MODELAGEM MATEMÁTICA - 2

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MODELAGEM 
MATEMÁTICA
Unidade 2
Equações e função de segundo 
grau; vetores; e matrizes
CEO 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Diretora Editorial 
ALESSANDRA FERREIRA
Gerente Editorial 
LAURA KRISTINA FRANCO DOS SANTOS
Projeto Gráfico 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
GLAUCO ANTÔNIO DO NASCIMENTO
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
KÁTIA GISELLE ALBERTO BASTOS
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Glauco Antônio do Nascimento
Olá. Sou formado em Gestão de Negócios e em Licenciatura 
em Matemática. Possuo MBA em Gestão Empresarial e experiência 
técnico-profissional na área de Tecnologia da Informação (TI) há 
mais de 29 anos. Na área da Educação, atuei por 6 anos como 
professor nos ensinos Fundamental, Médio, Técnico e Superior 
(Graduação e Pós-Graduação) de grandes universidades. Como 
sou apaixonado pelo que faço e adoro transmitir a minha 
experiência de vida àqueles que estão iniciando em suas 
profissões e estudos, fui convidado pela Editora Telesapiens a 
integrar o seu elenco de autores independentes. Estou muito 
feliz em ajudá-lo nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte 
comigo!
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Olá. Sou formada em Matemática, especialista em 
Metodologia do Ensino de Matemática e pós-graduada em Design 
Educacional. Tenho ampla experiência no âmbito da Educação, 
seja na sala de aula ou na elaboração de material didático para 
diferentes níveis de ensino da Matemática. Apaixonada por 
esta disciplina e pelo processo de sua transmissão, busco a 
elaboração de um material de fácil compreensão. Por isso, fui 
convidada pela Editora Telesapiens a integrar o seu elenco de 
autores independentes. Estou muito feliz em poder auxiliá-lo 
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
Kátia Giselle Alberto Bastos
Olá. Sou licenciada em Matemática e especialista em 
Metodologia do Ensino de Matemática com ampla experiência 
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docente nas esferas dos ensinos Fundamental e Médio. Além 
deste trabalho, tenho experiência como docente de cursos de 
formação de professores em Educação Matemática. Por isso, fui 
convidada pela Editora Telesapiens a integrar o seu elenco de 
autores independentes. Estou muito feliz em poder auxiliá-lo 
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
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Equações do segundo grau aplicadas .................................... 11
Identificação e classificação da equação do segundo grau ....................... 11
Solução de uma equação do segundo grau incompleta ............................ 16
1º caso: quando b = 0 ........................................................................16
2º caso: quando c = 0 .........................................................................18
3º caso: quando b = 0 e c = 0 ..........................................................20
Solução de uma equação do segundo grau completa ............................... 21
Estudo do discriminante ..................................................................................28
Funções quadráticas na prática ............................................. 31
Função, domínio, contradomínio e imagem .................................................31
Função quadrática .............................................................................................33
Raízes ou zeros de uma função quadrática ..................................................38
Vetores aplicados à física e à computação ........................... 43
Parábola: concavidade e vértice .....................................................................43
Construção e interpretação do gráfico ..........................................................49
Matrizes e sua importância na tecnologia ............................ 57
Matrizes ...............................................................................................................57
Operações com matrizes ...................................................................61
Adição e subtração de matrizes ........................................ 61
Multiplicação de um número real por uma matriz ........ 62
Multiplicação de matrizes ................................................... 62
Vetores .................................................................................................................64
Adição de vetores ...............................................................................67
Regra do polígono ...............................................................................67
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Regra do paralelogramo...................................................... 69
Subtração de vetores .........................................................................70
Multiplicação de um número real por um vetor .......................... 72
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A disciplina Modelagem Matemática faz parte da cadeia 
do ensino de exatas em todas as suas etapas. A sua principal 
responsabilidade consiste em promover a prática da aritmética, 
da álgebra elementar, das geometrias e espacial e também da 
trigonometria. Possui grande influência na área da Física e da 
Tecnologia da Informação (TI), uma vez que necessita de ajustes 
e precisão nos resultados qualitativos e quantitativos. Assim, 
a Matemática lhe proporcionará mais desenvoltura no seu 
raciocínio logico e na sua organização.
Ao longo desta unidade letiva, você vai mergulhar neste 
universo!
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Olá! Seja bem-vindo(a) à Unidade 2 – Equações e função 
de segundo grau; vetores; e matrizes. Nosso objetivo é auxiliá-
lo(a) no desenvolvimento das seguintes competências até o fim 
desta etapa de estudos:
1. Entender e resolver problemas que envolvem equações 
quadráticas ou equações de segundo grau. 
2. Utilizar gráficos de segundo grau para descrever o 
comportamento da variação de suas incógnitas, a fim 
de compreender alguns fenômenos físicos na prática. 
3. Definir vetores e entendendo suas aplicações em 
situações-problema no campo da Física e da Informática. 
4. Compreender o conceito de matrizes e discernir sobre 
a sua importância e aplicação na Computação e demais 
ciências afins.
Preparado para uma viagem rumo ao conhecimento? Ao 
trabalho!
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Equações do segundo grau 
aplicadas
OBJETIVO
Neste capítulo, vamos identificar uma equação do 
segundo grau com uma incógnita e saberá aplicá-
la como um dispositivo que possibilita a resolução 
de diferentes problemas. Além disso, vamos 
compreender como determinar as raízes deste 
tipo de equação.
Identificação e classificação da 
equação do segundo grau
Toda igualdade que contém pelo menos uma letra 
(incógnita), que representa um valor desconhecido, denominada 
equação.
Uma equação pode ser classificada em relação ao 
grau (maior expoente da incógnita) e quanto à quantidade de 
incógnitas. Veja os exemplos:
Exemplo: 
• 5x + 10 = x – 2
→ Equação do primeiro grau com 
uma incógnita.
• a + 3b = 51
→ Equação do primeiro grau com 
duas incógnitas.
• r2 + 3r = 13
→ Equação do segundo grau com 
uma incógnita.
Então, chamamos de equação do grau quando o maior 
expoente da incógnita for 2.
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DEFINIÇÃO
Chamamos de equação do segundo grau com 
uma incógnita toda igualdade que pode ser escrita 
na forma ax2 + bx + c = 0, sendo a, b e c números 
reais e a≠0 (número real diferente de zero).
Em uma equação do segundo grau, é importante destacar 
que:
 • A forma ax2 + bx + c = 0 é chamada de forma geral ou 
forma reduzida.
 • Os números a, b e c são os coeficientes: a é coeficiente 
de x2; b é coeficiente de x; e, c é o termo independente. 
 • O coeficiente a é diferentede zero (a≠0) para garantir 
que a equação seja do segundo grau, pois terá o termo 
ax2. 
 • O valor desconhecido (incógnita) é x.
Exemplo: 
• 2x2 – x – 20 = 0
→ Equação do segundo grau com 
uma incógnita.
• –y2 + 25 = 0
→ Equação do segundo grau com 
uma incógnita.
• 2t2 – 16t = 0
→ Equação do segundo grau com 
uma incógnita.
Em algumas situações a equação do segundo grau não 
estará escrita na forma geral. Portanto, é importante que você 
organize os termos em ordem decrescente de expoente para 
então identificar corretamente os coeficientes da equação. Veja 
os exemplos:
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Exemplo: determine os coeficientes das equações a seguir:
a) 6x2 – x = –5
b) 3y = 7 –y2
c) x2 = 9
d) 5x = 23 x
2
Solução: para determinar os coeficientes das equações 
dadas, precisamos reescrevê-las na forma geral, ou seja, 
ax2 + bx + c = 0. Então:
a) 6x2 – x = –5 → 6x2 – x + 5 = 0, portanto: a = 6; b = –1 e c = 5.
b) 3y = 7 – y2 → y2 + 3y – 7 = 0, portanto: a = 1; b = 3 e c = –7.
c) x2 = 9 → x2 – 9 = 0, portanto: a = 1; b = 0 e c = –9.
d) 5x = 23 x
2 → – 23 x
2 + 5x = 0, portanto: a=– 23 ; b = 5 e c = 0.
Note que em todos os exemplos o valor do coeficiente a 
foi diferente de zero, pois todas as equações apresentadas eram 
do segundo grau. Observe, ainda, que, em algumas delas, os 
coeficientes b e c eram iguais a zero. Esse fator será importante 
quando estivermos classificando esse tipo de equação. 
Para solucionarmos a equação, utilizaremos técnicas que 
possibilitam calcular o(s) valor(es) real(is) de x que torna(m) a 
equação válida, isto é, verdadeira, e identificar corretamente os 
coeficientes será essencial. 
Toda equação do segundo grau pode ser classificada de 
acordo com a composição de sua forma algébrica, que é dada por 
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ax2 + bx + c = 0. Existem duas categorias: as equações quadráticas 
completas e as equações quadráticas incompletas.
DEFINIÇÃO
Uma equação da forma ax2 + bx + c = 0 é chamada 
de equação do segundo grau incompleta 
quando a≠0 e pelo menos um dos coeficientes b 
ou c é nulo.
Pela definição, podemos concluir que as equações do 
segundo grau do tipo incompletas podem ser escritas das 
seguintes maneiras:
 • Se b = 0, então, ax2 + c = 0;
 • Se c = 0, então, ax2 + bx = 0;
 • Se b = 0 e c = 0, então, ax2 = 0.
Analise os exemplos a seguir:
Exemplo: classifique as equações a seguir em completas 
ou incompletas:
a) –x2 + x = 0
b) 3x2 – x + 7 = 0
c) 2x2 = 0
d) x2 – 14 = 0
Solução: para classificar as equações primeiro precisamos 
reescrevê-las na forma geral, ou seja, ax2 + bx + c = 0. Em 
seguida determinamos quais são os coeficientes e depois 
indicamos se ela é completa (quando a, b e c são diferentes 
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de zero) ou incompleta (quando pelo menos um dos 
coeficientes b ou c é igual a zero). Veja cada um dos casos:
a) –x2 + x = 0 → a = –1; b = 1 e c = 0, como c = 0, a equação 
é incompleta.
b) 3x2 – x + 7 = 0 → a = 3; b = –1 e c = 7, como todos os 
coeficientes são não nulos, ou seja, diferentes de zero, a 
equação é completa.
c) 2x2 = 0 → a = 2; b = 0 e c = 0, como b = 0 e c = 0, a equação 
é incompleta.
d) x2 – 1
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 = 0 → a = 1; b = 0 e c = – 1
4
, como b = 0, a equação 
é incompleta.
