Limites e Continuidade

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Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
ECT1101 - Fundamentos de
Matemática
Escola de Ciência e Tecnologia � UFRN
Profs.: Francisco Edson da Silva e Simone Batista
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Estes slides são parte integrante do
Curso de Fundamentos de Matemática
oferecido pela
Escola de Ciência e Tecnologia
da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte.
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Os slides foram produzidos em LATEX2ε usando a ferramenta
Beamer.
Autores: Simone Batista e Francisco Edson da Silva.
Quaisquer dúvidas, comentários, correções e/ou sugestões, por
favor, entre em contato com:
• Simone Batista pelo e-mail: simonebatista@ect.ufrn.br ou
simone.batista.mat@hotmail.com
• Francisco Edson pelo e-mail: edsonsilva@ect.ufrn.br
Agradecemos antecipadamente os comentários.
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Objetivos
I Aprender, com o devido rigor, os conceitos e fundamentos
básicos da matemática.
I Modelar situações/problemas do cotidiano e da Ciência e
Tecnologia (C& T) usando estes conceitos e fundamentos.
I Aprender a identi�car nas situações/problemas a forma de
resolvê-las e as ferramentas necessárias às suas resoluções
I Adquirir o embasamento e o conhecimento matemático
necessários para o aprendizado dos conteúdos das outras
disciplinas das áreas de matemática e física.
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
V - Limites e Continuidade
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Objetivos
I Desenvolver o conceito de Limite.
I Entender o que é e aprender a calcular o limite de uma função
real.
I Conhecer e saber aplicar as propriedades dos limites em seus
cálculos.
I Estudar a continuidade das funções reais usando o limite e suas
propriedades.
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Introdução
I Antes de estudarmos o cálculo dos limites de uma função e
suas propriedades, vamos entender o que é limite.
I O que vem à sua mente quando escuta a palavra �limite�?
I Para ilustrar melhor e moldar esta de�nição que vem à sua
mente, imagine as seguintes situações:
1. Você está estudando para a prova de Fundamentos da
Matemática (que será nesta sexta-feira) e um amigo seu não
lhe deixa estudar em paz. Você olha para ele diz: �Estou
chegando no meu limite".
2. Você está enchendo um copo e a água está chegando à borda
do copo. Seu amigo vira para você e diz: �a água está
chegando no limite do copo�.
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Nas situações descritas acima, o limite foi atingido? Vejamos:
1. Você está estudando para a prova de Fundamentos da
Matemática (que será nesta sexta-feira) e um amigo seu não
lhe deixa estudar em paz. Você olha para ele diz: �Estou
chegando no meu limite".
I Quando você falou com seu amigo, já foi pulando no pescoço
dele? Acreditamos que NÃO.
I Portanto, você ainda não atingiu seu limite, mas deve estar
bem perto dele.
2. Você está enchendo um copo e a água está chegando à borda
do copo. Seu amigo vira para você e diz: �a água está
chegando no limite do copo�.
I Se a água ainda não atingiu a borda do copo, então ela ainda
não atingiu o limite do copo, mas está se aproximando dele.
I Você só precisará desligar a torneira até o copo estar
completamente cheio, para que a água não transborde e o seu
amigo não lhe diga outras �gracinhas�.
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Limites e
Continuidade
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De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
I Estas situações ilustram bem um fato importante sobre limite.
I Quando falamos do limite de uma função em um ponto
x0, não estamos aindano ponto x0, mas nos aproximando
desse ponto.
Em outras palavras:
I Não estamos falando de f (x0), mas dos valores de f nos
pontos bem próximos de x0.
I Assim, precisamos, antes de qualquer coisa, determinar:
a) o que são pontos bem próximos de x0?
b) como, exatamente, podemos nos aproximar de x0?
I Vamos responder primeiro a segunda pergunta.
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Limites e
Continuidade
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De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
I Considere a �gura abaixo:
I Nela podemos veri�car que podemos nos aproximar de x0 pela
esquerda (por valores menores que x0) ou pela direita (por
valores maiores que x0).
