FINANÇAS CORPORATIVAS

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Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
FINANÇAS 
CORPORATIVAS
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 BIBLIOTECÁRIA Tatiane Viturino Oliveira
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 COORDENAÇÃO DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO (CONPEx) – MODALIDADE PRESENCIAL Profa. Ma. Luciana Moraes
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 ESTÚDIO, PRODUÇÃO E EDIÇÃO André Oliveira Vaz 
 DE VÍDEO Felipe Souza Oliveira
 Leandro Tenório
 Maria Beatriz Paula da Silva
 Thassiane da Silva Jacinto
 FICHA CATALOGRÁFICA
 
 Dados Internacionais de Catalogação na Publicação - CIP
 S211f Sanches, Antonio Carlos Lázaro
 Finanças corporativas / Antonio Carlos Lázaro Sanches.
 Paranavaí: EduFatecie, 2025.
 99 p.: il. color.
 1. Administração financeira. 2. Empresas – Finanças. 
 3. Taxas de juros. 4. Investimentos – Análise. I. Centro
 Universitário UniFatecie. II. Núcleo de Educação a Distância.
 III. Título.
 
 CDD: 23. ed. 658.15
 Catalogação na publicação: Zineide Pereira dos Santos – CRB 9/1577
As imagens utilizadas neste material didático 
são oriundas do banco de imagens 
Shutterstock .
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AUTOR
• Mestre em Desenvolvimento de Tecnologia (Institutos LACTEC/UFPR Paraná). 
• Bacharel em Ciências Contábeis (UEM). 
• Especialista em MBA Executivo (UEM). 
• Docente do curso de Administração, Gestão Comercial, Gestão da Produção 
Industrial e Logística (UniFCV).
• Professor de Pós-Graduação no Centro Universitário Cidade Verde (UniFCV). 
Longa experiência profissional na área administrativa em empresas da região de 
Maringá-PR, atuando no setor da indústria de confecção, atualmente na função de gerente 
de compras.
Informações e contato:
 Currículo Plataforma Lattes: http://lattes.cnpq.br/3274140889873136 
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
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APRESENTAÇÃO
Seja muito bem-vindo(a)! 
Prezado(a) aluno(a), que bom que você se interessou pelo assunto desta disciplina, 
será o começo de uma jornada de conhecimento e experiências novas, que trarão um 
novo jeito de ver as finanças e como as utilizamos no dia a dia e nas empresas. Finanças 
Corporativas estão presentes em uma simples compra com desconto, em uma loja fazendo 
liquidação, e até nos complexos cálculos de juros compostos (exponenciais). Sugiro que 
se prepare e tenha em mãos uma boa calculadora para desvendar várias fórmulas da 
matemática financeira, análise de investimento e análise de sensibilidade. 
Nesta apostila, procurei abordar de forma prática esse conteúdo que é tão importante 
em nosso cotidiano, seja na vida pessoal ou profissional.
Quem nunca comprou parcelado?
Quem nunca pensou em financiar um veículo?
Você sabe calcular se os juros anunciados são efetivamente os juros cobrados?
É muito importante que você, enquanto futuro profissional graduado na área de 
gestão, tenha uma calculadora financeira. Recomendo HP12C. Não é uma calculadora 
barata, então, se você não pode comprar no momento, pode optar por acessar gratuitamente 
um emulador através do link: https://epxx.co/ctb/hp12c.html. Há também a possibilidade de 
baixar em seu smartphone um aplicativo de HP12C nas plataformas Android e IOS.
Na Unidade I, começaremos a explorar a matemática financeira e seus conceitos 
e importância no atual cenário financeiro. Depois serão demonstrados os cálculos de 
percentagem, taxa unitária e juros simples. E em seguida, veremos o que é Desconto 
Racional e Desconto Comercial, um produto bancário muito utilizado pelas empresas no 
Brasil.
Na Unidade II vamos ampliar nossos conhecimentos, aprofundando mais no 
conceito de juros e partir para os juros compostos e descontos compostos, além de tratar 
também da correção monetária.
Na Unidade III será conceituada a análise de investimento, seus métodos de análise 
e principalmente os tipos de formas, tais como: TMA (Taxa Mínima de Atratividade), VPL 
(Valor Presente Líquido) e TIR (Taxa Interna de Retorno), suas vantagens e desvantagens.
5
Na Unidade IV, a última e não menos importante, vamos aprender o que é análise 
de sensibilidade, os possíveis cenários para tomada de decisão e o processo de tomada 
de decisão.
Espero contribuir para seu crescimento pessoal e profissional.
Muito obrigado e bom estudo!
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SUMÁRIO
Análise de Sensibilidade
Análise de Investimentos
Juros Compostos, Descontos Compostos, 
Amortização e Depreciação
Matemática Financeira
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA1UNIDADEUNIDADE
PLANO DE ESTUDO
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Plano de Estudos
• Matemática Financeiras
• Taxa de Juros
• Juros Simples 
• Desconto Racional ou Por Dentro
Objetivos da Aprendizagem
• Conhecer a Matemática Financeira e a utilidade em nossas vidas
• Conhecer a utilidade de taxas e os impactos em nosso cotidiano
• Conhecer o que é juros simples
• Entender o que são os Descontos Racionais ou por dentro e sua utilidade para 
as empresas
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
9
INTRODUÇÃO
É muito comum em nosso cotidiano lidarmos com os assuntos que serão abordados 
nesta unidade: Cálculo percentual e de juros!
Você vai ao comércio e logo vê uma placa: 50% de desconto à vista!
Ou ainda: Financie seu veículo com taxa de 0,99% ao mês!
Você sabe fazer um cálculo de porcentagem? Usando a calculadora? Ou sabe 
fazer de cabeça ou através de fórmulas?
É muito comum fazermos tais contas de maneira intuitiva.
Uso um exemplo clássico que com certeza já ocorreu na sua família ou com 
algum conhecido: Meu falecido avô paterno, quase sem nenhum estudo, mas a vida toda 
comerciante.Numerosas pesquisas têm mostrado que, na prática, o método da TIR é mais 
utilizado que a abordagem do VPL. A razão disso pode ser atribuída à facilidade de cálculo 
da TIR, parecida com a TMR; porém, ao usar os fluxos de caixa e ao reconhecer o valor 
do dinheiro no tempo, parece-se com o VPL. Em outras palavras, embora a TIR seja fácil e 
compreensível, ela não possui as restrições da TMR e do período de amortização (payback), 
pois ambos os métodos ignoram o valor do dinheiro no tempo.
O principal problema com o método da TIR é que ele, muitas vezes, fornece taxas 
de retorno não realistas. Suponha uma taxa mínima de retorno de 11% e uma TIR calculada 
de 40%. Isso significa que a administração deve aceitar imediatamente o projeto por causa 
da sua TIR de 40%? A resposta é não! Uma TIR de 40% implica na companhia ter uma 
oportunidade de reinvestir seus fluxos de caixa futuros à taxa de 40%. Se a experiência 
passada e a economia indicarem que os 40% representam uma taxa não-realista para 
futuros investimentos, então uma TIR de 40% é suspeita. Falando francamente, uma TIR 
de 40% é muito boa para ser verdade! A menos que a TIR calculada seja uma taxa razoável 
para reinvestimento dos fluxos de caixa futuros, ela não deve servir como parâmetro de 
aceitação ou rejeição de um projeto.
67ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
Um outro problema com o método da TIR é que ele pode fornecer diferentes taxas 
de retorno. Suponha que haja duas taxas de desconto (duas TIRs) que tornem o valor 
presente igual ao investimento inicial. Nesse caso, qual taxa deve ser usada na comparação 
com a taxa mínima? A finalidade dessa pergunta não é resolver os casos em que haja 
diferentes TIRs, mas que você saiba que o método da TIR, não obstante sua popularidade 
no mundo dos negócios, apresenta mais problemas do que imagina um profissional.
68
MÉTODO NÃO 
EXATOS6
TÓPICO
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
Os três métodos exatos, VPL, VALUE e TIR são equivalentes e ajustam-se 
perfeitamente ao conceito de “equivalência” da matemática financeira. Alguns analistas, no 
entanto, ainda utilizam métodos não exatos. Não é nosso interesse nos aprofundar, mas 
sim passar brevemente por eles apenas para conhecimento.
O principal método não exato é o do tempo de recuperação do capital investido, 
o famoso PAYBACK. Ele mede o tempo necessário para que o somatório das parcelas 
anuais seja igual ao investimento inicial. Esse método não leva em consideração a vida do 
investimento, e pode ser dificultada sua aplicação quando o investimento inicial se der por 
mais de um ano ou quando os projetos comparados tiverem investimentos iniciais diferentes.
Veja um exemplo baseado em Groppelli e Nikbakht (2006):
A Companhia ABC planeja investir num projeto que tem um desembolso inicial de 
$ 3.700. Ela previu que o projeto proporcionará entradas de caixa regulares de $ 1.000 
no ano 1, de $ 2.000 no ano 2, de $ 1.500 no ano 3 e de $1.000 no ano 4. Se a empresa 
tivesse como meta um período de amortização (payback) de três anos, você recomendaria 
que esse projeto fosse aceito?
Solução:
As informações anteriores devem ser reescritas no seguinte formato:
69ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
QUADRO 1 - FLUXO DE CAIXA
Fonte: o autor (2020).
Você pode ver por essa informação que após dois anos a empresa terá recuperado 
$ 3.000 dos seus $ 3.700 investidos. Então, calculemos a proporção do terceiro ano que a 
empresa precisará para recuperar os $ 700 restantes do seu investimento inicial ($3.700 
– $3.000 = $700). Para fazer isso, simplesmente dividimos os $ 700 pela entrada de caixa 
do terceiro ano:
700/1.500 = 0,47
Em termos redondos, 0,47 de um ano é, aproximadamente, 24 semanas (0,47 x 
52 semanas = 24 semanas), perfazendo um total de 2 anos e 24 semanas antes que o 
investimento seja recuperado.
A seguir, compare esse período de recuperação com o período-meta para ver se 
a empresa deve prosseguir com o investimento. Nesse caso, o período de recuperação 
efetivo (2 anos e 24 semanas) é menor que o período-meta de 3 anos. Portanto, o projeto 
é aceitável.
Ainda de acordo com os autores, existem vantagens e desvantagens na utilização 
do método.
6.1 Vantagens e Desvantagens
O método do período de recuperação do investimento tem várias vantagens e 
desvantagens. A principal vantagem é que esse método é fácil de usar. Não é necessário 
fazer cálculos complicados para encontrar quantos anos um projeto demora para recuperar o 
seu investimento inicial. O período de recuperação do investimento também é fácil entender. 
Portanto, quando os analistas precisam de uma medida rápida do risco, eles podem usar o 
método do período de recuperação para ver se o capital investido será recuperado em um 
período razoável de tempo. 
70ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
O método do período de recuperação do investimento, não obstante sua simplicidade, 
pode ser de valia mesmo para as maiores corporações multinacionais. Para tais empresas, 
eventos políticos — tais como a nacionalização de setores num país estrangeiro — são as 
principais fontes de risco. Em termos de possíveis eventos políticos, então, quanto menor o 
período de recuperação do investimento, menor o risco do projeto. O método do período de 
recuperação de investimento, portanto, pode ajudar as empresas a medir o risco de perder 
o capital em países estrangeiros. 
A principal desvantagem desse método é ignorar completamente o valor do dinheiro 
no tempo. No método do período de recuperação de investimento, não existe diferença entre 
o valor de uma entrada de caixa de $ 100 no primeiro ano e o mesmo montante de entrada 
de caixa um ano depois. Além do mais, o método do período de recuperação não leva em 
consideração as entradas de caixa produzidas após o período em que o investimento inicial 
foi recuperado. Por causa desses graves obstáculos, o método do período de recuperação 
de investimento não deve ser visto como uma abordagem muito boa ao orçamento de 
capital.
Vimos os métodos convencionais mais utilizados para a análise de um projeto. De 
acordo com esses métodos, o trabalho do gestor seria basicamente avaliar o risco, escolher 
uma taxa de desconto apropriada e calcular o valor presente dos fluxos de caixa.
De acordo com Samanez (2009), na prática, essa tarefa não é tão simples e vai 
muito além disso. Uma vez conhecidas as possíveis falhas do projeto, o gestor pode decidir 
se investe mais em informação, como uma melhor pesquisa de mercado, por exemplo. 
Pode-se decidir investir mais em um novo processo tecnológico com o objetivo de confirmar 
a qualidade, durabilidade, resistência etc. Ou seja, o projeto não é algo estático!
Sendo assim, abordaremos algumas técnicas usadas no planejamento e controle 
de um projeto de investimento, de modo que o gestor possa ter uma visão melhor da 
sensibilidade do empreendimento às mudanças nas principais variáveis.
De acordo com Samanez (2009), para conseguir uma análise econômica robusta, 
deve-se examinar o impacto das diversas fontes de risco sobre o VPL do projeto. Isso pode 
ser feito por meio de algumas técnicas, as quais abordaremos nesta unidade.
71
ÁRVORE DE 
DECISÃO7
TÓPICO
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
A árvore de decisão é uma metodologia gráfica de verificar as consequências de 
decisões atuais e futuras, bem como os eventos aleatórios relacionados. Esse método 
nos possibilita o entendimento e o controle de um número expressivo de problemas de 
investimentos sujeitos a riscos.