Confira mais um exemplo:
Exemplo: a região retangular a seguir tem área igual a 42 cm2.
 
Escreva uma equação que represente a área da região 
retangular e classifique-a em completa ou incompleta. 
Solução: a área de uma região retangular é calculada pelo 
produto do comprimento (base) pela altura da região, ou 
seja, A = base ∙ altura. Como já sabemos que a área é igual 
a 42 cm2, então:
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(x + 3) ∙ (x + 2) = 42
Aplicando a propriedade distributiva, reduzindo termos 
semelhantes e escrevendo a equação na forma geral, 
temos:
x2 + 2x + 3x + 6 = 42 → x2 + 5x + 6 – 42 = 0 → x2 + 5x – 36 = 0
Portanto, a equação que representa a área é x2 +5x – 36 = 0. 
Os coeficientes são a = 1; b = 5 e c = –36. Logo, essa equação 
é completa.
Note que elaboramos uma equação para fornecer a 
área do retângulo mesmo sem saber o valor numérico de suas 
dimensões. Se resolvermos essa equação poderemos então 
saber quais são as dimensões da figura. Mas, como resolver uma 
equação do segundo grau?
Para determinar as raízes da equação, existem 
procedimentos (técnicas) mais adequadas para cada tipo de 
equação. próximo item.
Solução de uma equação do 
segundo grau incompleta
Resolver uma equação do segundo grau é encontrar os 
valores reais x que a satisfazem. Para tanto, vamos iniciar nosso 
estudo com métodos de resolução para equações incompletas. 
1º caso: quando b = 0
DEFINIÇÃO
Quando b = 0, a equação do segundo grau é 
incompleta e sua forma geral pode ser escrita 
como ax2 + c = 0.
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Para resolver equações nessa forma, vamos proceder 
de forma similar à resolução de uma equação do primeiro grau 
com uma incógnita, ou seja, vamos isolar a incógnita em um 
dos membros da equação utilizando as operações inversas. Veja:
Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (ℝ), 
resolva as equações incompletas a seguir:
a) x2 – 25 = 0
b) –3x2 + 27 = 0
c) x2 + 25 = 0
Solução: como as equações não possuem o coeficiente b, 
então vamos isolar a incógnita em um dos membros por 
meio das operações inversas. Então, obteremos:
a) x2 – 25 = 0 → x2 = 25 → x2 = 25 → x=±5. 
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = –5 e x2 = 5.
b) –3x2 +27 = 0 → –3x2 = –27 → x2 = –27–3 → x
2 = 9 → x2 = 9 → 
x = ±3. 
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = –3 e x
2 = 3.
c) x2 + 25 = 0 → x2 = –25 → x2 = –25 → x = ± –25 . 
O número –25 não é real, logo, não é possível calcular 
o valor de –25 no conjunto numérico pedido no 
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enunciado da situação. Portanto, não há raízes reais para 
esta equação. 
Observe que a solução das equações incompletas na 
forma ax2 + c = 0 ou não são reais ou são duas raízes reais 
distintas e opostas.
2º caso: quando c = 0
DEFINIÇÃO
Quando c = 0, a equação do segundo grau é 
incompleta e sua forma geral pode ser escrita 
como ax2 + bx = 0.
Nesse caso, resolveremos a equação utilizando a técnica 
do fator comum em evidência. Confira:
Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (ℝ), 
resolva as equações incompletas a seguir:
a) x2 – 5x = 0
b) 3x2 + 18x = 0
c) 2x2 + 3x = 0
Solução: como as equações não possuem o coeficiente 
c, usaremos a técnica de fatoração “fator comum em 
evidência” para escrever a equação em forma de um 
produto. Observe:
a) O fator comum na equação x2 – 5x = 0 é x, logo, podemos 
reescrever a equação como x(x – 5) = 0. Note que se um 
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produto tem resultado igual a zero, então um dos fatores 
tem que ser igual a zero. Assim
x(x – 5) = 0
x = 0 x – 5 = 0ou
A segunda possibilidade é uma equação do primeiro grau 
com uma incógnita que pode ser resolvida isolando a 
incógnita em um dos membros: 
x2 – 5 = 0 → x2 = 5.
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = 0 e x2 = 5.
b) O fator comum na equação 3x2 + 18x = 0 é 3x, logo, 
podemos reescrever a equação como 3x(x + 6) = 0. Como 
o resultado do produto é zero, então um dos fatores tem 
que ser igual a zero. Assim, 
3x = 0 ou x + 6 = 0 
Resolvendo as duas equações do primeiro grau com uma 
incógnita obtemos: 
1.ª) 3x1 = 0 → x1 = 
0
3 → x1 = 0
2.ª) x2 + 6 = 0 → x2 = 0 – 6 → x2 = –6.
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = 0 e x2 = –6.
c) O fator comum na equação 2x2 + 3x = 0 é x, logo, podemos 
reescrever a equação como x(2x + 3) = 0. Como o resultado 
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do produto é zero, então um dos fatores tem que ser igual 
a zero. Assim, 
x = 0 ou 2x + 3 = 0
Resolvendo a equação do primeiro grau com uma incógnita 
obtemos: 
2x2 + 3 = 0 → 2x2 = –3 → x2= –
3
2 .
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = 0 e x2 = –
3
2 .
Observe que a solução das equações incompletas na 
forma ax2 + bx = 0 sempre são duas raízes reais distintas, 
sendo uma delas igual a zero. 
3º caso: quando b = 0 e c = 0 
DEFINIÇÃO
Quando b = 0 e c = 0, a equação do segundo grau 
é incompleta e sua forma geral pode ser escrita 
como ax2 = 0.
Para resolver equações incompletas dessa forma, vamos 
proceder de maneira análoga à resolução de uma equação 
do primeiro grau com uma incógnita, ou seja, vamos isolar 
a incógnita em um dos membros da equação utilizando as 
operações inversas. Veja:
Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (ℝ), 
resolva as equações incompletas a seguir:
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a) 10x2 = 0
b) –6x2 = 0
c) 2,5x2 = 0
Solução: como as equações não possuem os coeficientes b 
e c, vamos isolar a incógnita em um dos membros por meio 
das operações inversas. Então, obteremos:
a) 10x2 = 0 → x2 = 010 → x
2 = 0 → x2 = ± 0 → x = 0. 
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = x2 = 0.
b) –6x2 = 0 → x2 = 0–6 → x
2 = 0 → x2 = ± 0 → x = 0. 
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = x2 = 0.
c) 2,5x2 = 0 → x2 = 02,5 → x
2 = 0 → x2 =±√0 → x = 0. 
Portanto, há duas possibilidades de solução (duas raízes): 
x1 = x2 = 0.
Observe que a solução das equações incompletas na 
forma ax2 = 0 são duas raízes reais e iguais a zero.
Solução de uma equação do 
segundo grau completa
Assim como na resolução dos casos de equações 
incompletas, existem alguns métodos para a resolver uma 
equação do segundo grau na forma ax2 + bx + c = 0. Dentre eles, 
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destacamos: soma e produto; completar quadrados; fatoração 
do trinômio quadrado perfeito; e fórmula resolutiva. 
Optamos, neste estudo, por aprofundar nosso olhar para 
o método da fórmula resolutiva, pois é uma técnica que pode ser 
utilizada tanto para equações completas quanto incompletas.
A fórmula resolutiva para equação do segundo grau, 
popularmente conhecida como fórmula de Bháskara, é um 
dispositivo utilizado na determinação das raízes de uma equação 
quadrática.
DEFINIÇÃO
Seja ax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais 
e a≠0, uma equação do segundo grau, então, 
podemos calcular o valor das raízes desta equação 
utilizando a seguinte relação matemática:
(1)
x = –b ±
2a
b2 – 4ac
Podemos indicar a expressão b2 – 4ac pela letra 
do alfabeto grego Δ (delta):
(2)
Δ = b2 – 4ac 
Assim, a fórmula resolutiva de uma equação do 
segundo grau (ou fórmula de Bháskara) pode ser 
reescrita como:
(3)
–b ±
2a
Δ
Portanto, para utilizar a fórmula é necessário 
identificar corretamente os coeficientes da 
equação quadrática, fazer as substituições 
correspondentes e realizar as operações 
indicadas.
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IMPORTANTE
Existem situações nas quais encontramos os 
coeficientes fora da ordem estabelecida ou então 
a equação não está reduzida. Lembre-se de 
escrever a equação na forma geral (ax2 + bx + c = 0) 
para depois identificar os coeficientes: a é o valor 
(coeficiente) do termo “ao quadrado”, b acompanha 
o termo de “grau um” e c é independente.
VOCÊ SABIA?
Embora seja muito conhecida por Fórmula de 
Bháskara, a fórmula resolutiva de uma equação 
do segundo grau não foi criada por ele! Saiba 
mais através do artigo da A Fórmula de Bháskara, 
disponível no QR-Code.
Para você compreender melhor como funciona o método 
de resolução utilizando a fórmula. Observe:
Exemplo: considerando o conjunto dos números reais (R), 
resolva as equações:
a) x2 – 5x + 6 = 0
b) x2 – 10x + 25 = 0
c) –x + x2 + 5 = 0
Solução: primeiro, observe se as equações já estão 
reduzidas e escritas na forma geral; Em seguida faça uma 
https://rpm.org.br/cdrpm/39/12.htm
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lista identificando os coeficientes (a,b e c); Substitua esses 
valores na fórmula do delta (Δ = b2 – 4ac) e depois o número 
delta e os demais valores devem ser substituídos na 
fórmula x = –b ±
2a
Δ e assim, obter as raízes da equação.
a) Na equação x2 – 5x + 6 = 0 os coeficientes são: a = 1; b = –5 
e c = 6. Então o valor de delta será igual a:
Δ = b2 – 4ac
Δ = (–5)2 – 4 ∙ 1 ∙ 6
Δ = 25 – 24
Δ = 1
Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos: 
x = –b ±
2a
Δ
x = –(–5) ±2 ∙ 1
1
Note que antes da raiz quadrada há o sinal ± que indica 
que há duas possibilidades: “somar o resultado da raiz 
quadrada” ou “subtrair o resultado da raiz quadrada”. 
