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El 14 de marzo se celebra el Día Internacional del Número Pi. Con esta celebración
la comunidad docente y científica rinde homenaje al número, a las matemáticas y
a la ciencia en general.
PRESENTACIÓN
Cada día se genera más conocimiento en el
mundo, pero por desgracia no es accesible
para muchos, por lo que es necesario buscar
nuevas formas para que todos lo tengan al
alcance.
Bajo esta premisa se ha concebido este
material, en donde se busca que tengas acceso
de una manera fácil al conocimiento y te
permita el logro de tus aprendizajes, para ser
usados en la escuela y en la vida.
Por tal motivo, esta propuesta fusiona el
material educativo por excelencia: “el libro”
fusionado con los recursos multimedia que las
nuevas tecnologías ofrecen, naciendo así el
HIPERLIBRO.
Este concepto está pensado en tí, por lo que se
presenta en formato de libro, pero de una
forma dinámica, es decir, te permite acceso a
otros recursos que estarán al alcance en tan
solo un clic: como videos explicativos, audios,
imágenes, simuladores, calculadoras entre
otros, ofreciéndote la oportunidad de usar la
red para seguir aprendiendo.
Te invito a que lo explores y que decidas el
ritmo de tu aprendizaje, pero sobre todo que
te sirva para adquirir más saberes, con la
finalidad de que seas un mejor alumno y una
mejor persona para el bien de tu escuela, el de
tus familiares y tu comunidad.
Éxito.
Aristófanes Madrigal Uc
Autor
Contenido
I. FUNCIONES Y SUS TIPOS ..................................................................................................... 1
Valorando lo que sabes ............................................................................................................ 2
Concepto de función ................................................................................................................ 3
Para saber más ..................................................................................................................... 5
Manos a la obra .................................................................................................................... 5
Representación y notación de una función. ......................................................................... 6
Para saber más ..................................................................................................................... 8
Manos a la obra .................................................................................................................... 9
Dominio y Rango de una función.......................................................................................... 9
Para practicar ..................................................................................................................... 12
Manos a la obra .................................................................................................................. 16
Para saber mas ................................................................................................................... 17
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES .............................................................................................. 17
Funciones algebraicas ............................................................................................................ 18
Funciones polinomiales ...................................................................................................... 18
Función constante (grado 0) ........................................................................................... 18
Para practicar ..................................................................................................................... 20
Función lineal (grado 1) .................................................................................................. 20
Para practicar ..................................................................................................................... 21
Función cuadrática (grado 2) .......................................................................................... 21
Función cúbica (grado 3) ................................................................................................ 26
Para saber más ................................................................................................................... 28
Funciones racionales .......................................................................................................... 33
Dominio de una función racional.................................................................................... 33
Rango de una función racional ....................................................................................... 34
Funciones irracionales ........................................................................................................ 35
Dominio de una función irracional ................................................................................. 36
Rango de una función irracional ..................................................................................... 37
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 38
FUNCIONES TRASCENDENTES ................................................................................................ 38
Funciones exponenciales .................................................................................................... 39
Función exponencial de base e ....................................................................................... 41
Funciones logarítmicas ....................................................................................................... 42
Función logaritmo natural .............................................................................................. 43
Manos a la obra .................................................................................................................. 44
Funciones trigonométricas ................................................................................................. 45
Características de las funciones trigonométricas ........................................................... 45
Para saber más ................................................................................................................... 46
Manos a la obra .................................................................................................................. 46
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 47
II. COMPORTAMIENTO Y OPERACIONES CON FUNCIONES ................................................... 48
SUCESIONES ........................................................................................................................... 50
Sucesiones aritméticas ....................................................................................................... 50
Para saber más ................................................................................................................... 55
Manos a la obra .................................................................................................................. 56
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 56
Sucesiones geométricas ..................................................................................................... 57
Para saber más ................................................................................................................... 61
Manos a la obra .................................................................................................................. 61
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................61
Límites de sucesiones ......................................................................................................... 62
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ............................................................................. 63
Manos a la obra .................................................................................................................. 67
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 70
Aproximación de máximos y mínimos de una función. .......................................................... 70
Manos a la obra .................................................................................................................. 73
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 73
OPERACIONES CON FUNCIONES ............................................................................................. 74
Para saber más ................................................................................................................... 79
Manos a la obra .................................................................................................................. 79
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 80
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES ............................................................................. 80
Asíntota Vertical ................................................................................................................. 80
Asíntota horizontal ............................................................................................................. 83
Manos a la obra .................................................................................................................. 85
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 86
III. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ........................................................................................ 87
Para saber más ................................................................................................................... 94
Manos a la obra .................................................................................................................. 94
Reglas de derivación ............................................................................................................... 94
Reglas de derivadas fundamentales .................................................................................. 94
Manos a la obra ................................................................................................................ 106
Para aprender más ........................................................................................................... 108
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 108
Derivadas exponenciales ...................................................................................................... 109
Derivada de función exponencial base 𝒂 .......................................................................... 109
Derivada de función exponencial base 𝒆 .......................................................................... 110
Para saber más ................................................................................................................. 111
Manos a la obra ................................................................................................................ 111
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 112
Derivadas de funciones logarítmicas .................................................................................... 112
Derivadas de función logarítmica base 𝒂 ......................................................................... 112
Derivada de funciones logaritmo natural ......................................................................... 115
Para saber más ................................................................................................................. 117
Manos a la obra ................................................................................................................ 117
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 117
Derivadas de funciones trigonométricas .............................................................................. 118
Manos a la obra ................................................................................................................ 120
Para aprender más .......................................................................................................... 121
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 121
Derivadas de orden superior ................................................................................................ 122
Para aprender más .......................................................................................................... 124
Manos a la obra ................................................................................................................ 124
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 125
IV. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN ......................................................................... 126
Definición ......................................................................................................................... 127
Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos. .............. 128
Criterio de la segunda derivada para hallar el máximo o mínimo relativo ................... 132
Concavidad y punto de inflexión de una función.............................................................. 133
Para saber más ................................................................................................................. 135
Manos a la obra ................................................................................................................ 135
Aplicación de máximos y mínimos.................................................................................... 136
Manos a la obra ................................................................................................................ 140
I. FUNCIONES Y SUS TIPOS
2
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes
como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos
para el estudio del cambio.
Te has dado cuenta de que a lo largo de tu vida existen relaciones entre dos o más
situaciones o hechos, por ejemplo, si no tenemos una alimentación nutritiva y no
hacemos ejercicio se subirá de peso y se contraerá enfermedades como la diabetes.
Otro ejemplo, si realizó mis actividades escolares y cumplo con mis tareas, con
seguridad lograré los aprendizajes y por tanto obtendré buenas calificaciones.
En matemáticas y en otras ciencias también existen varias relaciones
entre dos o más variables.
Por ejemplo, la estatura que podrá alcanzar un niño está relacionada
con la alimentación y con la estatura de sus padres.
La cantidad de cosecha que se puede obtener depende de varios
factores como la cantidad de agua, sol y nutrientes de la tierra,
principalmente.
La cantidad a productos a producir de acuerdo con la oferta que hay
y la mano de obra o maquinaria que se tenga.
La distancia que recorre un vehículoestá en correspondencia con la velocidad de este.
El número de equipos eléctricos y electrónicos conectados en casa y el consumo
eléctrico.
Como has observado en los ejemplos anteriores existe una correspondencia en cada
caso, siendo estas objeto de estudio del Calculo diferencial.
Valorando lo que sabes
Menciona al menos tres ejemplos diferentes a los anteriores que muestre una relación
entre ellos.
a) ………………………………………………………………………………………..
b) ………………………………………………………………………………………..
c) ………………………………………………………………………………………..
Es necesario un dominio de las operaciones algebraicas y gráficas para la correcta
resolución de los procesos que se realizan en calculo diferencial,
I. Realiza las siguientes operaciones
a) 2𝑥 + 3 − 7𝑥 + 8
b) 3(𝑥 − 2) − (4 + 2𝑥)
c) (2𝑥 + 3)2
3
d) 3(𝑥 − 1)2 + 2𝑥 − 2
e) 3𝑥 − 𝑥4 − 2𝑥(𝑥3 − 3𝑥 + 4)
II. Sustituye los valores dados en las siguientes ecuaciones
a) 𝑦 = 2𝑥 − 8 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1
b) 𝑦 = 3 − 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −2
c) 𝑚 = 2𝑎𝑏2 −
1
2
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 2 𝑦 𝑏 = 3
d) 𝑉 =
1
3
𝜋𝑟ℎ2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 5 𝑦 ℎ = 2
III. Traza las siguientes gráficas
a) 𝑦 = 3
b) 𝑦 = 2𝑥 + 3
c) 𝑦 = 𝑥2 − 1
d) 𝑦 = 𝑥 − 4
Concepto de función
En matemáticas has usado las relaciones y sin darte cuenta también las funciones, de
hecho, las funciones es un subconjunto de las relaciones.
El cálculo diferencial se basa en el estudio de las funciones. Una función se define de la
siguiente manera:
Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, en donde a cada
valor de la variable independiente (x) le corresponde un único valor de la variable
dependiente (y).
Para los siguientes casos vamos a identificar si es una regla de correspondencia y cuál
sería la variable independiente y la variable dependiente.
La velocidad de un carro y la distancia recorrida
Sí existe correspondencia entre la distancia y la velocidad, en
donde a mayor velocidad se tendrá mayor distancia y a menor
velocidad menor distancia.
Por lo que la distancia recorrida depende de la velocidad así
que:
Funciones
Relaciones
Para saber más sobre las relaciones
(a partir de la página 4)
https://drive.google.com/file/d/1HbfLtZdYqMFOLaEp2KhOu21zsYhA_V8X/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1HbfLtZdYqMFOLaEp2KhOu21zsYhA_V8X/view?usp=sharing
4
variable independiente (x): velocidad
variable dependiente (y): distancia
La estatura y el peso de una persona
Sí existe correspondencia entre la altura y el peso, ya que a mayor altura mayor peso y a
menor altura menor peso.
Por lo que el peso depende de la estatura.
variable independiente (x): estatura
variable dependiente (y): peso
La ganancia de una empresa y la cantidad de artículos vendidos
Sí existe correspondencia entre el número de artículos vendidos y la
ganancia ya que, hasta un cierto número de artículos, a mayor venta
de artículos mayor ganancia y viceversa.
Por lo que la ganancia depende del número de artículos vendidos.
variable independiente (x): artículos vendidos
variable dependiente (y): ganancia
El nombre de la persona y su desempeño escolar
No existe una correspondencia probada de que el nombre de un estudiante influya en su
desempeño en la escuela.
Como un último ejemplo se tiene el área de un cuadrado 𝐴 = 𝑙2
El área del cuadrado dependerá del valor que se le dé al lado. Por tanto:
variable independiente (l): lado del cuadrado
variable dependiente (A): Área del cuadrado
OJO: En calculo diferencial se toma la "𝑦" como la variable dependiente y la “𝑥” como la
variable independiente, a menos que se especifique otra cosa como sucedió en el último
ejemplo.
Además de lo anterior, para que sea una función se debe cumplir que, para cada valor
del conjunto de la variable independiente (dominio) le debe corresponder un único valor
de la variable dependiente (contradominio).
Al conjunto de valores de la variable independiente se le llama dominio de la función
y al conjunto de valores de la variable dependiente se le llama rango o contradominio
de la función.
Usando diagramas sagitales es muy fácil de identificar lo anterior.
a) b) c)
5
Analizando cada inciso
a) Se cumple que a cada valor del dominio le corresponde un único valor del
contradominio por lo que si es una función.
b) En este inciso se puede observar que para el número 12 le corresponden dos
valores del contradominio el 40 y 42. Por lo que no se cumple la definición de
función.
c) A cada figura geométrica solo le corresponde un único número de lados por lo
que sí es una función. Aunque el cuadrado y el rombo ambos tienen el valor de
4 pero solo está relacionado con un solo valor.
Para saber más
Manos a la obra
I. Determina si los siguientes diagramas sagitales corresponden a una función o no.
1) 2) 3)
II. Para cada enunciado indica la variable dependiente y la variable independiente
a) El crecimiento de un planta y la cantidad de agua
Crecimiento de una planta: ________________
Cantidad de agua: _________________
b) Las horas de ejercicio físico al día y la condición física de una persona
La condición física de una persona: _______________________
las horas de ejercicio físico al día: _________________________
c) El llenado de una alberca y el volumen de agua que se aplica por minuto
El llenado de una alberca: _______________________
Volumen de agua por minuto: _________________________
https://www.youtube.com/watch?v=-YCrf-fmS-Q
6
d) El tiempo de viaje y la distancia recorrida.
El tiempo de viaje: _______________________
La distancia recorrida: _________________________
e) El volumen de un cubo 𝑉 = 𝑙3
El lado del cubo: _______________________
El volumen del cubo: _________________________
Representación y notación de una función.
Una función puede tener varias representaciones: en forma verbal o lenguaje común,
algebraica o también llamado lenguaje matemático, en forma numérica o de tabla y en
forma gráfica.
Es importante identificar cada una de las representaciones ya que se pueden presentar
en diferentes momentos.
En forma verbal
Un número real, es igual al cuadrado de otro número menos una unidad”
En forma algebraica
𝑦 = 𝑥2 − 1
En forma de tabla
𝑥 𝑦 = 𝑥2 − 1
−2 3
−1 0
0 −1
1 0
2 3
En forma gráfica
Respuestas
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
7
Una función está representada de la siguiente forma
𝑦 = 𝑓(𝑥) Se lee: y igual a f de x
Ejemplos de funciones:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 10
c) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥−4
d) 𝑓(𝑥) = √5𝑥 − 2
e) 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥
Pero como identificar si son funciones o solo relaciones. En caso de que se tenga la
gráfica es muy sencillo saberlo; solo se sigue el criterio de la regla vertical, es decir, si
una regla en forma vertical se mueve a lo largo del eje 𝑥 y esta solo corta a la gráfica en
un solo punto a la vez, entonces la gráfica corresponde a una función.
d) e)
f) g)
Como cada línea vertical
corta a la parábola en dos
puntos a la vez entonces
la gráfica NO ES deuna
función
Como cada línea vertical
solo corta a la parábola
en un solo punto a la vez
entonces la gráfica SI ES
de una función
Como cada línea vertical
solo corta a la gráfica en
un solo punto a la vez
entonces la gráfica SI ES
de una función
a) b)
c) Como cada línea vertical
solo corta a la gráfica en
un solo punto a la vez
entonces la gráfica SI ES
de una función
Como cada línea vertical
solo corta a la gráfica en
un solo punto a la vez
entonces la gráfica SI ES
de una función
Como en una sección de
la gráfica la línea vertical
corta a la gráfica en dos
puntos a la vez entonces
la gráfica f) y g) NO ES de
una función
8
Si una función está representada en lenguaje matemático se debe de observar cada
expresión para indicar si es una función o no.
Primero se debe cumplir que haya dos o más variables expresado en forma de ecuación,
es decir debe tener un signo de igual (=)
Por ejemplo:
a) 𝑦 = 3𝑥 − 7 (tiene dos variables y el signo =)
b) 𝑦 + 2𝑥 − 4 (tiene dos variables, pero no está expresado como ecuación
c) 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 (tiene tres variables y está expresado en forma de ecuación)
d) 𝑥𝑦 + 2 = 0 (tiene dos variables y el signo de =)
Una vez cumplido lo anterior, si la variable dependiente (𝑦) está elevado a una potencia
par podemos asegurar que no es función.
Ejemplos:
a) 𝑦2 = 2𝑥 + 6 b) 2𝑥𝑦 − 2 = 𝑦2 c) 𝑦4 = 24𝑥 + 7
d) 𝑦2 = 𝑒2𝑥 e) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 f) 𝑥2 + 𝑦6 = 9
Se puede observar que en las ecuaciones la variable 𝑦 tiene una potencia par por lo que
las gráficas obtenidas no pertenecen a funciones ya que al trazar líneas verticales cortan
en más de un solo punto.
Para saber más
https://youtu.be/JpHL6kLkjUw
9
Manos a la obra
I. Indique si las siguientes gráficas corresponden a una función
1) 2) 3)
4) 5) 6)
II. Indique si las siguientes ecuaciones son funciones
1) 𝑦 = 3
2) 2𝑥 + 𝑦2 = 7
3) 𝑦4 = 𝑥2 − 6𝑥 + 3
4) 𝑦 = 3𝑥2 − 8
5) 𝑥 = 𝑦3 + 5
6) 𝑦 = 𝑒𝑥
2
Dominio y Rango de una función.
Al conjunto de valores que toma la variable independiente generalmente representado por la
variable 𝑥 se le llama DOMINIO de la función y se escribe 𝐷𝑓
Al conjunto de valores que toma la variable dependiente generalmente representado por la
variable 𝑦 se le llama CONTRADOMINIO o RANGO de la función y se escribe 𝑅𝑓
Si la función está dada en forma de tabla entonces los valores de 𝑥 pertenecen al dominio
y los valores de 𝑦 forman el contradominio o rango.
Ejemplos:
𝐷𝑓 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑅𝑓 = {−1, 0, 1, 2, 3, 4}
1) 4)
2) 5)
3) 6)
1)
2)
3)
4)
5)
6)
𝑥 1 2 3 4 5 6
𝑦 −1 0 1 2 3 4
Respuestas
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
10
𝐷𝑓 = {−3, −1, 0, 1, 3, 5}
𝑅𝑓 = {0, 1, 9, 16} Como hay elementos repetidos solo se escribe una sola vez
𝐷𝑓 = {−6, −3, 0, 2, 5, 8}
𝑅𝑓 = {4} El 4 es el único valor del rango de la función
Antes de estudiar el dominio y rango de la gráfica de una función es necesario conocer
sobre como representarlo en notación intervalo.
En las gráficas de ecuaciones o funciones puede suceder que no esté completa, es decir,
como si le faltara una parte o está cortada, para este tipo de situaciones que se presentan
se utilizan los intervalos para representar los valores de 𝑥 y 𝑦 que puede tomar la gráfica.
Un intervalo es un conjunto de números que tiene un inicio o un fin. Todo intervalo consta
de un valor inicial y un valor final, pero también en lugar de un número se puede hacer
uso del símbolo de infinito
A continuación, se dan algunos ejemplos.
a) b)
c) d)
𝑥 −3 −1 0 1 3 5
𝑦 9 1 0 1 9 16
𝑥 −6 −3 0 2 5 8
𝑦 4 4 4 4 4 4
11
Para el eje x se inicia desde la izquierda a derecha, para el eje y se inicia de abajo hacia
arriba
En el inciso a)
Para el eje x, la gráfica tiene un inicio y un fin, inicia en 𝑥 = −3 y termina en 𝑥 = 2.
Para el eje y, inicia en 𝑦 = 1 y termina en 𝑦 = 10.
En el inciso b)
Para el eje x, la gráfica tiene un inicio en 𝑥 = −3 pero no tiene fin, y se muestra señalado con la
flecha por lo que indica que sigue desplazándose hacia la derecha y hacia abajo.
Para el eje y, la gráfica no tiene un inicio por lo que se escribe 𝑦 = −∞ y termina en 𝑦 = 7
En el inciso c)
Para el eje x, la gráfica no tiene marcado un punto de inicio, pero está establecido en 𝑥 = 1 cómo
se puede observar y aunque no tiene flecha se debe considerar que la gráfica sigue moviéndose
hacia la derecha, no tiene fin.
Para el eje y, la gráfica inicia en 𝑦 = 0 y aunque crece lentamente no tiene un punto final, sino
que aumenta al infinito.
En el inciso d)
Para el eje x la gráfica inicia en −∞ y llega hasta 𝑥 = −2, luego entre 𝑥 = −2 y 𝑥 = 2 no hay
gráfica, y vuelve a existir gráfica a partir de 𝑥 = 2 hasta +∞
Para el eje y la gráfica inicia en 𝑦 = 0 y continúa creciendo hasta +∞
Para usar correctamente los intervalos, es necesario que reconozcamos la simbología
que se utiliza. Se representará al mismo tiempo la notación gráfica para una mejor
explicación.
Si en la gráfica, se dibuja un círculo (anillo con relleno) indica que se incluye el valor
del extremo por lo que se expresa con corchetes [ ] y el signo matemático que se usa
es ≥ o ≤.
Si en la gráfica, se dibuja un círculo sin relleno indica que no se incluye el valor del
extremo por lo que se expresa con paréntesis ( ) y el signo matemático que se usa es
> 𝑜 <.
Solución de la
desigualdad
Notación gráfica Notación
intervalo
𝑥 > 1 (1, +∞)
𝑥 < 1 (−∞, 1)
𝑥 ≥ −2 [−2, +∞)
𝑥 ≤ −2 (−∞, −2]
+∞ −∞
0 1 +∞ −∞
0 -2 −∞
0 -2 −∞
0 1
+∞
+∞
12
−3 < 𝑥 ≤ 1 (−3, 1]
−3 ≤ 𝑥 < 1 [−3,1)
OJO: Cuando en un intervalo se usa el símbolo de −∞ y +∞ , entonces SIEMPRE se debe
escribir paréntesis en el lado con el símbolo de infinito para indicar que no está incluido.
Para practicar
Completa la tabla escribiendo en notación gráfica o intervalo
(−∞, 4)
[2, +∞)
[−5,0]
(−∞, −1] ∪ (3, +∞)
Para obtener el Dominio y Rango de la gráfica de una función se sigue el siguiente
procedimiento.
Para determinar el dominio de la gráfica se desplaza de izquierda a derecha y se observa que
valores de 𝑥 puede tomar la gráfica, es decir, donde inicia y termina para 𝑥.
Para determinar el rango de la gráfica se desplaza de abajo a arriba y se observa que valores
de y puede tomar la gráfica, es decir, donde inicia y termina para 𝑦.
OJO: Para las gráficas de funciones, la variable independiente está representada en el eje
x y la variable dependiente está representada en el eje y.
Ejemplos: En cada gráfica determina el dominio y rango de la función
a)
Si la gráfica no tiene un punto en los
extremos significaque la curva no tiene
límite, es decir, continúa de manera infinita
hacia abajo y hacia arriba.
+∞ 1 -3 −∞
+∞ 1 -3 −∞
0 3 +∞ −∞
0 3 +∞ −∞
-4 4 +∞ −∞
13
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe de
proyectar desde la recta hacia el eje x ( ver la figura de abajo) se observa que en todo momento existen
valores de 𝑥 ( ya que la proyección abarca todo el eje x, por lo que 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) esto indica que el
conjunto de valores que toma 𝑥 son todos los números reales y también se puede expresar como 𝐷𝑓 =
{𝑥 ∈ ℝ}
OJO: En cálculo diferencial el signo "∞" es infinito. Si se tiene −∞ indica que el conjunto de
números no tiene inicio viniendo desde los números negativos y si se tiene el signo +∞ ,
entonces indica que no tiene fin, avanzando hacia los números positivos.
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar
desde la recta hacia el eje y ( ver la figura de abajo) se observa que en todo momento existen valores de
𝑦 ya que la proyección abarca todo el eje y, por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) esto indica que el conjunto de
valores que toma 𝑦 son todos los números reales y también se puede expresar como 𝑅𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ}
b)
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe de
proyectar desde la recta hacia el eje x ( ver la figura de abajo) se observa que solo a partir del número 1
existen valores de 𝑥, por lo que 𝐷𝑓 = [1, +∞) esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑥 no son
todos los números reales y también se puede expresar como 𝐷𝑓 = {𝑥 ≥ 1}
Si nos desplazamos desde la izquierda
del eje x vamos a tener valores de 𝑥
desde −∞ hasta +∞
Si nos desplazamos desde abajo del
eje y vamos a tener valores de 𝑦 desde
−∞ hasta +∞
−∞ +∞
+∞
−∞
14
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar
desde la recta hacia el eje y ( ver la figura de abajo) se observa que solo a partir del número 2 existen
valores de 𝑦, por lo que 𝑅𝑓 = [2, +∞) esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑦 también se
puede expresar como 𝑅𝑓 = {𝑦 ≥ 2}
c)
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se puede observar
que la gráfica inicia a partir de 𝑥 = −4 y termina en 𝑥 = 4 ( ver la figura de abajo) , por lo que 𝐷𝑓 = [−4, 4]
esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑥 incluyendo el -4 y el 4 ya que la gráfica presenta circulo
relleno y también puede escribirse como 𝐷𝑓 = {−4 ≤ 𝑥 ≤ 4}
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar
hacia el eje y ( ver la figura de abajo) se observa que 𝑦 solo toma valores de 0 a 4, por lo que 𝑅𝑓 = [0, 4]
esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑦 también se puede expresar como 𝑅𝑓 = {0 ≤ 𝑦 ≤ 4}
Si nos desplazamos desde la izquierda podemos
observar que la gráfica inicia cuando 𝑥 toma el valor
de 1, como en el extremo se tiene un círculo relleno
indica que se toma en cuenta el valor de 1 y se debe
de escribir corchete [ al inicio y como la recta
sigue desplazándose a la derecha se escribe +∞
Si nos desplazamos desde abajo podemos observar
que la gráfica inicia cuando 𝑦 toma el valor de 2,
como en el extremo se tiene un círculo relleno indica
que se toma en cuenta el valor de 2 y se debe de
escribir corchete [ al inicio y continúa creciendo
hasta el infinito
Si nos desplazamos desde la izquierda podemos
observar que la gráfica inicia cuando 𝑥 toma el valor de
−4, como en el extremo se tiene un círculo relleno
indica que se toma en cuenta el valor de −4 y se debe
de escribir corchete [ al inicio y el último valor que
toma la 𝑥 es 4, como también se tiene un círculo
relleno se escribe también corchete ]
15
d)
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe proyectar
desde la curva hacia el eje x, se puede observar que la gráfica inicia a partir de 𝑥 = −4 y no tiene fin ya
que se sigue moviendo a la derecha (ver la figura de abajo), por lo que 𝐷𝑓 = (−4, +∞) esto indica que el
conjunto de valores que toma 𝑥 no incluye al −4, así se puede expresar como 𝐷𝑓 = {𝑦 > −4}
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar
hacia el eje y (ver la figura de abajo) se observa que 𝑦 inicia desde −∞ y el mayor valor que toma de 𝑦 es
0 por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, 0) también se puede expresar como 𝑅𝑓 = {𝑦 < 0}
Si nos desplazamos desde abajo podemos observar
que la gráfica inicia cuando 𝑦 toma el valor de 0, y el
máximo valor de 𝑦, lo toma cuando 𝑦 = 4 para
ambos casos se incluyen los extremos por lo tanto
lleva corchetes.