De acordo com Samanez (2009), essa metodologia consiste num meio de mostrar 
a anatomia de uma decisão de investimento, assim como a interação entre decisão 
presente, eventos possíveis, atitudes de competidores e possíveis decisões futuras e suas 
consequências.
Esse método aborda dois elementos essenciais para a análise real de investimentos, 
sendo eles a incerteza e o investimento sequencial. Vejamos a estrutura da árvore de 
decisão:72ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
FIGURA 1 - ÁRVORE DE DECISÃO 
Fonte: adaptado de Filho e Kopittke (2008).
Os nós quadrados representam as decisões e os nós redondos representam nós 
de incerteza, ou seja, eventos aleatórios.
De acordo com Filho e Kopittke (2008), nos ramos de uma árvore de decisão devem 
ser levados em conta:
• As probabilidades após os nós de incerteza;
• Os valores de investimentos nos nós de decisão;
• Os retornos no final dos ramos.
Veja o exemplo adaptado de Filho e Kopittke (2008):
Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de vender camisas 
esportivas. As camisas seriam compradas por $ 10.00 e vendidas por $ 35.00. Como a 
qualidade do material é baixa estima-se que haja 30% de perda para o vendedor ambulante. 
Independentemente da quantidade adquirida, seus custos de transporte e manutenção 
serão de $ 1000.00 por dia. As camisas não vendidas terão um valor residual de $ 2.00.
A demanda diária pelas camisas depende das condições de vigilância nas ruas: 
se a vigilância for ostensiva, o vendedor somente consegue vender 50 camisas, vendendo 
4 vezes mais se a vigilância das ruas for fraca. Caso a vigilância for média, o vendedor 
consegue colocar 120 camisas.
As camisas só podem ser compradas em lotes pré-determinados: 80, 160, 240 ou 
320 unidades.
A experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância seja fraca 
contra 30% de vigilância ostensiva. Em consequência, ela é média 30% das vezes.
73ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
Calcule:
• Qual a quantidade de camisas que o vendedor ambulante deverá comprar para 
maximizar o seu lucro esperado? 
• Disponha os resultados sob forma de matriz de receitas.
Solução:
a) Quantidade de camisas que maximiza o lucro esperado.
Alternativas:
A. compra de 80 camisas.
B. compra de 160 camisas.
C. compra de 240 camisas.
D. compra de 320 camisas.
Alternativa A:
Custo da alternativa: 80 x 10.00 + 1000.00 = 1800.00
Camisas vendáveis: 80 x 0,7 = 56
Receitas:
• Para vigilância ostensiva: 50 x 35.00 + 6 x 2.00 = 1762.00
• Para vigilância média: 56 x 35,00 = 1960.00
• Para vigilância fraca: 56 x 35.00 = 1960.00
Receita líquida:
• Para vigilância ostensiva (o): 1762.00 - 1800.00 = -38.00
• Para vigilância média (m): 160.00
• Para vigilância fraca (f): 160.00
Calculam-se as receitas líquidas das outras alternativas de forma análoga.
A árvore de decisão apresenta-se assim:
74ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
FIGURA 2 - ÁRVORE DE DECISÃO DE TRÊS ETAPAS
Fonte: adaptado de Filho e Kopittke (2008).
As receitas líquidas esperadas são as seguintes:
E(A) = 0,3 x (-38) + 0,3 x 160 + 0,4 x 160 = 100.60
E(B) = 706.20
E(C) = 836.60
E(D) = 571.00
Dessa forma, a melhor alternativa é a C, que consiste na compra de 240 camisas. 
Pode-se, também, apresentar o problema sob a forma de matriz de decisão:
75ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
QUADRO 2 - MATRIZ DE DECISÃO
Fonte: adaptado de Filho e Kopittke (2008).
A partir destes dados, pode-se, por exemplo, calcular o valor de uma informação 
adicional. Vamos fazer aqui uma exemplificação, que, apesar de hipotética, pode ser 
utilizada para outros casos, é claro!
Até quanto o vendedor ambulante poderá pagar a um hipotético policial corrupto 
para que lhe informe qual o tipo de vigilância que irá ocorrer com certeza? Deve-se verificar, 
neste caso, qual a melhor opção quando se sabe o que vai ocorrer:
• Caso a vigilância seja ostensiva, a melhor alternativa é a A, ou seja, o prejuízo 
será de $38.00.
• Caso a vigilância seja média, a melhor alternativa é a B, com lucro de 1320.
• Caso a vigilância seja fraca, a melhor opção é a alternativa D, com lucro de 
2848.
Assim, o valor esperado da receita líquida, com informação perfeita, é de:
V(p) = -38 x 0,3 + 1320 x 0,3 + 2848 x 0,4 = 1523,80
Ora, o valor esperado sem essa informação era de $836,60, correspondente à 
alternativa C. Assim, o vendedor deve estar disposto a pagar ao policial no máximo:
1523,80 - 836,60 = 687,20
76
Esse exemplo serviu para nos mostrar que a empresa pode gastar adicionalmente no caminhar de um 
projeto para conseguir informações. Mas deve-se calcular exatamente qual é o máximo que ela poderá 
pagar, de modo que compense o investimento.
Fonte: o autor (2020).
REFLITA
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
77
Sendo a função do gestor da empresa garantir que as aplicações dos recursos 
financeiros sejam feitas com o intuito de maximizar as riquezas da empresa, é seu dever 
analisar cada investimento, verificando o retorno esperado, as variáveis que envolvem o 
investimento, o risco e o comprometimento do capital de giro.
Os investimentos precisam ser analisados com base nos métodos de avaliação 
de investimentos, garantindo sempre a gestão do capital de giro. Uma vez analisados de 
maneira correta, garantirão um equilíbrio financeiro de curto e longo prazo, permitindo, 
assim, uma gestão eficiente das empresas e consequentemente o sucesso dos negócios. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
78
MATERIAL COMPLEMENTAR
• LIVRO
• Título: Análise De Investimentos: Tomada De Decisão Em 
Projetos Industriais.
• Autores: Regis Da Rocha Motta e Guilherme Marques Caloba.
• Editora: Atlas.
• Ano: 2002.
• Sinopse: este livro apresenta didaticamente os conceitos 
necessários à análise de alternativas de investimento, com exemplos 
práticos apoiados em planilhas Excel, suas funções financeiras 
e recursos gráficos. Para que alunos e professores possam tirar 
máximo proveito dos modernos recursos da informática, acompanha 
o livro o seguinte material complementar: planilhas Excel (tabelas 
de juros compostos; capítulo por capítulo, exemplos práticos 
descritos no livro; solução dos problemas) e apresentações em 
PowerPoint (correspondentes ao texto, em capítulos). A obra trata 
dos seguintes tópicos: matemática financeira, empréstimos ou 
financiamentos, métodos de análise de investimentos, orçamento 
de capital, substituição de equipamentos, elaboração do fluxo 
de caixa, leasing, precificação de ativos (CAPM e APM), análise 
de riscos (árvores de decisão, função utilidade) e custo médio 
ponderado de capital (WACC). 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
79
• FILME/VÍDEO
• Título: The Big Short (A Grande Aposta).
• Ano: 2016.
• Sinopse: Michael Burry (Christian Bale) é o dono de uma empresa 
de médio porte, que decide investir muito dinheiro do fundo que 
coordena ao apostar que o sistema imobiliário nos Estados Unidos 
irá quebrar em breve. Tal decisão gera complicações junto aos 
investidores, já que nunca antes alguém havia apostado contra 
o sistema e levado vantagem. Ao saber desses investimentos, o 
corretor Jared Vennett (Ryan Gosling) percebe a oportunidade e 
passa a oferecê-la a seus clientes. Um deles é Mark Baum (Steve 
Carell), o dono de uma corretora que enfrenta problemas pessoais 
desde que seu irmão se suicidou. Paralelamente, dois iniciantes na 
Bolsa de Valores percebem que podem ganhar muito dinheiro ao 
apostar na crise imobiliária e, para tanto, pedem ajuda a um guru 
de Wall Street, Ben Rickert (Brad Pitt), que vive recluso.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
ANÁLISE DE 
SENSIBILIDADE4UNIDADEUNIDADE
PLANO DE ESTUDO
81
Plano de Estudos
• Análise de Cenários.
• Processo de Tomada de Decisão.
Objetivos da Aprendizagem
• Analisar a sensibilidade em si, é a correlação que podem apresentar as variáveis.
• Conhecer as várias formas de Tomada de Decisão.
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
82
De acordo com Samanez (2009), como na projeção dos fluxos de caixa de um 
projeto geralmente temos que trabalhar com grande quantidade de variáveis ou fatores, 
torna-se importante identificar quais deles têm um peso maior na determinação de tais 
fluxos.
Como vimos, não podemos considerar os projetos como sendo estáticos, pois lidam 
com variáveis que, como o próprio nome já diz, variam ao longo do tempo e podem causar 
alterações nos fluxosde caixa futuros.
Mas como mensurar tais alterações? Como saber como essas alterações irão afetar 
o andamento do meu projeto?
A análise de sensibilidade permite identificar as variáveis críticas no processo 
de projeção e determinação dos fluxos futuros, de modo que possamos avaliar o projeto 
considerando diversas hipóteses sobre o comportamento dessas variáveis.
Existem duas maneiras de fazermos a análise de sensibilidade: modo unidimensional 
e multidimensional.
• Análise unidimensional: quando medimos os efeitos de cada variável 
separadamente.
• Análise multidimensional: quando analisamos os efeitos das variáveis ao 
mesmo tempo.
Atualmente, com o avanço da tecnologia informática, podemos fazer a análise 
de sensibilidade em cenários que representam fenômenos econômicos que provocam 
movimentos em mais de uma variável de cada vez.
 
INTRODUÇÃO
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
83
A ANÁLISE DE 
CENÁRIOS1
TÓPICO
Um problema da análise de sensibilidade em si é a correlação que podem apresentar 
as variáveis. Um número grande de vendas pode se associar facilmente a preços menores 
ou época de promoções. O que surgiu para melhorar a análise de sensibilidade foi uma 
variante desta, conhecida como análise de cenários.
Na análise de cenários, ao invés da variação de um parâmetro por vez, podemos 
fazer variar um conjunto destes, formando assim os cenários. São atribuídos valores a cada 
parâmetro e, após várias análises de sensibilidade, podemos identificar as variáveis-chave 
que, em cada cenário, determinam o sucesso e o insucesso do projeto.
Vejamos o exemplo a seguir proposto por Samanez (2009): 
Efetue uma análise de sensibilidade (com o uso de cenários) para um projeto 
que requer um investimento inicial de $ 150, depreciável em 10 anos. Suponha que as 
informações contidas no Quadro 1 são as apresentadas pelo departamento de Marketing 
a respeito do mercado, da participação da empresa nesse mercado, do preço unitário de 
venda, do custo variável e do custo fixo para três cenários possíveis: o pessimista, o otimista 
e o esperado.
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
84ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
QUADRO 1 - INFORMAÇÕES SOBRE OS TRÊS CENÁRIOS POSSÍVEIS PARA O 
PROJETO TRATADO
Fonte: Samanez (2009).
A partir destas informações, o Quadro 2 mostra o fluxo de caixa esperado para o 
período de 10 anos e o VPL de cada cenário.
QUADRO 2 - FLUXO DE CAIXA ESPERADO E O VPL DE CADA CENÁRIO
Fonte: Samanez (2009).
85ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
O cálculo do VPL considerou uma taxa de desconto de 10% ao ano. No caso do 
cenário esperado:
Como o VPL do cenário esperado é positivo, uma decisão apressada poderia 
recomendar o investimento. Porém, algumas dúvidas podem surgir a partir das estimativas 
do cenário esperado:
• Será que o mercado absorve 1.000 unidades por ano?
• Será que a empresa conseguirá abocanhar 10% desse mercado?
• Se os concorrentes lançarem um produto de melhor qualidade ou menor preço, 
o que ocorrerá?
• Será que o custo variável ficará realmente em torno de $ 3,00 por unidade?
Vimos, por meio do exemplo, que o projeto poderá até dar prejuízo, como no caso 
do cenário pessimista. Mas o que fazer então? Temos que analisar qual variável tem mais 
peso, ou quais variáveis. Isso quer dizer que existem algumas variáveis que causam mais 
impacto no projeto quando elas se alteram.
QUADRO 3 - VPL DO CENÁRIO PESSIMISTA COM A MUDANÇA DE UMA VARIÁVEL DE 
CADA VEZ
Fonte: Samanez (2009).
Observando o quadro, podemos concluir que os parâmetros que mais podem 
colocar em risco o sucesso econômico do projeto são os aumentos inesperados nos custos 
variáveis e fixos, já que nesses casos, o VPL assume maiores valores negativos.
86
Corresponde ao valor presente dos resultados esperados – positivos e negativos – do fluxo de caixa, 
descontando-se ao custo do capital. Custo de capital ou Taxa mínima de atratividade, representa o retorno 
mínimo exigido para um projeto de investimento. 
Fonte: Galesne, Fensterseifer e Lamb (1999).
SAIBA
MAIS
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
Cabe aqui salientar que essa análise não define o significado de otimista e 
pessimista, visto que não usa probabilidades. O trabalho técnico em análise econômica 
de projetos exige transformar possibilidades em probabilidades. A análise também não 
considera a possibilidade de ocorrer variáveis interdependentes. Nesse caso, talvez fosse 
necessário fazer uma análise de cenários ou uma análise de sensibilidade conjunta.