Assim, podemos chegar em dois resultados:
–(–5) ±
2 ∙ 1x =
x1 = =
=
= 3
= 2x2 =
1
5 + 1
2
5 – 1
2
6
2
4
2
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Portanto, a solução desta equação é dada por duas raízes 
reais e distintas: x1 = 3 e x2 = 2. Usando a notação de 
“conjunto solução” indicamos as raízes como S = {2,3}. 
b) Na equação x2 – 10x + 25 = 0 os coeficientes são: a = 1; 
b = –10 e c = 25.
Logo, o valor de delta será:
Δ = b2 – 4ac → Δ= (–10)2 – 4 ∙ 1 ∙ 25 → Δ = 100 – 100 → Δ = 0.
Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:
x = –b ±2a
Δ → x = –(–10) ±2 ∙ 1
0
Então:
–(–10) ±
2 ∙ 1x =
x1 = =
=
= 5
= 5x2 =
0
10 + 0
2
10 – 1
2
10
2
10
2
A solução desta equação é dada por duas raízes reais e 
iguais: x1 = x2 = 5. Usando a notação de conjunto solução: 
S = {5}. 
c) A equação –x + x2 + 5 = 0 está com os termos fora da 
ordem, então, devemos reescrevê-la: x2 – x + 5 = 0. 
Coeficientes: a = 1; b = –1 e c = 5. Logo, o valor de delta será:
Δ = b2 – 4ac → Δ = (–1)2 – 4 ∙ 1 ∙ 5 → Δ = 1 – 20 → Δ = –19.
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Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:
x = –b ±2a
Δ → x = –(–1) ±
2 ∙ 1
–19 → x = 1 ±
2
–19
Note que o valor de delta é um número negativo (Δ<0). 
Lembre-se que não é possível, no conjunto dos números reais, 
extrair a raiz quadrada de um número negativo, pois a raiz 
quadrada de um número negativo não é um valor real. Logo, 
para a equação do exemplo não há raízes reais. De modo que, 
usando a notação de conjunto solução indicamos como S={ } 
ou S = ∅.
IMPORTANTE
O símbolo ∅ (vazio) representa que o conjunto 
está vazio, ou seja, não há elementos. Podemos 
indicar um conjunto vazio com as chaves vazias 
(sem elementos), ou seja, { }. Nunca use as duas 
notações juntas! O símbolo de vazio não pode 
estar dentro das chaves, pois assim você indicará 
um conjunto unitário.
Agora vamos observar um exemplo de uma situação problema que recai 
em uma equação do segundo grau:
Exemplo: Um terreno retangular com medidas iguais (2x + 5) 
metros por (x + 7) metros tem área igual a 180 m2. Quais 
são as medidas desse terreno? 
Solução: a área de um retângulo é dada pela fórmula 
A = base ∙ altura. Como já sabemos que a área é igual a 180 m2 
então: (2x + 5)∙(x + 7) = 180. Aplicando a propriedade 
distributiva, reduzindo termos semelhantes e escrevendo 
a equação na forma geral, temos: 2x2 + 5x + 14x + 35 – 180 = 0 
→ 2x2 + 19x – 145 = 0. Os coeficientes são: a = 2; b = 19 e 
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c = –145. Então o valor de delta será igual a: Δ = b2 – 4ac → 
Δ = 192 – 4 ∙ 2 ∙ (–145) → Δ = 1521. 
Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos:
x = –b ±2a
Δ → x = –19 ±
2 ∙ 2
1521 → x = –19 ± 39
4
Portanto:
x1 = 
–19 + 39
4
 = 20
4
 = 5
e
x2 = 
–19 – 39
4
 = –58
4
 = – 29
2
 = 14,5
Logo, x1 = 5 e x2 = –14,5. Para resolver o problema devemos 
substituir o valor encontrado nas medidas do terreno (2x + 5) 
metros e (x + 7) metros. Observe:
• Se x = –14,5, temos:
2x + 5 = 2 ∙ (–14,5) +5 = –29 + 5 = –24
e
x + 7 = –14,5 + 7 = –7,5
• Se x = 5, temos:
2x + 5 = 2 ∙ 5 + 5 = 10 + 5 = 15
e
x + 7 = 5 + 7 = 12
Note que, ao substituirmos o valor x = –14,5 obtivemos 
medidas negativas. Como nossa situação problema trata de 
medidas de comprimento, essa solução não serve. Logo, só 
iremos considerar o caso em que x = 5, assim, as medidas desse 
terrenosão 15 metros por 12 metros. 
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Estudo do discriminante
Nos exemplos vistos no item anterior, observamos que, 
a depender do valor encontrado para o Δ, a equação poderia 
não ter raízes reais, ter duas raízes reais iguais ou ter duas raízes 
reais distintas. Assim, podemos saber o comportamento das 
raízes apenas calculando o valor do delta.
DEFINIÇÃO
Denominamos de discriminante da equação do 
segundo grau o número: 
(4)
Δ = b2 – 4ac 
O valor negativo, nulo ou positivo do discriminante vai 
determinar quantas raízes reais a equação terá quando seus 
coeficientes forem números reais. Portanto:
 • Se ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
 • Se ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais e iguais.
 • Se ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais e distintas.
Para compreender um pouco melhor, observe os 
exemplos:
Exemplo: determine o valor de m para que a equação 
2x2 + (m)x + 8 = 0 tenha:
 a) Nenhuma raiz real
b) Uma raiz real 
c) Duas raízes reais
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Solução: identificamos os coeficientes da equação: a = 2; 
b = m e c = 8. Depois substituímos os valores na fórmula do 
discriminante:
Δ = b2 – 4ac → Δ = (m)2 – 4 ∙ 2 ∙ 8 → Δ = m2 – 64 .
Calculando o valor de m para ∆ = 0 temos:
∆ = 0 → m2 – 64 = 0 → m2 = 64 → m2 = 64 → m = ±8. 
Para m1 = –8 e m2 = 8, o valor de delta será igual a zero. 
Veja o quadro de possibilidades para o discriminante:
Quadro 1 – Análise do discriminante para os valores m
Se m for... Exemplo: Δ = m2 – 64 Conclusão:
Menor que –8 
(m < –8)
Se m = –10, Δ = (-10)2 – 64 = 100 – 64 = 36 Δ > 0
Igual a -8 
(m = –8)
Se m = –8, Δ = (-8)2 – 64 = 64 – 64 = 0 Δ = 0
Maior que –8 e 
menor que 8
(–8 < m < 8)
Se m = –1, Δ = (–1)2 – 64 = 1– 64 = –63 
Se m = 0, Δ = 02 − 64 = −64
Se m = +5, Δ = (+5) 2 − 64 = 25 − 64 = −39
Δ < 0
Igual a 8 
(m = 8)
Se m = + 8, Δ = (+8)2 - 64 = 64 – 64 = 0 Δ = 0
Maior que 8 
(m > 8)
Se m = + 10, Δ = (+10)2 – 64 = 100 – 64 = 36 Δ > 0
Fonte: Elaborado pelo autor (2022)
Após a análise do quadro, e utilizando a relação entre 
valor do discriminante e a quantidade de raízes, podemos 
responder às seguintes questões: 
a. Quando ∆ < 0 não há raízes reais e isso acontece se 
–8 < m < 8.
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b. Quando ∆ = 0 há uma raiz real e isso acontece se m = –8 
ou m = 8.
c. Quando ∆ > 0 há duas raízes reais e isso acontece se m < –8 
ou m > 8.
RESUMINDO
Neste capítulo, vimos que uma equação do 
segundo grau ou equação quadrática pode ser 
escrita na forma geral ax2 + bx + c = 0 em que a, b 
e c são números reais chamados de coeficientes e 
a deve ser diferente de zero para que a equação 
seja do segundo grau. Quando possuem todos os 
coeficientes não nulos, as equações são completas. 
Se pelo menos um dos coeficientes (b ou c) for 
nulo, a equação é chamada de incompleta. Além 
disso, vimos algumas técnicas para resolução de 
equações incompletas e completas. Finalizamos 
com a fórmula resolutiva de uma equação 
(conhecida por fórmula de Bháskara) e com o 
estudo do discriminante.
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Funções quadráticas 
na prática
OBJETIVO
Neste capítulo, vamos compreender as funções 
como relações de dependência unívoca entre 
duas variáveis e suas representações numérica, 
algébrica e gráfica, utilizando esse conceito para 
analisar situações que envolvam função do 
segundo grau (função quadrática) redutíveis à 
forma ƒ(x) = ax2 + bx + c.
Função, domínio, contradomínio 
e imagem
Antes de iniciar com o estudo sobre função quadrática, 
vamos revisar o que é uma função e alguns tópicos relevantes para 
a compreensão desta ideia, tais como domínio, contradomínio e 
imagem. 
Em situações em que há uma relação de dependência 
entre as grandezas, podemos representar (modelar) a situação 
por meio de uma fórmula matemática (regra ou lei de formação) 
que relaciona essas grandezas: uma em função da outra. Assim, 
uma função pode ser compreendia como uma aplicação entre 
conjuntos, uma vez que relaciona elementos de dois conjuntos 
A e B por uma lei de formação y = ƒ(x). Assim, uma função é 
apresentada como ƒ: A → B (lê-se: função ƒ de A em B).
DEFINIÇÃO
Dada uma função ƒ: A → B, chama-se domínio 
da função, indicado por D(ƒ), o conjunto A e 
contradomínio função, indicado por CD(ƒ), o 
conjunto B.
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DEFINIÇÃO
Dada uma função ƒ: A → B, denomina-se imagem 
de x pela função ƒ cada elemento y ∈ B obtido 
pela aplicação da função ƒ a cada elemento x ∈ A.
DEFINIÇÃO
O conjunto imagem da função ƒ, indicado por 
Im(ƒ), é formado por todos os valores y (imagem de 
x pela função ƒ). O conjunto imagem está contido 
no conjunto contradomínio da função, Im(ƒ)⊂B.
Em outras palavras, para cada elemento x no domínio 
da função existe um único elemento correspondente a ele que 
foi “transformado” pela função ƒ em um ƒ(x) = y que está no 
contradomínio da função.
Lembre-se também de que, em uma função, o valor que 
pode ser “escolhido” (x) é a variável independente e o valor obtido 
a partir dessa escolha (y) é a variável dependente. 
De maneira a compreender melhor esses conceitos, 
observe um exemplo:
Exemplo: considere a função ƒ: A → B representada 
pelo diagrama a seguir:
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Após a análise do diagrama, indique os elementos que 
pertencem aos conjuntos domínio, contradomínio e 
imagem da função.
