Equações de Maxwell e Física Quântica

Prévia do material em texto

Conteúdo
1 Equações de Maxwell 3
1.1 Equações de Maxwell-forma diferencial e integral . . . . 3
1.2 Unificação do electromagnetismo . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Campos Induzidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Corrente de deslocamento . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 Ondas Eletromagnêticas 9
2.1 Geração de uma Onda Eletromagnêtica . . . . . . . . . . 9
2.2 Onda Eletromagnética Progressiva . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Transporte de Energia e o Vetor de Poynting . . . . . . . 13
2.4 Pressão de Radiação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 Polarização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.6 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 Ótica F́ısica 21
3.1 Interferência e a Experiência de Young . . . . . . . . . . 21
3.2 Coerência e Interferência em Peĺıculas Finas . . . . . . . 28
3.3 Difração em Fenda Única, Orif́ıcio Circular . . . . . . . . 30
3.4 Difração em Fenda Dupla . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.5 Difração em Fendas Múltiplas . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Redes de Difração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.7 Dispersão e Poder de Resolução . . . . . . . . . . . . . . 40
3.8 A Experiência de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.9 Coerência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.10 Interferência em Fenda Dupla . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.11 Intensidade de Interferência em Fenda Dupla . . . . . . . 46
1
2 CONTEÚDO
4 Teoria da Relatividade 47
4.1 Os Postulados da relatividade . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Medida de um evento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Relatividade da simultaneidade . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 A relatividade do tempo e do comprimento . . . . . . . . 50
4.5 Consequências das Transformações de Lorentz . . . . . . 53
4.5.1 O Limite de Pequenas Velocidades . . . . . . . . 53
4.5.2 O Limite v > c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.5.3 A Limitação da Velocidade de Propagação do Sinal 54
4.6 Transformação das Velocidades . . . . . . . . . . . . . . 55
4.7 Efeito Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.8 Invariantes Relativ́ısticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.9 Dinâmica Relativ́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.10 Exercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5 F́ısica Quântica 65
5.1 O Efeito Fotoelétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 O Efeito Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Modelo Atômico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Postulado de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5.5 Função de Onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.6 Dualidade Onda-Part́ıcula . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.7 Prinćıpio de Incerteza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6 Equação de Schrödinger para o Átomo de Hidrogênio 83
6.1 Equação de Schrödinger em Três Dimensões . . . . . . . 83
6.1.1 Solução da Equação de Schrödinger para o Es-
tado s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Momento Magnêtico Orbital . . . . . . . . . . . . . . . . 90
6.3 A Experiência de Stern-Gerlach e o Spin do Elétron . . . 92
6.4 Teoria da Tabela Periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Caṕıtulo 1
Equações de Maxwell
1.1 Equações de Maxwell-forma diferen-
cial e integral
1) ~∇. ~E =
ρ
ε0
−→
∫
S
~E.~n da =
1
ε0
∫
V
ρ dV
2) ~∇X ~E = −∂
~B
∂t
−→
∮
Γ
~E.d~s = −
∫
S
∂ ~B
∂t
.~nda (ε = −∆Φ
∆t
)
3) ~∇. ~B = 0 −→
∫
S
~B.~n da = 0
4) c2 ~∇X ~B =
~J
ε0
+
∂ ~E
∂t
−→ c2
∮
Γ
~B.d~s =
1
ε0
∫
S
~J.~nda+
∫
S
∂ ~E
∂t
.~nda
onde c2 = 1/ε0µ0.
A primeira equação, ou seja a lei de Gauss estabelece que o fluxo
do ~E através de qualquer superf́ıcie fechada é proporcional a carga
que fica dentro da superf́ıcie. Para esta equação o fluxo elétrico não é
conservativo. Teremos, então, uma variação do fluxo que entra e sai de
um volume que é gerada por uma fonte ρ.
3
4 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DE MAXWELL
A segunda que é a equação de Faraday que estabelece que a variação
do fluxo magnético (imã em movimento) que atravessa um circuito
produz uma tensão elétrica, que dá origem a corrente, e tem sentido
contrário dependendo se o imã se apoximava ou se afastava do circuito.
Faraday também manteve o imã fixo e movimentou o circuito, obtendo
os mesmos resultados. O sinal negativo garante que a fem induzida é
no sentido de criar um campo magnético que vai se opor a variação do
fluxo.
A terceira equação é a que corresponde a lei geral para campos
magnéticos, visto que não existem cargas magnéticas então o fluxo de
~B através de qualquer superf́ıcie fechada é sempre zero. Neste caso
o fato do divergente ser igual a zero significa que o fluxo magnético
é conservativo. Isto é então que o fluxo magnético que entra em um
volume é idéntico ao que sai do mesmo.
A última equação estabelece que um campo magnético tanto pode
ser produzido por uma corrente estacionária quanto por uma corrente
de deslocamento ~Jd.
1.2 Unificação do electromagnetismo
Vamos falar sobre história da f́ısica mas especificamente sobre o desen-
volvimento da f́ısica durante o século XIX (1860) quando J.C Maxwell
combinó as leis da eletricidade e as do magnetismo com as leis do com-
portamento da luz, como resultado as propriedades da luz foram de-
senredadas. Maxwell ao finalizar sua descoberta expresou-se “onde tem
eletricidade e magnetismo ai tem luz”.
As forzas elétrica e magnéticas diminuiam com o quadrado da distância.
Maxwell ao tentar juntar as equações então conhecidas descobrio que
eram incompat́ıbeis, então teve que agregar outro término as equações
conhecidas, ao realizar isto ele descobriu que uma parte dos campos
elétrico e magnético diminuia mais lentamente com a distância que o
inverso do quadrado, isto é inversamente com a primeira poténcia da
distância. E de esta maneira pode-se predizer os efeitos básicos da
transmissão de rádio, radar e etc. Os campos elétricos e magnéticos
podem manter-se devido aos efeitos combinados da lei de Faraday
1.2. UNIFICAÇÃO DO ELECTROMAGNETISMO 5
∇X ~E = −∂
~B
∂t
,
e ao termo de Maxwell
c2 ∇X ~B =
∂ ~E
∂t
.
Estas equações significam que os campos magnéticos e elétricos vari-
ando com o tempo são capazes de gerar um ao outro, ou seja, um campo
magnético variável é capaz de gerar um campo elétrico e vice-versa. No
caso da equação (4), o termo ∂ ~E/∂t que gera o campo magnético é cha-
mado de corrente de deslocamento. Este termo é o centro da teoria das
radiações das ondas eletromagnéticas. Até os trabalhos de Maxwell as
leis conhecidas para o campo magnético de correntes estacionárias era
~∇X ~B =
~J
ε0 c2
,
Maxwell observó que calculando a divergência da equação acima, o
primeiro termo é zero, visto que a divergência de um rotor é sempre
zero, pelo tanto esta equação requer que a divergência de ~J também
seja zero, embora o fluxo de corrente de uma superf́ıcie fechada é a
diminuição de carga que tem dentro da superf́ıcie e certamente não
pode ser zero.
A equação
~∇ ~J = −∂ρ
∂t
,
expressa a lei da conservação da carga (qualquer fluxo de carga deve
vir de alguma fonte). Maxwell sanou esta dificulatade ao adicionar o
termo ∂ ~E/∂t, então a equação fica
c2 ~∇X ~B =
~J
ε0
+
∂ ~E
∂t
.
Demonstremos que ∂ ~E/∂t é precisamente o termo que se necessita
para resolver este problema, então tomando a divergência de esta última
equação, obtemos
6 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DE MAXWELL
~∇
~J
ε0
+ ~∇∂
~E
∂t
= 0 ,
invertamos a ordem das derivadas no segundo termo, então
~∇ ~J + ε0
∂
∂t
~∇ ~E = 0 −→ ~∇ ~J +
∂
∂t
ρ = 0 −→ ~∇ ~J = − ∂
∂t
ρ
e obtemos a lei da conservação da carga.
1.3 Campos Induzidos
Se o fluxo magnético ΦB através de uma àrea limitada varia com o
tempo, uma corrente e uma forçahoras mostram
tA = γTB
enquanto os relógios que se movem mostram o tempo TB, no entanto a
nós nos interesa saber o tempo quando a luz da fonte B chega em A.
No sistema ligado ao A, o tempo de propagação da luz é igual a x
′
/c.
Então o instante quando o impulso de luz aparece em A (pelas horas
de A) é:
TA = tA + tempo de propagacao = TA = tA + x
′
/c
substituindo tA por γTB e considerando que a distância percorrida
pela fonte B no tempo tA é x
′
= vtA = v(γTB), desta forma
TA = γTB + v
γTB
c
= γ(1 + β)TB
58 CAPÍTULO 4. TEORIA DA RELATIVIDADE
onde β = v/c
O intervalo de tempo entre dois impulsos de luz consecutivos em A
se dá pela expressão
τA = γ(1 + β)τB
onde τB é o intervalo entre dois impulsos medidos na fonte B.
A frequência (número de impulsos por segundo) está ligada ao pe-
riodo τ pela relação ν = 1
τ
, então
1
νA
=
1
νB
γ(1 + β)→ νB
γ(1 + β)
= νA → νA = νB
√
1− β
1 + β
Sendo νA o número de ondas que o detector registra por segundo e
νB número de ondas irradiadas por segundo pela fonte.
Da fórmula nós vemos que νAque o próton com tal energia atravessa a galaxia pelo diâmetro.
Este diâmetro é igual à 105 anos luz. Quanto tempo leva o próton nesta
viagem desde o ponto de vista dele?
• 6) Mostre que a energia de repouso do elétron é mec
2 ∝ 0, 51 Mev.
64 CAPÍTULO 4. TEORIA DA RELATIVIDADE
Caṕıtulo 5
F́ısica Quântica
5.1 O Efeito Fotoelétrico
Em 1905 Einstein de forma contundente provó a teoria de Planck, de
acordo com a hipótese dele, a luz é constituida por quanta (fótons) de
energia hν que se propagam no espaço como um chumaço de projéties
com a velocidade da luz.
Arrojada, como a primeira vista parece ser esta hipótese, há não
obstante uma série completa de experiências que não podem se explicar
pela teoria ondulatória e sim usando a hipótese do fóton como part́ıcula.
Citemos algumas experiências como prova da hipótese de Einstein.
A transformação mais direta da luz em energia mecânica ocorre no
efeito fotoelétrico (Hertz (1887), Hallwacks, Elster,..), se sobre uma
superf́ıcie metálica (metais alcalinos) e num vácuo de grau elevado, in-
cide luz de pequeno comprimento de onda (ultravioleta). Se observa
em primeiro lugar que a superf́ıcie se carrega positivamente o que signi-
fica que perdeu electricidade negativa ou seja elétrons foram ejectados
do metal, logo de aqui podemos medir a corrente total que sai da su-
perf́ıcie metálica e por outro lado determinar a velocidade dos elétrons
mediante um campo retardador. Experiências demonstraram que a
velocidade dos elétrons emergentes não depende da intensidade da luz
(número de fótons incidentes), porém o número desses elétrons aumenta
quando a luz é mais energética. Ainda demonstrou-se que a velocidade
dos fotoelétrons só depende da frequência ν da luz e se encontrou a
65
66 CAPÍTULO 5. FÍSICA QUÂNTICA
seguinte relação para a energia dos elétrons
E = hν − A
onde A é uma constante caracteŕıstica do metal.
Sobre o ponto de vista da hipótese de Einstein, cada fótons de luz
que incide no metal e colide com um dos respectivos elétrons, comunica
toda sua energia ao elétron e desta forma o retira do metal, contudo
o elétron antes de sair perde uma parte desta energia igual ao trablho
A, requerido para abandonar o metal, ou seja para vencer a energia
de ligaçã do elétron mais afastado do núcleo no metal, Se a frequência
da luz for menor que a requerida então nenhum eletron irá escapar,
quando a frequência é aumentada então os eletrons serão ejetados com
energias cada vez maiores, ver figura
Si se parte da hipótese de que a luz incidente representa um campo
eletromagnêtico, pode-se deduzir o tempo que deve decorrer até que
uma part́ıcula do metal possa tomar deste campo, por absorção a quan-
tidade de energia requerida para a libertação de um elétron, estes tem-
pos são da ordem de grandeza de alguns minutos, mas a experiência
provou que a emissão de fotoelétrons se desencadeia logo após o começo
da irradiação, logo a hipótese está errada
5.1. O EFEITO FOTOELÉTRICO 67
Exerćıcios
• Calcule a energia dos fótons visiveis (400 à 700 nm)
400nm A→ λfrequência
do fóton espalhado é igual a frequência do fóton incidente.
Exercicios
• Calcule o comprimento de onda de Compton do elétron
λ0 =
h
mec
=
hc
mec2
=
(4, 136.10−15eV.s)(3.1017nm/s)
0, 511.106eV
5.3. MODELO ATÔMICO DE BOHR 71
λ0 =
1240eV.nm
0, 511.106eV
= 0.00242 nm
• O compriemnto de onda dos raios X que Compton usou em seus
experimentos foi de λ = 0.0711 nm, calcule sua energia
E = pc =
hc
λ
=
1240 eV. nm
0, 0711 nm
= 17440 eV
• Um raio X com um compriemto de onda de 0, 0062 nm incide
sobre um elétron no repouso. Supondo que o elétron recua com uma
energia cinética de 60 keV, calcule a energia do raio γ
′
espalhado e
determine a direção com que é espalhado
5.3 Modelo Atômico de Bohr
Bohr em 1913 fornulou os fundamentos da mecânica quântica, ao esta-
belecer seus dois postulados, postulado sobre a existência dos estados
estacionários e o postulado das frequências
• Os átomos e os sistemas atômicos somente podem estar por muito
tiempo, em estados definidos (estados estacionários), nas quais as part́ıculas
carregadas apesar delas estar se movendo, não irradiam ou absorvem
energia. Nestes estados os sistemas atômicos possuem energia que for-
mam uma série discreta: E1, E2, ...., En. O estado destas se caracteriza
pela sua estabilidade, qualquer mudança de energia como resultado da
absorção ou emissão da radiação eletromagnêtica ou como resultado da
colisão, pode acontecer somente quando ele pula de um estado para
outro
• Quando ele faz a transição de um estado estacionário para outro os
átomos absorvem ou emitem radiação, somente numa frequência bem
definida. A radiação que é emitida ou absorvida quando se transita
72 CAPÍTULO 5. FÍSICA QUÂNTICA
de um estado Em para outro En, é monocromâtica e sua frequência se
define pela ondição
hν = Em − En
Ambos estes potulados contradizem fortemente a eletrodinâmica
clássica, visto que pelo primeiro postulado os átomos não irradiam, ape-
sar que seus elétrons realizam movimento acelerado e no segundo pos-
tulado as frequências emitidas não tem nada a ver com as frequências
dos movimentos periôdicos dos elétrons.
Ao mesmo tempo que os postulados de Bohr exigem a existência
de uma consequência discreta de ńıveis de energia que correspondem
a órbitas quantizadas no átomo, a mecância clássica leva a uma quan-
tidade cont́ınuia de órbitas. Isto significa que os fenômenos que acon-
tecem no mundo atômico se revela a discontinuidade, que é caracteri-
zada pela constante de Planck, enquanto os fenômenos do mundo ma-
croscópico se caracterizam pela sua continuidade. Nós chegamos então
a conclusão de que a mecânica clássica com suas grandezas que mudam
continuamente não se pode aplicar a os fenômenos atômicos.
Bohr ao fazer estas hipóteses já tinha conhecimento do experimento
de Rutherford e dos resultados espectroscópicos de Balmer, então ele
usando todo isto e ainda o postulado de Planck sobre os osciladores
lineares, ele formnulou seus postulados, de acordo com o postulado de
Planck, de todos os posśıveis estados do oscilador linear somente se
realizam aqueles cujas energias são iguais
En = nhν
rescrevendo na forma E/ν = nh, então vemos que é igual a um múltiplo
de h.
