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Álgebra P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo Anual virtual UNI Plana de Algebra Series Semana 30 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒎𝒂𝒕𝒐𝒕𝒓𝒊𝒂𝒔. 𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂. 𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒚 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A La paradoja de Aquiles y la tortuga Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m, la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente. Zenón de Elea, discípulo de Parménides, es recordado sobre todo por sus paradojas que tratan de demostrar que el movimiento no existe, y especialmente por la paradoja de Aquiles y la tortuga, que afirma que sería imposible que Aquiles alcanzara a la tortuga en una carrera, siempre que le haya dado cierta ventaja de partida. ¿creen que esto sería posible? “Una tortuga le ganó la carrera al mejor atleta de la Grecia antigua” C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A SUMATORIA C U R S O D E Á L G E B R A Se denota con el símbolo (sigma) y permite representar la suma de números (sumandos). Sea los números 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛 entonces: 𝑖=1 𝑛 𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 Ejemplo 𝑖=1 5 𝑖 𝑘=3 7 𝑘2 𝑛=2 6 1 𝑛 PROPIEDADES 1. 𝑘=𝑛 𝑚 𝑐. 𝑎𝑘 = 𝑐 𝑘=𝑛 𝑚 𝑎𝑘 2. 𝑘=𝑛 𝑚 𝑎𝑘 ± 𝑏𝑘 = 𝑘=𝑛 𝑚 𝑎𝑘 Ejemplo 𝑘=1 10 5. 𝑘 = 5 𝑘=1 10 𝑘 𝑛=1 7 𝑛2 − 1 2𝑛 = 𝑛=1 7 𝑛2 − 𝑛=1 7 1 2𝑛 = 𝑛=1 7 𝑛2 − 1 2 𝑛=1 7 1 𝑛 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5= 15 = 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 135 = 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 = 29 20 ± 𝑘=𝑛 𝑚 𝑏𝑘 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Hay un grupo de sumatorias conocidas como Sumas Notables 𝑘=1 𝑛 𝑐 = 𝑐. 𝑛1. 𝑘=1 𝑛 𝑘 = 𝑛 𝑛 + 1 2 2. 𝑘=1 𝑛 2𝑘 = 𝑛(𝑛 + 1)3. = 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 +⋯+ 𝑐 = 1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 = 2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛 𝑘=1 𝑛 2𝑘 − 1 = 𝑛24. = 1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 1) 𝑘=1 𝑛 𝑘2 = 𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 6 5. = 12 + 22 + 32 +⋯+ 𝑛2 Ejemplo 𝑘=1 20 𝑘2= 12 + 22 + 32 +⋯+ 202= 20(20 + 1)(2(20) + 1) 6 = 2870 𝑘=1 10 (5𝑘 + 3) = 5 𝑘=1 10 𝑘 + 𝑘=1 10 3 = 5 1 + 2 + 3 +⋯+ 10 +3 + 3 + 3 +⋯+ 3 = 5 10(10 + 1) 2 + 3(10) = 275 + 30 = 305 𝑛 sumandos C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Otras sumas importantes 1. Suma de los términos de una sucesión geométrica. 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 +⋯+ 𝑎𝑟𝑛 = 𝑎 𝑟𝑛+1 − 1 𝑟 − 1 𝑛 + 1 términos Ejemplo 1 + 3 + 32 +⋯+ 320 × 𝑟 × 𝑟 = 321 − 1 2 5 + 5 1 2 + 5 1 2 2 +⋯+ 5 1 2 33 2. Propiedad telescópica. 