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Unidad 1: Funciones en una variable
Con mucha frecuencia, en la vida cotidiana, podemos observar figuras e imágenes que ilustran
ejemplos de funciones. Así por ejemplo las que se muestran en las Figuras 1 a 5.
Figura 1: Diámetro ecuatorial de planetas Figura 2: Relación tiempo y distancia de viaje
Figura 3 : Presión del aire vs altitud Figura 4 Aceleración vertical de un terremoto
Figura 5 Curva de luz observada durante 78 días de la estrella EPIC 204278916 (Scaringi et al)
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El concepto de función es de gran importancia en las ciencias básicas y aplicadas, como son la
Matemática, Física, Astronomía, Geofísica, Ingeniería, etc., ya que, a partir de dicho concepto y
resultados del Cálculo o Análisis Diferencial e Integral, se han logrado grandes avances en las
2
ciencias actuales, apoyados de la tecnología moderna. El Análisis Diferencial e Integral
constituye, de esta manera, un área del saber pilar para muchas ciencias, de gran importancia
de estudio.
Para introducir el concepto de función revisaremos primero algunas definiciones y conceptos
previos que serán de utilidad.
1 PRECALCULO
1.1 Los conjuntos numéricos y operaciones
Para comenzar, recordemos:
Un conjunto es una colección de objetos. A cada uno de esos objetos se los llama elemento del
conjunto.
Los conjuntos suelen designarse mediante letras mayúsculas: 𝐴, 𝐵, 𝐶 ,…, etc. Los elementos de
un conjunto se simbolizan con letras imprentas minúsculas: 𝑎, 𝑏, 𝑐,…, etc.
Para indicar que un elemento x pertenece al conjunto A escribiremos: 𝑥 ∈ 𝐴. Para indicar que
un elementos y no pertenece a un conjunto A, escribimos: 𝑦 ∉ 𝐴.
Un conjunto puede definirse por comprensión (dando la propiedad que caracterizan a todos
sus elementos) o por extensión (listando cada uno de los elementos que lo componen).
Por ejemplo: 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} es un conjunto definido por extensión. Dicho conjunto puede
también definirse por comprensión como sigue: 𝐴 = {𝑥/ 𝑥 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎 𝑣𝑜𝑐𝑎𝑙}.
Entre los conjuntos especiales se encuentran el conjunto vacío y el conjunto universal. El
conjunto vacío, que no tiene elementos, se simboliza con el símbolo ∅; mientras que al conjunto
universal, al cual pertenecen todos los elementos de referencia, con la letra 𝑈.
Un conjunto puede ser finito o infinito. Si un conjunto es finito, este puede definirse por
comprensión y por extensión. Caso contrario, cuando el conjunto no tiene un número finito de
elementos (es decir, el conjunto es infinito), sólo se puede definir por comprensión.
Una relación importante, entre conjuntos, es la relación de inclusión. Este nos será de mucha
utilidad para trabajar con el conjunto de números reales.
Entre las operaciones definidas para conjuntos se encuentran: la unión, intersección, complemento
y diferencia.
Relaciones entre Conjuntos
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴, 𝐵.
Se dice que 𝐴 ⊂ 𝐵, y se lee 𝐴 está contenido estrictamente en 𝐵, si se cumplen las
siguientes dos condiciones:
(1) todo elemento de 𝐴, es elemento de 𝐵 y
(2) existe al menos un elemento en 𝐵, que no pertenece al conjunto 𝐴.
Se dice que 𝐴 ⊆ 𝐵, y se lee 𝐴 está contenido en 𝐵, si todo elemento de 𝐴, es elemento
de 𝐵.
Se dice que A=B, y se lee A igual a B, si y sólo si 𝐴 ⊆ 𝐵 y 𝐴 ⊆ 𝐵.
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 se define la intersección de los conjuntos, y se denota
por 𝐴 ∩ 𝐵, al conjunto dado por
𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵}
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 se define la unión de los conjuntos, y se denota por
𝐴 ∪ 𝐵, al conjunto dado por
𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ˅ 𝑥 ∈ 𝐵}
3
Algunos símbolos útiles a tener en cuenta son los que se muestran en la Tabla 1.
Tabla 1
Ahora recordemos los conjuntos numéricos:
ℕ, el conjunto de números naturales, que sirven para contar. Se simboliza con ℕ y tiene
como elementos: 1, 2, 3, . . . . , 𝑛, …., etc.
Con ℕ0 se representa el conjunto de los números naturales donde se le agrega el número
0(cero).
Dentro del conjunto de las operaciones entre números naturales, podemos destacar una
operación especial denominada “factorial”, de aplicación para conteo objetos
construidos por re-agrupamiento de ciertos elementos dados. También para determinar
el número de casos en que ocurre un evento o suceso, en experimentos de distintas
naturalezas. La rama de la matemática que le dedica especial atención al factoreo se
denomina “Análisis Combinatorio” (de mucha utilidad en el Análisis Estadístico).
Muchos modelos y fórmulas matemáticas, de interés en las Ciencias Exactas, de la Tierra
y del Espacio, aparecen números factoriales.
Símbolo Se lee
∀ “cualquiera sea” o “para todo”
∃ “existe” o “existe al menos uno”
𝒙 ∈ 𝑨 “el elemento 𝒙 pertenece al conjunto 𝐴”
𝒙 ∉ 𝑨 “el elemento 𝒙 no pertenece al conjunto 𝐴”
𝐴 ⊆ 𝐵 “𝐴 es subconjunto de 𝐵”
𝐴 ⊈ 𝐵 “𝐴 no es subconjunto de 𝐵”
⇒ “implica” o “entonces”
⇔ “si y sólo si” o “es necesario y suficiente”
∧ “y”
˅ “o”
Definición: Dados dos conjuntos 𝐴 𝑦 𝐵 se define la diferencia de los conjuntos, y se denota por
𝐴 − 𝐵, al conjunto dado por:
𝐴 − 𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∉ 𝐵}
Definición: Dado el conjunto 𝐴 se define el complemento de los conjuntos, y es denotado por
𝐴̅ o también 𝐴𝐶 al conjunto dado por
𝐴̅ = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ∉ 𝐴}
4
Ejemplo 1
3!=3.2.1=6
5!=5.4.3.2.1=120
1!=1
0!=1
ℤ , el conjunto de números enteros, que surgen de agregarle a los números naturales sus
opuestos y el 0 (cero):tiene entre sus elementos …, −𝑛, … , −3, −2, −1,0,1,2, . . . , 𝑛, …, etc.
ℚ, el conjunto de números racionales, que son todas las fracciones con numerador y
denominador entero y denominador distinto de cero.
Esto es: ℚ = {
𝑚
𝑛
/ 𝑚 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑛 ≠ 0}.
Por ejemplo:
2
3
,
5
4
, −
1
10
, −
7
2
, etc. son números racionales.
La igualdad de fracciones se define como sigue:
𝑚
𝑛
=
𝑝
𝑞
si y sólo si 𝑚. 𝑞 = 𝑛. 𝑝.
La suma y producto de dos números racionales
𝑚
𝑛
y
𝑝
𝑞
se define:
Suma:
𝑚
𝑛
+
𝑝
𝑞
=
𝑞.𝑚+𝑛.𝑝
𝑛.𝑞
Producto:
𝑚
𝑛
.
𝑝
𝑞
=
𝑚.𝑝
𝑛.𝑞
Todos estos conjuntos numéricos cumplen con la relación: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.
Observaciones sobre los números racionales:
Propiedad de Tricotomía: Dados dos números racionales 𝑥 e 𝑦, siempre se pueden
comparar, es decir, siempre vale una de las siguientes afirmaciones: o bien 𝑥 < 𝑦, o bien
x > y, o bien 𝑥 = 𝑦.
Cada número racional admite una expresión decimal finita o periódica, y cada expresión
decimal finita o periódica representa un número racional. Por ejemplo:
1
2
= 0.5 ,
1
3
= 0. 3̅ = 0.333 … ,
73
30
= 2.43̅ = 2.4333 …
Los números racionales se pueden representar en una recta numérica donde se fijan el
0 (cero) en el punto fijo 𝑶 llamado origen, y la unidad de longitud, es decir el 1 (uno),
correspondiente al segmento unitario. A la derecha del origen 𝑶 se indican los puntos
que corresponden a los números positivos y a la izquierda del origen 𝑶 los puntos que
corresponden a los números negativos. Para representar gráficamente un número
fraccionario en la recta numérica, se divide la unidad en tantas partes como lo indique
el denominador de la fracción y luego se toman tantas partes de la subdivisión como lo
indique el numerador. Por ejemplo, si representamos
1
2
, −
5
2
,
1
1
( que representa el entero
1) 𝑦 −
2
1
(que representa al entero −2) resulta:
Origen
Negativo Positivo
Definición: Sea 𝑛 ∈ ℕ0. Se llama factorial del número n (o n-factorial), y lo indicaremos
con n!, al número: 𝑛! = {
1 , 𝑠𝑖 𝑛 = 0
𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2) … 3.2.1 , 𝑠𝑖 𝑛 > 0
.
5
Densidad de los números racionales: Entre dos números racionales distintos siempre
hay otro racional. Por ejemplo, entre 1.9 y 2 se encuentra el 1.99; y entre 1.99 y 2
podemos ubicar al número racional 1.999, etc. En realidad, de esta afirmación se deduce
que entre dos números racionales siempre hay infinitos números racionales.
Sin embargo, si se lograra marcar todos los números racionales en una recta, igual quedarían
puntos sin marcar. Por ejemplo, el punto que representa al valor √2 cuya expresión decimal no
es finita ni periódica.
Los números decimales que tienen infinitas cifras no periódicas, por ejemplo √2, π, √3, √5
3
... se
llaman números irracionales . El conjunto de los números irracionales se simboliza 𝕀.
La recta real
A la unión entre el conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales
se lo llama el conjunto de números reales y se lo designa ℝ.
ℝ = ℚ ∪ 𝕀
Los números reales se representan geométricamente como la colección de todos los puntos de
una recta, eligiendo una unidad arbitraria. Esta recta se denomina “recta real”. Proporciona una
visualización perfecta de los números reales. Esto es, a cada punto de la recta le corresponde
uno y sólo un número real, y viceversa. Este tipo de correspondencia se llama “biyectiva” o “uno
a uno”.
Representamos geométricamente los números reales mediante la recta real.
Observaciones:
1- ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
2- 𝕀 ⊂ ℝ.
3- ℚ ∩ 𝕀 = ∅.
4- Densidad de los números reales: Entre dos números reales siempre hay otro número
real. Como antes, decir que entre dos números reales siempre hay otro real, es lo mismo
que decir que entre dos números reales hay infinitos números reales.
5- ℝ = ℝ− ∪ {0} ∪ ℝ+, siendo ℝ− el conjunto de los números reales negativos, y ℝ+ el
conjunto de los reales positivos.
Geométricamente:
Números reales positivos
Números reales negativos
A continuación, se muestra un esquema ilustrativo sobre los distintos conjuntos numéricos.
Naturales (ℕ)
Cero (0) Enteros (ℤ)
Enteros Negativos (ℕ -) Racionales (ℚ )
Reales (ℝ )
Fraccionarios
Irracionales (𝕀)
6
1.2 Definición axiomática de los números reales
Entendemos que:
𝑎 < 𝑏 si y sólo si 𝑏 − 𝑎 𝜖 ℝ+.
𝑎 < 𝑏 se lee “𝑎 es menor que 𝑏”.
Así pues, 1 < 2 pues en la recta real el 1 está a la izquierda del 2.
Sobre el conjunto ℝ de los números reales, consideramos las operaciones de suma
(+), producto (.) y la relación <, de modo que cualesquiera que sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ se
verifican los siguientes axiomas:
(A1) 𝑎 + 𝑏 ∈ ℝ.
(A2) 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 (Propiedad asociativa de la suma)
(A3) 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (Propiedad conmutativa de la suma)
(A4) Existe 0 ∈ ℝ, llamado cero, tal que 0 + 𝑎 = 𝑎. (El 0 (cero) es el elemento neutro
de la suma)
(A5) Para cada 𝑎 ∈ ℝ, existe un único elemento – 𝑎 ∈ ℝ, llamado el opuesto de 𝑎, tal que
𝑎 + (−𝑎) = 0.
(A6) 𝑎. 𝑏 ∈ ℝ.
(A7) 𝑎. (𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏). 𝑐 (Propiedad asociativa del producto)
(A8) 𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 (Propiedad conmutativa del producto)
(A9) Existe el elemento 1 ∈ ℝ, llamado uno, tal que 1. 𝑎 = 𝑎. (El 1(uno) elemento neutro
del producto)
(A10) Para cada 𝑎 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 0, existe un único elemento
1
𝑎
∈ ℝ, llamado el inverso
(recíproco) de a, tal que
𝑎. (
1
𝑎
) = 1.
(A11) 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 (Propiedad distributiva del producto respecto a la suma)
Por verificar los axiomas A1,A2,…A11, diremos que (ℝ, +, . ) tiene estructura de
cuerpo, y se lo conoce con el nombre de “cuerpo de los números reales”.
Geométricamente:
𝑎 < 𝑏 si y sólo si 𝑎 está a la izquierda de b.
7
Al definir “<” (la relación “es menor que”) en ℝ, diremos que ℝ es un conjunto ordenado por
la relación <, escribimos ( ℝ, <) es un conjunto ordenado, y por verificar los axiomas A1, A2,…,
A15 diremos que (ℝ, +, . , <) representa el cuerpo ordenado de los números reales.
Notaciones:
(1) 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏).
(2) Si 𝑎 ≠ 0 entonces notaremos
1
a
= a−1 al “recíproco del número a”.
(3) Si 𝑏 ≠ 0 entonces
a
b
= a. b−1. Al número real
a
b
se llama “el cociente de 𝑎 por 𝑏”, a es el
numerador y b el denominador.
(4) a ≤ b se lee “𝑎 precede a 𝑏” o “𝑎 es menor o igual a 𝑏”.
a ≤ b , si vale una de las dos propiedades siguientes: (i) 𝑎 = 𝑏 , (ii) 𝑎 < 𝑏.
(5) 𝑎 > 𝑏 se lee 𝑎 mayor que 𝑏”
𝑎 > 𝑏, si se cumple 𝑏 < 𝑎.
(6) 𝑎 ≥ 𝑏 se lee “𝑎 sucede a 𝑏” ó “𝑎 es mayor o igual a 𝑏”.
𝑎 ≥ 𝑏 , si se cumple 𝑏 ≤ 𝑎.
(7) 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, indica que 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐.
Mientras que a≤b≤c indica que 𝑎 ≤ 𝑏 y 𝑏 ≤ 𝑐.
(8) Se dirá que 𝑎 ∈ ℝ es positivo si se verifica que 𝑎 > 0; y negativo si 𝑎 < 0.
(9) Para simplificar, escribiremos cuando no hay dudas, ab en lugar 𝑎. 𝑏.
También 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 y 𝑎𝑏𝑐 en lugar de (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 y 𝑎. 𝑏. 𝑐, respectivamente.
Otras propiedades importantes respecto a la suma y el producto de números reales
a) Si 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑐, entonces 𝑏 = 𝑐. (Ley de simplificación para la suma)
b) Si 𝑎. 𝑏 = 𝑎. 𝑐 y 𝑐 ≠ 0, entonces 𝑏 = 𝑐. (Ley de simplificación para el producto)
c) Dados 𝑎 y 𝑏 dos números reales y 𝑎 ≠ 0, entonces existe un único número real 𝑥 tal
que 𝑎. 𝑥 = 𝑏. A dicho número 𝑥 se lo simboliza 𝑏/𝑎 o
𝑏
𝑎
y se denomina “cociente de 𝑏 sobre 𝑎”.
(Propiedad de posibilidad del cociente)
d) Si 𝑎. 𝑏 = 0 entonces o 𝑎 = 0 o 𝑏 = 0. (Propiedad del producto cero)
e) Si a≠0 entonces (𝑎−1)−1 = 𝑎 .
Otras propiedades importantes de la relación de orden son:
a) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐 < 𝑑, entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑑.
b) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑐𝜖 ℝ, entonces 𝑎 − 𝑐 < 𝑏 − 𝑐 .
c) Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑘 < 0, entonces 𝑎. 𝑘 > 𝑏. 𝑘 .
d) Si 𝑎 > 0, entonces
1
𝑎
> 0 .
e) Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 y 𝑎 < 𝑏, entonces
1
𝑏
<
1
𝑎
.
1.3 Otras operaciones definidas en ℝ
Recordemos brevemente otras operaciones definidas en el conjunto de los números reales y
algunas de sus propiedades.
Axiomas de Orden
(A12) Propiedad de Tricotomía: Vale una y sólo una de las tres condiciones siguientes:
(i) 𝑎 = 𝑏, (ii) 𝑎 < 𝑏, (iii) 𝑏 < 𝑎 .
(A13) Propiedad Transitiva: Si 𝑎 < 𝑏 y 𝑏 < 𝑐, entonces 𝑎 < 𝑐.
(A14) Propiedad Aditiva: Si 𝑎 < 𝑏 entonces 𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐.
(A15) Si 𝑎 < 𝑏 y 0 < 𝑘 , entonces 𝑎. 𝑘 < 𝑏. 𝑘.
8
Potencia natural de un número real
Sean 𝑥𝜖 ℝ y 𝑛𝜖ℕ. Definimos la potencia n-ésima de x, como sigue
𝑥𝑛 = 𝑥. 𝑥 … 𝑥 (*)
𝑛 − 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠
Propiedades: Sean a, bϵ ℝ y n, mϵℕ, entonces se verifican:
1) 𝑎𝑛+𝑚 = 𝑎𝑛. 𝑎𝑚
2) 𝑎𝑛𝑚 = (𝑎𝑛)𝑚
3) (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑏𝑛
4) (
𝑎
𝑏
)
𝑛
=
𝑎𝑛
𝑏𝑛
5) Cuadrado de un binomio: (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
6) Cubo de un binomio: (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3
7) Diferencia de cuadrados: 𝑎2 − 𝑏2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏)
Potencia entera de un número real
Sea 𝑥𝜖 ℝ y 𝑘𝜖ℤ. Definimos la potencia 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 𝑥, como sigue:
1) Si 𝑘 = 0, entonces 𝑥0 = 1,
2) Si 𝑘𝜖ℕ, entonces 𝑥𝑘 se calcula con (*).
3) Si 𝑘 < 0 y 𝑥 ≠ 0, entonces 𝑥𝑘 =
1
𝑥−𝑘
.
Raíz n-ésima de un número real
Sean 𝑥𝜖 ℝ y 𝑛𝜖ℕ. Entonces se define la raíz n-ésima de x, que se simboliza √𝑥
𝑛
, al número real
𝑦 que cumple: 𝑦𝑛=x.
Esto es: √𝑥
𝑛
= 𝑦 , si 𝑦𝑛=𝑥.
Propiedades
a) Sean 𝑥𝜖 ℝ y 𝑛𝜖ℕ, entonces:
Si 𝑛 es impar, la raíz 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de número real x es un único número real 𝑦 tal que
𝑦𝑛=𝑥.
Si 𝑛 es par y 𝑥 ≥ 0
I. Existe un único número real 𝑦, con y ≥0, tal que 𝑦n= 𝑥. Al número y se lo
simboliza + √𝑥
𝑛
.
II. Existe un único número real 𝑧, con 𝑧 ≤ 0, tal que 𝑧𝑛 = 𝑥. Al número 𝑧 se lo
simboliza − √𝑥
𝑛
.
Notas: De lo expuesto resulta que si 𝑥 es mayor que 0 y 𝑛 es un número par, entonces existen
dos únicos números reales, uno positivo y el otro negativo tales que al elevarlos a la 𝑛
obtenemos 𝑥. es usual representar a dicho par de números con la notación ± √𝑥
𝑛
.
Si 𝑛 = 2, escribiremos √𝑥 en lugar de √𝑥
2
.
b) Sean 𝑎, 𝑏 ϵ ℝ , 𝑎 ≥ 0 y 𝑏 ≥ 0, 𝑛, 𝑚, 𝑠𝜖ℕ, entonces se verifican:
I. √𝑎. 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛
(Propiedad distributiva de la raíz n-ésima respecto al producto)
II. √𝑎𝑛
𝑚
= ( √𝑎
𝑚 )
𝑛
III. √ √𝑎
𝑛𝑚 = √𝑎
𝑚.𝑛
IV. √𝑎𝑛.𝑠
𝑚.𝑠
= √𝑎𝑛
𝑚
9
Potencia racional de un número real no negativo
Sean 𝑥ϵ ℝ , 𝑥 ≥ 0 y 𝑟 =
𝑚
𝑛
ϵℚ. Definimos la potencia 𝑟 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 𝑥 por medio de las siguientes
reglas:
1) Si 𝑥 ≠ 0, entonces 𝑥0 = 1.
2) Si 𝑟 > 0 , entonces 𝑥𝑟 = 𝑥
𝑚
𝑛 = √𝑥𝑚
𝑛
3) Si 𝑟 < 0 y 𝑥 ≠ 0, entonces 𝑥𝑟 =
1
𝑥−𝑟
.
Ejercicios:
1) Límite del comportamiento de potencias. Completar las tablas siguientes. ¿Qué ocurre
con la raíz 𝑛 − é𝑠𝑖𝑚𝑎 de 2 a medida que 𝑛 aumenta? ¡ Qué puede decir acerca de la 𝑛 −
é𝑠𝑖𝑚𝑎 sería de
1
2
?
𝑛
2
1
𝑛
𝑛
(
1
2
)
1
𝑛
1 1
2 2
5 5
10 10
100 100
2) Distancia de la Tierra al Sol. Se deduce de la Tercera Ley de Kepler del movimiento
planetario, que el promedio de distancia de un planeta al Sol (en metros) es
𝑑 = (
𝐺𝑀
4𝜋2
)
1/3
. 𝑇2/3
donde 𝑀 = 1.99 𝑥 1030𝑘𝑔 es la masa del Sol, 𝐺 = 6.67 𝑥 10−11.
𝑚2
𝑘𝑔2
es la constante
gravitacional, y 𝑇 es el período del planeta (en segundos). Utilizar que el período de la
órbita de la Tierra es de alrededor de 365,25 días para hallar la distancia de la Tierra al
Sol.
3) Resistencia eléctrica. Si dos resistores eléctricos con resistencias 𝑅1 y 𝑅2 se conectan en
paralelo (ver Figura siguiente) , entonces la resistencia total 𝑅 está dada por
𝑅 =
1
1
𝑅1
+
1
𝑅2
.
a) Simplifique la expresión de 𝑅.
b) Si 𝑅1 = 10 𝑜ℎ𝑚𝑠 y 𝑅2 = 20𝑜ℎ𝑚𝑠 ¿cuál es la resistencia total 𝑅?
10
Logaritmo de un número real positivo
Sean 𝑎 ∈ ℝ y 𝑏 ∈ ℝ con 𝑎 > 0 𝑦 𝑏 > 0 y 𝑎 ≠ 1. Definimos logaritmo en base 𝑎 de b como
sigue:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑦 si y sólo si 𝑏 = 𝑎
𝑦 .
Observación: Simbolizaremos con "𝑙𝑜𝑔(𝑥)" al logaritmo en base 10, y con "𝑙𝑛" al logaritmo
natural, es decir, al logaritmo cuya base es el número irracional 𝑒 = 2.7172 …
Se cumple: 𝑙𝑛(𝑥) = 𝑦 si y sólo si 𝑥 = 𝑒𝑦.
Esto es:
Propiedades:
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 números reales positivos, 𝑎 ≠ 1 y 𝑛𝜖ℝ, entonces se verifican:
1) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐
2) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑏
𝑐
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑐
3) loga (b
n) = n. logab
4) 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 =
𝑙𝑜𝑔 𝑏
𝑙𝑜𝑔 𝑎
1.4 Ecuaciones lineales en una variable
Variable
Para nosotros una variable será un símbolo al que no le asignaremos ningún significado fijo,
pero que puede ser reemplazado por objetos bien definidos. Las variable también pueden
denominarse incógnitas y las designaremos con x,y,z,..etc (las últimas letras del alfabeto).
Las variables reales son todas aquellas que solamente pueden ser reemplazadas por números
reales. Las utilizaremos para definir ecuaciones lineales, cuadráticas y polinómicas, etc.
Ecuaciones
Definición: Sea 𝑥 una variable. Llamaremos ecuación lineal en una variable 𝑥, a toda expresión
de la forma 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, con 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ ℝ y 𝑎 ≠ 𝑐.
Soluciones de una ecuación lineal
Definición: Sea la ecuación lineal 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐𝑥 + 𝑑, con 𝑎 ≠ 𝑐. Diremos que 𝑟 ∈ ℝ es solución de
dicha ecuación, si verifica que 𝑎𝑟 + 𝑏 = 𝑐𝑟 + 𝑑.
Observación: Si 𝑟 es solución de la ecuación, entonces se verifica: (𝑎 − 𝑐) 𝑟 = 𝑑 − 𝑏 y 𝑟 =
𝑑−𝑏
𝑎−𝑐
.
Luego, la ecuación tiene una única solución dada en (2), si 𝑎 ≠ 𝑐.
Nota importante: La ecuación no es una igualdad entre números reales, pues 𝑥 no es un número
real (ya que es un símbolo sin significado, es una variable). Sin embargo, con el objeto de
simplificar los cálculos, para hallar una solución, en algunos casos actuaremos como si se
tratase de una igualdad numérica.
Ejercicio:
Hallar la solución de 3𝑥 − 1 = 2𝑥 + 2.
𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) si y sólo si 𝑒𝑦 = 𝑒ln (𝑥) = 𝑥.
11
Inecuaciones lineales en una variable
Inecuación lineal
Definición: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reales y 𝑥 una variable. Llamaremos inecuación lineal en una
variable a expresiones de las siguientes formas:
I) 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑥 + 𝑑.
II) 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐𝑥 + 𝑑.
Notaciones: Escribimos:
𝑎𝑥 + 𝑏 ≥ 𝑐𝑥 + 𝑑, para indicar 𝑐𝑥 + 𝑑 ≤ 𝑎𝑥 + 𝑏.
𝑎𝑥 + 𝑏 > 𝑐𝑥 + 𝑑, para indicar 𝑐𝑥 + 𝑑 < 𝑎𝑥 + 𝑏.
Soluciones de una inecuación
Definición: Llamaremos solución de una inecuación 𝑎𝑥 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑥 + 𝑑, a todo número real 𝑟 que
verifica 𝑎𝑟 + 𝑏 ≤ 𝑐𝑟 + 𝑑.
La solución de la inecuación II) 𝑎𝑥 + 𝑏 < 𝑐𝑥 + 𝑑 se define en forma análoga.
Ejercicio:
Determinar las soluciones de las siguientes inecuaciones.
(a) 3𝑥 + 1 ≤ 2𝑥 − 1 (b) 2𝑥 − 1 ≥ 3𝑥 + 5 (c) 2𝑥 − 1 < 2𝑥 + 3.
2. ALGUNOS CONCEPTOS TOPOLÓGICOS
Sea el conjunto ℝ de los números reales. Como vimos en la sección anterior, dicho conjunto
numérico es denso y puede representarse geométricamente como la colección de todos los
puntos de una recta, eligiendo una unidad arbitraria. Dicha recta, denominada “recta real”,
proporciona una visualización perfecta de los números reales.
2.1 Distancia entre números reales
Para introducir un concepto muy importante: el de distancia entre dos números reales,
necesitamos del concepto de valor absoluto de un número real.
Observemos que:
Si 𝑎 > 0, el número real es positivo.
Si 𝑎 < 0, el número real es negativo.
Si – 𝑎 > 0 entonces 𝑎 < 0.
Si −𝑎 < 0 entonces 𝑎 > 0.
Hacemos esta consideración para evitar el error de considerar al número –a siempre como un
número positivo.
Definición: Sea 𝑎 un número real. Se llama valor absoluto de 𝑎, y lo indicaremos con |𝑎|, al
número |𝑎| = {
𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 , 𝑠𝑖 𝑎 < 0
.
12
Propiedades del valor absoluto
Sean 𝑎 y 𝑏 números reales.
(1) |𝑎| = 0 si
y sólo si 𝑎 = 0.
(2) |𝑎| ≥ 0.
(3) |𝑎| = | − 𝑎|
(4) |𝑎 − 𝑏| = |𝑏 − 𝑎|
(5) |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|
(6) |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|
(7) |
𝑎
𝑏
| =
|𝑎|
|𝑏|
, si b≠0.
(8)||𝑎| − |𝑏|| ≤ |𝑎 − 𝑏|
(9)|𝑎|2 = |𝑎2| = 𝑎2
(10) √𝑎2 = |𝑎|
(11) i. Si 0 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏 entonces |𝑎| ≤ |𝑏|.
ii. Si 𝑎 ≤ 𝑏 ≤ 0 entonces |𝑎| ≥ |𝑏|.
Propiedades: Sean 𝑎, 𝑏 y 𝑐 números reales.
(1) 𝑑(𝑎, 𝑏) = 𝑑(𝑏, 𝑎)
(2) 𝑑(𝑎, 𝑏) ≥ 0. Además: 𝑑(𝑎, 𝑏) = 0 si y sólo si 𝑎 = 𝑏.
(3) 𝑑(𝑎, 𝑏) ≤ 𝑑(𝑎, 𝑐) + 𝑑(𝑐, 𝑏).
2.2 Intervalos y Entornos
Antes de definir entorno, resulta conveniente recordar los distintos tipos de intervalos y
caracterizar algunos de ellos mediante el empleo de valor absoluto.
Intervalos
Nota: A los intervalos cerrado-abierto y abierto-cerrado también se los llama intervalos semi-
abiertos o semi-cerrados.
Intervalos infinitos
Nota: En algunos casos, es usual escribir a ℝ como un intervalo en la forma ℝ = (−∞, +∞).
Definición: Dados dos números 𝑎 y 𝑏 reales. Se llama distancia entre 𝑎 y 𝑏 al número real
𝑑(𝑎, 𝑏) que se obtiene 𝑑(𝑎, 𝑏) = |𝑎 − 𝑏|.
Definición: Sea 𝑎 ∈ ℝ. Llamaremos intervalo infinito a cualquiera de los siguientes conjuntos:
(𝑎, +∞) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 < 𝑥}
[𝑎, +∞) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥}
(−∞, 𝑎) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑥 < 𝑎}
(−∞, 𝑎] = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑥 ≤ 𝑎}
Definición: Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ y 𝑎 < 𝑏. Llamaremos intervalo abierto, abierto-cerrado, cerrado-
abierto, cerrado, a los conjuntos:
(𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
(𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
[𝑎, 𝑏) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
[𝑎, 𝑏] = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
respectivamente.
13
Ejemplo 1
Los siguientes conjuntos se expresan con notación de intervalo:
A = {x ∈ ℝ: 1 ≤ x ≤
3
2
} → A = [ 1 ,
3
2
] Intervalo cerrado.
B = {x ∈ ℝ: √2 ≤ x} → B = [√2 , +∞) Intervalo infinito.
C = {x ∈ ℝ: − 3 < 𝑥 < −
1
2
} → C = (−3 , −
1
2
) Intervalo abierto.
D = {x ∈ ℝ: − 2 < 𝑥} ∩ {x ∈ ℝ: x ≤
7
2
} → D = (−2,
7
2
] Intervalo abierto-cerrado.
E = {x ∈ ℝ: −
5
2
< 𝑥} ∪ {x ∈ ℝ: 1 ≤ x < 7}→ E = (−
5
2
, +∞) Intervalo infinito.
Caracterización de intervalos por medio del valor absoluto
Lema: Sea 𝑎 > 0. Luego:
(i) |𝑥| < 𝑎 𝑠𝑖 𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−𝑎, 𝑎).
(ii) |𝑥|> 𝑎 si y sólo si x> 𝑎 o x<- 𝑎. Esto es: 𝑥 ∈ (−∞, 𝑎) ∪ (𝑎, +∞) .
Geométricamente:
|𝑥| < 𝑎 se representa ( )
-a a
|𝑥| > 𝑎 se representa ) (
-a a
Nota 1: Sea a > 0.
|𝑥| ≤ 𝑎 se representa [ ]
-a a
|𝑥| ≥ 𝑎 se representa ] [
-a a
Ejemplo
Esbozar el conjunto solución de |𝑥 − 3| ≤ 2 .
Solución: Teniendo en cuenta la propiedad |𝑥| ≤ 𝑎 si y sólo si −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 , se deduce que:
−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2
−2 + 3 ≤ 𝑥 − 3 + 3 ≤ 2 + 3
1 ≤ 𝑥 ≤ 5
Luego el conjunto solución es el intervalo cerrado [1,5], como se muestra en la siguiente figura.
Actividad IMPORTANTE: Sea 𝑎 < 0. Analizar y completar determinando los valores de 𝑥 reales
que cumplen cada una de las siguientes condiciones:
14
(1) |𝑥| < 𝑎 si y solo si 𝑥 ∈ …
(2) |𝑥|> 𝑎 si y sólo si 𝑥 ∈ …
Lema: Sea (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) un intervalo centrado en c y radio h, entonces:
𝑥 ∈ (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) si y sólo si |𝑥 − 𝑐| < ℎ.
Demostración:
𝑥 ∈ (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) 𝑠𝑖𝑖 𝑐 − ℎ < 𝑥 < 𝑐 + ℎ 𝑠𝑖𝑖 − ℎ < 𝑥 − 𝑐 < ℎ 𝑠𝑖𝑖 |𝑥 − 𝑐| < ℎ.
c.q.d
Entorno y entorno reducido
Sean 𝑐 ∈ ℝ y ℎ ∈ ℝ+.
2.3 Cotas de un conjunto
Conjuntos acotados y no acotados
Se visualiza esta noción en la recta numérica como sigue:
𝐴
k
Se visualiza esta noción en la recta numérica como sigue:
𝐴
c
Definición: Sean c ∈ ℝ y h ∈ ℝ+. Diremos que un intervalo abierto (𝑎, 𝑏) está centrado en c
y tiene radio h, si se cumple (𝑎, 𝑏) = (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ).
Definición: Llamaremos entorno de centro 𝑐 y amplitud h (o radio h) al conjunto {𝑥 ∈ 𝑅: 𝑥 ∈
(𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ)} y lo notaremos 𝐸(𝑐, ℎ).
Es decir: 𝐸(𝑐, ℎ) = (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ).
Definición: Llamaremos entorno reducido de centro c y amplitud h, y lo notaremos 𝐸𝑅(𝑐, ℎ),
al conjunto {𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ∈ (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) 𝑦 𝑥 ≠ 𝑐}.
Esto es: 𝐸𝑅(𝑐, ℎ) = (𝑐 − ℎ, 𝑐 + ℎ) − {𝑐}.
Definición: Dado un subconjunto 𝐴 de números reales, diremos que un número real 𝑘 es
cota superior de 𝐴 si y sólo si para todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 se cumple 𝑥 ≤ 𝑘.
Si el conjunto A tiene una cota superior, se dice que A está acotado superiormente. Definición: Dado un subconjunto 𝐴 de números reales, diremos que un número real 𝑐 es cota
inferior de 𝐴 si y sólo si para todo elemento 𝑥 ∈ 𝐴 se cumple 𝑐 ≤ 𝑥.
Si el conjunto 𝐴 tiene una cota inferior, se dice que 𝐴 está acotado inferiormente.
15
Nota: En el Ejemplo 1, los conjuntos 𝐴, 𝐶 y 𝐷 son acotados.
Ínfimo y supremo de conjuntos de números reales
Ejercicio:
Analizar si los conjuntos definidos en el Ejemplo 1 son acotados. Determinar, en cada caso, el
ínfimo y supremo (en caso de que existan).
Axiomas del Supremo y del Ínfimo (Axiomas de Completitud)
Si 𝐴 ⊂ ℝ, 𝐴 ≠ ∅ y 𝐴 es acotado superiormente, entonces tiene supremo en ℝ.
También es válido:
3 Relaciones y Funciones
Los matemáticos tienen en cuenta que no toda relación representa una función. Para clarificar
dichos conceptos, introducimos las siguientes definiciones.
3.1 Producto cartesiano
En este curso el concepto de par ordenado lo consideraremos un concepto primitivo.
Sea 𝐴 ⊆ ℝ.
Definición 1: Diremos que 𝐴 es un conjunto acotado si y sólo 𝐴 es acotado inferior y
superiormente.
Definición 2: Diremos que 𝐴 es un conjunto acotado si y sólo si existe un número real positivo
ℎ tal que 𝐴 ⊆ 𝐸(0, ℎ).
Esto es:
𝐴 es un conjunto acotado si y sólo si existe un número real ℎ ∈ ℝ+
tal que 𝐴 ⊆ (−ℎ, ℎ).
Definición: Si un conjunto de números reales 𝐴 es acotado superiormente, la menor de todas
las cotas superiores (si existe) se llama supremo.
Definición: Si un conjunto de números reales 𝐴 es acotado inferiormente, la mayor de todas
las cotas inferiores (si existe) se llama ínfimo.
Todo subconjunto no vacío de los reales acotado superiormente, siempre tiene supremo.
Todo subconjunto no vacío de los reales acotado inferiormente, siempre tiene ínfimo.
16
Par ordenado
Simbolizaremos con (𝑎, 𝑏) al par ordenado cuyo
primer elemento es 𝑎 y segundo elemento
es 𝑏.
Ejemplos
(3,2); (−1, п) ; (1,1) son pares ordenados cuyos primeros elementos pertenecen al conjunto
𝐴=ℤ (conjunto de los números enteros) y los segundos a 𝐵=ℝ (conjunto de los números
reales).
Observación: Es claro que, si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces (𝑎, 𝑏) ≠ (𝑏, 𝑎).
Producto Cartesiano
En consecuencia:
(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵
(𝑥, 𝑦) ∉ 𝐴 ⇔ 𝑥 ∉ 𝐴 ∨ 𝑦 ∉ 𝐵
Nota: Recuerde:
El símbolo “∧” se lee “𝑦”.
El símbolo “∨” se lee “𝑜”.
El símbolo “⇔” se lee “𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖”.
Ejemplo
Sean los conjuntos 𝐴 = {2,3} y 𝐵 = {1,2,4}, entonces:
𝐴𝑥𝐵 = {(2,1); (2,2); (2,4); (3,1); (3,2); (3,4)}.
Representación gráfica
El producto cartesiano puede ser representado de las siguientes formas.
Mediante Ejes Cartesianos
𝐴𝑥𝐵
Intuitivamente entenderemos como par ordenado a un conjunto formado por dos elementos
donde se ha definido un criterio de ordenación que establece cuál es el primer elemento y
cuál el segundo.
Definición: Dos pares ordenados (𝑎, 𝑏) y (𝑐, 𝑑) son iguales si y sólo si 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑 .
Esto es:
(𝑎, 𝑏) = (𝑐, 𝑑) si y sólo si 𝑎 = 𝑐 y 𝑏 = 𝑑.
Definición: Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos, se define el producto cartesiano de 𝐴 por 𝐵, y lo
indicamos 𝐴𝑥𝐵, al conjunto de todos los pares ordenados (𝑥, 𝑦), donde 𝑥 pertenece al
conjunto 𝐴 e y pertenece al conjunto 𝐵.
Simbólicamente: 𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦)/𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵}.
17
Mediante diagramas de Venn (si los conjuntos 𝐴 y 𝐵 son finitos).
𝐴 𝐴𝑥𝐵 𝐵
Ejemplos
1) Sean 𝐴 = {1,2} y 𝐵 = ℝ entonces 𝐴𝑥𝐵 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑥 ∈ {1,2} ∧ 𝑦 ∈ ℝ}.
2) Sean 𝐴 = {𝑥/ 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 1 ≤ 𝑥 ≤ 2 } y 𝐵 = ℝ.
𝐴𝑥𝐵
𝐴𝑥𝐵
2.
3.
.1
.2
.4
18
3) Sean 𝐴 = ℝ y 𝐵 = ℝ. Entonces 𝐴𝑥𝐵 = ℝ𝑥 ℝ = ℝ2 .
3.2 Relaciones
Relaciones binarias
Esto es:
Ejemplo 2
Si observamos la Tabla 2, podemos distinguir un conjunto 𝐴 de planetas del sistema solar
(primera columna de la tabla), un conjunto 𝐵 de diámetros ecuatoriales (𝑘𝑚) (segunda
columna) correspondientes a dichos planetas. Esta tabla permite establecer una relación, que
llamaremos R, entre ambos conjuntos.
Planeta Diámetro ecuatorial aproximado (𝑲𝒎)
Mercurio 4.878
Venus 12.100
Tierra 12.756
Marte 6.787
Júpiter 142.984
Saturno 120.536
Urano 51.108
Nepturno 49.538
Tabla 2
Sea 𝑥 un elemento de 𝐴 e 𝑦 un elemento de 𝐵. Entonces simbólicamente se puede escribir:
(𝑥, 𝑦)𝜖𝑅 si y sólo si “𝑥 es un planeta cuyo diámetro ecuatorial (𝑘𝑚) es 𝑦”.
En este caso podemos indicar:
𝑅
= {(𝑀𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜, 4.878), (𝑉𝑒𝑛𝑢𝑠, 12.100), (𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎, 12.756), (𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒, 6.787), (𝐽𝑢𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟, 142.984),
(𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜, 120.536), (𝑈𝑟𝑎𝑛𝑜, 51.108), (𝑁𝑒𝑝𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜, 49.538)}
Como 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵, entonces R es una relación binaria del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵.
𝐴𝑥𝐵
Definición: Sean 𝐴 y 𝐵 dos conjuntos. Diremos que 𝑅 es una relación binaria del conjunto 𝐴
en el conjunto 𝐵 a cualquier subconjunto, de pares ordenados, contenido en 𝐴𝑥𝐵.
𝑅 relación binaria del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵 si y sólo si R ⊆ AxB.
19
Ejemplo 3
Sean 𝐴 = 𝐵 = ℝ. Sea 𝑅 una relación definida de 𝐴 en 𝐵 dada por 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵/ 𝑦 ≥ 𝑥2}.
Gráficamente 𝑅 se puede representar mediante sistema de ejes cartesianos como sigue.
Observación: De la definición de relación, es claro que ∅ (el conjunto vacío) y 𝐴𝑥𝐵 son
relaciones de 𝐴 en 𝐵.
Dominio, Conjunto de llegada e imagen de una relación binaria
Notación: Si 𝑅 es una relación del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵. Al dominio de 𝑅 lo simbolizamos
con 𝐷𝑜𝑚(𝑅) o también 𝐷(𝑅) y es tal que:
𝐷𝑜𝑚(𝑅) = { 𝑥𝜖𝐴 /(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}
Nota: Si 𝑅 relación y 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵 entonces se cumple que 𝐷𝑜𝑚(𝑅) ⊆ 𝐴.
Notación: Si 𝑅 es una relación del conjunto 𝐴 en el conjunto 𝐵, a la imagen de 𝑅, que
simbolizamos 𝐼𝑚(𝑅) o también 𝐼(𝑅), es tal que: 𝐼𝑚(𝑅) = { 𝑦𝜖𝐵 / (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅}.
Nota: Si 𝑅 es una relación tal que 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵 entonces se cumple que 𝐼𝑚(𝑅) ⊆ 𝐵.
Ejemplo
En el caso del Ejemplo 2, 𝐷𝑜𝑚(𝑅) = 𝐴 y 𝐼𝑚(𝑅) = 𝐵.
Relación Inversa
A partir de una relación se puede definir una nueva relación llamada relación inversa cuyos
elementos son los pares ordenados invertidos en el orden de sus componentes.
Definición: Se llama dominio de una relación al conjunto de todas las primeras componentes
que integran los pares ordenados que pertenecen a la relación.
Definición: Se llama imagen de una relación al conjunto de las segundas componentes que
integran los pares ordenados que pertenecen a la relación.
Definición: Sea la relación 𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵. Entonces al conjunto 𝐵 se lo llama el conjunto de llegada
de la relación 𝑅.
20
Ejemplo
En el caso del Ejemplo2,
𝑅−1 = {(4.878, 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑖𝑜), ( 12.100, 𝑉𝑒𝑛𝑢𝑠), (12.756, 𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎), (6.787, 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑒),
( 142.984, 𝐽ú𝑝𝑖𝑡𝑒𝑟), (120.536, 𝑆𝑎𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜),
( 51.108, 𝑈𝑟𝑎𝑛𝑜), (49538, 𝑁𝑒𝑝𝑡𝑢𝑟𝑛𝑜)}.
Observemos que 𝐷𝑜𝑚(𝑅−1) = 𝐼𝑚(𝑅). Esto es: “la 𝐼𝑚(𝑅) coincide con el dominio de la relación
inversa 𝑅−1”.
Nota: Es claro que, si 𝑅 es una relación binaria, la relación inversa siempre existe y se cumple:
𝑅 ⊆ 𝐴𝑥𝐵 si y sólo si 𝑅−1 ⊆ 𝐵𝑥𝐴.
3.3 Funciones
De todas las relaciones que se pueden definir a partir del producto cartesiano entre dos
conjuntos 𝐷 y 𝐵, vamos a diferenciar unas, en particular, que tienen singular importancia. Son
aquellas relaciones que hacen corresponder a cada elemento del conjunto 𝐷 un único elemento
del segundo conjunto (conjunto de llegada). Este tipo de relaciones se denominan funciones.
Como sinónimos de función se utilizan también: función uniforme, aplicación, transformación,
correspondencia y función total (esta última denominación la emplean los especialistas en
Ciencias de la Computación).
Ejemplo
La relación definida en el Ejemplo 2 es una función de 𝐷 en 𝐵. Mientras que la relación
𝑅 definida en el Ejemplo 3 no es una función, pues no cumple con la condición de unicidad.
Observación: Si 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵, al conjunto 𝐷, también llamado “conjunto de
partida”, es el dominio de la función 𝑓 (es decir 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷), y el conjunto 𝐵 es el “conjunto
de llegada” de 𝑓 (que puede o no coincidir con la imagen de la función 𝑓).
Notación: Sea 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵, esto es 𝑓: 𝐷 → 𝐵.
Si (𝑥, 𝑦)𝜖𝑓 entonces escribimos 𝑦 = 𝑓(𝑥).
“𝑦 = 𝑓(𝑥)” se lee “𝑦 está en función de 𝑥, por medio de 𝑓”
ó también “𝑦 es igual a 𝑓 de 𝑥”.
𝑥: se llama variable independiente.
𝑦: variable dependiente.
Definición: Sea 𝑅 una relación binaria de 𝐴 en 𝐵. Llamaremos relación inversa de 𝑅 y lo
notaremos 𝑅−1, a la relación 𝑅−1 = {(𝑦, 𝑥)/ (𝑥, 𝑦)𝜖𝑅}.
Definición: Dados dos conjuntos 𝐷 y 𝐵 no vacíos. Diremos que 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵 y
escribiremos 𝑓: 𝐷 → 𝐵, cuando f sea una relación binaria que cumpla con las siguientes tres
condiciones:
1) 𝑓 ⊆ 𝐷𝑥𝐵. “𝑓 es una relación binaria de 𝐷 en 𝐵”
2) Para cada 𝑥𝜖𝐷 existe 𝑦𝜖𝐵 tal que (𝑥, 𝑦)𝜖𝑓. “Condición de existencia”
3) Si (𝑥, 𝑦)𝜖𝑓 y (𝑥, 𝑧)𝜖𝑓 entonces 𝑦 = 𝑧. “Condición de unicidad”
21
En general, utilizaremos el símbolo f para representar funciones, y el símbolo x para
representar la variable independiente, pero también se pueden emplear otros símbolos. Por
ejemplo, las siguientes
funciones son las mismas.
𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 10.
𝐹: ℝ → ℝ tal que 𝐹(𝑠) = 𝑠2 − 3𝑠 + 10.
𝑣 : ℝ → ℝ tal que 𝑣(𝑡) = 𝑡2 − 3𝑡 + 10.
Como toda función es una relación, el dominio y la imagen se definen tal como se hizo para
relaciones.
Nota: Resultando, si 𝑓 es función de 𝐷 en 𝐵:
Ejemplo
Sean 𝐷 = {1,2,3} y 𝐵 = {2,4,6,7}, se define 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐷𝑥𝐵/ 𝑦 = 2𝑥}.
Resulta: 𝑓 = {(1,2), (2,4), (3,6)} , 𝑓 es una función de 𝐷 en 𝐵.
El 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐷 y 𝐼𝑚(𝑓) = {2,4,6}.
Ejemplo 5
A) Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ , tal que 𝑓(𝑥) =
1
3𝑥+1
.
Para determinar 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) :
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) sii 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑓(𝑥) ∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ 𝑦
1
3𝑥 + 1
∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 3𝑥 + 1 ≠ 0 𝑠𝑖𝑖
𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑥 ≠ −
1
3
Luego: 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥: 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ −
1
3
} = ℝ − {−
1
3
}.
Observar que para determinar el dominio de una función 𝑓 se tuvo en cuenta las operaciones
que intervienen en la definición de 𝑓(𝑥). En este caso nos preguntamos si existe alguna
operación que no podamos efectuar dentro de ℝ, el cuerpo de los reales, cuando evaluamos –
paso a paso- la imagen de la función, 𝑓(𝑥). Dado que siempre podemos multiplicar un real como
el 3 por la variable independiente 𝑥 y luego efectuar la suma con 1, no vemos con estas
operaciones a realizar riesgo alguno. No obstante, el número obtenido después de evaluar 3𝑥 +
1 puede ser cero (0). Dado que no podemos dividir en cero (0), 𝑥 tiene que ser tal que 3𝑥 + 1
sea distinto de cero. Despejando x de 3𝑥 + 1 ≠ 0, resulta 𝑥 ≠ −
1
3
.
Para determinar 𝐼𝑚(𝑓), se tiene en cuenta que la 𝐼𝑚(𝑓) coincide con el dominio de la relación
inversa 𝑓−1.
Por lo que se realizarán los siguientes pasos:
1°) Hallamos la relación inversa: despejando 𝑥 de la igualdad 𝑦 = 𝑓(𝑥), y luego intercambiando
𝑥 por 𝑦.
2°) Determinamos el dominio de la relación obtenida en 1°).
Definición: Dada f una función de 𝐷 en 𝐵. Entonces
𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = {𝑥/ ∃𝑦 ∈ 𝐵: (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 } = {𝑥 / ∃𝑦 ∈ 𝐵: 𝑦 = 𝑓(𝑥) } = {𝑥 / 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵 }.
Definición: Dada 𝑓 una función de 𝐷 en 𝐵, 𝐼𝑚(𝑓) = { 𝑦𝜖𝐵 / ∃𝑥 ∈ 𝐷: 𝑦 = 𝑓(𝑥)} ⊆ 𝐵.
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) sii 𝑓(𝑥) ∈ 𝐵
22
3°) Consideramos como 𝐼𝑚(𝑓) al conjunto obtenido en el paso 2°).
De lo que resulta:
1°) 𝑦 =
1
3𝑥+1
→ ⋯ → 𝑥 =
1
𝑦
−1
3
⇒ 𝑓−1(𝑥) =
1
𝑥
−1
3
Relación inversa.
2°) 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = ℝ − {0} (Aquí observamos que la única dificultad es con la división, cuando x
es cero).
3°) 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ − {0}.
B) Sea la función 𝑓: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ , tal que 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥.
Para determinar 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) :
𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) sii 𝑥 ∈ ℝ 𝑦 𝑓(𝑥) ∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ ∧ √4 − 𝑥 ∈ ℝ 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 − 𝑥 ≥ 0 𝑠𝑖𝑖
𝑥 ∈ ℝ ∧ 4 ≥ 𝑥
Luego: 𝐷 = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = (−∞, 4].
Para determinar 𝐼𝑚(𝑓) se tiene en cuenta, como en el ejemplo A), que la 𝐼𝑚(𝑓) coincide con el
dominio de la relación inversa 𝑓−1 y se realizan los siguientes pasos:
1°) Se despeja 𝑥 de la igualdad 𝑦 = 𝑓(𝑥), y luego se intercambia 𝑥 por 𝑦.
𝑦 = √4 − 𝑥 → 𝑦2 = 4 − 𝑥 ∧ y≥ 0 → 𝑥 = 4 − 𝑦2 ∧ y ≥ 0
⇒ 𝑓−1(𝑥) = 4 − 𝑥2 con 𝑥 ≥ 0 Relación inversa.
2°) Se determina el dominio de la relación inversa. 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = [0, +∞)
3°) Se considera como 𝐼𝑚(𝑓) al conjunto obtenido en el paso 2°). 𝐼𝑚(𝑓) = [0, +∞).
Ejemplos
a) Sea la función 𝑓: ℝ → ℝ que a cada número real 𝑥 le asocia el número 𝑥2. Es decir 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
En particular: 𝑓(2) = 4, 𝑓(√2) = 2, 𝑓(𝑥 + 1) = 𝑥2 + 2𝑥 + 1. Cuando determinamos
𝑓(2) decimos que “calculamos la imagen de f en el punto 2”. Se tiene: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ e
𝐼𝑚(𝑓) = ℝ+ ∪ {0}.
b) Consideremos un rectángulo de perímetro 10 𝑐𝑚. Si queremos expresar el área del
rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados:
como 2. 𝑎 + 2. 𝑏 = 10 entonces 𝑏 = 5 − 𝑎.
𝑎
Área del rectángulo= 𝑎. 𝑏 = 𝑎. (5 − 𝑎) = 5𝑎 − 𝑎2
𝑏
𝑓: 𝐷→ℝ+, con D ⊆ ℝ+, tal que 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 𝑥2 define el área de un rectángulo con perímetro
10 𝑐𝑚, en función de uno de sus lados.
c) Dado 𝑓:ℕ→ ℝ tal que 𝑓(𝑛) =
1
𝑛
. Si evaluamos 𝑓 para distintos valores de ℕ, a partir de 1 en
adelante, se tiene: 𝑓(1) = 1; 𝑓(2) =
1
2
; 𝑓(3) =
1
3
; 𝑓(4)=
1
4
; …; 𝑓(100)=
1
100
; etc.
El 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℕ , las imágenes son número reales comprendidos entre 0 y 1, pero no todos!!.
En este caso particular, se puede notar que a medida que n aumenta, 𝑓(𝑛) se aproxima al valor
0 (cero).
Este tipo de funciones 𝑓: ℕ→ ℝ se llaman “sucesiones” y su estudio merece un capítulo especial.
Formas de representar funciones
Existen diferentes formas de representar funciones. Veamos algunos de ellas para el Ejemplo 3.
23
Mediante una expresión algebraica: Escribiendo 𝑓: 𝐷 → B tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥.
Utilizando diagramas de Venn
𝐷 𝑓 𝐵
Por medio de tablas:
𝑥 𝑦 = 2𝑥
1 2
2 4
3 6
Utilizando ejes cartesianos: Mediante la representación, en el plano, del conjunto de
puntos 𝑓 = {(𝑥, 𝑦)𝜖𝐷𝑥𝐵/ 𝑦 = 2𝑥} .
