Sem29_X_AVUNI

Vista previa del material en texto

�����������
��������������
Radio
Polonio
Semana 29
Álgebra
Anual Virtual UNI Álgebra
semana
29 
Hasta el momento, no se ha encontrado 
el término n - ésimo de la sucesión de los 
números primos
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; ...
Sin embargo, ha habido varios intentos:
• p(n) = n2 – n+41 genera solo números 
primos si hacemos variar n desde 1 
hasta 40.
• Fermat (1601-1665) pensó haber en-
contrado dicha regla de correspon-
dencia 22n
+1; n = 0; 1; 2; ... pero 
Euler (1707 -1783) demostró que para 
n = 5 no es primo.
Pierre de 
Fermat
Leonhard Euler
¡Sabía que...!
Determine el término n - ésimo de la si-
guiente sucesión.
1
2
3
4
7
8
15
16
; ; ; ; ...{ }
Desafío
Sucesiones reales
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los 
números naturales y su rango es un subconjunto de los números 
reales; es decir,
1 f f(1)=a1
f(2)=a2
f(3)=a3
f(4)=a4
f(5)=a5
2
3
4
5
… …
N R
Los valores a1; a2; a3; ... son los términos de la sucesión.
Notación 
 a a a a a a an n n n n n� � � � � � � � � � ��
�=1
∞
N 1 2 3; ; ; ...; ; ...
Término n-ésimo 
Llamado también término general o ley de formación. Es la expre-
sión que nos indica cómo se relacionan los elementos del dominio 
con su rango, denotado por lo general como an.
Ejemplos
• (an)={6; 7; 8; 9; 10; ...}, entonces su término n-ésimo es
 an=n+5
• xn( ) = { }1
2
1
4
1
8
1
16
; ; ; ; ... → xn
n
= 



1
2
• bn( ) = { }1 2 3 2; ; ; ; ... → b nn =
GRÁFICA DE UNA SUCESIÓN 
Como la sucesión es una función, podemos graficarla en el plano 
cartesiano.
Ejemplo
Sea la sucesión 
1
1
1
2
1
3
1
4n
�
�
�
�
�
� � � �; ; ; ; ... cuya gráfica es 
1
1 2 3 4 5 6 7 8
Y
X
 
Material DidácticoAcademia CÉSAR VALLEJO
• La sucesión
 (2n +1) = {3; 5; 7; 9; ...}
 es acotada solo inferiormente 
 porque 3 ≤ 2n +1; ∀ n ∈ N.
• La sucesión
 (– n2) = { – 1; – 4; –9; – 16; ...}
 es acotada solo superiormente 
 porque – n2 ≤ –1; ∀ n ∈ N.
Observación
Existen sucesiones no monótonas.
Ejemplos
• −( ){ } = − −{ }1 1 1 1 1n ; ; ; ; ...
• 2
1
2
3
1
3
4
1
4
; ; ; ; ;...{ }
• a
n
n
n
n
n
=




−
2
2
si es impar
si es par
→ an = { }2
1
4
8
1
16
; ; ; ;...
Nota
SUCESIONES ACOTADAS
Una sucesión es acotada si todos sus términos están entre dos nú-
meros reales; es decir,
 (an) es acotada ↔ N < an < M; ∀ n ∈ N, tal que N y M ∈ R
Ejemplos
• La sucesión (cos n)={cos1; cos2; cos2; ...} es acotada, ya que 
– 1 < cos n < 1; ∀ n ∈ N.
• La sucesión 
1
2
1
4
1
8
1
16
; ; ; ; ...{ } es acotada ya que 0
1
2
1
2
< ≤
n
.
SUCESIONES MONÓTONAS 
Una sucesión (an) es monótona si es uno de los siguientes tipos:
1. Sucesión creciente: an < an+1; ∀ n ∈ N
2. Sucesión decreciente: an > an+1; ∀ n ∈ N
3. Sucesión no creciente: an ≥ an+1; ∀ n ∈ N
4. Sucesión no decreciente: an ≤ an+1; ∀ n ∈ N
Ejemplo
Determine si la sucesión xn n{ } ≥1, tal que xn
n n
n
=
+
−
9 3
9 1
, es decre-
ciente. Considere que para que sea decreciente se tiene que cum-
plir que x x nn n> ∀ ∈+1; N.
Resolución
 