87
PROCESSO DE TOMADA DE 
DECISÃO2
TÓPICO
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
De acordo com Filho e Kopittke (2008), devemos ter em mente que a análise 
das alternativas de investimento é apenas um passo de um processo de solução de um 
problema. De nada adiantará boa técnica de análise de alternativas se estas não forem 
adequadamente geradas.
Segundo Krick (1971) apud Filho e Kopittke (2008), os passos básicos para o 
“processo do projeto” são:
1. Formulação do problema.
2. Análise do problema.
3. Busca de alternativas.
4. Avaliação das alternativas.
5. Especificação da solução preferida.
A fase I implica em descrever de maneira geral, porém resumida, as características 
do problema. Por exemplo, a empresa apresentou dificuldades no escoamento da produção, 
pois as instalações não estão adequadas para a recente expansão das vendas.
A fase II requer uma especificação mais pormenorizada das características desse 
problema, incluindo as restrições. Essa fase inclui também a definição dos critérios e sua 
ponderação para a posterior análise das alternativas.
A fase III busca identificar alternativas que atendam as especificações e as restrições.
A fase IV consiste num confronto entre os resultados qualitativos e quantitativos 
através dos critérios estipulados na fase II.
88ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
A fase V, finalmente, consiste na escolha da alternativa com base na análise das 
fases de I a IV.
Existem outras metodologias interessantes. Vejamos a proposta por Kepner e 
Tregoe (1980) apud Filho e Kopittke (2008). De acordo com essa metodologia, existem sete 
fases para a análise de decisão, focadas na melhor alternativa. As fases são as seguintes:
1. Estabelecer os objetivos: resultados que se espera obter.
2. Classificar os objetivos: devemos classificar os objetivos em OBRIGATÓRIOS e 
DESEJÁVEIS.
3. Desenvolver alternativas dentre as quais será feita a escolha.
4. Avaliar as alternativas.
5. Escolher a melhor alternativa como decisão tentativa.
6. Avaliar as consequências adversas da decisão tentativa.
7. Controlar os efeitos da decisão final, evitando as consequências adversas e 
fazendo um acompanhamento adequado.
2.1 Exemplo de Aplicação
Veja o exemplo proposto por Filho e Kopittke (2008): suponha que você tenha que 
decidir sobre uma melhor localização industrial. Veja os dados que você possui.
A empresa que lhe contratou pretende implantar uma nova unidade de produção 
capaz de produzir 300 mil toneladas no ano. Essa empresa, apesar de já ter definida sua 
produção, deve se confrontar com dois problemas: a escolha adequada da tecnologia e da 
localização.
Existem dois grandes centros consumidores para o produto em questão, os quais 
chamaremos de C1 e C2. Existe também um centro fornecedor de matéria-prima que 
denominaremos MP. A matéria-prima a qual o autor se refere é a principal, podendo ser 
encontradas as matérias-primas secundárias em qualquer uma das localidades.
Duas tecnologias são possíveis, A ou B.
Então, o problema que você tem que resolver é: Instalar-se em C1, C2 ou MP, 
e utilizar A ou B. Ou seja, são seis possibilidades, C1 - A; C1 - B; C2 - A; C2 - B; MP - A; 
MP - B.
• MP fica ao sul do estado, a 250 Km de C2 e a 400 Km de C1.
• C2 fica no oeste do estado, a 250 Km de MP e 500 Km de C1.
• C1 fica no leste do estado, a 500 Km de C2 e 400 Km de MP.
89ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
• C1 e C2 não possuem problemas de mão de obra, porém o centroC2, além de 
possuir tradição neste ramo de indústrias, possui mão de obra mais barata.
O centro C1 não possui tradição nesse ramo industrial. A empresa prevê, baseada 
em sólido estudo de mercado, que venderá 1/3 da sua produção em C2 e, 2/3 em C1. Já a 
fonte de matérias-primas MP, possui sérios problemas de mão de obra, que exigiriam um 
centro de treinamento e poderiam ocasionar problemas com rotatividade de pessoal, visto 
que a população não está acostumada ao trabalho na indústria.
Para ambas as tecnologias, os processos produtivos requerem investimentos 
semelhantes e o consumo de matéria-prima é o mesmo, porém, com a tecnologia B o 
custo com matéria-prima secundária seria maior. O processo A economiza nos materiais 
secundários, mas possui um custo de mão de obra superior, pois exige maior qualificação.
O processo conta com perspectivas de produzir com melhor qualidade futura, pois 
trata-se de uma tecnologia nova. Porém, existe uma certa incerteza, visto que o processo 
B já é testado e aprovado, apesar de mais antigo.
O preço competitivo nas localidades C1 e C2 é de 2.400/t. O preço da matéria-
prima é de 320/t (na fonte) e o consumo é de 1,2 t/t de produto. O custo de transporte de 
matéria-prima é de 0,16/tkm e para o produto é de 0,56/tkm.
O custo dos materiais secundários é de 240/t de produto para o processo B e de 
144/t para o processo A. A incidência do custo de mão de obra no processo B é de 404/t no 
centro C2, 456 em C1 e 488 no centro MP. Para o processo A, a mão de obra é 20% mais 
cara. Os demais custos somam 400/t indiferentemente ao processo ou à localização. O 
custo de recuperação do capital é de 150 milhões/ano.
Considere alguns fatores adicionais:
1. MP é um porto marítimo.
2. A empresa, no futuro, tem o objetivo de ampliar a produção e tentar o mercado 
externo.
3. A empresa terá problemas de rejeitos industriais.
4. O centro C1 possui alta concentração industrial, com sérios problemas de 
poluição ambiental.
5. O governo está criando incentivos para descentralização industrial.
6. Está prevista a construção de uma linha férrea entre MP e C2.
7. A prefeitura de MP poderá oferecer infraestrutura para a indústria.
90ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
Veja que você, enquanto tomador(a) de decisão, teve que organizar todos os dados 
referentes às possibilidades e agora deve escolher onde produzir. Seus superiores estão 
aguardando sua decisão de melhor localidade e tecnologia. E você, o que decidiria? Como 
utilizaria todos estes dados?
2.1.1 Estabelecimento dos objetivos
 ◦ Produzir com máxima lucratividade possível.
 ◦ Ter amplas condições de crescimento.
 ◦ Atingir no futuro o mercado externo.
 ◦ Manter o padrão de inovação tecnológica.
 ◦ Evitar poluição ambiental.
 ◦ Reduzir investimento inicial.
 ◦ Evitar problemas com mão de obra.
 ◦ Evitar riscos em relação ao processo produtivo.
2.1.2 Classificação e ponderação dos objetivos
Os objetivos podem ser classificados em obrigatórios e desejáveis. Colocaremos 
um objetivo obrigatório que será: “Produzir com lucratividade (margem de lucro sobre as 
receitas) mínima de 7%”
Os demais objetivos e restrições serão ordenados e ponderados conforme veremos 
a seguir.
2.1.3 Desenvolvimento das alternativas
Como já mencionado anteriormente, seis são as possibilidades, visto que possuímos 
três localidades vezes duas tecnologias possíveis. Porém, antes da análise, é necessário 
estabelecer uma matriz de custos baseada nos dados já mencionados anteriormente, 
calculando, assim, a lucratividade e a perda relativa sobre as receitas.
91ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
QUADRO 4 - MATRIZ DE CÁLCULO DOS CUSTOS DE CADA COMBINAÇÃO
Fonte: Filho e Kopittke (2008).
2.1.4 Avaliação das alternativas
As seis alternativas produzirão com rentabilidade acima de 7%, o que significa que 
todas terão lucratividade, que foi nosso único objetivo obrigatório.
A perda da pior alternativa quantitativa (MP-A) em relação às receitas é de apenas 
2,7%. Portanto, todas as alternativas deverão ser analisadas com mais cautela, visto que 
a diferença entre elas não é significativa. Qualquer objetivo secundário que for alcançado 
pode superar essa perda facilmente.
Para tomarmos a decisão, portanto, devemos ponderar os outros objetivos e 
restrições. Temos que montar uma matriz de ponderação, como a que segue.
92ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
QUADRO 5 - MATRIZ DE PONDERAÇÕES
Fonte: Filho e Kopittke (2008).
Obs.: Produto (P) = Escore (E) x Peso
2.1.5 Escolha da melhor alternativa em primeira tentativa
Considerando-se os resultados obtidos através do confronto dos objetivos e 
restrições estabelecidos, a tendência é que façamos a escolha pela localização C2. Porém, 
como o resultado de C2 ficou parecido tanto com a tecnologia A quanto com a B, temos que 
fazer outra análise mais aprofundada, ou seja, das consequências adversas.
2.1.6 Consequências adversas 
As duas alternativas de tecnologia para a localização C2 possuem algumas notas 
baixas que devemos analisar com mais atenção.
2.1.6.1 Em relação à localização
Ambas receberam nota 5,0 no objetivo 8, reduzir investimento inicial. Essa nota foi 
atribuída devido a possibilidade da localização MP oferecer incentivos à instalação. Como 
não existe certeza disso vir a ocorrer, uma posição mais conservadora manteria a posição 
C2.
93ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
Em relação às tecnologias
C2 - A recebeu nota baixa no objetivo 7, ao mesmo tempo que C2 - B recebeu 
nota baixa no objetivo 4. Ou seja, há dúvidas sobre o novo processo, em relação ao risco 
de operacionalizá-la, mas também ao colocarmos estaríamos possibilitando inovações 
tecnológicas.
A escolha de A traz um risco embutido do processo não funcionar a contento. Pode-
se dizer que é raro isto acontecer (probabilidade = 20%), mas com alto índice de gravidade, 
ou seja, se ocorrer é muito grave (90 numa escala de 0 a 100). Já a escolha de B, em troca 
de segurança, impossibilita grandes progressos tecnológicos, com 60% de probabilidade, 
porém com índice mais baixo de gravidade (20, numa escala de 0 a 100).
Em suma, para essas duas possibilidades (C2 – A e C2 – B) teríamos o seguinte:
QUADRO 6 - CONSEQUÊNCIAS ADVERSAS PARA CADA TECNOLOGIA
Fonte: Filho e Kopittke (2008).
Em função das informações fornecidas, da metodologia adotada e das ponderações 
aplicadas, observamos uma tendência para a escolha da combinação C2 – B. Essa escolha 
só foi possível após diversas análises, pois quantitativamente poderíamos ter escolhido a 
alternativa C1 – A.
Na matriz de ponderações, C2 – A passou a ser a melhor alternativa. Somente após 
a análise das consequências adversas é que foi possível chegar a C2 – B.
É importante ressaltar que o exemplo é meramente didático. Quando for aplicado 
na prática, deve ser bem mais pormenorizado, estudado em conjunto com os diversos 
setores da empresa, para que possa ser definido o que seria ponto positivo e o que seria 
ponto negativo de cada decisão. 
94
- Em que situações é necessário utilizar técnicas de análise de investimentos?
- Quais as técnicas mais indicadas para cada situação?
Fonte: o autor (2020).V
REFLITA
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
O importante após essa exposição é perceber que, às vezes, a tomada de decisão, 
ao ser feita com a análise de apenas o que é mais positivo, não é a melhor solução. Os 
pontos adversos também são importantes e às vezes decisivos na escolha do gestor do 
projeto. Portanto, para concluirmos a nossa disciplina de Avaliação de Projetos, é importante 
o(a) gestor(a) ter em mente que para cada situação podem aparecer diferentes soluções.
95
A construção de cenários é uma das principais ferramentas de gestão, com esse 
recurso, o gestor tem a possibilidade de tomar medidas de contingência para diferentes 
situações futuras que um projeto pode enfrentar, normalmente prevendo uma situação 
esperada, a melhor situação e a pior. A construção de cenários é degrande importância 
no cotidiano de qualquer projeto. Tomando-se como base esses pressupostos, pode-se 
identificar pontos de melhoria das atividades antes mesmo que haja qualquer tipo de 
impacto negativo nos resultados esperados. 
A Análise de Sensibilidade é a ferramenta com a qual se calcula a variação do Valor 
Presente Líquido (VPL) ou da Taxa Interna de Retorno (TIR) a partir de mudanças isoladas 
em uma variável, ou em mudanças realizadas em mais de uma variável ao mesmo tempo, 
tornando o cenário mais próximo de uma situação real, portanto.
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
96
MATERIAL COMPLEMENTAR
• LIVRO
• Título: Análise de Viabilidade e Risco em Projetos de 
Investimentos.
• Autor: Edson Luiz Leismann.
• Editora: Simplissímo.
• Ano: 2016.
• Sinopse: O livro apresenta uma discussão dos principais 
aspectos a serem considerados na avaliação de projetos de 
investimentos, principalmente quanto aos métodos adequados 
e suas condicionantes, assim como os aspectos relacionados 
à identificação do risco. Faz uma revisão de aspectos básicos 
de finanças e matemática financeira e, em seguida, apresenta 
os conceitos dos fluxos de caixa estimados para o projeto. São 
analisadas as várias condicionantes relacionadas à possível não 
obtenção dos resultados prometidos, em função de variação em 
quantidades, preços e custos relacionados ao projeto. Para tanto, 
são realizadas demonstrações a partir dos conceitos determinísticos 
e, em seguida, mostram-se as análises de sensibilidade e de 
cenários. Por fim, conclui-se com a avaliação de risco. 
