Vamos calcular os limites passo a passo. Função dada: - f(x) = |x + 1| / (x + 1), se x < −1 - f(x) = (x³ − x² − 2x) / (x² − 5x + 6), se −1 ≤ x ≤ 2 - f(x) = 2x − 10, se x > 2 --- (a) Limites em x → −1 1. Limite pela esquerda (x → −1⁻): Para x < −1, f(x) = |x + 1| / (x + 1) Note que para x < −1, (x + 1) < 0, então |x + 1| = −(x + 1) Logo, f(x) = −(x + 1) / (x + 1) = −1 Assim, limₓ→−1⁻ f(x) = −1 2. Limite pela direita (x → −1⁺): Para −1 ≤ x ≤ 2, f(x) = (x³ − x² − 2x) / (x² − 5x + 6) Vamos simplificar o numerador e denominador: Numerador: x³ − x² − 2x Denominador: x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) Fatorando o numerador: x³ − x² − 2x = x(x² − x − 2) = x(x − 2)(x + 1) Então, f(x) = [x(x − 2)(x + 1)] / [(x − 2)(x − 3)] = x(x + 1) / (x − 3), para x ≠ 2 Agora, calculando o limite em x → −1⁺: f(−1) = (−1)(−1 + 1) / (−1 − 3) = (−1)(0) / (−4) = 0 Portanto, limₓ→−1⁺ f(x) = 0 3. Conclusão para x → −1: limₓ→−1⁻ f(x) = −1 limₓ→−1⁺ f(x) = 0 Como os limites laterais são diferentes, o limite em x = −1 não existe. --- (b) Limites em x → 2 1. Limite pela esquerda (x → 2⁻): Usando f(x) = (x³ − x² − 2x) / (x² − 5x + 6) Já sabemos que f(x) = x(x + 1) / (x − 3), para x ≠ 2 Calculando o limite em x → 2⁻: f(2) = 2 × (2 + 1) / (2 − 3) = 2 × 3 / (−1) = −6 2. Limite pela direita (x → 2⁺): Para x > 2, f(x) = 2x − 10 Calculando o limite em x → 2⁺: f(2) = 2 × 2 − 10 = 4 − 10 = −6 3. Conclusão para x → 2: limₓ→2⁻ f(x) = −6 limₓ→2⁺ f(x) = −6 Como os limites laterais são iguais, o limite em x = 2 existe e é igual a −6. --- Resumo final: (a) limₓ→−1⁻ f(x) = −1, limₓ→−1⁺ f(x) = 0 → limite em x = −1 não existe (b) limₓ→2⁻ f(x) = −6, limₓ→2⁺ f(x) = −6 → limite em x = 2 existe e é −6