Solução: como a função é uma aplicação de A em B, note 
que a flecha sai do conjunto A em direção ao conjunto 
B. O domínio da função o conjunto de onde partem 
(saem) os elementos x, portanto, D(ƒ) = A = {–3, 1, 2, 3}. 
Já o contradomínio da função corresponde a todos os 
elementos que estão no conjunto de “chegada”, ou seja, 
CD(ƒ) = B = { 1, 4, 5, 9}, assim os elementos do contradomínio 
são as possíveis imagens. O conjunto imagem, por sua vez, 
corresponde aos valores de saída que foram convertidos 
nos valores de chegada (onde a flechinha do domínio de 
fato chegou), logo, Im(ƒ) = {1, 4, 9}. 
Observe que em nosso exemplo o conjunto imagem não 
coincidiu com o contradomínio, pois o elemento 5 não 
pertence ao conjunto imagem.
De maneira geral, o domínio de uma função é o conjunto 
dos números reais ℝ ou um de seus subconjuntos. Porém, se a 
função estiver relacionada à uma situação real, deve-se verificar 
o que a variável independente representa para então determinar 
o seu domínio.
Função quadrática
O estudo da função não é limitado apenas ao âmbito da 
Matemática, mas é colocado em prática em outras ciências, tais 
como a Física e a Química. As funções do segundo grau estão 
conectadas à inúmeras aplicações no cotidiano, tais como: na 
análise do processo de fotossíntese das plantas; na administração, 
estão diretamente relacionadas às funções custo, receita e lucro; 
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e, na engenharia civil modelam diversas concepções interligadas 
às construções.
DEFINIÇÃO
Denomina-se função quadrática ou função 
polinomial do segundo grau, qualquer função ƒ 
definida de ℝ (conjunto dos números reais) em 
ℝ, cuja lei de formação pode ser escrita como um 
polinômio do segundo grau, isto é, na forma ƒ(x) = 
ax2 + bx + c, com a, b e c números reais e a≠0 (a é 
um valor diferente de zero).
Exemplo: são exemplos de função do segundo grau: 
• y = 12 x
2
• ƒ(x) = 3x2 – 2x
• g(x) = –x2 + 12x – 3
• h(x) = x2 – 8
Note que o coeficiente a tem que ser um valor não nulo, 
ou seja, diferente de zero, para que o termo x2 exista e a função 
seja quadrática. Não cumprindo essa condição, a função torna-se 
afim (função do primeiro grau).
Para identificar os coeficientes a, b e c de uma função 
quadrática deve-se adotar os mesmos procedimentos utilizados 
na equação do segundo grau:
Exemplo: determine os coeficientes das funções a seguir:
a) ƒ(x) = 6x2 – x + 5
b) g(x) = x2 – 9 
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c) h(x) = 5x + 23 x
2
Solução: para determinar os coeficientes das equações 
dadas,precisamos deixá-las na forma geral, ou seja, 
ƒ(x) = ax2 + bx + c. Então:
a) ƒ(x) = 6x2 – x – 5 → Coeficientes: a = 6; b = –1 e c = 5.
b) g(x) = x2 – 9 → Coeficientes: a = 1; b = 0 e c = –9.
c) h(x) = 5x + 23 x
2 → h(x)= 23 x
2 + 5x → Coeficientes: a = 23 ; 
b = 5 e c = 0.
Atenção ao identificar os coeficientes quando a função 
quadrática estiver representada de uma maneira menos explicita, 
ou seja, de forma fatorada ou simplificada. Nestes casos, resolva 
as operações, reduções e reorganizações necessárias a fim de 
explicitar esses valores. Lembre-se: a função deve estar escrita 
na forma geral para que se possa identificar os coeficientes.
Exemplo: determine os coeficientes das funções a seguir:
a) ƒ(x) = (x – 1) (x + 2)
b) ƒ(x) = 3x (x – 8)
c) ƒ(x) = (2x + 1)2
Solução: para determinar os coeficientes das equações 
dadas, precisamos deixá-las na forma geral, ou seja, ƒ(x) = 
ax2 + bx + c. Então, devemos realizar as multiplicações e 
reagrupamentos que se fizerem necessários:
a) ƒ(x) = (x – 1) (x+2) → ƒ(x) = x2 + 2x – x – 2 → ƒ(x) = x2 + x – 2
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Portanto, os coeficientes são: a = 1; b = 1 e c = –2.
b) ƒ(x) = 3x (x – 8) → f(x) = 3x2 – 24x → Coeficientes: a = 3; 
b = –24 e c = 0.
c) ƒ(x) = (2x + 1)2 → ƒ(x) = 4x2 + 4x + 1 → Coeficientes: a = 4; 
b = 4 e c = 1.
Veja, agora, um exemplo envolvendo a lei de formação 
da função.
Exemplo: seja ƒ: ℝ → ℝ uma função quadrática em que ƒ(0) = 3, 
ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3. Escreva a lei de formação dessa função.
Solução: para escrever a lei de formação da função 
precisamos determinar quais são os coeficientes a, b e c 
para substituí-los na forma geral da função quadrática, 
ou seja, em ƒ(x) = ax2 + bx + c. Para tal, utilizaremos as 
informações dadas pelo enunciado: a função é definida nos 
reais e ƒ(0) = 3, ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3. Iniciaremos substituindo 
essas informações na forma geral e obtendo equações que 
nos ajudarão a encontrar os coeficientes. Assim:
Para ƒ(0)=3 → a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = 3 → 0 + 0 + c = 3 → c = 3 .
Como c = 3, ao calcular ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3 teremos:
ƒ(1) =1 → a ∙ 12 + b ∙ 1 + 3 = 1 → a + b = 1 – 3 → a + b = –2 .
ƒ(2) = 3 → a ∙ 22 + b ∙ 2 + 3 = 3 → 4a + 2b = 3 – 3 → 
4a + 2b = 0 .
Para encontrar os valores de a e b, resolveremos um sistema 
de equações do primeiro grau com duas incógnitas.
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a + b = –2 (I)
(II)4a + 2b = 0{
Existem vários métodos de resolução. Aqui optamos por 
utilizar o método da substituição. Antes disso vamos 
“preparar” as equações (I) e (II). Observe:
(I) Isolamos b → a + b = –2 → b = –2 – a.
(II) Dividimos os membros por 2 → 4a + 2b = 0 → 4a2 + 
2b
2 = 
0
2
 → 2a + b = 0.
Substituindo (I) em (II): 
2a + b = 0 → 2a+ (–2 – a) = 0 → 2a – 2 – a = 0 → 2a – a = 2 → 
a = 2 .
Com o valor para a, faremos a substituição na equação (I): 
b = –2 – a → b = –2 – (+2) → b = –2 – 2 → b = –4 .
Logo, os coeficientes da função são: a = 2; b = –4 e c = 3. 
Portanto a lei de formação da função é dada por:
ƒ(x) = ax2 + bx + c → ƒ(x) = 2x2 – 4x + 3 .
Convido você, caro(a) aluno(a), a verificar a resposta 
encontrada calculando os valores de ƒ(x) quando x for 
igual a 0, 1 e 2. Deste modo será possível comprovar que 
realmente a função ƒ(x) = 2x2 – 4x + 3 resulta em ƒ(0) = 3, 
ƒ(1) = 1 e ƒ(2) = 3.
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Raízes ou zeros de uma função 
quadrática
DEFINIÇÃO
Seja ƒ: ℝ → ℝ uma função de segundo grau. Quando 
calculamos f(x) = 0, ou seja, ax2 + bx + c = 0, desejamos 
encontrar o valor de x para qual a função se anula. 
Neste caso, dizemos que encontramos o zero da 
função ou a raiz da função.
Portanto, para determinar o zero da função utilizamos 
as mesmas técnicas empregadas na resolução de equações do 
segundo grau. Lembre-se que existem muitas maneiras para 
resolvê-las (veja novamente o capítulo 1). 
Por ser uma técnica eficiente para equações completas e 
incompletas, optamos por enfatizar a fórmula resolutiva (fórmula 
de Bháskara).
Veja o seguinte exemplo:
Exemplo: seja ƒ: ℝ → ℝ uma função cuja lei de formação é 
dada por ƒ(x) = x2 – 2x – 3. Determine os zeros (ou raízes) 
desta função.
Solução: calcular os zeros ou raízes da função é 
determinar para qual(is) valor(es) de x a função se anula, 
ou seja, f(x) = 0. Substituindo na lei de formação da função 
obtemos a seguinte equação:
x2 – 2x – 3 = 0
Os coeficientes desta equação são: a = 1; b = –2 e c = –3. 
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Então o valor de delta será igual a: 
Δ = b2 – 4ac → Δ= (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ (–3) → Δ = 4 + 12 → Δ = 16.
Substituindo na fórmula resolutiva (Bháskara), obtemos: 
–(–2) ±
2 ∙ 1→ x =x =
x1 = =
=
= 3
= –1x2 =
16
2 + 4
2
2 – 4
2
6
2
–2
2
–b ±
2a
Δ
Logo, o conjunto solução da equação é S = {–1,3}. E o 
que esses resultados indicam no caso da função dada na 
problematização? Eles significam que para x = –1 e para 
x = 3 a função se anula, ou seja, ƒ(–1) = ƒ(3) = 0. Portanto, os 
zeros da função ƒ(x) = x2 – 2x – 3 são –1 e 3.
Se você desejar conferir se realmente encontrou os zeros 
da função, basta fazer a verificação da resposta. Veja: Na 
função ƒ(x) = x2 – 2x – 3,
Se x = –1, então, ƒ(–1) = (–1)2 – 2 ∙ (–1) –3 → ƒ(–1) = 1 + 2 - 3 → 
ƒ(–1) = 0;
Se x = 3, então, ƒ(3) = 32 – 2 ∙ 3 – 3 → ƒ(3) = 9 – 6 – 3 → ƒ(3) = 0.
Verificamos assim que os valores –1 e 3 são os zeros da 
função.
Estudamos anteriormente que uma equação do segundo 
grau, dependendo do valor do discriminante, pode: não ter 
raízes reais; ter duas raízes reais iguais; ou, ter duas raízes reais 
distintas. Portanto, para determinar a quantidade de zeros ou 
40 MODELAGEM MATEMÁTICA
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raízes de uma função ƒ(x) = ax2 + bx + c, devemos analisar o 
discriminante da equação ax2 + bx + c = 0
DEFINIÇÃO
Seja ƒ: ℝ → ℝ dada por ƒ(x) = ax2 + bx + c, com a, b e 
c reais e a≠0, em que Δ = b2 – 4ac, então:
• Se ∆ < 0, a função não tem raízes reais.
