E5-Efeito Hall em germanio p e n

Prévia do material em texto

<p>E5:Efeito Hall em Germânio p e n</p><p>Matheus Martins Cândido, Sthéfany Silva Guimarães</p><p>Abstract</p><p>Este relatório aborda as caracterı́sticas fı́sicas de materiais condutores de eletricidade, focalizando o uso de germânio tipo-n</p><p>e tipo-p. Também inclui uma descrição e análise de um experimento de laboratório que investigou o Efeito Hall em placas dos</p><p>semicondutores mencionados, através da medição da voltagem Hall em relação ao campo elétrico sob uma corrente constante, e em</p><p>relação à corrente elétrica sob um campo elétrico constante.</p><p>1. Introdução</p><p>A capacidade de conduzir corrente elétrica é definido a</p><p>partir da quantidade de elétrons livre, ou seja, aqueles que não</p><p>estão fortemente ligados aos núcleos dos átomos da matéria e</p><p>estão na chamada banda de condução, em um nı́vel de energia</p><p>propı́cio para transição eletrônica [3].Dessa forma, uma ma-</p><p>neira de classificar materiais sólidos é de acordo com a faci-</p><p>lidade com que conduzem uma corrente elétrica. Dentro dessa</p><p>classificação existem três grupos: condutores, semicondutores e</p><p>isolantes. Os isolantes consistem nos materiais que não permi-</p><p>tem a passagem de corrente elétrica pois não possuem elétrons</p><p>livres o suficiente [4].</p><p>No geral podemos afirmar que os metais são sólidos com</p><p>grandes quantidades de elétrons nas bandas de condução dos</p><p>átomos, e na vibração e movimento aleatório, os choques des-</p><p>ses elétrons uns com os outros e com as outras partes da rede</p><p>cristalina provoca um movimento desordenado. Desse modo,</p><p>quando uma diferença de potencial aplicada nas extremidades</p><p>permite a passagem de corrente elétrica com facilidade, pois os</p><p>metais são condutores elétricos [3].</p><p>Entre os materiais isolantes e condutores temos os semi-</p><p>condutores onde a condução depende de vários fatores. Por</p><p>exemplo, o fluxo de elétrons nas redes dos sólidos semicondu-</p><p>tores é altamente dependente da temperatura pois quanto maior</p><p>a temperatura, maior serão os choques e mais desordenado será</p><p>o movimento dos portadores de carga.Por conseguinte, com o</p><p>aumento da energia térmica alguns elétrons mais próximos do</p><p>núcleo dos átomos dos semicondutores conseguem saltar sobre</p><p>as bandas proibidas (região com valores de energia inviáveis</p><p>para um elétron) para bandas de condução (nı́veis em que o</p><p>elétron está menos fortemente ligado ao núcleo). Assim, semi-</p><p>condutores são bons condutores na temperatura correta mas são</p><p>isolantes a baixas temperaturas [5].</p><p>Outra forma de tornar possı́vel a condução elétrica é através</p><p>do processo de dopagem que consiste em adicionar certos ma-</p><p>teriais na composição dos semicondutores.Essa técnica permite</p><p>que alguns átomos do condutor são substituı́dos por átomos de</p><p>outro elemento. Esses átomos incorporados (chamados de im-</p><p>purezas) se sintetizam na rede cristalina participando da ligação</p><p>covalente [6].O material gerado pelo processo de dopagem é</p><p>nomeado como um semicondutor intrı́nsecos [7].Além disso, é</p><p>possı́vel definir dois tipos de materiais semicondutores dopa-</p><p>dos, tipo N e tipo P, que dependem do tipo de impureza intro-</p><p>duzida na rede.