Ejercicio:
¿El siguiente gráfico representa una función? Analizar y justificar.
.2
.4
.6
.7
.
1.
2.
3.
24
Igualdad de funciones
Ejemplos
a) Las funciones 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 , 𝑔: ℝ+ → ℝ tal que 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1 no son
iguales, pues no tienen el mismo dominio de definición.
b) Dadas 𝑓: 𝐷 → 𝐵 definida en el Ejemplo 3 y la función ℎ: 𝐷 → 𝐵 dada por ℎ =
{(1,2); (2,4); (3,4)} no son iguales, pues no cumplen la segunda condición, 𝑓(3) ≠ ℎ(3).
3.4 Función real de variable real
Es decir, las funciones reales de variable real son funciones donde el conjunto de llegada es el
conjunto de números reales o un subconjunto de él (funciones reales) y el conjunto de partida
o dominio es el conjunto de los números reales o un subconjunto de números reales (variable
real).
Ejemplos
Son funciones reales de variable real, las siguientes:
a) 𝑓:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2.
b) 𝑔:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ tal que 𝑔(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+1
.
c) 𝐴:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ tal que 𝐴(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥).
d) ℎ:𝐷 → ℝ0
+, con D⊆ ℝ tal que ℎ(𝑥) = +√1 − 𝑥2
e) 𝐹: ℝ → [−1,1], con D⊆ ℝ tal que 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Campo de existencia
Ejemplo
Hallar el campo de existencia (dominio) de la función real de variable real dada por 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2−𝑥
.
Solución:
Dado que 𝑔(𝑥) =
1
𝑥2−𝑥
=
1
𝑥 (𝑥−1)
se tiene que: 𝑔(𝑥) ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 𝑠𝑖𝑖 𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0 ∧ 𝑥 ≠
1 .
Por lo tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {0,1}.
Definición: Dadas dos funciones 𝑓 y 𝑔. Diremos que 𝑓 y 𝑔 son iguales, y escribimos 𝑓 = 𝑔, si
cumplen las siguientes dos condiciones:
I) 𝑓 y 𝑔 tiene iguales dominios y
II) 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), para todo 𝑥 perteneciente al dominio común.
Definición: Llamaremos función real de variable real a toda función 𝑓: 𝐷 → 𝐵, con 𝐷 ⊆ ℝ y
𝐵 ⊆ ℝ .
El campo de existencia de una función real de variable real es el dominio de dicha función.
25
Gráfico de funciones reales de variable real
Para hacer la representación gráfica de una función real de variable real consideraremos:
(1) que 𝑓 ⊆ ℝ𝑥ℝ y ℝ𝑥ℝ = ℝ2.
(2) Debemos considerar dos rectas perpendiculares
una horizontal y otra vertical (sistema de
coordenadas cartesianas ortogonales).
(3) La recta horizontal se denomina eje de las abscisas (𝑥) y en él marcamos el dominio de 𝑓.
(4) La recta vertical se denomina eje de las ordenadas (𝑦) y en él marcamos las imágenes de la
función.
(5) Para cada valor 𝑥𝜖𝐷𝑜𝑚(𝑓), marcamos el correspondiente valor 𝑦 que es la imagen de 𝑥 por
medio de la función 𝑓, se obtiene el punto (𝑥, 𝑦).
La figura así obtenida representa el gráfico de la función 𝑓.
Observación: El método más común para visualizar una función real de variable real es a través
de su gráfica en el plano, mediante un sistema de ejes cartesianos. La gráfica de una función f
da una idea útil del comportamiento de la función.
Como la coordenada “𝑦” de cualquier punto (𝑥, 𝑦) de la gráfica cumple 𝑦 = 𝑓(𝑥), es posible leer
el valor de 𝑓(𝑥) a partir de la gráfica como la altura de esta última arriba del punto 𝑥.
Definición: Sea la función 𝑓: 𝐷 → 𝐵, con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ, dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Llamaremos gráfico de 𝑓 y lo simbolizaremos 𝐺(𝑓) al conjunto:
𝐺(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)𝜖 ℝ𝑥ℝ/ 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑐𝑜𝑛 𝑥𝜖𝐷} = {(𝑥, 𝑓(𝑥)) / 𝑥𝜖𝐷}.
26
La gráfica de 𝑓 también permite visualizar el dominio de 𝑓 sobre el eje 𝑥, y su imagen en el eje
𝑦, como lo muestran las siguientes figuras, mediante las proyecciones correspondientes de
𝐺(𝑓).
Ejemplo
En la siguiente figura se muestra la gráfica de una función 𝑓.
a) Encuentre los valores de 𝑓(−1), 𝑓(0) y 𝑓(3), en caso de que existan.
b) ¿Cuáles son el dominio e imagen de 𝑓?
27
Solución:
a) En la gráfica anterior se visualizan los puntos (−1,1) y (0, −2) pertenecientes a 𝐺(𝑓),
mientras que no existe ningún punto (3, 𝑦) perteneciente a 𝐺(𝑓) , con y número real.
Por lo tanto, se cumple:
𝑓(−1) = 1 “ la imagen del −1, por medio de 𝑓, es el número 1”
𝑓(0) = −2 “ la imagen del 0, por medio de 𝑓, es el número real −2”
y
𝑓(3) no existe “el número real 3, por medio de 𝑓, no tiene imagen” (esto es, 3 no
pertenece al dominio de 𝑓).
b) Proyectando la gráfica de f sobre el eje 𝑥 se observa que: 𝑓(𝑥) están definidas para todo
número real 𝑥 ∈ [−2,3). Por lo tanto, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = [−2,3).
Proyectando la gráfica de 𝑓 sobre el eje 𝑦, se obtiene que 𝐼𝑚(𝑓) = [−3,6].
Ejemplo
Trazar una gráfica y encuentre el dominio y la imagen de cada función.
i) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 ii) 𝑔(𝑥) = 𝑥2
Solución:
i) La ecuación de la gráfica de f es 𝑦 = 3𝑥 + 1 y esta se reconoce como la ecuación de
una recta con pendiente 3 y ordenada al origen 1. (Recuerde la ecuación de la recta
pendiente-ordenada al origen de una recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. Esta permite trazar la gráfica
de 𝑓.
La expresión 3𝑥 + 1 está definida para todos los números reales, de modo que
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ. Desde la gráfica podemos ver también que 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ.
ii) Para determinar la gráfica de 𝑔 determinamos algunos puntos de la gráfica,
completando la Tabla 3.
𝑥 𝑦 = 𝑥2
-2 (−2)2 = 4
-1 (−1)2 = 1
0 02 = 0
1 12 = 1
2 22 = 4
Tabla 3
28
Podemos representar gráficamente los puntos (−2,4) , (−1,1), (0,0), (1,1) , (2,4) y otros puntos
más, obtenidos con el proceso de la tabla anterior, para unirlos y así obtener la gráfica de la
función 𝑔 en el plano. Podemos observar que: 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ y 𝐼𝑚(𝑔) = [0, +∞).
Ejemplo
Sea 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 1, 𝑎 y ℎ números reales y tal que ℎ ≠ 0 . Calcular
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
.
Solución:
Primero calculamos 𝑓(𝑎 + ℎ) reemplazando 𝑥 por 𝑎 + ℎ en la expresión que define 𝑓(𝑥).
𝑓(𝑎 + ℎ) = 3(𝑎 + ℎ)2 + 1 = 3(𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2) + 1 = 3𝑎2 + 6𝑎ℎ + 3ℎ2 + 1.
Luego calculamos 𝑓(𝑎) reemplazando 𝑥 por a en la expresión que define 𝑓(𝑥).
𝑓(𝑎) = 3𝑎2 + 1.
Por lo tanto, al sustituir en la expresión a calcular y trabajar algebraicamente resulta:
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
=
3𝑎2 + 6𝑎ℎ + 3ℎ2 + 1 − (3𝑎2 + 1)
ℎ
=
6𝑎ℎ+3ℎ2
ℎ
=
ℎ(6𝑎+3ℎ)
ℎ
= 6𝑎 + 3ℎ.
Nota: La expresión
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
aparece en muchos cálculos del Análisis Matemático. Se
denomina “cociente incremental”. Representa una relación de cambio promedio de 𝑓(𝑥), entre
𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑎 + ℎ.
Como podemos observar, las gráficas de las funciones reales de variable real son curvas del
plano 𝑥𝑦. Pero surge la cuestión ¿cuáles curvas en el plano 𝑥𝑦 son gráficas de funciones? La
siguiente prueba responde lo anterior.
Prueba de la Vertical: Una curva en el plano 𝑥𝑦 es la gráfica de una función de 𝑥 si y sólo si
ninguna línea vertical se intersecta con la curva más de una vez.
29
Si existe al menos existe un valor 𝑎 ∈ ℝ tal que la recta vertical 𝑥 = 𝑎 intersecta a la curva al
menos dos veces, como muestra la siguiente figura, entonces en ese caso la curva no representa
la gráfica de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Por ejemplo, la parábola 𝑥 = 𝑦2 + 1 que aparece en la siguiente figura (a) no es la gráfica de
una función de 𝑥 porque existen líneas verticales que intersectan dos veces esa parábola. Sin
embargo, la parábola en realidad contiene las gráficas de dos funciones de 𝑥. Observe que 𝑥 =
𝑦2 + 1 significa 𝑦2 = 𝑥 − 1, por lo que 𝑦 = ±√𝑥 − 1. Por esto, las partes de la parábola sobre el
eje 𝑥 y por debajo del eje 𝑥, son las gráficas de las funciones 𝑦 = √𝑥 − 1 e 𝑦 = −√𝑥 − 1 que se
representan en (b) y (c) respectivamente.
(a) 𝑥 = 𝑦2 + 1 (b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 1 (c) 𝑔(𝑥) = −√𝑥 − 1
Ejercicio:
Determine en cada caso si la curva es la gráfica de una función de x o no. En caso afirmativo
defina el dominio e imagen correspondiente.
30
Nota: Tenga presente que a partir del gráfico de una función, para hallar su dominio debemos
proyectar los puntos de la gráfica sobre el eje 𝑥. Mientras que la imagen de la función se obtiene
proyectando los puntos de la gráfica sobre el eje 𝑦.
3.5 Combinación de funciones: Álgebra de funciones
Dos funciones reales 𝑓 y 𝑔 se pueden combinar para formar nuevas funciones: suma, diferencia,
producto y cociente, como se observa en la Tabla 4:
Suma (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
Resta (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 − 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
Producto (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓. 𝑔) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)
Cociente
(
𝑓
𝑔
) (𝑥) =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝐷𝑜𝑚 (
𝑓
𝑔
) = 𝐷𝑜𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) − {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)/𝑔(𝑥)
= 0}
Tabla 4
3.6 Composición de funciones
En esta sección veremos una propiedad que tienen las funciones, de mucha utilidad, que es que
se pueden componer. Para comenzar supongamos que queremos calcular el costo de
combustible (nafta) para ir y volver desde San Juan a Barreal, sabiendo que hay que recorrer
aproximadamente 180 𝑘𝑚 para ir de un lugar al otro, y por Km el vehículo gasta 1,8$. Entonces
primero comenzamos calculando la distancia total a recorrer (180𝐾𝑚 + 180𝑘𝑚 = 2. 180𝑘𝑚 =
360𝑘𝑚) y luego calculamos el valor de costo (360. 1,8 = 648).
Pensemos matemáticamente cómo fue nuestro proceder:
𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = 1.8 𝑥
Distancia San Juan a Barreal(Km) Distancia total para ir y regresar(km) costo($)
180 → 360 → 648
𝑥 → 𝑓(𝑥) → 𝑔(𝑓(𝑥))
El esquema anterior nos indica que estamos aplicando dos funciones, primero 𝑓(𝑥) = 2𝑥, que
es la función encargada de vincular la distancia que une los pueblos con la distancia trayectoria
total a recorrer (ida y vuelta), y luego 𝑔(𝑥) = 1.8 𝑥 que es la que relaciona el valor del
recorrido total con el costo de combustible por 𝑘𝑚. Podemos resumir todo este trabajo
construyendo una única función que sea la encargada de calcular el valor total a partir de la
distancia que une a los pueblos directamente. Veamos que el resultado final es 𝑔(𝑓(𝑥)), es decir,
31
aplicar 𝑔 al resultado de aplicarle 𝑓 a 𝑥. Entonces definimos ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) y lo notamos como
ℎ = 𝑔𝑜𝑓.
Gráficamente, sean 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 dos funciones que se representan gráficamente como
sigue:
𝐴 𝐵 = 𝐷𝑜𝑚(𝑔) 𝐶
𝑓 𝑔
ℎ = 𝑔𝑜𝑓
Vemos que, debe cumplirse que 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔), para que sea posible definir una función
ℎ: 𝐴 → 𝐶 tal que dado cualquier elemento 𝑎𝜖𝐴 le corresponda 𝑐𝜖𝐶, el mismo que se determina
al aplicar sucesivamente 𝑓 y 𝑔.
Notas Importantes:
𝑔𝑜𝑓 se lee “g compuesta con f”.
A veces no se cumple la condición 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔). Sin embargo, en muchos casos, se
puede definir la función 𝑔𝑜𝑓 en un dominio restringido 𝐷, con 𝐷 ⊂ 𝐴 y 𝐷 ≠ ∅. Para que
exista la función compuesta 𝑔𝑜𝑓 para un dominio restringido 𝐷, se debe cumplir
𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅.
Si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 son dos funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ∅ entonces
podemos concluir que la función 𝑔𝑜𝑓: 𝐴 → 𝐶 no existe (ni tampoco existe la función
𝑔𝑜𝑓: 𝐷 → 𝐶 , para cualquier 𝐷 ⊂ 𝐴 (dominio restringido)).
Ejemplo
Sean las funciones reales de variables reales 𝑓: 𝐴 → ℝ y 𝑔: 𝐵 → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = √𝑥 y 𝑔(𝑥) =
√2 − 𝑥.
Solución:
Para determinar si existe la función 𝑔𝑜𝑓, según lo visto anteriormente, debemos analizar si
𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅.
Como 𝐼𝑚(𝑓) =[0,+∞) y 𝐷𝑜𝑚(𝑔)=(−∞, 2], resulta 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = [0,2] ≠ ∅. Se
concluye que existe la función compuesta. Como además 𝐼𝑚(𝑓) ⊈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔), la función
𝑔𝑜𝑓 está definida en un dominio restringido de 𝑓.
Para encontrar 𝑔𝑜𝑓:
𝑔𝑜𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 𝑔(√𝑥) = √2 − √𝑥
𝐼𝑚(𝑓)
Definición: Dadas 𝑓: 𝐴 → 𝐵 y 𝑔: 𝐵 → 𝐶 dos funciones. Llamaremos composición de 𝑓 con 𝑔 a
la función que se obtiene de aplicar sucesivamente 𝑓 y 𝑔, en ese orden, y la denotaremos 𝑔𝑜𝑓.
Esto es, la función 𝑔𝑜𝑓: 𝐴 → 𝐶 tal que (𝑔𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)).
32
D=Dom(𝑔𝑜𝑓) = {𝑥 / 𝑥𝜖ℝ ∧ 𝑥 ≥ 0 ∧ 2 − √𝑥 ≥ 0} = {𝑥/ 𝑥𝜖ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥 ≤ 4} = [0,4]
𝑔𝑜𝑓: 𝐷 → ℝ tal que 𝑔𝑜𝑓(𝑥) = √2 − √𝑥.
Ejercicio:
En un estanque en calma se deja caer una piedra. Al hacerlo, se producen ondas en forma de
círculos concéntricos. El radio, en metros, de la onda externa viene dado por 𝑟(𝑡) = 0.3𝑡,
donde 𝑡 es el tiempo en segundos transcurrido desde que la piedra toca el agua. El área del
mismo círculo viene dada por 𝐴(𝑟) = 𝜋𝑟2 . Determinar e interpretar la función 𝐴𝑜𝑟(𝑡).
3.7 Clasificación de funciones
Función inyectiva
Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función, tal que para cada 𝑏 𝜖 𝐼𝑚(𝑓) existe un único 𝑎𝜖𝐷 tal que 𝑏 = 𝑓(𝑎),
diremos que 𝑓 es inyectiva.
Lema: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función. Las siguientes condiciones son equivalentes:
a) 𝑓 es inyectiva.
b) Para todo 𝑎, 𝑏 𝜖𝐷: si 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏) entonces 𝑎 = 𝑏.
Método gráfico:
Dada la gráfica de una función 𝑓, real de variable real en un sistema de ejes cartesianos. Si una
línea horizontal intersecta la gráfica en más de un punto, esto significa que la función 𝑓 no es
inyectiva. Pues existen dos valores 𝑥1 y 𝑥2 distintos tales que 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2).
Ejemplo de función no inyectiva
Definición: Diremos que una función 𝑓: 𝐷 → 𝐵 es inyectiva, si para todo 𝑎, 𝑏 𝜖𝐷 se cumple:
si 𝑎 ≠ 𝑏 entonces 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏).
33
Función sobreyectiva
Función biyectiva
Ejercicio:
Clasificar las siguientes funciones en inyectivas, sobreyectivas y biyectivas, según corresponda.
Justificar su respuesta.
a) b) c)
d) 𝑓: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 ; e) ℎ: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y ℎ(𝑥) = 3𝑥2 − 1.
3.8 Función inversa
Dada una función 𝑓: 𝐷 → 𝐵, como es una relación entre 𝐷 y 𝐵, puede definirse su relación
inversa. Lo que interesa analizar es si esa relación inversa es también función. En cuyo caso lo
llamaremos función inversa y se simboliza 𝑓−1.
Ejemplos
Sean 𝐷 = {1,2,3} , 𝐵 = {2,4,6} y las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas de 𝐷 en 𝐵 siguientes:
1) la función 𝑓 = {(1,2), (2,4), (3,4)} tiene como relación inversa 𝑓−1 = {(2,1), (4,2), (4,3)} y
𝑓−1no es una función.
2) La función 𝑔 = {(1,2), (2,4), (3,6)} tiene relación inversa 𝑔−1 = {(2,1), (4,2), (6,3)} y 𝑔−1si
es función.
Se observa que:
1) Dada cualquier función, siempre existe la relación inversa 𝑓−1.
2) Dada cualquier función 𝑓 , la relación inversa 𝑓−1puede ser una función o no.
Importante:
Se puede demostrar que:
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función. 𝑓 es sobreyectiva (suryectiva o sobre), si 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵 (
es decir, cuando la imagen de 𝑓 coincide con el conjunto de llegada de 𝑓).
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función. 𝑓 es biyectiva, si es inyectiva y sobreyectiva.
Prueba de la Horizontal: Una función es inyectiva si y sólo si ninguna línea horizontal
intersecta su grafica más de una vez.
34
Ejemplos
Sea f una función de 𝐷 = {1,3,8} en 𝐵 = {5,7, −10} tal que 𝑓(1) = 5, 𝑓(3) = 7,y 𝑓(8) = −10.
a) Mostrar que 𝑓 admite función inversa.
b) Encontrar 𝑓−1(7), 𝑓−1(5) 𝑦 𝑓−1(−10).
Solución:
a) Sabemos que: dada cualquier función, la relación inversa siempre existe.
Nos planteamos si la relación inversa 𝑓−1 cumple con las condiciones de ser una
función.
Se tiene en cuenta:
La relación inversa 𝑓−1es función si y sólo si 𝑓 es biyectiva si y solo si 𝑓 es inyectiva y
sobreyectiva.
Como 𝑓 cumple:
para todo 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷, si 𝑥1 ≠ 𝑥2 entonces 𝑓(𝑥1) ≠ 𝑓(𝑥2). Se tiene que 𝑓 es inyectiva.
Además, como 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵 entonces 𝑓 es sobreyectiva.
Se concluye que, 𝑓 es biyectiva.
Por lo tanto, 𝑓 admite función inversa.
b) De la definición de 𝑓−1:
𝑓 = {(1,5); (3,7); (8, −10)} entonces 𝑓−1 = {(5,1); (7,3); (−10,8)}.
𝑓(1) = 5 entonces 𝑓−1(5) = 1
𝑓(3) = 7 entonces 𝑓−1(7) = 3
𝑓(8) = −10 entonces 𝑓−1(−10) = 8.
D 𝑓 B B 𝑓−1 D
Observaciones Importantes:
(1) La función inversa no es igual a la inversa de la función. Esto es:
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → 𝐵 una función biyectiva. Se define la función inversa 𝑓−1 : 𝐵 → 𝐷 tal
que:
Para todo (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓: si (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑓 entonces (𝑦, 𝑥)𝜖𝑓−1.
No confundir el −1 de 𝑓−1 con un exponente. De esta manera
𝑓−1(𝑥) no significa
1
𝑓(𝑥)
.
Dada una función 𝑓,
la relación inversa
𝑓−1 es función si y sólo si 𝑓 es biyectiva.
1.
3.
8.
.5
.7
.-10
1.
3.
8.
.5
.7
. -10
35
(2) La composición de cualquier función con su función inversa equivale a la función
identidad. La función identidad hace corresponder a la variable independiente, la misma
variable independiente.
Esto es: 𝑓𝑜𝑓−1(𝑥) = 𝑥 y 𝑓−1𝑜𝑓(𝑥) = 𝑥.
Así por ejemplo para 𝑓(𝑥) = 𝑥3 y la función inversa 𝑓−1(𝑥) = √𝑥
3
al componer:
𝑓−1𝑜𝑓(𝑥) = 𝑓−1(𝑓(𝑥)) = 𝑓−1(𝑥3) = √𝑥3
3
= 𝑥
𝑓𝑜𝑓−1(𝑥) = 𝑓(𝑓−1(𝑥)) = 𝑓(√𝑥
3
) = (√𝑥
3
)3=x.
Procedimiento para hallar la función inversa de una función 𝒇: 𝑫 → 𝑩 , con 𝑫 ⊆ ℝ y B⊆ ℝ,
biyectiva
I) Método Analítico
Sea 𝑓 una función real de variable real que admite función inversa (esto es, 𝑓 es una función
biyectiva).
Si 𝑓 es definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) (esto es, en forma algebraica), para hallar la expresión analítica
de 𝑓−1 procedemos realizando los pasos ya vistos para hallar la relación inversa.
Ejemplo
Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, 𝐷 ⊆ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4.
a) Mostrar que f admite función inversa.
b) Hallar la función inversa de 𝑓.
Solución:
a) Tenemos en cuenta que:
𝑓 admite función inversa sii 𝑓 es función biyectiva
sii 𝑓 es función inyectiva y 𝑓 es función sobreyectiva
Mostremos que 𝑓 es función inyectiva:
“𝑓 es función inyectiva sii para todo 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷 se cumple: si 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) entonces
𝑥1 = 𝑥2.”
Sean 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐷 dos elementos cualesquiera tales que 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2).
Luego, como 𝑓(𝑥1) = 𝑥1
3 − 4 y 𝑓(𝑥2) = 𝑥2
3 − 4 se cumple:
𝑥1
3 − 4 = 𝑥2
3 − 4 → 𝑥1
3 = 𝑥2
3 → √𝑥13
3
= √𝑥23
3
→ 𝑥1 = 𝑥2.
Por lo tanto, 𝑓 es función inyectiva.
Mostremos que 𝑓 es sobre.
Se tiene en cuenta: “𝑓 es función sobreyectiva sii 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵”.
Como en nuestro caso 𝐵= ℝ “conjunto de llegada de 𝑓” se tiene:
“𝑓 es función sobreyectiva sii 𝐼𝑚(𝑓)= ℝ.”
Pasos para encontrar la expresión algebraica que define la función inversa de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Paso 1: Escriba 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Paso 2: Resuelva la ecuación para 𝑥 en términos de 𝑦 de ser posible).
Paso 3: Para expresar 𝑓−1 como una función de 𝑥, intercambie 𝑥 e 𝑦.
La ecuación resultante es y=𝑓−1(𝑥).
36
Se determina el conjunto 𝐼𝑚(𝑓):
1°) 𝑦 = 𝑥3 − 4
2°) Se escribe 𝑥 en términos de 𝑦:
𝑦 = 𝑥3 − 4 sii 𝑦 + 4=𝑥3 sii 𝑥 = √𝑦 + 4
3
3°) Se intercambia 𝑥 por 𝑦 en la última igualdad: 𝑦 = √𝑥 + 4
3
𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 4
3
→ 𝐷𝑜𝑚(𝑓−1)= ℝ → 𝐼𝑚(𝑓) = ℝ .
Por lo tanto, 𝑓 es sobre.
Como se demuestra que 𝑓 es inyectiva y sobreyectiva, se concluye que 𝑓 admite
función inversa.
b) La expresión de la función inversa es la misma que la de la relación inversa hallada en
a) paso 3°).
En consecuencia:
la función 𝑓−1: ℝ → 𝐷, D ⊆ ℝ tal que 𝑓−1(𝑥) = √𝑥 + 4
3
.
II) Método Gráfico
El principio de intercambiar 𝑥 por 𝑦 para hallar la función inversa proporciona un método para
obtener la gráfica de 𝑓−1 a partir de la gráfica de 𝑓. Puesto que 𝑓(𝑎) = 𝑏 si y solo si 𝑓−1(𝑏) = 𝑎,
el punto (𝑎, 𝑏) se encuentra en la gráfica de 𝑓 si y solo si el punto (𝑏, 𝑎) está sobre la gráfica de
𝑓−1. Se obtiene el punto (𝑏, 𝑎) desde el punto (𝑎, 𝑏) al reflejar este último respecto a la recta
𝑦 = 𝑥.
La gráfica de 𝑓 −1 se obtiene reflejando la gráfica de 𝑓 respecto a la recta 𝑦 = 𝑥.
La gráfica de 𝑓 y 𝑓 −1son simétricas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥.
37
Ejercicio:
I) Determinar, si existe la función inversa. En caso afirmativo hallarla.
a) 𝑓: 𝐷 → ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1.
b) ℎ: 𝐷 → ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que ℎ(𝑥) = 3𝑥2 − 1.
II) Hallar en cada caso: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) e 𝐼𝑚(𝑓).
y responder: ¿ 𝑓 es inyectiva?¿ 𝑓 es sobreyectiva?¿ 𝑓 es biyectiva?,¿existe la función 𝑓 −1?
a) (Función Constante) 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2.
b)(Función Identidad) 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥.
c) (Función Lineal) 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.
d) (Función Cuadrática) 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
38
e) 𝑓: 𝐷→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ y tal que 𝑓(𝑥) = {
𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 > 1
𝑥2 , 𝑠𝑖 𝑥 < 1
.
El dominio de esta función es 𝐷 = ℝ − {1}. En temas más adelante se verá la posibilidad de
ampliar el dominio de una función.
Ejercicio 1: Resolver las siguientes desigualdades y representar gráficamente el conjunto
solución.
a) 31x h) 3x21
b) 52x
c) 4 3
2
1
x2
d) -3 31x
e) - 522x
f) 3 61
2
1
x2
g) 5x21
j) 2
2
x21
k) 2
4
1
x
EJERCICIOS PROPUESTOS
39
Ejercicio 2: Representar, de ser posible, los siguientes intervalos mediante entornos:
(11,19); (−10,12); (0,15); (−∞, 6); [7, ∞); (−4,12) − {4}.
Ejercicio 3: Representar los siguientes conjuntos, expresados mediante entornos, utilizando
intervalos:
a) 𝐸 (3,
11
2
) 𝑏)𝐸(1,1) 𝑐)𝐸(3,4) ∪ {6} 𝑑)𝐸(−5,5) ∩ 𝐸(3,2)
Ejercicio 4: La relación entre las escalas Celsius y Fahrenheit de temperatura está dada por 𝐶 =
5
9
(𝐹 − 32), donde 𝐶 es la temperatura en grados Celsius y 𝐹 la temperatura en grados
Fahrenheit.
i. ¿Qué intervalo en la escala de Celsius corresponde a un rango de temperatura de 50 ≤
𝐹 ≤ 95?
ii. Hallar el intervalo en la escala Fahrenheit correspondiente al rango de temperatura de
20 ≤ 𝐶 ≤ 30.
Ejercicio 5: a) Dados 𝐴 = {−1,0,1}, 𝐵 = {−2,2} 𝑦 𝐶 = {0,1,2,3}
Representar por extensión a 𝐴 × 𝐵, 𝐵 × 𝐴, 𝐵 × 𝐶 y 𝐴 × 𝐴 = 𝐴2
b) Dados 𝐴 = {0,1,2,3} 𝑦 𝐵 = {0,1,2,3,4}. Escribir por extensión las relaciones de 𝐴 en 𝐵
que se indican a continuación:
a) 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵: 𝑥 + 𝑦 = 4}
b) 𝑅2 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵: 𝑦 = 2}
c) 𝑥𝑅3𝑦 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑦 = 2𝑥 𝑜 𝑦 = 5 − 𝑥}
d) (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅4 𝑠𝑖 𝑦 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑦
Indicar dominio e imagen de las relaciones anteriores.
Ejercicio 6: Determinar cuáles de las siguientes relaciones son funciones. Para las que no lo sean,
precisar la propiedad de la definición de función que no se verifica.
a)𝑅 𝐴𝑥𝐵 b) 𝑅 {𝑥, 𝑦, 𝑧}𝑥{𝑎, 𝑏, 𝑐}
x
y
z
a
c
b
R
A B
2
6
4
1
2
7
40
Ejercicio 7: La figura siguiente representa una función 𝑦 = 𝑓(𝑥)
A partir de la gráfica anterior:
a) Determinar el dominio y la imagen
b) ¿Qué número le corresponde a −2?
c) ¿Cuánto vale 𝑓(2)?
d) ¿De cuántos números es imagen el 3?
e) Es la función del gráfico inyectiva? Justificar
f) ¿A cuántos números le asigna 𝑓 el valor 1?
g) ¿Cuánto vale 𝑓(6) ?
Ejercicio 8:
I) Indicar si las siguientes relaciones son funciones reales de variable real. Justificar
a) Temperatura de un objeto en cada instante.
b) Relación de cada número real y con su triple.
c) Temperaturas máximas y mínimas de los pacientes de un hospital.
II)Identificar en los siguientes ejemplos la variable independiente y la dependiente.
a) Consumo de nafta y velocidad de un automóvil.
b) Área de un cuadrado y longitud de sus lados.
c) Número de páginas de un libro y su grosor.
III) La siguiente gráfica, ¿corresponde a una función? Justificar.
IV) Determinar el dominio de las siguientes funciones reales de variable real. Analizar si las
siguientes funciones admiten función inversa, en caso afirmativo, determinarla y graficar
ambas funciones en un mismo sistema de coordenadas cartesianas.
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2
41
c) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
𝑑)𝑔 (𝑥) = √2𝑥 + 3
e) ℎ(𝑥) =
𝑥
𝑥−2
f) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − ln(2)
Ejercicio 9: Consideremos las siguientes funciones reales de variables reales:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 , 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)−1, ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 2), 𝐹(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 + 3) , G(x)= √𝑥 + 2
i) Calcular las siguientes imágenes: 𝑓(−1), 𝑔(3), ℎ(2), 𝐹(−2) y 𝐺(7).
ii) Determinar el dominio para cada una de ellas.
iii) Hallar las expresiones de (𝑓 + 𝑔)(𝑥), (ℎ − 𝐺)(𝑥), 3𝐹(𝑥), (𝑔. 𝐺)(𝑥) y
𝑓
𝐺
(𝑥).
Determinando el dominio de las funciones en cada caso.
Ejercicio 10: Para cada una de las siguientes funciones reales de variable real, analizar si es
posible realizar la composición 𝑓°𝑔 o 𝑔°𝑓 exhibiendo primeramente la condición que debe
cumplir. En caso afirmativo, hallar la composición.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 𝑔(𝑥) = 𝑥2
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥) 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4
c) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)
A partir de la lectura de la Unidad 1, responder si son Verdaderas (V) a Falsas (F) las siguientes
afirmaciones.
1. Los números reales se pueden representar gráficamente mediante una recta numérica.
2. El conjunto de los Números Reales es denso.
3. Siempre entre dos números reales hay otro número real.
4. La propiedad que asegura que: entre dos números reales siempre hay otro número real se
llama Densidad.
5. Si 𝑥 < 𝑦 entonces −3𝑥 < −3𝑦.
6. Si 0 < 𝑥 < 𝑦 entonces
1
𝑥
<
1
𝑦
.
7. El elemento neutro de la suma de números reales es el número 1.
8. Dados dos números reales cualesquiera 𝑥 e 𝑦, la distancia entre 𝑥 e 𝑦, se simboliza 𝑑(𝑥, 𝑦) y
se define 𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑦 − 𝑥|.
9. La distancia entre dos números naturales 𝑥 e 𝑦, que se simboliza 𝑑(𝑥, 𝑦) cumple con las
siguientes propiedades: 𝑑(𝑥, 𝑦) ≥ 0 ; 𝑑(𝑥, 𝑦) = 0 𝑠𝑖𝑖 𝑥 = 𝑦 ; 𝑑(𝑥, 𝑦) = 𝑑(𝑦, 𝑥) y 𝑑(𝑥, 𝑦) ≤
𝑑(𝑥, 𝑧) + 𝑑(𝑧, 𝑦).
10. El intervalo (2,4) es un entorno de centro 3 y radio 1.
11. El entorno de centro 4 y radio 2 es el intervalo [2,4] .
12. Si 𝑥 ∈ 𝐸𝑅(−1,5) entonces |x+1|<5.
13. Si la distancia entre los números x y −2 es menor a 0.5, entonces |𝑥 + 2| < 0.5.
14. El intervalo (−5, +∞) es acotado inferiormente, tiene como ínfimo al número −5, pero no
tiene supremo.
15. El par ordenado (2,3) = (3,2).
16. Producto cartesiano 𝐴𝑥𝐵 es una relación entre el conjunto 𝐴 y el conjunto 𝐵.
17. Toda relación admite relación inversa.
18. Toda función de 𝐴 en 𝐵, es una relación de 𝐴 en 𝐵.
PREGUNTAS PARA COMPRENSIÓN LECTORA
42
19. Toda Relación de 𝐴 en 𝐵 es una función de 𝐴 en 𝐵.
20. El Dominio de una función de 𝐴 en 𝐵 es el conjunto 𝐴.
21. La imagen de una función 𝑓 de 𝐴 en 𝐵 siempre es el conjunto 𝐵.
22. Dos funciones son iguales cuando tienen iguales dominios.
22. f: ℚ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 es función real de variable real.
23. f: ℚ → ℚ tal que 𝑓(𝑥) = 2𝑥 es función real de variable real.
24. El campo de existencia de una función es el dominio de dicha función.
25. Las funciones reales de variable real se pueden representar mediante un sistema de ejes
cartesianos.
26. Siempre existe la composición entre dos funciones, y el resultado es una función.
27. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) entonces existe la función compuesta 𝑔𝑜𝑓.
28. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ⊆ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) entonces existe la función compuesta 𝑓𝑜𝑔.
29. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ∅ entonces existe la función compuesta
𝑔𝑜𝑓.
30. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅ y 𝐼𝑚(𝑓) ⊈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) entonces existe
la función compuesta 𝑔𝑜𝑓, en un dominio restringido de 𝑓.
31. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que 𝐼𝑚(𝑓) ∩ 𝐷𝑜𝑚(𝑔) ≠ ∅ entonces existe la función compuesta
𝑔𝑜𝑓, cuyo dominio puede ser el de 𝑓 o un subconjunto de 𝑓.
32. Las funciones inyectivas y sobreyectivas se dicen biyectivas.
33. Si 𝑓 es una función de 𝐴 en 𝐵 y 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵 entonces 𝑓 es sobreyectiva.
34. 𝐹 es inyectiva si a elementos distintos del dominio de 𝑓 le corresponden imágenes distintas,
por medio de 𝑓.
35. Toda función de 𝐴 en 𝐵 admite función inversa.
36. Toda función biyectiva admite inversa.
37. La función inversa es igual a la inversa de la función.
38. 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ.
39. 𝑙𝑛(𝑒𝑥) = 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ℝ.
40. La gráfica de una función y su inversa son simétricas respecto a la recta 𝑦 = 𝑥.
1. Defina el conjunto de los números reales. Indique como se representan gráficamente. Enuncie
la propiedad de Densidad de números.
2. Dar la definición axiomática de los números reales. Axiomas y propiedades de orden.
3. Defina la operación Valor absoluto. Enunciar sus Propiedades.
4. Defina Distancia entre dos números reales. Dar sus propiedades.
5. Enunciar el lema que caracterizan intervalos mediante el valor absoluto. Dar interpretaciones
geométricas.
6. Dar las definiciones de: Intervalo de centro c y radio h, entorno y entorno reducido.
7. Enunciar y demostrar la propiedad que caracteriza a los entornos mediante valor absoluto.
8. Dar las definiciones de: Cotas de un conjunto. Ínfimo y supremo. Enunciar el Axioma de
completitud (del supremo).
9: Dar la noción de par ordenado. Definir: producto cartesiano y relación binaria.
10: Definir relación inversa. Dar ejemplos.
11. Defina formalmente función, dominio e imagen. Dar ejemplos.
PREGUNTAS DE EXAMEN ESTANDARIZADO
Lista de preguntas para Examen Estandarizado.
43
12. Dar las formas de representación de funciones.
13. Defina igualdad de funciones.
14. Defina Función real de variable real. Dar ejemplos.
15. Porque son importantes las funciones? ¿y las funciones reales de variable real?
16. Defina Campo de existencia de una función real de variable real.
17. Defina suma, resta, multiplicación y división de funciones reales de variable real.
18. Defina composición de funciones. Enunciar las condiciones de existencia. Dar ejemplos.
19. Definir: función inyectiva, función sobreyectiva y función biyectiva. Dar ejemplos.
20. Definir función inversa. Enunciar la condición de existencia de la función inversa.
21. Explicar el método analítico y gráfico para hallar la función inversa.
En Matemática, resultados importantes son llamados Teoremas. En muchos casos se les dan
nombres. Por ejemplo, el Teorema de Pitágoras. En contraste con los axiomas o definiciones,
que se admiten, los teoremas requieren demostrarse.
Muchos Teoremas pueden establecerse en la forma “Si 𝑃 entonces 𝑄” o bien pueden
renunciarse en esta forma. Con frecuencia abreviamos el enunciado “ 𝑃 entonces 𝑄” por medio
de 𝑃 ⇒ 𝑄, que también se lee “𝑃 implica 𝑄”. Llamamos a 𝑃 la hipótesis y a 𝑄 la conclusión del
teorema. Una prueba consiste en demostrar que 𝑄 debe ser verdadera siempre que 𝑃 sea
verdadera.
Estudiantes recién ingresados (y algunos ya avanzados) pueden confundir 𝑃 ⇒ 𝑄 con su
reciproco 𝑄 ⇒ 𝑃. Estas dos proposiciones no son equivalentes. “Si Juan es de Mendoza entonces
Juan es argentino” es una proposición verdadera, pero su recíproco “Si Juan es argentino
entonces es de Mendoza” podría ser no verdadera.
La negación de la proposición 𝑃 se escribe ¬𝑃. Por ejemplo si 𝑃 es la proposición “Está
lloviendo”, entonces ¬𝑃 es al proposición “No esta lloviendo”. La proposición ¬𝑄 ⇒ ¬𝑃 se
denomina contra recíproco de la proposición 𝑃 ⇒ 𝑄, y es equivalente a 𝑃 ⇒ 𝑄. Por equivalente
queremos decir que 𝑃 ⇒ 𝑄 y ¬𝑄 ⇒ ¬𝑃 son ambas verdaderas ó ambas falsas. Para nuestro
ejemplo
sobre Juan, el contrarecíproco de ““Si Juan es de Mendoza entonces Juan es argentino”
es “Si Juan no es argentino entonces Juan no es Mendocino”.
Como consecuencia de que una proposición y su contrarecíproco sean equivalentes, podemos
demostrar un teorema de la forma “Si 𝑃 entonces 𝑄” demostrando su contrarecíproco “ Si ¬𝑄
entonces ¬𝑃. Así para demostrar 𝑃 ⇒ 𝑄 , podemos partir asumiendo válido ¬𝑄 e intentar
deducir ¬𝑃.
La ley del tercero excluido dice: Sucede 𝑃 o ¬𝑃, pero no ambos. Cualquier demostración que
inicia suponiendo que la conclusión de un teorema es falsa y procede para demostrar que esta
suposición conduce a una contradicción se denomina demostración por contradicción.
ANEXO 1: UN POCO DE LÓGICA
Lista de preguntas para Examen Estandarizado.
44
En ocasiones, resulta necesario otro tipo de demostración denominado inducción matemática,
que no trataremos.
Algunas veces las proposiciones 𝑃 ⇒ 𝑄 (si 𝑃 entonces 𝑄) y 𝑄 ⇒ 𝑃 (si 𝑄 entonces 𝑃) son
verdaderas. En este caso escribimos 𝑃 ⇔ 𝑄, que se lee “𝑃 si y sólo si 𝑄”
Una implicación es una afirmación de la forma 𝑃 → 𝑄 que nos dice que: si se cumple la
condición 𝑃, entonces resulta inevitable tener como resultado 𝑄. Por ejemplo, la afirmación
lógica “Si María es Mendocina entonces María es Argentina” es verdadera. Podemos considerar
𝑃: “María es Mendocina” y 𝑄:” María es Argentina”. Si necesitas saber si María es Argentina,
basta con saber que es Mendocina. Esto quiere decir que para saber si esta persona es
Argentina, es suficiente saber que es Mendocina. Por eso decimos que la proposición 𝑃 es
condición suficiente en la implicancia 𝑃 → 𝑄.
¿Qué sucede si la persona te responde que no es Mendocina? ¿Podemos afirmar que no es
Argentina? Por supuesto que no. Porque podría ser Sanjuanina ó Puntana ó Cordobesa, etc., y
ser Argentina. (Este es un error común que cometen muchas personas ajenas a la lógica, es la
de considerar que al afirmar 𝑃 → 𝑄 esto equivale a ~P→~Q , cuidado!! con este error).
En nuestro ejemplo “no ser Mendocina” no implica “no ser Argentina”, ya que ser Sanjuanina
implica ser Argentina, por ejemplo.
Lo que sí sabemos es que, si la persona “no es Argentina”, entonces “no es Mendocina”. Esto es
lo que entendemos como contrarecíproca.
𝑃: “María es Mendocina”
𝑄: “María es Argentina”
𝑃 → 𝑄 equivale a ~Q→~P
Debido a estoy decimos que: 𝑄 es condición necesaria en la afirmación 𝑃 → 𝑄.
Si sabemos que alguien “es Argentina”, no podemos asegurar que sea Mendocina (no es
información suficiente) pero es una condición básica, una condición necesaria para serlo, que
si no se cumple, no se puede tener que la persona sea Mendocina.
ANEXO 2: CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE
Lista de preguntas para Examen Estandarizado.
Unidad 2
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Unidad II: Funciones Especiales
El Cálculo o Análisis Matemático se basa en el estudio de funciones reales de variable real. Este
concepto es, probablemente, el concepto más importante de la Matemática en la que se basa las
ciencias aplicadas tales como: la Física, Ingeniería, Geofísica y Astronomía, etc.
Estas surgen comúnmente cuando una cantidad o elemento del conjunto de números reales
depende (o está en función) de otra cantidad perteneciente al conjunto de los números reales.
Así, por ejemplo:
El área A de un circulo depende del radio r del mismo. La regla que relaciona r con A se
expresa mediante la ecuación A=𝜋.r2. Con cada número positivo r existe asociado un
valor A, por lo que, A es función de r.
La aceleración vertical a del suelo, según la mide un sismógrafo durante un terremoto, es
función del tiempo transcurrido t. En la Figura 1 se muestra una gráfica generada por la
actividad sísmica durante el terremoto de Northridge que sacudió Los Ángeles en 1994.
Para un valor dado de t, la gráfica proporciona un valor correspondiente de a.
Figura 1: Imagen extraída del libro “Calculo de una variable (6ta edición)” de James Stewart (pag. 11).
Para dar inicio a los temas que se abordan en esta nueva unidad, se los
invita a ver un video (identificado con el mensaje información de
rtve.es), de aproximadamente 19 minutos, sobre la historia del Cálculo,
Newton, Leibnitz y las Ciencias.
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-
20100927-1910/888083/
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-20100927-1910/888083/
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-20100927-1910/888083/
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-20100927-1910/888083/
http://www.rtve.es/alacarta/videos/universo-matematico/universo-matematico-20100927-1910/888083/
Unidad 2
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Figura 2: Gráfico de muelle
En este capítulo nos centramos en la presentación y caracterización de funciones reales de
variable real básicas. A partir de las mismas, mediante transformaciones, se definirán y
caracterizarán nuevas funciones reales de variable real. Estas funciones son de utilidad para el
planteo e interpretación de modelos físicos matemáticos, de interés tanto para Ciencias Físicas,
ciencias de la Tierra, Ciencias del Espacio e Ingeniería, entre otras.
1 Funciones Básicas
A continuación, se presentan las expresiones algebraicas y las gráficas de 12 funciones básicas
de gran aplicación en la resolución de problemas de la vida cotidiana.
Función identidad: 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥.
Es la única función que a cada número real le hace corresponder el mismo número real.
Figura 3: Función Identidad
La magnitud de la fuerza F necesaria para
estirar un muelle de acero una longitud x, a
partir de su longitud normal, es proporcional
a x. Es decir, F=k.x, donde k es una constante
independiente de x, llamada constante del
muelle. Esta fórmula descubierta por Robert
Hooke a mediados del siglo XVII se denomina
la ley de Hooke y se dice que expresa la fuerza
en función del alargamiento.
Unidad 2
Página 47
Función cuadrática: 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
La gráfica de esta función, denominada parábola, tiene la propiedad de reflexión que es útil en la
fabricación de faros y discos de satélites.
Figura 4: Función cuadrática
Función cúbica: 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥3.
El origen de coordenadas es un punto de la gráfica que se llama punto de inflexión, ya que,
en ese punto, la gráfica cambia de curvatura.
Figura 5: Función Cúbica
Unidad 2
Página 48
Función recíproca: 𝑓: ℝ − {0} → ℝ tal que 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
Esta curva, denominada hipérbola, también tiene una propiedad de reflexión que es útil en
discos de satélites. Tiene, entre sus características que su gráfica nunca intersecta al eje x, ni
tampoco al eje y.
Figura 6: Función Recíproca
Función raíz cuadrada: 𝑓: [0, +∞) → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = √𝑥.
La imagen de esta función es el conjunto [0, +∞).
Figura 7: Función Raíz Cuadrada
Función exponencial: 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 .
El número 𝑒 es un número irracional ( igual que el número 𝜋) que aparece en una gran
variedad de aplicaciones. El uso de los símbolos 𝑒 y 𝜋 fue popularizado por el gran Matemático
Leonhard Euler (1707-1783).
Unidad 2
Página 49
Figura 8: Función Exponencial
La gráfica de la función exponencial nunca intersecta al eje x negativo.
Función logaritmo natural: 𝑓: (0, +∞) → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = ln (𝑥).
Esta función crece muy lentamente. Corta al eje x en el punto (1,0) y su grafica nunca intersecta
al eje y negativo. Muy utilizada para planteos de modelos matemáticos donde los valores que se
modelan difieren
en gran medida.
Figura 9: Función Logaritmo Natural
Función seno: 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).
El nombre de esta función tiene su origen del término latín “sinus” que significa “hueco, cavidad,
bahía”. La imagen de la función seno es el intervalo [-1,1]. Muy utilizada para modelar fenómenos
que se repiten cada cierto período de tiempo.
Unidad 2
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Figura 10: Función Seno
Función coseno: 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).
Los valores máximos y mínimos de la función coseno aparecen exactamente cuando la gráfica de
la función seno intersecta al eje x (valores soluciones de la ecuación sen(x)=0).
Figura 11: Función Coseno
Función valor absoluto: 𝑓: ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥|.
Esta función tiene un cambio abrupto de dirección (una “esquina”) en el origen.
Figura 12: Función Valor Absoluto
Unidad 2
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2 Caracterización de funciones
2.1 Simetría
Figura 13: Función par Figura 14: Función impar
Observación:
El gráfico de una función par es simétrico respecto al eje y.
El gráfico de una función impar es simétrico respecto al origen de coordenadas.
Ejemplo: Determine algebraicamente si cada una de las siguientes funciones es par, impar o
ninguna de las dos.
a) 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓 + 𝒙 b) 𝒈(𝒙) = 𝟏 − 𝒙𝟒 c) 𝒉(𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐
Resolución:
a) Sea x un elemento cualquiera del dominio de f.
𝑓(−𝑥) = (−𝑥)5 + (−𝑥) = −𝑥5 − 𝑥 = −(𝑥5 + 𝑥) = −𝑓(𝑥).
Por lo tanto, f es función impar.
b) Sea x un elemento cualquiera del dominio de g.
𝑔(−𝑥) = 1 − (−𝑥)4 = 1 − 𝑥4 = 𝑔(𝑥).
Por lo tanto, g es función par.
c) Sea x un elemento cualquiera del dominio de h.
ℎ(−𝑥) = 2(−𝑥) − (−𝑥)2 = −2𝑥 − 𝑥2.
Como ℎ(−𝑥) ≠ ℎ(𝑥) y ℎ(−𝑥) ≠ −ℎ(𝑥). Concluimos que la función h no es par ni impar.
Definición: Sea una función f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ, f es función par si para todo x∈D se
cumple f(-x)=f(x).
Definición: Sea una función f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ , f es función impar si y sólo si para
todo x∈D se cumple f(-x)=-f(x).
Unidad 2
Página 52
Realizando las gráficas respectivas de dichas funciones (ver Figuras 15, 16 y 17) podemos
observar que:
- f es simétrica respecto al origen de coordenadas;
- g es simétrica respecto al eje y;
- y h no es simétrica respecto al eje y, ni tampoco respecto al origen.
Figura 15 Figura 16 Figura 17
El siguiente código QR permite ver un video donde explica el análisis
del Ejemplo anterior.
Ejercicios:
I) Clasificar las siguientes funciones en par o impar.
a) f: ℝ → ℝ tal que f(x)=x2.
b) g: ℝ → ℝ tal que g(x)=sen(x).
c) h: ℝ → ℝ tal que h(x)=𝑥3 − 3𝑥.
II) a) Si el punto (2,4) está sobre la gráfica de una función par ¿cuál otro punto también debe
estar sobre la gráfica?
b) Si el punto (2,4) está sobre la gráfica de una función impar ¿cuál otro punto también debe
estar sobre la gráfica?
III) Mostrar que toda función se puede descomponer como suma de una función par y otra
función impar.
IV) Una función real de variable real tiene dominio en el intervalo [-3-3] y parte de su gráfica es
la que se muestra a continuación (ver Figura 18).
Unidad 2
Página 53
Figura 18
a) Complete la gráfica, si se sabe que la función es par.
b) Complete la gráfica de la función, si se sabe que ésta es función impar.
2.2 Monotonía
Ejemplo: Para evaluar la temperatura en cada tiempo t (en horas) de una cámara en donde se
guardaron alimentos se realizaron registros de la temperatura (en ºC) de la misma en forma
continua desde las seis de la tarde de un día y durante las primeras 6 horas del día siguiente.
Para resolver esta situación se puede considerar el gráfico siguiente, dado en la Figura 19, de la
función f(t) = temperatura (ºC) en cada instante t (en horas) registrada en la cámara
conservadora.
Figura 19: Representación de la temperatura en cada instante
Para los registros de temperatura observamos cuatro situaciones bien diferentes en la evolución
de la temperatura a medida que transcurre el tiempo:
• hasta la medianoche, es decir - 6 < t < 0, la temperatura fue disminuyendo. ¿Cuál fue la mínima
temperatura alcanzada?;
• entre la medianoche y la hora 1, es decir 0 < t < 1, la temperatura comenzó a aumentar, hasta
llegar a los 1ºC;
• a partir de la hora 1 y hasta la hora 4 se registró una temperatura constante. ¿De cuántos ºC
fue esta temperatura constante?
• luego, hasta finalizar, es decir 4 < t < 6, la temperatura siguió aumentando. ¿Cuál fue la máxima
temperatura alcanzada en ese periodo?
Unidad 2
Página 54
Las anteriores observaciones se traducen en lenguaje matemático de la siguiente forma:
• para 𝑡 ∈ (− 6, 0) la función es decreciente,
• para 𝑡 ∈ (0, 1) la función es creciente,
• para t ∈ (1, 4) la función es constante,
• para t ∈ (4, 6) la función es creciente.
y y
f f
x x
f es función monótona creciente f es función monótona decreciente
En forma más precisa, para todo x1 x2 del dominio de la función se tiene:
y y
f(𝑥1)
f(𝑥2) f f(𝑥2) f
f(𝑥1)
𝑥1 𝑥2 x 𝑥1 𝑥2 x
“si x1<x2 entonces f(x1)≤f(x2)” “si x1<x2 entonces f(x1)≥f(x2)”
f es monótona creciente f es monótona decreciente
Sea una función f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ , 𝐵 ⊆ ℝ e I un intervalo contenido en D (D=Dom(f)).
Definición: f se dice monótona creciente en el intervalo 𝐼 ⊆ 𝐷, si para todo x1,x2∈I, con
x1<x2, se cumple f(x1)≤f(x2) (o sea, f(x2)- f(x1)≥ 0)
Definición: f es monótona estrictamente creciente en 𝐼 ⊆ 𝐷, si para todo x1,x2∈I, con x1<x2,
se cumple que f(x1)<f(x2) (f(x2)- f(x1)>0).
Definición: f se dice monótona decreciente en 𝐼 ⊆ 𝐷, si para todo par x1,x2∈I, con x1<x2, se
cumple f(x1)≥f(x2) (o lo que es equivalente, f(x2)- f(x1)≤ 0).
Definición: f se dice constante en el intervalo 𝐼 ⊆ 𝐷, si para todo x∈I se cumple f(x)=c ,
donde c es un número real fijo.
Unidad 2
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Ejemplos:
Figura 20:Función monótona estrictamente decreciente, y por lo tanto monótona en D= ℝ.
Función no monótona en D= ℝ-{0}. Función monótona decreciente, y por lo tanto
monótona en D= ℝ
Ejemplo: A partir de la Figura 21
es posible observar que la función f(x)=x2 es monótona
estrictamente decreciente en el intervalo (−∞, 0] y estrictamente creciente sobre el intervalo
[0, ∞). Sin embargo, no es monótona.
Figura 21
Definición: f se dice monótona, si es monótona creciente ó monótona estrictamente
creciente ó monótona decreciente ó monótona estrictamente decreciente en D=Dom(f).
Definición: f es monótona estrictamente decreciente en 𝐼 ⊆ 𝐷, si para todo x1,x2∈I, con
x1<x2, se cumple que f(x1)>f(x2) ( es decir, f(x2)- f(x1)< 0).
Unidad 2
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Ejemplos: Son siempre crecientes las funciones que describen situaciones como:
• la altura de una planta a medida que transcurren los días posteriores a la siembra;
• el perímetro de una circunferencia como función de la medida de su radio.
