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ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO
PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO
9ano
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Descobrindo e aplicando a
MATEMMATEMMATEMMATEMMATEMMATEMAAAAAATITITITITITICACACACACACACACACACACACA
Descobrindo e aplicando aDescobrindo e aplicando aDescobrindo e aplicando a
Matemática
MANUAL DO PROFESSOR
Ensino
Fundamental
selinho_obras_aprovadas_10mai13_.indd 6 10/05/13 16:43
9!BMM@L>:PXTRPU!
ISBN 978 85-7319-531-6
 Ouviram do Ipiranga as margens plácidas
De um povo heroico o brado retumbante,
E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos,
Brilhou no céu da Pátria nesse instante.
 Se o penhor dessa igualdade
Conseguimos conquistar com braço forte,
 Em teu seio, ó Liberdade,
Desafi a o nosso peito a própria morte!
 Ó Pátria amada,
 Idolatrada,
 Salve! Salve!
Brasil, um sonho intenso, um raio vívido
De amor e de esperança à terra desce,
Se em teu formoso céu, risonho e límpido,
A imagem do Cruzeiro resplandece.
Gigante pela própria natureza,
És belo, és forte, impávido colosso,
E o teu futuro espelha essa grandeza.
 Terra adorada,
 Entre outras mil,
 És tu, Brasil,
 Ó Pátria amada!
Dos fi lhos deste solo és mãe gentil,
 Pátria amada,
 Brasil!
Deitado eternamente em berço esplêndido,
Ao som do mar e à luz do céu profundo,
Fulguras, ó Brasil, fl orão da América,
Iluminado ao sol do Novo Mundo!
 Do que a terra mais garrida
Teus risonhos, lindos campos têm mais fl ores;
 “Nossos bosques têm mais vida”,
“Nossa vida” no teu seio “mais amores”.
 Ó Pátria amada,
 Idolatrada,
 Salve! Salve!
Brasil, de amor eterno seja símbolo
O lábaro que ostentas estrelado,
E diga o verde-louro desta fl âmula
– Paz no futuro e glória no passado.
Mas, se ergues da justiça a clava forte,
Verás que um fi lho teu não foge à luta,
Nem teme, quem te adora, a própria morte.
 Terra adorada,
 Entre outras mil,
 És tu, Brasil,
 Ó Pátria amada!
Dos fi lhos deste solo és mãe gentil,
 Pátria amada,
 Brasil!
Hino Nacional
 Letra: Joaquim Osório Duque Estrada 
 Música: Francisco Manuel da Silva
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ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO 
•	 Bacharel, licenciado e especialista em Matemática pela UFMG. Atuou como: chefe dos Departamen-
tos de Matemática do Centro Pedagógico, do Colégio Universitário e do Instituto de Ciências Exatas 
da UFMG; coordenador da área de Matemática do Projeto de Inovação Curricular e Capacitação de 
Docentes do Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Educação do Estado de Minas Gerais; 
coordenador da área de Matemática do Projeto de Correção do Fluxo Escolar para o Ensino Funda-
mental da Secretaria Estadual de Ensino do Estado da Bahia; e membro da equipe de consultores do 
Projeto de Capacitação de Professores de Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino de Minas Gerais.
PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO
•	 Bacharel e mestre em Matemática pela UFMG, doutor em Matemática pela Unicamp/UFBA. Atualmente 
é professor associado do Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da UFMG, do 
qual foi chefe em vários mandatos.
1ª edição, Belo Horizonte, 2012
ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO
PAULO ANTôNIO FONSECA MAChADO
9ano
O
Descobrindo e aplicando a
MATEMATICA
Ensino
FundamEntal
Descobrindo e aplicando a
matemática
manual do proFEssor
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Copyright © 2004 by Alceu dos Santos Mazzieiro
 Paulo Antônio Fonseca Machado
Fundadores 
Gilberto Gusmão de Andrade
Zélia Almeida
Diretora editorial 
Zélia Almeida
Editor 
Maurício Bouissou
Editor de arte 
Jan Deckers
Coordenadora de produção 
Ana Gabriela
 
Assistente editorial
Rúbia Calais
PRODUÇÃO EDITORIAL 
Projeto gráfico/Capa 
Reginaldo Almeida
Ilustrações 
 Júlia Bianchi, Son Salvador e Duke
 desenho técnico: Sérgio Pessoa, Tuim,
 Nivaldo Marques e Carlos Jorge
PRODUÇÃO GRÁFICA
Editoração eletrônica 
Tuim
Pré-impressão 
Tuim
Todos os os direitos reservados à
EDITORA DIMENSÃO
Rua Rosinha Sigaud, 201 - Caiçara
Telefax: (31) 3527-8000 
30770-560 - Belo Horizonte (MG) 
www.editoradimensao.com.br
 M477d Mazzieiro, Alceu dos Santos
 Descobrindo e aplicando a matemática; 
9º ano / texto de Alceu dos Santos Mazzieiro e 
Paulo Antônio Fonseca Machado;
— Belo Horizonte: Dimensão, 2012.
 304 p. il. – (6º ao 9º ano do ensino 
fundamental – Matemática)
 ISBN - 978 - 85 - 7319 - 502 - 6 (LA)
 ISBN - 978 - 85 - 7319 - 531 - 6 (LP)
1.Matemática-ensino fundamental. I.Machado, 
Paulo Antônio Fonseca. II.Título. III.Série.
 
CDU 51(075.2)
Ficha elaborada por Rinaldo de Moura Faria CRB/6 nº 1006
2012 
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Estudante,
 Este livro foi elaborado para que você converse bastante na aula de 
Matemática. Calma, não estamos dizendo para você perturbar o ambiente. 
Nada disso. A conversa a que nos referimos tem a ver com os exercícios 
e atividades aqui propostos, que vão estimular você a participar da aula o 
tempo todo, sozinho ou em grupo.
De que maneira? Fácil: respondendo perguntas, resolvendo e inventando 
problemas ligados ao dia a dia, montando e desmontando objetos, fazendo 
contas com a calculadora, interpretando ou fazendo gráficos, desenhando 
figuras ou interpretando desenhos de figuras, discutindo como resolver ou 
inventar problemas, descobrindo propriedades dos números e das figuras. 
Sobretudo, aplicando suas descobertas em problemas da vida prática e em 
situações relacionadas com as outras matérias que você estuda.
Você verá como a aula de Matemática se torna agradável com a parti-
cipação de todos.
Uma última recomendação: crie o hábito de, assim que chegar em casa, 
fazer os exercícios marcados pelo professor. Principalmente por dois moti-
vos: o primeiro, porque ainda estão em sua memória os assuntos estudados 
em aula, e o segundo porque, ao deixar para depois, imprevistos podem 
impedi-lo de resolver os exercícios. E esses são muito importantes para o 
complemento de sua aprendizagem.
Um abraço,
os autores.
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Como você vai usar o livro
 
Este livro é formado de nove capítulos e um glossário. Cada um dos 
sete primeiros capítulos é dividido em cinco partes, que têm os títulos em 
destaque a seguir, bem como seus conteúdos e objetivos descritos.
O capítulo 8 visa uma revisão dos assuntos estudados e o capítulo 9 
contém atividades complementares a cada um dos sete primeiros capítulos.
O glossário que se vê após o capítulo 9 permite a você rever os signi-
ficados de termos usados no livro ou conhecer os significados de novos 
termos, principalmente ligados ao dia a dia.
TÍTULOS DAS CINCO PARTES DOS SETE PRIMEIROS CAPÍTULOS: 
EXPLORANDO O QUE VOCÊ JÁ SABE
Perguntas sobre assuntos que você já sabe e que são importantes para 
o estudo que se inicia.
APRENDENDO EM SALA DE AULA
Diversos exercícios e atividades em sala de aula, que você vai fazer so-
zinho ou, na maioria das vezes, em grupo, sempre orientado pelo professor 
ou pela professora.
APRENDENDO EM CASA
Exercícios e atividades para você resolver em casa. Nunca deixe de fazê-
-los. Você e seus colegas vão apresentar e discutir as soluções na aula 
seguinte.
EXPLORANDO O QUE VOCÊ APRENDEU E APRENDENDO MAIS
Exercícios e atividades propostos no fim de cada capítulo como revisão 
e, principalmente, aplicação do que você aprendeu em problemas práticos.
VERIFIQUE SE VOCÊ APRENDEU
Lista de assuntos estudados no capítulo e números dos exercícios cor-
respondentes. Essa lista é muito importante para que você reveja o estudo, 
descobrindo se aprendeu todos os assuntos, ou, caso contrário, voltando 
aos exercícios correspondentes e estudando-os novamente.
 
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Aos pais
Não faz muito tempo era bastante comum as pessoas terem aversãoa Matemática. Motivo 
havia de sobra, basta reparar nas maneiras como se ensinava: exercícios sem qualquer aplicação 
prática, relacionados apenas e tão somente com a própria disciplina, davam a sensação de que 
havia dois mundos, o da Matemática e aquele em que vivemos.
Felizmente, os estudos sobre Educação Matemática e alguns documentos oficiais, como os 
Parâmetros Curriculares Nacionais, estão contribuindo de maneira decisiva para uma nova visão.
É com base principalmente nesses textos e documentos que propomos uma Matemática agra-
dável, participativa e voltada para todos os contextos do nosso dia a dia. Este livro é feito para 
que seus filhos sejam preparados para os desafios do mundo atual, no qual, todos sabemos, as 
transformações ocorrem de forma cada vez mais veloz. Essas rápidas transformações requerem 
de cada um de nós capacidade de decidir sobre situações novas, criatividade, compreensão das 
diversas linguagens, além de coragem e competência para o exercício da cidadania.
Para que a aprendizagem de seu filho seja a mais eficiente possível, é necessário que vocês 
colaborem acompanhando os estudos dele em casa, discutindo as atividades propostas (nunca 
as resolvendo) e participando do projeto pedagógico da Escola.
Por fim, justificamos com um exemplo cotidiano por que Matemática se deve aprender fa-
zendo. Para entender, observe a reação de uma criança bem pequena que “briga” para tomar 
a colherzinha da mão de quem a alimenta. Quando consegue, ela começa a levar a colherzinha 
ao nariz, à testa, até acertar a boca. E daí em diante não admite mais ser alimentada por outra 
pessoa. Ou seja, ela quer “resolver o problema” sozinha.
Esta criança nos ensina, assim, que desde os primeiros meses de idade o ser humano apre-
senta como característica essa vontade, essa necessidade de aprender fazendo, em vez de 
esperar que alguém faça por ele.
Um abraço,
os autores.
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CapItulo 1 - Os números reais
Conhecendo um pouco mais sobre números ........................... 11
Calculando com números reais ................................................. 26
Coordenadas e aplicações ....................................................... 33
Verifique se você aprendeu ....................................................... 40
CapItulo 2 - Matemática financeira
Porcentagem, principal e taxa ................................................... 43
Aumentos e descontos percentuais – comissões ...................... 46
Calculando juros simples e juros compostos ............................. 50
Verifique se você aprendeu ....................................................... 60
CapItulo 3 - Calculando com letras e com números
Monômios e polinômios ............................................................ 63
Calculando com monômios e polinômios .................................. 76
Produtos notáveis ..................................................................... 82
Usando e deduzindo fórmulas .................................................. 86
Funções, fórmulas, tabelas e gráficos ....................................... 88
As funções e seus gráficos cartesianos .................................... 97
Verifique se você aprendeu ....................................................... 106
SumArio
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CapItulo 4 - Equações e sistemas de equações
Resolvendo equações e problemas .......................................... 109
Resolvendo sistemas de equações e problemas ....................... 115
As expressões fatoradas e as equações ................................... 122
Resolvendo equações do segundo grau ................................... 127
Verifique se você aprendeu ....................................................... 136
CapItulo 5 - Proporcionalidade e trigonometria
Semelhança – Revendo e ampliando conhecimentos ............... 139
Semelhança e os triângulos retângulos ..................................... 143
As razões trigonométricas ......................................................... 147
Verifique se você aprendeu ....................................................... 160
CapItulo 6 - Descobrindo e explorando 
 propriedades das figuras geométricas
Desenhando, descobrindo e usando propriedades
de figuras geométricas .............................................................. 163
Recordando e descobrindo outros fatos sobre polígonos ......... 169
Ângulos na circunferência ......................................................... 173
As circunferências e os polígonos ............................................. 182
Atividades opcionais: Semelhança na circunferência ................. 191 
Verifique se você aprendeu ....................................................... 194
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CapItulo 7 - Estatística, amostras e probabilidades
Um pouco mais sobre Estatística .............................................. 197
Probabilidades, amostras e Estatística ...................................... 213
Verifique se você aprendeu ....................................................... 218
CapItulo 8 - Revendo e aprendendo mais
Calorias, anos-luz e altitudes .................................................... 221
Explorando medidas ................................................................. 223 
Áreas, comprimentos e distâncias ............................................ 226
Salada de problemas ................................................................ 228
As razões trigonométricas e as áreas ........................................ 233
Os expoentes fracionários e os radicais .................................... 238
Quocientes e produtos de expressões literais ........................... 243
 
CapItulo 9 - Atividades complementares
Atividades complementares do capítulo 1 ................................. 249
Atividades complementares do capítulo 2 ................................. 253
Atividades complementares do capítulo 3 ................................. 256
Atividades complementares do capítulo 4 ................................. 272
Atividades complementares do capítulo 5 ................................. 278
Atividades complementares do capítulo 6 ................................. 281
Atividades complementares do capítulo 7 ................................. 286
Glossário .................................................................................. 295
Sugestões de leituras e sites para os alunos ............................. 303
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CapItulo 1
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Os números reais
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Neste capítulo, você vai aprender como:
• Identificar números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
• Identificar números reais como racionais ou irracionais.
• Representar números racionais como dízimas periódicas.
• Escrever dízimas periódicas como frações.
• Representar números reais na reta numerada.
• Interpretar expoentes negativos e seu uso particular nas potências de base 10.
• Simplificar escrita de números usando produtos por potências de dez.
• Calcular raízes quadradas aproximadas de números reais.
• Resolver problemas relacionados com os conceitos de porcentagem, principal e taxa.
• Resolver problemas relacionados com juros simples e juros compostos.
• Resolver problemas de proporcionalidade inversa e proporcionalidade composta.
• Calcular ou simplificar radicais usando fatoração.
• Localizar pontos no plano cartesiano usando pares ordenados de números reais: 
suas coordenadas.
• Identificar: eixos cartesianos, plano cartesiano, quadrantes, abscissas e ordenadas.
• Construir figuras simétricas no plano cartesiano.
• Identificar figuras simétricas no plano cartesiano.
• Construir polígonos no plano cartesiano,dadas as coordenadas de seus vértices.
Ao lado, explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
Observação im-
portante: Sempre que 
possível, em todas as 
seções deste e outros 
capítulos proponha 
atividades coletivas 
aos alunos, explorando 
situações-problema 
que propiciem diversos 
procedimentos como 
analisar, interpretar, 
discutir, argumentar, 
formular hipóteses, 
planejar estratégias 
de resolução, apli-
car as estratégias na 
resolução, explicitar 
verbalmente a estraté-
gia utilizada, verificar 
e validar resultados. 
Explorar também o 
uso de exemplos, con-
traexemplos, desco-
bertas de diferenças, 
descobertas de seme-
lhanças.
Ao início de cada 
seção, esclareça as 
principais razões de 
se estudarem os temas 
das mesmas. 
–2 –1 0 +1 +2 +3
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
–1
(g)
0 +1
–0,7 (h) (i) +0,3 (j) (l)
1º quadrante2º quadrante
4º quadrante3º quadrante
y
x0x
y
A (3,4)A’ (–3,4)
B (–4,–2) B’ (4,–2)
R (3,2)
y
x
R’ (3,–2)
Q (–1,3)
P (–2,1)
P’ (–2,–1)
Q’ (–1,–3)
Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de 
números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões 
são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre 
que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequências númericas.
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11
•	 Quais são os números naturais entre 18 e 25?
•	 Quais são os números inteiros negativos entre –9 e –1?
•	 Quais são os números inteiros positivos entre +4 e +11?
•	 Toda fração representa número natural?
•	 Se uma fração representa o número natural 3, o que se pode dizer do numerador e 
do denominador dela?
Recado ao(à) profes sor(a): 
Aproveitamos este espaço para 
comunicação direta entre nós. Nele, 
fazemos diversas observações e 
sugestões.
Todas as atividades que iniciam 
os estudos dos temas têm, como 
título, “Explorando o que você já 
sabe” e devem ser respondidas 
oralmente pelos alunos. Quando 
julgar necessário, explore mais as 
situações com outras perguntas. 
Procure verificar se todos os alu-
nos compreendem os significados 
dos termos nelas usados.
Sempre que possível, crie 
situações semelhantes no quadro 
e explore-as.
ATIVIDADES ORAIS
•	 19,	20,	21,	22,	23,	24.
•	 –8,	–7,	–6,	–5,	–4,	–3,	–2.
•	 +5,	+6,	+7,	+8,	+9,	+10.
•	 Não.
•	 O	 numerador	 é	 o	 triplo	 do	
denominador.
Peça a um aluno que leia cada 
item com marcadores e, após cada 
um, dê e peça exemplos de: con-
junto união, conjunto interseção, 
subconjunto, números racionais na 
forma de fração, na forma decimal 
finita ou periódica, simplificação 
de frações e frações irredutíveis.
Explore também os exemplos 
dos dois significados diferentes 
do “ou”.
1º.) Na linguagem corrente, se o 
professor diz: “amanhã, tragam 
um jornal ou uma revista”, está 
dando uma opção para que cada 
um traga ou um jornal, ou uma 
revista. Este “ou” é chamado 
de “ou exclusivo”: deve ser 
entendido como “ou... ou”, não 
obrigando às duas condições 
serem satisfeitas ao mesmo 
tempo. 
2º.) Na linguagem matemática, 
se dizemos: “conjunto união de 
dois conjuntos A e B é o conjun-
to cujos elementos pertencem a 
A ou a B”, devemos entender 
que, se um elemento pertence a 
um único dos dois conjuntos ou 
se pertence a ambos, pertence 
também ao conjunto união dos 
dois. Este “ou” é chamado “ou 
inclusivo” e tem o significado 
de “ou” e de “e” ao mesmo 
tempo. Se necessário, explore 
mais exemplos.
 Neste ano, vamos retornar a vários conceitos já estudados, com uma 
abordagem um pouco mais precisa. Inicialmente, recordaremos fatos 
sobre conjuntos, lembrando que, no nível da Matemática que estudamos 
aqui, os conjuntos têm como elementos, principalmente, números ou 
figuras geométricas. 
Você já sabe que:
✓	Dados um elemento a e um conjunto C, ou a pertence a C, ou a não pertence a C, 
e se representam esses fatos assim, respectivamente: a  C ou a  C.
✓	 {a, b, c, d} se lê: conjunto cujos elementos são: a, b, c, d.
✓	 Se um elemento x pertence a, pelo menos, um de dois conjuntos A ou B, dizemos 
que ele pertence ao conjunto união de A e B, representado por A  B, que se lê 
A união B. 
✓	 Se um elemento pertence simultaneamente a dois conjuntos A e B, dizemos que 
ele pertence ao conjunto interseção de A e B, representado por A  B, que se lê 
A interseção B. 
✓	 Se todo elemento que pertence a um conjunto X pertence também a outro conjunto 
Y, dizemos que X é subconjunto de Y e escrevemos: XY 
✓	 0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10,	11,...	representam	os	números naturais.
✓	As frações cujos termos são números naturais representam números racionais 
 (lembre-se de que denominador não pode ser o zero).
✓	Entre todas as frações que representam um mesmo número racional, existe sempre 
uma cujos termos são primos entre si, chamada fração irredutível.
✓	Os números racionais também são representados por expressões decimais finitas ou 
periódicas. 
✓	Na prática, medir é verificar, fixada uma grandeza como unidade, quantas vezes ela, 
ou parte dela, está contida em outra grandeza de mesma espécie.
✓	Contar objetos de uma coleção é fazer corresponder a cada um dos objetos, suces-
sivamente, um único dos números naturais 1, 2, 3, 4,... até que, completada a cor-
respondência, se diz que a quantidade de objetos da coleção é expressa pelo último 
número natural utilizado na correspondência. 
Aprendendo em sala de aula
Explorando o que você já sabe
Conhecendo um pouco mais sobre números
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12
Professor(a): para a se-
quência das atividades das 
aulas, recomendamos criar 
o hábito de ler as sugestões 
que faço, antes de explorar 
os exercícios cujos números 
das respostas são colocados 
posteriormente a essas su-
gestões, porque a maior parte 
delas ou reforça atividades 
anteriores, ou, principalmen-
te, prepara os alunos para as 
atividades seguintes.
Explore no quadro situa-
ções de medidas de segmen-
tos e como interpretá-las. 
Não se esqueça das divisões 
dos segmentos unitários em 
10 partes iguais, que per-
mitem obter medidas deci-
mais. Use réguas graduadas 
para facilitar as subdivisões. 
Explore, também, usando 
material concreto, medidas 
de áreas (por exemplo, de 
cartões, com um cartão uni-
dade), medidas de volumes 
etc. 
Lembre aos alunos que 
este livro é não consumível. 
Portanto, não devem escrever 
ou desenhar nas páginas dele, 
nem recortar qualquer figura.
1.	a)	A)	0,	2,	4,	6,	8;
	 	 B)	1,	3,	5,	7,	9;
	 	 D)	2,	3,	5,	7,	11;
	 	 E)	2,	4,	8,	16,	32;
	 	 F)	0,	5,	10,	15,	20;	
	 b)	1,	3,	5,	15;	
 c) 1º.) N;
	 	 2º.)	A;
	 	 3º.)	B;
 4º.) N;
	 d)1º.)	{0,	2,	4,	6}
 2º.) {múltiplos de 10} 
3º.) {2}
 4º.) D 
2.	a)	38;	
		 b)	22;
 c) 18 + 1 + 1 + 1 + 1 = 22 
(ou	18	+	4	=	22);
	 d)	n	+	1;
	 e)	Adição;	4	×	6;		
	 f)	 4	<	7	porque	7	=	4	+	3;	
 g) Porque 14 = 9 + 5.
Recorde: se a e b repre-
sentam	números,	a	×	b,	(a)(b)	
e a ∙ b representam o produto 
desses números.
 Uma noção intuitiva do que são números pode ser expressa assim: nú-
meros representam resultados de contagens ou de medidas. São usados 
para avaliar diferentes quantidades ou qualidades de uma grandeza. 
 Exemplificando:
 a) Ao contar os elementos de A = {a, b, c, d}, encontramos o número natural 4.
 Representamos o conjunto dos números naturais assim:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }
b) Ao medir segmentos usando um segmento dado como unidade de medida, é pos-
sível	obter	como	medida	números	racionais	como	5;	7;	13;	2,5;	 4
3
4
. Veja que os 
três primeiros números são números naturais, que também podem ser associadosa 
números racionais através das relações 5
5
1
7
7
1
, ,= = etc. 
 Resolvendo exercícios: 
1. No quadro a seguir, você vê vários conjuntos de números naturais:
A = { números naturais pares } E = {2n, n  , n ≠ 0}
B = { números naturais ímpares } F = {múltiplos de 5}
C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 } G = {divisores de 15}
D = {números primos}
 Use os conjuntos do quadro acima e escreva em seu caderno:
 a) Os cinco primeiros números dos conjuntos A, B, D, E, F.
b) Todos os números do conjunto G.
c) O conjunto união de cada um dos pares de conjuntos a seguir: 
 1º.) A e B;							2º.) A e E;							3º.) B e G;							4º.) N e F.
d) O conjunto interseção de cada um dos pares de conjuntos a seguir: 
 1º.) A e C;							2º.) A e F;							3º.) A e D;							4º.) B e D.
2. Responda ou faça o que se pede:
a) O professor afirmou que o sucessor de 4 é 5,	o	sucessor	de	5	é	6,	o	sucessor	de	6	é	
7, e continuou... Qual número ele deve ter afirmado ser o sucessor de 37?
b) Qual número natural é o sucessor do sucessor do sucessor do sucessor de 18? 
c) Você conhece algum modo de responder à pergunta do item (b) fazendo uma ope-
ração? Qual seria ela?
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13
3.	a)	4	<	11	e	7	<	11;
 b) A soma de dois números 
naturais diferentes de zero 
é maior que qualquer um 
deles.
4. a < c.
Se julgar conveniente, explore, 
dada uma implicação “P => Q”, 
como obter: sua recíproca (“Q 
=> P”), sua contrária (“não P => 
não Q”) e sua contrarrecíproca 
(“não Q => não P”), destacando o 
fato de que uma implicação e sua 
contrarrecíproca têm o mesmo 
“valor verdade” (ou ambas são V 
ou ambas são F). Estes e outros 
conceitos de lógica foram apre-
sentados no volume do oitavo ano, 
nas páginas 234 a 237. Site sobre 
lógica (muito prático):
h t t p : / / w w w . i m e . u s p .
br/~glaucio/textos/LogicaInic.
pdf. 
5.	a)	V;
	 b)	F;	contraexemplos:	qualquer	
diferença entre naturais cujo 
minuendo seja menor que o 
subtraendo;	
	 c)	V;	
 d) V.
Promova uma discussão sobre 
a frase relacionada com a inter-
pretação de medidas fracionárias 
do texto. Sugestões (usando o 
quadro): a) Explore medidas com 
denominadores 2, 4, 8 etc., usan-
do tiras de papel como unidade de 
medida e dobrando-as ao meio, 
depois novamente etc., obtendo 
partes fracionárias: metades, 
quartas partes etc. b) Explore 
medidas decimais usando régua 
graduada.
Recorde, usando a tabela desta 
página, como representar as medi-
das ou valores da segunda coluna 
usando números negativos, e, da 
quarta coluna, usando números 
positivos.
Explique ainda aos alunos 
que o nome “comensurável” 
quer dizer, na verdade, que os 
dois segmentos – o que vai ser 
medido, e o que serve como 
unidade, podem ser subdivididos 
em segmentos menores de mesmo 
tamanho. Por exemplo, no caso do 
primeiro exemplo citado, em que 
um segmento é 2,5 vezes maior 
que o escolhido como unitário, 
podemos tomar um terceiro seg-
mento v que seja a metade do 
unitário (ou seja, que mede ½), 
d) Se n representa um número natural, como você representa o sucessor de n?
e) Observe a expressão 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Qual o nome da operação que ela repre-
senta e como se representa esta expressão de outro modo, usando outra operação? 
 f) 7 é o sucessor do sucessor do sucessor de 4. Por isto se diz que 4 é menor que 7 
e se escreve: 4 < 7. Copie e complete em seu caderno: 4 < 7 porque 7 = 4 +...?...
g) Por que 9 é menor que 14? 
3. As frases “Se P, então Q” ou “P implica Q” significam a mesma coisa, 
e são chamadas de implicações. Em lógica matemática são expressas 
simbolicamente assim: “P  Q”. 
a) Copie em seu caderno a implicação a seguir e substitua o sinal de interrogação pelo 
sinal < ou > para obter uma implicação verdadeira:
 4 + 7 = 11  4 ...?... 11 e 7 ...?... 11
b) Escreva uma frase que traduza a relação entre dois números naturais diferentes de 
zero e a soma desses números.
4. Considere três números naturais representados por a, b e c, tais que 
a < b e b < c. O que você conclui sobre a e c?
5. Classifique como verdadeira ou falsa cada frase a seguir:
a) A soma ou o produto de dois números naturais é um número natural.
b) A diferença de dois números naturais é um número natural.
c) Dados dois números naturais a e b, ou a < b ou a = b ou a > b.
d) Dados três números naturais a, b e n, sendo n diferente de zero, se a < b, então 
a + n < b + n e a.n < b.n
 Medidas, números racionais e os segmentos comensuráveis
 Dizer que a medida de um segmento em relação a um segmento uni-
dade é 2,5 significa que o comprimento do segmento medido equivale 
a duas vezes o comprimento do segmento unidade, mais a metade 
deste (lembre que 0 5
1
2
, = ). 
 Pense! Como interpretar medidas como 4
3
4
 ou, também, 19
4
?
 Tanto para os segmentos dos exemplos anteriores, quanto para todos 
os casos em que é possível obter como medida números racionais, di-
zemos que o segmento unitário e o segmento medido são segmentos 
comensuráveis. 
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14
 Grandezas no dia a dia e os novos números: os números inteiros
 Veja como diversas do dia a dia, envolvendo atividades com grandezas 
que variam em dois sentidos opostos, que você já teve oportunidade 
explorar, inspiraram a descoberta de novos números. 
 Vamos resumir algumas delas na tabela a seguir:
Altitudes 7 metros abaixo 
do nível do mar Ao nível do mar 104 metros cima 
do nível do mar
Valores 
monetários
Débitos: 
15 reais
Nem débito nem 
crédito
Créditos 
32 reais
Marcos de 
estradas
18 km antes do 
ponto de encontro
Ponto de encontro 
de duas vias (km 0)
19 km depois 
do ponto de 
encontro
Temperaturas 13 graus abaixo 
de zero grau 0 grau 32 graus acima 
de zero grau
 Na primeira reta da ilustração a seguir, você vê os números naturais 
que podem ser utilizados para representar partes inteiras das grandezas 
correspondentes aos valores vistos na última coluna da tabela anterior. 
 Na segunda reta, você vê pontos que correspondem aos novos núme-
ros descobertos que representam os valores inteiros da segunda coluna 
da tabela. Eles foram obtidos usando o mesmo segmento unidade da 
primeira figura, a partir do zero, na semirreta oposta à da primeira figura. 
Note que os números naturais passam a ter um sinal + antecedendo 
suas escritas, sendo também chamados de números inteiros positivos; 
os novos números, antecedidos do sinal –, são chamados de números 
inteiros negativos.
Segmento unitário
Segmento unitário
e vemos então que o segmento 
unitário mede 2, e o outro seg-
mento mede 5, em relação a v. 
Se, dados dois segmentos a e b, 
não existir nenhum segmento v 
tal que as medidas de a e b sejam 
números naturais em relação a 
v, então dizemos que estes seg-
mentos são “incomensuráveis”. 
Por exemplo: um segmento que 
mede √2 e outro que mede 1 são 
incomensuráveis. Voltaremos a 
este assunto mais adiante. Para 
aprofundar o assunto sugerimos 
ao professor o artigo “Grandezas 
incomensuráveis e números irra-
cionais” na Revista do Professor 
de Matemática 5, e os sites http://
www.ime.usp.br/~pleite/pub/
artigos/avila/rpm7.pdf e http:// 
143.54.226.61/	~vclotilde/publi-
cacoes/GRÁFICA-IRRACIO-
NAIS.pdf
Verifique se os alunos recor-
dam o conceito de semirretas 
opostas. Sugestão: no quadro, 
desenhe uma reta e 4 pontos A, 
B, C, D, nesta ordem, e explore: 
semirretas de origem B (uma 
que passa por A e outra por C e 
D;	semirretas	de	origem	C	etc.).	
Observação importante: neste 
e em outros capítulos exploramos 
situações para que os alunos 
“descubram”, a partir de casos 
particulares, propriedades de 
números, de figuras, regras de 
cálculos etc. Em algumas delas, 
deixamos clara a validade do fato 
explorado, seja demons-trando, 
seja afirmando que é possível 
demonstrar, seja utilizando uma 
ilustração de um professor afir-
mando, ou, até mesmo, dizendo: 
“os matemáticos provam que...”. 
Quando não o fazemos, é 
extremamente importante que, 
após estas “descobertas”, sejam 
feitas observaçõesafirmando que 
tais conclusões são verdadeiras 
(e, eventualmente, provar estes 
fatos) para que não fique a falsa 
ideia de que, a partir de poucos 
casos particulares, é possível 
generalizar.
Recomende ou explore a lei-
tura de:
“A invenção dos números” – 
(p.	35-46)
Oscar Guelli.
Coleção Contando a História 
da Matemática
Editora Ática.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
– 6 – 5 – 4 0– 1– 2– 3 + 1 + 5+ 4+ 3+ 2 + 6
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15
 O número correspondente a cada ponto denomina-se abscissa do ponto 
e representa medida, em relação ao segmento unitário escolhido, do 
segmento com extremos na origem e no ponto, antecedida de sinal + 
ou –, de acordo com a semirreta à qual o ponto pertence a que contém 
o segmento unitário ou a semirreta oposta a esta. A abscissa também 
é chamada de coordenada do ponto.
 Os números inteiros negativos, o zero e os números inteiros positivos 
formam o conjunto dos números inteiros que se representa assim:
 
 = {...–6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; +4; +5; +6;...}
 Aplicando o que você aprendeu
6. Verdadeiro ou falso:
a) Todo número natural é um número inteiro. Justifique. 
b) Todo número inteiro é um número natural. Justifique.
c) O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros.
d) Se um número é par, seu quadrado é par.
e) Se um número é ímpar, seu quadrado é ímpar.
f) Se o quadrado de um número é par, esse número é par.
g) Se o quadrado de um número é ímpar, esse número é ímpar.
7. Considere os seguintes conjuntos: 
A = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,... }, C = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... }
B = { –4, –3, –2, –1, 0 } D = { +1, +2, +3, +4 }
 a) Quais deles são subconjuntos do conjunto dos números naturais? 
b) Quais deles são subconjuntos do conjunto dos números inteiros?
c) Como se chamam os elementos dos conjuntos A e B? 
d) Represente um conjunto que seja subconjunto do conjunto A.
e) Quais desses 4 conjuntos são conjuntos finitos? Quais são conjuntos infinitos?
8. Diga como você representaria usando decimais:
a) 7,3 metros abaixo do nível do mar.
b) 18,25 km antes do ponto de encontro das duas estradas.
c) 13,7 graus abaixo de zero grau.
6. a)Verdadeiro porque o zero é 
natural e inteiro, e os outros 
números naturais correspon-
dem aos inteiros positivos 
(1	e	+1,	2	e	+2	etc.);	
 b) Falso. Contraexemplo: –8 
é número inteiro e não é 
número natural. 
	 c)	V;		
	 d)	V;
	 e)	V;
	 f)	 V;	
 g) V. 
Se julgar ao alcance dos alunos, 
demonstre a proposição do item 
(e)	 do	 exercício	 6	 e	 proponha	
que um aluno demonstre, no 
quadro, o item (d), ajudado pe-
los demais. Comece explorando 
as representações de naturais 
pares e ímpares nas formas 2n e 
2n + 1, respectivamente, sendo n 
um natural qualquer. Use o fato de 
que (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 1), 
e a distributividade para concluir: 
(2n + 1)2 = 4n2 + 4n+1 = 2(2n2 + 2n) +1. 
Explore o fechamento da multiplica-
ção e da adição para concluir que este 
segundo membro representa número 
natural ímpar. 
Comente que negar as proposições 
(f) e (g) é contradizer as duas proposi-
ções	anteriores	que	demonstrou;	logo,	
a contradição leva a concluir que (f) e 
(g) são verdadeiras. 
Professor: Esclareça que um 
contraexemplo de uma afirmação 
é um exemplo que a contradiz, le-
vando à conclusão de que ela é uma 
afirmação falsa. Exemplifique: para 
verificar que o item (b) do exercício 
6	é	 falso,	basta	 exibir	 um	 inteiro	
negativo como contraexemplo, ou 
seja, um exemplo de que esta afir-
mação é falsa.
7.	a)	A,	B,	D;	
	 b)	A,	B,	C,	D;
 c) Números pares e números 
ímpares,	respectivamente;	
	 d)	Respostas	variadas;	
	 e)	C	e	D	são	conjuntos	finitos;	A	
e B são conjuntos infinitos.
Observação: No item 7 (e), 
exploramos uma ideia intuitiva 
de conjuntos finitos e conjuntos 
infinitos. Explore os dois fatos 
recíprocos: (a) a cada número 
natural n corresponde um número 
par 2n;	(b)	a	cada	número	par	2n 
corresponde um número natural n. 
Por isso dizemos que o conjunto 
dos números naturais é infinito. 
Diga que, em geral, se diz: “Um 
conjunto é infinito se pode ser 
estabelecida correspondência 
entre todos os elementos dele e os 
elementos de um subconjunto tam-
bém dele, sendo ambos diferentes, 
de modo que a cada elemento do 
conjunto corresponda exatamente 
um elemento do subconjunto e 
vice-versa” (correspondência 
biunívoca).
 
8.	a)	–7,3	m;		
	 b)	–18,25	km;	
 c) –13,7 graus.
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16
9. Observe as retas numeradas a seguir. Responda ou faça o que se pede:
 
9.a)	Três	partes;	
	 b)	Cinco;
	 c)	5/3;	
	 d)	YZ;	a	abscissa	do	ponto	Z;	
	 e)	1/3,	7/3,	–3	e	–4/3;
f) À direita, porque:
				–4	=	–12/3<–11/3;	
 g) Para que cada uma destas 
partes	meça	0,1;	
	 h)	l:	–0,9;	m:	–0,1	n:	1,1;		
 i) Em cem partes iguais, cada 
uma medindo 0,01.
Recorde os conceitos de dízi-
mas periódicas, suas notações, 
a maneira de classificá-las ou 
identificá-las como dízimas sim-
ples ou compostas. 
Esclareça que 5,343434 é um 
decimal finito e pode ser con-
siderado como dízima periódica 
de período zero: 5,343434000... 
Também os números –13 e 18, 
por exemplo, podem ser con-
siderados como as dízimas: 
–13,000... e 18,000, respecti-
vamente.
No exercício 10, dividimos 
500 centésimos por 4 porque sa-
bíamos antecipadamente que irí-
amos obter um quociente exato.
Esclareça, com exemplos, que 
na prática, procede-se assim: ao 
executar o algoritmo da divisão, 
escreve-se o dividendo afastado 
da barra vertical que antecede 
o divisor para que seja possível 
acrescentar zeros aos restos não 
nulos que surgirem.
Se o dividendo não é múltiplo 
do divisor, acrescenta-se um zero 
à direita do mesmo, escreve-se 
uma vírgula após o quociente en-
contrado e divide-se o novo resto 
(acrescido	do	zero)	pelo	divisor;	
o quociente assim obtido é escrito 
como algarismo dos décimos do 
quociente. Se não obtivermos 
o novo resto como zero, acres-
centamos à direita do mesmo 
um zero e dividimos o número 
obtido novamente pelo divisor, 
e assim sucessivamente, obten-
do algarismos dos centésimos, 
milésimos etc., até se obter um 
resto zero, ou que se configure o 
aparecimento de um quociente na 
forma de dízima periódica. 
Veja como obter o decimal correspondente a essa 
fração. Como uma unidade tem 100 centésimos, 
5 unidades têm 500 centésimos. Logo, dividir 5 por 
4 é equivalente a dividir 500 centésimos por 4. 
5,00 4
10 1,25
 20
 0
P Z N Q R M Y S T V W X
–1 0 1
(1) – 0,3 m 0,2 (j) 0,9 n
– – – – – – – – –3
8
3
7
3
2
5
3
4
3
1
2
3
1
3
0
1
3
2
3
1
4
3
5
3
2
7
3
8
3
3
 Em relação à primeira reta: 
a) Em quantas partes iguais está dividido o segmento unitário YV? 
b) Quantas dessas partes o segmento YW contém?
c) A abscissa do ponto W representa a medida do segmento YW em relação ao segmento 
unitário. Qual é essa medida?
d) –
7
3
 é a medida de um segmento em relação ao segmento unitário, antecedida do 
sinal –. 
 Que segmento é esse? Como se chama esse número?
e) Alguns pontos são identificados pelas letras S, X, P e Q. 
 Quais são as abscissas dos pontos identificados pelas letras S, X, P e Q?
 f) O ponto de abscissa –
11
3
deve ser marcado à direita ou à esquerda do ponto de 
 abscissa –4? Justifique. 
 Em relação à segunda reta:
g) Com qual objetivo se dividiu o segmento unitário neste número de partes iguais?
h)	 Alguns	pontos	têm	suas	abscissas	representadas	por	letras;	quais	são	essas	abscissas?
i) Se você tivesse que marcar nessa reta o ponto de abscissa –0,32, em quantas partes 
iguais iria dividir o segmento unitário?
10. Você se lembra? Uma fração representa o quociente do numerador pelo 
denominador. Estes quocientes também podem ser expressos como 
decimais finitos ou periódicos. 
 Por exemplo, a fração 5
4
 representa o quociente de 5 por 4. 
–1 0 1
(l) – 0,3 m 0,2 (j) 0,9 n
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17
 Agora, calcule os decimais finitos correspondentes a cada fração a 
seguir, acrescentando ao dividendo,em cada caso, tantos algarismos 
zero quantos forem necessários, até obter resto zero.
a) –
11
5
 b) 
124
16
 c) –
15
8
1 1 . Se você calcular os decimais correspondentes às frações 
 
14
11
 e 
41
90
, 
 verá que, por mais que acrescente zeros na parte decimal, ao continuar 
sucessivamente a divisão, nunca surgirá um resto nulo, e você obterá 
os decimais periódicos a seguir:
 
14
11
127272727272727, ...=
 
41
90
0 455555555555, ...=
a) Qual dos dois decimais é chamado de dízima periódica simples e qual é chamado 
dízima periódica composta?
b) Qual grupo de algarismos é chamado de período da dízima nos dois casos?
c) Como se representa cada uma dessas dízimas escrevendo apenas uma vez o 
período?
d) Verifique que as frações a seguir correspondem a decimais periódicos, calculando-os: 
 1ª.) 134
37
 2ª.) 129
55
 3ª.) 1
7
 Aprendendo mais fatos sobre as dízimas
 Observe a fração e a dízima correspondente a seguir:
 1/19 = 0,05263157894736842105263157894736842105...
 Você deve estar se perguntando: será que existem divisões nas quais, 
por mais que eu continue o procedimento, não vou saber quando co-
meça a repetição do período? 
 A resposta a esta pergunta é “não”, em toda divisão é possível saber 
quando o período se repete, e é muito fácil entender a razão.
11. a) O primeiro é chamado de 
dízima periódica simples, 
e	o	segundo,	composta;
	 b)	1º.)	27;		2º.)	5;
 c) O primeiro 1,27 (com um 
traço horizontal sobre o 
período 27), e o segundo, 
0,45 (com um pequeno 
ponto sobre o algarismo 
5);	
	 d)	1ª.)	3,621621...;
	 	 2ª.)	 2,345;	
 3ª.) 0,142857... 
10.	a)	–2,2;		
	 b)	7,75;	
 c) –1,875.
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18
 Como você sabe, em uma divisão, o resto não pode ser maior que o 
divisor. 
 Veja que, no item (d) do exercício 11, ao calcular a dízima correspondente 
à fração 1
7
, dividindo 1 por 7, você obteve, pela ordem, os restos 3, 
2, 6, 4, 5, 1, quando então surgiu o primeiro algarismo da repetição do 
período. O único resto possível, sem repetir os já obtidos, seria o zero, 
e a fração seria equivalente a um decimal finito, como a fração 5
4
, cujo 
 decimal correspondente é finito (1,25), mas que pode ser visto como 
dízima de período zero: (1,250000...) . Veja, então, que no caso de de-
cimais não finitos o maior número de restos diferentes possíveis é, no 
máximo, igual ao antecessor do denominador. Se este fato acontece, 
obrigatoriamente o novo resto será igual a um que já tenha aparecido 
no algoritmo da divisão, e aí começará a aparecer a repetição que ca-
racteriza o período.
 Agora, veja como, dada uma dízima, obter a fração correspondente, 
chamada fração geratriz da dízima:
Explique aos alunos que no 
cálculo de expansões decimais 
de frações, nem sempre todos 
os restos possíveis aparecem. 
No caso da fração 1/7, como 
citado, aparecem todos os restos 
não nulos, mas no caso de 1/3 
= 0,333..., só aparece o resto 1. 
Outro exemplo: no cálculo de 
1/13	=	0,07692307...	 aparecem	
os restos 9, 12, 3, 4, 1.
Explore o exemplo da expan-
são de 1/19 em decimal dado 
nesta página. Separe os alunos 
em grupos e peça que cada um 
calcule esta divisão passo a 
passo, anotando atentamente os 
restos. Depois devem comparar 
seus resultados e corrigir eventu-
ais erros, e responder à seguinte 
pergunta: de todos os restos 
possíveis numa divisão por 19, 
qual o único que não aparece 
nesta conta? R: 10.
Exiba para os alunos várias 
frações irredutíveis, com de-
nominadores contendo fatores 
diferentes de 2 e 5. Eles devem 
observar que elas correspondem 
a dízimas periódicas:
Exemplos:
9/11 = 0,818181…,
17/15 = 1,1333…, 
13/6	=	2,1666…,	etc.
Explore, agora, frações irre-
dutíveis cujos denominadores só 
contenham fatores 2 ou 5. Elas 
correspondem a decimais exatos.
Exemplos:
11/4	=	2,75;	7/20	=	0,35.
Lembre-se da observação 
da página 14 relacionada com 
generalizações.
Verifique se os alunos sabem a 
razão de se afirmar que a fração 
131/90 da segunda coluna da 
tabela desta página é irredutível.
Leia primeiro esta coluna Depois, leia esta coluna
Dízima periódica simples 1,272727... Dízima periódica composta 1,455555...
Seja x a fração 
geratriz Logo, x =1,4555...
a Seja x a fração 
geratriz Logo, x = 1,2727... a Calcule 10x 10x = 14,555...
Vamos multiplicar por 100 para 
deslocar a vírgula para imediatamente 
após o primeiro grupo de algarismos 
que formam o período. 
Observe que assim você obteve uma 
dízima simples. Agora é fazer como na 
coluna da esquerda.
b Calculando 100x 100x = 127,2727... b Calculando 
(10)(10)x = 100x 100x = 145,555...
c Subtraindo b – a
100x – x = 9x
 
99x = 127 – 1 = 126
c Subtraindo b – a
100x – 10x = 90x 
90x = 145 – 14 = 131
d Logo d Logo 
Dividimos 126 e 99 pelo m.d.c. = 9 A fração obtida é irredutível: 131 e 90 
são números primos entre si.
 
x = 
126
99
 = 
14
11 
x = 
131
90
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19
 Para o caso dos decimais finitos, é melhor interpretá-los na forma de 
frações decimais, como, por exemplo:
 125 125
100
5
4
, = = (simplificamos, dividindo 125 e 100 pelo m.d.c. deles: 25)
 Veja, no quadro a seguir, em maiores detalhes, o conceito de número 
racional.
Comente que as razões em 
geometria são coisas conhecidas 
há milhares de anos, mas que o 
conceito de número racional é 
uma ideia mais recente, elabo-
rada por volta do século XIII, e 
que permitiu, resolver equações 
como 7x = 3 na forma algébrica 
feita hoje em dia. Em particular, 
os gregos resolviam equações 
deste tipo pensando que x era algo 
equivalente ao comprimento de 
um segmento. Tal como resolver 
3x = 21 é encontrar o número cujo 
produto por 3 é 21, resolver 7x = 3 
é procurar o número cujo produto 
por 7 é 3, que, usando números 
racionais, se faz assim: 3/7 x 7 
= 3, donde a raiz de 7x = 3 é 3/7.
12.	a)233/99;
	 b)	–31/9;
	 c)	11333/3	300	(simplificada);
	 d)	–15	227/4	950;
	 e)	2	513/333;
	 f)	5377/660.
 Obs.: use divisibilidade para 
simplificar. Por exemplo, 
na (f), divisibilidade por 3 
e por 5. 
13. a) 4,75 expressão decimal 
finita;	
 b) 1,5454... dízima periódica 
simples;
	 c)	–1,6428571428571...	 dí-
zima periódica composta.
Escreva no quadro as frases: (a) 
“Dado um número racional, den-
tre todas as frações que o repre-
sentam existe sempre uma fração 
a/b	irredutível”;	(b)	“Uma	fração	
é irredutível se seus termos são 
números primos entre si”. Explore 
frações	como	468/	832	e	peça	que	
calculem a fração irredutível a ela 
equivalente (verifique se sabem 
simplificar ou por cancelamento, 
ou pelo m.d.c. dos termos).
Frações positivas ou negativas e os decimais a elas equivalentes, finitos 
ou periódicos, representam números racionais. 
Reciprocamente, os números racionais são representados por frações 
positivas ou negativas, ou pelos decimais finitos ou periódicos equi-
valentes a elas.
O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo: .
 Aplicando o que você aprendeu 
12. Calcule as geratrizes das seguintes dízimas:
a) 2,35353535... d)	–3,07616161...	
b) –3,44444... e) 
c) 3,4342424242... f) 8 1469, 
 
13. Calcule as expressões decimais correspondentes às frações dadas e 
classifique como finitas ou dízimas (simples ou compostas):
 a) 19
4
 b) 17
11
 c) –
23
14
 Os segmentos incomensuráveis e os números irracionais
 Você já viu o que são segmentos comensuráveis. Mas o que prova-
velmente você ainda não sabe é que existem segmentos que não são 
comensuráveis. 
 Vamos provar, por exemplo, que a hipotenusa de um triângulo retângulo 
isósceles e um dos catetos não são segmentos comensuráveis, isto é, a 
medida da hipotenusa considerando o cateto como unidade de medida 
não é um número racional.
 Pelo teorema de Pitágoras, se os catetos de um triângulo retângulo 
isósceles têm medida 1, sua hipotenusa mede 2 .
 Vamos supor que esta medida seja um número racional, isto é, que seja 
possível escrever: 2 = a
b
 sendo a e b números inteiros primos entre si.
 7,546
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20
 Você vai ver que esta hipótese vai nos conduzir a um absurdo. De fato, 
da igualdade anterior, resultam as seguintes implicações:
 2 2 2 2 2 2= = =
a
b
b a b a a é par a é par, ou seja, 
a = 2m, m natural.
 Se a = 2m, a2 = 4m2  2b2 = 4m2  b2 = 2m2  b2 é par  b é par
 Observe que as frases em destaque azul nos levam a uma contradição: 
sendo a e b números inteiros primos entre si, não podem ser ambos 
números pares. 
 Esta contradição é consequência de se ter feito a hipótese de que 2
seria um número racional, porque, a partir dela, todas as implicações 
seguintes são verdadeiras.
 Este fato nos permite dizer que a hipotenusa do triângulo isósceles e 
seus catetos não são segmentos comensuráveis, e por isso diz-se que 
são segmentos incomensuráveis. E, como 2 não pode ser escrito 
na forma de fração de termos inteiros, diz-se que 2 é um número 
irracional. 
 O que se viu até aqui pode ser estabelecido com raciocínio bem se-
melhante, para provar que números da forma n , sendo n um número 
natural que não seja quadrado perfeito, por exemplo 3, 5, 7, 8 etc., são 
números irracionais. 
 O que se disse até agora não deve levar você a pensar que números 
irracionais são somente os que têm a forma n sendo n um dos núme-
ros naturais citados. Para dar exemplos de decimais que representam 
números irracionais, basta criar leis de formação para a parte decimal 
que mostrem, claramente, que são decimais infinitos e não periódicos. 
 Veja alguns:
 1º.) 0,01001000100001... (a quantidade de zeros aumenta gradati-
vamente)
 2º.) 0,151617181920... (na sequência, viriam 212223242526 etc.)
 3º.) 0,41442444144442... (a quantidade de algarismos 4 aumenta 
gradativamente e os algarismos 1 e 2 alternam sucessiva-
mente)
 Observe que, de propósito, os exemplos mostram irracionais entre zero e 1.
Proponha a atividade a 
seguir, que visa a explorar 
situação semelhante à da 
indução matemática:
Imagine peças de dominó 
dispostas em pé, em linha 
reta. Agora, considere que 
foi afirmado que: 
1º) alguém derrubou uma 
peça em direção a outra e 
esta	caiu;	
2º.) sempre que uma peça 
derruba a seguinte, esta tam-
bém derruba a seguinte a 
ela. Diga se você pode ou 
não tirar conclusão sobre o 
que ocorrerá com as demais. 
Justifique.
R) Sim: a partir da pri-
meira peça derrubada, todas 
as demais cairão. De fato, a 
1ª informação diz que uma 
determinada peça derrubou 
a seguinte. Já a 2ª informa-
ção garante que a seguinte 
derrubará a seguinte, esta a 
seguinte, esta a seguinte etc. 
Chame a atenção para um 
fato prático: para a brincadei-
ra funcionar a distância entre 
as peças deve ser adequada, 
isto é, não pode ser maior 
do que o comprimento das 
peças, senão a peça anterior 
não derrubará a seguinte. 
Este fato é que garante a 
continuidade do processo – 
daí a importância da segunda 
informação.
Professor(a): Explore 
mais a atividade anterior, 
propondo aos alunos a cria-
ção de duas outras situações: 
uma que garanta que as peças 
vão cair continuamente, e 
outra na qual este fato não 
ocorra.
    
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21
 Veja que, com criatividade, é possível exibir uma infinidade de exem-
plos com leis de formação diferentes, de números irracionais somente 
entre o zero e o 1. Esta é uma observação simples com a intenção de 
despertar em você uma possível resposta à pergunta: quantos números 
irracionais existem?
 Lembramos finalmente que, em anos anteriores você usou, para calcular 
comprimento de circunferências e áreas de círculos, valores aproxi-
mados de um dos mais importantes números irracionais: o número π. 
Observamos ainda que os matemáticos provam que π é, de fato, um 
número irracional. 
 Observe a figura a seguir. Nela você vê um triângulo retângulo isósce-
les de catetos de medida 1; logo, sua hipotenusa mede 2 . Com um 
compasso, marcou-se na reta o ponto Q, cuja medida é o irracional 
 2 ; portanto, a abscissa do ponto Q é este irracional. Um segundo tri-
ângulo tem catetos de medidas 2 e 1; logo, sua hipotenusa mede 3 . 
Com um compasso marcou-se o ponto de abscissa 3 . Prosseguindo 
o processo, obtêm-se os pontos de abscissas 2 e 5 .
 Evidentemente é possível continuar indefinidamente este processo, ob-
tendo números naturais (3, 4, 5,... etc.) e pontos de abscissas irracionais 
n ,n = 7, 8, 10 etc. (n não sendo quadrado perfeito). 
1 2 3 52
2
0
 Sejam, em uma reta, um ponto O, origem de duas semirretas opos-
tas da reta, e OP um segmento contido em uma dessas semirretas. 
Convencionemos que OP seja a unidade de medida de comprimento. 
Consideremos, agora, um ponto X qualquer da reta. Se X coincidir com 
o ponto O, sua abscissa é 0 (zero), e se coincidir com P sua abscissa é 
1. Excluídas estas duas hipóteses, podemos ter:
a) OX e OP são comensuráveis;	ou	seja,	a	medida	de	OX	em	relação	a	OP	é	um	número	
racional. 
b) OX e OP são incomensuráveis;	ou	seja,	a	medida	de	OX	em	relação	a	OP	é	um	número	
irracional. 
1.) Desenvolva no quadro, usando 
o Teorema de Pitágoras, o 
cálculo das hipotenusas. 
2.) Explore, no quadro, atividades 
que esclareçam o texto ao 
lado:
a) Desenhe uma ou mais retas, se 
necessário, contendo números 
inteiros positivos e números 
inteiros negativos, como se 
vê na página 14.
b) Identifique o ponto origem 
(O), de abscissa zero e o ponto 
P de abscissa 1, e convencione 
que o segmento cujos extre-
mos são estes dois pontos 
é a unidade de medida de 
comprimento. 
c) Peça que alunos leiam o último 
parágrafo da página e depois 
localizem as posições (exatas 
ou aproximadas) de pontos 
A, B, C, D etc., extremos de 
segmentos de origem O, cujas 
medidas sejam racionais ou 
irracionais dados, positivos ou 
negativos como, por exemplo, 
2,5, –3/2, irracionais na forma 
de raiz quadrada (de 2, 5 
etc.).
Explore, no quadro, usando 
régua e compasso, a construção 
da figura relacionada com o texto, 
para que os alunos comprovem 
a existência, na reta numerada, 
de pontos que correspondem a 
números irracionais. Justifique, 
usando o Teorema de Pitágoras, 
nos sucessivos triângulos retân-
gulos, o valor de cada abscissa 
que se vê na figura. 
O P
1
Q
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22
 Em ambos os casos, dizemos que a abscissa de X é a medida de OX 
se X pertencer à semirreta OP, e a medida de OX antecedida do sinal 
“–” (sinal de menos) se X pertencer à semirreta oposta à semirreta OP.
 A reta OP chama-se reta real, e o conjunto cujos elementos são as 
abscissas de todos os seus pontos chama-se conjunto dos números 
reais, que se representa por .
O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números 
racionais com o conjunto de todos os números irracionais, ou 
seja, seus elementos são números racionais ou irracionais.
A cada ponto da reta real corresponde um único número real 
chamado abscissa do ponto, e a cada número real corresponde 
um único ponto da reta real.
 Aplicando o que você aprendeu 
14. Considere a origem O e um ponto X da reta real e responda:
a) A abscissa de X pode ser um número natural? Justifique.
b) A abscissa de X pode ser um número inteiro? Justifique.
c) Qual a condição para que a abscissa de X seja um número racional? 
d) Qual a condição para que a abscissa de X seja um número irracional?
15. Verdadeiro ou falso: (nos casos falsos, dê contraexemplo)
a) Todo número racional é número inteiro.
b) Todo número inteiro é número racional.
c) Se um decimal não é finito nem periódico, então representa um número irracional.
d) N é subconjunto de  e  é subconjunto de .
16. Dê exemplos de:
a) Um número inteiro que não seja número natural.
b) Um racional positivo e outro negativo, ambos na forma de fração.
c) Um racional positivo e outro negativo, ambos na forma decimal.
d) Números racionais opostos. 
14. a) Sim. Se a medida do 
segmento OX com o 
segmento unitário for 
um número natural: e 
x pertencer à semirreta 
OP.
 b) Sim, nas mesmas 
condições anteriores, 
sendo a abscissa po-
sitiva se X pertencerà 
semirreta que contém 
o segmento unitário, e 
negativa, se pertencer 
à semirreta oposta à 
semirreta	citada;
 c) É que OX e o segmento 
unitário sejam segmen-
tos	comensuráveis;
 d) É que OX e o segmento 
unitário sejam segmen-
tos incomensuráveis.
15. a) Falso. Contraexemplo: 
3/5	e	0,76	são	números	
racionais que não são 
inteiros;
	 b)	V;
	 c)	V;
 d) V.
Obs.: Este capítulo contém 
muitas das propostas 
contidas nos textos:
 1.) A Matemática do En-
sino Médio – 
 Volume 1 – Coleção do 
Professor de Matemáti-
ca da SBM, de autoria 
de Elon Lages Lima e 
outros.
 2.) Conceitos Fundamen-
tais da Matemática – 
Bento de Jesus Caraça 
– Livraria Sá da Costa 
Editora. 
16.	Respostas	 variadas;	 por	
exemplo:
	 a)	–32;
	 b)	+12/17	e	–	8/31;
	 c)	0,32	e	–1,25;
 d) 3/4 e –3/4.
O P
0 1x2 x1
positivosnegativos
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23
 Como calcular com números reais na forma decimal?
 Você deve estar se perguntando: muito bem, já entendi a diferença entre 
números racionais e números irracionais representados por decimais. 
Mas, como efetuar cálculos com esses números com tantas ordens 
decimais?
 Para entender o que você verá a seguir, é preciso lembrar que os nú-
meros são, no dia a dia, associados a medidas. E como você sabe, as 
medidas, por mais preciso que seja o instrumento de medida, com raras 
exceções, têm suas representações decimais com duas as três ordens 
decimais. 
 Este fato justifica que, dado um decimal que representa um racional ou 
um irracional, possamos usar valores aproximados dele. 
 Veja, então, exemplos de como obter valores aproximados do número 
irracional N = 3,73747576... e do número racional M = 9 38, . 
17. Agora é com você:
 Escreva os valores aproximados, por falta, dos números P = 5 47, e 
Q = 3,262728...:
a) A menos de uma unidade.
b) A menos de um décimo.
c) A menos de um centésimo. 
18. Calcule a soma P + Q com as seguintes aproximações, por falta:
a) A menos de uma unidade.
b) A menos de um décimo.
c) A menos de um centésimo.
17.	a)	5	e	3;	
	 b)	5,4	e	3,2;		
	 c)	5,47	e	3,26.	
18.	a)	7;		
	 b)	8,6;		
 c) 8,73.
Números reais dados N = 3,73747576... M = 9,38 
Valor aproximado a menos de uma 
unidade, por falta: 3 9
Valor aproximado a menos de um 
décimo, por falta: 3,7 9,3
Valor aproximado a menos de um 
centésimo, por falta: 3,73 9,38
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 23 10/05/13 19:34
24
Ao verificar os exercícios 
do “Aprendendo em casa”, 
solicite, sempre que julgar 
necessário, as justificativas 
para as respostas, bem como 
desenhos representativos das 
situações descritas.
19. Porque 5,343434 não 
contém reticências ou 
traços indicativos de 
períodos.
Pergunte: Como represen-
tar 5,343434 como dízima?
20.	a)	1,75;
	 b)	3,25;
	 c)	7,5625;
 d) 2,75.
21. Respostas variadas.
22. a) F porque frases do tipo 
P e Q somente são 
verdadeiras se P e Q 
forem	verdadeiras;
 b V porque para que 
frases do tipo P ou 
Q sejam verdadeiras 
basta que uma das 
duas componentes seja 
verdadeira;
 c) V porque, sendo núme-
ro natural, é número 
racional;
 d) V porque se é irra-
cional não é racional, 
e número natural é 
racional.
23. a)	Racional;
 b) Natural, inteiro e racio-
nal;
	 c)	Racional;
	 d)	Inteiro	e	racional;
	 e)	Irracional;
	 f)	 Irracional;
 g) Natural, inteiro e racio-
nal (é igual a 4).
24.	a)	–9/4;
	 b)	–6/4;
	 c)	–2/4;
	 d)	+2/4;
	 e)	+7/4;
	 f)	+10/4;
	 g)	–0,9;
	 h)	–0,5;
	 i)	–0,2;
	 j)	+0,5;
 l) +0,8.
– 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
– 1
(g)
0 + 1
– 0,7 (h) (i) + 0,3 (j) (l)
–
4
4
0
4
+ 5
4
19. Délio disse que 5,343434... ou 5,34 representam uma dízima de período 
34, mas 5,343434 não. Justifique por que Délio tem razão. 
20. Escreva como decimais as frações a seguir:
 a) 7
4
 b) 13
4
 c) 121
16
 d) 55
20
21. Em cada caso, dê dois exemplos de:
a) Números inteiros que não são números naturais.
b) Números inteiros que são números naturais.
c) Números racionais na forma de fração que não sejam equivalentes a números inteiros.
d) Números racionais na forma de fração que sejam equivalentes a números inteiros.
22. Verdadeiro ou falso? Justifique.
a) Todo número natural é número inteiro e todo número inteiro é natural.
b) Todo número natural é número inteiro ou todo número inteiro é natural.
c) Se um número é natural, então não é irracional.
d) Se um número é irracional, então não é natural.
23. Classifique cada número a seguir como natural, inteiro, racional ou ir-
racional:
a) 3,27 d) –5 g) 16
b) 2 e) – 2 
c) 1,234 f) 2 
24. Observe as retas numeradas a seguir e escreva os números reais que 
devem substituir corretamente cada letra:
Aprendendo em casa
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 24 10/05/13 19:34
25
25. Um pouco de Geografia.
 Dados os conjuntos: 
 Conjunto C dos habitantes de Curitiba, 
 Conjunto B dos habitantes do Brasil, 
 Conjunto P dos habitantes do Paraná,
 Conjunto A dos habitantes da América do Sul, 
 escreva todos os pares possíveis de conjuntos em que um é subconjunto 
do outro usando as letras que representam os conjuntos dados.
26. Observe o diagrama a seguir e resolva ou responda:
a) Qual dos dois conjuntos (A ou B) é subconjunto do outro?
b)	 O	conjunto	A	pode	ser	representado	assim:	A	=	{	2;	3;	6	}.	Represente	agora	de	
maneira análoga o conjunto B.
c) Faça um desenho como o anterior representando os conjuntos N dos números natu-
rais e  dos números inteiros. Identifique os dois com etiquetas como no desenho 
anterior.
27. Faça o que se pede:
a) Faça um desenho usando quatro ovais para representar os conjuntos N dos números 
naturais,  dos números inteiros,  dos números racionais e  dos números reais, 
relacionando-os entre si. Identifique cada um deles com uma etiqueta.
 b) No desenho que você fez, escreva no espaço correto cada um dos seguintes números: 
 1) 12 4) 0,333... 
 2) –5 5) 4/3 
 3) 0,3 6) 0,010010001... 
25. C  B;	C	 P 
 B  A;	
 C  A;	
 P  A;	P B
26.	a)	A	é	subconjunto	de	B;
	 b)	B	=	{1,2,3,4,5,6};
 c) Desenho do aluno com 
ovais representando, 
de dentro para fora: N, 
e depois Z.
27. a) Desenho do aluno com 
ovais representando, 
de dentro para fora: N, 
Z, Q e R.
 b) Desenho do aluno com 
12 em N, –5 dentro 
de Z e fora de N, 0,3, 
0,333... e 4,3 dentro 
de Q e fora de Z e 
0010010001... dentro 
de R e fora de Q.
Aproveite a oportunidade 
para explorar interdiscipli-
naridade, dando exemplos 
de conjuntos e subconjuntos 
utilizando-se da Geografia 
(capitais como parte de todas 
as cidades do Brasil, estados 
de regiões como subconjuntos 
de todos os estados do Brasil 
etc);	 de	 Português	 (vogais	
ou consoantes como parte 
do	alfabeto);	de	História;	de	
Ciências etc.
1
2
3
6
4
5
BA
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 25 10/05/13 19:34
26
ATIVIDADES ORAIS
•	 É	igual	a	1.
•	 Base:	2/5	e	expoente:	5.
•	 0,01.
•	 Porque	62	=	36.
•	 Porque	23 = 8.
•	 3	e	4.
•	 Verdadeiro.
•	 b0 = 1 (b � o)
•	 a1 = a. 
A atividade a seguir é 
mais um exemplo da utiliza-
ção de regularidades para a 
“descoberta” de novos fatos 
matemáticos. 
Faça desenhos para ajudar 
a compreensão da ta bela do 
exercício 28: um retângulo de 
comprimento suficiente para 
ser dividi do inicialmente ao 
meio (metade de l = 1/2), 
depois em quatro partes (me-
tade de 1/2 = 1/4 ), e assim 
sucessivamente. “
28. a) 8, 2 e 1, respectiva-
mente;
	 b)	A	metade;
 c) 2–4	=	1/16;	2–5	=	1/32;
 d) 2–4	=	1/16	=	(1/2)4;
 2–5 = 1/32 = (1/2)5;
 2–6	=	1/64	=	(1/2)6;
 e) Verdadeiro.
 f) Ve r d a d e i r o , p o i s 
an × a–m = an × (1/a)m 
= (an/am) 
 
Faça notar que cada nú-
mero da segunda linha é a 
metade do anterior. Esta é a 
razão de completar, após o 
1, com as frações 1/2, 1/4 e 
1/8 (metades de 1, 1/2 e 1/4, 
respectivamente).
 Professor, 
existem potências
 com expoentes
 negativos? 
 Sim. E você verá 
como é fácil calcular os seus 
valores, acompanhando os 
exercícios e letras a 
seguir.
Potências 
de dois 24 23 22 21 20 2–1 2–2 2–3
Valores 16 8 4 2 1 1
2
1
4
1
8
Anterior 
dividido por 28 = 16: 2 4 = 8: 2 2 = 4: 2 1 = 2: 2 1
2
1 2:= 1
4
1
2
2:= 1
8
1
4
2:=
•	 Qual é o produto de duas frações inversas como 4
3
3
4
e ?
•	 Na expressão 
2
5
5



 , qual número é a base e qual é o expoente?
•	 Qual é o número decimal equivalente à fração 1
100
?
•	 Por	que	a	raiz	quadrada	de	36	é	6?
•	 Por que a raiz cúbica de 8 é 2?
•	 (3,5)2 está entre o quadrado de dois números naturais. Quais são eles? 
•	 V ou F: a an
m
n m( ) = . (a, n e m, positivos).
•	 Se b é um número racional diferente de zero, qual o valor de b0?
•	 Se a é um número racional, qual o valor de a1?
28. Observe a tabela e responda:
a) Qual	é	a	metade	de	16?	E	de	4?	E	de	2?
b) Na segunda linha, cada número é qual fração do anterior?
c) Observando a tabela, copie e complete: 2–4	=...?...	;		2–5 = ...? ... .
d) Em seu caderno, complete com mais três igualdades a sequência de cálculos:
 
2
1
2
1
2
2
1
4
1
2
1
1
2– –;= =




=




=




=




=




2
3
3
2
1
8
1
2
; –
 2–4	=	...?...	;									2–5	=	...?...	;								2–6 = ...?... 
e) Verdadeiro ou falso: Sendo a um número natural diferente de zero, a
a
n
n
– =




1
.
f) Verdadeiro ou falso: Sendo a um número natural não nulo, an	×	a–m = an–m.
 