5.4 Postulado de De Broglie
Em 1923 de De-Broglie apresentou sua corajosa hipótese e a qual es-
tabelece que as part́ıculas materiais, tais como os fótons, podem ter
um aspecto de onda. Ele derivó as regras de quantização de Bohr-
Sommerfeld como uma consequência de sua hipóteses, mais tarde Da-
5.4. POSTULADO DE DE BROGLIE 73
visson and Germer (1927) confirmaram a existência do aspecto ondu-
latório na matéria, mostrando através da difração de elétrons.
Admitindo desta forma que as part́ıculas materiais possuem tanto
propriedades ondulatórias como corpusculares, de De-Broglie transpor-
tou para o caso das part́ıculas materiais a regra de transição de uma
forma para outra.
Supondo que nós tenhamos uma part́ıcula material (elétron) com
massa m e que se move na ausência de um campo, isto é uniformemente
com velocidade v. Na forma corpuscular nós atribuimos a part́ıcula a
energia E e o momento p, na forma ondulatória nós teremos correspon-
dentemente a frequência ν e o comprimento de onda λ, se estas ambas
formas representam diferentes aspectos de um mesmo objeto, então a
relação entre estas grandezas se estabelece através das relações
E = hν = h̄ω (3)
p = h̄~k =
h
λ
(4)
onde λ = 2π/|~k| e h̄ = h/2π é a constante de Planck.
No caso de fenômenos ópticos nós usamos a relação (4) para definir
o momento do fóton, a qual representa uma part́ıcula de massa de
repouso nula e a qual se move com a velocidade da luz, para part́ıculas
materiais esta mesma relação dá o comprimento de onda
λ =
h
p
no caso de part́ıculas com massa de repouso diferente de zero e pequenas
velocidades temos p = mv, e para part́ıculas relativ́ısticas p = mvγ,
logo
λ =
h
mvγ
Exercicios
1) Qual é o comprimento de onda de De-Broglie de uma part́ıcula
que tem um momento de 1 keV/c
74 CAPÍTULO 5. FÍSICA QUÂNTICA
λ =
h
p
=
hc
pc
=
1240eV.nm
103eV
= 1, 24 nm
2) Calcule o comprimento de onda de uma bola de futebol de 0, 8
kg e de uma velocidade de 10m/s
p = mv = (0.8 kg)(10 m/s) = 8 kg.m/s
λ =
h
p
=
6, 6.10−34J.s
8 kg.m/s
= 8, 25.10−35 m
3) Estime o comprimento de onda de De-Broglie de uma bola de
futebol que tem uma velocidade de uma distância atômica por mil anos
v =
d
t
=
10−10 m
1033.107s
= 3.10−21 m/s
então o comprimento de onda é
λ =
h
p(= mv)
=
6, 6.1034 J.s
2, 4.10−21 kg.m/s
= 2, 75.10−12 m
4) Sabemos que a velocidade do elétron no estado fundamental (livre
de qualquer perturbação) do átomo de hidrogênio é v = α c = c/137,
calcule o comprimento de onda.
p = mvγ = α mc
λ =
h
p
=
hc
pc
=
hc
α mc2
=
1240 eV.nm
( 1
137
)(5.105 eV )
= 0, 33 nm
então temos que o comprimento de onda do elétron dentro do átomo
de hidrogênio é aproximadamente igual ao tamanho do átomo.
5) Elétrons de energia cinética K = 200 MeV são espalhados por
um alvo, cujos núcleos possuem uma distribuição de carga de raio R,
produzindo uma figura de difração onde a separação média entre os
mı́nimos é de θ ' 300, avalie R.
5.5. FUNÇÃO DE ONDA 75
5.5 Função de Onda
A mecânica quântica é totalmente diferente da mecânica clássica, por
exemplo se conhecêssemos todas as forçãs que atuam sobre uma bola de
futebol poderiamos calcular precisamente seu percurso quando voasse
pelo ar. Na mecânica quântica nada de parecido é posśıvel, em qualquer
momento haverá certa probabilidade do elétron no átomo estar em certo
lugar como também certa probabilidade de estar em outro.
Na mecânica quântica os elétrons deixam de ter órbitas. Em vez de
isso formam nuvems de probabilidade de diferentes tamanhos e formas,
estas configurações são conhecidas como estados quânticos. Quando
ocorre um salto quântico, o elétron não passa de uma órbita para outra,
o que faz é uma transição entre dois estados diferentes. Como estados
diferentes estão associados a energias diferentes, os saltos quânticos
ainda produzem a emissão ou absorção de luz. A função de onda de
Shcrödinger associa com cada ponto no espaço tempo dois números, a
amplitude e a fase. De forma geral a fase da onda corresponde a posição
no ciclo com respeito a um ponto arbitrário de referência. Em outras
palavras é a medida de quão longe está da crista ou da depressão. A
fase é geralmente expressa através de um ângulo. Em contraste com a
amplitude que está relacionada com a probabilidade, a fase no pode ser
observada, somente diferenças de fase são observables, apresentemos a
seguinte formulação para a função de onda:
• Nós devemos substituir o conceito clássico de trajetoria pelo con-
ceito de estado que varia com o tempo, isto é o estado quântico de
uma part́ıcula, por exemplo o elétron é caraterizado pela funçãode
onda ψ(r, t), que contém toda a informação posśıvel sobre a part́ıcula
• ψ(r, t) é interpretado como a amplitude de probabilidade da existência
da part́ıcula e
dP(r, t) = C |ψ(r, t)|2 d3 r
é interpretado como a probabilidade infinitesimal da part́ıcula estar no
tempo t e no elemento de volume d3r, |ψ(r, t)|2 é a correspondente
densidade de probabilidade e C é a constante de normalização, que tem
como efeito fixar a amplitude, visto que a linearidade da equação de
Schrödinger permite que uma função de onda seja multiplicada por uma
76 CAPÍTULO 5. FÍSICA QUÂNTICA
constante de valor arbitrário e ainda assim continue sendo uma solução
da equação.
5.6 Dualidade Onda-Part́ıcula
Agora vejamos a parte mais intrigante da dualidade onda-part́ıcula. Ve-
jamos a distribuição da intensidade condicionada pelos fótons os quais
atravssam as fendas A e B. Fechando a fenda B, nós obtemos a dis-
tribuição da intensidade que corresponde a fenda A. Para registrar os
fótons separadamente, quando eles batem no anteparo, póde-se usar
o contador de Geiger. A mesma figura se obtém, somente um pouco
deslocada, se fecharmos somente a fenda A.
Agora quando ambas fendas são abertas, a distribuicão da intensi-
dade não será a soma das intensidades de ambas fendas em separado,
porém é obtida a figura da interferência de Young de dois fendas. Desta
forma chegamos a um paradoxo, a luz possue propriedades tanto de
onda como de part́ıcula (efeito fotoeletrico, Compton).
Em 1927, por causa da observação de propriedades ondulatórias
dos elétrons (difração de elétrons no cristal), este paradoxo chegou a
ser mais significativo.
5.6. DUALIDADE ONDA-PARTÍCULA 77
Cada elétron isolado deverá atravessar uma das fendas, consequen-
temente a distribuição dos elétrons no anteparo deverá ser a soma das
distribuições para cada fenda em separado, porém no lugar disto nós
observamos a figura de interferência de Young para dois fendas.
Agora vejamos a figura seguinte e suponhamos que quando a fenda
A está fechada 100 elétrons por segundo atravessam a fenda B, e quando
B está fechada 100 elétrons por segundo atravessam a fenda A
Supondo que detrás do anteparo é colocado um contador de Geiger
e este registra por segundo 100 elétrons, quando é aberta qualquer uma
das fendas. Logo no ponto p1 parece que 100 + 100 é igual a zero,
isto é quando ambas fendas estão abertas ao mesmo tempo o contador
deixa de registrar os elétrons. Isto significa que no ponto p1 se tem um
mı́nimo de interferência. Se nós abrirmos a fenda A e gradualmente
abrirmos a fenda B, então nós esperamos que a medida que é feita a
abertura da fenda B, a contagem do número de elétrons por segundo
deveria aumentar pouco a pouco de 100 até 200 elétrons por segundo,
no entanto em lugar disto nós observamos que o número de elétrons
diminue de 100 até zero no ponto p1.
De que forma a abertura da fenda B pode influir sobre os elétrons,
que antes da abertura atravessavam a fenda A?. é preciso ainda assi-
nalar que a ideia clássica de que as condições iniciais vão a determinar
78 CAPÍTULO 5. FÍSICA QUÂNTICA
completamente o subsequente movimento da part́ıcula, é destruida.
Agora se nós colocasemos o contador de Geiger no ponto p2, então a
medida que é feita a abertura, a velocidade da contagem irá aumentar
de 100 elétrons até 400 elétrons por segundo, desta forma 100 + 100 =
400.
O formalismo matemâtico com a qual se resolve este paradoxo, co-
loca em correspondência a cada part́ıcula uma amplitude de probabi-
lidade E(x, y, z, t) e a qual representa uma função do espaço tempo.
A probabilidade de localizar a part́ıcula em um momento arbitrário t
e em qualquer ponto (x, y, z) é proporcional à |E(x, y, z, t)|2. O qua-
drado do módulo se usa porque em geral E é uma função complexa.
Formalmente ela possue propriedades das ondas clássicas e por isso são
chamadas de funções de onda.
Se os eventos podem ocorrer de tal forma que eles se excluam mutu-
amente, isto é quando as part́ıculas possam atravessar ou a fenda A ou
a fenda B, então a amplitude de probabilidade deste evento representa
a soma das amplitudes de probabilidade de cada um deles.
E = E1 + E2
onde E1 descreve a onda que atravessa a fenda A e E2 a onda que
atravessa a fenda B. No anteparo ambas funções se cobrem e recebemos
a figura clássica de interferência de duas fendas. Este formalismo coloca
as bases da mecânica ondulatória ou mecânica quântica.
Exercicios
1) Na figura seguinte no ponto P , se encontra o contador de Geiger.
A amplitude de onda que atravessa a fenda A e chega ao ponto P, em
unidades condicionadas é igual à EA = 2 e no caso da fenda B temos
EB = 4. Se somente estiver aberta a fenda A, então no ponto P se
registra por segundo 1000 elétrons.
a) Quantos elétrons se registram por segundo se somente estiver
aberta a fenda B.
b) Se ambas as fendas estiveram abertas e acontecer que a inter-
ferência é construtiva, quantos elétrons por segundo se registrariam?
c) E no caso da interferência destrutiva?
5.7. PRINCÍPIO DE INCERTEZA 79
5.7 Prinćıpio de Incerteza
Heisenberg tomo como ponto de partida o estado quântico de um sis-
tema (elétron, átomo, molécula, etc) e arguiu que para formular a
mecânica do sistema é necessário o ato da observação. Aqui por ob-
servação estamos nos referindo a interação do sistema com a luz. Na
ausência da interação o sistema estaria totalmente isolado del mundo
exterior e então seria totalmente irrelevante. Somente por alguma forma
de interação ou obervação o sistema existiria em um estado definido.
O prinćıpio de incerteza de Heisenberg resulta da realização, que
qualquer ato de observação sobre o sistema quântico irá perturbar-lo,
isto é, negando o conhecimento preciso do sistema ao obervador. Isto
pode ser ilustrado pela análises da observação sobre o espalhamento
de um fóton sobre um elétron num estado atómico. O comprimento de
onda do fóton está relacionado com seu momento pela seguinte equação
λ =
h
p
.
Isto significa que quanto maior é o momento do fóton menor é seu
comprimento de onda e vice-versa, ver figura seguinte
Logo, se nós quiser-mos determinar a posição do elétron tão preciso
quanto posśıvel, nós devemos usar o fóton com o maior momento o
que significa menores comprimentos de onda. No entanto usando o
fóton com momento alto, embora se ganhe uma boa estimativa sobre
a posição do elétron no instante da medida o elétron será perturbado
violentamente pelo momento alto do fóton e desta forma o momento
será muito incerto. Esto é expresso matematicamente pelo produto das
80 CAPÍTULO 5. FÍSICA QUÂNTICA
incertezas de dois parâmetros conjugados que deve ser maior ou igual
a constante de Planck, isto é
∆x ∆p ≥ h .
Colocando agora p = mv, então de ∆p = m∆v, teremos
∆v =
h
m∆x
(8)
onde ∆v depende de h e m. A dizer verdade a relação de incerteza
deverá servir para qualquer massa. Supondo agora que nós tenhamos
um corpo com massa m = 1 gr e suponhamos que a incerteza ∆x não
deve superar 10−4 cm, neste caso
∆v =
6, 67.10−27
10−4
= 6, 67.10−23
ou seja a incerteza da velocidade está longe de poder ser medida. Como
era de se esperar a relação de incerteza para os corpos macroscópicos
practicamente não tem nenhuma importância.
No entanto se a relação de incerteza aplicar-mos para o elétron então
o resultado será diferente. A massa do elétron é igual à 9.10−28 gr, isto
é da mesma ordem de grandeza que h. Neste caso a ordem de grandeza
de ∆v evidentemente depende da precisão da definição da posição, isto
é de ∆x. Supondo por exemplo que se queira estabelecer que um elétron
pertença a um àtomo, neste caso a precisão da posição deverá ser no
mı́nimo ∆x = 10−9 cm, visto que a dimensão do átomo é da ordem de
10−8 cm, logo teremos
∆v =
6, 67.10−27
0, 9.10−27 .10−9
= 7, 3.109 cm/s
De outro lado nós sabemos que a velocidadedo elétron no átomo é
da ordem de 108 cm/s. Então nós vemos que neste caso a incerteza da
velocidade do elétron é maior em quasi duas ordens de grandeza que a
velocidade própia do elétron no átomo. Isto mostra que nos sistemas
microscópicos a relação de incerteza joga um papel decisivo.
Por outro lado é conhecido se a part́ıcula ficar no repouso, então
a incerteza no momento é ∆p = 0. De aqui póde-se pensar que com
5.7. PRINCÍPIO DE INCERTEZA 81
ayuda de um microscópio é posśıvel definir a posição de uma part́ıcula
e ao mesmo tempo violar a relação de incerteza. O microscópio permite
definir a posição da part́ıcula no melhor dos casos, com uma precisão
de comprimento de onda da luz usado por ele, logo ∆x = λ, visto que
∆p = 0 então ∆x ∆p = 0, consequentemente o prinćıpio de incerteza é
violado.
Mais da teoria quântica nós sabemos que a luz é composta de fótons
com momento p = h/λ. Para observar a part́ıcula, o fóton que é
pego pela lente deve espalhar-se ou absorver-se. Consequentemente
será transmitido a part́ıcula um momento que é igual à h/λ. Desta
forma no momento da observação da posição da part́ıcula com uma
precisão ∆x = λ a incerteza no momento é ∆p ≥ h/λ, logo temos
∆x ∆px ≥ λ
h
λ
= h .
Exercicios
1) Estime a energia cinética mı́nima de uma bola de futebol confi-
nada em uma caixa de zapatos de 50 cm
∆x = 0, 5 m m = 0, 8 kg
Então a energia cinética mı́nima é
min=
h2
2m(∆x)2
=
(6, 6.10−34 J.s)2
2(0, 8 kg)(0, 5 m)2
= 6, 6.10−67 J = 6, 6.10−48 eV
2) Estime a energia cinética mı́nima de um elétron confinado pela
força eletromagnêtica a estar dentro do átomo
A incerteza na posição do elétron é aproximadamente igual ao raio
atômico ∆x ' 0, 1 nm e a massa do elétron é m = 0, 5 MeV/c2, logo a
energia cinética meia do elétron é
min=
h2c2
2mc2(∆x)2
=
(1240 eV.nm)2
2(5.105 eV )(0, 1 nm)2
= 1, 24 eV
82 CAPÍTULO 5. FÍSICA QUÂNTICA
Caṕıtulo 6
Equação de Schrödinger para
o Átomo de Hidrogênio
6.1 Equação de Schrödinger em Três Di-
mensões
O universo atualmente está constituido de 75% de Hidrogênio e 24, 999%
de Hélio, todos os demais elementos existem apenas em quantidades re-
lativamente pequenas e o assunto de este caṕıtulo é sobre o átomo de
Hidrogênio. A teoria de Schrödinger do átomo de um elétron é de
grande importância prática, porque fornece os fundamentos para o tra-
tamento quântico dos átomos de muitos electrons como também para
as moléculas e núcleos, é preciso assinalar que o átomo de um elétron
é o sistema ligado mais simples da natureza e sobre o qual trataremos
em seguida.
