Estática-1

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Aula	
  do	
  Curso	
  Noic	
  de	
  Física,	
  feito	
  pela	
  parceria	
  do	
  Noic	
  com	
  o	
  Além	
  do	
  Horizonte
	
   	
   	
  
Essa	
  aula	
  será	
  sobre	
  estática	
  e	
  	
  equilíbrio	
  rotacional:	
  
Dado	
  um	
  corpo,	
  observe	
  que	
  esse	
  é	
  dito	
  em	
  equilíbrio	
  translacional,	
  quando	
  a	
  soma	
  vetorial	
  
das	
  forças	
  aplicadas	
  sobre	
  ele	
  é	
  nula.	
  Isto	
  garante,	
  pela	
  segunda	
  lei	
  de	
  Newton,	
  que	
  o	
  objeto,	
  
ou	
  melhor,	
   seu	
   centro	
   de	
  massa	
   não	
   saia	
   do	
   lugar.	
   O	
  mesmo	
   não	
   pode	
   ser	
   dito	
   das	
   partes	
  
integrantes	
  do	
  corpo,	
  nesse	
  caso	
  dito	
  extenso.	
  Esse	
  pode	
  rotacionar.	
  Veja:	
  
Observe	
  que	
  a	
  força	
  resultante	
  no	
  objeto	
  é	
  nula.	
  Seu	
  
centro	
  fica	
  estático,	
  mas	
  ele	
  rotaciona.	
  Aqui	
  se	
  define	
  
uma	
  grandeza	
  chamada	
  torque,	
  ou	
  momento	
  de	
  uma	
  
força.	
  Seu	
  módulo	
  vale:	
  
       M! =   F . 𝑥. 𝑠𝑒𝑛𝜃	
  
Onde	
   F	
   é	
   a	
   força,	
   x	
   é	
   a	
   distância	
   do	
   ponto	
   de	
  
aplicação	
  da	
  força	
  ao	
  centro	
  de	
  rotação	
  analisado	
  e	
  𝜃	
  
é	
  o	
  ângulo	
  entre	
  esses	
  dois	
  vetores.	
  
No	
   geral,	
   os	
   trabalhos	
   de	
   torque	
   estudam	
  quando	
   a	
  
soma	
  desses	
  é	
  nulo,	
  o	
  que	
  garante	
  o	
  equilíbrio	
   rotacional.	
   Isso	
  é	
  meio	
   intuitivo:	
  A	
   soma	
  dos	
  
produtos	
  de	
  todas	
  as	
  forças	
  pelas	
  distâncias	
  ao	
  ponto	
  de	
  rotação	
  estudado	
  sendo	
  nula	
  implica	
  
que	
  esse	
  não	
  rotaciona.	
  Veja	
  o	
  exemplo:	
  
1)Em	
  uma	
  gangorra	
  improvisada,	
  duas	
  crianças,	
  uma	
  de	
  massa	
  70	
  kg	
  e	
  outra	
  de	
  massa	
  50	
  kg,	
  
conseguem	
  se	
  equilibrar	
  perfeitamente,	
  uma	
  em	
  cada	
  braço	
  da	
  gangorra,	
  podendo	
  ser	
  posta	
  
sobre	
  o	
  ponto	
  de	
  rotação	
  onde	
  se	
  quiser.	
  Dada	
  a	
  gangorra	
  de	
  12	
  metros	
   totais,	
  prove	
  que	
  a	
  
distribuição	
  dos	
  braços	
  deve	
  ser	
  5m	
  e	
  7m.	
  	
  
Resposta:	
  
Adotando	
   o	
   sentido	
   horário	
   como	
   positivo	
   (forças	
   empurrando	
   o	
   objeto	
   para	
   rotacionarem	
  
nesse	
  sentido	
  angular),	
  basta	
  fazer	
  que(observe	
  g	
  não	
  é	
  relevante	
  para	
  o	
  problema,	
  lembrando	
  
ainda	
  que	
  o	
  dito	
  braço	
  da	
  força	
  da	
  normal	
  é	
  nulo	
  para	
  o	
  ponto	
  de	
  rotação	
  analisado):	
  
	
  
	
  
+(50.g).7	
  -­‐	
  (70.g).5	
  +	
  N.0	
  =	
  350g	
  -­‐	
  350g	
  =	
  0	
  
	
  
Aula	
  do	
  Curso	
  Noic	
  de	
  Física,	
  feito	
  pela	
  parceria	
  do	
  Noic	
  com	
  o	
  Além	
  do	
  Horizonte
	
