Aplicações da programação linear

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PESQUISA OPERACIONAL 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula estudaremos aplicações da programação linear em algumas 
importantes áreas: produção, transporte e comércio. Em seguida, estudaremos 
problemas de transporte e de designação, que são casos particulares de 
problemas de programação linear. Serão apresentados exemplos reais, mas de 
uma forma simplificada. É importante ressaltar que temos muitas outras 
aplicações da programação linear, não só nestas áreas, mas em outras também. 
TEMA 1 – PROGRAMAÇÃO LINEAR APLICADA À PRODUÇÃO 
 Dentre diversas áreas, a produção é uma que utiliza muito a pesquisa 
operacional e, em particular, a programação linear. A seguir, apresentaremos 
alguns exemplos com as respectivas soluções ótimas obtidas a partir do uso da 
biblioteca PuLP do Python. São exemplos inspirados em problemas reais, mas 
apresentados de uma forma simplificada. 
 Lembrando que para resolvermos um problema de PL por meio da 
biblioteca PuLP, no Google Colab, precisamos importar a biblioteca utilizando os 
comandos 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
e em seguida utilizar os comandos 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x1=LpVariable("XXXXX",0) 
x2=LpVariable("XXXXX",0) 
x3=LpVariable("XXXXX",0) 
prob += XXXXX 
prob += XXXXX 
prob += XXXXX 
prob += XXXXX 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective)) 
 
 
 
3 
onde XXXXX são os campos a serem substituídos pelos dados do 
problema. 
 Apresentaremos a seguir alguns problemas simples relacionados à 
produção. 
 Exemplo 1: 
A produção de uma indústria de artigos esportivos consiste na fabricação 
de blusões e de calças em um único tamanho. Para a produção de cada blusão, 
a indústria utiliza 1,2 metros de tecido e, para a produção de cada calça, utiliza 
1,3 metros deste mesmo tecido. Em virtude de máquinas e de mão de obra, a 
produção máxima é de 800 blusões e de 900 calças. A quantidade máxima de 
tecido disponível por dia é igual a 2000 metros. Foi informado que o lucro 
referente à venda de cada blusão é de R$ 75,00, e o lucro referente à venda de 
cada calça corresponde a R$ 60,00. O objetivo da indústria é determinar quantas 
unidades de cada produto devem ser produzidos diariamente de modo que o 
lucro seja o maior possível. Formule e resolva o problema como um problema de 
programação linear. 
Resolução: 
Variáveis: 
x1 = quantidade de blusões a serem produzidos 
x2 = quantidade de calças a serem produzidas 
Formulação: 
max L=75x1+60x2 
s.a. 1,2x1+1,3x2<=2000 
x1<=800 
x2<=900 
x1>=0, x2>=0 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x1=LpVariable("Blusões",0) 
x2=LpVariable("Calças",0) 
prob += 75*x1+60*x2 
prob += 1.2*x1+1.3*x2<=2000 
 
 
4 
prob += x1<=400 
prob += x2<=480 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective)) 
 
Solução ótima: 
800 blusões 
800 calças 
Lucro máximo: R$ 108.000,00 
 Exemplo 2: 
Um agricultor produz feijão e soja e pretende decidir quantos hectares irá 
dedicar a cada cultura de modo a maximizar o lucro total. Para cada hectare de 
feijão irrigado, o lucro líquido estimado é de R$ 1.600,00, e para cada hectare de 
soja irrigada, estima-se que o lucro seja de R$ 2.500,00. A quantidade máxima 
de terra disponível é de 80 hectares. Contratos assinados exigem que a 
produção mínima de feijão seja de 20 hectares e a produção mínima de soja seja 
de 32 hectares. Formule e resolva o problema como um problema de 
programação linear. 
Resolução: 
Variáveis: 
 
 
5 
x1 = hectares de feijão a serem plantados 
x2 = hectares de soja a serem plantados 
Formulação: 
max L=1600x1+2500x2 
s.a. x1+x2<=80 
x1>=20 
x2>=32 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x1=LpVariable("Feijão",0) 
x2=LpVariable("Soja",0) 
prob += 1600*x1+2500*x2 
prob += x1+x2<=80 
prob += x1>=20 
prob += x2>=32 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective)) 
 