Si nos desplazamos desde la izquierda
podemos observar que la gráfica se
proyecta sobre el eje x iniciando cuando
𝑥 toma el valor de −4, cómo se tiene un
círculo sin rellenar indica que NO se toma
en cuenta el valor de −4 y se debe de
escribir paréntesis ( al inicio, pero
como se mueve indefinidamente a la
derecha lleva +∞ al final del intervalo.
Si nos desplazamos desde abajo podemos
observar que la gráfica se proyecta sobre
el eje y desde −∞ 𝑦 hasta 𝑦 = 0 SIN
incluir el cero, porque tiene circulo sin
rellenar por lo que este número debe
llevar paréntesis.
16
OJO: Si en una gráfica no viene marcado el inicio con un círculo, entonces se debe tomar como
circulo relleno por lo que se debe incluir el número donde inicia la gráfica.
Manos a la obra
Determina el Dominio y rango de las siguientes gráficas
1.
2.
3.
4.
5.
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
Respuestas
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
17
6. .
Para saber mas
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Las funciones se clasifican por sus gráficas, por las operaciones para obtener sus
valores y por la asociación entre dominio y rango.
De acuerdo con sus gráfica se clasifican en: continuas y discontinuas.
De acuerdo con la asociación entre el dominio y rango se clasifican en: inyectivas (uno
a uno), biyectivas y suprayectivas.
De acuerdo con las operaciones para obtener sus valores las funciones se clasifican en:
funciones algebraicas y funciones trascendentes.
La clasificación que se estudiará en este libro será la de las operaciones para obtener
sus valores.
Una función algebraica de una variable independiente (generalmente 𝑥) es aquella
cuya dependencia es expresada por medio de los operadores de la suma, resta,
multiplicación, división, potencia o raíz. Tales como los que se presentan a continuación.
𝑦 = 2𝑥 + 8; 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6; 𝑦 = 𝑥5 − 6𝑥3 + 9𝑥 − 1;𝑦 =
𝑥 + 8
5 − 2𝑥
; 𝑦 = √𝑥 − 1
Las funciones trascendentes no pueden unir sus elementos con los operadores
algebraicos, por lo que solamente se unen, y no se pueden separar la instrucción del
argumento. Algunas funciones trascendentes son:
𝑦 = 𝐴𝑟𝑐 𝑇𝑎𝑛 (6𝑥); 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥); 𝑦 = 𝐼𝑛 (4𝑥);
𝑦 = log (5𝑥); 𝑦 = (133)3𝑥; 𝑦 = 𝑒𝑥
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
https://youtu.be/N718UC5RluE
18
Sin embargo, también se pueden clasificar específicamente, como lo vez continuación.
Funciones algebraicas
Las funciones algebraicas se clasifican en tres grandes grupos: las funciones
polinomiales, las funciones racionales y las funciones irracionales.
Funciones polinomiales
Las funciones polinomiales son expresadas por un polinomio
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² + 𝑎3𝑥³ +··· + 𝑎𝑛𝑥𝑛
De esta manera tenemos varios tipos de funciones polinomiales de acuerdo con el grado
de su variable independiente (𝑥). Cada tipo de función tiene dominio, rango y gráfica que
las caracteriza.
Para cualquier función polinómica el dominio siempre será todos los números reales.
Función constante (grado 0)
𝑓(𝑥) = 𝑐
Para toda función constante la gráfica será una recta horizontal; el dominio serán todos
los números reales y el rango solo será un solo número, que es el valor de c.
Ejemplos:
Las funciones
Trascendentes
Algebraicas
Trigonométrica
Exponencial
Logarítmica
Polinomiales
Racionales
Irracionales
19
a) 𝑓(𝑥) = 2 b) 𝑓(𝑥) = −5
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {2} 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {−5}
c) 𝑓(𝑥) =
1
2
d) 𝑓(𝑥) = √12
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {
1
2
} 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {√12}
Ejemplos:
Traza la gráfica de las siguientes funciones constantes
Para trazar una función constante solo es necesario ubicar dos puntos en el plano cartesiano,
así que se toman dos valores cualesquiera de 𝑥.
a) 𝑓(𝑥) = 6
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {6}
b) 𝑓(𝑥) = −
3
2
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {−
3
2
}
𝑥 𝑓(𝑥)
−2 6
3 6
𝑥 𝑓(𝑥)
−4 −
3
2
4 −
3
2
20
OJO: El rango de la función de cualquier función constante siempre será la constante y se
expresa entre llaves.
Para practicar
Un caso de aplicación de las funciones constantes es cuando un móvil (persona,
bicicleta, automóvil, escaleras eléctricas) se mueve a velocidad constante durante un
cierto tiempo.
Con base a la gráfica de la simulación responde lo siguiente
a) ¿Cuál es la variable dependiente?
b) ¿Cuál es la variable independiente?
c) ¿Qué tipo de función se obtiene en cada situación?
Función lineal (grado 1)
𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 + 𝑐
Para toda función lineal, el coeficiente de 𝑥 “b” será la pendiente de la recta y la “c” es la
ordenada al origen. La gráfica será una recta oblicua, el dominio y el rango serán todos los
números reales.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
c) 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
Da click en la imagen de la izquierda y
cambia los valores de la velocidad para que
observes cómo se comporta la gráfica.
https://www.educaplus.org/game/mru-grafica-v-t
21
Ejemplos:
Traza la gráfica de las siguientes funciones lineales y determina el dominio y rango de la función.
Para trazar la gráfica de cualquier función lineal solo es necesario usar tres puntos.
Como el dominio son todos los números reales, preferentemente se toman tres valores de x para
calcular los valores de 𝑦 por lo que se toma un valor negativo, el cero y un valor positivo.
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3
Se toman 3 valores de 𝑥 y se sustituye en la función.
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto
−2 𝑦 = 2(−2) − 3 = −4 − 3 = −7 𝐴(−2, 0)
0 𝑦 = 2(0) − 3 = 0 − 3 = −3 𝐵(0, −3)
3 𝑦 = 2(3) − 3 = 6 − 3 = 3 𝐶 (3, 3)
La recta toma valores infinitos para 𝑥 y para 𝑦 por lo que 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
b) 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥
Se toman 3 valores de 𝑥 y se sustituye en la función.
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto
−1 𝑦 = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5 𝐴(−1, 5)
0 𝑦 = 4 − (0) = 4 − 0 = 4 𝐵(0, 4)
4 𝑦 = 4 − (4) = 4 − 4 = 0 𝐶 (4, 0)
La recta toma valores infinitos para 𝑥 y para 𝑦 por lo que 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
Para practicar
En varias áreas se usan las funciones lineales, la proporcionalidad directa se representa
gráficamente por una recta en donde el factor de proporcionalidad es la pendiente de la
recta.
Función cuadrática (grado 2)
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
Con base a la gráfica de la simulación responde lo siguiente:
a) ¿Cómo es la recta cuando la pendiente es positiva?
b) ¿Qué signo tiene la pendiente si la recta decrece?
c) ¿Qué valor toma la pendiente cuando la recta es
horizontal?
https://www.educaplus.org/game/ecuacion-de-la-recta-pendiente-y-punto-de-corte
22
Para toda función cuadrática la gráfica será una parábola vertical, el dominio serán todos los
números reales, pero el rango estará limitado por el valor de 𝑦 del vértice de la parábola.
Si 𝑎 > 0 la parábola abre hacia arriba
Si 𝑎 < 0 la parábola abre hacia abajo.
Usando la siguiente fórmula se puede calcular el valor 𝑦 del vértice de cualquier función
cuadrática. De esta manera es posible conocer el máximo o mínimo valor del intervalo del rango.
𝑦 = −
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
(1)
Para poder trazar una gráfica cuadrática es de mucha ayuda conocer el vértice. Si hay necesidad
de conocer el valor de 𝑥 del vértice de la parábola, se puede calcular usando la siguiente fórmula.
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
(2)
Aquí se muestran algunas parábolas indicando sus vértices
Ejemplos: Dadas las gráficas de la función. Calcula el dominio y el rango para las siguientes
funciones cuadráticas.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2
Donde a es el coeficiente de 𝑥2
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene el valor mínimo de 𝑦, sustituyendo los
coeficientes en la fórmula (1). Así 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 y 𝑐 = 0, ya que no existen los términos 𝑏𝑥 y 𝑐.
Sustituyendo en la fórmula (1)
𝑦 = −
02 − 4(1)(0)
4(1)
=
0 − 0
4
𝑦 = 0
Por lo que 𝑅𝑓 = [0, +∞) y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
23
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5
d) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥
d) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene
el valor mínimo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en
la fórmula (1). Así 𝑎 = 3, 𝑏 = 0 y 𝑐 = −4, ya que no
existen el término 𝑏𝑥
Sustituyendo en la fórmula (1)
𝑦 = −
02 − 4(3)(−4)
4(3)
=
−48
12
𝑦 = −4
Por lo que 𝑅𝑓 = [−4, +∞)
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene
el valor mínimo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en
la fórmula (1). Así 𝑎 = 1, 𝑏 = −6 y 𝑐 = 5.
Sustituyendo en la fórmula (1)
𝑦 = −
(−6)2 − 4(1)(5)
4(1)
= −
16
4
𝑦 = −4
Por lo que 𝑅𝑓 = [−4, +∞) y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene
el valor máximo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en
la fórmula (1). Así 𝑎 = −3, 𝑏 = 6 y 𝑐 = 0.
Sustituyendo en la fórmula (1)
𝑦 = −
(6)2 − 4(−3)(0)
4(−3)
= −
36
−12
𝑦 = 3
Por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, 3] y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene
el valor máximo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en
la fórmula (1). Así 𝑎 = −1, 𝑏 = 2 y 𝑐 = −1.
Sustituyendo en la fórmula (1)
𝑦 = −
(2)2 − 4(−1)(−1)
4(−1)
= −
0
−4
𝑦 = 0
Por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, 0] y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
24
Ejemplos:
Traza las gráficasde las siguientes funciones cuadráticas y determina el dominio y rango
Para trazar la gráfica de cualquier función cuadrática lo más recomendable es localizar el vértice
y posteriormente tomar un valor de 𝑥 antes y después del valor del 𝑥 del vértice para tener dos
puntos más y ya con estos datos es posible trazar la gráfica.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3
Se obtiene el valor de 𝑥 del vértice sustituyendo 𝑎 = 1 y 𝑏 = −2 en
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
𝑥 = −
−2
2(1)
𝑥 = 1
Calculando el valor de 𝑦 del vértice
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3
𝑓(1) = (1)2 − 2(1) + 3 = 1 − 2 + 3 = 2
Así el vértice está dado por: 𝑉(1, 2)
Se toma un valor anterior a 𝑥 = 1, por ejemplo, el 0 y un valor posterior a 𝑥 = 1, por ejemplo,
el 2
Como se observa en la gráfica, con los tres puntos es posible trazar la parábola.
Determinando el Dominio y Rango de la función 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [2, +∞)
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥
Se obtiene el valor de 𝑥 del vértice sustituyendo 𝑎 = −1 y 𝑏 = 4 en
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
𝑥 = −
4
2(−1)
𝑥 = 2
Calculando el valor de 𝑦 del vértice
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥
𝑓(2) = −(2)2 + 4(2) = −4 + 8 = 4
Así el vértice está dado por: 𝑉(2, 4)
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto
0 𝑦 = (0)
2 − 2(0) + 3 = 3 𝐵 (0, 3)
1 𝑉(1,2)
2 𝑦 = (2)
2 − 2(2) + 3 = 3 𝐶 (3, 3)
25
Se toma un valor anterior a 𝑥 = 2, por ejemplo, el 0 y un valor posterior a 𝑥 = 2 por ejemplo el
4.
Determinando el Dominio y Rango de la función 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, 4]
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 6
Se obtiene el valor de 𝑥 del vértice sustituyendo 𝑎 = 2 y 𝑏 = 0 en
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
𝑥 = −
0
2(2)
𝑥 = 0
Calculando el valor de 𝑦 del vértice
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 6
𝑓(0) = (0)2 + 6 = 6
Así el vértice está dado por: 𝑉(0, 6)
Se toma un valor anterior a 𝑥 = 0, por ejemplo, el −1 y un valor posterior a 𝑥 = 0 por ejemplo
el 2.
Determinando el Dominio y Rango de la función 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [6, +∞)
Para practicar
Da clic sobre la imagen y abre el simulador
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto
0 𝑦 = −(0)
2 + 4(0) = 0 𝐵 (0, 0)
2 𝑉(2,4)
4 𝑦 = −(4)
2 + 4(4) = 0 𝐶 (4, 0)
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto
−1 𝑦 = 2(−1)
2 + 6 = 2 + 6 = 8 𝐵 (−1, 8)
0 𝑉(0, 6)
2 𝑦 = 2(2)
2 + 6 = 8 + 6 = 14 𝐶 (2, 14)
Abre el simulador en la FORMA ESTANDAR y escribe las
siguientes funciones cuadráticas, localizando las coordenadas
del vértice, las coordenadas de dos puntos cualquiera e indica si
la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
a) 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥
b) 𝑦 = 3 − 4𝑥2
c) 𝑦 = 4𝑥 − 2 − 𝑥2
d) 𝑦 = 32
Da clic sobre cada
inciso para ver la
respuesta
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_es.html
https://drive.google.com/file/d/1W-fF0iiJfQUDHgB4O95YYVu2-Duk-1b0/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/15V7JcyBzkycbd9XBa-jw1kBe7_tI30hd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1g_KEwVTt_7oruZt8lSQELEsMLg7EIAH9/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ZqXPeP3jU82AOQ7tLXpGhOEF4fQCw6Sc/view?usp=sharing
26
Función cúbica (grado 3)
𝑓(𝑥) = 𝑎3𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0
Para toda función cúbica el dominio y contradominio serán todos los números reales
Ejemplos:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 1
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
c) 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 + 4
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
Graficando funciones cubicas con Geogebra
Para graficar una función cúbica de la forma 𝑥3 ± 𝑎 se siguen los siguientes pasos.
1) Se observa el signo de 𝑥3, si es positivo la gráfica se desplaza de abajo hacia arriba
(crece), si el signo es negativo se desplaza de arriba hacia abajo (decrece)
https://youtu.be/akncWXwv4IU
27
2) Se ubica un punto de intersección sobre el eje y en el punto a se traza la grafica
𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 1
Como 𝑥3 es positiva la función es creciente
OJO: Se puede observar que la gráfica se desplaza verticalmente hacia arriba si “a” es positiva
y hacia abajo si “a” es negativa.
𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 2 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 1
Como 𝑥3 es negativa la función es decreciente
Para graficar una función cúbica de la forma (𝑥 ± 𝑎)3 se toma en consideración lo siguiente.
Este tipo de funciones cúbicas tienen un desplazamiento horizontal
Si a es positivo se desplaza a la izquierda
Si a es negativo se desplaza a la derecha
𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)3
Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = 1 Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = −1
Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = 2 Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = −1
28
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)3 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)3
Como se puede observar estas funciones cubicas tienen la misma forma solo se están moviendo
horizontal o verticalmente. Por lo que se puede graficar sin necesidad de realizar la tabla.
Trazar la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 5
Para este caso sería necesario realizar una tabla con algunos valores de x para obtener los
valores de y para poder realizar la gráfica.
Para practicar
Grafica las siguientes funciones cúbicas
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 6
c) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥3
d) 𝑓(𝑥) = 4 − 3𝑥3
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3
f) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)3
g) 𝑓(𝑥) = −(3𝑥 + 3)3
h) 𝑓(𝑥) = −(4 − 𝑥)3
Para saber más
Realizar la gráfica de una función cúbica o de grado mayor puede traer ciertas
complicaciones, por lo que una buena opción en la medida de lo posible es usar alguna
graficadora en línea o de descarga.
𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 5
-2 1
-1 6
0 5
1 4
2 9
3 26
29
Existen una variedad de aplicaciones para todos los sistemas operativos tanto para
Windows, Android e iOS, algunos gratuitos y otros de paga.
Una de las aplicaciones que te recomiendo por ser gratuita, multiplataforma, puede
usarse en línea o se puede descargar a tu dispositivo de escritorio o móvil, además de
tener el respaldo de una amplia comunidad de usuarios es GEOGEBRA.
Manual de GEOGEBRA Aplicaciones de GEOGEBRA
Video tutorial completo Video tutorial corto Tutorial oficial GEOGEBRA
( a partir del min 12)
Manos a la obra
I. Dada la gráfica indica si la función polinomial es: constante, lineal, cuadrática o
cúbica.
a) b) c)
d) e) f)
https://wiki.geogebra.org/es/Manual
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/m/u3sxv87w
https://www.youtube.com/watch?v=A4lb-FzctlI
https://www.youtube.com/watch?v=Jaf5aLfKvOY
30
II. Relaciona la función y su gráfica correspondiente, escribiendo dentro del paréntesis
el número de la gráfica que corresponda.
GRÁFICA FUNCIÓN
1)
( ) 𝑓(𝑥) = −3
2)
( ) 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 4𝑥 + 2
3)
( ) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2
4)
( ) 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥2
31
5)
( ) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
6)
( ) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 1
III. Calcula el dominio y rango de las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1
b) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 6
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2
e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥2
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1
g) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)3
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥3
i) 𝑓(𝑥) = √5
j) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2
IV. Calcula el dominio y rango de las gráficas de las siguientes funciones
polinomiales
1)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
32
2)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
3)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
4)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
5)𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
6)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
V. Usando Geogebra o cualquier otra aplicación para graficar, traza las siguientes
funciones y determina el Dominio y el Rango.
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 10
33
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 7𝑥 − 1
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥3
d) 𝑓(𝑥) = −2.5
e) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 8
Funciones racionales
Una función 𝑓 es una función racional si:
𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
Donde 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥) son polinomios. El dominio de 𝑓 está formado por todos los números reales,
excepto los ceros del denominador ℎ(𝑥).
Ejemplos de funciones racionales
a) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥−3
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+2
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
2𝑥−1
Dominio de una función racional
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
Como 𝑥 − 2 ≠ 0
𝑥 ≠ 2
por lo que el 𝐷𝑓 será todos los números excepto 𝑥 = 2
Así: 𝐷𝑓(∞, 2) ∪ (2, +∞)
b) 𝑓(𝑥) =
5𝑥
𝑥2−9
Como 𝑥2 − 9 ≠ 0
Despejando 𝑥
𝑥2 ≠ 9
√𝑥2 ≠ ±√9
𝑥 ≠ ±3
Respuestas
34
Por lo que el dominio de la función sea todos los valores excepto 𝑥 = −3 y 𝑥 = 3
Así: 𝐷𝑓 = (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, +∞)
c) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+4
2𝑥−5
;
Como 2𝑥 − 5 ≠ 0
Despejando 𝑥
𝑥 ≠
5
2
Por lo que el dominio no puede tomar el valor de 𝑥 =
5
2
Así: 𝐷𝑓(−∞,
5
2
) ∪ (
5
2
, +∞)
Rango de una función racional
Para obtener el rango de una función no existe un procedimiento único, una de las formas
es encontrar sus asíntotas horizontales apoyado con la gráfica de la función.
Traza la gráfica y determina el rango aproximado de las siguientes funciones.
a)
𝑅𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
b) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥+3
𝑅𝑓 = (−∞, 2) ∪ (2, +∞)
35
c) 𝑓(𝑥) =
4𝑥2
2𝑥+3
𝑅𝑓 = (−∞, −11) ∪ (−11,0) ∪ (0, +∞)
Manos a la obra
Para cada función racional traza la gráfica usando Geogebra y determina el Dominio y
el Rango.
a) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥+2
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−3
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
2𝑥−1
d) 𝑓(𝑥) =
3−𝑥3
3𝑥2+2
e) 𝑓(𝑥) =
4𝑥
2𝑥2−6
f) 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
𝑥−4
Funciones irracionales
Una función irracional es una función en cuya expresión la variable independiente 𝑥 aparece
debajo del símbolo de raíz.
𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)
𝑛
donde 𝑔(𝑥) es una función racional
Para obtener la gráfica de una función irracional es necesario primero obtener el dominio
de la función para que de esta manera se pueda tomar los valores de x para obtener los
valores de y.
36
Ejemplos de funciones irracionales
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 b) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1
3
c) √𝑥2 − 1
4
Dominio de una función irracional
Si "n" es par, el dominio está definido para 𝑔(𝑥) ≥ 0
Si "n" es impar, el dominio es R (todos los números reales). 𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
Ejemplos:
Para raíces pares
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 5 b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4
6
Como 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4 entonces
𝑥2 − 4 ≥ 0
Resolviendo la desigualdad se obtiene
𝑥 ≤ −2 y 𝑥 ≥ 2
El Dominio de la función será:
𝐷𝑓 = (−∞, −2] ∪ [2, +∞)
Como 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5 entonces
2𝑥 + 5 ≥ 0
Resolviendo la desigualdad se obtiene
𝑥 ≥ −
5
2
El Dominio de la función será:
𝐷𝑓 = [−
5
2
, +∞)
37
Para raíces impares
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1
3
d) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 2
5
Rango de una función irracional
Determinar el rango de una función irracional no obedece a una regla específica, por lo
que se sugiere que se realice la gráfica de manera manual o con un software de
graficación para que de manera visual se obtenga el rango de la función.
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 5
Si la raíz es cuadrada, entonces el Rango de la función será siempre 𝑅𝑓 =
[0, +∞) sin importar cual sea el valor de 𝑔(𝑥)
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4
6
Si la raíz es par con 𝑛 > 2, entonces el Rango de la función no se puede
determinar ya que cambia dependiendo del valor de 𝑔(𝑥), por lo que se pide
realizar la gráfica para hallar el rango.
Para el inciso b) el rango será 𝑅𝑓 = [0, +∞)
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1
3
Si la raíz es impar, entonces el Rango de la función no se puede determinar ya
que cambia dependiendo del valor de 𝑔(𝑥), por lo que se pide realizar la gráfica
para hallar el rango
Para el inciso c) el rango será 𝑅𝑓 = [−1, +∞)
Para el inciso d) el rango será 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
Como se tiene una raíz impar ya que
n =5.
El Dominio siempre será todos los
números reales.
𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
Como se tiene una raíz impar ya que
n =3.
El Dominio siempre será todos los
números reales.
𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
38
Manos a la obra
Grafica las siguientes funciones irracionales y determina con base a la gráfica el
dominio y rango.
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 8
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 9
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4
3
d) 𝑓(𝑥) = √3𝑥
4
e) 𝑓(𝑥) = √2 − 8𝑥
5
f) 𝑓(𝑥) = √2𝑥3 + 2
8
g) 𝑓(𝑥) = √𝑥3 − 4
3
Evaluando tus aprendizajes
FUNCIONES TRASCENDENTES
Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes son
funciones que tienen la variable independiente como exponente, o como índice de la
raíz, además de los logaritmos y las razones trigonométricas.
