manual-de-hidraulica-azevedo-neto-8-ediao-2

Prévia do material em texto

Miguel Fefn~ndez J Feynandez · . 
~obeft~ de.~auJo .... 
.. Ac~qo ~gJ Ito · . 
,: ~ .•, ~ . , 
MANUAL 
DE 
HIDRÁULICA 
... .... ------ - - - - - - ---------------------,------- ----
Esta 8~ edição do Manual de Hidráulica tem o patrocínio do Centro Estadual de Educação 
Tecnológica "Paula_S?uz~" - CEETEPS e da Faculdade de Tecnologia de São Paulo -FATEC, 
SP, através da partiopaçao de seus docentes co-autores e ainda a colaboração inestimável 
dos seguintes professores do Departamento de Hidráulica: 
Dirceu P'.Alkmin Telles 
José Tarcfsio Ribeiro 
Ariovaldo Nuvolari 
Wladimir Firsoff 
Edm.UIJdO Pu1z 
Joaquim Gabriel M. de Oliveira Neto 
com críticas e sugestões, até elaboração de textos, tabelas e gráficos. 
"Se tens de lidar com água, consulta. 
primeiro a experiência, e depois a razão." 
Leonardo da Vinci 
(1452 - 1519) 
''A. Hidráulica é a ciência das 
constantes variáveis. n 
Desconhecido 
"Mais fácil me foi encontrar as leis com que 
se movem os corpos celestes, que estão a 
milhões de quilômetros, do que definir as 
leis do movimento da água, 
que escoa frente aos meus olhos." 
Galileu Galilei 
(1564-1642) 
CAESB 
BIBLIOTECA 
SEÇÃO DE IMFORMAÇÃO E DOCUt•1E!'iTAÇÃO 
PROF. DR. JOSÉ MARTINIANO D_E AZEVEDO NETIO 
(1918 - 1991) 
"MESTRE DE TODOS NÓS" 
Engenheiro Civil, formado pela Escola Politécnica 
da Universidade de São Paulo em 1942 
MANUAL 
DE 
r 
HIDRAULICA 
COORDENAÇÃO: 
ROBERTO DE ARAUJO 
Co-autores 
MIGUEL FERNANDEZ Y FERNANDEZ 
Engenheiro Civil, formado pela Escola de Engenharia da Universidade Federal 
do Rio de Janeiro em 1970. Consultor em Engenharia Hidráulica e Saneamento 
ROBERTO DE ARAUJO 
Engenheiro Civil, formado pela Escola de Engenharia da Universidade Mackenzie em 
1956. Mestre em Engenharia Hidráulica pela Escola Politécnica da USP (1982) 
ACÁCIO EIJI rro 
Engenheiro Civil, formado pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo em 1967. 
Mestre em Enge aria Hidráuli pela Esc9.la ~olitécnica da USP (1983) 
, • ~ I 
EDITORA EDGARD BLÜCHER LTDA 
AC 
G~6 
CAESB 
io OE mF?RMA.ÇÀO E DOCUMENTAÇÃO 
~ERO: i/~.,'& 
A: 30 !d o ,i.oo_~ 
-· - r-, -
© 1998 Azevedo Netto 
Miguel Fernandez y Fernandez 
Robeno de Araujo 
Acácio Eiji Ito 
8« edição -1998 
1" reimpressão - 2000 
É proibida a reprodução total. ou parcial 
por quaisf[lJer meios 
sem autorização escrita da ediJora 
EDITORA EDGARD BLÜCHER LTDA. 
Rua Pedroso Alvarenga, 1245 - cj. 22 
04531-012 - S. Paulo - SP- Brasil 
e-mail: eblucher@internetcom.com.br 
Impresso no Brasil Prinicd in Bra:dl 
~ 
APRESENTAÇAO DA 8~ EDIÇAO 
Em razão de conversas anteriores a respeito do Manual de Hidráulica, então em sua 6:' edição, 
em 1987 o Prof.Azevedo Netto contactou no Rio de Janeiro por telefone o Eng? Miguel Fernandez 
y Fernandez e convidou-o a conduzir uma nova edição do Manual. A razão dessa escolha nunca 
foi explicada e o prof. Azevedo limitou-se a afirmar que era sua decisão. 
Nos contactos posteriores, o professor explicou que era seu desejo a continuidade das edições, 
sempre atualizadas, através de co-autores que no futuro _escolheriam outros parceiros. Nessas 
reuniões foram determinadas as diretrizes da atualização, importando principalmente a não 
descaracterização do livro, de modo a manter a identidade com as edições anteriores. 
Esse trabalho sob a orientação do professor prosseguiu até 1990, freqüentemente 
interrompido pelas atividades profissionais de ambos, mesmo sob a pressão perseverante do 
editor, e resultou na cristalização das linhas principais da revisão. Em junho de 1991, o prof. 
Azevedo Netto faleceu, interrompendo essa parceria. 
Por iniciativa do editor eng? Edgard Blücher, nova parceria foi tentada com o eng? Guilhermo 
A. Alvarez, co-autor das 6~ e 7': edições, esta em 1991, novamente interrompida com o falecimento 
deste em 1995. 
Por outro lado, desde 1990 os professores do Departamento de Hidráulica da Faculdade de 
Tecnologia de São Paulo (FATEC-SP), do Centro Estadual de Educação Tecnológica "Paula Souza" 
(CEETEPS), vem se empenhando na modernização de seu Curso Superior de Tecnologia da 
Construção Civil - Modalidade Obras Hidráulicas, ministrado desde 1970, para transformá-lo 
em Curso Superior de Tecnologia em Hidráulica e Saneamento. O livro-texto adotado desde o 
início é o Manual de Hidráulica do prof? Azevedo Netto, que deverá permanecer após a 
implantação do novo curso. Para isso seria necessária uma revisão completa do texto, com a 
atualização dos meios e dos'procedimentos recomendados. Os equipamentos eletrônicos ora 
disponíveis dispensam a utilização de ábacos e reduzem o uso de tabelas e gráficos, ainda 
importantes meios! 
Foi proposto e aceito pelo CEETEPS um projeto acadêmico para tal objetivo e o grupo 
constituído ficou sob a coordenação do prof. eng? Roberto de Araujo. Estabelecido o contacto 
com o eng? Edgard Blücher, editor do livro, no final de 1995, este acolheu a colaboração oferecida 
e convocou o eng? Miguel Fernandez , então depositário dos desejos e planos do autor principal 
em relação ao futuro do Manual, para discussão do assunto. · 
Em reunião de março de 1996, o eng? Miguel transmitiu à nova parceria as diretrizes 
estabelecidas e entregou os rascunhos dos capítulos já trabalhados por ele; na ocasião, capítulos 
1? ao 7? e 9?. Posteriormente enviou os capítulos 8?, 10? e 13?. Os capítulos 11? e 12? foram mantidos 
tal como na '?. edição, por absoluta falta de tempo. 
Os capítulos 14? a 20? bem como os anexos I, II e III foram trabalhados pela equipe do 
Departamento de Hidráulica da FATEC-SP, que também se incumbiu da revisão geral de todos os 
capítulos. 
Neste início de 1998 a tarefa foi considerada concluída e os textos entregues ao editor. 
Constatou-se no entanto, que ao final dessa etapa, não foi atingido o sentimento da revisão estar 
completa. 
Alguns assuntos resultaram satisfatórios, outros nem tanto. Espera-se que em nova 
oportunidade uma satisfação completa possa ser atingida. Alguns poucos assuntos tratados em 
edições anteriores ficaram fora desta. Também se espera voltar a eles. 
Para manter este livro útil e atual solicita-se aos usuários e leitores atentos que enviem ao 
editor suas críticas, comentários e correções. 
Falta apenas registrar que o empenho e a pertinácia do en~ Edgard Blücher foram 
fundamentai~ para este trabalho. 
For.mação e queda de uma gota de água (Cortesia do Departamento de Hidráulica e Saneamento, Escola de Ez,.genh,aria de São Carlos, USP) 
, 
PREFACIO 
Raros são os livros técnicos que chegam à 8~ edição. 
O "Manual de Hidráulica~ do Prof. Dr. José Martiniano de Azevedo Netto atinge esse sucesso; 
por durante mais de 40 anos vem sendo consultado por seguidas gerações de técnicos para a 
elaboração de projetos de obras hidráulicas e sanitárias. 
Hoje é um livro que consta no curriculum de várias escolas de Tecnologia e Engenharia e 
representa papel importante na resolução de problemas relacionados aos Recursos Hídricos e ao 
Meio Ambiente . 
.{l.ssim como em edições anteriores, esta também introduz atualizações importantes, 
destacando-se os instrumentos de informática, agora ao alcance dos profissionais e alunos da 
área. 
Com o objetivo de adaptar-se às novas tendências, os assuntos foram reagrupados em número 
menor de capítulos, mas sem perder a profundidade, a abrangência e a didática. 
Ao mesmo tempo, foram agregados novos assuntos, como p.ex.: Instalações Prediais de Esgoto 
Sanitário, Instalações Prediais de Água Pluvial; Irrigação - Princípios, Métodos e 
Dimensionamento:- · 
Pela primeira vez, nosso querido mestre Azevedo Netto (1918-1991) não está presente 
fisicamente em uma atualização e publicação de sua obra. Apesar de ter nos deixado tão cedo, 
acredito que aprova e abençoa o resultado obtido por nossos colegas na continuidade de seu 
trabalho: 
Prof. Roberto de Araujo; coordenador 
Eng? Miguel Fernandez y Fernandez 
Prof. Acácio !to 
Com a colaboração dos professores: 
Prof. Dr. Dirceu D'Alkmin. Telles 
Prof. José Tarcísio0,898 0,886 0,899 0,936 0,990 - -
1,5 0,965 0,923 0,894 0,889 0,911 0,958 - - -
b) p=O,istoé,h=O. 
/3 
✓-a2 +a+l 
1 
Dessa relação, resulta a Tab. 2.2. 
TabelaZ.Z 
a 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
13 1,000 0,958 0,929 0,909 0,898 0,894 0,898 0,909 0,929 0,958 1.000 
c) p = 1, isto é, h = H 
13 = l e b = B'(seção retangular). 
Observando os diversos casos para cálculo de 13, pode-se concluir que, 
considerando 13"' l, o erro introduzido é pequeno e o cálculo de B' (mínimo) 
é feito a favõt_da segurança. Daí a fórmula para o cálculo da largura da base 
de pequenos muros (sejam quaisquer as formas das seções) resultar 
B'=H Ir_ v? 
Observaçiío. Cooperou com os cálculos desse item o aluno das•. Série Civil - opção Hidráulica 
e Saneamento, da Escola de Engenharia de São Carlos da USP - Vlademir C. Villela. 
37 
1 
!. 
l1 
f. ,· 
:1 
[; 
\\ 
I'. 
:\ 
:,t 
~ 
.t ,, 
li 
38 HIDROSTÁT I CA. PRES SÔ ES E EM PUXOS 
Exercício 2.9 - Um segmento parab61ico ACD de base 2b e de altura a está imerso em água, em posição vertical , coincidindo a sua base com a superfície 
SS' do líquido. Determinar o empuxo e o centro de pressão. 
BD l.AC; 
AC=2b; 
BD=a. 
Considere-se uma faixa de espessura 
elementar dx, comprimento LN e 
área dA. Fazendo DM = x, LN estará a 
uma profundidade a - x 
dA = (LN) dx. 
De acordo com uma das proprie­
dades da parábola, 
-2 -2 
LN
2 
= DM :.LN2 = AC DM = 4b
2
x 
AC DB DB a 
s 
Figw:a.2.24 
LN=
2
~, 
a 
dA 
2b✓x .., __ 
=--,--UÃ, 
-.Ja 
f [
2b r 8 F=r hdA, F=r ~a-x)'vxdx=-rba2
, 
o ✓a 15 
O centro de pressão encontra-se a uma profundidade Yp· 
Yp =rf,ª~(a-x)2✓xdx= 32rba3, 
0 -.;a 105 
Como 
2.8 - EMPUXO SOBRE SUPERFÍCIES CURVAS 
Nos casos práticos de Engenharia, quando se estuda o empuxo exercido sobre . superfícies curvas, freqüentemente é mais conveniente considerarem-se as componentes horizontais e verticais das forças. Consideremos, por exemplo, o caso da barragem, indicada na Fig. 2.25. Geralmente, a equação da curva do paramento interno é desconhecida, pois se adota um perfil prático. 
Nessas condições, é preferível considerarem-se as componentes F e w do empuxo (igual e de sentido contrário a R). Para isso, basta considerar o volume de líquido abc. O peso W, aplicado no centro de gravidade de abc, pode ser facilmente determinado. 
O empuxo F , que age sobre 
ab, pode ser calculado pela 
expressão 
F "" riiA. 
A combinação dessas duas 
forças (F e W) pode ser obtida 
pelos princípios da Mecânica. 
Figw:aZ.25 
· b 
F 
E M PUXO SOBRE S U PERF I C I E S C U R VA S 
Exercício 2.11 - Uma barragem com 4 m de altura e 10 m de extensão apresenta um perfil parabólico a montante. Calcular a resultante da ação 
das águas. 
Px =rhA = 1 000x2x4x10 =80 000kgf; 
2 
Py = 3,..c1_o_o_o_x_4_x_10_x_1_,so) "" 40 OOOkgf; 
R = ✓40 0002 + 80 0002 = 89 400kgf; 
Figura 2.27 - Pe!f,j.],de 
uma grande biii:ra:g?m 
mostrando a composição 
d:l.S forÇ3S. As di.mensêes 
estão iJldica.das em m 
2 
Yp =34,00=2,67m; 
5- 5 x0 = 8nc = 8x1,50 = 0,94m; 
Yo = 0,4x4= 1,60m. 
, R , 
:-- - - - - - - 198,00-: - - - - - ---'. 
39 
J 
' 1 
:! 
' .J 
40 HIDROSTÁTICA. PRESSÕES E EMPUXOS 
Fi.gu:ra 2.28 - Vista geral da UsiD.a de Jupiá, 
Complexo de Urubupungá, rio Paraná. 
Potênda 1 400 000 kW (Cortesia das 
Centrais Elétricas de São Paulo) 
Fi.gu:ra 2.29- Vista geral da Usina 
Xava.ntes, rio Para.n.ap_o.nema.. 
Potência 400 000 kW (Cortesia das 
Centrois Elétricas de São Paulo) 
2 3 
1 - B0ULDER, Colorado River, Arizona - Nevada 
2 - GRANO C0ULEE, Columbia River - Washington 
3 - 0WYHEE, 0wyhee River, 0regon - ldaho 
4 - ARROWR0CK, Boise River-ldaho 
5 - SH0SH0NE, Shoshone River-Wyoming 
6 - PARKER, Colorado River, Arizona- Califomia 
7 - ELEPHANT BUTTE, Rio Grande, New Mexico 
8 • H0RSE MESA, Salt River, Arizona 
9 - ROOSEVELT, Salt River, Arizona 
1 O· PATHFINDER, North Platte, River WY 
Figura 2.30 - Perfis de dez grandes barragens norte-americanas, com alturas em m (algumas 
s!io do tipo de arco) 
, 
EQUILIBRIO DOS CORPOS 
FLUTUANTES 
MUm corpo imerso em um fluido sofre uma força de baixo para cima, denominada 
empuxo, igual ao peso do volume do fluido deslocado". Quando o "empuxo" é maior 
que o peso do corpo, este flutua.Arquimedes (287 a.C.) 
3.1 - CORPOS FLUTUANTES. CARENA 
41 
Corpos flutuantes são aqueles cujos pesos são inferiores aos pesos dos volumes 
de líquido que eles podem deslocar. Pelo teorema de Arquimedes, eles sofrem um 
impulso igual e de sentido contrário ao peso do líquido deslocado, permanecendo 
· na superfície líquida. 
Em outras palavras; para que um corpo flutue, sua densidade aparente média 
deve ser menor que a do líquido: o peso total do corpo iguala-se ao volume submerso 
multiplicado pelo peso específico do líquido. 
Chama-se carena ou querena. à porção imersa do flutuante. 
O centro de gravidade da parte submersa, que se denomina centro de carena., 
(C), é o ponto de aplicação do empuxo. 
Nos navios, geralmente C encontra-se de 20 a 40% do calado. 
Define-se calado como sendo a distância entre a quilha do navio e a linha de 
flutuação h, (Fig.3.1). 
3.2 - EQUILÍBRIO ESTÁVEL 
Diz-se que um corpo está em equilíbrio estável quando qualquer mudança de 
posição, por menor que seja, introduz forças ou momentos tendentes a fazer o corpo 
retornar à sua posição primitiva. 
O equilíbrio sempre será estável no caso dos corpos flutuantes cujo centro de 
gravidade (G)1,!çar abaixo do centro de carena, o que pode acontecer no caso de 
corpos tarz.dós, lastreados ou não-homogêneos. 
Entretanto o equilíbrio estável não se verifica apenas no caso indicado, havendo 
ainda outras condições de equilíbrio estável, mesmo com o centro de gravidade 
acima do centro de carena. 
Se, em conseqüência de uma ação qualquer (ventos, vagas, etc.), o flutuante 
sofrer uma pequena oscilação, o centro de carena também se deslocará; pois, embora 
il 
'~ ,, 
!! ,,. 
42 EQUILiBR\O DOS CORPOS FLUTUANTES 
I~ 
0 
Fi.gw:a. S.1. 
o volume da parte submersa do corpo permaneça o mesmo, a sua forma variará 
mudando o seu centro de gravidade (os volumes AA'O e BB'O, (Fig.3.1) se 
equivalem). 
Supondo-se que o corpo tenha sofrido uma oscilação de ângulo e, o centro de 
carena deslocar-se-á de C para C'. A vertical que passa por C' interceptará a linha 
primitiva em um ponto M. Para valores pequenos de e, M é denominado metacentro. 
O ponto M representa o limite acima do qual G não deve passar (daí a sua 
denominação, pois significa meta= limite). O metacentro é o centro de curvatura 
da trajetória de C no momento em que o corpo começa a girar. 
Podem ser consideradas três classes de equilíbrio para os corpos flutuantes. 
a) Equilíbrio estável. Quando M está acima do centro de gravidade G. Nessas 
condições, qualquer oscilação provocada por força externa estabelece o 
binário peso-empuxo, que atuará no sentido de fazer o flutuante retornar 
à posição primitiva. 
b) Equilfbrio instável. Quando M está abaixo de G, sistema instável de forças. 
c) Equilfbrio indiferente. No caso em que o metacentro coincide com o centro 
de gravidade do corpo. 
3.3 - POSIÇÃO DO METACENTRO 
Para ângulos pequenos (até cerca de 15°), a posição de M v.aria pouco, sendo a 
sua distância MG praticamente constante. 
A altura metacêntrica é, pois, uma medida de estabilidade, constituindo uma 
importante característica de qualquer embarcação ou estrutura flutuante. 
Valores muito altos da altura metacêntrica não são desejáveis, porque 
correspondem à oscilação muito rápida das embarcações e estruturas flutuantes 
(períodos curtos de balanço). Em navios, esse movimento rápido, além de trazer 
condições de desconforto, pode prejudicar as estruturas. 
Por outro lado, valores muito baixos de MG devem ser evitados, uma vez que 
pequenos erros na distribuição de cargas ou a presença de água nas embarcações, 
podem provocar condições de instabilidade. 
POSIÇÃO DO METACl"NTRO 
43 
Na prática, a altura metacêntrica geralmente é mantida entre o 30 1 20 . , a, m.. 
Alguns valores práticos da altura metacêntrica (m) 
Transatlânticos 
Torpedeiros 
Cruzadores 
Iates a vela 
0,30 a 0,60 
0,40 a 0,60 
0,80 a 1,20 
0,90 a 1,20 
A posição do metacentro pode ser determinada pela expressão aproximada de 
Duhamel. . 
onde 
I = momento de inércia d~ ~ea que a supe:fíêie lhrredo liquido intercepta 
no flutuante (superf1c1e de flutuaçao), sendo relativo ao eixo de 
inclinação (~ixo sobre o qual se supõe que o corpo possa virar); . · 
V= volume de carena. · · 
Para que o equilíbrio de um flutuante seja estável, é preciso que MC > CG. 
-:'1ém do met~centro considerado na seção transversal, há o metacentro no 
sentido do comprimento, de menos importância, cuja determinação é análoga. 
~xe_rcício 3.1 -: Seja um prisma retangular de madeira com as dimensões 
md1'A,; v, ;,,v.,. 
(e) Mov.ime.nto .não permanente Q, ;,,Q_: A, >'A; v
1 
,ev z-
4-.4 - REGIMES DE ESCOAMENTO 
A observação dos líquidos em movimento leva-nos a distinguir dois tipos de 
movimento, de grande importância: 
a) regime laminar (tranqüilo ou lamelar); 
b) regime turbulento (agitado ou hidráulico). 
Figura.4.2 
Com o regime laminar, as trajetórias das partículas em movimento são bem 
definidas e não se cruzam. 
O regime turbulento caracteriza-se pelo movimento desordenado das 
partículas. 
. •'\/ 
·•~\. 
11 
LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 47 
4.5 - LINHAS E TUBOS DE CORRENTE 
Em um líquido em movimento, consideram-se linhas de corrente as linhas 
orientadas segundo a velocidade do líquido e que gozam da propriedade de não 
serem atravessadas por partículas do fluido. 
Em cada ponto de uma corrente passa, em cada instante t, uma partícula de 
fluido, animada de um velocidade v. AJ:, linhas de corrente são, pois, as curvas que, 
no mesmo instante t considerado, mantêm-se tangentes em todos os pontos à 
velocidade v. Pelo próprio conceito, essas curvas não podem cortar-se. 
Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, pode-se considerar 
um tubo de corrente como uma figura imaginária, limitada por linhas de corrente. 
Os tubos de corrente, sendo formados por linhas de corrente, gozam da 
propriedade de não poderem ser at7:avessados por partículas de fluido: as suas 
paredes podem ser consideradas impermeáveis. 
Um tubo de corrente, cujas dimensões transversais sejam infinitesimais, 
constitui o que se chama filete de corrente. 
Esses conceitos são de grande utilidade no estudo do escoamento de líquidos. 
V2 
Figura.4.3 Figura.4.4 
4.6 - EQUAÇÕES GERAIS DO MOVIMENT~ 
Seja um cubo elementar, de dimensões infinitamente pequenas, dx, dy e dz, 
situado no interior da massa de um fluido em movimento, sendo as suas arestas 
paralelas aos eixos cartesianos (Fig. 4.5). 
A massa doi1uido contida nesse cubo imaginário será 
pdxdydz=m 
AJ:, forças externas que atuam sobre essa massa fluida são: 
a) as que dependem do volume considerado, como, por exemplo, o peso, e 
que podem ser expressas pelas suas componentes X, Y e Z, relativas à 
unidade de massa; 
b) as que estão relacionadas à superfície das seis faces do cubo e que são 
devidas à pressão exercida pelo fluido externo. 
Designando-se por p a pressão sobre a face normal a Ox (ABCD), a pressão sobre 
48 
y 
z 
õp. dx 
p+--rx- . 
º·------------x· 
Figura.4.5 
HIDRODINÂMICA 
a face oposta seria igual a p mais a 
sua diferencial relativa ao desloca­
mento dx (variação de p na direção 
x): 
p+ ap a.x. 
ax 
As ações externas sobre as faces 
normais a Ox e de superfície dy dz 
são opostas, dando uma resultante: 
Sendo m a massa de uma partícula em movimento, a a sua aceleração e F a 
força atuante, pode-se escrever m · a = F. 
Com relação ao eixo Ox, apresenta-se a seguinte equação geral: 
d2x ·' 9.- op 
pdxdydz• dt2 =pdxdydzX- éJx;dxdydzi 
onde o primeiro membro representa a inércia; o primeiro termo do segundo 
membro, a ação da força F; o segundo termo do mesmo, a resultante da ação da 
pressão.Ou, simplificando e estendendo aos outros eixos Oy e Oz: 
d2x - x-.!. éJp 
dt2 - p éJx' 
que são as equações gerais do movimento, onde 
dzy 
dt2 
d 2z 
e --2• 
dt 
são as componentes ou projeções da aceleração da partícula considerada. 
Essas três projeções são as derivadas totais das três componentes da velocidade 
(vx, vy, vz) em relação ao tempo t: 
pois 
dx d 2x dv:r 
V = -·--=--
x dt .. dt2 dt ' 
d
2y = dvl 
dt2 dt ' 
E, como vx =f (x,y, z, t), pode--se exprimir 
dv,, = avx + iJvx dx + ovx dy + ovx dz 
dt at ax dt c)y dt iJz dt 
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 49 
ou 
d2x c)v éJv éJv ov --=--;r +v __ x +v __ ,, +v __ ,, 
dt2 ot x ax y é}y z é)ez 
Nessas condições, as equações gerais do movimento podem ser apresentadas. 
equ,11ção (1) 
ou, ainda, 
1 é}p -x ( av,, avx av,,. avx) --- - v --+v --+v --+--
p dX X OX y dY Z OZ df 
1 ap ( av av av é}v J --=Y- v --L+v ::.....:..L+v .:...:.L+.::..:..L · 
P OY X ax y dy z é}z dt , 
]:_iJp=z-(v av'+v av•+v av,+av,) 
P OZ X iJX y OY % i)z iJt 
equ,11ção (2) 
que são _as três equações de Euler. 
Para a solução do problema restam, ainda, duas equações, dadas nos itens a 
seguir. 
4.7 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE 
Admitindo-se que a massa específica p do fluido, que atravessa o cubo elementar 
(Fig. 4.5), varia com o tempo t, a massa que, em determinado instante, é igual a p 
dx dy dz, ap6s um intervalo de tempo dt altera-se, . 
a 
at (pdxdydz) dt; 
ou, ainda, 
ap at dxdydzdt. equa.ção (3) 
Por outro l_ado, pode-se considerar que, em um intervalo de tempo dt, entra 
pela face ABCD:a:'ó cubo elementar a massa 
P vx dj dz dt equação(4) 
saindo pela face oposta uma outra massa: 
dy dz [p V X + :x (p V X) dx] dt equação (5) 
A diferença algébrica dessas expressões [(4) e (5)) dará, para essas faces, 
a-
- í):,c. (pvx)dxdydzdt 
50 HIDRODINÂMICA 
Analogamente, para as faces normais a Oy e a Oz, as diferenças algébricas 
resultam., respectivamente, em 
a 
- By (pvy) dxdydzdt 
a 
-- (pvz) dxdydzdt 
i)z 
Comparando-se esses resultados com a expressão (3), encontra-se que 
ap a a a -
-dx dy dz dt +-(p V x) dx dy dz dt +-:;-(P V y} dx dy dz dt+ "-- (p Vz) dx dy dz dt = O 
i)t ax oy ª"' . 
ou, simplificando: 
'.·~.+:n~;~~'.f;~'.~~;/,~'+:'.~+·b equação (6) 
que é a equação da continuidade, que exprime a lei da conservação das massas. 
Para os líquidos incompressíveis, p = constante. 
av, + dvy 1- dV,. =O 
dX i)y az 
(Quarta equação) · 
Considerando-se o trecho de um tubo de corrente, indicado na Fig.4.6, com as 
seções A 1 e A 2 e velocidades respectivas v1 e v2, a quantidade de líquido de massa 
específica p que passa pela primeira seção, na unidade de tempo, será: 
dm1 
dt=PiV1~ 
Para a outra seção, teríamos 
Cll1li = AV2A:i 
dt 
Tratando-se de movimento permanente, a quantidade de líquido entrando na 
seção A 1 iguala-se à que sai por A 2 , 
P1 A1 V1 =Pz Az Vz 
E, ainda, praticam.ente, se o líquido for considerado incompressível p1 = p2• 
De um modo geral, 
onde 
Q = vazão (m3/s); 
v = velocidade média na seção (m/s); 
A = área da seção de escoamento (m2). 
Essa equação é de grande importância em todos os problemas da 
Hidrodinâmica. 
·L 
1 
·1 
EQUAÇÃO COMPLEMENTAR 
Exercício 4.1 - Verificou-se que a velocidade econômica para uma extensa 
linha de recalque é 1,05 m/s. A vazão necessária a ser fornecida pela bombas 
é de 450 m 3/hora. Determinar o diâmetro da linha. 
Q = 4SOm
3
/hora 0,125m3/s ou 125f/s. 
60x60 
Q =Av:.A= Q = º•125 
=O 119m.2 
V 1,05 , • 
..!.,.n2 = 0,119m2 :.D =)4 xO,ll9 = 0,39m. 
4 ,. 
No mercado encontram-se os seguintes diâmetros comerciais: 
350 mm, A= 0,0962 m 2 
400 mm, A= 0,1257 m 2 
450 mm, A"" 0,1590 m 2• 
Adotando-se 400 mm (16"), a velocidade resultará em 
V= Q = 0,125 = l Qmjs'. 
A 0,1257 ' 
É o diâmetro que mais se aproxima da condição econômica. Se fosse adotado 
o diâmetro imediatamente inferior (350 mm), a velocidade se elevaria para 
1,30 m/s, aumentando a potência das bombas e o consumo de eletricidade. 
Exercício 4.2 - Em um edifício de 12 pavimentos, a vazão máxima provável, 
devida ao uso de diversos aparelhos, em uma coluna de distribuição de 60 
mm de diâmetro, é de 7,5 litros/s. 
Determinar a velocidade de escoamento 
Q :a: Av .·. v == Q = 0,0075m
3 
/s 
A 0,00283 
2,65m/s. 
Essa velocidade é admitida pelas normas para o diâmetro de 60 mm (NBR 
5626). 
/ 
4.8 - EQUAÇAO COMPLEMENTAR (relativa ao estado do fluido) 
51 
A última equação da Hidrodinâmica, necessária ao sistema de cinco equações 
é obtida considerando-se uma característica particular do fluido. 
Assim, por exemplo, no caso dos fluidos homogêneos e incompressíveis, 
p = constante. 
Para os gases perfeitos, tem-se a equação geral 
P.. gRT.= constante p 
Entretanto essa última equação introduziria uma sexta variável: a temperatura. 
1 
t 
ri, 
1 
l 
52 HIDRODINÂMICA 
Para evitar nova incógnita, pode-se recorrer a uma equação que defina apenas uma 
condição especial do fluido em movimento. 
No caso de um gás perfeito, por exemplo, poder-se-ia admitir a temperatura 
constante, resultando 
E.. = constante. 
p 
4.9 - MOVIMENTO PERMANENTE 
As Eqs. (2) podem ser escritas da seguinte forma: 
.!. a p = X - dv X • 
p iJx dt 
.!_iJp=Z-dvz. 
p ;Jz dt 
(Quinta equa.çiio) 
equação (7) 
Multiplicando-se as eqs.(7) por dx, dy e dz, respectivamente, e somando-se, 
obtém-se 
Ou, ainda, 
1 
-dp= Xdx+Ydy+Zd.z-(vx dvx +vy dvy +vz dvz) 
p 
1 (~) pdp=Xdx+Ydy+Zd.z-d 2 , 
equaçiio (8) 
equação (9) 
que é a equação de Euler, escrita de forma diversa das eqs.(2) e para movimento 
permanente. 
Observa-se, aqui, que a transformação das (7) para (8) só foi possível porque 
foram desprezadas as variações de vx, vy e v,. com o tempo, isto é, 
;Jv,: i)vy e av. 
;Jt • ;Jt iJt . 
Ou seja, porque o movimento foi, por hipótese, considerado permanente. 
Diz-se que um movimento é permanente quando as partículas que se sucedem 
em um mesmo ponto apresentam, nesse ponto, a mesma velocidade, possuem a 
mesma massa específica e estão sujeitas à mesma pressão. 
4.10 :- CASO PARTICULAR: FLUIDO EM REPOUSO 
Fazendo-se v = O, encontra-se 
:. l ;-_,· : .. ,,: · ··,. ::•: .. ·· . . : 
· , -::-dp;,,Xdx+Ydy+Zd.z · .P . ... •· ... , ......... · 
que é a equação fundamental da Hidrostática. 
equa.çiio (10) 
4.11 -TEOREMA DE BERNOULLI PARA LÍQUIDOS PERFEITOS 
O teorema de Bernoulli decorre da aplicação çla equação de Euler aos fluidos 
sujeitos à ação da gravidade (líquidos), em movimento permanente. 
Nessas condições, 
X= O, Y = O, Z = - g. 
TEOREMA DE BERNOULLI PARA LIQUIDOS PERFEITOS 
Resultando, para o movimento, da eq. (9): 
Dividindo-se por g, 
1 v 2 
-dp=-gdz-d-
p z 
d.z+ dp +d(~)=O. 
pg 2g 
53 
Como pg = y(peso específico), dividindo-se todos os termos por ds(dx, dy, dz). 
obtém-se 
d ( p v
2
) 
ds z+r+ 2g =O, 
. "Ir ' ', 
· 'z+P +-= constante . r 2g . ,. 
·- ,; ,;,:, .... :-_. .. . . . .. . . .. ··~ -
A Fig. 4.6 mostra parte de um tubo de corrente, no qual esc()a um líquido de 
peso específico y. Nas duas seções indicadas, de áreas A1 e A 2, atuam as pressões Pi 
e p 2, sendo as velocidades, respectivamente, v 1 e v 2• 
;1; Plano de referência ;_ ___ ...,.,1_..;......,.. ___ ....1,...;.;,;;;;.;.;._,,;.....,;__, __ __ 
As partículas, inicialmente em Ai, num pequeno intervalo de tempo, passam a 
A\, enquanto que asA2 movem-se para A'2• Tudo ocorre como se, nesse intervalo 
de tempo, o líquido passasse deA1 A\ paraA2 A'2 • 
Serão investigadas apenas as forças que produzem trabalho, deixando-se de 
considerar aquelas que atuam normalmente à superfície lateral do tubo, de acordo 
com o teorema das forças vivas "variação da força viva em um sistema iguala o 
trabalho total de todas as forças que agem sobre o sistema". 
54 HIDRODINÂMICA 
Assim, considerando-se a variação da energia cinética ( ½ mv2 J 
1 2 1 2 1 2 
2m 2v 2 - 2m 1 v 1 =2mv equaçiio (11) 
Sendo o líquido incompressível, 
A 1 ds1 ~A2 ds2 = V (Figura 4.6} 
onde V= volume do líquido e a soma dos trabalhos das forças externas(empuxo e 
gravidade, pois não há atrito por se tratar de líquido perfeito) será 
p 1 A 1 ds1 - p 2 A 2 ds2 + y V(Z1 -Z2 ). 
Igualando eq.(11) e eq.(12) temos 
½~v;-½m,.v~ =PiAids1 -A.Aids2 +yV(Z1 -ZJ 
.!.1'...v(v;-~)=V(Pi -pz)+yV(Z1 -Z2) 2g 
de modo que, simplificando, 
Vi_~ =Ei__P2 +Z -z 
2g 2g r r , 2 
i·.·;;~::t/:~:0~·\J~/+.12.·==,.~~~tê···· 
equação (12) 
O conhecido e importantíssimo teorema de Bernoulli, que pode ser enunciado: 
"Ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas 
cinética (v2 /2g), piezoniétrica (p/y) e geométrica (Z)." 
O teorema de Bernoulli não é senão o princípio da conservação da energia. 
Cada um dos termos da equação representa um forma de energia: 
v2 
2g = energia cinética (força viva para o peso unitário); 
p 
r energia de pressão ou piezométrica; 
Z = energia de posição ou potencial. 
É importante notar que cada um desses termos pode ser expresso em metros, 
constituindo o que se denomina carga. 
v2 m2/s2 
-2 "'--2- ➔m ( carga de velocidade ou dinâmica); g m/s 
p kgf/m2 
r kgf/m3 ➔m (carga de pressão); 
z = m -> m ( carga geométrica ou de posição). 
Há máquinas hidráulicas que aproveitam essas diferentes formas de energia 
DEMONSTRAÇÕES EXPERIMENTAIS DO TEOREMA DE 8 ERNDULLI 55 
em conjunto ou separadamente. As rodas de água com admissão por cima (Fig.4.7) 
aproveitam a energia de posição (carga geométrica). Já nas rodas Pelton utiliza-se a 
energia cinética mediante a ação de jatos que incidem sobre as pás. 
Figura.4.7 
4.12 - DEMONSTRAÇÕES EXPERIMENTAIS DO TEOREMA 
DE BERNOULLI 
Em 1875, Fraude apresentou interessantes experiências ilustrativas do teorema 
de Bernoulli. 
Uma delas consiste numa canalização horizontal e de diâmetro variável, que 
parte de um reservatório (vaso) de nível constante, Fig. 4.8. 
Instalando-se piezômetros nas diversas seções, verifica-se que a água sobe a 
alturas diferentes; nas seções de menor diâmetro, a velocidade é maior e, portanto, 
também é maior a carga cinética, resultando menor carga de pressão. 
Como as seções são conhecidas, podem-se verificar a distribuição e a constância 
da carga total (soma das alturas). 
Outra experiência curiosa consiste nos vasos que ainda levam o nome de seu 
idealizador. 
Dois vasos providos de bocais são justapostos, a água passando do primeiro 
para o segundo vaso (Fig.4.9). 
A pressão exe~cida pelo líquido na seção (2) é dada pela altura h
2 
e, na seção 
(1), admite-se que corresponda a uma alturah
1
. 
Pelo teorema de Bernoulli, tomando-se o eixo dos bocais como referência, 
v2 vz 
_ , +hi_=-z +~=H 
2g, 2g 
Construindo-se a seção (1) de maneira que 
2 
~=H 
2g 
1 
.. -=- J ' ~ ·-_,.,r ... 4 
v ' . 
(isto é, a seção (1) pode ser tal que toda a carga H seja reduzida à energia 
cinética), resultará h 1 = O e a pressão, nesse ponto, será a atmosférica. 
1. 
1 
56 HIDRODI N ÂMICA 
(D @ @ 
A, A2 A3 
Figura.4.8 '---------•p_, ____ P_2 ____ P_3 ____ _. 
Nessas condições, os vasos poderão ser separados afastando-se os bocais; a água 
continuará a passar de um vaso para o outro, sem escapar para o exterior. 
·Nível mais alto 
/. . 
Nível mais alto 
/. 
Figura.4.9 
Exercício 4.3 -A água escoa pelo tubo indicado na Fig. 4.10, cuja seção varia 
do ponto 1 para o ponto 2, de 100 cm2 para 50 cm2 • Em 1, a pressão é de 0,5 
kgf/cm2 e a elevação 100, ao passo que, no ponto 2, a pressão é de 3,38 kgf/ 
cm2 na elevação 70. Calcular a vazão em litros por segundo. 
v2 p v2 p 
_1 +-1.+z =-2 +~+Z 
2g r i 2g r 2 
v; 5 000kgf/m2 
100 
_ v~ 33 800 70 -+----"'-'--+ - -+---+ 
2g 1 000kgf/m3 2g 1 000 
vz ~ 
- 1 +5+100=-2 +33,8+70 
2g 2g 
v2 v2 
- 2 --1 = 105-103,8 = 1,2 2g 2g 
v:-v; =2x9,8x 1,2 =23,52 
Como a seção no ponto 1 tem uma área duas vezes maior que a do ponto 2, 
com a mesma vazão, a velocidade no ponto 2 será duas vezes maior. De acordo 
com a equação da continuidade, 
Q=A1 -v1 mA2 -v2 :.v2 -2v1 
Substituindo, 
OEMONSTRACÕES EXPER I M ENTAIS DO TE O REM A OE 8 E RNO ULLI 
Q =A1 • v1 = 0,0100 x 2,8 = 0,028m3/ s (ou= 28 1/ s). 
1 -A1 = 100cm2 
p = 0,5kgf/cm2 
100,00 
2 ·A2=50cm2 
p = 3,38kgf/cm2 
F~ 
Figura.4.10 
Exercício 4.4 - De uma pequena barragem, parte uma canalização de 250 
mm de diâmetro, com poucos metros de extensão, havendo depois uma 
redução para 125 mm; do tubo de 125 mm, a água passa para a atmosfera sob 
a forma de jato. A vazão foi medida, encontrando-se 105 e;s. 
1 . 2 .- t. _,_ v, . 
- - 2g 
Calcular a pressão na seç~o inicial da tubulação de 250 mm; a altura de água 
H na barragem; a potência bruta do jato. 
.,::,, 
vzp ·v:p 
_ 1 +-, +z =~+2+z2, 
2g r i 2g r 
P 2 = O ( descarga na atmosfera) r 
Q Como v = A' 
0,105 
v1 =---=2,14m/ s, 
0,0491 
Logo, a pressão é calculada como sendo 
0,105 v 2 =-;__-= 8,53m/s. 
0,01227 
P, -
8
•
532 
- 2
'
142 
-3 71-0 23-3 48m r 19,6 19,6 • ' ' 
57 
58 
da mesma forma, calcula-se a altura de 'água. 
H = Pi + r, = 3,48+ 0,23= 3,71m; 
r 2g 
Determina-se, por sua vez, a potência bruta do jato. 
Potência "" Q x H 
75 
105x3,71 _
5 2 - , CV 
75 
HIDRODINÂMICA 
Exercício 4.5 - Uma tubulação vertical de 150 mm de diâmetro apresenta, 
em um pequeno trecho, uma seção contraída de 75 mm, onde a pressão é de 
1 atm. A três metros acima desse ponto, a pressão eleva-se para 14, 7 mca. 
Calcular a velocidade e a vazão. (Fig. 4.12). 
