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Contenidos
Desigualdades
Inecuaciones
Valor Absoluto
Hay muchos casos de aplicación de desigualdades en la vida cotidiana, eso incluye áreas de la
tecnología, la medicina, la economía y otras.
En la tecnología, existen umbrales a partir de los cuales las cosas pueden prenderse, apagarse o
hacer algo. Por ejemplo la diferencia de potencial en los diodos de silicio obedece a la
desigualdad si VD < 0.7V no conduce, si VD > 0.7 conduce. Si fuera de germanio seria con 0.3V.
En la naturaleza todo obedece las leyes de mínimo esfuerzo y energía, como las leyes Clausius, los
procesos espontáneos, la entropía, entre otras; cuyas condiciones se expresan con desigualdades.
NÚMEROS REALES
UNIDAD
TEMÁTICA
1
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 2 -
CONTENIDOS TEÓRICOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
NATURALES
N
1, 2, 3, …
ENTEROS Z
RACIONALES
Q
REALES
R
Cero 0
Negativos …-3, -2, -1
Irracionales
... ; ; 32
FRACCIONARIOS
5
3
DECIMALES EXACTOS 6,25
DECIMALES PERIÓDICOS 10,33…
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 3 -
1.- DESIGUALDADES
1.1 Definición
Una desigualdad matemática es una relación de orden que se da entre dos valores cuando
éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en
cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los números reales, entonces pueden
ser comparados.
a < b ; a ≤ b ; a > b ; a ≥ b
1.2.- Propiedades de ordenamiento
1.2.1 Definición
Para todo a, b perteneciente al conjunto de los Números Reales, a es menor que b si y solo si
(b-a) es un número real positivo.
Simbólicamente: R a) - (b b a : R b a,
Ejemplo:
R 4 3 -7 diferencia la ue porq7 3
1.2.2 Definición
Para todo a, b perteneciente al conjunto de los Números Reales, a es mayor que b si y solo si
(a - b) es un número real positivo.
Simbólicamente: R b) - (a b a : R b a,
1.2.3 Definición
El conjunto de los números reales es un cuerpo ordenado porque existe una relación entre sus
elementos tal que:
Para todo a, b, c R, se cumple:
Transit iva Propiedad Si2)
: verdadera es iones proposiclas de una soloy Una
c a entonces c b y b a
b a ó b a ; b a
)1
1.3 Propiedades de la relación mayor
Sean a, b, c pertenecientes a R:
b a ó b a que significa b a Si )1 Si x ≥ 2 quiere decir que x puede tomar por
ejemplo los valores 2, 3, 4,5, …
b a ó b a que significa b a Si )2
Si x ≤ 2 quiere decir que x puede tomar por
ejemplo los valores … -1, 0, 1 , 2
c b c a ent onces b a Si3)
2 1
4 - ... 4 - ent onces 4 - cy 2 5Si
2.5
c b c a entonces 0 cy b a Si4 ..)
6
2.5
15
3. .... 3. ent onces 3 cy 2 5Si
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 4 -
c b c a entonces 0 cy b a Si ..)5
6
2.5
- 15 -
(-3) . .... (-3) . ent onces 3 - cy 2 5Si
6)
0 b . a si
0 b
0 a
o
0 b
0 a
7) 0 b . a si
0 b
0 a
o
0 b
0 a
1.2 INECUACIONES
1.2.1 Definición Inecuaciones son desigualdades entre expresiones algebraicas.
7 2x x 23 ; 7 2x
x
x
23
; 522 2x xx
1.2.2 Generalidades
A diferencia de las ecuaciones, que pueden verificarse sólo para algunos valores de la
variable, las inecuaciones pueden tener infinitas soluciones.
Resolver una inecuación es determinar todos los valores de la variable que la verifican.
Este proceso consiste en ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más
simples hasta que el resultado final sea de alguno de los siguientes tipos
K x ; K x ; K x ; K x
La solución de una inecuación se expresa en forma de conjunto o unión de conjuntos.
El procedimiento para resolverlas es similar al de las ecuaciones, sólo que deben tenerse en
cuenta las propiedades de las desigualdades.
1.2.3 Clasificación de las Inecuaciones
En el desarrollo de este curso se trabajará con las siguientes inecuaciones:
ALGEBRAICA
RACIONAL
Lineales o de 1°
grado
7 2x x 23
ENTERAS
Cuadráticas o de
2° grado
522 2x xx
FRACCIONARIAS
7 2x
x
x
23
CONTINUAS
4
23
2x7 2x
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 5 -
1.3 VALOR ABSOLUTO
1.3.1 Definición
El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por x , se define como:
0 x si x-
0 x si x
x
Cualquier número x tiene su representación en la recta real.
1.3.2 Interpretación gráfica
El Valor Absoluto de un número es no negativo ya que gráficamente representa la distancia desde
ese número al origen.
Así
3 representa la distancia desde 3 al origen
- 3 representa la distancia desde -3 al origen
3 x al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de x que están a 3 unidades del
origen
4 3-x al resolver esta ecuación, encontraremos los valores de x que están a 4 unidades del
número 3
3
3
3
3
4 4
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 6 -
1.3.3 Propiedades
El Valor Absoluto goza de las siguientes propiedades:
y x y x
0 y siendo
y
x
y
x
7)
y . x y . x 6)
a x o a - x si 0 a con a x 5)
a x a -si 0 a con a x 4)
x x 3)
x todo arap 0 x 2)
0 x si 0 x
2
)8
)1
*********************************************************
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 17
FUNCIONES REALES
UNIDAD
TEMÁTICA
2
Contenidos
Conceptos Afines
Funciones Crecientes y decrecientes
Función biunívoca
Funciones Algebraicas
Funciones Trascendentes y Especiales
Función Inversa
Algebra de funciones
Función Compuesta
Anexo
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 18
MAPA CONCEPTUAL
es una Se representa
descripción de
como como como
En la que para cada
se la conoce
como
que puede tener puede ser
mediante
es una
se la
llama
pertenece a un
se asocia
un
es una
de un
y = f(x)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 19
CONTENIDOS TEÓRICOS
2.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una función f , de A en B denotada por
𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una correspondencia que cumple con las siguientes condiciones:Condición de existencia: Todos los elementos de A están relacionados con
elementos de B, a A b B / (a,b) f
Condición de unicidad: Cada elemento de A esta relacionado con un único
elemento de B, (a , b1 ) f ^ (a , b2 ) f b1 = b2
Si a las componentes del conjunto A las designamos con la letra x y a las componentes del
conjunto B las designamos con la letra y, tendremos:
De esta forma todo punto P f se denota: )f(x x, P
En nuestro estudio consideraremos funciones en las que las componentes de los pares ordenados, son
números reales. Este tipo de funciones se llaman Funciones Reales de variable real o simplemente Funciones
Reales.
f
xi
y=f(xi)
A
B
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 20
2.2.- CONCEPTOS BÁSICOS
Dominio
Es el conjunto de todos los valores reales de la variable independiente, generalmente x, para los
cuáles está definida la función*.
𝑑𝑜𝑚𝑓 = {𝑥/∀𝑥 ∈ 𝑅 , 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)}
*Recordar las “Reglas Sagradas” del Cálculo
Una función esté definida si se cumplen las siguientes reglas:
- La división por cero no está permitida
0
2
- El radicando de una raíz de índice par debe ser siempre positivo 0
- El argumento de un logaritmo debe ser siempre mayor que cero 0 log
Ejemplos:
1).- 52x3xf(x) 4
La función dada no tiene denominador que pueda hacerse 0. Cumple la primera ley.
La función dada no contiene raíces, por lo tanto cumple la segunda ley.
La función dada no contiene logaritmos, por lo tanto cumple la tercera ley.
Entonces la función dada no tiene problemas en su dominio. Para cualquier valor dado a la variable
independiente x, la función y está definida. Esto se expresa:
domf ; domf ,
2).- Determine analíticamente el dominio de la siguiente función:
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4
a) Como es una función de índice par, el radicando debe ser positivo (2° regla): 2x − 4 ≥ 0
2x ≥ 4 ; x ≥ 2 entonces 𝐝𝐨𝐦𝐟 = [𝟐; ∞)
Codominio/rango
Es el conjunto formado por todos los valores que puede llegar a tomar la función
Son los valores de la variable dependiente designadas generalmente con y ó f(x).
𝑟𝑔𝑜 𝑓 = {𝑦/∀𝑦 ∈ 𝑅 , 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑥 ℛ 𝑓(𝑥)}
Ejemplo:
determine analíticamente la imagen de la siguiente función 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4
Desarrollo 𝑦 = √2𝑥 − 4
(𝑦)2 = (√2𝑥 − 4)
2
; 𝑦2 = 2𝑥 − 4 → 𝑥 =
𝑦2 + 4
2
Lo que nos indica que la imagen de la función 42)( xxf es: 𝒓𝒈𝒐𝒇 = ℝ+ = [𝟎, ∞)
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 21
Gráfica de función
Durante el curso graficaremos las funciones en el SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS.
Como la función es un conjunto de pares ordenados,
se pueden asociar uno a uno con puntos sobre el plano
cartesiano. A ese conjunto de puntos del plano lo llamamos
“gráfica de la función”, así
𝑔𝑟𝑎𝑓 (𝑓) = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ⁄ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
y normalmente permite ver a f como un trazo sobre el plano.
Simetría
La gráfica de una función puede:
Respecto al eje de ordenadas (simetría
axial)
FUNCIÒN PAR
- TENER SIMETRÌA
Respecto al origen de coordenadas
(Simetría Central)
FUNCIÒN IMPAR
-NO TENER SIMETRÌA SI NO ES PAR NI IMPAR
Definición de función par
Se dice que la función f es PAR si:
𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 𝑑𝑜𝑚𝑓 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥)
Las gráficas resultan simétricas respecto al eje de las
ordenadas (simetría axial)
El eje de simetría de la parábola coincide con el eje de las
ordenadas
Definición de función impar
Se dice que la función f es IMPAR si:
𝑓: 𝑅 → 𝑅 𝑒𝑠 𝐼𝑀𝑃𝐴𝑅 ⇔ ∀ 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 , 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥)
Las gráficas resultan simétricas respecto al origen de
coordenadas (simetría central)
x
y
P ( x, y)
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 22
Definición de función no simétrica
Se dice que la función f NO ES SIMETRICA si no es Par ni
Impar.
f: R → R NO ES SIMETRICA ⇔ ∀ x ∈ domf ,
𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(−𝑥) ∧ 𝑓(𝑥) ≠ −𝑓(−𝑥)
El eje de simetría de la parábola no coincide con el eje de las
ordenadas
Intersección de la gráfica con los ejes coordenados
En distintas circunstancias se hace necesario conocer la
intersección de la gráfica de f con los ejes coordenados, por
ejemplo determinar
“para qué precio de venta de un producto no se obtienen
ganancias”.
Antes de explicar cómo se obtienen los valores, vamos a definir los siguientes términos:
2.2.5.1 Intersección con el eje de las abscisas: es el punto 0) ; P(x de la gráfica para el que
la ordenada es nula. La abscisa del punto, en este caso x, es el CERO DE LA FUNCIÓN f
2.2.5.2 Intersección con el eje de las ordenadas: es el punto y); Q(0 de la gráfica para el
que la abscisa es nula. La ordenada del punto, en este caso y, es f (0).
Analíticamente:
Q (0; y)
P1 (x1:0)
CEROS de f
f (0)
P2 (x2:0)
INTERSECCIONES de
f CON LOS EJES
COORDENADOS
Y
x
f(0) y y eje el con ónintersecci
0f(x) x x eje el con ónintersecci
f(x)y
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 23
2.3.- FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES
Definición de función creciente
Una función f se dice creciente en un intervalo si para todo
par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que:
Si x1 x2 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
Definición de función decreciente
Una función f se dice decreciente en un intervalo si para
todo par de puntos x1 y x2 del intervalo se cumple que:
Si x1 x2 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)
LAS FUNCIONES CRECIENTES o DECRECIENTES EN UN INTERVALO SE LLAMAN ESTRICTAMENTE MONÓTONAS EN
EL INTERVALO
2.4.- FUNCIÓN BIUNÍVOCA, FUNCIÓN INYECTIVA O FUNCIÓN UNO A UNO
Definición de función biunívoca
Una función f es biunívoca (inyectiva o uno a uno) si para todo par de elementos x1 y x2 del
dominio de f con )f(x)f(x que cumple se , x x 211 2
𝒙𝟏 ≠ 𝒙𝟐 𝒚 𝒇(𝒙𝟏) ≠ 𝒇(𝒙𝟐)
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 24
Para aclarar el concepto, se grafica a continuación una función NO BIUNÍVOCA
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥1 ≠ 𝑥2 ; 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)
o 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) y 𝑥1 ≠ 𝑥2
Criterios gráficos y analíticos
Criterio Gráfico
(Criterio de la recta horizontal)
Criterio Analítico
se usan las condiciones de la definición
Se trazan rectas horizontales que intersecten a la
gráfica de f. Si lo hace en un solo punto, la función
graficada es biunívoca.
Caso contrario se trata de una función no biunívoca
f NO ES biunívoca
Sea 21 xln)x(f
- Se forman f(x1) y f(x2) :
211 1 xln)x(f ; 222 1 xln)x(f
- Se analizan como son x1 y x2 cuando f(x1)=f(x2)
21 x x x x x x
x x :des propiedasegún
x x
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
;
11
1ln1ln
O sea que f(x1) = f(x2) si: x1 = x2 ; -x1= -x2
pero también si: x1 = - x2 ; -x1 = x2
Entonces f NO es biunívoca.
Sea 11 3 x)x(f
BIUNÍVOCAES
xf xf ; x xPara
x x
x x
1x 1x
121
33
33
2
21
21
21
11
11
11
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 25
2.5.- CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
Las funciones que se estudiarán durante el dictado de la materia son: Explicitas e Implícitas
Funciones explicitas
Son aquellas funciones donde la variable independiente y la variable dependiente están
claramente diferenciadas. Se expresan de la forma y = f (x)
Ej y = 3x2 – ex + ln (x-1)
Funciones implícitas
Son aquellas funciones expresadas en términos de las dos (o más) variables. Es decir son funciones
de la forma F(x,y) = 0
Ej: sen(x - y) + 3x2 y3 – 3x + 5y = 0
Clasificación de funciones Explicitas
ALGEBRAICAS
RACIONAL
Entera
(polinomial)
Función constante : y= K con kR
Función lineal y = mx + b
Función cuadrática y = ax2 +b x + c
Función cúbica y = ax3 +b x2 + cx +d
Función bicuadrada
y = ax4 +b x3 + cx2 +dx+e
Fraccionaria
)x(Q
)x(P
)x(fy
IRRACIONAL n )x(Py
TRASCENDENTES
EXPONENCIAL 1 a y 0 a con xa)x(f
LOGARÍTMICA xlny;)x(log)x(fy
TRIGONOMETRICAS
Circulares : y = sen x … ; y = tg x
Hiperbólicas : y = Sh x …; y = Th x
ESPECIALES
VALOR ABSOLUTO xy
SIGNO )x(P sgny
PARTE ENTERA xy
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 26
2.5.1.FUNCIONES ALGEBRAICAS
Son funciones que vienen expresadas mediante un numero finito de operaciones algebraicas
elementales: suma, diferencia, producto, cociente, potencia radicación.
2.5.1.1 FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES
Las funciones algebraicas racionales se clasifican en Enteras y Fraccionarias
Funciones Algebraicas Enteras o Polinomiales
Están definidas por :
na...
2nx.2a
1nx.1a
nx.0a)x(f
(1)
donde a0 , a1 , a2 ,.... constantes reales ; n = entero positivo
el dominio de estas funciones es : domf = reales
a) Función constante
Si en (1) se hace n = 0 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
kxf , kaaxf n )()( 0
Características:
dom f = reales
rgo f = {k}
gráfica es una recta horizontal
paralela o coincidente con el eje de
las abscisas
b) Función lineal
Si en (1) se hace n = 1 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
10.)( axaxf
haciendo a1 = b y ao = m tenemos : bx.m)x(f
Características:
dom f = reales
rgo f = reales
gráfica: es una recta no vertical
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 27
Parámetros
b es la ordenada al origen de la recta
m es la pendiente de la recta. Se la define como la tangente trigonométrica del ángulo de
inclinación: tgm
Mide la variación de la variable dependiente y, respecto a la variación de la variable
independiente x.
Si m > 0 la función es creciente y = 2x – 1
En este caso b = -1
si m < 0 la función es decreciente
y = (- 3/2) x + 2 en este caso b = 2
b) Función Cuadrática
Si en (1) se hace n = 2 y como el exponente debe ser un número entero positivo se tiene:
21
2
0 ..)( axaxaxf
Haciendo : a0 = a ; a1 = b ; a2 = c
cx.b2xa)x(f con 0a
Características
dom f = reales
rgof= (- , k] ò [k, + )
la gráfica es una parábola de eje vertical
si a > 0 la curva es cóncava hacia arriba ;
si a < 0 la curva es cóncava hacia abajo
y
x
2
1
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 28
- Si b = 0 c 0 y = a x2 + c
el vértice de la parábola está ubicado sobre el eje y
Ejemplo: y = - x2 + 5
Si b = 0 c= 0 : y = a x2
el vértice de la parábola está ubicado en el origen de
coordenadas
Ejemplo: y = x2
Si b 0 ; c 0 : y = a x2 + bx + c
el vértice se encuentra “desplazado horizontalmente”
Ejemplo: y = 0.25 x2 -2x + 1
Para determinar las coordenadas (h, k) del vértice empleamos la fórmula:
a
b
h
2
y haciendo )(hfy obtenemos el valor de k
encontrando los ceros de la función o haciendo tabla de valores determinamos otros puntos
pertenecientes a la parábola y podremos graficar.
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 29
Funciones Algebraicas Racionales Fraccionarias
Presentan la forma:
)(
)(
)(
xQ
xP
xf con P y Q polinomios de la variable x
0/ (xi)i Q x Rdomf
Asíntota Vertical
La recta x = a con a constante real
es asíntota vertical de la gráfica de f si se
presenta al menos una de las siguientes
situaciones:
)(
)(
)(
)(
afax
afax
afax
afax
Asíntota Horizontal
La recta y = k con k constante real es
asíntota horizontal de la gráfica de f si se
presenta al menos una de las siguientes
situaciones:
k xfx
k xfx
)(
)(
Método para determinar asíntotas Horizontales en funciones racionales fraccionarias
Una función algebraica racional fraccionaria puede expresarse:
rdenominado polinomio grado m ; numerador polinomio del grado n
.xb
.xa
Q(x)
P(x)
f(x)
m
o
n
0
i) si n > m la gráfica de f no tiene A.H
ii) si n = m la gráfica de f tiene A.H en
o
o
b
a
y
iii) si n < m la gráfica de f tiene A.H en ) x eje ( 0y
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
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CS
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CS
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CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 30
2.5.1.2 FUNCIONES ALGEBRAICAS IRRACIONALES
Presentan la forma:
n x f(x) / f
0 x domf 0x si x - f(x) x f(x) par es n si nn
0, rgof
a, domf
a-x f(x)
0 , - rgof
a, domf
a-x -f(x)
R domf x x - f(x) x f(x) impar es n si nn
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 31
2.5.2 FUNCIONES TRASCENDENTES
Función Exponencial
La función exponencial presenta la forma: 1ay0adondeaf(x) x
* domf = reales
* Si 0 < a < 1 f es decreciente
Si a > 1 f es creciente
f presenta asíntota horizontal
f no tiene asíntota vertical
f es biunívoca
su f-1 es la función logarítmica
Función Logarítmica
La función logarítmica presenta la forma:
1ay0a ;dondexlogf(x) a
𝑑𝑜𝑚𝑓 = (0,∞)
rgof = reales
Si 0 < a < 1 f es decreciente
Si a > 1 f es creciente
f presenta asíntota vertical
f no tiene asíntota horizontal
f es biunívoca
su f-1 es la función exponencial
Función Trigonométrica Circular
Las funciones trigonométricas circulares son las funciones trigonométricas referenciadas en la
circunferencia y que se definen por la aplicación de una razón trigonométrica a los distintos
valores de la variable independiente.
Las funciones trigonométricas circulares son periódicas es decir tienen la propiedad de tomar el
mismo valor a intervalos iguales.
Una función f es periódica, con período p 0 , si para todo x perteneciente a su dominio, se
verifica que : p)f(xf(x)
A continuación repasaremos características de las funciones trigonométricas circulares:
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 32
FUNCIÓN DOMINIO RANGO SIMETRÍA CEROS f0) p GRAFICA
y = sen x
(-, )
[-1,1]
Impar
Zn
nπx
0
2
y = cos x
(-, )
[-1,1]
Par
Z(impar)n
2
n.π
x
1
2
y = tg x
Z(impar)n
2
n.π
x
(-, )
Impar
Zn
nπx
0
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página 33
y = cosec x
Zn
nπx
(-, )
Impar
Z(impar)n
2
n.π
x
y = sec x
Z(impar)n
2
n.π
x
Re(-1,1)
Par
1
2
y = cotg x
Zn
nπx
Re(-1,1)
Impar
2
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 34 -
2.5.3 FUNCIONES ESPECIALES
Función Valor Absoluto
Presenta la forma:
xy)/y(x,f
domf = (-, )
rgo f = [0, )
según la definición de Valor Absoluto tenemos:
0xsix
0xsix
xf(x)
Función Parte Entera o Función del mayor entero
Está definida de la siguiente forma: xyyxf /),(
se define como el mayor entero que no supera a x . domf= (-. ) rgof= {Z}
xxf )(
x y
-2,1 -3
2 -2
-1,8 -2
-1,5 -2
-1,1 -2
-0,2 -1
0 0
0,2 0
0,6 0
1 1
1,2 1
1.4 1
1.8 1
2 2
2,3 2
Ejemplo vida cotidiana:
En un país cualquiera…
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 35 -
Función Signo
Está definida por:
0 x si 1
0 x si
0 x si
xxf 0
1
)sgn()( domf= (-. ) ; rgof= {-1, 0 , 1}
Función Parte Decimal o Función Mantisa
La función parte decimal o función mantisa M(x) = x -E(x) hace corresponder a cada número real
x el mismo número menos su parte entera.