</p><p>Os semicondutores do tipo N estão ilustrados na figura</p><p>1.Nesses materiais, o número de elétrons disponı́veis para</p><p>ligação é maior na impureza do que no semicondutor,sobram</p><p>elétrons desparelhados na banda de valência e eles devem ter</p><p>uma atração menor com o núcleo da impureza e,por isso, salta</p><p>sobre a banda proibida para bandas próximas da de condução e</p><p>poderão chegar até ela com menor excitação térmica.</p><p>Figura 1: Estrutura semicondutores do tipo N</p><p>Por outro lado, os semicondutores do tipo P estão ilustra-</p><p>dos na figura 2 são formados quando a impureza possui menos</p><p>elétrons que o elemento dopado, um elétron do semicondutor</p><p>se desprende de seu átomo de origem para completar a ligação</p><p>covalente, e então forma-se um buraco no átomo do qual saiu</p><p>o elétron, que consegue se deslocar através da rede cristalina</p><p>como se fosse um portador de carga, porém com sinal posi-</p><p>tivo.A falta de elétron tende a ser seguidamente ocupado por</p><p>um elétron da vizinhança, e é dessa forma que ocorre o deslo-</p><p>camento de uma banda para outra [7].</p><p>Para esse presente trabalho foram utilizados os semi-</p><p>condutores Germânio de tipo N (Ge-n) e Germânio de tipo</p><p>P (Ge-p).O germânio é um semicondutor que possui estrutura</p><p>rı́gida e por conta de suas caracterı́sticas é bastante utilizado em</p><p>aplicações de microeletrônica [9].Um de seus usos é em transis-</p><p>tores, um elemento presente em praticamente todos os circuitos</p><p>eletrônicos, cuja substituição de outros elementos(silı́cio, por</p><p>Preprint submitted to Elsevier 10 de maio de 2024</p><p>Figura 2: Estrutura semicondutores do tipo P</p><p>exemplo) por germânio foi propı́cia por conta da maior porta-</p><p>bilidade de cargas deste último.</p><p>Assim, para analisar a condução elétrica no germânio em</p><p>suas diferentes dopagens vamos utilizar o formalismo do mo-</p><p>delo de Drudel que é uma tentativa de explicar como cargas são</p><p>transportadas pela matéria, em particular, em metais [10].</p><p>Podemos encarar um meio condutor como um ambiente</p><p>populado por átomos, que, na presença de um potencial apli-</p><p>cado, tem a capacidade de mover carga pelo seu volume.Para</p><p>qualquer carreador de carga, eles devem respeitar o teorema da</p><p>equipartição da energia, proposto por Maxwell Boltzmann [12]:</p><p>Ut =</p><p>3kT</p><p>2</p><p>(1)</p><p>Se os carreadores de carga possuem massa m e veloci-</p><p>dade média térmica vt respeita:</p><p>mv2</p><p>t</p><p>2</p><p>=</p><p>3kT</p><p>2</p><p>(2)</p><p>Quando se aplica um potencial e os portadores de carga</p><p>são acelerados, eles estão em constante colisão com o meio. A</p><p>velocidade portanto deve estar atrelada à uma média entre o ca-</p><p>minho médio percorrido pelos portadores τ e a aceleração apli-</p><p>cada a [11].A direção de propagação dos carreadores é também</p><p>randômica - chamamos essa velocidade flutuante de velocidade</p><p>de deriva vd.