma decimal, y en el denominador, la unidad 
seguida de tantos ceros como cifras decimales 
contiene.
CASO 2.- De NDI periódico puro a fracción 
En el numerador se escribe el decimal despro-
visto de la coma y el arco, y en el denominador, 
el número formado por tantas cifras 9 como ci-
fras tiene el periodo. 
CASO 3.- De NDI periódico mixto a fracción
En el numerador se escribe el decimal despro-
visto de la coma y el arco disminuido en la par-
te no periódica, y en el denominador, tantos 
nueves como cifras tiene el periodo, seguido de 
tantos ceros como cifras tiene la parte decimal 
no periódica. 
Redondeemos 3 a centésimas:
• La cifra de aproximación es 3.
1,732...
< 5
• Como la cifra a su derecha es 
 2 < 5, entonces:
 3 ≈ 1,73
• 0,42 = 42 
100
• 34,8 = 348 
10
 
• 0,35 = 35 
99
• 0,008 = 8 
999
 
• 0,425 = 425 – 4 
990
• 0,362 = 362 – 36 
900
 
• 4,583 = 4583 – 458 
900
 
II
I 
B
IM
ES
TR
E
432 
CAPÍTULO 13NÚMEROS DECIMALES I
Actividad 13
1 Relaciona cada número decimal con su denomi-
nación correspondiente.
 I. 0,2424... A. N.D.P.P.
 II. 3,62525... B. N.D.E.
 III. 4,222 C. N.D.P.M.
 2 Coloca >, < o =, según corresponda: 
 I. 0,843 0,85
 II. 8,1236 8,1241
 III. 0,63865 0,63812
3 Redondee al décimo y al centésimo cada uno de 
los números decimales. 
 (a) 0,567781
 (b) 3,15891
4 Ordena en forma creciente.
 • P = 0,11 • Q = 0,1014 
 • R = 1,001 • S = –1,111
 • T = 1,101
5 Sean: A = {–3,2 ; –2,1 ; –0,5}
 B = {3/4 ; 3/20 ; 3/7}
 C = {0,05 ; 0,11 ; 0,25}
 Si se seleccionan tres números, uno de cada con-
junto, ¿cuál es la suma más grande que se puede 
obtener? 
6 Al redondear al décimo y al centésimo el núme-
ro decimal 0,26131 se obtiene 0,a y 0,bc, respec-
tivamente. Halla a + bc + def .
7 ¿Cuál de las fracciones siguientes es menor que 
0,714285?
 a) 8 
9
 b) 7 
8
 c) 5 
6
 d) 3 
4
 e) 1 
2
 
8 ¿Cuál de los siguientes números está compren-
dido entre 0,2 y 0,3?
 a) 1 
3
 b) 1 
5
 c) 1 
6
 d) 1 
4
 e) 1 
7
 
9 Si 3
ab
 = 0,081
)
, halla a + b. 
10 Si a
5
 + b
10
 = 1,a ) , halla a + b.
Problema 4
Si 0,ab + 0,ba = 1,1, calcula a + b. 
Solución:
ab 
99
 + ba 
99
 = 11 – 1 
99
 ⇒ ab + ba 
99
 = 10 
9
11
10a + b + 10b + a = 110 ⇒ 11(a + b) = 110
 a + b = 10
 Rpta.: 10
Problema 5
Si 4 
a
 = 0,a , calcula a. 
Solución:
4 
a
 = a 
9
 ⇒ 36 = a2 ⇒ a = 6
 Rpta.: 6
III B
IM
ESTR
E
44 2
14CAPÍTULO NÚMEROS DECIMALES II
Los números decimales son generados por la división del numerador en-
tre el denominador de una fracción, cuya fracción irreductible se denomina 
fracción generatriz. Ahora vamos a estudiar el tipo de decimal que origina 
una fracción generatriz de acuerdo a las características de su denominador. 
CASO 1 Si el denominador de una fracción generatriz tiene como únicos 
factores primos a 2 y/o 5, entonces origina un NDE, cuya cantidad de cifras 
decimales es igual al mayor exponente que presenta uno de los factores, 2 o 5.
13
20
13
2 5
0 652= ⋅
= ,

2 cifras 3 cifras
15
8
15
2
1 8753= = ,
2 cifras
21
25
21
5
0 842= = ,
Problema 1
Calcula la suma de cifras 
decimales que origina la 
fracción propia a7 
25
.
Solución:
a
mn
a mn7
5
0
7
25 1002
= ⇒ =,
4
 ⇒ a7⋅4 = mn ⇒ a = 1
⇒ mn = 17 ⋅4 = 68 ⇒ m + n = 14
 Rpta.: 14
CASO 2 Si el denominador de una fracción no contiene factores 2 ni 5, en-
tonces origina un número decimal periódico puro, cuyo periodo posee una 
cantidad de cifras igual a la cantidad de cifras del menor número formado 
por nueves que contiene al denominador. 
 
 
 
 
 
 
 7 
11
 : 11 está contenido en 99, que tiene 2 cifras, entonces 7 
11
 tiene 2 cifras
 periódicas. 7 
11
 = 0,6363 ... = 0,63
5 
7
: 7 contenido en 999999
6 cifras 6 cifras
⇒ 5 
7
 = 0,714285
Problema 2
El periodo del decimal que origina la 
fracción 2a 
37
 termina en 5. Calcula la 
suma de cifras del periodo. 
Solución:
Como 37 está contenido en 999 = 27⋅37 
entonces el periodo del decimal que 
origina tiene 3 cifras. 
2
37
0 5
2
37
5
999
a
mn
a mn= ⇒ =,
27
⇒ ⋅ = ⇒ =2 27 5 5
5
a mn a
...

⇒ 25⋅27 = 675 = mn5
∴ 6 + 7 + 5 = 18
 Rpta.: 18
FRACCIÓN GENERATRIZ
Un centímetro 
cúbico de plata 
pesa 10 gra-
mos. ¿Cuánto 
pesa un dm3?
Datos
TABLA DE LOS NUEVES
 9 = 32
 99 = 32⋅11
 999 = 33⋅37
 9999 = 32⋅11⋅101
 99999 = 32⋅41⋅271
 999999 = 33⋅7⋅11⋅13⋅37
¿De qué tipo de 
fracciones provie-
nen los números 
decimales exactos?
II
I 
B
IM
ES
TR
E
452 
CAPÍTULO 14NÚMEROS DECIMALES II
CASO 3 Si el denominador de una fracción generatriz contiene factores 
2 y/o 5, y factores diferentes a éstos, entonces origina un número decimal 
periódico mixto cuya cantidad de cifras en la parte decimal no periódica se 
determina según el caso 1 y la cantidad de cifras del periodo según el caso 2. 
5
6
5
2 3
0 83=
⋅
= ,

1 1
1 1
23
60
23
2 5 3
0 3832= ⋅ ⋅
= ,

2
2
1
1
2 3
2 3
35
108
35
2 27
0 324072= ⋅
= , 
Problema 3
Determina b, si la fracción gene-
ratriz N 
 bb
 origina un decimal pe-
riódico mixto con dos cifras en la 
parte no periódica. 
Solución:
• 
N N
bb b
abcd=
⋅
=
11
0, 
• Como tiene 2 cifras no periódicas 
⇒ b contiene a 22 o 52.
• b es cifra ⇒ b = 4 
Rpta.: 4
OPERACIONES CON DECIMALES
1. Adición y sustrAcción de decimAlesPara sumar o restar decimales se ali-
nean respecto a la coma decimal y se 
suman o restan las cifras que se en-
cuentran a la misma altura. 
Problema 4
Una sustancia se compone de 0,31 mg 
de A, 2,41 mg de B y 0,05 mg de C. 
¿Cuál es su peso, en mg?
Solución:
 A: 0,31
 B: 2,41
 C: 0,05
Total: 2,77 
Rpta.: 2,77 mg
2. multiplicAción de decimAles
Para multiplicar decimales se multiplican como 
si fueran enteros, pero al producto total se le 
asigna tantas cifras decimales como la suma de 
la cantidad de cifras decimales de los factores. 
Problema 5
Durante un día una tienda comercial 
vende 16000 productos cuyos precios 
terminan en 0,99, redondeándolo a en-
teros. ¿Cuánto de ingreso obtiene la 
tienda a causa del redondeo?
Solución:
• Por cada producto ingresa: 
 1 – 0,99 = 0,01
• En 1600: 0,01×16000 = 160
 Rpta.: 160
0,3 + 2,42 + 0,562
 0,3 
 2,42 
 0,562
 3,282
Ten Presente
2
Para sumar decimales perió-
dicos es preferible pasarlos a 
fracción, sumarlos y volver a 
pasar a decimales. 
• 0 3 0 45 2 31, , ,
 
+ +
 
= +
−
+
−3
9
45 4
90
231 2
99
 
= + +
3
9
41
90
229
99
 
=
+ +330 451 2290
990
 
= =
3071
990
3 102,
0,35 × 0,02 ⇒
2 2
 0,35 
 0,02 
 0,0070
2 + 2 = 4
III B
IM
ESTR
E
46 2
CAPÍTULO 14 NÚMEROS DECIMALES II
Actividad 14
1 Halla m + n + p + q + r sin efectuar la división de 
las siguientes fracciones: 
 
F F1 2
24
33
0
74
125
0= = = =, ,mn pqr y
2 ¿Cuántos elementos del conjunto originan un 
decimal periódico puro?
 
M = { }1170 414 1025 1771 4083; ; ; ; 
3 Si 3
m
 = 0,3
)
, halla 5
m + 3
 e indica la cifra periódica
 del número decimal que origina. 
4 Determina cuántas cifras periódicas tienen los 
decimales que originan las fracciones: 
 F1 = 
m
13 F2 = 
n
7
 
5 ¿Cuántas cifras periódicas y no periódicas origi-
nan la fracción 201332 ⋅ 77?
6 Determina el valor de a + b, si 0,ab
)
 + 0,ba
)
 = 1,5
)
 
7 Halla la suma de cifras del número decimal ori-
ginado por la fracción 2013
37037
. 
8 Si 0 5
33
0
4
15
, ,ab mn

= ∧ = ,
 halla a⋅b + m⋅n.
9 La fracción irreductible a
aa
9
 origina el decimal
 x,ypq
)
. Halla x + y + p + q. 
10 Si cada fracción irreductible 
ab
ba
origina el núme-
ro decimal 1, xyz , halla ( )x y z
a b
+ +
+
 
3. división de decimAles
84,38⇒
70
38
35
1
143
140
2,41
35
• 84,38÷35
4,8⇒
4,5
0,3
⇒ Resto: 0,3÷10 = 0,03
0,9
5
• 0,48÷0,5
3600⇒
25
100
100
110
100
144
25
• 36÷0,25
Para dividir cualquier número entre un decimal, se procura convertir el divi-
sor en un entero, multiplicando dividendo y divisor por una potencia de 10 
conveniente, y en caso de que haya un resto, éste se divide entre la potencia 
de 10 por el que se ha multiplicado. 
Durante la división, una vez que se llega a la coma decimal del dividendo se 
coloca una coma decimal en el cociente. 
Problema 6
Se fabrican pastillas 
de 0,048 kg de peso. 
¿Cuántas pastillas se 
fabrican si todas pesan 
17,64 kg?
Solución:
• Peso de cada pastilla: 0,048 kg
• Peso total: 176,4 kg
• # de pastillas: 176,4÷0,048 176400⇒
3675
48
 Rpta.: 3675 pastillas
II
I 
B
IM
ES
TR
E
472
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN ARITMÉTICA 
Aldo
S/. 48 S/. 36
Carlos
Comparemos los dineros de Aldo 
y Carlos:
48 es mayor que 36 en 12
48 excede a 36 en 12
48 – 36 = 12
La razón aritméticas repre-
senta el número de unidades 
en que una cantidad es ma-
yor que otra. 
En general: 
a – b = r
Antecedente
Consecuente
Valor de la 
razón
RAZÓN GEOMÉTRICA
Representemos gráficamente los 
dineros de Aldo y Carlos:
Obsérvese que si 
lo que tiene Aldo 
es como 4, lo que 
tiene de Carlos es 
como 3.
S/. 48
S/. 36
48 es a 36 como 4 es a 3.
48 y 36 están en la rela-
ción de 4 a 3.
48 
36
 = 4 
3
La razón geométrica repre-
senta la relación en la que se 
encuentran dos cantidades.
En general:
a 
b
 = k
Antecedente
Consecuente
Valor de la 
razón
Problema 1
Armando tiene S/. 100 y Franco, 
S/. 90. Si Franco diera S/. 20 a Ar-
mando, ¿en cuánto aumentaría la 
razón aritmética de sus dineros?
Solución:
Razón inicial: 100 – 90 = 10
Armando: 100
 Franco: 90
120
70
20
Nueva razón: 120 – 70 = 50
Aumenta en: 50 – 10 = 40
 Rpta.: 40
Problema 2
Miguel tiene 12 años y Marina, 8. 
Dentro de 20 años, ¿en qué relación 
estarán sus edades? 
Solución:
 
