Calcule os seguintes limites: a) lim x→ 3 (3x2 − 4x− 15) / (x2 − 9) b) lim x→ 0 (x4 + 5x− 3) / (2−√(x2 + 4)) c) lim x→∞ (2x + 11√(x + 1))

Vamos calcular os limites passo a passo: a) \(\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 4x - 15}{x^2 - 9}\) Primeiro, substituímos \(x = 3\): Numerador: \(3(3)^2 - 4(3) - 15 = 3 \cdot 9 - 12 - 15 = 27 - 12 - 15 = 0\) Denominador: \(3^2 - 9 = 9 - 9 = 0\) Forma indeterminada \(0/0\), então fatoramos: Numerador: \(3x^2 - 4x - 15 = (3x + 5)(x - 3)\) Denominador: \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\) Simplificando: \[ \frac{(3x + 5)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3x + 5}{x + 3}, \quad x \neq 3 \] Agora substituímos \(x = 3\): \[ \frac{3(3) + 5}{3 + 3} = \frac{9 + 5}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \] Resposta a): \(\frac{7}{3}\) --- b) \(\lim_{x \to 0} \frac{x^4 + 5x - 3}{2 - \sqrt{x^2 + 4}}\) Substituindo \(x = 0\): Numerador: \(0 + 0 - 3 = -3\) Denominador: \(2 - \sqrt{0 + 4} = 2 - 2 = 0\) Forma \(-3/0\), o limite tende a infinito ou menos infinito. Vamos analisar o comportamento do denominador para \(x \to 0^+\) e \(x \to 0^-\): \[ \sqrt{x^2 + 4} = \sqrt{4 + x^2} \approx 2 + \frac{x^2}{4} \quad \text{(expansão em série)} \] Então: \[ 2 - \sqrt{x^2 + 4} \approx 2 - \left(2 + \frac{x^2}{4}\right) = -\frac{x^2}{4} < 0 \] Denominador é negativo próximo de zero, numerador é \(-3\) (negativo), então: \[ \frac{-3}{\text{número negativo pequeno}} = \frac{-3}{-\varepsilon} = +\infty \] Resposta b): O limite tende a \(+\infty\). --- c) \(\lim_{x \to \infty} \left(2x + 11 \sqrt{x + 1}\right)\) Para \(x \to \infty\), \(2x\) cresce linearmente e \(11 \sqrt{x + 1}\) cresce como \(\sqrt{x}\), que é mais lento que \(x\). Logo, o termo dominante é \(2x\), e o limite é: \[ \lim_{x \to \infty} (2x + 11 \sqrt{x + 1}) = +\infty \] Resposta c): \(+\infty\) --- Resumo das respostas: a) \(\frac{7}{3}\) b) \(+\infty\) c) \(+\infty\)