Funções Quadráticas

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vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br cassio.vidigal@ifmg.edu.br 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DEFINIÇÃO .................................................................................. 2 
GRÁFICO ..................................................................................... 2 
ZEROS ou RAÍZES ...................................................................... 3 
DISCUSSÃO DAS RAÍZES .......................................................... 5 
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES ........................ 8 
VÉRTICE .................................................................................... 12 
CONCAVIDADE ......................................................................... 12 
MÁXIMO OU MÍNIMO ................................................................ 12 
IMAGEM ..................................................................................... 13 
FORMA CANÔNICA .................................................................. 18 
CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA ................................................ 21 
EIXO DE SIMETRIA ................................................................... 32 
COEFICIENTES a, b E c NO GRÁFICO ................................... 32 
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA .......................................... 34 
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ..................................................... 38 
INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE ............................... 43 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º GRAU ............................... 46 
RESPOSTAS ............................................................................. 51 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 55 
 
No final das séries de exercícios podem aparecer 
sugestões de atividades complementares. Estas 
sugestões referem-se a exercícios do livro 
“Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e 
adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o 
triênio 2015-2017. 
 
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se 
referem ao volume 1. 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
DEFINIÇÃO 
Uma quadra poliesportiva de uma 
escola tem forma retangular com 40 metros de 
comprimento e 20 metros de largura. A 
direção da escola pretende amplia-la. Para 
isso vai construir em volta dela uma faixa de 
largura constante. 
 
 
 
Suponhamos que x seja a largura da 
faixa, em metros. Os lados da nova quadra 
medem (40 + 2x) e (20 + 2x). Sua área é uma 
função de x. 
   
  800x120x4xfS
x4x40x80800S
x220x240S
2
2



 
 
 A fórmula que define essa função é um 
polinômio de 2º grau na variável x. Funções 
reais como esta são chamadas de funções 
quadráticas ou funções do 2º grau. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos de funções quadráticas: 
a) f(x) = x2 – 3x + 2 
onde a = 1, b = -3 e c = 2. 
b) f(x) = 2x2 + 4x – 3 
onde a = __, b = __ e c = __. 
 
 
1 Parábola é uma das 4 curvas cônicas 
c) f(x) = -3x2 +5x -1 
onde a = __, b = __ e c = __. 
d) f(x) = x2 – 4 
onde a = __, b = __ e c = __. 
e) f(x) = 2x2 +5x 
onde a = __, b = __ e c = __. 
f) f(x) = -3x2 
onde a = __, b = __0 e c = __. 
____________________________ 
GRÁFICO 
 O gráfico da função quadrática é uma 
parábola1. 
 
 
Ex1: Veja, no exemplo abaixo, o gráfico 
da função f(x) = x2. 
x x2 y 
-3 (-3)2 9 A = (-3; 9) 
-2 (-2)2 4 B = (-2; 4) 
-1 (-1)2 1 C = (-1; 1) 
0 02 0 D = (0; 0) 
1 12 1 E = (1; 1) 
2 22 4 F = (2; 4) 
3 32 9 G = (3; 9) 
Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os 
pontos encontrados na tabela. 
FUNÇÃO QUADRÁTICA 
ou 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
é toda função real do tipo 
y = f(x) = ax2 + bx + c 
sendo a, b e c números reais com a  0. 
 
 
 
MATEMÁTICA I 3 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
Ligando-se os pontos, formaremos o gráfico: 
 
𝐷 = ℝ e 𝐼𝑚 = [0,∞[ 
 
Ex.2: Vamos, agora, construir o gráfico 
da função g(x) = -x2 localizando alguns pontos 
e ligando-os em seguida. 
x -x2 y 
-3 -(-3)2 -9 A = (-3; -9) 
-2 -(-2)2 -4 B = (-2; -4) 
-1 -(-1)2 -1 C = (-1; -1) 
0 -02 -0 D = (0; 0) 
1 -12 -1 E = (1; -1) 
2 -22 -4 F = (2; -4) 
3 -32 -9 G = (3; -9) 
 
𝐷 = ℝ e 𝐼𝑚 = [−∞, 0[ 
Note que, quando multiplicamos a 
função por -1 (g(x) = -f(x)) obtemos um gráfico 
simétrico ao anterior em relação ao eixo das 
abscissas. 
 
Observação: Neste momento, não 
trabalharemos com construção de gráficos. 
Faremos isto mais a frente. 
 
ZEROS ou RAÍZES 
 
Chamam-se de raízes ou de zeros da 
função do 2º grau os valores de x que tornam 
nula a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. 
 Uma das técnicas utilizadas para 
encontrar as raízes de uma função do 2º grau 
é a Fórmula de Báskara amplamente 
conhecida e relativamente fácil de ser 
aplicada. Abaixo segue a demonstração da 
fórmula: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑓(𝑥) = 0 ⇔ 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 
𝑎 (𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
) = 0 
𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑐
𝑎
= 0 
 
CASSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
𝑥2 +
𝑏𝑥
𝑎
+
𝑏2
4𝑎2⏟ 
𝑇. 𝑄. 𝑃.
−
𝑏2
4𝑎2
+
𝑐
𝑎
= 0 
(𝑥 −
𝑏
2𝑎
)
2
+
−𝑏2 + 4𝑎𝑐
4𝑎2
= 0 
(𝑥 −
𝑏
2𝑎
)
2
=
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
𝑥 −
𝑏
2𝑎
= ±√
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎2
 
𝑥 −
𝑏
2𝑎
= ±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
𝑏
2𝑎
±
√𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
𝑥 =
𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
(continua) 
 
 
Chamando de  a expressão 𝑏2 − 4𝑎𝑐, 
temos: 
𝑥 =
𝑏 ± √∆
2𝑎
 
 
 A seguir veremos alguns exemplos de 
aplicação da fórmula de Báskara. 
 
 
Ex1.: Quais os zeros da função abaixo? 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6. 
 
Resolução: 
Vamos dividir a resolução em três etapas: 
i) Destacar os coeficientes 
ii) Calcular o discriminante  . 
iii) Calcular as raízes 
 
Etapa i) 
a = 1, b = -5, c = 6 
 
Etapa ii) 
  1242561454
22  acb 
 
Etapa iii) 
 
2
15
12
15
2







a
b
x 
3
2
15
2
2
15
21 



 xx 
 
Logo, as raízes da função são 2 e 3 
 
 
Ex2.: Quais os zeros da função 
𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 12𝑥 + 4? 
 