Son siempre decrecientes las funciones que describen situaciones como:
• la intensidad de un haz de luz que incide verticalmente en la superficie del mar a medida que
aumenta la profundidad marina;
• el esfuerzo que debe realizarse para levantar un peso mediante el uso de una palanca cada vez
que se amplía un brazo de la misma.
Otro Ejemplo: Una función decreciente que es útil para determinar antigüedad de los fósiles es
la que se obtiene a partir del estudio del carbono-14 (14C), que es un radiosótopo del carbono y
fue descubierto por Kamen y Ruben. Debido a su presencia en todos los materiales orgánicos, el
carbono-14 se emplea para conocer el momento de la muerte del organismo. La masa de 14C de
cualquier fósil disminuye según un ritmo conocido: se comprobó que a los 5.730 años de la
muerte de un ser vivo la cantidad de 14C en sus restos fósiles se ha reducido a la mitad. Entonces,
si se obtiene la diferencia entre la proporción de 14C que debería contener un fósil, si aún
estuviese vivo y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte.
2.3 Funciones acotadas
Sea una función f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ.
Ejemplos: La función recíproca, 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
es una función no acotada(ver Figura 22), pues no
existen valores c y k reales tales que cumplan: 𝑐 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑘, para todo x del dominio de f.
Figura 22: Función no acotada.
Definición: Se dice que f es acotada superiormente, si existe k∈ ℝ tal que para todo x∈ D se
tiene que f(x)≤k.
Definición: Se dice que f es acotada inferiormente, si existe c∈ ℝ tal que para todo x∈ D se
tiene que c≤f(x).
Definición: Una función f se dice acotada, si es acotada superior e inferiormente.
Unidad 2
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La función g(x)= sen(x) es acotada, pues existen los número reales -1 y 1 tales que para todo x
del dominio de g se cumple: −1 ≤ 𝑔(𝑥) ≤ 1.
Figura 23: Función acotada.
Ejercicio: Mostrar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) es acotada.
2.4 Funciones Periódicas
Figura 24: Función periódica.
Ejemplo: La función f: ℝ → ℝ tal que f(x)= cos(x) es periódica con período T=2𝜋.
2.5 Funciones definidas positivas
Definición: Una función f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ se dice periódica con período T, si verifica
f(x)=f(x+T) para todo x ∈ 𝐷.
Definición: Una función f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ se dice positiva, si verifica: f(x)>0 para
todo x∈ 𝐷.
Definición: Una función f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ se dice no negativa, si verifica: f(x)≥0
para todo x∈ 𝐷.
Unidad 2
Página 58
3 Transformación de funciones
Las siguientes funciones reales de variable real son todas distintas:
𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 1)2 ; ℎ(𝑥) = 1 − 𝑥2 y 𝐹(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3.
Sin embargo, si miramos sus gráficas, en Figura 25, podemos observar que, aunque no son
exactamente iguales, las cuatro funciones tienen la misma forma.
Figura 25
La comprensión de cómo el álgebra cambia formas, tamaños, posiciones y orientaciones de las
gráficas es útil para entender la conexión entre los modelos algebraicos y gráficos de funciones.
Esto le dará habilidad para trazar a mano las gráficas de muchas funciones.
En esta sección relacionaremos las gráficas de funciones mediante transformaciones. Mediante
transformaciones de funciones se obtienen nuevas funciones. Las transformaciones rígidas
dejan sin cambio la forma y el tamaño de una gráfica; ellas incluyen traslaciones horizontales,
traslaciones verticales, reflexiones o cualquier combinación de éstas. Las transformaciones no
rígidas, que por lo general distorsionan la forma de una gráfica, incluyen compresiones y
alargamientos horizontal y vertical.
3.1 Traslaciones vertical y horizontal
Una traslación vertical de la gráfica de una función y=f(x) es aquella que se obtiene corriendo la
gráfica de la función “hacia arriba” o “hacia abajo”, según la dirección del eje y, del plano
coordenado. Una traslación horizontal es aquella gráfica que se obtiene desplazando la gráfica
de la función “hacia la izquierda” o “hacia la derecha”, según la dirección del eje x, del plano
coordenado. La realización de la siguiente actividad exploratoria le dará una buena idea de lo
que son las traslaciones y como se obtienen algebraicamente.
Unidad 2
Página 59
En general, si 𝑐 es un número real positivo, por lo tanto la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐 es
precisamente la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada hacia arriba (traslación vertical) una distancia
de 𝑐 unidades ( ya que a cada coordenada 𝑦 se incrementa el mismo valor 𝑐). Del mismo modo,
si 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑐), donde 𝑐 > 0, por lo tanto el valor 𝑔(𝑥) es el mismo que el valor 𝑓(𝑥 − 𝑐)
(𝑐 unidades a la izquierda de 𝑥). En consecuencia, la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐) es precisamente la
de 𝑦 = 𝑓(𝑥) desplazada 𝑐 unidades a la derecha (traslación horizontal) (ver Figura 26).
Actividad Exploratoria 1: Introducción a las traslaciones
Utilice un software científico y configure una ventana de visualización [-5,5] por [-5, 15] y
secuencialmente (no simultáneamente) realice las siguientes actividades.
I) Grafique las funciones:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
b) 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 2=𝑥2 + 2
c) ℎ(𝑥)=f(x)+1=𝑥2 + 1
d) 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 3=𝑥2 − 3
e) 𝐻(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 1=𝑥2 − 1
en la misma ventana gráfica. ¿Qué efecto parece provocar +2,+1,-3 y -1 en la gráfica de f?
II) Grafique las funciones:
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
2) 𝑡(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 3)= (𝑥 + 3)2
3) 𝑢(𝑥) = 𝑓(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)2
4) 𝑤(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 4) = (𝑥 − 4)2
5) 𝑠(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 2)= (𝑥 − 2)2
en la misma ventana gráfica ¿Qué efecto parece provocar +3, +1,-4 y -2 en la gráfica de f?
III) Repita los pasos I) y II) para 𝑓(𝑥) = 𝑥3; 𝑓(𝑥) = |𝑥|; y 𝑓(𝑥) = √𝑥. ¿Sus observaciones coinciden con
las realizadas en los pasos I) y II)?
Traslaciones : Suponga 𝑐 un número real positivo e 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función real de variable
real cuya gráfica es conocida.
Traslaciones Verticales
Para obtener la gráfica de:
𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑐, se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) una distancia de 𝑐 unidades hacia
arriba.
𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑐, se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) una distancia de 𝑐 unidades hacia
abajo.
Traslaciones Horizontales
Para obtener la gráfica de:
𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑐), se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) una distancia de 𝑐 unidades hacia la
derecha.
𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐), se desplaza la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) una distancia de 𝑐 unidades hacia la
izquierda.
El siguiente código QR muestro un video sobre traslación horizontal y
vertical.
Unidad 2
Página 60
Figura 26: Traslaciones horizontales y verticales de 𝑦 = 𝑓(𝑥), para c>0.
Ejemplo: Traslaciones
Describa como puede obtenerse cada una de las siguientes gráficas, a partir de la gráfica de y=|x|.
a) y=|x|-3 b) y=|x|+2 c) y=|x-5| d) y=|x+1|
Resolución:
a) La ecuación está en la forma y=f(x)-3, por lo que su gráfica se obtiene mediante traslación
de 3 unidades hacia abajo.
b) La ecuación está en la forma y=f(x)+2, por lo que su gráfica
se obtiene mediante
traslación de 2 unidades hacia arriba.
c) La ecuación está en la forma y=f(x-5), por lo que su gráfica se obtiene mediante traslación
de 5 unidades la derecha.
d) La ecuación está en la forma y=f(x+1), por lo que su gráfica se obtiene mediante
traslación de 1 unidad hacia la izquierda.
Unidad 2
Página 61
Figura 27: Traslaciones de y=|x|
Ejemplo: Determinación de ecuaciones de gráficas, mediante traslaciones
Las vistas A), B) y C), de la Figura 28 muestra la gráfica de 𝑦 = 𝑥3 y traslaciones de la misma.
Determinar en cada caso la ecuación de la gráfica trasladada.
A) B) C)
Figura 28: Traslaciones de 𝑦 = 𝑥3
Resolución: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥3.
A) 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 4 = 𝑥3 − 4 (una traslación de 4 unidades hacia abajo).
B) 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 4) = (𝑥 + 4)3 (una traslación de 4 unidades a la izquierda).
C) 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 2) = (𝑥 − 2)3 (una traslación de 2 unidades a la derecha).
Unidad 2
Página 62
3.2 Reflexiones con respecto a los ejes
Los puntos (𝑥, 𝑦) y (𝑥, −𝑦) son reflexiones mutuas con respecto al 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Los puntos (𝑥, 𝑦) y
(−𝑥, 𝑦) son reflexiones uno del otro con respecto al eje y, como se observa en la siguiente gráfica
(ver Figura 29). Dos puntos (o dos gráficas) que son simétricas, con respecto a una recta, son
reflexiones uno del otro con respecto a la recta.
Figura 29: El punto (x,y) y sus reflexiones respecto al eje x y al eje y.
El siguiente código QR le permite ver un video sobre reflexiones.
Ejemplo: Determinaciones de ecuaciones de gráficas, para reflexiones
Determine una ecuación para la reflexión de 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥3+1
con respecto a cada eje.
Resolución:
Reflexión respecto al eje x: 𝑦 = −𝑓(𝑥) = −
𝑥2−1
𝑥3+1
=
1−𝑥2
𝑥3+1
.
Reflexión respecto al eje y: 𝑦 = 𝑓(−𝑥) =
(−𝑥)2−1
(−𝑥)3+1
=
𝑥2−1
−𝑥3+1
.
Comprobemos gráficamente las reflexiones obtenidas utilizando un software científico (ver
Figura 30).
Reflexiones:
Las transformaciones siguientes resultan en reflexiones de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Con respecto al eje x: 𝑦 = −𝑓(𝑥).
Con respecto al eje y: 𝑦 = 𝑓(−𝑥).
Unidad 2
Página 63
a) b)
Figura 30: Reflexiones de 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥3+1
a) respecto al eje x , b) respecto al eje y.
Ejercicio: Reflexión de funciones pares
Mostrar que la gráfica de cualquier función par permanece sin cambio cuando se refleja respecto
al eje y.
3.3 Gráficas de funciones compuestas con valor absoluto
Dada la gráfica de y=f(x), la gráfica de y=|f(x)| puede obtenerse reflejando la parte de la gráfica
debajo del eje x, con respecto a ese mismo eje, dejando la parte sobre el eje x y por encima del
eje x sin cambio; la gráfica de y=f(|x|) puede obtenerse reemplazando la parte de la gráfica al
lado izquierdo del eje y por la reflexión de la parte a la derecha del eje y con respecto al eje y,
dejando la parte derecha del eje y sin cambio.
La composición de funciones con valor absoluto puede obtenerse de forma gráfica mediante la
reflexión de partes de las gráficas, como se verá en la exploración siguiente.
Actividad Exploratoria 2: Composición de funciones con valor absoluto
La gráfica de y=f(x) se muestra a la derecha. Relacione
cada una de las gráficas de abajo con una de las ecuaciones siguientes
y utilice el lenguaje de reflexión de funciones para justificar la relación.
1. y = |f(x)|
2. y = −|f(x)|
3. y = |f(|x|)|
4. y = f(|x|)
A) B) C) D)
Unidad 2
Página 64
3.4 Alargamiento y compresiones
Ahora investigamos lo que sucede cuando las variables x e y, de las ecuaciones, aparecen
multiplicadas por valores constantes fijos.
La Actividad Exploratoria 3 sugiere que la multiplicación de 𝑥 o 𝑓(𝑥) por una constante ocasiona
una compresión o alargamiento horizontal o vertical de la gráfica.
En general, al reemplazar 𝑥 por 𝑥/𝑐 distorsiona la gráfica horizontalmente en un factor de 𝑐. En
forma análoga, reemplazar 𝑓(𝑥) por 𝑓(𝑥)/𝑐 distorsiona la gráfica verticalmente un factor 𝑐. Si
𝑐 > 1 la distorsión es un alargamiento, mientras que si 0 < 𝑐 < 1, la distorsión es una
compresión.
El siguiente código QR le permite ver un video sobre compresiones.
Actividad Exploratoria 3: Introducción a alargamientos y compresiones.
Utilice un software científico y configure una ventana de visualización [-5,5] por [-1.5, 5.5] y
secuencialmente (no simultáneamente) realice las siguientes actividades.
I) Grafique las funciones:
a) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2.
b) 𝑔(𝑥) = 1.5 𝑓(𝑥)=1.5 √4 − 𝑥2
c) ℎ(𝑥)=2 f(x)=2 √4 − 𝑥2
d) 𝐹(𝑥) = 0.5 𝑓(𝑥)=0.5 √4 − 𝑥2
e) 𝐻(𝑥) = 0.25 𝑓(𝑥)=0.25 √4 − 𝑥2
en la misma ventana gráfica.
¿Qué efecto parecen tener los factores: 1.5, 2, 0.5 y 0.25, en la gráfica de f?
II) Grafique las funciones:
i. 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2
ii. 𝑡(𝑥) = 𝑓(1.5 𝑥)= 1.5 √4 − 𝑥2
iii. 𝑢(𝑥) = 𝑓(2 𝑥) = 2√4 − 𝑥2
iv. 𝑤(𝑥) = 𝑓(0.5 𝑥) = 0.5 √4 − 𝑥2
v. 𝑠(𝑥) = 𝑓(0.25 𝑥)=0.25 √4 − 𝑥2
en la misma ventana gráfica ¿Qué efecto parece provocar: 1?5, 2, 0.5 y 0.25, en la gráfica de f?
Alargamientos y compresiones
Sea 𝑐 un número real positivo. Entonces las transformaciones siguientes ocasionan
alargamientos o compresiones de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Alargamientos o compresiones horizontales
𝑦 = 𝑓 (
𝑥
𝑐
) es {
un alargamiento en un factor c, si c > 1
una compresión en un factor c, si c < 1
.
Alargamientos o compresiones verticales
𝑦 = 𝑐. 𝑓(𝑥) es {
un alargamiento en un factor c, si c > 1
una compresión en un factor c, si c < 1
Unidad 2
Página 65
Ejemplo: Determinación de ecuaciones para alargamientos y compresiones
Sea 𝒞1 la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
3 − 3𝑥. Determine las expresiones de las gráficas para las
transformaciones no rígidas de 𝒞1.
a) 𝒞2 es un alargamiento vertical de 𝒞1 en un factor 2.
b) 𝒞3 es una compresión horizontal de 𝒞1 en un factor de ½.
Resolución:
Resolvemos algebraicamente:
a) 𝒞2: 𝑦 = 2. 𝑓(𝑥) =2. (𝑥
3 − 3𝑥) = 2𝑥3 − 6𝑥
b) 𝒞3: 𝑦 = 𝑓 (
𝑥
(
1
2
)
) = 𝑓(2𝑥) = ((2𝑥)3 − 3(2𝑥)) = 8𝑥3 − 6𝑥.
Respaldamos lo obtenido, gráficamente, con ayuda de un software científico.
3.5 Combinación de transformaciones
Las transformaciones se pueden aplicar en sucesión (una después de otra). Si la transformación
incluye alargamientos, compresiones o reflexiones, el orden en que se realizan puede producir
diferencias. En esos casos, hay que asegurarse de poner atención especial al orden.
Ejemplo: Combinación de transformaciones en orden
a) La gráfica de 𝑦 = 𝑥2 se somete a las transformaciones siguientes, en orden. Determine la
ecuación de la gráfica resultante.
1) Un desplazamiento horizontal de 2 unidades hacia la derecha.
2) Un alargamiento vertical en un factor de 3.
3) Una traslación vertical de 5 unidades hacia arriba.
b) Aplique las transformaciones en a) en orden opuesto y determine la ecuación de la gráfica
resultante.
Resolución:
a) Al aplicar, en orden, las transformaciones, tenemos:
𝑥2 ⇒ (𝑥 − 2)2 ⇒ 3(𝑥 − 2)2 ⟹ 3. (𝑥 − 2)2 + 5
Al desarrollar la última expresión, obtenemos la función 𝑦 = 3𝑥2 − 12𝑥 + 17.
b) Al aplicar las transformaciones en orden opuesto, tenemos:
Unidad 2
Página 66
𝑥2 ⇒ 𝑥2 + 5 ⇒ 3(𝑥2 + 5) ⟹ 3((𝑥 − 2)2 + 5)
Al desarrollar la última expresión, obtenemos la función 𝑦 = 3𝑥2 − 12𝑥 + 27.
Se observa, las funciones obtenidas en a) y b) son distintas.
Con frecuencia, el orden importa cuando están incluidos
alargamientos, compresiones o
reflexiones.
Ejemplo: Transformación geométrica de una gráfica
La gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) se muestra en la siguiente figura. Determine la gráfica de la función
compuesta 𝑦 = 2𝑓(𝑥 + 1) − 3 mostrando el efecto de una sucesión de transformaciones sobre
la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Resolución:
La gráfica de 𝑦 = 2𝑓(𝑥 + 1) − 3 puede obtenerse a partir de 𝑦 = 𝑓(𝑥) mediante la siguiente
sucesión de transformaciones:
a) Una traslación horizontal de 1 unidad hacia la izquierda para obtener 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 1)
(Figura 31 trazo negro).
b) Un alargamiento vertical en un factor de 2 para obtener 𝑦 = 2𝑓(𝑥 + 1). (Figura 31 trazo
verde).
c) Una traslación vertical de 3 unidades hacia abajo para obtener 𝑦 = 2𝑓(𝑥 + 1) − 3.
(Figura 31 trazo en azul).
Figura 31: Transformaciones de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) para obtener la gráfica 𝑦 = 2𝑓(𝑥 + 1) − 3.
Unidad 2
Página 67
Ejemplo: Trazar la gráfica de la función 𝑦 = |𝑥2 − 1|, mediante transformaciones geométricas.
Resolución:
Paso 1: Graficar la función base: y=𝑥2.
Paso 2: A partir de la gráfica anterior, mediante traslación vertical de una unidad hacia abajo,
graficamos y=𝑥2-1.
Paso 3: A partir de la gráfica anterior, graficamos 𝑦 = |𝑥2 − 1| reflejando hacia arriba la parte
de la gráfica por debajo del eje x.
Unidad 2
Página 68
4. Funciones Elementales y Modelos Matemáticos
Un modelo matemático es una descripción matemática (con frecuencia mediante una función
o una ecuación), de un fenómeno del mundo real, como por ejemplo el tamaño de una población,
la rapidez de caída de un objeto, la concentración de un producto en una reacción química, la
esperanza de vida de una persona cuando nace o el costo de reducción de emisiones. El propósito
de este modelo puede ser, por ejemplo, entender el fenómeno y quizá hacer predicciones con
respecto al comportamiento futuro.
En el proceso de modelado matemático, una vez que se especifica el problema del mundo real,
se pueden distinguir distintas etapas. La primera etapa consiste en formular un modelo
matemático identificando y dándole un nombre a las variables independientes y dependientes,
así como hacer supuestos que simplifiquen, lo suficiente, el fenómeno como para hacer que sea
susceptible de rastrearse en forma matemática. Se utiliza el conocimiento acerca de la situación
física del objeto de estudio y las habilidades matemáticas para obtener ecuaciones que
relacionen las variables. En aquellas situaciones en las que no existan leyes físicas que guíen, tal
vez resulte necesario recabar información de distintas fuentes y analizarlos en forma por
ejemplo de tabla, con el objeto de discernir patrones. A partir de esta representación numérica
posiblemente resulte útil realizar representaciones gráficas de los datos, de las cuales se pueda
sugerir una forma algebraica adecuada como modelo matemático. La segunda etapa es aplicar
las matemáticas que conoce (por ejemplo, el cálculo que se desarrolla en este libro) al modelo
matemático formulado con el fin de deducir conclusiones matemáticas.
Después, la tercera etapa consiste en tomar esas conclusiones matemáticas e interpretarlas
como información acerca del fenómeno original del mundo real por medio de ofrecer
explicaciones o hacer predicciones. La etapa final es probar predicciones que formuló,
verificándolas contra datos nuevos relativos al mundo real. Si las predicciones no se comparan
de manera apropiada con la realidad, necesita afinar su modelo o bien formular uno nuevo y
empezar el ciclo de nuevo.
Un modelo matemático nunca es una representación totalmente precisa de una situación
física, es una idealización. Un buen modelo simplifica la realidad lo suficiente como para permitir
cálculos matemáticos, pero es lo suficientemente preciso para proveer conclusiones valiosas.
Existen muchos tipos de funciones que pueden usarse para modelar correspondencias que se
observan en el mundo real. En las secciones siguientes, se darán conceptos básicos para analizar
el comportamiento y las gráficas de estas funciones.
Unidad 2
Página 69
4.1 Función Polinómica
El dominio de cualquier polinomio es ℝ. Si el coeficiente principal del polinomio es an≠0,
entonces se dice que el grado del polinomio en n. Por ejemplo, la función siguiente es un
polinomio de grado 6:
𝑓(𝑥) = 3. 𝑥6 −
1
2
. 𝑥4 − √2 . 𝑥 + 10 .
Casos particulares:
a) Si n=0, entonces f(x)=a0, se llama función constante. La gráfica es una recta paralela al eje x
que interseca al eje y en el punto (0, a0).
b) Si n=1, entonces un polinomio de grado uno, tiene la forma f(x)= a0+a1 x recibe el nombre
de función lineal y su gráfica es una línea recta. También se usa la notación f(x)=mx+b, donde
m es la pendiente de la recta y b la ordenada al origen.
Una característica representativa de las funciones lineales es que crecen en una proporción
constante.
La siguiente figura representa, por ejemplo, una gráfica de la función lineal f(x)=3x-2. En la tabla
de valores correspondiente, se puede observar que siempre que x aumenta en 1, el valor de f(x)
se incrementa en 3. Por eso f(x) el valor de m=3 puede interpretarse como la relación de cambio
de y con respecto a x.
Toda función P se llama función polinómica o polinomio, si f: ℝ → ℝ es tal que
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝑥
𝑛
donde n es un entero no negativo y los números ai ϵ ℝ son todos constantes que se conocen
con el nombre de coeficientes.
x y=f(x)
1 1
2 4
3 7
4 10
5 13
6 16
Unidad 2
Página 70
Ejemplo de Aplicación: La temperatura en función de la altura
(a) A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfría. Si la temperatura
del suelo es 20°C y la temperatura a la altura de 1 km es 10°C, exprese la temperatura T
(en °C) como una función de la altura h (en km) suponiendo que es un modelo lineal
adecuado.
(b) Trace la gráfica de la función del inciso (a). ¿Qué representa la pendiente?
(c) ¿Cuál es la temperatura a una altura de 2,5 km?
Resolución:
(a) Si T representa la temperatura y h la altura, como se supone que T es una función lineal
de h, se puede escribir: T(h)=m . h +b.
Para determinar el modelo debemos hallar los valores de los parámetros. Esto es, m y b.
Como se tiene que T=20 °C cuando h=0 km., resulta 20=m.0+b. Por lo tanto, b=20.
Además, T=10 °C cuando h=1 km., de modo que: 10=m.1+20. Resultando m=-10.
La función lineal es T(h)=-10. h+20.
(b) La gráfica se traza la función T(h) se traza en el grafico anterior. La pendiente es m=-10
°C/km. , que representa la relación de cambio de la temperatura con respecto a la altura.
m se interpreta “cada 1 km. que se incrementa h, la temperatura sufre un decremento de
10°C.”
(c) A una altura h=2,5 km, la temperatura es T(2,5))-10. (2,5)+ 20 = -5 °C.
Nota: Si no existe una ley física o un principio que ayude a formular un modelo, se construye un
modelo empírico, el cual se basa por completo en la información reunida. Se busca una curva que
aproxime a los puntos o pase por ellos, que capte la tendencia fundamental de los puntos de los
datos.
Unidad 2
Página 71
Figura 32: Gráfico de dispersión
c) Si n=2, polinomio de grado 2, tiene la forma f(x)= a0+a1x+a2 x2 recibe el nombre de
función cuadrática o función de segundo grado. También se usa la notación
f(x)=ax2+bx+c. Su grafica es siempre una parábola, (como veremos más adelante) se
puede obtener a partir de la gráfica de f(x)= ax2, realizando traslaciones. Si a>0 las ramas
de la parábola se abren arriba (en la dirección del eje y positivo). Si a<0, las ramas se
abren hacia abajo.
Toda función
polinómica de segundo grado f(x)= ax2+bx+c puede expresarse (completando
cuadrados) en la forma f(x)= a(x-h)2+k (forma canónica de la parábola), donde V=(h,k) es el
vértice de la parábola. Se recuerda una forma práctica para determinar el vértice.
ℎ = −
𝑏
2𝑎
𝑘 = 𝑓(ℎ)
Por ejemplo, para expresar f(x)=-3x2+x+1 en forma canónica, tenemos en cuenta: a=-3, b=1 y
c=1. De lo que resulta: ℎ = −
1
2(−3)
=
1
6
, mientras que 𝑘 = 𝑓(ℎ) = 𝑓 (
1
6
) = −3 (
1
6
)
2
+
1
6
+ 1 =
13
12
.
Por lo tanto, 𝑓(𝑥) = −3 (𝑥 −
1
6
)
2
+
13
12
.
Este proceso es útil a la hora de representar gráficamente funciones cuadráticas mediante
combinación de transformaciones, a partir de la gráfica de y=x2.
.
d) Si n=3, entonces 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 es un polinomio de grado 3, que recibe el
nombre general de función cúbica. En el caso particular 𝑓(𝑥) = 𝑥3, su gráfica recibe el nombre
de parábola cúbica.
En estos casos, son útiles las teorías
correspondientes a regresión lineal (dentro de la
Estadística) y de ajuste lineal por mínimos cuadrados
(temática abordada en Métodos Numéricos).
Estos temas que no se podrán abordar aún, ya que se
requiere de conceptos correspondientes a cursos
más avanzados de Análisis Matemático.
Unidad 2
Página 72
La siguiente gráfica (i) corresponde a la de una función cúbica; mientras que las dadas en (ii) e
(iii) a funciones polinómicas de grado 4 y 5 respectivamente.
(i) (ii) (iii)
Nota: Usualmente las funciones polinómicas se utilizan para modelar diversas cantidades en
ciencias físicas, naturales, económicas, de la tierra y del espacio.
Desde la época de Galileo Galilei (1564-1642) y de Isaac Newton (1642- 1727) se había
entendido bien el movimiento vertical de un cuerpo en caída libre. La velocidad vertical y la
posición vertical (altura) de un cuerpo en caída libre (como función del tiempo) son aplicaciones
clásicas de funciones lineales y cuadráticas.
Ejemplo: Desde la plataforma superior de observación de la Torre de Pisa, a 59 m sobre el nivel
del suelo, se deja caer una pelota. En base a un registro de datos, donde se detallan el tiempo y
la altura del objeto en cada instante, se plantea el siguiente modelo 𝑠(𝑡) = −4,9𝑡2 + 0.96𝑡 + 59,
tal que para el instante inicial t=0 la altura s de la pelota es 60m. ¿En qué instante la pelota
tocará el suelo?
Resolución:
Movimiento Vertical en Caída Libre: La altura 𝑠 y la velocidad vertical 𝑣 de un objeto en
caída libre están dadas por:
𝑠(𝑡) = −
1
2
𝑔𝑡2 + 𝑣0𝑡 + 𝑠0 y 𝑣(𝑡) = −𝑔𝑡 + 𝑣0
donde t es el tiempo (en segundos), 𝑔 ≈ 32
𝑝𝑖𝑒𝑠
𝑠2
≈ 9.8𝑚/𝑠2 es la aceleración de la
gravedad, 𝑣0 la velocidad vertical inicial del objeto y 𝑠0 es su altura inicial.
El instante t en que la pelota llega al suelo es tal que s(t)=0.
Determinamos las raíces del polinomio cuadrático, del
modelo, aplicando la Fórmula de Bhaskara.
𝑡 =
−0.96 ± √0.962 − 4. (−4.9). 59
2. (−4.9)
La raíz positiva del polinomio es 𝑡 ≈ 3.56993𝑠. Por lo que, la
pelota llega al suelo aproximadamente a los 3.6 segundos.
Unidad 2
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4.2 Funciones de Potencia
Veamos distintos casos:
(i) a=n, donde n es un entero positivo.
En estos casos, las funciones corresponden a funciones polinómicas cuyas
expresiones algebraicas poseen un solo término. El dominio es D= ℝ.
Se puede mostrar, en este caso, que cuando n es par, entonces la función de potencia
es función par. Mientras que, si n es impar, la función de potencia es función impar.
Figura 32: Gráficas de 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 para n=1, 2, 3 y 4.
Una función f: 𝐷 → ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎, donde 𝑎 es una constante no nula
(𝑎 ≠ 0), se llama función potencia.
Unidad 2
Página 74
Las figura 32 muestran las gráficas de 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 para n=1,2,3y 4. Se puede observar la
simetría de las gráficas respecto al eje y, cuando n=2 y 4. Mientras que, también se observa la
simetría respecto al origen de las gráficas de las funciones de potencias para n=1 y 3.
Ejercicio: Demostrar que las funciones potencias para cualquier valor entero positivo n par, son
simétricas respecto al eje y. También, para todo valor entero positivo impar, las gráficas de las
funciones de potencias son simétricas respecto al origen de coordenadas.
(ii) 𝒂 =
𝟏
𝒏
, donde n es un entero positivo
La función 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
𝑛 = √𝑥
𝑛
es una función raíz. Para n=2 es la función raíz cuadrada
𝑓(𝑥) = √𝑥 , cuyo dominio es D=[0,∞) y cuya gráfica es la mitad superior de la gráfica
de la parábola 𝑥 = 𝑦2. Para otros valores pares de n, la gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑛
es similar
a la de 𝑓(𝑥) = √𝑥. Para n=3 tenemos la función raíz cubica 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
cuyo dominio
es 𝐷 = ℝ. Las gráficas se pueden observar a continuación (ver Figuras 33 y 34). La
gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑛
para n impar (n>3) son similares a la de 𝑦 = √𝑥
3
.
Figura 33: Gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥
Figura 34: Gráfica de 𝑓(𝑥) = √𝑥
3
Unidad 2
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(iii) a=-1
Corresponde a la función recíproca 𝑓(𝑥) = 𝑥−1 =
1
𝑥
. Su gráfica, dada en Figura 35,
corresponde con la ecuación 𝑦 =
1
𝑥
, o x.y=0, y es una hipérbola cuyas asíntotas son
los ejes coordenados.
Figura 35: Función Recíproca
La función recíproca surge en física y en química en conexión con la Ley de Boyle, la
cual dice que, cuando la temperatura es constante, el volumen V de un gas es
inversamente proporcional a la presión P: 𝑉 =
𝐶
𝑃
, donde C es una constante.
Figura 36: El volumen en función de la presión,
a temperatura constante.
Unidad 2
Página 76
4.3 Funciones Racionales
Ejemplo: Un ejemplo de función racional sencilla es la función recíproca 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
cuyo dominio
es {x∈ ℝ/ x≠0}. Otro ejemplo es la función 𝑓(𝑥) =
3𝑥+1
𝑥2−4
cuyo dominio es ℝ − {−2,2}.
4.4 Funciones Exponenciales
Figura 37: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 con 0< 𝑎 <1.
Figura 38: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , con 𝑎 >1.
Se llama función racional a toda función f: D→ ℝ , con 𝐷 ⊆ ℝ definida por
𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
=
𝑎0+𝑎1𝑥+…+𝑎𝑛𝑥
𝑛
𝑏0+𝑏1𝑥+…+𝑏𝑚𝑥
𝑚 , con Q(x)≠0.
Una función f: ℝ → ℝ se llama exponencial, si es de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 con 𝑎 > 0 y
𝑎 ≠ 1.
Unidad 2
Página 77
Figura 39: Graficas de funciones exponenciales.
Si 𝑎 > 1 la función es monótona creciente, y si 0 < 𝑎 < 1 es monótona decreciente.
El punto (0,1) siempre pertenece a las gráficas de las funciones exponenciales (ver Figura 39).
Estas funciones son inyectivas, pero no son sobreyectivas, por lo tanto, no son biyectivas.
El dominio es ℝ y la imagen es el intervalo ℝ+ = (0, ∞) .
El número e
De todas las bases posibles para una función exponencial, existe una que es más conveniente
para los propósitos del cálculo. La elección de una base 𝑎 se ve influenciada por la manera en
que la gráfica de 𝑦 = 𝑎𝑥 cruza el eje y. En particular, cuando la base de la función exponencial es
el número irracional e, que es aproximadamente 2.727182, muchos científicos la eligen, ya que
simplifican cálculos matemáticos. En particular, la inclinación de la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 en el
punto (x,y)=(0,1) es m=1 ( ver Figura 40).
Figura 40
Unidad 2
Página 78
4.5 Funciones Logarítmicas
Si consideramos la función exponencial F: ℝ → ℝ+ tal que 𝑦 = 𝐹(𝑥) = 𝑎𝑥. F admite función
inversa.
Figura 41
Figura 42
En el caso que 𝑎 > 1 la función logaritmo es monótona creciente, y crece lentamente cuando
𝑥 > 1. Mientras que el caso que 𝑎 < 1 la función es monótona decreciente (ver Figura 42).
Las funciones logarítmicas 𝑓: ℝ+ →ℝ tal que 𝑓 (𝑥) = log𝑎 𝑥, donde la base 𝑎 es una constante
positiva (𝑎 > 0) y 𝑎 ≠ 1, son las funciones inversas de las funciones exponenciales.
Se cumple:
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) = 𝑦 ⟺ 𝑎
𝑦 = 𝑥
Unidad 2
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Figura 43: Gráficas de funciones logarítmicas
La Figura 43 muestra las gráficas de cuatro funciones logarítmicas con diferentes bases. En cada
caso, el dominio es (0, ∞) e imagen ℝ .
Puesto que loga 1 = 0, las gráficas de todas las funciones logarítmicas pasan por el punto (1, 0).
Propiedades de los Logaritmos: Si 𝑥 e 𝑦 son números reales positivos, entonces
1. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥. 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) + 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦)
2. 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝑥
𝑦
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) − 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦)
3. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥
𝑟) = 𝑟. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) , siendo 𝑟 ∈ ℝ.
Logaritmos naturales
Al logaritmo con base 𝑒 se le llama logaritmo natural y tiene una notación especial:
En particular, se cumple:
Aplicaciones de las funciones logarítmicas
Los logaritmos proporcionan una escala adecuada para medir magnitudes cuyos rangos de
variación son muy grandes, como la magnitud aparente (brillo) de una estrella o la magnitud de
terremotos.
Escala de Ritcher
El día miércoles 23 de noviembre de 1977 debe ser la fecha más recordada por los habitantes de
la provincia de San Juan puesto que se registró una de las peores tragedias naturales: el
terremoto de Caucete, que marcó no sólo a esa localidad sino a toda la nación. La ciudad de
Caucete se encuentra ubicada en el centro sur de la provincia de San Juan a aproximadamente
28 km de la capital provincial, en el denominado Valle del Tulum, y posee una importante
𝑙𝑜𝑔𝑒(𝑥) = ln (𝑥)
ln(𝑥) = 𝑦 ⟺ 𝑒𝑦 = 𝑥
ln(𝑒1) = 1
Unidad 2
Página 80
infraestructura comercial, edilicia y de transporte, y otros servicios más, lo que la convierte en
la segunda ciudad más importante de San Juan. El informe del INPRES14 sobre el terremoto
indicó que el mismo abarcó un extenso territorio a pesar de que la intensidad del movimiento
no fuera tan intensa como en el epicentro del sismo. El sismo tuvo una magnitud de 7,4 grados
en la escala de Richter. El terremoto se originó en el mítico cerro Pie de Palo y según los registros
oficiales se contabilizaron sepultadas 65 vidas, otras 209 personas con heridas graves y se
estima que el número de heridos en general llegó a las 300 personas. Otra característica
distintiva de este terremoto fue que se sintió en un área de alrededor de 1.800.000 km2,
llegándose a sentir en Capital Federal y provocó derrumbe de viviendas, hundimientos de
parrales, se doblaron las vías del ferrocarril, y se produjo la rotura de los canales de riego y de
rutas. Un año antes, en julio de 1976, un terremoto de magnitud 7,9 grados en la escala de Richter
arrasó la ciudad de Tanghan, en China, causando cerca de 600.000 muertos. En septiembre de
1993, otro terremoto de magnitud 6,4 grados en la escala de Richter, causó miles de víctimas en
India.
Los temblores o terremotos se producen debido al desplazamiento y fricción de las placas
tectónicas. Para medir la magnitud de un sismo la escala más utilizada la introdujo Charles
Ritcher (1900-1985) en 1935. Esta es una escala logarítmica que relaciona la cantidad de energía
liberada por un terremoto con valores numéricos.
El método original de Richter para calcular la Magnitud a partir de un sismograma: se inicia con
la medición de la mayor Amplitud A de la onda sísmica del terremoto revelada por el sismógrafo;
y de la diferencia de tiempo ∆t, entre el arribo de la onda P y la onda S. Ambos valores están
relacionados por la ecuación dada por Richter:
ML = log10A (mm) + 3log10 [8 ∆t (s)] - 2.92
La Figura 44, extraída de la página oficial de INPRES:
http://contenidos.inpres.gov.ar/docs/C%C3%A1lculo%20de%20la%20Magnitud.pdf
ilustra el proceso para determinar la magnitud de un sismo, en escala de Ritchter.
Figura 44: Esquema del proceso para determinar la magnitud de un sismo, en escala de
Ritchter.
http://contenidos.inpres.gov.ar/docs/C%C3%A1lculo%20de%20la%20Magnitud.pdf
Unidad 2
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Magnitud aparente de una estrella
El brillo percibido de una estrella no es proporcional en absoluto a la energía luminosa recibida
por el ojo. Existe una relación lineal entre el brillo y el logaritmo de la intensidad de la luz. Una
fórmula típica es:
M=C-2.5 log(I)
donde:
I: es la intensidad de la luz y
C: una constante que depende de las unidades en que se esté midiendo I
M: es la magnitud aparente de una estrella.
Bajo la fórmula anterior, la estrella Sirio, tiene una magnitud -1.6, Vega tiene magnitud 0.1 y
Betelgeuse 0.9.
4.6 Funciones Trigonométricas
La trigonometría y la función trigonométrica son temas que se repasan en cursos para
ingresantes a carreras universitarias. En Análisis Matemático o Calculo, la convención es que
siempre se utiliza la medida del ángulo en radianes (excepto cuando se indique lo contrario). Por
ejemplo, cuando se usa la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) se entiende que 𝑠𝑒𝑛(𝑥) significa “el seno del
ángulo cuya medida en radianes es 𝑥".
Por consiguiente, las gráficas de las funciones seno y coseno son las siguientes (ya ilustradas al
comienzo de este capítulo).
Figura 45: 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Figura 46: 𝑔(𝑥) = cos (𝑥)
Observe que, tanto la función seno como coseno, el dominio es ℝ (conjunto de los números
reales) y la imagen es el intervalo [-1,1]. En estos término, para todos los valores de 𝑥 reales, se
tiene:
−1 ≤ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≤ 1 y −1 ≤ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) ≤ 1.
En términos de valor absoluto,
|𝑠𝑒𝑛(𝑥)| ≤ 1 y |𝑐𝑜𝑠(𝑥)| ≤ 1.
Además, los ceros (raíces) de la función seno son múltiplos enteros de 𝜋; es decir,
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 0 cuando 𝑥 = 𝑛𝜋 con 𝑛 ∈ ℤ.
Una propiedad importante (ya vista anteriormente) es que las funciones seno y coseno ambas
son periódicas con período T=2𝜋.
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 2𝜋) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 2𝜋) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
La naturaleza periódica de estas funciones las hace adecuadas para modelar fenómenos
repetitivos, como por ejemplo las mareas, los resortes vibratorios y la propagación de ondas.
Unidad 2
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Nota: Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación,
la geodesia y la astronomía, en los que el principal problema era determinar una distancia
inaccesible, es decir, una distancia que no podía ser medida de forma directa, como la distancia
entre la Tierra y la Luna. Se encuentran notables aplicaciones de las funciones trigonométricas
en la física y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos
periódicos.
La función tangente se relaciona con la función seno y coseno como sigue:
𝑡𝑔(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
Figura 47: Gráfica de 𝑦 = 𝑡𝑔(𝑥)
Es indefinida en todos los valores de x tal que cos(x)=0. Por lo que el dominio es el conjunto de
los números reales excepto los valores x=±
π
2
, ±
3π
2
, ….
Figura 48: Interpretación geométrica del seno coseno y tangente
Las tres funciones trigonométricas restantes son las recíprocas de las funciones seno, coseno y
tangente.
1
1
Unidad 2
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Figura 49: Gráficas de 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
, 𝑠𝑒𝑐(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑦 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) =
1
𝑡𝑔(𝑥)
Función sinusoidal
Como la función coseno se puede obtener mediante traslaciones de la función seno, cualquier
transformación de la función coseno también es considerada una sinusoidal.
Las funciones sinusoidales sirven para modelar ondas.
En este contexto, es común utilizar, para
la descripción de las mismas, términos tales como: “período”, “frecuencia” y “amplitud” de la
onda.
Definición: Una función es sinusoidal si puede escribirse en la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑
en donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 son constantes reales y ni 𝑎 ni 𝑏 son 0.
Definición: La amplitud de una sinusoide
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es | 𝑎|.
Similarmente, la amplitud de 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es | 𝑎|.
Geométricamente, la amplitud es la mitad de la altura de la onda.
Definición: El período de una sinusoide
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es
2𝜋
|𝑏|
.
Similarmente, el período de 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es
2𝜋
|𝑏|
.
Geométricamente, el período es la longitud de un ciclo completo de la
onda.
Unidad 2
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Figura 50: Interpretación geométrica de la amplitud y período de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥).
En algunas aplicaciones, la frecuencia de una sinusoidal es una consideración importante. La
frecuencia simplemente es el recíproco del período.
Como ya vimos previamente, en este capítulo, la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑐) es una traslación de c
unidades a la izquierda de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) cuando 𝑐 > 0. Esto es exactamente lo que pasa
con las sinusoidales, pero usando terminología de Física, que proviene de Ingeniería Eléctrica,
se dice que la onda experimenta un corrimiento de fase de – 𝑐.
Ejemplo: Obtención de una sinusoidal a partir de otra mediante corrimiento de fase.
a) Obtenga la función coseno a partir de un corrimiento de fase de la función seno.
b) Obtenga la función seno a partir de un corrimiento de fase de la función coseno.
Resolución:
a) La función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) tiene un máximo en 𝑥 =
𝜋
2
, mientras que la función 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)
tiene un máximo en 𝑥 = 0. Por lo tanto, se necesita mover la curva seno
𝜋
2
unidades a la
izquierda para obtener la curva coseno:
Definición: La frecuencia de una sinusoidal
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es
|𝑏|
2𝜋
.
Similarmente, la frecuencia de 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥 + 𝑐) + 𝑑 es
|𝑏|
2𝜋
.
Geométricamente, la frecuencia es el número de ciclos completos que la
onda realiza en un intervalo unidad.
|a|
-|a|
2𝜋
|𝑏|
a
m
p
lit
u
d
período
Unidad 2
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cos(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +
𝜋
2
).
b) De acuerdo a lo realizado en a), se necesita mover la curva coseno
𝜋
2
unidades a la derecha
para obtener la curva seno:
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = cos (𝑥 −
𝜋
2
).
Notas:
1) La solución al problema anterior no es única. Al sumar cualquier múltiplo entero de 2𝜋
para correr la fase daría como resultado la misma gráfica.
2) Hay que tener mucho cuidado cuando se combinan trasformaciones. Un alargamiento o
compresión horizontal afecta la variable a lo largo del eje horizontal, por lo que también
afecta al corrimiento de fase.
Modelación del comportamiento periódico con sinusoidales
La construcción de una sinusoidal con propiedades específicas es a menudo un paso clave em el
modelado de situaciones físicas que exhiben un comportamiento periódico. A continuación,
detallamos un procedimiento general para definirlo.
4.7 Funciones trigonométricas inversas
Figura 51: Gráficas de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) en distintos dominios
Construcción de un modelo sinusoidal empleando el tiempo
1. Determinar el valor máximo M y el valor mínimo m. la amplitud A de la sinusoidal es
𝐴 =
𝑀−𝑚
2
, y el cambio vertical (o desplazamiento vertical) es 𝐶 =
𝑀+𝑚
2
.
2. Determinar el período p, el intervalo de tiempo de un ciclo sencillo de la función
periódica. la compresión (o el alargamiento) horizontal es 𝐵 =
2𝜋
𝑝
.
3. Elegir una sinusoidal apropiada para un comportamiento en un momento dado T. Por
ejemplo, en el momento T:
𝑓(𝑡) = 𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝐵(𝑡 − 𝑇)) + 𝐶 alcanza un valor máximo.
𝑓(𝑡) = −𝐴 𝑐𝑜𝑠(𝐵(𝑡 − 𝑇)) + 𝐶 alcanza un valor mínimo.
𝑓(𝑡) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝐵(𝑡 − 𝑇)) + 𝐶 está a la mitad entre un valor mínimo y un valor máximo.
𝑓(𝑡) = −𝐴 𝑠𝑒𝑛(𝐵(𝑡 − 𝑇)) + 𝐶 está a la mitad entre un valor máximo y un valor
mínimo.
Unidad 2
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Observe que la función seno no es inyectiva. Pero sí lo es, si restringimos su dominio al conjunto
𝐷 = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] .
Gráficamente:
Figura 52: Gráfica de f(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥).
En forma similar procedemos con la función coseno, restringimos el conjunto de partida y de
llegada de la función para que sea biyectiva y poder asegurar la existencia de la función inversa
bajo esa restricción.
Gráficamente:
Figura 53: Gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥)
Si consideremos la función seno con dominio 𝐷 = [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] y conjunto de llegada B=[-1,1].
Entonces la función admite inversa.
Se define la función inversa del seno como la función 𝑓: [−1,1] → [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] tal que f(𝑥) =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Por ejemplo, consideramos la función coseno con conjunto de partida 𝐷 = [0, 𝜋] , y de
llegada B=[-1,1], entonces la función coseno admite inversa.
Se define la función inversa del coseno como la función 𝑓: [−1,1] → [0, 𝜋] tal que 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥).
Unidad 2
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4.8 Funciones hiperbólicas
Ciertas combinaciones pares e impares de las funciones exponenciales ex y e−xsurgen tan a
menudo en las matemáticas y debido a sus aplicaciones merecen recibir un nombre especial. En
muchos aspectos son similares a las funciones trigonométricas y tienen la misma relación con la
hipérbola (figura que estudiarán en Geometría Analítica) que las funciones trigonométricas
tienen con la circunferencia. Por esta razón, se les llama en forma colectiva funciones
hiperbólicas, y de manera individual se les conoce como seno hiperbólico, coseno hiperbólico, y
así sucesivamente.
Las gráficas del seno hiperbólico y del coseno hiperbólico pueden trazarse mediante
combinaciones y transformaciones de las gráficas de la función exponencial.
Figura 54: Gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) ( a izquierda), e 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)( a derecha).
Observe que el dominio de 𝑠𝑒𝑛ℎ es ℝ, y la imagen es ℝ , pero el 𝑐𝑜𝑠ℎ tiene por dominio
ℝ e imagen [1, ∞). En la figura 3 se muestra la grafica de 𝑡𝑎𝑛ℎ.
Figura 55: Gráfica de 𝑦 = 𝑡𝑔ℎ(𝑥)
Definición de Funciones Hiperbólicas
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
; 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =
1
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) =
𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
; 𝑠𝑒𝑐ℎ(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
𝑡𝑔ℎ(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
; 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ(𝑥) =
1
𝑡𝑔ℎ(𝑥)
Unidad 2
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Observación: Las aplicaciones en las ciencias y la ingeniería se tienen siempre que una entidad
física como la luz, velocidad, electricidad o la radiactividad, se absorbe o se extingue en forma
gradual, puesto que el decaimiento puede representarse mediante funciones hiperbólicas. Una
aplicación famosa es el uso del coseno hiperbólico para describir la forma de un cable colgante.
Puede demostrarse que si un cable pesado y flexible (como los que se usan para líneas telefónicas
o eléctricas) se tiende entre dos puntos a la misma altura, entonces el cable toma la forma de una
curva con ecuación 𝑦 = 𝑐 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥/𝑎) que se denomina catenaria (véase Figura 56).
Figura 56: Catenaria de ecuación 𝑦 = 𝑐 + 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥/𝑎)
Otras aplicaciones de las funciones hiperbólicas aparecen en la descripción de las olas del mar:
la velocidad de una ola con longitud L que se mueve a través de un cuerpo de agua con
profundidad d se modela or la función 𝑣 = √
𝑔𝐿
2𝜋
𝑡𝑔ℎ (
2𝜋𝑑
𝐿
), donde g es la aceleración de la
gravedad ( ver figura 57).
Figura 57: Ola oceánica idealizada.
4.9 Funciones definidas
a Trozos
Las funciones de los dos ejemplos siguientes están definidas por fórmulas diferentes en
diferentes subconjuntos del dominio.
Ejemplo: Una función f se define por: 𝑓(𝑥) = {
2 − 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
𝑥2, 𝑠𝑖 𝑥 > 2
. Evaluar f(0), f(1) y f(3). Trazar
la gráfica de f.
Resolución:
Dada la expresión que define f, entendemos: si sucede que el valor de x es tal que 𝑥 ≤ 2, en tal
caso el valor de f(x) es 2 − 𝑥. Por otro lado, si 𝑥 > 2, el valor de 𝑓(𝑥) es 𝑥2.
Como 0 ≤ 2, tenemos f(0)=2-0=2.
Como 1 ≤ 2, tenemos f(1)=2-1=1.
Como 3>2, tenemos f(3)=32=9.
Unidad 2
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¿Cómo representar gráficamente 𝒚 = 𝒇(𝒙)?
Observe que, si 𝑥 ≤ 2, por tanto 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥. De modo que, la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) que se
encuentra a la izquierda de la recta vertical 𝑥 = 2 debe coincidir con la gráfica de la recta 𝑦 =
2 − 𝑥. Si 𝑥 > 2, se cumple 𝑓(𝑥) = 𝑥2, esto es, la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) que se encuentra a la derecha
de la recta vertical 𝑥 = 2 coincide con la gráfica de la parábola 𝑦 = 𝑥2. Esto permite trazar la
gráfica de 𝑓, como se observa en la figura. El punto relleno (2,0) indica que el punto pertenece a
la gráfica, mientras que el punto hueco (2,4) que no pertenece a la gráfica.
Figura 58
Otro ejemplo de función definida a trozos es la función valor absoluto definida al comienzo de
este capítulo.
5 Formas de Expresar una Función
Las funciones se pueden indicar mediante una propiedad que vincula a las variables 𝑥 (variable
independiente) e 𝑦 (variable dependiente). Esta propiedad se enuncia, generalmente, en forma
de una ecuación. Según la forma de esta ecuación, las funciones se clasifican en:
Funciones explícitas.
Funciones implícitas.
Funciones paramétricas.
5.1 Funciones explícitas
Se dice que una función está definida en forma explícita cuando se expresa mediante una
ecuación que permite, dada x obtener su imagen 𝑦 mediante una sustitución numérica.
Unidad 2
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Ejemplos:
1- f:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1.
2- f:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
.
5.2 Funciones implícitas
Se dice que una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) está dada en forma implícita cuando las variables x e 𝑦
aparecen vinculadas por una expresión de la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 y es tal que 𝐹(𝑥, 𝑓(𝑥)) = 0 para
todo 𝑥 del dominio de 𝑓.
Ejemplos:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1 está definida en forma implícita por 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥2 + 1 = 0.
b) g(x)=
1
𝑥
está definida en forma implícita por 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑦 −
1
𝑥
= 0.
5.3 Funciones paramétricas
A veces las funciones se definen mediante una tercer variable 𝑡 que recibe el nombre de
parámetro. Es decir, se definen las variables 𝑥 e 𝑦 como función de la variable 𝑡.
Ejemplo:
{
𝑥 = 𝑡
𝑦 = 3𝑡 + 2 con tϵ ℝ.
Ésta forma (I) se utiliza ampliamente en Física Mecánica para describir el movimiento de un
objeto, que se desplaza en el plano, a través del tiempo t.
(𝐼) {
𝑥 = 𝑔(𝑡)
𝑦 = ℎ(𝑡)
, con tϵ ℝ.
ℝ y 𝑦 = 𝑓(𝑥)
t
(I) x
Figura 59
Eliminando en estas ecuaciones el parámetro 𝑡, obtenemos la ecuación de la trayectoria en la
forma 𝑦 = 𝑓(𝑥). Si dicha ecuación 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa una función, se dice que (I) representa la
expresión paramétrica de la función 𝑓.
Parametrización de una función definida en forma explícita 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Dada la función real de variable real 𝑦 = 𝑓(𝑥) con dominio D, si consideramos como parámetro
a la variable independiente x, esto es x=t, entonces la función f dada en forma paramétrica es:
{
x = t
y = f(t) t ∈ D
Ejemplo: Si consideramos la función cuadrática 𝑦 = 𝑥2, su forma paramétrica es:
{
x = t
y = t2 t ∈ ℝ
Otro ejemplo (caso especial):
Unidad 2
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1) Sea f:𝐷 → ℝ, con D⊆ ℝ, tal que 𝑓(𝑥) = √𝑟2 − 𝑥2 , con 𝑟 > 0 (𝑟 es ctte.). La gráfica de f, G(f),
representa los puntos de una semicircunferencia de radio r . En particular si r=2 la gráfica es la
que se observa en la siguiente figura:
Figura 60
En este caso una parametrización muy utilizada es:
{
x = r. cos (t)
y = r. sen(t)
con t ∈ [0, π] {
x = 2. cos (t)
y = 2. sen(t)
con t ∈ [0, π]
𝑟 = 2
El parámetro t representa la amplitud del ángulo (en radianes) formado por el segmento que
une el punto 𝑃 = (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐺(𝑓) con el origen de coordenadas (0,0) y el eje x positivo.
Figura 62
6 Clasificación de Funciones
Sea una función definida en forma explícita. Según las expresiones que definen a la función, esta
se puede clasificar en:
6.1 Funciones Algebraicas
Función Algebraica Racional Entera
Ejemplo: En esta familia se encuentran las funciones polinómicas: función constante, identidad,
lineal cuadrática, cúbica, etc.
Definición: Sea f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ tal que y=f(x), se dirá una función algebraica
racional entera, si la expresión f(x) está afectada por un número finito de: sumas, restas y
multiplicación y los coeficientes son números reales.
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Función Algebraica Racional Fraccionaria
Ejemplos: La función recíproca y las racionales en general.