Miguel: 
Edad 
actual
Dentro de 
20 años
Marina:
12 32
8 28 
Relación: 32 
28
 = 8 
7
 Rpta.: 8 a 7
RAZONES
De cada 24 habi-
tantes del mundo, 
5 son chinos.
Ten Presente
2
La razón aritmética es una 
comparación de dos cantida-
des mediante una sustracción.
La razón geométrica es una 
comparación de dos cantida-
des mediante una división. 
Ten Presente
2
PROPORCIÓN 
Proporción aritmética
a – b = c – d
medios
extremos
Proporción geométrica
a 
b
 = c 
d
medio
extremo
medio
extremo
Proporción aritmética 
discreta (medios diferentes)
a – b = c – d (b ≠ c)
Proporción aritmética
continua (medios iguales)
a – b = b – c
b: Media diferencial de a y c.
Proporción geométrica
discreta (medios diferentes)
a 
b
 = c 
d (b ≠ c)
Proporción geométrica
continua (medios iguales)
a 
b
 = b 
c
b: Media proporcional de a y c.
¿Cómo varía con los 
años la razón aritmé-
tica de las edades de 
dos personas?
15CAPÍTULO
III B
IM
ESTR
E
48 2
CAPÍTULO 15 RAZONES Y PROPORCIONES
Ten Presente
2
PROPIEDADES DE LAS
 PROPORCIONES 
GEOMÉTRICAS 
Dada la proporción geométrica
a
b
c
d
=
se cumplen las siguientes 
propiedades: 
1. ad = bc
2. 
a c
b d
a
b
c
d
�
�
� �
3. 
a b
b
c d
d
a b
a
c d
c
� � � � � �o 
4. 
a b
a b
c d
c d
�
�
� �
�
5. 
a c
b d
a
b
c
d
m m
m m
m
m
m
m
�
�
� �
Serie de razones geométricas 
equivalentes continuas:
a
b
b
c
c
d
d
e
k
d ek
c ek
b ek
a ek
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
3
4
• 
48
24
24
12
12
6
6
3
2= = = =
serie de rAzones geométricAs equivAlentes
Estas razones geométricas tienen 
el mismo valor (1/2), por ello se 
dice que son equivalentes.
Valor común o 
constante de 
proporcionalidad
6
12
15
30
8
16
12
24
1
2
= = = =
Antecedentes
Consecuentes
En general: 
a
b
a
b
a
b
a
b
kn
n
1
1
2
2
3
3
= = = = =.... (1)
Propiedades de la serie de razones
A continuación veamos las propiedades de una serie de razones geométricas 
equivalentes, para cuatro razones en particular: a
x
b
y
c
w
d
z
k= = = = .
1. 
a
x
b
y
c
w
d
z
k a xk b yk c wk d zk� � � � � � � � �, , ,
 • 
a b c k a k b k c k
3 7 9
3 7 9� � � � � � �, ,
2. 
a b c d
x y w z
k a
x
b
y
c
w
d
z
� � �
� � �
� � � � �
 • 
8
4
12
6
10
5
2 8 12 10
4 6 5
2 8
4
12
6
10
5
� � � � � �
� �
� � � �
3. 
abcd
xywz
k a
x
b
y
c
w
d
z
= = = = =4
4
4
4
4
4
4
4
4 (4 = número de razones)
 • 
8
4
12
6
10
5
2 8 12 10
4 6 5
2 8
4
12
6
10
5
3
3
3
3
3
3
3� � � � � � � �
∙ ∙
∙ ∙
4. 
a b c d
x y w z
k a
x
b
y
c
w
d
z
m m m m
m m m m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
� � �
� � �
� � � � �
 • 
8
4
12
6
10
5
2 8 12 10
4 6 5
2 8
4
12
6
10
5
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2� � � �
� �
� �
� � � �
Problema 3
En una serie de cuatro razones 
geométricas la suma de los antece-
dentes es 36 y la de los consecuentes, 
48. Si el último consecuentes es 4, cal-
cula el correspondiente antecedente. 
Solución:
Sea: a
x
b
y
c
w
d
z
k= = = =
� � � �
� � �
a b c d
x y w z
d
z
=
� � � �36
48 4
36 4
48
3= = =d d d
 Rpta.: 3
Problema 4
En una serie de tres razones 
geométricas de valor 2, el producto 
de los consecuentes es 240. Calcula 
el producto de los antecedentes. 
Solución:
Sea a
x
b
y
c
w
= = = 2
� � � �abc
xyw
abc2
240
83
⇒ abc = 240(8) = 1920
 Rpta.: 1920
II
I 
B
IM
ES
TR
E
492 
CAPÍTULO 15RAZONES Y PROPORCIONES
1 La razón aritmética de las cantidades de dinero 
de Jorge y Carmen es S/. 240. Si la razón geomé-
trica es 8/13, ¿cuánto dinero tiene Carmen? 
2Si 
a b c d
3 4 12 3
= = = y a⋅b + c⋅d = 192,
 calcula a + b + c + d. 
3 En una discoteca se observa que por cada 8 mu-
jeres hay 5 hombres, y que el número de mujeres 
excede al de hombres en 21. ¿Cuál es la nueva 
relación si se retiran 16 parejas?
4 En una proporción geométrica continua, la 
suma de los extremos es 34 y su diferencia, 16. 
Halla la media proporcional.
5 La suma y la diferencia de dos números enteros 
positivos están en la misma relación que los nú-
meros 9 y 7. Si la suma de sus cuadrados es 260, 
encuentre los números
6 En una proporción geométrica continua, los tér-
minos extremos suman 65 y están en la relación 
de 4 a 9. Halla la media proporcional. 
7 Si a + b
a – b
 = 5
3
, 
 determina a
2 + b2
a2 – b2
 
8 En una serie de 3 razones geométricas continuas 
equivalentes de razón 3, la diferencia entre el 
mayor y el menor de sus términos es 104. La suma 
de las cifras de la suma de los antecedentes es:
9 Dada la proporción continua:
 a
b
=
b
c
, donde a2 + 2b2 + c2 = 144, halla a + c.
10 En una proporción geométrica, la suma de los 
respectivos términos de las razones son 36 y 9. Si 
los consecuentes suman 25, ¿cuál es el valor de la 
razón?
Actividad 15
Problema 5
Si a + b = 200 y a
3
 = b
5
, halla "a" 
Solución:
a
3
 = b
5
 = k ⇒ 
a + b = 3k + 5k ⇒ 8k = 200 ⇒ k = 25 
⇒ a = 75 ∧ b = 125
∴ a
3
 = b
5
 = a + b
3 + 5
 = a
3
 = 200
8
 ⇒ a = 75 
 Rpta.: 75
a = 3k
b = 5k
Problema 6
Si a
b
 = b
c
 = k y a + c = 15, halla b. Los números a, b, c y k
son enteros
Solución:
a
b
 = b
c
 = k ⇒ 
a + c = ck2 + c = c(k2 + 1) = 15
c(k2 + 1) = 3 × (22 + 1) ⇒ c = 3; k = 2
∴ b = 3 × 2 = 6 Rpta.: 6
a = ck2
b = ck
Problema 8
Si a
2
 = b
5
 = c
7
 y a + 2b + 3c = 66, halla a + b
Solución:
a
2
 = b
5
 = c
7
 = k ⇒ 
a = 2k
b = 5k
c = 7k
 
 ⇒ 2k + 2(5k) + 3(7k) = 66 
 33k = 66 ⇒ k = 2
∴ a + b = 7k = 14 Rpta.: 14
Problema 7
Sabiendo que a
3
 = b
8
 = c
7
 y ab + bc = 720, halla a + b + c
Solución:
De la serie; a = 3k, b = 8k, c = 7k
Reemplazando en el dato:
ab + bc = (3k)(8k) + (8k)(7k) = 720 
⇒ 24k2 + 56k2 = 80k2 = 720 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = 3 
Luego a = 9; b = 24; c = 21
∴ a + b + c = 54 Rpta.: 54 
III B
IM
ESTR
E
50 2
MAGNITUDES PROPORCIONALES
De Lima a Huáncayo hay 400 kilómetros. 
Iván planea viajar en su auto. 
Analicemos algunas 
posibilidades de como 
realizar el viaje:
Supongamos que viaja a 60 km/h. 
Analicemos su avance en cada hora.
Tiempo (h) 1 2 3 4 5
Espacio (km) 60 120 180 240 300
60e
t
60
120
180
300
e(km)
240
t(h)
Magnitudes directamente
proporcionales
La magnitud A es directamente 
proporcional a B si al aumen-
tar o disminuir sus valores, los 
valores correspondientes de B 
aumentan o disminuyen, res-
pectivamente, en la misma pro-
porción.
Véase el tiempo que tarda viajando 
con algunas posibles velocidades.
Tiempo (h) 5 4 3 2
Velocidad (km/h) 60 75 100 150
v(km/h)
60
120
180
300
240 vt = 400
t(h)
Magnitudes inversamente
proporcionales
La magnitud A es inversamente 
proporcional a B si al aumen-
tar o disminuir sus valores, los 
valores correspondientes de B 
disminuyen o aumentan, res-
pectivamente, en la misma pro-
porción.
Problema 1
Dos magnitudes directamente 
proporcionales son tales que A 
es 24 cuando B es 30. ¿En cuánto 
aumenta B cuando A se duplica?
Solución:
A 24 48
B 30 30 + x
24
30
48
30
=
+ x
24(30 + x) = 30·48 ⇒ x = 30
 Rpta.: 30
Ten Presente
2
Magnitudes directamente
proporcionales
El cociente de los valores 
correspondientes de dos mag-
nitudes directamente pro-
porcionales es una constante, 
y el gráfico de la función de 
proporcionalidad es una recta 
que pasa por el origen de 
coordenadas.
A D.P. B:
a
b
a
b
a
b
a
b
kn
n
1
1
2
2
3
3
= = = = =....
n
A
a1
a2
a3
an
...
Magnitudes inversamente
proporcionales
El producto de los valores 
correspondientes de dos 
magnitudes inversamente 
proporcionales es una cons-
tante y el gráfico de la función 
de proporcionalidad es una 
hipérbola equilátera.
A I.P. B:
a1b1 = a2b2 = a3b3 = ... = anbn
B
A
b1 b2 b3 bn
a1
an
...
Entre dos engranajes en 
contacto da más vueltas 
el de menor radio.
¿El área del círculo 
es D.P. a su radio?
16CAPÍTULO
II
I 
B
IM
ES
TR
E
512 
CAPÍTULO 16MAGNITUDES PROPORCIONALES
Ten Presente
2
Propiedades del reparto
1. Repartir de forma inversa-
mente proporcional a ciertos 
índices equivale a repartir 
directamente proporcional a 
las inversas de los índices.
• Repartir I.P. a 5; 1/2 y 3/4; 
equivale a repartir D.P. a 
los números 1/5; 2 y 4/3.
2. Si a los índices de un reparto 
se multiplican o se dividen 
por un mismo número dife-
rente de cero, se obtienen las 
mismas partes.
• Repartir D.P. a 200; 300; 
700 y 900; equivale a re-
partir D.P. a 2; 3; 7 y 9.
Problema 2
En el gráfico 
calcula x + y, 
si A D.P. B
Solución:
y
x
x
x
y
y
8
30 18
12
30 18
12
20
8
18
12
12
= =
= =
= =
�
�
�
�
��
�
�
�
∴ x + y = 20 + 12 = 32
 
Rpta.: 32
B
A
y
x
30
18
128
REPARTO PROPORCIONAL
REPARTO PROPORCIONAL DIRECTO
Repartamos 460 D.P. a 5; 8 y 10.
∴ Partes: 100; 160 y 200. 
A B C
5 8 10
= = = k
Índices
k �
� �
�A + B + C
5 8 10
20
Cantidad repartida460
A = 5k = 5(20) = 100
B = 8k = 8(20) = 160
C = 10k = 10(20) = 200
460
REPARTO PROPORCIONAL INVERSO
Repartamos 450 I.P. a 6; 8 y 12.
Repartir I.P. a 6; 8 y 12; equivale a 
repartir D.P. a 1/6, 1/8 y 1/12.
6 → 1 
6
 (24) = 4k = 4(50) = 200
8 → 1 
8
 (24) = 3k = 3(50) = 150
12 → 1 
12
 (24) = 2k = 2(50) = 100
I.P. D.P.
450
MCM(6; 8; 12)
450
k �
� �
�A + N + M
4 3 2
50
∴ Partes: 200; 150 y 100. 
Problema 3
Al repartir una suma proporcio-
nalmente a 3; 9 y 10; las meno-
res partes suman 240. Calcula la 
parte mayor. 
Solución:
240
Partes: 3k, 9k, 10k 
 ⇒ 12k = 240
 k = 20
 ∴ 10k = 10(20) = 200
 Rpta.: 200
Problema 4
Determina la menor parte que resulta 
de repartir 930 en forma inversamente 
proporcional a 6; 9 y 15. 
Solución:
930
k �
� �
�A + B + C
15 10 6
30 ⇒ 6k = 6(30) = 180
6 → 1 
6
 (90) = 15k
9 → 1 
9
 (90) = 10k
15 → 1 
15
 (90) = 6k
MCM(6; 9; 15)
930
I.P. D.P.
 Rpta.: 180
III B
IM
ESTR
E
52 2
CAPÍTULO 16 MAGNITUDES PROPORCIONALES
1 Si A es directamente proporcional a B, halla el 
valor de a:
 
A a 93 2a 3a
B 24 a + 10 
2 Si M es inversamente proporcional a N, Halla a 
y b. 
 
