Derivadas e Regras de Cálculo

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Profª. Cećılia Saraiva
EP10 - GABARITO
Questão 1. Encontre a derivada primeira da função f em cada item abaixo.
a) f(x) = πx2 − 3x30 b) f(x) = 5x6 + 9x4
c) f(x) = (x2 + 1)(2x3 + 5) d) f(x) =
3
√
x4
e) f(x) =
3x4
4
+
4
5x2
f) f(x) = e−x
2
g) f(t) = ln(t2 + 3t+ 9) h) f(x) =
x20 − 1
3x2 − x
i) f(x) =
x2 +
√
7√
3x+ 1
j) f(x) =
ln(x)
x2
Solução:
a) f(x) = πx2 − 3x30 ⇒ f ′(x) = 2πx− 90x29.
b) f(x) = 5x6 + 9x4 ⇒ f ′(x) = 30x5 + 36x3.
c) Para derivar f neste item, podemos utilizar a Regra do Produto. Assim,
f(x) = (x2 + 1)(2x3 + 5)⇒ f ′(x) = (2x)(2x3 + 5) + (x2 + 1)(6x2) = (4x4 + 10x) + (6x4 +
6x2) = 10x4 + 6x2 + 10x.
Portanto, f ′(x) = 10x4 + 6x2 + 10x.
2
d) Para encontrar a derivada primeira de f(x) =
3
√
x4, observe que podemos reescrevê-la da
seguinte forma: f(x) =
3
√
x4 = x
4
3 . Assim,
f(x) = x
4
3 ⇒ f ′(x) =
4
3
x
4
3
−1 =
4
3
x
1
3 =
4
3
3
√
x.
Portanto, f ′(x) =
4
3
3
√
x.
e) Vamos reescrever f(x) =
3x4
4
+
4
5x2
como sendo: f(x) =
3
4
x4 +
4
5
x−2. Assim,
f(x) =
3
4
x4 +
4
5
x−2 ⇒ f ′(x) =
3
4
.4x3 +
4
5
.(−2)x−2−1 = 3x3 − 8
5
x−3 = 3x3 − 8
5x3
.
Portanto, f ′(x) = 3x3 − 8
5x3
.
f) Utilizaremos a Regra da Cadeia para encontrar a derivada primeira de f(x) = e−x
2
.
Dessa forma,
f(x) = e−x
2 ⇒ f ′(x) = e−x
2
.(−2x) = −2xe−x
2
.
Portanto, f ′(x) = −2xe−x
2
.
g) Novamente, utilizaremos a Regra da Cadeia para encontrar f ′. Assim,
f(t) = ln(t2 + 3t+ 9)⇒ f ′(t) =
1
t2 + 3t+ 9
.(2t+ 3) =
2t+ 3
t2 + 3t+ 9
.
Portanto, f ′(t) =
2t+ 3
t2 + 3t+ 9
.
h) Vamos utilizar a Regra do Quociente para encontrar f ′. Dessa forma,
f(x) =
x20 − 1
3x2 − x
⇒ f ′(x) =
20x19(3x2 − x)− (x20 − 1)(6x− 1)
(3x2 − x)2
=
(60x21 − 20x20)− (6x21 − x20 − 6x+ 1)
(3x2 − x)2
=
54x21 − 19x20 + 6x− 1
(3x2 − x)2
.
Portanto, f ′(x) =
54x21 − 19x20 + 6x− 1
(3x2 − x)2
.
3
i) Para encontrar f ′, utilizaremos a Regra do Quociente. Assim,
f(x) =
x2 +
√
7√
3x+ 1
⇒ f ′(x) =
2x
√
3x+ 1−
(
x2 +
√
7
)
.
1
2
(3x+ 1)−1/2.3
3x+ 1
=
2x
√
3x+ 1− 3(x2 +
√
7)
2
√
3x+ 1
3x+ 1
=
=
4x(3x+ 1)− 3(x2 +
√
7)
2
√
3x+ 1
3x+ 1
=
12x2 + 4x− 3x2 − 3
√
7
2
√
(3x+ 1)3
=
9x2 + 4x− 3
√
7
2
√
(3x+ 1)3
.