Algunas funciones trascendentes son:
𝑦 = 𝐴𝑟𝑐 𝑇𝑎𝑛 (3𝑥); 𝑦 = 2𝑆𝑒𝑛 (𝑥); 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥); 𝑦 = log (5𝑥); 𝑦 = (8)3𝑥; 𝑦 = 𝑒𝑥
Todas las funciones trascendentes son fáciles de identificar porque se componen de
dos partes, la instrucción es lo que define inmediatamente el tipo de que se trata, tal es
el caso de las trigonométricas directas que son: 𝒔𝑒𝑛𝑜, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜, 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒,
polinomiales 1 polinomiales 2 racionales
Irracionales Dominio y Rango algebraicas
https://forms.gle/urSxL6xL8grcaan48
https://forms.gle/s3xzQFGmAMHe9pjb8
https://forms.gle/VTdg8rEokWDV7mnv9
https://forms.gle/t7L6v5tj7uzK7aP3A
https://forms.gle/7hJdZ4PkxKzjfaXs8
39
𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒; y las trigonométricas inversas como: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜,
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒.
Además, están las funciones logarítmicas como:
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (ln ) 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 (log ) .
Funciones exponenciales
Una función exponencial es aquella en que la variable independiente 𝑥 aparece en el
exponente y tiene de base una constante 𝑎. Su expresión es:
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
Siendo 𝑎 un real positivo, 𝑎 > 0, y diferente de 1, 𝑎 ≠ 1.
Cuando 0 < 𝑎 < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y
cuando 𝑎 > 1, es una función creciente.
Características
• Dominio: 𝑹
El dominio son todos los números reales. Se expresa 𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
• Rango: 𝑹+
El rango son todos los números reales positivos. Se expresa 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica.
Ejemplos
𝑓(𝑥) = 2𝑥
𝑥 -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 10
𝑦 = 2𝑥
1
1024
1
8
1
4
1
2
1 2 4 8 1024
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑦
𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑦
𝑥
40
a) 𝑓(𝑥) = 2−𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞)
b) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞)
c) 𝑓(𝑥) = (
1
4
)
−𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞)
d) 𝑓(𝑥) = 52𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞)
𝑦
𝑥
൬−1,
1
2
൰
(0,1 )
(1,2)
(2,4)
(3,8 )
41
Función exponencial de base e
Al igual que, el número 𝑒 es irracional donde 𝑒 = 2.71828. .. La notación 𝑒 para este
número fue dada por Leonhard Euler (1727).
Para un número real 𝑥, la función exponencial base 𝑒 o también llamada función
exponencial natural esta dada por:
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
El dominio y rango de una función exponencial base 𝑒 está dado por 𝐷𝑓 = (−∞, +∞)
y 𝑅𝑓 = (0, +∞)
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞)
c) 𝑓(𝑥) = 𝑒0.5𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞)
42
Funciones logarítmicas
Decimos que logaritmo (base a) de un número positivo 𝑁 es 𝑥, lo cual expresamos,
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑵 = 𝒙 , si se verifica: 𝒂
𝒙 = 𝑵
En otras palabras, el logaritmo (base a) del número positivo N es el exponente al que
hay que elevar la base 𝑎 para obtener ese número N
Por ejemplo, decimos que el Logaritmo base 10 de 100 es 2, puesto que 10²=100.
Se expresa como log
10
100 = 2
Una función logarítmica está dada por
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏[𝑔(𝑥)]
Donde b es la base del logaritmo y puede tomar enteros positivos
Si 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥, entonces la función presenta una asíntota vertical en 𝑥 = 0 por lo que
𝐷𝑓(0, +∞) y 𝑅𝑓(−∞, +∞)
Ejemplos:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔53𝑥
𝐷𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥
𝐷𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔106𝑥
𝐷𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
43
Si 𝑔(𝑥) es cualquier otra función distinta a 𝑎𝑥 el dominio ya no será 𝐷𝑓(0, +∞)
Ejemplos:
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(2𝑥 − 1)
𝐷𝑓 = (
1
2
, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5𝑥
2
𝐷𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3√𝑥 + 1
𝐷𝑓 = (1, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔10
𝑥 + 1
𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
𝑅𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞)
Función logaritmo natural
El logaritmo natural, 𝑙𝑛(𝑥), es el inverso de la función exponencial e definido en 𝑥 sólo
para números reales positivos. Es decir, cuando la base del logaritmo es el número 𝑒
se le llama logaritmo natural.
Así log𝑒 𝑢 se convierte en ln 𝑢
Una función logaritmo natural está expresado como:
𝑓(𝑥) = ln (𝑔(𝑥))
44
La función del logaritmo natural tiene muchas aplicaciones, como modelar el crecimiento
exponencial en poblaciones biológicas y en teoría financiera y calcular la decadencia
radiactiva. En estadística y probabilidad el logaritmo natural tiene también diversas
aplicaciones
Ejemplos:
Obtén el dominio y el rango de las siguientes funciones logarítmica natural
𝑓(𝑥) = ln 3𝑥
𝐷𝑓 = (0, +∞)
𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
𝑓(𝑥) = ln √𝑥
𝐷𝑓 = (0, +∞)
𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
𝑓(𝑥) = ln
1
𝑥
𝐷𝑓 = (0, +∞)
𝑅𝑓 = (−∞, +∞)
Manos a la obra
Traza la gráfica y determina el dominio y el rango de las siguientes funciones logarítmicas
1) 𝑓(𝑥) = log3 2𝑥
2) 𝑓(𝑥) = log(3𝑥 − 1)
3) 𝑓(𝑥) = ln 5𝑥
4) 𝑓(𝑥) = log7(2𝑥 − 3)
5) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥2
6) 𝑓(𝑥) = 3 ln √𝑥
3
45
Funciones trigonométricas
Una función trigonométrica es la relación de dos lados de un triángulo rectángulo,
aunque existen 6 funciones trigonométricas son tres las más usadas seno, coseno y
tangente ya que las otras tres cotangente, secante y cosecante son reciprocas.
Características de las funciones trigonométricas
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [−1, 1] 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [−1, 1]
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐 𝑥
Dominio de la función
𝑥 𝜖 ℝ excepto los valores de ±𝑛
𝜋
2
,
donde 𝑛 = 1, 3, 5, ….
Rango de la función
𝑦 ∈ ℝ es decir 𝑅𝑓(−∞, +∞)
Dominio de la función
𝑥 𝜖 ℝ excepto los valores ±𝑛𝜋
donde 𝑛 = 0, 1, 3, ….
Rango de la función
𝑦 ∈ ℝ es decir 𝑅𝑓(−∞, +∞)
46
Para saber más
Manos a la obra
I. Identifica a qué tipo de función trascedente pertenece las siguientes gráficas
escribiendo el número correspondiente.
1) Logarítmica 2) exponencial 3) seno 4) tangente 5) cosecante
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
Dominio de la función
𝑥 𝜖 ℝ excepto ±
𝜋𝑛
2
donde
𝑛 = 1, 3, 5, ….
Rango de la función
𝑅𝑓(−∞, −1] ∪ [1, +∞)
Dominio de la función
𝑥 𝜖 ℝ excepto ±𝑛𝜋 donde
𝑛 = 0, 1, 3, ….
Rango de la función
𝑅𝑓(−∞, −1] ∪ [1, +∞)
Practica con el siguiente simulador y observa
cómo se obtiene las funciones seno, coseno y
tangente
https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_es.html
47
II. Obtén el Dominio y el Rango de las siguientes funciones
1)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
2) 𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
3)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
4) 𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
5)
𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
6) 𝐷𝑓 =
𝑅𝑓 =
Evaluando tus aprendizajes
https://forms.gle/r3Nyvmao5CLD2qc7A
https://forms.gle/5Uth3hmqwbb7LaBS7
48
II. COMPORTAMIENTO Y
OPERACIONES CON
FUNCIONES
49
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de
crecimiento y de decrecimiento.
• Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función.
• Encuentra en forma aproximada los máximos y mínimos de una
función.
• Opera algebraica y aritméticamente, representa y trata gráficamente
a las funciones polinomiales básicas (lineales, cuadráticas y cúbicas).
• Determina algebraica y visualmente las asíntotas de algunas funciones
racionales básicas.
Analiza la siguiente situación:
Una maratonista empieza una rutina de entrenamiento para una competencia, por lo que
iniciará corriendo 5000 m y cada día que pase correrá 200 m más, ¿Qué distancia recorrerá
a los 5, 10, 20, 40 y 50 días?
La situación anterior se puede representar matemáticamente mediante la siguiente expresión
Distancia Total = 5000 + 200 (número de días )
Si la convertimos a una función, en donde Distancia Total será 𝑓(𝑥) y 𝑥 será el número de días
𝑓(𝑥) = 5000 + 200𝑥
• Se evalúa la función resultante en los valores solicitados, que son 5, 10, 20, 30, 40 y 50.
De esta manera es posible calcular la cantidad de días (𝑥) en el cual el maratonista logrará
cubrir 50 Km es decir 50,000 m, por lo que solo necesita despejar la 𝑥 de la función.
Si 𝑓(𝑥) = 50,000
Como 𝑓(𝑥) = 5000 + 200𝑥 sustituyendo
50,000 = 5000 + 200𝑥 despejando 𝑥
𝑥 =
50000−5000
200
= 225 𝑑í𝑎𝑠 necesitará para alcanzar los 50 Km
La situación anterior es una sucesión, porque que existe un patrón constante de crecimiento
𝑓(5) = 5000 + 200(5) = 5000 + 1000 = 6000 m
𝑓(10) = 5000 + 200(10) = 5000 + 2000 = 7000 m
𝑓(20) = 5000 + 200(20) = 5000 + 4000 = 9000 m
𝑓(40) = 5000 + 200(40) = 5000 + 8000 = 13000 m
𝑓(50) = 5000 + 200(50) = 5000 + 10000 = 15000 m
50
SUCESIONES
Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número
ocupa una posición y recibe el nombre de término.
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … 𝑎𝑛
Una sucesión es finita cuando tiene primer y último término. Una sucesión es infinita si
tiene primer término, pero no tiene último término.
El término que ocupa la posición 𝑛 se denota por 𝑎𝑛 y se denomina término general o
término 𝑛 −ésimo.
Las sucesiones se definen a menudo estableciendo una expresión matemática para
calcular el n-ésimo término.
Un ejemplo de sucesión es el conjunto de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...
Esta sucesión se expresa como 𝑎𝑛 = 2𝑛 donde 𝑛 = 1,2,3,4 …
Se puedeconsiderar una sucesión 𝑎𝑛 como una función 𝑓(𝑛) en la que su dominio será
el conjunto de los enteros positivos.
Por lo que la expresión:
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … 𝑎𝑛 se puede reescribir como 𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑓(4), … 𝑓(𝑛)
Así cualquier expresión algebraica que represente la regla de una sucesión puede ser
reescrita como una función.
De esta manera la sucesión anterior: 𝑎𝑛 = 2𝑛 se puede expresar como 𝑓(𝑛) = 2𝑛 o
en función de 𝑥 como 𝑓(𝑥) = 2𝑥
Si tabulamos y graficamos la siguiente sucesión para los primeros cinco valores de n
Se observa en la gráfica que es una función lineal donde el dominio de x serán todos los valores enteros
positivos, tambien llamados números naturales así 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℕ}
Sucesiones aritméticas
Los términos de algunas sucesiones se pueden determinar siguiendo un criterio
denominado regla de formación, que relaciona cada término con el lugar que ocupa. Las
𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥
1 2(1) = 2
2 2(2) = 4
3 2(3) = 6
4 2(4) = 8
5 2(5) = 10
51
dos reglas básicas son: Sumar o restar por una misma cantidad y multiplicar o dividir por
una misma cantidad.
Aquellas sucesiones que se obtienen sumando o restando por una misma cantidad se
llaman sucesiones aritméticas.
Para la sucesión 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … 𝑎𝑛, … es una sucesión aritmética, si se toman dos términos
consecutivos de cualquiera de esta y la diferencia entre ambos siempre es una constante,
denominada diferencia.
Esto se puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera:
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑑
OJO: Todas las sucesiones aritméticas serán crecientes si 𝑑 > 0 o decrecientes si 𝑑 < 0 para
todo valor de n.
Ejemplos.
Determina si las siguientes sucesiones son aritméticas y si es escribe el siguiente término
a) 3, 7, 11, 15, 19 …
La diferencia para caso es:
7 − 3 = 4 11 − 7 = 4 15 − 11 = 4 19 − 15 = 4
Por lo que 𝑑 = 4, esto indica que la sucesión es aritmética.
Es decir, para obtener el siguiente término se le suma 4 al término anterior y es 23
b) 20, 18, 16, 14, 12 …
La diferencia para caso es:
18 − 20 = −2 16 − 18 = −2 14 − 16 = −2 12 − 14 = −2
Por lo que 𝑑 = −2, esto indica que la sucesión es aritmética.
Es decir, para obtener el siguiente término se le resta 2 al término anterior y es 10
c)
1
2
, 1,
3
2
, 2,
5
2
…
La diferencia para caso es:
1 −
1
2
=
1
2
3
2
− 1 =
1
2
2−
3
2
=
1
2
5
2
− 2 =
1
2
Por lo que 𝑑 =
1
2
, esto indica que la sucesión es aritmética.
Es decir, para obtener el siguiente término se le suma
1
2
al término anterior y es 3
d) 21, 15, 9, 3, −4 …
La diferencia para caso es:
21 − 15 = 6 15 − 9 = 6 9 − 3 = 6 3 − (−4) = 7
Por lo que, no se cumple la sucesión aritmética ya que no en todas las diferencias el
resultado es 6.
52
Para cualquier sucesión aritmética, el término general viene dado por la expresión:
an = a1 + (n – 1) · d
donde:
𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜
𝑛 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑑𝑜
𝑑 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑎𝑛 = 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑑𝑜
La suma de los primeros n términos está dado por:
( )
2
· 1 n
n
aan
S
+
=
Ejemplos:
Para las siguientes sucesiones aritméticas. Halla el valor del vigésimo término y su suma
a) 3, 6, 9, 12, …
𝑎1 = 3 𝑑 = 9 − 6 = 3 𝑛 = 20
Calculando 𝑎20
Sustituyendo en: an = a1 + (n – 1) · d
𝑎20 = 3 + (20 − 1)(3)
𝑎20 = 3 + (19)(3)
𝑎20 = 3 + 57
𝑎20 = 60
Calculando 𝑆𝑛
Sustituyendo en: 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
𝑆20 =
20(3 + 60)
2
𝑆20 =
20(63)
2
𝑆20 =
1260
2
𝑆20 = 630
53
b) −12, −8, −4, 0, …
𝑎1 = −12 𝑑 = −4 − (−8) = 4 𝑛 = 20
Calculando 𝑎20
Sustituyendo en: an = a1 + (n – 1) · d
𝑎20 = −12 + (20 − 1)(4)
𝑎20 = −12 + (19)(4)
𝑎20 = −12 + 76
𝑎20 = 64
Calculando 𝑆𝑛
Sustituyendo en: 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
𝑆20 =
20(−12 + 64)
2
𝑆20 =
20(52)
2
𝑆20 =
1040
2
𝑆20 = 520
c) 60, 58, 56, 54, …
𝑎1 = 60 𝑑 = 54 − 56 = −2 𝑛 = 20
Calculando 𝑎20
Sustituyendo en: an = a1 + (n – 1) · d
𝑎20 = 60 + (20 − 1)(−2)
𝑎20 = 60 + (19)(−2)
𝑎20 = 60 − 38
𝑎20 = 22
Calculando 𝑆𝑛
Sustituyendo en: 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
𝑆20 =
20(60 + 22)
2
54
𝑆20 =
20(82)
2
𝑆20 =
1640
2
𝑆20 = 820
Resuelve los siguientes problemas de aplicación
1. Una pila de troncos tiene 24 troncos en la base 23 en la segunda capa, 22 en la
tercera. etc, la capa superior tiene 10 troncos. Encuentra la cantidad total de
troncos en la pila.
𝑎1 = 24 𝑑 = 23 − 24 = −1 𝑎𝑛 = 10
Para encontrar n se sustituye en:
an = a1 + (n – 1) · d
10 = 24 + (𝑛 − 1)(−1) Despejando n
10 − 24 = −𝑛 + 1
−14 − 1 = −𝑛
−15 = −𝑛 Multiplicando por (-1) ambos lados
𝑛 = 15
Usando la siguiente función
𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
Sustituyendo los valores
𝑆15 =
15(24 + 10)
2
𝑆15 =
15(34)
2
𝑆15 = 255
El total de troncos apilados es de 255
2. Jorge al ingresar a prepa ahorró $1500 pesos y cada mes ahorra $300 pesos. ¿Cuánto dinero
tendrá al finalizar la prepa al cabo de tres años?
Se tienen los siguientes datos
𝑎1 = 1500 𝑛 = 36 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑 = 300
Sustituyendo en:
an = a1 + (n – 1) · d
𝑎36 = 1500 + (36 − 1)(300)
55
𝑎36 = 1500 + 10500
𝑎36 = 12,000
Por lo que al terminar la prepa tendrá ahorrado $12,000 pesos
3. Una compañía va a distribuir $46,000 en bonos entre sus 10 mejores vendedores. El último
premiado en la lista recibirá $1000 y la diferencia de dinero entre los vendedores sucesivamente
clasificados debe ser constante. Encuentra el bono para cada vendedor.
Se tienen los siguientes datos 𝑛 = 10 𝑆10 = 46,000 𝑎10 = 1000
Sustituyendo en 𝑆𝑛 para obtener 𝑎1
𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
46000 =
10(𝑎1 + 1,000)
2
46000(2) = 10𝑎1 + 10,000
92,000 − 10,000 = 10𝑎1
𝑎1 =
82000
10
𝑎1 = $8,200
Calculando el valor de d con la formula
an = a1 + (n – 1) · d
Sustituyendo
1000 = 8200 + (10 − 1) ∙ 𝑑
1000 − 8200 = 9𝑑
𝑑 =
−7200
9
= −800
Por lo que ya podemos saber cuánto tendrá de bono cada vendedor. Ordenando del último al primero
Para el siguiente valor se suma $800 pesos
$1000, $1800, $2600, $3400, $4200, $5000, $5800, $6600, $7400, $8200
Para saber más
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:sequences/x2f8bb11595b61c86:introduction-to-arithmetic-sequences/a/using-formulas-of-arithmetic-sequences
https://drive.google.com/file/d/1t7U1ys9BoGOAzgf0y2nRc7x0uHeR9o9t/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1t7U1ys9BoGOAzgf0y2nRc7x0uHeR9o9t/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1t7U1ys9BoGOAzgf0y2nRc7x0uHeR9o9t/view?usp=sharing
56
Manos a la obra
I. Determina si las siguientes sucesiones son aritméticas y en caso de serlo calcula
el valor del doceavo término.
1. 6, 8, 10, 12, 14…
2. 10, 5, 0, -5, -10…
3.
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
, …
4. 1, 3, 6, 10, 15, …
5. -8, -5, -2, 1, 4, …
II. Calcula la suma de los primeros 20 términos para las siguientes sucesiones
aritméticas.
1. 1, 4, 7, 10, 13,…
2. 20, 18, 16, 14, 12,…
3. -6, -4.5, -3, -1.5,…
4.
1
4
,
1
2
,
3
4
, 1,
5
4
, …
III. Resuelve los siguientes problemas de aplicación
1. Las primeras 10 filas en cierta sección de un estadio tienen 28, 30, 32, 34
asientos, etc, ¿Cuántos asientos hay en las primeras 12 filas?
2. Un concursante obtendrá 5 premios en efectivo por un total de $5000 y habrá
una diferencia de $100 entre premios sucesivos. Encuentra el valor del primer
premio.
3. Un ciclista avanza cuestaabajo a razón de 4 pies el primer segundo. En cada
segundo sucesivo, avanza 6 pies más que en el segundo anterior. Si el
deportista llega a la parte inferior del cerro en 10 segundos. Encuentra la
distancia total recorrida.
Evaluando tus aprendizajes
https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/aritmetica/sucesiones/ejercicios-interactivos-de-progresiones-aritmeticas-2.html
57
Sucesiones geométricas
Se cuenta que cuando Sessa, el inventor del ajedrez, presentó el juego a Sheran, príncipe de la
India, este se quedó tan fascinado por lo ingenioso y complejo que era el juego que para
gratificar a Sessa le dijo que le pidiera cualquier cosa que deseara.
Sessa lo pensó despacio y al día siguiente fue de nuevo a ver al príncipe y le dijo:
- Soberano, mande que me entreguen un grano de trigo por la primera casilla del tablero de
ajedrez, dos por la segunda casilla, cuatro por la tercera, ocho `por la cuarta, y así
sucesivamente.
Al príncipe le encantó esta curiosa petición que, pensó, no le saldría muy cara, y lo mandó
cumplir, pero entonces se llevó una gran sorpresa........
¿Pudo cumplir la promesa? ¿Cuántos granos de arroz debía entregar en total?
Extraído de: https://www.matematicasonline.es/progresiones/ejercicio_6_geometricas_problema_ajedrez.htm
Para dar respuesta a la cantidad de granos de trigo que debió entregar el príncipe
podemos hacer uso de las progresiones geométricas. Ver respuesta aquí
Una sucesión o progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, a
excepción del primero, se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número, r, que
se denomina razón de la progresión. Su término general viene dado por la expresión:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒓
𝒏−𝟏
Y la suma de los n primeros términos se obtiene mediante la siguiente relación:
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙
𝟏 − 𝒓𝒏
𝟏 − 𝒓
Para determinar si una sucesión es geométrica se debe verificar que el término siguiente
al dividir entre el anterior debe obtenerse el mismo número.
𝑟 =
𝑎𝑘
𝑎𝑘−1
Ejemplos:
Indica si las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y en caso de serlo escribe el
siguiente término.
a) 81, 27, 9, 3, 1,...
La razón para cada caso es:
27
81
=
1
3
9
27
=
1
3
3
9
=
1
3
1
3
Por lo que 𝑟 =
1
3
, esto indica que la sucesión es geométrica y el término siguiente es
1
3
b) 5, 25, 125, 625
La razón para cada caso es:
25
5
= 5
125
25
= 5
625
125
= 5
Por lo que 𝑟 = 5, por lo que la sucesión es geométrica y el término siguiente es 3125.
https://drive.google.com/file/d/1x-Uy3X3_Mw49a9hG-X9k66YDBi8ZOywd/view?usp=sharing
58
c) 162, -54, 18, -6
La razón para cada caso es:
−54
162
= −
1
3
18
−54
= −
1
3
−6
18
= −
1
3
Por lo que 𝑟 = −
1
3
, por lo que la sucesión es geométrica y el término siguiente es 2
d) 3, −
3
2
,
3
4
, −
3
6
,
3
16
La razón para cada caso es:
−3 2⁄
3
= −
3
6
= −
1
2
3
4⁄
−3 2⁄
= −
6
12
= −
1
2
−3 6⁄
3
4⁄
= −
12
18
= −
2
3
Por lo que no es una sucesión geométrica ya que las razones no son iguales
Ejemplos:
Para las siguientes sucesiones geométricas. Halla el valor del décimo término y su suma
a) 1, 4, 16, 64, …
𝑎1 = 1 𝑟 =
4
1
= 4 𝑛 = 10
Calculando 𝑎10
Sustituyendo en:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒓
𝒏−𝟏
𝑎10 = 1 ∙ (4)
10−1
𝑎10 = 1 ∙ (4)
9
𝑎10 = 262,144
Calculando 𝑆𝑛
Sustituyendo en:
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙
𝟏−𝒓𝒏
𝟏−𝒓
𝑆𝑛 = (1) ∙
1 − 410
1 − 4
𝑆𝑛 = (1) ∙
−1048575
−3
𝑆𝑛 = 349, 525
b)
1
4
,
1
2
, 2, 4, 8, …
𝑎1 =
1
4
𝑟 =
1
2⁄
1
4⁄
=
4
2
= 2 𝑛 = 10
59
Calculando 𝑎10
Sustituyendo en:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒓
𝒏−𝟏
𝑎10 =
1
4
(2)10−1
𝑎10 =
1
4
(2)9
𝑎10 =
1
4
(512)
𝑎10 = 128
Calculando 𝑆𝑛
Sustituyendo en:
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙
𝟏−𝒓𝒏
𝟏−𝒓
𝑆𝑛 = ൬
1
4
൰ ∙
1 − 210
1 − 2
𝑆𝑛 = ൬
1
4
൰ ∙
−1023
−1
𝑆𝑛 = 255.75
c) 27, 9, 3, 1,
1
3
…
𝑎1 = 27 𝑟 =
9
27
=
1
3
𝑛 = 10
Calculando 𝑎10
Sustituyendo en:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒓
𝒏−𝟏
𝑎10 = 27 ൬
1
3
൰
10−1
𝑎10 = 27 ൬
1
3
൰
9
𝑎10 = 27 ൬
1
19683
൰
𝑎10 =
1
729
Calculando 𝑆𝑛
Sustituyendo en:
𝑺𝒏 = 𝒂𝟏 ∙
𝟏−𝒓𝒏
𝟏−𝒓
60
𝑆𝑛 = (27) ∙
1 − (
1
3
)
10
1 −
1
3
𝑆𝑛 = (27) ∙
1 −
1
59049
2
3
𝑆𝑛 = (27) ∙
59048
59049
2
3
𝑆𝑛 = (27) ∙
177144
118098
𝑆𝑛 =
29524
729
≈ 40.5
Resuelve los siguientes ejercicios de aplicación
1. Una bomba de vacío elimina la mitad del aire de un recipiente con cada ciclo. Después
de 10 ciclos ¿Qué porcentaje de la cantidad original de aire permanece en el recipiente?
