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ESCUELA
COLOMBIANA
DE INGENIERÍA
JULIO GARAVITO
UNIVERSIDAD
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IÓ
N Departamento de Matemáticas
Cálculo Vectorial 2023 - 2
Guı́a de trabajo II
Valores extremos de funciones: Consultar en el texto guı́a los elementos teóricos relativos a la busqueda
de puntos crı́ticos de funciones y los procesos que se siguen para clasificarlos en máximos, mı́nimos o puntos de
silla. Se propone a los estudiante, seguir las siguientes instrucciones para familiarizarse con estas y posteriormente
realizar los ejercicios propuestos.
1. Objetivo
Experimentar con algunas instrucciones usando un asistente computacional para hallar los puntos extremos
de un campo escalar analizando su naturaleza.
2. Derivación de funciones en varias variables en Wolfram Mathematica
La derivada parcial de la función f (x, y) = x2y + xy4 con respecto a x, ∂ f /∂x, se obtiene con la instrucción
D[x^2*y+x*y^4,x]
La sexta derivada parcial f (x, y) = exy con respecto a x,
∂6 f
∂x6
se obtiene con alguna de las siguientes instrucciones
D[Exp[x*y],x,x,x,x,x,x] D[Exp[x*y],{x,6}]
Con las siguientes instrucciones se define la función f (x, y) = 4xy− x4 − y4, luego se hallan los puntos crı́ticos
de f , es decir, se resuelve el sistema de ecuaciones
∂ f
∂x = 0
∂ f
∂y = 0
Se adjunta el comando Reals para excluir los posibles raices complejas.
f[x_,y_]:=4*x*y-x^4-y^4
Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0},{x,y},Reals]
3. Clasificación de puntos crı́ticos con Wolfram Mathematica
Presentamos dos ejemplos.
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1. Con la siguiente instrucción se define la función f (x, y) = 3y−4
x2+y2+1
, luego se hallar las primeras derivadas
parciales, se igualan a cero y se resuelve el sistema de ecuaciones (se requieren solo las soluciones reales).
En resumen, se obtiene los puntos criticos de f (x, y).
f[x_,y_]:=(3y-4)/(x^2+y^2+1)
Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0},{x,y},Reals]
En este caso se obtiene los puntos (0,−1/3) y (0, 3). Para determinar la naturaleza de ellos, se utiliza el
criterios de las segundas derivadas parciales. Con las siguintes instrucciones se evalúa el hessiano de f en
el punto (0,−1/3)
(
∂2 f
∂x2
)(
∂2 f
∂y2
)
−
(
∂2 f
∂x∂y
)2
También se evalúa
(
∂2 f
∂x2
)
en el mismo punto (0,−1/3).
(D[f[x,y],x,x]*D[f[x,y],y,y]-(D[f[x,y],x,y])^2)/.x->0/.y->-1/3
D[f[x,y],x,x]/.x->0/.y->-1/3
Como los dos valores obtenidos son positivos, se concluye que f (x, y) posee un mı́nimo local en el punto
(0,−1/3).
Para el otro punto crı́tico, (0, 3), las instrucciones respectivas son las siguientes
(D[f[x,y],x,x]*D[f[x,y],y,y]-(D[f[x,y],x,y])^2)/.x->0/.y->3
D[f[x,y],x,x]/.x->0/.y->3
En este caso la conclusión es que f (x, y) posee un máximo local en el punto (0, 3).
2. Con las siguientes instrucciones, se define la función f (x, y) = 4xy − x4 − y4, se hallan los puntos crı́ticos
(es una lista denominada pc), estos puntos se grafican en el espacio (este objeto lo denominamos b) y se
presenta el gráfico de la función (que denominamos a), finalmente se presentan los dos objetos en un solo
gráfico.
f[x_,y_]:=4*x*y-x^4-y^4
pc={x,y,f[x,y]}/.Solve[{D[f[x,y],x]==0,D[f[x,y],y]==0},{x,y},Reals]
a=ContourPlot3D[z==f[x,y],{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-2,2},PlotPoints->40,Mesh->False,
Boxed->False,Axes->False];
b=Graphics3D[{PointSize[0.04],Black,Point[pc]}];
Show[b,a,BoxRatios->{3,3,2}]
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4. Extremos de funciones con restricciones
Existen funciones en Mathematica que permiten maximizar o minimizar una función con o sin restricciones.
Para maximizar f (x, y, z) = x + y + z con la condición x2 + y2 + z2 = 1, se puede ejecutar la instruc-
ción Maximize[{x+y+z,x^2+y^2+z^2==1},{x,y,z}]
Maximizar g(x, y, z) = x2 + y2 + z2 con las condiciones x2 + y2 = 1 y x + z = 0, en este caso se puede
utilizar: Maximize[{x^2+y^2+z^2,x^2+y^2==1,x+z==0},{x,y,z}]
Con la instrucción Minimize[{x^2+y^2-x-3y},{x,y}] se halla el valor mı́nimo de f (x, y) = x2 +
y2 − x − 3y
Nota: Estas funciones proporcionan UN SOLO valor, se debe analizar la posibilidad que la función tenga
extremos en varios puntos.
5. Ejercicios
1. Utilice un asistente computacional para hallar y clasificar los puntos crı́ticos de las siguientes funciones.
Presente también un gráfico que ilustre los resultados obtenidos.
a) f (x, y) = x4 − 3x2 + log
(
y2 + 1
)
b) f (x, y) = x3 + y4 − 2x2y2
c) f (x, y) = 1/x + 1/y + xy
d) f (x, y) =
(
x − y2
)
e−2x
2−y2
e) f (x, y) =
x2 − y
x2 + y2 + 1
f ) f (x, y) =
xy
54 − y − x2
g) f (x, y) =
{
x5 log
(
x2 + y2
)
(x, y = 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
h) f (x, y) = x4 − 8x2 + y2 − 6y − 16
2. Obtenga los valores extremos de cada función con las restricciones señaladas
a) f (x, y, z) = xy + yz + xz, x2 + y2 + z2 ≤ 1, z < 0
b) f (x, y, z) =
x + y − 3z
x2 + y2 + z2
, x2 + y2 + z2 ≥ 1.
c) f (x, y, z) = (x − 2y)e−2x
2−y2 , x2 + 2y2 ≤ 1, x > y
d) f (x, y) = x4 − 8x2 + y2 − 6y − 16, −3 ≤ x ≤ 3, −3 ≤ y ≤ 3
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Objetivo
Derivación de funciones en varias variables en Wolfram Mathematica
Clasificación de puntos críticos con Wolfram Mathematica
Extremos de funciones con restricciones
Ejercicios