Esta función tiene aplicaciones en la electrónica
x [|E|] x-[|E|]
-2,1 -3 0,9
2 -2 0
-1,8 -2 0,2
-1 -1 0
-1,1 -2 0,9
-0,2 -1 0,8
0 0 0
0,2 0 0,2
0,6 0 0,6
1 1 0
1,2 1 0,2
1.4 1 0,4
1.8 1 0,8
2 2 0
2,3 2 0,3
3 3 0
3,1 3 0,1
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 36 -
2.6.- FUNCIÓN INVERSA
Sea una función biunívoca f:
𝑓 = {(1,2); (2 ,4); (3, −1); (4, −2)}
la nueva función g , obtenida al intercambiar los pares ordenados de f:
𝑔 = {(2, 1); (4, 2); (−1, 3); (−2, 4)}
es la FUNCIÓN INVERSA de f.
Definición de función inversa
Si f es una función biunívoca, el conjunto de pares ordenados obtenido al intercambiar el orden
de las componentes de cada uno de los pares ordenados de f, se llama función inversa de f y la
designamos por f-1
Definición rigurosa
Sea la función biunívoca f está definida por la ecuación y = f(x) , es decir:
𝑓 = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)}
La función inversa de f será:
𝑓−1(𝑦) = {(𝑦, 𝑥)/ 𝑥 = 𝑓
−1(𝑦)}
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente.
Para poder graficar ambas funciones, f y f-1, en un mismo sistema de ejes coordenados y como
las letras que se usan para designar las variables de una función pueden ser cualesquiera,
escribimos la expresión (1) de la siguiente forma:
𝑓−1
(𝑥)
= {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓−1(𝑥)}
donde “y” es la variable independiente y “x” es la variable dependiente.
Características de f y f-1:
i) Si f es creciente/decreciente, su inversa f-1 también será creciente/decreciente
ii) 𝑑𝑜𝑚 𝑓−1 = 𝑖𝑚𝑔 𝑓 y 𝑖𝑚𝑔 𝑓−1 = 𝑑𝑜𝑚 𝑓
iii) las gráficas de f y f-1 resultan simétricas respecto
a la recta y = x (1° bisectriz)
Si f no es biunívoca, se restringe
el dominio para poder formar f-1.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 37 -
2.7.- ALGEBRA DE FUNCIONES
Dadas dos funciones definidas por y = f(x) , y = g(x) es posible formar, bajo ciertas condiciones,
una nueva función resultante de sumarlas, restarlas, multiplicarlas o dividirlas.
Es así que :
𝑖) 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑖) 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑖𝑖) 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 }
𝑖𝑣) 𝑓(𝑥)/ 𝑔(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0}
𝑣) 𝑔(𝑥)/ 𝑓(𝑥) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥) 𝑥 ∈ 𝑑𝑜𝑚𝑓 ∩ 𝑑𝑜𝑚𝑔 ∧ 𝑓(𝑥) ≠ 0}
Como vemos las operaciones : suma, diferencia y producto sólo podrán efectuarse si
domf domg
la operación cociente sólo podrá efectuarse si :
domf domg y g(x) 0
Para comprender el condicionamiento que solo pueden formarse las operaciones entre funciones
solo para los valores de x domf domg observamos las graficas de f y g.
En esta
región sólo
está
definida la
función f
En esta
región sólo
está
definida la
función g.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 38 -
2. 8.- FUNCIÓN COMPUESTA
Introducción
Además de las operaciones definidas anteriormente podemos definir otra operación
llamada composición de funciones o función compuesta .
Función compuesta gof
Frecuentemente dos funciones definidas por y = f(x) ; y = g(x), que de ahora en adelante
llamaremos f y g, están relacionadas de forma tal que el rango de una de una de ellas coincide
con el dominio de la otra.
Ejemplo :
f = { (-1,3) ; ( 2,4) ; (0,8 ) ; (8,6) } ; g = { (4,0) ; (3,-1) ; (6,5) }
i formamos una función F cuyos pares ordenados (x,y) estén formados por sólo aquellos valores de
x cuyas imágenes sean a la vez parte del domino de g y su correspondientes imágenes,
tendremos:
F={(x,y) / (-1, -1); (2,0) ; (8,5) }
Generalizando
Si escogemos un x del domf tal que f(x) pertenezca al domg, entonces el elemento de la
imagen de g correspondiente a f(x) de su dominio es g[f(x)], al cuál para simplificar lo llamamos
y . Queda formado así el par (x,y) donde x pertenece al domf e y pertenece a Img.
El conjunto de todos los pares ordenados (x,y) así formados recibe el nombre de FUNCIÓN
COMPUESTA g de f, que se simboliza por g(f) ó g o f .
-1
2
0
8
3
4
8
6 0
-1
5
f
g
* xi
* f(xi)
f
g
* gf(xi)
g[f (x)]
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 39 -
x
f
f(x)
g
gf (x)
g
g [f(x)]
Definición de gof
Si f y g son funciones tales que Imf domg , la función g(f) definida por
𝑔(𝑓) = {(𝑥, 𝑦)/ 𝑦 = 𝑔[𝑓(𝑥)]}
se llama función compuesta g de f.
Dominio de gof
El dominio de g(f) será: domgf(x)/domfxg(f)dom
Representación funcional de gof
Podemos representar la función compuesta como una máquina, tal como se muestra a
continuación. En este caso se representó g[f(x)].
Ejemplo: Sean
x xf )( y x1- xg )(
La composición f g es posible si el rango de f coincide con el dominio de g
En este ejemplo rgof ,0 y 1 -domg ,
No podemos realizar la composición ya que las imágenes de dominio de f no pertenecen al dominio de g
La condición para que pueda definirse la composición gof es que la imagen de f esté incluida en el dominio
de g. domg rgof
ACTIVIDAD
- representación funcional de fog
- definición de fog
- dominio de fog
*************************************
f f
¿ x f
rgof=[0, ∞)
domg=(-∞,-1]
g
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Contenidos
CONCEPTOS PRELIMINARES
DEFINICIONES
LÍMITES LATERALES
LÍMITE EN UN PUNTO
PROPIEDADES
LÍMITES INFINITOS Y ASÍNTOTA VERTICAL
LÍMITES EN EL INFINITO Y ASÍNTOTA HORIZONTAL
LÍMITES INDETERMINADOS
LÍMITES NOTABLES
LÍMITE es el concepto más importante del cálculo.
Algunos autores, definen el CÁLCULO como el estudio
de los límites. La noción de límite no solamente aparece
en continuidad, derivación e integración, sino, también,
en temas de Cálculo II como series, funciones de varias
variables, integrales múltiples y cálculo vectorial.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
UNIDAD
TEMÁTICA
4
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 77 -
MAPA CONCEPTUAL
Regla de la
cadena
Regla de
sustitución
Teorema
fundamental
del cálculo
Antiderivada
Teorema del
Valor Medio
Teorema de
monotonía
Teorema del
Punto crítico
Fórmula de
Taylor
Derivada
Teorema de
existencia de
máximos y
mínimos
Integral
definida
Teorema
del valor
intermedio
Teorema de
integrabilidad
Continuidad
Serie de
potencia
Derivadas
parciales
LÍMITE
Series
infinitas
Gradiente Integral
Múltiple
Teorema
fundamental
de la integral
de línea
Teorema de
Green
Teorema de
Gauss
Derivada
direccional
Integral
Iterada
Integral de
línea
Teorema de
Stokes
Integral de
superficie
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 78 -
a+ a-
a+ a-
CONTENIDOS TEÓRICOS
4.1 .- CONCEPTOS PRELIMINARES
Definición 1
Sea aR y R+, se llama Entorno del punto a de radio , y se simboliza a, E , al conjunto
de valores de x contenidos en el intervalo abierto a , -a
a x -a / R x a, E
También puede expresarse en términos de Valor Absoluto
a-x / R x a, E
Definición 2
Sea aR y R+, se llama Entorno Reducido del punto a de radio , y se simboliza a, E* , al
conjunto de valores de x contenidos en el intervalo abierto a , -a sin considerar a.
El entorno reducido se emplea cuando se quiere saber qué pasa en las proximidades del punto a,
sin que interese lo que ocurre en dicho punto.
a x a x -a / R x a, E ,*
En términos de Valor Absoluto
ax , a-x / R x a, E *
o a-x 0 / R x a, E *
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 79 -
4.2.- NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Supongamos tener una función f definida en todos los puntos del intervalo (c, d), salvo
posiblemente en un punto a perteneciente a (c, d).
Nos proponemos estudiar el comportamiento de la función f cuando x se acerca a “a”
independientemente del valor que tome en a.
Ejemplo
Dada la función definida por
2 x si 5
2 x si x
xf
12
)( analizamos el comportamiento de f
cuando x se acerca a 2.
x f(x)
1 1
1,5 2
1,9 2,8
1,99 2,98
1,999 2,998
2 5
2,001 3,002
2,01 3,02
2,1 3,2
2,5 4
3 5
Se puede observar que aunque x no toma el valor 2, pudimos tomar valores de x tan próximos a 2
como quisimos y comprobamos que f(x) se aproxima cada vez más a 3
Simbólicamente 3)(lim
2
xf
x
en cambio el valor que toma la función es: f(2) = 5
Noción Intuitiva de límite de una función1
Sea una función f definida en un intervalo (c, d) que contiene al número a, excepto en a donde
la función puede o no existir, entonces cuando escribimos
reales números Ly a con Lxf
ax
)(lim
Significa que para valores de x cada vez más próximos a a, pero distintos de a, la función toma
valores f(x) tan próximos a L como se quiera
L, si existe, es único y finito
1
Contenidos básicos del Cálculo Diferencial e Integral FBQFcia
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 80 -
4.3.- DEFINICIÓN RIGUROSA
Definición 1
La función y=f(x) tiende al límite L cuando x se aproxima hacia a y se simboliza
R L , a con L f(x)
ax
lim
Si para todo E (L, ), arbitrariamente prefijado, existe un δ a, *E contenido en el dominio de f tal
que: a,*E x L, E xf todo para )(
Lxf
ax
)(lim
Definición 2 - Actividad del estudiante: Complete
“Sea a, un punto de un intervalo abierto I, y f(x) una función definida en I, excepto posiblemente
en el punto x = .….
Se dice que el límite de f(x) cuando x tiende al punto a, existe y se escribe:
............ ............. lim
ax
, si y solamente si, para todo 0......... , existe un 0........ , dependiente
de ……. , tal que si ....... ..... -x 0 , entonces ....... xf .......)( “
a
f(x)
a x
L+
L=f(a)
L-
a x
L+
L=f(a)
L-
Punto vacío
f(x)
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 81 -
4.4.- LIMITES LATERALES
Límite lateral izquierdo
-L f(x)
ax
lim
si dado 0 existe > 0 tal que si
-L-f(x) axa
Límite lateral derecho
L f(x)
ax
lim si dado 0 existe > 0 tal que si
L-f(x) axa
4.5 LÍMITE EN UN PUNTO
Condición de existencia
Se dice que existe f(x)
ax
lim
si:
f(x)
ax
limf(x)
ax
lim c)
f(x)
ax
lim existe b)
f(x)
ax
lim existe a
)
f(x)
ax
lim existe
f(x)
ax
lim existe NO
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 82 -
Si los límites laterales existen pero son distintos, o si por lo menos uno de
ellos no existe, NO EXISTE el límite.
i) 2f(x)
-2x
lim
i) 1f(x)lim
2x
ii) 1f(x)lim
-2x
f(x)
2x
lim
ii)
f(x)lim
2x
iii) f(x)limf(x)lim
2-x2x
4.6 PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
01. R k con
k k lim
ax
02. g(x) lim f(x)lim g(x)f(x) lim
axaxax
03.- g(x) lim . f(x)lim f(x).g(x) lim
axaxax
04.- 0g(x) lim si
g(x) lim
f(x)lim
g(x)
f(x)
lim
ax
ax
ax
ax
05.- k kklim
f(x)
ax
lim
f(x)
ax
06.-
g(x)
ax
lim
f(x)
ax
lim
g(x)
ax
f(x)lim
07.- f(x)lim f(x) lim n
ax
n
ax
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 83 -
4.7 LÍMITES INFINITOS y ASÍNTOTA VERTICAL
Definición Intuitiva de Límites Infinitos
Se dice que la función f tiende a infinito cuando x a, si a medida que “x” se aproxima a “a” por
derecha o por izquierda, el valor absoluto de f(x) toma valores cada vez más grandes.
LIMITE INFINITO implica que “NO EXISTE LÍMITE” o que la función NO TIENE LÍMITE.
Definición Asíntota Vertical
Cuando f(x) cuando x a , ó (x a+ ó x a- ) diremos que la recta x = a es una
Asíntota Vertical de la función f
Ejemplo:
f(x)limf(x)lim
axax
f(x)limf(x)lim
axax
f(x)lim ; f(x)lim
´axax
f de vertical Asíntota es 2 x
2x
x
lim y
2x
x
lim
; 2 - domf ;
2x
x
f(x)
2x2x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 84 -
4. 8 LÍMITES EN EL INFINITO y ASÍNTOTA HORIZONTAL
Definición Intuitiva
Se dice que la función f tiende a L con L R , cuando los valores de x crecen o decrecen
indefinidamente, Lf(x)
x
lim
, y la función se acerca cada vez más a L.
Definición Asíntota Horizontal
Cada vez que para x - o x + , el límite es un número “L” ( con L ), la recta
y = L es una Asíntota Horizontal de la función f.
Ejemplo:
xcuando horizontal asíntota hay o 22lim y
. xcuando 0 y horizontal asíntota Hay 0
2
1
22lim
2f(x)
x
-
x
N
y
x
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 85 -
4.9 LÍMITES INDETERMINADOS
El cálculo de los límites conducen a determinar si la función tiene, o no, límite cuando es
x se aproxima al valor a
"
EXISTE NO LÍMITE EL real constante a con (x)f
ax
lim 2)
"
EXISTE LÍMITE EL reales constantes ky a con k(x)f
ax
lim
limit e t iene nof función la a, valor al aproxima se x Cuando"
k es valor suy limit e t ienef función la a, valor al aproxima se x Cuando"
)1
Pero en algunas ocasiones, el cálculo de los límites conducen a expresiones que, aritméticamente,
no tienen significado, tal es el caso de:
1 ; 0 ; 00 ; - ; . 0 ; ;
0
0
Estas expresiones se llaman Indeterminaciones o Indeterminadas.
Las mismas no significan que no existe el límite
Para decidir si existe o no el límite en el punto analizado se deben “levantar” o eliminar las
indeterminaciones aplicando distintos procedimientos algebraicos: factoreo, racionalización,
aplicación de límites notables entre otros.
Ejemplo
1/4. es valor su y
2 a acerca se x cuando f de limite el existe
lim
).2(
)2(
lim
4
2
lim
:aciónindetermin la eliminar de Proceso
0
0
4
2
lim
4
2
f(x)
2x
2x22x
22x2
4
1
2)(x
1
2)(x x
x
x
x
aciónIndetermin
x
x
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 86 -
4. 10.- LÍMITE NOTABLES o LÍMITES FUNDAMENTALES
Los límites notables o fundamentales con los que se trabajará durante el dictado de la materia
son:
PRIMER LÍMITE FUNDAMENTAL
Requisitos Previos
TEOREMA DE ESTRICCIÓN
Sean f, g y h funciones definidas en algún intervalo abierto I que contiene a “a”, excepto
posiblemente para x=a. Suponga además que g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para toda x en I para la cual
x a . Suponga también que:
Lh(x)
ax
limg(x)
ax
lim
entonces:
Lf(x)
ax
lim
Enunciado
Sea
x
xsen
f(x) entonces 1f(x)
0x
lim
Demostración Primer Límite Fundamental
Consideremos la circunferencia de ecuación 12y2x y
2
π
x
2
π
1
x
xsen
lim
0x
e
x
1
1 lim
x
x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 87 -
ABAB =DABA
xsenAF ;
BA
AF
senx
xtgED ;
BD
ED
tgx
2
x
sup.sector ;
2π
π.x
sup.sector
.1 2π
x
2
π.1
sup.sector
nf.long.circu
long.arco
osup.círcul
sup.sector
Quedan determinadas las siguientes figuras geométricas:
Δ
EBD ; ABD ;
Δ
ABD
Cuyas medidas de áreas son:
Δ
EBD Sup. ABD Sup.
Δ
ABDSup.
(1)
2
ED .BD
sect or sup.
2
AF .BD
Reemplazando en (1):
2
1.t gx
2
x
2
x 1.sen
;
x cos 2
x sen
2
x
2
x sen
Multiplicando miembro a miembro por
senx
2
y operando:
x sen
2
.
x cos 2
x sen
x sen
2
.
2
x
x sen
2
.
2
x sen
x nes
2
.
x cos 2
x nes
x sen
2
.
2
x
x nes
2
.
2
x nes
x cos
1
x sen
x
1
Aplicando propiedades:
h(x)
1
f(x)
x
x sen
) g(x
x cos x cos
x
x sen
1
Aplicando límite miembro a miembro: 1
0x
lim
x
x sen
0x
lim x cos
0x
lim
Como:
1 1
0x
limy 1 x cos
0x
lim
Según el teorema de estricción*: 1
x
xsen
0x
lim
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 88 -
SEGUNDO LÍMITE FUNDAMENTAL
Requisitos Previos
BINOMIO DE NEWTON
n!
n
1)...b-n.(n
...
3
.b
3-n
a
3!
2)1).(nn.(n2
.b
2-n
a
! 2
1)n.(n
!1
1
.b
1-n
a n
0!
n
a
n
ba
nb...3.b3-na
6
2)1).(nn.(n2
.b
2-n
a
2
1)n.(n1
.b
1-n
a n
n
a
n
ba
con n Z+
Demostración Primer Límite Fundamental
Aplicando a la función exponencial dada, el Binomio de Newton:
n
n
1
...
n
2
1
n
1
1 .
n
n
n...3.2.1
1
...
3
n
1
.
n
2
1
n
1
1
3
n
6
1
2
n
1
.
n
1
1
2
n
2
1
11
n
n
1
1
n
n
1
...
n
2
1
n
1
1 n.n.n...
n...3.2.1
1
...
3
n
1
.
n
21
n
1
1 n .n. n
6
1
2
n
1
.
n
1
1 .n n
2
1
n
1
. n1
n
n
1
1
:n común factor sacando
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
.
6
2)1).(nn.(n
2
n
1
.
2
1)n.(n
n
1
. n1
n
n
1
1
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
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1
.
6
2)1).(nn.(n
2
n
1
.
2
1)n.(n
1
n
1
. n1
n
n
1
1
n
n
1
n...3.2.1
2)...1).(nn.(n
...
3
n
1
.
3-n
1
3.2.1
2)1).(nn.(n
2
n
1
.
2-n
1
2.1
1)n.(n
1
n
1
.
1-n
1
1
nn
1
n
n
1
1
n-n
1
e2,7182...
límit e aplicando
ndosimplifica
n
n
1
1
n
lim
...
120
1
24
1
6
1
2
1
11
n
n
1
1
n
lim
...
n
2
1
n
1
1 .
n...3.2.1
1
...
n
2
1
n
1
1
6
1
n
1
1
2
1
11
n
n
1
1
...
n
2
1
n
1
1 .
n...3.2.1
1
n
lim......
n
2
1
n
1
1
6
1
n
lim
n
1
1
2
1
n
lim1
n
lim1
n
lim
n
n
1
1
n
lim
que es lo que se quería demostrar.
CONTINUIDAD DE UNA
FUNCIÓN
UNIDAD
TEMÁTICA
5
Contenidos
Continuidad de una función en un punto
Discontinuidades: clasificación
Continuidad de una función en intervalos
Propiedades de funciones continuas
En la naturaleza y en la vida cotidiana se presentan numerosos fenómenos que tienen un
comportamiento continuo como por ejemplo el desplazamiento de un vehículo o el volumen del
agua que fluye de un recipiente.
Pero también se presentan discontinuidades en muchas situaciones, como las corrientes eléctricas.
Si bien muchos procesos físicos son continuos, alrededor de 1920 se descubrió que los átomos que
vibran en una molécula de hidrógeno pueden oscilar sólo en niveles de energía discretos y que los
átomos al ser calentados, emiten luz en frecuencias discretas y no en espectros continuos. Como
resultado de estos
descubrimientos y dado que en informática y en estadística hacen un intenso uso de funciones
discretas, la continuidad ha adquirido una gran importancia1
1
http://www.fca.unl.edu.ar
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 104 -
CONTENIDOS TEÓRICOS
5.1 Definición intuitiva
Una función es CONTINUA cuando no presenta saltos ni interrupciones
Caso contrario la función es DISCONTINUA
5.2 Definición de función continúa en un punto
- Una función f es continua en un punto de abscisa c si:
a) f (c)
b) (x)fl
cx
ím
c) (x)fl
cx
ím
= f (c)
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 105 -
5.3 Definición de función discontinua en un punto
Una función f es discontinua en un punto de abscisa c (x = c) si no se verifica por lo menos una
de las tres condiciones de continuidad en un punto.
5.4 Tipos de discontinuidades
Las discontinuidades se clasifican en:
1) Evitables cuando existe el límite en el punto: Existe f(x) lim
cx
2) o Evitables o Inevitables cuando no existe el límite: No Existe f(x) lim
cx
Pueden presentarse los distintos casos:
a) Finitas: cuando existen los límites laterales pero no son iguales
b) Infinitas: cuando al menos uno de los límites laterales es +∞ o - ∞ (el límite no existe)
Evitable Evitable No evitable finita No evitable infinita
5.5 Definición de función continua en un intervalo abierto
Una función f es continua en un intervalo abierto (a, b) si
es continua en todos los puntos de ese intervalo
Ejemplo: Sea
3
)(
x
x
xf analice la continuidad de f en los intervalos (-1, 4) y (3, 7)
El 3 Rdomf . El único valor para la cual la función no está definida es para x = 3.
Como 4) (-1, x 3 f es discontinua en (-1, 4).
Como (3,7) x 3 f es continua en (3,7).
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
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5.6 Definición de función continua en un intervalo cerrado
Una función f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es:
i) Continua en todos los puntos del intervalo abierto (a, b).
ii) Continua por la derecha de a, es decir
a fxf
ax
)(lim
iii) Continua por la izquierda de b, es decir
b fxf
bx
)(lim
Ejemplo:
Sea
1 x si 1 -x
1x si x
xf
1
)(
2
analice la continuidad de f 3, 2
1) Se estudia si f es continua en 3,2
Las funciones 12 xy xy son continuas en todo su dominio o sea en R. Por tanto queda analizar
si f es continua en x = 1.