Se tienen los siguientes datos 𝑎1 = 100% 𝑟 =
1
2
𝑛 = 10
Se sustituye en:
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒓
𝒏−𝟏
𝑎10 = 100 ∙ ൬
1
2
൰
10−1
𝑎10 = 100 ∙
1
512
𝑎10 =
25
128
= 0.1953% de aire original permanece
2. Cierto cultivo tiene 10 000 bacterias al inicio si aumenta 20% cada hora. ¿Qué cantidad
de bacterias habrá en el cultivo después de un día?
Se tienen los siguientes datos 𝑎1 = 10 000 𝑟 = 1.20 𝑛 = 24 ℎ𝑟𝑠
𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∙ 𝒓
𝒏−𝟏
𝑎10 = 10 000 ∙ (1.20)
24−1
𝑎10 = 10 000 (66.2473)
𝑎10 = 662,473 bacterias
61
Para saber más
Manos a la obra
I. Indica si las siguientes progresiones son geométricas:
1) 12, 9, 6, 3, ... 4) 1, 4, 9, 16, …
2) 2, 6, 18, 54, … 5) ...
144
5
,
48
5
,
12
5
,
3
5
3) 300, -30, 3, -0.3, … 6)
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, …
II. Halla el octavo término y la suma de los primeros ocho términos
1) 8, 4, 2,1,… 3) 6, -12, 24, -48,…
2) 162, -54, 18, -6,… 4) 3,
3
2
,
3
4
,
3
8
, …
III. Resuelve los siguientes problemas de aplicación.
1. La depreciación anual de determinada máquina es el 25% de su valor al
comienzo del año. Si el costo original de la máquina es de $200, 000 ¿Cuál es
su valor después de 6 años?
2. Un hombre guarda $1 peso el primer día, $2 pesos el segundo día, $4pesos el
tercer día y así sucesivamente.
Si continúa duplicando la cantidad guardada todos los días ¿cuánto deberá
guardar al décimo quinto día?
Evaluando tus aprendizajes
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:sequences/x2f8bb11595b61c86:constructing-geometric-sequences/e/recursive-formulas-for-geometric-sequences
https://forms.gle/5Pixrrg9acmv36ks5
62
Límites de sucesiones
Las sucesiones pueden ser infinitas o finitas, aunque la mayoría de ellas son infinitas es
decir su límite es infinito existen sucesiones cuyo límite es finito, a estas sucesiones se
les llama convergentes ya que su límite es un número.
El límite de una sucesión numérica {an} es cuando sus términos van aproximándose a
un valor L. Y a este valor se le denomina límite.
Por ejemplo, para la siguiente sucesión con término general
𝑎𝑛 = 1 + 2𝑛
Cuando n toma valores muy grandes, la sucesión {𝑎𝑛} crece indefinidamente, como se muestra
𝑛 1 10 100 1000 10 000 1 000 000 100 000 000
1 + 2𝑛 3 21 201 2001 20 001 2 000 001 200 000 001
De la tabla se observa que conforme n toma valores más grandes la sucesión 𝑎𝑛 toma valores
cada vez más grandes, matemáticamente se puede expresar como:
lim
𝑛→+∞
(1 + 2𝑛) = +∞
Significa que el límite de la sucesión cuando n tiende a infinito es infinito.
Para la siguiente sucesión
𝑎𝑛 =
1
𝑛
Cuando n toma valores muy grandes, veamos qué pasa con la sucesión {𝑎𝑛}
𝑛 1 10 100 1000 10 000 1 000 000 100 000 000
1
𝑛
1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.000 001 0.000 000 001
Cuando n toma valores muy grandes, la sucesión {𝑎𝑛} tiende a cero,
lim
𝑛→+∞
1
𝑛
= 0 es decir, 𝐿 = 0
Cuando una sucesión tiende a un número se le llama convergentes.
Para el caso de funciones a veces es necesario conocer el límite de 𝑓(𝑥) cuando el
valor de𝑥 se acerca o tiende a un cierto valor “a”
Lo anterior se puede expresar como:
lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝐿
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/limites/
63
Ejemplos:
Determina el límite de las siguientes sucesiones
a) 𝑎𝑛 = 3𝑛 − 2
𝑛 1 10 100 1000 10 000 1 000 000 100 000 000
3𝑛 − 2 1 28 298 2998 29 998 2 999 998 299 999 998
lim
𝑛→+∞
(3𝑛 − 2) = +∞
b) 𝑎𝑛 = 𝑛
2
𝑛 1 10 100 1000 10 000 1 000 000
𝑛2 1 100 10 000 1000 000 100 000 000 1 000 000 000 000
lim
𝑛→+∞
𝑛2 = +∞
c) 𝑎𝑛 =
𝑛2−1
𝑛+1
𝑛 0 10 100 1000 10 000 1 000 000
1 − 𝑛2
𝑛 + 1
1 -9 -99 -999 -9999 -999 999
lim
𝑛→+∞
𝑛2 − 1
𝑛 + 1
= −∞
d) 𝑎𝑛 =
2
𝑛+2
𝑛 0 10 100 1000 10 000 1 000 000
2
𝑛 + 2
1 0.166 0.0196 0.0019 0.00019 0.0000019
lim
𝑛→+∞
2
𝑛 + 2
= 0
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Todas las sucesiones aritméticas se pueden representar mediante una función lineal por
lo que su gráfica será una recta que crece o que decrece.
Veamos el siguiente ejemplo.
64
Una nueva empresa de televisión por cable ofrece un paquete básico de $200 pesos
mensuales por 40 canales y además ofrece canales premium por tan solo $40 pesos
mensuales entre su gama de 50 canales.
a) Determina el costo si se contratan 3, 5 y 10 canales premium
b) Escribe como función de x y traza la gráfica.
a) Lo anterior se puede expresar como 𝑎𝑛 = 200 + 40𝑛 donde 𝑎𝑛 es el costo total y 𝑛
es el número de canales premium.
Para 3 canales 𝑎3 = 200 + 40(3) = 320
Para 5 canales 𝑎5 = 200 + 40(5) = 400
Para 10 canales 𝑎10 = 200 + 40(10) = 600
b) Si se hace 𝑎𝑛 = 𝑓(𝑥) y 𝑛 = 𝑥 entonces, se puede reescribir la sucesión como
una función.
𝑓(𝑥) = 200 + 40𝑥
Graficando la función para los primeros 10 canales
En la gráfica se puede observar que se tiene un comportamiento ascendente, es decir,
la función crece linealmente.
Dada la a gráfica de cualquier función se puede observar alguno de estos tres
comportamientos:
• Si la gráfica se eleva, significa que tiene un crecimiento.
65
• Si a gráfica baja, tiene un decrecimiento.
• Si la gráfica es horizontal, se mantiene constante.
OJO: Siempre se debe de iniciar de izquierda a derecha y el intervalo consta de
los valores de x
Ejemplos.
Observa las siguientes gráficas y determina los intervalos donde la gráfica crece o decrece
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥
Creciente (−∞, +∞)
Decreciente No hay intervalo
Creciente (3, +∞)
Decreciente (−∞, 3)
66
c) 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥3
d) 𝑓(𝑥) = 4
e) 𝑓(𝑥) = 3 − 𝑥2
Para evaluar cómo se comporta la función se consideran dos puntos que determinen un
intervalo de la gráfica. Las coordenadas del punto A equivalen a (𝒙𝟏,𝒇(𝒙𝟏)), mientras
que las coordenadas del punto B son (𝒙𝟐,𝒇(𝒙𝟐)). Si se considera que 𝒙𝟏,es el punto que
se encuentra más a la izquierda de la gráfica, siempre es menor que 𝒙𝟐,; por lo tanto, se
puede establecer las siguientes condiciones:
• Para que una función sea creciente se debe cumplir que:
𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
• Para que la función se decreciente se debe cumplir que:
𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
• Para que la función sea constante se debe cumplir que:
𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
Para determinar si una función crece o decrece en un intervalo dado es conveniente
graficarla, pero también puedes evaluar la función para observar cuál de las tres
condiciones se cumple:
Creciente (0, +∞)
Decreciente (−∞, 0)
Creciente No hay intervalo
Decreciente No hay intervalo
Creciente (−∞, 0)
Decreciente (0, +∞)
67
Ejemplos:
Sea 𝑓(𝑥) = 4 − 5𝑥 Determina el comportamiento de la función en el intervalo de (1, 10)
Tomando 𝑥1 = 2 y 𝑥2 = 3 se sustituye en la función
𝑓(2) = 4 − 5(2) = 4 − 10 = −6
𝑓(3) = 4 − 5(3) = 4 − 15 = −11
Como
𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2) ya que −6 > −11
OJO: Para el caso de funciones lineales puedes usar este método para determinar si la función
es creciente o decreciente ya que la gráfica no cambia de sentido. Pero para otro tipo de
funciones podrías tener resultados erróneos.
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑥2 Determina el comportamiento de la función en el intervalo de (−1, 5)
Tomando 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = 1 se sustituye en la función
𝑓(0) = 0 − (0)2 = 0 − 0 = 0
𝑓(1) = 1 − (1)2 = 1 − 1 = 0
Se cumple que 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ya que 𝑓(0) = 𝑓(1) por lo que la función es constante,
pero en una función cuadrática solo hay intervalos donde la función crece o decrece por
lo que es necesario tomar otros valores para verificar en que intervalo crece y en que
intervalo decrece. Por lo que se recomienda graficar para obtener el resultado correcto.
Manos a la obra
Indica el intervalo donde la función es creciente y donde es decreciente.
1)
Creciente
Decreciente
Crece (−∞, 0.5)
Decrece (0.5, +∞)
68
2)
3)
4)
5)
6)
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
69
7)
8)
9)
10
II. Gráfica las siguientes funciones y determina los intervalos donde la función es
creciente y decreciente.
1) 𝑓(𝑥) = 11 − 2𝑥
2) 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥 − 7
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 9
5) 𝑓(𝑥) = 15 − 2𝑥 − 𝑥2
6) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)3
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
Creciente
Decreciente
70
Resumen funciones crecientes y decrecientes
Función Constante No es creciente ni decreciente en todo el dominio
Función lineal
Creciente si el coeficiente de 𝑥 es positivo
Decreciente si el coeficiente de 𝑥 es negativo
Función cuadrática
El vértice de la parábola marca el punto donde la
gráfica pasa de creciente a decreciente o viceversa
Función cúbica de la forma
𝑓(𝑥) = 𝑎3𝑥
3 + 𝑎0
Creciente si el coeficiente de 𝑥 es positivo
Decreciente si el coeficiente de 𝑥 es negativo
Función cúbica con
Término 𝑎2𝑥
2 o 𝑎1𝑥
En algunos intervalos serán crecientes y en otros
decrecientes
Evaluando tus aprendizajes
Aproximación de máximos y mínimos de una función.
En la gráfica siguiente se pueden observar dos intervalos donde la función es creciente
y uno donde la función es decreciente
Creciente: (−∞, 0) ∪ (2, +∞) decreciente: (0, 2)
La coordenada del punto Máximo es: (0, 0) y la del punto Mínimo es: (2, −4).
Como se observa en el ejemplo anterior, por simple inspección es posible conocer las
coordenadas de los máximos y mínimos. Sin embargo, si no se tiene una aplicación de
Para cualquier función polinomial el punto donde la
función pasa de creciente a decreciente se llama MÁXIMO
RELATIVO.
El punto donde la función pasa de decreciente a creciente
se llama MÍNIMO RELATIVO.
https://forms.gle/ZYpZgbkicg9yUoeB7
71
graficación puede resultar complicado graficar con exactitud y por tanto localizar estos
puntos.
En el tema de aplicación de derivadas se tratará con más profundidad este tema y se
hallará el valor de los puntos máximos y mínimos sin necesidad de trazar la gráfica.
Ejemplos:
Realiza las gráficas y por simple inspección, determina los puntos máximos y mínimos
de las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 𝑥4
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 1
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥
d) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
Máximo (−1, 1) y (1, 1)
Mínimo (0, 0)
Mínimo (0, −1)
Máximo (−1, 2)
Mínimo (1, −2)
No existe máximo ni
mínimo
72
Los máximos y mínimostienen aplicaciones en donde se desea calcular áreas,
volúmenes o costos entre otros. Veamos el siguiente ejemplo.
a) Un agricultor desea cercar una parte de su parcela en forma rectangular, si tiene 200
metros de malla y suponiendo que no haya desperdicio. ¿Cuál será el área máxima que
podrá cercar con esta cantidad de malla?
Solución
Área: 𝐴 = 𝑥 ∙ 𝑦
Perímetro: 𝑃 = 2𝑥 + 2𝑦 = 200
Despejando y del perímetro
2𝑥 + 2𝑦 = 200
𝑦 =
200 − 2𝑥
2
Simplificando
𝑦 = 100 − 𝑥
Sustituyendo en el área
𝐴 = 𝑥(100 − 𝑥)
𝐴 = 100𝑥 − 𝑥2
Graficando
b) A partir de una lámina metálica rectangular y larga,
de 12 pulgadas de ancho, hay que fabricar un canal
doblando hacia arriba dos lados, de modo que sean
perpendiculares a la lámina. ¿Cuántas pulgadas
deben doblarse para dar al canal su máxima
capacidad?
𝑥
𝑦
𝐴 se ubica sobre el eje y, 𝑥 sobre el eje x, así
cuando el valor de 𝑥= 50 se obtiene el área
máxima siendo de 2500 m2.
𝑥
𝑥
12 − 2𝑥
73
Solución
Si 𝑥 es la cantidad de pulgadas dobladas en cada lado, el ancho de la base del canal es de 12 −
2𝑥 pulgadas. La capacidad será máxima cuando la sección transversal del rectángulo con lados
de longitudes 𝑥 y 12 − 2𝑥 tenga su valor máximo. Denotamos este valor con 𝑓(𝑥) y llegamos a:
𝑓(𝑥) = 𝑥(12 − 2𝑥)
𝑓(𝑥) = 12𝑥 − 2𝑥2
Graficando
Manos a la obra
Realiza las gráficas y por simple inspección, determina los puntos máximos y mínimos de las
siguientes funciones.
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 2
d) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 8
e) 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
𝑥+3
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 + 4𝑥2 − 𝑥
g) 𝑓(𝑥) =
2
5
Con una lámina de 10 x 12cm se desea construir una caja sin tapa cortando las esquinas
cuadradas de arista 𝑥. ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener cada caja?
Evaluando tus aprendizajes
Debe doblarse 3 pulgadas, para obtener
un volumen máximo de 18 pulg3
𝑥
𝑥
https://forms.gle/YJuqpyWdVrjLrG5x9
74
OPERACIONES CON FUNCIONES
Las funciones polinómicas y su representación gráfica son de gran importancia en las
matemáticas ya que permiten modelar relaciones entre variables y aplicaciones en la
vida real.
Como viste en álgebra cuando realizaste operaciones con polinomios, en las funciones
también es posible realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división.
Suma de funciones
La suma de dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) se representa cómo:
𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) = (𝒇 + 𝒈)(𝒙)
Cada función tiene su dominio 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔, el dominio resultante de 𝒇(𝒙) + 𝒈(𝒙) es 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈
Resta de funciones
La resta de dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) se representa como:
𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) = (𝒇 − 𝒈)(𝒙)
Cada función tiene su dominio 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔, el dominio resultante de 𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙) es 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈
Multiplicación o producto de la multiplicación de dos funciones.
El producto de dos funciones 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) se representa como:
𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) = (𝒇 ∙ 𝒈)(𝒙)
Cada función tiene su dominio 𝐷𝑓 y 𝐷𝑔, el dominio resultante de 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈(𝒙) es 𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈
División o cociente de funciones
La división de funciones es similar a la división entre dos polinomios.
Sean 𝒇(𝒙) y 𝐠(𝒙) dos funciones polinómicas, su división se representa como:
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
= ൬
𝒇
𝒈
൰ (𝒙)
Donde 𝒈(𝒙) ≠ 𝟎. El dominio resultante es [𝑫𝒇 ∩ 𝑫𝒈] − {𝒈(𝒙) = 𝟎}.
Ejemplos:
Realiza las siguientes operaciones (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓. 𝑔)(𝑥); (
𝑓
𝑔
) (𝑥).
a) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥3 − 6 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (2𝑥2 + 3𝑥 − 6) + (𝑥2)
75
= 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 + 𝑥2
= 3𝑥2 + 3𝑥 − 6
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (2𝑥2 + 3𝑥 − 6) − (𝑥2)
= 2𝑥2 + 3𝑥 − 6 − 𝑥2
= 𝑥2 + 3𝑥 − 6
𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) = (2𝑥2 + 3𝑥 − 6)(𝑥2)
= 4𝑥4 + 3𝑥3 − 6𝑥2
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
2𝑥2 + 3𝑥 − 6
𝑥2
=
2𝑥2
𝑥2
+
3𝑥
𝑥2
−
6
𝑥2
= 2 +
3
𝑥
−
6
𝑥2
b) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 7
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = (3𝑥 − 4) + (𝑥2 + 7)
= 3𝑥 − 4 + 𝑥2 + 7
= 𝑥2 + 3𝑥 + 3
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = (3𝑥 − 4) − (𝑥2 + 7)
= 3𝑥 − 4 − 𝑥2 + 7
= −𝑥2 + 3𝑥 − 11
𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) = (3𝑥 − 4) + (𝑥2 + 7)
= 3𝑥3 − 21𝑥 − 4𝑥2 − 28
= 3𝑥3 − 4𝑥2 + 21𝑥 − 28
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
3𝑥 − 4
𝑥2 + 7
76
c) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 𝑔(𝑥) =
1
𝑥−2
𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2 +
1
𝑥 − 2
=
𝑥2 + 2
1
+
1
𝑥 − 2
=
(𝑥−2)(𝑥2+2)+1
𝑥−2
=
𝑥3+2𝑥−2𝑥2−4+1
𝑥−2
=
𝑥3−2𝑥2+2𝑥−3
𝑥−2
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 2 −
1
𝑥 − 2
=
𝑥2 + 2
1
−
1
𝑥 − 2
=
(𝑥−2)(𝑥2+2)−1
𝑥−2
=
𝑥3+2𝑥−2𝑥2−4−1
𝑥−2
=
𝑥3−2𝑥2+2𝑥−5
𝑥−2
𝑓(𝑥) . 𝑔(𝑥) = (𝑥2 + 2) ൬
1
𝑥 − 2
൰
= (
𝑥2 + 2
1
) ൬
1
𝑥 − 2
൰
=
𝑥2+2
𝑥−2
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
𝑥2 + 2
1
𝑥 − 2
=
𝑥2+2
1
1
𝑥−2
=
(𝑥 − 2)(𝑥2 + 2)
1
77
= 𝑥3 − 2𝑥2 + 2𝑥 − 4
Función composición
La composición es una quinta operación entre funciones, que permite combinarlas para
obtener una nueva función, y se establece por la siguiente regla:
• Dadas dos funciones f y g se define como la composición de la función f con la
función g a la función denotada f ∘ g (f compuesta con g), cuya regla de
correspondencia es:
𝒇 ∘ 𝒈 (𝒙) = 𝒇[𝒈(𝒙)]
Su dominio está representado por el conjunto:
𝑫𝒇 ∘ 𝑫𝒈 = {𝒙|𝒙 ∈ 𝑫𝒈; 𝒈(𝒙) ∈ 𝑫𝒇}
Para obtener la regla correspondiente de la función f ∘ g, según la regla anterior, basta
con sustituir la función g en la variable independiente de la función f.
Ejemplos
a) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2
Calcular (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) y (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥)
• Para obtener (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) se sustituyen las x por la suma 𝑥 + 5 en 𝑔(𝑥).
𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2
𝑔(𝑥 + 5) = 𝑥 + 5 − 2
• Se resuelven las operaciones indicadas:
(𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 3
• Para obtener (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) se sustituye la 𝑥 por la resta 𝑥 − 2 en 𝑓(𝑥).
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 5
𝑓(𝑥 − 2) = 𝑥 − 2 + 5
• Se resuelven las operaciones indicadas:
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑥 + 3
b) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 3 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 2
Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
Se sustituye la 𝑥 de 𝑓(𝑥) por 𝑔(𝑥)
78
𝑓(3𝑥 − 2) = 2(3𝑥 − 2)2 + 3
= 2(9𝑥2 − 12𝑥 + 4) + 3
= 18𝑥2 − 24𝑥 + 8 + 3
= 18𝑥2 − 24𝑥 + 11
Calcular (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
𝑔(2𝑥2 + 3) = 3(2𝑥2 + 3) − 2
= 6𝑥2 + 9 − 2
= 6𝑥2 + 7
c) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) =
3
𝑥−2
Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
= 𝑓 (
3
𝑥−2
) = 5 (
3
𝑥−2
)
=
15
𝑥−2
Calcular (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
𝑔(5𝑥 + 1) =
3
(5𝑥 + 1) − 2
=
3
5𝑥 − 1
d) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 6 y 𝑔(𝑥) =
2𝑥
𝑥−1
Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) y (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
𝑓 ൬
2𝑥
𝑥 − 1
൰ = ൬
2𝑥
𝑥 − 1
൰
2
+ 6
=
4𝑥2
(𝑥 − 1)2
+
6
1
=
4𝑥2 + 6(𝑥 − 1)2
(𝑥 − 1)2
=
4𝑥2 + 6(𝑥2 − 2𝑥 + 1)
(𝑥 − 1)2
=
4𝑥2 + 6𝑥2 − 12𝑥 + 6
(𝑥 − 1)2
=
10𝑥2 − 12𝑥 + 6
(𝑥 − 1)2
79
Para saber más
Manos a la obra
1) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 3 − 2𝑥
Calcular (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓 . 𝑔)(𝑥); (
𝑓
𝑔
) (𝑥)
2) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 5
Calcular (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓 . 𝑔)(𝑥);(
𝑓
𝑔
) (𝑥)
3) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥
Calcular (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓 . 𝑔)(𝑥); (
𝑓
𝑔
) (𝑥)
4) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =
3
𝑥+1
y 𝑔(𝑥) = 2𝑥2 − 3
Calcular (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓 . 𝑔)(𝑥); (
𝑓
𝑔
) (𝑥)
5) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−2
y 𝑔(𝑥) =
2
𝑥+3
Calcular (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓 . 𝑔)(𝑥); (
𝑓
𝑔
) (𝑥)
6) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =
2
2𝑥−1
y 𝑔(𝑥) =
𝑥+2
𝑥−1
Calcular (𝑓 + 𝑔)(𝑥); (𝑓 − 𝑔)(𝑥); (𝑓 . 𝑔)(𝑥); (
𝑓
𝑔
) (𝑥)
7) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 1 y 𝑔(𝑥) = −𝑥2
Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥); (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
8) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 7 y 𝑔(𝑥) = 3𝑥2 − 𝑥 + 2
Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥); (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
9) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−2
y 𝑔(𝑥) =
3
𝑥
Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥); (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
10) 𝑆𝑒𝑎 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥−2
y 𝑔(𝑥) =
𝑥−3
𝑥−4
Calcular (𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥); (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥)
https://es.khanacademy.org/math/eb-4-semestre-bachillerato-nme/x5828d8a71717b83a:operaciones-con-funciones
https://drive.google.com/file/d/1KXNT6MXntUlfu4vKi9N87q1MwV7Bodj3/view?usp=sharing
80
Evaluando tus aprendizajes
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES
Recordando que una función racional está expresada como
𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
donde 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥) son funciones polinomiales
Las funciones racionales tienen asíntotas horizontales, verticales y oblicuas
Una asíntota es una recta que se encuentra asociada a la gráfica de algunas curvas y
que se comporta como un límite gráfico hacia la cual la gráfica se aproxima
indefinidamente pero nunca la toca ni la cruza, a excepción de algunos casos en donde
la gráfica la cruza. A medida que la una variable tiende hacia un cierto valor, la otra
variable tiende a infinito, cualquiera que este sea. En general, la recta puede tener
orientación. Aquí se estudiarán las verticales y las horizontales.