Solução ótima: 
 
 
6 
Feijão: 20 hectares 
Soja: 60 hectares 
Lucro máximo: R$ 182.000,00 
TEMA 2 – PROGRAMAÇÃO LINEAR APLICADA AO TRANSPORTE 
A programação linear pode nos auxiliar na resolução de problemas de 
diversas áreas. A seguir, apresentaremos alguns exemplos relacionados ao 
transporte. 
Exemplo 1: 
Uma empresa da área de logística precisa adquirir uma certa quantidade 
de empilhadeiras e de porta pallets. A seguir são apresentadas algumas 
informações importantes: o custo referente à aquisição de cada um destes itens 
e as quantidades mínimas e máximas a serem adquiridas. 
 Custo 
Unitário 
Quantidade 
Mínima 
Quantidade 
Máxima 
Empilhadeira R$ 70.000,00 15 50 
Porta Pallet R$ 1.200,00 400 
Sabendo que a empresa tem R$ 1.600.000,00 para investir na compra 
das empilhadeiras e dos porta pallets e que deseja minimizar o custo total 
referente à aquisição destes itens, determine quantas empilhadeiras e quantos 
porta pallets deverá comprar. 
Resolução: 
Variáveis: 
x1 = quantidade de empilhadeiras a serem adquiridas 
x2 = quantidade de porta pallets a serem adquiridas 
Formulação: 
min C=70000x1+1200x2 
s.a. 70000x1+1200x2<=1600000 
x1>=15 
x1<=50 
x2>=400 
No Python: 
7 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMinimize) 
x1=LpVariable("Empilhadeira",0) 
x2=LpVariable("Porta Pallet",0) 
prob += 70000*x1+1200*x2 
prob += 70000*x1+1200*x2<=1600000 
prob += x1>=15 
prob += x1<=50 
prob += x2>=400 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Custo mínimo = ", value(prob.objective)) 
Solução ótima: 
15 empilhadeiras 
400 porta-pallets 
Custo mínimo: R$ 1.530.000,00 
Exemplo 2: 
O objetivo de uma transportadora é otimizar a utilização mensal de sua 
frota de caminhões obtendo assim o maior lucro total referente aos serviços 
 
 
8 
prestados. Atualmente a transportadora conta com os seguintes veículos: 8 
carretas, 16 caminhões médios e 12 caminhões pequenos. A empresa tem 32 
motoristas e 61 ajudantes. Cada caminhão precisa de 1 motorista e o número de 
ajudantes depende do tipo de veículo: 1 ajudante para cada caminhão pequeno, 
2 ajudantes para cada caminhão médio e 3 ajudantes para cada carreta. O lucro 
mensal referente a cada carreta corresponde a R$ 5.800,00. O lucro mensal 
relacionado a cada caminhão médio corresponde a R$ 3.300,00 e o lucro para 
cada caminhão pequeno é de R$ 2.800,00. A empresa deseja saber quantos 
caminhões de cada modelo irá utilizar mensalmente. Formule e resolva o 
problema como um problema de PL. 
Resolução: 
Variáveis: 
x1 = quantidade de caminhões pequenos 
x2 = quantidade de caminhões médios 
x3 = quantidade de carretas 
Formulação: 
max L=2800x1+3300x2+5800x3 
s.a. x1+x2+x3<=32 
x1+2x2+3x3<=61 
x1<=12 
x2<=16 
x3<=8 
x1>=0, x2>=0, x3>=0 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x1=LpVariable("Caminhão pequeno",0) 
x2=LpVariable("Caminhão médio",0) 
x3=LpVariable("Carreta",0) 
prob += 2800*x1+3300*x2+5800*x3 
prob += x1+x2+x3<=32 
prob += x1+2*x2+3*x3<=61 
prob += x1<=12 
 
 
9 
prob += x2<=16 
prob += x3<=8 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective)) 
 
