Aula 16 Centróide

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AULA 13
Forças Internas Treliças Isostáticas
Curso Engenharia Civil
Disciplina Teoria das Estruturas
Professora: Dra. Débora P. Righi Köhler
CENTRO DE GRAVIDADE
Centro de Gravidade de um corpo: É a posição onde pode
ser considerada a aplicação da força de gravidade resultante
equivalente de todo o corpo, ou seja, é o ponto onde se
equilibram todos os pesos devidos a cada partícula do
corpo;
CENTRO DE GRAVIDADE
Deseja-se determinar o centro de gravidade do conjunto de partículas
ilustradas na figura abaixo. Este conjunto é distribuído sobre uma barra
de peso desprezível a qual se apoia em um único ponto A. De acordo com
as equações de equilíbrio, sabe-se que o ponto deve estar localizado na
mesma reta vertical que passa pelo centro de gravidade do conjunto de
partículas, se não, a barra não estará em equilíbrio;
Centro de Gravidade de um conjunto de partículas:
A posição do centro de gravidade de um grupo de partículas pode
ser encontrado empregando-se o teorema de Varignon, ou seja, faz-
se o somatório de momentos dos pesos de cada partícula em relação
a um ponto e calcula-se o momento do peso total das partículas em
relação ao mesmo ponto. Aplicando-se o teorema de Varignon, os
momentos devem ser iguais:
CENTRO DE GRAVIDADE
De acordo com a figura:
XG=(x1*P1+x2*P2+x3*P3) = (x1*P1+x2*P2+x3*P3)
P (P1+P2+P3)
xG = distância do 
centro de 
gravidade
De uma maneira geral, para n partículas e para sistemas 3D:
CENTRO DE GRAVIDADE
CENTRO DE MASSA
Centro de Massa de um sistema de partículas: nos problemas
que envolvem movimento, é preciso localizar-se o centro de
massa do corpo. A determinação do centro de massa para um
grupo de partículas é feita simplesmente trocando os pesos Pi
(m.g) da expressão anterior por mi:
CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO
Centro de gravidade de um Corpo: considerando-se um corpo
unidimensional (exemplo: arame) com massa homogeneamente
distribuída. Para se determinar o centro de gravidade desse corpo,
considera-se um elemento pequeno de comprimento Δx e peso
ΔPi.
Fazendo-se n tendendo ao infinito, tem-se que Δxi
tende a 0 e ΔPi tende a 0, logo, os somatórios viram
integrais:
No caso de material não seja homogêneo: em que γ é oP = V
peso específico do material [N/m³]. Nota-se que dP =  (x, y, z)dV
Ou seja: o peso específico do material é função da posição no
sólido. Substituindo esta expressão nas equações anteriores,
obtemos:
xG = V
 (x, y, z)xdV
 (x, y, z)dV
V
G
y
 (x, y, z)dV
V
G
z= V = V
 (x, y, z) ydV  (x, y, z)zdV
 (x, y, z)dV
V
Caso o material seja homogêneo, ou seja,
O peso específico pode ser simplificado nas expressões anteriores.
Neste caso, o centro de gravidade passa a coincidir com o centro
geométrico (CENTROIDE) do mesmo.
 (x, y, z) = 
CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO
CENTROIDE DE UM CORPO
O centroide de um corpo depende apenas da geometria deste, como se 
verifica nas expressões abaixo:
G
y = V
 ydV
 dV
V
zG = V
 zdV
 dV
V
Se a forma do corpo não varia com a profundidade ou quando a
espessura do corpo é muito pequena se comparada às demais
dimensões, pode-se dizer que dV=t*dA, em que t representa a espessura
do corpo. Desse modo, as expressões acima resultam em:
G
x = V
 xdV
 dV
V
C
z
 dA
A
yC = A = A
 ydA  zdA
 dA
A
C
x = A
 xdA
 dA
A
yC
= L
 ydL
 dL
L
C
z = L
 zdL
 dL
L
Salienta-se que o centroide é o centro geométrico do corpo e
depende inteiramente de suas propriedades geométricas.
Quando o corpo é homogêneo, o centroide e o centro de
gravidade são coincidentes.
C
x = L
 xdL
 dL
L
CENTROIDE DE UM CORPO
Quando o corpo é unidimensional como, por exemplo, um arame,
podemos determinar que: dA=b*dL. Substituindo-se esta
expressão nas equações acima:
A determinação do centro de gravidade e centroide pode ser
bastante simplificada se o corpo tem simetria com um ou mais eixos.
Quando o corpo tem um eixo de simetria, o centroide sempre estará
localizado sobre este eixo. Quando o corpo possuir 2 eixos de
simetria, o centroide estará localizado na intersecção dos 2 eixos. A
figura abaixo cita alguns exemplos:
CENTROIDE DE UM CORPO
(b) (a) (c)
CENTROIDE DE UM CORPO
CENTROIDE DE UM CORPO
CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
Muitas vezes é possível dividir o corpo em várias partes com formas
mais simples, cuja a posição do centro geométrico já é conhecido.
Este procedimento, combinado com o uso de tabelas, quase sempre
dispensa o uso da integração. Veja o exemplo a seguir:
Exemplo 1: Localize 
o centroide da figura 
ao lado:
• Procure escolher um par de eixos x e y que facilite o cálculo;
• Lembre-se sempre que os furos vazados entram na equação
como “área negativa”;
• As cotas dos centroides de cada uma das geometrias simples
devem ser tomadas em relação aos eixos x e y inicialmente
estabelecidos. Logo, essas cotas podem ser negativas ou
positivas;
• Procure reduzir os cálculos o máximo possível utilizando
conceito de simetria;
• Use fórmulas já obtidas para as formas geométricas mais
simples com o uso de tabelas, por exemplo;
• Se cada uma das partes é uma área finita, então as fórmulas
podem ser simplificadas:
CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
i i
x A
xC
A
= i=1
n