Resolução: 
Etapa i) 
𝑎 = 9, 𝑏 = −12, 𝑐 = 4 
 
Etapa ii) 
  0144144494124
22  acb 
 
 
MATEMÁTICA I 5 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Etapa iii) 
 
18
012
92
012
2







a
b
x 
3
2
18
012
3
2
18
012
21 



 xx 
 
Logo, as raízes da função são 
3
2
 e 
3
2
. 
Ex3.: Quais os zeros da função 
  1062  xxxf ? 
 
Resolução: 
Etapa i) a = 1, b = -6, c = 10 
 
Etapa ii) 
  44036101464
22  acb 
Etapa iii) 
 
12
46
2 




a
b
x 
 
Como -4 não possui raiz quadrada real, 
dizemos que a função dada não possui raízes 
reais. 
DISCUSSÃO DAS RAÍZES 
 A existência das raízes de uma função 
quadrática fica condicionada ao fato da √∆ ∈
ℝ. 
Assim, temos três casos a considerar:  > 0, 
 = 0 e  < 0. 
 
 Vamos discutir os três casos: 
 
1º Caso:  > 0: Quando  > 0, a função 
apresentará duas raízes reais distintas: 
a2
b
xe
a2
b
x 21



 
 
2º Caso:  = 0: Neste caso, 0 , assim 
temos que 
a2
b
xx 21

 
 
3º Caso:  < 0: 
Como √∆ ∉ ℝ quando  < 0, a função não 
apresentará raízes nesta situação. 
 
01) Determinar as raízes reais das funções a 
seguir; 
a)   1582  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)   822  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c)   962  xxxf 
 
 
CASSIO VIDIGAL 6 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
d)   xxxf 42  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)   1032  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)   352 2  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)   52221 2  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)   42  xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i)   562  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 7 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
j)   952  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
k)  
9
4
3
52  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02) Qual o valor de b para que a função 
  32  bxxxf tenha duas raízes iguais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03) Determinar as condições sobrek na 
função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 – 2𝑥 + (𝑘 – 1) a fim de 
que 𝑓 não admita raízes reais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
04) A função 
𝑓(𝑥) = (𝑝 – 1)𝑥2 + 3𝑥 + (𝑝 + 1) 
possui duas raízes reais iguais. Nestas 
condições, qual o valor de 𝑝? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
05) Qual é o menor número inteiro 𝑚 para o 
qual a função real de variável real dada 
por 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 + 3𝑥 + (𝑚 + 2) não admite 
raízes reais? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES 
E RAÍZES 
 
 Sendo 𝑥1 e 𝑥2 as raízes de uma função 
do segundo grau do tipo 
 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, podemos afirmar 
que: 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
 
e 
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
 
 Estas relações são chamadas de 
relações de Girard e podem ser facilmente 
demonstradas. Acompanhe: 
 
Fazendo 
a
b
x
2
1

 e 
a
b
x
2
2

 , 
temos que 
a
b
a
b
a
b
a
b
xx 






2
2
22
21 
e 
   
   
a
c
a
acbb
a
acbb
xx
a
b
a
b
a
b
xx











4
4
4
4
422
2222
21
22
21
 
 
Ex.1: Encontrar a soma e o produto das raízes 
da função f(x)=2x2 + 4x – 30 sem calcular as 
raízes. 
Resolução: a = 2; b = 4 e c = -30 
𝑥1 + 𝑥2 = −
𝑏
𝑎
= −
4
2
= −2 
𝑥1 ∙ 𝑥2 =
𝑐
𝑎
=
−30
2
= −15 
Logo, a soma das raízes é −2 e o produto é 
−15. 
 
Ex.2: Escreva uma função do segundo grau 
cujas raízes seja 4 e -1. 
 
Resolução: 
 
 
MATEMÁTICA I 9 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
−
𝑏
𝑎
= 4 + (−1) = 3 
Fazendo a = 1, temos que b = -3 
𝑐
𝑎
= 4 ∙ (−1) = −4 
 
Tomando a = 1, temos que c = -4. 
 
Assim, uma equação procurada é 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 – 3𝑥 – 4 
 
Observação: Se tivesse sido atribuído a outro 
valor qualquer (diferente de 1), os valores de 
b e c mudariam mas, ainda assim, seria 
encontrada uma função cujas raízes são 4 e 
−1. 
 
 
06) Calcule a soma e o produto das raízes das 
funções abaixo; 
a) f(x) = 3x2 – x + 5 
 
 
 
 
b) f(x) = -x2 + 6x - 5 
 
 
 
 
c) f(x) = 2x2 - 7 
 
 
 
 
d) f(x) = x2 – 3x - 2 
 
 
 
 
 
 
07) Obtenha uma função do segundo grau 
cujos zeros sejam: 
a) 3 e 4 
b) -1 e 2 
 
 
 
 
 
 
c) -5 e -4 
 
 
 
 
 
 
d) √3 + √2 e √3 − √2 
 
 
 
 
 
 
 
e) 0 e 8 
 
 
 
 
 
 
f) 3 e 3 
 
 
 
 
 
 
g) √7 e 6√7 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
08) Mostre que uma equação do 2º grau de 
raízes x1 e x2 pode ser escrita na forma f(x) = 
x2 – Sx + P sendo S = x1 + x2 e P =x1 ∙ x2. 
 
09) Uma das raízes da equação 
𝑥2 + 𝑝𝑥 + 27 = 0 é o quadrado da outra. Qual 
o valor de 𝑝? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) As raízes da função 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2– 10𝑥 + 𝑐 são tais que uma é o 
inverso da outra. Qual é a maior das duas 
raízes? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 11 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
11) Uma das raízes da equação 
𝑥2– 25𝑥 + 2𝑝 = 0 excede a outra em 3 
unidades. Encontre as raízes da equação e o 
valor de p. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) A diferença entre as raízes da equação 
𝑥2 + 11𝑥 + 𝑝 = 0 vale 5. Encontre as raízes e 
o valor de 𝑝. 
 
 
 
 
 
13) Sendo 𝑚 e 𝑛 as raízes da equação 
3𝑥2 + 10𝑥 + 5 = 0, qual o valor de: 
a) 𝑚 + 𝑛 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑚 ∙ 𝑛 
 
 
 
 
 
 
c) 
1
𝑚
+
1
𝑛
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑚2 + 𝑛2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 12 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
VÉRTICE 
No início desta 
apostila, tivemos uma 
ideia inicial acerca do 
gráfico da função do 
segundo grau. Você viu 
que o gráfico tem o 
formato da curva ao 
lado. O ponto V na 
figura, é chamado de 
vértice da parábola e 
está localizado sobre o seu eixo de simetria. 
 