M 24 6 b
N 3,5 a a + 14
3 La siguiente figura muestra la gráfica de dos 
magnitudes proporcionales. Encuentra a + m.
 
m + 10
a a + 9 m
32
20
4 La gráfica muestra los valores de las magnitu-
des volumen (V) y temperatura (T) correspon-
dientes a un gas. Halla a + b.
a
b
V
T
12
10 40
7,5
5 Se reparte un premio de S/. 1235 entre 
3 ciclistas participantes en una carrera. Si los 
tiempos que emplearon fueron 40 minutos; 1 
hora y 1 hora 20 min, ¿cuánto recibe el más ve-
loz? 
6 Un padre dejó una herencia a sus hijos para que 
se repartan en forma directamente proporcional 
a sus edades: 20; 24 y 32 años. Si al menor le 
corresponde S/. 2400, ¿cuánto le corresponde al 
mayor?
7 Se reparte 64 en forma directamente proporcio-
nal a m2, 2m y 1, siendo m en un entero positivo. 
Si la parte mayor que resulta en el reparto es 49, 
halle m. 
8 Encuentra las partes en que se divide 3600, si se 
reparte proporcionalmente a 48; 120 y 192.
9 ¿Cuál es la mayor de las partes obtenidas al di-
vidir 999 en partes directamente proporcionales 
 a 2
5
; 3
4
; 7
10
?
10 ¿Cuál es la menor de las partes obtenidas al divi-
dir 1260 en partes inversamente proporcionales a 
 2
3
; 3
4
; 6; 4
3
? 
Problema 5
Un tío proporciona S/. 520 de propina a sus so-
brinos, en forma inversamente proporcional a sus 
edades, que son 16; 12 y 8 años. ¿Cuánto recibe el 
mayor?
Solución:
16 = 4 × 4
12 = 3 × 4
 8 = 2 × 41/4 × 12 = 3
1/3 × 12 = 4
1/2 × 12 = 6
520 ⇒
IP DP
k = 520
3 + 4 + 6
 = 40
∴ Mayor de los sobrinos: 40 × 3 = S/. 120 Rpta.: 120
Actividad 16
II
I 
B
IM
ES
TR
E
532
REGLA DE TRES
La regla de tres es una aplicación de las mag-
nitudes proporcionales. Consiste en calcular 
un valor desconocido de una magnitud me-
diante la comparación de magnitudes pro-
porcionales.
Regla
de tres
Simple
Compuesta
Directa
Inversa
Veamos el procedimiento mediante los siguientes ejemplos:
REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA
Una cuadrilla de pintores pinta en 
15 días una superficie de 180 m2. 
¿Cuántos metros cuadrados pue-
den pintar en 25 días?
En más días pintan más superficie 
y en menos días, menos superficie. 
Por consiguiente, el área y el tiem-
po que tardan en pintarlo son D.P.:
Rpta.: 300 m2
REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA
Una cuadrilla de obreros concluyó 
una obra en 25 días trabajando 8 
horas diarias. Si hubiesen trabaja-
do 10 horas por día, ¿en qué tiem-
po hubiesen entregado la obra?
Trabajando más horas por día de-
moran menos tiempo. Días y horas 
por día son I.P.:
Días H/d 
 25 8
 x 10
 (I)
x = 20
x = ×25 8
10
Rpta.: 20 días
REGLA DE TRES COMPUESTA
Dieciséis costureras pueden confeccionar 36 buzos, en 18 días, trabajando 6 
horas diarias. ¿Cuánto demorarían 12 costureras, doblemente eficientes que 
las anteriores, trabajando 8 horas diarias, en confeccionar 48 buzos?
# Cost.
16
12
(I)
36
48
(D)
18
 x
6
8
(I)
1
2
(I)
# Días
Magnitud comparación
Hrs/día Efic.
x = 12
Buzos x = × × × ×18 16
12
48
36
6
8
1
2
Rpta.: 12 días
La magnitud que contiene la incógnita se llama magnitud de comparación. 
Las demás se comparan considerando si son directa o inversamente propor-
cionales con ella.
Días Área
 15 180
 25 x
 (D)
x = 300
x = ×25 180
15
Ten Presente
2
1. Regla de tres directa
2. Regla de tres inversa
A I.P. B
a1 b1
x b2
 (I)
xb2 = a1b1
⇒ =x
a b
b
1 1
2
A D.P. B
a1 b1
x b2
 (D)
x
b
a
b2
1
1
=
⇒ =x
a b
b
1 2
1
Se debe tener cuidado al com-
parar dos magnitudes.
El hecho de que al aumentar 
los valores de una magnitud 
aumenten también los valores 
de la otra no garantiza que 
sean directamente proporcio-
nales. Se debe verificar que la 
variación sea proporcional.
Por ejemplo, cuando el lado de 
un cuadrado se duplica, el área 
se cuadruplica.
El área del cuadrado no es D.P. 
al lado, sino, al cuadrado del 
lado. Véase la figura:
a aa2
a
a
2a
2a
2a
2a 4a2
A mayor profundidad marina mayor 
es la presión del agua.
¿Si tres gallinas 
ponen 3 huevos en 3 
días, cuántos huevos 
pone una gallina en 
3 días?
ObservaciónObservación
17CAPÍTULO
III B
IM
ESTR
E
54 2
CAPÍTULO 17 REGLA DE TRES
Actividad 17
1 Un agricultor puede arar un terreno rectangular en 
4 días. ¿Qué tiempo empleará en arar otro terreno 
también rectangular pero de dimensiones triples?
2 Si por pintar un cubo de 3 cm de arista se paga 
S/. 32, ¿cuánto se paga por pintar un cubo de 
9 cm de arista?
3 Si 40 obreros construyen una casa en 18 días, 
¿cuántos días antes hubieran terminado si hu-
bieran sido 5 obreros más?
4 Se sabe que 100 hombres tienen alimentos para 
20 días. Si estos alimentos deben alcanzar para 
50 días, ¿cuántos hombres deben disminuirse?
5 Cinco obreros pueden hacer una zanja en 18 días. 
Luego de 6 días de trabajo se les unen 8 obreros. 
¿En qué tiempo se hace toda la zanja?
6 Una fábrica produce 54 chompas diarias, em-
pleando 9 obreros. Si 6 de ellos se enferman, ¿en 
cuánto disminuye la producción diaria?
7 Lo que un hombre hace en tres días, una mujer 
lo hace en 2 días. ¿En qué tiempo podrán hacer 
4 mujeres y 3 hombres lo que 6 mujeres y 9 hom-
bres pueden hacer en 3 días? 
8 Diez obreros deben terminar en 18 días una 
obra, trabajando diariamente 5 horas. Si se de-
sea adelantar la entrega de la obra en 3 días, 
¿cuántos obreros deberán trabajar 9 horas al 
día? 
9 Treinta obreros pueden ejecutar una obra en 
15 días. Si el número de obreros se duplicara, 
¿en cuántos días terminarían la obra?
10 Si para pintar una pared cuadrada de 2 metros 
de lado se requiere 8 horas, ¿qué tiempo se re-
quiere para pintar una pared, también cuadra-
da, de 4 metros de lado?
Problema 1
Una secretaria puede tipear 10 páginas en 6 horas. 
¿Cuántas páginas puede tipear en 9 horas?
Solución:
# Págs. Horas
 10 6
 x 9
 (D)
⇒ x = 15
x = ×9 10
6
Rpta.: 15 páginas
Problema 2
Una cuadrilla de obreros demora 20 días en termi-
nar una obra. ¿Cuántos días tardaría si cada inte-
grante aumentara su eficiencia en 1/3? 
Solución:
# Días Efic. 
 20 1
 x 4/3
 (I) ⇒ x = 15
x = ×20 1
4
3
 Rpta.: 15 días
Problema 3
Doce obreros pueden hacer una obra de 60 m2 en 
24 días. ¿Cuántos días necesitarán 8 obreros, do-
blemente hábiles que los primeros, para hacer 50 
m2 de una obra del mismo grado de dificultad que 
la anterior?
Solución:
# Obrs
12
 8
(I)
60
50
(D)
24
 x
1
2
(I)
# Días Hábil# Obra
x = × × ×24 12
8
50
60
1
2
⇒ x = 15
Rpta.: 15 días
Problema 4
Veinte obreros, trabajando 8 horas diarias han 
avanzado los 4/9 de una obra en 27 días. Para cul-
minar el resto de la obra contrataron 4 obreros más 
y trabajaron una hora más por día. ¿Cuántos días 
tardaron en culminar lo restante? 
Solución:
# Obrs
20
20 + 4
(I)
4/9
5/9
(D)
27
 x
8
8 + 1
(I)
# Días H/d# Obra
x = × × ×27 20
24
5
4
8
9
⇒ x = 25
Rpta.: 25 días
II
I 
B
IM
ES
TR
E
552
TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento es el número de partes iguales (tanto) que se toma de 
una cantidad (total) dividida en 100 partes iguales. 
60%
60 de 100
75%
75 de 100
72%
72 de 100
 • 20 por ciento = 20% = 20 
100
 • 140 por ciento = 140% = 140 
100
equivAlenciAs del tAnto por ciento con frAcciones y decimAles
• 10 10
100
1
10
0 10% ,= = = • 50 50
100
1
2
0 50% ,= = = • 100 100
100
1% = =
• 20 20
100
1
5
0 20% ,= = = • 75 75
100
3
4
0 75% ,= = = • 200 200
100
2% = =
• 25 25
100
1
4
0 25% ,= = = • 1 1
100
0 01% ,= =
tAnto por ciento de unA cAntidAd
El rectángulo representa 800. El 60% 
de 800 (parte coloreada) es 60 partes 
de 800 dividido en 100 partes.
Ochocientos es el total, considerado 
como 100. Si 800 es como 100 lo que 
se toma es como 60.
800
Modos de calcular el 60% de 800:
• 60% de 800 = 60 
100
 × 800 = 480 • 800 100%
 x 60% x = 480
 60 × 800 
100
x = 
También: 30% de 600 = 0,30×600 = 180
También: 80% de 90 = 0,80×90 = 72
• 30% de 600 = 30 
100
 × 600 = 180
• 80% de 90 = 80 
100
 × 90 = 72
Ten Presente
2
PROBLEMAS BÁSICOS DE 
TANTO POR CIENTO
1. ¿Cuál es el 80% de 150?
Resolución
• 80% de 150 = 80 
100
 × 150 = 120
• También:
150 100%
 x 80%
x = 120
80×150 
100
x = 
2. ¿El 60% de qué número es 180? 
Resolución
• 60 
100
 x = 180 ⇒ x = 300
• También:
180 60%
 x 100%
x = 300
100×180 
60
x = 
3. ¿Qué tanto por ciento de 180 
es 36?
Resolución
• 180 100%
 36 x
x = 20%
36×100% 
180
x = 
• También: parte 
todo
× 100% 
 
 36 
180
× 100% = 20% 
¿Porqué el 50% 
equivale a la mitad? 
Los estudiantes son el 31 % 
de la población nacional
18CAPÍTULO
III B
IM
ESTR
E
56 2
CAPÍTULO 18 TANTO POR CIENTO 
Ten Presente
2
PORCENTAJES 
COMPLEMENTARIOS
Dos porcentajes son comple-
mentarios si suman el 100%.
Por ejemplo, 40% y 60% son 
complementarios porque 
40% + 60% = 100%.
• Un negociante ha comprado 
mercaderías con el 45% de 
su capital y le quedan 660 
soles. ¿Cuál es el importe de 
las mercaderías?
Resolución
Si gastó el 45% de su capital, 
entonces le queda el 55%, y 
este porcentaje equivale a 
6600 soles. Luego:
660 55%
 x 45%
x = 540
45×660 
55
x = 
Las mercaderías costaron 
540 soles.Adición de tAnto por ciento
Problema 1
Abraham ganaba 1200 soles y le 
aumentaron el 15% de su sueldo. 
¿Cuánto gana ahora?
Solución:
Nuevo sueldo:
100%(1200) + 15%(1200) 
= 115%(1200)
= 1,15(1200) = 1380
 Rpta.: S/. 1380
Problema 2
Dos poblados A y B tienen 540 y 
680 habitantes, respectivamente. 
En un evento común participaron 
el 40% de los pobladores de A y el 
60% de los pobladores de B. ¿Cuán-
tos participaron en dicho evento? 
Solución:
40%(540) + 60%(680) = 624
216 408
 Rpta.: 624
tAnto por ciento de tAnto por ciento
En el cálculo del 35% del 40% de 600, el 40% 
se aplica sobre 600 y el 35% sobre el resulta-
do anterior. En términos prácticos se puede 
calcular como sigue:
35%×40%×600 = 35 
100
× 40 
100
×600 = 84
600
35%(600) = 210
40%(210)
84
Problema 3
En un salón de 40 estudian-
tes, el 60% son varones, de 
los cuales el 75% aprobó ma-
temática. 
¿Cuántos varones aprobaron 
matemática?
Solución:
• Total: 40 • Varones: 60%(40)
 Aprobaron matemática: 75%60%(40) 
75%×60%×40 = 75 
100
× 60 
100
×40 = 18
 Rpta.: 18
APLICACIONES DE TANTO POR CIENTO
AplicAciones comerciAles
En este capítulo estudiaremos las relaciones entre los diferentes precios. Su-
pongamos que un comerciante compra un buzo a 60 soles y lo vende en 72 
soles. El Precio de costo (Pc) es 60 soles, el Precio de venta (Pv), 72 soles. La 
diferencia, 72 – 60 = 12 soles, es la Ganancia (G).
Supongamos, además, que ofrece en 80 soles, cantidad que llamaremos Pre-
cio fijado o Precio de lista (Pf), pero vende a 72 soles, rebajando 8 soles, el 
cual es el Descuento (D). Ahora hagamos un esquema de los precios arriba 
mencionados.
• Ganancia (%)
 
