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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN ANTONIO ABAD DEL CUSCO
CEPRU
CENTRO DE ESTUDIOS PRE
UNIVERSITARIO - UNSAAC
“AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LA SOBERANÍA NACIONAL”
CICLO PRIMERA OPORTUNIDAD 2023
ÁREA “A”
ARITMÉTICA
DIRECTORIO CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO -UNSAAC
DIRECTOR:
F Dr. FRANCISCO MEDINA MARTINEZ
INTEGRANTES:
F Dr. SANTIAGO SONCCO TUMPI
F Ing. VICTOR DUEÑAS AQUISE
F Mgt. CAYREL GENOVEVA JIMENEZ PAREDES
PERSONAL ADMINISTRATIVO:
F PEDRO PAUL LABRA QUISPICURO
F TEODORO WILDER MORA CARRILLO
F JODY MURILLO NEYRA
F WILBER CELSO GAMERO HANDA
F AMERICO FARFAN PORTOCARRERO
F FREDY ROLANDO GOMEZ YARAHUAMAN
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC
1 CEPRU ORDINARIO 2022-1
TEORÍA DE CONJUNTOS
CONCEPTO: Un conjunto es la agrupación, reunión o colección de objetos bien definidos, que tienen
cierta característica en común y cumplen una regla de correspondencia.
A estos objetos bien definidos se les denomina elementos
Ejemplo:
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} La característica en común que tienen estos elementos es que son números naturales
y lo podemos expresar como:
Notación: Generalmente a los conjuntos se les denota por medio de las letras mayúsculas A, B, C, … y
a los elementos por letras minúsculas a, b, c, . . . , x, y, z.
Sin embargo, debemos recordar que hay conjuntos que pertenecen a otros conjuntos más grandes, así
por ejemplo:
Sean los conjuntos: A = {3, {4, 5}, 6}
B = {4, 5}
Observamos que B A
CONJUNTOS NUMÉRICOS
Naturales: () Está formado por todos los números que utilizamos en el proceso de contar, esto es:
= {0, 1, 2, 3, 4, . . . }
Enteros: () Está formado por el conjunto de los enteros positivos, el cero y los enteros negativos, esto
es:
= { ... , –3, –2, –1, 0, 1, 2, …}
Donde: + = {1, 2, 3, 4, …}
– = {. . ., –3, –2, –1}
Entonces: = + – {0}
Además se tiene:
0
+ ={0, 1, 2, 3, . . . } =
0
− ={0, –1, –2, –3, . . . }
Racionales: () Sus elementos son el resultado de la división de dos números enteros, en el que el
denominador sea distinto de cero, esto es:
A = {x / x 1 ≤ x ≤ 7}
característica
Regla de
correspondencia
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= {
b
a
/ a , b b 0}
= {... ,–2,–1, 0, 1, 2, …,1/2,–2/9, … }
Irracionales: ( [] ) Está formado por todos los números que tienen representación decimal infinita no
periódica, es decir que no se pueden expresar como fracción, esto es:
[] = { 3 , 3 5 , , e, . . .}
Reales: (): Sus elementos son la unión de los racionales con los irracionales, esto es:
= ][
= { ... ,–2,–1, 0, 1, 2, …,1/2,–2/9, … 3 , 3 5 , , e, . .}
Determinación de conjuntos
1. Por comprensión o forma constructiva: Es cuando sólo se da a conocer la característica y la regla
de correspondencia del conjunto.
Ejemplos:
A = {x / x –1 ≤ x < 4}
B = {4x / x x < 6}
C = {x / x es una vocal}
2. Por extensión o forma tabular: Es cuando se denota o se nombra a cada uno de sus elementos.
Ejemplos: Determinemos por extensión los conjuntos de los ejemplos anteriores, esto es:
A = {–1, 0, 1, 2, 3}
B = {0, 4, 8, 12, 16, 20}
C = {a, e, i, o, u}
Representación gráfica de conjuntos
1. Diagramas de Venn – Euler
Son regiones planas cerradas que se utilizan para representar gráficamente los conjuntos, así por
ejemplo:
Lo más importante de los diagramas, es su interpretación, esto es:
Sean A, B y C 3 conjuntos tales que:
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Determinemos la región o regiones que representan a:
A = {a, d, e, g} Todos los que están en A, sin restricciones
Sólo A = {a} Al indicar sólo A, exceptúa a los demás, es decir que son los elementos de A pero
que no estén en B ni en C
B y C = {f, g} Están en B y C al mismo tiempo
Sólo B y C = {f} Al indicar sólo B y C, exceptúa al conjunto A
Sólo uno de ellos = {a, b, c} Están sólo en A o sólo en B o sólo en C
Dos de ellos = {d, e, f} En dos conjuntos a la vez
Ninguno de ellos = {h} Fuera de los tres conjuntos
2. Diagramas de Lewis Carrol:
Se utiliza para representar gráficamente conjuntos disjuntos (separados) o complementarios, así por
ejemplo cuando tengamos conjuntos de la forma:
H = Hombres su complemento M = Mujeres
B = Personas que bailan su complemento B’ = Personas que no bailan
Gráficamente tenemos:
Determinemos las regiones que representan a:
– Todos los hombres: H = {1, 3}
– Las personas que Bailan: B = {1, 2}
– Hombres que Bailan: HB= {1}
– Mujeres que no Bailan: MNoB = {4}
A B
C
a b
c
d
e
f
g
h
U
H M
B
NoB
1 2
3 4
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Nota: Si A = {a, b} es unitario,
entonces: a = b
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO:
Representa el número de elementos diferentes entre sí que tiene un conjunto y se denota por
Card(A) o simplemente n(A), esto es:
Si A = {x/x x < 37}, entonces, los elementos del conjunto A, son:
A = {0, 1, 2, . . . , 36}
es decir: Card (A) = n(A) = 37
Si B = {2, 5, {3}, {2}, 3, 2, {7}, 5}
Observemos que el conjunto B tiene 6 elementos diferentes entre sí: 2, 5, {3}, {2}, 3, {7},
luego
Card (B) = n(B) = 6
CLASES DE CONJUNTOS
De acuerdo al número de elementos, los conjuntos se clasifican en:
1. Nulo o Vacío
Es aquel conjunto que carece de elementos así, por ejemplo: A =
B = { }
C = {x/x x < 0} n(C) = 0
Propiedades: {}
{}
≠ {}
2. Unitario: Es el conjunto que posee un sólo elemento, se le denomina también singleton o conjunto
singular
Ejemplo:
A = {} No es conjunto vacío, puesto que su único elemento es
n(A) = 1
B = {5, 5} = {5}
C = {7, 7, 7} = {7}
3. Finito: Son aquellos conjuntos en los que se puede determinar el número de elementos así, por
ejemplo:
A = {x/x x < 104} n(A) = 104
B = {x/x, –20 x 10} n(B) = 31
4. Infinito: Son aquellos conjuntos en los que no se pueden determinar el número de elementos así,
por ejemplo:
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A = {x/x 5 < x} n(A) =? No se puede determinar
B = {x/x 2 x 3} n(B) =?
5. Universal: Sirve de referencia para estudiar otros conjuntos incluidos en él y puede ser finito o
infinito así, por ejemplo:
U = {x/x x<12}
A = {x/x es impar}
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} sólo los impares menores que 12
B = {x/x<5}
B = {0, 1, 2, 3, 4} sólo los naturales menores que 5
Observemos que en A y en B no hay necesidad de especificar que x puesto que existe el conjunto
universal que sirve de referencia, gráficamente se tiene:
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
1. Relación de Pertenencia:
Esta relación está definida de elemento a conjunto, esto es:
Sea A = {2, 5, {7}, {2, 6}, 3, {3}}, entonces podemos afirmar que:
3 A {7} A
{6} A ; puesto que {6} no está en el conjunto A
{2, 6} A
{5} A ; puesto que {5} no está en el conjunto A, debe ser 5A
Debemos tomar en cuenta que un elemento pertenece a un conjunto si se encuentra escrito tal y
como se presenta en el conjunto, si no lo estuviera, se dice que ese elemento no pertenece al conjunto.
A
B
U
Debemos observar que la relación de pertenencia
y no pertenencia relaciona un elemento con un
conjunto, esto es:
elemento a conjunto
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Nota: Si algún elemento del
conjunto A no pertenece al
conjunto B, entonces se dice
que el conjunto A no está
incluido en el conjunto B y se
denota por A B
Por lo que, si nosotros observamos la relación de pertenencia, asumimos:
{5} {2, {5} 3 {2, {3}}
elemento conjunto elemento conjunto
2. Relación de Inclusión:
Un conjunto A está incluido en otro conjunto B si y sólo si todos los elementos de A también
pertenecen a B, simbólicamente se tiene:
A B x A x B
Equivalentemente se tiene: A B x A x B
Gráficamente
Y se puede leer como:
A está incluido en B
A está contenido en B
A está dentro de B
A es subconjunto de B
O recíprocamente:
B incluye a A
B contiene a A
B es superconjunto de A
La no inclusión: A B x A x B
Gráficamente
Diagrama Lineal (De Hasse)
Se utiliza para representar gráficamente la inclusión o comparabilidad de dos o más conjuntos así, por
ejemplo:
Diagrama de Venn – Euler Diagrama lineal
I)
A
B
A B Utilizando un diagrama
lineal, la relación de
inclusión A B se expresa
como:
B
A
A
B
B
A
A B A B
A
B
A B
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II)
III)
IV)
La representación lineal de los conjuntos numéricos es:
A
B
B
A A B C
C
C
A B C
A
B
B A
A C B C
C
C
A C B C
D
B
A B; B C; B
D
C
A B
A
C D
A B; B C; B
D
=
+
–
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Propiedades de la relación de inclusión:
1. Todo conjunto está incluido en sí mismo. A A (Reflexiva)
2. Si A B B A A = B (Antisimétrica)
3. Si A B B C A C (Transitiva)
Observaciones:
1. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
2. El número de subconjuntos que se pueden formar a partir de los elementos de un conjunto, está dado
por:
de subconjuntos = 2n
3. de subconjuntos propios = 2n – 1
4. de subconjuntos no vacíos = 2n – 1
5. de subconjuntos propios no vacíos = 2n – 2
Así, por ejemplo: Sea A = {1, 5, {6}}
# de subconjuntos = 23 = 8
# de subconjuntos propios = 23 – 1 = 8 – 1 = 7
# de subconjuntos no vacíos = 23 – 1 = 8 – 1 = 7
# de subconjuntos propios no vacíos = 23 – 2 = 8 – 2 = 6
Estos son:
A {1, 5} A
{1} A {1, {6}} A
{5} A {5, {6}} A
{{6}} A
{1, 5, {6}} A
Es posible calcular el número de subconjuntos unitarios, binarios, ternarios, etc., sin necesidad de
colocar uno a uno, para esto utilizaremos los números combinatorios, esto es:
# subconj unitarios =
n
1C = n
# subconj binarios =
n
2C
# subconj ternarios =
n
3C y así sucesivamente
donde las combinaciones son arreglos de “n” elementos tomados de “m” en “m” en el que el orden
no importa y se calcula como:
nm
n!
C
m!(n m)!
=
−
n m , n, m o
+
Así, por ejemplo: 52
5!
C
2!3!
=
5 4 3 2 1
=
2 1 3 2 1
52
5 4
C
2 1
=
52C 10=
Subconjuntos
unitarios
Subconjuntos
binarios
Subconjuntos
ternarios
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Propiedades:
1. noC 1=
2. n1C n=
3. nnC 1=
4. nn 1C n− =
5. n nm n mC C −= (complementario)
Método práctico para el cálculo de combinaciones
52
a partir del 5 tomar 2 factores consecutivos
C
a partir del 2 tomar 2 factores consecutivos
=
5
2
5 4
C
2 1
=
5
2C 10=
Ejemplo: Si el conjunto A = {2, {4}, {2,4}, 5, 6, 9}; n(A) = 6, entonces:
# subconj unitarios =
6
1C = 6
# subconj binarios =
6
2
6 5
C
2 1
=
= 15
# subconj ternarios =
6
3
6 5 4
C
3 2 1
=
= 20
Y así sucesivamente.
SUBCONJUNTOS PROPIOS
Un conjunto A es subconjunto propio de B si se verifican dos condiciones:
i) A B
ii) A B
es decir, todos los subconjuntos de A son subconjuntos propios de A, excepto el mismo A, y se calcula
como:
Nota: Un subconjunto es impropio si es un subconjunto de un conjunto dado y es igual a dicho conjunto
de subconj propios = 2n – 1
de subconj propios no vacíos = 2n – 2
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CONJUNTO POTENCIA
Denominado también conjunto de partes y es aquel conjunto cuyos elementos son todos los
subconjuntos que se pueden formar a partir de un conjunto dado, para determinar el número de
elementos del conjunto potencia, es equivalente a calcular el número de subconjuntos de un conjunto
dado, esto es:
Así, por ejemplo: Sea el conjunto A = {5},
los subconjuntos de A son: , {5}
entonces, n[P(A)] = 21 = 2
luego: P(A) = {, {5}}
Si B = {a, b}, los subconjuntos de B son , {a}, {b}, {a, b}
entonces, n[P(A)] = 22 = 4
luego: P(A) = { , {a}, {b}, {a, b} }
Propiedades:
➢ conjunto A, P(A) existe y es único
➢ X P(A) X A
➢ P(A)
➢ P(A)
➢ A P(A)
➢ A = B P(A) = P(B)
➢ Si A B P(A) P(B)
➢ Si A y B son disjuntos, entonces P(A) P(B) = {} (no son disjuntos)
➢ P(A) P(B) P(A B)
➢ P(A) P(B) = P(A B)
3. Relación de Igualdad:
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos, simbólicamente se tiene:
A = B A B B A
Si A = {2, 5} o también si A = {2, 5}
y B = {2, 5} y B = {5, 2}
son iguales son iguales
Por tanto, podemos afirmar que si los conjuntos:
A = {a, b} y
n[P(A)] = 2n
NOTA
El orden de los elementos
no altera la igualdad de
conjuntos
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B = {c, d} son iguales, entonces se verifica una y sólo una de las siguientes igualdades:
a = c b = d ó a = d b = c
es decir, pueden estar en el mismo orden o en orden cambiado.
Propiedades:
1. Todo conjunto es igual a sí mismo
A = A (Reflexiva)
2. Si A = B B = A (Simétrica)
3. Si A = B B = C A = C (Transitiva)
CONJUNTOS COMPARABLES
Dos conjuntos A y B son comparables si sólo uno de ellos está incluido en el otro, simbólicamente se
tiene:
A y B son comparables o bien A B o bien B A
En forma equivalente se dice que dos conjuntos A y B no son comparables si ninguno de ellos está
incluido en el otro, esto es:
A y B no son comparables A B B A
Ejemplo:
Si A = {2, 4, 6} y B = {4, 6}
Como B A A y B son comparables
NOTA: Si dos conjuntos A y B son iguales entonces no son comparables.
CONJUNTO PRODUCTO
Llamado también producto cartesiano y es aquel conjunto cuyos elementos son pares ordenados (a, b)
donde “a” es la primera componente y “b” es la segunda componente, esto es:
A×B = {(a, b)/ aA bB}
n(A×B) = n(A)×n(B)
Ejemplo:
Sean los conjuntos:
A = {2, 5}
B = {1, 3, 4}
A×B={(2,1), (2,3), (2,4), (5,1), (5,3), (5,4)}
NOTA
Se dice que dos conjuntos A y B no
son comparables si se verifica que:
A B B A
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B×A={(1,2), (1,5), (3,2), (3,5), (4,2), (4,5)}
Luego: n(A×B) = n(A)×n(B)
n(A×B) =2×3
n(A×B) = 6
Propiedades:
1. (a, b) (b, a)
2. A×B ≠ B×A, si A ≠ B
3. A×A = A2 (sólo notación)
4. n(A×B) = n(B×A)
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. UNIÓN ( )
La unión del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al conjunto A o pertenecen al conjunto B o pertenecen a ambos. Simbólicamente, se tiene:
A B = {x/xA xB}
Gráficamente
Observamos que la unión es todo y que si un conjunto está incluido en otro, entonces la unión es el más
grande de los dos, con esta idea podemos entender mejor las siguientes propiedades.
Propiedades:
1. A A = A (Idempotencia)
2. A B = B A (conmutativa)
3. (A B) C = A (B C) (asociativa)
4. A = A
5. A U = U
6. Si A B A B = B
7. A (A B)
8. B (A B)
A B
A B
A B
A B
A
B
A B
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2. INTERSECCIÓN ( )
La intersección del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los elementos
que pertenecen al conjunto A y pertenecen al conjunto B al mismo tiempo, simbólicamente se tiene:
A B = {x/xA xB}
Gráficamente
Propiedades:
1. A A = A (idempotencia)
2. A B = B A (conmutativa)
3. (A B) C = A (B C) (asociativa)
4. A =
5. A U = A
6. Si A B A B = A
7. Si A y B son disjuntos A B =
8. (A B) A
9. (A B) B
La unión respecto a la intersección
10. A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C) (Leyes Distributivas)
11. A (A B) = A
A (A B) = A (Leyes de absorción)
3. DIFERENCIA ENTRE CONJUNTOS (–)
La diferencia del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los elementos que
pertenecen al conjunto A pero no pertenecen al conjunto B, simbólicamente se tiene:
A – B = {x/xA xB}
Gráficamente
A B
A B =
A
B
A B
A B
A – B
A B
A – B
A
B
A – B =
A B
A B
NOTA
Se dice que dos conjuntos A y B son
disjuntos o ajenos si se verifica
que:
A B =
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Propiedades:
1. A – A =
2. A – B B – A
3. A – = A
4. – A =
5. A – U =
6. (A – B) A
7. A – (A – B) = A B
8. Si A B A – B =
9. Si A y B son disjuntos A – B = A
B – A = B
10. (A – B) A
11. (B – A) B
12. (A B) – C = (A – C) (B – C)
13. (A B) – C = (A – C) (B – C)
4. DIFERENCIA SIMÉTRICA ()
La diferencia simétrica del conjunto A con el conjunto B es otro conjunto formado por todos los
elementos que pertenecen a la unión de A con B pero no pertenecen a la intersección de A con B,
simbólicamente se tiene:
A B = {x/x(AB) x(AB)}
Es decir:
A B = (A B) – (A B) o también
A B = (A – B) (B – A)
Gráficamente
Propiedades:
1. A A = (idempotencia)
2. A B = B A (conmutativa)
3. (A B) C = A (B C) (asociativa)
4. A = A
A B
A B
A B
A B
A
B
A B
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5. A U = U – A = A'
6. A B = A = B
7. Si A B A B = B – A
8. Si A y B son disjuntos A B = A B
9. (A B) (B C) = (A B C) – (A B C)
5. COMPLEMENTO: A', AC, AA, C
El complemento del conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al
conjunto universal y que no pertenecen al conjunto A, es decir están fuera de A, simbólicamente se
tiene:
A' = {x/xU x A}
A' = U – A
Gráficamente.
Propiedades:
1. A' existe y es único
2. (A')' = A
3. ' = U
4. U ' =
5. A A' = U
6. A A' =
7. A – B = A B'
8. (A B)' = A' B'
9. (A B)' = A' B'
Nota: De acuerdo al número de elementos, se puede verificar que:
n(AUB) = n(A) + n(B) – n(AB)
n(AB) = n(A) + n(B) – n(AUB)
n(AUBUC) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AB) – n(AC) – n(BC) + n(ABC)
A
U
A’
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EJERCICIOS
1. El valor de verdad de las siguientes proposiciones es:
I. Si A B = , entonces A = B
II. Si A B A – B =
III. Si A = B A B
a) VVV b) VVF c) VFV d) FVV e) FFV
2. ¿Cuántas de las siguientes operaciones con conjuntos
son conmutativos?
I. Unión
II. Intersección
III. Diferencia
IV. Diferencia simétrica
V. Producto cartesiano
a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) Todas
3. Dado el conjunto:
1 4 2 1 14= + + A {x / x ; x }
Indicar los resultados verdaderos.
I. La suma de sus elementos es 25.
II. Tiene 31 subconjuntos propios.
III. Su mayor elemento es 6.
a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) I y III
4. Indicar cuántas de las siguientes proposiciones son falsas
I. A (A B) = A
II. A (A B) = A
III. (A ) C = A C
IV. A (B U) = (A U) (A B)
a) 0 b) 1 c) 3 d) 2 e) 4
5. Indique cuántas de las siguientes proposiciones son
verdaderas:
I. Todo conjunto tiene subconjuntos propios
II. Dos conjuntos diferentes entre sí, no siempre son
disjuntos
III. Si n(A) = 5, entonces P(A) tiene 31 subconjuntos
propios
IV. Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces P(A) y
P(B) son también disjuntos.
a) 1 b) 0 c) 2 d) 4 e) 3
6. Determinar por extensión el conjunto:
A = {x /x , x2 – 12x + 27 = 0}
a) {9, –3} b) {–3, –9} c) {9}
d) {3, 9} e) {–9, 3}
7. Determinar por extensión el conjunto:
B = {x /x , x2 + 12x – 28 = 0}
a) {14, –2} b) {2, –14} c) {2}
d) {14} e) {14, 2}
8. Hallar la suma de los elementos del siguiente conjunto:
B = {4x – 1/ x –2 x 3}
a) 20 b) 13 c) 21 d) 18 e) 22
9. Sea:
C = { (3x – 1) / x –3 < 4x + 9 < 29}
Calcular la suma de los elementos de C.
a) 26 b) 15 c) 19 d) 25 e) 14
10. Determinar el cardinal del conjunto D
Si: D = {x2 + 1/ x, x es par –2x<16}
a) 8 b) 10 c) 7 d) 6 e) 9
11. Determinar la suma de elementos del conjunto B
Si: B = {
2 36
6
−
+
x
x
/ x es impar; 5 < x < 15}
a) 40 b) 18 c) 25 d) 16 e) 4
12. Determinar la suma de los elementos del conjunto
A = {x / 5x + 1 < 3x + 11 < 4x + 10}
a) 5 b) 3 c) 8 d) 6 e) 9
13. ¿Cuántos elementos tiene el siguiente conjunto?
E = {(2x – 5) / 3 < x < 6}
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 8
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17 CEPRU ORDINARIO 2022-1
14. Dados los conjuntos:
A = { x / –12 < x + 6 < 20}
B = { x / x 4 < x2 < 36}
¿Cuántos elementos tiene AxB?
a) 155 b) 186 c) 31 d) 62 e) 93
15. Si A = {
7x 8
3
++ / 45 < 9x2 + 9 < 90}
Calcular la suma de los elementos de A.
a) 17 b) 9 c) 8 d) 21 e) 7
16. Si A = {x /
3x 2
2 6
5
+
}
B = { x /
x 1
2
+
x < 20 }
Calcular: n(A) + n(B)
a) 12 b) 9 c) 8 d) 10 e) 11
17. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son falsas?
n() = 0 n({}) = 1 = {}
{} P(B) {0} = {}
a) 5 b) 6 c) 3 d) 2 e) 4
18. Si: n[ P(A U B) ] = 256 n(A) – n(B) = 1
n(A B) = 3 Hallar: n(B)
a) 5 b) 3 c) 8 d) 6 e) 7
19. Dado tres conjuntos A, B y C se tiene que n(A – B) = 4;
n(AUB) = 11, además:A B = {3, 4, 5, 6} y A – C = {5}
Hallar n(AB)
a) 5 b) 6 c) 12 d) 8 e) 7
20. Sean A, B y C conjuntos, donde:
n(A) = 45 n(B) = 80 n[P(C)] = 256
n[P(A B C)] = 32 n[(A B) – C] = 20
Hallar: n(AB)
a) 45 b) 68 c) 25 d) 81 e) 75
21. Si A = {4, 5, {4, 3}, 1, {{2, 3, 4}, 5}, {7} }
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
* {4, 3} A * {4, 3} A * 4, 5 A
* {2, 3, 4} A * {4, 5} A * {2} A
* {7} A * {4, {4,3}} A * A
a) 8 b) 6 c) 5 d) 7 e) 4
22. Si B = {1, 2, A} donde A = {1, 3}
¿Cuántas proposiciones son verdaderas?
* 3 B * A B * A B
* B * A {1, 3} * A
* {1, A} B * A P(A) * P(B)
a) 8 b) 6 c) 5 d) 7 e) 4
23. Dados los conjuntos A, B, C y D, tales que:
n[(BC) – D] 0
n[A x (BCD)] = 70
5 x n(BC) = n(D)
Calcular n[A x (BC)]
a) 14 b) 30 c) 28 d) 40 e) 35
24. Para dos conjuntos A y B se cumple que: n(AB) = 6
además:
n[P(A)]+ n[P(B)] = 40
Determinar: n[P(AB)]
a) 4 b) 8 c) 16 d) 2 e) 32
25. Sean A, B, C U, tales que:
n(U) = 93 n(C) = 46
n[(B C) – A] = 7 n[(A B C)’] = 0
n(A) = n(B) = 41 n[(A B) – C] = 9
n[A – (B C)] = 18 Hallar n(ABC)
a) 7 b) 3 c) 9 d) 5 e) 1
26. Dado el conjunto:
C = {x/x es una letra de la palabra “princesita”} ¿Cuántos
subconjuntos propios no vacíos tiene C?
a) 254 b) 1022 c) 1023 d) 511 e) 510
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27. Si los conjuntos:
A = {2a + 12 , 5a} B = {22, 3a + 2b}
Son singletones. Hallar el valor de: a + b
a) 2 b) 10 c) 8 d) 6 e) 9
28. Dado el conjunto singular A = {3a – 3b + 2; a + b; 14}.
Determinar el número de subconjuntos propios de C, si:
C = { a, 2a, b, 2b – 1}
a) 15 b) 7 c) 3 d) 16 e) 8
29. Hallar: m + n , sabiendo que los conjuntos A y B son
iguales.
A = {n2 + 1, –6} B = {2 – m, 10}
Además, m, n
a) 12 b) 11 c) 7 d) 10 e) 8
30. Dados los siguientes conjuntos iguales:
A = {a + 3, a + 1} B = {7 – a, 9 – a}
C = {6 , b + 2} D = {c + 7, 6 – b} Calcular: a + b + c
a) 8 b) 7 c) 9 d) 3 e) 4
31. Si el conjunto A tiene 63 subconjuntos propios, ¿cuántos
de estos subconjuntos son binarios?
a) 15 b) 10 c) 8 d) 6 e) 9
32. Si un conjunto tiene 28 subconjuntos binarios. ¿Cuántos
subconjuntos ternarios tiene?
a) 52 b) 50 c) 64 d) 56 e) 32
33. Determinar el número de subconjuntos binarios del
conjunto A, si A = {(x2 – 1) / 0 < x 4}
a) 120 b) 150 c) 64 d) 128 e) 32
34. Consideremos dos conjuntos comparables cuyos
cardinales son números que se diferencian en 4, además
la diferencia de los cardinales de sus conjuntos potencia
es 480. Halle el número de elementos que posee la
intersección.
a) 5 b) 2 c) 4 d) 32 e) 16
35. Se desea preparar un jugo surtido con 6 frutas
diferentes, ¿cuántos jugos diferentes se puede
preparar?
a) 64 b) 63 c) 57 d) 66 e) 6
36. Una señora sale a pasear todos los días con dos o más
de sus perritos. Con mucho cuidado, procuró llevar cada
día a un grupo diferente. Si en total tiene 10 perritos. ¿Al
cabo de cuantos días tendrá que llevar necesariamente
a un grupo repetido?
a) 255 b) 1014 c) 1023 d) 1013 e) 257
37. Karol compra 9 baldes de pintura de diferentes colores.
Los mezcla en igual proporción. ¿Cuántos nuevos
matices se puede obtener?
a) 512 b) 503 c) 511 d) 502 e) 501
38. En un salón de clases de 45 alumnos, 22 están
matriculados en física y 28 en química, ¿Cuántos
alumnos están matriculados en los dos cursos?
a) 4 b) 10 c) 2 d) 12 e) 5
39. En una asamblea de 120 integrantes de un club, 70 son
artistas, 52 son deportistas y 6 no son artistas ni
deportistas. ¿Cuántos son artistas y deportistas?
a) 8 b) 6 c) 15 d) 12 e) 3
40. De un grupo de 40 personas se sabe que: 15 de ellos no
estudian ni trabajan, 10 personas estudian y 3 personas
estudian y trabajan. ¿Cuántos de ellos realizan una sola
actividad?
a) 23 b) 22 c) 25 d) 21 e) 24
41. En un congreso internacional de Estudiantes el 60% de
los participantes hablan inglés y el 30% alemán. Si el
20% de los que hablan inglés hablan también alemán, y
son 120 los que hablan sólo inglés; entonces el número
de estudiantes que no hablan inglés ni alemán, es:
a) 55 b) 50 c) 45 d) 60 e) 65
42. Si de 90 alumnos del centro de idiomas de la UNSAAC,
53 no estudian quechua, 58 no estudian inglés y 38 no
estudian quechua ni inglés, entonces, el número de
alumnos que estudian sólo quechua o sólo inglés, es:
a) 25 b) 20 c) 15 d) 35 e) 38
43. En una reunión de 80 científicos, se notó que el número
de hombres que usaban anteojos era igual que el
número de mujeres que no usaban anteojos, además los
hombres que no usaban anteojos era el séxtuplo del
número de mujeres que si usaban. Hallar cuantas
mujeres había, si el número de personas que usaban
anteojos era la tercera parte de los que no usaban
anteojos.
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19 CEPRU ORDINARIO 2022-1
a) 40 b) 25 c) 20 d) 15 e) 10
44. De un grupo de 120 personas se observa que:
➢ 4 docenas de personas son varones del extranjero
➢ 3 docenas de mujeres son peruanas
➢ El número de mujeres extranjeras excede en 24 al
número de varones peruanos.
¿Cuántos varones hay en dicha reunión?
a) 54 b) 29 c) 55 d) 60 e) 45
45. De 120 estudiantes, 60 aprobaron Aritmética, 80
aprobaron Competencia Lingüística, 90 aprobaron
Historia y 40 aprobaron los 3 cursos. ¿Cuántos
aprobaron exactamente dos cursos, si todos aprobaron
por lo menos un curso?
a) 18 b) 20 c) 30 d) 28 e) 25
46. En una ciudad el 60% de la población va al cine y el
35% va al teatro. Si el 20% de la población va al cine y
también al teatro. ¿Qué porcentaje no va al teatro ni al
cine?
a) 15% b) 16% c) 25% d) 28% e) 30%
47. El 65% de una población no prefiere practicar fútbol, el
50% no prefiere practicar natación, si el 55% prefiere
practicar fútbol o natación pero no los dos deportes a la
vez. ¿Qué porcentaje prefieren dos deportes a la vez?
a) 15% b) 16% c) 21% d) 18% e) 10%
48. En un club deportivo el 65% del total juega Tenis, 140
juegan Frontón. Si el 20% no sabe jugar ni Tenis ni
Frontón y otro 20% juega los dos deportes. ¿Cuántos
juegan Tenis y Frontón?
a) 50 b) 20 c) 80 d) 60 e) 30
49. En una clínica trabajan 60 personas, de las cuales 30
son peruanos y 15 son colombianos, hay 20 médicos y
de éstos 8 son peruanos y 5 son colombianos ¿Cuántos
de los que no son peruanos, no eran médicos ni
colombianos?
a) 8 b) 12 c) 15 d) 10 e) 11
50. En una oficina, 20 empleados conversan en voz baja
para no despertar a los 10 que duermen, 18 están
echados, 3 de ellos duermen y 5 conversan en voz baja.
Si en total hay 50 empleados. ¿Cuántos se pueden decir
que quizás estén trabajando?
a) 8 b) 12 c) 15 d) 10 e) 11
51. De un grupo de 84 estudiantes se sabe que 57 estudian
inglés, 23 estudian alemán, 36 estudian francés, 4
estudian los 3 idiomas, 11 estudian sóloalemán y todos
estudian por lo menos un idioma. ¿Cuántos estudian
sólo uno de los idiomas o estudian los tres idiomas?
a) 54 b) 52 c) 56 d) 60 e) 62
52. En un determinado instante de una fiesta, se notó que el
número de hombres que bailaban eran el doble del
número de mujeres que no bailaban; además el número
de mujeres era la mitad del número de hombres. Hallar
cuántos hombres no bailaban en dicho instante, si el total
de asistentes fue de 90
a) 24 b) 32 c) 40 d) 36 e) 35
53. Se hizo una encuesta a 88 personas sobre preferencias
respecto a las revistas A y B, se observa que: el número
de los que prefieren las dos revistas a la vez, es la
tercera parte de los que prefieren A, la cuarta parte de
los que prefieren B y la quinta parte de los que no
prefieren ninguna de las dos revistas. ¿Cuántos
prefieren la revista A?
a) 28 b) 24 c) 30 d) 16 e) 36
54. De 100 alumnos que han rendido 3 exámenes, se
observa que 30 aprobaron el primero, 39 el segundo y
48 el tercero; 15 no aprobaron ninguno, 15 aprobaron los
dos primeros, 11 aprobaron el segundo y el tercero y 12
aprobaron el primero y el tercero. ¿Cuántos aprobaron
los tres cursos?
a) 10 b) 9 c) 6 d) 8 e) 5
55. En un cesto hay manzanas, peras y naranjas. Un grupo
de 30 niños comieron las frutas de la siguiente manera:
14 niños comieron manzanas, 20 niños comieron peras
y 17 niños comieron naranjas; 7 niños comieron
manzanas y peras; 9 niños comieron peras y naranjas y
10 niños comieron naranjas y manzanas. ¿Cuántos
niños comieron los tres tipos de frutas?
a) 4 b) 2 c) 10 d) 3 e) 5
56. De 43 personas que practican natación o tenis, se sabe
que el número de hombres que practican sólo tenis es
menor en 11 que el número de personas que practican
ambos deportes, y es también igual a la tercera parte del
número de mujeres que practican sólo natación. Calcule
la máxima cantidad de hombres que practican sólo un
deporte.
a) 29 b) 26 c) 28 d) 31 e) 35
57. A un grupo de 80 personas se hizo una encuesta sobre
sus preferencias entre los helados de fresa, lúcuma y
vainilla, se observa que 40 prefieren fresa, 50 lúcuma y
60 vainilla. ¿Cuántas personas prefieren tres sabores, si
la cantidad de personas que prefieren un solo sabor es
máxima?
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a) 51 b) 29 c) 25 d) 60 e) 35
58. En un edificio donde hay 32 personas, se sabe que 16
compran en el mercado, 15 en la bodega y 18 en el
supermercado, 5 en los dos últimos, 6 en los dos
primeros y 7 en el primero y último. ¿Cuántas personas
compran sólo en el mercado?