As coordenadas no vértice da parábola 
podem ser encontradas a partir dos 
coeficientes por meio da fórmula: 
𝑉 = (−
𝑏
2𝑎
; −
∆
4𝑎
) 
(Na página 51 desta apostila, você encontra a 
demonstração da fórmula que nos permite encontrar as 
coordenadas de V.) 
 
 
Determinar as coordenadas do vértice da 
parábola que representa graficamente a 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2– 4𝑥 + 3. 
Resolução: 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
= −
−4
2
= 2 
𝑦𝑣 = −
𝑏2 − 4𝑎𝑐
4𝑎
= −
(−4)2 − 4 ∙ 1 ∙ 3
4 ∙ 3
= −1 
 
Logo, 𝑉 = (2,−1) 
 
 
CONCAVIDADE 
A parábola que representa 
graficamente a função quadrática y = ax2 +
bx + c pode ter a concavidade voltada para 
cima ou para baixo de acordo com o sinal do 
coeficiente 𝑎. 
 
Se 𝒂 > 𝟎, a parábola tem a 
concavidade voltada para cima. 
 
Se 𝒂 < 𝟎, a parábola tem a 
concavidade voltada para baixo. 
 
 
MÁXIMO OU MÍNIMO 
 Dada uma função 𝑓 podemos dizer que 
ela admite máximo se, e somente se existe 
𝑥𝑚, 𝑥𝑚 𝐷(𝑓) tal que: 
𝑓(𝑥𝑚) ≥ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) 
 O número 𝑓(𝑥𝑚) é chamado de valor 
máximo de f. 
 
E podemos dizer que ela admite mínimo se, e 
somente se existe 𝑥𝑚, 𝑥𝑚 𝐷(𝑓) tal que: 
𝑓(𝑥𝑚) ≤ 𝑓(𝑥) ∀𝑥 | 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓) 
 O número 𝑓(𝑥𝑚) é chamado de valor 
mínimo de f. 
 
 Uma função quadrática admite ponto 
de máximo no vértice quando 
a < 0. 
 
 Uma função quadrática admite ponto 
de mínimo no vértice quando 
a > 0. 
 
 
 
MATEMÁTICA I 13 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
IMAGEM 
 
A partir do esboço do gráfico da função 
quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, podemos 
notar que a ordenada do vértice limita sua 
imagem, assim, se 𝑎 > 0, 𝑦 ≥ 𝑦𝑣 e se 𝑎 <
 0, 𝑦  𝑦𝑣, logo: 
 
 
Para 𝑎 > 0 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≥ −
∆
4𝑎
} 
 
Para 𝑎 < 0 
𝐼𝑚 = {𝑦 ∈ ℝ|𝑦 ≤ −
∆
4𝑎
} 
 
 
 
 
14) Em cada uma das funções quadráticas a 
seguir, determine o vértice da parábola da 
representação gráfica e aponte a direção da 
concavidade da parábola. Determine também 
a imagem da função. 
a) f(x) = x2 – 2x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = –x2 + 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = –x2 + 5x – 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)   2xx
2
1
xf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
e)   2x6x3xf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)  
4
1
2
x
xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)   4,0x2xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15) Para que valores de m o gráfico da a 
função f(x) = (m – 5)x2 + 2x – m tem a 
concavidade voltada para cima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) O vértice da parábola da função 
y = x2 +bx + c é o ponto V(-3; 1). Calcule b e c. 
 
 
MATEMÁTICA I 15 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
17) Sabe-se que a parábola que descreve a 
função y = x2 + kx + 2k passa pelo ponto (1: 
7). 
a) Determine k. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Quanto vale f(0)? E f(3)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18) Calcule b e c sabendo que a parábola de 
y = x2 + bx + c passa pelos pontos 
(1; 1) e (2; 6). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
19) Determine a função quadrática 
f(x) = ax2 + bx + c tal que f(0) = 2, f(1) = 6 e 
f(-1) = 0. (Você deve determinar a, b e c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) O arco de 
parábola da figura 
ao lado é o gráfico 
de uma função em 
que y é proporcional 
ao quadrado de x. 
 
 
 
a) Qual o domínio e imagem da função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Encontre a fórmula de y em função de x. 
(dica: se y é proporcional quadrado de x, então y é igual a x2 
multiplicado por uma constante, ou seja, a função é do 
tipo y = ax2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Obtenha y para x = 3? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21) O preço de uma pizza é diretamente 
proporcional à sua área. Por isso, a fórmula 
que dá o preço (em reais) de uma pizza em 
função de seu raio R (em cm) é do tipo P = 
kR2. No caso, k é uma constante real não nula. 
Uma pizzaria vende uma pizza de raio igual a 
20cm por R$12,00. 
a) Qual o valor de k? 
 
 
 
 
 
 
b) Por quanto deve ser vendida uma pizza de 
30cm de raio? 
 
 
MATEMÁTICA I 17 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) Qual a taxa de variação média do preço da 
pizza por centímetro de raio quando este 
muda de 20cm para 30cm? E quando mudade 30cm para 40 cm? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22) Um substância sofreu mudanças de 
temperatura durante 8 minutos. Sua 
temperatura T em graus Celsius, t minutos 
após o início do experimento, é dada pela 
fórmula T = -2t2 + 16t + 10. Encontre: 
a) a temperatura inicial da substância. 
 
 
 
 
 
 
b) o instante em que ela atingiu a temperatura 
máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) a temperatura máxima atingida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) os instantes em que a temperatura atingiu 
24ºC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
CASSIO VIDIGAL 18 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 180 – Exercícios 07 a 14 
FORMA CANÔNICA 
 
A construção do gráfico da função 
quadrática com o auxílio de uma tabela como 
está apresentado no início desta apostila 
torna-se as vezes um trabalho impreciso. Não 
era o caso daqueles exemplos e de outros que 
você vez nos exercícios, mas isto pode 
acontecer quando, por exemplo, a parábola 
intercepta o eixo horizontal ou vertical em 
pontos de abscissa ou ordenada não inteiros. 
 
 A fim de podermos fazer um estudo 
analítico mais detalhado da função quadrática, 
vamos, em princípio, transforma-la em outra 
forma chamada de FORMA CANÔNICA. 
 