Aprendendo em casa
Explorando o que você já sabe
Calculando com números reais
S
on
 S
al
va
do
r
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27
 Você já viu que, se o produto de duas frações é igual a 1, elas se cha-
mam frações inversas.
 Por exemplo, 3
4
4
3
e são frações inversas porque 3
4
4
3
12
12
1
1
1.× = = = 
 Agora, veja que este é um fato particular do que se afirma a seguir:
Dois números reais são números inversos se e somente se o seu 
produto for 1. 
 Observe os exemplos:
a) 23 e 2–3 são números inversos porque 23×	2–3 = 23–3 = 20 = 1.
b) 
3
4
3
4
1








−
e são números inversos porque 
3
4
3
4
3
4
1
1 0




×




=




=
−
. 
c) 
3
4
3
4
2 2








−
e são números inversos porque 3
4
3
4
3
4
1
2 2 0




×




=




=
−
.
 Veja agora as observações relacionadas com esses exemplos:
a) Como 23 e 2–3 são números inversos e 23 = 8, concluímos que 2
1
8
1
2
3
3
− = =




.
b) Como 
3
4
4
3
e são frações inversas e também 
3
4
3
4
1








−
e são inversas, 
 concluímos que 3
4
4
3
1




=
−
. 
c) Como 
3
4
3
4
2 2








−
e são inversas e 3
4
9
16
2




= , concluímos que 3
4
16
9
4
3
2 2




= =




−
.
 
29. Resolva:
a) Verifique que 2–2 e 22 são números inversos. Justifique. 
b) Diga se verdadeiras ou falsas as afirmações:
 1ª.) 2
1
2
1
4
2
2
– =




= 2ª.) 2
1
2
1
8
3
3
– =




= 3ª.) 3
2
2
3
3 3




=




−
. 
 
c) As bases das potências da 3ª afirmação do item (b) têm uma relação. Qual é ela?
d) O número zero não tem inverso. Justifique.
e) Se r representa um número real diferente de zero, como representar seu inverso? 
Justifique.
 Perfeito! 
É exatamente 
isso o que se 
deve fazer.
Professor, veja 
se a regra que vou descrever é 
correta:Para calcular uma potência de 
expoente negativo: a) Invertemos a 
base. b) Trocamos o expoente 
pelo oposto.c) Calculamos a 
potência obtida.
Antes de resolver o exercí-
cio 29, recorde o conceito de 
números opostos. O oposto 
de +7 é –7, o oposto de –5 
é +5 etc.
29. a) 2 2 × 2 – 2 = 2 2 – 2 = 2 0 = 1 
e 22×2–2	 =	 4×1/4	 =	 
4/4	=	1;	
 b) Todas são verdadei-
ras;	
 c) Elas são frações inver-
sas;	
 d) Supor que zero tem in-
verso é admitir a exis-
tência de um número 
que, multiplicado por 
zero, tenha como pro-
duto o número 1, o 
que é absurdo porque 
o produto de qualquer 
número real por zero é 
zero;	
 e) O inverso de um nú-
mero real r diferente 
de zero se representa 
por r–1 porque:
	 	 r	×	r–1 = r0 = 1. 
Destaque para os alunos o 
caso particular de inversos de 
números inteiros. Para isso, 
por exemplo, use o argumento 
de	que	3	=	3/1;	logo,	o	inverso	
de 3 é 1/3.
Faça notar que:
3/1 x 1/3 = 3/3 = 1.
Ao responder, o professor 
está validando a regra descri-
ta pelo aluno.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, o diálogo 
desta página.
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30. Observe como usar a regra confirmada pelo professor, para calcular 
potências de expoente negativo:
 Calcule as seguintes potências usando a mesma regra:
a) 2
5
3




−
 b) 3
4
2




−
 c) 10–1 d) 10–3
31. Nos itens (c) e (d) do exercício anterior, você calculou 10–1 e 10–3 e con-
cluiu que:
 
 Agora, copie a frase a seguir em seu caderno e discuta com seus co-
legas como se deve completá-la.
 Se a letra n representa um número natural, 10–n é uma fração de numera-
dor 1 e o denominador é uma potência de dez que tem ... ... algarismos 
zero.
 Você sabe também que:
? ? ? ?
????
30. a)	125/8;
	 b)	16/9;
	 c)	1/10;
 d) 1/1000.
31. n algarismos.
Os exercícios que seguem 
visam a preparar os alunos 
para a “notação científica”.
32. a)	1,3;
	 b)	0,13;
	 c)	0,013;
	 d)	0,0013;
	 e)	13,4;
	 f)	 1,34;
	 g)	0,134;
 h) 0,0134.
33. n ordens.
10
1
10
0 1 10
1
1000
0 0011 3− −= = = =, , .e que
a 4 × 0,1 = 0,4 c 57 × 0,1 = 5,7 e 57 × 0,001 = 0,057
b 134 × 0,1 = 13,4 d 4 × 0,001 = 0,004 f 134 × 0,001 = 0,134
a 4 × 10–1 = 4 × 0,1 = 0,4 d 4 × 10–3 = 4 × 0,001 = 0,004
b 134 × 10–1= 134 × 0,1 = 13,4 e 57 × 10–3 = 57 × 0,001 = 0,057
c 57 × 10–1 = 57 × 0,1 = 5,7 f 134 × 10–3 = 134 × 0,001 = 0,134
2
3
3
2
9
4
2 2




=




=




−
3
5
5
3
25
9
2 2




=




=




−
?
?
 Portanto, 
32. Agora, copie em seu caderno e complete:
a) 13 × 10–1 = b) 13 × 10–2 = c) 13 × 10–3 = d) 13 × 10–4 = 
e) 134 × 10–1 = f) 134 × 10–2 = g) 134 × 10–3 = h) 134 × 10–4 =
33. Observe:
 (A) 13,4 x 10–1 = 1,34 (C) 1345,7 x 10–3 = 1,3457
 (B) 134,5 x 10–2 = 1,345 (D) 134 x 10–4 = 0,0134 
 Copie em seu caderno e complete: Multiplicar um número por 10–n é 
deslocar a vírgula do número ... ... ordens decimais para a esquerda.
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Observe:
 a) 145,34 = 1,4534 x 102 c) 12 000 000 = 1,2 x 107
 b) 12345 = 1,2345 x 104 d) 0,000356 = 3,56 x 10–4
34. Agora, escreva em seu caderno os números a seguir como produto de 
um decimal com um algarismo na parte inteira, multiplicado por uma 
potência de dez:
a) 1256,9	 b)12	569	 c) 250 000 000 d) 0,00037 
 
36. Copie e complete em seu caderno: 
a) 36 = b) 4 = c) 9 = 
37. Use as letras N e R para descrever o que é a raiz quadrada ( R ) de um 
número natural N que é um quadrado perfeito. Começamos para você: A 
raiz quadrada de um número natural N que é um quadrado perfeito é... 
 Até aqui, você calculou raízes quadradas de números naturais que 
são quadrados de outros. Mas diversos números naturais não são 
quadrados de outros números naturais. Como calcular essas raízes 
quadradas? É o que você verá a seguir.
 a) Como	se	chama	o	número	cujo	quadrado	é	64?	Qual	é	ele?
b) Qual	é	a	raiz	quadrada	de	16?
 Você se lembra?
 A raiz quadrada de um número é representada pelo símbolo 
 Assim, 36 se lê: raiz quadrada de 36.
35. Observe a tabela e responda:
Número natural 64 25 49 100 81
Raiz quadrada do número 8 5 7 10 9
 Você tem duas possibilidades: uma, se tiver à mão uma calculadora, e 
outra, se não tiver uma calculadora ou não for permitido usá-la, como, 
por exemplo, em diversas provas de concursos.
 Vamos, inicialmente, dar um exemplo de como calcular 6 sem calcu-
ladora.
No exercício 34 os alunos 
são solicitados a trabalhar 
aplicações da “notação cien-
tíf ica”. Sugira que façam 
uma pesquisa sobre este 
tema.
34. a)	1,2569	x	103;
	 b)	1,2569	x	104;
 c) 2,5 x 108;
 d) 3,7 x 10–4.
 
35. a)	Raiz	quadrada	de	64;
	 	 É	o	número	8;
 b) Quatro.
36. a)	6;
	 b)	2;
 c) 3.
37. A raiz quadrada de umnúmero natural N que é 
um quadrado perfeito, é 
outro número natural R 
tal que R2 = N.
? ? ?
?
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30
 Observe que esse cálculo equivale a procurar um número cujo quadrado 
seja 6. Observe também que, como 4 < 6 < 9, a raiz quadrada de 6 deve 
ser um número entre a raiz quadrada de 4 (que é 2) e a raiz quadrada 9 
(que é 3). Portanto, a raiz quadrada de 6 é um decimal entre 2 e 3, ou 
seja, tem na parte inteira o algarismo 2 e, nas ordens decimais, alguns 
algarismos.
 Veja, no quadro a seguir, como podemos encontrar um valor aproximado 
de 6 por tentativas. Chamemos de x esse valor procurado.
 Comecemos as tentativas pelo valor x = 2,6. Temos:
Explique aos alunos que 
o estudo das raízes quadra-
das tem vários objetivos, 
dentre os quais possibilitar 
calcular medidas de lados 
de quadrados conhecidas as 
áreas destes, bem como na 
resolução de equações do 
segundo grau que vão ser 
estudadas neste ano.
Visite ou recomende o 
site
http://amp746.wordpress.
com/2008/03/02/matemati-
ca-raiz-quadrada-nos-tem-
pos-de-cristo/.
38. a)	a	=	6,0025;
	 b)	6,0025	 >	 6	 (2,455	 é	
muito)	c	=	5,9535;
	 	 c)	5,9536	<	6	(2,44	é	
pouco).
39. 2,44.
 Pelo quadro você observa que 6 é um decimal entre 2,4 e 2,5. Você 
pode então dizer que 2,4 é um valor aproximado para a raiz quadrada 
de 6 “por falta”, e que 2,5 é um valor aproximado da raiz quadrada de 
6 “por excesso”. Em geral, é costume dar o valor aproximado por falta. 
Assim, podemos concluir:
A raiz quadrada aproximada de 6 a menos de um décimo, por falta, 
é 2,4. E podemos escrever:
 
 (lê-se: raiz quadrada de 6 é aproximadamente igual a 2,4).
39. Com base nos resultados obtidos no quadro anterior, qual é o valor 
aproximado de 6 a menos de um centésimo por falta?
 Se você quiser, pode calcular a raiz quadrada de 6 a menos de um cen-
tésimo, isto é, com duas ordens decimais. Basta agora fazer tentativas 
dando valores a x desde 2,41 até 2,49. É recomendável começar por 
2,45 e ir aumentando, caso os quadrados de x permaneçam menores 
que 6, ou ir diminuindo, caso os quadrados de x permaneçam maiores 
que 6.
38. Observe o quadro a seguir e escreva os valores que substituem corre-
tamente cada letra:
Tentativas Valor de x x2 Comentário
1a tentativa 2,6 (2,6)(2,6) = 6,76 6,76 > 6 (2,6 é muito)
2a tentativa 2,5 (2,5)(2,5) = 6,25 6,26 > 6 (2,5 é muito)
3a tentativa 2,4 (2,4)(2,4) = 5,76 5,76 < 6 (2,4 é pouco)
Tentativas Valor de x x2 Comentário
1a tentativa 2,45 (2,45)(2,45) = a b
2a tentativa 2,44 (2,44)(2,44) = c d
6 2 4,≅
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31
40. Escreva usando símbolos: a raiz quadrada de 6 é aproximadamente 
igual a 2,44.
O cálculo da raiz quadrada de um número usando a calculadora é 
extremamente simples: basta digitar o número e o símbolo da raiz 
quadrada ( ) , que imediatamente surgirá uma aproximação do 
valor no visor, de acordo com a quantidade de casas decimais que 
a calculadora é capaz de manipular.
 Use sua calculadora e:
 Digite 6
 Digite 
 Observe no visor: 2,4494897
 Logo, você pode afirmar que:
 A raiz quadrada de 6 a menos de um décimo, por falta, é 2,4.
 A raiz quadrada de 6 a menos de um centésimo, por falta, é 2,44.
 A raiz quadrada de 6 a menos de um milésimo, por falta, é 2,449,
 ...e assim por diante.
Uma última observação sobre raízes quadradas. Se você tiver que calcular raízes quadradas 
de decimais por tentativas, deve seguir o processo anterior. Por exemplo, para calcular 
14 27, ,	comece	observando	que,	como	9	<	14,27	<	16,	a	raiz	quadrada	de	14,27	deve	
ser	um	decimal	entre	3	(que	é	raiz	quadrada	de	9)	e	4	(que	é	raiz	quadrada	de	16).	Portanto,	
comece tentando 3,5.
 
41. Faça as tentativas sugeridas e escreva suas conclusões.
a) Use a calculadora e verifique que 14 27, 	3,7775653.
 Escreva os valores aproximados, por falta, de 14 27, :
b) A menos de um décimo.
c) A menos de um centésimo.
d) A menos de um milésimo.
e) A menos de um décimo de milésimo.
42. Divida o numerador pelo denominador e calcule as raízes quadradas 
aproximadas ou exatas das seguintes frações, usando a calculadora:
a) 4
7
 c) 2
15
 e) 5
11
 g) 9
100
b) 8
9
 d) 13
12
 f) 16
100
 h) 1
100
 
43. Transforme os resultados dos itens (f), (g) e (h) anteriores em frações.
40. 6 2 44,≅ 
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, os qua-
dros em destaque do exer-
cício 40 (os dois quadros).
Anteceda o exercício 42 
com estimativas feitas pelos 
alunos, perguntando quanto 
à parte inteira de: a) raízes 
quadradas de números entre 
zero e 1 (decimais de parte 
inteira	 zero);	 b)	 raízes	 qua-
dradas de números entre 1 e 4 
(decimais	de	parte	inteira	1);	
c) raízes quadradas de núme-
ros entre 4 e 9 (parte inteira 
2). Peça que justifiquem as 
respostas.
42. a)	0,75;
	 b)	0,94;
	 c)	0,36;
	 d)	1,04;
	 e)	0,67;
	 f)	 0,4;
	 g)	0,3;
 h) 0,1.
43. (f) 4/10, (g) 3/10, (h) 
1/10.
O objetivo do exercício 44 
é que os alunos “descubram” 
que, para números positivos, 
.
Explore mais exemplos 
com esta característica.
41. a)	Verificação	do	aluno;	
	 b)	3,7;
	 c)	3,77;
	 d)	3,777;
 e) 3,7775.
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32
44. Usando os resultados anteriores, copie e escreva em seu caderno as 
raízes quadradas a seguir na forma de fração. Depois, discuta com 
seus colegas se descobriram algum fato interessante. Caso afirmativo, 
descreva que conclusões foram tiradas.
a) 16
100
= b) 9
100
= c) 1
100
= 
45. Observe a tabela:
 Responda:
a) Qual é a terça parte de 81? E de 27? E de 9?
b) Na segunda linha, cada número é igual ao anterior, dividido por quanto?
c) Qual é a terça parte de 1
3
?
d) Qual é a terça parte de 1
9
?
46. Copie e complete:
a) 2
5
5
2
2 2




=




=
−
 b) 3
8
8
3
2 2




=




=
−
47. Copie em seu caderno e complete:
a) 25 × 10–1 = d) 25 × 10–4 = g) 253 × 10–3 = 
b) 25 × 10–2 = e) 253 × 10–1 = h) 253 × 10–4 = 
c) 25 × 10–3 = f) 253 × 10–2 = 
48. Escreva os números a seguir como produto de um decimal com um 
algarismo na parte inteira multiplicado por uma potência de dez:
a)	356,98	 c) 32 000 000 000 e) 0,000007
b)	23	687	 d) 0,00045 
? ?
?
?
?
?
?
?
44. a)	4/10;
	 b)	3/10;
 c) 1/10.
Possível resposta:
Concluímos que, se a e b são 
números positivos,
 
Comente com a turma que 
o procedimento descrito na 
resposta 44 é válido, em geral, 
sistematizando a regra corres-
pondente. Veja a observação da 
página 14. 
No capítulo 8, ao estudarem 
os expoentes fracionários, esta 
conclusão será justificada. Aqui, 
abordamos apenas o caso de nu-
meradores e denominadores que 
são quadrados perfeitos.
Explore atividades análogas 
às anteriores para produtos. 
Assim:
a ) D a d a s a s r a í z e s 
, proponha que 
os alunos calculem os produtos 
e depois, usando a calculadora, 
calculem as raízes quadradas. 
Depois, em cada caso, que calcu-
lem as raízes quadradas de cada 
fator, multipliquem os resultados 
e comparem com as raízes qua-
dradas dos produtos.
 b) Em seguida, descrevam 
com suas palavras o que ob-
servaram.
Também aqui o objetivo é, para 
positivos: . 
Faça breve abordagem oral 
sobre as atividades do “Apren-
dendo em casa” para verificar 
se os alunos estão aptos a re-
solvê-las.
47. a)	2,5;
	 b)	0,25;
	 c)	0,025;
	 d)	0,0025;
	 e)	25,3;
	 f)	 2,53;
	 g)	0,253;
 h) 0,0253.
48. a)	3,5698	x	102;
	 b)	2,3687	x	104;
 c) 3,2 x 1010;
 d) 4,5 x 10–4;
 e) 7 x 10–6.
?
? ? ?
Potências de três 34 33 32 31 30 3–1 2–2 2–3
Valores 81 27 9 3 1
1
3
1
9
1
27
a
b
a
b
.=
?
45. a)	27,	9,	3,	respectivamente;
	 b)	Dividido	por	três;
	 c)	1/9;
 d) 1/27. 
46. a)	25/4;
	 b)	64/9.
Aprendendo em casa
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33
49. Use a calculadora e verifique que 17 48,  4,1809089. 
 Use este resultado e escreva os valores aproximados, por falta, 
 de 17 48, :
a) A menos de um décimo.
b) A menos de um centésimo.
c) A menos de um milésimo.
d) A menos de um décimo de milésimo.50. Calcule os valores decimais ou exatos das frações a seguir. Depois, cal-
cule suas raízes quadradas exatas ou aproximadas, por falta, conforme 
cada caso:
a)13
7
 c) 8
15
 e) 5
11
 g) 81
100
b) 4
9
 d) 7
12
 f) 36
100
 
 Observe a reta numerada:
49. Verificação do aluno
	 a)	4,1;
	 b)	4,18;
	 c)	4,180;
 d) 4,1809.
50.	a)	1,36;
	 b)	0,66;
	 c)	0,73;
	 d)	0,76;
	 e)	0,67;
	 f)	 0,6;
 g) 0,9.
Recorde o conceito de 
semirretas opostas (desenhe 
três pontos colineares A, B, C 
com B entre A e C e pergunte 
o nome da semirreta oposta à 
semirreta BC).
Recorde o conceito de co-
ordenada (ou abscissa) de um 
ponto na reta numerada. 
ATIVIDADES ORAIS
•	 OC	e	OP.
•	 0,	1	e	2.
•	 O	ponto	C.	A	abscissa	é	–	8.
•	 Zero.
•	 OP.
•	 4/4	e	8/4.
•	 8/4	–	7/4.
•	 7/4	–	4/4.
•	 Ao	ponto	de	abscissa	2.
–8 0 1 2
 Responda ou faça o que se pede:
•	 Dê o nome de duas semirretas opostas de origem O.
•	 Três coordenadas correspondem a números naturais. Quais são eles?
•	 Qual é o ponto cuja abscissa é um número inteiro negativo? Qual é essa abscissa?
•	 Qual é a abscissa da origem O?
•	 Em qual das semirretas se localizam os pontos de abscissas positivas: OP ou OC?
•	 Quais são as expressões dos números l e 2 como frações de denominador 4?
•	 Quem é menor: 7
4
4
4
– ou 8
4
7
4
– ?
•	 Qual dessas duas diferenças corresponde à distância entre P e o ponto de abscissa 1?
•	 A outra dessas duas diferenças corresponde à distância entre P e qual ponto da reta 
numerada?
Coordenadas e aplicações
Explorando o que você já sabe
C O P
7
4
–
1
2
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34
 Você já sabe que para dar a localização de um ponto numa reta, escolhi-
das a origem e a orientação, basta um número real. Sabe, também, que 
esse número chama-se coordenada ou abscissa do ponto. Mas, como 
proceder se você quiser representar a posição de um ponto no plano? 
A resposta a essa pergunta é o que você verá nas próximas atividades.
51. Observe os dois nomes a seguir:
 José Maria Maria José
 Eles podem representar a mesma pessoa? Justifique sua resposta.
52. Imagine que você está em uma esquina e recebe, de duas pessoas, as 
seguintes informações:
•	 Para chegar à esquina que você quer, basta seguir para a direita 5 quadras e, depois, 
virar à esquerda, caminhando 2 quadras.
•	 Para chegar à esquina que você quer, basta seguir para a direita 2 quadras e, depois, 
virar à esquerda, caminhando 5 quadras.
 Para ajudar seu raciocínio, observe a figura e imagine que, quando recebeu 
as informações, você estava na origem das semirretas. Nestas condições, 
as expressões “andar para a direita” 
e “andar para a esquerda” devem ser 
entendidas como andar no sentido 
da semirreta horizontal e da semir-
reta vertical, respectivamente.
a) Seguindo a primeira informação, em 
qual ponto você chegaria: P ou Q?
b) E seguindo a segunda informação?
 Observe: ao lado de P, se vê escrito 
(2,5) e, ao lado de Q, se vê escrito (5, 2).
 • Dizemos que 2 é a abscissa de 
 P e 5 a ordenada de P
 • Dizemos que 5 é a abscissa de Q e 2 é a ordenada de Q
 Como se vê a ordem na qual os números são escritos é importante. 
Por esse motivo, dizemos que (2, 5) e (5, 2) são “pares ordenados” de 
números reais.
 Escrevemos: (2, 5) e lemos: “par ordenado dois, cinco”. 
 (5, 2) e lemos: “par ordenado cinco, dois”.
 Dizemos que: (2, 5) representa as coordenadas de P.
 (5, 2) representa as coordenadas de Q.
Comente com os alunos 
que as atividades a seguir são 
muito semelhantes ao jogo 
muito conhecido por eles, 
chamado de “batalha naval”. 
Caso alguns não conheçam, 
peça aos que conhecem que 
usem o quadro para explicar 
como é este interessante 
jogo.
Comente com os alunos 
que, tal como neste exercí-
cio, em Matemática existem 
diversas situações em que a 
ordem dos termos é impor-
tante. Cite alguns exemplos, 
como: (a) Diferença entre 
dois números: a diferença 
entre 8 e 3, nesta ordem, é 5, 
enquanto a diferença entre 
3 e 8, nesta ordem, é –5. (b) 
Calcular o quadrado da soma 
é diferente de calcular a soma 
dos quadrados. E outros.
Desenhe, no quadro, ape-
nas o primeiro quadrante, 
como na figura ao lado, e 
explore os conceitos de par 
ordenado, abscissa, orde-
nada e origem através de 
exercícios para os alunos 
resolverem.
52. a)	Q;
 b) P.
P (2,5)
Q (5,2)
1
2
3
4
5
6
7
8
or
ig
em
8765320
51. Não. José Maria é nome de 
homem e Maria José é nome 
de mulher.
1 4
Aprendendo em sala de aula
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 34 10/05/13 19:34
35
53. A seguir, observe a figura e a convenção relacionada com ela.
 (A) Pontos do eixo dos x têm abscissas positivas se situados à direita 
da origem, e negativas se situados à esquerda.
 (B) Pontos do eixo dos y têm ordenadas positivas se situados acima 
da origem, e negativas se situados abaixo.
 Considerando que os lados dos pequenos quadradinhos medem 1, pela 
convenção, temos para alguns dos pontos as seguintes coordenadas: 
A = (2,5), B = (4,5).
 Agora escreva, em seu caderno, as coordenadas de todos os outros 
pontos desde o ponto C até o ponto I.
54. Os eixos coordenados formam quatro ângulos retos que limitam regiões 
do plano chamadas de “quadrantes”. Veja, na figura, a identificação de 
cada um dos quadrantes:
 
(ou eixo das abscissas)eixo dos x
eixo dos yy
X
H
G
I
C D
A BE
F
origem
(ou eixo das ordenadas)
1º quadrante2º quadrante
4º quadrante3º quadrante
y
x0
 Diga a qual quadrante pertence 
um ponto de coordenadas (x, y), 
se:
a) x é positivo e y é negativo.
b) x é negativo e y é positivo. 
c) x e y são positivos.
d) x e y são negativos.
 Diga a qual eixo coordenado per-
tence um ponto de coordenadas 
(x, y), se:
e) x é igual a zero e y é diferente de zero.
f) x é diferente de zero e y é igual a zero.
Desenhe, no quadro, um 
sistema de coordenadas 
cartesianas como na figura 
do exercício 53. Proponha 
exercícios semelhantes para 
os alunos resolverem.
Explore situações relacio-
nadas com pontos sobre os 
eixos coordenados para que 
os alunos notem que, neste 
caso, uma das coordenadas é 
zero. Em particular, explore 
as coordenadas da origem. 
53. C	(2;	2);
	 D	(4;	2);
	 E	(–4;	4);
	 F	(–3;	–	4);
	 G	(3;	–	3);
	 H	(3;	0);
	 I		(0;	–	2).
54. a)4º	quadrante;	
	 b)	2º	quadrante;	
	 c)	1º	quadrante;
	 d)	3º	quadrante;
	 e)	eixo	das	ordenadas;
 f) eixo das abscissas. 
Peça a um aluno que de-
senhe no quadro um sistema 
cartesiano e, nele, marque 
o ponto P de coordenadas 
(2, 5). Depois, que use esta 
representação para ler o texto 
do alto da página 35, identi-
ficando todos os elementos 
nele citados.
Professor(a): com base 
em diversos exercícios deste 
capítulo, proponha situações-
problema contextualizadas, 
relacionadas com outros 
blocos de conteúdo, bem 
como as diversas áreas do 
conhecimento humano. Para 
isto, veja as diversas suges-
tões no item 7.1 do Manual 
do Professor contidas nas 
páginas 22 a 28. 
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 35 10/05/13 19:34
36
Sugira pesquisas sobre 
algum ou alguns desses fatos 
(para apresentação em próxi-
mas aulas):
 a) Quem foi René Descar-
tes?
 b) Quais os principais 
trabalhos de Descartes 
na Matemática?
 c) O que é a Geometria 
Analítica?
Esclareça que, para faci-
litar a compreensão, utiliza-
mos números inteiros como 
coordenadas dos pontos. 
Entretanto, é necessário en-
tender que:
 a) A cada ponto do plano 
cartesiano corresponde 
um único par ordenado 
(x, y) cujas coorde-
nadas são números 
reais.
 b) A cada par ordenado 
(x, y) cujas coorde-
nadas são números 
reais corresponde um 
único ponto no plano 
cartesiano. 
Se julgar necessário, reve-
ja os conceitos de simetria e 
eixo de simetria, estudados 
nos anos anteriores.
55. a) B e B’ são simétricos 
em relação ao eixo 
dos y porque estão na 
mesma perpendicular 
ao eixo e estão a uma 
mesma distância deste 
eixo;	 (outra	 resposta	
possível;	C	e	B).
 b) B e A’ não estão em 
uma mesma perpen-
dicular ao eixo dos x 
bem como não equi-
distam	de	tal	eixo;
 c) São, porque têmtrês 
pares de lados simétri-
cos em relação a este 
eixo (os extremos des-
ses pares de lados são 
simétricos em relação 
ao eixo dos x). 
O x
y
A (3, 4)A’ (–3, 4)
B B’
R (3, 2)
y
x
R’ (3, –2)
Q (–1, 3)
P (–2, 1)
P’ (–2, –1)
Q’ (–1, –3)
 Se o par ordenado (2, 5) contém as coordenadas de um ponto P, pode-
mos resumir:
(2, 5)
• 2 é a abscissa ou primeira 
coordenada do ponto P;
• A abscissa é medida no 
eixo horizontal;
• Dá a distância de P ao eixo 
vertical.
• 5 é a ordenada ou segunda 
coordenada do ponto P;
• A ordenada é medida no 
eixo vertical;
• Dá a distância de P ao eixo 
horizontal.
C C’
•	 A reta horizontal é chamada de eixo das abscissas ou eixo dos x. 
•	 A reta vertical é chamada de eixo das ordenadas ou eixo dos y. 
•	 Os dois eixos formam o que se chama um sistema de coordenadas cartesianas. 
•	 O ponto de interseção dos eixos chama-se “origem” do sistema de coordenadas. 
•	 Os números x e y do par ordenado (x, y), que dá a posição de um ponto P no plano, 
chamam-se coordenadas do ponto P.
Dado um sistema de coordenadas, tem-se que:
A cada ponto do plano corresponde um único par ordenado de números reais.
A cada par ordenado de números reais corresponde um único ponto do plano.
55. Observe as figuras I e II a seguir:
 ( I ) ( II )
 Na figura (I), os pontos A e A’ são simétricos em relação ao eixo dos y 
porque estão na mesma perpendicular ao eixo das ordenadas e suas 
distâncias ao eixo são iguais. 
a) Identifique outro par de pontos simétricos da figura I, diga em relação a qual eixo 
esses pontos são simétricos e por que são simétricos.
b) Escreva razões para justificar por que os pontos B e A’ não são simétricos em relação 
ao eixo dos x.
c) Os dois triângulos da figura II são simétricos em relação ao eixo dos x? Por quê?
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37
56. Considere que os dois triângulos da figura a seguir são simétricos em 
relação ao eixo dos y:
a) Se as coordenadas de A são (–2, 7), quais são as coordenadas de A’?
b) Se as coordenadas de B’ são (8, 3), quais são as coordenadas de B?
c) Qual	dos	pares	a	seguir	pode	conter	coordenadas	de	C’:	(–5;	8)	ou	(5,	–8)?	Justifique	
sua resposta.
d) Agora, com base no item anterior, dê as coordenadas de C.
57. Observe a figura abaixo e escreva as coordenadas dos pontos A, B, U, 
V, X, Y, Z, W, S, T.
56. a)	(2,	7);
	 b)	(–8,	3);
 c) É o par ordenado 
(5, –8) porque C’, sen-
do do quarto quadran-
te, tem que ter abscissa 
positiva e ordenada 
negativa;
 d) (–5, –8).
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
Recorde o conceito de 
ponto médio M de um seg-
mento AB: M deve pertencer 
ao segmento AB e satisfazer 
à condição AM = MB.
58. a)	Trapézio	isósceles;
	 b)	Losango;
 c) É o ponto médio das 
duas diagonais.
y
x
B
C
O
A’A
B’
C’
Aprendendo em casa
58. Para cada item a seguir desenhe, em um papel quadriculado, dois eixos 
coordenados como na figura anterior, e faça o que se pede. 
 a) Marque os pontos A = (3, 4), B = (–3, 4), C = (–5, –3), D = ( 5, –3). Agora, desenhe 
o quadrilátero ABCD. Como se chama o quadrilátero que você desenhou?
b) Marque os pontos X = (5, 0), Y = (0, 3), Z = (–5, 0) e W = (0, –3). Agora, desenhe 
o quadrilátero XYZW. Como se chama o quadrilátero que você desenhou?
c) Pinte as duas diagonais do quadrilátero XYZW de cores diferentes. O que se pode 
dizer da origem do sistema de coordenadas em relação a essas diagonais?
y
x
w
t u
vX
s
O
y
z
A B
57. A	(0,	–3);	
	 B	(3,	–3);	
	 U	(5,4);	
	 V	(4,0);	
	 X	(–2,0);	
	 Y	(–3,	–2);	
	 Z	(–	3,	–3);	
	 W	(0,1);	
	 S	(–3,3);	
 T (2,3).
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38
 Você já sabe que:
 a) 4 2= porque 22	=	4;	 	b) 9 3= porque 32 = 9. 
 De modo equivalente, podemos dizer:
 a) 2 22 = b) 3 32 =
 Em geral, se representarmos um número real positivo pela letra a, 
temos: a a2 =
 Você já sabe que, sendo a e b números reais positivos, tem-se: 
ab a b= ×
 Como 8 = 23 = 22 × 2, temos: 
 Também, 72 8 9 2 3 2 2 3 2 3 2 6 23 2 2 2= × = × = × × = × = .
Logo após o texto que contém 
a definição da raiz quadrada, 
explore atividades como as pro-
postas a seguir, para que os alunos 
“descubram” o processo de sim-
plificar raiz quadrada dividindo 
expoentes pares por 2: 
	 a)	a	 raiz	 quadrada	 de	 16,	
considerando	 16	 como	
quadrado	de	4;
	 b)	fatorar	16	para	que	os	alu-
nos verifiquem que a raiz 
quadrada	 de	 16	 é	 igual	 à	
raiz quadrada de 24, que é 
igual a 22 ;
 c) atividades análogas às 
anteriores	 com	 64	 como	
quadrado de 8 ou quadrado 
de 23;
 d) idem, com 81 = 92 = 34.
Se achar adequado, defina e 
dê exemplos:
(a) Valor absoluto:
|a| = a se a ≥ 0 e |a| = –a 
 a < 0, (a e );
 (b) Raiz quadradda:
 a2 = |a|, a ≥ 0, a  .
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, o quadro em 
destaque ao lado.
Comente com a turma que o 
procedimento descrito no quadro 
em destaque se restringe, no mo-
mento, a números naturais que 
possam ser fatorados completa-
mente, bem como a monômios.
Este processo chama-se 
“simplificação de radicais”. 
Em geral, se os radicandos são 
números compostos, procedemos 
como se vê descrito 
no quadro. 
 Para simplificar um radical contendo o símbolo de raiz quadrada:
•	 Fatora-se o radicando.
•	 Dividem-se os expoentes pares por dois, extraindo os fatores correspondentes 
do radical.
•	 Se os expoentes forem ímpares, escrevem-se os fatores correspondentes como 
produtos de dois fatores, um contendo o maior par contido no expoente ímpar 
obtido e outro com expoente l.
•	 Extraem-se os fatores de expoente par dos radicais, dividindo os expoentes por 
dois, e conservam-se no radical os de expoente l.
•	 Efetuam-se os produtos indicados.
Explorando o que você aprendeu
e aprendendo mais
 8 = 23 = 22 × 2 = 22 × 2 = 2 2.
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39
 Veja mais alguns exemplos: (considere a, b e x números reais não ne-
gativos) 
 A( ) = × × = × × = × =300 2 3 5 2 5 3 2 5 3 10 32 2 2 2 ;
 B( ) = × = × = × =80 2 5 2 5 2 5 4 54 4 2 ;
 C x( ) = × × = × × × = × × =1260 2 3 5 7 2 3 5 7 2 3 35 6 352 2 2 2 ;
 D x x x x( ) = × × = × × × =84 2 3 7 2 3 7 2 214 2 4 2 4 2 ;
 E a b a b a ab b a b ab a b ab( ) = = × = =32 2 2 2 2 2 4 25 3 5 5 3 4 4 2 2 2 2 .
59. Simplifique os radicais a seguir: (considere x e y positivos)
a) 8 c) 24 e) x y4 6 g) 45 
b) 20 d) 48 f) 27 h) 72
60. O conjunto dos números reais positivos é representado por  . Quais 
números reais a seguir pertencem a esse conjunto?
 a) 
 
–
1
8
 b) c) 1,25 d) 0 e) 
 
3
4
*+
59.	a)	2		2;	
	 b)	2		5;
	 c)	2		6;
	 d)	4		3;
 e) x2y3;
	 f)	 3		3;
	 g)	3		5;
	 h)	6		2.
Recorde que em x.x, o 
ponto representa multipli-
cação.
Recorde que em (ab)(a2c) 
os parênteses representam 
a multiplicação dos dois 
monômios. 
60. Os números 3/4, 9 e 1,25.
Recomende ou explore a 
leitura de:
“Frações e números de-
cimais”
Coleção Pra que serve a 
Matemática?
Imenes – Jakubo – Lellis
Atual Editora
Ao término do estudo do 
capítulo, reveja com os alunos, 
a seu critério, o significado de 
alguns dos termos destacados 
na cor azul no capítulo.
Ao elaborar questões de 
verif icação da aprendiza-
gem, um bom recurso é uti-
lizar problemas semelhantes 
aos explorados no capítulo 
trocando algum dado pela 
incógnita e vice-versa (e 
respectivos valores). 
Exemplificando: Situação-
problema explorado: Luciana 
quer comprar um celular mas 
possui apenas ¾ do preço: 
R$ 321,00. Qual o preço do 
celular? Situação-problema 
de verificação: Luciana quer 
comprar um celular que custa 
R$	640,00,	mas	possui	apenas	
¾ desse valor. Quanto Luciana 
precisa ter a mais para comprar 
o celular? Observe que existem, 
pelo menos, duas maneiras de 
resolver este problema. 
Outra sugestão: Usar re-
cíprocas de situações dadas. 
Exemplificando: Dadas as 
medidas dos lados de um 
quadrado, pedir para calcular 
a medida do lado do hexágo-
no regular que temo mesmo 
perímetro do quadrado. Veri-
ficação: Dadas as medidas dos 
lados de um hexágono regular, 
pedir para calcular as medidas 
dos lados de um quadrado que 
tem o mesmo perímetro do 
hexágono.
Você sabia?
π = 
c
d
 O número π é um dos mais famosos números irracionais. É 
definido como a razão do comprimento de uma circunferência 
por seu diâmetro. 
 π  22
7
 .
c
0
d
O grande matemático grego 
Arquimedes (287-212 a.C.) 
calculou uma das primeiras 
aproximações racionais 
de π : 

 9
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40
Se ainda tem dúvidas sobre Reveja os exercícios
Como reconhecer números naturais como inteiros, inteiros 
como racionais e racionais como reais. 1 a 7, 21 a 23.
Como usar a calculadora para obter o decimal equivalente a 
uma fração. 10, 11, 13.
Como identificar frações cujas expressões em decimais sejam 
finitas ou periódicas, e como reconhecer períodos de dízimas 
periódicas. 
10, 11, 13, 19, 20.
Como transformar dízimas em frações. 12.
Como identificar decimais como números racionais ou núme-
ros irracionais, positivos ou negativos. 9, 14 a 16.
Como usar o conceito de subconjuntos para representar os 
diagramas dos conjuntos N, ,  e . 26 e 27.
Como dar valores aproximados de racionais ou de irracionais a 
menos de um décimo, um centésimo, um milésimo etc. 17, 18, 20.
Como representar frações ou decimais na reta numerada. 8 e 24.
Como calcular potências de expoentes negativos. 28 a 30, 45, 46.
Como usar potências de dez com expoentes negativos para 
representar decimais. 31 a 34, 47, 48.
Como calcular raízes quadradas aproximadas por tentativas 
ou usando a calculadora. (Aproximações a menos de um 
décimo, um centésimo, um milésimo etc.)
35 a 44, 49, 50.
Como localizar pontos no plano cartesiano usando pares 
ordenados de números reais: suas coordenadas. 51 e 52.
Como identificar: eixos cartesianos, plano cartesiano, qua-
drantes, abscissas e ordenadas. 51 a 54, 57.
Como construir ou identificar figuras simétricas no plano 
cartesiano. 55 e 56.
Como construir polígonos no plano cartesiano, dadas as 
coordenadas de seus vértices. 58.
Como simplificar radicais usando a fatoração. 59.
Como representar o conjunto dos números reais positivos e 
identificar se números reais dados pertencem ou não a esse 
conjunto.
60.
? Verifique se você aprendeu
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CapItulo 2
Matemática
financeira
M
ar
ia
 A
de
la
id
e 
S
il
va
 | 
D
re
am
st
im
e.
co
m
-
Mat9Cap2_NOVA2012_copy.indd 41 10/05/13 20:09
Neste capítulo, você vai aprender como:
• Resolver problemas relacionados com os conceitos de porcentagem, principal e 
taxa. 
• Resolver problemas relacionados com juros simples e juros compostos. 
• Resolver problemas de cálculos de aumentos percentuais. 
• Resolver problemas de cálculos de descontos percentuais.
• Resolver problemas de cálculos de comissões. 
Ao lado, explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
Leia o último texto 
da página 10 (Obser-
vação importante). 
Professor(a): Neste 
e em outros capítu-
los, são exploradas 
diversas si tuações 
para que os alunos 
“descubram”, a par-
tir de casos particu-
lares, propriedades de 
números, de figuras, 
regras de cálculos 
etc. É extremamente 
importante que, após 
estas “descobertas”, 
sejam feitas obser-
vações afirmando que 
tais conclusões são 
verdadeiras (e, even-
tualmente, provar estes 
fatos) para que não 
fique a falsa ideia de 
que, a partir de poucos 
casos particulares, é 
possível generalizar. 
Sempre que possível, 
use expressões algé-
bricas para expressar 
tais generalizações, 
bem como de algumas 
regularidades relacio-
nadas com sequências 
númericas.
Valor em 
reais
Porcentagem 
de aumento
Cálculo do 
aumento
Valor após 
aumento
Outra forma 
de calcular
120 18%
70 50%
160 25%
Valor em 
reais
Porcentagem 
de desconto
Cálculo do 
desconto
Valor após 
desconto
Outra forma 
de calcular
90 18%
80 50%
60 25%
Capital emprestado: R$ 600,00. C = 
Taxa mensal de juros simples: 2% a.m. i = 3% = 
Tempo de empréstimo: 7 meses. t = 
Cálculo dos juros a cada mês: C.i = 
Cálculo dos juros após 7 meses: j = C.i.t = 
Cálculo do montante após 7 meses: M = C + C.i.t = 
Jú
li
a 
B
ia
nc
hi
, 2
00
6
?
?
?
?
?
?
Mat9Cap2_NOVA2012_copy.indd 42 10/05/13 20:09
43
•	 Diga como se lê: 32%. 
•	 Qual é a fração de denominador 100, equivalente a 12%? 
•	 15% e 0,15 representam uma mesma fração. Qual? 
•	 A fração 
43
100
 representa quantos por cento?
Professor(a): para a sequên-
-cia das atividades das aulas, 
recomendamos criar o hábito 
de ler as sugestões que faço, 
antes de explorar os exercícios 
cujos números das respostas 
são colocados posteriormente a 
essas sugestões, porque a maior 
parte delas ou reforça atividades 
anteriores, ou, principalmente, 
prepara os alunos para as ativi-
dades seguintes
Releia: na página 10, “Obser-
vação importante” e, na página 
11, Recado ao(à) professor(a): 
“Aproveitamos (...) e explore-
as”.
ATIVIDADES ORAIS
• Trinta e dois por cento.
• 12/100.
• 15/100.
• 43%.
As diversas operações relacio-
nadas com os as suntos abordados 
a seguir envolvem cálculos que, 
de preferência, devem ser efetu-
ados usando calculadoras. Duas 
razões justificam esta sugestão: 
1a) É importante que os alunos, 
a partir deste ano, adquiram 
completo domínio do uso da 
calculadora (evidentemente fa-
zendo uma avaliação prévia do 
resultado a obter). 2a) O evidente 
ganho de tempo, principalmente 
porque a maior parte das opera-
ções propostas envolve cálculos 
com decimais. 
1. a) Porcentagem: 840, principal 
1 200, taxa 70%;
 b) Porcentagem: 47,60, princi-
pal 680, taxa 7%.
Antes do exercício 2, recorde: 
12% = 12/100 = 0,12. Logo, 12% 
de 350 = 0,12 x 350 = 42.
Recorde, também, dividindo, 
que 42/350 = 0,12 = 0,12% e 
16/80 = 0,2 = 0,20 = 20%. 
2. a) R$ 72,00;
 b) 12 gramas;
 c) 12 metros.
Pergunte: É possível que a 
porcentagem seja maior que o 
principal? Caso afirmativo, o 
que dizer da taxa? R) Sim. Neste 
caso, a taxa é maior que 100%. 
Dê um exemplo de um acréscimo 
maior que 100% (de preferência, 
use interdisciplinaridade – su-
gestão: fenômenos biológicos x 
crescimento populacional).
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 Você vai fazer alguns exercícios de “aquecimento”. Para isso, vamos 
relembrar três conceitos e três fórmulas que já conhecemos:
 Na informação:
 “Em cada 20 jogos disputados, o time A ganhou do time B 16 jogos, ou 
seja, 80% dos jogos disputados”,
	 ✓	 o total de jogos (20) é o principal: (C)
	 ✓	 80% é a taxa: (i) 
	 ✓	 o número de jogos ganhos (16) é a porcentagem: (P)
1. Destaque a porcentagem, o principal e a taxa em:
a) 840 kg são 70% de 1 200 kg.
b) Calculando‑se 7% de R$ 680,00, encontra‑se R$ 47,60.
2. Dada a taxa e o principal, calcule as porcentagens nos seguintes casos:
a) 12% de R$ 600,00. b) 15% de 80 gramas. c) 25% de 48 metros.
Porcentagem, principal e taxa
Explorando o que você já sabe
Aprendendo em sala de aula
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3. Ao ser negociada a compra de um apartamento, ficou combinado que 
o comprador daria ao vendedor 5% do valor do imóvel como sinal, até 
que fossem providenciados os documentos nos cartórios. Se o aparta-
mento custava R$ 84 000,00, de quanto foi esse sinal?
Explore o exercício 3: o 
“sinal” é a porcentagem cal-
culada à taxa de 5% sobre o 
capital de R$ 84 000,00.
3. R$ 4 200,00.
Faça um breve comentário 
sobre o que seja “sinal” de 
compra, bem como as provi-
dências mínimas necessárias 
na aquisição de um imóvel: 
“contrato de compra e ven-
da”, “escritura”, “registros” e 
as taxas necessárias a serem 
pagas: ITBI, taxas de cartó-
rios, financiamentos, comis-
sões de corretores etc.
4. Multiplico a taxa (escrita 
na forma decimal) pelo 
principal.
No 5(a), 16 = (x%) (80)  
x = 16/80 = 0,20 = 20%, (b) 
e (c), análogos.
5. a) 20%;b) 30%;
 c) 25%.
6. 3%.
7. Divido a porcentagem pelo 
principal e escrevo os cen-
tésimos obtidos como “por 
cento”.
Em 8 (a), faça 387 = 0,45x 
 x = 387/0,45, (b) e (c) 
análogos. 
8. a) R$ 860,00;
 b) 480;
 c) 584 kg.
9. R$ 18 000,00.
Sugira pesquisas sobre 
as diversas modalidades de 
seguros existentes. Explore 
também guias de IPTU e o 
significado de seus dados.
10. Divido a porcentagem 
pela taxa, escrita na for-
ma de decimal.
Caso julgue necessário, 
proponha mais atividades 
como as propostas nos exer-
cícios 2, 5 e 8.
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4. Dada a taxa e o principal, que conta você faz para calcular a porcentagem?
5. Dada a porcentagem e o principal, calcule a taxa em cada caso:
a) 16 alunos são quantos por cento de 80 alunos? 
b) 54 jogos são quantos por cento de 180 jogos? 
c) 30 m2 são quantos por cento de 120 m2?
6. Por um apartamento que custa R$ 80 000,00, Lúcio pagou em janeiro 
deste ano R$ 2 400,00 de IPTU (Imposto Predial e Territorial Urbano). 
Qual foi a taxa cobrada pela Prefeitura?
7. Dada a porcentagem e o principal, que conta você faz para calcular a taxa?
8. Dada a porcentagem e a taxa, calcule o principal em cada caso a seguir:
a) R$ 387,00 são 45% de qual valor? 
b) 72 são 15% de que número? 
c) 146 kg são 25% de quantos kg? 
9. Celso pagou R$ 1 080,00 por um ano de seguro total de um automóvel. 
Se a seguradora cobra 6% do valor do veículo, qual é o valor do auto-
móvel de Celso?
10. Dada a porcentagem e a taxa, que conta você faz para calcular o principal?
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45
 Resolvendo os exercícios 4, 7 e 10 anteriores, você usou frases da 
linguagem comum para dizer como calcular cada um dos valores: por-
centagem, taxa ou o principal quando se conhece o valor dos outros 
dois. Observe que, se chamamos a porcentagem de P, a taxa de i e o 
capital de C, no cálculo da porcentagem correspondente à taxa de 12% 
de um capital de R$ 600,00, o que fizemos foi: P = 0,12 × 600 = 72, ou 
seja, em linguagem corrente: porcentagem = taxa vezes capital e, em 
linguagem matemática:
 Desta fórmula, deduzimos facilmente duas outras: i P
C
e C
P
i
= = , que 
 correspondem ao que você já expressou em linguagem comum: 
  para calcular a taxa, divido a porcentagem pelo capital
 	para calcular o capital, divido a porcentagem pela taxa
 Observe que, nos cálculos, a taxa é expressa na forma decimal.
Por questão de econo-
mia de espaço, muitas das 
respostas inseridas nas mar-
gens são breves. Entretanto, 
é necessário criar nos alu-
nos o hábito de enunciar as 
respostas coerentes com as 
perguntas o mais completas 
possível. Exemplo: Quan-
to Jorge pagou pela bola? 
R) Jorge pagou ou R$.... pela 
bola (e não, simplesmente, 
R$....).
Deixe claro para os alunos 
que as fórmulas para calcular 
porcentagem, taxa e principal 
não são de uso obrigatório. 
Apenas resumem em lin-
guagem matemática o que, 
enunciaram em linguagem 
comum. 
Confirme, entretanto, que 
tais fórmulas são verdadei-
ras, para que não fiquem com 
a falsa ideia de deduções a 
partir de casos particulares.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
11. a) Porcentagem: 1080;
 principal: 1 800;
 taxa: 60%;
 b) Porcentagem: 108,00; 
principal: 900; taxa: 
12%.
12. a) R$ 120,00;
 b) 21,6 gramas;
 c) 84 metros.
13. R$ 4 160,00.
14. a) 30%;
 b) 25%;
 c) 20%.
1 1 . Destaque a porcentagem, o principal e a taxa em cada item abaixo:
a) 1 080 kg são 60% de 1 800 kg.
b) Calculando-se 12% de R$ 900,00, encontra-se R$ 108,00.
12. Dada a taxa e o principal, calcule as porcentagens nos seguintes casos:
a) 15% de R$ 800,00.
b) 18% de 120 gramas.
c) 35% de 240 metros.
13. Ao ser negociada a compra de um apartamento, ficou combinado que 
o comprador daria 4% de sinal ao vendedor, até que fossem provi-
denciados os documentos nos cartórios. Se o apartamento custava 
R$ 104 000,00, de quanto foi esse sinal?
14. Conhecendo a porcentagem e o principal, calcule a taxa, em cada caso:
a) 27 alunos são quantos por cento de 90 alunos? 
b) 60 jogos são quantos por cento de 240 jogos? 
c) 36 m2 são quantos por cento de 180 m2?
P = i.C
Aprendendo em casa
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15. Por um apartamento que custa R$ 108 000,00, Lúcio pagou em janeiro 
R$ 3 240,00 de IPTU. Qual foi a taxa cobrada pela Prefeitura?
16. Dada a porcentagem e a taxa, calcule o principal em cada caso a seguir:
a) R$ 322,00 são 35% de qual valor? 
b) 1 170 são 18% de qual número? 
c) 156 kg são 25% de quantos kg? 
17. Celso pagou R$ 920,00 por um ano de seguro total de um automóvel. Se 
a seguradora cobra 4% do valor do veículo, qual é o valor do automóvel 
de Celso?
18. Lucas pagou R$ 1 200,00 pelo seguro total de seu automóvel, que custa 
R$ 24 000,00. Qual foi a taxa cobrada pela seguradora?
19. Geraldo gasta 34% de sua renda mensal de R$ 1 300,00 com aluguel e 
alimentação. Calcule quantos reais Geraldo gasta com esses dois itens 
de despesas.
15. 3%.
16. a) R$ 920,00;
 b) 6 500;
 c) 624 kg.
17. R$ 23 000,00.
18. 5%.
19. R$ 442,00.
ATIVIDADES ORAIS
• Pagou com aumento.
• Pagou com desconto.
• Aumento.
• Significa que, a cada 100 
reais do preço do apartamento 
vendido, o corretor recebe 3 
reais como pagamento por 
seu trabalho.
Pergunte aos alunos:
a) Se o corretor recebe 3 reais 
a cada 100, quanto receberá 
a cada 10 000 reais?
 R) 3 x 100 = 300.
b) Quanto o corretor recebe 
ao vender um apartamen-
to de 50 000 reais?
 R.) 5 x 300 = 1 500 reais.
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•	 Cláudia pagou, em atraso, R$ 54,85 por uma conta de água cujo valor original era 
R$ 53,60. Pagou com aumento ou com desconto?
•	 Dario aproveitou uma liquidação e pagou R$ 32,00 por uma camisa que custava 
R$ 36,00. Pagou com aumento ou com desconto? 
•	 Acréscimo é sinônimo de aumento ou de desconto?
•	 Um corretor recebe, como comissão, 3% do valor de venda de cada apartamento 
que vende. O que significa isso?
 Você vai resolver, passo a passo, o problema a seguir:
Aumentos e descontos percentuais - comissões
Explorando o que você já sabe
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20. Um bebedouro e purificador de água custava R$ 200,00 e teve acrés-
cimo de 3% no preço. Qual é o novo preço do bebedouro?
RESOLVENDO PASSO A PASSO:
a) Qual é a fração e qual é o decimal que representam 3%? 
b) Se 3% representam 3/100, calcular 3% de 200 equivale a calcular quantos centésimos 
de 200?
c) Para o cálculo do item (b) usando a taxa na forma de fração, por quanto se divide 
200? Por quanto se multiplica depois o quociente obtido?
d) Faça os cálculos citados no item (c).
e) Some 3% de 200 com 200. Quanto você encontrou para a soma?
f) O que significa o resultado obtido no item (e)?
g) Escreva a resposta ao problema.
21. Multiplique 200 por 1,03 e compare com a resposta (e) do exercício 
anterior. Os resultados obtidos foram iguais ou diferentes?
22. Observe a tabela a seguir:
20. a) 3/100; 0,03;
 b) 3 centésimos de 200;
 c) Por 100; por 3;
 d) 200 : 100 = 2; 2 x 3 = 6;
 e) 6 + 200 = 206;
 f) O novo preço do bebe-
douro;
 g) O novo preço do bebe-
douro é R$ 206,00.
Peça aos alunos que calcu-
lem novamente o acréscimo 
usando a taxa como número 
decimal.
Lembre aos alunos a pro-
priedade distributiva, através 
de exemplos como:
1o) (7 + 2) x 9 =
 7 x 9 + 2 x 9 =
 63 + 18 = 81. 
2o) 7 x 9 + 2 x 9 =
 (7 + 2) x 9 = 81.
3º) 80 + 0,15 x 80 =
 1 x 80 + 0,15 x 80 =
 (1 + 0,15) x 80 =
 1,15 x 80.
4º) 200 + 200 x 0,03 =
 200 x 1 + 200 x 0,03 =
 200 ( 1 + 0,03) =
 200 x 1,03.
22. a) 0,15 x 80 + 80 = 92;
 b) 1,15 x 80 = 92.
Calculando aumentos
Valor em 
reais
Porcentagem 
de aumento
Cálculo do 
aumento
Valor após 
aumento
Outra forma 
de calcular
200 3% 200 × 0,03 = 6 200 + 6 = 206 200 × 1,03 = 206
60 15% 60 × 0,15 = 9 60 + 9 = 69 60 × 1,15 = 69
80 50% 80 × 0,50 = 40 80 + 40 = 120 80 ×1,50 = 120
120 25% 120 × 0,25 = 30 120 + 30 = 150 120 × 1,25 = 150
 Agora, calcule os seguintes aumentos: (usando a calculadora, se quiser)
a) 15% de 80, calculando o aumento e somando com 80 para obter o novo valor após 
o aumento.
b) 15% de 80, obtendo de uma única vez o novo valor após o aumento.
A segunda forma de calcular é mais rápida e muito fácil de entender. 
Veja, como exemplo, o segundo cálculo da tabela anterior.
Observe que tivemos que somar 60 com 15% de 60, ou seja:
60 + 60 × 0,15 = 60 (1 + 0,15) = 60 × 1,15
 Muito simples, não? 
21. Iguais.
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48
23. 
24. a) 60 – 0,15 x 60 = 51;
 b) 60 x 0,85 = 51.
25. 
23. Copie a tabela abaixo em seu caderno e calcule os aumentos de dois modos, 
como no exercício anterior.
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90
 
18
%
 
90
 x
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,1
8 
=
 1
6,
2 
90
 –
 1
6,
2 
=
 7
3,
8 
90
 x
 0
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=
 7
3,
8
 
80
 
50
%
 
80
 x
 0
,5
0 
=
 4
0 
80
 –
 4
0 
=
 4
0 
80
 x
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0 
=
 4
0
 
60
 
25
%
 
60
 x
 0
,2
5 
=
 1
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60
 –
15
 =
 4
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60
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5
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ca
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ar
Valor em 
reais
Porcentagem 
de aumento
Cálculo do 
aumento
Valor após 
aumento
Outra forma 
de calcular
120 18%
70 50%
160 25%
Calculando descontos
Valor em 
reais
Porcentagem 
de desconto
Cálculo do 
desconto
Valor após 
desconto
Outra forma 
de calcular
80 15% 80 × 0,15 = 12 80 – 12 = 68 80 × 0,85 = 68
60 50% 60 × 0,50 = 30 60 – 30 = 30 60 × 0,50 = 30
120 25% 120 × 0,25 = 30 120 – 30 = 90 120 × 0,75 = 90
Valor em 
reais
Porcentagem 
de desconto
Cálculo do 
desconto
Valor após 
desconto
Outra forma 
de calcular
90 18%
80 50%
60 25%
24. Observe a tabela a seguir:
Veja por que o segundo modo de calcular é equivalente ao primeiro. Por exemplo, no 
primeiro cálculo da tabela, para saber o desconto de 15% de 80, devemos subtrair de 80 
seus 15%, ou seja:
80 – 0,15
 
× 80 = 80 (1 – 0,15) = 80 × 0,85 = 68
 Agora, calcule os seguintes descontos: (usando a calculadora, se quiser)
a) 15% de 60, calculando o desconto e subtraindo de 60 para obter o novo valor após 
o desconto.
b) 15% de 60, obtendo de uma única vez o novo valor após o desconto.
25. Copie a tabela abaixo em seu caderno e calcule os descontos de dois mo-
dos, como no exercício anterior.
 Muitos profissionais que atuam vendendo os mais variados artigos 
recebem uma porcentagem do preço do artigo que venderam como 
pagamento dos serviços prestados.
 Este pagamento é chamado de “comissão”. Portanto, calcular comis-
sões é equivalente a calcular porcentagens. Veja algumas atividades 
relacionadas com esses cálculos.
 