Consideremos um elétron que se move sobre a ação do potencial
coulombiano
V = V (x, y, z) = − KZe2
√
x2 + y2 + z2
sendo que K = 1
4πε0
= 8, 99.109 newton metro2/coulomb2 é a constante
de força elétrica na lei de Coulomb, que nós colocaremos K = 1, e x, y
e z são coordenadas retangulares do elétron de carga -e.
83
84CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Em relação ao núcleo fixo na origem, a raiz quadrada no denomi-
nador é a distância r que separa o elétron do núcleo. A carga nuclear é
+Ze (Z = 1 para o átomo de higrogênio, Z = 2 para o hélio, etc).
Agora escrevamos a equação de Schrödinger para este sistema tri-
dimensional, para isto escrevamos a expressão clássica para a energia
total do sistema
E =
p2
x + p2
y + p2
z
2m
+ V (x, y, z)
substituindo as grandezas dinâmicas px, py, pz e E pelos operadores di-
ferencias associados ou seja
pxj ↔ −ih̄
∂
∂xj
, j = x, y, z, E ↔ ih̄
∂
∂t
obtemos
− h̄2
2m
(
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
) + V (x, y, z) = ih̄
∂
∂t
Agora operando cada termo na função de onda ψ = ψ(x, y, z, t)
obtemos a equação de Schrödinger em coordenadas cartesianas
− h̄2
2m
[
∂2ψ(x, y, z)
∂x2
+
∂2ψ(x, y, z)
∂y2
+
∂2ψ(x, y, z)
∂z2
]
+V (x, y, z)ψ(x, y, z, t)
= ih̄
∂ψ(x, y, z, t)
∂t
ou também
− h̄2
2m
∇2ψ + V ψ = ih̄
∂ψ
∂t
onde
∇2 =
∂2
∂x2
+
∂2
∂y2
+
∂2
∂z2
é chamado operador Laplaciano. Usando esta equação de onda Schrödin-
ger mostro que a função de onda do elétron pode assumir somente va-
lores discretos de energia e que esta equação que governa a esta função
deonda pode predizer o comportamento do sistema.
6.1. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM TRÊS DIMENSÕES 85
6.1.1 Solução da Equação de Schrödinger para o
Estado s
Procuremos agora a solução para o estado fundamental do átomo de
um elétron caracterizado pelo número quântico l = 0 ou seja o estado
s. Este estado possue simetria esférica e esto implica que a função de
onda ψ somente depende do raio r ou seja para qualquer valor de θ e ϕ a
função de onda é a mesma, logo ψ(r, θ, ϕ)→ ψ(r) e consequentemente
− h̄2
2m
∇2ψ(r, θ, ϕ) + V (r)ψ(r, θ, ϕ) = Eψ(r, θ, ϕ)
1
r2
d
dr
(
r2dψ(r)
dr
)
− 2m
h̄2
(
−Ze
2
r
)
ψ(r) +
2m
h̄2 Eψ(r) = 0
1
r2
d
dr
(
r2dψ
dr
)
+
2m
h̄2 (E +
Ze2
r
)ψ = 0
1
r2
(
2r
dψ
dr
+ r2d
2ψ
dr2
)
+
2m
h̄2
(
E +
Ze2
r
)
ψ = 0
ou
d2ψ
dr2
+
2
r
dψ
dr
+ (λ+
2a
r
)ψ = 0 (1)
onde por simplicidade tomamos K = 1, ainda substituimos λ = E 2m
h̄2
e
a = mZe2
h̄2
. A solução mais simples desta equação é ψ = e−εr, visto que
é finita para r = 0 e é zero para r → ∞. Efetivamente derivando ate
segunda ordem, temos
dψ
dr
= −εe−εr
d2ψ
dr2
= ε2e−εr
86CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
colocando estas expressões em (1), obtemos
ε2e−εr − εe−εr 2
r
+ λe−εr + e−εr
2a
r
= 0
ou
(ε2 + λ) + (−2ε+ 2a)
1
r
= 0
Esta relação deve valer para quaisquer r, por isso os termos que
estão entre parentêsis devem ser iguais a zero, ou seja
ε2 = −λ ε = a
Tomando en conta os valores de λ e a, temos
ε =
mZe2
h̄2 → ε2 =
m2Z2e4
h̄4 = −E 2m
h̄2 → E = −mZ
2e4
2h̄2
Se nós comparamos com a fórmula de Bohr En = −mZ2e4
2n2h̄2
, então
nós vemos que o resultado obtido é para o primeiro ńıvel do átomo de
Hidrogênio ou seja n = 1, logo nosso estado s será caracterizado pelos
números quânticos n = 1 e l = 0.
Colocando Z = 1, nós obtemos a energia para o átomo de hidrogênio
no estado fundamental ou se nós trocamos o sinal nós obteremos a
energia de ionização respectivamente .
I = −E1 =
me4
2h̄2 = 13, 6eV
este valor coincide com o valor experimental. Agora calculemos a pro-
babilidade de encontrar um elétron em um elemento de volume dτ
P (r)dτ = |N |2ψ2dτ = |N |2e−2εrr2senθ dθ dϕ dr
A probabilidade de encontrar um elétron entre r e r+dr do núcleo
em qualquer direção, encontra-se através da integração de (2) sobre os
ângulos
P (r)dr = |N |2r2e−2εrdr
∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
senθdθ = |N |24πr2e−2εrdr
6.1. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM TRÊS DIMENSÕES 87
De aqui dá para ver do exponente que a constante ε tem a dimensão
de diastância−1 = a−1, logo a probabilidade P (r) é zero quando r = 0
e vai assimptoticamte a zero quando r →∞. Encontremos a distância
para a qual a probabilidade têm um máximo, para isto diferenciando a
última expressão em r e colocando o resultado igual a zero, obtemos
4π|N |2(2re−2εr − 2εr2e−2εr) = 0
(r − r2ε) = 0→ r =
1
ε
=
1
a
=
h̄2
me2
(2)
onde nós denotamos a distância 1
ε
= r = a1 = h̄2
me2
, e ele depende de
constantes universais e, m e h̄ e é chamado de raio de Bohr.
Temos que tomar em conta que o estado 1s tem simetria esférica
de tal forma que a distribuição de probabilidade deve representar uma
nuve esférica.
Densidade de Probabilidade
Calculemos agora o fator de normalização, para isto vamos norma-
lizar a um nossa função de probabilidade
1 = |N |2
∫
ψ∗ψdτ = |N |2
∫ ∞
0
e−2r/a1r2dr
∫ π
0
senθ dθ
∫ 2π
0
dϕ
= |N |24π
∫ ∞
0
r2e−2r/a1dr
Usando a integral
In =
∫ ∞
0
rne−δrdr =
n!
δn+1
onde δ = 2/a1 e considerando que nossa integral é de segunda ordem,
temos que
I2 =
∫ ∞
0
r2e−2r/a1dr =
2
δ3
=
2a3
1
23
=
a3
1
4
Logo
88CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
1 = |N|2πa3
1 → N =
1
π1/2a
3/2
1
Desta forma nossa autofunção fica
ψ =
1
π1/2a
3/2
1
e−r/a1
Esta função nós usaremos para calcular os valores esperados. Cal-
culemos o valor esperado da coordenada
r =
∫
ψ∗rψdτ =
1
πa3
1
∫ 2π
0
dϕ
∫ π
0
senθ dθ
∫ ∞
0
re−2r/a1r2dr
=
4
a3
1
∫ ∞
0
r3e−2r/a1dr
onde
I3 =
∫ ∞
0
r3e−2r/a1dr =
3.2
δ4
=
6a4
1
24
=
3
8
a4
1
então o valor esperado para a coordenada é
r =
4
a3
1
3
8
a4
1 =
3
2
a1
Calculemos agora o valor esperado da energia potencial
U = −e2
(
1
r
)
onde (
1
r
)
=
1
πa3
1
4π
∫ ∞
0
e−2r/a1
1
r
r2dr =
4
a3
1
∫ ∞
0
e−2r/a1rdr
e nosso I1
I1 =
∫ ∞
0
e−2r/a1rdr =
1
ε
=
a2
1
22
6.1. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER EM TRÊS DIMENSÕES 89
cosequentemente nossa expressão
(
1
r
)
fica
(
1
r
) =
4
a3
1
a2
1
4
=
1
a1
Logo o valor esperado da energia potencial é
U = −e
2
a1
Desta forma U é mesmo a energia potencial do elétron na distância
a1, considerando o valor de a1 nós encontramos
U1s = −e2me
2
h̄2 = −me
4
h̄2
logo encontramos que o valor esperado da energia potencial é duas
vezes a energia total (U1s = 2E1), agora o valor esperado para a energia
cinética nós obtemos de T + U = E
T = −me
4
2h̄2 +
me4
h̄2 = +
me4
2h̄2 (2, 1)
que é igual a energia total com sinal trocado.
Exercicios
• Prove que a densidade de probabilidade ψ∗(x, t)ψ(x, t) é necessa-
riamente real, positiva ou nula.
Qualquer função complexa ψ(x, t) pode ser escrita como
ψ(x, t) = R(x, t) + iI(x, t)
onde R(x, t) e I(x, t) são funções reais.
O complexo conjugado de ψ(x, t) é definido como
ψ∗(x, t) = R(x, t)− iI(x, t)
Multiplicando as duas, obtemos
ψ∗ψ = (R− iI)(R + iI) = R2 − i2I2 = R2 + I2
90CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Portanto a densidade de probabilidade é igual a soma de dois qua-
drados de duas funções reais, de aqui ψ∗(x, t)ψ(x, t) deve ser real posi-
tiva ou nula.
• Se
ψ = ei(kr−wt) + ei(kr+wt)
calcule a densidade de probabilidade ψ∗ψ
• Verifique que a equação de Schrödinger é linear em relação a
função de onda ψ(x, t), isto é péde-se mostrar que se ψ1(x, t) e ψ2(x, t),
são duas soluções da equação de Schrödinger para um dado V (x, t)
particular, então
ψ(x, t) = c1ψ1(x, t) + c2ψ2(x, t)
também é uma solução para a mesma equação.
Escrevendo a equação de Schrödinger na forma seguinte
− h̄2
2m
∂2ψ
∂x2
+ V ψ − ih̄∂ψ
∂t
= 0
e substituindo na condição de linearidade, teremos
c1
[
− h̄2
2m
∂2ψ1
∂x2
+ V ψ1 − ih̄
∂ψ1
∂t
]
+ c2
[
− h̄2
2m
∂2ψ2
∂x2
+ V ψ2 − ih̄
∂ψ2
∂t
]
= 0
visto que c1 e c2 são arbitrários, então cada corchete é zero e conse-
quentemente ψ1 e ψ2 são soluções desta equação para o mesmo V.
•Mostre que a probabilidade do elétron encontrar-se tanto em r = 0
como em r →∞ é P (r) = 0
6.2 Momento Magnêtico Orbital
Introduzamos a energia de interação magnêtica, como sendo
W = −~µ ~B (1)
6.2. MOMENTO MAGNÊTICO ORBITAL 91
onde ~µ é o momento magnêtico de dipolo e que está relacionada com
a circulação de cargas ao redor do núcleo e B é o campo magnêtico
aplicado. O vector do momento magnêtico parametriza a estrutura
magnêtica do àtomo e o campo magnêtico externo actua identificando
esta estrutura. Nós tomamos B como constante no espaço e tempo
e observamos da equação (1) que a energia é mı́nima quando µ está
alinhada a B. Visto que o momento magnêtico do àtomo está direc-
tamente relacionado com o momento angular então nós estudaremos
a relação entre estas duas quantidades para o caso de àtomos de um
elétron.
A magnitude do momento magnêtico é igual ao produto da corrente
eletrônica eν vezes a àrea percorrida πr2, logo
µ = πr2eν
Classicamente o momento orbital do elétron é igual à
L = mvr = 2πr2mν
onde v = 2πνr. Logo de estas duas relações vemos que µ e L contêm o
fator cinemâtico r2ν e que a relação entre ambas magnitudes depende
somente de constantes fundamentais, ou seja
µ
L
=
e
2m
ou na representação vetorial
~µ = − e
2m
~L
onde nós consideramos que os vetores ~µ e ~L tem direções opostas para
uma part́ıcula negativa orbitando ao redor do núcleo, ainda é preciso
assinalar que este resultado é válido tanto para órbitas circulares como
para eĺıpticas. Ver figura seguinte
A proporcionalidade entre ~µ e ~L é uma propriedade geral de uma
distribuição de cargas rodando. O momento magnêtico e o momento
angular de um corpo arbitrârio rodando com massa M e carga Q sempre
satisfazem a relação
92CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
~µ = g
Q
2M
~L
onde g é chamado de fator-g orbital, que depende da distribuição que
circula e que para o elétron é igual a um
Escolhendo a componente z do momento angular e tomando Lz = h̄,
então teremos
µB =
eh̄
2m
onde µB é conhecido como o magnetón de Bohr
• Exemplo.- Calcule o valor numérico do magnetón de Bohr.
µB =
eh̄
2m
=
(1, 602.10−19C)(1, 055.10−34J.s)
2(9, 11.10−31Kg)
= 9, 27.10−24C.kg.m.
m
s2
.s
Kg
= 9, 27.10−24C
s
m2
µB = 9, 27.10−24A.m2
6.3 A Experiência de Stern-Gerlach e o
Spin do Elétron
De acordo com o modelo de Bohr devia existir somente uma linha es-
pectral para o átomo de hidrogênio no estado s, mais apareciam duas
linhas quase juntas então os f́ısicos Sam Goudsmit and George Uhlen-
beck propuseram que o elétron girava sobre seu própio eixo enquanto
ele orbita ao redor do núcleo (da mesma forma que a terra gira ao redor
do eixo norte-sul enaquanto ela orbita ao redor do sol).
A separação das linhas espectrais é explicado pela existência de
efeitos magnéticos dentro do átomo. O elétron orbita ao redor do núcleo
e forma uma corrente circular, que a sua vez gera um campo magnético.
O giro (spin) do elétron ao redor de seu própio eixo forma uma corrente
circular ainda menor e esta corrente gera outro campo magnético, este
momento magnético do elétron pode somar ou substrair do momento
magnético principal do átomo, dependendo da forma que o elétron gira.
6.3. A EXPERIÊNCIA DE STERN-GERLACH E O SPIN DO ELÉTRON93
Isto levará à pequenas diferenças de energia para a órbita eletrônica e
resultará na separação das linhas espectrais associadas com a órbita de
Bohr.
Agora vamos mostrar a existência do spin do elétron através do
experimento de Stern-Gerlach. Para isto vamos usar àtomos de um
elétron, cuyos estados não excitados são do tipo s ou seja l = 0. Quando
o experimento mostre que o àtomo possue um momento mecânico e
magnêtico, então nós devemos atribuir estas propriedades ao elétron de
valência
A figura mostra a trajetória do àtomo de um elétron emitido de um
forno de alta temperatura, os àtomos que estão no forno atravessam
a abertura do forno em linha reta; a fenda colimada F seleciona tais
àtomos cuyas velocidades são paralelas a direção escolhida (eixo 0y),
depóis estes àtomos são desviados pelo gradiente do campo magnêtico
criado pelo eletromagneto e concentrados sobre N da placa P.
Agora o campo magnêtico não pode ser homogêneo (constante),
caso fosse homogêneo a ação deste campo sobre um dipolo magnêtico,
(pois uma corrente circular possue um momento magnêtico, por isso,
o mesmo se comporta como um dipolo magnêtico na presença de um
campo magnêtico), atuará sobre este com um par de forças iguais e em
sentido contrário.
94CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
Agora quando atua um campo não homogêneo então ele atuará com
diferentes intensidades sobre os polos e fará com que um deles se desvie.
Calculemos esta força, para isto introduzamos a energia de interação
magnêtica,
W = −~µ ~B
onde ~µ é o momento magnêtico de dipolo e B é o campo magnêtico
aplicado. Logo a força exercida sobre o àtomo é
F = −∇W = +∇(~µ ~B) = µx
∂Bx
∂x
+ µy
∂By
∂y
+ µz
∂Bz
∂z
Devido a que o àtomo pode ser representado por um pião, (o elétron
gira ao redor do núcleo e ao redor de simesmo, logo é um pião), então
aparecem precessões na direção do campo, pois o campo está na direção
z, logo nós assumimos relacionada a esta precessão, que as proyeções de
µ com respeito aos eixos x e y tomam alternadamente valores positivos
e negativos e são na média igual a zero. A proyeção sobre o eixo z é
constante e o valor médio da força que atua sobre o dipolo é
F = µz
∂Bz
∂z
A componente z do momento magnêtico é proporcional ao momento
mecânico o qual somente admite um número limitado de valores discre-
tos. Cosequentemente a linha espectral se divide pela ação do campo
magnêtico em tantas linhas espectrais individuais quanto o valor de Lz
forneçer.
O experimento mostrou que no caso do àtomo de hidrogênio, litio,
prata e metais alcalinos apareçem duas faixas simétricas. Isto mostra
que a linha se divide em duas partes pela ação do campo magnêtico,
que tem a mesma intensidade e estão em sentidos opostos.
Para poder comprender o conteúdo deste resultado é necessário lem-
brar que o estado de energia mais baixo dos àtomos de hidrogênio, litio
e prata é o estado s.
A divisão observada está condicionada ao fato que além do momento
angular que é caracterizado através do número quântico l, o elétron
possue ainda um momento própio (intŕınseco), é dizer o momento de
spin. O fato que para l = 0 se possam obter duas faixas e não três
6.3. A EXPERIÊNCIA DE STERN-GERLACH E O SPIN DO ELÉTRON95
ou mais prova diretamente que a proyeção do spin sobre a direção do
campo somente admite dois valores
Logo para caraterizar este momento angular nós introduzimos um
novo número quântico denominado spin s. O momento angular se cal-
cula através das leis da mecânica quântica, isto é
S = h̄
√
s(s+ 1)
as proyeções sobre o eixo z pode tomar 2s + 1 valores diferentes em
unidades de h̄, ou seja Sz = msh̄
Agora nós devemos explicar com ayuda desse número quântico, por-
que cada ńıvel se divide em dois subńıveis, logo de aqui, nós nos vemos
obrigados a atribuir o valor 1
2
para o número quântico de spin, porque
somente neste caso o número de divisões 2s + 1 fornecerá o valor 2,
realmente
2s+ 1 = 2(1/2) + 1 = 2
Logo temos que o valor do momento de spin é igual à S = h̄
√
3
4
e a
proyeção sobre um eixo somente pode admitir dois valores + h̄
2
e − h̄
2
de
aqui ms = +1
2
,−1
2
.
No caṕıtulo anterior nós vimos que entre o momento magnêtico e o
momento angular existe a relação
µ =
e
2m
Lz
96CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
onde nós tomamos a componente z do momento angular e colocamos
Lz = 1h̄, logo obtivemos o magneton de Bohr, ou seja
µ =
eh̄
2m
= µB
Supondo que a mesma relação serva para o spin, então o momento
magnêtico seria igual a metade do magneton de Bohr, visto que Sz = 1
2
,
logo para sanar isto coloquemos o momento magnêtico de spin igual à
µs = 2
e
2m
Sz
e de aqui vemos que o fator orbital g, agora chamado de fator g de spin
é igual a 2 (g = 2) e consequentemente
µs = g
e
2m
Sz
6.4 Teoria da Tabela Periódica
Esta teoria se baseia nos dois seguintes prinćıpios
• Números Quânticos .- O estado energêtico de um elétron no
átomo é caracterizado por quatro números quânticos n, l, ml, ms.
• Prinćıpio de Pauli .- Em um átomo somente pode existir um
elétron em um estado descrito pelos quatro números quânticos, isto
é, dois elétrons que estão ligados em um átomo podem no mı́nimo
diferenciar-se através de um número quântico.
O número total de elétrons que um átomo possue póde-se calcular
da seguinte forma : para um dado valor de n os elétrons podem-se
diferenciar através do número quântico l, que pode tomar n valores
0, 1, ..(n−1), agora quando se fixa o n e l no átomo podem encontrar-se
2(2l+1) elétrons, isto é quando l = 0, o átomo pode ter dois s-elétrons,
quando l = 1, o átomo pode ter seis p elétrons e assim adiante, logo o
número total de elétrons no átomo com um mesmo n pode ser expresso
através da soma
n−1∑
l=0
2(2l + 1) = 2(1 + 3 + 5 + ....) = 2n2
6.4. TEORIA DA TABELA PERIÓDICA 97
Na seguinte tabela são dados os números máximos de elétrons que
cada ńıvel possue
n l= s(0) p(1) d(2) f(3) g(4) elétrons
1 2 2
2 2 +6 8
3 2 +6 +10 18
4 2 +6 +10 +14 32
5 2 +6 +10 +14 +18 50
O número total de elétrons com um mesmo número quântico princi-
pal forma uma camada, para diferentes valores de n as camadas podem
ser designadas através das letras
n 1 2 3 4 5
capa K L M N O
Nós veremos que para construir a tabela periódica real algumas
etapas serão violadas e isto devido a que nós consideramos que cada
elétron está se movendo em um potencial central e que a interação entre
eles é nula.
Primeiro vem o átomo de hidrogênio com o elétron estando no estado
1s, isto é n = 1 e l = 0, depóis o hélio com seus dois elétrons ligados no
estado 1s de acordo com o prinćıpio de Pauli, logo vem o átomo de ĺıtio
cujo terceiro elétron não pode encontrar-se mais no estado 1s, visto
que a camada K(n = 1) já foi completada, o próximo estado energêtico
posśıvel é o estado 2s (n = 2, l = 0), o elétron de valência do ĺıtio
certamente estará ligado a este estado.
O quarto elétron do berilio estará também ligado ao estado 2s, o
quinto elétron do boro não pode ocupar o estado 2s, visto que a sub-
camada já foi prenchida (n = 2, l = 0), o quinto elétron deve ocupar
então um estado com um l mais alto ou seja n = 2, l = 1, por isso ele
ocupará o estado 2p. Os outros elétrons até o décimo (neon) ocuparão o
mesmo estado, visto que a subcamada n = 2, l = 1 possue seis lugares,
98CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
logo teremos para o neon a configuração 1s2 2s2 2p6 onde os exponentes
indicam os números dos elétrons, ver tabela
2p ↑
2s ↑ ↑↓ ↑↓
1s ↑ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
átomo H He Li Be B
Visto que o décimo elétron do neon fecha a camada L, o décimo
primeiro elétron do sódio ocupará o estado (n = 3, l = 0) e assim
continuará até o argonio (Z = 18) na qual a subcamada 3p será fechada.
O décimo nono elétron do potássio (19K) deve ocupar o estado 3d de
acordo com o esquema ideal, mais visto que o estado 3d está mais baixo
que o estado 4s (ou seja ao estado 3d le corresponde uma maior energia
que o estado 4s), então o décimo nono elétron deve incorporar-se ao
estado 4s, visto que os elétrons vão a prencher as camadas ocupando
as de menor energia ate as de maior energia. O vigésimo elétron do
cálcio igualmente ocupará o estado 4s. Só com o escándio (21Sc) será
retomada a ocupação normal da subcamada 3d.
Uma interrupção análoga da ocupação normal acontecerá com o
rubidio (37Rb), seu trigésimo sétimo elétron ocupará não o estado 4d,
mais o estado 5s. O trigésimo oitavo elétron do strónio (38Sr) ocupará
também o estado 5s, mais do elemento itrium (39Y ) até o paládio (46Pd)
a capa 4d será ocupada.
Esta interrupção também aconteçe nas terras raras. Com o quintu-
plo oitavo elétron do cério (58Ce) começará a prencher-se a subcamada
4f que vai até o lutério (71Lu). E no último grupo depóis do actinio
(89Ac) está o segundo grupo de terras raras que começa com o tório
(90Th).eletromotriz são produzidas na espira
~∇X ~E = −∂
~B
∂t
−→
∮
Γ
~E.d~s = −∂ΦB
∂t
onde E é o campo elétrico induzido em uma curva fechada pela variação
do fluxo magnético ΦB envolvido pela curva, o oposto também é válido
ou seja um fluxo elétrico variável pode induzir um campo magnético∮
Γ
~B.d~s = µ0ε0
∂ΦE
∂t
Como exemplo deste tipo de indução consideremos o carregamento
de um capacitor de placas paralelas com placas circulares através de
uma corrente constante i. O campo magnético ~B é induzido ao longo
da curva, este campo magnético tem o mesmo módulo em todos os
pontos da circunferência.
1.4 Corrente de deslocamento
Vejamos a seguinte equação∮
Γ
~B.d~s = µ0ε0
∂ΦE
∂t
+ µ0ienv
1.4. CORRENTE DE DESLOCAMENTO 7
onde ienv é a corrente envolvida pela curva. Comparando os dois ter-
mos da seguinte equação vemos que o produto ε0∂ΦE/∂t tem dimensões
de corrente elétrica. Esta corrente é denominada corrente de desloca-
mento, então
id = ε0
∂ΦE
∂t
= ε0
∂(EA)
∂t
= ε0A
∂E
∂t
,
então a corrente de deslocamento para o caso de um capacitor que esta
sendo carregado, está associada a variação do campo ~E e a corrente
real i de carregamento do capacitor é igual a corrente de deslocamento.
Exercicios
1) Uma espira está inmersa em um campo magnético e a intensi-
dade do fluxo magnético que a atravessa é igual a 2.10−6 Wb. Em um
intervalo de 5s a intensidade do campo magnético é reduzida a zero.
Determine o valor da fem induzida na espira nesse intervalo de tempo.
Solução: Substituindo os dados na fórmula da fem, teremos
ε = −Φ(final)− Φ(inicial)
∆t
= −0− 2.10−6
5
= 4.10−7V
2) Deduza a equação de onda eletromagnética para o campo magnético
no vácuo.
Tomando o rot da equação (4) temos:
rot(rot ~B) =
1
c2
rot(
∂ ~E
∂t
)
Sabendo que:
rot(rot ~B) = −div(grad ~B) + grad(div ~B)
e que div(grad ~B) = ∇2 ~B é o operador Laplaciano aplicado em ~B,
temos
−∇2 ~B + grad(div ~B) =
1
c2
rot(
∂ ~E
∂t
) =
1
c2
∂
∂ t
rot ~E
Substituindo as equações (2) e (3) nesta última equação, temos
8 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DE MAXWELL
∇2 ~B − 1
c2
∂2B
∂t2
= 0
O que se pode concluir é que o campo magnético e elétrico podem
se propagar como ondas no espaço. Os campos são as componentes da
onda.
3) Verique o valor numérico da velocidade escalar da luz usando as
relações µ0 = 1.25663706× 10−6 N/A2 e ε0 = 8.85418781× 10−6 F/m,
logo
c =
1
√
µ0ε0
= 2.997× 108m/s
Caṕıtulo 2
Ondas Eletromagnêticas
2.1 Geração de uma Onda Eletromagnêtica
Uma onda de luz tem três caracteŕısticas:
• A frequência que é o número de vibrações por segundo.
• A velocidade c.
• A direção de propagação.
Um feixe de luz é uma configuração de campos elétricos e magnéticos
que se propagam. A seguinte figura mostra o espectro completo das
ondas eletromagnéticas
Vamos ver agora como se gera uma onda eletromagnética, para esto
vamos nos restringir à região do espectro λ = 1 m (ondas de radio). A
seguinte figura mostra o esboço de um gerador de tais ondas. No seu
interior se têm um oscilador LC que estabelece uma frequência angular
9
10 CAPÍTULO 2. ONDAS ELETROMAGNÊTICAS
ω = 1√
LC
.
As cargas e correntes neste circuito variam senoidalmente com esta
frequência. Uma fonte de energia fornece a energia necessária para
compensar não só as perdas térmicas, mas também a energia que escapa
para o exterior transportada pela onda eletromagnêtica irradiada.
O oscilador LC está acoplado por meio de um transformador e de
uma linha de transmisão a uma antena, que consiste em dois condutores
retiĺıneos dispostos como se vê na figura. Através desse acoplamento, a
corrente, que varia senoidalmente no oscilador, provoca uma oscilação
senoidal das cargas com a frequência angular ω do oscilador LC, ao
longo desses condutores. A antena equivale a um dipolo elétrico cuyo
momento de dipolo elétrico varia senoidalmente em módulo e sentido
ao longo do eixo da antena.
Uma vez que o momento de dipolo varia, o campo elétrico criado
por ele varia em módulo, direção e sentido. E uma vez que as correntes
variam, o campo magnético criado por elas varia em módulo, direção
e sentido. Entretanto, as variações dos campos elétrico e magnético
não aparecem instantaneamente em toda parte; mais exatamente, as
variações se propagam para fora da antena com a velocidade escalar
da luz c. A composição dos campos variantes forma uma onda ele-
tromagnética que se afasta da antena com a velocidade escalar c. A
frequência angular dessa onda é ω, estabelecida pelo oscilador LC que
originou toda esta cadeia de eventos.
2.2 Onda Eletromagnética Progressiva
Consideremos agora um observador parado num determinado ponto P,
bastante distante da antena, de modo que as frentes de onda passando
2.2. ONDA ELETROMAGNÉTICA PROGRESSIVA 11
por ele sejam essencialmente planas, ver figura seguinte.
Observamos da figura que ~E e ~B são perpendiculares à direção de
propagação da onda, isto significa que a onda eletromagnética é uma
onda transversal, notamos também que ~E e ~B são perpendiculares entre
si e que estão em fase, isto é, as dois componentes da onda alcançam
seus valores máximos e mı́nimos ao mesmo tempo. Então o observador
poderia quantificar o campo elétrico e magnético na forma
E = Emsen(kx− ωt)
B = Bmsen(kx− ωt),
onde x é a distância (medida a partir de qualquer origem conveniente)
ao longo da direção de propagação da onda, a velocidade escalar da
onda é c que é igual à c = ω/k e Em, Bm são as amplitudes (valores
máximos) dos campos elétrico e magnético.
As duas componentes de onda o elétrico e o magnético alimentan-
se mutuamente, a variação espacial de uma esta associada a variação
temporal da outra. Vamos escrever essas equações para uma onda
eletromagnética propagando-se no vacuo ou seja quando (q = 0, e i =
0), então ∮
~E.d~s = −∂ΦB
∂t
e ∮
Γ
~B.d~s = µ0ε0
∂ΦE
∂t
.
Dá para mostrar que a equação Em
Bm
= c onde c = 1√
µ0ε0
é a veloci-
dade da luz, resultam das equações de Maxwell. Dividamos nossa prova
12 CAPÍTULO 2. ONDAS ELETROMAGNÊTICAS
em duas partes lidando tanto com o campo elétrico induzido como com
o campo magnético induzido. Vejamos primeiro o campo elétrico indu-
zido, para esto olhemos o retângulo por onde a onda passa e apliquemos
a lei de indução de Faraday∮
~E.d~s = −∂ΦB
∂t
,
onde percorrendo o peŕımetro do retângulo no sentido anti-horário
vemos que não há contribuição ao valor da integral, nos lados superior
e inferior do retângulo, devido a que ~E e d~s são perpendiculares entre
si, ainda mais temos∮
~E.d~s = (E + dE)h− Eh = hdE
.
O fluxo ΦB através do retângulo é igual a
ΦB = (B)(hdx),
ondeB é o módulo de ~B dentro do retângulo e hdx é a área do retângulo.