1 x en cont inua esf ent onces xf
1x
lim f(1) iii
xf
1x
lim exist e ent onces exist e xf
1x
lim
exist e xf
-1x
lim ii
f i)
0)()
0)(011)(
01
2
1)()
01
2
1)1(
Por tanto decimos que f es continua en el intervalo abierto (-2, 3), cumpliéndose 5.6.i
2) Se estudia si es continua a la derecha de x = -2
2 -x de derecha la a continua esf entonces
x
lim ; 2 -f
31
2
)2(
2
31
2
)2()(
3) Se estudia si es continua a la izquierda de x = 3
3x de izquierda la a continua esf entonces
x
lim ; 3f
213
3
213)(
Como se cumplen todas las condiciones,
f es continua en [-2, 3]
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 107 -
5.7 Propiedades de funciones continuas
Teorema 1
Si )(: xfyf y )(: xgyg son funciones continuas en x = c , también son continuas en c las
siguientes funciones:
a) )(xf . ky con k constante
b) g(x) xf y )(
c) g(x) xf y .)(
d) 0 g(c) con
xg
xf
y
)(
)(
e) Si g(x) es continua en x = c y )(xf es continua en )(cg , entonces la función compuesta
fog es continua en x = c
Teorema 2
Las funciones Algebraicas Enteras (polinomiales) son continuas en el conjunto de los números
reales.
Teorema 3
Las funciones Algebraicas Fraccionarias son continuas para todo valor de x, excepto para
aquellos valores que anulan el polinomio denominador.
5.8 Teoremas de funciones continuas en intervalos cerrados
Los siguientes teoremas enuncian resultados importantes de funciones continuas en intervalos
cerrados que se aplicarán más adelante en el Cálculo Diferencial y en el Cálculo Integral.
5.8.1 Teorema de Bolzano
Sean a,b ∈ R con a < b y f una función continua en [a, b], verificando que f(a) < 0 y f(b) > 0 (o
f(a)>0 y f(b) < 0). Entonces existe c ∈ (a ,b) tal que f(c) = 0.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 108 -
5.8.2 Teorema del Valor Intermedio
Sea y = f (x) una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y k un número cualquiera
entre f (a) yf (b), entonces existe al menos un número c en (a, b) tal que f(c) = k
5.7.3 Teorema de Weierstrass
Toda función continua en el intervalo cerrado [a, b], tiene al menos un máximo y mínimo
absolutos en [a, b].
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD
TEMÁTICA
Contenidos
Cociente Incremental
Derivada de una función en un punto
Derivabilidad
Función Derivada
Demostraciones
Derivada de funciones inversas
Método de Derivación logarítmica
Derivada de funciones Compuestas
Regla de la Cadena
Derivadas de Orden Superior
Derivada de Funciones Implícitas
Tabla de Derivadas
5
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 124 -
Descifra en mensaje
Reglas del Juego:
Los números que aparecen en el mensaje corresponden a los
números de las funciones. Cambiar estos números por las letras
que corresponden a las derivadas de las funciones dadas.
“1 2 3 4 2 1 4 5 1 6 “
FUNCIONES DERIVADAS
xtgxf 12cos)()1
x
xxe
x
e
esen
eef´(x) G)
2
sec
cos
..
.lnxxnl f(x) 2) 2
1x2 senf´(x) R)
xesec
e f(x) )3
1lnx . x (esec ef´(x) ) A xx2x )
5xtg ln f(x) 4) 12x sec 12xtg sen f´(x) ) I
2 2
1xsen f(x) 5) 2 cos(5x) xsen
f´(x) E)
).5(
5
xx etgx f(x) 6)
x x ln x
xx
f´(x) N) 2
ln.
1
2
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 125 -
CONTENIDOS TEÓRICOS
COCIENTE INCREMENTAL
Sea una función f definida en un intervalo (c,d) que contiene a los números reales “a” y “x” con
a≠x y “a” fijo.
La diferencia: hΔxax mide la variación de la variable independiente y se denomina
“Incremento de x”
La correspondiente diferencia de ordenadas: kΔyf(a)f(x) mide la variación absoluta
de la función, y se denomina “Incremento de la función”.
El cociente:
a-x
f(a)f(x)
x
y
Se denomina “Cociente Incremental” e indica la rapidez promedio (o rapidez
media) de variación de la función f en el intervalo [ a , x].
El cociente incremental se suele llamar también “Razón de cambio media de
f(x) respecto a x en el intervalo [a,x]” o “Razón promedio de cambio”
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 126 -
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Si el límite del cociente incremental cuando x tiende a “a”, simbolizado por:
a-x
f(a)f(x)
lim
ax
existe, indica la rapidez instantánea de variación de la función f en el punto a.
También suele llamarse Razón de cambio instantánea de f(x) respecto a x en el punto “a”
Este límite, si existe, se define como la “Derivada de f con respecto a x en el punto a” y se
simboliza f’(a).
Como
0h y 0x , a xcuando y h a x ox a x ; hΔxax
la definición anterior puede expresarse:
h
f(a)h)f(a
lim(a)f'
0h
o
x
f(a)x)f(a
lim(a)f'
0
x
Aplicación 1
Sea 4
2 x)x(f determine, si existe, f’(2)
existe 4(2)f'
2)(xlim
2-x
2x.2-x
lim(2)f'
0
0
2-x
4-x
lim
2-x
4-24-x
lim(2)f'
2x2x
2
2x
22
2x
TOME NOTA
Definición: Sea f una función definida en un entorno de un
número a, y sea x cualquier número real perteneciente a ese entorno con x
≠a. Si
a-x
f(a)f(x)
lim
ax
existe, se llama “derivada de f con respecto a x en el punto a y se simboliza
con f’(a). Es decir,
a-x
f(a)f(x)
lim(a)f'
ax
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 127 -
CONDICIÓN DE EXISTENCIA DE DERIVADA EN UN PUNTO
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO
Geométricamente (se desarrolla con amplitud en “Aplicaciones de la Derivada”)
La función f es derivable en el punto de abscisa
x= a (en este caso x = 4)
Funciones NO DERIVABLES en x= a (en este caso x = 4)
La derivada de una función f en un punto x=a existe, o sea existe f ‘(a) si:
existe
a-x
f(a)f(x)
ax
lim(a) '- f
existe
a-x
f(a))f(x
ax
lim(a)' f
(a) ' f(a)
'
- f
TOME NOTA
Teorema:
Se dice que una función f es derivable, o diferenciable, en x = a si existe la
derivada en x=a, o sea existe f’(a).
TOME NOTA
Una función es derivable en un punto si su
recta tangente en el mismo es única y de
pendiente finita
Recta Tangente no es única La m de la recta Tangente no es finita
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
CS
Resaltado
CS
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CS
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CS
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CS
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CS
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CS
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CS
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CS
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FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 128 -
Aplicación 2
Sea 4 x)x(f determine si f es derivable en x = 4
4 x ; 04- xsi x
4 x ; 0 4- xsi x
)x(f
4
4
existe (4) f
4x
lim(4) f
;
0
0
4-x
4-x
4x
lim
4-x
4-44-x
4x
lim(4) f a)
DESARROLLO
''
'
11
existe (4) f -
4x
lim(4) f
;
0
0
4-x
4-x-
4x
lim
4-x
4-44x-
4x
lim(4) f b)
''
'
11
4 x en derivable es no f entonces (4) f (4) f : como
''
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 129 -
DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO
Aplicación 3
Sea 42xf(x) determine si f es derivable en [-1, 3]
Desarrollo:
a) f es una función algebraica entera y por lo tanto admite derivada en todo su dominio por
lo tanto f es derivable en (-1, 3).
b) Se determina f’+ (-1)
(-1) f en derivable 2(-1) f
1)(x
1)1).(x(x
-1x
lim(-1) f
0
0
1x
12x-
1x
lim
1x
4142x-
-1x
lim(-1) f
'''
'
c) Se determina f’- (3)
(3) f en derivable -6(3) f
3)(x
3)3).(x(x
3x
lim(3) f
0
0
1x
92x-
3x
lim
1x
4942x-
3x
lim(3) f
'''
'
Entonces f es derivable en [-1, 3]
Teorema:
Se dice que una función f es derivable, o diferenciable, en un intervalo
cerrado [a, b], si es derivable en el intervalo abierto (a, b), es derivable por
la derecha de a y derivable por la izquierda de b.
(b) ' fexiste c)
(a) ' fexiste b)
b x a con (x) ' fexiste a)
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 130 -
CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
El recíproco de este Teorema no es cierto, o sea que una función continúa en un punto no es
necesariamente derivable en el mismo punto.
Aplicación 4
En la aplicación 1 se demostró que la función 4 x)x(f no es derivable
en x = 4. Analicemos que ocurre con la continuidad en el mismo punto.
4 x ; 04- xsi x
4 x ; 0 4- xsi x
)x(f
4
4
4 x en continua es f entonces 0 f(x)
4x
lim f(4) c)
0 f(x)
4x
lim existe entonces
derecha la por limite el existe 4)(x
4x
lim
izquierda la por limite el existe 4)(-x
4x
lim b)
existe 0 4 - 4 f(4) a)
0
0
La función f es continua en x = 4 pero no es derivable en el mismo punto, o sea que CONTINUIDAD
NO IMPLICA DERIVABILIDAD.
Pero sí es cierto que DERIVABILIDAD IMPLICA CONTINUIDAD
Teorema
Si una función f es derivable en un punto a, entonces f es
continua en a
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 131 -
OBSERV
FUNCIÓN DERIVADA
Si domfa y es tal que existe
x
f(a)x)f(a
lim(a)f'
0x
,
entonces se puede formar el par ordenado (a)f' ,a .
Si domfb y es tal que existe
x
f(b)x)f(b
lim(b)f'
0x
,
entonces se puede formar el par ordenado (b)f' ,b .
Si domfc y es tal que existe
x
f(c)x)f(c
lim(c)' f
0x
,
entonces se puede formar el par ordenado (c)f' ,c .
Otras notaciones:
Si y = f(x) , la derivada de f se expresa:
dx
f(x)d
,
dx
dy
, Df(x) , Dy , f(x)D , y D , y' , (x)' f xx
Aplicación 5
Determine, aplicando definición, la derivada de la función definida por
12x3x(x) f 2
26x(x)' f
Δx
2Δx 36x Δx
0Δx
lim
Δx
Δx 22Δx 3Δx 6x
0Δx
lim
Δx
12x23x-1Δx) 22x2Δx 3Δx 6x 23x
0Δx
lim
0
0
Δx
12x23x-1Δx)2(x2Δxx3
0Δx
lim(x)' f
Si se repite este procedimiento con todos los valores de domfx , tales
que exista
x
f(x)x)f(x
lim(x)' f
0x
se puede formar el conjunto
(x)f' ,x
Esta última expresión recibe el nombre de FUNCIÓN DERIVADA de f
respecto a x.
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=observe&source=images&cd=&cad=rja&docid=T5k-a5Grbc2MlM&tbnid=yVflj-Hk8NM87M:&ved=0CAUQjRw&url=http://collegewebeditor.com/blog/index.php/archives/2010/06/01/usability-testing-why-invite-your-boss-and-vp-to-observe-your-next-tests/&ei=8sf1UYb2DsTEigLJqoGgAg&psig=AFQjCNFm7QZDmaD-hcyN2suepyi4CkmizA&ust=1375148003033440
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
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FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 132 -
DEMOSTRACIÓN DE REGLAS DE DERIVADAS
En este material se realizará la demostración de algunas funciones usuales
1) Derivada de una constante: R K con K xf )(
0(x)' f
ntoncese
x
xfxxf
R K todo para
x
KK
x
xfxxf
ónDemost raci
xx
00lim
)()(
lim
0
)()(
00
2) Derivada de la variable independiente: x xf )(
1(x)' f
entonces xf
x
x
x
xxx
xf
ónDemost raci
x
xx
11lim)´(
lim
)(
lim)´(
0
00
3) Derivada de la suma algebraica de funciones: )()()()( xhxgxfxF
w'- ' v ' u ' w- v u
entonces v' g´(x) ; v g(x) ; u´ f´(x) ; u f(x)
:si
(x)' h(x)' g(x)' f(x)' F entonces
x
xhxxh
x
xgxxg
x
xfxxf
xF
ementeconvenient agrupando
x
xhxgxfxxhxxgxxf
xF
ónDemost raci
xh
x
xg
x
xf
x
x
)('
0
)('
0
)('
0
0
)()(
lim
)()(
lim
)()(
lim)´(
)()()()()()(
lim)´(
TOME NOTA
Determinar la derivada de funciones, aplicando la definición, es un proceso
laborioso, por ello utilizaremos REGLAS DE DERIVACIÓN (“fórmulas de derivadas”)
obtenidas al aplicar la definición deDERIVADA DE UNA FUNCIÓN.
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 133 -
4) Derivada del producto de funciones: )().()( xg xfxF
v' . u v . u' 'u.v
v' g´(x) ; v g(x)
u´ f´(x) ; u f(x)
:si
(x)' g . f(x) g(x) (x).' f(x)F'
ent onces
(x) f' . g(x) (x) g' . f(x) xF
xf
x
f(x)-xxf
x
xg
xg
x
g(x) xxg
x
xxf
x
xF
x
f(x)-xxf xg
x
x
g(x) xxg xxf
x
xF
:ement econvenient
ordenandoy g(x) limit e segundo el eny x)f(x limit e primerel en común fact or sacando
x
g(x) . xxf xg xf
x
x
g(x) . xxf xxg xxf
x
xF
:t érmino t ercer el con segundo ely t érmino cuart o el con t érmino primerel agrupando
x
g(x) . xxf -g(x) . xxf xg xfxxg xxf
x
xF
ant erior expresión la de numerador el en g(x) . xxf resión la dores y sumando
x
xg xfxxg xxf
x
xF
ónDemost raci
)('
)('
0
lim).(
)('
)(
0
lim).(
0
lim)´(
).(
0
lim
)().(
0
lim)´(
)().(
0
lim
)().(
0
lim)´(
)().()().(
0
lim)´(
exptan
)().()().(
0
lim)´(
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 134 -
5) Derivada del cociente de dos funciones:
)(
)(
)(
xg
xf
xF
2
'
2 v
v' . u - v . u'
v
u
;
g(x)
(x)f(x).g'(x)g(x).f'
F´(x)
entonces
)xg(xxg
x
g(x)-x)g(x
xf
x
f(x-x)f(x
g(x).
xF
x)g(xxg
x
g(x)-x)g(x
xf
x
f(x-x)f(x
g(x).
xF
xxg
.
x
g(x)-x)g(x
xg
xf
x)g(x
1
x
f(x-x)f(x
x
x)g(x . g(x) . x
g(x)-x)g(x f(x).
x)g(x . g(x) x.
f(x-x)f(x . g(x)
xF
x)g(x . g(x)
xgxxg f(x).
x)g(x . g(x)
xfxxf . g(x)
x
1
xF
x)g(x . g(x)
g(x) . f(x) -g(x) f(x).x)g(x . f(x)-x)f(x . g(x)
x
1
xF
x)g(x . g(x)
x)g(x . f(x)-x)f(x . g(x)
x
1
xg
xf
x)g(x
x)f(x
x
1
xF
ónDemost raci
x
xg
x
(x)f'
x
x
xx
xxxx
xx
x
x
xx
adordeno común teebraicamena operando
:limites de des propiedaaplicando
:común factor sacandoy término tercer el con segundo ely término cuarto el con término primerel agrupando
anterior expresión la de numerador el en g(x) . xf resión la dores y sumando
00
)('
00
0
00
0000
00
0
0
00
lim).(
lim).(lim
)('
lim).(
lim).(lim
)('
)(
1
limlim.
)(
)(
lim.lim)´(
limlim)´(
)()()()(
lim)´(
lim)´(
lim
)(
)(
lim)´(
:)min(lg
exptan
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 135 -
6) Derivada de la función potencial:
nxxf )(
1-n x . n (x)' f
:entonces xxx 1)-(n nxn xf :
xxx 1)-(n nxn
x
xxx 1)-(n nxxn
xf
x
xxxx 1)-(n nxxnx
xf
x
xxx
xf
ónDemost raci
nnn
x
nnn
x
nnn
x
nnnnn
x
nn
x
limite el aplicando
:Newton de Binomio el según término 1 el ndodesarrolla
0
1
0
0
21
0
121
0
221
0
221
0
0
.....
!2
1
.lim)´(
.....
!2
1
.lim
.....
!2
1
..
lim)´(
.....
!2
1
..
!1
1
lim)´(
lim)´(
7) Derivada de la función logarítmica: xxf alog)(
a ln x.
1
e alog .
x
1
(x)' f
x
x
log
x
x f
:(1) en doreemplazan
e
g(x)
:doGeneraliza lFundamenta Limite al acuerdo de
(1)
x
x
1
log
x
xf :límites de propiedadpor
x
x
log
x
(x)f' :lìmites dey logaritmos de propiedadsegún
x
x
log .
x
x
xx
x
log
x
x
.
x
1
(x)' f
:x pordividiendoy ndomult iplica
x
x
log
x
1
x
xx
log
x
1
x log-x)(x
x
1
xf
ónDemost raci
:entonces e alog .
x
1
e
x
x
x
a
xg
x
x
x
x
a
x
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
x
aa
x
1
1lim.
1
)('
1
1lim
1lim.
1
)('
1lim.
1
1lim.
1
1lim
1limlimloglim)´(
0
)(
0
0
00
000
ACTIVIDAD: En forma análoga, determine la derivada de f(x) = ln x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 136 -
8) Derivada de la función trigonométrica f(x) = sen x
xcos f´(x)
;
x
2
x2x
x
2
x
sen
xf
2
x2x
2
x
sen
x
2
2
xxx
2
x-xx
sen 2.
x
1
xf
expresada quedará (1)
2
2
sen . 2 sen - sen :comoy x seny x x si
(1) x sen-x)(x ens
x
1
xf
ónDemost raci
xx
xx
x
2
2
cos.1coslim.
2
lim)´(
cos.limcos..lim)´(
cos.
lim)´(
0
0
1
0
00
0
9) Derivada de la función trigonométrica f(x) = cos x
xsen f´(x)
: entonces
x
sen
2
x2x
sen
x
2
x
sen
xf
2
x2x
sen
2
x
sen
x
2
2
xxx
sen
2
x-xx
sen 2.
x
1
xf
:como expresada quedará (1)
2
sen
2
sen . 2 - cos - cosy
cosenos) de as(Diferenci cos - cos x cos -x)(x cos omoc
x cos-x)(x
x
1
xf
ónDemost raci
xx
xx
x
2
2
.1lim.
2
lim)´(
.lim..lim)´(
.
coslim)´(
0
0
1
0
00
0
En base a las demostraciones anteriores y aplicando derivada de un cociente y equivalencias
trigonométricas
senx
xgxtco ;
x
senxgxt ;
senx
ecx ;
x
x cos
cos
1cos
cos
1sec
Se pueden demostrar la derivada de f(x) = tgx, f(x) = cotg x ; f(x) = secx ; f(x) = cosec x
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 137 -
DERIVADA DE FUNCIONES INVERSAS
10) Derivada de las funciones trigonométricas inversas
a) x arcsenf(x)
2x-1
1
(x)' f
entonces
x
arcsenx D :(2) segúny
ysen
y
arcsenx D
x D
y D
y D
x D
(3) f(x) x DyfD
(2)y sen x :sea o f(x) senyf x
(1) x rcsena xfy
ónDemost raci
x
x :expresión últ ima la en (3)y (1) doreemplazan
y
x
x
y :inversas funciones de derivada de Teorema al acuerdo de
y
1-
y :derivada suy
1-
:es inversa su
2
2
1
1
1
1
cos
1
11
cos)(
)(
)(
x arctgf(x) b)
2x1
1
(x)' f
entoncesx
arctgx D :(2) segúny
ytgy
arctgx D
:expresión últ ima la en (3)y (1) doreemplazan
x D
y D
y D
x D :inversas funciones de derivada de Teorema al acuerdo de
(3) f(x) sec x DyfD :derivada suy
(2)y tg x :sea o f(x)tgyf x :es inversa su
(1) x rctga xfy
ónDemost raci
x
x
y
x
x
y
2
y
1-
y
1-
2
22
1
1
1
1
sec
1
11
)(
)(
)(
ACTIVIDAD: En forma análoga, determine las derivadas de las restantes funciones inversas
trigonométricas.
Teorema
Sea f una función creciente (o decreciente) y continua en un intervalo. Si
para un punto x de ese intervalo )x(' ff(x) xD existe y es distinta de cero,
entonces la función inversa f-1 es derivable en f(x), y su derivada está dada
por:
f(x) xD
)y(1-f yD
1
,
y xD
x yD
1
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 138 -
A modo de ejemplo, determinamos la derivada de la función exponencial:
11) Derivada de la función exponencial
aln.xa(x)' f
1a y 0 a con xaf(x)
a ln xa (x)' f . entonces
xa . a ln y' :(1) sustituir )5
y . a ln y' y´: despejar )
0 . x a ln 1.
y
'y
:miembros ambos derivar )3
a ln x. y ln :miembro segundo el en ,logaritmos de spropiedade según )
xa ln y ln
:miembros ambos en )neperianos emente(preferent logaritmos Aplicar )1
xa )x(fy
ónDemostraci
4
2
TOME NOTA
MÉTODO DE DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
Se aplica este método para derivar funciones de la forma
v(x)
(x)uf(x):f
El método consiste en aplicar logaritmos, y aprovechar sus propiedades, para
transformar el segundo miembro del ejercicio dado en producto y recién
derivar.
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 139 -
Aplicación 6
Aplicando el Teorema anterior, determine la derivada de f(x) = cos
(3x2-2x)
2)-(6x .x23x sen
'
x2(3x cos :sea o
2)-(6x .g(x) sen
'
x2(3x cos
:anterior Teorema al acuerdo de
g(x) sen)x(f´(g) :es derivada su g(x) cos)x(f(g) entonces
2-6x (x)g' es derivada su x23x g(x) si
x23x cos)x(f Sea
Desarrollo
22
2
2
2
DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS
Teorema
Si f y g son funciones derivables de modo que g es derivable en x y f
es derivable en g, entonces f(g) es derivable en x y su derivada está
dada por:
(x) 'g .g(x) 'f(x)'f(g) Regla de la Cadena
g(x) 'f es la derivada de f respecto a g.