12
0 
18
%
 
12
0 
x 
0,
18
 =
 2
1,
6 
12
0 
+
 2
1,
6 
=
 1
41
,6
 
12
0 
x 
1,
18
 =
 1
41
,6
 
70
 
50
%
 
70
 x
 0
,5
0 
=
 3
5 
70
 +
 3
5 
=
 1
05
 
70
 x
 1
,5
 =
 1
05
 
 1
60
 
25
%
 
16
0 
x 
0,
25
 =
 4
0 
16
0 
+
 4
0 
=
 2
00
 
16
0 
x 
1,
25
 =
 2
00
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49
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos para resolvê-las.
26. R$1 800,00.
27. a) 1 680;
 b) 31 000,00.
28. 
29.
26. Um corretor de imóveis vendeu um apartamento por R$ 60 000,00, 
recebendo 3% de comissão. Calcule quantos reais o corretor recebeu 
de comissão nesse negócio.
 
14
0 
20
%
 
14
0 
x 
0,
20
 =
 2
8 
14
0 
+
 2
8 
=
 1
68
 
14
0 
x 
1,
20
 =
 1
68
 
90
 
50
%
 
90
 x
 0
,5
0 
=
 4
5 
90
 +
 4
5 
=
 1
35
 
90
 x
 1
,5
 =
 1
35
 
24
0 
25
%
 
24
0 
x 
0,
25
 =
 6
0 
24
0 
+
 6
0 
=
 3
00
 
24
0 
x 
1,
25
 =
 3
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15
%
 
12
0 
x 
0,
15
 =
 1
8 
12
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– 
18
 =
 1
02
 
12
0 
x 
0,
85
 =
 1
02
 
18
0 
50
%
 
18
0 
x 
0,
50
 =
 9
0 
18
0 
– 
90
 =
 9
0 
18
0 
x 
0,
50
 =
 9
0
 
24
8 
25
%
 
24
8 
x 
0,
25
 =
 6
2 
24
8 
– 
62
 =
 1
86
 
24
8 
x 
0,
75
 =
 1
86
V
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Valor em 
reais
Porcentagem 
de aumento
Cálculo do 
aumento
Valor após 
aumento
Outra forma 
de calcular
140 20%
90 50%
240 25%
Valor em 
reais
Porcentagem 
de desconto
Cálculo do 
desconto
Valor após 
desconto
Outra forma 
de calcular
120 15%
180 50%
248 25%
27. Maurício trabalha em uma loja de tecidos e recebe 4% de comissão 
pelas vendas que efetua. Sabe-se que:
a) Em janeiro, ele vendeu, ao todo, R$ 42 000,00 de tecidos. Quanto ele recebeu por 
essas vendas?
b) Em fevereiro, ele recebeu R$ 1 240,00 por todas as vendas que efetuou. Quanto ele 
vendeu em todo o mês de fevereiro?
28. Copie a tabela, em seu caderno, e calcule os aumentos de dois modos 
diferentes:
29. Copie a tabela, em seu caderno, e calcule os descontos de dois modos 
diferentes:
Aprendendo em casa
Mat9Cap2_NOVA2012_copy.indd 49 10/05/13 20:09
50
•	 Se você tomar emprestado 100 reais com o trato de pagar ao fim do mês o que 
recebeu, mais 3%, quanto terá que pagar ao todo?
•	 E se a quantia emprestada for de 300 reais?
•	 Suponha que durante 2 meses uma mercadoria que custava 1 000 reais sofreu, a cada 
mês, 10% de aumento. Qual é o preço dessa mercadoria ao fim dos dois meses?
ATIVIDADES ORAIS
• 103 reais.
• 309 reais.
• 1 210 reais.
No caso da terceira per-
gunta, faça com que os alu-
nos observem que, ao final 
do primeiro mês, o preço 
passou para 1 100 reais e, 
portanto, para calcular o 
valor ao final do segundo 
mês, devemos somar 1100 
com 10% de 1100, ou seja, 
1100 + 110 =1210 reais.
Esta é uma primeira abor-
dagem sobre “juros com-
postos”, conceito de enorme 
importância no dia a dia.
A João emprestou R$ 100,00 
para Pedro.
Capital emprestado:
R$ 100,00. c
B Durante um ano. Tempo de empréstimo: t
C
Ao fim desse tempo, Pedro 
devolveu para João os R$ 
100,00 e mais R$ 14,00 
como recompensa pelo 
empréstimo. 
Juros: porcentagem do capital 
tomado como empréstimo, a 
ser paga a quem emprestou ao 
final do tempo de empréstimo.
j
D Quanto João recebeu ao 
todo ao final do empréstimo? Montante = Capital + Juros. M = C + j
E Qual foi a taxa de 
empréstimo?
A taxa é representada por 
quantos por cento 14 é de 100. i
 Observe os dados da tabela a seguir onde, na primeira coluna, você vê 
as partes de um problema seguidas de duas colunas, nas quais os sig-
nificados de diversos termos e seus símbolos são esclarecidos:
Jú
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B
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00
6
Calculando juros simples e juros compostos
Explorando o que você já sabe
Mat9Cap2_NOVA2012_copy.indd 50 10/05/13 20:09
51
30. Responda, observando a segunda e terceira colunas da tabela da 
página 50:
a) Como se chama a quantia emprestada e qual é a letra que a representa?
b) Qual é a letra que representa o tempo de empréstimo?
c) Quem empresta, ao receber a devolução do capital emprestado, recebe também uma 
recompensa financeira pelo empréstimo. Como se chama essa recompensa e qual 
é a letra que a representa?
d) Como se calcula o “montante”?
e) Calcule quantos por cento 14 é de 100.
31. Observe a tabela:
30. a) Capital (C);
 b) t;
 c) Juros (j);
 d) Somando Capital + 
Juros;
 e) 14%.
31. a) R$ 300,00;
 b) 1 ano;
 c) R$ 45,00;
 d) R$ 345,00;
 e) 15%.
 (45/300 = 0,15 = 15%)
 Responda:
a) Qual foi o capital emprestado? d) Qual o valor do montante?
b) Qual foi o tempo de empréstimo? e) Qual foia taxa de empréstimo?
c) Qual o valor dos juros pagos?
Paguei 45 reais 
pelo empréstimo de 300 reais. Logo, 
paguei 15 reais a cada 
100 reais que tomei de empréstimo. 
Acho que paguei 
15% de juros!
A Paula emprestou R$ 300,00 para 
Dalmo.
Capital emprestado: c
B Durante um ano. Tempo de empréstimo: t
C
Ao fim desse tempo, Dalmo 
devolveu para Paula os R$ 300,00 
e mais R$ 45,00 como recompensa 
pelo empréstimo.
Juros: porcentagem do 
capital tomado como 
empréstimo, a ser paga a 
quem emprestou ao final 
do tempo de empréstimo.
j
D Quanto Paula recebeu ao todo ao 
final do empréstimo? Montante: Capital + Juros. M = C + j
E Qual foi a taxa de empréstimo?
A taxa é representada por 
quantos por cento 45 é de 
300.
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52
32. Observe esta nova tabela:
32. a) R$ 400,00;
 b) 1 mês;
 c) R$ 8,00;
 d) R$ 408,00.
Os cálculos ao lado são 
válidos porque, nos exer-
cícios correspondentes, os 
tempos de empréstimo foram 
de 1 ano, 1 ano e 1 mês, res-
pectivamente. Para tempos 
de empréstimos maiores 
(como 2, 3 etc. anos ou me-
ses) veremos que os cálculos 
são diferentes.
Uma taxa de 2% 
significa que, a cada 100 reais que 
tomo emprestado, pago 2 reais de 
juros. Logo, como tomei 400 reais 
emprestado, devo pagar 8 reais 
de juros.
A Laura emprestou R$ 400,00 para 
Marta. Capital emprestado: c
B Durante um mês. Tempo de empréstimo: t
C
Ao fim desse tempo, Marta 
devolveu para Laura os R$ 400,00 
e mais certa importância como 
recompensa pelo empréstimo.
Juros: porcentagem do 
capital tomado como 
empréstimo, a ser paga a 
quem emprestou ao final 
do tempo de empréstimo.
j
D A taxa de empréstimo foi de 2% ao 
mês. Taxa de empréstimo: i
E Quando Laura recebeu ao todo ao 
final do emprêstimo? Montante: Capital + Juros. M = C + j
 Responda:
a) Qual o valor do capital emprestado?
b) Durante quanto tempo durou o empréstimo?
c) Calcule os juros pagos por Marta pelo empréstimo.
d) Calcule o montante recebido por Laura, ao final do empréstimo.
 Observe que o montante equivale a um acréscimo percentual ao capital 
emprestado. Portanto, se estivermos interessados em calcular o mon-
tante diretamente, sem ter que calcular os juros e somar com o capital, 
podemos usar o mesmo recurso já visto para calcular aumentos.
 Assim, teríamos:
 No primeiro caso (exercício 30) M = 100 x 1,14 = 114.
 No segundo caso (exercício 31) M = 300 x 1,15 = 345.
 No terceiro caso (exercício 32) M = 400 x 1,02 = 408.
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53
 Até aqui, podemos resumir o que você viu assim:
Termo Símbolo Significado
Capital C Quantia ou valor emprestado.
Tempo t Tempo de empréstimo.
Juros j
Valor a ser somado ao capital, indicado sob a 
forma de porcentagem do capital.
Taxa i
“Por cento”, que permite calcular os juros. A 
taxa pode ser anual ou mensal.
Montante M Soma dos juros com o capital.
Capital emprestado: R$ 800,00 C = 800
Taxa mensal de juros simples: 3% a.m. i = 3% = 0,03
Tempo de empréstimo: 2 meses. t = 2
Cálculo dos juros a cada mês: C.i = 800 × 0,03 = 24
Cálculo dos juros após 2 meses: j = C.i.t = 800 × 0,03 × 2 = 48
Cálculo do montante após 2 meses:
M = C + C.i.t = C(1 + it) 
800 + 800 × 0,03 × 2 = 800 + 48 = 848
 Observe que só vimos situações em que o tempo de empréstimo foi 
ou de um ano, ou de um mês. Nas duas primeiras situações, dizemos 
que as taxas de juros foram anuais e escrevemos:
 14% a.a. (lê-se 14 por cento ao ano).
 15% a.a. (lê-se quinze por cento ao ano).
 Na terceira situação, dizemos que a taxa de juros foi mensal e escre-
vemos:
 2% a.m. (lê-se dois por cento ao mês).
 Agora, você verá situações diferentes, através de exemplos, que permitirão 
distinguir os conceitos de “juros simples” e de “juros compostos”.
 PRIMEIRO EXEMPLO: 
 (EMPRÉstIMOs A JuROs sIMPLEs)
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54
33. Copie a tabela a seguir em seu caderno e complete-a, como no exemplo 
anterior:
33. Capital emprestado: R$ 600,00 C = 
Taxa mensal de juros simples: 2% a.m. i = 2% = 
Tempo de empréstimo: 7 meses. t = 
Cálculo dos juros a cada mês: C.i = 
Cálculo dos juros após 7 meses: j = C.i.t = 
Cálculo do montante após 7 meses: M = C + C.i.t = 
?
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 SEGUNDO EXEMPLO: 
(EMPRÉSTIMOS A JUROS COMPOSTOS)
 Agora, veja como calcular o montante do empréstimo de R$ 800,00 a 
juros compostos, à taxa de 3% ao mês, durante dois meses.
 Acompanhe os cálculos:
 Juros ao final do primeiro mês de empréstimo: 3% de 800 reais. 
 Cálculos: 800 x 0,03 = 24.
 Montante ao final do primeiro mês: 824 reais.
 No segundo mês considera-se emprestado não mais 800 reais, mas sim 
824 reais, ou seja, o montante obtido ao final do primeiro mês.
 Juros do empréstimo de 824 reais a 3% ao mês.
 Cálculos: 824 x 0,03 = 24,72.
 Montante ao final do segundo mês de empréstimo:
 800 + 24 + 24,72 = 848,72.
TERCEIRO EXEMPLO: 
(COMPARANDO OS DOIS TIPOS DE EMPRÉSTIMOS)
 Na prática, os empréstimos não são feitos a juros simples, e é fácil 
entender a razão.
 Imagine que você tenha emprestado 100 reais a 10%, durante 2 meses.
 Como você já sabe, 10% de 100 reais são 10 reais. Portanto, em 2 
meses você receberia 20 reais de juros.
 No empréstimo a juros simples, ao final de 2 meses você receberia um 
montante de 120 reais.
Deduza, a partir da última 
linha da tabela do exercício 
33, outra expressão para o 
montante: M = C(1 + it), e 
proponha aos alunos que a 
apliquem usando os dados 
do mesmo exercício.
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84
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55
 Agora, imagine que você emprestou para uma pessoa 100 reais a 10% 
durante 1 mês. Logo, receberia, ao fim do mês, 110 reais.
 Então, você passaria a ter não mais 100 reais para emprestar, mas sim 
110 reais.
 Emprestando este montante novamente a 10% durante um mês, você 
receberia um montante de 121 reais (porque 10% de 110 reais são 
11 reais, que, somados aos 110 anteriores, resultam em 121 reais).
 Logo, se a cada mês ao capital emprestado se somam os juros rendi-
dos, o montante final será maior do que o montante correspondente 
a juros simples. Este tipo de juros é chamado de “juros compostos”.
 Note a diferença: empréstimos a juros simples não consideram o fato 
de que, ao final do primeiro mês, existe não mais a importância inicial 
emprestada, mas sim a soma dela com os juros correspondentes. O 
mesmo ocorre com os meses seguintes.
 Já no caso de juros compostos, que são os aplicados na prática, sempre 
se levam em consideração os diversos montantes sucessivos.
 Assim, tem-se um capital 
inicial que, emprestado, gera 
ao final de certo período 
(1 mês, 1 ano etc.) um deter-
minado montante M1.
 Aplicado M1, obtém-se novo 
montante M2, e assim suces-
sivamente.
Comente com os alunos 
o grande perigo dos em-
préstimos a taxas elevadas 
de juros compostos. Obser-
ve que um empréstimo de 
10 000 reais, à taxa de 
10% ao mês, gera uma dí-
vida ao fim de 6 meses de 
R$ 17 715,60. Note que 
existem operações de crédito 
em certos estabelecimentos 
bancários que cobram juros 
mais altos que 10%, ao mês, 
como saldos em cheque es-
pecial e dívidas em cartões 
de crédito.
Veja no 
quadro a seguir como a 
dívida cresce muito 
mais a juros compostos:
TOTAL ACUMULADO DA DÍVIDA
Valor emprestado:
 R$ 10 000,00
Após
1 mês
Após 
2 meses
Após 
3 meses
Após 
4 meses
Após 
5 meses
Após 
6 mesesDiferença ao 
fim de 
6 meses
4% ao mês,
a juros simples
10 400,00 10 800,00 11 200,00 11 600,00 12 000,00 12 400,00
253,19
4% ao mês,
a juros compostos
10 400,00 10 816,00 11 248,64 11 698,59 12 166,53 12 653,19
5% ao mês,
a juros simples
10 500,00 11 000,00 11 500,00 12 000,00 12 500,00 13 000,00
400,95
5% ao mês,
a juros compostos
10 500,00 11 025,00 11 576,25 12 155,06 12 762,81 13 400,95
10% ao mês,
a juros simples
11 000,00 12 000,00 13 000,00 14 000,00 15 000,00 16 000,00
1 715,61
10% ao mês,
a juros compostos
11 000,00 12 100,00 13 310,00 14 641,00 16 105,10 17 715,61
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EXEMPLO DE CÁLCULO DE JUROS COMPOSTOS
 Calcular o montante do empréstimo de 3 600 reais a juros compostos 
de 5% ao mês, ao final de três meses.
34. a) 3 600 x 0,05 + 3 600 = 
3 780;
 b) 3 600 x 1,05 = 3 780;
 c) 3 780 x 0,05 + 3 780 = 
3 969;
 d) 3 780 x 1,05 = 3 969;
 e) 3 969 x 0,05 + 3 969 = 
4 167,45;
 f) 3 969 x 1,05 = 4 167,45;
 g) Para calcular o mon-
tante do empréstimo 
de certo capital, mul-
tiplicamos este por 
(1,05)(1,05)(1,05), ou 
seja, por (1,05)3; 
 h) (20 000)(1,04)4.
Recorde como calcular 
potências usando calcula-
dora. Exemplificando: em 
alguns modelos mais comuns 
(1,04)4 se calcula digitando 
1,04, e, em seguida ×, e 
depois três vezes o sinal = . 
Em outros modelos deve-se 
seguir outros procedimentos, 
que podem ser encontrados 
nos respectivos manuais, ou 
por inspeção do teclado da 
calculadora.
Portanto, para os cálculos 
do item (h) do exercício 
34, proceda como acima e 
multiplique o resultado por 
20 000, obtendo como pro-
duto 23 397,17.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, o primei-
ro quadro em destaque, desta 
página.
Cálculo de juros compostos
Valores em reais
Valor emprestado 3 600
Montante ao final do primeiro mês 3 600 × 1,05 = 3 780
Montante ao final do segundo mês 3 780 × 1,05 = 3 969
Montante ao final do terceiro mês 3 969 × 1,05 = 4 167,45
Cálculo de juros compostos
Valores em reais
Valor emprestado
Montante ao final do primeiro mês
Montante ao final do segundo mês
Montante ao final do terceiro mês 
34. Confira as contas do exemplo:
a) Para calcular o montante ao final do primeiro mês, calcule 5% de 3 600 e some com 
3 600. 
b) Agora, calcule direto: multiplique 3 600 por 1,05.
c) Para calcular o montante ao final do segundo mês, calcule 5% de 3 780 e some com 
3 780.
d) Agora, calcule direto: multiplique 3 780 por 1,05.
e) Para calcular o montante ao final do terceiro mês, calcule 5% de 3 969 e some com 
3 969. 
f) Agora, calcule direto: multiplique 3 969 por 1,05.
g) Multiplique: (3 600) (1,05) (1,05) (1,05) e descreva com suas palavras como é pos-
sível calcular, de maneira rápida, o montante de um empréstimo de certo capital à 
taxa de 5% de juros compostos, durante 3 meses.
h) Que conta você faria para calcular o montante de um empréstimo de 20 000 reais à 
taxa de 4% de juros compostos durante 4 meses? 
35. Agora é com você. Copie a tabela, em seu caderno, e complete-a se-
guindo as orientações:
 Calcular o montante do empréstimo de 4 800 reais a juros compostos 
de 5% ao mês, ao final de três meses.
a) Para calcular o montante ao final do primeiro mês, calcule 5% de 4 800 e some com 
4 800. 
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57
b) Agora, calcule direto: multiplique 4 800 por 1,05.
c) Para calcular o montante ao final do segundo mês, calcule 5% de 5 040 e some com 
5 040.
d) Agora, calcule direto: multiplique 5 040 por 1,05.
e) Para calcular o montante ao final do terceiro mês, calcule 5% de 5 292 e some com 
5 292. 
f) Agora, calcule direto: multiplique 5 292 por 1,05.
g) Multiplique: 4 800 (1,05) (1,05) (1,05) e compare o resultado com o último montante 
obtido na tabela. São valores iguais ou diferentes?
 No exercício 35, para calcular o montante da aplicação do capital de 
R$ 4 800,00 a juros compostos à taxa de 5% ao mês, durante 3 meses, 
concluímos que os cálculos efetuados equivalem à expressão:
M = 4 800(1+ 0,05)3
35. a) 5 040;
 b) 5 040;
 c) 5 292;
 d) 5 292;
 e) 5 556,60;
 f) 5 556,60;
 g) São iguais.
Comente com os alunos, de-
pois da resposta (g), que o mon-
tante é o produto do capital em-
prestado por uma potência, cuja 
base é igual à soma de l com o 
decimal correspondente à taxa, e 
cujo expoente é igual ao número 
de meses de empréstimo.
Depois, comente que este 
procedimento se generaliza 
pelo que afirma a professora da 
ilustração.
Veja a observação da página 
14.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, o quadro em 
destaque.
36. a) 9 358,86;
 b) 37 044;
 c) 17 665,29;
 d) 5 092,32.
37. a) 9 358,86 – 9 280,00 = 
78,86;
 b) Juros compostos.
Após abordar o exercício 37, 
proponha pesquisas sobre alguns 
desses fatos (para apresentação em 
próximas aulas):
 a) o custo dos serviços ban-
cários no Brasil (se pos-
sível, comparar com o 
mesmo custo em outros 
países);
 b) o custo médio de financia-
mentos do comércio;
 c) a remuneração da caderne-
ta de poupança;
 d) o custo de empréstimos 
do sistema financeiro da 
habitação;
 e) o risco de endividamento 
ao usar cheques especiais, 
cartões de crédito, em-
préstimos e financiamen-
tos para o consumo.
Para demonstrar para os alu-
nos o absurdo de juros com-
postos a taxas elevadas, calcule 
usando uma taxa de 10% ao 
mês, ao fim de um ano, o quan-
to o montante representa do 
capital inicial: M = C(1,10)12 = 
C × 3,138428, ou seja, um em-
préstimo de 10 mil reais re-
sultará, à referida taxa, ao fim 
de um ano, um montante de 
R$ 31 284,28 aproximadamente.
Os
matemáticos 
provam que:
Empréstimos a juros compostos
Capital 
emprestado em
 reais
Taxa mensal Total de meses Montante
A 8 000 4% 4 a
B 32 000 5% 3 b
C 16 000 2% 5 c
D 4 800 3% 2 d
37. Resolva o item (a) e responda ao item (b):
a) Calcule a diferença entre os montantes de empréstimos de 8 000 reais a 4% durante 
4 meses, a juros compostos e a juros simples.
b) O que é mais vantajoso: emprestar a juros simples ou a juros compostos?
Para calcular o montante M da aplicação de um capital C a juros compostos à taxa 
de i% ao mês, durante n meses, tem-se a fórmula:
M = C (1+ i)n
36. Use a fórmula anterior para calcular os montantes das aplicações rela-
cionadas na tabela a seguir: (escreva os decimais resultantes até a casa 
dos centésimos)
S
on
 S
al
va
do
r
Mat9Cap2_NOVA2012_copy.indd 57 10/05/13 20:09
58
38. Observe a tabela:
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
Sugira o uso da calcu-
ladoras
38. a) R$ 500,00;
 b) Um ano;
 c) R$ 90,00;
 d) R$ 590,00;
 e) 18%.
39. a) R$ 600,00;
 b) Um mês;
 c) R$ 18,00;
 d) R$ 618,00.
A Dalmo emprestou R$ 500,00 para 
Paula.
Capital emprestado: c
B Durante um ano, a juros simples Tempo de empréstimo: t
C
Ao fim desse tempo, Paula 
devolveu para Dalmo os R$ 500,00 
e mais R$ 90,00 como recompensa 
pelo empréstimo.
Juros: porcentagem do 
capital tomado como 
empréstimo, a ser paga a 
quem emprestou ao final 
do tempo de empréstimo.
j
D Quanto Dalmo recebeu ao todo ao 
final do empréstimo? Montante Capital + Juros. M = C + j
E Qual foi a taxa de empréstimo?
A taxa é representada por 
quantos por cento 90 é de 
500.
i
A Laura emprestou R$ 600,00 para 
Marta. Capital emprestado: c
B Durante um mês, a juros simples. Tempo de empréstimo: t
C
Ao fim desse tempo, Marta 
devolveu para Laura os R$ 400,00 
e mais certa importância como 
recompensa pelo empréstimo.
Juros: porcentagem do 
capital tomado como 
empréstimo, a ser paga a 
quem emprestou ao finaldo tempo de empréstimo.
j
D A taxa de empréstimo foi de 3% ao 
mês. Taxa de empréstimo: M = C + j
E Quanto Laura recebeu ao todo ao 
final do empréstimo? Montante Capital + Juros. i
 Responda:
a) Qual foi o capital emprestado? d) Qual o valor do montante?
b) Qual foi o tempo de empréstimo? e) Qual foi a taxa de empréstimo?
c) Qual o valor dos juros pagos?
39. Observe esta nova tabela:
 Responda:
a) Qual o valor do capital emprestado?
b) Durante quanto tempo durou o empréstimo?
c) Calcule os juros pagos por Marta pelo empréstimo.
d) Calcule o montante recebido por Laura ao final do empréstimo.
Aprendendo em casa
Mat9Cap2_NOVA2012_copy.indd 58 10/05/13 20:09
59
40. Use a fórmula:
M = C (1 + i)n
 para calcular os montantes das aplicações relacionadas na tabela a 
seguir: (escreva os decimais resultantes até a casa dos centésimos)
40. a) 46 794,34;
 b) 41 674,50;
 c) 19 873,45;
 d) 8 911,56.
41. R$ 727,60.
 (680 x 1,07).
42. 22,5%
 (9 : 40).
43. 20%
 (8 : 40).
44. R$ 900,00
 (252 : 0,28).
Jú
li
a 
B
ia
nc
hi
, 2
00
6
Empréstimos a juros compostos
Capital 
emprestado em
 reais
Taxa mensal Total de meses Montante
A 40 000 4% 4 a
B 36 000 5% 3 b
C 18 000 2% 5 c
D 8 400 3% 2 d
 Nos próximos quatro exercícios, use uma única operação para calcular 
as respostas:
41. Uma geladeira está na oferta por R$ 680,00. Calcule seu novo preço se 
ela tiver um aumento de 7%. 
42. Numa turma de 40 alunos, faltaram 9. Qual é a porcentagem de ausência? 
43. Numa caixa com 40 maçãs, 8 estavam estragadas. Qual é a porcenta-
gem de maçãs estragadas?
44. Gerson gasta 28% do seu salário com o aluguel, que é de R$ 252,00. 
Qual é o salário de Gerson?
Explorando o que você aprendeu
e aprendendo mais
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60
Se ainda tem dúvidas sobre Reveja os exercícios
Como calcular porcentagens, principal e taxa. 1 a 19, 26, 27, 42, 43, 44.
Como calcular aumentos ou descontos percentuais. 20 a 25, 28, 29, 41.
Como resolver problemas relacionados com comissões. 26, 27.
Como resolver problemas de juros simples. 30 a 33, 38, 39, 45, 47, 48.
Como resolver problemas de juros compostos. 33 a 36, 40.
Como comparar juros simples e juros compostos. 37, 46.
? Verifique se você aprendeu
45. Joaquim aplicou 600 reais, tendo recebido 2% de juros ao final de 
1 mês. Depois, reaplicou o montante a 3% durante o segundo mês. Calcule 
o montante recebido por Joaquim ao final das duas aplicações.
a) Calcule 2% de 600 e some com 600 para saber o montante ao final do primeiro mês. 
b) Calcule 3% desse montante e some com o mesmo para obter o montante final re-
cebido por Joaquim.
 Vamos refazer as contas de outra maneira:
c) Multiplique 600 por 1,02 e compare com a resposta (a) anterior.
d) Multiplique 612 por 1,03 e compare com a resposta (b) anterior.
46. Calcule 5% de 600 reais e compare com a resposta ao problema anterior. 
Agora, responda: O que é melhor? Aplicar 600 reais a 2% durante um 
mês e reaplicar o montante a 3% durante um mês, ou aplicar 600 reais 
a 5% durante um mês?
47. Veja o anúncio de uma loja, retirado de uma página de jornal:
 Um comprador denunciou essa loja ao PROCON dizendo que ela está 
fazendo propaganda enganosa. Explique por quê.
48. Durante 30 dias, Mário aplicou R$ 10 200,00 em um fundo de investi-
mentos, a 3,5% ao mês, e emprestou R$ 8 400,00. Ao fim desses 30 
dias, as duas aplicações renderam, juntas, R$ 680,40. Calcule os juros 
e a taxa do empréstimo.
45. a) R$ 612,00;
 b) R$ 630,36;
 c) R$ 612,00;
 d) R$ 630,36.
46. 5% de 600 reais são 
30 reais. A melhor opção 
é aplicar 600 reais a 2% 
durante um mês e rea-
plicar o montante a 3% 
durante um mês.
47. Pelo anúncio, paga-
-se, no ato da compra, 
R$ 100,00. Logo, a loja 
está financiando apenas 
os R$ 100,00 restantes. 
Calculando 4% deste 
valor financiado, o com-
prador deveria pagar, ao 
final do mês, R$ 104,00, 
e não os R$ 108,00 do 
anúncio.
 Na verdade, a loja está 
cobrando 8% de juros (o 
dobro do anunciado).
 
Chame a atenção dos alu-
nos para dois aspectos: o 
primeiro, que este fato ocorre 
constantemente e o público 
desavisado não percebe. O 
segundo, que o PROCON 
é um órgão de defesa do 
consumidor. 
48. Juros: 
 R$ 324,40 
 (640,00 – 10 200 x 0,035).
 Taxa de juros:
 3,85%
 (324,40/8 400).
Ao término do estudo 
do capítulo, reveja com os 
alunos, a seu critério, o signi-
ficado de alguns dos termos 
destacados na cor azul no 
capítulo.
Releia o texto da página 
38: “Ao elaborar questões [...] 
hexágono”.
Jú
li
a 
B
ia
nc
hi
, 2
00
6
Mat9Cap2_NOVA2012_copy.indd 60 10/05/13 20:09
CapItulo 3
com números
Calculando com
letras e
-
M
ad
ar
tis
ts
 | 
D
re
am
st
im
e.
co
m
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 61 10/05/13 19:44
Neste capítulo, você vai aprender como:
• Classificar expressões como monômios ou polinômios.
• Identificar os fatores numéricos (coeficientes) e os literais de um monômio.
• Calcular somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências de monômios con-
tendo os mais diferentes tipos de coeficientes: naturais, inteiros ou racionais.
• Escrever monômios na “forma reduzida”.
• Identificar se monômios dados são ou não semelhantes.
• Calcular “somas algébricas” usando a redução de termos semelhantes.
• Calcular produtos de monômios por polinômios.
• Calcular somas, diferenças, produtos, quocientes ou potências de polinômios 
envolvendo os mais diferentes tipos de coeficientes: naturais, inteiros, racionais ou 
reais.
• Relacionar operações com monômios ou polinômios com cálculos de perímetros, 
áreas ou volumes de figuras que tenham suas dimensões representadas por letras.
• Simplificar frações algébricas usando o m.d.c. dos termos.
• Classificar polinômios pelo número de termos ou pelo grau.
• Obter a “forma reduzida” de um polinômio usando a redução de termos semelhantes.
• Ordenar e completar polinômios com uma variável.
• Utilizar regras práticas para multiplicar binômios que têm um termo comum.
• Utilizar regras práticas para calcular: o quadrado da soma ou da diferença de duas 
expressões, o produto da soma pela diferença de duas expressões ou o produto de 
dois binômios que têm um termo comum.
• Deduzir fórmulas de perímetros, áreas e volumes, dadas as dimensões das figuras 
correspondentes em função de uma única variável.
• Resolver problemas que requeiram o uso e interpretação de fórmulas ou tabelas.
• Representar, por meio de fórmulas, valores de grandezas dados em tabelas.
• Reconhecer se uma correspondência entre dois conjuntos é ou não função e, no 
caso afirmativo, identificar o “domínio” da função. 
• Expressar perímetros, áreas e volumes como função de uma variável.
• Usar as notações y = f(x), F(x) para funções e identificar pares (x, f(x)) que per-
tençam aos gráficos.
• Representar funções por seus gráficos, seus diagramas ou suas tabelas. 
• Interpretar dados relacionados com fatos do dia a dia, registrados através de gráfi-
cos de funções.
Ao lado, explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
Professor(a): Neste 
e em outros capítu-
los, são exploradas 
diversas si tuações 
para que os alunos 
“descubram”, a par-
tir de casos particu-
lares, propriedades de 
números, de figuras, 
regras de cálculos 
etc. É extremamente 
importante que, após 
estas “descobertas”, 
sejam feitas obser-
vações afirmando que 
tais conclusões são 
verdadeiras (e, even-
tualmente, provar estes 
fatos) para que não 
fique a falsa ideia de 
que, a partir de poucos 
casos particulares, é 
possível generalizar. 
Sempre que possível, 
use expressões algé-
bricas para expressar 
tais generalizações, 
bem como de algumas 
regularidades relacio-
nadas com sequências 
númericas.
x 3
x
2
x2 3x
2x 6
4x2y 2ab2
8a3 12a3b
2a
6a3b
6xy
A2 A4
A1 A3
x 
+ 
3
x 2
x + 2
x
3
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 62 10/05/13 19:44
63
	 Classifique	os	números	a	seguir	como	naturais,	 inteiros,	racionais	ouirracionais:	
•	 (a) 0,3 (b) –13 (c) 5,010203... (d) 4 07, (e) 1 914
	 Considere	as	cinco	expressões	a	seguir:
 	 4x3y4 –4ab3 –a7b3 45 0
•	 Na expressão 4x3y4, quais operações você identifica? O que as letras representam?
•	 Qual é o fator numérico de cada uma delas?
•	 Quais são os fatores literais (letras) de cada uma das cinco expressões?
•	 Qual é o expoente do fator a na segunda expressão?
•	 Se o fator numérico não é escrito, a qual número ele equivale?
•	 Você pode dizer que 45 = 45a0b0? Por quê?
•	 Você pode dizer que 0 = 0x3y? Por quê?
Releia, na página 10, “Ob-
servação importante” e, na 
página 11, Recado ao(à) 
professor(a): “Aproveitamos 
[...] e explore-as”.
Releia a observação do 
último texto da margem da 
página 30: “com base [...] 
22 a 28.
Leia, na página 10, o pri-
meiro texto: “Professor(a): 
Neste e em outros capítu-
los...”.
Leia também o segundo 
texto na margem da página 
11: “Todas as atividades [...] 
e explore-as”.
Comente: Em todas as 
expressões deste capítulo, as 
letras representam números 
reais. Nas expressões nas 
quais elas são bases de potên-
cias de expoente zero, como 
a0, b0 etc., considere que 
representam números reais 
diferentes de zero. Outras 
restrições serão esclarecidas 
ao se explorarem as ativi-
dades. 
ATIVIDADES ORAIS
•	 (a)	 racional,	 (b)	 inteiro	 e	
racional, (c) irracional, 
(d) racional, (e) natural, 
inteiro e racional;
•	 4x3y4 representa o produto: 
4 vezes o cubo de x vezes a 
quarta potência de y, onde 
x e y representam números 
reais;
•	 4,	–4,	–1,	45	e	zero;
•	 x e y; a e b; a e b; não 
existem; não existem;
•	 1;
•	 Sim,	porque,	sendo	a e b 
diferentes de zero, a0 e b0 
são iguais a 1;
•	 Sim,	porque,	se	um	fator	é	
zero, o produto é zero.
1. a) 1;
 b) Sim, porque x0 = 1 (des-
de que x seja diferente 
de zero);
 c) Sim, 0c4d6 = 0 porque se, 
em uma multiplicação, 
um dos fatores for zero, 
o produto é zero;
 d) V. 
1. As	cinco	expressões	anteriores:	4x3y4,	–4ab3,	–a7b3,	45	e	0	são	exem-
plos	de	monômios.	Observe	no	quadro	a	seguir	mais	exemplos	de	
monômios:
Monômio: 3x2y3 –3/4	x3y3 0,3a2b 2 3x 21 x 0 –x3
Fator numérico: 3 (–3/4) 0,3 2 21 1 0 –1
Fatores literais: x,	y x,	y a,	b x x x
 Nos	monômios,	as	letras	representam,	em	geral,	números	reais.
a) Qual é o expoente do fator b do terceiro monômio?
b) O monômio 21 pode ser pensado como 21x0? Por quê?
c) O monômio 0 pode ser pensado como 0c4d6? Por quê?
d) V ou F: qualquer número real é considerado um monômio porque pode ser interpre-
tado como um produto dele por fatores literais com expoente zero.
monômios e polinômios
Explorando o que você já sabe
Aprendendo em sala de aula
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 63 10/05/13 19:44
64
3 x	y3
Parte	literal
Coeficiente
	 Como	se	viu,	nos	monômios	destacamos:Esclareça que os temas 
que serão estudados neste 
capítulo, descritos na página 
60, fazem parte de um dos 
blocos de conteúdo da Ma-
temática: a Álgebra. Diga 
que se usa a Álgebra para 
expressar, de forma sintética, 
fatos da Matemática e de ou-
tras áreas do conhecimento, 
com o objetivo de simplificar 
os cálculos indispensáveis 
na resolução de problemas. 
Em particular, são de grande 
utilidade as equações, os 
sistemas de equações, as 
fórmulas e as funções.
 Visite ou recomende o 
site
 http://k1200.vilabol.uol.
com.br/f isica/formf isica.
html 
Explore o primeiro quadro 
da página para que os alunos 
observem que o coeficiente 
de um monômio pode ser 
qualquer número real.
2. 
3. Multiplicação e potência-
ção.
4. a) Sim;
 b) Coeficiente;
 c) Parte literal.
5. Respostas variadas.
 Exemplos:
 a) 2b2c3;
 b) –3x;
 c) yz2; 
 d) –ab2c3; 
 e) (–3/4)ab;
 f ) 2,3x3y4;
 g) (4,32)bc.
3x2 y – 0,2 n 
1
4
3ab c
fator numérico fator numérico fator numérico
Monô-
mios
Coefi-
ciente
Parte 
literal
–5a2b –5 a2b
x2y 1 x2y
0,2n3 0,2 n3
a 1 a
–xy2 –1 xy2
4,3x2y2 4,3 x2y2
fatores 
literais
fatores 
literais
fatores 
literais
			 O	fator	numérico	chama-se	“coeficiente”	e	a	parte	que	contém	letras	
forma	a	parte	literal	do	monômio.
2. Copie	a	tabela	abaixo	em	seu	caderno	e	complete-a:	
Monômios Coeficiente Parte literal
–5a2b
x2y
0,2n3
a
–xy2
4,3x2y2
3. Os	monômios	apresentam	apenas	duas	operações	entre	números	e	
letras	que	representam	números.	Quais	são	elas?
4. Clara	disse	que	um	monômio	é	um	produto	de	um	número	 real	por	
potências	de	letras	que	representam	números	reais. 
a) Você concorda com Clara?
b) Se você concorda, diga como se chama o número real que aparece como fator no 
monômio.
c) Qual o nome do grupo de letras dos monômios?
5. Dê	um	exemplo	para	cada	um	dos	tipos	de	monômios	a	seguir:
a) Tendo como coeficiente um número natural e duas letras na parte literal.
b) Tendo como coeficiente um número inteiro negativo e uma letra na parte literal.
c) Tendo como coeficiente o número 1.
d) Tendo como coeficiente o número –1.
e) Tendo como coeficiente uma fração negativa.
f) Tendo como coeficiente um número decimal positivo.
g) Tendo como coeficiente uma dízima periódica.
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65
6. A	multiplicação	de	monômios	se	faz	do	mesmo	modo	que	a	multiplica-
ção	de	números	ou	de	potências	de	mesma	base.	Veja:
◆	 3 × 3 = 32 x. x = x2
◆	 (53)(52) = 55 ( –2 a3) (4 a2) = (–2). (4). a3. a2 = –8a5
◆	 (82)(8) = 83 
1
4
2
3
1
4
2
3
1
6
2 2 3x x x x x




⋅




= ⋅ ⋅ ⋅ = 
	 Escreva	em	seu	caderno	os	resultados	dos	produtos	a	seguir,	simplifi-
cando	os	coeficientes	e	multiplicando	potências	de	mesma	base,	quando	
possível.
h
b
r h
w
l
Recorde que em x . x o 
ponto representa multipli-
cação.
No terceiro exemplo, 
simplificamos o coeficien-
te: 
2/12 = 1/6.
Recorde que em (ab) (a2c) 
os parênteses representam 
multiplicação.
6. a) –2b4;
 b) –0,6z5;
 c) a7;
 d) 1/9y3;
 e) –6ab;
 f) 1/9a4; 
 g) 0,023x4;
 h) a6/6.
Lembre novamente que 
 é um número irracional 
e que, nos cálculos, usamos 
valores aproximados dele 
(em geral, o valor 3,14).
7. a)bh/2;
 b) r2;
 c) 2r2
 d) l wh.
8. a)1/2;
 b) ;
 c) 2;
 d) 1. 
 
Esclareça que, em diversas 
aplicações, em um primeiro 
momento, somos solicitados 
a multiplicar monômios, 
obtendo produtos do tipo 
5ab3.4a3b2, e que estes pro-
dutos podem ser escritos na 
forma de um monômio que 
tenha um único coeficiente 
numérico e, para cada letra, 
uma única potência da qual 
ela seja base.
Como obter tais monô-
mios, chamados “monômios 
reduzidos”, é o que se vê 
nos exemplos após o exer-
cício 8. 
a (–b).	(2b3)	= e (3a)(–2b)	=
b (0,2	z3).	(–3	z2)	= f
1
4
4
9
3a a. =
c a3 . a4	= g (0,1x)(0,23	x3)	=
d −




−




=1
2
2
9
2y y h
1
8
12
9
5a a⋅ =
7. Observe	as	figuras	a	seguir.	Nelas,	as	letras	representam	as	medidas	
dos	segmentos.	
	 Usando	essas	letras,	escreva	os	monômios	correspondentes:
 a) À área do triângulo. c) Ao comprimento da circunferência.
b) À área do círculo. d) Ao volume do paralelepípedo.
8. Para	cada	monômio	dos	itens	de	(a)	até	(d)	do	exercício	anterior,	iden-
tifique	o	coeficiente.	
	 Observe	os	monômios	a	seguir:
	 3x3y3. 5y6 2ab. 4a3c
	 Eles	podem	ser	escritos,	respectivamente,	como	“monômios	reduzidos” 
assim:
	 	 15x3y9 8a4bc
Note que: 
Para obtermos monômios reduzidos, multiplicamos todos os fatores numéricos, 
substituindo-os por um único: o produto deles. Do mesmo modo, na parte literal, escrevemos 
cada letra como produto de potências de mesma base, aparecendo, cada uma delas, uma 
única vez no monômio reduzido. 
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 65 10/05/13 19:44
66
9. Escreva	os	monômios	reduzidos	correspondentes	a:
a) 3ab3 . 4 a3 b) –2x3y . 4xy3
	 Observe	os	cálculos	a	seguir:
 8a	+	9a	=	17a	 15b	–7b	=	8b	 –4c	–	9c	=	–13	c
	 Embora	no	segundo	e	terceiro	cálculos	apareçam	sinais	“menos”,	você	
deve	entender	essas	três	expressões	como	“somas”.	Assim:
 (+8a)	+	(+9a)	=	+17a	 (+15b)	+	(–7b)	=	+8b	 (–4c)	+	(–9c)	=	–13c
	 Por	este	motivo,	todas	três	são	chamadas	“somas	algébricas”.
10. Calcule	as	seguintes	somas	algébricas:
a) 7n + 13n d)–8x – 9x g) 2x + 3y – 8x – 11y + x – y 
b) –5p + 9p e) 7n – 7n h) 4m2p + 6m2p
c) 9k – 4k f) 2a – 3b + 4a – b – 3a + 2b
1 1 . Calcule	as	áreas	dos	polígonos	a	seguir,	escrevendo-as	na	forma	de	
monômios	reduzidos:
12. Observe	as	expressões	algébricas	a	seguir	e	responda	ou	faça	o	que	
se	pede:
 
a) Qual das expressões tem a variável x na parte literal: A ou B?
b) Qual das expressões tem a variável p na parte literal: A ou B? 
c) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável n.
d) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável p.
e) Escreva a expressão A com duas parcelas.
f) Qual o coeficiente de n nessa expressão? 
g) Qual o coeficiente de p nessa expressão?
h) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável x.
i) Calcule a soma algébrica das parcelas que contêm a variável y.
j) Escreva a expressão B com duas parcelas. 
6xy
4x2y 2ab2
8a3 12a3b
2a
6a3b
9. a) 12a4b3;
 b) –8x4y4.
Explore:
1. Cálculo com expressões 
contendo adições e subtrações 
entre números. Exemplos: 
1º) 4 + 7 – 11– 6 – 8 + 1 – 9 + 5 = 
(4 + 7 + 1 + 5) + ( –11 – 6 – 8 – 9) = 
+17 – 34 = –17
2º) Expressões com frações e 
com decimais como no 1º. 
exemplo. 
2. Como somar alguns mo-
nômios semelhantes, Exempli-
ficando: 
 a) 3m + 4m – 2m = 
 (3 + 4 – 2)m = 5m 
 b) 3ab –5ab + ab = 
 (3 – 5 + 1)ab = –ab
Comente: 
 a)Expressões contendo apenas 
operações com números cha-
mam-se expressões numéri-
cas.
 b) Expressões contendo opera-
ções com números e letras 
representando números são 
chamadas expressões algébri-
cas. 
 c) Em uma expressão algébrica, 
as letras podem ser substituí-
das por qualquer número real; 
por este motivo, chamam-se 
variáveis destas expressões. 
 d) Substituir as variáveis das 
expressões algébricas por nú-
meros, e efetuar os cálculos, 
chama-se “calcular o valor 
numérico da expressão”. Use, 
como exemplo, as expressões 
L = 2x – 4 e Q = x2 – 4 para 
calcular o valor numérico 
das mesmas. Em L, dê a x 
os valores –1, –0, 5, 0, 0, 5, 
1, 3/2, 2, 5/2. 3 e 4 e, em Q, 
valores inteiros de –5 e 5. 
 e) Em uma expressão algébri-
ca, letras diferentes repre-
sentam em geral números 
diferentes. Por este motivo, 
é possível calcular 2n + 3n = 
(2 + 3)n = 5n, mas não é 
possível representar, como 
um único monômio, a soma 
2n + 3p.
 f) Eventualmente, ao calcular va-
lores numéricos de expressões 
com mais de uma variável, é 
possível substituí-las por um 
mesmo número real. Exem-
plo: Na expressão P = 3x + 2y, 
o valor numérico para x = 4 e 
y = 4 é P = 20. Mas também 
é possível calcular P, para 
x = 2 e y = 5, obtendo 
P = 16.
A 2n	+	4p	+	5n	–	2p B 2x	–	4y	+	5x	+	2y
10. a) 20n; b) 4p; c) 5k; d) –17x; e) 0; f) 2a + 4a – 3a –3b –b +2b = 3a – 2b; g) 2x – 8x + x + 3y – 11y – y = –5x – 9y; h) 10m2p.
11. a) 24x3y2; b) 8a4b2; c) 18a4b.
12. a) B;
 b) A;
 c) 7n;
 d) 2p;
 e) A = 7n + 2p;
 f) 7;
 g) 2;
 h) 7x 
 i) –2y;
 j) B = 7x – 2y
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67
13. Monômios	 reduzidos	que	 só	diferem	pelos	 coeficientes	 chamam-se	
“monômios	semelhantes”.	Por	exemplo,	na	tabela	abaixo,	6x2y	e	x2y	são	
monômios	semelhantes.	Escreva	em	seu	caderno	os	pares	de	números	
e	letras	da	tabela	abaixo	que	correspondem	a	monômios	semelhantes.
13. (2, d); (3, i); (4, b);
 (5, f); (6, a); (7, c);
 (8, h); (9, j); (10, e).
14. a) 8 x2 – 11xy;
 b) –4a + 2b;
 c) –3 + 2 x2y + 4y;
 d) 5a2b + ab2;
 e) 15a – 5b + 6; 
 f) x – y.
15. a) O primeiro e o terceiro 
polinômios: a variável 
é x. 
 b) 1º polinômio: 
 –1 – 3x2 – 2x.
 2º polinômio: 
 2y – 2y2 + 3.
 3º polinômio:
 –0,7x + 1,8x2;
 c) Valores numéricos: 
para x = 0, V = 0, para 
x = 1, V = 1,1, para 
x = –1, V = 2,5, para 
x = 10, V = 173.
1ª coluna 2ª coluna
1 6x2y a 4xy2
2 4abc b 3xy2z
3 ax3 c 6a2t
4 xy2z d –2abc
5 –10 e 5a3x
6 –3xy2 f 8
7 5a2t g –x2y
8 –4y2z2 h 2y2z2
9 3ab2 i –7ax3
10 2a3x j –2ab2
14. As	expressões	algébricas	a	seguir	chamam-se	polinômios.	Algumas	par-
celas	desses	polinômios	são	monômios	semelhantes.	Calcule	as	somas	
algébricas	de	todas	essas	parcelas	escrevendo	cada	polinômio	com	o	
menor	número	possível	de	parcelas.	
a) 3x2 – 4xy – 8y2 + 5x2 – 7xy + 8y2. e) 7a – 3b + 8a –2b + 6. 
b) 4a – 3ab + 7b – 8a – 5b + 3ab. f) 3x2 – 6y2 – 3x2 + 6y2 + x – y. 
c) 2 – 3x2y + 7y –5 + 5x2y – 3y. g) 5xy.
d) 3a2b – 5ab2 + 2a2b + 6ab2.
	 Observe	que,	no	item	(g),	um	monômio	é	caracterizado	também	como	
polinômio.	
	 As	parcelas	dos	polinômios	chamam-se	também	“termos	do	polinômio”.	
Por	esta	 razão,	os	cálculos	que	você	 fez	no	exercício	14	chamam-se	
“redução	de	termos	semelhantes”.
15. Observe	os	polinômios	a	seguir	e	resolva	os	itens	(a),	(b)	e	(c):
 1º.) –3 + 4x2 – 3x + 2 – 7x2 + x
 2º.) 7y – 9y2 + 3 – 5y + 7y2
 3º.) 0,3x + 0,5x2 – x + 1,3 x2
a) Dois desses polinômios contêm a mesma variável. Qual é ela?
b) Reduza os termos semelhantes dos três polinômios.
c) Calcule o valor numérico do terceiro polinômio substituindo x sucessivamente por 
0, 1, –1 e 10.
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16. Reduza	os	termos	semelhantes	dos	polinômios	a	seguir:
 a) 3x2 + 4xy – 8y2 + 5x2 + 7xy – 8y2 = d) 3a2b + 5ab2 + 2a2b + 6ab2 =
b) 4a + 3ab + 7b + 8a – 5b +3ab = e) 7a – 3b + 8a + 2b + 6 =
c) 2 – 3x2y + 7y + 5 + 5x2y + 3y = f) 3x2 + 6y2 + 3x2 + 6y2 + x – y =
	 Observe	outros	exemplos	de	redução	de	termos	semelhantes:
		4	(n	+	4)	–	2	(n	+	7)	–	13	=	4n	+	16	–	2n	–	14	–	13	=
	=	4n	–	2n	+	16	–	14	–	13	=	2n	–	11
		5	(n2	–	3n	+	1)	–	3	(n2	–	7n	–	5)	=	5n2	–	15n	+	5	–	3n2 +	21n	+	15	=
		=	5n2	–	3n2	–	15n	+	21n	+	5	+	15	=	2n2	+	6n	+	20
É muito fácil. 
Veja exemplos 
no quadro:
Professor, se os
 coeficientes são frações ou 
decimais, como faço 
para reduzir termos 
semelhantes?
16. a) 8x2 + 11xy – 16y2;
 b) 12a + 6ab + 2b
 c) 7 + 2x2y + 10y;
 d) 5a2b + 11ab2;
 e) 15a – b + 6;
 f) 6x2 + 12y2 + x – y.
Novamente aqui convém 
destacar para os alunos que 
a escolha do m.m.c. dos 
denominadores no caso de 
coeficientes fracionários não 
é obrigatória; qualquer múlti-
plo do m.m.c. também é váli-
do. Apenas o uso do m.m.c. 
propicia utilizar números de 
valores menores. 
?
Coeficientes fracionários Coeficientes decimais
5
8
7
12
2
2
3
a b a b– + + = 1,25x2	–	3,5x	+	0,32x2	+	2,1x	=
= + + =
15
24
14
24
48
24
16
24
a b a
b
– =	1,25x2	+	0,32x2	–	3,5x	+	2,1x	=
= +63
24
2
24
a b
=	1,57x2	–	1,4x
	 		 No	exemplo	dos	coeficientes	fracionários:
	 Calcula-se	o	m.m.c.	dos	denominadores	8,	12	e	3,	que	é	24.
	 Substituem-se	os	coeficientes	fracionários	iniciais	por	frações	equiva-
lentes	de	denominador	24.
	 Calcula-se	a	soma	algébrica	dos	termos	semelhantes.
	 	 No	exemplo	dos	coeficientes	decimais:
	 Agrupamos	os	termos	semelhantes.
	 Calculamos	as	somas	algébricas	deles.
?
?
?
?
?
S
on
 S
al
va
do
r
S
on
 S
al
va
do
r
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17. Reduza	os	termos	semelhantes	de	cada	expressão	a	seguir:
a) 1
3
5
6
7
6
2
3
a b a b+ + =– c) x
x
+
+ =
1
2
2 e) 2
3
2
5
2 3
15
x y x y
– –
–
= 
 
b) 2
3
4
5
3
15
x y
x
y
– –+ = d) x x– –3
2
1
3
+ = 
 
18. Observe,	com	atenção,	os	cálculos	a	seguir:
 2a2 (4a3 +	3b)	=	(2a2)	(4a3)	+	(2a2)	(3b)	=	8a5 + 6a2b
 
 No	primeiro	exemplo,	o	fator	externo	2a2	foi	multiplicado	pelas	parcelas	
4a3	e	3b.
 No	segundo	exemplo,	o	fator	externo	 – 2
5
x 	foi	multiplicado	pelas	par-
celas	x2	e	5y3.
	 Agora,	copie	cada	expressão	da	tabela	abaixo	em	seu	caderno	e	calcule	
os	produtos:
17. a) –5a/6 + 9b/6;
 b) 11x/3 – 13y/15;
 c) 5x/2 + 1/2;
 d) 5x/6 – 11/6;
 e) 8x/15 – 3y/15.
Recorde: 
a(b+c) = ab + ac
e também 
(x + y).z = xz + yz
 
18. a) 2a2 + 2ab;
 b) –1/4x2 – x3;
 c) t5 + 2t3;
 d) 0,5a2b + 0,5b3;
 e) 3a2x – 3a2y; 
 f) 4yt3 – 4yt2;
 g) 2/3x4y – 2x2y3;
 h) 1,6x4 – 0,6x5;
 i) 3ax2 – 3ay2;
 j) 10x2 – 15xy.
?a 	2a	(a	+	b)	= f 4y	(t3	–	t2)	=
b − +




=
1
2
1
2
2 2x x x g 2
3
32 2 2x y x y( )− =
c t2	(t3	+	2t)	= h 0,2x3	(8x	–	3x2)	=	
d 0,5b	(a2 + b2)	=	 i 3a	(x2	–	y2)	=
e 3a2	(x	–y)	= j 5x	(2x	–	3y)	=	
19. Copie	em	seu	caderno	e	complete:
a) (a + b)(m + n) = (a + b).m + (a + b)n =......
b) (a + b)(m + n) = a(m + n) + b(m + n) =......
c) (x + y)(x + y) = (x + y).x + (x + y).y =......
d) (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = …...
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
19. a) am + bm + an + bn;
 b) am + an + bm + bn;
 c) x2 + xy + xy + y2;
 d) x2 + xy + xy + y2.
– – –
2
5
5
2
5
2
5
52 3 2 3x x y x x x y+( ) = 



⋅ ( ) 