• Se ∆ = 0, a função tem duas raízes reais e 
iguais.
• Se ∆ > 0, a função tem duas raízes reais e 
distintas.
Para compreender um pouco melhor, observe os 
exemplos:
Exemplo: analise o discriminante e determine a quantidade 
de raízes das seguintes equações:
a) ƒ(x) = x2 – 2x + 4
b) ƒ(x) = x2 – 2x – 3 
c) ƒ(x) = –x2 + 2x – 1
Solução: para estudar o discriminante e determinar a 
quantidade de raízes (ou zeros) da função, primeiro, 
identificamos os coeficientes e depois substituímos na 
fórmula Δ = b2 – 4ac. Assim:
a) Em ƒ(x) = x2 – 2x + 4, os coeficientes são: a = 1; b = –2 e c = 4. 
Logo, o valor do discriminante será:
Δ = (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ 4 → Δ = 4 – 16 → Δ = –12 .
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Como o valor do delta é menor que zero (Δ < 0), então a 
função não possui raízes reais. 
b) Em ƒ(x) = x2 – 2x – 3, os coeficientes são: a = 1; b = –2 e c = –3. 
Logo, o valor do discriminante será:
Δ = (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ (–3) → Δ = 4 + 12 → Δ = 16 .
Como o valor do delta é maior que zero (Δ>0), então a 
função possui duas raízes reais e distintas. 
c) Em ƒ(x) = –x2 + 2x – 1 os coeficientes são: a = –1; b = 2 e 
c = –1. Logo, o valor do discriminante será:
Δ = 22 – 4 ∙ (–1) ∙ (–1) → Δ = 4 – 4 → Δ = 0 .
Como o valor do delta é igual a zero (Δ = 0), então a função 
possui raízes reais e iguais.
Exemplo: seja ƒ: ℝ → ℝ definida por f(x) = x2 – 2x + 3m. 
Qual deverá ser o valor real de m para que a função tenha duas 
raízes reais e iguais? 
Solução: identificamos os coeficientes: a = 1; b = –2 e 
c = 3m. Como a função tem duas raízes reais e iguais, ∆ = 0, então:
Δ = b2 – 4ac → 0 = (–2)2 – 4 ∙ 1 ∙ 3m → 0 = 4 – 12m → 
–4 = –12m → m = –4
–12
 = 1
3
.
Então, para a função ter duas raízes reais e iguais, m = 13 .
42 MODELAGEM MATEMÁTICA
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RESUMINDO
Neste capítulo, relembramos a definição de função 
e conceitos de domínio, contradomínio e imagem. 
Vimos que uma função quadrática ou função 
polinomial do segundo grau tem a forma geral 
igual a ƒ(x) = ax2 + bx + c, em que números reais a, 
b e c são os coeficientesda função e a deve ser não 
nulo (diferente de zero) para que a função tenha 
o termo x2. Observamos que os zeros ou raízes da 
função são os valores x que anulam a função, ou 
seja, ƒ(x) = 0. Estudamos também que analisando o 
discriminante da equação ax2 + bx + c = 0 associada 
à função ƒ(x) podemos determinar a quantidade 
de zeros que a função terá e, além disso, para 
calcular o valor dos zeros (ou raízes) basta utilizar a 
técnica de resolução de equação do segundo grau 
que for mais adequada à função, sendo a fórmula 
resolutiva (Bháskara) uma que se destaca, pois é 
aplicável em todos os casos. 
43MODELAGEM MATEMÁTICA
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Vetores aplicados à física e à 
computação
OBJETIVO
Neste capítulo, vamos visualizar o esboço do 
gráfico de uma função polinomial do segundo 
grau, bem como compreender como funciona a 
construção desse tipo de gráfico e as estruturas 
que o compõem.
Parábola: concavidade e vértice
Para representar gráficos utilizaremos o plano cartesiano. 
Lembre-se que as retas que o compõem recebem o nome de 
“eixos”. Na horizontal temos o eixo das abscissas (x) e na vertical 
o eixo das ordenadas (y). Esses eixos se interceptam em um 
ponto denominado de origem.
Para plotar o gráfico deveremos indicar pontos no plano. 
O “endereço” de cada ponto plotado é composto por duas 
informações: uma relacionada ao x e outra ao y, por isso, as 
coordenadas (x,y) do ponto recebem o nome de par ordenado. 
Veja um exemplo de representação gráfica de um ponto no plano 
cartesiano:
Figura 1 – Representação gráfica do ponto (1,2) no plano cartesiano
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
44 MODELAGEM MATEMÁTICA
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Para representar uma função do segundo grau 
graficamente precisaremos identificar pares ordenados que 
satisfazem a lei de formação da função, ou seja, vamos atribuir 
convenientemente valores para a variável independente x 
e calcular o valor numérico da variável dependente y = f(x) 
correspondente. Em seguida, localizaremos no plano cartesiano 
o ponto formado pelo par ordenado (x, y). Como a função 
é definida no conjunto dos reais, podemos ligar os pontos 
plotados esboçando a curva que representa a função. Para você 
compreender melhor, observe o seguinte exemplo:
Exemplo: construa o gráfico da função ƒ: ℝ → ℝ dada por 
ƒ(x) = x2. 
Solução: defina valores para a variável x, depois calcule 
ƒ(x) = y. Veja: 
Quadro 2 – Pontos que pertencem à função ƒ(x) = x2
x ƒ(x) = x2 (x, y)
–2 ƒ(-2) = (–2)2 = 4 (–2, 4)
–1 ƒ(–1) = (–1)2 = 1 (–1, 1)
0 ƒ(0) = (0)2 = 0 (0, 0)
1 ƒ(1) = (1)2 = 1 (1, 1)
2 ƒ(2) = (2)2 = 4 (2, 4)
Fonte: Elaborado pelo autor (2022)
O gráfico da função ficará, portanto, da seguinte maneira:
45MODELAGEM MATEMÁTICA
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Figura 2 – Gráfico da função ƒ(x) = x2
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Vejamos mais um exemplo:
Exemplo: construa o gráfico da função g: ℝ → ℝ dada por 
g(x) = –x2. 
Solução: defina valores para a variável x, depois calcule 
g(x) = y. Veja: 
Quadro 3 – Pontos que pertencem à função g(x) = –x2
x g(x) = –x2 (x, y)
–2 g(-2) = –(–2)2 =–4 (–2, –4)
–1 g(–1) = –(–1)2 = –1 (–1, –1)
0 g(0) = –(0)2 = 0 (0, 0)
1 g(1)= –(1)2 = –1 (1, –1)
2 g(2) = –(2)2 = –4 (1, –1)
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
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O gráfico da função ficará, portanto, da segunte maneira: 
Figura 3 – Gráfico da função g(x) = –x2
Fonte: Elaborada pelo autor (2022)
Note que nos dois exemplos o gráfico da função ficou 
com um formato semelhante (parecendo uma letra “U”). Essa 
curva é chamada de parábola. Observe ainda que no primeiro 
gráfico, ƒ(x) = x2, a parábola ficou virada para cima, já no segundo 
caso, g(x) = –x2, ela ficou virada para baixo. Veja que a diferença 
entre essas duas funções foi o sinal do coeficiente a. Na função 
f(x) era a = 1, enquanto que na função g(x) era a = –1. A partir 
dessas constatações, seguem duas definições importantes:
DEFINIÇÃO
O gráfico de uma função polinomial do segundo 
grau ou função quadrática é sempre uma curva 
chamada parábola.
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DEFINIÇÃO
A concavidade da parábola que representa uma 
função quadrática depende do sinal do coeficiente 
a:
• Se a > 0 a concavidade é voltada para cima.
• Se a < 0 a concavidade é voltada para baixo.
Ainda em relação aos exemplos, observe a parábola 
atinge um ponto mais baixo ou um ponto mais alto. A esse ponto 
denominamos de vértice.
Quando a concavidade é voltada para cima a função 
atinge o ponto mais baixo possível, depois volta a subir. A esse 
ponto chamamos de ponto de mínimo da função. Quando a 
concavidade é voltada para baixo a função atinge o ponto mais 
alto possível e depois volta a cair, nesse caso chamamos de 
ponto de máximo da função. 
Tanto no “ponto mínimo” quanto no “ponto máximo” essa 
“altura” corresponde à ordenada do vértice da parábola.
É possível determinar as coordenadas do vértice da 
função, V = (xV, yV ), através das seguintes fórmulas:
xV = 
b
2a (4)
yV = 
∆
4a (5)
Outra possibilidade para encontrar a ordenada do vértice 
é calcular o valor de xV e depois substituir na própria função, ou 
seja, ƒ(xV ) = yV.
Para auxiliar na sua compreensão, observe alguns 
exemplos:
Exemplo: sem fazer o esboço do gráfico, indique como 
será a concavidade da parábola das seguintes funções: 
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a) ƒ(x) = x2 – 36
b) ƒ(x) = 25 x
2 – 6x
c) ƒ(x) = –1,5x2 + x + 5
Solução: a concavidade da parábola que representa uma 
função quadrática depende do sinal do coeficiente a. 
Quando a > 0 a concavidade é voltada para cima e quando 
a < 0 a concavidade é voltada para baixo. Portanto,
a) ƒ(x) = x2 – 36 → a = 1, então a > 0, logo a concavidade é 
voltada para cima;
b) ƒ(x) = 25 x
2 – 6x → a = 25 ; então a > 0, logo a concavidade 
é voltada para cima;
c) ƒ (x) = –1,5x2 + x + 5 → a = –1,5; então a < 0, logo a 
concavidade é voltada para baixo.
Exemplo: determine as coordenadas do vértice da função 
por ƒ(x) = x2 – 5x + 6. Esse ponto é máximo ou mínimo da 
função? Explique.
Solução: identificamos os coeficientes da função são: a = 1, 
b = –5 e c = 6. Portanto, usando relações apresentadas, 
temos:
• xV = 
–b
2a = 
–(–5)
2 ∙ 1 = 
5
2
• yV = 
–∆
4a = 
–(b2 – 4ac)
4a = 
–[(–5)2 – 4 ∙ 1 ∙ 6]
4 ∙ 1 = 
–[25 – 24]
4 = – 
1
4
Logo, o vértice dessa função é V = ( 52 , –
1
4 ). Note que a > 0, 
logo, a concavidade da parábola que representa a função 
49MODELAGEM MATEMÁTICA
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quadrática é voltada para cima, portanto, o vértice é o 
ponto mínimo da função.