12 
60
× 100% = 20%
• Descuento (%)
 8 
80
× 100% = 10%
Precio fijado = 80
Precio de costo = 60
Precio de venta = 72
Ganancia = 12 Descuento = 8
II
I 
B
IM
ES
TR
E
572 
CAPÍTULO 18TANTO POR CIENTO 
Precio de venta y precio de costo
a) Pv = Pc + G
b) Pv = Pc – P
Precio fijado y descuento
a) Pv = Pf – D
 
Pv = Precio de venta
Pc = Precio de costo
G: Ganancia
P: Pérdida
Generalmente 
se expresa como 
tanto por ciento 
del Pc
Pv = Precio de venta
Pf = Precio de lista o precio 
 fijado
D: Descuento (Expresado como 
 % Pf)
Problema 4
Un artefacto que costó 320 soles se vende en 400. Determina la ganancia 
como tanto por ciento del precio costo y del precio venta.
Solución:
• Ganancia = 400 – 320 = 80
• % de ganancia sobre el Pc: • % de ganancia sobre el Pv:
 80 
320
× 100% = 25% 80 
400
× 100% = 20% 
 Rpta.: 25% y 20%
Problema 5
Se ofrece un artículo en 500 soles pero al momento de vender se rebaja en 
30%. ¿A qué precio se vende? 
Solución:
Descontando 30% se vende en 70% de 500, entonces:
Precio fijado = 500
Pv = 70%(500) D = 30%(500)
Pv = 70%(500) = 0,7×500.
Pv = 350 soles.
 Rpta.: S/. 350
Ten Presente
2
GANANCIA BRUTA Y
GANANCIA NETA
Si durante la venta se incurre 
en gastos, como movilidad, 
comisiones de venta, etc, la 
ganancia queda disminuida. 
Entonces se habla de una ga-
nancia bruta (GB) y una ganan-
cia neta (GN).
Por ejemplo, supóngase que 
un artículo se ha comprado 
en S/. 800 y se ha vendido en 
S/. 1500, pero se ha gastado 
S/. 400 en reparación y otros 
gastos. ¿Cuál es la ganancia 
neta?
Ganancia bruta:
1500 – 800 = 700
Gastos: 400 soles
Ganancia neta:
 700 – 400 = 300 
Problema 6
Se vende un artículo en S/. 180, ga-
nando el 20% del costo. ¿Cuál es la 
ganancia?
Solución:
S/. 180 → 120% ← Pv
 x → 20% ← G
x = 120⋅180 
100
 = 30 
Rpta.: S/. 30
Problema 7
Un distribuidor vende un artículo 
con un descuento del 20% sobre el 
precio fijado para su venta. ¿Cuál 
es este precio si lo vende a S/. 40?
Solución:
Pv = Pf – D 
⇒ 40 = Pf – 20% Pf = 80% Pf
Resolviendo: 
∴ Pf = S/. 50
Rpta.: S/. 50
III B
IM
ESTR
E
58 2
CAPÍTULO 18 TANTO POR CIENTO 
Ten Presente
2
1. Descuento único equivalente 
a dos descuentos sucesivos 
de a% y b%:
Du = + −



a b
ab
100
%
2. Aumento único equivalente 
a dos aumentos sucesivos de 
a% y b%:
Du = + +



a b
ab
100
%
VARIACIONES
PORCENTUALES
Cuando el lado de un cuadra-
do aumenta en 20%, ¿el área 
aumenta en el mismo porcen-
taje?
Para calcular el aumento por-
centual podemos asumir una 
medida cualquiera para el lado 
inicial del cuadrado. Supon-
gamos que sea 10, entonces el 
área es 102 = 100.
Cuando el lado aumenta en 20% 
resulta 120%(10) = 12, en conse-
cuencia el área es 122 = 144.
Obsérvese que el área aumen-
tó en 44, que es 44% del área 
inicial.
Por consiguiente, cuando el 
lado de un cuadrado aumenta 
en 20% el área aumenta en 44%.
Esto es lo que se conoce como 
variación porcentual del área.
102 = 100
10 12
122 = 144
descuentos y Aumentos sucesivos
Descuentos sucesivos
Supóngase que un comprador en-
cuentra un artículo en 100 soles 
con 20% de descuento. Al pagar, 
el cajero le vuelve a hacer un des-
cuento, esta vez de 25%. 
¿Podría decir que le descontaron 
45% en total? Veamos:
Precio inicial: 100
Con 20% de Dcto: 80%(100) = 80
Con 25% de Dcto: 75%(80) = 60
Dcto. total:100 – 60 = 40 <> 40%
Inicial:
1° Dcto: 
2° Dcto:
100
80
60
60% 40%
20
20
Aumentos sucesivos
Supóngase que el precio de un 
artículo es 100 soles en el mes de 
enero. En febrero aumenta en 20% 
y en marzo, 25%.
¿Se podría decir que de enero a 
marzo el precio aumentó en 45%? 
Comprobemos:
Enero: 100
Febrero: 120%(100) = 120
Marzo: 125%(120) = 150
Aumento total: 50 <> 50%
Ene:
Feb: 
Mar:
100
100
120
100% 50%
20
30
Después del primer aumento o descuento, los sucesivos se aplican sobre el 
resultado inmediatamente anterior.
Problema 8
Un artículo se ofrece en 480 soles 
con dos descuentos sucesivos del 
20 más el 20%. Determina el precio 
luego de los descuentos.
Solución:
Precio inicial: 480
Con el 1º Dscto: 80%(480) = 384
Con el 2º Dscto: 80%(384) = 307,2
Inicial:
1° Dcto: 
2° Dcto:
480
384
307,2
80%
80%
20%
20%
 Rpta.: S/. 307,2
Problema 9
¿En qué porcentaje se debe rebajar 
un precio aumentado en un 25% 
para volverlo al precio original? 
Solución:
100
100
125
25
20
Para aumentar se toma a 100 como 
100%, pero para reducir se toma a 
125 como 100%: 
 25 
125
× 100% = 20%
 Rpta.: 20%
Problema 10
La base de un triángulo aumenta en 10% y la altura relativa disminuye 
en 10%. ¿En qué tanto por ciento aumenta o disminuye el área?
Solución: 
∴ El área disminuye en 1, que es 1% del área inicial Rpta.: 1%
Inicial Final
Base 20 22
Altura 10 9
Área 100 99
II
I 
B
IM
ES
TR
E
592 
CAPÍTULO 18TANTO POR CIENTO 
1 ¿Qué porcentaje de 0,5% de 200 es el 20% del 
0,2% de 800?
2 ¿Cuál es el número cuyo 10% de los 2/3 de su 
21% equivale al 20% de los 3/10 de 7? 
3 ¿Cuál es el mayor: el 20% del 5% de 1 000 o el 
50% del 2% de 1 000? 
4 El 40% del 50% de «x» es el 30% de «y». ¿Qué 
porcentaje de (2x + 7y) es (x + y)?
5 La base de un rectángulo aumenta en 25%, pero 
el área no varía porque la altura disminuye en:
6 El precio de venta de un televisor LED de 40 pul-
gadas es S/. 1518. Si la ganancia es el 15%, ¿cuál 
es el precio del costo?
7 He comprado una casaca en S/. 240 y quiero 
venderla ganando el 40 %. ¿En cuánto debo ven-
der? 
8 El precio de un artículo aumentó en un 14%, y 
ahora su nuevo precio es S/. 912. ¿Cuál es el pre-
cio inicial del artículo?
9 ¿Cuánto costó un objeto que se vendió en 
S/. 750, perdiendo el 70%?
10 Un artículo se compra en S/. 1300 y se vende en 
S/. 1600. Halla el 20% del 30% de la ganancia.
Actividad 18
Problema 11
Un objeto que se vende a S/. 320 se promociona 
descontando un 10% al momento de venderlo. 
Como la promoción no tiene acogida, se vuelve a 
descontar en 25% del último precio. ¿En cuánto se 
oferta ahora?
Solución: 
a) Primer descuento: 10% de 320 = 10 
100
 × 320 = 32
 ⇒ Precio descontado = 320 – 32 = 288
 Segundo descuento: 25% de 288 = 72 
 ⇒ Precio descontado= 288 – 72 = 216
b) También se obtiene el mismo resultado cuando 
se consideran los tantos por ciento que, quedan 
después de cada descuento.
 ⇒ Precio 
final
 = 90% × 75% × (320) 
 Descontó 10% Descontó 25%
 = 90 
100
 × 75 
100
 × 320 = 216
c) También se puede usar el descuento único equi-
valente a los descuentos del 10% y 25%.
 Du = 10 + 25 – 
 10 × 25 
100

 % = 32,5% 
 Nótese:
∴ 320 – 32.5%(320) = 67,5%(320) = 216 
Rpta.: 216
Du
Problema 12
Un comerciante desea vender un objeto a S/. 60 
pensando ganar un 50%, pero por una necesidad 
realiza la venta perdiendo S/. 5. ¿A como vendió 
el objeto?
Solución: 
Inicialmente el comerciante pensó ganar 50% (del 
costo) 
Pv = Pc + G
⇒ 60 = Pc + 50% Pc = 150% Pc
Resolviendo, Pc = S/. 40
Pero efectúa la venta perdiendo S/. 5
Pv = Pc – P = 40 – 5 = S/. 35
∴ Lo vendió a S/. 35 
Rpta.: S/. 35
Problema 13
¿En qué porcentaje aumenta o disminuye ab2 si a 
aumenta en 20% y b disminuye en 10%?
Solución: 
∴ Disminuyó en 2,8, que es el 2,8% de 100. 
Rpta.: 100
Inicial Final
a 4 4,8
b 5 4,5
ab2 100 97,2
III B
IM
ESTR
E
60 2
ESTADÍSTICAS Y PROBABILIDADES
INFORME PISA 
El Programa de Evaluación Internacional de Estudiantes, más conoci-
do como PISA, analiza el rendimiento de estudiantes de 15 años en 
las asignaturas de matemática, lenguaje y ciencia, a partir de pruebas 
estandarizadas a las que son sometidos escolares de 65 países, que 
representan el 80 % de la población mundial. En las pruebas tomadas 
por la OCDE en 2012, el Perú ha recibido una puntuación de 368 para 
matemáticas, 384 para lectura y 373 para ciencias.
- ¿Qué opinas sobre la ubicación del Perú en el último lugar en estas 
pruebas? 
http://www.ingemmet.gob.pe/GeologiaEscolares/inicio.html
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y 
argumenta
• Interpreta la frecuen-
cia en una tabla.
• Interpreta y analiza 
gráficos estadísticos.
• Reconoce las medidas 
de tendencia central.
• Reconoce el uso del 
análisis combinatorio y 
la probabilidad.
• Elabora tablas de fre-
cuencias.
• Elabora gráficos esta-
dísticos.
• Describe las medidas 
de tendencia central.
• Escribe el evento de un 
suceso o experimento.
• Calcula medidas de 
tendencia central, com-
binaciones y permuta-
ciones. 
• Emplea gráficos esta-
dísticos.
• Resuelve problemas de 
análisis combinatorio y 
probabilidad.
• Propone el uso de las 
tablas de frecuencias.
• Justifica el uso de grá-
ficos estadísticos.
• Explica el uso de las 
medidas de tendencia 
central.
• Argumenta la utilidad 
del análisis combinato-
rio y de la probabilidad.
Unidad
04
612
ESTADÍSTICA
En un centro poblado de la Sierra 
del Perú se ha encuestado a 40 fa-
milias sobre el tipo de combustible 
que usan para cocinar. La informa-
ción obtenida se muestra en la tabla 
de la izquierda.
Familias por tipo de combustible 
que usan para cocinar
Leña 18
Kerosene 4
Gas 10
Más de 1 combustible 8
Total 40
Población.- Es el conjunto de todos los individuos u objetos que poseen una 
característica común observable. En el ejemplo: todas las familias, que resi-
den en el centro poblado.
Muestra.- Es un subconjunto de la población que se toma porque resulta di-
fícil o muy costoso estudiar toda la población. En el ejemplo: las familias 
encuestadas.
Variable (xi).- Es una propiedad o característica de la población estudiada. 
En el ejemplo: familias que usan algún tipo de combustible para cocinar.
Datos.- Es cada uno de los valores obtenidos de una variable. En el ejemplo: 
leña, kerosene, gas.
Frecuencia absoluta (fi ).- Es el número de veces que se repite un dato en una 
muestra. En el ejemplo: La frecuencia de las familias que cocinan con leña es 18.
Tabla de distribución de frecuencias.- Es una tabla donde se presentan los 
datos con sus respectivas frecuencias. La tabla del ejemplo es una tabla de 
distribución de frecuencias para datos no agrupados.
Problema 1
Esta tabla repre-
senta el número 
de mascotas de 
35 niños. Calcula
x2 + x4 + f1 + f3.
Solución:
x2 = 1
x4 = 3
f1 = 9
f3 = 11
x2 + x4 + f1 + f3 = 1 + 3 + 9 + 11 
x2 + x4 + f1 + f3 = 24
Rpta.: 24
xi fi
0 9
1 13
2 11
3 2
35
tAblA de distribución de frecuenciAs pArA dAtos AgrupAdos
Aquí las notas finales en mate-
mática de 20 alumnos elegidos 
aleatoriamente.
13 17 14 14 16 19 11 09 13 16
18 11 08 12 15 12 07 04 14 14
Si en la 
población rural 
hubiera 100 
familias, 54 de 
ellas cocinarían 
con leña. 
(Fuente INEI)
¿Cuál es la diferen-
cia entre frecuencia 
relativa y absoluta?
LA ESTADÍSTICA
Es la ciencia que proporciona 
métodos, pautas y procedi-
mientos para recolectar, orga-
nizar, analizar e interpretar la 
información relativa a caracte-
rísticas, cualidades, atributos, 
de individuos u objetos.
La información se procesa en 
forma de datos, los cuales se 
organizan y representan en 
tablas y gráficos.
VARIABLE CUALITATIVA
Representa una cualidad o atri-
buto de la población.
• Estado civil: casado, soltero, 
viudo, divorciado.
VARIABLE CUANTITATIVA
Expresa las características de la 
población mediante números, 
como resultado de mediciones 
o conteos.
A su vez la variable cuantitati-
va puede ser:
Variable cuantitativa discreta
Si se expresa con números 
enteros.
 • Número de familias, vehícu-
los sin SOAT.
Variable cuantitativa continua
Si se expresa con números 
reales.
• Estaturas, peso, composición 
porcentual de medicamentos.
Ten Presente
2
TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS
19CAPÍTULO
IV B
IM
ESTR
E
62 2
CAPÍTULO 19 ESTADÍSTICA
Dado que hay muchos datos vamos a agruparlos en intervalos de clase.
Tamaño de la muestra (n).- Es el número de elementos de la muestra. En el 
primer ejemplo n = 40; en el último: n = 35.
Rango (R).- Es la diferencia entre el máximo y mínimo valor de los datos.
En el ejemplo:
Máximo valor: 19 
Mínimo valor: 04
Rango = 19 – 4 = 15
Escala.- Es el intervalo que abarcan 
los datos teniendo como referencia 
el rango. En el ejemplo hemos elegi-
do la escala de 0 a 20.
Intervalo de clase (Ii).- Son intervalos fijados convenientemente, dentro de 
los cuales se agrupan los datos. En el ejemplo, las notas los agrupamos en los 
siguientes intervalos: [0; 5〉; [5; 10〉; [10; 15〉 y [15; 20〉.
Marca de clase (xi).- Es la semisuma de los 
valores extremos de cada intervalo.
lii: Límite inferior del intervalo Ii
lsi: Límite superior del intervalo Ii
Frecuencia relativa (hi).- Es la frecuencia 
absoluta de un intervalo dividida entre el 
número de datos o tamaño de la muestra.
Frecuencia relativa porcentual (%hi).- Es la 
frecuencia relativa expresada en términos 
porcentuales.
Frecuencia acumulada (Fi).- Es la suma de 
las frecuencias anteriores a la frecuencia 
que corresponde al dato.
Frecuencia relativa acumulada (Hi).- Es la 
frecuencia acumulada de un intervalo di-
vidida entre el número de datos o tamaño 
de la muestra.
[0; 05〉 
[05; 10〉 
[10; 15〉 
[15; 20〉 
Ii xi fi hi %hi Fi Hi
[0; 5〉 2,5 1 0,05 5 1 0,05
[5; 10〉 7,5 3 0,15 15 4 0,20
[10; 15〉 12,5 10 0,50 50 14 0,70
[15; 20〉 17,5 6 0,30 30 20 1,00
20 1 100
Conteo de los datos Tabla de distribución de frecuencias
Problema 2
En una tabla de frecuencias de 50 
datos, una de las frecuencias abso-
lutas es 24. Calcula la frecuencia 
relativa correspondiente.
Solución:
n = 50
fi = 24 
h
f
n
h
i
i
i
=
= =