(x) 'g es la derivada de g respecto a x.
TOME NOTA
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 140 -
OBSERVA
REGLA DE LA CADENA
Ampliación del Teorema de funciones compuestas
En el caso de funciones más complejas conviene usar otra
expresión de la Regla de la Cadena:
dx
dw
...
dv
du
.
du
dy
dx
dy
(x)' f
Demostración:
Sean las funciones y = f(u) , u = g(v) , v = h(w) funciones continuas.
Recordando que:
x
y
x
lim'yyxD
0
Multiplicando y dividiendo, el 2° miembro, por w , v , u se tiene:
dx
dw
.
dw
dv
.
dv
du
.
du
dy
y'yxD
x
w
.
w
v
.
v
u
u
y
yyD
:limites de es propiedadaplicando
0w , 0v , 0u , 0x cuando cont ínuas, funciones ser por
x
w
.
w
v
.
v
u
.
u
y
yyD ordenando
w
w
.
v
v
.
u
u
.
x
y
yyD
xwvu
x
x
x
x
x
0000
0
0
limlimlim.lim'
lim':
lim'
Aplicación 7
Derive
2x(3x3ln seny
aplicando Regla de la Cadena
2)-6x
2x -3x
1
. 2ln3 . 2x-(3x ln cos
dx
dy
dw
dv
.
dv
du
.
du
dy
dx
dy
: en doreemplazan
2x-(3x ln cos wln coscos
du
dy
,
2ln3ln.33
dv
du
v u
2x -3x
11
dw
dv
; wln v
2-6x
dx
dw
;2x -3xw
Desarrollo
2
2
23
233
2
223
2
2
( . x(3x .
dx
dw
.
v cosu u seny
x(3x . wv ;
w
2
3
2
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=observe&source=images&cd=&cad=rja&docid=T5k-a5Grbc2MlM&tbnid=yVflj-Hk8NM87M:&ved=0CAUQjRw&url=http://collegewebeditor.com/blog/index.php/archives/2010/06/01/usability-testing-why-invite-your-boss-and-vp-to-observe-your-next-tests/&ei=8sf1UYb2DsTEigLJqoGgAg&psig=AFQjCNFm7QZDmaD-hcyN2suepyi4CkmizA&ust=1375148003033440
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 141 -
TOME NOTA
OBSERVA
Otras formas de representar f’’ son:
dx
y2d
;
dx
)x(f2d
; 'y' ; y x
2D ; )x(fx
2D ; )x(''f
22
con y = f(x)
En general, la función derivada n-ésima de f se define como:
x
(x) 1-nfx)(x 1-n f
0x
lim(x)nf
Otras formas de representar f n son:
ndx
ynd
;
ndx
)x(fnd
; (n)y ; y nD ; )x(fx
nD ; )x()n(f x con y = f(x)
Aplicación 8
4)sen(3xf(x) Sea determine, si existe, )(f 4
4)-(3x sen 81(x)(4)f
4)-(3x cos 27 - (x) ''f'
4)-(3x sen -9(x)'f'
4)-(3x 3.cos(x)'f
4)-(3x senf(x)
Desarrollo
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
Sea y = f(x), su función derivada f’ está dada por:
x
f(x)x)f(x
lim(x)' f
0x
si el limite existe.
Si la derivada de f’ existe se llama DERIVADA SEGUNDAde f y se denota f’’(x)
de modo que:
x
(x)' fx)(x' f
0x
lim(x)'' f
si el limite existe.
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
http://www.google.com.ar/url?sa=i&rct=j&q=observe&source=images&cd=&cad=rja&docid=T5k-a5Grbc2MlM&tbnid=yVflj-Hk8NM87M:&ved=0CAUQjRw&url=http://collegewebeditor.com/blog/index.php/archives/2010/06/01/usability-testing-why-invite-your-boss-and-vp-to-observe-your-next-tests/&ei=8sf1UYb2DsTEigLJqoGgAg&psig=AFQjCNFm7QZDmaD-hcyN2suepyi4CkmizA&ust=1375148003033440
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CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 142 -
TOME NOTA
Aplicación 9
Obtener la derivada
dx
dy
de la siguiente función:
F(x,y) = 3 x2y – 4 x y2 + 8 x3 – 2 y2
DESARROLLO
0
dx
dy
4y..1224x
dx
dy
x.2y.21.y4.
dx
dy
.2x2x.1.y3.
0
dx
dy
4y.
dx
dx
.224x
dx
dy
x.2y.2.y
dx
dx
4.
dx
dy
.2x.y
dx
dx
2x.3.
022y38x24xyy23x
022y38x24xyy23x y)F(x,
: xa respecto miembro segundo y primer el varderi
6xy224x24y
dx
dy
4y.3
0
dx
dy
4y.36xy
dx
dy
8xy.
dx
dy
.2x
dx
dy
contienen que términos los miembro 1 el en agrupan se
224x
dx
dy
8xy.24y
dx
dy
.2x
:mentealgebraica operando
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS
Una función en dos variables definida en forma implícita presenta la forma:
F(x,y)=0
Ejemplo: 022y38x24xyy23x
Para obtener la derivada
dx
dy
de una función implícita, se emplean las
mismas fórmulas
y las mismas reglas de derivación estudiadas hasta ahora, pero debe
tenerse cuidado de tratar a la variable dependiente y exactamente como
una variable. Dicho de otra forma, la variable dependiente y ocupará el
lugar de la u en las fórmulas.
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 143 -
TOME NOTA
4y8xy23x
6xy224x24y-
4y8xy23x
6xy224x24y
dx
dy
: despejando
6xy224x24y4y8xy23x.
dx
dy
:
dx
dy
común factor sacando
Puede observarse que el numerador es igual a Dx F (derivada de F con
respecto a x)
y el denominador es igual a Dy F, por lo tanto otra forma de obtener
dx
dy
es
aplicar derivadas parciales de F:
cte)(x y a respecto F de parcial derivada
cte)(y x a respecto F de parcial derivada
δy
δF
δx
δF
(x)'f
dx
dy
Aplicación 10
Obtener, aplicando derivadas parciales, la derivada
dx
dy
de la siguiente función:
nto.procedimie otro el mediante obtenido resultado mismo el es que
:entonces
δy
δF
constante como x a considera se y a respecto F de parcial derivada la determinar Para
xδ
Fδ
constante como y a considera se x a respecto F de parcial derivada la determinar Para
4y8xy2 x34y0 y 2 .4x 1 . 23x 22y2yy y)F(x,
224x2y 4 - 6xy02x2.24y2x . 3y 38xx2x y)F(x,
022y38x24xyy23x y)F(x,
4y8xy2 x3
224x2y 4 -6xy
dx
dy
38x4x 23x
22y2y4y3 41
http://www.google.com.ar/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=rRm3NDJHUMR5rM&tbnid=pVZftqOCfwMnYM:&ved=0CAUQjRw&url=http://registro.turismo.gob.ec/noticias/index.php?comunicado,6&ei=_c_1UeLxEu6aigLB-oGwBw&psig=AFQjCNF2SFzQESJf6rnxEM_ljCC0Uxrw0A&ust=1375150453137487
http://www.google.com.ar/imgres?q=gif+recuerde&start=476&hl=es-419&biw=1280&bih=675&tbm=isch&tbnid=6ryYBZIYI1XC9M:&imgrefurl=http://www.taringa.net/posts/info/14727543/Tutorial-Crear-una-imagen-de-respaldo-para-Windows-Vista-y-7.html&docid=xuL8m7O27wFnzM&imgurl=http://lacelula2011.wikispaces.com/file/view/alumno_estudiando[1].gif/230624272/alumno_estudiando[1].gif&w=350&h=350&ei=5Mr1UfrSKYe5igLA-YHoBw&zoom=1&ved=1t:3588,r:84,s:400,i:256&iact=rc&page=22&tbnh=206&tbnw=206&ndsp=24&tx=84&ty=98
FRT- UTN- ANÁLISIS MATEMÁTICO I Página - 144 -
TABLA DE DERIVADAS
u(x)= u , v(x)=v , w(x)=w son funciones de la variable x
k, n, a, e son constantes
Derivada de … Función Función Derivada
una constante
𝑦 = 𝑘
𝒚′ = 𝟎
la variable independiente
𝑦 = 𝑥
𝒚′ = 𝟏
producto de una cte por una función
𝑦 = 𝑘. 𝑢
𝒚′ = 𝒌. 𝒖′
suma algebraica de funciones
𝑦 = 𝑢 + 𝑣 − 𝑤
𝒚′ = 𝒖′ + 𝒗′ − 𝒘′
producto de dos funciones
𝑦 = 𝑢. 𝑣
𝒚′ = 𝒖′. 𝒗 + 𝒖. 𝒗′
cociente de funciones
𝑦 =
𝑢
𝑣
𝒚′ =
𝒖′. 𝒗 − 𝒖. 𝒗′
𝒗𝟐
función potencial
𝑦 = 𝑢𝑛
𝒚′ = 𝒏. 𝒖𝒏−𝟏. 𝒖′
función exponencial
𝑦 = 𝑎𝑢
𝒚′ = 𝒂𝒖. 𝐥𝐧 𝒂 . 𝒖′
función elevada a otra función
𝑦 = 𝑢𝑣
Método de Derivación Logarítmica
raíz n de una función
𝑦 = √𝑢
𝑛
Expresar como función potencial
𝒚 = (𝒖)
𝟏
𝒏
y derivarla como tal
función valor absoluto
𝑦 = |𝑢|
𝒚′ =
𝒖
⌈𝒖⌉
. 𝒖′
función logarítmica
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑢
𝒚′ =
𝒖′
𝒖
. 𝒍𝒐𝒈𝒂𝒆
𝑦 = 𝑙𝑛 𝑢
𝒚′ =
𝒖′
𝒖
Funciones trigonométricas circulares
𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝒚′ = 𝒄𝒐𝒔 𝒖 . 𝒖′
𝑦 = cos 𝑢
𝒚′ = −𝒔𝒆𝒏 𝒖 . 𝒖′
𝑦 = tg 𝑢
𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒖. 𝒖′
𝑦 = cosec 𝑢
𝒚′ = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒖. 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒖 . 𝒖′
𝑦 = sec 𝑢
𝒚′ = 𝒔𝒆𝒄 𝒖. 𝒕𝒈 𝒖 . 𝒖′
𝑦 = cotg 𝑢
𝒚′ = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒖. 𝒖′
funciones trigonométricas inversas
(circulares)
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑢
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝒚 =
±𝒖′
√𝟏 − 𝒖𝟐
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑢
𝑦 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑢 𝒚 =
±𝒖′
𝟏 + 𝒖𝟐
𝑦 = arcsec 𝑢
𝑦 = arcosec 𝑢 𝒚 =
±𝒖′
𝒖. √𝒖𝟐 − 𝟏
INTRODUCCIÓN
CONTENIDOS TEÓRICOS
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA
DE LA DERIVADA EN UN PUNTO
RECTA TANGENTE y RECTA
NORMAL
FUNCIONES CRECIENTES y
DECRECIENTES
EXTREMOS RELATIVOS de una
FUNCIÓN
CRITERIO DE LA PRIMERA
DERIVADA
EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA
FUNCIÓN EN [a,b]
CONCAVIDAD DE UNA
FUNCIÓN
CRITERIO DE LASEGUNDA
DERIVADA
EJEMPLOS DESARROLLADOS
TRABAJO PRÁCTICO
APLICACIONES de la DERIVADA
UNIDAD
TEMÁTICA
6
Pág. 2
INTRODUCCIÓN
El uso de derivadas y sus aplicaciones es muy variado, las derivadas son útiles en economía,
psicología, medicina, administración, ingeniería, electricidad, electrónica, termodinámica, mecánica,
biología, etc.
En física, las derivadas se aplican en aquellos casos donde es necesario medir la
rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación.
Por ejemplo, si la ecuación que describe el movimiento de un cuerpo es
La velocidad: es la derivada del espacio en función del tiempo
La aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, o la 2ª derivada del espacio respecto al
tiempo
Tirón o sacudida es la tasa de cambio de la aceleración, es decir, la derivada de la aceleración con
respecto al tiempo, la segunda derivada de la velocidad, o la tercera derivada de la posición.
3
3
2
2
dt
xd
dt
vd
dt
ad
)t(S
Para conocer el consumo eléctrico del país en un determinado instante
2
2
1
00 attvx)t(x
dt
dx
)t( v
2
2
dt
xd
dt
vd
)t(a
http://es.wikipedia.org/wiki/Aceleraci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada
http://es.wikipedia.org/wiki/Tiempo
http://es.wikipedia.org/wiki/Velocidad
http://es.wikipedia.org/wiki/Posici%C3%B3n
Pág. 3
En problemas de dinámica de fluidos, para conseguir una
mejor aerodinámica.
Si una catenaria entre dos torres está definida por la
función:
Donde x e y se miden en hectómetros, halla la altura que tiene
el cable en el punto más bajo entre las dos torres?
2
1cosh)( C
Cx
xy
Ecuación general familia de catenarias
Se considera un circuito serie R-L-C al que se le aplica
un voltaje V(t) de variación sinusoidal dada por la expresión
)tω(sen V)t(V 0 . La Intensidad I de la corriente que circula
por el circuito, viene dada por )φtω(sen I)t(I 0 . El valor
máximo de Io está dado por la expresión
Z
0VI 0 donde Z es
la impedancia del circuito y vale:
2
Cω
1
Lω2RZ
a) Expresa I0 como función de
b) Suponiendo que la frecuencia angular de la fuente puede variarse, halla el valor de que
corresponde al máximo valor de I0. (El valor que hallarás se conoce como “frecuencia de resonancia”)
Hidráulica
wμzgρw)V(ρ
z
P
vμygρv)V(ρ
y
P
uμxgρu)V(ρ
x
P
2
2
2
Pág. 4
CONTENIDOS TEÓRICOS
7.1.- INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA EN UN PUNTO
Sea una función f continua en (c, d), consideremos los puntos f(x) x, Q y a(f,aP
pertenecientes a la gráfica de f con domf x,a y P punto fijo.
Los puntos P y Q determinan la recta secante PQ cuya pendiente ms está dada por la tangente
trigonométrica del ángulo de inclinación , de la misma:
(1)
a-x
f(a) - f(x)
θ tg sm
Si se desplaza Q hacia P (Q P), la abscisa de Q se aproxima a la abscisa de P ( x a); la recta
secante S (PQ) gira alrededor del punto fijo P tomando distintas posiciones s1, s2, s3 , …, sn
Pág. 5
Si en P la función tiene una recta tangente t que forma un ángulo con el eje x, se observa que:
Cuando el punto Q se acerca al punto P la recta secante PQ (S) se acerca a la recta
tangente t : PQt
El ángulo de inclinación de la secante se aproxima al ángulo de inclinación de la
tangente: y por lo tanto tg tg .
Como ms = tg y mt = tg puede decirse que la pendiente de la secante se aproxima
a la pendiente de la recta tangente: msmt o que mt es la posición límite de las ms.
Esto se expresa: (2) sm
ax
limtm
Reemplazando (1) en (2):
(3)
ax
)a(f)x(f
ax
limtm
Y como
(4) (a) f'
ax
)a(f)x(f
ax
lim
Entonces
(a) f'mt
Conclusión:
La derivada de una función en un punto de
abscisa a, mide la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en dicho punto.
CS
Resaltado
Pág. 6
7.2.- RECTA TANGENTE Y NORMAL
7.2.2 ECUACIONES
Sea la función f: y=f(x) y un punto P(a, f(a)) de la misma, la ecuación del haz de rectas
que pasa por dicho punto está dado por:
(1) a-x mafy )(
La pendiente de la recta tangente t , denotada por mt, es: mt = tg = f’ (a).
Reemplazando en (1) se obtiene la ecuación de la RECTA TANGENTE a la gráfica de f en el punto
P (a, f(a))
(a)f'tm con a)-(x tmf(a)y
La recta perpendicular a t en el punto P se llama RECTA NORMAL y su ecuación es:
tm
m con a)-(x nm.f(a)y
1
7.2.1 DEFINICIÓN RECTA TANGENTE:
Recta tangente a la gráfica
de una función en el punto )(, afa P
con adomf, es la recta posición límite, si
existe y es única, de la recta secante PQ
cuando Q tiende a P a lo largo de la curva.
Pág. 7
Sea
2
2y-
3
8x
2
4xy-y
2
2x y)F(x, determine, si existen, las ecuaciones de las rectas tangente y
normal a F en el punto P(-1,4 ; 2)
Desarrollo
a) Determinación de mt
Para obtener el valor de la pendiente de la tangente se deberá previamente obtener la
derivada F’(x,y)
4y8xy
2
2x
xy 4
2
24x
2
4y
dx
dy
;xy 4
2
24x
2
4y4y8xy
2
2x.
dx
dy
4xy
2
24x
2
4y
dx
dy
4y.
dx
dy
8xy.
dx
dy
.
2
2x
0
dx
dy
4y.
2
24x
dx
dy
8xy.
2
4y
dx
dy
.
2
2x4xy
0
dx
dy
4y..1
2
24x
dx
dy
x.2y.
2
1.y4.
dx
dy
.
2
x2x.1.y2.
0
2
2y
3
8x
2
4xyy
2
2x ; 0
2
2y
3
8x
2
4xyy
2
2x y)F(x,
b) La pendiente mt de la tangente y la pendiente m de la normal son:
11
10
nm tm ;
2 . 4 -(-1.4) . 2 . 8
2
1.4- 2
(-1.4) . .2 4
2
1.4- 24
2
24
2) (-1.4,F'tm
10
11
c) La ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal
normal recta
8
15
x
8
7
y
tangenterecta
7
1
x
7
8
- y
de ecuación ).(x
11
10
2y
de ecuación 1.4).(x
10
11
- 2 y -
:valores los 0n000 doreemplazan )x -(x . m y y - ; )x -(x . mt y y -
4.1
Ejercicio 1
Pág. 8
7.3.- FUNCIÓN CRECIENTE y FUNCIÓN DECRECIENTE
7.3.1.- TEOREMA
También se puede determinar si una función es creciente o decreciente teniendo en cuenta el
signo de la primera derivada por medio del siguiente teorema
Sea una función f continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en el
intervalo abierto (a,b)
i) Si f’ (x) > 0 x (a, b) f es CRECIENTE en (a, b)
ii) Si f’ (x) < 0 x (a, b) f es DECRECIENTE en (a, b)
iii) Si f’ (x) = 0 x (a, b) f es CONSTANTE en (a, b)
i ii iii
Una función f definida en un intervalo abierto (a,b) se
,dice que es DECRECIENTE en dicho intervalo si y solo sí
f ( x 1 ) > f ( x 2 ) si x 2 < x 2
Una función f definida en un intervalo abierto (a,b) se
dice que es CRECIENTE en dicho intervalo si y solo sí
f ( x 1 ) < f ( x 2 ) si x 1 < x 2
Pág. 9
7.4.- EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN
7.4.1.- DEFINICIÓN DE MÁXIMO RELATIVO
Sea una función f y un punto x0 domf, se dice que f(x0) es un MÁXIMO RELATIVO de f si existe un
intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que
f(x) ≤ f(x0) para todo x (a,b) incluido en el domf.
7.4.2.- DEFINICIÓN DE MÍNIMO RELATIVO
Sea una función f y un punto x0 domf, se dice que f(x0) es un MÍNIMO RELATIVO de f si existe un
intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que
f(x) ≥ f(x0) para todo x (a,b) incluido en el domf.
Los MÁXIMOS RELATIVOS y MÍNIMOS RELATIVOS, de una función se llaman EXTREMOS
RELATIVOS.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 10
7.4.3 .- DEFINICIÓN DE PUNTO CRÍTICO O NÚMERO CRÍTICO
Si x0 es un número del dominio de la función f, y si
- 0' 0 xf o
- existe no xf 0'
entonces x0 es un NÚMERO CRÍTICO o un PUNTO CRÍTICO de f.
7.4.3.1.- OTRAS FORMAS DE DESIGNAR LOS NÚMEROS CRÍTICOS1
Los Número Críticos también reciben los nombres:
Punto Estacionario es el valor de x0 en el que 0' 0 xf
Punto Singular: es el valor de x0 en el que existe no xf 0'
Sea la función definida por xxf(x) 3
3 4 . Determine los puntos críticos de f
Solución
- El dominio de f son los números reales: domf= R
- La derivada de f es:
3 2
333
3
1
3
4
x
x
x
3
1
x
3
4
(x)f'
-21
- Determinar si existen Puntos Estacionarios: 0(x)f'
4
1
- x
x 3
14x
;
x
x
00
3
1
3
4
3 23 2
3
- Determinar si existen Puntos Singulares: existe no (x)f'
3 2x
x
x
x
(x)f'
.3
14
3
1
3
4
3 2
3 la derivada de f no existe si el denominador es 0
0 x x 03
3 2 . Como x = 0 y x = -1/4 dom f, son NUMEROS CRÍTICOS de f.
1 Cálculo - Purcell
Ejercicio 2
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 11
7.4.4.- CONDICIONES NECESARIAS PARA LA EXISTENCIA DE EXTREMOS RELATIVOS
7.4.4.1.- TEOREMA DE FERMAT
Ofrece una condición necesaria para la determinación de extremos relativos en funciones derivables.
Teorema
Si f(x0) es un Extremo Relativo de la función y existe f’(x0), entonces f’(x0) = 0
7.4.4.2.- TEOREMA PARA FUNCIONES DERIVABLES Y NO DERIVABLES EN UN INTERVALO
Si x0 es un punto del dominio de una función f, y f(x0) es un MÁXIMO RELATIVO o un MÍNIMO
RELATIVO de f, entonces 0x' f 0 o 0x' f 0 no existe.
0 xen derivable es f );0(xf'
0)0(x' f tm
0
0 xen derivable es no f ; )0(xf'
)0(x' f tm
7.4.4.3.- RECÍPROCO DEL TEOREMA 7.4.4.2
La anulación o la no existencia de la derivada de f en un punto de su dominio no son suficientes
para garantizar la existencia de Extremos Relativos en el punto, tal como se ejemplifica:
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 12
El punto x=0 es Punto de Ensilladura en la función f(x)=x3 ya que en él la tangente es horizontal,
f‘(x0) =0 pero no hay ni máximos ni mínimos.