 Vamos transformar a função na forma 
polinomial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 para a forma 
canônica, veja: 
 
 
 
 
 
 
  




 




















 









































a
acb
a
b
xaxf
a
acb
a
b
xaxf
c
a
b
a
b
x
a
b
xaxf
c
a
b
a
b
x
a
b
xaxf
cx
a
b
xaxf
cbxaxxf
4
4
2
4
4
2
44
44
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 
 
 Esta forma é a chamada forma 
canônica. Representando 𝑏2 – 4𝑎𝑐 por , 
também chamado de discriminante do 
trinômio do 2º grau temos a forma canônica 
como a conhecemos: 
 
aa
b
xaxf
42
2







 
 
 
 
MATEMÁTICA I 19 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Ex.1: Vamos passar a função 
f(x) = x2 – 5x + 6 para a forma canônica: 
 
 
 
 
4
1
2
5
xxf
6
4
25
4
25
x5xxf
6x5xxf
2
2
2









 
 
Ex.2: Passar a função quadrática 
  2x7x3xf 2  para a forma canônica e em 
seguida determinar suas raízes caso existam. 
 
Resolução: 
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 7𝑥 + 2 
𝑓(𝑥) = 3 (𝑥2 −
7
3
𝑥 +
2
3
) 
𝑓(𝑥) = 3 (𝑥2 −
7
3
𝑥 +
49
36
−
49
36
+
2
3
) 
𝑓(𝑥) = 3 [(𝑥 −
7
6
)
2
−
25
36
] 
𝑓(𝑥) = 3 (𝑥 −
7
6
)
2
−
25
12
 
 
Vamos agora encontrar as raízes. Para isto, 
vamos igualar a 0 a expressão encontrada: 
3 (𝑥 −
7
6
)
2
−
25
12
= 0 
3 (𝑥 −
7
6
)
2
=
25
12
 
(𝑥 −
7
6
)
2
=
25
36
 
𝑥 −
7
6
= ±√
25
36
 
𝑥 =
7
6
±
5
6
 
𝑥1 =
12
6
= 2 𝑜𝑢 𝑥2 =
2
6
=
1
3
 
 
Assim, as raízes são 2 e 
1
3
. 
 
23) Passe as funções quadráticas a seguir 
para a forma canônica e, em seguida, 
encontre as raízes, caso existam. 
a)   2x3xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)   12x7xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c)   12x7xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)   2x7x3xf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)   2x2xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)   1x
2
3
xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 21 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
g)   1x2xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)   x2xxf 2  
 
CONSTRUÇÃO DA PARÁBOLA 
 
 Nos exemplos a seguir, construiremos 
gráficos de funções do segundo grau 
(parábolas) a partir de sua forma canônica 
mas antes vamos entender algumas 
translações que podemos realizar nos gráficos 
de funções do segundo grau. 
 Nas páginas 2 e 3 desta apostila, 
construímos o gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
Para tal partimos de uma tabela, localizamos 
os pontos no plano e ligamos construindo o 
gráfico. Relembre: 
 
x x2 y 
-3 (-3)2 9 A = (-3; 9) 
-2 (-2)2 4 B = (-2; 4) 
-1 (-1)2 1 C = (-1; 1) 
0 02 0 D = (0; 0) 
1 12 1 E = (1; 1) 
2 22 4 F = (2; 4) 
3 32 9 G = (3; 9) 
Vamos agora localizar, no plano cartesiano, os 
pontos encontrados na tabela. 
 
Ligando-se os pontos, formaremos o gráfico: 
 
CASSIO VIDIGAL 22 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
DESLOCAMENTO VERTICAL 
Agora, vamos construir o gráfico da 
função 𝑔(𝑥) = 𝑥2 – 1. 
Este gráfico pode ser obtido a partir do 
gráfico anterior deslocando todos os seus 
pontos em uma unidade para baixo já que 
para cada valor de x em 𝑓(𝑥) = 𝑥2, a imagem 
relativa a 𝑔(𝑥) = 𝑥2 – 1 estará uma unidade 
abaixo. 
Veja como ficará o gráfico: 
 
 
 
Continuando nesta linha, vamos 
construir o gráfico de ℎ(𝑥) = 𝑥2 – 4. 
 
Agora, a partir de 𝑓(𝑥) = 𝑥2, vamos 
“descer” todos os seus pontos em 4 unidades 
 
 
 
Veja, na sequência abaixo, diversos 
gráficos ilustrando esta situação: 
 
 
 
 
 
 
p(x) = x2 + 5 
 
 
k(x) = x2 + 2 
 
 
f(x) = x2 
 
 
g(x) = x2 – 1 
 
 
h(x) = x2 – 4 
 
 
Observando as construções anteriores, 
podemos concluir que, somando-se ou 
subtraindo-se uma constante de uma função 
do segundo grau, deslocamos o seu gráfico 
verticalmente. 
 
DESLOCAMENTO HORIZONTAL 
Vamos, agora, provocar 
deslocamentos horizontais no gráfico. 
 
 
MATEMÁTICA I 23 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Mais uma vez, partiremos do gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑥2. 
 
 
Vamos agora construir a tabela e, em 
seguida, o gráfico de ℎ(𝑥) = (𝑥 + 2)2. 
 
𝑥 𝑥 + 2 (𝑥 + 2)2 𝑦 (𝑥, 𝑦) 
−5 −3 (−3)2 9 𝐴 = (−5; 9) 
−4 −2 (−2)2 4 𝐵 = (−4; 4) 
−3 −1 (−1)2 1 𝐶 = (−3; 1) 
−2 0 02 0 𝐷 = (−2; 0) 
−1 1 12 1 𝐸 = (−1; 1) 
0 2 22 4 𝐹 = (0; 4) 
1 3 32 9 𝐺 = (1; 9) 
 
Observe, em verde, no plano a seguir, 
os pontos encontrados a partir da tabela e o 
gráfico da função ℎ. 
 
 
 
Agora construiremos o gráfico de 
𝑔(𝑥) = (𝑥 – 3)2. 
 
𝑥 𝑥 − 3 (𝑥 + 2)2 𝑦 (𝑥, 𝑦) 
0 −3 (−3)2 9 𝐴 = (0; 9) 
1 −2 (−2)2 4 𝐵 = (1; 4) 
2 −1 (−1)2 1 𝐶 = (2; 1) 
3 0 02 0 𝐷 = (3; 0) 
4 1 12 1 𝐸 = (4; 1) 
5 2 22 4 𝐹 = (5; 4) 
6 3 32 9 𝐺 = (6; 9) 
 
Localizando no plano e construindo o gráfico, 
temos: 
 
 
 
 Neste caso, foi possível observar que 
somando ou subtraindo uma constante ao x, o 
gráfico da função sofre um deslocamento 
lateral. Veja no conjunto de gráficos a seguir: 
 
 
CASSIO VIDIGAL 24 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
𝑘(𝑥) = (𝑥 + 3)2 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑔(𝑥) = (𝑥 − 3)2 
ℎ(𝑥) = (𝑥 + 2)2 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 4)2 
 De maneira informal, mas que 
proporciona um bom entendimento, podemos 
dizer que somando-se uma unidade ao 
argumento x, o gráfico é deslocado uma 
unidade para a esquerda e subtraindo uma 
unidade do argumento x, o gráfico é deslocado 
uma unidade para a direita. 
 