Función Algebraica Irracional
Ejemplos: Son funciones algebraicas irracionales 𝑓(𝑥) =
5−2𝑥−𝑥3
√𝑥2+1
− 6 √𝑥 + 2
3
y
ℎ(𝑥) =
1
2
𝑥 − 𝑥√𝑥.
6.2 Funciones Trascendentes
Ejemplos: Son funciones trascendentes las funciones trigonométricas, exponenciales,
logarítmicas, las trigonométricas inversas, etc.
Definición: Sea f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ tal que y=f(x), se dirá una función algebraica
racional fraccionaria, si la expresión f(x) se puede expresar como un cociente de polinomios,
con el denominador distinto del polinomio nulo.
Definición: Sea f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ tal que y=f(x), se dirá una función algebraica
irracional, si la expresión f(x) está afectada por un número finito de: sumas, restas,
multiplicación, cociente, potencia y radicación.
Definición: Sea f: D→ B , con 𝐷 ⊆ ℝ y 𝐵 ⊆ ℝ tal que y=f(x), se dirá una función trascendente,
si no es una función algebraica. Es decir, si la expresión f(x) está afectada por operaciones
no algebraicas.
Unidad 2
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A partir de la lectura del Capítulo 2, responder si son Verdaderas (V) a Falsas (F) las siguientes afirmaciones.
1. La gráfica de una función par es simétrica respecto al origen de coordenadas.
2. La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje 𝑥.
3. La gráfica de una función par es simétrica respecto al eje 𝑦.
4. La gráfica de una función impar es simétrica respecto al eje 𝑥.
5. La gráfica de una función impar es simétrica respecto al origen de coordenadas.
6. La propiedad de monotonía de una función se refiere al crecimiento o decrecimiento de una función
en todo su dominio.
7. La función 𝑓(𝑥) = 𝑥 (identidad) es una función creciente, par e impar.
8. La función inversa de una función lineal siempre existe.
9. Todas las funciones cuadráticas son funciones pares.
10. La función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es acotada inferiormente.
11. La función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2 es acotada.
12. La función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥2es positiva.
13. Las funciones lineales son útiles en la teoría de estadística de regresión lineal.
14. Existen funciones cuadráticas que no se pueden llevar a la forma canónica.
15. Las funciones cuadráticas se utilizan para modelar la caída de objetos en el espacio.
16. Las funciones de potencias con potencia
par son simétricas respecto al origen.
17. funciones de potencias con potencia impar son simétricas respecto al origen.
18. La función recíproca es una función de potencia de aplicación en física y química.
19. El dominio de las funciones racionales son siempre el conjunto de los números reales.
20. Las funciones exponenciales son siempre crecientes.
21. La función 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 es una función exponencial.
22. Las funciones logarítmicas sirven para modelar fenómenos tales como magnitud de sismos,
intensidad de luminiscencia de estrellas.
23. Las funciones logarítmicas son funciones inyectivas.
24. El dominio de una función logarítmica es el intervalo [0, +∞).
25. La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) es una función par.
26. La función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) es una función par.
27. Las funciones hiperbólicas se emplean en el modelado del movimiento de olas.
28. La función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es acotada y periódica con período 𝑇 = 𝜋.
29. La función 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) y 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 son funciones inversas.
30. Las funciones reales de variables real se pueden expresar, en su definición, en forma explícita, implícita
o en forma paramétrica.
31. La función 𝑦 = 𝑥3 se puede definir en forma implícita mediante 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥3 = 0.
32. Las funciones logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas son funciones trascendentes.
33. Las funciones racionales son funciones algebraicas.
PREGUNTAS PARA COMPRENSIÓN LECTORA
Unidad 2
Página 94
1 Dar la caracterización de funciones según simétrica. Dar un ejemplo en cada caso.
2 Dar la caracterización de funciones según monotonía. Dar un ejemplo en cada caso.
3 Dar las definiciones de funciones acotadas. Citar dos ejemplos.
4 Dar la caracterización de funciones según periodicidad. Dar dos ejemplos.
5 Definir función positiva y función no negativa. Dar un ejemplo en cada caso.
6 Explicar la relación entre funciones y modelos matemáticos.
7 Defina función lineal. Caracterice dicha función según sus parámetros (pendiente y ordenada al origen).
Dar un ejemplo de aplicación.
8 Defina función cuadrática. Caracterice dicha función según sus parámetros. Liste un par de ejemplos de
aplicación.
9 Defina funciones polinómicas. Caracterice las mismas. Citar un ejemplo de aplicación.
10 Defina funciones de potencias. Caracterizarlas y dar ejemplos de aplicación.
11 Defina funciones exponenciales y logarítmicas. Caracterice cada una de ellas. Dar ejemplos de aplicación.
12 Defina las funciones trigonométricas y trigonométricas inversas. Caracterizar las funciones: seno y coseno.
Dar ejemplos de aplicación.
13 Defina las funciones hiperbólicas. Dar ejemplos de aplicación.
14 Desarrollar la temática sobre las formas de expresar funciones reales de variable real (Forma: explícita,
implícita y paramétrica).
15 Definir funciones algebraicas y funciones trascendentes. Dar dos ejemplos, en cada caso.
PREGUNTAS DE EXAMEN ESTANDARIZADO
Lista de preguntas para Examen Estandarizado.
Unidad 3: Límite y Continuidad
1 Introducción
Los matemáticos del siglo XVII estuvieron profundamente interesados en el estudio del
movimiento de objetos en la Tierra o cerca de ella, así como en el movimiento de los planetas y
las estrellas. Este estudio incluyó tanto la rapidez de los objetos como la dirección de su
movimiento en cualquier instante; los matemáticos sabían que la dirección era tangente a la
trayectoria del movimiento. El concepto de límite es fundamental para determinar la velocidad
de un objeto en movimiento y la tangente a una curva. En este capítulo desarrollamos tal
concepto, primero de una manera intuitiva y luego formalmente. Utilizamos
límites para describir la forma en que una varía función. Algunas funciones varían continua-
mente, cambios pequeños en 𝑥 producen sólo cambios pequeños en 𝑓(𝑥). Otras funciones pueden
tener valores que “saltan”, varían erráticamente, o tienden a aumentar o disminuir sin cota. La
noción de límite brinda una forma precisa de distinguir entre dichos comportamientos.
Iniciamos esta unidad viendo como surgen los límites cuando tratamos de encontrar la recta
tangente a una curva o la velocidad de un objeto.
1.1 El problema de la tangente
La palabra tangente se deriva de la voz latina tangens, que significa “tocar”. Así, una tangente a
una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe tener la
misma dirección que la curva en el punto de contacto, pero, ¿cómo puede precisarse esta idea?
Para una circunferencia podemos simplemente seguir la idea de Euclides y decir que la tangente
es una recta que interseca la circunferencia una y sólo una vez, como se ve en la Figura 1a). Para
curvas más complicadas esta definición es inadecuada. La Figura 1b) muestra dos rectas 𝑙 y 𝑡 que
pasan por un punto 𝑃 en una curva 𝐶. La recta l cruza 𝐶 sólo una vez, pero ciertamente no es la
idea que tenemos de lo que es una tangente. La recta 𝑡, por otro lado, se parece más a una
tangente, pero se interseca a 𝐶 dos veces.
Para ser más específicos, intentaremos resolver el problema de encontrar una recta 𝑡 tangente a
la parábola 𝑦 = 𝑥2 en el siguiente ejemplo.
a) b)
Figura 1: Representaciones gráficas de la recta tangente “t” a curvas, a) caso en que la recta
tangente intersecta a la curva en un solo punto, b) caso en que la recta tangente intersecta a
la curva en más de un punto.
Ejemplo: Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el punto (1, 1).
SOLUCION: Podremos encontrar la ecuación de la recta tangente 𝑡 a la parábola 𝑦 = 𝑥2 tan pronto
como conozcamos su pendiente m. La dificultad es que sólo conocemos un punto P sobre la recta
t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos. Sin embargo, observamos que podemos
calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano 𝑄 = (𝑥, 𝑥2) sobre la parábola (como
en la Figura 2) y calculando la pendiente 𝑚𝑃𝑄de la recta secante PQ. [Una recta secante, de la
palabra latina secans, que significa cortar, es una recta que interseca (corta) una curva más de
una vez.]
Elegimos x ≠ 1 de manera que Q ≠ P. Entonces 𝑚𝑃𝑄 =
𝑥2−1
𝑥−1
=
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1
.
Figura 2: Recta tangente a la gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 en el punto (1, 1).
Por ejemplo, para el punto Q=(1.5, f(1.5))=(1.5,2.25), tenemos
𝑚𝑃𝑄 =
2.25−1
1.5−1
=
1.25
0.5
= 2.5
Las Tablas 1 y 2 muestran los valores de 𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1
para varios valores de x cercanos a 1.
Tabla 1: Valores de 𝑚𝑃𝑄 , cuando 𝑄 = (𝑥, 𝑥
2) se aproxima al punto fijo 𝑃 = (1,1), por derecha.
𝑥 𝑚𝑃𝑄
2
1.5
1.1
1.01
1.001
3
2.5
2.1
2.01
2.001
Tabla 2: Valores de 𝑚𝑃𝑄 , cuando 𝑄 = (𝑥, 𝑥
2) se aproxima al punto fijo 𝑃 = (1,1), por izquierda.
Cuanto más cerca está 𝑄 de 𝑃, la 𝑥 es más cercana a 1 y, de las tablas, la pendiente 𝑚𝑃𝑄 está más
cerca de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m = 2.
Decimos que:
La pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto lo
expresamos simbólicamente escribiendo:
lim
𝑄→𝑃
𝑚𝑃𝑄 = 𝑚 y lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1
= 2.
Suponiendo que la pendiente de la recta tangente finalmente es 2, se utiliza la ecuación de la recta
en la forma punto-pendiente para escribir la ecuación de la recta tangente en (1, 1) como
𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1) o bien 𝑦 = 2𝑥 − 1.
1.2 Límites y movimiento: el problema de la velocidad instantánea
Ejemplo: Cálculo de velocidad promedio
Un automóvil parte, al medio día, de San Juan a Mendoza.
A las 2 horas después de su partida,
recorrió 120 𝑘𝑚. ¿Cuál es su velocidad media (o promedio) en el intervalo completo de 2 horas?
Solución:
𝒗𝒎 =
(𝑠(2)−𝑠(0))𝑘𝑚
(2−0)ℎ𝑠
=
120 𝑘𝑚
2 ℎ𝑠
= 60
𝑘𝑚
ℎ𝑠
.
Observe que la velocidad promedio no nos dice que tan rápido va el automóvil en algún momento
durante el intervalo de tiempo. Podría haber ido a una velocidad contante de 60 𝑘𝑚/ℎ𝑠 todo el
camino, o podría haber acelerado, disminuido la velocidad, o incluso detenerse
momentáneamente muchas veces durante el recorrido.
𝑥 𝑚𝑃𝑄
0
0.5
0.9
0.99
0.999
1
1.5
1.9
1.99
1.999
Sea un objeto que se mueve en una línea recta, de modo que su posición varía con el tiempo.
Sea 𝑠(𝑡) la distancia de la partícula a un punto fijo 0, en el instante 𝑡. Así, en el instante 𝑡 = 0 el
objeto se encuentra en 𝑠(𝑡0) y, en el instante t, se encuentra en 𝑠(𝑡). Luego, en el tiempo 𝑡 − 𝑡0,
la partícula se desplazó 𝑠(𝑡) − 𝑠(𝑡0) y su velocidad media, 𝑣𝑚, en el intervalo [𝑡0, 𝑡] es:
𝒗𝒎 =
𝑠(𝑡)−𝑠(𝑡0)
𝑡−𝑡0
.
Científicos como Galileo Galiley (1564-1642), que estudió el movimiento antes que Newton y
Leibniz, buscaron fórmulas que expresaran la velocidad como función del tiempo, es decir,
fórmulas que dieran valores instantáneos de 𝑣 para valores individuales de 𝑡. El paso de velocidad
media a velocidad instantánea, aunque parezca simple, hubo complicaciones. Ese desarrollo, que
tardó cerca de 100 años, condujo a la comprensión actual de límites.
¿Cómo calcular la velocidad de un objeto en cada instante? Vamos a investigar el ejemplo de la
caída de una pelota.
Figura 3: Imagen Complejo Le Parc Figueroa Alcorta extraído de
https://en.wikipedia.org/wiki/Le_Parc_Figueroa_Alcorta
Solución: Por medio de experimentos llevados a cabo hace cuatro siglos, Galileo descubrió que la
distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre (que se deja caer) es proporcional al
cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera la
resistencia del aire.) Si la distancia de caída después de t segundos se denota por 𝑠(𝑡) y se mide
en metros, entonces la ley de Galileo se expresa por la ecuación matemática: 𝑠(𝑡) = 4.9𝑡2.
Si asumimos que no hay resistencia del aire, la dificultad para encontrar la velocidad después de
5 segundos es que se trata de un sólo instante de tiempo (𝑡 = 5), por lo que no contamos con un
intervalo de tiempo. Sin embargo, podemos aproximar la cantidad deseada mediante el cálculo
de la velocidad promedio en el breve intervalo de tiempo de una décima de segundo, desde 𝑡 =
5 hasta 𝑡 = 5.1:
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑠(5.1) − 𝑠(5)
0.1
𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑃𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
4.9(5.1)2 − 4.9(5)2
0.1
= 49.49 𝑚/𝑠
La Tabla 3 muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante
intervalos de tiempo cada vez más pequeños.
Suponga que un objeto se deja caer
desde la torre Le Parc Figueroa
Alcorta (Argentina) ubicado a 175
metros de altura, sobre el suelo (ver
Figura 3). Encuentre la velocidad del
objeto a los 5 segundos.
https://en.wikipedia.org/wiki/Le_Parc_Figueroa_Alcorta
Intervalo de tiempo 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 Promedio (𝑚/𝑠)
5 ≤ t ≤ 6
5 ≤ t ≤ 5.1
5 ≤ t ≤ 5.05
5 ≤ t ≤ 5.01
5 ≤ t ≤ 5.001
53.9
49.49
49.245
49.049
49.0049
Tabla 3: Tendencia de la velocidad media, para 𝑠(𝑡) = 4.9𝑡2 , en períodos de tiempo más pequeños y
próximos a 5 segundos.
Parece que, a medida que se acorta el intervalo de tiempo, la velocidad promedio es cada vez más
cercana a 49 𝑚/𝑠. La velocidad instantánea cuando 𝑡 = 5𝑠 se define como el valor límite de estas
velocidades promedios, para intervalos de tiempo cada vez más cortos que comienzan en 𝑡 = 5𝑠.
Así, la velocidad instantánea, después de 5 𝑠, es 𝑣 = 49 𝑚/𝑠.
𝑣(5) = lim
𝑡→5
𝑠(𝑡) − 𝑠(5)
𝑡 − 5
= 49
𝑚
𝑠
.
Usted puede sospechar (y no está equivocado) que los cálculos utilizados en la solución de este
problema son muy similares a los utilizados anteriormente, en esta sección, para encontrar
tangentes. De hecho, hay una estrecha conexión entre el problema de obtener la pendiente de la
recta tangente y aquel de encontrar la velocidad instantánea.
Los ejemplos dados para resolver los problemas de la tangente y la velocidad instantánea,
muestran la necesidad de definir claramente el concepto de límite.
2. Límite finito
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función y 𝐿 ∈ ℝ. La gráfica de 𝑓 está indicada por la Figura 3.
Figura 3
"𝑓(𝑥) se
aproxima
al valor 𝐿"
“Cuando 𝑥 se
aproxima al valor 𝑎”
Nos interesa ver qué condiciones deben cumplir los valores 𝑓(𝑥) de la función para afirmar que
“los 𝑓(𝑥) se aproximan al número real determinado 𝐿, cuando puntos 𝑥 del dominio de 𝑓 se
acercan al valor 𝑎” (donde 𝑎 que puede o no pertenecer a dicho dominio).
En la gráfica de 𝑓, que se muestra en la Figura 3, vemos que cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 (por ambos
lados de 𝑎, esto es, tanto por izquierda como por derecha), 𝑓(𝑥) se aproxima a 𝐿. De hecho, parece
que podemos hacer que los valores de 𝑓(𝑥) estén tan cerca de L como queramos, tomando 𝑥
suficientemente cercano a 𝑎. Esto lo notamos escribiendo:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
Nota: En lo expresado anteriormente se asume la propiedad que “se pueden elegir valores 𝑥, del
dominio 𝐷 de 𝑓, suficientemente próximos a 𝑎 como se desee”. Esto significa que f está definida
en algún intervalo abierto que contiene a 𝑎, excepto posiblemente en 𝑎 misma. Al valor 𝑎 se
denomina punto de acumulación del conjunto D. En este escrito cuando digamos “𝑥 tiende a 𝑎”
asumimos que 𝑎 cumple con esta propiedad. Esto es, para que tenga sentido la definición de límite
funcional.
Observación:
Esta noción de límite la vamos a presentar en forma más rigurosa. Para ello hay que tener en
cuenta que la “cercanía” o “proximidad” entre números reales se puede determinar aplicando el
concepto de distancia. Recordemos que 𝑑 (𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|. De ello resulta:
1. al decir que “los valores de 𝑓 (𝑥) estén arbitrariamente cercanos a 𝐿 (tan cercanos a 𝐿 como
queramos)” significa “|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀, donde ε es un número real positivo y pequeño,
previamente fijado”.
2. Decir que “tomando valores de 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎 (por ambos lados de 𝑎), pero no
iguales a 𝑎” queremos decir que "0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿", con δ un número real positivo a determinar.
3. Hemos utilizaremos en 1. y 2. las letras griegas ε (epsilon) y δ (delta) para escribir en forma
más precisa lo anterior en cuanto a “cuan cercanos están” los valores de 𝑥 y 𝑓(𝑥) respecto a los
valores 𝑎 y 𝐿 respectivamente.
Definición 1: Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝐿 un valor real fijo.
Supongamos que f (x) está definida cuando 𝑥 esta cerca del número 𝑎. Entonces escribimos
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
y decimos que “el límite de 𝑓(𝑥), cuando 𝑥 tiende a 𝑎, es igual a 𝐿”si podemos hacer que los
valores de 𝑓(𝑥) estén arbitrariamente cercanos a L (tan cercanos 𝐿 como queramos), tomando
valores de 𝑥 suficientemente cerca de 𝑎 (por ambos lados de 𝑎), pero no iguales a 𝑎.
Observación:
La Definición 2 es correcta. La podemos también expresar utilizando notación de entorno,
teniendo en cuenta lo siguiente:
1. La expresión “para cada 𝜀 > 0" equivale “para cada 𝐸(𝐿, 𝜀)" .
2. La expresión “existe 𝛿 > 0” equivale “existe 𝐸𝑅(𝑎, 𝛿)" .
3. La expresión "0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿" equivale “𝑥 ∈ 𝐸𝑅(𝑎, 𝛿)" .
4. La expresión “|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀" equivale “𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿, 𝜀)” .
Ejemplo 1: Relación entre 𝜹 y 𝜺.
Ahora apliquemos la Definición 2 al siguiente caso.
Consideremos la función 𝑓 definida de la siguiente manera:
Figura 4
𝑥 2.8 2.9 2.99 2.999 … 3 … 3.001 3.01 3.1 3.2
𝑓(𝑥) 4.6 4.8 4.98 4.998 … 𝐿
… 5.002 5.02 5.2 5.4
Tabla 4
En la Tabla 4, se observa que los valores de la función se acercan al valor 5, cuando los valores de
𝑥 se acercan al número 3.
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 − 1 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3
4 , 𝑠𝑖 𝑥 = 3
El gráfico de f, dado en la Figura 4,
consiste en el punto aislado (3,4) y
en la recta de la cual se ha excluido
el punto (3,5).
Calculemos algunos valores de la
función en un entorno reducido
del punto 3, es decir, sin
preocuparnos por lo que sucede en
dicho valor.
Definición 2: Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) , 𝐿 un valor real fijo y 𝑎
punto de acumulación de 𝐷. Se dice que 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎, y escribimos
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
si para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 cumple que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 entonces
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.
Definición 3: Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) , 𝐿 un valor real fijo y 𝑎
punto de acumulación de 𝐷. Se dice que 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎, si para cada
𝐸(𝐿, 𝜀) existe 𝐸𝑅(𝑎, 𝛿) tal que si 𝑥𝜖𝐷 y 𝑥 ∈ 𝐸𝑅(𝑎, 𝛿) entonces 𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿, 𝜀).
Si se desea, por ejemplo, que la distancia entre 𝑓(𝑥) y 5 sea menor que diezmilésimo, podemos
considerar el siguiente razonamiento:
|𝑓(𝑥) − 5| < 0.0001
⇔ |(2𝑥 − 1) − 5| < 0.0001
⇔ |2𝑥 − 6| < 0.0001
⇔ |2| |𝑥 − 3| < 0.0001
⇔ |𝑥 − 3| <
0.0001
2
⇔ |𝑥 − 3| < 0.00005
Por lo tanto, 0 < |𝑥 − 3| < 0.00005 ⇒ |𝑓(𝑥) − 5| < 0.0001.
Es decir , “si consideramos valores de 𝑥, distinto a 3, cuya distancia al valor 3 sea menor a 0.00005,
entonces la distancia de las imágenes al valor 5 se mantienen menor a 0,0001.”
En efecto:
𝑥 2.99995 … 3 … 3.00005
𝑓(𝑥) 4.9999 … 𝐿 … 5.0001
Tabla 5
Obsérvese que primero se eligió el número 0,0001 y, en base a ese número, se obtuvo el número
0.00005.
En este caso podemos generalizar:
Para cualquier 𝜀 > 0 basta considerar 𝛿 =
𝜀
2
pues:
0 < |𝑥 − 3| < 𝛿 ⇒ |𝑥 − 3| <
𝜀
2
⇒ |2𝑥 − 6| < 𝜀 ⇒ |(2𝑥 − 1) − 5| < 𝜀
Hemos mostrado que el límite es 𝐿 = 5, y escribimos: lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 5
También hemos notado, en este análisis, que 𝛿 depende de 𝜀. Esto es: 𝛿 = 𝛿(𝜀).
Ejemplo 2: Relación entre 𝜹 y el punto 𝒂.
Figura 5
A partir del gráfico, dado en la Figura 5,
se puede observar que en general 𝛿
depende del punto 𝑎 .
Con estas observaciones podemos dar la siguiente definición:
2.1 Interpretación geométrica del concepto de límite finito de una función
Figura 6
2.2 Prueba de límites por definición
Método para obtener 𝜹 a partir de 𝛆
En el Ejemplo 1 vimos como a partir de considerar |𝑓(𝑥) − 𝐿| < ε y aplicando propiedades se
llega |𝐶|. |𝑥 − 𝑎| < 𝜀.
En general se pueden presentar dos casos:
Caso 1: Si 𝐶 = 𝑐𝑡𝑡𝑒. Entonces se define 𝛿 =
𝜀
|𝐶|
.
Caso 2: Si 𝐶 = 𝐶(𝑥) es función de x no se puede proceder como en el caso anterior. Debemos
encontrar una constante 𝑘 tal que |𝐶| < 𝑘. En cuyo caso podemos escribir |𝐶||𝑥 − 𝑎| < 𝑘|𝑥 − 𝑎|
y luego aplicar le regla del Caso 1 para definir 𝛿.
El proceso de determinar el valor 𝑘 se llama proceso de acotación.
Geométricamente, puede darse una
interpretación de límite en términos de la
gráfica de una función. Dada la gráfica (ver
Figura 6) de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) y dado
𝜀 > 0 , tracemos las rectas horizontales
𝑦 = 𝐿 − 𝜀 , 𝑦 = 𝐿 + 𝜀.
Si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 , entonces por cercanas
que estén estas rectas entre sí, siempre es
posible determinar una franja vertical,
limitadas por las rectas 𝑥 = 𝑎 + δ , 𝑥 =
𝑎 − δ , tal que para todo x del la franja
vertical, tal que 𝑥 ≠ 𝑎, sus
correspondientes caen dentro de la franja
horizontal. Esta comprobación se debe
verificar para cada ε > 0.
Si para algún ε esta comprobación falla,
entonces se dice que no existe el límite 𝐿.
Definición 4: Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) , 𝐿 un valor real fijo y 𝑎
punto de acumulación de 𝐷. Se dice que 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎, y escribimos
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
si para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 = 𝛿(𝜀, 𝑎) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 cumple que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 entonces
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.
Ejemplo 3:
Probar que lim
𝑥→2
(2𝑥 − 3) = 1. ( Notemos que: 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3; 𝑎 = 2 y 𝐿 = 1)
Solución: En primer lugar, para cualquier 𝜀 > 0 debemos probar que existe 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 tal que
si 𝑥𝜖𝐷 cumple que 0 < |𝑥 − 2| < 𝛿 entonces |(2𝑥 − 3) − 1| < 𝜀.
Paso 1: Como 𝛿 = 𝛿(𝜀) primero aplicamos el Método para obtener 𝛿 a partir de ε.
(Partimos de |(2𝑥 − 3) − 1| < 𝜀 hasta llegar a la expresión |𝐶||𝑥 − 2| < 𝜀 y luego tomamos 𝛿 =
𝛿(𝜀).)
|(2𝑥 − 3) − 1| < 𝜀
⇔ |2𝑥 − 4| < 𝜀
⇔ |2| |𝑥 − 2| < 𝜀
⇔ |𝐶||𝑥 − 2| < 𝜀 , con 𝐶 = 𝑐𝑡𝑡𝑒 = 2 ← Caso 1
Considerando el Caso 1: definimos 𝛿 = 𝛿(𝜀) =
𝜀
|𝐶|
=
𝜀
2
Paso 2: Veamos si 𝛿 = 𝛿(𝜀) =
𝜀
2
cumple con la definición.
Sea cualquier 𝜀 > 0 .
Sea 𝑥𝜖ℝ (ℝ = 𝐷 dominio de f) tal que |𝑥 − 2| < 𝛿(𝜀) entonces:
|𝑥 − 2| <
𝜀
2
⇒ 2. |𝑥 − 2| < 𝜀 ⇒ |2(𝑥 − 2)| < 𝜀 ⇒ |2𝑥 − 4| < 𝜀 ⇒ |(2𝑥 − 3) − 1| < 𝜀 ⇒
|𝑓(𝑥) − 1| < 𝜀
Hemos probado así que: lim
𝑥→2
(2𝑥 − 3) = 1.
3. Propiedades de los límites finitos
3.1 Unicidad del límite
Teorema : Sea la función 𝑓:𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ, definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥). Si existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
entonces este valor 𝐿 es único.
Demostración: Supongamos que existen dos números reales 𝐿1 y 𝐿2 tales que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1
y lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿2 . Probemos que 𝐿1 = 𝐿2.
Hacemos la demostración por el absurdo.
Supongamos que 𝐿1 ≠ 𝐿2. Luego 𝐿1 > 𝐿2 ó 𝐿2 > 𝐿1.
Si 𝐿1 > 𝐿2, podemos definir 𝜀 =
𝐿1−𝐿2
2
>0.
Luego, se cumple: (𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀) ∩ (𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 + 𝜀) = ∅ (*) (Ver Figura 7).
Figura 7
Por hipótesis:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 entonces dado 𝜀 > 0 (definido previamente) existe 𝛿1 = 𝛿1(𝜀) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷
cumple que:
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿1 entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿1| < 𝜀. (1)
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿2 entonces dado 𝜀 > 0 (definido previamente) existe 𝛿2 = 𝛿2(𝜀) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷
cumple que:
0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿2 entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿2| < 𝜀. (2)
Sea 𝛿 = min(𝛿1, 𝛿2), entonces 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 y se verifican (1) y (2) simultáneamente. Esto es:
De (1) |𝑓(𝑥) − 𝐿1| < 𝜀 ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ (𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀) (3).
De (2) |𝑓(𝑥) − 𝐿2| < 𝜀 ⇒ 𝑓(𝑥) ∈ (𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 + 𝜀) (4).
De (3) y (4) resulta: 𝑓(𝑥) ∈ (𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀) ∩ (𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 + 𝜀).
Entonces (𝐿1 − 𝜀, 𝐿1 + 𝜀) ∩ (𝐿2 − 𝜀, 𝐿2 + 𝜀) ≠ ∅ (**)
Observamos que (*) contradice (**). Este absurdo proviene de suponer 𝐿1 > 𝐿2.
En forma análoga, si suponemos 𝐿2 > 𝐿1 se llega a una contradicción.
Por lo tanto 𝐿1 = 𝐿2.
c.q.d.
3.2 Algunos Teoremas sobre Límites Finitos
Teorema 1: Las siguientes expresiones son equivalentes:
a) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿.
b) lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) − 𝐿) = 0.
Teorema 2: Si lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 entonces lim
𝑥→𝑎
|𝑓(𝑥)| = |𝐿|.
Teorema 3: Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones tales que:
a) para todo 𝑥 ∈ 𝐸𝑅(𝑎, 𝛿) se cumple 𝑓(𝑥) < 𝑔(𝑥).
b) Además, existen los límites lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿1 y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿2.
Entonces, se cumple: 𝐿1 < 𝐿2.
3.3 Límites de funciones algebraicas básicas
Teorema: Sean 𝑎 y 𝑏 números reales. Entonces se cumple:
1. lim
𝑥→𝑎
𝑏 = 𝑏; 2. lim
𝑥→𝑎
𝑥 = 𝑎.
Demostración:
1) Sea 𝑓:ℝ → ℝ definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑏, 𝑏 = 𝑐𝑡𝑡𝑒. Probemos que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑏 sii para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 cumple que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿
entonces |𝑓(𝑥) − 𝑏| < 𝜀.
Sea cualquier 𝜀 > 0 . En este caso 𝛿 es cualquier valor positivo. Pues para cualquier 𝜀 y 𝛿 positivo
se cumple:
si 𝑥𝜖𝐷 cumple que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 entonces |𝑏 − 𝑏| < 𝜀.
2) Sea 𝑓: ℝ → ℝ definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥. Probemos que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎.
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎 sii para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 cumple que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿
entonces |𝑓(𝑥) − 𝑎| < 𝜀.
Sea 𝜀 > 0 . Como |𝑓(𝑥) − 𝑎| = |𝑥 − 𝑎| considerando 𝛿 = 𝜀 se cumple:
si 𝑥𝜖𝐷 cumple que 0 < |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 entonces |𝑓(𝑥) − 𝑎| = |𝑥 − 𝑎| < 𝜀.
c.q.d.
También se cumple:
lim
𝑥→𝑎
√𝑥
𝑛
= √𝑎
𝑛
donde 𝑛 es un número entero positivo.
(Si 𝑛 es par, suponemos que 𝑎 > 0)
lim
𝑥→𝑎
√𝑓(𝑥)
𝑛 = √lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)𝑛 donde 𝑛 es un número entero positivo.
[Si 𝑛 es par, suponemos que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) > 0]
lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛 = 𝑎𝑛 donde n es un número entero positivo.
lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)]𝑛= [lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)]
𝑛
donde 𝑛 es un número entero positivo.
3.4 Álgebra de los límites
Estas cinco leyes pueden expresarse verbalmente como sigue:
1. “El límite de una suma es la suma de los límites”.
2. “El límite de una diferencia es la diferencia de los límites”.
3. “El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función”.
4. “El límite de un producto es el producto de los límites”.
5. “El límite de un cociente es el cociente de los limites (siempre que el límite del
denominador no sea cero)”.
Ejemplo 4: Evalúe los siguientes límites
a) lim
𝑥→5
(2𝑥2 − 3𝑥 + 4) b) lim
𝑥→−2
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥
Solución:
a) lim
𝑥→5
(2𝑥2 − 3𝑥 + 4) = lim
𝑥→5
(2𝑥2) − lim
𝑥→5
(3𝑥) + lim
𝑥→5
4
= 2 lim𝑥2
𝑥→5
− 3 lim 𝑥
𝑥→5
+ lim
𝑥→5
4
= 2(52) − 3(5) + 4
= 39
b) lim
𝑥→−2
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥
=
lim
𝑥→−2
(𝑥3+2𝑥2−1)
lim
𝑥→−2
(5−3𝑥)
=
lim
𝑥→−2
𝑥3 + 2 lim
𝑥→−2
𝑥2 − lim
𝑥→−2
1
lim
𝑥→−2
5 − 3 lim
𝑥→−2
𝑥
Suponga que c es una constante y que los límites lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) existen. Entonces:
1. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) + lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
2. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
3. lim
𝑥→𝑎
[𝑐𝑓(𝑥)] = 𝑐 lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
4. lim
𝑥→𝑎
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
5. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)
si lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) ≠ 0.
=
(−2)3 + 2(−2)2 − 1
5 − 3(−2)
= −
1
11
3.5 Propiedad de sustitución directa
Ejemplos:
1. lim
𝑥→−1
4𝑥2 − 𝑥 + 3 = 4. (−1)2 − (−1) + 3 = 8
2. lim
𝑥→2
3𝑥−2
𝑥+1
=
3.2−2
2+1
=
4
3
3.6 Límites de funciones iguales salvo en un punto
Las funciones con la propiedad de sustitución directa se llaman continuas en 𝑥 = 𝑎 y las
estudiaremos en esta unidad. Sin embargo, no todos los límites pueden ser evaluados por
sustitución directa, como se muestra en el Ejemplo 5.
Ejemplo 5: Encuentre lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
Solución:
Sea 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 1)/(𝑥 − 1). No podemos encontrar el límite por sustitución directa de 𝑥 = 1
porque 𝑓(1) no está definida. Tampoco podemos aplicar la ley del cociente porque el límite del
denominador es 0. Ahora, necesitamos de un proceso algebraico preliminar. Factorizando el
numerador como una diferencia de cuadrados:
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
=
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
El numerador y el denominador tienen un factor común de 𝑥 − 1. Cuando tomamos el límite
cuando 𝑥 tiende a 1, tenemos que 𝑥 ≠ 1 y, por tanto 𝑥 − 1 ≠ 0. Así, podemos cancelar el factor
común y calcular el límite como sigue:
lim
𝑥→1
𝑥2 − 1
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
= lim
𝑥→1
(𝑥 + 1)
Propiedad de sustitución directa Si 𝑓 es una función polinomial o una función racional
y 𝑎 esta en el dominio de 𝑓, entonces
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
= 1 + 1 = 2
Observemos que en el Ejemplo 5 pudimos calcular el límite sustituyendo la función dada, por la
función más sencilla, 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1, que posee el mismo límite. Esto es válido porque 𝑓 (𝑥) =
𝑔(𝑥), excepto cuando 𝑥 = 1, y al calcular el límite cuando x tiende 1, no se considera que sucede
cuando 𝑥 es en realidad igual a 1.
En forma general se cumple:
Nota: El límite en este ejemplo surgió en la introducción de esta unidad cuando intentamos hallar
la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥2 en el punto (1, 1).
3.7 Límites de funciones trigonométricas
Hemos visto que los límites de muchas funciones algebraicas son calculables por sustitución
directa. El teorema que sigue nos dice que las funciones trigonométricas seno y coseno también
poseen esa agradable propiedad
Teorema: Sea 𝑎 un número real. Se verifican las siguientes propiedades:
a) lim
𝑥→𝑎
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) b) lim
𝑥→𝑎
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑎)
Ejemplos:
1. lim
𝑥→𝜋
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = cos (𝜋) = −1
2. lim
𝑥→0
[(𝑥 + 1) 𝑠𝑒𝑛(𝑥)] = lim
𝑥→0
(𝑥 + 1). lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 1. 𝑠𝑒𝑛(0) = 1.0 = 0
4. Técnicas para el cálculo de límites
Hemos visto varios tipos de funciones cuyos límites se pueden calcular por sustitución directa.
Ahora presentaremos técnicas para reducir otros límites a esa forma.
En la primera técnica, usaremos el hecho algebraico de que para un polinomio 𝑃(𝑥):
si 𝑃(𝑎) = 0 sii (𝑥 − 𝑎) es divisor de 𝑃(𝑥)
sii 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑄(𝑥), donde 𝑄(𝑥) es el polinomio cociente
de dividir 𝑃(𝑥) en (𝑥 − 𝑎).
Si 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) cuando 𝑥 ≠ 𝑎, entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) siempre que el límite exista
4.1 Técnica de factorización-simplificación
Se aplica en las funciones racionales cuando nos encontramos con la expresión indefinida 0/0, al
aplicar la técnica de sustitución directa. En este caso decimos que el límite es indeterminado por
cuanto no podemos (a partir sólo de la expresión) calcular su límite. Una manera de lograrlo es
trabajando algebraicamente numerador y denominador mediante factorización, para luego
simplificar factores iguales.
Ejemplo 6:
Calcular lim
x→−3
x2+x−6
x+3
.
Solución:
Pese a tener una función racional, no puede aplicarse la regla del cociente para evaluar el límite.
lim
x→−3
(x2 + x − 6) = 0
lim
x→−3
x2+x−6
x+3
La sustitución directa
no se puede aplicar
lim
x→−3
(x + 3) = 0
Sin embargo, −3 es raíz del polinomio del numerador y del denominador, Por lo tanto:
lim
x→−3
x2 + x − 6
x + 3
= lim
x→−3
(x + 3)(x − 2)
(x + 3)
= lim
x→−3
(x − 2) = −5
Otro ejemplo: Evalúe lim
ℎ→0
(3+ℎ)2−9
ℎ
.
Solución:
Si definimos 𝐹(ℎ) =
(3+ℎ)2−9
ℎ
,
𝐹(ℎ) =
(9+6ℎ+ℎ2)−9
ℎ
=
6ℎ+ℎ2
ℎ
= 6 + ℎ cuando ℎ ≠ 0.
lim
ℎ→0
(3+ℎ)2
ℎ
= lim
ℎ→0
(6 + ℎ) = 6 .
4.2 Técnica de racionalización-simplificación
Se aplica en las funciones irracionales cuando nos encontramos con la expresión indefinida del
tipo 0/0.
Ejemplo 7: Encuentre lim
𝑡→0
√𝑡2+9−3
𝑡2
.
Solución:
lim
𝑡→0
√𝑡2 − 3 = 0 Caso 0/0
lim
𝑡→0
√𝑡2+9−3
𝑡2
lim
𝑡→0
𝑡2 = 0
lim
𝑡→0
√𝑡2+9−3
𝑡2
= lim
𝑡→0
√𝑡2+9−3
𝑡2
∙
√𝑡2+9+3
√𝑡2+9+3
= lim
𝑡→0
(𝑡2+9)−9
𝑡2(√𝑡2+9+3)
=lim
𝑡→0
𝑡2
𝑡2(√𝑡2+9+3)
=
= lim
𝑡→0
1
√𝑡2+9+3
=
1
√lim
𝑡→0
(𝑡2+9)+3
=
1
3+3
=
1
6
4.3 Límites conteniendo funciones trigonométricas
Ejemplo 8: Hallar el límite lim
𝑥→0
𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
.
Solución:
La sustitución directa llevaría a la expresión indefinida 0/0, pero usando 𝑡𝑔(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
podemos escribir:
lim
𝑥→0
𝑡𝑔(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
= lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥).cos (𝑥)
= lim
𝑥→0
1
𝑐𝑜𝑠(𝑥)
=
1
1
= 1
Teorema 4: (Teorema del Encaje o Emparedado)
Sean 𝑓, 𝑔 y ℎ tres funciones definidas en el mismo dominio 𝐷 y además que cumplen:
1) lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑎
ℎ(𝑥) = 𝐿.
2) Para todo 𝑥 de dominio 𝐷, tal que 𝑥 ≠ 𝑎 se cumple: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥).
Entonces se cumple lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝐿.
Figura 8
Ejercicio: Aplicación del Teorema del Encaje
Probar que lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1
Solución:
La sustitución directa
no se puede aplicar
𝑎
Consideremos la circunferencia trigonométrica (de radio 1) y en ella 𝑥 = 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝐵�̂�) la longitud
del arco 𝐵�̂� tal que 0 < 𝑥 <
𝜋
2
.
Figura 9
Considerando −
𝜋
2
< 𝑥 < 0 y realizando un análisis similar, al anterior, se puede escribir:
−𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≤ −𝑥 ≤ −𝑡𝑔(𝑥)=
−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
.
Entonces 1 ≤
−𝑥
−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
1
cos (𝑥)
.
Invirtiendo 1 ≥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
≥ cos (𝑥) (II).
De (I) y (II), para −
𝜋
2
< 𝑥 <
𝜋
2
y 𝑥 ≠ 0, se cumple: 1 ≥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
≥ cos (𝑥) . (*) (Ver Figura 2)
Además : lim
𝑥→0
1 = 1 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠 (𝑥) = 1 (**).
De (*) y (**). aplicando el Teorema del Encaje, resulta: lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1
Figura 10
Ejemplo 9: Hallar el límite lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
.
Sean 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝐴𝑃) y 𝑡𝑔(𝑥) = 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝐵𝑄).
Entonces se cumple:
𝑙𝑜𝑛𝑔(𝐴𝑃) ≤ 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝐵𝑃)̂ ≤ 𝑙𝑜𝑛𝑔(𝐵𝑄).
Por lo tanto: 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≤ 𝑥 ≤ 𝑡𝑔(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
.
Dividiendo m.a.m. por 𝑠𝑒𝑛(𝑥): 1 ≤
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
≤
1
cos (𝑥)
.
Invirtiendo: 1 ≥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
≥ cos (𝑥) (I).
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1
Solución:
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→0
2.
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2𝑥
= 2. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
(2𝑥)
= 2.1 = 2.
Ejemplo 10: Calcular lim
𝑥→0
𝑡𝑎𝑛( 𝑥)−𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑥3
.
Solución:
lim
𝑥→0
tg 𝑥−sen𝑥
𝑥3
= lim
𝑥→0
sen𝑥
cos𝑥
−sen𝑥
𝑥3
= lim
𝑥→0
sen𝑥−sen𝑥 cos 𝑥
𝑥3 cos 𝑥
= lim
𝑥→0
sen𝑥(1−cos𝑥)
𝑥3 cos𝑥
= lim
𝑥→0
sen𝑥(1−cos 𝑥)
𝑥3 cos 𝑥
∙
1+cos 𝑥
1+cos 𝑥
= lim
𝑥→0
sen𝑥(1−cos2 𝑥)
𝑥3 cos𝑥(1+cos 𝑥)
= lim
𝑥→0
sen3 𝑥
𝑥3 cos𝑥(1+cos 𝑥)
= lim
𝑥→0
(
sen𝑥
𝑥
)
3
∙ lim
𝑥→0
1
cos 𝑥(1+cos𝑥)
= 13 ∙
1
1(1+1)
=
1
2
.
5. Límites laterales
Consideremos el siguiente ejemplo.
Figura 11: Función de Heaviside
[Esta función lleva el nombre del Ingeniero Eléctrico Oliver Heaviside (1850-1925) y se utiliza
para describir una corriente eléctrica en un circuito en el tiempo 𝑡 = 0.] Su gráfica se muestra
en la Figura 11. Cuando 𝑡 se aproxima a 0 por la izquierda, 𝐻(𝑡) se aproxima a 0. Conforme 𝑡 se
aproxima a 0 por la derecha, 𝐻(𝑡) se aproxima a 1. No hay un único número al que se aproxime
𝐻(𝑡) cuando 𝑡 se aproxima a 0 (por izquierda y por derecha). Por tanto, lim
𝑥→0
𝐻(𝑥) no existe.
Podemos notar que 𝐻(𝑡) tiende a 0 cuando 𝑡 se aproxima a 0 por la izquierda, y 𝐻(𝑡) tiende a 1 a
medida 𝑡 se aproxima a 0 por la derecha. Esta situación se indica simbólicamente escribiendo
La función de Heaviside se define por:
𝐻(𝑡) = {
0 , si t < 0
1 , si t ≥ 0
.
lim
𝑡→0−
𝐻(𝑡) = 0 y lim
𝑡→0+
𝐻(𝑡) = 1.
El símbolo “𝑡 → 0−" indica que se consideran sólo los valores de 𝑡 que son menores que 0. De
igual modo, “𝑡 → 0+” indica que se consideran sólo los valores de 𝑡 que son mayores que 0.
Cuando escribimos:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿.
estamos diciendo que el límite izquierdo de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 [o el límite de 𝑓(𝑥)
cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda] es igual a 𝐿 si podemos hacer que los valores de 𝑓(𝑥) se
acerquen arbitrariamente a 𝐿, tanto como queramos, tomando 𝑥 suficientemente cercanos a 𝑎,
pero menores que 𝑎.
Del mismo modo, si se requiere que 𝑥 sea mayor que 𝑎, se obtiene “el límite de 𝑓 (𝑥) cuando 𝑥
tiende a 𝑎 por la derecha es igual a 𝐿” y escribimos
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑡) = 𝐿
Así, el símbolo“𝑥 → 𝑎+” significa que se consideran sólo 𝑥 > 𝑎. Formalmente:
Estas definiciones se ilustran en la Figura 12.
Definición: Diremos que 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la izquierda, y escribimos
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
sii para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 y 𝑥 ∈ (𝑎 − 𝛿, 𝑎) entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
𝜀.
Definición: Diremos que 𝐿 es el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a 𝑎 por la derecha, y escribimos
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿
sii para cada 𝜀 > 0 existe 𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 y 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑎 + 𝛿) entonces |𝑓(𝑥) − 𝐿| <
𝜀.
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Figura 12
Al comparar la definición de límite con las de los límites laterales, vemos que se cumple con
lo siguiente.
Ejemplo:
A) La gráfica de una función 𝑔 se muestra en la Figura 5. Utilícela para establecer los valores
(si existen) de lo siguiente:
𝑎) lim
𝑥→3−
𝑔(𝑥) 𝑏) lim
𝑥→3+
𝑔(𝑥) 𝑐) lim
𝑥→3
𝑔(𝑥)
𝑑) lim
𝑥→5−
𝑔(𝑥) 𝑒) lim
𝑥→5+
𝑔(𝑥) 𝑓) lim
𝑥→5
𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 si y sólo si lim
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥) = 𝐿 y lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝐿.
Figura 13
Solución: En la gráfica, dada en la Figura 13, vemos que los valores de 𝑔(𝑥) tienden a 9 conforme
𝑥 tiende a 3 por la izquierda, pero se acercan a 4 a medida 𝑥 tiende a 3 por la derecha. Por tanto,
𝑎) lim
𝑥→3−
𝑔(𝑥) = 3 y 𝑏) lim
𝑥→3+
𝑔(𝑥) = 4.
c) Dado que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, llegamos a la conclusión
que lim
𝑥→3
𝑔(𝑥) no existe.
La gráfica también muestra que: 𝑑) lim
𝑥→5−
𝑔(𝑥) = 2 y 𝑒) lim
𝑥→5+
𝑔(𝑥) = 2.
Por lo tanto, f) lim
𝑥→5
𝑔(𝑥) = 2.
B) Demuestre que lim
𝑥→0
|𝑥| = 0.
Solución: Recuerde que |𝑥| = {
𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0
−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < 0
.
Dado que |𝑥| = 𝑥 para 𝑥 > 0, tenemos
lim
𝑥→0+
|𝑥| = lim
𝑥→0+
𝑥 = 0.
Para 𝑥 < 0 tenemos |𝑥| = −𝑥 así que lim
𝑥→0−
|𝑥| = lim
𝑥→0−
(−𝑥) = 0.
Por tanto, lim
𝑥→0
|𝑥| = 0. Figura 14
C) Demuestre que lim
𝑥→0
|𝑥|
𝑥
no existe.
Solución:
lim
𝑥→0+
|𝑥|
𝑥
= lim
𝑥→0+
𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0+
1 = 1.
lim
𝑥→0−
|𝑥|
𝑥
= lim
𝑥→0−
−𝑥
𝑥
= lim
𝑥→0−
(−1) = −1.
Puesto que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se sigue, que lim
𝑥→0
|𝑥| ∕ 𝑥 no
existe. La gráfica de la función 𝑓(𝑥) = |𝑥| ∕ 𝑥 se muestra en la Figura 15 y exhibe la coincidencia
con los límites laterales que encontró.
Figura 15
D) Si 𝑓(𝑥) = { √𝑥 − 4, 𝑠𝑖 𝑥 > 4
8 − 2𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 < 4
, determine si lim
𝑥→4
𝑓(𝑥) existe.
Solución: Ya que 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4 para 𝑥 > 4, tenemos
lim
𝑥→4+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→4+
√𝑥 − 4 = √4 − 4 = 0
Dado que 𝑓(𝑥) = 8 − 2𝑥 para 𝑥 < 4, tenemos lim
𝑥→4−
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥→4−
(8 − 2𝑥) = 8 − 2 ∙ 4 = 0.
Los límites por la izquierda y por la derecha son iguales. Así que el límite existe y lim
𝑥→4
𝑓(𝑥) = 0.
La gráfica de 𝑓 se muestra en la Figura 16.
Figura 16
E) La función entero mayor está definida por ‖𝑥‖ = el mayor entero que es menor que o igual a
𝑥. (Por ejemplo, ‖4‖ = 4, ‖4.8‖ = 4, ‖𝜋‖ = 3, ‖√2‖ = 1, ‖−
1
2
‖ = −1).
Demuestre que lim
𝑥→3
‖𝑥‖ no existe.
Solución: La gráfica de la función entero mayor se ilustra en la Figura 17. Dado que ‖𝑥‖ = 3 para
3 ≤ 𝑥 < 4, tenemos, lim
𝑥→3+
‖𝑥‖ = lim
𝑥→3+
3 = 3.
Así que ‖𝑥‖ = 2 para 2 ≤ 𝑥 < 3, tenemos lim
𝑥→3−
‖𝑥‖ = lim
𝑥→3−
2 = 2.
Ya que estos límites laterales no son iguales, lim
𝑥→3
‖𝑥‖ no existe.
Figura 17: Función parte entera o entero mayor, 𝑓(𝑥) = ‖𝑥‖ .
6. Inexistencia de límite
Hemos visto casos, en el ejemplo anterior, cuando 𝑥 se acerca a 𝑎, tanto por la derecha como por
la izquierda, 𝑓(𝑥) tiende, en ambos casos, a un mismo valor 𝐿, que llamamos límite de la función.
También observamos casos en que esto no ocurre y entonces decimos que la función 𝑓 no tiene
límite en el punto 𝑎. Las situaciones más frecuentes que conducen a la inexistencia del límite de
la función 𝑓 en el punto a son las siguientes:
1. Límites laterales diferentes. 𝑓(𝑥) se aproxima por la derecha de 𝑎 a un valor y por la izquierda
a otro valor diferente.
2. Inexistencia del límite por oscilación. Las valores de 𝑓(𝑥) oscilan, indefinidamente, entre dos
valores fijos cuando 𝑥 se acerca a 𝑎.
3. El límite se hace infinito. 𝑓(𝑥) crece o decrece sin tope cuando 𝑥 se acerca a 𝑎, por la derecha o
por la izquierda.
6.1 Inexistencia de límite por oscilación
Veamos el siguiente ejemplo:
Investigue lim
𝑥→0
sen
𝜋
𝑥
.
Solución: Una vez más la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥
) no está definida en 0. Evaluando la función
para algunos valores pequeños de 𝑥, obtenemos:
𝑓(1) = 𝑠𝑒𝑛(𝜋) = 0 𝑓 (
1
2
) = 𝑠𝑒𝑛( 2𝜋) = 0
𝑓 (
1
3
) = 𝑠𝑒𝑛(3𝜋) = 0 𝑓 (1
4
) = 𝑠𝑒𝑛(4𝜋) = 0
𝑓(0.1) = 𝑠𝑒𝑛(10𝜋) = 0 𝑓(0.01) = 𝑠𝑒𝑛(100𝜋) = 0
Del mismo modo, 𝑓(0.001) = 𝑓(0.0001) = 0. Sobre la base de esta información podríamos estar
tentados a suponer que:
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥
) = 0
Pero esta vez nuestra suposición es errónea. Tenga en cuenta que, aunque 𝑓 (
1
𝑛
) = sen(𝑛𝜋) = 0
para cualquier entero 𝑛, también es cierto que 𝑓(𝑥) = 1 para muchos valores de 𝑥 cercanos a 0.
Esto puede verse en la gráfica de 𝑓 que se muestra en la Figura 18.
Figura 18: Función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥
).
Los valores del 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥
) oscilan infinitamente entre 1 y −1 cuando 𝑥 tiende a 0.
Ya que los valores de 𝑓(𝑥) no se acercan a un número fijo cuando 𝑥 tiende a 0,
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
𝑥
) no existe.
6.2 Límites Infinitos
Ejemplo: Encuentre lim
𝑥→0
1
𝑥2
, si existe.
Solución: Conforme 𝑥 se acerca a 0, 𝑥2 también se acerca a 0, y
1
𝑥2
se hace muy grande. (Ver
Tabla 5.)
Figura 19 Tabla 5
De hecho, se desprende de la gráfica de la función 𝑓 (𝑥) =
1
𝑥2
en la Figura 19, que los valores de
𝑓 (x) pueden ser arbitrariamente grandes, tomando 𝑥 lo suficientemente cercano a 0. Así, los
valores de 𝑓 (𝑥) no se aproximan a un número, por lo que lim
𝑥→0
1
𝑥2
no existe.
Para indicar el tipo de comportamiento exhibido en este ejemplo se usa la notación
lim
𝑥→0
1
𝑥2
= ∞
Aclaración Importante:
Esto no quiere decir que estemos considerando a ∞ como un número. Tampoco significa que el
límite existe. Simplemente expresa la forma particular en que el límite no existe:
1
𝑥2
puede hacerse
tan grande como queramos, tomando a 𝑥 suficientemente cerca de 0.
En general, podemos escribir simbólicamente
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞
para indicar que los valores de 𝑓(𝑥) tienden a ser más y más grandes (o “crecen sin límite”) a
medida que 𝑥 se acerca más y más a 𝑎. Diremos en este caso la función 𝑓 diverge, cuando 𝑥 tiende
a 𝑎.
Definición: Diremos que 𝑓(𝑥) tiende a más infinito, cuando 𝑥 tiende al valor 𝑎, y escribimos:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = ∞
sii para cada 𝑀 > 0 (tan grande como se quiera) existe 𝛿 = 𝛿(𝑀) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 cumple
que 𝑥 ∈ 𝐸𝑅(𝑎, 𝛿) entonces 𝑓(𝑥) > 𝑀.
𝑥 1
𝑥2
±1 1
±0.5 4
±0.2 25
±0.1 100
±0.05 400
±0.01 10000
±0.001 1000000
Figura 20
Figura 21
Propiedades de los límites infinitos. Si 𝑓 y 𝑔 son funciones tales que
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞ y lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = .
Entonces son válidas las siguientes propiedades:
1. Suma o diferencia: lim
𝑥→𝑥0
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = +∞.
2. Producto: lim
𝑥→𝑥0
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = +∞ , si > 0.