Derivando esta última equação em relação a t temos
dΦB
dt
= hdx
dB
dt
.
Agora aplicando a lei de Faraday, obtemos
hdE = −hdxdB
dt
ou
2.3. TRANSPORTE DE ENERGIA E O VETOR DE POYNTING13
dE
dx
= −dB
dt
Mas as derivadas são parciais devido ao fato que tanto E quanto B
são funções de duas variáveis x e t, então
∂E
∂x
= −∂B
∂t
.
O sinal menos nesta equação é apropiado e necessário porque no
retângulo, embora E cresça com x, B diminui com t
∂E
∂x
= −kEm cos(kx− ωt)
e
∂B
∂t
= −ωBm cos(kx− ωt).
Então a equação (1) se reduz a
kEm cos(kx− ωt) = ωBm cos(kx− ωt)
Nós sabemos que ω/k = c, então
Em
Bm
= c
Exercicio Mostre a última equação para o caso do campo magnético
induzido.
2.3 Transporte de Energia e o Vetor de
Poynting
A taxa de energia transportada por unidade de tempo é descrita por um
vetor ~S chamado de vetor de Poynting em homenagem a J. H. Poynting
(1852− 1914), o vetor ~S é definido pela relação
~S =
1
µ0
~EX ~B .
14 CAPÍTULO 2. ONDAS ELETROMAGNÊTICAS
A unidade no SI é wats
metro2
(w/m2). A direção e o sentido de ~S em
qualquer ponto coincidem com a direção e o sentido do transportede
energia naquele ponto.
Devido ao fato de ~E e ~B serem perpendiculares entre si na onda
eletromagnética progressiva, o módulo de ~EX ~B vale EB, portanto, o
módulo de ~S é
S =
1
µ0
EB
onde S, E e B são valores instantáneos. E e B são tão estreitamente
ligados que basta escolher um deles. Escolhemos E, porque a grande
maioria dos detectores de ondas eletromagnéticas são mais senśıveis ao
componente elétrico que ao componente magnético da onda.
A relação Em/Bm = c é valida também para os valores instantáneos,
esto é
Em
Bm
=
E
B
= c
então teremos para S = 1
cµ0
E2 que é o vetor de Poynting para o caso
especial da onda eletromagnética plana. Na prática o que nos interesa
é a intensidade (fluxo de energia) I da onda plana que é o valor médio
de S, ou seja
I = S =
1
cµ0
E
2
=
1
cµ0
E2
msen
2(kx− wt) .
O valor médio do quadrado da função seno é 1/2, alem disso, Em =√
2Erms onde Erms é o valor eficaz ou médio quadrático do campo
elétrico, então I fica
I = S =
1
cµ0
E2
rms .
2.4 Pressão de Radiação
Vamos agora mostrar que uma onda eletromagnética é portadora de
momento. Calcularemos o momento e a energia absorvidos da onda
por uma part́ıcula carregada livre.
Póde-se ver da figura seguinte que a part́ıcula sofre uma força q ~E
na direção y e é então acelerada pelo campo elétrico. Em qualquer
2.4. PRESSÃO DE RADIAÇÃO 15
instante t, a velocidade na direção y é vy = at = qE
m
t, num instante
depois a carga adquiriu vy = at1 = qE
m
t1, a energia adquirida pela carga
até o instante t1 é
K =
1
2
mv2
y =
1
2
q2E2t21
m
.
Quando a carga estiver em movimento na direção y, sobre ela atua
uma força magnética q~vX ~B que é positiva na direção x (a direção da
propagação da onda). A força magnética em qualquer instante t é
Fx = qvyB =
q2EB
m
t,
o impulso desta força é igual ao momento transferido pela onda para a
part́ıcula
px =
∫ t1
0
Fxdt =
∫ t1
0
q2EB
m
tdt =
1
2
q2EB
m
t21,
se fizermos B = E/c, a expressão fica
px =
1
c
(
1
2
q2E2
m
t21
)
.
Então vemos que o momento adquirido pela carga na direção da
onda é igual à 1/c vezes a energia transportada pela onda
p =
K
c
Uma vez que a intensidade da onda é a energia por unidade de
tempo e por unidade de área, segue que a intensidade dividida por c é
16 CAPÍTULO 2. ONDAS ELETROMAGNÊTICAS
o momento transportado pela onda por unidade de tempo e por unidade
de área.
O momento trasportado por unidade de tempo corresponde a uma
força, e a força por unidade de área é a pressão de radiação Pr
Pr =
I
c
Podemos relacionar a pressão de radiação ao campo eleétrico ou
magnético, mediante
Pr =
I
c
=
E2
m
2µ0c2
=
ErmsBrms
µ0c
2.5 Polarização
Quando a gente fala sobre as ondas do som nós sempre temos em mente
as ondas longitudinais. isto é quando as part́ııculas individuias do ar
moven-se para frente e para trás na direção da propagação da onda.
Agora quando tratamos de ondas tranversais, tais como as ondas numa
supeŕıcie de água, ondas da luz, neste caso a part́ıcula vibra em ângulo
reto a direção de progação da onda.
O comportamento da onda aqui envolvida é a polarização. Este
comportamento não pode ser explicado pela teoria corpuscular, pois
se fosse uma part́ıcula ela entraria ou seria refletida da superf́ıcie da
placa de vidro. A onda eletromagnética transversal da figura seguinte é
plano polarizada na direção y, o que significa que as vibrações do vetor
campo elétrico são paralelas a essa direção em todos os pontos ao longo
da onda.
Focalizaremos nossa atenção sobre o campo elétrico, ao qual a maio-
ria dos detectores de radiação eletromagnética são senśıveis. Nas fontes
2.5. POLARIZAÇÃO 17
comuns de luz tais como o sol ou uma lámpada fluorescente, os radi-
adores elementares que são os átomos constituentes da fonte, atuam
independentemente uns dos outros. Por causa disso a luz emitida con-
siste em muitas ondas independentes cuyos planos de vibração se acham
orientados, aleatoriamente, em torno da direção de propagação, como
a siguente figura mostra
tal luz é dita não polarizada. Podemos transformar luz original-
mente não polarizada em luz polarizada, fazendo-a passar por uma
placa polarizadora (polaroide), como mostra a figura anterior. No plano
da placa existe uma diereção de polarização indicada pelas linhas pa-
ralelas. A placa funciona de um modo muito simples.
Os componentes dos vetores elétricos paralelos à direção de pola-
rização (da placa), são transmitidos pela placa polarizadora. Os com-
ponentes perpendiculares à direção de polarização são absorvidos pela
placa, além disso, a intensidade da luz diminue ou seja a intensidade
transmitida é metade da intensidade original.
Na figura seguinte o polarizador está no plano da página e a direção
de propagação aponta para dentro da página. A seta ~E mostra o plano
de vibração de uma onda, escolhida ao acaso, movendo-se na direção
da placa, este vetor pode ser descomposto em dois componentes, Ez =
Esenθ e Ey = Ecosθ, somente Ey será transmitido, Ez será absorvido
pela placa.
18 CAPÍTULO 2. ONDAS ELETROMAGNÊTICAS
Lembrando que a intensidade de uma onda eletromagnética é pro-
porcional ao quadrado da amplitude, então teremos
I = Imcos
2θ
onde Im é o valor máximo da intensidade transmitida e isto acontece
quando θ = 0.
2.6 Exercicios
• 1) Um observador está a 1, 8 m de uma fonte luminosa puntiforme
cuya potência P é de 250 W. Calcule os valores eficazes (ou valores
médios quadráticos) dos campos elétrico e magnético na posição do
observador. Suponha que a fonte irradie uniformemente em todas as
direções.
A taxa na qual a energia da fonte é transportada através da unidade
de área a uma distância r da fonte é P/4πr2, onde 4πr2 é a área de
uma esfera de raio r cujo centro é a fonte , mas essa taxa também é a
intensidade.
I =
P
4πr2
=
1
cµ0
E2
rms → Erms =
√
Pcµ0
4πr2
√√√√(250W )(3.108m/s)(4π.10−7H/m)
(4π)(1, 8m)2
= 48V/m−−− (volt/metro)
o valor eficaz médio do campo magnético é
Brms =
Erms
c
=
48V/m
3.108m/s
= 1, 6.10−7T −−− (tesla)
Observe que Erms(= 48V/m), é apreciável em comparação com os
valores comuns de laboratório, enquanto que Brms = (1, 6.10−3) Gauss
é muito pequeno. Isso ayuda a explicar porque a maioria dos instrumen-
tos usados para deteção e medida de ondas eletromagnéticas respondem
2.6. EXERCICIOS 19
ao componente elétrico da onda. Contudo é um erro dizer que o compo-
nente elétrico de uma onda é mais forte que o componente magnético.
Não se pode comparar grandezas que são medidas em unidades dife-
rentes.
• 2) Uma lámpada de 100 W emite ondas eletromagnéticas esféricas
uniformemente distribuidas em todas as direções. Achar a intensidade,
a pressão de radiação e os campos elétrico e magnético a uma distância
de 3 m da lámpada, admitindo que a radiação eletromagnética seja
portadora de 50 W de potência
A energia se distribue uniformemente sobre a área 4πr2, achando a
intensidade temos
I =
50W
(4π)(3m)2
= 0, 44W/m2
A pressão de radiação é igual à intensidade dividida pela velocidade
da luz
Pr =
I
c
=
0, 44W/m2
3.108m/s
= 1, 47.10−9Pa−−− (pascal)
Esta é uma pressão muito pequena comparada com a pressão at-
mosférica de 105 Pa
O valor máximo do campo magnético é
Pr =
B2
m
2µ0
→ Bm =
√
(2µ0Pr) = (2)(4π.10−7)(1, 47.10−9) = 6, 08.10−8T
O valor máximo do campo elétrico então é
Em = cBm = (3.108m/s)(6, 08.10−8T ) = 18, 2V/m
• 3) O vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética é dado
por ~E(x, t) = E0sen(kx− wt)~j + E0cos(kx− wt)~k, ache:
a) o campo magnético correspondente
b) calcule ~EX ~B e ~E. ~B
20 CAPÍTULO 2. ONDAS ELETROMAGNÊTICAS
• 4) Um astronauta está no espaço a 20 m da nave espacial que a
transporta, conduzindo um gerador de raio laser de 100 kW. A massa
do astronauta incluindo a roupa espacial e o gerador de laseré 95 kg.
Quanto tempo levará ao astronauta para chegar a nave espacial, se
apontar o gerador de laser na direção oposta á da nave e disparar o
raio?
• 5) A intensidade da radiação solar que atinge a atmosfera superior
da terra é de 1, 4kW/m2. a) Supondo que a terra se comporte como
um disco chato perpendicular aos raios solares e que toda a energia
incidente seja absorvida, calcule a força sobre a Terra devida à pressão
de radiação.
b) Compare essa força com a força devida à atração gravitacional
do sol.
• 6) Uma rede de difração tem 105 ranhuras uniformemente espaçadas
ao longo de uma extensão L = 30 mm. A rede é iluminada sobre in-
cidência normal por luz de comprimento de onda 500 nm e 675 nm.
Sobre que ângulos ocorrem os máximos de segunda ordem desses com-
primentos de onda.
• 7) Duas placas polarizadoras têm suas direções de polarização pa-
ralelas de modo que a intensidade Im da luz transmitida é um máximo.
Em que ángulo se deve girar uma das placas a fim de que a intensidade
se reduza a metade?
Fazendo-se
I =
Im
2
, temosque
Im
2
= Imcos
2θ → cos2θ =
1
2
cosθ =
1√
2
→ θ = cos−1(± 1√
2
) = ±450e135
Caṕıtulo 3
Ótica F́ısica
3.1 Interferência e a Experiência de Young
Uma das grandes realizações de Newton (1670) em óptica foi a resolução
da luz branca em suas cores por meio de um prisma, e a análise do
espectro levaram à convição da natureza corposcular da luz. O renas-
cimento da teoria ondulatória da luz é devido a Thomas Young (1860)
quem apresentou o prinćıpio de interferência para explicar as franjas
de cores que Newton e outros tinham observado em camadas finas de
substâncias transparentes. A natureza das ondas são o resultado de
part́ıculas individuais que executam oscilações periódicas sobre as suas
posições de equilibrio. O tempo que uma part́ıcula requer para fazer
uma vibração para frente e para trás cháma-se peŕıodo (T ) e o número
de vibrações por segundo chama-se frequência (ν). Agora a distância
de uma crista da onda para a próxima é chamada comprimento de onda
e designada por λ e k como sendo o número de onda e sendo igual à
k = 2π
λ
.
Para obter a interferência nós devemos preparar um raio de luz
por meios artificiais, pela refração ou reflexão em dois raios e depois
fazer com que eles cheguem juntos. Assim temos que nos pontos ande
as cristas e depressões de ambas se encontrem a elevação e depressão
é duas vezes maior, mas nos pontos onde a crista e a depressão se
encontrem elas se cancelarão, ver figura seguinte.
A luz viśıvel fica numa estreita região do espectro da luz, de 4.10−5
21
22 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
cm (violeta) até 8.10−5 cm (vermelho). Isto significa que a frequência
do violeta é
ν =
c
λ
=
3.1010cm
4.10−5cm.s
=
7, 5.1014
s
isto é 750 trilhoes de vibrações por segundo. A vibração acústica mais
rápida que é ainda audible vibra em torno de 20.000 vezes por segundo.
A assombrosa precisão das medidas na interferência e difração reside
no comprimento de onda (λ) e frequência (ν) da luz.
Vejamos agora dois dipolos elétricos s1 e s2 que oscilam em fase na
direção z com momento de dipolo p = p0cosωt
então o campo elétrico no ponto p é igual
E ′ = E1 + E2 = E1 cos(kr1 − ωt) + E2 cos(kr2 − ωt)
Ambos vetores E1 e E2 tem o mesmo comprimento, isto é E0, então
o ângulo entre estes vetores é igual a diferença de fase dos campos isto
é
ϕ = (kr2 − ωt)− (kr1 − ωt) = k(r2 − r1) .
O vector ~E1 e ~E2 podemos escrever em forma complexa, isto é
3.1. INTERFERÊNCIA E A EXPERIÊNCIA DE YOUNG 23
~Ei = Eie
i(kri−ωt) = Ei ( cos(kri − ωt) + isen(kri − ωt)) .
Então teremos
E ′ = E1e
i(kr1−ωt) + E2e
i(kr2−ωt) =
(
E1e
ikr1 + E2e
ikr2
)
e−iωt .
Quadrando teremos o seguinte
E ′
2
=
(
E1e
ikr1 + E2e
ikr2
) (
E1e
−ikr1 + E2e
−ikr2
)
e−iωt e+iωt ,
E ′
2
= E2
1e
ikr1e−ikr1 + E2
2e
ikr2e−ikr2 + E1E2e
ik(r1−r2) + E2E1e
ik(r2−r1) ,
E ′
2
= E2
1 + E2
2 + E1E2
(
e−iϕ + e+iϕ
)
,
e−iϕ + e+iϕ = cosϕ+ isenϕ+ cosϕ− isenϕ = 2cosϕ
E ′
2
= E2
1 + E2
2 + 2E1E2cosk(r2 − r1) .
Colocando E1 = E2 = E0 e considerando que a intensidade é pro-
porcional ao quadrado do campo, isto é E ′
2
= I, temos
I = 2 I0(1 + cos k(r2 − r1)) .