Solução ótima: 
Caminhões pequenos: 11 
Caminhões médios: 13 
Carretas: 8 
Lucro máximo: R$ 120.100,00 
 Exemplo 3: 
Uma transportadora precisa ampliar a suacapacidade de entregas e está 
estudando a viabilidade da compra de três novos caminhões. O custo para a 
aquisição de um caminhão grande é de R$ 3,4 milhões, R$ 2,1 milhões para um 
caminhão médio e $ 1,9 milhões para a compra de um caminhão pequeno. O 
orçamento destinado à compra desses caminhões é de R$ 80 milhões. Com 
base nos valores atuais dos fretes, o lucro anual líquido estimado para a compra 
dos novos caminhões será de R$ 80.000,00 para cada caminhão grande, R$ 
67.000,00 para cada caminhão médio e R$ 36.000,00 para cada caminhão 
pequeno. A transportadora precisa adquirir pelo menos quatro caminhões de 
 
 
10 
cada tipo. Como o objetivo é determinar quantos caminhões de cada tipo devem 
ser adquiridos para maximizar o lucro anual, formule e resolva o problema como 
um problema de programação linear. 
 Resolução: 
Variáveis: 
x1 = quantidade de caminhões pequenos 
x2 = quantidade de caminhões médios 
x3 = quantidade de caminhões grandes 
Formulação: 
max L=36000x1+67000x2+80000x3 
s.a. 1,9x1+2,1x2+3,4x3<=80 
x1>=4 
x2>=4 
x3>=4 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x1=LpVariable("Caminhão pequeno",0) 
x2=LpVariable("Caminhão médio",0) 
x3=LpVariable("Caminhão grande",0) 
prob += 36000*x1+67000*x2+80000*x3 
prob += 1.9*x1+2.1*x2+3.4*x3<=80 
prob += x1>=4 
prob += x2>=4 
prob += x3>=4 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective)) 
 
 
11 
 
Solução ótima: 
Caminhões pequenos: 4 
Caminhões médios: 28 
Carretas: 4 
Lucro máximo: R$ 2.340.000,00 
TEMA 3 – PROGRAMAÇÃO LINEAR APLICADA AO COMÉRCIO 
 No comércio, é possível utilizarmos a programação linear em diversas 
situações. Vamos resolver alguns exemplos em que o objetivo é otimizar a 
compra de produtos de modo a maximizar o lucro na venda destes itens. 
Exemplo 1: 
Uma revenda de equipamentos agrícolas deseja investir R$ 2.535.000,00 
na compra de novos produtos para a loja. O setor de compras está analisando 
três tipos de equipamentos chamados de A, B e C. O equipamento A tem um 
custo unitário de R$ 9.200,00 e representa um lucro de R$ 3.400,00. O 
equipamento B custa R$ 6.700,00 com um lucro de R$ 2.900,00, e o 
equipamento C tem um custo unitário de R$ 17.000,00 com um lucro de R$ 
4.300,00. O estoque mínimo de cada equipamento deverá ser de 20 unidades. 
A revenda precisa definir quantas unidades de cada equipamento serão 
 
 
12 
adquiridas de modo que o lucro total referente à venda dos equipamentos seja o 
maior possível. 
Resolução: 
Variáveis: 
x1 = quantidade de equipamentos A 
x2 = quantidade de equipamentos B 
x3 = quantidade de equipamentos C 
Formulação: 
max L=3400x1+2900x2+4300x3 
s.a. 9200x1+6700x2+17000x3<=2535000 
x1>=20 
x2>=20 
x3>=20 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x1=LpVariable("Equipamento A",0) 
x2=LpVariable("Equipamento B",0) 
x3=LpVariable("Equipamento C",0) 
prob += 3400*x1+2900*x2+4300*x3 
prob += 9200*x1+6700*x2+17000*x3<=2535000 
prob += x1>=20 
prob += x2>=20 
prob += x3>=20 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective)) 
 