Definición: Diremos que 𝑓(𝑥) tiende a menos infinito, cuando 𝑥 tiende al valor 𝑎, y escribimos:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = −∞
sii para cada 𝑁 < 0 (tan chico como se quiera) existe 𝛿 = 𝛿(𝑁) > 0 tal que si 𝑥𝜖𝐷 cumple que
𝑥 ∈ 𝐸𝑅(𝑎, 𝛿) entonces 𝑓(𝑥) < 𝑁.
lim
𝑥→𝑥0
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = −∞, si < 0.
3. lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥)
=0.
Propiedades similares son válidas si lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = −∞.
Teorema: Si 𝑟 es cualquier número entero positivo, entonces
i) lim
𝑥→0+
1
𝑥𝑟
= +∞.
ii) lim
𝑥→0−
1
𝑥𝑟
={
+∞ , 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
−∞ , 𝑠𝑖 𝑟 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
.
Ejemplos:
lim
𝑥→0+
1
𝑥
= +∞ en este caso 𝑟 = 1 ; lim
𝑥→0−
1
𝑥
= −∞ , con 𝑟 = 1.
Figura 22
Otros ejemplos:
lim
𝑥→0+
1
𝑥5
= +∞ ; lim
𝑥→0+
1
𝑥6
= +∞ ; lim
𝑥→0−
1
𝑥7
= −∞ ; lim
𝑥→0−
1
𝑥4
= −∞.
7. Límites para x tendiendo a infinito
Con concepto de límite de una función cuando 𝑥 tiende a +∞ o −∞ se pretende estudiar el
comportamiento de la función cuando 𝑥 crece (o decrece) sin límite. Es decir, 𝑥 toma valores
extremadamente grandes, positivos (o negativos).
En otras palabras, esto indica que los valores de 𝑓 (𝑥) pueden acercarse arbitrariamente a
𝐿 (dentro de una distancia 𝜀, donde 𝜀 es cualquier numero positivo) tomando 𝑥 suficientemente
grande (más grande que 𝑁, donde 𝑁 depende de 𝜀). Gráficamente, esto nos dice que eligiendo 𝑥
suficientemente grande (más grande que algún numero 𝑁) podemos hacer que la gráfica de 𝑓 este
atrapada entre las rectas horizontales dadas 𝑦 = 𝜀 − 𝐿 e 𝑦 = 𝜀 + 𝐿 como se ve en la Figura
13. Esto debe ser verdadero sin importar que tan pequeño elijamos 𝜀. Si elegimos un valor de 𝜀
muy pequeño, entonces puede necesitarse un valor de 𝑁 muy grande.
Figura 23: lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Figura 24: lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿
Definición: Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ, definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥).
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 sii para cada 𝜀 > 0 existe 𝑁 = 𝑁(𝜀) tal que si 𝑥𝜖𝐷 y 𝑥 > 𝑁 entonces
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.
Definición:
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = 𝐿 sii para cada 𝜀 > 0 existe 𝑀 = 𝑀(𝜀) tal que si 𝑥𝜖𝐷 y 𝑥 < 𝑀 entonces
|𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀.
𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿, 𝜀)
𝑓(𝑥) ∈ 𝐸(𝐿, 𝜀)
Proposición (Propiedades Algebraicas de los Límites en el Infinito).
Las mismas propiedades se dan cuando 𝑥 → −∞.
Teorema:
i) Si 𝑟 > 0 es un número racional, entonces lim
𝑥→∞
1
𝑥𝑟
= 0.
ii) Si 𝑟 > 0 es un número racional tal que 𝑥𝑟 está definido para todo 𝑥, entonces lim
𝑥→−∞
1
𝑥𝑟
= 0.
Ejemplo 11: Calcular los límites cuando para 𝑥 → −∞ y 𝑥 → +∞, de las siguientes funciones:
I)𝑓 (𝑥) = −3𝑥5 + 𝑥2 − 1
Solución:
Empecemos calculando el límite cuando 𝑥 tiende a −∞:
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−∞
(−3 𝑥5⏞
→−∞
⏟
→+∞
+ 𝑥2⏟
→+∞
− 1) = +∞.
1. Constante: lim
𝑥→+∞
𝑐 = 𝑐
2. Múltiplo escalar: lim
𝑥→+∞
[𝑟 . 𝑓(𝑥)] = 𝑟. [ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)] , 𝑟 ∈ ℝ.
3. Suma o diferencia: lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) ± lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
4. Producto: lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) ∙ lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
5. Cociente: lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥)
, si lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) ≠ 0
6. Potencia: lim
𝑥→+∞
[𝑓(𝑥)]𝑟 = [ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)]
𝑟
7. Raíces: lim
𝑥→+∞
√𝑓(𝑥)
𝑛 = √ lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑛
Al intentar calcular el límite cuando 𝑥 tiende a +∞, nos encontramos con una indeterminación,
ya que lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
(−3 𝑥5⏞
→+∞
⏟
→−∞
+ 𝑥2⏟
→+∞
− 1).
Para salvarla, sacamos como factor común la máxima potencia de 𝑥 que aparece (la idea es que,
para valores más grandes de 𝑥, el término que determina el comportamiento de 𝑓 es el de la
mayor potencia de 𝑥):
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
(−3𝑥5 + 𝑥2 − 1) = lim
𝑥→+∞
𝑥5⏟
→+∞
(−3 +
1
𝑥3
⏞
→0
−
1
𝑥5
⏞
→0
)
⏟
→−3
= −∞
II) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 𝑥 + 2 − 𝑥
Solución:
El límite de esta función cuando 𝑥 → −∞ se puede calcular fácilmente:
lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−∞
√𝑥2 − 𝑥 + 2⏟
→+∞
−𝑥⏟
→+∞
= +∞
Procediendo en forma análoga para calcular el límite cuando 𝑥 → +∞, vemos que estamos en
presencia de una indeterminación del tipo “(+∞) − (+∞)”. Como la función es una diferencia que
involucra una raíz cuadrada, intentamos salvar la indeterminación multiplicando y dividiendo
por la expresión conjugada √𝑥2 − 𝑥 + 2 + 𝑥:
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→+∞
(√𝑥2 − 𝑥 + 2⏟
→+∞
− 𝑥⏟
→+∞
) =
= lim
𝑥→+∞
(√𝑥2−𝑥+2−𝑥)(√𝑥2−𝑥+2+𝑥)
√𝑥2−𝑥+2+𝑥
=
= lim
𝑥→+∞
𝑥2−𝑥+2−𝑥2
√𝑥2−𝑥+2+𝑥
= lim
𝑥→+∞
−𝑥+2⏞
→−∞
√𝑥2−𝑥+2+𝑥⏟
→+∞
=
= lim
𝑥→+∞
𝑥(−1+
2
𝑥
)
√𝑥2(1−
1
𝑥
+
2
𝑥2
)+1
= lim
𝑥→+∞
𝑥(−1+
2
𝑥
)
√𝑥2√1−
1
𝑥
+
2
𝑥2
+𝑥
=
= lim
𝑥→+∞
𝑥(−1+
2
𝑥
)
𝑥(√(1−
1
𝑥
+
2
𝑥2
)+1)
= −
1
2
Ejemplo 12: Evalúe lim
𝑥→∞
3𝑥2−𝑥−2
5𝑥2+4𝑥+1
e indique cuáles propiedades de los límites se utilizaron en
cada paso.
Solución: Cuando 𝑥 es muy grande, tanto numerador como denominador son muy grandes, así
que no es obvio qué pasa con su cociente. Necesitamos hacer algo de álgebra preliminar.
Para evaluar el límite en el infinito de cualquier función racional, primero dividimos el numerador
y el denominador por la potencia mayor de 𝑥 que hay en el denominador. (Suponemos que 𝑥 ≠ 0,
ya que estamos interesados sólo en valores muy grandes de 𝑥).
En este caso, la potencia mayor del denominador es 𝑥2, así que tenemos:
lim
𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥 − 2
5𝑥2 + 4𝑥 + 1
= lim
𝑥→∞
3𝑥2 − 𝑥 − 2
𝑥2
5𝑥2 + 4𝑥 + 1
𝑥2
= lim
𝑥→∞
3 −
1
𝑥2
−
2
𝑥2
5 +
4
𝑥2
+
1
𝑥2
=
lim
𝑥→∞
(3 −
1
𝑥 −
2
𝑥2
)
lim
𝑥→∞
(5 +
4
𝑥
+
1
𝑥2
)
=
lim
𝑥→∞
3 − lim
𝑥→∞
1
𝑥
− lim
𝑥→∞
1
𝑥2
lim
𝑥→∞
5 + lim
𝑥→∞
4
𝑥 + lim𝑥→∞
1
𝑥2
=
3 − 0 − 0
5 + 0 + 0
=
3
5
Ejemplo 13: Calcule lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥).
Solución: Ya que tanto √𝑥2 + 1 como 𝑥 son muy grandes para cuando 𝑥 es grande, es difícil ver
qué pasa con su diferencia, así que utilizamos el álgebra para reescribir la función. Primero
multiplicamos el numerador y el denominador por el radical conjugado:
lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥) = lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥)
√𝑥2+1+𝑥
√𝑥2+1+𝑥
= lim
𝑥→∞
(𝑥2+1)−𝑥2
√𝑥2+1+𝑥
= lim
𝑥→∞
1
√𝑥2+𝑥+𝑥
Observe que el denominador de esta última expresión (√𝑥2 + 1 + 𝑥) resulta muy grande
cuando 𝑥 → ∞. Así que lim
𝑥→∞
(√𝑥2 + 1 − 𝑥) = lim
𝑥→∞
1
√𝑥2+𝑥+𝑥
= 0.
Ejemplo 14: Encuentre lim
𝑥→∞
(𝑥2 − 𝑥) .
Solución: Sería un error escribir: lim
𝑥→∞
(𝑥2 − 𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑥2 − lim
𝑥→∞
𝑥 = ∞ −∞.
Las leyes de los límites no pueden aplicarse a límites infinitos porque ∞ no es un número (∞−
∞ no puede definirse). Sin embargo, podemos escribir: lim
𝑥→∞
(𝑥2 − 𝑥) = lim
𝑥→∞
𝑥(𝑥 − 1) = ∞.
Esto es, debido a que tanto 𝑥 como 𝑥 − 1 se hacen arbitrariamente grandes y, por tanto, también
su producto.
8. Infinitésimos
Designaremos con letras griegas a los infinitésimos.
Ejemplos:
La función 𝛼(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es un infinitésimo en x=0, pues lim
x→0
α(x) = 0.
La función 𝛽(𝑥) = (𝑥 − 1)2es un infinitésimo en x=1, pues lim
x→1
β(x) = 0.
Observación: Hablar de números infinitésimos es un error, ya que el concepto de infinitésimo se
define para variables que tienden a cero, y los números no son variables.
El siguiente teorema es de fundamental importancia para la unidad de derivadas. Dice que toda
función con límite en un punto, se puede expresar como el límite más un infinitésimo en dicho
punto.
Teorema: Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) tal que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿. Entonces puede
escribirse 𝑓(𝑥) = 𝐿 + 𝛿(𝑥), donde 𝛿(𝑥) es un infinitésimo en 𝑥 = 𝑎.
Demostración:
Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) tal que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿.
(D.p.q. 𝑓(𝑥) = 𝐿 + 𝛿(𝑥), donde 𝛿(𝑥) es un infinitésimo en 𝑥 = 𝑎 )
Por una propiedad de límite, se tiene que:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⇔ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) − 𝐿) = 0 .
O sea: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿 ⟺ 𝑓(𝑥) − 𝐿 es un infinitésimo en 𝑥 = 𝑎.
Considerando 𝛿(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝐿 infinitésimo en 𝑥 = 𝑎, se cumple, entonces 𝑓(𝑥) = 𝐿 + 𝛿(𝑥).
c.q.d.
Teorema: Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) tal que lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0. Sea 𝑔: 𝐷 → ℝ, con
𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑔(𝑥) una función acotada entonces se cumple: lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = 0.
“El producto de un infinitésimo por una función acotada es un infinitésimo”.
Definición: Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se dice que es un infinitésimo en un punto 𝑎, si su límite en
dicho punto es cero.
𝑓 infinitésimo en 𝑎 ⇔ lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0.
Ejemplo: Calcular el siguiente límite lim
𝑥→0
(𝑥 sin
1
𝑥
).
Solución: Dado que la función seno está acotada −1 ≤ 𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
≤ 1, para 𝑥 ≠ 0. Aplicando el
Teorema anterior, resulta lim
𝑥→0
(𝑥 sen
1
𝑥
) = 0.
Nota: El resultado es correcto, a pesar de que lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛
1
𝑥
no existe.
8.1 Operaciones con infinitésimos
1. La suma o diferencia de infinitésimos en 𝑥 = 𝑎, es otro infinitésimo en 𝑥 = 𝑎.
2. El producto de una constante y un infinitésimo en 𝑥 = 𝑎, es otro infinitésimo en 𝑥 = 𝑎.
3. El producto de dos infinitésimos en 𝑥 = 𝑎 es otro infinitésimo en 𝑥 = 𝑎.
Nota: No siempre el cociente de dos infinitésimos en 𝑥 = 𝑎 es otro infinitésimo en 𝑥 = 𝑎.
Ejemplos:
𝛿(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es un infinitésimo en 𝑥 = 0, pues lim
x→0
δ(x) = 0.
𝛽(𝑥) = 𝑥 es un infinitésimo en 𝑥 = 0, pues lim
x→0
β(x) = 0.
Pero lim
x→0
δ(x)
β(x)
= lim
x→0
sen(x)
x
= 1 ⇒ lim
x→0
δ(x)
β(x)
≠ 0 ⇒
δ(x)
β(x)
no es un infinitésimo en 𝑥 = 0.
8.2 Comparación de infinitésimos
Sean 𝛼(𝑥) y 𝛽(𝑥) infinitésimos para 𝑥 = 𝑎. Entonces:
1. Si lim
𝑥→𝑎
𝛼(𝑥)
𝛽(𝑥)
= 𝐿 con 𝐿 ≠ 0, diremos que los dos infinitésimos son del mismo orden.
2. Si lim
𝑥→𝑎
𝛼(𝑥)
𝛽(𝑥)
= 0, diremos que 𝛼(𝑥) es un infinitésimo de orden superior a 𝛽(𝑥).
3. lim
𝑥→𝑎
𝛼(𝑥)
𝛽(𝑥)
= ∞, diremos que 𝛽(𝑥) es un infinitésimo de orden superior a 𝛼(𝑥).
8.3 Infinitésimos equivalentes
Dos infinitésimos, en un mismo punto, se dicen que son equivalentes, cuando el límite de su
cociente es la unidad.
Teorema (de Sustitución de infinitésimos)
Cuando, en un límite, un infinitésimo esté multiplicando o dividiendo se le puede sustituir por
otro equivalente.
Definición: Sean 𝛼(𝑥) y 𝛽(𝑥) infinitésimos para 𝑥 = 𝑎. Diremos que 𝛼(𝑥) y 𝛽(𝑥) son
infinitésimos equivalentes, y escribiremos
𝛼(𝑥) ~ 𝛽(𝑥), sii lim
𝑥→𝑎
𝛼(𝑥)
𝛽(𝑥)
= 1.
Aplicación del teorema anterior: Supongamos que sean 𝛼(𝑥) y β(x) infinitésimos equivalentes
para 𝑥 = 𝑎. Y supongamos que nos encontramos con un límite en el que aparece
𝛼(𝑥) multiplicando o dividiendo:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(𝛼(𝑥). ℎ(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(
𝛼(𝑥)
𝛽(𝑥)
. 𝛽(𝑥). ℎ(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝛼(𝑥)
𝛽(𝑥)
. 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(𝛽(𝑥). ℎ(𝑥)) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
(𝛽(𝑥). ℎ(𝑥))
Es decir, hemos sustituido α(x) por β(x) el nuevo límite puede resultar más fácil que el anterior.
Equivalencia entre infinitésimos más frecuentes en 𝒙 = 𝟎
Ejemplo: Calcular los siguientes límites:
1. lim
𝑥→0
2 sen2(𝑥)
𝑥2(1 + cos(𝑥))
2. lim
𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
sen(2𝑥)
Solución:
1. lim
𝑥→0
2 sen2(𝑥)
𝑥2(1 + cos(𝑥))
= lim
𝑥→0
2𝑥2
𝑥2(1 + cos(𝑥))
= lim
𝑥→0
2
1 + cos(𝑥)
=
2
2
= 1
2. lim
𝑥→0
𝑒𝑥 − 1
sen(2𝑥)
= lim
𝑥→0
𝑥
2𝑥
=
1
2
Trigonométricos:
sen( 𝑥)~𝑥 arc sen (𝑥)~𝑥
tg( 𝑥)~𝑥 arc tg( 𝑥)~𝑥
1 − cos(𝑥)~
𝑥2
2
Exponenciales, logarítmicos, potencias y raíces:
𝑥~ln(1 + 𝑥)
𝑒𝑥 − 1~𝑥
𝑎𝑥 − 1 = 𝑥 ∙ ln 𝑎
(1 + 𝑥)𝑛 − 1~𝑛𝑥
√1 + 𝑥
𝑛
− 1~
𝑥
𝑛
9. Indeterminaciones en los límites
Frecuentemente hay que estudiar, por ejemplo, el límite de una suma o producto de dos funciones
precisamente cuando las reglas que hemos visto anteriormente no se pueden aplicar. Se trata de
aquellos casos en que el comportamiento de las funciones 𝑓 + 𝑔 y 𝑓. 𝑔, no está determinado por
el de 𝑓 y 𝑔. Por ejemplo, si sabemos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = +∞ y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = −∞ ¿qué podemos decir
en general del comportamiento en el punto 𝑎 de la función 𝑓 + 𝑔? No se puede responder nada.
Ya que se requiere un estudio particular en cada caso. Suele decirse en estos casos que los límites
resultan indeterminados, y la clase de indeterminación es del tipo “∞ −∞”.
Análogamente, si sabemos que 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 0 y que la función 𝑔 es divergente (positivamente o
negativamente) cuando x tiende a 𝑎, ello no proporciona ninguna información sobre el
comportamiento de la función 𝑓. 𝑔 en dicho punto. Cuando esto ocurre se dice que el límite
𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) es una indeterminación del tipo “0.∞”.
Las indeterminaciones que aparecen al estudiar el cociente de dos funciones divergentes o de dos
funciones con límite cero (infinitésimos), es decir, las llamadas indeterminaciones de los tipos
“∞/∞”, “0/0”, pueden reducirse a una indeterminación del tipo “ 0. ∞”.
En general los casos de indeterminación del límite se pueden resumir en los siguientes:
1) Caso 0/0 “cociente de dos infinitésimos”.
2) Caso ∞/∞ “cociente de dos infinitos”.
3) Caso 0.∞ “producto de un infinitésimo por un infinito”.
4) Caso ∞−∞ “suma de dos infinitos de distinto signo”.
5) Casos: 1∞, 00 y ∞0.
Ejemplo 15:
lim
𝑥→+∞
[√𝑥2 + 5𝑥 + 1 − 2𝑥]
lim
𝑥→+∞
[√𝑥2 + 5𝑥 + 1 − 2𝑥] = lim
𝑥→+∞
[√𝑥2 (1 +
5
𝑥
+
1
𝑥2
) − 2𝑥]
= lim
𝑥→+∞
[√𝑥2√1 +
5
𝑥
+
1
𝑥2
− 2𝑥]
Es importante destacar que:
cuando se presenta una indeterminación, en cualesquiera de los
casos, el límite puede existir o no.
Para calcular límites donde se presentan casos de
indeterminación, conviene, como ya hemos visto, recurrir a
artificios de tipo algebraicos, propiedades y resultados.
= lim
𝑥→+∞
[|𝑥|√1 +
5
𝑥
+
1
𝑥2
− 2𝑥]
Como 𝑥 está definida a través de valores positivos entonces |𝑥| = 𝑥.
= lim
𝑥→+∞
[𝑥√1 +
5
𝑥
+
1
𝑥2
− 2𝑥]
= lim
𝑥→+∞
𝑥 [√1 +
5
𝑥
+
1
𝑥2
− 2]
= −∞
9.1 Límites con el número 𝒆
El siguiente resultado es útil cuando se presentan indeterminaciones del tipo 1∞. En muchos
casos se pueden resolver haciendo transformaciones para expresar el límite a la forma.
lim
𝑥→∞
(1 +
1
𝑥
)𝑥 = 𝑒 , o también lim
𝑥→∞
(1 +
𝑘
𝑥
)𝑥 = 𝑒𝑘.
Figura 25
Este resultado también se puede generalizar.
Si 𝑃(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 es un polinomio de grado uno, entonces se cumple:
lim
𝑥→∞
(1 +
𝑘
𝑃(𝑥)
)
𝑃(𝑥)
= 𝑒𝑘 .
Ejemplo: Calcular lim
𝑥→∞
(
𝑥+1
𝑥−1
)
𝑥
.
Solución:
lim
𝑥→∞
(
𝑥 + 1
𝑥 − 1
)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(
(
𝑥 + 1
𝑥 )
(
𝑥 − 1
𝑥 )
)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(
1 +
1
𝑥
1 −
1
𝑥
)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(
1 +
1
𝑥
1 +
1
(−𝑥)
)
𝑥
=
lim
𝑥→∞
(1+
1
𝑥
)
𝑥
(1+
1
(−𝑥)
)
𝑥 = lim
𝑥→∞
(1+
1
𝑥
)
𝑥
((1+
1
(−𝑥)
)
−𝑥
)
−1 =
𝑒
𝑒−1
=𝑒2.
10. Continuidad de Funciones
10.1 Funciones continuas
Hemos visto que el límite de una función cuando 𝑥 tiende a 𝑎, con frecuencia se obtiene
simplemente calculando el valor de la función en 𝑎. Las funciones con esta propiedad son
llamadas continuas en 𝑥 = 𝑎. Veremos que la definición matemática de continuidad coincide
notoriamente con el sentido de continuidad que la palabra tiene en el lenguaje cotidiano. (Un
proceso continuo es uno que se lleva a cabo gradualmente, sin interrupción o cambio brusco.)
Figura 26
Note que la definición requiere implícitamente tres cosas. Si 𝑓 es continua en 𝑎, entonces:
1. 𝑓(𝑎) está definida (esto es, 𝑎 está en el dominio de 𝑓).
2. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) existe.
3. lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
Definición: Una función 𝑓 es continua en un número 𝑥 = 𝑎 sii lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎).
𝑓(𝑥) tiende a 𝑓(𝑎).
Cuando 𝑥 tiende al valor 𝑎.
Cuando falla alguna de estas tres condiciones la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) se dice discontinua en 𝑥 = 𝑎.
Notas:
La definición de continuidad en un punto es una definición local, mientras que la
continuidad en un conjunto es global.
Los fenómenos físicos son generalmente continuos. Por ejemplo, el desplazamiento o la
velocidad (rapidez) de un vehículo varían continuamente con el tiempo, como lo hace la
estatura de una persona. Pero hay otras situaciones, como la corriente eléctrica, donde
ocurren discontinuidades. [Recordar que la función de Heaviside es discontinua en 0.]
Geométricamente, una función continua en cada número de un intervalo puede pensarse
como una función cuya gráfica no tiene interrupciones. La gráfica puede dibujarse sin
levantar el lápiz del papel.
Ejemplo 16: Probar que la función lineal 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 1 es continua en 𝑥 = −3.
1) Existe 𝑓(−3)?
𝑓(−3) = 4. (−3) − 1 = −13 ⇒ Si existe 𝑓(−3).
2) Existe lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) ?
lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→−3
(4𝑥 − 1) = −13 ⇒ Si existe lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥).
3) f(-3)= lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) ?
𝑓(−3) = −13
⇒ f(-3)= lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥).
lim
𝑥→−3
𝑓(𝑥) = −13
Como se cumplen las condiciones 1), 2) y 3) de continuidad, se concluye 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 1 es
continua en 𝑥 = −3.
Definición: Diremos que una función es continua, si es continua en todo punto de su dominio.
Definición: Continuidad en un intervalo
La función 𝑓 es continua por la derecha en 𝑎, si lim
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎); y continua por la izquierda
en 𝑏, si lim
𝑥→𝑏−
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑏).
Decimos que 𝑓 es continua en un intervalo abierto si es continua en cada punto de ese
intervalo. Es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] si es continua en (𝑎, 𝑏) continua por la
derecha en 𝑎 y continua por la izquierda en 𝑏
Álgebra de funciones continuas
Observación: Como la 𝑓(𝑥) = 𝑐 , con 𝑐 = 𝑐𝑡𝑡𝑒. , y 𝑔(𝑥) = 𝑥 son continuas, entonces la función
ℎ(𝑥) = 𝑐 𝑥𝑛 con 𝑛 natural es continua.
Nota: Como una ilustración del teorema anterior, observe que el volumen de una esfera varía
continuamente con su radio porque la fórmula 𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 muestra que V es una función polinomial
de r. Del mismo modo, si una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad de
50 𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠, entonces la altura de la pelota en pies, 𝑡 segundos después, está dada por la formula
ℎ = 50𝑡 − 16 𝑡2. Otra vez, esta es una función polinomial, así que la altura es una función continua
del tiempo transcurrido.
Saber que funciones son continuas nos permite evaluar muy rápidamente algunos límites, como
se observa en el siguiente ejemplo.
Ejemplo:
Encuentre el lim
𝑥→−2
𝑥3 + 2𝑥2 − 1
5 − 3𝑥
Solución:
La función 𝑓(𝑥) =
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥
es racional, así que por el teorema es continua en su dominio, que
es {𝑥/𝑥 ≠
5
3
}.
Por tanto, lim
𝑥→−2
𝑥3+2𝑥2−1
5−3𝑥
= lim
𝑥→−2
𝑓(𝑥) = 𝑓(−2) =
(−2)3+2(−2)2−1
5−3(−2)
= −
1
11
.
Teorema: Si 𝑓 y 𝑔 son continuas en 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑐 es una constante, entonces las siguientes
funciones son también continuas en 𝑥 = 𝑎:
𝟏. 𝑓 + 𝑔 𝟐. 𝑓 − 𝑔 𝟑. 𝑐. 𝑓 𝟒. 𝑓. 𝑔 𝟓.
𝑓
𝑔
si 𝑔(𝑎) ≠ 0
Teorema:
a) Cualquier función polinomial es continua en todo su dominio; es decir, es continua
sobre ℝ = (−∞,∞)
b) Cualquier función racional es continua siempre que esté definida; esto es, es
continua en su dominio
Ejemplo: Sabemos que 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) es continua en ℝ. Además 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1 es continua en ℝ.
Luego, 𝑓𝑜𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑥 − 1) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 1) es continua en ℝ.
Ejemplo: Evalúe lim
𝑥→1
arcsen (
1−√𝑥
1−𝑥
).
Solución: Ya que arcseno es una función continua, aplicamos el teorema anterior:
lim
𝑥→1
arcsen (
1 − √𝑥
1 − 𝑥
) = arcsen (lim
𝑥→1
1 − √𝑥
1 − 𝑥
)
= arcsen (lim
𝑥→1
1 − √𝑥
(1 − √𝑥)(1 + √𝑥)
)
= arcsen (lim
𝑥→1
1
1 + √𝑥
)
= arcsen
1
2
=
𝜋
6
10. 2 Funciones discontinuas
Teorema: Los siguientes tipos de funciones son continuas en todo punto de sus
dominios.
1. Funciones raíz enésima.
2. Funciones trigonométricas.
3. Funciones trigonométricas inversas.
4. Funciones exponenciales.
5. Funciones logarítmicas.
6. Funciones hiperbólicas.
Sabemos que para que una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) sea continua en 𝑥 = 𝑎 debe cumplir las tres
condiciones:
1) Existir 𝑓(𝑎).
2) Existir lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) .
3) 𝑓(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) .
Si no se verifica alguna de las tres condiciones la función 𝑓se dice discontinua en 𝑥 = 𝑎.
Teorema: Si 𝑓 es continua en 𝑏, y lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥) = 𝑏, entonces lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓(𝑏).
En otras palabras, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓 (lim
𝑥→𝑎
𝑔(𝑥)).
Veamos a continuación el siguiente:
Planteo: La Figura 27 muestra la gráfica de una función ℎ. Para qué valores de 𝑥 = 𝑎, ℎ es
discontinua? ¿Por qué?
Figura 27
Solución:
Observemos que hay una discontinuidad cuando 𝑎 = 1 porque la gráfica tiene una
ruptura allí. La razón formal de que 𝑓 es discontinua en 1 es que 𝑓 (1) no está definida.
La gráfica también tiene una ruptura cuando 𝑎 = 3, pero la razón para la discontinuidad
es diferente. Aquí, 𝑓 (3) está definida, pero lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) no existe (porque los límites por la
izquierda y por la derecha son diferentes), así que f es discontinua en 𝑥 = 3.
¿Qué hay en relación con 𝑎 = 5? Aquí, 𝑓 (5) está definida y el lim
𝑥→5
𝑓(𝑥)existe (porque los
límites por la izquierda y por la derecha son iguales). Pero lim
𝑥→5
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(5) . Así que 𝑓 es
discontinua en 5.
Casos de discontinuidades
Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ una función dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥), y 𝑎 un número real.
Caso I:
Si la función 𝑓 no está definida en 𝑥 = 𝑎, pero existe 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), diremos que 𝑓 es discontinua
evitable en 𝑥 = 𝑎.
En general, las discontinuidades pueden provenir de las siguientes causas:
a) 𝑓 no está definida en 𝑥 = 𝑎.
b) 𝑓 está definida en 𝑥 = 𝑎, pero no existe 𝐿 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥).
c) 𝑓 está definida en 𝑥 = 𝑎 y existe L=lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) pero 𝐿 ≠ 𝑓(𝑎).
d) 𝑓 no está definida en 𝑥 = 𝑎 y no existe lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥).
En este caso podemos salvar la discontinuidad ampliando el dominio de la función dada, como
sigue:
𝑔(𝑥) = {
𝑓(𝑥) , 𝑠𝑖 𝑥𝜖𝐷 𝑦 𝑥 ≠ 𝑎
𝐿 , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎
.
Caso II:
Si la función 𝑓 está definida en 𝑥 = 𝑎, existe 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥), pero 𝑓(𝑎) ≠ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)diremos que 𝑓 es
discontinua evitable en 𝑥 = 𝑎.
En este caso podemos salvar la discontinuidad redefiniendo la imagen de la función dada en 𝑥 =
𝑎, como sigue:
𝑔(𝑥) = {
𝑓(𝑥) , 𝑠𝑖 𝑥𝜖𝐷 𝑦 𝑥 ≠ 𝑎
𝐿 , 𝑠𝑖 𝑥 = 𝑎
Caso III:
Si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) no existe, entonces diremos que 𝑓 es discontinua inevitable en 𝑥 = 𝑎.
Sean 𝐿1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎+
𝑓(𝑥) y 𝐿2 = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎−
𝑓(𝑥).
Llamaremos salto al valor |𝐿1 − 𝐿2|.
Si |𝐿1 − 𝐿2| es un número finito, entonces diremos que la discontinuidad es inevitable de
primera especie.
Si |𝐿1 − 𝐿2| no es finito, entonces diremos que la discontinuidad es inevitable de segunda
especie.
Ejemplo: Observando las gráficas de las siguientes funciones, dadas en las Figuras 20 a 23, indicar
dónde son discontinuas cada una de ellas.
Figura 20: Gráfica de 𝑓(𝑥) =
𝑥2−𝑥−2
𝑥−2
. Figura 21: Gráfica de 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥2
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 0
1 , 𝑠𝑖 𝑥 = 0
.
Figura 22: Gráfica de 𝑓(𝑥) = {
𝑥−𝑥−22
𝑥−2
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 2
1 , 𝑠𝑖 𝑥 = 2
. Figura 23: Gráfica de 𝑓(𝑥) = ⟦𝑥⟧.
Solución: En cada caso la gráfica no puede ser dibujada sin levantar el lápiz del papel porque hay
un agujero o ruptura o salto en la gráfica.
En el caso correspondiente a la Figura 20, 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 2. En el caso de la Figura
21, es discontinua en 𝑥 = 0. En la Figura 22, la función es discontinua en 𝑥 = 2. Mientras
que, para la Figura 23, es discontinua para todo valor entero.
El tipo de discontinuidad ilustradas en las Figuras 20 y 22 se llama evitable porque
podemos salvar la discontinuidad ampliando Para el caso de la Figura 20 ó redefiniendo 𝑓
sólo en 𝑥 = 2 para Figura 22.
La discontinuidad en el caso de la función dada en la Figura 21 se llama discontinuidad
inevitable de segunda especie porque el salto no es finito.
Las discontinuidades para el caso de la Figura 23 se llaman discontinuidades inevitables
de primera especie, porque los saltos son finitos.
Ejemplo:
Sea 𝑔 la función definida por 𝑔(𝑥) = {
1
𝑥 − 2
si 𝑥 ≠ 2
3 si 𝑥 = 2
Figura 24
La Figura 24 muestra la gráfica de la función 𝑔. Se investigarán las tres condiciones de la
definición.
1) 𝑔(2) = 3
2) lim
𝑥→2−
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→2−
1
𝑥 − 2
lim
𝑥→2+
𝑔(𝑥) = lim
𝑥→2+
1
𝑥 − 2
= −∞ = +∞
lim
𝑥→2
𝑔(𝑥) no existe.
Además, el salto |𝐿1 − 𝐿2| no es un número finito. Se concluye que 𝑔 es discontinua inevitable
de segunda especie en 𝑥 = 2.
Ejemplo:
Sea 𝑓 la función definida por:
𝑓(𝑥) = {
|𝑥 − 3| si 𝑥 ≠ 3
2 si 𝑥 = 3
Figura 25
La Figura 25 muestra la gráfica de 𝑓. Se investigarán las tres condiciones de la definición.
1) 𝑓(3) = 2
2) lim
𝑥→3−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3−
(3 − 𝑥) lim
𝑥→3+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→3+
(𝑥 − 3)
= 0 = 0
Por tanto, lim
𝑥→3
𝑓(𝑥) = 0
3) lim
𝑥→3
𝑓(3) ≠ 𝑓(3)
Debido a que la condición 3) no se satisface, se concluye: 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 3.
Como existe el límite y falla la tercer condición, la función es discontinua evitable en 𝑥 = 3.
Es posible salvar la discontinuidad redefiniendo la imagen de 𝑓 como sigue:
𝑔(𝑥) = {
𝑓(𝑥)
, 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 3
0 , 𝑠𝑖 𝑥 = 3
11. Algunos Teoremas importantes
Teorema de la permanencia del signo
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑥 = 𝑐 y 𝑓(𝑐) ≠ 0. Entonces existe 𝛿 > 0 tal que para todo
𝑥 ∈ (𝑐 − 𝛿, 𝑐 + 𝛿) se cumple 𝑓(𝑥) y 𝑓(𝑐) tienen igual signo.
Interpretación geométrica:
Figura 26
Teorema de Bolzano
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en [𝑎, 𝑏] y supongamos que 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏) tienen signos
opuestos. Entonces existe por lo menos un valor 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓(𝑥0) = 0.
Interpretación geométrica:
Figura 27
Teorema del Valor Intermedio
Sea 𝑓 una función definida y continua en cada punto de un intervalo [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏),
entonces para cualquier valor 𝑦0 ∈ (𝑓(𝑎), 𝑓(𝑏)) existe al menos un valor 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que
𝑓(𝑥0) = 𝑦0.
Demostración:
Consideremos la nueva función 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑦0. La función 𝑔 es continua en [𝑎, 𝑏], ya que es
la diferencia de funciones continuas en [𝑎, 𝑏].
Como 𝑦0 es un valor entre 𝑓(𝑎) y 𝑓(𝑏), podemos considerar 𝑓(𝑎) < 𝑦0 < 𝑓(𝑏).
Además: 𝑔(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑦0<0 y 𝑔(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑦0>0.
Por lo tanto, la función 𝑔 verifica las condiciones del Teorema del Bolzano. Entonces existe 𝑥0 ∈
(𝑎, 𝑏) tal que 𝑔(𝑥0) = 0. c.q.d
Nota: El Teorema del Valor Intermedio establece que una función continua en un intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏] y 𝑓(𝑎) ≠ 𝑓(𝑏) no puede “pasar” de 𝑓(𝑎) a 𝑓(𝑏) sin tomar, al menos una vez, todos
los valores intermedios entre los valores 𝑓(𝑎) y 𝑓 (𝑏).
Figura 28
Si piensa en una función continua como en una función cuya grafica no tiene huecos o rupturas,
es fácil creer que el teorema del valor intermedio es verdadero. En términos geométricos, señala
que si se da cualquier recta horizontal 𝑦 = 𝑦0 entre las rectas 𝑦 = 𝑓 (𝑎) e 𝑦 = 𝑓 (𝑏), como en la
Figura 27, entonces la gráfica de 𝑓 no puede saltar la recta: debe intersectar a 𝑦 = 𝑦0 en alguna
parte.
Figura 29
Teorema de Weierstrass
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en [𝑎, 𝑏], entonces existen dos valores 𝑥1 y 𝑥2 pertenecientes
al intervalo [𝑎, 𝑏] tal que para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏)]se verifica 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥2).
Nota: Es decir, toda función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor máximo (𝑀 =
𝑓(𝑥2)) y su valor mínimo (𝑚 = 𝑓(𝑥1)) en algún punto del intervalo. O sea que toda función
continua en un intervalo [𝑎, 𝑏] es acotada en dicho intervalo.
Teorema de la función inversa
Toda función 𝑓 estrictamente creciente (decreciente) y continua, tiene por inversa 𝑓−1 una
función estrictamente creciente (decreciente) y continua.
Ejercicio 1: a)Encontrar la ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = √𝑥 en el punto (1, 1).
b) Considere el problema de caída libre y la ley planteada por Galileo. Calcular la velocidad
promedio en el intervalo de tiempo desde 𝑡 = 2𝑠 hasta 𝑡 = 3𝑠. ¿Cómo definiría la velocidad
instantánea en 𝑡 = 3𝑠?
Ejercicio 2: a) A partir de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) y una tabla de valores determinar el límite de
𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende al valor 2.
b) A partir de la siguiente gráfica de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), determine el límite 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) para los
siguientes valores de a: i) 𝑎 = 3; ii) 𝑎 = 2 ; iii) 𝑎 = 0; iv) 𝑎 = −3 y v) 𝑎 = −4.
EJERCICIOS PROPUESTOS
c) A partir del gráfico de 𝑓(𝑥) = {
6 − 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐸 (
1
2
,
3
2
)
calcular 𝑙𝑖𝑚
𝑥→3
𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓(𝑥).
Ejercicio 3:
a) Si 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 4 y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑔(𝑥) = −2 calcular los siguientes límites, justificando en cada paso la
propiedad que aplica.
lim (3
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) + 5 𝑔(𝑥))
lim
𝑥→𝑐
√2 𝑓(𝑥) + 𝑔2(𝑥)
lim
𝑥→𝑐
2𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)
b) Si lim
𝑥→2
𝑓(𝑥) = 3, calcular lim
𝑥→2
(𝑓2(𝑥) − 𝑥2).
Ejercicio 4: a) Determinar los límites finitos señalando en cada caso la o las propiedades y /o
técnicas que utiliza en cada caso.
1-
6
9
lim
2
2
3
xx
x
x
2-
44
143
lim
2
1
x
xx
x
3-
2
2
2 2
65
lim
x
xx
x
4-
2
32
0
4
lim
x
xx
x
5-
1
1
lim
2
3
1
x
x
x
6-
1
12
lim
2
2
1
x
xx
x
7-
x
x
x
11
lim
0
8-
1
23
lim
1
x
x
x
9-
2
32
lim
5
2
x
x
x
10-
x
x 4
1
4
1
0x
lím
11-
3
9
lim
9
s
s
s
12-
x
xsen
x 3
)2(
lim
0
13-
)4(
)3(
lím
0x xsen
xsen
14-
x
xsen
x 7
)(
lim
2
0
15-
x
xtgx )2()cos(
lím
0x
16-
1
12
lim
2
1
x
xx
x
17-
21 )1(
)1)(1(
lim
x
xx
x
18-
x
x
x 5
))cos(1(2
lim
0
b) Dada 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 , calcular lim
𝑥→2
𝑓(𝑥)−𝑓(2)
𝑥−2
.
Ejercicio 5:
a) A partir de la gráfica de 𝑓(𝑥) = {
|4 − 𝑥|, 𝑠𝑖 𝑥 < −1
𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐸 (
1
2
,
3
2
)
calcular (si existen) los siguientes
límites: lim
𝑥→−1−
𝑓(𝑥) ; lim
𝑥→−1+
𝑓(𝑥) 𝑦 lim
𝑥→−1
𝑓(𝑥).
b) Sea 𝑓(𝑥) = {
1
𝑥−2
, 𝑠𝑖 𝑥 > 2
cosh (𝑥 − 2) , 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 2
.
Determinar (si existen) los siguientes límites: lim
x→2+
f(x), lim
x→2−
f(x) y lim
x→2
f(x).
i) Desde la gráfica de 𝑓(𝑥) . ii) En forma analítica.
c) Dada 𝒇(𝒙) = {
𝒙𝟑 − 𝟐𝒂 , 𝒔𝒊 𝒙 ≠ 𝟏
𝟏 , 𝒔𝒊 𝒙 = 𝟏
, con 𝒂ℝ. Determinar (si es posible) el valor de 𝒂, para que
𝒍𝒊𝒎
𝒙→𝟏
𝒇(𝒙)=𝒇(𝟏).
d) Dada la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥), determinar:
e) Sea 𝑔(𝑥) = {
1
𝑥
, 𝑠𝑖 𝑥 < 0
2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
𝑥 + 3 , 𝑠𝑖 𝑥 > 𝜋
.
1) Graficar 𝑔(𝑥).
2) Tomar límite de 𝑔(𝑥) para 𝑥 0 .
3) Tomar límite de 𝑔(𝑥) para 𝑥 0.
4) Repita los puntos 2) y 3) para 𝑥 → 𝜋.
5) ¿Qué conclusión se obtiene cuando 𝑥 → 𝜋?.
6) Que conclusión obtiene cuando 𝑥 → 0?
f) Determinar para que valores de x las siguientes funciones son infinitésimos
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 – 4 𝑥 2) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 1 3) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) 4) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
g) Calcular los siguientes límites
1-
3
2
lim
2
x
x
x
2-
3
1023
lím
2
2
x
x
xx
3-
175
23
lím
3x
xx
x
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1+
𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1−
𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→1
𝑓(𝑥),
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓(𝑥),
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
𝑓(𝑥), 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3−
𝑓(𝑥) y 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−3
𝑓(𝑥),
lim
x→3
f(x), lim
x→3−
f(x) y lim
x→3
f(x),
4-
x
x
x
2
x
1
lím
5-
43
2
1
lim
x
x x
x
6-
57
13
lim
xx
x
x
7- )1(lim xx
x
8- 235lim xx
x
9- xxx
x
5lim
Ejercicio 6: a) Analizar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican.
i) 𝑓(𝑥) = {
𝑒𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑥3 − 1 , 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 1
1 − 𝑥2 , 𝑠𝑖 1 < 𝑥
, en 𝑥 = 0 , 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = 3.
ii) 𝑔(𝑥) = {
2𝑥 − 3 , 𝑠𝑖 𝑥 < 2
7 , 𝑠𝑖 𝑥 = 2
3 − 𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 > 2
, en 𝑥 = 2.
iii) ℎ(𝑥) =
√𝑥−1
𝑥−1
en 𝑥 = 1 iv) 𝑓(𝑥) =
𝑥2+2𝑥+1
𝑥+1
en 𝑥 = −1
b) Determinar los valores de 𝒂 y 𝒃 para que la función sea continua en toda la recta real:
𝑓(𝑥) = {
𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ (−∞, 0)
𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [0,2)
𝑥2 , 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2
c) Sea la función: 𝑓(𝑥) =
{
6 − 𝑥, 𝑠𝑖 𝑥 > 2
𝑥2 + 1, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ 𝐸 (
1
2
,
3
2
)
.
I) Calcular, en caso de existir, cada uno de los límites siguientes:
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2−
𝑓(𝑥) ; 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−2+
𝑓(𝑥) 𝑦 𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑓(𝑥).
II) Analizar la continuidad de 𝑓 en 𝑥 = 2.
d) Sea 𝑎 ℝ y la función:𝑓(𝑥) = {
𝑥3 + 2𝑎𝑥 , 𝑠𝑖 𝑥 ≠ 1
𝑎 + 1 , 𝑠𝑖 𝑥 = 1
.
I) Determinar (si es posible) el valor de 𝑎, para que 𝑓 (𝑥) resulte continua en todo punto.
II) Graficar la función obtenida, para el valor de a hallado.
e) Analizar la continuidad de la función 𝑓(𝑥) =
𝑥3−𝑥
𝑥−1
en los valores de 𝑥 que estime conveniente.
En el caso de discontinuidad, determinar el tipo de discontinuidad, y de ser posible redefinir la
función ó ampliar el dominio (según corresponda) para que la función sea continua.
f) Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones
1) 243)( 2 xxxf 2)
6
1
)(
2
xx
x
xg 3) 2)( xxh 4) xexF )(
g) Hallar función compuesta ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) y analizar la continuidad en cada uno de los
siguientes casos:
1. 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 ; 𝒈(𝒙) = 𝒍𝒏(𝒙); 2. 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙−𝟔
; 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟓; 3. 𝒇(𝒙) =
𝟏
√𝒙
; 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟑
h) Analizar si la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 5 en el intervalo [−1,4] satisface las hipótesis del
Teorema de Bolzano. En caso afirmativo, determinar el o los valores según corresponda que
verifican la tesis del mismo.
i) Dada la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3, determinar si la misma, es acotada superior e inferiormente en [1,5],
indicar, además, si alcanza sus valores máximos y mínimos.
j) Sea la función 𝑔(𝑥) =
𝑥2+4𝑥−2
𝑥2−2𝑥+1
, ¿se puede afirmar que la función está acotada en [1,4]?
k) Utilizar el Teorema del Valor Intermedio para mostrar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥 tiene al
menos una raíz en el intervalo [−1,1].
A partir de la lectura de la Unidad 3, responder si son Verdaderas (V) a Falsas (F) las siguientes
afirmaciones.
1. El límite de una función, para x tendiendo a un número real 𝑎, siempre existe.
2. El límite finito de una función para x tendiendo a un número real 𝑎, si existe, es único.
3. Puede existir el límite finito de una función 𝑓 para 𝑥 tendiendo a un número real 𝑎, y sin embargo 𝑓(𝑎)
no estar definida.
4. Si existen los límites laterales de 𝑓(𝑥), para 𝑥 tendiendo a un número real 𝑎, y coinciden, entonces existe
el límite de la función 𝑓 para 𝑥 tendiendo al número real 𝑎.
5. Si existen los límites laterales de 𝑓(𝑥), para 𝑥 tendiendo a un número real 𝑎, y no coinciden, entonces
no existe el límite de la función f, para x tendiendo a un número real 𝑎.
6. Existen funciones 𝑦 = 𝑓(𝑥) que son continuas en 𝑥 = 𝑎, y sin embargo 𝑓(𝑎) no está definida.
7. La existencia del límite finito de una función 𝑓, para 𝑥 tendiendo al valor 𝑎, implica la continuidad de
𝑓 en el punto 𝑥 = 𝑎.
8. Si 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎, entonces tiene límite finito para 𝑥 tendiendo a 𝑎.
9. Una función 𝑓 es discontinua inevitable en 𝑥 = 𝑎, si el límite de 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende al valor 𝑎, no existe.
10. Las funciones polinómicas siempre son continuas.
11. Las funciones racionales siempre son continuas.
12. 𝐹(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) es continua para todo 𝑥 real.
PREGUNTAS PARA COMPRENSIÓN LECTORA
1. Límite finito: dar las definiciones con notación de valor absoluto y con notación de entornos. Interpretar
geométricamente.
2. Enuncie el Lema de Unicidad del límite finito y dar la Demostración.
3. Listar los límites de funciones algebraicas básicas.
4. Enunciar las propiedades del álgebra de los límites y de sustitución directa.
5. Enunciar el Teorema del encaje. Dar un ejemplo de aplicación (Demostrar que lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1).
6: Defina límites laterales.
7. Enuncie los distintos casos de Inexistencia del límite finito.
8. Definir Límite para x tendiendo al infinito.
9. Definir Infinitésimos. Enunciar propiedades. Definir los distintos casos al comparar infinitésimos.
Indeterminaciones en los límites.
10. Definir Continuidad de funciones: definición. Continuidad en un punto y en un intervalo cerrado.
11. Enunciar las propiedades del Álgebra de funciones continuas.
12. Explicar los distintos casos de discontinuidad de funciones.
13: Enunciar el Teorema de la permanencia del signo y el Teorema de Bolzano. Dar las interpretaciones
gráficas en cada caso.
14. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Intermedio.
15. Enunciar el Teorema de Weierstrass y el Teorema de la Función inversa.
Bibliografía
Bucari, N. D., Langoni, L., & Vallejo, D. (2013). Cálculo diferencial- 1° Ed (Libro de Cátedra- UNLP). La Plata, Bs.
As. Argentina.: Edulp. Obtenido de https://openlibra.com/es/book/calculo-diferencial
PREGUNTAS DE EXAMEN ESTANDARIZADO
Lista de preguntas para Examen Estandarizado.
UNSJ - FCEFyN- Departamento de Geofísica y Astronomía
Carreras: Lic. en Geofísica y Lic en Astronomía
* 2020 *
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
UNIDAD IV:
Derivadas Y aplicaciones
Profesor responsable: Mag. Susana B. Ruiz
Unidad 4 – Análisis Matemático I – Lic. Geofísica y Lic. Astronomía- CEFyN -UNSJ
Prof. Responsable: Mag. Susana Beatriz Ruiz
Página 2
UNIDAD IV
Introducción
El problema de encontrar la recta tangente a una curva y el problema de encontrar la velocidad
de un objeto involucran encontrar un mismo tipo de límite. Este tipo especial de límite se
denomina derivada. La derivada de una función puede interpretarse geométricamente como la
pendiente de una curva, y físicamente como una razón “instantánea” de cambio.
Recta tangente a una curva 𝒚 = 𝒇(𝒙)
Sea una curva 𝐶 que representa la gráfica de una función dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥). Se quiere hallar la
recta tangente a 𝐶 en el punto 𝑃 = (𝑎, 𝑓(𝑎)).
Teniendo en cuenta los datos del problema, usaremos la ecuación
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑚. (𝑥 − 𝑎) (1)
que define la familia o haz de rectas que pasa por 𝑃 = (𝑎, 𝑓 (𝑎)). Asignando valores a 𝑚 ∈ ℝ, se
obtiene la ecuación que identifica a cada una de ellas.
El símbolo 𝑚 indica la pendiente de cada una de las rectas que pasa por P, donde 𝑚 = 𝑡𝑔(𝛼) y
𝛼 es la medida del sector angular que forma la recta con el 𝑒𝑗𝑒 𝑥.
Del haz de rectas que pasan por 𝑃 nos interesa encontrar la ecuación de aquella que resulta
tangente a la curva en 𝑃. Nuestro problema se reduce entonces a:
Problema: Encontrar el valor de 𝑚 tal que al reemplazar en (1) permita obtener la ecuación
de la recta tangente 𝑡 a la curva dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃.
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Solución: Consideramos valores de 𝑥, del dominio de la función 𝑓, tales que dichos valores sean
“próximos al valor 𝑎”(estos valores pueden ser menores o mayores al valor 𝑎).
Haciendo tender los valores de 𝑥 al valor 𝑎, acercamos el punto 𝑄 a P, a lo largo de la curva C. Si
𝑚𝑃𝑄 tiende un número 𝑚 (fijo), entonces definimos la tangente 𝑡 como la recta que pasa por 𝑃
con pendiente 𝑚. (Esto equivale a decir que la recta tangente es la posición límite de la recta
secante PQ cuando Q (punto móvil) tiene a P (fijo)).
La siguiente figura ilustra el comportamiento anterior, de la recta secante, para cuando los
valores que se van tomando de la variable x son cada vez “más cercanos” al valor 𝑎 por la derecha,
pero esta tendencia también se debe cumplir para cuando nos aproximamos al valor 𝑎 por la
izquierda.
Para cada uno de los
valores de 𝑥,
consideramos los puntos
𝑄 = (𝑥, 𝑓 (𝑥)) cercanos a
𝑃, donde 𝑥 ≠ 𝑎, y
calculamos la pendiente
de la recta
secante 𝑃𝑄
mediante la fórmula:
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
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Ejercicio: Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥2 en el punto P=(1,f(1)).
Resolución:
En este caso, 𝑎 = 1, 𝑓(𝑥) = 𝑥2 (función cuadrática) y 𝑓(1) = 12 = 1, de modo que la pendiente
de la recta tangente es:
𝑚 = lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
= lim
𝑥→1
(𝑥−1)(𝑥+1)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
(x + 1) =2 (se observa que existe el límite).
De lo que resulta, la recta tangente posee pendiente 𝑚 = 2 y pasa por el punto 𝑃 = (1,1), cuya
ecuación es:
𝑦 − 𝑓(1) = 𝑚 (𝑥 − 1) ⇒ 𝑦 − 1 = 2 (𝑥 − 1) o bien 𝑦 = 2𝑥 − 1.
A continuación, graficamos la función dada y la recta obtenida con el propósito de corroborar
visualmente la propiedad de la recta respecto a la curva dada en el punto indicado.
Nota 1: Observe que el punto 𝑃 es un punto perteneciente a la curva y a la recta tangente. A dicho
punto se lo llama punto de tangencia.
Nota 2: A veces se hace referencia a la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto
como la pendiente de la curva en el punto. La idea es que, si se acerca lo suficiente al punto, la
Definición: La recta tangente a la curva definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃 = (𝑎, 𝑓(𝑎))
es la recta que pasa por 𝑃 con pendiente 𝑚 = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
siempre que este límite
exista.
Resultando en este caso: 𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑚 (𝑥 − 𝑎) la ecuación de la recta tangente.
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curva parece una línea recta. En la figura siguiente se ilustra este procedimiento para la curva
𝑦 = 𝑥2 del ejemplo anterior. Cuánto más se acerque, tanto más la parábola se parece a una recta.
En otras palabras, la curva casi se vuelve indistinguible de su recta tangente.
Figura: Acercamiento hacia el punto (1,1) sobre la parábola 𝑦 = 𝑥2
Existe otra expresión para la pendiente de la recta tangente que a veces es más fácil de usar. Si
consideramos ℎ = 𝑥 − 𝑎, en este caso 𝑥 = 𝑎 + ℎ, entonces la pendiente de la recta secante 𝑃𝑄 es:
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
.
En la siguiente figura se ilustra el caso ℎ > 0 y 𝑄 está a la derecha de 𝑃. Sin embargo, si ℎ < 0, 𝑄
estaría a la izquierda de 𝑃.
P
Q
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑥 = 𝑎 + ℎ 𝑥
, si ℎ > 0.