ANÁLISE DE SENSIBILIDADEUNIDADE 4
97
CONCLUSÃO GERAL
Prezado(a) aluno(a),
Foi um grande prazer tratar de um assunto tão importante para todo o processo 
de gestão e finanças corporativas, ou seja, como administrar os recursos com base na 
maximização do capital investido. Para isso, aprendemos sobre a utilidade da matemática 
financeira em nossas vidas, a importância de se conhecer sobre taxas de juros e seus 
impactos em nosso cotidiano, o que são juros simples e como calcular descontos racionais 
ou por dentro e suas utilidades para as empresas.
Estudamos sobre juros compostos e descontos compostos, aprendemos que o 
desgaste ou perda de utilidade pelo uso dos produtos são tratados como depreciação e 
que isso afeta o valor dos bens ao longo do tempo.
Vimos que todo investimento precisa ser analisado antes de se tomar a decisão 
de investir, para isso os métodos para análise de investimento são fundamentais. Definir a 
TMA é a base para saber se o investidor está obtendo ganhos financeiros e, além de tudo, 
entender que o dinheiro perde valor com a passagem do tempo.
Analisamos também a importância da criação de cenários para a tomada de decisão, 
o que garante uma maior certeza em relação às variáveis e alteração do projeto.
Para concluir nossa apostila, deixo a vocês alguns exercícios resolvidos. Espero 
que este conteúdo tenha sido de grande valia para você! 
Um grande abraço e sucesso!
98
FILHO, N. C.; KOPITTKE, B. H. Análise de Investimentos. 10. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
GROPPELLI, A. A.; NIKBAKHT, E. Administração financeira. 2. ed. São Paulo: Saraiva, 
2006.
PUCCINI, Abelardo de Lima; PUCCINI, Adriana. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 
Ed. Compacta. São Paulo: Saraiva, 2009.
SAMANEZ, C.P. Engenharia Econômica. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009. 
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com ênfase em produtos bancários. 3ª ed. 
São Paulo: Atlas, 2009.
TOSI, Armando José. Matemática Financeira com ênfase em produtos bancários. 3ª ed. 
São Paulo: Atlas, 2009.
REFERÊNCIAS
ENDEREÇO MEGAPOLO SEDE
 Praça Brasil , 250 - Centro
 CEP 87702 - 320
 Paranavaí - PR - Brasil 
TELEFONE (44) 3045 - 9898
	Unidade 1 - 2024
	Unidade 2 - 2024
	Unidade 3 - 2024
	Unidade 4 - 2024
	Site UniFatecie 3: 
	Botão 19: 
	Botão 18: 
	Botão 17: 
	Botão 16:Fazia contas dificílimas sem o auxílio de calculadora e ainda ficava bravo com 
os netos que a utilizavam. Cálculos percentuais exatos!
Nós podemos treinar isto! Vamos lá?
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
10
PERCENTAGEM1
TÓPICO
1
Como podemos calcular qual foi o nosso aproveitamento em um determinado 
exame?
Suponhamos que você tenha acertado em um exame 12 das 15 questões 
apresentadas. A razão entre o número de questões acertadas e o número total de questões 
é: 
12
15
Isso significa que, se dividirmos 12 por 15, chegaremos ao resultado de 0,8. O 
valor 0,8 significa 80%. Sabe por quê? Como o próprio nome já diz, “PORCENTO”, SE 
MULTIPLICARMOS 0,8 POR 100, CHEGAMOS A 80%. Isso significa que seu aproveitamento 
foi de 80% ao acertar 12 questões num exame que continha 15.
Vamos utilizar outro exemplo:
Se você conseguisse acertar 25 questões num exame de 50?
Divida o 25/50 e chegará ao resultado de 0,5 que se multiplicado por 100, revela 
seu aproveitamento de 50%.
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
11
Tosi (2009) nos lembra que: na fórmula de matemática financeira, a taxa de juros 
deverá sempre ser informada na forma decimal, ou seja, dividida por 100.
Exercícios resolvidos de percentagem:
a) Quanto é 15% de 80?
Multiplique 15 por 80 e divida por 100.
15 x 80 = 1200
1200/100 = 12
12 é 15% de 80
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 15% na sua forma 
decimal, que é 0,15 por 80:
0,15 x 80 = 12
Resposta: 15% de 80 é igual a 12.
b) Quanto é 70% de 30?
Multiplique 70 por 30 e divida por 100:
21 é 70% de 30
Ou então você pode multiplicar 70% na sua forma decimal, que é 0,70 por 30:
0,7 x 30 = 21
Resposta: 70% de 30 é igual a 21.
Na Calculadora HP 12C:
50 ENTER 25 %T
Note que na HP12C existe uma tecla “%T” além da tecla normal “%”.
Neste caso onde queremos saber o quanto um número (por exemplo, 25) representa percentualmente 
de outro (50), digitamos primeiro o número 50 na sequência apertamos ENTER, lançamos o 25 e por último 
a tecla %T. Tente você mesmo!
SAIBA
MAIS
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
12
c) Quanto é 150% de 45?
Multiplique 150 por 45 e divida por 100:
67,5 é 150% de 45
Você também pode simplesmente multiplicar 150% na sua forma decimal, que é 
1,50 por 45:
1,50 x 45 = 67,5
Resposta: 150% de 45 é igual a 67,50.
d) Expresse a razão de 19 para 25 como uma porcentagem.
A razão de 19 para 25 pode ser expressa nestas duas formas:
19 ou 19:25 
25
Ao realizarmos a divisão de 19 por 25 iremos obter o valor da razão:
19
25 = 0,76
Tal como procedemos no caso das razões centesimais, devemos multiplicar 
este valor decimal por cem e acrescentar o símbolo “%” para termos a representação da 
porcentagem, na verdade o multiplicamos por 100%:
 
0,76 x 100% = 76% 
e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 
337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha?
Sabemos que 30% da população da cidade mora na ilha e o restante, ou seja, 70% 
mora no continente. Como 70% corresponde a 337.799 habitantes, podemos montar uma 
regra de três para calcularmos quantos habitantes correspondem aos 30% que moram na 
ilha:
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
13
337.799 está para 70, assim como x está para 30:
Podemos resolver este exercício de uma outra forma. Se multiplicarmos 337.799 
por 100 e dividirmos este produto por 70, iremos encontrar o número total de habitantes da 
cidade:
337.799 x 100 = 482.570
 70 
Ao calcular 30% de 482.570 iremos encontrar o número de habitantes da ilha:
482.570 x 30% = 482.570 x 30 = 144.771
 100
1.1 Elementos do cálculo percentual
Vimos no exemplo do início desta unidade que:
12/15 = 80/100
Neste exemplo, chamando o 12 de percentagem, o 15 de principal e o 80 de taxa, 
temos:
Percentagem/principal = taxa/100
Daí, obtemos as seguintes definições:
• Taxa é o valor que representa a quantidade de unidades tomadas em cada 100.
• Percentagem é o valor que representa a quantidade tomada de outra, 
proporcionalmente a uma taxa.
• Principal é o valor da grandeza da qual se calcula a percentagem.
O principal, a percentagem e a taxa são os elementos do cálculo percentual.
FIQUE POR DENTRO
Na prática, é muito comum:
— empregarmos as palavras desconto, comissão, multa, parte, quota, abatimento, 
prejuízo, lucro etc. em lugar de percentagem;
— designarmos a taxa percentual simplesmente por percentagem. Assim, tanto faz 
dizermos, em uma situação qualquer, que o lucro foi de R$ 80,00 ou de 20%.
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
14
Vimos que a taxa percentual se refere a 100, isto é:
25/100 = 25%
Porém, na resolução de muitas questões, é mais prático (e, algumas vezes, 
necessário) tomarmos como valor referencial a unidade, obtendo o que chamamos de taxa 
unitária (simbolizada por i). Assim:
Temos então:
 25 = i => i = 25 = 0,25
 1 100 
TAXA UNITÁRIA2
TÓPICO
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
15
Juros são definidos como sendo a remuneração do capital, a qualquer título.
Assim, são válidas as seguintes expressões como conceitos de juros:
A. remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
B. custo do capital de terceiros;
C. remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado.
Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma 
unidade de tempo (ano, semestre, trimestre, mês, dia).
Exemplos:
12% ao ano = 12% a.a.
4% ao semestre = 4% a.s.
1% ao mês = 1% a.m.
Os regimes de juros estudados na Matemática Financeira são conhecidos como 
juros simples e juros compostos.
JURUS SIMPLES3
TÓPICO
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
16
No regime de juros simples, apenas o capital inicial, também chamado de principal, 
rende juros. Juros não são capitalizados e, consequentemente, não rendem juros.
No regime de juros compostos, somam-se os juros do período ao capital para o 
cálculo de novos juros nos períodos seguintes. Juros são capitalizados e passam a render 
juros. O regime de juros compostos será apresentado na unidade II.
Tosi (2009) nos lembra que o valor dos juros simples é igual em todos os períodos 
de cálculo, o que nos possibilita dizer que o mesmo é linear em relação ao prazo. Vejam 
abaixo demonstração gráfica:
GRÁFICO 01. JUROS SIMPLES
Fonte: Tosi (2009)
FIQUE POR DENTRO
O Valor do Dinheiro no Tempo
A Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, 
que, por sua vez, está interligado à existência da taxa de juros.
Do ponto de vista da Matemática Financeira, $1.000,00 hoje não são iguais a 
$1.000,00 em qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, 
devido à taxa de juros por período.
Assim, um capital de $1.000,00 aplicado hoje, com uma taxa de juros de 8% a.a., 
implicará um rendimento anual de $80,00, proporcionando um montante de $1.080,00 no 
final de um ano. 
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
17
Pode-se dizer que considerando uma taxa de juros de, por exemplo, 8% a.a., é 
indiferente termos $1.000,00 hoje ou $1.080,00 daqui a um ano. Um capital de $1.000,00 
hoje somente será igual a $1.000,00 daqui a um ano na hipótese irreal da taxa de juros ser 
considerada igual a zero.
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
18
A simbologia e a convenção utilizada em todo este material didático serão idênticas 
àquelas adotadas por todas as calculadoras da marca HP, inclusive pela HP-12C.
As grandezas monetárias podem ser representadas no fluxo de caixa de acordo 
com as convenções de final de período e de início de período, que são apresentadas a 
seguir.
A calculadora HP12C adota as seguintes convenções e simbologias para definir os 
elementos do Diagrama Padrão do Fluxo de Caixa:
Número de períodos de capitalização de juros, expresso em anos, 
semestres, bimestres, mês ou dias, podendo tomar os valores 0,1,2,3 ...Taxa de juros por período de capitalização, expressa e, percentagem, e 
sempre mencionando a unidade de tempo considerada (ano, semestre, 
trimestre, bimestre, mês ou dia)
Valor presente (Presente Value), ou seja, valor do capital inicial (principal), 
aplicado. Representa, na escala horizontal do tempo, o valor monetário 
colocado na data inicial, isto é, no ponto correspondente a n = 0.
 
SIMBOLOGIA4
TÓPICO
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
19
Valor futuro (Future Value), ou seja, valor do montante acumulado no final 
de períodos de capitalização, com a taxa de juros i. Representa, na escala 
horizontal do tempo, os valores monetários colocados nas datas futuras, 
isto é, nos pontos correspondentes a n = 1, 2, 3, ...
Valor de cada prestação da Série Uniforme (Periodie PaymenT) que 
ocorre no final de cada período (Série Postecipada). Representa, escala 
horizontal do tempo, o valor de cada prestação iguais que ocorrem no final 
dos períodos 1, 2, 3,.
No regime de juros simples, os juros de cada período são obtidos pela aplicação 
da taxa de juros i sempre sobre o principal PV, fazendo com que os juros tenham o mesmo 
valor em todos os períodos. Assim, temos:
• juros de cada período: PV x i
• juros de n períodos: n x PV x i
O valor futuro FV, também chamado de montante, é resultante da aplicação de um 
principal PV, durante n períodos, com uma taxa de juros i por período.
No regime de juros simples, FV é obtido pela expressão:
FV = montante = principal + juros = PV + n x PV x i
ou seja:
FV = PV (1 + i x n)
Em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a 
unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
A Expressão Genérica FV = PV (1 + i x n) pode ser verificada, considerando PV = 
1.000,00 e i = 8% ao ano, o montante FV, no final de cada ano é:
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
20
• n = 1 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 x 1) = 1.080,00
• n = 2 => FV = 1.000,00 (1 + 0,08 x 2) = 1.160,00
E assim por diante. Observe que o montante FV corresponde ao saldo no final de 
cada ano após o pagamento.
Exemplo: 
1. Um comerciante tomou emprestado num banco estatal a importância de 
R$18.000,00 pelo prazo de dois anos a uma taxa de juros de 30% ao ano. Qual será o valor 
dos juros e o montante a serem pagos?
PV = R$ 18.000,00
FV = ?
n = 2 anos
i = 30% aa ou 30/100 = 0,3
FV = PV (1 + i x n)
FV = 18.000,00 (1 + 0,3 X 2)
FV = 18.000,00 x 1,6
FV = 28.800,00
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
21
Em relação aos elementos do Diagrama Padrão, são relevantes os seguintes comentários:
a) Os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais. Assim, por exemplo, todos os meses têm a 
mesma duração de 30 dias; 
b) A unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir com a unidade 
referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n; 
c) Os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem, em geral, apenas quatro elementos, sendo 
que dois deles são obrigatoriamente a taxa de juros i e o número de períodos n. Os outros dois elementos a 
serem relacionados podem ser PV com FV, PV com PMT, e FV com PMT;
d) As fórmulas desse compêndio são desenvolvidas apenas para esse Diagrama Padrão, assumindo a 
convenção de final de período. Os problemas que se enquadram nessa situação têm solução imediata. Os 
demais problemas deverão ser enquadrados nesse Diagrama Padrão mediante desdobramentos e outros 
artifícios que não alteram o enunciado do problema;
e) A Calculadora HP-12C está preparada para resolver os problemas que se enquadram nesse Diagrama 
Padrão, com a convenção de final de período.