 
13 
 
Solução ótima: 
Equipamento A: 20 
Equipamento B: 300,14925 
Equipamento C: 20 
Lucro máximo: R$ 1.024.432,83 
 Exemplo 2: 
Um açougue tem R$ 22.000,00 para comprar carne de frango, carne de 
gado e carne de porco. Para a compra da carne de frango, o custo por quilo é 
R$ 8,00. O custo referente a um quilo de carne de gado é R$ 17,00 e o custo 
referente a um quilo de carne de porco é R$ 15,00. O lucro associado à venda 
da carne de frango corresponde a R$ 10,00 por quilo, para a venda de um quilo 
de carne de gado o lucro é de R$ 19,00 e o lucro referente à venda de cada quilo 
de carne de porco é de R$ 16,00. Levando em consideração o histórico de 
vendas, a quantidade mínima a ser comprada de cada tipo de carne é de 500 
quilos. O objetivo do açougue é maximizar o lucro referente à venda das carnes. 
Assim, quantos quilos de cada uma delas deverão ser comprados? Formule e 
resolva o problema como um problema de programação linear. 
Resolução: 
Variáveis: 
x1 = quantidade de carne de frango 
 
 
14 
x2 = quantidade de carne de gado 
x3 = quantidade de carne de porco 
Formulação: 
max L=10x1+19x2+16x3 
s.a. 8x1+17x2+15x3<=22000 
x1>=500 
x2>=500 
x3>=500 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x1=LpVariable("Carne de frango",0) 
x2=LpVariable("Carne de porco",0) 
x3=LpVariable("Carne de gado",0) 
prob += 10*x1+19*x2+16*x3 
prob += 8*x1+17*x2+15*x3<=22000 
prob += x1>=500 
prob += x2>=500 
prob += x3>=500 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Lucro máximo = ", value(prob.objective)) 
 
 
15 
 
Solução ótima: 
Carne de frango: 750 
Carne de gado: 500 
Carne de porco: 500 
Lucro máximo: R$ 25.000,00 
TEMA 4 – PROBLEMAS DE TRANSPORTE 
Problemas de transporte consistem em um caso particular da 
programação linear em que o objetivo é determinar as quantidades a serem 
transportadas de uma ou mais origens para um ou mais destinos de modo que 
o custo total referente ao transporte seja o menor possível. 
Há métodos específicos destinados à resolução destes problemas, mas 
eles podem ser resolvidos a partir da formulação do problema como um 
problema de programação linear. 
Podemos ter problemas em que a demanda e a oferta são iguais. 
Podemos ter também problemas em que a demanda é maior do que a oferta ou 
problemas em que a oferta é maior do que a demanda. 
No primeiro exemplo, vamos considerar a situação em que a demanda é 
maior do que a oferta. Note que neste caso, na formulação, na restrição 
relacionada à capacidade do depósito, utilizaremos uma restrição de maior ou 
 
 
16 
igual e, nas restrições relacionadas às demandas, utilizaremos restrições de 
menor ou igual. 
Exemplo 1: 
Um fornecedor de manetes esportivos para motocicletas recebeu pedidos 
de algumas lojas. A figura a seguir apresenta a capacidade do fornecedor, as 
demandas de cada loja e os respectivos custos unitários de transporte. 
 
Sabendo que o objetivo do fornecedor é minimizar o custo total de 
transporte, determine quantas unidades deverão ser transportadas do 
fornecedor para cada uma das lojas. 
 Resolução: 
Variáveis: 
x1 = quantidade de manetes a serem transportados do depósito para a loja 1 
x2 = quantidade de manetes a serem transportados do depósito para a loja 2 
x3 = quantidade de manetes a serem transportados do depósito para a loja 3 
Obs.: Demanda maior do que a oferta. 
Formulação: 
min C=3x1+7x2+5x3 
s.a. x1+x2+x3>=2000 
x1<=550 
x2<=1200 
 
 
17 
x3<=720 
 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMinimize) 
x1=LpVariable("Depósito para loja 1",0) 
x2=LpVariable("Depósito para loja 2",0) 
x3=LpVariable("Depósito para loja 3",0) 
prob += 3*x1+7*x2+5*x3 
prob += x1+x2+x3>=2000 
prob += x1<=550 
prob += x2<=1200 
prob += x3<=720 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Custo mínimo = ", value(prob.objective)) 
 