⋅ (( ) = – –
2
5
23 3x xy
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20. Nos	polígonos	das	figuras	a	seguir,	as	medidas	dos	lados	estão	repre-
sentadas	por	monômios.	
?
20. a) 1a figura = 9ab 
 2a figura = 17,4x2y 
 3a figura = 15xy;
 b) 2,6ab. 1,9ab;
 c) 4,94a2b2.
21. a) (5x + 2)(4x – 1) e
 6y(5y + 3);
 b) 84 e 552 
 c) Porque as medidas da 
base e da altura teriam 
que ser iguais, ou seja, 
5x + 2 = 4x – 1. Resol-
vendo essa equação, 
obtemos x = –3, o que 
daria para medida do 
lado do quadrado um 
valor negativo: –13. 
Como se sabe, medi-
das de segmentos são 
números reais positi-
vos.
 d) Igualando as medidas 
da base e da altura, 
teremos 6y = 5y + 3. 
Resolvendo, encontra-
se y = 3, o que dá para 
as medidas dos lados o 
valor 18. 
 e) 18x + 2 e 22y + 6.
 f) 56 e 116.
22. a) a3 + 4a2 – 4a;
 b) 9x2 – 27x + 35;
 c) – 6x – 22;
 d) (23x – 26y)/12;
 e) (– 2a + 15b)/12;
 f) (2a + 4b)/3.
Recorde como calcular o 
m.d.c de monômios: a) fato-
ram-se os coeficientes b) o 
m.d.c é o produto dos fatores 
comuns (numéricos ou lite-
rais), cada um com o menor 
expoente dentre os expoentes 
obtidos. Exemplifique:
Como 18 = 2 × 32 e 
24 = 3 × 23, o m.d.c de 18x3y2 
e 24xy4 é 2 × 3xy2 = 6xy2. 
2,6ab
1,9ab 3,8x2y
9x2y
4,6x2y
3,6xy 3,6xy
2,1xy 2,1xy
2xy
1,6xy
a) Expresse os perímetros dos polígonos como monômios.
b) Expresse a área do retângulo como o produto de dois monômios.
c) Expresse a área do retângulo como um monômio reduzido.
21. Desenhe	dois	retângulos	e	represente	as	medidas	da	base	e	da	altura	
do	primeiro	por	5x	+	2	e	4x	–	1,	respectivamente,	e	do	segundo	por	6y	
e	5y	+	3,	respectivamente.
a) Escreva as áreas dos dois retângulos como produto dessas dimensões.
b) Se x = 2 e y = 4, qual o valor numérico dessas duas áreas?
c) Justifique por que o primeiro retângulo não pode ser um quadrado.
d) Mario disse que o segundo retângulo pode ser um quadrado. Verifique se ele tem 
razão e justifique sua resposta.
e) Represente o perímetro de cada um desses retângulos como polinômios. 
f) Se x = 3 e y = 5, qual o valor numérico desses dois perímetros?
22. Nas	expressões	a	seguir,	reduza	os	termos	semelhantes.	Quando	necessário	
faça,	inicialmente,	as	multiplicações	indicadas	por	parênteses.	
a) 4a2 – 2a + a (a2 – 2) = d) 5
6 2
3
4
5
3 3
x y x y x
– –+ + =
b) 2x (x –3) + 7 (x2 – 3x + 5) = e) a b a b a b+
=
2
4 12
2
3
–
–
–
–
c) 4 (x + 1) – 2x – 2 – 8(x + 3) = f) a
b a
b+ + =
3 3
–
		 Algumas	vezes,	ao	reduzirmos	termos	semelhantes	de	expressões	que	
contêm	coeficientes	fracionários,	obtemos	coeficientes	que	podem	ser	
simplificados,	dividindo	seus	termos	pelo	m.d.c.	deles.
	 Por	 exemplo,	 12
18
2x 	 pode	 ser	 simplificado	dividindo	os	 termos	pelo 
 m.d.c.	deles,	que	é	6.
 Portanto,	12
18
2
3
2 2x x= .
?
?
?
?
?
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71
23. Simplifique	cada	expressão	a	seguir,	dividindo	seus	termos	pelo	m.d.c. 
deles:
a) 
15
25
3 5
4 2
x y
x y
 b) 24
32
4 3
4
a b
ab
 
	 Ao	reduzir	os	termos	semelhantes	do	polinômio
	 14x3	–	2x2	+	4x	–	5x3	+	7x2	–	8x,	Cláudio	obteve	o	polinômio:	
	 9x3	+	5x2	–	4x.
	 O	professor	disse	que	esse	polinômio	obtido	por	Cláudio	é	um	polinômio	
reduzido.
	 Tal	fato	particular	pode	ser	generalizado	com	a	afirmação:	“Ao	reduzir	os	
termos	semelhantes	de	um	polinômio,	dizemos	que	o	polinômio	obtido	
é	um	polinômio	reduzido”.
24. Reduza	os	 termos	 semelhantes	dos	polinômios	 a	 seguir,	 para	obter	
polinômios	reduzidos:
a) 2n + 4p + 5n – 2p d) 3x2 – 4xy – 8y2 + 5x2 – 7xy + 8y2
b) 2x + 4y + 5x – 2y e) 1,25x2 – 3,5x + 0,32x2 + 2,1x 
c) 2a2 + 3ab – 4b2 – 5ab + 8b2 + 7a2
25. Observe	a	tabela	e	escreva,	em	seu	caderno,	o	que	substitui	correta-
mente	cada	letra:
Antes do exercício 23, 
recorde como calcular o 
m.d.c. usando a regra dos 
expoentes.
Exemplo: m.d.c. de 15x3y5 
e 25x4y2 é 5x3y2. 
Logo, 15x3y5 : 5x3y2 = 3y2 
e 25x4y2 : 5x3y2 = 5x.
23. a) 3y3/5x;
 b) 3a3/4b. 
24. a) 7n + 2p;
 b) 7x + 2y;
 c) 9a2 – 2ab + 4b2;
 d) 8x2 – 11xy;
 e) 1,57x2 – 1,4x.
25. a) 3;
 b) Trinômio;
 c) 2;
 d) Binômio;
 e) 4;
 f) Polinômio de 4 ter-
mos.
26. a) Binômios;
 b) Trinômios.
27. a) Não: todos são poli-
nômios com uma única 
variável;
 b) Não, porque, ao redu-
zir termos semelhantes, 
substituímos todos os 
termos semelhantes por 
um único que é a soma 
algébrica deles.
Comente: O estudo de 
polinômios com mais de uma 
variável é mais complexo e 
de pouca utilidade nas aplica-
ções futuras da Matemática, 
no ensino médio. O mesmo 
não acontece nos cursos 
superiores que dependem da 
Matemática, nos quais se faz 
o estudo dos polinômios com 
diversas variáveis.
Sugira aos alunos que 
façam uma pesquisa sobre os 
principais cursos superiores 
que dependem dos conheci-
mentos mais detalhados da 
Matemática.
Polinômios reduzidos Número de termos Nome
3x3	–	4x2	+	5x três Trinômio
4x	+	5 dois Binômio
9y3 + 5y + 3y2 + 5 4 Polinômio	de	4	termos
5z	–	4z2 + 7 a b
5y	–	3y2 c d
4,3x4	+	2x	–	7x3	–	11 e f
26. Ainda	com	base	na	tabela	do	exercício	25,	responda:
a) Como se chamam os polinômios que têm dois termos? 
b) E os polinômios que têm três termos?
27. Observe	os	polinômios	reduzidos	da	tabela	do	exercício	25	e	responda:
a) Algum deles tem mais de uma variável? 
b) Em algum deles existem duas ou mais parcelas nas quais a variável tem expoentes 
iguais? Justifique.
Até	aqui	você	aprendeu	 fatos	sobre	polinômios	com	uma	ou	mais	
variáveis.	Agora,	vamos	dedicar	maior	atenção	aos	polinômios	com	
apenas	uma	variável,	porque	o	estudo	deles	é,	no	momento,	mais	
significativo	devido	às	importantes	aplicações	que	você	ainda	verá	
neste	livro.	
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28. Observe	a	tabela	contendo	polinômios	na	variável	“x”	e	escreva,	em	seu	
caderno,	o	que	substitui	corretamente	cada	letra:
28. a) –3x3 + 0x2 + x + 0;
 b) 5 x 4 + 0x3 – 3x2 + 0x + 0;
 c) 2 x 4 + 3x3 + 0x2 – 5x + 0.
29. a) V;
 b) V;
 c) V.
Proponha a alunos que escre-
vam, no quadro, 4 polinômios 
com uma variável, reduzidos e 
não completos, para que outros 
alunos os ordenem e completem.
Mantenha o que se escreveu 
no quadro, para outra atividade 
logo após o exercício 30. Comen-
te que o fato de dizer que o item 
(b) do exercício 29 é verdadeiro 
não significa que polinômios 
que têm seus termos escritos em 
ordem crescente dos expoentes 
das variáveis não possam ser 
chamados de polinômios orde-
nados. Apenas por questões de 
aplicações futuras (como adição 
e subtração de polinômios), é 
preferível ordenar polinômios 
como mencionado no item (b) 
citado.
30. a) 5;
 b) Polinômio do quinto grau;
 c) 4;
 d) Polinômio do 4o grau;
 e) 4; 
 f) Polinômio do 4o grau.
Após o exercício 30, proponha 
aos alunos que digam o grau de 
cada polinômio ordenado e com-
pleto que foi escrito no quadro na 
atividade anterior.
31. Respostas variáveis.
 Exemplos:
 a) 2x3 + 3x2 – 4x + 1;
 b) –5x3 + 2x;
 c) 3x2 – 4x + 9;
 d) x3 + 0x2 + 0x + 2.
Polinômio 
reduzido
Maior expoente de 
variável
Nome
2	+	3x3 3 Polinômio	do	terceiro	grau
2x4	–	4x 4 Polinômio	do	quarto	grau
x	–	3x5 a b
5x4	–	3x2 c d
3x3	–	5x	+	2x4 e f
Polinômio reduzido Polinômio ordenado e completo
2	+	3x3 3x3	+	0x2	+	0x	+	2
2x4	–	5x 2x4	+	0x3	+	0x2	–	5x	+	0
x	–	3x3 a
5x4	–	3x2 b
3x3	–	5x	+	2x4 c
29. Com	base	na	tabela	do	exercício	28,	discuta	com	seus	colegas	e	deci-
da	se	verdadeiras	ou	falsas	as	afirmações	sobre	polinômios	com	uma	
variável:	
a) Um polinômio completo na variável “x” tem todos os termos, desde o de maior 
expoente de “x” até o expoente zero.b) Se um polinômio tem seus termos escritos na ordem decrescente dos expoentes da 
variável, ele se chama polinômio ordenado. 
c) Um polinômio é uma soma algébrica de monômios.
30. Observe	a	tabela	contendo	polinômios	na	variável	“x”	e	escreva,	em	seu	
caderno,	o	que	substitui	corretamente	cada	letra:
31. Dê	um	exemplo	de	polinômio	com	uma	variável	que	seja:
a) Do terceiro grau e completo.
b) Do terceiro grau com apenas dois termos.
c) Do segundo grau e completo.
d) Do terceiro grau, completo e ordenado.
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32. O	que	você	faz	para	decidir	qual	é	o	grau	de	um	polinômio	com	uma	
variável?
Neste	livro	vocês	estudarão	com	mais	detalhes	dois	tipos	de	polinô-
mios,	os binômios	do	primeiro	grau	e	os	trinômios	do	segundo	grau 
com	uma	única	variável.
			 Por	exemplo,	3x	–	9	é	um	binômio	do	primeiro	grau	e	
	 	 	 							2x2	–	5x	+	4	é	um	trinômio	do	segundo	grau.
33. Dentre	os	polinômios	com	uma	variável,	a	seguir,	identifique	os	do	pri-
meiro	grau	e	os	do	segundo	grau:
a) 3x3 + 4x c) 9 – 4x e) 14x 
b) 4 + 2x2 – 7x d) 8x – 3x2 f) 76x2 – 14
34. Reescreva	os	polinômios	do	segundo	grau	identificados	no	exercício	
anterior,	de	modo	ordenado	e	completo.
35. Reescreva	os	polinômios	do	primeiro grau	 identificados	no	exercício	
anterior,	de	modo	ordenado	e	completo.
36. Observe	os	polinômios	a	seguir,	nos	quais	a,	b	e	c	representam	números	
reais:
Comente que o que se afirma 
no primeiro retângulo se deve ao 
fato de que tais polinômios são a 
base do estudo de funções polino-
miais que eles vão estudar no ca-
pítulo 4, e que essas funções têm 
várias aplicações importantes.
32. Verifico o maior expoente da 
variável. A ele corresponde o 
grau do polinômio.
 
Comente que o que se afirma 
no primeiro retângulo se deve 
ao fato de que tais polinômios 
são a base do estudo de funções 
polinomiais que eles estudarão 
no capítulo 4, e que essas funções 
têm várias aplicações importan-
tes.Comente ainda que o estudo 
dos binômios do primeiro grau e 
dos trinômios de segundo grau é 
importante no momento, porque 
a grande maioria dos fatos ma-
temáticos e dos fenômenos de 
outras ciências que se estudam 
no ensino médio são ligados a 
correspondências entre grandezas 
que dependem destes polinômios.
33. a) 3º grau;
 b) 2o grau;
 c) 1o grau;
 d) 2o grau;
 e) 1o grau;
 f) 2o grau;
 
34. b) 2x2 – 7x + 4;
 d) –3x2 + 8x + 0;
 f) 76x2 + 0x – 14.
35. c) –4x + 9;
 e) 14x + 0.
36. a) O coeficiente a não pode 
ser zero, porque, para ser 
do 1°grau, o termo em x do 
polinômio deve aparecer 
com coeficiente não nulo; 
o coeficiente b pode ser 
zero desde que a não seja. 
 b) a, porque o único termo 
que, obrigatoriamente, deve 
ter coeficiente diferente de 
zero é o termo em x2.
 
37. Respostas variadas.
 Exemplo:
 a) 3y + 4;
 b) –z2 – 4z + 5.
 
Explique que o que se chama 
“termo independente” de um 
polinômio geral é o termo cons-
tituído apenas de um número, 
independente da variável, como 
observado no quadro. Faça obser-
varem que o grau desses termos é 
zero porque, por exemplo, o núme-
ro 7 pode ser pensado como 7x0, se 
o polinômio é na variável x, ou 7y0 
se o polinômio é na variável y etc. 
(A) ax	+	b (B) ax2	+	bx	+	c
	 Responda:
a) Se, em (A), o binômio ax + b é do primeiro grau, o coeficiente a pode ser zero? E 
o coeficiente b? Justifique suas respostas.
b) Se, em (B), o trinômio ax2 + bx + c é do segundo grau, qual o único dos três coefi-
cientes que não pode ser zero? Justifique sua resposta.
37. Escreva	exemplos	de:
a) Um binômio do primeiro grau na variável y.
b) Um trinômio do segundo grau na variável z.
Neste livro vocês estudarão com mais detalhes dois tipos de polinômios: os binômios 
do primeiro grau e os trinômios do segundo grau com uma única variável.
Em geral, representamos um binômio do primeiro grau com uma variável assim: ax + b
onde a e b representam números reais, sendo a ≠ 0, e b o termo independente (assim 
chamado porque não depende de x).
Analogamente, representamos um trinômio do segundo grau com uma variável assim:
ax2 + bx + c
onde a, b e c representam números reais, sendo a ≠ 0, e c o termo independente.
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Explique para os alunos 
que, na tabela, 3x e –5x 
estão caracterizados como 
binômios do primeiro grau 
porque podem ser entendi-
dos como 3x + 0 e –5x + 0, 
respectivamente. De modo 
análogo, são caracterizados 
como trinômios do 2º grau: 
–9 + 7x2 (= 7x2 + 0x – 9), 
–5x – 3x2 (= –3x2 – 5x + 0) etc.
38. 
39. (a, 5); (b, 7); (c, 8); (d, 2); 
(e, 1); (f, 6); (g, 3); (h, 4).
40. a) Termo comum: x; 
 b) Termo comum: y;
 c) Termo comum: 2x;
 d) Termo comum: –w;
 e) Não possui termo inde-
pendente em comum.
 f) Não possui termo inde-
pendente em comum.
 
38. Na	tabela	a	seguir,	você	vê	vários	binômios	do	primeiro	grau	e	trinômios	
do	segundo	grau,	completos ou não.	Copie	a	tabela	em	seu	caderno	
e,	para	cada	um	deles,	dê	o	valor	dos	coeficientes	a,	b	ou	c,	conforme	
a	notação	introduzida	no	quadro	da	página	anterior:
a (x	+	2)2 1 Trinômio	completo	do	segundo	grau,	não	ordenado.
b 3x	–	5 2 Quadrado	da	diferença	de	dois	números.
c (x	+	3)	(x	+	7) 3 Produto	da	soma	pela	diferença	de	dois	números.
d (x	–	3)2 4 Trinômio	incompleto	do	segundo	grau.
e 3	–	4x	+	7x2 5 Quadrado	da	soma	de	dois	números.
f 2x2	+	4x 6 Trinômio	do	segundo	grau,	sem	o	termo	independente.
g (x	+	5)	(x	–	5) 7 Binômio	completo	do	primeiro	grau.
h 5x2 8 Produto	de	dois	binômios	do	primeiro	grau.
39. Observe	a	tabela	a	seguir	e,	em	cada	caso,	faça	a	correspondência	da	
letra	da	primeira	coluna	com	o	número	da	segunda	coluna:
40. Dizemos	que	(x	+	3)	(x	+	7)	é	um	produto	de	dois	binômios	(do	primeiro	
grau)	que	têm	um	termo	não	independente	em comum:	o	termo	“x”. O 
3	e	o	7	são	os	termos	independentes.
	 Em	cada	caso	a	seguir,	indique	quais	são	os	produtos	de	binômios	com	
um	termo	não	independente	em	comum,	e	destaque	esse	termo:
 a) (x + 10) (x – 12) c) (2x + 4) (2x – 3) e) (2x – 1) (z + 1) 
b) (y – 2) (y + 5) d) (4 – w) (7 – w) f) ( –x + 3) (x + 3) 
? ?
? ?
? ?
Binômios do primeiro grau
ax + b (a  0)
Trinômios do segundo grau
ax2 + bx + c (a  0)
3x	–	4 a	= b	= –2x2	+	4x	–	11 a	= b	= c	=
7	–	5x a	= b	= –9	+	7x2 a	= b	= c	=
4x	+	5 a	= b	= 2x2	–	4x	+	11 a	= b	= c	=
–7	+	5x a	= b	= –5x	–	3x2 a	= b	= c	=
3x a	= b	= –2x2	–	11 a	= b	= c	=
–5x a	= b	= nx2	+	px	+	k a	= b	= c	=
9x	–	14 a	= b	= –2x2	–	4x	+	9 a	= b	= c	=
–3x	–	4 a	= b	= –19x2 a	= b	= c	=
–7	–	5x a	= b	= –2x2	+	4x a	= b	= c	=
? ?
? ?
? ?
? ?
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? ?
? ? ?
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B
in
ôm
io
s 
T
ri
nô
m
io
s
 a
 =
 3
 
b 
=
 –
4 
a 
=
 –
2 
b 
=
 4
 
c 
=
 –
11
 a
 =
 –
5 
b 
=
 7
 
a 
=
 7
 
b 
=
 0
 
c 
=
 –
9
 a
 =
 4
 
b 
=
 5
 
a 
=
 2
 
b 
=
 –
4 
c 
=
 1
1
 a
 =
 5
 
b 
=
 –
7 
a 
=
 –
3 
b 
=
 –
5 
c 
=
 0
 a
 =
 3
 
b 
=
 0
 
a 
=
 –
2 
b 
=
 0
 
c 
=
 –
11
 a
 =
 –
5 
b 
=
 0
 
a 
=
 n
 
b 
=
 p
 
c 
=
 k
 a
 =
 9
 
b 
=
 –
14
 
a 
=
 –
2 
 
b 
=
 –
4 
c 
=
 9
 a
 =
 –
3 
b 
=
 –
4 
a 
=
 –
19
 
b 
=
 0
 
c 
=
 0
 a
 =
 –
5 
b 
=
 –
7 
a 
=
 –
 2
 
b 
=
 4
 
c 
=
 0
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75
41. Calcule	a	soma	S	e	o	produto	P	dos	termos	independentes	dos	fatores	
dos	produtos	de	cada	item	que	você	indicou	no	exercício	anterior,	como	
solicitado.
42. Observe	o	triângulo	a	seguir:
3xy
6x2y
41. a) S = –2, P = –120;
 b) S = 3, P = –10;
 c) S = 1, P = –12;
 d) S = 13, P = 21.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
42. a) 6x2y;
 b) 3xy;
 c) (3xy) (3x2y);
 d) 9x3y2.
Faça observar que, no item 
(c), dividimos o monômio 
6x2y por 2 para aplicar a 
fórmula da área: metade do 
produto da base pela altura.
43. a) 8x2 – 3xy + 16y2;
 b) 12a + 6ab + 2b;
 c) 10y + 8x2y + 7;
 d) a2b + 11ab2;
 e) –a + 5b + 6;
 f) 6x2 + x + y. 
44. a) 7y + 3;
 b) 15x + 3;
 c) 7y+ 2.
5x
x 
2 
3 
4x
3y + 5
3y – 2 y 
3y + 1
y – 5
y + 2 2y + 4
A) B)
C)
	 Em	relação	ao	triângulo,	responda	ou	faça	o	que	se	pede:
 a) Qual é o monômio que representa a medida da base?
b) Qual é o monômio que representa a medida da altura?
c) Expresse a área como produto de dois monômios. 
d) Expresse a área como um monômio reduzido.
43. Reduza	os	termos	semelhantes	e	escreva	o	polinômio	reduzido	corres-
pondente:
a) 3x2 + 4xy + 8y2 + 5x2 – 7xy + 8y2 
b) 4a + 3ab + 7b + 8a – 5b + 3ab 
c) 2 + 3x2y + 7y + 5 + 5x2y + 3y 
d) 3a2b + 5ab2 – 2a2b + 6ab2 
e) 7a + 3b – 8a + 2b + 6 
f) 3x2 + 6y2 + 3x2 – 6y2 + x + y 
44. Escreva	os	perímetros	das	figuras	a	seguir	como	polinômios	reduzidos:
Aprendendo em casa
Multiplicando e 
reduzindo o produto 
(3x3y3)(2xy2), 
obtenho 6x4y5. S
on
 S
al
va
do
r
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76
45. Calcule	e	simplifique,	quando	possível:
a) a2 (a3 + 2a) c) 2
4
3
5
a
a
× e) − −
1
2
1
2
2t t 
b) 15x2 : 5x4 d) −
2
8
3
5
x
x
 f) 2
3
2
5
2 3
15
a b
a b
– –
− 
45. a) a5 + 2a3;
 b) 3/x2;
 c) a8/2;
 d) –1/4x2;
 e) (1/4)t3;
 f) (8a – 3b)/15;
 
Reforce a informação do 
texto, dizendo para os alunos 
que –a se deve ser lido como 
“oposto de a”. É importante 
chamar a atenção para um erro 
frequentemente cometido pelos 
alunos, quando escrevem –x 
pensando estar representan-
do um número negativo. Para 
convencê-los, acrescente, aos 
exemplos já dados, outros como: 
se a = –79, –a é o oposto, ou seja, 
–a = – (–79) = +79 (portanto, 
um positivo). Complete a infor-
mação, dizendo que as formas 
corretas de representar com 
letras um número negativo e um 
positivo são, respectivamente, 
por exemplo, x < 0 e x > 0.
Explore mais alguns exercí-
cios de subtração de monômios.
Se julgar oportuno, use o 
conceito de oposto de um nú-
mero para definir “valor abso-
luto de um número real”(veja 
observação na margem da 
página 38).
Inicialmente, convencione 
que, dado um número real x, a 
notação |x| se lê: valor absoluto 
de x. Depois, defina: |x| = x se 
x > 0 e
|x| = –x, se x < 0.
Exemplifique: 
|3,4| = 3,4 (porque 3,4 > 0)
e |–2,2| = –(–2,2) = 2,2
(porque –2,2 < 0). Da definição, 
|0|= 0. 
Faça notar que, da definição, 
resulta que o valor absoluto de 
qualquer número real diferente 
de zero é positivo. 
Uma vez definido o valor 
absoluto, é possível introduzir 
uma outra forma de se des-
crever a raiz quadrada de um 
número, como já observado na 
página 38, assim:
√(x2 ) = |x|
Logo, a raiz quadrada de x2 
é x, se x >0; e a raiz quadrada 
de x2 é –x, se x < 0. 
Observe que esta forma de 
descrever a raiz quadrada deixa 
claro que a mesma, quando 
existe, é sempre positiva.
ATIVIDADES ORAIS
•	 +7;	–13;
•	 +9x;	–15x;
•	 –2x2 + 3x – 4;
•	 V.
Na reta 
numerada a seguir, 
você vê vários 
pares de números 
opostos.
 
	 Na	reta	acima	estão	indicados	vários	pares	de	números	opostos.	Por	
exemplo,	–4	e	+4	são	dois	destes	números	opostos.	
	 A	notação	–a	representa:	“oposto	de	a”. 
	 Assim,		 se	a	=	–7,	–a	=	–(–7)	=	+7,	e	se	a	=	+12,	–a	=	–(+12)	=	–12.
	 Também,	se	a	=	3x,	–a	=	–(–3x)	=	+3x,	e	
	 	 	 se	a	=	6x	–	1,	–a	=	–(6x	–	1)	=	–6x	+	1
	 Como	você	já	sabe,	(–5)	–	(–7)	=	(–5)	+	(+7)	=	+2,	ou	seja,	subtrair	é	somar	
ao	minuendo	o	oposto	do	subtraendo.	Este	fato	também	se	aplica	ao	
cálculo	com	monômios.	Veja:
	 (–4x)	–	(–7x)	=	(–4x)	+	(+7x)	=	+3x
•	 Qual é o oposto de –7? E o oposto de +13? 
•	 Qual é o oposto de –9x? E de +15x? 
•	 Qual é o oposto de (2x2 – 3x + 4 )?
•	 V ou F: para subtrair monômios, basta somar ao primeiro o oposto do segundo.
(						)
(					)(						)(								)
Calculando com monômios e polinômios
Explorando o que você já sabe
S
on
 S
al
va
do
r
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	 Veja	no	quadro	a	seguir	como	somar	ou	subtrair	polinômios:
	 Na	parte	A,	como	somar:	(–2x2	+	3x	+	5)	+	(–7	+	3x	+	2x2)	+	(–5x2	+	9)
	 Na	parte	B,	como	subtrair:	(3x2	+	6	–	5x)	–	(2x	–	3x2	+	1)
1. (m2 + m + 1) + (2m – 1) + (3m2 – 4m + 2) + 4m
2. (3a2 + 2a + 1) + (4 – a + a2 ) + (a – 7 + 4a2 )
3. (4x2 – 2) + (2x – 2x2 – 8) + (3 + 5x2 + 6x) + 7x2 
4. (–3a2 + 4ab + 6b2) + (–2ab + 7a2 – 4b2 + 4a)
– 2x2 + 3x + 5
+ 2x2 + 3x – 7
– 5x2 + 0x + 9
– 5x2 + 6x + 7
3x2 – 5x + 6
3x2 – 2x – 1
6x2 – 7x + 5
A B
Explore mais adições e 
subtrações, utilizando poli-
nômios de graus diferentes 
para que os alunos perce-
bam que os termos de mais 
alto grau ficam sem termos 
semelhantes sob ou sobre si 
no algoritmo.
46. 1) 4m2 + 3m + 2;
 2) 8a2 + 2a – 2;
 3) 14x2 + 8x – 7;
 4) 4a2 + 2ab + 2b2 + 4a. 
 Observe:
 Em	(A),	ordenamos	e	completamos	os	polinômios	escrevendo-os	uns	
sobre	os	outros,	 ficando	os	 termos	 semelhantes	 alinhados	em	uma	
mesma	vertical,	e	calculamos	cada	soma	algébrica	desses	termos	se-
melhantes.
 Em	(B),	ordenamos	e	completamos	os	polinômios	escrevendo	o	primeiro	
sobre o oposto do segundo,	ficando	os	termos	semelhantes	alinhados	
em	uma	mesma	vertical,	e	calculamos	a	soma	algébrica	desses	termos	
semelhantes.
46. O	professor	da	turma	K	deu,	como	exercício,	as	quatro	adições	de	po-
linômios	que	você	vê	no	quadro.	Resolva-as	em	seu	caderno:
Aprendendo em sala de aula
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47. Como	os	alunos	acertaram	todas	as	adições,	o	professor	da	turma	K 
deu	como	exercício	as	subtrações	do	quadro,	lembrando-os	de	que,	em	
cada	caso,	devem	somar	ao	primeiro	polinômio	o	oposto	do	segundo.
47. 1) 3x – 7y;
 2) –3x2 – 6x + 15;
 3) 10xy – 6x2 – 10y2;
 4) 2x2 + 10x + 3.
Lembre que o cálculo do 
produto 3x(x + 4) após o 
quadro desta página é uma 
aplicação da propriedade 
(distributiva): 
a(b + c) = ab + ac.
Comente que a área 
do retângulo da primeira 
ilustração é exatamente 
igual ao produto calculado 
(altura × base).
48. (x + 2) (x + 3).
A2 A4
A1 A3
x 
+ 
3
x 2
x + 2
x
3
Calcule as diferenças entre os seguintes polinômios:
1. 5x – 3y e 2x + 4y
2. 3x2 – 2x + 8 e 4x – 7 + 6x2
3. 3xy – x2 – 7y2 e 5x2 – 7xy + 3y2
4. 7x + 5x2 – 15 e 3x2 – 3x – 18
x 
3x
4x
4x
4x
x2
x2
x2
x
x
x
4
		 Você	já	sabe	calcular	o	produto	3x(x	+	4)	assim:
 3x(x	+	4)	=	(3x)(x)	+	(3x)(4)	=	3x2	+	12x
	 Agora,	 veja	 como	associar	 esse	
produto	ao	cálculo	da	área	do	re-
tângulo	ao	lado,	cujas	dimensões	
são:	base	x	+	4	e	altura	3x.
	 A	 área	 desse	 retângulo	 é	 dada	
por	3x(x	+	4),	ou	seja,	o	produto	
calculado	anteriormente.
	 Agora,	observe	que	o	retângulo	foi	decomposto	em	dois	outros:
 um amarelo,	de	base	x	e	altura	3x,	cuja	área	é	(3x)x	=	3x2,	e
	 outro	azul,	de	base	4	e	altura	3x,	cuja	área	é	(4)(3x)	=	12x.
			 Logo,	a	área	do	retângulo	é	a	soma	das	áreas	desses	dois	retângulos,	
ou	seja:
				 	 3x(x	+	4)	=	3x2	+	12x
 Observe	agora	a	figura	de	outro	
retângulo,	 decomposto	 em	 um	
quadrado	A1	e	três	retângulos	A2,		
A3,	A4.	Com	base	nela,	resolva	os	
três	exercícios	a	seguir:
48. Qual	é	o	produto	que	representa	a	área	do	retângulo?
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(x	+	3)(x	+	2)	=	x2	+	3x	+	2x	+	6	=	
=	x2	+	5x	+	6
x 3
x
2
x2 3x
2x 6
50. a) (x + 2) (x + 3);
 b) x2 + 3x + 2x + 6.
Proponha, no quadro, como 
calcular (x+3)(x+2) usando a 
propriedade distributiva (sem 
citar o nome) para que os alunos 
se convençam, usando outros 
recursos, da validade do resultado 
do exercício 50. Proponha que 
completem os dois desenvolvi-
mentos: 
1º (x + 3)(x + 2) = 
 (x + 3) . x + (x + 3) . 2 =....
2º (x + 3)(x + 2) = 
 x(x + 2) + 3(x + 2) =....
Proponha, no quadro, ati-
vidades análogas às sugeri-
das anteriormente, usando fi-
guras agora com os produtos 
 (x + 4)(x + 3) e (x + 5)(x + 6).
Faça o mesmo com o produto 
(x + a)(x + b), com desenvolvi-
mento diferente do usado no texto 
do aluno. Assim: (x + a)(x + b) = 
(x + a) . x + (x + a) . b =.....
Represente geometricamente 
o produto (x + a)(x + b) como 
no exercício 51, obtendo um 
retângulo de dimensões x + a e 
x + b, decomposto em um qua-
drado de área x2, um retângulo de 
área ax, outro da área bx e outro 
da área ab. 
Desenheno quadro a represen-
tação do produto (x + a)(x + b), 
como na ilustração do exercí-
cio 51, e interprete a área do 
retângulo maior como soma de 
três áreas: 
x2 + (a + b) x + ab.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, os quadros 
em destaque do exercício 51 
(dois últimos da página). 
Explique que o produto 
(x – 3)(x – 4) pode ser visto como 
[x +(–3)][x+(–4)], justificando 
dizer que a = –3 e b = –4. Peça 
que escrevam como neste exemplo 
o produto (x + 5)(x – 2) como 
produto de somas de duas par-
celas, identificando assim qual o 
valor e sinal de a e qual o valor e 
sinal de b.
Comente: Como se viu com 
os sinais de a e b, ao escrever 
(x + a)(x + b) = x2 + Sx + P, onde S = 
a + b e P = ab, não se deve entender 
que S e P sejam positivos. Exempli-
ficando: Em (x + 3)(x – 4), temos 
a = 3 (positivo), b = –4 (negativo), 
a + b = S = –1 (negativo) e P = –12 
(negativo). Explore outros exemplos, 
como (x – 3)(x – 4), (x + 5)(x – 2). Por 
último, esclareça que o uso 
da fórmula não é obrigató-
rio, tendo em vista ser possí-
vel também efetuar o produto 
(x + a)(x + b) como nos diversos 
cálculos já feitos anteriormente. 
49. Escreva	o	monômio	ou	o	binômio	que	representa:
a) A medida da base do retângulo. d) A área do retângulo A
2
.
b) A medida da altura do retângulo. e) A área do retângulo A
3
.
 
c) A área do quadrado A
1
. f) A área do retângulo A
4
. 
50. Escreva	a	área	do	retângulo	maior	de	duas	maneiras	diferentes:	
a) Como produto de dois binômios que têm um termo de primeiro grau em comum.
b) Como soma da área do quadrado de lado x com as áreas dos três outros retângulos.
	 Já	que	as	expressões	obtidas	como	respostas,	no	exercício	50,	repre-
sentam	a	mesma	área	(do	retângulo	maior),	podemos	escrever:
(x	+	2)(x	+	3)	=	x2	+	3x	+	2x	+	6	=	x2 +	5x	+	6
51. Observe	outra	representação	do	produto	(x	+	2)(x	+	3)	na	qual	são	vistos,	
na	figura,	os	valores	das	áreas	das	quatro	partes:	
 
	 Represente	 usando	áreas	 e	 calcule	 os	
produtos	de	binômios	que	têm	um	termo	
de	primeiro	grau	em	comum	a	seguir:
a) (x + 4)(x + 3) b) (x + 5)(x + 6)
	 Observe	como	multiplicar	(x	+	a)(x	+	b):
		(x	+	a)(x	+	b)	=	x(x	+	b)	+	a(x	+	b)	=	x	.	x	+	x	.	b	+	a	.	x	+	ab	=
	x2	+	(a	+	b)x	+	ab
			 Representando	a + b	por	S	(inicial	de	soma)	e	ab	por	P	(inicial	de	pro-
duto),	temos:
(x	+	a)(x	+	b)	=	x2	+	Sx	+	P
		 Podemos	descrever	essa	fórmula	em	linguagem	corrente,	assim:
O produto de dois binômios de primeiro grau na mesma variável que têm um termo 
de primeiro grau em comum é igual ao quadrado do termo comum, mais o produto da soma 
dos respectivos termos independentes pelo termo comum, mais o produto dos respectivos 
termos independentes.
	 Veja	no	quadro	a	seguir	alguns	exemplos	do	uso	dessa	fórmula.
(x + a)(x + b) = x2 + Sx + P
 (A)	Em	(x	+	4)(x	+	7)				S	=	4	+	7	=	11	e	P	=	4	x	7	=	28;
	 	 	 	 	 logo,	(x	+	4)(x	+	7)	=	x2	+	11x	+	28.
 (B)	Em	(x	+	5)(x	–	4)				S	=	5	–	4	=	1	e	P	=	(5)(–4)	=	–20;
	 	 	 	 	 logo,	(x	+	5)(x	–	4)	=	x2	+	x	–	20.
49. a) x + 2;
 b) x + 3;
 c) x2;
 d) 3x;
 e) 2x;
 f) 6. 
a) x2 + 4x + 3x + 12 = x2 + 7x + 12; b) x2 + 5x + 6x + 30 = x2 + 11x + 30.
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52. Calcule	usando	a	fórmula	(x	+	a)(x	+	b)	=	x2	+	Sx	+	P:
a) (x + 1)(x + 4) f) (x – 3)2 = (x – 3)(x – 3) 
b) (x – 2)(x + 3) g) (x + 5)2
c) (x + 4)(x – 4) h) (x – 5)2
d) (x + 5)(x – 1) i) (x + 6)(x – 6)
e) (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2)
53. Observe	o	item	(g)	do	exercício	anterior	e,	em	seguida,	copie	e	com-
plete	esta	frase	em	seu	caderno:	O	quadrado	da	soma	x	+	5	é	igual	ao	
quadrado	de	x,	mais	duas	vezes	o	produto	de	x	por	5,	mais... 
54. Observe	o	 item	 (h)	do	exercício	52	e,	em	seguida,	copie	e	complete	
esta	frase	em	seu	caderno:	O	quadrado	da	diferença	x	–	5	é	igual	ao	
quadrado	de	x,	menos	duas	vezes	o	produto	de	x	por	5,	mais... 
55. Observe	o	item	(i)	do	exercício	52	e		em	seguida	copie	e	complete	esta	
frase	em	seu	caderno:	O	produto	da	soma	x	+	6	pela	diferença	x	–	6	é	
igual	ao	quadrado	de	x,	menos... 
?
?
?
52. a) x2 + 5x + 4;
 b) x2 + x – 6;
 c) x2 – 16;
 d) x2 + 4x – 5;
 e) x2 + 4x + 4;
 f) x2 – 6x + 9;
 g) x2 + 10x + 25;
 h) x2 – 10x + 25;
 i) x2 – 36.
53. ...o quadrado de 5.
54. ...o quadrado de 5.
55. ...o quadrado de 6.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
56. Respostas variadas.
 Exemplos:
 a) 2a3b;
 b) –7x;
 c) ab3;
 d) –x3;
 e) –3x/4;
 f) 7,5 ab2c;
 g) 4,32x.
57. (a) e (b) Atividades do 
alunos.
 c) S
1
 = (xy)/2,
 S
2
 = b. h.
58. Atividade do aluno.
 
59. Atividade do aluno.
 c) S
T
 = 3x4y3,
 S
R
 = 3x(x + 4).
56. Escreva	um	exemplo	para	cada	um	dos	tipos	de	monômios	a	seguir:
a) Tendo como coeficiente um número natural e duas letras na parte literal.
b) Tendo como coeficiente um número inteiro negativo e uma letra na parte literal.
c) Tendo como coeficiente o número 1.
d) Tendo como coeficiente o número –1.
e) Tendo como coeficiente uma fração negativa.
f) Tendo como coeficiente um número decimal positivo.
g) Tendo como coeficiente uma dízima periódica.
57. Desenhe	ou	resolva:
a) Um triângulo cuja base mede x e cuja altura mede y.
b) Um retângulo cuja base mede b e cuja altura mede h.
c) Chame as áreas dos dois triângulos desenhados nos itens (a) e (b) de S
T
 e S
R
, res-
pectivamente, e escreva as fórmulas dessas áreas usando as letras que representam 
suas medidas.
58. Desenhe:
a) Um triângulo cuja base meça 3xy2 e a altura, 2x3y.
b) Um retângulo cuja base meça 3x e a altura, x + 4.
59. Represente	as	áreas	do	triângulo	e	do	retângulo	do	exercício	58	por	ST	e	
SR,	respectivamente,	e	escreva	suas	fórmulas,	usando	as	expressões	que	
representam	suas	medidas.
Aprendendo em casa
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60. Escreva	um	termo	semelhante	ao	monômio	3x3y	que	tenha	como	coe-
ficiente:
a) Um número natural. d) Uma dízima periódica.
b) Um número na forma decimal. e) Um número irracional.
c) Uma fração.
61. Observe	o	polinômio	a	seguir	e	responda	ou	faça	o	que	se	pede:	
2x2	+	5xy	–	9y2	+	3x2	–	11xy	–	12y2
a) Qual o termo semelhante ao termo 2x2?
b) Calcule a soma algébrica desses termos.
c) Qual o termo semelhante ao termo 5xy?
d) Calcule a soma algébrica desses termos.
e) Qual o termo semelhante ao termo –9y2? 
f) Calcule a soma algébrica desses termos.
g) Escreva o polinômio dado como um polinômio reduzido.
62. Escreva	os	polinômios	a	seguir	em	sua	forma	reduzida:
a) 2x2 – 5xy – 6y2 + 15x2 – 17xy + 18y2 = ? 
b) 8a – 13ab + 17b – 18 a – 15b + 13ab = ?
c) 12 – 13x2y + 17y – 15 + 15x2y – 13y = ?
d) 9a2b – 15ab2 + 12a2b + 16ab2 = ?
e) 8a – 13b + 8a – 12b + 16 = ?
f) 9x2 – 16y2 – 3x2 + 16y2 + x – y = ? 
63. Calcule	as	somas	dos	polinômios	do	quadro:
64. Calcule	as	diferenças	dos	polinômios	do	quadro:
• (x2 – x – 2) + (2x – 7x2 + 4) + (6x2 + x – 7)
• (2 – a2 + 2a) + (–5 + 2a2 – 3a) + (5a2 – 3a)
• 3(x – 3 – 5c) + 2(x – a – 4c) + 4(a – 5c – 7) 
(5r – 3s) – (7r + 5s)
(11x2 + 5x) – (7x2 + 3)
(3a2 – 5d + 17) – (– a2 + 5d – 3)
(3z2 + 5z – 4) – (3z2 + 5z – 4)
(4x + 11) – (3x2 + 7x – 3)
60. Respostas variadas.
 Exemplos:
 a) 6x3y;
 b) 0,4x3y;
 c) (2x3y)/5;
 d) 0,07x3y;
 e) 0,1001001...x3y.
61. a) 3x2;
 b) 5x2;
 c) – 11xy;
 d) – 6xy;
 e) – 12y2;
 f) – 21y2;
 g) 5x2 – 6xy – 21y2. 
62. a)17x2 – 22xy + 12y2;
 b) – 10a + 2b;
 c) 4y + 2x2y – 3;
 d) 21a2b + ab2;
 e) 16a – 25b + 16;
 f) 6x2 + x – y. 
63.	•	2x	–	5;	
		 •	6a2 – 4a – 3; 
		 •	5x	+	2a	–	43c	–	37.
64.	•	–	2r	–	8s;	
		 •	4x2 + 5x – 3; 
		 •	4a2 – 10d + 20;
		 •	0;
		 •	–	3x2 – 3x + 14.
•
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65. Calcule	os	produtos	abaixo:
a) (x + 2)(x + 45) 
b) (x – 2)(x + 4) 
c) (x – 3)( x – 4) 
d) (x + 3)( x – 1)
e) (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3) 
f) (x + 4)2
g) (x – 3)2
h) (x + 9)(x – 9)
66. Observe	o	item	(f)	anterior,	copie	e	complete	a	frase	em	seu	caderno:	 
o	quadrado	da	soma	x	+	4	é	igual	ao	quadrado	de	x,	mais	duas	vezes	
o	produto	de	x	por	4,	mais...67. Observe	o	item	(g) anterior,	copie	e	complete	a	frase	em	seu	caderno:	
o	quadrado	da	diferença	x	–	3	é	igual	ao	quadrado	de	x,	menos	duas	
vezes	o	produto	de	x	por	3,	mais...
68. Observe	o	item	(h)	anterior,	copie	e	complete	a	frase	em	seu	caderno:	
o	produto	da	soma	x	+	9	pela	diferença	x	–	9	é	igual	ao	quadrado	de	x,	
menos...
?
?
?
65. a) x2 + 47x + 90;
 b) x2 + 2x – 8;
 c) x2 – 7x + 12;
 d) x2 + 2x – 3;
 e) x2 + 6x + 9;
 f) x2 + 8x + 16;
 g) x2 – 6x + 9;
 h) x2 – 81.
Comente com os alunos 
que os cálculos do exercício 
65 podem ser feitos tanto 
utilizando-se a fórmula apre-
sentada na página 79 quanto 
usando a distributividade. 
Leve os alunosa perceberem 
que o uso da fórmula não é 
obrigatório: apenas permite 
eventualmente obter os re-
sultados mais rapidamente.
66. O quadrado de 4.
67. O quadrado de 3.
68. O quadrado de 9.
ATIVIDADES ORAIS
•	 (c)
•	 (d)
•	 (a)
•	 (b)
	 Observe	as	expressões	a	seguir:
a) (x + 7)(x – 7)
b) (y – 2)2
c) (z + 5)2
d) (w + 9)(w + 6)
	 Diga	qual	delas	corresponde	a	cada	uma	das	frases	a	seguir:
•	 Quadrado da soma de duas expressões. 
•	 Produto de dois binômios que têm um termo comum.
•	 Produto da soma pela diferença de duas expressões. 
•	 Quadrado da diferença de duas expressões.
Produtos notáveis
Explorando o que você já sabe
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	 Você	viu	como	multiplicar	binômios	do	primeiro	grau	usando	a	fórmula:
 (x	+	a)(x	+	b)	=	x2	+	Sx	+	P
	 onde	S	é	a	soma	dos	termos	não	comuns:	S = a + b e
	 P	é	o	produto	dos	termos	não	comuns:	P = ab.
	 Alguns	produtos	obtidos	por	meio	dessa	fórmula	são	muito	importan-
tes	para	aplicações	futuras.	Por	isso,	se	chamam	“produtos	notáveis”. 
Vamos	passar	a	destacar	alguns	deles	a	seguir:
 QuAdrAdo dA somA de duAs expressões
		 Vamos	usar	a	fórmula	(x	+	a)(x	+	b)	=	x2	+	Sx	+	P	para	calcular	(x	+	a)2,	
isto	é,	o	quadrado	da	soma	x	+	a.
	Como	(x	+	a)2	=	(x	+	a)(x	+	a),	temos:
 S	=	a	+	a	=	2a		e		P	=	a	.	a	=	a2 
	Logo,	(x	+	a)2	=	x2	+	2ax	+	a2
	 Em	linguagem	corrente,	podemos	dizer:
O quadrado da soma de duas expressões é igual ao quadrado da primeira, mais duas 
vezes o produto da segunda pela primeira, mais o quadrado da segunda.
 
69. Observe	como	usar	o	que	concluímos	acima:
 (A) (x	+	4)2	=	x2	+	2(4)	(x)	+	(4)2	=	x2	+	8x	+	16
 (B) (y	+	6)2	=	y2	+	2(6)	(y)	+	(6)2	=	y2 + 12y + 36
 (C) (3x	+	5)2	=	(3x)2	+	2(5)	(3x)	+	(5)2	=	9x2	+	30x	+	25
	 Agora,	calcule	os	quadrados	das	somas	das	expressões	do	quadro	a	
seguir	e	confira	suas	respostas:
 Exercícios: 1. (y + 4)2 Respostas: 1. y2 + 8y + 16 
 2. (2a + 3)2 2. 4 a2 + 12a + 9 
 3. (z + 17)2 3. z2 + 34z + 289 
 4. (xy + 14)2 4. x2y2 + 28xy + 196 
 5. (7xy + 4z)2 5. 49x2y2 + 56xyz + 16z2 
 6. (y3 + 15)2 6. y6 + 30y3 + 225 
 7. (3ax3 + 7b3y)2 7. 9 a2x6 + 42ab3x3y + 49b6y2 
Complete o texto que 
justifica o nome “produtos 
notáveis”, dizendo que, em 
particular, neste capítulo 
serão estudados três destes 
produtos, que permitem com-
preender temas que serão es-
tudados a seguir: a fatoração 
algébrica, a simplificação de 
frações algébricas e a resolu-
ção de equações produto. 
Por exemplo, ao fatorar o 
primeiro membro da equação 
x2 + 2x – 15 = 0, obtém-se 
(x – 3)(x + 5) = 0, cujas raízes 
são 3 e –5 (que anulam o 
primeiro e o segundo fatores, 
respectivamente).
Antes de resolver o exer-
cício 69, explore no quadro 
a representação geométrica 
de (x + a)2, lembrando que 
este quadrado equivale a 
(x + a)(x + a) e procedendo 
como no exercício 51, ob-
tendo um quadrado de lados 
x + a, decomposto em um 
quadrado de área x2, dois 
retângulos de área ax, e um 
quadrado de área a2.
69. As respostas estão no 
próprio livro do aluno.
Chame a atenção dos alu-
nos que para desenvolver o 
produto (x+a)2 não é neces-
sário utilizar a fórmula dada; 
pode-se também fazer a con-
ta através da distributividade
Aprendendo em sala de aula
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84
QuAdrAdo dA diferençA de duAs expressões
	 Vamos	usar	a	fórmula	(x	+	a)(x	+	b)	=	x2	+	Sx	+	P	para	calcular	(x	–	a)2,	
isto	é,	o	quadrado	da	diferença	x	–	a.
	 Como	(x	–	a)2	=	(x	–	a)(x	–	a),	temos:	
 S	=	(–a)	+	(–a)	=	–2a		e		P	=	(–a)(–a)	=	a2 
	 Logo,	(x	–	a)2	=	x2	–	2ax	+	a2
	 Em	linguagem	corrente,	podemos	dizer:
O quadrado da diferença de duas expressões é igual ao quadrado da primeira, menos 
duas vezes o produto da segunda pela primeira, mais o quadrado da segunda. 
70. Observe	como	usar	o	que	concluímos	acima:
 (A) (x	–	4)2	=	x2	–	2(4)	(x)	+	(4)2	=	x2	–	8x	+	16
 (B) (y	–	6)2	=	y2 –	2(6)	(y)	+	(6)2	=	y2	–	12y	+	36
 (C) (3x	–	5)2	=	(3x)2	–	2(5)	(3x)	+	(5)2	=	9x2	–	30x	+	25
	 Agora,	calcule	os	quadrados	das	diferenças	das	expressões	do	quadro	
a	seguir	e	confira	suas	respostas:
 produto dA somA pelA diferençA de duAs expressões
	 Vamos	 usar	 a	 fórmula	 (x	 +	 a)(x	 +	 b)	 =	 x2	 +	 Sx	 +	 P	 para	 calcular	 
(x	+	a)	(x	–	a),	isto	é,	o	produto	da	soma	pela	diferença	de	dois	números.
		 Temos:
 S	=	(+a)	+	(–a)	=	0		e		P	=	(–a)	(–a)	=	–a2 
		 Logo,	(x	–	a)2	=	x2	+	0x	–	a2,	ou	seja,	(x	+	a)(x	–	a)	=	x2	–	a2
	 Em	linguagem	corrente,	podemos	dizer:
O produto da soma pela diferença de duas expressões é igual ao quadrado da primeira 
expressão, menos o quadrado da segunda. 
 Exercícios: 1. (x – 7)2 Respostas: 1. x2 – 14x + 49 
 2. (x – 13)2 2. x2 – 26x + 169 
 3. (z – 14)2 3. z2 – 28z + 196 
 4. (t2 – 15)2 4. t4 – 30t2 + 225 
 5. (ax – 2by)2 5. a2x2 – 4abxy + 4b2y2
 6. (3x2 – 2by)2 6. 9x4 – 12bx2y + 4b2y2 
Antes de resolver o exer-
cício 70, explore no quadro 
a representação geométrica 
de (x – a)2, lembrando que 
este quadrado equivale a 
(x – a)(x – a). Represente 
este quadrado de lados x – a. 
Depois, prolongue a base 
e a altura de um segmento 
de comprimento a, obtendo 
novo quadrado de lados x. 
Decomponha este quadrado 
no quadrado original, mais 
outro de área a2 e dois retân-
gulos de área a(x – a).
Expresse a área do qua-
drado original (x – a)2 como 
diferença da área do quadra-
do de lado x (x2), e as áreas 
dos dois retângulos de áreas 
a(x – a). 
Assim: (x – a)2 = 
x2 – a(x – a) – a(x – a) – a2. 
Desenvolvendo os cálculos 
do segundo membro, temos: 
(x – a)2 = x2 – 2ax + a2.
70. As respostas estão no 
próprio livro do aluno.
Em casa, os alunos de-
vem anotar, no caderno, os 
quadros em destaque nos 
textos antes dos exercícios 
69, 70, 71.
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85
71. Observe	como	calcular	produtos	de	somas	pelas	diferenças	de	duas	
expressões	usando	(x	+	a)(x	–	a)	=	x2	–	a2:
 (A)	 (x	+	6)(x	–	6)	=	x2	–	62	=	x2	–	36
 (B)	 (y	+	4)(y	–	4)	=	y2	–	42	=	y2	–	16	
 (C) (3x	+	2)(3x	–	2)	=	(3x)2	–	(2)2	=	9x2	–	4	
	 Agora,	calcule	os	produtos	das	somas	pelas	diferenças	das	expressões	
do	quadro	a	seguir	e	confira	suas	respostas:
 1. (x2 – 1)2 =
 2. (x + 0,5)2 =
 3. (u – 2,5)2 = 
 4. (5z – 1,2)2 =
 5. (0,5u – 0,4)2 =
 6. (0,1x + 0,2)2 =
 7. (y – 3,5)2 =
 8. (z – 1,5)2 =
 9. (2u – y)2 =
 10. (y + 6,5)2 =
 11. (2a – 0,25)2 =
 Exercícios: Respostas: 
 1. (a + b) (a – b) 1. a2 – b2
 2. (a2 + 3) (a2 – 3) 2. a4 – 9 
 3. (xy + 4ab) (xy – 4ab) 3. x2y2 – 16a2b2 
 4. (m2n2 + 19pq) (m2n2 – 19pq) 4. m4n4 – 361p2q2 
 5. (x + y) (x – y) 5. x2 – y2
 6. (b3 + 6) (b3 – 6) 6. b6 – 36
 7. (41 + 33x2y2) (41 – 33x2y2) 7. 1 681 – 1 089x4y4 
 12. (b – 1,5)2 =
 13. (2x – 0,75)2 =
 14. (x + 2)(x – 2) =
 15. (u + 5)(u – 5) =
 16. (z – 9)(z + 9) =
 17. (1 + 3u)(1 – 3u) =
 18. (4a – 1)(4a + 1) =
 19. (7x – 1)(7x + 1) =
 20. (x2 – 5)(x2 + 5) =
 21. (a2 + 11)(a2 – 11) =
 
71. As respostas estão no 
próprio livro do alunos.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
72. 1) x4 – 2x2 + 1.
 2) x2 + x + 0,25.
 3) u2 – 5u + 6,25.
 4) 25z2 – 12z + 1,44.
 5) 0,25u2 – 0,4u + 0,16.
 6)0,01x2 + 0,04x + 0,04.
 7) y2 – 7y + 12,25.
 8) z2 – 3z + 2,25.
 9) 4u2 – 4uy + y2.
 10) y2 + 13y + 42,25.
 11) 4a2 – a + 0,0625.
 12) b2 – 3b + 2,25.
 13)4x2 – 3x + 0,5625.
 14) x2 – 4.
 15) u2 – 25.
 16) z2 – 81.
 17) 1 – 9u2.
 18) 16a2 – 1. 
 19) 49x2 – 1.
 20) x4 – 25.
 21) a4 – 121. 
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72. Use	o	produto	notável	conveniente	para	calcular	os	produtos	do	quadro	
a	seguir:
Aprendendo em casa
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86
	 Descreva	quais	os	cálculos	de	certos	valores	ou	quantidades	em	Geo-
metria	que	são	associados,	em	geral,	com	as	seguintes	fórmulas:
 •	 A	=	b.	h	
 •	 V	=	a3
 •	 A	=	l2 
 •	 V	=	a.	b.	c	
 •	 C	=	2 R
ATIVIDADES ORAIS
•	 Cálculo	da	área	de	um	retângulo	
de base b e altura h.
•	 Cálculo	do	volume	de	um	cubo	
de aresta a. 
•	 Cálculo	da	área	de	um	quadrado	
de lado l.
•	 Cálculo	do	volume	de	um	paralelepí-
pedo retângulo de dimensões a, b, c.
•	 Cálculo	do	comprimento	de	uma	
circunferência de raio r.
Caso seja possível, utilize re-
cursos de informática. Os temas 
abordados neste capítulo, a partir 
desta seção, oferecem ótima oportu-
nidade de usar planilhas eletrônicas 
na edição de fórmulas, bem como na 
elaboração de tabelas ou gráficos.
Explore as atividades orais como 
primeira incursão, neste capítulo, à 
noção de função, sem se preocupar 
com formalizações. Exemplifican-
do: a) Considerando que V = a3 
representa o volume V de um cubo 
de aresta de medida a, responda:
1º ) A variável a pode ser subs-
tituída por um número negativo? 
Justifique. 
2º) Sem calcular, responda: se 
substituirmos a, pelo decimal 3,43, 
quantos valores encontraremos para 
V: um ou mais de um? 
3º) V ou F: a cada valor positivo 
que dermos à medida a da aresta 
corresponderá um único valor para 
o volume V do cubo. 
Caso julgue oportuno, explore 
atividades semelhantes com as 
fórmulas da área do quadrado e do 
comprimento da circunferência.
É importante que os alunos 
percebam, nestes casos, a possi-
bilidade de atribuir às variáveis 
qualquer valor real positivo.
Explore o exercício 73 no qua-
dro, solicitando que alunos façam 
o desenho correspondente. Explo-
re mais perguntas, como:
a) Os valores do perímetro e 
da área dependem dos valores de 
qual variável?
b) Substituindo a variável por 
valores cada vez maiores, o que 
acontece com os perímetros e áreas 
correspondentes? 
Explore outras situações rela-
cionadas com o item (e), para que 
os alunos resolvam as equações 
correspondentes.
O exercício 74 possibilita falar 
novamente em análise dimensional.
(Real/kg) xkg = Real).
74. a) R$ 4,50; b) R$ 5,70;
 c) R$ 3,20 pelo excesso, 
R$ 9,20 pelos 28 kg;
 d) R$ 4,28 pelo excesso e 
R$ 10,28 pela carga total.
Explore mais situações como a 
do item (d) do exercício 74.
A fórmula 
da água é 
H2O.
73. Em	um	retângulo,	o	lado	maior	é	o	triplo	do	lado	menor,	mais	1.
a) Represente a medida do lado menor pela variável x e escreva a fórmula do perímetro 
P desse retângulo na forma de um polinômio reduzido.
b) Escreva a fórmula da área A desse retângulo, na forma de um polinômio reduzido.
c) Calcule P e A para x = 4.
d) Calcule P e A para x = 0,5.
e) Qual deve ser a medida do lado menor para P = 10,8?
74. Uma	empresa	cobra	pelo	transporte	de	encomendas	entre	as	cidades	
do	Rio	de	Janeiro	e	São	Paulo	fretes	segundo	a	tabela	abaixo
Peso em kg Preço por kg em R$
Até	20	kg 0,30
Para	cada	kg	excedente	a	20	kg 0,40
Valores	entre	quantidades	inteiras	de	kg	pagam	proporcionalmente	ao	excesso	em	
gramas.	Ex.:	15,4	kg	paga	15,4	×	0,30	reais	=	R$	4,62
 a) Quanto se pagou pelo transporte de um pacote que pesou 15 kg?
b) Outro pacote pesou 19 kg. Quanto se pagou pelo seu transporte? 
c) Cada quilograma acima de 20 kg custa mais caro. Se uma encomenda pesa 28 kg, 
quanto se pagará pelo excesso? E quanto se pagará pelos 28 kg?
d) Se a encomenda pesa 30,7 kg, quanto se pagará pelo excesso? E qual o valor total 
do frete correspondente a esta encomenda?
73. a) P = 8x + 2; 
 b) A = x(3x + 1) = 3x2 + x;
 c) P = 34 A = 52;
 d) P = 6 A = 1,25;
 e) 8x + 2 = 10,8 => x = 1,1.
Aprendendo em sala de aula
Usando e deduzindo fórmulas
Explorando o que você já sabe
S
on
 S
al
va
do
r
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87
75. No	caso	do	exercício	anterior,	para	se	calcular	o	valor	do	frete	de	uma	
encomenda	um	funcionário	pesa	a	mesma	e	informa	ao	encarregado	do	
cálculo	o	valor	x	do	peso,	em	quilogramas.	O	encarregado	do	cálculo,	
por	sua	vez,	usa	as	seguintes	regras	para	encontrar	o	valor	do	frete:
 1a) Para	o	peso	de	x	kg	se	x  20
	 	 R$	0,30	por	quilograma.
 2a) Para	o	peso	de	x	kg	se	x > 20
		 R$	0,30	por	kg	até	20	kg	e	R$	0,40	por	quilograma	excedente	a	20	kg.
	 Responda:
a) Se a encomenda pesa x kg, e x é menor ou, no máximo, igual a 20 kg, qual é o valor do 
frete, por quilograma?
b) Nesse caso, qual é o monômio que representa o valor a ser pago?
c) Se o consumidor envia x kg e x é maior que 20, de quanto será esse valor cor- 
respondente aos 20 primeiros quilogramas?
d) E de quanto será o valor correspondente ao que passar de 20 kg: 
 0,40 x ou 0,40(x – 20)?
e) V ou F: Se x > 20, o valor P a ser pago tem duas parcelas e é dado pela fórmula: 
P = 0,30 × 20 + 0,40(x – 20).
f) Aplique a fórmula que você deduziu para calcular o frete correspondente a 28 kg.
g) Discuta com seus colegas para descobrir a fórmula do valor a ser pago pelo frete, 
aplicável a qualquer valor de x.
76. Deduza	uma	fórmula	para	calcular	a	quantidade	S	de	papelão,	em	cm2,	
usada	para	fazer	uma	caixa	sem tampa	em	forma	de	bloco	retangular	
cujas	medidas	de	comprimento,	largura	e	altura	são,	respectivamente,	
x,	x	e	x	–	3,	em	centímetros.	
	 Para	isso,	inicialmente:
a) Desenhe a caixa. b) Escreva as três medidas no desenho da caixa.
77. Deduza,	também,	uma	fórmula	para	o	volume	V	da	caixa	do	exercício	
anterior.
78. O	dono	de	uma	papelaria	calcula	o	preço	V	de	venda	de	cada	tipo	de	
caderno	acrescentando,	ao	preço	de	custo	(C),	10%	de	seu	valor,	mais	 
R$	0,20	de	imposto.	Ele	escreveu	a	fórmula	na	tabela	de	preços	de	venda:	 
V	=	C	+	0,10	C	+	0,20.	 	
	 Calcule	os	preços	de	venda	dos	cadernos	cujos	preços	de	custo	foram:
a) R$ 6,00 b) R$ 7,00 c) R$ 8,00 
79. Para	ganhar	tempo	ao	fazer	as	contas	usando	os	dados	do	exercício	
anterior,	um	dos	vendedores	usa	a	fórmula	V	=	1,10	C	+	0,20.	Repita	os	
cálculos	que	ele	fez	para	chegar	a	essa	fórmula.
Leia a observação na 
margem da página 43: “Por 
questão [...] simplesmente:
R$...”. 
Antes de resolver o exercí-
cio 75, dê exemplos particu-
lares do uso das duas regras:
1ª) Se x = 4 kg, o valor 
a ser pago é 0,30 x 4 = 1,20;
2ª) Se x = 22 kg, o valor 
a ser pago é 0,30 x 20 + 
(22 – 20) x 0,40.
75. a) R$ 0,30;
 b) R$ 0,30x;
 c) R$ 6,00;
 d) R$ 0,40(x – 20);
 e) V;
 f)P = 0,30 x 20 + 8 x 0,40;
 P = 6,00 + 3,20
 P = 9,20;
 g) P = 0,30x se x  20 
e P = 0,30 . 20 + 
0,40(x – 20) se x > 20 
(x em kg e P em reais).
Explore o exercício 76 
perguntando: 
Se a altura da caixa é re-
presentada por x – 3, x pode 
ser qualquer número real 
positivo? O objetivo dessa 
pergunta é fazer com que os 
alunos notem que x deve ter 
valores positivos maiores que 
3, pois, caso contrário, x – 3 é 
zero (se x = 3) ou negativo se 
x < 3, o que, pela natureza do 
problema, não é possível pois 
x – 3 representa a medida da 
altura da caixa. A mesma 
restrição prevalece para o 
exercício 77. 
Explore: nos exercícios 78 
e 79, pela natureza do pro-
blema, a variável C somente 
admite assumir valores de-
cimais positivos com duas 
ordens decimais, por repre-
sentar valores monetários. 
76. S = 5x2 – 12x. 
 S é dada pela soma:
 4x(x – 3) + x2 =
 4x2 – 12x + x2 =
 5x2 – 12x.
 