I Lembrando que, num grá�co, o ponto x0 (do domínio da
função) é marcado no eixo das abscissas. E o valor de f (x0) é
marcada no eixo das ordenadas.
I Assim, para saber o que acontece com f (x) quando x se
aproxima de x0, precisamos saber como as imagens f (x)
variam.
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Limites e
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De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
I Tendo em mente a �gura:
I E sabendo que: aproximar-se de x0 pela esquerda é por valores
de x menores que x0; e aproximar-se pela direita é por valores
de x maiores que x0.
I Tomando ∆x como uma quantidade positiva bem pequena,
podemos dizer que aproximar-se de x pela esquerda é dizer que
x é da forma x = x0 −∆x ; e que aproximar-se de x pela direita
é dizer que x é da forma x = x0 + ∆x . Em ambos os casos,
estamos nos aproximando de x0 ao fazer ∆x �car cada vez
menor.
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Limites e
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Propriedades dos
Limites
Teorema do
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Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
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Exemplo
1. Considere a função f (x) = x2 + 2. O que acontece quando x
se aproxima de:
a) 4 pela esquerda?
b) 4 pela direita?
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Limites e
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Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Exemplo
Solução
Considerando a função f (x) = x2 + 2
a) Quando ela aproxima-se de 4 pela esquerda, temos que
devemos estudar f (x) para x = 4−∆x . Assim, temos que
f (x) = f (4−∆x) = (4−∆x)2 + 2
f (x) = 18− 8∆x + (∆x)2
Usando esta expressão e fazendo o ∆x �car cada vez menor
temos que:
∆x f (4−∆x)
0,1 17,210000000000
0,01 17,920100000000
0,001 17,992001000000
0,0001 17,999200010000
0,00001 17,999920000100
0,000001 17,999992000001
Note que, a medida que f (4−∆x) está cada vez mais próximo
de 18.
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Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Considerando a função f (x) = x2 + 2
b) Quando ela aproxima-se de 4 pela direita, temos que devemos
estudar f (x) para x = 4 + ∆x . Assim, temos que
f (x) = f (4 + ∆x) = (4 + ∆x)2 + 2
f (x) = 18 + 8∆x + (∆x)2
Usando esta expressão e fazendo o ∆x �car cada vez menor
temos que:
∆x f (4−∆x)
0,1 18,810000000000
0,01 18,080100000000
0,001 18,008001000000
0,0001 18,000800010000
0,00001 18,000080000100
0,000001 18,000008000001
Note que f (4 + ∆x) está cada vez mais próximo de 18.
Identi�cação
Objetivos
Limites e
ContinuidadeIntrodução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
De�nição
Agora podemos apresentar a de�nição de limite à direita, limite
à esquerda e limite de uma função.
? Limite à esquerda
Seja uma função f (x) de�nida num intervalo aberto em torno
de x0 (exceto, talvez, em x0). Dizemos que o limite de f (x)
quando x tende a x0 pela esquerda é igual a L, se ao tomarmos
x = x0 −∆x e �zermos ∆x se aproximar de zero, obtemos que
f (x0 −∆x) se aproxima de L. Chamamos L limite de f (x)
quando x tende a x0 pela esquerda, e denotamos por:
lim
x→x
−
0
f (x) = L
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Propriedades dos
Limites
Teorema do
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Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
? Limite à direita
Seja uma função f (x) de�nida num intervalo aberto em torno
de x0 (exceto, talvez, em x0). Dizemos que o limite de f (x)
quando x tende a x0 pela direita é igual a L, se ao tomarmos
x = x0 + ∆x e �zermos ∆x se aproximar de zero, obtemos que
f (x0 + ∆x) se aproxima de L. Chamamos L limite de f (x)
quando x tende a x0 pela direita, e denotamos por:
lim
x→x
+
0
f (x) = L
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Limites e
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Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
? Limite de uma função
Seja uma função f (x) de�nida num intervalo aberto em torno
de x0 (exceto, talvez, em x0). Dizemos que o limite de f (x)
quando x tende a x0 é igual a L, se os limites à esquerda e à
direita de f (x) quando x tende a x0 existem e são iguais a L.