</p><p>vd = τ.a (3)</p><p>O caminho médio percorrido pelos carreadores antes de</p><p>uma colisão se relaciona com o caminho médio livre percorrido</p><p>λ e a velocidade térmica [11]:</p><p>τ =</p><p>λ</p><p>vt</p><p>(4)</p><p>A aceleração pode ser reescrita usando a segunda lei de</p><p>Newton, escrevendo a força como produto do campo elétrico</p><p>aplicado E e a carga do portador e [13]:</p><p>Fe = E.e = m.a→ a =</p><p>E.e</p><p>m</p><p>(5)</p><p>vd =</p><p>E.e</p><p>m</p><p>λ</p><p>vt</p><p>(6)</p><p>Aplicado um campo elétrico E num condutor de área</p><p>transversal A, a velocidade de deriva dos n portadores de carga,</p><p>fará aparecer uma corrente equivalente a:</p><p>I = neAvd (7)</p><p>Agora, considere uma corrente que esteja se propagando</p><p>por um condutor numa direção arbitrária. O material condutor</p><p>está imerso num campo magnético de módulo B perpendicu-</p><p>lar à direção da corrente.Naturalmente, os portadores de carga</p><p>com velocidade de deriva vd sentirão uma força que respeita a</p><p>igualdade de Lorentz [11]:</p><p>F⃗ = ev⃗d × B⃗ (8)</p><p>A resultante dessa força provoca um deslocamento dos</p><p>portadores de carga perpendicular ao plano formado pelos ve-</p><p>tores v⃗d e B⃗. A medida que portadores de cargas são deslocados,</p><p>uma diferença de potencial surge entre as paredes do condutor.</p><p>Esse efeito é chamado Efeito Hall e o potencial que dele deriva</p><p>leva o nome de Potencial Hall [14].</p><p>O Potencial Hall induzido gera um campo elétrico cuja</p><p>direção se opõe à força de Lorentz F⃗.O campo elétrico, e,</p><p>consequentemente, o potencial Hall, cresce até que a força do</p><p>campo elétrico induzido F⃗H seja capaz de igualar a força de Lo-</p><p>rentz.</p><p>No equilı́brio de forças, vale:</p><p>|F⃗| = |F⃗H | (9)</p><p>evdB =</p><p>eVH</p><p>l</p><p>(10)</p><p>A constante l é a distância entre as extremidades do con-</p><p>dutor em que as cargas são desviadas. Usando o valor da velo-</p><p>cidade de deriva segundo o modelo de Drudel, o potencial Hall,</p><p>portanto, se resume a:</p><p>VH =</p><p>lBI</p><p>neA</p><p>(11)</p><p>Podemos definir o coeficiente Hall como [2]:</p><p>RH =</p><p>1</p><p>ne</p><p>=</p><p>lBI</p><p>VH A</p><p>(12)</p><p>Do coeficiente Hall podemos definir a mobilidade dos</p><p>portadores de carga como:</p><p>µ0 = RHσ0 (13)</p><p>O coeficiente σ0 é a condutividade elétrica do material,</p><p>dado por [2]:</p><p>σ0 =</p><p>l</p><p>R0A</p><p>(14)</p><p>O coeficiente Hall é</p><p>potencialmente útil na</p><p>caracterização de materiais em geral e de semiconduto-</p><p>res. A partir da equação 12 , podemos deduzir que para largas</p><p>densidades n de portadores, o coeficiente é pequeno - materiais</p><p>com essa caracterı́stica são ditos metais. Para pequenas</p><p>densidades de portadores, o coeficiente tende ao infinito - neste</p><p>caso, o material é dito isolante. Por fim, para altos valores</p><p>finitos de RH - o material é dito semicondutor.</p><p>2</p><p>2. Objetivos</p><p>O presente trabalho tem como objetivo investigar o efeito</p><p>Hall a partir do potencial VH em diferentes congurações de</p><p>campo magnético (B), de corrente (I), para dois diferentes tipos</p><p>de semicondutores, Germânio tipo-n e Germânio tipo-p. Além</p><p>disso, também é possı́vel determinar a densidade e mobilidade</p><p>dos portadores de carga.</p><p>3. Procedimento Experimental</p><p>Neste experimento, os seguintes procedimentos foram</p><p>realizados para ambas as placas de Germânio tipo P (Ge-p) e</p><p>Germânio tipo N (Ge-n):</p><p>• Passo 1: A voltagem Hall foi medida em relação à</p><p>variação da corrente na amostra, mantendo o campo cons-</p><p>tante e à temperatura ambiente. Foram coletados apro-</p><p>ximadamente 17 conjuntos de dados voltagem-corrente,</p><p>sendo 8 para corrente negativa, 8 para corrente positiva e</p><p>1 para corrente zero. A corrente foi variada em incremen-</p><p>tos de 5mA, abrangendo uma faixa de aproximadamente</p><p>-40mA a 40mA (com as extremidades até o máximo valor</p><p>de corrente do equipamento).