Asíntota Vertical
Definición de
asíntota vertical
La recta 𝑥 = 𝑎 es una asíntota vertical para la gráfica de una función 𝑓 si
𝑓(𝑥) → +∞ o 𝑓(𝑥) → −∞
a medida que 𝑥 se aproxima a 𝑎 ya sea desde la izquierda o la derecha.
OJO: En calculo Diferencial, la expresión 𝑓(𝑥) → +∞ indica que la función cada vez va
tomando valores más grandes y no tiene fin.
La expresión 𝑓(𝑥) → −∞ indica que la función cada vez va tomando valores más negativos y
no tiene fin.
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦
𝑥
𝑥 = 𝑎
𝑎
𝑦
𝑥
𝑎
𝑥 = 𝑎
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Cuando 𝑥 se acerca a 𝑎 por la
izquierda, la función tiende a +∞
Cuando 𝑥 se acerca a 𝑎 por la
derecha, la función tiende a −∞
https://forms.gle/MHiS2Ap1AxMDRsc86
81
Por ejemplo, para la función 𝑓(𝑥) =
1
2−𝑥
sí nos acercamos a 𝑥 = 2, por la izquierda, 𝑓(𝑥)
toma valores cada vez más grandes como se observa en la siguiente tabla.
𝑥 -1 0 1 1.5 1.9 1.99 1.9999
𝑓(𝑥) =
1
2 − 𝑥
0.333 0.5 1 2 10 100 10 000
Así entre más cercano sea el valor de 𝑥 a 2 por la izquierda, más grande será el valor de 𝑓(𝑥),
por lo que se dice que cuando x se acerca a 2, 𝑓(𝑥) tiende a + infinito.
Para la misma función 𝑓(𝑥) =
1
2−𝑥
sí nos acercamos a 𝑥 = 2, por la derecha, 𝑓(𝑥) toma
valores cada vez más negativos (pequeños) como se observa en la siguiente tabla.
𝑥 5 3 2.5 2.1 2.01 2.001 2.00001
𝑓(𝑥) =
1
2 − 𝑥
-0.333 -1 2 -10 -100 -1 000 -100 000
Así entre más cercano sea el valor de 𝑥 a 2 por la derecha, más pequeño será el valor de 𝑓(𝑥),
por lo que se dice que cuando x se acerca a 2 𝑓(𝑥) tiende a - infinito.
Las asíntotas verticales están asociadas con el dominio de una función ya que la
ecuación de la asíntota vertical está dada por:
𝑥 = 𝑎 donde 𝑎 es el valor que no puede tomar el dominio
Sea 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
𝑥−1
. Halla el dominio de la función, la ecuación y gráfica de la asíntota
vertical.
Haciendo el denominador diferente de cero para hallar el dominio de la función
𝑥 − 1 ≠ 0
Despejando 𝑥
𝑥 ≠ 1
Por lo que el dominio de la función son todos los números reales excepto 𝑥 ≠ −1
𝐷𝑓 = (−∞, 1) ∪ (1, +∞)
La asíntota vertical se obtiene mediante la siguiente ecuación 𝑥 = 𝑎
𝑥 = 1
Trazamos la gráfica para que se observe mejor la asíntota
Se puede ver que la gráfica tiende a +∞ y
−∞ en 𝑥 = 1, es decir, 𝑓(𝑥) crece y
decrece indefinidamente.
82
Sea 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2−4
. Halla el dominio de la función, ecuación y gráfica de la asíntota vertical
Haciendo el denominador diferente de cero para hallar el dominio de la función
𝑥2 − 4 ≠ 0
Despejando 𝑥
𝑥2 ≠ 4 así: 𝑥 ≠ ±2
Por lo que el dominio de la función son todos los números reales excepto 𝑥 ≠ ±2
𝐷𝑓 = (−∞, −2) ∪ (−2, 2) ∪ (2, +∞)
Se tienen dos asíntotas verticales en 𝑥 = 𝑎 y en 𝑥 = −𝑎
𝑥 = 2 y 𝑥 = −2
Trazamos la gráfica para que se observe mejor la asíntota
Como se ha visto en los ejemplos anteriores, para obtener las asíntotas verticales de
una función racional se debe igualar a cero el denominador.
Veamos otros ejemplos
Encuentra la ecuación de la asíntota vertical para las siguientes funciones
a) 𝑓(𝑥) =
3
2𝑥+7
Igualando a cero el denominador y despejando 𝑥
2𝑥 + 7 = 0
2𝑥 = −7
𝑥 = −
7
2
es la ecuación de la asíntota vertical
b) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+5
4𝑥
Igualando a cero el denominador y despejando 𝑥
4𝑥 = 0
𝑥 =
0
4
𝑥 = 0 es la ecuación de la asíntota vertical
Se puede ver que la gráfica tiende a +∞ y
−∞ en 𝑥 = ±2, es decir, 𝑓(𝑥) crece y
decrece indefinidamente.
83
c) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+5
2𝑥2−6𝑥
Igualando a cero el denominador
2𝑥2 − 6𝑥 = 0
Factorizando el lado izquierdo se tiene
𝑥(2𝑥 − 6) = 0
se iguala a cero cada factor y se despeja 𝑥
𝑥 = 0 y 2𝑥 − 6 = 0
𝑥 = 0 y 𝑥 = 3 son las ecuaciones de la asíntota vertical
d) 𝑓(𝑥) =
−3𝑥2+5
𝑥2−2𝑥−3
Igualando a cero el denominador
𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 0
Factorizando el lado izquierdo se tiene
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
se iguala a cero cada factor y se despeja 𝑥
𝑥 − 3 = 0 y (𝑥 + 1 = 0
𝑥 = 3 y 𝑥 = −1 son las ecuaciones de la asíntota vertical
Asíntota horizontal
Definición de
asíntota horizontal
La recta 𝑦 = 𝑐 es una asíntota horizontal para la gráfica de una función 𝑓
si
𝑓(𝑥) → 𝑐 cuando 𝑥 → +∞ o cuando 𝑥 → −∞
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑐
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑐
Cuando 𝑥 tiende a −∞ , 𝑓(𝑥)
se acerca a 𝑐
Cuando 𝑥 tiende a +∞, 𝑓(𝑥)
se acerca a 𝑐
84
La gráfica de 𝑓(𝑥) =
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
con 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥), lineales o cuadráticas, tendrá a lo más una asíntota
horizontal. Para encontrarla, hay que comparar los grados de los polinomios 𝑃 y 𝑄. Llamaremos
𝑚 y 𝑛 a los grados 𝑃 y 𝑄, respectivamente. Notemos que el caso de estudio, 𝑚 y 𝑛 pueden ser
0,1 y 2 dependiendo de si el polinomio es constante, lineal o cuadrático.
Ejemplos
Calcula la ecuación de la asíntota horizontal para cada función
c) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
𝑥−2
d) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2
2𝑥2−2
Casos:
1. Si 𝑚 < 𝑛, entonces la gráfica de 𝑓 tendrá la recta 𝑦 = 0 como asíntota horizontal. Es
decir, en este caso, el eje 𝑥 es asíntota horizontal de la gráfica de 𝑓.
2. Si 𝑚 = 𝑛, entonces la gráfica de 𝑓 tendrá la recta 𝑦 =
𝐴𝑛
𝐵𝑚
como su asíntota horizontal.
𝐴𝑛 y 𝐵𝑚 son los coeficientes del término de mayor grado de los polinomios 𝑃 y 𝑄
respectivamente.
3. Si 𝑚 > 𝑛, entonces la gráfica de 𝑓 no tendrá ninguna asíntota horizontal.
a) 𝑓(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥2 − 3
b) 𝑓(𝑥) =
3
2𝑥 + 2
Como 𝑚 = 1 𝑛 = 2
Entonces 𝑚 < 𝑛
Tendrá una asíntota horizontal
en 𝑦 = 0
Como 𝑚 = 0 𝑛 = 1
Entonces 𝑚 < 𝑛Tendrá una asíntota horizontal
en 𝑦 = 0
Como 𝑚 = 1 𝑛 = 1
Entonces 𝑚 = 𝑛
Por lo que la asíntota horizontal
está determinada por 𝑦 =
2
1
por
lo que 𝑦 = 2
Como 𝑚 = 2 𝑛 = 2
Entonces 𝑚 = 𝑛
Por lo que la asíntota horizontal
está determinada por 𝑦 =
3
2
por
lo que 𝑦 = 1.5
85
e) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
𝑥+3
f) 𝑓(𝑥) =
𝑥3−3
𝑥2
Manos a la obra
I. Completa la tabla para los siguientes valores e indica si la función tiende a +∞ o a −∞
1)
𝑥 8 6 5 4.5 4.1 4.001 4.0001
𝑓(𝑥) =
2
𝑥 − 4
2)
𝑥 -5 -3 -2 -1.5 -1.1 -1.001 -1.0001
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 + 1
3)
𝑥 -1 0 1 1.5 1.9 1.99 1.9999
𝑓(𝑥) =
3
𝑥2 − 4
Como 𝑚 = 2 𝑛 = 1
Entonces 𝑚 > 𝑛
Por lo no existe asíntota
horizontal
Como 𝑚 = 3 𝑛 = 2
Entonces 𝑚 > 𝑛
Por lo no existe asíntota
horizontal
86
II. Encuentra la ecuación de la asíntota vertical para las siguientes funciones
1) 𝑓(𝑥) =
𝑥−2
2𝑥+4
2) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥−5
3) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥2−9
4) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2
2𝑥2−𝑥
5) 𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥2−7𝑥+6
III. Encuentra la ecuación de la asíntota horizontal para las siguientes funciones y
para caso traza la gráfica
1) 𝑓(𝑥) =
4𝑥−2
2𝑥+4
2) 𝑓(𝑥) =
𝑥−4
2𝑥2−4
3) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥+7
4) 𝑓(𝑥) =
4𝑥2−2
𝑥2−1
5) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2−2
𝑥−3
Evaluando tus aprendizajes
87
III. DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN
88
La derivada es uno de los conceptos de significado dialéctico en matemáticas. La
derivada, en el caso de una función real de una variable real, es el resultado de
un límite y representa, geométricamente, la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función en un punto. En la Física, la derivada se puede entender como la velocidad
instantánea. Se puede considerar la derivada como la razón de variación de una masa
poblacional respecto de la variación del tiempo.
En Cálculo la derivada representa cómo una función cambia (valor de la variable
dependiente “y”) a medida que su entrada (valor de la variable independiente “x”) cambia.
En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando
el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación); por ejemplo,
la derivada de la posición de un vehículo con respecto al tiempo es la velocidad
instantánea con la cual el vehículo está viajando.
La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor
aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores
reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental
del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones
continuas.
Recopilado de: Derivada de una función - EcuRed
Variación de una función en un intervalo
Dada una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) definida en un intervalo [𝑎, 𝑏] , se llama variación de la
función (∆𝒚), 𝑓 en [𝑎, 𝑏] al valor 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎).
∆𝑦 = 𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
Ejemplos
1) 𝑆𝑒𝑎 𝑦 = 𝑥 + 1, halla ∆𝑦 cuando 𝑥 varia de 1 a 5.
Solución:
∆𝑦 = 𝑓(5) − 𝑓(1)
= (5 + 1) − (1 + 1)
= 6 − 2
∆𝑦 = 4
𝑦
𝑥
∆𝑥
∆𝑦
https://www.ecured.cu/L%C3%ADmite_de_una_funci%C3%B3n
https://www.ecured.cu/Derivada_de_una_funci%C3%B3n
89
2) 𝑆𝑒𝑎 𝑦 = 𝑥2, calcula ∆𝑦 cuando 𝑥 varia de 0 a 2.
Solución:
La tasa de variación media, de una función 𝑓 en un intervalo [𝑎, 𝑏] es el cociente:
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Expresión en la cual ∆𝑥 = 𝑏 − 𝑎 y ∆𝑦 es la variación de la función 𝑓 en el intervalo [𝑎, 𝑏].
Dado que un intervalo [𝑎, 𝑏] se cumple que 𝑏 > 𝑎, siempre se tiene que 𝑏 = 𝑎 + ℎ para alguna
ℎ > 0. Así, la tasa de variación media se escribe como:
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
ℎ es la longitud del intervalo, ℎ = 𝑏 − 𝑎.
Sin embargo, la tasa de variación media no tiene sentido en determinados intervalos,
sobre todo en intervalos “grandes”, ya que no proporciona información útil sobre el
comportamiento del fenómeno bajo estudio. En particular, si en la actividad inicial se
calcula la variación media entre el punto de origen y el de destino, se observa que este
valor es 0 (el valor de la función en esos dos puntos coincide).
Variación instantánea en un punto
La tasa de variación instantánea, de una función 𝑓 en un punto 𝑎 es:
lim
ℎ→0
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)
ℎ
Siempre que este límite exista.
Sustituyendo 𝑥1 por 𝑎 y ∆𝑥 por ℎ se reescribe la función anterior como:
lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
La tasa de variación instantánea de una función en un punto dado se define como
la derivada de la función en ese punto.
∆𝑦 = 𝑓(2) − 𝑓(0)
= [(2)2] − [(0)2]
= [(4)] − [(0)]
= 4 − 0
∆𝑦 = 4
𝑦
𝑥
∆𝑦
90
Interpretación geométrica
Se vio en Geometría Analítica que la pendiente de una recta dados dos puntos P y Q
está dado por la siguiente expresión
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Sustituyendo 𝑦1 por 𝑓(𝑥1) y 𝑦2 por 𝑓(𝑥2)
La pendiente de la recta secante 𝑃𝑄, es:
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1)
𝑥2 − 𝑥1
Y como:
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1
O sea que:
𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥
Entonces:
𝑚𝑃𝑄 =
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
A medida que 𝑄 se aproxima cada vez más a 𝑃 la diferencia 𝑥2 − 𝑥1 se hace mas
pequeña y tiende a cero; ósea que si 𝑥2 → 𝑥1 equivale a decir que ∆𝑥 → 0. Cuando esto
ocurre la recta secante gira alrededor de 𝑃 y tiende a una posición limite que llamamos
la recta tangente a la curva en el punto 𝑃. Dicho de otra manera, la recta secante 𝑃𝑄
tiene como límite, si este límite existe, a la recta tangente en 𝑃. Esto significa que
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
𝑥2→𝑥1
𝑚𝑠𝑒𝑐 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
(1)
Por lo que de (1) se tiene
𝑚𝑡𝑎𝑛 = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
= lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
𝑃
∆𝑥
𝑄
𝑥 𝑥 + ∆𝑥
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)
Recta
tangente Rectas secantes
∆𝑦
91
Así la derivada de una función está definida por
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Por lo tanto, se define a la pendiente de la recta tangente como la derivada de una
función:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑚𝑡𝑎𝑛
Hay varias formas de escribir la derivada de una función, la más comunes son:
𝑓´(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑦´ 𝐷𝑥
En este libro usaremos la notación 𝑓´(𝑥) se lee: f prima de x
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
Ejemplo
a) Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3 en el
punto (𝑥1, 𝑦1) usando la definición de derivada
Solución:
Como 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces 𝑓(𝑥) = 𝑥1
2 + 2𝑥1 − 3, donde:
𝑓(𝑥1) = 𝑥1
2 + 2𝑥1 − 3
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) = (𝑥1 + ∆𝑥)
2 + 2(𝑥1 + ∆𝑥) − 3
Sustituyendo en la ecuación:
𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
Efectuando operaciones:
𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
[(𝑥1 + ∆𝑥)
2 + 2(𝑥1 + ∆𝑥) − 3] − [𝑥1
2 + 2𝑥1 − 3]
∆𝑥
Quitando paréntesis:
𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
(𝑥1
2 + 2𝑥1∆𝑥 + ∆𝑥
2 + 2𝑥1 + 2∆𝑥 − 3) − (𝑥1
2 + 2𝑥1 − 3)
∆𝑥
92
Reduciendo términos semejantes:
𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
2𝑥1∆𝑥 + (∆𝑥)
2 + 2∆𝑥
∆𝑥
Como ∆𝑥 → 0, ∆𝑥 ≠ 0, por tanto, se puede dividir entre ∆𝑥:
𝑚(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
(2𝑥1 + ∆𝑥 + 2)
Tomando el límite:
𝑚(𝑥1) = 2𝑥1 + 2
La grafica de la función se ilustra en la siguiente figura. En ella se representa segmentos de la
recta tangente en algunos puntos de la gráfica.
Para cualquier valor de 𝑥 su correspondientevalor de 𝑦 se obtiene a partir de la ecuación
𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 3, mientras que el valor de la pendiente se obtiene a partir de la ecuación
𝑚(𝑥1) = 2𝑥1 + 2, es decir, la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥
2 + 2𝑥 − 3 para todo valor de 𝑥
es 2𝑥 + 2
Así, para:
Es decir, que cuando 𝑥 = −3, su ordenada correspondiente es 0, por lo que para el punto
(−3,0) de la curva, la recta tangente en dicho punto tiene pendiente 𝑚 = −4.
b) Calcula la derivada de la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 mediante la definición
Efectuando operaciones:
𝑓(𝑥1) = 2𝑥1 + 3
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) = 2(𝑥1 + ∆𝑥) + 3
Sustituyendo en la ecuación:
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1)
∆𝑥
a) 𝑥1 = 3 𝑦 = (−3)
2 + 2(−3) − 3 𝑚(−3) = 2(−3) + 2
= 9 − 6 − 3 = −6 + 2
= 0 = −4
93
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
[2(𝑥1 + ∆𝑥) + 3] − [2𝑥1 + 3]
∆𝑥
Quitando paréntesis:
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
2𝑥1 + 2∆𝑥 + 3 − 2𝑥1 − 3
∆𝑥
Reduciendo términos semejantes:
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
2∆𝑥
∆𝑥
Como ∆𝑥 → 0, ∆𝑥 ≠ 0, por tanto, se puede dividir entre ∆𝑥:
𝑓´(𝑥1) = lim
∆𝑥→0
2
Tomando el límite:
𝑓´(𝑥1) = 2
Para cualquier valor de x la derivada de la recta 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 será 2
c) Calcula la derivada de la función 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
mediante la definición
𝑓(𝑥) =
1
𝑥 − 2
𝑓(𝑥 + ∆𝑥) =
1
(𝑥 + ∆𝑥) − 2
Sustituyendo la ecuación:
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
1
(𝑥1 + ∆𝑥) − 2
−
1
𝑥 − 2
∆𝑥
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
𝑥 − 2 − 𝑥 − ∆𝑥 + 2
(𝑥 + ∆𝑥 − 2)(𝑥 − 2)
∆𝑥
Reduciendo la ecuación
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−∆𝑥
∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥 − 2)(𝑥 − 2)
𝑓´(𝑥) = lim
∆𝑥→0
−1
(𝑥 + ∆𝑥 − 2)(𝑥 − 2)
Obteniendo el límite
𝑓´(𝑥) =
−1
(𝑥 − 2)(𝑥 − 2)
Así la derivada de la función es:
𝑓´(𝑥) =
−1
(𝑥 − 2)2
94
Para saber más
Derivada de una función cúbica por definición Derivada de una función irracional por definición
Manos a la obra
Usando la definición de derivada encuentra la pendiente de la recta tangente de las siguientes
funciones.
a) 𝑦 = 5𝑥 − 8
b) 𝑦 = 𝑥2 + 3
c) 𝑦 = 2𝑥3
d) 𝑦 = 4 − 𝑥
e) 𝑦 = 3𝑥2 − 8
f) 𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1
g) 𝑦 = 𝑥3 + 2
Reglas de derivación
Usando la definición de la derivada es posible encontrar la derivada con respecto a 𝑥 de
cualquier función, pero puede resultar un proceso complicado para la mayoría de los
casos, por eso es mejor el uso de las siguientes reglas de derivadas.
Reglas de derivadas fundamentales
1) 𝑓(𝑥) = 𝑐 donde c es cualquier número real
𝑓´(𝑥) = 0
https://www.youtube.com/watch?v=AzTGmJGIpI8
https://www.youtube.com/watch?v=AzTGmJGIpI8
https://youtu.be/DOKr_Qewlas
https://www.youtube.com/watch?v=57IlIc7P8e8
https://www.youtube.com/watch?v=57IlIc7P8e8
https://youtu.be/DOKr_Qewlas
https://youtu.be/DOKr_Qewlas
https://youtu.be/YhqZhB0rN9U
https://youtu.be/DOKr_Qewlas
https://youtu.be/DOKr_Qewlas
95
2) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑓´(𝑥) = 𝑎
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 donde n es cualquier número real
𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
4) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛 donde n es cualquier número real
𝑓´(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑛𝑥𝑛−1
5) 𝑓(𝑥) = 𝑢 ± 𝑣 donde 𝑢 y 𝑣 son funciones
𝑓´(𝑥) = 𝑢´ ± 𝑣´
6) 𝑓(𝑥) = 𝑢𝑛 donde 𝑢 es una función y 𝑛 es un número real
𝑓´(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑢´ ∙ 𝑢𝑛−1
7) 𝑓(𝑥) = 𝑢 ∙ 𝑣 donde 𝑢 y 𝑣 son funciones
𝑓´(𝑥) = 𝑣 ∙ 𝑢´ + 𝑢 ∙ 𝑣´
8) 𝑓(𝑥) =
𝑢
𝑣
donde 𝑢 y 𝑣 son funciones
𝑓´(𝑥) =
𝑣 ∙ 𝑢´ − 𝑢 ∙ 𝑣´
𝑣2
Reglas de derivación elementales
Ejemplos
1) 𝑓(𝑥) = 𝑐 donde c es cualquier número real
𝑓´(𝑥) = 0
OJO: Cualquier número real, su derivada será 0.
𝑎) 𝑓(𝑥) = 5 𝑏)𝑓(𝑥) =
2
3
𝑐) 𝑓(𝑥) = −2 𝑑) 𝑓(𝑥) = √7
𝑓´(𝑥) = 0 𝑓´(𝑥) = 0 𝑓´(𝑥) = 0 𝑓´(𝑥) = 0
𝑒) 𝑓(𝑥) = 𝜋 𝑓) 𝑓(𝑥) = −36000000 𝑔) 𝑓(𝑥) = 365√5
𝑓´(𝑥) = 0 𝑓´(𝑥) = 0 𝑓´(𝑥) = 0
𝑖) 𝑓(𝑥) = 873 j) 𝑓(𝑥) = −0.98
𝑓´(𝑥) = 0 𝑓´(𝑥) = 0
96
2) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑓´(𝑥) = 𝑎
OJO: En la práctica solo se le quita la x.