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 5
59. En un colegio de los 60 alumnos, 40 son hombres, a 30
alumnos la biblioteca les presta libros de Aritmética a
cada uno y 12 mujeres tuvieron que comprar dicho libro.
¿Cuántos hombres compran el libro si se supone que
todos los alumnos tienen el libro?
a) 17 b) 18 c) 19 d) 20 e) 21
60. Una encuesta a 500 alumnos del CEPRU reveló lo
siguiente: 329 prefieren Matemática; 186 Física; 295
Química; 83 Matemática y física; 63 Física y Química;
217 Matemática y Química. Si a 3 alumnos no les gusta
ninguna de las tres asignaturas indicadas. ¿Cuántos
prefieren a lo más dos asignaturas?
a) 50 b) 53 c) 450 d) 447 e) 438
61. De un grupo de personas se observa que, los que
practican Fútbol también practican Básquet y los que no
practican Fútbol son 220 además los que no practican
Básquet ni Vóley son 129 y los que practican Básquet o
Vóley pero no Fútbol, son 7 veces los que practican
Fútbol ¿Cuántas personas conforman el grupo?
a) 236 b) 224 c) 229 d) 230 e) 233
62. De un grupo de 590 alumnos, se observó que 200 no
postularon a la UNSAAC, 300 no postularon a la UNSA
y 50 no postularon a ninguna de estas dos. ¿Cuántos
postularon a ambas universidades?
a) 100 b) 120 c) 125 d) 130 e) 140
63. Cien espectadores escuchan a tres cantantes, 40
aplauden al primero, 39 aplauden al segundo y 48 al
tercero, 10 aplauden a los 3, 9 aplauden solo a los dos
primeros, 19 aplauden solo al tercero, 21 espectadores
no aplauden. ¿Cuántas personas aplaudieron por lo
menos a dos cantantes?
a) 19 b) 21 c) 38 d) 42 e) 27
64. En el cumpleaños de Jazmín hay 60 invitados y se
observa que la cantidad de invitados que tienen celular,
pero no reloj son la quinta parte de los que tienen celular
y reloj y la cuarta parte de los que tienen reloj, pero no
celular. Si 30 invitados no tienen celular ¿Cuántas
personas no tienen celular ni reloj?
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
65. En el mes de agosto un estudiante dejó de estudiar
Aritmética durante 13 días, 12 días estudio Algebra y 13
días estudió sólo Aritmética. Durante cuántos días
estudió los otros cursos
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
66. En una reunión donde hay 100 personas, se sabe que
40 no tienen hijos, 60 son hombres, 10 mujeres están
casadas, 25 personas casadas tienen hijos y hay 5
madres solteras. ¿Cuántos hombres son padres
solteros?
a) 20 b) 41 c) 30 d) 26 e) 25
67. En un aula 80 alumnos han rendido 3 exámenes de ellos
42 aprobaron el primero, 38 el segundo, 49 el tercero, 18
los tres exámenes; si ninguno de ellos desaprobó los tres
cursos. ¿Cuántos alumnos aprobaron por lo menos 2
exámenes?
a) 28 b) 29 c) 30 d) 31 e) 32
68. De un grupo de 100 personas de la tercera edad se tiene
la siguiente información:
➢ 30 jugaron fútbol alguna vez
➢ 20 nunca jugaron tenis
➢ 5 personas nunca jugaron futbol ni tenis
¿De las personas que nunca jugaron fútbol, cuántas
jugaron tenis alguna vez?
a) 60 b) 41 c) 73 d) 36 e) 65
69. Anghely recordaba que en el mes de marzo que es su
cumpleaños, 17 días comió chocolates, 25 días comió
gomitas y el 31 de marzo no comió dulces. ¿Cuántos
días comió gomitas y chocolates y qué día es sus
cumpleaños?
a) 5 días, 4 de marzo
b) 10 días, 25 de marzo
c) 12 días, 26 de marzo
d) 8 días, 31 de marzo
e) 11 días, 17 de marzo
70. A un matrimonio asistieron 150 personas, el número de
hombres es el doble del número de mujeres. De los
hombres, 23 no usan reloj, pero si tienen terno y 42
tienen reloj. De las mujeres, las que no usan minifalda
son tantas como los hombres que no usan terno ni reloj
y 8 tienen mini y reloj. ¿Cuántas mujeres usan minifalda,
pero no reloj?
a) 8 b) 6 c) 5 d) 9 e) 7
SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES
Se llama sistema de los números naturales al conjunto:
= {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; ..... }
el cual está provisto de dos operaciones binarias llamadas ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN y además está
dotado de dos relaciones, la relación de igualdad y la relación menor que.
ADICIÓN
sumasumandos
A + B = S
PROPIEDADES
a) Propiedad de clausura o cerradura. La suma de dos números naturales es otro número natural.
a,b se cumple: a b c ; c
b) Propiedad asociativa. La forma de agrupar a los sumandos no altera la suma.
a ; b ; c se cumple: a (b c) (a b) c
c) Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo. (Elemento Identidad aditiva) Viene a ser el
“0”, porque al sumarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo número natural.
! 0 tal que: a a a0 0 , a
d) Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo. No se cumple.
e) Propiedad conmutativa. El orden de los sumandos no altera la suma.
a,b se cumple: a b b a
f) Propiedad de monotonía. Si en ambos miembros de una igualdadse suma el mismo número natural,
entonces el resultado será otra igualdad.
a ; b ; c Si a b a c b c
g) Propiedad cancelativa. Si en ambos miembros de una igualdad existe un mismo sumando, podemos
cancelarlo y resultará otra igualdad.
a ; b ; c Si a c b c a b
MULTIPLICACIÓN
PROPIEDADES
a) Propiedad de clausura: El producto de dos números naturales es otro número natural
a,b se cumple a b c , c
b) Propiedad Asociativa: La forma de agrupar a los factores no altera el producto.
a , b , c se cumple:
a (b c) (a b) c
c) Propiedad de la existencia del elemento Neutro Multiplicativo: (Elemento identidad multiplicativo)
Viene a ser el “1”, porque al multiplicarlo con cualquier número natural el resultado será el mismo
número natural.
!1 tal que: a a a1 1 , a
d) Propiedad de la existencia del elemento inverso multiplicativo. No se cumple.
e) Propiedad conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. a,b se cumple:
a b b a
f) Propiedad distributiva: La operación de multiplicación se distribuye respecto a la adición.
a , b , c se cumple:
a×(b+c)= a×b + a×c
(b+c)×a b×a + c×a
g) Propiedad del elemento absorbente: Viene a ser el cero y es tal que: a se cumple:
a×0=0×a=0
RELACIÓN DE IGUALDAD
Un número natural se puede representar de varias maneras diferentes, por ejemplo:
12 = 5+7 = 4 x 3 = 2 +10 = 6 x 2 = .....
PROPIEDADES
a) a,b a b ó a b Propiedad de dicotomía.
b) a a , a Propiedad reflexiva.
A x B = P
FACTORES PRODUCTO
A: multiplicando
B: multiplicador
P: producto
c) Si a b b a Propiedad simétrica.
d) Si a=b b=c a=c Propiedad transitiva.
e) Si a=b a×c=b×c , c 0
f) f) a b = a x b
RELACIÓN MENOR QUE
Sean a,b ,
a b n , n /a n b0
Determina que el sistema de los números naturales sea ordenado
PROPIEDADES
a) a b b a
b) 2) a b a b o´ a b
c) a b o´ a b o´ a b Propiedad de tricotomía
d) Si a b b c a c Propiedad transitiva
e) Si a b a c b c si c o
f) Si a c b c a b
g) Si a c b c a b si c 0
SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Se llama sistema de los números enteros al conjunto:
= {….;-4;-3;-2;-1;0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; … }
0
el cual está provisto de tres operaciones bien definidas llamadas ADICIÓN, MULTIPLICACIÓN Y
SUSTRACCIÓN; además está dotado de dos relaciones: la relación de igualdad y la relación menor que.
ADICIÓN
sumasumandos
A + B = S
Esta operación cumple todas las propiedades mencionadas en la adición de los números naturales, al que es
necesario agregarle la Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo:
Para cada a , ! a tal que:
a ( a) a a 0
SUSTRACCIÓN
Se verifica que:
MULTIPLICACIÓN
Esta operación cumplen todas las propiedades mencionadas en la multiplicación de los números naturales.
RELACIÓN DE ORDEN MENOR QUE
Sean a,b a b c tal que a c b
a b si b a
Esta relación establece que el sistema de los números enteros es ordenado y además, cumple con las
propiedades dadas para la relación menor definida en el sistema de los números naturales.
A x B = P
FACTORES PRODUCTO
A: multiplicando
B: multiplicador
P: producto
M: Minuendo S: Sustraendo
D: Diferencia
M-S=D
M=S+D
Si M-S=D M-D=S
2M=M+S+D
Ejemplos:
2<5 , ya que existe el entero positivo 3, tal que 2+3=5
8 no es menor que 6, ya que no existe un entero positivo de manera que sumado a 8 se obtenga 6
6 no es menor que 6, ya que no existe un número positivo que sumado a 6 resulte 6
PROPIEDADES
1) Si a b a c b c si c o
Si a b a c b c si c o
2) Si a c b c a b
Si a c b c a b si c 0
Si a c b c a b si c 0
3)
a b o a o b o a o b o
4)
a b o a o b o a o b o
5)
a b a b
DIVISIÓN ENTERA
Si se tiene que:
A) División Exacta ( r = 0 )
B) División Inexacta ( r 0 )
División por Defecto.
(“r” es el residuo por defecto)
Ejemplo:
61 = 8 x 7 + 5 (5 es el residuo por defecto)
División por Exceso.
(“ re“es el resto por exceso)
Ejemplo:
61 = 8 x 8 – 3 (3 es el residuo por exceso) exceso
PROPIEDADES
A) r + re = d
B) 0 < r < d Luego, para una división por defecto se cumple:
residuo mínimo es: 1
residuo máximo es: d - 1
C) sí: se cumple:
D) eq q 1 eq : es el cociente por exceso
q : es el cociente por defecto
Dados dos números enteros, sumándolos se obtiene un resultado entero que es la suma, restándolos se halla
un resultado que es la diferencia y multiplicándolos se obtiene un resultado que es el producto. En cambio,
cuando se los divide (el mayor entre el menor) se obtiene dos resultados enteros que son el cociente y el
D
d
r
q
D = d . q + r
D
d
re
q +1
D = d . (q+1) – re
D: dividendo
d: divisor
q: cociente
r: residuo
D
d
r
q
D
d
0
q
D = d x q ó
D
q
d
=
61 8
5 7
61 8
64 8
3
K
M L
+
+ +
D d
r q
K
M L
d
residuo, todos los cuales están relacionados por una expresión llamado algoritmo de la división y es este que
lo caracteriza, a saber
D = d . q + r ó D = d . (q+1) – re
Todo ello hace que sea interesante plantear diversas situaciones matemáticas. Es de notar que el citado
algoritmo es la aplicación de tres propiedades fundamentales, la propiedad de cerradura de la adición,
sustracción y multiplicación. No implica este hecho que la división esté definida en los enteros.
COMFORMACIÓN DE NÚMEROS
. a5b3c8 numerodeseiscifrasdonde :a,b,c sondigitos
cona "a" es la cifra significativa.
1
0
. abc abc abc abc2
. (a )(b )(c ) abc3 2 5 8 258
. a5b3c8 a0b0c0
. aaaa a( )
. ( a)( b)( c) abc
4 50308
5 1111
6 2 2 2 2
7.- En todo número de dos cifras: ab donde a>b ; se cumple:
si ab ba xy entonces x + y = 9
8.- En todo número de tres cifras: abc , donde a>c; se cumple: si abc cba xyz entonces y = 9 ; x +
z = 9
9.- En todo número de cuatro cifras: abcd ; donde a > d; se cumple:
abcd dcba pqrs donde: p + q + r + s = 18
7.-COMPLEMENTO ARITMÉTICO (CA)
El complemento aritmético de un número natural es otro número natural, que representa la cantidad que le
falta a aquel para ser igual a la unidad del orden inmediato superior de dicho número.
Para un número de una cifra:
CA(a) = 10 – a
Para un número de dos cifras:
CA( ab ) = 100 – ab = ( a)( b)9 10
Para un número de “n” cifras:
nCA(ab ... dc) ab ... dc
(9-a)(9-b) ... (9-d)(10-c)
10
PROBLEMAS PROPUESTOS.
1. La diferencia de 2 números es 530 si al sustraendo le restamos 42 y al minuendo le aumentamos 75. ¿Cuál
es la nueva diferencia?
a) 647 . b) 547 c) 117
d) 430 e) 466
2. En una operación de sustracción, la suma del minuendo con el sustraendo y diferencia es igual a 838.
Calcular el minuendo.
a) 414 b) 419 . c) 369
d) 360 e) 838
3. Si abc 3mn cba= + , hallar el máximo valor de a + b + c + m + n
a) 38 b) 39 c) 32
d) 36 e) 35
4. La suma de dos números es 472, su cociente es 5 y el resto 40. ¿Cuál es el menor?
a) 360 b) 72. c) 400
d) 318 e) 98
5. La suma de los términos de unaresta es 15684 y si restamos la diferencia del sustraendo nos da 4788.
Hallar la suma de las cifras de la diferencia.
a) 11 b) 13 c) 15.
d) 17 e) 19
6. La diferencia de dos números de 3 cifras cada uno es 819. Si se invierte el orden de las cifras del sustraendo,
la diferencia es ahora 126.Hallar el minuendo si las cifras del minuendo y el sustraendo suman 33.
a) 872 b) 891 c) 927
d) 957 e) 982
7. Hallar un numeral de 3 cifras significativas que aumenta en 270 cuando se invierte el orden de sus dos
primeras cifras, y que disminuye en xy5 cuando se invierte las cifras de unidades y centenas.
a) 893 b) 762 c) 851
d) 782 e) 691.
8. Si a dos números enteros se les disminuye y aumenta 6 unidades respectivamente, el producto de ellos
aumenta en 204 unidades. ¿Cuál es la diferencia de los números?
a) 20 b) 30 c) 40.
d) 41 e) 45
9. Si la suma de los productos parciales de abc por 31 es 1032, entonces el valor de a + b + c es:
a) 15 b) 18 c) 22
d) 10 e) 8
10. Al multiplicar un número de tres cifras por 999 se obtiene un número cuyas últimas cifras son 327. calcule la
suma de cifras del número.
a) 15 b) 16 c) 17
d) 20 e) 14
11. Al multiplicar dos números uno de los cuales es mayor que el otro en 10 unidades, un postulante cometió un
error disminuyendo en 4 la cifra de las decenas en el producto. Al dividir el producto obtenido por el menor de
los factores (para comprobar el resultado) obtuvo en el cociente 39 y en el resto 22. Hallar el producto
correcto.
a) 1151 b) 1191 c) 1231
d) 1271 e) 1311
12. La diferencia de 2 números es 832; su cociente es 17, y el residuo el más grande posible.
Encontrar la suma de los números.
a) 881 b) 993 c) 934
d) 890 e) 930
13. La suma de los 4 términos de una división es 425, si se multiplica por 5 el dividendo y el divisor y se vuelve a
resolver la operación, la suma de los términos sería 2073.
Hallar el cociente.
a) 13. b) 12 c) 11
d) 14 e) 17
14. Dos números naturales son tales que si se les resta 2 y 1 respectivamente. Su producto es igual a 15. Hallar
la suma de los números.
a) 10 b) 11 c) 7
d) 13 e) 8
15. Si la suma de los complementos aritméticos de los xy , yx es 79;
halle x + y.
a) 10 b) 9 c) 12
d) 11 e) 13
16. La suma de los términos de una multiplicación es 500. Si se cuadriplica al multiplicando, la suma de los
nuevos términos de la multiplicación es 1400. Entonces, el valor del multiplicador es:
a) 250 b) 300 c) 150
d) 200 e) 100
17. El cociente de una división entera es 11 y el resto es 39. Hallar el dividendo si es menor que 500.Dar como
respuesta el número de soluciones posibles.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
18. Si la suma de los complementos aritméticos de abc , bca y cab es 1668, entonces el complemento
aritmético de a + b +c, es:
a) 88 b) 73 c) 78
d) 83 e) 95
19. Al dividir un número entre 15, el residuo es 12. ¿Cuál será el residuo si se le divide entre 5?
a) 3 b) 1 c) 4
d) 2. e) 0
20. Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 es 6. Si los cocientes se diferencian en 9,
¿qué resto dará al dividir el número por 7?
a) 6. b) 3 c) 1
d) 5 e) 2
21. Encontrar un número entero tal que al dividirlo entre 82 deje como resto por defecto el duplo del cociente por
exceso y como resto por exceso, el triple del cociente por defecto.
a) 1256 b) 1346 c) 1420
d) 1446 e) 1344
22. En una división entera el cociente por defecto es 9, los residuos por defecto y por exceso son iguales y la
suma del dividendo y divisor es 210.
Hallar el dividendo.
a) 190 b) 150 c) 180
d) 170 e) 160
23. Si el complemento aritmético de ab7 es igual a nnn ab7+ , entonces el valor de 2a + b es:
a) 7 b) 6 c) 8.
d) 9 e) 10
24. En una división entera inexacta por defecto, el cociente es 32 y el residuo es 7. Si al dividendo se le aumenta
200 unidades y se efectúa nuevamente la división, el cociente y el residuo aumentan 3 y 2 unidades
respectivamente, ¿en cuántas unidades es mayor el dividendo que el divisor, en la división inicial?
a) 3207 b) 3702 c) 2053
d) 2253 e) 2434
25. Determine la suma de las cifras del mayor número entero de tres cifras que al ser dividido por otro número de
dos cifras se obtiene los restos por defecto y por exceso que son dos números enteros cuyo producto es 377.
a) 18 b) 23 c) 19
d) 25 e) 26
26. Si ( ) ( )CA ab4 cc a 5 00− = + , entonces el valor de a + b + c es:
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 9
27. Si el complemento aritmético de un número de tres cifras se divide entre el mismo número, se obtiene un
residuo máximo; entonces el complemento aritmético de la suma de las cifras del número, es:
a) 5 b) 2. c) 3
d) 4 e) 1
28. Si el complemento aritmético de ( )a7b b 2+ es igual a ( )d 1 bcd− , entonces el valor de a b c d+ + + ,es
a) 18 b) 17 c) 13
d) 15 d) 19.
29. Si:
abcd 7 243
dbca 6 494
=
=
El complemento aritmético de las sumas de las cifras del producto abdc 8 es:
a) 25 b) 35 c) 65
d) 75. e) 85
30. Si él CA xyzw bb y 1 w 1 00( ) ( )( )= + − + y x w 14+ = , el valor de x y z b w+ + + + , es
a) 21 b) 25 c) 18
d) 37 e) 32
31. Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcule la
suma de las cifras del número A.
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
32. Si en lugar de multiplicar un número N por ab se multiplica por ba , este producto más N unidades es el
doble del producto original. Hallar : (a + b)
a) 8 b) 9 c) 10.
d) 12 e) 14
33. Se divide 86x43x entre b0b . Se obtiene 4b84 de cociente y como residuo 67.
Hallar el valor de: (x - b)
a) 6 b) 1 c) 2
d) 3. e) 4
34. El dividendo de una división termina en 305 y el cociente es 526. Si el residuo es máximo, ¿Cuál es la
suma de las cifras del divisor si tiene 3 cifras?
a) 15 b) 18 c) 20
d) 21 e) 19
35. Hallar el valor de (c + d) si al dividir 5cd entre ab resulta como cociente ba y bb como residuo.
a) 9 b) 10 c) 11
d) 12 e) 13
36. Si a la suma de 35 números impares consecutivos se le resta 42, entonces la cifra de la unidad del
resultado final es:
a) 1 b) 3 c) 5
d) 7 e) 9
37. Un número capicúa de cuatro dígitos se divide entre dos números consecutivos. En ambos casos el
cociente es 45. Si los residuos obtenidos suman 73, determine la suma de los dígitos del menor número
capicúa que cumple con las condiciones establecidas.
a) 12 b) 14 c) 16
d) 18 e) 20
38. Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcule la
suma de las cifras del número A.
a) 18 b) 19 c) 20
d) 21 e) 22
39. La suma de un número N de tres cifras, con el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 1392;
además la diferencia de sus respectivos complementos aritméticos es un número de tres cifras cuya cifra
de las unidades es el doble de las cifras de las centenas. Determine la suma de las cifras de N.
a) 21 b) 6 c) 7
d) 8 e) 14
40. Al sumar los complementos aritméticos de todos los números de tres cifras diferentes que se pueden
formar con las cifras: m, n y p, tal que m > n > p, se obtiene 2670. Determine el valor de: m + n + p
a) 12 b) 13 c) 15
d) 14 e) 10
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1
3.- SISTEMA DE LOS NÚMEROS RACIONALES
Llamaremos sistema de los números racionales al conjunto
a
a b b 0
b
, provisto
de dosoperaciones binarias adición (+) y multiplicación (.) (leyes de composición interna) y las
relaciones de orden e igualdad, es decir:
1era LEY DE COMPOSICION INTERNA
:
(a,b) (a,b) a b
Además, debe cumplirse los axiomas siguientes:
clausura o cerradura.
a,b entonces a b
a) Propiedad asociativa.
a (b c) (a b) c , a,b,c
b) Propiedad conmutativa.
a b b a , a,b
c) Propiedad de la existencia del elemento neutro aditivo.
0 0 0a , a a a
d) Propiedad de la existencia del elemento inverso aditivo.
0a , a a ( a) ( a) a
OBSERVACIÓN 1
➢ El elemento neutro aditivo es único
➢ El elemento inverso aditivo es único
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2
. 2da LEY DE COMPOSICION INTERNA
:
(a,b) .(a,b) a.b
Además, debe cumplirse los axiomas siguientes:
a) CLAUSURA O CERRADURA.
a,b entonces a.b
b) PROPIEDAD ASOCIATIVA.
a.(b.c) (a.b).c , a,b,c
c) PROPIEDAD CONMUTATIVA.
a.b b.a , a,b
d) PROPIEDAD DE LA EXISTENCIA DEL ELEMENTO NEUTRO
MULTIPLICATIVO.
1 1 1a , a. .a a
e) PROPIEDAD DE LA EXISTENCIA DEL ELEMENTO INVERSO
MULTIPLICATIVO.
1 1 10 1a , a a.(a ) (a ).a
f) PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA
ADICIÓN
a,b,c
a.(b c) a.b a.c distributiva por izquierda
(b c).a b.a c.a distributiva por derecha
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3
g) PROPIEDAD DEL ELEMENTO ABSORBENTE
a.0 0.a 0 , a
OBSERVACIÓN 2
➢ El elemento neutro multiplicativo es único
➢ El elemento inverso multiplicativo es único
OBSERVACIÓN 3
la operación binaria de la sustracción (ley de composición interna) está totalmente definida en
la operación binaria de la división (ley de composición interna) está totalmente definida en 0
RELACIÓN DE IGUALDAD
PROPIEDADES
a) a,b a b ó a b Propiedad de dicotomía.
b) a , a a Propiedad reflexiva.
c) a,b , sí a b b a Propiedad simétrica.
d) a,b,c , sí a= b b=c a=c Propiedad transitiva.
e) a=b a×c=b×c , paratodoc a,c ,
RELACIÓN MENOR QUE
PROPIEDADES
a) a b b a
b) a b a b o´ a b
c) a b o´ a b o´ a b Propiedad de tricotomía
d) Si a b b c a c Propiedad transitiva
e) Si a c b c a b
f) Si c 0 a c b c a b
g) a,b a b c tal que a c b
h) a,b a b o a o b o a o b o
i) a,b a b a b
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4
DENSIDAD DE UN CONJUNTO
Un conjunto A es denso con respecto a la relación de orden, si para dos elementos diferentes a,b A
donde a b , siempre existe por lo menos un elemento cA, tal que:
a c b
De lo anterior se concluye, que:
1º) Los conjuntos y son densos.
2º) Los conjuntos y no son densos.
NÚMEROS FRACCIONARIOS
Son los números racionales que no son números enteros.
FRACCIONES
Son números fraccionarios positivos.
a
f
b
Donde: a, b Z+ y a no es múltiplo de b
OPERACIONES CON FRACCIONES:
▪ Suma:
a c a d b c
b d b d
▪ Producto:
a c a c
b d b d
▪ División:
a c a d a d
b d b c b c
CLASES DE FRACCIONES
1) SEGÚN SU VALOR RESPECTO A LA UNIDAD
Numerador
Denominador
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5
a. Fracción propia.
El valor de la fracción es menor que la unidad:
a
f 1 a b
b
b. Fracción impropia
El valor de la fracción es mayor que la unidad:
a
f 1 a b
b
NOTA:
Toda fracción impropia se puede expresar como la suma de un entero más una fracción propia
(fracción mixta).
Ejm:
7 1 1
3 3
2 2 2
2) SEGÚN SU DENOMINADOR
a. Fracción decimal.
Su denominador es potencia entera de 10.
b. Fracción común u ordinaria
Su denominador no es potencia entera de 10.
3) POR GRUPO DE FRACCIONES
a. Fracciones homogéneas.
Un grupo de fracciones son homogéneas cuando todos sus denominadores son iguales.
b. Fracciones heterogéneas.
Un grupo de fracciones son heterogéneas cuando al menos un denominador es diferente de los demás.
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6
4) POR LOS DIVISORES DE SUS TÉRMINOS.
a. Fracción reductible.
Sus términos tienen más de un divisor común.
b. Fracción irreducible.
Sus términos tienen como único divisor común a la unidad.
NOTA:
A partir de una fracción irreducible se puede obtener una fracción equivalente a ella.
a k.a
f k
b k.b
PROPIEDAD:
Dada las fracciones irreductibles 1 2
a c
f y f
b d
a c
Si k k b d
b d
Si a los términos de una fracción propia se les suma un mismo valor entero positivo, la nueva
fracciona si formada será mayor que la primera
1 2 1 2
a a m
f 1 y f f f ;m
b b m
Si a los terminos de una fraccion impropia se le suma un valor , la nueva fracción así formada
será menor que la primera
1 2 1 2
a a m
f 1 y f f f ;m
b b m
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7
NÚMEROS DECIMALES
Número decimal exacto
Numero Decimal Periodico Puro
Número decimal inexacto
Periodico Mixto
CONVERSIÓN DE FRACCIONES A DECIMALES
1. Generatriz de un número decimal exacto.
abc
0,abc
1000
2. Generatriz de un número decimal inexacto periódico puro.
abc
0,abc
999
3. Generatriz de un número decimal inexacto periódico mixto.
abxyz ab
0,abxyz
99900
1) Número decimal exacto:
Una fracción irreductible origina un número decimal exacto cuando el denominador esté conformado
por sólo factores primos 2 o 5 o ambos. El número de cifras decimales es el mayor exponente de 2 o
5 del denominador.
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8
Ejemplo:
3 cifras decimales
2) Número decimal inexacto periódico puro.
Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico puro si el denominador
no tiene como factores primos a 2 ni 5. El número de cifras del periodo es la cantidad de cifras
del menor número formados por cifras 9 que contengan exactamente al denominador de la fracción
generatriz.
2
2
3
2
2
3
9 3
99 3 11
999 3 37
9999 3 11 101
99999 3 41 271
999999 3 7 11 13 37
Ejemplo:
, OJO SOLO CONSIDERAR 173
Tienen 6 cifras en el periodo por que el menor número de cifras 9 que lo contiene es 999 999 y
tiene 6 cifras.
3) Número decimal inexacto periódico mixto.
Una fracción irreductible origina un número decimal inexacto periódico mixto cuando al
descomponer el denominador en sus factores primos se encuentran los primos 2 y/o 5 y otros
factores primos diferentes. El número de cifras decimales está dado por las reglas anteriores.
Ejemplo:
Tienen 2 cifras decimales no periódicos y 3 cifras decimales periódicos puros.
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9
REBOTES
FÓRMULAS
Donde:
Hi : Altura inicial.
Hf : Altura final.
n : Nro. de rebotes.
R : Recorrido hasta que se detenga.
b
a
f = : Fracción que se eleva después de cada rebote que da.
PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES DE AREAS.
PROPIEDAD DE LA MEDIANA.
En todo triángulo , la mediana divide a esta en dos trángulos de áreas iguales.
S
S
PROPIEDAD DE LAS MEDIANAS.
En todo triángulo las medianas dividen a ésta en 6 triángulos de áreas iguales.
PROPIEDAD DE LA DIAGONAL.
A todo rectángulo una de sus diagonales lo divide en dos triángulos de áreas iguales.
S
S
PROPIEDAD DE LAS DIAGONALES DE UN RECTANGULO
En todo rectángulo, las diagonales dividen a éstaen 4 triángulos de áreas iguales.
i
n
f H
b
a
H .
= iH
f
f
R .
1
1
−
+
=
S
S
S
S S
S
S
S
S S
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10
B
2rA =
Area de un triángulo cualesquiera.
h
Área de un cuadrado.
L
L L
L
2Area L= ; L = medida de su lado
Área de un rectángulo.
b Area ab=
a
donde:
a = medida de su lado mayor
b = medida de su lado menor
Área del círculo.
r
donde: r = radio; = 3.1416
EJERCICIOS.
1. El número de fracciones impropias con numerador 41, es:
A) 40 B) 39 C) 38 D) 41 E) 42
2. Simplificar
2 1333
x
0 3666
,
,
=
A) 5 181, B) 5 18, C) 5 181, D) 5 181, E) 5 81,
Area =
2
.hB
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11
3. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 11/8 tienen como denominador un número de tres cifras?
A) 120 B) 116 C) 112 D) 118 E) 150
4 . En las siguientes proposiciones con respecto al sistema de los números racionales, escribir (V) si es verdadera o
(F) si es falsa.
I . La operación de la sustracción no está totalmente definida.
I I .
a c
ad bc
b d
III.
1 1
a b
a b
La secuencia correcta es:
A) FVV B) FVF C) FFV D) FFF E) VVV
5. El número de fracciones propias que originan números decimales periódicos puro, de 2 cifras diferentes en su
periodo es:
A) 80 B) 98 C) 78 D) 45 E) 90
6. Si ( )0 7
11 9
,+ = +
a b
a b , entonces el valor de a + b es:
A) 5 B) 4. C) 3 D) 6 E) 7
7. La mayor fracción reductible de denominador 180, que está comprendido entre
1
10
y
2
9
, es
A)
35
180
B)
38
180
C)
39
180
D)
36
180
E)
42
180
8. La fracción que genera a 0.2 ; cuyo numerador está comprendido entre 15 y 35, su denominador entre 50 y 75,
es:
A)
30
68
B)
32
68
C)
30
72
D)
20
72
E)
16
72
.
9. La suma de los términos de la fracción generatriz de 0 9xy, es 34. Calcule el valor de 𝑥 + 𝑦.
A) 12 B) 1 C) 7 D) 8 E) 15
10. Dada la fracción irrectuctible que origina al número decimal 0 074, . Si se suman un número entero a su numerador
y resta el mismo número a su denominador, se obtiene una fracción impropia, entonces el menor valor de dicho
número entero es:
A) 12 B) 11 C) 14 D) 13 E) 15
11. Si la fracción irreductible
mn
22
genera el decimal nn2 , Hallar el valor de 𝑚 + 𝑛.
A) 12 B) 9 C) 12 D) 8 E) 11
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12
12. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.
La secuencia correcta es:
I.
ab0
0 0ab
999
, =
II.
ab0
0 ab0
999
, =
III.
ab a
0 a0b
900
,
−
=
La secuencia correcta es:
A) FFF B) VVF C) FVF D) FFV E) VFV
13. La cantidad de fracciones impropias de términos impares consecutivos mayores que 1 227, es:
A) 4 B) 2 C) 5 D) 6 E) 3
14. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa
I.
a c
ad bc
b d
II.
a c
b d
, entonces
a 1 a c c
b 2 b d d
+
III. a b/ es fracción propia
a
0 1
b
IV.
abc a
0 abc a 0 b 0 b 0
900
, , , ,
−
= , La secuencia correcta es
A) FVVF B) VVFF C) FVFF. D) VFFV E) FFVF
15. En el sistema de los números racionales , dadas las proposiciones:
I. La suma de las facciones propias es fracción propia.
II. Si
a c
b d
, con b y d positivos, entonces ad bc
III. Si
a
b
es fracción propia, entonces
b
a
es fracción impropia.
IV. Si
a
b
es fracción impropia, entonces 1
a
b
− es fracción propia.
V. El resultado de dividir una fracción impropia con su reciproco es también impropia.
La cantidad de proposiciones falsas es:
A) 5 B) 4 C) . D) 1 E) 2
16. La suma de todas las fracciones de términos consecutivos y que están comprendidos entre 1/10 y 11/15, es:
A) 7/6. B) 46/24 C) 31/20 D) 17/12 E) 49/30
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13
17. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadero o (F) si es falsa
I. a b c si a b c 0 entonces ac bc, , , ,
II.
1 1 1 1a a a a 1
a a a
, ! /− = = =
III. Ningún número entero es un número fraccionario.
IV. Todo número racional es un numero fraccionario
La secuencia correcta es
A) VFVF B) VVFF C) FVFV D) VVFV E) FFFV
18. Sean 𝑎 el número de cifras no periódicas y 𝑏 el número de cifras periódicas del número decimal que corresponde
a la fracción
7
108
Halle (𝑏 − 𝑎).
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
19. Sea la fracción
3
1
f
2 11
=
,genera un número decimal denominada periódica
A) Pura con 3 decimales
B) Mixta con 3 decimales en la parte no periódica y 2 decimales en la parte periódica.
C) Mixta con 3 decimales en la parte no periódica y 1 decimal en la parte periódica.
D) Mixta con 2 decimales en la parte no periódica y 2 decimal en la parte periódica.
E) Pura con 5 decimales
20. Sea la fracción
3 2 2
1
f
2 5 3 11
=
El tipo de número decimal que origina esta fracción es:
A) Exacta con 5 cifras decimales
B) Inexacta periódica pura con 3 cifras en el periodo
C) Inexacta periódica mixta con 2 cifras en la parte no periódica y 3 cifras en el periodo
D) Inexacta periódica mixta con 5 cifras en la parte no periódica y 3 cifras en el periodo
E) Inexacta periódica mixta con 3 cifras en la parte no periódica y 2 cifras en el periodo.
21. Si
21
0
23
,= a xy , el valor de x + y es:
A) 11 B) 10 C) 12 D) 13 E) 9
22. Si la suma de dos fracciones irreductibles es 7, ademas, la suma de los numeradores es 28; el valor de la suma
de los denominadores es:
A) 8 B) 4 C) 6 D) 16 E) 14
23. Si
aaa
bbb
y
( )
( )
CA ba
CA ab
son equivalentes, además a y b son números primo, hallar el valor de: a – b .