Ressaltamos os seguintes pontos:
● A calculadora está preparada para utilizar a convenção de final de período quando a função END estiver 
ativa (acione as teclas g e END e verifique se a palavra BEGIN não aparece indicada no visor);
● A calculadora deve apresentar sempre a letra C indicada no visor (pressione concomitantemente as 
teclas STO e EEX), para que realize todos os cálculos a juros compostos, independentemente do valor de n 
ser um número inteiro ou fracionário;
● Os valores monetários, sejam de PV, FV ou PMT, devem ser registrados na calculadora sempre de 
acordo com a convenção de sinal, isto é, as entradas de caixa (recebimentos) devem ter o sinal positivo (+), 
e as saídas de caixa (pagamentos) devem ter o sinal negativo (–); 
● Os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com o registro do número 
zero para o elemento monetário (PV, FV ou PMT) que não participa do problema;
● Os valores do número de períodos n podem ser números inteiros ou fracionários. Por exemplo, n pode 
ser registrado em anos, fração de ano, fração de mês etc.;
● O registro de uma taxa de juros de 8%, por exemplo, deve ser feito com a colocação do número 8 na 
tecla correspondente a i. A calculadora, internamente, faz as operações com 8%, isto é, com 8/100 = 0,08;
● A calculadora sempre interliga os cinco elementos (n, i, PV, PMT e FV). Por exemplo, no caso de 
obtenção do PV, a HP-12C calcula a seguinte relação:
PV = valor presente de FV + valor presente de PMT
Fonte: Puccini e Puccini (2009).
SAIBA
MAIS
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
22
Tosi (2009, p 98) conceitua: “O desconto simples é efetuado com base no regime 
de capitalização simples, ou seja, utilizando-se taxas de juros lineares, nessa modalidade 
está incluído o desconto racional (por dentro).”
A taxa de juros i, também denominada taxa de rentabilidade ou, ainda, taxa de 
desconto “por dentro”, pode ser obtida a partir da Relação a seguir, que fornece:
O valor do desconto, expresso em $, corresponde aos juros acumulados no tempo. 
Assim, genericamente, ele pode ser obtido pela diferença entre o valor futuro FV, ou 
montante, e o valor presente PV, ou principal, ou seja:
Desconto = FV − PV
O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, é obtido multiplicando-se o valor 
presente PV pela taxa de desconto i, e esse produto pelo prazo da operação n, ou seja:
Dd = PV X i X n
DESCONTO RACIONAL OU 
DESCONTO POR DENTRO 5
TÓPICO
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
23
Na prática, entretanto, o valor presente é sempre a incógnita, sendo normalmente 
conhecidos o valor futuro FV, o prazo n e a taxa de desconto i. Vamos a seguir deduzir a 
fórmula que permite obter o valor do desconto racional a partir das variáveis conhecidas.
O valor do desconto “por dentro”, ou racional, é também obtido pela aplicação da 
expressão geral para desconto, isto é:
Dd = FV – PV
A partir da expressão acima, podemos chegar na seguinte relação:
Substituindo o PV desta última equação, na equação anterior, temos:
Vamos resolver alguns exercícios?
a) Calcule o número de meses necessário para um capital dobrar de valor, com 
uma taxa de juros de 2% ao mês, no regime de juros simples.
Solução:
Supondo o valor de PV = $100,00, então teríamos FV = $200,00, e os dados do 
problema seriam os seguintes:
PV= $100,00;
FV = 2 X 100,00 = $200,00;
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
24
i = 2% ao mês = 0,02;
n = ?
Pela Relação apresentada anteriormente temos:
FV = 200,00 = PV (1 + i X n) = 100,00 (1 + 0,02 X n)
200,00 = 100 + 2n
200 – 100 = 2n
2n = 100
n = 100
 2
Assim temos que n = 50 meses.
b) Calcule o valor da taxa mensal de desconto “por dentro” usada numa operação 
de desconto de 60 dias de um título cujo valor de resgate é $10.000,00 e cujo valor do 
principal é $9.750,00.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
PV= $9.750,00;
FV = $10.000,00;
n = 60 dias = 2 meses;
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
25
i = ? (% ao mês)
i = FV - 1 x 1
 PV n
i = 10.000 - 1 x 1
 9.750 2
i = 0,01282 
Precisamos multiplicar o resultado por 100 para ficar em percentual.
Assim temos, 1,282% ao mês.
OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: Veja que sempre utilizamos as mesmas unidades 
de tempo, se nos derem o tempo em dias e a taxa em meses, temos que converter um ou 
outropara as mesmas unidades. Vai depender de como o problema pede. Se pedir em 
meses, transforme dias em meses, isto é, 60 dias = 2 meses.
Outra coisa importante é que quando fazemos o cálculo do i no problema anterior, 
o resultado sai na forma unitária e se quisermos apresentar na forma percentual é só 
multiplicar por 100, isto é, 0,01282 X 100 = 1,282%.
c) Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento 
para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por dentro” é de 1,2% ao mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV = $1.000,00;
n = 60 dias;
i = 1,2% ao mês = 1,2%/30; temos ao dia = 0,04% a.d. = 0,0004
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
26
Desconto = FV – PV = ?
PV = FV 
 (1 + i X n)
PV = 1.000,00 = $ 976,56
 (1 + 0,0004 X 60)
e, portanto, o desconto “por dentro” é igual a (1.000,00 − 976,56) = $23,44.
Um empresário tem uma conta de cheque especial num banco que permite saques 
a descoberto e que cobra 1,5% ao mês sobre o saldo devedor, a juros simples, pelos dias 
que a conta ficar descoberta. 
Calcule o montante de juros cobrado no mês de abril, assumindo que a conta tem 
saldo zero no final de março e que em abril são emitidos os seguintes cheques:
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
i = 1,5% ao mês = 1,5%/30 = 0,05% ao dia = 0,0005 a.d.
I) Calculando os juros devidos por período:
• Juros de 1o. de abril a 10 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é 
de $2.000,00, e portanto: Juros = 2.000,00 X 0,0005 X 10 = $10,00
• Juros de 11 de abril a 20 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de 
$3.000,00, e portanto: Juros = 3.000,00 X 0,0005 X 10 = $15,00
• Juros de 21 de abril a 30 de abril => durante esses 10 dias o saldo devedor é de 
$4.000,00, e portanto: Juros = 4.000,00 X 0,0005 X 10 = $20,00
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
27
Assim, o total de juros devidos no mês de abril é igual a:
Juros do mês de abril = (10,00 + 15,00 + 20,00) = $45,00
III) Utilizando o conceito de saldo médio:
O saldo devedor médio no mês de abril é obtido pela relação:
SALDO MÉDIO = (2000 x 10 + 3000 x 10 + 4000 x 10) / 30
O que nos dá o valor de $ 3000,00
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
28
Tosi (2009, p 117) conceitua: “O desconto composto é efetuado com base no regime 
de capitalização composta, ou seja, utilizando-se taxas de juros exponenciais.”
No regime de juros simples, os descontos de cada período são obtidos pela 
aplicação da taxa de desconto d sempre sobre o valor futuro FV, ou montante, fazendo com 
que os descontos tenham o mesmo valor em todos os períodos.
Assim temos:
desconto de cada período: FV x d
desconto de n períodos: n x FV x d
Observar que a taxa de desconto d (“por fora”) é aplicada sobre o valor futuro FV 
para produzir o valor presente PV, ao passo que a taxa de desconto i (“por dentro”), ou taxa 
de rentabilidade, é aplicada sobre o valor presente PV para produzir o valor futuro FV.
Assim, o valor do desconto “por fora” (Df ), ou comercial, é obtido multiplicando-se 
o valor futuro FV pela taxa de desconto d por período, e esse produto pelo número de 
períodos de desconto n, ou seja:
Df = FV x d x n
DESCONTO COMERCIAL OU 
DESCONTO POR FORA6
TÓPICO
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
29
O valor presente PV, ou principal, resultante do desconto “por fora” sobre o montante 
FV, durante n períodos, com uma taxa de desconto d por período, é obtido, a juros simples, 
pela expressão:
PV = montante −descontos = FV − n x FV x d
ou seja:
PV = FV (1 − d x n)
em que a unidade referencial de tempo da taxa de desconto d deve coincidir com 
a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
Vejamos um exemplo
a) Calcule o valor do desconto simples de um título de $1.000,00, com vencimento 
para 60 dias, sabendo-se que a taxa de desconto “por fora” é de 1,5% ao mês.
Solução:
Os dados do problema são os seguintes:
FV = $1.000,00;
n = 60 dias; d = 1,5% ao mês = 1,5%/30 ao dia = 0,05% a.d. = 0,0005 a.d.
Desconto = FV − PV = ?
Sabemos que:
PV = FV (1 − d x n) = $1.000,00 x (1 − 0,0005 x 60) = $970,00
e, portanto, o desconto “por fora” é igual a (1.000,00 - 970,00) = $30,00.
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
30
Caro(a) aluno(a), nesta unidade trabalhamos as principais fórmulas do regime de 
juros simples e demonstramos algumas de suas aplicações em diversos problemas do 
mercado.
É importante lembrarmos que, no regime de juros simples, a taxa de desconto d 
(“por fora”, ou comercial) é comumente utilizada apenas com o nome de taxa de desconto, 
por ser este o método consagrado pelo mercado nas operações de desconto de títulos 
comerciais.
A taxa de juros i (taxa de desconto “por dentro”, ou racional) é mais conhecida como 
taxa de rentabilidade.
Tanto a taxa de desconto por dentro, quanto a taxa de desconto por fora são valores 
que não correspondem à “verdadeira” taxa de juros (taxa efetiva) da operação, pelo fato do 
regime de juros simples ser conceitualmente incorreto, na medida em que só remunera o 
capital inicial (principal) aplicado.
O valor nominal de um título (valor de resgate) descontado a juros simples (desconto 
comercial) representa o valor que será creditado na conta-corrente do investidor.
Esse é o valor presente do título. Para conhecer a taxa efetiva de desconto da 
operação, é preciso comparar o valor presente do título com o seu valor nominal, por meio 
do cálculo da taxa interna de retorno, feita a juros compostos.
A HP-12C dispõe de funções especiais para realizar cálculos no regime de juros 
simples. Entretanto, os exemplos desta unidade foram desenvolvidos sem o uso dessas 
operações especiais da calculadora, pois as fórmulas e expressões de juros simples são de 
fácil solução com as operações convencionais de qualquer calculadora. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
31
MATERIAL COMPLEMENTAR
• FILME/VÍDEO
• Título: Até que a sorte nos separe.
• Ano: 2012.
• Sinopse: Tino (Leandro Hassum) é um pai de família comum 
que vê sua vida virar de ponta a cabeça após ganhar na loteria. 
Levando uma vida de ostentação ao lado da mulher, Jane (Danielle 
Winits), ele gasta todo o dinheiro em 15 anos. Ao se ver quebrado, 
Tino aceita a ajuda do vizinho Amauri (Kiko Mascarenhas), um 
consultor de finanças super burocrático e que por sinal vive seu 
próprio drama ao enfrentar uma crise no casamento com Laura 
(Rita Elmôr). Tentando evitar que Jane descubra a nova situação 
financeira, afinal ela está grávida do terceiro filho não pode passar 
por fortes emoções, Tino se envolve em várias confusões para 
fingir que tudo continua bem. Para isso, conta com ajuda do melhor 
amigo, Adelson (Aílton Graça), e dos filhos.
• LIVRO
• Título: Matemática Financeira: objetiva e aplicada. 
• Autores: Abelardo de Lima Puccini e Adriana Puccini. 
• Editora: Compacta. São Paulo: Saraiva. Ano: 2009. 
• Sinopse: A maioria dos livros de Matemática Financeira tende 
a apresentar a matéria com uma simbologia complexa, e com 
o desenvolvimento de fórmulas para cada situação específica, 
criando, assim, um mito de dificuldade para seu aprendizado. Em 
sua 10ª edição, este clássico do tema enfatiza o aspecto prático 
do assunto, apresentando os conceitos por meio de exemplos 
resolvidos pela calculadora HP-12C e pela planilha eletrônica Excel. 
Com este enfoque simples e prático, os conhecimentos adquiridos 
neste livro permitem a solução de problemas que envolvem o 
manuseio de qualquer fluxo de caixa, independentemente do grau 
de complexidade. Essa especificidade faz da obra referência no 
meio acadêmico e em concursos públicos de relevantes instituições 
do governo. 
MATEMÁTICA FINANCEIRAUNIDADE 1
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
JUROS COMPOSTOS, 
DESCONTOS COMPOSTOS, 
AMORTIZAÇÃO E 
DEPRECIAÇÃO2UNIDADEUNIDADE
PLANO DE ESTUDO
33
Plano de Estudos
• Capitalização e Desconto Compostos.
• Depreciação.
• O que é Amortização?Objetivos da Aprendizagem
• Conhecer o que é juros sobre juros (juros compostos).
• Conhecer sobre Depreciação (desgaste ou perda de utilidade pelo uso dos 
produtos).
• Estudar a perda do valor dos bens imateriais em razão do tempo (Amortização).