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 donde n es cualquier número real
𝑓´(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 c) 𝑓(𝑥) = −10𝑥
𝑓´(𝑥) = 2 𝑓´(𝑥) = 5 𝑓´(𝑥) = −10
d) 𝑓(𝑥) =
1
3
𝑥 e) 𝑓(𝑥) = 5.6𝑥 f)𝑓(𝑥) = √3𝑥
𝑓´(𝑥) =
1
3
𝑓´(𝑥) = 5.6 𝑓´(𝑥) = √3
𝑔) 𝑓(𝑥) =
𝑥
4
ℎ)𝑓(𝑥) = 𝜋𝑥 𝑖) 𝑓(𝑥) =
√5𝑥
4
Reescribiendo 𝑓´(𝑥) = 𝜋 Reescribiendo
𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥 𝑓(𝑥) =
√5
4
𝑥
Derivando Derivando
𝑓´(𝑥) =
1
4
𝑓´(𝑥) =
√5
4
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥5
𝑛 = 5
Así
𝑓´(𝑥) = 5𝑥5−1
𝑓´(𝑥) = 5𝑥4
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥−5
𝑛 = −5
Así
𝑓´(𝑥) = −5𝑥−5−1
𝑓´(𝑥) = −5𝑥−6
𝑓´(𝑥) =
−5
𝑥6
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥16
𝑛 = 16
Así
𝑓´(𝑥) = 16𝑥16−1
𝑓´(𝑥) = 16𝑥15
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥
5
3
𝑛 =
5
3
Así
𝑓´(𝑥) =
5
3
𝑥
5
3−1
𝑓´(𝑥) =
5
3
𝑥
2
3
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥−8
𝑛 = −8
Así
𝑓´(𝑥) = −8𝑥−8−1
𝑓´(𝑥) = −8𝑥−9
Usando la ley de los
exponentes
𝑓´(𝑥) =
−8
𝑥9
𝑥−𝑛 =
1
𝑥𝑛
97
4) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛
𝑓´(𝑥) = 𝑎 ∙ 𝑛𝑥𝑛−1
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥
1
2
𝑛 =
1
2
Así
𝑓´(𝑥) =
1
2
𝑥
1
2
−1
𝑓´(𝑥) =
1
2
𝑥−
1
2
𝑓´(𝑥) =
1
2𝑥
1
2
g) 𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
Usando ley de los radicales
Así
𝑓(𝑥) = √𝑥2
3
= 𝑥
2
3
𝑛 =
2
3
𝑓´(𝑥) =
2
3
𝑥
2
3−1
𝑓´(𝑥) =
2
3
𝑥−
1
3
𝑓´(𝑥) =
2
3𝑥
1
3
√𝑥𝑚
𝑛
= 𝑥
𝑚
𝑛
h) 𝑓(𝑥) = √𝑥5
4
Usando ley de los radicales
Así
𝑓(𝑥) = √𝑥5
4
= 𝑥
5
4
𝑛 =
5
4
𝑓´(𝑥) =
5
4
𝑥
5
4−1
𝑓´(𝑥) =
5
4
𝑥
1
4
√𝑥𝑚
𝑛
= 𝑥
𝑚
𝑛
a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥3
𝑎 = 5 𝑛 = 3
𝑓´(𝑥) = (5)(3)𝑥3−1
𝑓´(𝑥) = 15𝑥2
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥8
𝑎 = 3 𝑛 = 8
𝑓´(𝑥) = (3)(8)𝑥8−1
𝑓´(𝑥) = 24𝑥7
c) 𝑓(𝑥) =
2
3
𝑥6
𝑎 =
2
3
𝑛 = 6
𝑓´(𝑥) = ൬
2
3
൰ (6)𝑥6−1
𝑓´(𝑥) =
12
3
𝑥5
𝑓´(𝑥) = 4𝑥5
d) 𝑓(𝑥) =
1
4
𝑥7
𝑎 =
1
4
𝑛 = 7
𝑓´(𝑥) = ൬
1
4
൰ (7)𝑥7−1
𝑓´(𝑥) =
7
4
𝑥6
e) 𝑓(𝑥) = −2𝑥
1
2
𝑎 = −2 𝑛 =
1
2
𝑓´(𝑥) = (−2) ൬
1
2
൰ 𝑥
1
2−1
𝑓´(𝑥) = −1𝑥−
1
2
𝑓´(𝑥) = −
1
𝑥
1
2
985) 𝑓(𝑥) = 𝑢 ± 𝑣 donde 𝑢 y 𝑣 son funciones
𝑓´(𝑥) = 𝑢´ ± 𝑣´
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 + 6𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 4𝑥6 − 12𝑥3 + 10𝑥 − 56
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 10𝑥 + 6 𝑓´(𝑥) = 24𝑥5 − 36𝑥2 + 10
c) 𝑓(𝑥) = 4𝑥−2 + 5𝑥
1
3 − 3 d) 𝑓(𝑥) =
3
𝑥
+ 4𝑥−
3
4 − 2𝑥 + 100
𝑓´(𝑥) = −8𝑥−3 −
5
3
𝑥−
2
3 Antes de derivar se reacomoda la función
𝑓´(𝑥) = −8𝑥−3 −
5
3
𝑥−
2
3 𝑓(𝑥) = 3𝑥−1 − 4𝑥−
3
4 − 2𝑥 + 100
𝑓´(𝑥) = −
8
𝑥3
−
5
3𝑥
2
3
𝑓´(𝑥) = −3𝑥−2 + 3𝑥−
7
4 − 2
𝑓´(𝑥) = −
8
𝑥3
−
5
3 √𝑥2
3 𝑓´(𝑥) =
−3
𝑥2
+
3
𝑥
7
4
− 2
e) 𝑓(𝑥) = −3√𝑥 − 2√𝑥2
3
Expresando con exponentes las raíces
𝑓(𝑥) = −3𝑥
1
2 − 2𝑥
2
3
𝑓´(𝑥) = −
3
2
𝑥
1
2 −
2
2 −
4
3
𝑥
2
3 −
3
3
g) 𝑓(𝑥) = −5𝑥−
1
5
𝑎 = −5 𝑛 = −
1
5
𝑓´(𝑥) = (−5) ൬−
1
5
൰ 𝑥−
1
5−1
𝑓´(𝑥) = 𝑥−
6
5
𝑓´(𝑥) =
1
𝑥
6
5
h) 𝑓(𝑥) = 4 √𝑥2
3
𝑓(𝑥) = 4𝑥
2
3
𝑎 = 4 𝑛 =
2
3
𝑓´(𝑥) = (4) ൬
2
3
൰ 𝑥
2
3−1
𝑓´(𝑥) =
8
3
𝑥−
1
3
𝑓´(𝑥) =
8
3𝑥
1
3
99
𝑓´(𝑥) = −
3
2
∙ 𝑥−
1
2 −
4
3
𝑥−
1
3
𝑓´(𝑥) = −
3
2𝑥
1
2
−
4
3𝑥
1
3
𝑓´(𝑥) =
−3
2√𝑥
−
4
3 √𝑥
3
Regla de derivación de potencia
6) 𝑓(𝑥) = 𝑢𝑛 donde 𝑢 es una función y 𝑛 es un número real
𝑓´(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑢´ ∙ 𝑢𝑛−1
a) 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 6)4
Si
𝑢 = 3𝑥2 − 6 𝑛 = 4
𝑢´ = 6𝑥
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) = 4(3𝑥2 − 6)4−1(6𝑥)
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 24𝑥(3𝑥2 − 6𝑥)3
b) 𝑓(𝑥) = (2𝑥4 − 8𝑥 + 3)8
Si
𝑢 = 2𝑥4 − 8𝑥 + 3 𝑛 = 8
𝑢´ = 8𝑥3 − 8
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) = 8(2𝑥4 − 8𝑥 + 3)8−1(8𝑥3 − 8)
Simplificando
𝑓´(𝑥) = (64𝑥3 − 64)(2𝑥4 − 8𝑥 + 3)7
𝐷𝑥(𝑢
𝑛) = 𝑛𝑢𝑛−1 ∙ 𝑢´
𝐷𝑥(𝑢
𝑛) = 𝑛𝑢𝑛−1 ∙ 𝑢´
100
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 2)2
𝑓´(𝑥) = 2 ∙ (𝑥2 − 2) ∙ (2𝑥)
𝑓´(𝑥) = 4𝑥 ∙ (𝑥2 − 2)
𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 − 8𝑥
d) 𝑓(𝑥) = (𝑥5 − 𝑥3 + 3)4
𝑓´(𝑥) = 4(𝑥5 − 𝑥3 + 3)3(5𝑥4 − 3𝑥2)
𝑓´(𝑥) = (20𝑥4 − 12𝑥12)(𝑥5 − 𝑥3 + 3)3
e) 𝑓(𝑥) = √(𝑥5 − 𝑥3 + 3)
𝑓(𝑥) = (𝑥5 − 𝑥3 + 3)
1
2
𝑓´(𝑥) =
1
2
(𝑥5 − 𝑥3 + 3)−
1
2 ∙ (5𝑥4 − 3𝑥2)
𝑓´(𝑥) =
(5𝑥4 − 3𝑥2)
2(𝑥5 − 𝑥3 + 3)
1
2
𝑓´(𝑥) =
(5𝑥4 − 3𝑥2)
2 ∙ √𝑥5 − 𝑥3 + 3
f) 𝑓(𝑥) = √𝑥5 − 2𝑥3 + 7
5
𝑓(𝑥) = (𝑥5 − 2𝑥3 + 7)
1
5
𝑓´(𝑥) =
1
5
(𝑥5 − 2𝑥3 + 7)−
4
5 ∙ (5𝑥4 − 6𝑥2)
𝑓´(𝑥) =
5𝑥4 − 6𝑥2
5 ∙ √(𝑥5 − 2𝑥3 + 7)4
5
g) 𝑓(𝑥) =
3
(2𝑥−6𝑥5)4
Reacomodando la función para usar la regla de potencia
𝑓(𝑥) = 3(2𝑥 − 6𝑥5)−4
𝑓´(𝑥) = −12(2𝑥 − 6𝑥5)−5(2 − 30𝑥4)
𝑓´(𝑥) = −
12(2−30𝑥4)
(2𝑥−6𝑥5)5
101
Regla de derivación de producto (multiplicación)
7) 𝑓(𝑥) = 𝑢 ∙ 𝑣 donde 𝑢 y 𝑣 son funciones
𝑓´(𝑥) = 𝑣 ∙ 𝑢´ + 𝑢 ∙ 𝑣´
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥2 + 3)(𝑥2 − 6)
Si
𝑢 = 𝑥2 + 3 𝑣 = 𝑥2 − 6
𝑢´ = 2𝑥 𝑣´ = 2𝑥
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) = (𝑥2 − 6)(2𝑥) + (𝑥2 + 3)(2𝑥)
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 2𝑥3 − 12𝑥 + 2𝑥3 + 6𝑥
𝑓´(𝑥) = 4𝑥3 − 6𝑥
b) 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 6𝑥)(2𝑥 + 8)
Si
𝑢 = 3𝑥2 − 6𝑥 𝑣 = 2𝑥 + 8
𝑢´ = 6𝑥 − 6 𝑣´ = 2
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) = (2𝑥 + 8)(6𝑥 − 6) + (3𝑥2 + 6𝑥)(2)
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 12𝑥2 − 12𝑥 + 48𝑥 − 48 + 6𝑥2 − 12𝑥
𝑓´(𝑥) = 18𝑥2 + 24𝑥 − 48
c) 𝑓(𝑥) = (2𝑥2 − 6𝑥)(3𝑥3 − 8𝑥 + 1)
Si
𝑢 = 2𝑥2 − 6𝑥 𝑣 = 3𝑥3 − 8𝑥 + 1
𝑢´ = 4𝑥 − 6 𝑣´ = 9𝑥2 − 8
𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑢´ + 𝑢 ∙ 𝑣´
𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑢´ + 𝑢 ∙ 𝑣´
102
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) = (3𝑥3 − 8𝑥 + 1)(4𝑥 − 6) + (2𝑥2 − 6𝑥)(9𝑥2 − 8)
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 12𝑥4 − 18𝑥3 − 32𝑥2 + 52𝑥 − 6 + 18𝑥4 − 16𝑥2 − 54𝑥3 + 48𝑥
𝑓´(𝑥) = 30𝑥4 − 72𝑥3 − 48𝑥2 + 100𝑥 − 6
d) 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 + 7𝑥)(2𝑥 − 9)
Si
𝑢 = 3𝑥2 + 7𝑥 𝑣 = 2𝑥 − 9
𝑢´ = 6𝑥 + 7 𝑣´ = 2
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) = (2𝑥 − 9)(6𝑥 + 7) + (3𝑥2 + 7𝑥)(2)
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 12𝑥2 − 40𝑥 − 63 + 6𝑥2 + 14𝑥
𝑓´(𝑥) = 18𝑥2 − 26𝑥 − 63
e) 𝑓(𝑥) = (7𝑥3 − 9𝑥2)(3𝑥2 − 4𝑥 + 2)
Si
𝑢 = 7𝑥3 − 9𝑥2 𝑣 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 2
𝑢´ = 21𝑥2 − 18𝑥 𝑣´ = 6𝑥 − 4
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) = (3𝑥2 − 4𝑥 + 2)(21𝑥2 − 18𝑥) + (7𝑥3 − 9𝑥2)(6𝑥 − 4)
𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑢´ + 𝑢 ∙ 𝑣´
𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑢´ + 𝑢 ∙ 𝑣´
𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣 ∙ 𝑢´ + 𝑢 ∙ 𝑣´
103
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 63𝑥4 − 138𝑥3 + 114𝑥2 − 36 + 42𝑥4 − 82𝑥3 + 36𝑥2
𝑓´(𝑥) = 105𝑥4 − 220𝑥3 + 150𝑥2 − 36𝑥
Regla de derivación de cociente
8) 𝑓(𝑥) =
𝑢
𝑣
donde 𝑢 y 𝑣 son funciones
𝑓´(𝑥) =
𝑣 ∙ 𝑢´ − 𝑢 ∙ 𝑣´
𝑣2
a) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+1
𝑥−2
Si
𝑢 = 2𝑥 + 1 𝑣 = 𝑥 − 2
𝑢´ = 2 𝑣´ = 1
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) =
(𝑥 − 2)(2) − (2𝑥 + 1)(1)
(𝑥 − 2)2
Simplificando
𝑓´(𝑥) =
2𝑥 − 4 − 2𝑥 − 1
(𝑥 − 2)2
𝑓´(𝑥) =
−5
(𝑥 − 2)2
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥−2
𝑥2−4
Si
𝑢 = 𝑥 − 2 𝑣 = 𝑥2 − 4
𝑢´ = 1 𝑣´ = 2𝑥
Usando la regla
𝐷𝑥 (
𝑢
𝑣
) =
𝑣 ∙ 𝑢´ − 𝑢 ∙ 𝑣´
𝑣2
104
Se tiene
𝑓´(𝑥) =
(𝑥2 − 4)(1) − (𝑥 − 2)(2𝑥)
(𝑥2 − 4)2
Simplificando
𝑓´(𝑥) =
𝑥2 − 4 − 2𝑥2 + 4𝑥
(𝑥2 − 4)2
𝑓´(𝑥) =
−𝑥2 + 4𝑥 − 4
(𝑥2 − 4)2
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−2𝑥+3
𝑥+6
Si
𝑢 = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 𝑣 = 𝑥 + 6
𝑢´ = 2𝑥 − 2 𝑣´ = 1
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) =
(𝑥 + 6)(2𝑥 − 2) − (𝑥2 − 2𝑥 + 3)(1)
(𝑥 + 6)2
Simplificando
𝑓´(𝑥) =
2𝑥2 − 2𝑥 + 12𝑥 − 12 − 𝑥2 + 2𝑥 − 3
(𝑥 + 6)2
𝑓´(𝑥) =
𝑥2 + 12𝑥 − 15
(𝑥 + 6)2
d) 𝑓(𝑥) =
3𝑥2+𝑥−6
𝑥2−8
Si
𝑢 = 3𝑥2 + 𝑥 − 6 𝑣 = 𝑥2 − 8
𝑢´ = 6𝑥 + 1 𝑣´ = 2𝑥
𝐷𝑥 (
𝑢
𝑣
) =
𝑣 ∙ 𝑢´ − 𝑢 ∙ 𝑣´
𝑣2
𝐷𝑥 (
𝑢
𝑣
) =
𝑣 ∙ 𝑢´ − 𝑢 ∙ 𝑣´
𝑣2
105
Usando la regla
Se tiene
𝑓´(𝑥) =
(𝑥2 − 8)(6𝑥 + 1) − (3𝑥2 + 𝑥 − 6)(2𝑥)
(𝑥2 − 8)2
𝑓´(𝑥) =
6𝑥3 + 𝑥2 − 48𝑥 − 8 − 6𝑥3 − 2𝑥2 + 12𝑥
(𝑥2 − 8)2
𝑓´(𝑥) =
−𝑥2 − 36𝑥 − 8
(𝑥2 − 8)2
Miscelánea de reglas de derivación básicas y algebraicas
a) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + 5)(𝑥2 − 1)3
𝑢 = 𝑥3 + 5 𝑣 = (𝑥2 − 1)3
𝑢´ = 3𝑥2 𝑣´ = 3(𝑥2 − 1)2(2𝑥)
𝑣´ = 6𝑥 (𝑥2 − 1)2
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2(𝑥2 − 1)3 + 6𝑥(𝑥2 − 1)2(𝑥3 + 5)
Factorizando 3𝑥(𝑥2 − 1)2
𝑓´(𝑥) = 3𝑥(𝑥2 − 1)2[𝑥(𝑥2 − 1) + 2(𝑥3 + 5)]
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 3𝑥(𝑥2 − 1)2[𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥3 + 10]
𝑓´(𝑥) = 3𝑥(𝑥2 − 1)2[3𝑥3 − 𝑥2 + 10]
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥√3𝑥 + 6
Reescribiendo la función anterior
𝑓(𝑥) = 2𝑥(3𝑥 + 6)
1
2
𝑢 = 2𝑥 𝑣 = (3𝑥 + 6)
1
2
𝑢´ = 2 𝑣´ =
1
2
(3𝑥 + 6)−
1
2 ∙ (3)
𝐷𝑥 (
𝑢
𝑣
) =
𝑣 ∙ 𝑢´ − 𝑢 ∙ 𝑣´
𝑣2
106
𝑣´ =
3
2
(3𝑥 + 6)−
1
2
𝑓´(𝑥) = 2(3𝑥 + 6)
1
2 + (2𝑥) ൬
3
2
൰ (3𝑥 + 6)−
1
2
Factorizando
𝑓´(𝑥) = 2(3𝑥 + 6)−
1
2[3𝑥 + 6 + 3𝑥]
𝑓´(𝑥) = 2(3𝑥 + 6)−
1
2 [6𝑥 + 6]
𝑓´(𝑥) =
2(6𝑥+6)
(3𝑥+6)
1
2
c) 𝑓(𝑥) =
(2𝑥−5)2
3𝑥+5
𝑢 = (2𝑥 − 5)2 𝑣 = 3𝑥 + 5
𝑢´ = 2(2𝑥 − 5)(2) 𝑣´ = 3
𝑓´(𝑥) =
(3𝑥+5)(4)(2𝑥−5)+3(2𝑥−5)2
(3𝑥+5)2
Factorizando
𝑓´(𝑥) =
(2𝑥−5)[4(3𝑥+5)+3(2𝑥−5)]
(3𝑥+5)2
𝑓´(𝑥) =
(2𝑥 − 5)[12𝑥 + 20 + 6𝑥 − 15)]
(3𝑥 + 5)2
𝑓´(𝑥) =
(2𝑥 − 5)[18𝑥 + 5)]
(3𝑥 + 5)2
Manos a la obra
I. Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones (𝑢 ± 𝑣)
1) 𝑦 = 3𝑥2 − 𝑥
2) 𝑦 = 4𝑥3 − 3𝑥2 − 5
3) 𝑦 = 𝑥3 − 5𝑥 + 4
4) 𝑦 = 𝑥4 + 3𝑥2 − 6
5) 𝑦 = 3𝑥5 − 4𝑥3 + 5𝑥 + 2
6) 𝑦 = 2𝑥−3 + 3𝑥−1
7) 𝑦 = 3𝑥4 −
2
3
𝑥3 +
𝑥
2
− 5
8) 𝑦 =
3
5
𝑥4 −
4
3
𝑥3 +
9
2
𝑥2 − 1
107
9) 𝑦 =
3
𝑥3
+
8
𝑥
− 7
10) 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 − 4𝑥−1 − 5
II. Resuelve las siguientes derivadas 𝑢𝑛
1) 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 5)4
2) 𝑓(𝑥) = (7𝑥 + 5)−2
3) 𝑓(𝑥) = (3𝑥3 − 6𝑥)4
4) 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 − 6𝑥 + 5)4
5) 𝑓(𝑥) = (𝑥4 − 6𝑥 + 9)
2
3
6)𝑓(𝑥) = (4 − 5𝑥 + 2𝑥6)−8
7) 𝑓(𝑥) =
1
(4𝑥−2)5
8) 𝑓(𝑥) = √5𝑥3 − 2𝑥
4
9) 𝑓(𝑥) =
7
(3𝑥3−2𝑥+9)8
10) 𝑓(𝑥) =
2
√5𝑥+1
III. Resuelve las siguientes derivadas (𝑢 ∙ 𝑣)
1. 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)
2. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 3)(2𝑥 + 2)
3. 𝑓(𝑥) = (3𝑥2 + 𝑥)(−𝑥 − 1)
4. 𝑓(𝑥) = (8𝑥4 − 2𝑥2)(5𝑥3 + 𝑥)
5. 𝑓(𝑥) = (4𝑥2 + 𝑥)(3𝑥 − 2)
6. 𝑓(𝑥) = (5𝑥2 − 7)(3𝑥2 − 2𝑥 + 1)
7. 𝑓(𝑥) = 3𝑥−2 + 2𝑥)(𝑥−4 − 3𝑥 + 1)
8. 𝑔(𝑥) = (−5𝑥5 − 4𝑥4 − 2𝑥2)(8𝑥6 − 6𝑥4 − 3𝑥)
9. 𝑓(𝑥) = (−4𝑥4 +
5
2
𝑥2)(3𝑥2 + 4)
10. 𝑓(𝑥) = (−
3
4
𝑥4 + 3𝑥2)(
5
6
𝑥2 + 1)
IV. Resuelve las siguientes derivadas
𝑢
𝑣
1) 𝑓(𝑥) =
2𝑥−7
𝑥+5
2) 𝑓(𝑥) =
𝑥+8
𝑥3−5
3) 𝑓(𝑥) =
5𝑥2−3
𝑥3+7𝑥
108
4) 𝑓(𝑥) =
5𝑥2−2𝑥+9
11𝑥3−3𝑥
5) 𝑓(𝑥) =
2𝑥5−3𝑥
4𝑥2+7
6) 𝑓(𝑥) =
9𝑥2−3𝑥6
2𝑥4+7𝑥+1
7) 𝑓(𝑥) =
4𝑥−2−3𝑥−3
2𝑥5+5𝑥4+𝑥
V. Resuelve las siguientes derivadas
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∙ (3𝑥 − 2)4
2) 𝑓(𝑥) = (7𝑥 + 9)3(𝑥2 − 5)
3) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 ∙ √3𝑥 − 4
4) √(2𝑥 + 5)(1 − 𝑥2)
3
5) 𝑓(𝑥) =
(𝑥−4)2
2𝑥3+2
6) 𝑓(𝑥) =
5𝑥
√2𝑥+7
7) 𝑓(𝑥) = √
3𝑥+7
3−𝑥
Para aprender más
Evaluando tus aprendizajes
https://docs.google.com/forms/d/e/1FAIpQLSdnXxl4H4icY01aFR3aJ5kPQIyecsdlCV51CsMCkJqE-yG_2w/viewform?usp=sf_link
https://forms.gle/w4VqRz4jGvhnz6kr9
https://forms.gle/cnah2eK1PVveUZnE7
https://youtu.be/hknAiE3EX9g
https://youtu.be/mgSoquefRxY
109
Derivadas exponenciales
Las funciones exponenciales se pueden identificar ya que la base es una constante y el
exponente es una variable.