A esse valor comum chamamos limite de f (x) quando x tende
a x0, e denotamos por:
lim
x→x0
f (x) = L
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Limites e
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Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
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Observações Importantes
1. Pela de�nição, percebemos que o limite de uma função só
existe quando os limites laterais existem e são iguais.
"Fazer �guras com exemplos de funções que não possuem
limites em x = x0"
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Limites no
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2. Para funções que não estão de�nidas em x = x0, o limite da
função pode existir. e, neste caso, não ser igual a f (x0). Ou
seja, o limite de uma função não depende do modo como a
cunção é de�nida em x = x0.
"Fazer �guras com exemplos de funções que possuem limites,
mas que não são iguais a f (x0) (ou f (x0)@)."
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Segundo Limite
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3. Ao calcularmos os limites temos que garantir que o x se
aproxime de x0, ou seja, devemos garantir que ∆x tende a zero.
I Como podemos garantir isto?
I Se escrevemos a função f (x), podemos escrever a função
f (x0 ±∆x) e usar os seguintes argumentos:
a) Argumento 1: se posso fazer uma quantidade tão pequena
quanto eu queira, então, qualquer múltiplo dessa quantidade
também pode ser feito tão pequeno quanto eu queira. Ou seja,
se ∆x tende a zero, K∆x também tende a zero sendo K uma
constante �xa.
b) Argumento 2: se posso fazer uma quantidade tão pequena
quanto eu queira, então, qualquer potência dessa quantidade
também pode ser feito tão pequeno quanto eu queira. Ou seja,
se ∆x tende a zero, (∆x)n também tende a zero sendo n ∈ N.
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Segundo Limite
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Exemplos
1. Dadas a função a seguir, use os argumentos dados para
determinar se os limites laterais existem no ponto x0 e, em
caso a�rmativo, calcule-os.
a) f (x) =
x2 − 1
x − 1
em x0 = 1
b) f (x) =
{
−1, se x < 0
1, se x ≥ 0
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Propriedades dos Limites
Sejam f (x) e g(x) funções reais e x0 e K números reais e
lim
x→x0
f (x) = L e lim
x→x0
g(x) = M então:
1. Regra da soma: o limite da soma de duas funções é a soma
de seus limites.
lim
x→x0
(f (x) + g(x)) = L + M
2. Regra da diferença: o limite da diferença de duas funções é a
diferença de seus limites.
lim
x→x0
(f (x)− g(x)) = L−M
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Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
3. Regra do produto: o limite do produto de duas funções é o
produto de seus limites.
lim
x→x0
(f (x) · g(x)) = L ·M
4. Regra da multiplicação por constante: o limite de uma
constante multiplicado por uma função é a constante
multiplicada pelo limite da função.
lim
x→x0
(K · f (x)) = K · L
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Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
5. Regra do quociente: o limite do quociente de duas funções é
o quociente de seus limites, desde que o limite do denominador
não seja zero.
lim
x→x0
(
f (x)
g(x)
)
=
L
M
, M 6= 0
6. Regra da potenciação: o limite de uma potência racional de
uma função é a potência do limite da função, desde que este
último seja um número real.
Ou seja, se r e s são inteiros e não têm um valor comum e
s 6= 0, então:
lim
x→x0
(f (x))r/s = Lr/s
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Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Exemplos
1. Utilizando as propriedades dos limites, determine os seguintes
limites:
a) lim
x→a
(x3 + 7x − 10);
b) lim
x→a
x4 + x2 − 1
x2 + 5
;
c) lim
x→−1
x3 + 4x2 − 3
x2 + 5
;
d) lim
x→−2
√
4x2 − 3.
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Limites no
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Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
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Limites e Indeterminações
I Ao determinarmos o limite de uma função real, muitas vezes,
obtemos uma indeterminação.
I Mas, o que é uma indeterminação?
I É uma expressão matemática da qual não temos certeza do
valor.
I As principais indeterminações que aparecem ao estudarmos os
limites de funções reais são:
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Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
1. lim
x→x0
f (x) =⇒ 0
0
→?.