Construção e interpretação do 
gráfico
Na função afim (ou do primeiro grau) bastava indicar dois 
pontos e já era possível construir o gráfico, pois, a representação 
gráfica deste tipo de função é uma reta. Já o gráfico de uma 
função quadrática (ou do segundo grau), como vimos a pouco, é 
uma curva denominada “parábola”. E, diferentemente da função 
afim, precisaremos de mais do que dois pontos para podermos 
plotar o gráfico no plano cartesiano. Assim, seguiremos algumas 
etapas para a construção do gráfico da função polinomial do 
segundo grau:
 • Identificar a concavidade da função (sinal do coeficiente 
a).
 • Estudar o discriminante da equação do segundo grau 
associada e calcular as raízes (zeros) da função, se 
houver.
 • Determinar as coordenadas do vértice da função (ponto 
máximo ou ponto mínimo).
 • Se não tiver obtido pelo menos três pontos (duas raízes 
e um vértice), escolha, convenientemente, outros dois 
valores para x (dica: escolha um valor para x antes do 
valor do xv e outro que esteja depois dele, de modo que 
xv fique entre os outros dois valores).
 • Localizar os pontos no plano e esboçar a parábola.
Veja os exemplos a seguir: 
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Exemplo: construa o gráfico das seguintes funções 
quadráticas definidas no conjunto dos reais: 
a) ƒ(x) = x2 – 6x + 9
b) g(x) = –x2 – x + 2
c) h(x) = x2 +2
Solução: seguindo os mesmos passos já indicados: 
a)ƒ(x) = x2 – 6x + 9 → a = 1; b = –6 e c = 9.
• A concavidade da parábola é voltada para cima, pois 
a > 0;
• ∆ = (–6)2 – 4 ∙ 1 ∙ 9 = 36 – 36 = 0, como ∆ = 0, então a 
função possui duas raízes reais e iguais. Calculando 
ƒ(x) = 0 temos:
–(–6) ±
2 ∙ 1→ x =x =
x1 = =
=
= 3
= 3x2 =
0
6 + 0
2
6 – 0
2
6
2
6
2
–b ±
2a
Δ
Então, o ponto que corresponde ao zero da função é igual 
a (3, 0).
• Como a parábola é voltada para cima, o ponto é de 
mínimo e suas coordenadas são iguais a:
xV = – 
b
2a = 
–(–6)
2∙1 = 
6
2 = 3 e yV = – 
∆
4a = 
–0
4∙1 = 
0
4 = 0
Então o vértice da parábola é o ponto V = (3, 0).
51MODELAGEM MATEMÁTICA
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• Por enquanto só temos um ponto: (3, 0) que é o zero 
da função e também o vértice da parábola. Neste caso, 
será necessário atribuir convenientemente mais dois 
valores para x. Veja o Quadro 4: 
Quadro 4 – Pontos que pertencem à função ƒ(x) = x2 – 6x + 9
x ƒ(x) = x2 – 6x + 9 (x, y)
2 ƒ(2) = 22 – 6 ∙ 2 + 9 = 4 –12 + 9 = 13 – 12 = 1 (2, 1)
3 ƒ(3) = 32 – 6 ∙ 3 + 9 = 9 – 18 + 9 = 18 – 18 = 0 (3, 0)
4 ƒ(4) = 42 – 6 ∙ 4 + 9 = 16 – 24 + 9 = 25 – 24 = 1 (4, 1)
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
• Localizar os pontos no plano e esboçar a parábola.
Figura 4 – Gráfico da função ƒ(x) = x2 – 6x + 9
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
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Note que o gráfico da função ƒ intercepta o eixo em 
apenas um ponto, sendo este o vértice da parábola. Observe 
também que geometricamente o “zero” ou “raiz” da função é o 
ponto em que ela “corta” o eixo x. Neste caso, ∆ = 0, logo há duas 
raízes reais e iguais, ou seja, apenas um ponto do gráfico que 
tangencia o eixo horizontal. Além disso, o vértice da parábola é, 
de fato, o ponto mínimo da função.
b) g(x) = –x2 – x + 2 → a = –1; b = –1 e c = 2.
• A concavidade da parábola é voltada para baixo, pois 
a < 0;
• ∆ = (–1)2 – 4 ∙ (–1) ∙ 2 = 1 + 8 = 9, como ∆ > 0, então a 
função possui duas raízes reais e distintas. Calculando 
g(x) = 0 temos:
–(–1) ±
2 ∙ (–1)→ x =x =
x1 = =
=
= –2
= 1x2 =
9
1 + 3
–2
1 – 3
–2
4
–2
–2
–2
–b ±
2a
Δ
Então, os pontos (-2,0) e (1,0) são os zeros da função, ou 
seja, são os pontos que interceptam o eixo x.
 • Como a parábola é voltada para baixo, o ponto é de 
máximo e suas coordenadas são iguais a:
xV = 
–(–1)
2∙(–1)
 = 1
–2
 = –0,5 e yV = 
–9
4∙(–1)
 = –9
–4
 = 2,25
Então, o vértice da parábola é o ponto V = (3; 2,25).
 • Já definimos três pontos que pertencem à função: (–2, 0) 
e (1, 0) que interceptam o eixo x, pois são os zeros ou 
raízes, e o ponto (3; 2, 25) que é o vértice da parábola. 
53MODELAGEM MATEMÁTICA
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Assim, não é necessário atribuir mais pontos para 
plotar o gráfico.
 • Localizar os pontos e esboçar o gráfico. Note que 
geometricamente os zeros da função são os pontos em 
que ela “corta” o eixo x. Como ∆ >0 a função possui duas 
raízes reais e distintas, logo, intercepta o eixo x em dois 
pontos diferentes. Além disso, o vértice da parábola é o 
ponto de altura máxima que ela atinge, ou seja, ponto 
de máximo. O gráfico da função g ficará da seguinte 
maneira:
Figura 5 – Gráfico da função g(x) = –x2 – x + 20
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
c) h(x) = x2 + 2 → a = 1; b = 0 e c = 2.
 • A concavidade da parábola é voltada para cima, pois 
a > 0;
 • ∆ = 02 – 4 ∙ 1 ∙ 2 = 0 – 8 = –8, como ∆ < 0, então a função 
não possui raízes reais. Logo, não há valores reais para 
x que anulem a função, ou seja, não há valores reais 
54 MODELAGEM MATEMÁTICA
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tais que h(x) = 0. Geometricamente isso indica que a 
parábola não intercepta o eixo das abscissas (eixo x). 
 • Como a parábola é voltada para cima, o ponto é de 
mínimo e suas coordenadas são iguais a:
xV = 
–0
2 ∙ 1 = 
0
2 = 0 e yV = 
–(–8)
4 ∙ 1 = 
8
4 = 2
Então o vértice da parábola é o ponto V = (0, 2).
 • Por enquanto só temos um ponto: (0, 2) que é o vértice 
da parábola. Neste caso, será necessário atribuir 
convenientemente mais dois valores para x. Veja o 
Quadro 5:
Quadro 5 – Pontos que pertencem à função h(x) = x2 + 2
x g(x) = x2 + 2 (x, y)
–2 g(–2) = (–2)2 + 2 = 4 + 2 = 6 (–2, 6)
0 g(0) = 02 + 2 = 0 + 2 = 2 (0, 2)
2 g(2) = 22 + 2 = 4 + 2 = 6 (2, 6)
Fonte: Elaborado pelo autor (2022).
Figura 6 – Gráfico da função h(x) = x2 + 2
Fonte: Elaborada pelo autor (2022)
55MODELAGEM MATEMÁTICA
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Como ∆ < 0 a função não possui raízes reais, portanto, 
a parábola não intercepta o eixo das abscissas. Note que a 
parábola tem a concavidade voltada para cima e vértice é o 
ponto de mínimo.
SAIBA MAIS
Existem muitos aplicativos para auxiliar estudantes 
em diversos níveis de ensino a explorar, visualizar 
e compreender a matemática de uma maneira 
dinâmica. O GeoGebra, por exemplo, é um 
software gratuito que reúne álgebra, geometria, 
planilhas, gráficos, estatística e cálculo em um 
único ambiente. Explore as ferramentas clicando 
no QR-Code.
Portanto, podemos ter uma ideia da posição da parábola 
em relação aos eixos cartesianos, antes mesmo de esboçar o 
gráfico. Observe a figura a seguir: 
Figura 7 – Estudo do sinal do coeficiente a e do discriminante
https://www.geogebra.org/
56 MODELAGEM MATEMÁTICA
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Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
RESUMINDO
Neste capítulo, vimos que o gráfico de uma função 
polinomial do segundo grau ou função quadrática é 
representado por uma curva denominada parábola. 
A concavidade da parábola é voltada para cima 
quando a > 0 e voltada para baixo quando a < 0. Você 
deve ter aprendido que, para construir o gráfico de 
uma função quadrática é necessário definir alguns 
pontos específicos sendo o vértice um deles. Vimos 
também que a representação gráfica dos zeros ou 
raízes da função é quando a parábola intercepta o 
eixo das abscissas (eixo x) e no caso em que não 
há raízes reais (∆ < 0), a parábola não intercepta o 
eixo x.
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Matrizes e sua importância na 
tecnologia
OBJETIVO
Ao término deste capítulo você conhecerá um 
pouco mais a respeito das matrizes e dos vetores, 
além de estudar conceitos e operações envolvendo 
tais representações.
A grosso modo, podemos dizer que tanto as matrizes 
quanto os vetores são estruturas utilizadas para representar 
informações que apresentam uma grande quantidade de 
variáveis, por meio de uma linguagem mais “simples”. Possuem 
aplicabilidade em diversas áreas da Matemática, Física, 
Engenharia, Biologia, Ciência da Computação, dentre outras. 
Além de estarem intimamente relacionadas entre si.
Matrizes
DEFINIÇÃO
Sejam m e n números naturais não nulos. 