𝑘=1 𝑛 𝑓 𝑘 + 1 − 𝑓(𝑘) = 𝑓 𝑛 + 1 2 + 2(3) + 2(3)2 +⋯+ 2(3)20 = 321 − 1 Ejemplo 𝑘=1 100 1 𝑘 + 1 − 1 𝑘 = 1 101 − 1 1 𝑘=1 20 𝑘2 − (𝑘 + 1)2 = 12 − (20 + 1)2 = 1 − 212 = −440 = − 100 101 = 320+1 − 1 3 − 1 = 5 1 2 34 − 1 1 2 − 1 = 2 320+1 − 1 3 − 1 −𝑓(1) C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Sumas parciales de una sucesión Dada la sucesión de infinitos números reales 𝑎𝑛 = 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛; … . La sucesión de sumas parciales se define como 𝑆1 = 𝑎1 𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2 𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 ⋮ 𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 = 𝑘=1 𝑛 𝑎𝑘 ⋮ A partir de ellos se forma la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 = 𝑆1; 𝑆2; 𝑆3; … ; 𝑆𝑛; … 𝑆𝑛 = 𝑎1; 𝑎1 + 𝑎2; 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3; … ; 𝑆𝑛; … Enésima suma parcial Ejemplo Sea la sucesión 𝑎𝑛 = 1; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; … 𝑆1 = 1 𝑆2 = 1 + 1 2 𝑆3 = 1 + 1 2 + 1 3 ⋮ 𝑆𝑛 = 1 + 1 2 + 1 3 +⋯+ 1 𝑛 = 𝑘=1 𝑛 1 𝑛 Luego se forma la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 = 1; 1 + 1 2 ; 1 + 1 2 + 1 3 ; … ; 𝑆𝑛; … ⋮ = 𝑘=1 𝑛 1 𝑛 𝑆1; 𝑆2; 𝑆3; … Las sumas parciales de la sucesión son: C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Convergencia de una serie converge si la sucesión de suma parciales 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 1. Analice la siguiente serie Una serie se forma por la suma de los infinitos términos de la sucesión 𝑎𝑛 y se denota por 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 +⋯+ 𝑎𝑛 +⋯ = 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 = 13 + 23 + 33 + 43 +⋯ 𝑛=1 ∞ 𝑛3 = 1 2 1 + 1 2 2 + 1 2 2 + 1 2 4 +⋯ 𝑛=1 ∞ 1 2 𝑛 = 1! + 2! + 3! + 4! +⋯ 𝑛=1 ∞ 𝑛! Se dirá que la serie 𝑘=1 ∞ 𝑎𝑘 𝑆𝑛 converge, es decir: = lim 𝑛→+∞ 𝑠𝑛𝑆 = 𝑘=1 ∞ 𝑎𝑘 = lim 𝑛→+∞ 𝑘=1 𝑛 𝑎𝑘 Ejemplos 𝑘=1 ∞ 1 𝑘(𝑘 + 1) Para saber si la serie converge, calculamos el límite a la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 = 𝐾=1 𝑛 1 𝑘(𝑘 + 1) = 1 − 1 2 + 1 2 − 1 3 +⋯+ 1 𝑛 − 1 𝑛 + 1 = 𝐾=1 𝑛 1 𝑘 − 1 𝑘 + 1 𝑆𝑛= 1 − 1 𝑛 + 1 lim 𝑛→+∞ 𝑠𝑛 = lim 𝑛→+∞ 1 − 1 𝑛 + 1 = 1 ∴ La serie converge a 1 Ejemplo C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A 2. Analice la siguiente serie 𝑛=1 ∞ 1 2𝑛 Para saber si la serie converge, calculamos el límite a la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 = 1 2 + 1 4 + 1 8 + 1 16 +⋯+ 1 2𝑛 = 1 2 1 2 𝒏+1 − 1 1 2 − 1 𝑆𝑛 = lim 𝑛→+∞ 1 2 1 2 𝑛+1 − 1 1 2 − 1 lim 𝑛→+∞ 𝑠𝑛 = 1 2 𝟎 − 1 1 2 − 1 = 1 ∴ La serie converge a 1 3. Analice la siguiente serie 𝑛=1 ∞ log 𝑛 + 1 − log(𝑛) Para saber si la serie converge, calculamos el límite a la sucesión de sumas parciales 𝑆𝑛 = log 2 − log(1) + log 3 − log(2) + log 4 − log(3) . . . + log 𝑛 + 1 − log(𝑛) + 𝑆𝑛 = log 𝑛 + 1 − log(1) lim 𝑛→+∞ 𝑠𝑛 = lim 𝑛→+∞ log 𝑛 + 1 − log(1) = +∞ ∴ La serie diverge C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A Series especiales Serie armónica: La serie armónica es de la forma: 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +⋯ La serie armónica es divergente. Serie geométrica: La serie geométrica es de la forma: 𝑛=0 ∞ 𝑎𝑟𝑛= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯ Propiedades: I. Si 0 < 𝑟 < 1, entonces la serie geométrica converge a 𝑎 1 − 𝑟 Es decir: 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 +⋯ = 𝑎 1 − 𝑟 II. Si 𝑟 ≥ 1, Ejemplos 𝑛=1 ∞ 3 2𝑛 = 𝟑 𝟐 + 3 4 + 3 8 + 3 16 +⋯ 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = 𝟏 𝟐 = 𝟑 𝟐 1 − 𝟏 𝟐 = 3 𝑛=1 ∞ 5𝑛 = 𝟓 + 52 + 53 + 54 +⋯ 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = 𝟓 ∴ 𝑛=1 ∞ 5𝑛 la serie es divergente. C U R S O D E Á L G E B R A entonces la serie geométrica diverge C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Aplicaciones: 1. Calcule el valor aproximado de: 𝑆 = 1 2 − 1 2 3 + 1 2 5 − 1 2 7 +⋯ Solución: Del dato: 𝑆 = 𝟏 𝟐 − 1 2 3 + 1 2 5 − 1 2 7 +⋯ 𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = − 𝟏 𝟐 𝟐 = − 𝟏 𝟐 𝑆 = 𝟏 𝟐 1 − − 𝟏 𝟐 𝑆 = 2 3 2. Calcule 𝑆 = 7 12 + 25 144 + 91 1728 + 337 20736 +⋯ UNI 2012-1 Solución: 𝑆 = 7 12 + 25 144 + 91 1728 + 337 20736 +⋯ 𝑆 = 3 + 4 3.4 + 9 + 16 9.16 + 27 + 64 27.64 + 81 + 256 81.256 +⋯ 𝑆 = 𝟏 𝟑 + 𝟏 𝟒 + 𝟏 𝟗 + 𝟏 𝟏𝟔 + 𝟏 𝟐𝟕 + 𝟏 𝟔𝟒 + 𝟏 𝟖𝟏 + 𝟏 𝟐𝟓𝟔 +⋯ 𝑆 = 𝟏 𝟑 + 𝟏 𝟗 + 𝟏 𝟐𝟕 + 𝟏 𝟖𝟏 +⋯ + 1 4 + 1 16 + 1 64 + 1 256 +⋯ 𝑆 = 1 3 1 − 1 3 + 1 4 1 − 1 4 𝑆 = 1 2 + 1 3 = 5 6 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A Serie -p: La serie-p tiene la forma: 𝑛=1 ∞ 1 𝑛𝑝 = 1 1𝑝 + 1 2𝑝 + 1 3𝑝 + 1 4𝑝 … Si 𝑝 > 1, Si 𝑝 ≤ 1, Ejemplos 𝑛=1 ∞ 1 𝑛2 = 1 12 + 1 22 + 1 32 + 1 42 +⋯ 𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 − 𝒑 𝒑 = 𝟐 ∴ 𝑛=1 ∞ 1 𝑛2 es convergente 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 1 2 = 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 = 1 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 +⋯ 𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 − 𝒑 𝒑 = 𝟏 𝟐∴ 𝑛=1 ∞ 1 𝑛 1 2 es divergentela serie-p es convergente. la serie-p es divergente. Series notables 𝑛=0 ∞ 1 𝑛! = 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! +⋯ = 𝑒 𝑛=0 ∞ 𝑥𝑛 𝑛! = 𝑒𝑥 𝑛=1 ∞ 1 𝑛2 = 𝜋2 6 C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A C U R S O D E Á L G E B R A PROPIEDADES 1. 𝑛=1 ∞ 𝑐. 𝑎𝑛 = 𝑐 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 ; 𝑐 ∈ ℝ 2. 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 = 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 ± 𝑛=1 ∞ 𝑏𝑛 Si: 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 y 𝑛=1 ∞ 𝑏𝑛 son series convergente Ejemplos 𝑛=1 ∞ 3 2𝑛 = 3 𝑛=1 ∞ 1 2𝑛 𝑛=1 ∞ 5 2𝑛 + 1 3𝑛 = 𝑛=1 ∞ 5 2𝑛 + 𝑛=1 ∞ 1 3𝑛 TEOREMA Si: 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 es convergente, entonces lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = 01. Si: lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 ≠ 0 entonces; la serie 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 es divergente. Ejemplos Analice la convergencia o divergencia de la serie 𝑛=1 ∞ 3𝑛 + 1 2𝑛 − 1 Es divergente puesto que: 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 1 2𝑛 − 1 lim 𝑛→∞ 𝑎𝑛 = lim 𝑛→∞ 3𝑛 + 1 2𝑛 − 1 ≠ 0 CRITERIO DE CONVERGENCIA Sea 𝑛=1 ∞ 𝑎𝑛 una serie w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