24
50
0 48,
 Rpta.: 0,48
0 4 19
Rango = 15
Escala = 20
20
x
li ls
i
i i=
+
2
h
f
ni
i=
%hi = hi×100%
Fi = f1 + f2 + f3 + ... + fi
H
F
ni
i=
SI EL PERÚ TUVIERA 100 
HABITANTES
• 55 vivirían en la costa 
 Costa Verde, Lima
• 31 vivirían en la sierra
Tambo, Ayacucho
• 14 vivirían en la selva
 Santa Rosa, Madre de Dios
Fuente INEI
Matemática 
en la vida
1 2 5 3 0
 4
IV
 B
IM
ES
TR
E
632 
CAPÍTULO 19ESTADÍSTICA
Problema 3
Elabora la tabla de frecuencias de los siguientes 
datos.Notas en inglés de una muestra de 30 alumnos de 
un colegio:
13 17 12 14 07 19 11 09 12 13
16 12 18 20 11 16 08 14 15 12
07 04 18 10 14 15 03 12 20 13
Solución:
Ii xi fi hi Fi Hi
[0; 05〉 2,5 2 0,07 2 0,07
[05; 10〉 7,5 4 0,13 6 0,20
[10; 15〉 12,5 14 0,47 20 0,67
[15; 20] 17,5 10 0,33 30 1,00
30 1
Problema 5
Las notas de 200 estudiantes se clasificaron en cin-
co intervalos de ancho de clase iguales. Halla k + a.
Solución:
Como son 200 estudiantes se cumple:
k
50
 + 3k
100
 + 2k
25
 + 3k
50
 + k
100
 = 200 ⇒ k = 1000
Si el ancho de clase es "w": 
40 + w + w + w = 70 ⇒ w = 10
El valor de: a = 70 + w + w ⇒ a = 90
∴ k + a = 1090 Rpta.: 1090 
Ii [40; 〉 [ ; 〉 [ ; 70〉 [ ; 〉 [ ; a〉
fi
k
50
3k
100
2k
25
3k
50
k
100
Problema 6
Respecto a la tabla, 
calcula x1 + f3 + h2.
Solución:
ki = 
fi
n
⇒ h2 = 0,25; f3 = 12 
 y x1 = 5
∴ x1 + f3 + h2 = 17,25
Rpta.: 17,25 
Problema 4
Completa la tabla e 
indique el número de 
datos.
Solución:
h
f
n4
4=
0 45
36
, =
n
n = 36
0 45,
n = 80
 Rpta.: 80
Ii fi hi
[10; 〉 4
[ ; 〉 0,20
[ ; 〉 0,30
[ ; 50〉 36 0,45
Ii fi hi
[10; 20〉 4 0,05
[20; 30〉 16 0,20
[30; 40〉 24 0,30
[40; 50〉 36 0,45
Actividad 19
1 Los números representan la edad de los 30 niños 
que participan en un concurso de matemática.
 
10 9 8 10 12 11
12 11 10 12 11 8
9 11 12 10 9 11
12 10 8 10 12 8
9 12 11 12 8 12
 a) ¿Cuántos alumnos tienen 8 años?
 b) ¿Qué porcentaje del total de alumnos encues-
tados tiene 10 años?
2 La tabla consigna el porcentaje de productos de-
fectuosos sobre el total de 4 productos: A, B, C y D.
 
Tipo % de Defectuoso Total producido
A
B
C
D
10%
4%
5%
8%
2000
1600
1500
900
 ¿Cuántas unidades defectuosas menos hay del 
tipo A que de los tipos B, C y D juntos?
Ii fi
[0 ; 10〉 8
[ ; 〉 6
[ ; 〉 12
[ ; 40〉 4
Ii xi fi hi
[0 ; 10〉 5 2 0,083
[10; 20〉 15 6 0,25
[20; 30〉 25 12 0,5
[30; 40] 35 4 0,16
 n = 24
IV B
IM
ESTR
E
64 2
CAPÍTULO 19 ESTADÍSTICA
3 Las notas que obtuvieron 25 alumnos en el curso 
de Matemática son:
15 16 14 13 15
10 18 13 10 16
12 16 12 11 13
13 12 18 13 10
15 15 16 11 12
 ¿Cuál es la frecuencia absoluta y la frecuencia re-
lativa correspondientes a las notas: 11; 12 y 13?
4 En un colegio se hizo una encuesta sobre las 
edades de los profesores y se obtuvo la siguiente 
tabla:
 
 
Edades [25; 30〉 [30; 35〉 [35; 40〉 [40; 45〉
Número de 
profesores 15 18 22 25
 a) ¿Cuál es la marca de clase de cada intervalo 
de clase?
 b) ¿Cuántos profesores poseen menos de 35 
años y qué porcentaje del total constituyen?
 c) ¿Cuántos profesores poseen más de 40 años 
y qué porcentaje del total representan?
5 La siguiente tabla mues-
tra la distribución de las 
notas de un grupo de 
alumnos. ¿Cuántos alum-
nos poseen una nota ma-
yor o igual que 4? 
6 La siguiente tabla 
muestra el número de 
alumnos y las notas 
que obtuvieron en un 
examen.
 m : Es el porcentaje de alumnos con puntaje ma-
yor a 8.
 n : Es el porcentaje de alumnos con puntaje me-
nor a 12.
 Halla m – n.
7 Si el 80% de datos de la 
siguiente tabla de fre-
cuencias, son menores 
que 50, 
 halla f2 – f1 + f3.
8 El siguiente cuadro con-
signa 270 personas con 
menos de 31 años. ¿Cuán-
tas tienen por lo menos 25 
años?
9 La tabla de frecuencias relativas corresponde a 
los años de servicio de 180 empleados de una 
empresa. ¿Cuántos empleados han trabajado 
entre 4 y 10 años?
Tiempo en años hi
[2; 5〉
[5; 8〉
[8; 11〉
[11; 14〉
0,15
0,35
0,20
10 La siguiente tabla muestra la distribución de las 
estaturas correspondientes a 80 basquetbolistas 
de un club:
 
Intervalos de 
estatura (m) fi hi
[1,70; 1,80〉
[1,80; 1,90〉
[1,90; 2,00〉
[2,00; 2,10〉
[2,10; 2,20〉
 
48 
0,125
0,075
 Si veinte jugadores tienen por lo menos 1,90 m, 
determina el porcentaje de los que miden me-
nos de 2 m.
Edades hi
[19; 22〉
[22; 25〉
[25; 28〉
[28; 31〉
[31; 34〉
0,15
0,25
0,40
0,10
0,10
Ii fi hi
[10; 20〉
[20; 30〉
[30; 40〉
[40; 50〉
[50; 60〉
 
 
25
20
0,1
0,3
Notas fi hi
[0; 4〉
[4; 8〉
[8; 12〉
[12; 16〉
 
 
6
4/x
8/x
12/x
6/x
Notas # de alumnos
[4; 8〉
[8; 12〉
[12; 16〉
[16; 20〉
15
20
25
15
IV
 B
IM
ES
TR
E
652
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I
El gráfico muestra la 
tendencia de la actividad 
económica nacional, a nivel 
global y sectorial. (Fuente INEI)
Se puede observar cuál 
ha sido el desarrollo de la 
economía en los primeros 8 
meses del 2016.
Ago
4,31
Jul
4,51
Jun
4,4
May
4,8
Abr
7,59
Mar
2,37
Feb
4,9
Ene
6,41
0
5
10
P 
O 
R 
C 
E 
N 
A 
J E
Fuente: INEI
PRODUCTO NACIONAL (primeros meses del 2016)
Los gráficos estadísticos permiten visualizar las características y aspectos 
saltantes de los datos. Es una forma de presentar gráficamente los datos es-
tadísticos.
Existen diversos tipos de gráficos estadísticos, que estudiaremos a continua-
ción.
gráfico de bArrAs
3 038
980
635 503
xi
fi Películas peruanas más vistas 
(En miles de espectadores)
PELÍCULAS PERUANAS MÁS VISTAS
Películas (xi)
Espectadores (fi)
(en miles)
Asu Mare (2015) (1) 3 038
La fuga del chacal (1987) (2) 980
Pantaleón y las visitadoras (1999) (3) 635
Cementerio General (2013) (4) 503
Fuente: http://blog.cinencuentro.com/
Los diagramas o gráficos de barras son utilizados en la representación de da-
tos cualitativos. Las barras tienen por base el dato y una altura proporcional 
a la frecuencia.
Problema 1
Elabora un dia-
grama de barras 
con los datos de 
la tabla.
Solución:
xi fi
A 60
B 55
C 30
D 15
20
40
60
xi
f i
¿Cuántos datos hay si 
las frecuencias son 2; 
4; 6; 8; 11; 15 y 18?
PELÍCULAS PERUANAS 
MÁS VISTAS
• Asu mare 
 