n
 i
i=1
C
yi Ai
y
Ai
= i=1
n

n

i=1
a) 1ª Parte: precisa-se de tabelas com a posição do centroide do
triângulo, do retângulo e do semicírculo que são as formas
geométricas que compõe a seção do problema proposto. Caso
não haja tabelas à mão, deve-se calcular a posição do
centroide dessas figuras preliminarmente. Sabemos que, por
simetria, o centroide fica no centro do retângulo e já
obtivemos a posição do centroide para o triângulo. Resta
descobrirmos a posição do centroide para o semicírculo:
(São as fórmulas 
mais usadas para 
cálculo do centroide 
em seções de perfis 
reais)
CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
do centroide resulta:
i i
C n
x A
i=1x =
n

 Ai
i=1
Retângulo cheio Triângulo Semi-circunferência vazia
= (9 / 2)*(12*9) + (9 / 3)*(6*9 / 2) −(9 −(4* 4 / 3))*( 42 / 2)
(12*9)+ (6*9 / 2) + (42 / 2)
xC = 3,49cm
CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
b) 2ª Parte: utiliza-se as fórmulas para o cálculo do centroide da
figura composta. Como é uma soma finita de figuras simples,
usa-se a notação de somatório ao invés de integral. A posição
n
n
yC
= i=1
 yi Ai
 Ai
i=1
Retângulo cheio Triângulo Semi-circunferência vazia
= (6+12 / 2)*(12*9) + (6*2 / 3)*(6*9 / 2) − (12)*(42 / 2)
(12*9) + (6*9 / 2) + (42 / 2)
yC =10,04cm
CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
Metodologia para a determinação do centroide de figuras
compostas:
1) Escolher eixos de referência;
2) Escolher conjunto de equações mais apropriado dependendo
do tipo da seção (na maioria das vezes, serão as fórmulas do
exercício anterior);
3) Verifica se há eixos de simetria para definir previamente
coordenadas do centroide sem necessidade de cálculo;
4) Discretizar áreas Ai da figura composta. As áreas Ai devem ser
de figuras simples e, de preferência, com a posição do
centroide já conhecida;
5) Determinar a posição do centroide das áreas Ai quando o
centroide de tal área não é previamente tabelado ou
determinar as coordenadas do
conhecido (se for o caso);
6) Aplicar as equações e
centroide da figura global.
CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
EXEMPLO 1
Determinar o centroide da figura abaixo:
Considere a placa ilustrada na figura abaixo submetida a um
carregamento descrito por uma função p(x,y), que reapresenta a taxa
de carga por unidade de área na placa (N/m²). A força dF atuante em
elemento dA é, portanto,: dF=p(x,y)*dA (todas as forças dF são
paralelas). Logo, o módulo da força equivalente é dado através do
somatório de todas as dF que atuam na área A da placa, ou seja:
FIGURA
F =  p(x, y)dA=  dV
A V
FORÇAS DISTRIBUÍDAS
Salienta-se que o produto p(x,y)*dA define um volume
infinitesimal dV, logo, pode-se dizer que o módulo da força
equivalente ao carregamento distribuído sobre uma placa é
igual ao volume total sob o diagrama da carga distribuída.
Para selocalizar o ponto de aplicação, que tem coordenadas
(x,y) da força equivalente F, deve-se igualar os momentos
desta força em relação aos eixos x e y aos momentos de todas
as forças dF em relação aos eixos x e y, ou seja:
F y =  y * p(x, y)dA
A
F x =  x* p(x, y)dA
A
FORÇAS DISTRIBUÍDAS
y = A = Vx = A = V
 p(x, y)dA  dV
A V
 p(x, y)dA  dV
A V
As expressões anteriores podem ser reescritas da seguinte
forma:
 x* p(x, y)dA  xdV  y* p(x, y)dA  ydV
Ou seja: conclui-se que a força equivalente é aplicada no