Se a velocidade na tubulação, propriamente dita, for vi, a velocidade v2, na 
garganta, será muito superior. 
A 
v 2 =-1 XV1 =4V1 , 
Az 
2 v2 p 
~+p' +Z =-2 + 2 +Z2 , 
2g 'Y 1 2g 'Y 
2 (4v )2 
2+14,7+3=--1 -+10,3+0, 
2g 2g 
15v; =7 4 
2u ', 
"' 
2x9,8x7,4 =3 lOm/s 
15 ' ' 
Q = A, v1 =0,0177x 3,10= 0,055m3/s. 
----1---
3,00 
~.· .. •. '···.-.. ••.; .. ·.1· - ... ~.,·· ... ·. ••.•· ··- p, = 14,7 mca ir}:\> 
• ·:,·,de correção (coeficiente de Coriolis); 
v 1 = velocidade média na seção igual a Q/A1. 
O valor de o; varia entre 1 e 2; será 1 quando houver uma velocidade única na 
seção, e 2 quando, em uma canalização, a velocidade variar parabolicamente de O 
junto às paredes do tubo, até o seu valor máximo no cen:1"º· Co~u_mente, o v~or 
desse coeficiente está próximo da unidade, sendo, por isso, orrut1do em muitos 
problemas da prática. 
O enunciado geral do teorema de Bernoulli fica sendo, portanto: 
· "Para um escoamento contínuo e permanente, a: carga total d.e energia, 
em quàiquer ponto de uma linha de corrente é igual à carga total em 
qualquer ponto a jusante da mesma linha ·de corrente, mais a perda de 
carga entre os dois pontos". · · · 
A adoção no enunciado acima da "linha de corrente;' visa minimizar a 
necessidade da introdução do coeficiente de correção o; acima explicado. Ou seja, 
medindo-se sempre as energias no centro do tubo, por exemplo, se o diâmetro e a 
rugosidade forem iguais, não é necessário o coeficiente o;. 
No exercício a seguir, informam-se as perdas de carga (arbitradas) porque a 
forma de encontrá-las é descrita em capítulo posterior. A perda de carga nesse 
problema seria função do diâmetro (conhecido), do comprimento (não informado) 
e da rugosidade interna do tubo (não informado). 
Exercício 4.7 - Tome-se o sifão da Fig. 4.16. Retirado o ar da tubulação por 
algum meio mecânico ou estando a tubulação cheia, abrindo-se (C) pode-se 
estabelecer condições de escoamento, de (A) para (C), por força da pressão 
atmosférica. Supondo a tubulação com diâmetro de 150 mm, calcular a vazão 
e a pressão no ponto (B), admitindo que a perda de carga no trecho AB é O, 75 
m e no trecho BC é 1,25 m. 
Figura.4.16 
EXTENSÃO DO TEOREMA DE BERNOULLI AOS CASOS PRÁTICOS 
v2 p v2 
-A..+- 1,5 d 
Se o valor de e estiver compreendido entre 2 e 3 vezes o diâmetro d, teremos o 
caso de um bocal. · 
O jato que sai de um orifício chama-se veia líquida. Sua trajetória é parabólica 
(como a de todo corpo pesado animado de velocidade inicial). 
5.1.2 - Orifícios pequenos em paredes delgadas: teorema de Torricelli 
Experimentalmente, constata-se que os filetes líquidos tocam a~ bordas ~o 
orifício e continuam a convergir, depois de passarem pelo mesmo, ate uma seçao 
A 2, na qual o jato tem área sensivelmente menor que a do orifício. Essa seção A
2 
é 
denominada seção contraída (vena contracta). 
FiguraS.4 FiguraS.5 
1 
! 
ESCOAMENTO EM ORIF ! CIOS 65 
Costuma-se designar por coeficiente de contração da veia a relação entre a área 
da seção contraída e a área do orifício: 
C =A2 
e A 
Valor médio prático de Cc é 0,62, Tab.5.1. Teoricamente, o valor de Cc é igual a 
_!!_ para orifícios longos, abertos em paredes delgadas, Fig. 5.5. K+2 
Tabela5.l - Orifícios circulares em paredes delgadas. 
Coeficientes de contração Cc 
Carga Diâmetro do orifício, cm 
h,m 2,0 s,o 4,0 5,0 6,0 
0,20 0,685 0,656 0,626 0,621 0,617 
0,40 0,681 0,646 0,625 0,619 0,616 
0,60 0,676 0,644 0,623 0,618 0,615 
0,80 0,673 0,641 0,622 0,617 0,615 
1,00 0,670 0,639 0,621 0,617 0,615 
1,50 0,666 0,637 0,620 0,617 0,615 
2,00 0,665 0,636 0,620 0,617 0,615 
3,00 0,663 0,634 0,620 0,616 0,615 
5,00 0,663 0,634 0,619 0,616 0,614 
10,00 0,662 0,633 0,617 0,615 0,614 
Tratando-se de água e orifícios circulares, a seção contraída encontra-se a uma 
distância da face interna do orifício aproximadamente igual à metade do diâmetro 
do orifício. 
Adicionando-se à água uma substância que permita mostrar a trajetória das 
partículas líquidas, verüica-se que os filetes, a princípio convergentes, tornam-se 
paralelos ao passar pela seção contraída. 
No caso de orificws pequenos, pode-se admitir, sem erro apreciável, que todas 
as partículas atravessam o orifício animadas da mesma velocidade, sob a mesma 
cargah. 
Aplicando-se o teorema de Bernoulli às seções 1 e 2 (Fig. 5.4) e tomando-se o 
eixo de orifício como referência, 
2 2 
-3..+Pn +h=~+P2 
2g r 2g r 
Como nesse caso, a seção A do orifício é muito pequena em relação a Al' a 
velocidade v1 é desprezível em face de vt , 
V, =2g(h+~J 
vt = 2g( h+Pº ;P2) 
1 
;~ 
i! 
! 
li 
i 
•: 
t 
66 ORIF/CIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
No caso mais comum em que a veia líquida se escoa na atmosfera, 
·Pi = P., 
·::J;t~:J2i~ .. 
expressão do conhecido teorema d~ T~rricelli. 
Cada partícula, ao atravessar a seção contraída,teria uma velocidade idêntica 
à da queda livre, desde a superfície livre do reservatório até o plano de referência, 
passando pelo centro do orifício. 
vr é a velocidade teórica, que não leva em conta as perdas sempre existentes. 
Na realidade, porém, 
V2 
v, 
sempre menor que a unidade. 
O valor médio de Cv é 0,985 (Tab. 5.2). 
v 2 =Cvv, =Cv✓2gh. 
A vazão será, então, dada por 
Q=Av=~v2 
substituindoA2 e v 2, 
Q = ACcCv✓2gh. 
Designando-se por coeficiente de descarga ou de vazão ao produto Cc C.,, 
sendo, 
Cd=CcCv, 
(fórmula geral para pequenos orifícios), 
h = carga sobre o centro do orifício (m); 
A = área do orifício (m2 ); 
Cd = coeficiente de descarga. 
Na prática, é adotado o valor médio de Cd dado na Tabela 5.3. 
Para orifícios em geral, 
cd = e" cv = 0,62 x o,985 = 0,61, 
Cd = 0,61. 
A Tab.5.3 apresenta valores de Cd para pequenos orifícios, aplicáveis em 
questões que envolvem maior precisão. 
Também as adufas e comportas podem ser consideradas como orifícios. No 
caso de comportas com contração completa, o coeficiente Cd equivale a 0,61: nas 
comportas com contração incompleta, por influência do fundo ou das paredes 
laterais, o coeficiente varia de 0,65 a O, 70, podendo atingir valores ainda mais 
elevados em condições favoráveis. O valor prático usual de Cd é 0,67. Para as adufas, 
1 
ESCOAMENTO EM ORIFICIOS 67 
pode-se aplicar um coeficiente ligeiramente maior: O, 70. 
Tabela5.2 - Orifícios circulares em paredes delgadas. 
Coeficiente de velocidade Cv 
Carga Diâmetro do orifício, cm 
h,m 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 
0,20 0,954 0,964 0,973 0,978 0,984 
0,40 0,956 0,967 0,976 0,981 0,986 
0,60 0,958 0,971 0,980 0,983 0,988 
0,80 0,959 0,972 0,981 0,984 0,988 
1,00 0,958 0,974 0,982 0,984 0,988 
1,50 0,958 0,976 0,984 0,984 0,988 
2,00 0,956 0,978 0,984 0,984 0,988 
3,00 0,957 0,979 0,985 0,986 0,988 
5,00 0,957 0,980 0,987 0,986 0,990 
10,00 0,958 0,981 0,990 0,988 0,992 
Tabela5.3 - Orifícios circulares em paredes delgadas. 
Coeficiente de descarga Cd .. 
carga Diâmetro do orifício, cm 
h,m 2,00 3,00 4,0 5,0 6,0 
0,20 0,653 0,632 0,609 0,607 0,607 
0,40 0,651 0,625 0,610 0,607 0,607 
0,60 0,648 0,625 0,610 0,607 0,608 
0,80 0,645 0,623 0,610 0,607 0,608 
1,00 0,642 0,622 0,610 0,607 0,608 
1,50 0,638 0,622 0,610 0,607 0,608 
2,00 0,636 0,622 0,610 0,607 0,608 
3,00 0,634 0,621 0,611 0,607 0,608 
5,00 0,634 0,621 0,611 0,607 0,608 
10,00 Ó;634 0,621 0,611 0,607 0,609 
r O valor médio geralmente adotado em problemas é 0,61 
5.1.3 - Fenômeno da inversão do jato 
É um fenômeno curioso o que ocorre com a forma dos jatos (seção transver­
sal). A forma dos jatos passa por estágios que se sucedem a partir da seção contraída. 
Assim, por exemplo, se o orifício tiver uma forma elíptica, o jato deixará o 
orifício com essa forma; numa seção posterior, o jato passará a ter a forma circular 
e, mais adiante, voltará a assumir a seção elíptica, porém com o eixo maior em 
correspondência ao eixo primitivamente menor (Fig. 5.6). 
A Fig.5. 7 mostra seções de jatos produzidos por orifícios de forma triangular e 
quadrada. 
1 
J 
li.· 
F 
li 
,!! ,,, 
,f 
![ i; 
j; 
l' ,: 
li 
H 
1 
! 
a carga h foi admitida invariável. Se não for mantido 
o nível constante, a altura h passará a diminuir com o tempo, em conseqüência do 
próprio escoame~ pelo orifício. Com a redução da carga, a descarga através do 
orifício também irá decrescendo. O problema que se apresenta na prática consiste 
em se determinar o tempo necessário para o esvaziamento de um recipiente ou de 
um tanque. 
Sendo 
A = a área do orifício 
A.R = a área do reservatório (superfície); 
t = o tempo necessário para o seu esvaziamento, em segundos. 
Num pequeno int_ervalo dt, a vazão será 
Q = CdA✓2gh (pequenos orifícios) 
e o volume de líquido descarregado, 
(Vol = Q X t). 
72 ORIFÍCIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
Nesse mesmo intervalo de tempo, o nível de água no reservatório baixará de 
dh, o que corresponde a um volume de líquido 
ARdh. 
As duas expressões que dão o volume são iguais 
Integrando-se a expressão acima, entre dois níveis h 1 e h 2, 
t = AR Jh' h-l/2dh, 
CdAJ;i b.: 
Para o esvaziamento completo h 2 = O eh 1 = h, 
expressão aproximada, uma vez que depois de certo tempo de escoamento o orifício 
deixaria de ser "pequeno". Substituindo-se os valores · 
Cd ::ã 0,61, 
.,/2g::4,43, 
encontra-se 
Exercício 5.1- Em uma fábrica encontra-se a instalação indicada no esquema 
(Fig.5.14), compreendendo dois tanques de chapas metálicas, em comunicação 
por um orifício circular de diâmetro d. Determinar o valor máximo de d, 
para que não haja transbordamento no segundo tanque. 
Orifício quadrado (com supressão em uma face): 
Q=CdA✓2gh, 
cd =Cd(1+0,1sk), 
k=--b- 0,10 = 0,25, 
2(a+b) 2(0,10+0,10) 
C:S = 0,61 (1+0,15 x0,25) = 0,633, 
Q = 0,633 X 0,102✓2x9,8X 0,85 
= 0,00633 x4,08 = 0,026m3/s (26i/ s). 
PI ta an 
~ d== 
o 
"?. CII -
·., 2,00 
2.00 
... 
0,10X0,10 
D 
ESC OAMENTO EM O RI F Í C IO S 
Orifício circular (afogado): 
Q =CdA.,f2g(lli -h2 = 0,026= 0,61 x Ax.J2x9,8x(2,6-0,6). 
Logo, 
A= 0,026 = 0,026 =0,007mz, 
0,61x.J39,2 3,82 
,rd
2 ✓4x0,007 r;:-;::;::;:;: -=0,007 .·. d= =-v0,0089. 
4 7C 
d= 0,094m (9,4cm}. 
Exercício 5.2 - Em uma estação de tratamento de água, existem dois 
decantadores de 5,50 x 16,50 me 3,50 m de profundidade (Fig. 5.15). Para 
limpeza e reparos, qualquer uma dessas unidades pode ser esvaziada por 
meio de uma comporta quadrada de 0,30 m de lado, instalada junto ao fundo 
do decantador. A espessura da parede é de 0,25 m. 
Calcular a vazão inicial na comporta e determinar o tempo necessário para o 
esvaziamento do decantador 
Q = CdA.j2ghi. 
Cd=0,62 
A =0,30-x0,30a=0,09m2 
h 1 =3.35m 
Q = 0,62x0,09✓2x9,8 x3,35 = 0,452m3/s = 452.e/s 
que é a vazão inicial na comporta. Vejamos o tempo necessário: 
t 2AR ✓h 
CdA$i 
t · . 2x90,75 .J3,35 
.. -Õ,62 x0,09x,J2x9,8 
t ~ 1345 s, ou seja, cerca de 22,5 minutos (solução aproximada) 
16,50 1 
5,50 
Comporta 
73 
1' 
74 ORIFICIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
Exercício 5.3 - Qual será o efeito (momento) dos jatos que deixam um 
distribuidor rotativo de 4 braços de 60 cm, com bocas de 1 cm de diâmetro? 
Pressão de trabalho= 20 mca (Fig. 5.16). 
Q=CdA✓2gh, 
=0, 61;.0.0l
2 
✓2x9,8x20 
4 
= 0,001m3/s ou 1 .e/s 
F ""LQv:::R 
g 
R = pQv = LQv, como v = ✓2gh g 
R = 
1000 0.001✓2x9,8x20 =2kgf 
9,8 
M = 4 x 2 x O, 60 = 4, 8kgf • m 
FiguraS.16 
~ ~ato_ ---------
R-
5.2 - ESTUDO DOS BOCAIS 
5.2.1 - Classificação dos bocais 
Os bocais ou tubos adicionais são constituídos por peças tubulares adaptadas 
aos orifícios. Servem para dirigir o jato. O seu comprimento deve estar 
compreendido entre vez e meia (1,5) e três (3) vezes o seu diâmetro. De um modo 
geral, e para comprimentos maiores, consideram-se comprimentos de 1,5 a 3 D 
como bocais; de 3 a 500 D como tubos muitos curtos; de 500 a 4 000 D 
(aproximadamente) como tubulações curtas; e acima de 4 000 D como tubulações 
longas. 
O es:tudo de orifícios em parede espessa é feito do mesmo modo que o estudo 
dos bocais. 
Figura 5.17 
Os bocais costumam ser classificados em: 
. . { interiores ou reentrantes 
cilíndncos 
exteriores 
ESTUDO DOS BOCAIS 
cônicos { 
convergentes 
divergentes 
75 
Denomina-se, ainda, bocal-padrão ao bocal cujo comprimento iguala-se a 2,5 
vezes o seu diâmetro e bocal de Borda ao bocal reentrante de comprimento padrão. 
5.2.2 - Vazão nos bocais 
Aos bocais aplica-se a fórmula geral, deduzida para os orifícios pequenos, 
. ;' (.'~:·: :~· ~-• .· 
:);,\~~qj~v~gh::.>• 
: ·~ ·.- ---.,'.:, .. ·,.·-· .· _.., ..... _,_,,,._;·-··; - ..... ,.,_._.,.·,,..: 
5.2.3 - Bocais cilíndricos 
A contração da veia ocorre no interior dos bocais cilíndricos. 
Nos bocais-padrão, a veia pode colar-se ou não às suas paredes. Fechando-se o 
tubo de modo a enchê-lo, fazemos com que a veia fique colada, resultando um jato 
"total"(ocupando inteiramente a seção de saída). 
É interessante observar que o bocal reentrante de Borda corresponde à menor 
vazão: coeficiente de descarga 0,51 (teoricamente encontra-se Ca = 0,5 para veia 
livre) 
O bocal cilíndrico e)..1:erno, com veia aderente, eleva a vazão: Ca = 0,82. 
- \ , L----- \ --- \ ....... ~ 
,: ' ... 
a 
,. ,. ..... 
·.. . ,/ . r
.-.-=-~:.;=:_. 
.... -..... ., .. ;, .. 
., .. " I 
I 
. -
'~·. \ ' . \ -_.: ' . . . 
' ' . ~----
', ',. --;-- -----­------
.,.-.,.-.,r------=----- . 
,,, .. ~-: r. ·. ·•. . . ·: - ....... ·. / /." ._ . ..... .... .. 
I . .._ 
. -, . : . . . . . 
· .. '• . . . 
. •- . '.. . . . . . . . . . . . . 
Fígun,5.18 
J 
e 
d ... ... , .... · 30" •.. 
d 
. 
. 
. 
. . ·, I . 
Figura 5.19 - (a) Bocal cônico simples. (b) 
Bocal cônico com extremidade cilíndrica. 
(e) BocnJ.convexo. (d) Bocal tipo Rouse 
ii :,­,: 
:!;. 
i' ·,. 
76 ORIFICIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
5.2.4- Bocais cônicos 
· Com os bocais cônicos aumenta-se a vazão. Experimentalmente verifica-se que, 
nos bocais convergentes, a descarga é máxima para 0 = 13°30': Ca = 0,94. 
Os tubos divergentes com a pequena seção inicial convergente, conforme mostra 
a Fig. 5.18 denominam-se Venturi, por terem sido estudados pelo investigador 
italiano. As experiências de Venturi demonstram que um ângulo de divergência 
de 5°, combinado com o comprimento do tubo igual a cerca de nove vezes o diâmetro 
da seção estrangulada, permite os mais altos coeficientes de descarga. 
5.2.5 - Bocais e agulhetas 
Na prática, os bocais são construídos para várias finalidades: combate a 
incêndios, operações de limpeza, serviços de construção, aplicações agrícolas, 
tratamento de água, máquinas hidráulicas, etc. 
Quatro tipos são usuais, e acham-se mostrados na Fig. 5.19. 
O coeficiente de descarga (Ca), geralmente, está compreendido entre 0,95 e 0,98. 
Os bocais de incêndio, normalmente, têm diâmetro de saída de 25 a 37,5mm. 
5.2.6 - Experiência de Venturi 
Parece paradoxal o fato de a vazão se elevar com a adição de um bocal; com o 
bocal, novos pontos para perda de energia são criados. A explicação foi dada por 
. Venturi numa célebre experiência. 
A pressão média existente na coroa de depressão, que envolve a veia líquida 
dentro do bocal, é menor que a pressão atmosférica. Isso foi verificado por Ven­
turi, que introduziu naquela parte um tubo de vidro, conforme mostra a Fig. 5.20. 
Observa-se que o valor O, 75h tem um limite teórico de 1 atm (10 mca). 
Nessas condições, a descarga, que num orifício ocorreria contra a pressão 
atmosférica, com a adição de um bocal passa a ser feita contra uma pressão menor, 
elevando-se a vazão. A existência do bocal permite a formação e manutenção da 
coroa de depressão. 
--=== ==-r-=-=------- -----.................. ....... ...... -.. ... ...... ............ .. 
H=10m 
---- ]___ _____ _ 
·•·Figur,,s2ó·•· 
ESTUDO DOS BOCAIS 
77 
5.2.7 - Subdivisão de carga em um bocal. Perda de carga 
Da c~ga total H, que atua sobre um bocal cilíndrico, cerca de 2/3 se converte 
em velocidade, correspondendo o terço restante à energia despendida na entrada 
do bocal. 
Considera~do-se, por exemplo, o ,:aso n1;1strado na Fig. 5.21 de um tanque com 
uma altura de agua de 10 m em relaçao ao eixo de um bocalcujo comprimento d 
0,30 m iguala-se a três diâmetros (0,10 m). ' e 
Q =CdA✓2gH 
Cd =0,82 
A = O, 00785m2 
Q = 0,82 X 0,00785 ✓2 X 9,8 X 10 = 0,090m~ /s 
Logo 
V= Q = 0,090 11,46 / 
A 0,00785 m s 
A carga h correspondente a essa velocidade será 
· v 2 11462 
h=-=-'-=6 70m 
2g 2x9,8 ' 
. ~omparando-se esse val?r de h com a carga inicialmente disponível (H = 10 m), 
verifica-se que cerca ~e dois terços de H (66,6% ou, aproximadamente, 6, 70 m) 
converte-se ~m vel~cidade, enquanto que o terço restante (33,3% ou 3,30 m) 
corresponde a energia despendida na entrada do bocal. 
. Essa perda (1/3 H) é equivalente à metade de h (h = 2/3 H), sendo portanto 
igual a 
05v2 
, 2g 
Designando-se por h 1 a perda de carga, 
Como, conforme 5.1.2, 
e 
h1 =H-h, 
v2 v2 
h,=-' --
2g 2g 
V 
v,=­
Cv 
expressão da perda de carga nos bocais idêntica a dos orifícios. 
I' 
' 
' ' i; 
i' 
1 
j. 
1: 
: 1 
i 11 
,1 n 
l 
1l · 
il-
" i 
,1 
"1 
li 
1
1l l 
;.j'.' ., 
' 1,, 
' 
u 
!. 
:;· 
;!j 
,1· 
i' ,, 
78 ORIFÍCIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
5.2.8 - Comparação entre a perda de carga em um bocal normal e a perda em 
um bocal com entrada arredondada 
Para os bocais comuns, Fig. 5.22a, em que o valor médio de Cv é 0,82, a perda 
na entrada vem a ser 
( 
1 J v 2 
[ 1 ) v
2 
v
2 
v2 h1 = --1 -= ---1 _..,(1.5-1)-=0,50-
C; 2g 0,822 2g 2g 2g, 
v2 
ou seja, 50% de 
2
g. 
FiguraS.22 
a b e 
Empregando-se bocais com bordas bem arredondadas (Fig. 5.22 b), consegue­
se elevar o valor de Cv até 0,98, resultando 
h, = (_!_ -1)~ = [-l -1] v 2 
, e; 2g o, 982 2g 
vz v2 
(1,04-1)-=0,04-
2g 2g 
ou apenas cerca de 4% da carga de velocidade, o que mostra a conveniência de haver 
melhores condições de entrada. 
A forma geométrica ideal é a de uma tratriz*. Na prática, porém, uma curvatura 
ideal constitui um refinamento que raramente pode ser realizado. Entretanto as 
condições podem ser bastante melhoradas nos casos de tubulações, empregando­
se na sua extremidade inicial uma peça de redução de diâmetro (Fig. 5.22 c). 
Tabela5.4 - Alcance máximo dos jatos (requintes) 
(Trans.A.S.C.E. voLXXI ), m 
Alcance horizontal Alcance vertical 
Ângulode32º Ângulo de 60º 
com a horizontal** coma horizontal.** 
Pressão Diâmetro dos bocais Diâmetro dos bocais 
l" 11/4" 11/2" r 11/4" 11/2" 
(2,5cm) (3,15cm) (3,75cm) (2,5cm) (3,15cm) (3,75cm) 
14mca 11,3 11,9 12,2 10,7 11,0 11,3 
20mca 16,8 18,9 20,1 19,5 19,8 21,0 
42mca 20,5 22,8 24,4 24,0 25,6 26,6 
56mca 23,2 25,6 26,9 27,2 28,7 29,3 
-~. Angulo com ahorizont3J que per.rnitealcance máximo 
• Tr:atriz - curva plana cujs.s tangentes tem igual comprimento. 
TUBOS CURTOS SUJEITOS A OESCARGA LIVRE 
QUADRO 5.1 - Bocais: coeficientes médios· -, . 
Casos 
==:::~-----. 
====--, --. 
::::o-.~----­
;::=----,· -.. -
'• 1 
......... ----.... -- ... ........ ,,.--,- -. 
:::---1 ....... - ... :.:.:.:..----,. ..... ,.-.. -...'! 
:::> i - ----
Valores médios para 
0,62 0,985 0,61 orifícios comuns em 
parede delgada 
0,52 0,98 0,51 Veia livre 
1,00 0,75 0,75 Veiacolada 
0,62 0,985 0,61 Veia livre (valores médios) 
1,00 0,82 0,82 Veia colada 
Bordas arredondadas 
1,00 0,98 0,98 acompanhado os filetes 
líquidos 
5.3 - TUBOS CURTOS SUJEITOS À DESCARGA LIVRE 
5.3.1- Natureza do problema 
79 
Um problema que se apresenta ao engenheiro com relativa freqüência é o que 
diz respeito à determinação da vazão de tubos relativamente curtos com descarga 
livre. Para citar os exemplos mais comuns, basta mencionar certos tipos de 
ex:travasadores, canalizações para o esvaziamento de tanques, descargas de 
canalizações, bueiros, instalações industriais, etc. 
Muito embora esse problema não exija tratamento complexo, a sua solução 
nem sempre tem sido bem colocada pelos profissionais que dele se ocupam. 
Observa-se freqüentemente a aplicação de fórmulas estabelecidas para as tubulações 
(encanamentos longos), sem os cuidados exigidos pela particularidade do caso em 
questão. 
r· 
\li 
1 
1 
1 
80 ORlriCIOS. BOCAIS E TUBOS CURTOS 
Analisando-se o problema sob o aspecto mais geral, encontram-se, para L = O, 
orifícios; L = D, orifícios; L = 2D, bocais; L = 3D, bocais. 
Quando o comprimento L ultrapassa 
um grande número de vezes o diâmetro D, 
encontra-se o caso das tubulações 
L>nD. 
Teoricamente, o valor de n não deve ser 
inferior a 40 nos casos mais favoráveis, 
devendo exceder 250 nos casos mais co­
muns. Merriman considerava o compri­
mento 500 x D como limite inferior para as 
tubulações propriamente ditas. 
5.3.2 - Tubos muito curtos 
De qualquer maneira, verifica-se a existência de uma certa gama de valores, 
compreendida entre 3 x D e nD, que excede os bocais e cujas condições não 
caracterizam as tubulações normais. 
Geralmente se considera tubos muito curtos aqueles cujo comprimento supera 
o dos bocais (3 x D) e não excede o das tubulações curtas (500 x D). 
As fórmulas gerais para os encanamentos são aplicáveis aos tubos ou tubulações 
de comprimento superior a 100 x D, devendo-se considerar as perqas de entrada e 
de velocidade para as tubulações cujo comprimento seja inferior a cerca de 4 000 x 
D. Para essa zona podem ser definidas as tubulações curtas. 
Erros grosseiros podem resultar da aplicação descuidada de fórmulas obtidas 
para canalizações de grande comprimento aos tubos muito curtos. Enquanto que 
naquelas predominam os atritos ao longo das linhas, nesses prevalecem a energia 
convertida em velocidade e as perdas localizadas, entre as quais a de entrada. 
A influência das diversas perdas nas tubulações em função da relação 
comprimento/ diâmetro (L/D) pode ser evidenciada pela Tab. 5.5, de valores médios 
calculados para tubos de 0,30 m de diâmetro, com uma carga inicial de 30 m. 
Tabela5.5 
Comprimento 
expresso em 5 50 100 1000 10 000 
diâmetros 
Carga de velocidade"' 62% 41% 29% 5% 0,5% 
Perda na entrada 32% 20% 15% 2% 0,3% 
Perda nos tubos 6% 39% 56% 93% 99,3% 
.. Em termos da carga disponlvel H 
5.3.3 - Perda de carga nos orifícios e bocais 
No caso de um orifício, a carga total equivale à energia de velocidade do jato 
acrescida da perda na saída: 
v2 v2 
H=-+k-, 
2g 2g 
1 
TUBOS CURTOS SUJEITOS À DESCARGA LIVRE 
+ ---------------··vz 
Õh=k2 -. .. 1 V: 
- . ----. ---- 2g 
Figura.5.24 
v 2 + kv2 = 2gH :. V= ~ .J2gH 
'\fl+k 
E, como 
81 
conhecida expressão que permite o cálculo da perda de carga em um orifício, em 
um bocal ou na entrada de uma canalização. 
Tomando-se o valor prático para bocais, Cv = 0,82, 
( 
1 J v 2 
v2 ôh == 0,822 -1 2g = 0,50 2g. 
5.3.4 - Perdas nas tubulações retilíneas 
Tratando-se, porém, de um tubo ou de uma simples tubulação retilínea, além 
da perda localizada na entrada (0,5 v 2/2g) e da carga correspondente à velocidade 
(v2 /2g) existe ainda a perda por atrito ao longo das peças (h
1
) 
v2 v2 
H=O,S-+-+hr, 
2g 2g 
H = 1 5 v
2 
+f Lv
2 
(fórmula Universal-veja capítulo 8) 
' 2g D2g' 
2gH=( 1,5+ f~ J v 2 
:. v= 
2gH 
L 
l,5+f­
D 
2gH 
Q=Av=A 1--"'--­
L' 
1,5+/ D 
Q=-6.J2gH, 
~1,s+JD 
que também poderá ser escrita da forma 
Q=~A .J2gH 
· 1 L -+f­c2 D 
V 
82 
Como 
ORIFICIOS. BOCAIS E TUBOS CURTOS 
cd"'ITT1 1 L -+f­c2 D 
V 
Os valores do coeficiente de atritofvariam com a velocidade média do líquido 
e com o diâmetro da canalização, para as mesmas condições de temperatura e de 
rugosidade das paredes. O aumento de velocidade corresponde a um decréscimo 
no valor dej. 
No caso de tubos muito curtos, com descarga livre, a dificuldade reside na 
fixação do valor adequado de/, não somente porque, ao se procurar determinar a 
vazão, a velocidade é desconhecida, como também devido ao fato de não se contar 
com valores experimentais correspondentes às grandes cargas e velocidades 
elevadas. 
5.3.5 - Condições de entrada nos tubos 
Examinando-se as condições de entrada nos tubos sob o ponto de vista teórico, 
verifica-se que o regime normal de escoamento somente é atingido após um certo 
percurso inicial. Ao fim desse trecho de transição é que se pode encontraruma 
distribuição de velocidades capaz de caracterizar um regime de escoamento. Daí a 
necessidade de se considerar os dois casos que ocorrem na prática: o escoamento 
em regime laminar e o escoamento em regime turbulento. 
Nenhuma das fórmulas práticas estabelecidas para encanamentos, a rigor, 
poderia ser aplicada para as condições que prevalecem nesse trecho inicial. 
5.3.6 - Escoamento em regime laminar 
Nesse caso, se a seção de entrada no tubo for bem arredondada, de modo a 
evitar contrações, todas as partículas do líquido entrarão no tubo e começarão a 
escoar por ele com a mesma velocidade. exceção feita para uma camada muito 
pequena junto às paredes do tubo, que sofrerá a sua influência. 
De início, portanto, as partículas vão escoar praticamente com a mesma 
v2 
velocidade v, sendo 2 a energia cinética da massa. g . 
À medida que as partículas forem escoando ao longo do tubo, os filetes que 
ocupam a parte central vão tendo o seu movimento acelerado, ao passo que as 
partículas mais próximas das paredes ficam retardadas. Como se trata de regime 
laminar, o perfil normal de velocidades é parabólico e as condições de equilíbrio, 
teoricamente, somente seriam atingidas após uma distância infinita. 
Praticamente, Prandtl e Tietjens indicam que o perfil de equilíbrio é obtido 
após um percurso, 
L = 0,13 R,P 
Para R,, = 1 800, por exemplo (número de Reynolds), 
L~ 234D. 
TUBOS CURTOS SUJEITOS À DESCARGA LIVRE 83 
FiguraS.2S 
Com o escoamento laminar, isto é, com a distribuição parabólica de velocidades, 
v2 
a energia cinética será igual a 2 
2
g . 
N 
. d .. ,. , v2 2v2 
o percurso menc10na o, a energia c1netica passara, portanto, de - a--. 2g 2g 
5.3. 7 - Escoamento em regime turbulento 
Com o escoamento turbulento, as condições de regime serão alcançadas mais 
rapidamente que no caso anterior. 
Teoricamente, admite-se que, a partir da aresta de entrada (O), constitui-se uma 
camada em que o escoamento é laminar, camada essa que vai se tornando mais 
espessa até um valor crítico z, a partir do qual a espessura se reduz repentinamente 
a um valor relativamente pequeno (ô), que se mantém constante (filme laminar). 
Em z, origina-se uma camada que limita o escoamento turbulento em regime, 
cuja espessura aumenta muito rapidamente. 
o 
No ponto em que convergem essas novas camadas (considerando o perfil de 
um tubo conforme mostrado no 
desenho), as condições de regime 
são atingidas em toda a seção de 
Djst. L Filme laminar 
escoamento. As condições de 
equilíbrio nesse caso são alcan­
çadas após um percurso muito 
menor que no caso anterior, 
podendo-se estimar em 20 a 40 
diâmetros, a contar da borda de 
entrada. Devido à curvatura 
acentuada do trecho zt, o regime 
estabelece-se muito mais rapi­
FiguraS.26 
damente do que se verificaria 
parazt'. 
84 ORIFÍCIOS, BOCAIS E TUBOS CURTOS 
5.3.8 - Processo expedito de cálculo da vazão 
Em vista das dificuldades que se apresentam para o tratamento do problema 
com o máximo rigor teórico, apresenta-se vantajoso para o engenheiro o 
processo expedito de cálculo, que se considera a seguir. 
A determinação da vazão de tubos muito curtos, sujeitos à descarga livre, 
pode ser feita aplicando-se a expressão geral de descarga nos bocais; assim 
onde 
Q=vazão, emm3/s; 
A= seção de escoamento (área útil do tubo), em m 2 ; 
g=9,8 m / s2 ; 
H = carga inicial disponível, em m. 
O coeficiente de descarga Cd (ou coeficiente de velocidade Cv) dependerá 
do comprimento relativo do tubo, isto é, de L/D. 
Para orifícios em paredes delgadas, 
L 
D p'); 
(b) vertedores incompletos ou afogados (pchanfrada); 
(b) vertedores em parede espessa (e> 0,66H), (Fig.6.5) 
4. Largura relativa 
(a) vertedores sem contrações laterais (L ~ B); 
(b) vertedores contraídos (L :·•;;·_. 
sendo Q dada em m 3/s. L e Hem m. 
A Tab.6.1 inclui valores calculados pela fórmula de Francis para um metro de 
largura de vertedor. 
6.5.2 - Fórmula da Sociedade Suíça de Engenheiros e Arquitetos 
- ( 1.816 i l+o.s( __!!_) ']LH'". Q- 1.816 + 1000H+1,6)l H+p 
6.5.3 - Fórmula de Bazin 
Q = ( o,405+~ 11+0,ss( ~ J} LH.J2gH 
m 
INFL U ÊN C I A DAS CONTRAÇÕES 
Tabela 6.1 - Vertedores retangulares em parede delgada, sem 
contrações. 
Fórmula de Francis, vazão por metro linear de soleira• 
AlturaH.cm Q.!/s AlturaH,cm Q.e; s 
3 9,57 25 230,0 
4 14,72 30 302,3 
5 20,61 35 381.1 
6 27,05 40 465,5 
7 34,04 45 555,5 
8 41,58 50 650,6 
9 49,68 55 750,5 
10 58,14 60 855,2 
11 67,12 65 964.2 
12 76,53 70 1 077,7 
13 86,24 75 1195,1 
14 96,34 80 1 316,5 
15 106,90 85 1442,0 
20 164,50 90 1571,0 
• P3I8. os vertedores com largura menor ou maior que um metro, multiplica.m.-se os 
valores da vazão pela largura real 
91 
Os valores de m encontram-se tabelados em diversos livros de hidráulica, 
resultando a seguinte apresentação para ·a fórmula de Bazin. 
Essas fórmulas são válidas para os vertedores, nos quais atua a pressão 
atmosférica da lâmina vertente (espaço Wocupado pelo ar, Fig. 6.8). Na fórmula de 
Francis está desprezada a velocidade de chegada da água. 
6.6 - INFLUÊNCIA DAS CONTRAÇÕES 
As contrações ocorrem nos vertedores cuja largura é inferior a do canal em 
que se encontram instalados (L p. 
Nos vertedores afogados, a vazão diminui à medida que aumenta a 
submergência. 
De acordo com os dados do U.S. of Board Waterways, a vazão desses vertedores 
pode ser estimada com base nos valores relativos à descarga dos vertedores livres, 
aplicando-se um coeficiente de redução. 
Tabela 6.2 - Coeficiente para vertedores afogados 
h/H Coeficiente h/H Coeficiente 
0,0 1,000 0,5 0,937 
0,1 0,991 0,6 0,907 
0,2 0,983 0,7 0,856 
0,3 0,972 0,8 0,778 
0,4 0,956 0,9 0,621 
Sendo h a altura da água acima da soleira, medida a jusante. 
h =p'-p. 
6.10 - VERTEDOR TRIANGULAR 
Os vertedores triangulares possibilitam maior precisão na medida de cargas 
correspondentes a vazões reduzidas. São geralmente trabalhados em chapas 
metálicas. Na prática, somente são empregados os que têm forma isósceles, sendo 
mais usuais os de 90°. 
Para esses vertedores, adota-se a fórmula de 
Thompson, 
onde Q é a vazão, dada em m 3/s, e H, a carga, dada em 
Figura 6.18 m. 
O coeficiente dado (1,4), na realidade, pode assumir valores entre 1,40 e 1,46. 
Para Q em f/s e Hem cm. 
Q = 0,014 . H512 
A Tab. 6.3 inclui as vazões já calculadas para as cargas mais comuns. 
:i 
J 
,1 
!!I 
96 VERTEDORES 
Tabela 6.3 - Vertedores triangulares para pared~s delgada e lisa. 
Fórmula de Thompson 
Altura H, cm. Q,e/s AlturaH,cm Q,e/s 
3 0,22 17 16,7 
4 0,42 18 19,2 
5 0,80 19 22,0 
6 1,24 20 25,0 
7 1,81 21 28,3 
8 2,52 22 31,8 
9 3,39 23 35,5 
10 4,44 24 39,5 
11 5,62 25 43,7 
12 6,98 30 69,0Ribeiro 
Prof. Ariovaldo Nuvolari 
Prof. Wladimir Firsoff 
Prof. Edmundo Pulz 
Prof. Joaquim Gabriel M. de Oliveira Neto 
Tive o privilégio de conhecer parte dos membros dessa equipe, desde o tempo em que eram 
alunos da Escola Politécnica da USP e da, Faculdade de Tecnologia do CEETEPS; outros, de 
trabalharmos juntos na área de consultoria técnica. Muitos deles foram companheiros de luta no 
Departamento de Hidráulica da FATEC/São Paulo, que dirigí por alguns anos. 
Tenho a certeza de que o espírito deste manual continua vivo através do objetivo maior do 
nosso saudoso Prof. Azevedo Netto, que é estar sempre c9mpromíssado com a "Escola do Fazer". 
No futuro, outras edições serão necessárias para adaptá-lo às inovações tecnológicas e 
normalização da ABNT. Gostaria que fossem elaboradas seguindo uma filosofia de trabalho que 
sempre me orientou durante todos esses anos: 
"A vida é a eterna luta em busca da perfeição"'. 
Kokei Uehara 
Professor Titular da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 
Departamento de Engenharia Hidráulica e Sanitária 
Usina de .Mar.mel os, Juiz de Fora, MG, pr:ü:ncira hidrclétri13 8,54 35 101,5 
14 10,25 40 141,7 
15 12,19 45 190,1 
16 14,33 50 247,5 
6.11 - VERTEDOR CIRCULAR (EM PAREDE VERTICAL) 
O vertedor de seção circular, embora raramente empregado, oferece como 
vantagem a facilidade de execução e não requer o nivelamento da soleira. 
A equação de vazão de um vertedor circular é a seguinte: 
Q = 1,518 no,sg3 H1,ao1 
Q em m 3/s,D eHemm 
D e 
Figura 6.19- Vertedor circular Figura 6.20 - Vertedor tubular 
6.12 - VERTEDOR TUBULAR, TUBOS VERTICAIS LIVRES 
Os tubos verticais instalados em tanques, reservatórios, caixas de água, etc. 
podem funcionar como vertedores de soleiras curvas, desde que a carga seja infe­
rior à quinta parte do diâmetro externo (Fig. 6.20). 
He com 0,80 m de largura (largura média do córrego = 
1,35 m). A água elevou-se a 0,12 m acima do nível da soleira do vertedor. 
Verificar se esse manancial é suficiente; adote um coeficiente de segurança 
igual a 3, pelo fato de ter sido feita uma única medição de vazão. 
Calcula-se o volume de água per capita no dia de maior consumo, 
200 X 1,25 = 250 e/dia. 
Sendo o número de habitantes 5 600 e com base no resultado do cálculo ante­
rior, determina-se o volume total necessário: 
5 600 habitantes x 250 e/dia= 1 400 000 e/dia. 
