Lista de exercícios 8 - Complementar

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Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências F́ısicas e Matemáticas
Departamento de Matemática
MTM3100 - Pré-cálculo
8a lista complementar de exerćıcios (25/09/2017 a 29/09/2017)
1. Em cada um dos itens abaixo, verifique quais elementos do conjunto A =
{
−2,−1, 0, 1
2
, 1,
√
2, 2, 4
}
são soluções das inequações:
1
x
≤ 1
2
;(a) x2 + 2 ≤ 4;(b)
x4 − x2 + 3 > 2x3 − 1;(c)
√
|x| ≤ 3.(d)
2. Em cada um dos itens abaixo, verifique quais elementos do conjunto A =
{
−2,−1, 0, 1
2
, 1,
√
2, 2, 4
}
são soluções das inequações simultâneas:
1 < 2x− 4 ≤ 7;(a) −2 ≤ 3− x < 2;(b) 3 ≤ x2 − 1 ≤ 5.(c)
3. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede, conforme exemplo
no item (a):
Soluções em R2 de x− y > 0;
S = {(x, y) ∈ R2 | x− y > 0}.
(a)
Soluções em R2 de x− y ≥ 0;(b)
Soluções em R2 de x− y ≤ 0.(c)
4. Desenhe, no plano cartesiano, os conjuntos soluções do exerćıcio anterior.
5. Em cada item, escreva (sem resolver) o conjunto solução associado ao que se pede:
Soluções reais do sistema de inequações
{
2x2 − 1 > x
2x + 4 < 0;
(a)
Soluções reais do sistema de inequações
{
3x− 6 > 3
3x− 6 < 10;(b)
6. Explicite o conjunto solução do item (b) do exerćıcio anterior.
7. Resolva em R as inequações abaixo:
−4x ≥ 10;(a) 2x− 5 > 3;(b)
7− x ≥ 5;(c) 5− 3x ≤ −16;(d)
0 < 5− 2x;(e) 3x + 11 ≤ 6x + 8;(f)
1
2
x− 2
3
> 2;(g)
2
5
x + 1 <
1
5
− 2x;(h)
1
2
3
− 1
2
x ≥ 1
6
+ x;(i) 4− 3x ≤ −(1 + 8x);(j)
5(x + 3)− 2(x + 1) ≤ 2x + 3;(k) 3(x + 1)− 2 ≥ 5(x− 1)− 3(2x− 1);(l)
(3x+ 1)(2x+ 1) ≤ (2x−1)(3x+ 2)− (4−5x);(m) (3x− 2)2 − (3x− 1)2 > (x + 2)2 − (x− 1)2.(n)
8. Resolva em R as inequações simultâneas abaixo:
5 ≤ 3x− 4 ≤ 14;(a) 1 < 3x + 4 ≤ 16;(b)
−3 ≤ 3x + 7 ≤ 1
2
;(c) −1
2
≤ 4− 3x
5
≤ 1
4
.(d)
9. Resolva em R os sistemas de inequações abaixo:{
3− 2x ≤ 1
3x− 1 ≤ 5;(a)

3x + 2 ≥ 5x− 2
4x− 1 > 3x− 4
3− 2x < x− 6.
(b)
10. Resolva em R as inequações abaixo:
(4− 2x)(5 + 2x) < 0;(a) (5− 2x)(−7x− 2) ≤ 0;(b)
(3x + 2)(−3x + 4)(x− 6) < 0;(c) (5− 3x)(7− 2x)(1− 4x) ≤ 0.(d)
11. Resolva em R as inequações abaixo:
(1− 7x)5 > 0;(a) (3x + 5)2 ≥ 0;(b)
(5x + 4)4(7x− 2)3 ≥ 0;(c) −x2(x− 1)3(2− x)4(x− 3)5(4− x)6 < 0.(d)
12. Resolva em R as inequações abaixo:
3− 4x
5x + 1
≥ 0;(a) −3− 2x
3x + 1
≤ 0;(b)
5x− 3
3x− 4
> −1;(c) x− 1
x + 1
≥ 3;(d)
6x
x + 3
< 5;(e)
(1− 2x)(3 + 4x)
4− x
> 0;(f)
(5x + 4)(4x + 1)
5− 4x
≥ 0;(g) 1
x− 4
<
2
x + 3
;(h)
x + 1
x + 2
≥ x + 3
x + 4
;(i)
1
x− 1
+
2
x− 2
− 3
x− 3
< 0.(j)
13. Resolva em R as inequações abaixo:
x2 − 2x + 1 ≤ 0;(a) x2 − 3x + 2 > 0;(b)
−3x2 − 8x + 3 ≤ 0;(c) 8x2 − 14x + 3 ≤ 0;(d)
x2 − 6x + 9 ≥ 0;(e) x2 + 3x + 7 > 0;(f)
−1
3
x2 +
1
2
x− 1
4
> 0.(g)
14. Explicite os conjuntos A ∩ B, A ∪ B, A − B e B − A, sendo A = {x ∈ R | x2 − 3x + 2 ≤ 0} e
B = {x ∈ R | x2 − 4x + 3 > 0}. Dê as respostas na notação de intervalo.
2
15. Sejam a, b e c números reais positivos. Resolva em R as inequações abaixo:
a(bx− c) ≥ bc;(a) a ≤ bx + c < 2a.(b)
16. Sejam a, b, c e d números reais positivos que satisfazem
a
b
<
c
d
. Mostre que
a
b
<
a + c
b + d
<
c
d
.
17. Determine para que valores de x as expressões abaixo fazem sentido (em R):
√
4− 2x;(a) 3
√
x2 − x + 2;(b) 6
√
x2 − 5x + 6;(c)
Lista de exerćıcios parcialmente retirada e adaptada de
[1] G. Iezzi, C. Murakami – Fundamentos de Matemática Elementar. 7a ed., Atual Editora, São Paulo,
2004.
[2] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson – Precalculus, Mathematics for Calculus. 6a ed., Brooks/Cole
Cengage Learning, Belmont, 2014.
3