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC.
14
24. Si 0=
a
abcdef
f
, , entonces el valor de f - a, es
A) 2 B) 9 C) 6. D) 8 E) 5
25. Si
mn
np
;
m
n
y
6m
4n
son fracciones equivalentes, hallar el valor de m + n + p.
A) 13 B) 14 C) 15 D) 17 E) 19
26. La piscina de Melissa contiene agua hasta sus 2/7 partes de su capacidad. Si le añadimos 540 litros de agua, el
nivel de agua sube hasta los 4/5 de su capacidad total. Si añadimos 540 litros a la piscina, ¿qué cantidad de agua
faltará para llenarla?
A) 200 B) 120 C) 180 D) 210 E) 2
27. Si de un depósito que está lleno
1
3
de lo que no está lleno, se vacía
1
8
de los que no se vacía ¿Qué parte del
volumen del depósito quedara con liquido?
A)
3
7
B)
3
5
C)
2
9
D)
3
8
E)
7
13
28. La cantidad de cifras de la parte decimal no periódica original por la fracción
Es
6 15
400 64 7
f
5 2 13 17
=
es:
A) 6 B) 5 C) 15 D) 9 E) 7
29. De un cajón de naranja, María coge dos naranjas, Carla retira un cuarto del resto, Mario la mitad de lo que queda
y José un onceavo de lo que toma Mario. Si al final solo queda treinta, entonces el número de naranjas que hubo
inicialmente es:
A) 94 B) 88 C) 86 D) 29 E) 90.
30. Seala fracción
a
3
(irreductible), con a > 0. Al numerador le agregamos el número A ∈ N y al denominador 2A; se
obtiene una fracción equivalente que es la mitad de la fracción original. Entonces la suma de todos los valores
posibles de a es:
A) 4 B) 8 C) 9 D) 12 E) 15
31. fracción irreducible es tal que ( )
b a 1
0 a 1 a
37 2
,
+
= +
. Determine el valor de a + b.
A) 7 B) 18 C) 12 D) 6 E) 9
32. Si,
ab
0 db
cc
,= además, ab db 100+ = , determine la suma de los valores de a + b.
A) 7 B) 8 C) 13 D) 17 E) 15
CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO CEPRU-UNSAAC.
15
33. Si
mnp
pnm
es equivalente a
5
17
, cual es el valor de: m + p – n
A) 6 B) 4 C) 0 D) 2 E) 1
PROBLEMAS SOBRE REBOTES.
1.- Se deja caer una pelota desde una cierta altura y cada vez que rebota se eleva a una altura que es igual a la
mitad de la altura de donde ha caído anteriormente. Si después del tercer rebote se elevó 30 cm. Calcular la altura
de donde se dejó caer inicialmente.
A)2m 20cm B)2m 40cm C)2m 60cm D)2m 80cm E)2m 45cm
2.- Una bola de fútbol cae desde una altura de 400 m. Después de cada rebote se eleva nuevamente hasta una
altura la mitad del anterior. Que altura se elevará la bola después de haber rebotado por segunda vez.
A) 60m B)50m C)100m D)180m E)200m
3.- Una bola cae desde una altura de 6,25 metros y en cada rebote alcanza una altura que es los 2/5 de la altura que
alcanzó en el rebote anterior luego del cuarto rebote se elevo a una altura de:
A)0,16m B)0,005m C)0,05m D)0,25m E)0,008m
4.- Su suelta una pelota desde una altura de 24m, entonces la longitud de la trayectoria descrita por esta pelota
hasta quedar en reposo es 36m. Decir entonces que fracción de la anterior pierde la pelota.
A)3/5 B)2/5 C)1/5 D)2/3 E)4/5
5.- En cada rebote una pelota alcanza los dos tercios de la altura anterior. Determinar la trayectoria del recorrido de
la bola hasta que se detenga, si se deja caer de una altura inicial de 17 m.
A)85m B)102m C)93m D)51m
PROBLEMAS SOBRE PISCINAS.
1.- De un recipiente lleno de agua; se saca los 3/5 de los 5/8 de su capacidad y quedan todavía 62,5 hl. ¿Cuántos
hectolitros de agua puede contener el recipiente?
A)80 B)100 C)85 D)120 E)11
2.- Un cilindro contiene aceite hasta 1/3 de su capacidad. Si se añaden 15 litros más, el tanque contendrá aceite hasta
su mitad. ¿Cuál es la capacidad del tanque?(en litros)
a) 108 b)102 c)90 d)84 e) 96
3.- Después de sacar de un tanque 1600 litros de agua, el nivel de la misma descendió de 2/5 a 1/3 ¿cuantos litros
habrá que añadir para llenar el tanque?
A) 3200 B) 4800 C) 24 000 D) 16000 E) 12000
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16
4.- Si a un tanque de agua le agrego 1/3 de lo que tiene, obtendré 56 litros más que la mitad de lo que habrá.
¿Cuántos litros de agua hay en el tanque?
A) 80 B) 90 C) 84 D) 94 E) 86
PROBLEMAS SOBRE FRACCIONES DE AREAS.
1.- En la figura ABCE es un trapecio y ACE es un triángulo equilátero ¿Qué fracción del área total es el área de las regiones
sombreadas?
a) ½ .
b) 1/3
c) 2/3
d) ¾
e) ¼
2.- ¿ Qué parte del área de la región sombreada es la no sombreada?. Se intersectan dos cuadrados iguales.
a) 1 / 8
b) 3 / 4
c) 1 / 6.
d) 2 / 7
3.- ¿ Qué fracción del área del cuadrado ABCD representa la región sombreada ? . PQRS son puntos medios.
a) 1 / 2
b) 1 / 3
c) 1 / 4
d) 2 / 5
e) 1 / 5.
4.- El cuadrilátero ABCD es un cuadrado y el punto Q es el punto de intersección de sus diagonales. ¿ Qué fracción
de la región cuadrada ABCD , es el área de la región sombreada ?
a) 3 / 4
b) 4 / 5
c) 2 / 3
d) 3 / 5
e) 1 / 4 .
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17
5.- La figura mostrada es un hexágono regular ¿ Qué parte del área de la región sombreada es el área de la región
no sombreada?
a) 1 / 3
b) 1 / 2 .
c) 1 / 4
d) 1 / 5
e) 1 / 6
6.- ¿Qué parte del área de la región rectangular es el área de la región sombreada?
a) 1 /3
b) 1 / 4 .
c) 1 / 5
d) 1 / 2
7.- ¿Qué fracción del área del círculo mayor, es la parte sombreada? AB es radio.
a) 1 / 4 .
b) 1 / 3
c) 1 / 8
d) 3 / 4
8.- ¿Qué fracción del área del cuadrado representa la región sombreada?
a) 1 / 4
b) 2 / 5
c) 1 / 2
d) 3 / 4
9.- ¿Qué fracción del área total representa la parte sombreada en la siguiente figura.
a) 1/4
b) 1/3
c) 1/5
d) 1/6
e) 1/7
A
D
B
C
TEMA 4
SUCESIONES Y SUMATORIAS NOTABLES
SUCESIÓN
Es un conjunto de números que aparecen ordenados, en forma general una sucesión
numérica se escribe así:
, , , , 1 2 3 ka a a a
El número “ 1a ” se le llama primer término de la sucesión, el número “ 2a ”, segundo término,
el número “ 3a ”, tercer término, etc.
Generalmente los términos se obtienen unos de otros en virtud de una ley constante.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Definición.- Se llama progresión aritmética o por diferencia, a una sucesión de números, en
la cual cada término siguiente después del primero, se obtiene sumándole al anterior una
cantidad constante llamada razón o diferencia de la progresión.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA LINEAL (O DE PRIMER ORDEN)
Es una sucesión numérica cuyo término general presenta la forma:
= +na An B , donde A y B son constantes y n
Notación de una Progresión Aritmética:
, , , ,
−
+ + +
1 2 3 n 1 na a a a a
r r r
Por definición: −= +n n 1a a r
Además:
( )= + −n 1a a n 1 r ó 0n aa r n= +
1 1
−
= +n
a a
n
r
ó
−
= n 0
a a
n
r
( )+
=
1 na a
S n
2
Donde:
: Inicio de la progresión Aritmética
1a : Primer término
na : Término de lugar “n” ó último término
r : Razón o diferencia
n : Número de términos
S : Suma de términos
0a : termino anterior al primero
Tipos de progresiones Aritméticas
• Si: r 0 , la P.A. es creciente
Ejemplo
, , , , .... 4 9 14 19 ; = − = r 9 4 5 0
• Si: r 0 , la P.A. es decreciente
Ejemplo
, , , , .... −7 4 1 2 ; r 4 7 3 0= − = −
Observaciones
• La progresión se llama limitada cuando tiene un número finito de términos, llamándose
al primer y al último término extremos:
Ejemplo
• La progresión se llama ilimitada cuando tiene infinitos términos:
Ejemplo:
, , , , ..... 1 2 3 4a a a a
• En toda P.A si cantidad de términos es par; la suma te términos equidistantes
siempre es la misma
Ejemplo:
Términos centrales
;
suman 36
suman 36
suman 36
8 12; 16; 20 ; 24; 28
• En toda P.A si cantidad de términos es impar; la suma te términos equidistantes
siempre es el doble del termino central
Ejemplo:
, , , .... , 1 2 4 na a a a
"n" términos
;
suman 38
suman 38
suman 38
termino central
1 7; 13; 19; 25; 31; 37
De los anterior en P.A de cantidad de términos impar
( )centralS t n=
Existen progresiones aritméticas de orden superior y se pueden clasificar según el grado del
polinomio en que se puede expresar el término general de la misma.
PROGRESIÓN ARITMÉTICA DE SEGUNDO ORDEN
Es una sucesión numérica cuyo término general es un polinomio de segundo grado en n, es
decir.
2
n An Ca Bn= + + , donde A, B ,C son constantes y n
• La regla practica para hallara, b y en la sucesión de segundo orden.
PROGRESION GEOMÉTRICA (P.G)
Definición.- Se llama progresión geométrica o por cociente a una sucesión de números en la
cual el primer término es distinto de cero y cada uno de los términos siguientes se obtiene
multiplicando al anterior por una cantidad constante, distinta de cero, llamada razón de la
progresión:
Notación de una Progresión Geométrica:
, , , t ,
1 2 3 n 1 nt t t t
q q q
−
Por definición: −= n nt t q1
Además
n 1
n 1t t q
−
=
( )− −
= =
− −
nn
11 1 t q 1t q tS
q 1 q 1
Donde:
; a ; a ; a ; a ; ...41 2 30a
1 30 2 m m mm+ + + +
r + r + r +
C
A B+
2A
: Inicio de la progresión Geométrica
1t : Primer término ( )1t 0
nt : Término de lugar “n” o general
q : Razón o del P.G ( )q 0
n : Número de términos
S : Suma de términos
Tipos de progresiones geométricas
• Si: 1q la progresión es creciente
• Si: 0 1q la progresión es decreciente
• Si: 0q la progresión es oscilante
SERIES
Definición. Una serie es la adición indicada de una sucesión numérica y al resultado de dicha
adición se le llama suma o valor de la serie
Ejemplo:
9; 18; 27; 36; .... Sucesión numérica
9 + 18 + 27 + 36 = 90
Serie numérica Valor de la serie
Serie aritmética
,
−= + + +
+ + +
n 1 2 3 n 1 nS a a a a a
r r r
Además
( )+
=
1 na a
S n
2
r : Razón
1a : Primer término
na : Término n-ésimo
n : Número de términos
Serie Geométrica
, t
n 1 2 3 n 1 nS t t t t
q q q
−= + + +
Además
( )− −
= =
− −
nn
11 1 t q 1t q tS
q 1 q 1
Donde
q : Razón ( )q 0
1t : Primer término ( )1t 0
nt : Término n-ésimo
n : Número de términos
S : Suma de términos
Observación
• Suma de los infinitos temimos o suma limite
1
L
t
S
1 q
=
−
; 0 1q
Ejemplo
Calcular: S = 2 + 1 +
2
1
+
1
4
+ .......... + ∞
Resolución
Datos : 1t 2= ,
1
q
2
= , ?LS =
Luego L
2 2
S 4
1 1
1
2 2
= = =
−
SUMATORIA
La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma) es operador matemático que permite
representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos, se expresa con la letra griega
sigma (Σ ).
REPRESENTACIÓN DE UNA SUMATORIA
Dada una serie numérica + + + +1 2 3 na a a a se puede representar usando el símbolo Σ,
definido de la siguiente manera.
( ), k n k n
Se lee: sumatoria de “a” desde i = k hasta i = n; donde “i” toma valores enteros desde “k” hasta
“n” y cada valor de “i” genera un término de la serie.
PROPIEDADES
1. Nº de términos de una sumatoria
...+ +
=
= + + +
n
i k k 1 k 2 n
i k
a a a a a
...+ +
=
= + + +
n
i k k 1 k 2 n
i k
a a a a a
Nº términos = n – k + 1
2. Para sumas o diferencias de dos o más variables
=
n
ki
(ai+ bi - ci) = ia + ib - ic
3. La sumatoria de una constante es igual al Nº de términos por la constante
( )
=
= − +
n
i k
a n k 1 a
4. Una se puede descomponer en dos o más parciales
= = = +
= +
n k n
i i i
i 1 i 1 i k 1
a a a
5. Sumatoria de una constante y una o más variables
( )
= = =
=
k n n
i i i i
i 1 i 1 i 1
ax by a x b y
SUMAS NOTABLES
1. Suma de los “n” primeros consecutivos
( )
...
=
+
= + + + + =
n
i 1
n n 1
i 1 2 3 n
2
2. Suma de los “n” primeros impares consecutivos
( ) ... ( )
=
− = + + + + − =
n
2
i 1
2i 1 1 3 5 2n 1 n
3. Suma de cuadrados de los “n” primeros consecutivos
( )( )
...
=
+ +
= + + + + =
n
2 2 2 2 2
i 1
n n 1 2n 1
i 1 2 3 n
6
4. Suma de cubos de los “n” primeros consecutivos:
( )
...
=
+
= + + + + =
2n
3 3 3 3 3
i 1
n n 1
i 1 2 3 n
2
5. Suma de cuadrados de los “n” primeros números impares consecutivos
( ) ( )
( )( )
...
=
+ −
− = + + + + − =
n
2 22 2 2
i 1
n 2n 1 2n 1
2i 1 1 3 5 2n 1
3
6. Suma de los “n” números pares consecutivos
=
+=++++=
n
1i
)1n(nn2...642i2
7. Suma de cuadrados de los “n” primeros números pares consecutivos
8. Suma de productos binarios
( ) ( )
( )( )
=
+ +
+ = + + + + + =
n
i 1
n n 1 n 2
i i 1 1 2 2 3 3 4 n n 1
3
RELACIONES ADICIONALES
I. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números pares naturales.
( ) ( )( )...+ + + + + = + +
22 2 2 2 2n2 4 6 8 2n n 1 2n 1
3
II. Suma de los cuadrados de los “n” primeros números impares naturales.
( ) ( )...+ + + + + − = −
22 2 2 2 22n1 3 5 7 2n 1 4n 1
3
Problemas propuestos
1. Sea la progresión aritmética 3; 7; 11; 15; 19; ….
Calcular el término n-ésimo.
a) 4n – 1 b) 4n c) 3n +2
d) 4n +1 e) 5n – 2
2. En la sucesión : 7 ; 19 ; 37 ; 61 ; 91; … la diferencia entre el primer término de cuatro cifras y
el último término de tres cifras es:
a) 106 b) 105 c) 109
d) 108 e) 104
( ) ( )( )
2 2 2 2 2
1
2
2 2 4 6 (2 ) 1 2 1
3
n
i
i n n n n
=
= + + + = + +
3. Hallar el término general de la siguiente sucesión
5; 11; 19; 29; 41; 55; …
a) n2 + 2n + 2 b) n2+ 3n + 1 c) 2n2 - 3n +1
d) n2 - 3n + 2 e) n2 + 2n + 1
4. En la siguiente sucesión : 0 ; 3/4 ; 8/9 ; 15/16 ; 24/25 ; p ; q ; ... El producto pq es:
a) 20/21 b) 35/27 c) 18/19
d) 23/25 e) 29/18
5. Hallar el término de lugar 50 en la siguiente sucesión. 8; 13; 18; 23;
a) 253 b) 248 c) 258
d) 235 e) 249
6. Hallar el vigésimo término de la siguiente sucesión.
7 ; 16 ; 29 ; 46 ; ......
a) 757 b) 848 c) 862
d) 934 e) 649
7. La razón de una progresión aritmética cuyo primer término es 1 y los términos de los lugares 3
, 7 y 17 forman una progresión geométrica, es:
a) 3/4 b) 2/5 c) 3/2
d) 9/4 e) 1/2
8. Hallar la razón de una progresión aritmética en la que el décimo término es 30 y el primer es -
6
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
9. El número de términos que debe tener como máximo la serie:
S= 1 +2 + 4 + 8 + ................. para que la suma sea menor que 1 000, es:
a) 6 b) 7 c) 5
d) 9 e) 8
10. En una progresión aritmética se considera 10 términos consecutivos; el producto del tercer y
el cuarto término e s 48, mientras que los extremos suman 22. Hallar el último término de la
progresión
a) 20 b) 22 c) 18
d) 19 e) 17
11. sabiendo que el quinto término de una P.G. es 2 y el décimo primero es 128, calcular el valor
de la razón
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
12. La suma de los tres primeros términos de una P.A es 24 y el producto de los mismos es 440.
Hallar el décimo término.
a) 30 b) 32 c) 34
d) 35 e) 38
13. Para que se cumpla: 26+24 + 22 + 20+.............= 176
La serie debe tener:
I.10 términos II. 11 términos III. 16 terminos
a) I y II b) I y III c) I
d) II e) II y III
14. La suma de los 8 primeros términos de una P.G. es igual a 82 veces la suma de los cuatro
primeros términos. Hallar la razón
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
15. En la siguiente sucesión aritmética: 80; 76; 72; 68; ….
Calcular el segundo término negativo
a) – 4 b) – 8 c) – 12
d) – 6 e) – 10
16. la suma de términos de tres cifras de la siguiente sucesión 4; 9; 16; 25; ….., es:
a) 9789 b) 10131 c) 10247
d) 11221 e) 9847
17. Juan se dedica a la venta de libros. El primer día vende 6; el segundo día vende 9; el tercer
día 14; el cuarto día 21 y así sucesivamente hasta que el último día vendió 405 libros.
Determine la cantidad de días que estuvo vendiendo.
a) 16 b) 17 c) 18
d) 19 e) 20
18. ¿Cuántos términos hay que sumas de la progresión aritmética: 2; 8; 14; 20; 26; … para
obtener como resultado 1064?
a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21
19. En una fiesta se distribuyen1045 caramelos a un grupo de niños de la siguiente forma: al
primero 2; al segundo 3; al tercero 6; al cuarto 11; y así sucesivamente. Si todos los niños
recibieron sus caramelos, el número de niños que asistieron a la fiesta es:
a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21
20. La suma de los once primeros términos de una P.A es 176 y la diferencia de los términos
extremos es 30. Calcular la cantidad de números pares de la sucesión
a) 3 b) 4 c) 5 d)6 e) 2
21. El valor de la expresión:
20
n
2
1
4(2n n )
=
− +
20
n
2
1
4(2n n )
=
− +
a) 5610 b) 4051 c) 6520
d) 1560 e) 3650
22. Dada la sucesión: 1 ; 2 ; -3, 4, 5, -6, 7, 8, -9 entonces la suma de sus cincuenta
primeros términos es:
a) 430 b) 459 c) 434
d) 435 e) 438
23. Hallar:5 + 10 + 15 + ........................+ 125
a) 1715 b) 1615 c) 1710
d) 1525 e) 1625
24. Calcule el valor de ‘x’ en la siguiente serie: 2 + 4 + 6 + 8 +… + x = 1640
a) 40 b) 50 c) 60
d) 70 e) 80
25. Al efectuar 53 + 55 + 57 + 59 + ............. + 99. La suma de las cifras del resultado, es:
a) 20 b) 15 c) 12
d) 18 e) 25
26. Las suma de cifras de la siguiente serie : S = 6 + 9 + 14 + 21 + + 149, es
a) 9 b) 5 c) 7
d) 8 e) 6
27. En la sucesión 2; 9; 22; 41; 66; … , calcule la suma de los dieciocho primeros
términos.
a) 3495 b) 4095 c) 6003
n
d) 6010 e) 6030
28. El número de términos de tres cifras de la siguiente sucesión 1; 3; 5; 10; ….. es:
a) 22 b) 21 c) 18
d) 20 e) 25
29. Calcular:
a) 1175 b) 625 c) 3150
d) 2575 e) 1950
30. Hallar el valor de la siguiente serie: S = 3 + 9 + 27 + + 729
a) 1982 b) 1092 c) 1846
d) 2310 e) 2130
31. Hallar:
22 + 42 + 62 + .................... + 302
a) 2450 b) 4960 c) 2800
d) 5200 e) 3650
32. Halle el valor de la serie:
S =13 + 25 + 37 + .......... +1939
a) 5120 b) 5122 c) 5130
d) 5132 e) 5140
33. Calcular el valor se S.
S = 16 41+ 17 40 + 18 39 + + 35 22
a) 15 800 b) 12 770 c) 14 520
d) 15 400 e) 18 270
34. Calcular
S =15 + 26 + 37 + + 2024
a) 3710 b) 484 c) 2142
d) 1710 e) 1000
35. Sea
a = 3n2 + 5n término general de una sucesión, la suma de los términos
de
la sucesión de dos cifras es:
a) 132 b) 194 c) 186
d) 243 e) 282
36. Halle la suma de la serie:
S = 2 + 3 + 5 + 7 + 8 + 1 1+ ……. + 62
a) 1492 b) 1575 c) 1750
d) 1842 e) 1594
37. Si: a = n3 −n2 + 2 , halle el valor de: S = a + a + a + ... +a
n 1 2 3 10
a) 1 660 b) 2 660 c) 1 550
d) 2 550 e) 2 670
38.- Ejecutar
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + … + 102
22 + 32 + 42 + 52 + … + 102
32 + 42 + 52 + … + 102
102
a) 1000 b) 3025 c) 2750
d) 10000 e) 2750
39.- Calcular el número total de palitos en:
1 2 3 48 49 50
a) 3625 b) 4975 c) 3685
d) 2575 e) 3825
CONCEPTOS BÁSICOS
Numeración
Parte de la aritmética que se ocupa del estudio de la correcta formación, lectura y escritura de los numerales.
Número
Es un ente matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de
cantidad.
Numeral
Es la representación simbólica del número mediante determinados símbolos o guarismos.
Ejemplo: , , , , 3
Cifras (dígitos)
Son símbolos que convencionalmente se utilizan en la formación de los numerales:
0,1,2,3,4,5,6,…
2. SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN
Es el conjunto de reglas, principios y convenios que nos permiten la correcta formación, lectura y escritura de los
numerales.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Principio del orden
Toda cifra que forma parte de un numeral ocupa un orden determinado, el cual se indica de derecha a
izquierda.
Ejemplo:
5º 4º 3º 2º 1º Orden
N=2 5 7 3 6
Lugar 1 2 3 4 5
Principio de la base
Todo sistema de numeración tiene una base que es un número entero mayor que la unidad, el cual nos indica
la cantidad de unidades necesarias y suficientes de un orden cualquiera para formar una unidad del orden
inmediato superior.
Sistemas de numeración más usados:
Base Nombre del sistema Cifras disponibles
2 Binario 0, 1
3 Ternario 0,1,2
4 Cuaternario 0,1,2,3
5 Quinario 0,1,2,3,4
6 Senario 0,1,2,3,4,5
7 Eptal o Heptanario 0,1,2,3,4,5,6
8 Octal u Octanario 0,1,2,3,4,5,6,7
9 Nonario 0,1,2,3,4,5,6,7,8
10 Decimal 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
11 Undecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10=A)
12 Duodecimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, (10), (11=B)
. . .
. . .
. . .
Lectura y escritura de un numeral
2523 = Dos mil quinientos veintitrés.
2104(5) = Dos, uno, cero, cuatro en base 5.
NOTAS
Para cifras mayores a 9, se usa el convenio:
A
B
C
Ejemplo: N = 3(11)7(12)(15) = 3B7C(15)
Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base y viceversa.
En un sistema de base (n) se pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales son:
Cifra máxima
0, 1, 2, 3, 4, 5, … , (n-1)
Cifra Cifras significativas
no significativa
A mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa.
Ejemplo: N = 132(n) = 52(k)
Como 132 52 entonces n k
Principio del valor de las cifras
Toda cifra que forma parte de un numeral tiene dos valores
Valor Absoluto (V.A.)
Es el valor que toma una cifra por su símbolo o figura (cantidad de unidades simples que representa).
b) Valor Relativo (V.R.)
Es el valor que toma una cifra por el orden que ocupa en el numeral.
Ejemplo:
VA = 2 (Símbolo)
VA=6
N=52 367
VR=60
VR = 2000 (Orden)
REPRESENTACIÓN LITERAL DE NUMERALES
Cuando se desconocen las cifras de un numeral, éstos se representan con letras minúsculas, teniendo en cuenta
que:
Toda expresión entre paréntesis representa una cifra.
La cifra de mayor orden (primera cifra) debe ser diferente de cero.
Letras diferentes no necesariamente indican cifras diferentes, salvo que lo señalen.
Ejemplo:
Numeral de dos cifras en base 10.
ab : 10, 11, 12, 13, 14, 15 , . . ., 98, 99 Mayor numeral de tres cifras en base n:
= (n − 1)(n − 1)(n −1)(n)
Mayor numeral de tres cifras diferentes en base n:
= (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n) , n>2
NUMERAL CAPICÚA
Son aquellos numerales cuyas cifras equidistantes extremas son iguales.
Ejemplos:
N=75157
N = abcdcba(8)
N = anitalavalatina
N = adannocallaconnada
4. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA
Es la suma de los valores relativos de las cifras que conforman dicho numeral.
Eemplo:
= 52367 = 50000 +2000 +300 +60 +7
5104 +2103 + 3102 +610 +7
En general: abcdef (n) = a n 5 + b n 4 + c n 3 + d n 2 + e n + f
Ejemplos:
1. Descomposición polinómica simple:
20435(7) = 27
4 +073 + 472 + 37 + 5
• abc 100a 10b c
ab = 10a + b
Descomposición por bloques
ababab(5) = ab (5) 54 + ab (5) 52 + ab(5)
abcabc = abc 103 + abc = 1001abc
5. CAMBIOS DE BASE EN LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Primer caso
De base (n) a base (10)
Descomposición polinómica
Métodos :
Ruffini
Ejemplo: Expresar 12456( 7) en base 10.
Descomposición polinómica:
N =12456(7) =17
4 +273 + 472 + 57 +6 = 3324
• Ruffini:
1 2 4 5 6
7 7 63 469 3318
1 9 67 474 3324
Segundo caso
De base (10) a base (n)
Método : Divisiones sucesivas
Ejemplo: Expresar 246 en base 4.
246 4
6 61 4
2 21 15 4
1 3 3
246 3312(4)
Tercer caso
De base (n) a base (m), nm10
n 10 m
Ejemplo: Pasar 351(6) al sistema heptal.
6 10 351(6) = 139
10 7 139 = 256
(7)
351(6) = 256(7)
NOTA: Toda cifra es menor que su base.
CASOS ESPECIALES
1.- De base n a base nk ;k entero positivo.
PASOS A SEGUIR.
• El numeral se descompone en bloques de k cifras a partir del orden UNO.
• Cada bloque se descompone polinómicamente y el resultado es cifra en la nueva base. La cifra
en la nueva base de la derecha viene a ser la de primer orden en la nueva base y así
sucesivamente.
Ejemplo.- Expresar 120221(3) en el sistema nonario.
SOLUCION
3 2 = 9; entonces separamos por bloques, cada bloque de 2 cifras.
Entonces 1202213 = 5279
2. De base nk a base n; k es un número entero positivo.
PASOS A SEGUIR
• Cada cifra de numeral en base nk genera un bloque de k cifras.
• Las cifras de cada bloque se obtienen mediante las divisiones sucesivas.
NOTA: A mayor numeral menor base.
1202213 = 5279
Ejemplo.- Expresar 5479 en el sistema ternario.
SOLUCION
9 = 32; entonces el bloque debe tener k = 2 cifras.
Entonces: 5479 = 1211213 = 448
PROPIEDADES.
1.- NUMERAL DE CIFRAS MAXIMAS.
( )( 1)( 1)...( 1) 1
k
nn n n n− − − = − ;
el numero (n - 1) se repite k veces.
Ejemplos:
99 = 100 – 1
9999 = 1000-1 etc.
2.- BASES SUCESIVAS.
1 ...
1 1
11 1a
a n
aa ka n= +
donde 1a desciende como subíndice y se repite k veces.
1 ...
1 1
11 10a
a a
aa ka= +
donde 1a desciende como subíndice y se repite k veces.
1 ...
1 ( )
11 ...c
m n
ba a b c m n= + + + + +
1...
1( )
1
1
1 .
1
a
a n
k
k
a
a
a a n
a
=
−
+
−
Donde 1a se repite k veces.
3.- Cantidad de numerales con cierta cantidad de cifras.
Ejemplo.- ¿Cuántos numerales de 3 cifras existen en el sistema decimal?
Solución
100; 101; 102; … ; 999
Tiene 999 – 100 +1 = 900 numerales de 3 cifras.
Ejemplo 2.- ¿Cuántos numerales de 3 cifras existe en el sistema de base 7?
Solución
1007 ; 1017 ; … ; 6667
Luego 6667 – 1007 +1 = 294
PARIDAD DE LOS NUMERALES.
• Un numeral en base par, será par (en cualquier base), si la cifra de orden 1 es par, caso
contrario es impar.
• Un numeral en base impar, será par ( en cualquier base) si la suma de sus cifras es par, caso
contrario es impar.
* A mayor numeral menor base.
EJERCICIOS DE SISTEMAS DE NUMERACION.
1) 𝑠𝑖 1(𝑎 + 1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅(4) = 101̅̅ ̅̅ ̅ ; 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎
2
a)2 b)4 c)16 d)25 e)9
2) 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 "𝑏" 𝑠𝑖 2𝑏𝑏(3𝑏)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 36𝑏(7)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
a)9 b)2 c)3 d)5 e)12
3) 𝑠𝑖 𝑎𝑏3(𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑎 − 1)𝑐 𝑑(6)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ ; 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟” n”𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
a)5 b)2 c)7 d)8 e)3
4) 𝑠𝑖 𝑎𝑏𝑐(6)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 1𝑎𝑏𝑐(3)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎 + 𝑏
a)1 b)2 c)3 d)4 e)5
5)𝐶ó𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑛 + 2)𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 148(𝑛)
a)104(𝑛+2) 𝑏)402(𝑛+2) c) 304(𝑛+2)d) 401(𝑛+2) e) 132(𝑛+2)
6) 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎 + 𝑏 + 𝑐,
𝑆𝑖 7𝑎𝑎(𝑏)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 5𝑐𝑏(11)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
a)10 b)20 c)33 d)45 e)15
7) 𝑎𝑏𝑐(9)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑎𝑏(8)̅̅ ̅̅ ̅̅ + 𝑏𝑐(7)̅̅ ̅̅ ̅̅ = 693 , ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: 𝑎𝑥𝑏 − 𝑐
a)24 b)20 c)25 d)26 e)27
8)𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑁 𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 8 𝑦 𝑑𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
𝑁 = 416 + 219 + 3𝑥643
a)8 b)12 c)6 d)9 e)8
9)𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 "N"𝑎𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜
𝑁 = 82𝑥163 + 19𝑥43 + 23
𝑒 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 10.
a)13 b)12 c)11 d)14 e)17
10) 𝑚𝑛𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑛𝑎(𝑚+2)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑦 𝑎 + 𝑚 + 𝑛 = 21
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟: "m"
a)10 b)11 c)7 d)5 e)6
11 𝑎56(8)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = (𝑎 + 1)60(𝑘)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , hallar a + k
a)10 b)11 c) 13 d)14 e)15
12) 𝑠𝑖 𝑎𝑏𝑎(𝑐)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑚1𝑐(9)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, calcular el valor de “b” sabiendo que m>5.
a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
13)En cierta zona se usa el sistema nonario para las medidas. Determinar cuántas pesas se usarán como
mínimo para equilibrar un objeto que pesa 3026 kilos.
a)10 b)15 c)12 d)11 e)9
14)𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 "𝑑"
𝑆𝑖
𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅ − 𝑐𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅
𝑑
= 𝑑𝑑̅̅̅̅
a)3 b)4 c)5 d)6 e)8
15)𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑚𝑎𝑏𝑐(5)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑚 − 2)𝑑𝑏𝑜(𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ y
𝑏𝑑𝑛𝑏(7)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 7𝑏𝑛(9)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
a)5 b)9 c)7 d)6 e)8
16) 𝑆𝑖 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑑𝑒 3𝑎𝑏(7)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = 𝑏𝑎(7)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅; hallar axb
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
17)𝐶𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒
(𝑛 + 1)𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑛 − 1). 𝐷𝑒 𝑐ó𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑜 𝑠𝑖 𝑛 > 12.
a)193 b)195 c)178 d)198 e)196
18) 𝐷𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 6(𝑏 − 4)(𝑏 − 𝑎)𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑐𝑢𝑎
a)18 b)17 c)20 d)21 e)22
19)101(4)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ; 𝑏𝑏(𝑐)̅̅ ̅̅ ̅̅ ; 2𝑐(𝑎)̅̅ ̅̅ ̅̅ 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 𝑒𝑠:
a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
20) 𝑆𝑖 𝑆𝑒 𝐶𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:
(𝑛 + 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ; = (2𝑛 + 1)(2𝑛 − 1)(2𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 "𝑛
a)4 b)5 c)6 d)7 e)8
21)Si 𝑎𝑎0𝑛̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ + 𝑎𝑎𝑛̅̅ ̅̅ ̅ = 2237(8)
𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑀 𝑠𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑀 = 2𝑎 + 𝑛
a)1 b)3 c)4 d)6 e)8
22)¿Cuál es la base de mayor número de “k” cifras que equivale al mayor número de “4k” cifras del sistema
octal?
a)1096 b)3096 c)4096 d)4095 e)3096
23)Un numeral de la base 10 al ser expresado en las bases “n” y “2n” resulta los mayores números de
cuatro cifras y cinco cifras. Calcular el valor de “n”.
a)15 b)16 c)17 d)18 e)20
24)Hallar: a+n
(𝑎2 + 1)𝑎(2𝑎)(6)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = (𝑎
2)(𝑎 − 2)(𝑎 − 2)(𝑛)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
a)8 b)9 c)10 d)11 e)12
25) 𝐸𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑙 352(6) 𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 7
a)260(7) 𝑏)234(7) c) 62(7)d) 230(7) e) 265(7)
26)
𝑠𝑖 𝑎 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑒𝑧𝑎 𝑝𝑜𝑟 9, 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎,
𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑠
1
21
𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙, 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑟𝑒𝑠
𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠:
a)18 b)19 c)20 d)16 e)12
27)
𝐸𝑛 𝑐𝑢á𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 1234 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠?
a)15 b)25 c)35 d)20 e)40
28)¿ 𝐶ó𝑚𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 234(𝑥)𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 (𝑥 − 1)?
a)279(𝑥−1) 𝑏)259(𝑥−1) c) 249(𝑥−1)d) 230(𝑥−1) e) 289(𝑥−1)
29) 𝑆𝑖 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 3 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑟𝑙𝑜 𝑎𝑙
𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑒𝑝𝑡𝑒𝑛𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑠𝑒 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠, 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑠:
a)5 b)6 c)8 d)9 e)7
30)
𝑆𝑎𝑏𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
(𝑎 − 1)(𝑎 − 2)(𝑎 − 1)(𝑎 − 1)(𝑎)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = 5(3𝑏)(3𝑏)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑎𝑏𝑒𝑛 𝑏𝑎𝑠𝑒 3 𝑦 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
a)5 b)6 c)8 d)9 e)7
31)
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑐𝑢𝑎 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 23 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
a)8 b)9 c)10 d)6 e)7
32) 𝑆𝑖 𝑎2𝑏̅̅ ̅̅ ̅(9) = 𝑎72̅̅ ̅̅ ̅(𝑚) , 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑁 = 𝑎. 𝑏. 𝑚
a)88 b)96 c)94 d)93 e)69
33) 𝑆𝑖 𝑎6𝑐(6) = 1224(𝑥) , 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑥
a)12 b)14 c)15 d)16 e)17
34) 𝑆𝑖 𝑎𝑏𝑐 = 𝑐0000̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ (3) ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
a)8 b)7 c)5 d)9 e)10
35)
𝐸𝑙 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑢𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎𝑏̅̅ ̅ ; 𝑝𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑢 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑜𝑟 3,
𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑏𝑎̅̅ ̅ ; ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 (𝑎 − 𝑏).
a)2 b)4 c)6 d)5 e)7
36) 𝑈𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑖 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑐𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎 4 𝑎𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎
𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜, 𝑠𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 9 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑖𝑛𝑎𝑙,
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜.
a)5 b)3 c)8 d)4 e)7
37)𝑆𝑒𝑎 𝑎𝑏𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅(6) = 11234(𝑚) 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 + 𝑏 + 𝑚
a)12 b)14 c)8 d)13 e)17
38)𝑈𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎
𝑐𝑜𝑚𝑜 1160 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑜𝑐𝑡𝑎𝑙. 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠:
a)2 b)4 c)7 d)6 e)5
39)
𝑆𝑖 14641(2004)𝑙𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑠𝑒 2005. 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑠
𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑠
a)2 b)3 c)1 d)6 e)4
40)𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑎 + 𝑏; 𝑠𝑖 𝑎𝑏̅̅ ̅(9) = 𝑏𝑎̅̅ ̅(7)
a)7 b)9 c)8 d)6 e)10
41.- Dadas las proposiciones. Identificar con (V) si es verdadero o (F) si es falso:
• En todo sistema de numeración se dispone de las cifras 0 y 1.