9 3
9 1
9 3
9 1
1 1
1
n n
n
n n
n
+
−
>
+
−
+ +
+ (Simplificamos 3n)
 
3 1
9 1
3 1 3
9 1
1
1
n
n
n
n
+
−
>
+( )
−
+
+
 
3 1
3 1
3 1 3
3 1
2
1
1 2
n
n
n
n
+
( ) −
>
+( )
( ) −
+
+
 
3 1
3 1 3 1
3 1 3
3 1 3 1
1
1 1
n
n n
n
n n
+
+( ) −( ) >
+( )
+( ) −( )
+
+ +
 
1
3 1
3
3 11n n−
>
−+ ↔ 3n+1 > 3n – 1
 3n+1 – 1 > 3n+1 – 3
 – 1 > – 3
En efecto, se cumple ∀ n ∈ N.
Por lo tanto, sí es decreciente.
Anual Virtual UNI Álgebra
Si la sucesión converge, se sobreentiende 
que ese límite es único.
¡Tenga en cuenta que...!
Si una sucesión es acotada y monótona, 
entonces es convergente.
Ejemplo
La sucesión (an), tal que
 a
nn = + + + + +1
1
1
1
2
1
3
1
! ! !
...
!
• es acotada; en efecto,
 2 1 1
1
2
1
2
1
22 1< < + + + + + −an n...
 2 1 2 1
1
2
3< < + −



<an n
• es monótona; en efecto,
 a a
nn n+ = +
+( )1
1
1 !
 entonces an < an+1
Por lo tanto, (an) es convergente y 
a dicho número se le denotó con la 
letra e (neperiano); es decir,
e = + + + + +1
1
1
1
2
1
3
1
4! ! ! !
...
e = 2,718281...
¡Recuerde que...!
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Se dice que la sucesión (an) tiene límite L si an tiende a L cuando n 
tiende al infinito. Se denota de la siguiente forma.
 lím lím
n
n n na L a L a L
→+∞
= = →o o
Ejemplos
• La sucesión 
1
1
1
2
1
3
1
4n!
;
!
;
!
;
!
;...


 = { } tiene límite igual a cero, 
 porque lím
!x n→+∞
=
1
0.
• La sucesión 
3 1
3
7
2
10
3
13
4
n
n
+


 = { }; ; ; ; ... tiene límite igual a 3 
 porque lím lím lím
n
n
n n
a
n
n n→+∞ →+∞ →+∞
=
+


 = +


 =
3 1
3
1
3.
SUCESIONES CONVERGENTES
Se dice que una sucesión es convergente si tiene límite finito.
Ejemplo
La sucesión (an), tal que a
n
nn =
− +
+
5 2
2 1
, es convergente por que su
límite es finito; en efecto, lím
n
n
n→∞
− +
+



 = −
5 2
2 1
5
2
.
SUCESIONES DIVERGENTES
Son aquellas sucesiones que no son convergentes.
Ejemplos
• La sucesión −( ){ } = − −{ }1 1 1 1 1n ; ; ; ; ... es divergente porque 
 lím
n
n
→∞
−( ) = ±1 1. Observemos aquí que el límite no es único.
• La sucesión a
n
nn =
+
+
3 3
3
 es divergente ya que lím
n
na→+∞
= +∞.
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico
Práctica dirigida
1. Determine el sexto término de la siguiente 
sucesión.
 