77.V = x3 – 3x2.
 V é dado pelo produto:
 x2(x – 3) = x3 – 3x2.
78. a) R$ 6,80;
 b) R$ 7,90;
 c)R$ 9,00.
79. V= C + 0,10C + 0,20 =
 = C(1 + 0,10) + 0,20;
 V = 1,10C + 0,20.
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88
Faça breve abordagem oral so-
bre as atividades do “Aprenden-
do em casa” para verificar se os 
alunos estão aptos a resolvê-las.
80. a) 
 
 b) 
 
 
Explore a expressão 4/n–2 
perguntando se existe algumvalor numérico que não possa 
substituir n, e por qual motivo. 
Objetivo: lembrar aos alunos 
que denominador não pode ser 
zero. Logo, n não pode assumir 
o valor 2. 
Em todas as situações-pro-
blema envolvendo fórmulas ou 
funções, é importante explorar 
a natureza de cada número nelas 
envolvido (se natural, inteiro, 
racional, irracional), bem como 
a qual ou quais intervalos nu-
méricos devem pertencer (o que 
é comum denominar “domínio 
de validade” da situação pro-
blema). 
81. a) R$ 55,00;
 b) 10x + 15.
O problema 81 oferece no-
vamente uma oportunidade de 
se mencionar a “análise dimen-
sional”. 
O produto (Reais/hora) x horas 
resulta em Reais.
82. a) Multiplicar 12 pelo núme-
ro de dias que ele trabalha 
por semana;
 b) S = 12y.
ATIVIDADES ORAIS
•	 Não.	Porque	a	um	pai	podem	
corresponder vários filhos.
•	 Sim.	 Porque	 a	 cada	 marido	
corresponde uma única espo-
sa.
•	 Não.	 Porque	 a	 cada	 chefe	
podem corresponder diversas 
pessoas.
•	 Não.	Porque	uma	letra	pode	ser	
inicial de diversas palavras.
•	 Sim.	Porque	cada	palavra	tem	
uma única inicial.
Comente: As diversas aplica-
ções que você verá nesta seção, 
bem como outras que serão sim-
plesmente citadas, o convencerão 
da grande importância do estudo 
de funções.
80. Complete	as	tabelas	abaixo	em	seu	caderno:
n 3 4 7 10
3n + 1 10 13 22 31
 n –3 –2 0 3
 2n – 4 –10 –8 –4 2
a)
n 3 4 7 10
3n	+	1
b)
n –3 –2 0 3
2n	–	4
81. Um	técnico	em	TV	cobra	R$	15,00	para	visitar	o	cliente	e	mais	R$	10,00	
por	hora	de	trabalho.
a) Se o trabalho demorar 4 horas, quanto ele vai cobrar? 
b) E se o trabalho demorar x horas?
82. O	salário	de	João	é	calculado	na	base	de	R$	12,00	por	dia	trabalhado.
a) Escreva, com suas palavras, o que deve ser feito para calcular o salário de João numa 
semana. 
b) Escreva uma fórmula que calcule o salário S de João para um número y qualquer 
de dias trabalhados.
	 Em	diversas	atividades	do	dia	a	dia,	estabelecemos	correspondências	
entre	os	elementos	de	dois	conjuntos.
	 Nas	correspondências	a	seguir,	identifique	aquelas	caracterizadas	pelo	
fato	de	que,	a	cada	elemento	do	primeiro	conjunto,	corresponde	um	
único	elemento	do	segundo	conjunto:
•	 ...é pai de... (entre o conjunto de pais e o de filhos).
•	 ...é marido de... (em um conjunto de brasileiros casados).
•	 ...é chefe de... (no conjunto de pessoas de uma firma).
•	 ...é inicial da palavra... (no conjunto de palavras).
•	 ...tem por inicial a letra... (entre o conjunto de palavras e o de letras).
Aprendendo em casa
Funções, fórmulas, tabelas e gráficos
Explorando o que você já sabe
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89
 No	retângulo	da	figura	a	seguir,	usamos	a	variável x	para	representar	a	
medida	da	altura,	e	o	binômio	3x	+	2	para	representar	a	medida	da	base.
3x + 2
3x + 2
x x
Comente que, no caso 
do exemplo, como em 
P(x) = 8x + 4, x deve ser 
positivo (por ser medida 
de segmento), os valores 
de P(x) são maiores que 4. 
Convença-os dando a x valo-
res positivos e bem pequenos 
como 0,001, 0,00001 etc., 
para que verifiquem que a 
primeira parcela 8x se torna 
tão próxima de zero quanto 
mais próximo de zero for o 
valor atribuído a x; logo, a 
soma 8x + 4 assume valores 
próximos de 4, maiores que 
4. Logo, o conjunto-imagem 
é o conjunto dos números 
reais maiores que 4.
Diga aos alunos para, em 
casa, anotarem o quadro em 
destaque da página.
Dê mais exemplos do uso 
das notações do tipo P(x) 
(P de x). Sugestão: nas ex-
pressões do exercício 73, 
escrever P(x) = 8x + 2, 
A(x) = 3x2 + x; no exercício 
79, escrever:
 V(c) = 1,10C + 0,20 etc.
Observe também que, 
quando nos referimos a uma 
função simplesmente pela lei 
dela, estamos cometendo um 
abuso de linguagem, pois, 
pela definição, para existir 
uma função são necessá-
rios dois conjuntos e a lei 
que satisfaça as condições 
da definição. Finalmente, 
diga que, dada uma fun-
ção expressa por uma lei 
y = f(x), se diz que x é a va- 
riável independente da fun-
ção (porque é possível dar a x 
qualquer valor do domínio), 
enquanto que y (ou f(x)) é 
a variável dependente (pois 
seus valores dependem dos 
valores dados a x).
	 Se	representarmos	o	perímetro	do	retângulo	acima	por	P(x)	(que	se	lê	 
P	de	x)	e	fizermos	os	cálculos	necessários	para	o	cálculo	desse	perí-
metro,	concluiremos	que:	
P(x)	=	8x	+	4
	 Se	substituirmos	a	variável	x	por	valores	numéricos	na	expressão	do	
perímetro,	a	cada	valor	dado	a	x	encontraremos	um	único	valor	corres-
pondente	para	o	perímetro.
	 Para	indicar	a	substituição	de	x	por	2	e	5	na	expressão	acima,	escre-
vemos	e	calculamos:
		 	 	 P(2)	=	8	×	2	+	4	=>	P(2)	=	16	+	4	=>	P(2)	=	20
		 	 	 P(5)	=	8	×	5	+	4	=>	P(5)	=	40	+	4	=>	P(5)	=	44
	 É	claro,	então,	que		
P(2,5)	=	8	×	2,5	+	4	=>	P(2,5)	=	20	+	4	=>	P(2,5)	=	24
	 Observe,	agora,	que	a	expressão	P(x)	=	8x	+	4	satisfaz	ao	que	se	afirma	
a	seguir,	desde	que	x	seja	positivo:
 Dados dois conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra que associa a 
cada elemento de A um único elemento de B.
 Ao conjunto A, dá-se o nome de “domínio da função”, e ao conjunto B, o nome 
de “contradomínio da função”.
 Designando a função por f, escrevemos: f : A  B (que se lê f de A em B), sig-
nificando que, a cada elemento x do domínio A, corresponde um único elemento 
y = f(x) de B, chamado de imagem de x pela função f, ou também valor da função 
f no ponto x. O conjunto que contém todas as imagens dos elementos do domínio 
chama-se “conjunto imagem da função”.
Aprendendo em sala de aula
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90
	 Note	que,	no	exemplo	do	retângulo,	na	página	anterior,	a	correspondência	
entre	o	conjunto	de	valores	possíveis	a	se	dar	a	x	(medida	da	altura)	e	o	
conjunto	de	valores	do	perímetro	P(x)	é	uma	função,	pois	a	cada	valor	
positivo	dado	a	x	corresponde	um	único	valor	para	o	perímetro	P(x).
	 E,	como	x	representa	medida	de	segmento,	é	possível	dar	a	x	qualquer	
valor	decimal	positivo,	o	que	nos	leva	a	concluir	que	o	domínio	dessa	
função	é	o	conjunto	dos	números	reais	positivos.	Como	vimos,	a	lei	de	
correspondência	é	P(x)	=	8x	+	4.
	 O	conceito	de	função	é	muito	importante	não	apenas	em	Matemática,	
mas	também	nas	mais	variadas	áreas	do	conhecimento	humano,	como	
você	verá	em	diversas	atividades	nas	próximas	páginas.	
	 Note	que,	nas	páginas	anteriores,	já	exploramos	diversas	atividades	com	
leis	de	funções,	como,	por	exemplo,	a	cada	valor	da	aresta	corresponde	
um	único	valor	do	volume	do	cubo,	a	cada	valor	do	raio	da	circunferência	
corresponde	um	único	comprimento	dela,	e	outras	correspondências	como:	
peso	de	uma	encomenda	e	o	valor	do	frete	para	seu	transporte,	preço	de	
custo	de	caderno	e	o	preço	de	venda,	número	de	dias	trabalhados	e	salário.	
Nessas	atividades,	não	é	difícil	identificar	os	dois	conjuntos	entre	os	quais	
se	está	estabelecendo	a	correspondência	entre	seus	elementos.		
83. Observe	a	tabela	de	países	e	respectivas	capitais	abaixo:	
PAÍS CAPITAL
Brasil Brasília
Venezuela Caracas
Argentina Buenos	Aires
Peru Lima
Itália Roma
França Paris
	 Responda:	
a) Existe algum país desta tabela que tenha mais de uma capital?
b) Existe país da primeira coluna cuja capital não esteja na segunda coluna?
c) A cada país da tabela corresponde uma única capital?
d) Nesta tabela, a correspondência entre o conjunto de países e o conjunto de capitais 
é uma função? Justifique sua resposta.
84. No	exercício	anterior,	quantos	elementos	existem	no	domínio	da	função?	
Quais	são	eles?
83. a) Não;
 b) Não;
 c) Sim;
 d) Sim, porque a cada 
país só corresponde 
uma única capital. 
Explore mais o exercício 83:
 a) pergunte qual o domí-
nio função; 
 b) pergunte: se apenas 
na segunda coluna 
houvesse mais nomes, 
como, por exemplo, 
Assunção, a corres-
pondência deixaria de 
ser função? (objetivo: 
os alunos devem en-
tender que, no segun-
do conjunto, podem 
existir elementos que 
não correspondem a 
elementos do domí-
nio);
 c) pergunte: se apenas 
na primeira coluna 
houvesse mais nomes, 
como, por exemplo,Alemanha, a corres-
pondência deixaria de 
ser função?
Como faremos a seguir, 
explore também correspon-
dências que sejam exem-
plos e contraexemplos de 
funções. 
84. Seis – Brasil, Venezuela, 
Argentina, Peru, Itália, 
França.
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91
85. O	professor	disse	para	3	alunos	desenharem,	no	quadro,	 retângulos	
com	a	mesma	área:	400	centímetros	quadrados.	
	 Discuta	com	seus	colegas	e	responda:
a) Imagine que um deles tenha desenhado um retângulo de base 25 cm e altura 16 cm. 
É possível que os outros tenham desenhado retângulos com medidas diferentes 
dessas? Neste caso, tente descobrir duas outras soluções.
b) A correspondência entre um conjunto de valores que representam áreas de retângulos 
e o conjunto de retângulos que têm tais valores como áreas é função? Justifique sua 
resposta.
86. Veja	as	duas	tabelas	de	funções	a	seguir.	Nelas,	a	primeira	linha	con-
tendo	valores	de	x	representa	o	domínio	das	funções.	
x 40 50 60 70 80 90
y 12 15 18 21 24 27
x 2 3 4 5 6 7
y 5 7 9 11 13 15
	 As	leis	de	correspondência	relacionadas	com	as	funções	estão	entre	as	
seguintes:	
	 y	=	x	+	3,	y	=	3x	–	1,	y	=	10/3,	y	=	2x	+	1,	y	=	2,5	x,	y	=	0,3x.	
a) Identifique, para cada tabela, a lei de correspondência correta. 
b) A lei correspondente a uma das tabelas pode ser expressa por uma fórmula que 
permite calcular porcentagens de números dados. Qual é ela e qual a taxa corres-
pondente? Justifique. 
c) Para obter os números ímpares 1 e 3, que valor você deve atribuir a x na lei de cor-
respondência da segunda tabela?
87. Observe	novamente	outras	tabelas,	nas	quais	a	primeira	linha	contendo	
valores	de	x	representa	o	domínio	das	funções	correspondentes.
y = 5x
x 3 4 7 3,2 12 1
y 15 20 35 16 60 5
y = kx (k  0 e constante)
x 3 4 7 3,2 12 1
y 3k 4k 7k 3,2k 12k k
a) Observando os produtos cruzados 3 × 20 e 15 × 4, bem como 3 × 4k e 3k × 4, o que 
você conclui sobre as razões 3 : 15 e 4 : 20? E sobre as razões 3 : 3k e 4 : 4k?
b) Calculando na primeira e na segunda tabela os sucessivos produtos cruzados pos-
síveis, Marília concluiu um fato interessante sobre a sequência de valores de x e a 
sequência dos valores correspondentes de y. Escreva em seu caderno o que você 
acha que Marília descobriu. 
85. a) Sim. Por exemplo:
 1º) base 40 cm e altura 
10 cm; 
 2º) base 50 cm e altura 
8 cm; 
 b) Não, porque a cada 
área dada correspon-
dem vários retângu-
los.
Esclareça aos alunos a 
razão dos termos “vários 
retângulos” na resposta (b) 
anterior. É necessário que 
compreendam que as medidas 
das bases e das alturas podem 
ser quaisquer números reais 
positivos. Exemplif ique: 
(32 cm; 12,5 cm), (62,5 cm; 
6,4 cm) etc.
86. a) 1a tabela y = 0,3x; 
2a tabela y = 2x + 1;
 b) A primeira tabela. A 
taxa é de 30% porque 
0,3 = 0,30 = 30/100 = 
30%; 
 c) x = 0 e x = 1, respecti-
vamente. 
Peça aos alunos que tragam 
nas próximas aulas recortes 
dos mais variados tipos de 
gráficos que encontrem em 
jornais, revistas ou quaisquer 
outros recursos disponíveis. 
Peça que procurem gráficos 
que representem variações de 
grandezas como consumos 
de água, álcool, gasolina, gás, 
óleo etc., bem como espaços 
percorridos, velocidades 
desenvolvidas, pressão, vo-
lume, temperatura, umidade 
do ar, índices de poluição.
 
87. a) 3 : 15 = 4 : 20 e 
 3 : 3k = 4 : 4k;
 b) Marília descobriu que, 
em ambas as tabelas, 
as sequências de va-
lores de x e de y são 
diretamente propor-
cionais. 
Comente com os alunos: 
vocês já viram anteriormente 
como definir quando duas 
grandezas são diretamente 
proporcionais; agora, com 
base no exercício 88 é possí-
vel dar outra definição: dize-
mos que duas grandezas são 
diretamente proporcionais 
se a cada valor x da primeira 
grandeza corresponder um 
valor y da segunda, satisfa-
zendo a lei y = kx (k  0 e 
constante).
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92
88. Uma	proporcionalidade	interessante:
 88.a) A mola aumentou 4 cm no 
comprimento, ou seja, 0,04 m. 
Substituindo x por 0,04 e F(x) 
por 1, na lei F(x) = kx, temos: 
1 = 0,04k => k = 1/0,04 => 
k = 25 kg/m;
 b) Como existe uma proporcio-
nalidade direta, se com 1 kg 
a mola aumentou 4 cm, com 
2,5 kg a mola aumentará 
2,5 × 4 = 10 cm. Logo, o com-
primento total da mola será 
a soma do seu comprimento 
original (14 cm) com a quanti-
dade que ela aumentou: 10 cm. 
 Outra forma de calcular é 
utilizando a função F(x) = 
25x (usando a constante K 
calculada no item a), subs-
tituindo 2,5 = F(x) = 25x 
e calculando x. Resposta: o 
comprimento da mola passará 
a ser de 24 cm.
89. a) Depois de 2 minutos, percorre 
6 cm e, depois de 3 minutos, 
percorre 9 cm; 
 b) Sim, porque a cada minuto ela 
percorre 3 cm; 
 c) 3 centímetros por minuto 
(3 cm/min); 
 d) Na fórmula d = 3t o coeficiente 
3 do t representa a velocidade 
da lesma em centímetros por 
minuto. 
Explore no quadro, utilizan-
do desenhos representativos da 
situação:
A posição de um objeto é 
dada por uma fórmula do tipo 
d = 45t + 13, t > 0.
 a) Se t = 0, d = 13. Interpretação: 
o objeto encontra-se a 13 uni-
dades de distância da origem 
das posições. 
 b) Se t = 1, d = 45 + 13, 
se t = 2, d = 2 x 45 + 13 
etc. Logo, o objeto se move 
com velocidade constante 
dada pelo coeficiente 45 da 
fórmula.
Explore o exercício 90 no quadro, 
sugerindo que os alunos façam um 
desenho representativo da situação, 
inserindo dados como posição inicial 
dos automóveis 5 km e 30 km (sob elas 
a indicação t = 0) e setas indicativas 
das velocidades sobrepostas com tais 
valores: 80 km/h e 60 km/h
90. a) Depois de 1 hora e 15 minutos, 
no quilômetro 100 da estrada. 
Como vão estar no mesmo pon-
to da estrada, devemos igualar as 
leis dos espaços percorridos, ob-
tendo a equação 80t = 60t + 25, 
cuja raiz (simplificada) é 5/4. 
Esta raiz corresponde ao tem-
po no qual estarão no mesmo 
ponto: 5/4 de hora, ou seja, 
1 hora e 15 minutos. Calcu-
lando o valor de y para o valor 
t = 5/4, em qualquer uma das 
leis, obtemos y = 100.
	 Uma	mola	 com	14	 cm	de	 comprimento,	 já	 suspensa,	 aumenta	 seu	
comprimento,	até	ficar	em	repouso,	para	18	cm,	quando	penduramos	
em	sua	extremidade	um	objeto	cujo	peso	é	1	kg.	Use	a	expressão	F(x)	
=	Kx	e	resolva:	
a) Calcule o valor da constante K em kg/m.
b) Calcule o comprimento da mola quando sustentar, em equilíbrio, objeto que pesa 2,5 kg.
89. A	distância	d,	em centímetros,	percorrida	por	uma	lesma	em	função	
do	tempo	t,	em minutos,	é	dada	pela	fórmula:	d	=	3t.
a) Pela fórmula, depois de 1 minuto a lesma percorre 3 cm. Quantos centímetros ela 
percorre depois de 2 minutos? E depois de 3 minutos?
b) Com base nos resultados anteriores, é possível concluir que a velocidade da lesma 
é constante? Justifique.
c) Se você respondeu afirmativamente à pergunta (b), qual o valor da velocidade?
d) Na fórmula, qual o termo que representa a velocidade?
90. Dois	automóveis	A	e	B	estão	estacionados	em	uma	 rodovia	nos	qui-
lômetros	0	e	25,	 respectivamente.	Suponha	que	os	automóveis,	com	
velocidades	constantes,	partam	no	mesmo	instante	e	no	mesmo	sentido	
e	tenham	os	espaços	percorridos	dados	pelas	seguintes	leis:	y	=	80t	e	 
y	=	60t	+	25,	respectivamente	(t	medido	em	horas,	a	partir	do	instante	inicial	
t	=	0,	e	y	medido	em	quilômetros,	a	partir	do	quilômetro	zero	da	estrada).	
a) Depois de quanto tempo os automóveis estarão no mesmo ponto da estrada, e em 
qual quilômetro? Justifique como efetuou os cálculos. 
b) Depois de 2 horas de percurso, sem parar, qual a distância entre os dois automóveis? 
Justifique.
c) O que representam, nas leis das duas funções, as constantes 80 e 60?
Em 1660 um cientista inglês, Robert Hooke, descobriu que, uma vez 
suspensa, uma mola de comprimento C
o
, até certos limites, aumenta seu 
comprimento de um valor x proporcionalmente ao peso nela suspenso ou 
à força (F) nela exercida. Dentre diversas aplicações desta descoberta, a 
mais simples você deve conhecer: as balanças de molas.
Agora, resolva as questões aseguir, usando o que já conhece: propor-
cionalidades diretas são expressas por funções cujas leis são do tipo 
F(x) = kx (k constante e diferente de zero).
 b) 15 quilômetros. Calculando y para t = 2, obtemos os espaços percorridos pelos dois automóveis a partir do instante inicial: 160 km e 
145 km. Logo, a distância entre eles é de 15 km;
 c) 80 e 60 representam as velocidades constantes dos dois automóveis em quilômetros por hora.
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93
91. O	lucro	unitário	na	venda	de	certo	artigo	é	dado	pela	função:
	 L(x)	=	–3(x	–	6)(x	–	30),	6	<	x	<	30,	onde	x	representa,	em	reais,	o	preço	
de	venda,	e	L(x),	o	lucro,	também	em	reais.	
a) Comprove que, vendendo o artigo por 10 reais ou por 26 reais, o lucro unitário é o 
mesmo. 
b) Existem preços de venda que não produzem lucro nem prejuízo? Se existem, quais 
são eles e por quê?
c) Compare os valores dos lucros para x = 17, x = 18 e x = 19. O que você concluiu?
92. Observe	as	duas	tabelas	a	seguir.	Na	primeira,	registramos	conversões	
de	metro	para	os	múltiplos	ou	divisores	do	metro	e,	na	segunda,	de	metro	
quadrado	para	múltiplos	ou	divisores	do	metro	quadrado.	Complete,	em	
seu	caderno,	os	símbolos	que	devem	substituir	corretamente	as	letras.
Antes do exercício 91, explore 
valores de x que satisfazem a 
condição 6 < x < 30.
91. a) Calculando L(10) e L(26), 
encontra-se para o lucro o 
mesmo valor: R$ 240,00;
 b) Existem: os preços de 
R$ 6,00 e R$ 30,00. Obser-
ve que os valores x = 6 e x = 30 
anulam, respectivamente, 
o primeiro e o segundo pa-
rênteses da expressão:
 L(x) = –3(x – 6)(x – 3). 
 c) L(17) = L(19) = 
 R$ 429,00 e L(18) = 432,00.
Comente: é possível pro-
var que o lucro de R$ 432,00 
c o r r e s p o n d e n t e a o va l o r 
x = 18 é, dentre todos os possíveis 
lucros, o maior deles.
Vamos provar este fato depois 
de explorar o exercício 129. 
92. a) km;
 b) mm;
 c) cm;
 d) hm2;
 e) km2;
 f) dm2.
f( t ) = t× (1 m)
t 1 10 0,1 1 000 0,001 0,01
f(t) m dam dm a b c
f( t ) = t× (1 m2)
t 100 0,01 0,0001 10000
g(t) m2 d e f
 
93. Considere	o	conjunto	{0;	1;	2;	3;	4}	como	domínio	das	funções	cujas	leis	
são	dadas	a	seguir:	P(n)	=	2n,	I(n)	=	2n	+	1,		A(n)	=	n2,		C(n)	=	n3.
a) Calcule, para cada uma delas, os valores correspondentes a estes cinco elementos 
do domínio.
b) Considere agora, como domínio de funções com as mesmas leis, o conjunto dos 
números naturais. O que você observa em relação ao conjunto imagem de cada uma 
delas neste caso?
94. Vamos	definir	uma	função	que	associa,	a	pares	ordenados	de	números	
reais	dados,	a	soma	desses	números.	Assim:
	 S(a,b)	=	a	+	b,	sendo	a	e	b	números	reais.
	 Exemplos:	S(3;	7)	=	3	+	7	=	10		S(–9;	6)	=	(–9)	+	(+6)	–	3
	 Do	mesmo	modo,	é	possível	definir	funções	que	associam,	a	cada	par	
ordenado	de	números	reais	dados,	sua	diferença	(na	ordem	dada),	seu	
produto,	seu	quociente	(na	ordem	dada):	D(a,b)	=	a	–	b;	P(a,	b)	=	a	×	b;	
Q(a,b)	=	a/b,	respectivamente.	
	 Aplique	as	leis	dessas	quatro	funções	aos	pares	ordenados	(a,b)	cons-
tantes	da	tabela	a	seguir:
(8;12) (–6;+18) (3,2;0,5) (0,4;10) (8,1;0,3) (3/4;7/8)
a b c d e f
93
. a
) 
P
(0
) 
=
 0
; P
(1
) 
=
 2
; P
(2
) 
=
 4
; P
(3
) 
=
 6
; P
(4
) 
=
 8
; I
(0
) 
=
 1
; I
(1
) 
=
 3
; 
 
 
I(
2)
 =
 5
; I
(3
) 
=
 7
; 
I(
4)
 =
 9
; 
A
(0
) 
=
 0
; A
(1
) 
=
 1
; A
(2
) 
=
 4
; A
(3
) 
=
 9
; A
(4
) 
=
 1
6;
 C
(0
) 
=
 0
; 
C
(1
) 
=
 1
; C
(2
) 
=
 8
; C
(3
) 
=
 2
7;
 C
(4
) 
=
 6
4.
 
b)
 N
úm
er
os
 n
at
ur
ai
s 
pa
re
s,
 n
úm
er
os
 n
at
ur
ai
s 
ím
pa
re
s,
 q
ua
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os
 p
er
fe
ito
s 
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cu
bo
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 n
úm
er
os
 
na
tu
ra
is
, r
es
pe
ct
iv
am
en
te
;
94
. S
(8
;1
2)
 =
 2
0;
 S
(-
6;
+
18
) 
=
 1
2;
 S
(3
,2
; 0
,5
) 
=
 3
,7
; S
(0
,4
;1
0)
 =
 1
0,
4;
 S
(8
,1
;0
,3
) 
=
 8
,4
; 
 
S
(3
/4
; 7
/8
) 
=
 1
3/
8;
 D
(8
;1
2)
 =
 -
4;
 D
(-
6;
+
18
) 
=
 –
 2
4;
 D
(3
,2
; 0
,5
) 
=
 2
,7
;
 
D
(0
,4
;1
0)
 =
 –
 9
,6
; D
(8
,1
;0
,3
)=
 7
,8
; D
(3
/4
; 7
/8
) 
=
 1
/8
; P
(8
;1
2)
 =
 9
6;
 P
(–
6;
 +
 1
8)
 =
 –
10
8;
 
 
P
(3
,2
; 0
,5
) 
=
 1
,6
; P
(0
,4
;1
0)
 =
 4
; P
(8
,1
;0
,3
) 
=
 2
,4
3;
 P
(3
/4
; 7
/8
) 
=
 2
1/
32
; 
 
Q
(8
;1
2)
=
 2
/3
; Q
(–
6;
+
18
) =
 –
1/
3;
 Q
(3
,2
; 0
,5
) =
 6
,4
; Q
(0
,4
;1
0)
 =
 0
,0
4;
 Q
(8
,1
;0
,3
) =
 2
7;
 Q
(3
/4
; 
7/
8)
 =
 6
/7
. 
Domínio	=	{1;	10;	0,1;	1	000;	0,001;	0,01} Domínio	=	{100;	0,01;	0,0001;	1	000}
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 93 10/05/13 19:44
94
Agora, escreva em seu caderno o que deve 
substituir as interrogações em cada item a seguir, 
como no exemplo:
R(F, 60º) = A
 a) R(B, 180º) = d) R(F, 360º) = 
 b) R(C, 240º) = e) R(C, 420º) =
 c) R(D, 300º) = 
E D
C
BA
F
O?
?
?
?
?
95.Observe	a	sequência	de	figuras	formadas	de	quadrados.	Em	cada	uma	
delas	foram	utilizados	segmentos	para	formar	cada	quadrado	da	sequên-
cia.	Para	a	figura	l,	temos	a	correspondência	1	=>	1	+	3	×	1	=	4	segmentos	
utilizados.	Para	a	figura	2	tem-se	a	correspondência	2	=>	1	+	3	×	2	=	7.	
	Obs.:	lados	comuns	a	dois	quadrados	são	contados	uma	única	vez.
95. a) f(n) = 1 + 3n; 
 b) 1 + 3n = 46 => n = 15; 
logo é a figura 15. 
Observe que, quando dize-
mos, a figura n e depois es-
crevemos (n =1, 2, 3,...), isto 
equivale a dizer: correspon-
dência entre cada figura n 
e... (ou seja, correspondência 
do conjunto de figuras para 
o conjunto de números de 
segmentos).
96. a) 800; 
 b) 700;
 c) 600.
97. a) E; 
 b) A; 
 c) C; 
 d) F; 
 e) D.
 
Professor(a), relembre aos 
alunos o que se quer dizer, no 
exercício 96, com a palavra 
“estimativa”: substituir os 
valores de a e b pelo número 
de ordem decimal exata mais 
próximo.
1 2 3 4
a) Discuta com seus colegas para descobrir a lei da função que estabelece a correspon-
dência entre a figura n e o número de segmentos f(n) utilizados para formar cada 
quadrado dessa figura (n = 1, 2, 3, 4,...). 
b) Qual a figura para a qual são utilizados 46 segmentos para formar todos os seus 
quadrados?
96.Agora	você	vai	trabalhar	com	estimativas.	Veja	a	lei	para	estimativas	de	
somas	de	pares	ordenados	de	números	reais	dados:	
 F(a	+	b)	=	estimativa	de	a	+	b.
	 Observe	a	tabela	de	pares	de	parcelas	e	escreva	em	seu	caderno	os	
valores	que	devem	substituir	corretamente	as	letras	da	segunda	linha	
da	tabela.
Soma	dada 714 + 213 592 + 163 422 + 213 480 + 110
F(a	+	b) 900 a b c
97.	Neste	 exercício	 você	 vai	 imaginar	 rotações	do	hexágono	 regular	 da	
figura,	em	torno	do	ponto	O,	no	sentido	anti-horário,	para	estabelecer	
correspondências	entre	seus	vértices,	usando	a	função	cuja	lei	é	definida	
assim:
R(v,	n)	=	v1
	 onde	v1	é	o	vértice	correspondente	à	posição	que	ocupará	o	vértice	
v,	girando	o	hexágono	em	torno	do	ponto	O,	n	graus,	no	sentido	anti-
-horário.	
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 94 10/05/13 19:44
95
98.	Observe	as	duas	tabelas	a	seguir: 98. a) m = 14,4;
 n = 18;
 p = 70;
 q= 300;
 r = 45; 
 s = 220;
 t = ¼ ;
 u = ½; 
 v = 1; 
 x = 2; 
 y = 4;
 z = 8.
 b) V;
 c) Basta fazer 2x = 1024 e 
fatorar 1024: 
 2x = 210  x = 10
Explore novamente o con-
ceito de figuras planas equiva-
lentes (figuras que têm a mesma 
área) perguntando aos alunos se, 
na ilustração do exercício 100, 
existem figuras equivalentes; em 
caso afirmativo, quais são e por 
que são equivalentes.
99. a) 6;
 b) 1;
 c) 6;
 d) 1;
 e) 1;
 f) 9;
 g) 36;
 h) 35;
 i) 18; 
 j) 72; 
 k) 13.;
 l) 54.
100. a) 9;
 b) 7;
 c) 9;
 d) 9;
 e) 6;
 f) 3.
y = 0,36 x
x 40 50 p q 125 s
y m n 25,2 108 r 79,2
y = 2x
x –2 –1 0 1 2 3
y t u v x y z
a) Escreva em seu caderno os valores que devem substituir corretamente as letras nas 
duas tabelas, usando as leis de correspondência nelas registradas.
b) V ou F: a lei de correspondência da primeira tabela pode ser interpretada como 
y igual a 36% de x.
c) Se, na segunda tabela, y = 1024, descreva como calcularo valor de x correspon-
dente.
99.	Considere	as	funções	que	associam	a	cada	par	ordenado	de	números	
naturais	dados	o	seu	máximo	divisor	comum	e	o	mínimo	múltiplo	co-
mum,	respectivamente:
	 	 M(x,y)	=	m.d.c.	de	x	e	y	 m(x,y)	=	m.m.c.	de	x	e	y
	 Para	cada	par	ordenado	de	números	da	tabela	a	seguir,	use	as	leis	dessas	
funções	e	escreva	em	seu	caderno	o	que	deve	substituir	corretamente	
cada	letra:
100. Considere	a	função	S	que	associa	cada	figura	X	do	quadro	abaixo	à	sua	
área,	considerando	cada	pequeno	quadrado	como	unidade	de	área.
(x,y) (12,18) (5,7) (6,18) (8,9) (1,13) (18,27)
M(x,y) a b c d e f
m(x,y) g h i j k l
S(X) = área da figura X
Escreva em seu caderno o que subs-
titui corretamente cada interrogação 
dos itens a seguir:
 a) S(A) = d) S(D) = 
 b) S(B) = e) S(E) = 
 c) S(C) = f)S(F) = 
 
?
A
B C
D E F ?
?
?
?
?
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96
101. Na	tabela	a	seguir,	você	vê	valores	correspondentes	de	duas	grandezas	
inversamente	proporcionais,	dadas	pela	lei	xy	=	60.	Escreva	em	seu	ca-
derno	os	valores	que	devem	substituir	corretamente	as	letras	da	tabela.
101. a = 4, b = 5, c = 100, 
 d = 2000, e = 90
 Comente que da igualdade 
xy = 60 conclui-se que x  0 
e y  0.
Faça breve abordagem oral so-
bre as atividades do “Aprendendo 
em casa” para verificar se os alunos 
estão aptos a resolvê-las.
102. 1o retângulo 
 P(y) = 6y + 6; 
A(y) = 2y2 + 3y.
 2o retângulo  
 P(z) = 8z + 2; 
A(z) = 3z2 + z.
103. a) P(5) = 36 e A(5)= 65;
 P(6) = 50 e A(6) = 114;
 b) 6y + 6 = 72 => y = 11;
 8z + 2 = 102 => z = 100/8 
=> z = 25/2 => z = 12,5
104.
105. a) Sim, porque a cada nome 
corresponde uma única 
inicial; 
 b) Não, porque a cada letra 
do conjunto corresponde 
mais de um nome, do qual 
ela é inicial.
Recomende ou explore a leitura 
de: “Álgebra”
Coleção Pra que serve a Ma-
temática?
 Imenes – Jakubo – Lellis. 
Atual Editora.
102. Observe	os	retângulos	a	seguir	e	escreva	os	perímetros	e	as	áreas	deles,	
em	função	das	variáveis	usadas	para	representar	suas	medidas:
103. Use	as	expressões	da	área	e	do	perímetro	dos	dois	retângulos	do	exercício	
anterior,	para:
a) Calcular seus valores para y = 5 e z = 6.
b) Calcular y e z se seus perímetros medem, respectivamente, 72 e 102.
104. Observe	as	tabelas	a	seguir:
a) Copie as duas tabelas em seu caderno e escreva o que substitui corretamente cada 
sinal de interrogação.
b) O que você pode dizer das sequências de valores de x e de y em cada caso?
105. Observe	os	seguintes	nomes	de	pessoas:	
	 Antonio,	Augusto,	Antenor,	Bernardo,	Benedito,	Márcia,	Marta,	Manoel.	
			 Agora	responda:
a) A correspondência entre esses nomes e suas iniciais é uma função? Justifique.
b) A correspondência “é inicial de” entre o conjunto de letras {A, B, M} e o conjunto 
que contém esses nomes é uma função? Justifique.
xy = 60 ou y = 60/x 
2 15 b 0,6 d 2/3
30 a 12 c 0,03 e
2y + 3
y
3z + 1
z
y = 8x
x 3 4 7 3,5 12 0,3
y ? ? ? ? ? ?
y = kx (k  0 e constante)
x 3 4 0,5 0,01 3/2 1
y ? ? ? ? ? ?
y 
=
 8
x
x
3
4
7
3,
5
12
0,
3
y
24
32
56
28
96
2,
4
y 
=
 k
x 
(k
 
 0
 e
 c
on
st
an
te
)
x
3
4
0,
5
0,
01
3/
2
1
y
3k
4k
0,
5k
0,
01
k
3k
/2
k
a) b)
 S
ão
 d
ir
et
am
en
te
 p
ro
po
rc
io
-
na
is
.
Aprendendo em casa
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97
	 Considere	a	expressão	y	=	3x	+	1,	na	qual	x	representa	números	reais.	
Diga	os	valores	de	y	correspondentes	a:
•	 x = 3 
•	 x = 10 
•	 x = 0,1 
•	 x = 2,5
ATIVIDADES ORAIS
•	10
•	31
•	1,3
•	8,5
Antes de explorar o texto 
que antecede o exercício 106, 
utilize alguns dos gráficos que 
foram solicitados aos alunos (ver 
página 89), para mostrar a grande 
importância dos gráficos no dia a 
dia (não somente os de funções). 
No caso de gráficos de funções, 
explore os conceitos de abscissas, 
ordenadas e coordenadas dos 
pontos, bem como os domínios 
das mesmas. Se julgar conveni-
ente, explore crescimento, de-
crescimento, máximos e mínimos 
de maneira intuitiva.
 Proponha pesquisas sobre 
a utilização dos gráficos de 
sismógrafos e dos eletrocar-
diogramas. Dois sites sobre 
os temas:
http://ciencia.hsw.uol.com.
br/questao142.htm” e “http://
www.centrodeestudos.org.
br/pdfs/ecg.pdf
 
106. a) Porque a cada valor 
de x corresponde um 
único valore de y. 
 b) y = 7 – x; bastou 
observar que todos 
os pares de valores 
correspondentes de 
x e y são tais que 
x + y = 7; logo, 
y = 7 – x. 
 c) (3; 4), (4;3); (5;2), 
(6;1), (7;0). 
	 No	capítulo	1	você	aprendeu	duas	importantes	atividades:	a	primeira,	
como	 representar	pares	ordenados	de	números	 reais	por	pontos	no	
plano	cartesiano,	e	a	segunda,	dados	pontos	no	plano	cartesiano,	como	
identificar	pares	ordenados	de	números	reais	correspondentes	a	esses	
pontos.	Nessas	atividades,	você	aprendeu	o	que	são	abscissas,	ordena-
das	e	coordenadas	dos	pontos,	bem	como	o	fato	de	que	a	cada	ponto	
do	plano	cartesiano	corresponde	um	único	par	ordenado	de	números	
reais,	e	reciprocamente.
	 Agora,	você	vai	utilizar	esses	conhecimentos	para	aplicá-los	em	diversas	
outras	atividades.	Veja	a	primeira	delas	no	exercício	a	seguir.
106. Em	exercícios	anteriores,	você	identificou	leis	de	correspondência	rela-
cionadas	com	tabelas	de	funções.	Observe	a	tabela	abaixo	e	responda	
aos	itens	que	se	seguem.
a) Por que a correspondência entre os valores de x e de y é uma função?
b) Discuta com seus colegas e descubra uma lei para esta função. Justifique sua res-
posta.
c) Complete em seu caderno a relação de pares ordenados correspondentes a esta 
função: (0;7), (1;6), (2;5),...?...
Significa que, 
se x representa qualquer 
número real, y é a soma 
do triplo desse número 
com 1.
O que 
significa
a expressão 
y = 3x + 1?
x 0 1 2 3 4 5 6 7
y 7 6 5 4 3 2 1 0
Domínio	=	{0;	1;	2;	3;	4;	5;	6;	7}
As funções e seus gráficos cartesianos
Explorando o que você já sabe
Aprendendo em sala de aula
S
on
 S
al
va
do
r
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98
107. Observe	a	tabela	a	seguir:107. a) Porque a cada valor de 
x corresponde um único 
valor y;
 b) y = 2x + 1;
 c) Gráfico do aluno. Conten-
do seis pontos isolados.
Professor(a): Recomenda-
-se explorar as atividades desta 
seção no quadro, acrescentando 
outras semelhantes quando julgar 
necessário.
7
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6 7
 No	exercício	anterior,	você	viu	que,	através	de	uma	tabela,	é	possível	
representar	uma	função	identificando	seu	domínio,	a	lei	de	correspon-
dência,	 e	 consequentemente	 relacionar	 todos	 os	 pares	 ordenados	
correspondentes	à	 função.	Agora,	veja	outro	modo	de	 representar	a	
mesma	função:	pelo	seu	gráfico	cartesiano.
x 2 3 4 5 6 7
y 5 7 9 11 13 15
Considere os pares ordena-
dos (x,y) de números, tais que 
y = 7 – x, para todos os valores de x 
pertencentes ao domínio da função 
do exercício 106 da página anterior. 
Representando no plano cartesiano 
todos os pontos correspondentes a 
esses pares ordenados, você obtém 
o gráfico cartesiano da função. 
Note que este gráfico é formado de 7 
pontos isolados porque os valores de 
x são os números naturais de 0 a 7.
a) Por que a correspondência entre os valores de x e de y é uma função?
b) Discuta com seus colegas e descubra uma lei para esta função.
c) Faça o gráfico cartesiano desta função. Use papel quadriculado.
	 Você	já	sabe	que	a	cada	número	real	corresponde	um	único	ponto	na	
reta	numerada	e	 reciprocamente.	 Isto	significa	que,	por	exemplo,	se	
formos	representar	na	reta	numerada	o	conjunto	de	todos	os	números	
reais	x	tais	que	–4		x		6,	vamos	obter	um	segmento	de	reta	cujos	
extremos	são	os	pontos	de	abscissas	–4	e	6,	respectivamente.	
	 Conjuntos	de	 números	 reais	 como	estes	denominam-se	 “intervalos	
numéricos	reais”,	ou	simplesmente	 intervalos	numéricos.	Veja	alguns	
exemplos:
	 O	conjunto	dos	números	reais	x,	tais	que	–2	, x	<	2,	é	formado	por	
todos	os	números	reais	que	correspondem	aos	pontos	do	segmento	
cujos	extremos	têm	abscissas	–2	e	2,excluindo-se o primeiro extremo, 
que não pertence ao conjunto.	Sua	representação	na	reta	é	a	segunda		
das	quatro	que	você	vê	na	ilustração	a	seguir.	
y
X
Domínio	=	{0;	1;	2;	3;	4;	5;	6;	7}
Domínio	=	{2;	3;	4;	5;	6;	7}
0
0
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99
108. a) –2 < x < 2 e 
 –2 < x < 2;
 Respostas variadas 
para os itens b e c. 
Por exemplo: 
 b) 1,99, 0,85, 0,01;
 c) –1,99, –0,95, –0,01, 
–1,02.
109. a) –3 < x  6; na reta, 
como o segundo in-
tervalo da ilustração 
com extremos –3 e 6;
 b) 3  x  9; na reta, 
como o primeiro in-
tervalo da ilustração 
com extremos 3 e 9;
 c) –10 < x < –4; na reta, 
como o quarto inter-
valo da ilustração com 
extremos –10 e – 4.
110. Representações dos 
alunos. 
 a) Intervalo aberto à 
esquerda;
 b) Intervalo fechado;
 c) Intervalo aberto à 
direita;
 d) Intervalo aberto.
111. a) Números reais nega-
tivos;
 b) Números reais posi-
tivos;
 c) Semieixo positivo das 
abscissas.
Represente, na reta, as 
semirretas correspondentes 
aos itens (a), (b) e (c) do 
exercício 111. Nos casos a 
e b a origem não pertence às 
semirretas.
108. Responda	ou	faça	o	que	se	pede:
a) Escreva as duplas desigualdades correspondentes ao terceiro e quarto intervalos 
representados na ilustração anterior.
b) Escreva 3 decimais positivos com duas ordens decimais que pertençam ao terceiro 
intervalo.
c) Escreva 4 decimais negativos com duas ordens decimais que pertençam ao quarto 
intervalo.
109. Escreva,	usando	dupla	desigualdade,	e	represente	na	reta	numerada:
a) Um intervalo, aberto à esquerda, de extremos –3 e 6;
b) Um intervalo fechado de extremos 3 e 9;
c) Um intervalo aberto de extremos –10 e –4.
1 10. Para	uma	boa	precisão,	use	régua	graduada	e	represente	na	reta	nu-
merada	os	intervalos	correspondentes	às	desigualdades	a	seguir.	Depois		
classifique-os	como	no	quadro	do	início	da	página.	
a) –4 < x  –1 c) –1,5  x < 3,5 
b) 1,5  x  3,5 d) –2,5 < x < 3
1 1 1 . Observe	agora	algumas	desigualdades	um	pouco	diferentes	e	respon-
da	ao	que	se	pergunta	sobre	elas.	Considere	que,	em	todos	os	itens,	x 
representa	números	reais.
a) Se x < 0, x representa infinitos números reais. Quais são eles?
b) Se x > 0, x representa infinitos números reais. Quais são eles?
c) Se x  0, como se chama a parte da reta cujos pontos têm como abscissas todos os 
possíveis valores de x?
Os extremos dos intervalos podem 
ou não pertencer aos intervalos. Por 
isto, eles recebem denominações di-
ferentes.
Por exemplo:
1º) Intervalo fechado
 –2  x  2.
2º) Intervalo aberto à esquerda
 –2 < x < 2.
3º) Intervalo aberto à direita
 –2 < x < 2.
4º) Intervalo aberto
 –2 < x < 2.
 1º 
2º
3º
4º
Ao lado, as denominações dos quatro 
intervalos.
–2 2
–2 2
–2 2
–2 2
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 99 10/05/13 19:44
100
Obs.: pelo aspecto delicado 
do tema, preferimos usar uma 
linguagem mais simples ao nos 
referimos ao fato de que o grá-
fico é uma linha que se traça 
sem saltos.
Comente: prova-se que toda 
função dada por uma igualdade 
da forma y = ax + b, sendo a e b 
constantes reais, tem por gráfico 
uma reta (se o domínio é o con-
junto dos números reais), ou uma 
parte da reta (se o domínio é um 
intervalo). 
Comente também: como bas-
tam dois pontos para determinar 
uma reta, para obter o gráfico 
visto na ilustração, basta calcular 
y para x = – 4 e x = 6, obtendo 
y = –10 e y = 10, respectivamen-
te, obtendo os pares ordenados 
(–4, –10) e (6,10), coordena-
das dos extremos do segmento 
gráf ico da função, pois neste 
caso o domínio é o intervalo 
fechado visto em destaque ver-
melho no plano cartesiano da 
ilustração. Desenhe no quadro 
um quadriculado representando 
um plano cartesiano como o que 
se vê antecedendo o exercício 112 
(10 linhas e 10 colunas) e pro-
ponha que façam os gráficos das 
funções y = 2x – 2, y = –2x + 4, 
ambas passando pelos pontos de 
abscissas 0 e 2, e das funções 
y = 4x, y = 3x + 2, passando 
pelos pontos de abscissas –1 e 0. 
Depois, confiram o que obtiveram 
com a ilustração que antecede o 
exercício 112.
Cite (e dê exemplos) de casos 
particulares da função afim: fun-
ção identidade [f(x) = x] e função 
constante [f(x) = c, c número 
real)]. Chame atenção para o fato 
de que quando a=0, na função 
af im f(x) = ax+b, então esta 
função é constante, ou seja, uma 
função constante (assim como 
a função identidade) são casos 
particulares de funções afins.
Mostre como obter as inter-
seções dos quatro gráficos da 
ilustração da página 99 com os 
eixos coordenados. Por exemplo, 
para y = 3x + 2:
a) Faça x = 0, obtendo a inter-
seção com OY: (0; 2)
b) Faça y = 0, obtendo a inter-
seção com OX: (–2/3; 0) 
a) x = 0 ⇒ y = 2;
b) y = 0 ⇒ x = – 2/3.
Comente: a parábola é uma 
curva cujos pontos equidistam 
de um ponto F e uma reta d, 
chamados foco e diretriz da pa-
rábola, respectivamente. Você terá 
oportunidade de estudá-la com 
mais detalhes no ensino médio. 
Nas páginas seguintes você terá 
oportunidade de ver diversas pa-
rábolas como gráficos de funções 
quadráticas.
	 Você	viu	que	o	gráfico	da	função	y	=	7	–	x	cujo	domínio	é	o	conjunto				
D	=	{	0;	1;	2;	3;	4;	5;	6;	7	}	é	formado	apenas	de	7	pontos	isolados.	
	 Se	o	domínio	de	uma	função	é	um	intervalo	de	números	reais	ou	o	pró-
prio	conjunto	dos	números	 reais,	existe	uma	diferença	muito	grande	
entre	o	gráfico	dessa	função	e	gráficos	de	funções	cujas	domínios	são	
subconjuntos	de		ou	Z.
	 Toda	função	f	tal	que,	para	todo	número	real	x,	faz	corresponder	um	
número	real	f(x)	=	ax + b,	sendo	a	e	b	constantes	reais,	chama-se	
função	afim.
	 Se	b	=	0,	a	função	chama-se,	em	particular,	função	linear:	f(x)	=	ax,	
x	 R
	 Toda	função	f	tal	que,	para	todo	número	real	x,	faz	corresponder	
um	número	real	f(x)	=	ax2 + bx + c,	sendo	a,	b	e	c	constantes	reais,	
e	a 	0,	chama-se	função	quadrática.
	 Os	matemáticos	provam	que,	no	plano	cartesiano:
a) O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical.
b) Toda reta não vertical é gráfico de uma função afim.
c) O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. 
Um exemplo da diferença men-
cionada você vê no gráf ico ao 
lado. Ele é o gráf ico da função 
y = 2x – 2, cujo domínio é o intervalo 
 –4  x  6. Observe que existem infini-
tos números reais entre –4 e 6. A cada um 
desses possíveis valores de x, a equação 
y = 2x – 2 faz corresponder um único 
valor para y, obtendo-se, portanto, 
infinitos pares ordenados que represen-
tados por pontos no plano cartesiano 
formam uma linha que se traça sem 
saltos, ou seja, um segmento de reta.
O	domínio	da	função	está	destacado	pelo	
segmento	vermelho	contido	no	eixo	dos	x.
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 
10
	 Funções	f:	A		B,	sendo	A	e	B	subconjuntos	do	conjunto	dos	números	
reais,	são	chamadas	funções	reais	de	uma	variável	real.	Em	particular,	
vamos	apresentar,	a	seguir,	duas	delas,	que	têm	como	domínio	o	conjun-
to	dos	números	reais,	cujo	estudo	é	muito	importante	pelas	aplicações	
de	tais	funções	em	diversas	áreas	do	conhecimento.	
	 Elas	são	chamadas	função	afim	e	função	quadrática. 
	 Veja	como	são	definidas:	
y
x
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	 Veja,	a	seguir,	exemplos	de	funções	afim,	seus	gráficos	e	aplicações.	
	 Lembre-se	de	que	tais	funções	têm	como	domínio	e	contradomínio	o	
conjunto	dos	números	reais;	portanto,	na	ilustração	se	vê,	apenas,	partes	
dos	gráficos.
Diga para os alunos que a 
parábola, bem como a superfície 
parabólica (que se obtém girando 
a parábola em torno de seu eixo 
de simetria), tem propriedades 
que permitem utilizá-la nos faróis 
de automóveis para que os raios 
luminosos saiam em um feixe 
paralelo, nas antenas parabólicas 
de recepção de sinais de televisão, 
nos radares. A própria parábola é 
útil na interpretação das trajetórias 
descritas nos lançamentos de pro-
jéteis e em diversas outras aplica-
ções da Física e outras disciplinas. 
Sepossível, use material concreto 
e exiba para os alunos a parábola 
como a curva que se obtém seccio-
nando uma superfície cônica por 
um plano contendo o diâmetro da 
base e paralelo à geratriz. Sugiro 
improvisar, confeccionando uma 
superfície cônica de papelão e 
cortando-a convenientemente de 
modo a mostrar que a curva cor-
respondente ao corte tem a forma 
de um pequeno trecho de parábola. 
Outra sugestão é propor que usem 
uma mangueira d’água e lancem 
um jato para cima, formando 
um ângulo de aproximadamente 
45 graus com a horizontal, e 
observem a trajetória descrita 
pela água. 
Comente: muitas vezes, em 
abuso de linguagem, nos referimos 
a funções reais de variável real, 
citando apenas a lei da mesma. 
Neste caso, você deve entender 
que o domínio da função é o mais 
amplo subconjunto possível do 
conjunto dos números reais. 
Por exemplo, citando: seja a função 
y = x –3 , o domínio dela deve ser 
entendido como o conjunto dos nú-
meros reais x tais que x > 3 porque, 
por definição de raiz quadrada, o 
radicando não pode ser negativo. 
112. a) São iguais a zero porque 
todo ponto do eixo das 
ordenadas tem abscissa 
zero. As ordenadas são, 
pela ordem das colunas da 
tabela:
 –2, 0, 2 e 4;
 b) Calculando nas leis, o va-
lor de y correspondente a 
x = 0;
 c) Coeficiente linear;
 d) +3 e representa a ordenada 
do ponto no qual o gráfico 
da função intercepta o eixo 
das ordenadas.
113. A taxa de variação da fun-
ção y = 4x é 4. (Para um 
aumento de 2 unidades em x, 
corresponde um aumento de 
8 unidades em y.
	 Com	base	nos	gráficos,	na	tabela	e	em	observações	adicionais,	você	
vai	desenvolver	diversas	atividades	nos	exercícios	que	seguem.
112.Cada	um	dos	quatro	gráficos	das	funções	da	tabela	intercepta	o	eixo	
das	ordenadas	em	um	único	ponto.
a) O que se observa com relação às abscissas desses pontos? Justifique e escreva as 
ordenadas desses pontos. 
b) Sem observar o gráfico, usando as leis das funções, como você obteria tais ordenadas?
c) Na tabela, esses valores das ordenadas constam de uma das linhas da tabela. Que 
nome cada um deles recebe?
d) Se uma função tem como lei y = –2x + 3, qual o coeficiente linear do seu gráfico 
e qual a interpretação geométrica que se dá a ele?
113.Os	pontos	 (0,–2),	 (1,0)	 e	 (2,2)	 (em	destaque	 vermelho)	 pertencem	ao	
gráfico	(azul)	da	função	y =	2x	–	2.	Observe	agora	que,	aumentando	 
x	de	0	para	1	e	de	1	para	2,	os	aumentos	correspondentes	das	orde-
nadas	são:	de	–2	para	0	e	de	0	para	2,	ou	seja,	para	cada	aumento	de	
uma	unidade	em	x,	corresponde	um	aumento	de	2	unidades	em	y. 
	 Dizemos,	então,	que	a	taxa	de	variação	desta	função	é	2.	
	 Use	os	pontos	(–1;	–4)	e	(1;4)	do	gráfico	(verde)	da	função	y	=	4x	para	
descobrir	a	sua	taxa	de	variação.
Gráficos de funções afim y = ax + b
Função y	=	2x	–	2 y	=	4x y	=	3x	+	2 y	=	–2x	+	4
Cor	do	
gráfico Azul Verde Vermelho Preto
Coeficiente	
angular	do	
gráfico:	a
2 4 3 –2
Coeficiente	
linear	do	
gráfico:	b
–2 0 2 4
Zeros	da	
função 1 0 –2/3 2
Zeros	de	uma	função	f	de	A	em	B	são	os	valores	x	do	
domínio	A,	tais	que	f(x)	=	0.	São	as	abscissas	dos	pontos	
de	interseção	do	gráfico	de	f	com	o	eixo	das	abscissas.Na	tabela	ao	lado,	as	colunas	têm	as	cores	dos	
gráficos	das	funções	afim	correspondentes
o x
(2; 2)
(0; 2)
y
(– , )
2
3
0
Unidade	de	medida:	lado	de	cada	quadrinho.
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114. a) Coeficientes angula-
res dos gráficos;
 b) Seu coeficiente an-
gular é 5 e significa 
que, a cada aumento 
de 1 unidade nos va-
lores de x os valores 
correspondentes de 
y aumentam 5 uni-
dades;
 c) Corresponde a um 
decréscimo;
 d) São funções crescen-
tes. 
 (y = 4 x e y = 3x + 2)
115. a) Porque todos os pon-
tos do gráf ico da 
função têm a mesma 
ordenada: –2;
 b) Sim; considerando 
a reta vertical que 
intercepta o eixo das 
abscissas no ponto 
(4,0), todo ponto dela 
tem abscissa x = 4;
 c) Sim; considerando 
a reta vertical que 
intercepta o eixo das 
abscissas no ponto 
(4,0), todo ponto dela 
tem abscissa x = 4.
116. a) Das abscissas;
 b) Decréscimos;
 c) Maior;
 d) Menor a ordenada 
correspondente.
114.Responda:
a) Na tabela, as taxas de variação recebem outro nome. Qual é esse nome?
b) Se uma função tem como lei y = 5x – 8, qual o coeficiente angular do gráfico da 
função e qual a interpretação que se dá a ele?
c) No gráfico da função y = –2x + 4, a cada aumento de uma unidade nos valores de 
x corresponde um aumento ou um decréscimo de 2 unidades nos valores de y?
d) Dizemos que a função y = 2x – 2 é uma função crescente e que a função y = –2x + 4 
é uma função decrescente. O que se diz das duas outras funções?
115.Faça	o	gráfico	representado	por	uma	linha	horizontal	que	corta	o	eixo	
das	ordenadas	no	ponto	(0,	2).	A	função	correspondente	a	este	gráfico	
chama-se	“função	constante”.	
a) Discuta com seus colegas e escreva por que se diz que a lei desta função é y = –2.
b) Marcelino disse que, no plano cartesiano, a igualdade x = 4 representa uma reta 
vertical. Você concorda com ele? Justifique.
116. Use	todos	os	dados	possíveis	contidos	nos	gráficos	ou	na	tabela,	para	
completar	no	caderno:
a) Dados dois coeficientes angulares positivos, quanto maior o coeficiente, maior o 
ângulo que o gráfico faz com uma semirreta de sentido positivo do eixo...?...
b) Coeficientes angulares negativos significam que a acréscimos nas abscissas corres-
pondem a...?... nas ordenadas correspondentes.
c) Coeficientes angulares positivos significam que, quanto maior a abscissa,...?... a 
ordenada correspondente. 
d) Coeficientes angulares negativos significam que, quanto maior a abscissa,...?... a...
Gráficos de funções afim y = ax + b
Função y	=	2x	–	2 y	=	4x y	=	3x	+	2 y	=	–2x	+	4
Cor	do	
gráfico Azul Verde Vermelho Preto
Coeficiente	
angular	do	
gráfico:	a
2 4 3 –2
Coeficiente	
linear	do	
gráfico:	b
–2 0 2 4
Zeros	da	
função 1 0 –2/3 2
Zeros	de	uma	função	f	de	A	em	B	são	os	valores	x	do	
domínio	A,	tais	que	f(x)	=	0.	São	as	abscissas	dos	pontos	
de	interseção	do	gráfico	de	f	com	o	eixo	das	abscissas.Na	tabela	ao	lado,	as	colunas	têm	as	cores	dos	
gráficos	das	funções	afim	correspondentes
o x
(2; 2)
(0; 2)
y
(– , )
2
3
0
Unidade	de	medida:	lado	de	cada	quadrinho.
	 Veja	novamente	os	gráficos	das	funções	afim:
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117.	Na	tabela	você	vê	o	que	significa	“zero	de	uma	função”.	Em	particular,	o	
zero	da	função	y	=	2x	–	2	é	o	valor	de	x	tal	que	y	=	0,	ou	seja,	devemos	
ter:	2x	–	2	=	0	=>	x	=	1.
a) Use as leis das outras três funções para calcular seus zeros.
b) V ou F: para calcular o(s) zero(s) de uma função y = f(x) resolvo a equação f(x) = 0. 
As raízes (quando existirem) são os zeros da função.
c) Interprete geometricamente o significado do(s) zero(s) de uma função.
d) V ou F: uma função constante não tem zeros ou tem infinitos zeros. Justifique.
118.Use	a	lei	das	funções	y	=	4x	e	y	=	2x	–	2	e	verifique	que	o	ponto	que	
pertence	aos	gráficos	das	duas	é	o	ponto	(–1,	–4).
a) Pode existir outro ponto que pertence aos dois gráficos? Justifique.
b) Resolva o sistema formado pelas equações y = 4x e y = 2x – 2. Qual a interpretação 
geométrica que se dá para o par ordenado de valores encontrados?
c) Sem resolver o sistema formado pelas equações y = 2x – 2 e y = –2x + 4, diga por 
que se encontrará y = 1 ao resolvê-lo. 
d) Usando o valor y = 1, como você encontraria o valor de x da raiz do sistema anterior? 
O que este valor representa?
119.Observe	novamente	o	gráfico	da	função	y	=	2x	–	2	e	responda:
a) Qual a abscissa do ponto de interseção do gráfico com o eixo das abscissas?
b) Observe o ponto do gráfico situado no primeiro quadrante e destacado com a cor 
vermelha. A ordenada dele é positiva ou negativa? A abscissa dele é menor ou maior 
que 1?
c) Se um ponto do gráfico tem ordenada y positiva, o que se pode dizer da abscissa x 
dele: x > 1 ou x < 1?
d) Considerando que y = 2x – 2, qual é a condição para x correspondente à inequação 
2x –2 > 0 : x < 1 ou x > 1? E para a inequação 2x – 2 < 0?
120.Descreva,	observando	o	gráfico	de	uma	função	 linear	y	=	ax + b	de	
coeficiente	 angular	 positivo	 cujo	 zero	 seja	x0,	 qual	 parte	do	gráfico	
corresponde:
a) À inequação ax + b > 0? 
b) À inequação ax + b < 0?
c) Responda às mesmas perguntas anteriores se o coeficiente angular é negativo
121.Com	base	em	suas	conclusões,	observe	a	tabela	e	os	gráficos	das	fun-
ções	y	=	3x	+	2	e	y	=	2x	+	4	e	resolva	as	inequações	a	seguir:
a) 3x + 2 > 0 b) 3x + 2 < 0 
c) –2x +4 > 0 d) – x + 4 < 0
117. a) Respostas na tabela ao lado 
dos gráficos.
 b) V;
 c) Quando existem, são os 
pontos nos quais o gráfico 
da função intercepta o eixo 
das abscissas;
 d) Verdadeiro. Se a lei da função 
é y = k, sendo k diferente de 
zero, seu gráfico é uma pa-
ralela ao eixo das abscissas; 
logo, não o intercepta, ou 
seja, esta função não tem ze-
ros. Mas a função constante 
y = 0 tem infinitos zeros por 
ser, o seu gráfico, o eixo das 
abscissas.
 Para confirmar o que se diz 
no enunciado do exercício 118 
existem dois recursos: o pri-
meiro, observando os gráficos 
(azul e verde) se verifica o que 
se afirma; o segundo fazendo 
x = –1 nas duas leis e concluin-
do que o valor correspondente 
de y em ambas é –4. 
 a) Não, porque, se os gráficos 
tivessem outro ponto em 
comum, se restringiriam a 
uma mesma reta, o que é 
impossível porque existem 
pontos que pertencem a 
uma delas e não pertencem 
à outra (e reciprocamente); 
 b) Obtém o par (x, y) = 
(–1, –4); logo, a raiz do sis-
tema é dada pelas coordena-
das do ponto de interseção 
dos gráficos das funções 
cujas leis são as equações 
do sistema;
 c) Porque vê-se que os grá-
ficos das funções corres-
pondentes se interceptam 
no ponto de ordenada 1;
 d) A abscissa do ponto de 
interseção dos gráf icos 
(3/2 ou 1,5)
119. a) x = 1;
 b) positiva; maior que 1;
 c) x > 1; 
 d) x > 1; x < 1.
120. a) x > x
0
;
 b) x < x
0
;
 c) x < x
0
 e x > x
0
, respectiva-
mente.
Professor(a): explore com di-
versos outros gráficos todas as 
atividades desta seção.
121. a) 3x + 2 > 0 se x > –2/3;
 b) 3x + 2 < 0 se x < –2/3; 
 c) –2x + 4 > 0 se x < –2;
 d) –x + 4 < 0 se x > 4.
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122. a) A frase se justifica por dois 
motivos: primeiro, por sim-
ples observação dos gráficos 
citados se vê que o eixo dos y é 
eixo de simetria das parábolas 
correspondentes aos mesmos. 
Segundo porque, usando o 
que se diz na ilustração, as 
equações dos eixos de simetria 
são retas verticais de equações 
x = –b/2a e, como as fun-
ções têm todas o coeficiente 
b = 0, as equações dos eixos 
de simetria se reduzem todas 
à equação x = 0, ou seja, o eixo 
das ordenadas;
 b) x = – (–16)/(2)(–4), ou seja, 
x = –2; e x = –4/(2)(–1), ou 
seja, x = 2.
Professor(a): chame a atenção 
dos alunos para o primeiro cálculo do 
item (b) anterior: temos um sinal – da 
expressão x = –b/2a e depois um sinal – 
do b: (b = –16) no numerador; como no 
denominador também o a tem sinal –, 
(a = –4), resultam, na divisão, três sinais 
–, o que dará o quociente negativo x = –2.
123. a) Tabelas dos alunos centradas 
nas abscissas dos eixos de 
simetria x = –1, x = 2 e x = 3;
 b) Para obter as coordenadas 
dos vértices basta calcular as 
coordenadas dos pontos de in-
terseção dos eixos de simetria 
com os gráficos; as abscissas 
já estão calculadas no item 
(a), basta agora substituir seus 
valores nas leis das funções, 
obtendo y = –9, y = 1 e y = –2.
 c) 1ª) raízes x = 2 e x = 
–4; 2ª) raízes x = 1 e x = 
3; a terceira função não 
possui raízes reais, e sua 
interseção com o eixo das 
ordenadas é quando x=0, 
donde é o ponto (0,–11).
124.Se o coeficiente a da função 
y = ax2 + bx + c for positivo, 
seu gráfico é côncavo para cima 
(“boca para cima”) e, se for nega-
tivo, seu gráfico é côncavo para 
baixo (“boca para baixo”).
125. y = x2 + 2, y = x2 e y = x2 – 4 
são decrescentes para x < 0 e 
crescentes para x > 0;
 y = –x2 é crescente para x < o e 
decrescente para x > 0; 
 y = –x2 + 4x é crescente para 
x < 2 e decrescente para x >2.
122. O	eixo	de	simetria	dos	gráficos	correspondentes	à	2ª,	3ª,	4ª	e	5ª	funções	
acima	é	a	reta	vertical	x	=	0	(eixo	dos	y).	
a) Justifique a frase anterior.
b) Use a observação contida na ilustração anterior e calcule as equações das retas 
verticais que são os eixos de simetria dos gráficos das funções y = –4x2 – 16x – 12 
e y = –x2 + 4x. (Respectivamente, 1ª e 6ª função.)
123. Observe,	 na	 tabela,	 como	 calcular	 pontos	 do	 gráfico	 da	 função	 
y	=	–x2	+	4x.
Funções, funções quadráticas, seus gráficos e aplicações. 
Gráficos de funções quadráticas y = ax2 + bx + c
	Função	e	
Cor	do	gráfico a b c Zeros	das	
funções
y	=	–4	x2	–	16	x	–12 –4 –16 –12 (–3,0)	e	(–1,0)
y	=	x2 + 2 1 0 2 Não	existem
y	=	x2 1 0 0 (0,0)
y	=	x2	–	4 1 0 –4 (–2,0)	e	(2,0)
y	=	–	x2 –1 0 0 (0,0)
y	=	–	x2	+	4x –1 4 0 (0,0)	e	(4,0)
Zeros	de	uma	função	f	de	A	em	B	são	os	valores	
x	do	domínio	A,	tais	que	f(x)	=	0.
Observe	 que	 todos	 os	 gráficos	 das	 funções	
quadráticas	têm	um	eixo	de	simetria	vertical.
Prova-se	que	as	abscissas	de	 todos	os	pontos	
desses	eixos	de	simetria	são	dadas	pela	expressão	
–x
b
a
=
2
,	ou	seja,	eles	são	retas	verticais	de 
 equações	 –x
b
a
=
2
 