Los puntos donde f’(x0)=0 pero no es Máximo ni Mínimo se llaman PUNTOS DE SILLA o de
ENSILLADURA.
Ejemplo Explicativo
CS
Resaltado
Pág. 13
7.5.- CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
Las condiciones suficientes para la existencia de Extremos relativos están contenidas en el
siguiente teorema:
7.5.1.- TEOREMA
Sea f continua en (a,b) que contiene al punto x0 y f ‘(x) existe para todo x (a,b) excepto
posiblemente en x0, si:
fde RELATIVO MÍNIMO un es x f 0
bxx 0(x)f'
xax 0(x)f'
i
),(
),(
)
0
0
fde RELATIVO MÁXIMO un es x f 0
bxx 0(x)f'
xax 0(x)f'
ii)
),(
),(
0
0
fde RELATIVO EXTREMO ES NO x f 0
b(x x (a, x signo mismo el t iene (x) f' Siiii) 00
),)
Pág. 14
Sea la función definida por:
2x x.lnxf(x) se pide:
a) Dominio: 0Rdomf
b) Puntos Críticos
- La derivada de f es: )ln1(x)' f 2 2
2
ln(x-1(x)f'
x
2x
xx
- Los puntos críticos son:
Crít icos Puntos
e x ; ex ; x ln x ; xf 1-22
0.6 x
0.6 - x
10ln10)('
2
1
12
f de dominio al x paraexiste no xf pertenece no0)('
c) Intervalos de Crecimiento y decrecimiento y Extremos Relativos si presenta
edecrecient 0 (x)f' ; ) (0,6,
domf 0,6x
creciente 0(x)f' ; 0,6) (-0,6,
domf 0,6 -x
edecrecient 0(x)f' ;
xxf
1,21) ; (0,6 Relativo Máximo
1,21)- (-0,6; Relativo Mínimo
)6,0,(
ln1)(' 2
d) Bosquejo de la gráfica de f
e) Rango de f
rgo f = R- 0
Ejercicio 3
Pág. 15
7.6.- EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN
7.6.1.- DEFINICIÓN DE MÁXIMO ABSOLUTO
Se dice que una función f tiene un MÁXIMO ABSOLUTO en un punto x0domf tal que f(x) < f(x0)
para todo x domf. El número f(x0) es el valor máximo absoluto de la función
7.6.2.- DEFINICIÓN DE MÍNIMO ABSOLUTO
Se dice que una función f tiene un MÍNIMO ABSOLUTO en un punto x0domf tal que f(x) > f(x0)
para todo xdomf. El número f(x0) es el valor mínimo absoluto de la función
El siguiente Teorema establece las condiciones que garantizan la existencia de Extremos Absolutos
de una función:
7.6.3.- TEOREMA DEL VALOR EXTREMO – TEOREMA DE WEIERSTRASS
Si f es continua en un intervalo cerrado [a, b], entonces f tiene un máximo y un mínimo absoluto en
[a, b].
7.6.4.- MÉTODO PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN
CONTÍNUA EN [A, B]
1°.- determinar los números críticos o puntos críticos de f, si existen
2°.- determinar los valores que toma la función en cada punto crítico en (a,b)
3°.- determinar los valores que toma la función en los extremos del intervalo [a, b]
4°.- El mayor valor de los valores de la función determinados en los pasos anteriores es el Máximo
Absoluto de f.
5°.- El menor valor de los valores de la función determinados en los pasos anteriores es el Mínimo
Absoluto de f.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 16
Sea la función f definida por f(x) = x4 - 8 x2 + 16 en -3, 2
a) halle los extremos globales o absolutos en el intervalo dado.
b) Verifique graficando con Geogebra
Se determinan los puntos críticos de f
mínimo valor un hay 0 2, R 0 32 (2) 'f'
mínimo valor un hay 0) Q(-2, 0 32 (-2) 'f'
máximo valor un hay 16 0,P 016- (0) 'f'
16
2
12x(x)'' f
:derivada segunda la de Criterio aplicando Extremos los osDeterminam
4 x; 04
2
x
0 4x
04
2
x .4x
016x-
3
4x ; 0 (x)' f ;16x -
3
4x (x)' f
16
2
8x-
4
xf(x)
23x ; -22x
0 1x
Se determinan los valores de la función para los extremos del intervalo x = -3 y x=2
25 3,-S 25)3(f
Se concluye:
x f(x) Extremos
-3 25 Máximo
absoluto
-2 0 Mínimo
absoluto
0 16 Máximo
relativo
2 0 Mínimo
absoluto
Ejercicio 4
Pág. 17
7.7.- CONCAVIDAD DE UNA FUNCIÓN
7.7.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CÓNCAVA HACIA ARRIBA
Se dice que la gráfica de f es CÓNCAVA HACIA
ARRIBA, en el punto P(x0, f(x0)) si existe f´( x0) y si existe
un intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que para todo x
≠ x0 y x (a,b), el punto (x, f(x)) en la gráfica está
arriba de la recta tangente a la gráfica en (x0, f(x0)).
7.7.2.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CÓNCAVA HACIA ABAJO
Se dice que la gráfica de f es CÓNCAVA HACIA ABAJO,
en el punto (x0, f(x0)), si existe f´(x0) y si existe un intervalo
(a,b) que contiene a x0 tal que para todo x ≠ x0 y x
(a,b), el punto (x, f(x)) en la gráfica está abajo de la
recta tangente a la gráfica en (x0, f(x0)).
7.7.3.- TEOREMA DE CONCAVIDAD
El estudio de la concavidad de una función está vinculado con el signo de la segunda derivada,
como lo establece el siguiente teorema:
Teorema
Sea f una función cuya derivada segunda existe en algún intervalo abierto (a,b)
a) Si f´´(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), entonces la gráfica de f es CONCAVA
HACIA ARRIBA en (a, b)
b) Si f´´(x)< 0 para todo x en el intervalo (a,b), entonces la gráfica de f es CONCAVA
HACIA ABAJO en (a, b)
Pág. 18
7.7.4.- PUNTO DE INFLEXIÓN
7.7.4.1.- DEFINICIÓN INTUITIVA
Se dice que la gráfica de una función continua en x0, tiene punto de Inflexión en (x0, f(x0)) si la
curva cambia de concavidad al pasar por el punto x0.
7.7.4.2.- DEFINICIÓN DE PUNTO DE INFLEXIÓN
Sea una función f continua en x0. Un punto. (x0, f(x0)) es PUNTO DE INFLEXIÓN de la gráfica de f, si
la curva tiene allí recta tangente y si existe un intervalo (a,b) que contiene a x0 tal que para todo
x (a, b):
bx x xfy x a, x xf 00 ,0)(''0)(''
bx x xfy x a, x xf 00 ,0)(''0)(''
7.7.4.3.- CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA DE PUNTO DE INFLEXIÓN
Es importante destacar que la definición dada anteriormente nada dice sobre la existencia, o no,
de f’’(x0 ) para que haya Punto de Inflexión. Conocer las condiciones permitirá localizar los
posibles Puntos de Inflexión. Las mismas están contenidas en los siguientes Teoremas.
7.7.4.3.1 - TEOREMA
Si )f(x x P 0,0 es un Punto de Inflexión de la gráfica de f, entonces
existe no )(x'f' ó 0 xf 0)('' 0
7.7.4.3.2 TEOREMA
Si la función f es derivable en algún intervalo (a,b) que contiene a x0 y si (x0, f(x0 )) es Punto de
Inflexión de la gráfica de f en el cuál existe f’’(x0 ) , entonces f’’ (x0 )= 0
Pág. 19
7.7.4.- VERIFICACIÓN GRÁFICA
Se pueden verificar las definiciones y teoremas enunciados, en la siguiente derivación gráfica:
Funcion derivable en (a,b) Función derivable en (a,b) excepto en x0(a,b)
Gráfica a Gráfica b
Pág. 20
7.7.5.- RECÍPROCO DEL TEOREMA 7.7.4.3.2
La anulación de la segunda derivada de f en un punto de su dominio 0 xf )('' 0 no es suficiente
para garantizar la existencia de Puntos de Inflexión en el punto, tal como se ejemplifica.
Considere la función
6)( xxf cuya gráfica se muestra
Se observa que 0)0('' f pero como la función es:
- cóncava hacia arriba ( 0)('' xf ) para todo x < 0 y es
- cóncava hacia arriba ( 0)('' xf ) para todo x > 0
El origen de coordenadas no es Punto de Inflexión de f.
Ejercicio Explicativo
Pág. 21
Continuamos el estudio de la función del ejercicio N° 3
Sea la función definida por:
2x x.lnxf(x) se pide:
a) Dominio: 0Rdomf
b) Posibles Puntos de Inflexión
- La derivada segunda de f es:
x
(x)'f'
x
2x
2
2
(x)'' f
- Los posibles puntos inflexión son:
PIhay oN domf x paraexiste no
x
2
-(x)'f' ; existe no
PIhay oN
x
2
-(x)'f' ;
0
0
(x)'f'
0(x)'f'
c) Intervalos de Concavidad
abajo hacia Cóncava 0 (x)f' ; ) (0,
Inflexión de Punto existe o domf 0 x
arriba hacia Cóncava 0(x)'f' ; 0
x
xf N
),(
2
)('
d) Bosquejo de la gráfica de f
e) Rango de f
rgo f = R- 0
Ejercicio 5
Pág. 22
f’’(x) > 0
y
y’
y’’
7.8.- CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
El siguiente Teorema permite determinar la existencia, o no, de extremos relativos de f.
7.8.1.- TEOREMA
Sea una función f derivable en el intervalo abierto (a, b) que contiene a x0 y sea x0 un
PUNTO CRÍTICO de f en el que f’(x0 ) = 0 (punto estacionario), si existe f’’(x0) y:
f(x) de RELATIVO MÍNIMOun es xf xf Si ii
f(x) de RELATIVO MÁXIMOun es xf xf Si i
)(0)('')
)(0)('')
00
00
Si xf 0)('' 0 este criterio no decide y ha de recurrirse al criterio de la Primera Derivada
7.8.2.- DERIVACIÓN GRÁFICA.
Permitirá comprobar gráficamente el Criterio de concavidad, Puntos de Inflexión y Criterio de la
Segunda Derivada.
CÓNCAVA HACIA ARRIBA
CÓNCAVA HACIA ABAJO
Pág. 23
f’’(x) < 0
f’’(x) = 0
7.8.3.- PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
a.- Obtener la derivada primera de f
b.- Determinar los Puntos Estacionarios 0' 0 xf
c.- Obtener la derivada segunda de f
d.- Aplicar el Teorema 7.8.1.- y decidir*
* Si para algún Punto Estacionario x0, el criterio nada dice ( 0 xf )0('' ) se obtienen derivadas
sucesivas de f y se va reemplazando el punto estacionario x0 en ellas.
Si el grado n de 0 xn ' f )0( es:
- n es impar: x0 es la abscisa de un Punto de Inflexión
- n es par: x0 es la abscisa de un Extremo relativo
Sea 2 3x44x f(x) determine los extremos relativos de f aplicando
el criterio de la segunda derivada,
a) Derivada primera de f:
xx4 (x)'f
2
12
3
b)
Puntos Estacionarios:
3 2x
0 1x
0 3)-(x
; 24x
x
2
4x
0 xx4
0 xx4 (x)'f
0
03.
2
12
3
2
12
3
c)
Derivada segunda de f:
24x
2
12x (x)'' f
d) Aplicar el Criterio de la Segunda Derivada:
Ejercicio 6
Pág. 24
25- 3, en Relativo Mínimo 0 39 12. (3)''f
dice nada crit erio el 0 12.0 (0)''f
.24
0.24
e) Como para x = 0 el criterio nada dice, obtenemos f’’’(x) y particularizamos:
0 24 - 0 24. (0)'''f
x24 (x)'''f
24
24
Como el grado n de la primera derivada para la cual 0)0( nf es IMPAR, el punto Q(0, 2) esPunto de Inflexión de la gráfica de f.
f) Para obtener otros Puntos de Inflexión, si los tuviera, se hace 0 (x)'' f
2 x
obt enido ya 0 x
02-x12x 024x
2
12x (x)'' f
INTRODUCCIÓN
CONTENIDOS TEÓRICOS
TEOREMA DE ROLLE
TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
TEOREMA DE CAUCHY
PRIMERA REGLA DE L´HOPITAL
SEGUNDA REGLA DE L´HOPITAL
TEOREMAS
CÁLCULO DIFERENCIAL
UNIDAD
TEMÁTICA
7
Pág. 2
INTRODUCCIÓN
Michel Rolle
(Ambert, 1652-París, 1719) Matemático francés. De formación autodidacta,
publicó un Tratado de álgebra (1690) en que expuso un método de resolución
de determinados tipos de ecuaciones. Mantuvo una viva polémica con
diversos matemáticos sobre los principios del cálculo diferencial.
JOSEPH LOUIS DE LAGRANGE (Turín, 1736-París, 1813) Matemático francés
de origen italiano. Escribió numerosos artículos sobre cálculo integral y las ecuaciones
diferenciales generales del movimiento de tres cuerpos sometidos a fuerzas de atracción
mutuas. Escribió gran variedad de tratados sobre astronomía, resolución de ecuaciones,
cálculo de determinantes de segundo y tercer orden, ecuaciones diferenciales y
mecánica analítica. Sus enseñanzas sobre cálculo diferencial forman la base de sus obras
Teoría de las funciones analíticas y Resolución de ecuaciones numéricas (1798). En 1810
inició una revisión de su Teoría, pero sólo pudo concluir dos terceras partes antes de su
muerte.
AUGUSTIN-LOUIS CAUCHY (París, 1789-Sceaux, Francia, 1857) Matemático francés. A
los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de
Fermat que había superado a Euler y Gauss. Publicó un total de 789 trabajos, entre
los que se encuentran el concepto de límite, los criterios de convergencia las
fórmulas y los teoremas de integración y las ecuaciones diferenciales de Cauchy-
Riemann. Su extensa obra introdujo y consolidó el concepto fundamental de rigor
matemático.
Johann Bernoulli, matemático, médico y filólogo suizo.
Nació el 27/07/1667 en Suiza murió el 1 de enero de
1748, Basilea, Suiza
Guillaume François marqués
de l'Hôpital -1661 en París-
Francia y murió allí el
0202/1704
L´Hópital escribió el primer libro de cálculo en el año 1696, el cuál estuvo influenciado por las lecturas que realizaba de sus
profesores, Johann Bernoulli, Jacob Bernoulli y Leibniz.
Su fama esta basada en su libro “Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes” publicado en 1696.
El texto incluye las clases de su profesor, Johann Bernoulli, en donde Bernoulli discute la indeterminación 0/0. Este es el
método para resolver estas indeterminaciones a través de derivadas sucesivas que lleva su nombre.
En 1694 Bernoulli y l'Hôpital acordaron que l'Hôpital le pagaría trescientos francos anuales para que le transmitiera sus
descubrimientos, que l'Hôpital describiría en su libro. En 1704, tras la muerte de l'Hôpital, Bernoulli reveló la existencia del trato,
asegurando que la mayoría de los descubrimientos que aparecían en el libro de l'Hôpital's eran suyos.
http://www.biografica.info/biografia-de-fermat-860
http://www.biografica.info/biografia-de-euler-823
http://www.biografica.info/biografia-de-gauss-983
https://www.google.com.ar/search?client=firefox-a&hl=es-419&rls=org.mozilla:es-AR:official&channel=np&biw=1280&bih=666&q=basilea+suiza&stick=H4sIAAAAAAAAAGOovnz8BQMDgwUHnxCnfq6-gWFeQZqJEgeYmW2SpiWfnWylX5CaX5CTqp-SmpyaWJyaEl-QWlScn2eVkpmaUhrhu7igzqPpy-N5L-4tDDjuHaSVCACl0LR3VQAAAA&sa=X&ei=E-tBUpSiG4H9iwK2_4CIBA&ved=0CJ8BEJsTKAIwEw
http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/ber2.html
http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/ber3.html
http://www.unex.es/~fan/cuantica/mc%2010/Web/Tales/leib.html
http://es.wikipedia.org/wiki/1696
http://es.wikipedia.org/wiki/Johann_Bernoulli
http://es.wikipedia.org/wiki/Indeterminaci%C3%B3n
http://es.wikipedia.org/wiki/1694
http://es.wikipedia.org/wiki/1704
Pág. 3
Geométricamente, el Teorema de Rolle
afirma que existe al menos un punto
sobre la curva entre A y B, donde la
recta tangente es horizontal y por lo
tanto paralela a la recta secante AB
CONTENIDOS TEÓRICOS
8.1.- TEOREMA DE ROLLE
8.1.2 TEOREMA
"Sea una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) con f(a) = f(b) entonces existe al menos un
punto x=c en (a,b) tal que: f ' (c) = 0
Demostración:
Como f es continua en [a,b] y de acuerdo al Teorema de Weierstrass o del Valor Extremo que
asegura que bajo estas condiciones f tiene un valor extremo en [a,b], aceptamos que existe al
menos un punto x=c en (a,b) en el cuál f presenta un valor extremo. Como según hipótesis f es
derivable en (a,b) , f'(c) existe y como ya vimos en el estudio de extremos relativos, si f( c) es
extremo, entonces f '(c) = 0, con lo cual queda demostrado el Teorema.
¿Satisface la función dada las condiciones del Teorema de Rolle en el intervalo indicado? Si se
cumple, encuentre todos los valores de c en [a,b] para los que f ’(c ) = 0
13x
12x2x
f(x)
en [-3, 4]
Ejercicio 1
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 4
Las hipótesis del Teorema de Rolle son:
a) Continua en [-3, 4]: El dominio de la función es: 13Rmfdo por lo tanto f es continua
en el intervalo dado [-3, 4].
b) Derivable en [-3, 4]: ya que f no es derivable en x=13 [-3,4]
c) f(a) = f(b)
f(b) f(a) 0
134
12424
f(4) ; 0
133-
123-23-
f(-3)
Entonces según Rolle
1 c
[-3,4] 25 c
026cc 0
13c
2526cc
(c)f'
13x
2526xx
13x
.112-x-x13-x.1-2x
f´(x)
2
12
2
2
2
2
2
2
25
Pág. 5
Geométricamente, el Teorema del
Valor Medio del Cálculo Diferencial
afirma que existe al menos un punto
sobre la curva entre A y B, donde la
recta tangente es paralela a la recta
secante a la curva que pasa por los
puntos A y B.
8.2.- TEOREMA DE LAGRANGE/T.DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO DIFERENCIAL
8.2.1 TEOREMA
Sea f continua en [a,b] y derivable en (a,b), entonces existe al menos un punto x=c en
(a,b) tal que :
ab
f(a)f(b)
(c)'f
Demostración:
La ecuación de la recta que pasa por los puntos A (a,f(a)) y B (b,f(b))es:
)().(
)()(
).(
)()(
)( afax
ab
afbf
yax
ab
afbf
afy
(1)
Geométricamente, el Teorema de
Lagrange afirma que existe al menos
un punto (c, f(c) ) sobre la curva entre
A y B, donde la recta tangente es
paralela a la recta secante que pasa
por A y B.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 6
Con el objeto de trabajar con una función que cumpla las hipótesis del Teorema de Rolle,
consideremos una nueva función F(x) combinación lineal entre f y la recta secante AB:
F(x) = f(x) - y (2)
reemplazando (1) en (2):
)().(
)()(
)()( afax
ab
afbf
xfxF (3)
como F es combinación lineal entre dos funciones ( f y g ), continuas en [a,b] y derivables en
(a,b), ella (F) también es continua en [a,b] y derivable en (a,b).
Por otra parte, haciendo x = a y x = b en (3) :
0)(0)()()()()().(
)()(
)()(
0)(0)()()()(.
)()(
)()(
0
bFafafbfbfafab
ab
afbf
bfbF
aFafafafaa
ab
afbf
afaF
o sea :F(a) = F(b)
Con esto último, vemos que se cumplen las hipótesis del Teorema de Rolle (F es continua en [a,b],
derivables en (a,b) y F(a) = F(b) ), entonces podemos decir que existe un valor x=c en (a,b) tal
que F'(c)= 0,
derivando (3) :
ab
afbf
xfxF
)()(
)(')(' (4)
particularizando (4) para x=c y aplicando el Teorema de Rolle:
0
)()(
)(')('
ab
afbf
cfcF
despejando
ab
afbf
cf
)()(
)('
con lo cual queda demostrado el teorema.
Pág. 7
¿Satisface la función dada las condiciones del Teorema de Lagrange en el intervalo indicado? Si
se cumple, encuentre todos los valores de c en [a,b] que lo verifican.
g(x) = ln x en [1, e]
Las hipótesis del Teorema de Lagrange son:
a) Continua en [1, e]: El dominio de la función es: 0,mfdo por lo tanto f es continua en
el intervalo dado [1, e].
b) Derivable en [1, e]: f es derivable en [1, e]
Según Lagrange
0 1 lnf(a) ; eln)e(f)b(f 1
1,72 c
1,72 1-e c
1-e
0-1
c
c
)c('f y
x
f´(x)
1
11
Ejercicio 2
Pág. 8
La interpretación geométrica del teorema de
Cauchy nos dice que si f(x) y g(x) cumplen las
hipótesis, existe al menos un punto c entre a y
b en el que la pendiente de la recta tangente
a f es k veces la de la tangente a g
(c)g' . k (c)f'
8.3.- TEOREMA DE CAUCHY
8.3.1 TEOREMA
Sean f y g funciones continuas en [a,b] . derivables en (a,b) ,
con 0)(' xg para todo x en (a,b), entonces existe al menos
un número c en (a,b) tal que :
)()(
)()(
)('
)('
agbg
afbf
cg
cf
..
Demostración:
Considerar la función H(x), combinación lineal entre f y g:
H(x) = f(x) + k. g(x) (1) con k
particularizar (1) para x=a y x=b:
H(a) = f(a) + k. g(a) y H(b) = f(b) + k. g(b)
Determinar el valor de k para el cuál H(a) = H(b):
)()(
)()(
)()(
)()(
)()()()(.