Portanto, f ′(x) =
9x2 + 4x− 3
√
7
2
√
(3x+ 1)3
.
j) Novamente utilizaremos a Regra do Quociente para encontrar f ′. Logo,
f(x) =
ln(x)
x2
⇒ f ′(x) =
1
x
.x2 − ln(x).(2x)
x4
=
x− 2x ln(x)
x4
=
1− 2 ln(x)
x3
.
Portanto, f ′(x) =
1− 2 ln(x)
x3
.
Questão 2. Observe a tabela abaixo, com alguns valores de f , g, f ′, g′ e faça o que se pede.
x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)
1 3 2 4 6
2 1 8 5 7
3 7 2 7 9
a) Se h(x) = f(g(x)), encontre h′(1).
b) Se H(x) = g(f(x)), encontre H ′(1).
c) Se F (x) = f(f(x)), encontre F ′(2).
d) Se G(x) = g(g(x)), encontre G′(3).
4
Solução:
a) Se h(x) = f(g(x)), então pela Regra da Cadeia, temos que h′(x) = f ′(g(x)).g′(x).
Logo,
h′(1) = f ′(g(1)).g′(1) = f ′(2).g′(1) = 5× 6 = 30.
Portanto, h′(1) = 30.
b) Se H(x) = g(f(x)), então pela Regra da Cadeia, temos que H ′(x) = g′(f(x)).f ′(x).
Logo,
H ′(1) = g′(f(1)).f ′(1) = g′(3).f ′(1) = 9× 4 = 36.
Portanto, H ′(1) = 36.
c) Se F (x) = f(f(x)), então pela Regra da Cadeia, temos que F ′(x) = f ′(f(x)).f ′(x).
Logo,
F ′(2) = f ′(f(2)).f ′(2) = f ′(1).f ′(2) = 4× 5 = 20.
Portanto, F ′(2) = 20.
d) Se G(x) = g(g(x)), então pela Regra da Cadeia, temos que G′(x) = g′(g(x)).g′(x).
Logo,
G′(3) = g′(g(3)).g′(3) = g′(2).g′(3) = 7× 9 = 63.
Portanto, G′(3) = 63.
Questão 3. Seja f : R→ R uma função definida por f(x) = ln(1 + e2x). Encontre f ′(0).
Solução: Para calcular f ′(0), primeiro precisamos encontrar f ′(x). Para isso, utilizaremos a
Regra da Cadeia. Assim,
f(x) = ln(1 + e2x)⇒ f ′(x) =
1
1 + e2x
.(2e2x) =
2e2x
1 + e2x
. Logo, f ′(x) =
2e2x
1 + e2x
. Portanto,
f ′(0) =
2e2×0
1 + e2×0
=
2e0
1 + e0
=
2
1 + 1
= 1.
5
Dessa forma, f ′(0) = 1.
Questão 4. Encontre a derivada primeira e a derivada segunda de cada uma das funções a
seguir.
a) f(x) = x2 ln(2x) b) g(x) = ln(
√
1 + x2)
c) h(x) = 2x d) r(x) = 7ln(x)
Solução:
a) f(x) = x2 ln(2x)⇒ f ′(x) = 2x ln(2x) + x2.
1
2x
.2 = 2x ln(2x) + x.
Assim, f ′(x) = 2x ln(2x) + x é a derivada primeira de f .
Para encontrar a derivada segunda de f , vamos calcular a derivada de f ′(x) = x(2 ln(2x)+
1).
Pela Regra do Produto, temos:
f ′(x) = x(2 ln(2x) + 1)⇒ f ′′(x) = 1.(2 ln(2x) + 1) +x
(
2.
1
2x
.2 + 0
)
= 2 ln(2x) + 1 + 2 =
2 ln(2x) + 3.
Logo, f ′′(x) = 2 ln(2x) + 3.
b) g(x) = ln(
√
1 + x2)⇒ g′(x) =
1√
1 + x2
.
(
x√
1 + x2
)
=
x
1 + x2
.
Assim, g′(x) =
x
1 + x2
é a derivada primeira de g.
Vamos derivar g′ para encontrar g′′ (derivada segunda de g).