• En un sistema de numeración de base n se disponen de n cifras
• En un sistema de base n el mayor numeral de 3 cifras es.
(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)(𝑛 − 1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅(𝑛), (𝑛 > 2)
• En un sistema de base n el mayor numeral de 3 cifras diferentes es.
(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅(𝑛), (𝑛 > 3)
La secuencia correcta es:
A.VVVV B.FFVF C.FVFV D.VFVF E. VFFV
42.- Si 2(n) (n )abba (3a 1)(5b)= + , calcular: a + b + n
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
43.- Calcular “n” si se cumple que:
19
19
19
n
919
24 558=
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
44.- Si: aaa1(n 2)
1211(n)
1(n 1)
=−
−
Entonces n/a es:
a) 1/2 b) 1/6 c) 3/2 d) 2 e) 6
45.-
Si: aaa1(n 2)
1211(n)
1(n 1)
=−
−
Entonces n/a es:
a) 1/2 b) 1/6 c) 3/2 d) 2 e) 6
46.- El mayor número de tres cifras diferentes en base “n” se expresa como 140 en base 9 ¿Cómo se expresa
en base “n + 2”? Dar como respuesta la suma de cifras en esta última base.
a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
24 Veces
TEMA 6
NUMEROS PRIMOS
Sólo en los enteros positivos.
NÚMERO PRIMO ABSOLUTO.
Es aquel número entero positivo que tiene solo 2 divisores, el mismo y la unidad.
Ejemplos:
2: 1, 2
3: 1, 3 etc.
NUMEROS SIMPLES.- Se llama así a la unidad y a los números primos.
NÚMERO COMPUESTO.
Es aquel número entero positivo que tiene 3 o más divisores.
Ejemplos:
4: 1, 2,4
6: 1, 2, 3, 6
PRIMOS ENTRE SI O PRIMOS RELATIVOS (pesi)
Son dos o más números que admiten como único divisor común a la unidad. Llamados también
coprimos.
Ejemplos:
15 22
5 11
3 2
1 1
NUMEROS PRIMOS ENTRE SI 2 a 2.
Tres o más números son pesi 2 a 2, si tomados de dos en dos resultan primos entre sí.
Ejemplo.- Sean los números:
16; 25 y 91
16 y 25 son pesi
16 y 91 son pesi
25 y 91 son pesi
Luego 16; 25 y 21 son pesi 2 a 2.
Ejemplo.- 18; 55 y 77 son pesi 2 a 2; entonces son pesi
Ejemplo.- 18; 15 y 77 son pesi; pero no son pesi 2 a 2.
CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS
De acuerdo con el número de elementos:
1. Números que tienen solo 1 divisor: La unidad
2. Números que tienen solo 2 divisores: Números primos.
3. Números que tienen 3 o más divisores: Números compuestos.
4. El número 1 no es primo ni compuesto.
5. Los únicos números primos consecutivos son 2 y 3.
6. Todo número compuesto tiene por lo menos un divisor primo.
DIVISORES PROPIOS.
Se denomina así a los divisores menores que el número dado.
DIVISORES SIMPLES.
Son aquellos divisores que a la vez son números simples (al conjunto formado por la unidad y
los números primos se llama número simple).
DIVISOR ELEMENTAL.
Es el menor divisor diferente al de la unidad.
Nota:
La serie de los números primos es ilimitada. No se ha descubierto la fórmula general para hallar
los números primos. Sin embargo es posible aplicar la CRIBA DE ERATOSTENES. La cual
nos permite hallar los números primos cancelando en la serie natural todos los múltiplos de 2,
3, 5, 7, etc.
Todo número primo absoluto es impar necesariamente.
Dos números consecutivos siempre son primos entres sí.
Todo número primo mayor que 2 es de la forma
o
14
Todo número primo mayor que 3 es de la forma
o
16 , lo reciproco no se cumple.
Ejemplo: 23 es primo; entonces:
23 = 4(6) – 1
CRIBA DE ERATOSTENES
a ca lcu lar por es te a lgor i tmo los números pr imos menores que 20.
1 . - Esc r ib imos los números , en nues t ro caso serán los comprend idos ent re
2 y 20 .
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 13 14 15 16
17 18 19 20
2.- Señalamos el primer número, no rayado ni tachado como número primo (el 2)
3.- Tachamos todos los múltiplos del número que acabamos de señalar como primo
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
4.- Si el cuadrado del primer número que no ha sido tachado es menor que 20, entonces
repetimos el segundo paso, si no el algoritmo termina y todos los números no tachados son
declarados como primos.
Como 32 < 20 volvemos al segundo paso:
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
REGLA PARA AVERIGUAR SI UN NUMERO ES PRIMO.
Sea el número 137
1. 137 11− , se halla la raíz cuadrada por defecto de 137
2.- Aplicar criterios de divisibilidad por todos los números primos menores o iguales a 11: 2, 3, 5,
7, 11
3.- Si el número no es múltiplo de ninguno de ellos; entonces es primo.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA.
Todo número compuesto mayor que 1, se puede descomponer en sus factores primos diferentes
entre sí, elevados a ciertos exponentes enteros positivos.
(descomposición canónica de un número compuesto)
Si “N” es un número compuesto:
TABLA DE DIVISORES.
(Lista de todos los divisores de un número)
Numeros , ,
Numeros pesi c b, a,
: Donde
.c .b a N
→
→ =
enteros
= .c.baN
= .c.baN
122
24
360360 =
= .c.baN
25,3
360
1170
SId(360) ==
Todos los divisores de un número están constituidos por la unidad, los divisores primos y los
divisores compuestos. Los divisores compuestos se forman por el producto de las combinaciones
de los divisores primos.
Ejemplo.- Hallar todos los divisores de 360.
SOLUCION
360 = 23325
30 20 2 4 8
31 3 6 12 24
32 9 18 36 72
51 5 10 20 40
51 15 30 60 120
51 45 90 180 360
hay 24 divisores
Cantidad de divisores de un número compuesto: Nd
(N)
Sea: donde a, b, c son primos absolutos.
Nd(N)=(α+1)(β+1)(γ+1)...
Ejemplo: 360 = 23 . 32 . 5
Nd(360)= (3+1)(2+1)(1+1 ) = 24 divisores.
También:
Nd(N) = Dprimos + Dcompuestos + 1
Suma de los divisores de un número compuesto (Sd(N))
Sea donde a, b, c son
primos absolutos.
Ejemplo: 360 = 23. 32. 5
Suma de las inversas de los divisores de un número compuesto (Sid(N))
Sea donde a, b, c son
Primos absolutos.
Sid(N)
Sd(N)
=
N
Ejemplo: Para 360
Producto de los divisores de un número compuesto (Pd(N))
Ejemplo:
Para 360
....
1 c
1 c
.
1 b
1 b
.
1 a
1 a
Sd
1 1 1
(N)
−
−
−
−
−
−
=
+ + + α
1170
1 5
1 5
.
1 3
1 3
.
1 2
1 2
Sd
2 3
(360)
=
−
−
−
−
−
−
=
4
(N) Nd 2
(N) Nd
(N) N N Pd = =
= .c.baN
Pd(360)=
INDICADOR DE UN NÚMERO o función de Euler (CN)
Para números compuestos, de la forma:
está dado por:
CN =(a
α-1)(a-1)(bβ-1)(b - 1)(cγ-1)(c-1)
También se denota por Ø(N).
Indica la cantidad de números pesi con el número N; pero menores que N.
Ejemplo.- Hallar CN(6)
Solución
6
1
5
Ojo: 1 y 6 son pesi; 5 y 6 son pesi.
N = 21.31
Ø(N) = 21-1(2–1). 31–1 (3–1) = 2
Se observa que son: 1 y 5.
APLICACIONES.
1. Determinar si los siguientes números son o no primos:
1 ............ ( )
2 ............ ( )
6 ............ ( )
12 ............ ( )
17 ............ ( )
39 ............ ( )
43 ............ ( )
173 ............ ( )
2. ¿Cuántos divisores tienen los siguientes números compuestos?
120 ............ ( )
200 ............ ( )
240 ............ ( )
360 ............ ( )
540 ............ ( )
1200 ............ ( )
EJERCICIOS.
1. Dado el numero 𝑁 = 12600, hallar.
A. CD de N
B. CD compuestos
C. CD pares
D. CD impares
2. Si 𝑁 = 25. 3𝑎 . 5𝑎 tiene 20 divisores compuestos, hallar 𝑎:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3. Si 𝑁 = 15 . 21𝑛, tiene 60 divisores, determinar el valor de "𝑛"
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
4. Calcular el valor de "𝑛" para que el 𝑁 = 15 . 30𝑛 tenga 180 divisores.
A. 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
5. Si 4𝑎 . 3𝑏 tiene 𝑎𝑎̅̅̅̅ divisores. ¿Cuántos divisores compuestos tendrá 𝑎𝑏𝑏𝑎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅?
A) 14 B) 18 C) 20 D) 12 E) 9
6. ¿Cuántos divisores de 𝐸 = 26. 34 . 78 tienen raíz cuadrada exacta?
A) 60 B) 70 C) 25 D) 56 E) 90
7. ¿Cuántos divisores no divisibles por 6 tiene el número 𝑁 = 120 . 452?
A) 20 B) 32 C) 12 D) 36 E) 38
8. Si los números 𝐴 = 24 . 30𝑛; 𝐵 = 24𝑛+1 . 32𝑛+1 tiene la misma cantidad de divisores.
¿Qué valor posee "𝑛"?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
9. ¿Cuántos divisores compuestos tiene 1818?
A) 16 B) 703 C) 364 D) 548
E) 700
10. Determinar "𝑛" si; 𝑁 = 21 . 15𝑛 tiene 20 divisores compuestos.
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
11. Si 𝑁 = 9𝑛 − 9𝑛−2, tiene 30 divisores. Calcular "𝑛".
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
12. Si 8𝑛 + 8𝑛+2, tiene 84 divisores compuestos. ¿Cuál es valor de “n”?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
13. Calcule 𝑎 + 𝑛, si 𝐸 = 2200 … 0⏟
"𝑛" 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠
(8) posee 𝑎3̅̅̅̅ divisores compuestos.
A. 17
B. 18
C. 27
D. 19
E. 23
14. Si "𝑎" y "𝑏" son 2 números cuya diferencia es 3. Calcular 𝑎 + 𝑏 si, además
𝑁 = 3𝑎 + 3𝑏 tiene 3 divisores.
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
E. 16
15. Determinar el valor de "𝑛" para que el número de divisores de 𝑁 = 30𝑛 tenga el doble
del número de divisores 𝑀 = 15 . 18𝑛
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
16. Sabiendo que el número 24𝑛 × 36𝑛 tiene 589 divisores, determinar cuántos divisores
tendrá 18𝑛 × 30𝑛
A. 1729
B. 1056
C. 2640
D. 4780
E. 3543
17. Hallar el número cuya descomposición canónica es 3𝑎 . 𝑏𝑏 . 𝑎3 si se sabe que además
que tiene 72 divisores y no es múltiplo de 27.
A. 23500
B. 22500
C. 24000
D. 30000
E. 25500
18. Si 𝑎𝑏̅̅ ̅ es un número primo, mayor de 40. ¿Cuántos divisores que son números
compuestos tendrá el número 𝑎𝑏𝑎𝑏𝑎𝑏00̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅?
A. 280
B. 270
C. 345
D. 134
E. 564
19. La suma de los divisores impares del número 4400, es:
A. 374
B. 278
C. 346
D. 372
E. 462
20. ¿Cuántos divisores múltiplos de 3, pero no de 7 ni de 5 tiene el numero 126000?
A. 80
B. 40
C. 60
D. 50
E. 30
21. Determine cuantos divisores de 840000 son PESI con 3.
A. 60
B. 120
C. 70
D. 30
E. 80
22. ¿Cuántos de los divisores de 1575 son de 2 cifras?
A. 5
B. 7
C. 6
D. 18
E. 9
23. ¿Cuántos números primos existen, de tal forma que elevados al cuadrado y
sumándoles los 15 primeros enteros positivos, resulta el cuadrado de otro número
primo?
A. 8
B. 7
C. 5
D. 3
E. 1
24. ¿Cuantas veces se debe multiplicar a 18 por si mismo para que el resultado tenga 88
divisores compuestos?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 5
E. 6
25. Cuantos ceros se debe poner a la derecha de 9 para que el resultado tenga 239
divisores compuestos.
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
E. 9
26. Evaluar (𝑎 + 𝑏) si la suma de los divisores del número 𝑁 = 25 . 𝑎 . 𝑏 es
27
10
de 𝑁
considerando que 𝑎 y 𝑏 son primos absolutos mayores de 2.
A. 12
B. 10
C. 11
D. 9
E. 8
27. ¿Cuántos divisores de 396000 son divisibles entre 3 pero no entre 5?
A. 36
B. 38
C. 23
D. 32
E. 24
28. Calcular la suma de las inversas de los divisores múltiplos de 15 del número 81900.
A. 224/65
B. 672/13
C. 224/975
D. 112/65
E. 367/17
29. Hallar un número de la forma 𝑎𝑏𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, sabiendo que tiene 14 divisores. Dar como
respuesta "𝑎 + 𝑏".
A. 15
B. 14
C. 13
D. 12
E. 10
30. Sabiendo que el producto de los divisores de un número es 312. 518, hallar el numero y
de como respuesta la suma de sus cifras.
A. 10
B. 9
C. 8
D. 19
E. 23
31. Calcular la suma de las inversas de los divisores de un número cuyo producto de
divisores es 240 . 530.
A. 2,930
B. 2,264
C. 2,418
D. 3,184
E. 3,76
32. Calcular la suma de las inversas de los divisores de 𝑁 = 11𝑥−2 − 11𝑥−4. Sabiendo que
221𝑥, tiene 𝑥 + 31 divisores.
A. 36/11
B. 27/11
C. 37/15
D. 37/89
E. 5/7
33. ¿De cuantas maneras se puede descomponer 8100 como el producto de dos factores?
A. 23
B. 24
C. 20
D. 22
E. 21
34. Si 𝑎𝑏𝑐̅̅ ̅̅ ̅ tiene 15 divisores además 2𝑎 + 3𝑏 =7
°+ 6𝑐. Calcule 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.
A. 16
B. 17
C. 18
D. 19
E. 20
35. La cantidad de rectángulos de lados enteros positivos diferentes entre si que se
pueden formar y tengan un área de1296000, es:
A. 50
B. 60
C. 70
D. 80
E. 82
36. ¿Cuántos triángulos rectángulos existen con la característica de que sus catetos sean
números enteros y el área de la región que limitan es de 400 𝑚2?
A. 18
B. 11
C. 12
D. 9
E. 8
37. Si 𝑎𝑏̅̅ ̅ es un número primo absoluto. ¿Cuántos divisores como mínimo tiene 𝑎𝑏0𝑎𝑏̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ?
A. 9
B. 12
C. 18
D. 45
E. 16
38. ¿Encuantos sistemas de numeración 888 acaba en cifra 8?
A) 15 B) 20 C) 30 D) 18 E) 35
213 A 1031
oo
+=→+
oo
11 A 11 =→
TEMA 7
DIVISIBILLIDAD
DIVISIBILLIDAD.- Se llama divisibilidad a la teoría de los números que estudia las condiciones que
debe reunir un número para que sea divisible por otro y las consecuencias que se derivan de este hecho.
MULTIPLO DE UN NÚMERO.
Es aquel número que contiene a otro exactamente un número entero de veces.
Ejemplos.
45 s múltiplo de 9
35 es múltiplo de 7
DIVISOR DE U N NÚMERO.
Es aquel número que está contenido en otro, un número entero de veces.
9 es divisor de 45
7 es divisor de 35
NOTACION:
O
A= B
Se lee “A es múltiplo de B”
“B es divisor de A”
OPERACIONES CON MULTIPLOS.
O O O
O O O
1) a a a
2) a a a
+ =
− =
O O O
O O
O O
O
3) a a a
4) a a
5) a a;
a
6) =Entero
a
k
k
k Z +
=
=
=
7)
8) Arquímedes:
Ejemplos:
Si A.9 = ; 9 y 11 pesi
Si A.5 =
Observaciones:
•
a.bnb)na)(n(
ooo
+=++
=→=
O
a.b
b
a
N a.bN
o
o
NOTA:
Todo número es múltiplo de la base en la cual está escrita más la última cifra.
4 3 2
(n)
O O O O O
abcde a n n c n d n+e
n n n n e n e
= + + +
= + + + + = +
b
Ejemplos.-
O
(8)1. 457365 8 5= +
NUMEROS NO DIVISIBLES.- Si un número no es divisible entre otro al dividirlo deja un residuo diferente
de cero, en consecuencia, se puede expresar como un múltiplo de otro más el residuo por defecto o
menos el residuo por exceso.
En general:
1) POR DEFECTO.
A B
r k
O
A=B k r A= B r + +
2) POR EXCESO.
A B
re k+1
O
e eA=B (k+1) - r A=B r −
Ejemplos:
1. - 49 9
4 5
resto por defecto es 4.
O
49 = 9 5+4 49 9 4 = +
2. -
49 9
5 6
O
49 9 6 5 49 9 5 = − = −
, resto por exceso es 5.
DIVISIBILIDAD APLICADA AL BINOMIO DE NEWTON.
o O
k k
o
k
o
k
o
k
o O
k
En general:
i) ( a +b) a b
a b ;
ii) ( a -b)
a b ;
iii) ( a +1) a 1
k par
k impar
= +
+
=
−
= +
= → =
O
c + k
c) + k b, MCM(a, N + k b
a + k
N
o o
o
421
O O
421 421
1. Hallar el residuo de dividir
532 9
532 (59 9 1) 9 1 = 9 +1 = 1
−
= + = +
( )
( )
847
O
847847 847
O O O
847
O
2. Hallar el residuo de dividir
832 17
832 17 48 16 17 16
17 16 1 1 17 17 1
17 16
El resto o residuo es 16
−
= + = +
= + + − = + −
= +
O
O
O
: A k +a
B = k +b
A+B= k +a+b
propiedad =
NOTA: Esta propiedad se utiliza especialmente en los problemas de divisibilidad donde se pueden
determinarse el residuo, siendo él una potencia.
PRINCIPALES CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.
Son las condiciones que debe reunir un número para ser divisible por otro.
DIVISIBILIDAD POR 2n
Un número es divisible por 2n, si sus “n” últimas cifras de la derecha, son ceros o forman un múltiplo de
2n.
En general: Para un número:
00
4
4
o
oN ef
= →
DIVISIBILIDAD POR 5n
Un número es divisible por 5n, si sus “n” últimas cifras de la derecha, son ceros o forman un múltiplo de
5n.
En general: Para un número:
DIVISIBILIDAD POR 3
Un número es divisible por 3, si la suma de sus cifras es múltiplo de 3.
abcdefN =
→= o
o
2
0
f 2N
→== o
3
o
8
000
def )(28N
abcdefN =
→= o
o
5
0
f 5N
→= o
o
25
00
ef 25N
→= o
o
125
000
def 125N
En general: Para un número:
DIVISIBILIDAD POR 9.
Un número es divisible por 9, si la suma de sus cifras es múltiplo de 9.
En general: Para un número:
DIVISIBILIDAD POR 7.
Un número es divisible por 7. Si cumple la siguiente condición:
En general: Para un número:
DIVISIBILIDAD POR 11.
Un número es múltiplo de 11, si la suma de sus cifras de orden impar menos la suma de sus cifras de
orden par es cero o múltiplo de 11.
En general: Para un número:
DIVISIBILIDAD POR 13.
Un número es divisible por 13 si al cuadruplicar su última cifra y sumarla a lo que quedó del número (sin la
última cifra) obtenemos un múltiplo de 13. Si en la primera operación aún no se puede determinar la
divisibilidad, entonces debemos continuar hasta que podamos determinar la divisibilidad a simple vista.
Ejemplo:
Determinar si 8333 es múltiplo de 13.
833+4(3) = 833+12 = 845
84+4(5) = 84+20 = 104
10+4(4) =10+16 = 26 =
Finalmente: 8333 si es múltiplo de 13.
DIVISIBILIDAD POR 13.
Si al multiplicar sus cifras por:
a b c d e f g h i j
–1 –4 –3 1 4 3 –1 –4 –3 1
es 0 ó múltiplo de 13 (la suma de los productos)
Ejemplo.-
549210311 es múltiplo de 13.
DIVISIBILIDAD POR NÚMEROS COMPUESTOS.
Ejemplo:
abcdefN =
oo
3fedcba 3N =+++++→=
abcdefN =
oo
9fedcba 9N =+++++→=
abcdefN =
abcdefN =
=++++→= o
o
11
0
)ac(e-b)d(f 11N
ooo
ooo
9N 2N 18N Si
3N 2N 6N Si
==→=
==→=
+
1 3 2 1 3 2
f e d c b a N
−
= =
o
13
DIVISIBILIDAD POR 15.
Un número es divisible por 15, cuando es divisible por 3 y 5 simultáneamente.
DIVISIBILIDAD POR 13.
El número ...N dcba= es divisible por 13 si y sólo si ... 9P dcb a= − , es divisible por 13.
Por ejemplo N = 247 es divisible por 13 porque P = 24 – 7*9 = – 39 es divisible por 13.
EJERCICIOS
1. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son verdaderas?
I. Todo número entero positivo es divisor de sí mismo.
II. El cero es divisor de todo número entero positivo.
III. El cero es múltiplo de todo número entero positivo.
IV. 26 es divisible por 6
V. 15)45)(25)(35(
oooo
−=+++
VI. 125 es divisible por cero.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. A una fiesta de promoción asistieron 400 personas entre varones y mujeres. Del total de las mujeres
asistentes se observó que la tercera parte de ellas tienen cabello largo, que los
3
8
de ellas usan
aretes y que los
5
2
11
son rubias. ¿Cuántos varones asistieron a la reunión?
A) 128 B)132 C)136 D)252 E)264
3. En
0
(n)124 5 2= + , el menor valor de ”n” es:
A)5 B)6 C)7 D)8 E)10
4. En un aula se observa que de 50 alumnos la séptima parte de las mujeres son estudiosas, también se
pudo observar que la onceava parte de los varones son deportistas ¿Cuántos varones hay y cuantas
no son estudiosas?
A) 22 y 24 B) 21 y 25 C) 23 y 24 D) 14 y 22 E) 15 y 22
5. Una embarcación de marineros naufragó. De los sobrevivientes, los
5
6
son casados y los
2
9
resultaron
ilesos. ¿Cuántos se ahogaron si inicialmente eran 60? Considere que la cuarta parte de los
sobrevivientes eran mujeres.
A) 26 B) 22 C)28 D) 24 E) 20
6. En una reunión de profesionales hay 131 personas, la mayor parte son varones. Si la octava parte de
los varones son ingenieros y la séptima parte de las mujeres son economistas, ¿Cuántos varones no
son ingenieros?
A) 12 B)21 C)30 D)84 E) 96
7. Al expresar en su forma más simple (7 1) (7 2) (7 3) ... (7 70)E
• • • •
= + + + + + + + + la suma del menor
valor entero positivo de dos cifras, es:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
8. Un cierto número entero es divisible por 8, 12,15 y 20. Hallar el número de valores que puede adoptar
tal número, sabiendo que es mayor que 400 pero menor que 700.
A) 2 B) 3 C) 4 d) 1 E) 5
9. Si 3 ... 3 36a ba a b
•
= , entonces la suma de los valores de ab es:
A)136 B) 133 C)138 D)134 E) 139
10. Si abcd es un número de cuatro cifras, entonces ( dcbaabcd + ) siempre es múltiplo de:
A) 9 B) 10 C) 11 D) 13 E) 12
11. En un aula se observa que, de 50 alumnos, la séptima parte de las mujeres son estudiosas, también
se pudo observar que la onceava parte de los varones son deportistas. ¿Cuántos varones hay y
cuántas no son estudiosas?
A) 22 y 24 B) 21 y 25 C) 23 y 24 D) 14 y 22 E) 15 y 22
12. ¿Cuántos números de 3 cifras al ser divididas entre 4 y 7 dejan como restos 2 y 5 respectivamente?
A) 25 B) 20 C) 32 D) 33 E) 40
13. Sabiendo que el numeral abcd es múltiplo de 15 y cd = 4 ab +6, hallar: a+b+c+d
A) 8 B) 10 C) 12 D) 18 E) 15
14. ¿Cuántos valores toma “m”, si
0
3m4m3 = ?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. Hallar al número de la forma:
1)x-2)(x1)(xx(x ++ si es 911
0
+
A) 67856 B) 78967 C) 56745 D) 34523 E) 23412
16. ¿Cuál es el residuo de dividir A x B entre 5? si
200 cifras
A = 4848....48
300 cifras
B = 8484....84
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
17. El resto que resulta al dividir 62206 entre 7 es:
A) 2 B) 5 C) 6 D) 3 E) 4
18. Al dividir el número 2)2401( 125 − entre 7, su residuo es:
A) 2 B) 0 C) 4 D) 5 E) 6
19. Al dividir ( 613
0
+ ) entre ( 813
0
+ ) se obtiene como resto a ( 513
0
+ ) y un cociente que es el menor valor
posible de dos cifras, la suma de las cifras del cociente resulta:
A) 8 B) 9 C)10 D)11 E) 12
20. Al simplificar:
40)6(.....6)6(4)6(2)6(E
0000
++++++++=
se obtiene:
A) 16
0
+
B) 26
0
+ C) 46
0
+
D) 36
0
+ E)
0
6
21. Hallar el valor de la cifra “x”, si el número
8x6x2 es divisible por 13
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 8
22. Si el número y5xyx8 es divisible por 88, el el valor de: x · y es
A) 5 B) 2 C) 9 D) 3 E) 8
23. Calcular el resto de dividir 4715 entre 13
A) 1 B) 5 C) 8 D)10 E) 12
24. Si
80 70 50
478 337 226N = y r es el residuo de dividir N entre 9. Hallar 3r
A) 12 B)10 C)14 D) 15 E) 13
25. ¿Cuántos múltiplos de 13 que no terminan en 5 hay entre 800 y 1000?
A) 13 B) 14 C) 12 D) 15 E) 16
26. Del número 2000 al 3000 ¿cuántos números son múltiplos de 7 pero no de 13?
A) 132 B) 139 C) 134 D) 143 E) 156
27. ¿Cuántos números de 3 cifras son divisibles por 2 y 3 a la vez, pero no por 5?
A) 110 B) 115 C) 120 D) 124 E) 150
28. ¿Cuántos números de tres cifras son divisibles por 3 ó por 5 pero no por 4?
A) 150 B) 360 C) 300 D) 315 E) 390
29. El valor de “x” para que: ....1x9x8x7x6x.. sea divisible por 11, es:
A) 7 B) 1 C) 0 D) 6 E) 5
30. Si ;820Ny1521N
00
+=+= ¿Cuál es el resto de dividir N por 420?
A) 258 B) 288 C) 215 D) 225 E) 268
31. Halle la suma de todos los valores posibles de “a + b” , si 54a4b es divisible por 36
A) 10 B) 9 C) 24 D) 11 E) 15
32. Si: − + =
0
a0(a 1)(a 1) 19 el valor de “a” es
A) 7 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5
33. El residuo que se obtiene al dividir:
2 3 10E =1×9+2×9 +3×9 +....+10×9 entre 8, es:
A) 3 B) 4 C) 2 D) 7 E) 6
34. ¿Cuál es el menor número mayor que 400, que al ser dividido entre 35 deja 30 de residuo y al ser
dividido entre 45 deja 10 de residuo?
A) 415 B) 425 C) 520 D) 430 E) 435
35. Sabiendo que 372aabbc
0
+= , ¿cuál es el resto que se obtiene al dividir acb2 entre 7?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
ARITMETICA CEPRU 2022-1
TEMA 8
MAXIMO COMUN DIVISOR Y M.C.M.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD).
De dos o más números, es el producto de sus factores primos comunes con su
menor potencia.
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.).-
De dos o más números, es el producto de sus factores primos comunes con su
mayor potencia y sus factores no comunes.
PROPIEDADES DEL MCD Y MCM.
1.
MCD(A;B) 1
Si A y B son PESI
MCM(A;B) A B
=
=
2. Si dos números A, B, se dividen entre su MCD(A, B) = k, entonces:
A
α
MCD(A, B)
= ;
B
β
MCD(A, B)
=
Donde: y son números primos entre sí.
NOTA: Esta propiedad se puede extender para más números.
3. MCD(A, B) x MCM(A, B) = A x B
4. Si se tiene 2 números de los cuales uno contiene al otro, entonces el MCD es el
menor y el MCM es el mayor.
5. Los cocientes de dividir el M.C.M. de un conjunto de 2 ó más enteros positivos
entre cada uno de ellos , son siempre primos entre sí.
Ejemplo.:
Sean : 8 ; 10 y 24
MCM(8, 10, 24) = 120
- 2 -
8
120
=15;
10
120
=12;
24
120
=5
observe que 15; 12 y 5 son pesi
NOTA: Dos o más números son primos entre si (PESI) cuando su MCD es la
unidad (1).
6. Si se multiplica o dividen dos o más números por una misma cantidad, su MCD
también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa misma cantidad.
MCD (kA; kB) = k. MCD(A, B)
MCD (A/k; B/k) = MCD(A, B)/k
7. MCM(A, B) = MCD(A, B).
Donde : y son números primos entre sí.
8.-
El MCD de un conjunto de números pesi es 1
9.- Si A es múltiplo de B; entonces MCD(A,B) = B i el MCM(A,B) = A
10.- MCM(kA;kB;kC) kMCM(A;B;C)=
A B C 1
MCM ; ; MCM(A;B;C)
k k k k
=
11.- Para varios números se cumple:
MCD MCD(A;B);C) MCD(A;B;C)=
MCM MCM(A;B);C) MCM(A;B;C)=
12.- MCD Y MCM de dos o más Fracciones
a)
a c e MCD(a;c;e)
MCD , ,
b d f MCM(b;d;f)
=
b)
a c e MCM(a;c;e)
MCM , ,
b d f MCD(b;d;f)
=
- 3 -
13.- Los divisores comunes de un conjunto de números son los divisores
de su MCD.
14.- El MCD de 2 números siempre está contenido en dichos números.
15.- Los múltiplos comunes de ciertos números son múltiplos de su MCM.
16.- EL MCM es un número que contiene a los números de los cuales se
determinó.
17.- Si: ( )d MCD A,B= entonces:
0
A d= y
0
B d=
18.- Si: ( )MCM A, B m= entonces:
0
m A= y
0
m B=
METODOS PARA CALCULAR EL MCD Y MCM.
I. POR DESCOMPOSICION SIMULTANEA.
Se aplica este criterio por separado, para hallar el MCD y para el MCM.
Para hallar el MCD, descomponer simultáneamente, hasta que sus divisores
sean primos entre si.
Para el MCM, descomponer hasta que sus divisores comunes sea la unidad.
1. Hallar el máximo común divisor de 84, 126 y 310.
Hallamos el MCD
84 – 126 – 315 3
28 - 42 - 105 7
4 - 6 - 15
MCD(84,126,315) = 3x7 = 21
- 4 -
II. POR DESCOMPOSICION EN FACTORES PRIMOS,
DESCOMPOSICION CANONICA.