)(.)()(.)(
agbg
afbf
k ;
bgag
afbf
k
afbfbgagk
bgkbfagkaf
reemplazar en (1) : )(.
)()(
)()(
)()( xg
agbg
afbf
xfxH
(2)
como f y g son continuas en [a,b] y derivables en (a,b) - según hipótesis- y como H es
combinación lineal entre ellas, también H es continua en [a,b] y derivable en (a,b) y como
además consideramos que H(a) = H(b), se verifican las hipótesis del Teorema de Rolle y por lo
tanto se puede aplicar.
Derivamos (2) )('.
)()(
)()(
)(')(' xg
agbg
afbf
xfxH
Particularizando para x = c : )('.
)()(
)()(
)(')(' cg
agbg
afbf
cfcH
Aplicando el Teorema de Rolle : 0)('.
)()(
)()(
)(')('
cg
agbg
afbf
cfcH
Con lo cual: )('.
)()(
)()(
)(' cg
agbg
afbf
cf
O sea :
)()(
)()(
)('
)('
agbg
afbf
cg
cf
Rocio
Resaltar
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 9
En el ejercicio siguiente obtenga todos los valores de c en el intervalo dado, que satisfagan la
conclusión de Cauchy para la función dada.
f(x) = 204x ; g(x) = 2x +6 en [-1,4]
Las Hipótesis del Teorema de Cauchy son:
i) Continuas en [a,b] : el dominio de f es 5,-mfdo por lo tanto es continua en
[-1, 4]. El domg son todos los reales por lo tanto lo es en [-1, 4].
ii) Derivables en (a,b): la función f es derivable en todo su dominio, por lo tanto lo es en (-1,4).
La función g es derivable en R y por lo tanto en (-1,4)
ii) b)(a, en 0)x´(g : La función g’(x)= 2 por lo tanto no se anula para ningún x.
Entonces se puede aplicar el Teorema de Cauchy.
4 61)2.(g(-1)g(a) ; 14 62.4g(4)g(b)
4204.(-1)f(-1)f(a) ; 6 204.4f(4)f(b)
(c)g' 2(x)g'
204c
2
(c)f'
204x
2
204x 2
4
(x)f'
1,25
4
5
c
5204c ;
10
2
204c
1
414
46
2
204c
2
g(a)g(b)
f(a)f(b)
(c)'g
(c)'f
Ejercicio 3
Pág. 10
8.4 REGLA DE BERNOULLI- L’ HÔPITAL
8.4.1 INTRODUCCIÓN
Con frecuencia se presentan funciones tales que para un determinado valor de x, el límite de
dichas funciones tiende a una de las siguientes formas:
10000
0
0
;;;.;;;
dichas formas son llamadas indeterminaciones. La Regla de L`Hópital permite salvar las
indeterminaciones de la forma
;
0
0
aplicando derivadas.
8.4.2 PRIMERA REGLA DE L’ HÓPITAL
0
0
ENUNCIADO
Sean f y g funciones continuas en [a,b] . derivables en (a,b) , con 0)(' xg para todo x
en (a,b) y 00
)x(g
ax
lim;)x(f
ax
lim , entonces si existe
)x(g
)x(f
ax
lim
, se verifica que :
)x('g
)x('f
ax
lim
)x(g
)x(f
ax
lim
Demostración
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 11
Según hipótesis f y g son continuas en [a,b], por lo tanto se cumple que:
f y g sean continuas en (a,b)
)b(g)x(g
bx
lim y )b(f)x(f
bx
lim
)a(g)x(g
ax
lim y )a(f)x(f
ax
lim
(1)
y como según hipótesis 00
)x(g
ax
limy)x(f
ax
lim
reemplazando en (1):
0 )a(g)a(f (2)
Por otra parte, si se considera el intervalo (a,x] contenido en [a,b] y se aplica allí el Teorema de
Cauchy:
)c('g
)c('f
)a(g)x(g
)a(f)x(f
con a < c < x (3)
reemplazando (2) en (3):
)c('g
)c('f
)x(g
)x(f
;
)c('g
)c('f
)x(g
)x(f
0
0
en funciones continuas, cuando x a , c a o sea :
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
)x(f
ax
lim
generalizando :
)x('g
)x('f
ax
lim
)x(g
)x(f
ax
lim
con lo cual queda demostrada la Regla.
Pág. 12
8.4.3 SEGUNDA REGLA DE L’ HÓPITAL
ENUNCIADO
Sean f y g funciones tales que sean derivables en (a,b) , con 0)(' xg para todo x en
(a,b) y
)x(g
ax
lim;)x(f
ax
lim , entonces si
)x(g
)x(f
ax
lim
existe, se verifica que :
)x('g
)x('f
ax
lim
)x(g
)x(f
ax
lim
Demostración :
Aplicar el Teorema de Cauchy en (a, x] contenido en (a,b] :
)c('g
)c('f
)a(g)x(g
)a(f)x(f
con a < c < x (1)
sacar factor común en el primer miembro de (1):
)c('g
)c('f
)x(g
)a(g
).x(g
)x(f
)a(f
).x(f
1
1
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 13
en funciones continuas, cuando xa ; c a
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
)a(g
)x(f
)a(f
.
)x(g
)x(f
ax
lim
1
1
según propiedades:
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
ax
lim
)a(g
)x(f
ax
lim
)a(f
..
)x(g
)x(f
ax
lim
1
1
y según hipótesis:
)c('g
)c('f
ac
lim
)a(g
)a(f
..
)x(g
)x(f
ax
lim
1
1
;
)c('g
)c('f
ac
lim..
)x(g
)x(f
ax
lim
01
01
)c('g
)c('f
ac
lim
)x(g
)x(f
ax
lim
generalizando :
)x('g
)x('f
ax
lim
)x(g
)x(f
ax
lim
con lo cuál queda demostrado el teorema.
Pág. 14
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital.
xsenx
xsenx
x
lim
4
2
0
Desarrollo
51
5
1
41
21
cos4x 41
2cos2x1
:Hópit alL' de Regla aplicando
sen4xx
sen2xx
0x
lim
0x
lim
sen4xx
sen2xx
0x
lim
0
0
sen4xx
sen2xx
0x
lim
Ejercicio 4
Pág. 15
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital.
xln.tgx
x
lim
0
Desarrollo
0 xln tgx.
0x
lim
xcos.senx.
x
lim :L R.de nuevamente aplicando
x
xsen
x
lim
xsen
x
x
lim
gxcot
xln
x
lim :L´Hópital de Regla aplicando
gxcot
xln
x
limxln.tgx
x
lim
.xln.tgx
x
lim
0
1
2
0
0
02
02
1
1
00
00
0
0
Ejercicio 5
Pág. 16
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital.
0
1
0
x
ecxcos
x
lim
Desarrollo
0
x
ecx
x
2
0
xsenxxx
senx
x
xxsenx
x
xx
ecx
x
senxx
senxx
xxsenxxx
ecx
x
-
x
ecx
x
:L R.de nuevament e aplicando
:L´Hópit al de Regla aplicando
1
cos
0
lim
coscos0
lim
0
0
cos
cos1
0
lim
1
cos
0
lim
0
0
.0
lim
11
0
lim
1
cos
0
lim
1
cos
0
lim
Ejercicio 6
Pág. 17
Evalúe el siguiente límite aplicando Regla de L’Hopital. cosxtgx
2
π
x
lim
Desarrollo
0
π
cos
2
π
tg
π
x
lim
2
2
0. tgx.lncosx
2
π
x
lim y ln
2
π
x
lim
tgxln.xcosyln
xcos
tgxy
0
1
2.secx
1
2
π
x
lim
x
2
2.t gx.sec
t gx x. sec
2
π
x
lim
x
2
t g
x sec
2
π
x
lim
x
2
t g . secx
x.1
2
sec
2
π
x
lim
secx.t gx
t gx
x
2
sec
2
π
x
lim
secx
t gx ln
2
π
x
lim
cosx
1
t gx ln
2
π
x
lim y ln
2
π
x
lim
1
cosx
tgx
2
-π
x
lim
1y lim0e 0 y
2
π
x
limln 0 y ln
2
π
x
lim
2
π
x
Ejercicio 7
INTRODUCCIÓN
CONTENIDOS TEÓRICOS
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
TEOREMAS
DIFERENCIALES SUCESIVAS
APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL
.
No hay rama de la matemática, por abstracta que sea, que
no pueda aplicarse algún día a los fenómenos del mundo
real.
Nikolái Ivánovich Lobachevski
DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
UNIDAD
TEMÁTICA
8
Pág. 2
INTRODUCCIÓN
Casi tres siglos y medios aproximadamente han transcurrido desde la invención del cálculo de las derivadas y
las integrales, y aún continúan controversias y comentarios sobre quién fue mejor matemático y científico, por
supuesto: Isaac Newton o Gottfried Leibniz.
GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ;
Leipzig, actual Alemania, 1646 -
Hannover, id., 1716
Filósofo y matemático alemán. .
Las contribuciones de Leibniz en el
campo del cálculo infinitesimal,
efectuadas con independencia de los
trabajos de Newton, así como en el
ámbito del análisis combinatorio, fueron
de enorme valor. Introdujo la notación
actualmente utilizada en el cálculo
diferencial e integral. Los trabajos que
inició en su juventud, la búsqueda de un
lenguaje perfecto que reformara toda
la ciencia y permitiese convertir la
lógica en un cálculo, acabaron por
desempeñar un papel decisivo en la
fundación de la moderna lógica
simbólica.
SIR ISAAC NEWTON
4/01/1643 Woolsthorpe Manor, Reino
Unido - 20 de marzo de
1727, Kensington, Londres, Reino Unido
Newton fue físico, matemático,
astrónomo, alquimista y estudioso de las
sagradas escrituras donde dedico la
mayor parte de su tiempo.
Por hablar del Newton matemático, solo
el teorema general del binomio le haría
ocupar un lugar entre los mejores
matemáticos británicos; también un
método de interpolación para
aproximar raíces de polinomio de n
grados y el método del paralelogramo.
Newton desarrolló su cálculo de
fluxiones diez años antes que Leibniz, y
únicamente lo expuso en un tratado
informal solo entre sus seguidores. Poco
después, Newton se da cuenta sobre
que el cálculo de las tangentes
(fluxiones) es el mismo que el de áreas y
volúmenes, solo que inverso. Había
descubierto también el cálculo integral
o como él llamaba antifluxiones. Esta
relación inversa de derivadas e
integrales es lo que se denomina
el primer teorema fundamental del
cálculo.
https://www.google.com.ar/search?biw=1094&bih=487&q=woolsthorpe+manor&stick=H4sIAAAAAAAAAOPgE-LQz9U3MC62LFPiBLEMDbOSk7TEspOt9AtS8wtyUoFUUXF-nlVSflEeAI4rLv4vAAAA&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwjBhaGki8bUAhWElJAKHZ-9AMgQmxMImgEoATAU
https://www.google.com.ar/search?biw=1094&bih=487&q=woolsthorpe+manor&stick=H4sIAAAAAAAAAOPgE-LQz9U3MC62LFPiBLEMDbOSk7TEspOt9AtS8wtyUoFUUXF-nlVSflEeAI4rLv4vAAAA&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwjBhaGki8bUAhWElJAKHZ-9AMgQmxMImgEoATAU
https://www.google.com.ar/search?biw=1094&bih=487&q=Kensington&stick=H4sIAAAAAAAAAOPgE-LQz9U3MC62LFMCs9Isssy05LOTrfQLUvMLclL1U1KTUxOLU1PiC1KLivPzrFIyU1MAOsVQJjcAAAA&sa=X&sqi=2&ved=0ahUKEwjBhaGki8bUAhWElJAKHZ-9AMgQmxMIngEoATAV
Pág. 3
CONTENIDOS TEÓRICOS
9.1 DEFINICIÓN
Sea f una función definida por la ecuación y = f(x) una función derivable en x y con x ≠ 0
(incremento no nulo de la variable independiente).
La diferencial de la función en x, denotada por dy o df(x) al producto de la derivada de la
función por el incremento de la variable independiente.
Δx . (x) ' f dy (1)
Otra forma de expresar la diferencial dy
Sea la función identidad: y = x (a)
Según definición, la diferencial es: dy = 1 . x (b)
En (a) aplicamos diferencial en ambos miembros:
dy = dx (c)
Comparando (b) y (c):
dx = x
Por lo tanto la diferencial de una función y = f(x) puede expresarse:
dx . (x) ' f dy (2)
y la definición de DIFERENCIAL de UNA FUNCIÓN se expresa:
“La diferencial de una función es igual al producto de su derivada por la diferencial de la
variable independiente”
De esta última expresión se desprende que si dx ≠ 0 es
dx
dy
(x)f'
∴ la derivada f´(x) puede ser considerada como la razón de la diferencial de la función respecto
a la diferencial de la variable independiente.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Obtenga la diferencial de la función definida por: 4)2(x senf(x)
dx 4)(x cos2x dy
2
dx 2x (x cos dy
dx4)(x senyd
2
2
).4
'
Ejercicio 1
Pág. 4
Pág. 5
La derivada de la función f, mide la tangente trigonométrica del ángulo que forma
la recta tangente a f en P con el semieje positivo de las x
PN
MN
tgxf )(' (1)
donde xPN Con lo que la expresión (1) queda: x . xfMN
x
MN
xf
)(')(' (2)
El segundo miembro de (2) es, según la definición dada en 9.2, la diferencial de la función,
dyx . xfMN )('
Luego MN es la diferencial de la función.
La diferencial de una función, dy, representa el incremento de la ordenada de la
recta tangente, correspondiente a un incremento de la variable
independiente.
Consideremos otros casos:
9.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN
Consideremos la representación gráfica de la función y= f(x)
CS
Resaltado
Pág. 6
Se observa en esta gráfica que: y dy
Actividad para el estudiante
Considere la gráfica de la función constante y = K . Representa los segmentos correspondientes a
y , dy y concluye.
9.3 APLICACIONES DE LA DIFERENCIAL AL CÁLCULO DE VALORES APROXIMADOS
9.3.1 INTRODUCCIÓN
Pág. 7
Cuando se desea determinar el valor aproximado de determinadas operaciones, como por
ejemplo
303,2 ; 7,25 ; 01,4 ; 1,004 log ; )(30,05 sen ; …
se puede usar el concepto de diferencial.
9.3.2 EXPRESIÓN
La expresión que se emplea para cálculo de valores aproximados es:
x (x)f' f(x) xxf o dy f(x) xxf
Demostración
La función derivada de la función y = f(x) es:
x
xfxxf
xf
x
)(
lim)('
0
Si eliminamos el límite:
x
xfxxf
xf
)(
)('
)().(' xfxxf xx f
Despejando:
(x). Δx' f f(x) Δxxf (1)
Para un valor x0:
Δx)( ' ff Δx)f( 0x0x0x (2)
Determine, aplicando diferenciales, el valor aproximado de
7,25
1°) Ubicamos el valor a determinar entre valores de resultados conocidos:
5 32,7525
O sea que el valor a determinar puede expresarse de la siguiente forma:
7,027,2 55 o bien 3,037,2 55
Se elige la forma que producirá menor error, en este caso la segunda forma.
3,0357,25
Ejercicio 2
Pág. 8
donde 0,3 -x y x 30
2°) Se expresa la función correspondiente a la operación dada:
En este caso
xxf 5)(
3°) Se determina la derivada de f y se particularizan ambas para el valor x0
1255)3()( 30 fxf
ln5 125.ln5 .fxf ln5 .xf x 30 5)3(')('5)('
4°) Se sustituye en la expresión (9)
64,655
5
2,7
(-0,3) . ln5 125. 125 2,7
OBSERVACIÓN
Si se hubiese trabajado con
7,027,2 55
donde 7,20 0x y x se tendría:
255)2()( 20 fxf
ln5 25.ln5 .fxf ln5 .xf x 20 5)2(')('5)('
53,165
5
2,7
0,7 . ln5 25. 25 2,7
Si se determina con calculadora: 77,135 2,7
Como puede comprobarse el valor más cercano es cuando se considera:
3,0357,25
A pesar que esta forma de calcular valores aproximados perdió vigencia con el uso de
calculadoras es interesante conocer las aplicaciones de la derivada en situaciones cotidianas.
Pág. 9
Para un determinado experimento, en el laboratorio de
materiales, se fabricó una probeta cúbica de hormigón de 20cm
de arista cuando en realidad debería haberse realizado de
20,4cm.
Determine aplicando diferenciales la variación de volumen que
experimenta la probeta cuando se modificó la medida de la
arista.
Desarrollo
La variación de volumen es V donde
)(xVxxVV
Que de acuerdo a la expresión (9)
x )0(x' f )0f(x Δx0xf
es:
x
)0(x' f
V
)0f(x - Δx0xf
x )0(x' V V
en el problema dado x0 = 20cm y x = 0,4
La función es:
3xV
Y la derivada particularizada:
1200)20(')
2
0
2
20 3.V(xV'
x 3(x)V'
Por tanto, la variación de volumen es:
3cm 480 V
0,4 . 200 V
1
Ejercicio 3
Pág. 10
9.4 TEOREMAS
9.4.1 DIFERENCIAL DE LA SUMA ALGEBRAICA DE FUNCIONES
La diferencial de la suma algebraica de funciones es igual a la suma algebraica de las
diferenciales de dichas funciones.
dg(x) df(x) g(x)f(x) d (1)
Demostración
Sea g(x) f(x) y
Según definición de diferencial de una función:
)
dx (x)g' dx (x)f'
dx (x)g' (x)f' dx 'g(x) f(x) g(x)f(x) d dy
dg(x df(x)
Sea
x2 2 - x senxy determine la diferencial dy
dxln2 2 -x cos 2x dx ln2 xdxxdxdy xx
2cos2
2dsenxdxd dy
2 - x senxy
x2
x2
9.4.2 DIFERENCIAL DEL PRODUCTO DE FUNCIONES
La diferencial del producto de funciones es igual a la diferencial de la función f, por la función g
más el producto de la función f por la diferencial de la función g.
(x) g(x) f(x) d dg . f(x) g(x) . df(x) . (2)
Demostración
Sea g(x) f(x) y .
Según definición de diferencial de una función:
)
dx (x)g' . f(x) dx (x)f' )(
dx (x)g' . f(x) g(x) . (x)f' dx 'g(x) . f(x) g(x) .f(x) d dy
dg(x . f(x) df(x) . g(x)
. xg
Ejercicio 4
Pág. 11
9.4.3 DIFERENCIAL DEL COCIENTE DE FUNCIONES
La diferencial del cociente de funciones es igual a la diferencial de la función f, por la función g
menos el producto de la función f por la diferencial de la función g, todo sobre el cuadrado de la
función g.
2g(x)
(x)
g(x)
f(x)
d
dg . f(x) g(x) . df(x)
con g(x) ≠ 0 (3)
Demostración (por parte del estudiante)
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………………………..
Sea
senx
2x
y determine la diferencial dy
dx
senx
x cos x x sen x
senx
xdxx x sen xdx
dy
senx
x x sen . 2.
2
2
2
2
2
2
.2cos.2
senxdxd
dy
Ejercicio 5
Pág. 12
9.5 DIFERENCIALES SUCESIVAS
Sea la función y = f(x) , la diferencial de la función está dada por: dy = f’(x) dx
La diferencial de la diferencial de la función denotada por:
2dx xfdy dyd )(''2 (1)
Se denomina “Diferencial de segundo orden de la función”
Demostración
Sea
f(x) y
Según definición, la diferencial de la función es dx (x)f' dy
Análogamente, la diferencial de la diferencial obtenida en el paso anterior será:
dx dx (x)f' (dy) d '
Que también se expresa:
22 dx (x) 'f' yd
La Diferencial de 3er orden de la función es:
33 dx (x)' 'f' yd
Generaliza:
........................................... ydn . (2)
Ejemplo
Sea (2x) seny determine la d4y
...........................................................
............................................................
............................................................
)2cos(.2
4
3
yd
yd
yd
dx xyd
2
INFORMACIÓN
CONTENIDOS TEÓRICOS
INTRODUCCIÓN
PRIMITIVA ANTIDERIVADA
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
NOTACIÓN
INTEGRALES
INMEDIATAS
MÉTODOS DE
INTEGRACIÓN
SUSTITUCIÓN o
CAMBIO de VARIABLE
POR PARTES INTEGRALES
TRIGONOMÉTRICAS
SUSTITUCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
DESCOMPOSICIÓN
EN FRACCIONES PARCIALES
INTEGRACIÓN CON
CONDICIONES INICIALES
INTEGRAL INDEFINIDA
UNIDAD
TEMÁTICA
9
Pág. 2
INTRODUCCIÓN
Dos importantes pensadores de finales del siglo XVII y principios del
XVIII fueron Sir ISAAC NEWTON (1642-1727), y Gottfried Wilhelm
Leibniz (1646- 1716). Cada uno trabajó en otros campos
diferentes a las matemáticas. NEWTON es un conocido
científico que hizo grandes descubrimientos en los campos de
física y matemáticas. Por otra parte LEIBNIZ destaco en las
matemáticas y la filosofía. Los dos son personajes destacados
en la historia de las matemáticas que mantuvieron un conflicto
por defender la autoría de la invención y desarrollo del CALCULO.
NEWTON consideraba las variables en función del tiempo, en cambio ´ LEIBNIZ
tenía un enfoque diferente. El pensaba que las variables tomaban secuencias
de valores infinitamente cercanos, de aquí las notaciones dx y dy (donde x , y
son variables) que representan las diferencias entre valores consecutivos de las
secuencias.
Sobre la integración, para NEWTON se basaba en encontrar la relación entre
lo que denomina fluxiones, es decir, las derivadas. De esta forma implica que
la integración es la operación inversa a la derivación. LEIBNIZ usa la integral
como una suma de infinitesimales, en cambio NEWTON usaba velocidades
finitas. Aunque ninguno de ellos usaba las funciones tal como se usan
actualmente, más bien pensaban en términos de gráficas.
Pág. 3
CONTENIDOS
TEÓRICOS
10.1.- PRIMITIVA o ANTIDERIVADA
10.1.1. INTRODUCCIÓN
Estamos familiarizados con algunas operaciones inversas:
- La suma y la resta,
- la multiplicación y la división,
- la exponenciación y el logaritmo
- la potenciación y la radicación
Ahora, conoceremos otra operación inversa:
“la derivación o diferenciación y la antiderivación o antidiferenciación o integración”.