Pela Regra do Quociente, temos:
g′(x) =
x
1 + x2
⇒ g′′(x) =
1.(1 + x2)− x(2x)
(1 + x2)2
=
1 + x2 − 2x2
(1 + x2)2
=
1− x2
(1 + x2)2
.
Logo, g′′(x) =
1− x2
(1 + x2)2
.
c) Para encontrar a derivada primeira da função h, observe que podemos escrever: h(x) =
2x = ex ln 2. Assim, vamos derivar a expressão h(x) = ex ln 2 utilizando a derivada da
função exponencial de base e e a Regra da Cadeia, a saber:
6
h(x) = ex ln 2 ⇒ h′(x) = ex ln 2. ln 2 = (ln 2)ex ln 2 = (ln 2).2x.
Assim, h′(x) = (ln 2).2x é a derivada primeira de h.
Vamos agora calcular h′′:
h′(x) = (ln 2).2x = (ln 2)ex ln 2 ⇒ h′′(x) = (ln 2)ex ln 2. ln 2 = (ln 2)2ex ln 2 = (ln 2)2.2x.
Portanto, h′′(x) = (ln 2)2.2x é a derivada segunda de h.
Nota: Observe que no caso da função h, também podemos escrever:
h(x) = 2x ⇒ h′(x) = (ln 2).2x = (ln 2).h(x). Portanto,
h′(x) = (ln 2).h(x)⇒ h′′(x) = (ln 2).h′(x),
donde obtemos que h′′(x) = (ln 2)2.h(x).
d) Para calcular a derivada primeira e a derivada segunda da função r, procederemos de
modo análogo ao que foi feito no item (c) acima. Dessa forma, observe que r(x) =
7ln(x) = eln 7. ln(x).
Utilizando a Regra da Cadeia, obtemos:
r(x) = eln 7. ln(x) ⇒ r′(x) = eln 7. ln(x). ln 7.
1
x
=
ln 7eln 7. ln(x)
x
=
(
ln 7
x
)
.7ln(x).
Portanto, r′(x) =
(
ln 7
x
)
.7ln(x).
Para calcular r′′, utilizaremos a Regra do Quociente para encontrar r′. Assim,
r′(x) =
(
ln 7
x
)
.7ln(x) =
ln 7eln 7. ln(x)
x
⇒ r′′(x) =
x
(
(ln 7)2.
eln 7. ln(x)
x
)
− ln 7eln 7. ln(x)
x2
=
7
=
(ln 7)2.eln 7. ln(x) − ln 7eln 7. ln(x)
x2
=
(
(ln 7)2 − ln 7
x2
)
.eln 7. ln(x) =
(
(ln 7)2 − ln 7
x2
)
.7ln(x).
Logo, r′′(x) =
(
(ln 7)2 − ln 7
x2
)
.7ln(x).
Nota: Observe que no caso da função r, podemos escrever:
r′(x) =
(
ln 7
x
)
.7ln(x) =
(
ln 7
x
)
.r(x). Portanto:
r′′(x) =
x (ln 7r′(x))− (ln 7r(x))
x2
=
(ln 7)2r(x)− ln 7r(x)
x2
,
donde obtemos que r′′(x) =
(
(ln 7)2 − ln 7
x2
)
.r(x).
Questão 5. Se g é uma função duas vezes diferenciável e f(x) = xg(x2), encontre f ′′ em
termos de g, g′ e g′′.
Solução: Para encontrar f ′′, vamos primeiro calcular f ′ utilizando a Regra do Produto e a
Regra da Cadeia. Assim,
f(x) = xg(x2)⇒ f ′(x) = g(x2) + x.g′(x2).2x = g(x2) + 2x2g′(x2).
Portanto, f ′(x) = g(x2) + 2x2g′(x2).
Derivando f ′, temos:
f ′(x) = g(x2) + 2x2g′(x2)⇒ f ′′(x) = g′(x2).2x+ (4xg′(x2) + 2x2g′′(x2).2x) =
= 2xg′(x2) + 4xg′(x2) + 4x3g′′(x2) = 6xg′(x2) + 4x3g′′(x2).
Dessa forma, f ′′(x) = 6xg′(x2) + 4x3g′′(x2), como queŕıamos.