Luego de descomponer los números en sus factores primos, se toman a todos
los factores, afectados de sus mayores exponentes (ESTO para el hallar el
MCM)
Ejemplo.- Hallar el máximo común divisor de:
A = 23x35x52x7
B = 22x33x55x112
C = 25x34x5x72
2 3MCD(A, B, C)=2 x3 x5
III. POR DIVISIONES SUCESIVAS (ALGORITMO DE EUCLIDES)
Permite calcular el MCD de solamente dos números mediante divisiones
sucesivas.
Ejemplo:
sean los números 468 y 204
- 5 -
El último divisor empleado, es decir 12, será el MCD
MCD (468; 204) = 12
IV. Si
A = na – 1 = (n)
a veces
(n-1)(n-1)...(n-1)
B = nb – 1 =
b veces
(n-1)(n-1)...(n-1)
C = nc – 1 =
c veces
(n-1)(n-1)...(n-1)
Entonces: MCD(A, B, C) = nMCD(a, b, c) – 1
EJERCICIOS
1) ¿Cuántas de las siguientes expresiones son verdaderas?
I) SI A, B y C son números primos relativos, entonces el MCD(A;B;C)=1
II) Si A es múltiplo de B, entonces MCD(A;B)=A
III) ( ; ) ( ; )A B MCD A B MCM A B = para todo A, B Z+
- 6 -
IV) Los divisores comunes de un conjunto de números son también divisores
del MCD de dichos números.
A)1 B) 2 C)0 D) 3 E) 4
2) En las siguientes proposiciones indicar cuáles son verdaderas y cuales son
falsas.
I) Si A B= , entonces MCD(A;B)=A
II) Si A B= , entonces MCD(A,B)=B
III) MCD(K A;K B)= K MCD(A;B); K Z+
IV) 1, ( ; )
A B
MCM MCM A B
n n n
=
A) FVFF B) FVVV C) VFVF D) FVVF E) FFFF
3) Hallar “a” si el CMD de 20x10a y 10x20a posee 30 divisores.
A) 10 B) 2 C)6 D) 3 E) 4
4) Para transportar 36 gatos y 54 perros se van a usar jaulas iguales que
sean lo más grande posible, y de forma que todas quepa el mismo número de
animales. ¿Cuántos animales deben ir en cada jaula?
A)18 B) 12 C)10 D) 11 E) 20
5) Hallar la suma de MCD y MCM de los siguientes números A = 210 , B
= 315 y C = 420.
A)300 B) 1200 C)1365 D) 1400 E) N.A.
- 7 -
6) El autobús de la línea A pasa por cierta parada cada 9 horas y el de
línea B, cada 12 horas. Si acaban de salir ambas a la vez, ¿Cuántos horas
tardaran a coincidir otra vez?
A)20h B) 14h C)36h D) 18h E) 24h
7) En un club de atletismo se han escrito 18 chicas y 24 chicos. ¿Cuántos
equipos se pueden hacer teniendo en cuenta que debe haber en todos el mismo
número de chicas y chicos, si es el máximo número de equipos posible?
A)6 y 1 B) 4 y 2 C)3 y 4 D) 8 y 1 E) 2 y 6
8) Se desea dividir un terreno rectangular, de 120m de ancho por 180m de
largo, en parcelas cuadradas de igual área lo más grandes posible. ¿cuánto debe
medir el área de cada parcela?
A) 2100 B) 1400 C)3600 D) 2180 E)3024
9) La suma de dos números A y B es 403, el cociente entre su MCM y su
MCD es 108. Halle (A - B).
A) 299 B) 216 C) 713 D) 483 E) 438
10) El MCM de dos números es 30030 y su MCD es 5. ¿Cuántos pares
de números hay con esta propiedad?
A) 8 B) 16 C) 32 D) 64 E) 60
11) Determinar en cuantas cifras máximas se expresa el MCD de los
números: A = 7864 – 1 y B = 7208 – 1
A) 10 B) 20 C) 14 D) 16 E) 8
12) Si: MCD (3 A; 24 C) = 18 N y MCD (2 C; B ) = 2N Calcule “N” si: MCD
(A; 4 B; 8 C) = 632
A) 500 B) 316 C) 13 5 D) 12 2 E) 12 4
13) Si MCD( ), es múltiplo de 33
Calcule: (b - a)
A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 9
- 8 -
14) Determinar el valor de: x + y + a, si los cocientes obtenidos al calcular
el MCD de los numerales ( ) ( )a a 2 a 4+ + y 6x y por el algoritmo de Euclides son
1; 3 y 4.
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
15) Si: MCD (A; B) = MCD (C; D) y al calcular MCD (A; B) se obtuvo como
cocientes sucesivos por exceso 2; 5 y 6 y al calcular el MCD (C; D) se obtuvo
como cocientes sucesivos por exceso 6; 5 y 2. Calcule “B - D” mínimo. Si la
cantidad de divisores de A y C es impar.
A) 220 B) 260 C) 280 D) 320 E) 440
16) Se tiene 3 números A; B y C al calcular el MCD de A y B por el
algoritmo de Euclides se obtuvieron como cocientes 1; 1 y 2. Al calcular el MCD de
A y C por el mismo método se obtuvo como cocientes 1; 2 y 2. Halle el menor de
dichos números si se cumple que: A + B + C = 891.
A) 231 B) 573 C) 328 D) 388 E) 450
17) Un número es 13 veces el valor de otro. Además el MCM de estos es 546.
Hallar el MCD de dichos números
A) 48 B) 42 C) 52 D) 53 E) 45
18) Determinar dos números de tres cifras, cuya suma es 432 y su MCM es
323 veces su MCD. Dar como respuesta la diferencia de dichos números.
A) 12 B) 18 C) 24 D) 36 E) 42
19) Si el MCD de dos números es 144 y tienen 33 y 35 divisores. Halle el
menor.
A) 9 216 B)8516 C)9310 D) 8 750 E) 9 415
20) ¿Cuántos números menores que 80 tienen con 360 un MCD igual a 4?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
21) Si: MCD (K 4; 3K 4; K ) = K 7. Hallar el mayor de dichos números.
A) 20 B) 18 C) 7 D) 26 E) 10
- 9 -
22) Si: ( )MCD 75d;p0p2 abc=
Además: a + c = b. Calcule: (a + b + c +
d + p)
A) 18 B) 19 C) 17 D) 20 E) 21
23) Se han colocado postes igualmente espaciados en el contorno de un
campo triangular, cuyos lados miden 210, 285 y 345m. respectivamente. Sabiendo
que hay postes en cada vértice y que la distancia entre poste y poste está
comprendido entre 12 m. 18 m. Calcule cuántos postes se colocaron.
A) 52 B) 56 C) 32 D) 48 E) 60
24) Tres autos de carrera A, B y C parten juntos de un mismo punto de una
pista circular que tiene 120 km de circunferencia.La velocidad de A es 8 km/s; la
velocidad de B es 5 km/s; la velocidad de C es 6 km/s. ¿Después, de cuánto
tiempo tendrá lugar el segundo encuentro de los tres?
A) 190 s B) 240 s C) 60 s D) 45 s E) 180 s
25) Halle la suma de las cifras del MCD de tres números enteros, sabiendo
que cada uno de ellos está compuesto por 120 nueves, 180 nueves y 240 nueves
respectivamente.
A) 600 B) 280 C) 360 D) 440 E) 540
26) El MCD de dos números es 23. Hallar el mayor si la suma de los números
es 184.
A) 82 B) 115 C) 98 D) 40 E) 90
27) Al calcular el MCD de dos números por el método de las divisiones
sucesivas; se obtiene como cociente 2; 1; 3 y 2; si el primer y tercer resto fueron
por exceso. Sabiendo que el producto de los números es 5103; el menor de los
números es:
A) 92 B) 63 C) 40 D) 77 E) 88
28) Halle la suma de las cifras, del MCD(A,B) expresada en la Base Binaria,
si:
(4); (8)333....3 77777....7A B= = donde la cifra 3 y la cifra 7 se repiten 20 veces
respectivamente.
A) 20 B) 25 C) 24 D) 21 E) 22
- 10 -
29) Hallar el valor de “m” en los números:
12. 15mA= y 15 12mB = , para que el MCM tenga 60 divisores.
A)2 B)7 C)4 D)5 E)10
30) Un negociante tiene tres barriles de vino con 320; 480 y 560 litros
respectivamente, si para su distribución es necesario envasarlos en bidones de
igual capacidad ¿Cuántos envases como mínimo se necesitan sin que se
desperdicie vino alguno?
A) 17 B) 15 C) 14 D) 20 E) 10
- 11 -
TEMA 9
RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN
Es la comparación que se establece entre dos cantidades de una magnitud
mediante las operaciones de sustracción o división, lo cual nos induce a señalar
que se tiene dos clases de razón.
Razón aritmética
Es la que se obtiene mediante la sustracción y consiste en determinar en cuánto
excede una de las cantidades de la otra.
Ejemplo:
Los automóviles A y B se desplazan con velocidades de 24 m/s y 20 m/s
respectivamente, comparemos sus velocidades:
Valor de
Razón Aritmética la razón
24m/s – 20m/s = 4m/s
Antecedente Consecuente
Interpretación:
La velocidad del automóvil “A” excede en 4 m/s a la velocidad del automóvil “B”
Razón Geométrica
Es la que se obtiene mediante la división y consiste en determinar cuántas veces
cada una de las cantidades contiene la unidad de referencia.
Ejemplo:
Los edificios M y N tienen una altura de 48 m y 36 m respectivamente,
comparemos sus alturas (en ese orden):
- 12 -
Razón Geométrica
Antecedente → 48m 4
Consecuente → 36m 3
Valor de la razón
Interpretación:
• Las alturas de los edificios M y N son entre sí como 4 es a 3 porque:
• Altura de M: 4(12m) Donde: 12m es la unidad de referencia.
Altura de N: 3(12m)
• Por cada 4 unidades de 48 m hay 3 unidades de 36 m
• Las alturas de los edificios M y N están en la relación de 4 a 3
En general
Magnitud Cantidades
x a y b
Términos
a : antecedente
b : consecuente
RAZON
Aritmética Geométrica
a – b = R
K
b
a
=
- 13 -
R y K: valores de las razones
NOTA:
Cuando en el texto se mencione solamente razón o relación se debe entender que
se hace referencia a la razón
PROPORCIÓN
Es la igualdad en valor numérico de dos razones de la misma clase.
Proporción aritmética
Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones aritméticas.
Ejemplo:
Se tiene cuatro artículos cuyos precios son: S/.15, S/.13, S/.9, S/.7. Los cuales se
comparan mediante la sustracción del siguiente modo:
S/.15–S/.13 = S/.2
S/.15 - S/.13 = S/.9 - S/.7
S/. 9 –S/.7 = S/.2 Términos Médios
Interpretación:
El precio S/. 15 excede a precio de S/. 13 tanto como el de S/. 9 excede al de
S/.7.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética con las edades de 4 alumnos y que son: 15 años,
17 años, 18 años y 14 años.
T. Extremos
i) 18 años - 15 años = 17 años - 14 años
- 14 -
T. Medios
Llevando los extremos y medios a un solo miembro de la igualdad se obtiene lo
siguiente:
Extremos Medios
* 18 años+14 años = 17años+15 años
32 años = 32 años
De donde podemos concluir que en toda proporción aritmética:
[Suma de extremos] = [suma de medios]
Dependiendo del valor que asumen los términos medios las proporciones
aritméticas presentan dos tipos.
A. Discreta.
Cuando los valores de los términos medios son diferentes.
Ejemplo:
Halle la cuarta diferencial de los precios de tres artículos que son: S/. 50, S/.34 y
S/.29
S/. 50 - S/.34 = S/.29 - S/ d
cuarta diferencial
luego: d = 13
NOTA:
Convencionalmente se asumen los términos de la proporción aritmética en el
orden como se presenta en el texto
=
=
−
ominTér
to4
ominTér
er3
ominTér
do2
ominTér
er1
- 15 -
B. Continua.
Cuando los valores de los términos medio son iguales.
Ejemplo:
Forme una proporción aritmética continua con los volúmenes de 4 recipientes y
que son: 19 cm3, 15 cm3 y 11cm3.
Ejercicios:
1. Calcule la media diferencial de las temperaturas 35º y 17º
2. Halle la tercera diferencial de los pesos 41 kg. y 35 kg.
Resumiendo
PROPORCION ARITMÉTICA
Discreta Continua
Extremos
a – b = c - d
Medios
d: Cuarta diferencial
de a, b y c
Extremos
a – b = b - c
Medios
b: media diferencial
de a y c
c: Tercera diferencial
de a y b
Proporción geométrica.
Es aquel que se forma al igualar los valores numéricos de dos razones
geométricas.
Ejemplo:
Se tiene cuatro recipientes cuyas capacidades son: 21L 7L; 15L y 9L, las cuales se
comparan mediante la división del siguiente modo:
- 16 -
3
L5
L15
3
L7
L21
=
=
L5
L15
L7
L21
=
15Ly 7L
5Ly 21L
Interpretación:
La capacidad de 21L es a la capacidad de 7L como la de 15L es al de 5L.
Ejemplo:
Forme una proporción geométrica con las velocidades de 4 automóviles y que son:
15m/s; 20m/s; 9m/s y 12m/s.
Resolución:
a)
4
3
s/m12
s/m9
s/m20
s/m15
==
Extremo: 15 m/s y 12 m/s
Medios: 20 m/s y 9m/s
Valor de cada razón geométrica:
4
3
b)
3
4
s/m9
s/m12
s/m15
s/m20
==
Extremo: 20 m/s y 9 m/s
Medios: 15 m/s y 12m/s
Valor de cada razón geométrica:
3
4
•
•
.- 17 -
* Llevando los términos medios y extremos a un solo miembro de la
igualdad se obtiene lo siguiente
Extremos Medios
(15 m/s)(12 m/s) = (9m/s)(20 m/s)
180 =180
Extremos Medios
(20 m/s)(9 m/s) = (12m/s)(15 m/s); 180 =180
De donde podemos concluir que en toda proporción geométrica:
[Producto de Extremos]=[Producto de Medios]
* Dependiendo del valor que asumen los términos medios, las proporciones
geométricas presentan dos tipos:
A. Discreta. Cuando los valores de los términos medios son diferentes.
Ejemplo:
Formar una proporción geométrica discreta con las notas de 4 estudiantes y que
son: 20; 16; 15 y 12
NOTA:
Convencionalmente se asumen los términos de la proporción en el orden como se
presentan en el texto.
)ominTér.to4(
)ominTér.er3(
)ominTér.da2(
)ominTér.er1(
=
Ejercicio:
Calcule la cuarta proporcional de las estaturas de 3 estudiantes y que son: 1,6 m;
1,2m y 1,4m.
- 18 -
B. Continúa. Cuando los valores de los términos medios son iguales
Ejemplo.
Forme una proporción geométrica continua con las medidas de tres ángulos y que
son: 12º, 18º y 27.
Ejercicios:
1. Halle la media proporcional de las obras realizadas por dos obreros y
que fueron: 20m2 y 45m2.
2. Calcule la tercera proporcional de la longitud de dos pizarras y que son:
1,6m y 2,4m.
Resumiendo:
PROPORCION GEOMÉTRICA
Discreta:
d
c
b
a
= Continua:
c
b
b
a
=
d: Cuarta proporcional
de a, b y c
b: Media proporcional de a y c.
c: Tercera proporcional de a y b.
Propiedades de la Proporción
Para la proporción:
a c
b d
= se cumple:
a b c d
b d
+ +
=
a b c d
b d
− −
=
a c
b a d c
=
− −
a c
b a d c
=
+ +
a c a c
b d b d
+
= =
+
- 19 -
Para razones geométricas equivalentes:
( )31 2 n
1 2 3 n
aa a a
k razon
b b b b
= = = =
I.- La suma de los antecedentes sobre la suma de los consecuentes
No hace variar la razón:
( )
1 2 3 n
1 2 3 n
a a a a
k
b b b b
No cambia
+ + + +
=
+ + + +
razon=
suma de antecedentes
suma de consecuentes
II.- El producto de los antecedentes sobre el producto de los
consecuentes hace variara la razón:
( )
n1 2 3 n
1 2 3 n
nn n n
31 2 n
1 2 3 n
a a a a
k
b b b b
aa a a
b b b b
Si cambia
=
= = =
=
n(razon)=
producto de antecedentes
producto de consecuentes
III) Serie de razones geométricas equivalentes continúas.
• a b k
b c
= = se verifica:
2a ck b ck= =
- 20 -
2ck ck
k
ck c
= =
• a b c d k
b c d e
= = = =
Se verifica que:
2
3
4
d ek
c dk ek
b ck ek
a bk ek
=
= =
= =
= =
Remplazando tendremos:
4 3 2
3 2
ek ek ek ek
k
ek ek ek e
= = = =
EJERCICIOS
1) Halla la cuarta proporcional de 50 y de la tercera diferencial de 45 y 30; y de la
media proporcional de 4 y 100.
A) 8 B) 5 C) 6 D) 9 E) 10
2) Si 5 es la cuarta proporcional de M, 6 y A, además “A” es la cuarta proporcional
de M, 9 y 30. Halle el valor de “M+A”.
A) 18 B) 33 C) 16 D) 29 E) 30
3) Si “m” es la media proporcional de 9 y 4; “n” es la cuarta proporcional de 8, m y
12. Halle el valor de: “m + n”
A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 24
- 21 -
4) Los lados de un rectángulo están en la proporción de 12 a 17. Halle el
largo del rectángulo, si el ancho mide 60cm.
A)102cm B)75cm C)68cm D) 85cm E) 80cm
5) Marco le dice a Henry: “Nuestras edades actuales son como 7 a 2, pero dentro
de 22 años estarán en la relación de 5 a 3. ¿Halle la suma de las edades
actuales?
A) 34 B) 35 C) 36 D) 37 E) 38
6) Si las medias geométricas de tres números naturales A, B y C tomados 2 a 2,
son proporcionales a los números 4; 9 y 6 respectivamente, encontrar el valor de
la constante de proporcionalidad, de manera que los números A, B y C sean los
menores posibles.
A) 1 B) 3 C) 8 D) 4 E) 6
7) Tres números en progresión aritmética, que aumentados en 2; 3 y 8
respectivamente, son proporcionales a: 10; 25 y 50. El mayor número es:
A) 12 B) 14 C) 13 D) 15 E) 16
8) Si se cumple:
A.B A.C A.C
= = =25
U.N U.I N.I
Además: A.B.C =8000
Hallar: U.N.I
A) 24 B) 64 C) 50 D) 20 E) 75
9) Viviana y Katy juegan a las carta, Viviana empezó con S/. 220 y Katy con S/.
440. Después de jugar 20 partidas, la razón entre lo que tiene Viviana y Katy
es 3/8. ¿Cuántas partidas gano Katy, si en cada partida se ganó o se pierde
S/. 5?
A) 8 B) 12 C) 14 D) 6 E) 15
10) En estadio calmado, con capacidad 45000 espectadores, la relación de
hinchas del equipo local a la de los visitantes es de 5 a 3. Luego de los goles
del equipo visitante, la decepción hace abandonar a los hinchas del equipo
local y solo a ellos, cambiando la relación en orden inverso. Si solo habían
en el estadio hinchas de otros equipos. ¿Cuántos abandonaron el estadio
antes del final?
A) 17500 B) 14500 C) 16000 D) 18000 E) 15000
- 22 -
11) En una reunión de camaradería por cada 5 hombres adultos que entran,
ingresan 6 niños y por cada 3 mujeres adultas que entran, ingresan 8 niños.
Si en total ingresan 286 niños y el número de hombres adultos es al número
de mujeres adultas como 7 es a 4 ¿Cuántas mujeres adultas asistieron a la
reunión?
A) 60 B) 72 C) 105 D) 90 E) 75
12) La cantidad de dinero de A es a la de B como 2 es a 3, y la de B es a la de
C como 3 es a 4. Si A y C tienen juntos 60 soles, ¿Cuántos soles tiene B?
A) 30 B) 40 C) 50 D) 60 E) 70
13) Se tiene tres cubos A, B y C, en los cuales la arista de A es a la arista de B
como 2 es a 3 y la arista de B es a la arista de C como 2 es a 5. Si para
pintar todas las caras de B gaste 40 tarros de pintura más que para pintar
todas las caras de A, ¿Cuántos tarros de pintura se necesitan para pintar
dos caras del cubo C?
A) 120 B) 140 C) 150 D) 240 E) 130
14) Los antecedentes de una proporción están en la relación de 8 a 5 y la
suma de los consecuentes es 156. Calcular la diferencia de los términos
medios, si los extremos están en la relación de 4 a 3.
A) 46 B) 68 C) 51 D) 27 E) 35
15) En una proporción geométrica, la suma de los términos extremos es 20 y
su diferencia 16. ¿Cuál es su media proporcional?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
16) En una proporción geométrica continua, la suma de los términos es 105 y
la diferencia de extremos es 63. Halle la razón si es mayor que la unidad
A) 2 B) 3,5 C) 4 D) 5 E) 3,5
- 23 -
17) En la serie
a 6 c 10
= = =
65 b 35 d
Se tiene que a, d, b y c forman una proporción aritmética. Calcule a+b+c+d .
A) 60 B) 36 C) 80 D) 74 E) 72
18) En una serie, la suma de los términos de cada razón es 35; 42 y 63,
respectivamente. Si la mayor razón aritmética de dos consecuentes es 12,
halle la relación de los dos mayores antecedentes.
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/5D) 5/6 E) 9/5
19) En un ómnibus, en el cual viajan 36 caballeros, 38 damas y cierta cantidad
de niños, el cobrador observa que por cada 3 caballeros que bajan, bajan 2
damas y suben 5 niños. Si cuando llegan al paradero final el número de
caballeros, damas y niños se encuentran en la relación de 4; 5 y 7,
respectivamente, entonces, ¿Cuántos niños llegan al paradero final?
A) 20 B) 22 C) 32 D) 40 E) 42
20) En una caja se tiene fichas azules, blancas y rojas; además, por cada tres
rojos hay una azul y las blancas representan la cuarta parte del total. Si se
extraen tantas rojas como azules se agregan, la nueva relación entre ellas
será de 11 a 7, respectivamente.
¿Cuántas fichas rojas habían al inicio, dado que al final hay 14 fichas azules
más que blancas?
A) 189 B) 63 C) 112 D) 128 E) 1
21) Sí
a
= = =
c e
b d f
2 ; y además
a.e
; b.f ,
a e
6
144
13
Calcular: a.d.e .
Considere que b d f 30
A) 1832 B) 1956 C) 2124 D) 2230 E) 2304
- 24 -
22) En una proporción geométrico, los términos medios son números
consecutivos y la suma de los términos es 52. Si la constante de la
proporcionalidad es entera, halle la suma de los términos medios.
A) 15 B) 17 C) 19 D) 18 E) 21
23) Un recipiente contiene vino y agua en la relación de 5 a 4. Si se agrega 9
L. de vino, la nueva relación es de 2 a 1. Halle el volumen de la mezcla
inicial.
A) 20 L B) 25 L C) 30 L D) 28 L E) 27 L
24) Dada la siguiente serie:
3 3 33 3 327 125 343
39 65 91
a b c+ + +
= =
Calcular “b”, si c-a=20
a) 15 b)25 c)35 d)30 e)45
25) En una serie de tres razones geométricas iguales se sabe que la suma de
los dos primeros antecedentes es igual al segundo consecuente, siendo este el
doble del primer consecuente. Hallar el último antecedente, Sí su respectivo
consecuente es 36.
a)16 b)18 c)12 d)24 e)45
26) La diferencia entre el mayor y el menor término de una proporción
geométrica continua es 25, si el otro término es 30.Hallar la suma de los
términos. Si dichos términos son enteros positivos.
a) 95 b)105 c)115 d)125 e)135
- 25 -
27) A una reunión asistieron 240 personas, se sabe que por cada 19
hombres hay 5 mujeres; si por cada 10 personas que fuman 6 son hombres y
cada persona que fuma consume 3 cigarros. ¿Cuántas mujeres no fumaron en
dicha reunión, si se vendieron 6 cajetillas de cigarros? (1 cajetilla=20 cigarros)
a)50 b)34 c)48 d)36 e)24
28) En una serie de cuatro razones geométricas equivalentes los
consecuentes son 4;5;8 y el otro el cuádruplo de la razón y mayor que 8. Hallar el
mayor de los antecedentes. Sabiendo que la suma de los tres menores es 51.
a)48 b)72 c)24 d)36 e)64
29) La suma, diferencia y el producto de dos números están en la misma
relación que los números 5,3 y 16. Hallar estos números.
a)8 y 14 b)4 y 16 c)2 y 8 d) 6 y 12 e) 6 y 18
30) El número de hombres y el número de mujeres que asistieron a una
reunión está en la relación de 5 a 4 .Si la tercera parte de los asistentes se
retiran, de los cuales la sexta parte son hombres. Entonces la nueva relación de
hombres a mujeres es:
a)3:1 b)2:1 c)5:1 d)9:2 e)9:4
31) Si:
p q r
a b c
= = ; 4q p= ; 5r p=
Determinar el valor de:
2 2 2
2( )
a b c
E
a b c
+ +
=
+ +
a) 0,42 b) 0,21 c) 0,34
- 26 -
TEMA 10
MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL
MAGNITUD:
Se llama magnitud a todo aquello susceptible de variación (aumento o disminución);
el cual se puede medir directa o inversamente.
CANTIDAD:
Es valor particular de una magnitud.
Ejemplo:
MAGNITUD CANTIDAD
Longitud 2120 km.
Velocidad 30km/h
Peso 300 kg.
I) MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (DP)
Dos magnitudes son D.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye,
entonces la otra magnitud aumenta o disminuye en la misma proporción.
MAG. VALORES CORRESPONDIENTES
A a1 a2 a3 … an
B b1 b2 b3 … bn
CONDICION:
A (D.P.) B ↔
A
K
B
= .
Es decir:
- 27 -
REPRESENTACION GRÁFICA:
II) MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (IP)
Dos magnitudes son I.P. si cuando uno de ellos aumenta o disminuye,
entonces la otra magnitud disminuye o aumenta en la misma proporción.
MAG.
VALORES
CORRESPONDIENTES
A …
B …
CONDICION:
A (I.P.) B ↔ .A B k= .
Es decir:
- 28 -
REPRESENTACION GRÁFICA:
PROPIEDADES
Sean las magnitudes A, B, C, D y E:
1. A DP B ↔ B DP A
A IP B ↔ B IP A
2. A IP B ↔ A DP
3. A DP B ↔ ↔
A IP B ↔ ↔
4. Si:
5. Si:
- 29 -
REPARTO PROPORCIONAL:
Es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste en dividir una
cantidad en varias partes, las cuales deben ser DP o IP a ciertos valores llamados
índices de reparto o indicadores.
1. REPARTO SIMPLE
Es simple si el reparto, si el reparto se realiza en varias partes
proporcionalmente a un grupo de indicadores.
1.1. REPARTO SIMPLE DIRECTO.
Es cuando el reparto se realiza en forma DP a los indicadores.
Ejemplo.
Dividir 600 nuevos soles en tres partes que sean DP a 7, 4 y 9.
PARTES DP
1.2. REPARTO SIMPLE INVERSO:
Es cuando el reparto se realiza en forma IP a los índices.
RECORDAR:
Ejemplo.
Repartir 780 en 3 partes que sean IP a los números 6; 9 y 12
PARTES IP DP
- 30 -
k =
MCM (6, 9 y 12) = 36
2. REPARTO COMPUESTO
Es cuando el reparto se realiza a dos o más grupos
de índices.
Ejemplo
Repartir 2 225 en 3 partes que sean DP a los números 3; 5 y 8 e IP a los
números 4; 6 y 9
PARTES DP DP
- 31 -
EJERCICIOS
1) Si dos cantidades A y B son inversamente proporcionales con constante de
proporcionalidad igual a K. Cuánto vale K si la constante de proporcionalidad
entre la suma y la diferencia de A y 1/B vale 6.
A)7/5 B)9/5 C) 11/5 D) 13/5 E) 4.
2) Se sabe que:
A DP B (Cuando C = cte); C DP √A (cuando B = cte)
Además
A 36 n
B 2 1/3
C 3 1/2
Hallar el valor de n
A) 20 B) 45 C)1/36 D)1/20 E) 36
3) Una rueda A de 90 dientes engrana con ptra B de 60 dientes, fija el eje de B
hay otra rueda C de 20 dientes, que engrana con otra D de 45 dientes: SiA, da
120 revoluciones por minuto, ¿Cuántas revoluciones dará D en 4 minutos?
A) 120 rev B) 240 rev C) 320 rev D) 160 rev E) 180 rev
4) En una institución el sueldo es directamente proporcional a la edad y los años
de servicio del empleado e Inversamente proporcional al cuadrado de la
categoría. Emilio es empleado de segunda categoría con 10 años de servicio
en la institución y de 36 años de edad, gana S/. 800. Nicolás que entro 2 años
antes que Emilio gana S/. 640 y es empleado de tercera categoría. ¿qué edad
tiene Nicolás?
A) 38 a B) 44 a C) 54 a D) 58 a E) 48 a
5) Dos mendigos piden limosna en forma IP al cuadrado de su edad y en forma
directa a su apetito. Hoy poseen un apetito de 16 a 20; además su edades son
8 y 10 años respectivamente y si luego de 2 años su relación de apetitos se
- 32 -
invierte hallar la relación de sus razones geométricas de sus
limosnas ahora y dentro de 2 años
A) 9/20 B)5/4 C) 9/4 D) 25/36 E) 9/5
6) Se vende una joya en determinadas condiciones de proporcionalidad, para un
peso de 13 gramos su precio es de 1859, y si el peso fuera de 17 gramos su
precio ascendería a 3179 soles. Calcule el precio si la joya pesa 20 gramos.
A) 4 000 B) 4 100 C) 4 200 D) 4 400 E) 5 500
7) Dada las siguientes magnitudes “L” y “ A” con el cuadro siguiente:
Halle: (p + r + m + n)
L P 72 50 338 m 2 98
A 3 6 r 13 4 1 n
A) 60 B) 62 C) 70 D) 48 E) 50
8) Dos cilindros tienen el mismo diámetro y el mismo peso sus densidades son
7,8 y 0,48. Calcular la altura h del segundo cilindro, si la del primero (es de
mayor densidad) es 20 cm.
A) 325 B) 264 C) 165 D) 150 E) 180
9) ¿En un proceso de producción se descubre que dicha producción es D.P. al
número de máquinas e I.P a la raíz cuadrada de la antigüedad de ellas.
Inicialmente habían 15 máquinas con 9 años de uso; si se consiguen 8
máquinas más con 4 años de antigüedad cada una. Calcule la relación de lo
producido actualmente con lo producido anteriormente.
A)9 a 5 B) 9 a 4 C) 5 a 4 D) 8 a 5 E) 8 a 3
- 33 -
10) Se sabe que X es DP al cuadrado de P y con el cubo de V e
IP con la raíz cuadrada de Z. En base a esta información completa la tabla.
X 108 324
P 5 2 4
V 2 3
Z 25 9 16
A) 100 y 5 B) 112 y 85 C) 135 y 3 D) 120 y 3 E) 110 y 4
11) La corriente de un tubo electrónico es D.,P al cubo de la raíz cuadrada del
voltaje si el voltaje se hace 3 veces mayor ¿Cuántas veces mayor se hace la
corriente?
A) 3 veces B) 4 veces C) 7 veces D) 8 veces E) vez y media
12) La eficiencia de un trabajo se mide en puntos y es directamente
proporcional a los años de trabajo e I.P a la raíz cuadrada de la edad del
trabajador. La eficiencia de Raúl es 2 puntos cuando tiene un año de trabajo y
25 años de edad. ¿Cuál sería su eficiencia a los 36 años?
A) 18 ptos B) 25 ptos C) 28 ptos D) 20 ptos E) 22 ptos
13) ¿Cuántos son verdaderos?
I. Si A DP B y B DP C entonces A DP C
II. Si A IP B2 , B3 IP C2 entonces
A3 IP C4
III. Si A3 DP B; B2 IP
C
1
; C DP D6
entonces A DP D
IV. A B DP C D DP C entonces
A B IP
D C
1
- 34 -
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14) Calcule (x +y ) en la figura:
A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3
15) Sabiendo que A DP B; si B 15 y A IP B2 ; si B 15 cuando A vale 4, B
vale 5. Hallar el valor de A cuando B es 30.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6 E) 1
16) Si se tiene la siguiente tabla de valores para dos magnitudes M y N.
A 324 144 36 16 9 4
B 2 3 6 9 12 18
Se afirma:
A) A IP B B) A IPB3 C) IPB
A
1
D) A DP
B
2 1
E) DPB
A
21
17) Si: “E” es D.P. al cubo de “V”; el cuadrado de “V” es D.P. a la raíz
cuadrada de “M” y “M” es I.P. al cuadrado de “L”; si cuando E =3; L = 4. Halle
“E” cuando L 32 18
A) 8 B) 9 C) 4 D) 2 E) 3
6
3
x 3 y
2
- 35 -
que: “A” I.P. B B 30 ; “A” D.P. 18) Sean dos magnitudes A y B tal
“B” B 30 Si: A = 6; B = 20; ¿Cuál será el valor de “A” cuando B = 60?
A) 2 B) 4 C) 8 D) 3 E) 6
19) Si A IP B. Cuando A = a ; B =b. Si A aumenta una unidad, B disminuye una
unidad. Además se cumple:
a x y
.
b
1
8 19
Halle x y3
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 11
20) A y B son dos magnitudes que se relacionan de la siguiente manera:
A IP B3 si B 12
A DP B2 si B12 36
A IP B si B 36
Si se sabe qué A = 32 cuando B = 6.
Halle A cuando B = 144.
A) 18 B) 20 C) 22 D) 24 E) 36
EJERCICIOS DE REPARTO PROPORCIONAL
1) Yesica tiene un capital de S/. 510; desea repartirlo en partes D.P. a: 3; 6 y 8.
Determine la menor cantidad repartida.
A) 40 B) 50 C) 90 D) 30 E) 120
- 36 -
2) Repartir 12600 en partes inversamente proporcionales a 1/4
, 1/7, y 1/10. El mayor de los repartos es:
A) 6000 B) 6200 C)6400 D) 6500 E) 6600
3) Repartir 540 en tres partes directamente proporcional a a , y22 18 32 la
suma de las dos últimas partes es 420. Hallar el valor de “a”
A) 4 B) 5 C) 6 D) 3 E) 2
4) Julio, Raúl y Mario reciben propinas semanales en forma proporcional a sus
edades que son 14, 17 y 21 años respectivamente y se observa que los dos
menores juntos reciben 403 soles ¿A cuanto asciende la propina de Mario?