Ou seja,
expressão que vai para zero
expressão que vai para zero
.
2. lim
x→x0
f (x) =⇒ ±∞
±∞
→ ?.
Ou seja,
expressão que vai para mais ou menos in�nito
expressão que vai para mais ou menos in�nito
.
3. lim
x→x0
f (x) =⇒ 0 · (±∞)→ ?.
Ou seja, expressão que vai para zero vezes expressão que vai
para mais ou menos in�nito.
4. lim
x→x0
f (x) =⇒ 00 → ?.
Ou seja, expressão que vai para zero elevada a expressão que
vai para zero.
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Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade5. lim
x→x0
f (x) =⇒ 1±∞ → ?.
Ou seja, expressão que vai para um elevada a expressão que vai
para mais ou menos in�nito.
6. lim
x→x0
f (x) =⇒ (±∞)0 → ?.
Ou seja, expressão que vai para mais ou menos in�nito elevada
a expressão que vai para zero.
7. lim
x→x0
f (x) =⇒ +∞−∞→ ?.
Ou seja, expressão que vai para mais in�nito menos expressão
que vai para mais in�nito.
Para resolvermos as indeterminações, normalmente, usamos alguns
`truques' que vamos ilustrar nos exemplos a seguir.
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Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
IMPORTANTE:
NÃO são indeterminações as expressões do tipo:
1. lim
x→x0
f (x) =⇒ No 6= 0
0
→ ±∞ (só é preciso estudar o sinal.)
2. lim
x→x0
f (x) =⇒ 0
No 6= 0
→ 0
3. lim
x→x0
f (x) =⇒ ±∞
0
→ ±∞ (só é preciso estudar o sinal.)
4. lim
x→x0
f (x) =⇒ 0
±∞
→ 0
5. lim
x→x0
f (x) =⇒ ±∞
No 6= 0
→ ±∞ (só é preciso estudar o sinal.)
6. lim
x→x0
f (x) =⇒ No 6= 0
±∞
→ 0
7. lim
x→x0
f (x) =⇒ (−1 < No < 1)+∞ → 0
8. lim
x→x0
f (x) =⇒ (No > 1)+∞ → +∞
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Segundo Limite
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Exemplos
1. Considere as funções a seguir e obtenha os respectivos limites.
a) lim
x→1
x2 + 2x − 1
x2 − 1
;
b) lim
x→0
√
x2 + 100− 10
x2
;
c) lim
x→+∞
(x + 1)3
x + 1
;
d) lim
x→−∞
x2 − 6x + 8
3x + 1
;
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Segundo Limite
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1.
e) lim
x→1
1
x − 1
− 3
1− x2
;
f) lim
x→+∞
(√
x2 − 5x + 6− x
)
;
g) lim
x→+∞
x ·
(√
x2 + 1− x
)
;
h) lim
x→−2−
x
x + 2
;
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Teorema do
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Primeiro Limite
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In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
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Exercícios
1. Considere a �gura abaixo e determine os limites pedidos ou
explique porque eles não existem:
a) lim
x→0
f (x)
b) lim
x→1
f (x)
c) lim
x→2
f (x)
d) lim
x→3
f (x)
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Objetivos
Limites e
Continuidade
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Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
2. Considere a �gura abaixo e determine os limites pedidos ou
explique porque eles não existem:
a) lim
x→−1
f (x)
b) lim
x→0
f (x)
c) lim
x→0
f (x)
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
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De�nição
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Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
3. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→6
8(x − 5)(x − 7)
b) lim
x→−1
5(2x − 1)2
c) lim
x→0
3√
3x + 1 + 1
d) lim
x→5
x − 4
x2 − 16
e) lim
x→−3
x2 − 9
x + 3
f) lim
x→−5
x2 + 3x − 10
x + 5
g) lim
x→4
4x − x2
2−
√
x
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
4. Sabendo que:
lim
x→a
f (x) = 5; e lim
x→a
g(x) = −2
Determine:
a) lim
x→a
f (x) g(x)
b) lim
x→a
2 f (x) g(x)
c) lim
x→a
[2 f (x) + 5 g(x)]
d) lim
x→a
f (x)
f (x)− g(x)
e) lim
x→a
g(x)