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
34
Certa vez resolvi trocar meu veículo por um novo, mas como eu não tinha todo o 
dinheiro para pagar à vista, resolvi financiar uma parte. A concessionária anunciava em sua 
vitrine uma taxa de juros de 0,99% ao mês para o financiamento do carro, em 12 parcelas 
mensais.
Como ando sempre com minha HP-12C, fui conferir, fazendo os cálculos. 
Conversando com o gerente da loja, ele me informou o seguinte: para financiar o valor de 
R$ 15.000,00, que correspondia à metade do valor de um carro, eu iria pagar 12 parcelas 
mensais de R$ 1.375,00, sendo a primeira 30 dias após o fechamento do negócio.
Com essas informações e com a calculadora HP-12C, em alguns segundos, eu 
pude conferir se aquela taxa de 0,99% ao mês, divulgada pela empresa vendedora, era a 
taxa que realmente custava para mim, como consumidor.
Vamos lá, pegue a sua calculadora HP-12C ou no emulador on-line (que já passei 
o link na apresentação deste material) e faça junto comigo:
1. Primeiramente ligue a HP: tecla ON.
2. Apague todas as memórias financeiras de sua HP, pois ela poderá pegar dados 
armazenados e fazer o cálculo errado. Para isso, aperte duas teclas: digite primeiro a tecla 
f (amarela) e depois a tecla CLx. Faça isso sempre que você for começar um novo cálculo. 
(f CLx).
3. Digite a tecla f e a tecla do número 2 para aparecer duas casas decimais na HP. 
Se você quiser que apareçam mais casas decimais, é só teclar f e número desejado. (f 2)
4. Observe se no visor está aparecendo o termo BEGIN (ele não deve aparecer, pois 
ele serve para cálculos com uma parcela de entrada, que não é o caso, esse financiamento 
é sem entrada). Assim, se você digitar a tecla g (azul) e depois a tecla do número 7 (BEG) 
irá aparecer o termo BEGIN que serve para cálculos de quanto você já pagou uma parcela 
no ato da compra. Nesse caso, digite a tecla g e depois 8 (END), o termo BEGIN irá 
desaparecer e o cálculo será feito considerando um financiamento sem entrada, como é 
esse caso. (g 8)
5. Digite 12, que é o número de parcelas do financiamento, e aperte a tecla n. (12 n)
6. Digite 15000, que é o valor financiado, aperte a tecla CHS para ele ficar negativo 
(-15.000,00) e digite PV. (15000 CHS PV)
7. Agora digite 1375, que é o valor de cada parcela, e depois a tecla PMT. (1375
PMT)
INTRODUÇÃO
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
35
8. Por último, digite a tecla i, que é a informação que você deseja que a HP-12C 
calcule, ou seja, a taxa de juro. (i)
Observe que no visor apareceu 1,50. Caso não tenha aparecido esse valor, fique 
tranquilo, refaça todos os passos bem devagar e com cuidado que vai dar certo.
Dessa forma, podemos concluir que a taxa custa 1,50% ao mês para quem comprar 
esse carro financiado. Bem diferente da taxa de 0,99% estampada nas vitrines da loja.
Mas, por que você acha que isso acontece?
Neste caso, foi porque a loja informou apenas a taxa de juro do negócio e não 
informou que havia outros custos a mais para fazer o financiamento, como o Imposto 
sobre Operações Financeiras, taxa para fazer o cadastro do cliente consumidor, taxa para 
a abertura de crédito, etc. Essas outras informações não são apresentadas de maneira 
clara para você que é o consumidor, mas estão todas escondidas e são acrescentadas 
diretamente no valor das prestações. Se você não ficar atento, pagará todas elas sem 
perceber e sem saber que está pagando.
Por isso, é muito importante que você saiba fazer o cálculo da taxa correta, pois, 
assim, você mesmo descobrirá se há mais valores sendo cobrados no seu financiamento 
e não ficará dependendo das informações que lhe forem passadas. Esse é um exemplo de 
armadilha que o mercado prepara para os consumidores. Se você estiver preparado, não 
será surpreendido(a) por nenhuma delas.
Tosi (2009) explica que a capitalização composta ocorre quando os juros de cada 
período são incorporados ao capital, de forma que o resultado renda juros no próximo 
período. Veja a representação gráfica:
FIGURA 1 - JUROS COMPOSTOS
Fonte: Tosi (2009).
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
36
CAPITALIZAÇÃO E 
DESCONTO COMPOSTOS1
TÓPICO
Veremos nesta unidade que o conceito de juros compostos é muito importante, 
uma vez que esse é o sistema indicado para efetuar análises e transformações de fluxos 
de caixa de forma conceitualmente correta. Inicialmente, apresentaremos o problema 
da capitalização composta, que trata da valorização do dinheiro ao longo do tempo. Em 
seguida, apresentaremos o problema inverso, ou seja, o da diminuição das grandezas 
futuras, na medida em que são trazidas para o valor presente, mediante as operações de 
desconto composto.
Nos dois casos, os estudos incluem deduções de fórmulas genéricas e suas 
aplicações em exemplos numéricos, cujas soluções são apresentadas pelo Simulador da 
HP-12C.
No regime de juros compostos, os juros de cada período, quando não são pagos no 
final do período, devem ser somados ao capital e, consequentemente, também passam a 
render juros. A esse processo dá-se o nome de capitalização de juros, e como ele acontece 
no regime de juros compostos, costuma ser chamado de capitalização composta.
No regime de juros compostos, os juros de cada período são obtidos pela aplicação 
da taxa de juros i sobre o capital, aplicada no início do período de capitalização.
Assim, temos:
A. No 1° período de capitalização (n = 1)
Capital no início do período = PV
Juros do período = PV x i
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
37JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Capital no final do período = FV = PV +PV x i = PV (1 + i)
B. No 2° período de capitalização (n = 2)
Capital no início do período = PV (1 + i)
Juros do período = PV (1 +i) x i
Capital no final do período = FV = PV (1 +i) +PV (1 + i) x i =
= PV (1 +i) x (1 +i)
Portanto:
FV = PV (1 +i)²
C. No 3° período de capitalização (n = 3)
A expressão para o valor futuro FV, ou montante, no final do 3° período de 
capitalização, pode ser deduzida de forma análoga, e toma o seguinte aspecto:
FV = PV (1 +i)³
D. No enésimo período de capitalização 
A expressão genérica do valor futuro FV, ou montante, resultante da aplicação de 
um principal PV durante n períodos de capitalização, com uma taxa de juros i por período, 
no regime de juros compostos, é:
FV = PV (1 +i)n
Em que a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve coincidir com a 
unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n.
1.1 Desconto Racional ou Por Dentro
A taxa de desconto i (por dentro, ou racional) é usualmente denominada taxa de 
desconto e é muito utilizada pelo mercado financeiro.
Temos que:
PV = FV 
 (1 + i) n
38JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Que fornece o valor do principal PV a partir de FV, em função dos parâmetros n e i. 
O valor do desconto “por dentro” (Dd), ou racional, expresso em $, é obtido pela aplicação 
da Expressão Genérica para desconto, combinada com a Relação, isto é:
Se temos PV, achemos, então, FV. O problema envolvendo o cálculo do valor futuro 
FV a partir do valor presente PV consiste na solução da Expressão Genérica (5.1), em que 
a relação (1 +i)n precisa ser calculada para os parâmetros i e n.
A expressão (1+i)n pode ser calculada para qualquer valor de i e de n, com a 
utilização da HP-12C, basta utilizar as teclas a seguir:
Vamos exemplificar?
Calcule o valor acumulado no final de seis anos, no regime de juros compostos, 
com uma taxa efetiva de 10% ao ano, a partir de um investimentoinicial (principal) de $ 
1.000,00.
Solução:
n = 6 anos;
i = 10% ao ano;
PV = $1.000,00;
FV = ?
O primeiro passo é limpar a calculadora: f Clx
O segundo passo é digitar 1000 (que é o valor principal), inverter o sinal clicando 
em CHS. Isso deve ser feito, pois a calculadora reconhece, a partir da inversão do sinal, 
que isto foi a entrada, o principal, como se fosse uma saída de caixa.
Terceiro passo é digitar 10 i
39JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Quarto passo é digitar 6 n
E, por fim, tecle em FV.
A calculadora lhe dará o número 1.771,56. Isto significa que, após 6 anos, o capital 
de 1000 acumulará 771,56 de juros, permitindo um montante de 1.771,56.
Quando o problema pedir o contrário, dê FV para achar PV. Faça os mesmos 
passos, apenas trocando a tecla PV por FV, inclusive mantenha a troca de sinal utilizando 
CHS.
Vamos a mais um exercício?
O montante de $ 1.000,00, colocado no final do 4° mês do diagrama indicado a 
seguir, deve ser capitalizado e descontado com a taxa de 1% ao mês, no regime de juros 
compostos.
Calcule:
a. O valor acumulado no final do 7° mês, pela capitalização do montante de $ 
1.000,00 indicado no diagrama;
b. valor que deve ser investido no final do 1° mês, para se obter o montante de $ 
1.000,00 indicado no diagrama.
40JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Solução:
a. Montante no final do 7° mês
Assim, o valor de $ 1.000,00 fica colocado no ponto zero da nova escala de tempo 
e deve ser tratado como um valor presente PV, que precisa ser capitalizado três meses para 
atingir o final do 7° mês.
Na HP-12C:
• 1000 CHS PV
• 3 n
• 1 i
• FV
O resultado será 1.030,30.
b) Principal no final do 1° mês
Nesse caso, para enquadrarmos o problema no Diagrama Padrão, precisaremos 
colocar o valor PV (a ser determinado) no ponto zero da nova escala de tempo, conforme 
indicado a seguir:
41JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Assim, o valor de $ 1.000,00 fica colocado no ponto 3 da nova escala de tempo, e 
deve ser tratado como um valor presente FV, que precisa ser descontado três meses para 
atingir o final do 1° mês.
Na HP-12C:
• 1000 CHS FV
• 3 n
• 1 i
• PV
O resultado será 970,59.
42
DEPRECIAÇÃO2
TÓPICO
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
2.1. O que é Depreciação?
É a diminuição do valor dos bens corpóreos em decorrência de desgaste ou perda 
de utilidade pelo uso, ação da natureza ou obsolescência. Expressa a perda de valor que 
os valores imobilizados de utilização sofrem no tempo, por força de seu emprego na gestão.
O encargo da depreciação poderá ser computado como custo ou despesa 
operacional, conforme o caso. A depreciação dos bens utilizados na produção será custo, 
enquanto a depreciação dos demais bens há de ser registrada como despesa operacional.
O lançamento pode ser:
D = DESPESA DE DEPRECIAÇÃO 
Ou
C = DEPRECIAÇÃO ACUMULADA
Segundo as leis brasileiras, segue uma tabela de depreciação:
43JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
TABELA 1 - TABELA DE DEPRECIAÇÃO
Fonte: Dominium Contabilidade (2020).
Alguns bens não se depreciam, como:
• Terrenos, salvo em melhoramentos ou construções; 
• Bens que normalmente aumentam de valor com o tempo, como obra de arte; 
• Prédios e construções não alugados nem utilizados por seu proprietário na 
produção de seus rendimentos ou imóveis destinados à venda.
2.2 Como Calculamos Depreciação?
2.2.1 Método linear (ou quotas constantes)
É o método que contabiliza, como despesa ou custo, uma parcela constante do 
valor do bem em cada período.
Exemplo: 
A empresa comprou, no início de janeiro, um veículo com vida útil estimada de 5 anos 
pelo valor de $ 30.000,00, sem valor residual estimado. Qual será o valor da depreciação?
No final do primeiro ano, deverá reconhecer a despesa de depreciação de $30.000,00 
: 5 = $ 6.000,00 por ano.
Para calcularmos o valor da depreciação mensal, para efeito de apuração de 
resultados mensais, basta dividir o valor da depreciação anual por 12:
R$ 6.000,00 : 12 = R$ 500,00 por mês.
Se considerarmos um valor residual de R$ 3.000,00, o valor anual da depreciação 
será:
44JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
($ 30.000,00 - $ 3.000,00) : 5 = $ 5.400,00 por ano.
Para calcularmos o valor da depreciação mensal, para efeito de apuração de 
resultados mensais, basta dividir o valor da depreciação anual por 12:
R$ 5.400,00 : 12 = R$ 450,00 por mês.
A contabilização do valor da depreciação mensal será efetuada da seguinte forma: 
débito de despesa de depreciação e crédito da conta Depreciação Acumulada, portanto o 
lançamento será:
Débito – Despesa de Depreciação $ 450,00
Crédito – Depreciação Acumulada $ 450,00
No final do primeiro ano, o Ativo Imobilizado da empresa deverá ser apresentado no 
Balanço Patrimonial da seguinte forma:
Veículos $ 30.000,00
(-) Depreciação Acumulada ($ 6.000,00) $ 24.000,00
Dessa forma, o leitor do balanço saberá a idade aproximada do Ativo Imobilizado 
da empresa.
2.2.2 Método soma dos dígitos
Esse método consiste em somar os algarismos desde a unidade até o algarismo 
que representa o número de anos da vida útil do bem. No exemplo do item anterior, sem 
considerar o valor residual, teríamos:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
Quota do 1º. Ano = 5/15 x $ 30.000 = $ 10.000
Quota do 2º. Ano = 4/15 x $ 30.000 = $ 8.000
Quota do 3º. Ano = 3/15 x $ 30.000 = $ 6.000
45JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Quota do 4º. Ano = 2/15 x $ 30.000 = $ 4.000
Quota do 5º. Ano = 1/15 x $ 30.000 = $ 2.000
Soma = $ 30.000
Nesse método, o valor mensal da depreciação:
No primeiro ano, seria de R$ 10.000,00 : 12 = R$ 833,33.