A) 273 B) 180 C) 265 D) 210 E) 250
5) Ada tiene un capital de S/. 1240; desea repartirlos en partes I.P. a: 4; 6 y 10.
Determine la mayor cantidad repartida.
A) 120 B) 600 C) 240 D) 640 E) 720
6) July tiene S/. 1590 y desea repartirlos en cantidades D.P. a: 2; 4 y 7 a la vez
I.P. a: 3; 6 y 8 respectivamente. Determine la menor cantidad repartida.
A) 280 B) 580 C) 690 D) 470 E) 480
7) Richard tiene 970 caramelos; desea repartirlos en cantidades D.P. a: 6; 10 y
15 e I.P. a: 3; 2 y 5 respectivamente. Determine la menor cantidad repartida.
A) 194 B) 120 C) 620 D) 740 E) 230
8) María tiene una cantidad de manzanas y desea repartirlos en cantidades D.P.
a: 10; 12 y 20 e I.P a: 15; 20 y 50 respectivamente. Determine la menor
cantidad repartida, si la mayor es de 840.
A) 60 B) 504 C) 120 D) 110 E) 720
- 37 -
9) José tiene un capital de S/. 2340, si repartió en partes directamente
proporcionales a: 6; 4 y 10 e inversamente proporcionales a: 4; 15 y 12
respectivamente. ¿Cuál es la menor parte?
A) 320 B) 280 C) 190 D) 240 E) 325
10) Edith tiene una cantidad de dinero y desea repartirlo en cantidades
inversamente proporcionales: n; 3n y 4n. La mayor cantidad repartida es 360.
Determine la menor cantidad repartida.
A) 120 B) 90 C) 180 D) 250 E) 150
11) La suma de los aportes de 2 socios es s/. 24 600 .el aporte de la 1raexcede
a la 2da en s/. 2 400 .¿Qué parte le toca al primer socio sobre unaporte de s/.
8610?
A) 3360 B) 3550 C) 3210 D) 4725 E) 3885
12) En una competencia atlética, se reparte S/. 555 entre los tres primeros en
forma inversamente proporcional al tiempo empleado que fueron 24; 30 y 36
minutos.
¿Cuánto recibió el que gano la competencia atlética?
A) S/. 225 B) S/. 180 C) S/. 125 D) S/. 150 E) S/. 320
13) En un empresa se debe repartir una gratificación de S/. 1 050 de acuerdo
al siguiente cuadro de datos:
Obreras Hora extras Faltas
Isabel 40 5
Rosa 48 6
Luz 32 3
Hallar la diferencia de lo que recibe Luz y rosa
a) 105 b) 210 c) 350 d) 63 e) 70 000
- 38 -
14) Las edades de 7 hermanos son números consecutivos. Si se
reparte una suma de dinero en forma proporcional a sus edades; el menor
recibe la mitad del mayor y el tercero recibe S/. 80000. Determine la cantidad
repartida.
A) 50 000 B) 42 000 C) 65 000 D) 63 000 E) 70 000
15) Un anciano sin familia dispuso en su testamento que al morir su herencia
se reparta entre sus 3 sirvientes I.P. a sus edades pero DP a sus años de
servicio. Al morir dicho anciano, las edades de sus sirvientes eran 30, 45 y 50
años, y tenían 12; 20 y 25 años de servicio respectivamente. Al hacerse el
reparto se observó que el que tenía más años de servicio recibió 9 000 soles
más que el más joven. Determinar la herencia repartida.
a) S/. 240 000 b) S/. 232 000 c) S/. 242 000 d) S/. 121 000
e) S/. 360 000
16) Se reparte N proporcionalmente a “m”; “2m” y “12”, se observa que la
primera parte es un sexto del total repartido. Halle el valor de “m”.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
17) Se reparte cierta cantidad D.P a
n n n, ,1 2 15 5 5 e I.P a k k k, ,1 3 22 2 2
¿Cuál es la cantidad mínima a repartir. Si se trata de una cantidad positiva?
A) 8 102 B) 4 051 C) 12 153 D) 4 081 E) 80 72
18) Repartir abc en partes proporcionales a a a a; ;1 3 42 2 2 Se observa que el
menor recibe bc (b < c). Halle “a + b +c”.
A) 10 B) 111 C) 15 D) 18 E) 21
19) Se reparte abc0 proporcionalmente a 32, 50 y 72, pero por equivocación
se hace el reparto proporcionalmente a las raíces cuadradas de los números
indicados, por lo que uno recibe 624 menos. ¿Cuánto debe recibir realmente el
primero?
- 39 -
A) 2 560 B) 3200 C) 1980 D) 2860 E) 2150
20) se reparte una cantidad de dinero en forma proporcional a ab ; ba y aa,
correspondiéndoles a los dos primeros S/. 900 y S/. 1080 respectivamente.
¿Cuánto se repartió?
A) 2464 B) 3080 C) 1920 D) 1832 E) 2150
- 40 -
TEMA 11
REGLA DE TRES Y POCENTAJES
REGLA DE TRES
La regla de tres es una aplicación de las magnitudes proporcionales, que consiste
en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de
dos o más magnitudes proporcionales. De acuerdo a la cantidad de magnitudes
que intervienen, la regla de tres puede ser simple o compuesta.
1. REGLA DE TRES SIMPLE.- La regla de tres es simple cuando intervienen solo
dos magnitudes. Al relacionar las magnitudes la regla de tres simple puede ser a
su vez directa o inversa.
1.1. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA (R3SD)
La regla de tres simple es directa cuando las dos magnitudes que intervienen son
directamente proporcionales (DP).
Ejemplo: Si 40 obreros trabajan 100 metros de carretera por día, ¿cuántos
metros por día harán 70 obreros?
Solución: Analizando el problema se tiene, entonces dos magnitudes D.P.
Luego aplicando método práctico (multiplicación en aspa) se tiene:
40 obreros 100 m
70 obreros x m
40 x 70 100
70 100
x 175 m
40
=
= =
1.2. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA (R3SI)
La regla de tres simple es inversa, cuando las dos magnitudes que intervienen
son inversamente proporcionales (IP).
- 41 -
Ejemplo: Si 45 obreros pueden hacer un edificio en 20 días; en cuántos días
harán 60 obreros la misma obra.
Solución: Analizando el problema se tiene que las dos magnitudes son I.P.
Luego aplicando método práctico (multiplicación en paralela) se tiene:
45 obreros 20 días
60 obreros x días
60 45.20
45.20
; 15
60
x
x x
=
= =
2. REGLA DE TRES COMPUESTA
Resulta de comparar más de dos magnitudes D.P. Ó I.P.
Método de las Rayas.- Mediante este método las magnitudes que participan se
clasifican en tres grupos:
1. CAUSA.- Es todo aquello que realiza la obra o acción, así como las
condiciones que tienen para realizarla. Ejemplos:
Hombres, animales, máquinas, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc.
2. CIRCUNSTANCIA.- son las condiciones en el tiempo para realizar la obra.
Ejemplos:
Horas diarias, días, meses, años, raciones diarias, etc.
3. EFECTO.- Es todo lo realizado (la obra en sí) y los inconvenientes o
condiciones que posee el medio para la realización, de la obra. Ejemplos:
Las medidas de la obra (largo, ancho, alto, profundidad, área, volumen, etc.),
dificultad de la obra, resistencia al medio, etc.
NOTA: Se igualan los productos de multiplicar valores que siguen a una misma
raya.
Aplicación: Para hacer una zanja de 30 m de largo por 10 m de ancho, 15
obreros han trabajado 6 días a razón de 12 horas diarias. ¿Cuántos días
- 42 -
trabajarán 18 obreros a 9 horas diarias en hacer una zanja de 45 m de largo
por 20 m de ancho?
Solución:
Se clasifican las magnitudes de acuerdo al esquema; en causa, circunstancia y
efecto, colocando sus valores correspondientes:
CAUSA CIRCUNSTANCIA EFECTO
Obreros Días h/d Obra
15 6 12 30 10
18 x 9 45 20
Se multiplican los valores que se encuentran en una misma raya, igualándose.
(18)(x)(9)(30)(10) = (15)(6)(12)(45)(20)
Despejando: x = 20
3. REGLA DE TANTO POR CIENTO
El tanto por ciento de una cantidad es el número de partes que se toma de ella
considerándola equivalente a 100. Se puede mencionar también como una o
varias centésimas partes de una unidad.
1/100 1/100 ... 1/100
PORCENTAJES.- Es la aplicación del tanto por ciento respecto a una cierta
cantidad.
NOTACIÓN
“ por ciento de ”
OBSERVACIONES
1.
2.
3.
- 43 -
= 4. del del de
APLICACIONES DEL TANTO POR CIENTO
APLICACIONES COMERCIALES.- En la actividad comercial es usual expresar las
ganancias, las pérdidas y los descuentos como tanto por ciento de los precios.
PRECIO DE VENTA (PV) Y PRECIO DE COSTO (PC).- Todo producto que se
transfiere comercialmente tiene un precio. Para el vendedor se llama precio de
venta y para el comprador precio de costo (compra).
El vendedor, puede vender en un precio mayor al que le costó, entonces tiene una
ganancia (G), de modo que:
PV = PC + G
El vendedor, puede venderen un precio menor al que le costó, entonces hay una
pérdida (P).
PV = PC – P
Los compradores, sobre todo los minoristas y mayoristas, compran a los
distribuidores con descuentos sobre el precio de lista o precio fijado (PL), que
generalmente es el precio al público. Entonces:
Para los vendedores:
PV = PL – descuento
Para los compradores:
PC = PL – descuento
DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS
AUMENTO SUCESIVO consiste en determinar el aumento único equivalente de
varios aumentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad.
Dados los aumentos sucesivos del a%, b%, c% de N
100 a 100 b 100 c
AU 100 100 %
100 100 100
+ + +
= −
DESCUENTO SUCESIVO consiste en determinar el descuento único equivalente
a varios descuentos sucesivos que se han aplicado a una determinada cantidad.
Dados los descuentos sucesivos de a%, b%, c% de N.
100 a 100 b 100 c
DU 100 100 %
100 100 100
− − −
= −
- 44 -
EJERCICIOS
1. 20 obreros pueden construir una casa en 30 días, ¿En cuántos días
construirán la misma casa 40 obreros?
A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E) 30
2. 15 obreros pueden ejecutar una obra en 21 días. Luego de trabajar juntos
durante 6 días se retiran 6 obreros y los restantes terminaron la obra ¿En qué
tiempo se ejecuta la obra restante?
A) 15 B) 20 C) 25 D) 30 E) 26
3. 4 obreros se comprometen hacer una obra en 18 días. Si después de 3
días llega uno más. ¿Cuántos días antes terminaron la obra?
A) 1 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3
4. Un automóvil tarda 12h. en recorrer un trayecto yendo a una velocidad de
60km/h ¿Cuánto horas tardara en recorrer el mismo trayecto yendo a una
velocidad de 90km/h?
A) 15 B) 8 C) 25 D) 7 E) 16
5. Si 12 obreros hacen el 60% de una obra en 27 días ¿Qué tiempo
emplearan en hacer toda la obra?
A) 45 B) 46 C) 47 D) 48 E) 49
6. Una guarnición de 2200 hombres tienen provisiones para 62 días al
terminar el día 23 se retiran 250 hombres ¿Cuánto tiempo podrán durar las
provisiones que queda al resto de la guarnición?
A) 40 B) 45 C) 46 D) 44 E) 49
7. 12 obreros pueden hacer una obra en 29 días. Después de 8 días de
trabajo se retiran 5 obreros, ¿Con cuántos días de retraso se entregara la obra?
A) 10 B) 20 C) 15 D) 25 E) 7
8. 8 obreros pueden hacer una obra en 20 días después de 5 días de trabajo
se retiran 3 obreros ¿Con cuántos días de atraso se termino la obra?
A) 9 B) 15 C) 20 D) 24 E) 25
9. Un móvil va a una velocidad de 90 km/h emplea n horas para recorrer un
trayecto , pero si aumenta su velocidad a 120 km/h empleara 2 horas menos ,
hallar n
A) 9 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
- 45 -
10. En 24 días, 30 obreros han hecho 1/4 de una obra que les fue
encomendada. ¿Cuántos días empleara otra cuadrilla de 60 obreros
doblemente hábiles en terminar la obra?
A) 18 B) 20 C) 25 D) 30 E) 16
11. En una obra, 100 obreros pueden hacer 150km. de carretera en 40 días,
trabajando 9h/d. ¿Cuántos días demoraran 200 obreros con una eficiencia de
50% mayor que las anteriores en hacer 350km. De carretera en una zona cuya
dificultad es el triple del anterior trabajando 8h/d?
A) 115 B) 120 C) 105 D) 48 E) 96
12. Se contratan 5 costureros que hacen 12 pantalones en 15 días, se
pretenden tener 60 pantalones en 25 días ¿Cuántos costureros al igual de
rápidos se deberán contratar además de los que ya están contratados?
A) 6 B) 7 C) 9 D) 12 E) 10
13. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días, en ese momento
abandonan el trabajo 5 obreros ¿Cuántos días tardaran en terminar el trabajo
los obreros que quedan?
A) 10 B) 20 C) 30 D) 40 D) 50
14. Una cuadrilla de 40 obreros se compromete a construir en 24 días cierta
hora, al cabo de 18 días ha hecho 5/11 de la obra ¿Cuántos obreros tendrán
que reforzar la cuadrilla para terminar la obra en el tiempo fijado?
A) 101 B) 103 C) 105 D) 104 E) 102
15. 12 albañiles y 14 peones se comprometen en hacer una obra en 30 días al
cabo del quinto día se despiden a 4 albañiles y a 8 peones debido a que les dio
20 días más de plazo para concluir la obra . hallar la relación de las eficiencias
(albañil/peón).
A) 3/2 B) 3/4 C) 4/3 D) 2/3 E)4/5
16. 80 obreros trabajan 8 horas diarias construyendo 480m2 una obra en 15
días ¿Cuantos días requieren 120 obreros, trabajando 10 horas diarias para
hacer 960 m2 de la misma obra?
A) 12 B) 14 C) 15 D) 13 E) 16
17. Si 6 leñadores pueden talar 8 árboles en 8 días ¿En cuántos días talaran
16 leñadores 16 árboles si estos últimos son 1/4 menor rendidores que los
anteriores?
A) 4 B) 6 C) 8 D) 14 E) 16
- 46 -
18. Un contratista debe terminar una obra en 30 días. Si inicia la obra
con 10 obreros trabajando 6h/d transcurridos 20 días han realizado el 50% de
la obra ¿Cuántos obreros adicionales se debe de aumentar, para que
trabajando 8h/d se termine la obra en el tiempo previsto?
A) 10 B) 11 C) 8 D)5 E) 6
19. Quince albañiles trabajando 12 h/d, durante 16 días, pueden hacer una
zanja de 4 m de largo, 2 m de ancho y 1.5 m de profundidad.
Trabajando12 albañiles durante 18 días pueden hacer una zanja de 3 m de largo,
1,5 metros de ancho y 2 m de profundidad, ¿Cuántas horas diarias deben
trabajar?
A)9 B) 10 C) 11 D) 12 E)13
20. Una agrupación de 1600 hombres tiene víveres para 10 días a razón de 3
rasiones diarias cada hombre. ¿Cuántos días duraran los víveres, si cada
hombre toma 2 raciones diarias?
A) 10 B) 20 C) 15 D) 16 E) 18
21. Se sabe que 30 albañiles trabajando 9h/d durante 18 días pueden construir
3 casas ¿Cuántos albañiles podrán construir 4 casas, trabajando a un ritmo de
8h/d durante 15 días?
A) 50 B) 51 C) 52 D) 53 E) 54
22. 9 obreros se comprometen a realizar una obra en 24 días. si después del
cuarto día legan 6 obreros mas ¿Cuántos días antes del plazo terminaron?
A)5 B)8 C)6 D)9 E)4
23. Se contratan a 5 carpinteros que hacen 12 roperos en 15 días. Se
pretende tener 60 roperos en 25 días. ¿Cuántos carpinteros doblemente
rápidos se deberán contratar, además de los que ya trabajan?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10
24. Juan es el doble de Ernesto, si juntos pueden hacer una obra en 8 días,
¿en cuántos días hará la misma obra Juan, si trabaja solo?
A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
25. Un grupo de “x” obreros pueden hacer una obra en 21 días. Si los 2/3 del
grupo aumenta su rendimiento en 25%, que tiempo emplearán en hacer la obra.
A) 17 B) 18 C) 16 D) 19 E) 15
TANTO POR CIENTO
1. ¿Qué tanto por ciento de 160 es 56?
- 47 -
A) 40% B) 25% C) 65% D) 35% E) 40%
2. ¿0,45% de que numero es 36?
A) 1500 B) 6500 C) 8000 D) 5300 E) 2600
3. tres descuentos sucesivos del 25%, 40% y 20% equivalen a ser uno de:
A) 60% B) 80% C) 64% D) 75% E) 65%
4. Enuna misma ciudad de 2500 habitantes, el 2011 se casaron el 12% de los
varones y el 8% de las mujeres ¿Qué tanto por ciento del total de los habitantes
son varones?
A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60
5. Si del almacén se vende el 48% de arroz quedaría solamente 5044 kilogramos
de arroz ¿Qué cantidad de arroz hay en el almacén?
A) 9000 B) 9500 C) 9600 D) 9700 E) 9800
6. Tres incrementos sucesivos del 10%, 20% y 50%. A qué aumento único
equivalen.
A) 90 % B) 78% C) 98% D) 88% E) 84%
7. ¿En qué porcentaje disminuye el producto de dos factores. Cuando uno de
ellos aumenta en 20% y el otro disminuye en 20%?
A) 10% B) 12% C) 14% D) 4% E) 6%
8. Se vendió un artículo en 348 soles ganando el 20% del costo ¿Cuánto costó el
artículo?
A) 240 B) 260 C) 280 D) 290 E) 300
9. Un producto se vende en 250 soles ganando el 25% del costo ¿Cuál fue su
costo?
A) 200 B) 240 C) 210 D) 220 E) 230
10. En una fábrica trabajan 500 personas, de las cuales el 70% son obreros. Si
se despide el 20 % de los obreros y luego se contrata el 30 % de la cantidad de
obreros no despedidos, ¿cuántos obreros trabajan al final en la fábrica?
A) 356 B) 364 C) 366 D) 354 E) 99
11. En un colegio se observa que el número de varones matriculados ha
aumentado en un 20 % y el número de mujeres matriculadas ha disminuido en
un 40 %, con respecto al año anterior. Si la cantidad de varones y mujeres es la
- 48 -
misma, calcule el número de alumnos del año anterior, sabiendo
que el número de alumnas excedía en 60 al número de alumnos.
A) 180 B) 120 C) 160 D) 200 E) 90
12. En un salón de clase el 70% son varones. Si falta el 25% de las mujeres y
solo asisten 18 mujeres. ¿Cuál es el número total de alumnos en el salón?
A) 90 B) 75 C) 80 D) 120 E) 60
13. ¿En qué porcentaje ha variado el área de un rectángulo, si la base se ha
incrementado en un 60% y la altura ha disminuido en un 30 %?
A) 10% B) 12% C) 14% D) 15% E) 6%
14. Para la fabricación de ladrillos que deben tener la forma de un
paralelepípedo. Se ha considerado que sus dimensiones menores deben ser el
60% y 40% respectivamente de su dimensión mayor que mide 25cm. Hallar el
volumen que tendrá el ladrillo.
A) 1750 B) 1700 C) 3750 D) 1500 E) 3000
15. En el CEPRU el 40% de los varones y el 20% de las mujeres participan en
el festival deportivo. Si el 60% de los alumnos del CEPRU son varones, ¿qué
porcentaje del total de alumnos asistió al festival?
A) 28% B) 30% C) 32% D) 40% E) 36%
16. Un artículo se vende con una ganancia del 25% del precio de costo más el
25% del precio de venta, si al final se gana S/. 200. ¿cuál es el precio de venta?
A) 300 B) 450 C) 350 D) 400 E) 500
17. Se vende una mercadería ganado el 20% del precio de compra. Se sabe
que si se vendiera ganado el 20% sobre el precio de venta, se ganaría S/. 400
más. Halle el precio de compra.
A) 60000 B) 80000 C) 90000 D) 40000 E) 10000
18. Un artículo que costó S/. 1400 lo venden ganado el 20% del costo, ¿cuál
fue el precio de lista, si se hicieron dos descuentos sucesivos de 20% y 30%?
A) 3000 B) 3500 C) 3200 D) 3800 E) 3600
19. Se compró un DVD en $60 y se vendió haciendo un descuento del 20% y
aún así se ganó $12. Halle el precio fijado.
A) 65 B) 90 C) 85 D) 80 E) 8
20. En una fiesta hay 100 personas, el 56% son mujeres y el resto son
varones. Si se aumentan 36 mujeres y se retiran 36 varones. ¿Qué porcentaje
de los que quedan representan las mujeres?
A) 92 B) 86 C) 72 D) 36 E) 25
- 49 -
21. Un cajón contiene 8% de huevos rotos del total. Si el 10% de la diferencia
de este total y los huevos rotos es 161, calcular el número de huevos que había
en el cajón inicialmente.
A) 1750 B) 1700 C) 850 D) 1645 E) 98
22. Al precio fijado de un artículo se le hace un descuento del 10% y al
momento de venderlo se gana el 30% del precio de costo, el cual (costo) fue de
S/. 180. Halle el precio fijado.
A) 260 B) 240 C) 200 D) 180 E) 26
TEMA 12
REGLA DE INTERÉS SIMPLE Y COMPUESTA.
INTERES: Es la ganancia, beneficio, redito o utilidad que genera un capital prestado, durante un cierto periodo
de tiempo y según una tasa fijada en porcentaje.
CLASES DE INTERES.
INTERES SIMPLE (El interés no se capitaliza)
El interés no se acumula al capital en cada intervalo de tiempo, retirándose el interés tan pronto como se
produce, permaneciendo el capital constante durante el tiempo de préstamo.
C t r
I=
100
C t r
I=
1200
C t r
I=
36000
, la tasa de interés es anual.
ELEMENTOS:
El capital (C); Suma de dinero que su poseedor la impone o la presta en determinadas condiciones para
obtener ganancia o rédito.
El interés (I); Ganancia o beneficio o utilidad que produce el capital prestado durante cierto tiempo a una
tasa porcentual fijada.
La tasa de interés (r%); Es la ganancia que produce cada 100 unidades de capital (expresada en
porcentaje).
El tiempo (t); Período que dura el préstamo, el cual puede estar en años, meses o días.
El monto (M); Es la suma del capital con el interés.
M = C + I
OBSERVACIONES:
1) En el comercio se considera:
1 año = 360 días.
1 año común = 365 días
1 mes = 30 días
2) La tasa (r%) porcentual que interviene en la formula siempre debe ser anual, si no es así, se considera una
tasa anual equivalente considerando que 1 año tiene:
2% mensual = 2% (12) anual = 24% anual
4% trimestral = 4% (4) anual = 16% anual
3% quincenal = 3% (24) anual = 72% anual
0.5% diarios = 0.5%(360) anual = 180% anual
6% bianual = 6%
2
1 anual = 3% anual
0.2% semanal = 0.2%
7
360 anual = 10.3% anual
CALCULO DEL CAPITAL CONOCIENDO EL MONTO.
t en años, r en tanto por ciento anual
NOTA: Si t está en meses, reemplazar 100 por 1200, tanto en el numerador como en el denominador.
Si t está en días, reemplazar 100 por 36000, tanto en el numerador como en el denominador de la formula.
CALCULO DEL INTERES, CONOCIENDO EL MONTO.
;
t en años; r anual en tanto por ciento.
100M
C
100 tr
=
+
Mtr
I
100 tr
=
+
2 | C E P R U 2 0 2 2
NOTA: Si t está en meses, reemplazar 100 por 1200.
Si t está en días, reemplazar 100 por 36000.
INTERES COMPUESTO(El interés se capitaliza).
Es cuando el capital prestado no permanece constante en el tiempo que dura el préstamo. Es
decir, los intereses se van acumulando al capital, cada cierto periodo de tiempo, llamado
periodo de capitalización.
Sea C 2000 r 20% anual
a) Capitalización Anual.
1 2 3
2000 2400 2880
C 2000 C 2400 C 2880 C 3456
b) Capitalización Semestral
Si la tasa es 20% anual será equivalente a 10% semestral.
1 2 3
1000 1100 1210
C 1000 C 1100 C 1210 C 1331
Fórmula para calcular el monto en n periodos de tiempo (Interés Compuesta)
Donde:
M : Es Monto
C : capital inicial
n : Número de Periodos
i : Tanto por 1 en el periodo del capital(tasa de interés compuesta)
Ejemplo:
Sea C 10000; tasa 20% anual; t 3 años
a) CapitalizaciónAnual ( n 3 )
20% anual <> 0,20 (tanto por 1)
3
M 10000(1 0,20) 17280
n
M C(1 i)
b) Capitalización Semestral ( n 6 períodos)
20% anual < > 10% semestral < > 0,1 (tanto por 1)
6
M 10000(1 0,10) 17715
Otra fórmula similar al anterior.
k.t
i
M C 1
k
k : Número de periodos al año.
t : Número de años
i: tasa de interés anual.
fórmula para el cálculo de la tasa de interés anual; t en años.
t
M
i 1
C
i: Tasa de interés anual
t: tiempo en años
EJERCICIOS DE REGLA DE INTERES SIMPLE Y COMPUESTA.
1. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.
I. El monto representa la suma del capital más el interés.
II. Una tasa de interés del 0,7% semanal equivale a una tasa de interés del 36% anual
III. En el interés simple, el capital se incrementa periódicamente con los intereses que se produce.
La secuencia correcta es:
A) VFV B) VVF C) VFF D) VVV E) FFV
2. En las siguientes proposiciones, escribir (V) si es verdadera o (F) si es falsa.
I. En el interés simple, el capital se incrementa periódicamente con los intereses que produce
II. En el interés compuesto, el capital permanece constante durante toda la operación comercial
III. La tasa de interés es la ganancia que se obtiene por cada 100 unidades monetarias en un
cierto tiempo.
La secuencia correcta es:
A) FFV B) FVF C) VVF D) VVV E) FFF
3. El interés que produce un capital de 'A" dólares prestados durante "B" meses a una tasa de C% trimestral,
generando un monto de “D” dólares es:
A)
ABC
1200 BC+
B)
DBC
1200 BC+
C)
ABC
300 BC−
D)
DBC
300 BC+
E)
ABC
1200
4. Una señora divide su capital en tres partes iguales y las impone al 1% mensual, 5% trimestral y 4%
semestral respectivamente logrando una renta anual de 10000 soles ¿Cuál era su capital?
A) 29000 B) 75000 C) 60000 D) 300000 E) 42000
5. En los negocios se considera:
I. 1 año igual a 12 meses
II. 1 mes igual a 30 dias
III. 1 año igual a 365 dias
4 | C E P R U 2 0 2 2
IV. 1 mes igual a 4 semanas
A) VFFF B) VVFF C) VVFV D) FFVF E) VVVF
6. La tasa porcentual r debe estar expresada en forma anual, por lo que:
I. 15% anual significa r=15
II. 4% mensual significa r=4
III. 7% trimestral significa r= 7
IV. 2% cada 80 dias significa r=9
A) VFFF B) VVFF C) VFFV D) FFVF E) VVVF
7. Para calcular el interés I que gana un capital C a una tasa de interés R durante un tiempo T generando un
monto M, se emplea la expresión:
I.
CT R
36 100
II.
CT R
120
III
M T R
100 + TR
IV.
M T R
360 100-TR
A) VFVF B) VVFF C) VFFV D) FFVF E) VVVF
8. Un capital impuesto al 5% anual de interés simple, ha producido durante un tiempo una renta equivalente
al 4% del monto. ¿Cuál es este tiempo?
A) 11 meses B) 10 meses C) 4 meses D) 6 meses E) 9 meses
9. Una casa cuesta S/. 250 000 y se desvaloriza uniformemente en S/. 25 000 por año. Si una persona tiene
S/. 125 000 y los deposita en una entidad financiera al 4%, ¿Al cabo de qué tiempo podrá comprarlo?
A) 2 años y 2 meses B) 4 años y 3 meses
C) 3 años y 4 meses D) 4 años y 2 meses
E) 4 años y 4 meses
10. Calcule el beneficio que se obtiene al colocar S/. 1200 al 6,25% semestral durante 300 días.
A) S/.100 B) S/.120 C) S/.125 D) S/.110 E) S/.115
11. ¿Cuál es el capital que durante 260 días, prestado al 3% bimestral, genera un interés de S/. 156?
A) S/. 1 000 B) S/. 1 530 C) S/. 1 280
D) S/. 1 320 E) S/. 1 200
12. Un capital de S/. 2648 se presta al 40%. Si la deuda debe ser pagada con 3 cuotas trimestrales de igual
valor, ¿cuánto debe ser la cuota trimestral?
A) S/.1 020,2 B) S/.1 024,8 C) S/.1 050,3
D) S/.1 060,2 E) S/.1 064,8
13. Dos capitales de S/2000 y S/ 3000 son colocados durante el mismo tiempo al 60% y 30% respectivamente.
Determinar el tiempo, si se sabe que al término de éste los montos son iguales?
a)25 meses b)35 meses c)40 meses d)47 meses e)53 meses
14. ¿Cuál es el interés semestral, en dólares, al que fue invertido $120 000 al 0.7% semanal?
A) 21600 B) 25000 C) 63200 D) 45000 E) 6500
15. Dos personas tienen juntos 167 280 soles, la primera impone su dinero al 4% durante 3 meses y recibe un
interés doble del que tendría la segunda imponiendo el suyo al 5%, durante 7 meses, en soles, el capital
menor es
A) 32450 soles B) 24480 soles C) 40480 soles D) 36480 soles E) 23320 soles
16. Un comerciante depositó su capital al 7% anual y el monto que obtuvo fue S/. 6 470; pero si hubiese
depositado al 3% trimestral el monto seria S/. 7 890. Halle la suma de cifras del capital.
A) 14 B) 16 C) 18 D) 12 E) 20
17. Para la construcción de su casa, Jorge solicito un préstamo de 20 000 soles a una entidad financiera, la
cual se lo aprueban fijándole una tasa de 8% anual. Si debe pagar mensualmente recibos de 550 soles, se
pide calcular el plazo fijado para el préstamo expresado en años.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 5 E) 3
18. El capital de Pedro gana 6%, el de Juan gana 8% de intereses anuales. La diferencia de capitales es 4 000
soles pero después de un año reciben el mismo interés. Los capitales, en soles, suman:
A) 26000 soles B) 27000 soles C) 25000 soles D) 28000 soles E) 29000 soles
19. Un capital se impone a un interés simple dividido en tres partes:
el 25% al 40% anual
el 40% del resto al 30% semestral
el resto al 20% trimestral
al cabo de que tiempo (en meses) se habrá quintuplicado el capital.
A) 74 B) 75 C) 68 D) 72 E) 80
20. Se deposita $ 4 000 al 18% anual durante “t” meses de modo que el interés y capital están en la relación
de 3 a 20, ¿qué monto se recibirá si se deposita el mismo capital por (t + 2) meses?
A) 4 270 dólares B) 4 000 dólares C) 4 820 dólares D) 4 020 dólares E) 4 720 dólares
21. Se coloca $ 5 400 por partes en dos bancos que pagan el 1% y 0.75% mensual. Los intereses producidos
en tres años son como 5 a 3, respectivamente. Indique la parte del capital que produce menos interés.
A) 4200 dólares B) 3400 dólares C) 2400 dólares D) 2000 dólares E) 4420 dólares
22. Se tiene un capital cuyo monto alcanzado en 10 meses es los 5/6 del monto obtenido en 15 meses. En tres
meses, ¿qué tanto por ciento del capital gana?
A) 14 B) 16 C) 18 D) 12 E) 20
23. Marilia se presta cierta suma de dinero al 18% semestral durante cierto tiempo; pero con él efectúa el pago
cuatro meses antes, se ahorra $120. En dólares halle el capital prestado.
A) 1400 B) 1600 C) 1800 D) 1200 E) 1000
24. En un banco que paga el 8% trimestral se depositó un capital el 20 julio del 2011. Luego, el 18 septiembre
se deposita otra suma que es un tercio más que la anterior. Si el 16 enero del siguiente año se retiró un
monto total de $ 23 720, halle el primer capital depositado.
A) 8000 B) 9000 C) 7000 D) 9500 E) 8500
25. Valeria impone su capital a una tasa mensual y por equivocación el banco considera una tasa trimestral,
con esto deja de ganar en un año $240. Halle la ganancia de tres años que recibiría ella, si el banco
considera la tasa correcta.
A) 1080 B)1600 C) 1800 D) 1200 E) 2000
26. ¿A qué porcentaje debe ser colocado un capital para que en tres años cuatro meses produzca un interés
equivalente a los 2/5 de la mitad del monto?
A) 7.2 B) 8.5 C) 5.7 D) 8.2 E) 7.5
27. Dos capitales que son entre sí como 4 a 5 se colocan a interés simple, uno al 50% y el otro al 20%. Luego
de qué tiempo la relación de los montos es la inversa de la relación original de sus capitales.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 2 E) 3
28. Se impone un capital al 6%, 4 años y 3 meses después se retira el capital más los intereses y se impone
todo al 8%. ¿Cuál era el capital inicial si ahora se recibe como renta anual 200.80?
A) 2400 B) 1600 C) 1800 D) 1200 E) 2000
29. Una persona impone los 4/5 de un capital al 4% y el resto al 5% resultando un interés anual de $3100.
Determine el capital original.
A) 40 000 B) 60 000 C) 70 000 D) 50 000 E) 80 000
30. La media aritmética de dos capitales es $ 855 Se impone el mayor al 40% y el otro al 50% de interés
simple durante 5 meses. Si luego de este tiempo los montos son iguales, hallar la diferencia de los capitales.
A) 30 B) 35 C) 40 D) 25 E) 20
31. Tres capitales que están en progresión aritmética, se colocan durante un año al 24%. El interés total
producido es $75 600 y además la diferencia entre el tercero y primer capital es $30 000, calcular el menor
capital.