Por sua vez, a vazão em e;s é 
1 400 000 ~ 86 400 = 16 e;s, 
e a vazão medida, 
Q = 1 838 (L - 0,2 H) FJ.312, 
Q = 1 838 (0,80 - 0,2 x 0,12) 0,12312 = 0,059 m 3/s = 59 e;s. 
Esse córrego, mesmo com um coeficiente de segurança 3, tinha a vazão 
necessária para abastecer tal cidade. 
6.17 - CRITÉRIOS GERAIS DE CLASSIFICAÇÃO DOS VERTEDORES 
O fato de se apresentarem os vertedores com as mais variadas formas e 
disposições explica, em parte, a falta de generalização e sistematização comum ao 
tratamento do assunto pelos tratadistas.~-----------------,. 
Muitos são os fatores que podem 
servir de base à classificação 
dos vertedores. 
1. Forma 
a) simples; 
b) compostos. 
2. Natureza das paredes 
a) em parede delgada; 
b) em parede espessa. 
3. Forma da lâmina vertente 
a) de lâmina livre; 
b) de lâmina alterada. 
4. Largura. 
a) contraídos; 
b) sem contrações. 
y 
3 
2 
N 
li 
o.. 
8 
li 
o.. 
" ~,:, 
/ 
/ '2.\ 
/ . \'"' 
/ .--· 
,' / -----, / _ .. -
, / --· 
✓t-··· 
2 3 
Figura.6.29 
iJ 
. !:/: 
n 
: 'I 
li 
f1 
i 'l' 
ti 
1 ! 
i:: : 
'.• 1 
JI 
i1. 
1. w.·· 
' ~ 
104 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 
Perfil da soleira 
a) arredondados; 
b) de crista viva 
Altura da soleira 
a) completos ou livres: 
b) incompletos ou afogados. 
Posição da parede 
a) de parede vertical; 
b) de parede inclinada. 
Posição do vertedor em relação à corrente 
a) normais; 
b) laterais. 
Perfil do fundo 
a) em nível; 
b) em degrau. 
Normalização 
a) padrão ou standard 
b) particulares 
6.18 - VERTEDORES EXPONENCIAIS 
VERTEDORES 
A forma dos vertedores, especialmente dos vertedores de parede delgada, 
constitui o objeto deste capítulo. 
Entre os vertedores de forma simples são particularmente interessantes os 
denominados exponenciais . 
Os vertedores exponenciais são aqueles para os quais a forma da soleira é 
expressa por 
y=CxP 
Variando-se o valor do expoentep, varia-se a forma do vertedor. Assim, parap 
= 1, tem-se o vertedor triangular: fazendo-se p = 2 resulta a forma parabólica. Na 
Fig.5.29 foram considerados os valores mais comuns de p. 
Equação geral de vazão 
Seja um vertedor de forma 
y=CxP. equação (2) 
equação (3) 
Considerando-se uma faixa de altura infiiiítamente pequena, a vazão elementar 
será: 
e a vazão total, 
'T 
! 
VERTEDORES EXPONENCIAIS 
Substituindo-se x pelo seu valor na equação (3) 
Q = zcd✓zg H312+11p rH y1'P (1- YJ112 d(YJ 
C11P Jo H 11P H H 
Fazendo-se y/H = z 
integral euleriana de primeira espécie, ou 
função beta*, que pode ser relacionada à 
função gama, 
r(1 + 2.Jr(iJ 
Q= 2Ca.fii. P 2 H3/2+11p 
C
11
P (5 lJ r-+-
2 p 
y 
105 
eqw,.ção(4) 
Os valores de r podem ser rapidamente calculados, baseando-se nas 
propriedades 
r (u + 1) = ur (u) (para u > O); 
r (u + 1) "'u! 
Por exemplo, o cálculo der (2, 75) seria feito 
r (2, 75) = r c1 + 1, 75) = 1, 75 r (1, 75) = 1, 15 x o,s20 = 1,61. 
Tabela 6. 7 - Valores deu! 
u (u + 1) f(u+l)-u! 
o.o 1,0 1,000 
0,1 1,1 0,951 
0,2 1,2 0,918 
0,3 1,3 0,898 
0,4 1,4 0,887 
0,5 1,5 0,886 
0,6 1,6 0,893 
0,7 1,7 0,909 
0,8 1,8 0,931 
0,9 1,9 0,962 
1,0 2,0 1,000 
• A iDtegraJ. euleria.na de primeira. espécie ou fUZ1.ção beta é expressa por 
/3 (a,b) 1 x•-1(1-x),,.1dx 
sendo a e b constantes. A fUZ1.ção gama é definida por 
Entre as fUZ1.ções fj e r: subsiste a relação /J(ll,b) = r(a)r(b) 
r(a+b) 
(u > O) 
·,! 
1 ' •:'· • 
,, : 
fl .t 
i' 
lt 
106 
A fórmula geral, que dá a vazão dos vertedores, pode ser escrita 
Q = k 1IF' 
onde 
2cdf2ir{1+½ ){½) 
k 1 = ,..{ ) ci'p·l}+½ 
sendo Cd o coeficiente de descarga, cujo valor médio é 0,61. 
6.19 - RELAÇÃO ENTRE OS EXPOENTES n E P 
Comparando-se as eqs. (4) e (5) resulta 
3 1 -+-=n 
2 p 
VERTEDORES 
equação (5) 
equaçiio (6) 
Para n = 1, p = -2; é o caso do vertedor proporcional, para o qual Q varia com a 
primeira potência de H. 
Os vertedores podem ser projetados de forma a resultar, para Q, uma vari~ção 
segundo qualquer potência de H. Na prática, porém, não se toma para n valor infe­
rior ou exatamente igual à unidade, 
pois, nesse caso, a largura da base 
do vertedor assumiria valor infi­
nito. 
Contudo, como é particular-
mente interessante e desejável 
tomar n praticamente igual à 
unidade, de modo a resultar para a 
vazão um variação linear com a 
profundidade H, costumam-se 
empregar formas ajustadas do 
vertedor proporcional. Com esse 
objetivo pode-se substituir a área 
compreendida sob a curva, a partir 
de um certo valor de x, pela área 
equivalente, cortada sob a soleira 
t eórica, Fig. 6.31. É uma forma 
aproximada, conhecida como verte-­
dor Rettger. 
Tais vertedores têm tido em-
Área 
substituída 
e 
..,, 1i,l,~ 
J 
l 
-f.-
T 
' 
1 
1 
' 
1 
1 
Figura6.31 
Soleira 
teórica 
::l 
prego generalizado para controlar _ _ _ a velocidade em canais, particularmente em ca1xas de areia de estaçoes 
depuradoras, e para manter as descargas desejáveis de certos equipamentos para a 
dosagem e aplicação de produtos químicos. 
6.20 - FATOR DE FORMA 
A área ocupada pela lâmina vertente pode ser expressa por: 
A = k 2 H'D cquaçi.o(7) 
\ .. 
RELAÇÃO ENTRE OS EXPOENTES m E n 
107 
em que m é denominado fator de forma. 
Para valores de m superiores a 2, resultarão vertedores com soleiras convexas. 
Q.UADR06.l 
Vertedores Forma m 
Retangular 1 
Triangular 2 
Proporcional 0,5 
Parabólico 1,5 
Semicúbico 2,5 
6.21 - RELAÇÃO ENTRE OS EXPOENTES m E n 
A relação de escoamento sendo 
V =k3Hll2 
n 
1,5 
2,5 
1 
2 
3 
e comparando-se as eqs. (7) e (8) com a expressão (5) chega-se a 
Q=A-v 
e k 1 • k 2 k 3 
p 
1 
-2 
2 
2/ 3 
equação (8) 
equação (9) 
Teoricamente, portanto, o valor de n deve superar 0,5, condição necessária 
para que haja a luz do vertedor. 
Exercício 6.3 - Achar a equação da soleira de um vertedor para o qual n = 
1,75 e H = 0,305, sendo Q = 22,71/ s. 
Aplicando-se a eq. (4) com os valores dados e Cd = 0,6. 
Q 
2Cd,/2g H
312
+
1
/P{ 1 +; )r( ¾) 
Cl/pr{¾+;) 
n ==.!+2:..= 1,75 
2 p 
.-. p - 4 
' 
' 
~ ·. ~,. 
; ti 
µ 
I! .J 
i1'1.! 
: ': 
:\l 
!;11. 
' .j 
. j 
108 
114 _ 2xo,6x.[2io,sos1·15 . r(1+¼)r(f) 
e - 0,0221 r(f +¼) 
2X 0,6x4,43X0,3051
•
75
. r(1+0,25)r(l+ 0,50) cit • 
0,0227 r(l+l,75) 
1
,, _ 1,2x4,43x0,1252. 0,908x0,886 
e - 0,0221 1,61 
Cl/4 = 14,65. 
e = 46 ooo. 
y =Cx.P. 
y =46000x4, 
que é a equação da soleira . 
VERTEDORES 
Exercício 6.4 _ Determinar a equação da curva de u?: vertedor exponencial 
de vazão equivalente a de um vertedor circular de d1ametro 0,457 m. 
A equação de vazão de um vertedor circular, em unidades métricas, é 
Q = l,SlS D0,693 H1Ỽ1 
Q = 1,518 X 0,457º·693 H 1·
807 
e a equaçã~ que dará um vertedor exponencial é 
2Cd.{2iH312+itp r(l+! )r(¾) 
Q = citp r( % + ~) 
Igualando as equações ( 1 ) ( 3) r 1+- r -
in= p 2 1,518X0,457º/;93H 1
1l0
7 =2Cd-v.:.gHl/2
H/p ( ) 
Para que haja igualdade, 
c11pr ~+..!.. 
2 p 
1,so1 = I+..!.. .-. P = 3,26 
2 p 
2cd.Jiir(1+ ~ )r(f) 
1,518x0,457°·693 =---_,,_.::....o_-,~ 
c1'Pr(f + ~) 
2x0,6 x4,43 x 0,898 x0,886 
o, 8824 = cº.:io1 x 1,687 
o.:,o7 _ 1,20 X 4,43 X 0,898 X 0,886 
C - 0,8824x 1,687 
Co,307 = 2,841 
e =30 
y = CxP, 
Y = 30xs,2s 
que é a equação procurada. 
1 
1 
1 
109 
ESCOAMENTO EM 
~ 
TUBULAÇOES 
ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA MECÂNICA 
7.1 - INTRODUÇÃO. DEFINIÇÕES 
A.maioria das aplicações da Hidráulica na Engenharia diz respeito à utilização 
de tubos. Tubo é um conduto usado para transporte de fluidos, geralmente de seção 
transversalcircular. Quando funcionando com a seção cheia (seção plena), em geral 
estão sob pressão maior que a atmosférica e, quando não, funcionam como canais 
com superfície livre, assunto a ser tratado em capítulos posteriores·. Em ambos os 
casos, as expressões aplicadas ao escoamento têm a mesma forma geral, como se 
verá adiante. 
! ' -~-
•·· . 8.:B . 
Considera-se forçado o conduto no qual o líquido escoa sob pressão diferente 
da atmosférica. A canalização funciona, sempre, totalmente cheia e o conduto é 
sempre fechado (Fig. 7.1). 
j,­
,j 
li 
! 110 ESCOAMENTO EM TUBULACÔES 
Os condutos livres apresentam., em qualquer ponto da superfície livre, pressão 
igual à atmosférica. Nas condições-limite, em que um conduto livre funcio~a 
totalmente cheio, na linha de corrente junto à geratriz superior do tubo, a pressao 
deve igualar-se à pressão atmosférica (Fig. 7.2). Funcionam sempre por gravidade. 
Na prática, as canalizações podem ser projetadas e executadas para funcionarem 
como condutos livres ou como encanamentos forçados. 
Os condutos livres são executados com declividades preestabelecidas, exigindo 
nivelamento cuidadoso. 
As canalizações de distribuição de água nas cidades, por 
exemplo, sempre devem funcionar como condutos forçados. Nesse 
caso, os tubos são fabricados para resistir à pressão interna 
estabelecida. 
Os rios e canais constituem o melhor exemplo de condutos 
livres. Os coletores de esgoto, normalmente também funcionam 
como condutos livres. 
Os condutos forçados incluem 
encanamentos, 
canalizações ou tubulações sob pressão, 
canalizações ou tubulações de recalque, 
canalizações ou tubulações de sucção, 
sifões verdadeiros, 
sifões invertidos, 
colunas ou "shafts", 
canalizações forçadas das usinas hidrelétricas ("penstocks"). 
barriletes de sucção ou descarga, 
Os condutos livres compreendem 
canaletas, 
calhas, 
drenos, 
inteceptores de esgoto, 
pontes - canais, 
coletores de esgoto, 
galerias, 
túneis - canais, 
canais, 
cursos de água naturais. 
po 
•
r 
-------
Figu:ra 7.2 
Porque distinguir tubo, tubulação, cano e encanamento? Pelo uso prático dado 
a cada um: 
Tubo. Uma só peça, geralmente cilíndrica e de comprimento limitado pelo tamanho 
de fabricação ou de transporte. De um modo geral, a palavra tubo aplica-se ao material 
fabricado de diâmetro não muito pequeno. Exemplo: tubos de ferro fundido, tubos de 
concreto, tubos de aço, tubos PVC, tubos de polietileno. 
Tubulação. Conduto constituído de tubos (várias peças) ou tubulação contínua 
fabricada no local. É o termo usado pcinemática é 
'U = 0,000001 m 2/s (1 - 10-s) 
Em uma canalização de diâmetro relativamente pequeno como, por exemplo, 
50 mm, teríamos 
R = vD = 0,90x0,05 =45 000 
~ V 0,000001 
Valor bem acima de 4 000. Para diâmetros maiores, os valores de R., seriam 
bem superiores. 
O contrário se verifica quando se tratar de líquidos muitos viscosos·, como óleos 
pesados, etc. 
Exercício 7.1 - Uma tubulação nova de aço com 10 cm de diâmetro conduz 
757 m 3/dia de óleo combustível pesado à temperatura de 33 ºC. Pergunta-se: 
o regime de escoamento é laminar ou turbulento? Informa-se a viscosidade 
do óleo pesado para 33 ºC: 
Q =757m3/dia = ~= 0,0088m3/s 
86.400 
A= nD2 = no,102 =0,00785m2 
4 4 
Q 0,00880 
Q=Av:.v=-=---=110m/s 
A 0,00785 ' 
v = 0,000077m2/s 
R = 1,1oxo,10 ~ 1400 
" 0,000077 
Portanto o movimento é laminar. 
'7.5 - PERDAS DE CARGA: CONCEITO E NATUREZA 
A adoção de um modelo perfeito para os fluidos 
•não introduz erro apreciável nos problemas da 
Hidrostática. Ao contrário, no estudo dos fluidos em 
movimento não se pode prescindir da viscosidade e 
seus efeitos. 
No escoamento de óleos, bem como na condução 
da água ou mesmo do ar, a viscosidade é importante 
fator a ser considerado. 
Quando, por exemplo, um líquido flui de (1) para 
(2), na canalização indicada na Fig. 7.9, parte da 
energia inicial se dissipa sob a forma de calor; a soma 
das três cargas em (2) (teorema de Bernoulli) não se 
iguala à carga total em (1). A diferença h 1 , que se 
denomina perda de carga, é de grande importância 
no problemas de engenharia e por isso tem sido 
objeto de muitas investigações. 
A resistência ao escoamento no caso do regime 
Figura 7.8-Fotogra.fia 
mostrando fifa.mentos 
coloridos para diversos valores 
do número de Reynolds. 
CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA 115 
--r ~f -
-r~-
-1 Z1 --~----
Plano de referência 
Z2 
._ _______________________ _.Figura 7.9 
laminar é devida inteiramente à viscosidade. Embora essa perda de energia seja 
comumente designada como perda por fricção ou por atrito, não se deve supor que 
ela seja devida a uma forma de atrito como a que ocorre com os sólidos. Junto às 
paredes dos tubos não há movimento do fluido. A velocidade se eleva de zero até o 
seu valor máximo junto ao eixo do tubo. Pode-se assim imaginar um.a série de camadas 
em mÕvimento, com velocidades diferentes e responsáveis pela dissipação de energía. 
Quando o escoamento se faz em regime turbulento, a resistência é o efeito 
combinado das forças devidas à viscosidade e à inércia. Nesse caso, a distribuição 
de velocidades na canalização depende da turbulência, maior ou menor, e esta é 
influenciada pelas condições das paredes. Um tubo com paredes rugosas causaria 
maior turbulência. 
A experiência tem demonstrado que, enquanto no regime laminar.a perda por 
resistência é uma função da primeira potência da velocidade, no movimento 
turbulento ela varia, aproximadamente, com a segunda potência da velocidade. 
7.6 - CLASSIFICAÇÃO DAS PERDAS DE CARGA 
Na prática, as canalizações não são constituídas exclusivamente por tubos 
retilíneos e de mesmo diâmetro. Usualmente, incluem ainda peças especiais e 
conexões que, pela forma e disposição, elevam a turbulência, provocam atritos e 
causam o choque de partículas, dando origem a perdas de carga. Além disso, 
apresentam-se nas canalizações outras singularidades, como válvulas, registros, 
medidores, etc., também responsáveis por perdas dessa natureza. 
Devem ser consideradas, pois, as perdas apresentadas a seguir. 
a) Perda por resistência ao longo dos condutos. Ocasionada pelo movimento 
da água na própria tubulação. 
Admite-se que essa perda seja uniforme em qualquer trecho de uma canalização 
de dimensões constantes, independentemente da posição da canalização. Por isso 
também podem ser chamadas de perdas contínuas. 
b) Perdas locais, localizadas ou acidentais. Provocadas pelas peças especiais e 
demais singularidades de uma instalação. 
116 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
Essas perdas são relativamente importantes no caso de canalizações curtas com 
peças especiais; nas canalizações longas, o seu valor freqüentemente é desprezível, 
comparado ao da perda pela resistência ao escoam.ento. 
7.7-PERDADE CARGAAO LONGO DAS CANALIZAÇÕES. RESISTÊNCIA 
AO ESCOAMENTO 
Poucos problemas mereceram tanta atenção ou foram tão investigados quanto 
o da determinação das perdas de carga nas canalizações. As dificuldades que se 
apresentam ao estudo analítico da questão são tantas que levaram os pesquisadores 
às investigações experimentais. Assim foi que, após inúmeras experiências 
conduzidas por Darcy e outros investigadores, com tubos de seção circulai-, concluiu­
se que a resistência ao escoamento da água é 
a) diretamente proporcional ao comprimento da canalização (-rr.DL). 
b) inversamente proporcional a uma potência do diâmetro (1/Dm). 
c) função de uma potência da velocidade média (vD). 
d) variável com a natureza das paredes dos tubos (rugosidade), no caso do 
regime turbulento(.k'). 
e) independente da posição do tubo: 
f) independente da pressão interna sob a qual o líquido escoa. 
g) função de uma potência da relação entre a viscosidade e a densidade do 
fluido (µJpY. 
Para uma tubulação, a pe:r:,da de carga pode ser expressa como 
hr = k'x7CDLx-1-xvª x(f!:._)r nm p 
simplificando ao fazer m = p + 1: 
fazendo k = k'1t ( * Y 
h -kLv" , - --
JY' equação(1) 
sendo (1) a equação básica para a perda de carga em tubulações, considerando 
desprezíveis na prática (ou incluídos no coeficiente "k"), os efeitos das variações 
de densidade e viscosidade da água nas temperaturas e velocidades usuais 
A equação (1) também pode ser escrita assim: 
h, JY' = kv" 
L equação (2) 
Designando-se h/L por J, isto é, a perda de carga unitária (por m de canalização) 
vem: 
DP · J = k · vn ou D· J = cp (v) 
O coeficiente k considera as condições dos tubos (questão complexa). As fórmulas 
empíricas propostas para determinadas condições e a fórmula Universal, 
substituem, na prática, essa expressão geral. 
T 
PERDA DE CARGA AD LONGO DAS CANALIZAÇÕES. RESISTÊNCIA AO ESCOAMENTO 117. 
Para que as equações (1) e (2) tenham aplicação prática, é necessário conhecer 
f' k", "p" e "n". Foi Chezy, por volta de 1775 que observou que a perda de carga pela 
passagem de água sob pressão em tubos variava mais ou menos com o quadrado 
da velocidade da água, ou seja, atribuiu o valor "2"para "n". Posteriormente, por 
volta de 1850, Darcy e Weisbach sugeriram um novo aprimoramento para a equação 
(1), considerando "p" igual a "l ", e multiplicando numerador e denominador por "2g": 
h = (k" • 2g) L · v
2 
equaçiio (3) 
r D•2g 
Chamando (k" • 2g) de "f" ou coeficiente de atrito, obtém-se a fórmula de cálculo 
de tubulações conhecida como fórmula de Darcy-Weisbach ou ainda "fórmula Uni­
versal": 
equaçiio (4) 
que já tem aplicabilidade prática ao exprimir a perda de carga em função da 
veloc~dade na tubulação, e ter homogeneidade dimensional. 
Entretanto, a fórmula de "Darcy" apresenta dificuldades: 
a) Em escoamento turbulento, que ocorre quase sempre na prática, a perda 
de carga não varia exatamente com o quadrado da velocidade, mas sim 
com uma potência que varia normalmente entre 1, 75 a 2. Para contornar 
essa dificuldade, corrige-se o valor de "f", de forma a compensar a 
incorreção na fórmula. 
b) Considerando que v=QI A, v=4-,e se "Q", "f" e "L" forem conhecidos, 
n:D /4 
tem-se que a equação ( 4) resulta em h 1 = a/DS. ou seja, a perda de carga é 
inversamente proporcional à 5a. potência do diâmetro, o que não se verifica 
na prática, pois as experiências demonstram que o expoente de (D) é 
próximo ?-e 5,25. Tal dificuldade é mais uma vez ajustada no valor de "f". 
e) O coeficiente de atrito "f", que pelo visto acaba sendo uma função da 
rugosidade do tubo, da viscosidade e da densidade do líquido, da velocidade 
e do diâmetro, apesar de todas as pesquisas a respeito, não teve seu valor 
estabelecido através de uma fórmula. Assim, seu valorserá sempre obtido 
de tabelas e gráficos, onde são anotados pontos observados na prática e 
por experiências, e onde são interpolados os valores intermediários, com 
a limitação de que correspondem a determinada situação de temperatura, 
rugosidade, etc., difíceis de se reproduzirem exatamente. 
Tais düiculdades, no entanto, não devem ser tomadas como invalidação do 
método, que atende muito bem às necessidades normais da engenharia, mas como 
campo aberto à pesquisa e desenvolvimento, para que se chegue a resultados 
teóricos os mais próximos da realidade, ampliando a aplicação da hidráulica. 
7. 7.1 - Natureza das paredes dos tubos: rugosidade 
Analisando-se a natureza ou rugosidade das paredes, devem ser considerados: 
a) o material empregado na fabricação dos tubos; 
b) o processo de fabricação dos tubos; 
e) o comprimento de cada tubo e número de juntas na tubulação; 
'i'° 
•1' 
I" 
1 
·.1'1.·: 
1•; 
J 
'J 
r 
118 ESCOAMENTO EM TUSULAÇóES 
d) a técnica de'assentamento; 
e) o estado de conservação das paredes dos tubos; 
f) a existência de revestimentos especiais; 
g) o emprego de medidas protetoras durante o funcionamento. 
Assim por exemplo, um tubo de vidro é mais liso e oferece condições mais 
favoráveis ao escoamento que um tubo de ferro fundido Uma canalização de aço 
rebitado opõe maior resistência ao escoamento que uma tubulação de aço soldado. 
Por outro lado, os tubos de ferro fundido ou de aço, por exemplo, quando novos, 
oferecem resistência menor ao escoamento que quando usados. Com o tempo, esses 
tubos são atacados por fenômenos de natureza química relativos aos minerais pre­
sentes na água, e na sua superfície interna podem surgir protuberâncias "tubércu­
los" ou reentrâncias (fenômenos da corrosão). Essas condições agravam-se com o 
tempo(Fig. 7.10c). Modernamente, tem sido empregados revestimentos internos 
especiais com o objetivo de eliminar ou minorar esses fenômenos. 
Outro fenômeno que pode ocorrer nas canalizações é a deposição progressiva 
de substâncias contidas nas águas e a formação de camadas aderentes -incrustações 
- que reduzem o diâmetro útil dos tubos e alteram a sua rugosidade (Fig. 7.10b). 
Essas incrustações verificam-se no caso de águas muito duras, com teores elevados 
de certas impurezas. O mais comum é a deposição progressiva de cálcio em águas 
calcáreas. 
Figura 7.1.0 
Alterações na 
superfície 
internado 
tubo 
Tubo novo Incrustação Corrosão Tuberculização 
Os fatores apontados devem ser considerados quando se projetam instalações 
hidráulicas. 
7. 7.2 - Influência do envelhecimento dos tubos 
Com o decorrer do tempo e em conseqüência dos fatores já apontados, a capacidade 
de transporte de água das tubulações de ferro fundido e aço (sem revestimentos 
especiais) vai diminuindo. De acordo com as observações de Hazen e Williams, a 
capacidade decresce de acordo com os dados médios apresentados na Tab. 7.1. 
Tabela 7.1 - Capacidade das canalizações de ferro e aço. 
(Sem revestimento permanente interno) 
D~4" 6" 10" 16" · 20" 30" 
Idade (100 mm) (150 mm) (250mm) (400 mm) (500mm) (750mm) 
tubos novos Q=100% 100 100 100 100 100 
após l0anos Q- 81% 83 85 86 86 87 
após20anos Q- 68% 72 74 75 76 77 
após30anos Q, , 58%62 65 õ7 68 69 
após40anos Q. , 50%55 58 61 62 63 
após50anos Q, , 43%49 54 56 57 59 
p E R D A D E e A R G A A o Lo N G o D A s e A N A L I z A ç ô E s • R E s I s TE N e I A A o E s e o A M E N To 119 
Os tubos não metálicos costumam apresentar capacidade constante ao longo 
do tempo, a menos de algum fenômeno de incrustação específica, o mesmo 
ocorrendo com os tubos de cobre. 
7.7.3 - Problemas práticos de encanamentos 
Nos problemas de encanamentos são quatro os elementos hidráulicos: D, J, v e Q. 
As equações disponíveis são duas: 
a) equação da continuidade, Q =Av 
b) equação de resistência, DJ =como as 
observações mais recentes da Marinha dos EUA. 
Verificou-se que o valor de K é praticamente constante para valores do número 
de Reynolds superiores a 50 000. Conclui-se, portanto, que para os fins de aplicação 
prática pode-se considerar constante o valor de K para determinada peça, desde 
que o escoamento seja turbulento, independentemente do diâmetr9 da tubulação 
e da velocidade e natureza do fluido. 
A Tab. 7.3 apresenta os valores aproximados de K para as peças e perdas mais 
comuns na prática. É um quadro elaborado com bases nos dados disponíveis mais 
seguros e fidedignos . 
.. Essa express§o leva a resultados ligeirrune:o.te i:o.feriores a.os experimenta.is, razão por que 
Sai:o.t-Ve:o.a.nt propôs um termo corretivo complementar. com base nos dados experimentais de 
Borda. Posteriormente, H=ok. Archer e outros investiga.dores propuseram correções mais 
lógicas e exatas, que, :o.ão obstante, :o.em sempre são co:o.sideradas :o.a prática. 
122 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
Tabela 7.2 - Valores aproxim.ados de K (perdas localizadas) 
Peça K Peça K 
Ampliação gradual 0,30" Junção 0,40 
Bocais 2,75 Medidor Venturi 2,50 .. * 
Comporta aberta 1,00 Redução gradual 0,15* 
Controlador de vazão 2,50 Saída de canalização 1.00 
Cotovelo de 90º 0,90 Tê, passagem direta 0,60 
Cotovelo de 45º 0,40 Tê, saída de lado 1,30 
Crivo 0,75 Tê, saída bilateral 1.80 
Curvade90º 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,00 
Curvade45° 0,20 Válvula de gaveta aberta 0,20 
Curva de 22,5° 0,10 Válvula borboleta aberta 0,30 
Entrada normal em canalização 0,50 Válvula-de-pé 1,75 
Entrada de Borda 1.00 Válvula de retenção 2,50 
Existência de pequena derivação 0,03 Válvula de globo aberta 10.00 
• Com base on velocidnde nunor (seçii.o menor) Velocidade 1.00 
•• Relati= à velocidade= =:ili=çii.o 
7.8.3 - Perda de carga na entrada de uma canalização (saída de reservatório). 
A perda de carga que se verifica na entrada de uma canalização (saída de 
reservatórios, tanques, caixas, etc.) dependerá bastante das condições que 
caracterizam o tipo da entrada. 
A disposição mais comum, denominada normal, é aquela em que a canalização 
faz um ângulo de 90º com as paredes ou com o fundo dos reservatórios, constituindo 
uma aresta viva. Para essas condições, o valor de K é bem determinado, podendo 
ser tomado igual a 0,5. 
No caso de tubulação reentrante, constituindo a entrada clássica de Borda 
( designação dada em homenagem ao grande hidráulico do século XVIII), as condições 
são desfavoráveis e K assume um valor igual a 1. Se as entradas forem arredondadas, o 
valor de K cairá sensivelmente, igualando-se a 0,05 sempre que for obedecida a forma 
de sino. A entrada arredondada ideal teria a forma de uma tratriz (K = 0,04). 
Na prática, sempre que as proporções· da obra justificarem, poderão ser 
melhoradas as condições da entrada, instalando-se uma redução no início da 
tubulação (vide 5.2.8). 
(a) (b) (e) (d) 
Figura 7.14, (a) Reentrante ou de Borda.; K - 1; (b) Normal; K- 0,5.(c) For.ma de sino; 
K • 0,05. (d) Concordância. cozn um peça. adicional (redução), K- 0,10 
7.8.4- Perda de carga na saída das canalizações (entrada em reservatórios) 
Duas situações podem ocorrer no ponto de descarga das canalizações (Fig. 7.15). 
1 
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 123 
Se a descarga for feita ao ar livre, haverá um jato na· saída da canalização, perdendo­
se precisamente a energia de velocidade: K = 1. Se a canalização entrar em um 
reservatório, caixa ou tanque, haverá um alargamento de seção, caso em que a perda 
corresponderá a um valor de K compreendido entre 0,9 e 1. 
7.8.5 - Perda de carga em curvas 
Um erro comum é a falsa concepção que muitos fazem, imaginando que todos 
os cotovelos ou curvas de raios mais longos sempre causam perdas menores do 
que os de raio mais curto. Na realidade, existe um raio de curvatura e um 
desenvolvimento ótimos para cada curva; veja Tab. 7. 3. 
Tabela 7. 3 - Curvas de 90º 
Relação RJD ➔ 1 11/2 2 4 6 8 
valoresdeK 0,48 0,36 0,27 0,21 0,27 0,36 
7.8.6 - Perda de carga em válvulas de gaveta 
As válvulas e os registros podem oferecer uma grande resistência ao escoa­
mento. Mesmo quando totalmente abertos, haverá uma perda de carga sensível 
devido à sua própria construção. 
Para as válvulas de gaveta totalmente abertas, o valor de K pode variar desde 
0,1 até 0,4, conforme as características de fabricação: 0,2 é um dado médio 
representativo. 
As experiências de Weisbach levaram aos resultados relativos a válvulas de 
gaveta parcialmente abertas; tais resultados acham-se mostrados na Tab. 7. 4. 
Tabela~4-ValoresdeKparaválvulasdegaveta 
d/D s/S* K 
7/8 0,948 0,07 
6/8 0,856 0,26 
,---::t:·-,, -_.- T. --.. , ' , ' 
5/8 0,740 0,81 
4/8 0,609 2,06 
3/8 0,466 5,52 
2/8 0,315 17,00 
1/8 0,159 97,80 
• s/S - vide observação da. Ta.b. 7.5 Figura 7.16 
124 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
7.8.7 - Perda de carga em válvula-borboleta 
AJ:. válvulas-borboleta são de aplicação cada vez mais generalizada em obras 
hidráulicas. 
o valor de K dependerá do ângulo ô, de abertura, sendo aplicáveis os valores 
da Tab.7.5. 
---+--
Figura7.17 
Tabela 7.5 - Valores de K para válvula&-borboleta 
õ s/S* K ô 
5º 0,913 0,24 40° 
10° 0,826 0,52 45° 
15° 0,741 0,90 50° 
20º 0,658 1,54 55° 
25° 0,577 2,51 60° 
30º 0,500 3,91 65° 
35° 0,426 6,22 70° 
• s/S é relação de áreas efetivas da abertura. de passagem 
e da tubulação de seção circular 
s/S* 
0,367 
0,293 
0,234 
0,181 
0,134 
0,094 
0,060 
7.8.8 - Perda de carga devida ao estreitamento de seção 
K 
10,80 
18,70 
32,60 
58,80 
118,00 
256,00 
750,00 
A perda decorrente da redução brusca de diâmetro, de uma seção A1 para uma 
seção A 2, é dada por 
sendo 
h =Kv~ 
l 2g 
K=¼(1-~) 
Se a redução de diâmetro for gradual, a perda será menor. Nesse caso, o valor 
de K, geralmente, está compreendido entre 0,04 e 0,15. 
7.8.9 - Perda de carga devida ao alargamento gradual de seção 
Verifica-se, experimentalmente, que os valores de K dependem da relação en­
tre os diâmetros inicial e final, bem como do comprimento da peça. Para as peças 
usuais, encontra-se que 
PERDAS OE CARGA LOCALIZADAS 
125 
O Prof. C. F. Pimenta dá os seguintês valores para K, em função do ângulo de 
ampliação da peça: 
f!, 5º 10° 20° 40° 60° 80° 120° 
K 0,13 0,17 0,42 0,90 1,10 1,08 1,05 
7.8.10 - Perda de carga em tês e junções 
Quadro 7.2 1 
Esquema Relação de 
Kd Ks vazões 
Kd q-QJ3 0,25 0,05 - q-Qj2 0,40 0,30 ~-~t?-º q=2QJ3 0,50 0,55 
q-Q - 0,90 
q 
!55!... q-QJ3 º·ºº 0,90 o--½ui.=J-~ q~QJ2 0,01 0,92 
q~2QJ3 0,12 1,00 
q~Q - 1,30 
q 
Kd q-Qj3 0,18 desprezível -~-~~--o q-Qj2 0,11 0,11 
q=2QJ3 0,04 0,26 45• 1/K7 
q-Q - 0,38 ;,,; 
º - ~~-a. 
q = QJ3 desprezível 0,55 
q=QJ2 0,02 0,45 
q-2QJ3 0,12 0,32 ~ 45• 
q-Q - 0,40 :-... 
7.8.11 - Método dos comprimentos virtuais 
Um método relativamente recente para se levar em conta as perdas localizadas 
é o dos comprimentos virtuais de canalização. Uma canalização que compreende 
diversas peças especiais e outras singularidades, sob o ponto de vista de perdas de 
carga equivale a um encanamento retilíneo de comprimento maior. É nessa simples 
idéia que se baseia um novo método de grande utilidade na prática para a 
consideração das perdas locais. 
O método consiste em se adicionarem à extensão da canalização, para simples 
efeito de cálculo, comprimentos tais que correspondam à mesma perda de carga 
que causariam as peças especiais existentes na canalização. A cada peça especial 
corresponde um certo comprimento fictício e adicional. Levando-se em 
consideração todas as peças especiais e demais causas de perda, chega-se a um 
comprimento virtual de canalização. 
126 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
As perdas de carga ao longo das canalizações podem ser determinadas pela 
fórmula de Darcy-Weisbach (seção 7. 7) 
h' _ fLv.
2 
t- D2g 
Para determinado encanamento, L e D são constantes e, como o coeficiente de 
atrito f não tem dimensões, a perda de carga será igual ao produto de um número 
v2 
puro pela carga de velocidade2g, 
h;=m;;., 
Por outro lado, as perdas acidentais têm a seguinte expressão geral: 
V~. 
hr=K-, 
2g 
Observa-se, portanto, que a perda de carga na passagem por conexões, válvulas, 
etc., varia com a mesma função da velocidade existente para o caso de resistência 
ao escoamento em trechos retilíneos de encanamentos. É devido a essa feliz 
identidade que se pode exprimir as perdas localizadas em função de comprimentos 
retilíneos de canalização. Pode-se obter o comprimento virtual de canalização, que 
corresponde a uma perda de carga equivalente à perda local, fazendo-se 
7.8.12 - Valores práticos 
h't=hr 
ÍLv2 v 2 
--=K­
D2g 2g 
A Tab. 7.6 inclui valores para os comprimentos fictícios correspondentes às 
peças e perdas mais freqüentes na canalizações. Os dados apresentados foram em 
grande parte calculados pelo prof. Azevedo Netto, com base na fórmula de Darcy­
Weisbach em sua apresentação americana, tendo sido adotados valores precisos de 
K. Em parte eles se baseiam também nos resultados das investigações feitas por 
autoridades no assunto, tais como os departamentos especializados do Governo 
Federal Norte-Americano, da Crane Co., etc. 
Os comprimentos equivalentes, embora tenham sido calculados para 
tubulações de ferro e aço, poderão ser aplicados com aproximação razoável ao caso 
dos encanamentos de cobre ou latão. 
As imprecisões e discrepâncias resultantes do emprego generalizado desse 
método e dos dados apresentados são, provavelmente, menos consideráveis que as 
indeterminações relativas à rugosidade interna dos tubos e resistência ao 
escoamento, assim como à sua variação na prática. 
O ábaco incluso, original da Crane Co., foi convertido ao sistema métrico e 
publicado por cortesia daquela companhia (Fig. 7:19). 
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 
001153d OdlJ. 0'r.)r,tll3ll (õ ~ 
301f1M1)'h -
3h31 OdU O!~N3J.3ll w ~ 30 lf1ílA1)'A -
~ 
O'!~lfZlllfN'O':> 
ó" ij ai' V 
ILl 'O'O'tOf 3 ~d a:o c:o 
ILl 30 lf1ílA1'1A 
. ('} .. 
o 
l0:: 
o, 1'tll3.J.lf1 ffii q 
OI -~ VOJ'tSol -
"2 
= 
0011130 [a:r q 
OI '10J'tSµ -"' lj) 
'O '1.L3lll0 [J (? 
"' W39'1SS'td ~l õ o .. .... 
ILl OJ.ll3S't 01íl9N'{ 
~ 8 illl3 ô 
"' .Q 
"' .sv o (\J 
o:: 'th!líl:) ô 
'O .. 
lj) 
o. • 1 • 0/\:I o (') 
= 006 lfhlln:> ô ., 
ILl .... ..'-h 1~Cl/1:f o = 
(\J 
lj) 006 lfh!líl:> ô .... 
ca 
> 
-~ .s~ 
~ 
(\J 
013AO!O:> ô 
e:, 
"' o Olllíl:)OIW [D' IO .... 
= .06 013/\0J.O:> ô 
lj) 
.§ 010;111 Ol'tll iJ 
..,. .. ô p.. 006 013AO.I.O:> 
8 
o 09N0101'tll ?! ô 
1 
. .... .... "' o o o o 
.; li) 
ri .; li) - (\J (\J "' ., 
õ - C\i ci 
-.,:_ ":. - CD r--45°, 
2 X 0,20 X 0,037 = 0,015 
e 2 registros de gaveta-abertos, 
2 X 0,20 X 0,037 = 0,015 
mais a saída da canalização= 0,037 
1J:i1 = 0,134m 
Essas perdas, portanto, não atingem 14 cm. 
A perda por atrito ao longo do encanamento pode ser encontrada na Tab. 
8.14 (Fórmula de Hazen-Williams): 
com Q = 60 f/s, 
e D= 0,30 m. 
Encontra-se para C = 100: 
J = 0,41m / 100m = 0,004lm/m 
h 1 =JL = 0,0041 X 1800 = 7,38m 
A perda de carga total será a diferença de nível entre a represa e o reserva tório, 
.ó.= 0,134 + 7,38 = 7,514 m 
Para essa canalização, as perdas locais representarão 
:Eh 
%=-' xlOO 
h1 
0,134x100 = 82% 
7,38 1. 
isto~• cerca de 2% da perda por atrito. Em casos como esse, de canalizações 
relativamente longas com pequeno número de peças especiais, funcionando 
com velocidades baixas, as perdas locais são desprezíveis em face da perda 
por atrito. ' 
A própria variação do valor perdido por atrito, segundo as diferentes fórmulas 
que poderiam ser adotadas para o seu cálculo, justificaria tal afirmação. Se, 
por exemplo, ao invés da fórmula de Hazen-Williams, fosse adotada a fórmula 
Universal, resultaria para e= 1,50mm 
J = 0,0038 (Tab. 8.14b) 
h'1 = J X L = 0,0038 X 1 800 = 6,84m 
As perdas localizadas corresponderiam apenas a: 
% 0,134x100 =196% 
6,84 ' 
O contrário se verifica no caso de instalações prediais, nas quais o grande 
número de peças .especiais é causa de perdas consideráveis. J 
PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS 131 
Exercício 7.3 - Analisar as perdas locais no ramal de 3/4" que abastece o 
cliuveiro de uma instalação predial. Verificar qual a porcentagem dessas 
perdas em relação à perda por atrito ao longo do ramal (Fig. 7.21). 