Os	 gráficos	 da	 1ª,	 5ª	 e	 6ª	 funções	 que	 têm	
coeficientes	a	negativos	são	côncavos	para	baixo,	
e	os	demais,	côncavos	para	cima.
3ª 2ª 4 
1ª 5ª 6 ª 
x
x –1 0 1 2 3 4 5
y –5 0 3 4 3 0 –5
	 Note	que	colocar	a	abscissa	do	eixo	de	simetria		como	elemento	central	
da	tabela	é	fundamental,	por	dois	motivos:	primeiro	porque,	calculando	
valores	anteriores	e	posteriores	a	essa	abscissa,	encontraremos	pontos	
das	duas	partes	do	gráfico:	a	crescente	e	a	decrescente;	e	segundo	
porque	basta	calcular	os	valores	anteriores	que,	por	simetria,	os	pos-
teriores	se	repetem	equidistantes	da	ordenada	do	eixo	de	simetria.
a) Faça as tabelas das funções quadráticas a seguir e esboce seus gráficos:
 1ª.) y = x2 + 2x – 8 2ª.) y = –x2 + 4x – 3 3ª.) –x2 + 6x – 11
b) O vértice de uma parábola é o ponto do gráfico cuja ordenada é a mesma do eixo de 
simetria. Dê as coordenadas dos vértices dos gráficos das funções do item anterior.
c) Dê os zeros das duas primeiras funções e o ponto de interseção do gráfico da terceira 
com o eixo das ordenadas.
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105
124. Escreva	uma	frase	que	relacione	os	sinais	dos	coeficientes	do	termo	
em		x2	das	funções	quadráticas	(em	geral	denotado	por	a)	com	a	con-
cavidade	dos	gráficos	correspondentes.
125. Observando	o	gráfico,	de	6ª	função	(y	=	–x2	+	4x),	dizemos	que	ele	é	cres-
cente	para	x	<	2	e	decrescente	para	x	>	2.	Agora,	determine	as	condições	
de	crescimento	ou	decrescimento	para	as	outras	funções	da	tabela.
126. Observando	os	gráficos	das	funções	y	=	x2	–	4	e	y	=	x2 + 2 (4ª	e	2ª),	con-
clui-se,	para	a	primeira,	que	x2 –	4		>	0	se	x	<	–2	ou	x	>	2,	e	que	x2	–	4	<	0	se	 
–2	<	x	<	2;	e	para	a	segunda	que	x2	+	4	>	0	qualquer	que	seja	o	valor	
de	x.	Justifique	estes	resultados.
127. Resolva	as	inequações	correspondentes	a	y	>	0	e	y	<	0	para	todas	as	
outras	funções	da	tabela.
128. Considere	um	retângulo	cuja	base	mede	10	–	x	e	cuja	altura	mede	x. 
a) Escreva a fórmula para a área A(x) deste retângulo, e escreva seu domínio. Justifique 
a resposta. 
b) Calcule os valores da área A(x) para valores naturais de x de 1 a 9 e escreva-os em 
uma tabela. 
c) O que acontece aos valores da área do retângulo, quando a medida de sua altura 
varia de 1 a 5? E quando varia de 5 a 9?
d) É possível imaginar, pela tabela, qual é o maior valor para a área desse retângulo?
126. O gráfico de y = x2 –4 (verde) 
tem pontos de ordenadas 
positivas para x < –2 ou 
x > 2 e negativas para 
–2 < x < 2, enquanto que 
o gráfico de y = x2 + 2 
(azul) tem todos os seus 
pontos com ordenadas 
positivas.
127. y = x2 é positivo para todo 
x  0 e y = –x2 é negativo 
para todo x  0. 
 y = –x2 + 4x < 0 para x < 
0 ou x > 4 e y =–x2 + 4x 
> 0 para 0 < x < 4.
128. a) A = 10x – x2; o do-
mínio é o conjunto dos 
números reais x tais que 
0 < x < 10 porque a 
base mede 10 – x > 0 ⇒ 
x < 10. Como a altu-
ra mede x, devemos ter 
x > 0 logo, 0 < x < 10.
 b) tabela: 
Comente que os eixos de si-
metria das parábolas de equações 
y = ax2 + bx + c podem ter suas 
equações dadas como x= –b/2a 
ou, também, pela abscissa x do 
ponto médio do segmento cujos 
extremos são os zeros desta fun-
ção. Exemplifique: no exercício 
129 o eixo de simetria é dado 
pela equação x = 5. (5,0) é ponto 
médio do segmento de extremos 
(0,0) e (10,0).
129. a) A(5) = 25 é o maior valor 
que a área pode ter; 
 b) Base e altura iguais a 
5; logo, trata-se de um 
quadrado. 
Retome o exercício 91 (página 
91). Como os zeros da função 
L são (6,0) e (30,0), o eixo de 
simetria tem equação x = 18, que 
é a abscissa do ponto máximo da 
função L.
5
–1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
vértice
10 
0
10
15
20
25
30
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
(x
)
9
16
21
24
25
24
21
16
9
c)
 o
s 
va
lo
re
s 
cr
es
ce
m
; o
s 
va
lo
re
s 
de
cr
es
ce
m
d)
 S
im
; p
ar
ec
e 
se
r 
25
.
129. O	arco	de	parábola	abaixo	é	o	gráfico	da	função	A(x)	=	10x	–	x2,	que	re-
presenta	a	área	do	retângulo	do	exercício	128	em	função	de	x.	Você	viu	
que	o	domínio	dessa	função	é	o	conjunto	dos	números	reais	x	tais	que	 
0 < x < 10.
	 Você	sabe	também	que	o	eixo	de	simetria	do	gráfico	é	a	reta	vertical	
de	equação	x	=	5,	que	intercepta	o	gráfico	no	ponto	(5,	25),	chamado	
vértice	da	parábola.
a) Como a função é crescente para x < 5 e decrescente para x > 5, o que se pode dizer de A(5)?
b) Nesse caso, quais as dimen-
sões do retângulo e que nome 
particular ele tem?
Explorando o que você aprendeu
e aprendendo mais
Mat9Cap3_NOVA2012.indd 105 10/05/13 19:44
106
Se ainda tem dúvidas sobre Reveja os exercícios
Conceito	de	monômios	e	polinômios,	fatores	numéricos,	
fatores	literais,	coeficientes,	somas,	diferenças,	produ-
tos,	quocientes,	potências,	monômios	reduzidos,	redu-
ção	de	termos	semelhantes,	monômios	semelhantes.
1	 a	 5,	 8,	 9,	 12	 a	 17,	 22,	 23,	 43,	 60,	
61,	62.
Como	expressar	perímetros	ou	áreas	usando	monômios	
ou	polinômios.
7,	11,	20,	21,	42,	44,	48,	49,	50,	51,	
57,	58.
Como	calcular	somas,	diferenças,	produtos,	quocientes	
ou	potências	de	monômios	ou	polinômios. 6,	10,	18,	19,	45,	46,	47,	63,	64,	65.
Como	classificar	polinômios	pelo	grau	e	pelo	número	de	
termos,	redução	de	termos,	e	como	obter	polinômios	
reduzidos.
24	a	33,	38,	39.
Como	ordenar,	reduzir	ou	completar	polinômios. 28,	29,	34,	35,	38,	39.
Como	identificar	coeficientes	de	monômios	ou	de	termos	
de	polinômios.	Como	identificar	variáveis. 15,	27,	28,	29,	30,	36,	38,	56.
Como	 interpretar,	 em	 linguagem	comum,	 expressões	
com	monômio,	polinômios,	produtos	e	potências	dessas	
expressões.
39,	40,	41,	53,	54,	55,	66,	67,	68.
Como	utilizar	regras	práticas	para	calcular:	o	quadrado	
da	soma	ou	da	diferença	de	duas	expressões,	o	produto	
da	soma	pela	diferença	de	duas	expressões	ou	o	produto	
de	dois	binômios	que	têm	um	termo	comum.
51,	52,	69,	70,	71,	72.
Como	deduzir	fórmulas	de	perímetros,	áreas	e	volumes	
dadas	as	dimensões	das	figuras	correspondentes	em	
função	de	uma	única	variável,	bem	como	fórmulas	que	
estabeleçam	correspondências	entre	duas	grandezas.
59,	73	a	79,	81,	82,	102,	103.
Como	reconhecer	se	uma	correspondência	entre	dois	
conjuntos	é	ou	não	função	e,	no	caso	afirmativo,	iden-
tificar	o	“domínio”	da	função.
80,	83,	84,	85,	86,	87,	93,	94,	96,	98,	
99,	101,	104,	105,	106.
Como	expressar	diversas	relações	físicas,	geométricas,	
econômicas,	utilizando	funções	em	uma	ou	mais	variáveis. 88,	89,	90,	91,	97.
Como	usar	 as	notações	 y	=	 f(x),	 F(x)	 para	 funções	e	
identificar	pares	(x,	f(x))	que	pertençam	aos	gráficos.
86,	87,	88,	89,	90,	96,	97,	98,	99,	100,	
101,	102,	104,	105,	122,	123.
Como	 representar	 funções	 por	 seus	 gráficos,	 seus	
diagramas	ou	suas	tabelas,	bem	como	identificar	seus	
domínios.
83,	86,	87,	92,	94,	106,	107,	115.
Como	representar	duplas	desigualdades	usando	seg-
mentos	da	reta	real. 108,	109,	110,	111.
Identificar	e	reconhecer	propriedades	de	funções	afim	e	
funções	quadráticas,	assim	como	seus	gráficos. 112,	113,	122,	129.
Identificar	 taxas	de	 variação,	 coeficientes	 angulares,	
coeficientes	lineares,	funções	crescentes,	funções	de-
crescentes,	funções	constantes.
114,	115,	116,	117,	118,	129.
Resolver	inequações	graficamente	através	da	interpre-
tação	de	gráficos	de	funções. 119,	120,	121.
Identificar	funções	quadráticas,	seus	gráficos,	seu	zeros,	
suas	regiões	de	crescimento	ou	decrescimento,	seus	
máximos	ou	seus	mínimos.
123,	124,	125,	126,	129.
Resolver	graficamente	inequações	do	segundo	grau. 127,	128.
? Verifique se você aprendeuUma demonstração de que a 
função
A(x) = 10x – x2, que expressa a 
área do retângulo do exercício 122, 
é máxima para x = 5 no domínio 0 
< x < 10, é:
a) A (5) = 50 – 25 = 25; 
b) A (5 + x) = 10(5 + x) – (x + 5)2 = 
 = 50 + 10x – 25 – 10x – x2 =
 = 25 – x2. 
Logo, seja:
 x > 0 ou x < 0, A (x + 5) é menor 
que 25, por ser a diferença entre 
25 e x2.
Ao término do estudo do capí-
tulo, reveja com os alunos, a seu 
critério, o significado de alguns 
dos termos destacados na cor azul 
no capítulo.
Releia o texto da página 34: “Ao 
elaborar questões [...] hexágono”.
o de uma função, gráfico de uma 
função. 
Se julgar oportuno, prove que o 
gráfico da função afim y = ax + b 
é uma reta. 
Desenhe no quadro um plano 
cartesiano.
Use a lei da função e marque os 
pontos (0, b) e (1, a + b) que per-
tencem ao gráfico. (Por comodida-
de, use o primeiro quadrante.)
Desenhe o triângulo retângulo 
cujos vértices são esses pontos e 
o ponto (1,b).
Use novamente a lei da função 
e marque um ponto genérico 
(x, ax + b).
Desenhe o triângulo retângulo 
cujos vértices são: (0, b), (x, b) e 
(x, ax + b).
Indique nos triângulos retân-
gulos (do menor para o maior) as 
medidas dos catetos horizontais 
(1 e x) e dos catetos verticais 
(a e ax).
Verifique que os dois triângulos 
retângulos obtidos são semelhantes 
pelo caso LAL (têm dois ângulos 
congruentes – ângulos retos –, e as 
razões entre os catetos correspon-
dentes são iguais: ax/a = x/1). 
Logo, os ângulos formados pelas 
hipotenusas dos dois triângulos 
retângulos com a paralela ao eixo 
das abscissas que passa pelo ponto 
(0,b) são iguais, o que compro-
va que qualquer ponto genérico 
(x, ax + b) pertence à mesma reta 
determinada pelos pontos (0, b), 
(1,a + b). 
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CapItulo 4
Equações esistemas de
equações
-
K
m
it
u 
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6
Neste capítulo, você vai rever ou aprender como:
• Resolver problemas usando equações do primeiro grau com uma variável.
• Inventar problemas relacionados com equações do primeiro grau.
• Interpretar como “equacionar” problemas dados.
• Resolver equações, reduzindo-as à forma ax = b.
• Verificar se números dados são ou não raízes de equações dadas.
• Verificar se pares ordenados de números são raízes de equações do primeiro 
grau com duas incógnitas.
• Resolver sistemas de equações do primeiro grau usando o método de substituição.
• Resolver problemas usando sistemas de equações do primeiro grau.
• Inventar sistemas de equações de primeiro grau que tenham como raiz um par 
ordenado de números dados.
• Classificar, pelo grau, polinômios com uma variável.
• Identificar, dentre diversas equações dadas, as do primeiro grau e as do segun-
do grau.
• Resolver equações fatoradas da forma a(x – r)(x – s) = 0.
• Verificar se números dados são raízes de equações do segundo grau dadas.
• Escrever equações do segundo grau na forma ax2 + bc + c = 0 e identificar seus 
coeficientes a, b e c.
• Resolver equações incompletas do segundo grau, sem uso de fórmulas.
• Resolver equações completasou incompletas do segundo grau, usando fórmulas.
• Interpretar o conceito de raiz quadrada.
• Usar o discriminante de uma equação do segundo grau ( = b2 – 4ac) para deci-
dir, discutir a natureza e a existência das raízes.
Ao lado, explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
Professor(a): Neste 
e em outros capítu-
los, são exploradas 
diversas si tuações 
para que os alunos 
“descubram”, a par-
tir de casos particu-
lares, propriedades de 
números, de figuras, 
regras de cálculos 
etc. É extremamente 
importante que, após 
estas “descobertas”, 
sejam feitas obser-
vações afirmando que 
tais conclusões são 
verdadeiras (e, even-
tualmente, provar estes 
fatos) para que não 
fique a falsa ideia de 
que, a partir de poucos 
casos particulares, é 
possível generalizar. 
Sempre que possível, 
use expressões algé-
bricas para expressar 
tais generalizações, 
bem como de algumas 
regularidades relacio-
nadas com sequências 
númericas.
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109
ATIVIDADES ORAIS
•	 Equações;
•	 Raiz;
•	 Sete;	
•	 A	equação	(d);
•	 A	 soma	 de	 um	 número	
com	três	é	igual	a	sete;
•	 Divide-se	15	por	–3.
Comente:
 a) O que são números 
opostos;
	 		9	e	–9,	–13	e	–13	etc.
 b) Em 9 x, 9 e x são fatores 
e,	em	27/3,	3	é	divisor.
Se julgar necessário, re-
veja:
	 a)	Cálculo	do	m.m.c.;
 b) Produto de fração por 
número inteiro. 
	 	 Ex.:	8	x	(3/4)	=	(8	x		3)/4;
 c) Simplificação de fra-
ções: 
	 	 8	(x	+	20)/8	=	1.	(x	+	20);
 d) Propriedade distributi-
va. 
	 	 Ex.:	4	(x	+	4)	=	4	x	+	16)
Neste capítulo, por diver-
sas vezes, iremos citar equa-
ções equivalentes ou sistemas 
de equações equivalentes no 
sentido de terem as mesmas 
raízes. Implicitamente este 
fato deve f icar entendido 
que estamos com um mesmo 
“conjunto universo” para as 
mesmas, ou seja, estamos 
considerando que as possí-
veis raízes pertencem a um 
mesmo conjunto numérico. 
Optamos por este procedi-
mento porque achamos um 
pouco sofisticado entrar em 
maiores detalhes com alunos 
desta faixa etária.
Se julgar necessário, re-
corde o conceito de raiz de 
uma equação.
•	 Como se chamam as igualdades ao lado?
•	 Na igualdade (c), substituindo x	por	5,	obteremos:	4	x	5	=	20.	
Que	nome	recebe	o	número	5	em	relação	a	essa	igualdade?
•	 Qual é a raiz da equação (b)?
•	 Qual das equações ao lado é relacionada com a frase “a terça 
parte de um número é igual a dois”?
•	 Diga uma frase relacionada com a equação (a).
•	 Que conta se faz para calcular a raiz da equação (e)?
a)	 x	+	3	=	7	
b)	 x	–	5	=	2	
c) 4x = 20 
d) x
3
2=
e) –3x	=	+	15
Relembrando o fundamental: 
 Resolver uma equação é substituí-la por equações equivalentes mais 
simples até se obter uma equação cujas raízes são evidentes.
 Para transpor uma parcela de um membro para outro em uma 
equação, basta trocá-la pela parcela oposta.
 x + 9 = 20 ⇒ x = 20 – 9 ⇒ x = 11
 Para transpor um fator de um membro para outro em uma equação, 
basta transformá-lo em divisor.
 9 27
27
9
3x x x= = = 
 Para eliminar denominadores de equações, basta multiplicar os dois 
membros da equação pelo m.m.c. dos denominadores.
	
3
4
20
8
x x
=
+ Multiplicando os dois membros da equação por 8, 
que é o m.m.c. dos denominadores 4 e 8, temos:
8
3
8
8
20
8
8x x
=
+ (( ) ( )3
4
8 20
8
x x
=
+
 
⇒ 2(3x) = 1(x + 20) ⇒ 6x = x + 20 ⇒ 
6x – x = 20 ⇒ 5x = 20 ⇒ x = 4 
( ) ( )⇒ ⇒
⇒⇒
Explorando o que você já sabe
resolvendo equações e problemas
Aprendendo em sala de aula
Mat9Cap4_NOVA2012.indd 109 10/05/13 19:50
110
Leia a observação na 
margem	da	página	43:	“Por	
questão [...] (simplesmente:
R$...)”. 
 
1. a)	20x;
	 b)	x	+	3;	
	 c)	16	(x	+	3);	
 d) O primeiro membro 
representa a quilome-
tragem total asfaltada 
ao fim de 20 dias, asfal-
tando x quilômetros por 
dia. O segundo mem-
bro representa a mesma 
quilometragem total 
asfaltada, se asfaltasse 
x	 +	 3	 quilômetros	 por	
dia,	durante	16	dias;
	 e)	x	=	12;
 f) A quilometragem as-
faltada por dia em 20 
dias;
 g) 240 km.
2. Tarefa do aluno.
Exemplo: Uma máquina 
trabalhou durante 7 dias para 
extrair certa tonelagem de 
minério, extraindo, a cada 
dia, a mesma tonelagem. Se 
tivesse retirado 6 toneladas 
a mais por dia, teria gasto 
5	dias	para	 retirar	a	mesma	
tonelagem total. Qual é esta 
tonelagem total?
R)	105	toneladas.
3. a)	8x	+	9;	
	 b)	x	+	1;	
	 c)	7	(x	+1)	+	8;
	 d)	8x	+	9	=	7(x	+	1)	+	8;
	 e)	x	=	6;
	 f)	 Cada	atleta	vai	correr	57	
km.
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B
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6
Resolvendo problemas e equações:
1. Uma máquina trabalhou durante 20 dias, para asfaltar um trecho de uma 
rodovia, cobrindo a mesma quantidade de quilômetros diariamente. Se 
tivesse coberto mais 3 km por dia, teria gasto 16 dias para asfaltar o 
mesmo trecho. Quantos quilômetros tem o trecho asfaltado?
a) Se chamarmos de x a quilometragem diária asfaltada durante os vinte dias, qual é 
a expressão que representa a quilometragem total asfaltada?
b) Qual é a expressão que representa a quilometragem diária necessária para que a 
máquina	gastasse	16	dias?
c) Qual é a expressão que representa a quilometragem total, se a máquina asfaltasse 
3	km	a	mais	por	dia?
d) Em	relação	ao	problema,	o	que	representa	a	equação	20x	=	16(x	+	3)?
e) Resolva a equação do item (d).
f) Em relação ao problema, o que significa a raiz dessa equação? 
g) Escreva a resposta ao problema.
2. Invente um problema cuja equação seja: 7x = 5(x + 6).
3. Dois atletas correrão uma mesma distância em uma pista oval. O que 
vai correr pela raia mais interna dará 8 voltas, e mais 9 quilômetros, 
para completar a distância. O que vai correr pela raia mais externa, que 
mede 1 km a mais que a interna, precisará dar 7 voltas, e correr mais 8 
quilômetros. Qual é a distância total percorrida pelos atletas?
a) Se chamarmos de x o total de quilômetros que mede a raia interna, qual é a expressão 
que representa o espaço a ser percorrido pelo atleta que a utilizará?
b) Como representar, usando a variável x, a medida da raia externa em quilômetros?
c) E como representar o espaço a ser percorrido pelo atleta que vai correr nela?
d) A distância a ser percorrida pelos dois atletas é a mesma. Use as expressões obtidas 
nos itens a e c para escrever uma equação que represente esse fato.
e) Resolva a equação obtida no item d.
f) Escreva a resposta ao problema.
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111
4. Invente um problema cuja equação seja: 9x + 14 = 7(x + 1) + 21.
5. Discuta com seus colegas e escreva uma frase que responda à seguinte 
pergunta: por que é importante saber resolver equações?
 Nos exercícios anteriores, você viu que, usando os dados do problema 
(o que se conhece) e representando a incógnita por uma letra (em geral, 
x, y, z), é possível obter uma equação que represente, em linguagem 
matemática, aquilo que o problema expressa em linguagem corrente.
O processo de encontrar a equação correspondente a cada pro-
blema dado chama-se “equacionamento do problema”.
6. O que é “equacionar” um problema?
7. Resolva as seguintes equações:
a) 10x	+	4	=	8(x	+	l)	+	2	 c) 12	–	3(2x	+	5)	=	1	+	4	(x	+	4)
b) 3	+	4(2	–	x)	=	1	–	2x	 d) 7	–	22(3x	–	5)	=	2	+	3(4x	–	7)	 	
8. As equações 3x = 18 e x = 6 são equivalentes. Por quê?
9. O que são equações equivalentes?
10. Resolva, “de cabeça”: x + 20 = 50.
11. Se você multiplicar os dois membros da equação x + 20 = 50 por cinco, 
vai obter essa nova equação: 5(x + 20) = 5 x 50. Sem resolvê-la, diga 
qual é a sua raiz.
12. Descreva o que acontece quando multiplicamos os dois membros de 
uma equação por um mesmo número diferente de zero.
4. Tarefa do aluno.
 R) x = 7.
5. Possível resposta: porque 
elas são muito úteis para 
resolver problemas.
6. É a descrição, sob a forma 
de equação, de um proble-
ma expresso em linguagem 
corrente.
7.	a)	x	=	3;	
	 b)	x	=	5;	
	 c)	x	=	–2;
	 d)	x	=	68/39.
Lembre-se de sempre 
solicitar que os alunos ve-
rifiquem, usandoos valo-
res encontrados ao resolver 
equações, se eles efetivamen-
te são as raízes das mesmas, 
substituindo tais valores nas 
equações dadas. Assim, em 
7a,	 devem	 obter	 30	 +4	 =	
8(3+1)	 +	 2,	 conf irmando	
que	 3	 é	 raiz	 da	 equação	
desse item.
8. Porque elas têm a mesma 
raiz.
9. São equações que têm as 
mesmas raízes.
10.	x	=	30.
11. A	raiz	é	30.
12. Obtemos uma equação 
equivalente à primeira.
O objetivo de colocar uma 
equação como a que se vê em 
destaque no quadro verde, ao 
lado, é mostrar para os alunos 
que é possível resolver equa-
ções por mais complexas 
que possam parecer. Não se 
trata aqui de questionar se 
existem situações do dia a dia 
que nos levem a tal equação, 
mas sim dotar os alunos de 
conhecimentos necessários 
à resolução de equações e 
problemas que as gerem. 
1
3
2 4
1
2
8 5 7x x−( )− +( )=
Professor, como 
faço para resolver equações 
como a do quadro?
É fácil! Vamos apenas 
recordar duas propriedades que 
ajudarão na compreensão de como 
resolver esse tipo de equações.
S
on
 S
al
va
do
r
S
on
 S
al
va
do
r
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112
 Você já sabe que:
a(b + c) = ab + ac
 e que
 Veja como usar essas propriedades para resolver a equação do quadro da 
página 109:
 Agora, multiplicamos os dois membros pelo m.m.c. de 3 e 2, que é 6:
 
 Como 6
3
2
6
2
3= =e , resulta: 2(2x – 4) – 3(8x + 5) = 42.
13. O restante da conta é com você. Termine o cálculo e verifique que a raiz é:
− = −65
20
13
4 
14. Resolva:
a) 
x x
2
3
5
11+ = d) 4
3
5
9
2
3
x x x
– = +
b) x + 2 = 
x
4
1
3
– e) x x+
=
1
4
2
5
–
 
c) 
x x+
=
−2
3
8
2
2
– f) 2
3
	(1	–	x)	+	x	=	
3
5
 (x + 2) 
15. Resolva, usando equações, os seguintes problemas:
a) A matriz e duas filiais de determinada loja enviaram, no mês de dezembro, um total 
de	15	975	correspondências.	A	matriz	enviou	o	triplo	de	correspondências	enviadas	
pela	primeira	filial,	e	esta,	225	a	mais	que	a	segunda	filial.	Calcule	o	total	de	cor-
respondências enviadas pelas duas filiais.
b) Certa importância foi dividida em partes iguais entre dois irmãos. Após algum 
tempo, o primeiro aumentou o valor inicial de sua parte em 40%, e o segundo dimi-
nuiu	o	seu	valor	em	30%.	Nessas	condições,	a	diferença	entre	eles	passou	a	ser	de	 
R$ 42 000,00. Calcule a importância inicial de cada irmão.
Explore situações análogas 
às dos dois primeiros quadros 
da página usando números para 
facilitar sua compreensão.
Recorde a multiplicação de 
frações por números naturais, 
bem como a simplificação de 
frações. Em particular, simplifi-
que	65/20.
13. Tarefa do aluno.
14.	a)	x	=	10;	
	 b)	x	=	–28/9;	
	 c)	x	=	10;		
	 d)	x	=	9/2;
	 e)	x	=	–13;	
 f) x = –2.
A verificação das raízes das 
equações	do	 exercício	14	 trans-
forma-se em bons cálculos de 
expressões com inteiros ou com 
frações.
Lembre-se sempre de utilizar 
recursos gráficos para facilitar 
a elaboração de estratégias de 
resolução dos diversos problemas, 
bem como é mais conveniente 
(não obrigatório) representar 
pela incógnita o valor da menor 
quantidade conhecida. Exem-
plificando:	No	problema	15	(a),	
sugerimos escrever no quadro: 
M	 (de	 matriz),	 F1	 (de	 primeira	
filial) e F2 (de segunda filial). 
Perguntando aos alunos qual 
delas enviou menor quantidade, 
chega-se à conclusão que foi a 
F2;	logo,	ao	lado	de	F2,	escreva:	 
F2	 =>	 x; 	 depois, 	 pela	 or-
dem, explorando o enuncia-
do,	 é	 possível	 chegar	 a	 F1	 =>	 
x	 +	 225	 e	 M	 =>	 3(x	 +	 225),	 e,	
finalmente, à equação:
x	+(x	+	225)	+	3(x	+	225)	=	15	975.	
É recomendável recordar como 
calcular acréscimos ou decrésci-
mos percentuais antes de explorar 
o	exercício	15(b).
15. a) 2a	filial:	3	015;	
	 	 1ª	filial:	3	240.
	 b)	Parte	inicial	x;
	 	 x	+	0,4x	=	x	–	0,3x	+
 42 000  
 0,7x = 42 000, 
 x = R$ 60 000,
 R) R$ 60 000.
 
1
3
1
3
1
3 3 3 3
× + = × + × = + =
+
( )a b a b
a b a b
1
3
2 4
1
2
8 5 7
2 4
3
8 5
2
7x x
x x
−( )− +( )= −
−
+
=
6
2 4
3
8 5
2
6 7
6 2 4
3
6 8x x x x−
−
+
= ×
−
−
+( ) ( 55
2
6 7
)
= ×
⇒
⇒( )
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113
c) O comprimento de um quadro retangular é o triplo de sua largura. O perímetro desse 
quadro é de 96 cm. Calcule a diferença entre o comprimento e a largura do quadro, 
nessa ordem.
d) O	perímetro	de	um	triângulo	é	43	cm.	Ordenamos	os	seus	lados	de	forma	que	a	
medida	do	segundo	lado	é	o	dobro	da	do	primeiro,	e	o	terceiro	mede	5	cm	a	menos	
do que o triplo da medida do primeiro. Calcule quanto mede o lado maior desse 
triângulo.
e) Numa segunda-feira, o número de cartas entregues por Antônio correspondeu ao 
triplo	das	que	Pedro	distribuiu,	menos	10	cartas.	Os	dois	juntos	entregaram		2	006	
cartas. Calcule a diferença entre o número de cartas que cada um entregou nessa 
segunda-feira.
f) Antônio,	Beatriz	e	Cláudio	possuem,	juntos,	R$	282,00.	Cláudio	tem	R$	19,00	a	
menos que Beatriz, e esta, o triplo do que tem Antônio. Calcule quanto Beatriz tem 
a mais que Antônio.
g) Numa	caixa	registradora,	existem	65	notas:	umas	de	R$	10,00	e	outras	de	R$	5,00,	
num	valor	total	de	R$	550,00.	Calcule	a	diferença	entre	os	números	de	notas	de	cada	
valor.
h) Em um dia, Pedro e André efetuaram a leitura de 2 064 hidrômetros. André leu o 
dobro do número de hidrômetros que Pedro, menos 6. Calcule a diferença entre o 
número de hidrômetros que cada um dos dois conseguiu ler.
16. Resolva, usando equações com coeficientes fracionários ou decimais:
a) Lúcia gastou 2/7 do que possuía e ainda ficou com R$ 70,00. Quanto Lúcia possuía?
b) Vander	gastou	1/4	do	que	possuía	e,	em	seguida,	mais	R$	21,00,	ficando	ainda	com	
2/5	do	que	tinha.	Quanto	Vander	possuía	inicialmente?
c) Um carteiro andou, certo dia, um total de 9 000 metros. Na parte da manhã, ele 
caminhou	1/7	a	mais	que	na	parte	da	tarde.	Calcule	a	diferença	entre	as	distân	cias	
por ele percorridas nos dois períodos, nesse dia.
d) Antônio	tem	R$	2,80	a	mais	que	Belizário,	e	este,	R$	3,50	a	mais	que	Cláudio.	
Belizário	e	Cláudio	têm,	juntos,	R$	104,62	a	mais	que	Antônio.	Quanto	possuem	
os três juntos?
e) Um refrigerante, um sanduíche 
e um salgadinho custam, juntos, 
R$	 3,80.	 O	 refrigerante	 custa	 
R$	0,30	 a	mais	que	o	 salgadinho,	 e	
este, a quinta parte do preço do sandu-
íche. Calcule a diferença entre o preço 
do sanduíche e o do refrigerante.
	 c)	x	+	3x	+	x	+	3x	=	96
  x	=	12	 2x = 24. 
 R) 24 cm.
	 d)	1o x, 2o	2x,	3o	3x	–	5	
 	x	+	2x	+	(3x	–	5)	=	43	
  x = 8.
	 	 R)	19	cm.
	 e)	P	=	x,	A	=	3x	–	10,	
	 	 x	+	(3x	–	10)	=	2	006	
 	x	=	504.
 R) 998 cartas.
	 f)	A	=	x,	B	=	3x,	
	 	 C	=	3x	–	19	
 7x	–	19	=	282		x	=	43.
 R) R$ 86,00.
 g) De dez = x,
	 	 de	cinco	=	65	–	x	
 	10x	+	(65	–	x)	.	5	=	550	
	x	=	45,
	 	 R)	25	notas.	
 h) P = x, A = 2x – 6 
 	3x	–	6	=	2	064
  x = 690.
 R) 684.
16. a) x – 2x/7 = 70  
	 	 5x/7	=	70	 x = 98.
 R) R$ 98,00.
	 b)	x	–	x/4	–	21	=	2x/5
  x = 60.
 R) R$ 60,00.
 c) x + (x + x/7) = 9 000 
  x = 4 200.
 R) 600 metros.
	 d)	C	=	x,	B	=	x	+	3,50,
	 	 A	=	x	+	3,50	+	2,80
	 	 x	+	(x	+	3,50)	=
	 	 (x	+	3,50	+	2,80)	+	104,62	x 
=	107,42.
			 	 R)	R$	332,06.
	 e)	salg	=	x,	sand	=	5x,	
	 	 r	=	x	+	0,30	 
	 	 7x	+	0,30	=	3,80	
 x	=	0,50.
	 	 R)	R$	1,70.
Algumas sugestões usando 
aritmética:
	 a)	7/7	–	2/7	=	5/7	equivalem	
a	70,00.	Logo,	1/7	equivale	
a	14,00	e	7/7	equivalem	a	
98,00. 
 R) R$ 98,00.
	 b)	1/4	e	2/5	equivalem	a	5/20	e	
8/20, respectivamente. Logo, 
21	 reais	equivalem	a	7/20,	
1/20	 equivale	 a	 3	 reais	 e	
20/20 equivalem a 60 reais. 
R) R$ 60,00.
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114
 Recorde 3 é raiz da equação 5x + 4 = 19 porque, substituindo a incógnita 
x por 3 na equação, tem-se: 5 × 3 + 4 = 19.
17. Em cada caso de a até h da tabela a seguir, verifique se o número dado 
é raiz da equação correspondente:
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificarse os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
17.	a)	Sim;	
	 b)	Sim;	
	 c)	Sim;	
	 d)	Sim;	
	 e)	Não;	
	 f)	 Sim;	
	 g)	Não;	
 h) Não.
18.	a)	x	=	7/9;	
	 b)	x	=	15/2;	
	 c)	x	=	–4/5;	
	 d)	x	=	–23/21;	
	 e)	x	=	–12.	
19.	a)	R$	4	100,00;	
	 b)	A	ficou	com	800;	
	 	 B	ficou	com	400;
	 c)	Um	custou	R$	45,00	e	
o	outro,	R$	72,00;
	 d)	30	canetas.
Sugestões:
(Comece sempre pelo me-
nor valor)
 a) Seja x o quanto Fátima 
possui...
 b) Seja x a quantidade de 
cartas de A...
 c) Seja x o menor dos 
preços...
 d) Seja x a quantidade 
de canetas da primeira 
gaveta...
18. Resolva as seguintes equações em seu caderno:
a) 3x	–1	=	
1
2
	(5	–	3x)	 d) 4 (x + 2) = 1
3
1 9( – )x 
b) x x
3
2
5
1– –= e) 
1
3
 (6 + 2x) = 
1
4
	(3x	+	12) 
c) 2
3 4
5
6
1
3
x x x
– = + 
19. Resolva, usando equações:
a) Lúcia,	Cláudia	e	Fátima	têm,	juntas,	R$	11	000,00.	Lúcia	tem	o	triplo	de	Cláudia,	
e	esta,	R$	500,00	a	mais	que	Fátima.	Calcule	quanto	Cláudia	e	Fátima	têm	juntas.
b) Dois carteiros, A e B,	tinham	1	200	cartas	para	distribuir.	Como	o	roteiro	de	B estava 
situado mais longe e incluía mais ladeiras que o de A, os dois dividiram as cartas 
entre si de modo que B ficou com a metade da quantidade de A. Calcule o número 
de cartas que ficaram com A.
c) Paula	pagou	por	dois	objetos	um	total	de	R$	117,00.	Um	deles	custou	R$	27,00	a	
mais que o outro. Calcule os preços dos dois objetos, em reais.
d) Ao fazer um levantamento do estoque de canetas da agência em que trabalha, An-
dreia	encontrou	um	total	de	108	unidades,	distribuídas	em	três	gavetas	distintas.	A	
segunda	gaveta	continha	12	canetas	a	mais	que	a	primeira,	e	a	terceira,	o	dobro	das	
encontradas na segunda. Calcule o número de canetas encontradas na segunda gaveta.
Número Equação
a 2 3x – 2 = 4
b 0 x2 = 3x
c 3 x2 – 3x = 0
d 2 x2 – 5x + 6
e –1 x2 – 2x = – 1
f –3 (x + 4)(x + 3) = 0
g 0 (x + 4)(x – 1) = 0
h 1 3x + 8 = 2x – 3
Aprendendo em casa
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115
20. Resolva, usando equações com coeficientes fracionários ou decimais:
a) Fábio	pagou	2/3	de	sua	dívida	e	ainda	ficou	devendo	R$	120,00.	Quanto	Fábio	devia	
e quanto já pagou?
b) Adriana	gastou	5/8	do	que	tinha	na	compra	de	um	vestido	e	2/7	na	compra	de	uma	
blusa,	ficando	ainda	com	R$	10,00.	Quanto	custou	cada	objeto	que	Adriana	comprou,	
e quanto ela possuía inicialmente?
20. a) F á b i o d e v i a R $ 
360,00	 e	 pagou	 R$	
240,00;	
	 b)	Vestido	=	R$	70,00;	
	 	 blusa	=	32,00.	
 Inicialmente ela pos-
suía:	R$	112,00.
Recorde: dada uma equa-
ção como x – y = 4, os pares 
ordenados	 (7;3),	 (10;	 6)	 e	
diversos outros são soluções 
da	mesma	(pois	7	–	3	=	4	.	10	
– 6 = 4 etc.)
ATIVIDADES ORAIS
Todos os cinco pares orde-
nados são raízes da equação 
x	+	y	=	10;
Apenas o par (8,2). 
No texto ao lado, mencio-
namos o fato de que os alunos 
já estudaram como resolver 
sistemas de equações usando 
o método de adição ( 8º. ano, 
capítulo	3).	Se	julgar	conve-
niente, recorde como resolver 
alguns sistemas usando o 
método de adição. Este fato 
propiciará aos alunos a esco-
lha do método que mais lhes 
convier ao resolver sistemas. 
Em particular, os sistemas do 
exercício	37,	página	119,	são	
ótimas opções para comparar 
as resoluções pelos dois 
métodos.
Lembre-se também, tal 
como se fez para equações, 
de recomendar que os alu-
nos usem a substituição dos 
pares ordenados encontrados 
ao resolver sistemas, nas 
equações, para confirmar 
se, efetivamente, são raízes 
do sistema. Em particular, 
destacar o fato de que um 
par ordenado pode satisfazer 
uma das equações sem que 
satisfaça a outra (no caso de 
sistemas de 2 equações). 
 Observe os pares ordenados de números a seguir e diga quais deles 
são raízes da equação x + y = 10:
•	 (2,8)
•	 (8,2)
•	 (4,6)
•	 (3,7;	6,3)
•	 (–2;	12)
 Qual o único dos pares anteriores que é também raiz da equação x – y = 6?
 Você já sabe resolver sistemas de equações usando o método de adição. 
Agora, você vai aprender um outro método que é muito útil, principal-
mente quando um dos quatro coeficientes das incógnitas for 1. Ele se 
chama “método de substituição”.
 No sistema a seguir, o coeficiente da incógnita x da segunda equação é 1.
 
 
2x + 4y = 18
x − y = 3 Podemos reescrever: 2x + 4y = 18
x = y + 3
 
 Logo, como x = y + 3, podemos substituir o “x” da primeira equação 
assim: 
 2(y + 3) + 4y = 18.
 Resolvendo essa equação, temos:
 2y + 6 + 4y = 18  2y + 4y = 18 – 6  6y = 12  y = 2.
 Como x = y + 3, e y = 2, resulta: x = 2 + 3  x = 5.
 Logo, a solução do sistema é x = 5 e y = 2.
Aprendendo em sala de aula
Resolvendo sistemas de equações e problemas
Explorando o que você já sabe
{ {
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116
 Vamos “verificar” o sistema: 
2x + 4y = 18
x − y + 3
 Isto é, vamos comprovar que as raízes encontradas estão corretas. 
Para tanto, basta substituir os valores encontrados 5 e 2, para x e y, 
respectivamente, nas equações do sistema.
 Assim: 2 5 4 2 18
5 2 3
( ) ( )
–
+ =
=
 
 Observação:
 A passagem x – y = 3  x = y + 3 chama-se “explicitar” a equação 
x – y = 3 para x. Observe que ela equivale a “isolar” a parcela em x no 
primeiro membro, passando as demais para o segundo membro. Isto 
favorece substituir o valor encontrado para x na outra equação, obtendo 
assim uma equação em uma só incógnita.
21. Leia o problema e responda às perguntas relacionadas com ele.
 
 Márcia comprou duas toalhas iguais e quatro caixas de leite de mesma 
capacidade, pagando pela compra 18 reais. Cada toalha custou 3 reais 
a mais que cada caixa de leite. Calcule o preço de uma dessas toalhas 
e o preço de uma caixa de leite.
a) Quais artigos Márcia comprou e qual foi a quantidade de cada um?
b) Quanto Márcia pagou, ao todo, por essa compra?
c) Quantos reais a mais custa cada toalha em relação à caixa de leite?
d) O que se quer saber no problema?
e) Quantas incógnitas tem esse problema: uma ou duas?
22. Agora, vamos equacionar o problema anterior. Responda ou faça o que 
se pede:
a) Se chamarmos de x o preço de cada toalha, que expressão representa o preço pago 
por todas elas?
b) Se chamarmos de y o preço de cada caixa de leite, que expressão representa o preço 
das caixas compradas?
c) Usando as variáveis x e y, que equação representa a despesa total que Márcia teve 
nessa compra?
d) Usando as variáveis x e y, qual das duas equações representa que cada toalha custa 
3	reais	a	mais	que	cada	caixa	de	leite:	x	–	y	=	3	ou	y	–	x	=	3?
Verdadeiro (porque 10 + 8 = 18).
Verdadeiro. 
Explore, após a observação:
Explicite para x: 
	 a)	x	+	2y	=	15;
	 b)	x	–	3y	=	4;
 c) 2x + 4y = 7.
Explicite para y: 
	 d)	x	+	2y	=	15;
	 e)	x	–	3y	=	4;
 f) 2x + 4y = 7.
Respostas:
	 a)	x	=	15	–	2y;
	 b)	x	=	4	+	3y;
	 c)	x	=	(7	–	4y)/2;
	 d)	y	=	(15	–	x)/2;
	 e)	y	=	(x	–	4)/3;
 f) y = (7 – 2x)/4.
21. a) Duas toalhas e quatro 
caixas	de	leite;	
	 b)	18	reais;	
	 c)	3	reais;	 	
 d) O preço de cada toalha 
e de cada caixa de lei-
te;
 e) Duas.
22.	a)	2x;	
	 b)	4y;	 	
	 c)	2x	+	4y	=	18;	
	 d)	x	–	y	=	3.
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117
23. Observe que, ao equacionar o problema 21, obtivemos duas equações 
que formam o sistema:
 
2 4 18
3
x y
x y
+ =
=–
 Você viu que, ao resolver esse sistema na página anterior, obtivemos 
x = 5 e y = 2. Use essas raízes para escrever a resposta do problema.
24. Observe o sistema:
 
5 10 600
71
x y
x y
+ =
+ =
a) Explicite a segunda equação para x.
b) Substitua o valor encontrado para x na primeira equação.
c) Resolva a equação na variável y que você obteve. 
d) Você deve ter achado y = 49. Substitua esse valor na equação do item (a) e resolva 
a equação na variável x resultante.
e) Você deve ter achado x = 22.
f) Verifique que os valores encontrados para x e y satisfazem às duas equações do sis-
tema, isto é, substitua-os nas duas equações e verifique que obterá duas igualdades 
numéricas.
25. Paulo retirou R$ 600,00 em umcaixa eletrônico. Ao conferir, observou ter 
recebido notas de R$ 5,00 e R$ 10,00 em um total de 71 notas. Quantas 
notas de cada valor Paulo recebeu?
a) Chame de x	o	total	de	notas	de	5	reais	re-
cebidas por Paulo. Qual é a expressão que 
representa a quantidade de reais recebida 
em	notas	de	5	reais?
b) Chame de y	o	total	de	notas	de	10	reais	
recebidas por Paulo. Qual é a expressão 
que representa a quantidade de reais re-
cebida	em	notas	de	10	reais?
c) Qual é a equação contendo as variáveis x 
e y que representa os 600 reais recebidos?
d) Qual é a equação contendo as variáveis x 
e y que representa o total de notas rece-
bidas?
26. Ao resolver o problema anterior, você encontrou duas equações que 
formam o sistema:
 
5 10 600
71
x y
x y
+ =
+ =
 Você já resolveu esse sistema e encontrou x = 22 e y = 49. Use esse 
resultado para escrever a resposta ao problema anterior.
23.	Cada	 toalha	 custou	 5	
reais e cada caixa de leite 
custou 2 reais.
24.	a)	x	=	71	–	y;	
	 b)	5	(71	–	y)	+	10y	=	600;
	 c)	y	=	49;	
	 d)	x	=	22;
 f) Tarefa do aluno.
Comente que a raiz do 
sistema do exercício 24 é 
(22;	49),	isto	é,	este	“par	orde-
nado” significa que x = 22 e 
y = 49.
25.	a)	5x;	
	 b)	10y;		
	 c)	5x	+	10y	=	600;	
	 d)	x	+	y	=	71.
26. Paulo recebeu 22 notas de 
R$	5,00	e	49	notas	de	R$	
10,00.
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{
{
{
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118
 Resolver o sistema 2 3 7
3 2 8
x y
x y
+ =
+ =
 pelo método de substituição.
 Explicitando a primeira equação para x, temos: 2 7 3
7 3
2
x y x
y
= =
−
– .
 Substituindo esse valor de x na segunda equação, temos:
3
7 3
2
2 8
21 9
2
2 8
−
+ =
−
+ =
y
y
y
y
 Multiplicando os dois membros por 2: 
 21 – 9y + 4y = 16 –9y + 4y = 16 – 21 –5y = –5 y = –
–
5
5
 y = 1
 Substituindo esse valor na segunda equação, resulta:
 3x + 2 (1) = 8 3x + 2 = 8 3x = 8 – 2 3x = 6 x = 
6
3
 x = 2
 Concluímos que a solução do sistema é (2;1).
27. Discuta com seus colegas e escreva uma frase que responda à seguinte 
pergunta: por que é importante saber resolver sistemas de equações?
28. Márcia comprou 2 pacotes de biscoito e 3 caixas de leite pagando 
7 reais pela compra. Se tivesse comprado 3 pacotes de biscoito e duas 
caixas de leite, teria pago 8 reais. Qual foi o preço de um pacote de 
biscoito e uma caixa de leite que Márcia comprou?
 Represente por x o preço do pacote de biscoito e por y o preço da caixa 
de leite. 
a) Qual é a equação que representa a compra de Márcia que ficou em 7 reais?
b) Qual é a equação que representa a compra de Márcia que ficaria em 8 reais?
c) Qual é o sistema de equações formado pelas equações dos itens (a) e (b)?
d) Esse sistema já foi resolvido no exemplo anterior. Use as raízes dele para escrever 
a resposta ao problema.
{
27. Possível resposta: porque 
elas são muito úteis para 
resolver problemas com 
mais de uma incógnita.
28.	a)	2x	+	3y	=	7;	
	 b)	3x	+	2y	=	8;
	 c)		2x	+	3y	=	7;
	 	 	3x	+	2y	=	8.
	 d)	1	 pacote	 de	 biscoito	
custa	R$	2,00	e	1	caixa	
de	leite	custa	R$	1,00.
Não. Ele 
pode ser usado 
sempre. No caso de 
coeficiente 1, a resolução 
fica mais fácil, mas veja 
um exemplo no qual 
nenhum coeficiente 
é igual a 1:
Professor, o 
método de substituição 
só serve quando um dos 
coeficientes é 1?
{
( )
 
⇒

 
		    
S
on
 S
al
va
do
r
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119
 Veja exemplos de sistemas cujas equações têm coeficientes que são 
frações ou decimais:
 1º EXEMPLO:
 (A) 
x y x y
x y
+
− =
−
+ =
3
2
4
2
3
 
 Multiplicando os dois membros da equação x y x y+ − = −
3
2
4
2
 por 6 
(m.m.c. dos denominadores 2 e 3), temos: 
 6
3
6 2
6 4
2
( ) ( )x y x y+
− × =
−  2(x + y) – 12 = 3(x – 4y)  
 2x + 2y – 12 = 3x – 12y  2x – 3x + 2y + 12y = 12  –x + 14y = 12. 
 Logo, o sistema pode ser reescrito assim:
 
− + =
+ =
x y
x y
14 12
3
 Resolvendo esse sistema, obtêm-se as raízes x = 2 e y = 1.
 2º EXEMPLO:
 (B) 0 2 0 3 0 7
0 03 0 02 0 08
, , ,
, , ,
x y
x y
+ =
+ =
 
 Multiplicando os dois membros da primeira equação por 10 e os dois 
membros da segunda equação por 100, teremos o novo sistema equi-
valente:
 
2 3 7
3 2 8
x y
x y
+ =
+ =
 Resolvendo-o, encontram-se as raízes x = 2 e y = 1.
Professor, os 
coeficientes das equações 
de um sistema são sempre 
números inteiros?
 
Não! Eles podem ser 
frações, decimais, 
irracionais, enfim, qualquer 
tipo de número real.
{
{
{
{
S
on
 S
al
va
do
r
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120
29. Resolva os sistemas a seguir e confira as respostas
1º)
1
2
3
2
2
1
2
1
2
y x
x y
= −
+ =
 4º)
3
4
5
2
8
2
3
2
5
x y
y x
+ =
= −
 7º) 
2º)
1
3
1
3
1
1
2
0
x y
y x
− =−
+ =
 5º)
7
2
5
4
12
4
3
2
4
x y
y x
– –=
= +
 8º) 
3º) 6º) 
 Respostas:
1º) (1,	–1)	 3º) (12,	12)	 5º) (–2, 4) 7º) (1,	2)
2º) (–2,	1)	 4º) (4, 2) 6º) (5,	12)	 8º) (2,	1)
30. Resolva, usando sistemas de duas equações:
Geraldo	e	Haroldo	têm,	juntos,	R$	16	000,00.	Geraldo	tem	R$	4	000,00	a	mais	que	
Haroldo.
Quanto possui cada um deles?
 Você deve estar pensando: como será que se inventa um sistema 
de equações?
 Observe, a seguir, como é simples inventar um desses sistemas:
 Inicialmente, inventamos o primeiro membro de duas equações quais-
quer com duas incógnitas. Por exemplo:
 Primeira: 3x – 2y =
 Segunda: 4x + y =
 Depois, escolhemos as raízes que queremos que elas tenham. Por 
exemplo, x = 1 e y = 2.
 Então, devemos ter como segundo membro da primeira equação
 3 (1) – 2 (2) = 3 – 4 = –1
 E, como segundo membro da segunda equação, 
 4 (1) + 2(1) = 4 + 2 = 6
 Logo, devemos escrever o sistema: 3 2 1
4 6
x y
x y
− =−
+ =
29. As respostas encontram-
-se no livro do aluno.
30. Geraldo possui: 
	 R$	10	000,00;
 Haroldo possui: 
 R$ 6 000,00.
{
{{
{
{
{
{
{
{
x
2
+
y
3
= 10
x
3
+
y
2
= 10
x + 1
3
−
y
4
= −1
y
3
−
3x + 1
4
= 0
3x − 6
10
+ 3 −
5y − 4
2
=
5y
2
y − x
4
+
x
8
−
7x − 5y
3
= y − 2x
0,3x + 0,4y = 1,1
0,5x + 0,2y = 0,9
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121
31. Agora, resolva o sistema inventado e verifique que as raízes são as que 
escolhemos.
32. Quais devem ser os números do segundo membro das duas equações 
a seguir para que a solução do sistema seja x = 3 e y = 4?
 