Solução ótima: 
Do depósito para a loja 1: 550 
 
 
18 
Do depósito para a loja 2: 730 
Do depósito para a loja 3: 720 
Custo mínimo: R$ 10.360,00 
No próximo exemplo, vamos considerar a situação em que a demanda é 
menor do que a oferta. Quando isto ocorre, na formulação, nas restrições 
relacionadas à capacidade dos depósitos, utilizaremos restrições de menor ou 
igual e, nas restrições relacionadas às demandas, utilizaremos restrições de 
maior ou igual.Exemplo 2: 
 O problema de transporte de uma fábrica de chapas de MDF cru de 15 
mm consiste em determinar quantas unidades serão transportadas de cada 
depósito para cada revenda. No Depósito 1 há 2000 chapas e no Depósito 2 o 
estoque é de 4000 chapas. A Revenda 1 precisa de 1400 chapas, a Revenda 2 
tem uma demanda de 3000 chapas e a Revenda 3 necessita de 1100 chapas. A 
tabela a seguir apresenta os custos unitários de transporte das chapas de cada 
depósito para cada revenda: 
 Revenda 1 Revenda 2 Revenda 3 
Depósito 1 R$ 10,00 R$ 12,00 R$ 9,00 
Depósito 2 R$ 15,00 R$ 11,00 R$ 17,00 
 Sabendo que o objetivo da fábrica é determinar quantas unidades serão 
transportadas de cada depósito para cada revenda a fim de minimizar o custo 
total, formule e resolva o problema como um problema de programação linear. 
 Resolução: 
Variáveis: 
x11 = quantidade de chapas a serem transportadas do depósito 1 para a revenda 
1 
x12 = quantidade de chapas a serem transportadas do depósito 1 para a revenda 
2 
x13 = quantidade de chapas a serem transportadas do depósito 1 para a revenda 
3 
x21 = quantidade de chapas a serem transportadas do depósito 2 para a revenda 
1 
x22 = quantidade de chapas a serem transportadas do depósito 2 para a revenda 
2 
 
 
19 
x23 = quantidade de chapas a serem transportadas do depósito 2 para a revenda 
3 
Obs.: Demanda menor do que a oferta. 
Formulação: 
min C=10x11+12x12+9x13+15x21+11x22+17x23 
s.a. x11+x12+x13<=2000 
x21+x22+x23<=4000 
x11+x21>=1400 
x12+x22>=3000 
x13+x23>=1100 
No Python: 
import sys 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMinimize) 
x11=LpVariable("Depósito 1 para revenda 1",0) 
x12=LpVariable("Depósito 1 para revenda 2",0) 
x13=LpVariable("Depósito 1 para revenda 3",0) 
x21=LpVariable("Depósito 2 para revenda 1",0) 
x22=LpVariable("Depósito 2 para revenda 2",0) 
x23=LpVariable("Depósito 2 para revenda 3",0) 
prob += 10*x11+12*x12+9*x13+15*x21+11*x22+17*x23 
prob += x11+x12+x13<=2000 
prob += x21+x22+x23<=4000 
prob += x11+x21>=1400 
prob += x12+x22>=3000 
prob += x13+x23>=1100 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Custo mínimo = ", value(prob.objective)) 
 
 
20 
 
Solução ótima: 
Do depósito 1 para a revenda 1: 900 
Do depósito 1 para a revenda 2: 0 
Do depósito 1 para a revenda 3: 1100 
Do depósito 2 para a revenda 1: 500 
Do depósito 2 para a revenda 2: 3000 
Do depósito 2 para a revenda 3: 0 
Custo mínimo: R$ 59.400,00 
TEMA 5 – PROBLEMAS DE DESIGNAÇÃO 
 Problemas de designação podem ser considerados como casos 
particulares de problemas de transporte em que a capacidade de cada origem é 
igual a 1 e a demanda de cada destino também é igual a 1. 
 São problemas importantes em que o objetivo é associar elementos de 
modo a maximizar a função objetivo. Podemos, por exemplo, indicar pessoas a 
determinados cargos, máquinas a localidades, professores a disciplinas a serem 
ministradas, além de muitas outras possibilidades. 
 