• Fuga del Chacal
• Pantaleón y las visitadoras
 
¿En qué se diferen-
cia el histograma del 
gráfico de barras?
Matemática 
en la vida
1 2 5 3 0
 4
20CAPÍTULO
IV B
IM
ESTR
E
66 2
CAPÍTULO 20 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I
diAgrAmAs circulAres
ESTABLECIMIENTOS DE SALUD - TUMBES
Establecimiento (xi) Unidades
Hospitales 5
Centros de salud 18
Puestos de salud 37
60
Elaboremos un diagrama circular para la 
tabla de la izquierda:
• 60 360°
 5 x
• 60 360°
 18 x
x = ⋅ =5 360
60
30
º
º x = ⋅ =18 360
60
108
º
º
Los diagramas circulares representan 
las frecuencias mediante sectores cir-
culares cuyos ángulos centrales son 
proporcionales a las frecuencias de los 
datos. El círculo representa el total de 
los datos.
Hospitales
5
Centros de salud
18
Puestos de salud
37
C (30%)
D (10%)
A (25%)
B (35%)
Problema 2
Elabora un 
diagrama 
circular con 
los datos de 
la tabla.
Solución:
Para calcular los ángulos centrales multiplica-
mos las frecuencias relativas por 360º.
xi fi
A 0,25
B 0,35
C 0,30
D 0,11
xi fi hi×360°
A 0,25 90°
B 0,35 126°
C 0,30 108°
D 0,10 36°
pictogrAmAs
En los pictogramas las frecuencias se representan con dibujos alegóricos de 
los objetos que se estudian.
Supóngase que en una ciudad se determina los muertos por accidentes, cuya 
tabla se muestra. En el pictograma asumimos que cada ícono representa 5 
personas. Observe con atención el gráfico.
MUERTOS EN ACCIDENTES DE 
TRÁNSITO POR SEXO
Tipo Hombres Mujeres
Tránsito 50 40
Laboral 35 20
Otros 10 8
Problema 3
En un pictograma 4 figuras repre-
sentan 450 unidades. ¿Con cuán-
tas figuras se representan 1575 
unidades?
Solución:
4 450
x 1575
x = ⋅ =1575 4
450
14
Rpta.: 14
Problema 4
Determina la frecuencia relativa de 
un dato cuya representación en un 
diagrama circular es un sector cir-
cular con 54º de ángulo central.
Solución:
El círculo representa la suma de las 
frecuencias relativas, que es igual a 1.
1 360°
x 54°
x = ⋅ =54 1
360
0 15,
 Rpta.: 0,15
Datos
GRÁFICOS DE BARRAS 
HORIZONTALES
Distribución de habitantes por 
región:
Costa 55%
50
51%
14%
Sierra
Selva
Fuente INEI
IV
 B
IM
ES
TR
E
672 
CAPÍTULO 20GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I
1 En el siguiente diagrama de barras:
E
D
C
A
B
20%
14%
30%
12%24%
 Los productos B, C, D y E son de mejor calidad. 
¿Qué porcentaje de ellos representa la produc-
ción de D?
2 El gráfico de sectores 
muestra las preferencias 
de 400 personas por 4 
productos A, B, C y D.
 Calcula la diferencia entre los que prefieren los 
productos A y B.
3 El gráfico señala la producción de un cereal en 5 
lugares del país A, B, C, D y E.
 
20
60
120
80
140
Toneladas
40
100
 Con esta información se desea confeccionar un 
gráfico de sectores. ¿Qué ángulo corresponde a 
los sectores A y E?
D A
BC
m°
3m°
8%
16%
Actividad 20
Problema 6
El gráfico corresponde a los datos de la tabla. Cal-
cula a + b.
Solución:
Total: 8 + 30 + 20 + 12 = 60
∴ a + b = 30 + 12
60
 ⋅ 360° = 252° Rpta.: 252°
 
 
a
b
B
A
C D
Problema 7
En el gráfico f1 + f3 = 65. Calcula f2 + f4. 
Solución:
f1 + f3 = k + 4k = 65 ⇒ k = 13
∴ f1 + f3 = 4k + 3k = 7k ⇒ 91 Rpta.: 91
k
4k
3k
2k
A B C D
fi hi
A 8
B 30
C 20
D 12
Problema 5
En el siguiente diagrama:
A
40°
80°50°
B
C
DE
F


a
3


°


a
6


°


a
2


°
Si en el sector "D" hay 57 personas,
¿cuántas personas hay en "A"?
Solución:
# personas en "A": x
Del diagrama circular:


a
2


°
 + 40° + 
a
3


°
 + 80° + 
a
6


°
 + 50° = 360°
Resolviendo: a = 190 
Haciendo la proporción: x
40°
 = 57


190
6


°
∴x = 72
Rpta.: 72°
IV B
IM
ESTR
E
68 2
CAPÍTULO 20 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS I
4 De acuerdo al gráfico de frecuencias.
 
10
30
8
# alumnos
15
m
10 12 14 16
Notas
18
 ¿Cuál es el total de alumnos que presenta la ta-
bla, si el 50% ha obtenido notas comprendidas 
desde 12 a 16?
5 Se realizó una encuesta a cierto número de per-
sonas sobre sus preferencias a 5 marcas de ciga-
rrillos, designados como: M, N, P, Q, R, presen-
tándose el siguiente gráfico de sectores:
 
M
N
P
QR
(a + b)°
3a°
b°/3 a°
2b°
 Si gustan de M tantos como gustan de P y 72 per-
sonas gustan de R, ¿cuántos gustan de N?
6 El diagrama ha sido elaborado con los tiempos 
de duración de un conjunto de baterías.
 
 
8
16
24
40
48
56
90 94 98 102 106 110
Tiempo
(horas)
fi
114 118
 ¿Cuántas baterías tienen una duración desde 
100 hasta 112 horas?
7 El siguiente diagrama muestra las preferencias 
de 200 personas con respecto a 4 productos A, B, 
C y D. ¿Cuántos más prefieren C que B?
 
D (25%)
B (15%)
A (m°)
C (2m°)
8 De acuerdo al siguiente histograma,
 
3
6
9
12
15
6
f
10 14 18 22 26 x
 halla x.
9 En el siguiente histograma se muestran los suel-
dos por hora de un grupo de empleados. Calcu-
la el promedio del sueldo por hora.
5
15
20
25
Sueldo por
hora es S/.
# Empleados
10 El diagrama representa la asignación de recur-
sos para un año en cierta municipalidad de un 
distrito de Lima.
 
D (27%)
B (25%)
A (30%)
C (18°)
 Si para B y D se destinan 48400 soles más que 
para A, ¿cuánto se destina a C?
IV
 B
IM
ES
TR
E
692
NotaNota
GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II
HistogrAmAs
La tabla corresponde a la hemoglobina de 50 pacientes atendidos en un hos-
pital.
5
10
15
20
10 12 14 16 18 20
Hemoglobina (g/dL) fi
[10; 12〉 9
[12; 14〉 20
[14; 16〉 12
[16; 18〉 5
[18; 20〉 4
50
Los histogramas sirven para representar datos agrupados. Son rectángulos 
continuos cuyas bases se sitúan en el eje horizontal y están limitadas por 
los valores extremos de cada intervalo. Sus alturas son proporcionales a las 
frecuencias absolutas o relativas de cada intervalo.
Problema 1
En el histograma del 
ejemplo, ¿cuántos 
pacientes tienen 
una hemoglobina 
inferior a 16?
Solución:
Rpta.: 41
Tienen menos de 16 
de hemoglobina:
9 + 20 + 12 = 415
10
15
20
10 12 14 16 18 20
9
20
12
polígono de frecuenciAs
El polígono de frecuencias se obtie-
ne a partir del histograma, unien-
do los puntos medios de los lados 
superiores de los rectángulos.
A la derecha se muestra el polígo-
no de frecuencias del histograma 
de las hemoglobinas.
5
10
15
20
10 12 14 16 18 20
Polígono de
frecuen cias
diAgrAmA escAlonAdo
Son diagramas de barras o rectángulos, cuyas bases representan los interva-
los de clase y cuyas alturas son proporcionales a las frecuencias absolutas o 
relativas acumuladas (Fi, Hi).
En el 2013 el 
Perú ha produci-
do 1,6 millones 
de toneladas de 
maíz y ha cre-
cido en 4,58% 
respecto al año 
anterior.
¿Cuál es la diferen-
cia entre el polígono 
de frecuencias y el 
ojiva?
El histograma se utiliza para la 
representación de datos agru-
pados en intervalos de clase, 
mientras el gráfico de barras 
es para datos no agrupados o 
variables cualitativas. 
fi
f1
f2
f3
f4
xiA B C D
Gráficos de barras
fi
f1
I1 I2 I3 I4
f2
f3
f4
xi
21CAPÍTULO
IV B
IM
ESTR
E
70 2
CAPÍTULO 21 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II
Actividad 21
1 La tabla muestra las edades y el número de pa-
cientes atendidos en un hospital.
Edad xi fi
[40; 50〉
[50; 60〉
[60; 70〉
[70; 80〉
45
50
55
60
6
8
9
3
 Elabora el histograma correspondiente.
2 En el siguiente gráfico de frecuencias. 
 
20
25
30
10 12 14 16 18
Notas
# de alumnos
 Indica el número de alumnos que por lo menos 
sacaron 12 de nota.
Para elaborar el diagrama escalonado calculemos la frecuencia acumulada 
de la tabla del ejemplo y luego elaboremos su diagrama escalonado.
La línea que une los puntos medios de las barras se llama ojiva.
10 12 14 16 18 20
Ojiva
10
20
30
40
50
Fi
xi
Hemoglobina (g/dL) fi Fi
[10; 12〉 9 9
[12; 14〉 20 29
[14; 16〉 12 41
[16; 18〉 5 46
[18; 20〉 4 50
Problema 2
Elabora el his-
tograma de la 
siguiente tabla 
de frecuencias.
Solución:
Completamos la tabla y elabora-
mos el histograma.
5
10
15
25
20
f i
x i
Ii fi
[0; 10〉 10
[10; 20〉 15
[20; 30〉 25
[30; 40〉 20
[40; 50〉 10
 
Ii fi
[0; 10〉 10
[ ; 〉 15
[ ; 30〉 25
[ ; 〉 20
[40; 〉 10
Problema 3
Elabora la 
tabla de 
frecuencias 
a partir 
del gráfico 
escalonado 
e indique la 
frecuencia 
del intervalo 
[10; 15〉.
Solución:
Ii Fi fi
[0; 5〉 5 5
[5; 10〉 20 15
[10; 15〉 40 20
[15; 20〉 50 10
[20; 25〉 60 10
5
10
20
15
La frecuencia del intervalo [10; 15〉 
es 20 
 Rpta.: 20
F i
10
20
40
50
60
30
x i
IV
 B
IM
ES
TR
E
712 
3 Del siguiente gráfico de frecuencias:
 
20
30
45
20 24 28 32 36 Edades
# de personas
 ¿Cuántas personas tienen al menos 24 años y 
qué porcentaje del total representan?
4 Representa con un histograma y un polígono de 
frecuencias los datos que indica el tiempo que 
los alumnos de un aula dedican a navegar en In-
ternet.
 
Tiempo (min) # de alumnos
[50; 60〉 7
[60; 70〉 6
[70; 80〉 4
[80; 90〉 3
[90; 100〉 5
5 Del histograma mostrado: 
 
 
10
15
20
25
20 25 30 35 40 45
fi
Ii
 
 a) Elabora la tabla de frecuencias absoluta y rela-
tiva correspondiente.
 b) ¿Qué tanto por ciento de los datos se encuentra 
en el intervalo [25; 40〉?
6 Dado el siguiente gráfico de frecuencias:
 
 
# de alumnos
Notas10
15
m
30
10 12 14 16 18 20
 ¿Cuál es el total de alumnos, si se sabe que el 
50% de ellos ha obtenido notas comprendidas 
desde 12 a 16?
7 Se tiene el siguiente histograma de frecuencias 
relativas: 
 
hi
I
m
2m
3m
4m
6m
 ¿Cuántos datos se encuentran en el intervalo 
[b; e〉, si el tamaño de la muestra es 160?
8 Se tiene el histograma de frecuencias relativas:
 
hi
I
x
3x
4x
5x
7x
 ¿Cuántas observaciones caen en el rango [b; e〉, 
si la población es de 600?
9 El diagrama mostrado ha sido elaborado con los 
tiempos de duración de un conjunto de baterías.
 
 ¿Cuántas baterías tienen una duración entre 98 
y 110 horas?
10 El diagrama mostrado ha sido elaborado con los 
tiempos de duración de un conjunto de baterías.
 