ℎ
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑎 + ℎ)
𝑓(𝑎)
𝑦
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Velocidad instantánea de un objeto en un movimiento rectilíneo
En general, suponga que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta, de acuerdo a la ecuación
del movimiento definido por 𝑠 = 𝑓(𝑡), donde 𝑠 es la posición dirigida del objeto respecto al
origen de coordenadas, en el tiempo 𝑡.
Figura 4
De acuerdo a la Figura 4 , en el intervalo de tiempo 𝑡 = 𝑎 hasta 𝑡 = 𝑎 + ℎ, el espacio recorrido
es 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎). La velocidad promedio en este intervalo de tiempo es:
𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
que coincide con la expresión que define la pendiente de la recta secante 𝑃𝑄.
Si se calculan las velocidades promedios sobre intervalos de tiempos [𝑎, 𝑎 + ℎ] cada vez más
cortos (esto es, se hace que ℎ tienda a 0 por derecha), y además se realiza el mismo
procedimiento por la izquierda. Si estos límites existen y coinciden, se define la velocidad (o
velocidad instantánea) 𝑣(𝑎) en el instante 𝑡 = 𝑎 como el límite de estas velocidades promedios:
𝑣(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
(siempre que el límite exista).
𝑠 = 𝑓(𝑡)
𝑃 = (𝑎, 𝑓(𝑎))
𝑄 = (𝑎 + ℎ, 𝑓(𝑎 + ℎ))
𝑎 𝑎 + ℎ 𝑡
𝑠
ℎ
Posición en el
instante 𝑡 = 𝑎
Posición en el
instante 𝑡 = 𝑎 + ℎ
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
0
𝑓(𝑎)
𝑓(𝑎 + ℎ)
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1. El concepto de Derivada
Hemos visto que en la búsqueda de la pendiente de una recta tangente o la velocidad de un objeto
surge la misma clase de límite. De hecho, límites en la forma:
lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
.
surgen al estudiar la razón de cambio
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
(1)
de una función 𝑓 cuando 𝑥 se aproxima a un valor 𝑎. Si el cociente (1) se aproxima a un cierto
valor como límite, ya sea, si nos acercamos a 𝑎, por la derecha o por la izquierda, entonces
podemos dar la siguiente definición.
Luego escribiremos:
𝑓/(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
y 𝑓/(𝑎) se lee “𝑓 prima en 𝑎”.
Forma alternativa de la derivada
Si se escribe 𝑥 = 𝑎 + ℎ, entonces ℎ = 𝑥 − 𝑎 , en este caso:
ℎ tiende a 0 si y sólo si 𝑥 tiende al valor 𝑎.
En consecuencia, una manera equivalente de expresar la definición de la derivada, como vimos
en la búsqueda de rectas tangentes, es:
Ejemplo 1: Encontrar la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 en el valor 𝑥 = 𝑎.
Solución:
De la definición se tiene
𝑓/(𝑎) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
= lim
ℎ→0
((𝑎+ℎ)2−8(𝑎+ℎ)+9)−(𝑎2−8𝑎+9)
ℎ
=lim
ℎ→0
(𝑎)2+2𝑎ℎ+(ℎ)2−8𝑎−8ℎ+9−𝑎2+8𝑎−9
ℎ
= lim
ℎ→0
2𝑎ℎ+ℎ2−8ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ(2𝑎+ℎ−8)
ℎ
= lim
ℎ→0
(2𝑎 + ℎ − 8) = 2𝑎 − 8.
Definición: Llamaremos derivada de la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑎, y lo indicaremos
𝑓/(𝑎) o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=𝑎
, al número, si existe,
lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ
.
𝑓/(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
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1.1 Incremento y cociente incremental
Sea la función 𝑓:𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥). Sea 𝑎𝜖𝐷, la función le hace corresponder
un valor 𝑓(𝑎). Si consideramos un incremento arbitrario ℎ = ∆𝑥 de la variable independiente 𝑥
(∆𝑥 se lee incremento en 𝑥, y no debe confundirse con un producto), tal que pasamos del valor
𝑎 al valor 𝑎 + ℎ = 𝑎 + ∆𝑥 ∈ 𝐷, la función pasa del valor 𝑓(𝑎) al valor 𝑓(𝑎 + ∆𝑥). Entonces la
función recibe un incremento (positivo, nulo o negativo) que simbolizamos con ∆𝑦, cuyo valor
está dado por ∆𝑦 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎).
El incremento de la función nos da una idea del crecimiento o decrecimiento de la función. Pero
si nos preguntamos cuántas unidades crece la variable 𝑦, por cada unidad de crecimiento de 𝑥,
tendremos información sobre la rapidez de crecimiento, es decir, si hacemos el cociente
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑎+∆𝑥)−𝑓(𝑎)
∆𝑥
.
Esta última expresión recibe el nombre matemático de cociente incremental (en Física, Química,
Ciencias de la Tierra, etc. , se denomina razón de cambio promedio), y representa la variación
media de la función en el intervalo [𝑎, 𝑎 + ∆𝑥].
El numerador ∆𝑦 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) mide la variación de la función (o variación de la imagen
de la función o incremento en 𝑦) cuando la variable independiente pasa del valor 𝑎 a 𝑎 + ∆𝑥.
También se simboliza ∆𝑦 con ∆𝑓
El denominador ∆𝑥 mide el cambio en 𝑥, al pasar del valor 𝑎 a 𝑎 + ∆𝑥.
Notaciones del cociente incremental
Si x= 𝑎 + ∆𝑥, entonces ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎.
∆𝑓
∆𝑥
=
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎)
∆𝑥
=
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥 − 𝑎
=⏟
ℎ=∆𝑥
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Interpretación geométrica
del cociente incremental
Sea la función 𝑓:𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ dada por 𝑦 = 𝑓(𝑥). Sea 𝑎𝜖𝐷, la función le hace corresponder
un valor 𝑓(𝑎). Sea P= (𝑎, 𝑓(𝑎)) un punto de la gráfica de 𝑓 como se observa en la siguiente figura.
Considere el triángulo rectángulo 𝑃𝑀𝑄. Sea 𝑟𝑠 la recta secante a la curva que pasa por los puntos
𝑃 y 𝑄, y 𝛼 la medida del sector angular que la recta secante forma con el 𝑒𝑗𝑒 𝑥. Luego,
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑡𝑔(𝛼).
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑎+∆𝑥)−𝑓(𝑎)
∆𝑥
Cociente incremental
∆𝑦 = ∆𝑓 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) Variación o incremento en y
∆𝑥 = 𝑥 − 𝑎 Variación en x
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Importante:
Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto
La interpretación geométrica, que se presenta a continuación, está vinculada al problema
planteado al comienzo de este capítulo, que consiste en hallar la ecuación de la recta tangente a
una curva dada en un punto determinado de la curva.
Sean 𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) y 𝑄1 = (𝑥1, 𝑦1) dos puntos de la gráfica de una función 𝑓, definida por 𝑦 =
𝑓(𝑥).
El cociente incremental es la tangente trigonométrica del sector angular que la recta secante
forma con el 𝑒𝑗𝑒 𝑥, es decir:
“
∆𝑦
∆𝑥
mide la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por P”.
Teniendo en cuenta las expresiones matemáticas que lo definen:
razón de cambio promedio = cociente incremental=
∆𝑦
∆𝑥
= pendiente de la recta secante 𝑃𝑄=
𝑚𝑃𝑄= 𝑡𝑔(𝛼). .
P
Q
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑥 = 𝑎 + ∆𝑥 𝑥
∆𝑥
∆𝑦 = 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑓(𝑎 + ∆𝑥)
𝑓(𝑎))
𝑦
𝑀
𝛼
Si la recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑃 existe, entonces un valor aproximado de la pendiente de
la recta tangente es la pendiente de la recta secante, para 𝑄 "suficientemente próximo” a 𝑃.
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Queremos hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P y 𝑄1 (secante a la curva).
Si (x,y) es un punto cualesquiera de la recta secante, entonces la ecuación será:
𝑦 − 𝑦0 =
𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0
. (𝑥 − 𝑥0).
Como 𝑃 y 𝑄1 son puntos de la gráfica de 𝑓, 𝑄1 próximo a 𝑃 podemos escribir:
𝑃 = (𝑥0, 𝑦0) =(𝑥0, 𝑓(𝑥0))
𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥𝑖 𝑄1 = (𝑥1, 𝑦1) = (𝑥0 + ∆𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥𝑖)).
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥𝑖)
Luego, la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄1 tiene por ecuación:
𝑦 − 𝑓(𝑥0) =
𝑓(𝑥0+∆𝑥𝑖)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥𝑖
. (𝑥 − 𝑥0).
Por lo tanto, la pendiente de la recta secante es: 𝑚𝑃𝑄1 =
𝑓(𝑥0+∆𝑥𝑖)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥𝑖
.
Consideremos al punto P fijo. Repetimos el proceso anterior para sucesivos puntos 𝑄1, 𝑄2, …,
𝑄𝑛, … , de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), cada vez más próximo al punto P=(𝑥0, 𝑓(𝑥0)) se tiene:
La recta tangente a la gráfica de 𝑓 en el punto 𝑃 es la recta límite de una serie de rectas
secantes a dicha curva que pasan por el punto 𝑃 y otros puntos de la curva 𝑄1, 𝑄2, …, 𝑄𝑛,
… que van aproximándose a 𝑃.
𝑥0 𝑥1
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥0)
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La pendiente de la recta tangente será el caso límite, si existe, de las pendientes de las
rectas secantes a la curva que pasan por los puntos 𝑃 𝑦 𝑄1, 𝑃 𝑦 𝑄2, …, 𝑃 y 𝑄𝑛,… , cuando
𝑄𝑖 cada vez es más próximo a 𝑃.
Cuando 𝑄𝑖 → 𝑃 se cumple 𝑥0 + ∆𝑥 → 𝑥0, es decir ∆𝑥 → 0 y lim
𝑄𝑖→𝑃
𝑚𝑃𝑄𝑖 = lim∆𝑥𝑖→0
𝑓(𝑥0+∆𝑥𝑖)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥𝑖
que, si existe, nos da la pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃.
Esta propiedad se puede generalizar escribiendo lim
𝑄→𝑃
𝑚𝑃𝑄 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Por lo tanto, teniendo en cuenta la existencia de 𝑓/(𝑥0) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)
ℎ
donde ℎ = ∆𝑥 , se
concluye que la derivada de 𝑓 en el punto 𝑥0 se puede interpretar geométricamente como la
pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑃 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0)).
De la definición anterior resulta:
Ecuación de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥)
que pasa por el punto 𝑃 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0)).
Definición: La recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑃 = (𝑥0, 𝑓(𝑥0)), es la recta que pasa por el punto
𝑃 cuya pendiente es 𝑓/(𝑥0).
𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
/(𝑥0). (𝑥-𝑥0)
𝑥0 𝑥3 𝑥2 𝑥1
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥2)
𝑓(𝑥3)
𝑓(𝑥0)
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Nota: En el caso en que el punto de tangencia sea 𝑃 = (𝑎, 𝑓(𝑎)), la ecuación de la recta tangente
a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃 es:
𝑦 − 𝑓(𝑎) = 𝑓/(𝑎). (𝑥 − 𝑎).
Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 en el punto
(3,−6).
Solución: Teniendo en cuenta el Ejemplo 1 sabemos que la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 9 en
𝑥 = 𝑎 es 𝑓/(𝑎)= 2𝑎 − 8. En consecuencia, la pendiente de la recta tangente en (3, −6) es
𝑓/(3) = 2.3 − 8 = −2. En estos términos, la ecuación de la recta tangente a la parábola en el
punto (3, −6) es:
𝑦 − (−6) = (−2)(𝑥 − 3) o bien 𝑦 = −2𝑥.
En términos generales:
Ejemplo: Cálculo de densidades
Si una varilla o un trozo de alambre son homogéneos, entonces su densidad lineal es uniforme y
se define como la masa por unidad de longitud (𝜌 =
𝑚
𝑙
) y se mide en kilogramos por metro.
Suponga que la varilla no es homogénea, sino que su masa medida desde su extremo izquierdo
hasta un punto 𝑥 es 𝑚 = 𝑓(𝑥).
La masa de la parte de la varilla que se encuentra entre 𝑥 = 𝑥1 y 𝑥 = 𝑥2 está dada por ∆𝑚 =
𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1), de modo que la densidad promedio de esa sección de la varilla es
Si luego hacemos que ∆𝑥 → 0, (es decir, 𝑥2 → 𝑥1), calculamos la densidad promedio sobre un
intervalo cada vez más pequeño. La densidad lineal 𝜌 en 𝑥1 es el límite de estas densidades
promedio cuando ∆𝑥 → 0; es decir, la densidad lineal es la razón instantánea de cambio de la
masa respecto a la longitud. Formalmente,
Densidad lineal de una varilla en 𝑥
De este modo, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la masa respecto a la longitud.
Interpretación de la Derivada: Si la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es derivable en 𝑥 = 𝑎, su derivada
𝑓/(𝑎) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑎+∆𝑥)−𝑓(𝑎)
∆𝑥
si existe denota a la vez
1. Geométricamente: la pendiente de 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑃 = (𝑎, 𝑓(𝑎)).
2. En las ciencias aplicadas (Física, Química, etc.): la razón instantánea de cambio
en 𝑦 con respecto a 𝑥, en 𝑥 = 𝑎.
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
∆𝑚
∆𝑥
=
𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2− 𝑥1
𝜌(𝑥) = lim
∆𝑥→0
∆𝑚
∆𝑥
=
𝑑𝑚
𝑑𝑥
(𝑥)
Interesante
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Por ejemplo, si 𝑚 = 𝑓(𝑥) = √𝑥, donde x se mide en metros y m en kilogramos, entonces la
densidad promedio de
la parte de la varilla dada por 1 ≤ 𝑥 ≤ 1.2 es
∆𝑚
∆𝑥
=
𝑓(1.2) − 𝑓(1)
1.2 − 1
=
√1.2 − 1
0.2
≈ 0.48 𝑘𝑔/𝑚
En tanto que la densidad en 𝑥 = 1 es
𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑𝑥
=
1
2√𝑥
|
𝑥=1
= 0.5 𝑘𝑔/𝑚
2. Derivada de una función
Ejemplos:
1. La función 𝑓:ℝ → ℝ tal que 𝑓(𝑥) = 𝑥 es derivable en todo punto de la recta real.
Demostración:
Sea 𝑥0 ∈ ℝ, luego f
/(x0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
= lim
𝑥→𝑥0
𝑥−𝑥0
𝑥−𝑥0
= lim
𝑥→𝑥0
1 = 1. c.q.d.
2. La función 𝑓:𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑓(𝑥) = |𝑥| no es derivable en 𝑥0 = 0.
Demostración:
f /(0) = lim
𝑥→0
𝑓(𝑥)−𝑓(0)
𝑥−0
= lim
𝑥→0
|𝑥|−|0|
𝑥
= lim
𝑥→0
|𝑥|
𝑥
Si 𝑥 > 0,
|𝑥|
𝑥
= 1 entonces lim
𝑥→0+
|𝑥|
𝑥
= 1.
Si 𝑥 < 0,
|𝑥|
𝑥
= −1 entonces lim
𝑥→0−
|𝑥|
𝑥
= −1.
Entonces, no existe lim
𝑥→0
|𝑥|
𝑥
. Por lo tanto, no existe f /(0) y la función no es derivable en el punto
en 𝑥0 = 0. c.q.d.
2.1 Derivadas laterales
Definición: Una función 𝑓 definida en el intervalo (𝑎, 𝑏) es derivable en un punto 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏),
si existe 𝑓/(𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
.
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ, con 𝐷 ⊆ ℝ, una función y 𝑋 ⊆ 𝐷. Diremos que f es derivable en
un conjunto X, si es derivable en cada uno de los puntos de X.
Definición: Se dice que 𝑓 es derivable por la izquierda en 𝑥0, si existe el límite
lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
. El valor de dicho límite se llama la derivada por la izquierda de 𝑓 en 𝑥0.
Análogamente, se dice que 𝑓 es derivable por la derecha en 𝑥0, si existe el límite
lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
. El valor de dicho límite se llama la derivada por la derecha de 𝑓 en 𝑥0.
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2.2 Función derivada
Si 𝑓 es derivable en todo su dominio, entonces para cada x del dominio de la función 𝑓 podemos
calcular la derivada. Podemos entonces considerar una correspondencia que a cada punto x le
asigna el valor 𝑓/(x). Dada la unicidad del límite, tendremos una nueva función, la que
llamaremos función derivada de la función 𝑓 y que notaremos 𝑓/(𝑥) , 𝑦/ o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
o 𝐷𝑥(𝑓) luego:
Función derivada
El proceso de hallar 𝑓/ a partir de 𝑓 se llama “derivación”.
2.2.1 Propiedades de funciones derivables. Reglas de derivación
2.2.1.1 Continuidad de funciones derivables
DERIVABILIDAD CONTINUIDAD
Tanto la continuidad como la derivabilidad son propiedades deseables para una función. La
propiedad de ser derivable es más fuerte que de ser continua. Esto es, derivabilidad asegura
continuidad, como se muestra en el siguiente resultado.
Lema: Si 𝑓 tiene derivada en el punto 𝑥 = 𝑎, entonces 𝑓 es continua en ese punto.
Demostración:
Para la demostración tenemos en cuenta:
Hipótesis: 𝑦 = 𝑓(𝑥) es función que admite derivada 𝑓/(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
. (1)
Tesis: 𝑦 = 𝑓(𝑥) es una función continua en 𝑥 = 𝑎. Esto es, lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). (2)
Para demostrar la igualdad (2) comenzamos considerando su primer miembro, y luego
sumando y restando 𝑓(𝑎).
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = lim (
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)) + 𝑓(𝑎)) por propiedad de límites de sumas de funciones
= lim
𝑥→𝑎
(𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)) + lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑎) multiplicando y dividiendo la expresión, del
primer límite a la derecha, por (𝑥 − 𝑎)
Definición: Se dice que 𝑓 es derivable en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], si 𝑓 es derivable por
izquierda en 𝑎, por derecha en 𝑏, y derivable en cada punto perteneciente al intervalo
abierto (𝑎, 𝑏).
𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
Hallada la función 𝑓/ , para calcular el valor de 𝑓/ en 𝑥 = 𝑎 basta reemplazar la variable 𝑥
por el valor 𝑎, obteniendo así 𝑓/(𝑎).
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=lim
𝑥→𝑎
(
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
(𝑥 − 𝑎)) + lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑎) por propiedad distributiva del límite de un producto de
funciones y por propiedad de límites de constantes
=lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
. lim
𝑥→𝑎
(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) por hipótesis (1) y propiedad de límites de polinomios
=𝑓/(𝑎) . 0 + 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑎) .
Por lo tanto, 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎. c.q.d.
Nota Importante: La reciproca del Lema anterior es falsa; es decir, hay funciones que son
continuas en un punto, pero no son derivables en dicho punto. Por ejemplo, la función 𝑓(𝑥) =
|𝑥| es continua en 𝑥 = 0, pero (como vimos anteriormente) no es derivable en dicho punto.
CONTINUIDAD DERIVABILIDAD
2.2.1.2 Casos en que una función no es derivable en un punto
1) En general, si la gráfica de una función 𝑓 tiene “esquinas” o “picos”, la función 𝑓 no es
derivable allí. [Tal es el caso que al intentar calcular 𝑓 /(𝑎), encontramos que los límites por la
izquierda y por la derecha son diferentes.]
Esta situación de no derivabilidad en un punto 𝑃 de la gráfica de una función se puede visualizar
al ir trazando pequeños segmentos tangentes a puntos de la gráfica de la función en las
proximidades a 𝑃, si al recorrer dichos puntos de la curva siguiendo un orden creciente en los
valores de la variable 𝑥, observamos un cambio brusco en la dirección de los segmentos de
rectas, al atravesar el punto 𝑃 (tal es el caso, que se puede visualizar en la figura anterior).
2) Una segunda posibilidad es que la curva tenga una recta tangente vertical cuando 𝑥 = 𝑎; es
decir, 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎 y lim
𝑥→𝑎
|𝑓/(𝑥)| = ∞ . Esto quiere decir, gráficamente, que las
rectas tangentes se vuelven más y más empinadas cuando 𝑥 → 𝑎.
𝑎
𝑃
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3) El Lema anterior señala otra forma en que una función no tiene derivada. En el que se afirma
que si 𝑓 no es continua en 𝑎, entonces 𝑓 no es derivable en 𝑎. Por ende, en cualquier
discontinuidad (por ej., una discontinuidad de salto), 𝑓 no es derivable.
Las tres posibilidades recién analizadas se ilustran en las siguientes figuras.
Presencia de esquinas o picos Recta tangente vertical Una discontinuidad
¿Cuándo una función no tiene derivada en un punto?
Una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene una derivada en un punto 𝑎 si las pendientes de las rectas secantes,
que pasan por 𝑃 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) y un punto cercano 𝑄 perteneciente a la gráfica, tienden a un límite
finito cuando 𝑄 se aproxima a 𝑃. La derivada no existe cuando las rectas secantes no tienden a
una misma posición límite (tanto por izquierda como por derecha), o bien, se vuelven verticales
cuando 𝑄 se aproxima a 𝑃. Así, la derivabilidad es una condición de “suavidad” de la gráfica de
𝑓. Una función puede no tener derivada en un punto por muchas razones, entre ellas la existencia
de puntos donde la gráfica tiene: esquinas, picos, la tangente es vertical o hay discontinuidad.
picos
Recta
tangente
𝑎 𝑎 𝑎
Recta
tangente
vertical
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En resumen:
2.2.1.3 Reglas de derivación
I) Álgebra de la derivada
Sean 𝑓 y 𝑔 funciones derivables en un conjunto 𝑋, con 𝑋 ⊆ ℝ. Sea 𝑥 un punto del conjunto 𝑋,
𝑓/(𝑥) y 𝑔/(𝑥) sus derivadas en 𝑥 y 𝑐 ∈ ℝ entonces:
1) ) 𝑐. 𝑓 es derivable en 𝑋 y vale (𝑐. 𝑓)/(𝑥) = 𝑐. 𝑓/(𝑥).
2) 𝑓 + 𝑔 es derivable en 𝑋 y vale (𝑓 + 𝑔)/(𝑥) = 𝑓/(𝑥) + 𝑔/(𝑥).
3) 𝑓 − 𝑔 es derivable en 𝑋 y vale (𝑓 − 𝑔)/(𝑥) = 𝑓/(𝑥) − 𝑔/(𝑥).
4) 𝑓. 𝑔 es derivable en 𝑋 y vale (𝑓. 𝑔)/(𝑥) = 𝑓/(𝑥). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥). 𝑔/(𝑥)
5)
𝑓
𝑔
es derivable en {𝑥/𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0} y vale:
(
𝑓
𝑔
)
/
(𝑥) =
𝑓/(𝑥).𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥).𝑔/(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
, si 𝑔(𝑥) ≠ 0.
II) Regla de la cadena: Si 𝑔 es derivable en el punto 𝑥 ∈ 𝑋 y 𝑓 es una función derivable en el
punto 𝑔(𝑥), entonces la función compuesta 𝑓𝑜𝑔 es derivable en el punto 𝑥 y vale
(𝑓𝑜𝑔)/(𝑥) = (𝑓(𝑔(𝑥)))
/
= 𝑓/(𝑔(𝑥)). 𝑔/(𝑥)
Una función es derivable en un punto, si su gráfica lo “atraviesa” con “suavidad” (no hay
huecos, saltos ni agujeros en dicho punto y no hay cambios bruscos en las direcciones
de las rectas tangentes al atravesar el punto).
Una función no es derivable en:
los puntos “angulosos” (picos o esquinas).
Los puntos con tangente vertical.
En puntos de discontinuidad.
El siguiente diagrama de Venn determina las relaciones entre el conjunto de funciones
derivables, el conjunto de funciones continuas y el conjunto de funciones discontinuas.
Funciones
derivables
Funciones
continuas
Funciones
discontinuas
Conjunto de funciones reales de una variable real
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III) Derivada de la función inversa: Sea la función 𝑓 biyectiva, luego existe la función inversa
𝑔(𝑦) = 𝑥. Si 𝑓 tiene derivada distinta de cero en el punto 𝑥 ∈ 𝑋 , es decir 𝑓/(𝑥) ≠ 0, entonces la
función 𝑔 tiene derivada en el punto 𝑦 = 𝑓(𝑥) y vale 𝑔/(𝑦) =
1
𝑓/(𝑥)
.
IV) Derivada de un determinante
Sean 𝑓, 𝑔, ℎ y 𝑝 funciones reales definidas y derivables en un dominio común 𝐷 ⊆ ℝ.
Sean 𝑀(𝑥) = (
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) 𝑝(𝑥)
) una matriz cuyos coeficientes dependen de los valores de 𝑥 y
det(𝑀(𝑥)) = |
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) 𝑝(𝑥)
| el determinante de 𝑀(𝑥). Entonces se cumple
|
𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥) 𝑝(𝑥)
|
/
= |
𝑓/(𝑥) 𝑔(𝑥)
ℎ/(𝑥) 𝑝(𝑥)
| + |
𝑓(𝑥) 𝑔/(𝑥)
ℎ(𝑥) 𝑝/(𝑥)
|
V) Derivadas de funciones elementales
Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑐 ∈ ℝ.
a) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐 para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = 0.
Demostración:
𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑐−𝑐
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
0 = 0. cqd
b) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = 1.
Demostración:
𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑥+∆𝑥−𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
1 = 1. cqd
c) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐. 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑐.
Demostración:
𝑓/(𝑥) = 𝑐. 𝑓/(𝑥) = 𝑐. 1 = 𝑐 cqd
d) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 , con 𝑛 natural y para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑛 𝑥𝑛−1.
Demostración:
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 será 𝑓(𝑎) = 𝑎𝑛 y 𝑓/(𝑎) = 𝑛 𝑎𝑛−1.
Se tiene que
𝑥𝑛 − 𝑎𝑛 = (𝑥 − 𝑎)(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 +⋯+ 𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1)
Entonces
𝑓/(𝑎) = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
= lim
𝑥→𝑎
𝑥𝑛−𝑎𝑛
𝑥−𝑎
= lim
𝑥→𝑎
(𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−2𝑎 +⋯+ 𝑥𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1) = 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑎 +
⋯+ 𝑎𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1 = 𝑛𝑎𝑛−1. cqd
e) Si 𝑓(𝑥) =
1
𝑥𝑛
= 𝑥−𝑛 , con 𝑛 natural y para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = −𝑛 𝑥−𝑛−1.
Demostración: Ejercicio.
f) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑝
𝑞 , con
𝑝
𝑞
𝜖ℚ y para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) =
𝑝
𝑞
. 𝑥
𝑝
𝑞
−1
.
( Así, por ejemplo, en el caso que 𝑓(𝑥) = √𝑥 = 𝑥
1
2 , se cumple 𝑓/(𝑥) =
1
2
. 𝑥
1
2
−1 =
1
2√𝑥
)
g) Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥).
Demostración:
Tener en cuenta: 𝑠𝑒𝑛(𝑎 + 𝑏) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎). 𝑐𝑜𝑠 (𝑏) + 𝑐𝑜𝑠(𝑎). 𝑠𝑒𝑛(𝑏)
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𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (∆𝑥) + cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)cos (∆𝑥) − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
∆𝑥
+
cos(𝑥) 𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
)
= lim
∆𝑥→0
(𝑠𝑒𝑛(𝑥) (
(cos (∆𝑥) − 1)
∆𝑥
) + cos(𝑥) (
𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
))
= lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥). lim
∆𝑥→0
(cos (∆𝑥) − 1)
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
cos(𝑥) . lim
∆𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
)
Como Lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) , lim
∆𝑥→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) , lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
= 1 y
lim
𝑥→0
cos(𝑥) − 1
𝑥
= lim
𝑥→0
(
cos(𝑥) − 1
𝑥
. (
cos(𝑥) + 1
cos(𝑥) + 1
)) = lim
𝑥→0
cos2(𝑥) − 1
𝑥. (cos(𝑥) + 1)
= lim
𝑥→0
−sen2(𝑥)
𝑥. (cos(𝑥) + 1)
= − lim
𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
(cos(𝑥) + 1)
) = − lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
(cos(𝑥) + 1)
= −1.
0
1 + 1
= 0
Resultando
𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥). lim
∆𝑥→0
(cos (∆𝑥)−1)
∆𝑥
+ lim
∆𝑥→0
cos(𝑥) . lim
∆𝑥→0
(
𝑠𝑒𝑛(∆𝑥)
∆𝑥
) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 0 + cos(𝑥) . 1 =
cos (𝑥). cqd
h) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥).
Demostración: Ejercicio.
i) Si 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = (𝑠𝑒𝑐(𝑥))2 = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥).
Demostración:
𝑑
𝑑𝑥
(𝑡𝑔(𝑥)) =
𝑑
𝑑𝑥
(
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos (𝑥)
) =
𝑑
𝑑𝑥
(𝑠𝑒𝑛(𝑥)).cos(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥).
𝑑
𝑑𝑥
(cos (𝑥))
(cos (𝑥))2
=
𝑐𝑜𝑠(𝑥).𝑐𝑜𝑠(𝑥)−𝑠𝑒𝑛(𝑥).(−𝑠𝑒𝑛(𝑥))
(cos (𝑥))2
=
cos2(𝑥)+𝑠𝑒𝑛2(𝑥)
cos2(𝑥)
=
1
cos2(𝑥)
= 𝑠𝑒𝑐2(𝑥). cqd
j) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)
Demostración: Ejercicio.
k) Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = sec (𝑥). 𝑡𝑔(𝑥)
Demostración: Ejercicio.
l) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) = −(𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝑥))2 = −𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝑥).
Demostración: Ejercicio.
m) Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓/(𝑥) =
1
𝑥
.
Demostración:
𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
ln (𝑥+∆𝑥)−ln (𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝑙𝑛(
𝑥+∆𝑥
𝑥
)
∆𝑥
Multiplicando y dividiendo por 𝑥
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𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
𝑥
.
𝑥
∆𝑥
. 𝑙𝑛 (
𝑥 + ∆𝑥
𝑥
) = lim
∆𝑥→0
1
𝑥
. 𝑙𝑛 (1 +
∆𝑥
𝑥
)
𝑥
∆𝑥
𝑓/(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
𝑥
. 𝑙𝑛 (1 +
1
(
𝑥
∆𝑥)
)
𝑥
∆𝑥
=
1
𝑥
. 𝑙𝑛
(
lim
∆𝑥→0
(1 +
1
(
𝑥
∆𝑥)
)
𝑥
∆𝑥
)
Cambiando de variable 𝑡 =
𝑥
∆𝑥
. Como ∆𝑥 → 0 entonces 𝑡 → ∞
𝑓/(𝑥) =
1
𝑥
. 𝑙𝑛 (lim
𝑡→∞
(1 +
1
𝑡
)
𝑡
) =
1
𝑥
. ln(𝑒) =
1
𝑥
cqd
n) Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑥) para todo 𝑥 ∈ 𝐷, entonces 𝑓
/(𝑥) =
1
𝑥
. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑒).
El siguiente código QR muestra una explicación de la demostración anterior
sobre la
deducción de la fórmula para la derivada de la función logaritmo
natural.
VI) Método Logarítmico para el cálculo de derivadas
La derivada del logaritmo natural y la regla de derivación para funciones compuestas permiten
simplificar muchos cálculos. El método que a continuación ejemplificamos ( en o) y p) ) se puede
utilizar para calcular la derivada de cualquier función, pero en especial para hallar la derivada
de funciones de potencia y exponenciales.
Dada 𝑦 = 𝑓(𝑥) (I), los pasos a seguir son:
1. Aplicar logaritmos naturales a ambos miembros de la ecuación (I) y utilizar las
propiedades correspondientes (si es posible).
2. Derivar ambos miembros de la igualdad obtenida en el paso anterior, teniendo en cuenta
que la “𝑦” del primer miembro es una función compuesta que depende de 𝑥.
3. Despejar 𝑦’.
4. Sustituir el valor de “𝑦” del segundo miembro por la expresión 𝑓(𝑥) dada en (I).
o) Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑒𝑥
Demostración: (aplicamos el Método Logarítmico)
𝑦 = 𝑒𝑥
Aplico m.a.m. 𝑙𝑛 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑒𝑥)
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑥. 𝑙𝑛(𝑒)
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑥
Derivo m.a.m.
1
𝑦
𝑦/ = 1
Despejo 𝑦/ 𝑦/ = 𝑦
Reemplazo 𝑦 por 𝑓(𝑥) 𝑦/ = 𝑒𝑥 cqd
p) Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑔(𝑥) entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑒𝑔(𝑥). 𝑔/(𝑥)
Demostración: (empleamos el Método Logarítmico)
𝑦 = 𝑒𝑔(𝑥)
WTfckfck
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Aplico m.a.m. 𝑙𝑛 𝑙𝑛(𝑦) = 𝑙𝑛(𝑒𝑔(𝑥))
l𝑛(𝑦) = 𝑔(𝑥). 𝑙𝑛(𝑒)
𝑙𝑛(𝑦) = 𝑔(𝑥)
Derivo m.a.m.
1
𝑦
𝑦/ = 𝑔/(𝑥)
Despejo 𝑦/ 𝑦/ = 𝑦𝑔/(𝑥)
Reemplazo 𝑦 por 𝑓(𝑥) 𝑦/ = 𝑒𝑔(𝑥) 𝑔/(𝑥) c.q.d.
q) Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑎𝑥 . ln (𝑎)
Demostración: Ejercicio.
r) Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥) entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑎𝑔(𝑥). ln(𝑎). 𝑔/(𝑥)
Demostración: Ejercicio.
VII) Derivadas de funciones hiperbólicas
s) Si y= 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥)
Demostración:
Recordemos 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥) =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
Entonces 𝑦/ =
𝑒𝑥−𝑒−𝑥(−1)
2
= 𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) . cqd
t) Si 𝑦 = 𝑓(𝑥)=𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑥) entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛ℎ(𝑥)
Demostración: Ejercicio.
u) Si 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑡ℎ(𝑥) entonces 𝑓/(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐ℎ2(𝑥)
Demostración: Ejercicio.
VIII Derivadas de funciones inversas de las funciones trigonométricas
A) Derivada de la función y=arcsen(x)
Sea la función 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) . Si se considera esta función con dominio [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] y conjunto de
llegada [-1,1], es biyectiva, por tanto, en este caso existe inversa la cual se denomina 𝑦 =
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) cuyo dominio es [−1,1] e imagen [−
𝜋
2
,
𝜋
2
].
Si 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) entonces 𝑦/ =
1
√1−𝑥2
.
Demostración:
De 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) se deduce 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑦). Por la regla de derivación de la función inversa y la
derivada de la función seno, se tiene:
𝑦/ = (𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥))/ =
1
(𝑠𝑒𝑛(𝑦))/
=
1
cos (𝑦)
=
1
√1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝑦)
=
1
√1 − 𝑥2
cqd.
B) Derivada de la función 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒄𝒐𝒔(𝒙)
Si 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥) entonces 𝑦/ = −
1
√1−𝑥2
. (Ejercicio)
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C) Derivada de la función 𝒚 = 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒈(𝒙)
Si 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) entonces 𝑦/ =
1
1+𝑥2
.
Tabla de Derivadas y su aplicación
La “Tabla de Derivadas” es un recurso práctico muy utilizado para derivar funciones reales, en
la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) sin recurrir al cálculo por definición Esta se presenta al final de esta unidad.
En ella se pueden diferenciar dos zonas: la primera son las reglas de derivación y la segunda
zona son las derivadas de funciones elementales.
Para saber utilizar la tabla, es fundamental conocer la función que queremos derivar y la variable
con respecto a la que derivamos. Por ejemplo, si tenemos la función:
𝑓(𝑥) = 𝑥3
lo que queremos calcular es la derivada de esta función con respecto a 𝑥, que escribimos:
𝑓/(𝑥) o
𝑑𝑓
𝑑𝑥
o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Es similar al caso si nos dan la función 𝑦 = 𝑢3. Lo que se pretende es calcular la derivada de 𝑦 con
respecto a 𝑢, que simbolizamos:
𝑦/(𝑢) o
𝑑𝑦
𝑑𝑢
En ambos casos, estamos ante una función donde interviene una sola operación (un sólo paso),
la potencia al cubo. Es lo que se llama una función elemental en la tabla. Para calcular la
respectiva función derivada usamos la siguiente entrada de la tabla:
𝑦 = 𝑥𝑛 𝑦/ = 𝑛𝑥𝑛−1
Función elemental Derivada de la función elemental
En el caso que nos ocupa, 𝑛 = 3 y la función derivada es:
𝑓/(𝑥) = 3𝑥2 o
𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 3𝑥2 o
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥2.
En el caso que de la función con variable independiente 𝑢 la derivada es:
𝑦/(𝑢) = 3𝑢2 o
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 3𝑢2.
Lo mismo para cada una de las funciones elementales que aparecen en la tabla.
Otro ejemplo: Dada la función: 𝑧 = ln (𝑢)
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Si se quiere calcular la derivada de z con respecto a u, la entrada de la tabla que tenemos que
utilizar es:
𝑦 = ln (𝑥)
𝑦/ =
1
𝑥
La función derivada que se busca es: 𝑧 /(𝑢) =
1
𝑢
o
𝑑𝑧
𝑑𝑢
=
1
𝑢
.
¿Qué pasa si la función que se quiere derivar no aparece entre las funciones elementales de la
tabla?
Ejemplo: una función muy sencilla como 𝑦 =
3
𝑥
no aparece como una función elemental en la
tabla. Si se analiza la función, se podría considerar con una sola operación: el cociente
de 3 en x; pero también se podría considerar como el producto de 3 (una constante) por el
recíproco de x ( 1 dividido en x). En este último caso se habría que aplicar una regla de
derivación, en este caso la entrada de la tabla que se debería utilizar es:
𝑦 = 𝑐 . 𝑓(𝑥) 𝑦/ = 𝑐 . 𝑓/(𝑥)
Y en este caso la derivada es:
𝑦/ = 3. (
1
𝑥
)
/
= 3(−
1
𝑥2
) = −
3
𝑥2
.
Las reglas de derivación que aparecen en la tabla son los resultados obtenidos en la sección
anterior. Las cuatro primeras reglas: producto de una constante por una función de x, la suma-
resta de varias funciones de x, el producto de dos o más funciones de x y el cociente de dos
funciones de x, que son muy sencillas de aplicar.
Ejemplo: Si se considera la función: 𝑧 =
3𝑢2+2𝑢
𝑒𝑢+1
Si queremos calcular la derivada de z con respecto a u que se simboliza
𝑧/(𝑢) o
𝑑𝑧
𝑑𝑢
.
Se observa que la expresión que lo define es un cociente de dos funciones de u . Entonces la
regla de derivación a considerar es:
𝑦 =
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑦/ =
(𝑓(𝑥))/. 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)(𝑔(𝑥))/
(𝑔(𝑥))2
De lo que se obtiene
𝑑𝑧
𝑑𝑢
=
(3𝑢2 + 2𝑢)/. (𝑒𝑢
+ 1) − (3𝑢2 + 2𝑢)(𝑒𝑢 + 1)/
(𝑒𝑢 + 1)2
Interesting
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Aplicando la regla de derivación para la suma de funciones resulta:
𝑑𝑧
𝑑𝑢
=
(6𝑢 + 2). (𝑒𝑢 + 1) − (3𝑢2 + 2𝑢) 𝑒𝑢
(𝑒𝑢 + 1)2
3 Derivadas de funciones definidas en forma implícita
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función, luego podemos escribir 𝑦 − 𝑓(𝑥) = 0. Observemos que el primer
miembro de la última igualdad depende de 𝑥 e 𝑦, por lo que tiene la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0.
Recíprocamente, en algunos casos una forma del tipo 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 (1), define una función 𝑦 =
𝑓(𝑥) (2) . Cuando esto ocurre decimos que la función (2) es definida en forma implícita por (1).
De aquí surgen dos interrogantes:
A) ¿qué condiciones se deben cumplir para poder asegurar que (1) define en forma implícita
a (2)?
B) Si se sabe que (1) define en forma implícita a (2) ¿cómo podemos conocer la derivada de
la función 𝑓 sin necesidad de despejar 𝑦 en la expresión (1)?
Respecto a la pregunta planteada en A) no podremos responderla, ya que se requieren de
conceptos más avanzados, correspondientes a un Análisis Matemático en más de una variable.
Respecto al interrogante B), veremos a continuación un procedimiento.
Supongamos que 𝑦 = 𝑦(𝑥) (3) es una función definida en forma implícita por una ecuación
𝐹(𝑥, 𝑦) = 0.
Por ejemplo, 𝐹(𝑥, 𝑦) = 3𝑥2 + 2𝑥𝑦3 + 𝑦 − 6 = 0 (4)(observe que de esta igualdad es difícil
despejar 𝑦).
Como (3) satisface (4), podemos reemplazar en (4) 𝑦 por 𝑦(𝑥).
3𝑥2 + 2𝑥(𝑦(𝑥))3 + 𝑦(𝑥) − 6 = 0
Derivando m.a.m. respecto a la variable 𝑥 resulta:
6𝑥 + 2(𝑦(𝑥))3 + 2𝑥. 3. (𝑦(𝑥))2. 𝑦/(𝑥) + 𝑦/(𝑥) = 0
Trabajando algebraicamente para despejar 𝑦/(𝑥):
(6𝑥. (𝑦(𝑥))2 + 1). 𝑦/(𝑥) = −6𝑥 − 2(𝑦(𝑥))3
𝑦/(𝑥) =
−6𝑥 − 2(𝑦(𝑥))3
(6𝑥. (𝑦(𝑥))2 + 1)
De donde: 𝑦/ =
−6𝑥−2𝑦3
(6𝑥.𝑦2+1)
.
Esta última expresión resulta útil si por ejemplo queremos hallar la derivada en un punto
particular. Así, en el ejemplo anterior, la derivada de la función 𝑦 = 𝑦(𝑥) en el punto (x,y)=(1,1)
es: 𝑦/|
(𝑥,𝑦)=(1,1)
=
−6−2
(6+1)
= −
8
7
.
4 Derivadas de funciones definidas en forma paramétrica
Recordemos que no siempre las funciones se definen en forma explícita, mostrando una relación
directa entre las variables 𝑥 e 𝑦. A veces las funciones se definen mediante una tercera variable
designada comúnmente con la letra 𝑡, llamado parámetro.
El real "meh"
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(𝐼) {
𝑥 = 𝑔(𝑡)
𝑦 = ℎ(𝑡)
Para cada valor de t, corresponde sendos valores de 𝑥 e 𝑦, los que representan las coordenadas
de puntos que puede graficarse, determinando de esta manera la gráfica de una curva en el plano.
Las ecuaciones (I) reciben el nombre de ecuaciones paramétricas.
Dada una curva plana representada por ecuaciones paramétricas, es natural preguntarse cómo
podemos aplicar las técnicas del cálculo de derivadas al estudio de curvas. Para comenzar,
observemos el siguiente problema.
Una representación gráfica es dada en la siguiente figura.
Se sabe que la dirección de una curva, definida por la trayectoria, en un punto dado es dada por
la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto. Por lo cual, el problema se traduce en
hallar la derivada de la función cuya gráfica es la curva definida en forma paramétrica.
El Teorema siguiente responde esta cuestión dándonos una fórmula para la pendiente de la recta
tangente en función de 𝑡.
Problema: La trayectoria de un proyectil queda representado por las ecuaciones:
{
𝑥 = 24√2𝑡
𝑦 = −16𝑡2 + 24√2𝑡
con 0 ≤ 𝑡 ≤ 1.65.
Estas ecuaciones paramétricas permiten localizar la posición del objeto en un instante
𝑡 (𝑠𝑒𝑔. ) dado. También, se sabe que el objeto fue lanzado inicialmente con un ángulo de
45°. Pero se quiere saber ¿cómo se puede hallar el ángulo 𝜃 que representa la dirección del
objeto en cualquier otro instante 𝑡? Y en particular se quiere saber ¿en los instantes 𝑡 =
0.25 𝑠𝑒𝑔. y 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔.?
45°
𝜃
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Demostración:
Sea una función cuya gráfica es la curva 𝒞 (ver siguiente figura) definida en forma paramétrica
por las ecuaciones {
𝑥 = 𝑔(𝑡)
𝑦 = ℎ(𝑡)
para 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] , tales que 𝑔 y ℎ son funciones derivables en la
variable 𝑡 y
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≠ 0 , para todo 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏).
Finalmente, dividiendo ambos, numerador y denominador, por ∆𝑡, y usando la derivabilidad de
𝑔 y ℎ concluimos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑡→0
ℎ(𝑡 + ∆𝑡) − ℎ(𝑡)
𝑔(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑔(𝑡)
= lim
∆𝑡→0
(
ℎ(𝑡 + ∆𝑡) − ℎ(𝑡)
∆𝑡
)
(
𝑔(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑔(𝑡)
∆𝑡
)
=
lim
∆𝑡→0
ℎ(𝑡 + ∆𝑡) − ℎ(𝑡)
∆𝑡
lim
∆𝑡→0
𝑔(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑔(𝑡)
∆𝑡
=
ℎ/(𝑡)
𝑔/(𝑡)
cqd.
Nota: Luego, para resolver el problema del proyectil, aplicamos el resultado del Teorema
anterior. La expresión general de la derivada es:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦/𝑑𝑡
𝑑𝑥/𝑑𝑡
=
(
𝑑(−16𝑡2+24√2𝑡)
𝑑𝑡
)
(
𝑑(24√2𝑡)
𝑑𝑡
)
=
−32𝑡+24
1
2√2𝑡
2
24
1
2√2𝑡
2
=
−32𝑡+
24
√2𝑡
24
√2𝑡
= 1 −
32𝑡
(
24
√2𝑡
)
= 1 −
4
3
√2 𝑡 √𝑡 , para
0<t<1.65.
Para 𝑡 = 0.25 (𝑠𝑒𝑔. ), se obtiene
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑡=0.25 𝑠𝑒𝑔
= 1 −
4
3
√2 0.25 √0.25 ≈ 0.76. El valor positivo de
la derivada indica que el proyectil, en ese instante asciende. El ángulo 𝜃 correspondiente se
Teorema: Sea 𝒞 una curva que representa la gráfica de una función y viene dada por las
ecuaciones 𝐼) {
𝑥 = 𝑔(𝑡)
𝑦 = ℎ(𝑡)
para 𝑡 ∈ [𝑎, 𝑏] , con 𝑔 y ℎ funciones derivables y
𝑑𝑥
𝑑𝑡
≠ 0 para 𝑡 ∈
(𝑎, 𝑏). Entonces la pendiente de la curva 𝒞 en el punto (𝑥, 𝑦) = (𝑔(𝑡), ℎ(𝑡)) con 𝑡 ∈ (𝑎, 𝑏),
de la curva es
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦/𝑑𝑡
𝑑𝑥/𝑑𝑡
.
𝑃1 = (𝑔(𝑎), ℎ(𝑎))
𝑃2 = (𝑔(𝑏), ℎ(𝑏))
𝒞
(𝑔(𝑡), ℎ(𝑡))
(𝑔(𝑡 + ∆𝑡), ℎ(𝑡 + ∆𝑡))
∆𝑥
∆𝑦
𝑥
𝑦
Consideremos, 𝑡, un valor cualesquiera
del intervalo (𝑎, 𝑏). En la figura se
considera ∆𝑡 > 0.
Sean ∆𝑥 = 𝑔(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑔(𝑡) y
∆𝑦 = ℎ(𝑡 + ∆𝑡) − ℎ(𝑡).
Como
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
, cuando ∆𝑥 → 0 se
cumple ∆𝑡 → 0. Por lo cual podemos
escribir:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
= lim
∆𝑡→0
ℎ(𝑡 + ∆𝑡) − ℎ(𝑡)
𝑔(𝑡 + ∆𝑡) − 𝑔(𝑡)
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obtiene de considerar que la pendiente de la recta tangente hallada es igual a la tangente del
ángulo 𝜃. De lo que resulta, 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1 −
4
3
√2 0.25 √0.25) ≈ 37,39°.
Mientras que para 𝑡 = 1 (𝑠𝑒𝑔.):
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑡=1 𝑠𝑒𝑔
= 1 −
4
3
√2 ≈ −0.89
El valor negativo de la derivada indica que el proyectil, en el instante 𝑡 = 1 𝑠𝑒𝑔 desciende. Para
hallar el ángulo 𝜃, aplicamos el procedimiento anterior, obteniendo 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (1 −
4
3
√2) ≈
−41,53°.
5. Diferenciabilidad de funciones
Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Tengamos en cuenta lo siguiente:
Si 𝑓 es derivable en 𝑥0 ∈ 𝐷, entonces existe 𝑓
/(𝑥0) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥0+∆𝑥)−𝑓(𝑥0)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
.
Por un teorema anterior visto “Toda función con límite es igual a este más un
infinitésimo” resulta:
∆𝑦
∆𝑥
= 𝑓/(𝑥0) + 𝜑(∆𝑥) con 𝜑(∆𝑥) infinitésimo para ∆𝑥 → 0.
Luego: ∆𝑦 = 𝑓/(𝑥0). ∆𝑥 + 𝜑(∆𝑥). ∆𝑥 y 𝜑(∆𝑥) infinitésimo para ∆𝑥 → 0.
Importante: Observe que hemos expresado el incremento ∆𝑦 como la suma de dos términos:
- uno de ellos, 𝑓/(𝑥0). ∆𝑥, se llama la parte principal del incremento y se lo designa 𝑑𝑦, o
sea:
𝑑𝑦 = 𝑓/(𝑥0).
∆𝑥
- El otro término, 𝜀(∆𝑥) = 𝜑(∆𝑥). ∆𝑥 denominado “Término Complementario”, que es
un infinitésimo de orden superior a ∆𝑥 , pues:
lim
∆𝑥→0
𝜀(∆𝑥)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝜑(∆𝑥).∆𝑥
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
𝜑(∆𝑥) = 0.
Definición: Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥). Diremos que 𝑓 es
diferenciable en 𝑥0, si para todo punto 𝑥 ∈ 𝐷 próximo a 𝑥0 se cumplen las siguientes
condiciones:
1) ∆𝑦 = 𝑓/(𝑥0). ∆𝑥 + 𝜑(∆𝑥). ∆𝑥
2) 𝜑(∆𝑥) un infinitésimo para ∆𝑥 → 0.
Teorema: Sea la función 𝑓: 𝐷 → ℝ con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) y 𝑥0 ∈ 𝐷. Entonces se cumple:
𝑓 es diferenciable en 𝑥0 sii 𝑓 es derivable en 𝑥0.
Vamos a tener que procesar mucho aquí :)
Totally mind-blowing
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Lema: 𝑑𝑥 = ∆𝑥 .
Demostración:
Sea la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑥 entonces 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥. (1)
Además, por definición, 𝑑𝑦 = 1 . ∆𝑥 (2)
De (1) y (2) resulta: 𝑑𝑥 = ∆𝑥 c.q.d.
Es decir, que las notaciones de diferencial e incremento coinciden para la variable
independiente, en cambio, son distintas para la variable dependiente: ∆𝑦 = 𝑑𝑦 + 𝜀(∆𝑥)
(difieren en un infinitésimo).
Notación:
Como 𝑑𝑦 = 𝑓/(𝑥). ∆𝑥 y 𝑑𝑥 = ∆𝑥 entonces podemos escribir 𝑑𝑦 = 𝑓/(𝑥). 𝑑𝑥 .
Esto nos sugiere usar la notación:
Notación de Leibniz de la derivada
Esta notación tiene la ventaja de poner en evidencia no sólo la función que se deriva sino también
respecto a la variable en la cual se deriva.
Usando la notación de Leibniz podemos escribir la regla de la cadena de otra forma.
Dada 𝑦 = 𝑔(𝑢) con 𝑢 = 𝑓(𝑥) . 𝑦 → 𝑢 → 𝑥
Podemos escribir:
𝑑𝑦
𝑑𝑢
= 𝑔/(𝑢) y
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑓/(𝑥) .
Luego al componer:
𝑦 = 𝑔(𝑓(𝑥)) y la derivada
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔/(𝑓(𝑥)). 𝑓/(𝑥) = 𝑔/(𝑢). 𝑓/(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Resultando:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑢
.
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Con esta notación, la regla de la cadena toma una apariencia de una identidad algebraica sencilla.
Si hubiera más variables intermedias aparecerían más factores.
Interpretación geométrica de la diferencial
Sea 𝑓 una función diferenciable en 𝑥0, cuya gráfica es:
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función con derivada 𝑓/(𝑥).
Llamaremos diferencial de 𝑦 en el punto 𝑥, y lo simbolizaremos 𝑑𝑦 , a:
𝑑𝑦 = 𝑓/(x). ∆𝑥
donde x es un punto del dominio de 𝑓/(𝑥) y ∆𝑥 un incremento arbitrario.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓/(𝑥)
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La ecuación de la recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑥0 es: 𝑦𝑟𝑡𝑔 − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
/(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0) .
Despejando 𝑦𝑟𝑡𝑔 se obtiene: 𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0) .
Luego:
𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). (𝑥0 − 𝑥0) = 𝑓(𝑥0)
𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0 + ∆𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). ((𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑥0) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). ∆𝑥
Entonces:
𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0) = ( 𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
/(𝑥0). ∆𝑥=𝑓
/(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0)
y como por definición 𝑑𝑦 = 𝑓/(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0), resulta:
𝑑𝑦 = 𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0) = 𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0).
Por ser 𝑓 diferenciable en 𝑥0 resulta:
∆𝑦 = 𝑓/(𝑥0). ∆𝑥 + 𝜀(∆𝑥) y 𝜀(∆𝑥) un infinitésimo de orden superior a ∆𝑥.
Luego: 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) = 𝑓
/(𝑥0). ∆𝑥 + 𝜀(∆𝑥)
→ 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − (𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). ∆𝑥) = 𝜀(∆𝑥)
→ 𝜀(∆𝑥) = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥0 + ∆𝑥)
O sea que:
- ∆𝑦 = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0) es el incremento de la imagen de 𝑓, al pasar de 𝑥0 a 𝑥0 + ∆𝑥.
- 𝑑𝑦 es el incremento de imagen de la recta tangente, al pasar de 𝑥0 a 𝑥0 + ∆𝑥.
- 𝜀(∆𝑥) es la diferencia (en dirección vertical) entre la imagen de la función 𝑓 y la imagen
de la recta tangente en el punto 𝑥 = 𝑥0 + ∆𝑥.
Podemos observar en la gráfica que: ε(∆𝑥) tiende a cero a medida que ∆𝑥 tiende a cero. Sin
embargo, este hecho también lo cumple cualquier recta que pase por 𝑃, aunque no fuera la recta
tangente, e incluso, aunque la función no tuviera tangente. Lo importante, cuando se estudia la
recta tangente, es que el infinitésimo ε(∆𝑥) tiende a cero más “rápido” de lo que lo hace ∆𝑥 (por
ser ε(∆𝑥) un infinitésimo de orden superior a ∆𝑥). Gráficamente esto significa el hecho de que la
curva se “confunde” con la recta tangente en las proximidades del punto 𝑃.