 
21 
 Vamos resolver um problema em que o objetivo é alocar representantes 
a determinadas regiões de modo a maximizar o potencial de vendas de uma 
empresa. 
Exemplo 1: 
Uma empresa de medicamentos possui representantes que atuam em 
três regiões. A tabela a seguir apresenta o potencial de venda, em porcentagem, 
dos representantes em cada uma das regiões. 
 Região 1 Região 2 Região 3 
Representante 1 85% 97% 82% 
Representante 2 79% 83% 74% 
Representante 3 81% 85% 89% 
Qual deve ser a designação dos representantes para as regiões de modo 
que o potencial total de venda da empresa seja o maior possível? 
 Resolução: 
Variáveis: 
x11 = representante 1 para a região 1 
x11 = representante 1 para a região 2 
x11 = representante 1 para a região 3 
x21 = representante 2 para a região 1 
x21 = representante 2 para a região 2 
x21 = representante 2 para a região 3 
x31 = representante 3 para a região 1 
x31 = representante 3 para a região 2 
x31 = representante 3 para a região 3 
Formulação: 
max V=85x11+97x12+82x13+79x21+83x22+74x23+81x31+85x32+89x33 
s.a. x11+x12+x13==1 
x21+x22+x23==1 
x31+x32+x33==1 
x11+x21+x21==1 
x12+x22+x32==1 
x13+x23+x33==1 
No Python: 
import sys 
 
 
22 
!{sys.executable} -m pip install pulp 
from pulp import * 
prob = LpProblem('Exemplo',LpMaximize) 
x11=LpVariable("Representante 1 para a região 1",0) 
x12=LpVariable("Representante 1 para a região 2",0) 
x13=LpVariable("Representante 1 para a região 3",0) 
x21=LpVariable("Representante 2 para a região 1",0) 
x22=LpVariable("Representante 2 para a região 2",0) 
x23=LpVariable("Representante 2 para a região 3",0) 
x31=LpVariable("Representante 3 para a região 1",0) 
x32=LpVariable("Representante 3 para a região 2",0) 
x33=LpVariable("Representante 3 para a região 3",0) 
prob += 
85*x11+97*x12+82*x13+79*x21+83*x22+74*x23+81*x31+85*x32+89*x33 
prob += x11+x12+x13==1 
prob += x21+x22+x23==1 
prob += x31+x32+x33==1 
prob += x11+x21+x31==1 
prob += x12+x22+x32==1 
prob += x13+x23+x33==1 
prob.solve() 
for v in prob.variables(): 
 print(v.name, "=", v.varValue) 
print("Potencial máximo = ", value(prob.objective)) 
 
 
23 
 
Solução ótima: 
Representante 1 para a região 2 
Representante 2 para a região 1 
Representante 3 para a região 3 
FINALIZANDO 
 Nesta aula estudamos algumas das muitas aplicações da programação 
linear. Inicialmente, vimos alguns exemplos relacionados ao uso da PL em 
problemas relacionados à produção. Resolvemos também problemas de PL com 
aplicações no transporte e no comércio. Estudamos problemas denominados 
problemas de transporte, que são casos particulares da programação linear. 
Finalizamos a aula abordando problemas de designação que, mesmo tendo 
métodos específicos destinados à obtenção da solução ótima, podem ser 
resolvidos seguindo a mesma abordagem dos problemas de transporte. 
 
 
24 
REFERÊNCIAS 
BARBOSA, M. A.; ZANARDINI, R. A. D. Iniciação à pesquisa operacional no 
ambiente de gestão. 3. ed. Curitiba: InterSaberes, 2015. 
COLIN, E. C. Pesquisa operacional: 170 aplicações em estratégia, finanças, 
logística, produção, marketing e vendas. São Paulo: Atlas, 2019. 
HILLIER, F. S.; LIEBERMAN, G. J. Introdução à pesquisa operacional. 9. ed. 
Porto Alegre: AMGH,2013. 
LACHTERMACHER, G. Pesquisa operacional na tomada de decisões. 5. ed. 
Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
TAHA, H. Pesquisa operacional. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.