Chamamos de matriz uma tabela constituída por m 
linhas e n colunas, (m × n), indicada genericamente 
da seguinte forma:
58 MODELAGEM MATEMÁTICA
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Logo, a matriz A pode ser escrita de forma abreviada 
assim: 
A = (ai j )
m×n (6)
Em que i é um número do conjunto {1,2,3,…,m} e indica 
a linha em que o termo está e j é um número do conjunto 
{1,2,3,…,n} e indica a coluna em que o termo está. Uma matriz 
sempre será representada por uma letra maiúscula do nosso 
alfabeto e pode ser delimitada por um par de parênteses ( ) ou 
um par de colchetes [ ]. 
As matrizes organizam os elementos de maneira lógica, 
a fim de facilitar a representação, visualização e consulta das 
informações. Veja:
Exemplo: a matriz a seguir indica a o consumo mensal, 
em quilogramas, de dois alimentos básicos durante um 
trimestre, por uma família. As linhas indicam, nesta ordem, 
o consumo de arroz e de feijão. Já as colunas indicam os 
meses de janeiro, fevereiro e março. Observe:
10 8 9
5 7 11( )
Responda:
a) Quantos quilogramas de arroz foram consumidos no 
mês de fevereiro?
b) Quantos quilogramas de feijão foram consumidos no 
trimestre?
c) Quantos quilogramas de arroz e feijão foram consumidos 
em janeiro?
59MODELAGEM MATEMÁTICA
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d) Qual é o número que está na posição a12 da matriz? O 
que ele indica? 
Solução: conforme o enunciado, as linhasindicam os 
alimentos consumidos, em quilogramas e as colunas 
indicam os meses. Portanto: 
10 8 9
5 7 11( )
Jan.
Arroz
Feijão
Fev. Mar.
Agora basta olhar a posição dos números e responder as 
perguntas:
a) No mês de fevereiro foram consumidos 8 kg de arroz.
b) No trimestre foram consumidos 5 + 7 + 11 = 23 kg de 
feijão.
c) Em janeiro foram consumidos 10 + 5 = 15 kg de arroz e 
feijão.
d) Ao compararmos a matriz apresentada com a matriz 
genérica, temos:
10 8 9
5 7 11( ) = a11 a12 a13a21 a22 a23( )
Assim, o elemento que está na posição a12 está no 
encontro da 1.ª linha com a 2.ª coluna, logo, é o número 8. 
Este número indica quantos quilogramas de arroz foram 
consumidos pela família em fevereiro.
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Exemplo: obtenha a matriz A = (ai j )3×2 em que ai j = 2i – j. 
Solução: queremos escrever uma matriz 3×2, ou seja, com 
3 linhas e 2 colunas. Então, devemos fazer um esboço da 
forma genérica desta matriz, calcular o valor de cada um 
dos termos que a compõem, conforme a regra dada, e, 
finalizar substituindo os resultados na forma geral. Veja:
a11
a11 = 2 ∙ 1 – 1 = 2 – 1 = 1
a21 = 2 ∙ 2 – 1 = 4 – 1 = 3
a31 = 2 ∙ 3 – 1 = 6 – 1 = 5
a12 = 2 ∙ 1 – 2 = 2 – 2 = 0
a22 = 2 ∙ 2 – 2 = 4 – 2 = 2
a32 = 2 ∙ 3 – 2 = 6 – 2 = 4
ai j = 2i – j
a12
a21
a31
A = →
3×2
a22
a32
( )
Logo, a matriz A = 
a11 a12
a21
a31
a22
a32
( ) = 1 035 24( ).
Existem alguns tipos especiais de matrizes que você 
precisa conhecer:
 • Matriz linha: quando a matriz tem apenas uma linha.
 • Matriz coluna: quando a matriz tem apenas uma 
coluna.
 • Matriz quadrada: quando matriz tem o número de 
linhas igual ao número de colunas. Dizemos que esta 
matriz é n×n ou de ordem n. Na matriz quadrada, 
dizemos que os termos ai j quando i = j formam a 
“diagonal principal” da matriz, enquanto a outra 
diagonal é chamada de “diagonal secundária”. 
 • Matriz identidade (ou matriz unidade): é toda matriz 
quadrada em que a diagonal principal é formada 
somente pelo número 1 e os demais elementos da 
matriz são iguais a zero. 
61MODELAGEM MATEMÁTICA
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Veja um exemplo de cada tipo de matriz:
Operações com matrizes
Na linguagem matricial só é possível realizar três 
operações aritméticas: adição, subtração e multiplicação. Confira 
cada um dos casos. 
Adição e subtração de matrizes
Adicionar ou subtrair duas matrizes de mesmo tipo 
(mesmo número de linhas e mesmo número de colunas) 
consiste em adicionar ou subtrair cada um dos elementos que 
as compõem respeitando a posição deles na matriz. Observe os 
exemplos:
Exemplo: dadas as matrizes A = 2 34 6( ) , B = 1 –1–1 1( ) e 
C = 1 22 1( ) , calcule:
a) A + B 
b) B + C
c) A – C
Solução: para realizar as operações indicadas, basta 
escrever as matrizes e adicionar ou subtrair os termos, um 
a um, respeito a posição em que ocupam dentro da matriz. 
Veja:
62 MODELAGEM MATEMÁTICA
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a) A + B = 2 34 6( )+ 1 –1–1 1( ) = 2 + 1 3 + (–1)4 + (–1) 6+1( )= 3 23 7( )
b) B + C = 1 –1–1 1( ) + 1 22 1( )= 1 + 1 –1 + 2–1 + 2 1 + 1( )= 2 11 2( )
c) A – C = 2 34 6( )+ 1 22 1( )= 2 – 1 3 – 24 – 2 6 – 1( )= 1 12 5( )
Multiplicação de um número real por uma 
matriz
Para multiplicar um número real k por uma matriz, basta 
multiplicar o número k por cada um dos elementos da matriz. 
Exemplo: dada a matriz A = 
2 4
6
10
8
12( ), determine:
a) 2A
b) –3A
c) 1
2
 A
Solução: multiplique o número por cada um dos elementos 
da matriz. Veja:
a) 2A = 2 ∙
2 4
6
10
8
12( )= 
2∙2 2∙4
2∙6
2∙10
2∙8
2∙12( )=
4 8
12
20
16
24( )
b) –3A = –3∙
2 4
6
10
8
12( )= 
–3∙2 –3∙4
–3∙6
–3∙10
–3∙8
–3∙12( )=
–6 –12
–18
–30
–24
–36( )
c) 1
2
 A = 12 ∙
2 4
6
10
8
12( )=
1
2 ∙2
1
2 ∙4
1
2 ∙6
1
2 ∙10
1
2 ∙8
1
2 ∙12
( )= 1 235 46( )
Multiplicação de matrizes
A multiplicação entre duas matrizes só pode ser realizada 
se, e somente se, o número de colunas da 1.ª matriz for igual ao 
63MODELAGEM MATEMÁTICA
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número de linhas da 2.ª matriz. A matriz produto, terá a mesma 
quantidade de linhas da 1.ª matriz e a mesma quantidade de 
colunas da 2.ª matriz. Na multiplicação de matriz por matriz 
deve-se “multiplicar linhas por coluna”. Observe um exemplo: 
Exemplo: sendo A= 0 1
2 –1( ) e B = 1 –1 03 5 –3( ) , determine:
a) A∙B
b) B∙A
Solução: primeiro deve-se verificar se é possível realizar a 
multiplicação. Se for possível realizar a multiplicação deve-
se multiplicar “linha por coluna”, neste exemplo o primeiro 
elemento da nova matriz é igual ao produto do primeiro 
número da primeira linha pelo primeiro número da coluna 
mais o produto do segundo número da primeira linha pelo 
segundo número da coluna. Deve-se fazer o mesmo para 
os demais termos. Acompanhe: 
a) Como A é do tipo 2×2 e B é do tipo 2×3 é possível realizar 
a multiplicação entre elas, pois:
A2x2 ∙ B2x3 = C2x3 
Iguais
Então,
A ∙ B = ∙ 0 12 –1( ) 1 –1 03 5 –3( )
A∙B = 0 ∙ 1 + 1 ∙ 3 0 ∙ (–1) + 1 ∙ 5 0 ∙ 0 + 1∙ (–3)2 ∙ 1 + (–1) ∙ 3 2∙(–1) + (–1) ∙ 5 2 ∙ 0 + (–1) ∙ (–3)( )
A∙B = 3 5 –3
–1 –7 3( )
64 MODELAGEM MATEMÁTICA
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b) Como B é do tipo 2×3 e A é do tipo 2×2, não é possível 
realizar a multiplicação entre elas, pois:
B2x3 ∙ A2x2
Diferentes
Então, não existe B∙A.
Vetores
Nas ciências, de um modo geral, trabalha-se com dois 
tipos de grandezas: 
 • Grandezas escalares – aquelas que são completamente 
definidas por um número real e a unidade de medida, 
tais como: comprimento, área, volume e temperatura.
 • Grandezas vetoriais – aquelas que precisam, de mais 
informações para estarem completamente definidas. 
No caso das grandezas vetoriais é necessário conhecer 
o módulo, a direção e o sentido. São exemplos: 
aceleração, força, velocidade e deslocamento. 
Com aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento, os 
vetores são utilizados para expressar grandezas físicas vetoriais, 
isto é, aquelas que só podem ser definidas se identificado o seu 
valor numérico, a direção em que atuam, bem como o seu o 
sentido.
Dentre as notações de vetor, uma que é muito utilizada 
é a representação com uma letra minúscula com uma seta em 
cima: u⃗ (lê-se: vetor u). Observe na figura a seguir a representação 
geométrica de um vetor:
65MODELAGEM MATEMÁTICA
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Figura 8 – Imagem geométrica ou representante do vetor u⃗
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Observando a figura constatamos que: módulo (norma 
ou comprimento) de um vetor é o tamanho dele, direção do vetor 
é a direção da reta suporte que o contém e sentido do vetor é a 
orientação da seta. 
Indicamos na figura que se trata da imagem geométrica 
ou de um representante do vetor u⃗ , pois, vetor pode ser 
compreendido como o conjunto com todos os segmentos 
orientados com mesma direção, mesmo sentido e mesmo 
comprimento. 
Ainda observando a figura 8, note que o vetor representado 
inicia no ponto A e termina no ponto B, logo, dizemos que A é a 
origem e B é a extremidade do vetor. Assim, também podemos 
representar um vetor como:
u⃗ = B – A ou u⃗ = AB→
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DEFINIÇÃO
Módulo de um vetor é o número não negativo que 
indica o comprimento do vetor. Representamos 
por |v⃗ |.