Aplicando-se o método dos comprimentos equivalentes às perdas acidentais, 
(1) -Tê, saída do lado 1,4 m de canalização 
(2) - Cotovelo, 90º O, 7 
(3) - Registro de gaveta aberto 0,1 
( 4) - Cotovelo, 90º O, 7 
(5) -Tê, passagem direta 0,4 
(6) - Cotovelo, 90° O, 7 
(7) - Registro de gaveta aberto 0,1 
(8) - Cotovelo, 90° O, 7 
(9) - Cotovelo, 90º O, 7 
5,5m 
Verifica-se, portanto, que as perdas localizadas correspondem ou equivalem 
a um comprimento adicional de 5,50 m. 
A perda por atrito é devida ao comprimento real da canalização, isto é, 
0,35 + 1,10 + 1,65 + 1,50 + 0,50 + 0,20 = 5,30m. 
1 1/i' 
1 
1 ¼" 
0,35 2 
R R.3 
1,~0 
4 
B 
9 0.50 8 
0,20 
1,65 
5 
1,50 
R 7 
6 
Como as perdas localizadas 
equivalem à perda em 5,50 m de 
encanamento retilíneo, são mais 
elevadas do que as perdas ao longo 
dos 5,3 O m de canalização . 
%= 5,50xl00 _ 104% 
5,30 
As perdas singulares representam, 
pois, 104% da perda por atrito. 
Figura 7.21 
7.8.14 - Importância relativa das perdas localizadas 
As perdas localizadas podem ser desprezadas nas tubulações longas cujo 
comprimento exceda cerca de 4.000 vezes o diâmetro (item 5.3.2). São ainda 
desprezíveis nas canalizações em que a velocidade é baixa e o número de peças 
especiais não é grande. 
Assim, por exemplo, as perdas localizadas podem não ser levadas em conta 
nos cálculos das linhas adutoras, redes de distribuição, etc. 
Tratando-se de canalizações curtas, bem como de encanamentos que incluem 
grande número de peças especiais, é importante considerar as perdas acidentais. 
Tal é o caso das instalações prediais e industriais, dos encanamentos de recalque e 
dos condutos forçados das usinas hidrelétricas. 
132 ESCOAMENTO EM TUBULAÇÕES 
7.8.15 - Cuidados no caso de velocidades muito elevadas 
É muito importante assinalar que, no caso de tubulações funcionando com 
velocidades elevadas, as perdas de carga localizadas passam a ter valores que chegam 
a ultrapassar os valores das perdas ao longo das linhas. 
Exercício 7.4 - Um conduto forçado de 1,20 m de diâmetro e 150 m de 
extensão parte de uma câmara de extravasão para conduzir 4,5m3 /s de água 
extravasada para um rio cujo nível está 6,50m abaixo do nível máximo que 
as águas poderão atingir na câmara. Na linha existem 4 curvas de 90°. Verificar 
as condições hidráulicas. 
Consultando-se a Tab. 8.14a encontra-se: 
Velocidade v = 3,98m/s; ~ =0,807m;J = 1,41m/100m (C = 100) 
2g 
Perdas localizadas : Xk = 4 x 0,4 + 1 + 0,5 = 3,1 
h'1 = 3,1 X 1,20 = 3,72m (64%) 
Perda ao longo da linha: 
h 1 = 1,41 x 1,5 = 2,12m (36%) 
Perdas totais: 5,84m (o diâmetro é satisfatório) 
7.9 - ANÁLISE DIMENSIONAL 
A interpretação de vários fenômenos comuns à Hidráulica, a análise dos 
modelos reduzidos e a comparação entre experi!IJ.entos realizados no passado, tais 
como determinação da perda de carga em tubos e canais, fica grandemente 
facilitada pela análise dimensional. A análise dimensional conduz à forma adequada 
de uma equação, mas não leva a resultados numéricos. 
7.9.1 -Teorema de Buckingha.m 
A análise dimensional repousa sobre o seguinte teorema, que recebeu o nome 
de teorema de Buckingham (ou teorema dos 11:). 
Sejam n grandezas físicas e ·constantes dimensionais e k o número total de 
grandezas fundamentais, em termos das quais se exprimem aquelas n grandezas. 
Se um fenômeno físico puder ser considerado como uma função 
F (Gi, G2 , ••• , Gn) = O 
das n grandezas G; interdependentes, também poderá ser considerado como uma 
função adimensional 
dos números adimensionais: R/pv2, pvD/µ, e/D. 
Pode-se expressar a perda de carga em tubos, veiculando fluido incom­
pressível em movimento uniforme, por 
..!!i_ =a quantidade 
de energia necessária para "empurrar" a quantidade de água desejada entre um 
ponto e outro dessa tubulação. _ 
Engenheiros e pesquisadores que se ocuparam da questão, buscaram sempre · 
encontrar uma fórmula prática que permitisse a solução desse problema. 
Normalmente, num abastecimento de água por gravidade, os dados conhecidos 
são a carga disponível f! a vazão desejada, ê a incógnita é o diâmetro do túbo. Mas 
qualquer combinação de parâmetros conhecidos ou por determinar é freqüente 
no dia-a-dia dos engenheiros. Por exemplo, ·em geração hidrelétrica é comum 
conhecer a vazão necessária para a turbina, a altura geométrica entre o nível de 
água a montante e a jusante e a perda de carga máxima admissível, sendo a incógnita 
novamente o diâmetro. 
8.2 - O MÉTODO EMPÍRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 
Conforme visto no item 7. 7, a fórmula de ·Darcy-Weisbach ou fórmula Univer­
sal, apresenta o inconveniente de precisar de aferição de um coeficiente/ que nem 
sempre é transladável de uma situação para outra, o que torna sua utilização 
problemática. 
Assim, diversos engenheiros e pesquisadores dedicaram-se a lançar os dados 
observados na prática ~m gráficos e tentar desenvolver equações empíricas a partir 
dos mesmos. 
A fórmula empírica consagrada pelo uso é a fórmula de Hazen-Williams (ou 
Williams-Hazen) que, pela tradição de bons resultados e simplicidade de uso via 
tabelas, há de permanecer em uso por muito tempo no meio dos engenheiros, em 
que pese a campanha pelo abandono das fórmulas empíricas e tentativas de 
obrigatoriedade do uso do método científico. Tal colocação de obrigatoriedade de 
fórmula, já incluída em diversas normas brasileiras, parece ser exigência 
desnecessária que extrapola os objetivos de normalização. 
As fórmulas empíricas, normalmente só se aplicam ao líquido em que foram 
ensaiadas, a temperaturas semelhantes, uma vez que não incluem termos relativos 
às propriedades físicas do líquido (fluído). 
142 CÂLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Também é importante anotar que tais fórmulas assumem que o escoamento é 
sempre turbulento, que é o que ocorre na prática com raríssimas exceções, para as 
· quais o leitor deverá estar atento. 
As fórmulas empíricas, são fórmulas monômias, por isso facilmente calculadas 
e tabeladas. 
O grande número de fórmulas existentes para o cálculo de canalizações 
·certamente impressiona e põe em dúvida aqueles que se iniciam nesse setor da 
hidráulica aplicada. 
Desde a apresentação da fórmula de Chézy, em 1775, que representou a primeira 
tentativa para exprimir algebricamente a resistência ao longo de um conduto, 
inúmeras foram as expressões propostas para o mesmo fim, muitas das quais ainda 
hoje são reproduzidas e encontradas nos manuais de Hidráulica. No preparo deste 
capítulo foram compulsadas numerosas fórmulas, podendo-se dizer que existam 
mais de cem. 
Parece mesmo ter havido época em que todos os engenheiros hidráulicos -
uns mais, outros menos - preocupavam-se no sentido de apresentar fórmulas 
próprias, ou, pelo menos, de prestigiar fórmulas "nacionais". Como curiosidade, 
mantém-se nesta edição o Quadro 8.1 a seguir, onde se listam as supostas 40 fórmu­
las principais: 
,:Q.Ú~RO s'.1 -.:Algumas fó~tilas práticas 
:se importantes obras hidráulicas, inclusive o lago artificial Méris, destinado a 
regularizar as águas do baixo Nilo. 
EVOLUÇÃO DA HIDRÁU L ICA 3 
O primeiro sistema público de abastecimento de água de que se tem notícia, o 
aqueduto de Jerwan, foi construído na Assíria, 691 a.e. 
Alguns princípios de Hidrostática foram enunciados por Arquimedes1, no seu 
"Tratado Sobre Corpos Flutuantes", 250 a.e. 
A bomba de pistão foi idealizada pelo físico grego Ctesibius e construída pelo 
seu discípulo Hero, 200 a.e. 
Grandes aquedutos romanos foram construídos em várias partes do mundo, a 
partir de 312 a.e. No ano 70 a.e. Sextus Julius Frontinus foi nomeado 
Superintendente de Águas de Roma. 
No século XVI, a atenção dos filósofos voltou-se para os problemas encontrados 
nos projetos de chafarizes e fontes monumentais, tão em moda na Itália. Assim foi 
que Leonardo da Vinci2 apercebeu-se da importância das observações nesse setor. 
Um novo tratado publicado em 1586 por Stevin3, e as contribuições de Galileu4, 
Torricelli5 e Daniel Bernoulli6 constituíram a base para o novo ramo científico. 
Devem-se a Euler7 as primeiras equações gerais para o movimento dos fluidos. 
No seu tempo, os conhecimentos que hoje constituem a Mecânica dos Fluidos 
apresentavam-se separados em dois campos distintos: a Hidrodinâmica Teórica, 
que estudava os fluidos perfeitos, e a Hidráulica Empírica, em que cada problema 
era investigado isoladamente. 
A associação desses dois ramos iniciais, constituindo a Mecânica dos Fluidos, 
deve--se principalmente à Aerodinâmica. 
Convém ainda mencionar que a Hidráulica sempre constituiu fértil campo para 
as investigações e análises matemáticas, tendo dado lugar a estudos teóricos que 
freqüentemente se afastavam dos resultados experimentais. Várias expressões assim 
deduzidas tiveram de ser corrigidas por coeficientes práticos, o que contribuiu 
para que a Hidráulica fosse cognominada a "ciência dos coeficientes". As 
investigações experimentais tornaram famosos vários físicos da escola italiana, 
entre os quais, Venturi8 e Bidane. · 
Apenas no século XIX, com o desenvolvimento da produção de tubos de ferro 
fundido, capazes de resistir a pressões internas relativamente elevadas, com o 
crescimento das cidades e a importância cada vez maior dos serviços de 
abastecimento de água e, ainda, em conseqüência do emprego de novas máquinas 
hidráulicas, é que a Hidráulica teve um progresso rápido e acentuado. 
As investigações de Reynolds9, os trabalhos de Prandt11º e as experiências de 
Froude11 forneceram a base científica para esse progresso, originando a Mecânica 
dos Fluidos moderna. 
As usinas hidrelétricas começaram a ser construídas no final do século passado. 
Aos laboratórios de Hidráulica devem ser atribuídas as investigações que 
possibilitaram os desenvolvimentos mais recentes. 
O processamento de dados com o auxilio de computaçores, além de abreviar 
cálculos, tem contribuído na solução de problemas técnico-econômicos para o · 
projeto e implantação de obras hidráulicas e propiciado a montagem de modelos 
de simulação que permitem prever e analisar fenômenos dinâmicos até então 
111-Arquimedes (287-212 a.C.) 121 -Lconnrdo do. Vinci (1452-1519) / 31-Siinão SteviD.(1548-1620) 
141 • Galileu Gnlilei (1564 • 1642) ] 5] - Ev:mgclistn Torricelli (1608 -1647) 161 - Daniel Bernoulli (1700 -1783) 
171 -Lconnrdo Euler (1707 -1783) 181 - Giovo.nni Bnttista Venturi (1746 -1822) 
191 -Osbornc Reynolds (1842-1912) 1101 -LudwigPr:mdtl (1875 • 1953) 111] -Williaxn Froude(1810-1879) 
4 PRINCÍPIOS BÁSICOS 
impraticáveis de se proceder, ou feitos com tão significativas simplificações, que 
comprometiam a confiabilidade ou a economicidade. 
QUADRO 1.1 - Eventos históricos · . 
INVENÇÕES 
Esgotos 
Drenagem 
Parafuso de· Arquimedes 
Bomba de pistão 
Aquedutos romanos 
Termas romanas 
Barômetro 
Compressor de ar 
Tubos de ferro fundido 
moldado 
Bomba centrífuga 
Máquina a vapor 
Vaso sanitário 
Turbina hidráulica 
Prensa hidráulica 
Emprego de hélice 
Manilhas cerâmicas 
e.xtrudadas 
Tubos concreto armado 
Usina hidrelétrica 
Turbina a vapor 
Submarino 
Tubos cimento amianto 
Tubos de ferro fundido 
centrifugado 
Propulsão ajato 
TubosdePVC 
AUTORES 
Empédocles 
Arquimedes 
Ctesibius/Hero 
E.Torricelli 
Otto von Gueriche 
JohanJordan 
JohanJordan 
DenisPapin 
Joseph Bramah 
Benoit Fourneyron 
S.Stevin/J.Bramah 
John Ericson 
Francis 
J.Monier 
A Parsons/De Lava 
J. P. Holland 
A.Mazza 
Arens/ 
Dimitri de Lavaud 
Frank v\lhi.ttle 
ANO 
3750 a.e. 
450 a.e. 
250 a.e. 
200 /120 a.e. 
150 a.e. 
20 a.e. 
1643 
1654 
1664 
1664 
1680 
1775 
1827 
1600/1796 
1836 
1846 
1867 
1882 
1884/1890 
1898 
1913 
1917 
19_37 
1947 
PAÍS 
Babilônia 
Grécia 
Grécia 
Grécia 
Roma 
Roma 
Itália 
Alemanha 
França 
França 
França 
Inglaterra 
França 
Hol./Ingl. 
Suécia 
Inglaterra 
França 
EUA 
Ingl./Suécia 
EUA 
Itália 
Brasil 
Inglaterra 
QUADRO 1. 2 - Eventos históricos no Brasil · 
EVENTOS 
Primeiro sistema de abastecimento de água 
Primeira cidade com rede de esgotos 
Primeira hidrelétrica (para mineração) 
Primeira hidrelétrica (para abastecimento público) 
ANO 
1723 
1864 
1883 
1889 
1.3 - SÍMBOLOS ADOTADOS E UNIDADES USUAIS 
CIDADE 
Rio de Janeiro - RJ 
Rio de Janeiro - RJ 
Diamantina - MG 
Juiz de Fora - MG 
As grandezas físicas são comparáveis entre si através de medidas homogêneas, 
ou seja, referidas à mesma unidade. 
Os números apenas, sem dimensão de medida, nada informam em termos 
práticos: o que é maior, 8 ou 80? A pergunta carece de sentido porque não há termo 
de comparação. Evidentemente que 8 m 3 é mais que 80 litros (80dm3). Poderia ser 
de outra forma: 8kg e 80 kg. 
As "unidades" de grandezas físicas (dimensões de um corpo, velocidade, força, 
trabalho ou potência) permitem organizar o trabalho científico e técnico, sendo 
que com apenas sete grandezas básicas é possível formar um sistema que abranja 
SIMBOLOS ADOTADOS E UNIDADES USUAIS 5 
todas as necessidades. (Quadro 1.4). 
Tradicionalmente a engenharia, logo a Hidráulica também, usava o 
denominado sistemaMKS (metro,quilograma,segundo) ou CGC (centímetro, grama, 
segundo), ou Sistema Gravitacional, em que as unidades básicas (MKS) são: 
QUADRO 1.3 
GRANDEZAS UNIDADE . SÍMBOLO DIMENSIONAL 
Força 
Comprimento 
Tempo 
quilograma-força 
metro 
segundo 
kgf 
m 
s 
F 
L 
T 
Entretanto, observou-se que esse sistema estabelecia uma certa confusão en­
tre as noções de peso e massa, que do ponto de vista físico são coisas diferentes. A 
massa de um corpo refere-se à sua inércia e o peso de um corpo refere-se à força 
que sobre este corpo exerce a aceleração da gravidade g. É evidente que uma mesma 
mas·sa de água, digamos um litro em determinada temperatura, tem pesos 
diferentes ao nível do mar ou a 2.000 m acima dele, sendo essa mesma massa mais 
"pesada" ao nível do mar, onde a aceleração da gravidade é maior, não esquecendo 
que a aceleração da gravidade também varia com a latitude (Quadro 1.6), e até com 
a posição da lua em relação à Terra (exemplo visível: as marés). 
Entre a força (F) e a massa de um corpo existe uma relação e.>q>ressa pela equação 
(2~ lei de Newton): 
onde: k é uma constante; 
m é a massa do corpo; 
a é a aceleração a que o corpo está submetido. 
Há dois sistemas de unidades que tornam a constante k igual a 1 (um): o SI 
(Sistema Internacional) ou absoluto e o gravitacional. No absoluto, k é igual a 1 
(um) pela definição da unidade de força e no gravitacional pela definição da unidade 
de massa, ou seja: 
SISTEMA ABSOLUTO => a unidade de força é aquela que, ao agir sobre um 
corpo com a massa de um quilograma, ocasiona uma aceleração de um metro por 
segundo, por segundo, e se denomina "newton". A unidade de massa nesse sistema 
é correspondente a um bloco de platina denominado quilograma-protótipo, 
guardado em Sevres (França). 
SISTEMA GRAVITACIONAL => a unidade de força é igual a uma unidade de 
massa por uma unidade de comprimento por segundo, por segundo,200 1~,5700 5,7900 51,6490 31,8310 
250 3,7050 1,8530 21,1550 20,3720 
300 1,4680 0,7340 10,2020 14,1470 
350 0,6704 0,3852 5,5070 10,3940 
400 0,3413 0,1707 3,2280 7,9580 
450 0;1880 0,0940 2,0150 6,2880 
500 0,1104 0,0552 1,3220 5,0930 
550 0,0683 0,0342 0,9030 4,2100 
600 0,0440 0,0220 0,6380 3,5370 
Exercício 8.1 - Para o abastecimento de água de uma grande fábrica será 
executada uma linha adutora com tubos de ferro fundido numa extensão de 
2 100 m. Dimensionar a canalização com capacidade de 25 e;s. O nível de 
água na barragem de captação é 615 m e a cota da canalização na entrada do 
reservatório de distribuição é de 599,65 m. 
L = 2 100 m 
h 1 = 615 - 599,65 = 15,35 m 
l = H, = 15,35 = O 0073m/m 
L 2 100 :_ 
Q = 25 e;s = 0,025 m3 /s 
São dados J e Q; a incógnita é D (problema tipo IV). Calcula-se: 
J=KQ2 :.K=L= 0,0073 =11,7 
Q2 0,0252 
Para esse valor de K, encontra-se, na Tab. 8.1, D = 0,20 m (tubos usados) 
2 - Apresentação americana da Fórmula de Darcy 
Modernamente apresenta-se a expressão de Darcy com a seguinte forma: 
Lv2 
hr = f -- equação (2) 
D2g 
! O MÉTODO EMPIRICO E A MUlTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 
onde h 1 = perda de carga (m); 
f = coeficiente de atrito; 
L = comprimento da canalização (m); 
v = velocidade média (m/s); 
g = aceleração da gravidade (9,8 m/s2). 
Tabela 8.2 - Valores do coeficiente de atrito "f" na fórmula de Darcy 
(apresentação americana), para tubos novos de ferro fundido e de aço, 
conduzindo água fria 
...._ 
Diâmetro 
Velocidade média em m/s nominal 
(=) 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,50 2,00 
13 0,041 0,037 0,034 0,032 0,031 0,029 0,028 
19 0,040 0,036 0,033 0,031 0,030 0,028 0,027 
25 0,039 0,034 0,032 0,030 0,029 0,027 0,026 
38 0,037 0,033 0,031 0,029 0,029 0,027 0,026 
50 0,035 0,032 0,030 0,028 0,027 0,026 0,026 
75 0,034 0,031 0,029 0,027 0,026 0,025 0,025 
100 0,033 0,030 0,028 0,026 0,026 0,025 0,025 
150 0,031 0,028 0,026 0,025 0,025 0,024 0,024 
200 0,030 0,027 0,025 0,024 0,024 0,023 0,023 
250 0,028 0,026 0,024 0,023 0,023 0,022 0,022 
300 0,027 0,025 0,023 0,022 0,022 0,021 0,021 
350 0,026 0,024 0,022 0,022 0,022 0,021 0,021 
400 0,024 0,023 0,022 0,021 0,021 0,020 0,020 
450 0,024 0,022 0,021 0,020 0,020 0,020 0,020 
500 0,023 0,022 0,020 0,020 0,019 0,019 0,019 
550 0,023 0,021 0,019 0,019 0,018 0,018 0,018 
600 0,022 0,020 0,019 0,018 0,018 0,017 0,017 
3,00 
0,027 
0,026 
0,025 
0,025 
0,024 
0,024 
0,023 
0,022 
0,021 
0,020 
0,019 
0,018 
0,018 
0,017 
0,017 
0,016 
0,015 
Tabela 8.3 - Valores do coeficiente de atrito ~•r na fórmula de Darcy . 
(apresentação americana), para tubos usados de ferro fundido e de aço e para 
tubulações de concreto, conduzindo água fria 
Diâmetro Tubos de aço e de ferro Tubos de concreto 
nominal 
145 
Com 10 anos de uso ] Velhos I novos ou velhos 
._,;j{";!:,• .•. ,, ••• ~.•··••:>••?(.,:v >das águas a transportar, 
tornou-se mais conhecido o fenômeno da corrosão e pôde-se controlar a 
agressividade das águas. 
Essas considerações mostram as inconveniências do emprego de muitas das 
fórmulas estabelecidas há muito tempo. 
O emprego das primeiras fórmulas está condicionado à classificação das 
canalizações em uma de duas classes: tubos novos e tubos usados. Os resultados 
geralmente variam de 1 para 2, isto é, os coeficientes para tubos em uso são duas 
vezes maiores do que os para tubos novos. Resta perguntar quando um tubo deixa 
de ser novo e se uma tubulação de 10 anos é velha. O número limitado de 
observações não permitia uma classificação melhor ou uma apreciação mais precisa 
do fenômeno conhecido como o "envelhecimento dos tubos". 
Cumpre lembrar que tais inconvenientes, que podem ser atribuídos à velha 
expressão de Darcy, são removidos quando se considera a nova apresentação de 
sua fórmula, mais conhecida como apresentação americana ou fórmula de Darcy­
Weisbach. 
8.2.6- Contribuição da estatística. Uma fórmula média 
O tratamento estatístico dos inúmeros dados existentes sobre o assunto -
resultados das observações e experimentações realizadas pelos diversos 
investigadores - mostra que o expoente de v varia entre cerca de 1, 7 a 2. Um valor 
médio pode ser assumido em torno de 1,85. As próprias experiências de Darcy levam 
a valores de n compreendidos entre 1, 76 e 2. 
Reynolds, que teve a primazia de investigar as velocidade-limite entre os re­
gimes de escoamento laminar e turbulento, chegou à conclusão de que o expoente 
n assume o valor da unidade para o movimento laminar e que, para os movimentos 
turbulentos que ocorrem na prática, n depende da rugosidade da parede dos tubos, 
oscilando entre 1, 73 e 2. Para os tubos muito lisos, n é cerca de 1, 75 ao passo que, 
para grandes turbulências, em tubos fortemente "incrustados", n = 2. 
Com base nessas considerações e no que indica a análise dimensional, conclui­
se que uma fórmula "racionalizada" para a determinação da perda de carga nas 
tubulações seria 
v1+x 
J=k D2-x 
onde, para o movimento 100% turbulento, o valor experimental de x seria 1 e, para 
as condições correntes, com movimento turbulento, oscilaria de O, 70 a l; tomando­
se, para o último caso, o valor médio de x = 0,85, resultaria a seguinte expressão: 
Vl.85 
J= k Dl.lS 
8.2. 7 - Fórmula de Hazen-Williams 
Depois de feitas essas considerações, é curioso notar que dois pesquisadores 
norte-americanos, após cuidadoso exame estatístico de dados obtidos por mais de 
trinta investigadores, inclusive os de Darcy e os decorrentes de pesquisas próprias, 
O MÉTODO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 
propuseram, em 1903, uma fórmula prática que poje ser escrita 
v1.ss 
J=k Dl,17 
149 
equação (3) 
denominada fórmula de Hazen-Williams (Allen Hazen, engenheiro civil e 
sanitarista, e Gardner S. Williams, professor de Hidráulica) que goza de grande 
aceitação, devido ao amplo uso e às confirmações experimentais. 
A fórmula de Hazen-Williams, com o seu fator numérico em unidades SI, é a 
seguinte: 
onde: Q = vazão (m3/s); 
D = diâmetro (m); 
j ~ 10,643 Ql.85. C-1.85. fl-4.87 
J = perda de carga unitária (m/m) 
equação (4) 
C = coeficiente adimensional que depende da natureza (material e estado) 
das paredes dos tubos, Quadro 8.3. 
A fórmula também pode ser escrita explicitando-se a vazão ou a velocidade: 
Q = 0,279 CD 2-63] o.54 equação (5) 
como 
substituindo em (5) tem-se: 
;rD2 
Q=Av=--v 
4 
v = 0,355 CD o.63 ;o.54 
onde v = velocidade (m/s) 
equação (6) 
No final deste capítulo (item 8.4), estão apresentadas as Tabelas (8.14a) com o 
resultado dos cálculos pela fórmula de Hazen-Williams para os diâmetros comerciais 
e velocidades usuais e para diferentes valores do coeficiente C. 
. A disposição dos vários aspectos da fórmula, tal como está apresentada no 
Quadro 8.4, é de grande conveniência na prática. 
8.2.8 - Vantagens da fórmula de Hazen-Williams 
É um.a fórmula que resultou de um estudo estatístico cuidadoso, no qual fo­
ram considerados os dados experimentais disponíveis, obtidos anteriormente por 
um grande número de pesquisadores, bem como dados de observações dos próprios 
autores. 
A expressão de Hazen-Williams é teoricamente correta: a soma dos expoentes 
p e n, que é 3,02, apresenta uma diferença desprezível sobre o valor teórico. 
Os expoentes da fórmula foram estabelecidos de maneira a resultarem as 
menores variações do coeficiente numérico C para tubos de mesmo grau de 
rugosidade. Em conseqüência, o coeficiente C é, tanto quanto possível e praticável, 
uma função quase que exclusiva da natureza das paredes. 
A grande aceitação que teve a fórmula permitiu que fossem obtidos valores 
bem determinados do coeficiente C. Nessas condições, pode-se estimar o 
envelhecimento dos tubos. 
É uma fórmula que pode ser satisfatoriamente aplicada para qualquer tipo de 
150 CÁLCULO OE TUBULl,_; , 1 { , , , , ( ~ ' , • ~ ~ .- - " 
Para C-100 
V• 35,5 D º·63 !º·54 
Q = 27,88 D 2,63 J o,s4 
Vl,852 
J=;:0,00135-,,67 
D· 
Ql,852 
J = 0,0021 D 4 _87 
Relações 
para 
valores 
quaisquer 
deC 
( )
l.852 
,::ºº = 1~0 
De -( C Jo.:is 
Dc.100 100 . 
~=_E_ 
Vc.100 100 
_gç_=_E_ 
Qc=lOO 100 
{*) A fórmula de Hazen-Williams pode ser aplicada a condutos livres ou condutos fo:5ad_os; tem 
sido empregada para canalizações de águas e esgotos. Seus autores basear~-se.em expex:ientubos. Da redução da seção e do aumento da rugosidade 
resultam a diminuição da capacidade de transporte da canalização e o decréscimo 
deC. 
Tal fenômeno da tuberculização, que se caracteriza por formações esponjosas 
duras que crescem como se fossem corais e que, uma vez bem secas se "esfarelam" 
com relativa facilidade, é algumas vezes erroneamente designado por incrustação. 
O termo incrustação deve. ser reservado ao fenômeno da constituição de 
camadas ou crostas devidas a certas substâncias presentes em quantidades 
excessivas na água, que vão se depositando ou aderindo às paredes dos tubos, 
especialmente os tubos metálicos, diminuindo o diâmetro interno do tubo. O caso 
típico de incrustação ocorre quando a água transportada pelo tubos apresenta 
elevados teores de cálcio, por exemplo, águas de terrenos calcários, bastante 
freqüentes. 
Entre os vários fatores (*) que afetam a corrosão, o pH tem uma grande 
influência, conforme se pode constatar no Quadro 8.5. 
QUADRO 8-5 - Perda de capacidade de tubulações de ferro fundido não 
revestido internamente ao fim de 30 anos (C inicial: 135 
ou 100%) 
Percentagem 
pHdaágua ValordeC da capacidade 
inicial 
6,0 20 15 
6,5 52 40 
7,5 85 65 
7,0 72 55 
8,0 91 70 
(") Alguns dos fatores que afetam a corrosão: potencial de oxidação do material ( entropia), 
sobretensão, oxigênio dissolvido, C02, alcalinidade, presença de substância inibidoras ou 
capazes de formar películas, homogeneidade da superfície dos tubos, velocidade da água. 
temperatura. existência de residuais de sulfato de alumínio, cloro, etc. 
8.2.10 - Escolha criteriosa do coeficiente C 
A fórmula de Hazen-Williams, sendo das mais perfeitas, requer, para a sua 
aplicação criteriosa, maior cuidado na adoção do coeficiente C. A escolha negligente 
desse coeficiente ou a fixação de um valor médio invariável reduz de muito a 
precisão que se pode esperar de tal fórmula. 
Para tubos de ferro ou de aço, o coeficiente C é uma função do tempo, de modo 
que o seu valor deve prever a vida útil que se espera na canalização. 
Para avaliações expeditas, pode-se usar, para tubos metálicos, C = 100. Tal valor 
corresponde, aproximadamente, à situação da tubulação em quinze a vinte anos, 
152 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES soe PRESSÃO 
portanto dentro da vida útil esperada, quando ainda deverá estar funcionando para 
as vazões de cálculo. Tal desempenho pode ser melhorado se periodicamente for 
feita uma "limpeza" na tubulação. Tal limpeza periódica é muito pouco usual na 
América Latina, até porque os projetos não a prevêem e depois passa a ser muito 
difícil fazê-la, pois não são instalados os acessórios necessários para facilitar a 
operação, especialmente a colocação e retirada do "pig" de limpeza. Menos usual . 
ainda é a recomposição do revestimento interno. Também pouco se faz em termos 
de controle de qualidade eficaz para a corrosividade da água. 
A Tabela 8.4, obtida das investigações de Hazen e Williams, é de grande utilidade 
nas aplicações práticas, especialmente quando se calculam canalizações de certa 
importância. Nas observações que serviram de base predominaram águas "moles", 
em sua maioria não tratadas quimicamente. Os valores apresentados resultam das 
condições mais comuns. Para águas "in natura", muito agressivas, ou para águas 
tratadas e não bem controladas, o envelhecimento dos tubos poderá ser mais rápido. 
Para águas muito bem controladas, o decréscimo de C é mais lento. 
Na Fig. 8.1 estão comparados os dados disponíveis de diversos investigadores, 
relativos ao envelhecimento de tubulações de ferro fundido. Pode-se notar que as 
condições adotadas por Hazen e Williams, bem próximas das investigações de 
Carter, são bastante razoáveis, não constituindo condições extremas, mas, bem ao 
contrário, dados médios. 
Na Figura 8.2 estão representados os valores indicados na Tab. 8.4. O aumento 
de rugosidade, a redução de diâmetro e as dimensões relativas dos tubérculos 
maiores para os tubos de menor diâmetro, causam, para estes, um envelhecimento 
mais rápido. 
Figura.8.1 
e 
130 
120 
11 O 
90 
80 
70 
60 
50 
~ 
\·~ ............_,___ 
\ ··.['.__ -~ él. ;,.,..., 
\ · .. _ ........ .............. l"'.S - (, 
 -
\ . . "-9,,., ~ 9r. . 
1\ ·-•• . /l f"'1,886 86 1,322 101 0,982 116 0,760 131 0,606 146 0,496 
42 4,986 57 2,832 72 1,837 87 1,294 102 0,964 117 0,748 132 0,598 147 0,490 
43 4,773 58 2,742 73 1,791 88 1,267 103 0,947 118 0,?36 133 0,590 148 0,484 
44 4,574 59 2,657 74 1,747 89 1,241 104 d,930 119 0,725 134 0,582 149 0,478 
45 4,388 60 2,576 75 1,704 90 1,215 105 0,914 120 0,713 135 0,574 150 0,472 
46 4,213 61 2,498 76 1,662 91 1,191 106 0,898 121 0,703 136 0,566 151 0,466 
47 4,048 62 2,424 77 1,623 92 1,167 107 0,882 122 0,692 137 0,558 152 0,460 
48 3,894 63 2,353 78 1,584 93 1,144 108 0,867 123 0,682 138 0,551 153 0,455 
49 3,748 64 2,285 79 1,547 94 1,121 109 0,852 124 0,671 139 0,543 154 0,449 
50 3,610 65 2,221 80 1,512 95 1,100 110 0,838 125 0,661 140 0,536 155 0,444 
51 3,480 66 2,159 81 1,477 96 1,079 111 0,824 126 0,652 141 0,529 156 D,439 
52 3,357 67 2,D99 82 1,444 97 1,058 112 0,811 127 D,642 142 D,522 157 0,434 
53 3,241 68 2,043 83 1,412 98 1,038 113 0,797 128 0,633 143 0,516 158 0,429 
54 3,130 69 1,988 84 1,381 99 1,019 114 Q_,785 129 D,624 144 0,509 159 0,424 
(•) Os valores aciI:na são aplicados para a correção de resultados de perda ~e cargaJ, a partir 
de e- 100 para valores de C diferentes de 100, conforme explicado a seguir. 
O MÉTODO EMPIRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 155 
A Tab. 8. 7 apresenta um coeficiente prático Kpara o cálculo de uma nova perda de 
carga quando já é conhecida a perda de carga para C - 100: 
JCqq = KLC100 
.Exemplo: Uma linha de recalque com 500 mm de diâmetro funcionando com 
220 1/s. de vazão e C = 100, tem uma perda de carga de 3,50 m/km. Se com· 
umalimpeza interna da tubulação o C chegar a 130, a perda de carga~ai se 
reduzir como segue: ·. . . . · · 
Jc130 = K Jc1ao,,; 0,615 X 3,50 = 2,15 m/km 
Exercício 8.3 - Numa cidade do interior, o número d~ casas atinge a 1 340 e, 
segundo a agência de estatística regional, a ocupação média dos domicílios 
gira em torno de 5 pessoas por habitação. A cidade já conta com um serviço 
de abastecimento de água, localizando-se o manancial na encosta de uma 
serra, em nível mais elevado do que o reservatório de distribuição de água 
na cidade. O diâmetro da linha adutora existente é de 150 mm, sendo os tubos 
de ferro fundido com bastante uso. O nível de água no ponto de captação 
flutua em torno de cota 812,0 msnm.m (metros sobre o nível médio do mar); 
o nível de água médio no reservatório de distribuição é 776,00 msnmm; o 
comprimento da linha adutora é 4 240 m. 
Verificar se o volume de água aduzido diariamente pode ser considerado 
satisfatório para o abastecimento atual da cidade, admitindo-se o consumo 
individual médio como sendo de 200 litros por habitante por dia, aí incluídos 
todos os usos da cidade, mesmo aqueles não domésticos, e que nos dias de 
maior calor a demanda é cerca de 25% maior que a média. 
Solução: 
Cálculo do consumo no dia de maior demanda: 
Para a rodo 
de distribuição 
5 habitantes 200f 
1340 domicílios X----x ---- x 1,25 = 1675 000 · f/dia= 1675m3/dia 
domicilio hab. x dia 
·a vazão, dita instantânea, ou seja, na unidade de tempo de segundo é: 
156 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
1 675 000. f/dia = 19,4. e/s = 0,0194 m3/s 
86 400 segundos/d.ia 
Usando os dados da adutora existente, calcula-se a carga total disponível; 
812 m - 776 m = 36m 
e a perda de carga unitária máxima possível: 
H 36m J- ---- 0,0085-m/m -z:- 4240m 
e a velocidade necessária para fazer passar essa vazão pela seção do tubo 
seria: 
Q 0,0194m.3/s 
v=-
A 7tXD2 /4 
0,0194ms/s =10978m/s 
· ;rx0,1502 /4; ' 
Aplicando a fórmula de Williams-Hazen: 
Como o tubo é considerado velho, adote-se C = 100 
Conhecidos D e J, são incógnitas v e Q porque só se conhecem as velocidades 
e vazões necessárias, mas não se sabe se a configuração implantada permite 
passar essa vazão. 
Escolhendo primeiro a formula de WH explicitada para Q: 
Q = 0,279 CD 2,63 J o,s4, logo 
Q = 0,279 X 100 X 0,1502•63 X Ó;0085º•54 = 0,014475 m 3/s =14,47 · e/s,. 
vazão insuficiente para as necessidades de 19,4 e;s (cerca de 30% abaixo). 
Entretanto, pela quantidade de parâmetros "avaliados" e pela facilidade de 
medir a vazão em uma configuração como essa (basta fechar a saídà do 
reservatório vazio e medir o tempo para encher determinado volume), deve­
se proceder a uma avaliação de bom senso sobre o quê e quando fazer. 
Se fosse escolhida a fórmula explicitada para v: 
v = 0,355 CD º·63] 0-54, logo 
v = 0,355 x 100 x 0,1502-63 x 0,0085º·54 = 0,81856 m/s, velocidade insuficiente, 
porque menor que a necessária (Whipple-Hsiao nas seguintes formas: 
Para tubos hidraulicamente rugosos (aço carbono galvanizado ou não): 
J = 19,8 . 106 . Ql,88 • D-4,88 
Para tubos hidraulicamente lisos (plástico, cobre ou ligas de cobre): 
J = 8,63 . 1Q6 . Ql,75 . D-4.75 
sendo J em k.Pa/m, Q em e;s e D em mm. 
Outra fórmula que também é usada para tubulações de pequeno diâmetro é a 
de Flamant (1892): 
ou J = 4b - v 1,75 - n-1-25 com v (m/s), D (m) e J (m/m) 
sendo: 
b = 0,00023 para canos de ferro ou de aço usados 
b = 0,000185 para canos de ferro e aço novos 
b = 0,000140 para canos de chumbo 
b = 0,000130 para canos de cobre 
b = 0,000120 para canos de plástico (PVC, etc.) 
A Tab. 8.8 é para b = 0,00023. Para outros materiais basta multiplicar J por (b/ 
0,00023). 
Tabela 8.8 - Fórmula de Flamant (1892) 
Tubos de pequenos diâmetros - ferro e aço galvanizado 
19 mm. (3/4") 25mm.(1") 32mm(l ¼") 38mm.(11/z") 
Q (J/s) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) 
0,02 0,071 0,0012 0,041 0,0003 0,025 0,0001 0,018 0,00005 
0,04. 0,141 .0,0041. .0,081 0,0011 .0,050. 0,0003 0,035 0,00015 
0,06 0,212 0,0084 0,122 0,0023 0,075 0,0007 0,053 0,00031 
. 0,08,,.· 0,282 0,0139 0,163 . 0,0038 ,· 0,099. 0,0012, ,. 0,071. 0,00052 
0,10 0,353 0,0206 0,204 0,0056 0,124 0,0017 0,088 0,00077 
0,12 0,423. 0,0283. 0,244 0;0011• ,0;149 . 0,0024 , 0,106 0,00105 
0,14 0,494 0,0371 0,285 0,0101 0,174 0,0031 0,123 0,00138 
, 0,16 ·•0,564. 0,0469. . 0,326:·. 0,0127. ,0,199:., .0,0039 · .0,14L. 0,00174 
0,18 0,635 0,0576 0,367 0,0156 0,224 0,0048 0,159 0,00214 
'i 
O MÉTODO EMPfRICO E A MULTIPLICIDADE DE FÓRMULAS 159 
19 mm. (3/4") 25 mm.(1") 32mm.(1 1/ 4 ") 38mm.(11/2") 
Q (1/s) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) v(m/s) J(m/m) 
0,20 0,705 0,0693 0,407 0,0188 0,249 0.0058 0,176 0,00257 
0,22·, ; ,0,7.76, · 0,0818 : ,0,448 .. :, 0,0222 : .. 0,274. 0,0069 0,194, 0,00304 
0,24 0,846 0,0953 0,489 0,0259 0,298 0,0080 0,212 0,00354 
.·0;25· __ 0,9i7 .0,1096 ,, :ü,530 ,:, :ü;0298 : 0,323., 0,0092 · 0,229,: o;ob4ó7. 
0,28 0,988 0.1248 0,570 0,0339 0,348 0,0105 0,247 0,00464 
.0;30 1,058 " . 0,1408 ,,0,611·. 0;0382, .0,373: . . 0,0118 .0,265 '' 0,00523 
0,32 1,129 0,1577 0,652 0,0428 0,398 0,0133 0,282 0,00586 
·0;34 __ . ].;199 .:o,o578i 0,472'0 0,0179. 0,335 0,00792: 
0,40 1,411 0,2330 0,815 0,0633 0,497 0,0196 0,353 0,00866 
,0,42,. ,.1,481: ·0;2538> :.0,856i. 0,0689'•· .. 0,522: .. 1;622:~:; ~0.2976, L0;937 .0;47,37_'. _'.:1,222 : 0;1286 , ,0;746~ , 0,0398. 0,526' 0;01760. 