5
1
13
3
35
5
97
7
; ; ; ; ...{ }
A) 
793
11
 B) 
792
12
 C) 
773
7
D) 
793
13
 E) 
795
11
2. Dada la siguiente sucesión:
 2 1
4
5
5
7
6
9
; ; ; ; ; ...{ }
 ¿Cuántos términos en total son mayores a 
13
23
?
A) 15 B) 13 C) 12
D) 11 E) 9
3. Sea an n{ } ≥1 una sucesión tal que a1=0 ∧ 
an+1=an+n. Determine an.
A) 
n n2 1
2
+ +
B) 
n n2
2
−
C) 
n n2
2
+
D) n2–n
E) n2+n
4. Sea la sucesión bn n{ } ≤1
 tal que 
b b bn n1 1
1
3
3= ∧ =+ . Determine bn+2.
A) 3n B) 3n–1 C) 3n+2
D) 
3
5
n
 E) 
3
7
2n−
5. Dada la siguiente sucesión:
 an( ) = 


3
9
2
27
6
81
24
; ; ; ; ...
 determine la secuencia correcta de verdad (V) 
o falsedad (F) según corresponda.
 I. Es monótona creciente.
 II. Es monótona decreciente.
 III. Es acotada.
A) VFV B) VFF C) FFV
D) VVF E) VVV
6. Sean las sucesiones an n{ } ≥1 y bn n{ } ≥1 tal que 
a
n
n
b
nn n= ∧ = +
ln
2
2020
 Indique el valor de verdad de las siguientes 
afirmaciones:
I. {an} es acotada.
II. {bn} es monótona.
III. {bn} es acotada.
A) FVF B) VFV C) VVV
D) FFF E) FVV
7. Respecto a la sucesión, determine la secuencia 
correcta de verdad (V) o falsedad (F) según 
corresponda.
 I. Toda sucesión monótona es convergente.
 II. Toda sucesión acotada es convergente.
 III. Toda sucesión convergente es monótona.
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FVF E) FFF
8. Determine el valor de verdad de las siguientes 
afirmaciones:
I. La sucesión 2
3
2
4
3
5
4
; ; ; ; ...{ } converge a 1.
II. La sucesión 
ln n
n n
{ }
∈N
 converge a cero.
III. La sucesión nn
n
−
≥{ }1
1 converge a e.
A) VVV B) VFF C) VFV
D) FFV E) VVF
Anual Virtual UNI Álgebra
9. Dadas las siguientes sucesiones (xn) y (an), tal que
 x
n
n
n
n
n
n
n =
+
+
=
+
+
=






3 1
1
6 7
2 1
2
2 ; si par
; si impar
 a
n
n
n
n
n
n
n
=
−( ) +
+
=
−( ) + =





1 3
2 3
1 3
; si par
; si impar
 determine la secuencia correcta de verdad (V) 
o falsedad (F) según corresponda.
 I. xn( ) es convergente.
 II. an( ) tiene 2 puntos límites.
 III. an( ) es convergente.
A) VVV B) FFF C) VFV
D) VFF E) VVF
10. Calcule el valor de convergencia de la siguien-
te sucesión:
 
4 3
4 3
11 1
2 1
1
n n
n n
n
n
n n+ +



++
−














≥
sen
; 
A) 1 B) 2 C) 3
D) e E) 4
Práctica domiciliaria
1. Dada la siguiente sucesión:
 
5
2
7
6
9
10
11
14
13
18
; ; ; ; ; ...{ }
 Calcule el decimotercer término.
A) 
27
46
 B) 
31
52
 C) 
29
52
D) 
27
50
 E) 
29
50
2. Dada la siguiente sucesión:
 2 1
4
5
5
7
6
9
; ; ; ; ; ...{ }
 Calcule el mayor número de términos que son 
mayoresa 
16
29
.
A) 17 B) 15 C) 14
D) 13 E) 11
3. Dada la sucesión an n{ } ≥1 tal que
 a1=1 ∧ an+1=an+n 
 Calcule a25.
A) 601 B) 600 C) 599
D) 301 E) 300
4. Dada la sucesión bn n{ } ≥1 se cumple que 
 b1=1 ∧ bn+1=2bn 
 Calcule la suma de cifras de b13
A) 20 B) 19 C) 14
D) 8 E) 7
5. Dada la sucesión (an), tal que
 a
nn
n
=
2
!
 para todo n ∈Z +
 podemos afirmar que
A) no es monótona.
B) es monótona decreciente.
C) es monótona creciente.
D) no es acotada.
E) es monótona no creciente.
6. Dada la sucesión an n{ } ∈N
 tal que 
a
n
nn =
+ 2020
, señale el valor de verdad (V) 
o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. an n{ } ∈N
 es una sucesión creciente.
II. an n{ } ∈N
 es una sucesión acotada.
III. Si an − <1 4040, entonces n >
3
13
.
 