A) 70 000 B) 60 000 C) 80 000 D) 50 000 E) 90 000
32. La diferencia de los intereses producidos en un año por 2 capitales de S/. 8000 cada uno, es de 320 soles.
Si la tasa de uno de ellos es el triple de la otra; entonces, la tasa menor, es:
a)1,5% bimestral b) 1% semestral
c) 0,6% trimestral d) 0,8% anual e) 4% anual
6 | C E P R U 2 0 2 2
33. Después de cuánto tiempo un capital colocado al 40% trimestral de interés simple se quintuplica:
a) 1año y 3 meses b) 1 año y 9 meses
c) 2 años y 6 meses d) 2 años y 5 meses e) 2 años y 8 meses
34. Los 4/7 de un capital se coloca al 2% anual durante 3 años y el resto al 3% anual durante 2 años. Si la
diferencia de los intereses es de S/120 entonces el capital menor, es:
a)4000 b)6000 c)8000 d)10000 e)12000
35. Se tienen dos capitales de S/10 000 y S/8 000. Se imponen al 2k% y 3k% respectivamente; al cabo de 8
años producen el mismo monto. El valor de k, es:
a) 4,25 b) 6,25 c) 7,25 d) 8,25 e) 9,25
36. Si luego de tres meses de ahorrar en un conocido banco peruano donde pagan interés simple, la ganancia
es equivalente al 20% del monto. La tasa de interés mensual que ofrece el banco es:
a) 6% b) 8% c) 6,666…..6% d) 8,3333….3% e) 7%
37. Dos capitales han sido colocados a interés simple durante el mismo tiempo, el primero al 4% semestral y el
segundo al 11% anual. El primero produce S/726 y el segundo que le excede en S/4800 ha producido
S/1309. El tiempo en días, es:
a)115 b)120 c)180 d)200 e)212
38. Se depositó un capital de S/ 10 000 a una tasa de 3,5% mensual y a un régimen de interés simple. ¿Cuántos
trimestres estuvo depositado si el monto retirado fue de S/ 15 250?
a)5 b)6 c)7 d)8 e)9
PROBLEMAS DE INTERES COMPUESTO
1) Se depositan S/. 8000 en un banco que reconoce una tasa de interés del 36% anual,
capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto acumulado en cuatro años?
a)
48
8000 1,03 b)
48
16000 1,13 c)
48
8000 1,23
d)
48
8000 1,02 e)
48
16000 1,12
2.- Se deposita s/ 50000 en un banco durante 3 meses. Hallar el valor final a la tasa de interés
del 30% anual capitalizable mensualmente.
a)
3
50000 1,125 b)
3
100000 1,125 c)50000(1,025)3
d)
37
100000 1,025 e)
36
50000 1,025
3.- Calcular el valor de un capital de s/20000 a interés compuesto durante 15 meses y 15 días
a la tasa de interés del 24% capitalizable mensualmente.
a)
17,5
20000 1,02 b)
16,5
40000 1,02 c)
15,5
20000 1,02
d)
14,5
40000 1,02 e)
13,5
20000 1,02
4.- Se invierte s/ 8000 por un año a la tasa del 12% capitalizable mensualmente. Determinar
el monto al final del año, si transcurrido 3 meses la tasa se incrementó al 18% capitalizable
mensualmente.
a)
93
8000 1,01 1,015 b)
9
800 1,01 1,015 c)
93
800 1,01 1,15 d)
9
8000 1,011 1,015 e)
9
8000 1,001 1,015
5.- Si S/ 2000 se invierten a un interés compuesto anual del 6°/o, encuentre el valor de la
inversión después de 4 años.
a)
4
8(43)
25
b)
3
8(53)
25
c)
4(53)
3125
d)
4
4(53)
25
6.- Un capital de S/ 2000 se invierte a una tasa de interés nominal anual del 12%. Calcule su
valor después de 1 año si la capitalización es mensual.
a)
12
20
(101)
5(10)
b)
12
8
(100)
5(10)
c)
12
8
(102)
5(10)
d)
12
8
(111)
5(10)
e)
12
8
(110)
5(10)
7.- ¿Qué tasa de interés compuesto duplica el valor de una inversión a 2 años?
A) 2 x100% b) 2 x100% c) 3 x100% d) ( 2 1− )x100% e) 1x100%
8.- ¿Qué tasa de interés compuesto triplica el valor de una inversión a 10 años?
a) −9 3 1 b) −10 2 1 c) 8 3 2− d)
10 3 1− e) −10 3 2
9.- Suponiendo que s/. 500 alcanzo la suma de s/. 588,38 depositado en una cuenta de ahorros
después de tres años. Si el interés fue capitalizado semestralmente, encuentre la tasa de
interés compuesto semestralmente.
a) 6
588,38
1
500
− b) 6
588,38
1
500
+ c) 3
588,38
1
500
−
d) 3
588,38
1
500
+ e) 6
500
1
588.38
−
10.- Se tiene un capital el cual se deposita a un 20% semestral capitalizable semestralmente
durante 18 meses, si el mismo capital se hubiera depositado al 10% trimestralmente
capitalizable trimestralmente. cuál sería la relación de los capitales finales.
a)
3
6
(1,2)
(1,1)
b)
3
6
(1,2)
(1,3)
c)
6
3
(1,2)
(1,1)
d)
3
6
(1,6)
(1,5)
e)
3
6
(1,02)
(1,01)
11.- Una suma de 200 soles se invierte a un interés compuesto anual del 5%. Calcule el valor
de la inversión después de 10 años.
A)
20200(1,05) B)
10200(1,05) C)
20200(1,10) D)
10200(1.15)
8 | C E P R U 2 0 2 2
12.- Una suma de 2000 soles se invierte a una tasa de interés nominal del 9% anual
capitalizable mensualmente. Calcule el valor de la inversión después de 3 años.
A)
364032000( )
400 B)
363032000( )
400 C)
365032000( )
400 D)
364031000( )
400
13.- Hallar la tasa de interés nominal compuesta requerida para duplicar el valor de una inversión en 5 años,
capitalizable cada 3 meses?
A)
20( 2 1)−
B)
204( 2 1)−
C)
204( 2 1)+
D)
208( 2 1)+
14.- .- Supóngase que 500 soles crecen a 588.38 soles en una cuenta de ahorros después de 3 años. Si el
interés fue capitalizado semestralmente, encontrar la tasa de interés nominal, compuesta cada semestre, que
fue devengada por el dinero.
a)
6
588,38
1
500
−
b)
6
588,38
500 c)
6
588,38
1
500
+
15.- Hallar la tasa de interés nominal, compuestacada año, en el cual el dinero se duplicará en 8 años.
a)
8 2 1− b)
8 2 1+ c)
8 4 1− d)
8 4 1+
TEMA 13
INTRODUCCION A LA ESTADISTICA
1. ESTADÍSTICA
Es la ciencia que nos provee un conjunto de métodos para la recolección, organización, análisis e interpretación
de datos.
CLASIFICACION DE LA ESTADISTICA.
a) Estadística Descriptiva.
Parte de la Estadística que se ocupa de la recolección, clasificación, presentación y descripción de los datos.
b) Estadística Inferencial.
Nos proporciona la teoría necesaria para hacer generalizaciones o inferencias sobre una población utilizando
una muestra.
2. POBLACIÓN Y MUESTRA
a) Población (Universo)
Es la totalidad de objetos o individuos que tienen características comunes, de la cual se desea información. Al
estudio destinado a obtener la información de toda la población se llama CENSO, los más conocidos son los
censos de población, vivienda y económicos. El tamaño de la población se denota por N. Existen poblaciones
finitas o infinitas
b) Muestra
Es una parte o un subconjunto representativo de la población, seleccionado aleatoriamente, cuyo estudio sirve
para hacer “inferencias” sobre la población completa. El proceso de selección de una muestra se llama
MUESTREO. El tamaño de la muestra se denota por n.
3. VARIABLE
Es toda característica de una muestra o población que toma valores diferentes. Se denotan con letras mayúsculas:
X, Y, Z, ….
a) Variables Cualitativas
Son aquellas cuyos valores son un conjunto de cualidades no numéricas a las que se les suele llamar categorías
o modalidades o niveles. A su vez pueden ser:
Nominal.
Sus respuestas no pueden ser sometidas a un criterio de orden.
Ordinal.
Sus respuestas toman diferentes valores ordenados según una escala establecida.
Variable Categorías Tipo
1. Género • Varón
• Mujer
Nominal
2. Estado Civil • Soltero
• Casado
• Viudo
• Divorciado
Nominal
3. Gestión del
Presidente de Perú.
• Buena
• Regular
• Mala
Ordinal
4. Procedencia • Urbana
• Rural
Nominal
5. Nivel de estudios • Primaria
• Secundaria
• Superior
Ordinal
b) Variables Cuantitativas
Sus respuestas se expresan mediante números, como resultado de mediciones o conteos. Puede ser:
Población (N)
Muestra (n)
Inferencia
10 | C E P R U 2 0 2 2
Discreta.
Son variables que tienen como respuestas a valores enteros.
Ejemplo:
✓ Número de hijos de familias que viven en la margen derecha de Cusco.
✓ Número de atendidos en el tópico del CEPRU en el transcurso de 2 semanas.
✓ Número de veces que postula a la UNSAAC.
✓ Edad en años cumplidos.
Continua.
Son variables que toman cualquier valor dentro de un intervalo real específico de valores.
Ejemplo:
✓ Peso de alumnos de la UNSAAC medido en kilogramos.
✓ Estatura de alumnos del CEPRU medido en metros.
✓ Cantidad de hemoglobina en niños de una I.E. de la Provincia de Anta.
✓ Temperatura corporal en grados centígrados.
DATO.- Es el resultado de medir una característica (variable) de un elemento de una población. También son
los valores que asume una característica de naturaleza cualitativa o cuantitativa.
4. ANALISIS DE DATOS CUALITATIVOS
Ejemplo:
Se tiene la información sobre el estado civil de una muestra de 200 profesores de la UNSAAC (dicha encuesta fue
realizada por la Unidad de Estadística de la UNSAAC, el año 2015) .
Estado Civil Nro de profesores
Solteros
Casados
Viudos
Divorciados
30
105
20
45
Elabore una tabla de frecuencias y sus gráficos respectivos
Solución
Estado Civil fi % (fix360º)/n
Soltero (S)
Casado (C)
Viudo (V)
Divorciado (D)
30
105
20
45
15,0
52,5
10,0
22,5
54º
189º
36º
81º
Total 200 100,0% 360º
Diagrama de rectángulos o barras
Diagrama circular o de sectores
15%
52,5%
10%
22,5%
0
20
40
60
80
100
120
S C V D
S
15%
C
52.5%
V
10%
D
22.5%
5. ANÁLISIS DE DATOS CUANTITATIVOS
Distribución de Frecuencias:
Son tablas numéricas de datos ordenados al cual también se le llama tabla de frecuencias.
a) Tamaño de Muestra (n)
Es el número total de datos presentes en un estudio.
b) Frecuencia Absoluta (fi)
Es el número de veces que se repite un dato o es el número de datos contenidos en un intervalo de clase.
Propiedad:
+ + ++ =1 2 3 kf f f f n
c) Frecuencia relativa (hi).
Se define por: ii
f
h
n
Propiedad:
1 2 3 kh h h h 1
NOTA:
La frecuencia porcentual (pi) se define por:
i ip h 100%
d) Frecuencia absoluta acumulada (Fi).
Se define por:
=
= + + + + =
i
i 1 2 3 i j
j 1
F f f f f f
Propiedades:
✓ =1 1F f
✓ =kF n
e) Frecuencia relativa acumulada (Hi).
Se define por: = + + + =
i
i 1 2 i
F
H h h h
n
Propiedades:
✓ =1 1H h
✓ =kH 1
5.1 DATOS CUANTITATIVAS DISCRETOS
Ejemplo: (Hijos por familia)
Una encuesta realizada a 20 familias que residen en Distrito de Saylla, sobre el número de hijos que ellos tienen,
dio los siguientes resultados:
2, 1, 2, 4, 1, 3, 2, 3, 2, 0, 3, 2, 1, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 4
Nº de hijos (xi) fi Fi hi Hi
0
1
2
3
4
2
4
8
4
2
2
6
14
18
20
0,10
0,20
0,40
0,20
0,10
0,10
0,30
0,70
0,90
1,00
Total 20 1,00
12 | C E P R U 2 0 2 2
5.2 DATOS CLASIFICADOS POR INTERVALOS O CLASES.
a) Intervalo de clase: (Ii)
Son intervalos de la forma Ii = [Li , Li+1 , en el cual se agrupan los diferentes valores de una variable cuantitativa
X. Estos intervalos son mutuamente excluyentes.
Li =Límite inferior Li+1=Límite superior
b) Amplitud o ancho de clase: (w)
Es la diferencia entre el límite superior y el límite inferior de cada intervalo de clase. En los problemas se va a
trabajar con anchos de clase constante y común, a menos que se indique lo contrario.
w = Li+1 – Lii
c) Marca de clase: (xi)
Es el punto medio de cada intervalo de clase.
++= i i 1i
L L
x
2
Ejemplo: (Edades de pacientes)
La tabla resume las edades de 40 pacientes que fueron atendidos en el Servicio de Emergencia del Hospital
Antonio Lorena, el último fin de semana del mes de Junio del 2016.
Edad (Ii) xi fi Fi hi Hi
[ 4 , 8
[ 8 , 12
[12 ,16
[16 ,20
[20 ,24]
6
10
14
18
22
6
8
12
10
4
6
14
26
36
40
0,15
0.20
0.30
0,25
0,10
0,15
0,35
0,65
0,90
1,00
Total 40 1,00
HISTOGRAMA DIAGRAMA ESCALONADO
6. PARAMETROS Y ESTADISTICOS
PARAMETROS
Son medidas utilizada para describir alguna característica de una población; se trabaja con toda la población y
las decisiones se toman con certidumbre total. Las más utilizadas son:
1.- La media poblacional (µ).
2.- La varianza poblacional (σ2).
3. La desviación estándar poblacional (σ)
ESTADISTICOS O ESTADIGRAFOS.- Son medidas que describen una característica de una muestra,
mediante un valor numérico. La toma de decisiones contiene un grado de incertidumbre. Las más utilizadas son:
1.- La media muestral ( X ).
2.- La varanza muestral (S2).
3. La desviación estándar muestral (S)
fi
Polígono de
frecuencias
0 4 8 12 16 20 24 Ii 0 4 8 12 16 20 24
Ojiva
Fi
Ii
4.- La mediana
5.- La moda.
MEDIDAS DESCRIPTIVAS
Las medidas descriptivas son valores numéricos que se calculan apartir de un conjunto de datos y que nos
proporciona información contenida en la muestra. Las medidas descriptivas que utilizamos son las medidas de
tendencia central y de dispersión. Existen otras medidas como las medidas de posición y de forma que no son
objeto de estudio en el presente compendio.
6.1. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son valores que generalmente se ubican en la parte central de un conjunto de datos. Con estos valores podemos
responder preguntas como: ¿Cuál es el dato más frecuente? ¿Alrededor de que valor se concentran los datos?
¿Debajo de que valor se encuentran el 50% de los datos?, etc.
1. MEDIA ARITMÉTICA X
a) Datos no tabulados
=
+ + +
= =
n
1 2 n
i
i 1
x x x 1
X x
n n
b) Datos tabulados
=
+ + +
= =
k
1 1 2 2 k k
i i
i 1
f x f x f x 1
X f x
n n
PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA.
1.- La media aritmética es afectada por valores extremos.
2.- La media de una constante es la misma constante. ( )M k k=
3.- ( ) ( )M X k M X k =
4.- ( ) ( )M kX k M X=
5.- ( ) ( ) ( )M X Y M X M Y X Y+ = + = +
6.- = M[aX b] aM[X] b
2. MEDIANA (Me)
Es el valor que divide a un conjunto de datos ordenados en dos grupos de igual tamaño o en dos partes iguales,
dejando la mitad de los datos por debajo y la otra mitad por encima.
a) Datos no tabulados
Dado un conjunto de “n” observaciones ordenadas, es decir: X1 X2 ... Xn .
+
+
=
= +
=
n 1
2
n n
2 2
1
x , si n impar
Me x x
, si n par
2
Ejemplo:
Hallar la mediana de las edades de los grupos de niños que se indican (en años):
i) 5, 4, 9, 6, 3, 8, 8, 2, 10
Solución
1º) Ordenamos: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 8, 10
2º) n = 9 impar
+ += = = =n 1 9 1
2 2
5M X X X 6e años
ii) 2, 1, 5, 4, 8, 8, 7, 6
Solución
1º) Ordenamos: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 8
2º) n = 8 par
14 | C E P R U 2 0 2 2
+
+
+ +
= = = =
n n
2 2
1
4 5
X X
X X 5 6
M 5,5
2 2 2e
años
b) Datos tabulados
1º) Calcular n/2
2º) Identificar la clase mediana
(Es aquella que hasta ese nivel acumuló y/o superó por primera vez a n/2) I = [Li , Li+1
3º) Usar la fórmula:
−
−
= +
i 1
i
i
n
F
2Me L w
f
3. MODA (Mo)
Es una medida que localiza el dato o categoría que aparece con más frecuencia. Es la única medida
descriptiva que se usa para datos cualitativos y cuantitativos.
a) Datos no tabulados:
Ejemplo:
Hallar la moda para cada conjunto de datos:
a) 4, 7, 6, 6, 9, 8, 10, 11, 6, 7
b) 8, 4, 7, 8, 4, 6, 9, 8, 6, 10, 11, 4, 8, 6, 4, 8, 9, 1, 4
c) 4, 7, 6, 4, 6, 7, 7, 6, 4
Solución
a) xi fi b) xi fi c) xi fi
4
6
7
8
9
10
11
1
3
2
1
1
1
1
1
4
6
7
8
9
10
11
1
5
3
1
5
2
1
1
4
6
7
3
3
3
Mo = 6
Distribución
unimodal
Mo = 4
M’o = 8
Distribución
bimodal
Mo=No existe
Distribución
uniforme
b) Datos tabulados:
1º) Identificar la clase modal (asociada a la frecuencia absoluta máxima) I = [Li , Li+1
2º) Usar la fórmula:
= +
+
1
i
1 2
d
Mo L w
d d
d1 = fi – fi -1
d2 = fi – fi +1
Ejemplo 1:
En el ejemplo anterior, referido al Número de hijos por familia. Hallar la X , Me y Mo
Solución
Completamos la tabla de frecuencias:
xi fi Fi fixi
0
1
2
3
4
2
4
8
4
2
2
6
14
18
20
0
4
16
12
8
Total 20 40
✓ Media aritmética
i if x 40
X 2
n 20
= = =
hijos
✓ Mediana y Moda:
10 11
X X 2 2
Me 2
2 2
+ +
= = = hijos
Mo 2= hijos
Ejemplo 2:
Consideremos el ejemplo anterior sobre las edades de 40 pacientes atendidos en el Hospital Antonio Lorena.
Edades (Ii) xi fi Fi fixi
[ 4 , 8
[ 8 , 12
[12 , 16
[16 , 20
[20 , 24]
6
10
14
18
22
6
8
12
10
4
6
14
26
36
40
36
80
168
180
88
Total 40 552
Hallar la X , Me y Mo
Solución
✓ Media aritmética:
i if x 552
X 13,8
n 40
= = =
años
✓ Mediana:
i 1
i
i
n
F
20 142Me L w 12 4 14
f 12
−
− −
= + = + =
años
✓ Moda
1
i
1 2
d 4
Mo L w 12 4 14,7
d d 4 2
= + = + =
+ +
años
RELACION ENTRE LA MEDIA, MEDIANA Y MODA.
CURVAS DE FRECUENCIAS.
Para datos continuos es posible teóricamente elegir los intervalos de clase muy pequeños y aún así tener
teóricamente una cantidad adecuada de datos dentro de cada intervalo pequeño. Se une los puntos medios de
los intervalos pequeños y se obtiene la curva de frecuencias.
Curvas de frecuencias simétrica y asimétrica.
Me, mediana
Mo, la moda.
6.2. MEDIDAS DE TENDENCIA NO CENTRALES
Los cuantiles constituyen un grupo de medidas de significado análogo al de la mediana, con la diferencia de que,
en vez de apuntar al centro de la distribución, ahora el objetivo es determinar valores que la dividan en partes iguales.
16 | C E P R U 2 0 2 2
1) Cuartiles (Qk)
Dividen a un conjunto de datos ordenados en 4 partes iguales.
En una distribución de datos no tabulados, para calcular el cuartil Qk, se busca el valor de la variable X que
corresponde a la posición
+k n( 1)
4
, si no es un entero entonces será necesario interpolar
Para distribuciones con datos tabulados en intervalos, el primer paso será identificar la clase cuartil k, como en
el caso de la mediana y el valor del cuartil Qk vendrá dado por la expresión:
−
−
= +
i 1
i
i
k n
4
k
F
Q L w
f
k=1, 2, 3
2) Deciles (Dk)
Dividen a un conjunto de datos ordenados en 10 partes iguales.
En una distribución de datos no tabulados, para calcular el decil Dk, se busca el valor de la variable X que
corresponde a la posición
+k(n 1)
10
.
Para distribuciones con datos tabulados en intervalos, el valor del decil Dk vendrá dado por la expresión:
−
−
= +
i 1
i
i
k n
10
F
D L wk f
k=1, 2, … , 9
3) Percentiles (Pk)
Dividen a un conjunto de datos ordenados en 100 partes iguales.
En una distribución de datos no tabulados, para calcular el percentil Pk, se busca el valor de la variable X que
corresponde a la posición
+k(n 1)
100
.
Para distribuciones con datos tabulados en intervalos, el primer paso será identificar la clase percentil k, como
en el caso de la mediana y el valor del percentil Pk vendrá dado por la expresión:
−
−
= +
i 1
i
i
k n F
100P L w
k f
k=1, 2,…, 99
Propiedades de los cuantiles
• Los cuantiles son únicos
• Siempre es un valor observable de la variable.
• P50 = D5 = Q2 = Me
P25 = Q1
P75 = Q3
Ejemplo 1
Hallar el cuartil 1, el decil 6 y el percentil 85 del siguiente grupo de datos que corresponden a las edades en años
de 13 niños hospitalizados en el Hospital Antonio Lorena.
8 9 2 3 9 9 2 7 4 5 3 5 6
Solución
Ordenamos las edades: 2 , 2, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9
25% 25% 25% 25%
Q1 Q2 Q3
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10%
D1 D2 D3 D4 D5 … D8 D9
1% 1% 1% 1% 1% 1% 1%
P1 P2 P3 P4 P5 … P98 P99
a) Cuartil 1:
+ += = = = + − = + − =1 k(n 1) 1(13 1) 3,5 3 4 3
4 4
Q x x x x 0,5(x x ) 3 0,5(3 3) 3 años
b) Decil 6
+ += = = = + − = + − =6 k(n 1) 6(13 1) 8,4 8 9 8
10 10
D x x x x 0,4(x x ) 6 0,4(7 6) 6,4 años
c) Percentil 85
+ += = = = + − = + − =85 k(n 1) 85(13 1) 11,9 11 12 11
100 100
P x x x x 0,9(x x ) 9 0,9(9 9) 9
años
Ejemplo 4
Se tiene la información de los gastos semanales en fotocopias de 50 alumnos del CEPRU.
Gastos (Ii) fi Fi
[0 , 4 1 1
[4 , 8 5 6
[8 , 12 7 13
[12 , 16 16 29
[16 , 20 14 43
[20 , 24 5 48
[24, 28] 2 50
Total 50
Hallar el decil 1 y el percentil 80
Solución
d) Decil 1:
= =
k n 1 50
5
10 10
La clase decil 1, es el intervalo: I2=[4 , 8
−
− − = + = + =
i 1
i
i
k n
10
1
F 5 1
D L w 4 4 7, 2
f 5
soles
e) Percentil 80:
= =
k n 80 50
40
100 100
La clase percentil 80, es el intervalo: I5=[16 , 20
−
− − = + = + =
i 1
i80
i
k n
100
F 40 29
P L w 16 4 19,1
f 14
soles
6.3 MEDIDAS DE DISPERSION o Variabilidad
Estas medidas nos indican que tan dispersos (separados) o próximos están los datos con respecto a la media
aritmética.
1) RANGO o RECORRIDO (R)
Se define como la diferencia entre el mayor y menor valor de la variable:
= −áx mínR X Xm
Esta medida presenta la ventaja de que cálculo es sencillo; sin embargo tiene la desventaja de que es sensible
a la presencia de datos atípicos y en su definición no interviene ningún promedio.
Ejemplo
Hallar el rango en cada grupo de datos:
Grupo 1: 8 9 2 3 9 9 2 7 4 5 3 5
Grupo 2: 16 10 4 8 12 10 8 20 4 13 12 22 16 26 20
Solución
18 | C E P R U 2 0 2 2
= − = − =
= − = − =
1 máx mín
2 máx mín
R x x 9 2 7 años
R x x 26 4 22 años
2) VARIANZA (2 o Var[X])
Mide el grado de dispersión de los datos respecto a la media aritmética. Se define como el promedio aritmético
de los cuadrados de las diferencias de las observaciones con su media aritmética. Siempre se cumple que
= 2Var[X] 0
a) Datos no tabulados
Varianza poblacional:
( )
=
−
= =
N
2
i
2 i 1
x
Var[X]
N
Varianza muestral
= −
22
i i2 x xS
n n
b) Datos tabulados
= =
= = −
2
k k
2
i i i i
2 i 1 i 1
f .X f x
S Var[X]
n n
; k es el número de marcas de clase.
Inconveniente:
Las unidades de la varianza son las mismas que de las unidades originales pero elevadas al cuadrado: años2,
kg2, soles2, hijos2, etc
3) DESVIACIÓN ESTÁNDAR o DESVIACIÓN TÍPICA ()
Se define como la raíz cuadrada positiva de la varianza. Siempre se cumple que 0
= + 2 desviación estándar poblacional
= + 2S S desviación estándar muestral
Ejemplo 3:
Considere las edades de un grupo de 8 niños, medidos en años.
5, 6, 6, 6, 5, 7, 7, 6 (años)
Halle la varianza y la desviación típica.
Solución
✓
5 6 6 6 5 7 7 6 48
6
8 8
+ + + + + + +
= = = años
✓
( )
2 2 2 2
i2
x (5 6) (6 6) (6 6)
n 8
− − + − + + −
= =
24 1 años
8 2
= =
✓ = =
1 2
años
2 2
PROPIEDADES DE LA VARIANZA
Si X es una variable cuantitativa con varianza =2Var[X] . Si a y b son constantes, entonces:
1. Var[x] 0 , X 0
2. =Var[a] 0 , =a 0
3. =Var[X b] Var[X] , = X b X
4. = 2Var[aX] a Var[X], = aX b Xa
PROPIEDADES SOBRE LAS MEDIDAS DESCRIPTIVAS
1. En una distribución unimodal simétrica de datos se cumple: = =X Me Mo
2. La media aritmética es una medida muy sensible a los valores muy extremos.
3. La mediana no se ve afectada por la presencia de datos muy extremos.
4. La moda no siempre existe y si existe no siempre es única.
5. La varianza de un conjunto de datos donde todos son iguales es cero.
6.4 TABLAS DE DOBLE ENTRADA
Llamadas también tablas de contingencia, brindan información estadística de dos variables relacionadas entre
sí, independientemente de si son cualitativas o cuantitativas.
Ejemplo
Se tiene la información de género y estado civil de 200 profesores de la UNSAAC
Cuadro N° 01
Estado Civil con relación al género de profesores de la UNSAAC
Estado
civil
Género
Total
Varón Mujer
Soltero 10 4 14
Casado 75 54 129
Divorciado 20 12 32
Viudo 15 10 25
Total 120 80 n=200
Fuente: Unidad de estadística del CEPRU
Se observa que:
✓ Existen más varones que mujeres.
✓ La mayoría de los profesores son casados
✓ Hay 20 profesores varones divorciados
✓ El 27% del total de encuestados son profesoras mujeres casadas.
✓ 15 profesores varones son viudos.
20 | C E P R U 2 0 2 2
Regular
25%
Muy buena
21%
Muy
mala
Mala
29%
Buena
13%
8nº
5nº
82º
3nº
38º
I
C
E A
M
EJERCICIOS
1. De las siguientes proposiciones: I. La estadística se clasifica en estadística
descriptiva e inferencial.
II.
III. F3 = f1 + f2 + f3
IV. La suma de todas las frecuencias absolutas es
1.
V. La marca de clase se define como la suma de
los límites del intervalo de clase
correspondiente.
VI. La varianza mide el grado de dispersión o
separación de los datos con respecto a la
media.
VII. La moda es el dato o cualidad cuya frecuencia
relativa es máxima.
VIII. La mediana divide a un conjunto de datos de
cantidad par, en dos partes iguales.
¿Cuántas son falsas?
A) 2 B) 5 C) 4 D) 3. E) 6
2. De las siguientes proposiciones:
I. La mediana es una medida de tendencia
central que no es afectada por los valores
extremos.
II. La media aritmética es una medida de
tendencia central muy sensible a los valores
extremos.
III. En toda distribución de frecuencias
simétricas se cumple que X =Me=Mo.
IV. En toda distribución de frecuencias
simétricas unimodales se cumple que X = Me
= Mo.
V. La moda es una medida de tendencia central
que puede no existir y si existe no siempre
será única.
VI. La varianza de un conjunto de datos
cuantitativos es 0 si todos los datos son
iguales.
VII. ¿Cuántas son verdaderas?
A) 2 B) 5. C) 4 D) 3 E) 6
3. Indicar el valor de verdad en las siguientes
proposiciones:
I. El grado militar es una variable cualitativa
ordinal
II. La cantidad de colesterol es una variable
cuantitativa discreta
III. El nivel de desnutrición es una variable
cualitativa nominal
A) VVV
B) FFF
C) FVF
D) FVV
E) VVF
4. Indicar el valor de verdad en las siguientes
proposiciones:
I. La variable es una característica medible de
una población o de una muestra y que toma
valores diferentes
II. Las variables cualitativas son aquellas cuyos
valores son cualidades o atributos
III. Una variable cualitativa es ordinal cuando
sus valores se pueden ordenar según una
escala establecida
A) VVV
B) VVF
C) FFF
D) FVV
E) VFV
5. Indicar el valor de verdad en las siguientes
proposiciones:
I. El número de tu DNI es una variable
cuantitativa discreta
II. El número de fallecidos diarios a nivel
nacional a causa del COVID 19 es una
variable cuantitativa discreta
III. La magnitud de un sismo es una variable
cuantitativa continua
A) VVV
B) FVV
C) VVF
D) VFV
E) FVF
6. Indicar el valor de verdad en las siguientes
proposiciones:
I. La intensidad de un sismo es
II. una variable cualitativa ordinal
III. El nivel de colesterol de tus profesores es
una variable cualitativa nominal
IV. El número de tus contactos en Facebook es
una variable cuantitativa discreta
A) VVV.
B) VFF
C) FVV
D) VFV
7. En el diagrama circular se observa las preferencias
de un grupo de alumnos sobre las carreras
profesionales de: Medicina (M), Ingeniería Civil (I),
Contabilidad (C), Economía (E) y Administración
(A). ¿Cuántos prefieren Ingeniería Civil, si los que
prefieren Contabilidad son 164 alumnos?.
A) 76
B) 84
C) 130
D) 142
E) 150.
8. Se entrevistó a 200 ciudadanos sobre la gestión del
alcalde de Wanchaq, y se graficó el diagrama de
sectores que se indica. ¿Cuántos ciudadanos
opinaron que la gestión del alcalde fue muy mala?
A) 20
B) 24.
C) 28
D) 26
E) 18
9. Las preferencias del público por 5 canales de
televisión son clasificados como sigue:
Al confeccionar un gráfico de sectores, ¿qué ángulo
le corresponde al canalC2?
A) 50º B) 52º C) 54º. D) 60º E) 56º
10. Un equipo de Básquet, tiene jugadores con las
siguientes estaturas en metros:
1,76 1,73 1,72 1,74 1,71 1,70 1,75
Calcular la Mediana:
A) 1,71 B) 1,72 C) 1,73. D) 1,74 E) 1,70
11. En el siguiente conjunto de números:
8 9 9 10 10 10 11 11 11 12 12 12
13 13 13 13 13 13 14 14 15 17 18 19 20
Calcular la Moda.
A) 13. B) 11 C) 12 D) 14 E) 15
12. Se tiene la edad de 40 niños:
Edad(xi) 7 8 9 10 11 12
fi 5 6 5 -- 10 5
¿Qué porcentaje de niños tienen al menos 10 años?
A) 56% B) 57% C) 58% D) 60%. E) 40%
13. Dada la distribución de datos:
xi fi
1
2
3
4
1
3
5
2
Hallar la suma de la Mediana y Moda:
A) 5 B) 6. C) 5 D) 4 E) 3,5
14. Considere las notas de 40 alumnos de la UNSAAC
en la asignatura de Estadística:
Notas (xi) fi
10
11
12
13
17
5
7
8
12
8
Hallar Mo – Me:
A) 1 B) 0,5. C) 1,5 D) -1 E) 2
15. Dado el cuadro, halle “a + b + c + d + e + n”
Ii fi Fi
[ 4 , 8 a 10
[ 8 , 12 2 b
[12 , 16 4 c
[16 , 20 d 40
[20 , 24] e 50
A) 120 B) 124 C) 126 D) 122. E) 128
16. Juan mide durante una temporada el tiempo que
demora para llegar de su casa a la UNSAAC,
obteniendo los siguientes resultados:
25 min en 2 ocasiones
26 min en 3 ocasiones
27 min en 5 ocasiones
28 min en 12 ocasiones
29 min en 5 ocasiones
30 min en 3 ocasiones
31 min en 2 ocasiones
Calcular: media + moda + mediana.
A) 28 B) 84. C) 90 D) 92 E)84,25
17. La tabla muestra los gastos semanales de 80
alumnos universitarios:
Ingreso fi Fi hi
[160 , 170
[170 , 180 48 60
[180 , 190 0,125
[190 , 200 0,075
[200 , 210]
¿Cuántos universitarios gastan menos de 200
soles?.
A) 50 B) 54 C) 66 D) 76. E) 70
18. Si la siguiente distribución de frecuencias es
simétrica, calcular la moda:
Ii fi Fi hi
[20 ,
[ ,
[ , 50
[ ,
[ , ]
12
48
0,15
A) 40
B) 36
C) 42
D) 45.
E) 50
19. La tabla muestra la distribución de salarios 100
empleados de una empresa:
Salario(Ii) fi Fi hi Hi
[300,360
[360,420
[420,480
[480,540
[540,600]
20
0,1
0,3
¿Cuántos ganan menos de 480 soles?
A) 40 B) 36 C) 42 D) 45. E) 50.