Considerando agora que a diferença de percurso é r2− r1 = dsenθ e
também que a distância da fenda ao anteparo é muito grande compa-
rado com as dimensões da fenda (aproximação de Fraunhofer), temos
I = 2I0 [1 + cos(kdsenθ)] = 2I0 [1 + cosϕ]
1 + cosϕ = 1 + cos(ϕ/2 + ϕ/2) = 1 + cos2ϕ
2
− sen2ϕ
2
= 1 + cos2ϕ
2
− 1 + cos2ϕ
2
= 2cos2ϕ
2
24 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
Logo teremos que
I = 4I0cos
2ϕ
2
Construindo o gráfico desta função temos que os máximos de inten-
sidade se obtém da condição
k(r2 − r1) = kd senθ = n2π → d senθ = nλ ,
considerando que λ = 2π/k, e os mı́nimos da condição seguinte
d senθ = (n+
1
2
)λ
Isto significa que o máximo de intensidade ocorre quando a crista
de uma onda concide com a crista da outra, isto é quando a diferença
de percurso é igual a um número inteiro de comprimentos de onda,
agora se a diferença de percurso contém um número impar de meios
comprimentos de onda, isto é d senθ = (n + 1/2)λ, então a crista de
uma onda coincide com a depressão da outra, ver figura seguinte. Na
experiência de Young realizada em 1801 foi medido o comprimento da
luz por primeira vez. O valor obtido por Young foi de 570 nm e está
bem próximo do valor usado hoje que é de 555 nm.
3.1. INTERFERÊNCIA E A EXPERIÊNCIA DE YOUNG 25
• Qual é a distância na tela C entre dois máximos adjacentes perto
do centro da figura de interferência?. Dados: λ = 546 nm, d = 0, 12
mm, D = 55 cm.
θ pequeno tal que senθ ' tgθ. Achemos o máximo ym
d senθ = mλ→ d tgθ = mλ→ d
ym
D
= mλ
Agora achemos o máximo ym+1
d senθ = (m+ 1)λ→ d tgθ = (m+ 1)λ→ d
ym+1
D
= (m+ 1)λ
Então a distância entre dois máximos adjacentes é
d
D
(ym+1 − ym) = (m+ 1)λ−mλ→ d
D
∆y = λ
então
∆y =
(546.10−9m)(55.10−2m)
0, 12.10−3m
= 2, 5.10−3m
Isto mostra que a interferência independe de m, isto é o espaçamento
entre as franjas é constante.
• O dispositivo de fenda dupla é iluminado pela luz de uma lâmpada
de vapor de mercúrio, filtrada de forma que somente o atinja a intensa
raia verde (λ = 5460A0). As fendas distam entre si de 0, 10 mm, e o
anteparo onde aparece a figura de interferência encontra-se a 20 cm de
distância. Qual é a possição angular do primeiro mı́nimo? e do décimo
máximo?
Aplicando a fórmula
d senθ = (m+
1
2
)λ
Primeiro mı́nimo m = 0
26 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
senθ =
λ
2d
=
546.10−9m
2(0, 10.10−3m)
= 0, 0027
logo
3.14−−− 1800
0, 0027−−− θ −→ θ ' 0, 160
No décimo máximo (não contando o central) temos m = 10
d senθ = 10λ→ senθ =
(10)(546.10−9m)
0, 10.10−3m
' 546.10−4
logo
3.14−−− 1800
0, 0546−−− θ −→ θ ' 3, 130
• Na figura seguinte no ponto P , se encontra o contador de Geiger.
A amplitude de onda que atravessa a fenda A e chega ao ponto P, em
unidades condicionadas é igual à ψA = 4 e no caso da fenda B temos
ψB = 8. Se somente estiver aberta a fenda A, então no ponto P se
registra por segundo 100 elétrons.
a) Quantos elétrons se registram por segundo se somente estiver
aberta a fenda B.
ψA = 4→ ψ2
A = 16 ψB = 8→ ψ2
B = 64
ψ2
B
ψ2
A
=
64
16
= 4→ ψ2
B = 4ψ2
A = 400
b) Se ambas as fendas estiveram abertas e acontecer que a inter-
ferência é construtiva, quantos elétrons por segundo se registrariam
3.1. INTERFERÊNCIA E A EXPERIÊNCIA DE YOUNG 27
ψ2 = (ψA + ψB)2 = ψ2
A + ψ2
B + 2ψAψB = 16 + 64 + 2.4.8 = 144
ψ2
ψ2
A
=
144
16
= 9→ ψ2 = 9ψ2
A = 900
c) No caso da interferência destrutiva
ψ2 = (ψA − ψB)2 = ψ2
A + ψ2
B − 2ψAψB = 16 + 64− 2.4.8 = 16
ψ2
ψ2
A
=
16
16
= 1→ ψ2 = ψ2
A = 100
• Qual será a distribuição de intensidade num experimento de in-
terferência com dois fendas, se a fenda B deixa passar 4 vezes mais
elétrons que a fenda A
a) No caso da interferência construtiva
ψ2 = (ψA+ ψ2
B)2 = ψ2
A + ψ2
B + 2ψAψB
ψ2
B = 4ψ2
A ψB = 2ψA
ψ2 = ψ2
A + 4ψ2
A + 2ψA.2ψA = 9ψ2
A
b) No caso da interferência destrutiva
ψ2 = (ψA − ψB)2 = ψ2
A + 4ψ2
A − 4ψ2
Aψ
2
A
Correspondentemente
Imax
Imin
= 9
Logo a distribuição de intensidade se descreve através da expressão
28 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
I = IA[5 + 4cos k(rB − rA)]
onde rA e rB é a distância das fendas A e B até o anteparo
• Uma corda vibrante de 12 cm tem nós separados 4 cm. A veloci-
dade da onda é u = 30 m/s. Qual é a frequência de vibração?
O primeiro nó ocorre quando a diferença de percurso é λ/2, logo
λ/2 = 4 cm, então a distância entre os nós é 8 cm, consequentemente
obteremos
ν =
u
λ
=
30 m/s
0, 08 m
= 375 Hz
3.2 Coerência e Interferência em Peĺıculas
Finas
Uma condição fundamental para a existência das franjas de interferência
é que as ondas da luz sejam coherentes, isto é, tenham a mesma frequência
e uma diferença de fase fixa no tempo. Caso as ondas não sejam cohe-
rentes elas passariam de constutiva para destrutiva num intervalo de
nanosegundos o que tornaria imposśıvel a visualização das franjas a
olho nu.
A seguinte figura mostra um filme fino transparente de espesura
uniforme L e ı́ndice de refração n2, iluminado por raios de luz quase
perpendiculares ao filme (θ ' 0), de comprimento de onda λ. A espes-
sura do filme é da mesma ordem de grandeza que o comprimento de
onda λ.
A luz incidente sobre a superf́ıcie é refletida em a e o feixe refratado
chega a superf́ıcie posterior no ponto b, onde ele sofrerá reflexão e
refração. O feixe refletido outra vez sofre reflexão e refração no ponto
c.
Se os raios luminosos r1 e r2 chegam ao olho do observador em
fase eles produzem um máximo de interferência, e a região ac parece
clara, agora se os raios chegam em fase opostas então eles produzem um
mı́nimo e a região ac parecerá oscura. Como θ ' 0 então a diferença
3.2. COERÊNCIA E INTERFERÊNCIA EM PELÍCULAS FINAS29
de percurso é 2L, agora para determinar a diferença de fase temos que
considerar três questões
1) O comprimento de onda quando a luz está atravessando o filme
é λn = λ
n
2) A refração em uma interfaçe nunca muda a fase de uma onda,
mas a reflexão pode ou não mudar a fase dependendo dos ı́ndices de
refração dos lados da interfaçe.
Se n1 n2 não ocorre mudança de fase
3) Como determinar se a interferência é construtiva ou destrutiva,
no caso de n1(n3) n3). Ou seja para que os raios r1 e r2 cheguem em fase
aos olhos do observador é necessário somar λ/2 a condição de máximos
ou seja
2L = (m+
1
2
)λn → 2Ln = (m+
1
2
)λ −−− > max
considerando que λ = nλn. De forma análoga para as ondas que chegam
em fase opostas, temos
2nL = mλ −−− > min
Exercicio Um feixe de luz branca com intensidade constante de
comprimento de onda λ = 430 − 730 nm, incide perpendicularmente
em um filme de agua com n2 = 1, 4 e espesura L = 380 nm. Para
30 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
que comprimento de onda λ a luz refletida pelo filme se apresenta mais
intensa a um observador?
Da fórmula para os máximos temos
2n2L = (m+
1
2
)λ → λ =
2n2L
m+ 1
2
=
1(1, 4)(380)nm
m+ 1
2
=
1064 nm
m+ 1
2
Para m = 0. λ = 2128 nm que está no infravermelho
m = 1, λ = 709 nm que está no espectro viśıvel
m = 2, λ = 425 nm que está no ultravioleta.
Logo a luz mais intensa que se apresenta ao observador é λ = 709
nm
3.3 Difração em Fenda Única, Orif́ıcio Cir-
cular
Vamos considerar uma fenda estreita e supor que as ondas incidentes
são perpendiculares à fenda. Quando as ondas chegam a fenda, todos
os pontos de seu plano tornam-se fontes de ondas secundárias śıncronas
(prinćıpio de Huygens), emitindo novas ondas, chamadas neste caso de
ondas difratadas (desviadas). Podemos então considerar cada uma das
bordas laterais da fenda como uma fonte pontual e a onda que passa
pelo centro da fenda, e que não sofreu nenhuma alteração, como sendo
uma terceira fonte pontual Para obtermos a figura de difração, somamos
a onda lateral à onda intacta, levando em conta que a distância entre
elas é a/2, então para a condição de mı́nimo teremos
a
2
senθ =
λ
2
→ a senθ = λ
dividindo agora em 4 partes teremos
a
4
senθ =
λ
2
→ a senθ = 2λ
em seis partes
a
6
senθ =
λ
2
→ a senθ = 3λ .
3.3. DIFRAÇÃO EM FENDA ÚNICA, ORIFÍCIO CIRCULAR 31
Logo obtemos a condição de mı́nimo
a senθ = mλ→ condição de mı́nimo.
E de forma análoga para condição de máximo
a senθ = (m+
1
2
)λ→ condição de máximo.
A intensidade para um ângulo qualquer θ se obtém como resultado
da soma das contribuições de todas as fontes secunárias. Todas estas
ondas possuem a mesma intensidade mais estão defassadas uma da
outra por φ. Usando o mesmo racioćınio da seção anterior obtemos um
poĺıgono de n lados, O vetor An representa a soma vetorial das n fontes,
Φ é a diferença de fase entre a primeira e a última fonte e é igual à
Φ = ka senθ
A amplitude resultante An póde-se encontrar do triângulo retângulo
sen
Φ
2
=
An/2
R
−→ An = 2R sen
Φ
2
,
considerando pequenos ângulos, ver figura anterior temos que R é igual
sen
Φ
2
=
A0/2
R
→ Φ
2
=
A0
2R
→ R =
A0
Φ
,
logo
An = A0
senφ
2
Φ
2
.
32 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
De aqui obtemos a distribuição de intensidade
I = I0
(
senΦ
2
Φ
2
)2
,
onde Φ = kasenθ. Os mı́nimos se observam quando
Φ/2 = nπ → ka
2
senθ = nπ → 2π
2λ
asenθ = nπ → senθmin = n
λ
a
.
Os máximos se observam quando
Φ
2
= (n+
1
2
)π .
É preciso destacar que o máximo central é mais largo que os máximos
secundários.
• Calcule aproximadamente as intensidades relativas dos máximos
secundários do espectro de difração em fenda única.
Usando a condição de máximo, temos
Φ
2
=
(
n+
1
2
)
π .
Colocando isto na fórmula da intensidade
I = I0
(
sen(n+ 1/2)π
(n+ 1/2)π
)2
.
Usando a fórmula trigonométrica
sen(α± β) = senα cosβ ± cosα senβ ,
obtemos
I
I0
=
1
(n+ 1/2)2π2
.
n = 1 → I
I0
= 0, 045
3.4. DIFRAÇÃO EM FENDA DUPLA 33
n = 2 → I
I0
= 0, 016
n = 3 → I
I0
= 0.008
A condição dos primeiros 4 mı́nimos (máximos) do espectro de di-
fração de uma abertura circular de diámetro d é dada por
n min max I (relativa)
1 1,22 1,64 0,0174
2 2,23 2,69 0,0041
3 3,24 3,72 0,0016
4 4,24 4,72 0,0008
O fator 1, 22(1, 64) para o primeiro mı́nimo (máximo) se obtém
quando se integram todos os irradiadores elementares (ondas secundárias)
da abertura subdividida.
3.4 Difração em Fenda Dupla
O espectro de interferência para uma fenda dupla é
I = 2I0(1 + cosϕ) = 4I0 cos
2ϕ
2
si colocamos Im = 4I0, então teremos que o espectro de interferência é
I = Imcos
2ϕ
2
onde ϕ = kd senθ
A intensidade da onda difratada de qualquer uma das fendas é dada
por
I = I0
(
senΦ
2
Φ
2
)2
onde Φ = ka senθ
34 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
Combinando ambos espectros, isto é tomando o produto, temos
I = I0cos
(
ϕ
2
)2
(
senΦ
2
Φ
2
)2
As figuras seguintes representam graficamente a equação anterior
para d = 50λ e para a = λ e a = 10λ. Para a = λ as franjas possuem
intensidades uniformes, a medida que as fendas se tornam mais largas,
as intensidades de interferência são cada vez mais moduladas pelo fator
de difração (
senΦ
2
Φ
2
)2
Pondo-se a = 0, se obtém Φ/2 = 0 e
senΦ
2
Φ
2
=
Φ
2
Φ
2
= 1 ,
logo a última equação se reduz à da intensidade de interferência pro-
duzida por fenda dupla cuja abertura tende para zero. Agora pondo-se
d = 0 na última equação, as duas fendas fundem-se em uma única de
largura a, mas d → 0 implica ϕ = 0 e cos2 ϕ
2
= 1 e por conseguinte a
última equação se reduz à de difração de fenda única.
Exercicios
• Tomando-se como referência a curva da fig. (a). Qual a con-
sequência de a) Aumentar a largurada fenda , b) Aumentar a separação
entre as fendas e c) Aumentar o comprimento de onda?
3.4. DIFRAÇÃO EM FENDA DUPLA 35
a)
a senθ = mλ→ a
ym
D
= mλ
a
ym+1
D
= (m+ 1)λ
Substraindo a segunda da primeira, obtemos
a
D
(ym+1 − ym) = λ→ a
∆y
D
= λ→ ∆y =
Dλ
a
Isto é aumentando-se a largura da fenda os máximos (mı́nimos)
ficam mais estreitos e a envolvente fica menor.
b) Da mesma forma obtem-se para a interferência
∆y =
Dλ
d
,
ou seja aumentando o d as franjas aproximan-se uma das outras
c) Usando-se um λ maior a envolvente se alarga, enquanto as franjas
se afastam uma das outras
• Na difração de fenda dupla, qual será o espaçamento entre as fran-
jas produzidas em um anteparo colocado a 50 cm das fendas, quando
forem iluminadas por luz azul (λ = 4800A0, sendo d = 0, 10 mm e
a = 0.02 mm?. Qual o afastamento linear entre o máximo central e o
primeiro mı́nimo da envolvente das franjas? e quantas franjas existem?
Usando a fórmula
∆y =
λD
d
=
(4, 8.10−5 cm)(50 cm)
10−2 cm
= 0, 24 cm .
A distância ao primeiro mı́nimo da envolvente é determinada pelo
fator senΦ/2/Φ/2, e o primeiro mı́nimo deste fator ocorre para
Φ
2
= nπ → Φ
2
= π
ka senθ
2
= π → senθmin =
λ
a
=
4, 8.10−5 cm
2.10−3 cm
= 2, 4.10−2 = 0, 024
36 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
O valor é tão pequeno que consideraremos θ = senθ = tgθ, logo
θ =
y
D
→ y = D θ = (50cm)(0, 024) = 1, 2 cm
Dividindo y pelo espaçamento das franjas, teremos o número de
franjas
y
∆y
= 5 ,
logo existem 10 franjas.
• Que condições deve satisfazer o máximo central da envolvente do
espectro de fenda dupla para conter exatamente onze franjas? Será ne-
cessário que o sexto mı́nimo do fator de interferência (cos2ϕ/2) coincida
com o primeiro mı́nimo do fator de difração (senΦ/2/Φ/2)2
Da condição do mı́nimo para interferência, temos
ϕ
2
= kd senθ = (n+
1
2
)2π → ϕ
2
=
11
2
π
Obtem-se o primeiro mı́nimo do termo de difração quando Φ/2 =
ka senθ = π, dividindo as duas relações temos
ϕ
2
Φ
2
=
kd senθ
ka senθ
=
d
a
=
11
2
.