f (x)− 1
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
4. Os limites abaixo não existem. Explique o porquê.
a) lim
x→0
x
|x |
b) lim
x→1
1
1− x
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Teorema do Confrontos
I Suponha que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para qualquer x num
intervalo aberto contendo x0 (exceto, talvez, em x = x0). E
que:
lim
x→x0
g(x) = lim
x→x0
h(x) = L
I Então:
lim
x→x0
f (x)) = L
�Fazer �gura�
Identi�cação
Objetivos
Limites e
Continuidade
Introdução
De�nição
Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Exemplos
1. Sabendo que, para qualquer x 6= 0, temos:
1− x2
4
≤ u(x) ≤ 1 +
x2
2
Qual o valor de lim
x→0
u(x)?
2. Determine lim
x→0
f (x), sabendo que
√
5− 2x2 ≤ f (x) ≤
√
5− x2
Identi�cação
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Limites e
Continuidade
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Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Primeiro Limite Fundamental
I Usando o teorema do confronto podemos prova facilmente o
chamado primeiro limite fundamental:
lim
x→0
senx
x
= 1
I Este limite é usado para calcular a maior parte dos limites
envolvendo funções trigonométricas!
Identi�cação
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Limites e
Continuidade
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Propriedades dos
Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Exemplos
1. Usando o primeiro limite fundamental, determine os limites a
seguir.
a) lim
x→0
sen
√
2x√
2x
b) lim
x→0
senkx
x
c) lim
x→0
sen3x
4x
d) lim
x→0
senx
sen2x
Identi�cação
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Limites e
Continuidade
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Limites
Teorema do
Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Limites no In�nito
I Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende ao
in�nito e escrevemos
lim
∞
f (x) = L
se, para cada número ε > 0, existe um número M
correspondente tal que, para todos os valores de x ,
x > M ⇒
∣∣f (x)− L
∣∣ < ε
Ou seja, se o valor da função se aproxima de L quando x vai
�cando muito grande (tende a in�nito).
I A reta y = L é chamada assintota horizontal da função.
Identi�cação
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Limites e
Continuidade
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Limites
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Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Analogamente:
I Dizemos que f (x) possui o limite L quando x tende a
menos in�nito e escrevemos
lim
−∞
f (x) = L
se, para cada número ε > 0, existe um número N
correspondente tal que, para todos os valores de x ,
x < N ⇒
∣∣f (x)− L
∣∣ < ε
Ou seja, se o valor da função se aproxima de L quando x vai
�cando muito pequeno (tende a menos in�nito).
I A reta y = L é, também, chamada assintota horizontal da
função.
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Limites e
Continuidade
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De�nição
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Limites
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Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Exemplos
1. Determine os seguintes limites:
a) lim
x→∞
1
x
b) lim
x→−∞
(
4 +
1
x
)
c) lim
x→∞
(
3− π
x3
)
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Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Limites In�nitos
I Dizemos que uma função tem limite in�nito em um ponto x0
se:
1. A função tende a ∞ quando x → x0:
lim
x→x
+
0
f (x) = +∞; ou lim
x→x
−
0
f (x) = +∞
2. A função tende a −∞ quando x → x0:
lim
x→x
+
0
f (x) = −∞; ou lim
x→x
−
0
f (x) = −∞
I IMPORTANTE: Um limite in�nito não é um limite! Pois
in�nito não é um número real.
Identi�cação
Objetivos
Limites e
ContinuidadeIntrodução
De�nição
Propriedades dos
Limites
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Confronto
Primeiro Limite
Fundamental
Limites no
In�nito
Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Assintotas Verticais
I Quando a função tende a in�nito em um ponto x = x0,
dizemos que a função tem uma assintota vertical em x0.
Exemplo: Considere a função
f (x) =
1
x
cujo domínio é dado por: Dm(f (x)) = R∗
Pelo grá�co ("Fazer �gura") percebemos que a função tem
uma assíntota vertical em x = 0 e uma assíntota horizontal em
f (x) = 0.