ABERTURA 
 Em termos de abertura, as parábolas 
podem ter a concavidade mais aberta ou mais 
fechada ou ainda a concavidade voltada para 
baixo. 
 Mais uma vez, começaremos com o 
gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 mas agora 
destacaremos uma nova situação em termos 
de deslocamento. Observe o gráfico. 
 
 
 
 Na figura, além do gráfico, foram 
destacadas linhas em três cores de duas 
tonalidades cada. Ressaltando que em 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 os valores de y variam com o 
quadrado de x e tomando como referência o 
vértice da parábola, podemos observar que: 
 Em azul: quando x varia uma unidade, y 
varia 12, ou seja, 1 e quando x varia em 
uma unidade para a esquerda, y varia 
em (-1)2, ou seja, 1. 
 Em vermelho: quando x varia duas 
unidades, y varia 22, ou seja, 4 e quando 
x varia em duas unidades para a 
esquerda, y varia em (-2)2, ou seja, 4. 
 Em verde, quando x varia três unidades, 
y varia 32, ou seja, 9 e quando x varia em 
três unidades para a esquerda, y varia 
em (-3)2, ou seja, 9. 
Tente observar o mesmo padrão para x 
variando 4 unidades. 
 
No entanto, se tivermos uma constante 
multiplicando o “x2”, estaconstante 
influenciará diretamente na taxa de variação 
de y em relação a x. Veja no exemplo a seguir 
com a função 𝑔(𝑥) = 2𝑥2. 
 
 
 
MATEMÁTICA I 25 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
 
 
Veja que, neste caso, as variações em 
y são o dobro dos quadrados das variações 
em x. Isso se deve ao fator 2 multiplicando o 
“x2”. 
 
Veja este outro exemplo com a função 
ℎ(𝑥) =
1
2
𝑥2. 
 
A 
 
Agora pode-se perceber que as 
variações em y são equivalentes à metade dos 
quadrados das variações em x. Isso se deve 
ao fator 
1
2
 multiplicando o “x2”. 
 
Vejamos, agora, o papel de uma 
constante negativa multiplicando o “x2”. 
 
No gráfico a seguir, utilizaremos o fator 
-1 e o resultado observado vale, também para 
quaisquer outros fatores negativos. 
 
 
 
É possível observar que, para cada 
deslocamento horizontal a partir do vértice, o 
deslocamento vertical varia com o quadrado 
de x porém para baixo, Desta forma, a 
parábola tem a concavidade voltada para 
baixo. 
 
Assim, em termos da influência da 
constante a no gráfico de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, 
podemos concluir que se a > 0, a parábola tem 
a concavidade voltada para cima e se a < 0, 
a parábola tem a concavidade voltada para 
baixo (isso já foi falado na página 12). Além 
disso, podemos dizer que quanto maior o valor 
de a (em módulo), mais fechada estará a 
parábola e quanto mais próximo de zero for o 
valor de, mais aberta estará a parábola. 
 
Agora vamos focar noutro ponto. 
 
CASSIO VIDIGAL 26 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
Na página 17, vimos que a forma 
canônica da função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 é 
 
 
aa
b
xaxf
42
2







 
Na página 12, vimos que as 
coordenadas do vértice da parábola são: 
 





 

a4
;
a2
b
V 
 
 Assim, podemos reescrever a forma 
canônica como: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 
 
Observe que, nesta notação, podemos 
notar de forma clara, os três elementos que 
acabamos de estudar: 
 
 
 
 A partir do que foi visto, 
detalhadamente, nas últimas páginas, vamos, 
agora construir gráficos de funções do 2º grau 
sem a necessidade de partir de uma tabelinha. 
 
O nosso procedimento será encontrar a 
forma canônica das funções e, a partir dela 
localizarmos o vértice e fazermos os 
deslocamentos sobre o plano para encontrar 
pontos de referência para a construção do 
gráfico. 
 
Acompanhe os exemplos a seguir: 
 
 
Ex.:Construir o gráfico da função 
  342  xxxf . 
Resolução: (Na coluna ao lado) 
Forma canônica: 
 
 
 
     
    12
3444
3444
34
2
2
2
2




xxf
xxxf
xxxf
xxxf
 
 
Assim, temos que: 
a = 1 e V =  1,2  
 
A partir daí, localizamos o vértice no 
plano e em seguida alguns outros pontos da 
parábola de acordo com o que estudamos: 
 
 
 
 O passo seguinte será ligar estes 
pontos em forma de parábola formando, 
assim, o gráfico procurado. 
 
 
 
MATEMÁTICA I 27 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
 
Os demais exemplos, nas próximas 
páginas, construiremos juntos em forma de 
exercícios. 
 
 
24) Construir o gráfico da função 
f(x) = x2 – 2x - 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 28 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
25) Construir o gráfico da função 
f(x) = x2 – 4x +4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
26) Construir o gráfico da função 
f(x) = x2 – 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 29 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
27) Construir o gráfico da função 
f(x) = 2x2 – 4x – 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 30 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
28) Construir o gráfico da função 
 
2
3
2
1 2  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29) Construir o gráfico da função 
  542  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 31 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
30) Construir o gráfico da função 
  342  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 32 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
31) Construir o gráfico da função 
  26102  xxxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 176– Exercício 01 
EIXO DE SIMETRIA 
“O gráfico da função quadrática admite 
um eixo de simetria perpendicular ao eixo 
horizontal que passa pelo vértice da parábola”. 
A afirmação acima está presente no livro 
“Fundamentos da Matemática Elementar” e 
sua demonstração encontra-se na página 52 
desta apostila. 
 Esta conclusão nos permite construir 
apenas um ramo da parábola (à esquerda ou 
direita do vértice) e simetrizar este ramo em 
relação ao eixo de simetria para construir o 
outro ramo. 
 
COEFICIENTES a, b E c 
NO GRÁFICO 
 
 Os parâmetros 𝑎, 𝑏 e 𝑐 de uma função 
quadrática apresentada sob a forma 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 nos dão informações 
interessantes e importantes sobre a natureza 
do gráfico. Vamos ver nos acasos a seguir: 
1. Parâmetro c 
O coeficiente 𝒄 indica o ponto onde a 
parábola cruza o eixo vertical. 
 
 
 A parábola cruzo o eixo das ordenadas 
no ponto (0, c). 
 