0,65 2,293 0,5449 1,324 0,1480 0,808 0,0458 0,573 0,02025 
0;10 : ,2;459: · , 0,6204:i ;1,426" 0,1685 .. .0;810 ··0,0522 : • 0,617 0,02306 
0,75 2,645 0,7000 1,528 0,1901 0,933 0,0588 0,661 0,02601 
,0;80:>. 2;822 ; .0,78~.7. 1,630_', :0,2128 0,995 · 0;0659 Y0,705· 0,02913 
0,85 2,998 0,8714 1,732 0,2366 1,057 0,0733 0,749 0,03239 
_Q;90 .. · .. 3,174: '' 0,9.6,31' .. . ,1,8.33.: ,0,26.15: 1,119:. · 0,0810. 0,794 0,0357Q 
0,95 1,935 0,2875 1,181 0,0890 0,838 0,03934 
, 1;00.; ,. ,, ... : 2,037:"" 0,3145:, . 1;243 ', 0;0974 '' 0,882.,, 0,04304, 
1,10 2,241 0,3716 1,368 0,1150 0,970 0,05085 
... 1,20.: .• 2,445 0,4327 ,1;492.,. ,0,133,9 1,058 0;05921 
1,30 2,648 0,4978 1,616 0,1541 1,146 0,06812 
1,40. :2,852 :. , _0,5!56'7 ·.•J.,741:\ .0;1754 1,234 é o;o:11ss 
1,50 3,956 0,6394 1,865 0,1979 1,323 0,08750 
.l,60> .•. l;98~L· 0,2216 1,411 0,09797 
1,70 2,114 0,2464 1,499 0,10893 
1,80 2,238_ 0,2723, 1,587 .. " 0,1203!:l 
1,90 2,362 0,2994 1,675 0,13234 
. 2;00 2;487:".,i J),3275 1,763 0;14:47'.7 
2,10 2,611 0,3567 1,852 0,15767 
· 2,20 ,' 2,735 0,38(),9, 1,940 0,17lQ4 
2,30 2,860 0,4182 2,028 0,18488 
2;40.,c ,2,9,84, .0,4505. : 2;116 0,19917 
2,50 3,108 0,4839 2,204 0,21392 
2,60.• 2,293 .o,22_912 
2,70 2,381 0,24476 
2,80 __ ·. 2,469 0;26.085. 
2,90 2,557 0,27737 
,3,00'/ 2,645"' , Q,29432 
3,10 2,733 0,31171 
•. 3,20.:.: ... ···.2,822. _ 0;32951' 
3,30 2,910 0,34774 
3,40).:, _2,998'' 0,3!?(539 
3,50 3,086 0,38546 
* Limite:v m4xdeformação contínua da massa fluída, sendo a viscosidade ou atrito interno do 
fluido responsável pela perda de carga. 
No caso do escoamento turbulento, o movimento é agitado, complexo e de difícil 
descrição. As partículas no seu movimento irregular ocupam as mais variadas 
posições numa seção do tubo; verifica-se, continuamente, a mistura de toda a massa 
fluída. A resistência ao escoamento turbulento é devida ao efeito combinado das 
forças relativas à inércia e à viscosidade do fluido. 
8.3.4 Camada limite, zona de turbulência e filme laminar 
Quando um fluido escoa sobre uma superfície, observa-se a existência de uma 
camada de fluido contígua a essa superfície, onde se verifica a variação de 
velocidade do fluido para a superfície. Essa camada foi concebida por Ludwig 
162 CÁLCULO OE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Prandtl (1904) e notada pela primeira vez por Hele-Shaw, tendo sido designada por 
camada limite. 
A Fig. 8.4 mostra o escoamento de um fluido ao longo de uma chapa. A partir 
da aresta inicial da chapa, constitui-se uma camada de escoamento laminar ( camada 
limite) que vai aumentando em espessura até um ponto crítico. À medida que 
aumenta a espessura da camada limite, decresce a sua estabilidade, até um ponto 
T, de transição, onde se rompe o seu equilíbrio. 
} Turou:,ooo 
Filme laminar 
FiguraB.4 
A partir desse ponto crítico, a espessura da camada laminar se reduz a um 
valor 8, que se mantém aproximadamente constante (subcamada laminar ou filme 
laminar). No ponto T, tem início uma camada turbulenta, cuja espessura vai 
aumentando rapidamente. 
A espessura da camada limite pode ser definida como sendo a dimensão 
correspondente a 99% do seu limite assintótico. É nessa camada que se verifica a 
maior parte da deformação viscosa. 
No caso dos encanamentos, também prevalecem condições análogas à descrita. 
Se o escoamento na tubulação for laminar,· o fluido percorrerá uma distância 
relativamente grande, até que o perfil normal das velocidades seja atingido, isto 
porque é necessário· que a camada limite (mostrada na Fig. 8.4, de O a T) continue 
a se expandir até atingir as vizinhanças do eixo do tubo. 
Tratando-se de escoamento turbulento, o ponto crítico Tocorre a uma pequena 
distância da entrada; a partir desse ponto, a espessura da camada turbulenta 
FiguraB.5 
/. •. ,e;.... =··===·· =========~:::::::::::=~_J 
Laminar 
O MÉTODO CIENTIFICO. A ºFÓRMULA UNIVERSAL" 163 
aumenta tão rapidamente que o perfil normal de velocidade é obtido a uma 
distância relativamente curta (Fig. 8.5). 
Nota-se portanto que, no escoamento de fluidos em canalizações, existe sempre 
uma camada laminar, mesmo no caso de regimes turbulentos. A espessura dessa 
camada depende do número de Reynolds, sendo mais fina para os valores mais 
elevados de R,,. 
A camada laminar é de grande importância nas questões relativas à rugosidade 
dos tubos, assim como nos problemas referentes ao escoamento de calor. 
8.3.5 -Tubos lisos e tubos rugosos 
Na realidade, não existe uma superfície perfeitamente lisa; qualquer superfície 
examinada sob um bom microscópio mostra uma certa rugosidade. Entretanto, 
diz-se que uma superfície é aerodinamicamente lisa, quando as asperezas que 
caracterizam a sua rugosidade não se projetam além da camada laminar (Fig. 8.6) 
. Urniteda 
--,-'----'---'---,--'--;..__'---'--_;_-'-'--'---oi'--. camada 
laminar 
Limite da 
---camada 
·laminar 
Figura.8.6 
Quando as superfícies são de tal forma rugosas que apresentam protuberâncias 
que ultrapassam o filme laminar e se projetam na zona turbulenta, elas provocam 
o aumento desta, resultando daí uma perda mais elevada para o escoamento. 
Se as rugosidades forem muito menores que a espessura da camada, não 
afetarão a resistência ao escoamento; todas as superfícies que apresentarem essas 
condições poderão ser consideradas igualmente lisas. É por isso que, na prática, 
tubos feitos com certos materiais, tais como vidro, chumbo e latão, podem 
apresentar as mesmas perdas de carga, perdas essas idênticas às que seriam obtidas 
no caso de superfícies lisas ideais. Conclui-se, também, que não há interesse em se 
fazer com que as superfícies internas dos tubos sejam mais lisas do que um certo 
limite. 
Define-se como rugosidade absoluta e a medida das saliências da parede do 
tubo, ou seja, se houver protuberâncias de 1 mm, essa é a rugosidade absoluta. A 
rugosidade relativa é a divisão da rugosidade absoluta pelo diâmetro do tubo: e/D. 
O problema prático que surge da aplicação desses conceitos é que a rugosidade 
absoluta nunca é única, sendo as saliências dos tubos de diversos tamanhos e 
distribuições, e esse número acaba sendo obtido por uma conta de trás para frente, 
onde se chega a um valor médio para a rugosidade absoluta, o que acaba tendo 
precisão científica s6 para as condições de medição. 
164 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
8.3.6 - Experiências de Nikuradse 
Em 1933, J. Nikuradse divulgou, na Alemanha, os resultados de uma série de 
investigações que marcaram um passo decisivo na moderna mecânica dos fluidos. 
Utilizando tubos de três tamanhos diferentes, Nikuradse produziu nos mesmos 
uma rugosidade artificial, cimentando, na superfície-interna, grãos de areia de 
tamanho conhecido e, obtendo a mesma rugosidade relativa para os três tubos. 
Pôde, então, verificar que, para um determinado valor do número de Reynolds (R,, ), 
o coeficiente de resistência (f) era idêntico para as três tubulações. As experiências 
foram repetidas para cinco valores da rugosidade relativa. Elas vieram provar que 
é válido o conceito de rugosidade relativa e que é correta a expressão 
para o tipo de rugosidade ensaiado. 
Experiências mais recentes conduzidas pelo Instituto Tecnol6gico de Illinois, 
com tubos de rugosidade artificial (roscas), vieram mostrar que fé também uma 
função da disposição, arranjo ou espaçamento das asperezas, assim como da sua 
forma. 
8.3.7 -Regime laminar, R,,= 0). É teoricamente correta e os seus 
resultados têm sido comprovados experimentalmente. 
Para os tubos rugosos funcionando na zona de turbulência completa, Nikuradse 
encontrou 
166 CÁLCULO OE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
equação (13) 
Os valores de f obtidos para tubos rugosos são maiores do que os obtidos pela 
Eq. (12). 
Convém notar que a Equação (13) não inclui o número de Reynolds e que, 
portanto, para um certa canalização de determinado diâmetro D, o valor de f 
dependerá apenas da rugosidade. 
Para a região compreendida entre as condições precedentes, isto é, entre o caso 
de tubos lisos e a zona de turbulência completa, C. F. Colebrook propôs, em 1938, 
uma equação semi-empírica, ou seja, 
,equação (14) 
Essa equação tende para a equação (12) dos tubos lisos quando "e/3, 7D" torna­
se muito pequeno, assim como tende para a Eq. (13) quando se reduz o valor de 
"2,51/ R,, -{f ". 
Nessas condições, quando a espessura do filme laminar for grande, comparada 
à altura das projeções rugosas, a perda no encanamento será a mesma que resultaria 
se a canalização fosse muito lisa. 
·3 
·2 ·. · 4 '6 8 ,o' 2· 
eft-- •. 
Figura 8.8-Die.gr= de Row;e 
O MÉTODO CIENTIFICO, A •FORMULA UNIVERSAL. 167 
Rugosidade relativa e/D 
/ 
I 1 
1 
/ /~ 
"' 
I ,11 ' & 
; 41; 
& 
'"' 
'§ 
'O ;:;:_ 
'ti) 
·:~ 11 
:2 I ! ·, 
"' : ! / /1 o 
.o 
::::, 
'"' "' 
/ 1 
J 
1 
o ,,,, 
ã; I 
li e: '/ 2:1 
1/ i-.;; JíJ· 
/ 
1 li Ili I N 
1 · 1l1 li !J 
" 
' J Y/J 
li lhW 
'A W 
}i~,11'.i 
~ , 
, J n 
Í li I J 
.' 
. .: . .. ·· . > 
.... 
.q cf 
r::J 
~ 
.q 
s 
CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
r::J .q .... r::J 
ci· e\" ~ 
.q 
> r::J Q 
~ :::.· :::.· .q 
O MÉTODO CIENTIFICO, A "FÓRMULA UNIVERSAL" 169 
8.3.9 - Diagramas de Stanton, Rouse e Moody 
A equação de Colebrook pode ser convenientemente representada num 
diagrama, tomando-se, nos eixos, valores de f (ou de 1/"} e Re "1) e os valores de 
D/e aparecem como uma família de curvas [Harpa de Nikuradse (Fig. 8.3)). 
Diagramas desse tipo foram publicados por Hunter Reuse e L. F. Moody. Outro 
diagrama semelhante foi originalmente divulgado por Stanton. 
Na Fig. 8.8, encontra-se o diagrama de Reuse, e na Fig. 8.9 o de Moody, de grande 
utilidade na solução geral dos problemas de escoamento em tubos. 
Ao final deste capítulo (item 8.4), está apresentada a Tab. 8.14 (b), com o 
resultado dos cálculos pela fórmula Universal (Colebrook), para os diâmetros 
comerciais e velocidade usuais e para diferentes valores de rugosidade absoluta e. 
8.3.10 - Problemas tipo: sua solução com o emprego dos diagramas de Rouse e 
Moody 
0 Quadro 8.6 auxilia o encaminhamento dos vários tipos de problemas. Con­
sideram-se como conhecidos os dados complementares relativos à natureza e 
condições do fluido que permitam conhecer a sua viscosidade (u), bem como as 
características da tubulação: comprimento (L), material, estado e aspereza (e). 
Exercício 8.5 - (Problema-tipo I); 
Uma tubulação de aço rebitado, com 0,30 m de diâmetro e 300 m de 
comprimento, conduz 130 e;s de água a 15,SºC. A rugosidade do tubo é 0,003 m. 
Determinar a velocidade média e a perda de carga. 
Solução: 
A viscosidade cinemática da água a 15,SºC = 0,000001132m2/s (Tab. 8.10) 
v= Q = 0,130 =1,84m/~ 
A 0,0707 
R = vD = 1,84x0,30 :490 000=4 9>autor do projeto 
e, como visto anteriormente, na prática as imprecisões do uso de fórmulas empíricas 
não alteram a ordem de grandeza em relação às imprecisões dos parâmetros a adotar 
na fórmula Universal; e o uso das fórmulas empíricas é mais ágil. 
Tabela 8.9 - Rugosidade dos tubos (valores de e em metros)* 
(ver também. a Tab. 8.11) 
Material Tubos novos 
Aço galvanizado 0.00015 a 0,00020 
Aço rebitado 0,0010 a 0,0030 
Aço revesti.do 0,0004 
Aço soldado 0,00004 a 0,00006 
Chumbo lisos 
Cimento-amianto 0,000025 
Cobre ou latão lisos 
Concreto bem acabado 0,0003 a 0,0010 
Concreto ordinário 0,0010 a 0,0020 
Ferro forjado 0,0004 a 0,0006 
Ferro fundido 0,0002s a o,oooso-· 
Ferro fundido com revestim.ento asfáltico 0,00012 
Madeira em aduelas 0,0002 a 0,0010 
Manilhas cerâmicas 0,0006 
Vidro lisos*** 
Plástico lisos 
• Parn os tubos lisos, o valor de e é 0,00001 ou menos 
"* D,idos indicados por R. W Powell 
••• Correspondem aos maiores valores de D/e 
Tabela 8.10 - Viscosidade cinemática da água (1>) 
Tubos velhos•• 
0 ,0046 
0,0060 
0,0005 a 0,0012 
0,0024 
lisos 
lisos 
0,0024 
0,0030 a 0,0050 
0.0021 
0,0030 
lisos*** 
lisos 
Temperatura Viscosidade cinemática Temperatura VlScosidade cinemática 
ºC m 2 /s ºC m2/s 
.o 0,000001792 20 0,000001007 
2 0,000001673 22 0,000000960 
4 0,000001567 24 0,000000917 
6 0.000001473 26 0,000000876 
8 0,000001386 28 0 ,000000839 
10 0.000001308 30 0,000000804 
12 0,000001237 32 0,000000772 
14 0,000001172 34 0,000000741 
16 0,000001112 36 0,000000713 
18 0,000001059 38 0,000000687 
Veja também a Quadro 1.12 
O MÉTODO CIENT I F I CO. A ºFORMULA U NIVERSAL" 173 
1 
e, 
1 ..;-
-ô 
1 .. 1 ..., 
e, 
ô 
-1 e, 1 ô 
,., 
1 1 
e, 
1 1 1 1 1 ô 
V 
..,. 
"" ô !::. "' 1 1 "' 1 1 d' 1 
 M 
ô ô ô 
o a, 
~ ~ V,, 
"' ô o "' - - (O "' .,, ô ..;- ,.,, ô ô~ o e,, .. ô ô d' â e, 
"' ... â "' 1 ô "' ô "'-"" 
... "' V 
onde Re = diâmetro da canalização (m); 
v"' a velocidade média do fluido (m/s); 
u = viscosidade cinemática (m2/s) 
Na Tab.8.12 encontram-se valores da viscosidade cinemática para diversos 
fluidos e diferentes temperaturas. Deve-se atentar para o caso de escoámento de 
fluido não-newtoniano, quando a teoria desenvolvida neste capítulo não se aplica. 
Ver item 1.4.5 e, para maiores detalhes, consultar bibliografia (Daugherty and 
Franzini, etc.) 
Exercício 8.9 (escoamento laminar) 
Calcular a perda de carga devida ao escoamento de 22,5 e;s de óleo pesado 
(934 kg*/ m 3), com um coeficiente de viscosidade cinemática de 0,0001756 
m 2/s, através de uma canalização nova de aço de 150 mm de diâmetro nomi­
nal e 6 100 m de extensão. 
V= Q = 0,0225 =l,27m/s; 
A 0,0177 
R =Dv =0,150xl,27 =l0S5 
• V 0,0001756 
Portanto o regime de escoamento é laminar, podendo ser aplicada a equação 
(10). 
hr = 128uLQ"' 128 x 0,0001756x6 100 x0,0225 198m de coluna de óleo 
trIJ'g 1t'X0,1504 x9,8 
ou 
198 X 934 E: 185 000kgf/m2 
Exercício 8.10 - (escoamento de ar): Um duto de aço de 150 mm de diâmetro 
nominal e 30 m de extensão será utilizado para fornecer 275 e;s de ar à pressão 
atmosférica e a 15 ºC. Calcular a perda de pressão. 
v= Q º•275 "'15 5m/s· 
A 0,01767 ' ' 
R "'Dv 0,15xl5,5 ::al,6xios 
e pelo diagrama: f = 0,019 , então: 
0,000046 
h _fLv2 _0,019x30x15,52 
1 - D2g - 0,15 x19,6 
47m 
(47 metros de coluna de ar ou pouco menos de 6 centímetros de coluna de 
água). 
O MÉTODO CIENTÍFICO, A "FÓRMULA UNIVERSAL• 177 
8.3.15 - Escoamento de gases 
O peso específico dos gases varia diretamente com a pressão a que estão 
submetidos, e inversamente com a temperatura absoluta, de acordo com a equação 
dos gases perfeitos: 
r"' :T, onde 
'Y= peso específico, em (kgf/m3) T = temperatura absoluta, (t + 273º) 
p = pressão, em (kgf/m2) R = constante do gás 
O escoamento de gases praticamente sempre é acompanhado de variação de 
pressão e, conseqüentemente, de alteração do peso específico. Para os gases, a 
equação da continuidade deve ser escrita em termos de peso ou massa: 
'Y1 ·A1 · vl ='Y2 ·A2 • V2 
Constata-se portanto que, se em um conduto de seção circular com diâmetro 
uniforme e sob temperatura constante a pressão absoluta cair para a metade do 
valor inicial, o peso específico do gás também será reduzido a 50% e, conse­
qüentemente, a velocidade deverá elevar-se ao dobro. 
Sempre que a variação de pressão de um ponto para outro não for elevada, a 
alteração de peso específico será pequena, podendo-se aplicar as expressões gerais 
de resistência, estabelecidas para o escoamento de fluidos incompressíveis. 
Esse é um caso que freqüentemente se verifica em canalizações curtas ou em 
condutos de baixa velocidade, onde 
p 2 }0,90 
P, 
Com maior rigor pod~ria ser limitada a variação de pressão a apenas 4% (p
2 
= 
0,96 p 1), o que traria um erro da ordem de 2% nos resultados. Em tais condições, a 
linha de carga é admitida como sendo retilínea (Fig. 8.10), sendo aplicáv~l a fórmula 
Universal do escoamento de fluidos incompressfveis. 
· Qístânciaj.o longo ela tubulação ..:,; L •------------------------....1 Figura. 8.10 
Os problemas nesse caso são resolvidos de maneira idêntica à que se adota 
para as questões relativas ao escoamento de líquidos, podendo-se admitir o peso 
específico constante e, se for desejada maior precisão, levar em conta o seu valor 
médio. O valor de h I será dado em metros de coluna de um líquido imaginário, de 
178 CÁLCULO OE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
peso específico idêntico ao do gás. A rugosidade relativa será a mesma indicada 
para o movimento dos líquidos nas tubulações, mantendo-se praticamente 
constantes os valores de Rc e de f. Os diagramas de Rouse- e de Moody aplicam-se 
tanto aos fluidos compressíveis como aos incompressíveis. 
Se, ao contrário do que vem sendo admitido, a queda de pressão for acentuada, 
as expressões da Hidráulica não· poderão mais ser aplicadas, exigindo o problema 
um tratamento mais complexo. Nesse caso, a linha de carga será representada por 
uma curva (Fig. 8.11). 
Tal é o caso das tubulações em que a perda de carga (p 1 - p 2) representa uma 
porção importante da pressão inicial p 1, o que geralmente ocorre nos condutos 
longos e nas canalizações com pressões e velocidades elevadas. · 
Para a solução desse problema, a tubulação em questão poderia ser subdividida 
em trechos, para efeito de cálculos, trechos estes para os quais pudesse ser aplicado 
o critério precedente. Isso corresponderia à substituição da éurva representativa 
da linha de carga por inúmeros trechos retos. Em cada um desses trechos, seria 
admissível adotar valores médios para o peso específico e para a velocidade média 
de escoamento. Esse método de cálculo, contudo, além de ser aproximado, poderá 
se tornar bastante trabalhoso no caso de tubulações de grande extensão. 
FiguraB.11 
Distância ao longo da tubulação ..: L 
O estudo geral do escoamento de gases, sob o ponto de vista te6rico, abrange 
dois casos extremos: 
a) Escoamento isotérmico. Tubulações não-protegidas termicamente, onde 
prevalece a temperatura ambiente, considerada uniforme. 
b) Escoamento adiabático. Tubulações perfeitamente protegidas, onde não 
ocorrem trocas de calor. 
Na prática, o escoamento de gases aproxima-se mais das condições isotérmicas, 
uma vez que as tubulações metálicas são instaladas sem proteção especial. 
Admitindo-se, portanto, a expansão isotérmica, pode-se deduzir a expressão 
seguinte(*). 
h1Pi -P2 =fLv2 x~ 
'Y D2g P1 +pz 
• Ralph W. Powell-A:n Elementary Text in Hydraulics and Fluid Mechanics, The Macmillan Co. New 
York.pp. 166-167. 
O MÉTODO CIENTÍFICO. A "FÓRMULA UNIVERSAL" 179 
Essa expressão difere da anterior apenas pelo fator P~:~
2 
A partir dela podem-se verificar as diferenças que resultariam da aplicação da 
primeira expressão aos problemas em consideração 
Para A= 0,96A, = 2p, 
p, +0,96P, 
1,02 (erro de 2%) 
e para: P2 = 0,90p,, ⇒ 
2
A = 1, 05 ( erro de 5%) 
Pi +0,90P, 
Deve-se observar que, para a gama de pressões correntes a que estão submetidos 
os gases, o coeficiente de viscosidade absoluta é praticamente constante. Como a 
velocidade varia inversamente com o peso específico, o número de Reynolds 
permanece constante ao longo das tubulações e, conseqüentemente, o coeficiente 
de atrito f mantém-se com igual valor ao longo dos condutos. A viscosidade 
cinemática varia inversamente com as pressões. 
O escoamento em condições adiabáticas ocorre, na prática, somente nos casos 
em que se torna conveniente o isolamento térmico das tubulações. Os casos mais 
comuns são os dos condutos de vapor de água e de fluidos refrigerantes, como, por 
exemplo, a amônia. 
Como na maioria dos casos correntes os encanamentos são relativamente 
curtos, as perdas de pressão são reduzidas, podendo-se mais uma vez aplicar as 
expressões já mencionadas. Todavia há casos em que esse tratamento simplificado 
do problema não pode ser admitido. Uma análise simples, porém bem feita, das 
condições de escoamento em tais casos, encontra-se na Mecânica dos Fluidos, de R. 
C. Binder, Prentice Hall lnc. NewYork, 1947, pp. 189-197. 
A rigor, o escoamento de um gás pode não ser adiabático e nem realmente 
isotérmico. Para que as condições fossem isotérmicas, seria necessário que as trocas 
de calor se fizessem com uma determinada velocidade e de acordo com uma lei 
preestabelecida. As condições da prática aproximam-se mais do escoamento 
isotérmico, quando a temperatura ambiente excede a temperatura do fluido. 
Assim como existem para as questões de escoamento da água fórmulas práticas 
simplificadas, para os condutos de gás foram propostas e têm sido aplicadas diversas 
expressões. lncluem•se entre essas a f6rmula de Biel, 
f o,o537vº·
184
, onde Q está em (m3/s), 
Ql,125 
assim como a fórmula de Aubery (para escoamento de gás de iluminação, em 
canalizações de ferro fundido), 
1 625Ql,85 
D432 
onde h 1 é dado em mm de água/km: Q, em m 3/h; e D, em cm. 
A Comgás de São Paulo adota a fórmula de Dr. Pole para os cálculos relativos às 
canalizações de baixa pressão da rede de distribuição: 
180 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Q=0,6659✓.0:: 
Q = vazão de gás, em (m3 /hora); d= densidade do gás em relação ao ar; 
D= diâmetro da canalização, em (cm) L = extensão da canalização, em (m). 
H = perda de carga, em (mca) 
8.4-TABELAS PARA AS FÓRMULAS DE BAZEN-WILLIAMS E UNIVER­
SAL (COLEBROOK) 
A Tabela 8.14a apresenta o resultado dos cálculos pela fórmula de Hazen-Will­
iams para os diâmetros comerciais e velocidades usuais e para diferentes valores 
do coeficiente "C". 
A Tabela 8.14b apresenta o resultado dos cálculos pela fórmula Universal 
(Colebrook) para os mesmos diâmetros comerciais e mesmas velocidades usuais e 
para diferentes valores de e {rugosidade absoluta). Optou-se por calcular a tabela à 
temperatura de 4ºC (densidade e viscosidade máximas da água), porque assim 
estaremos a favor da segurança quanto à capacidade dos tubos, além do que, mesmo 
em países tropicais, há dias ou noites em que é justo esperar temperaturas dessa 
ordem para a água. 
Apresentadas lado a lado, as tabelas proporcionam ao usuário imediata 
comparação dos resultados obtidos pela fórmula empírica largamente utilizada de 
Hazen-Williams e a fórmula Universal.Além disso, o usuário da fórmula de Hazen-Williams, poderá inferir dessa 
comparação desvios do coeficiente C, em função do diâmetro e da velocidade, 
conforme já explicado em 8.2.10. 
TABELAS PARA AS FÓRMULAS DE HAZEN-WI LLIAM S E UNIVERSAL (COLEBROOK) 181 
Tabela 8.14a - Fórm~a de Hazen - Williams e Tabela R14b ~ l-'órmÚI~ Universal (4ºC) 
Perdas de carga em metros por 100 :metros Diâmetro 50mm. 
Coeficiente e 
[Hazen-Wtlliams] 80 90 100 110 120 l.'lO 140 
·_•:.Ru~osidadee••· -4,00_•··. 
(mm [_Colebrook] > 
(l/s) (m/s) (m) 
0,4 0,20 0,0021' .0,39. , 0,35 . 0,28 0.28 0,25' 0,23 ·0,22 0,20 ,' 0,18 0,17 : O 14 0,14 0,14 0,13 •· .. '· .. 
0,6 0,31 0,0048 ;0,8'7 , 0,75 '.0,63 0,60 0,56 0,49 0,49 0,41 , 0,40. 0,35 ·0,30 ' 0,30 0,28 0,27 
0,8 0,41 0.0085 · ,sf 1,27 .1,12 1,02 0;99 0,84 .MS 0,71 :o;st 0,60 0,50. 0,52 . 0,47. 0,45 
0,0132 •2,40 
:,.-.··. 
1,06•. 1,0 0,51 1,92 ''· 1,74 : 1,55 ·+54 1,27 : 1,33 ·.· 1,07 0,91 .0,76 0,78 0,71 0,68 
1,2 0,61 0,0190 )AS:. 2,70 .:2,49 2,17 .2,21·· 1,78 ;190. · 1,50 . :i,51,. 1,27 1.0'.i' 1,10 , 0,99 0,96 
3,59 3,39 
·1'. '·;, ·-- ... :-·. 
1,43 · 1,4 0,71 0,0259 4.70 ·.: 2,89 .3,01, 2,37 2,?8' 1,99 : 2,05 1,69 1,46 .1,31 1,27 _, .. , .. ,_·.:-_· 
4,60 : _4,42 : :. :3,92 3,04 •ias•. 1,6 0,81 0,0338 .·. 6,13 3,70 J;~6i 2,55 '·2,66. 2,17 1,87 .1,68' 1,63 
1,8 0,92 0,042s }A22,25 16,59 • 19, 7(f 13,65 •·16,81 11,44 _13,2f 9,74 ._8,65·• 8,40 · 1;6r 7,32 
3,8 1,94 0,1909 .34,4ª 22,81 24, 78 18,34 ; 21.94 15.09 18,72 12,65 14,11:. 10,77 • ••9,61 9,28 •. 8,50. 8,09 
4,0 2,04 0.2115 . 38,20. 25,08 • 27,46 20,17 24,31 16,59 20,73 13,91 16;28 11,84 · 10,61 10,21 9,37· 8,90 
4,2 2,14 0,2332 42,lL 27,46 30,26 22,08 26,79 18,16 '22,85 ' :s,22 · 11,9r 12,96 U,67 11,17 10,28 9,74 
4,4 2,24 0,2559 46,22 29,93 33,21 24,06 29,40 19,80 · 25,07 16,59 • 19,67 14,12 12,77 12,18 11;2f 10,62 
4,6 2,34 0,2191 • 5ô,~i 32,49 36,29 26,13 32,12 21,49 27,39 : 18,02 . 21,49 15,34 '13;92 •· 13,22 12,24 11,53 
4,8 2,44 0,3046 54,99 35,16 39,51 28,27 · 34,97 23,26 29,81,, 19,49 , 23,39. 16,59, 15,13· 14,31 13,27 12,47 
5,0 2,55 0,3305 59,67 37,92 42,87° 30,49 ; 37,94° 25,08 32,34, 21,03 25,3~ · 17,90 16,38 15,43 • 14;35 13,45 
5,2 2,65 0,3575 '. 64,53 ··• 40,78 46.36 32, 79 ;11,Q3, 26,97 : 34,9'7 22,61 27,42 19,24 17,68 16,59 15,4( 14,46 
5,4 2,75 0,3855 69,59. 43,73 ·49,99 35,16 •, 44,24 28,93 ' 37, 71 24,25 29,55 20,64 19,03 17,79 '16,64 15,51 
5,6 2,85 0,4146 74,83 46,78 53,75 37,61 47,57 30,94 f(),54 25,94 . 31, 77 .. 22,08 20,43 19,03 17,85 16,59 
5,8 2,95 0,4447 á0,27 49,92 . 57,65 40,13 ; 51,02 33,02 . 43,48 27,68 : 34,07 _23,56 21,88 20,31 19,09, 17,71 
6,0 3,06 0,4759 85,90 53,15 . 61,6~ 42,73 54,59 35,16 45;52 29,47 36,45 25,08 23,38 21.63 20,38 18,85 
6,2 3,16 0,5082 91, 71 56,48 . 65,87 45,41 58,28 37,36 49,67 31,32 38,90 . 26,65 24,93 22,98 21, 71 20,03 
6,4 3,26 0,5415. 97,72. 59,90 io,i8 48,16 . 62,10 39,62 52,92, 33,21 41,44 28,27 . 26,53 24,37 . 23,09 21,25 
6,6 3,36 0,5759 103,92 63,41 74,63 50,98 · 66,03 41,95 56,27 35,16 44,06 29,93 28,18 25,80 24,50 22,49 
6,8 3,46 0,6113 110,31 67,02 _79,22 53,88 70,09 44,33 59,72 37,16 46,76 31,63 . 29,88 27,27 25,96 23,77 
7,0 3,57 0,6478 116,89 70, 71 83,94 56,85 74,27 46,78 63,28· 39,21 49,53 33,37 3~;63 28,77 27,45 25,08 
7,2 3,67 0,6853 123,66 74,50 88,80 59,90 78,57 49,28 66,94 41,31 52,39; 35,16 33,43 30,32 28,99 26,43 
7,4 3,77 o, 7239 l.'l0,63 78,38 93,80 63,02 82,98 51,85 70,70 43,46 ; 53,33 36,99 . 35,27 31,89 30,57 27,80 
7,6 3,87 0,7636 137,78: 82,35 . 98,93 66,21 87,52. 54,47 . 74,56 45,66 58,35 38,86 37,17 33,51 , 32,19 29,21 
7,8 3,97 0,8043 145)2 86,41 i04,20 69,47 • 92,18 57,16 78;53 47,91 61,45 40,78 39,11 35,16 33,W 30,65 . ·-.. __ , . ' 
72,81 • 96,97 59,90 82,60 36,85 35,56. 32,12 8,0 4,07 0,8461152,65. 90,55 109,61 50,21 · 64,63 42,73 41,11 
8,2 · 4,18 o,as89160;38. 94, 19 . ii~;l.5 76,21 101,87 62, 70 ; 86, 77, 52,56 . 67,88 44,73 ', 43,16 38,57 ' 37,3t 33,62 
182 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente e 
[Hazen-Williaros] 
.· RugoJdade~ . : 
Vazão Vel. 'f/l-/2g .: 
((/s) (m/s) (m) 
80 90 
1,50 
100 110 
Diâmetro 60mm. 
120 130 140 
,o,5o: ·:0,10 ·. ·•.o:ós' · 
,·.; ' 
!·;;· 
0,6 0,21 0,0023 0,3Lr 0,31 >o.i4 0,25 '. 0;2L 0,20 i0,19:: 0,17 Ô,Íf 0,15 :lii} 0,13 (p,12: 0,11 
0,8 0,28 0,0041 0,57> 0,52 ·),42 0,42 i.0,37'; 0,35 0,33. 0,29 0,21:• 0,25 :.0,20 0,21 ;0,19 0,19 
1,0 o,35 0.0054 o,88 :. 0,19 ·0J5 o.64 i o,5à o,52 : o.so o,44 ó,41.: o,37 (à.sp· o,32 /tj.2f 0,28 
1,2 0,42 0,0092 ' i,zf 1,11 :,o.~s: 0,89 r 0,83; o, 73 ó, 72 0,62 i Ô,58 . 0,52 ! 0,43 ': 0,45 1>?;10 .i 0,39 
1,4 0,50 0,0125 3,46 :s.il+: 3,01 
3,8 1,34 0,0921 ~
1
64 9,39 il,22 1,ss i 8,21 s,21 : 1,05: 5,20 : s,só 4.43 ; 3,78 3,82 !•iAir• 3,33 
4,o 1,41 0.1020 14,00 10,32 ·· 10,21 8,3o ! 9',o9 · 6,83 1;81 · 5,12 ' 6,20 4,81 i 4,iy: 4,20 
1 
i,7( 3,66 
4,2 1,49 0,1125 15;44 11,30 11,26 9,08 : 10,02 7,47 , 8,60 .. 6,26 ),83 5,33 
1
4,5~ : 4,60 1:4,}Q 4,01 
4,4 1,56 0.1234 rn:94 12,31 12;35: 9,9o 10;99 s,15 9,43 · s,a3 : 1,49 5,a1 : 5,01,; 5,01 : Mt 4,37 
4,6 1,63 0,1349 i8,5l• 13,37 '13;50 10,75 ' i'2,0f 8,84 10,31 7,41 : 8,17 6,31 : ~;45 5,44 (~,ar: 4,74 
4,8 1,70 0,1469 20,15 14,47 14,69 11,63 · i3;07 9,57 11,22 8,02 : '8,89 6,83 5,92 : 5,89 5,28: 5,13 
5,0 1,77 0,1594 2i;s1 . 15,60 .: 15,94 12,55 : J4;18 10,32 · 12,17 8,65 9,64, 7,36 6,41. 6,35 ,:~;ti 5,54 
5,2 1,84 0,172.4 23,65 16,78 ·17,24 13,49 : ÍS,33. 11,10 13,l6' 9,3C '10,42: 7,92 : 6,fü 6,83 :::6;15 5,95 
5,4 1,91 0,1859 25,so 11,99 10,59, 14,47 i'is,s3• 11,90 14;18 9,98 : 1l,2s: s,49 :7,44' 1,s2 ' s;so> 6,38 
5,6 1,98 0,1999 27,42 19,25 :'19,99 15,48 : 11,1s 12,1s 15,25 10,61 12,01 9,08 ;.1,98 · 7,83 l/t;o8\ 6,83 
5,8 2,05 0,2145 29;41 20.54logo a unidade 
de massa neste sistema é igual a g gramas. Como g varia de lugar para lugar, 
especialmente com a latitude e a altitude, ... 
M~lhor explicando, o Sistema Gravitacional torna o k igual à unidade pela 
definição da unidade de massa. "Se um corpo de peso unitário cai livremente, a 
força unitária atuará e a aceleração serág", logo, para que a força unitária produza 
uma aceleração unitária, a unidade de massa será equivalente a gunid_ades de peso. 
Nó sistema métrico seria: 
1 kgf = unidade de massa x l m/s2, logo 
unidade de massa = 1 (kgf) / 1 (m/ s2) = g (kg) 
6 PRINCIPIOS BÁSICOS 
Em outras palavras, a força gravitacional comunica à massa de 1 kg a aceleração 
g: lkgf = g 1 kg. O importante é entender que o peso de um corpo pode se reduzir a 
zero ao sair da gravidade terrestre, mas sua massa permanecerá a mesma. 
Evidentemente a definição de massa pecava por variar em função da aceleração 
da gravidade, o que não corresponde à realidade física da grandeza massa. 
Entretanto, as aproximações são boas o suficiente para, de maneira geral, em 
problemas pouco sensíveis à variação desse tipo de grandeza, continuarem a ser 
usadas, pelo hábito e pelas facilidades advindas principalmente do fato de que, a 
grosso modo: 
1 dm3 de H 20 (um litro de água) = 1 kgf 
gerando a unidade prática de pressão conhecida como metro de coluna d'água 
(mca), tão difundida entre os técnicos. 
Por convenção internacional de 1960, foi criado o Sistema Internacional de 
Unidades (SI), também conhecido por Sistema Absoluto, legalmente em vigor no 
Brasil e na maioria dos países do mundo, do tipo MLT (massa, comprimento, tempo) 
e não FLT (força, comprimento, tempo) como era o Sistema Gravitacional. 
As unidades básicas desse sistema são o quilograma (nes.te caso seria um 
quilograma massa), o metro e o segundo. Deve-se atentar para a coincidência de 
nomenclatura entre a antiga unidade peso e a atual de massa, evitando-se assim as 
confusões daí advindas, infelizmente tão freqüentes. 
O SI é composto por sete grandezas básicas: 
'QÚADROl.4 
GRANDEZA UNIDADE SÍMBOLO 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
·Tempo segundo s 
Intensidade de corrente ampere A 
Temperatura termodinâmica kelvin K 
Intensidade luminosa candela cd 
Quantidade de matéria mol mol 
Havendo ainda as denominadas unidades complementares: 
ângulo plano radiano rad 
ângulo sólido esterradiano sr 
Cabe registrar que, para os fins usuais de engenharia hidráulica, não interessa 
a diferença entre o conceito de massa e quantidade de matéria, que vai interessar à 
física e à química puras. Um "mol" é a quantidade de matéria (ou quantidade de 
substância, nos EUA) de uma amostra ou sistema contendo tantas entidades 
elementares quantos átomos existem em 0,012 quilograma de carbono 12. 
Nesta edição, será adotado o Sistema Internacional (SI) de Unidades, sem 
abandonar entretanto os "usos e costumes" dos técnicos da área, a quem o livro se 
destina, estabelecendo também uma "ponte" entre aquele que se inicia no ofício e 
o veterano. 
As unidades derivadas do SI são estabelecidas através de tratamento algébrico 
ou dimensional das grandezas físicas básicas. 
Apresenta-se a seguir as grandezas mais freqüentes, com suas respectivas 
.' ;\ 
SIMBOLOS ADOTADOS E UNIDADES USUAIS 
7 
unidades para os cálculos relacionados com as atividades da hidráulica. 
GRANDEZA SÍMBOLO UNIDADE RELAÇÃO COM DIMENSIONAL 
AS UNIDADES 
BÁSICAS 
ÁREA m2 L2 VOLUME m3 Ls 
VELOCIDADE m/s L ',['-l 
ACELERAÇÃO m/s2 LT-2 
lMASSA ESPECÍFICA kg/m3 ML-3 
FREQÜÊNCIA Hz hertz s-1 ',['-1 
FORÇA N newton kg·tn/s2 MLT-2 
PRESSÃO Pa pascal N/m2 M 1-1 -r-2 
ENERGIA J joule N•m ML2-.r-2 
POTtNCIA w watt J/s ML2T-3 
VISCOSIDADE DINÂMICA p poise 0,1N·s/m2 M L-1-r-1 
VISCOSIDADE CINEMÁTICA St stokes l04 ·m2/s 12-r-1 
MOMENTO DE INÉRCIA m4 L4 TENSÃO SUPERFICIAL N/m MT-2 
PESO ESPECÍFICO N/m3 ML-2T-2 
OBSERVAÇÃO: 
Para calcular o valor de g(cm/s2) em qualquer situação geográfica (latitude e 
altitude), abstraindo as distorções provocadas pela falta de homogeneidade da 
massa do planeta Terra, pode-se utilizar a fórmula (Gamow, 1? vol, p.38): 
g = 980,616 - 2,5928 x cos 2q, + 0,0069 x (cos 2q,)2 - 0,3086 x H 
onde q, = latitude em graus 
H = altitude em quilômetros 
No quadro 1.6 a seguir, apresentam-se valores de g calculados para diversas 
localidades pela fórmula acima mencionada. 