𝑥0 𝑥0 + ∆𝑥
𝜀(∆𝑥)
𝛼
𝑑𝑦
∆𝑦
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La diferencial 𝑑𝑦 puede ser mayor, igual o menor que ∆𝑦.
Álgebra de los diferenciales
Si 𝑢 = 𝑓(𝑥) y 𝑣 = 𝑔(𝑥) son dos funciones definidas en un dominio común, entonces 𝑑𝑢 =
𝑓/(𝑥). 𝑑𝑥 , 𝑑𝑣 = 𝑔/(𝑥). 𝑑𝑥 y se además cumple:
1. 𝑑(𝑢 ± 𝑣) = 𝑑𝑢 ± 𝑑𝑣
2. 𝑑(𝑢. 𝑣) = 𝑑𝑢. 𝑣 + 𝑢. 𝑑𝑣
3. 𝑑 (
𝑢
𝑣
) =
𝑑𝑢 .𝑣−𝑢.𝑑𝑣
𝑣2
.
4. 𝑑(𝑘. 𝑢) = 𝑘. 𝑑𝑢, siendo 𝑘 una ctte.
6. Derivadas y diferenciales sucesivos
6.1 Derivadas sucesivas
Hemos visto que, dada una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) , derivable en todo su dominio, la derivada 𝑓/es
también una función.
Es natural hallar la derivada, si existe, de esta nueva función: (𝑓/)
/
la cual la notaremos para
simplificar 𝑓// y la llamaremos derivada segunda de 𝑓 respecto de 𝑥.
𝑓//(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓/(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓/(𝑥)
∆𝑥
Es decir que, la función que a cada 𝑥 le hace corresponder el valor 𝑓//(𝑥) se le llama derivada
segunda respecto a 𝑥.
De manera análoga, si existen, se definen sucesivamente las derivadas: tercera, cuarta,…,
enésima (o de orden n), las cuales se representan: 𝑓///, 𝑓(4), …, 𝑓(𝑛).
Para hallar las derivadas sucesivas de una función 𝑓, se utilizan las mismas reglas usadas para
hallar la derivad primera.
Ejemplo: Las derivadas sucesivas de una función polinómica de tercer grado, se anulan a partir
de la derivada cuarta.
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𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎3𝑥
3
𝑓/(𝑥) = 𝑎1 + 𝑎2𝑥 + 3 𝑎3𝑥
2
𝑓//(𝑥) = 𝑎2 + 6 𝑎3𝑥
𝑓///(𝑥) = 6 𝑎3
𝑓(4)(𝑥) = 0
y todas las derivadas de mayor grado también son nulas.
6.2 Aplicaciones de las derivadas sucesivas
En general, físicamente puede interpretarse una segunda derivada como una razón de cambio
de una razón de cambio. El ejemplo más conocido es la aceleración, que se define como sigue.
Si 𝑠 = 𝑠(𝑡) es la función posición de un objeto que se desplaza en línea recta, su primera
derivada representa la velocidad 𝑣(𝑡) del objeto como una función del tiempo.
𝑣(𝑡) = 𝑠/(𝑡) =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
A la razón de cambio de la velocidad instantánea respecto al tiempo se le llama aceleración 𝑎(𝑡)
del objeto. En estos términos, la función aceleración es la derivada de la función velocidad y, en
consecuencia, es la segunda derivada de la función posición:
𝑎(𝑡) = 𝑣/(𝑡) = 𝑠//(𝑡)
o en la notación de Leibniz
𝑎(𝑡) =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
La tercera derivada f /// es la derivada de la segunda derivada: f /// = (f //)
/
. De este modo,
f ///(𝑥) puede interpretarse como la pendiente de la curva 𝑦 = 𝑓//(𝑥) o como la razón de cambio
de f //(𝑥).
Puede interpretarse físicamente la tercera derivada en el caso donde la función es la función
posición 𝑠 = 𝑠(𝑡) de un objeto
que se desplaza a lo largo de una línea recta. Como s/// = (s//)
/
=
𝑎/, la tercera derivada de la función posición es la derivada de la función aceleración y se le
denomina jerk (tirón):
𝑗 =
𝑑𝑎
𝑑𝑡
=
𝑑3𝑠
𝑑𝑡3
Así, el jerk, 𝑗, es la razón de cambio de la aceleración. Nombre apropiado porque un jerk
considerable significa un cambio repentino de aceleración, que ocasiona un movimiento
repentino en un vehículo.
6.3 Diferenciales sucesivas
Sea una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) que admite derivadas hasta de orden 𝑛. Como el diferencial 𝑑𝑦 =
𝑓/(𝑥). 𝑑𝑥 o lo que es lo mismo 𝑑𝑦 = 𝑓/(𝑥). ∆𝑥 , con 𝑓/(𝑥) función de 𝑥, entonces, 𝑑𝑦 es una
función de x ( los valores ∆𝑥 no dependiente de 𝑥). Luego, 𝑑𝑦 podrá tener, a su vez, su diferencial
𝑑(𝑑𝑦):
𝑑(𝑑𝑦) = 𝑑(𝑓/(𝑥). ∆𝑥 )=(𝑓/(𝑥). ∆𝑥)
/
∆𝑥=𝑓//(𝑥) (∆𝑥)2
O bien: 𝑑(𝑑𝑦) = 𝑓//(𝑥) (𝑑𝑥)2 y escribiremos 𝑑2𝑦 = 𝑓//(𝑥). 𝑑𝑥2
También: 𝑑3𝑦 = 𝑓///(𝑥). 𝑑𝑥3
Y así siguiendo, resulta:
Tiene que ver con el coso 5
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Diferencial n-ésima de 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Notación:
La expresión anterior nos permite escribir la derivada de orden n de la función f con la
siguiente notación.
𝑓(𝑛)(𝑥) =
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
se lee “derivada de orden 𝑛 de 𝑦 respecto a 𝑥 𝑛 −veces”
7. Aplicaciones de la derivada y diferenciales
Al comienzo del capítulo, como introducción, ya vimos dos aplicaciones de la derivada, esto es:
al cálculo de rectas tangentes y el cálculo de velocidades instantáneas. A continuación, veremos
otras aplicaciones de interés como son: cálculos aproximados de funciones, resolución de
problemas de optimización y construcción de gráficas de funciones, cálculo de masa y centro de
gravedad de una lámina plana, entre otras.
7.1 Aproximación lineal
Sea 𝑓 una función diferenciable en un punto 𝑥. Si ∆𝑥 es pequeño entonces 𝜀(∆𝑥) (de la definición
de diferenciabilidad) es pequeño.
Por lo tanto, para aproximar, podemos reemplazar ∆𝑦 por 𝑑𝑦, es decir:
.
Los diferenciales, en general se utilizan para proporcionar aproximaciones. Observe en la gráfica
siguiente, un incremento ∆𝑥 produce un incremento ∆𝑦 en 𝑦, que se puede aproximar con 𝑑𝑦.
Cuanto menor sea ∆𝑥, mejor es la aproximación.
Como ∆𝑦 = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥), luego será: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ≈ 𝑑𝑦 = 𝑓/(𝑥). ∆𝑥.
Entonces: 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥) + 𝑓/(𝑥). ∆𝑥 .
Sea 𝑥 = 𝑥0. Luego, si sabemos cuánto valen 𝑓(𝑥0) y 𝑓
/(𝑥0), podemos estimar el valor 𝑓(𝑥1),
para 𝑥1 próximo a 𝑥0.
Ejemplo de aplicación: “Estimación de errores”
A continuación, se presenta un problema común en la ciencia.
𝑑𝑛𝑦 = 𝑓(𝑛)(𝑥). 𝑑𝑥𝑛
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) ≈ 𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). (𝑥1 − 𝑥0)
𝑥0 𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥
𝜀
∆𝑥
Fórmula de aproximación lineal (mediante recta tangente)
Observe que: 𝑃1(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝑓
/(𝑥0). (𝑥 − 𝑥0) es una
función polinómica de grado 1, cuya gráfica es la recta
tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)). Al
polinomio se lo llama “Polinomio de Taylor de grado 1 de la
función f, para puntos próximos a 𝑥0, como veremos más
adelante”.
𝑦𝑟𝑡𝑔(𝑥1)
𝑑𝑦
𝑓(𝑥0)
∆𝑦 𝑑𝑦
∆𝑦 ≈ 𝑑𝑦 , si ∆𝑥 es “pequeño”.
que paja
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Un procedimiento estándar, para resolver el problema, es estimar este error por medio de
diferenciales.
Ejemplo: Una arista de un objeto en forma cúbica se midió como 11.4 𝑐𝑚, con un posible error
de ±0.05 𝑐𝑚. Evalúe el volumen del cubo y proporcione una estimación del error en este valor.
Resolución:
El volumen 𝑉 de un cubo es función de la medida 𝑥 de su arista y es tal que 𝑉(𝑥) = 𝑥3. Por lo
que 𝑑𝑉 = 3𝑥2𝑑𝑥. Si 𝑥 = 11.4 𝑐𝑚 y 𝑑𝑥 = 0.05 𝑐𝑚, entonces 𝑉(11.4) = 11.43 ≈ 1482
y 𝑑𝑉 = 311.42 0.05 ≈ 19.
Por lo tanto, podríamos reportar el volumen del cubo como (1482 ± 19) 𝑐𝑚3.
La cantidad ∆𝑉 se llama “error absoluto”.
Otra medida de error es el “error relativo” que se obtiene
∆𝑉
𝑉
. Podemos aproximar el error
relativo
∆𝑉
𝑉
por
𝑑𝑉
𝑉
.
En este ejemplo,
∆𝑉
𝑉
≈
𝑑𝑉
𝑉
=
19
1482
≈ 0.0128 .
Con frecuencia el error relativo se expresa en porcentaje. Así, decimos que, para el volumen del
cubo, en el ejemplo, el error relativo es aproximadamente 1.28%.
7.2 Máximos y mínimos. Decrecimiento y crecimiento de una función
Sea 𝑦 = 𝑓 (𝑥) una función definida en un intervalo 𝐼 = (𝑎, 𝑏) .
Recordemos que:
1. La función 𝑓 es estrictamente creciente en 𝐼, si para todo 𝑥1 , 𝑥2 ∈I, con 𝑥1<𝑥2, se cumple
que 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).
2. La función 𝑓 es estrictamente decreciente en 𝐼, si para todo 𝑥1 , 𝑥2 ∈I, con 𝑥1<𝑥2, se
cumple que 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).
Vamos a dar una condición suficiente para que una función sea estrictamente creciente
(decreciente) en un punto.
Teorema: Si una función 𝑓 tiene derivada positiva en el punto 𝑥0, entonces 𝑓 es estrictamente
creciente en 𝑥0.
Teorema: Si una función 𝑓 tiene derivada negativa en el punto 𝑥0, entonces 𝑓 es estrictamente
decreciente en 𝑥0.
Definiciones
1. Diremos que 𝑓 es estrictamente creciente en 𝑥0, si existe 𝛿 > 0 tal que 𝑓 es
estrictamente creciente en (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿).
2. Diremos que 𝑓 es estrictamente decreciente en 𝑥0, si existe 𝛿 > 0 tal que 𝑓 es
estrictamente decreciente en (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿).
Problema: Un investigador mide cierta variable 𝑥 y obtiene un valor 𝑥0, con un posible error
de tamaño ±∆𝑥. Después, el valor 𝑥0, es utilizado para calcular otro valor 𝑦0 , considerando
que 𝑦 depende de 𝑥. El valor 𝑦0 esta “contaminado” por el error en 𝑥, pero ¿qué tanto?.
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Máximo y mínimo absoluto
Definiciones:
Máximos y mínimos relativos
Definiciones:
𝑓 presenta máximo relativo en 𝑥0 𝑓 presenta mínimo relativo en 𝑥0
Si en un punto 𝑥0 del dominio de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene máximos o mínimo relativo, se
dice en general que tiene extremo.
Observaciones:
1. Si existe máximo absoluto, es único, aunque puede ser alcanzado en varios
puntos.
2. Todo máximo absoluto es máximo relativo.
3. Existen máximos relativos que no son máximos absolutos.
4. Pueden existir varios máximos relativos.
5. Pueden no existir máximos, ni mínimos relativos.
También se verifican las observaciones anteriores para mínimos absolutos y relativos.
Teorema de Monotonía: Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en
el intervalo I y derivable en todo punto interior a I.
(i) Si 𝑓/(𝑥) > 0 para todo 𝑥 de I, entonces f es estrictamente creciente en I.
(ii) Si 𝑓/(𝑥) < 0 para todo 𝑥 de I, entonces f es estrictamente creciente en I.
1) Diremos que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un máximo relativo en 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si existe
𝛿 > 0 tal que ∀𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) se cumple que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0).
2) Diremos que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un mínimo relativo en 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si existe
𝛿 > 0 tal que ∀𝑥 ∈ (𝑥0 − 𝛿, 𝑥0 + 𝛿) se cumple que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0).
Definiciones:
1. Diremos que la función
𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un máximo absoluto en 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si
∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) se cumple que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0).
2. Diremos que la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) tiene un mínimo absoluto en 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓), si ∀𝑥 ∈
𝐷𝑜𝑚(𝑓)se cumple que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑥0).
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Método del intervalo cerrado : Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función definida y continua en [𝑎, 𝑏]. Entonces
los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos dentro del intervalo (𝑎, 𝑏), o en 𝑓(𝑎)
o 𝑓(𝑏).
Resolución: No de la función velocidad dada, se nos pide hallar los valores extremos, sino de la
función aceleración del trasbordador entre el despeque y el desprendimiento de los cohetes
auxiliares. Así que primero tenemos que derivar para encontrar la función aceleración:
𝑎(𝑡) =
𝑑(0.001302 𝑡3 − 0.09029 𝑡2 + 23.61 𝑡 − 3.083)
𝑑𝑡
= 0.003906 𝑡2 − 0.18058 𝑡 + 23.61
Ahora aplicamos el método del intervalo cerrado a la función continua 𝑎 en el intervalo cerrado
[0, 126].
La peculiaridad de los puntos
extremos, es que son puntos:
1.- donde la recta tangente es
horizontal o
2.- donde no existe la derivada.
Definición: Sea 𝑓: 𝐷 → ℝ con 𝐷 ⊆ ℝ tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥) . Diremos que 𝑥0 es un punto crítico
de f, si 𝑥0 ∈ 𝐷 y además cumple: 𝑓
/(𝑥0) = 0 ó 𝑓
/(𝑥0) no existe.
Teorema de existencia de máximo y mínimo (Teorema de existencia de extremos)
Si 𝑓 es continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏], entonces alcanza un valor máximo y un valor
mínimo en ese intervalo.
Ejemplo: El telescopio espacial Hubble fue puesto en
operación el 24 de abril de 1990, por el trasbordador
espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del
trasbordador durante esta misión, desde el lanzamiento en
t=0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido
se desprenden en t=126 s está dado por
𝑣(𝑡) = 0.001302 𝑡3 − 0.09029 𝑡2 + 23.61 𝑡 − 3.083
(en pies por segundo). Con este modelo, estime los valores
máximos y mínimos absolutos de la aceleración del
trasbordador entre el despegue y el desprendimiento de los
cohetes auxiliares.
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La derivada primera de la función es:
𝑎/(𝑡) = 0.007812 𝑡 − 0.18058
El único punto crítico lo obtenemos resolviendo 𝑎/(𝑡) = 0:
𝑡1 =
0.18058
0.007812
≈ 23.12
Observamos que el valor crítico 𝑡1 pertenece al intervalo (0, 126), (por lo cual no lo
descartamos).
Evaluamos 𝑎(𝑡) en el valor crítico, y en los puntos extremos del intervalo, de la cual obtenemos:
𝑎(0) = 23.61 , 𝑎(𝑡1) ≈ 21.52 y 𝑎(126) ≈ 62.87
Así que, la aceleración máxima es aproximadamente 62.87 pies/seg2 y la aceleración mínima es
aproximadamente 21.52 pies/seg2.
En lo que sigue supondremos que las funciones son derivables en todo punto de su dominio.
La recíproca de este resultado no es válida. Puede suceder que 𝑓/(𝑥0) = 0 y en 𝑥0 la función no
presentar un extremo.
Determinación de máximos y mínimos relativos
Primer criterio (Variación de la función)
1. Para encontrar los extremos de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) , comenzamos por hallar los
valores de 𝑥 , que pertenezcan al dominio y anulen la derivada primera, resolviendo
𝑓/(𝑥) = 0.
Tendremos un cierto número (finito o infinito) de raíces: 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, …. a los cuales los
llamaremos “puntos críticos”. En cada punto 𝑃𝑖 = (𝑥𝑖 , 𝑓(𝑥𝑖)), la recta tangente a la
función es horizontal y puede haber máximo o mínimo relativo.
2. Supongamos que 𝑥0 sea punto crítico. En este caso, buscamos si existe ℎ > 0 tal que se
cumplan las siguientes dos condiciones:
Caso 1:
Teorema: Si en 𝑥0 la función 𝑓 tiene un extremo entonces se verifica que 𝑓
/(𝑥0) = 0.
𝑥0 es punto crítico si y sólo si 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝑓
/(𝑥0) = 0
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A) ∀𝑥 ∈ (𝑥0 − ℎ, 𝑥0) se cumpla 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) y
B) ∀𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑥0 + ℎ) se cumpla 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) .
En este caso, podemos asegurar que en 𝑥0 la función presenta un máximo relativo.
El máximo relativo es 𝑓(𝑥0) .
Caso 2:
A) ∀𝑥 ∈ (𝑥0 − ℎ, 𝑥0) se cumpla 𝑓(𝑥) > 𝑓(𝑥0) y
B) ∀𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑥0 + ℎ) se cumpla 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑥0) .
En este caso, podemos asegurar que en 𝑥0 la función presenta un mínimo relativo.
El valor mínimo es 𝑓(𝑥0) .
Si existe un entorno de centro en 𝑥0 donde la función es sólo creciente ó sólo decreciente,
entonces en 𝑥0 no hay máximo ni mínimo. Diremos , en este caso, que en 𝑥0 la función presenta
un punto de inflexión.
𝑃 es punto de inflexión creciente 𝑃 es punto de inflexión decreciente
𝑥0 − ℎ 𝑥0 𝑥0 + ℎ
𝑓(𝑥0)
Es decir, la función 𝑓 presenta un
máximo relativo en 𝑥0, “si existe
un entorno de centro en 𝑥0 en el
cual la función pasa de ser
creciente a ser decreciente”.
𝑥0 − ℎ 𝑥0 𝑥0 + ℎ
𝑓(𝑥0)
Es decir, la función 𝑓 presenta un
mínimo relativo en 𝑥0, “si existe un
entorno de centro en 𝑥0 en el cual la
función pasa de ser decreciente a ser
creciente”.
SIGNO MAAAAAAAAAAAAAAAL
mal de guelta
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Ejercicio: Determinar puntos críticos de 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)2 + 3 y clasificarlos.
Segundo criterio (Variación de la derivada primera)
1. Se hallan los valores de x, del dominio de la función, donde se anula la derivada primera,
resolviendo la ecuación 𝑓/(𝑥) = 0.
2. Sea 𝑥0 tal que 𝑓
/(𝑥0) = 0.
Caso 1: Buscamos si existe ℎ > 0 tal que se cumplan las siguientes dos condiciones:
I. ∀𝑥 ∈ (𝑥0 − ℎ, 𝑥0) se cumpla 𝑓
/(𝑥) > 0 y
II. ∀𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑥0 + ℎ) se cumpla 𝑓
/(𝑥) < 0. .
En este caso, podemos asegurar que la función presenta un máximo relativo en 𝑥0
Caso 2: Si existe ℎ > 0 tal que se cumplan las siguientes dos condiciones:
A) ∀𝑥 ∈ (𝑥0 − ℎ, 𝑥0) se cumpla 𝑓
/(𝑥) < 0 y
B) ∀𝑥 ∈ (𝑥0, 𝑥0 + ℎ) se cumpla 𝑓
/(𝑥) > 0. .
En este caso, podemos asegurar que la función presenta un mínimo relativo en 𝑥0 .
Es decir, si las derivadas pasan de positivas a negativas en 𝑥0, entonces existe un máximo relativo
en 𝑥0; si pasan de negativas a positivas en 𝑥0 entonces existe un mínimo relativo en 𝑥0. En
cambio, si continúa con signo positivo en 𝑥0 diremos que es un punto de inflexión crítico
creciente. Si continúan con signo negativo diremos que en 𝑥0 hay un punto de inflexión crítico
decreciente.
𝑥0 − ℎ 𝑥0 𝑥0 + ℎ
+ -
𝑓(𝑥0)
Máximo
𝑥0 − ℎ 𝑥0 𝑥0 + ℎ
𝑓(𝑥0)
Mínimo
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𝑃 es punto de inflexión creciente 𝑃 es punto de inflexión decreciente
Ejercicio: Resolver el ejercicio anterior utilizando este criterio.
Antes de enunciar el tercer criterio se presenta el siguiente resultado.
Tercer Criterio (Mediante la derivada segunda)
1. Se encuentran los puntos críticos,
hallando los valores 𝑥 del dominio de 𝑓 tal que
𝑓/(𝑥) = 0.
2. Si 𝑥0 es punto crítico de 𝑓 entonces se aplica el lema anterior para clasificar al punto
crítico.
Ejercicio: Resolver el ejercicio anterior utilizando el tercer criterio.
Si 𝑓//(𝑥0) = 0, entonces se analiza las derivadas sucesivas
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥4.
1. Hallamos los puntos críticos de la función:
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ
𝑓/(𝑥) = 4𝑥3
4𝑥3 = 0 ⇔ 𝑥 = 0
Teorema: Una condición necesaria y suficiente para que una función derivable
sucesivamente, en un punto 𝑥0, tenga en él un máximo o un mínimo relativo, es que la primera
derivada que no se anule en 𝑥0 sea de orden par. Si esta derivada es positiva entonces en
𝑥0 existe un mínimo relativo; si es negativa, en 𝑥0 existe un máximo relativo. Si la primer
derivada que no se anula en 𝑥0, es de orden impar, entonces en 𝑥0 hay un punto de inflexión.
Lema: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función que admite derivada primera y segunda. Sea 𝑥0 punto
crítico de 𝑓 tal que 𝑓//(𝑥0) existe. Luego, se cumple:
1) Si 𝑓//(𝑥0) > 0 entonces en 𝑥0 la función 𝑓 presenta un mínimo relativo.
2) Si 𝑓//(𝑥0) < 0 entonces en 𝑥0 la función 𝑓 presenta un máximo relativo.
+ -
+ -
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Resultando: 𝑥0 = 0 punto crítico de 𝑓 (pues 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝑓
/(𝑥0) = 0 ).
2. 𝑓//(𝑥) = 12𝑥2. Para 𝑥0 = 0 es 𝑓
//(0) = 0 (existe la derivada segunda en el punto
crítico, pero no podemos aplicar el lema anterior).
Luego, se deben analizar las derivadas sucesivas siguientes:
𝑓///(𝑥) = 24𝑥 → 𝑓///(0) = 0 (como se anula la derivada tercera en el punto crítico
seguimos derivando).
𝑓(4)(𝑥) = 24 → 𝑓(4)(0) = 24 ≠ 0 (la derivada cuarta evaluada en el punto crítico es la
primera derivada que no se anula).
Como el orden de derivación de la primera derivada que no se anula es par (4) y
𝑓(4)(0) = 24 > 0 , entonces en 𝑥0 = 0 la función 𝑓 presenta un mínimo relativo.
7.3 Gráfico de una función
7.3.1 Concavidad – Puntos de inflexión
Dada una función continua definida en un cierto intervalo, si la recta tangente gira
constantemente en sentido contrario a las agujas del reloj en dicho intervalo, decimos que la
gráfica es cóncava hacia arriba (o simplemente cóncava) (en este caso, la gráfica de la función se
asemeja a una sonrisa o parte de una sonrisa (∪)) en el intervalo ; si la tangente gira en el mismo
sentido que las manecillas del reloj en el intervalo, la gráfica es cóncava hacia abajo (o
convexa)(la gráfica se asemeja a una sonrisa invertida o parte de ella (⋂)) en el intervalo. Ambos
conceptos se pueden definir formalmente en términos de funciones y sus derivadas.
El tipo de concavidad también se puede estudiar por el signo de la derivada segunda.
En diversos fenómenos, de distinta naturaleza, se
proponen funciones, como modelos, para describir
adecuadamente comportamientos. En cada caso, resulta
importante tener en cuenta distintos aspectos, entre
ellos, el crecimiento, como así tambien, las oscilaciones
correspondientes. Tal es el caso, por ejemplo, cuando un
objeto, en movimiento, describe una trayectoria que
puede ser ascendente y presentar muchas
oscilanciones, como se observa en gráfico a la izquierda.
Para analizar las oscilciones necesitamos estudiar cómo
la recta tangente gira, cuando nos movemos de
izquierda a derecha, a lo largo de la gráfica.
Definición: Sea 𝑓 una función derivable en un intervalo abierto 𝐼.
Diremos que 𝑓 (al igual que su gráfica) es cóncava hacia arriba en 𝐼, si 𝑓/ es creciente en 𝐼;
y decimos que 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼, si 𝑓/ es decreciente en 𝐼.
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7.3.2 Puntos de inflexión
Cuando se estudió diferentes criterios para la determinación de máximos y mínimos de una
función se vió que una función puede tener puntos críticos que no son extremos, que tienen un
comportamiento especial, son lo que se llamaron “puntos de inflexión críticos”.
Este concepto de punto de inflexión es mucho más general. A continuación se presenta.
Esto es, en 𝑥 = 𝑥0 una función continua 𝑓 presenta un punto de inflexión , “ si existe un entorno
de centro 𝑥0 y un cierto radio ℎ, (𝑥0 − ℎ, 𝑥0 + ℎ), tal que 𝑓 es cóncava hacia arriba a un lado de
𝑥0 y es cóncava hacia abajo del otro lado de 𝑥0”.
Concavidad hacia arriba Concavidad hacia abajo P punto de inflexión
Notas importantes:
1) Existen funciones que presentan puntos de inflexión y sin embargo la derivada primera en
dichos puntos es no nula.
Ejemplo: Sea 𝑓: [−
𝜋
2
,
𝜋
2
] → [−1,1] tal que 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) cuya gráfica es la que se muestra a
continuación.
Teorema: Criterio de Concavidad
Sea 𝑓 una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto 𝐼.
a) Si 𝑓//(𝑥) > 0 para todo 𝑥 en 𝐼, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝐼.
b) Si 𝑓//(𝑥) < 0 para todo 𝑥 en 𝐼, entonces la gráfica de 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼.
Definición: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función que admite derivada segunda en 𝑥0 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓).
i) Diremos que 𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝑥0, si 𝑓
//(𝑥0) > 0 .
ii) Diremos que 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝑥0, si 𝑓
//(𝑥0) < 0 .
Definición: Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua en 𝑥 = 𝑥0. Diremos que (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) es un
punto de inflexión de la gráfica de 𝑓, si existe un entorno de centro en 𝑥0 tal que la
concavidad de la función 𝑓 cambia entorno a dicho punto 𝑥0.
𝑥0
𝑥0
Muy importante leer
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Observamos que, 𝑓/(𝑥) = cos (𝑥). Existe 𝑥0 = 0 tal que 𝑓 es continua y 𝑓
/(𝑥0) = 𝑓
/(0) =
cos (0) ≠ 0 ( es decir, 𝑥0 = 0 no es punto crítico de 𝑓). Sin embargo, como 𝑓
//(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛 (𝑥), al
analizar el signo de la derivada segunda resulta:
2) Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función continua con derivada de orden dos continua.
Si en 𝑥0, 𝑓 presenta un punto de inflexión, entonces 𝑓
//(𝑥0) = 0. En cambio, 𝑓
//(𝑥0) = 0 no
implica que en 𝑥0, 𝑓 presenta un punto de inflexión.
Ejemplo: Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥4. Luego, 𝑓//(𝑥) = 12𝑥2 . Se observa, cuando 𝑥0 = 0 resulta 𝑓
//(𝑥0) = 0.
Desde la gráfica de la función podemos ver que el punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) = (0,0) no es punto de
inflexión.
Asíntotas
Dada una función 𝑓, pueden existir ciertas rectas que se reciben con el nombre de “asíntotas”,
las que están estrechamente vinculadas a ella, ya que permiten caracterizar el comportamiento
de la función.
Ejemplo:
Definición: Una recta 𝑥 = 𝑥0 es una asíntota vertical de 𝑦 = 𝑓(𝑥), si se cumple que:
lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥) = ±∞ o lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥) = ±∞ .
𝑓//(𝑥) > 0 para 𝑥 ∈ (−
𝜋
2
, 0) y 𝑓//(𝑥) < 0 para 𝑥 ∈ (0,
𝜋
2
).
Lo que indica que, en 𝑥0 = 0 la gráfica de la función 𝑦 =
𝑓(𝑥) presenta un punto de inflexión.
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Definición: Diremos que la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una asíntota oblicua derecha de 𝑦 = 𝑓(𝑥), si
lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − (𝑚𝑥 + 𝑏)) = 0.
Definición: Diremos que la recta 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es una asíntota oblicua izquierda de 𝑦 = 𝑓(𝑥),
si lim
𝑥→−∞
(𝑓(𝑥) − (𝑚𝑥 + 𝑏)) = 0.
𝑦 = 𝑓(𝑥)
A
sí
n
to
ta
v
er
ti
ca
l
A
sí
n
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v
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ti
ca
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Importante: Para calcular 𝑚 y 𝑏, en el caso que existan, se aplican los siguientes resultados:
En el caso a) de la definición anterior, para hallar la asíntota oblicua a derecha:
𝑚 = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
y 𝑏 = lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥).
Mientras, en el caso b), para hallar la asíntota oblicua a izquierda:
𝑚 = lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥
y 𝑏 = lim
𝑥→−∞
(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥).
En el caso particular de que 𝑚 = 0, la asíntota se llama “horizontal”.
Gráfico de funciones
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 3 Asíntota horizontal
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Diversas funciones algebraicas o trascendentes, de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥), se puede representar
gráficamente siguiendo los pasos que se detallan a continuación.
1) Determinar el dominio de 𝑓.
2) Hallar los puntos donde la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥) intersectan a los ejes 𝑥 e 𝑦 (𝑓(𝑥) = 0 y
𝑓(0) = 𝑦 ).
3) Hallar puntos críticos, intervalos de crecimiento, intervalos de decrecimiento y extremos.
4) Determinar intervalos concavidad y puntos de inflexión.
5) Determinar asíntotas verticales y oblicuas.
6) Con los datos obtenidos en los pasos anteriores graficar.
Para el paso 3) puede ser de utilidad el siguiente esquema para organizar el análisis
correspondiente.
Supongamos que: 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ – {𝑏} y en 𝑥 = 𝑎 la gráfica presenta un punto crítico ( esto
es, 𝑎 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) y 𝑓/(𝑎) = 0 ). Se completa el siguiente cuadro.
Expresión (−∞,𝑎)”intervalo” “valor” 𝑎 (𝑎, 𝑏) ”intervalo” “valor” 𝑏 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) (𝑏, +∞) “Intervalo”
𝑓(𝑥) = ⋯ 𝑓(𝑎) = ⋯ 𝑓(𝑏) 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑓/(𝑥) = ⋯
Análisis de
crecimiento según
el signo de la
derivada primera
considerando
puntos del
intervalo
(−∞,𝑎).
Clasificación
del punto
(𝑎, 𝑓(𝑎)) en
máximo
relativo ó
mínimo
relativo ó
punto de
inflexión
Análisis de
crecimiento
según el signo
de la derivada
primera
considerando
puntos del
intervalo
(𝑎, 𝑏).
No hay punto para
clasificar.
Análisis de
crecimiento según
el signo de la
derivada primera
considerando
puntos del
intervalo
(𝑏, +∞).
En forma similar se puede confeccionar una tabla para trabajar en el paso 4) considerando la
expresión de la derivada segunda.
Ejemplo: Graficar 𝑓(𝑥) =
𝑥2−2𝑥+4
𝑥−2
.
1) 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {2}.
2) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑗𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠:
{𝑦 =
𝑥2 − 2𝑥 + 4
𝑥 − 2
𝑦 = 0
→
𝑥2 − 2𝑥 + 4
𝑥 − 2
= 0 → 𝑥2 − 2𝑥 + 4 = 0 → 𝑥1,2 =
2 ± √−12
2
𝑟𝑎𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑎𝑠
→ La gráfica de la función no intersecta al eje 𝑥.
{𝑦 =
𝑥2 − 2𝑥 + 4
𝑥 − 2
𝑥 = 0
→ 𝑦 =
4
−2
→ 𝑦 = −2
→ La gráfica de la función intersecta al eje 𝑦 en el punto 𝑃1 = (0, −2)
3) Puntos críticos, intervalos de crecimiento y extremos.
Calculamos la derivada primera de la función y al trabajar algebraicamente se obtiene:
𝑓/(𝑥) =
𝑥(𝑥−4)
(𝑥−2)2
.
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𝑓/(𝑥) = 0 ↔
𝑥(𝑥−4)
(𝑥−2)2
=0→ 𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 4
Como 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 4 son puntos del dominio de 𝑓 que anulan la derivada primera de la
función, resulta 𝑃1 = (0, 𝑓(0)) = (0,−2) y 𝑃2 = (4, 𝑓(4)) = (4,6) son puntos críticos.
Expresió
n
(−∞,0) 0 (0,2) 2 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) (2,4) 4 (4, +∞)
𝑓(𝑥) =
𝑥2−2𝑥+4
𝑥−2
.
𝑓(0) = −2 𝑓(2)
𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑓(4) = 6
𝑓/(𝑥)
=
𝑥(𝑥 − 4)
(𝑥 − 2)2
𝑥 = −1
Como
𝑓/(−1) > 0
entonces
𝑓 es estrict.
creciente en
(−∞,0)
Clasificación
del punto:
En 𝑥 = 0 la
gráfica
presenta un
máximo
relativo.
𝑥 = 1
Como
𝑓/(1) < 0
entonces
𝑓 es estrict.
decreciente
en
(0,2)
No hay punto
para
clasificar
𝑥 = 3
Como
𝑓/(3) < 0
entonces
𝑓 es estrict.
decreciente
en
(2,4)
Clasificación
del punto:
En 𝑥 = 4 la
gráfica
presenta un
mínimo
relativo.
𝑥 = 5
Como
𝑓/(5) > 0
entonces
𝑓 es estrict.
creciente
en
(4, +∞)
4) Intervalos concavidad y puntos de inflexión.
Al calcular la derivada segunda de la función y trabajar algebraicamente se obtiene 𝑓//(𝑥) =
8
(𝑥−2)2
.
𝑓//(𝑥) = 0 ↔
8
(𝑥 − 2)2
= 0 → 𝑁𝑜 ℎ𝑎𝑦 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛.
Como para todo valor 𝑥 perteneciente al 𝐷𝑜𝑚(𝑓) se tiene que 𝑓//(𝑥) ≠ 0. Se concluye que la
gráfica de 𝑓 no presenta puntos de inflexión.
Expresión (−∞, 2) 2 ∉ 𝐷𝑜𝑚(𝑓) (2, +∞)
𝑓(𝑥) =
𝑥2−2𝑥+4
𝑥−2
.
𝑓(2)
𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
𝑓//(𝑥) =
8
(𝑥 − 2)2
𝑥 = 1
Como 𝑓//(1) < 0
entonces
𝑓 es cóncava
hacia abajo en
(−∞, 2)
No hay punto
para
clasificar
𝑥 = 5
Como 𝑓//(5) > 0
entonces
𝑓 es cóncava
hacia arriba en
(2, +∞)
5) Asíntotas verticales y oblicuas.
Como lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = −∞ y lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) = +∞ se tiene que 𝑥 = 2 es una asíntota vertical.
Asíntota oblicua a derecha : 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑚 = lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥2−2𝑥+4
𝑥−2
𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥2−2𝑥+4
𝑥2−2𝑥
=1 → 𝑚 = 1 pendiente
𝑏 = lim
𝑥→+∞
(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥) = lim
𝑥→+∞
(
𝑥2−2𝑥+4
𝑥−2
− 𝑥) = lim
𝑥→+∞
1
𝑥−2
= 0 → 𝑏 = 0 ordenada al origen
𝑦 = 𝑥 es asíntota oblicua a derecha
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Página 47
En forma similar se analiza la existencia de asíntota oblicua a izquierda considerando las
fórmulas 𝑚 = lim
𝑥→−∞
𝑓(𝑥)
𝑥
y 𝑏 = lim
𝑥→−∞
(𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥), de la cual se obtiene la misma recta. Por
tanto, 𝑦 = 𝑥 es asíntota oblicua a izquierda.
6) Graficar.
8. Propiedades de las funciones continuas y derivables
Teorema de Rolle Si 𝑓 es una función que satisface las siguientes tres condiciones:
1. 𝑓 es continua sobre el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏],
2. 𝑓 es derivable sobre el intervalo abierto (𝑎, 𝑏) y
3. 𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑏),
entonces existe un número 𝑥0 en (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓
/(𝑥0) = 0.
Interpretación geométrica
Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función en las condiciones del Teorema de Rolle. Luego, existe al menos un
punto 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏), tal que la recta tangente a la gráfica en el punto (𝑥0, 𝑓(𝑥0)) es paralela al eje x.
A
sí
n
to
ta
v
er
ti
ca
l
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Interpretación física: Vamos a aplicar el teorema de Rolle a la función posición 𝑠 = 𝑓 (𝑡) de un
objeto en movimiento. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes 𝑡 = 𝑎 y
𝑡 = 𝑏, entonces 𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑏). El teorema de Rolle señala que hay algún instante de tiempo 𝑡 =
𝑥0 entre a y b que cumple 𝑓
/(𝑥0) = 0; es decir, la velocidad es 0. (En particular, puede verse
que esto es cierto cuando se lanza una bola directamente hacia arriba.)
Es decir que “el cociente de incrementos de dos funciones continuas y derivables en un intervalo
es igual al cociente de las derivadas en por lo menos un punto interior al intervalo”.
A continuación, veremos un teorema muy importante por sus implicancias, conocido como
Teorema de Lagrange o también como Teorema del valor medio de la derivada.
Teorema de Cauchy
Sean 𝑓 y 𝑔 dos funciones continuas en [𝑎, 𝑏] y derivables en (𝑎, 𝑏), siendo 𝑔/(𝑥) ≠ 0 para
todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Entonces existe por lo menos un punto 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que:
𝑓/(𝑥0)
𝑔/(𝑥0)
=
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎)
Teorema de Lagrange
Si 𝑓 es una función que satisface las siguientes hipótesis:
1.- 𝑓 es continua en el intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏]
2.- 𝑓 es derivable en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏)
entonces existe un número 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que
𝑓/(𝑥0) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(1)
O, equivalentemente,
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) = 𝑓/(𝑥0)(𝑏 − 𝑎).
𝑎 𝑥0 𝑏
𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏)
Recta tangente horizontal
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Interpretación geométrica:
Antes de demostrar este Teorema, podemos ver que es razonable desde la interpretación
geométrica. Las figuras siguientes muestran los puntos 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) 𝑦 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)) sobre las
gráficas de dos funciones derivables. La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
𝐴 y 𝐵 es:
𝑚𝐴𝐵 =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(2)
que es la misma expresión que en el lado derecho de la igualdad (1). Dado que 𝑓/(𝑥0) es la
pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto = (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )), el teorema del valor
medio indica que hay al menos un punto 𝑃 = (𝑥0 , 𝑓(𝑥0 )) sobre la gráfica donde la pendiente de
la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos 𝐴 𝑦 𝐵.
En otras palabras, hay al menos un punto P donde la recta tangente es paralela a la recta secante
que pasa por 𝐴 𝑦 𝐵 (imagine un recta paralela a la recta que pasa por 𝐴 y 𝐵 moviéndose desde
lejos manteniendo el paralelismo hasta que toque la gráfica en un punto).
Demostración: Aplicamos el teorema de Rolle a una nueva función ℎ definida como diferencia
entre 𝑓 y la función polinómica de grado uno cuya gráfica corresponde a la recta secante que
pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵 de la gráfica de 𝑓. Teniendo en cuenta la ecuación (2) se puede ver
que la ecuación de la recta secante que pasa dichos puntos puede escribirse como:
𝑦 − 𝑓(𝑎) =
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
(𝑥 − 𝑎)
o también
𝑦 = 𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
(𝑥 − 𝑎)
Sea 𝑃1(𝑥) = 𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(𝑥 − 𝑎).
𝑎 𝑥0 𝑏
𝑎 𝑥1 𝑥2 𝑏
𝐴
𝐴
𝐵
𝐵
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Así como se muestra en el gráfico anterior,
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑃1(𝑥) = 𝑓(𝑥) − (𝑓(𝑎) +
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(𝑥 − 𝑎)) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(𝑥 − 𝑎)
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(𝑥 − 𝑎) (3)
Comprobemos primero que ℎ satisface las tres hiótesis del Teorema de Rolle.
1. La función ℎ es continua en el intervalo [𝑎, 𝑏], porque 𝑓 y 𝑃1 son funciones continuas
en [𝑎, 𝑏], y además la diferencia de funciones continuas en un intervalo es una función
continua en dicho intervalo.
2. La función ℎ es derivable, porque 𝑓 y la función polinomial 𝑃1 son derivables, además
la diferencia de funciones derivables en un intervalo también es derivable en dicho
intervalo. De hecho, podemos calcular ℎ/ directamente de la ecuación (3):
ℎ/(𝑥) = 𝑓/(𝑥) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(4)
3. ℎ(𝑎) = 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑎) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(𝑎 − 𝑎) = 0
ℎ(𝑏) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) −
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
(𝑏 − 𝑎) = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎) − 𝑓(𝑏) + 𝑓(𝑎) = 0
Por lo tanto, ℎ(𝑎) = ℎ(𝑏).
Dado que ℎ satisface las hipótesisi del Teorema de Rolle, que señala que existe al menos un
número 𝑥0 dentro del intervalo abierto (𝑎, 𝑏) tal que la función ℎ verifica ℎ
/(𝑥0) = 0. A partir de
ello y teniendo en cuenta (4) se tiene
0 = ℎ/(𝑥0) = 𝑓
/(𝑥0) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
→ 0 = 𝑓/(𝑥0) −
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
(5)
Despejando 𝑓/(𝑥0)de (5) se obtiene: 𝑓
/(𝑥0) =
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
. cqd
𝑎 𝑥 𝑏
𝒉(𝒙)
𝑷𝟏(𝒙)
𝒇(𝒙)
𝐴
𝐵
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Interpretación física: Si un objeto se mueve en línea recta de acuerdo con la función posición
𝑠 = 𝑓 (𝑡), entonces la velocidad promedio entre 𝑡 = 𝑎 y 𝑡 = 𝑏 es
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
y la velocidad en 𝑡 = 𝑐 es 𝑓/(𝑐). Así, el Teorema del Lagrange (en la forma de la ecuación 1) nos
indica que en algún momento 𝑡 = 𝑐 entre 𝑎 y 𝑏 la velocidad instantánea 𝑓/(𝑐) es igual a la
velocidad promedio. Por ejemplo, si un automóvil viajaba 180 km en 2 horas, entonces el
velocímetro debe tener una lectura de 90 km/h por lo menos una vez.
En general, el teorema de Lagrange puede interpretarse diciendo que “existe al menos un
número en el cual la razón de cambio instantáneo es igual a la razón de cambio promedio a lo
largo de un intervalo”.
Consecuencias del Teorema de Lagrange:
Sabemos que, si 𝑓 es una función constante en un intervalo, su derivada vale 0. Nos preguntamos
si es cierto, recíprocamente, si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces la
función es constante. El Teorema del Valor Medio nos da la siguiente respuesta afirmativa:
Demostración: Dado 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], 𝑥 ≠ 𝑎, la función 𝑓 considerada en el intervalo [𝑎, 𝑥] cumple las
hipótesis del Teorema de Lagrange. Luego, existe un valor 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑥) (que depende de 𝑥) tal que
𝑓/(𝑐) =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
. Como 𝑓/(𝑐) = 0, la igualdad anterior implica que 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = 0, es
decir, que 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Llamamos 𝐶 = 𝑓(𝑎) y, entonces, resulta que 𝑓(𝑥) = 𝐶 para todo 𝑥 ∈
[𝑎, 𝑏]. cqd
De esta propiedad se deduce que:
En efecto, si ℎ ∶ [𝑎; 𝑏] → 𝑅 es la función definida por ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥), por las hipótesis
sobre 𝑓 y 𝑔, tenemos que ℎ es continua en [𝑎, 𝑏] y derivable en (𝑎; 𝑏); además, vale que ℎ /(𝑥) =
𝑓/ (𝑥) − 𝑔/ (𝑥) = 0 para todo 𝑥 ∈ (a; b). Entonces, por la propiedad anterior, existe C ∈ R tal
que ℎ(𝑥) = 𝐶 para todo x ∈ [a; b]; es decir, 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝐶 para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]. cqd
Corolario: Sea 𝑓 ∶ [𝑎; 𝑏] → 𝑅 una función continua en el intervalo cerrado [𝑎, 𝑏] y derivable
en el intervalo abierto (𝑎, 𝑏). Si 𝑓 /(𝑥) = 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), entonces 𝑓 es una función
constante en [𝑎; 𝑏]; es decir, existe un valor C ∈ R tal que 𝑓(𝑥) = 𝐶 para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].
Corolario: Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) dos funciones continuas en [𝑎, 𝑏] tales que 𝑓/(𝑥) =
𝑔/(𝑥) para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), entonces existe un número real 𝐶 tal que: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + 𝐶 (es
decir, 𝑓 y 𝑔 difieren en una constante).
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Otra consecuencia del Teorema de Lagrange es que permite relacionar el comportamiento de
una función en cuanto a crecimiento y decrecimiento con el signo de los valores que toma su
derivada., resultando el Teorema de Monotonía ya enunciado anteriormente.
Como podemos observar en los gráficos precedentes, si las rectas tangentes al gráfico de una
función en todos los puntos del intervalo (𝑎, 𝑏) tienen pendiente positiva, entonces la función es
creciente en [𝑎, 𝑏] y, si las rectas tangentes en todos los puntos de (𝑎, 𝑏) tienen pendiente
negativa, la función es decreciente en [𝑎, 𝑏].
(Referencia de material Bibliográfico: Puede ampliar su información en aspectos de aplicación
del Teorema de Lagrange en http://www.mate.cbc.uba.ar/28/ValorMedio.pdf)
9. Límites indeterminados: Regla de L’Hopital
En el capítulo 3 se describieron las formas
0
0
,
∞
∞
, ∞−∞, 0.∞ y 1∞, como casos de
indeterminaciones, en el cálculo del límite, ya que no nos garantizan que exista el límite, y
tampoco nos indican cuál es el límite, en caso de existir. Cuando encontramos algunas de estas
formas indeterminadas, intentamos reescribir la
expresión usando diferentes técnicas, según el
caso. Si bien, estas técnicas algebraicas se pueden aplicar en diversas situaciones, en muchos
otros casos no se pueden aplicar. En especial, cuando aparecen funciones trascendentes. Así, por
ejemplo:
lim
𝑥→0
𝑒2𝑥 − 1
𝑥
produce la indeterminación del tipo
0
0
. Si por ejemplo, dividimos numerador y denominador en
x resulta:
lim
𝑥→0
(
𝑒2𝑥
𝑥
−
1
𝑥
)
Lo cual simplemente nos conduce a la indeterminación ∞−∞.
A continuación, introducimos un teorema conocido como “Regla de L´Hopital”. Este teorema
establece que, bajo ciertas condiciones, el límite del cociente
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
se puede hallar determinando
el límite de
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
. Este teorema recibe su nombre en honor del matemático francés Guillaume
François Antoine De L´Hôpital (1661-1704), el cual publicó en 1696 el primer texto de cálculo.
Para demostrar este teorema, aplicó el Teorema de Cauchy.
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Regla de L’Hopital para el caso
𝟎
𝟎
y 𝒙 → 𝒙𝟎
Se plantea el problema de hallar el lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
, con 𝑔(𝑥) ≠ 0, en el caso que lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 0 y
lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 0. Aquí no vale la regla del límite del cociente, dado que nos daría
0
0
.
A este tipo de límite, lo llamaremos “indeterminado del tipo
0
0
”.
O sea que, bajos las condiciones del Teorema se cumple:
Regla de L´Hopital, para
el caso 0/0
Ejemplo: Calculemos el límite anterior aplicando la Regla de L´Hopital para la indeterminación
0/0.
lim
𝑥→0
𝑒2𝑥−1
𝑥
=lim
𝑥→0
(𝑒2𝑥−1)
/
(𝑥)/
= lim
𝑥→0
2𝑒2𝑥
1
=2 lim
𝑥→0
𝑒2𝑥−1
𝑥
= 2
Si el límite del cociente
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
, para el caso anterior, vuelve a dar indeterminada para 𝑥 → 𝑥0 y las
funciones derivadas 𝑓/ y 𝑔/ verifican las condiciones que se formulan para 𝑓 y 𝑔, se aplica la
misma regla, con lo que se obtiene el límite del cociente de las derivadas segundas, y así
sucesivamente.
Ejemplo: Encontrar lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑥
𝑥3
.
Resolución: lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)−𝑥
𝑥3
=
𝐿´𝐻
lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠(𝑥)−1
3𝑥2
=
𝐿´𝐻
lim
𝑥→0
−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
6𝑥
=
𝐿´𝐻
lim
𝑥→0
−𝑐𝑜𝑠(𝑥)
6
= −
1
6
.
Teorema: Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) dos funciones con derivadas 𝑓/ y 𝑔/ para todo 𝑥 ∈
(𝑎, 𝑏), tales que lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥0) = 0 y lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥0) = 0, con 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏).
Si 𝑔/(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) y además existe lim
𝑥→𝑥0
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
= 𝐿, entonces lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe y
se cumple:
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓//(𝑥)
𝑔//(𝑥)
= ⋯ = 𝐿
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→𝑥0
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
= 𝐿
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A partir del teorema anterior, bajo ciertas condiciones, se demuestran las reglas, para diversos
casos de indeterminaciones.
Regla de L’Hopital para el caso
𝟎
𝟎
y 𝒙 → +∞
Regla de L’Hopital para el caso
∞
∞
y 𝒙 → 𝒙𝟎
Se llega al mismo resultado para 𝑓(𝑥) → ∞ y 𝑔(𝑥) → ∞, para 𝑥 → ∞. O sea:
Hay otras indeterminaciones a tener en cuenta, como son los casos 0. ∞, ∞−∞, 1∞, 00.
En cada uno de los casos hay que trabajar algebraicamente, en forma conveniente, para llevar la
indeterminación del límite a los casos 0/0 o ∞/∞ y poder aplicar la regla de L´Hopital.
Asi por ejemplo:
a) 0.∞
Se trata de calcular lim
𝑥→𝑥0
(𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)), siendo lim𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0
= 0 y lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = ∞.
En este caso, podemos llevar el producto 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) a la forma
𝑓(𝑥)
(
1
𝑔(𝑥)
)
, luego:
lim
𝑥→𝑥0
(𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥)) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
(
1
𝑔(𝑥)
)
es una indeterminación del tipo 0/0 que es una
indeterminación conocida y podemos aplicar la regla de L´Hopital.
Teorema: Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) dos funciones con derivadas 𝑓/ y 𝑔/ para todo 𝑥 > 𝑘 >
0, tales que lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) = 0 y lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = 0.
Si 𝑔/(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥 > 𝑘 y se cumple que existe lim
𝑥→+∞
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
= 𝐿, entonces lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe y se cumple: lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿
Teorema: Sean 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 = 𝑔(𝑥) dos funciones con derivadas 𝑓/ y 𝑔/ para cada punto
𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏), tales que lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = +∞ y lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = +∞, con 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏).
Si 𝑓/ y 𝑔/ no se anulan ni se hacen infinitas para 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) y existe lim
𝑥→𝑥0
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
= 𝐿,
entonces lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
existe y vale: lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= 𝐿
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
= lim
𝑥→+∞
𝑓/(𝑥)
𝑔/(𝑥)
= 𝐿
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b) ∞−∞
Se trata de calcular lim
𝑥→𝑥0
(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)), siendo lim𝑓(𝑥)
𝑥→𝑥0
= +∞ y lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = +∞.
Existen distintas formas de trabajar algebraicamente la expresión 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) para llevar
el cálculo del límite, que se plantea, al caso 0/0. Un procedimiento general es escribiendo:
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) =
𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)
𝑓(𝑥).𝑔(𝑥)
. 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = (
1
𝑔(𝑥)
−
1
𝑓(𝑥)
). 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) =
(
1
𝑔(𝑥)
−
1
𝑓(𝑥)
)
(
1
𝑓(𝑥).𝑔(𝑥)
)
Se reduce al caso 0/0 para 𝑥 → 𝑥0 y se puede aplicar la regla de L´Hopital.
c) 1∞
Se trata de calcular lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥), siendo lim𝑓(𝑥)
𝑥→+∞
= 1 y lim
𝑥→+∞
𝑔(𝑥) = +∞.
En este caso, para aplicar la regla de L´Hopital, resulta apropiado trabajar utilizando
propiedades de la función logaritmo natural y del límite.
lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑒
ln ( lim
𝑥→+∞
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥))
=𝑒
( lim
𝑥→+∞
𝑙𝑛(𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)))
= 𝑒
( lim
𝑥→+∞
(𝑔(𝑥)𝑙𝑛(𝑓(𝑥)) )
De esta forma, se observa que en el exponente de la función exponencial se plantea un
límite para el caso de indeterminación del tipo 0.∞. Procediendo según lo indicado en a)
se puede llevar el límite al caso 0/0 y así aplicar la regla de L´Hopital.
Ejercicio: Calcular
1. lim
𝑥→0
4𝑥2 + 3𝑥
3𝑥2 − 𝑥
2. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑥
𝑥2
3. lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑥2 − 𝑥
4. lim
𝑥→0
(
1
𝑥
−
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
) 5. lim
𝑥→+∞
𝑥
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
6. lim
𝑥→+∞
(1 +
1
2𝑥
)
4𝑥+1
interestinger
UNSJ - FCEFyN- Departamento de Geofísica y Astronomía
Carreras: Lic. en Geofísica y Lic en Astronomía
* 2020 *
ANÁLISIS MATEMÁTICO i
UNIDAD V:
Integrales Y aplicaciones
Profesor responsable: Mag. Susana B. Ruiz
Unidad 5 – Análisis Matemático I – Lic. Geofísica y Lic. Astronomía- CEFyN -UNSJ
Prof. Responsable: Mag. Susana Beatriz Ruiz
Página 2
UNIDAD V
Una Visión General
Hasta el momento se ha estudiado la rama del Cálculo llamada Cálculo Diferencial, en la que se
estudia la derivada. En esta unidad se iniciará el estudio de la otra rama del Cálculo denominada
Cálculo Integral la cual trata a cerca de la integral definida. Estas dos ramas del Cálculo están
relacionadas mediante los Teoremas Fundamentales del Cálculo, descubrimiento culminante en
el siglo XVII realizado por Newton y Leibniz, quienes trabajaron en forma independiente.