2. Parâmetro b 
Este coeficiente indica se a parábola cruza 
o eixo das ordenadas com seu ramo crescente 
ou decrescente. Veja cada um dos casos nos 
exemplos abaixo. 
1º caso: b > 0 
 
 
 
MATEMÁTICA I 33 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Quando b > 0, a parábola cruza o eixo vertical 
com seu ramo crescente. 
 
 
 
 
 
2º caso: b < 0 
 
Quando b < 0, a parábola cruza o eixo vertical 
com seu ramo decrescente. 
 
 
 
 
3º caso: b = 0 
 
Quando b = 0, a parábola cruza o eixo vertical 
no vértice, onde a função não é crescente nem 
decrescente. 
 
 
 
3. Parâmetro a 
O parâmetro 𝒂 é responsável pela 
concavidade e abertura da parábola. Como já 
vimos, se 𝑎 > 0, a parábola tem a 
concavidade voltada para cima e se 𝑎 < 0, a 
concavidade estará voltada para baixo. 
 
 Porém, mais do que isso, este 
parâmetro determina a abertura da parábola. 
Quanto maior o valor absoluto de 𝒂, menor 
será sua abertura ou, em outras palavras, 
mais “fechada” ela será independente da 
direção da concavidade. 
 
 Veja nos exemplos a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
Estas informações são úteis, entre 
outras coisas, para verificar se construção do 
gráfico está correta. 
 
CASSIO VIDIGAL 34 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
SINAL DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Como já vimos em funções do primeiro 
grau, estudar o sinal de uma função é 
determinar para quais valores de x a função 
assume valores positivos, negativos ou 
mesmo zero. 
Dada uma função quadrática do tipo 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, sabemos que 𝑓(𝑥) 
pode apresentar duas, uma ou nenhuma raiz 
e o sinal do coeficiente 𝒂 determina a 
concavidade da parábola. 
Para estudar o sinal de uma função do 
2º grau, fazer um esboço do gráfico baseado 
nas raízes, caso existam, e no sinal do 
coeficiente a. 
Veja, nos exemplos, alguns casos. 
 
 
Vamos estudar o sinal das seguintes funções: 
Ex.1: f(x) = x2 – x – 6 
Resolução: As raízes são x1 = -2 e x2 = 3 e 
a = 1 > 0, assim a parábola corta o eixo OX em 
dois pontos e possui concavidade para cima. 
O esboço a seguir mostra isto e apresenta os 
sinais em cada intervalo. 
 
Logo, podemos afirmar que: 
 
 
 







3x2para0xf
3xou2xpara0xf
3xou2xpara0xf
 
 
Ex.2: f(x) = –2x2 + 3x + 2 
Resolução: x1 = -1/2 , x2 = 2 e a = -2 < 0 
 
 
 
 
 
 











2x
2
1
para0xf
2xou
2
1
xpara0xf
2xou
2
1
xpara0xf
 
 
 
Ex.3: f(x) = x2 – 2x + 1 
Resolução: x1 = x2 = 1 e a = 1 > 0 
 
 
 
 




1xpara0xf
1xpara0xf
 
 
 
Ex.4: f(x) = –2x2 + 8x - 8 
x1 = x2 = 2 e a = 1 > 0 
 
 
 
 




2xpara0xf
2xpara0xf
 
 
 
 
 
Ex.5: f(x) = x2 – 2x + 2 
a = 1 > 0 e f(x) não possui raízes. 
 
 
MATEMÁTICA I 35 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
 
 
Logo, 𝑓(𝑥) > 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
 
Ex.6: f(x) = –x2 + x – 1 
a = -1 < 0 e f(x) não possui raízes. 
 
 
Assim, 𝑓(𝑥) < 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∀𝑥 ∈ ℝ 
______________________________ 
 
 
 Faça agora algunsexercícios 
envolvendo estudo de sinais e inequações. 
 
32) Faça o estudo do sinal das seguintes 
funções: 
a)   1x5x6xf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)   3x2xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 36 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c)   4x4xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)   2xxxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e)   9xxf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f)     1x34x2xf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
g)     2x1x2xf  
 
 
MATEMÁTICA I 37 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)   1xx2xf 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i)     1x1xxf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j)    2x3xf  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 38 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
33) Determine os valores de c para os quais 
temos 𝑥2 + 4𝑥 + 𝑐 > 0, ∀𝑥 ∈ ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 182 – Exercícios R.6 e R.7 
Pág 184 – Exercícios 15 e 16 
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Sendo f(x) = ax2 + bx + c com a, b e c 
reais e a  0, chamamos de INEQUAÇÃO DO 
2º GRAU às sentenças do tipo f(x) > 0 ou f(x) 
 0 ou f(x) < 0 ou ainda f(x)  0. 
 
 Resolver uma inequação significa 
determinar os valores reais de x que 
satisfazem a condição pedida e isto é feito 
analisando-se o sinal da função. 
 
 Veja no exemplo a seguir. 
 
Ex. 1. Qual a solução da inequação 
2x2 – 5x + 2 >0. 
Resolução: 
Em princípio devemos determinar as raízes da 
função e a seguir esboçar o gráfico. 
As raízes são 2x1  e 
2
1
x2  e 
a = 2 > 0. 
 
 
 
Observando o esboço do gráfico, 
podemos notar que a função é positiva para 
2
1
x  ou 2x  assim: 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 <
1
2
 𝑜𝑢 𝑥 > 2} 
 
Ex.2: 
Resolver a inequação x2 – 6x – 7  0. 
 
As raízes são x1 = -1 e x2 = 7 e a > 0. 
 
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ | − 1 ≤ 𝑥 ≤ 7} 
 
Ex.3: Quais valores de x satisfazem a 
inequação x2 – 6x + 9 > 0? 
Raízes: x1 = x2 = 3 e a > 0 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≠ 3} 
 
 
 
MATEMÁTICA I 39 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
34) Determine o conjunto solução de cada 
uma das inequações a seguir: 
a) 010x9x2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 0xx6 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 4x2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) x1236x2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 40 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
e) 1xx2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 
8
1x12
x2
2
x2 
 
g) 2mm21mm 22  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
h)  1tt2t  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i)   16x44xx  
 
 
 
MATEMÁTICA I 41 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
j) 
6
1
k
3
1k
2
k 2 

 
k)    2a42x 22
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35) Num laboratório, uma substância sofre um 
processo de mudança de temperatura. Sabe-
se que após t segundos após o início do 
experimento, a temperatura C, em graus 
Celsius, é dada por C(t) = t2 – 12t + 35. 
 
a) Qual a temperatura inicial da substância? 
 
 
 
 
 
 
 
b) Qual a temperatura mínima que a 
substância atinge? 
 