Esta proporção depende somente da geometria da fenda.
3.5 Difração em Fendas Múltiplas
Suponhamos que tenhamos n osciladores igualmente espaçados, com a
mesma amplitude mas diferentes um do outro na fase, sendo φ a defasa-
gem entre um oscilador e o seguinte. Especificamente φ = k(r2− r1) =
kd senθ. Somemos todos os termos, faremos isto geometricamente. O
primeiro tem amplitude A e tem fase zero, o seguinte também tem A e
a fase igual à φ, o seguinte novamente tem A e a fase igual à 2φ e assim
sucesivamente. Pelo conseguinte nos estamos movendo evidentemente
ao redor de um poĺıgono de n lados.
3.5. DIFRAÇÃO EM FENDAS MÚLTIPLAS 37
Agora todos os vértices estão sobre uma circunfereência e podemos
encontrar a amplitude resultante mais facilmente se encontrar-nos o raio
da circunferência. Suponhamos que Q seja o centro da circunferência.
Então sabemos que o ângulo OQA1 é justamente o ângulo de fase φ,
o ângulo 0QA2 é 2φ e assim teremos que o ângulo 0QT é igual à Nφ,
logo usando o triângulo retângulo da figura anterior (a) temos
An
2
= R senN
φ
2
e usando a fiugra (b) teremos
A1
2
= R sen
φ
2
Dividindo uma por outra, obteremos
An
A1
=
senN φ
2
senφ
2
Elevando ao quadrado ambos os lados, chegamos a
I = I0
sen2N(φ/2)
sen2(φ/2)
φ = kd senθ
onde I0 é a intensidade de uma única fonte. Esta distribuição de inten-
sidade esta representada na figura seguinte.
Notemos que quando φ → 0, senN(φ/2) → N(φ/2) e senφ/2 →
φ/2 de modo que a equação anterior torna-se
38 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
I → I0
[N(φ/2)]2
(φ/2
2
= N2I0 .
Desta forma a intensidade das ondas que se formam por estes N
osciladores resulta ser em N2 vezes maior que a intensidade de um
oscilador isolado.
3.6 Redes de Difração
Se nós atingimos perpendicularmente uma rede de difrção com N fendas
(placa com número muito grande de fendas) com um feixe luminoso
monocromático vindo de uma fonte, então teremos N fontes que oscilam
em fase e neste caso a distribuição de intensidade é dado como no caso
de fendas múltiplas, isto é
I = I0
sen2N(φ/2)
sen2(φ/2)
.
A intensidade é igual à I = I0N
2, sempre que o denominador for
zero, ou quando
ϕn
2
= nπ → ϕn = 2nπ
3.6. REDES DE DIFRAÇÃO 39
logo
kd senθn = 2nπ → senθn = n
λ
d
Do disenho dá para ver que os feixes paralelos só se encontram
em fase se a diferença de percurso para cada par de feixes é igual à
d senθ = nλ, então para a primeira ordem teremos senθ = λ/d, para a
segunda ordem senθ = 2λ/d e assim sucessivamente.
Exemplos
• Supondo que nós olhemos através de uma rede de difração de
13400 fendas por 2,54 cm, e vejamos uma raia amarela (linha de sódio)
de λ = 5893A0 (A0 = 10−10 m). Sobre que ângulos pode ser vista esta
linha?
Usaremos senθ = nλ/d, então calcularemos d?
d =
2, 54cm
13400
= 1, 9.10−4cm
logo para n = 1 teremos
senθ =
λ
d
=
5893.10−8cm
1, 9.10−4cm
= 0, 31→ θ1 ' 180
para n = 2
senθ =
2λ
d
= 0, 62→ θ2 ' 38, 30
• Uma rede de difração que tem 104 linhas por 2, 5 cm, é iluminada
com incidência normal por uma lámpada de sódio, a qual emite duas
raias muito próximas de comprimento de onda de 5890 A0 e 5895 A0
a) Em que ângulo aparecerá o máximo de primeira ordem para o
menor dos comprimentos de onda mencionados?
senθ =
λ
d
=
5890.10−8cm
2, 5.10−4cm
= 0, 235→ θ = 13, 4980
b) Qual é o afastamento angular entre os máximos de primeira or-
dem de cada um dos comprimentos de onda?
senθ =
5895.10−8
2, 5.10−4cm
= 0, 2358→ θ = 13, 5100
Então a diferença é 13, 510− 13, 498 = 0, 00120
40 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
3.7 Dispersão e Poder de Resolução
A dispersão de uma rede serve como medida de afastamento angular
entre duas ondas monocromâticas incidentes, cujos comprimentos de
onda difirem entre si de um valor muito pequeno, para derivar temos
que considerar θ e λ como variáveis na fórmula de interferência, isto é
d senθ = mλ→ senθ =
m
d
λ
derivando com respeito a θ e a λ, temos
cosθdθ =
m
d
dλ→ D =
dθ
dλ
=
m
d cosθ
Para distinguir entre si ondas luminosas, cujos comprimentos de
onda sejam muito próximos, o máximo principal deve ser o mais estreito
posśıvel. Dizendo de outra forma, será preciso que a rede tenha um alto
poder de resolução R, definido por
R =
λ
∆λ
onde λ é o comprimento de onda médio de duas rais espectrais, as quais
mal se podem reconhecer como sendo separadas e ∆λ é a diferença dos
comprimentos de onda entre elas. Quanto menor for ∆λ mais próximas
são as raias que podem ser resolvidas e portanto maior será o poder
de resolução da rede R. As redes de difração são construidas com
um número muito grande de linhas para conseguir um alto poder de
resolução, isto é
R = Nm
onde N é o número total de linhas da rede e m é a ordem do espectro,
como era de esperar o poder de resolução é nulo para o máximo principal
(m = 0).
Exemplos
• No exemplo anterior, qual deve ser o menor número de linhas que
uma rede deve possuir para que possa resolver o dubleto de sódio de
terceira ordem
3.7. DISPERSÃO E PODER DE RESOLUÇÃO 41
R =
λ
∆λ
=
5890A0
(5895− 5890)A0
= 1178
então
N =
R
m
=
1178
3
' 390
• Uma rede de 8000 linhas por 2, 5 cm é iluminada pela luz produ-
zida pela descarga de vapor de mercúrio
a) Qual deve ser a dispersão esperada, na terceira ordem, nas vizi-
nhanças da raia verde intensa (λ = 5460A0)
Da fórmula de dispersão
D =
dθ
dλ
=
m
d cosθ
Encontremos d e o ângulo
d =
2, 5 cm
8000
= 3, 12.10−4cm senθ =
mλ
d
=
3(5460.10−8)cm
3.12.10−4
= 0, 52→ arcsen(0, 52) = 30, 030
Logo
D =
m
d cosθ
=
3
3, 125(cos(30, 03)0)
=
3
2, 69.10−4
= 1, 1.104
b) Usando a mesma rede, que poder se resolução, se deve esperar
na quinta ordem?
R = Nm = 8000(5) = 4.104
Logo próximo de λ = 5460A0 se poderão distinguir raias cuja dife-
rença ∆λ será
∆λ =
λ
R
=
5460A0
4.104
= 0, 14A0
A primeira pessoa a apresentar uma teoria ondulatória convincentepara a luz foi o f́ısico holandes Christian Huygens, seu prinćıpio diz:
42 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
“todos os pontos de uma frente de onda funcionam como fontes pontuais
para ondas secundárias. Depois de um tempo t, a nova posição da
frente de onda será dada por uma superf́ıcie tangente a essas ondas
secundárias
Nesta figura vemos que os pontos do plano ab funcionam como
fontes pontuais de ondas secundárias, depois de um tempo t, o raio
dessas ondas esféricas é ct, o plano tangente a essas esferas no tempo
t é o plano ld, este plano é a frente de onda da onda plana no tempo
t, ele é paralelo ao plano ab. Assim, as frentes de onda de uma onda
plana se propagam como planos com velocidade c.
Para comprender a interferência de duas ondas, precisamos com-
prender primeiramente a difração de ondas. Quando uma onda encon-
tra uma barreira que apresenta uma abertura de dimensões comparáveis
ao comprimento de onda, ela deixa de ser uma onda plana para se tor-
nar uma onda aproximadamente esférica. Este fenômeno chamado de
difração, se encaixa no espirito da expansão das ondas secundárias do
prinćıpio de Huygens.
A figura seguinte mostra esquematicamente a situação para uma
onda plana incidente de comprimento de onda λ, encontrando uma
fenda de largura a = 6, 0λ; 3, 0λ; 1, 5λ, onde deixa de ser plana do outro
lado da fenda
3.8. A EXPERIÊNCIA DE YOUNG 43
A figura ilustra a principal caracteŕıstica da difração; quanto mais
estreita a fenda maior a difração.
3.8 A Experiência de Young
Em 1801 Thomas Young ofereceu uma demonstração experimental de
que a luz é um fenômeno ondulatório, mostrando que duas ondas lumi-
nosas podem interferir uma com outra.
Esta experiência foi particularmente importante porque ele conse-
guiu calcular o comprimento de onda da luz. O valor obtido por Young
foi de 570 nm e está bem próximo do valor usado hoje que é de 555 nm.
Young Fez com que a luz solar atravessa-se um orificio S0 localizado
em uma tela A.
Como se pode ver da figura a difração faz com que a luz se espalhe
e chegue aos orificios S1 e S2 da tela B. Uma nova difração ocorre
quando a luz atravessa esses orificios e duas ondas esféricas se propagam
simultaneamente no espaço a direita da tela B, onde podem interferir
uma com a outra.
Os pontos do espaço onde a interferência é construtiva (máximos de
interferência) estão indicados por pontos. Ligando estes pontos ate a
tela C podemos ver os máximos de interferência que são regiões claras,
estas regiões claras são separadas por regiões escuras, correspondentes
aos pontos onde a interferência é destrutiva (mı́nimos de interferência).
Tomadas em conjunto, as regiões claras e escuras formam uma figura
44 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
de interferência na tela C.
3.9 Coerência
Para que uma figura de interferência apareça na tela de observação C
da figura anterior é preciso que a diferença de fase φ entre as ondas que
chegam a um ponto qualquer P da tela não varie com o tempo. É o que
aconteçe no caso anteiror, porque os raios que passam pelas fendas S1
e S2 fazem parte da mesma onda. Como a diferença de fase permanece
constante em todos os pontos do espaço, dizemos que os raios que saem
das fendas S1 e S2 são totalmente coerentes.
Quando substituimos as fendas por duas fontes luminosas semelhan-
tes mais independentes, como por exemplo dois fios incandescentes, a
diferença de fase entre as ondas emitidas pelas fontes passa a variar
rapidamente com o tempo e de forma aleatória. Isso aconteçe porque
a luz emitida pelos dois fios é produzida por um grande número de
átomos, que agem de forma independente e aleatória em uma escala
da ordem de nanosegundos. Em consequência, em qualquer ponto da
tela de observação a interferência varia de construtiva em um dado
momento para destrutiva no momento seguinte. Como o olho (e os de-
tectores óticos mais comúns) não conseguem acompanhar essas rápidas
mudanças, nenhuma figura de interferência é observada. Na verdade a
iluminação da tela parece uniforme. Dizemos então que os raios de luz
são totalmente incoerntes.
O que foi dito no parágrafo anterior não se aplica se as duas fon-
tes luminosas forem lasers. A luz emitida pelos átomos de um laser
tem a mesma fase e é portanto coerente. Além disso, a luz é quase
monocromática (de um único comprimento de onda). Quando as lu-
zes produzidas por dois lasers da mesma frequência se combinam, o
fenômeno da interferência é observado como se as luzes partissem de
uma fonte única.
3.10. INTERFERÊNCIA EM FENDA DUPLA 45
3.10 Interferência em Fenda Dupla
A figura seguinte mostra os raios de luz que partem de duas fendas S1
e S2 localizadas em uma tela B e se encontram em um ponto qualquer
P situado em uma tela de observação C.
Duas retas auxiliares tracejadas traçadas a partir do ponto médio
do segmento que liga as duas fendas, uma perpendicular aos planos
das telas e a outra ligando o ponto médio do segmento ao ponto P. O
ângulo entre as retas é θ e no triângulo formado com a tela C os catetos
adjacente e oposto são D e y respetivamente.
A onda luminosa que atravessa S2 esta em fase com a que atravessa
S1, porque as duas fazem parte da mesma frente de onda que ilumina
a tela B. Por outro lado a onda que chega a P depois de passar por S2
pode não estar em fase com a onda que chega a P depois de passar por
S1, porque a distância entre S1 e P é maior que a distância entre S2 e
P.
Para determinar essa diferença, encontramos um ponto b no raio
que parte de S1, tal que a distância de b até P seja igual á distância de
S2 até P. Assim a diferença entre os dois percursos é igual a distância
entre S1 e b.
Vamos supor que a distância D entre as telas for muito maior que a
distância d entre as fendas, então neste caso os raios r1 e r2 são aproxi-
madamente paralelos e fazem um ângulo θ com uma reta perpendicular
aos planos das telas.
Podemos também aproximar o triângulo formado pelos pontos S1,
46 CAPÍTULO 3. ÓTICA FÍSICA
S2 e b por um triângulo retângulo, um dos ângulos internos desse
triângulo é θ. A diferença entre os percursos dos dois é dado nesse
caso por dsenθ
Para que haya interferência construtiva entre os raios que chegam
ao ponto P é preciso que a diferença entre os percursos dsenθ, seja igual
à zero ou a um número inteiro de comprimentos de onda.
dsenθ = mλ
para m= 0,1,2,3..... (máximos).
De acordo com a fórmula para m = 0 temos θ = 0, assim existe
uma franja clara no centro da tela de observação. Esse máximo central
corresponde ao ponto em que a diferença de fase entre os dois raios é
zero.
Para valores progressivamente maiores que m, a fórmula revela que
existem franjas claras para valores progressivamente maiores que θ,
tanto acima como abaixo do máximo central.
Para que haya interferência destrutiva entre os raios que chegam
ao ponto P, a diferença entre os percursos, dsenθ, deve ser igual a um
número ı́mpar de meios comprimentos de onda.
dsenθ = (m+ 1/2)λ
para m=0,1,2..... (mı́nimos).
As primeiras franjas escuras correspondentes a m = 0 e a uma
diferença de fase de λ/2, ocorrem para um ângulo
θ = sen−1(
λ
2d
)
acima e abaixo do ponto central.
3.11 Intensidade de Interferência em Fenda
Dupla
Vejamos agora a interferência desde o ponto de vista dos campos elétricos.
Caṕıtulo 4
Teoria da Relatividade
4.1 Os Postulados da relatividade
Qualquer teoria da relatividade é sobre a relação entre diferentes con-
juntos de coordenadas, (números) que especificam a posição de um
ponto no espaço e tempo, e eventos f́ısicos que podem ser medidos. No
entanto para que estes números tenham algúm sentido nós devemos
especificar um sistema de referência.
A f́ısica clássica se apoia no prinćıpio de Galileu da relatividade que
establece que as transformações das velocidades são aditivas e o tempo
é invariante entre dois sistemas de coordenadas, isto é
x′ = x−vt y′ =y z′ = z t′ = t . (1)
Agora a f́ısica moderna se apoia nos postulados de Einstein da teoria
da relitividade que toma em conta as velocidades altas, isto é v ' c. Os
dois postulados de Einstein se baseiam nas transformações de Lorentz,
quem estableceu que os intervalos do espaço e tempo, quando medidos
num dado referencial, aparecem contraidos quando comparados com as
mesmas medidas tomadas em outro referencial pelo fator que depende
das velocidades relativas entre ambos.
Postulado da relatividade
• Todos os sistemas inerciais de referência, (isto é aqueles que se mo-
vem com velocidad constante um em relação ao outro) são equivalentes
para a observação e a formulação das leis f́ısicas.