   	
   	
  
Observe	
   que,	
   dado	
   torque	
   nulo,	
   o	
   equilíbrio	
   rotacional	
   é	
   garantido.	
   Um	
   caso	
   mais	
   fácil	
   de	
  
visualizar	
   é	
   quando	
   um	
   dos	
   corpos	
   das	
   extremidades	
   pesa	
   o	
   dobro	
   do	
   outro	
   na	
   outro	
  
extremidade.	
   Tente	
   entender	
   que	
   haverá	
   equilíbrio	
   rotacional	
   somente	
   se	
   o	
   mais	
   pesado	
  
estiver	
  a	
  uma	
  distância	
  igual	
  a	
  metade	
  do	
  mais	
  leve.	
  
Aqui,	
  é	
   importante	
  analisar	
  o	
   seguinte	
   fato:	
   Já	
  que	
  o	
  objeto,	
  em	
  suma,	
  não	
   rotaciona,	
   como	
  
fica	
  a	
  escolha	
  do	
  seu	
  ponto	
  de	
  rotação	
  para	
  analisar	
  o	
  torque?	
  
A	
   teoria	
   nos	
  mostra	
   que,	
   no	
   equilíbrio,	
   qualquer	
   ponto	
   do	
   espaço	
   pode	
   ser	
   tomado	
   para	
   a	
  
análise	
  do	
  torque,	
  este	
  sempre	
  resultando	
  nulo.	
  
No	
  caso	
  acima,	
  sabe-­‐se	
  que	
  a	
  normal	
  no	
  ponto	
  de	
  apoio	
  é	
  N	
  =	
  50g	
  +	
  70g	
  =	
  120g,	
  por	
  equilíbrio	
  
translacional	
  vertical	
  (não	
  há	
  movimento	
  nessa	
  direção,	
  e	
  no	
  caso,	
  nem	
  mesmo	
  na	
  horizontal).	
  
Fazendo	
   o	
   torque	
   com	
   relação	
   ao	
   ponto	
   de	
   aplicação	
   da	
   força	
   peso	
   70	
   g,	
   sentido	
   horário	
  
positivo:	
  
+(70.g).0	
  -­‐	
  (120g).5	
  +	
  (50g).12	
  =	
  -­‐600g	
  +	
  600g	
  =	
  0	
  
2)Uma	
   gangorra	
   consistia	
   em	
   uma	
   tábua	
   homogênea	
   de	
   madeira	
   de	
   massa	
   M=40	
   kg	
   e	
  
comprimento	
  L=4	
  m,	
  fixada	
  pelo	
  meio	
  em	
  um	
  eixo	
  horizontal	
  em	
  torno	
  do	
  qual	
  podia	
  mover-­‐se	
  
livremente.	
  A	
  tábua	
  quebrou-­‐se	
  e	
  perdeu-­‐se	
  um	
  pedaço	
  de	
  um	
  metro	
  de	
  comprimento	
  de	
  uma	
  
de	
   suas	
   extremidades.	
   O	
   marceneiro	
   chamado	
   para	
   conserta-­‐la	
   dispõe	
   de	
   uma	
   tábua	
   do	
  
mesmo	
  tipo,	
  mas	
  com	
  apenas	
  dois	
  metros	
  de	
  comprimento.	
  Ele	
  pretende	
  pregá-­‐la,	
  sem	
  serrá-­‐
la,	
  com	
  pregos	
  de	
  massa	
  desprezível	
   sobre	
  a	
   tábua	
  quebrada,	
  ao	
   longo	
  da	
  mesma,	
  de	
  modo	
  
que	
  a	
  gangorra	
  consertada	
  possa	
  ficar	
  em	
  equilíbrio	
  na	
  horizontal.	
  O	
  marceneiro	
  não	
  pretende	
  
serrar	
   a	
   tábua	
   quebrada,	
   nem	
   tirá-­‐la	
   de	
   sua	
   posição.	
   Qual	
   comprimento	
   da	
   gangorra	
   assim	
  
consertada?	
  