10.1.2 DEFINICIÓN
Toda función F(x) diferenciable en un intervalo I se llama Primitiva o Antiderivada de la función f(x)
en dicho intervalo si
I x f(x)(x)' F
Si F es la función definida por 3)( 2 xxF entonces )(2)( xfxx' F entonces:
- f es la derivada de F y
- F es la antiderivada de f.
Si G es la función definida por 8)( 2 xxG entonces )(2)( xfxx' G o sea que G también es
una antiderivada de f.
En realidad, cualquier función H definida por CxxH 2)( , donde C es una constante, es una
antiderivada de f.
FUNCIÓN DERIVADA
A
Cálculo Diferencial
Cálculo Integral
Ejemplo Explicativo
CS
Resaltado
Pág. 4
10.1.3. ANTIDERIVADA GENERAL
Todas las PRIMITIVAS o ANTIDERIVADAS difieren en una constante, o sea que F(x)= x2 no es nada
más que una PRIMITIVA PARTICULAR de f.
Esto nos lleva a enunciar la siguiente Propiedad:
Si F es una antiderivada o primitiva particular de f en el intervalo I,
toda antiderivada o antiderivada general de f en I está dada por
F(x) + C
con C: constante de integración.
La operación consistente en obtener la PRIMITIVA de una función
dada se denomina integración, que es la inversa de la derivación.
10.1.4. NOTACIÓN
El símbolo denota la operación de antiderivación o integración y
se escribe:
C F(x) dx xf )(
donde
dx xfdx xFF(x)d y xfx F )()(')()('
La notación, , de una S alargada para denotar la operación integración, fue introducida por
el matemático y filósofo alemán por Gottfried Leibniz a finales del siglo XVII. El símbolo se basó en
el carácter ſ (S larga), y se escogió debido a que una integral es el límite de una suma.
En la expresión: C F(x) dx xf )(
x : variable de integración
f(x) : integrando
F(x) + C : Integral Indefinida de f
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 5
10.1.4. PROPIEDADES - INTEGRALES INMEDIATAS
Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente, sin más que
considerar las reglas de derivación. Las integrales inmediatas de uso más frecuente son:
N° Porque la diferencial de… es
1
Cx dx dxxd .1
2
dxc dx c .
3 dx xg dx xf dx xgxf )()()()(
4
-1n con C
n
nx
dx nx
1
1
dxxdx xn
nn
x
d nn
n
).1.(
1
1
1
1
5
Cx lndx
x
1
dx
x
.
x
x
x
xd
1
1.
1
ln
6
Cxedx xe dxeed xx .
7
1 ay 0 a con C
a
a
dx a
x
x ln
dxadx. aa
aa
a
d xx
x
ln..
ln
1
ln
8
Cx cosdxenx s dxsenxdxsenxxd .).(cos
9
Cx sendxx cos dxxsenxd .cos
10
Ctgxdx
x
dx xecs 2 2cos
1
dxxtgxd .sec2
11
Cgxdx
x
dx xec2 cot
sec
1
cos
2
dx xecdxxecgxd 22 cos).cos(cot
12
Carctgxdx
x
21
1
dx
x
arctgxd .
1
1
2
13
Carcsenxdx
x
21
1
dx
x
arcsenxd .
1
1
2
Pág. 6
Aplicando las propiedades contenidas en la Tabla de Integrales Inmediatas, resuelva:
Cxln 23x
3
4
-x cos 5dx
x
x 4 -x sen
Cxln
3x
4 -x cos 5
dx
x
dxx4 -dx senx 5
dx
x
dx4x -dx senx 5dx
x
x 4 -x sen
2
2
22
2
5
2
3
1
2
22
5
F = Primitiva de f
Verificación
xd
x
224x5senx
xd
x
224x5senx
xd
x
1
2.2.3x
3
4
5senx
xln 23x
3
4
-x cos 5d
xln 23x
3
4
-x cos 5d
Ejercicio 1
Pág. 7
10.2 MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Cuando la antiderivada o Primitiva de la función no puede determinarse aplicando Integrales
Inmediatas, se emplean métodos. Los que se estudiaran en el curso son:
Método de Sustitución o cambio de variable
Método de Integración por partes
Método por Sustitución Trigonométrica
Método de Descomposición en fracciones simples o parciales
10.2.1. MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE
Sea la integral dx f(x)I donde f es una función compuesta en la variable x.
Para determinar la antiderivada de f se tomará una nueva variable, por ejemplo u tal que x = g(u)
con el objeto de reducir el problema de integrar una composición de funciones a integrar una
función simple.
Como du (u)g' dx ugx )(
Sustituyendo en I : du (u)g' f(g(u))I
De esta manera se ha transformado la integral indefinida en otra, función de la nueva variable u.
Si la elección de la variable u fue acertada, la integral resultante es más sencilla de integrar.
C uFdu (u)g' f(g(u))I )(
Una vez obtenida la función Primitiva F(u) y más precisamente el conjunto de Primitivas F(u) + C,
se sustituye u = g(x): C I x Fdx . x f
C1)(3x cos
6
1
3xu
dx x 13x sen
2
2
2
-
C u cos
6
1
- du u sen
6
1
6
du
u sen
dxx
6
du
dx 6xdu
.
1
Ejercicio 2
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 8
10.2.2 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
10.2.2.1 INTRODUCCIÓN
Este método permitirá resolver integralesde funciones que pueden expresarse como el producto
de una función por la derivada de otra función.
dx x ln 1)(x ; dx
2 xxe ;dx senx x …
dx x
2sen ; dx 2)-(x ln ; dx x arctg ;dx senx xe …
10.2.2.2 FÓRMULA EMPLEADA EN EL MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES
Sean u(x) y v(x) funciones en la variable x, entonces
du (x)v - v(x) . (x)u dv (x)u
donde:
du = u’(x) dx (diferencial de la función u(x) )
dv = v’(x) dx (diferencial de la función v(x) )
Demostración
Sean u(x) y v(x) funciones derivables en la variable x.
El diferencial del producto de las funciones es:
dx (x)v' . )x(u dx (x)v . )x('u
dx (x)v' . )x(u (x)v . )x('u (x)v . )x(u xd
Integrando miembro a miembro:
dx (x)v' . )x(u dx (x)v . )x('u (x)v . )x(u xd
Reemplazando (1) en (2):
vd . u du v v . u d
dx v' . u dxu v v . u d
x(x)(x)xx
dv
(x)x
du
x(x)(x)xx
)()(
)()()( '
Aplicando propiedades: vd . )x(u du (x)v (x)v . )x(u
y despejando:
du (x)v- (x) v. (x)u dv . (x)u
(1)
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 9
La expresión obtenida, denominada fórmula de integración por partes, se utiliza para transformar una integral
en otra. Transformación que será útil como método de integración cuando la integral del segundo miembro
sea inmediata o, al menos, más sencilla que la del primer miembro.
10.2.2.3 MÉTODO PRÁCTICO PARA ELEGIR LA FUNCIÓN u(x)
Un método práctico para elegir la función u(x) es con la palabra
I L A T E
x u :ello por que antes está ILATE palabra la En
. ricatrigonomét : x sen ; algebraica : xdx senx x
ricatrigonométalgebraica
xln u : ello por que antes está ILATE palabra la En
alogarítmic : x ln ; algebraica :1)(x dx x ln )x(
algebraicaalogarítmic
1
C3x
9
1
-.lnx
3
3x
dx lnx 2x
dx 2x
3
1
.lnx
3
3x
dx
x
1
.
3
3x
.lnx
3
3x
dx lnx 2x
3
3x
v dx 2 x dv
dx
x
1
du x ln u
dx lnx 2x
inversa
logarítmica
algebraica
trigonométrica
exponencial
Ejercicio 3
Ejemplo Explicativo
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 10
10.2.3 INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS USADAS FRECUENTEMENTE
10.2.3.1 INTEGRALES DE FUNCIONES y= senx ; y=cos x
a) Inmediatas Integrales C x sen dx x cos ; Cxcosdx senx
b) ax z con nSustitució de Método aplica Se dx (ax) cos ; dx ax sen
C 5x sen
5
1
C z sen
5
1
dz z
5
1
dx 5xcos
dxdz
5
1
dx; 5 dz 5xz dx 5xcos
cos
c) dx x cos ; dx x sen nn
n es impar se utiliza la identidad 1cos
22 xxsen
n es par se utiliza la identidad 22
cos(2x)1
x2cos ;
cos(2x)-1
x2sen
C x cos . x sen
2
1
x
2
1
dx xsen
C(2x) sen
2
1
x
2
1
dx xsen
2
(2x) sen
2
z sen
.dz z cos
2
1
dx (2x) cos
2
dz
dxdx 2 dz
x 2 z
dx cos(2x) dx
2
1
dx
2
(2x) cos-1
dx xsen
2
cosx . 2.senx
2
2
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Pág. 11
Cxcos
3
1
cosx dxx sen 33
x
3
1
z
3
1
-
zd zdx senx x
dx senx - dz ; x cos z
dx senx x
dx senx xxdx sen
dx senxxcos-(1 dx x ens . x ens dx x ens 223
33
22
2
2
cos
..cos
.cos
.cos
).
d) dx xcos x.sen nm
si m o n es impar se utiliza la identidad: 1cos
22 xxsen
si m y n son pares se utiliza la identidad: 22
cos(2x)1
x2cos ;
cos(2x)-1
x2sen
dx x cos xsen dx xxsen2 -dx x cos
dx x cosxsenxsen 2-1 dx xxsen-1 dx x cos xxdx
dx xxsen -dx x cos dx xxsen-(1 dx x cos xxdx
xdxxdxcos dx x cos x xdxcos . x ens
2 ejercicio en como proceder
42
22
2 ejercicio en como proceder
22
3332
.cos.
cos..coscos
cos.cos)..coscos
cos).cos1(
4
2
25
23
52
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Pág. 12
10.2.3.2. INTEGRALES DE FUNCIONES y= tgx ; y=cotg x
a) dx x cotg ; dx x gt
recuerde que:
Ccosxln dxx tg
Cz
z
dz
-
dx x sen - dz x cos z
dx
x cos
x sen
dx x gt
ln
b)
dx x
ncotg ; dx x ngt
int egra. sey ident idad la emplea se ... x
2
t g . x
2
t g x
3
t g t gx . x
2
t g x
3
t g
x
2-n
cot g . x
2
cot g dx x
n
cot g
x
2-n
t g . x
2
t g dx x
n
t g
int egra sey x
2
cosec x
2
cot g
1-x
2
sec x
2
t g :ident idad la emplea se
:Ej
:descompone se 2 n Si
2 n Si
x sen
x cos
x otgc ;
x cos
x sen
x gt
Ejercicio 8
Pág. 13
C x -x tg dxx tg2
C x -x tg
dx dx x
dx x dx x gt
x x t g
2
2
2
sec
.1sec
C x cos ln-xtg
2
1
dxx tg 23
en doreemplazan
x dx x tgxdxsecdu x tgu
xtgu
duudx x gt . x
(1) dx x tg dx x gt . x dx x tg x
dx tgx . xgt dx x gt
2
3
:)1(
cosln
22
.sec
sec.1sec
22
2
22
2
Ejercicio 9
Ejercicio 10
Pág. 14
10.2.3.3. INTEGRALES DE FUNCIONES y=secx ; y=cosec x
a) dx x cosec ; dx x sec
Se multiplica y se divide la función dada por:
nsustitució aplica se y
x cotg x cosec xcosec ; x tg x sec xsec
C x tg secx ln dx x sec
Cu
u
du
xdx
en doreemplazan
dx xsectgxxdu
x tgxu
(1) dx
tgxx
tgxxx
dx
x tg x sec
tgx secx
. x ecs dx x ecs
2
lnsec
:)1(
.sec
sec
sec
.secsec2
b) Inmediatas Integrales C x cotg -dx x cosec ; C x tg dx x
22sec
c) dx x
3cosec ; dx x 3sec
se integra por partes
Ejercicio 11
Pág. 15
Cx tg x sec ln x tg .x sec
2
1
xdxsec3
x tg x sec ln x tg . x sec dx x
dx x sec dx x -x tg . xxdx
dx xsec . 1-x sec -x tg . xdx xsec . x tg -x tg . xxdx
x tg v
dx xdv
dx x tg xsec du
x secu
dx x ecs . x ecs dx x ecs
22
23
3
33
3
2
sec2
secsecsec
secsecsec
sec
Ejercicio 12
VERIFICA CON GEOGEBRA
Pág. 16
10.2.4 MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, permite integrar cierto tipo de
funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas,
Si un integrando contiene una expresión de la forma
2x2a 2x2a 2a-2x
donde a > 0, una sustitución trigonométrica adecuada transforma la integral original en una que
contiene funciones trigonométricas, que son más fáciles de resolver.
Las sustituciones adecuadas son:
Expresión en el integrando Sustitución Trigonométrica
I 2x2a θ sen . ax
II 2x2a θ gt . ax
III 2a-2x θ sec . ax
dx 22 x16.x
1
La integral responde a la forma del caso I, y el cambio de variable
correspondiente es: sen 4 sen ax .
y se puede construir el siguiente triángulo.
2x16
d cos 4.dx
4.cos x-16 senx 2
.4
C
x
x16
.
16
1 2
cotg d ec
16
1
d
sen
1
16
1
cos 4. . sen 16.
d cos 4.
x16 x
dx
222
16
1
cos 2
2
4
x
Ejercicio 13
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 17
dx 25-x.x
1
22
La integral responde a la forma del caso III, y el cambio de variable
correspondiente es: sec 5 ax sec.
y se puede construir el siguiente triángulo.
25
2x
d tg . sec 5.dx
5.tgx x 2
25sec.5
C
x
25x
.
25
1
C
x
25x
.
25
1
2
2
x x
dx
sen d
25
1
d
sec
1
25
1
tg 5.. sec 25.
d tg . sec 5.
x x
dx
2
22
25
25
1
cos
25
2
2
x
5
Ejercicio 14
Pág. 18
10.2.5. MÉTODO POR DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES PARCIALES
10.2.5.1 INTRODUCCIÓN
Este método permitirá integrar funciones de la forma
)(
)(
xg
xf
donde f y g son funciones
polinomiales.
dx
xx
x
4
45
3
dx
xx
x
4
1
2
2
dx
xx
xx
42
7
2
3
10.2.5.2 CLASIFICACIÓN
De acuerdo al grado de f y g las fracciones racionales pueden ser:
a) FRACCIONES RACIONALES PROPIAS
)(
)(
xg
xf
es Fracción racional propia si: g(x) de grado f(x) de grado el
Ejemplo: dx
xx
xx
4
123
3
2
b) FRACCIONES RACIONALES IMPROPIAS
)(
)(
xg
xf
es Fracción racional Impropia si: g(x) de grado f(x) de grado el
Ejemplo: dx
xx
xx
4
123
2
2
; dx
xx
xx
4
123
2
3
10.2.5.3 CASOS
Al factorear el denominador de la función racional fraccionaria, se presentan los siguientes casos:
a) Raíces reales simples: reales constantes son by a donde b-x axxg )(
b) Raíces reales múltiples: reales constantes son by a donde b-x axxg mn)(
En este caso, teniendo además en cuenta la descomposición en fracciones parciales:
c) Raíces imaginarias simples: bix aixxg )(
d) Raíces imaginarias múltiples: bix aixxg mn )(
En este curso se trabajará con raíces reales, por tanto no se verán el 3° y 4° caso.
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 19
Previamente recordemos
Toda fracción racional propia se puede descomponer en fracciones racionales simples:
simples fracciones propiafracción
5 5
4
6
1
.6
29
30
29
En forma análoga se podrá descomponer la función dada
)(
)(
xg
xf
en fracciones simples, y
la integral dxxg
xf
)(
)(
podrá expresarse como suma de integrales de fracciones simples.
En el 1° caso: dx
bx
B
dx
ax
A
dx
g(x)
f(x)
bx
B
ax
A
xg
xf
)(
)(
En el 2° caso:
bx
B
ax
A
xg
xf
mn
)(
)(
dx
bx
F
dx
bx
E
dx
bx
D
dx
ax
C
dx
ax
B
dx
ax
A
dx
g(x)
f(x)
mmnn ...... 11
dx
2x-xx
32x
23
cumple con la condición (1)
1°) Se factorea el denominador
caso) (1 simples reales raíces t res son 2)(x . 1)-(x . x xx . x xxx Q(x) 23
222
2°) Se descompone la integral dada en una suma de tres integrales de fracciones de polinomios
de menor grado
dx
x
C
dx
x
B
dxx
A
.dx
x1-xx
32x
212
(2)
Ejercicio 15
Ejemplo Explicativo
Pág. 20
3°) Determinación de constantes
Se trabaja con las funciones de ambos miembros:
2x
C
x
B
x
A
x1-x x
32x
12
Se realiza la suma del segundo miembro:
2xx . x
1-xx C2x x. BxxA
x1-x x
32x
1
21
2
Como los denominadores de ambos miembros son iguales se simplifican:
1-xx C2x x. BxxA 32x 21 (3)
Se particulariza (3) para cada uno de los valores de las raíces y se obtienen los valores de A, B y C:
1/6 - C C00 3 (-2)2, ; 2 - x si
5/3 B 0 3B0 32.1 ; 1 x si
2
3
- A 002A - 3 2.0 ; 0 x si
6
4°) Se reemplazan las constantes en (2) y se resuelven las integrales
2ln
2
ln
2
1ln
1
ln
1
2
1
6
1
1
1
2
x
x
dx
t
t
dt
x
dx
dxdt ; 2x t
x
x
dx
t
t
dt
x
dx
dxdt ; 1-x t
AUXILIARES CÁLCULOS
dx
x
dx
x3
5
dx
x
1
2
3
-.dx
x1-xx
32x
C 2 x ln
6
1
- 1-xln
3
5
dx
2x-xx
32x
23
x ln2
3
Pág. 21
dx xx-x
5
2345 x
cumple con la condición (1)
1°) Se factorea el denominador
caso) (2 simple 1y mult iples reales raíces 2 son xxx
1-x.x .x
)(x -1)-.(x x . x xxx . x xxxx Q(x)
2
cuadrado de diferencia
22
grupos porfact oreo
22
comun fact or
325
11.
1
11
2
2234
2°) Se descompone la integral dada en una suma de cinco integrales de fracciones de polinomios
de menor grado
dxx
E
dx
x
D
dx
x
C
dx
x
B
dx
x
A
.dx
x1-x
2
x
.dx
xxx
5
x 111 221.2
5
234
5
(2)
3°) Determinación de constantes
Se trabaja con las funciones de ambos miembros:
111221.2
5
x
E
x
D
x
C
x
B
x
A
x1-x
2
x
Se realiza la suma del segundo miembro:
x 1-x x
1-x.x Ex 1-x.x Dx.x Cx 1-xx. BxxA
x 1-x x 2
2222
2 1
11111
1
5
2
22
2
Como los denominadores de ambos miembros son iguales se simplifican:
1-x.x Ex 1-x.x Dx.x Cx 1-xx. BxxA 5 2222 11111 22 (3)
Ejercicio 16
Pág. 22
Se particulariza (3) para cada uno de los valores de las raíces y se obtienen los valores de A, B y C:
5/4 E E 5; 1 - x si
5/2 B 2C 5; 1 x si
5 A A 5; 0 x si
4
Como faltan los valores de 2 constantes y ya se usaron los valores de las tres raíces, se dan dos
valores cualesquiera de x:
(5) 40 -12D4C -
4
5
12DC
2
5
18.9.5 - 5; 36E12DCB9A - 5; 2 - x si
(4) 30 -12D12C
4
5
4.12D12C
2
5
6. 3.5 5; 4E12D12C6B 3A 5; 2 x si
.364418
Resolviendo el sistema de ecuaciones (4) y (5):
8
25
Dy
8
5
C
DC
DC
40124
301212
4°) Se reemplazan las constantes en (2) y se resuelven las integrales
dx
x
dx
x
dx
x
.dx
xxx
5
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
dx
x
1
1
22
1
22
5
234
5
4
5
1
1
8
25
1
1
8
51
2
5
5
1
4/5
1
8/25
1
8/52/5
Cálculo Auxiliares
1
1
1
1
1
2
22
xx
dx
tt
dt
x
dx
dxdt ; 1-x t
Pág. 23
1ln
1
ln
1
1
1ln
1
ln
1
x
x
dx
t
t
dt
x
dx
dxdt ; x t
x
x
dx
t
t
dt
x
dx
dxdt ; 1-x t
dxxdxxdxxdxx
dx
x
.dx
xxx
5
x 1
1
4
5
1
1
8
25
1
1
8
51
2
5
5
22
1
234
5
C1xln 1-xln
8
25
1)-(x 8
5
xln
2
5
dx
4
5
x
5
xxxx
5
2345
VERIFICA CON GEOGEBRA
Pág. 24
10.3 INTEGRACIÓN CON CONDICIONES INICIALES
En la sección 10.1.3 se vio que la ecuación dxxfy )( admite infinitas soluciones que difieren
en una constante que llamamos C. Esto significa que las gráficas de dos primitivas cualesquiera de
f son traslaciones verticales una de la otra. Por ejemplo, en la figura de la izquierda mostramos
varias gráficas de primitivas de la forma:
Una solución particular de esta ecuación será una única primitiva, es decir, conocemos el valor de
la constante C.
En muchas aplicaciones de la integración, hay información suficiente como para conocer este
valor particular de C. Esta información se llama condición inicial.
Por ejemplo, en el caso anterior, la condición inicial, sería que la curva pasa por el punto (0,-1).
Se lanza una pelota hacia arriba con una velocidad de 20m/s y desde una altura inicial de 24m.
a) Hallar la función posición que describe la altura s en función del
tiempo t.
b) Cuando llega la pelota al suelo?
Ejercicio 17
Pág. 25
Solución
En el instante t = 0 la pelota se encuentra a 24m de altura lo que se puede expresar la primera
condición inicial (0, 24)
En ese tiempo, la velocidad es 20m/s y como )(' ts
dt
ds
v diremos que otra condición inicial es
s’(0) = 19,2 m/s.