A) FVF B) FVV C) FFV
D) VVV E) VFF
Academia CÉSAR VALLEJO Material Didáctico
7. Sea la sucesión (an), tal que
 a
n
a
a
nn n
n
=
=
+
−
≥




−
−
3 1
6
2 3
21
1
;
;
 Determine la secuencia correcta de verdad 
(V) o falsedad (F) respecto a las siguientes 
proposiciones.
 I. Es una sucesión acotada.
 II. Es una sucesión creciente.
 III. Es una sucesión convergente.
A) VVV
B) FFF
C) VFF
D) FFV
E) VFV
8. Sea la siguiente sucesión.
 a: N → N
 n → a
n n
n n
n =
+ +( )
+( ) −( )
2 1
2 3 2 1
2 2
3
 Calcule su valor de convergencia.
A) 1/2 B) 1 C) 2
D) 1/4 E) 1/8
9. Calcule el valor de convergencia de la siguiente 
sucesión.
 sen sen sen sen1 2
1
2
3
1
3
4
1
4
; ; ; ; ...{ }
A) +∞ B) 0 C) 2
D) 1 E) 1/2
10. Sea la sucesión definida mediante
 a a an n1 12 2= = + −;
 podemos entonces afirmar que
A) an converge a 0.
B) an es decreciente.
C) an está acotada por 1.
D) an no converge.
E) an converge a 2.
11. Calcule el valor de la convergencia de la si-
guiente sucesión:
 
n
n
n
n
n
+










 ∈
1
2 2
N
A) 1 B) 2 C) e
D) e2 E) 
1
e
12. Dadas las sucesiones a bn n n n{ } { }≥ ∈1 N
 y tal 
que a
n
nn =
+1
 y b
n
n
pn qn =
+
−
− −
2 3
1
. Si las dos 
sucesiones tienen el mismo valor de conver-
gencia, calcule p+q.
A) 0 B) 1 C) 2
D) 3 E) 5
13. Dada la sucesión an n{ } ≥1 tal que
 a
n nn
n
= +
+




+
−( )
1
3
2
1
1
1
2
�
�
���
�
�
���
 Indique el valor de verdad (V) o falsedad (F) 
de los siguientes enunciados:
I. Es monótona.
II. Es acotada inferiormente por 1.
III. Converge a 1.
A) FVV
B) FVF
C) VFV
D) FFV
E) VVV
Anual Virtual UNI Álgebra
14. Calcule los puntos límites que presenta la su-
cesión (xn), tal que
 x
n
n
n
n n
n
n
n
n
=
−( )
+
+( )
+( ) +( )
=







=
1
2 1
1
1 1
2
2
2
2
;
;
si par
si impar
A) −{ }1
2
1
2
0; ;
B) −{ }1
1
2
0; ;
C) −{ }1
2
0;
D) 
1
2
0;{ }
E) −{ }1
2
1;
15. Indique la secuencia correcta de verdad 
(V) o falsedad (F) respecto a las siguientes 
afirmaciones.
I. Toda sucesión convergente es acotada.
II. Si (an) es una sucesión monótona, enton-
ces es acotada. 
III. Si (an) es monótona decreciente, entonces 
es acotada superiormente.
A) VFV B) VVV C) VFF
D) FVF E) VVF
 
01 - E
02 - C
03 - D
04 - B
05 - E
06 - B
07 - E
08 - D
09 - D
10 - E
11 - D
12 - C
13 - D
14 - D
15 - A