</p><p>• Passo 2: Em seguida, também à temperatura ambiente, a</p><p>voltagem Hall foi medida em relação à variação do campo</p><p>magnético, mantendo a corrente constante em cerca de</p><p>30mA durante todo o processo. Foram coletados 41 con-</p><p>juntos de dados voltagem-campo, incluindo 1 para campo</p><p>zero, 20 para campo negativo e 20 para campo positivo.</p><p>O campo foi aumentado ou diminuı́do em incrementos de</p><p>5mT na faixa de 0 a 50mT, e em incrementos de 25mT na</p><p>faixa de 50 a 300mT.</p><p>• Passo 3: Por fim, ainda mantendo a corrente constante</p><p>em aproximadamente 30mA, a voltagem através da placa</p><p>foi medida em relação ao campo magnético para calcular</p><p>a resistência. Primeiramente, a voltagem foi medida na</p><p>ausência de campo e, em seguida, as voltagens foram re-</p><p>gistradas conforme o campo variava, seguindo a mesma</p><p>metodologia descrita no Passo 2. No entanto, neste caso,</p><p>apenas as voltagens para valores positivos de campo foram</p><p>registradas, totalizando 21 conjuntos de dados, incluindo a</p><p>medida para campo zero (B = 0).</p><p>4. Resultados</p><p>Com os dados das duas placas em mãos, foram feitos os</p><p>gráficos B x U e U x I para ambas as placas de Ge-p e Ge-n</p><p>que podem ser vistos nas figuras a seguir.</p><p>O gráfico 3 é o gráfico U x I referente à placa Ge-p</p><p>Figura 3: Gráfico da variação da voltagem Hall em função da corrente para o</p><p>Ge-p</p><p>O gráfico 4 é o gráfico U x I referente à placa Ge-n</p><p>Figura 4: Gráfico da variação da voltagem Hall em função da corrente para o</p><p>Ge-n</p><p>O gráfico 5 é o gráfico U x B referente à placa Ge-p</p><p>Figura 5: Gráfico da variação da voltagem em função do campo para o Ge-p</p><p>3</p><p>O gráfico 6 é o gráfico UxB referente à placa Ge-n</p><p>Figura 6: Gráfico da variação da voltagem em função do campo para o Ge-n</p><p>O gráfico 7 é o gráfico R−R0</p><p>R0</p><p>x B referente à placa Ge-p</p><p>Figura 7: Gráfico da variação da resistência em função do campo para o Ge-p</p><p>O gráfico 8 é o gráfico R−R0</p><p>R0</p><p>x B referente à placa Ge-n</p><p>Figura 8: Gráfico da variação da resistência em função do campo para o Ge-n</p><p>Com os gráficos foi possı́vel fazer a regressão linear dos</p><p>dois gráficos 5 e 6 e a partir de seus coeficientes angulares:</p><p>bp = (1,9388) e bn = (-1,8942)</p><p>respectivamente, foi encontrado o coeficiente Hall RH dado pela</p><p>relação:</p><p>RH =</p><p>bd</p><p>I</p><p>(15)</p><p>Onde I é a corrente, que neste caso é constante I = 30mA,</p><p>d é a espessura da placa d = 1mm e b é o coeficiente angular da</p><p>regressão.</p><p>Os valores obtidos foram de:</p><p>• RHp = 5, 52x10−3m3(As)−1 −Ge − p (16)</p><p>• RHn = −6, 58x10−3m3(As)−1 −Ge − n (17)</p><p>A partir do coeficiente Hall foram obtidos os valores da con-</p><p>dutividade (σ0), da mobilidade dos portadores de carga (µ0)</p><p>e da densidade de portadores (n) para ambas as amostras, por</p><p>meio das equações 13 e 14, e obtemos a equação a seguir:</p><p>n =</p><p>1</p><p>eR0</p><p>(18)</p><p>Os valores resultantes foram de:</p><p>• σ0p = 3, 66(Ωm)−1</p><p>• σ0n = 5, 39(Ωm)−1</p><p>• µHp = 0, 0202m2(V s)−1</p><p>• µHn = −0, 0355m2(V s)−1</p><p>• np = 6, 75.103m−3</p><p>• nn = 9, 92.103m−3</p><p>Onde os ı́ndices p e n são referentes às placas Ge-p e Ge-n,</p><p>respectivamente.