No segundo ano, seria de R$ 8.000,00 : 12 = R$ 666,67.
No terceiro ano, seria de R$ 6.000,00 : 12 = R$ 500,00.
No quarto ano, seria de R$ 4.000,00 : 12 = R$ 333,33.
No quinto ano, seria de R$ 2.000,00 : 12 = R$ 166,67
Método saldo decrescente
Também denominado método de Matheson ou Exponencial, ou ainda método da 
porcentagem fixa sobre o valor contábil.
Em que n é o número estimado de anos da vida útil do bem.
Usando o exemplo anterior e supondo um valor residual de R$ 1.500, teríamos: 
% anual = 1 – 0,54928
% anual = 0,45072 ou 45,072%
Quota do 1º. Ano = 45,072% x 30.000 = $ 13.521,60
Quota do 2º. Ano = 45,072% x 16.478,40 = $ 7.427.15
Quota do 3º. Ano = 45,072% x 9.051,25 = $ 4.079,58
Quota do 4º. Ano = 45,072% x 4.971,67 = $ 2.240,83
Quota do 5º. Ano = 45,072% x 2.730,84 = $ 1.230,84
Total = $ 28.500,00
46
SAIBA
MAIS
Exemplo de depreciação de um Congelador
Vida útil determinada pelo empresário = 4 anos.
Valor de aquisição = 4.800
Valor residual (valor do mesmo congelador com 4 anos de uso) = 2.400
Valor Depreciável = Valor contábil - Valor residual.
Valor Depreciável = 4.800 - 2.400 = 2.400
Taxa anual de depreciação = 25% a.a.
Depreciação no primeiro ano = 600
No segundo ano:
Valor contábil = 4.800 - 600 = 4.200
Valor residual do congelador, agora para 3 anos = 1.800 (valor deve ser avaliado ano a ano).
Valor depreciável = 4.200 - 1.800 = 2.400
Taxa de depreciação no segundo ano = 33,3333%
Depreciação no segundo ano = 800
No terceiro ano:
Valor contábil = 4.200 - 800 = 3.400
Valor residual do congelador, agora com 2 anos de uso e mais dois anos a usar = 1.000
Valor depreciável = 3.400 - 1000 = 2.400
Taxa de depreciação no terceiro ano = 50%
Depreciação no terceiro ano = 1.200
No último ano:
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Nesse caso, a depreciação mensal seria de:
No primeiro ano = R$ 13.521,60 : 12 = R$ 1.126,80
No segundo ano = R$ 7.427,15 : 12 = R$ 618,93
No terceiro ano = R$ 4.079,58 : 12 = R$ 339,97
No quarto ano = R$ 2.240,83 : 12 = R$ 186,74
No quinto ano = R$ 1.230,84 : 12 = R$ 102,57
O inconveniente desse método é a necessidade de umvalor residual para proceder 
ao cálculo da depreciação.
47
Valor contábil = 3.400 - 1.200 = 2.200
Valor residual, nesta data, é igual ao valor de mercado = 1.100
Valor Depreciável = 2.200 - 1.100 = 1.100
Taxa de depreciação no quarto ano = 100%
Depreciação no quarto ano = 1.100
Como consequência, o valor contábil estará refletindo o valor recuperável do ativo. Caso o empresário resolva 
continuar a usar o congelador, deverá ele estipular nova vida útil e o valor contábil de partida será de 1.100.
Autor (2020).
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
48
O QUE É 
AMORTIZAÇÃO3
TÓPICO
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
É a perda do valor dos bens imateriais em razão do tempo. Enquanto a depreciação 
é usada para os bens materiais (tangíveis), a amortização é usada para os bens imateriais 
(intangíveis), como benfeitorias e imóveis de terceiros, marcas e patentes, despesa de 
organizações, etc.
A amortização dos componentes do intangível sujeita-se a dois prazos:
• Um mínimo de cinco anos, para fins fiscais; 
• Um máximo de dez anos, que é aplicável a todas as pessoas jurídicas que 
possuam escrituração contábil regular.
O LANÇAMENTO SER D = AMORTIZAÇÃO E C = AMORTIZAÇÃO ACUMULADA
3.1 Quais são os métodos de amortização?
Os dois métodos mais utilizados são: Sistema de Amortização Progressivo (SAP, 
PRICE ou Sistema Francês) e Sistema de Amortização Constante (SAC).
O primeiro método, conhecido também como Price ou Francês, utiliza-se da Tabela 
Price e é um método usado em amortização de empréstimo, cuja principal característica é 
apresentar prestações (ou parcelas) iguais. O método foi apresentado em 1771 por Richard 
Price em sua obra Observações sobre Pagamentos Remissivos (em inglês: Observations 
on Reversionary Payments).
49JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, 
foi a partir da 2ª Revolução Industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para 
cálculos de amortização de empréstimo.
A Tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas 
de um empréstimo e, dessa parcela, qual é a proporção relativa aos pagamentos dos juros 
e a amortização do valor emprestado. 
Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1.000,00, com taxa de juros de 3% 
ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar 
a fórmula de juros compostos combinada com a da progressão geométrica, resultando em:
Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1.030,00, 
porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser 
$ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a 
amortização de $ 239,03 (269,03 - 30,00) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses 
seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês, o valor das parcelas relativas 
ao pagamento dos juros é decrescente.
QUADRO 1 - TABELA DE AMORTIZAÇÃO 
Fonte: o autor (2020).
50
Tabela Price no Brasil
No Brasil, a interpretação matemática da existência de juro composto na Tabela Price fica condicionada 
à fórmula anterior, que estabelece como regra geral na formação dos juros embutidos nas parcelas uma 
progressão Geométrica decrescente, ou seja, do maior para o menor. Vale ressaltar que juros compostos é 
uma unidade de medida, assim como juros contínuos ou juros simples. Em uma mesma série de pagamentos, 
podemos medir o custo financeiro por diversas unidades de medida, especialmente juros compostos e juros 
contínuos. A proibição legal no Brasil é a cobrança de juros sobre juros já cobrados do mutuário.
Apesar de amplamente utilizada em todo o mundo ocidental, a metodologia de cálculo é discutida em 
alguns países do mundo, por ser o único sistema que permite o pagamento em parcelas iguais e periódicas 
ao longo do prazo do empréstimo.
Embora a tabela Price seja também muito utilizada no Brasil pelo mercado e segmentos financeiros, 
seu uso tem sido contestado perante o judiciário, uma vez que a legislação brasileira permite o uso de juros 
compostos somente em determinadas operações que possuam previsão legal.
“A aplicação da Tabela Price aos contratos de prestações diferidas no tempo impõe excessiva onerosidade 
aos mutuários devedores do SFH, pois no sistema em que a mencionada Tabela é aplicada, os juros crescem 
em progressão geométrica, sendo que, quanto maior quantidade de parcelas a serem pagas, maior será a 
quantidade de vezes que os juros se multiplicam por si mesmos, tornando o contrato, quando não impossível 
de se adimplir, pelo menos abusivo em relação ao mutuário, que vê sua dívida se estender indefinidamente 
e o valor do imóvel exorbitar até se transfigurar inacessível e incompatível ontologicamente com os fins 
sociais do Sistema Financeiro da Habitação.” (Delgado, 2005) Porém, este é o único método que permite 
pagamentos iguais ao longo do período.
É muito conhecido o trecho do texto de Price para definir a transferência de renda pelo juro composto de 
suas tabelas:
Um centavo de libra emprestado na data de nascimento de nosso Salvador a um juro composto de cinco 
por cento teria, no presente ano de 1781, resultado em um montante maior do que o contido em DUZENTOS 
MILHÕES de Terras, todas de ouro maciço. Porém, caso ele tivesse sido emprestado a juro simples, ele 
teria, no mesmo período, totalizado não mais do que SETE XELINS E SEIS CENTAVOS. (Nogueira, 2002, 
Tabela price da Prova Documental e Precisa elucidação de seu anatocismo).
Fonte: Wikipedia (2020b). 
SAIBA
MAIS
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
51JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
3.2 Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema de Amortização Constante (SAC) é uma forma de amortização de um 
empréstimo por prestações que incluem os juros, amortizando, assim, partes iguais do 
valor total do empréstimo.
Nesse sistema, o saldo devedor é reembolsado em valores de amortização iguais. 
Dessa forma, no sistema SAC o valor das prestações é decrescente, já que os juros 
diminuem a cada prestação. O valor da amortização é calculado dividindo-se o valor do 
principal pelo número de períodos de pagamento, ou seja, de parcelas.
O SAC é um dos tipos de sistema de amortização utilizados em financiamentos 
imobiliários. A principal característica do SAC é que ele amortiza um percentual fixo do 
saldo devedor desde o início do financiamento. Esse percentual de amortização é sempre 
o mesmo, o que faz com que a parcela de amortização da dívida seja maior no início do 
financiamento, fazendo com que o saldo devedor caia mais rapidamente do que em outros 
mecanismos de amortização.
Exemplo
Um empréstimo de R$ 120.000,00 (cento e vinte mil reais) a ser pago em 12 meses 
a uma taxa de juros de 1,0% ao mês (em juros simples), aplicando a fórmula para obtenção 
do valor da amortização, iremos obter um valor igual a R$ 10.000,00. Essa fórmula é o 
valor do empréstimo solicitado dividido pelo período, sendo, nesse caso: R$ 120.000,00 / 
12 meses. Logo, a tabela SAC fica:
QUADRO 2 - SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Fonte: o autor (2020).
52
Fórmulas:
A=cte
Rk=[(n-k+1).i+1].P/n
Rk=A+Jk
A=P/n
Jk=(n-k+1).i.P/n
em que:
P: Financiamento
n: Quantidade de Prestações
i: taxa de juros
Rk: Prestação
A: Parcela da Amortização
Jk: Parcela do Juro k
Fonte: Wikipedia (2020a).
SAIBA
MAIS
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Note que o juro é sempre 1,0% do saldo devedor do mês anterior, a prestação é 
a soma da amortização e o juro. Sendo assim, o juro é decrescente e diminui sempre na 
mesma quantidade, R$ 100,00. O mesmo comportamento tem as prestações. A soma das 
prestações é de R$ 127.800,00. Gerando juros de R$ 7.800,00.
Outra coisa a se observar é que as parcelase juros diminuem em progressão 
aritmética (PA) de r = -100.
53
Caro(a) aluno(a), esta unidade trouxe os conceitos mais importantes sobre 
capitalização e desconto compostos, bem como depreciação e amortização.
São conceitos que você utilizará muito em sua vida profissional. Atualmente, muitas 
empresas de assessoria financeira e/ou contábil contratam profissionais dessa área, pois 
muitas pessoas não gostam ou não sabem trabalhar com esses temas. Pense que isso 
pode ser um diferencial muito importante na sua carreira. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
54
MATERIAL COMPLEMENTAR
• FILME/VÍDEO
• Título: JURO COMPOSTO - Vivendo a Matemática - Professora 
Angela
• Data: 16/04/2020
• Descrição do Vídeo: JURO COMPOSTO, este conteúdo sobre 
matemática financeira é muito estudado para as avaliações de 
concursos. Podemos dizer que a diferença entre Juro Simples e 
Juro Composto é que o juro simples é calculado sobre o capital 
a uma determinada taxa de juro em certo período de tempo, já 
o juro composto é calculado sobre o capital apenas no primeiro 
período; nos demais períodos é calculado sobre o montante obtido 
no período anterior. Neste vídeo, temos três exemplos que irão 
explicar essa diferença de forma simples e fácil.
• Disponível: https://www.youtube.com/watch?v=PoPgLqVZKro 
• LIVRO
• Título: Introdução À Matemática Financeira.
• Autores: Clovis de Faro; Gerson Lachtermacher; Jonathan 
Hernandes Marcantonio.
• Editora: Saraiva.
• Ano: 2012.
• Sinopse: este livro examina conceitos fundamentais da 
matemática financeira: juros (simples e compostos), regimes de 
capitalização, diversos tipos de taxas (proporcionais, equivalentes, 
efetivas, nominais, reais, aparentes, over), operações de desconto, 
equivalência financeira, anuidades (constantes e variáveis), 
amortização de débitos, correção monetária (indexação) e 
avaliação e seleção de projetos. Nos numerosos exercícios, 
muitos dos quais solucionados passo a passo, adota-se o uso da 
calculadora científica HP 12C e do Excel, aproximando o conteúdo 
à realidade do mercado. Fruto da organização conjunta de Clovis 
de Faro e Gerson Lachtermacher, autores com vasta experiência no 
assunto, trata-se de obra essencial para estudantes e profissionais 
das áreas de administração, engenharia de produção, informática, 
economia e contabilidade.
JUROS COMPOSTOS, DESCONTOS COMPOSTOS, AMORTIZAÇÃO E DEPRECIAÇÃOUNIDADE 2
Professor Me. Antonio Carlos Lázaro Sanches
ANÁLISE DE 
INVESTIMENTOS3UNIDADEUNIDADE
PLANO DE ESTUDO
56
Plano de Estudos
• Método determinístico de Análise de Investimentos; 
• Método de Valor Anual Uniforme Equivalente;
• Taxa de Atratividade (TMA);
• Método do Valor Presente Líquido (VPL);
• Método da Taxa Interna de Retorno (TIR);
• Métodos não Exatos;
• Árvore de Decisão.