 
CASSIO VIDIGAL 42 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c) Em que instante isto ocorre? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Durante quanto tempo a temperatura fica 
negativa? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Em que intervalo de tempo a temperatura 
ficou abaixo de 24ºC? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
______________________ 
 
ATIVIDADES COMPLEMENTARES 
Pág. 184– Exercícios 17 a 19 
 
 
MATEMÁTICA I 43 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
INEQUAÇÕES PRODUTO E 
QUOCIENTE 
 Resolver uma inequação produto e/ou 
quociente do segundo grau é semelhante ao 
que fazemos com aquelas que envolvem 
apenas funções do primeiro grau. Veja o 
exemplo. 
 
 
Ex.: Resolver a inequação 
(x2 + 2x – 3)(4x – 1) > 0 
 
Resolução: 
Devemos estudar o sinal de cada uma das 
funções. 
 
f(x) = x2 + 2x – 3 
 
g(x) = 4x – 1 
 
 
 
 
𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ| − 3 < 𝑥 <
1
4
 𝑜𝑢 𝑥 > 1} 
___________________________ 
 
 
 Como não há novidades em relação ao 
que já vimos em inequações 
produto/quociente do primeiro grau, podemos 
passar direto aos exercícios. 
 
 
 
36) Resolva as inequações: 
a)    01xx24x5x 22  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b)    01x5xx2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 44 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
c)   02x3xx 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d)     0x110x3x3x2 22  
e) 0
1xx2
1x3x4
2
2



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) 0
5x6x
x4
2
2



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 45 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
37) Resolva as duas inequações a seguir: 
a) 
2x
1x
1x
x




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 2
1x
1
1x
1
22




 
38) Seja  
1x2
1x2
xf
2 

 . Determine os valores 
de x em cada caso: 
a) para que se tenha f(x) = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) para que se tenha f(x) > 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 46 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
39) Dado     1x2x31xx2xf 22  
calcule os valores de x em cada caso: 
a) para que se tenha f(x) = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) para que se tenha f(x) > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SISTEMA DE INEQUAÇÕES DO 2º 
GRAU 
 
Resolver um sistema de inequações do 
2º grau ou um sistema de inequações 
simultâneas do 2º grau é semelhante àquele 
envolvendo apenas inequações do primeiro 
grau. 
 
Devemos lembrar que a solução de um 
sistema é a INTERSECÇÃO das soluções de 
cada uma das inequações que o formam. 
 
 
 
Ex.: Resolver o sistema 






1xx2
2xx
2
2
. 
Resolução: 
Devemos resolver cada inequação 
separadamente e, em seguida, fazer a 
intersecção entre as soluções. 
 
2xe1x
02xx
2xx
21
2
2



 
 
1xe
2
1
x
01xx2
1xx2
21
2
2



 
 
 
 
 
 
]2;1[]
2
1
;1[S  
 
 
MATEMÁTICA I 47 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
 
40) Resolva os sistemas: 
 
a) 





3x2x2x2x
1x21x2
22
2
 
b) 








9x8x
9x
x8x
2
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 48 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
41) Indique o conjunto solução de cada um 
dos três sistemas de inequações simultâneas 
a seguir: 
a) 4x5xx4 222  
 
b) 
2
x1
x5
2
x
x
2
1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 49 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
c) 3xx22x3x1x2x3 222  
 
42) Sejam   52xxf 2  e   1x3xg 2  . 
Determine x tal que: 
a) 2 < f(x) < 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x)  g(x) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CASSIO VIDIGAL 50 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
43) Calcule m de modo que   1mxmxxf 2  
tenha raízes reais e o gráfico seja uma 
parábola voltada para cima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44) Construir o gráfico da função: 
 






3xou3xpara14x
3x3para4x
xf
2
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 51 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
45) Construir o gráfico da função: 
 
 









1xpara1x
1x2para3 - x 2 + x²
-2xpara7x2
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
01) a) 3 e 5 b) -2 e 4 
c) 3 e 3 d) 0 e 4 
e) -5 e 2 f) -3 e 
2
1
 
g) 
3
1
 e 
7
5
 h) -2 e 2 
i) -5 e -1 
j) Não possui 
raízes reais 
k) 
3
1
 e 
3
4
 
 
02) 32 
 
03) 
3
4
k 04) 
2
13
p 
 
05) -1 
 
06) a) 
3
1
S e 
3
5
P 
 b) S = 6 e P = 5 
 
c) S = 0 e 
2
7
P 
 d) S = 3 e P = -2 
 
07) a) f(x) = x2 – 7x + 12 
b) f(x) = x2– x – 2 
c) f(x) = x2 + 9x + 20 
d) f(x) =x2 + 2√3x+1 
e) f(x) = x2 – 8x 
f) f(x) = x2 – 6x + 9 
g) f(x) =x2 - 7√7x + 42 
 
08) - Demonstração - 
 
09) P = -12 10) 3 
 
11) P = 77 
 
12) As raízes são -3 e -8 e p vale 24 
 
13) a) 
10
3
 b) 
5
3
 
 c) 2 a) 
70
9
 
 
14) a) vértice (1; 1); Im = [1; ); 
concavidade para cima. 
 
CASSIO VIDIGAL 52 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 b) vértice (2; 4); Im = (-; 4] 
concavidade para baixo. 
 
c) vértice 





4
13
;
2
5
; Im = (-;
4
13
]; 
concavidade para baixo. 
 
d) vértice 






2
3
;1 ; Im =(-;
2
3
]; 
concavidade para cima. 
 e) vértice (1; -5); Im = [-5; ); 
concavidade para cima 
 
f) vértice 






4
3
;
4
1
; Im = [
4
3
; ); 
concavidade para cima 
 
g) vértice 









10
9
;
2
2
; 
Im = [
10
9
 ; ); 
concavidade para cima 
 
15) m > 5 
 
16) b = 6 e c= 10 
 
17) a) k = 2 
b) f(0) = 4; f(3) = 19 
 
18) b = 2 e c = -2 
 
19) f(x) = x2 + 3x + 2 
 
20) a) D = [0, ) e Im = [0, ) 
b) 
4
x
y
2
 c) 
4
9
y  
 
21) a) 0,03 
b) R$27,00 
c) 20  30: 1,50 / cm 
 30  40: 2,10 / cm 
 
22) a) 10ºC 
b) 4 min 
c) 42ºC 
d) 1 min e 7 min 
 
23) 
a)  
4
1
2
3
xxf
2






 
raízes: 1 e 2 
 
b)  















4
1
2
7
xxf
2
 
raízes: 3 e 4. 
 
c)  