Assim, vemos que uma função tem uma assíntota vertical em
x = x0 quando:
lim
x→x
+
0
f (x) = ±∞; ou lim
x→x
−
0
f (x) = ±∞ ou lim
x→x0
f (x) = ±∞
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Continuidade
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Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Segundo Limite Fundamental
I O número irracional e que é a base do logarítmo natural, foi
obtido originalmente por Leonard Euler em termos do limite:
lim
x→∞
(
1 +
1
x
)x
= e
I Este é chamado se segundo limite fundamental.
I O segundo limite fundamental é usado para estudar diversos
limites no in�nito e outros limites que possam ser reduzido a
este tipo de limite.
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Fundamental
Limites no
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Limites In�nitos
Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Exemplos
1. Veri�que os seguintes limites:
a) lim
x→−∞
(
1 +
1
x
)x
= e
b) lim
h→0+
(1 + h)
1
h = e
c) lim
h→0
(
eh − 1
h
)
= 1
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Segundo Limite
Fundamental
Continuidade
Exercícios
1. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→+∞
(
1 +
2
x
)x
b) lim
x→+∞
(
1 +
1
x
)x+2
c) lim
x→+∞
(
x + 2
x + 1
)x
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Fundamental
Continuidade
Continuidade
I Já de�nimos gra�camente, ao estudar funções no capítulo
anterior, se uma função é contínua ou descontínua e os tipos
de descontinuidade.
I Agora vamos, usando a de�nição e cálculo de limite, estudar,
algebricamente, a continuidade de uma função nos pontos de
seu domínio.
I Assim, vamos de�nir a continuidade de uma função num ponto
no interior do seu domínio e nas extremidades do domínio.
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Fundamental
Continuidade
Função contínua em um ponto
I Ponto interior
Uma função y = f (x) é contínua em um ponto interior c de
seu domínio quando:
lim
x→c
f (x) = f (c)
I Extremidades
Uma função y = f (x) é contínua na extremidade esquerda a
ou é contínua na extremidade direita b de seu domínio quando:
lim
x→a+
f (x) = f (a); ou lim
x→b−
f (x) = f (b), respectivamente.
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Fundamental
Continuidade
I Se uma função f não é contínua em um ponto c (que não
precisa pertencer ao domínio de f ), dizemos que f é
descontínua em c e que c é um ponto de descontinuidade
de f .
I A função f é contínua à direita de um ponto x = c em seu
domínio se lim
x→c+
f (x) = f (c)
I A função f é contínua à esquerda de um ponto x = c em seu
domínio se lim
x→c−
f (x) = f (c)
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Fundamental
Continuidade
Teste de continuidade
Uma função f (x) é contínuma em x = c se e somente se ela
obedece às seguintes condições:
1. f (c) existe.
2. lim
x→c
f (x) existe.
3. lim
x→c
f (x) = f (c).
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Continuidade
Exemplos
1. Veri�que o(s) intervalo(s) no(s) qual(is) a função a seguir é
contínua.
a) f (x) =
√
4− x2
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Fundamental
Continuidade
Propriedades das funções contínuas
Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as
seguintes combinações são contínuas em x = c.
1. Soma das funções: f + g .
2. Diferença das funções: f − g ou g − f .
3. Produto das funções: f · g
4. Multiplicação por constante: k · f (para k ∈ R).
5. Quociente das funções:
f
g
(se g(c) 6= 0).
3. Potências das funções: f r/s (r , s ∈ Z).
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Fundamental
Continuidade
Exemplos
1. Considere as funções f (x) = x3 e g(x) = x2 + 4x − 5. Em
quais intervalos a função de�nida por
f (x)
g(x)
é contínua?
	Identificação
	Objetivos
	Limites e Continuidade
	Introdução
	Definição
	Propriedades dos Limites
	Teorema do Confronto
	Primeiro Limite Fundamental
	Limites no Infinito
	Limites Infinitos
	Segundo Limite Fundamental
	Continuidade