QUADRO 1.6 ' , . . · 
CIDADE 
Quito 
Manaus 
LaPaz 
Rio de Janeiro 
São Paulo 
Buenos Aires 
NewYork 
Paris 
Ilhas Malvinas 
LATITUDE 
(graus) 
o 
38 
17S 
23 S 
24S 
35 S 
42N 
49N 
53 S 
ALTITUDE AC. DA GRAVIDADE 
(m) (m/s2) 
3 000 9,77100 
80 9,78068 
4000 9,77236 
1 9,78814 
800 9,78637 
1 9,79729 
1 9,80345 
150 9,80700 
1 9,81331 
· Portanto, para a realidade latino-americana parece que a melhor ap~oximação 
para o valor de g é 9, 79 ou 9,80 e não o 9,81 citado nas bibliografias européia e 
norte-americana. Neste livro, sempre que for o caso, será utilizado o valor g= 9,80 
m/s2• 
8 
1.4 - PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 
1.4.1 - Definições . Fluidos: líquidos e gases 
PRINCIPIOS BÁSICOS 
Fluidos são substâncias ou corpos cujas moléculas ou partículas têm a 
propriedade de se mover, umas em relação às outras, sob a ação de forças de mínima 
grandeza. 
Os fluidos se subdividem em líquidos e aerüormes (gases, vapores). Em virtude 
do pouco uso da expressão aeriforme, serão utilizados neste livro os termos gases 
ou vapores, indistintamente, com o conceito de substância aeriforme. 
Os líquidos têm uma superfície livre, e uma determinada massa de um líquido, 
a uma mesma temperatura, ocupa só um determinado volume de qualquer reci­
piente em que caiba sem sobras. Os líquidos são pouco compressíveis e resistem 
pou:co atrações e muito pouco a esforços cortantes (por isso se movem facilmente). 
Os gases quando colocados em um recipiente, ocupam todo o volume, 
independente de sua massa ou do tamanho do recipiente. Os gases são altamente 
compressíveis e de pequena densidade, relativamente aos líquidos. 
O estudo do escoamento de gases (ou vapores) na Hidráulica praticamente só 
está presente nos problemas de enchimento e esvaziamento de tubulações e 
reservatórios fechados, quando há que se dar passagem ao ar através de dispositivos 
tais como ventosas e respiradores, ou ainda, na análise de problemas de 
descolamento de coluna líquida em tubulações por fenômenos transitórios 
hidr.áulicos (golpe de ariete). 
A forma como um líquido responde, na prática, às várias situações de 
solicitação, depende basicamente de suas propriedades físico-químicas, ou seja, de 
sua estrutura molecular e energia interna. A menor partícula de água, objeto da 
Hidráulica, é uma molécula composta por dois átomos de hidrogênio e um de 
oxigênio. Entretanto, uma molécula de água não forma o que em engenharia 
hidráulica se designa como tal. São necessárias muitas moléculas de água juntas, 
para que se apresentem as características práticas desse composto. A proximidade 
dessas moléculas entre si é função da atração que umas exercem sobre as outras, o 
que varia com a energia interna e, portanto, com a temperatura e com a pressão. 
Os estados físicos da água (sólido, líquido e gasoso) são resultado da maior ou 
menor proximidade e do arranjo entre essas moléculas e, portanto, da energia 
presente em forma de pressão e de temperatura. A medida de energia é o "joule", a 
de calor a "caloria" e a de pressão o "pascal". Uma caloria é a energia requerida 
para aquecer um grama de água, de um grau Kelvin (ou Celsius). 
Para passar de um estado físico para outro (ou de uma fase para outra), a água 
apresenta uma característica própria, que é a quantidade de calor requerida, sem 
correspondénte variação de temperatura, denominada calor latente de vaporização 
(líquido vapor) e calor latente de cristalização (sólido líquido). Ao nível do 
mar, a 45º de latitude e à temperatura de 20ºC, a pressão atmosférica é de 0,1 MPa 
( 1, O 3 3 kgf / cm 2).Nessas condições, se a temperatura· 21;.i:4 16,51 •19,01 13.59 1s,35 11;39 .12,94.- 9,69 .8,5~ 8,36 :7;s1; 1,29 
6,0 2,12 0,2295 31,48 21;87 22,94 17,58 .. 20;40 14,47 17,SÓ' 12,13 ·13,85 10,32 · 9;12 8,90 ; .. 8,07 : 7,76 
6,2 2,19 0,2451 33,et, 23,24 • 24,49 18.69 •':21.1s 15,31 ·18.ss 12,89: 14,1s · 10,91 · 9,12 • 9,46 :;s;sõ; 8,24 
6,4 2.26 0,2611 35,81 ; 24,65 : 2s,09 19,82 2s,20 16,30 19,90 13,67 is:14 11;63 · 10,ú: 10.03 i9;l3 · 8,74 
6,6 2,33 0,2777 38,08 26,09 27,75 20,98 >24,67 17,26 21,i6 14,47 ' 16,n: 12,31 J0,98 10,62 \l;sg 9,26 
6,8 2,41 0,2948 40,42 27,58 29,45' 22,17 26,lg' 18,24 22,45 15,29 i7,75' 13,01 n',64 11,22 10,26 9,78 
1,0 2,48 0,3124 42;8s 29,10 · s1,21f 23,40 ·21,15 19,25 23,79 16.13 18,ái 13,73 12,s1 11,84 10,84 10,32 
7:2 2,55 0,3305 ~5,31 , 30,66 :33;0i 24,65 : 29;35 20,28 25,16 17,00 i9,89 14,47 .Ú,01 12,47 :11;44' 10,87 
7,4 2,62 0,349137,8t 32,25 34,87 25,93 : 31;00 21,33 26;58 · 17,88 21,ÓO 15,22 1S:ti 13,12 i 12,06'. 11,44 
1,6 2,69 o,3683 ,so,48 r 33,88 •3s;1i 21,24 32,69 22,41 28,03 18,79 , 22,15 15,99 14,46 13,79 i 12;1~· 12.02 
7,8 2,16 o,3879 53,11: 35,55 38;73 28,59 · ,34;43 2s,s2 ',29;52 : 19,71 : 23,32 .· 16,78 15,21' 14,47 i 13,;3s 12,s1 
8,o 2,83 o,4080 55;93 37.26 4Q)4 29,96 s6',22 24.65 ;aí;os ' 20.65 !,2üf 17,58 i5iá ·. 15,16 (i4,of 13,22 
8,2 2,90 o,4287 iíá,76. 39,01 42;ào 31,s6 i38,os 2s.80 s2;51 21,53 •25,76 · 18,41 is.ti 15,87 1i;10 13,84 
8,4 2,91 o,4499 sfo;~, 40,79 :.«;9i_ 32,79 :'s9}2; 26,98 ji.~~- 22,61 )i1,q( 19,25 :11:~8 16,60 : 15:39\ 14,47 
T A B E L A S P A R A A S F Ó R M U L A S D E H A Z E N • W I L l I A M S E U N I V E R S A L ( C O L E 8 R O O K ) 183 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 75mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Williaros} 80 90 100 110 120 130 140 ~!1; \1[ ~00' füo 'i:oo lff, ' P.io' 
((fs) (m/s) (m) ,) •J! . :;/· ,., 
1;2~~~~~~~w~~~~~~~w 
1
,
4 
o,32 0,0051 :p,51? o,so ; o,38. o,40 ·,. ,.Po. ·•.·.•,:.34·•··.·.·45.· .. ··.·.•.· .. •·•.•·•.: ... •.;. o0 •• s4. 32 :,i·•··ºo• .. •.·.·1.:,33·.··.· .• 99·.··•·i··.•.: .. : 0,28 1 ,0;2s ." 0,24 ':'. 0,19\ 00.,2206 ·(0
0
: •• 21.83 i 00 .• 
2
18
3 1,6 o,36 0,0061 \ô:si} o,64 ;,o:s9 o,51 o,s5 :i9,:i2) o,3o /9;2{, 
1.8 0,41 o.oo8s ô.iíS 0.19 /o;s3\ o,64 '.º·~~, o.s2 .o,49f o.44 '.o;4o/ o,37 o:so, o.s2 · ~.280' 0.28 
~:=•:~:1:1:1:•:~: 
2,4. o,54 0,0150 t;4Q 1,80 /1,51J;~~). 1,59 :: 1.w•, 1,35 i-1,foJ 1.11 • xo1,. 1.02 
3,8 o 86 o om 3 72-' s 11 · 2 76 2 55 247'. 2 09 214'.' 1,16 ·)1;1s) 1,49 1 :1:;,2\ 1,29 ·\12 · 1,12 
E~~l~l~l~lmlElml~ 
4,6 1,04 0,0553 ,sA5> 4,51 :: 4,0f: 3,63 rJ,62/ 2,98 : ut: 2,50 ;_2;52e, 2,13 :,1.1~) 1;84 1,Gor 1,60 
4,8 1,09 0,0602 :s.94: 4,88 : '}40 , 3,92 ( s:9f: 3.23 i3;4t". 2,11 j,74) 2,30 s,s7> 4,35 )t54; 3,10 :::i;tQ .: 3,19 · 2;79. 2,1s · 
u~~~w~~~~~w~~~~~~ 
6,6 1;49 0,1138 'Ú;21; 8,80 ; is( 7,08 ,:7,43 : 5,82 : 6}2:, 4,88 ;'$,1{ 4,15 3,s.ôj 3,58 '.3,14 : 3,12 
6,8 1,54 0,1208 íi;~p., 9,30 ics:ái;; 7,48 r:);~;; 6,15 ;:,s!~(i 5,16 (s)(: 4,3g ;'\fü? 3,78 'j)s\ 3,30 
7,0 1,58 0,1280)2,fil.) 9,81 J,3f. 7,89 :8;3S 6,49 i 1:f2:\ 5,44 ! 5,n· 4,63 : 3,9t 3,99 :úL 3,48 
1,2 1,s3 0,1354 :13,34 10.34 .9.88: 8,31 :8.83· 6,84 · 1,6s 5,73 ::6,lt '. 4,ss 4,13 ' 4,21 i;n 3,61 
1,4 1,68 0,1430 :1~.ii'( 10,88 }oX3 8,15 ·g,ir, 1,20 ,).osf s,o3 r:s,,4s ·/ 5,13 :4;3f 4,43 s,9o . s,86 
7,6 1,72 0,1508 14,~6 .. 11,43 ) ,1.00. 9,19 \9'.~t 7,56 \8,SQ. 6,34 ; 6'.~0 i 5,39 :}}9;· 4,65 • '¾lli_ 4,05 
7,8 1,77 0,1589 l5,6S ' 11,99 1 11,59 9,64 . 10;36• 7,93 · 8,95/ 6,65 ('.7,16 \ 5,66 ' 4;83 4,88 · 4,3l 4,25 
8,o 1,81 o.1s1116,46 12,51 : ú.19 10.10 • 10;90 8,31 ; .s'.1i\ 6,97 :1!jf\ 5,93 s.oi 5,85 ·5.20• 5,10 
8,8 1,99 0.2022 :1s.92f 14,99 :i,(i4 12.06 13.iâ' s.92 itüs 8,31 :ios\; 1,08 ; :9;ioL 6,10 ; 143: 5,32 
9.o 2,04 0,2115 : 2iU13! 15,6s (1~;i2- 12,51 ij3;1â 10,34 :ii;so/ 8,61 i:úi) 1,s8 \s,s!,;, 6,3 s ;:.5.~7 • 5,54 
184 CÂLCULO OE TUBULAÇÕES SOS PRESSÃO 
Continuação d.a Tabela 8.14 
Perdas de carga em. metros por 100 metros 
Coeficiente e 
(Hazen-Williams] 
.·•·.· ... ·.•Rii'gosidadeê ;•'..\4,oo.·: 
··(min)IC.O,lf, 0,18 
3,5 o,45 0,0101; Ô;6&) o,67 j'ô,5{ o,54 ()'.4{ o,44 0;40 o,37 Jo,sf 0,32 /o,2s · 0.21 , 0,23 0,24 
4,o o,51 0,0132 .ô,sf: 0,0s ; Ó,fis{ o,69 \q,sf· o,57.v2 4,81 , 4,22 4,20 
17,0 2,16 0,2388 15,47 12,50 11;55 10,0-5 10,48 8,27 ' '9,12 6,93 . 7,36 5,90 5,00 5,09 4,46 4,44 
17,5 2,23 0,2530 16,59 13,19 1?,35 10,61 ')1;10. 8,73 9,66 7,32 7,79 · 6,23 5,29 5,37 : 4,72 4,68 
18,0 2,29 0,2677 17,34 13,90 13,06 11,18 11,75 9,19 10,22 7,71 8,24 6,56 5,59 5,66 4,98 4,93 
18,5 2,39 0,2828 18,31 14,62 13,80 11,76 . 12,41 9,67 10,79 8.11 8,70 6,90 ·. 5,90 5,95 , 5,25 5,19 
19,0 2,42 0,2983 19,31 15,36 14,55 12,3s 13,09 10,16 u;s8 8,52 9.17 1,25 6,21 s,25 5,52: 5,45 
19,5 2,48 0,3142 20,34 16,12 15,33 12,96 13,78 10,66 11,98 8,94 , 9,66 7,61 6,53 6,56 5,8i, 5,72 
20,0 2,25 0,3305 21,40 16,89 16 12 13,58 14,50 11,18 ; 12,60. 9,37 . 10,16 7,97 6,86 6,87 6,10 5,99 
20,5 2,61 o,3472 ~2.48 17,69 1s:12 14,22 15;23 11,10 13,24 9,s1 · 1à,s1 8,35 .1;20 7,20 6,39 s,27 
21,0 2,67 0,3644 23,59 18,49 17,77 14,87 15,98 12,23 : 13,89 10,25 : 11,19 . 8,73 .· 7,55: 7,52 ; 6,69 6,56 
21,5 2,74 0,3819 2Ú3 19,32 18,62 15,53 .· 16,75 12,78 14,58 10,71 · 11,73 9,12 : 7.90 .· 7,86 . 7,00 . 6,85 
22.0 2.ao o,399 ·25,89. 20,16 i9,50 15,21 1,5s 13,33 ;15;24 11,18 12,28 9.51 8;27 8,20 ;:7;32 1,15 
TABELAS PARA AS FÓRMULAS DE HAZEN-WILLIAMS E UNIVERSAL (COLEBROOK) 185 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em. metros por 100 metros Diâmetro 150= 
Coeficiente e 
(Hazen-Williams] 80 90 100 110 120 
•ci~i~~t~!iêt1.st' 1.63 ·1,43 1,34 ::1;25 .. 1,13 ; 1,0.3 ', o,96 Ô,75!' o,83 'ü,69": 0,12 
20,0 1,13 o.os53._-:i;~f: 2,s4 ).i:~ ' 1,89 1,66, 1,55 ,1,4t 1,so 'ü1, 1,11 • ô.si'~ o,95 o.só> o,83 
21,5 1,220.0154 2,7s,;: 2,68 ::2;12;,; 2.16 1.9~ · 1.11 .~1.s9 · 1,49 , .1;39, 1.21 :o.99 1.09: o.91 o,95 
2s.o 1,30 o.o8s3 /~,it: s,o4 · .M~ : 2,44 ; 2;2Q', 2,01 , 1;~:fi 1,ss .: 1;s9: 1,43 ;i;1t 1,24 , iof' 1,08 
24,5 1,39 0,0980 ts1.:: 3,41 '%is , 2,15 '·i19) 2,26 i 2\ig\ 1.89 d;sô\ 1,61 JW; 1,39 i1i: 1,21 
25,0 1,41 0.1103:~óf-,' 3,81 ·3,1i) : 3,o6 >2,8:i 2,52 .2ir:, 2.11 .ió2; 1,80 (ns 1,55 1,30 1,35 
21,5 1,56 0,1234 }Ü9;: 4.23 , M6 · 3,4a : ),á, 2,80 idsY 2,34 : 2;Qf: 2,00 : :I.60 • 1, 72 · i;4s ,- 1,50 
29,0 1,64 0,1373 -s:of: 4,67 íia'.5-) 3,75 ;,t49i 3,09 \ó1' 2,59 ,•,2.~1: 2,20 :·1;77 1,90 1,60 i. 1,66 
30,5 1,73 0,1518 ··(52\ 5,12 :4;26::: 4,12 \sf: 3,39 :3,3ír 2,84 '.2,1( 2,42 1 1;95: 2,08 ),if 1,82 
32,0 1,81 o,1s11 /s;os: 5,6o i: 4,69 : 4.50 ·, úf 3, 10 :rás> 3,10 : to's: 2.64 : 2,14 • 2,28 · 1,93 1,99 
33,s 1,90 0,1832 :)Jê:::: 6,10 :};\~ s,63 ; 2,99 : s,13 ,. 2,69 2.1s 
39,5 2,24 0,2547•),2~ ; 8,27 /r,ri, 6,65 .. 6J6; 5,47 >s:67;: 4,59 .····4,ô4/ 3,90 ,.3,22·' 3,37 ,;2,89. 2.93 
41,0 2,32 0,2144 ii~ 6,75 ·•.:.56.~ ... 66.·.•.·,.' 56,,8178 
59,o 3,34 o,5681}0:~s) 11,39 .1s;90' 13,98 '. 14i4g 11,50 :12;sú 9,64 10,sr: 8,21 j':i,Os.' 1,08 ,.. 
so,5 3,42 o,s914:#.'lit 1s,21 .Jfi.7l: 14,64 :·r.s:i( 12,os újà'. 10,10 .\o;iii 8,60 .'1:l1: 1,41 6,57 s,46 
62,0 3,51 0,6274 :ú,fo', 19,06 17,55, 15,32 \iS,90 12,61 Ú,94 : 10.57 ill;3'( 8,99 ·1;18 7,76 / 6,89. 6,76 
63,5 3,59 o,658L2s;~i 19,92 )'s;~ 1s,02 )1i,61: 13,10 iÚ( 11,05 ú.~s) 9,4o .. a;1s : 8.11 L.1.22, 1,01 
186 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Con tinuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em :metros por 100 m etros D iâmetro 2 0 0 mm 
Coeficiente e 120 [Hazen-Williams] 80 90 100 110 130 140 
:;- iiiiiosi'itiiã~ê':-\iôo:'. :.:.2,õó '. L\i( ;_,·_.·_·._·1;······-·~,--.:· •. º· ..•. ··.•_:.'- ;_o;~o:s. :.-:o;fü le~roõ~] 't:/g_: ,, ·,· .. , ·:':°\? ,,-· _., ,\\''i'; ) .. ·::/'.:: 
Vazão VeL V'1-/2g\:>(c [:. :/_ / ) \.,, ~-_:f · .·:' •·· •·· 
..... ,•••• ,' . . ••,•• ;L_:•,.\ ~;;'•>,:: : /:;/ \:\): ~>t:°0,3f. 0,38 >0;29 ,: 0,33 0;21,: 0,29 
26,0 0,83 o'.0349 \Wis\ 0,94 ~ió:sf:: 0,75 )Js{i 0,62 to;~:,· 0,52 \ M5 . 0,44 : Mf: 0,38 \ 0,31:i 0,33 
28,0 o 89 o 0405 ':0;99 :, 1,08 1 :ó;rf o,87 : fn., 0,11 (MS:\ o,so , o;sf_, o,s1 .;Q,3~\ 9,44 ;.Q,36 ·. o,38 
30,0 0'9s 0'0465 :·úf/ 1,22 i'-:o;s9• o,98 ( ô;s'f 0,81 ':·o.i(( o,ss oJô:, o,5s ··.ó.4i'! o,5o ;. 0;4( o.43 
32,0 1'02 o'os29:'.1,2g·: 1,38 "•\oô 1,11 / ô,§2:· 0,91 ,· o.8:Ú 0,76 io.iif' 0,65 !,o;~ '. 0,56 ro;4r 0,49 
34,o 1:08 o'.os91 \ í,;.i5) 1,54 :,},1::i{ 1,24 j)}g ·1.02 ::.·?,#} o,86 !ó;t~/ 0,13 :o,sii} o,s3 }q.}~'.; o,5s 
36.o 115 o 0669 •>ts3' ' 1,12 ·--1,2s : 1,38 .:1,1s•i 1,13 ;;i;or o,95 . o,85 , 0,81 ,,o,s2 · 0,10 : o;s1. o,s1 
38,0 1:21 0:0145 :1'.a:2:i; 1,90 i);4~/ 0,52 / 1.àói 1,25 r: p.s\ 1,05 iÕ:9t 0,89 ,:) ,6\; 0,77 ,·0!6( 0,67 
40,0 1,27 0,0826 ·, 2;pt\ 2,09 'Cl,5t 1,68:}:41i 1,38 :}f?; 1;16 ,1,,os ,. 0,98 } ,7.~:! 0,85 ::º·_10, 0,74 
42,0 1,34 0,0911 ;2;22 · 2,28 ' .'1,74 ; 1.83 V· l.58 : 1,51 1 1,40 . 1,27 ,,1,16 · 1,08 :,0,~4 . 0,93 ·· 0,77,: 0,81 
44,0 140 01000 '·2;44 '. 2,49 >"i;g{i 2,00 t·i;74 '- 1,65 :i~S3 \ 1,38 ' :1;21 1,17 · 0;92 , 1,01 1 Q;84 : 0,88 
46,o 1:46 0'1093 :z.sf: 2.10 · •2.of 2,11 / úio·: 1,19 ;. úf 1,so : i;s9' 1,21 ·i.:w. 1.10 i .~.9í: o,9s 
48,o 153 0'1190 '.290,'., 2 92 l--:2 2f: 2,35 : -2;06 , 1,93 1
: 1,s2 ; 1,s2 · '!,sr·" 1,3s ),os . 1;19 0,99'· 1,04 
50,0 i'.s9 0:1291'.Úfi 3:15 '/úr 2,53 \2';:i( 2,09 :- 1;9t i 1,75 '.fs(· 1,49 )l~i - 1,28 i_ l,07 1,12 
52,0 1,66 0,1396 ;3;40 · 3,39 : 2;66,e 2, 73 : 2;42 : 2,24 '· 2,14 . 1.88 1 1;?7 : I;60 '.1,2_6 . 1,38 ':lr15 1.20 
54,o 1. 12 0,1506 : i;sii± 3,63 ! );iif 2,92 i z.;~t: 2,40 f:2:3{ 2.02 - 1;t·: 1, 12 :;1,ss_:; 1.48 c1:24: 1,29 
56,o 1,78 0,1619 _.3;9~.. 3,89 Aº°t 3,13 C.:2;st 2.51 , .2:~8 2.16 .·?,o5 ~ 1,83 ,. !:46 1,58 r 1;32_. 1.38 
58,0 1,85 0,1737 };?3',; 4,15 ;, '3,3f 3,34 ,3,0t 2,74 1,2,66 . 2,30 },2_0 ; 1,96 '1;56 · 1,69 . 1r42: 1,47 
60,0 1,91 0,1859 A,53} 4,42 .·.•3,5_4: 3,5s • 3;22 2,92 :2,8s ,· 2,45 i2;35 :: 2,09 ·1,61 .: 1,80 ;_';,51 . 1,57 
62,0 197 o 19SS:4;à4 · 4,69 : 3;fa 3,77 r 3;44. 3,11 ·:3;04 i 2,60 • 2:51 uzi 4.oo : is(: 3,29 ' 3;24;: 2.16 ts( 2,3s \s9 · 2,03 J.1i; 1.11 
66,0 210 0,2250 ' 5,48 ' 5,27 :: 4,25' 4,24 / 3',90 ' 3,49 ' \44 2,92 '2,84' 2,49 2;01: 2,14 ;. };81 1,87 
68,o Ús o,2388·• sJ2. 5,57 •. 4,54': 4,48 \_4,13 : 3,69 ·.3,ss .:: 3,09 ),01::. 2,63 >2;t• 2,21 \~'z\ 1,98 
70,0 2,23 0,2530/6,160: 5,88 ,•:;ü{, 4,73 /4.3â:i 3,89 \ 87: 3,26 : a;ig'._ 2,77 ) ,25 2,39 1
: 2,03 . 2,09 
72,0 2 29 0,2677.·652 6.19 :, ·s,óf: 4,98 t (83" 4,10 ' 4,09 ': 3,43 : tii 2,92 ,' 2,38 . 2,52 2;14·: 2,20 
74,0 2'3s o 2828 ·. Ú9. s 52 ::538. 5,24 • 4;89·· 4,31 ·, 4,32 / 3,61 : 3,56. • 3,01 ,2;s1 : 2,6s .=2,2f 2,31 
1s,o 2:42 o:2983 :- 7)?(. Ú5 :, 5'.~1:' s,so :,.s;1{ 4,53 j- 4;56 3,80 . 3,76 ' 3,23 ; 2'.64 : 2,19 . · 2;37' 2,43 
78,o 2,48 o,3142 1,s5·, 1,18 ;. s,97 s,11 ,5,44 . 4,75 : 4,8o 3,98 _3i96 .' 3,39 , 2,18 . 2,92 2,so 2,5s 
ao.o 2,s5 o,3sos ·s.of . 7,53 :)à~. s,o5 -~;7,~i. 4,98 ;is'.o5:: 4,17 : ·4;lq 3,55 , 2,92 , 3,os :._2,s2., 2,67 
sz,o 2 s1 o 3472 a 45 ·. 1,88 . s,60 6,34 ·s,01, 5,21 s,w· 4,37 · 4,31-' 3,72 -s,06 3,21 2, 15. 2,80 
84,o Ú1 o'.3644 S:8'7: 8,24 .il,9i s,s2 \ 6,IO ' S,45 ;'SM: 4,57 4;5à: 3,89 :' 3,Zl : 3,35 >,ás· 2,92 
86,0 2, 74 0,3819 9;3°0'' 8,61 : 7,26) 6,92 •: 6,61 5,69 °S.Sf 4, 77 4,80 4,06 J ,36 3,50 ' ?,01: 3,05 
88,o 2,80 o,3999 ·~.14 8,98 1 1,60·· 1,22 os.~f 5,94 ;:6,11:: 4,98 ·5,03 .:. 4,24 . 3;si: 3,ss ,-3;1s.: 3,19 
90,0 2,86 0,4183°10,1s'. 9,36 ),95 · 7,53 . 7;2t 6,19 . 6,39 : 5,19 5,26, 4,42 : 3;67: 3,81 : 3,29" 3,32 
92,0 2,93 o,4371 19,M · 9,1s ' ii,3f 1,s4 },s6.' 6,45 .:s;st' s,41 '.S.~9 ' 4,60 ,:3;ss:. 3,97 rt 4~:C 3,46 
TABE L AS PARA AS FÓRMULAS DE HAZEN-WILLIAMS E UNIVERSAL (COLEBROOK) 187 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 2 50mm 
Coeficiente e 
(Hazen-Williams] 80 90 100 110 120 130 140 
R1i osidadé ê : . 4,00 • :2,00 
. , 
o;so 
.. 
.ó,os. , 
(Dim),Colebróok] ·\. , :• 
, ,.1,50 1,00 : 0,10 · 
,:. ~ .. ·:. ;: :.:-~~ 
. -. . . . ,, •.,, .. ....... , . . - -.,_ 
:-- _. :, ' ~. 
, . . . 
Vazão VeL V-/2g 
. , 
:,• ,• .-: -._,· •. ,. 
,. , ::r· . :,:> 
" 
(; ,,,;. 
,, . . . . ,. . . _. :_: -
.. o.o{ 
,, _,- ; 
. :o,of; .o;o:i 
, ,, ,. . 
: o,ôi: 10,0 0,20 0,0021 · o,04 o.os 0,04 ·o.,o~ 0,04 0,03 0,03 )i,o( 0,02 0,02 
14,0 0,29 0.0041 (),08 ' 0,10 .. 0,06 0,08 . 0,06 ' 0,07 . ,0,05 0,06 ·o,of: o.os 00,03 0,04 ' (),03; 0,04 
18,0 0,37 0,0069 ·0,12 . 0,16 :,:0,10·· 0,13 .. 0,09 ' 0,11 o,os .: 0,09 0,07: 0,08 , 0,06 ·. 0,07 :o.o{ 0,06 
22,0 0,45 0,0102 0,18 0,23 ; q,1?:, 0,19 ·. o;ú: 0,15 :ió,i2\ 0,13 ; 0,10 0,11 ]:~:t 0,09 ·o.os ' 0,08 
26,0 0,53 0,0143 ):Zs 0,32 1 0,20 · 0,25 :::õ,19 '. 0,21 o,:ij , 0,18 :0:14.':° 0,15 0,13 o.ió- 0,11 
30,0 0,61 0,0190 0,34 :'. 0,41 'ó,if 0,33 :°0,25 0,27 ·0,22 0,23 -l ig • 0,19 ', 0,14 0,17 ' OJ4 0,15 
34,0 0,69 0,0245 9;« :: 0,52 . ' Ó,35 0,42 Vô,32°" 0,34 'Q~f• 0,29 ;,,~;2( 0,25 1. 0,18. 0,21 'o.ir 0,18 
38,0 0,77 0,0305 °Q,55 · .. 0,64 /Ms ; 0,51 :J'.40 ; 0,42 '0,35 0,35 , 0,30·,: 0,30 ·0,2°2 : 0,26 0,21 0,23 
42,0 0,86 0,0313 · o;st 0,77 · 0;53 ' 0,62 . 9,49 , 0,51 0;43 · 0,43 ':o;ss'· 0,36 . _ç,fr/ 0,31 ·Ô,25 : 0,27 
46,0 0,94 0,0448 · 0,80 0,91 _:~;s.( 0,73 '058 . 0,60 Ô,52 · 0,51 ','0,4f 0,43 \ 0,32 ' 0,37 ' oiô'· 0,32 
0,0529 0,95 '' 
' • .·,. 
.:ii,6L 
.},,, •: 
· 0;3f 50,0 l ,02 1,06 . 0,75 ., 0,85 ' 0,69 0,70 0,59 9,51; 0,50 o;ss · 0,43 0,38 
54,0 1,10 0,0617 1,11 ·.· 1.23 0,87 • 0,99 .:ó,80 · 0,81 ô,1{ 0,68 _p,s9, 0,58 ·_0,44·: 0,50 ,o;41 0,43 
58,0 1,18 0,0112 .izs· 1,40 , 1,01 1,13 :,0,92, 0,93 ·o8f· 0,78 •-9•~i 0,66 .'ô,so :. 0,57 0,46, 0,50 
62,0 1,26 0,0813 \~s '· 1,58 ·,· l,ÍS 1.27 ,.· 1.05.,, 1,05 ji;94\ 0,88 ::o,78:. O,i5 0,57 0,64 ·_Ó,53 0,56 
66,0 1;34 0,0921 1,65 1,78 . 1,30 :j,19 _ 1,06 :· 
:-~ .... 
: o:64 . 1,43 1,18 0,99 :-o,88: 0,84 0,72 0,59·. 0,63 
70,0 1,43 0,1036 ·1,~s·. 1,98 -1,47 1,59 ,·1,34 1,25 9:98, 1,08 . 0,89 0,94 
86,0 1,75 0,1564 2,80 . 2,90 2,21 · 2,33 •• 2,02 1,92 _!;79 . 1,61 l,49 j 1,37 1,07,. 1;18 ,0,98:. 1,03 
90,0 1,83 0,1713 3,07 · 3,16 ' 2,42 ' 2,54 2,21 2,09 .. t96 , 1,75 Ü3 1,49 i .ú1 . 1,28 ,'i;o1 · 1,12 ·.•, 
94,0 1,91 0,1869 • 3;35 .· 3,42 2,64 . 2,75 2,41' 2,26 ·2,14·:, /i,js 
'' ..... ,. 
. 1;16 1,90 1.62 1,28 1,39 1,21 
98,0 2,00 0,2031 3,64 . 3,70 -·2,8r' 2,97 2,62 2,45 2,33 2,05 >. 1;93 ., 1,74 • ·1,38 ·· 1,50 1,25 ' 1,31 
102,0 2,08 0,2201 ·. 3,94 3,98 ,3,11 3,20 2,à4 2,63 2,52 2,21 ' 2,09 1,88 1;49 :: 1,62 ··OS. 1,41 
106,0 2,16 0,2377 4,26 4,28 3,36 . 3,44 ' 3,0?: 2,83 2,72 2,37 '2,26 2,02 · i;s1_: 1,74 .1,46 •· 1,52 
110,0 2,24 o,2s5g • i;59: 4,58 ,S:,62 3,68 . 3,30 .· 3,03 z;i}3 ; 2,54 ·.· 2,43 •. 2,16 1,73 1,86 . 1,sr:· 1,62 
, .· 
114,0 2,32 0,2749 4'.93. 4,89 . 3,88 3,93 3,ss · 3.24 ·3,lS_ 2,71 ' 2,61 2,31 1,86.' 1,99 1;68 1,74 
118,0 2,40 0,2945 5,28 . 5,21 4,16 4,19 . .:.3,80 ' 3,45 · 3,37 . 2,89 ~2;i9 2,46 · 1;98 · 2,12 1,if 1,85 
122,0 2,49 0,3148 5,46 . 5,55 'ús 4.0°5 ' 3,67 :3,60 • 3,08 ·,·2,99 2,12 '..' 
: 
4,46 2,62 2,26 . 1,91 1,97 
126,0 2,57 0,3358 6,02. 5,89 4,74º 4,73 4,33 : 3,90 S:S4: 3,26 3,18 2,78 · 226 · 2,40 2,03 2,09 
130,0 2,65 0,3575 6,40 . 6,24 ·s,05 5,02 . 4,61 ~ 4,13 4,09 3,46 ,.3,39 ·• 2,94 , 2,40 2.54 2,16 2,21 
134,0 2,73 0,3798 6,80 6,24 .·. 5,.05 5,02 ·4,61 4,13 4,09, • 3,46 3,39 · 2,94 .úo·· 2,54 2,16. 2,21 
138,0 2,81 0,4028 7,22 6,97 S,69 5,60 5,19 4,61 4,60 3,86 3,82 3,29 2,69 , 2,84 2,42 2,47 
142,0 2,89 0,4265 7,64 7,35 , ,6,02 5,91 5,50 4,86 · .4;37 ' 4,07 
0
4,0~ . 3,47 2,85 ' 2,99 2,56 2,61 
146,0 2,97 0,4509 8,08 . Í,74 ·• 6:36 6,22 5,81 5,12 5.15 4,29 4,21: 3,65 3,01 . 3,15 2,70 . 2,74 
150,0 3,06 o,4759 8;s2 . 8,13 :5,12 6,54 6,13 5,38 5,44 . 4,51 · 4,50 3,84 ··.3,17 ' 3,31 2,84 2,88 
154,0 3,14 0,5017 8,.98 8,54 .7,08 6,87 . 6;49. 5,65 5,73, • 4,73 : 4;75 4,03 3 34 3,47 : 2;99 3,03 ·.' -~ . 
158,0 3,22 0,5281 •9,46 8,95 7,45 7,20 : 6,80 5,92 6,03- 4,96 4,99 • 4,23 : :3,51 ' 3,64 3,14 . 3,18 . 
162,0 3,30 0,5551 9,94 • 9,38 · :7,83 7,54 7,15 · 6,20 : 6,34 5,20 5'25 4,43 3,69 3,82 . ~.30 · 3,33 
166,0 3,38 0,5829 10,4f 9,81 I' 8,22 7,89 :·. 7,51 6,49 6,65: S,44 :. s;s1: 4,63 : s,8f' 3,99 3;46 3,48 
188 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 300mm 
Coeficiente e 
[Hazen-Williams] 80 90 100 110 120 130 140 
:(~~~iijíi; k1f'.:;fi{~j : ~;oq; 
···:•.'o ;;•:1 
.. -~::-.'."... OAO.• ;0,10 ' 
Va?.ão Vel. lí-/2g (; 
(t/s) (m/s) (m) \,:· 
20,0 
25,0 
30,0 
35,0 
40,0 
45,0 
50,0 
55,0 
60,0 
65,0 
70,0 
75,0 
80,0 
85,0 
90,0 
95,0 
100,0 
105,0 
110,0 
115,0 
120,0 
125,0 
130,0 
135,0 
140,0 
145,0 
150,0 
155,0 
160,0 
165,0 
170,0 
175,0 
180,0 
185,0 
190,0 
195,0 
200,0 
205,0 
210,0 
215,0 
0.28 0,0041·:·.P.os?.· 0.08 ·.o;.os.:.' 0.06 .:'.-.:a.···º·•····4· ,.· o.os :g;o1; 0.04 0·03 0,04 º•.º.i·•••.:.·.· 003 • ... '.º·•º.·.s.··.·.· 003 
. . , ' . ... ·•.·-º··,.'os.·,:,.'. ' ' o,35 0,0054 :o.o~\ 0,12 >M7 0,11 0,08 . 0,09 (o;óf' 0,08 
o,s1 o.0163.io;23\: 0.29 ::Q.i( 0,23 .o:t:: o,19 ·'o:1s; 0,16 ,·o:L3:. 0,14 ·?.'19i 0.12 .=:o.g~i 0,10 
0,64 o,0201:'ó,2f'. 0,36 ··oir 0,29 i,:.o;:fo 0,24 :0;19/ 0,20 'p.ts.,: 0,17 0,12 0,15 0;12 0,13 
0,11 o,02ss/q.~~/ o,44 :;o~f: o,35 :);26/ 0,29 vOif' 0.24 . 0,26/ 0,21 õ,1s; 0.18 .ci;14: 0,16 
0.18 0,0309 Ai~f, o.s2 ;o,3f 0,42 i}i32°: o,3s \M~; 0,29 ··0,24\ 0,2s : o.if- 0.21 ::·ô.11.: 0.19 
0,85 0,0367:0iSl!c' 0,61 Mp;; 0,49 M~,: 0,41 ,:p,3t\ 0,34 · (),2?) 0,29 : 9,2i \ 0,25 : 0;200;44 0,47 ·o,s!i'.. o,39 i ~;zs : o,34 /0,25:, 0,29 ('o;is;, 0,2s 
o,99 0,0500 j,fó'i 0,82 ;:füf! o,66 ,"o#: o.54 .Ô,8_4) 0,86 : O.JS :: 0,72 p,sf: 0,61 t~~:'. ::!! i:iI:~i:; ~:s~ ;JJii; ~:~ >lbf :{ ~::~ i}~:) ~:; J:it\ ~:~; 
L,10 0,1469 i.i;ós: 2,21 : 1;53· 1,18 :j:5ó; 1,46 ·'Íi#): 1,23 bi-i 1,04 ô,a1 ; o,9o . ô.r4.>: 0,19 
1,77 0,1594 '•üi:; 2,39 \:1,77;: 1,92 :-):6f: 1,58 '1,44'.° 1,32 . üi? 1,13 :o,88\ 0,97 : ·o;iô . 0,85 
1,84 0,1124 'i{r' 2,s1 · \i9{: 2,os 1:1s 1,10 :},s~ , 1,42 . 'i.30 1,21 :· .0,94 : 1,04 : Q:861;a9( 1,82 ,i;~;; 1.53 :.1,41 _: 1,30 i,of 1.12 0;9i o,98 
1,98 0,1999•:2,80) 2,95 :2j2.;: 2,31 2,03 1,95 .. ),BL 1,63 i\sf:: 1,39 .'1;09: 1,20 ·o'.99/ 1,04 
2,05 0,2145 ' 3;ôo\ 3,14 : da/ 2,53 '.'2,if 2,08 (úi4;' 1,74 ! i:S2: 1,48 °·ü7 1,28 .l,06; 1,11 
2,12 0,2295 3,2i) 3,35 ·).ss 2,69 '. .2;33. 2,21 2;ó8 '. 1,86 ü3 1,58 ?i.,25 : 1,36 i i.,13, 1,19 
2.19 o.24s1s.4i> 3.56 :J.12: 2,86 ,2,49, 2,35 02.;22 .. 1,97 tss .: 1,68 1.ss_ 1.45 , ..1.2i 1,26 
2,26 0,2611 j,65\ 3,77 
1
:Z,90: 3,03 .úf: 2,49 :2,36i 2,09 :'.1'.9-7 1,78 1,4f 1,53 : l,28:· 1,34 
2,33 0,2m issi 3,99 i3;03''· 3,21 2,52·: 2,64 2,SL: 2,21 : 2,C9i_ 1.88 j_5ó; 1,62 1,36 ·: 1,42 
2.41 0,2948 4,12 1M·: s,11 ·t~9,, 3,16. 3,□,1 2,69 · 2.i~: 2,32 .i.9i: 2.02 
2,90 0,4287 J:~g,: 5,97 > ~!( 4,so J;3!í/ 3,95 3,87 s,31 s.22 2,82 2;29 2,43 2;06. 2,12 
2,97 0,4499 :5:z9 6,24 · 4,99· 5,02 :4';57 4,13 :4,06\ 3,46 3,38; 2,95 ·•2,40 2,54 ; 2,16. 2,21 
3,04 0,4715 s.sf 6,52 ; 5,2f: 5,24 }i79i 4,31 : ~4~~:-· 3,61 i:s,5f ' 3,08 • 2,s:i,' 2,65 '.?:Í(: 2,31 
TABELAS PARA AS FÓRMULAS D E H AZ E N-W I L l l A M S E UNIVERSAL ICOLEBROOK) 189 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 350mm 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams] 80 90 100 110 120 130 140 
.. >Ruiosidadee 1,18 1,24 
240,0 2,49 0,3172 3,60 3,77 2,87. 3,03 .,' 2,64 , 2,50 . 2,35 2,09 1,97. 1,78 ; 1,42 1,53 1,28 1,34 
250,0 2,60 0,3441 3,91 •. 4,07 3,12. 3,27 . ,2,86 2,69 2,55 2,26 2,14 1,92 1,53 .. 1,66 1,39 .· 1,44 
260,0 2,70 0,3722 ·. 4,22 4,37 ~.37 3,52 3,10 · 2,89 2,76 .· 2,43 , 2,31; 2,06 ·1,66 1,78 · 1,50 · .. 1,55 
270,0 2,81 0,4014 4,56 4,69 3,64, 3,77 ' 3,34. 3,10 2,98 2,60 · 2,49 2,21 1.78 1,91 1,61 1,66 
280,0 2,91 0,4317 4,90 5,02 ~ 3,91 4,03 
0
3,59. 3,32 3,20 2,78 2,6'7 2,37 1,91 . 2,04 1,73 1,78 
290,0 3,01 0,4631 5.25 5,36 4.20·· 4,31 3,85 3,54 3,43 . 2,97 '..2,87'. 2,53 2,05 2,18 1,85 1,90 
o,4956 5;52 . 