36
25
6
7
x3xf
2
 
raízes: 2 e 
3
1
 
 d)     11xxf
2
 
Não possui raízes reais. 
 e)    22xxf  raiz: -2 
 
f)  















16
25
4
3
xxf
2
 
raízes: 2 e 
2
1
 
 g)     21xxf
2
 
raízes: 21 e 21 
 h)     11xxf
2
 
raízes: 0 e 2 
 
24) 
 
 
 
MATEMÁTICA I 53 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
25) 
 
26) 
27) 
28) 
29) 
30 
31) 
32) 
a) 
 
 
 











2
1
x
3
1
para0xf
2
1
xou
3
1
xpara0xf
2
1
xou
3
1
xpara0xf
 
 
b) 
 
 
 







1xou3xpara0xf
1xou3xpara0xf
1x3para0xf
 
 
 
 
c) 
 
 




2xpara0xf
2xpara0xf
 
 
 
 
d) 
 
 
 







1xou0xpara0xf
1xou0xpara0xf
1x0para0xf
 
 
 
 
e) 
 
 
 







3x3para0xf
3xou3xpara0xf
3xou3xpara0xf
 
 
 
 
f) 
 
 
 











3
1
x2para0xf
3
1
xou2xpara0xf
3
1
xou2xpara0xf
 
 
 
 
g) 
 
 
 







2xou1xpara0xf
2xou1xpara0xf
2x1para0xf
 
 
 
 
h)    xpara0xf 
 
 i)    xpara0xf 
 
j) 
 
 




2xpara0xf
3xpara0xf
 
 
33) c > 4 
 
34) a) 





 



2
419
xou
2
419
x|xS 
 b)  6x0|xS  
 c)  2xou2x|xS  
 d)  6x|xS  
 
CASSIO VIDIGAL 54 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 e) 





 



2
51
x
2
51
|xS 
 f) 







2
1
S 
 g)  1m|mS  
 h) S = Ø 
 i)  4S  
 j) 







2
1
kou
3
1
k|kS 
 k) S = Ø 
 
35) a) 35ºC b) -1ºC 
 c) t = 6 s d) 2 segundos 
 e) 1 < t < 11 
 
36) a) 






 4xou
2
1
x|xS 185 
 b) 







5
1
x0ou1x|xS 
 c)  0x1ou2x|xS  
 d) 
}5x
2
3
ou1x1
ou2x|x{S


 
 e) 
}1xou1x
4
1
ou
2
1
x|x{S


 
 f) 
}3xou1x2ou
5x|x{S


 
 
37) a)  2x1|xS  
 b)  1xou0xou1x|xS  
 
38) a) x = 0 ou x = 1 
 b) 1x
2
2
ou0x
2
2
 
 
39) a) 1xou
3
1
xou
2
1
x  
 b) 
2
1
xou
3
1
x1ou1x  
 
40) a)  1x0|xS  
 b)  9xou3x|xS  
 
41) a)  4xou1x|xS  
 b) S = Ø 
 c) 






 1x
2
1
|xS 
 
42) a) -2 < x <0 
 b) x  -1 ou x ≥ 2 
 
43) m ≥ 4 
 
44) 
 
45) 
 
 
 
 
 
MATEMÁTICA I 55 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA 
 
MACHADO, Antônio dos Santos; 
Matemática, Temas e Metas. São Paulo, 
Atual, 1988. 
IEZZI, Gelson e outros; Fundamentos 
da Matemática Elementar, Volume 1. São 
Paulo, Atual, 5ª edição, 1977. 
 RUBIÓ, Angel Pandés; Matemática e 
suas tecnologias; Volume 1. São Paulo, IBEP, 
2005. 
 PAIVA, Manoel; Matemática; Volume 1. 
São Paulo, Moderna, 1995. 
 
Links para os vídeos sugeridos: 
 
Pág. 30 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ 
coef-a-b-c-grafico/ 
Pág. 31 
http://vidigal.ouropreto.ifmg.edu.br/ 
est-sinal-f2g/ 
 
 
Demonstração indicada na página 11. 
 
Vértice 
 
 Considere o gráfico abaixo da função 
f(x) = ax2 + bx + c. 
 
 
 
A parábola corta o eixo vertical no ponto 
P, podemos então dizer que 
f(0) = c. Sendo PQ um segmento de reta 
paralelo ao eixo horizontal, temos, para o 
ponto Q, a coordenadas (k, c). Desta forma 
podemos obter a abscissa de Q: 
 
 
a
b
k
bak
0bakou0k
0bakk
0bkak
ccbkak
cbxaxxfec)k(f
2
2
2








 
 
 Observando o gráfico vemos que 
k = 0 é a abscissa do ponto P, logo a abscissa 
de Q é 
a
b
 . 
 Devido à simetria da parábola, 
podemos determinar a abscissa de V como 
sendo a média aritmética entre as abscissas 
de P e Q, assim: 
a2
b
x
2
0
a
b
x
v
v



 
 Para determinar a ordenada do vértice, 
basta substituir determinar f(xv). 
 
CASSIO VIDIGAL 56 IFMG – CAMPUS OURO PRETO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a
acb
xf
a
acba
xf
a
caab
xf
a
caabab
xf
c
a
b
a
ab
xf
c
a
b
b
a
b
axf
v
v
v
v
av
v
4
4
4
4
4
4
4
42
24
22
2
2
2
2
22
2
222
22
2






















 
 
a
xf
acbcomo
v
4
42



 
 
Assim, temos que as coordenadas do 
vértice da parábola, são 𝑉 = (−
𝑏
2𝑎
; −
∆
4𝑎
) 
 
 
Demonstração indicada na página 29 
 
Eixo de simetria 
 
 Os pontos de uma reta vertical que 
passa pelo vértice de uma parábola obedecem 
à equação 
a2
b
x  pois todos os pontos têm 
abscissa 
a
b
2
 . 
 Para provarmos que a parábola tem um 
eixo de simetria, na reta 
a2
b
x  devemos 
mostrar que se o ponto 





 1y,k
a2
b
A 
pertence ao gráfico, então o ponto 






 1y,k
a2
b
B também pertence. 
 
 
Vamos considerar a função 
  cbxaxxf 2  na sua forma 
 







 







2
2
a4a2
b
xaxf 
e também que o ponto 





 1y,k
a2
b
A 
pertence a f(x), assim, 
 
 
 
   














 












 





 









 




















 







k
a2
b
f
a4a2
b
k
a2
b
a
a4
ka
a4
ka
a4a2
b
k
a2
b
ayk
a2
b
f
a4a2
b
xaxf
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
 
logo, podemos ver que o ponto 





 1y,k
a2
b
B 
também pertence ao gráfico.