Derivada de función exponencial base 𝒂
Donde 𝑎 es una constante
Ejemplos:
a) 𝑓(𝑥) = 52𝑥
𝑎 = 5 𝑢 = 2𝑥 𝑢′ = 2
𝑓´(𝑥) = 2 ∙ (𝑙𝑛5) ∙ (52𝑥)
b) 𝑓(𝑥) = 34𝑥
𝑎 = 3 𝑢 = 4𝑥 𝑢´ = 4
𝑓´(𝑥) = 4 ∙ (𝑙𝑛3)(34𝑥)
c) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥2
𝑎 =
1
2
𝑢 = 𝑥2 𝑢´ = 2𝑥
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 ∙ ൬𝑙𝑛
1
2
൰ (2𝑥
2
)
d) 𝑓(𝑥) = (√3)
𝑥2−4
𝑎 = √3 𝑢 = 𝑥2 − 4 𝑢1 = 2𝑥
𝑓´(𝑥) = 2𝑥(𝑙𝑛√3) ∙ (√3)
𝑥2−4
e) 𝑓(𝑥) = (5𝑥) ∙ (5𝑥)
En este caso es un producto
𝑢 = 5𝑥 𝑣 = 5𝑥
𝑢´ = 5 𝑣´ = (𝑙𝑛5)(5𝑥)
𝑓´(𝑥) = (5)(5𝑥) + 5𝑥(𝑙𝑛5)(5𝑥)
Factorizando: (5)(5𝑥)[1 + 𝑥 ∙ 𝑙𝑛5]
𝐷𝑥(𝑎𝑢) = 𝑢´ ∙ (𝑙𝑛𝑎)(𝑎𝑢)
110
f) 𝑓(𝑥) =
3𝑥
2𝑥+1
Este caso es una división
𝑢 = 3𝑥 𝑣 = 2𝑥 + 1
𝑢´ = (𝑙𝑛3)(3𝑥) 𝑣´ = 2
𝑓´(𝑥) =
(2𝑥 + 1)(𝑙𝑛3)(3𝑥) − (2)(3𝑥)
(2𝑥 + 1)2
𝑓´(𝑥) =
3𝑥[(2𝑥 + 1)(𝑙𝑛3) − 2]
(2𝑥 + 1)2
g) 𝑓(𝑥) = (7𝑥
2+3 + 2𝑥)
4
Por la regla de 𝑢𝑛
𝑢 = 7𝑥
2+3 + 2 𝑛 = 4
𝑢´ = (2𝑥)(𝑙𝑛7)(7𝑥
2+3) + 2
𝑓´(𝑥) = 4[7𝑥
2+3 + 2𝑥]
3
[(2𝑥)(𝑙𝑛7)(7𝑥
2+3) + 2]
Derivada de función exponencial base 𝒆
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥
𝑢 = 3𝑥 𝑢´ = 3
𝑓´(𝑥) = 3𝑒3𝑥
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑒7𝑥
𝑢 = 7𝑥 𝑢´ = 7
𝑓´(𝑥) = (2)(7)𝑒7𝑥
𝑓´(𝑥) = 14𝑒7𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
3−2𝑥
𝑢 = 𝑥3 − 2𝑥 𝑢´ = 3𝑥2 − 2
𝑓´(𝑥) = (3𝑥2 − 2)𝑒𝑥
3−2𝑥
𝐷𝑥(𝑒𝑢) = 𝑢´ ∙ 𝑒𝑢
111
d) 𝑓(𝑥) = 𝑒√𝑥
𝑢 = √𝑥 = 𝑥
1
2 𝑢´ =
1
2
𝑥−
1
2 =
1
2𝑥
1
2
𝑓´(𝑥) =
1
2𝑥
1
2
∙ 𝑒√𝑥
e) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒𝑥
Este caso es un producto
𝑢 = 𝑥 𝑣 = 𝑒𝑥
𝑢´ = 1 𝑣´ = 𝑒𝑥
𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑥 + 𝑥𝑒𝑥
Factorizando 𝑒𝑥
𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑥(1 + 𝑥)
Para saber más
Manos a la obra
Deriva
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑒𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 510𝑥
4) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
3𝑥2
5) 𝑓(𝑥) = 2(3𝑥−6)
6) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥
4+2𝑥
7) 𝑓(𝑥) = 8𝑥
3−1
8) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑒2𝑥
9) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 ∙ 𝑒𝑥
10) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 1)3
https://youtu.be/rKzFTwIMNIk
https://youtu.be/x6V7utK9Y4o
112
Evaluando tus aprendizajes
Derivadas de funciones logarítmicas
Las funciones logarítmicas son derivables cuando 𝑥 toma valores positivos. Existen dos reglas
de derivación logarítmica, cuando tiene una base 𝑎 entera positiva y cuando tiene una base 𝑒
que se convierte en logaritmo natural (𝑙𝑛)
Derivadas de función logarítmica base 𝒂
Deriva
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔52𝑥
𝑎 = 5 𝑢 = 2𝑥 𝑢´ = 2
𝑓´(𝑥) =
2
𝑙𝑛5 ∙ 2𝑥
Simplificando
𝑓´(𝑥) =
1
𝑥(𝑙𝑛5)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑥2
𝑎 = 10 𝑢 = 𝑥2 𝑢´ = 2𝑥
𝑓´(𝑥) =
2𝑥
(𝑙𝑛10)𝑥2
Simplificando
𝑓´(𝑥) =
2
(𝑙𝑛10)𝑥
c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔7(3𝑥 + 6)
𝑎 = 7 𝑢 = 3𝑥 + 6 𝑢′ = 3
𝐷𝑥(𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢) =
𝑢´
𝑙𝑛𝑎 ∙ 𝑢
https://forms.gle/9pQJCHMumhf6EPrB8
113
Simplificando
𝑓′(𝑥) =
3
(𝑙𝑛7)(3𝑥 + 6)
𝑓´(𝑥) =
3
(𝑙𝑛7)3(𝑥 + 2)
𝑓´(𝑥) =
1
(𝑙𝑛7)(𝑥 + 2)
d) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔8(𝑥
3 − 2𝑥)
𝑎 = 8 𝑢 = 𝑥3 − 2𝑥 𝑢´ = 3𝑥2 − 2
𝑓´(𝑥) =
3𝑥2 − 2
(𝑙𝑛8)(𝑥3 − 2𝑥)
Usando las propiedades de los logarítmicos se puede simplificar el proceso de derivación
𝒾) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝐴)
𝑛 = 𝑛 ∙ 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴
𝒾𝒾) 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝐴 ∙ 𝐵) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴 + 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐵
𝒾𝒾𝒾) 𝑙𝑜𝑔𝑎 (
𝐴
𝐵
) = 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝑎𝐵
Deriva
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5(3𝑥 − 1)
6
Usando la propiedad 𝒾
𝑓(𝑥) = 6𝑙𝑜𝑔5(3𝑥 − 1)
𝑎 = 5 𝑢 = 3𝑥 − 1 𝑢´ = 3
Derivando
𝑓´(𝑥) =
6(3)
(𝑙𝑛5)(3𝑥 − 1)
=
18
(𝑙𝑛5)(3𝑥 − 1)
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔4√2𝑥
3 + 6
Reescribiendo por ley de los radicales
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔4(2𝑥
3 + 6)
1
2
Por la propiedad 𝒾
𝑓(𝑥) =
1
2
𝑙𝑜𝑔4(2𝑥
3 + 6)
114
𝑎 = 4 𝑢 = 2𝑥3 + 6 𝑢´ = 6𝑥2
Derivando
𝑓´(𝑥) =
1
2
6𝑥2
(𝑙𝑛4)(2𝑥3 + 6)
𝑓´(𝑥) =
3𝑥2
(𝑙𝑛4)(2𝑥3 + 6)
c) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔8[(3𝑥
2 − 7)(4𝑥3 + 3)]
Por la propiedad 𝒾𝒾
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔8(3𝑥
2 − 7) + 𝑙𝑜𝑔8(4𝑥
2 + 3)
𝑎 = 8 𝑢 = 3𝑥2 − 7 𝑎 = 8 𝑢 = 4𝑥2 + 3
𝑢´ = 6𝑥 𝑢´ = 8𝑥
𝑓´(𝑥) =
6𝑥
(𝑙𝑛8)(3𝑥2 − 7)
+
8𝑥
(𝑙𝑛8)(4𝑥2 + 3)
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ 𝑙𝑜𝑔5(2𝑥 + 1)
Se usa la regla 𝑢. 𝑣
𝑈 = 𝑥 𝑉 = 𝑙𝑜𝑔5(2𝑥 + 1) (Usando la regla de logaritmo)
𝑈´ = 1 𝑉´ =
2
𝑙𝑛5(2𝑥 + 1)
𝑓´(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5(2𝑥 + 1) +
2𝑥
𝑙𝑛5(2𝑥 + 1)
e) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3
7
(𝑥2 + 6)
Reescribiendo
𝑓(𝑥) = [𝑙𝑜𝑔7(𝑥
2 + 6)]3
Se usa la regla 𝑢𝑛
𝑈 = 𝑙𝑜𝑔7(𝑥
2 + 6)
𝑢 = 𝑥2 + 6 𝑎 = 7
𝑢´ = 2𝑥
𝑈´ =
2𝑥
(𝑙𝑛7)(𝑥2 + 6)
𝑓´(𝑥) = 3[𝑙𝑜𝑔7(𝑥
2 + 6)]2 ∙
2𝑥
(𝑙𝑛7)(𝑥2 + 6)
115
𝑓´(𝑥) =
6𝑥𝑙𝑜𝑔2
7
[𝑥2 + 6]
(𝑙𝑛7)(𝑥2 + 6)
Derivada de funciones logaritmo natural
Las tres propiedades anteriores también aplican para los logaritmos naturales.
Deriva
a) 𝑓(𝑥) = ln (5𝑥 − 3)
𝑢 = 3𝑥
𝑢´ = 3
𝑓´(𝑥) =
3
3𝑥
=
1
𝑥
b) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥3
𝑢 = 𝑥3
𝑢´ = 3𝑥2
𝑓´(𝑥) =
3𝑥2
𝑥3
𝑓´(𝑥) =
3
𝑥
c) 𝑓(𝑥) = ln(3𝑥 − 2)2
Usando la propiedad
Reescribiendo la función
𝑓(𝑥) = 2 ln(3𝑥 − 2)
𝑢 = 3𝑥 − 2
𝑢´ = 3
Derivando
𝑓´(𝑥) =
2(3)
3𝑥 − 2
𝑓´(𝑥) =
6
3𝑥 − 2
𝑙𝑜𝑔𝐴𝑛 = 𝑛𝑙𝑜𝑔𝐴
116
d) 𝑓(𝑥) = ln √𝑥3 − 6
Reescribiendo la función
𝑓(𝑥) = ln(𝑥3 − 6)
1
2Usando la propiedad 𝒾
𝑓(𝑥) =
1
2
ln (𝑥3 − 6)
𝑢 = 𝑥3 − 6
𝑢´ = 3𝑥2
Derivando
𝑓´(𝑥) =
3𝑥2
2(𝑥3 − 6)
e) 𝑓(𝑥) = ln(2𝑥2 − 8) (5𝑥 − 7)
Usando la propiedad 2
𝑓(𝑥) = ln(2𝑥2 − 8) + ln(5𝑥 − 7)
Se deriva individualmente
𝑢 = 2𝑥2 − 8 𝑣 = 5𝑥 − 7
𝑢´ = 4𝑥 𝑣´ = 5
𝑓´(𝑥) =
4𝑥
2𝑥2 − 8
+
5
5𝑥 − 7
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ∙ ln 𝑥
Usando la regla 𝑢 ∙ 𝑣
𝑢 = 𝑥2 𝑣 = ln 𝑥
𝑢´ = 2𝑥 𝑣´ =
1
𝑥
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 ln 𝑥 + 𝑥2 ൬
1
𝑥
൰
𝑓´(𝑥) = 2𝑥 ln 𝑥 + 𝑥
g) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛4(𝑥2 − 2)
𝑓(𝑥) = [ln(𝑥2 − 2)]4
Usando la regla 𝑈𝑛
117
𝑈 = ln(𝑥2 − 2) 𝑛 = 4
𝑈´ =
2𝑥
𝑥2 − 2
𝑓´(𝑥) = 4[ln(𝑥2 − 2)]3 ൬
2𝑥
𝑥2 − 2
൰
𝑓(𝑥) =
8𝑥[ln(𝑥2 − 2)]3
𝑥2 − 2
Para saber más
Manos a la obra
Deriva las siguientes funciones
1) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔52𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3(3𝑥
2 + 1)
3) 𝑓(𝑥) = log (7𝑥3)5
4) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2
2𝑥−1
𝑥+2
5) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔6(𝑥
2 − 3)(3𝑥3 + 1)
6) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥3 − 1)4
7) 𝑓(𝑥) = ln
(2𝑥−3)
𝑥2+6
8) 𝑓(𝑥) = ln √3𝑥2 − 6
9) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ ln(𝑥 + 1)
10) 𝑓(𝑥) = ln[(𝑥2 − 1)3 ∙ (2𝑥 + 1)]
11) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3(2𝑥2 − 6)
12) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥2 ∙ ln(𝑥 − 2)
Evaluando tus aprendizajes
https://forms.gle/WtdqJWZgWRcDWbXW6
https://drive.google.com/file/d/1W4bhWIiR1Nuk93CgYzp_3lkgIdgQtpeB/view?usp=sharing
118
Derivadas de funciones trigonométricas
𝐷𝑥(𝑠𝑒𝑛 𝑢) = 𝑢´ ∙ cos 𝑢 𝐷𝑥(cot 𝑢) = 𝑢´ ∙ −𝑐𝑠𝑐2 𝑢
𝐷𝑥(𝑐𝑜𝑠 𝑢) = 𝑢´ ∙ −sen 𝑢 𝐷𝑥(sec 𝑢) = 𝑢´ ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑢 tan 𝑢
𝐷𝑥(𝑡𝑎𝑛 𝑢) = 𝑢´ ∙ se𝑐2 𝑢 𝐷𝑥(csc 𝑢) = 𝑢´ ∙ −𝑐𝑠𝑐2 𝑢 cot 𝑢
Deriva la función 𝑦 = 4 cos(𝑥2 − 1)
Solución
Se aplica la regla 𝐷𝑥 (cos 𝑢) = 𝑢´𝑠𝑒𝑛 𝑢
4 cos(𝑥2 − 1)
𝑢 = 𝑥2 − 1
𝑢´ = 2𝑥
Usando 𝐷𝑥(cos 𝑢) = −𝑢 ∙ ´𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑓´(𝑥) = −4(2𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥2 − 1)
Simplificando
𝑓´(𝑥) = −8𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥2 − 1)
a) 𝑓(𝑥) = tan(3𝑥 + 1)
𝑢 = 3𝑥 + 1
𝑢´ = 3
Usando 𝐷𝑥(tan 𝑢) = 𝑢´ ∙ 𝑠𝑒𝑐2𝑢
Derivando
𝑓´(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑐2(3𝑥 + 1)
b) 𝑓(𝑥) = csc 𝑥3
𝑢 = 𝑥3
𝑢´ = 3𝑥2
Usando 𝐷𝑥(csc 𝑢) = −𝑢´ ∙ 𝑐𝑠𝑐 ∙ cot 𝑢
Derivando
𝑓´(𝑥) = −3𝑥2 csc 𝑥3 ∙ cot 𝑥3
c) 𝑓(𝑥) = cot(2𝑥4 − 3𝑥)
119
𝑢 = 2𝑥4 − 3𝑥
𝑢´ = 8𝑥3 − 3
Usando 𝐷𝑥(cot 𝑢) = −𝑢´ ∙ 𝑐𝑠𝑐2𝑢
Derivando
𝑓´(𝑥) = −(8𝑥3 − 3) ∙ 𝑐𝑠𝑐2(2𝑥4 − 3𝑥)
d) 𝑓(𝑥) = cos (𝑥 − 3)2
𝑢 = (𝑥 − 3)2
𝑢´ = 2(𝑥 − 3)
Usando 𝐷𝑥(cos 𝑢) = −𝑢´𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑓´(𝑥) = 2(𝑥 − 3) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 − 3)2
e) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥+1
𝑥
)
𝑢 = ൬
𝑥 + 1
𝑥
൰
Derivando
𝑢 = 𝑥 + 1 𝑣 = 𝑥
𝑢´ = 1 𝑣´ = 1
𝑢´ =
𝑥 − 𝑥 − 1
𝑥2
= −
1
𝑥2
Así
𝑓´(𝑥) = −
1
𝑥2
𝑐𝑜𝑠 ൬
𝑥 + 1
𝑥
൰
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 ∙ tan 𝑥
Es un producto por lo que se usa 𝐷𝑥(𝑢 ∙ 𝑣) = 𝑣𝑢´ + 𝑢𝑣´
𝑢 = 𝑥 𝑣 = tan 𝑥
𝑢´ = 1 𝑣´ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑓´(𝑥) = tan 𝑥 + 𝑥𝑠𝑒𝑐2𝑥
g) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛2(𝑥 + 1)
Se reescribe como
𝑓(𝑥) = [𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 1)]2
120
Es regla de potencia
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 1) 𝑛 = 2
𝑢´ = cos(𝑥 + 1)
𝑓´(𝑥) = 2(cos(𝑥 + 1) ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 1)
h) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐3𝑥2
Se reescribe como
𝑓(𝑥) = [𝑠𝑒𝑐𝑥2]3
𝑢 = 𝑠𝑒𝑐𝑥2 𝑛 = 3
𝑢´ = 2𝑥 sec 𝑥2 tan 𝑥2
𝑓´(𝑥) = (3)(2𝑥 sec 𝑥2 tan 𝑥2) [sec 𝑥2]2
Simplificando
𝑓´(𝑥) = 6𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐3𝑥2 tan 𝑥2
i) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ tan 𝑥
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑣 = tan 𝑥
𝑢´ = cos 𝑥 𝑣´ = 𝑠𝑒𝑐2𝑥
𝑓´(𝑥) = tan 𝑥 ∙ cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑐2𝑥
j) 𝑓(𝑥) =
𝑠𝑒𝑛 𝑥+1
cos 𝑥+1
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1 𝑣 = cos 𝑥 + 1
𝑢´ = cos 𝑥 𝑣´ = −𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑓´(𝑥) =
cos 𝑥 (cos 𝑥 + 1) + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 1)
(cos 𝑥 + 1)2
𝑓´(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠2𝑥 + cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
(cos 𝑥 + 1)2
=
1 + cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥
(cos 𝑥 + 1)2
Manos a la obra
Deriva las siguientes funciones trigonométricas
1) 𝑓(𝑥) = sec 2𝑥
𝐷𝑥(𝑢𝑛) = 𝑛 ∙ 𝑢´ ∙ 𝑢𝑛−1
121
2) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠
1
2
𝑥
3) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡5𝑥 − 5𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛 𝑥 + tan 𝑥
5) 𝑓(𝑥) = cot (2𝑥 − 4)3
6) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 √5𝑥 − 7
7) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 ∙ csc 𝑥
8) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠3(5𝑥 + 9)
9) 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛
𝑥
𝑥−1
10) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(2𝑥 − 𝑥3)4
11) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛5𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠5𝑥
12) 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑐3𝑥4
13) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑐𝑜𝑡2𝑥
14) 𝑓(𝑥) = (6𝑐𝑠𝑐𝑥5 + 1)(3𝑠𝑒𝑛𝑥 − 2)
15) 𝑓(𝑥) = (𝑐𝑜𝑠3𝑥)(𝑠𝑒𝑐3𝑥)
Para aprender más
Evaluando tus aprendizajes
https://forms.gle/GtPsn4LA7kkZP5gt9
https://youtu.be/rKzFTwIMNIk
https://youtu.be/MiL-FLnJIy4
122
Derivadas de orden superior
Las derivadas de orden superior se obtienen al derivar una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), tantas
veces como lo indique el orden requerido.
La derivada de una función se llama primera derivada y se denota con 𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
La derivada de la derivada se llama segunda derivada y se denota con 𝑦´´ =
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
El proceso de hallar derivadas, una tras otra, se llama derivadas sucesivas.
La enésima derivada de una función se denota con 𝑦(𝑛) =
𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛
= 𝑓(𝑛)(𝑥)
Ejemplos
a) Encuentra
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥
Se deriva sucesivamente la función, hasta llegar a la tercera derivada:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 − 1
𝑓 ´´(𝑥) = 6𝑥 + 4
𝑓´´´(𝑥) = 6
b) Sea 𝑦 = (3𝑥 − 4)3 calcula 𝑦´´
Usando la regla de 𝑢𝑛 para obtener la primera derivada
𝑦´ = 3(3𝑥 − 4)2(3)
Reduciendo
𝑦´ = 9(3𝑥 − 4)2
Usando la regla de 𝑢𝑛 de nuevo para obtener la segunda derivada
𝑦´´ = 18(3𝑥 − 4)(3)
𝑦´´ = 54(3𝑥 − 4)
c) Sea 𝑦 =
2𝑥+4
𝑥−5
calcula 𝑦´´
Usando la regla de
𝑢
𝑣
para obtener la primera derivada
𝑢 = 2𝑥 + 4 𝑣 = 𝑥 − 5
𝑢´ = 2 𝑣´ = 1
𝑦´ =
(𝑥 − 5)(2) − (2𝑥 + 4)(1)
(𝑥 − 5)2
123
𝑦´ =
2𝑥 − 10 − 2𝑥 − 4
(𝑥 − 5)2
𝑦´ =
−14
(𝑥 − 5)2
El denominador se pasa al numerador con potencia negativa
𝑦´ = −14(𝑥 − 5)−2
Se deriva por segunda vez usando la regla de 𝑢𝑛
𝑦´´ = 28(𝑥 − 5)−3
Reescribiendo la función para que el exponente sea positivo
𝑦´ =
28
(𝑥 − 5)3
c) Sea 𝑦 = 𝑥(3𝑥 − 4)2 calcula 𝑦´´´
Usando la regla de 𝑢 ∙ 𝑣 para obtener la primera derivada
𝑢 = 𝑥 𝑣 = (3𝑥 − 4)2
𝑢´ = 1 𝑣´ = 2(3𝑥 − 4)(3)
𝑣´ = 6(3𝑥 − 4)
𝑦´ = 6𝑥(3𝑥 − 4) + (3𝑥 − 4)2
Desarrollando
𝑦´ = 18𝑥2 − 24𝑥 + 9𝑥2 − 24𝑥 + 16
Sumando y restando términos semejantes
𝑦´ = 27𝑥2 − 48𝑥 + 16
Derivando por segunda vez
𝑦´´ = 54𝑥 − 48
Derivando por tercera vez
𝑦´´´ = 54
d) Sea 𝑦 = 𝑒3𝑥−4 calcular 𝑦´´´
Usando la regla de 𝑒𝑢 donde
𝑢 = 3𝑥 − 4
𝑢´ = 3
Derivando
𝑦´ = 3𝑒3𝑥−4
Derivando por segunda vez
124
𝑦´´ = 9𝑒3𝑥−4
Derivando por tercera vez
𝑦´´´ = 27𝑒3𝑥−4
e) Sea 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥2 Calcular 𝑦´´
Usando la regla de 𝑠𝑒𝑛 𝑢 donde
𝑢 = 𝑥2
𝑢´ = 2𝑥
Derivando
𝑦´ = 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥2
𝑢 = 2𝑥 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥2
𝑢´ = 2 𝑣´ = −2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥2
Derivando por segunda vez
𝑦´´ = 2𝑐𝑜𝑠 𝑥2 − 4𝑥2𝑠𝑒𝑛 𝑥2
Para aprender más
Manos a la obra
1) 𝑦 = (3𝑥3 − 4)3 calcula 𝑦´´
2) 𝑦 = 𝑥 ∙(2𝑥2 + 1)2 calcula 𝑦´´
3) 𝑦 = (2𝑥 − 6)4 calcula 𝑦´´´
4) 𝑦 = (𝑥3 − 7)(5 − 𝑥3) calcula 𝑦´´
5) 𝑦 = (2𝑥2 + 8)(5 − 2𝑥4) calcula 𝑦´´´
6) 𝑦 = (𝑥3 − 7)4(5 − 2𝑥) calcula 𝑦´´
7) 𝑦 =
2𝑥+8
𝑥
calcula 𝑦´´
8) 𝑦 =
4𝑥−6
𝑥2+6
calcula 𝑦´´
https://youtu.be/lU_ztN5NTrg
https://youtu.be/wZJkOLd5Re0
125
9) 𝑦 = 𝑒2𝑥+1 calcular 𝑦´´´
10) 𝑦 = 7𝑥−8 calcular 𝑦´´´
11) 𝑦 = 𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛𝑥 calcular 𝑦´´
12) 𝑦 = tan 3𝑥 calcular 𝑦´´´
Evaluando tus aprendizajes
https://forms.gle/7jXSYQJ7tTyfRJXz9
126
IV. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE
UNA FUNCIÓN
Máximos y mínimos de una función
127
APRENDIZAJES ESPERADOS
• Localiza los máximos, mínimos, las inflexiones de una gráfica para
funciones polinomiales y trigonométricas.
• Calcula y resuelve operaciones gráficas con funciones para analizar el
comportamiento local de un función (los ceros de f, f ‘y f ‘’). En algunos
casos, se podrán estudiar los cambios de f ‘’ mediante la tercera
derivada.
Algunas ocasiones es necesario maximizar el espacio de un lugar o minimizar los costos
de producción de un cierto producto. Cuando una situación real se puede expresar como
una función, entonces es posible localizar el valor máximo y mínimo de la función usando
derivadas.
Para ejemplificar esta situación realiza lo siguiente
Toma una hoja tamaño carta, dóblala de tal manera que se forme una caja sin tapa.
Ahora en otra hoja tamaño carta forma otra caja tratando que sea diferente a la primera.
y aunque se haya usado la misma hoja, y las superficies sean iguales el volumen será
diferente. Puedes comprobarlo midiendo el largo, ancho y alto y multiplicarlo.
Pero se podrá conseguir una caja para obtener el máximo volumen, la respuesta es SI y
usando derivadas es posible determinarlo.
Aunque en este hiperlibro se ha visto de una manera intuitiva los máximos y mínimos de
una función ahora se tendrá una definición formal de máximo y mínimo además del uso
de dos criterios para hallarlos.
Definición
1) Se dice que una función 𝑓(𝑥) tiene un máximo local 𝑀 en 𝑥 = 𝑥0, si 𝑓(𝑥𝑜) ≥ 𝑓(𝑥) para toda
𝑥 en un intervalo (𝑎, 𝑏) tal que 𝑥𝑜, pertenezca a dicho intervalo.
2) Se dice que una función 𝑓(𝑥) tiene un mínimo local 𝑚 en 𝑥 = 𝑥0, si 𝑓(𝑥𝑜) ≤ 𝑓(𝑥) para toda
𝑥 en un intervalo (𝑎, 𝑏) tal que 𝑥𝑜, pertenezca a dicho intervalo.
128
Si 𝑓(𝑥) tiene un máximo o mínimo local en 𝑥𝑜, entonces la pendiente de la recta tangente
(derivada) en dicho punto en igual a cero.
Donde:
𝑀 = punto máximo
𝑚 = punto mínimo
Ya que la pendiente de la recta tangente es cero y si la función es derivable, entonces
cuando 𝒇´(𝒙) = 𝟎, se tendrá un punto máximo o mínimo.
Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos.
a) Si 𝑓´(𝑥) > 0, para toda 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥𝑜) y 𝑓´(𝑥) < 0, para toda 𝑥 ∈ (𝑥𝑜 , 𝑏) (es decir, la
derivada cambia de valores positivos a negativos), entonces en 𝑓(𝑥𝑜) existe un valor
máximo local.
b) Si 𝑓´(𝑥) > 0, para toda 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑥𝑜) y 𝑓´(𝑥) > 0, para toda 𝑥 ∈ (𝑥𝑜 , 𝑏) (es decir, la
derivada cambia de valores negativos a positivos), entonces en 𝑓(𝑥𝑜) existe un valor
mínimo local.
c) Si para toda 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏) y 𝑓´(𝑥) tiene el mismo signo, entonces 𝑓(𝑥) no tiene valor
máximo ni mínimo local.
Ejemplos
a) Determina los puntos máximos y mínimos para la función 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 15,
utiliza el criterio de la primera derivada.
𝑋
𝑌
𝑃
𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑥𝑜 𝑎
𝑓(𝑥𝑜) ≤ 𝑓(𝑥)
𝑏
𝑓(𝑥𝑜)
𝑓(𝑥)
𝑌
𝑋
𝑀
𝑚
𝑓(𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 0
𝑓(𝑥)
𝑌
𝑀á𝑥𝑖𝑚𝑜
𝑃
𝑓(𝑥𝑜)
𝑓(𝑥)
𝑎 𝑏
𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥𝑜)
𝑋
𝑥𝑜
129
Solución
Paso Ι
Se obtiene la derivada de la función:
𝑓´(𝑥) = 6𝑥 − 12
Paso ΙΙ
La derivada la función
𝑓´(𝑥) = 6𝑥 − 12;
se iguala a cero
6𝑥 − 12 = 0
Se resuelve la ecuación obtenida
𝑥 = 2
Este resultado recibe el nombre de valor o punto crítico.
Paso ΙΙΙ
Se da un valor menor y uno mayor próximo al valor crítico y se evalúan en la
derivada.
Para 𝑥 = 2 se toman los valores 1 y 3
𝑓´(1) = 6(1) − 12 = −6 < 0 y 𝑓´(3) = 6(3) − 12 = 6 > 0
El cambio de signo es de negativo a positivo, entonces la función tiene valor
mínimo en 𝑥 = 2.
También se puede hacer uso de una tabla para mayor claridad indicando los intervalos
limitados por el valor o los valores críticos.
En este caso el valor critico es 𝑥 = 2 por lo que existen dos intervalos
Intervalo Valor de prueba 𝑓´(𝑥) = 6𝑥 − 12 Observaciones
(−∞, 2) 1 −6 Decrece en el intervalo
2 Máximo
(2, +∞) 4 12 Crece en el intervalo
Si primero decrece y luego crece entonces la función tiene un máximo en 𝑥 = 2
Paso Ι𝑉
El valor crítico se evalúa en la función:
𝑓(2) = 3(2)2 − 12(2) + 15
𝑓(2) = 3
Por consiguiente, el punto mínimo es (2, 3)
130
Graficando la función se puede observar que el mínimo está en ese punto
b) Obtén los puntos máximos y mininos para la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 +
15 usando el criterio de la primera derivada
Solución
Paso Ι
Se obtiene la derivada de la función:
𝑓′(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12
Paso ΙΙ
La derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:
𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12
6𝑥2 − 6𝑥 − 12 = 0 Se divide por 6 cada término
𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 Se factoriza
(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) = 0
Se tienen dos valores críticos que son:
𝑥1 = 2, 𝑥2 = −1
Paso ΙΙΙ
Se dan valores menores y mayores próximos a los valores críticos y se evalúan en la
derivada.
Para 𝑥 = −1, se toman valores 𝑥 = −
3
2
y 𝑥 = −
1
2
𝑓´ (−
3
2
) = 6 (
−3
2
)
2
− 6 (
−3
2
) − 12 =
21
2
> 0 y
𝑓´ (−
1
2
) = 6 (
−1
2
)
2
− 6 (
−1
2
) − 12 = −
15
2
< 0
La derivada cambia de signo positivo a negativo, entonces la función tiene un valor
máximo en 𝒙 = −𝟏
Para 𝑥 = 2 se toman los valores 𝑥 =
3
2
y 𝑥 =
5
2
El vértice de la parábola es el
mínimo de la función
131
𝑓´ (
3
2
) = 6 (
3
2
)
2
− 6 (
3
2
) − 12 = −
15
2
< 0 y
𝑓´ (
5
2
) = 6 (
5
2
)
2
− 6 (
5
2
) − 12 =
21
2
> 0
La derivada cambia de signo negativo a positivo, entonces la función tiene un valor
mínimo en 𝒙 = 𝟐
Se ubica en la recta numérica los valores críticos
Usando la tabla se obtienen los intervalos para tomar valores de prueba
Intervalo Valor de prueba 𝑓´(𝑥) = 6𝑥2 − 6𝑥 − 12 Observaciones
(−∞, −1) −2 6(−2)2 − 6(−2) − 12 = 24 crece en el intervalo
−1 Máximo
(−1, 2) 0 6(0)2 − 6(0) − 12 = −12 decrece en el intervalo
2 Mínimo
(2, +∞) 3 6(3)2 − 6(3) − 12 = 24 Crece en el intervalo
Paso Ι𝑉
Los valores críticos se evalúan en la función:
Para 𝑥 = −1, 𝑓(−1) = 2(−1)3 − 3(−1)2 − 12(−1) + 15 = 22
Para 𝑥 = 2, 𝑓(2) = 2(2)3 − 3(2)2 − 12(2) + 15 = −5
Por tanto, el punto máximo es (−1, 22) y el punto mínimo es (2, −5)
Trazando la gráfica para verificar los máximos y mínimos
c) De la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1 Obtén los intervalos donde la función
crece y decrece y los puntos máximos y mínimos.
Solución
La derivada de la función es: 𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 − 12𝑥 + 9 = 3(𝑥 − 1)(𝑥 − 3)
Esta expresión es positiva o negativa según los valores de 𝑥, según se muestra en la
tabla siguiente:
132
Intervalo Valor de prueba 𝒇´(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟗 Observaciones
(−∞,1) 0 9 Crece
1 Máximo
(1,3) 2 -6 Decrece
3 Mínimo
(3,+∞) 4 9 Crece
Luego, la función crece en (−∞, 1) ∪ (3, +∞) y decrece en (1, 3).
Calculando el valor de y del punto máximo
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6𝑥2 + 9𝑥 + 1
𝑓(1) = (1)3− 6(1)2 + 9(1) + 1
𝑓(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 Máximo (1,5)
Calculando el valor de y del punto mínimo
𝑓(3) = (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1
𝑓(3) = 27 − 54 + 27 + 1
𝑓(3) = 1 Mínimo (3,1)
Criterio de la segunda derivada para hallar el máximo o mínimo relativo
a) Dada 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝑓´(𝑥) = 0, si 𝑓´´(𝑥𝑜) > 0, entonces el punto (𝑥𝑜 , 𝑓(𝑥𝑜)) representa un
punto mínimo.
b) Dada 𝑦 = 𝑓(𝑥) con 𝑓´(𝑥) = 0, si 𝑓´´(𝑥𝑜) < 0, entonces el punto (𝑥𝑜 , 𝑓(𝑥𝑜)) representa un
punto máximo.
Ejemplo
Determina con el criterio de la segunda derivada los puntos máximos y mínimos de la función.
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 6𝑥2 − 36𝑥 − 100
Paso Ι
Se obtiene la derivada de la función:
𝑓´(𝑥) = 3𝑥2 + 12𝑥 − 36
Paso ΙΙ
Se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuación:
3𝑥2 + 12𝑥 − 36 = 0
3(𝑥2 + 4𝑥 − 12) = 0
133
3(𝑥 + 6)(𝑥 − 2 = 0
𝑥 = −6 y 𝑥 = 2
Paso ΙΙΙ
Se obtiene la segunda derivada y se evalúa con los valores críticos:
𝑓´´(𝑥) = 6𝑥 + 12
𝑓(−6) = 6(−6) + 12 = −24 < 0
Por tanto, la función tiene un valor máximo en 𝑥 = −6
Para 𝑥 = 2
𝑓´´(2) = 6(2) + 12 = 24 > 0
Por tanto, la función tiene un valor mínimo en 𝑥 = 2
Paso Ι𝑉
Los valores críticos se evalúan en la función:
Para 𝑥 = −6
𝑓(−6) = (−6)3 + 6(−6)2 − 36(−6) − 100 = 116
Para 𝑥 = 2
𝑓(2) = (2)3 + 6(2)2 − 36(2) − 100 = −140
Entonces la función tiene un punto máximo en (−6,116) y un punto mínimo en
(2, −140)
Concavidad y punto de inflexión de una función
La función 𝑓(𝑥) es convoca hacia arriba cuando las rectas tangentes a dicha función están por
debajo de la curva.
La función 𝑓(𝑥) es convoca hacia abajo cuando las rectas tangentes a dicha función están por
arriba de la curva.
Donde (𝑥𝑜 , 𝑓(𝑥𝑜)) es el punto de inflexión.
𝑌
𝑋
𝑓(𝑥) = 0
𝑓´(𝑥) = 0
𝑓(𝑥)
𝑥 = 𝑥𝑜
𝑓´´(𝑥) = 0 𝑓´(𝑥) < 0 𝑓´(𝑥) > 0
𝑓(𝑥) = 0
𝑓(𝑥𝑜) = 0
𝑓(𝑥) > 0
𝑜
Cóncava hacia
arriba de (𝑥𝑜, ∞)
Cóncava hacia
abajo de (−∞, 𝑥𝑜)
134
Prueba de concavidad
1) Una función es cóncava hacia arriba en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈
(𝑎. 𝑏), 𝑓´´(𝑥) > 0
2) Una función es cóncava hacia abajo en un intervalo (𝑎, 𝑏) si para todo 𝑥 ∈
(𝑎. 𝑏), 𝑓´´(𝑥) < 0
3) Una función tiene un punto de inflexión en (𝑥𝑜 , 𝑓(𝑥𝑜)) si 𝑓´´(𝑥𝑜) = 0
Ejemplo
Determina las coordenadas del punto de inflexión y los intervalos de concavidad para la
función:
𝑓(𝑥) = −2𝑥3 + 9𝑥2 + 60𝑥
Punto de inflexión
Paso Ι
Se obtiene la segunda derivada:
𝑓´(𝑥) = −6𝑥2 + 18𝑥 + 60 → 𝑓´´(𝑥) = −12𝑥 + 18
Paso ΙΙ
La segunda derivada se iguala a cero y se resuelve la ecuación:
−12𝑥 + 18 = 0 → 𝑥 =
3
2
Paso ΙΙΙ
Se evalúa la función con 𝑥 =
3
2
:
𝑓 ൬
3
2
൰ = −2 ൬
3
2
൰
3
+ 9 ൬
3
2
൰
2
+ 60 ൬
3
2
൰ =
207
2
Por consiguiente, las coordenadas del punto de inflexión son (
3
2
,
207
2
)
Intervalos con concavidad
Intervalo donde la función es cóncava hacia arriba.
Por definición 𝑓´´(𝑥) > 0, entonces:
−12𝑥 + 18 > 0
Al resolver la desigualdad se obtiene que 𝑥 <
3
2
, por tanto, el intervalo donde la función es
cóncava hacia arriba es:
൬−∞,
3
2
൰
135
Intervalo donde la función es cóncava hacia abajo.
Por definición 𝑓´´(𝑥) < 0
−12𝑥 + 18 < 0
Al resolver la desigualdad se obtiene que 𝑥 >
3
2
, entonces, el intervalo donde la función es
cóncava hacia abajo es:
൬
3
2
, ∞൰
Tomado del libro: Calculo diferencial. Autor: Aguilar y Otros. CONAMAT
Para saber más
Manos a la obra
I. Para las siguientes funciones calcula:
• El punto máximo y mínimo
• El intervalo de crecimiento y de decrecimiento
• Gráfica de la función
1) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 5𝑥 − 4
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10
3) 𝑓(𝑥) = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥2 − 9𝑥 + 1
II. Para las siguientes funciones calcula:
• El punto máximo y mínimo
• El intervalo de crecimiento y de decrecimiento
• Intervalo de concavidad
• Punto de inflexión
• Gráfica de la función
1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 36𝑥 + 24
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 4𝑥3
3) (𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 12𝑥 + 6
https://es.khanacademy.org/math/calculus-all-old/derivative-applications-calc
https://drive.google.com/file/d/133gcEJI6uYu5A2qrXNJVChMcA4Re2yEs/view?usp=sharing
136
Aplicación de máximos y mínimos
Estrategia para resolver aplicaciones de máximos y mínimos.
1. Leer el ejercicio las veces que sea necesario para entender lo que se tiene que realizar e
identificar las variables.
2. Realizar un dibujo si es posible poniendo nombre a los datos y variables en la figura.
3. Identificar la función que se debe maximizar o minimizar (superficie, volumen, distancia, …)
4. Escribir la función a derivar expresada con una sola variable, y reducirla si es posible
5. Derivar la función e igualar a cero.
6. Confirmar el máximo o mínimo con el criterio de la primera o segunda derivada
a) En cierta empresa el costo de la fabricación en pesos de 𝑥 artículos está dado
por la función 𝐶(𝑥) = 7𝑥2 + 42𝑥 + 63. ¿En qué nivel de producción será mínimo
el costo medio por unidad?
El costo medio de producción está dado por la función. 𝐶𝑚(𝑥) =
7𝑥2 – 42𝑥 + 63
𝑥
Antes de derivar dividimos cada término del numerador entre el denominador y
simplificamos si es posible.
𝐶𝑚(𝑥) =
7𝑥2
𝑥
+
42𝑥
𝑥
+
63
𝑥
𝐶𝑚(𝑥) = 7𝑥 + 42 + 63𝑥
−1
Para calcular el mínimo absoluto de la función costo medio, calculamos su derivada
𝐶´𝑚(𝑥) = 7 − 63𝑥
−2
Se iguala a cero la derivada
7 −
63
𝑥2
= 0
7𝑥2 − 63
𝑥2
= 0
Para que una fracción algebraica se haga cero entonces el numerador debe ser cero. Así:
7𝑥2 − 63 = 0
Despejando x
𝑥 = ±√
63
7
𝑥 = ±3
La variable 𝑥 solo puede tomar valores positivos por lo que el dominio se limita para
𝑥 ≥ 0, por lo que el único valor que cumple es +3
Verificando que 𝑥 = 3 sea un mínimo de la función, usando el criterio de la primera
derivada
137
Intervalo Valor de prueba 𝐶´𝑚(𝑥) = 7 − 63𝑥
−2 Observaciones
[0, 3) 1 −56 decrece
3 Mínimo
(3, +∞) 4 3.06 crece
Como primero decrece y luego crece se tiene un mínimo en 𝑥 = 3 es decir, se tendrá el menor costo
cuando se fabriquen 3 unidades y el costo medio por unidad será
𝐶𝑚(𝑥) =
7𝑥2 + 42𝑥 + 63
𝑥
𝐶𝑚(3) =
7(3)2 + 42(3) + 63
3
𝐶𝑚(3) = 84 pesos por unidad
b) Una huerta tiene actualmente 24 árboles, que producen 600 frutos cada uno. Se
calcula que, por cada árbol adicional plantado, la producción de cada árbol
disminuye en 15 frutos. ¿Cuál debe ser el número total de árboles que debe tener
la huerta para que la producción sea máxima? ¿Cuál será esa producción?
Llamamos x al número de árboles que se plantan.
Producción total está dado por:
𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 á𝑟𝑏𝑜𝑙𝑒𝑠) (𝑓𝑟𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 á𝑟𝑏𝑜𝑙)
Tenemos que el número de frutos sería:
𝑃(𝑥) = (24 + 𝑥) (600 − 15𝑥) = −15𝑥2 + 240𝑥 + 14 400
Derivando
𝑃´(𝑥) = −30𝑥 + 240
Igualando a cero la derivada
−30𝑥 + 240 = 0
Despejando
𝑥 =
240
30
= 8 valor crítico
Verificando que 𝑥 = 8 sea un máximo de la función, usando el criterio de la primera derivada
Intervalo Valor de prueba 𝑃´(𝑥) = −30𝑥 + 240 Observaciones
[0, 8) 2 180 crece
8 Máximo
(8, +∞) 9 −30 decrece
Como se deben sembrar 8 árboles más, el total de árboles será 32
La producción máxima de frutos será: 𝑃(𝑥) = −15𝑥2 + 240𝑥 + 14 400
𝑃(8) = −15(8)2 + 240(8) + 14 400
𝑃(8) = 15 360 frutos
138
c) De una lámina de 120 cm x 60 cm. Se desea construir una caja sin tapa, del
mayor volumen posible recortando cuadrados iguales de las esquinas de la
lámina y doblando hacia arriba las salientes para tomar lascaras laterales.
¿Cuáles deben de ser las dimensiones de la caja para que su volumen sea
máximo? ¿Cuál es el volumen máximo que puede contener?
Para calcular el volumen máximo se usa la fórmula del prisma rectangular 𝑉 = 𝑙 ∙ 𝑎 ∙ 𝑏
𝑉(𝑥) = (120 − 𝑥)(60 − 𝑥)(𝑥)
Se realiza el producto
𝑉(𝑥) = 𝑥3 − 180𝑥2 + 7200𝑥
Se deriva
𝑉´(𝑥) = 3𝑥2 − 360𝑥 + 7200
Igualamos a cero la derivada y resolvemos la ecuación
3𝑥2 − 360𝑥 + 7200 = 0
Dividiendo todos los términos por 3
𝑥2 − 120𝑥 + 2400 = 0
Por fórmula general se tienen los puntos críticos
𝑥 = 25.35 𝑥 = 94.64
Para verificar que valor será máximo, realizaremos el criterio de la segunda derivada.
Derivamos por segunda vez
𝑉´´(𝑥) = 6𝑥 − 360
Evaluamos la segunda derivada en los puntos críticos
𝑥 = 25.35 𝑥 = 94.64
𝑉´´(25.35) = 6(25.35) − 360
𝑉´´(25.35) = −207.9 Se tiene un máximo
𝑉´´(94.64) = 6(94.64) − 360
𝑉´´(94.64) = 207.84 Se tiene un mínimo
Por lo que el valor de 𝑥 donde se tiene el volumen máximo, es cuando 𝑥 = 25.35 𝑐𝑚
El volumen máximo de la caja será:
𝑉(25.35) = (25.35)3 − 180(25.35)2 + 7200(25.35)
𝑉(25.35) = 83 138.43 𝑐𝑚3
𝑥 𝑥
120 𝑐𝑚
60𝑐𝑚
𝑥
𝑥
𝑥
𝑥
139
d) Una página rectangular debe de contener 150 cm2 de texto. Los márgenes
superior e inferior tienen 3 cm de ancho y los laterales 2 cm. ¿qué dimensiones
de la página minimizan la cantidad de papel requerida?
𝑥
𝑦
Área impresa 150 cm2 Así: 𝑥 ∙ 𝑦 = 150 (1)
Área Total: 𝐴𝑇 = (𝑥 + 4)(𝑦 + 6)
Despejando y de la ecuación 1
𝑦 =
150
𝑥
𝑥 + 4
𝑦 + 6
Sustituyendo en 𝐴𝑇 = (𝑥 + 4)(
150
𝑥
+ 6)
𝐴𝑇 = (𝑥 + 4) ൬
150
𝑥
+ 6൰ = 150 +
600
𝑥
+ 6𝑥 + 24
𝐴𝑇 = 174 +
600
𝑥
+ 6𝑥
Derivando
𝐴´𝑇 = −600𝑥
−2 + 6
Igualando a cero la derivada
−600
𝑥2
+ 6 = 0
−600+6𝑥2
𝑥2
= 0
Para que la ecuación sea cero el numerador debe ser cero.
−600 + 6𝑥2 = 0
Despejando 𝑥 de la ecuación
𝑥2 =
600
6
𝑥 = ±10 Son los valores críticos
El valor de x no puede ser negativo, así que el único valor es 𝑥 = 10
Se deriva por segunda vez para usar el criterio de la segunda derivada
𝐴´´𝑇 = 1200𝑥
−3 =
1200
𝑥3
Sustituyendo 𝑥 = 10 en la segunda derivada
𝐴´´𝑇 =
1200
(10)3
= 1.2 Se tiene un mínimo
Para calcular el valor de y se sustituye 𝑥 = 10 en la ecuación (1) y se despeja
(10) ∙ 𝑦 = 150 𝑦 =
150
10
= 15
Así las dimensiones de las hoja son:
Ancho: 𝑥 + 4 = 10 + 4 = 14 cm
Largo: 𝑦 + 6 = 15 + 6 = 21 cm
140
e) Encuentra dos números positivos cuya suma sea 20 y el producto del cuadrado
de uno de ellos por el cubo del otro, sea un valor máximo.
𝑆𝑒𝑎𝑛 𝑥 y 𝑦 los números buscados, entonces:
La suma de los números es 20: 𝑥 + 𝑦 = 20
El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, es máximo: 𝑃 = 𝑥2𝑦3
Se despeja 𝑦 de la primera igualdad y se sustituye en el producto:
𝑥 + 𝑦 = 20 → 𝑦 = 20 − 𝑥
Por tanto: 𝑃 = 𝑥2𝑦3 = 𝑥2(20 − 𝑥)3 será la función a maximizar.
Se obtiene la derivada: 𝑃´(𝑥) = 𝑥(20 − 𝑥)2(40 − 5𝑥)
La derivada se iguala con cero: 𝑃´(𝑥) = 0,
𝑥(20 − 𝑥)2(40 − 5𝑥) = 0
Al resolver esta última ecuación se obtiene los valores críticos: 𝑥 = 0, 𝑥 = 20, 𝑥 = 8
Se obtiene la segunda derivada: 𝑃´´(𝑥) = −20𝑥3 + 720𝑥2 − 7200𝑥 + 16000
Se analizan los valores críticos:
Para 𝑥 = 0, 𝑃´´(0) = 16000 > 0, entonces en 𝑥 = 0 existe un valor mínimo
Para 𝑥 = 20, 𝑃´´(20) = 0, entonces en 𝑥 = 20 no existe valor máximo ni mínimo
Para 𝑥 = 8, 𝑃´´(8) = −5760 <, entonces en 𝑥 = 8 existe un valor máximo
Por tanto, uno de los valores es 𝑥 = 8 y al sustituir en 𝑦 = 20 − 𝑥, se obtiene 𝑦 = 12,
entonces los números que se buscan son:
𝑥 = 8, 𝑦 = 12
Manos a la obra
1) El Ayuntamiento quiere hacer un parque de 10 000 m2 de área de forma
rectangular. Le quieren poner valla por tres lados. Calcular las dimensiones de
las vallas para que sea mínima.
2) Una empresa de fabricación de puertas de madera utiliza un tablón rectangular
para la hoja y tres listones de 10cm de ancho para el marco (lados laterales y
lado superior). El precio del tablón es de $250 por metro cuadrado y el de los
listones es de $70 por metro lineal.
141
Calcula las dimensiones de una puerta de 2m2 de superficie de hoja para que el
costo sea mínimo. ¿Cuál será su precio?
Si la puerta es de 2.5 metros de ancho y 0.8 metros de alto, ¿cuál es su precio?
3) Una empresa está trazando parcelas iguales y rectangulares sobre el plano de
un terreno para construir cabañas de 200m2 de superficie. Según la legislación
de la zona, entre la cabaña y la valla de la parcela debe haber un margen de 3
metros en los lados verticales y uno de 10 metros en los lados horizontales.
Calcular las dimensiones que deben tener las parcelas para que su área sea
mínima. ¿Cuál será el área de una parcela?
4) Una fábrica con láminas cuadrada de aluminio de 16 pulgadas cuadradas quiere
construir cajas sin tapa para almacenamiento cortando cuadrados iguales en las
esquinas y doblando los bordes ¿Cuánto deben medir por lado los cuadrados
recortados para obtener su volumen máximo? ¿Cuál es la medida del volumen?
5) Una empresa vende 0.7 toneladas de jugo y 0.3 toneladas de sobrante por cada
tonelada de materia prima. El costo de la materia prima es de $8 pesos/kg, los
precios de venta del jugo y del sobrante son 25 pesos/kg y 0.5 pesos/kg,
respectivamente, y el coste de producción viene dado por la función
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜(𝑥) = 0.5𝑥3
donde 𝑥 representa las toneladas de jugo producido.
Obtener:
a. Una expresión para calcular las ganancias netas en función de las toneladas
de materia prima.
b. La cantidad de jugo que se debe fabricar para que las ganancias netas sean
máximas.