Objetivos da Aprendizagem
• Conhecer qual método será utilizado para Análise de Investimento.
• Conhecer uma série uniforme equivalente a todos os custos e receitas.
• Medir a Taxa Mínima de Atratividade e analisar se o investidor está obtendo 
ganhos financeiros.
• Conhecer as Vantagens e Desvantagens do Valor Presente Líquido.
• Estudar os métodos não exatos.
• Estudar a árvore de decisão.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
57
Diversas pessoas que lidam com projetos de investimentos se deparam com 
a escolha de alternativas que envolvem estudos econômicos. E o pior, é muito comum 
vermos essas pessoas fazerem suas escolhas sem que o custo do capital empregado 
seja considerado de maneira correta. Somente um estudo econômico pode confirmar a 
viabilidade de projetos tecnicamente corretos.
Neste material, veremos parte do que os estudiosos chamam de “Engenharia 
Econômica”. Tal engenharia objetiva a análise econômica de decisões sobre investimentos 
e tem muitas aplicações, pois os investimentos poderão ser de empresas privadas, públicas 
ou mesmo investimentos pessoais.
Alguns exemplos de problemas que estudaremos são:
• Temos o dinheiro, é melhor comprar o veículo à vista ou a prazo.
• Construir uma indústria com esteira para transportar materiais ou fazer o 
transporte manualmente.
• Utilizar tubo de maior ou menor diâmetro para a construção de uma rede de 
abastecimento de águas.
INTRODUÇÃO
É importante entender que as técnicas de avaliação de investimentos são tão somente instrumentos de 
apoio à tomada de decisão. Outros fatores de decisão, como objetivos estratégicos, aspectos econômicos, 
políticos e gerenciais, são também relevantes na seleção de projetos de investimentos.
Fonte: Puccini e Puccini (2011).
SAIBA
MAIS
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
58
Sempre que formos fazer uma análise sobre investimentos, devemos considerar 
seus aspectos econômicos, ou seja, devemos nos preocupar com a rentabilidade. Aplicando 
corretamente os critérios econômicos, poderemos saber quais investimentos são rentáveis 
ou não. Ou ainda, como poderemos aplicar dinheiro de maneira a obter maior retorno?
Mas de nada adianta analisarmos a rentabilidade dos rendimentos se não possuímos 
o dinheiro para aplicar, nem termos a possibilidade de conseguir financiamentos. Os 
investimentos mais rentáveis deverão ser analisados de acordo com critérios financeiros, 
os quais mostraram os efeitos do investimento na situação financeira da empresa, ou seja, 
como o investimento poderá afetar o capital de giro da empresa.
Além do supracitado, existem fatores a serem analisados que não são conversíveis 
em dinheiro. A decisão de se implantar um projeto deve considerar três critérios relevantes:
● Econômico: rentabilidade do investimento;
● Financeiro: disponibilidade de recursos;
● Imponderáveis: fatores não conversíveis em dinheiro.
Esse último critério trata das repercussões de um investimento que não são 
diretamente conversíveis em dinheiro, por isso chamado de imponderáveis. Um exemplo: 
investir para manter o nível de emprego. Manter a satisfação do cliente, dentre outros. 
Geralmente, quem faz a análise desse último critério não somos nós, gestores do projeto, 
mas sim a alta administração da organização.
De acordo com Filho e Kopittke (2008), é conveniente ter em mente que, para se 
fazer um estudo econômico adequado, alguns princípios básicos devem ser considerados, 
como:
• Observar alternativas de investimento. De nada adianta calcular se é vantajoso 
comprar algo à vista se não há condição de conseguir dinheiro para isso.
• Expressar as alternativas sempre em dinheiro. Não há como comparar 200 
horas/mensais de mão de obra com 200 Kwh de energia. Convertendo os dados 
em dinheiro, teremos um denominador comum muito prático.
• Considerar apenas as alternativas. Por exemplo, numa análise para decidir 
sobre o tipo de motor a comprar, não é relevante saber o consumo de energia se 
for igual para os dois.
• Mensurar sempre os juros sobre o capital empregado. Sempre existe alguma 
maneira de empregar o dinheiro de modo que ele renda alguma coisa. Quando 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
59
aplicamos o dinheiro em um projeto, devemos ter certeza de que é esta a coisa 
mais rentável a se fazer.
• Não considerar o passado, pois o que interessa é o presente e o futuro. Não 
posso dizer: “este carro não pode ser vendido por menos que 30.000,00, pois eu 
gastei muito com ele em oficina”. Isto não existe. O que realmente importa é o 
valor de mercado do carro.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
60
O método determinístico é um modelo matemático que resulta em um conjunto de saídas, com base no 
conjunto de entradas iniciais conhecidas.
Fonte: Render et al. (2017).
REFLITA
MÉTODO DETERMINÍSTICO DE 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS1
TÓPICO
Para que o método de análise de um projeto seja definido, temos antes que definir 
qual é o objetivo da empresa que está elaborando e analisando o projeto.
Não faz muito tempo, as empresas apenas pensavam no lucro ao final do ano ao 
fazerem um projeto. Porém, os objetivos das empresas mudaram,assim como mudaram 
também os modelos de gestão com o passar dos tempos.
Para uma análise sob esse enfoque, é necessário utilizarmos o conceito de “custo de 
recuperação do capital”. De acordo com Filho e Kopittke (2008), antigamente as empresas 
normalmente utilizavam a contabilidade de custos conjugada à contabilidade financeira. 
Com isso, todo investimento feito era amortizado em determinada quantidade de anos, sob 
a forma de depreciação. A recuperação do capital era lançada a uma taxa zero.
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
61ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
Pelo conceito de equivalência, deve haver uma taxa tal que torne equivalente 
o investimento feito e sua recuperação. E é esta taxa que determina o custo do capital 
investido a ser lançado como despesa. Por isso, é interessante que a empresa separe as 
contabilidades!
Utilizamos três1 métodos de análises de investimentos que se ajustam a tais 
conceitos:
1. Método do Valor Anual Uniforme Equivalente (VAUE): consiste em achar uma 
série uniforme equivalente a todos os custos e receitas para cada alternativa. A alternativa 
que tiver o maior saldo positivo é a melhor.
2. Método do Valor Presente Líquido (VPL): calcula o valor presente equivalente 
das saídas de fluxo de caixa de cada alternativa, somando-o ao investimento inicial. A opção 
que apresentar o Valor Presente Líquido Total mais positivo é a melhor. A taxa utilizada para 
descontar o fluxo de caixa é a TMA2.
3. Método da Taxa Interna de Retorno (TIR): taxa para qual a saída do fluxo de 
caixa proveniente de um investimento é equivalente ao valor inicial investido, ou seja, é a 
taxa que zera os ganhos do investidor. Esse método calcula a TIR de todas as alternativas 
para compará-las com a TMA definida. Os investimentos com TIR maior que a TMA são 
consideráveis rentáveis. 
Esses métodos são equivalentes e, se bem aplicados, conduzem ao mesmo 
resultado. Porém, cada um se adapta melhor a um determinado tipo de problema. Veremos 
cada um deles brevemente.
1 O nosso objetivo não é aprofundar nos métodos, pois você terá esses conteúdos 
aprofundados em seu curso mais adiante, em outras disciplinas.
2 Taxa Mínima de Atratividade é a taxa a partir da qual o investidor considera que 
está obtendo ganhos financeiros. É uma taxa associada a um baixo risco, ou seja, qualquer 
sobra de caixa pode ser aplicada, na pior das hipóteses, na TMA. Geralmente é utilizada a 
SELIC (taxa básica de juros da economia), a TJLP (Taxa de Juros de Longo Prazo) e/ou a 
TR (Taxa Referencial).
62
Como já mencionado, o VALUE consiste em achar uma série uniforme equivalente a 
todos os custos e receitas para cada alternativa. A alternativa que tiver o maior saldo positivo 
é a melhor. Porém os mais utilizados são a TIR e o VPL. Como custo de oportunidade, 
temos o conceito de TMA que veremos adiante.
MÉTODO DE VALOR ANUAL 
UNIFORME EQUIVALENTE 
(VALUE)2
TÓPICO
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
63
A TAXA DE ATRATIVIDADE 
(TMA)3
TÓPICO
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
Como já mencionado, ao considerarmos uma proposta de investimentos, devemos 
levar em conta que estamos perdendo a oportunidade de aplicar esses recursos em outras 
coisas. Por exemplo, se eu investir $ 100 mil na compra de um equipamento, eu posso 
ter que deixar de investir esse dinheiro em ações ou na própria poupança, e ainda quem 
sabe num outro projeto. Porém, como as oportunidades são várias, nós devemos levar em 
consideração algumas opções de fácil acesso e um tanto quanto seguras.
No Brasil, para pessoas físicas, é comum a TMA ser igual à rentabilidade da 
poupança. Para pessoas jurídicas, a determinação da TMA é mais complexa e depende do 
prazo do investimento ou da importância estratégica das alternativas.
Agora, quando vamos fazer comparações de curto prazo, como comprar uma 
componente da produção hoje com desconto ou daqui a dez dias sem desconto, utilizamos 
a remuneração dos títulos bancários de curto prazo, como os CDBs.
64
MÉTODO DO VALOR 
PRESENTE LÍQUIDO (VPL)4
TÓPICO
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
De acordo com Groppelli e Nikbakht (2006), existem vantagens e desvantagens 
neste método.
O método do valor presente líquido tem três vantagens importantes. Primeira, 
ele usa os fluxos de caixa em lugar dos lucros líquidos. Fluxos de caixa (lucros líquidos 
+ depreciação) incluem a depreciação como uma fonte de fundos. Isso funciona porque 
a depreciação não é um desembolso de caixa no ano em que o ativo é depreciado. Ao 
contrário da contabilidade, no campo das finanças considera-se o fluxo de caixa em lugar 
dos lucros líquidos. Portanto, a abordagem do VPL, ao contrário do método da taxa média 
de retorno, é consistente com a moderna teoria financeira.
Segunda, o método do VPL, ao contrário dos métodos da taxa média de retorno 
e do período de amortização (payback), reconhece o valor do dinheiro no tempo. Quanto 
maior o tempo, maior o desconto. Ou, simplificando, se os fluxos de caixa de um projeto, 
com risco médio, são descontados a 10%, um outro projeto com um maior grau de risco 
deve ser descontado a uma taxa superior à de 10%. Portanto, o valor do dinheiro no tempo 
para um projeto está refletido na taxa de desconto que deve ser selecionada com cuidado 
pelo analista financeiro. Geralmente, a taxa de desconto tende a se elevar caso a oferta 
monetária esteja escassa e haja expectativa de elevação da taxa de juros.
 Terceira, aceitando somente projetos com VPL positivos, a companhia também 
aumentará o seu valor. Um aumento no valor da companhia, na realidade, é um aumento no 
preço das ações ou na riqueza dos acionistas. O método do VPL do orçamento de capital 
deve, portanto, no final das contas, acarretar maior riqueza aos acionistas. Já que o objetivo 
65ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
da moderna administração financeira é aumentar, continuamente, a riqueza dos acionistas, 
o método do VPL deve ser visto como a técnica mais moderna de orçamento de capital. 
Existem, entretanto, algumas limitações à abordagem do VPL. O método supõe 
que a administração seja capaz de fazer previsões detalhadas dos fluxos de caixa dos anos 
futuros. Na realidade, entretanto, quanto maior o período, mais difícil a estimativa dos fluxos 
de caixa futuros. Os fluxos de caixa futuros são influenciados pelas vendas futuras, pelos 
custos da mão-de-obra, dos materiais e dos custos indiretos de fabricação, pelas taxas de 
juros, pelos gostos dos consumidores, pelas políticas governamentais, pelas mudanças 
demográficas, etc. 
A superestimação ou subestimação dos fluxos de caixa futuros podem levar à 
aceitação de um projeto que deveria ser rejeitado, ou à rejeição de um projeto que deveria 
ser aceito. Além do mais, o método do VPL supõe que a taxa de desconto seja a mesma 
durante todo o projeto. No exemplo precedente, você descontou os fluxos de caixa a 10% 
durante quatro anos, porém uma taxa de desconto de 10% pode não ser realista. A taxa 
de desconto de um projeto, tal como a taxa de juros, na realidade, muda de um ano para o 
outro.
A taxa de desconto pode ser afetada por oportunidades de reinvestimento de fluxos 
de caixa futuros, pelas taxas de juros futuras e pelos custos de levantamento de novos 
capitais. O problema pode ser resolvido pela previsão das taxas de juros futuras e, então, 
pelo desconto do fluxo de caixa de cada ano futuro pela taxa de desconto prevista. Embora 
essa seja uma sugestão inteligente, você há de concordar que a predição de uma taxa de 
juros para os próximos cinco ou dez anos é tão incerta quanto os resultados de se lançar 
uma moeda cinco ou dez vezes! Contudo, não obstante tais limitações, o método do VPL é 
ainda o melhor método de orçamento de capital.
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MÉTODO DA TAXA INTERNA 
DE RETORNO (TIR)5
TÓPICO
ANÁLISE DE INVESTIMENTOSUNIDADE 3
De acordo com Groppelli e Nikbakht (2006), existem vantagens e desvantagens 
nesse método, veja a seguir.
5.1 Vantagens e Desvantagens