Un procedimiento de cálculo necesario para aplicar los Teoremas Fundamentales es la
antiderivación o antidiferenciación, por lo cual, será la primer temática que veremos al comienzo
de esta unidad. Luego se presentará la definición de integral definida y los teoremas
correspondientes, y por último,
se darán algunas aplicaciones tales como: cálculo de áreas,
volúmenes de sólidos de revolución, longitud de arco, masa y coordenadas de centro de gravedad
de una lámina plana homogénea, entre otras.
1. Integrales indefinidas
1.1 Primitivas
Queremos resolver el siguiente problema:
Ejemplo:
Unidad 5 – Análisis Matemático I – Lic. Geofísica y Lic. Astronomía- CEFyN -UNSJ
Prof. Responsable: Mag. Susana Beatriz Ruiz
Página 3
Esto nos sugiere el siguiente:
cqd
Observación:
Notación:
Unidad 5 – Análisis Matemático I – Lic. Geofísica y Lic. Astronomía- CEFyN -UNSJ
Prof. Responsable: Mag. Susana Beatriz Ruiz
Página 4
Ejemplos:
Nota:
(Las Ecuaciones Diferenciales se estudiaran con más detalle en Análisis Matemático II y III.)
Unidad 5 – Análisis Matemático I – Lic. Geofísica y Lic. Astronomía- CEFyN -UNSJ
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Página 5
Ejemplo:
1.2 Integrales inmediatas
oooooooooooooooooooooooooo fuck
Unidad 5 – Análisis Matemático I – Lic. Geofísica y Lic. Astronomía- CEFyN -UNSJ
Prof. Responsable: Mag. Susana Beatriz Ruiz
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Nota: Para calcular la integral de un determinante, esto es ∫ 𝑑𝑒𝑡(𝐴)𝑑𝑥 primero calculamos el
determinante de la matriz A y luego hallamos la primitiva.
1.3 Propiedades de las integrales indefinidas
Unidad 5 – Análisis Matemático I – Lic. Geofísica y Lic. Astronomía- CEFyN -UNSJ
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2. Métodos de Integración
2.1 Método de sustitución
A continuación se presentan algunos casos donde es útil resolver integrales aplicando el método
de sustitución. En todos los casos se asume que las funciones a integrar admiten primitivas.
I) Integrales de la forma ∫ 𝒈(𝒇(𝒙)). 𝒇/(𝒙). 𝒅𝒙
Se resuelve haciendo la sustitución 𝑢 = 𝑓(𝑥).
Ejemplo:
Cuando terminamos de integrar, volvemos a la variable original (que en este caso es x)
reemplazando u por x2 + 1 y obtenemos
Verificación:
Verifiquemos que realmente llegamos a la solución buscada. Para esto, tenemos que derivar la
expresión resultante y ver si nos da la función de adentro de la integral:
como queríamos.
heavy shit
Buscar
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II) Integrales de la forma ∫(𝒇(𝒙))
𝒏
. 𝒇/(𝒙). 𝒅𝒙, con n=ctte. y n≠ −𝟏 .
Se resuelven haciendo la sustitución 𝑢 = 𝑓(𝑥).
En este caso resulta: ∫(𝒇(𝒙))
𝒏
. 𝒇/(𝒙). 𝒅𝒙 =
(𝒇(𝒙))𝒏+𝟏
𝒏+𝟏
+ 𝑪
Ejemplo:
∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 =⏟
𝑢=𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑑𝑢=cos(𝑥)𝑑𝑥
∫ 𝑢. 𝑑𝑢 =⏟
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝑢2
2
+ 𝐶 =⏟
𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎
𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
(𝑠𝑒𝑛(𝑥))2
2
+ 𝐶
III) Integrales de la forma ∫
𝒇/(𝒙)
𝒇(𝒙)
. 𝒅𝒙
Se resuelve haciendo la sustitución 𝑢 = 𝑓(𝑥).
Ejemplo:
∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = ∫
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑑𝑥 = (−1) ∫
−𝑠𝑒𝑛(𝑥)
cos(𝑥)
𝑑𝑥 =⏟
𝑢=𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑑𝑢=−sen(𝑥)𝑑𝑥
− ∫
1
𝑢
. 𝑑𝑢 =⏟ −
𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙
𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎
𝑙𝑛|𝑢|
+ 𝐶 =⏟
𝑣𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎
𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
− 𝑙𝑛|cos (𝑥)| + 𝐶
IV) Sustituciones Trigonométricas
HELP NOWWWWW
el verdadero no entendí
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Ejemplos:
A)
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B)
2.2 Método de integración por partes
Este método de integración, uno de los más importantes, se deduce de la derivada de un producto
de funciones, y permite calcular integrales de ciertas funciones que se pueden descomponer en
producto de dos funciones.
Buscar
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Ejemplo: Calcular ∫ 𝑒𝑥𝑥. 𝑑𝑥
Solución:
Antes de aplicar el método de integración por partes hay que decidir u y dv. Las
posibilidades para este ejemplo son:
Luego de analizar nos quedamos con la segunda opción.
Aplicamos el método
resultando:
Ejercicios:
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2.3 Integración de funciones trigonométricas
2.3.1 Potencia impar de seno, coseno, tangente, cotangente, secante ó cosecante
Para estos casos hay que tener en cuenta las fórmulas fundamentales de trigonometría.
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1
𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑡𝑔2(𝑥) = 1
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥) = 1
Ejemplo:
La última integral la resolvemos por sustitución haciendo 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) y 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥). 𝑑𝑥
Resultando:
2.3.2 Potencia par de seno ó coseno
En estos casos se tiene que tener en cuenta las siguientes igualdades
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =
1
2
(1 − cos (2𝑥))
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) =
1
2
(1 + cos (2𝑥))
Ejemplos:
1)
2)
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2.3.3 Potencia par de tangente, cotangente, secante ó cosecante
Para este caso se deben tener en cuenta las siguientes relaciones trigonométricas
𝑡𝑔2(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1
𝑐𝑜𝑡𝑔2(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1
Ejemplo:
∫ 𝑡𝑔2(𝑥). 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐2(𝑥) − 1). 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐2(𝑥). 𝑑𝑥 − ∫ 1. 𝑑𝑥 = 𝑡𝑔(𝑥) − 𝑥 + 𝐶
2.3.4 Producto de potencia impar de seno y coseno (al menos una de las potencias impar)
Ejemplo:
2.3.5 Producto de potencia par de seno y coseno (ambas potencias)
Ejemplos:
1)
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2)
2.3.6 Integrales de la forma ∫ 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝒎𝒙). 𝒅𝒙 , con n≠m
Ejemplo:
2.3.7 Integrales de la forma ∫ 𝒔𝒆𝒏(𝒏𝒙). 𝒔𝒆𝒏(𝒎𝒙). 𝒅𝒙 o ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒏𝒙). 𝒄𝒐𝒔(𝒎𝒙). 𝒅𝒙 , con n≠m
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Ejemplo:
2.4 Método de descomposición en fracciones simples
Este método se aplica para integrar funciones racionales.
Si el cociente de polinomios es tal que el grado del numerador es mayor o igual al del
denominador se dice que la función racional es impropia. Entonces se divide el polinomio del
numerador en el polinomio del denominador para obtener una descomposición de la forma
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
= 𝑄1(𝑥) +
𝑅(𝑥)
𝑄(𝑥)
donde el grado de R(x) es menor que el de Q(x).
El método de descomposición en fracciones simples se aplica para funciones racionales propias
(funciones racionales donde el grado del numerador es menor que el del denominador).
Caso 1:
Recordar que al dividir
P(x) | Q(x)
Q1 (x)
R(x)
es posible descomponer:
𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥). 𝑄1(𝑥) + 𝑅(𝑥)
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Ejemplo:
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Caso 2: Los factores de Q(x) son todos lineales pero algunos se repiten.
Ejemplo:
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Caso 3: Cuando Q(x) contiene, en la factorización, factores cuadráticos irreducibles (casos en
que las raíces son complejas).
Ejemplo:
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3. Integrales Definidas
El problema de calcular áreas y volúmenes permaneció estancado, sin progresos significativos,
durante casi 2000 años. En el siglo XVII Newton y Leibniz dieron comienzo a la sistematización
y al desarrollo del cálculo diferencial e integral que permitieron relacionar los conceptos de la
integral, junto con la derivada, permitiendo importantes avances al poder expresar, calcular y
resolver diversos problemas de las ciencias. El área fue el primero de toda una serie de
aplicaciones y nos servirá para introducir este importante concepto: Integral Definida.
El problema del área:
Este problema será sólo una motivación para definir el concepto de integral definida que es
mucho más rico que una herramienta para calcular áreas de regiones más o menos complicadas.
En efecto, a modo de ejemplo, consideremos la siguiente situación:
Ejemplo: El gráfico representa la potencia, en kw (kilovatios) que se están empleando en cada
instante en un taller con maquinaria a lo largo de un día. Como se puede observar, la actividad
comienza por las 4 de la mañana, tiene su mayor intensidad entre el mediodía y las 18hs y a
partir de allí cae hasta que a las 21hs vuelve a ser mínima (1 kw aproximadamente) que puede
representar a las máquinas que quedan funcionando durante la noche hasta la mañana siguiente.
El área de la región sombreada bajo la curva representa el consumo de energía durante todo el
día.
Recordardando la idea de área en el plano. Todos tenemos presente que dado un rectángulo
cualquiera R en el plano, su área o superficie se calcula multiplicando su base por su altura, A
Dada una región como la de la figura, nuestro
propósito es asociarle un número A que
represente el área de la misma en alguna unidad
de medida.
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=ba. También que el área es independiente de la posición del rectángulo, es decir que si lo
trasladamos o rotamos, su área permanece inalterada.
Si tenemos una figura más complicada, a veces el área la podemos calcular a partir de este hecho:
el primer ejemplo es el de un triangulo rectángulo, donde A =
𝑏𝑎
2
. Esta fórmula se extiende a todos
los triángulos, donde ahora la altura está dada por una perpendicular a la base que pase por el
vértice opuesto:
¿Qué pasa si la curva que delimita el área es más complicada, como por ejemplo en la región
delimitada por el eje de las x y la función 𝑦 = √𝑥 ? Al área comprendida entre x =0, x =1, el eje
x y la gráfica de 𝑦 = √𝑥 podemos aproximarla con rectángulos como indica la figura:
Entonces el área A es aproximadamente la suma de las áreas de los rectángulos de altura ai y
base bi, es decir
𝐴 ≅ ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖
𝑖
= ∑ 𝑓(𝑥∗
𝑖
)(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)
𝑖
donde 𝑥∗i es algún punto en el intervalo [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1]. Cómo se ve, mientras más rectángulos
tomemos (es decir mientras más subdividamos el intervalo), mejor será la aproximación. A estas
aproximaciones se las denomina sumas parciales o sumas de Riemann. Es usual denotar
∆𝑥𝑖=𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 al “tamaño” o longitud del intervalo [𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1].
También se ve en el caso particular de arriba que, como tomamos siempre como altura al punto
más bajo de la curva, el área que queremos calcular es siempre mayor que nuestra aproximación.
Surge naturalmente el concepto de suma inferior, que es una suma que nos da un área inferior a
la buscada (pero próxima). Definimos a continuación formalmente las suma inferior y superior
asociadas a una partición, para cualquier función acotada y positiva, y a partir de ello Integral de
Riemman.
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3.1 Integral de Riemman de una función acotada y positiva
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𝑰 = ∫ 𝒇(𝒙). 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
Ejemplo:
3.2 Sumas de Riemann
3.3 Existencia de la Integral de Riemann
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Observaciones:
Nota aclaratoria:
Al considerar particiones cada vez más finas, los anchos de los intervalos ∆𝑥1, ∆𝑥2, … , ∆𝑥𝑛
tienden a cero. Esto sucede si el ancho más grande, ∆𝑛 = max
𝑖
∆𝑥𝑖 , llamado norma de la
partición 𝑃𝑛 tiende a cero. Esto se cumple para n tendiendo a infinito.
.
3.4 Interpretación geométrica
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Observación:
La condición que f(x)>0 no es necesaria para definir integral de Riemann. Es suficiente si es
continua y acotada.
3.5 Propiedades de la integral definida
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Teorema del Valor Medio para Integrales
Demostración:
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cqd
Nota:
3.6 Relación entre la integral definida y la integral indefinida
3.6.1 Teoremas Fundamentales del cálculo integral
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Ahora demostraremos el primer Teorema Fundamental
Demostración:
Por el Teorema del Valor Medio:
cqd
El siguiente código QR se muestra un video con una explicación referida
a la demostración del teorema anterior.
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Regla de Barrow (Segundo teorema Fundamental)
Demostración:
cqd
Notación:
Ejemplo:
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3.6.2Métodos de sustitución y por partes con integrales definidas
Ejemplo: Calcular
Solución:
4. Aplicaciones de las integrales definidas
4.1 Cálculo de Áreas de regiones planas
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Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
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Ejemplo 3:
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4.2 Cálculo de longitud de arco de una curva plana
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4.3 Volumen de sólidos de revolución
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Nota:
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4.4 Masa y centro de gravedad
En este apartado, trataremos varias aplicaciones importantes de la integración, que se refieren
al concepto de masa. La masa se considera una medida absoluta de la cantidad de materia de un
cuerpo, sin embargo, son tantas las aplicaciones en que aparece la masa en la superficie terrestre,
que tendemos a igualar la masa de un objeto con su peso. Esto es técnicamente incorrecto. El
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peso, es un tipo de fuerza y, como tal, depende de la gravedad. Fuerza y masa se hayan
relacionados por la ecuación
Fuerza = Masa × Aceleración
Partimos definiendo el concepto de momento de masa respecto a un punto.
Podemos extender el concepto de momento a dos dimensiones considerando un sistema de
masas situadas en los puntos (x1, y1), (x2, y2), …,(xn, yn), pero en lugar de definir un único
momento (con respecto al origen), definimos dos momentos, uno respecto al eje x y otro
respecto al eje y.
Ahora consideramos una placa plana de un material de densidad uniforme (la llamaremos
lámina). Intuitivamente, vemos el centro de masas (x̅, y ̅) de la lámina como su punto de
equilibrio. Por ejemplo, el centro de masas de una lámina circular está situada en el centro del
círculo, y el centro de masas de una lámina rectangular está situado en el centro del rectángulo.
Considérese una lámina plana de contornos delimitados irregulares y densidad uniforme ρ
limitada por las gráficas de y = f(x) e y = g(x) con a ≤ x ≤ b . La masa de esta región será:
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donde A es el área de la región. Para hallar el centro de masas de esta lámina, partimos el
intervalo [𝑎 , 𝑏] en n subintervalos iguales de anchura ∆x . Entonces, si xi es el centro del i-ésimo
subintervalo, entonces podemos aproximar la porción de lámina situada en él por un rectángulo
cuya altura es h(xi) = f(xi) − g(xi). Por ser la densidad del rectángulo ρ , sabemos que la masa
es:
A continuación, consideramos que esta masa está situada en el centro del rectángulo (xi, yi) ;
sabemos que la distancia del eje x a (xi, yi) es f(xi) =
[f(xi)+g(xi)]
2
. Por tanto, el momento de 𝑚𝑖
respecto del eje x es:
Sumando estos momentos y tomando el límite cuando 𝑛 → ∞ , definimos el momento respecto
del eje x por
Como la distancia desde el eje y a (xi, yi) es 𝑥𝑖 , entonces el momento respecto a dicho eje es:
Una vez visto esto, tenemos la siguiente definición.
Observación: La densidad ρ es factor común del momento y de la masa, razón por la cual se
cancela en el cociente y no aparece en las coordenadas del centro de masa. Así pues, el centro de
masa de una lámina de densidad uniforme depende sólo de la forma de la lámina, no de su
densidad. Por eso el centro de masas de la lámina se llama a veces centro de masas de la región
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del plano que ocupa la lámina, o también centroide de la región. En otras palabras, para hallar el
centroide de una región del plano, suponemos, sencillamente que la región tiene una densidad
constante ρ = 1 y calculamos el correspondiente centro de masas.
5. Integrales impropias o generalizadas
Ejemplo:
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Ejemplo:
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UNSJ - FCEFyN- Departamento de Geofísica y Astronomía
Carreras: Lic. en Geofísica y Lic. en Astronomía
* 2020 *
ANÁLISIS MATEMÁTICO I
UNIDAD VI:
SUCESIONES Y SERIES
Profesor responsable: Mag. Susana B. Ruiz
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Página 2
UNIDAD VI
Introducción
La palabra sucesión se utiliza con frecuencia en el lenguaje cotidiano para denotar un conjunto
ordenado de elementos. Así se habla de la sucesión de los días, la sucesión de fenómenos
naturales, la sucesión de números naturales, etc. En forma similar, en Matemática, el concepto
de sucesión se apoya en la ordenación de un conjunto (finito o infinito) de números reales. Las
sucesiones sirven, por ejemplo, para estudiar, representar y predecir los fenómenos que ocurren
o se miden en el tiempo, en forma intermitente. Por ejemplo, Galileo observó y anotó
cuidadosamente el espacio que en cada segundo, recorría una bolita al caer por un plano
inclinado. Observando la sucesión de números que obtuvo concluyó que el espacio recorrido en
t segundos era proporcional al cuadrado del tiempo (at2) donde la constante a dependía de la
inclinación del plano.
La importancia de las sucesiones infinitas y series, en el cálculo radica en la idea de Newton de
representar las funciones como sumas de series infinitas. El astrónomo alemán Friedrich Bessel
(1784-1846), utilizó funciones definidas a través de una sucesión de series para resolver la
ecuación de Kepler para describir el movimiento de los planetas. Desde esa época, estas
funciones se aplican en diversas situaciones físicas, sin olvidar la distribución de temperaturas
en una lámina circular y las vibraciones de una membrana de un tambor. Así como las funciones
de Bessel, muchas de las funciones que surgen en la física matemática y en la química matemática
se definen como sumas de series.
Los físicos también utilizan las series en otro aspecto. Al estudiar campos tan diversos como la
óptica, la relatividad espacial y el electromagnetismo, analizan fenómenos reemplazando una
función con los primeros términos en la serie que la representa.
De modo que es importante conocer los conceptos básicos de convergencia de sucesiones y
series infinitas. El lenguaje de las funciones y de los números reales son vitales para la
comprensión y obtención de propiedades que permiten el desarrollo de los conceptos centrales
de esta temática.
El objetivo de esta unidad didáctica es dar una introducción a sucesiones numéricas infinitas y
series, que servirán de base para la definición de sucesiones y series de funciones. Temas que se
abordan en cursos de cálculo superiores.
1. Sucesiones numéricas infinitas
Intuitivamente, se puede considerar que una sucesión es una lista ordenada e infinita de
números escritos en un orden definido:
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, . . . , 𝑎𝑛, . . .
El número 𝑎1 recibe el nombre de primer término, 𝑎2 es el segundo término y, en general, 𝑎𝑛 es
el n-ésimo término o término general. En esta unidad se trata exclusivamente con sucesiones
infinitas, por lo que cada término 𝑎𝑛 tiene un sucesor 𝑎𝑛+1.
Observe que para todo entero positivo 𝑛 hay un número correspondiente 𝑎𝑛, por lo que una
sucesión se puede definir como sigue.
Definición: Una sucesión de números reales es una función 𝑓: ℕ → ℝ.
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Notación:
Por lo regular, se escribe 𝑎𝑛 en lugar de la notación 𝑓(𝑛) para simbolizar el valor que toma la
función en el valor 𝑛.
La sucesión {𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, . . . , 𝑎𝑛, . ..} también se denota mediante
(𝑎𝑛) o (𝑎𝑛)𝑛=1
∞ o (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ.
Ejemplo 1:
Por ejemplo, si a cada número natural se le asigna su cuadrado, o sea
1→1
2→4
3→9
4→16
……..
n→ 𝑛2
……..
Tenemos la sucesión {1, 4, 9, …, 𝑛2,…}
Lo que demuestra que tenemos una función 𝑓: ℕ → ℝ tal que 𝑓(𝑛) = 𝑛2.
A esta sucesión la podemos notar: (𝑛2) o (𝑛2)𝑛=1
∞ o (𝑛2)𝑛∈ℕ o {𝑛
2}𝑛=1
∞ .
Ejemplo 2: En los ejemplos siguientes se ofrecen dos descripciones de la sucesión: Una en la que
se aplica la notación anterior, en otra se escriben los términos de la sucesión. Observe que los
valores de 𝑛 no necesariamente tienen que empezar en 1.
𝑎) {
𝑛
𝑛 + 1
}
𝑛=1
∞
{
1
2
,
2
3
,
3
4
, … ,
𝑛
𝑛 + 1
, … }
𝑏) {
(−1)𝑛(𝑛 + 1)
3𝑛
} {−
2
3
,
3
9
, −
4
27
, … ,
(−1)𝑛(𝑛 + 1)
3𝑛
, … }
𝑐) {cos (𝑛𝜋)}𝑛=0
∞ {1, −1,1, −1, … , cos (𝑛𝜋), … }
𝑑) {√𝑛 − 2}
𝑛=2
∞
{0,1, √2, … , √𝑛 − 2, … }
Ejemplo 3: Encuentre una fórmula para el término general 𝑎𝑛 de la sucesión
{
3
5
, −
4
25
,
5
125
, −
6
625
,
7
3125
, … . }
y suponga que el patrón de los primeros términos continúa.
Solución: Se sabe que 𝑎1 =
3
5
, 𝑎2 = −
4
25
, 𝑎3 =
5
125
, 𝑎4 = −
6
625
, 𝑎5 =
7
3125
.
Observe que los numeradores de estas fracciones empiezan con 3 y se incrementan una unidad
al pasar al siguiente término. El segundo término tiene numerador 4, el siguiente numerador es
5; en general, el n-ésimo término tendrá como numerador n+2. Los denominadores son las
potencias de 5, de modo que an tiene por denominador 5n. El signo de los términos es
alternadamente positivo y negativo, por lo que es necesario multiplicar por una potencia de (-
1). En el ejemplo 2(b) el factor (-1)n significa que empieza con un término negativo. Como aquí
se busca iniciar con un término positivo, se usa (-1)n-1, o bien, (-1)n+1. Por lo tanto,
𝑎𝑛 = (−1)
𝑛−1 𝑛+2
5𝑛
.
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Ejemplo 4: En este caso hay algunas sucesiones que no tienen una ecuación que las defina en
forma simple.
(a) La sucesión (𝑚𝑛)𝑛∈ℕ, donde mn es la magnitud del n-ésimo sismo determinado por INPRES,
a partir del sismo inicial m1= 3.1 registrado al medio día (hora Argentina) del 1 de enero del
año 2017 en la provincia de San Luis (Argentina).
Figura 1
(b) Si an es el n-ésimo dígito en la expansión decimal del número 𝑒, entonces (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ es una
sucesión bien definida cuyos primeros términos son
{7, 1, 8, 2, 8, 1, 8, 2, 8, 4, 5, . . .}
(c) Las condiciones siguientes definen en forma recursiva la sucesión de Fibonacci (𝑓𝑛)𝑛∈ℕ
donde
f1 = 1
f2 =1
fn = fn-1 + fn-2 , para n ≥3
Cada uno de los términos es la suma de los dos anteriores. Los primeros términos son
{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, . . .}
Esta sucesión surgió cuando el matemático italiano del siglo XIII, a quien se conoce como
Fibonacci, resolvió un problema que se relacionaba con la cría de conejos.
1.1 Igualdad de sucesiones
1.2 Algebra de sucesiones
Dadas dos sucesiones (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ y (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ y 𝑐 un número real. Se cumple:
Definición: Dadas dos sucesiones (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ y (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ. Diremos que son iguales, si para todo n
natural se cumple 𝑎𝑛 = 𝑏𝑛 .
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1) (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ + (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ = (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛)𝑛∈ℕ.
2) (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ - (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ = (𝑎𝑛 − 𝑏𝑛)𝑛∈ℕ.
3) (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ . (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ = (𝑎𝑛. 𝑏𝑛)𝑛∈ℕ.
4) (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ : (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ = (𝑎𝑛: 𝑏𝑛)𝑛∈ℕ, si 𝑏𝑛 ≠ 0 para todo 𝑛 natural.
5) c.(𝑎𝑛)𝑛∈ℕ=(𝑐. 𝑎𝑛)𝑛∈ℕ
Las sucesiones se operan término a término.
1.3 Representación gráfica de sucesiones
Las sucesiones, así como las funciones reales de variable real, se pueden representar
gráficamente mediante un sistema de ejes cartesianos ortogonales. Observe que, como una
sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los naturales, su gráfica consta de puntos
aislados con coordenadas
(1, a1) (2, a2) (3, a3) . . . (n, an). . .
Una sucesión como la del Ejemplo 2 (a), cuyo término general es an =
n
n+1
, se puede representar
señalando los puntos correspondientes a sus términos en una recta numérica como en la Figura
2, o trazando la gráfica como en la Figura 3.
Figura 2
Figura 3
1.4 Límite de una sucesión
Si se considera la sucesión del Ejemplo 2 (a), de acuerdo con la Figura 2 o la 3, parece que los
términos de la sucesión an =
n
n+1
se aproximan al valor 1 cuando n se incrementa. En efecto, la
diferencia
1 −
n
n + 1
=
1
n + 1
se puede hacer tan pequeña como se quiera al incrementar n. Se indica lo anterior escribiendo
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1
= 1
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En general, la notación
lim
n→∞
an = L
quiere decir que los términos de la sucesión (an) se aproximan a L cuando n se incrementa
suficientemente. Observe que la definición siguiente del límite de una sucesión es muy parecida
a la definición de límite de una función en el infinito.
La definición se ilustra mediante la Figura 4, en la cual los términos a1, a2, a3, . . . se localizan en
la recta numérica. No importa qué tan pequeño se escoja al intervalo (L − ε, L + ε), existe una N
tal que todos los términos de la sucesión desde aN+1 en adelante deben pertenecer al intervalo.
Figura 4
Figura 5
Otra forma de representar la convergencia de una sucesión es la Figura 5. Los puntos sobre la
gráfica de (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ deben estar entre las rectas horizontales 𝑦 = 𝐿 − 𝜀 y 𝑦 = 𝐿 + 𝜀, si n ≥N.
Esta propiedad que se visualiza en la imagen debe ser válida, no importa qué tan pequeño se
haya escogido 𝜀, pero por lo regular un 𝜀 más pequeño requiere una N más grande.
Nota 1:
Sea la sucesión (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ = {1,0, −1,1,0, −1, … }.
En ella hay infinitos subíndices n para los cuales 𝑥𝑛 = 1. Lo mismo ocurre con 𝑥𝑛 = 0 y con 𝑥𝑛 =
−1.
Es decir que dado cualquier entorno del punto 1, existen infinitos valores de n para los cuales
𝑥𝑛 pertenece a dicho entorno. Lo mismo ocurre para cualquier entorno del punto 0, y también
para el punto -1.
Definición: Diremos que una sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ tiene por límite a L, y se escribe
lim
n→∞
an = L , cuando para cada ε > 0 hay un natural N correspondiente (que depende de ε)
tal que:
si n ≥ N entonces |an − L| < 𝜀 .
En este caso se dirá que la sucesión (𝑎𝑛) es convergente.
𝑦 = 𝐿 + 𝜀
𝑦 = 𝐿 − 𝜀
𝑦 = 𝐿 − 𝜀
𝐿 − 𝜀 𝐿 + 𝜀
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Esta propiedad se indica diciendo que los puntos 1,0 y -1 son puntos de aglomeración de la
sucesión (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ.
En general, un punto es de aglomeración de una sucesión, si prefijado cualquier entorno del
mismo punto, hay infinitos valores de la sucesión que pertenecen al entorno.
En general nos interesan sucesiones que posean un único punto de aglomeración. Cuando se
afirma que lim
n→∞
an = L , entonces estamos diciendo que L es punto de aglomeración de la
sucesión y éste además es único.
Nota 2:
La comparación de la definición de convergencia de una sucesión y la definición de límite de una
función real de variable real para el infinito señala que la única diferencia entre
lim
n→∞
an = L y lim
x→∞
f(x) = L
es que se requiere que n sea natural. En estos términos está el siguiente teorema, el cual se ilustra
en la Figura 6.
Teorema 1: Si lim
x→∞
f(x) = L y f(n) = an, cuando n es un natural, entonces lim
n→∞
an = L
Figura 6
Ejemplo: En particular, puesto que ya se sabe que lim
x→∞
1
xr
= 0 cuando r > 0, entonces
se tiene: lim
n→∞
1
nr
= 0, si r>0.
Si an tiende a crecer sin límite a medida que n aumenta, se usa la notación lim
n→∞
an = +∞.
Formalmente:
1.5 Propiedades de los límites de sucesiones
1.5.1 Algebra de los límites
Si {𝑎𝑛} y {𝑏𝑛} son sucesiones convergentes y c es una constante, entonces:
Definición: lim
n→∞
an = +∞ significa que para todo número positivo M hay un número
natural N tal que:
an > 𝑀 , siempre que n > 𝑁.
Si lim
n→∞
an = +∞ , entonces la sucesión (an) se dice divergente, pero de una manera especial.
Se dice que (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ diverge a +∞.
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lim
𝑛→∞
(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
+ lim
𝑛→∞
𝑏𝑛
lim
𝑛→∞
(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
− lim
𝑛→∞
𝑏𝑛
lim
𝑛→∞
𝑐. 𝑎𝑛 = c. lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
lim
𝑛→∞
𝑐 = 𝑐
lim
𝑛→∞
(𝑎𝑛. 𝑏𝑛) = lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
. lim
𝑛→∞
𝑏𝑛
lim
𝑛→∞
(
𝑎𝑛
𝑏𝑛
) =
lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
lim 𝑏𝑛
𝑛→∞
, 𝑠𝑖 lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 ≠ 0
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛
𝑝 = [ lim 𝑎𝑛
𝑛→∞
]
𝑝
, con p que toma valores tales que 𝑎𝑛
𝑝 siempre esté definida.
1.5.2 Teorema 2 (Teorema del encaje para sucesiones)
Si an ≤ bn ≤ cn para n > n0 y lim
n→∞
an = lim
n→∞
cn = L, entonces lim
n→∞
bn = L.
Figura 7
Teorema 3: (Teorema del Valor absoluto) Si lim
n→∞
|an| = 0 , entonces lim
n→∞
an = 0 .
Teorema 4: Si lim
n→∞
an = L y f es continua en L, entonces lim
n→∞
f(an) = f(L).
1.6 Técnicas para el cálculo de límite de sucesiones
Ejemplo I: Determinar lim
n→∞
n
n+1
Solución: Se divide tanto el numerador como el denominador en la potencia más alta de n y
luego se aplican las leyes de los límites.
lim
𝑛→∞
𝑛
𝑛 + 1
= lim
𝑛→∞
1
1 +
1
𝑛
=
lim
𝑛→∞
1
lim
𝑛→∞
1 + lim
𝑛→∞
1
𝑛
=
1
1 + 0
= 1
Ejemplo II: Calcular lim
𝑛→∞
ln (𝑛)
𝑛
.
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Solución: Observe que tanto el numerador como el denominador tienden al infinito cuando n →
∞ . No se puede aplicar directamente la regla de L’Hopital porque no se aplica a sucesiones (ya
que las sucesiones son funciones que no cumplen con la condición de continuidad y
derivabilidad). No obstante, se puede aplicar la regla de L’Hopital a la función relacionada f(x) =
ln (x)
x
y obtener
lim
𝑥→∞
ln (𝑥)
𝑥
= lim
𝑥→∞
(
1
𝑥
)
1
=0
Por lo tanto, por el Teorema 1 resulta:
lim
𝑛→∞
ln (𝑛)
𝑛
= 0.
Ejemplo III: Determine si la sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ con término general an = (−1)
nes convergente.
Solución: Al determinar los primeros términos de la sucesión se obtiene {-1, 1, -1, 1, -1, 1, . . .}
Gráficamente:
Figura 8
Se observa que a medida que los valores de n van aumentando, los términos no convergen a un
único valor. Por lo tanto no existe el límite de la sucesión. Sino que los términos oscilan entre 1
y -1 en forma infinita. En este caso la sucesión se dice oscilante.
Ejemplo IV: Analizar si existe lim
n→∞
(−1)n
n
.
Solución: Como
lim
n→∞
|
(−1)n
n
| = lim
n→∞
1
n
= 0
Por lo tanto, de acuerdo con el Teorema 3,
lim
n→∞
(−1)n
n
= 0
Ejemplo V: Analizar la convergencia de la sucesión (an)n∈ℕ con an =
n!
nn
,
siendo n! = n. (n − 1). (n − 2) … .3.2.1
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Solución: Tanto el numerador como el denominador tienden al infinito cuando n → ∞, pero en
este caso no hay función correspondiente para usar la regla de L’Hopital (x! no está definida para
números reales, sólo está definida para números naturales). Se escriben algunos de los términos
para ver qué pasa con an a medida que n aumenta:
𝑎1 = 1 𝑎2 =
1.2
2.2
𝑎3 =
1.2.3
3.3.3
… .. 𝑎𝑛 =
1. 2. 3 … . . 𝑛
𝑛. 𝑛. 𝑛 … . . 𝑛
Al parecer, por estas expresiones y la gráfica de la Figura 9, los términos son decrecientes y quizá
se aproximen a 0.
𝑎𝑛 =
1
𝑛
(
2. 3 … . . 𝑛
𝑛. 𝑛 … . . 𝑛
)
Figura 9
Observe que la expresión anterior del término general entre paréntesis es cuando mucho 1
porque el numerador es menor o igual al denominador. De este modo
0 < 𝑎𝑛 ≤
1
𝑛
Se sabe que lim
𝑛→∞
0 = lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0. Por lo tanto, por el Teorema del encaje resulta
lim
𝑛→∞
𝑛!
𝑛𝑛
= 0.
1.7 Relaciones entre los límites finitos e infinitos de sucesiones
a) lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = +∞ y lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝐿 entonces lim
𝑛→∞
(𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛) = +∞.
b) lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = +∞ y lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝐿 entonces lim
𝑛→∞
𝑏𝑛
𝑎𝑛
= 0.
c) Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = +∞ y lim
𝑛→∞
𝑏𝑛 = 𝐿 (𝐿 ≠ 0) entonces lim
𝑛→∞
( 𝑎𝑛. 𝑏𝑛) = {
+∞ , 𝑠𝑖 𝐿 > 0
−∞ , 𝑠𝑖 𝐿 < 0
.
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1.8 Sucesiones acotadas
Una sucesión que admite cota superior se dirá acotada superiormente, y si admite cota inferior
se dirá acotada inferiormente.
Si una sucesión está acotada superior e inferiormente, se dice que está acotada.
Ejemplos:
1) (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ = {2 ,4 ,6 ,8 , … ,2𝑛 , … } es una sucesión acotada inferiormente, donde 2 es el ínfimo.
2) (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ = {−1, −2, −3, … , −𝑛, … } es una sucesión acotada superiormente, donde -1 es el
supremo.
3) (𝑐𝑛)𝑛∈ℕ = {1,
1
2
,
1
3
, … ,
1
𝑛
, … } es una sucesión acotada, donde 0 es el ínfimo y 1 es el supremo.
1.9 Sucesiones Monótonas
Dada una sucesión cualesquiera se plantean dos problemas:
Problema 1: saber si la sucesión es convergente o no lo es.
Problema 2: En caso que la sucesión es convergente, conocer su límite.
Para ciertas sucesiones podemos llegar a saber que convergen sin conocer “exactamente” su
límite. Con el objeto de solucionar en parte los problemas planteados es que estudiaremos las
sucesiones monótonas.
Una sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ se dice monótona, si es creciente o decreciente.
Se suele decir “monótona
creciente” si es creciente; y “monótona decreciente” si es decreciente.
Ejemplos:
1. La sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ = (1 + 𝑛)𝑛∈ℕ es monótona creciente.
2. La sucesión (𝑏𝑛)𝑛∈ℕ = (
1
𝑛
)
𝑛∈ℕ
es monótona decreciente.
El siguiente teorema es muy importante:
Definición: Diremos que:
1. Una sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ es creciente si para todo 𝑛 ∈ ℕ se verifica 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1.
Esto es, si 𝑎1 ≤ 𝑎2 ≤ 𝑎3 ≤ ⋯ ≤ 𝑎𝑛 ≤ ⋯ .
2. Una sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ es decreciente si para todo 𝑛 ∈ ℕ se verifica 𝑎𝑛+1 ≤ 𝑎𝑛.
Esto es, si 𝑎1 ≥ 𝑎2 ≥ 𝑎3 ≥ ⋯ ≥ 𝑎𝑛 ≥ ⋯ .
Definición: Diremos que un número real 𝑐𝑠 es una cota superior de la sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ si y
sólo si para todo 𝑛 ∈ ℕ se tiene 𝑎𝑛 ≤ 𝑐𝑠.
Definición: Diremos que un número real 𝑐𝑖 es una cota inferior de la sucesión (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ si y
sólo si para todo 𝑛 ∈ ℕ se tiene 𝑐𝑖 ≤ 𝑎𝑛.
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Demostración:
Suponga que (an)n∈ℕ es una sucesión creciente. Puesto que (an)n∈ℕ está acotada, el conjunto
𝑆 = {𝑎𝑛: 𝑛 ≥ 1} posee una cota superior. De acuerdo con el Axioma del Supremo (de
Completitud), tiene supremo L. Dado 𝜀 > 0, L - 𝜀 no es una cota superior para S (puesto que L
es la menor cota superior). Por lo tanto, existe un número natural N tal que
𝑎𝑁 > 𝐿 − 𝜀
Pero la sucesión es creciente de modo que
𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑁 para toda n >N.
En estos términos, si n >N
𝑎𝑛 > 𝐿 − 𝜀
de tal manera
0 ≤ 𝐿 − 𝑎𝑛 < 𝜀
puesto que 𝑎𝑛 ≤ 𝐿. Así que,
|𝐿 − 𝑎𝑛| < 𝜀 , cuando n > N.
Por lo tanto lim
n→∞
an = L. c.q.d.
Una demostración similar (aplicando la mayor cota inferior) funciona si (an) es decreciente.
La demostración del teorema de la sucesión monótona demuestra que una sucesión que es
creciente y acotada superiormente es convergente. (De igual manera, una sucesión decreciente
que está acotada inferiormente es convergente.)
Figura 10. Una sucesión creciente y acotada que converge hacia su extremo superior L
Ejemplo:
La sucesión (an)n∈ℕ = ((1 +
1
n
)
n
)
n∈ℕ
es monótona creciente y acotada. Luego por el Teorema
anterior tiene límite; dicho límite se representa por el número e, esto es:
lim
𝑛→∞
(1 +
1
𝑛
)
𝑛
= 𝑒 , donde e=2,71828182….
aN
Teorema: Si una sucesión es decreciente y acotada inferiormente entonces tiene límite.
Teorema : Si una sucesión es creciente y acotada superiormente entonces tiene límite.
Teorema de la sucesión monótona: Toda sucesión acotada y monótona es convergente.
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2. Series Numéricas
Sea la siguiente sucesión de números reales (an)n∈ℕ={a1, a2, a3, … , an, … }
A partir de ello podemos definir las sumas parciales:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
…..
Sn = a1 + a2 + a3 + ⋯ + an = ∑ ai
n
i=1
…..
Estas sumas parciales forman una nueva sucesión (Sn)n∈ℕ , de manera que el término general
Sn de esta sucesión es la suma de los n-primeros términos de (an)n∈ℕ . Esta sucesión de las sumas
parciales, (Sn)n∈ℕ se llama serie numérica asociada a la sucesión (an)n∈ℕ .
Los números a1, a2, a3, … , an, … se llaman los términos de la serie y los números
S1, S2, S3, … , Sn, …. son las sumas parciales.
Para facilitar la notación de una serie y poner en evidencia sus términos, suele simbolizarse a la
serie:
∑ an
∞
n=1 =a1 + a2 + a3 + ⋯ + an + ⋯
Si existe lim
n→∞
Sn = S (como un único número finito), a S se la llama suma de la serie infinita, y
entonces se escribe
∑ an
∞
n=1
= S
Ejemplo A: Siendo la sucesión inicial (an)n∈ℕ = {1,2,3,4,5, … , n, … }
Las sumas parciales de la misma
n Suma de los primeros n-términos
1 1
2 1+2=3
3 1+2+3=6
…
n 1+2+3+4+…+n=n.(n+1)/2
… …
Tabla 1
Definición: Llamaremos serie numérica asociada a la sucesión (an)n∈ℕ , a la sucesión de las
sumas parciales (Sn)n∈ℕ .
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Se empieza a sumar el primer término (ver Tabla 1 para n=1), luego los dos primeros términos
(ver Tabla 1 para n=2), y así siguiendo, se obtienen las sumas acumulativas 1, 3, 6, 10, 15, . . .
para el n-ésimo término, se llega a la suma parcial n-ésima Sn =n.(n +1)/2.
Resultando
(Sn)n∈ℕ ={1, 3, 6, 10, 15, 21, . .., n.(n +1)/2,…}
Se observa que Sn se vuelve cada vez más grande, a medida que n se incrementa. Por lo cual la
serie diverge.
Ejemplo B: Si se considera la sucesión (an)n∈ℕ = (
1
2n
)
n∈ℕ
, esto es
{
1
2
;
1
4
;
1
8
; … ;
1
2n
; … }
Al considerar la suma parciales de los primeros términos, se obtiene la siguiente sucesión de
sumas parciales: {
1
2
,
3
4
,
7
8
, … ,1 −
1
2𝑛
, … }
n Suma de los primeros n términos
1 0.50000000
2 0.75000000
3 0.87500000
4 0.93750000
5 0.96875000
10 0.99902344
15 0.99996948
20 0.99999905
25 0.99999997
Tabla 2
En la Tabla 2 se puede ver que cuando se suman más y más términos, estas sumas parciales se
vuelven más y más cercanas a 1. De hecho, al sumar suficientes términos de la sucesión inicial es
posible hacer que las sumas parciales sean tan cercanas a 1 como se quiera. Por eso es razonable
decir que la suma de esta serie infinita es igual a 1 y escribir:
∑
1
2n
=
∞
n=1
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
2n
+ ⋯ = 1
Otra forma de admitir que la suma de la serie dada puede ser el número finito S=1, es: si se
piensa en 1 (una) hoja de papel. A esta se le quita la mitad (1/2). A su vez, a la mitad restante se
le quita su mitad (1/4). Al trozo que queda (1/8), también se le quita su mitad (1/8). Y así
sucesivamente, de forma indefinida. Como siempre queda algo de papel, siempre se puede seguir
cortando.
Figura 11
Si se suman ahora los infinitos trozos de papel que se
fueron quitando, el resultado final al que tiende es la
hoja.
O sea:
1
2
+
1
4
+
1
8
+ ⋯ +
1
2n
+ ⋯ = 1
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2.1 Series convergentes
Dada la serie numérica (Sn)n∈ℕ, asociada a la sucesión de números reales (an)n∈ℕ, esta puede
ser convergente o no.
Es decir, ∑ 𝑎𝑛 = 𝑆
∞
𝑛=1 si y sólo si lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆 .
Ejemplo 1:
Sea la sucesión numérica (𝑎𝑛) = {
1
1.2
;
1
2.3
;
1
3.4
; … ;
1
𝑛.(𝑛+1)
; … }
Consideremos la serie numérica asociada a la sucesión anterior
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
=
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ ⋯ +
1
𝑛. (𝑛 + 1)
+ ⋯
Para determinar si la serie es convergente, debemos saber si es convergente la sucesión de las
sumas parciales.
Descomponiendo en fracciones simples 𝑎𝑛 =
1
𝑛.(𝑛+1)
se tiene:
para todo n natural
1
𝑛.(𝑛+1)
=
𝟏
𝒏
−
𝟏
(𝒏+𝟏)
y por tanto,
𝑆𝑛 =
1
1.2
+
1
2.3
+
1
3.4
+ ⋯ +
1
𝑛. (𝑛 + 1)
= (1 −
1
2
) + (
1
2
−
1
3
) + (
1
3
−
1
4
) + ⋯ + (
1
𝑛
−
1
(𝑛 + 1)
) = 1 −
1
𝑛 + 1
Luego, lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 1 y la serie resulta convergente cuya suma es S=1.
2.2 Serie geométrica
Definición: Diremos que la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 es convergente y que converge al número S, si y sólo
si existe lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = 𝑆 y se escribe ∑ 𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
∑ 𝑎𝑛
𝑛
𝑖=1 = 𝑆
∞
𝑛=1 .
Definición: Diremos que la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge positivamente, si y sólo si lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = +∞ y
escribimos ∑ 𝑎𝑛 = +∞
∞
𝑛=1 .
Definición: Se llama serie geométrica a toda serie de la forma
∑ 𝑎. 𝑟𝑛−1 = 𝑎 + 𝑎. 𝑟 + 𝑎. 𝑟2 + ⋯ + 𝑎. 𝑟𝑛−1 + ⋯∞𝑛=1 ., con 𝑎 ≠ 0.
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Esta serie es muy importante por sus aplicaciones. Los términos de la serie geométrica
corresponden a una progresión geométrica de razón 𝑟.
Para hallar 𝑆𝑛, sabemos que:
𝑆𝑛 = 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛−1
𝑟. 𝑆𝑛 = 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟
2 + 𝑎. 𝑟3 + ⋯ + 𝑎𝑟𝑛
Restando m.a.m. resulta: 𝑆𝑛(1 − 𝑟) = 𝑎 − 𝑎𝑟
𝑛.
Si 𝑟 ≠ 1 es 𝑆𝑛 = 𝑎
1−𝑟𝑛
1−𝑟
Para analizar la convergencia de la serie geométrica, basta calcular lim
𝑛→∞
𝑆𝑛.
Se presentan varios casos, pues dicho límite depende del valor de la razón r.
Caso 1: -1<r<1
Si |𝑟| < 1, entonces
lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = 0 y lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = lim
𝑛→∞
𝑎
1−𝑟𝑛
1−𝑟
= 𝑎. ( lim
𝑛→∞
1
1−𝑟
− lim
𝑛→∞
𝑟𝑛
1−𝑟
) =
𝑎
1−𝑟
.
En este caso, la serie geométrica converge y su suma es S=
𝑎
1−𝑟
.
Ejemplo: ∑ 𝑎𝑛 = 3 +
3
2
+
3
4
+ ⋯ +
3
2𝑛−1
+ ⋯∞𝑛=1
Como r=
1
2
, entonces |𝑟| < 1. Por lo que la serie converge y la suma de la serie es S=
3
1−
1
2
=6.
Caso 2: r>1
Si 𝑟 > 1, entonces lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = +∞. Luego resulta:
lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = −∞, si 𝑎 > 0; y lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = +∞, si 𝑎 < 0.
En ambos casos la serie diverge.
Ejemplo: ∑ 𝑏𝑛 = 1 + 3 + 9 + ⋯ + 3
𝑛−1 + ⋯∞𝑛=1
Como r=3, entonces 𝑟 > 1. Por lo que la serie diverge.
Caso 3: r<-1
Si 𝑟 < −1, entonces lim
𝑛→∞
𝑟𝑛 = ±∞ (el signo es según si n es par ó impar) y la serie resulta no
convergente.
Caso 4: r=1
Si r=1 entonces 𝑆𝑛 = 𝑎. 𝑛.
Luego, lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = +∞, si 𝑎 > 0; y lim
𝑛→∞
𝑆𝑛 = −∞, si 𝑎 < 0.
En ambos casos la serie resulta divergente.
Caso 5: r=-1
En esta situación, 𝑆𝑛 = 0, si n es par.
𝑆𝑛 = 𝑎, si n es impar.
Luego la serie no converge.
En resumen, para caracterizar el comportamiento de una serie geométrica, basta con conocer su
razón:
Si |𝑟| < 1 ⇒ ∑ 𝑎𝑟𝑛−1∞𝑛=1 converge y S=
𝑎
1−𝑟
.
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Ejercicio: Resolver la Paradoja de Zenón utilizando los resultados obtenidos utilizando una serie
geométrica. (Ver ANEXO 1).
2.3 Propiedades de las series
2.3.1 Combinación de series
Siempre que tenemos dos series convergentes, podemos sumarlas término a término, restarlas
término a término, o multiplicarlas por constantes para crear nuevas series convergentes.
2.3.2 Adición o supresión de términos
En una serie, siempre podemos agregar o suprimir un número finito de términos sin alterar su
convergencia o divergencia, aunque en el caso de la convergencia esto suele modificar la suma.
Si ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge, ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘 converge para cualquier 𝑘 > 1, y
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 = 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑘−1 + ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘 .
También se cumple, si ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=𝑘 converge para cualquier 𝑘 > 1, entonces ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 converge.
Ejemplo:
∑
1
2𝑛
∞
𝑛=1 =
1
2
+
1
22
+
1
23
+ ∑
1
2𝑛
∞
𝑛=4 y ∑
1
2𝑛
∞
𝑛=4 = ∑
1
2𝑛
∞
𝑛=1 −
1
2
−
1
22
−
1
23
2.3.3 Reindexar Términos
Mientras se preserve el orden de sus términos, podemos reindexar cualquier serie sin alterar
su convergencia.
Ejemplos:
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 =∑ 𝑎𝑛−ℎ
∞
𝑛=1+ℎ =𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯
∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 =∑ 𝑎𝑛+ℎ
∞
𝑛=1−ℎ =𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯
Se puede ver cómo funciona esto al iniciar una serie geométrica con el índice n=0 en lugar del
índice n=1, pero podemos usar también cualquier valor del índice inicial. Por lo regular se da
preferencia a indexaciones que llevan a expresiones más sencillas.
Teorema: Si ∑ 𝑎𝑛 y ∑ 𝑏𝑛 son series convergentes, entonces también lo son las series
∑ 𝑐𝑎𝑛 con c una constante, ∑(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) y ∑(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) y se cumple:
i) ∑ 𝑐𝑎𝑛 = 𝑐 ∑ 𝑎𝑛
ii) ∑(𝑎𝑛 + 𝑏𝑛) = ∑ 𝑎𝑛 + ∑ 𝑏𝑛
iii) ∑(𝑎𝑛 − 𝑏𝑛) = ∑ 𝑎𝑛 − ∑ 𝑏𝑛
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Ejemplo: Reindexar una serie geométrica
Podemos escribir la serie geométrica:
∑ 𝑎 𝑟𝑛−1 = ∑ 𝑎 𝑟𝑛 =
∞
𝑛=0
∞
𝑛=1
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + ⋯
O también:
∑ 𝑎 𝑟𝑛−1 = ∑ 𝑎 𝑟𝑛−5 =∞𝑛=5
∞
𝑛=1 ∑ 𝑎 𝑟
𝑛+4∞
𝑛=−4 .
Las sumas parciales siguen siendo las mismas, sin importar qué indexación elijamos.
2.4 Condiciones de convergencia
La convergencia de una serie numérica se reduce a la convergencia de la sucesión de las sumas
parciales que la define. Interesa, sin embargo, relacionar la convergencia de la serie con el
comportamiento de sus términos 𝑎𝑛.
2.4.1 Condición necesaria para la convergencia de series
Demostración:
Sea la suma parcial n-ésima Sn = a1 + a2 + a3 + ⋯ + an−1 + an. En tal caso: an = Sn − Sn−1.
Puesto que ∑ an es convergente, la sucesión (Sn)n∈ℕ es convergente. Sea lim
n→∞
Sn = S.
Como (n − 1) → ∞ cuando n → ∞ , también se tiene lim
n→∞
Sn−1 = lim
(n−1)→∞
Sn−1 = S .
Por lo tanto,
lim
n→∞
an = lim
n→∞
(Sn − Sn−1) = lim
n→∞
Sn − lim
n→∞
Sn−1 = S − S = 0 cqd.
Nota: Podría pensarse que la recíproca es cierta, lo que es falso. Por ejemplo, la serie ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1
(denominada serie armónica), es tal que lim
𝑛→∞
1
𝑛
= 0 y sin embargo, como veremos más adelante,
la serie ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 es divergente.
Observación Importante:
En realidad, esta condición proporciona más bien un test para determinar la “no convergencia”
de una serie. En efecto, si el término general de la serie tiende a 0 (cero) nada se puede decir
sobre el comportamiento de la serie. En cambio, si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0, puede asegurarse que la serie no
converge.
Lema: Si la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 es convergente, entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0
Lema: Si lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0 entonces la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 no es convergente.
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Ejercicio: Mostrar que la serie ∑
𝑛+1
𝑛
∞
𝑛=1 no es convergente.
2.5 Series de términos no negativos y de términos positivos
2.5.1 Criterio de comparación para la convergencia de series de términos no negativos
Ejemplo: Analizar la convergencia de la serie ∑ (
1
4𝑛
)
𝑛
∞
𝑛=1 = ∑
1
4𝑛
1
𝑛𝑛
∞
𝑛=1
Solución: Como n≥1 entonces 𝑛𝑛 ≥ 1𝑛 = 1
Multiplicando m.a.m. por 4𝑛 resulta 4𝑛𝑛𝑛 ≥ 4𝑛
El recíproco
1
4𝑛
1
𝑛𝑛
≤
1
4𝑛
(1)
Analizamos el comportamiento de ∑
1
4𝑛
∞
𝑛=1
Esta serie es una serie geométrica con razón r=1/4<1, luego es convergente (2).
De (1), (2) y el criterio de comparación, resulta que la serie ∑ (
1
4𝑛
)
𝑛
∞
𝑛=1 es convergente.
2.5.2 Serie armónica
El análisis de la convergencia se puede ver en el Anexo 3.
De lo que se obtiene:
Ejercicio: Analizar la convergencia de la series, justifique su respuesta.
a) ∑
1
𝑛3
∞
𝑛=1 b) ∑
1
𝑛5+2𝑛
∞
𝑛=1
∑
1
𝑛𝛼
∞
𝑛=1 converge, si 𝛼 > 1.
Definición: Una serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 se dice de términos no negativos, si para todo n natural se
cumple que 𝑎𝑛 ≥ 0.
Definición: La serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 se dice de términos positivos, si cumple que 𝑎𝑛 > 0, para todo n
natural.
Definición: Se llama serie armónica a la serie de la forma ∑
1
𝑛
∞
𝑛=1 y se llama serie armónica
generalizada a ∑
1
𝑛𝛼
∞
𝑛=1 con 𝛼 > 0.
Sean ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 y ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 dos series.
Si 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 desde un cierto 𝑛0 en adelante y ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 converge entonces la serie ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1
también converge.
Si 𝑎𝑛 ≤ 𝑏𝑛 desde un cierto 𝑛0 en adelante y ∑ 𝑎𝑛
∞
𝑛=1 diverge entonces la serie ∑ 𝑏𝑛
∞
𝑛=1 también
diverge.
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