Por otra parte, la aceleración de la gravedad es 9,8m/s2 y cómo )('' ts
dt
dt
ds
dt
dv
a y por lo
tanto la última condición inicial es s’’(0) = - 9,8m/s2 (el signo negativo se debe a que la pelota
asciende)
1C t 9,8 - ts
dt 9,8- dttsts
)('
)('')('
Como s’(0) =19,2 m/s. reemplazando:
2,191
2,19)0('
C
C 0 . 9,8 - s 1
2
2
21
2
1
C t t 4,9 - s(t )
C t C t 4,9 - ts
dtC t 9,8- dttsts
2,19
)(
)(')(
Como s(0) = 24 m. reemplazando:
24
24
2
)0
C
C 0 19,2. 0 . 4,9 - s 2 (
Entonces la Función posición es:
24 t 19,22t 4,9 - s(t)
b)Para determinar cuando la pelota llega suelo, resolvemos la ecuación obtenida ya que s = 0
5s2s
; 1s -t)(1s
024 t 2,912t 4,9 - s(t)Por tanto la pelota tarda 5 s al llegar al piso.
INTRODUCCIÓN
CONTENIDOS TEÓRICOS
EL PROBLEMA DEL ÁREA
INTEGRAL DEFINIDA
ÁREA COMO INTEGRAL DEFINIDA
PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
INTEGRAL DEFINIDA
UNIDAD
TEMÁTICA
10
Pág. 2
INTRODUCCIÓN
Ubicación del tema
ISAAC BARROW
1630- 1677
BERNHARD RIEMANN
1826- 1886
Pág. 3
CONTENIDOS TEÓRICOS
11.1 EL PROBLEMA DEL ÁREA
11.1.1 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA
El área (AS) de la región S del plano acotada por las gráficas de
la función continua f, las líneas x=a , x=b y el eje de las abscisas, está
dada por:
n
i
n
S xi cifA
1
)( lim
Demostración
Sea una función f continua y no negativa en el intervalo a≤ x ≤ b.
Realicemos una partición regular 𝑃 = {𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥𝑛−1 , 𝑥𝑛 } del intervalo [a,b].
La misma divide al intervalo en n sub-intervalos cerrados de igual longitud
[a=x0, x1], [x1, x2],… [xn-2, xn-1], [xn-1, xn=b]
Al trazar las rectas : x =x0 = a , x = x1 , x = x2 , x = x3 ,.....................x = xn = b , la región S queda
dividida en n regiones:
S
y= f(x)
x=a x=b
Esta división del intervalo del a, b
se llama Partición del intervalo a, b
y la denotamos con P. Si todos los intervalos
tienen igual
longitud la Partición es regular y la
longitud de cada sub-intervalo es
n
ab
S1 S2 … Si … Sn
a=x0 x1 x2 xi xn-1 xn= b
Pág. 4
Vamos a aproximar el área de estas regiones Si por medio de rectángulos Ri para lo cual:
se elige :
un número c1 a, x1
un número c2 x1,x2
un número ci xi-1,xi
un número cn xn-1,xn
y se construyen los rectángulos R1 , R2 , R3 , ................Rn , de modo tal que :
f(c1) es la altura y x1 es la base del rectángulo R1
f(c2) es la altura y x2 es la base del rectángulo R2
f(ci) es la altura y xi es la base del rectángulo Ri
f(cn) es la altura y xn es la base del rectángulo Rn
De esta forma el área del rectángulo i-ésimo está dada por:
Ai = base x altura = xi . f(ci)
La suma de las áreas de los n rectángulos así construidos R1 , R2 , R3, ...............Rn nos dan una
aproximación del área de la región S medida en unidades cuadradas, y estará dada por :
A f( c1) . x1 + f(c2). . x2 + f(c3). . x3 +… + f(cn). . xn
El segundo miembro puede expresarse
n
i
ii xcf
1
)( y es llamada SUMA DE RIEMMAN
O sea que
n
i
ii xcfA
1
)(
xn=b c1 c2 ci cn
a=x0 x1 x2 xi xn-1 xn=b
Pág. 5
Si aumentamos el número de puntos de subdivisión del a, b , la cantidad de rectángulos
aumenta, el ancho de cada rectángulo se reduce y la aproximación es cada vez mejor.
O sea que cuando la cantidad de rectángulos se incrementa, simbólicamente n, la suma de
las áreas de los rectángulos se aproxima cada vez más al área de la región S.
Simbólicamente esto es
n
i
ii
n
xcfA
1
)(lim (1)
Determine el área de la región encerrada por la función
29)( xxf , tomando los puntos
muestras de los puntos extremos de la derecha y a = 0, b = 3.
a) Determinar x con n = 2:
5,1
2
03
x ;
n
ab
x
Y los puntos extremos de la derecha son: 35,1 21 x ; x
[u.s] 10,125A
06,75 1,5. 1,5 . f(3) 1,5 f(1.5). A
Ejercicio 1
Pág. 6
b) Determinar x con n = 4 :
75,0
4
03
x ;
n
ab
x
Y los puntos extremos de la derecha son:
325,25,175,0 21 43 x ; x ; x ; x
[u.s] 1A
58,44 0,75
0,75 f(3). 0,75 . f(2,25) 0,75 . f(1,5) 0,75 f(0,75). A
35,4
94,37,6
c) Determinar x con n = 30 :
1,0
30
03
x ;
n
ab
x
Y los puntos extremos de la derecha son:
5,04,03,02,01,0 21 543 x ; x ; x ; x ; x
0,19,08,07,06,0 76 1098 x ; x ; x ; x ; x
5,14,13,12,11,1 1211 151413 x ; x ; x ; x ; x
0,29,18,17,16,1 1716 201918 x ; x ; x ; x ; x
5,24,23,22,21,2 2221 252423 x ; x ; x ; x ; x
0,39,28,27,26,2 2726 302928 x ; x ; x ; x ; x
[u.s] 17,55A
8,99
0,1
0f(2,9).0,1 .0,1 f(2,8)
.0,1 f(2,7) .0,1 f(2,6).0,1 f(2,5)(2,4).0,1f .0,1 f(2,3) .0,1 f(2,2) f0,1 f(2).f(1,9).0,1
.0,1 f(1,8) .0,1 f(1,7) .0,1 f(1,6).0,1 f(1,5)(1,4).0,1f .0,1 f(1,3) .0,1 f(1,2) f0,1 f(1).
)f(0,9).0,1 .0,1 f(0,8) .0,1 f(0,7) .0,1 f(0,6).0,1 f(0,5)(0,4).0,1f .0,1 f(0,3) .0,1 f(0,2) 0,1 f(0,1). A
059,016,171,124,275,224,371,316,459,4539,576,511,6
44,675,604,731,756,779,7819,836,851,864,875,884,891,896,8
1,0).1,2(
1,0).1,1(
Pág. 7
11.2.- INTEGRAL DEFINIDA
11.2.1 DEFINICIÓN
Sea una función f continua definida para a ≤ x ≤ b, la INTEGRAL
DEFINIDA de f de a en b, simbolizada como
b
a
dx).x(f está dada
por:
n
i
b
a n
limdx).x(f ix).ic(f
1
(2)
si el limite existe.
Una función f definida en [a, b] se dice INTEGRABLE en [a, b] si existe el límite
de las sumas de Riemann de f
El símbolo se llama símbolo de integración y es una S alargada y se eligió así debido
a que la integral definida es un límite de sumas.
En la notación : f(x) es el integrando, a es el límite de integración inferior y b es el límite
superior
Si f es discontinua en algún punto 𝑐 ∈ [𝑎, 𝑏] la integral se denomina IMPROPIA O
GENERALIZADA
11.3 AREA COMO INTEGRAL DEFINIDA
La definición de área es:
A =
n
1i
ii
n
x)c(flim (1)
La definición de Integral definida es:
n
i
b
a n
limdx).x(f ix).ic(f
1
(2)
Comparando (1) y (2), solo si f(x) ≥ 0 , se puede afirmar que el área de la región plana S es:
0 f(x) si dxxfA
b
a
).(
∆xi
f(ci)
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 8
11.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Para facilitar el cálculo de una integral definida sin tener que recurrir a la definición, se
proporcionan las siguientes propiedades fundamentales
Propiedad 1:
Si K es cualquier constante real
b
a
b
a
dx..Kdx.K
Propiedad 2:
Si f es integrable en a,b y K es cualquier constante real
b
a
b
a
dx).x(f.Kdx).x(f.K
Propiedad 3 :
Si las funciones f y g son integrables en a,b
b
a
b
a
b
a
dx).x(gdx).x(fdx)x(g)x(f
Propiedad 4:
Si a < b y existe
b
a
dx).x(f
a
b
b
a
dxxfdxxf )().(
Propiedad 5:
Si b = a
a
a
dx).x(f = 0
Propiedad 6:
Si f es integrable en [a,b] y f(x)≥ 0 x [a,b] entonces:
0
b
a
dx).x(f
Propiedad 7 :
Si f es integrable en el intervalo cerrado [a,b] y c (a,b) entonces:
b
a
c
a
b
c
dx)x(fdx)x(fdx).x(f
Propiedad 8 :
Si f y g son funciones continuas tales que f(x) ≥ g(x) x a,b
b
a
b
a
dx).x(gdx).x(f
Propiedad 9 :
Si Mxfm )( para a ≤ x ≤ b, entonces
b
a
a-b Mdxxfa-b m ).(.
Pág. 9
11.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El Teorema Fundamental del Cálculo establece una conexión entre las dos ramas del Cálculo: el
Cálculo Diferencial que surgió para dar solución al problema de la tangente a una curva y el
Cálculo Integral que nace a partir del problema del área.
El matemático Isaac Barrow (1630- 1677) descubrió que estos problemas estaban relacionados. El
Teorema Fundamental del Cálculo da la correspondencia inversa inequívoca entre la Derivada y
la Integral.
El Teorema consta de dos partes:
Teorema Fundamental del Cálculo, Parte I
Teorema Fundamental del Cálculo, Parte II
11.5.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE I
Enunciado
Si f es continua en [a, b], entonces la función g definida por
x
a
b x a dt tfxg )()(
(1)
es continua en [a, b] y derivable en (a, b), y g’(x) = f(x).
Demostración
Si x y x+x están en el intervalo abierto (a, b) y según la definición dada en (1):
b x a :con dt tfxg
x
a
)()(
(3) b xx a :con dt tfxxg
xx
a
)()(
Y la diferencia:
xx
a
x
a
f(t )dt -dt tfxgxxg )()()(
Pág. 10
Por propiedad de integrales definidas:
xx
x
x
a
xx
x
x
a
f(t )dtxgxxg
f(t )dtf(t )dtf(t )dtxgxxg
)()(
)()(
Dividiendo ambos miembros en x con x≠0:
xx
x
f(t )dt
xx
xgxxg
.
1)()(
(1)
Por otra parte considerando que x > 0 y como f es continua en [x, x+x], el Teorema del Valor
Extremo establece que hay números u y v en [x, x+x] tal que f(u) = m y f(v) = M donde
m y M son los valores máximos y mínimos absolutos de f en [x, x+x].
Según la propiedad 9 de las integrales definidas:
xx
x
x. Mdxxfx m ).(.
Gráficamente:
≤ ≤
Pág. 11
Es decir:
xx
x
x. f(v) dxxf x uf ).().(
Si x > 0 se divide la desigualdad anterior en x (también puede comprobarse si x<0) :
xx
x
x
x. f(v)
dxxf
x
1
x
x uf
).(
).(
quedando:
xx
x
(v)f dxxf
x
1
(u)f ).( (2)
Reemplazando (1) en (2):
f(v)
x
g(x)-x)g(x
(u)f
(3)
Pasando al límite:
f(v)
x
g(x)-x)g(x
(u)f
xxx 000
limlimlim
(4)
Cuando x0, ux y v x ya que u y v están entre x y x + x por lo tanto:
f(x) f(u) f(u)
xux
limlim
0
f(x) f(v) f(v)
xvx
limlim
0
Entonces (4) queda:
f(x)
x
g(x)-x)g(x
lim (x)f
0x
Por el Teorema de Estricción:
f(x)
x
g(x)-x)g(x
lim
0x
Como el primer miembro es la Función Derivada de g:
x f (x)' g
Pág. 12
11.5.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PARTE II (Regla de Barrow)
Definición
Sea f una función continua en el intervalo cerrado a, b y sea F una primitiva de f en a, b tal
que b a, x f(x)(x)' F
a
b
xFaFbFdxxf
b
a
)()()().( .
Demostración
Por el 1° Teorema del Cálculo Integral se sabe que
x
a
dttfxg )()(
es una primitiva de f ya que g’(x) = f(x) . Si F es otra primitiva de f en [a,b], entonces la
diferencia entre F y g es una constante:
CxgxF )()( en (a, b)
(1) CxFdttf C dttf -xF
x
a
x
a
)()()()(
Las primitivas F y g son continuas en [a, b].
Si hacemos en (1) x = a tendremos: CaFdttf
a
a
0)()( O sea que C = F(a) (2)
Si hacemos en (1) x = b tendremos CbFdttf
b
a
)()( (3)
Reemplazando (2) en (3): aFbFdttf
b
a
)()()(
Particularizando para t = x
a
b
xFaFbFdxxf
b
a
)()()().(
Sintetizando, el TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO afirma: “Suponga que f es continua sobre
[a, b],
1.- Si
x
a
b x a dt tfxg )()( entonces g’(x) = f(x)
2.-
a
b
xFaFbFdxxf
b
a
)()()().( donde F es cualquier Primitiva de f, es decir: F’ = f
CS
Resaltado
CS
Resaltado
Pág. 13
11-5-3 TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL
ENUNCIADO
Si f es una función continua en ba, , donde f(x)0, entonces existe un punto bac , tal
que )()( cfabdxxf
b
a
.
Geométricamente el teorema del valor medio establece que dada una función positiva en
[a,b] el área del recinto limitado por la gráfica de la función, el eje OX y las
rectas x = a y x = b coincide con el área de un rectángulo de base igual a la longitud del
intervalo
(b - a) y altura f(c) siendo c un punto del intervalo [a, b] .
Calcula el valor medio de la función f(x) = sen x entre x = 0 y x = π/2
a) Calculo de f(c):
2
f(c)
2
cos
2
-
0
2cosx
2
f(c) dx senx
0-
2
1
f(c)
dx senx
a-b
1
f(c) f(c) . a)-(b dx senx
2
22
0cos.
.
0
00
b) Área del rectángulo de base (b-a) y altura f(c):
110
2
RR A
2
. A
c) El área bajo la curva es:
1
2
xdx senxA
2
0coscoscos 200
Ejercicio 2
Pág. 14
11.6 APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
Entre las numerosas aplicaciones de la integral definida destacamos:
Aplicaciones geométricas:
- área de una región plana
- volumen de sólido de revolución
- longitud de curvas
- superficie lateral
Aplicaciones Físicas:
- centro de gravedad de líneas, superficies y
cuerpos
- trabajo realizado por una fuerza
- momento de inercia de secciones planas
- presión de fluidos
Pág. 15
11.6.1 ÁREA DE REGIONES PLANAS
11.6.1.1 DEFINICIÓN
Dada una función y = f(x) integrable en un intervalo [a, b], el área de la región limitada por la
función, el eje OX y las rectas x = a y x = b se define como
dx xfA
b
a
)(
Dada una función x = f(y) integrable en un intervalo [c, d], el área de la región limitada por la
función, el eje Oy y las rectas y=c y = d se define como
dy yfA
d
c
)(
El valor absoluto de la función es debido a que en los intervalos donde la función es negativa, la
integral también es negativa y su valor es opuesto al del área correspondiente.
Pág. 16
En la práctica, para eliminar el valor absoluto en el integrando, debemos determinar los intervalos
de [a, b] donde la función es positiva o negativa y descomponer la integral en suma de integrales
correspondientes a cada uno de los intervalos indicados colocando el signo adecuado. Así, en la
figura anterior, el área se expresa como:
c
b
b
a
dx f(x)dx xfA )( ó
c
b
a
b
dx f(x)dx xfA )(
11.6.1.2. AREA ENTRE DOS CURVAS
Para calcular el área de una región comprendida entre los gráficos de dos funciones integrables
f y g, como la que se muestra en el siguiente gráfico:
En este caso, f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a; b].
Si las funciones f y g cumplen que b] [a, x g(x) f(x) el área de la región comprendida
entre los gráficosde f y g para a ≤ x ≤ b es:
dx xgxfA
b
a
)()(
Si bien en el caso anterior se consideró que f y g son funciones no negativas en el intervalo [a; b],
la formula anterior vale siempre que f y g cumplan que f(x) ≥ g(x), aunque tomen valores
negativos.
Para ver esto, consideremos el siguiente gráfico:
Pág. 17
Ambas funciones f y g toman valores positivos y negativos en el intervalo [a; b].
El área de la región no cambia si se traslada (manteniendo su forma y dimensiones). Como la
región es acotada, haciendo una traslación en sentido vertical, se puede conseguir que toda la
región quede por encima del eje x y, en consecuencia se reduce al caso ya analizado.
Para hacer esta traslación, basta sumar la misma constante K, suficientemente grande, a f y a g,
de manera que f(x) + K ≥ g(x) + K ≥ 0 para todo x ∈ [a; b].
Gráficamente:
b
a
b
a
dx K-g(x)-Kf(x) dx Kxg -KxfA )()(
b
a
dx (x) g(x) fA
Pág. 18
Determine el área de la región limitada por la curva de ecuación 46)( 2 xxxf
y la recta 4)( xxg
Expresión del área:
b
a
b
a
b
a
dxxxA
dxxxx dxxxxA
5
446446
2
22
Determinación de límites de integración
xy
x
x
xx -; xxx -
xxy
1
22
4
5
0
05446
46
2
2
Calculo del área:
u.s 20,83 A
[u.s]
6
125
A A
xxA
xdxdxxdxxxA
05
2
5
5
3
1
2
5
3
1
55
23
5
0
23
5
0
5
0
2
5
0
2
Ejercicio 3
Pág. 19
11.6.2.- VOLÚMENES
11.6.2.1 DEFINICIÓN
Sea S un sólido que está entre x = a y x = b. Si el área de la sección transversal de S en el plano
Px, a través de x y perpendicular al eje x, es A(x), donde A es una función continua, entonces el
volumen de S es:
b
a
i
n
i
i
n
dx xA x xAV )(lim
1
11.6.2.2 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION
Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje.
Sa
Sb
Pág. 20
Por ejemplo:
- el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos,
- el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.
- La esfera surge al girar un semicírculo alrededor de uno de sus diámetros
11.6.2.3. MÉTODOS
Los métodos analíticos para determinar el volumen de sólidos de revolución aplicando integrales
definidas son:
A) Método de discos
B) Método de anillos
C) Método de cascarones cilíndricos
A) MÉTODO DE DISCOS
Este método consiste en tomar una sección transversal de la figura, que al momento de hacerla
girar alrededor de algún eje genere una forma la cual calcularemos su volumen. El volumen de
este disco de radio R y altura x es: Volumen del disco = x R V 2 ..
Pág. 21
Eje de Revolución Horizontal
Si el eje de revolución es horizontal, la
expresión para determinar el volumen del
cuerpo obtenido por la rotación de la
sección alrededor del eje x es:
b
a
x dxf(x) V
2
Eje de Revolución Vertical
Si el eje de revolución es vertical, la
expresión para determinar el volumen del
cuerpo obtenido por la rotación de la
sección alrededor del eje y es:
b
a
y dyf(y) V
2
B) MÉTODO DE ANILLOS
Se utiliza este método cuando se trata de calcular el volumen de un sólido de revolución con un
agujero. Este tipo de solidos aparecen cuando la región plana que gira y el eje de revolución no
están juntos.
Eje de Revolución Horizontal
Supongamos que la región plana es la región
determinada por las gráficas de las funciones R(x) y r(x)
(con R(x) > r(x)), y las líneas x = a y x = b. Si se gira esta
región alrededor del eje x entonces el volumen del solido
resultante es
b
a
x dxr(x)R(x) V
22
Como R(x) = f(x) y r(x) = g(x) :
b
a
x dxg(x)f(x) V
22
Pág. 22
Eje de Revolución Vertical
d
c
y dyr(y)R(y) V
22
Como R(y) = f(y) y r(y) = g(y) :
b
a
y dyg(y)f(y) V
22
C) MÉTODO DE CASCARONES CILÍNDRICOS1
Este método se usa para determinar
volúmenes de solidos cuando se tiene una
función que al rotarla genera un sólido hueco
pero al usar el método de anillos solo se
cuenta con un solo radio y al sacar un anillo
se obtiene un cilindro:
Eje de Revolución Vertical
El volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje y
la región bajo la curva y = f(x) desde a hasta b, es:
b
a
y b a0 donde dx f(x) . x V 2
Eje de Revolución horizontal
El volumen del sólido que se obtiene al hacer girar alrededor del eje x la región bajo la curva x =
f(y) desde a hasta b, es:
d
c
x d c0 dondedy f(y) . y V 2
1 CALCULO DE UNA VARIABLE- James Stewart
Pág. 23
Se desea obtener el volumen de un cono circular recto de radio de base R= 2m y altura H= 4m.
a) Grafique la sección que gira, el elemento diferencial y el cuerpo obtenido.
b) Aplicando integrales, determine el volumen de dicho cuerpo.
Ecuación generatriz:
y
2
1
2
2
y-4
x
4 2x -y x
2
4
-y ; bmxy
:y de alrededor gira como
4
Cálculo del Volumen
3m 16,76 V
3
16
04
12
1
44.4
12
1
4.
4
1
24.
4
1
24
2
1
2
32
4
0
32
4
0
2
4
0
4
0
4
2
4
)(
yyydyydy ydy
dy yydy yV
00
2
y
Ejercicio 4
U1_NÚMEROS REALES.pdf (p.1-6)
U2_FUNCIONES.pdf (p.7-29)
U3_LÍMITES.pdf (p.30-42)
CONTINUIDAD.pdf (p.43-48)
U5_DERIVADAS.pdf (p.49-70)
1a) APLICACIONES DE LA DERIVADA TEORIA.pdf (p.71-94)
U7_TEOREMAS_CALCULO_DIFERENCIAL.pdf (p.95-111)
U8_DIFERENCIALES.pdf (p.112-123)
U9_INTEGRAL INDEFINIDA.pdf (p.124-148)
U10_INTEGRAL DEFINIDA.pdf (p.149-171)