(a)	
  3,00	
  m	
  	
  
(b)	
  3,50	
  m	
  
(c)	
  3,75	
  m	
  
(d)	
  4,00	
  m	
  
(e)	
  4,25	
  m	
  
	
  
Resposta:	
  	
  
Sabe-­‐se	
  que	
  o	
  peso	
  de	
  uma	
  barra	
  reta	
  e	
  homogênea	
  é	
  equivalente	
  a	
  uma	
  aplicação	
  desse	
  no	
  
seu	
  centro	
  geométrico.	
  Utilizando	
  esse	
  fato,	
  pode-­‐se	
  escrever:	
  
	
  
	
  
Situação	
  no	
  início,	
  antes	
  de	
  
quebrar	
  a	
  tábua	
  
	
  
	
  
Aula	
  do	
  Curso	
  Noic	
  de	
  Física,	
  feito	
  pela	
  parceria	
  do	
  Noic	
  com	
  o	
  Além	
  do	
  Horizonte
	
   	
   	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Situação	
  após	
  a	
  quebra	
  da	
  tábua	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Análise	
  da	
  situação	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
Observe	
  que	
  o	
  centro	
  do	
  pedaço	
  colado,	
  sendo	
  essa	
  de	
  dois	
  metros	
  (não	
  mostrado	
  na	
  figura),	
  
é	
  o	
  analisado	
  para	
  o	
  centro	
  de	
  rotação	
  estudado,	
  no	
  caso	
  C.	
  
Pondo	
   2P	
   o	
   peso	
   de	
   um	
   pedaço	
   de	
   dois	
  metros,	
   sendo	
   assim,	
   para	
   um	
  metro,	
   sem	
   vírgula	
  
apenas	
  P,	
  e	
  considerando	
  o	
  sentido	
  horário	
  como	
  positivo	
  horário	
  (P	
  cancela):	
  	
  
+2P.1	
  -­‐	
  P.0.5	
  –	
  2P.x	
  =0	
  
x	
  =	
  1	
  –	
  0,25	
  =	
  0.75	
  m	
  
Logo,	
  o	
  novo	
  comprimento,	
  igual	
  a	
  1	
  +	
  x	
  +	
  2,	
  analisando	
  os	
  pedaços	
  desde	
  a	
  esquerda:	
  
D	
  =	
  1	
  +	
  0,75	
  +	
  2	
  
D	
  =	
  3,75	
  m,	
  item	
  C	
  
	
  
Aula	
  do	
  Curso	
  Noic	
  de	
  Física,	
  feito	
  pela	
  parceria	
  do	
  Noic	
  com	
  o	
  Além	
  do	
  Horizonte
	
   	
   	
  
Utilizando	
  as	
  equações	
  de	
  equilíbrio	
  translacional	
  e	
  rotacional,	
  a	
  maior	
  parte	
  dos	
  problemas	
  de	
  
estática	
  podem	
  ser	
  resolvidos.	
  Uma	
  teoria	
  complementar	
  é	
  a	
  do	
  teorema	
  das	
  três	
  forças,	
  que	
  
afirma:	
   Dado	
   três	
   forças	
   agindo	
   sobre	
   um	
   corpo	
   em	
   equilíbrio	
   (implicitamente,	
   rotacional	
   e	
  
translacional),	
   essas	
   devem	
   ter	
   suas	
   linhas	
   de	
   ação	
   concorrendo	
   em	
  um	
  mesmo	
  ponto.	
   Isso	
  
vem	
   porque,	
   escolhendo	
   esse	
   ponto	
   como	
   o	
   ponto	
   de	
   rotação,	
   caso	
   apenas	
   duas	
   forças	
   aliconcorressem,	
   a	
   terceira	
   geraria	
   um	
   torque	
   não	
   nulo,	
   impedindo	
   a	
   existência	
   do	
   equilíbrio,	
  
absurdo.	
  Esse	
  teorema	
  é	
  muito	
  usado	
  em	
  questões	
  de	
  escadas.	
  
	
  
Exemplo:	
  
Dada	
   uma	
   escada	
   sem	
   atrito	
   na	
   parede	
  
(vertical),	
   possuindo	
   apenas	
   três	
   forças	
  
sobre	
  ela	
  aplicadas	
  responda:	
  
Qual	
   é	
   a	
   terceira	
   força	
   e	
   como	
   deve	
   ser	
   a	
  
direção	
  e	
  o	
  sentido	
  de	
  seu	
  vetor.	
  Desenhe:	
  
	
  
	
  
	
  
Resposta:	
  
Pelo	
  teorema	
  das	
  três	
  forças,	
  obtém-­‐se	
  que	
  a	
  
força	
  do	
  solo	
  (incluindo	
  a	
  normal	
  e	
  a	
  força	
  de	
  
atrito)	
  terá	
  a	
  direção	
  e	
  o	
  sentido	
  em	
  
vermelho.