</p><p>5. Discussão</p><p>Com base nos resultados obtidos, foi observado que</p><p>os coeficientes Hall das placas apresentam sinais opostos,</p><p>indicando que o campo elétrico gerado possui polaridades</p><p>contrárias entre as placas. Isso implica que os portadores de</p><p>carga são diferentes em cada placa.De acordo com o efeito Hall,</p><p>o tipo de portador de carga é determinado pelo sinal do coefici-</p><p>ente Hall(RH), o qual foi positivo para o Ge-p e negativo para o</p><p>Ge-n neste experimento. Além disso, observou-se uma relação</p><p>não linear entre a resistência e o campo magnético, atribuı́da à</p><p>redução do caminho médio livre dos portadores de carga.</p><p>6. Conclusão</p><p>O propósito deste estudo foi investigar o efeito Hall em</p><p>duas placas de germânio, uma dopada com excesso de porta-</p><p>dores de carga tipo p e outra dopada com portadores tipo n.</p><p>Os resultados revelaram que na placa de Ge-p, os portadores</p><p>de carga são positivos, enquanto na placa Ge-n, são negativos.</p><p>Além disso, observou-se que o comportamento da resistência</p><p>em relação ao campo magnético seguiu o padrão esperado, pois</p><p>o aumento do campo resultou em uma redução no caminho</p><p>médio livre dos portadores, resultando em um aumento da re-</p><p>sistência.</p><p>4</p><p>Referências</p><p>[1] INSTITUTO DE FÍSICA-UFG - Fı́sica Experimental V (Experimentos de</p><p>Fı́sica Moderna): 1º semestre de 2020. Roteiros dos experimentos. Prof.</p><p>Dr. Jesiel Freitas Carvalho; Prof. Dr. Lauro June Queiroz Maia; Prof. Dr.</p><p>Ricardo Costa de Santana</p><p>[2] Phywe Systeme GmbH. Laboratory Experiments in Physics, 5.3.01. 1999.</p><p>[3] H.M. Nussenzveig. Curso De Fisica Basica, V.3 - Eletromagnetismo.</p><p>[4] Philip Hofmann. Solid state physics: an introduction. John Wiley e Sons,</p><p>2022.</p><p>[5] Thomas Erle Faber. Introduction to the theory of liquid metals. Cambridge</p><p>University Press, 2010.</p><p>[6] Simon M Sze, Yiming Li, and Kwok K Ng. Physics of semiconductor de-</p><p>vices. John wiley e sons, 2021.</p><p>[7] PeterY Yu. Fundamentals of semiconductors. Springer, 2005.</p><p>[8] WENDLING, Marcelo. Semicondutores. Guaratinguetá: Faculdade</p><p>de Engenharia de Guaratinguetá (FEG) - UNESP, [2011].Disponı́vel</p><p>em:https://www.feg.unesp.br/Home/PaginasPessoais/ProfMarceloWendling/1—</p><p>semicondutores.pdf.Acesso em: 08 mai. 2024.</p><p>[9] Atomic weight of germanium — commission on isotopic abundances and</p><p>atomic weights. https://www.ciaaw.org/germanium.htm.Acesso em: 08</p><p>mai. 2024.</p><p>[10] P. Drude. Zur elektronentheorie der metalle. Annalen der Physik,</p><p>306:566–613, 1900.</p><p>[11] Paul Allen Tipler and Ralph A Llewellyn. Modern physics. WH Freeman</p><p>and Co., 2012.</p><p>[12] James Clerk Maxwell. Illustrations of the Dynamical Theory of Gases,,</p><p>volume Vol. 1 of Dover Phoenix Editions. Dover, 2011.</p><p>[13] David J Griffiths. Introduction to electrodynamics,2005.</p><p>[14] E. H. Hall. On a new action of the magnet on electric currents. American</p><p>Journal of Mathematics, 2:287– 292, 1879.</p><p>5</p>