centroide do volume sob o diagrama de carga distribuída.
De maneira similar, prova-se que a carga concentrada
equivalente a uma carga distribuída ao longo de uma linha
[N/m] deve ser aplicada no centroide da geometria da carga
distribuída.
FORÇAS DISTRIBUÍDAS
FORÇAS DISTRIBUÍDAS
Lembrem-se da 1ª Área (exercícios de vigas, por exemplo):
-As cargas distribuídas retangulares eram substituídas por
carga concentrada equivalente aplicada no centro do
retângulo para o cálculo da estrutura. Motivo: o centroide do
retângulo coincide com o seu centro, já que possui dois eixos
de simetria;
-As cargas distribuídas triangulares eram substituídas por
carga concentrada equivalente aplicada a 1/3 do maior lado
do triângulo para o cálculo da estrutura. Motivo: a posição do
centroide do triângulo está a 1/3 do lado maior do triângulo,
conforme visto no Exemplo 1 anterior;
SOFTWARE FTOOL
Site: https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/; 
Autor:Luiz Fernando Martha
PUC-Rio - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
https://web.tecgraf.puc-rio.br/ftool/
• Metodologia Básica:
1) Novo arquivo,
2) Inserir todos os pontos de interesse (qualquer ponto da
estrutura de aplicação de carga, vínculos, etc.) – com
coordenadas;
3) Ligar pontos através da ferramenta de linha (barras);
4) Cotar a estrutura com a ferramenta “Dimension Line”;
5) Inserir vínculos: selecionar botão de vínculos, escolher os
graus de liberdade a serem restringidos, o ângulo dos
vínculos, constante de elasticidade para vínculos elásticos
(molas), deslocamentos prescritos nos vínculos se for o
caso;
SOFTWARE FTOOL
6) Definição de materiais: clicar no botão de materiais, adicionar novo 
material para cada tipo diferente, informar os parâmetros que o 
programa necessita e aplicar nas barras;
7) Definição de geometria: similar ao item anterior, porém, com os dados
geométricos das seções;
8) Aplicação de rótulas nos nós (se for o caso): Botão da rótula, seleciona 
a barra ou nó e aplica a condição escolhida;
9) Cargas concentradas: adicionar nova carga para cada tipo diferente de 
carga. Colocar valor da carga ou de momento concentrado se for o 
caso. Atentar para os sinais;
10) Cargas distribuídas e lineares: similar ao item anterior;
11) Salvar arquivo e clicar nos botões do canto superior direito da tela:
esforços normal, cortante, momento fletor e deformação e analisar
resultados;
12) Menu Display – Reaction Values (mostra reações). Clicando com o
botão direito na estrutura: aparecem várias informações;
SOFTWARE FTOOL
Obrigada!
deborakohler@acad.ftec.com.br
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	Slide 4: CENTRO DE GRAVIDADE
	Slide 5: CENTRO DE GRAVIDADE
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	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12: CENTROIDE DE UM CORPO
	Slide 13: CENTROIDE DE UM CORPO
	Slide 14: CENTROIDE DE UM CORPO
	Slide 15: CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
	Slide 16: CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
	Slide 17: CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
	Slide 18
	Slide 19:  yi Ai
	Slide 20: CENTROIDE DE CORPOS COMPOSTOS
	Slide 21: EXEMPLO 1
	Slide 22: FORÇAS DISTRIBUÍDAS
	Slide 23: FORÇAS DISTRIBUÍDAS
	Slide 24: FORÇAS DISTRIBUÍDAS
	Slide 25: FORÇAS DISTRIBUÍDAS
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