 ¿Cuántas baterías tienen una duración entre 100 
y 115 horas?
90 94 98 102 106 110 114 118
56
48
40
32
24
16
8
fi
Tiempos
(hora)
90 94 98 102 106 110 114 118
56
48
40
32
24
16
8
fi
Tiempos
(hora)
CAPÍTULO 21GRÁFICOS ESTADÍSTICOS II
IV B
IM
ESTR
E
72 2
22CAPÍTULO MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
medidAs de tendenciA centrAl pArA dAtos no AgrupAdos¿Quién de los tres es el mejor?
El promedio aritmético de las tres no-
tas es 62÷4 = 15,5; con el cual apa-
rentemente los tres están empates.
NOTAS DE LOS MEJORES ALUMNOS
EN MATEMÁTICA DE UN SALÓN
Nombres 1° Bim 2° Bim 3° Bim 4° Bim
Andy 09 16 19 18
Bruno 16 12 18 16
Celso 16 16 15 15
En este capítulo estudiaremos, aparte del promedio aritmético o media, la 
moda y la mediana.
Suma de datos entre 
número de datos.
Dato que más se 
repite.
Dato central o me-
dia de dos centrales.
Media(x) Moda(mo) Mediana(me)
Andy: xA =
+ + +9 16 19 18
60
xA = 15,5
09 16 18 19
17
xA = 15,5
moA: Amodal
meA= 17
Bruno: xB =
+ + +16 12 18 16
60
xB = 15,5
12 16 16 18
16
xB = 15,5
moB = 16 (Unimodal)
meB= 16
Celso: xC =
+ + +16 16 15 15
60
xC = 15,5
15 15 16 16
16
xC = 15,5
moC: Bimodal(15 y 16)
meC= 15,5
Problema 1
Calcula la media, la moda y la me-
diana de los siguientes datos:
12; 13; 20; 14; 13; 10; 12; 13; 9 y 20.
Solución:
• Suma de los datos: 136
 Número de datos: 10 
x = 
x = 13,6
136
10
 
• mo = 13 (Se repite 3 veces)
• Para hallar la mediana ordenamos 
los datos de menor a mayor:
9 10 12 12 13 13 13 14 20 20
134 datos
Datos centrales
4 datos
 me = 13 (Media de los datos centrales)
En agosto 2013 
Claudio Pizarro 
llegó a 70 parti-
dos jugados con 
la Selección, con 
un promedio de 
0,26 tantos por 
partido.
¿Cuál es la diferen-
cia entre media y 
mediana?
Fuente: El comercio
NotaNota
MODA
Un conjunto de datos puede 
tener más de una moda.
fi
xi
Población unimodal
Población bimodal
fi
xi
IV
 B
IM
ES
TR
E
732 
HistoriaHistoria
Problema 2
Compara la media, la moda y la 
mediana de los siguientes datos:
14; 7; 10; 14; 16; 10; 12; 14 y 11.
Solución:
• Suma de los datos: 108
 Número de datos: 9 
x = 
x = 12
108
9
 
• mo = 14 (Se repite 3 veces)
• 8 10 10 11 12 14 14 14 16
me4 datos
Dato central
4 datos
 me = 12 
promedio ponderAdo
En la tabla se observa que 6 alumnos tienen 11 
años, 30 alumnos, 12 y 4 alumnos, 13 años.
Para calcular la media de las edades debemos 
sumar todas las edades y dividir entre 40.
El cálculo del promedio ponderado consiste en 
multiplicar cada dato por su frecuencia o peso, 
sumar, y dividir entre la suma de frecuencias.
EDADES DE 40 ALUMNOS 
DE UN SALÓN DE 1º AÑO
Edad(x) f1
11 6
12 30
13 4
x = ⋅ + ⋅ + ⋅
+ +
11 6 12 30 13 4
6 30 4
x = =478
40
11 95,
En general:
x
x f x f x f x f
f f f f
n n=
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 2 2 3 3 ...
1 2 3 + + + ...+ n
Problema 3
El profesor de matemática ha di-
cho que la nota del examen escri-
to vale por tres, la nota de examen 
oral, por dos y la nota del cuader-
no por uno. Aníbal tiene 13; 14 
y 17, respectivamente. ¿Cuál su 
nota promedio?
Solución:
Nota Peso nota×peso
Ex. escrito 13 3 39
Ex. oral 14 2 28
Cuaderno 17 1 17
6 84
x = =84
6
14
 
Rpta.: 14
mediA pArA dAtos AgrupAdos
En la tabla se observa que hay fuga de 0 a menos 
de 20 litros en 18 viviendas, de 20 a menos de 40 
litros en 15 viviendas, etc.
Queremos calcular el promedio en litros de fuga 
de agua en las 50 viviendas.
Para ello calculamos las marcas de clase, que “re-
presentan los intervalos” y procedemos como en 
el caso anterior.
FUGA DE AGUA POR 
MES EN 50 VIVIENDAS (L)
Volumen f1
[0; 20〉 18
[20; 40〉 15
[40; 60〉 12
[60; 80〉 5
Volumen x1 f1 x1 ⋅f1
[0; 20〉 10 18 180
[20; 40〉 30 15 450
[40; 60〉 50 12 600
[60; 80〉 70 5 350
50 1580
En general:
x
x f x f x f x f
f f f f
n n=
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅1 1 2 2 3 3 ...
1 2 3 + + + ...+ n
Promedio: 1580
50
 = 31,6 litros
A partir del siglo XVI la Esta-
dística inicia su etapa de gran 
desarrollo gracias a la contribu-
ción de personajes sobresalien-
tes de esta época, como fueron:
Hermann Conring (1600 - 1681) 
De nacionalidad inglesa, quien 
introdujo la estadística en un 
curso de ciencias políticas, con el 
propósito de descubrir y examinar 
los datos sobresalientes del estado.
Godofredo Achenwall (1714 - 1772) 
De nacionalidad inglesa, quien 
hizo su aporte al considerarla 
como una disciplina indepen-
diente y la introduce como una 
asignatura universitaria con el 
nombre de estadística. Se le con-
sidera el padre de la estadística.
Adolfo Quetelet (1796-1874)
De nacionalidad belga, quien 
hizo su aporte al aplicar métodos 
modernos al estudio de un con-
junto de datos. Se le considera el 
padre de la estadística moderna 
por su interés en destacar la im-
portancia de la aplicación de los 
métodos estadísticos, orientada 
en un doble sentido: teórico y 
práctico.
http://www.educando.edu.do/articulos/
directivo/estadsticas-educativas/
CAPÍTULO 22MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
IV B
IM
ESTR
E
74 2
Actividad 22
1 Calcula la media aritmética de las notas de ma-
temática de:
 Manolito, cuyas notas son: 12; 17; 14; 13
 Raulito, cuyas notas son: 14; 16; 18; 16
2 En un concurso de matemática, tres secciones A, 
B y C de un determinado año, participan con 6 
alumnos cada una. Las notas obtenidas son: 
 
Sección Notas
A 11 13 15 12 14 13
B 14 15 14 13 12 13
C 13 14 14 15 13 15
 Se desea declarar ganador a aquel equipo que ten-
ga más alumnos con notas mayores a la mediana 
obtenida por su sección. ¿Qué sección gana?
3 En la tabla se muestra el tiempo en minutos que 
dos alumnos demoran en llegar a su colegio:
 
Lu Ma Mi Ju Vi
Carlos 20 25 30 25 15
Daniel 15 18 20 18 15
 Calcula la moda de los tiempos de cada niño.
4 Después de un examen de 20 preguntas tomado 
a 10 alumnos, se hizo una encuesta sobre la can-
tidad de problemas que resolvieron y se obtuvo 
la siguiente información: 7; 9; 12; 15; 18; 10; 5; 10; 
10; 14. Halla la suma de la media, la mediana y 
la moda de la muestra. 
5 Considere la tabla adjunta y halla el promedio 
de las notas de los cursos indicados.
 
Curso N° de alumnos Promedio
Matemática
Historia
Biología
Lenguaje
120
100
150
180
11,2
10,5
11,4
11,8
6 Para el siguiente con-
junto de datos clasifi-
cados, calcula la me-
dia.
7 La media de las notas de 25 estudiantes ha re-
sultado 12. Si se sube 2,5 puntos a cada uno de 
los 10 desaprobados y se aumenta una unidad a 
cada aprobado, ¿cuál sería el nuevo promedio?
8 La tabla muestra las notas 
de los cursos A y B.
 Indica si es verdadero o 
falso.
 I. La mediana del curso A 
es mayor que el curso B.
 II. La moda del curso A es 
menor que el curso B.
9 En la siguiente tabla de frecuen-
cias, halla la media.
 
10 En la tabla de datos:
 
 
Nombre Altura, en cm. Peso, en kg.
Enrique
Fidel
César
Nataly
Vanessa
Karina
Manuel
140
120
125
135
130
115
110
40
35
33
37
38
32
30
 Halla: a) Altura media de los 7 niños
 b) Peso medio de los 7 niños
Problema 4
Calcula la 
media de 
los datos 
de la tabla.
Solución:
Ii xi fi xi ⋅fi
[10; 14〉 12 9 108
[14; 18〉 16 15 240
[18; 22〉 20 30 600
[22; 26〉 24 6 144
60 1092
Media:
x = 1092
60
 x = 18,2
Rpta.: 18,2
Ii fi
[10; 14〉 9
[14; 18〉 15
[18; 22〉 30
[22; 26〉 6
Intervalo fi
[20; 30〉
[30; 40〉
[40; 50〉
[50; 60〉
5
9
12
8
 Curso A Curso B
1
2
3
4
5
06
06
08
10
14
05
05
14
14
12
X fi
7
10
12
a
aa
6a
CAPÍTULO 22 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
IV
 B
IM
ES
TR
E
752
COMBINACIONES Y 
PERMUTACIONES
3 4 5
34 35
43 45
53 54
3×4 = 12
3×5 = 15
4×5 = 20
¿Cuántos productos de Con las cifras
dos números se obtiene?
¿Cuántos números de 
dos cifras se obtiene?
3 elementos 3 combinaciones 6 permutaciones
No interesa orden Interesa orden
Las combinaciones son los dife-
rentes agrupamientos que se pue-
den realizar con un número de 
elementos.
El número de combinaciones de 
n elementos tomándolos de r en r 
está dado por:
COMBINACIONES
C
n
n r r
r nr
n =
−
″ ″!
( )! !
1
Las permutaciones son los dife-
rentes ordenamientos que se pue-
den realizar con un número de 
elementos.
El número de permutaciones de 
n elementos tomándolos de r en r 
está dado por:
PERMUTACIONES
P n r
n
n r
r n( , )
!
( )!
=
−
″ ″1
Problema 1
En una reunión se encontraron 12 
amigos y todos se saludaron con 
un apretón de manos.¿Cuántos 
apretones de mano se dieron en 
total?
Solución:
Cada apretón de mano es una com-
binación de dos personas. No se 
tiene en cuenta el orden.
Por lo tanto, el número de apreto-
nes es igual al número de combi-
naciones de 12 elementos tomados 
de 2 en 2:
C2
12 12
10 2
10 11 12
10 2
66=
⋅
= ⋅ ⋅
⋅
=!
! !
!
!
Rpta.: 66
Problema 2
Seis amigos encontraron, en un 
consultorio médico, un sillón de 4 
asientos. ¿De cuántas maneras di-
ferentes se pueden sentar 4 de ellos 
en el sillón?
Solución:
Una vez elegido 4 de ellos pue-
den ubicarse de distintas maneras, 
cada una de las cuales es una per-
mutación de 4 elementos. El núme-
ro total son las permutaciones de 6 
elementos tomados de 4 en 4:
P( ; )
!
!
6 4
6
2
720
2
360= = =
 Rpta.: 360
La planificación de un viaje vía 
aérea implica considerar líneas 
áreas, horarios, precios, etc.
¿Cuál es la 
diferencia entre 
permutaciones 
y variaciones?
FACTORIAL DE UN NÚMERO
Sea n un número natural 
mayor que cero, entonces se 
define factorial de n, denotado 
por n!, como:
n! = 1·2·3·...(n – 1)n
• 4! = 1·2·3·4 = 24
• 5! = 1·2·3·4·5 = 4!×5 = 120
Propiedad: n! = (n – 1)!n
PRINCIPIOS DE CONTEO
Principio de adición
Si un procedimiento se puede 
realizar de m maneras; otro 
segundo, de n maneras, y no se 
pueden realizar los dos simul-
táneamente, entonces cualquie-
ra de ellos se puede realizar de 
m + n maneras.
• En mi barrio don Álamo 
vende 3 variedades de arroz, 
doña Peta, 4 variedades, 
distintas a las de don Álamo. 
¿Cuántas variedades de 
arroz puedo comprar?
Respuesta: 
3 + 4 = 7 variedades
Ten Presente
2
23CAPÍTULO
IV B
IM
ESTR
E
76 2
Actividad 23
1 ¿De cuántas maneras se puede elegir 2 personas 
de un total de 8 para ejecutar un trabajo?
2 ¿De cuántas maneras se pueden sentar 6 perso-
nas en una banca de 5 asientos?
3 ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir 
un comité de 4 miembros de un total de 12 can-
didatos?
4 En una tienda hay 6 modelos de polos. ¿De 
cuántas maneras diferentes se puede elegir tres 
polos de modelos diferentes? 
5 ¿Cuántas señales distintas de 4 banderas se pue-
den hacer con 9 banderas de diferentes colores?
6 De un grupo de 6 candidatos se debe seleccionar 
dos personas para ocupar los cargos de Director 
y Sub director. ¿De cuántas maneras se puede 
realizar la solución? 
7 ¿Cuántos números de 3 cifras terminan en cifra 5?
8 ¿Cuántos surtidos de dos frutas se puede prepa-
rar con 6 tipos distintos de frutas?
9 ¿Cuántas palabras diferentes (sin importar su 
sentido) se pueden formar con las letras de la 
palabra “AMOR”
10 En una carrera de 100 m planos, participan 8 co-
rredores. ¿De cuántas maneras diferentes pue-
den obtener 2 medallas?
vAriAciones
Consideremos las cifras 3; 5; 7; 8 y 9.
Con estas cifras formemos números, 
sin repetir las cifras.
Algunos autores consideran permuta-
ciones sólo cuando se toman todos los 
elemento a la vez y llaman variaciones 
cuando se considera solo una parte.
Permutaciones
Números de 5 cifras diferentes:
P(5) = 5! = 120
Variaciones
Números de 3 cifras diferentes:
V( ; )
!
( )! !
5 3
5
5 3
120
2
60=
−
= =
Problema 3
Tres niñas y cuatro niños juegan a 
sentarse de distintas formas en una 
banca de 7 asientos, pero siempre 
juntos los niños y las niñas entre sí.
Solución:
P(3)
3! × 4
6 × 24 = 144
P(4)× P(3)
4! × 3!
24 × 6 = 144
P(4) ×
Total = 144 + 144 = 288
Rpta.: 288
Problema 4
De cuántas maneras diferentes pue-
den ocupar los tres primeros luga-
res 8 atletas en una carrera de 100 
metros planos.
Solución:
Del total de 8, sólo los 3 primeros 
lugares serán considerados.
Cada forma de llegar es un ordena-
miento, entonces pueden llegar de:
V( ; )
!
( )!
!
!
8 3
8
8 3
5 6 7 8
5
336=
−
=
⋅ ⋅ ⋅
=
 Rpta.: 336
Principio de multiplicación
Si un procedimiento 1 se 
puede realizar de m mane-
ras; un procedimiento 2, de n 
maneras y cualquiera de las 
formas de realizar 1 puede ser 
seguido por cualquiera de las 
formas de realizar 2, entonces 
el procedimiento 1 seguido de 
2 se puede realizar de m×n 
maneras diferentes.
• En un restaurante ofrecen 
3 tipos de café y 4 tipos de 
emparedados. ¿De cuántas 
formas puedo desayunar con 
un café y un emparedado? 
 Respuesta:
De 3×4 = 12 maneras
Ten Presente
2
CAPÍTULO 23 COMBINACIONES Y PERMUTACIONES
IV
 B
IM
ES
TR
E
772
PROBABILIDAD
Este auto se dirige de Arequipa a Juliaca. ¿Se 
podría determinar con qué tipo de vehículo se 
cruzará primero en cuanto salga de la ciudad? 
¿Se puede determinar en qué tiempo llegará a 
su destino si mantiene una rapidez promedio 
de 50 km/h?
EXPERIMENTO ALEATORIO
No hay forma de determinar con 
qué tipo de vehículo se cruzará 
primero, puede ser con otro auto, 
un ómnibus, un camión, etc.
Es igual que cuando se lanza una 
moneda al aire. No hay forma de 
saber si saldrá cara o sello.
Un experimento aleatorio es un 
proceso cuyo resultado no se 
puede precisar, sino sólo hacer 
una lista de posibilidades.
EXPERIMENTO DETERMINÍSTICO
La distancia de Arequipa a Juliaca 
es 250 km. Si mantiene la rapidez 
de 50 km/h, en cada hora avanza-
rá 50 km, y estará arribando a Ju-
liaca en 5 horas.
En este caso es posible predecir 
la hora en que el auto llegará a 
su destino.
Un experimento determinís-
tico es aquel cuyo resultado se 
puede prever.
ESPACIO MUESTRAL
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento alea-
torio.
Problema 1
¿Cuál es el espacio muestral del 
lanzamiento de un dado?
Solución:
El dado tiene 6 caras numeradas y 
al lanzar puede salir cualquiera de 
ellas.
Espacio muestral: 
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
Problema 2
En una caja se introducen 5 fichas 
numeradas del 1 al 5. Se extraen dos 
fichas de la caja y se suman los nú-
meros de las dos fichas. ¿Cuáles son 
las sumas posibles?
Solución:
La menor suma: 1 + 2 = 3
La mayor suma: 4+ 5 = 9
Sumas posibles:
S = {3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
¿Nacen más hombres o más 
mujeres en el mundo?
¿Cuál es la dife-
rencia entre un 
evento simple y 
uno compuesto?
EXPERIMENTO ALEATORIO
DETERMINACIÓN DEL SEXO
X X X X
X X X X
Cromosoma 
femenino
Cromosoma 
masculino
X Y
X Y X Y
50% 50%
Las probabilidades de que de 
un embarazo nazca hombre o 
mujer es la misma. 
Matemática 
en la vida
1 2 5 3 0
 4
24CAPÍTULO
IV B
IM
ESTR
E
78 2
evento o suceso
Espacio muestral
Todos los resultados
posibles
Resultados
elegidos
Evento o suceso
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
A = {2; 4; 6}
Problema 4
En una urna hay 4 bolas rojas, 5 
blancas y 6 celestes. Se extrae una 
bola al azar y se anota su color. ¿En 
cuántos casos el color de la bola no 
es rojo?
Solución:
 