20. De las edades de 4 hermanos, se sabe que la media
es igual a 24 años, la mediana es 23 años y la moda
22 años. El mayor de los hermanos tiene:
A) 30a B) 24a C) 26a D) 28a. E) 27a
21. Se tiene una distribución de frecuencias de 4
intervalos con amplitud iguales, además se tiene
los siguientes datos: x1 = 10; x4 = 22; h1 = 0,30; h4 =
0,175; H2 = 0,45. Calcular f2 + f4, si el total de datos
es 120.
A) 37 B) 36 C) 39. D) 40 E) 38
22. En una distribución de 5 intervalos de ancho de
clase igual, x2=300 y x4=420. Halle el límite
superior del cuarto intervalo
A) 300 B) 350 C) 400 D) 450. E) 500
23. En la siguiente distribución de frecuencias
calcular la suma de la Mediana y Moda.
Ii fi
C1 C2 C3 C4 C5
25%
30%
20%
10%
22 | C E P R U 2 0 2 2
[55 , 61 4
[61 , 67 12
[67 , 73 25
[73 , 79 18
[79 , 85] 13
A)118,4 B)153,1 C)162,6 D)142,7. E)128,5
24. Complete la siguiente tabla, si f3 – f2 = 9.
Ii xi fi Fi hi Hi
[10 ,
[20 ,
[ ,
[ , 50
[ , ]
25
35
55
24
51
0,06
0,60
Calcular: h5 – H2
A) 0,20 B) 0,33 C) 0,40 D) 0,50 E) 0,16.
25. Dada la siguiente tabla de distribución simétrica
donde se observa las sueldos de los empleados en
una fábrica:
Sueldos fi hi
[400 , 450
[450 , 500
[500 , 550
[550 , 600
[600 , 650]
5a
3a
0,2
¿Qué porcentaje de trabajadores reciben al menos
S/.475 y menos de S/.600?
A)40,5% B)41,5% C)44,5% D)42,5%. E)46,5%
26. La siguiente tabla muestra una distribución de
frecuencias con ancho de clase común:
Edades fi Hi
[ a ,
[ ,
[ ,
[ , 5a
[ , 72]
2a
3a
m
2m
¿Cuántos datos aparecen en el intervalo [36, 60, si
la distribución es simétrica?
A) 60 B) 84 C) 72 D) 96. E) 108
27. Hallar la varianza de las edades (en años) de 5
universitarios atendidos en ESSALUD: 13 10
8 16 18
A)12,3a2 B)13,6a C)15,3a D)15,3a2 E)13,6a2
28. Dada la siguiente tabla incompleta de los pesos de
150 alumnos de la UNSAAC.
Peso(Kg) xi fi Fi
[45 , k
[ , 2k 54
[ , 38
[ , 62,5 a
[ , ] k
Siendo el ancho de clase constante. ¿Cuántos
alumnos pesan al menos 50kg y menos de 65Kg?
A) 110 B) 112 C) 114. D) 116 E) 120
29. De las siguientes proposiciones:
I. La media siempre existe y es única
II. La mediana siempre existe y es única
III. La moda no siempre existe y si existe no
siempre es única
IV. La varianza siempre existe
¿Cuántas son falsas?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
30. Indicar el valor de verdad en las siguientes
proposiciones
I. D5=Me
II. P50=Q2
III. D2=Q1
A) FFF
B) FFV
C) FVV
D) VVV
E) VVF
31. Indicar el valor de verdad en las siguientes
proposiciones:
I. La varianza siempre existe y es única
II. La varianza de un conjunto de datos todos
iguales es 0
III. La varianza mide el grado de dispersión de
los datos respecto a la mediana
A) VVV
B) VVF
C) VFV
D) VFF
E) FVV
32. Se tiene el número de errores ortográficos
cometidos por un grupo de niño:
3, 5, 3, 6, 4, 2, 8, 3, 7, 5, 8, 9, 4, 5, 5, 3
Hallar el percentil 45.
A) 5,6 B) 4,25 C) 6,85 D) 4,65 E) 3,25
33. Los datos siguientes corresponden a los tiempos
de reacción de una muestra de 33 sujetos,
medidos en centésimas de segundo:
55, 51, 60, 56, 64, 56, 63, 63, 61, 57,
62, 50, 49, 70, 72, 54, 48, 53, 58, 66,
68, 45, 74, 65, 58, 61, 62, 59, 64, 57,
63, 52, 67
El decil 9, es:
A) 69,5
B) 68,5
C) 63,4
D) 70,2
E) 69,2
34. La siguiente tabla muestra el número de desayunos
que envía el Comedor Universitario
35. de la UNSAAC a tres organizaciones benéficas de la
Región Cusco. El Comedor Universitario envía 300
desayunos diarios, para las tres organizaciones
benéficas, el 70% incluye leche de vaca y el 30%
leche de soya en cada institución benefica.
Asilo de
ancianos
Hogar de
niños
Pastoral
Lu a Vi 30% 50% 20%
Sa 40% 60% ---
Do 20% 80% ---
¿Cuántos desayunos con leche de soya envían
los jueves al hogar de niños?
A) 25
B) 45
C) 27
D) 45
E) 30
F)
36. Según el enunciado del problema anterior, el
número promedio de desayunos que envía el
Comedor Universitario al asilo de ancianos
es:
A) 85
B) 75
C) 80
D) 90
E) 70
37. Para el enunciado del problema 35, ¿cuántos
desayunos que incluyen leche de vaca envían
los días lunes y martes a la pastoral?
A) 84
B) 74
C) 70
D) 80
E) 68
38. Se tiene la siguiente distribución de edades, en
años, para un colectivo de 37 jóvenes:
xi fi
17
18
19
20
21
22
5
22
4
4
1
1
Calcular Q3 +D9 + P22
A) 53
B) 55
C) 57
D) 58
E) 60
39. Los siguientes datos representan los precios de
habitaciones individuales por día de un total de
40 hoteles de una zona de verano de Perú. Hallar
el percentil 45.
Precio Nº de hoteles
[0 ; 20
[20 ; 40
[40 ; 60
[60 ; 80
[80 ; 100]
6
10
15
7
2
A) 42
B) 42,7
C) 43,5
D) 41,6
E) 44,2
40. En la siguiente distribución.
Ii fi
[16 , 32 6
[32 , 48 3a
[48 , 64 8
[64 , 80 a
[80 , 96] 3
Hallar el valor de “a” si se sabe que la moda es 44 y
la amplitud es constante.
A) 1 B) 2 C) 3. D) 4 E) 5
41. En la siguiente distribuciónincompleta de datos
con ancho de clase constante:
Ii xi fi Fi
[45 , 7
[ 6 , 9
[ , 10 25
[ ,
[ , ] 40
Hallar la mediana.
A) 12 B) 13 C) 15. D) 16 E) 18
42. Dado el siguiente polígono de frecuencias:
Hallar la media:
A) 29,5. B) 30,5 C) 29 D) 30 E) 31
43. En el siguiente polígono de frecuencias, halle el
porcentaje de alumnos que tienen notas mayores o
iguales a 10 pero menores que 16.
A) 38% B) 40% C) 45% D) 48% E) 52%
44. Dado el histograma, ¿cuántas personas ganan por
lo menos S/. 820?
A) 450 B) 430 C) 610 D) 690 E) 358
0 10 20 30 40 50 60
10k
fi
k/2
5k
4k
Ii
300 500 700 900 1100 1300
500
Ingreso
Nº personas
300
210
150
8
0
24 | C E P R U 2 0 2 2
45. Dado el polígono de frecuencias acumulado
(ojiva), la mayor moda es:
A) 40,1 B) 42,8 C) 42,7. D) 45 E) 46
46. La tabla muestra los gastos semanales de un grupo
de alumnos universitarios
Gastos xi fi
[ 40 , 60
[ 60 , 80
[ 80 , 100
[100 , 120
[120 , 140
[140 , 160]
15
25
30
20
5
5
Hallar la desviación típica de los gastos.
A)S/.26. B)S/.25 C)S/.27 D)S/.35 E)S/22
47. En el siguiente histograma, la media es 11,9.
Entonces el valor de x, es:
A)8 B) 9 C)10 D) 12 E) 13
48. La tabla muestra las notas de un grupo de alumnos
matriculados en Bioestadística:
Notas xi fi
[00 , 04
[04 , 08
[08 , 12
[12 , 16
[16 , 20]
4
10
18
8
8
Hallar la varianza de las notas.
A) 86/4 B) 87/4 C) 89/4 D) 80/5 E) 83/5
8 16 24 32 40 48 56
39
Edades
Fi
28
22
11
4
40
fi
20
8
4
0 x 12 14 16 Ii
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TEMA 14 (ÚLTIMO)
INTRODUCCION A LAS PROBABILIDADES
ANALISIS COMBINATORIO.
Trata sobre las técnicas de conteo.
FACTORIAL DE UN NÚMERO.
El símbolo factorial (!) denota el producto de números enteros positivos.
0! = 1, por definición.
𝑛! = 𝑛(𝑛 – 1)(𝑛 – 2) × … × 3 × 2 × 1. Si 𝑛 ≥ 1.
Ejemplo. 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
PRINCIPIO DE ADICION.
Si un evento designado por 𝐴 ocurre de 𝑛 maneras diferentes y otro evento 𝐵 ocurre de 𝑚 maneras
diferentes, entonces 𝐴 o 𝐵 (en sentido excluyente) ocurren de 𝑚 + 𝑛 formas diferentes. En el principio de
adición, o bien ocurre un caso o bien ocurre el otro caso, más nunca pueden ocurrir simultáneamente.
El principio de adición sólo será aplicado para eventos mutuamente excluyentes, es decir aquellos que no
pueden ocurrir simultáneamente.
PRINCIPIO DE MULTIPLICACION.
Si un primer evento puede ocurrir de 𝑚 formas diferentes y otro segundo evento puede ocurrir de 𝑛 formas
diferentes, entonces los dos eventos juntos pueden ocurrir de (𝑚. 𝑛) formas diferentes.
Este principio se puede extender para más de dos eventos, por ejemplo para tres eventos sería: (𝑚. 𝑛. 𝑟)
donde 𝑟 es el número de formas diferentes de ocurrir un tercer evento.
VARIACIONES.
Son ordenaciones, arreglos, Interesa el orden. Quien ocupa el primer lugar, segundo etc.
𝑉𝑘
𝑛 =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
PERMUTACIONES
Si 𝑛 = 𝑘, entonces la variación se llama permutación, y se escribe.
𝑃𝑛
𝑛 = 𝑛!
- 2 -
0 1
nC =
1
nC n=
1
n
nC n− =
1nnC =
COMBINACIONES.
(No interesa el orden)
En muchos casos interesa el número de formas de seleccionar (tomar, coger) 𝑟 objetos de un total de 𝑛 que
consta un conjunto, sin importar el orden. Estas selecciones se llaman combinaciones.
El número de combinaciones de 𝑛 elementos de un conjunto, todos distintos y tomados de 𝑟 en 𝑟 (𝑟 ≤ 𝑛)
está dado por:
𝐶𝑘
𝑛 = (
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
PROPIEDADES
1.-
2.-
3.-
4.-
PROBABILIDADES.
EXPERIMENTO ALEATORIO (E).- Es cualquier experimento cuyo resultado no se puede predecir antes de
realizar el experimento por que consta con más de un resultado posible.
Ejemplos:
E1: Lanzar una moneda normal sobre una superficie plana y observar la cara superior. Puede ocurrir cara o
sello.
E2: Lanzar un dado sobre una superficie plana y observar la parte superior. Puede ocurrir que aparezca uno
de los siguientes números: 1, 2,3 4, 5, 6.
E3: Extraer una bola de una urna que contiene bolas de diferentes colores.
ESPACIO MUESTRAL (𝑺 𝒐 𝜴).- Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento
aleatorio. A su vez éste se comporta como el conjunto universal.
Ejemplos:
Para el experimento E1 su espacio muestral es: S1 = {C, S}
Para el experimento E2 su espacio muestral es: S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
CLASIFICACION DE LOS ESPACIOS MUESTRALES
Por el número de elementos se clasifican en
a) DISCRETOS FINITOS: Numero finito de elementos
b) DISCRETOS INFINITOS: Número infinito de elementos numerables
c) CONTINUOS: Número infinito de elementos no numerables
EVENTO O SUCESO.
Es cualquier subconjunto de un determinado espacio muestral.
Notación: 𝐴, 𝐵, etc.
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- 3 -
OPERACIONES CON EVENTOS
1) UNION.
𝐴⋃𝐵 = {𝑤 ∈ 𝑅/𝑤 ∈ 𝐴 ∨ 𝑤 ∈ 𝐵}
El evento 𝐴⋃𝐵, describe el evento de que “OCURRA POR LO MENOS UNO DE ELLOS”
2) INTERSECCION.
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑤 ∈ 𝑅/𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐵}
𝐴 ∩ 𝐵 Describe el evento de que “OCURRAN AMBOS A Y B”
3) DIFERENCIA
𝐴 − 𝐵 = {𝑤 ∈ 𝑅/𝑤 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∉ 𝐵}
El evento 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 ∩ 𝐵𝐶 , se describe el evento de que “OCURRA A Y NO OCURRA B”
4) PRODUCTO CARTESIANO
𝐴 × 𝐵 = {(𝑤1 , 𝑤2)/𝑤1 ∈ 𝐴 ∧, 𝑤2 ∈ 𝐵}
El evento 𝐴 × 𝐵 describe el evento de que “OCURRE 1º A y 2º B”
DEFINICION CLASICA DE PROBABILIDAD.-
Sea A un evento en el espacio muestral (𝑺 𝒐 𝜴), entonces:
𝑃(𝐴) =
𝑛𝐴
𝑛
=
𝑛(𝐴)
𝑛(𝜴)
0𝑃(𝐴) 1 Ó 0%𝑃(𝐴) 100%
Donde:
𝑛𝐴: Casos a favor de 𝐴 o número de elementos de 𝐴.
𝑛 = Número total de casos o número de elementos de 𝜴.
𝑃(𝐴): Probabilidad de que ocurra el evento 𝐴
Los eventos son subconjuntos, por tanto se cumple la teoría de conjuntos, luego se habla de complemento de
un evento, reunión de eventos, intersección de eventos.
EVENTO IMPOSIBLE
Se llama así al evento ∅ (el conjunto vacío) el cual es subconjunto de todo evento. Su probabilidad es nula:
𝑃(∅) = 0
EVENTO SEGURO.
Se llama así al espacio muestral 𝑆 = 𝜴. Su probabilidad es uno. P(S= 𝜴) = 1.
- 4 -
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.
Sean los eventos 𝐴 y 𝐵 en un espacio muestral 𝑆. Si no tienen elementos en común 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, quiere decir
“NO PUEDEN OCURRIR AMBOS”
EVENTOS CONTRARIOS U OPUESTOS ó COMPLEMENTO DE UN EVENTO.
Sea 𝐴 un evento en un espacio muestral 𝑆. se denota por 𝐴’ o 𝐴𝐶 al complemento del evento 𝐴, que viene a
ser el evento contrario de 𝐴.
𝑃(𝐴𝐶) = 1 − 𝑃(𝐴)
𝐴 ∪ 𝐴𝐶 = 𝑆, 𝐴 ∩ 𝐴𝐶 = ∅
𝐴: Acontece el evento A;
𝐴𝐶: No acontece el evento A
LEY DE LA SUMA.
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)Cuando A y B no son mutuamente excluyentes.
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) Esto si A y B son mutuamente excluyentes, es decir:𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
PROBABILIDAD CONDICIONAL.
La probabilidad de ocurrencia de un evento 𝐴, dado que ha ocurrido el evento 𝐵, se denota por 𝑃(𝐴 / 𝐵) y se
define como:
𝑃(𝐴 ∕ 𝐵) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
, 𝑃(𝐵) ≠ 0
La probabilidad de que ocurra 𝐵 dado que ha ocurrido 𝐴, es:
𝑃(𝐵 ∕ 𝐴) =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐴)
, 𝑃(𝐴) ≠ 0
TEOREMA DE LA MULTIPLICACIONDE PROBABILIDADES.
Llamado también regla de la multiplicación o probabilidad de la intersección. Es una consecuencia de la
definición de probabilidad condicional.
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐵). 𝑃(𝐴 𝐵⁄ )
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵 𝐴⁄ )
EVENTOS COLECTIVAMENTE EXHAUSTIVOS.
Los eventos 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝐾 son colectivamente exhaustivos si:
𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ … ∪ 𝐵𝐾 = Ω
PARTICION DE UN ESPACIO MUESTRAL.
Se dice que los eventos 𝐵1, 𝐵2 , … , 𝐵𝐾 representan una partición de un espacio muestral S, si se cumplen las
siguientes condiciones:
1.- 𝐵1 ∪ 𝐵2 ∪ … ∪ 𝐵𝐾 = Ω, colectivamente exhaustivos.
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- 5 -
2.- 𝐵𝑖 ∩ 𝐵𝑗 = ∅; ∀ 𝑖 ≠ 𝑗;
𝑖 = 1, 2, … , 𝑘; 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘
Se comporta exactamente como un rompecabezas.
TEOREMA DE PROBABILIDAD TOTAL.
Sean los eventos 𝐵1, 𝐵2, … , 𝐵𝐾 una partición de un espacio muestral S; entonces para cualquier evento A en
S, se cumple:
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵1). 𝑃(𝐴/𝐵1) + 𝑃(𝐵2). 𝑃(𝐴/𝐵2) + ⋯ + 𝑃(𝐵𝑘). 𝑃(𝐴/𝐵𝑘)
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐵𝑖). 𝑃(𝐴 𝐵𝑖⁄ )
𝑘
𝑖=1
Esta propiedad tiene su diagrama del árbol, que también vale para el teorema de Bayes que estudiaremos en
seguida
S
- 6 -
TEOREMA DE BAYES
Si los eventos 𝐵1, 𝐵2 , … , 𝐵𝐾 constituyen una partición de un espacio muestral S; entonces para cualquier
evento A en S, se cumple:
𝑃(𝐵𝑖/𝐴) =
𝑃(𝐵1). 𝑃(𝐴/𝐵1)
∑ 𝑃(𝐵𝑖). 𝑃(𝐴 𝐵𝑖⁄ )
𝑘
𝑖=1
𝑖 = 1, 2, … , 𝑘
EVENTOS INDEPENDIENTES.
Dos eventos 𝐴 y 𝐵 son independientes, si y sólo si 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴). 𝑃(𝐵)
La independencia se refiere a que la ocurrencia de uno de ellos no está influenciada por la ocurrencia o no
ocurrencia del otro suceso.
𝑃(𝐴 𝐵⁄ ) = 𝑃(𝐴)
NOTA: Si 𝐴 y 𝐵 son independientes, entonces 𝐴 y 𝐵’; 𝐴’ y 𝐵; 𝐴’ y 𝐵’ también son independientes.
EJERCICIOS SOBRE ANALISIS COMBINATORIO
1. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento aleatorio que consiste en observar el
resultado de lanzar un dado y una moneda a la vez?
A) 12 B) 10 C) 6 D) 8 E) 4
2. Un funcionario desea viajar de Cusco a Lima y tiene a su disposición 4 líneas aéreas y 7 líneas terrestres.
¿De cuantas maneras diferentes puede realizar dicho viaje?
A) 2 B) 28 C) 56 D) 11 E) 8
3. Koqui tiene dos Blusas; 4 pantalones y 5 pares de zapatos; todos de diferente color entre sí. ¿De cuantas
maneras diferentes puede vestirse?
A) 22 B) 11 C) 24 D) 40 E) 80
4. Determinar cuántos numerales de tres cifras existen, en sistema de base 6
A) 160 B) 120 C) 100 D) 180 E) 140
5. Un club tiene 12 miembros (8 varones y 4 mujeres) ¿Cuántos comités de 5 miembros se puede formar, si
cada comité debe tener 2 mujeres.
A) 4 B) 56 C) 168 D) 448 E) 336
6. En un torneo de futbol se jugaron en total 126 partidos. En la primera rueda jugaron todos contra todos y
en la segunda rueda jugaron los 4 mejores. ¿Cuántos equipos participaron?
A) 26 B) 14 C) 15 D) 30 E) 16
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- 7 -
7. ¿De cuantas maneras se puede viajar de “A” hacia “E” siempre avanzando?
A) 25 B) 24 C) 23 D) 26 E) 21
8. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres ocupen los lugares pares
¿de cuantas maneras puede hacerse?
A) 2880 B) 2800 C) 2560 D) 2480 E) 2720
9. De cuantas maneras se puede representar el número 9 como la suma indicadas de tres sumandos
positivos y diferentes?
A) 21 B) 6 C) 18 D) 12 E) 28
10. Si el cuádruplo del numero de variaciones de “n” objetos tomados de 3 en 3 es igual al quíntuplo del numero
de variaciones de “n - 1” objetos tomados de 3 en 3 ¿Cuál es el valor de n?
A) 5 B) 12 C) 15 D) 20 E) 16
11. De 5 físicos, 4 químicos y 3 matemáticos se tienen que escoger un comité de 6; de modo que se incluyan
3 físicos; 2 químicos y un matemático. De cuantas maneras puede hacerse esto.
A) 180 B) 182 C) 190 D) 360 E) 200
12. Hay 6 buses que viajan entre el pueblo “A” y el pueblo “B” ¿De cuantas maneras una persona puede ir del
pueblo “A” hasta el pueblo “B” y luego regresar en bus diferente?
A) 6 B) 5 C) 30 D) 60 E) 12
13. Una chica tiene 10 amigos; desea invitar a una reunión solo a 3 de ellos. ¿De cuantas maneras puede
invitar; si entre las 10 personas hay 2 matrimonios y cada pareja asisten juntos?
A) 120 B) 20 C) 12 D) 32 E) 60
14. Un estudiante tiene 10 libros de matemáticas y otro estudiante tiene 8 libros de física. ¿de cuantas maneras
pueden intercambiar dos libros de uno por dos del otro?
A) 1260 B) 620 C) 549 D) 840 E) 1620
15. La diferencia entre el numero de variaciones de “m” objetos, tomados de 2 en 2 y el numero de
combinaciones de estos objetos, tomados, también de 2 en dos es 45, hallar “m”.
A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 10
16. ¿Cuántos numerales de tres cifras tienen por lo menos un 6 en su escritura?
A) 196 B) 188 C) 252 D) 480 E) 248
- 8 -
17. De un examen de matemáticas, un estudiante debe responder siete preguntas de las diez dadas
¿de cuantas formas diferentes debe seleccionar si el debe responder por lo menos, tres de la cinco
primeras preguntas?
A) 64 B) 55 C) 50 D) 114 E) 110
18. La selección de voleibol está conformada por 12 chicas de cuantas maneras se puede conformar un equipo
de 6 si se sabe que 2 chicas se niegan a jugar en el mismo equipo.
A) 714 B) 820 C) 530 D) 615 E) 708
19. Si disponemos de 8 puntos no colinelaes ¿Cuál es el máximo número de triángulos que se podrán formar?
A) 72 B) 56 C) 24 D) 336 E) 126
20. Un grupo de inversionistas está conformado por 7 mujeres y 4 hombres ¿De cuantas maneras diferentes
se puede formar una expedición de 6 personas en la cual debe haber por lo menos 2 hombres?
A) 320 B) 125 C) 729 D) 371 E) 900
EJERCICIOS SOBRE PROBABILIDADES
1. De las siguientes proposiciones:
- Un experimento aleatorio es un experimento determinístico.
- Dos eventos son mutuamente excluyentes si tienen al menos un elemento en común.
- El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
- El espacio muestral puede ser infinito discreto.
- Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral.
- El evento seguro es el mismo espacio muestral.
¿Cuántas son falsas?
A) 4 C) 3 E) 1 B) 2 D) 5
2. Al abrir un folleto de 100 páginas; calcular la probabilidad de que al observar ésta página no termine en cero
A)
9
5
B)
9
6
C)
9
10
D)
9
4
E) N.A
3. De una clase está formada por 11 niños y 7 niñas; si se escoge 4 estudiantes al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de todos sean niños?
A)
11
50
B)
11
102
C)
11
40
D)
11
100
E)11
60
4. En una urna se tiene 4 bolas de color rojo, 6 bolas de color verde y 8 bolas de color azul ¿Cuál es la
probabilidad de que al extraer una bola esta se de color verde o azul?
A)
7
9
B)
7
2
C)
7
5
D)
7
8
E)
7
10
5. Ocho amigos juegan al gol, 5 jóvenes y 3 adultos; si los jóvenes tienen la mitad de habilidad que los adultos
¿Cuál es la probabilidad que gane un joven?
A)
5
8
B)
5
11
C)
5
9
D)
5
13
E)
1
2
Aritmética CEPRU
Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco
- 9 -
6. Se colocan bolillas en el interior de un urna de una caja. Cada bolilla tiene un número asignado del 1
al 100. ¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar una bolilla de esta caja, se obtenga un numero N al
que 27 < N < 71?
A) 0.37 B) 0.43 C) 0.39 D) 0.44 E) 0.78
7. De una baraja de 52 se extraen al azar 5 cartas. Determinar la probabilidad de que tres de ellas sean
negras y las otras no.
A)
13
40
B)
1625
4998
C)
14
40
D)
25
60
E)
111
117
8. Sean A y B dos eventos de un espacio muestra Ω con P(A) = 1/4, P(B) = 2/3; P( A ∩ B) = 1/6. Determinar:
P A B
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
2
3
E)
3
4
9. Un experto tirador de tiro al blanco da en el blanco en el 90% de los casos, y otro, en iguales condiciones,
en 80% de los casos. Cada uno dispara una vez al blanco. Se quiere saber qué:
a) Ambos alcancen el blanco.
b) Alcanzar el blanco (se considera alcanzado el blanco cuando indistintamente lo sea por uno o por los
dos proyectiles)
A) 72% y 98% B) 70% y 95% C) 70% y 98% D) 50 % y 90% E) 72% y 90%
10. Se dispone de 5 envases de gaseosas; dos de coca cola, dos de Inka cola y una de Fanta. Si se les
ordenas en una fila, ¿Cuál es la probabilidad de que las de coca cola y la de Fanta estén juntas
A) 0.3 B) 0.35 C) 0.39 D) 0.72 E) 0.78
11. Una ruleta de colores; como se muestra en el grafico adjunto; está dividida en tres sectores iguales de
colores: rojo (R), blanco (B) y azul (A); si se hace la flecha indicadora dos veces consecutivas, hallar la
probabilidad de que en ambos casos señale el mismo color
A) 1/9
B) 2/3
C) 1/6
D) 9/17
E) 1/3
12. Cinco personas; A,B,C,D y E se sientan al azar en 5 sillas distribuidas en una fila. Calcular la probabilidad
de que A y B se sienten juntas
A)
3
5
B)
4
5
C)
2
5
D)
1
5
E)
1
3
13. La probabilidad que tiene un alumno de aprobar matemática es 2/3, la probabilidad que tiene el mismo
alumno de aprobar física es 4/9. Si la probabilidad de este alumno de aprobar por lo menos uno de los
cursos es 4/5 ¿Cuál es su probabilidad de aprobar ambos cursos?
A) 3/4 B) 6/7 C) 7/15 D) 12/45 E) 14/45
14. Supóngase que “A” y “B” son dos eventos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad
de que A ó B ocurra es igual a: 0,6, mientras que la probabilidad de que “A” ocurra es igual a: 0,4;
determinar la probabilidad de que “B” ocurra.
R
A
B
- 10 -
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
15. 3 caballos A, B y C intervienen en una carrera. “A” tiene doble de posibilidad de ganar que “B”, pero la
cuarta parte de posibilidad de “C” ¿Cuál es la posibilidad de ganar de “B”?
A)
1
3
B)
1
7
C)
1
11
D)
2
3
E)
7
8
16. Sabiendo que la probabilidad de que ocurra un accidente en 1Km. de la carretera es 1/3 Cuál es la
probabilidad de encontrar al menos un accidente en 3 Km. de esta carretera?
A)
1
3
B)
1
27
C)
8
27
D)
2
3
E)
19
27
17. Supongamos que se ha cargado un dado de manera que la probabilidad que ocurra un número
determinado es proporcional al mismo. Calcular la probabilidad que se obtenga un número menor que 4 o
par.
A)
1
2
B)
16
21
C)
1
3
D)
4
5
E)
17
35
18. Se tiene un círculo de radio 8 cm. Si ubicamos u punto aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que
este punto esté más cerca o a igual distancia del centro que de la circunferencia?
A) 0.25 B) 0.85 C) 0.35 D) 0.314 E) 0.11
19. Una urna contiene dos monedas de bronce y tres de cobre. Otra urna contiene cuatro monedas de bronce
y tres de cobre. Si se elige una urna al azar y se extrae una moneda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que
la moneda extraída sea de bronce?
A) 0.25 B) 0.285 C) 0.35 D) 0.485 E) 0.121
20. Un determinado club tiene un 75 % de sus miembros que son mujeres y un 25 % que son hombres. De
este club tiene teléfono móvil un 25 % de las mujeres y un 50 % de las hombres. Calcular la probabilidad de
que un miembro de este club elegido al azar entre los que tienen teléfono móvil sea hombre.
A) 0.15 B) 0.2 C) 0.35 D) 0.4 E) 0.3
21. Dos amigos Juan y Mario comparten un número de teléfono. De las llamadas que llegan ,2/5 son para A
y 3/5 son para B. Sus ocupaciones les alejan de este teléfono, de modo que A está fuera de este teléfono
el 50 % del tiempo y B el 25 %. Calcula la probabilidad de que:
a) Alguien conteste el teléfono cuando suene.
b) De que conteste Mario cuando el teléfono cuando suene.
A) ;
13 9
20 13
B) ;
7 4
20 13
C) ;
11 8
20 13
D) ;
9 4
20 13
E)
;
9 4
17 13
22. Tenemos tres urnas: A con 3 bolas rojas y 5 negras, B con 2 bolas rojas y 1 negra y C con 2 bolas rojas
y 3 negras. Escogemos una urna al azar y extraemos una bola. Si la bola ha sido roja, ¿cuál es la
probabilidad de haber sido extraída de la urna A?
A)
45
173
B)
47
173
C)
55
173
D)
35
173
E)
65
173
23. En una pequeña ciudad hay dos cines. En el primero, el 50 % de las películas son de acción mientras
que en el segundo lo son el 70 %. Un espectador elige al azar un cine siguiendo un método que implica que
la probabilidad de elegir le primero es el triple que la de elegir el segundo. Una vez llega al.
Aritmética CEPRU
Universidad Nacional San Antonio Abad del Cusco
- 11 -
a) Calcular la probabilidad de que la película que vea sea de acción.
b) Sabiendo que la película que ha visto es de acción, obtener la probabilidad de que haya acudido al primer cine.
A) 0.15 y 0.27 B) 0.45 y 0,32 C) 0.55 y 0,65 D) 0.55 y 0,68 E) 0.35 y 0,68
24. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas
producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y
5%. Si Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa.
A) 0.38 B) 0.038 C) 0.035 D) 0.04 E) 0.35
25. Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezas
producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y
5%. Si tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida
por la máquina B.
A)
11
36
B)
10
27
C)
8
27
D)
17
38
E)
12
38
26. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los
ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también,mientras que los no ingenieros
y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un
empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
A) 0.155 B) 0.205 C) 0.405 D) 0.415 E) 0.305
27. La probabilidad de que ha ya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad
de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha
sucedido ningún incidente es 0.02 En el supuesto de que ha ya funcionado la alarma, ¿cuál es la
probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
A) 0.155 B) 0.207 C) 0.138 D) 0.157 E) 0.205
28. En un colectivo de inversiones bursátiles, el 20% realiza operaciones vía internet de los inversores que
realizan operaciones vía internet, un 80% consulta InfoBolsaWeb. de los inversores bursátiles que no
realizan operaciones vía internet solo un 20 % consulta InfoBolsaWeb. Si se elige al azar un inversor bursátil
de este colectivo y resulta InfoBolsaWeb, ¿Cuál es la probabilidad de que realice operaciones vía internet?
A)
1
2
B)
2
5
C)
1
3
D)
4
5
E)
5
7
29. De las siguientes proposiciones:
- Un experimento aleatorio es un experimento determinístico.
- Dos eventos son mutuamente excluyentes si tienen al menos un elemento en común.
- Los factoriales están definidos para todos los números enteros.
- El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
- El espacio muestral puede ser infinito discreto.
- Se llama evento a cualquier subconjunto del espacio muestral.
- El evento seguro es el mismo espacio muestral.
¿Cuántas son falsas?
A) 4 C) 3 E) 1 B) 2 D) 5
- 12 -
30.- De una baraja de 52 cartas se extraen dos cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que sean
espadas?
A) 1/5 B) 1/2 C) 1/17 D) 0 E) 1/4
31.-De una baraja de 52 cartas, se extraen al azar 5 de ellas ¿Calcular de cuantas formas se pueden obtener
3 corazones y 2 espadas?
A) 22308 B) 22309 C) 22305 D) 22310 E) 22325.
32.- Se lanza un par de dados. Si salió suma 6, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de los dados haya salido
un 2?
a) 1/5 b) 3/5 c) 2/5.
33.- Se extrae un bolo de un total de 10 (numerados del 1 al 10). ¿Cuál es la probabilidad que dicho bolo sea
múltiplo de 3, si se sabe que salió un bolo par?
a) 1/5 b) 3/5 c) ¼ d) 1/5.
34.- Se hizo una encuesta a 1000 propietarios y 1000 inquilinos.
Maneja
al trabajo
Propietario Inquilino total
Si 824 681 1505
No 176 319 495
Total 1000 1000 2000
Si una persona responde que maneja hacia su trabajo, ¿Cuál es la probabilidad de que sea propietario de su casa?
a) 824/1505. b) 124 / 1505
ARITMETICA AREA A.pdf (p.1)
ARITMÉTICA AREA A.pdf (p.2-168)
ARITMÉTICA AREA A.pdf (p.1-131)
DIRECTORIO.pdf (p.2)
1. TEORÍA DE CONJUNTOS-joel 2022-1.pdf (p.3-22)
2.- SISTEMA DE LOS NUMEROS NATURALES Y ENTEROS 2022-1.pdf (p.23-29)
3.- SISTEMA DE LOS NUMEROS RACIONALES - TEORIA Y EJERCICIOS LOAI 2022-1.pdf (p.30-46)
4.-SUCESIONES Y SUMATORIAS NOTABLES 2022-1 apaza ferd.pdf (p.47-58)
5.- S}ISTEMAS DE NUMERACION 2021-1 olivares.pdf (p.59-67)
6.- Números primos CHUNGA 2022-1 CHUNGA.pdf (p.68-76)
7.- DIVISIBilidad 2022-1 leopoldo.pdf (p.77-83)
DOSSIER 3 ARITMETICA TERCER EXAMEN 2022-1.pdf (p.84-132)
DOSSIER 4 DE ARITMETICA 2022-1.pdf (p.132-167)