47
48 CAPÍTULO 4. TEORIA DA RELATIVIDADE
Postulado da constância da luz
• A velocidade da luz não depende do movimento da fonte da luz e
é igual em todos os sistemas inerciais de referência.
Se o primeiro postulado representa uma generalização do prinćıpio
da relatividade de Galileu sobre todos os fenômenos f́ısicos, o segundo
postulado está contido no primeiro, porquanto o processo de propagação
das ondas eletromagnêticas, de acordo com o primeiro prinćıpio, deve
transcorrer igualmente em todos os sistemas inerciais de referência, no
entanto este segundo postulado que establece que a velocidade da luz
é independente da velocidade da fonte é totalmente alheio à nossa con-
cepção cotidiana. As transformações de Lorentz são.
x
′
= γ(x− vt), y = y
′
, z = z
′
(2)
t
′
= γ(t− x v
c2
) onde γ =
1√
1− v2/c2
4.2 Medida de um evento
Na teoria clássica, espaço e tempo são totalmente separados mais na re-
latividade especial eles são tratados conjuntamente e são misturados nas
transformações de Lorentz. Para visualizar eventos (pontos de espaço-
tempo) nós usamos diagramas de espaço-tempo. Para definir um evento
no espaço-tempo nós definimos quadri-vetores (ct, ~x) = (ct, x, y, z). A
quarta coordenada é a coordenada temporal multiplicada vezes c, para
dar uma distância equivalente.
4.3. RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE 49
4.3 Relatividade da simultaneidade
Dois eventos que ocorrem ao mesmo tempo em lugares separados vis-
tos por um observador em Σ
′
, não ocorrem ao mesmo tempo ao ser
observados por outro observador em Σ.
Suponhamos que um homen que se move numa nave espacial (Σ
′
)
há colocado um relógio em cada extremo da nave e esta interesado em
asegurar-se que os dois relógios estem sincronizados. Para sincronizar
os relógios é necessário localizar o ponto médio exato entre os dois
relógios, logo emitimos desde ali um sinal luminoso que iria em ambas
direções com a mesma velocidade e evidentemente chegará a ambos
relógios ao mesmo tempo. Esta chegada simultánea das senhas pode-se
usar para sincronizar os relógios.
Vejamos agora, se um obsevador em Σ estaria de acordo em que os
dois relógios estariam sincronizados. O homen em Σ pensa da seguinte
forma, dado que a nave se move para frente o relógio na parte dianteira
ficaria mais longe do sinal luminoso, pelo tanto a luz tem que andar
mais que a metade do caminho para alcanzá-lo, no entanto o relógio
traseiro avança para encontrar o sinal luminoso, e consequentemente a
distância será mais curta. O sinal chega então primeiramente ao relógio
traseiro, a pesar de que o homen em Σ
′
pensava que os sinais chegavam
simultaneamente.
Então usando as fórmulas (7), temos
x2 − x1 = γ[(x
′
2 − x
′
1) + v(t
′
2 − t
′
1)]
t2 − t1 = γ[(t
′
2 − t
′
1) +
v
c2
(x
′
2 − x
′
1)] (3)
Considerando que no sistema Σ
′
os eventos são simultáneos, isto é
t
′
2 = t
′
1 logo no sistema Σ de acordo com (8) obtemos
x2 − x1 = γ(x
′
2 − x
′
1)
t2 − t1 = γ
v
c2
(x
′
2 − x
′
1)
50 CAPÍTULO 4. TEORIA DA RELATIVIDADE
de onde
t2 − t1 = (x2 − x1)
v
c2
6= 0
Desta forma os eventos simultáneos que ocorrem no sistema Σ
′
não
são simultáneos no sistema Σ, isto é a simultaneidade de eventos es-
paciais é relativa. O tempo t2 − t1 cháma-se também tempo de de-
sincronização, ou seja eventos que estão sincronizados num sistema de
referência estão desincronizados num outro.
Exemplo Um vagão de 20 m de comprimento se desloca ao longo
do eixo x com velocidade de 200km/h = 55, 6m/seg. Na parte inicial e
final do vagão caem dois raios ao mesmo tempo vistos por um observa-
dor que está fora do vagão. Qual é a diferença de tempo entre os dois
raios desde o ponto de vista dos passageiros.
Nós temos que achar a diferença t
′
i − t
′
f onde t
′
i = γ(ti − vxi/c2) e o
tempo inicial e t
′
f = γ(tf − vxf/c2) e o tempo final.
Então,
(t
′
i − t
′
f ) = γ(ti − tf )− γv/c2(xi − xf ),
mais para o observador que esta fora do vagão ti − tf = 0, então:
t
′
i − t
′
f = −γv
c2
L = − 55, 6
(3.108)2
20seg = −1, 24.10−14seg
o sinal negativo mostra que t
′
i é menor que t
′
f , ou seja o acontecimento
no ponto xi ocorreu antes que o acontecimento no ponto xf .
4.4 A relatividade do tempo e do compri-
mento
Vamos aplicar os dois postulados da relatividade a um par de relógios
de luz, sua construção é simples, consiste de dois espelhos os quais se
encontram paralelamente um a outro na distância D, estes dois espelhos
podem servir como relogios de luz se suas superfićıes fossem completa-
mente refletoras e o impulso de luz corre-se entre eles em sentido direto
e oposto
4.4. A RELATIVIDADE DO TEMPO E DO COMPRIMENTO 51
Seja τ o tempo que a luz percorre a distância D, os relógios fazem
tique-taque toda vez que a luz reflete sobre o espelho, supondo ainda
que o relógio B se movimenta com velocidade v com respeito ao relógio
A. Então de acordo com o observador que está no repouso em A, a
distância que a onda de luz percorrerá no relógio B de um extremo
para outro, terá um comprimento maior que aquele que a onda de luz
percorre no relógio A. Realmente como se vé no disenho a onda de
luz deve mover-se em diagonal e de acordo com o segundo postulado
este movimento deve acontecer com a mesma velocidade que a onda
de luz em A ou seja c. Consequentemente desde o ponto de vista
do observador em A, a onda de luz em B deve gastar mais tempo
para alcançar o extremo superior, que a onda em A. Designemos este
intervalo de tempo através de T , logo o comprimento da diagonal é cT ,
então aplicando o teorema de Pitágoras temos
c2T 2 = v2T 2 + c2τ 2 → T 2(c2 − v2) = c2τ 2 → T 2c2(1− v2/c2) = c2τ 2
T =
τ√
1− v2/c2
= γτ (4)
onde γ = 1√
1−v2/c2
e τ é chamado de tempo própio ou seja é o intervalo
de tempo medido no referencial no qual os eventos ocorrem no mesmo
local.
Um exemplo de dilatação do tempo com o movimento é dado pe-
los mésons µ, que são part́ıculas que se desintegram espontaneamente
depois de um tempo medio de vida de 2, 2.10−6 seg. Estas part́ıculas
chegam a terra nos raios cósmicos, mais também podem ser produzi-
dos artificialmente no laboratório, se nós calcularmos a distância que
ela percorre, supondo que estas part́ıculas se movimentan com v = c,
temos que
d = 3.108 m
seg
.2, 2.10−6seg ∝ 660m
Bom os muons se formam na parte superior da atmosfera a uns 10 kilo-
metros de altura, mais são detetados aqui na terra, como que isto pode
52 CAPÍTULO 4. TEORIA DA RELATIVIDADE
acontecer, a resposta é que os muons se movem com velocidade perto
da luz. Enquanto que desde o ponto de vista deles (tempo própio), eles
só vivem 2, 2.10−6 seg, desde nosso ponto de vista eles vivem mais, o su-
ficiente para que eles possam chegar a terra. Supondo que a velocidade
deles seja 0, 999 da luz, teremos
T = γτ =
2, 2.10−6
√
1− 0.999
=
2, 2.10−6
0.03162
= 69, 57.10−6seg
então
d = 3.108 m
seg
.69, 57.10−6seg = 20, 807km
Agora vejamos a contração do comprimento. Supondo que se tenha
um objeto num sistema de referência Σ, liguemos com este objeto um
sistema de referência móvel Σ
′
e suponhamos ainda que neste sistema
o objeto tenha um comprimento igual à l0. No sistema Σ os momentos
de registro da posição das extremidades domesmo, logo é um pião), então
aparecem precessões na direção do campo, pois o campo está na direção
z, logo nós assumimos relacionada a esta precessão, que as proyeções de
µ com respeito aos eixos x e y tomam alternadamente valores positivos
e negativos e são na média igual a zero. A proyeção sobre o eixo z é
constante e o valor médio da força que atua sobre o dipolo é
F = µz
∂Bz
∂z
A componente z do momento magnêtico é proporcional ao momento
mecânico o qual somente admite um número limitado de valores discre-
tos. Cosequentemente a linha espectral se divide pela ação do campo
magnêtico em tantas linhas espectrais individuais quanto o valor de Lz
forneçer.
O experimento mostrou que no caso do àtomo de hidrogênio, litio,
prata e metais alcalinos apareçem duas faixas simétricas. Isto mostra
que a linha se divide em duas partes pela ação do campo magnêtico,
que tem a mesma intensidade e estão em sentidos opostos.
Para poder comprender o conteúdo deste resultado é necessário lem-
brar que o estado de energia mais baixo dos àtomos de hidrogênio, litio
e prata é o estado s.
A divisão observada está condicionada ao fato que além do momento
angular que é caracterizado através do número quântico l, o elétron
possue ainda um momento própio (intŕınseco), é dizer o momento de
spin. O fato que para l = 0 se possam obter duas faixas e não três
6.3. A EXPERIÊNCIA DE STERN-GERLACH E O SPIN DO ELÉTRON95
ou mais prova diretamente que a proyeção do spin sobre a direção do
campo somente admite dois valores
Logo para caraterizar este momento angular nós introduzimos um
novo número quântico denominado spin s. O momento angular se cal-
cula através das leis da mecânica quântica, isto é
S = h̄
√
s(s+ 1)
as proyeções sobre o eixo z pode tomar 2s + 1 valores diferentes em
unidades de h̄, ou seja Sz = msh̄
Agora nós devemos explicar com ayuda desse número quântico, por-
que cada ńıvel se divide em dois subńıveis, logo de aqui, nós nos vemos
obrigados a atribuir o valor 1
2
para o número quântico de spin, porque
somente neste caso o número de divisões 2s + 1 fornecerá o valor 2,
realmente
2s+ 1 = 2(1/2) + 1 = 2
Logo temos que o valor do momento de spin é igual à S = h̄
√
3
4
e a
proyeção sobre um eixo somente pode admitir dois valores + h̄
2
e − h̄
2
de
aqui ms = +1
2
,−1
2
.
No caṕıtulo anterior nós vimos que entre o momento magnêtico e o
momento angular existe a relação
µ =
e
2m
Lz
96CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
onde nós tomamos a componente z do momento angular e colocamos
Lz = 1h̄, logo obtivemos o magneton de Bohr, ou seja
µ =
eh̄
2m
= µB
Supondo que a mesma relação serva para o spin, então o momento
magnêtico seria igual a metade do magneton de Bohr, visto que Sz = 1
2
,
logo para sanar isto coloquemos o momento magnêtico de spin igual à
µs = 2
e
2m
Sz
e de aqui vemos que o fator orbital g, agora chamado de fator g de spin
é igual a 2 (g = 2) e consequentemente
µs = g
e
2m
Sz
6.4 Teoria da Tabela Periódica
Esta teoria se baseia nos dois seguintes prinćıpios
• Números Quânticos .- O estado energêtico de um elétron no
átomo é caracterizado por quatro números quânticos n, l, ml, ms.
• Prinćıpio de Pauli .- Em um átomo somente pode existir um
elétron em um estado descrito pelos quatro números quânticos, isto
é, dois elétrons que estão ligados em um átomo podem no mı́nimo
diferenciar-se através de um número quântico.
O número total de elétrons que um átomo possue póde-se calcular
da seguinte forma : para um dado valor de n os elétrons podem-se
diferenciar através do número quântico l, que pode tomar n valores
0, 1, ..(n−1), agora quando se fixa o n e l no átomo podem encontrar-se
2(2l+1) elétrons, isto é quando l = 0, o átomo pode ter dois s-elétrons,
quando l = 1, o átomo pode ter seis p elétrons e assim adiante, logo o
número total de elétrons no átomo com um mesmo n pode ser expresso
através da soma
n−1∑
l=0
2(2l + 1) = 2(1 + 3 + 5 + ....) = 2n2
6.4. TEORIA DA TABELA PERIÓDICA 97
Na seguinte tabela são dados os números máximos de elétrons que
cada ńıvel possue
n l= s(0) p(1) d(2) f(3) g(4) elétrons
1 2 2
2 2 +6 8
3 2 +6 +10 18
4 2 +6 +10 +14 32
5 2 +6 +10 +14 +18 50
O número total de elétrons com um mesmo número quântico princi-
pal forma uma camada, para diferentes valores de n as camadas podem
ser designadas através das letras
n 1 2 3 4 5
capa K L M N O
Nós veremos que para construir a tabela periódica real algumas
etapas serão violadas e isto devido a que nós consideramos que cada
elétron está se movendo em um potencial central e que a interação entre
eles é nula.
Primeiro vem o átomo de hidrogênio com o elétron estando no estado
1s, isto é n = 1 e l = 0, depóis o hélio com seus dois elétrons ligados no
estado 1s de acordo com o prinćıpio de Pauli, logo vem o átomo de ĺıtio
cujo terceiro elétron não pode encontrar-se mais no estado 1s, visto
que a camada K(n = 1) já foi completada, o próximo estado energêtico
posśıvel é o estado 2s (n = 2, l = 0), o elétron de valência do ĺıtio
certamente estará ligado a este estado.
O quarto elétron do berilio estará também ligado ao estado 2s, o
quinto elétron do boro não pode ocupar o estado 2s, visto que a sub-
camada já foi prenchida (n = 2, l = 0), o quinto elétron deve ocupar
então um estado com um l mais alto ou seja n = 2, l = 1, por isso ele
ocupará o estado 2p. Os outros elétrons até o décimo (neon) ocuparão o
mesmo estado, visto que a subcamada n = 2, l = 1 possue seis lugares,
98CAPÍTULO 6. EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER PARA O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
logo teremos para o neon a configuração 1s2 2s2 2p6 onde os exponentes
indicam os números dos elétrons, ver tabela
2p ↑
2s ↑ ↑↓ ↑↓
1s ↑ ↑↓ ↑↓ ↑↓ ↑↓
átomo H He Li Be B
Visto que o décimo elétron do neon fecha a camada L, o décimo
primeiro elétron do sódio ocupará o estado (n = 3, l = 0) e assim
continuará até o argonio (Z = 18) na qual a subcamada 3p será fechada.
O décimo nono elétron do potássio (19K) deve ocupar o estado 3d de
acordo com o esquema ideal, mais visto que o estado 3d está mais baixo
que o estado 4s (ou seja ao estado 3d le corresponde uma maior energia
que o estado 4s), então o décimo nono elétron deve incorporar-se ao
estado 4s, visto que os elétrons vão a prencher as camadas ocupando
as de menor energia ate as de maior energia. O vigésimo elétron do
cálcio igualmente ocupará o estado 4s. Só com o escándio (21Sc) será
retomada a ocupação normal da subcamada 3d.
Uma interrupção análoga da ocupação normal acontecerá com o
rubidio (37Rb), seu trigésimo sétimo elétron ocupará não o estado 4d,
mais o estado 5s. O trigésimo oitavo elétron do strónio (38Sr) ocupará
também o estado 5s, mais do elemento itrium (39Y ) até o paládio (46Pd)
a capa 4d será ocupada.
Esta interrupção também aconteçe nas terras raras. Com o quintu-
plo oitavo elétron do cério (58Ce) começará a prencher-se a subcamada
4f que vai até o lutério (71Lu). E no último grupo depóis do actinio
(89Ac) está o segundo grupo de terras raras que começa com o tório
(90Th).