Es rojo
No es rojo
No es rojo
∴ No es rojo en 5 + 6 = 11 casos
 Rpta.: 11
Problema 3
Se lanzan dos monedas. Halla el 
número de elementos del espacio 
muestral y del evento “Sale igual 
en ambas monedas”
Solución:
Sea C: sale cara 
 S: sale sello 
C CS
CC
CS
Espacio muestral
S = {CC, CS, SC, SS}
S CS
SC
SS
Evento
A = {CC, SS}
∴n(S) = 4; n(A) = 2 Rpta.: 4 y 2
probAbilidAd de un evento
De esta caja se extraerá una bola sin ver. Al que 
acierte el color de la bola extraída se le premiará 
con mil soles. ¿Por qué color apostaría quien quie-
ra ganar el premio?
Si bien no se puede asegurar el color de la bola 
extraída, por ser un experimento aleatorio, quien 
quiera ganar el premio apostará por el color rojo. 
La probabilidad no asegura que saldrá el rojo, pero indica que el que apuesta 
por el color rojo tiene mayor posibilidad de ganar (de 7 contra 5).
Probabilidad de un evento =
Número de casos favorables (Cf)
Número de casos posibles (Cp)
En el ejemplo, hay 12 casos posibles (Cp) de la extracción de una bola, de las 
cuales, el que apuesta por rojo tiene 7 casos favorables (Cf).
En el ejemplo: • P(rojo) = 7 
12
 • P(verde) = 5 
12
Supóngase que lanzamos un dado con la intención de que 
salga par. ¿En qué casos estaremos satisfechos?
En los casos en que el resultado sea uno de los elementosdel conjunto:
A = {2; 4; 6}
Un evento o suceso es un subconjunto del espacio muestral.
EVENTO SIMPLE
Lanzar una moneda es un 
evento simple. Los resultados 
posibles son:
S = {cara, sello}
Lanzar un dado, también es un 
evento simple. Ya hemos visto 
su espacio muestral.
EVENTO COMPUESTO
Un evento compuesto consta 
de dos o más eventos simples.
Lanzar una moneda y un dado 
es un evento compuesto. Su 
espacio muestral es la combi-
nación de los dos espacios:
C
S
1 2 3 4 5 6
Dado
M
on
ed
a
Hay un total de:
 2×6 = 12 resultados posibles.
Ten Presente
2
CAPÍTULO 24 PROBABILIDAD 
IV
 B
IM
ES
TR
E
792 
Problema 5
Se lanza un dado. ¿Cuál es la pro-
babilidad de que salga un múlti-
plo de 3.
Solución:
Resultados posibles del lanza-
miento del dado:
• S = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ Cp = 6 
• Sale múltiplo de 3: A = {3; 6} 
 ⇒ Cf = 2
∴ P(A) = 2 
6
 = 1 
3
 
Rpta.: 1 
3
Problema 6
En la sala de espera de un consulto-
rio se encuentran 3 niños, 4 adultos 
y 5 ancianos. Si el médico llama a 
un paciente al azar, ¿cuál es la pro-
babilidad de que llame a un niño?
Solución:
Niños: 3 
Adultos: 4 
Ancianos: 5
Cp = total = 12
Cf = niños = 3
∴ P(niño) = 3 
12
 = 1 
4
Rpta.: 1 
4
probAbilidAd de eventos independientes
Lanzar un dado y una moneda, son eventos 
independientes porque al resultado de uno no 
afecta el resultado del otro.
Si de una urna que contiene 4 bolas rojas y 
5 verdes se saca una bola, y sin devolverla se 
vuelve a sacar otra, las dos extracciones son 
eventos dependientes. Por ejemplo, si en la 
primera extracción salió una bola roja, para la 
segunda extracción quedan menos bolas rojas. 
Si A y B son dos eventos in-
dependientes, entonces:
P(A y B) = P(A) P(B)
La probabilidad de un evento compues-
to, que consta de dos eventos indepen-
dientes, se calcula multiplicando la 
probabilidad del primer evento por la 
probabilidad del segundo.
Problema 8
Una urna contiene 4 bolas azules y 
6 rojas. Se extraen dos bolas sin re-
poner. ¿Cuál es la probabilidad de 
que ambas sean rojas?
Solución:
La probabilidad es igual a la pro-
babilidad de que salga roja en la 
primera extracción: P(A) y vuelva 
a salir roja en la segunda P(B).
• P(A) = 6 
10
 = 3 
5
• Para la segunda extracción que-
dan 5 bolas rojas y 9 bolas en total:
 ⇒ P(B) = 5 
9
∴ P(2R) = P(A)×P(B)
 P(2R) = 
3
5
5
9
3
9
1
3
× = =
 Rpta.: 1 
3
Problema 7
Se lanzan una moneda y un dado. 
¿Cuál es la probabilidad de que en 
el dado salga par y en la moneda, 
cara?
Solución:
La probabilidad que nos piden es 
igual a la probabilidad de que sal-
ga par en el dado: P(A), por la pro-
babilidad de que salga cara en la 
moneda: P(B).
• P(A) = 3 
6
 = 1 
2
 
• P(B) = 1 
2
• P(A y B) = P(A)×P(B)
 P(A y B) = 
1
2
1
2
1
4
× =
Rpta.: 1 
4
1. Probabilidad de eventos
 complementarios
La probabilidad de dos 
eventos complementarios 
suman la unidad.
Por ejemplo, si la probabili-
dad de que ocurra un acci-
dente en un viaje es 1/100, 
entonces la probabilidad de 
que NO ocurra es 99/100.
P(A) + P(A′) = 1
2. Probabilidad de un evento
 seguro
La probabilidad de un even-
to seguro es 1.
Por ejemplo, la probabilidad 
de que salga una bola roja 
de una caja que contiene 
sólo bolas rojas es 1.
P(A seguro) = 1
3. Probabilidad de un evento
 imposible
La probabilidad de un even-
to imposible es 0.
Por ejemplo, la probabilidad 
de que salga una bola azul 
de una caja que contiene 
sólo bolas rojas y verdes, es 
cero.
P(A imposible) = 0
Ten Presente
2
CAPÍTULO 24PROBABILIDAD
IV B
IM
ESTR
E
80 2
Eventos Excluyentes:
• Supóngase que se elige al azar un número de entre los siguientes:
10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18
 ¿Cuál es la probabilidad de que salga menor que 13 o mayor que 16?
10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18
P(<13) = 3 
9
 P(>16) = 2 
9
 
Los dos eventos no tienen elementos en común, son excluyente. La proba-
bilidad pedida es la suma de sus probabilidades:
P(< 13 o > 16) = 3 
9
 + 2 
9
 = 5 
9
En el mismo ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de 
que salga par o múltiplo de 3?
Estos eventos no son excluyentes, porque hay 
números que son pares y a la vez múltiplos de 3. 
Se debe restar la parte común.
 P(P o 3 )
o
= + − = =
5
9
3
9
2
9
6
9
2
3
Actividad 24
1 Determina si es un experimento determinístico.
 1. Lanzamiento de dos dados.
 2. Lanzamiento de una moneda.
 3. Soltar una moneda y ver si cae.
 4. Averiguar el precio del pasaje a Huancayo en
 un terminal terrestre.
2 Indica cuántos de los siguientes experimentos 
son aleatorios: 
 1. De una urna extraer una ficha sin ver.
 2. Lanzamiento de un dado.
 3. Lanzamiento de una moneda.
3 Determina el espacio muestral del siguiente 
evento.
 a) Lanzamiento de un dado.
 b) Lanzamiento de una moneda.
4 Una ficha se lanza al azar sobre el tablero mos-
trado.
 Siendo: P(A): La probabilidad que caiga en un 
 cuadro amarillo.
 P(B): La probabilidad que caiga en un 
 cuadro blanco.
 P(V): La probabilidad que caiga en un 
 cuadro verde.
 Ordene las probabilidades de menor a mayor.
5 En una caja hay 6 bolillas verdes y 10 azules. Se 
extrae al azar una bolilla. ¿Cuál es la probabili-
dad de que no sea de color azul?
6 De un grupo de alumnos, 6 varones y 9 mujeres, 
se elige un alumno al azar. ¿Cuál es la probabi-
lidad de que sea una mujer?
7 Determina la probabilidad de que al lanzar un 
dado salga un número impar.
8 Se han vendido 200 boletos de una rifa. ¿Cuál 
es la probabilidad de que gane el premio mayor 
una persona que ha comprado 20 boletos?
9 ¿Cuál es la probabilidad de sacar un tres al 
lanzar un dado?
10 Halla la probabilidad de obtener 2 sellos al 
lanzar 2 monedas. 
Par
10
16
14
12
18
15 17
11
13
m(3)
5 
9
2 
9
3 
9
CAPÍTULO 24 PROBABILIDAD
IV
 B
IM
ES
TR
E