: 300,0 3,12 5,70 4,49. 4,58 4,12" 3,77 . 3,67; 3,16 3,07 2,69 . 2,19 2,32 1,97 2,02 
310,0 3,22 0,5291 6,00. 6,06 .4,79 4,87 4,40 4,01 · 3,92 3,36 3,28 2,86 2,34 2,47 . 2,10 2,15 
320,0 3,33 0,5638 6,40 6,43 . 5,11 5,17 4,69.· 4,25 .4,,18. 3,56 3,49. 3,03 2,49 2,61 2,24 2,28 
; 
330,0 3,43 0,5996 6,80 6,80 5,43 5,47 4,98 4,50 4,44 3,77 3,71 3,21 2,64 2,77 2,37 2,41 
340,0 3,53 0,6365 7,22 7,19 5,76 5,78 5,29 4,76 4,71 3,99 3,94 3,39 2,80 2,93 2;51 2,55 
350,0 3,64 0,6745 . 7,65 7,59 6,11 6,10 5,60 5,02 4,99 4,21 4,17 3,58 2,97 3,09 2,66 . 2,69 
360,0 3,74 o,m6 8,io 7,99 6,46 6,435,93 5,29 5,28 4,43 4,41 3,77 3,13 3,25 2,8i 2,84 
370,0 3,85 0,7538 8,55 8,41 6,83 6,76 6;26 5,56 5,58· 4,66 4,66. 3,97 :.3,31., 3,42 2,96 2,98 
380,0 3,95 o, 7951 9,02 . 8,83 7,20 7,10 . 6,60 5,84 5,89; 4,90 ' 4,91 4,17 3,49 3,59 ; 3,12 3,13 
390,0 4.05 0,8375 9,50 9,27 : 7,58 7,45 6,96 6,13 6,20 5,14 5,17 4,37 3,67 3,77 3,28 3,29 
400,0 4,16 0,8810 9,99 · 9,71 7,98 7,81 7,32 6,43 6,52' 5,39 5,44 4,58 •. 3,86 3,95 3,45. 3,45 
4LO,O 4,26 0,9256 10,50 10,17 .• 8,38 8,18 · 7,69 6,73 6:ss 5,64 5;12 4,80 4,0? 4,14 3,62 3,61 
190 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 400mm 
Coeficiente e 
[Hazen-Williamsl 80 90 100 110 120 130 140 
··c~\~;1~t~~j1'f~é~~:: lif:·~1.,: 
· 1,00 {ó.so • ·o,io 
; -.:·., 
.• 9,os · 
1 .. _..·,·· 
'. -~--:, :, .. Vazão VeL lfl-f2g ''·\}:/ 
((fs) (m/s) (m) >· · · • i'·\)/.::· 
o,32 o,oos2 •• o;os 0,01 i:o:C{' 0,06 '.:o,'04:·· o,os o.Ô~· .. o,o4 ·o.os · o,o3 · :o,o:f: o,o3 :ô'.02: o,o3 
o,40 ó,ooa1 \ô.dá ' 0.11 ' (i,os o,o9 • o:ôG: 0,01 o,às 0,06 ; o,o4 : o.os . o,M/ o.o4 : o)fa·. o,o4 
0,48 0,0116 à;1iY 0,15 o,o9 •··.·•.·0
0
.· .,io
0 
.•. 
9
t ... ·.i 0,08 • o,os : 0,01 
064 0.0201 0,20:, 0,26 · o .• íif: 0,21 >o.1s; 0,11 (0.13; 0,14 : :ó,ff•: 0,12 0,10 iO.oir o.os 
0.72 0,0261 J.2~0:: 0,32 ::\PAt 0,26 [P,f~'.: 0,21 j 0;17\. 0.18 ; 0,14 : 0,15 ,j;ú 0,13 o,2s: 0,31 , .0,23'.: 0,26 • 0,20 0,22 ':ô,if} 0,18 ô,fa·. 0,16 •o;i.s·Q)f o,36 : Afa o,3o 0.2s ··• 0,2s ó;t9: 0.22 ! o,1à . 0,19 
1,03 0,0545 q}~/ 0,63 f )i;1r. 0,51 ; .p;~f 0,42 :;o,sf) 0,35 (0,29' : 0,30 õ;à~) 0,26 : :0,21-· 0,22 
1,11 0,0633 o;sof o,73 i.'o:4a: 0.50 ;·o;45. o,48 : ô;40•.i 0,40 ,· 0,34 :• o,34 .ois:; 0,30 i':o;à· 0,26 
1,19 0.0126 fs9} 0,82 1{□:5s: a.s6 !o:sc o.5s ;oA6( o,46 
1:ô.ss;· o,39 .a.29: o,34 :M1• 0,29 
1,21 0,0826 p,79i 0,93 ::o;63 : 0,1s :,ó,ss: 0.61 ·,o,s( o,52 ; o,«} 0,44 ,· o,sf 0,38 )ô;SÔ0,80i 0.93 )l,73; 0,76 :;OJ6··•· 0,64 o,ssi 0,55 ·'0;4( 0,47 ió,38 0,41 
1,51 0,1165 ,:i,ü: 1,28 : 1,97 . t42 , 1,58 . 1.%0 1,30 : 1,17 1,09 : 0,98 '. 0.93 )0,72) 0,70 
1,99 0,2011 1,~f, 2,12 'J,5:ii 1,11 :,fú· 1,40 ' ó6> 1,1s tof.' 1,00 0;1a o,86 •.,0.11. 0,1s 
2,07 0,2182 z:ot:· 2,28 1,66 ' 1,84 ; í.ss' 1,51 {37 : 1,27 : l;iS '. 1.08 ":o;M ; 0,93 L' 0,76 . 0,81 
2,15 0,2353 · 2,if 2.45 
1 
i;jf 1.97 ' ülf. 1,62 Úf. 1.36 .i;ü 1.16 : o.sr 1,00 : Ó.82 0.87 
2,23 0,2530 }!~ô· 2,62 ; i~S: 2.11 , ,pt7 1, 73 · 1,58 ; 1.45 : 1,33 : 1,24 : 6;91 · 1,07 ' Ó.88 0,93 
2,31 0,211( 2;58 2 79 , .2 07 2.25 o.~, 0,18 o:i:( 0,14 .. oiii 0.12 :o;ó~o,i9 0,25 /ô,fa'. 0,20 .:9,15i o 17 ôi4'? 0.14 ::o,toi 0,13 ; à.foi 0,11 
140.0 o.88 o.o39s ,ó/;·i o,41 \ 0;2r o 33 : 0;24 o 21 ·-·o 2f: 0'23 /:ô;isi o 19 : irk o 11 :. O i'f o 14 
160,0 1.01 0.0516 ' .··•.o.· ... J .. ··2• .. ·.'·.·.·.· o,s2 :. o .. ·,34···.•., o •• 42 .::··.;.·.o.· .. ·,:.·.s.· ... 1.· .• '.:.· ... •': o,·3s .. :•.·.·•·.·.o·.•··'. .. : •. •.• 8 .. ··.·.'.·.·.·,: ... ·.•.:.. • :-... .. ;,.,.__::- ' ·•·•·._.._ .... ·· • ,_. •.. : · · ·0; ' 
1so,o 1,13 o,oss3' :O!ss". 0,65 ; 0,43 o,s2 '.·.•·.· ... 0,3.9. ·.·.. o,43 · .. ·.• .. o,; .. s ... :.• ~.·!! !. :.ºo·.·.~.23' 40"·.•· ..• •.:, .. ·. o,2s '0;18) o,21 o,rf · o,19 o,31 •o:~ro:- 0.2s :'o.à 0,23 
200,0 1,26 0,0806 },6~· 0,79 :.o;si 0,64 \~,49·: 0,52 ).4{/ 0,44 !0,37 0,37 0;2s 0,32 : f26· .. 0,28 
220,0 1,38 o,0975 o,79 o,94 ["o,64, 0,16 :.)o,s§ o,s2 , o:si': o,s2 :·0;45 o,45 ió,3f o,38 :p.s1 o,s3 
240,0 1,51 0.1161 : o,9f · 1.11 : .o,16 o,s9 .>o,1o'- 0,13 · MÚ 0,61 ! o.si o,52 . o;.s.9 : o,45 : o .. ,36 o,s9 
260,0 1,63 0,1362 •··.i..•u.•·.::.·.·. 1,29 : .. o.· •.. 8·.·.·9···, •. · 1,03 ·:• •.·.o.·.·.·,··.s.· .. 2.·.···;.· o.as :...·.·.o. ,7-.. 4. : 0,11 •.··.:·.•o·.· • .-6·.··.·2·. •.·.·.· ·· ·, · •· ... •. . 0,61 0,46 0,52 , :0,42 : 0,46 
280,0 1,16 o.1580 ·#t· 1,48 :.j,of 1,19 :•.qjif o,s8 :ô.s.s\ 0,82 iOir{· 0,10 ;~.~t: 0,60 : o,49> o,52 
300,0 1,89 0,1813 1;4(· 1,68 : 1,fa\ 1,35 : tos:: 1,11 , o·ss . 0,93 ! o;si: 0,79 0,61 0,68 0,5( 0,59 
320.0 2,01 0,2063: 1,6f. 1.0s ).is 1,s2 : · i.ú : 1,25 úi::" 1.os ! 'A:~f. o,89 . 0;;;9..-: 0,11 : o,s30 0,61 
340,0 2,14 0,2329 ,1;8.9\ 2,11 j.~2 1,70 . 1,40.: 1,40 . i,if 1,17 :•'1,0,t 1,00 : ; 0,77: 0,86 0,7i' 0,75 
360,o 2,26 o,2s11 ·3,1f 2,35 •,:1:il 1,89 :i),s1- 1,5s ),4( 1,30 : 1;19! 1,11 i o.si o,96 --o,79 o,83 
380,0 2,39 o.z9w2,3s 2,60 . 1;90· 2,09 1.1s, 1.12 is1.1,44 :•.t:fa 1,51 ;Í,26 1,31 
480,0 3,02 □,464L.s;16.·:• 4,oo s,ol s,22 i 2;19, 2,6s 2,5ó 2,22 2iô , 189 •Ts:r' 1,63 1(37,úr: 1,16 >i,48 1,s3 
520,0 3,27 0,5449; 4,42C' 4,64 :· 's;ss. 3.73 t3;27: 3,07 .• :i;!ls •· 2,57 '2J6 Ú9 :iÚf' 1.89 i ts~ 1.65 
540.o 3,40 o,5876'4J6· 4,98 3,84 4,oo :.s,ss 3,29: 3,15' 2.16 :.2.65. 2.35 itM· 2,os , 1.12 1,11 
560,0 3,s2 o,6319 :s,1(: s.33 4;12:. 4,2s '. is;ào: 3,52 ,0s:40 : 2.9s ·tas' . 2,s1 i),º~'.: 2.11 , :1,ss 1,89 
sso.o 3,65 o,6778 >5;49:: 5.68 :•ú:Z 4,57 A.ó(: 3.76 i,·3,"sf 3,1s 3;05 2 68 : 220, 2,31 : 1;98 2,02 
600,0 3,11 o.7254 s.8f 6,05 ttf 4,87 · •:4;36': 4,oo ; 3;90 3,36 3Jf ' 2'.a6 
1 Ús) 2,46 2,ú: 2,1s 
620,0 3,9o o,7746 6.28 6,43 . s,à5 s,11 .4,ss:; 4,25 ús• 3,57 :.s;sô 3,04 :tsl 2,62 . 2',25. 2,2s 
640,0 4,02 0.8253.:6;69 5.27; 4,78 4;!2 4,oo , 3;9s,• 3,41 , ?,83) 2,94 . 2,s4 2,s6 
680,0 4.28 o,9317 ' 7,ss:: 7,63 ;j,98· 6,14 :J,$9 s,os ·_5;oi/ 4,23 :\20: s,60 :3;àr.· 3.11 2,10 2.11 
700,0 4,40 0,9873 ·8,QÓ: 8.05 6,4{' 6,47 \ 5;9f• 5,33 j;soi 4,47 4,45 3,80 5.is • 3,28 2,8{ 2,86 
720,0 4.53 1,0446 Mf: 8,48 );se 6,82 i 6;21.: 5,61 ·S,61j 4,70 '·4;71 , 4,00 ::á,36/ 3,45 /3,0L 3,01 
740.o 4.65 1,1034 tsfc 8.93 : ,7.~ô 1.18 ! :6.$2/ s.9o s)f;: 4,95 ::i.9fC: 4.21 ':i,ss\ 3,63 . s;18 ;. 3,11 
1so,o 4,78 1,1639 ... :·, .. 9 ..•. 4.·.·.s·:·' ····.•. 9,sa ( .. ·.•.1.. ; .• s .... 9.·•.:·: .. 7,54 i.•·:· .. ·.6.··1·il···:9.· .• ··:.:: 6,20 '..•·:: .. s ..•... '.l,.·º· 16. o, 13 ·. o,56:.-: o,63 i.:o,s1: o,s5 
400,0 2,04 0,2115 :_1,4s/ 1, 11 , _1:q~/ 1,31 i +Hi 1,13 : 119.9: o,95 : o;a4,c· o,a1 ; ,o.~2) o. 10 ! ó,sf o,s1 
=:=a:■~•~•~•:•:•: 460,0 2,34 0,2191 :1,97"' 2,22 . Mt 1,18 :P !V 2,40 ::J;74; 1.s3 LJ~9/ 1,59 ,);~( 1,33 •J.~1 . 1,13 M~: o,98 1 o;ar, o,8s 
soo.o 2,55 o,3305 ;2,~r 2,59 :J,88:, 2,oa L\74.._ 1,11 ·:1,5_6? 1,43 \31\ 1,22 ·o;96 : 1.05 ; ,o,s1.i' o.n 
520,0 2,ss o.3575 J,?f: 2,1a :j;o( 2,24 : );~~ • 1,84 i: 1.6$\ 1,54 ; •1;~ : 1,31 i:os) 1,13 ! Ô,9{0: o,99 
540,0 2,75 0,3855 ';2.zj ? 2,98 ;2~f 2,40 ::~;St 2,74 ;i~!34) 2,25 _;),Q~) 1,89 :·1,76 : 1,61 : Üa: 1,38 ( :1;16, 1,21 
600,0 3,o6 o,4759 •.3,35) 3,62 ,:2;1L 2,91 ::2,so.· 2,24 >2,2{· 2,01 h;~~) 1,11 ; í;3r;' 1,41 l:};2f· 1,29 
620,0 3,16 o,5082 i,s.(i 3,85 J,á( 3,10 :);sj-j 2,55 j;i!i{ 2,13 : 2,02.; 1,a2 1,46 1,57 li.32'. 1,s1 
.s4o,o 3,26 o,5415 :i~:~t: 4,08 : s.iqa.· 3,28 1 A:s{: 2,10 : ,f~s\ 2,2s :2,1s : 1,93 J;5s,:: 1.66 !:'üo·· 1,45 
660.0 3,36 o,5459 ~.o(: 4,32 ::3.2a :_ 3,48 L s;qf: 2,86 l.2,71/ 2,40 ! i;2( ·2,04 1,6s ' 1,16 ;'i;Ji. 1,53 
6ao,o s,46 0,6113:,4,31_ 4,51 JAt 3,67 : 3;fi:_- 3,02 Ji,a8} 2,5s (2,42 o.os ·::o.ar 0,02 fo.ôf:' 0.02 :ro:ôt} 0.02 ,, o,or: 0.01 , o.9tr 0,01 
80,0 0,34 0,0058 ,q;q{::: 0,05 OiJ:f 0,05 '.:0;3:f 0,37 ,o',so . 0,31 'ó,25;) 0,26 ; o;is,: 0,23 ;Q,18: 0,20 
=:=1:~:•:1:•:•:•: 
340,o 1,43 0,1044 :)16( · 0,80 (9éi.i o.64 : ;:0,49, :_ o,53 0;44/ o,44 i M!.i o,38 ; :o,2a · o,32 9,_26 . 0,2a 
360,0 1,52 0,1110 Q,7'3_' o,88 (M9 · 0,11 q,s5 o,s9 :JAt' o,49 i o,g o,42 i.ASl\ o,36 0;29 o,31 
380,o 1,60 0,1304 }:Bl(' o,98 (º~~6 o,79 :,-o,6;:: o,65 ,AS5/ o,54 , Mi;i o,47 ' o,3~i o.4o !•.0;~2:. o,s5 
400,0 1,68 0,1445 º·Rº, 1,07 , 0,73 0,86 :;-0,67, 0,71 . Oi6l; 0,60 ·0,51 0,51 ,- 0;38, 0,44 ; 0,35 0,38 =:=•~•:•:•:•:•:•: 460,0 1,94 o,191L,1;19) 1,39 ,o,gs ·. 1,12 'o,a9 o,92 , 0,8_0 0,11 i:q,ss.> o,66 :\ o,5o o,57 o,46 o,49 
480,0 2,02 o,2oao;Jl~.::: 1,51 i l;Qf,: 1,21 \;~,9F 1,00 : 9,87:' 0,84 /b,z(· 0,71 :.6,sr: 0,61 O:SQ _· 0,53 
500,0 2,10 o,2257JéQ; 1,63 f2,19 0,2442 ;,1;~; , 1,75 , ,1,23 , 1,41 J;14, 1,16 1,02. 0,97 0,86, 0,82 0,64,: 0,71 : q,~· 0,62 
s4o.o 2.21 0,2533 1,s.( 1,a1 ',i.it : 1,51 tá' 1,24 1.10; 1,04 : :o:# o,a8 'o;sf 0,16 :o,s3\ o,66 
5so,o 2,36 0,2832 i,1i; 0 2,00 ::-i,13 1,s1 'l,sf 1,33 0,15 6;12" 0,13 /0;0~. 0,11 - 0;09 0,10 
260,0 0,92 0,0431 jt2,t 0,32 Oió) 0,25 :tis' · 0,21 ' ó,;6,i 0,18 .:0;1,r_: 0,15 : b,ll ' 0,13 -cúO 0,11 
2so,o o,99 0,0500 .: 0,28 o)5 o,38 
520.0 1,s4 0,1124 ·;0,9·6: 1,14 A?B' o,92 i·.ó,n( 0,16 :;o;ss, o,63 :,p,~5) o,54 9;41'. o,47 ó;#· o,41 
540,0 1,91 0,1859 rJ,9i:? 0,12 ,1,10, i, 1,04 . tQ4\ o,89 0,69 , 0,16 , o,63 o,67 
100,0 2,48 o,3124 qf' 1,98 ::;1,4f, 1,59 : 1.so:: 1,31 '}·1:-:· 1,10 ),sf; o,94 ,0:73 0,81 o,6r 0,10 
120,0 2,55 0,3305 1;83 ' 2,09 l;49 1,68 ; ,1,38 1,38 1;24 1,16 : .1;ofi ._ 0,99 · o,n: 0,85 0,70 0,74 
140,0 2,62 o,s491 ·.),Q3. , 2,20 1;57 1
1 
•. 
8
11
6 
;_:,'_1
1
_ •• 4
5 
.... 5
3 
__ .-•. _ 1,45 :);31:: 1.22 1.11. 1,04 'p,8(' o,89 : ,0,1-i, o,78 
1so,o 2,69 o,3683 ''i;64- 2,s1 ; i1,6f 1,53 üiH 1.28 l,i1 1,09 _, o;ss : o,94 f ô,78, o,82 
1so,o 2,16 o,3879j.:2,15' 2,42 :L!S, 1,95 t}6l 1,so -u5 ; 1,34 :\23 : 1.14 _o,9o o,99 :_0,020'. o,s6 
soo.o 2,83 o,4oso .2;26} 2,s4 J,ll4 2,04 1 _1,10; 1,68 _ -is3 : 1,41 ,);29 1,20 i o,ss 1,03 O;B6 _ o,9o 
820,0 2,90 0,428LÚ7 i 2,66 A:!if 2,14 : \78 1,76 1,60 1,47 ,:·1,35; 1,25 0,99: 1,08 0,90 : 0,94 
840.o 2,91 o,4499 :'-2'.49 2,18 :,),o{ 2,24 · 1;87; 1,84 iJ,68 : 1,54 ': i,42' 1,31 1,04 : 1,13 (,o;9{, o,99 
860,0 3,04 0,4715 2,61: 2,90 2,12·. 2,34 : :l,!fü' 1,92 : vf: 1,61 :; J,49 '; 1,37 ').os\ 1,18 ,}.~~ _; 1,03 
880,0 3,11 D,493Tj,73 .: 3,03 (2,2~ 2,44 \i..~s :' 2,00 /tMO:: 1,68 ,: tss ; 1,43 :,'iA; 1,23 - J,03; 1,08 
900.a 3,18 o.5164 .2 .• 86 , 3,16 _ ·2,s3: 2.54 : .:2.15; 2.os - ½93: 1, 15 1.63 , 1,49 . 1;19 1.29 l i;tia:; 1.12 
s20.o 3,2s o,ms:"{s,9'i 3,29 ::~4S'. 2,65 :t?f' 2,18 i:2;9-~; 1,s2 :1,11) 1,55 ):i:( 1,34 ; Xi.3'. 1.11 
T A 8 E L AS P A R A AS F Ô R M U L A S D E H A Z E N • W I L L I A M S E U N I V E R S A L { C O L E 8 R O O K ) 195 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams) 80 90 100 110 120 130 "'-
i~1~;~~kÍ ,{.'._4.: •. -.. º.:,º_; __ :. .. _i :.JA(: (1,50 '2.14· 2,09 : 1;93'. 1,15 x,i;s{:: 1,49 :;i,20·: 1,29 i1,09: , 1.12 
1400,0 3,64 0,6745 $.05 , 3,38 :2-49' 2, 72 }'30, . 2,24 iiiâ 1,87 ; i;i6i; 1,60 ;,29 1,38 i;i6 1,20 
1450,0 3,11 o,123s"úr 3,61 -"Jir 2,90 : 2;41:; 2,s9 t23 4.58 ,-\4s 3.68 ·3.za' 3,03 · 2;ssi- 2,54 2;«" 2.16 ;üf 1,86 tso 1,63 
1700,0 4,42 0,9946 4!5o'\ 4,84 : ),67 .• 3,89 :,3.~/ 3.20 i~fi 2,68 :j~(; 2,29 -_i,s~.: 1,97 )1,70 : 1,72 
11so,o 4.45 1,0539 ·1;:ry:.:: s,11 : ;S,89 4,u ),69) 3,38 :~.2fa:, 2,83 i~iW::: 2,41 ;3;9q , 2,os :1;80/, 1,81 
1800,0 4,68 1,1150 td4:? 5,38 : 4,12 ,: 4,3s ;•3;~1; 3,5s . sJr:5;54/': 6,85 ;:s;:i(: 5,51 ,4;94; 4,53 !i:fas\: 3,8o fr3;1i? s,23 : 2;1t, 2,1s , 2;.is:- 2.4s 
, ·- ···-·••,;• .-, '.•: .. ·. • ,•,., •• -_ .. __ :,·.•,.•·,,-;:.; ' ·--··;, -·,,> ,.- ........ ,, , :.: .· .:, 
196 CÁLCULO DE TUBULAÇÕES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-WtlliamsJ 80 90 100 110 
Diâmetro 800mm 
120 130 
,.c:ii~gii~didé;·r"XJ;qô\ :)i;iiií; F·iso' F,i,09o.o~}': 0,14 ; ;o;os.; 0,11 /9,%. o,o9 ;q,07,; o.os iO,p(:, o.os ,OM) o,6 :o,ot. o.os 
~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
~~~~~~~~~~~~~~~~~ 
500,0 o,99 o,0504. o,~9 .. , 1.26 ,.,:O,l6, 0,21 ,,.o,1s 0,11 : . q,13o;4(, o,63 .·o,,iqJ o.so o,37: 0,41 ;·o,3(: o,3s o;-í2: 0,46 )),38>">''•'•\> ··.:"-'''··• ·'._' :-t·;: ·_- .•· ':.:-•, .. -,:-:._··: 
1050,0 2,09 0,2224 '.0;85\· 1,04 ·:.o,69. : o.as r. .. o;64) o,6s .·o;sa:0. o,57 · .0,50: o,49 lio,s1·:": o,42 : o;st, o,37 
~~~~w~w~~~~~~~w~~ 
11so.o 2,29 o,266sc:1.or: 1,23 ' o,?3, o,99 ::o,p, 0,81 :;0,1,Q:/ o,68 ,o;~g o,58 9,4f: o,50 MF o,43 
1200,0 2.ss o,2so5 \1;if' 1.ss (o,9( 1,01 i·o,áf, o,88 >0.76) 0,74 ; ó,6s' o,63 o,¾a:>, o,54 0,41= : o,47 
1250.0 2,49 o.3152 :J20..\ 1.43 , :q;93 1,6s '·tis', 1,33 (1,ot 1,09 l;~l 1,61 )!.,~1 1,33 ! J,18;;, 1,11 :J,01 0,95 · :D,'iJ. 0,82 ; 9,68 0,71 
1sso.o 3,oa o,4846:·.:1,84·· 2,13 : \si) 1.11 ::\jq'; 1.41 \if 1.18 :\o?· · 1,01 \ o,1f o,87 \0,12.· : 0,16 
1600,0 3,18 0,5164 )A(: 2,26 ·:J~ki 1,82 t:J:f~) 1,49 >:x,sr·· 1,25 :\is, 1,07 :A~- 0,92 :o,ifi 0,80 
rn5o.o 3.28 o,5492 ·,2,09: 2,39 +11 • 1,JJ2 ' 2,so ;--2,ip.'; 2.os : X9fi 1,12 "1,sf, 1,41 .:-,.;18_ · 1.26 ;J;01,; 1,10 
--,· ·• ' \; , .. ,., '•· · .. .,..,.,,,,:: :•· ·•· ·•·, I··•.•·· ·:: ·. ,- •.··•··; ,·_- :· ·· •··,·: 
1950,0 3,88 01571 :.2,?1:; 3,26 >2,3~ 2,62 ,·:2;2lC 2.16 \~;opS 1,s1 ,.);70 .- 1,54 ),24 ·· 1,33 .) ,is ;: 1,16 
2000.0 3,98 0,8069 \:i;ôi} s,41 ':úf: 2,1s iüt 2.26 ::iúo:· 1,09 Oi'.ii{ 1.s1 '.fú , 1,39 /i,1f 1,21 
2oso.o 4,08 o,8478 \3,:fa\ 3,51 :',i;si' 2,s1 i'2;4si 2,36 :J2]f:; 1,9s >- . : i • . --iS-0 
140 
~:t /!) ~:ig .j:{'.)'!! :::}f i''}:, i. · ;. · ' l'; 
200,0 0,31 0,0050 :§,qr, 0,03 \:Mb 0,02 :\p:or 0,02 : o)fC 0,01 :i:~) 0,01 (~;ófi 0,01 , 0,91: 0,01 
2.50,0 0,39 0,0079 /Q,qSt 0,04 i Q.Q~,. 0,03 ! 9.02; 0,03 r9,~2> 0,02 ::M~;: 0,02 : ·º•ºt' 0,02 0;13 0,16 : ·0.12./ 0,13 ;:o;io.·: 0,11 :9,08.. 0,10 : 0,08. o,o9 
700,0 1.10 0,0617 /q}o} 0,28 0,17'; 0,22 ·:./Ús ; 0,18 /o:i4j ' 0,15 : Ô,fa\. 0,13 '),Ó9 0,11 (O,Ó9/ 0,10 
750,0 1,18 O,D708' 0,23 :: 0,31 ,0,19 . 0,25 ·,o,rn: 0,21 \ 0;16) 0,17 ( füi:• 0,15 \0;1{ · 0,13 i O,ÚJ'; 0,11 
~~~~w~~~w~~~w~m~w 
0so,o 1,34 0,0910.J:so) o,39 .:.ô:fr;'. o,s2 , '.oj3 , 0,26 idi.21:i: 0.22 :io'.1ij:: 0,19 0:1{· 0,16 t 9;1f'' 0,14 
900.0 1,41 0,1020 ·:.ô:?iJi 0.44 [Oo,2f' o,s5 !;}.fsj 0,29 •'§f:j 0,24 (º~?} 0.21 ;\0,1.s: 0,18 :,N\ 0,16 
950,o 1,49 o,m1: 9,3,1 0,24 :o,i9 ·. 0,21 
• 1 -.· l. ·. · .;:• -·.·.; -:; :.•-.-; ,~, ·~:: ,•_: -· ' .. ,-\,; -·_. -.. T, : · _-:._. '_.· · ... 
1100,0 1,73 0,1524 P,50, 0,64 , 0,41,• 0,51 :, :0;38: 0,42 . o,3f· 0,35 Lo;2s,: 0,30 o.2r• 0,26 0,21' 0,23 
11so,o t.810.1666 _:0;54 · o,69 i ,.o.4r o.s6 .• Mf o,46 ·:i#) o,38 t#.!•, o,33 /iJ;2{ 0,2s (tú:f 0,24 
1200,0 1,89 0.1813 /q;$f 0.1s : .ó,4f 0,60 :.p,4§'. o,49 ,_0;4;}.0;19•:· 0,26 ,:0;1s.:i 0.21 19;16.; 0,1a ,::o;:w:: 0.1s : 0;11, 0,13 ·o;sf; o,63 ,·o};f'.: o,53 /o,4st o.4s o;:í4 o,.39 !(J,sf o,34 
=:=1~1:1:1:■:1:1: 
2100,0 2,67 0,3644 ),04:'-' 1,26 :/ Ç.~6/ 1,01 A,i9c·. 0,83 ; 9}t:, 0,70 h.9~6h 0,59 l:~.~6, 0,51 , Wt 0,45 
2200.0 2.ao 0,3999:;j.fft 1.s1 :',"o'.941: 1,10 /ó'.ef o.91 :•,o,1~i 0.16 (ô,6§} o,65 :'o.so; o,s6 !.p,4f o,49 
2300.0 2,93 o,4371: 1,'24/: 1,49 Yi:Oi; 1,20 :/ô,iis 1 o,99 ::o,s6; o,83 i -□)4 ' 0,10 0;55) 0,61 ,: o;so, o,s3 
~~~~w~w~~~~~~~~~~ 
2500,0 3,18 0,5164 ;\1,47'/ 1,74 :·::~h· 1,40 1;!3_" 1,15 ''1,02.} 0,97 i q;B,Z:::: 0,82 :-o;~p/: 0,71 .~.sr 0,62 
2600,0 3,31 0,5586 .i:s.o ;; 1,87 : 1;3,1·· 1,51 :\22; 1,24 ,:po;;: 1,04 i/~:~t~ 0,88 /9;1□-_ · 0,76 o,r( 0,66 
2700,0 3,44 0,6023 .1;11.2;3f'. 2,61 :\2:2Q:' 2,15 -ü1f\ 1ao i:i,10 ·· 1,53 !)fa{ 1,32 1,1s. 1,15 
5lli~l51ElilEl~lilllili 
3900.0 4,91 1.2s60 .s157c) s,97 ':2:95 : s,19 , :2,14 , 2.62 ::2·48 2.20 , 2;1t,: 1,a1 ·.: 1'.s5 1,61 \ 1,40" 1,41 
~~~~w~~~~~~~~~~~w 
_,;._,_ ... , 
TABELAS PARA AS FÓRM U LAS OE HAZEN-WILLIAMS E UNIVERSAL (COLEBRDOK) 199 
Continuação da 'J'abela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros Diâmetro 1200mm 
Coeficiente e 
[Hazen-Williams] 80 90 100 110 120 130 140 
- Rüiósiditd~/:· .4,00 . : . 2.00 .· 
. (mm) ICole,brookJ·: · ••.• : , ' 
1,50 . J,,00 • 0,50 . 0,10 ~.o( 
Vazão VeL VZ/2g · . .·. · 
;:~~ (:::) o:~3 oiof:'. 0,05 :i03: 0,04 o~i-;ii/ 0,03 .:o.ó2 0,02 .0,02 0,02 ·o:or 0,02 
100.0 0.62 o,0195 ·ô;ot 0.01 ' o,04 o.os .o;03 o,o4 •o,of; o,04 . ó,ô3 o,o3 0,02 · o,o3 ô.02 0.02 
800,0 0,71 0,0255 :0,06 0,09 · o;os 0,07 . O,O,Í 0,06 .O;Ó4 . 0,05 0,04 0,04 0,03 0,04 . 0,03 O,Q3 
900.0 o.ao 0,0323 . ô.01.- 0.11 : o;os o.os . ô.os- 0.01 • o.os ; 0.06 o.M o.os o:o( o,o4 o.os. o,o4 
1000,0 0,88 0,0398 Ô,09 ' 0,13 J),07 · 0,11 A,o7; 0,09 p.f. 0,07 o,06,; 0,06 .0,04; o.os 0,04 0,05 
1100,0 0,97 0,0482 J0,ll/ 0,16 i 0;09 0,13 • 0,08 0,10 0,08 , 0,09 o;of 0,07 0,5 0,06 0,05 0,06 
1200;0 1,06 0,0514 Q,1s· :, 0,10 : o.ui 0,15 . 0.10 0.12 ó,o9 0,10 o
0
,.0
0
·a
9
•.·••·'; o,o9 · 0;06 0,01 · 0,06 0,01 
1300,0 1,15 0,0513 ,0,15· 0,21 :0;13 0,11 > 0.12 ·, 0,14 .0,1( 0,12 0.10 :0,91 o,o9 . · 0.1 o,oa 
1400,0 1,24 0,0181 ô.is' 0,24 ; ô.is 0,20 ô,14 0,16 0,12 0,14 o;ú 0,12 o.os 0.10 : 0,00 o,o9 
1500.0 1,33 0.0897;,0~:o ; 0,2a ?ó,17". 0,22 . 0.16 0,18 o,i4 0,15 ' b.12 0,13 . o,o9 0,11 o.os 0,10 
1600.0 1,41 0,1020 .o~r. 0,31 0.1~ 0,2s 0;18 0.21 o,1i'.° 0,17 o;i4 o,15 0,11: o.is 0.10.• 0.11 
1100,0 1,so 0,1152'.0.26 0,35 ' 0,22 0,2s Ô;20 0,23 0,18 0,19 O;l6 . 0.11 o,i2 · · 0,14 . 0,11 0,12 
1aoo,o 1,59 o,129L ~,2f o,39 : w4 o,31 0,2{ 0,25 0,20 0,22 ó,18 o 18 o 13 0,16 : 0;13 0,14 
1900,0 1,68 0,1438 :p;s2j: o,43 (.0!21 o,3s 'o;k 0,29 0;2f: 0,24 .. 0,20 0:20 0:15 0,18 0,14 o.15 
2000,0 1,77 0,1594,;º'.36, 0,47: 0,30: 0,38 :Ó,28 0,31 Ó;25· 0,26. 0,22 0,22 0,17 0,19; 0,15 0,17 
2100,0 1,86 o,115F0,40 o.s2 1 .o,ss : 0
0 
•. 4
4
2
5 
0
0
'.3
3
·
4
1;. 0
0 
•• 3
3
4
7 
, ·0
0
.,2
3
8
0
\ 0
0
,2
3
9
1 
/.□0~46· .. / 0
0 
•• 2
2
4
7 
· .. •oº. ·;2:!8
0 
.•: 0,21 · 0,17 . 0,18 
2200.0 1,95 o,1929 o,43 , 0,51 i :o,36 . , , ,,, 0,23 .0,18 · 0,20 
2300,0 2,03 0,2108 Ó,47 0,61 : 0;39 0,49 Ô,37 0,41 0,33 0,34 0,29 0,29 0,22 0,25 0,20 0,22 
2400,0 2,12 0,229s ·o:s2 :: o,66 1 •0;4s o.s3 0,40 o.44 : ·o,s6 0,31 >o;sr o,31 0,24 0.21 0,22 • 0,24 
2500,0 2,21 0,2490 0,56 :,; 0,72 (0,46 0,58 o,ú· 0,47 0,39° 0,40 : 0,34 0,34 0,26 0,29 0,24 0,25 
2600,0 2,30 0.2694. ,0'.6( o,77 :. _o.sQ' 0,62 JJ,47 o,51 o,~2 o,43 : f3s : o,36 :o,2a · o,31 0.2s 0,21 
2100.0 2,39 0,2905 • o.ss. o,a3 . '0,54 o,66 o.so o,ss ·o,46 o,46 -0.39: o,39 o;so o.34 0,21 0,29 
2800,0 2,48 0,3124 ó)o 0,88 i ú,58 0,71 0,54 0,58 ois 0,49 0,42 0,42 :0;32~ 0,36 0,29 0,31 
2900,0 2,56 0,3351 .0,15" 0,94 09,63 0,76 6;58 0,62 : 0;53 0,52 . ,Ô!45 0,45 0,34 0,38 0,31 . 0,33 
3000.0 2,65 o,3586 ,'o.a( 1.00 ~.67 · 0.01 : o,62 o,66 o.56 o.56 ·0;4e .· o,47 o,36 • o.41 · o,33 . o,36 
3100,0 2,74 0,3829 . 0,86 1,07 0;71 0,86 . 0.66, 0,71 0,60 0,59 O:S2 ' 0,50 0,39 0,43 Ó,36 0,38 
3200.0 2,8s o,4oao 0;92 1.13_ . 0.16o,91 0.11 0.15 . o,64 o,63 o.ss' o,53 .o.41 o,46 . o,38 o,40 
3300.0 2,92 0,4339 0,98 1,20 , 0;81 o,96 0,75 0,19 o,68 o,66 o,59 9,57 o.44 o,49 o,40 o,42 
3400,0 3,01 0,4606 i;ó4 1,27 : a:ss 1,02 'à,aó 0,84 0,73' 0,70 0,62 . 0,60 1 0,47 0,52 0,43 0,45 
3500,o 3,09 o,4881 i,1ô 1,34 ; o,91 1.01 0;8s o,88 0.11 o,74 • o.s6 o,63 o,49 o,54. o,45 o,47 
3600,0 3,10 o,s1s4 1,1s 1,41 ;: o,96 1,13 0,90:. o,93 · o;ar 0,1a • 0.10. o,66 : o.s2 o.s1 0;4e o,5o 
3700,0 3,27 0,5455 1;23' 1,48 ' 1,02 1,19 · 0,95 0,98 0,86 · 0,82 o, 74 0,70 . 0,55 0,60 0,50 • 0,53 
3800,0 s,36 o,5754 1.2~ .· 1.56 : 1,01 1,25 ; 1.00 1,03 · ó,91 o,a6 o,78 o,73 o;se 0,63 o,s3 o.s5 
3900,0 3,45 0,6061 1,36 1,63 1,13 , 1,31 • ,t,05 1,08 0,95 0,91 0,82 . o, 77 . Ó,61: 0,66 0;56 0,58 
4000.0 3,s4 o.6376 bà 1.11 ··í,à 1,sa : 1,11 · 1,13 1,00.' o,9s o;s6 0.81 · o.64. 0.10 o,58 o,s1 
4100,0 s,63 o,6698 i;~1\ 1,19 :;.2s 1,44 ·1.1§ 1,18 1.05 o,99 o,90: o,85 • o,67 • o,73 0,61 o,64 
4200,0 3,71 0,7029 'i:st; 1,87 ·1,31 1,51 . Í,22 · 1,24 · ~.11 1,04 ,0,95,. 0,88 0,70 0,76 . 0,64 0,66 
4300,0 3,80 0,7368 ,Í:66 :' 1,96 j;37 1,57 1,28 1,29 1;1.6: 1,08 ,Q;99. 0,92 o, 74 ' 0,80 . 0,67 0,69 
4400,0 3,89 o,7714 'i.73i 2,04 \1;44 1.64 · 1,34 1,35 .• 1,21 1,1s 1,04.·· o,96 ·0,11 · 0,03 0',7o · 0,12 
4500,0. s,98 o,8os9 :1;s(: 2,1s , 1.so 1,11 :1,40 1,41 Uá: 1,10 •.t;o9: 1.00 . à;8i.' 0.01 '- 0.13'; 0,1s 
200 CÀLCULO DE TUBULAÇÕES SOS PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente e 
[Hazen-Williams] 
(~1~it~k]•·••:}:~P..·· 
80 
2,00 
90 100 110 
1,00 
Diâmetro 1400mm 
120 130 140 
0,10 ·. 