33. Invente um sistema cujas raízes sejam x = 4 e y = 5.
34. Invente um sistema cujas raízes sejam x = –2 e y = –4.
35. Invente um sistema cujas raízes sejam x = 0,5 e y = 1,5.
36. Resolva, usando sistemas de equações:
a) Um cliente apresentou um cheque de R$ 700,00 ao caixa do banco e pediu que ele 
fosse	pago	em	notas	de	R$	5,00	e	R$	10,00,	num	total	de	100	notas.	Se	você	traba-
lhasse no caixa, quantas notas de cada valor daria ao cliente?
b) Maura comprou um pote de margarina e um creme dental e pagou pela compra 
R$	2,58.	Marta	comprou,	na	mesma	loja,	dois	potes	de	margarina	e	um	creme	dental	 
e	pagou	R$	3,86.	Se	os	artigos	comprados	foram	de	mesma	marca	e	mesma	capa-
cidade, calcule o preço de cada um.
c) Laura	foi	à	cantina	e	pagou	R$	1,10	por	3	pastéis	e	um	copo	de	leite.	Mariza	pagou	
R$	1,00	por	2	pastéis	e	dois	copos	de	leite.	Qual	é	o	preço	do	pastel?	E	do	copo	de	
leite?
d) Fernanda comprou na can-
tina 2 salgados e um picolé 
e	pagou	R$	1,80.	Nei	com-
prou 4 salgados e 4 picolés 
e	pagou	R$	5,20.	Qual	é	o	
preço do salgado? E do pico-
lé?
37. Resolva os sistemas:
a) 
7a + 4b = 7
2a + 4b = 2
 c) 
5x + 2y= 22
2x + 3y = 11
 e) 
3x – 2y = 10
5x + 4y = 2
 
b) 
10x +2y =6
–5x +2y =–9
 d) 
2x + y = 1
3x – 4y = 29
 
{
31. Verificação do aluno.
32.		3x	–	2y	=	1
	 	4x	+	y	=	16	
33. Respostas variadas.
34. Respostas variadas.
35. Respostas variadas.
Invente um problema re-
lacionado com o sistema do 
exercício	37	(c).
Faça breve abordagem oral 
sobre as atividades do “Apren-
dendo em casa” para verificar 
se os alunos estão aptos a 
resolvê-las.
Sugestõessobre como re-
solver, usando aritmética, os 
exercícios	36	(a),	(b)	e	(c).
36.	 a)	Dando	100	notas	de	10	
reais, resultaria um total 
de	1	 000,00.	 Cada	 vez	
que troco duas notas 
de	 10	 reais	 por	 2	 de	
5	 reais,	 a	 importância	
se	 reduz	 em	 10	 reais.	
Como tenho que re duzir 
300	 reais	 para	 chegar	
aos 700 reais de sejados, 
devo	fazer	300	:	10	=	30	
substituições, ou seja, 
devo pagar com 60 notas 
de	 5	 reais	 (300	 reais),	
mais	40	notas	de	10	reais	
(400	reais);	
 b) Basta observar que as 
diferenças dos dois to-
tais pagos é exatamen-
te o preço de um pote 
de margarina. Logo, 
3,86	–	2,58	=	1,28.	Por-
tanto, o preço do creme 
dental	 é	 2,58	 –	 1,28	 =	
1,30;	
 c ) Por 6 pastéis e 2 copos 
de leite, ela pagaria 2,20. 
Como	 pagou	 1,00	 por	
2 pastéis e 2 copos de 
leite,	a	diferença	de	1,20	
corresponde ao preço de 
4 pastéis e, portanto, 
cada	um	deles	custa	0,30.	 
O copo de leite custa 
1,10	–	3(0,30)	=	0,20.
36.	a)	60	notas	de	R$	5,00	e	40	
notas	de	R$	10,00;
 b) O preço da margarina 
é	R$	1,28	e	o	preço	do	
creme	dental	é	R$	1,30;
 c) O preço do pastel é 
R$	0,30;	o	preço	do	leite	
é	R$	0,20;
 d) O preço do salgado é 
R$	 0,50;	 o	 preço	 do	
picolé é R$ 0,80.
37.	a)	a	=	1;	b	=	0;	
	 b)	x	=	1;	y	=	–2;	
	 c)	x	=	4;	y	=	1;
	 d)	x	=	3;	y	=	–5;
	 e)	x	=	2;	y	=	–2.
Jú
li
a 
B
ia
nc
hi
, 2
00
6
R
E
S
P
O
S
TA
S
R
E
S
O
LV
E
N
D
O
 (
A
),
 (
B
) 
E
 (
C
) 
U
S
A
N
D
O
 A
R
IT
IM
É
T
IC
A
{
{
{
{
{
{
Aprendendo em casa
3x – 2y =
4x + y =
?
?
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122
 Você sabe como reconhecer o grau de polinômio com uma variável. 
 Também as equações com uma variável são classificadas pelo grau. 
Em particular, você já resolveu diversas equações do primeiro grau. 
 As equações do primeiro grau são equações que podem ser colocadas 
na forma:
ax = b
 O coeficiente a representa qualquer número real diferente de zero e o 
coeficiente b representa qualquer número real.
 Veja alguns exemplos de equações do primeiro grau:
 1o) 4x + 4 – x = 19 – 5x  4x – x + 5x = 19 – 4  8x = 15
 2o) 4 – 3x – 2 +x = 18 – 3x  – 3x + x + 3x = 18 – 4 + 2  x = 16
 3o) 7x = 14
 4o) 8x – 9 = 0  8x = 9
 5o) – 3x + 12 = 0  –3x = –12
38. Escreva cada uma das equações a seguir, na forma ax = b:
 a) 5x – 3 + 6x = 21 – 7x + 3
 b) 5 + 7x – 3 = 21 – 5x + 5
ATIVIDADES ORAIS
• Porque o maior expoente 
de variável x	é	5.
• (h) e (i).
• (f) e (g).
• (a) e (c).
• (d) e (e).
Esclareça: 
1)	No	segundo	exemplo	(x	
= 16), o coeficiente de x	é	1;	
2) No quinto exemplo, se 
multiplicarmos os dois mem-
bros	da	equação	–3x	=	–12	
por	–1,	obteremos	a	equação	
equivalente	3x	=	12;
3)	Em	todas	as	situações,	
de ax = b obtém-se x = b/a. 
Use essa observação para 
pedir as raízes das equações 
dadas (simplificadas, se for 
o caso).
38.	a)	18x	=	27;	
	 b)	12x	=	24.
Observe os polinômios da coluna à direita: 
	 •	 Por que o polinômio da letra (b) é do quinto grau? 
Dê as letras correspondentes aos polinômios: 
	 •	 Do primeiro grau. 
	 •	 Do segundo grau. 
	 •	 Do terceiro grau. 
	 •	 Do quarto grau.
 a) 2	+	3x3 
 b) 2x5	–	5x	+	4x3 
 c) x	–	3x3 
 d) 5x4	–	3x2 
 e) 3x3	–5x	+	2x4 
 f) 3x2	–5x	+	4	
 g) x2 + 4x 
 h) 9 – 7x 
 i) 13	+	5x
Aprendendo em sala de aula
Explorando o que você já sabe
As expressões fatoradas e as equações
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123
39. Resolva as duas equações do primeiro grau do exercício anterior.
40. Dê exemplos de equação da forma ax = b, tais que os coeficientes a e 
b satisfaçam às seguintes condições:
a) a é positivo e b é positivo.
b) a é positivo e b é negativo.
c) a é negativo e b é negativo.
d) a é negativo e b é positivo.
41. Resolva as quatro equações que você inventou no exercício anterior.
42. V ou F: 
a) Resolvendo a equação ax = b, obtemos: x = 
b
a
 (a ≠ 0).
b) Se a e b são positivos, a raiz da equação ax = b é positiva.
c) Se a e b são negativos, a raiz da equação ax = b é positiva.
d) Se a e b têm sinais opostos (um é positivo e outro é negativo), a raiz da equação 
ax = b é positiva.
43. Observe os seguintes produtos de binômios do primeiro grau:
 (A) (x – 3) (x – 4)
 (B) (x – 5) (x + 6)
 (C) (x + 2) (x + 6)
a) Substitua x	por	3	em	(A)	e	calcule	o	produto.	
b) Substitua x por 4 em (A) e calcule o produto.
c) Substitua x	por	5	em	(B)	e	calcule	o	produto.
d) Substitua x por –6 em (B) e calcule o produto.
e) Substitua x por –2 em (C) e calcule o produto.
f) Substitua x por –6 em (C) e calcule o produto.
44. Use os resultados obtidos no exercício anterior e diga quais são as duas 
raízes de cada uma das seguintes equações:
a) (x	–	3)	(x	–	4)	=	0	 b) (x	–	5)	(x	+	6)	=	0	 c) (x + 2) (x + 6) = 0 
45. Observe a equação:
 (x – 3) (x – 4) (x – 5) = 0 
a) Use o que você já observou nos exercícios anteriores e diga quais são as raízes da 
equação.
b) Justifique sua resposta ao item (a).
39. a)	x	=	27/18	x	=	3/2;
	 b)	x	=	24/12	x = 2.
40. Tarefa do aluno.
41. Tarefa do aluno.
42. a)	V;	
	 b)	V;	 		
	 c)	V;	 	
 d) F.
Explore, perguntando se é 
verdadeiro ou falso: 
 a) Se o produto de dois 
números é zero, pelo 
menos	um	deles	é	zero;
 b) Se em uma multiplica-
ção um dos fatores é 
zero, o produto é zero.
43. a)	0;	
	 b)	0;
	 c)	0;
	 d)	0;
	 e)	0;
 f) 0.
Peça que justifiquem por 
que todos os produtos são 
iguais a zero.
Escreva o produto:
(x – 4) (x – 8) = 0 e pergunte 
qual é a conclusão correta:
1a)	x	=	4	e	x	=	8;
2a) x = 4 ou x = 8.
Justifique que a correta é 
a 2a porque x não pode repre-
sentar, simultaneamente, os 
números 4 e 8 (o e significa 
simultaneidade, isto é, ao 
mesmo tempo).
44. a)	3	e	4;
	 b)	5	e	–6;
 c) –2 e –6.
45. a)	3,	4	e	5;
 b) São os números que 
tornam o primeiro 
membro da equação 
igual a zero.
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124
 Você já usou a fórmula:
(x + a) (x + b) = x2 + Sx + P, onde S = a + b e P = a.b.
 para calcular os produtos:
(x + 4) (x + 7) e (x + 5) (x – 4)
 Em (x + 4) (x + 7) S = 4 + 7 = 11 e P = 4 x 7 = 28.
 Logo, (x + 4) (x + 7) = x2 + 11x + 28.
 Em (x + 5) (x – 4) S = 5 – 4 = 1 e P = (5) (– 4) = –20.
 Logo, (x + 5) (x – 4) = x2 + x – 20.
46. Usando a fórmula (x + a) (x + b) = x2 + Sx + P, calcule S e P em cada 
caso para verificar que:
a) (x	–	3)	(x	–	4)	=	x2	–	7x	+	12
b) (x	–	5)	(x	+	6)	=	x2	+	x	–	30
c) (x + 2) (x + 6) = x2	+	8x	+	12
47. Você já sabe que:
As raízes das equações são, respectivamente
(x – 3) (x – 4) = 0 x1 = 3 e x2 = 4
(x – 5) (x + 6) = 0 x1 = 5 e x2 = –6
(x + 2) (x + 6) = 0 x1 = – 2 e x2 = –6 
 Agora use os resultados do exercício 46 e escreva, em seu caderno, 
quais são as raízes das equações:
a) x2	–	7x	+	12	=	0
b) x2	+	x	–	30	=	0
c) x2	+	8x	+	12	=	0
 As equações: 
 x2 – 7x + 12 = 0, x2 + x – 30 = 0 e x2 + 8x + 12 = 0
 chamam-se equações do segundo grau. 
Se depois de reduzirmos os termos semelhantes de uma equação 
ela puder ser escrita na forma:
ax2 + bx + c = 0
 sendo a, b, c, números reais e a diferente de zero, dizemos que 
ela é uma equação do segundo grau.
46. Tarefa do aluno.
Esclareça que, no quadro 
do exercício 47, usamos x
1
 e 
x
2
 para representar as duas 
raízes exatamente porque são 
números	diferentes	(3	e	4)	e,	
portanto, não poderiam ser 
representados simplesmente 
pela letra x usando, entre 
eles, o conectivo “e”. 
47. a) x
1
	=	3;	x
2 
=	4;	
 b) x
1
	=	5;	x
2 
=	–6;	
 c) x
1
	=	–2;	x
2 
= –6.
Destaque para os alunos a 
razão pela qual o coeficiente 
a da equação 
ax2 + bx + c = 0 
não pode ser zero: este fato 
anularia o termo ax2 e faria 
com que a equação não mais 
fosse de segundo grau. No 
exercício 49, ele concluirá 
que os demais coef icien-
tes b e c podem ou não se 
anular separada ou simulta-
neamente.
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125
48. Os números dados na primeira coluna da tabela a seguir são raízes das 
equações do segundo grau vistas à direita deles. Verifique este fato, 
substituindo-os nas equações correspondentes:
48. Tarefado aluno.
49. a) –2x2	+	4x	–	11	=	0
 a = –2 
 b = 4 
	 	 c	=	–11;
 b) 7x2 + 0x – 9 = 0
 a = 7
 b = 0
	 	 c	=	–9;
 c) 2x2	–	4x	+	11	=	0
 a = 2
 b = –4
	 	 c	=	11;
	 d)	–3x2	–	5x	+	0	=	0
	 	 a	=	–3
	 	 b	=	–5
	 	 c	=	0;
 e) –2x2	+	0x	–	11	=	0
 a = –2
 b = 0
	 	 c	=	–11;
 f) nx2 + px + k = 0
 a = n
 b = p
 c = k
 g) –2x2 – 4x + 9 = 0 
a = –2
 b = –4
	 	 c	=	9;
	 h)	–19x2 + 0x + 0 = 0
	 	 a	=	–19
 b = 0
	 	 c	=	0;
 i) –2x2 + 4x + 0 = 0
 a = –2
 b = 4
	 	 c	=	0;
 j) x2	–	3x	+	8	=	0
	 	 a	=	1
	 	 b	=	–3
	 	 c	=	8;
	 k)	3x2	–	1/2x	+	6	=	0		
	 	 a	=	3	
	 	 b	=	–1/2
	 	 c	=	6;
	 l)	 8,3x2	–	0,4x	+	31,2	=	0
	 	 a	=	8,3
 b = –0,4
	 	 c	=	31,2;
	 m)	 1/2x2	–	3/4x	+	4	=	0	
a	=	1/2
	 	 b	=	–3/4
 c = 4. 
?
Números Equações
2 e 3 x2 – 5x + 6 = 0
–1 e –5 x2 + 6x + 5 = 0
–
1
2
2e 2x2 – 3x – 2 = 0
49. Em cada equação a seguir, ordene e complete o polinômio do primeiro 
membro e depois identifique os coeficientes a, b e c, escrevendo as 
respostas em seu caderno:
Equações do segundo grau: ax2 + bx + c = 0 (a ≠	0)
A –2x2 + 4x – 11 = 0 a = b = c =
B –9 + 7x2 = 0 a = b = c =
C 2x2 – 4x + 11 = 0 a = b = c =
D –5x – 3x2 = 0 a = b = c =
E –2x2 – 11 = 0 a = b = c =
F nx2 + px + k = 0 a = b = c =
G –2x2 – 4x + 9 = 0 a = b = c =
H –19x2 = 0 a = b = c =
I –2x2 + 4x = 0 a = b = c =
J x2 – 3x + 8 = 0 a = b = c =
K 3
1
2
6 02x x– + = a = b = c =
L 8,3x2 – 0,4x + 31,2 = 0 a = b = c =
M 1
2
3
4
4 02x x− + = a = b = c =
? ?
?
?
? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
? ? ?
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126
 Você viu que resolver uma equação do segundo grau, quando ela está 
fatorada, é fácil.
 Por exemplo, como as equações 
 x2 – 7x + 12 = 0 e x2 + x – 30 = 0
 foram dadas inicialmente fatoradas, (x – 3) (x – 4) = 0 e (x – 5) (x + 6) = 0, 
respectivamente, bastou verificar os valores que anulam seus fatores: 3 e 4 
para a primeira equação e 5 e –6 para a segunda equação, encontrando 
assim as raízes delas.
 Agora, você verá como proceder para resolver uma equação dada na 
forma ax2 + bx + c = 0, sem estar fatorada.
 Existem dois processos de resolução que você passará a aprender nas 
próximas atividades em sala de aula.
 Antes, porém, faça as atividades propostas para casa a seguir.
50. Escreva cada uma das equações a seguir na forma ax = b:
a) 8x	–	4	+	5x	=	19	–	3x	+	30
b) 15	+	9x	–	7	=	18	–	3x	+	9
51. Resolva as duas equações do primeiro grau do exercício anterior:
52. Observe os seguintes produtos de binômios do primeiro grau:
 (A) (x – 5) (x – 6)
 (B) (x – 3) (x + 4)
 (C) (x + 2) (x – 9)
a) Substitua x	por	5	em	(A)	e	calcule	o	produto.	
b) Substitua x por 6 em (A) e calcule o produto.
c) Substitua x	por	3	em	(B)	e	calcule	o	produto.
d) Substitua x por –4 em (B) e calcule o produto.
e) Substitua x por –2 em (C) e calcule o produto.
f) Substitua x por +9 em (C) e calcule o produto.
53. Use os resultados obtidos no exercício anterior e diga quais são as duas 
raízes de cada uma das seguintes equações:
 (A) (x – 5) (x – 6) = 0 
 (B) (x – 3) (x + 4) = 0
 (C) (x + 2) (x – 9) = 0
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
50. a)	16x	=	53;	
	 b)	12x	=	19.
51.	a)	x	=	53/16;
	 b)	x	=	19/12.
52.	a)	0;	
	 b)	0;	 	
	 c)	0;	 	
	 d)	0;	 	
	 e)	0;	 	
 f) 0.
53.	(A)	5	e	6;	(B)	3	e	–	4;	(C)	
–2 e +9.
Aprendendo em casa
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127
54. Observe a equação:
 (x – 4) (x – 6) (x + 8) = 0 
a) Use o que você já observou nos exercícios anteriores e diga quais são as raízes da 
equação.
b) Justifique sua resposta ao item (a).
55. Usando a fórmula (x + a) (x + b) = x2 + Sx + P calcule S e P para verificar 
que:
a) (x	–	5)	(x	–	6)	=	x2	–	11x	+	30
b) (x	–	3)	(x	+	4)	=	x2 + x –	12
c) (x + 2) (x – 9) = x2	–	7x	–	18
56. No exercício 53 você concluiu que:
 (A) As raízes da equação (x – 5) (x – 6) = 0 são: x1 = 5 e x2 = 6 
 (B) As raízes da equação (x – 3) (x + 4) = 0 são: x1 = 3 e x2 = –4 
 (C) As raízes da equação (x + 2) (x – 9) = 0 são: x1 = –2 e x2 = 9
 Use estes resultados e diga quais as raízes das equações a seguir. 
Justifique suas respostas.
 (A) x2 – 11x + 30 = 0 (B) x2 + x – 12 = 0 (C) x2 – 7x – 18 = 0
54. a)	4,	6,	–8;		
 b)Porque 4, 6 e –8 são os 
únicos números que 
anulam	o	1º	membro.
55. Tarefa do aluno.
Professor(a): Na margem 
da	 página	 123	 já	 f izemos	
uma observação que julga-
mos conveniente repetir aqui. 
Observe que nas equações do 
exercício	56,	existem	dois	va-
lores distintos para x que são 
raízes. Para exibi-las, temos 
duas opções. Por exemplo, 
no caso A ou escrevemos 
x	=	5,	ou	x	=	6	(“ou”	porque	
x não pode, simultaneamente 
ser	 5	 e	 6),	 ou	 escrevemos	 
x
1
	=	5	e	x
2
 = 6, usando índices 
significando que são valores 
não simultâneos de x. 
56. Raízes: 
 A) x
1
	=	5;	x
2
	=	6;
 B) x
1
	=	3;	x
2
	=	–4;
 C) x
1
	=	–2;	x
2
 = 9.
Justificativa: pelo exer-
cício	55,	as	equações	dadas	
são equivalentes às equações 
do	exercício	53.	Logo,	têm	as	
mesmas raízes.
ATIVIDADES ORAIS
•	 a	=	–3;	b	=	7;	c	=	–18.
•	 a	=	5;	b	=	0;	c	=	–8.
•	 a	=	7;	b	=	–9;	c	=	1.
•	 a	=	–9;	b	=	–8;	c	=	0.
•	 a	=	t;	b	=	r;	c	=	s.
•	 a	=	–8;	b	=	–9;	c	=	10.
•	 a	=	–3;	b	–	0;	c	=	0.
•	 a	=	–8;	b	=	7;	c	=	0.	
 Observe cada equação do segundo grau a seguir e diga quais são os 
seus coeficientes a, b e c:, quando colocadas na forma ax2 + bx + c = 0
•	 –3x2 +	7x	–	18	=	0
•	 –8	+	5x2 = 0
•	 7x2 –	9x	+	1	=	0
•	 –8x – 9x2 = 0
•	 tx2 + rx + s = 0
•	 –8x2 –	9x	+	10	=	0
•	 –3x2 = 0
•	 –8x2 + 7x = 0
Explorando o que você já sabe
Resolvendo equações do segundo grau
S
on
 S
al
va
do
r
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128
 Você já sabe que, se um produto de dois números é zero, pelo menos 
um deles deve ser igual a zero. Em linguagem matemática, este fato se 
representa assim:
 Se a . b = 0, então a = 0 ou b = 0.
 Por exemplo, 
 se 4(x – 3) = 0, como 4  0, concluímos que x – 3 = 0, ou seja, x = 3.
 Se 3x(x – 5) = 0, concluímos que ou 3x = 0, ou x – 5 = 0, o que nos dá 
duas raízes:
x1 = 0 e x2 = 5
 Se 9x2 = 0, como 9x2 = 9x . x, concluímos que existem duas raízes iguais: 
x1 = 0 e x2
 = 0.
57. Complete, em seu caderno, o que deve substituir corretamente as letras 
da tabela a seguir:
57.	a)	x	–	7	=	0	ou	x	–	4	=	0;
 b) x
1
 = 7 e x
2 
=	4;
	 c)	x	+	3	=	0	ou	x	–	3	=	0;
 d) x
1
	=	–3	e	x
2 
=	3;
	 e)	2x	=	0	ou	x	–	10	=	0;
 f) x
1
 = 0 e x
2 
=	10;
	 g)	x	=	0	ou	x	=	0;
 h) x
1
 = 0 e x
2 
= 0.
Recomende ou explore a 
leitura de:
“Equação do segundo 
grau”
Coleção Pra que serve a 
Matemática?
Imenes – Jakubo – Lellis.
Atual Editora
Se soubermos 
que
podemos concluir
que
ou seja, teremos as 
duas raízes
(x – 2) (x – 3) = 0 x – 2 = 0 ou x – 3 = 0 x1 = 2 e x2 = 3
(x – 5) (x + 3) = 0 x – 5 = 0 ou x + 3 = 0 x1 = 5 e x2 = – 3
7x (x – 4) = 0 7x = 0 ou x – 4 = 0 x1 = 0 e x2 = 4
5x2 = 0 x = 0 ou x = 0 x1 = 0 e x2 = 0
(x – 7) (x – 4) = 0 a b
(x + 3) (x – 3) = 0 c d
2x(x – 10) = 0 e f
0,35x2 = 0 g h
Aprendendo em sala de aula
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129
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU USANDO 
FATORAÇÃO
 Você já sabe que:
 1o) A equação 3x(x – 4) = 0 tem as raízes x1 = 0 e x2 = 4.
 2o) Podemos escrever: 3x(x – 4) = (3x) (x) – (3x) (4) = 3x2 – 12 x.
 Logo, se você souber a “passagem inversa” que transforma 
3x2 – 12x no produto 3x(x – 4), será fácil resolver a equação incompleta 
3x2 – 12 x = 0.
 Ela será equivalente à equação 3x(x – 4) = 0 e, portanto, suas raízes serão 
x1 = 0 e x2 = 4
 Essa “passagem inversa” chama-se “fatoração”.
 Existem diversos tipos de fatoração. Em particular, o que estamos abor-
dando chama-se “colocar o fator comum em evidência”.
 Vejamos como obter a igualdade 3x2 – 12x = 3x(x – 4).
 Se calcularmos o m.d.c. de 3x2 e 12x, encontraremos 3x. Este é o fator 
que deve ser colocado em evidência.
 Para “descobrir” o outro fator (x – 4), basta dividir sucessivamente 
3x2e –12x por 3x.
 Assim:
 
(3x2) : (3x) = x e (–12x) : (3x) = –4
 Finalmente, escrevemos a igualdade:
3x2 – 12 x = 3x(x – 4)
 Resumindo, temos:
Reveja com os alunos o 
cálculo do m.d.c. de expres-
sões numéricas e expressões 
literais.
Sugestões: dados
a = 23	x	32 x	5,
b = 22 x	33,
c = 24 x	 3	 x	 5,	 calcule	 o	
m.d.c. de a e b, a e c, b e 
c, usando a regra dos expo-
entes: produto dos fatores 
comuns, cada um com seu 
menor expoente.
Idem, 
a = 4x3	y2x5,
b = 8x2 y3,
c	=	12x4 y3	z5: 
fatore	 4,	 8	 e	 12	 e	 calcu-
le o m.d.c. de a e b, a e 
c, b e c, usando a regra dos 
expoentes.
Em casa, os alunos de-
vem anotar, no caderno, a 
tabela em destaque, no fim 
da página. 
Equação dada 3x2 – 12x = 0
Colocando o fator comum 3x em evidência.
(3x é o m.d.c. de 3x2 e 12x) 3x(x – 4) = 0
Se o produto é zero, então um dos fatores é zero.
3x = 0 
ou
x – 4 =0
Resolvendo a equação 3x = 0. 3x = 0  x = 0
Resolvendo a equação x – 4 = 0. x – 4 = 0  x = 4
As raízes de 3x2 – 12 = 0 são x1 = 0 e x2 = 4.
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130
58. Resolva as seguintes equações incompletas do segundo grau, calcu-
lando o m.d.c. dos seus termos e o colocando como fator comum em 
evidência:
a) 4x2	–	16x	=	0	 c) x2	–	16x	=	0
b) 3x2 – 27x = 0 d) 5x2	–	15x	=	0
59. Resolva as seguintes equações do primeiro grau:
a) 2x	–	3	=	0	 c) 9x	–	1	=	0	 e) 3x	–	8	=	0	
b) 5x	+	3	=	0	 d) 3x	–	1	=	0	 		
60. Agora, use o método do fator em evidência e os resultados anteriores 
para encontrar as raízes das seguintes equações do segundo grau:
a) 12x2	–	18x	=	0	 c) 27x2	–	3x	=	0	 e) 9x2 – x = 0
b) 25x2	+	15x	=	0	 d) 21x2 – 7x = 0 f) 3x2 – 8x = 0
 Você já sabe como calcular o produto da soma pela diferença de dois 
números. 
Fatorações:
58.	a)	4x(x	–	4)	=	0;	
	 b)	3x(x	–	9)	=	0;
	 c)	x(x	–	16)	=	0;
	 d)	5x(x	–	3)	=	0.
As raízes em cada caso são:
 a) x
1
 = 0 e x
2 
=	4;
 b) x
1
 = 0 e x
2 
=	9;
 c) x
1
 = 0 e x
2 
=	16;
 d) x
1
 = 0 e x
2 
=	3.
59. a)	3/2;	
	 b)	–3/5;	
	 c)	1/9;
	 d)	1/3;	
	 e)	8/3.	
60) Fatorações:
	 (a)	6x(2x	–	3)	=	0;	
	 (b)	5x(5x	+	3)	=	0;
	 (c)	3x(9x	–	1)	=	0;
	 (d)	7x(3x	–	1)	=	0;
	 (e)	x(9x	–	1)	=	0;
	 (f)	x(3x	–	8)	=	0.
Raízes:
 a) x
1
 = 0 e x
2
	=	3/2;
 b) x
1
 = 0 e x
2
	=	–3/5;
 c) x
1
 = 0 e x
2
	=	1/9;
 d) x
1
 = 0 e x
2
	=	1/3;
 e) x
1
 = 0 e x
2
	=	1/9;
 f) x
1
 = 0 e x
2
	=	8/3.
Explore mais exemplos de equa-
ções	como	as	do	exercício	61,	do	
tipo x2 = a, a positivo (não sendo 
quadrado perfeito). 
É conveniente mostrar aos 
alunos que existem equações do 
segundo grau que não possuem 
raízes. Sugiro explorar equações 
do tipo (x – b)2 + c = 0, sendo 
b um número real qualquer e 
c um positivo. Como o menor 
valor de (x – b)2 é zero, quando 
x = b, a soma desta parcela com 
um positivo é um positivo, ou 
seja, o primeiro membro não 
se anula para nenhum valor de 
x. Logo, a equação não possui 
raízes. Faça isto como valores par-
ticulares como sugiro: a equação 
x2	 –	 6x	+10	=	0	não	 tem	 raízes	
porque	equivale	a	(x	–	3)2	+	1=	0	
que é sempre maior que ou igual 
a l. Como não existem valores de 
x que a anulem, ela não tem raízes.
61. a)	(x	+	9)	(x	–	9)	=	0;
 x
1
	=	–9;
 x
2 
= 9.
	 b)	(y	+	7)	 (y	 –	 7)	=	0;	
y
1
	=	–7;
 y
2 
= 7.
	c)	 (2x	+	5)	(2x	–	5)	=	0;
 x
1
	=	–5/2;
 x
2 
=	5/2.
 devemos procurar dois números ou monômios tais que o primeiro seja o 
quadrado do primeiro termo, e o segundo, o quadrado do segundo termo. 
Depois, escrever o produto da soma desses números ou monômios pela 
diferença deles. 
 Como 36 é o quadrado de 6 e 16 é o quadrado de 4, as duas primei-
ras equações são facilmente fatoráveis e, portanto, é fácil encontrar 
suas raízes. 
 x2 – 36 = 0  (x + 6) (x – 6) = 0  x + 6 = 0 ou x – 6 = 0  x1 = –6 e x2 = +6
 y2 – 16 = 0  (y + 4) (y – 4) = 0  y + 4 = 0 ou y – 4 = 0  y1 = –4 e y2 = 4
 Para a terceira equação, observe que 9x2 é o quadrado de 3x, e 4 é 
o quadrado de 2.
 Portanto, podemos calcular:
 9x2 – 4 = 0  (3x + 2) (3x – 2) = 0  3x + 2 = 0 ou 3x – 2 = 0  
 x1 = –
2
3
 e x2 = + 2
3
 
61. Fatore o primeiro membro de cada equação e calcule suas raízes:
a) x2	–	81	=	0	 b) y2 – 49 = 0 c) 4x2	–	25	=	0
 Vamos relembrar al-
guns desses produtos: 
(x + 6) (x – 6) = x2 – 62 = x2 – 36
(y + 4) (y – 4) = y2 – 42 = y2 – 16
(3x + 2) (3x – 2) = (3x)2 – (2)2 = 9x2 – 4
 Observe, então, que para 
fatorar o primeiro membro 
das equações ao lado:
x2 – 36 = 0
y2 – 16 = 0
9x2 – 4 = 0
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131
 RESOLVENDO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU 
USANDO FÓRMULAS
 Você verá, a seguir, como é fácil resolver equações do segundo grau 
usando fórmulas. Para isto, basta que você saiba identificar quais 
os números que representam os coeficientes a, b e c da equação 
ax2 + bx + c = 0 e calcular raízes quadradas, seja por tentativas, seja 
usando calculadora, seja por simplificação de radicais.
 Veja, a seguir, um exemplo de como resolver uma equação do segundo 
grau usando fórmulas. 
 Veja, também, como verificar se as raízes encontradas estão corretas, 
isto é, se não houve engano ao serem efetuados os cálculos.
 Para resolver a equação: ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0
Se julgar conveniente, retome 
os exemplos de equações im-
possíveis e equações com raízes 
iguais, relacionando tais fatos 
com o fato de ser o radicando 
(discriminante) negativo ou zero, 
respectivamente. Estas atividades 
devem ser exercidas no quadro 
(por alunos) e conduzidas com 
perguntas pertinentes. 
Observação: como se sabe, 
por definição, a raiz quadrada 
de um número positivo R é outro 
positivo r tal que r2 = R. Este fato 
é esclarecido no texto do exercício 
66,	página	123.	O	uso	de	uma	fór-
mula única para expressar as duas 
raízes da equação do segundo 
grau vem de longa data, induzin-
do à falsa conclusão de que, por 
exemplo,	a	raiz	quadrada	de	16	é	
+4 ou –4. Esta é a razão pela qual 
apresentamos duas expressões 
para as possíveis raízes distintas 
de uma equação do segundo grau.
No exemplo, destaque os cál-
culos: 
(–8)2 = + 64 = 64 e
–(–8) = + 8 = 8.
Observe novamente: ou res-
pondemos x
1
 = 2 e x
2
 = 6, ou 
respondemos x = 2 ou x = 6
 Substituímos nas 
fórmulas que nos 
dão as raízes x1 e 
x2 e efetuamos os 
cálculos:
 Para termos certeza das respostas, substituímos os valores 2 e 6 na 
expressão do primeiro membro da equação dada para verificar se ambos 
anulam esta expressão. 
 Para x1 = 2, temos: 22 – 8 . 2 + 12 = 4 – 16 + 12 = 16 –16 = 0
 Para x2 = 6, temos: 62 – 8 . 6 + 12 = 36 – 48 + 12 = 48 – 48 =0
 Finalmente, podemos responder: x1 = 2 e x2 = 6 são as raízes da equa-
ção dada.
 usamos as fórmulas ao 
lado, cuja dedução pode 
ser vista na página 246.
 Exemplo:
 Para resolver a equação: x2 – 8x +12 = 0
 Identificamos inicialmente os coeficientes a, b e c:
a = 1 ; b = −8 ; c = 12
 Calculamos o radicando b2 – 4ac
b2 – 4ac = (− 8)2 – (4 x 1 x 12) = 64 – 48 =16
 b2 – 4ac = 16
 
x
1
 = 
–b – b2 – 4ac
2a
 e x
2
 = 
–b + b2 – 4ac
2a
 
 x
1
 = 
–b – b2 – 4ac
2a
 e x
2
 = 
–(–8) – 16
2 × 1
 = 
8 – 4
2
 = 2
 
x
2
 = 
–b + b2 − 4ax
2a
 = 
–(–8) + 16
2 × 1
= 
8+4
2
 = 6
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132
O radicando b2 – 4ac é chamado de discriminan-
te da equação e é representado pela letra grega 
 (lê-se “delta”). Assim, temos:  = b2 – 4ac.
 Agora, você vai utilizar as fórmulas, tal como no exemplo dado, para 
resolver os exercícios que seguem. Em resumo, você viu que:
As raízes da equação ax2 + bx + c = 0 , a ≠ 0 são calculadas usando 
as fórmulas:
x
b b ac
a
e x
b b a
1
2
2
24
2
4– – – – –
=
+
=
cc
a2
62. a) x
1
	=	2;	x
2 
=	5;	
 b) x
1
	=	3;	x
2 
=	2;	
 c) x
1
	=	–3;	x
2 
=	–1;
 d) x
1
	=	1;	x
2 
= –2.
63. a)	1a) x2	–	3x	=	0;
	 	 x	(x	–	3)	=	0.
 2a)	10x2	+	5x	=	0.
	 	 5x(2x	+	1)	=	0.
	 b)	1a) x
1
 = 0 e x
2 
=	3;	
2a) x
1
 = 0 e x
2
	=	–1/2.
	 c)	1a) x
1
 = 0 e x
2 
=	3;
 2a) x
1
 = 0 e x
2
	=	–1/2.
Se necessário, recorde os 
conceitosde números racio-
nais e números irracionais. 
Recorde, também, como é 
possível obter aproximações 
racionais de números irracio-
nais por falta e por excesso.
Esclareça que, ao dizer 
que as raízes de x2	 –	3	=	0	
são x
1
	=			3	x
2
	=	–			3,	estamos	
exibindo as raízes exatas 
da equação. Já no caso de 
decimais aproximados, o 
próprio nome diz que as 
raízes são “aproximadas”. 
Entretanto, como se sabe, 
neste caso, bem como nas 
raízes quadradas de 2, é bom 
que os alunos conheçam tais 
valores aproximados porque 
serão úteis em aplicações na 
trigonometria. Nos demais, 
dê-se preferência a respostas 
com radicais.
D
uk
e,
 2
00
6
a) Multiplique	os	dois	membros	da	primeira	por	3	
e os da segunda por 2.
b) Resolva as duas equações que você obteve após 
as multiplicações sugeridas pelo método da fa-
toração do fator em evidência.
c) Resolva as duas equações pelas fórmulas.
 Ao resolver a equação x2 – 81 = 0, você encontrou para raízes 
 x1 = 9 e x2 = –9.
 Observe que isto equivale a dizer que x1 = 81 9= e x2 = – 81 9= – . 
 Do mesmo modo, ao resolver y2 – 49 = 0, você encontrou para raízes 
x1 = 7 e x2 = –7, ou seja, x1
 = 49 = 7 e x
2
 = – 49 = –7 .
 É claro então que, resolvendo a equação x2 – 3 = 0, encontraremos como 
raízes x e x1 23 3–= = . Mas, como você já sabe, 3 é um núme-
ro irracional. Então, temos duas opções: ou dizemos que as 
raízes são x e x1 23 3–= = , ou usamos valores decimais 
aproximados delas. A calculadora de um computador dá para 
3 o seguinte valor: 1,7320508075688772935274463415058... 
 Usando-o, é possível, por exemplo, dizer que as raízes da equação 
x2 – 3 = 0 com aproximação por falta, a menos de um centésimo, são 
x1 = 1,73 e x2 = –1, 73. 
 Observação:
62. Resolva as equações a seguir usando as fórmulas acima. Antes de 
escrever as respostas, faça as verificações necessárias.
a) x2	–	7x	+10	=	0	 b) x2	–	5x	+	6	=	0	 c) x2	+	4x	+	3	=	0	 d) x2 + x – 2 = 0
63. Observe as equações incompletas a seguir:
 1ª) 1
3
 x2 – x = 0 
 2ª) 5x2 + 5
2
0x =
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133
64. Para resolver as equações deste exercício usando fórmulas, você poderá 
usar os valores aproximados dados a seguir. Se necessário, simplifique 
os radicais antes de usar os valores aproximados.
 Valores aproximados:
 2 141 3 173≅ ≅, ,e
 Calcule as raízes das equações a seguir, com aproximação de centési-
mos:
a) x2 – 6x + 7 = 0 b) x2	–	4x	+	1	=	0	 c) 2 x2 – 8x + 7 = 0 
65. Calcule:
a) (–2)2 c) (–5)2
b) (+2)2 d) (+5)2
66. Lucas disse que o quadrado de zero é zero e o quadrado de qualquer 
número diferente de zero é positivo. Você concorda com ele? Justifique 
sua resposta.
 Você já sabe que o símbolo representa a raiz quadrada. 
 Mas um fato importante que você deve saber é que ele representa 
sempre um número positivo ou o zero. Nunca um negativo.
 Os matemáticos definem assim: 
“A raiz quadrada de um número positivo R é outro número positivo r tal que 
r2 = R. Em particular, a raiz quadrada de zero é zero”. 
 Simbolicamente, sendo R e r positivos, 
 R r= se e somente se r2 = R. Em particular, 0 0= .
 Assim, por exemplo, temos:
81 9 100 10= =, .etc
 Se quisermos representar o número negativo cujo quadrado é 81, de-
vemos escrever:
− =−81 9
 Do mesmo modo, o número negativo cujo quadrado é 100 é represen-
tado assim:
− =−100 10
67. Diga por que as equações a seguir não têm raízes reais:
a) x2 –	6x	+	11	=	0	 b) x2 + 8x + 20 = 0
Recorde como simplificar 
radicais. Em particular, sim-
plifique as raízes quadradas 
de	12	e	de	8	expressando-as	
como	2	vezes	 a	 raiz	de	3	 e	
2 vezes a raiz de 2, respec-
tivamente.
64. a) x
1
	=	3	+			2		4,41	e	x
2 
=	3	–			2		1,59;
 b) x
1	
=	 2	 +	 	 3	 	 3,73	 e	 
x
2 
=	2	–			3		0,27;	
 c) x
1	
= (4 + 2)/2 	2,71	e	
x
2
 = (4 – 2)/2 	1,29.
65. a)	4;	
	 b)	4;	
	 c)	25;	 	
	 d)	25.
66. Sim.
 (a) 0º = 0.
 (b) O produto de dois 
positivos é positivo, bem 
como o produto de dois 
negativos.
 Logo, sendo x2 = x . x, 
temos que 
 x2 > 0 se x  0.
Professor(a), chame a 
atenção dos alunos para o 
fato de que nem sempre as 
equações do segundo grau 
possuem raízes que são nú-
meros reais, como ilustrado 
na atividade 67. Diga-lhes 
que estas equações possuem 
solução em outro conjunto 
numérico onde são admitidas 
raízes de números negativos, 
chamado de conjunto dos 
números complexos, e que 
este novo conjunto será visto 
no ensino médio.
67. Porque, sendo o discri-
minante negativo, não há 
como obter sua raiz qua-
drada como um número 
real.






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134
68. Calcule o discriminante  = b2 – 4ac nas duas equações a seguir e diga 
qual delas não tem raízes reais:
a) x2 + 4x + 6 = 0 b) x2 +	10x	+	30	=	0
69. Resolva as equações a seguir:
a) x2	–	16x	+	64	=	0	 b) x2 +	14x	+	49	=	0
70. As raízes das duas equações anteriores têm uma particularidade. Qual?
71. O que se pode dizer das raízes de uma equação do segundo grau se:
a) Seu discriminante for igual a zero? ( = b2 – 4ac = 0) 
b) Seu discriminante for positivo? ( = b2 – 4ac > 0)
c) Seu discriminante for negativo? ( = b2 – 4ac < 0)
72. Calcule os discriminantes e diga se cada equação a seguir tem ou não 
raízes reais. No caso afirmativo, diga se as raízes são iguais ou diferen-
tes: 
a) x2	–	6x	+	10	=	0	 c) x2	–	8x	+	12	=	0
b) x2	+	12x	+	40	=	0	 d) x2	–	0,4x	+	0,16	=	0
73. O retângulo da figura representa uma quadra de esportes cuja área mede 
480 m2.
 Seu comprimento (em metros) é quatro 
metros maior que o triplo de sua largura.
 Calcule as dimensões desta quadra.
74. Antônio tinha um terreno quadrado, como o que se vê representado na 
figura abaixo à esquerda.
 
 Ele o trocou por outro terreno retangular cuja largura é 3 metros maior 
que a do terreno quadrado e cujo comprimento é 4 metros maior. Sa-
bendo que o terreno retangular tem 462 metros quadrados, faça o que 
se pede a seguir. 
a) Calcule o perímetro do terreno retangular.
b) Calcule a área do terreno quadrado.
c) Se	o	metro	quadrado	dos	dois	terrenos	custa	R$	180,00,	calcule	quanto	Antônio	teve	
que pagar ao trocar os terrenos.
x
3x + 4
x + 3
x + 4
x
68. As duas equações não 
têm raízes.
69. a) x
1
 = 8 e x
2 
=	8;	
 b) x
1
 = –7 e x
2 
= –7.
70. São iguais.
71. a)	São	iguais;	
	 b)	São	diferentes;	
 c) Não existem raízes reais. 
Peça aos alunos que jus-
tif iquem as respostas do 
exercício	71.
72. a) Não tem raízes re-
ais;	
 b) Não tem raízes re-
ais;	
 c) Tem duas raízes distin-
tas;	
 d) Não tem raízes reais.
Peça aos alunos que justi-
fiquem as respostas.
73. 12	m	e	40	m.
74. a)	86	m;
	 b)	324	m2;	
 c) R$ 24 840,00.
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135
75. A figura ao lado representa um grande painel 
formado de um quadrado e três retângulos de 
cores diferentes. As dimensões do painel, em 
metros, estão representadas na figura pelas 
expressões x + 4 e x + 2.
a) Se	a	área	 total	do	painel	mede	168	m2, calcule a 
área do quadrado que o compõe.
b) Calcule o perímetro do painel.
2x 8
4xx2
x 4
x
2
O	exercício	75	gera	a	equação			
(x	 +	 4)	 (x	 +	 2)	 =	 168,	 ou	 seja,	 
x2	+	6x	–	160	=	0,	cujas	raízes	são	
10	e	–16.	Observe	com	os	alunos	
que	a	raiz	–16	não	satisfaz	o	pro-
blema porque, pela natureza do 
mesmo, x é positivo (pois x é me-
dida do lado da parte quadrada).
75.	a)	100	m2;	
	 b)	52	m.	
 
76. a)	a	=	0;	
	 b)	b	=	0;	
	 c)	a	=	0	ou	b	=	0;	
	 d)	x	=	0	ou	x	+	4	=	0;
	 e)	x	+	6	=	0	ou	x	–	5	=	0;		
	 f)	x	=	0	ou	x	+	4	=	0;
	 g)	x	–	6	=	0	ou	x	+	8	=	0;
	 h)	x	–	9	=	0	ou	x	–	2	=	0;
	 i)	 x	+	1	=	0	ou	x	–	1	=	0;
	 j)	 x	+	1	=	0	ou	x	+	1	=	0.
77. a)	5x2	–	11x	+	2	=	0
 x
1
 = 2 e x
2
	=	1/5;	
	 b)	3x2 – 7x + 2 = 0 
 x
1
 = 2 e x
2
	=	1/3;
 c) 2x2 – 7x – 4 = 0
 x
1
 = 4 e x
2
	=	–1/2;
 d) 4x2	–	16x	+	13	=	0
 x
1
	=	(4	+		3)/2	 2,866 e x
2 
= 
(4	–			3)/2		1,134;
 e) x2	+	10x	+	29	=	0
	 	 não	tem	raízes	reais;
	 f)	 5x2	–	18	=	0
 x
1
	=	3		10/2		1,897	e	x
2
 = 
–3		10/2		–1,897;
	 g)	5x2	–	15x	=	0
 x
1= 0 e x
2 
=	3;
 h) x2	–	25	=	0
 x
1
	=	5	e	x
2 
=	–5.
78. 9 km2	e	16	km2.
Do sistema:
 x + y = 7 e x2 + y2 =	25
resulta uma equação do 2º grau 
com	raízes	3	e	4	que	resolvem	
o problema.
79. 7	cm	e	10	cm.
Pela natureza do problema, 
a	 raiz	 –10	 não	 o	 satisfaz,	 pois	
estamos procurando uma medida 
de comprimento.
80. Perímetro:	 80	 metros;	 área:	
400 metros quadrados.
Pela natureza do problema, a 
raiz –22 da equação não o satisfaz 
porque a incógnita é a medida do 
lado do terreno, devendo, portan-
to, ser expressa por um número 
positivo.
81. 10	lados.
O	 problema	 81	 gera	 a	 equa-
ção	 n(n	 –	 3)	 =	 70,	 ou	 seja,	 
n2	–	3n	–70	=	0,	cujas	raízes	são	10	
e –7. Pela natureza do problema, 
a raiz –7 não o satisfaz, pois n 
representa número de lados de 
um polígono.
76. Escreva o que se pode concluir, sabendo-se que:
a) 3a	=	0	 e) (x	+	6)	(x	–	5)	=	0	 i) (x	+	1)	(x	–	1)	=	0
b) 2b = 0 f) x (x + 4) = 0 j) (x	+	1)	(x	+	1)	=	0
c) a . b = 0 g) (x – 6) (x + 8) = 0 
d) x(x + 4) = 0 h) (x – 9) (x – 2) = 0 
77. Coloque cada equação a seguir na forma ax2 + bx + c = 0 e, depois, 
resolva cada uma delas:
a) 5x2	–	11x	–3	=	–5	 d) 4x2	–	16x	+	10	=	–3	 g) 8x2	–	10x	=	3x2	+	5x
b) 3x2	+	7x	+	2	=	14x	 e) x2	+	10x	+	20	=	–9	 h) 
x2 2
9
3
+ =
c) –5x2 – 7x – 4 = –7x2 f) 
x x2 21
3
3 1
6
7
2
+ + + =
 Resolva os seguintes problemas usando equações do segundo grau:
78. A soma dos perímetros de dois terrenos quadrados mede 28 km e a 
soma de suas áreas, 25 km2. Calcule as áreas desses dois terrenos.
79. Um cartão retangular tem uma área de 70 cm2. Calcule suas dimensões 
sabendo que o comprimento é 3 cm maior que a largura.
80. Um terreno de forma quadrada foi trocado por outro de forma retangular. 
A largura e o comprimento do terreno retangular são, respectivamente, 4 
metros maiores e 2 metros menores que as dimensões correspondentes 
do terreno quadrado. Sabendo que a área do terreno retangular mede 
432 metros quadrados, calcule o perímetro e a área do terreno quadrado. 
Use o fato de que 1764 42= .
81. Pode-se mostrar que número de diagonais de um polígono convexo 
de n lados é dado pela fórmula d
n n= −( )3
2
. Sabendo disto, calcule 
quantos lados tem um polígono convexo que tem 35 diagonais?
+
+
Aprendendo em casa
Explorando o que você aprendeu
e aprendendo mais




Mat9Cap4_NOVA2012.indd 135 10/05/13 19:50
136
REVISÃO – Ao término 
do estudo do capítulo, reveja 
com os alunos, a seu critério, 
o significado de alguns dos 
termos destacados na cor 
azul no capítulo.
Releia o texto da página 
34:	“Ao	elaborar	questões	(...)	
hexágono”.
Recomende ou explore a 
leitura de:
“História da equação do 
segundo grau”.
Oscar Guelli
Contando a história da 
Matemática
 Editora Ática.
Se ainda tem dúvidas sobre Reveja os exercícios
Como resolver problemas usando equações do primeiro 
grau com uma variável. 1, 3, 15, 16, 19, 20.
Como inventar problemas relacionados com equações 
do primeiro grau dadas. 2, 4.
Como interpretar e como “equacionar” problemas 
dados. 6.
Como resolver equações reduzindo-as à forma ax = b. 7. 10, 11, 12, 13, 14, 18, 38, 39, 40, 
41, 50, 51.
Como identificar equações equivalentes. 8, 9.
Como verificar se números dados são ou não raízes de 
equações dadas. 17.
Como verificar se pares ordenados de números são raí-
zes de equações do primeiro grau com duas incógnitas.
Atividades da seção “Explorando o que 
você já sabe, página 113.
Como resolver sistemas de equações do primeiro grau 
usando o método de substituição. 24, 29, 31, 37.
Como resolver problemas usando sistemas de equações 
do primeiro grau. 21, 22, 23, 25, 26, 28, 30, 36.
Como inventar sistemas de equações de primeiro grau 
que tenham como raiz um par ordenado de números 
dados.
32, 33, 34, 35.
Como resolver equações fatoradas da forma a (x – r) 
(x – s) = 0. 43, 44, 45, 47, 52, 53, 54, 56, 57, 76.
Como verificar se números dados são raízes de equa-
ções dadas. 17, 45, 48.
Como escrever equações do segundo grau na forma 
ax2 + bc + c = 0 e identificar seus coeficientes a, b e c. 49.
Como resolver equações incompletas do segundo grau, 
sem uso de fórmulas. 58, 59, 60, 61, 63.
Como resolver equações completas ou incompletas do 
segundo grau, usando fórmulas. 62, 64, 69, 77.
Como interpretar o conceito de raiz quadrada. 65, 66.
Como usar o discriminante de uma equação do segundo 
grau ( = b2 – 4ac) para decidir, discutir a natureza e a 
existência das raízes.
67, 68, 71, 72.
Como resolver problemas usando equações do segundo 
grau. 73, 74, 75, 78, 79, 80, 81.
? Verifique se você aprendeu
Mat9Cap4_NOVA2012.indd 136 10/05/13 19:50
CapItulo 5
Proporcionalidade
e
-
trigonometria
A
le
ks
an
dr
 U
go
re
nk
ov
 | 
D
re
am
st
im
e.
co
m
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Ao lado, explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
Professor(a): Neste 
e em outros capítu-
los, são exploradas 
diversas si tuações 
para que os alunos 
“descubram”, a par-
tir de casos particu-
lares, propriedades de 
números, de figuras, 
regras de cálculos 
etc. É extremamente 
importante que, após 
estas “descobertas”, 
sejam feitas obser-
vações afirmando que 
tais conclusões são 
verdadeiras (e, even-
tualmente, provar estes 
fatos) para que não 
fique a falsa ideia de 
que, a partir de poucos 
casos particulares, é 
possível generalizar. 
Sempre que possível, 
use expressões algé-
bricas para expressar 
tais generalizações, 
bem como de algumas 
regularidades relacio-
nadas com sequências 
númericas.
Releia: na página 
10, “Observação im-
portante”.
Professor(a): antes 
de iniciar os estudos 
do capítulo 5, sugeri-
mos que sejam revisa-
das as atividades rela-
cionadas com radicais 
no capítulo 1, em par-
ticular as apresentadas 
na página 38 e 39. 
Se achar conveniente, 
pode-se ainda explorar 
o tema “Os Expoentes 
Fracionários e os Ra-
dicais” do capítulo 8, 
nas páginas 238 a 242.
A
b
CB n m
c
Ha
C
B
A
D
E
AE BD/ /
Reta A1F1
A
B
B1A1
C D
C1 D1 E1
E
F
F1
3º
5280
h
A
h
 Neste capítulo, você vai aprender como:
 
• Reconhecer se polígonos dados são ou não semelhantes.
• Estabelecer a proporcionalidade entre os pares de lados correspondentes de po-
lígonos semelhantes e calcular a razão de semelhança.
• Desenhar polígonos semelhantes que satisfaçam uma razão de semelhança dada.
• Estabelecer a proporcionalidade entre pares de segmentos determinados sobre 
retas secantes por paralelas que as interceptem.
• Resolver problemas envolvendo o conceito e o cálculo da média geométrica de 
números positivos.
• Identificar projeções de pontos ou segmentos sobre retas.
• Identificar triângulos semelhantes, determinados pela altura relativa à hipotenusa 
de um triângulo retângulo.
• Interpretar, em linguagem corrente e em linguagem matemática, as relações 
métricas nos triângulos retângulos.
• Resolver problemas envolvendo relações métricas nos triângulos retângulos.
• Calcular o seno, o cosseno e a tangente de ângulos agudos de triângulos retângu-
los dadas as medidas dos catetos ou da hipotenusa.
• Calcular lados ou ângulos de triângulos retângulos usando as razões trigonomé-
tricas constantes de uma tabela.
• Demonstrar as relações métricas nos triângulos retângulos. 
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 138 10/05/13 19:52
139
 Responda: 
•	 Como se verifica que as razões 12
18
 e 10
15
 são iguais, e as razões 2 3
2
e
2 27
3 2
também? 
•	 O que se pode dizer sobre os ângulos de dois triângulos semelhantes? 
•	 O que se pode dizer dos pares de lados correspondentes de dois triângulos seme-
lhantes?
•	 Como obter a fração irredutível equivalente à fração 
Releia, na página 11, Re-
cado ao (à ) p ro fes so r (a ) : 
“Aproveitamos [...] e explore-
-as”. 
Observação importante para 
os alunos: as medidas anotadas 
nas ilustrações ou descritas nos 
exercícios são relacionadas com 
os objetos que elas representam e 
não comas próprias ilustrações.
ATIVIDADES ORAIS
•	 Comprova-se	a	igualdade	das	
primeiras razões pelo produto 
cruzado: 12 x 15 = 18 x 10.A 
segunda razão pode ser com-
provada simplificando-se o 
radical √27 = 3√3 e aplicando 
produto cruzado.
•	 Os	 pares	 de	 ângulos	 corres-
pondentes têm medidas iguais.
•	 Formam	três	razões	iguais.
•	 Dividindo	o	numerador	e	o	de-
nominador pelo máximo divisor 
comum deles.
Recomende ou explore a 
leitura de: 
“Descobrindo o Teorema de 
Pitágoras”
Luiz Márcio Imenes
Coleção “Vivendo a Mate-
mática” 
Editora Scipione
Esclareça que, quando nos 
referimos a uma correspondência 
ABC e EFD entre dois triângu-
los, estamos convencionando 
que ao vértice A corresponde o 
vértice E, ao vértice B corres-
ponde o vértice F e ao vértice 
C corresponde o vértice D. Isto 
significa que, para verificar se 
são ou não semelhantes estes 
triângulos, nesta correspon-
dência, é necessário verificar 
se os pares de ângulos que têm 
os vértices correspondentes são 
congruentes e os pares de lados 
que têm os extremos correspon-
dentes formam três razões iguais, 
observada a ordem (lados do 
primeiro triângulo sobre lados 
do segundo triângulo).
1. a) Tarefa do aluno;
 b) 4/6 = 6/9 porque 
 4 x 9 = 6 x 6; 
 4/6 = 8/12 porque
 4 x 12 = 6 x 8; 
 6/9 = 8/12 porque
 8 x 9 = 6 x12;
 c) Porque todos os seus ân-
gulos correspondentes são 
iguais entre si e as razões 
entre seus lados correspon-
dentes também.
 d) A razão é 2/3.
D
E
F
9 cm
6 cm
12 cm
B
A C4 cm
6 cm 8 cm
 Você sabe que dois polígonos que têm o mesmo número de lados são 
semelhantes se existe uma correspondência entre seus lados e seus 
ângulos tal que todos os ângulos correspondentes são congruentes e 
todos os lados correspondentes são proporcionais, isto é, as razões 
entre os lados correspondentes são iguais entre si.
 A este valor igual dessas razões dá-se o nome de razão de semelhança 
entre os polígonos.
	 Por	exemplo,	na	figura	abaixo	a	correspondência	entre	os	triângulos	
ABC e EFD, nesta ordem, é uma semelhança
 
1. Responda ou faça o que se pede em relação aos dois triângulos:
a) Verifique que as medidas dos seguintes pares de ângulos são iguais: A e E, 
B e F, C e D.
b) Use a propriedade do produto cruzado e verifique que as razões entre os pares 
de lados a seguir são todas iguais:
 AB e EF, AC e ED, BC e FD 
c) Por que os triângulos ABC e EFD são semelhantes?
d) Simplifique as três razões obtidas no item (b), e escreva a razão de semelhança entre 
os triângulos ABC e EFD, nesta ordem.
12
18
Aprendendo em sala de aula
Semelhança - revendo e ampliando conhecimentos
Explorando o que você já sabe
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 139 10/05/13 19:52
140
	 Na	figura	abaixo	a	correspondência	entre	os	retângulos	ABCD	e	PQRS,	
nesta ordem, é uma semelhança.
2. Responda ou faça o que se pede em relação aos dois retângulos ABCD 
e	PQRS.
a) Por que os pares de ângulos correspondentes destes retângulos são congruentes?
b) Calcule a razão de semelhança entre estes dois retângulos.
3. Desenhe em um papel quadriculado:
a) Dois triângulos retângulos semelhantes XYZ e MNP cuja razão de semelhança nesta 
ordem seja 3 : 4 (três para quatro).
b) Dois quadrados cuja razão de semelhança seja de 4 : 5 (quatro para cinco).
4. No item 3 (a) anterior, qual a razão de semelhança entre os triângulos 
MNP e XYZ, nesta ordem?
5. Observe os triângulos a seguir:
a) O que representam as marcas iguais nos ângulos dos triângulos?
b) Você pode afirmar que os ângulos C e C
1
 têm medidas iguais? Justifique sua resposta.
c) Calcule as razões entre os seguintes pares de lados: AB e A
1
B
1
, AC e A
1
C
1
, 
BC e B
1
C
1
.
d) Verifique se estes pares de razões são iguais entre si.
e) Simplifique cada uma dessas razões.
f) É possível afirmar que os triângulos da figura são semelhantes? Caso afirmativo, 
justifique sua resposta e a razão de semelhança.
Considerações análogas 
para o fato de dizer que o 
retângulo ABCD está em 
correspondência com o re-
tângulo PQRS. 
2. a) Porque os quatro ângu-
los de qualquer retângu-
lo medem 90º;
 b) 1 : 2.
3. Tarefa do aluno.
4. 4 : 3.
Destaque para os alunos 
que a razão de semelhança 
é estabelecida na ordem em 
que os polígonos são citados: 
do primeiro para o segundo.
5. a) Representa que os ângu-
los de marcas iguais têm 
medidas iguais;
 b) Sim, porque, se dois 
pares de ângulos cor-
respondentes de dois 
triângulos têm medidas 
iguais, então os tercei-
ros ângulos dos dois 
triângulos também têm 
medidas iguais, pois a 
soma dos ângulos in-
ternos de um triângulo 
é 180º;
 c) 36/27; 20 8/30 2 ; 28/27; 
 d) Tarefa do aluno (cálculo 
dos três produtos cruza-
dos). São iguais;
 e) 4/3;
 f) Sim, porque a cor-
respondência ABC e 
A
1
B
1
C
1 
é tal que os ân-
gulos correspondentes 
têm medidas iguais e 
os pares de lados cor-
respondentes formam 
razões iguais. A razão 
de semelhança é 4 : 3.
Comente que, tal como na 
congruência, existem casos de 
semelhança entre triângulos, 
isto é, satisfeitas algumas con-
dições de proporcionalidade 
entre pares de lados ou congru-
ências de ângulos, é possível 
afirmar que os triângulos são 
semelhantes. Estes casos são 
dados por sigla. Em particu-
lar, o enunciado no exercício 
6 é o caso AA de semelhança 
de triângulos (AA significa 
ângulo-ângulo).
B
20 8
CA
36 28
B1
30 2
C1A1
27 21
Q R
P SA D
B C
 