DEFINIÇÃO
Vetor nulo, o ⃗ , é o vetor com módulo igual a zero 
e direção e sentido arbitrários. Graficamente é 
representado pela origem do sistema cartesiano.
DEFINIÇÃO
Vetor unitário é o vetor cujo módulo é igual a 1.
É importante destacar que um vetor pode ser representado 
no espaço bidimensional, isto é, no plano cartesiano como visto 
na figura 8 e também no espaço tridimensional. Observe:
Figura 9 – Imagem geométrica do vetor v⃗ no espaço tridimensional
Fonte: Elaborada pelo autor (2022)
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As mesmas regras que utilizamos para localizar um ponto 
no plano cartesiano valem no espaço tridimensional. Agora, além 
dos eixos x e y temos o eixo z. Neste sistema de coordenadas os 
eixos são ortogonais entre si e a tripla ou terna ordenada (x, y, z) 
indica o “endereço” oulocalização do ponto no espaço. Note que 
essa representação nos lembra uma matriz linha, logo, também 
é possível representar um vetor utilizando uma forma matricial 
como uma matriz linha ou matriz coluna:
v⃗ = (x y z) ou v⃗ = 
x
y
z( )
Tais notações são muito utilizadas em áreas da 
Matemática tais como a Geometria Analítica e a Álgebra Linear.
Adição de vetores
Existem duas maneiras de se efetuar a adição vetorial: 
regra do polígono e regra do paralelogramo.
Regra do polígono
Pode ser usada na adição de qualquer quantidade de 
vetores. Para isso, basta posicionar a extremidade de um na 
origem do vetor seguinte e assim por diante. O vetor soma ou 
resultante é o segmento orientado, com origem no primeiro 
vetor e extremidade no último, que fecha o polígono.
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Figura 10 – Adição dos vetores u⃗ , v⃗ e w⃗ pela regra do polígono.
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
O vetor r⃗ é o resultado da soma dos vetores u⃗ , v⃗ e w⃗. 
Logo, pode ser representado por: r⃗ = u⃗ + v⃗ + w⃗.
No exemplo a seguir, utilizaremos a representação do 
vetor como uma terna (tripla) ordenada. Acompanhe:
Exemplo: sejam os vetores u⃗ = (–1, 0, 2) e v⃗ =(0, –1, 3) 
determine u⃗ + v⃗ .
Solução: ao representá-los utilizando a tripla, consideramos 
que tanto o vetor u⃗ quanto o vetor v⃗ tem origem no 
ponto O = (0, 0, 0), origem do sistema, e extremidade no 
ponto que tem as coordenadas indicadas pela terna que 
está identificando o vetor. Assim, para efetuar a adição 
desses vetores, basta somar os valores de cada uma das 
coordenadas:
u⃗ + v⃗ = (–1, 0, 2) + (0, –1, 3) = (–1 + 0,0 + (–1), 2 + 3) = 
 (–1, –1, 5)
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O exemplo poderia ter sido resolvido efetuando-se a adição 
de duas matrizes. Observe a representação utilizando-se 
matrizes do tipo coluna:
u⃗ + v⃗ = 
–1
0
2( )+
0
–1
3( )= –1 + 00 – 12 + 3( )=
–1
–1
5( )
Sejam u⃗ e v⃗ dois vetores, então, na adição valem as 
seguintes propriedades:
 • Comutativa: u⃗+ v⃗ = v⃗ + u⃗ ;
 • Associativa: (u⃗ + v⃗ ) + w⃗ = (v⃗ + w⃗) + u⃗ ;
 • Elemento neutro: 0⃗ + v⃗ = v⃗ + 0⃗ = v⃗ ;
 • Elemento oposto: –v⃗ + v⃗ = v⃗ +(–v⃗ ) = 0⃗ ;
 • Lei do cancelamento: u⃗ + v⃗ = u⃗ + w⃗ → v⃗ = w⃗.
Regra do paralelogramo
Muito utilizada na composição de forças na Mecânica, a 
regra do paralelogramo é uma consequência da propriedade 
comutativa. Observe:
Figura 11 – Adição dos vetores u⃗ e v⃗ pela regra do paralelogramo
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
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Considere os vetores u⃗ = AB→ e v⃗ = BC→ . Pela propriedade 
comutativa temos u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗ , logo, a diagonal do paralelogramo 
formado pelos pontos ABCD representa a soma dos vetores. 
Importante: o paralelogramo possui duas diagonais. Neste caso, 
considera-se a diagonal em que as imagens geométricas dos 
vetores têm a mesma origem, neste caso, a diagonal que contém 
o ponto A. 
Subtração de vetores
Graficamente a diferença entre dois vetores é dada 
posicionando os dois de tal maneira que fiquem com a mesma 
origem. O vetor diferença é o segmento orientado, com origem 
no segundo vetor e extremidade no primeiro, que fecha o 
triângulo. Observe as figuras a seguir:
Figura 12 – Representação gráfica de u⃗ – v⃗
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
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Figura 13 – Representação gráfica de v⃗ – u⃗
Fonte: Elaborada pelo autor (2022).
Na figura 12 observamos a representação gráfica de u⃗– v⃗ e 
na figura 13 a representação gráfica v⃗ – u⃗ . Observe que o 
segmento orientado que resulta na diferença dos vetores não 
possui o mesmo sentido. Logo, a subtração de vetores não é 
comutativa. 
Se representarmos a subtração com a terna ordenada, 
basta efetuar a subtração na ordem em que as coordenadas do 
vetor aparecem. Veja:
Exemplo: sejam os vetores u⃗ =(–1, 0, 2) e v⃗ = (0, –1, 3), 
calcule:
a) u⃗– v⃗ .
b) v⃗ – u⃗ .
Solução: 
a) u⃗ – v⃗ = (–1, 0, 2)–(0, – 1,3) = (–1– 0,0 – (–1), 2 – 3) = (–1,1, –1).
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b) v⃗ – u⃗ = (0, –1, 3) – (–1,0,2) = (0– (–1), –1 – 0,3 – 2) = (1,– 1,1).
Perceba que, de fato, u⃗ – v⃗ ≠ v⃗ – u⃗ , logo a subtração não é 
comutativa.
Multiplicação de um número real por 
um vetor 
Seja m um número real e v⃗ = (x, y, z) um vetor, então o 
produto do vetor pelo número real é dado por mv⃗ = m∙ (x, y, z) = 
(mx, my, mz).
Exemplo: considere o vetor v⃗ = (5, 2, –3). Qual é o vetor que 
representa o dobro de v⃗ ?
Solução: basta calcular o valor das coordenadas de 2v⃗ , ou 
seja:
2v⃗ = 2 ∙ (5, 2, –3) = (2 ∙ 5,2 ∙ 2,2 ∙ (–3)) = (10, 4, – 6).
Sejam v⃗ e w⃗ dois vetores, k e m números reais (aqui 
denominados escalares), então, na multiplicação valem as 
seguintes propriedades:
 • Comutativa: k ∙ v⃗ = v⃗ ∙ k;
 • Distributiva em relação à adição de vetores: k∙(v⃗ + w⃗) = 
k ∙ v⃗ + k ∙ w⃗;
 • Distributiva em relação à adição de escalares: (k + m) ∙ v⃗ = 
k ∙ v⃗ + m ∙ v⃗ ;
 • Associativa em relação aos escalares: k ∙ (m ∙ v⃗ ) = 
(k ∙ m) ∙ v⃗ = m ∙ (k ∙ v⃗ );
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 • Elemento neutro: 1 ∙ v⃗ = v⃗ ∙ 1= v⃗ ;
 • Elemento oposto: –1 ∙ v⃗ = –v⃗ , em que –v⃗ é o oposto de 
v⃗ .
RESUMINDO
Neste capítulo, vimos que matriz é uma forma 
de organizar dados similar a uma tabela e que é 
possível realizar adição e subtração entre matrizes, 
multiplicação por um número real e, em alguns 
casos, multiplicação de matriz por matriz. Já os 
vetores são utilizados para expressar grandezas 
físicas que só podem ser definidas identificando 
módulo, direção e sentido. Estudamos também 
como efetuar adição e subtração entre vetores e 
a multiplicação de um vetor por um número real. 
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BOULOS, P.; CAMARGO, I. de. Geometria Analítica: um tratamento 
vetorial. 3. ed. São Paulo: Pearson, 2004.
DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações – Ensino Médio. 
São Paulo: Ática, 2011. 
DANTE, L. R. Teláris matemática – 9º ano: Ensino Fundamental. 3. 
ed. São Paulo: Ática, 2018.
GIOVANNI, J. R.; BONJORNO, J. R. Matemática fundamental: uma 
nova abordagem – Ensino Médio. São Paulo: FTD, 2002.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A 
Matemática do Ensino Médio 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. 
Temas e problemas elementares. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM, 
2006.
SANTOS, C. A. M.; GENTIL, N.; GRECO, S. E. Matemática – Ensino 
Médio. 5. ed. São Paulo: Ática, 2000.
SANTOS, N. M. dos. Vetores e matrizes: uma introdução à álgebra 
linear. 4. ed. São Paulo: Thomson Pioneira, 2007.
SMOLE, K. C. S.; DINIZ, M. I. de S. V. Matemática: Ensino Médio. 6. 
ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
VENTURI, J. J. Álgebra Vetorial e Geometria Analítica. 10. ed. 
Curitiba: Livrarias Curitiba, 2015. 
RE
FE
RÊ
N
CI
A
S
	Equações do segundo grau aplicadas
	Identificação e classificação da equação do segundo grau
	Solução de uma equação do segundo grau incompleta
	1º caso: quando b = 0
	2º caso: quando c = 0
	3º caso: quando b = 0 e c = 0 
	Solução de uma equação do segundo grau completa
	Estudo do discriminante
	Funções quadráticas 
na prática
	Função, domínio, contradomínio e imagem
	Função quadrática
	Raízes ou zeros de uma função quadrática
	Vetores aplicados à física e à computação
	Parábola: concavidade e vértice
	Construção e interpretação do gráfico
	Matrizes e sua importância na tecnologia
	Matrizes
	Operações com matrizes
	Adição e subtração de matrizes
	Multiplicação de um número real por uma matriz
	Multiplicação de matrizes
	Vetores
	Adição de vetores
	Regra do polígono
	Regra do paralelogramo
	Subtração de vetores
	Multiplicação de um número real por um vetor