Vazão Vel V-J2g :.: :(., 
~!~~ (:;:1 
o~::4 ió!b1}; 0.01 .· 9,01 0.01 'i:6/ 0.01 iQiôJ\ 0.01 \ôôC: 0.01 }oo} º·ºº o;oo> º·ºº 
600,0 0,39 0,0011 . O;ül 0.02 .0.01:. 0.02 0,01 0,02 : 0.01 ;· 0,01 O,OL. 0,01 
1000.0 o,65 0.0215 o,ot: o.os ; J,93 o.o5 ,q;o~ o,o4 , 9:9I/ o,o3 Aº? : o,o3 o,çf/ o.o3 i 0,.02; 0.02 
1200,0 0,78 0,0310.Q,Qt 0,09 ,·.;9,qf 0,07 : .. '.Q,9f 0,06 :9t0~/ 0,05 (O'.íJ1,; 0,04 0,0~: 0,4 ·9,0S. 0,03 
1400,0 o.91 0,0422 0,08 : 0,12 : om o,o9 : M6 • 0,08 ':o,osc 0,06 : o.os> o,o5 0;04.: o,os iô,õf 0,04 
1600,0 1,04 0,0551:Q;t(). 0,15 ·o,ôii; 0,12 eo,oa·. 0,10 ·0,01} 0,08 ::o,ó6'. 0,07 · o,ot 0,06 ··º•º?, 0,05 
1800,0 1,11 o,0697 .QJi/ o,rn 1,22 .0,83. o,98 i.9,TI." 0,81 wo. o,68 ;:o,so, o,58 .:A4f o,5o Q,41\ o,4s 
5200,0 3,38 0,5816 . 1,07 · 1,31 . 0,89 1,06 1 p,8( 0,87 :: 0,76 0,73 ' 0,65 .. · 0,62 0,49 · 0,53 ; 0;45 : 0,47 
5400,0 3,51 0,6272 Ú6 1,41 · 0,96 , 1,13 • 1,90 0,93 .0,82 0,78 : 0,70 0,66 0,52 : 0,57 >0;4a : 0,50 
~:~~:~ ::~ ~::!! ~:~t: ~::~ :ttt· !;! t6·: ~:~~ ;J:~:: ~::: 1 •~:~~. ~:;! t!t ~::~ ::ó:n: ~:!~ 
6000,0 3,90 o,7743 · i,43.) 1,11 .1,i!i 1,38 1,11: 1,13 '\oL: o,95 :o,i6 o,a1 o,ss. · 0,10 :i0,59: 0,61 
5200,0 4,os o,8268 1,53 ··. 1,82 :· Ú7i 1,46 ),ia : 1,20 ; :1.07 1,01 0,92 . o,86 o;69 · 0,14 >o,6f o,64 
64-00,0 4.16 0,8810 ).63 : 1,93 >t,35 1,55 J,26 1,28 1),14. 1,07 .. 0,98 • 0,91 . 0,73' 0,78 : 0,67 .i 0,68 
6600,0 4,29 0,9369 1,1'3 2,04 1,44· 1,64 Í34. 1,35 :.i,22 1,13 ~os 0,96 ; 0,78 0,83 ['o;iÚ 0,72 
6800,0 4,42 0,9946i\as ··. 2.16 . 1,53 1,73 t;42 : 1,43 ·1,29 1,20 1,11; 1,02 0,8.3 , 0,88 1·0,75 ', 0,77 
7000,0 4,55 1,0539 .. 1,94 2,28 1,62 1,83 •ú1 1,51 i ÚJ 1,26 1,18 1,07 :-0,81\ 0,93 ,:0,79 0,81 
7200,0 4,68 1,1150 2,06 . 2,40 i.ii::. 1,93 ! \s9: 1,59 1,45 1,33 µ4 1,13 :0;92 . 0,98 ).a,i:, 0,85 
1400.0 4,81 1,1118 1,78; 1,75 Úl•: 1,47 :;,:is.: 1,25 ·}103,, 1,08 ;.º•~~:: o,94 
7800,0 5,07 1,3086 l41 2,78 : 2;01 : 2,24 : 1,87 1,84 .\Ti( 1,54 : l,~6-. 1,31 '},08,.: 1,13 : Q.~~:f'. 0,99 
aooo,o 5,20 1,3755 :2;54· 2,92 .2J1.: 2,34 '1;97 1,93 1;79 • 1,62 :.1,s3 s 1.38 >114\ 1,19 ,;i;os/ 1,os 
8200,0 5,33 1,4462[isi · 3,05 #2i 2,45 ; 2:ôi• 2,02 :·i;âa: 1,69 iii(; J,44 :;1;~9> 1,24 [);oa:c: 1,08 
CAESB 
BI P-t !ºTECA 
TABELAS PARA AS F ó R M 'Sl:ÇArD'-E H A z EN. w I L_L_1 ~~.s·:~Eil!TA~ô s A L (COLE B ROO K) 201 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente e 
[Hazen-Williams l 80 90 .100 110 
Diâmetro 1800mm 
120 130 
. Íitigii~â'.ici.~i~ , /4,oô· J,s·9 •.. · i.ôo .. ·. 0,50 •·· o,io . 0,05 · 
(mm) [Colebrook) L /.·p.iõ.t 0,14 ô,b8. 0,11 · 0.01 o,o9 o,oi: o.os : .. :o.os./ 0,01 · :.o.o( o.os o,o4 o,o5 
3200,0 1,26 0,0806 :o:i{ 0,16 : 0;09 0,13 •. 0;08 0,10 ,0,08 0,09 , .0,07 O,Q7 >O,ÓS. 0,06 0,05 0,06 
3400,0 1,34 0,0910 : o,1f. 0,1s ; p,10 0,14 ·. 0;10 • 0,12 o,o9 0,10 . o.oi!: 0,08 o.o( 0,01 0,06 0.06 
3500,0 1,41 0.1020 o,á' 0,20 • ·o,ú:; 0,16 i 0,11 0,13 o,1ó 0,11 i 0,09 o,09 , o.oi. 0,08 'Ó,06 0,01 
3soo,o 1,49 o,m1; ô,is/ 0.22 i ois·., 0,11 • 0,12 0,13 0;1( 0,12 , ;o.os •• 0.10 · 0;01 ; o.os . · 0,01 · 0,08 
4000,o 1,51 0,1259 \O,if 0,24 [ o;í~ 0,19 0,13 0,16 o,1i'- 0,13 0,10 0,11 ·o,oê. 0,10 0,08 o.os 
4200,0 1,6s o,13as .o,1t. 0,26 .. 0,16 ·• 0,21 :o,i( 0,11 o;if 0,14de uma massa líquida for elevada 
à temperatura de l00ºC e aí mantida, ela evapora segundo o fenômeno da ebulição 
ou fervura. Em altitudes acima do nível do mar, a pressão atmosférica é menor e a 
água evapora a temperaturas também menores. (Figura 1.1). 
Denomina-se "pressão de vapor"(ou "tensão de vapor") de um líquido a 
"pressão" na superfície, quando o líquido evapora. Essa "pressão de vapor" varia 
com a temperatura. O Quadro 1. 7 mostra a variação da pressão de vapor da água 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 
9 
confor1:1': a temperatura. Observe-se que a pressão de vapor iguala a pressão 
atmosfenca normal a lO0ºC e que, havendo uma diminuição de pressão (por 
exemplo_ em sucção de bombas), a pressão de vapor pode chegar a ser ultrapassada 
(para baixo) e a água passa ao estado de vapor bruscamente, criando o denominado 
efeito de "cavitaçâo". 
Pressão 
/' 
o 100 Temperatura ("C) 
a, 
e u, 
Calor latente 
do cristalização 
100 
Figura 1.1 - Variaçiio da pressão e energia. da água conforme a temperatura. 
Temperatura ("C) 
QUADRO 1. 7 - Tensão de vapor da água conforme a temperatura, 
para g = 9,80 m/s2 (ao nível do mar) · . 
TEMPERATURA 
ºC 
o 
4 
10 
20 
30 
50 
80 
100 
N/m2 
813 
1225 
2 330 
4490 
12 300 
47300 
101200 
PRESSAO DE VAPOR DA ÁGUA 
kgf/m2 
83 
125 
239 
458 
1259 
4 830 
10330 
m.c.a. 
0,062 
0,083 
0,125 
0,239 
0,458 
1,259 
4,830 
10,330 
QUADRO 1.8 - Ponto de ebulição da água conforme a altitude: · 
ALTITUDE (m) O 500 800 
(SiioP~ulo) 
ºC 100 98 97 
1000 
96 
1 soo 2 000 3 000 4 000 
(Quito) 
95 93 91 89 
1.4.2 - Massa específica, densidade e peso específico 
A massa de um fluido em uma unidade de volume é denominada densidade 
absoluta, também conhecida como massa específica (kg/ rol) ("density"). 
O peso específico de um fluido é o peso da unidade de volume desse fluido 
(N/m3)("unit weight"). 
10 PRINCIPIOS BÁSICOS 
Essas grandezas dependem do número de moléculas do fluido na unidade de 
volume. Portanto, dependem da temperatura, da pressão e do arranjo entre as 
moléculas. 
A água alcança sua densidade absoluta máxima a uma temperatura de 3,98ºC. 
Já o peso específico da água nessa mesma temperatura também será igual à unidade 
em locais onde a aceleração da gravidade seja de 9,80m/s2 e a pressão de 1 atm 
(760mmHg, 10,33mca ou 0,1 MPa). 
Chama-se densidade relativa de um material a relação entre a massa específica 
desse material e a massa específica de um outro material tomado como base. No 
caso de líquidos, essa substância normalmente é a água a 3,98ºC. Tratap.do-se de 
gases, geralmente adota-se o ar nas CNTP [Condições Normais de Temperatura(20ºC) 
e pressão(! atm)]. Assim, a densidade relativa do mercúrio é 13,6 e da água salgada 
do mar em torno de 1,04 (números adimensionais) ("specific gravity"). 
• QUADRO 1.9 -Variação da massa específica da água doce com a temperatura 
Temperatura Massa específica Temperatura Massa específica 
(ºC) (kgjmS) (ºC) (kg/mS) ' 
o 999,87 40 992,24 
2 999,97 50 988 
4 
1 ººº·ºº 60 983 
5 999,99 70 978 
10 999,73 80 972 
15 999,13 90 965 
20 998,23 100 958 
30 995.67 
Em termos práticos, pode-se dizer que a densidade da água é igual à unidade e 
que sua massa especüica é igual a 1 kg/t e seu peso específico é 9,8 N/t. 
1.4.3 - Compressibilidade 
Compressibilidade é a propriedade que tem os corpos de reduzir seus volumes 
sob a ação de pressões externas. 
Considerando-se a lei de conservação da massa, um aumento de pressão 
corresponde a um aumento de massa específica, ou seja, uma diminuição de volu­
me. Assim, 
onde o: é o coeficiente de compressibilidade 
V é o volume inicial 
dp é a variação de pressão 
equação (1) 
O inverso de ex és (s = 1/o:), denominado módulo de elasticidade de volume. 
Porém, a massa (m) vale 
m = p V= constante 
onde p é a massa específica 
Derivando, tem-se 
pdV+Vdp=O, 
dV 
V =-p­
dp 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 
e substituindo o valor de Vna eq. (1) tem-se: 
dV=.!_pdV dp 
e dp 
e dp 
p = dp 
11 
equaçâo(2) 
Verifica-se diretamente da equação (2) , que o módulo de elasticidade de vo­
lume tem dimensões de pressão e é dado, geralmente, em kgf/cm2 ou kgf/m2(MKS) 
e em N/m2 ou Pa (SI). (1 kgf = 9,8 N). 
Para os líquidos, ele varia muito pouco com a pressão, entretanto, varia 
apreciavelmente com a temperatura. Os gases tem e muito variável com a pressão 
e com a temperatura. 
QUADRO 1.10 - Variação de e e. o:iz 0,12 • 0,09 0,11 o,oà o,o9 
4400,0 1,13 0,1524 0,2( 0.2s ,.0.11. 0,23 : .o,1s 0,19 o.is 0.16 . 0,1{' 0,13 !0.10: 0,12 0,09 0,10 
4600,0 1,81 0,1666 -o.2.2c o,31 , 0.1~ 0,25 : 0,11 : 0,20 . 0,1s 0.11 0,140 o.15 o,ii o,13 0,10 0.11 
4800,0 1,89 0,1813 ·o:?t' o,33 :.0.20 0,21 ,.ó,1f 0.22 0,17 0,18 o.is 0,16 o,i{ 0,14 0,11, 0,12 
5000,0 1,96 a,1968: 0.2(:, o.s6 º~t: 0,29 : 0,21 0,24 ·9,19:, 0,20 : 0,1s 0,11 : o.fr 0,15 . 0;12 0,13 
5200,0 2,04 0,2128 ~ 0,29, .· 0,39 : 0,24 0,31 ' . 0,22 0,26 0,20 0,21 ; 0,18 0,18 : i1,{ 0,16 0,13 0,14 
5400.0 2,12 o.22s5 o.s{. o,41 : 0.2( o,33 · 0,24 · 0,21 . 0;22 ·, 0,2s , 0,19 ·.· 0,20 ,.· 0;1s : 0.11 0,14 0,15 
5600,0 2,20 0.2468 i.o'.3t'. o,44 _-.o,2s o,36 : o,2s· 0,29 0;?4 ·.• 0,2s : 0120.' 0,21 . o,w 0,18 . 0,14 0,16 
5800,0 2,28 o,2648 .0.35 . o,47 ;.0,30 , o,38 : ·0,28, 0,31 · o,2s .· 0,26 · 0.22 0,22 : ô,1i: 0,19 ,. 0,16 0,11 
6000,0 2.s6 0,28340:S~ : o,5o I o.32 o,4o o:30 o,33 0,21. o.is ó}i 0,24 :.o.is 0,20 . . 0;11. 0,18 
6200,0 2,44 o,so25 Q,4fi o,53 • .o:34 o,43 'o,32 o,35 o,2!i o,30 , 0;2s 0,2s .0,19 0,22 . oj.8 0,19 
64-0o,o 2,s2 0,3224 OQ,f3 ; o,57 ; 0;35 o,46 . ·o.~ o,38 · · o;n o,31 0;21 .· 0,21 0,20 0,23 o,19 0,20 
6600,0 2,59 0,3429 Q,4f 0,60 :o,38 0,48 : .0,36 0,40 OJ3 0,33 . 0,28 0.28 : ·0;22C 0,24 : 0,20 0,21 
6800,0 2,61 o,3640 M9. , o,63 o.~1 o,s1 o,sa o,42 o,35 · • o,35 o,3o · o,3o ô~s 0,26 0,21 0;2s 
1000,0 2, 75 o,3857 Q,s2 o,67 J'.43 • o,54 MO. o,44 :O.sf o,37 . o;32 o,32 0,2( 0,21 Ji,22 0,24 
7200,0 2,83 0,4080 o.~~ : 0,71 0,46 0,57 o,'43. 0,47 . ·o,ss:: 0,39 :: q;:i(. 0,33 ' ó,26 0,29 0,24 0,25 
74-00,0 2,91 0,4310 :a.sr 0,74 ·. 0'.48 0,60 k0,4S 0,49 . 0,41 :. 0,41 : 0,36 .• 0,35 i 0,27} 0,30 0,25 0,26 
7600,0 2,99 0,4546 id..61\ 0,78 )9;sf 0,63 .0;48 ' 0,52 :Oi!(.: 0,43 \0)8 0,37 Ó,28 0,32 0,26 0,28 
7800,0 3,07 0,4789 \o;é( 0,82 :o,54 0,66 : õ;só . 0,54 0;45 • 0,45 .0,39 , 0,39 . Ô,39 0,33 0,27 0,29 
8000,0 3,14 o,so31ra,M:: o,86 ;' o,s1 o,69 ô.si o,57 0,4l) 048 \ ó42' , o,4o . o,31 o,35 '0,29 o,3o 
8200,0 3,22 0,5292 :/o.,it. 0,90 ; :9,59 0,72 \0;${ 0,59 :.· .... ·oº.·.·.·.•5?.·.•3!.···.···•'·••::... ºa·.'5520 : .. ·.·•·•:··•oº.· ... ·:'·.444'.·.·.· ..• 6··.:.•.·.--.:.·..... 0,42 ó,Ú 0,37 . ~,30. 0,32 
a400,o 3,3o o.5554 :,.o;if, o,94 : :s;s2 · 0,1s ./o.se 0,62 . o,44 o,35/ o,3s · 0;32 0,33 
8600,0 3,38 0,5921 / 0,7f 0,98 :. o:65 · 0,79 >0:5i• 0,65 0,5.f 0,54 J;4ll : 0,46 ·o,3f 0,40 o.si 0,35 
8800,0 3,46 0,6095/o,à:i/; 1,02 :?o.~8 0,82 :;:ó".&i: 0,68 : ~-s~, 0,57 i'.0,50 0,48 r·o,fa 0,42 · 0;35·. 0,36 
202 CÁLCULO DE TUBULAÇÔES SOB PRESSÃO 
Continuação da Tabela 8.14 
Perdas de carga em metros por 100 metros 
Coeficiente C 
[Hazen-Williams] 80 
(~mtt~ikf : :i,ÓO 
Vazão Vel V'-/2g : ; i: 
90 100 110 
Diâmetro 2000mm 
120 130 140 
.0,10 i'"o os: 1.·' ,·, 
(t/s) (m/s) (m) .. · 
3000,0 0,95 0,0465 o'.ó( 0,08 o.or 0,07 o,q( 0,06 'o~b~ . 0,05 0:03 0,04 0,ÔL 0,03 '.-0;03 0,03 
3200,0 1,02 0,0529 o;os · 0,09 o,o5 0,08 · o,o5 o.os o,d4 o,o5 o,o4 0,04 : o,o3 o,o4 :ó,M . o.os 
3400,0 1,08 0,0597 Ô,07 0,11 · o,o'G 0,08 . 0,06 0,07 ••. 0,05 0,06 .0,04 · 0,05 O,Ô4} 0,04 , O,Of 0,04 
3600,0 1,15 0,0669 : 0,08 . 0,12 • 0,07 0,09 . 0,06 0,08 : 0,06 0,06 J);5 : 0,06 0,04 0,05 : o;Ó( 0,04 
3800,0 1,21 0,0746 0,09 0,13 0,07 0,10 ; 0,07 , 0,09 0,06 0,07 0,05 0,06 o;oi 0,05 ' o,óf 0,05 
4000,0 1,21 0,0826 . o;iiJ'. 0,14 . o;ôS 0,11 ; b,oâ · o,o9 0,01 0,08 o,b6 0,01 . 0,05: 0,06 o;osC.: o,o5 
4200,0 1,34 o,os11 0,11 0,1s 0:09 0,13 0,08 0,10 ;o;oa o,o9 · om 0,01 0;05 0,06 • ó.os/ o.os 
4400.0 1,40 0,1000 0,12 > 0,11 /0,10 : 0,14 .. o.o9 0,11 • o,os o,o9 · 0,01 0,08 -o.os 0,01 • o;oS 0,06 
4500,0 1,46 0,1093 co,13; 0,18 : · ô,fr 0,15 ó,iô :: 0,12 o;o9 · 0,10 'ô.os.: o,o9 0,06 0,01 (o.o(: 0,01 
4800,0 1,53 o,11so o:i4. . 0.20 /:ô,12. 0,1s :o.ri:: 0,13 0,10 0,11 ' ó,o9'• o,o9 :b,of 0,08 : o,qs om 
5000,0 1,59 0,129LOJ5 0,21 : 0;13 0,17 . OJ2 0,14 • 0,11 · 0,12 0,09 . 0,10 i0,07:/ 0,09 i: ,Ó/i' 0,08 
5200,0 1,66 0,1396 · 0,16 : 0,23 ., 0,14 0,19 0.13 0,15 o,fa 0,13 O;ió 0,11 O,Ó8 ; 0,09 ; 0,07' 0,08 
5400.0 1.12 0,1506 0.1~ : 0,25 )à;1s· 0.20 o)f 0,16 ·:0,13 0,14 o,ü> 0,12 ,0,09 ; 0.10 i o;o( 0,09 
5500,0 1.18 0,1619 · 0,19 0,21 ' ó,1(- 0,21 ', 0~1s 0,18 ; 0,14 · 0,15 · o,iz: 0,13 . ô;o9 0,11 ,0.09 o,o9 
5800,0 1,85 0,1737 0,20 0,28 0,17 0,23 0,16 0,19 0,15 '. 
1 
0,16 g,13 ·• 0,13 0,1Ci' 0,12 0,09) 0,10 
6000,0 1,91 0,1859 0;22 0,30 1 OJ8 0,24 , 0:11 ' 0,20 -0,16 0,17 0,14 0,14 0,lO 0,12 0;W" 0,11 
6200,0 1,91 o,1985 , 0,23 : o,32 1 :a.20 0,2s I ro,!8 0,21 0,11 : 0,18 0,14 0,1s 0.11 ·· 0,13 0.10 0,11 
s400,o 2,04 0,2115 · 0,25 o.34 . 0,2.1 . 0,21 ; 0,19 . 0,22 0,18 0,19 0;1s • 0,16 0,12 0,14 ·: o.ili 0,12 
6600,0 2,10 0,2250 0,26 o,36 0;22 0,29 ' 0!2l: 0,24 0,19 0,20 trn 0,11 o;13 0,15 · ó,12 é 0,13 
6800,0 2,16 o,2388' 0,2s o,38 : • oit 0,31 0,22 •0,24 0,24 . 0,18_ . 0,21 io,1t• 0,18 
8200.0 2,61 o,3472 o,4F o,54 o,34 o,43 • ó,s2· o,35 0,29 o,3o • 0,25 · 0,2s . 0,19 0,22 ; o,1s') 0,19 
s400,o 2,61 o,3644 o;43 ·· o,56 ' o,s6 o,45 . o,34 o,37 0,31 o,31 : 0,25 0,21 . 0,20 0,23 , o'.úr\ 0.20 
8soo.o 2.14 o,3819 o;45 o,59 ·:o.se 0,41 o,ss o,39 o,s2i o,33 : o,2s" 0,28 . 0;21. 0,24 )ôdó) 0,21 
8800,0 2,so o,3999 0,41 0,61 0,39 o,49 o,s7 0,40 o,34 ; o,34 0,29 0,29 : '-/i,22 0,25 : o;iõ\ 0,22 
9000,0 2,86 o,4183 o,49 . o,64 · o,41 ; o,s1 9,38 · o,42 •. o,35 . o,35 
1 
0,30 · o,3o 0,23 •.. 0,26 . o.ffi o,23 
9200,0 2,93 0,4371 0,51 0,66 0,43 0,53 0,40 0,44 · 0,37 ' 0,37 0,32 0,31 0,24 0,27 0,22" 0,24 
9400,0 2,99 0,4563 0,53 0,69 0,45 0,.56 . 0,42 0,46 0;38 0,38 à,33 •. 0,33 0,25 0,28 '),23mca. Considerando a água a uma temperatura de 20ºC (massa 
específica de 998 kg/m3
), com módulo de elasticidade volumétrico de 2,15 x 
10
8 kgf/m2 ou 21,07 x 108 N/m2• A essa profundidade, se considerarmos a água 
incompressível, a pressão é de 99,80 kgf/cm2 (978 N/cm2 ). Calculando ·a massa 
específica da água a essa pressão, a diferença de pressão pode ser entendida 
como a força do peso por unidade de área, logo: 
m V 
dp=F/A = A -g= po· A -g 
dp = 998(kg/m3) - 1 OOO(m) • 9,80(m/s2) 
dp = 9 780 400(N/m2) 
da equação (1) 
dV 
=dp= e-, 
V 
dV =-dp 
V e 
dV . v"' - (9 180 400121,01 . 10ª) = - o,004642 
sendo 
V=m 
Po 
p = 1 002,65 (kg/ ms) 
sendo Po = 998kg/m3 
portanto, houve um acréscimo de densidade de 0,47%: 
(1 002,65 / 998 = 1,00466). 
Da mesma forma, sob uma coluna de água de 200 m, um litro de água nas 
CNTP reduz-se a 999cm3 de água na mesma temperatura. 
A água é cerca de 100 vezes mais compressível que o aço (variando com o tipo 
de aço). 
1.4.5 - Viscosidade / Atrito interno. Líquidos perfeitos. Atrito e3..'"terno 
1-Viscosidade/Atrito interno 
Quando um fluido escoa, verifica-se um movimento relativo entre as suas 
partículas, resultando um atrito entre as mesmas. Atrito interno ou viscosidade é 
a propriedade dos fluidos responsável pela sua resistência à deformação. 
14 PRINCIPIOS BÁSI COS 
Pode-se definir ainda a viscosidade como a capacidade do fluido em converter 
energia cinética em calor, ou capacidade do fluido em resistir ao cisalhamento 
(esforços cortantes). 
A viscosidade é diretamente relacionada com a coesão entre as partículas do 
fluido. Alguns líquidos apresentam essa propriedade com maior intensidade que 
outros. Assim, certos 6leos pesados escoam. mais lentamente que a água ou o álcool. 
Ao se considerarem os esforços internos que se opõem à velocidade de 
deformação, pode-se partir do caso mais simples, representado pela Fig. 1.2. No 
interior de um líquido, as partículas contidas em duas lâminas paralelas de área 
(A), movem-se à distância (lm), com velocidades diferentes (v) e (v+ t,.v). 
A V A 
Fn 
B 'A-óV ... · · · a 
Figuro.1.2 
A segunda lâmina tenderá a acelerar a primeira e a primeira a retardar a 
segunda. 
A força tangencial (F) decorrente dessa diferença de velocidade será 
proporcional ao gradiente de velocidade (igual à velocidade de deformação angu­
lar).· 
tw F=µA­
lm 
equaçiio(S) 
Onde "µ" é um coeficiente característico do fluido, em determinada 
temperatura e pressão, que se denomina coeficiente de viscosidade dinâmica ou 
viscosidade. A eq. (5) também é conhecida como equação da viscosidade de New­
ton. A viscosidade varia bastante com a temperatura e pouco com a pressão. 
O coeficiente de viscosidade dinâmica ou absoluta, ou simplesmente, 
viscosidade, tem a dimensional 
ML-1 T-1 no (SI), e FL-2 T no (MKS) 
No sistema (SI), a unidade de"µ" denomina-sepouiseuille, abreviatura "Pe", e 
no sistema (MKS), denomina-se poise, abreviatura "P". 
1 Pl = 1 N•s/m2 
lF = 0,1 N-s/ m 2 
100 centipoise = l P - 1 g/cm•s 
Para a água a 2'0ºC e l atm, tem-se "µ" = 10·3 N.s/ m 2 = 1 centípoise 
Por essa facilidade de a água ter a viscosidade igual à unidade nas CNTP, ela é 
usada como padrão de viscosidade, exprimindo-se a viscosidade de outros fluidos 
em relação à mesma. 
PROPRIEDADES DOS FL U I DOS, CONCE I TOS 15 
. QUADRO 1.11-Variação de ~j.t" da água doce com a temperãtura · · · . . t .. - . , ., ,, 
Temperatura µ Temperatura µ 
ºC (N.s/m2 ) 10-6 ºC (N.s/ m 2 ) 10-s 
o 1791 40 653 
2 1674 50 549 
4 1566 60 469 
5 1517 70 407 
10 1308 80 357 
15 1 144 90 317 
20 1008 100 284 
30 799 
Dividindo-se o valor do coeficiente de viscosidade"µ" pela massa específica do 
°fluido "p ", obtem-se o coeficiente de viscosidade cinemática " v". 
v=.!:!:.. 
p 
Esse coeficiente tem a vantagem de não depender da unidade de massa. 
A unidade de viscosidade cinemática no (SI) tem a dimensional fL2 T-1] e 
exprime-se em m 2 / s, e no (MKS) tem a mesma dimensional, exprimindo-se em cm2 / s e 
denomina-se stoke, abreviação St. 
QUADRO 1.12 -Variação de ~.v" da água doce cóm a temperatura · · · · _-_ :. •:' . . ' 
Temperatura V Temperatura V 
ºC (m2 / s) 10-9 ºC (m2 / s) lQ-9 
o 1792 40 657 
2 1673 50 556 
4 1567 60 478 
5 1 519 70 416 
10 1308 80 367 
15 1146 90 328 
20 l 007 100 296 
30 804 
Os fluidos que obedecem a essa equação de proporcionalidade, eq. (5), ou seja, 
quando há uma relação linear entre o valor da tensão de cisalhamento aplicada e a 
velocidade de deformação resultante, quer dizer, o coeficiente de viscosidade 
dinâmica "µ n constante, são denominados fluidos newtonianos, incluindo-se a 
água, líquidos finos assemelhados e os gases de maneira geral. 
Entretanto, não devem ser esquecidos os fluidos denominados· não­
newtonianos, que não obedecem a essa lei de proporcionalidade e são muito 
encontrados nos problemas reais de engenharia civil, tais como lamas e lodos em 
geral. Os fluidos não-newtonianos apresentam uma relação não linear entre o v alor 
da tensão de cisalhamento aplicada e a velocidade de deformação angular. 
Basicamente, há três tipos de fluidos não-newtonianos: 
Tipo (1) viscosidade que não varia com o estado de agitação. Embora não 
obedeça à proporcionalidade linear da eq (5), obedece a equações semelhantes em 
que, por exemplo, o coeficiente de viscosidade cinemática está elevado a uma 
potência. 
16 PRINCfPIOS BÁSICOS 
Tipo (2} "tixotrópicos", em que a viscosidade cai com o aumento da agitação. 
Em bombeamentos, podem ser tratados como newtonianos desde que introduzidos 
no sistema a partir de certa velocidade ou agitação. Exemplo: lodos adensados de 
estações de tratamento de esgotos. 
Tipo (3} "dilatante", em que a viscosidade aumenta com o aumento da agitação. 
Exemplo: algum.as pastas industriais, o melado da cana de açúcar. 
A Fig, 1.3 melhor ilustra o assunto. 
Figura 1.3 -Diagrama. cisalha.menta x deformação 
Tensão de 
cisalhamento 
· Tensão de 
escoamento 
Fluido ideal 
Plástico ideal 
Fluido não newtoniano 
Fluido newtoniano 
Velocidade de deformação 
Como se pode observar pelas tabelas dos Quadros 1.11 e 1.12, a viscosidade 
varia consideravelmente com a temperatura e, portanto, essa é uma variável 
importantíssima a ser levada em consideração nos cálculos. A bibliografia registra 
a diminuição de capacidade de vazão de poços da ordem de até 30%, quando a 
temperatura da água se aproxima dos 4ºC, facilmente entendida se observarmos 
que o escoamento em meio poroso (laminar e com muita superfície de contato}, 
como é o caso da maioria dos aqüíferos subterrâneos, é sobremaneira afetado pela 
viscosidade. 
De maneira geral, para os líquidos, a viscosidade cai com o aumento da 
temperatura e para os gases sobe com o aumento da mesma. 
O atrito interno pode ser evidenciado pela seguinte experiência: imprimindo­
se a um cilindro contendo um líquido um movimento de rotação em torno do seu 
eixo, dentro de pouco tempo, todo o líquido passa a participar do mesmo 
movimento, assumindo a forma parabólica. A bomba centrifuga utiliza-se desse 
principio. Figs. 1.4 e 1.5, respectivamente. 
2 -Líquidos perfeitos 
Um fluido em repouso goza da propriedade da isotropia, isto é, em torno de 
um ponto os esforços são iguais em todas as direções. 
Num fluido em movimento, devido à viscosidade, há anisotropia na 
distribuição dos esforços. 
\ 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 17 
1 
Figun,.1.4 
Figuru. 1.5- A) Eixo/entrada 
B) Rotor C) Líquido em aceleração 
D) carcaça E) Saída 
Em alguns problemas particulares, pode-se, sem grave erro, considerar o fluido 
sem viscosidade e incompressível. Essas duas condições servem para definir o que 
se chama líquido perfeito, em que a densidade é uma constante e existe o estado 
isotrópico de tensões em condições de movimento. 
O fluido perfeito não existe na prática, ou seja, na natureza, sendo portanto 
uma abstração teórica, mas em um grande número de casos é prático considerar a 
água como tal, ao menos para cálculos expeditos.3 -Atrito externo 
Chama-se atrito externo à resistência ao deslizamento de fluidos, ao longo de 
superfícies sólidas. 
Quando um líquido escoa ao longo de uma superfície sólida, junto à mesma 
existe sempre uma camada fluida, aderente, que não se movimenta. 
Nessas condições, deve-se pois entender que o atrito externo é uma 
conseqüência da ação de freio exercida por essa camada estacionária sobre as demais 
partículas em movimento. 
Na experiência anterior, Fig. 1.4, o movimento do líquido é iniciado graças ao 
atrito externo que se verifica junto à parede do recipiente. 
Um exemplo importante é o que ocorre com o escoamento de um líquido em 
um tubo. Forma-se junto às paredes uma peÜcula fluida que não participa do 
movimento. Junto à parede do tubo, a velocidade é zero, sendo máxima na parte 
central, Fig. 1.6. 
Em conseqüência dos atritos e, principalmente, da viscosidade, o escoamento 
de um líquido numa canalização somente se verifica com certa perda de energia, 
perda essa designada por perda de carga. 
18 PRINCIPIOS BÁSICOS 
Figura1.6 
(b) 
Figw:a 1.7 -(a) sem escoamento: princípio dos vasos comunicantes, (b) com escoamento: perda 
deca.rga 
1.4.6 - Coesão, adesão e tensão superficial 
A primeira propriedade permite às partículas fluidas resistirem a pequenos 
esforços de tensão. A formação de um gota d'água deve-se à coesão. 
Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas 
moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do 
próprio líquido. Ocorre então a adesão. 
Na superfície de um líquido em contato com o ar, há a formação de uma 
verdadeira película elástica. Isso é devido à atração entre as moléculas do líquido 
ser maior que a atração exercida pelo ar e ao fato de as moléculas superficiais 
· 2,5 
E 
o 
õ,2,0 
.Q. 
::, ' --o·.· 
-o 1,5 
e 
\\ 
\', 
1 \ 
\ \ 1~ 
\ \ .. 
' 
Figa:ral.8 
llldl -~h ~ -lii-ti ;,,·,1·, 
, . ·.· ' . t ~ · Mercuno lii , .. · . , ' ~-
Agua ., .... f 
l 
~ 1,0 
CI 
~..,_ .. ~ 
'ó-
....:,;:: ~ &tita ~~ 
..... /Ó .... ~-11e,, --- f-..! r-,;;;, -
0,5 
r-,... N ~ - -r--. 
O · 0,05 0,10 . 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 ,0,45 0,50 
h: Elevação ou depressão da coluna, cm 
· Capilari~ad~: A água molha o vidro (adesão maior), elevando-se. 
O m~rcúrio não mo1ha·o yidro (coesão maior), rebaixando-se 
PROPRIEDADES DOS FLUIDOS, CONCEITOS 19 
atraídas para o interior do líquido tenderem a tornar a área da superfície um 
mínimo. É o fenômeno da tensão superficial. 
As propriedades de adesão, coesão e tensão superficial são resp.onsáveis pelos 
conhecidos fenômenos de capilaridade, Fig. 1.8. 
A elevação do líquido, num tubo de pequeno diâmetro, é inversamente 
proporcional ao diâmetro. Como tubos de vidro e de plástico são frequentemente 
empregados para medir pressões (piezômetros), é aconselhável o emprego de tubos 
de diâmetro superior a 1 cm, para que sejam desprezíveis os efeitos de capilaridade. 
Num tubo de 1 mm de diâmetro, a água sobe cerca de 35cm. 
A tensão superficial "--e" tem dimensional (Mr-2) no (SI), exprime-se em N/m e 
varia com a temperatura. O Quadro 1.13, mostra os valores de tensão superficial 
para a água doce normal a diferentes temperaturas. 
QUADRO 1.13 - Variação de "t" da água doce com a temperatura 
Temperatura 't Temperatura 't 
ºC (N/m) 10-2 ºC (N/m) 10-2 
o 7,513 50 6,778 
2 7,515 60 6,622 
10 7,375 70 6,453 
20 7,230 80 6,260 
30 7,069 90 6,070 
40 6,911 100 
Esses valores variam ainda com o material eventualmente dissolvido na água. 
Por exemplo, os sais minerais normalmente aumentam a tensão superficial e 
compostos orgânicos , como o sabão e o álcool, além dos ácidos em geral, diminuem 
a tensão superficial da água que os dissolve. 
Quanto á adesão de um líquido a um sólido, esta pode ser "positiva"(sólidos 
hidrófilos) ou "negativa"(sólidos hidrófobos), Fig. 1.9. 
Figura1.9 
-~ ~r-
~_G_o_ta_;_d_e_á_,g:....u_a 
Sólido hidrófobo, a > 90· 
por exemplo: parafina (a qual ela atua. 
Considerando-se, no interior de certa massa líquida, uma porção de volume V, 
limitada pela superfície A (Fig. 2.1), s~_situada em um plano que faz 
um ângulo 0 com a superfície livre do líquido. 
-· Para a determinação do empuxo que atua em um dos lados da mencionada 
figura, ess~ área será subdividida em.elementos dA, localizados à profundidade 
genérica h_ e a uma distânciay da interseção 9-
A força agindo em dA será , 
,-) . -~~ 
dF = pdA = t.5.dA = 'Y y sen ~ dA. 
Cada uma das forças dF será nõnnal à respectiva área. 
por 
A resultante ou o empuxo (total) sobre toda a área, também nor1:1-al, s_erá dado 
F = f dF = !A 'Y y sen 0 dA = -y sen 0 !A y dA,. 
!A y dA é o momento da área em relação à interseção O; portanto 
/AydA=Ay, 
expressão ondeyé a distância do centro de gravidade da área até O, eA a área total. 
F= -yysen 0A. 
Como 
ysen 0=h, 
O empuxo exercido sobre uma superfície plana imersa é um grandeza tensorial 
· perpendicular à superfície e é igual ao produto da área pela pressão relativa ao 
centro de gravidade da área. 
Figux,, 2.14 
EMPUXO EXERCIDO POR UM LIQUIDO SOBRE UMA SUPERFICIE PUNA IMERSA 
Exercício 2.1 - Qual o empuxo 
exercido pela água em uma comporta 
vertical, de 3 x 4m, cujo topo se encon­
tra a Sm de profundidade? (Fig. 2.15) 
31 
-y = 9,8 • 103 N/m3 (água) 
F=yhA 
~-
F = 9,8 · 103 • 6,5 · 12 = 764 400 N ____ _ 
r-CG 
....,..F-------.....-Cf 
A resultante das pressões não está aplicada no 
centro de gravidade CG da figura. porém um pouco 
abaixo, num ponto que se denomina centro de 
pressão ÇP (Fig. 2.16). 
FiguraZ.16 
2.6.2 - Determinação do centro de pressão 
A posição do centro de pressão pode ser determinada, aplicando-se o teorema 
dos momentos, ou seja, o momento da resultante em relação à interseção O deve 
igualar-se aos momentos das forças elementares dF (Fig. 2.17). 
. Fyp=fdFy 
Na dedução anterior, 
Substituindo, 
dF=-yysen 0dA, 
F=-yysen 0A. 
iY sen 0AyP = l yy sen 0 dAy = -y sen 0 /Ay2 dA. 
Logo, 
f y2dA I 
Y - A -
P- Ay - Ay' 
expressão em que I é o momento de inércia em relação ao eixo-interseção. Mais 
comumente, conhece-se o momento de inércia relativo ao eixo que passa pelo centro 
de gravidade, sendo conveniente a substituição. 
I = 10 +Aj2 (teorema de Huygens) 
j 
C~mo ~- = K2, quadrado do raio de giração (da área relativa ao eixo, passando 
pelo centro de gravidade), tem-se, ainda, 
~ 
~ 
1 
'· ,. 
32 HIDROSTÁ TICA. P RESSÕES E EMPUXOS 
O centro de pressão está sempre 
abaixo do centro de gravidade a uma 
Kz 
distância igual a -=-, medida no plano y 
da área. 
No Quadro 2.1 estão indicadas as 
expressões correspondentes· aos 
momentos de inércia das principais 
figuras. 
' ' 
Figura2.17 
Exercício 2.2 - Determinar a posição do centro de pressão para o caso da 
comporta indicada no exercício anterior (Fig.2.15). 
Do Quadro 2.1 
Logo, 
- In 
Y =y+-"­
p Ay 
bd3 
Ia=--
12 
2-x4x33 
9 Yp=6,50+ 12 -6,50+-=6,615m . 3x4x~5 78 
Exercício 2.3-Numa barragem de concreto está instalada uma comporta 
circular de ferro fundido com 0,20 m de raio, à profundidade indicada 
(Fig. 2.18). 
F 
y 
E 
A "" 
yhA; 
1000kgf/m3 
4,20; 
1t X 0,202 = 0,1257m2 
F 1 000 X 4,20 x 0,1257 = 258 kgf = 5 172 N 
--.-: -:1=== --.: _: · .-. ·. ·. 
. . •. 
· 4,00,, /( .. 
. . .. 
-~~~]~;~·•· 
o 
Q) 
··º 
-1~ 
' ' 
• 1 • • • 
E MP U XO EX ERC IDO P OR UM L Í QU I DO SOBRE UM A S U PE RFÍC I E P L A NA IM E RSA 33 
QUAD~O 2.1- . Momentos de inércia (10).Área(A.)ecenl!os