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141
6. Você já sabe que, se dois triângulos têm dois pares de ângulos corres-
pondentes congruentes, então são semelhantes.
Releia a observação do 
último texto da margem da 
página 34: “Com base [...] 
22, 23 e 24”.
6. a) Triângulos CBD e CAE;
 b) O ângulo C é comum e os 
ângulos B e A têm medi-
das iguais (bem como os 
ângulos D e E).
Se julgar conveniente, 
recorde as propriedades dos 
ângulos de lados paralelos 
e de mesmo sentido como 
BDC e AEC.
Em cada uma das quatro 
situações do exercício 7, 
desenhe os pares de triân-
gulos.
7. a = 5;
 b = 45/7;
 c = 16/3;
 d = 945/13,  72,69.
8. a) BD/BA = 4/6 = 2/3,
 BC/BE = 2/3; 
 b) Sim;
 c) São opostos pelo vérti-
ce;
 d) Sim, porque têm dois 
pa res de lados propor-
cionais e os ângulos entre 
eles congruentes. A razão 
de semelhança é 2 : 3.
Use o item (d) para cha-
mar a atenção dos alunos 
para a importância da ordem 
na qual se pede a razão de 
semelhanças.
Este é o caso LAL de se-
melhança de triângulos.
Observe que as unidades 
de medidas dos segmentos 
AD e CE são diferentes. Ex-
plore este fato para concluir 
que as razões entre grandezas 
de mesma espécie indepen-
dem das unidades de medidas 
utilizadas.
Sugestão: se dividirmos 
cada pequeno segmento en-
tre C e E por seus pontos 
médios, a razão CB para 
BE continuará a mesma, ou 
seja, 2 : 3.
A D
C
B
E
C
B
A
D
E
AE BD/ /
7. Desenhe dois triângulos semelhantes ABC e EDF, nesta ordem, e escreva, 
em seu caderno, o que deve substituir corretamente, em cada caso, as 
letras da tabela a seguir: 
8. Você já sabe que se 
dois triângulos têm dois 
pares de lados pro-
porcionais e os pares 
de ângulos entre eles 
congruentes, então são 
semelhantes.
	 Observe	os	triângulos	ABE	e	DBC	da	figura	acima.	Neles	os	lados	AB	
e BD estão divididos em 6 e 4 segmentos de mesma medida, respec-
tivamente. Analogamente, os lados BE e BC estão divididos em 3 e 2 
segmentos de mesma medida.
 Com base nessas informações, responda ou faça o que se pede:
a) Calcule as razões entre os lados BD e BA, bem como entre os lados BC e BE.
b) Verifique se essas razões são iguais.
c) Por que os ângulos ABE e DBC são congruentes?
d) Os triângulos DBC e ABE são semelhantes? Justifique sua resposta. Caso afirmativo, 
escreva a razão de semelhança, nesta ordem.
Lados Medidas
BC 10 d
AC 12 8,4
DF a 6 4,5
EF 6 b c 5,2
 Na figura ao lado, os 
segmentos AE e BD são 
paralelos.
a) Identif ique os pares de 
triângulos semelhantes da 
figura.
b) Justifique por que eles são 
semelhantes.
12
5
18
7
6 6
8 3
4 2
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142
9. Você já sabe que, se dois triângulos têm os três pares de lados corres-
pondentes proporcionais, então são triângulos semelhantes.
	 Na	figura	abaixo,	dois	triângulos	são	semelhantes	ao	triângulo	ABC.
a) Identifique os dois triângulos semelhantes ao triângulo ABC.
b) Escreva, para cada caso, as razões de semelhança.
c) Escreva, para cada caso, os pares de ângulos congruentes.
H 112/5
A
B
C
54
6
X
D
7,5
96
56/3 224/15
Q
E Z
Y
FT
8 5
7 3
15 2
B C
A
y
z
x aC1B1
No exercício 9, cita-se o 
caso LLL de semelhança de 
triângulos.
Calcule 5/7,5 = 50/75 
= 2/3.
9. a) DHX e QZE;
 b) ABC ~ DHX; 
 2 : 3 ABC ~ QZE; 15/56;
 c) Ângulos B e H, A e D, 
C e X. Ângulos A e Q, 
B e Z, C e E.
Os exercícios anteriores 
visaram aplicar os três casos 
de semelhança de triângulos 
dados pelas siglas AA, LLL 
e LAL. Entretanto, como se 
sabe, na maioria das vezes 
o que se usa na prática é o 
caso AA.
10. a) São semelhantes por-
que têm os três pares 
de lados proporcio-
nais.
 b) A e D, B e E, C e F.
Caso julgue conveniente, 
explore o fato de que, se a 
razão de semelhança entre 
dois triângulos é de 1 : 1, eles 
são congruentes.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
11. ABC e AB
1
C
1
 são seme-
lhantes, porque satisfa-
zem o caso AA de seme-
lhança de triângulos: o 
ângulo  é comum aos 
dois, e os ângulos x e y 
são congruentes.
Os ângulos x e y são con-
gruentes porque são ângulos 
agudos que têm os lados 
paralelos.
12. a) 1 : 2, 1 : 2;
 b) Sim;
 c) Sim;
 d) São semelhantes, pois 
satisfazem o caso LAL 
de semelhança de tri-
ângulos, pois têm dois 
pares de lados cor-
respondentes propor-
cionais e os ângulos, 
compreendidos entre 
eles, congruentes.
10. Sabe-se	que	dois	triângulos	ABC	e	DEF	são	tais	que	AB	=	4,	AC	=	7,	
BC	=	10,	DE	=	12,	DF	=	21	e	EF	=	30.
a) Esses dois triângulos são semelhantes? Justifique.
b) Quais são os pares de ângulos congruentes desses triângulos?
1 1 . Na	figura,	a	reta	a é paralela à base BC do triângulo e o corta dos dois 
lados nos pontos B1 e C1.	 Identifique	dois	triângulos	semelhantes	na	
figura.	Justifique	por	que	eles	são	semelhantes.
12. Use seu esquadro 30-60-90 e a régua graduada para desenhar dois 
triângulos	BDF	e	GJL,	tais	que	as	medidas	dos	ângulos	D	e	J	sejam	
iguais a 60o,	BD	=	5	cm,	DF	=	3	cm,	GJ	=	10	cm,	JL	=	6	cm.
a) Calcule as razões entre os pares de lados correspondentes BD e GJ, DF e JL, nesta 
ordem. 
b) Verifique se a razão entre os lados BF e GL é a mesma obtida no item (a). 
c) Verifique se os pares de ângulos correspondentes são congruentes.
d) O que se pode dizer dos triângulos BDF e GJL? Por quê? 
Aprendendo em casa
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143
A
A’
B’ C’ C
B
A’
A
B C C’B’
A’
A
B
C
C
B
A
A’
B’ C’
C’B’
13. Observe que estamos afir-
mando que os triângulos 
são semelhantes.
 a) 3 : 8;
 b) 2 : 1;
 c) 4 : 9;
 d) 7 : 5.
ATIVIDADES ORAIS
* Sete.
* Porque 42 = 16.
* Oito.
* O número a.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, texto da 
seção “Aprendendo em sala 
de aula” desta página. 
Diga para os alunos que a 
média geométrica tem aplica-
ções importantes, como: jus-
tificativa de algumas relações 
métricas nos triângulos e na 
resolução de problemas de 
construções geométricas.
Recomendo aos professo-
res a leitura do artigo “Raízes 
quadradas de frações”, publi-
cado na Revista do Professor 
de Matemática, volume 31.
13. Observe os quatro pares de triângulos semelhantes a seguir: 
 Responda ou faça o que se pede:
a) Em (a), qual a razão de semelhança entre 
o menor e o maior triângulo?
b) Em (b), qual a razão de semelhança entre 
o maior e o menor triângulo?
c) Em (c), qual a razão de semelhança entre 
o menor e o maior triângulo?
d) Em (d), qual a razão de semelhança entre 
o maior e o menor triângulo?
c)
b)
d)
 O Teorema de Pitágoras
 Responda:
•	 Qual é a raiz quadrada de 49?
•	 Por que 4 é a raiz quadrada de 16?
•	 Qual é a raiz quadrada de 82?
•	 Se a representa um número positivo, qual é a raiz quadrada de a2?
 “Média geométrica” (ou média proporcional) entre dois números po-
sitivos a e b é um terceiro número positivo m tal que a
m
m
b
= . 
 Observe que, usando o produto cruzado, obteremos:
 m2	=	ab
 ou, como a e b são positivos, 
	m	=	 ab
	 Qualquer	uma	das	três	igualdades	é	válida	para	definir	“média	geo-
métrica”.
Explorando o que você já sabe
Semelhança e os triângulos retângulos
Aprendendo em sala de aula
a)
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 143 10/05/13 19:52
144
14. Calcule a média geométrica dos seguintes pares de números: 
a) 4 e 9 c) 8 e 25 e) 49 e 0,0001
b) 16 e 25 d) 27 e 16 f) 0,0625 e 1,44 
	 Se	necessário,	simplifique	o	radicando	usando	fatoração.
15. Se	h, m, n, a, b, c representam números positivos, responda ou calcule:
a) O que significa dizer que h2 = mn?
b) Escreva uma proporção equivalente à igualdade anterior.
c) O que significa dizer que b2 = am?
d) Escreva uma proporção equivalente à igualdade anterior.
e) O que significa dizer que c2 = an?
f) Escreva uma proporção equivalente à igualdade anterior. 
Para obtermos a projeção de um ponto B sobre uma reta A1F1, 
traçamos uma reta que passa por B e é perpendicular à reta A1F1. 
 O ponto de interseção dessas duas retas, B1, é a projeção do ponto 
B sobre a reta A1F1.
 A projeção do segmento AB sobre a reta A1F1 é o segmento A1 B1, 
onde A1 é a projeção de A sobre a reta A1F1.
16. Na	figura	acima	as	linhas	tracejadas	perpendiculares	à	reta	A1F1. Diga 
quais são as projeções dos pontos C, D, E e F sobre a reta A1F1.
17. Diga quais são os segmentos projeções dos segmentos CD e EF sobre 
a reta A1F1. 
18. Na	figura,	o	triângulo	ABC	é	triângulo	retângulo,	e	a	altura	relativa	à	hipo-
tenusa BC o decompõe em dois outros triângulos retângulos ABH e ACH.
a) Qual é o segmento que representa a altura 
relativa à hipotenusa BC?
b) Quais são os catetos do triângulo ABC?
 As letras minúsculas a, b, c, h etc. 
representam as medidas dos segmen-
tos aos quais elas estão adjacentes. 
Responda:
c) Qual é a medida do cateto AB? AB é oposto a qual ângulo agudo do triângulo ABC?
d) Qual é a medida do cateto AC? AC é oposto a qual ângulo agudo do triângulo ABC?
e)Qual é a medida da altura relativa à hipotenusa? 
Reta A1F1
A
B
B1A1
C D
C1 D1 E1
E
F
F1
A
b
CB n m
h
c
Ha
14. a) 6;
 b) 20;
 c)23 X 52 = 2 x 52 = 
102;
 d)33 x 24 = 3 x 32 x 24 =
 = 3 x 223 = 123;
 e) 72 x 10 –4 = 7 x 10–2= 0,07; 
 f) 54 x 10 –4 x 1,22 = 
 = 52 x 10–2 x 1,2 =
 = 0,25 x 1,2 = 0,3. 
15. a) h é a média geométrica 
entre m e n;
 b) h/m = n/h; 
 c) b é a média geométrica 
entre a e m;
 d) b/a = m/b; 
 e) c é a média geométrica 
entre a e n;
 f) c/a = n/c. 
16. C
1
, D
1
, E
1 
e F
1
 respectivamen-
te.
17. C
1
D
1
 e E
1
F
1
, respectivamente.
Caso julgue necessário, re-
lembre o conceito de altura de 
um triângulo relativa a um de 
seus lados. 
18. a) AH;
 b) AB e AC;
 c) c. AB é oposto ao ângulo 
C;
 d) b. AC é oposto ao ângulo 
B;
 e) h;
 f) a; a hipotenusa BC é opos-
ta ao ângulo reto A;
 g) BH representa a projeção 
e sua medida é n;
 h) HC representa a projeção 
e sua medida é m.
Demonstraremos, após o exer-
cício 44 deste capítulo (nas 
Atividades opcionais), que estes 
três triângulos retângulos são 
semelhantes, o que nos permitirá 
demonstrar todas as relações mé-
tricas que passaremos a utilizar, 
inicialmente, sem demonstrar.
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 144 10/05/13 19:52
145
f)Qual é a medida da hipotenusa? BC é oposta a qual ângulo do triângulo ABC?
g) Qual segmento representa a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa?
 Qual é a medida dessa projeção?
h) Qual segmento representa a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa? 
 Qual é a medida dessa projeção?
 As igualdades listadas na tabela abaixo, todas verdadeiras, são as 
relações métricas do triângulo retângulo, e você vai demonstrá-las em 
exercíciosfuturos,	contidos	nas	páginas	157	e	158.	
	 É	conveniente	que	você	copie	a	figura	e	as	igualdades	em	uma	ficha-
-resumo para usá-la nos diversos exercícios que seguem. Você deve 
trazê-la nas próximas aulas. 
Em cada caso da tabela do 
exercício 19, de (1) até (6), 
peça aos alunos que identi-
fiquem triângulos retângulos 
que contêm as medidas dos 
segmentos citados nos dois 
membros da igualdade. Por 
exemplo, em (1), os seg-
mentos de medidas b, c e a 
pertencem ao triângulo ABC 
e o de medida h pertence ao 
triângulo ABH (ou ao triân-
gulo ACH).
Por exemplo, a igualdade 
b2 = am é relacionada com os 
triângulos ACH e BCA (b é 
hipotenusa do 1º e cateto do 
2º; a é hipotenusa do 2º e m 
é cateto do 1º).
Explore também, em cada 
um desses casos, a razão pela 
qual os pares de triângulos 
são semelhantes, bem como 
a identificação dos pares de 
lados correspondentes.
19. (a, 3);
 (b, 5);
 (c, 1);
 (d, 2);
 (e, 6);
 (f, 4).
Observação importante: 
algumas vezes, em um “abu-
so de linguagem”, é comum 
citar segmentos, no sentido 
de medida dos mesmos, com 
o objetivo de tornar menos 
sofisticados os enunciados. 
Por exemplo, ao enunciar 
o Teorema de Pitágoras, é 
comum dizer: “o quadrado 
da hipotenusa é igual à soma 
dos quadrados dos catetos”. 
Além do abuso de linguagem 
citado, é claro que, ao falar 
em hipotenusa e catetos, 
somente é possível entender 
que se trata de triângulo 
retângulo.
Explique estes fatos para 
os alunos.
A
b
CB n m
h
c
Ha
b2 = am
c2 = an
h2 = mn
bc = ah
a2 = b2 + c2
n + m = a
19. Na tabela a seguir você vê duas colunas. Escreva em seu caderno os 
pares ordenados de correspondências entre as duas: 
 Linguagem corrente
Linguagem 
matemática
a
A medida b do cateto é média geométrica 
entre a medida m de sua projeção sobre a 
hipotenusa e a medida a da hipotenusa. 
1 bc	=	ah
b
A medida h da altura relativa à hipotenusa é 
média geométrica entre as medidas m e n das 
projeções dos catetos sobre hipotenusa
2 c2 =	an
c
O produto das medidas dos catetos é igual ao 
produto da medida da hipotenusa pela medida 
da altura relativa à hipotenusa.
3 b2	=	am
d
A medida c do cateto é média geométrica 
entre a medida n de sua projeção sobre a 
hipotenusa e a medida a da hipotenusa.
4 m	+	n	=	a
e
O quadrado da medida a da hipotenusa é igual 
à soma dos quadrados das medidas b e c dos 
catetos. 
5 h2 =	mn
f
A soma das medidas n e m das projeções dos 
catetos sobre a hipotenusa é igual à medida a 
da hipotenusa.
6 a2	=	b2 + c2
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 145 10/05/13 19:52
146
20. A igualdade a2	=	b2 + c2 é a expressão matemática do famoso TEOREMA 
DE	PITÁGORAS e se escreve em linguagem corrente assim:
 “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é 
igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”.
a) Desenhe, usando uma régua graduada, um triângulo retângulo cujos catetos meçam 
3 cm e 4 cm, respectivamente. Comprove, medindo, que sua hipotenusa mede 5 cm.
b) Calcule o quadrado de 3, 4 e 5 e comprove que tais medidas satisfazem o Teorema 
de Pitágoras.
c) Os catetos de um triângulo retângulo medem 4,8 cm e 6,4 cm. Use o Teorema de 
Pitágoras e calcule a medida da hipotenusa.
21. Resolva os problemas a seguir para o triângulo retângulo ABC ilustrado, 
usando	as	relações	convenientes	da	ficha-resumo:
a) Se n = 9, m = 4, calcule a, b, c, h.
b) Se h = 25, m = 18, calcule a, b, c, n.
c) Se a = 12, n = 3, calcule m, b, c, h.
d) Se h = 10, n = 20, calcule c, b, a, m.
e) Se m = 9, b = 12, calcule a, c, h, n.
f) Se a = 13, h = 6 calcule b, c, m, n.
22. Raimundo precisa fazer um telhado com duas partes: uma AB, com 
inclinação de 60o, e outra AC, com inclinação de 30o.
 Ele quer saber o comprimento da 
peça de madeira vertical AD, sa-
bendo que as distâncias BD e DC 
medem 4 m e 12 m, respectivamen-
te. Ajude o Raimundo no cálculo da 
medida x.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, o texto e 
o quadro em destaque, rela-
cionado com o Teorema de 
Pitágoras. Devem, também, 
junto a esta anotação, dese-
nhar um triângulo retângulo 
ABC de hipotenusa BC e 
escrever, junto aos seus la-
dos AB, AC e BC, as letras 
indicativas de suas medidas: 
respectivamente c, b e a. 
Comente com eles que 
tais letras correspondem às 
letras maiúsculas dos ângulos 
opostos a tais lados.
Comente com os alunos 
que, se os ângulos agudos 
B e C medem 60 e 30 graus, 
respectivamente, então o ân-
gulo A é reto e valem as pro-
priedades da ficha-resumo.
22. x = 4 3. 
Sugira pesquisa sobre Pi-
tágoras (para apresentação 
em próximas aulas).
20. a) Desenho do aluno;
 b) Temos: 32 + 42 = 9 + 16 
= 25 = 52;
 c) 8 cm.
B C
A
12D4
x
A
b
CB n m
h
c
H
a
A
b
CB n m
h
c
H
a
23. Use	as	relações	da	sua	ficha-resumo	para	calcular	o	que	se	pede:
a) Se m = 7, n = 21, calcule a, b, c, h.
b) Se a = 12 e m = 3, calcule b, c, h, n.
c) Se a = 10 e b = 8, calcule c, h, m, n.
d) Se a = 12 e h = 4 2 , calcule b, c, m, n.
e) Se b = 3 e c = 3 2 , calcule a, h, m, n.
f) Se b = 3 10 e h = 9, calcule a, c, m, n.
g) Se b = 15 e m = 9, calcule a, c, h, n.
h) Se b = 9 e n = 24, calcule a, c, h, m.
i) Se h = 2 3 e m = 3 2 , calcule a, b, c, n.
Aprendendo em casa
Para resolver a letra (f), sugira aos alunos 
começarem calculando m e n com o sistema 
m+n=13 e m.n=36.
 e) a = 16
 
 
 n = 7
 
 
 m = 9
 n = 4 ou
 
 
 m = 4
 n = 9
c = 4√7 ≅ 10,58 
h = 3√7 ≅ 7,94 
f)Existem duas soluções: 
 b = 3√13 ≅ 10,82
 c = 2√13 ≅ 7,21 
b = 2√13 ≅ 7,21 
c = 3√13 ≅ 10,82 
21. a)a = 13
 
 
 h = 6
 
 
 
 
 c)m = 9
 
 c = 6
 
 
 
 a = 25
 m = 5
b)a = 949/18 ≅ 52,72
c = 3√13 ≅ 10,82 
b = √949 ≅ 30,81 
c = 25√949/18 ≅ 00,0 
n = 625/18 ≅ 34,72
b = 6√3 ≅ 10,39 
h = 3√3 ≅ 5,19 
d)c = 10√5 ≅ 22,36 
b = 5√5 ≅ 11,18 
b = 2√13 ≅ 7,21 
23. a) a = 28
b = 14 
c = 14√3 ≅ 24,25 
h = 7√3 ≅ 12,12. 
b) b = 6 
c = 6√3 ≅ 10,39 
h = 3√3 ≅ 5,19 
n = 9. 
c) c = 6 
h = 48/10 = 4,8
m = 64/10 ≅ 6,4
n = 36/10 ≅ 3,6.
d) b = 4√6 ≅ 9,79 
c = 4√3 ≅ 6,90 
m = 8 
n = 4 ou
b = 4√3 ≅ 6,93 
c = 4√6 ≅ 9,79 
m = 4 
n = 8. 
e) a = 3√3 ≅ 5,19 
h = √6 ≅ 2,45 
m = √3 ≅ 1,73
n = 2√3 ≅ 3,47. 
f) a = 30 
c = 9√10 ≅ 28,46 
m = 3 
n = 27. 
g) a = 25 
c = 20 
h = 12 
n = 16. 
h) a = 27 
c = 18√2 ≅ 25,46 
h = 6√2 ≅ 8,49 
m = 3. 
i) a = 5√2 ≅ 7,07 
b = √30 ≅ 5,48 
n = 2√5 ≅ 4,48. 

Mat9Cap5_NOVA2012.indd 146 10/05/13 19:52
147
 Responda: 
•	 Como se chamam os ângulos formados por uma reta vertical com outra reta horizontal?
•	 Por que os catetos de um triângulo retângulo são menores que a hipotenusa?
•	 O que se pode dizer dos ângulos agudos de um triângulo retângulo: são comple-
mentares ou suplementares?
•	 Qual é a relação entre as medidas dos catetos e da hipotenusa que é estabelecida 
pelo Teorema de Pitágoras?
ATIVIDADES ORAIS
•	 Ângulos	retos.
•	 Porque,	em	todo	 triângulo,	ao	
maior ângulo se opõe o maior 
lado. Logo, a hipotenusa (que 
se opõe ao ângulo reto) é maior 
que qualquer dos catetos (que 
se opõem a ângulos agudos).
•	 São	 complementares	 (a	 soma	
de suas medidas é 90 graus).
•	 O	 quadrado	 da	 hipotenusa	 é	
igual à soma dos quadrados dos 
catetos.
No enunciado que antecede 
a ilustração, af irmamos que 
os triângulos são semelhantes. 
Peça aos alunos que justifiquem 
este fato.
Esclareça para os alunos que o 
fato de a razão entre as medidas 
BC e AC ser igual a ½, no caso 
explorado no exemplo, nada tem 
a ver com a coincidência da razão 
das medidas dos ângulos agudos 
do triângulo ser também ½, para 
que não fique a ideia de que isto 
é uma regularidade. Mostre para 
eles o exercício 32 A da página 
149, no qual a razão entre as 
medidas dos ângulos agudos é 
4 : 5 (em decimal, 0,8), sem que 
a razão entre cateto oposto e a 
hipotenusa seja a mesma: ela é 
16,07/25 (em decimal, aproxima-
damente 0,64).
Para facilitar a compreensão do 
item (a) do exercício 24, desenhe 
no quadro uma circunferência de 
centro A e o diâmetro horizontal 
da mesma. À direita de A, dese-
nhe, pela ordem, pontos B1, B2, 
B3, sobre o raioe os segmentos 
verticais B
1
C
1
, B
2
C
2
, B
3
C
3
 com 
os extremos C
1
, C
2
 e C
3
 na cir-
cunferência, e os raios AC
1
 AC
2
 e 
AC
3
 formando, assim, três triân-
gulos retângulos. Este desenho 
permitirá concluir que, quanto 
maior a inclinação, maiores os 
catetos verticais, ficando fixas 
as hipotenusas por serem raios da 
circunferência. Logo, consideran-
do os catetos verticais, as razões 
cateto : hipotenusa crescem com 
as inclinações.
24. a) Maior;
 b) Menor;
 c) Depende;
 d) Não. Porque, sendo o cateto 
menor que a hipotenusa, o 
quociente do cateto pela 
hipotenusa é sempre menor 
que 1 (toda fração na qual 
o numerador é menor que o 
denominador, é menor que 
1). (Se necessário, exem-
plifique numericamente ou 
com desenhos.)
C
C1
C2
B B1 B2
A
60º
D
	 Na	figura	abaixo,	você	vê	um	automóvel	subindo	uma	rampa	com	uma	
inclinação de 30 graus.
 Nos anos anteriores, você viu que, se os ângulos agudos de um triângulo 
retângulo medem 30º e 60º, a medida do cateto oposto ao ângulo de 
30º é a metade da medida da hipotenusa, ou seja, a razão entre o cateto 
oposto ao ângulo de 30 graus e a hipotenusa é igual a 1 : 2 (ou 0,5).
	 Como	todos	os	triângulos	retângulos	da	figura	são	semelhantes,	pode-
mos escrever a proporcionalidade entre seus catetos opostos ao ângulo 
de 30 graus e as respectivas hipotenusas:
BC
AC
B C
AC
B C
AC
= = = =1 1
1
2 2
2
1
2
...60º
30º
30º
24. Discuta com seus colegas e tire conclusões sobre o que se pergunta, 
justificando	suas	respostas:
a) Se o ângulo de inclinação for maior que 30 graus, as razões anteriores são maiores 
ou menores que 1
2
?
b) E se o ângulo de inclinação for menor que 30 graus?
c) O valor dessas razões depende ou não do ângulo de inclinação?
d) O valor dessas razões pode ser maior que 1? Justifique sua resposta.
Aprendendo em sala de aula
As razões trigonométricas
Explorando o que você já sabe
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 147 10/05/13 19:52
148
B
C
D
EA
25. Na	figura	ao	lado,	os	ângulos	congruen-
tes dos triângulos retângulos medem 
30 graus.
a) Se AC mede 12 mm, quanto mede BC?
b) Se DE mede 10 mm, quanto mede AD?
26. Resolva,	ainda	com	base	na	figura	do	exercício	25:	
 (Use calculadora, para encontrar valores aproximados, se necessário.)
a) Se AC mede 10 mm, calcule BC. 
b) Agora, use o Teorema de Pitágoras e calcule AB.
c) Se DE mede 8 mm, calcule AD.
d) Agora, use o Teorema de Pitágoras e calcule AE.
 Observe os triângulos retângulos a seguir:
 Como todos eles têm um ângulo reto e o ângulo A em comum, são 
triângulos semelhantes.
	 Logo,	temos	as	seguintes	proporções:
BC
AC
B C
AC
B C
AC
B C
AC
n n
n
= = = = = =1 1
1
2 2
2
... ...
 
27. V ou F:
a) As razões anteriores são todas entre catetos opostos ao ângulo A e as respectivas 
hipotenusas.
b) Se dois triângulos retângulos têm dois ângulos agudos congruentes, as razões entre 
os catetos opostos a estes ângulos e as respectivas hipotenusas são iguais.
c) Quanto maior for o ângulo A, maior será o valor das razões.
 
Todas as razões anteriores têm o mesmo valor. Este valor é 
chamado de seno do ângulo A e se representa assim:
sen A (lê-se: seno de A).
C
C1
C2
C3
A B B1 B2 B3
25. a) 6 mm;
 b) 20 mm.
26. a) 5 mm;
 b) AB = 5 3 ≅ 8,660 mm;
 c) 16 mm;
 d) AE = 8 3 ≅ 13.86 mm.
27. a) V;
 b) V;
 c) V. 


Mat9Cap5_NOVA2012.indd 148 10/05/13 19:52
149
 Como os triângulos anteriores são semelhantes, também são iguais as 
razões entre os catetos adjacentes ao ângulo A e as respectivas hipo-
tenusas:
 
AB
AC
AB
AC
AB
AC
AB
AC
n
n
= = = = = =1
1
2
2
... ...
 
 Todas as razões anteriores têm o mesmo valor. Este valor é chamado 
de cosseno do ângulo A e se representa assim:
 cos A (lê-se: cosseno de A)
 Também são iguais as razões entre os catetos opostos ao ângulo A e 
os catetos adjacentes:
 
BC
AB
B C
AB
B C
AB
B C
AB
n n
n
= = = = = =1 1
1
2 2
2
... ...
 
 O valor comum das razões anteriores é chamado de tangente do 
ângulo A e se representa assim:
 tg A (lê-se: tangente de A)
 Podemos,	então,	definir:
◆	Seno	de	um	ângulo	agudo	de	um	triângulo	retângulo	é	a	razão	
entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.
◆	Cosseno de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão 
entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
◆	Tangente de um ângulo agudo de um triângulo retângulo é a razão 
entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente.
Na	figura	ao	lado:
C
C1
C2
C3
A B B1 B2 B3
A B
C
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, o quadro 
em destaque no fim da pági-
na, o texto que sucede a ele, 
juntamente com a figura do 
triângulo retângulo ABC. 
Depois, devem fazer o mes-
mo em um cartão, como uma 
ficha-resumo para ser utiliza-
da em casa e, principalmente, 
na sala de aula.
Promova atividades como 
as que sugerimos a seguir: 
usando transferidor, compas-
so e régua graduada (utilizan-
do, preferencialmente, papel 
quadriculado), desenhar tri-
ângulos retângulos, medir 
os lados e calcular as razões 
entre eles, obtendo, assim, 
valores aproximados do seno, 
cosseno e tangente dos ângu-
los agudos correspondentes. 
Explorando tais situações, 
argumentar por que senos e 
cossenos de ângulos agudos 
variam entre zero e um. Ex-
plorar situações nas quais a 
medida de hipotenusa é um 
para que os alunos percebam 
a vantagem desse fato: elimi-
na o cálculo das razões, pois 
seno e cosseno passam a ser 
imediatamente as medidas 
dos catetos.
sen Â
BC
AC
Â
AB
AC
tg Â
BC
AB
= = =cos
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150
 Resolva os três 
exercícios a se-
guir, com base na 
figura	ao	lado:
28. Na	figura	acima,	considerando	a	medida	do	lado	de	cada	quadradinho	
como unidade de medida, e que os triângulos são triângulos retângulos, 
calcule:
a) QE b) QG c) QM d) QS e) QV 
29. Calcule o valor das razões a seguir:
a) 
EF
QE
GH
QG
KL
QK
MP
QM
ST
QS
VW
QV
= = = = =
b) 
QF
QE
QH
QG
QL
QK
QP
QM
QT
QS
QW
QV
= = = = =
c) 
EF
QF
GH
QH
KL
QL
MP
QP
ST
QT
VW
QW
= = = = =
30. Use os resultados do exercício anterior para dar o valor do seno, do 
cosseno	e	da	tangente	do	ângulo	Q.
31. Observe os dois triângulos abaixo e calcule:
a) sen A c) tg A e) cos B
b) cos A d) sen B f) tg B 
 
 
 
 
	 Observe	novamente	as	definições	de	seno,	cosseno	e	tangente:
 
sen Â
BC
AC
Â
AB
AC
tg Â
BC
AB
= = =cos
 Observando o triângulo ABC, é fácil concluir que:
◆	Como os catetos são menores que a hipotenusa, as razões entre as 
medidas dos catetos e a hipotenusa são números positivos menores 
que 1; logo, o seno e o cosseno têm seus valores dados por decimais 
entre zero e 1.
◆	Quanto	maior	o	ângulo,	maior	o	seno	e	menor	o	cosseno	dele.
Y
5
X 12
A
13
B
6
W
8
T10
A B
C
Professor(a): usamos al-
ternativamente indicar um 
ângulo A assim: Â ou sim-
plesmente assim: A, desde 
que o contexto deixe claro 
que se trata de mencionar 
o ângulo.
Verif ique se os alunos 
usam o Teorema de Pitágoras 
para os cálculos sugeridos no 
exercício 28. Gradativamen-
te, convença-os de que as res-
postas devem ser dadas como 
raízes quadradas (como se 
vê na segunda resposta de 
cada item do exercício 28). 
Explique que tais raízes re-
presentam o valor exato do 
número real correspondente, 
enquanto as respostas em de-
cimais são, exceto no caso de 
raízes exatas, aproximações 
do número real obtido como 
resposta. Lembre-se de que, 
futuramente, eles trabalharão 
com valores de algumas 
razões trigonométricas de 
arcos notáveis (30º, 45º, 
60º) expressos em termos 
de razões contendo radicais.
28. Respostas em decimais 
aproximados e como ra-
dicais.
 a) 4,12, (17);
 b) 8,25, (68);
 c) 12,37, (153);
 d) 16,49, (272);
 e) 20,61, (425).
29. a) 17/17  0,24;
 b) 417/ 17  0,97;
 c) 0,1/4 = 0,25.
30. sen Q  0,24,
 cos Q  0,97,
 tg Q = 0,25.
31. a) 5/13 (ou aproximada-
mente 0,38); 
 b) 12/13 (ou aproximada-
mente 0,92);
 c) 5/12 (ou aproximada-
mente 0,42);
 d) 4/5 (ou 0,8);
 e) 3/5 (ou 0,6);f) 4/3 (ou aproximada-
mente 1,33).
Comente que os valores 
de seno, cosseno e tangente 
podem também ser obtidos 
diretamente em algumas cal-
culadoras, especialmente as 
cientificas.
Q
G
E
K M
S
V
F H L P T W
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 150 10/05/13 19:53
151
◆	Se	a	medida	do	ângulo	A	for	45	graus,	o	triângulo	ABC	é	triângulo	
retângulo isósceles, ou seja, seus catetos são congruentes. Isto 
significa	que	tg	45o =	1.
◆	Se	o	ângulo	A	for	menor	que	45	graus,	a	tangente	é	um	decimal	entre	
zero e 1.
◆	Se	o	ângulo	A	for	maior	que	45	graus,	sua	tangente	do	mesmo	é	um	
decimal maior que 1, podendo ter valores tanto maiores quanto maior 
for o ângulo.
 Os matemáticos já calcularam vários tipos de tabelas de valores para 
seno, cosseno e tangente de ângulos agudos. Na página 159, você vê 
uma destas tabelas, com aproximação decimal de 4 casas. Ela será útil 
para resolver diversos exercícios que seguem.
 Aqui, um pequeno trecho da tabela:
Usando novamente o de-
senho da circunferência e as 
definições de seno, cosseno 
e tangente, explore situações 
que convençam os alunos das 
conclusões citadas ao final 
da página 148 e início da 
página 149.
32. a) 16,07;
 b) 47,67.
 a) x = 25 sen 40º
 x = 25 x 0,6428
 x = 16,07;
 b) 40/y = tg 40º
 40 = y tg 40º
 40 = y • 0,8391
 y = 40/0,8391
 y = 47,67. 
25 x 40
40º
A B
y
 Observe alguns exemplos do uso da tabela:
a) sen 4o = 0,0689 d) Se sen x = 0,7431 então x = 48o 
b) cos 4o = 0,9976 e) se tg y = 0,1228, então y = 7o 
c) tg 50o = 1,1918 
32. Use a tabela de razões trigonométricas da página 159 e calcule as 
medidas x e y aproximadas dos catetos dos triângulos retângulos das 
figuras	(A)	e	(B),	a	seguir:	
40º
 TABELA DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 1º a 89º
Ângulo Seno Cosseno Tangente
46º 0,7193 0,6947 1,0355
47º 0,7314 0,6820 1,0724
48º 0,7431 0,6691 1,1106
49º 0,7547 0,6561 1,1504
50º 0,7660 0,6428 1,1918
51º 0,7771 0,6293 1,2349
52º 0,7880 0,6157 1,2799
53º 0,7986 0,6018 1,3270
54º 0,8090 0,5878 1,3764
55º 0,8192 0,5736 1,4281
Ângulo Seno Cosseno Tangente
1º 0,0175 0,9998 0,0175
2º 0,0349 0,9994 0,0349
3º 0,0523 0,9986 0,0524
4º 0,0698 0,9976 0,0699
5º 0,0872 0,9962 0,0875
6º 0,1045 0,9945 0,1051
7º 0,1219 0,9925 0,1228
8º 0,1392 0,9903 0,1405
9º 0,1564 0,9877 0,1584
10º 0,1736 0,9848 0,1763
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 151 10/05/13 19:53
152
33. Observe o triângulo retângulo a seguir:
a) Calcule sen A com 4 ordens decimais.
b) A medida do ângulo A em graus está compreendida entre dois valores inteiros. Use 
a tabela e diga quais são estes valores.
34. Observe	a	figura	e	responda	ou	faça	o	que	se	pede:
a) Para calcular a medida x, qual das razões trigonométricas usamos: seno, cosseno ou 
tangente? Justifique a resposta.
b) Calcule x com duas ordens decimais, usando a tabela.
35. Observe	a	figura	e	responda	ou	faça	o	que	se	pede:
a) Para calcular a medida do ângulo B, qual razão trigonométrica se usa: 
seno, cosseno ou tangente? Justifique sua resposta.
b) Calcule a razão trigonométrica do ângulo B que você identificou no item (a).
c) Use a tabela e escreva o valor aproximado de B, em graus.
5
13
A
?
9,08
32º
x
41
9
B
?
33. a) 0,3846;
 b) 22º e 23º.
Caso julgue conveniente, 
faça uma interpolação. Como 
sen 22o = 0,3746 e sen 23o = 
0,3907, considere a diferença 
entre tais valores (0,0161) e 
a diferença entre 0,3846 e 
0,3746 = 0,01, e calcule a 
razão 0,01/0,0161 (aproxi-
madamente, 0,62). Finalmen-
te, calcule esta razão de 60 
minutos (37,2 minutos). Daí 
termos, aproximadamente, o 
valor de 22o 37’ 12” para o 
ângulo A (pois 0,2 do minuto 
equivale a 12 segundos).
Esta interpolação é uma 
técnica para encontrar um 
valor aproximado para o 
ângulo utilizando-se tabe-
las como a da página 157. 
A técnica funciona porque 
apesar correspondência entre 
ângulos e senos dos mesmos 
não ser exatamente uma 
proporcionalidade direta, 
para intervalos pequenos 
(de um grau, como no caso 
da tabela) é quase uma. Com 
o advento das calculadoras 
eletrônicas científicas este 
tipo de cálculo não se usa 
mais, mas é importante que 
os alunos tenham noção de 
como se pode fazer.
34. a) Cosseno, pois cosseno 
de um ângulo é o quo-
ciente da medida do 
cateto adjacente a esse 
ângulo pela medida da 
hipotenusa;
 b) 7,70.
 cos 32º = x/9,08
 0,8480 = x/9,08
 x = 9,08 • 0,8480
 x = 7,70.
35. a) Tangente, pois a tan-
gente de um ângulo é 
o quociente da medida 
do cateto oposto pela 
medida do cateto ad-
jacente a esse ângulo;
 b) 41/9  4,55;
 c) Aproximadamente 77º.
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 152 10/05/13 19:53
153
36. Na	figura,	você	vê	um	automóvel	subindo	um	trecho	de	estrada	cuja	
inclinação é de 3 graus:
	 Ao	alcançar	o	ponto	A,	o	automóvel	terá	percorrido	5	280	metros.	Quan-
tos metros o automóvel terá subido, aproximadamente, na vertical?
37. Em	determinada	 hora	do	dia,	 o	Sol	
projeta uma sombra de um mastro 
de bandeira no solo. O mastro mede 
30 metros de altura, e a sombra, 24 
metros. Calcule, aproximadamente, o 
ângulo Z que o raio solar faz com o ní-
vel do terreno, neste exato momento.
38. Nas	figuras	a	seguir,	você	vê	medidas	de	lados	ou	de	ângulos	represen-
tadas por letras. Em cada caso, use a razão trigonométrica conveniente 
para calcular seus valores aproximados, escrevendo as respostas em 
seu caderno.
10
31º
d
r y
72º
25010
f
25º
28º
c
1
2
y =...
r =...
a) 
b) 
c) d) 
36. 276,14m.
 h = 5 280 x sen 3º
 h = 5 280 x 0,0523
 h = 276,14 metros. 
37. Aproximadamente 51º.
 tgz = 30/24 = 5/4 = 1,25
 
38. a) d = 6,009;
 b) y = 769,43 e 
 r = 809,06;
 c) f = 21,45;
 d) c = 0,94.
 
 Cálculos:
 (a) d = 10tg 31º,
 (b) 250 = r cos 72º
 r = 250/cos72º = 809,06
 y = r sen 72º
 y = (809,06) (0,9511)
 y = 769,43.
3º
5280
A
h
Z
24
30
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 153 10/05/13 19:53
154
39. Em cada caso, calcule aproximadamente os valores representados por 
letras:
40. Faça	os	cálculos	indicados	nas	figuras	e	escreva	as	respostas	em	seu	
caderno.
12
10
d75º
30º
b
2357
5,5
2 f
38º
39. d = 34,79;
 b = 1 360,93;
 f = 5,04.
(10 + d)/12 = tg 75o
(10 + d)/12 = 3,7321
10 + d = 12 x 3,7321
10 + d = 44,79
d = 34,79.
5,5/(2 + f) = tg 38o
5,5/(2 + f) = 0,7813
2 + f = 5,5/0,7813 = 7,04
f = 5,04.
40. a) tg â = 1,25, â  51º, tg 
 = 0,75 
 37º, 14º;
 b) z = 132,7.
Caso julgue oportuno, 
explore ainda atividades 
que envolvam os cálculos 
sugeridos pelas atividades 
a seguir: Distância de um 
navio à costa. Distância entre 
dois pontos, a partir de um 
terceiro não colinear com 
ambos (por exemplo, um 
topógrafo em uma praia, 
calculando a distância entre 
duas ilhas). Largura de um 
rio, a partir de um ponto 
em uma das margens (por 
exemplo, um engenheiro que 
vai construir uma ponte). De-
terminação do raio da Terra 
(feita pelos gregos há mais 
de 2000 anos). Distância da 
Terra à Lua (cálculos feitos 
pelos astrônomos). Altura 
de um ponto a partir de um 
ponto no plano da base. Para 
tais atividades, pesquise em 
enciclopédias, livros ou re-
vistas científicas, bem como 
na internet.
100
53º
z
B
a b
40
30
50A
x 
tg â =
â ≅
tg b =
b ≅
x = â – b ≅
ˆ
ˆ
ˆ ˆ
?
?
?
?
?
?z =...
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155
41. Em	cada	caso,	na	figura	abaixo,	calcule	o	valor	aproximado	ou	exato	
representado pelas letras e escreva a resposta em seu caderno.
 
 
 Você já sabe que, se três ou mais retas paralelas são cortadas por duas 
transversais, então os segmentos determinados pelas paralelas sobre 
uma transversal são proporcionais aos segmentos correspondentes da 
segunda transversal.
Faça breve abordagem 
oral sobre as atividades do 
“Aprendendo em casa” para 
verificar se os alunos estão 
aptos a resolvê-las.
41. a) 1 300;
 b) 482,95;
 c) cos = 0,8  37º;
 d) x= 157;
 e) b = 1 624,5.
x
a
500
1200 500
b
75º
80
100
c?
63º
80 b
5000
18º
a) 
b) 
c) 
d) e) 
a =... b =...
cos c =...
 c ≅...ˆ
ˆ ?
?
??
A
B
C
A1
B1
C1
D
r s
a
b
c
Aprendendo em casa
Explorando o que você aprendeu
e aprendendomais
AB
BC
A B
B C
AB
A B
BC
B C
= =1 1
1 1 1 1 1 1
,
 
 Usando propriedades de proporções, já provamos também as seguintes 
relações:
 
AB
AC
A B
A C
AB
A B
AC
A C
= =1 1
1 1 1 1 1 1
, 
BC
AC
B C
A C
BC
B C
AC
A C
= =1 1
1 1 1 1 1 1
,
Em linguagem matemática, 
tem-se:
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156
42. Use as propriedades convenientes e calcule os valores aproximados ou 
exatos de a, b e c	nas	figuras	a	seguir:
43. Observe	 as	 figuras	 e	 calcule	 os	 valores	 aproximados	ou	 exatos	de	 
x, y e z.
 Antes de encerrar as atividades com razões trigonométricas, vamos 
registrar duas observações:
1ª) Em muitas aplicações, você viu ou verá o uso de termos como “in-
clinação”,	“caimento”,	“ângulo	de	elevação”	etc.	Verifique	sempre	
em	um	dicionário	o	significado	desses	termos.	No	dia	a	dia,	eles	
costumam	ser	ligados	às	profissões.	Por	exemplo,	para	o	carpin-
teiro,	“caimento”	de	20%	de	um	telhado	significa	que,	a	cada	me-
tro na horizontal, o telhado deve “cair” 20 centímetros na vertical, 
enquanto que, para o engenheiro, uma pista com “inclinação” de 
20%	significa	que	a	tangente	do	ângulo	da	pista	com	a	horizontal	
é igual a 0,20.
2ª) Vários instrumentos de medidas se baseiam na trigonometria: bús-
sola de agrimensor, teodolito, pantômetro de luneta, clinômetro. 
Faça uma pesquisa sobre estes instrumentos, procurando desco-
brir para que são usados e como se baseiam na trigonometria. 
7,5
4,5
a
3 4
5 6
b 3
5
c
11
42. a = 5;
 b = 54/5 = 10,8;
 c = 15/11;
 
 3/a = 4,5/7,5;
 5/9 = 6/b;
 3/11 = c/5.
43. x = 54/7  7,71, y = 91/8 
= 11,375,
 z = 44/9  4,89.
 x/9 = 6/7
 y/13 = 7/8
 z/11 = 4/9
Sugira que os alunos pes-
quisem, em um dicionário 
ilustrado, na internet, ou 
em outras fontes, o que são: 
bússola de agrimensor, teo-
dolito, pantômetro de luneta, 
clinômetro.
7
6
9
x
8
5
7
y
4
9
z
11
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157
ATIVIDADES OPCIONAIS
DEMONSTRANDO AS RELAÇÕES MÉTRICAS
 Agora, você vai demonstrar que as relações a seguir são verdadeiras. 
Como elas envolvem medidas de segmento sem triângulos retângulos, 
são chamadas de “rela¬ções métricas do triângulo retângulo”.
 Para isto, tenha em mãos a ficha-resumo que você já fez, ou, caso não 
a	tenha	feito,	copie	a	ficha	a	seguir.	Ela	permitirá	a	você	acompanhar,	
observando	a	figura	e	as	relações,	as	demonstrações	propostas.
	 Inicialmente,	você	vai	identificar	três	triângulos	semelhantes	na	figura.
 Observe que os ângulos B e HAC são complementos de um mesmo 
ângulo:	o	ângulo	C.	Logo,	são	congruentes.	
44. Agora, responda: por que o ângulo C e o ângulo BAH são congruentes?
 Você sabe que, se dois triângulos têm dois pares de ângulos congruentes, então 
são semelhantes.
45. Você acabou de concluir que os ângulos B e HAC são congruentes, bem 
como os ângulos C e BAH. O que se pode concluir sobre os triângulos 
ABH e CAH?
46. Observe	o	triângulo	ABC	e	o	triângulo	HBA	e	identifique	dois	pares	de	
ângulos congruentes de ambos. O que se pode concluir sobre estes 
dois triângulos?
47. Finalmente,	observe	o	 triângulo	ABC	e	o	 triângulo	HAC	e	 identifique	
dois pares de ângulos congruentes de ambos. O que se pode concluir 
sobre estes triângulos?
 Você concluiu que os três triângulos ABC, CAH e HAC são semelhan-
tes entre si. Vamos usar estas conclusões para demonstrar as relações 
métricas	da	ficha-resumo.	Para	isto,	vamos	observar	sucessivamente,	
as três primeiras.
 Você sabe que b2	=	am	é	equivalente	à	proporção	 b
a
m
b
= .
 Observe que estas são medidas de segmentos contidos nos triângulos 
semelhantes ABC e CAH; logo, seus lados correspondentes são pro-
porcionais. 
 Vamos escrever estas proporções no exercício 48.
Embora opcionais, abor-
dar estas atividades é uma 
ótima oportunidade para 
explorar demonstrações de 
alguns teoremas, discorrer 
sobre o que são postulados, 
conceitos primitivos, concei-
tos intuitivos, teoremas, hipó-
teses, teses, demonstrações, 
métodos de demonstração, 
definições, exemplos, con-
traexemplos, proposições di-
retas, recíprocas, contrárias e 
contrarrecíprocas, bem como 
equivalências entre alguns 
desses pares de proposições.
44. Porque C e BÂH são 
complementos de um 
mesmo ângulo: o ângulo 
.
45. Estes triângulos são se-
melhantes pelo caso AA 
de semelhança de triân-
gulos.
Comente que bastaria usar 
a congruência de um dos dois 
pares citados e mais a dos 
ângulos retos para também 
justificar a semelhança dos 
mesmos triângulos.
46. HÂB e B A são con-
gruentes por serem com-
plementos do ângulo B. 
B A e BÂC são con-
gruentes por serem ân-
gulos retos. Assim os 
triângulos ABC e HBA 
são semelhantes.
47. HÂC e CBA são con-
gruentes por serem com-
plementos do ângulo 
C, e A C e BÂC são 
congruentes por serem 
ângulos retos. Assim, os 
triângulos ABC e HAC 
são semelhantes.
Esta última conclusão 
(exercício 47) poderia ser 
obtida usando o fato de que 
a semelhança é transitiva, 
ou seja, se um triângulo A é 
semelhante a outro B e este é 
semelhante a um terceiro C, 
então os triângulos A e C são 
semelhantes. 
b2 = am
c2 = an
h2 = mn
a2 = b2 + c2
n + m = a
A
b
CB n m
h
c
Ha
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 157 10/05/13 19:53
158
A B C
48. Copie e complete em seu ca-
derno: b
a b
h= =?
?
 Você sabe que c2 =	an	é	equi-
valente à proporção c
a
n
c
= . 
 Observe que estas são medidas de segmentos contidos nos triângulos 
semelhantes ABC e HBA; logo, seus lados correspondentes são pro-
porcionais; vamos escrever estas proporções no exercício 49.
49. Copie e complete em seu caderno: c
a
n h
b
= =
?
 Você sabe que h2 =	mn	é	equivalente	à	proporção			 h
m
n
h
= 
 Observe que estas são medidas de segmentos contidos nos triângulos 
semelhantes	AHB	e	CHA.	Logo,	seus	lados	correspondentes	são	pro-
porcionais; vamos escrever estas proporções:
50. Copie e complete em seu caderno: 
c
m
n
h?
?= = 
 Você obteve, nos últimos exercícios, as seguintes proporcionalidades:
 
c
b
h
m
n
h
= = 
c
a
h
b
n
c
= = 
b
a
m
b
h
c
= =
 Observe que, da proporcionalidade contida no quadro (A), usando o 
produto cruzado nas duas últimas razões, resulta a relação h2	=	mn.
51. De qual quadro se obtêm as relações c2	=	an	e	bc	=	ah?	Como	obtê-las?
52. De qual quadro se obtém a relação b2	=	am	e	como	obtê-la?
 Usando as relações já demonstradas, vamos agora demonstrar o famoso 
Teorema de Pitágoras:
 O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
 Ou, em linguagem matemática: a2 = b2 + c2.
 Você já sabe que: b2 = am e c2 = an; somando, membro a membro, 
essas duas igualdades, obteremos: b2 + c2 = am + na.
	 Como	am	+	an	=	a(m+n),	temos: b2 + c2 = a(m+n). 
		 Mas,	m	+	n	=	a;	logo,	b2 + c2 = a x a = a2.
	 Logo,	provamos	que	b2 + c2	=	a2 ou, equivalentemente, a2 = b2 + c2.
48. b/a = m/b = h/c. 
49. c/a = n/c = h/b. 
50. c/b = h/m = n/h.
51. Obtém-se da coluna B, 
usando-se produtos cru-
zados.
52. Obtém-se da coluna C, 
usando-se produto cru-
zado nas duas primeiras 
razões.
 
A
b
CB n m
h
c
Ha
b2 = am
c2 = an
h2 = mn
a2 = b2 + c2
n + m = a
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159
 TABELA DAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS DE 1º a 89º
Ângulo Seno Cosseno Tangente
46º 0,7193 0,6947 1,0355
47º 0,7314 0,6820 1,0724
48º 0,7431 0,6691 1,1106
49º 0,7547 0,6561 1,1504
50º 0,7660 0,6428 1,1918
51º 0,7771 0,6293 1,2349
52º 0,7880 0,6157 1,2799
53º 0,7986 0,6018 1,3270
54º 0,8090 0,5878 1,3764
55º 0,8192 0,5736 1,4281
56º 0,8290 0,5592 1,4826
57º 0,8387 0,5446 1,5399
58º 0,8480 0,5299 1,6003
59º 0,8572 0,5150 1,6643
60º 0,8660 0,5000 1,7321
61º 0,8746 0,4848 1,8040
62º 0,8829 0,4695 1,8807
63º 0,8910 0,4540 1,9626
64º 0,8988 0,4384 2,0503
65º 0,9063 0,4226 2,1445
66º 0,9135 0,4067 2,2460
67º 0,9205 0,3907 2,3559
68º 0,9272 0,3746 2,4751
69º 0,9336 0,3584 2,6051
70º 0,9397 0,3420 2,7475
71º 0,9455 0,3256 2,9042
72º 0,9511 0,3090 3,0777
73º 0,9563 0,2924 3,2709
74º 0,9613 0,2756 3,4874
75º 0,9659 0,2588 3,7321
76º 0,9703 0,2419 4,010877º 0,9744 0,2250 4,3315
78º 0,9781 0,2079 4,7046
79º 0,9816 0,1908 5,1446
80º 0,9848 0,1736 5,6713
81º 0,9877 0,1564 6,3138
82º 0,9903 0,1392 7,1154
83º 0,9925 0,1219 8,1443
84º 0,9945 0,1045 9,5144
85º 0,9962 0,0872 11,4301
86º 0,9976 0,0698 14,3007
87º 0,9986 0,0523 19,0811
88º 0,9994 0,0349 28,6363
89º 0,9998 0,0175 57,2900
Ângulo Seno Cosseno Tangente
1º 0,0175 0,9998 0,0175
2º 0,0349 0,9994 0,0349
3º 0,0523 0,9986 0,0524
4º 0,0698 0,9976 0,0699
5º 0,0872 0,9962 0,0875
6º 0,1045 0,9945 0,1051
7º 0,1219 0,9925 0,1228
8º 0,1392 0,9903 0,1405
9º 0,1564 0,9877 0,1584
10º 0,1736 0,9848 0,1763
11º 0,1908 0,9816 0,1944
12º 0,2079 0,9781 0,2126
13º 0,2250 0,9744 0,2309
14º 0,2419 0,9703 0,2493
15º 0,2588 0,9659 0,2679
16º 0,2756 0,9613 0,2867
17º 0,2924 0,9563 0,3057
18º 0,3090 0,9511 0,3249
19º 0,3256 0,9455 0,3443
20º 0,3420 0,9397 0,3640
21º 0,3584 0,9336 0,3839
22º 0,3746 0,9272 0,4040
23º 0,3907 0,9205 0,4245
24º 0,4067 0,9135 0,4452
25º 0,4226 0,9063 0,4663
26º 0,4384 0,8988 0,4877
27º 0,4540 0,8910 0,5095
28º 0,4695 0,8829 0,5317
29º 0,4848 0,8746 0,5543
30º 0,5000 0,8660 0,5774
31º 0,5150 0,8572 0,6009
32º 0,5299 0,8480 0,6249
33º 0,5446 0,8387 0,6494
34º 0,5592 0,8290 0,6745
35º 0,5736 0,8192 0,7002
36º 0,5878 0,8090 0,7265
37º 0,6018 0,7986 0,7536
38º 0,6157 0,7880 0,7813
39º 0,6293 0,7771 0,8098
40º 0,6428 0,7660 0,8391
41º 0,6561 0,7547 0,8693
42º 0,6691 0,7431 0,9004
43º 0,6820 0,7314 0,9325
44º 0,6947 0,7193 0,9657
45º 0,7071 0,7071 1,0000
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 159 10/05/13 19:53
160
Ao término do estudo 
do capítulo, reveja com os 
alunos, a seu critério, o signi-
ficado de alguns dos termos 
destacados na cor azul no 
capítulo.
Releia o texto da página 
34: “Ao elaborar questões [...] 
hexágono”.
Se ainda tem dúvidas sobre Reveja os exercícios
Como reconhecer se polígonos dados são ou não seme-
lhantes. 1, 2, 5, 6, 9, 12. 
Como estabelecer a proporcionalidade entre os pares de 
lados correspondentes de polígonos semelhantes e calcular 
a razão de semelhança. 
5,	7,	8,	9,	10,	12,	13,	25.	
Como estabelecer a proporcionalidade entre pares de seg-
mentos determinados sobre retas secantes por paralelas que 
as interceptem.
11, 42, 43.
Como desenhar polígonos semelhantes que satisfaçam uma 
razão de semelhança dada. 3, 4.
Como resolver problemas envolvendo o conceito e o cálculo 
de média geométrica de números positivos. 14, 15. 
Como	identificar	projeções	de	pontos	ou	segmentos	sobre	
retas. 16,	17,	18.
Como	identificar	triângulos	semelhantes,	determinados	pela	
altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo. 44	a	47.
Como interpretar, em linguagem corrente e em linguagem 
matemática, as relações métricas nos triângulos retângulos. 19.
Como resolver problemas envolvendo relações métricas nos 
triângulos retângulos. 20 a 26.
Como calcular o seno, o cosseno e a tangente de ângulos 
agudos de triângulos retângulos, dadas as medidas dos 
catetos ou da hipotenusa.
27	a	31.
Como calcular lados ou ângulos de triângulos retângulos 
usando as razões trigonométricas constantes de uma tabela. 32 a 41.
Como demonstrar as relações métricas nos triângulos re-
tângulos. 48 a 52.
? Verifique se você aprendeu
Mat9Cap5_NOVA2012.indd 160 10/05/13 19:53
CapItulo 6
figuras geométricas
Descobrindo e explorando
propriedades das
-
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re
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st
im
e.
co
m
Mat9Cap6_NOVA2012.indd 161 10/05/13 19:55
Ao lado, explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
 
Releia: na página 
10, “Observação im-
portante”.
Professor(a): Neste 
e em outros capítu-
los, são exploradas 
diversas si tuações 
para que os alunos 
“descubram”, a par-
tir de casos particu-
lares, propriedades de 
números, de figuras, 
regras de cálculos 
etc. É extremamente 
importante que, após 
estas “descobertas”, 
sejam feitas obser-
vações afirmando que 
tais conclusões são 
verdadeiras (e, even-
tualmente, provar estes 
fatos) para que não 
fique a falsa ideia de 
que, a partir de poucos 
casos particulares, é 
possível generalizar. 
Sempre que possível, 
use expressões algé-
bricas para expressar 
tais generalizações, 
bem como de algumas 
regularidades relacio-
nadas com sequências 
númericas.
A
C
B
D A D
B C
F E
y
x
10º
y
80º
Neste capítulo, você vai rever ou aprender como:
• Caracterizar a circunferência, o círculo e suas partes por suas propriedades. 
• Resolver problemas relacionados com medidas de cordas, arcos e tangentes. 
• Caracterizar a mediatriz de um segmento e a bissetriz de um ângulo por suas pro-
priedades. 
• Identificar ou construir alturas, medianas e mediatrizes de triângulos. 
• Utilizar propriedades físicas de pontos de figuras relacionadas com seus centros 
de gravidade
• Resolver ou descrever como resolver problemas de construções geométricas 
usando régua não graduada e compasso.
• Desenhar figuras geométricas e descobrir propriedades delas, medindo lados ou 
ângulos. 
• Calcular medidas de lados ou ângulos de polígonos que estejam representadas 
por monômios ou polinômios em uma variável. 
• Calcular medidas de ângulos centrais de polígonos regulares.
• Identificar ou resolver problemas que envolvam: ângulos inscritos, ângulos semi-
-inscritos, ângulos com vértice no interior e ângulos com vértice no exterior de 
uma circunferência. 
• Resolver problemas de relações métricas entre cordas, distâncias de cordas ao 
centro e raio de circunferências dadas. 
• Resolver problemas de medidas de arcos e ângulos centrais. 
• Desenhar, conceituar ou construir a circunferência circunscrita a um polígono. 
• Desenhar, conceituar ou construir a circunferência inscrita em um polígono. 
• Identificar polígonos inscritíveis e polígonos não inscritíveis. 
• Desenhar, identificar ou conceituar polígonos inscritos em circunferências. 
• Desenhar, identificar ou conceituar polígonos circunscritos a circunferências. 
• Resolver problemas de cálculo de ângulos internos de polígonos regulares.
• Identificar polígono regular, seu centro, o raio, o apótema e o ângulo central. 
• Resolver problemas de cálculo de ângulos centrais de polígonos regulares. 
• Resolver problemas de relações métricas envolvendo segmentos que interceptam 
uma circunferência. 
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 Responda: 
•	 Uma reta e uma circunferência podem ter um único ponto em comum? 
•	 Uma reta e uma circunferência podem ter dois pontos em comum? 
•	 Qual é o nome da maior corda de uma circunferência?
Professor(a): a partir do 
exercício 3, desenvolva to-
das as atividades no quadro. 
Quando necessário, use múl-
tiplos das medidas citadas.
ATIVIDADES ORAIS
•	 Podem.
•	 Podem.
•	Diâmetro.
 
Observação: ao conceituar 
tangente a uma circunferên-
cia como sendo uma reta que 
passa pelo extremo de um 
diâmetro (ou de um raio), ao 
qual é perpendicular, temos 
como consequência que o 
ponto de tangência é o único 
ponto comum entre a tangen-
te e a circunferência. De fato, 
qualquer que seja outro ponto 
da tangente, o segmento que 
tem por extremos este ponto 
e o centro da circunferência é 
a hipotenusa de um triângulo 
retângulo que tem, como um 
dos catetos, o raio. Logo, tal 
segmento é maior que o raio, 
ou seja, o ponto considerado 
é exterior à circunferência. 
Comente com os alunos 
que estas propriedades da 
circunferência são úteis para 
que, usando o compasso, 
obtenham pontos que distem 
igualmente de um ponto 
dado, desenhando arcos de 
circunferência.
Comente também que, 
quando a “incógnita” de um 
problema de desenho geo-
métrico for um ponto, ele é 
encontrado como interseção 
de dois arcos de circunfe-
rência, duas retas, um arco e 
uma reta etc.
Se a “incógnita” for uma 
reta, basta encontrar dois 
pontos da reta para traçá-la.
1. a) Secante;
 b) Tangente;
 c) Menor;
 d) Maior.
2. a) V;
 b) V.
A
F
E
D B
P
G
C
H
	 Na	figura,	você	vê:
Uma reta	 secante	 à	 circunferência:	
a	reta	AE.
Um	 raio	CP	 e	 um	diâmetro DB da